八年级下册一次函数树状图
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04:48查看AI文稿AI文稿带一个绝对值的一次函数图像的画法被我们轻松拿捏，含有两个绝对值的一次函数怎么画呢？通过这个视频轻松搞定。上一个视频呢，我们讲解了含有一个绝对值的一次函数的图像的画法，画出来的形状呢，是一个 v 字形，这个顶点的位置呢，其实就是分界点。 今天呢，我们还类比这个思路来讲解含有两个绝对值的一次函数的图像该如何画。这里给出的函数啊，是 y 等于绝对值的 x 减二加上 x 减三。对啊，那首先呢，我们还是要考虑去绝对值，去绝对值时，我们就要考虑啊， x 减二，还有 x 减三，究竟是正还是负，所以这里呢，我们还是要先求零点， 然后呢划分区间来去绝对值，我们令绝对值中的式子呢，等于零。好，好，这样呢，我们就得到了， x 等于二， x 等于三。好，我们把它画在数轴上呢，就可以看到啊，现在数轴对应着三段，二左边的呢，我们记为 x 小 于二，二和三之间的啊，记为 x 大 于 二，小于三。注意这里啊，我们把这个等号呢，都加在这个范围上面，也就是你这个等号如果是在 x 小 于等于二身上的话，那你下面不写，反正只能出现在一处。好，那第三段呢，就是三右侧的，那我们写成 x 大 于三，接下来呢，该干什么了？对啊，该去绝对值得到分段函数。 好，我们逐段来考虑，首先当 x 小 于二时，那我们看这时候 y 等于什么？ x 小 于二，那这一项就是负的，那负的话，去绝对值要写成相反，写相反的时候啊，减少错误，我们只变符号，不变顺序，所以负 x 加二，然后加上 x 减三呢，也是个负的， 所以这时候呢，就是负 x 加三好，整理一下，就是负 x 加上五好。第二段， 当 x 大 于等于二，小于等于三十， y 等于好，我们再重新判正负 x 大 于等于二，好，这一项呢，大于等于零，所以呢，拒绝对值，就是本身 x 减二，加上 x 小 于等于三十呢，这一项小于等于零，所以呢，那拒绝对值变相反，还是负 x 加三好，整理一下啊，结果就是一 好看。第三段，当 x 大 于三十，那可以看到啊，前后两个绝对值现在都是大于零的， 那我们呢，直接按本身来写就可以了。 y 等于 x 减二，加上 x 减三等于二， x 减五，这样呢，我们就把分段的结果写出来， y 等于好。第一段，负二 x 加五，对应的范围呢， x 小 于二。第二段，直接 y 就 等于一了，范围呢，是 x 大 于等于二，小于等于三。 第三段呢，就是二 x 减五，范围是 x 大 于三，这样呢，我们就把含有绝对值的一次函数拆分成成了分段函数，那很明显可以看到啊，这仍然是一次函数的形式，所以我们在画图的时候，依旧是两点确定一条直线，结合着上一个视频，我们说了啊，在选点的时候，那个分界点，我们把它选上，这样画出来的图呢，就会更加准确。 好，我们先来画 y 等于负二， x 加五的图像。好，这里呢，我们选的点啊，选一个二临界点，还有，那这时候对应的 y 就是 一，然后我们在啊，在小于二这个范围中再取一个，那这时候我们就取取零， x 等于零的时候， y 呢就等于五，好，我们先来找一下点，二，一 零五，好，这个点啊，好，注意，画图的时候啊，我们只取 x 小 于二的这一部分，我觉得可能有疑惑，这个 x 小 于二，这不是没有取等号吗？这个位置不应该画空心吗？有这个意识啊，非常好，那我们在这里呢，我们就先把它标成空心，等一会画完图的时候，我们会发现啊，其实这一点对这个画图来说影响不大， 那接下来我们就来画 y 等于一，不 x 取几，它的外值都是一。那就是啊，画出来之后是一条平行于 x 轴的一部分，所以呢，对应的图像就是这个。 那在这里呢，我们可以看到，当 x 等于二十，它的外值呢就是一。所以呢，原本这里啊，在画这个 x 小 于二的时候，这个空心的位置呢，就可以，这个空心呢，我们就可以擦掉了， 这个当 x 等于二的时候，它确实等于一，好，所以可以擦掉。那接下来呢，我们再来画啊， x 大 于三，这一段， y 等于二， x 减五，好，先选分界点，三对应的外值呢就是一。之后呢，我们在 x 大 于三里头选一个值啊，嗯，也不需要很大，选 x 等于四吧， s 等于四的话， y 的 值呢就是三。所以呢，我们把这两个点瞄一下来，三，一在这里四，三，这个点好。之后呢，我们把这两点连起来，它本身是一条直线，但是还是啊，直线上我们只要 x 大 于三的那一部分，所以我们只画啊三右侧的这一部分。 那我们就得到了含有两个绝对值的这个函数的图像一下啊，我们可以进行一个总结，就是含有一个绝对值的一次函数，它画出来这个图呢，你也可以把它看成一个 v 字，只不过呢是一个平底 v 形， 它呢是三段连续的折线，有的时候呢开口朝上，有的题呢画出来是口朝下，那最后呢，我们来进行一个简短的总结，不管是我们画含有一个绝对值，还是含有两个绝对值，首先确定零点一定要准确，否则那个范围就会分错。然后就是去绝对值的时候，要判断清楚得到的是本身还是相反数，对式子进行一个整理计算 好。最后呢就是啊瞄点画图，就画图的时候啊，一定要看清楚，就是我们要保留哪一部分的图像好，这个视频呢，我们就讲解到这里好。
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01:38查看AI文稿AI文稿有粉丝投稿怎么画一次函数的图像？今天郑老师用两分钟跟你们说明白一次函数的图像到底怎么画，其实很简单，首先我们要明确一次函数的图像是一条直线，那么两个点就可以确定一条直线。那问题来了，这两个点我们该怎么找呢？比如这个函数， 这个 x 前面的 c 数是二分之一，那么我们列举 x 的 值的时候，我们就可以举一些二的倍数，比如当 x 等于二时， y 它就等于，哎， x 等于二。代进这条式子里面， y 等于二分之一，乘以二加三，所以它等于四。第一个点的坐标我们就可以确定出来， x 是 二， y 就是 四，这个就是第一个点的坐标。第二个 x 等于四呢， y 就 等于 二分之一， x 等于四，带进来乘以四加三等于，这里是二，二加三等于五，那么第二个点的坐标我们又可以确定出来， x 是 四的时候， y 是 五点的坐标确定了，我们可以把这两个点在直角坐标系里面描绘出来， 二，这里是二，四，好，好，二四，第一个点，第二个点是四，五 好，四五。在这两个点确定一条直线，把它连接起来，最后别忘了在直线的旁边把它的解析式给写出来，那么这一个函数图像就已经画完了，你学会了吗？
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36:28查看AI文稿AI文稿好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？
361毕老师细讲数学
05:05查看AI文稿AI文稿好，亲爱的同学们，每天我们不辞辛苦来学校读书学习，我们每个人都树立了远大的目标和理想，来，一起喊出我们的理想， 为天地立心，为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。 好，非常好，亲爱的同学们，我们一定要努力学习，为中华民族伟大复兴贡献自己微薄的力量。好，请坐好，快速的浏览本节课的教学目标，重，难点。 好，进入今天的第一环节，室友之间交流合作，将这道题的答案写在练习本上， 五 y 等于负六 x 加五， y 等于负，六 x 加五，对不对？对，好，非常好，请坐 在黑板上呢，有四道题，大家看一下这个变量之间是否是函数关系，如果是函数关系，写出它们的解析式，并观察解析式之间有什么共同特征。好，开始。 嗯， t， t 要大于等于二十，小于等于二十五度。 哦，你的意思是学友做错了是吧？啊，因为答案应该是 c 等于七， t 减三十度，这个 t 有 没有取值范围啊？有，他是不是前面说在二十摄氏度到二十五摄氏度之间，对不对？所以说 t 应该有个取值范围， 大于等于二十小于等于二十五。好，非常好，请坐，来第二题，来，这一次对， j 等于 h 减一百零五， j 等于 h 减去一百零五，对不对？对，非常好，请坐啊，好，来看一下第三第四，来快速的得出结论。 嗯， 第三题， y 等于零点一， x 加二十二，然后 x 应该大于等于零， x 大 于等于零， y 等于零点一 x 零点一， x 加上二十二， x 有 取式范围，对不对？对，是不是？对不对？对，对，非常好，请坐啊，来，第四题，第四题，哎，你们这个 y 等于负 x 加五十五 x 小 于零小于零 x， y 等于多少？再说一遍，等于。
02:20查看AI文稿AI文稿在我们日常生活中，处处都存在着数量变化的规律，一总量发生改变，另一总量也会随之有序变化。放学啦，我们去前面奶茶店买饮品喝吧。这家奶茶店的奶茶单价固定不变， 买的数量不同，最后花费的总钱数也就不同。同学您好，本店奶茶价格一致，请问你们需要购买几杯？ 那我们先买一杯尝尝吧。单价保持不变，购买数量增加，总消费金额便会均匀增加，变化规律清晰明确，味道很不错，我们再买一杯吧。好嘞，请稍等。这种一个量不变，另一个量随之均匀变化的数量关系，就是我们今天要学习的一次函数。 同学们，视频中奶茶的单价是固定不变的，购买的杯数越多，总共花的钱也就越多，而且变化十分有规律，我们用字母表示出数量与总价，就能列出对应的关系式。接下来就让我们一起探求一次函数的相关知识。
3阿峰
01:29查看AI文稿AI文稿我们知道一次函数的图像呢，是一条直线，我们又知道两个点呢，可以确定一条直线，所以要想画出一次函数的图像呢，我们只要找到两个点就行了，那这两个点要怎么找呢？通常情况下呢，我们是找与坐标的交点， 那么以下面这两个函数为例，我们画一下它的函数图像。我们先看第一个函数，令 x 等于零，则 y 等于负二， 令 y 等于零，那么 x 就 等于负一。那现在呢，我们就已经有两个点了，一个点是零和负二， 另一个点呢是负一，零，我们在平面直角坐标系上把这两个点找到就行，用一条直线把这两个点连起来。好，这条直线就是这个函数的图像 一样的，我们画出下面这个函数的图像啊，令 x 等于零， y 等于一， y 等于零， x 等于负一， 那么它的两个点就是零一，负一，零。在平面直角坐标系上找出这两个点连起来 很简单吧，两点确定一条直线，只要找出两个点，就能把直线画出来了啊，那我们再观察一下，红色的线是往下走的，蓝色的线呢，是往上走的，为什么会这样子？这个问题我下次再给大家讲。
15海口数学蔡老师
05:19查看AI文稿AI文稿起立同学好，起立同学们请坐，谢谢老师 同学们！半节课我们将达成以下学习目标，期待同学们的精彩表现。 依据本单元七十课得到了函数研究路径，本节课我们应着手研究哪类函数，请大家跟老师一起来回顾。 我们从实际问题出发，通过概括归纳，得到了函数的概念，得到了函数的概念。 我们接着又得到了函数的一般研究后解决，分别是先研究它的 k 点，然后研究它的 not。 我 们就先研究，最后去解决实际问题。我们知道函数有很多种类，我们决定从最简单的 前面我们已经研究了正比例的函数，我们也了解到了一次函数的概念。接下来我们该研究什么呢？ 一次函数的图像与性质。这就是本节课我们要学的内容，一次函数的图像与性质。现在请同学们 来思考以下三个问题，请在小嘴闭好的交流开始。 i don't know if it's not a good choice。 哪个小组代表来汇报一下？来你们小组 我们做的观点是，形如 y 等于 k， x， k 不 等于零的函数叫做正比函数。形如 y 等于 k， x 加 b， k 时长 n k d 时长所切分的为零的函数等于 a。 还有你说吗？ 我来补充一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 特点。解析式中，自变量的 x 的 次数是一次比例系数， k 不 等于零，常数向 b 通常不为零，但也可以等于零。 当 b 等于零时， y 等于 k， x 加 b， 就 变成了 y 等于 k， x。 所以 说正比例函数就是特出的一次函数。嗯，补充的非常好， 我来说正比例函数 y 等于 k， x， k 不 等于零的图像，是一条经过圆点的直线。 当等于 k s， k 大 于零时，它经过一、三象限。当 k 小 于零时，它经过二、四象限。分解性从左向右。 k 大 于零时，自左向右呈上升趋势， y， c， x 增大而增大。 呃，当 k 小 于零时，直线从左往右呈下降趋势， y， c， x 增大而减小。 刚才小组总结全面，知识掌握得非常牢固，请坐， 咱是怎样获得这些性质的呢？来你来说哦，通过画图解释图像观察变量的意义哦，你说它叫做画图观察图像，解释 变量的意义？意义？ 大家赞同他的观点吗？ 赞同。好，你们小组配合的非常默契，对应的知识点掌握的非常牢固。请。
05:25查看AI文稿AI文稿同学们，上课起立，老师好，同学们请坐！ 最近咱们班级迎来了大丰收，请你从生活和学习的两个角度来谈一谈最近咱们有哪些收获 来。运动员，在学习中，我们之前学习了一次函数的概念 以及他图像的性质，这节课我们将继续用依次函数来解决实际问题。依次函数已经到了最后解决实际问题的阶段了，对不对啊？那还有哪些呢？王坤，你来说一说。 我们在一个开心农场种植的蔬菜和水果就快要成盒了，我们下午就要去进行采摘。好，咱们一起通过几个图片来走进开心农场，看一看咱们都收获了哪些蔬菜水果。 那个王中坤，第一幅图是后面，第二幅图是 菜花，第三个不是白鸭，第四个是陈菜。嗯，咱们的收获是不是非常的丰富啊，既有蔬菜又有水果，那么今天的硕果累累离不开同学们的辛苦耕耘。同学们， 为了得到，为了在秋天得到更多的收获，学校决定对农场内一块长为啊七米，宽为三米的基增地进行扩充。 在扩充的过程当中，按照学校的要求，要使得扩充后的长是宽的两倍。请朋友们先帮助学校求出扩充后功率的长与宽，我们在下面完成。 啊啊啊 啊啊 啊啊啊啊啊 爱你爱你爱你爱你爱 你爱你。 来，下面给大家讲一下一次怎么解决的。嗯，就是先设增加的长度为 s 米，然后呃补齐， 呃，宽是长是宽的两倍，然后就用 x 加三，四百乘二等于下 x 解得 x 等于一，然后就是增加了一个米。 好，非常好。兄弟，他是用什么解决一个时间问题？好，小朋友们在解决问题啊。 哦，你结合的答案给王敏敏讲一下哦。 先设增加 x 米，然后此时长是七加 x 米，宽是三加 x 米，因为长最多是宽的两倍，所以七加 x 等于二倍的三加。
00:27查看AI文稿AI文稿八年级家长看过来，孩子数学一次函数总卡壳，图像性质搞不懂，刷题没针对性。这套七十三页人教同步试卷家解析太及时，覆盖所有考点，每道题都有详细讲解，帮孩子吃透众难点。 电子版随时看不懂找客服打印版，直接邮寄到家，省得自己折腾。左下方小黄车下单，部分地区不包邮，赶紧给孩子备上，别让一次函数拖后腿。
01:33查看AI文稿AI文稿我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊。来我们看一下，先看第一个，说一次函数 y 等于负二， x 加三的图像，关于 x 轴对称图像的函数解析式为谁？ 好，那我们说关于谁谁不变，另一个变相反，那么关于 x 轴对称，所以 x 不 变， y 变相反，也就是负 y 等于负二， x 加三，那你把它整理一下， y 等于谁？ y 等于二， x 减三，对不对？ 所以是 y 等于二， x 减三，好，再看第二个一次函数 y 等于 f， x 加二图像，关于 y 轴对称的函数解析式 关谁谁不变，另一个变相反，关于 y 轴对称， y 不 变，那么 x 变相反，就是 x 加二。 好，这是第二个。再看第三个说一次函数 y 等于 x 减三的图像，关于原点对称的函数形式。 好，那我们说观谁谁不变，原点是不全相反啊，对吧？所以关于原点对称， x y 全变相反，那么就是负 y 等于负， x 减三，整理一下，就是 y 等于 x 加三， y 等于 x 加三，你看掌握技巧的话是不是很简单？好，那今天的这道题目大家听懂了吗？
538梁老师数学思维提升
13:52查看AI文稿AI文稿好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。
321毕老师细讲数学
03:14查看AI文稿AI文稿这个视频里，我来跟你讲讲正比例函数 y 等于 k， x 和依次函数 y 等于 k， x 加 b 这两种函数图像之间的关系。比如，咱就来看看 y 等于三 x， y 等于三 x 加一和 y 等于三 x 减一。这三函数的图像和之前一样，咱先来列个表，把表格里对应的 y 值都求出来。显然，由于 y 等于三 x， 那 这一行就是这堆 x 的 三倍，也就是负六、负三、零三和六， 而这一行是 value x 加一，也就是说，它的每个数字都比上面的大了个一，分别是负五、负二、一、四、七，那这一行当然就比这一行的都少了个一，也就分别是负七、负四、负一、二和五。表格搞定了，接下来画出坐标系，把 value x， y 等于 x 加一， y 等于 x 减一，对应的点都比较少。也就是这样，接下来用三条平滑的线连接起来，就得到它们三的图像了。现在围观一下这三条直线，很明显它们三是平行的，而且它们三分别经过零一、零零零负一这三个点。 对于这两条直线来说，上面这条的每一个点都是中间对应点向上一个单位，这说明 y 等于 x 加一这条线也就是把 y 等于 x 向上平移了一个单位。 而对于这俩直线来说，下面这条的每一个点都是把中间对应的点向下一个单位，那 y 等于 x 减一这条线也就是把 y 等于 x 向下平移了一个单位， 向下平移一个单位，这里就要减一。而向上平移一个单位，这里就要加一，不过它们的斜率并没有发生变化。总结一句话，上加下减。因此，如果把 y 等于 x 向上平移三个单位，那相应的新直线，也就是 y 等于 x 加三， 而要向下平行四个单位，那结果不就是 y 等于三 x 减四吗？而且不难看出，无论把这个直线如何上下平移，改变的都只有纵坐标，而横坐标并没有发生变化。所以说，上下平移改变的是 y。 那 如果把直线左右平移又会如何呢？来试试看这三条直线，分别是 y 等于三乘 x 加六， y 等于三乘 x 减六，不难看出，它们三依然是平行的，而且分别经过负六零零零和六零这三个点。 先来看看它们俩，从 y 等于 x 到 y 等于三倍的 x 加六，从原点到负六零，图像向左移动了六个单位，而括号里加了个六， 而从 y 等于 x 到 y 等于三倍的 x 减六，从原点到六零，图像向右移动了六个单位，而括号里减了个六。到此，咱也能总结一句话，左加右减。因此，如果要把 y 等于 x 向左平行三个单位，那心之间也就是 y 等于三倍的 x 加三， 而要向右平移四个单位，那结果不就是 y 等于三倍的 x 减四了吗？而且不难看出，无论把这个直线如何左右平移，改变的都只是横坐标，而纵坐标并没有发生变化。所以说左右平移改变的是 x。 ok， 总结一下，依次函数 y 等于 k， x 加 b， 其实就是由相应的正比例函数 y 等于 k， x 平移出来的，而平移的原则也就是上加下减，左加右减，其中上下平移改变的是 y， 但是无论如何，平移的时候 k 并不会发生变化。所以说 k 相同的直线都是互相平行的。呦，听懂了吧，呵呵。
51洋洋老师讲数学
02:37查看AI文稿AI文稿我们来看一个实际操作过程中，需要大家自己作图，并结合图像的比较两个函数值的大小关系，那作图的话，我们遵循的原则还是列表描点连线，大家一定要坚持这个，所以呢我们先把这个列表的过程写出来，这时候呢我们可以选择啊一些， 因为在同一个坐标系统做出两个图像，我们可以把它给放到一起， 最上面呢我们写上它的自变量，下面呢分别是 y 一 和 y 二， 由于它没有自变量的数值范围，我们写一些省略号，先取数的时候我们观察啊，因为知道我们知道这都是一次函数，对吧？我们可以取一些关键的好算的数据。 好，如果我们看到这里呢，我们想取一个整数的话，可以选择一个负二，选个负二负数的，负二的话有个好处是这里乘完之后是一加二等于三，这里呢是负二乘三呢是负六，它也是三，在这里哎，找到了它的交点，然后我们可以选择它取个零， 这个零的话，它是二，这里是九啊，这里基本上就够了，我们再把后面呢给写成省略号，但如果最开始你这个点正好没有正好取得焦点也没关系，你可以再去算一下我们的焦点，尽量把焦点找出来啊，做到这个坐标系里面呢，我们找到一些关键点，首先是负二的位置 啊，然后是负二，是对这个外一呢是负二三，外二也是负二三 这个点，对吧？这个是零二这条线啊，我们用尺子呢，你把它画好，就相当于这根线呢，就是 y 一， 它就等于负二分之一 x 加二这个图像，然后这个三四加九呢？这里零九零九比较高啊，我这个图像呢，你可以考虑把这个往上去画一画，大概在这个位置 好，画出这个图像之后，它是 y 等于三， x 加九，对吧？所以这个焦点，焦点坐标比较关键，它是负二三这个点。 那我们来结合这个图像来比较大小关系呢？肯定不是简单的说谁大，而是写清楚，当 x 大 于负二时，我们发现是 y 二大于 y 一。 当 x 等于负二时， y 二呢？是等于 y 一 的。当 x 小 于负二时， y 二是小于 y 一 的啊，这就是它们的大小关系的比较。
22乐其数学
