三角函数立体翻折题南京三模
这期是一个非常干货的知识框架总结，讲的是什么呢？这届高三模考中，三角函数在导数中的呈现方式，第一个最经典的含餐，含餐力和含餐多一点问题。那么再涉及到有三角函数的含餐力问题，我们最经典的操作就是分段处理， 在小的范围内，比如说我在零到一，零到二分之 pi 这个范围内，我可能需要用到三角放松，把三 x 放松成 x， 大 范围内，我们用零界值放松，把三 x 放松成它的一或者负一，这零界值，从而来判断它的大小关系，然后再多零点问题呢？如果说我们涉及到要参分的话，可能会用到一个非常重要的工具，是吗？ 引零点不回带，为什么？因为涉及到三角函数，它的式子三和其他的函数一般来说是水火不容的，你没法把它合并，但是呢，你可以判断它的零点的左右端点的正负，比如说我求完导之后，我判断这个极值点啊，它左边那个端点 刚好也是个负的，我在利用这个区间里面的单调性，可以直接把这个范围内的正负给它判断出来。那所以说引零点回带在含三角的导数里面，出境率是非常高的。这种题目一般来说你的极值点是不需要回带的， 虽然你这个盈利点求不了，但是你可以利用在局部区间里面的单调性和端点的正负来判断这个区间里面的正负，你就不需要再处理这个极值点上的具体取值的问题了。当然在零点问题里面，很多时候，比如说你需要 估算，比如说你要知道一个什么 e 的 二分之 pi 啊 lo and 二啊 lo and 二分之 pi， 你 需要有一个大致的估算来判断出在这个点的正负， 不是所有的题目说我一定都能趋向于正无穷负无穷，用这种方式来说明的，你在小的区间里面，有的时候是需要一点点的估算能力的，这个也是要知道。第三个就是含三角形的竖列，这个结构呢比较明显，就是如果说相邻两个象 a n 和 a n 加一，它之间有根号的式子的 成立形式，那大概率是和三角有关，可能是余弦的二倍角，正弦的二倍角，正弦的和差等等都有可能，在这届已经考了好几次了， 那大家看到这种根号的递推关系，那一定要想到它可能和三角有关，然后把这个式子构造成一个三角的表达式，从而再塞到我原来那个函数里面。然后第四个就是说 前问结论放缩。如果说我在第二问，我已经证明了一个含三角的不等式和成立，我第三问呢？如果说我出现一个累加和的式子的一个不等式，很多个式子相加的和，那我碰到这种题目，我一般来说有两种可能性， 第一种就是我把第二问的那个含三角的不等式的结论啊，那个参数刚好放到它的极值点上，放到它的端点值上，把我第三问的那个三角部分给它替换掉，从而把这个圆函数啊给它展开成一个纯粹的 没有三角形式的函数的和，它大概率是一个分式的倒数的和的形式，那我可以放缩逆向求和，变成一个能够用等比数来求和的一个形式，等等， 这个是在三角数列和不等式结合一个非常重要的应用。接下来一个呢，就是说相对难一点的，它可能会涉及到一个 相邻两个向递推的一个关系，就比如说这个函数，它在不同区间里面的表达式可能有一定的特征，我要判断相邻两个不同区间里面的一个端点值啊，它对应的那个 f x 大 有关系，我可以利用它的单调性，利用它的周期性，把它的一边的端点值，一边的那个极致平移到 另外一个区间里面，再利用它的单调性做叉构造函数。这个呢就相对难一点，一般来说都是在十九题的第三问的 最后一个就是三角偏移，极点偏移的三角形式，比如说我要证明三个零点 x 一 x 二大于一个什么什么 pi， 或者说 x 一 加 x 二加 x 三，大约等于二分之三 pi。 这这个题目今年将在实战内题特别难的内题，大家印象应该印象都很深， 这种题目涉及到三角的偏移，我们很多时候啊，并不是对这个三个变量，三个零点进行整体的构造，而是说我把这个每一个变量它的那个更精确的范围给它压缩出来。比如说这个在负派到负派上，这个在负派到零上，最终把这个三个端点值的一个精确范围啊，给它组合在一起，刚好能够拼出我右边需要的那个值。 所以这个是含三角形的极值点偏移非常重要的一种题型的特征。以上就是我总结出来的这一届高三在导数中三角函数的呈现方式，如果有不全的，欢迎大家来补充。
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03:29查看AI文稿AI文稿对吧？他其实这四问啊，就是还算挺好的，就是挨个给你说了一下，到底是先平移还是先压缩，然后再加上本身他有赛有扣赛，你还得想一下右导公式这题，这四个出的吧，还算还算比较合理的。这个题啊，这个题怎么做呢？像刚刚那道题的话，我们是不是 拿得到的这个东西倒着往回推的这种也可以当做是个综合，其实他现在就是四个小题，放了四个选项而已，挨个都得做一遍。 那就按照他说的呗，先给这个东西各个点的横坐标缩为原来的三分之一，缩为原来的三分之一，变成什么了？是不是周期变成原来的四分之一了，对吧？所以它是相当于第一步就应该想办法从这个 cosine x 变成了一个 cosine 三 x 吧，这是第一步。 然后接下来图像关于 x 轴进行一个翻折，那这个图像进行一个这个这个，这个 x 轴翻折的话，它是不是就应该变成一个负的 cosine 三 x， 对 吧？ x 轴翻折，正的，变负的，负变正的，所以前面加个符号，但是这个式子，这个式子我们是不是可以通过那叫啥来着？通过用诱导公式， 对吧？可以给他变一下题，变一个叫什么呢？我可以写的稍微墨迹一点啊，他是不是可以等于一个负的三二分之派减去一个三 x， 所以 他就可以等于一个负的 cosine 三 x， 所以 a 选项他是个对的，对吧？变出来就是它 第二个也是先缩小为三分之一，它是不是就是从 sin x 变成了一个 sin 三 x 了？变成 sin 三 x 向右平移，左加右减自变量，所以我们是不是针对于这个 x 向右右减，减去一个六分之派， 对吧？然后这个东西的话，我直接就可以写成叫做一个什么 sin 三 x 减去二分之派吧，我压根就不用去管它是不是刚好和这个已知的东西是一样的， 所以 b 选项也是个对的啊， b 选项也是个对的。接下来来看 c c 这个事的话，先平移，所以它就应该是从 sin x 变成什么？变成一个 sin x 向右减六分之派， 然后再压缩三分之一，这个时候注意他是不是相当于 x 前面系数要乘三，但是仅限于 x 前面乘三，所以他应该变成一个三 x 减六分之派，这个长的就明显就不一样了，所以 c 他 是个错的， 对吧？然后接下来看 d， d 向左平移，它是从 cos x 向左平移，这么派个单位的话，是不就是左加，那就应该是 x 加派吧，对不对？然后 没了，哈哈哈，没关系，那我们先给他调整一下 x 加派，基变五变，然后符号看相线，它应该变成一个负的 cos x， 对不对？然后干啥呀？压缩成三分之一，所以他又是给前面乘个三，所以负的 cos 三 x 跟刚刚解出来是一样，所以 d 也是对的，所以这题 a、 b、 d 三个选项都是对的，只有 c 是 错的，对吧？他其实这四问啊，就是还算挺好的， 就是挨个给你说了一下，到底是先平移还是先压缩，然后再加上本身他有赛有扣赛，你还得想一下诱导公式。这题这四个出的吧，还算还算比较合理的。
33高中数学刘阳
03:32查看AI文稿AI文稿每日一题，高考无忧熊大讲题，双击关注，同学们好，今天分享的题目是二零二六年三月南京盐城联合检测第十一题， 分析如下，第一，一题一、三角形面积 s 等于二分之一， b、 c， 三以 a 等于二。 又因为 a 等于二，根号二，三以 a， 两者消去三以 a 可得 abc 等于八，根号二、 a 选项正确。第二，因为 a 等于二，根号二、三以 a， 所以 三角形 abc 的 外接圆半径 r 等于根号二。如图一， 这 m、 n 是 外旋圆的直径半径 o、 p 垂直于 m m， 此时三角形 p、 m、 n 的 面积为二， 所以三角形 p、 m、 n 是 符合条件的三角形之一。 又因为三角形 a、 b、 c 的 面积等于二，所以 a、 b、 c 三个顶点不可能在直径 m、 n 的 同侧，否则面积会小于二，即三角形 a、 b、 c 不 可能是钝角。三角形 a 方加 b 方大于等于 c 方， b 选项正确。 第三，设 b、 c 边上的高 a、 h 等于 h。 由于三角形 a、 b、 c 的 面积 s 等于二分之一，乘以 a 乘以 h 等于二，因此 a 乘以 h 等于四， 而 a 最小时，因此 h 就 要最大。此时三角形 a、 b、 c 为等腰三角形外形 o 在 a、 h 上，所以角 b、 o、 h 等于角 a、 o、 a 等于 o， b 等于根号二，因此 b、 h 等于根号二。三 a、 o、 h 等于根号二。扩散 a 由三角形的面积 s 又等于 b， h 乘以 a、 h， 所以 根号二。三 a 乘以根号二。扩散 a 加上根号二 等于二，整理可得三以 a 加上三以 a 乘以扩散 a 等于一， c 选项正确。第四，有二之，当 a 边等于 b 边时， 等腰直角三角形 abc 符合条件，此时三以 a 加三以 b 等于 c， 当 ab 往下平移时，三角形 abc 的 面积先增大后减小，逐渐趋近于零，所以符合条件的三角形还有一个 如图的红色三角形 abc， 所以 d 选项错误。答案， abc。
26花木工程师
07:55查看AI文稿AI文稿来，咱们看一道三角函数的复杂大体啊，如图所示的话呢，在三角形 a、 b c 中的话呢，已知的是 sin b 啊， sin b 的 话是等于三分之一，然后 d 在 b c 上， a b 这条边儿等于二 a d 还等于二 a c 啊，很明显就是这条边儿和这条边儿是不是相等的，对吧？二 a d 等于二 a c 嘛？然后第一问的话呢，让你去求 cosine 角 a d b， 哎，去求它的值啊，这基本上难度其实就上来了啊。第一问的话呢，首先一点啊，这里边的话呢，我们已知条件，其实求谁是比较好求的，你是不是有 ab 边和这个 ac 边的关系， 对吧？想到什么？是不是应该想到正弦定力啊？正弦定力的话呢？所以这里边你看啊， ac 边，嗯，因为我知道算敛 b 了， 这个角 b 对 应的边是不就 a c， 对 吧？那所以我们写一下来， a c 比上个 sin b 来等于谁？是不是还有 ab， 对 吧？有，有 ab 吧， ab 是 不是对应的角 c， 所以 就等于 ab 比上个 sin c 啊， 对吧？这个你是应该知道的啊。然后，所以的话呢，来，先求一下谁啊？知道他了，我是不是求一下，塞 n c 来，塞 n c 等于什么？ 塞 n c 的 话呢，是不是等于个它？乘它再除以个它啊？所以就是什么？是不是 ab 比 a c， 然后再乘个塞 n b 啊？ 来，所以等于几？ ab 比 ac 等于几啊？ ab 比 ac 是 不是等于二？ 乘上个三 a b 是 不是三分之一啊？所以是不是等于三分之二啊？还没写完呢啊，这只是其中一小步啊，然后知道他了，之后来知道正弦了， 你看这个是不是可以一个等腰三角形，对吧？就三角形 a、 d， c 啊，然后的话呢，所以等腰三角形。所以这个角 a、 d、 c 和角 c 是 不一样的，那么他俩一定是什么角？ 那一定是锐角啊，因为他俩不可能，你是角，我也是角。好家伙，那咱别别那个，那个等腰三角形了，所以知道他之后的话呢，来求一下 cosine c 等于什么？ 是不是 cosine c 等于一减去个 cosine c 的 平方来等于几？是不是根号下一减去个九分之四也等于三分之根号五。 嗯，求出来 cosine c 了，对吧？那求出来 cosine c 之后，我们还可以知道谁 因为你这个边 a、 d 和 a、 c 相等啊？写一下吧。因为 a、 d 等于 a c 啊，所以的话呢，角 a、 d、 c 是 不是就等于个角 c 啊， 对吧？那所以的话呢，我知道 cosine c 了，是不是 cosine a、 d， c 我 就知道了，对吧？那所以 cosine a、 d、 c 的 话呢，是不是也等于三分之根号五？因为它俩角都是一样的， 对吧？到这应该没啥问题啊。所以，所以，嗯。哎，知道 cosine a、 d、 c 了之后，嗯，所以的话呢，让你去求的是不是角 a、 d， b， 对 吧？ a d， b？ 你 看角 a、 d， b 和 a d、 c 是 什么关系？ 是不是互补的关系啊？就加一块等于一百八十度吧。来，所以第一问就求出来了。所以 cosine 角 a、 d、 b 的 话呢，来，是不是就等于 cosine 个派减去个 a、 d、 b 是 不是派减去个角 a、 d、 c 啊？ 对吧？那派减的等于啥？扣只有三是正的吧？所以它等于什么？是不是等于负的扣三角 a， d， c 啊， 对吧？然后带进来是不是负的三分之个号啊，哎，第一问求完了，哈哈哈，看着比较复杂，绕来绕去的，其实问题也不是太大啊。然后这是第一问，嗯，然后第二问的话呢，我们怎么去求？ 嗯，我们怎么去求它？第二问，我们拿过来让你去求 a d 比上个 cd 啊， a d 比 cd， 你 看这里边的话呢， 边比边很容易让你想到哪个，是不是一开始我们用的 a 比三 a 等于 b 比三 a b 啊？ 大笔啊，是不是很容易想到它，对吧？那所以这里边我们能够用到的。首先第一个，嗯，已知条件里边的话呢，是不是已经有了 sin c 了？ sin c 等于什么？是不是等于个三分之二，然后也已知了 cos sin c 是 不等于三分之二五啊？这都是已知条件啊，都是已知条件。之后的话呢，我们先求一下谁， 嗯，可以求谁，你看有 a d 是 不是搁这呢？对吧？ a d 对 应的边的话呢，是这个 c 角啊？ c d 对 应的边， c d 对 应的角，是不是这个角 d a c 啊， 对吧？那所以先求一下谁就是塞角哪个 d a c 啊？ d a c 啊，等于什么？对于它而言的话呢？这里边你看啊， a d c 和角 c 是 相等的，对吧？那所以这个角是角 c， 这个角是不也可以说是角 c， 对 吧？那所以的话呢，两个角 c 加一块，再加个角 d a c 是 不是等于 pi 啊？就是一百八十度啊， 那所以角 d a c 的 话呢，是不是就等于塞减去二 c 啊？ 然后派减去 sin 的 派减的话是不是等于 sin 二 c 啊？呃，等于什么？是不是二倍的 sin c 扣 sin c 来到这先别算啊，哈哈。 然后所以的话呢，在这里边可可不可以用那个正弦定里的？所以的话呢，是什么？是不是 a d 比成谁？ a d 是 不是比成个 sin c 啊？ 等于什么？是不是找 c d 边啊？ c d 边比上哪个？是不是比上这个？比上塞角 d a c 吧， 来写一下。嗯，你要的是 a d 比 c d， 对 吧？那所以 a d 比 c d 就是 把谁换了，是不是把它换到这去？把它拿上来吧，是不是三 c 比上个三角 d a c， 三角 d， a c 上面刚算过了，是不是二倍的三 c 扣三 c 啊？ 然后为什么刚才不让你算，现在你知道了吧？嗯，三 c 三 c 消没了。所以的话呢，是不是一比上二乘个扣三 c， 是 不是三分之根号五，对吧？然后的话呢，他的话呢，是不是就变成个一比上个三分之二倍根号五等于几？ 嗯，是不是二倍根号五分之三，然后还等于谁？是不是十分之 三百二十五，对吧？那这道题的话呢，说实话可以作为咱们对口高考的压轴题了 啊，绝对可以作为压轴题了，就是来回来去，在这个三角形里边我们去算，我们去写，当然了，其实整体来讲问题也不是太大。
95教数学的孙老师
09:04查看AI文稿AI文稿好，今天咱们来讲一道三角函数的题，也是有同学问的，我们看题，他说是在地面上 e 处水平放置了一个平面镜，也就是说 e 这个点，它相当于找一个平面镜， 呃，站在 d 处时，眼睛 c 恰好能在镜子中看到礼堂顶部 a， 啊，这是一个里塘，他想测量里塘的高度啊，呃，且点 b、 e 正好在同一水平线上，此时测得里塘顶部 a 的 阳角为阿尔法， 呃，测量 c、 d 及 d， e 的 长，阿尔法是五十一度， c， d 是 一点六， d， e 是 一啊，我们标一下， c， d 是 一点六， 第一是一问 ab 的 长，然后呢，给了一些三角函数的数据， 就这种类型的题，那我们来看这个题怎么做啊？首先呢，目前来讲，这个阿尔法目前是用不了的，对吧？因为这儿好像它什么什么边都没有，是吧？然后呢，我们给它延长之后， 呃，底下肯定还是一点六，上头呢？嗯，不知道是吧？不过我们只要把上头这给求出来，那这个事就搞定了。那么想求这个边啊，标个字母吧， 这个是 f， 嗯嗯，这一个一点六，这一个一，那说这个怎么用啊？这个 我们应该就得利用这个平面镜，因为 e 他 这也是放了一个镜子啊。那么我们物理学过，就是那个光的反射嘛，中间这条线应该是法线，是不是 中间这条线是法线，然后呢，就是反射角等于入射角，对不对啊？那么如果这样的话，嗯，这边这个角他肯定也等于这边这个角，那么如果我这我做一条垂线啊， 比如说这是 g 吧，那么这样的话，这两个三角形，它是不是就是全等三角形啊， 因为它角的话肯定是勾的边的话，这条边肯定等于这条边，因为它这是水平的线吗？是吧？这是垂线啊，这么一个意思，那如果这样的话，这个也是一点六，这个也是一对吧？嗯， 这个也给他标个字母吧。 h 啊，继续怎么做？嗯，这有个想法啊，就是说这个大三角形 和这个小三角形，它们肯定是相似的关系，对不对？它俩是相似三角形嘛，因为你这是平行线，对吧？啊，那么如果这样的话啊，我们这个 e g 跟 g h 它相当于是一比一点六， 那么这个 e b 跟 ab 他 是不是也是一比一点六啊？对吧？相似线段成比例嘛。所以这样的话啊，我就设这个 e b 是 x， e b 是 x， 然后呢？ ab 呢？就是一点六 x， 因为是一个一点一比一点六的比啊，如果这样的话， af， af 是 不是就是这个大的一点六 x 减掉这个小的减掉这个一点六，是吧？那 af 我 都有了啊，就是一点六 x 减一点六，那么这样的话，我就跟这个三角形 就搭上边了，因为这个三角形这不是有一个阿尔法吗？这个阿尔法我们有它的三角函数值可以用，对吧？呃，那么 cf 啊， cf 因为它是等于 b d 的 bd 呢，就是 x 加这边这个一对吧，注意， e b 是 x 啊，然后这个是一嘛，所以 c f 我 也有了， c f 就是 x 加一啊，这样的话就好办了， 我们这个阿尔法这个角啊，对边我也有了，这个邻边我也有了， 那我用它的哪个三角函数呢？是不是应该用它这个正切啊？因为正切不就是对边比邻边吗？所以我这样就可以用它这个正切了啊，那么我们写一下啊，那就是这个贪婪，他五十一度， 那个一点二是吧？约等于一点二，然后等于。呃，注意啊，是等于它的对边比邻边，对吧？对边就是 af 嘛， af 邻边就是 c f， 对 边是这个一点六 x 减一点六啊， 邻边是 x 加一，那我们就来解一下这个方程啊，那就是一点二等于 一点六， x 减一点六 x 加一，然后交叉相乘一下，就是一点二 x 加一点二等于一点六 x 减一点六。一项负的零点四， x 等于负的 二点八， x 等于七。哎，这个数挺好的，是吧，说明应该是算对了啊，那么 x 等于七，嗯， 我们不是要求这个礼堂的高吗？也就是 ab， 那 么 ab 是 一点六 x， 我 们就用一点六乘七就可以了，等于十一点二啊，这个就是答案十一点二 说保留什么几位了吗？啊？保留一位小数，我们这个正好是算到一位小数啊。好，嗯，这写个单位吧，米是吧。嗯， 这一问就是这个方案二啊。方案二那个，那个同学问的时候没截第二问啊，但是我也讲一下啊，这个方案二是这么一个意思，就是说这些角他也不给你多少度了，他就给你字母啊，然后呢，他测量了一个 b d， 当然 b d 也没告诉你是几啊，就光测量了啊，那 b d 我 就设它是 x 吧。当然第二问它可能告诉你 b d 是 哪个字母啊，然后还是问你 ab 啊，这个其实比较简单，就是可能稍微抽象一点，因为它没有数字，我们首先这给他这样一下，延长一下啊， 那么 ab 还是被分成两部分了，那一部分是底下这部分，底下这部分，当然了，这条边是不是它也是 x， 这条边也是 x， 那 么我们就可以把底下这部分表示出来。 呃，底下这部分，它相当于是这个角的对边这个呢，是邻边，那么对边邻边那是不是还是用正切啊？用那个贪占它吗？那这还是给他标一个点吧。这个是 e 吧，我们就可以这么写，就是这个贪占它 嘎嘛，这个等于对边比邻边嘛，等于 b e 比上这个 c e， b e 是 我们要求的啊。 c e 呢，就是那个字母，是那个字母 x， 那 么 b e 它就等于这个 tangent 伽 玛乘以 x， 就 这么一个意思是吧？啊，那么这个 b e 我 就写完了啊， a e 呢，是不是也可以这么写？ a e 就上头这个对吧？ a e 它就是跟这个贝特角是对应的，跟它对应的话，那 a e 还是正切呗，因为它是对边嗲，这个是邻边，那还是那么写，就是按正它 贝特等于 a e 比上这个比上 x， 我 就直接写 x 了啊。所以 a e 就 等于贪占它，被它乘以 x， 然后 a e 加 b e 不 就是 ab 了吗？那我就把这个和这个是不是加起来，加起来的话其实应该这么写好一点是吧？就是贪占它贝特加上这个贪占它，干嘛 乘以 x 这么写啊。然后啊，还有一道题也是有同学问的啊，但是这道题啊，我这想了半天， 呃，其实能做出来，但是呢，如果再讲一遍的话，就太复杂了。呃，我感觉我可能做的 不对啊，就是不是用最简单的方法做的，那么这道题我就放在评论区了。呃，因为上一次有一道题就是评论区有同学他们就能用更简单的方法做出来，所以这个我也看看有没有同学能用更简单的方法做出来啊？那当然了， 那个不能用高中的知识啊，你比如说什么鱼线定律那些，你要让我用那个，那我也会做啊。那行，那这个咱们就说到这啊。
248讲数学的阿绿
03:04查看AI文稿AI文稿给了两个式子，一个纯纯边的，纯边的，这玩意的话，想想他应该也应该用预先定力想办法去求个角，对吧？后面这画画就涉及到一个边角互画，而且边角互画的话，这个发现有成积形式了，但是说实话，我真的没有第一反应过来说积画合扎合照画积这个事哈， 我会反应的是什么呢？在三角形里边这块我一定要记得啊，今后你在无论说学这块还是复习这的时候，都要记得在三角形 abc 中， 然后塞 a 是 等于塞 b 加 c 的， 这是为啥？说了互补的两个角，它是不是正弦相等于弦相反， 对吧？这个也可以自己去推导推导是怎么想的？这个塞 a 是 不是等于塞派减 a 来着， 对不对？诱导公式。所以派减 a 是 啥？一共就仨角， a 加 b 加 c， 三角形内角和一百八，所以派减 a 是 不是就留下了 b 加 c， 同样道理，这也是一样的，对吧？所以呢，为什么我刚刚说这个会很快？这玩意我是不是就想了，它是一个三 b 加 c sin b 加 c 拆开是什么？是不是一个塞抠加抠塞的形式，然后再想着这边是一个塞抠，把它挪过去是不是就消了，消完之后再把它挪过去就变成一个塞抠减抠塞，那得到的是什么呢？所以这块其实只是告诉你一个什么，塞 b 减 c 是 等于个零呢？ 算 b 减 c 等于零的话，我们就能推出来 b 是 等于 c 的， 所以第二个式子是我比较喜欢的，就看他直接就推出来 b 角是等于 c 角的， 那 b 角等于 c 角的话，现在是不是就是一个等等等腰了，对，知道等腰之后他再往下继续特殊只有两种情况，一种是等边，一种叫做等腰直角再往下， 对不对？那么接下来是不是就缺一个角了？我只要找到一个角，行，这就没辙了，这就只能用它了。但是这个式子展开的时候，大家一定要初衷，那个什么因子分解，还有还有那个 平方差，完全平方，什么立方差，完全立方，公式要特别熟。为啥呢？看到这个式子，我们是不是可以给他先去这么着去想，他是一个 b 加 c 加 a， 然后再乘了个 b 加 c 减 a， 这么着一个东西就光看左边哈，光看左边，左边完了之后的话，这个是色是不是就变成了一个 b 加 c 的 方减去一个 a 方，等于一个三 b c 了， 对不？然后想想这个事的话，把这个 a 方挪到一边，那剩下的是什么？剩下的是不是就是一个 b 方加 c 方减去一个 b c 了？这个东西我们是不是就可以推出来啥了？推出二倍的 cosine a 是 不是等于一啊？ 对啊， cosine a 等于一的话不是二倍， cosine a 等于的话， cosine a 是 不是就是二分之一啊？那进而我们是不是就知道 a 是 个六十度了？ a 是 个六十度，另外两角又相等，所以它一定是个等边函数，所以这题是选 b 的 啊，这题是选 b 的。
39高中数学刘阳
05:46查看AI文稿AI文稿大家好，我是彭教，前面我们用了一个视频教大家如何去理解三角函数中的正弦、余弦和正切。那么今现在我们用具体的一个案例 给大家再重新捋一下具体是如何应用的。首先我们看条件，一二和一四都等于四百米，角三等于七十度，我们从四往下做垂线，四五垂直于二三，那么左边是一个正方形，右边是一个 非特殊的直角三角形。已知我们的角三等于七十度，他所对应的这个对边等于四百米。前面我们说了，已知对边和对角可以通过正弦三七十度 去求出我们的三到四的这个长度，也就是说三七十度，他是正弦 比上斜边啊，或者是说摊成了七十度等于对边四百除以三到五的边长，可以求出三到五的长度。好，接下来我们教大家如何用电脑计算器来算出我们的正弦 值和余弦正切值。那么首先打开电脑计算器，显示的是标准计算器，点击左上角这个，打开导航，然后点击科学计算器， 确保是在第一之一格式下进行计算。那么三七十度正弦值等于对边比斜边，那么四百比斜边，所以斜边的长度等于四百除以三七十度。 首先我们计算三七十度等于多少？七十点左上角这个三角角，点击三，这个就是等于零点九三九七，对吧？然后用四百出除四百除以零点 九三九七等于四百二十五点六七米。 然后碳七十度等于四百除以对边比上零边，所以零边等于四百除以碳七十度，碳七十度。同样的先输七十三角形碳等于二点七四七， 那么就是四百除以二点七，四七除以二点七，四七等于一百四十五点六， 对吧？所以三到五就是一百四十五点六，那么所以二到三的边长是不是就等于五百四十五点六米，对吧？然后三到四是不是就等于四百二十五点六七米？好，一到二一百八十度， 然后除以四百 二三九十，然后五百四十五点六三到四，这个长度可以不用看，其实算了这个长度，这一到四的长度 看一下，确认一下是不是这个四到三到四是不是就等于四百二十五点一，是吧？好，然后四再做回来，是不是它条件是要去闭合嘛？所以这个地方四料做五点一，一点四，五点 好缩回来了，缩回来以后我们再看一下条件，横向是二点到一点为 s 一， 我们先旋转图形，点击长点规划，二点到一点是 s 一， 一百三十 五，然后直角点长点垂直，直角点位于二点，直角点相对于二点北偏东六十度，距离三百八， 起飞点位于二点水平中六十度，然后三百八十度斜线高度一百米，起飞点高度没有外压线，默认高度一百米， 然后水平水二垂三垂三垂 二点停留五秒，静止于斜转弯，斜转弯二点三度来就行了，二点停留五秒， 然后闭合返航。给我们再点一下，一到二，一到四四百米，对吧？这基础条件一到二，一到四等于四百米， 然后我们前面把这个角度长度都看出来， ok， 匹配点位于二点的北平中，匹配点位于二点的北平中，这个数， 先把一点把它删掉，这个直接就是北偏东六十度 h 点，相当于一点六十度，刚好是差一百八十度。好，然后长线高度一百米， 走一百米，然后水平速度二，垂直速度三，然后二点一点转弯，停两秒，停五秒，对吧？然后闭合，闭合完成后闭合并反方，二到一好看，二到一 再反方， ok， 全部做完了， 接就接，你学会了吗？
121@彭教地面站解析
03:00查看AI文稿AI文稿看二月十八号的每人一题，这是二零二三年新高考一卷的解三角题目。来看题干条件，给出了三角形 a、 b、 c 中角 a 加角 b 等于三倍的角 c、 二倍的三引 a 减 c 等于三 b。 第一问，让我们去求三 a， 根据二倍的 cosine a 减 c 等于 cosine b 这个条件，我们可以把等式右边的 cosine b 利用诱导公式换成 cosine a 加 c， 接着再使用正弦函数的和角差角公式把它展开 化简，最后得到的式子是 sine a， cosine c 等于三倍的 sine c cosine a。 这个时候我们如果知道角 c， 就 可以把 sine a 和 cosine a 之间的关系求出来，再根据题干中给出的角 a 加角 b 等于三倍的角 c， 同时角 a、 加角 b、 加角 c 等于三角形内角和 pi， 所以 我们就算出了 c 等于四分之 pi， 那 我们把 c 等于四分之 pi 代入到一式中，就可以得到 sine a 等于三倍的 cosine a。 根据这个关系，以及 sine a 方加上 cosine a 方等于一，我们就得到了 sine a 等于十分之三倍的根号十。 接着来看第二本，设 ab 等于五，让我们去求 ab 边上的高。我们先把图做出来，现在已知的是角 c 是 四分之派， ab 等于五，我们做 cd 垂直于 ab。 题干中，让我们去求 ab 边上的高，也就是让我们去求 cd 的 长度。我们来观察这个图形 cd 在 三角形 bdc 中，并且拿整个三角形 abc 来看，目前已知的边的信息比较少，已知角的信息比较多，所以我们想采用的是正弦定律 来看，在三角形 b、 d、 c 中，我想要用正弦定理求得 c、 d 的 长度，那么就是 c、 d 比上三 b 等于 b， c 比上三角 b、 d、 c。 现在我们如果求出来三 b 以及 b、 c 的 长度，我们就可以求出来 c、 d 的 长度。 三 b 可以 用三角形的诱导公式，三 b 等于三 a 加 c 展开就是三 a q， 三加上三 c q 三 a。 由于在第一问，我们算得了三 a 等于三倍的 q 三 c， 也就是说 a 是 一个属于零到二分之派的角 q， 三 a 就 等于十分之根号十，算得三 a、 b 就 等于五分之二倍的根号五。那么在三角形 a、 b、 c 中，我们可以采用正弦定理， ab 比上三角 a、 c、 b 等于 bc 比上三 a， 所以 算出来边 bc， 它就等于三倍的根号五。 那么再来看，现在我们算得了三 a、 b 以及边 b、 c 的 长度。在三角形 b、 d、 c 中，再次使用正弦定力得到 c、 d 就 等于 b、 c 比上三角 b、 d、 c 乘上三 b 算得六，所以我们就得到 ab， 边上的高就是六。
72吃鱼就吐泡
02:41查看AI文稿AI文稿今天我们来讲解一道二零二五年江苏省常州市中考数学试卷题目的最后一题。如图，在三角形 a、 b、 c 中，它离角 c 等于三分之四， d 是 边 bc 上的点，将三角形 a、 c、 d 沿 a、 d 翻折得到三角形 a、 e、 b、 c， 使线段 a、 e、 bc 交于点 f， 若 c、 f 等于五， e、 f 等于二，则 a、 c 等于多少？ 到底，首先告诉我们的是角 c 的 正切值等于三分之四。我觉着我们可以考虑到两点， 第一点，我们要联想到一个直角变，分别是三和四的直角三角形。第二，我们需要通过添加辅助线的方法构造直角三角形，从而利用到这个正切值。对于这道题，用于告诉我 c、 f 是 等于五， 我们可以过 f 点做 f， g 垂直于 a、 c， 这样的话 f、 g 就 等于四， c， g 就 等于三，从而充分利用了角 c 的 正切值。 那么有的人说我们能不能过 d 点来做 a、 c 的 垂线？我觉得对于这道题是不合理的，我们赫到辅助线的原则必须是不能破坏题目中给我们的条件， 如果我们过 d 点来做垂线，就破坏了图中的条件 f、 c 等于五。所以说这道题最合适的是过 f 点来做 f、 g 垂直于 a、 c， 这样的话我们就得到了三角形 f、 g、 c 的 三角边分别是三、四、五。对于这道题，我们要求的是 a、 c， 我 们不妨设 a、 c 等于 x， 这样的话 a、 g 就 等于 x 减三。由于三角形 a、 d、 e 是 三角形 a、 d、 c 翻折得到，所以说 a、 e 也等于 x， 会由于 e、 f 等于 i， 所以 说 a、 f 等于 x 减 i， 这样的话，在直角三角形 a、 g、 f 中，直角边分别是四 x 减三，斜边是 x 减二。这样的话，我们就可以利用勾股定律列出方程， x 减三的平方加上四的平方等于 x 减二的平方， 最终我们计算出的 three 的 值是 x 等于二分之一。好了，本道题讲解到此结束，喜欢本视频的可以关注收藏并且转发，谢谢大家！
59初中数学陈老师
02:19查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学好，我是南京学大教育的郑老师，今天和大家分享一下二五年苏北七市高三三模 单选第六题，帮助大家快速解决三角恒等变换与三角函数图像性质的综合。我们一起来看一下这道题已知 f x 图像与直线 x 等于 x 零的值是多少。 拿到题目，首先我们肯定要利用三角恒等变换对 f x 进行化简，这一步就是考察大家三角相关的公式记忆熟悉不熟悉。好，我们一起来。 二倍的 cosine x 的 平方根据二倍角公式可以写成一加 cosine 二 x。 好， 我们把位置重新调换一下， 就是 sine 二 x 减去 cosine 二 x 再减一。很明显，前面的这一部分是可以用辅助角公式的，最后变成两倍的 sine 二 x 减 六分之派再减一。接下来我们利用对称轴我们可以发现，二倍的 x 零减六分之派，其实应该是等于二分之派加 k 派， k 属于 z， 从而可以求出二 x 零这样一个整体，应该是等于三分之二派加 k 派。好。在这里其实没有必要对 k 进行赋值，我们可以把它当成一个整体。最后， tangent 二 x 零就是等于 tangent 三分之二 pi 加 k 派好。因为贪婪的最小证求期是派，所以本题就等于贪婪的三分之二派，也就是负根号三，得到最后正确答案应该是 d。 今天郑老师给大家分享的内容就到这里啦，如果你觉得有帮助，别忘了点赞关注我，后续还会更新更多解题大招，我们下期见。
05:33查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎光临微课堂，今天跟大家分享的是用三角函数变换，求三角函数值。首先我们来复习一下公式，对于 sine alpha 加减倍，它等于 sine alpha 三倍它前面的加号的时候，后面也是加号 cosine alpha 三倍它，然后下面的减呢一样是减苦参阿法加减倍，它呢对应的是苦参阿法三倍它，然后呢跟前面一号呃三音阿法三倍它，然后下面我们看简单的看两道例题， 对于这两道例题里面呢，我们都引入了两个偏见的符号在里面，那我们知道常见的三角函数呢根号三呢，我们一般把它放在六十度，所以呢减 这个数字呢是等于天净的十度，减去呢天净的六十度乘以呢苦三十度，三呢五十度。 然后对于这个数字里面呢，我们没有很好的方法直接把这两个量进行作差，所以呢我们选择把这个两个三的两个天净的呢，把它转化成呢三十度， 除以呢苦三十度，减去呢三六十度除以苦三六十度，然后呢苦三十度，三呢五十度。 这个表达式算完了之后呢，把这段进行通风，通风完了之后呢就是苦三十度， 苦三六十度，然后呢上面是三十度酷三六十度， 然后呢减去呢苦三十度，三呢六十度，然后苦三十度，三呢 五十度。这个地方啊三十度，苦三六十度，减就苦三十度，三六十度。可以用一下这边的公式，上面呢就是三呢十度 减六十度，就是三负的五十度，然后苦三十度， 苦三十度其实可以跟这个苦三十度给它约一会，然后下面就等于苦三的六十度，然后呢这边约完了这个三五十度，然后把这两个给它约一下，三个负一负的苦三六十度， 苦三六十度呢，它等于二分之一，所以呢这个表达式呢，它就等于负二啊，就算完了。 下面一个同样的这句话呢，放了一个 number 在 这，其实呢道理是差不多的，我们对于这个事实呢，首先呢第一步呢，我们类似于叫拆面分离，呃，我们把这个 number 单独写出来，把这个表格整理一下，减， 那么它等于多少呢？它等于根号三减，天津的二十度除以呢三呢一百六十度。那对于这个表达式呢，天津的呢？呃，二十度，保留 根号三呢，把它写成天津的六十度，减去呢天津的二十度。 这个是设置呢哎，把它写成三六十度，减去苦三六十度，减去呢三二十度，苦三二十度。 然后下面正常超三英一百六十度。这边呢再整理一下，这边是三英的一百六十度。然后这个下面呢可以给它通风，通完的时候苦三英六十度，苦三英二十度。上面呢是三英六十度， 苦三英二十度，减去呢苦三英六十度，三英二十度。 然后这个柿子再把它再做一些整理啊，我们把这两个量呢都放到分母里面来，苦参六十度呢，它其实就是个二分之一，然后呢三一百六十度，它用诱导公式整理一下，它就等于呢三二十度， 苦参二十度。然后呢我们分子上面呢，这地方呢，整理一下，就是三的六十度，减去二十度就是三四十度。 然后呢下面的二分之一照抄，这个地方呢，再整理一下就是二分之三四十度啊，有的老师教的地方是叫加密公式类似的把它整理一下，呃，它跟它是四分之一，最后呢答案是个四。 呃，好的，两道简单的计算，大家看一下重难点呢？在哪呢？呃， 重点在这地方呢，我们把这地方出现的这个根号三啊，根号三我们都把它换成了天心的六十度。第二个呢，在这里面出现天心的时候啊，出现天心的时候我们都把它画成了沙眼珠，苦沙眼。所以呢这个柿子呢，我们等会就可以用这个沙芽话在里面或者苦沙芽话 加减乘进行运算了，当然这个数字里面对于常见的，呃三角函数值，呃呃，这个包括这方加密公式诱导公式呢，大家课后也要去巩固一下。好的，今天的分享呃，就到这里，谢谢大家观看。
67南京高中数学周家
