辽宁省人教版八下数学一次函数测试卷
各位八年级的家长朋友们大家好，我们继续更新八下数学期末重难点系列。我们今天来讲整张试卷最拉分压轴题必考的一函数，也是在我们整个中考试卷中最重要的函数部分。 八年级下册数学真正拉开高分和普通的分的不是几何，而是一函数。很多孩子认为一函数就是画图像带数字，看似简单，但是我们期末压轴 题全部出自这一张，包括我们的中考压轴题也都是函数部分。今天我们一分钟讲透期末必考的基础重点和压轴题核心套路。 首先丢分的三大坑也是我们全班最高频易错点。第一个就是看不懂 k 和 b 的 性质，我们 k 决定的是增减性， b 决定的是与 y 轴的交点。很多孩子做题只会算不会看图，选择题、图像判断题 b 错。 第二个就是不会求自变量的取值范围，尤其是在我们的实际应用题里面，形成问题，利润问题，孩子们经常忽略。 x 大 于零，整数取值区间扣分反而就非常可惜了。 第三个就是我们的待定系数法，步骤不标准，大题做题不带设代解，写四步，结果对步骤缺，照样会被扣不过成分。所以家长们一定要重点注意，我们一函数真正的难点全在期末压轴大题。 八下期末必考三大压轴题型，我给大家总结清楚。第一个就是我们依次函数和几何面积的综合，求三角形面积、动点变面积、 已知面积求坐标，这是我们期末必考大题，套路也是固定的。第二类就是我们的两个函数焦点与不等式压轴，很多孩子看不懂图像，不会看图解不等式，谁在上谁跟大，完全搞反填空压轴，反而最爱考这类题型。 第三类就是我们的一函数实际应用题压轴很多，包括跟我上课的家长都跟我反映我们的一函数实际应用问题，不会我们的行程追及问题，分段计费利润最值，是我们八下期末最难分值最高的难题，孩子读不懂图，看不懂拐点，不会分裂， 分段列式直接丢十几分。而我们的一函数又是初中函数的一个入门，也是我们九年级反比例函数、二次函数的基础，如果这里学不透的话，我们初三函数综合题基本跟不上，因为我们中考大题里面一次函数只是二次函数的一个辅助，会集合二次函数去 考，如果一函数都学不懂，那么二函数会成为一个重难点问题，成为我们的一个很大的漏洞。所以期末复习函数不要盲目的去刷题，我们要抓牢图像的性质，吃透三类亚洲模型，练熟我们的应用题套路，期末数学才能真正的稳拿分，冲刺我们的顶尖分数。
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05:01查看AI文稿AI文稿e 函数这里呢有十大必考题型，其中有一类呢就是 e 函数与将军夜马问题，咱们一起来看一下这道题目。已知直线 y 等于二分之一， x 加 b， 经过点 a， 点 a 的 坐标是四三，与 y 轴交于点 b， 那 么 d 问求点 b 的 坐标， 第一问很好求呀，你把点 a 给它带进去，求一下 b， 所以 就有二分之一乘以四，加 b 等于三，那么 b 等于一， 所以这个一函数的解析式就是 y 等于二分之一， x 加一。 好，它现在要求点 b 的 坐标，那么点 b 是 谁呀？是它与 y 轴的交点，与 y 轴的交点就是令 x 等零，那么 x 等零的时候， y 等于一， 所以点 b 的 坐标是零一。好，第一问很简单，那么接下来看第二问。第二问说，若点 c 是 x 轴上的一个动点， 当 a c 加 b， c 的 值最小的时候，求点 c 的 坐标。好，那你来看啊！我们先来看一下 a 和 b 在 哪 点 a 的 坐标是四三，对吧？你看这是一二三四四三，就说点 a 是 不是大概在这个位置呢？好，那么 b 呢？ b 点的坐标是零一，哎，就是点 b 是 不是大概在这个位置？ 好，他现在说啊，说点 c 是 x 轴上的一个动点啊，这个点 c 在 x 轴上在动啊，那假如说啊，假如说 c 在 这个位置，我随便换一下，假如说 c 在 这个位置，他现在要求谁？ 要求 a c 加 b， c 的 最小值？要求两个线段之和的最小值，这是什么呀？这是将军一马问题，对吧？那我们说将军一马问题，应该怎么做呢？ 是不是做对称点，对吧？你做点 a 的 对称点，或者是做点 b 的 对称点，哎，把其中的某一条线段是不给他转化到 e 侧来。 好，那假如说这里头我做点 b 的 对称点吧，因为它好做，因为点 b 的 坐标是零一嘛，对吧？所以我做它的对称点是 b 撇，那么 b 撇点的坐标就是零 负一，对不对？好，那么你看啊，你做完对称点之后，你把 c b 撇，关于 x 轴对称，所以 b c 是 不是等于 b 撇儿 c， 对 吧？那么你现在求谁？你要求 a c 加 b c 的 最小值，那不就变成了 a c 加上 b 撇儿 c 的 最小值了吗？对吧？ b c， 我 就转换到 b 撇儿 c 这个位置来了。好，那么你看一下啊， a c 加 b 撇儿 c 什么时候最小呢？ 根据两点之间线段最短，所以我在这儿呢，是不是直接连接 a b 撇儿， 对吧？也就是说当点 c 在 这个位置的时候， a c 加 b 撇儿 c 最小， 那么它的最小值是谁呢？它的最小值就是 a b 撇，但是这里边有没有让你来求最小值呢？没有，让你求最小值，他说求这个值最小的时候，点 c 的 坐标最小的时候，点 c 不 就在这儿吗？ 对吧？那么它是 a b 撇这条线与 x 轴的交点，那你要求这个焦点，你是不是要算一下它的解析式？那假如说我设 a b 撇这条直线，它的解析式是 y 等于 k， x 加 b， 那 么点 a 的 坐标是四三， b 撇的坐标是零负一，我把这两个点给它带进去，就是四， k 加 b 等于三，那么 b 等于负一，所以 k 是 一嘛。 那么这个一次函数的解析式啊， a b 撇的解析式就是 y 等于 x 减一，那么 点 c 是 它与 x 轴的交点， x 轴的交点就是令 y 等于零， y 等于零的时候， x 等于一，所以点 c 的 坐标是 一零。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的这套期末考试的必刷题拿去练习，轻松解决这类问题。
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17:33查看AI文稿AI文稿hello， hello， 我 又来了！今天咱们来分享的是一次函数压轴题，关于啊 k 型全等啊，或者叫一线三垂直模型，一线三垂直，一线三垂直模型在函数中的一个应用。 什么是一线三垂直呢？那我们来看这个题中给的例子，如图一。呃，此题呢，给的是一个等腰的直角三角形 a b c a c b 呢，是九十度， c b 和 c a 是 相等的， 然后又过 a 点向 l 做了一个垂直，过 b 点也做了一个垂直。那么在 l 这条直线上是不是有三个垂直？一线三垂直？那一线三垂直也叫什么？ k 型全等，为什么叫 k 呢？那我们看到这 a c 和 bc 加上这个直线 l 是 不是像躺着的一个 k， 对吧？所以它叫 k 型，什么全等？那全等在哪呢？在这，因为它是等腰三角形，所以 a c 和 b c 呢，是相等的。然后我们这有个经典一二三啊，如果这标一个角一角二的话，这有垂直关系，所以角一呢，加角二是等于九十度的， 然后我这个位置再标一个角三啊，而在这个直角三角形中呢，角一加角三呢，又等于九十度，所以呢，我们就会获得角二和角三的一个相等关系， 角二和角三是相等的，那这样呢，我们有了一对两个角对应的是相等关系，还有一条边，所以我们可以用角角边来说明两个三角形 a， d， c 和这个三角形，这个 c、 e、 b 的 全等啊，这叫一线三垂直模型的全等， 也叫 k 型全等。那我们把它应用到这个实际问题，也就是函数当中，怎么去应用呢？我们来看此题，他说把这个知识进行迁移了，如图二 说的是在直角坐标系中， l 一 的作解析式为 y 等于二， x 加四，分别与 y 轴和 x 轴呢，交于 a 点和 b 点。那么我们通过这个解析式啊，可以求出什么呢？ 只要他给你解析式了，所有的函数都是一样的，我都可以求出与 x 轴的交点和 y 轴的交点，与 x 轴的交点，咱就令 y 为零，因为 x 轴上所有点的总坐标都是零， 然后与 y 为 y 轴的交点，咱们就令 x 为零。那么由此呢，我们就可以推出它的这个具体的 o a 和 o b 的 长度了。那我要求 o a 的 长度，我们就令 x 等于零，那这个 y 是 不是就得四，那我获得 o a 的 长度就是四， 然后我想求 o b 的 长度，那其实就是求出 b 点的坐标啊，那我们就令 x 的 零，另外得零，另外得零，那我可以获得二， x 加四 啊，等于的是零，那 x 求出来是负二，那 b 点坐标就是负二零，那 ob 的 长呢？就是二。第一问我们就解决了， 然后再看第二问，第二问呢，他说在第二象限内呢，构造了一个什么等腰直角三角形，哎，你看等腰直角三角形，它是不是就相当于把这个给立起来了，把这个垂直模型给立起来了。然后那我这块是不是有一个天然的垂直，就是平面直角坐标系，两条坐标轴是互相垂直的，它是不是相当于就是过这个 一线三垂直？这里面的这个等腰直角三角形的两个底角顶点向 l 做垂直了，对吧？啊，那在这呢，我不得不说一下啊，这个一线三垂直模型我们再去应用的时候，做辅助线的技巧是什么啊？做辅助线的技巧是过这个 等腰直角三角形，两个底角的顶点向过直角顶点的直线做垂直，这是一种情况，还有一种变式的情况是这样的， 这是一个等腰直角三角形，如果我的这条直线在这个位置上进行旋转啊，旋转旋转到中间这个位置的时候，那么我再去做垂直呢，可以过这个直角顶点向这个轴做垂直，这也是一样的做垂直，那这也是 一线三垂直模型，这块有个垂直啊，加上这个是 c a b， 那 这个是 m， 这个是 n， 那 么这块这个三角形也是具有着全等的关系的啊。 好了，那回到这道题，那所以这个题呢，就相当于实际上就把这个模型给它立起来了，那么我要想去求出这个一点的坐标的话，也是一样的，我是需要知道它到 x 轴和 y 轴的距离的，所以呢，我们向这个 l 呢去做垂直， 向 x 啊去做垂直啊，向 y 轴做垂直，然后向 x 轴做垂直好了，那么在这我们会看到这个位置上是不是就有一个一线三垂直的模型，就把它立起来了，那所以通过第一问的解释，我们可以知道这两三角形就是全等的，那么也就可以获得这个长度呢，就是二 啊。但是这个点为 m 点，那 a m 就是 二，这个点为 n 点的话，那因为 o a 是 四，所以 e n 的 长和 m o 的 长是相等的，就是六啊。然后呢， e m 呢和 a o 是 相等的，就是四，这全等对应边相等获得的。那因为 e 点在第二项线，所以它的坐标呢，就是 负正，那就是负四正六。哎，第二问，那我们就求出来了，然后我们再看第三问，第三问呢，他将这个直线 l 一 绕 a 顺时针旋转了四十五度，得到了 l 二，让我们求 l 二的解析式， 那我们知道求解析式，那就用什么方法代定系数法，而求一次函数的解析式，如果不是过原点的正比例函数的话，我们是需要带两个点的，对吧？那图当中呢，是给了一个点，这个 a 点我们是能确定的了，所以咱们还差一个点，那这个点我们如何去搞定呢？ 看原题，顺时针旋转四十五度，看到这四十五度会想到什么呢？等腰直角三角形。 所以其实也是因为受到了前面一二两道题的做题经验，我们会想到，如果我想求 l 二上的某个点的坐标，是不是可以尝试利用一线三垂直的这个模型呢？所以我在这这道题第二这道题的做法不唯一啊，那我的做法是过 b 点呢，做了一个什么？垂直 垂直于 a， b 交 l 二于 c 点，这是第三问啊， 做 b c 垂直 ab， 将 l 二于 c 点，然后我们会看到，这如果有一个等腰的直角三角形，你看这是 它旋转四十五度嘛，那所以这是四十五度，这也是四十五度，这尤体也可知了啊。那么这个位置上是不是就过 a 点，像过顶点 b 的 直线 x 轴，相当于有个天然的垂直，所以我不妨过 c 点，我也再做一个垂直这个点呢，我们给它设成是 n 点吧， m 点吧， m 点啊，所以我过 c 点，再做 c m 垂直 x 轴啊，与 m 点。 好了，那我要想求 c 点坐标，其实就是求出 c m 的 长度和 b m o， 应该说 m o 的 长度，那我要想求这个长度呢，我就需要证明什么？这两个三角形怎么样全等？因为我现在知道的边是 a o b o， 我 们是确定的，对吧？哎，所以我们就通过这个全等关系就可获得了，那我们来证明一下啊，那因为 将直线 l 一， 将直线 l 一 绕 a 点顺时 针旋转 四十五度，得 l 二，那所以我们就可以获得角 c、 ab 就是 四十五度， 那如果它是四十五度，是不就可以获得？你这是直角，那这是不是也是四十五度？那所以角 b c、 a 就 等于九十度。减角 c a b， 那 也是四十五度，那两个底角都是四十五度。三角形 c、 b、 a 为等腰 直角三角形， 那若其为等腰直角三角形，咱们是不是就可以获得 bc 和 b a 相等， 然后这样证。证明它的方法我们需要写一下啊，这儿标角一，角二，角三啊，那因为我们做了这么多个垂直，所以那角 c、 m、 b 是 不就会和角 a o b 还会和角 c、 b、 a 相等，都是九十度， 那由于这个九十度关系，我就可以获得角一加角二，这个是角一啊，这个位置的是角一，这个位置的是角二啊，角一加角二等于九十度，然后角一这个位置啊，是角三，角一 加角三等于九十度，所以可以获得角二和角三相等，那么我们就相当于证了一组边等两个对应角等。所以什么三角形 c m、 b 全等于三角形 b o a， 我 们利用的是角角边。证明好了，那所以就可以获得谁呢？ b m 就等于 a o， 那 它的长度就是四，然后 c m 就 会等于的是 ob 啊，那它就等于二，那么由此咱们也就写下写这面了啊，由此我们就可以获得 m o 呢，是不就等于的是 b m 加上 ob， 那 它就是六， m o 的 长度就是六，那所以获得 m 点坐标， c 点的坐标啊，那 c 点的坐标呢？就是横坐标为负六，纵坐标呢？和 这个 o b 的 长度相等的，所以它是二啊， c 点坐标我们就求完了。那如果有 c 点坐标和 a 点坐标了，那接下来咱们是不是就用待定系数法把 a 点和 c 点代入到直线 l 二的解析式中就可以了啊？那所以 我们设 l 二解析式 为 y 等于 k， x 加 b， 这个 k 是 不能为零的，那因为图像经过 a 点啊，因为 o a 是 四，所以 a 点坐标是零四啊，还有 c 点，刚才咱们求完是负六二 啊，那所以我们就可以给它用待定系数法带入进去，那求出是 b 等于带入完是 b 的 四。负六 k 加四呢，是等于二的，所以我可以获得 b 的 四啊， k 呢，就等于的是三分之一， k 的 三分之一。那由此呢，我们就能获得直线 l 二的解析式为 y 等于三分之一， x 加四。那这样呢，我们就得到了第三问的结果啊，直接解释就有了。好了，第四问，咱们一起来看一看。 第四问的有点和我们前两天刷的题有点像啊，它也是找什么形啊？正方形。那我们说如果找四边形的话，一般情况下我们都是找给出的四个点中两个定点 所在线段分别为边，分别为对角线，咱们进行分类讨论就可以了啊。所以第一种你看啊，这里他说直线 a、 b y 等于二， x 加八与 x 轴 和 y 轴呢，分别交于 a、 b 两点，所以这个解析通过这个解释呢，我们是可以求出 a 点和 b 点坐标的啊，我令 x 得零，求出 b 点坐标是零八，我令 y 得零，求出 a 点的坐标是不是零？ 嗯，好了，那这个问题我们解决之后，他说以 a、 b， 然后 c、 d 是 我们不确定的点啊。呃，为顶点，向这个做这个正方形，问你是否存在，直接写出地点坐标， 那存不存在？那咱们就看呗，它还有个条件一定要注意啊， c 点是在第二象限内的，那所以我们这个结论就相对来说被这个条件给限制住了啊，就没有那么复杂了。那第一种情况呢，就是以 ab 什么为边为正方形的边，我们去做一个正方形啊。那因为 c 点要保证是在第二象限，所以我在做正方形的时候呢，这么做。 但是呢，我们想啊，那 c 点 a、 b、 c、 d 对 不对？你它它没有说的是。呃，它没有把这个四个点啊，按顺序给你写出来，没说正方形 a、 b、 c、 d， 所以 这个 c 点的位置呢，它可能是在这的，是不是也可能在这？那对应的地点是不是有可能是它，也有可能是它？就这两种情况，所以我们就根据这个正方形的一个关系，我们把这个地点做，把这两个点坐标求出来就可以了，它都是 d 点的存在啊。好了， 那我们怎么办呢？那你会发现，借着我们前面做题的例子，你看我把这线一连，把 a d 一 连，是不是就是这个图二啊？对吧？所以我们在做的时候呢，就过这个 d 点啊，向 x 轴和向 y 轴做一个垂直，那么这块形成的两个三角形就是全等关系。那 也就说明，假设这点我设成是 m 点的话，那么 m、 d 呢？就会和 b、 o 是 相等的，这点为 o 啊， 三角形它是全等的，那所以这个是八，那这呢就是八啊。还有的是 b m 会和 a o 等，那这个就是四。所以我首先先求出的地点的坐标就是横坐标，因为它在第二项线上啊，所以横坐标长度是八，那但是它在第二项线，那就是负八。然后纵坐标呢，就是 向 x 轴做垂直，那实际上和 m o 长度是一样的，那就四加八是十二。这第一个地点我们求出来了，那第二个地点是不一样的道理，我也过这个点，向这个轴做垂直呗，对不对？哎，那这块这个时候又形成了一线三垂直，这个我要连接 b、 d 的 话，你看是不就这个模型，对吧？哎，然后 这俩三角形是全等的，所以假设这一点为 n 的 话，那 a n 就是 八，那 d n 呢？就是四，对不对？哎，所以我们就可以求出第二个点的坐标， d 点的坐标 横坐标就是八，加上 a o 是 四的话，是十二，长度是十二，但因为在第二象限，所以它的横坐标是负的，正十二，负十二，然后 d n 的 长度呢，是正四啊。好了，这是第二个点，那第三个点在哪呢？ 那这个时候呢，我们就是第二种情况进行讨论了啊，那就是以 ab 为什么对角线的时候 ab 为边，我们讨论完了，接下来我们讨论以 ab 为对角线时，会是什么样的情况。 若以 a b 为对角线，因为正方形，它的对角线是互相垂直平分且平分每一组对角的，而且还相等。正方形的这个对角线，它的性质是比较多的啊，那我们把它做一个什么呢？哎，做一个垂直，我们做的不好看，我重新画一下啊，做一个垂直平分 a b， 找到这个中点，然后我们做一个垂直平分 a b， 并且呢和 a b 长度相等的直线，然后我们连线， 大概吧。啊，那这样呢，我们就得到了这个正方形，由于它要求 c 点必须在第二项线，那所以我们要求的这个点 d 点就在这了。 那同样道理，其实呢，我们就把这个三垂直，你看这个 b a 是 对角线的话，那你看我这个等腰直角三角形是不是就在这个位置上，对吧？哎，那实际不就相当于把刚才咱们做的这个这个图形往右移了移吗？对不对？那所以我不妨呢，就过这个地点呢，做一个垂直于 x 轴的直线，然后过 b 点做垂直啊， 这块也是垂直，这样是不是又形成了一个嗯，一线三垂直的模型？那此时我这两三角形是不是就是全等的，对不对？好了，那既然是全等的，我要我要求地点坐标，我不妨就设它为横坐标，设成是 x 啊，那 横坐标设成 x 的 话，这个位置就是 x 啊，嗯，那这呢也是 x o， 假设我这点为 m 点，这个点为 n 点吧，那 o m 呢，就是 x 啊，然后呢，因为全等关系啊，所以呢，我这个 n d 是 不和 a m 相等的， a 点的坐标是负四零，所以 a m 的 长是四加 x， 所以 n d 是 四加 x 啊。然后还是因为全等 dm 和这个 b n 呢是相等的，所以这个位置也是 x， 那 由此呢，咱们就得到了一个关系，什么关系呢？因为我们知道 b 点的坐标是零八对不对？那所以它这个竖着相加，它的高度是不应该是八啊？为什么会想到这个点啊？老师说一下。 原因是我设的未知数为 x， 我 想求 x 的 值一定是方程思想，那我想用方程的话，我必须找到一个等量的关系，而题当中明确的数据，等量的关系只有两个，一个是 a o 的 长度，一个是 b o 的 长度，而 b o 呢，和 n m 是 相等的，所以我以它为等量关系啊，我们才可以求出来。 那第二种情况就是以 ab 为什么对角线了啊？为对角线，那这样我做一线三垂直的话呢，我们可以获得四加 x 再加 x 啊，四加 x 再加 x 可以 获得它的高度就是八，那我 x 求出来就是二啊。如果 x 是 二，因为 d 点的纵坐标，其实我们会发现它是跟 b n 相等的，它也是 x， 那 所以 d 点的坐标就是二二。 那么也就是说存在这样的点，存在几种情况呢？这样三种情况，那这道题呢？我们通过这道题可以知道，如果是正方形的话，我们可以通过一线三垂直的模型来去找这个点， 那如果要是平行四边形或菱形的话呢，我们也可以借助什么这个终点啊，利用终点公式来去求，当然他一定会给你一个其他的信息存在的啊，然后去求，比如说求出 c 点了，然后再去求 d 点坐标也是可以的 啊。这块呢就是个 y 的， 给大家往深了说一说啊。但是正方形还是比较好做的，因为正方形它的边相等的多，角相等的多，而且有的角还是特殊角，所以这块呢是比较好处理的。嗯，好了，那今天呢，这个压轴题呢，我们就讲完了啊。 呃，重点我们说的是什么？一线三垂直的这个模型也叫 k 型，全等模型啊。好了，那今天的内容咱们讲到这，你听懂了吗？
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01:40查看AI文稿AI文稿e 函数的增减性是八项期末考试的必考内容，咱们一起来看一下。这道题目说已知 a、 b、 c 是 e 函数， y 等于负 x 加 n 图像上的三点，那么求 y 一 y 二、 y 三的大小关系。 好，那我先把这个 e 函数的图像给它画出来。你看 x 前面的系数是负一，也就是说这个 k 是 小于零的， 那么 k 小 于零的话，这个一函数是应该过的，是二四象限。那如果 n 大 于零，它与 y 轴交在正半轴。如果 n 小 于零，它与 y 轴交于负半轴。如果 n 等于零的话，那么它过远点，那这道题目 n 的 正负对它没有影响啊。那假如说我就把它画在正半轴，你看这是它的图像， 也就是说 k 小 于零的时候，这个 e 函数的图像是一个下降的趋势，那么你看这里边的 y 是 不是随着 x 的 增大而减小， 也就是说你的 x 越大，你的 y 越小。那么你看一下这道题目里边的 x 是 不是三分之一大于负的？二分之一 大于负二， x 越大， y 越小，所以 y 三小于 y 一 小于 y 二，那么选谁呀？ b 选项。今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套一函数必刷的十大题型拿去练习，就能轻松解决这类问题。
125梁老师数学思维提升
11:09查看AI文稿AI文稿人教版八年级下册一次函数求最值的实际问题各位同学大家好，今天呢，我们来看一道一次函数的实际问题，这道问题出的特别好，它包括了二元一次方程组、不等式组以及一次函数的求最值问题。如果说这道题大家可以做出来的话， 这个一次函数的实际问题这一部分基本上就没问题了啊，我们来通过这道题看一下。首先来看题目中所给到的条件， 说是某网店准备购进一批快充的手机充电器和慢充手机手机的充电器进行销售，一个条件一个条件的去看， 首先就是在这个题目里面，它是出现了两个量，一个是快充的手机充电器，一个是慢充的手机充电器，要进行什么呀？销售，那说明这个题他考察的就是销售问题，那大家在这个时候脑子里就要去想，遇到销售问题，我们要涉及到的数量关系有哪些？ 下面来看第二个条件，已知每个快充的进价比每个慢充的进价多二十元，那么在这里有什么呀？有多多少，哎，也就是有和差的问题，那说明如果我们等会要去设未知数的话，可以在这去设一个未知数，根据和差的关系去设未知数啊。 然后购进十个快充和五个慢充需要三百五十元，这两种充电器的进价和售价如表所示，快充慢充对应，哎，我们去看一下进价， 未知的 a 和 b 去表示售价呢，是已知的快充的售价是四十，慢充的售价是十五。然后第一问，让我们去求两种充电器的进价，哎，两种充电器的进价也就是在这儿，那么因为人家已经给到了进价，是分别用 a 和 b 去表示的。所以第一问我们在这儿做的时候， 咱也去用 a 和 b 去表示，那就是干什么呀？设快充每个进价 a 元，慢充呢， 每个进价币元，咱就和它保持一致就行了。现在我们只需要在题目所给的条件里边去找一下 进价它都出现了哪些数量关系。那首先第一个数量关系就在这里啊，咱给他画出来快充的进价比慢充的进价多二十元， 快充用 a 去表示比慢充多二十。所以存在的第一个关系就是 a 等于 b 加上二十，然后看一下，哎，然后够进够进，说明这儿涉及到的也是进价，这是第二个关系，够进十个快充和五个慢充需要花费三百五十元，十个快充的价格那就是 十 a 五个脉冲的价格呢，就是五 b 加起来的和等于三百五十。第一问比较简单，他考察的是有两个未知数，那我们又练练了两个方程，所以对应的是二约一次方程组，我们可以通过加解消约法去解决，也可以通过代入消约法去解决，在这的话这个过程老师就不写了。最后我们可以解得 a 是 等于三十， b 是 等于十。哎，最后我们就求出来了，快充每个进价是三十元，慢充每个进价是十元。那因为题目中给了表格，所以我们在第一问做完以后，直接把 a 和 b 的 值补充到这，方便我们等会去解决第二问啊。 然后第二问咱们再来看，说是双十一的前夕，该网店准备购进这两种充电器，一百个进行试销，准备购进两种充电器，一百个一百。他对应的是咱们销售问题里面的什么呀？数量是两种的，数量之合等于一百， 根据市场需求，快充构建七十五个以上，且快充的数量不超过慢充数量的四倍。问，我们有几种购货方案， 那在这的话我们看第二问，他涉及到的这些关系全部对应的是几个几个？七十五个，不超过数量的几倍，他对应的都是数量，也就是销售问题里面的数量，所以我们只需要去 找数量之间的关系就行了。那么首先咱肯定也是需要去引进未知数，未知数其中一个你设出来，另一个要干什么呀？用带有未知数的式子去表达出来，他关键就在这两个的和是多少？一百。所以说我在这如果设 快充，购进是 x 个，那么我们就可以得到慢充购进的是多少，购进的就是一百减 x 个。在这需要注意一个问题，我们再用这个 字母去表示式子的时候，如果说前面这是一个多项式，后面有带单位，一定要给他带上括号。紧接着咱们就去找这个什么了不等关系来看，这快充需要购进七十五个 g 以上，七十五个 g 以上用什么号去连接？大于等于号， 那么得到的第一个关系就是快充的数量 x 呢？它要大于等于七十五。第二个不等关系，不超过不超过，用小于等于号去列减什么不超过什么呢？快充的数量 x 不 超过慢充数量的四倍，慢充数量是用一百减 x 表示的 就得到第二个不等关系，是 x 要小于等于四倍的一百减 x。 哎，这又是出现了一个什么 不等式组，哎，所以我们去解不等式组，依旧解不等式组的方法我就不说了啊，他最后求得这个 x 大 于等于七十五，这个是 x 小 于等于八十，大小，小大取中间，所以 x 的 取值他要大于等于七十五，小于等于八十。看第二问问的是什么？一共有几种进货方案？ 那么 x 大 于等于七十五，小于等于八十，中间一共是有七十五、七十七、七十八、七十九、八十六个数字，所以共有几种呀？共有六种进货方案， 这是第一问考方程组，第二问考不等式组。然后咱们来看一下第三问啊，第三问说在双十一期间呢，网店开展优惠促销活动，决定对每个快充 售价优惠 m 元，这个 m 它是有一个曲值的，要大于等于三，小于等于十，每个快充的售价优惠快充，它本来的售价对应看过来是多少？是四十优惠 m 元，也就是要在四十的基础上 干什么呀？哎，减少 m 元，那说明此时它的售价就可以表示成四十减五减 m。 我 们就是边读条件，边把我们知道的隐含条件就推导出来写在题目的下面了啊， 然后脉冲的售价不变，那说明脉冲的售价还是多少呀？十五又说在二的条件下，那么二的条件是什么呢？二的条件是咱们对应的 干啥呀？刚才说了只给了数量的关系，那也就是说在这六种进货方案里面咱要去选择，那对应我们还是去设他的什么呀？设他的数量，快充的数量是 x， 慢充的数量，在二的条件下，咱们就对应只能去找数量吗？慢充的数量是一百减 x， 前面第一个条件知道售价，第二个条件知道的是数量。最后说要是销售完这一百个充电器所获的利润最大，应该如何去进货？一旦涉及到什么最大值、最小值，他一定结合的是一次函数去考察，一次函数和不等式 的取值范围，也就是自变量的取值范围结合起来一起去考察。那么涉及到总利润，在这咱们就首先要理解，在销售问题里面，总利润等于什么呀？哎，他等于 他等于单件的利润，哎，就每件商品我的利润是多少，然后去乘总的数量，就是他的总利润。那在这因为涉及到了快充和慢充，那也就是他对应的总利润呢？是等于快充的总利润加上慢充的总利润， 快的利润加上慢的利润，我们这样去分析。紧接着对于这种问题，我们如何去写这个过程啊？第三个，咱们把这个过程去写一下，那在数学里边 w 的 那个利润呢？咱们通常用 w 去表示，那也就是，呃，需要咱们先把这个未知数设出来，那就依旧是设快充 数量为 x 个，则脉冲数量为一百减 x 个，利润用 w 表示。来，利润用 w 表示， 利润用 w 表示。所以 w w 等于什么呢？它等于 a 的 总利润加上 b 的 总利润，那 a 的 总利润来去找 a 的 单价利润是多少？ a 的 售价才是四十，减去 m， 他的进价是三十，所以对应他的单价利润就是四十减 m 减去三十，这是他的单价利润，他的数量呢？咱是设为了 x， 这是 a 的， 然后再加上来 b 的 利润，咱们去找一下， b 的 售价是十五不变，他的 计价是十，所以他的利润是十五减十，他对应的数量是多少呢？是一百减去 x， 然后咱们把这个式子进行化解，就会得到这个是十减 m 倍的 x 加上五倍的一百减 x 等于十 x 减 m， x 加上五百减五 x， 然后咱们再去合并同类项，就可以得到是等于五减 m 倍的 x 加上五百。我们可以看到这是一个关于 x 的 一次函数， w 等于五减 m 倍的 x 加上五百， 那我那么我们要研究这个总利润最大值或最小值，要放到一次函数里面去研究的话，我们需要判断的是什么呀？需要判断的是 k， 哎，判断比例系数的正负性， k 大 于零的时候，增减性是相同的， x 增大，然后这个 w 也会增大， w 也会增大，如果 k 小 于零呢？增减性相反， x 增大， w 反而减小。所以现在咱们关键就是要去判断一下这个五减 m， 它的正负性，它到底是大于零呢？还是小于零呢？那在这他给到了 m 的 取值范围要大于等于三小于等于十， 我们会发现当 m 大 于等于三，小于等于十的时候，五减 m 的 正负性它是确定不了的，它有三种情况，所以在这我们需要分情况去讨论啊，需要分情况去讨论，那就是第一种情况，第一种情况就是当 m 大 于等于三，它小于五的时候 小于五十。现在咱们去看啊， m 大 于等于三小于五呢？代入到这里边，五减 m， 它是什么情况呀？哎，五减 m， 它是 大于零的，那 k 大 于零，增减性相同，我们要是 w 最大，就令 x 干什么呀？最大。而刚才我们求出来 x 的 取值范围， x 最大取多少， x 最大取八十，所以 x 等于八十的时候， w 最大。 哎，这这种情况啊，就是当 m 在 三到五的时候，我们是增减性相同， x 取八十的时候， w 最大。第二种情况， m 等于五的时候， m 等于五，五减 m 等于零，此时 w 它是一个定值， w 是 等于五百的， w 等于五百。然后再来看第三种情况，当这个 m 它大于五，小于等于十的时候，哎，它取这个范围的时候，那五减 m， 这个整体就会干什么呀？小于零， k 小 于零，增减性是相反的，我们 w 要最大， x 就 给它干什么呀？取最小，所以这个时候 x 它是等于最小值七十，五十， w 最大。 那么在这说，要是销售完一百个充电器锁货，利润最大，应该如何去进货？如何进货？他是和谁的取值有关系？和这个 m 的 取值是有关系的，我们要分三种情况去讨论啊，这个就是关于一次函数的实际问题，他一般在考 考试的时候呢，也是会结合方程以及不等式一起去考察，所以这道题大家一定要好好去吸收一下，记得点赞关注哦！
66薯学派
16:26查看AI文稿AI文稿刷到我就说明你的期末数学要走上坡路了。本期视频我就把八下期末最容易出错的一次函数几何运用给你讲清楚。这道题呢，最让人抓耳挠腮的 特点就是隐形权等三角形的构造，以及旋转问题的坐标。求解！很多同学哈一看到第三问，哎，有旋转，他就会想直接套公式，或者说我用三角函数去硬算，结果把自己绕的晕头转向。其实呢，我们只要学会做辅助线去构造一个 k 型权等，那这道题就能迎刃而解。 今天学姐就带你把这道题彻底盘透，让你以后再遇到这种旋转题，也能像开了上帝视角一样轻松拿捏。好，那我们来看一下这道题，他说，如图，依次函数 y 等于 m， 加一倍的 x 加四的图像，与 x 轴的负半轴相交于 a 点。 好，没有图我们可以自己画一下。你想一条依次函数依次函数图像是不是一个直线？这个直线比如说 y， 我 们平时学的 y 等于 k， x 加 b 这样的函数图像，那你说它跟 x 轴和 y 轴的交点，我们是不是知道它和 y 轴的交点是不是就是 b？ 它和 x 轴的交点呢？是不是负的 b 分 之 k？ 好， 所以说这个函数图像，它是不是与 y 轴的交点，我们是知道的，是谁呢？是不就是四 零四嘛？好，然后它说它与 x 轴的负半轴相交于 a 点，所以说它应该是朝， 这样子，对吧？他不可能说去朝右边画，他右边画，他不是就跟 x 轴正半轴相交了吗？所以说，哪怕这个题没有给图，我们也可以通过它的描述去把这个图给画出来。好，然后相交于什么点呢？相交于 a 点，所以这个点是点 a 与 y 轴相交于点 b， 点 b， 点 b， 是 已经知道的明显的坐标是不是零？四， 好，那点 a， 我 现在不知道，他现在告诉了什么呢？告诉了三角形 o o a b， 三角形的面积是四。 好，现在我要去求 m 以及 a 点的坐标。那第一问是不就比较简单了？第一问，我们直接利用这个三角形的面积去求就可以了，这是明显是一个直角三角形，那直角三角形面积直接底乘高除以二好，因为三角形 oab 的 面积 它是等于四，那三角形 o a、 b 的 面积怎么表示呢？是不是底边 o a 乘它的高， o b 再除以二，所以它是等于二分之一的 o a 乘 o b 的 好，那 o b 我是 知道的， o b 的 长是多少呢？是不是四，所以呢，它是应该等于二分之一乘以四， 再去乘一个 o a， 也就是我们的二倍的 o a， 二倍的 o a 等于几呢？等于四，所以说我的 o a 是 不是就等于二？好， o a 等于二，那我的 a 点的坐标是二零吗？不是，你看它在负半轴，所以说我 a 点的坐标应该是负二，逗号零。好，所以说 a 点坐标 好。 a 点坐标求出来之后呢？现在是不是要求点 m 这个参数？那我只需要去把这个 a 点坐标带到里面，是不是就能求出来了？带入的， 把 a 点的坐标带进去，那就是零，等于负二倍的一加 m， 再加一个四，解得 把 m 算出来就可以了。 m 等于一好，这个就是一个简单的方程。 ok， 那 第一题的这个第一小问是不是就结束了？好，我们来看第二问。第二问，他说过点 b 做直线， b p 与 x 轴正半轴相交于点 p， 就 做了一条直线，跟 x 轴的正半轴相交于点 p， 且 o p 等于四倍的 o a。 好， 还是一样的好，简单一下，把这个图画在这， 首先我们现在这个函数图像是已经确定下来的，这个是 b 点，这个是 a 点， a 点的这个点是负二 b 点的这个点是 四，这个是圆点 o， 好， 现在他说与正半轴相交于点，且 o p 是 四倍的 o a， 那 你就想 o p 是 四倍的 o a， 那 p 点应该在哪？是不是在四倍的这里比较远，四倍的 o a 是 不是八，所以这里应该是八零， 那屁点的坐标也是知道的好，画出一条直线 b p， 现在要求这个 b p 的 解析式，所以我们知道了几个点了呢？我们可以看一下，知道了 b 点， b 点是不零四， p 点呢？ p 点是八零两点，确定一条直线，所以这个直线的解析式我们是直接就可以得到的。所以 因为 o p 等于四倍的 a， 所以 我的 o p 应该是等于二乘四等于八， o p 等于八，所以说我的 p 点坐标 应该是八零，好，那我现在要求直线解析式，我是不是可以先假设，假设这个 b p 的 解析式为，那因为它经过了我的 b p 两点，所以呢，将 b 点 带入，我就可以得到 b 点，带进去就是四，等于 b 好， p 点带进去呢？零等于八， a 加 b， 好， 解得 b 等于四，而我的 a 应该是等于负的二分之一的，所以直线的解析式 y 等于负的二分之一， x 加四。好，那第二问是不是就结束了？所以说一前两问还是非常基础的，它就是考察我们的这个一次函数，以它的这个图像几何的一个综合。那第三问呢？它可能就要比较复杂一些了，它出现了一个什么？ 出现了一个旋转。好，我们来看一下它是怎么转的哈，还是将一次函数的图像绕点 b， 顺时针旋转四十五度。 好，那我们还是先画一下，画一下这个图像，首先这个原来的这条函数，他是不是这样子的？这是点 b， 这是点 a， 这是 o， 好， 绕点 b， 顺时针旋转四十五度，那我可以说把旋转之后的我大概画一下， 大概可能是这样子的，然后这个角是我们的四十五度的旋转角。好，那假设这条线是这个 b e 吧？ b e 这条直线，那我要求一个直线还是一样的依次函数的这个解析式，或者说直线的表达式，是不是两点就能确定一条直线？那现在呢？现在我是不是已经有点 b 了？ b 点的坐标是知道的零四吗？我只需要在这条直线上再找到一个点的坐标，我是不就能把这条直线的解析式求出来了？ ok， 那 这道题呢，我们就是去找这个点，怎么找呢？利用题目给我们的这个旋转四十五度， 四十五度这个角其实是一个非常特殊的角，它尤其在我们的初衷很喜欢去考。我见到四十五度，哈，我的脑子里面现在已经蹦出来了很多这个相关的知识点了，你比如说四十五度最常见的，我们是不是就构造直角、三角形等腰直。 好，那哪里还有会出现四十五度的呢？比如说我们的这个正方形夹半角去旋转的，还有你包括我们说这个就是全角加半角，就是半角模型，很多跟半角有关的四十五度的，是吧？ 那这道题呢，我们是用哪一个呢？我们可以来看一下。我现在如果说想要在这条线上找到一个点，那我去找谁？我随便找一个吗？假如说我就随便画一个哈，随便画一个，比如说 f， 假如说这个点 f， 那我想要用到我的这个四十五度，我是不是想去构造一个等腰值，那我构造等腰值怎么构造呢？方法很多，要么用到这个角，要么是向下做垂，是不是？比如说这里是垂垂直，那我可以用到我的等腰值四十五。四十五。还有种方法，我用到这四十五，我是不是还可以就是朝这边去做， 朝这边去做垂直，假如说这个点 f 在 这是不是也可以这里用？也用到了四十五、四十五，然后这里是个直角，也构造了等腰值，是吧？那具体用哪一个呢？还是一样的，我现在想要求这个 f 的 这个坐标，我是不是得去求它的横纵坐标？那你想这个 f 的 纵坐标是什么？是不是就是它到这个 x 轴的距离？ 也就是假如说我通过这个点，我向 x 轴去做垂线做出来的 f h， f h 的 这个长度就是我这个 f 点的纵坐标，横坐标也是一样的，我去把这个 h a 求出来是不就可以了？我去求分别，去求这两段的长度。好，那我肯定是需要向下做垂的，向下做垂线的话，这里就出现了一个直角， ok， 那 我想一下我这个等腰直角怎么构造？我是在这里构造呢？还是在这个上面构造呢？这里就用到了一个非常关键的东西，叫做一线三等角 去构造了我们的 k 型全等。好，因为其实数学他本身一开始没有人去总结这些模型的时候，大家是不是都可以去不断的尝试各种各样的解法，也许你用这个方法能做，那个方法也能做，是不是到慢慢人们总结的多了，才出现所谓的这些模型的 好？那如果说你这些完全不知道能不能做这个题呢？可以啊，你去构造等腰值，你想要去求的话，你就去试。如果说我向上 构造能不能求出我想要的对应的这个 f h 的 这个长和 a h 的 长，你去试你发现是很很困难的，所以你只能向下去做这个垂直。好，那具体怎么做呢？还是用到我们的 k 型全等？那 k 型全等具体是什么？我在这里重新跟大家去讲一遍。我们的所谓的这个 k 型全等， k 型全等呢？他是从什么来的？哈？他是从一个等腰直来的，就是 k 型全等的最关键的东西，他一定会有一个等腰直角三角形，你比如说他的最常见的形式就是一个等腰直角三角形，比如说是这样子的。 好，然后这是他的直角，那我们是怎么去构造说这个 k 型全等呢？首先过这个等腰直角顶点，直角顶点去做一条这个做一条线，通过这个等腰直角两个端点，另外的两个端点向这条线去做垂线， 做了垂线之后会出现一组全等三角形，这个三角形和这个三角形全等，非常好正哈。首先 这个是不是一个直角？怎么正的呢？首先这是个等腰直，所以这两条边已经是相等的好。然后角度，假如说这个角是 alpha 角，这个角是 beta 角， ok， 那 alpha beta 是 不是互余？好，那 alpha 还跟谁互余呢？是不是在这个直角三角形里， 它跟上面这个角互余，所以上面这个角是 beta， 同理，这边的这个角呢？ alpha 和 beta 互余，所以这个角就是 alpha， 倒一个角互余就可以了。很显然，这两个三角形是不就是全等的好，这是第一种哈，在这个直角三角形的外部去做一条这个直线。好，那第二种呢？依然是个等腰直， 比如说这个是一个等腰直角，那他的直角是在这里的，那这个时候呢，我就不是在这个过这个端点外部去做直线，而是我穿过他的内部去做一条这个直线，依然是按照他的另外两个角的端点向这条线去做垂。那怎么做呢？是不是这样子，这里会有一个直角？好，这边也是一样的， 这里会有一个直角。 ok， 那 这个时候全等三角形在哪里呢？在这里这两三角形是全等的，依然非常好正，还是倒互余的角就可以了。好，那我们知道这个角假如说是阿尔法，那这边的这个角是不就是贝塔？ ok， 那 贝塔和阿尔法互余，那这边这个角又是九十度，这个角是不是也跟他互余？ 那这个角就是阿尔法，这角是个直角三角形，那这个角就是贝塔，然后他又是个等腰值，所以这两条边又是相等的， 所以依然倒一个互余正全等就可以了。这个就是我们说的 k 型全等。那 k 型全等为什么叫 k 型全等呢？你看，如果说我把这条线画的明显一点，然后我把这个等腰值的两条这个腰画出来，哎，是不是一个 k， 这个叫做什么叫做外 k， 就是 在这个等腰直角的外部去画一条线，而这边右边这个叫做内 k， 我 就是在内部去画一条线去做 k 的 好。而我们的 k 型全等，最后会演变出一个东西叫一线三等角。 什么叫一线三等角呢？你看这条线上是不是有三个直角，左边一个，中间一个，右边还有一个这个直角，所以一条线上面有三个相等的角，这三个角都是直角的情况下，那他就是全等的。好，那如果变一下一条线上，比如说这里 一个角。好，假如说这个是 r 法， ok， 那 我去正相似的时候，我怎么正的？我是这边同时去做一个 r 法，这边也是，假如说这个角也是 r 法，那在一条线上面有三个相等的 r 法角，叫一线三等角，那这两个三角形它一定是相似的，所以它就会演变出一线三等角正相似， 这个就是后后续的一些内容了。好，所以我们回到这个题目当中，回到这个题目当中，刚才是不是已经给出了这么多做法？我说如果说你不知道这个 k 型全等的模型，你也可以去做，但是现在我们知道了，那我说我往哪里做？肯定是往下做，为什么 我把这个图擦一下哈，好，为什么我现在是要往下做呢？我现在如果说这上面有一点 f， 我 想要去求 f 的 横纵坐标，我是不是要求 f 关于这个 x 轴垂直的这个距离，比如说这里是 h， 他要去求这个垂线段的这个长度 f h 吗？那这里是不是会出现一个直角？这是一个直角，而这个直角坐标系又有一个直角，所以一条线上面已经出现了两个直角，那我怎么去构造呢？我肯定是过这个点 a 去向他去做垂线的， 这里也变成一个这个直角，他是不是就跟我们第一种 k 形一模一样了？看，一模一样，在这里构造了直角之后，我就能挣全，等挣了全等之后，我就能导出边我想要的边的关系了。好，所以说这道题哈，我们思路是这样的话，那我们来看一下我们怎么去书写？ 好，第三问，首先这个图他说旋转四十五度，那我可是不是可以把旋转之后的线给表示出来？好，我就假设直线 a b 旋转后得到了直线 b e。 好， 你可以在图上把这个 b e 画出来。那我们接下来是不是要做辅助线？做辅助线，我刚才说了，我是需要去做一个 f a b 这个角是个直角的，所以怎么描述呢？我可以说过 过点 a 做 af 垂直于我的 ab。 好， 那我怎么保证这个 af 这个点在 e b 上呢？交 e b 于点 f， 我 就既交代了我的这个直角垂直，也交代了我这个点刚好在我所求的这个直线上。 ok， 那 接下来我是不是还需要去求这个点的纵坐标？那我是不是需要去向它做垂线？这里是 h， 好 做 f h 垂直 x 轴 于 h， ok， 那 辅助线我就做完了，做完了之后呢，是不是开始正全等？我们刚才说 k 型全等的话，他是这个三角形和这个三角形全等的，则 角 a、 h、 f 和我的角 a、 o、 b 是 不是相等？都等于九十度？ 并且呢，我们这么多直角三角形，我们是不是可以导弧于？导弧于导出来的话就是，并且我的角 f、 a、 h， 它和我的角 a、 b、 o 是 相等的。然后这个时候还有哪个条件没有用呢？是不是我勾的四十五度的等腰值，又，因为我的角 f、 b、 a， 它是等于四十五度， 所以我的 fa 应该是等于我的 ab 的。 ok， 那 这些所有条件都有了，所以 我的三角形 a、 o、 b 是 不是就全等于我的三角形 f、 h a 那 用到的是什么呢？角角边， ok， 那 得到了全等以后，我是不是就知道对应的 a、 h 就 应该等于我的 o、 b 等于几啊？等于四，然后我的这个 f h、 f、 h 就 等于我的 a o 等于几？等于二？好，所以我 f 点横坐标就是 o a 加上 a h 二加四，所以是负 负六。然后纵坐标呢，是不是我的 h、 f、 h f 是 多少？是二，所以 f 点的坐标是负六二，那我再把它带入到我的这个相应的解析式里面是不是就可以了？好，那我跟上一问的求解就是一样的哈，我先去设 b e。 解析式 这里你就不要再设 y 等于 k x 加 b 了，因为你前面是不是用过相同的参数，你就换一个，比如说 m x 加 n， 好， 那我把 f 点 b 点带入 我是不是就可以得到 n 等于四？好，然后负六 m 加 n 是 不等于二？解得 n 等于四， m 等于三分之一，解出来就可以了，所以我直线 b e， 它的解析式 为 y 等于三分之一，加四是不就做完了？好，所以说这道题目他考察的比较综合。 前两问的话都是基础的考察，我们对于依次函数还有它图像的一个结合。那第三问呢？他考察了一个旋转，而这个旋转呢，就是几何的一个变化吗？需要我们去通过做辅助线构造全等三角形，而构造全等三角形。这里呢给大家引入了一个模型，叫做 k 型全等。 k 型全等其实我们用的会非常非常多， 说这个题目的关键在这里，那如果掌握了这个模型之后呢？我们以后再遇到这样类似的问题，是不是也能去构造相应的辅助线，然后把这些复杂的问题简单化？好的，那我是琳琳学姐，如果说你想要持续提高你的数学成绩，记得关注我哦，我们下期再见。
1296雪糕老师只讲数学
06:12查看AI文稿AI文稿同学们，我们来看一道这样的应用题。他说李大爷按每千个二点一元的价格批发了一批黄瓜到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用，他先按市场价售出一些，后又降价出售， 收出黄瓜的质量为 x， 钱壳也就横坐标，代表的是黄瓜的质量与他手中持有的钱用外来表示，也就是纵坐标，代表是持有的钱。在这里一定要注意，这个持有的钱是含备用零用钱，备用的零钱啊， 他的关系如图所示。结合图像回答下列问题，也就是说，你要想回答这些问题，你要看懂这个图像。那接下来我教大家如何看懂图像。首先你要知道他的特殊的点代表什么含义，比如说像这个点五十， 也就是当 x 等于零的时候，总坐标是五十，说明什么？说明我们当售出的黄瓜就还没往外卖黄瓜的时候 是五十元，手中持有的钱是五十元，那说明这五十元是什么？就是他自带的零钱。好，再看第二个节点，就是这个特殊的点， 这个点也就是当你卖出一百千克的时候，你手中持有的钱是四百一十元。你时刻要牢记啊，手中持有的钱里边含多少含备用钱？ 第三个节点就是什么意思呢？因为你售出一百千克之后呀，他说的是常售出一些后又降价出售， 因为可能是挑挑拣拣剩下黄瓜不太好了啊，降价出售。所以第二阶段呢，他肯定是降价后出售黄瓜。那么到底出售了多少千克不知道，但是我知道卖完之后，他最终的手中持有的钱是五百三十元。好，我们来看第一题， 李大爷自带的零钱是多少钱？我们刚才已经分析了，是五十元来。第二题，降价前，他每千克黄瓜出售的价格是多少？求的是什么？ 求的是出售的单价。那我们来看一下吧。其实就是看第一阶段啊，降价前他卖了一百千克啊， 到手的钱是四百一十元，那根据数量关系啊，单价等于什么呀？总价除以数量。不过这时候的总价可不是四百一十元啊，因为里边含有备用钱，所以他实际是卖了多少钱呢？ 也就是四百一十减五十等于一十减五十等于三百六十。好，这时候的收入是三百六十，总价除以数量等于单价，也就是等于三点六元。好，第三问， 第三问，他是这么说的，他说卖了一段时间，黄瓜的卖相不好了啊，挑挑拣拣的。随后他按每千克降价一点六元，将剩余的黄瓜售完。 这里边有两个关键词，第一个关键词它是全部卖完了，第二个关键词它是每千克降价一点六元，而不是按每千克一点六元去卖的啊。 好，接下来他说这是他手中的钱，还备用钱是五百三十元，他问他一共批发了多少千克黄瓜，我们先不知道他批发了多少千克，但是我们知道批发的全部卖完了，所以我们可以求卖完的黄瓜卖了多少千克。 第一部分我们已经知道了，是卖了一百千克，所以我们接下来任务是把第二阶段卖了多少千克求出来。那第二部分他降价后，是按单价多少钱卖的，也就是三点六 减一点六，这是他的单价，那么我们要求他卖了多少钱？可求数量，就是按总价除以单价。这时候的总价同学们看是五百三十吗？不是呀，这是这一部分所对应的，是这一部分的，对吧？所以他的总价就是五百三十减四百一十。 我想问一下，用不用再减五十了？哎，不用，因为四百一十里边包含了五十，所以总价除以单价就等于数量算完以后是六十千克， 也就是第二阶段，他卖了六十千克，再加上第一部分卖的也就一百加六十，他总共卖了一百六十千克的黄瓜。看一下，第四，问 他问李大爷，亏了还是赚了？若赚了，赚了多少钱？若亏了，亏了多少钱？好，首先我们要知道，那我们得知道怎样才算盈利呀？也就是收入 就等于收入减成本， 如果收入减成本大于零，咱就盈利了，那收入减成本小于零，咱就是亏了。那有的同学说，老师，我知道，你看收入是全部卖完是五百三十元，那么成本呢？我就让二点， 那我就让单价二点一乘一百六十，算完之后让五百三十减它就可以了。同学们，你觉得这个思路对不对？ 肯定不对呀，为什么？因为这个五百三十元并不是你卖黄瓜的钱，因为里边还有什么？还有五十元，所以实际你的收入是 五百三十减五十等于四百八十元。 那接下来重点是算你的成本了啊，你是按二点一元的单价去进的，那你卖了一百六十千克，相当于你就进了一百六十千克，那就让一百六十乘二点一， 等于三百三十六元。嘿，这时候我让收入减成本就是四百八十，减三百三十六，等于一百四十四元，很显然咱们是赚了，赚了一百四十四元。
78教数学的李老师
11:28查看AI文稿AI文稿八下数学期末考试想冲刺满分的一定要看到最后，今天给大家讲一道试卷中最后的一道题，它就是一次函数压轴题，请在弹幕打出，我要考满分，马上开始了， 今天咱们讲一道八下数学的压轴题，一般的都是关一次函数的，你比如咱们看一下最后一道题， r 四题坐在平面直角坐标系当中，直线 l 一 分 b， e， x 轴和 y 轴交于 a、 b 两点，其中 a 呢，告诉你了，是六斗零，咱们习惯性的把它标上 与 l 二， y 等于二分之一， x 交于点， c 好 点， c 的 横坐标呢是四，所以就是四，那 y 呢，指的是二，所以 c 的 坐标 c 都二， 四都二，那第一问求 l 一 的解一式，那比较好求，是吧？咱们可以设 l 一 为，是不是 y 等于 k， x 加 b， 咱们习惯性的待定系数，那因为 a 点的坐标是六到零， c 点坐标你能求出来它是四到二， 那所以 x 是 六的时候也六， k 加上 b， 它是零， x 是 四的时候就是四， k 加上 b， a 它就是二。好可以解得 a， k 和 b 分 别有多少。 一求 a 会反，会反映这两个式的相减。二， k 等于负二，也就 k 至负一好， k 至负一， k 二至负一的话，你可以看一下 a 负四，负四过来打的就是， 哎，负四过来就正六，所以 k 是 六，那所以 l 一 就知道了。 l 一 是 y 等于负 x 加上一个六啊。对，有第一问，第二问呢，说 d， d 为 l 二，然后在 d 相信内的点， 也就是 d 啊，在这个方向好，那么连接 a、 d 和 b， d， 那 就连接 a、 d 和 b， d， 他说三角形，这个三角形扇形 a、 b、 d 的 面积呢？为二十七， a、 b、 d， 也就是把这个 a、 b 连起来， 这个红的扇形面积是二十七，而但去求符合点 d 的 坐标 a， 你 会发现此时呢点 d 肯定有两个，是吧？也，咱们会发现，你在这边，在左边有一个，你右边肯定也有一个，比如在这个地方， 那你把 b、 d 一 连 a d 一 连，你对 abd 这个懒散型，是不也可以让它面积是二七藏，做这种问题要干什么呀？所有的面积问题，观一次海乳要记住什么呀？铅垂高水平宽， 铅垂高水平宽，什么叫铅垂高呢？也就是你过一个特殊点，比如这个点肯定是 abd 里边谁最感觉那个那个点不正常，所以你要过地点铅垂高，也就是平行于 y 轴，是吧？做这么一个线，然后呢，比如交于这个 ab 一 点 abcd， 一 点 e 吧，这个点 e， 所以 说你是把 abd 分 成两个扇形，一个是 ade， 一个就是 bde。 好， 那咱们就可以去解了。 好，咱们看一下，你可以把这个擦掉，说你可以射射做 d e 平行于 y 轴， 然后敲 a、 b 余点，余点 e。 是 啊，所以你可以设 d 点坐标，如果为 x 逗，因为 d 点坐标在 l 二上，也就是二分之一 x， 那 么你这个 e 点坐标，横坐标是不是也是 x， 然后纵坐标的记入 x， 带进 l e 的 解式就是负 x 加上六。好，这就是。然后这么个设设完之后呢，你可以看一下，那这个三角形 a、 b、 d 的 面积， 咱们刚输了这个 a a b d a b， 借 b d a 吧，它的面积是不是分两部分，一个三角形，一个是 b d、 e， 还以为就是三角形 a， d， e， 好，这两个扇形，然后呢，你会发现扇形 b， d e 和 a， d e 是 不是都可以以 d e 为底儿？这比如 b， d， e 是 二分之一，是不是 d， e 为底儿？然后高是谁高？这个坐过来，这就是你的高，是吧？高，你会发现是 e 的。 什么 是不？ e 的 横坐标，也就是 x e， e 的 横坐标 a， d e 呢？ a， d e 是 不是也是二分之一？可以以 d e 为底儿，谁是高啊？你翻这么一座， 哎，是不是 a 的 红坐标减去一个 e 的 横坐标，也就是 a x a 的 横坐标减去个 x e 的 横坐标，所以你们发现吧，它们两个二分之一 d， e 提出来之后，它们两个高相加，是不刚好就是 x a 的 横坐标。 哎，所以我就知道了，也就是说 d e， a， d e 是 什么？ d， e 的 纵坐标减去一个 d 的 纵标，是吧？那所以就二分之一 d e， 哎，就是 e 的 纵坐标就是负 x 加六减去一个 d 的 就是二 x e 减的话就是负的二分之三 x， 然后呢，加上个六对，又是 d e x a 的 横坐标， x a 横坐标等值到是六，是吧？所以乘以一个六，所以最终它就等于 a 这半六，乘以二分之一就是三，那就是负的二分之九 x a 再加上三六就是十八。 那好，那所以就是什么呀？就是负的二分之九 x 加上十八是等于 a， b， e 的 面积， a， b， d 面积多少？是二十七， 二十七，那所以解得 x a 等于反，反而七减十八是不九。然后呢， a 九九的话，一曰这边就是负，是 a， 这边九九的话，一曰这边应是不应该负二，所以 x 应该就是负二， 所以你会发现这个 d 的 坐标是不就是负二？逗， a， 把这个负二带进去，然后就是负一，对吧？啊？这个是需要舍去的，为什么舍去啊？因为 d 点是第一项线的点，是吧？第一项线，所以这个舍去， 然后第二种情况，咱们刚做的一种情况呢，是这个 d 点呀，这个 d 点是不在 c 的 左侧，是吧？好，第二种情况呢，就是当这个 d 点，然后再呢在 c 点右侧， 哎，在右侧时，你会发现咱们这个就同理可得就行了，因为咱们说这个 d 啊，还都是以 d 为底，哎，咱们一旦要到右侧的话， d 是 不是在上方， e 是 不是在下方？所以是不是 d 点减一点啊？ d 点减一点的时候，那就会平成什么呀？就二分之一， 然后这个就不是负二分之三， x 减六了，呃，加六了，就是二分之三， x 减六了，是吧？然后再乘以六， a 等于多少呢？是不也等于二分之九 x 减十八呀？ 也就是说二分之九 x 减十八等于二十七，那所以 x 等于，哎，一看四十五，四十五就有， x 等于十， 那你就知道了，那这个 d 的 坐标就是十斗五。好，这个就是咱们求的那个坐标。好，所以这就是第二问。哎，这是第二问好。大家可以做一下笔记，咱们看下第三问好，我把这个图擦掉，土擦掉，然后看下第三问，第三问，然后咱们看一下 第三问。说呢，他说 a， e 点是 o， c 上的点，咱们可以在这个图上做吧。 e 点是 o， c 上的点，然后满足 e、 b， c 加上角 a， o， c 等于四十五度，哎，比如说，咱们说，哎，假如说这个 e 点在这个位置 的意思，他说 e、 b、 c 是 哪？是这个角是吧？ e、 b、 c 加上角 a、 o、 c， 咱们换个颜色。 好， a、 o、 c 呢？就是这个角，就这个红角加上这个蓝角四十五度啊。求符合条件的点 e 的 坐标。这个比较看着是带第三问，其实它这个难度的不高哦，大家听我讲一讲啊，你会发现这个咱说，因为 a， 你 会发现 l e， 这是第三问 l 一， 咱们求完了，是吧？ l 一 呢，是 y 等于，咱往上看一看，它是 y 等于 a。 待第一问是 y 等于负 x 减六， a y 等于负 x 减六，负 x a 加六， f 加六，所以你会发现 a 的 坐标，咱们刚说是不六斗零 b 的 坐标呢？零斗六，也就意味着 o a 是 不等于 o、 b 都等于六啊。那就好了，那则 其实就是这个角 o、 b、 a 是 不等于四十五度，这个太管简了啊， o、 b、 a 得四十五度，说明了什么呀？哎，我倒是再做个标记，说明了，这个 e、 b、 c 这红角加上这个蓝角是不是也是四十五？ 这红角加这个蓝角四十五，加这个蓝角也是四十五度，那这两个蓝角应当相等了，是吧？这是非常关键的一个信息。好，因为，哎，这个角 o、 b、 e、 a 加上角 e、 b、 c 也等于四十五度，再结合这个四十五度，那所以你会发现这个角 a、 o、 c 其实就等于角 a、 o、 b、 e 还这两个蓝角相等。这两个蓝角相等的作用是什么呀？就是你看这个角 a、 b、 o、 c 这个蓝角加上这个红角是九十度，那这个蓝角加上这个红角是不是也是九十度？所以这个角应该是垂直的，也就我要说明这个垂直 好，这是非常关键的啊，这个非常关键。咱们把这分开，你又发现，因为哎，角这个 a o c 加上角，这叫 b o c 等于九十度，那所以，哎，这个角 o b e， 哎，加上角 b o c 应该也等于九十度。其实就是，哎，咱们说的 b e 是 垂直于 o c 的。 知道这个题之后，往下就非常非常轻松了，来给大家解释一下，为什么非常轻松了。你会发现咱们垂直两个直线垂直的话，斜率相乘是什么呀？是不是负一？好，那就可以了。那，那你就想，所以这首它是求一点坐标，你就被设了设一点的坐标为 a 为 m 豆一点坐标是不是在 l 二上， l 二是不是二分之一啊？ x， 所以 m 豆二分之一 m 好一。等坐标设完之后，你会发现，因为 a 这个 k l 二就 l 的 斜率是多少呢？咱们刚刚 a 求了，它是个二分之一，是吧？题中给了二分之一，那你会发现 a k l 二乘以一个 k b 一， 它是不应该是负一啊？所以 k b e 是 不应该就是负二？ 负二乘二分之一是负一，对吧？ b 少 k b 是 负二，那所以我也不用看读了。接下来你发现，因为 a b 点的坐标是零，逗六，那所以 k b 一。 咱们说一个知道两个点，然后这两个点之间的斜率有多少呢？纵坐标的差，也就是 a 二分之一 m 减六，这两个点的坐标纵坐标差比上横坐标差， m 减零，就这个等于负二。 哎，那所以接下来好说了吧，减 m 就 行了呀。是哎，档往上走一走，咱们减 m 就 可以了，那所以就是，哎，二分之一 m 减六就等于负二 m， 哎及二分之五 m 二是不等于六，那 m 就 知道了。 m 是 不就等于五分之十二啊？那所以这个一点坐标是不就是五分之十二？逗，五分之六啊，好，不就减完了。
115数学思维阳老师
06:16查看AI文稿AI文稿hello， 宝子们，我们继续昨天这个一次函数的话题哈，因为老师说了，大夏的时候一次函数期末考试它肯定是个重点，包括在我们后续的一些模考当中，它肯定也是重点。那么今天来讲解这个一次函数这个题哈， 我们看这个第一题，这道题呢，他是我们沈阳二模卷里面的一个题，但是这道题还挺好的，所以大家讲一下。他说依次函数好， y 一 的图像给我们了点 a 和点 b 的 坐标，也给我们了点 a 在 这里，点 b 在 这 好，他说交 y 二的图像与点 c 好。 首先我们要明确的就是两个图像相交有什么意思？那就证明在这个点的时候，我们取的自定义，是啊，不，我们取自变量 值是相同的，对应的函数值就是相同的，所以这个时候两个图像才能产生交点。然后点 d 呢？它在 y 一 上横坐标给了我们一个取值范围，这个给了我们取值范围，在后续做题当中是有用的哈。 然后再往后看，他说过点的做 x 轴的平行线，好，这个时候我们看到了一个做 x 轴的坐标有什么特征， 我们的纵坐标是相等，对吧？好，他交什么？交 y 二于点 e 过点 d， 做 x 轴垂线，然后垂足是 e。 好， 我们说做 x 轴的垂线的话，那就证明他跟 y 轴是平行的，与 y 轴平行的线上点有什么特征？横坐标相等哈 啊。往后看，第一问，让我们求了点 a 和点 m 的 值，那首先我们要区分的就是点 a 和点 m 分 别是什么？点 a 是 什么？是点 c 的 纵坐标，点 m 是 函数的长数项， 所以我们要围绕着点 c 开展，点 c 它在 y 二上，它也在 y 一 上，但是 y 二的解析式没有给我们。 y 一 的解析式虽然没给，但是怎么样，我们是不是可求？ 因为我们有点 a 和点 b 的 坐标，那我们自然就能求出来这个 y 一 的解析式，对吧？好， y 一 解析式出来了之后，点 c 在 y 一 解析式上，点 c 的 横坐标是负二，那么纵坐标自然就可求了，对吧？我们说解析式是用来干什么的？ 解析式就是给了我们一个对应关系，让我们通过这个对对应关系去求点坐标哈，所以这个时候 a 就 可求了，对吧？那么 y 二的解析式，它是不是只有一个 m 是 位置的？所以我们只需要把点 c 带回 y 二，就可以求 m 的 值了哈，所以这样第一问就可解了。好， 第一问可解之后，我们再看第二问，第二问是老师重点想讲的一道题哈，第二问，他说了什么？第二问他说的是让我们求的是四边形周长的最小值，那这个时候我们要看的就是，好，既然是四边形周长的最小值的话，那我们是不是得把怎么样？得把，至少得把它的周长表示出来吧， 所以我们看它是什么题啊？它是什么形？ d， e， f， g， 它是一个矩形，对吧？那么矩形的最小值，哎，矩形周长最小值什么样啊？我们知道矩形周长 周长等于什么？等于 e f 加 f g 的 二倍，对吧？等于二倍的 e f 加 f g。 所以啊，我们只需要把 ef 和 f 和 f g 都用含有字母的代数式表示出来就可以，那么在这里面我们看，我们已经知道了点 d 的 坐标在哪，点 d 好， 点 d 的 横坐标是 n， 对 吧？ 点 d 横作表示，那么它在直线 y 一 上， y 一 我们在第一问已经求出来了，那么它的纵坐标是不就可以表示？好，我们围绕着点 d 来开展，点 d 这条线与 x 轴平行，那就证明我点 e 的 怎么样？纵坐标跟点 d 是 相等的，我再把点 e 回带到 y 二当中， 我是不是他的纵坐标就可求了，当然这两个不是相等的哈，回头我们再看，那么我们需要的是谁呀？是 f g 吗？ f g 跟 e d 是 相等的，所以 e d 这条线， 嗯，我们说 e d 怎么求？是不就是点 d 的 横坐标减去点 e 的 横坐标就可以啊，所以就是 x d 减 x e， 哈， 同样的，那你说 e f 等于什么呀？ e f， 点 e 坐标出来了，点 f 坐标不就出来了？因为他们两个横坐标是相等的，并且怎么样， 点 f 的 纵坐标是零，对吧？跟它相等好，那么 e f 我 们是不是也可解了？ e f 就是 e， f 就是 什么？就是点 e 的 纵坐标， 对吧？好，点 e 的 纵坐标实际应该点点 f 的 纵坐标，点 f 纵坐标是零，所以就可解了。那么这两个我们都可以用含有未知数的式子表示出来，只需要把它们整合在一起，再乘一个二，就是我们要求的这个周长哈。而在这里面， 我们整理完了之后，他一定是一个关于 n 的 依次函数，而且人家告诉我们了 n 的 取值范围在这， 所以我们需要的就是什么？看一看 n 前面的那个系数，如果前面这个系数大于零，那么就证明我这函数是增的，那么 k 小 于零的话，就证明函数是减的，所以我们再看要求的是最小值吗？ 这个题求完了之后，我记得哈，这个 k 值应该是小于零的，所以周长最小值。那怎么样？ 我们知道随着 y 随着 n 的 增大而增大，随着 n 的 增大而减小嘛，对吧？ k 小 于零的时候，所以我们要求最小值，那自然带的就是 n 的 最大值哈，所以这个就是一个典型的依次函数增减性一道题哈，所以 这是我们二模当中的题，就是这样的一个题型，所以对于我们八下期末考试的同学来说哈，这种题型一定要要懂哈， 不要去死记硬背，一定要理解这个题为什么这么做哈，所以今天的题就这样哈，拜拜。
80跟着李老师学数学
22:16查看AI文稿AI文稿好，接下来我们今天先看一看一次函数的这道压轴题。此题说呢，在平面直角坐标系中，直线 y 等于四分之三， x 加六与 x 轴交于 ab 两点，那就是这条直线。 然后把三角形 a、 o、 b 沿过 b 点的直线折叠，使得 a 落在 y 轴的 e 处，折痕交 x 轴于 c 点，那就说明 b c。 为什么对称轴 a 点和 b 点呢？是对称， a 点和 e 点呢？是对称点，直线 c， e 与直线 ab 交于地点。第一位，让我们去求 b、 e 的 长度。好了，那这道题我们要求 b、 e 的 长度会怎么想呢？ 首先第一点，我们可以通过一次函数解释可以获得什么？我们现在要知道的是，我能从题的条件中得到什么，然后再考虑我从这个条件里怎么才能获得我想要求的东西。 那根据题中信息呢，我们可以获得 a 点和 b 点的坐标，那就相当于知道了 oa 和 ob 的 长度。 那么我想求 b e， 那 b e 跟这个有没有关系呢？你会发现，因为 b e 是 由三角形 aob 折叠过来的，所以 b e 的 长度就和 ab 相等，那么也就意味着我们能够求出 ab 的 长度。既求出了 b e 的 长度， 那所以我们根据点坐标，是不是可以利用勾股定律求出 a b 的 长度？那么我们把这个过程呢梳理一下。 想要求出 b 点和 a 点坐标，那首先我们先令 x 等于零，代入到 y 等于四分之三， x 加六中，那我们可以得 x 的 零，带进去 y 是 得六的，那此时你就可以获得 b 减坐标就是零的六。 当 y 等于零呢？ a 点坐标是什么？ a 点坐标是直线与 x 轴的交点，那此时它的纵坐标就为零，所以令当 y 的 零，我们代入 y 等于四分之三， x 加六中，此时你可以得到 x 的 值， 这个值呢，我们求完等于的是负八，所以也就可以获得 a 点。坐标是负八零，那么也就意味着 o b 得六， o a 得八， 而这里面它是在平面直角坐标系中形成的，所以这有一个天然的直角角 a o b 啊，是直角，所以 因为角 a o b 等于九十度，所以在 r t 三角形 a o b 中，我们可以用勾股定底，求出 ab 的 长度等于根号下 o a 方加上 o b 方，然后我们通过数据的计算，可以获得八的平方加六的平方得十。 然后因为题当中给的这句话啊，这句话，所以我们写由折叠之， 由折叠之， a b 和 b 一 相等的哦，这写十啊， a b 和 b 一 相等，所以 可以获得它的长度，也为使，那第一问呢，即为所求，那接下来我们再看第二问，那第二问呢，是求直线 c e 的 解析式，那求解析呢，一般我们都用什么方法呀？没错，就是待定系数法， 那待定系数法在我们看一下这上面的点啊，有 d 点，有 c 点，有 e 点啊，我们可以知道哪个点呢？由上一问呢，我们可以知道 b e 的 长度和 b o 的 长度，所以 o e 是 确定的，那么 e 点好求啊，所以有一只 b e 呢是等于十的，而 bo 呢等于六， a o 呢是等于八。这是第一问我们得到的结果，所以呢，我们可以求出 o e 的 长度，就是 b e 减 bo， 那 就等于的是十减六十四， 所以呢，我们就可以获得的是 e 点，坐标是 零到负四。好了，那我们还差一个点啊，这个点应该选谁呢？是选 c 还是选 d 进行代入呢？我怎么去求这个坐标呢？ 那我们看到由折叠可知啊，由折叠可知，我要想求 c 点坐标，是不是只要求出 co 的 长度即可，所以看上去，而且它在一个直角三角形当中，那么所以看上去好像 co 会更好求一些。所以不妨呢，我们就设 co 的 长度为 a， 那 co 的 长度若为 a 的 话，那 ac 的 长度是不是就是八减 a？ 可是我要想求 a 的 值，我要带定一个勾股定律是不才可以？ 那我们会发现啊，这个 o e 是 四，所以我只要知道 c e 是 不是就结了，但 c e 又跟谁相等呢？咱由折叠可知啊， 由折叠知是什么？由折叠可知，这个三角形 a， c， b 呢，是全等于三角形 e c b 的， 所以我们可以获得 a c 的 长度和 e c 的 长度是相等的， 所以在这我们设 o c 长为 a， 那 则 a c 和 e c， 那 就等于什么八减 a 好 了。那所以在 r t 三角形 c o e 中，我们就可以由勾股定律获得 c e 方等于 c o 方加上 o e 方， 那所以就有 c e 是 八减 a 的 平方， c o 呢是 a 方， o e 呢是四的平方。好了，然后我们进行计算就行了，这 a 呢，咱们求出来得三，但因为 c 点呢，是在 x 轴的负半轴上，所以可获得 c 点，坐标为负三零。 那接下来两个点我们都确定了，就可以用待定系数法来求 c e 的 解析式了。所以我们设直线 c e 解析式为 y 等于 k， x 加 b， 当然 k 是 不能为零的啊，那因为图像经过 e 点是零到负四， c 点是负三零， 所以我们就可以获得对应的二元次方程组。把 x 等于零， y 的 四带入到解析式当中，获得的是 b 的 四，把 x 等于负三， y 的 零带入进去，就是负三， k 加 b 等于零， 然后解 r， 次方程组接的 b 呢？得四，那 k 呢？我们给它带进去 b 的 四，那 k 带进去呢？我们得到的结果是负的三分之四， 所以函数解析式我们就求出来了，直线 c e 的 解析式为 y 等于三分之四，负的三分之四， x 减四。好了，那这就是第二问， 那接下来我们再看一下第三问，怎么去做呢？第三问说在 x 轴上问你是否存在着一点 p， 当 b p 和 d p 的 和是最小的时候，让我们去求 p 的 坐标， 那这个 p 应该在哪呢？我们是不是得研究一下它何时才能是最小的呢？ 那 p 点在哪呢？那一般情况下，我们是做以动点所在直线为对称轴，这是技巧啊，然后做定点的对称点， 两个对称点的连线就是我们说的线段最短时，两点间线段最短时，也就是这个值最小的时候。所以按照这个方法，我们可以做 定点，做一个 d 撇儿啊，做个 d 撇儿的什么对称点，然后连接 d b 撇与 x 轴的交点，就是我们要找的 p 点，我这个画的有点太特殊了啊，我们重新画一下， 做它的对称点， 那它 p 撇， p 点应该是在这个位置的，而我要想求 p 点的坐标是多少，我需要求出什么 b d 撇的解析式，这个解析式与 x 轴的交点就是我们要求的什么 p 点， 那所以要想求出这个解是，首先我们就得获得 d 点的坐标，进而确确定 d 撇的坐标。那 d 点的坐标怎么求呢？我们从图像上可以看出，它是直线 ab 与直线 d， e 的 什么呀交点，所以我们连立直线 ab 和直线上一个，我们求出来的是 负的三分之四， x 减四啊，负的三分之四， x 减四。然后我们连立可以求出 x 的 值等于的是负的五分之二十四， y 的 值呢等于的是五分之十二， 那么也就能够推出 d 点的坐标是负的五分之二十四，五分之十二。那从而呢，也就可以获得 d 撇的坐标，因为它是关于 x 轴对称的，那所以横坐标不变， 纵坐标为相反数。好了， d 撇坐标获得了，我们是不是就可以求 y b， d 撇的直线解析式了？那这个呢，我们就可以用待定系数法来求就行。我们不妨呢，就设这个 y b， d 撇呢为 mx 加 n， 然后我们把这两个点呢给它带进去。 因为图像过 d 撇是五分之二十，负的五分之二十四和负的五分之十二，还有一个是 b 点坐标零六，所以我们可以有 n 就 等于的是六，负的二十四， m 加 n 呢，就等于的是负的五分之十二， 此时可获得 m n， m 就 等于四分之七，而 n 呢是等于六的，那由此咱就获得了 y b d 撇。解析式为四分之七， x 加六， 那么也就获得了 p 撇的 p 点的坐标。因为 p 点坐标是这个直线与 x 轴的交点，所以咱们令 y 得零就行啊，那令 y 得零呢，咱们能求出来它的解析式，呃，它的横坐标 x 呢，是等于 令 y 等于零得 x 啊，那这个 x 呢，等于的是负的七分之二十四，所以可获得 p 点坐标为负的七分之二十四零。那那这个位置的答案我们也就出来了。 好了，那这个以上内容呢，就是第三问的内容，那接下来呢，我们再看第四问，第四问呢，它说的是 在 x 轴上方的平面内存在一点 p， 一 点 m， 平面内是否还存在一点 n 啊？ 使 abm n 为顶点的四边形是正方形，直接写出 m 的 坐标。好了，那咱们来看，那这种四边形的问题呢？我们上节课呢，也说过，我们可以分分类讨论啊，那找到两个确定的固定的点， 以这两个点所在值所在线段为边为对角线，展开分类讨论。那第一种情况呢，我们就以 a b 为边讨论。 如果以 a b 为边，而且这个 m 点呢，是要画在 x 轴上方的，那么所以就会有这样一种情况存在 啊，这样的一个正方形，但是这两个谁是 m 点，谁是 n 点呢？我们并不能确定，可能这个是 m 点，这个是 n 点，也有可能这面是 m 点，这面是 n 点，所以我们只要把这两个点分别都求出来，那么它既为 m 的 两个可存在的位置 好了，那怎么去求呢？根据题中的信息啊，我们会发现这是一个什么正方形，那这是一个正方形，那这个位置就是垂直的关系，这块还有一个垂直，对吧？那这个呢？呃，我们可以把它看成是一个等腰的什么直角三角形。 那我们思考一下，那这个像什么模型呢？这个像什么模型？哎，是不是像一线三垂直的模型？所以我们把它这样延长过 n 点，咱们做一个什么垂直， 那这样的话呢，我们实际上就可以获得，比如说这是 q 点的话，那么我们实际上是可以获得三角形 b m q 啊，它是全等于三角形 a b o 的 a o b 啊，对应点在对应的位置上， b m b m， 那 就是啊，对，刚才写的对啊， 还是 abo 对 应点在对应的位置上。好了，那有了这样的一个权懂关系呢？我们是不是就能够知道你这个 n q m q 啊？ m q， 当这个点为 m 的 时候啊，当它为 m， 就是 这个点可以是 m， 也可以是 n， 当这个点为 m 的 时候，这面就是 n， 但是因为它让我们求的是 m 的 坐标，所以我们先求它了啊，那你这个 m q 是 不就会和 b o 相等， 而你的 b q 是 不就会和 a o 相等？那我们在上一问当中，前两问当中，我们求出这个 b o 呢，是得六的，而 a o 呢，是得八的，所以我们首先可以确定这个 m 一 啊，第一个 m 点的坐标就是横坐标，就是负六， 而纵坐标呢，这个位置是八，这个位置是六，加起来是十四，这是第一个点。 那第二个点呢？是不是可以用同样的办法来去解决呀？那刚才我们用的是一线三垂直，那这块是不是咱们也可以用一线三垂直求当 m 点在这的时候，此时你仍然仍然会有同样的办法， 同样的全等三角形，假设这一点为，嗯 a b c i 点吧。那那咱们是不是就会有三角形 m i a 全等于三角形 a o b， 那 此时啊，咱们看到这一线三垂直的这个全等呢，你的 mi 啊，就会等于 a o， 对 吧？然后你的 i a 啊，就会等于 b o 得六，这个是得八啊，那由此呢，我们就可以获得第二个 m 点的横坐标，你看这个 i a 呢，是六，这个，这个是八，所以它的横坐标就是因为在第二象限吗？所以就是负十四啊， 然后纵坐标呢，就是 m i， 那 就等于什么是八？然后咱们再看第三个啊，第三种情况是什么样的呢啊？第三种情况， 第三种情况就是第二个我们需要讨论的大点，就是以什么呢？以 ab 为对角线的时候啊，以 ab 为对角线，如果说以 ab 为对角线的话，那我这个图呢，我就重新画一下了， 咱们看看它在哪啊？什么样的 正方形的对角线是互相垂直且平分的，所以我们做一个垂直 平分 ab 的 什么直线垂直平分，被 ab 垂直且平分，而且它的长度还怎么样？相等吧，垂直平分且相等和 ab 相等，这样的一个什么直线段？然后呢，我们构造一个， 构造一个这个 矩形，嗯，正方形， 嗯，那因为 m 点它要求是在 x 轴上方的，所以我构造完正方形之后呢，这个是 n 点，这个呢就是 m 点， 那怎么去求呢？那我们会发现，刚才咱们去求的时候，是不是用一线三垂直的模型来做的，那这呢过这个 m 点也分别向 x 轴和 y 轴做垂直，那假设这个点呢？为 呃 q 点啊，这个点呢？为 i 点的话，那么我们同样可以获得两个三角形的一个全等关系，而三角形 m a q 啊，它是全等于三角形 m b i 的 啊，这个 i 呢，咱们是放这的啊， m b i， 那 么也就意味着 m q 呢，它是等于什么 m i 的 啊？那求出一个长度，那另外一个长度就可求了，那怎么去求这个长度呢？ 这个长度是多少呢？该如何去下手呢？那不妨呢，咱们，嗯，你看，我要想求出 m q 是 多少的话，我是不需要知道的，是这个我要是用勾股定力啊， 但我们现在能知道什么啊？能知道是，若以 a b， 为什么对角线的话， a b 的 长是十，那所以呢， 是不是它的对角线一半就是五，那就说明正方形的边长是五倍根号二啊，也就是你这里面的 m a 和 mb 都是五倍根号二。所以我比如说我想求 m q 的 话，那我需要把 a q 求出来，哎，或者我想求 m i 的 话，我需要把 b i 求出来，而它俩的长度是一样的，所以我不妨呢，就设这个长度呢，为 a 啊，那这个呢？也为 a， 那 么实际上就可以获得啥呢 啊？你看啊，这个长度，因为这个 m q 和 m i 是 相等的，那你会发现，你看这 m q 是 不和 i o 一 样， i o 不 就是 b o 加 i b 吗？对不对？那所以实际上我们能得到的就是谁呀？ o i 等于 o q 啊，那有这个关系的话，实际上不就是六加 a， 是 不就等于八减 a， 那 由此 a 呢？就得多少呢？得一， a 的 值就是一。如果说 a 的 值是一，我们从这来看，若 a 的 值是一，那么这个 q o 是 不就是八减一，对吧？就可以推出这个 q o， 那 它就等于什么 m i 啊，那等于八减一， 那就是七，那所以我就可以获得 m 点的坐标了，因为它在第二象限，所以 m q 和 m i 的 长度都是七，那么在这它的横坐标就是负七，那纵坐标呢？就是正七。好了，整个这一道大题呢，老师就讲完了。
103齐齐哈尔张老师爱初中数学
07:18查看AI文稿AI文稿要想写题会方法要选对，欢迎收看宋老师的方法课，我们来看这道题。某中学为丰富学生的课余生活，准备购买一批每副售价五十元的羽毛球拍和每桶售价十元的羽毛球。 购买时发现商场正在进行两种优惠促销活动，活动价买一副羽毛球拍送一桶羽毛球，活动以按购买金额打九折付款。 现在学校预购买这种羽毛球拍十副羽毛球 x 桶，而且 x 大 于等于十。 我们来看第一问，写出每种优惠办法实际付款金额外加和外移与 x 之间的函数关系式，我们来求一下。 好，我们先求一下，外加买一副羽毛球拍送一筒羽毛球。那现在要买十副羽毛球拍，也就是外加就等于 五十乘以十，五十是他的单价，所以你要乘对应的数量， 然后他会送了十桶羽毛球。所以说送了十桶，我们就不需要再进行计算了，我们只需要进行计算 x 减十桶之外的价格，也就是 单价是十十乘 x 减十。好，这就是外加的金钱。我们来化简一下， 外加等于十 x 加四百。我们再来看外溢 y 的 优惠活动是按购买金额打九折付款，所以我们要先求出来购买金额一共是多少， 实付也就是五十乘十，再加上 x 桶，一桶是十元，所以是十 x， 它们俩加在一起再乘零点九。 好，我们化简一下， y 就 等于九， x 加上四百五。好，第一问，我们就求出来了，我们再来求一下。第二问， 比较购买同样多的羽毛球时，按哪种优惠办法付款更省钱，更省钱，也就是更少的意思。我们来看一下，如果我们先假设他们两个钱是一样的， 那所以就得出外加就等于外一。好，那外加等于十， x 加四百，也就是十 x 加四百等于九， x 加四百五， 我们解得 x 等于五十，也就是说当购买的羽毛球拍十副羽毛球五十筒的时候，两者的价格是一样的。好，我们再来看第二个。 第二种情况，我们假设外甲小于外乙， 也就是十 x 加上四百小于九， x 加上四百五十，我们求得 x 小 于五十， 也就是说当 x 小 于五十的时候，外角小于外一，那这样外角就是更省钱的一方。我们再来看第三种情况，外角大于外一， 也就是十 x 加上四百大于九， x 加上四百五十，这样我们求的 x 就 大于五十，也就是 y 更省钱。 好，我们来看一下。第三问，如果商场允许，可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买， 且你就购买这种羽毛球拍十副和羽毛球六十筒，选择一种最省钱的购买方案。好，这一问的意思就是说，我们用两种办法综合起来， 达到最省钱的目的，也就是花的钱最少。我们来看一下怎么样才能让花的钱最少。我们首先要分析一下两种活动，活动奖，买一副羽毛球拍送一桶羽毛球， 也就是说甲省钱的点在于送的一桶羽毛球，当我买十副羽毛球拍的时候，我就可以享受到十桶羽毛球的免费， 如果你再买多余的羽毛球，这样就不会免费了。所以说活动甲它的优惠处是在于十副羽毛球拍送十桶羽毛球。 好，那还有五十筒羽毛球呢？这五十筒羽毛球，活动奖就不会再优惠了。另外，这五十筒羽毛球我们需要按照活动椅购买，因为活动椅打九折，所以整个方案我们就清晰了， 按照活动奖去购买十副羽毛球拍 加十桶羽毛球， 我们再按照活动椅去购买五十桶羽毛球。 好，我们来表示一下，我们先计算假的钱数， 假的钱数我们只需要算十副羽毛球拍的价格，就是五十乘以十等于五百元。 然后我们再进行计算五十桶羽毛球，再按照活动椅购买的价格 让两者加在一起就行了， 所以最省钱的方案就是九百五十元。好，这道题我们就解答出来了。
181宋老师方法课堂
05:32查看AI文稿AI文稿嗨，大家好，我是你们的大学老师，本次微课给大家带来一道今年刚刚考的期末考试的一道真题啊，题目不算难，但是呢，与时俱进，是关于 ai 大 模型的， 他说呢， ar 大 模型已被广泛应用在各个领域，前面巴拉巴拉一拉的话，我就不读了啊。然后呢，用 ar 是 要收费的，它收费的标准分为两种，一个是输入，一个是输出。那么国产大模型的输入的收费呢？是三万百万头肯，你也不要关心头肯是什么， 反正是一个单位，输出呢是十六元百万头肯。然后小美呢，想利用大模型去整理文献， 那么第一个小美要用一批一千两百万字的文献整理成一篇三十万字的含义报告。那首先 我们要把它转换成什么对应的 token， 因为 token 干嘛在消耗钱嘛，对不对？所以说呢，字对应着对应的 token 是 三百字，对应的是四百 token。 如果他一次性把文献输入给他模型模型呢，直接按照字数要求输出，也就是输入了一千两百万的 文献，输出了三十万字的报告，那么他要支付的输入托管和输出托管的总费用。那么第一个我们看一下啊，单位一定要注意一下，一千两百万，我把一千两百，其实你要是怕搞错，你把减上去除以多少， 除以三百，相当于四百万， 对吧？四百万，那么对应的是四百托克，那么就四百万乘以四百就扩大四百万倍嘛，对，一六零零万托克啊，等于多少个百万呢？等于 十六百万。 token 是 不是十六百万？那么十六百万一个是多少钱啊？一个是三块钱，一个百万，三块钱，那就三六 s 八四十八元，也就是说你现在呢？输入的 token 是这么多钱，能听得懂不啦？听不懂的话可以暂停一下，再思考一下这个单位是怎么来的。其实我没有把 one 打变成零零零零的，而是把它作为一个整体去弄的。那么我们现在呢，输出， 输出的话是三十万除以多少？除以三百，那就是零点一万，对吧？那么零点一万再乘以多少？四百 等于四十万，那么这是四十万 token 相当于多少？是零点四个百万， 那么一个百万多少钱？一个百万是十六块钱。四六二十四六点四元，也就是说我输出是六点四元，也就是说我一次性操作输入这么多文字，输出三十万的行业报告要花费多少钱？四十八加六点四 等于五十四点四元，这五十四点四元就跑不掉了，就是最低消费，对吧？ ok， 这一题就解决了。那么第二个你输出的结果不太理想呀，比如说你们用了豆包啊，或者说 那个元宝呀，你会发现一次输入的效果不理想，你会再去提醒他做一些修改，对不对？那么小美在第一问的条件下，尽情的修改了 x 四， 那么修改过程里面输入的透坑忽略不计，因为你输入修改肯定是微调嘛，输入那几个字就算了，就不算透坑了。好，那么这时候呢，产生的整费用 y 和调用模型的整预算是八十元，问他和他的关系是， 那么我们肯定知道这五十四点四元包括了输入的，那么你第二次还要把这个一千两百万字再次输入吗？不需要的呀，因为你已经干嘛 把这个最原始的材料已经给他了，你输入的只是修改了个介那几个字就算了，他也说了托克数忽略不计，那这个时候呢，输入的费用干嘛就不用再去计算了？那么 y 等于多少？ 五十四点四，最低消费再加上。但是你第一次是不是有已经输出了一次，结果你修改次数为 x 次，那这时候再加上多少？ 六点四乘以 x 就 可以了。因为你每次输出都是三十万字的行业报告呀，这是一些要求呀。所以说你列出的这个关系式写得好看一点，就是多少六点四， x 写在前面就是五十四点四， 然后这里面因为它的范围是八十块钱，那你把它六点四 x 加五十四，大于 等于零，小于等于八十，求出来 x 的 范围是多少呢？ x 是 大于等于零，小于等于四，并且加个东西啊，是整数 就可以了。好希望这道题目给大家带来一点收获啊，如果你们期末考试已经出来了，需要我分析的可以私信我给大家分析一下。
33^_^大旭数学✊
05:58查看AI文稿AI文稿八年级数学今天我们来看一下这道八下依次函数求解析式的题目， 以前呢，我们从来都没有讲过求这个函数解析式的题目，今天我们就来看这两道经典的题目。首先第一题，在矩形 abcd 中，他给出了 这个点， a 的 坐标为负三到二，点 c 的 坐标为负二到零，它要求的是直线 b、 d 的 解析式为多少？ 首先呢，他问的是 b、 d 的 解析式，现在我们只知道 a、 c 的 点的位置，所以呢，我们就要根据 a、 c 求出 b、 d 这两点的位置。首先我们看 a 这个点是负三勾二，那它的横坐标呢？也就是负三， 那这样子 b 它没有在 y 轴上有对应的点，在 y 轴上对应的点为零，所以呢， b 的 坐标就是负三角零， d 点是同样的原理，先看它在 x 轴上的坐标是多少，也就是 c 的， 它和 c 是 对应的，所以它的 x 横坐标也是二。然后呢，再看它的纵坐标， 它这个地方呢，我们看一下它这个地方也是二，因为它和 a、 b 是 一样高的， d 就 等于二。逗二，现在我们已经知道了 b、 d 两个坐标，我们把它带入这个 y 等于 k， x 加 b 这个式子里，算出来就可以了。我们算出来最后的结果呢，就是等于多少，就等于 k 等于二五分之二，然后呢， b 就 等于五分之六，这么算出来，它这个解析是 y 就 等于五分之二， x 加上五分之六。 这一步代入很简单，同学们可以回去再算一下。然后呢，现在我们来看第二题，将四十五度角三角形放在坐标系中，如图， a、 b、 c。 然后呢，点 a 的 坐标是多少？负三到零点 b 的 坐标呢？是零到二，它这次求的是 bc 的 解析式为多少？你看它已经给出了 b 的 解析式，那我们就 已经给出了 b 的 坐标，那我们就只要求 c 就 可以了。然后呢，它因为它是个四十五度角的三角形，这两个角是四十五度。然后呢， a， c 就 等于 ab， 因为等角对等边， 我们看一下，他已经知道了 a 等于负三到零， b 等于零到二，那我们怎么求他这个 c 点的坐标是多少呢？ c 点的坐标我们首先看一下，我们先往下，从 c 点往下做一条垂线，这一点我们命名为 d， 让我们来观察一下，通过这条垂线呢，我们可以得到什么？ 就是得到一个新的三角形，我就写一下新的三角形就是 c， d， a 和 a， b、 o， 它是全等， 为什么全等呢？首先两个直角，这上面这个角也是相等的， 然后这个 d， a 和 bo 也是相等。得到这个两三角形相等之后，我们就可以知道 b， bo 和 d， a 是 不是值，是不是一样？ bo 的 值我们从图里就可以知道， bo 的 值就等于二，所以 d， a 也等于二，那 d 的 坐标呢，那就是负五到零。再看这个点， c 点， 我们看一下它这个刚才说了这两个点相等， a、 o 等于三，所以呢， c、 d 也等于三。现在我们已经知道 c、 e 的 横坐标是负五， 它的 y 轴上的坐标是三，所以呢， c 的 坐标就是负负三。求出来 c 的 坐标，那就是代入。呃，将这个 b， c 代入，这个 y 等于 k， x 加 b， 这个式子中带有这个式子，我们最后算出的结果呢，就是 b 等于二， k 等于负五分之一，没问题吧？然后呢，这个解析式 的是多少呢？ bc 的 解析式，它就是 y 等于负的五分之一， x 加上二。那么第二题我们也解决了，这两道题其实性质都是一样的，就是他给你两个点， 然后呢，让你求另两个点的一个解析式为多少？很多同学可能给出 ac， 就 直接把 ac 先带入这个式子，你直接算了，那这样是不对的，因为带入 ac 算出来的话，就是 ac 的 解析式，而不是它的 b、 d 的 解析式。 这道题也是一样，但这道题还还加了一个这个全等三角形进去，它这个难度变大了一点。 那这两题就讲解结束了，同学们可以整理一下笔记，谢谢大家。
23数学小王子
03:50查看AI文稿AI文稿带绝对值的一次函数不会画，看视频轻松拿捏，那我们来讲解一下啊，带有绝对值的一次函数的图像该怎么画？比如这里的 y 等于绝对值的 x 减二，通过前面的学习呢，我们是比如说画 x 减二的图像，我们是很熟记的，那现在一个问题就是这个绝对值该怎么去掉，把它转化成我们学过的， 那我们想去绝对值的时候，我们应该考虑什么？对啊，考虑这个 x 减二，它究竟是一个大于等于零还是小于零的，所以呢，这里就需要讨论 x 和谁的关系啊？ 对啊， x 和二的大小关系。所以呢，画图的第一步就是什么呢？要确定零点，注意啊，这个零点可不是说让 x 等于零，而是要令绝对值中的式子等于零。那对于这个题来说， 令 x 减二等于零，所以呢， x 就 等于二，我们就可以得到啊，当 x 小 于等于二，那就得到了什么？ x 减二呢？小于等于零，那所以呢，那去掉绝对值的时候，它就要变成什么相反的 好，那另外一种情况呢，如果 x 大 于二，这个时候我们就得到了 x 减二呢？大于零，所以这个时候我们再去去绝对值的话，那是不是就是本身 好？掌握了这个啊，我们就进行第二步，得到这个分段函数的解析式。 y 等于两段啊，当 x 小 于等于二时，我们得到的，想想是什么要取相反，所以呢，就是负 x 加二， 好，把这个范围啊，加一个括号好，那如果说 x 大 于二呢，那就是取它本身啊， 就是 x 减二。通过刚才这两步，我们可以看，我们可以看到啊，一个带有绝对值的函数，其实它可以被拆成一个分段函数，就是不同的范围对应着不同的函数。 那接下来呢，我们就来瞄点连线。注意啊，这两个都是我们熟悉的一次函数本身，在一次函数取点的时候，我们是不进行什么要求啊，但是这里建议大家啊，把这个就是两个范围的交界点取上， 比如说对于 y 等于负 x 加二，这个时候呢，我们取一个点呢，它交界点是 x 等于二的时候，那对应的 y 呢，就是零，我们再取一个点吧。好，这个点呢，我们优先啊，在这个小于等于二这个里头取，比如说 x 等于零吧，那 y 呢，就等于二。好，我们先来画它的函数图像啊， 二零零二，好，注意啊，对于这个直线的话，我们只要小于等于二，也就是二左侧的那一部分， 大于二的呢，我们就不再画了。好，那接下来呢，来画 y 等于 x 减二还是交界处呢，就是二零，再取一个点，再取一个点，在大于二里头取啊，取一个四二。好，我们来瞄点 二零还是这个点，四二，这个好连线啊，我们要的是 x 大 于二的那一部分，那就是二右侧的，那就是这一部分图像啊，这个啊，对于红色的直线大于二的我们不再要，那同样的这个蓝色的线小于二的部分不要。 好，这样呢，我们就得到了啊，这个函数图像呢，它画出来之后呢，是一个 v 字形，那 其实啊，对于这种带有一个绝对值的一次函数，就是没有什么特殊的要求的话，画出来的图像基本上都是一个 v， 有 的呢开口朝上，有的开口朝下，所以呢，这就是刚才啊，在大家取点的时候，建议啊把这个分界点给取上，为什么？因为这两条线，红线和蓝线到时候它会相交到这个分界点处， 如果说啊，你没有取这个分界点，如果画图稍微有点偏差的话，这个就落不到这个二零身上了，所以这是画图的时候需要注意的一点啊。今天这个视频呢，我们讲的是含有一个绝对值的，那之后的话会再更新含有两个绝对值的。好，我们下期见。
73言语徒劳
07:54查看AI文稿AI文稿挑战八架数学期末考试压轴题，一个视频，学会依次函数压轴题弹幕打出，我要考满分，咱们开始啦！ 来，咱们来看。而这字体说如图，直线 y 等于负二分之一， x 加三与 x y 轴分别教育 a、 b 两点啊至若咱们直接把这个点坐标写出来，那 a 点坐标就是六斗零应 x 等于六的时候， y 是 零， 那 b 点坐标就是 x 是 零的时候，哎， y 是 三而渐来，直线 y 等于 k， x 减一与线段 a， b 教育 c 于 y 轴教育 p， 那 所以这个 p 点呢？又知道了零负一 好。咱们在写这一次函数体的时候，一定要按照这个操作来做，就是告诉你直线你首先把这个点坐标直接标到题上，这样会比较方便一点好。比如第一题直接写出点 a 点 b， a 点 p 的 坐标，那我第一问就搞定了是吧？ a 点 a 我 就写出来了，点 a 就是 六斗零 点 b 呢，我也知道了，是零逗三好，点 p 就是 零逗负一好。第二问说，若 b、 d 等于 a、 d， 那 求出 o、 d 的 长度，并且求出三角形 a、 b、 e 的 面积，咱们看一下 这个时候第二问，哎，咱直接 h 这样求傻蛋就射傻射， o、 d 是 x， 那 这个时候你又发现 o、 d 是 x， 那 你 a、 d 是 不是就说六减 x， 因为 a、 d 等于 b， d， b、 d 是 不也是六减 x， 那 这个时候 a、 o、 b 是 三，那由勾股定律可以直接求出来说，所以可以设 o、 d 等于 x 好， 因为 o、 a 等于六，那所以， 哎，你这个 d a 就 等于六减 x 好， 那则 b、 d 就 等于 a， d 就 等于六减 x 好， 因为 o、 b 等于三。哎，这个时候你要斜在 而 t 三角形 o、 b、 d 中，这里一定要写在哪个扇形东，然后由要由勾股定里，因为你要用的是勾股定理，费该写好由勾股定理得，你是不是用的是 o b 方 加上 o、 d 方等于 b， d 方好， o d 方三三就值九，加上 a、 o、 d 呢？是 x x 方，然后等于 a、 b、 d 就是 六减 x 库角平方 等号左边都有 x 方，直接消掉了，所以直接可以解，直接都能把 x 给解出来，是吧？ x 解完之后是四分之九， 四分之九，好，那这个时候你再写，那你这个三角形 a、 b、 d 的 面积也就好求了。 a、 b、 d 的 面积，它等于二分之一，是不以 a、 d 为底儿，然后以 o、 b 为高了呀，二分之一 啊， x， 也就是 o、 d 是 四分之九，那你 a、 d 也一共是六啊，四六就四分之二十四，是四分之九，是四分之十五，然后再乘以 o、 b 就是 三 a， 所以 求完之后，你看八分之四十五，好，它面积八分之四十五啊，这就前两问，所以压住的前两问一般比较好解决。咱们看第三问好，第三问怎么去解决呢？第三问说这个 pcb a， 这个 pcb 这儿是四十五度， 四十五度好，如何求出这个 c 点坐标啊？这个呢，咱们想咱们学四十五度，你要学会如何处理四十五度的问题，因为咱们没有学鱼先定力，是吧？高中鱼先定力，可以直接解决四十五度。那咱们现在你要把四十五度怎么操作呀？把它围在一个直咬散心当中就可以了，哎，比如说被 pe， 你 可以做 a、 p， e， a 垂直于 a、 b。 好， 这样的话你会发现那个三角形 e、 c p， 它是不是就是等腰直角三星了？ 好，你就可以了。所以你求 c 点坐标，你只需要求出 cce 或 cb， 或 cp， 或 ca 任何一个线段长度，然后令红点和点距离公式，我又能求出 c 点坐标了。好，现在来，咱们要看我如何求出 c e 或 cb 呢？那正数你，你是不是要求出 p e？ 还怎么求 p e 呢？咱可以这样 用等级转换求入 p e。 你 可以说 a， 因为你可以看三角形 a， b， p 的 面积等于二分之一，如果以 b p 为底的话，高是不就是 o a？ 如果以 a b 为底的话，高是不就是 pe？ 好， 那所以二分一交掉。那你 b p 看一下 b p 多少， b p 是 四，对不对乘以 o a 呢？ o a 是 六， a 等于 a b， a b， 你 看一下勾股定律，能算出 a b a， 你 可以在这前面写一个，因为 a b 方， a 等于 o， b 方，加上 o a 方， o b 方就是九， o e 方是六六三十六，它就等于四入， 那所以 a， b 是 不就等于 a 四十五，可以写成五九四十五就三倍根五，三倍根五，所以 a 就 等于。这儿开写， a b 乘以 p e， a， b 就是 三倍根五， a p e， 那所以也往这写，所以 p e 就 等于。哎，你就知道了， a 二八比根五是八比根五，也就是五分之八倍根五。做到分比有理化好， p e， 你 就求出来了。为什么求 p e 呢？所以这个时候你要知道，这个 c， e 是 不就等于 p e 了，就等于五分之八倍根五，因为咱们刚输了 a， p e， c 是 等二，只要三。写好的。这个时候你想一下，那这个 b 是 不你也能求 a b 的 平方是不等于 b p 方减去一个 p e 方，哎， b p 呢？算刚说四是吧？四四十六减去个 p e 方， p e 方就是 a 五分之八八六十四， a 最终等于每看下五分之八十，减去六十四就是十六， 哎，十六，好，所以 a b e 就 等于五分之四位的根五。 好，那，那咱们知知道 b c 了吧？是叫 b c， b c 是 不是？哎，往上走一走， b c 是 不就等于 b e 加上一个 e c 啊，是吧？ a b e 咱们求出来是五分之四倍根五，五分之四倍根五。嘿， e c 呢？ e c 五的爱上面也求过了是吧？ e c 是 等于 p e 在 这里是等于五分之八倍根五， 给它们一加不，五分之十二十二倍根五。咱们知道 b c 长了呢。接下来有好处，用点和点几率公式是吧？首先你可以先去设 a， 去设 c 点坐标，因为 c 点是在这个 ab 上的，所以可以设 m。 逗， ab 的 解一式，咱说负二分之一 x 加三，那就是负的二分之一 m 加上三，也用 c 点在 ab 上，对吧？好， b 点坐标呢？是零。逗三。那所以往这写 bc 的 平方，咱们说点和点几率公式是横坐标差平方就 m 减零的平方也就 m 方， 加上作对标差比方也就是负二分之一 m 加三和三的平列个这个，这个差一减的话，为它就是负的二分之一 m， 也就是四分之一 m 平方也等于， 而 b c 是 这个值，对吧？ a 它的平方是多少啊？是不是五分之一百四十四？好，那所以就是 a 四分之一 m 方就等于五分之四分之五倍的 m 方等于五分之一百四十四，那你 m 就 解出来了， 来解出 m， m 等于五分之二十四，这个自己解一下。那所以 a c 点坐标它就是 m， 也就五分之二十四。逗，你把五分之二四代入这个负二分之一， m 加三啊，可以得到，它就是五分之三。 好，随手。当这做压轴题的时候一定要去思维开阔一点，然后，嗯，去把它这个思维给他求出来，和大家做一下笔记。
110数学思维阳老师
01:52查看AI文稿AI文稿这是一道一函数求解析式的题目，这道题目呢，有一个非常大的坑，咱们一起来看一下。已知一函数 y 等于 k， x 加 b， 当 x 大 于等负三小于等于一的时候，对应 y 的 值是 y 大 于等于一，小于等于九， 那么求 k b 的 值为多少？那这道题目呢，有很多同学是这么做的，他觉得 x 是 负三的时候， y 是 一， x 是 一的时候， y 是 九。好，各位你看，如果这么写的话，也就说这儿的 x 和 y 是 同增同减的关系，对吧？那也就相当于你默认了这里边的 k 是 大于零的， 但是你看题目有没有告诉你 k 大 零没说，所以它还有一种情况啊，就是 x 是 负三， y 是 九， x 是 一， y 也是一。 好，那我们先把这组数带进去求 k b， 你 看负三一带进去就是负三， k 加 b 等于一，一九带进去就是 k 加 b 等于九。好，那我们可以求出来， k 是 二， y 是 七，所以这个一函数的解析式就是 y 等于二， x 加七。然后呢， 这组数据带进去的话，求出来的解析式是 y 等于负二， x 加三，那么 k b 的 值为二乘以七是十四，或者是 负二乘以三是负六。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话，再把我整理的这套期末考试的必刷题拿去练习。
220梁老师数学思维提升
02:03查看AI文稿AI文稿啊哈哈， 哎呦 我。
44初中数点星光
04:33查看AI文稿AI文稿依次函数的常考压轴题啊，有两个动点，一个定点构成的动三角形，要求它的周长最小值，以及这个动点它的坐标。今天呢，我们通过一个视频把它讲清楚。 先我们来读一下题目啊，就是这里有一条直线 a p， 那 它减数是给出来的， y 等于 f 加三，这里有一个矩形， a 点的坐标是零到二，这里有一个已知点 g 点，它的坐标是二到零。 那么现在呢，他说有两个动点，一个动点呢是 m 点，它在 a p 上，一个动点呢，是在 y 轴上，这是我们的点，由这两个动点和这个定点构成的三角形，说当它为最小值的时候，求出它的最小值以及此时 m 点的坐标。 那这个题呢，很明显啊，它是我们将军印码的一个升级版啊，以往呢，我们遇到的将军印码呢，就是啊，一条一条线啊，这里有两个定点， a 点， b 点， 然后这上面一个动点 p 点，我们要计算它的 a p 加 b p 的 最小值。我们的方法是做其中一个点的对称点，再把这个对称点呢和另外一个点连接起来，那么此时这条线段的长度就是这两条线段相加的最小值。 但这个题呢，它难度要更高一些，它有两个动点，只有一个定点，那怎么办呢？实际上做法都是一样的啊，都是做对称点，只不过呢，它有两个定动点，就要做两个对称点，所以我们先来做对称点。 先呢，以这个点 n 所在的 y 轴作为对称轴，做这个啊， g 点的对称点，它是二勾零，就说长度是二。做对称点过来，这边别说是一点，这里呢，应该是负二勾零，长度是二。好，这是第一个对称点。第二个呢？ 第二个是做啊， m 点所在的 a p 为对称轴，做它的对称点啊，垂直于它 啊，垂直于它。刚好这个时候呢，我们 f 点，哎，此时的 f 点就很特殊了，因为它这条线很特殊。为什么呢？ 啊？我这个这段 o a 是 三，这段的长度是三，也是可以算出来的，这相当于说我们这是一个等腰的扇形，然后这个角点四十五度，那总的来讲，这个大的是九十度的话，隔壁也是四五度，可以说 ap 是 角平分线。 那我这里又垂直，那就是三线合一啊，那这个时候刚好我这一段等于这一段啊，那而且它是个等二扇形， a g 等于 a f， 这段长是一，那 a f 也是一，所以 f 点坐标也很容易得到啊，它是三斗一。好，我们知道了两个对称点，接下来我们就把这两个对称点怎么样呢？把它连接起来， 哎，连起来，这条线与 y 轴的交点才是我们真正的 n 点所在的位置，与 a p 的 交点才是我们真正 m 点所在的位置。好，此时呢，我们就把这三个点再连接起来。哎， 此时构成的这个三角形啊，他这个时候的周长才是最小的。为什么最小呢？因为我的这段是等于这段的长度的。哦，这段是等于这段长度的，那我的周长是由这两段加这一段，那现在就转变成了这一段加这一段，加这一段， 那也就是说三条线段在一条直线上的时候，它一定是最短。哎，所以就是这个状态下，它的周长最小了，而且最小值应该等于 e f 的 长度，那这个 e f 呢，也很好算啊， e f 应该等于多少呢？它是一个啊，直角三角形嘛， 等于根号啊，我们这段的长度这是二，这里是三，就是五五的平方，加上我这个长度是一啊，一的平方就等于根号二十六，所以这就是我们的，怎么样呢？周长的最小值就是根号二十六啊。 好，接下来我们要求 m 点坐标啊，这个 m 点坐标怎么求呢？很简单， m 点是我们啊这个 e f 和 a p 的 一个焦点，我们可以把这个 e f 的 解斜式啊给算出来，因为我们 e 点坐标和 f 点坐标都是已知的，用待定系数法就可以求出来。 y e f 呢，它是等于五分之一 x 加上五分之二的 啊，再把这个呢，呃，连列方程，我们可以把它等起来啊，为 s 加上五分之二，它等于负 x 加上三啊，求出 x 等于多少呢？等于六分之十三的啊，这就是 m 的 横坐标。 那重坐标呢，我们可以把它带到这里来啊，就是负的六分之十三，加上三就等于六分之五。那所以呢，我们 m 的 坐标此时也知道了，就是六分之十三到啊，六分之五。
139粤数
26:35查看AI文稿AI文稿哈喽各位，咱们的中考已经结束了，所以关于中考的一些视频和内容，咱们的更新就暂告一个段落，那么接下来呢，会给大家继续来更新八年级下册的一些内容， 主要是关于一次函数综合题以及四边形综合题，这种在我们八下期末考试的时候呢，它是作为压轴题的一个类型啊，那么针对于一次函数的综合题呢，我们会给大家讲解三类最常考的一个问题的类型啊。我们今天要讲解的是第一个类型，就是我们的三角形面积问题，然后呢， 第二个类型是我们的几何最值问题，这是我们第二个视频讲解的内容。第三个视频呢，会讲解一下图形的存在性，这里头呢，主要是等腰三角形的存在性考的会比较多一些啊。好，那么我们这个视频先来看第一个类型，关于三角形面积的一个求解。 在坐标系当中呢，三角形的面积应该怎么去求解呢？关于三角形的面积我们当然熟悉，它的面积就是直接底乘高除以二，带入我们的面积公式就可以了，对吧？但是呢，在我们坐标系当中， 它的底它的高怎么去表示？因为坐标系当中，它只有坐标，没有线段长，所以你需要把坐标转化为线段长，或者说是根据坐标去求出来线段长，表示出来线段长，然后我们才能去代入面积公式，计算它的面积。那么在坐标系当中，三角形的位置不一样，它们的面积的表示也不一样，比如说我们来画一个图案， 这样一个图，这个三角形呢是这样的， a， b， c， b， c 这条边呢平行于 x 轴，那么这个三角形它的面积应该怎么表示呢？以哪条边为底会比较好表示一些呢？ 应该是 bc 吧， bc 这条边平行于 x 轴，所以它的面积呢，我们选择以 bc 为底，那么 bc 上的高这一段就是我们所要找到的高了，所以它的面积应该是二分之一， bc 乘一个 h， 那 这里头的 bc 这条线段，它的长度怎么用坐标来表示？这条底边上的高 h， 它的长度又应该怎么用坐标来表示？ 这是我们三角形面积当中的一个重点啊，我们当然知道它的面积公式怎么去写，但是呢，在坐标系当中，它不会直接给你线段长，你需要去用坐标找到它的线段长。那当然还有另外一种三角形， 比如说我们这个三角形是这种形状的 a， b， c， 那 这种形状的三角形，它的面积应该怎么表示呢？上面那个图形呢，它是 b、 c 这条边平行于 x 轴，所以我们用 b、 c 为底。但是下面这个三角形非常明显，它的三条边都跟 x 轴或者是 y 轴都不平行， 每一条边都不平行于坐标轴，那么它的面积咋整，怎么整呢？所以针对于这两类图形，一个呢是它的有一条边平行于坐标轴，另外一类呢，就是三条边都不平行于坐标轴，主要是这两类图形，它的一个三角形面积应该怎么去给它进行一个表示啊？那我们来看一下， 这里头呢，给大家分成了两个类型，第一个类型呢是平行三角形，有一条边平行于坐标轴，那么它的面积表示就非常清楚了，哪条边平行于坐标轴，就以哪条边为底边，然后这条边上的高为高就可以了。那另外一种情况呢，就是我们刚刚画的第二个图，三条边都不平行于坐标轴， 那这样的图形我们又应该做一个怎样的表示呢？我们来看一下啊，这里头给大家放了几个比较常见的图形，道理都是一样的啊。我们先来看第一种类型，有一条边平行于坐标轴的话，第一个图呢是 ab 这条边，它是在 x 轴上，或者说我把它往上移一下，只要它平行于 x 轴就可以。 那么此时对于我们的三角形 abc 来说，它的面积应该是以谁为底呢？以 ab 为底对吧？只要有存在平行于坐标轴的边，那么就以这条边为底就可以了。二分之一 ab 乘以一个高，高应该是这一段 h， 那 为什么说平行于坐标轴的话就以它为底呢？你看一下 ab 这条线段，这个边，它的长度用坐标来表示的话，应该怎么表示？ 这个位置是点 b 的 横坐标，这个位置是点 a 的 横坐标，所以它们两个之间的距离应该是 x b 减去 x a 就是 它们两个横坐标的差， 是不是好表示出来？但是如果你选其他的边的话，比如说你选 ac 这条边为底边，那你说这条边你咋表示呢？是你表示 ac 这条边的长度好表示，还是表示 ab 的 长度好表示呢？ 是不是 ab 更好表示？所以这就是为什么我们在平行于有一条边平行于坐标轴的时候，我们会选择平行于坐标轴的那条边进行一个面积的表示，以它为底，因为它平行于坐标轴，它们两个点之间的距离是非常好表示的，所以就是二分之一 x b 减去 x a， 然后再乘个 h， 那 么 h 的 话呢，就是点 c 到 x 轴的距离，一个点到 x 轴的距离应该是它哪个坐标的绝对值， 应该是 y c， y c 的 绝对值，所以这样我们就可以用它们各自的坐标表示出来它们的底边长和高，然后从而进行一个计算了。那么那么在这里呢，需要提醒一下，一定要记得带上绝对值啊， 因为它的坐标横坐标也好，纵坐标也好，它是有正有负的，而且呢，它三角形所在的象限不一样，它的正负又不一样，大小又不一样，所以一定要记得带上绝对值，然后再判断它的正负，再去掉绝对值。这是我们第二个图形，第二个图形呢，是 ab， 这条边平行于我们的 y 轴， 那我们来看一下这个图形当中 a b c 这个三角形，它的面积又应该怎么表示呢？那你选吧。三条边以哪条边为底， 它的边长好表示一些，以哪条边？是不是以 ab， 它是平行于 y 轴的，所以呢， ab 这条线段的长度用 a 和 b 的 坐标来表示的话，怎么表示这是 y a， 这呢是 y b， 所以 用 y a 减 y b， 是 不是就是 ab 的 长度了？所以我们仍然选择平行于坐标轴的那条边是底边， 然后这一段就是我们的 h 了，那么 ab 它是平行于 y 轴的，所以它们两点之间的距离就是它们动作标的差。 y a 减去 y b， 还是要记得带上绝对值啊，然后呢，它们的高高是点 c 到 ab 的 距离，应该是这一段，对吧？ 这一段，这一段的话，这个对应的是点 c 的 横坐标，那这边呢，对应的是点 a 的， 或者说点 b 的 横坐标都一样，因为 a 和 b 的 横坐标是一样的，所以呢，我们就可以用 c 的 横坐标减去 b 的 横坐标，是不是就是这一段高了，所以再乘以一个 x c 减去 x b 就 可以了。 这是我们关于平行于坐标轴，它的三角形的面积怎么去表示？平行于 x 轴，平行于 y 轴，平行于哪？哪个坐标轴？那么就以这条边为底边，以这条边上的高为高，去进行一个面积的表示就可以了。 然后呢，它的线段长，怎么用面积去表示？其实就是我们在学平面直角坐标系的时候，两点之间的距离，平行于坐标轴的两个点之间的距离怎么表示，这里就怎么表示。 那再提醒一下啊，这个式子什么二分之一 x b 减去 x a 乘以 y c。 这个式子大家不要去死记硬背，你要理解它的来源，因为它的图形构造不一样，字母不一样，你去死记硬背这些式子是没有用的，它不会给你考一个图形一模一样的一个题目， 所以你要理解这个式子它的来源，它是怎么来的？那根据它不同的图形，你也可以进行一个随机应变，进行一个辨识就可以啊，这是关于平行于坐标轴，然后呢，是三条边都不平行于坐标轴呢？大概有这三种图形， 这三种图形呢，前面两个一二三，前面这两个呢，它是属于同一类的。第三个呢，跟前面两个都不一样，第三类属于比较难的一个类型了。那你看一下前面两个跟第三个有什么区别，能看出来吗？ 前面两个是不是它都有一条边，跟我们的坐标轴有交点，是吧？第一个图呢，是 ab 这条边跟 x 轴交于了点 c。 第二个图呢，是 ab 这条边跟 y 轴交于了点 c。 那 第三个图呢？ a o b， 它有没有跟坐标轴有交点？三条边都没有交点，所以呢，前面两个图是属于一种，第三个图属于另外一种啊。我们先来看前两个图，关于第一个图的话，我们看一下三角形 a o b， 它的面积，三条边都跟坐标轴不平行，所以我们不太好表示它的一个整体的面积 a o b， 那 怎么办呢？ 巧的是呢， ab 这条边跟 x 轴怎么样？有一个交点 c， 所以呢？哎，所以我们是不是可以连接一下 oc， oc 把这个大的三角形 aob 分 成了上下两个小三角形， 那这两个小三角形它的面积好不好表示呢？比如说，我们先来看 a o c a o c 这个三角形，它是有一条边在 x 轴上的，其实跟我们上一个类型的第一个图是一样的，对吧？还有一条边在 x 轴上，就是 o c， 那 对于下边这个三角形呢？同样的 o c 就是 它俩的公共边啊， o c 就 在 x 轴上，就说明这两个三角形，我们就把它分割成了上面的第一个类型， 有一条边平行坐标轴，对吧？所以它的面积呢，我们从跟坐标轴的交点进行一个分割，分割成了 a o c 和 b o c。 那我们再来看 aoc， 它的面积怎么表示呢？有了上面的铺垫，那这个三角形的面积是不是更容易一些了？ aoc 应该是以 o c 为顶点， a 到 x 轴的距离为高，所以它应该是二分之一 o， c 乘以一个这段高，应该是点 a 的 纵坐标的绝对值，所以再乘个 h 吧，然后再加上 b c， b c 的 话，同样是以 o， c 为高啊， o c 为底，那它的高呢？应该是点 b 到 x 轴的距离， 所以它表示完了之后呢，应该是往上面写吧，下边写不下了，应该等于二分之一的 x， c 的 绝对值乘以 y， a 的 绝对值，再加上二分之一 x， c 的 绝对值，乘以一个 y b 的 绝对值， 就是它的一个面积了。所以只要有跟坐标轴相交的一条边的话，那么就以这条相交的线为底边，把它分成两个小三角形， 这是第一个啊。然后我们再来看第二个图，第二个图呢，是 ab， 这条边跟谁有交点了？跟外周有交点了。那么同理，举一反三，一下有了第一个图的作铺点，那第二个图怎么办？ 跟外周有交点，所以呢，哎，从外周把这个大的三角形 a、 o、 b 一 分为二，分成了左边和右边，所以我其实这两个图，我们就是通过一些方法，把它转化成我们的第一种类型， 转化成把它分成两个小的三角形，这两个小的三角形呢，都是平行于坐标轴的，但是这个大三角形是不平行于坐标轴的，这就是我们的目的啊。把不平行于坐标轴的三角形，通过一些方法分割也好，或者说补行也好，把它分割成或补形成有一条边是平行于坐标轴的，我们再来进行一个和差的计算。 所以同样的道理，这个三角形呢，它应该是 a o b 等于 s 三角形 a o c 加上 s 三角形 b o c。 那 这里头具体的坐标表示我就不再写了，它跟第一个非常相似，无非就是把 x 轴变成了 y 轴而已， 所以一和二它是属于同一个类型的。然后我们再来看第三个图，第三个图呢，它这个 a o b 啊，就有意思了，三条边呢？哪条边都跟坐标轴不挨着，不平行，所以怎么办呢？图当中其实已经已经画出来了一种辅助线了，图当中呢，是把 a b 进行延长，跟 x 轴相交于了点 e， 哎，给它延长之后，先交余了点 e， 那 交余了点 e， 点 e 是 在 x 轴上的，就可以跟它另外一个顶点 o 构成了一条边。那么 a o b 这个大三角形的面积是不是很好求它有一条边 o e 是 在 x 轴上的，对吧？那我要求 a o b 的 话，怎么用 a o e 来表示呀？ 只需要这个大的三角形 a o b 减去哪个小三角形呢？ b o e， 对 吧？那你再看 a o e 和 b o e 一 大一小，这两个三角形是不是都有一条边平行于 x 轴，也就是我们的 o e， 对 吧？所以此时呢，就可以用三角形 a o e 减去三角形 b o e 来进行一个计算了。 a o e 和 b o e 的 面积都比较好计算， o e 的 长度就是点 e 的 横坐标的绝对值。 a o e， 它的高就是点 a 纵坐标的绝对值。 b o e 三角形的高就是点 b 纵坐标的绝对值。那除了这种方法，有没有其他的方法呢？当然有， 你往这边延长，跟 x 中有交点，我是不是也可以往这边延长，跟 y 中有交点？比如说这个交点是点 f， 那 我用 b f o 这个三角形， b f o 这个三角形的面积减去 a f o 这个三角形的面积，是不是也可以得到 a o b？ 其实道理都是一样的呀？ b f o a f o， 它是不是都有一条边在外轴上，或者说平行于外轴都是比较好表示的，所以这两种方法都是将它的三角形进行了一个补形，给它补成了一个平行于坐标轴的一个图形， 进而进行一个和差的计算。那除了这两种方法以外，还有一种方法，你可以从 a 和 b 做两条垂线，或者说平行线，把它构造成一个矩形， 那么此时这个三角形 a o b 它的一个面积就可以用这个矩形它的面积减去这三个小的三角形，是不是也可以呢？这也是一种方法，对吧？就像我们刚刚画的第二个图的时候，我们说第二个图它的一个图形是这个样子的，那这样的一个图形的话，其实你可以做它的一个延长线， 我延长一下这条边，它跟 s 轴有交点，用这个大的三角形，它的面积减去这个小的三角形的面积，就得到了这个三角形的面积，是不是也可以？当然我还可以怎么样呢？ 我把它补成一个矩形，这个矩形的面积减去这三个小三角形的面积，是不是也可以呢？对吧？所以针对于我们不平行于坐标轴的三角形，它呢可以通过分割或者说补形的方法，把它 补成一个平行于坐标轴的一个大图形或者说小图形。通过分割的话，就是主要是针对于他有一条边跟坐标轴有交点的话，我们就用分割的方法分割成两个小三角形，如果他三条边都没有 跟坐标轴平行，也没有跟坐标轴有交点，那么就通过补形把它补成一个大的三角形，或者说补成一个大的矩形，然后用大图形的面积减去小图形的面积，得到我们这个三角形的面积。所以如果是这种情况的话，我们就用的是补形的方法啊，这是关于坐标系当中三角形的面积问题， 其实它就是这一句话啊，在坐标系当中，你用坐标去表示线段长，进而用线段长带入到面积公式当中，但是它的前提是啥呢？它的前提是你要知道它的三角形的位置， 三角形在坐标系当中的一个位置，它有没有一条边平行于坐标轴，有的话就是我们上面这两个图形的类型了，如果没有的话就是我们下面的，那下面呢又分成了两种类型，如果没有边平行坐标轴的话，那有没有边跟坐标轴有交点呢？ 有，边跟坐标轴有交点的话，就从交点给他一分为二。分割分割成两个小的平行坐标轴的三角形，如果没有交点的话，也不平行坐标轴，那么我们就用延长或者说构造矩形的方法给他进行一个补行， 补完之后用大的图形减去小的图形就可以了。所以第一步先去确定三角形的位置，进而去看一下他是直接计算还是需要分割，还是需要补行。然后第二步才会到了，我们用坐标去表示我们的边长，然后直接带入到我们的面积公式就可以了。 好，理论知识呢，就是这些啊，那我们来实践一下。这里头给大家放了一道例题，然后后面呢，同样有一道训练题啊，例题我们会讲解，训练题就不会讲解了，自己大家自己去自己做一下。我们先来看一下这道例题整体的一个编排逻辑， 那么这道题的题干非常简单，就一句话啊，给了我们一条直线的解析式，这个解析式是未知的， k 和 b 都不知道，给了我们跟 x 轴和 y 轴的交点坐标 a 和 b。 然后呢，下面会有五个问题，分成了四种类型。第一个问题呢，因为它解析式不知道，所以我们需要从点坐标去求出来它的解析式待定系数法求解析式就可以了。然后第二个呢， 既然有点坐标了，那么点坐标怎么去表示线段长呢？是不我们也可以从点坐标转换到线段长，因为我们下面是个面积相关的，对吧？所以这一步做了一个铺垫。然后第三问呢，是已知点坐标去求三角形面积，第四和五呢，是已知面积倒过来去求点坐标。 所以这道题整体的一个逻辑，有点坐标求解析式，有点坐标求线段长，有了线段长我就可以去求面积，相反我有了面积，我也可以倒推我的点坐标，是吧？其实有了面积之后，你倒推的是线段长，有线段长再去倒推你的点坐标。 好，那么我们来先看一下前面两个问题，括号一和括号二啊，这两个问题是给我们下面的求面积做铺垫的。来看一下括号一，它是求解析式的 k 和 b 两个参数，不知道有 ab 两个坐标，两个坐标两个参数是不是列一个方程组就可以求出来了，所以把 ab 两个点坐标代入到 y 等于 k s 加 b 当中，进而求出来它的解析式啊。这里头就不浪费时间了，直接给大家说一下，它最后的解析式呢，是 y 等于四分之三， x 加三， 求解析式应该是没有问题的。然后第二点呢，由坐标去表示我们的线段长，知道了点 a， 它的横坐标是负四，那么 o a 这条线段的长度呢？应该是几？它的，因为它是在 x 轴上，所以它的长度应该是点 a 的， 横坐标的绝对值应该是一个正四。 那同样的，点 b 的 纵坐标是一个三，点 b 呢是在外轴上，所以 o b 这条线段的长应该是点 b 的。 哎，纵坐标的绝对值等于的是正三，所以这里头一定要注意啊，我们的坐标有正有负，但是线段长只有正，所以一定要记得带上绝对值。 好，我们第二个问题也解决了啊，那下面是第三个问题，第三个问题呢，新增加了一条直线， l 二， y 等于负的四分之五 x， 这条 l 二呢，跟 l 一 相交于了点 p， 让我们求点 p 的 坐标以及 a o p 这个三角形的面积。点 p 的 坐标怎么求？ 两条直线的交点怎么办？涉及到了一次函数跟方程组的一个关系了，所以两条直线的交点坐标就是啥呀？就是这两条直线的解析式所组成的方程组它的解， 然后呢，求出来了点 p 的 坐标，后面呢，让我们求三角形 a o p 的 面积， a o p 是 谁呢？是这个三角形，我们说了求三角形的面积两步，第一步先干啥？先判断它的位置对吧？然后从它的位置出发，再去看它应该怎么去计算，是直接计算还是进行分割，还是进行补行。所以你看一下这个 a o p 是 哪一种位置？哎，它有一条边， o a 是 平行于 x 轴的，它就在 x 轴上，所以它可以直接来表示，不需要分割，也不需要补行。 好，那么我们来写一下第三问啊，先来求一下它点 p 的 坐标，点 p 的 坐标呢，就是 l 一 和 l l 二它们两个的交点，所以用它的解析式。 l 一 的解析式是 y 等于四分之三， x 加三， l 二的解析式是 y 等于负的四分之五。 x， 它们的解析式呢，组成一个二元依次方成组，这个方成组的解就是它们的焦点坐标，这就是一次函数跟二元依次方成组的一个关系了。所以这个解出来呢，点 p 的 横坐标等于的是负的二分之三，纵坐标呢，等于的是八分之十五，所以点 p 的 坐标就知道了负的二分之三， 然后逗号八分之十五，这是点 p 的 坐标。有了点 p 的 坐标之后呢，让我们去求 a o p 这个三角形的面积。我们刚刚已经说了，先判断一下它的位置，它有一条边平行于坐标轴，就是 a o 这条边，它在 x 轴上，所以它的面积可以直接表示，不需要分割，也不需要补形。怎么表示呢？以哪条边为底， 那条边平行坐标轴就以哪条标为底，所以是以 o a 为底，谁为高呢？点屁到 o a 的 距离这一段为高，那看一下它的底是 o a， o a 怎么表示呀？ o a 就是 我们点 a 的 什么横坐标的绝对值， 那这个高呢？是点屁到 x 轴的距离，那点屁到 x 轴的距离怎么用点屁的坐标来表示？ 是这一段长度，对吧？那这个位置是点 p 的 纵坐标，所以应该是用点 p 的 纵坐标的绝对值表示它到 x 轴的距离。 那么我们直接代入进去就可以计算了，点 a 的 横坐标绝对值是一个四，然后呢，点 p， 它的纵坐标的绝对值是一个八分之十五，所以计算之后，它的面积我们就可以得到了。是一个四分之十五， 是不是很简单？因为它的三角形的位置非常好啊。这是第三问，有点坐标去求它的面积，点坐标怎么求呢？点坐标是焦点，所以用两个函数的解析式组成方阵组，这方阵组的解就是他们的焦点坐标。有了点坐标去表示它的线段长，进而求出来面积。那么我们再来看第四个和第五个。 不知道点坐标，但是呢，我知道了面积。看下第四和第五啊，由面积去倒推我们的点坐标。先看第四题，第四题呢和第五题都是在第三题的条件下，因为它这里头用到了我们点 p， 所以 我们把点 p 的 坐标给写一下，负的二分之三，逗号八分之十五。 所以第四题呢，是在括号三的条件下，有一个点 m， 它是在 l e 的 第一项线，所以它是在这一段，点 m 是 在这一段啊， 它是一个动点，具体位置我们不知道，只知道它是在第一象限的这个图像上。然后呢， opm 它的面积是一个三，比如说点 m 在 这，那么 opm 这个三角形什么位置呢？我们连接一下， 看一下这个三角形 o p m， 先判断一下它的位置，有没有平行于坐标轴的边，没有，有没有跟坐标轴有交点的边，有哪一条边呀？ p m， p m 跟坐标轴交于到哪个点？交于到点 b， 跟 y 轴交于到点 b， 对 吧？所以它就是我们的第二种类型了。那既然跟坐标轴有交点了，所以它的面积怎么表示？ 从左边轴怎么样把它分割成两部分，所以我们可以从外轴给它分割成左边一部分，右边一部分。那左右这两部分是不是都有一条边？ o b 是 平行于外轴的，对吧？所以我们先来看第四题啊。第四题，关于三角形 o p m 它的面积呢？我们通过分割的方法把它分成三角形 o b p 和三角形 o b m。 大家看一下 o b p 和 o b m 这两个三角形，它的面积怎么去表示？ o b p 的 话，以谁为边？以谁为底？边 o b， 对 吧？所以是二分之一 o b 乘以高高呢？应该是点 p 到 x 啊，到 y 轴的距离， 所以点 p 的 到外轴的距离应该是点 p 的 哪个坐标的绝对值了？到外轴应该是它横坐标的绝对值，这是三角形 ob。 再来看三角形 obm 二分之一以哪条边为底呢？哎，同样也是 ob， 哪条边平行于坐标轴，就以哪条边为底边，因为平行于坐标轴的边，它的线段长好表示， 然后它的高呢，应该是点 m 到外轴的距离应该是这一段，点 m 到外轴，所以就是点 m 的 横坐标 是不是就表示出来了，所以它呢是等于一个三，那么我们往里头带一下呗。 o b 的 长度我们是知道的，它是一个三，所以是二分之一乘以三，再乘以点 p 的 横坐标的绝对值，应该是一个正的二分之三，然后再加上 二分之一乘以 o b， 再乘以点 m， 它的一个横坐标的绝对值，然后等于三。那根据这个呢，我们是可以得到点 m 它横坐标的绝对值的。 最后求出来，它的一个横坐标的绝对值呢，是一个二分之一。因为这种情况下呢，说了点 m 是 在第一象限，所以它的横坐标本身就应该是大于零的，所以我们可以直接把它的绝对值去掉，此时点 m 的 横坐标就是二分之一。 因为人家要求的是点 m 的 坐标，所以我们还需要把这个 x m 代入到解析式当中，那点 m 是 在 l 一 上的，所以需要代入到 l 一 的解析式，也就是 y m 的 一个值，这个自己去求一下啊。 这是我们的第四问，是一个分割的方法，去得到它的一个面积。然后我们再来看第五个角问，第五个角问也是在括号三的条件下，此时呢变成了点 n， 点 n 也在 l 一 上，然后呢，它是在第二相切，它是在第二相切啊，同样的 o p n 等于的是三，所以我们再来把这个三角形的面积给它找一下 啊，因为它是在第二相切嘛，所以它可以是在这，那么连接一下 o n， 此时三角形 o p n 就是 这个三角形了。 当然了，人家是在 l 一 的第二项线，所以呢， l 一 它的第二项线是哪一段呢？是 a b 这一段，所以它不仅可以在 a p 上，是不是它也可以在 b p 这一段，所以点 n 也可以在这，那么如果点 n 在 这个位置的话，同样呢，我们也连接一下 o n， 此时呢，它的三角形就是这个蓝色的三角形了。但是呢，其实我们可以去确定一下，它到底是在 a p 这一段还是在 b p 这一段，为啥呢？因为它的面积是三呀， o p n， 它的面积是三，那你想它不管是在 a p 上还是在 b p 上，如果它是在 a p 上的话，那么 o p n， 它的面积是不是要比 o p a， 它的面积要小？ 如果是在 b p 上的话，那么三角形 o p n 的 面积是不是要比 o p b 的 面积要小？所以根据我们第三问，我们求出来的三角形 a o p 的 面积，它是多少呀？ 四分之十五，对吧？它是一个三点多三又四分之三，所以 a o p 的 面积比 n o p 的 面积要大，所以点 n 是 可以在 a p 这一段的。那么另外一个三角形呢？ b o p， 它的面积呢？我们也可以去算一算，它的面积是一个四分之九，也就是二又四分之一，所以 b o p 它的面积是比三要小的。那既然你的 o p n 的 面积是三了，所以你说点 n 有 没有可能在 b p 这一段呀？没有可能，对吧？所以我们可以进行一个面积的比较，把它在 b p 上的情况给它排除掉，那么它就只有在 a p 上了，由提可推 点 n 呢？它是在 a p 上，所以呢，此时我们看一下这个红色的三角形，把这个蓝色擦掉， 这个红色的三角形，它的面积怎么求呢？它是我们的第几种图形？是不是最后一种？三条边都不平行于坐标轴，而且呢，也不跟坐标轴有交点，所以它属于最后一种。最后一种是什么方法来计算？ 通过补形，通过延长它的一条边，跟坐标轴有交点，补成一个三角形，也可以通过过它的顶点做平行于坐标轴或垂直于坐标轴的辅助线补成一个矩形都可以。那这里很明显，它本身呢，图形就是一个三角形， 所以这个 o p n， 它本身 p n 延长就是点 a 嘛， n p 延长就是点 b， 所以 你可以直接在本身的图形上进行一个计算。那么此时三角形 o p n， 它的面积你可以用 a o p 减去什么？ a o n 是 不是也可以？另外呢，如果你延长到点 b 这个位置的话，那就是 b o n 减去 b o p 也可以，对吧？两个都可以啊，我们选择 a o p 吧，两个都是可以的。减去三角形 a o n， 那 么看一下这两个三角形的面积怎么去表示？ a o p 的 话，它这个三角形面积我们前面已经算出来了，它是一个四分之十五，所以就可以直接用，然后再减去 a o n， a o n 这个三角形，它也有一组边，平行坐标轴就是 o a， 它就在坐标轴 x 上，所以是二分之一 o a 乘以点 n 到 x 轴的距离，这一段怎么表示？点 n？ 哪个坐标的绝对值应该是纵坐标，所以是 y n 的 绝对值，然后等于的是三。 那么把数带进去之后呢，是四分之十五，减去二分之一，乘以 o a， o a 是 个四，然后再乘以 y n 的 绝对值等于三，所以我们就可以求得 y n 的 绝对值是多少了，可以求出来 y n 的 绝对值呢？是一个八分之三，然后呢，因为它 y n 是 在第二项线，第二项线的纵坐标呢，它都是正的，所以它也可以直接去掉绝对值，等于的是八分之三， 我们的结果就出来了，对吧？所以对于我们的已知面积去求点坐标的话，如果人家没有说什么在一相间呀还是二相间呀，我们是需要分类讨论的，如果他说了，我们是可以排除一些情况的，所以对于这一类我们一定要小心一下，先看一下他需不需要分类讨论。 通常情况下大多数都是需要的啊，因为这两个题是给你做一个对比，在他的图形的位置上做个对比，所以进行一些约束，就可以把他的另外一种情况排除掉了。 如果我这没有写第一项线还是第二项线，只跟你说 m 在 l 一 上，然后三角形 o p， m 的 面积是一个三，其实它就有两种情况了，你这边是一种情况，对吧？那我 m 是 不是在这边也是一种情况呢？ 蓝色的是第四题，红色的是第五题，如果把第四题和第五题一合并，那它是不是就需要分类讨论了，对吧？所以已知面积求点坐标的题目，大家一定要小心啊。这个点坐标它是一个动点，它的位置不确定，它可以在上面，可以在左边，可以在右边，所以一定要去注意一下是否需要分类讨论。 那这就是关于例题的一个讲解啊，大家再回顾一下自己理一理思路。最后呢给大家放一道训练题，自己可以做一做。
179橙子老师-初中数学
05:35查看AI文稿AI文稿如果你学会了终点作弊公式，那么这个题就是他的终极应用。平行四边形的存在性问题，是我们八下压轴题常考的题型之一，今天我们通过这个视频把它彻底的讲清楚， 如果你能把这个视频从头看到尾，那么就算你现在只有六十分，依然能够满分拿下他。直接看到我们的最后一问， 希望我们来说一些已知条件啊，这里的 c 点呢，是一对零， d 点是四对一。另外呢，我们有两个动点， p 点在 y 轴上， q 点呢？在 a、 b 这条直线上，这条直线的形式是 y 等于负的二分之一，加上三， 就是他求什么东西呢？就当由这个 c、 d， q 啊， q、 p 这四个点构成的四边形，是一个平行四边形的时候，求这个 q 点的坐标。那对于这种题呢，首先第一步依然是设坐标， 那 c 和 d 呢，是我们的已知点，就不用管它， p 点呢，可以设为零。逗小屁， q 点呢，设到了横轴标为 m， 坐标可以带到这个节式里面去得到负的二分之一 m 加上三。好，设完坐标之后呢，我们就要进行探讨，这个怎么探讨才会最好呢？我们要以对角线来分类探讨， 那所以首先第一步呢，我们可以怎么来分对角线呢？我们通常会找这四个点当中其中的一个固定点，或者叫做已知点，比如说这里的 c 不 变，然后和剩下的三个点进行搭配，来作为对角线来分类探讨。比如说我们的第一个啊，假设我们以 c、 d 为对角线， 好，这个时候呢，我们可以自己在草稿纸上画一个平四边形啊，你不用管这个图形里面它长成什么样啊，只要画出一个平四边形，满足 c、 d 是 对折的就可以了，剩下的两个呢， p 和 q， 谁在上谁在下都没所谓。 好，那接下来怎么办呢？这里就要说一下我们的钟点公式。什么是钟点公式呢？就是当我们这个 a、 b、 c、 d 啊，它是一个平行四边形的时候，那么这个对角线的这这两个点啊， 它们的横坐标之河，比如说 a 和 c 的 横坐标之河和 b 和 d 的 横坐标之河是相等的，同时它们的怎么样呢？纵坐标之河也分别相等， 那反过来，如果说这四个点它们对应的 x、 y 都满足，对角线的横坐标之河相等，纵坐标之河相等，那它就是一个平行四边形，所以当我们在证明它是一个平行四边形的时候，只要它满足这个公式就可以了。好，那接下来我们就代入这个公式啊， 就是当 c、 d 为对角线的时候，我们要满足这个公式啊，那就是 c 的 横坐标加 d 的 横坐标，我们在写的时候，可以把这四个点啊写成一排，这样子好看， c 和 d 的 横坐标，那就是一加上四等于多少呢？ p 和 q 的 横坐标相加，那就是零加 m， 同时呢，我们的重做标也相等啊， c 和 d 的 重做标就是零加一等于啊，我们 p 加上这个就是 p 减二分之一， m 加上三。 好，那这个时候呢，因为我们要求的是 q 点的目标，这里只需要求出 m 就 可以了，所以这地方我们可以取个巧，下面我们就不用算，因为上面可以直接算出 m， 所以 我们可以得到啊，这个 m 等于多少呢？等于五。 那么进一步，所以我得到 q 的 第一个点坐标就是多少呢？横坐标是五重的标，可以带到我们的这里面去，负的二分之五加三，那就是二分之一，这是我们的第一个点坐标。好，那第二个呢？是以谁为对角线呢？ c 依然保持不变，那我可以和 p 搭配，以 c p 为对角线。 好，那这时候依然我们自己可以画一个平四边形，只要把这个 c 和 p 对 折就可以了，剩下的我们 d、 q 可以 随意搭配啊，只要对折就可以。好，接下来依然是 c 和 p 的 横坐标相加，那就是拿到 c 和 p 啊，这一加零， 等于我们 d 和 q 的 横坐标之之合，就这两个四加 m。 哎，纵坐标呢，我们还可以来看啊， c 和 p 零加 p 啊，等于我们后面这个先加啊，负的二分之一， m 加三，再加上一个一，但依然是下面这个数字，我都可以不用写啊。那得到 m 等于多少呢？移过来啊， m 等于负三， 所以我们的第二个点就出来了，就负三豆，可以把它带到这里面去啊，负的二，二分之一乘以负三就是二分之三，加三就是二分之九， 这是我们的第二个点坐标。 ok， 还剩一种情况啊，就是以我们的什么样的 c、 d、 c、 p 都搭配了，那么就剩下一个 c q 为对象。 好，这个时候依然我们可以画一个图形啊， c、 q 是 对着的，然后我们的 d、 p 呢？可以对着。好，接下来我们就可以列示啊， c、 u、 q 的 横坐标，如何啊？这这两个零一加 m 就 等于 d p 四加零。 好，下面这个我们就不写了啊，因为只需要求 m 啊，那我们所以呢 m 直接可以得到。你看这里就是一移过去就是三啊，所以我们的扣三呢，就等于多少呢啊？等于三豆，我们带进去负的二分之三，加上三就是二分之三。 嗯，所以你看所有的这个情况就探讨完了啊，这个从 c d， c， p， c q 啊，没有一个是已漏的，最终的啊，坐标呢？有三个，一个，两个，三个，所以你学会了吗？
344粤数
