嗯，简单说一下，二就是五月份的这套欧基里德的月考卷，呃，然后从选择题开始，第一题它是 给你一个这样的极限，但是它就只给了一这样的一个极限。但是我们在平常做题当中可能会说 f x 是 连续的，或者是可导的， 或者是存在 f 一 撇 x 的， 但是这道题什么都没有，所以说他给的东西只有这一个极限，那我们通过这个极限可以推出什么？可以看到，首先分子是当 x 去一的时候，分子是去 f 一 的， 分母是去零一等于零的，但是我们分母是不能为零的，所以说分子一定是小于零的。所以这道题选 b a 和 c a， 他 是说 f 一 等于零，他直接就把这一点告诉你，他等于零，但是我们说极限区域，但他不一定是就是极限区域。呃一的时候，呃， f 一 这个东西他等于零，也就是 b 选项他等于零，但是我们是推不出，就是 f 选项他等于零，但是我们是推不出，就是 f 一 是连续的， 所以说这里是不对的， c 也是不对的。 c 他 说这个导数等于一，可是我们知道 c， 他 说导数等于一的话，其实 有一个角度就是，嗯， f x 减去 f 一， 其实，呃，你用这里用到了 f 一 嘛，对吧？你二列 x 减一比上论 比上 x 减一除以六 x， 你 这里用到了 f 一， 但是 f 一 这点是不知道的，所以说 a c 其实是一个意思，也就是说他出不出来。第二题是 第二题，这里有一个 limit， x 除以零，这里相当于是他在用他和他的关系。这种题有两种做法，一种就是用泰勒，就是我下面的这种做法。另外一种就是 你可以利用它，比如说它等于二 x 平方加上 o x 平方这样子做， 嗯，把它乘过去，可以这样做，但是这样的话就太慢了。然后我这里用紫色的笔写的就比较快，直接同时乘一个 x， 然后做 x 就 可以得到这个答案。 第三题没有什么特别好的办法，直接就是分布求导，就是你每每一个每一个 f x 他 带绝对值，我就先把它分段，分完段之后对每一段进行一个 求，他那个 x 等于零处的那个导函数，如果存在的话，呃，就是两边左左导等于右导， 然后相等存就存在。然后我们打到第三次，发现就是再往下第三次的时候就已经不对了，就是一个是六，一个是负六，所以说这道题就错，这道题就是 c， 他 最多只能打了两次。 然后我们说，嗯，第四题，第四题的话，他是像刚刚这里第四题其实就就是我刚刚说的第一题的这种辨识情况，这题这题他就说的很清楚了，他说 他给的条件特别足。首先他说他有导数，呃，我们知道一元微分学里面只要是有导数导数存在，也就是说他可微，呃，可导等于可微，等于连续，这几个点是 等价的。所以说我在这里写了 f x 是 连续的，且 f 一 撇 a 是 存在的，也就是说他这里告诉你的 f x 等于 a 是 连续。然后我们看这里的，他给了这个极限是 x 减 a 分 之 f 一 撇 x 等于负一。嗯， 拿到这种题我们可以有两种想法，第一种想法是为什么他给我们的这负一，也就是说我们可以用保号性，但是这里很明显用不到保号性，因为保号性的前提有一个很明显的暗示条件，就是我的分子或者分母必有一个是恒大于零或者恒小于零的，所以这道题用不到保号性。 然后我们再往下看的时候，呃，其实这里他写的就是 f 一 撇 f 两撇 a 的 值，也就是负一小于零，所以说它是一个什么函数啊？这里教一个区别凹凸函数的办法，也是我自己我懒得去记凹函数和凸函数，我就这么记，我就用的是负 x 平方和 x 平方， 可以看到如果是负 x 平方，也就是这样的函数，它是它是什么突函数突出来的，所以说它小于零，它是个突函数，然后有极大值，我是这么记得，所以说它有小有极大值，对吧？然后我们再看， 因为 x 减 a 在 x 去 a 的 时候是等于零的，所以说分子 f 一 撇 a 也是去零的。但是这道题和刚才那道题的区别就在于，他说了他是存在且连续的，所以说 f 一 撇 a 就 可以直接等于零，所以说一阶导为零，二阶导小于零，它就是个极大值。 然后第五题就比较有意思，第五题他是说的是也是给了一个这样的东西，他说他他有可去计算点，可去计算点的意思就是我的左导数不是我的这一点的 左极限和右极限是相等的，但是我对这一点本身并不多要求，也就是说我对这一点，甚至我把这一点扣掉都没有任何问题，只要他左边和右边是相等就可以。然后我们直接就是带进去啊，比如说我们这里是举的例子，不防射嘛，对吧？ 因为 a 和 b， 但地位是等价的嘛，所以我们直接就先令 a 吧， 我们这里得到了 a 减 b， 也就是这里，然后和 x 减 a 不 能带进去，因为是 a 减 a 就 不能等于零嘛，对吧？然后分子是 e 的 a 次方减 b， e 的 a 次方减 b， 就 说明一件事情就是，呃，然后我们因为是它不等于无穷，所以说 e 的 a 次方减 b 和这个 x 减 a， x 减 a 是 什么区域零的，所以说这玩意也是区域零的，所以说也就是 e 的 a 次方等于 b， 所以 我们得到了一个 a 就 等于 e 的 b 次方， 所以说 a 等于 e 的 b 次方，所以它就等于 b 乘以，就等于 b 乘以 e 的 b 次方，也就是 x 的 乘以 e 的 x 次方，对它进行一个取值范围的旋转，然后 直接令 f x 等于 x 乘一的 x 方，就可以找到它的计算值是负的一分之一。但如果你去记一些常见的，比如说 e 的 x， e x 乘一的 x， 还有洛恩 x 比上 x 这种 比较常见的函数，也是很快就能做出来，就是可以记一下这种。然后说到第六题，第六题他就比较有意思了。第六题其实，呃， 第一点，第一个观察到的点就是我们可以看到他的积分区间是对称的，积分区间对称，我们大概率会用到一个 对称，就是我们的基友型，然后我们把左边这上面的分子拆开，分子拆开之后我们会发现就可以拆成这样两部分，这样两部分左边是什么？一个基函数，所以说左边长度是派，所以说 m 就 等于派， 然后我们就找到，找到了一个中间变中间的值，就是派，我们要去以派作为桥梁去构建我们 n 和 k 的 大小，然后我们看 n 呢？ n 的 话其实 可以看到是 e x 分 之一减 x， 我 们有一个常见的不定式，也是在泰勒或者是在极数当中经常遇到的。 还有等价物是小众也经常遇到的，就是 e x 侧方大于等于一加 x， 对 吧？那他作为这个东西来说，所以说一加 x 是 不是小于等于一的 x 的， 所以说就得到了他小于等于这个态，所以说 n 就 小于 m。 然后再看这 这一部分，其实我们可以把拆开，前面就是派，而后面呢根号 cos， 嗯，他在零到二分之派，对吧？二倍的零到二分之派，他是个偶函数，然后他一定是大于零的，所以说这一块就是 k 大 于 m 大 于 n。 然后再看第七题，第七题的话他是在讲一个我变上线积分的一个积偶性 啊，当然这里和周期性也可以一起讲，对吧？就比如说我们一定是知道一个东西的，就是我们知道奇函数有一个常见的要求，只要是你的零点，只要是你的零点有定义，所以你的 f 零一定等于零， 这一块你在零点有定义就一定有。所以说在电上线的时候，只要你想想看它是一定它，假如说它是个偶函数，它里面是个偶函数，它想要积出来是个积函数，它的底下就不一定就一定不能是 a， 这个 a 就 一定要是零，就不可以是其他值。 比如说呃，就是说呃，一个很通俗的意思，就是比如说你 f x， 最后你比如说你 f x 是 x 平方， 是吧？然后你变上限积出来，你是不是积三分之一 x 三次方，对吧？可是你求导的时候，你会丢掉一个常数的信息，所以说，比如说我这里加个一，可是它的定义是有定义的呀，但是你加了个一之后，它就不是计算数了，所以说 注意这一点就能把这道题做对，然后他告诉你 f u 是 偶函数，那 t 倍的 f t 就是 奇函数嘛，对吧？然后这里就给出了刚刚所讲的这个例子，所以说你最后对比一下这个 c 是 正确答案， 然后他说第，他说第八题，第八题他是一个可以拿来做大题的一个考题，就是如果说你去做了 e p 的 那个五月份的那个高速阶段测试的话，其实有一道题跟这道题非常类似， 就是他是可以作为大题的一种考题。呃，但是也不是大题吧，就是一道选择题 中档题的难度吧。呃，一般来说我们是先判断它是否连续，再看偏导数是否存在，偏导数是否存在之后我们再拿这个存在的偏导数判断是否可微，再拿这个可微之后再去判断偏导数是否连续。 呃，这里有一个非常大的误区啊，就是首先连续的话，我们可以看到 x 区域零， y 区域零的时候，它是一个无穷角， 然后它是一个有界，有界有界变量，所以它一定是连续的，它趋于零，对吧？然后再就是求偏导，求偏导的话相当于就是你先把先把其中一个值先固定为零啊，因为这里是零和零嘛，然后再对另外一个值求偏求导数这个东西它就是 类比一一元里面求导数的一个过程。然后这道题 主要是他可危了。可危有一个比较就是需要记住的一个式子，就是不管你是做什么题，呃，基本上可危就是这个东西，就是在这里是零除以零，对吧？ 就是我不会去考虑他可危怎样比值是可危的，就是我也不会考虑什么减什么。哎，我写到这，嗯，我重新写一下， 有一个非常好好用的判断方法，就你直接把这个东西当做结论去记。首先这里就是你的 f x y 减去一个偏导对应的一个 x， 减去另外一个偏导对应的一个 y， 再减去你的 f 零逗零，因为这里是零逗零。然后这样做比值如果等于零，就说明它是可微的，这是一个结论性的东西。然后偏导数是否连续的话，就是你直接对它求偏导 看，直接就对他求，对他对 f x 求偏导是什么意思呢？是用公式求偏导，就是你把上面相当于求导数一样求偏导求出来，然后下面是零就不变嘛，对吧？然后你再对他取取极限，看他是否连续。很明显前面是等于零的，但是后面这个东西我们是求不出来它的极限的。就是 后面是什么呢？ x 方加 y 方分之二， x 乘以扩散， x 方加外方分之一，这玩意是求不出来极限的，你看分母是高阶的，对吧？你同时除以一个 x， 分 母是高阶的，然后你是求不出来的。它是个区域无穷的东西， 也不能说是无穷吧，因为它会因为扩散也会有零存在，它既不是无穷大，也不是无界变量，它是无界变量，然后它一直在动来动去。我只能说 然后第九题是一个非常常见的东西。第九题它说的是什么？我们可以看 number 和 number， 分 别是它该方程的解，然后 number 一 减六是它那个奇次方程的解。奇次方程说明什么？说明就是你本来都是 q x， q x 等于两边，你把它减掉了 就说明，就说明 number 减 miu 就是 等于零的， 是该方程的解，说明什么？ number 加六等于一， number 减六等于零这个东西就是你怎么去理解这个其次方程和非其次方程解的情况，就比如说，呃，这里，比如说你是呃，你 就不要带进去了。这道题就是主要是怎么去理解，就是因为右边等式是 q x， 对 吧？它它和 y 是 无关的，所以说我对它做 x 的 时候 就是会把这个东西减掉，就是那么大， y 一 减去六倍， y 二，它会把这个 q x 减掉，减成零，对吧？这样子就是其次了，所以说那么大就直接减六就等于零了。 呃，就就能得到这两个，四个，这里，这里其实还这里是解的情解的情况，然后核心代数里面的，嗯，核心代数里面的方程组，还有陷阱方程组那一块可以去联合记忆。 然后第十题他是一个。呃，拉普拉斯应该是叫拉普拉斯，拉普拉斯行列是需要做两次，需要做一次行变换和一次列变换，然后刚好把这个符号抵消掉，然后就可以利用这个风态矩阵。 啊，是拉布拉斯记不清了，反正是分派矩阵里一个行列式的计算就直接选出来了。然后第十一题第十一题其实他是章鱼一千题里面的原题也，我也记不清是课本上的还是三角上的还是一千题里面的原题了。然后 他是让你求他最大值，其实你可以把它当做 x 分 之根 x 的 根号 x 方，然后对他求到，找到他的极极大值，极大值其实就是 e 的 根号下 e 次方，然后他是二点七嘛，跟他最近的就是三， 所以说这道这道题写三根号三。然后第第十二题。第十二题是一个很常见的，就是 我们说这种是 f x 加 t 或者是 f x 比 t， 这种就是我们得得把，我们是没办法把它拆开的，我们得用换元法把里面东西换出来，换出来之后再求到，然后再带进去领，就可以得到它是一。 然后第十三题。第十三题是最近特别常见的一道题，就是不管是在 b 站上还是抖音上，还是在还是在公众号上，基本上都在猛推。这道题我很难理解，就是可以用章鱼书上的讲法，就是用变上限积分， 令 x 令大， f x 等于 x， x 加二 f t d t， 然后他就是他，是他就是 f 一 撇 x 嘛，得到 f 一 撇 x 等于 x， 然后对 f x 积分积分出来，记得带这个场量，因为他后面会给你个东西，让你去把场量求出来， 你看他这里告诉你的是零到二，你就是 f 零嘛，所以说就得到了他，然后说下这道二次积分，那二次积分，呃，首先二次积分这种题他一般来说他一定是要给你交换次序的， 就是你拿到这道题，基本上你就必须交换次序才能做出来，然后交换次序之后的积分问题就是你你的计算能力了，呃，但是有一个比较比较需要注意的点，就是它这里会有一个 e 的 y 次方顶 y， 其实呃，然后等于这个 e 的 x 方抵 x 这个东西就是呃背记函数与积分变量无关。 然后再说一下第十五题。第十五题，呃，它就是一个求偏导，然后解方程，解方程那个解一个二元一次方程组的东西， 你看这里就求出来之后，然后对应的带进去，只要这里不求错，就没有什么问题。第十六题，也是第十六题，非常常规。第十六题，嗯，首先拿到的是一个 a 星， a 星就是 a 的 伴随呢， a 的 伴随里面有一个就是 a 乘 a 的 伴随等于 a 的 行列式乘以， 然后他刚好是一个三阶的，三阶的行列式，而且他点的特别好，他的， 嗯，他的行列式的值等于负二，不等于零，也就是说他是可逆的，他的组成给他的一个三维子空，三维空间里面他每一个就是每一条线，三条线， 呃，没有共线或者是重合的情况，他能组成一个立体空间， 是这么理解的。然后再通过一定的变形，然后再就是纯堆计算量把它算出来，当然这里也没有什么好的办法。 第十题，他是给了一个引函数，引函数求极值，一开始我是打算想着求无条件极值的，然后后面我发现他这个引函数，然后直接求两次引函数的导数就可以了， 因为他有唯一的基值，所以说他一定是就是唯一的基，就是注点，他一定是基点，然后他在求二阶导的时候发现他这个值是小于零的，所以他是极大值，极大值就是一。 第十八题，第十八题是一个很好的题。第十八题，嗯，主要是看你会不会算出来。嗯，首先一定是有一个点，就是我们先找它不存在的点，不存在的点是零和负二分之一，也就是零里面大于零和有分母不为零这两个地方。 分母为零的时候带进去算，发现它是可以算出来值的，也就是说它是 不是你的牵垂线，也不是水平线，呃，在这一块分母为零的情况，然后再再带进去 x 区负二分之一的时候，很明显的发现他是趋于一个无穷大的，所以说他一定是牵制的，主要说明他趋正无穷和负无穷的两个情况。 嗯，在做这道题的时候，首先考虑它的定义域，定义域就是分母，也就是根号下，根号下是大于等于零的，对吧？根号下是大于等于零的。然后算命星刚好你可以发现正无穷和富贵熊都在里面，所以说我们要考虑正无穷和富贵熊的存在性。 嗯，然后就是我们要对它，就是把它提出来，其实有个很好的办法，就是我们可以这样 一加上四 x 分 之一，猜出来是二 x 绝对值，对吧？然后在这款区域正和区域负是有区别的，当然如果说你觉得很麻烦的话，你也可以用， 嗯，你也可以用泰勒展开，泰勒展开展开到一阶就可以了，因为你是因为你最后得到的是 y 等于 x 加 b， 对 吧？其实这就是泰勒展开的最最最基本的一阶的东西，只要你展出来是这个东西，你就可以直接用， 然后再说他第十九题，第十九题是一个非常在考试的时候没有想到很好的思路，但是后面我会发现就是一加 一加 q 三 x 分 之三 x， 他 求导正好是一加 q 三分之一，所以说直接就得到了他，他这个二 x 其实是就是就是一加 q 三 x 分 之一三 x。 但是在考试时当中没有想到题该怎么做，该怎么办，有两种办法，第一种是你用万能公式，因为你实在想不到任何办法了，所以说你只能用万能公式来做这个不定积分。还有一种可能就是你想到了用绊脚公式， 其实其实我们可以大胆的想一下，如果绊脚公式其实就是在往万能公式上方向上凑。怎么去理解这件事情呢？就是因为你 最后得到的就是你另那个半圆的时候，用万能公式的时候，其实你得到的也是个半角，所以你平时留意一下的话，你就可以想到用半角公式去凑。 再说下第二十题，第二十题计算量还挺还挺大的，我觉得第二十题计算量挺大的，然后先画出它的积分区间，就在第一项线这个部分，然后你用极坐标算嘛，你用极坐标算的话， 就是你是零到二分之派，对吧？零到二分之派，然后把它换成柔背的扩散，你就约掉了吧，然后这里有个柔，然后前面这一块就可以直接提到前面去，后面这一块其实就是柔背的散影派，柔低柔 这个的这个东西就是你，我是用表格积分法积的，就是我没有什么好的办法，只是用的表格一和零，然后塞银派肉，这样子积出来，积出来之后得往回带，然后前面这部分的积分就是 前面这部分的积分就比较麻烦。前面这部分积分就是我同时处理了 cosine， 同时处理了 cosine， 分子分母同时除以 cosine， 然后我得到了什么？得到了一加一加 tangent 它，但是我发现这样子还是记不出来，然后我又同时了，除以 cosine 平方得到了 second， 它比上 second， 它 加上 angle theta， 乘以 second theta 平方 d 三 d theta， 然后我发现这部分我把 second 再看看怎么样？ second 放到后面就是 d tangent 得到了什么 d tangent 比上 second 平方一加 tangent theta。 但是这里呢？这里我会把什么 second 平方展开，展成一加 tangent 的 平方， 这样就变成了一加 tangent c， 它平方一加 tangent c， 它分之 d tangent c， 这样就得到了这样一个乘法，对，就得到它。 得到它之后，然后你把它当成一个由利函数的积，由利函数的一个积分，把它拆成这样子的形式，然后我找到它的圆函数，它的圆函数长这个样子， 然后算的时候前面这部分其实就没了，计算的时候是前面这部分，因为你去二分之派的时候，呃，分子分母，其实就看他，看你高级的，高级的那个无穷大 就是我们抓抓大头嘛，抓出来之后是洛文一，洛文一其实就没有了，所以说就是二分之一，乘以这个乘以这个二分之派，就是四分之派，乘以这个 负的百分之三，就得到了负的四分之三，这样这道题就做出来了，然后说出来，这是第二十一，二十一题是很弱智的一道题，就是，呃，怎么说弱智呢？就是我们应该写的有，就是他就是一个最基本的一个这样的，其次的这种不是，其次就是这种 y、 b x 的 这种画圆的东西， 就你跟他画完圆之后就可以到这这这样一个玩意，然后再把它带进去，直接就解出来了， 这这种就是最基本的东西了。这五十二、二十二、二十二题，我一开始想的时候，其实我想了很多办法，但是我，我设 f x 设错了，我设 f x 设的是零到，就是我设的是 a 到 x， f x d x， 但是这样还是太复杂了， 就是按照宇哥讲的，应该是要把所有的 b 换成 x， 这才是能做出来的正确方法。但是我分享一个我考试的时候想到的方法，他虽然是错的，但是也有一定的参考意义， 就是他在这里，很明显他是他的很坐标，把它除过来之后。但前提是啊，假如说他告诉你了 a 到 b， f x， d x 大 于零，且 f x 大 于等于零，就给你这个条件，你就可以使用这样的方法。 然后这就是我这次当卷子的第一次上卷的过程，然后得分，就是得分是一百三十八，就是扣了两分。
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05:24查看AI文稿AI文稿正儿八经一套试卷上面我们做题，我们要学会解读题意，那么先做道题，设 f x 连续且极限 non， 一 加二 x 加 x， f x 求 x 平方等于二，则极限二加 f x 求 x 等于多少？那么很多同学是一筹莫展的，但是我教你怎么思考问题啊， 题目条件是这个结论是这个条件跟结论一定有关系，就这么简单，晓得吧，所以就厚着脸皮去凑啊。就是，即便你不知道考点是啥，假设我现在上来就跟你讲啊，考点是啥？其实我是做一个会做的人跟你讲的，那么现在我不会做，那么 只要我们干这个事情，那么条件只有这个事情，所以我只有锤子，我就拿锤子去钉，对吧？啊，所以现在我们来看， 极限二加 f x 求 x， 那 么这里面有什么？这里面有 f x， 但是没那个二， 哎，没那个二。有同学老师，这里有个二，这里有个二，那你这也太太太太敏感了啊，高敏感人群，对吧？那么这个 f x 来这个 f x 跟这个 f x 肯定是有关系的，但是呢，他多了个 x， 对 吧？他多了个 x， 所以 我们肯定要处理这个 x， 怎么处理这个 x？ 我们看看啊？啊，这里呢，也只是 x 的 一次方，这里是二次方，所以显然这里是不是已经除掉那个 x， 是 吧？啊，应该这么想，这么想才才顺流。我们来假设我是一个不会做的人，我们先来试探一下这个值，极限二加 f x 除以 x， x 小 于零，那么我要厚着脸皮啊，贴，照这个热脸贴冷屁股，对吧？贴上去，那么你原来是这里有个 f x， 有 个 x 的， 那行，那我乘个 x 可不可以？ 那既然分子乘个 x， 你 不能指这一项乘，你这里也得乘，然后这里也得乘个 x， 那 正好平方正好平方他怎么样？他跟他正好是平方的，挺好挺好，对吧？但是呢，你这里满足了， 这里又不满足，这里没有二 x， 没有，那就加一项减一项嘛。啊？加一项减一项应该是什么？应该是我们在学极限计算的时候经常有的，所以来思路就有了，所以思路就是这么来的，就是从从要求的去找已知的，然后去去强行去去牵扯，晓得吧？哎，来，我们看 极限 x 去于零，那么我们原来这个是指，那么我就在这个 x f x 这里加一个 x， 那 就还得减一个 x， 前面这个照抄， non， 一 加二 x， 那 么怎么样？我减一个 x， 是 吧？减一个 x， 然后再加一个二 x 加 x f x 除以 x 平方。哎，那么我们凑成了这一项，凑成了这一项， 对吧？嗯，这就是我们带求的，而前面这一项呢？所以这就好办了嘛，我们来看 前面这一项，极限 x 去零 non， 一 加二 x 减二 x 除以 x 平方。嗯， non， 一 加二 x 减二 x， 对 我来说，我就立马知道它就等于等于小的减大的负 二分之一二 x 的 平方除以 x 平方。我就直接知道有同学说，老师，你怎么知道的？哈哈，那就是我的脑袋里有这么个东西， no 一 加 x 啊，或者是 x 减 no 一 加 x 等价于二分之 x 平方。这个东，这个模型在我的脑袋里面是根深蒂固的，根深蒂固的，所以你现在无非就把这个 x 换成了二 x 而已啊，那么再加上这个带球的， 再加上啊，再加上我们这个带球的极限二 x 加上 x， f x 除以 x 平方， x 去零啊，再加上它我就不写了啊，那么这个等于多少？这个二二得四四 二分之四二，对吧？所以负二，没错吧？ 好，负二加加这一项等于多少啊？原式它是等于二的，等于二的，所以极限二 x 加 x， f x 除以 x 平方， x 去零，就要等于看，这是它吗？这是它吗？把负二移过去，就二加二等于四，这去哪呢？ 就这样了。好，这道题哎，做出来了，那么我们要学到什么？我们要学到什么？我们看就是其实他的考点叫已知极限，求另一极限。 已知这一个极限，求另一个极限。我没有，我没有去说，对吧？我没有说这个考点，因为假设我直接告诉你说啊，这叫已知极限，求另一极限，那讲个屁，对吧？那你学到，学到个屁，就是在有一个条件，本题目只有一个条件，那么另外一个条件就一定要根据这个条件来，那么就强行去 热脸贴冷屁股，对吧？贴上去，贴上去，然后贴的过程中发现啊，这个模型太重要了，这么一定要掌握，也就正好刚刚好。为什么刚刚好？题目就设计出来的，晓得吧？题目就设计出来的， 至于细节上面，那么就还有这些问题，对吧？还有，呃，这个 x 平方和 x 这里怎么处理？就是乘以 x 平方这个问题，对吧？
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03:21查看AI文稿AI文稿好，我们来看一道送分题，嗯，试卷的第一道题，如果是送分题，那么整套试卷你的感觉都会容易一点啊。同样的题，如果把第一道题调整为一道难一点的题，那么整个试卷你可能少得十分二十分，对吧？大家知道这个规律吧，所以要有这种意识啊， 我们最终考试是考一套卷，所以你要关注的一道题难不难？好，已知 f x 满足极限， f x n x x 小 于一，那么它等于一，则以下四个。那么 我们拿到这样一道题，知道它是一个极限式，知道一个极限式，同时我们又能解读出四个选项分别是什么，对吧？四个选项分别是什么？ a 选项是， b 选项是极限值， 那么极限等不等于函数，那就属于一个连续问题呢。所以这里考的是极限，这里考的是连续 啊，而这里 f 一 撇，这里考的是导数啊，那么下面就是导函数连续 导函数连续问题，是不？是的啊？如果说你一道题能够意识到它是这四四种情况，那么你就学到东西了啊，如果你意识不到，那你这就白学了，呵呵，即便你做对了，那你相当于啥都没学到。好，我们讲一讲，其实很容易啊， 极限 x 除以 f x 除以零 x 等于一，由于这个零一把一带进去嘛，零一是多少？零一等于零啊，有同学可能还不知道啊，因为他这是一的零字方等于一啊，这是以一为底嘛？一的零字方等于零，一等于零。好，那么分母是小于零的 啊，这是一个一，一是什么？一是一个常数 c 啊，他是一个常数，就意味着他们分子分母是同结无穷小，所以你分母趋于零，趋零，那么分子也得趋零，所以就可以推出 极限 x 去一的时候， f x 也要等于零，这就是选 b 啊，所以 b 就是 对的，看到没， b 就是 对的好，那么 a 为什么错的？因为要 f 一 等于零就得怎么样？就得这个函数值等于极限值，因为极限值等于零嘛。那么题目并没有说哪里连续， 所以题目没题目给的是一个很弱的条件啊。哎，这个极限连续导数，他是越来越强的啊。极限是第一级条件连续，第二级条件导数，第三级条件导函数连续，第四级条件， 对吧？哎，一二三四，从弱到强，给了一个很弱的条件，然后让你推出强的条件，是推不出来的，对吧？哎， 所以这里并没有学到连续，所以它不连续，那更没有学到导数啊。导数是什么？导数就是 f 一 f 撇一，它应该等于什么？极限 x 去一 f， x 减 f 一 除以 x 减一，对吧？啊，那么我们这里你你顶多 f x 还有一点，那么 f 一 是什么？不知道 啊， x 减一也没有截个零 x， 所以 没有，那么再往下就更没有。好吧，总体你要意识到，虽然是到送分题，你要意识到我们怎么判断极限，判断连续，判断导数，判断导函数连续。好吧，嗯，这你就学到东西了。
93一分钟考研数学
07:08查看AI文稿AI文稿看长相学计算学点真东西，我们看看二重积分能不能看长相来做一样的啊？所有计算都可以看长相来做，其实所有数学题都可以看长相，就是如何把题目里面的提议的这个，呃，长什么样看出来 这道题是一个二重积分，是个哪次积分？那这里对 y 对 x， 是 吧？然后我们观察到它的这个背积函数有两项相加减，这一项只含 x， 看到没？这一项只含 y， 只含 x， 只含 y， 它就有它的特点，那 只含 x， 如果先对 y 积分，相当于这个 x 是 常数，只含 y， 如果先对 x 积分，它就是常数，晓得吧？这就是，这就是有先后的问题。好，这道题除了这个先后，还有什么先后呢？ 还有我们这个积分次序啊，像我们考研数学里面这种二重积分呢，我是觉得极其的容易，为什么呢？因为它总是反套路的 啊，它总是反套路，其实反套路就是套路，就是说给你什么，给你，先给你 x， 你 就应该先先对 y 积分，先给你 y， 你 就应该先对 x 积分。给你极坐标，你就应该给，又考虑用直角坐标， 给你直角坐标，你就考虑先用几坐标，总是这样子的啊，总是这样子的啊， 甚至于给你一个，你就考虑先给你一个计算，你就考虑能不能用对称性，像这种，首先对称性肯定用不了啊，所以他就这种反套路啊。学会这种思路，好，我们先把这个积分区域给划出来。积分区域，那么它是个什么样子呢？ 那么 x 是 y 到一，嗯， y 到一，那么 y 等于 x， y 到一， x 是 一， 一 y 到一，也就是相当于是这一块，是吧？ x， y 到一，就是相当于 y， 是 这一条嘛？我们用红的标一下 这一条吗？他到一不是，如果你认为是这一条，那是零到一，对吧？好， y 是 零到一， y 是 零到一，零到一并不需要到上上面去，对吧？啊？他就是零到一，就到这个红色的线，这叫什么？ 所以你要明确它的积分区域是这一块啊，这一块啊。哎，如果你认为是这一整块，那就是零， x 也是零到一， y 也是零到一，对吧？所以它不可能是那一块。我们反过来想。 好，那么我们把既然发现这里仅仅只有 x， 这里仅仅只有 y， 首先把它拆开，拆成两加，好吧， 猜这两家，我们积分是可以猜的。零到一 d y， 我 照样这里 d y 啊， y 到一，我先不管它， x 一 的 x 方 d x， 然后减去零到一 d y， y 到一，一 y 平方， d x。 好， 下面再来分析，再来分析 我第一，第一个里面，第一个里面，这里是 x 分 之一的 x 平方，你想对 x 积出来，那是不可能的啊，你怎么你分不积分也弄不进去啊？什么也什么办法都想不到，反正就是 想不到，这怎么办？想不到我们就得交换，对不对？就得交换。反过来，我们这个呢，它是 y 平方， y 平方，我们可以对对 x 积分，因为这是个常数，这个常数 x 积分 x 相当于这里是一，一积分，就是 x 啊，那就容易了，对吧？那就容易了。好，所以我们第一个就是第一个，就是 先交换积分次序啊，因为这里要写成，先写成 d x， 后面这里面写成 d y， 对 吧？先对 y 积分，那么这个区域是什么呢？先对 y 积分，它就是从这里到到上面，从这里到上面是零到什么？零到 x， 零到 x 啊，我们要注意我们这个二重积分的后面这一项，就是后面这一项，它通常是有变量的，就是它都是两个常数，所以我们这里是零到 x， 它是有个变量的 啊，有变量的，好，那么整个它到它，那么这里是呢？ x 呢？ x 就是 零到一，零到一，所以整个还是指这个三角形区域，那么它这里就是没变量的零到一 啊，好，零到一，这里零到 x， 那 么这里 x 的 一，一的 x 方，照样是的 d y 啊，就照抄是吧，这就可以了啊，我们没必要写这么空题，是吧，可以写过来一点。 好，那么下面能不能积呢？啊？这后面继续写，我们先把这一项给算出来，好吧，这能不能积？对 y 积分，这里全是常数，那么对 y 积分就变成了，哎， x 减零，所以整个积出来， 整个记出来就是零到一，这里就是 x 分 之一的 x， 然后乘以 x 减零，就乘 x， 所以 就变成了一的 x 方 b x， 就 这么容易了，好的同学老师，真能记出来吗？啊，这有个概念，那应该记得出来，对吧？啊，现在我们记不出来， 积不出来，先放那里，不要超支过及。下面我们看这里，看这里，这是一 y 方，一 y 方是个常数，所以我们应该把这个一 y 方放到前头来啊，对 x 来说是常数啊，零到一啊，然后对 x 来说，这里是什么？这是一个 一，相当于一积分就变成了 x 嘛， x 就 变成了一减 y 嘛，所以这就变成了一减 y 啊， dy。 好， 那么我们现在这里面又是两项， y 平方减 y 平方乘 y， 那 么我们这就变成了，我们又把它写开减 y 平方 dy 零到一，减负的加，然后是什么？ dy 平方 y， dy。 啊，好，现在我们这里有个 e， x 平方 d， x 这里有个 y 平方 d， y 都是零到一。我们积分与字母无关，就是因为它作为一个定积分最后一个数值，它跟你这里是 t 呀，是 x， c， y 是 无关的，所以这两项怎么样？减掉了，你看你都不用去算啊，所以最后就是对它进行积分， 对它进行积分怎么积啊？一个指数函数，我们根据反对密 三指指数函数，那么把它凑到后面去是吧？啊，这是个密函数，那么分布积分，分布积分就不用讲了啊，做一个二重积分的题，最后的结果等于多少呢？等于二分之一一减一，自己去搜索一下，好吧，一个简单的分布积分。嗯， 好，那么这道题讲下来，我们重点是什么呢？讲下来我们重点就是对于这种每次积分我们通常是交分，交换积分次序的，要学会画这个图啊，然后不要每次的是上下线都是这种常数的好吧。啊， 所以他通常后面是变量，前面是常数的，然后遇到了这种不好积的，不要怕，他总是有办法减去的，对吧？总是有办法的。
46一分钟考研数学
02:44查看AI文稿AI文稿这道题有一种更简明的方法，我们来讲一讲。那么对于这个行列式的计算，由于我们发现很多零，所以你按行展开或者按列展开都是可以的，这个方法你们肯定都懂，我就不讲了，那么我们讲一个，呃，分块矩阵， 分块矩阵的这个拉普拉斯定律，好吧，分块矩阵，那么它是怎么回事呢？就是当我们把矩阵分成 ab 零，这整个的是零 d， 或者把这个矩阵分这个上下三角，对吧？我们把它分成上三角 a c 零 d 下三角，这一块都为零 啊，它的特点是这一整块为零，这一整块为零啊，好几个啊，这是分块呢啊，那么我们就可以把它它的行列式就可以变成什么，变成 a 乘以 d 啊，这个零块，整个这个就为零了啊，这就很简单，我们看看这里面这么多零，能不能移到一起？可以移到一起的啊，我们下面就来移， 对于这样一个行，移到第一行，你看 就把这个 c a 移到一起哈，那么就是 c 零零 b， 对 吧？然后第一行就是零 a b 零，这么移呢？那么加个符号，对吧？那么剩下照写，零 a 零零 b a 零零 b， 然后零 c d 零，对吧？好，然后继续往下再移，再移。怎么移呢？就是我要移，要移出这样子有零零块的，但是这零零块不能在中间，我要不就在这个角，要不在这个角，对吧？啊？所以我们如何移？我看看。 应该是现在把第四列移到第二列，可以吧？把第四列移到第二列，你看，那么我们又加个符号，负负得正，这就正好了，对吧？就正好了，哎， 好，那么就是 c a 零零，然后 d b 零零 d， b 零零。第四列先写过来，然后第三列零零 d， b， 然后零零 c， a 零零 c， a 进来了啊，所以我们这里就变成了这一块和这一块， 正好这两块都为零，就是这个 b 也为零，这个 c 也为零，对吧？上面就变成了什么，下面就变成了这个就好办了呢？就变成了它，它就是 c、 b、 c， 你 看这个就是它的横列式，就是 b， c 减 ad， 对 吧？啊？再乘以什么？再乘以 ad 减 b， c 啊，那么都是 a、 d， b， c 提个符号，提个符号，这是负的 a， d 减 b， c 平方选 b 选 b 啊，所以这就是一个更快的方式啊。你如果说，呃，不动手直接看都看得出来哪些事啊？
63一分钟考研数学
08:25查看AI文稿AI文稿下面这道题在这个连续间断里面算是道难题，我们来看，用函数 f x 等于 e 的 x 减 b 除以 x 减 a 乘以 x 减 b， 有 可去间断点， 则 a b 的 取值范围，它是个取值范围的题。好，可去间断点，就意味着它的极限值是存在的，只是极限值不等于函数值，对吧？嗯，好，我们看它极限值。 这个 x 减 a 乘以 x 减 b， 就是 在 a 和 b 区 a 和区 b 的 时候，会是它的这个不可定义的点，是吧？无定一点，无定一点是很关键的点啊。无定一点， 我们来看 x 减 b， 当 x 去极限， x 小 于 b 的 时候，那么这个 x 减 b 是 小于零的，对吧？而一 b 减 b 就是 一个常数，一的 b 减 b， 那 那么我们就可以把一的 b 减 b 提出来，提出来，然后它是存在的吗？ x 减 a， 其实 b 减 a 除以 b 减 a， 知道是常数，那么 x 减 b 分 之一， x 小 于 b， 那 么就小于零，小于零，这无穷大，无穷大成个常数，这是个无穷大。所以 x 小 于 b 的 时候是什么？是无穷间断点， 与提议这个可求间断点不符，所以可求间间断点只有可能是 x 小 于 a。 好， 下面我们来研究。 x 小 于 a， 极限 x 小 于 a， 那 么 x 减 a， x 减 b 分 之一的 x 减 b， 那 么可以怎么样呢？ x 趋于 a， 那 么 x 减 a 趋于零啊，这是个常数，那么零分之它，它趋于零，它要是可去见到你的极限，得存在，对吧？得存在，那么 这个分子跟分母就得是什么？就得是同界物中小啊。存在嘛，存在的定义就是极限存在，那么你分母除以零，分子就得除以零，所以我们分子除以零，它是什么极限？ x 除以 a， e a 减 b 要等于零， e a 减 b 等于零 啊，应该说是 e x 减 b 啊， e x 减 b 等于零，那么 e x 啊， b 啊，这种都是，呃，都是基本出等函数，那么它们整个加减，整个相减就是一个出等函数，出等函数它是，它是连续的，那么我们这里就有相当于 e a 等于 b 啊，它是连续的嘛，就相当于这个 e a 减 b 也等于零。把这个 a 带进去，好，那么得到这个条件，下面我们要的是什么？我们题目让我们求的是 ab a 减 b 等于零啊，把这个 a 带进去，好，那么得到这个条件，下面我们要的是 ab a 减 b， 那么要的是 a 乘 b， 你 这里得到了 e a 等于 b， 我 们不知怎么办，那么我起码把它变成 a b， 这个想得到吧，起码把它变成 a b， 那 么就是 ab， 这里 a 乘 b 嘛， ab 等于 e a 乘以一个 a， a 乘以 e a， 好 吧， a 乘以 e， a 乘以 e a， 那 么这就意味着什么？我们把这个 a b 的取值范围变成了这个 a 乘以 e a 的 这个取值范围，就是这个相当于就是这个函数 x 乘以一的 x， 是 吧？这个函数它的值域是什么样子的？ 下面相当于变成研究这个函数，一旦到了函数啊，所以我们就把这个极限问题转化为一个函数里，一旦到了函数，我们 应该立马想到求导啊，就不管怎么样，总是求个导，对吧？所以下面我们就有了，我们就来就得到这个 f a 等于 a 乘以 e a 这个函数，你现在 f x 等于 x 乘以一的 x 也可以更好，甚至于那么对它进行求导， 这是基本操作机操啊。那我们微积分里面，微积分里面不是求导就是积分，不然的话就是，呃，求导，积分，求极限，无非就这几个，对吧？作为一个函数，你肯定是天经地义的进行求导啊， 哎，求导就可以研究它的形态，对吧？所以下面的问题转化为研究这个函数的取值范围，那么求导就可以知道单调性对不对，求二阶导就可以知道凹凸性，所以管它怎么样，先把一阶导给求出来。 f 一 撇 a 等于前导后不导，那么就是 e a 加上前不倒后倒啊， a 不 变后倒 e a 啊，就等于 e a 乘以一加 a， 对 吧？ e a 乘以一加 a， 那 么那么这个 e a 加 a， 我 们就会发现，当这个 a 取负一的时候，它就为零，而这个 e a 就是 e e 的 x， 它是一个始终为正的函数， y 等于一的 x， 它的图像是这样子的，始终为正，所以要决定正负取之范围嘛。啊，所以要决定正负，就只有这个由这个 a 来决定，因为这个始终是为正的。也那么我们就发现这个在 a a 大 于在负无穷到到负一啊，我们就只有这么写吧，在负无穷到负一的时候怎怎么样啊？它是单调递减的，这个函数单调递减，因为它它是小于零嘛。好，这个叫什么？ 倒数小于零，大家对减好， a 属于负一到正无穷的时候，它就怎么样，它就单调递增的，因为这个它就为正的 f 一 撇 x 大 于零，就单调递增，有了这个单调递减，单调递增，那么我们就知道，在这个 a 这个点，它就怎么样，在 a 这个点， 它就取得最小值。这个我们画出一个图来，在 a 这个点，那么在左边单调递减，单调递减，就这样子嘛，右边单调递增就这样子啊？没画好 单调递减，单调递增，对吧？就这样子，当然未必是这样子，我就是个草图啊，只是个草图啊，那么这里就有什么？就有极小值，就极小值。极小值是多少呢？算出来啊，极小值在 a 这个点，对吧？相当于啊， 啊，不是在 a 这个点，是在负一这个点啊，我们这里是负一啊，负一这嘴瓢了啊。嗯， 负一，因为是负五角到负一嘛，负一的正五角嘛，所以在负一这个点取得极小值，取得极小值，把负一带进去啊，那么 f 负一等于多少？ f 负一，把负一带进去，就是负一的一的负一，也就是负的一分之一， 对吧？负的一分之一，那么它为最小值，其他的都比它大，所以，所以怎么样就是负的一分之一到正无穷选 d， 选 d。 好 吧，就这么一个结果。好题目是做出来的，下面我们来总结一下，从这道题我们学到了什么？ 学到了什么？这道题为什么难？难在他告诉你可以见到点，但是实际上取 b 有 可能无穷见到点，这是第一个难点，你要判断出来 啊。然后下面就锁定了它区域 a 这个情况，区域 a 这个情况，用到了同阶无穷小，对吧？用到了同阶无穷小，再就是它隐藏的连续的概念， 连续的概念，所以就得到了 e， a 等于 b， 所以 无穷间断点，可求间断点。连续。用到了三个知识点了啊， 下面得到了这个结，结论之后，又要根据已知条件，把它转化为 a 乘 b， 就 变成一个函数问题了。变成函数问题，你要 自然想到求导啊，有的同学能走到这一步，走到这一步之后一筹莫展啊。所以在我们一筹莫展的时候，你进行求导试一试，总是有帮助的啊，然后画个草图就出来了，对吧？求导其实很简单，画个草图出来了。所以这道题其实挺综合的啊，用到了五六个知识点。其实别看到这么一道小小的题啊， 表面上看是一个间间断点，连续间断的问题，是吧？实际上是一个求函数的极致问题。哈哈，一道题变成了函数的极致问题，看到没？嗯， 所以挺好的一道题，非常好的一道题，放到我们这里，作为这么一道选择题，放到这个位置，对你们考试的心态是有打击的啊，所以这套试卷它就会使你们觉得有点难度了。
164一分钟考研数学
31:03查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，那么今天呢，是欧吉里的五月模考，那么考虑到有一大批同学都没有参加模考，那么大家看我这个视频，把我选的这四个题目做完，那么也能带你去吸收模考精华，好吧，好，那我们一个题一个题来讲， 首先第一个题，第一个题考察的知识点是函数的可去接纳点以及函数值域，什么叫可去接纳点呀？可去接纳点就是 你首先得在这个点处的极限得存在，并且呢，极限呢，不等于这个点处的函数值，那有可能说这个点函数值存在，有可能说这个点是没有意义的，对吧？好，那大家思考一下，对于这样的一个分式，他说有可拒绝的难点，我们想一想。来，我们带大家写几个， 举个例子，比如说 limit x 趋向于一， x 减一，分之 x 平方减一，它的极限是谁啊？哎，这时候你会发现啊，我们如果对分母呢分子呢进行一个因式分解，它就是 x 加一乘以个 x 减一除一，个 x 减一， 哎，所以呢，你这个 x 减一跟 x 减一约掉，所以它的极限是二吧，所以这个函数的极限是存在的，但是你能把一带进去吗？你一带进去，发现分母为零了，所以它的这个 整体的函数图像啊，在一附近应该是这样的，就是在一处是没有定义的，然后呢，在一最后两侧极限是存在的，哎，这叫可取，而安尼是不是？ 好，哎，那我们再带大家学一个，比如说 limit x 趋向于零， x 分 之一的 x 减一，哎，它的极限肯定就是一吧，对吧？所以在这个函数零处的极限是存在的，但是你能把零带进去吗？不能，因为分母的零，所以你看 它在零附近大概也是这样的，在在零附近也是这样的，就是左右极限存在，但是这一点没有定义。 好的，再给大家举个例子，比如说 limit， x 趋向于零， x 分 之 cos 等于 x， 对 吧？哎，这时候呢，分母 零带不进去吧？哎，但是这个时候你会发现，分子是趋一的，分母是趋零的，所以它的极限是不存在的，所以它极限不存在，能是可趋近点吗？不是。哎，所以你会发现啊，我举了三个特殊的例子，我们发现啊，你要想是可趋近点，你必须分母 把这个零带进去，他也得是零。分子把这个零带进去，他也得是零，对吧？哎，那所以大家想一想，我们要使得这个函数是可均点，所以就必须保证我们带入 x 等于几？使得分母也得零，分子也得零， 是不是？好，那我们首先看分母，分母已经给你做好因式分解了，所以只有哪个两个可移点啊？是不是只有 x 得 a， x 得 b 啊？哎，所以我们就分两种情况，我们要使得有可驱近难点，我们假设 x 得 a 为可驱近难点， 假设 x 得 a 为可驱近难点。由于你是可驱近难点，所以我们就得出 e 的 a 减 b 啊， 是得零，对吧？哎，在这种情况下，我们就得出 b 呢，是得 e 的 a 次幂，那这时候呢， ab 是 什么？ ab 就是 a 乘以 e 的 a， 那 要求 ab 的 取值范围就相当于求 a 被 e 的 a 的 取值范围， a 有 没有范围啊？ a 没有范围，也就是说 a 属于全体实数， 所以呢，我们令这个东西为 g a， 然后呢，我们要研究它的值域，我们就对它求导，它就是 a 加一乘上一个 e 的 a， 所以 它的导函数大致图像就长这样，在负一的时候取得极小值，也就是最小值，所以 g a 的 取值范围呢？就是 这个。这个负一的负一次幂到什么呢？到正无穷，到正无穷，对不对？好，那第二种就是 x 得 b 为可求均难点。哎，那由于你把 x 得 b 带到分母去，分母显然是 为零的，所以你要想为可求性代练，所以分子如果把 b 带进去，它也得趋向于零，所以我们就得出了这个 e 的 b 等于个 b， 是 不是？ e 的 b 等于 b？ 但是你发现这个东西有没有解啊？无解对吧？ e 的 b 减 b 等于零，这个方程是无解的，从两个角度理解，第一个角度就是你直接画图，你画出 e 的 x 这个图像，这是 e 的 x， 哎，这是 x， 它俩显然是分相邻的，不可能有，不可能有交点。还有一种角度就是你直接令这个函数是 小 g b， 对 不对？那 ok， 那 现在呢，我们对它求导，它求导就是 e 的 b 减一，是不是？所以大家看一下啊，它的单调性就是在负无穷到零上递减，零到正无穷上递增，所以 它就大于等于 g 零。 g 零等于谁？ g 零不是别人，是一，所以你会发现这个函数啊，是恒大于等于一的，恒大于等于一， 那么这时候你等于零就肯定是无解的，所以我们发现 x 得 b 不 可能为可求极限点，所以综上所述，哎，只有 x 得 a 可能为可求极限点，那么 g a 的 取之范围呢？就是负的一分之一到正无穷。好吧，所以这时候呢， 我们就搞定了，所以它就是负的一分之一到正无穷。 ok， 这里应该是取 b 的 一分之一到正无穷。 好，好，这是我们说的第一个题，第一个题希望大家能够理解什么叫可记忆难念，就是极限存在不等于函数值，对吧？那如果你分母趋于零，那此时如果想使极限存在，分子必须也得趋于零。好， 来，再看第二个。那第二个题呢，是很多同学在强化阶段都搞不清的一个问题，就是我们所说的全运分形式不变性。 好，大家跟着我一起去总结，大家记住，我这个总结之后，这类问题就不可能出错了。就是比如说对于这种复合结构， z 等于一个 f u x y 放在第一个位置， v x y 放在第二个位置，你看这是不是一个复合的结构，就是 f u v u 是 u x y 复合而成， v 也是由 x y 符号而成。好了，那现在我们看题目有两种写法，一般来说， dc 在 x 零外零处的值就应该是 z 对 x 求偏导，将 x 零外零带进去，乘上一个 dx 加 z 对 外求偏导，将 x 零 y 带进去 d y， 那 如果题目问的什么？问的是 d 小 f， 那 d 小 f 他 给的带入边缘就是 u 零 v 零，就是让第一个位置为 u 零，让第二个位置为 v 零，所以就是 偏 f 偏 u， 把第一个位置取 u 零，把第二个位置取 v 零 d u 加偏 f 偏 v， 将第一个位置取 u 零，第二个位置取 v 零 d v 是 不是好了，所以这是什么啊？这个本质是视角不同，就是如果你要对 z 做权威分的话，它的视角就是对 x 求偏导，对外求偏导，所以你代入进去的就应该是 x 得 x 零，外得外零。 但是我们这个 f， 如果你对 f 做全微分，我们的视角是什么呢？我们的视角是对第一个位置求偏导，然后让第一个位置取幽灵，第二个位置取 v 零，然后呢？对第二个位置求偏导，第二个位置的啊，让第一个位置取幽灵，第二个位置取 v 零，明白吗？所以本质上是视角不同。 好， ok， 那 我们有了这个总结之后，我们做这个题就比较简单了。好，大家看这是 d z 吧，我们说了 d z 是 什么？你这个代入的应该是让 x 取一，让 y 取三，那这个前面是什么？所以你这个前面就是偏 z 偏 x， 将 x 取一， y 取三，它等于谁？它等于负七。好了，这个三是谁？就是偏 z 偏 y， 让 x 取一，这个 y 取三，等于谁？等于一个三，对不对？好，那现在人家问的是这个， 你这个 f 对 第一个位置求偏的 f 对 第二个位置求偏的应该是谁呢？好，大家看我们现在已知的是什么？已知的是 z 对 x 求偏的。好，我们写一写，我们写一写。 z 对 x 求偏导，就是 f 对 第一个位置求偏导，是不是 f 对 第一个位置求偏导，第一个位置对 x 求偏导，加上 f 对 第二个位置求偏导， 第二个位置对 x 求偏导，是不是？好，那偏 z 偏 y 呢？就是 f 对 第一个位置求偏导， 第一个位置对外求偏导，加 f 对 第二个位置求偏导，第二个位置对外求偏导，是不是呀？好，大家注意 我们现在要求的是什么？我们现在要求的是让第一个位置得负一，让第二个位置得三，来，你自己看，也就是让他的位置得负一，他的位置得三，我们来解一解， 也就是让第一个位置二， x 减 y 得负一，让第二个位置 y 比 x 得三。所以呢，我们由第二个式子，我们得到 y 等于三， x 带到第一个式子，所以我们带到第一个式子就得到负， x 等于负一，所以我们就得到 x 等于 y 等于三。 ok， 你 会发现一切都是那么刚刚好， 你把 x 得一， y 得三带进去，你把 x 得一， y 得三带进去是什么？你这个位置刚刚肯定知道吗？这个位置就负一，这个位置就三，要求的就是这个，哎。 x 得一， y 得三，带进去，这个东西是谁？不就是负七吗？这个东西是谁不就是三吗？对不对？所以我们现在将 x 取一， y 去三带进去，所以左边就是偏 z， 偏 x 在 一，三处的值等于 f 对 第一个位置求偏导，第一个位置取负一，第二个位置取三，然后乘一个二，加上 f。 对 第二个位置求偏导，第二个位置啊，第一个位置取负一，第二个位置取三，然后呢， 这个外取外取三， x 取一，所以这是负三，对不对？好，然后呢，再把它带到第二个式子，就是偏 z 偏 y， x 取一， y 取三，就等于 f。 对 第一个位置求偏导，负一，逗号三乘负一加 f。 对 第二个位置求偏导，负一，逗号三，然后呢，就是 这个，这个一乘一个一， ok， 所以 这个是什么呢？这个东西是这个，这个负七，这个东西是谁呢？这个东西是三，所以这是负七，这是三。 ok， 然后呢，我们现在要解什么？我们要写他对第一个位置求偏导加第二个位置求偏导，我们看看。 呃，怎么能够得出来呢？所以我们就可以解方程去看一看吧。解方程，好，我们把这个整理一下， 就是两倍的 f 对 第一个位置求偏到负一，逗号三。呃，减三倍的 f 对 第二个位置求偏到负一，逗号三等于个负七， 第二个式子就是负。 f 对 第一个位置求偏到负一，逗号三加 f 对 第二个位置求偏到这个负一，逗号三等于个三。好，我们看一下 两个如何去化化解，我们可以把第二个式子乘以两倍，第二个式子乘以两倍，对不对？然后呢，我们再让第一个式子跟第二个式子相加，他俩相加是不可以把这个抵消，抵消完之后就得到 负的。 f 对 第二个位置求偏导，负一，逗号三等于一个负一，所以 f 对 第二个位置求偏导，负一，逗号三就等于一。然后把这个反带到第一个式子里面去，带到第一个式子里面去得到。 f 对 第一个位置求偏导，负一，逗号三，就应该是， 就应该是负二，所以一个是一，一个是负二，两个一加是多少？两个一加是负一，所以搞定了。好吧，所以这个希望大家能够理解，视角不同，所对应的东西就不同。好吧， ok， 来再看第三题，第三题，这是一个比较基础，但是呢，可能很多同学存在着计算错误的一个题，好吧，好，首先我们拿到这样的一个渐近线，求这个曲线的渐近线，大家很容易忽略的一点就是，你首先得求一下它的定义域， 对吧？你根号里面是不是得大于等于零？你 log 里面是不是得严格大于零？所以我们就得出四 x 的 平方加上一个 x 啊，它是不大一等于零。第二个就是二加上 x 分 之一啊，是不严格大于零。好，我们解一解第一个式子， 第一个式子解出来就是 x 小 于等于零，或啊，是 x 大 于等于零，或这个 x 小 于等于负的四分之一。好，第二个式子解出来就是 x 小 于负的二分之一，或 x 要严格大于零， 对吧？好，我们现在既得满足第一个式子，也不得满足第二个式子，所以我们看一下它们的交集在哪里，所以画图 第一个式子就是说 x 大 于等于零，并且呢？或呢 x 小 于等于负的四分之一，这是第一个式子。 第二个式子就是 x 小 于负二分之一，负二分之一大概在这， x 要严格小于负二分之一或 x 大 于零，那所以这里就是空心点， x 大 于零，所以它俩取交集得到的应该就是 x 小 于负二分之一或 这个 x 是 大于零的，对吧？哎，所以这时候我们发现啊，你这个曲线的定域在哪里？曲线的定域是不是在负二分之一左侧 和零的右侧，也就是说 y 轴的右侧，所以你就要研究这个线和这个线它是不是它的接近线吗？所以我们首先要研究的是负二分之一 x 等于负二分之一，这根线是不是它的接近线？ x 等于零是不是它的接近线，对不对？ 好，所以我们一个一个研究，我们先研究 limit x 趋向于零正 y 的 极限，它就是 limit x 趋向于零，正 带进去就是四 x 平方加 x 开根号，这是趋向于零的吧？哎，然后呢，这个零二加 x 分 之一，你会发现啊，这个是趋向于无穷大，所以这是无穷大，这是无穷大，这个是趋向于零。零晨正无穷，到底怎么看呢？所以暂时不好看，我们就要进行一个恒等变形。 但是我们现在知道一件什么事啊？我们知道对于任意的 alpha 大 于零， limit x 趋于零，这个 x 的 alpha 次方 len beta， 呃， len x 它是不是都趋于零？所以我们希望什么？我们希望这个 x 的 alpha 次方跟这个 len x 搭配，而不是希望有 x 分 之一，是不是？好，我们就把这个 拆一下，变成四 x 方加 x， 由于你这个可以写成什么 lone 二 x 加一，除以一个 x， 是 不是？所以我们就拆成 lone 二 x 加一，对吧？减去一个根号下四 x 平方加 x 乘上一个 lone x， 明白吗？ 好，这是没问题的。好，这时候就好看了，由于他是趋于零的，他也是趋于零的，所以这部分极限是零，他是趋于零的，他是趋于无穷。但是呢，来，大家看一下，我们只要稍微去凑一下就能够解决。来， 你现在前面乘一个根号 x， 那 下面除一个根号 x 是 不可以？我们知道这部分肯定趋于零吧，这部分趋于零吧。来，前面这部分怎么办？ 我们把根号打大一点，就是这个四 x 加上一个一开根号， 所以这部分是趋于一，这部分趋于零，所以这是趋零，这是趋一，所以后面也趋零，所以它的极限是零，所以在零附近，极限是零存在，所以它不可能是牵扯间隙线，对吧？ 好，我们再看 limit x 趋向于负二分之一，负 y 的 极限就等于 limit x 趋向于负二分之一。负根号下四 x 平方加 x ln 二加 x 分 之一。好了，先看前面， 你当 x 趋向于负二分之一的时候，这个是趋向于几？趋向一，这个趋向于负二分之一，所以呢，开根号就是二分之根号二乘积形式，极限存在，不为零，直接提出来，所以我们把二分之根号二给它提出来。好了，那只剩里面这个 log 二加 x 分 之一，它是什么？ 这个是趋向为零的吧？这趋向为零，所以这趋向无穷。无穷乘以二分之二是无穷大，所以我们推出了在负二分之一左左侧这个函数趋向无穷大，也就是说 x 得负二分之一是铅垂极限线，所以我们得到了 x 得负二分之一是 铅垂的极限线。好，第一根极限线得到了。好。来，紧接着，你随便看一下，你随便看一下。 呃，我们现在让 x 趋向于正无穷，这个肯定是趋向于零二。然后呢，这个是趋向于正无穷，所以零二乘正无穷，肯定是正无穷，所以趋向于正无穷的时候，极限不存在。来。再看趋向于负无穷，趋向于负无穷这部分也是趋向于正无 穷，所以呢，它们俩乘积的极限依然是正无穷，所以当 x 趋向于负无穷的时候， y 也是趋向于正无穷，所以它不可能 是水平渐近线，所以我们就研究斜渐近线好，研究斜渐近线也要分两侧， x 趋向于正无穷，我先求一下斜渐线的斜率，好，所以就 limit x 趋向于正无穷，这个四 x 平方加 x 开根号除以一个 x 乘上一个 lone 二加 x 分 之一。 ok， 来，这时候大家看一下。呃，我们知道这部分极限呢，肯定是六万二，对不对？哎，这个呢，这个时候你会发现，如果你等价的话，你会发现这里面是不是可以等价成四 x 方开关号是不是就是二 x？ 因为 x 是 正的呀，所以约掉就是两倍六万二很很容易， 当然也可以，怎么算也可以，你把这个 x 呀 c 到根号里面去，它就变成什么呢？它就变成根号下四加 x 分 之一，所以这个极限也是取向于根号四，也就是二，也能得到两倍根号二。好，然后呢， 我们再算它的截距小臂 y 减去一个两倍根号二啊，两倍零二 x 等于 libit x， 取向于中无穷 四 x 平方加 x 开根号 lo n 二加 x 分 之一减两倍根，两倍 lo n 二 x。 好 了，怎么算这个极限？怎么算这个极限来，首先大家判断 这是一个无穷减无穷的结构，无穷减无穷只有三种方法，第一种方法用拉格朗日可以吗？用不了。第二种方法就是提供音式，我能不能去提供音式，对吧？哎，我们可可能是可以的。第三种方法还是什么有理化， 能有理化吗？你怎么有理化呢？所以我们只能想提公音式，提公音式，这时候我们提个 x 出来，所以提公音式，根据我们的经验，我们提出来的 x 应该把它凑到分母上，变成 x 分 之一， 是不是？哎，那接下来你肯定知道倒代换了嘛，那这时候呢，注意，这个就应该是四加上 x 分 之一，开根号加上啊，乘上一个 lo n 二加 x 分 之一，减两倍 lo n 二， 好，这时候呢，我们很容易想到了倒代换，所以就是令 u 等于 x 分 之一，那 x 趋向于正无穷， u 是 不是趋向于零正，所以就 u 分 之 四加 u， 开根号 l n 二加 u， 这个减两倍 l n 二。所以呢，我们这时候采用洛必达法则， 采用洛必达法则，上下求导，所以下面求导是一，上面求导就是两倍，根号下二加 u 分 之一 lo 二加 u， 然后呢，加上根号下四加 u， u 加二分之一，对吧？好，我们现在把 u 得零，看带进去极限是多少， 你把零带进去能带吧，这不就是两倍根号二分之啊。 sorry， 这是四加油，这是四加油，就说不对嘛，怎么来的根号二，这四加油，这是四加油，所以我们把这个零带进去，这是四分之一倍 l 二，对吧？这是二， 这是二分之一，所以就是四分之一倍的四分之一倍的 l 二加上一个一， 好，那所以当 x 趋向于正无穷时，它的斜极限是什么呢？ y 等于两倍 lo 二， x 加上截距，截距刚刚算过了，是四分之 lo 二加一。好了，这时候我们还得算什么？还得算当 x 趋向于负无穷时的斜极限， 所以趋向于负无穷。这里有一个值得注意的地方，很多人容易忽视，我们先算斜率，它就是 limit， x 趋向于负无穷， 四 x 平方加 x， 开根号孬，二加 x 分 之一，除一个 x。 好 了，大家很容易在这里出错，有的人呀，他就傻乎乎的，他直接把 x 塞到根号里面去，啥也没有， 他直接把它塞进去，你说这可以吗？这显然是不对的，为什么？因为你 x 趋向于负无穷， x 是 负的，你原本这是正的，这是负的吧。 你们俩合在一起是负的，但是你现在塞进去了，他俩变成正的了，因为你此时 x 是 负的，你塞进根号里面去，你得外面来个负号，对吧？最基本的知识了吧，但是大家容易忘，所以这时候呢才对。所以我们算一下，这个就应该是负的两倍零二， 就是负的两倍零二。好了，我们现在得出 z x 趋向于负无穷的时候，他的这个斜率是负的两倍零二。 ok， 我 们再算， 当 x 趋向于负无穷的时候，它的结句呢？就是 y 减去负两倍零二， x 就是 y 加上两倍零二 x 等于 limit， x 趋向于负无穷， 根号下四 x 方加 x， 这个，呃， long 二加 x 分 之一加上两倍 long 二乘一个 x， 好， 现在同样的，这是趋向于负无穷的，这是趋向于正无穷的，所以也是无穷减无穷。来，提问式，提谁？ 同样的，我们提个 x 出来，提个 x 出来，放在分母。注意，这时候你要注意件事，我现在它相当于是除了个 x 吧。你把 x 塞到根号里面去，得来负号吧，得来个负号在外面，是不是？ ok， 好， 这时候显而易见，我们采用倒代换，我们令 x 分 之一小于 un， 是 趋向于零负，所以就 u 分 之 负的四加 u 开根号 loon 二加 u 加两倍 loon 二，这显然是符合洛必达法则的三个条件，所以我们采用洛必达法则来试一试。这就负的两倍根号下四加 u 分 之一 loon 二加 u， 对吧？减去一个根。号下四加 u， u 加二分之一除一个一，所以一代进去是多少呢？一代进去就是负的四分之一被 lo 二减一， 对吧，所以结句也算出来了。所以当 x 趋向于负无穷的时候，它的斜进一线是什么呢？它的斜进一线就是 y 等于负的二被 lo 二， x 减去四分之 lo 二减一。好，综上所述，你可以总结一下， 它没有水平渐近线，它有一个铅垂渐近线， x 的 负二分之一有两个斜渐近线，一个是它，一个是它，搞定。 好吧，所以这个我觉得啊，呃，大家可以吸收的几个点在哪里呢？第一个就是我是怎么去处理 这个结构的，为什么这么处理？因为我知道啊，这个东西肯定是横去领的，所以我给他凑一个这个东西出来，无非就是前面再除一个根号 x 嘛。好，这是大家值得去吸收的一个地方。第二个就是大家在解决这种根号除上一个 x 的 时候，一定要注意 x 的 正负。 还有就是我们在处理这个无穷减无穷的时候三种思路，这时候这个题呢，只能用提供因式法，好给大家讲到这里来，再看第四个题，第四个题呢是一个不定积分，那这个不定积分呢，是含三角函数的不定积分，对不对？ 好，我们这个的考点呢，叫做狗咬狗积分，什么叫狗咬狗积分呢？就是有可能你的不定积分会拆成两个定两个不定积分，这两个不定积分你发现都是很难找到他的初等元函数的，都是，也就是都是很难计算的，我们可以对其中一个不定积分采用分布积分法， 积出来的东西可以把后面的给他干掉可以把后面的给他干掉。好来，我们多说无益，直接通过这个题大家体会，带大家体会。好 来，首先呢，我们看一下这个不定积分，你看到这个不定积分，你首先看到了一的 x 前面乘上了一个带有三角的分式，带有三角的分式我们喜欢吗？不喜欢，你这个东西看着就不好算，所以我们不喜欢分式，我们把分式划掉。你看到这个一加三 x， 你 想到了什么？ 你一加三 x， 你 是不是想到了把一屁换成三以二分之 x 方加扣三以二分之 x 方，那同样的，你要把这个三 x 换成两倍的三以二分之 x 扣三以二分之 x， 那 这个分母呢？分母你更不希望有了，所以这个扣三跟一加在一起，你是不是能想到把这个扣三 x 换成两倍的扣三以二分之 x 的 平方减一，对吧？好，我们来化简，所以一跟负一约掉， 所以呢，大家看一下啊，嗯，我们就能得出就是二分之一倍的 tangent 二分之 x 的 平方，嗯，呃，二分之啊，对，加上二分之一，呃，加上二分之一，再加， 再加 tangent 二分之 x。 好 了，接下来呢，我们发现这个东西是什么呀？ 这个东西是不是就是二分之一 second 的 方，所以它就是二分之一 second 的 二分之 x 的 平方乘上一个 e 的 x， 加上贪婪特二分之 x 乘以一个 e 的 x d x， ok 来，现在是不是拆成了两个不定积分？单算这个 也不是很好算，你可以试一下，单算这个也不是很好算，但是你隐隐约约发现了，你看这个部分求导是不是它， 对不对？好，所以接下来就有两种思路。第一种思路就是你眼疾手快，你看到了说，哎，这个部分求导，哎，他求一下导，就是前面， 哎，你明白这个地方求导不变，那也就是他，所以这是什么呀？这是什么呀？你能不能一眼看出里面的原函数？你一眼看出里面的其中一个原函数，就是贪婪的二分之 x 乘以一的 x， 当然你要加个 c， 对不对？不就乘积求到吗？ u 求到， v 不 动加 v 不 动 u 求到，那它的原函数不就是 u v 吗？当然是 u v 加 c。 好， 还有一种想法就是我们刚刚说的，当你两个都不好处理的时候，我们怎么办呢？ 我们对其中一个采用分布积分法，另外一个不动，就是这是一条狗不好处理。后面也有一条狗不好处理，对不对？你看谁容易分布积分啊？显然这里有 second 的 方容易分布积分，所以后面那条狗你别动，因为我待会我会造出另外一条狗给你咬。勾腰，勾腰狗， ok， 那 这时候呢？我们是不是把它凑到后面去，所以 它就是 e 的 x d 摊进它二分之 x， 对 不对？加上摊进它二分之 x 乘一个 e 的 x d x。 好， 我们对这个东西做分布积分，就是 e 的 x 乘上一个摊进它二分之 x， 是 不是减去一个 e 的 x d， e 的 x 不 就是 e 的 x d x 吗？ 哎，巧了，你一做分布积分会激出来一条狗，这条狗不是其他狗，他就是会和后面的狗抵消的狗，所以叫狗咬狗，这是狗一，这是狗二。狗一跟狗二虽然都很难激，他俩是一样的。是不是约掉了？ ok， 由于我们分布积分， 我们这个不定积分一定要加 c 搞定，对不对？好，它的原理很简单啊，它的原理就是，我想让你算什么呢？一个函数 g x g x 什么呢？就是 u v， 对 吧？ u v。 我， 我想让你，你看原函数是它，它相当于对它求导，就是 u 求导 v 不 动加 u 不 动 v 求导好了，直接求完导数之后塞到这里面去让你去处理，然后实际上你会发现啊， 你对他激也不好激，你对他激也不好激，怎么办呢？要么你一眼能看出来，哎，这不是优求导 v 不 动 v 不 优，不动 v 求导嘛，他不直接就是 u v 加 c 嘛。这叫眼神比较好，跟 e p 一 样 跟我一样眼神比较好。哎，或者说你眼疾手快瞟一眼，对吧？还有一种是什么呢？还有一种就是你别动，这是两条狗，这两条狗呢？我只能动一条。来，我动他吧，随便动。来，我把这个 u 的 导数测到后面去，就是 d u。 好，后面这条狗你先别急，我待会放个狗出来咬你。所以就是前面分布积分就是 u v 减去一个 u d v， 对 吧？ u d v 是 什么？ u v 不 就是 u v 撇 d x 加上 u v 撇 d x， ok， 这个狗跟这个狗约掉，所以就是 u v 加上一个 c 搞定， 是不是？好，这是我们说的狗咬狗积分。那你自己都可以给自己出了。随便出，对吧？随便出？比如说你找一个极丑的。呃，我们比如说我们找个极丑的。啊，怎么怎么丑呢？就是比如说一的 x， 对 吧？乘上一个， 嗯，乘，你随便搞一个，比如说乘上一个 g x， 你 比如说这个东西，你求个倒，就是 e 的 x 乘上一个 g， 撇加上这个 e 的 x， 乘上一个 g， ok， 你 就是让人家算这个，对吧？当然你，你不能直接写一个抽象的 g x 啊，你得给这个 g x 赋予一定的函数，比如说你 g x， 你 让它是 long e 加 x， 对吧？你让 g x 是 这个 cos 加一除以一个三 x， 对 吧？随你便，随你便，就是你对这个函数，你对这个 g x 负的越复杂，那么你这个狗咬狗越难。看出来。好，大家懂了原理之后，这例题应该就不难了。
4676epsilon-delta
01:02查看AI文稿AI文稿这一集我们来看 o 级理得算法，也就是最大公约数，势利是 g、 c、 d， 四十八和十八。 核心公式只有一句， g、 c， d， a、 b。 等于 g， c， d， b a mod b。 也就是说，大数和小数的最大公约数不会因为取于而改变。先算四十八除以十二，于是问题变成 g、 c、 d， 十八和十二， 再算十八除以十二，余数是六，继续变成 g、 c、 d， 十二和六，最后十二除以六，余数是零，这时答案就是六。 为什么它这么快？因为每一步都会明显缩小问题规模、时间复杂度通常可以认为接近 o log n 工程里，它常用来做分数、约分魔运算和同余问题。 记住口诀，不断取余，直到为零。最后那个非零数就是 g、 c、 d。
33码到成功2018
00:28查看AI文稿AI文稿思考五秒，看是否有思路！ 兄弟们别再盲目无效刷题了！拿到一道题目，先精准读题，锁定核心，考察知识点， 再规范书写答题步骤，养成严谨答题习惯。最后复盘梳理总结答题方法，由一道题打通一类题，形成完整学习闭环，高效提分，点点关注不迷路，每天持续更新！
06:06查看AI文稿AI文稿什么是偏导数的这个最终变量？什么是中间变量？什么是未知变量？我们通过这道题搞清楚，好吧，设函数 z 等于 f 二 x 减 y 啊，然后 x 分 之 y 具有连续偏导数， d z 一 三等于负七， d x 加三倍 d y 则 f 一 一撇加 f 二，一撇负一三。 那么这个题什么意思呢？我们来看看。首先 dj 这个是一个权威分，那么我们就知道这里其实就是偏 z， 偏 x 等于负七，对吧？偏 z 偏 y 等于三啊，那当然这是指在这一三这个点啊，一三这个点啊，我们写出来啊， 好，那么有了这个已知条件，下面我们看最终要我们求的什么？最终要我们求的是对第一个位置，对第二个位置的这个导数，对吧？对第一个位置的偏导数，对第二个位置的偏导数， 这个题本质上是什么呢？第一个位置是指这里，第二个位置是这里，其实这里是个 f u v， 只不过他不需要把 u 和 v 写出来，对吧？啊？他这个 u 等于二， x 减 y， v 等于 x 分 之 y 啊，好，那么 关于位置的和关于 x， 关于 y 的 啊，你像我这是关于第一个位置偏导数，那这个关于 x 偏导数到底什么关系呢？啊？其实就是这个 z， 它是先关于 u， 关于 v， u 呢？又关于 x， 关于 y， 对 吧？ v 也关于 x， 关于 y， 是 这么个关系。 哎，所以我们，哎有这样一个关系，我们最终要的是关于一和二这个位置，他也不去写 u 和 v。 好， 我们 首先有偏 z， x 在 一到三等于负七的时候这个点，那么我们偏 z， x 等于什么呢？我们来求这个，所以先应该把偏 z， x， 把它给求出来，那么怎么求出来？那么它求不到，它求不到，就应该先对第一个位置求到，对吧？第一个位置再对 x 求到，再对第二个位置求到第二个位置，再对 y 求到，对吧？所以我们应该是 f 一 一撇这个 r， x 点 y， 照上写，好吧。 啊， x 分 之 y， 你 省略也可以，就是你不写省略也可以啊，写完整点。好。现在对 x 求导，我们是偏这撇 x 嘛，所以它这个第一个位置对 x 求导，要乘个二，对吧？然后加上第二个位置 f 二一撇 x 点 y， x 分 之 y， 对 吧？那么第二个位置对 x 有 倒，那么是什么？负 x 平方分之一，负 x 平方分之 y， 对 吧？这个 y 别丢掉了啊，这是比较容易犯的小错误，在初学的时候，我刚刚随口都可能犯错误了。 好，这个写出来相当于什么？相当于我们把应该把一和三带进去是什么？它就应该等于负七，就这个意思啊。好，我们先把偏 z 偏 y， 等于，先对第一个位置求偏导。 对，对什么求偏导？关注变量是什么？变量是 y， 那 么就对 y 求偏导，对 y 求偏导是个什么？是成个负一，对吧？成个负一，我把符号写前面啊，然后加上 对第二个位置求导，是吧？第二个位置二， x 减 y， x 分 之 y， 然后对 y 求，那么就是乘以什么 x 分 之一，我把 x 分 之一写在前面，好吧，乘以 x 分 之一啊，就这样子。好，我们下面将 x 等于一， y 等于三，带到上面两个式子里面去，它就会等于负七和三，对吧？啊？带进去，所以我们就应该有下面的式子，我们把它整理一下， 好，我把它整理出来，就是这么个数字，偏这篇 x 一 一三点，那么它这个等于负七，这个下面偏这篇 y 等于三，中间正好出现了什么？正好出现了 f 一 撇负一三， f 二一撇负一三。下面也是也是的，所以这些先变变成了一个方程组，这个方程组一解出来，我们就可以得到 f 一 一撇负一三等于负二， f 二一撇负一三等于一。把它带进去，带到这里我们就得到我们的原来的这个题等于负一，把它带进去，就这样子。好，题目是做出来的，那么我们下面来总结，总结就是 关于这一个分这么几层的这么一个多元函数，这么一个二元函数，对吧？它有两个中间变量。 我们已经根据题目的条件知道了这篇这篇 x 的 数值，但是我们不知道他的什么，不知道他的表达式，他的表达式是我们自己写出来的，而且这个表达式很容易出现各种错误，例如这个地方写个负 x 平方之一就没有 y 呢，对吧？啊，这种小错误啊，这种正负号的注意，对吧？ 所以要得到偏这篇 x， 偏这篇 y 的 表达式啊。好，最后求的是什么呢？最后求的是一位置和二位置的这个偏导数，所以这个一位置和二位置偏导数跟这个关于 x 和 y 的 偏导数到底什么关系？一位置和二位置其实就是关于中间变量的偏导数 啊，所以我们有一个中间变量的偏导数啊，我们有最终的偏导数等于负七，但是中间变量的偏导数他们俩加起来等于负一啊，或者他们分别等于多少？我们都求出来了负二和负一，所以本质上是一个中间变量好吧，已知最终 的 x y 的 偏导数求中间变量的这道题啊，就这么一个求法啊，数字几道，我们把表达式写出来就变成了方程组啊，你要去总结这个过程，晓得吧啊，自己即便不会做 啊，照着解析听完讲之后，做完了之后你要去回顾这道题在干什么啊？你如果说回顾不出来，只是临时看了解析就啊懂了，最后你没得到什么，也就说你要闭着眼睛知道啊，这道题在干什么 啊？是要求求偏这篇 x 偏这篇 y 的 表达式，这表达式之后变成方程组啊，最后求出来啊，是得到一个中间变量，对吧？中间变量的偏导数啊。
58一分钟考研数学
03:55查看AI文稿AI文稿这道题其实是在一道送分题啊，有的同学因为说记不得这种微分方程的结论，解的结构就不会做了。这里我教你一种根本不学记的啊。题目说 y 一 y 二是这个 e 阶性非极式方程 的两个特解，那么是两个特解，你就写进去就是，这是 y 一， 一撇加 p x y 等于 q x y 二，一撇加 p x y 等于 q x， 写进去就是了。 如果常数 number 没有，使得 number y 加 number y 二是该方方程的减， number y 减 number y 二是该方程对应的其其次方程的减。好， 那么既然有那么多没有，我们就把那么多没有带进去，那么如果我这里成一个那么的整体，那么是那么的成 y 一 看到没，那么我这里也成个那么的，我就把它写到前头来，那么这里肯定写，照样写个那么的，是吧？啊，所以是一样的。那么 同理，如果我这里要写个没有，那这里也一样写个没有，对吧？这里也一样写个没有啊。当然这也，这 y 二我也可以写那么的。啊。啊，没有 y 二啊，没有字写在下面。对对对，没有字写在下面，好，那么下面我们 number y 一 加，没有 y 二，我就加起来呗。来， number 的 y 一 加六 y 二，我把上下两项加起来会怎么样？好，我们写进来会怎么样？你看，就是 number 的 y 一 一撇，我这个一撇先不写，加六 y 二，这个一撇都不写，我把这个一撇怎么样？整体写到外面可不可以 写？写到外面可不可以啊？好，再加上这个 number 的 y 一 加六 y 二， 然后从它有个 ps， 它有个 ps， 整体成个 ps 嘛，把它提供一次嘛，等于 number 加 mu， 这边 q x 提供一次嘛， 对吧？好，那么这就是，这就符合什么？符合？这里 number y 加 mu 二是该方人的减 number y 加 mu 二， mu 二， mu 二， y 一 加 mu 二，那么怎么样？看 他是他的解带到这个式子里面，带到式子里面也是一撇加 p x 乘它等于 q x， 那 么因此就怎么样？因此我们就得得到，如果你要是他的解，这个 number 加 number 就 得等于一，所以我们就得到 number 加 number 得等于一，这就是结论，其实就是我们的解的结构里面的性质，对吧？ 好，这是这里，那么下面我们要什么？ number y 一 减六， y 二是它的对应的奇字旁的减，那么减嘛？上下两式想减啊，一式 和一式减，二式减掉，那么就是 number y 一 减六， y 二减掉，那么 number 是 常数，那么六是常数，写一撇不影响，对吧？这个写的写的打括号再写， 然后再加上什么？ number y 一 减六， y 二乘以 p x， 是 吧？乘以 p x， 那 应该这里怎么样？这里就应该是等于 number 减六的 q x， 对 吧？但是它是对应的奇次方程的解，奇次方程的解得等于什么？这边等于零，那么只有可能 number 减六等于零，所以这里我们就有 number 减六等于零， 那么你这里有一个 number 加 one 等于一， number 减 number 等于零，那么 number 跟 number 应该都等于二分之一，对吧？ number 等于二分之一， number 等于二分之一选 a， 所以 这不就送给你吗？好，好简单，对吧？但是如果你非得记住这个 number 加 number 等于一，那么的减 number 等于零，那么这个你可能记不住，或者说这种题念的不太多，你就学会这种推的方式，这推太容易了。其实 啊，你别听我这么讲啊，你自己操作一遍，平时操作几遍你就会根深蒂固，好吧？你操作几遍之后自然也记住了，就这个结论，好吧？
46一分钟考研数学
06:37查看AI文稿AI文稿我们来看一道定积分比较大小的经典题目，以及从这道题目到底能学到什么东西。设 m 等于这么一个定积分，它是，呃，都是负二分子派，大分子派啊，啊，都是对称区间，那么有对称区间，我们应该想到什么？应该想到奇偶性， 对吧？如果是奇函数，那么马上积分等于零，对不对？好，由于区间是一样的，所以只需只需要比较背奇函数，这个不用说吧，对吧？好， 我们看到第一个，第一个一加 x， 括号平方除以一加 x 平方，这个情况你应该一看就知道把这个分子展开啊，这个意思应该有，对吧？就是一加 x 平方加二 x， 那 么这个一加 x 平方除以一加 x 平方就等于一呢，这就不用写这是一了，对吧？ 就是一加上这个一加 x 平方分之二 x， 那 么这是一个偶函数，这是个奇函数，那么整体是个奇函数，奇函数在对称区间等于零积分，对吧？积分等于零，那么这个就等于一，所以 m 等于一，这个应该是非常容易的，非常容易的。 好，有了这个思路，那么我们下面就应该是把这个 n 和 k 与一进行对比啊，与一进行对比，那么我们会发现这个一的 x 分 之一加 x， 我 们来看看一的 x 分 之一加 x。 我拿到这种题，我有两种思路，一种思路就是我看到这个我就想到一的 x 减一和 x 进行比较，因为这个我们怎么样？我们马上有这么一个图的啊，这个我马上有这个图 啊，这是，这是 y 的 x， 这是 e 的 x 减一啊，没画好 e 的 x 减一，这是 non 一 加 x 啊， non， 一 加 x， 这个模型你应该是知道的，这是 y 等于 x， 这是 y 等于一的 x 减一啊。好，有同学说，老师，你这个减 e 在 上面啊，相当于，你这是分子要减个 e， 分 母要减个 e， 这还是原式吗？确实不是原式， 就说你这样子确实不是原式，但是你如果你如果变成，相当于变成现在，变成真的，变成一的 x， 变成一的 x， 无非就是一的 x 减一，把它往上挪一个单位嘛，所以它就变成了这样子，你看， 它就变成了一的 x， 这就一的 x 嘛。然后这个一加 x， 我 们肚子画的有点大啊， 对吧？这个一，这，这是一假设，这个一加 x 就是 什么？就是 y 的 x 往上挪一个单位嘛，一样的嘛。 啊，所以它跟它平行，这个跟它平行，那么总体怎么样？这个一的 x 减一，这个一的 x 在 上方，这个 x x 加一，一加 x 在 下方，所以这个 他始终比他大，对吧？分母始终比分子大，所以他是小于一的，小于一的啊，就这么来定。就是你如果知道这个整个图的这个模型，你必须知道，如果你这个都不知道，那你学个屁啊，对吧？ 好，这是这里。另外一个就是，如果你真的不知道，我们还可以展开嘛。你看一的 x 等于什么？看这展开，一的 x 等于一加 x 加二的阶乘分之 x 立方，加三的阶乘分之 x 立方。 再加下去，作为一个小题，你就发现，我无非就把这个一加 x 变成一加 x 加二分之 x。 平方嘛，这接着都不用写分之一加 x， 那 么怎么样？这里是个平方， 哎，怎么了？这里是个平方，分母还比它多一项，所以分母比分子大嘛，对吧？所以这个你就很快通过，只加一项就行了。有同学还去想第三项，想个屁， 作为一个选择题，你想那么多，对吧？哈哈哈，你想不清楚，你就别想那么多，所以这两项是一样的啊，它就多一项，所以分分母比分子大，所以它是小一的，对吧？ 好。第三个，那么就是一加一加根号下 cosine x， 一 加根号下 cosine x， cosine x 怎么样？ cosine x 在 正正二分之派到负二分之派，它始终怎么样？来画个草图嘛， 对吧？在正二分之一拍，负二分之一拍，这始终大于大于零的，大于零的加个一加个一，一加个大于零的始终大于一嘛，所以它是大于一的。那所以我们的结论是，第三个大于一，第二个小于一，第一个等于一，那大小，那哪个最大？哪个最大？大于的最大 k 最大 k， k 在 哪里？ k 最大，然后等于一的是哪个？是 m k 大 于 m 大 于 n c， 是 吧？那就这样子，好，这算做完了，问题是做完了我们能学到点什么？ 下面我们要来总结。有的同学做了很多题，但是啥都没学到，这不行，或者说做了很多题之后能力还是不行，那就是没有去总结，我们学到了什么呢？ 啊？当然学到了，这个奇偶性，对吧？这个第一个奇偶性，第二个还能展开或者说图像，对吧？这个模型啊。第三个 cos x 大 于一大于零，对吧？在这个负二分之二，这都是知道的。那么重点是我们来到我们这个本身这道题，这叫定积分 比较大小定积分比较，那么比较我给大家总结的是，我们总体分两大类，一类就是你拿其中一项跟另外两项比较，就是也许两个倍函数本身长得差不多，所以可以直接进行比较的，这是这是相互比较， 那这种题很多的啊，很多的就是这个 m 可以 跟 m 相互比较，但是呢，另外一种 就是找一个中间的数，找中间人就是我们互相之间不知怎么比较，我跟一进行比较，你比如这个 m 跟一比较啊，等于一，这个 m 跟一比较啊，小于这个 k 跟一比较啊，大于一 啊，不一定是一，一是一个比较常见的比较常用的，你可以是二，可以是五，这件你学懂，从题目里面去去了解，我们这里为什么想到一，因为这里一比出来他就等于一，所以整体后面发现啊，他也跟一有些有点相关，他也有点相关。如果你拿这三个进行互相比较，那你比个屁， 对吧？那就不知难到哪里去了，所以要有这种意识，以后拿到定积分的比较，最少有这两类，当然如果你遇到第三类，你就把它总结进去，这就是叫总结，知道吧，学到了什么？要具备这样的学习能力，好吧，嗯，相信你通过这个视频学到了很多很多，对吧？啊？点赞关注走一波。
49一分钟考研数学
09:32查看AI文稿AI文稿这是一款主打考研数学刷题、真题解析、模考训练的小程序，是考研党必备工具。现在我们想通过抓包获取里面的内容，那我们该如何识别它的加密类型，定位加密圆满呢？每天一个小程序逆向实战，今天是欧吉里德加密逆向， 今天我们来看的是考研数学欧吉里德小程序逆向分析。如果说大家不知道小程序如何进行抓包的呢？可以看一下我的往期视频，单独对这个小程序抓包做了讲起来的。 我们来看到这里有个学习中心，里面有个考点刷题，点进来看一下。在视频开始之前，为了保证零基础的同学也能听懂，主播准备了从零到 j s 逆向进阶的学习案例，包含从新手到大神的学习路线，都放在了主页粉丝群，大家可以自行领取。 在这里呢有三个，我们可以随便选一个，比如说高等数学，在这里就会有一些题，我们来去点击，比如说第一题， 在这里就可以去发包，我们来看一下这个，它其实在这个书包里面啊，在这个书包里面呢，它的一个响应内容啊，是加密了的，所以所以我们要去对这个密文值去做解密的操作，那你要先拿到这样的一个响应， 要拿到这个响应的话呢，在这里它其实会有一个参数加密啊，对于这个呢，它就是一个固定值，不需要去管它，我们可以先来去右键复制一下它的一个 c p l 来去给它转换一下， 转换得到对应的 python 代码，然后我们拿过来看一下，先不去带 data 能不能得到数据呢？是得不到数据的，你要带上这个 data 之后才能去得到正确的数据，所以要先去做这个 data 的 分析。那么它在这个地方呢，是一个叉圈类型的数据包，我们就可以去下载一个叉圈断点的，可以在这里去 呃，复制对应的叉圈提取断点，我们来在这里去下一下啊。好，来点击下一题，就断在了这个位置，那么断在了这个位置，可以看到他在这里这个堆塔就已经是生成的了。你要去跟站了，看一下他的一个调用对战， 调用对战在这里的话，其实他在这三步肯定是生成不了的，肯定是得往一步里面去看，在这里可以去下上断点吧，在这里下上断点之后，在这个地方你会发现啊，他其实这里面会有一些函数 request 请求，请求拦截器，这里呢是响应拦截器，可以在这里去下断点之后再来去跟站啊，当然它的这个站比较多，大家可以去自己尝试跟一下。我这就直接给大家讲一下它对应的一个位置啊，就直接到这个位置 get 这个位置。 在这边我们可以给大家先格式化一下啊，有点卡，他这里代码量比较多，差不多有八万多行的样子啊，我们可以看一下他是 格式化，在这里，这里给他下上断点，加上断点之后，我们再来去让他重新过一下，然后这个叉圈断点可以先不要了，不然他这里每次都会断一次，比较麻烦。好 来再来去点击下一题，就断在了这个位置，断在了这个位置呢，它这里传的这个 n 呢，是一个 id 值， id 值进到这里面来，这个方法是这样的一个方法，我们让它断在这个位置啊。 data json 是 stringify 来进到这里来，它在这里呢，就是把它转成了一个 json 格式的 sub 嘛，然后再去做后续的一些处理。所以这里你要去跟的话，就得去往回跟一下，往下面跟一下，去找一下了， 到这个地方它其实你一直跟的话，可能是能跟到的，它在这里啊，会有一个， 呃，异步对象啊，异步函数在这里位这个位置在这里的话呢，是有个成功啊，成功之后就会回到这样的一个函数，走的一个什么的解密的逻辑，那么他这里能够去找到解密的逻辑的话呢，就说明他的加密逻辑也在附近嘛。 我们来看一下它上面有没有 in cubed 啊，在这里可以看到一个 in cubed， 可以 在这里去下上断点啊，下上断点之后我们再来去给他过掉，这里可以先取消掉了 啊，这里的话他当前的断点应该不对了啊，当前已经是过了很多次了，这个 data 他 并不对哎，重去给他换下一题，继续点击下一题就断在了这里，我们再跳过就会跳到这个地方转成 data 这个位置，再来跳就跳到这里来了， 跳到这里来，你会发现他的一点 data 点 data 就 已经是一个 json 格式错误串了，但他这里又是给他 json 点，是循环，所以这里是需要注意一下，他再走了一次之后，就变成了这样的一个形式的， 然后再去给到的这个 input 的 方法做的加密。我们进到这里面来看一下啊。呃，这里面进来 i v 值 c b c 模式，然后 a e s 加密，所以它整个地方呢，这里其实就是一个 a e s， 你 可以再去用那个 c r p 六 g s 来去实现，也是没问题的。呃，如果说你 担心它不是一个原声的那个 a e s 版本，你可以去扣对应的代码，我这边呢是把全部代码给大家发下来之后， 呃，放到了一个 js 文件当中，它整个呢会有八万四千多行代码，我就交给了 ai 来去做的分析，我们可以看一下 ai 给那个分析啊，比如说本地有个 js 文件，然后这个是那个加密的入口嘛？我们刚刚所看到那个加密的入口，然后它所指向的 啊，这个一点代码点代码的只能是这个纸，他说纸箱呢是，呃，是这样的一个跳转位置啊，就这个方法，他做纸箱是这个位置，然后让他给我还原算法，用第三方库，也可以说他怎么来说在这里就多分析了。 aes 加密， md 五去做了一个密钥啊，然后去拍摄实现的话呢，就是把这一套逻辑给它拿过来，但他这套逻辑呢，会有一点点小问题啊，我们可以拿过来去测试一下， 比如说我这里传过去的是这样的一个，呃，这个 id 值是多少呢？看一下啊，这个 id 值目前是一九六七二， 一九六七二哎，一九六六七二。来右键去运行，它所得到的一个地方呢，是一加 a 等号等号，但是它在这个地方所得到的一个密文值呢？并不是那个一加等号等号 是一个 pm 等号，这是为什么呢？这是因为它在这个地方只是把它转成了 jason 数字串，嗯，但它直接就去给它做了一个音扣的来，去做了加密啊，但其实它在这里啊， 还有一步就是干嘛呢？就是又去给它 jason 点时分了，我们通过 python 呢，就是给它通过什么呢啊？ jason 点 dumps 给它做一下转换，就说，所以这个地方还得去给它转成一次 jason 格式数字串， jason 点 没提示了啊，对，它这一次导入一下。 好，那么现在再来去运行它，才能够去得到一个正确的密文值， pm 等号是没问题的，所以这个就是那个 data 的 参数加密逻辑。我们再来看一下它的一个解密呗，解密呢，在这里嘛， decret， 给它下上断点，下断点，就来跳进来，跳进来，跳过来， 没跳过来吗？他目前是在下一题啊，来跳，跳，这里会断很多次，让他过一下， 我看一下啊，这个地方解密的逻辑，他没有断住，没有断住，我们来去重新刷新一下， 刷新一下，然后来看一下这个位置啊，这里跳，好在这里是过来了的啊，这个是对应的那个密文值，他整个到这边之后呢，就能够去得到对应的一个铭文值，所以他整个来说也是走的这样的一个逻辑。只不过当前这一次，他应该 又到了主页了啊，又到了主页了，我们重新给他过一下吧，好让他先正常进到这里面来，然后好点算题，高点数学，然后这里的话呢，给他开启断点，重新去点击第五，第五第五题啊， 跳一下，哎，又卡住了啊，跳一下啊。 decoup 的是能够去断住的，在这里啊，一点 data 让他解出来的一个密文，解出来的谜文值，就这样的一个谜文值 啊，这样的谜文值，所以来看一下这个 decoup。 decoup 呢，走进来其实它也是一个 aes 的 一个 cpc 模式的解密啊，你可以把这个代码呢也让 i 给你生成一下就可以了。我这里也是一样的啊，给他说这个是那个跳进来的 decoup 方法啊，然后 啊，这个是那个入口，同样的去还原算法，就能够去得到对应的一个 python 的 还原算法啊，所以整个这一套下来，它整个的一个流程呢，是我们先来去请求对应的这个税包，能够去得到那个密文值嘛，得到那个 data 的 一个值啊，得到 data 值之后， 嗯，再去做一次请求啊，能够去得到它的一个 recast id 以及它的一个 data 啊，再来去把这个 data recast id 呢，交给这个解密函数，给它做一次解密，就能够去得到正确的一个呃，铭文值了 啊，那么这个地方它的一个 request id 呢，是要去参与预算的时候，我们要去获取一下它在这里所传过来的呢，也会有这个 request id， 在 这个地方有一个 request id 啊，这个是能够去在这个数据包里面能够去获取到的啊，在这里面是能够获取到的。 好，来右键运行，看一下它整个的一个逻辑啊，运行之后就能够去得到对应的名人值了，那么这个是应该是那个答案，我们看一下啊，这个是那个答案， 对，然后这个链接呢，就是那个题目了啊，但它这里是有个后缀的问题的，你给它改一下后缀就可以看到它对应的题目了。好吧，那么这个就是这个小程序列，像它整个的一个逻辑，它主要呢就是用的 md 五以及 aes 加密解密，好吧？
34图灵学院
04:35查看AI文稿AI文稿这样一道题，我们关键是看出这个函数是一个什么样的函数啊？呃， 首先有的同学如果不熟悉，会觉得很纳闷， f x 等于这个变量， x 加 t， d t， 然后零到四积分。呃，我们 不明白的同学会觉得零到四一个积分，积分是一个常数，他会觉得积分是一个常数，那么常数怎么是个函数啊？有同学说啊，函数是个长函数，那么长函数求导，等于零，狗屁，那是不可能的啊，没那么简单，哈哈。哎， 所以这个地方它表面上是个呃定积分，实际上它是个变现积分，为什么呢？因为我们 这里是 d t， 这里是 x 加 t 啊，那么这个这它不全是 t， 如果它全是 t， 那 么这就是一个定积分，那么它这个常数，但它是个 x 加 t， 就 意味着这里还有 x， 所以 我们要把这个 x 给消掉。消掉？怎么消掉？我们就要换元啊。 对于这种定积分或者变现积分换元是一种非常常用的套路，我们要非常清楚啊，所以管它怎么样？我现在搞不清怎么样，我们先换元再说好吧。另， x 加 t 等于 u， 则 t 等于什么？ t 就 等于 u 减 x， u 减 x 好， 那么我们这个 tangent x 加 t 就 变成了 tangent u 了，然后 d t d t 就 变成 d u 减 x 好，这个 u 减 x， 它怎么呢？这个 u 减 x， 由于它现在的这个呃变量是 u， 这个变量是变成了 u， 那 么这个 x 是 个常数，那这个 x 是 不管的，我就管它的，所以 d u 减 x 就是 d u 就 d u。 好 吧， 所以我们可以就是就写成参数 u d u 啊。因为 x， 所以 我们始终要关注变量是什么啊？这个我们在做这一类题的时候，变量是什么？我为什么可以把这个 x 丢掉？因为这里 x 是 常数， x 又为什么说 x 变量呢？ x 是 变量，是在这个 f x 函数里面，它是一个变量，对吧？现在在这个积分里面，它是个常数啊。所以搞清楚什么是积分，什么是函数啊？对应的变量。 好，你这个原来这个式子，它是零到四分之派，是 t， 零到四分之派，是这个 t 零到四分之派，现在是 u， 那 么 t 为零的时候， u 为 x， t 为零的时候， u 为 x 为四分之派的时候， u 为 x 加四分之派 啊，所以这这个这就是我们的 f x， 所以 这就是我们的 f x。 从这个式子你就看，就看的出来，这个 f x 是 一个以用变现积分来表达的函数，这个函数是用变现积分来表达的，也就说我们把这个 x 在 这个背景函数里面，把它转化到了哪里呢？转化到了上线下线来了，好，变现积分。现在我们要求什么？要求 f x 倒数，那么我们对 f x 求倒这个是很容易的啊。一撇它等于什么？它等于它等于把它这个带到里面去，就是 tangent x 加四分之派， 对吧？减去这个 tangent x 下线，上线减下线，对吧？把它带到这个这个里面去，被减数里面。好，这就出来了。那么我们 f 一 撇 t 零， 它就等于贪婪，零加四分之派，就四分之派，减去贪婪的零，减去零，那么贪婪的四分之派等于一，这就做完了，这做完了。所以这样的题啊，它 重点在于我们要意识到要换元啊，或者说更重要的是我们要意识到这里面变量很多个，又有 t 又有 x， t 是 这个积分的变量，这个 x 是 个函数的变量，当积分变量跟函数变量混到一起的时候，搞不清的时候换元， 把积分变量换简单，然后把这个函数变量变到上限和下限里面去啊，就是这么回事。那么这种你初学的时候糊里糊涂，重点是掌握变变量是什么，一旦掌握以后再遇到这种问题，你就发现啊，换元，然后 就变成变现积分了，就变简单了啊，它就使得这个，它就使得这个变量，这个变量怎么样区分开来了？ u 啊，这个积分变量他就只有 u， 很 简单，这个函数变量他也只在上线下线，他就不会混到里面去。换人的目的就是，好吧，学到东西了吧，学到了请点赞，走一波，收藏走一波。
93一分钟考研数学
05:22查看AI文稿AI文稿这一类矩阵方程的题，我教你一种大撒四方的通用方法。好吧，啊，总结好在这里是什么呢？我们先看题目，是，矩阵 a， b 满足 a 心 b， a 等于二， b， a 减八一这么一个方程，这就是所谓的矩阵方程，对吧？呐，矩阵方程，这就是 它的类型好，其中 e 为单位矩阵， a 心为 a 的 伴随矩阵，这我们都知道，它不学，我们也知道，是吧？ a 等于这么个矩阵，则 b 等于多少？好，这种题怎么做呢？ 我教你，就是他两个必用的公式，就是我们最常见的信息代数里面最常见的， a 乘 a， 心等于 a， 心乘 a， 对 吧？等于多少？等于行列式 a 乘以一啊， 这是这是整个信息代数数里面最为重要的一个公式之一好吧，还另外一个，那就是根本不用记的公式， a 乘 a， 逆或者 a 逆乘 a， 对 吧？ 或者 a 逆乘 a 等于一。就是凡是矩阵方程，你就用这两个公式啊，几乎不要用别的，或者说用别的就麻烦了，或者说，呃，先不用这两个，你用别的，那就不对了，必须先用这两个。所以看到 a 心，就想到左乘一个，他在左边嘛，就左乘一个 a， 如果他在右边，你就右乘一个 a， 对 吧？啊，看到 a， 就 这么回事啊，我们来看，先拿着它，所以我们先左乘。 好吧，一步一步来啊，本来也可以快速左乘一个 a 啊，所以左右的左乘 a， 那 么这就变成了什么 a 乘 a， 心乘以 b， a 等于左乘 a 啊。整体二 b， a 减八一， 好化简一下， a 乘 a， 心等于行列是 a， 对 吧？行列是 a 乘以一，那么这里后面是 b， a 是 矩阵，那个一就不用写了。原来这个这个一就不用写了，对吧？所以就是乘以 b a 等于这里二 a b a， 对 吧？啊？这个乘进去二 a b a 整数 a 到前头来，减八 e a 这个 e 由于有 a 呢，就不需要写这个 e 了，减八 a， 好， 那这样子呢？我们把 a 心给处理掉了，看到没？把 a 心给处理掉，下面把 a 给处理掉， 就看到有 a 啊，可观。这里有 a， 这里有 a， 乘以什么？用第二个公式， a e， 对 吧？又乘 a e， 好，我们来。呃，先照抄一遍啊。 行列是 a 乘以 b 乘以 a 乘以 a， 逆等于二 a b a a 逆减八 a a 逆，对吧？那么这个 a 乘 a 逆， 他就等于一了。 a 乘 a 一 等于一呢，等于一呢？所以我们整理一下。横列是 a 乘以 b 啊，他就这。由于有 b 矩阵，就不用写这个 a 矩阵了啊， 等于二 a b 就 不用写那个 a 矩阵了，减八啊。这里由于没有矩阵了，所以你就得写个 a 矩阵，就这样子了，所以 b 等于多少就出来了， 看到没啊？下面我们就就移到一边，移到一边，我们把它移到右边来，把这个八一移到左边去，相当于，是吧？啊，那就是二 a b 减横的是 a b， 然后等于八一， 把它移到左边，左边写右边是无所谓的啊，啊，然后这就是二 a 减横列式。 a 可以 这么减吗？不可以，要补个一，对吧？因为它是个数字横列式，所以乘以 b 等于八一，这就出来了。那么 b 等于多少？相当于 b 啊？ 要单独得得到 b， 就 相当于把这个整个矩阵怎么了？整个矩阵再组成它的逆嘛。所以，所以 b 就 等于多少啊？ b 就 等于八倍的二， a 减 横列是 a 一 的逆，矩阵就出来了，然后你再把这个给带进去处理，好吧，这个我就不讲了，最后的结果等于多少我给你们写一下， 这就是最后的结果，这就出来了。所以整个这个套路我们看看啊，矩阵方程，我自己以前考研的时候老痛苦了，其实就是没有去总结，就是看到矩阵方程无非就是左乘右乘啊，就只用这两个公式啊，也不见得 就只用这两个公式啊，也不见得就只用这两个，但是这两个一定是最常用的好吧，你不把这两个用上，用别的，那是那是。呃，舍近求远啊，这两个公式是最常用最有价值的，无非就左乘右乘，我这里就是左乘一下，右乘一下 啊，并且思路很清楚，看到 a 星就怎么把它往加，跟 a 靠起对吧？看到 a 就 怎么跟 a 逆靠起，反过来看到 a 逆就跟 a 靠起啊，就这么回事，你反复操作来操作去，就就就出来了啊，所以它其实非常简单，这种题随送分题 对吧？只是有点点计算量啊，但是我们很多同学就是如何得到这个东西会根本得不出来，这个是容易的啊，得到这个这个过程，它就是一个非常常用的套路，看到吗？啊， 所以掌握这个套路啊，掌握这个套路啊，思想方法流程步骤掌握了，那么其实这这这道题你才才才真掌握了啊。
38一分钟考研数学
05:37查看AI文稿AI文稿这道证明题看着很吓人，其实非常简单，我们不只是从这个题里面学到了这个怎么做，重点是学会了为什么这么思考，以及为什么用这样的方式。 好，我下面在讲这道题之前，要先告诉你的是，假设我们出一道题，要你证明一小于二，那么你怎么证？用我们微积分的方式，我就首先先得构造一个函数， y 等于 x 啊， y 等于 x， 那 么 y 等于 x， 我 在求导，就是求出这个导数，那么，呃， y， y 的 导等于一，那么它是，它是怎么样？它是大于零的，大于零就说明它单调递增的，单调递增，那么二比一大，所以小于二。当然这个说起来是个玩笑话， 修剪的这个玩笑话，但是这里面皆是呢。我们在微积分里面做证明的时候，非常重要的思想，也就是说要你挣一小于二，跟我们要证明这个东西是一样的，大家看到没？我们要挣这个东西就意味着什么？ 就左边是个定积分，右边是个定积分，两个定积分就相当于两个常数，让你证明两个小常数六，这是五 啊，这是三，五大于等于三，对吧？就是这么两个常数怎么证？同学一筹莫展，所以我们要学会的就是先把这两个常数变成一个函数 啊，这就我们叫做所谓的常数变异法啊，你别去学什么常数变异法，这么这么恶心的说法，好吧，你就是怎么把它变成函数？我们微积分微积分的研究对象就是函数，所以你必须把两个常数 变成函数，就这个道理变成函数。对于函数的操作无非就是求导或者积分啊，我们积分有办法，求导更有办法，那么求导之后就可以有它的单调性啊，之类的，等等等等，凹凸性之类的，对吧？ 所以我们事实上就是把它变成一个，你们来看看具体做法， f x， 把两边移到一边，移到一边，把右边移到左边来，然后把这个 b 变成一个 x， 变成 x， 只不过我们这个一二，我们就直接 y 等于 x 这么简单的一个函数，这里就是把它变成一个 x， 变成一个变相积分， 变现积分是一个函数啊，这是个函数，这也是个函数，那么两个函数啊，相减就是整个我们的辅助函数，辅助函数求导，求导，求出来啊，那么，呃，求导就直接把这个 x 带进去，是吧？因为它只有 t 啊，至于这里面为什么改成 t， 就是 为了不跟 x 混淆 啊，你把这里写成 t， 把里面照样写 x， 没问题的啊，那没问题的，这个我们应该不用我的，不用我强调了啊，再求到求救难，求救难之后，整个我们在这个地方简单的怎么呢？由于这里有 f x， 这里 f x 把它合并一下，把它合并变成二分之 x 减 a， f x 这个地方变成这样子，变成这样子之后，你发现它是个积分，在积分里面应用积分中指的理是经常经常的事情啊，这是不用动脑子思考的 啊，我们就把这一分钟给你一套，就变成二分之一 f， 可 c x 减 a， 那 么你就可以得到，得到这个可 c 是 在 a 和 x 之间的，在哪里？在它的下线和上线之间，在此之间，那么我们就根据 这个原来这个函数 f x 在 a b 上连续且它就增加，它就增加，我们就可以得到 f 一 p x 怎么了？ f 一 p x 大 于等于零， 所以因为它这里是二分之 x 减 a， 这是二分之 x 减 a 嘛。啊，这就是 f x 和 f f 函数的问题了嘛。啊，那么它本身单元增加了，所以这就大于等于零嘛，因为这个函数在 a a 和 x 之间就得到了，就增完了啊。那当然单调递增呢？单调递增就就就说明什么？ 这个这个这个啊，这个 f e p x 大 于等于零，就说明圆还是单调递增呢？单调递增啊， 当这一帧我们就可以得到。什么得到这个？因为 a b a 小 于 b 的 嘛， a 小 于 b， 那 我们就可以得到 f a 是 小于 f b 的 嘛？ 啊，把 f b 带进去，这个 b 带进去，这就是把这个 a 变成 b 了，所以，所以而 f a 等于多少？什么多少？把 a 带进去就是零嘛，把 a 带进去就是零，所以就得到得到这个式子了啊，就改回去，就这样子了。 所以整个我们重要的思路就是对于一个定积分这种定积分的不等式，并且它其实就是定积分，就是常数，相当于它就用了这个数，那么就一定要把它变成函数，变成函数求导，所以整个思路就是来这个思路。我们就是常数变函数，函数 求导求导之后，中间处理用了一下什么，用了一下几分钟的例， 最后就完事了。所以整个就这么四步法，常数变函数，函数求导求导中间过程用一个几分钟的例就完事了。 大部分题都是这么做的，哈哈，我们这种积分不等式绝大部分都是这么做的，所以别看起来好像啊，这个过程好复杂一样。没什么复杂的，这个操作上面你你模仿两遍就容易了。你重要的是做完了之后你来总结这个思路啊，这个很重要啊， 这才是我们学完一道题该掌握的东西好吧。啊？你不是掌握的不是这东西，掌握的是左边这东西，所以我们欧经理的泽信老师特别喜欢带大家怎么做思路总结。好吧，每做完一道题，你没有思路总结，那你做对了，或者说你最后改对了没屁用，晓得吧？思路总结才重要，因为你以后 就是照着这个流程来解决问题。我们人脑就是个计算机，计算机就特别喜欢这个程序化的问题，我会做一个问题，我就把它程序化，程序化之后我下一步就照着程序操作，就省脑子了， ok。
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05:23查看AI文稿AI文稿这道题我们真正要学会的是什么呢？学会的是把一个问题转化为函数问题， 然后遇到函数百分之百要求导啊，其实也没有百分之百啊，但是你一定要意识到，既然这个函数呢，用来求导天经地义，所以当你没办法的时候，你就用来求导。好吧，我们来演示来这个。呃，琢磨这个过程。 题目是这样子的，竖列一，根号二，三次根号三，然后 n 次根号 n， 所以 它的通项是什么？就 n 次根号 n， n 次根号 n， 我 们把它这是一个竖列，对吧？我们把它转化为函数，就是 x 的 它也就是 x 的， 呃， x 是根号，对吧？那么我们把它转化为什么？转化为 x 的 x 分 之一，这不就是什么秘制函数？既然这个秘制函数呢，你要写的完整的，你就可以叫 y 等于 f， x 的 x 分 之一啊，再来求导，好吧，求导。所以当你没有想法的时候就求导啊，求导。 y 一 撇 等于 x， x 分 之一，那么它就是 e 密值函数转成 e 的 u 的 v 变成 e 的 v， e 的 v， 诺 u 啊，对它进行求导呢？对它进行求导，就是啊，它本身， 它本身就是，它本身就 x， x 分 之一，对吧？然后在这个求导，对吧？这个求导是什么？ x 的 分之 non， x 上导下不导。哎，下面下面 x 平方在这里，在上导下不导，上导就是 x 分 之一， 上倒下不倒，下不倒就是 x， 那 这就是一，是吧？这我就把它撤回了啊，这是一减去减去上不倒下倒就是 no x， 那 求倒就变成这样子了，变成这样子，我们再来分析这个问题， 我们下面来分析它这个取值，因为我们题目是要最大项，其实就相当于求极值，求最值的问题，对吧？这转化为函数的极值最值，函数极值最值，肯定求到，这个也从这里也可以看得出来啊。好，那么首先在题目里面，这个 x 是 大于零的，其实它还大于一的，对吧？所以这个 x 是 大于一的， 那么 x 大 于等于一啊，大于等于一，那么大于等于一，我们能够直接肉眼就看出来， x 如果等于一的时候，那么 等于这个一的时候，它就是等于零，对不对？等于零，所以 x 等于一的时候，这个 y 一 撇等于 零，对不对？ y 一 撇等于零，那么 x 在 一和这个一之间的时候，它怎么样？在一和一之间的时候，它就是大于零的，这个 y 一 撇是大于零的，那么如果说我们这个 x 在 大于一的时候，在大于一的时候，这个就大于一呢？那么它就小于零的 y 撇小于零，对吧？嗯，好，我们根据这个结果把这个图给画出来，那么由于 y 撇等于零，这就是取极值，对不对？这就是一个极值点， 嗯，极值点，所以 x 等于一的时候，是它的极值点，然后 y 撇小于零，小于零，就是这这个斜线方向，大于零，就这个斜线方向，所以我们就大体就画成这么个图形，在这里取极值，看到吧。嗯，所以在取一的时候，但是呢， 我们的题目是它是竖列，竖列，所以它只取到它的自然数的点一二三四，那么因此这个一是二点七，一 八二八啊，那么我们到底是取左边一个二，还是取右边一个三？当然你凭感觉你都应该知道是三，为什么？因为三跟二点七一更靠近三，对吧？这是凭感觉啊，没有逻辑。那么我们下面具体来看 f 二等于多少，这就涉及到一点点小小的分析呢？ f 二就等于二的二分之一，对吧？ f 三 就等于三的三分之一，那么你就去比较二的二分之和三的三分之一的区别呗，对吧？啊？二的二分之一我们可以变成什么呢？我们可以变成八的六分之一， 也就是二的三次密，后面再整个整个三分之一次密，对吧？那么这个 f 三的三的三分之一呢？我们可以变成 九的六分之一啊，三的平方嘛？两三的平方，那么八的六分之九的六分之一肯定是九的六分之一大，对吧？所以最后取三，所以这个地方最大项为 三的三字根号，对吧？啊，这就这样子，所以其实结论是什么？其实结论是一，就是这个 x， x 是 密正密值函数，它是在二点七八八这个地方取极值。啊，好，做起来了。总体来说，我们再回到我们这道题，真正要学的是 如何把一个问题转化为一个函数问题，把一个函数你再转化为一个求导问题啊，遇到函数求导在我们微积分里面是天经地义的，我们就是求它的一阶导，二阶导去判断这个函数的心态，对吧？我们就是要得到 这个，因为我们其实不能够一开始就把这个肉眼把这个函数图形画出来，如果你就像 y 等于 x 平方一样子，可以直接可以画出来，那你啥事没有了，对吧？啊？问题是给出一个函数，你画不出来，画不出来，你就通过 通过去求导，求一阶导、二阶导得到它的形态，一阶导就知道它的单调性，对吧？就往哪边增哪边降啊？ y 一 撇大于零就是这样子增， y 一 撇小于零，就这样子降，对吧？然后二阶导大于零小于零，就知道它的凹凸性，对吧？所以这是我们需要总结的。
108一分钟考研数学
14:43查看AI文稿AI文稿好，我们来看这一道我们都非常头疼的这种偏导数多元微分的概念题。多元微分的概念题是大家呃，普遍头疼的，呃，这需要一遍一遍的去练，要把里面的细节给扣清楚。 这样一个函数， f x y 等于 x 平方加 y 平方。三 x 平方加 y 平方分之一，在不是零这个点的时候，以及在零零这个点的时候，是零一个这样的分段的函数，这 f x y 在 零零处，呃，偏导数存不存在，可不可微 以及偏导数连不连续啊？这是几个问题啊？偏导数存在哎，然后可微以及偏导数是否连续的问题。我们先来看最容易的偏导数存不存在的问题， 在某个具体点啊，这是在某个具体点啊，我们对应我们一元函数，这叫定点导数，对不对？定点导数。那么定点导数怎么办？就要用导数的定义，用定义式，看到没用定义式，那么我们 f x 零 x 零 y 零， 他的定义是这样子的，首先把 y 零带进去， y 零先不变啊，然后 x 零是有个增量的，整个 g x 相当于 x 是 变量啊，我们要关注，始终关注变量是什么，变量是什么。 在对 x 求偏导的时候， x 是 变量，所以我们这里面，我们这里面，我们马上就可以把这个 f 零零相当于 f x 零零的这个偏导数把它截出来，哎，我们也可以写成偏这篇 x 的 啊，这个是当然要写，写成零零啊。嗯， 由于我们这个 y 零，嗯， y 零为零，所以这个是可以带进去的，那么整个这个式子就变成了这个样子。我们来把过程简单写一下，那么就是 data x 括号平方 sine data x 括号平方分之一，因为 y 零为零嘛，这个就没了， 然后减去，减去什么？减去零 f 零零 f 零零 f 零零，带进去就是零，无穷小乘有效变量还是零，所以减去零，再除以这个 data x， 约这个 data x 就是 无穷小乘有效变量，所以它为零，所以这偏导数存在，对不对？所以它就存在为零。那么同理 f y 一 撇零零， 你需要求吗？它一样等于零，因为我们这个，因为我们这个题目里面 x 跟 y 是 地位是相同的，晓得吧？完全一致的，所以你没必要求你就写同理啊，我们写个同理，好吧， 同理，那么它也存在，所以偏导数是存在的。 a 选项错，下面判断可不可微，判断可不可微，那么我们很多同学无法理解什么叫可微？ 可谓就是说这一座山，他的每个地方没有凸起，没有那种尖尖，他就比较圆滑，或者说我们叫以直带曲，可谓就是以， 我们可以说以直带曲。那么在在三维里面，我们叫以平带曲，就是以平面代替曲这个曲面，那么为什么可以用平面代替曲面？就是它不平的地方，可以忽略不计，就这个意思。所以我们看这个可微的表达式啊，我们来看可微的表达式，就是 f x y 减去 f x 零 y 零，这是什么？这是音变量的增量，这是 z 的 增量，这就是比特 z， 相当于这整个写这么多，它就是比特 z， 看到没？比特 z 好，这个是什么呢？这是一个偏导数乘以自变量，导数乘以自变量，导数乘以自变量，我们叫线圈增量，也就说它其实是减去这什么 d z 线圈增量就是它的那个主要部分，那么减去之后剩下的叫什么？剩下的其实就是个余量 啊，就是相当于我们在一元里面的，在一元里面啊，这个函数这个曲线，那么它这个切线是这样子的，那么从这个点到旁边这个点， 那么它的自变量的增量是怎么样的？自变量的增量是这个变量的增量是这个变量 y， 但是它这个它这个 d y 是 这个 d， y 是 这一段 整体，这个是得差 y， 得差 y 减 d y 就是 这个余量，那么在我们三个里面，我们我们就不是 y， 是 z， 那 么照样是得差 z 减 d z 就 相当于就是剩下这一点点余量， 这一点点余量相比自变量可以忽略不计。什么忽略？忽略不计就是如果它等于零，就是忽略不计，因为相当于分子是分母的高角无穷小， 所以这个分子这里是叫自变量的增量，减去自变量的限性，主部除以因变量的增量。什么叫因变量的增量？这个得 x 就是 因变量的增量。在多维里面，就是我在一个点旁边的任意一个点 旁边的任意一个点，那么它任意一个点都三百六十度，对不对啊？三百六十度没画好啊，哎。就相当于一个点，有多远多远，就是这么远。 这个是 dx， 这是 dy， dy 平方加 dy 平方就是 dy， 这不不就 dy 这啊，这是这整体，这是我们平时用 u 来表示，所以这个余量除以四变量的增量 啊，这个股股定律，它就代表这条斜边长，看到没？代表这条斜边长啊，就这个意思，所以余量除以四变量的增量等于零，就是说明口味，就说明我们可以用这个，用这条 切线代表他局部这条曲线，这叫以直代曲，在平，在三维里面叫以平代曲，听懂没？所以这个公式如果你死背，你背不下来的啊，很难背的，你必须理解这里面三项，第一项是得它 z， 第二项是 d z， 第三项是得得得 x 得 y， 对 吧？啊，就是 它是自变量增量，所以自变量的增量分之因变量的增量减去主要部分剩下的这个部分，这个余量相比它是一个高阶无穷小量，就说明口味好。有了这个认识，那么下面我们来，哎，带进去做，好吧？带进去做， 带进去做。具体的点， x 零 y 分 别是零，零点，对吧？分别是零，零点。我们操作 好，我们把它写下来，就是这样子， x 零是零 y 零，所以就是 x 去零， y 去零，然后 f x y 就是 f， 呃，这个 x 零就是零，加得来 x 零加得来 y， 就是 得来 x 得来 y， 减去 f 零，减去 f x 一 撇零，零偏倒 啊，乘以得 x， 加上 f y 偏倒，乘以得来 y 除以 u， 我 们也可以用 u 来表达这个复杂的式子啊，就这个字面量的增量好，那么下面带进去，带进去会是什么样子呢？极限 x 去零， y 去零，然后 f data x data y， 那 么我们就把它带到原式里面，在这个式子里面，无非就把 x y 变成了 data x data y， 对 吧？那么它就变成了它，大概就变成了这个 data x 的 平方 加 data y 的 平方，对吧？ sine data x 的 平方加 data y 的 平方， 分之一，对吧？分之一，然后减去什么呢？减去后面，上面已经把这个偏导求出来，等于零，所以后面这一项就是零乘得 x， 零乘得 y， 就是 零，对吧？再除以这个 u u 就是 根号下 data x 的 平方加 data y 的 平方， 对吧？那么这里，这里是它的平方，这里是开根号，所以约掉个根，相当于约掉个根号，它就变成根号了，对不对？它就变成根号了啊？ x 去零， y 去零啊，这里是 x 去零，这里是 y 去零， x 去零， y 去零了啊，这里也是 x 去零， x 去零， y 去零了啊，这个写错了。嗯，好，那么它去零，那么它们两两个就是零，加零就是无穷小，无穷小乘以小于无穷小，所以它等于零， 所以结论是什么？结论是它可微，对吧？它就等于零的可微，所以这里面对于可不可微，关键是理解这个可微的表达式是什么意思？很多同学记不住，记不住，你必须理解它的意思啊，必须理解它的意思啊，余量除以重量的增量，对吧？ 啊？那甚至如果是你想变通一点，其实都没必要去点这个，你就是这个，就是这个，前面这个音变的增量除以这边的增量，就没有后面这一项啊，这是我的理解啊，如果没有这么一项，那么应该怎么应该怎么样？应该等于同结无穷小，对吧？ 等一个长数，如果他们相处等一个长数，那么说明他们是鸿沟。无胸小也可以以贫待贫，对吧？那，那这个可能有的同学就不理解了。好，下面我们来到偏导数，连续偏导数。连续是什么意思啊？我们先要理解啊，不然的话你就没法进行。 首先我们知道连续，什么叫连续？连续就是极限值 啊？我们我们写二元的，好吧？写一元的，那么极限值 f x， 它等于 x 小 于 x， 零等于函数值，对吧？那么对于多元也一样要它的极限值等于函数值，一样的，所以要把它的极限值求出来，那么先得先得把它的函数函数表达式写出来， 所以偏导数连续，那么偏导数这个导数，这个导函数我们先得求出来，那跟他跟偏导数存不存在不同？偏导数存不存在是定点导数，用定义，对吧？我们偏导数直接就对它求偏导， 对它求的偏导，它不是关于零零这个点，我们在非零零这个点直接求偏导，所以这里这时候我们就有，呃，偏 z 偏 y 偏 z x， 对 吧？ 那，哎，偏 z 偏 x， 那 么它等于什么呢？它当它不等于零零这个点的时候， 那么它就是我们前面那个式子，前面这个式子对 x 求偏倒， y 为常数，常数求倒就就就为零了，对吧？所以这里求到前倒后不倒，前不倒后倒，对吧？这里是二 x， 然后三引它，然后这里是前不倒， 这是他，对吧？在乘以后面他他就倒，所以整个球球来会怎么样子呢？整个球球来应该是会变成前倒后不倒 c x 平方加 y 平方分之一，加上前不倒后倒，前不倒后倒就是，呃， 这个前不倒是多少？前不倒是 x 平方加 y 平方，对吧？ x 平方加 y 平方啊，我写一遍啊， x 平方加 y 平方，嗯，然后后倒后倒就是 sin x 平方加 y 平方，那么就变成了 cosine x 平方加 y 平方分之一，而这个里面再求倒，那么它这个分式分式求倒，就是 负 x 平方加 y 平方的平方，对吧？再对 x 就 导二 x 等于二 x 啊，所以这里面就可以怎么样约掉啊？这里本来是加啊，本来是加，所以我就写加吧这个符号在这里，我本来想留个符号，就把这个符号放在前面的，这个多此一举呢，那么这就约掉了，这就约掉这个二了，那么就是减 x 平方加 y 平方分之二 x 啊，好得到这个表达式呢。 那么同理偏这篇 y 啊，你就无非就写成二 y sine x 平方加 y 平方分之一，减去 x 平方加 y 平方，这个 x 变成 y 就是 了。二 y cosine x 平方加 y 平方分之一，对吧？就这样子的啊，我们不需要重新去算一遍啊。 好，这两个式子是 x， 呃和 y， 它不等于零零这个点的时候，对吧？不等于零零这个点的时候表达是这样子，下面我们就给它求极限，相当于求极限，下面极限偏，呃，这两个式子，对吧？就偏这篇 x 啊，那么就是 x 去零， y 去零，对不对？去零，那么这个情况会怎么样？会怎么样？我们来看它去零的时候，无穷小乘有个变量是无穷小，但是这里面是什么？这里面是一个 x 平方加 y 平方，它趋于什么样？它趋零的时候零零分之二 y。 有的同学不理解这个地方，这个极限，我来讲一讲细节啊，我们看 x 平方加 y 平方分之二 y， 然后那么， 哎，我一眼就看出来它是一阶，它是二阶，所以应该是五，这个零分之一是无穷大，那么你看不出来的话，我们 主要看 y， 因为分子只有 y， 我 把 x 不 可不管。好吧，你以为的是 y 平方分之二 y， 那 么约掉一个 y， 约掉个 y， 那 么就是 y 分 之二 y 分 之二，这是什么？无穷大， 何况你还加个 x， 对 吧？还加个 x 啊，所以它就是属于无穷大，那么这个极限就怎么样？不存在，对应上面的也一样不存在啊，我只是那里有，有话了我就没在上面讲， 所以这个极限是不存在的，对不对？不存在，更不存在说极限值等于函数值，它极限的不存在啊，所以它这里怎么样？导函数不连续啊，结论就是不连续。 好，这里难，难关很多啊，就即便这么个小地方都是个难关，可能你算到这里，但是你判断不出来，这都有可能，对吧？所以这道题就是一道典型的 多元函数的概念题，我们需要理解什么是偏导数存在，那么它是个定点。导数问题需要用到定义什么是这个可微可微，那么你需要用以直代趋或者以平代趋来理解里面的三项，那就是 自变量的增量跟因变量的增量的关系问题啊，因变量的增量得到，这跟自变量的增量的关系问题，对吧？啊？这个你要必须要这么来理解这个公式，然后在这偏导数连续，就是对，偏导数连续这个问题，就是首先你要把偏导数求出来，再去求它的极限，对吧？啊？ 哎，反复咀嚼，有这种题你没做对，你现在听完讲之后你再来一遍，过两天再来一遍，你来的五遍十遍你就会搞懂啊你，你指望一遍搞懂那是不可能的啊，我自己当初学的事也像个傻子一样啊。 呃，团团转搞不清，然后非常焦虑，然后脑袋里面这个很难受。那其实是没必要的啊，那就是要五遍十遍，这么这么倒下来搞下来的。那啊，这个点是你必须搞清楚的，因为极有可能考， 反正你做整理总是会碰到啊，不然的话你就会脑袋里面很自豪，我们一定要要要要去掉这种自自我消耗。好吧。
80一分钟考研数学
03:27查看AI文稿AI文稿法考进行到五月，还是只敢听课，不自觉逃避刷题怎么办？哈喽，大家好，我是在校期间一战通过的法考，并且顺利拿到了 a 证。我高效上的秘诀就在于五月这个关键节点，我学会了如何通过做题把抽象的法学概念转变为面对题目的条件，反射手感。但是我也知道 法考题量非常大，并且一轮会普遍存在错误率高的问题，以至于很多人只敢听课而害怕刷题。所以 今天就来和大家分享一下如何克服这种心理，建立属于自己的刷题 sop， 都要精准高效的通过刷题来提分。首先跟大家强调下五月的节点， 因为我们最迟六月是要开始二轮刷题的，所以就是我们刷完一轮题的最后第二把考三分靠学，七分靠刷题，所以不要因为正确率而恐惧刷题，一轮刷题就是用来给我们犯错的。 首先呢，做题要讲究正确的答题，每学完一节课程就应该马上做对应章节的题型，这样把刚学到知识点进行恐怖。 如果害怕正确率低而打击信心，可以像我这样用觉想法考的知识突破，先去筛选 a、 c 类的题目。刷这类呢是我们基本听完课后就会做的简单题，不会考我们大量理解或者很多复杂的考点， 在第一步就让我们构建了信心，并且这部分知识点都是中高频的考点，我们刷了就能提分的。比如民法里面的合同解除权的形式解除的后果，刑事变更这种七类知识点，二零二四年正题就考过一次，二零二一年正题和二零二二年全都考了，我们把这类题型吃透，就能稳拿这道题的分数。 所以在做题时，我们应该把重型放到高频且简单的考点题上，毕竟法考属于及格型的考试，所以我们要把高频的重要考点牢记于心，对于生僻且困难的考点，既会打击我们的学习信心，此刻呢，又会降低时间利用率，就快速过一遍就好。 在觉晓法考 app 中，就通过知识图谱为我们分析历年专题，做了科目及知识点分类，并把每个知识点按照考察频率及难易程度划分为了 a、 b、 c、 d、 e 五个等级。其中 a、 b、 c 类为必做考题， d 类为选做， e 类呢则为可放弃的考题。 通过这样明确的分类，可以让我们明确刷题的重心，让我们在有限的时间里选择最具性价比的题目进行刷题，也很好的改善了我们面对大量考题时无所下手的焦虑备考心理。 刷题呢，就可以按照 a、 c 大 于 b 大 于 d 一 这个顺序来刷，这个顺序呢，既能保证我们做到抓大放小，不漏掉基础分，保证过线也能牢抓 b、 d 这种稍微有点难度，还能帮我们拔高题，而且里面题都是真题和优质的模拟题， 足够我们去刷做错的题目呢，也会自动归类到错题本里，方便我们二人去对错题进行再次的复反分析。同时每道题目诀窍都搭配了视频和文字解析。 除了传统的这两种解析方式，诀窍还推出了 ai 问答，我们可以针对某个难以理解的选项再进行多次提问，非常有利于我们对知识点设透即劳，也为我们节省了大量的复习时间。呃，最后，我觉得法考最关键的是要有自己的节奏，学会抓大放小，合理去设， 把能够拿到的技术分先拿到，不要因为做题正确率低而产生畏难心理题做多了，我们自然就能形成自己的知识框架。面对客观题要反复研习正题，主观题呢，就要多动手实战。最后，最后， 呃，就是要有信心和平衡的心态，法考不仅是考智力，更是考耐心，把握好学习节奏，坚持考完最后一场就已经战胜很多人啦！最后呢，希望大家都心想事成，一战上岸，加油！
46吉娃娃教徒
05:51查看AI文稿AI文稿这个概念题我们一学就会，不学还真不会。我们来看是 f u 为连续的偶函数， a 为常数，则这些积分之后，它是奇函数还是偶函数？也就是说， 这个函数积分求导它的奇偶性到底是怎么变化的？我们给大家讲一个明确的结论啊， 这个结论是这样子的，连续的奇函数，它的一切元函数都是偶函数啊，奇函数，它的元恒啊， 它的一切元函数都是偶函数，而连续的偶函数，它的一切元函数只有一个奇函数 啊，而这个奇函数还只能是以零为下限的啊，以零为下限的，例如零 a f u， d u 等于零啊，这就它的一个原函数。好，好，那我们下面来， 我们先来看 b， 好 吧，看 b， 那 么这个 f t f t， 它就是 fu 嘛，这个 u 跟 t 使用 u 还是使用 t， 跟字母没关系啊。 f t 它是一个偶函数，那么我们把它进行积分，做做成个变现积分， 我们一个函数啊，我们举例，例如 x 平方，它求倒 x 平方，这个偶函数，我们都知道平方向嘛，求倒等于二 x 的 奇函数，反过来 x 平方积分， x 平方积分，那么就是三分之 x 立方，对吧？三 x 平方就除以三嘛，那么 那么这个三 x 频三 x 立方，它就是一个什么？它就是一个呃，奇函数，但是三 x 立方加 c 加任何一个 c， 它都不是奇函数了啊，也就说我们画一个，画一个图，你看三 x 立方大概长这个样， 对吧？大概长这么样，对称的啊，圆点对称，那么就奇函数，但是你加个 c， 又加个 e， 它就挪到上面来了 啊，你减个一，就挪到下面来了，它就不过圆点了，不过圆点就怎么样，就不是减函数了，所以它只有这个不加 c 的， 也就说以零为底，以这里，呃，以零为下限的这么一个。 哎，哎，假设这里还写 x 啊，这两个 x 有 点混啊，这就变成 t， 那 么他这一句函数要清楚，就是这个这个情况啊。好，那么，哎，我们这只是什么？这只是多项式，多项式，或者说密函数，我们这里写的是密函数， 但是不管你是对于密函数，对于指数函数，对于对数函数，对于三角函数、反三角函数，都是一样的，都是符合这个规律的，就是 偶函数的导是奇函数，偶函数的积分是奇函数啊，就奇偶奇偶，它总是这样子，这样子间间隔的，但是要注意它这里加 c 这个问题，加 c 这个问题，使得它它就不是奇函数。好吧， 好，我们来看，这就容易了。对于 b 选项，这个 f t 是 偶函数，那么它积分就应该是奇函数，对吧？但是由于这里是 a， 这里 a 不 一定为零，对吧？不一定为零，所以它不一定为奇函数，不一定为奇函数，但是呢，它再去积分，它就会变成偶函数，所以这不可能是奇函数，这，这是错的。 好，那么这个 f t 是 什么？ f t 是 偶函数，乘以一个 t， t 本身是奇函数，所以它整体呈现的是奇函数，奇函数积分变成积分，这就变成偶函数。偶函数再变变成积分，它就有可能是奇函数，有可能不是奇函数，因为这是 a， 所以 它就不太不可能是奇函数。 不确定是不是减数，对吧？啊，它只有这里为零，就确定是减数，对吧？好，那么 c， 我 们这个 t 乘 f t 是 奇函数，对吧？奇函数这里就变成了偶函数了，积分积分，偶函数，再 再积分变成积分，这里是零，它就是奇函数了，所以 c 是 对的， c 是 对的。而第一呢， f t 是 偶函数，偶函数积分变成奇函数变成是零，是个奇函数，奇函数积分就变成偶函数了。至于这里是不是零偶函数不要紧，对吧？但是这是奇函数，错的， 所以搞清楚了吧。啊，那么这道题我们给大家明确这个结论就是我们的函数，那这个相当于爷爷、父亲、儿子、孙子，对吧？啊，这样子一路下去，你是偶，它就是积，你是积，它就是偶， 你，你是偶，它就积，总体是这个规律，但是要注意到，它如果是通过积分来的，这个是零还是还是不是零，就会影响它是不是积函数，对吧？ 所以说奇函数的原函数一定是，呃，偶字写个应该是偶函数啊，写个韩字，奇函数的原函数一定是偶函数，但是偶函数的啊，字也写错了，呵， 偶函数的原函数只有一个奇函数，并且以零为下限的这么一个情况，奇偶奇偶相相通，那么如果你这个结论你也记得不是那么清楚，你大致应该知道，你随时可以举一个 x 平方这样的例子， 他久倒，你就会发现，久倒就变成了儿子嘛，对吧？变成儿子啊，然后再积分就变成了爷爷啊，或者说儿子就变成孙子，孙子就变成父亲，这样子。一个呃， 夫妻关系图相当于，是吧？啊，所以这个逆函数是最好来理解的，随时可以举例的啊，因为 x 平方是五函数，二， x 是 奇函数，三分之 x 逆方是奇函数，这些你是非常清楚的。好吧，这道题学到东西了吧？ 肯定学到了啊，这个这样的概念题，如果说你不掌握这样的，其实重点是掌握这个例子，你不掌握这个例子，你心里没这个概念，你会去死记这个你很难记我已经，其实我也不记得。说实实在的啊，但是我随时可以这么想好吧， 以及加个 c g 往上下移动的，这个是非常非常好理解的啊。好，大家点赞关注走一波。
56一分钟考研数学
