八下数学练习册答案上海一次函数
e 三数中考重点题咱们也来看，给出了 e 三数， y 等于 ax 减 a 加一，这里边有 a， 这里边有 a， 那 咱这咱们都知道，给你点了以后，在这个图像上，所以说赶紧想到两个字，咱们是不是涉及到反代啊，对不对？那解题过程咱们也来看一下的解。第一个 把咱们说的这个负的二分之一都是三，带入到这个 y 等于 ax 减去 a 倍的加一中，得到 咱们的负的二分之一， a 减去 a 再加一的话，是不等于三呢，对吧？所以说咱们通过这个解得的话， a 的 话等于负的三分之四。第一问完事，那对于第二问，给出了一个当 x 大 于等于一，小于等于二 来第二问，咱们来看一下，这是两问啊，所以说不能用第一问的啊，因为现在 a 不 等于零，所以说咱们是不是应该分类讨论呢？第一种情况， a 大 于零时，那一定要写成一句话， y 随 x 的 增大而增大， 那此时的话，当 x 等于二十， y 有 什么值啊？ y 有 最大值啊，对吧？最大值，因为为啥会有这种情况？那咱们画一个解析式呗，对不对？ a 大 零是在他的话，那随着增大增大，那最大值肯定是二呗，因为二是不在最最右右边的，对不对？那他图像大概咱们画的过程中，他可能是啊，他可能是这个 a 大 于零，可能是这种情况，那现在一个是负一在这，一个是二在这，那你发现哪个大呀？肯定是咱们说的这个二要大呀，对不对？越往右去越大嘛，对吧？所以说此时的话，那就是当二的最大值，则 二等于一个二， a 减 a 加一的 a 的 话等于一个一的值，这是第一种情况。第二种情况， a 小 于零时，正好的相反呢？ y 所以 增大而 减小，一定要记住，不是减小而减小啊，那就是此时当 a 等于多少啊？负一时， y 有 最什么值啊？ y 有 最大值， y 有 最大值多少啊？你往里边带呗，对吧？那此时的话，同样也是咱们说的这个 二等于一个二，这个该多少啊？等于一的吗？对不对？所以说这样应该等于一个负的 二分之一。那综上咱们 a 有 几种情况来表示了两个种情况啊，对吧？ a 等于一个负的二分之一，或者是咱们说的 a 等于一个一。
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03:10查看AI文稿AI文稿一次函数的坐标轴焦点问题是八下数学的必考题型，也是一次函数里面的经典考法，很多孩子呢，一做就错，那是因为他们不懂得利用解析式去求拮据。那今天呢，林老师就用最简单的办法，教你两步解决这类题， 学完之后，再把林老师给你整理了一次函数八大题型，拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分！好，我们来看题，如图， 直线 y 等于 k， x 减二， k 加三， k 小 于零与 x y 轴分别交于 ab 两点哈，分别交于 ab 两点，然后让你求 o a 分 之二加上 o b 分 之三的值。 那这道题的特点就是，它给的一次函数呢，是含参数的，然后最后要你求的是跟截距有关的一个表达式，所以这道题呢，我们要优先把截距给它求出来。那么你想想看，要求这个 o a 和 o b 呢，是不是相当要求 a 的 这个坐标呀？ 对不对啊？它的横坐标就是 o a 的 长度，然后呢， b 的 这个重坐标就是 o b 的 长度，所以这道题就变成了，我们需要去想办法求坐标啊。那么我们观察一下这个 a 点， 它是位于 x 轴上，那么如何求直线和 x 轴的交点呢？非常简单，我们只要令 y 等于零就行了，因为这个点呢，它的纵坐标是零，所以我们令 y 等于零，然后把这个零呢带进去，你就可以得到 零等于 k， x 减去二 k 加三。所以呢，我们一个项就可以得到 x， 是 等于这个二 k 加三移过去变成二 k 减三啊，然后再除以 k， 然后这个 x 呢，其实也就是 o a 的 长度， 对吧？好，同样道理，我们要求这个 b 点啊，这个 o b 的 长度就是去求这个 b 点的纵坐标，那么我们只需要令，因为在 b 点是 x 轴为零，那就是令 x 等于零，我们就可以得到。 此时的这个 y 等于什么呢？把零带进去，那就等于负二 k 加三，然后这个负二 k 加三呢？它其实也就是 o b。 好， 那我们有了 o a 跟 o b 的 表达式之后呢？再带到这里来，你看，我们就可以求了， 所以 o a 分 之二，加上 o b 分 之三，它会等于什么呢？你看 o a 在 这里是这个数，那我们就把它带进去，变成二 k 减三分之二 k， 然后呢，加上 o b 分 之三，那 o b 是 这个 负的二 k 加三分之三。好，那接下来我们只要化简这个式子就是答案了。好，我们来化简一下， 二 k 减三分之二 k， 然后呢，这里是负二 k 加三，我们只要把这个符号提取出来，变成减去 二 k 减三分之三。好，那这个时候分母已经一样了，我们就可以把它进行这个合并，二 k 减三，分子分母一样，所以最后答案是，一搞定，你学会了吗？
621初中数学林老师
18:25查看AI文稿AI文稿又开始了，这，这没完了吗这， 哈喽，大家好，今天是二零二零年五月十三日星期三，我们来看今天的四道题目，今天的内容是一次函数以及一元四不等式和一元四方程之间的关系。 我们先看第五题，老样子，先读题目，说如图啊，下面有图 说一次函数 y 等于 k， x 加 b 啊，它的图像与 x o 的 焦点坐标负二零。说下列说法一共有这么四个，我们一定要来看。 第一个 y 随 x 的 增大减小，那如何去观察呢？我们通过发现这条直线啊，从左往右，随着 x 的 增加，那他的这个 y 值是啊，逐渐减小的， 所以说应该是这个五 y c x 增大， r 减小。所以说第一个是错误的啊。第二个说关于 x 的 方程， k x 加 b 等于零，它的解释 x 等于 four， 结合咱 y 是 等于个 k x 加 b 的， 那现在它和方程什么关系呢？那咱让这个 y 取零的话，就能得到 k x 加 b 等于零这个方程，那此时你对应的求出来 x 的 这个解 等于 four， 就是 我们与 x 轴的交点坐标，因为你当 y 等于零的时候，就是与 y 轴相交嘛，此时它的 x 是负二零，我们通过图像观察得到的，所以说他此时对应的这个 x 的 解就等于个负二啊，所以说第二个是正确的。第三个说 k x 加 b 大 于零，那么这个是结合不等式， 那其实我们这条直线被这个 x 轴给它一分为二啊，在与 x 轴相交的这个位置， 你 x 等于个负二， y 是 等于个零的，而这个上半段 啊，在 x 轴上方，他此时对应的 y 是 全部都是大于零的，也就是 y 大 于零，而此时我们对应的 x 呢？我们来观察，他都是在我们这个与 x 轴交点的左侧，是对应的， x 的 平方应该是小于负二的，而下半段 在这 x 中下方的这部分之线啊，它的这个 y 值都是小于零啊， y 值全部小于零， 而此时对于 x 的 范围呢，它是在负二的右侧，虽说是 x 大 于负二，那这里他说啊， k x 加 b， 那 不就 y 吗？ y 大 于零，那 y 代理的时候， x 零呢，是小于负二，而它是 大于负，这三是错误的啊。那再看最后一个 b 小 于零呀，这个 b 的 正负和谁有关系呢？就看它和我们这个 y 轴，它的焦点 的位置，我们通过它和 y 轴相交于这个 y 轴的负半轴，那就说明 b 是 小于零的哈，那一共是对了三个，所以说选 c， 这是第五题， 我们来看第六题，说直线啊， y 等于 k 的 加倍啊，图片在上面呢，说经过了 a b 两个点，说不等式，他他他这么一大串，它的这个解集是什么？那我们正常的思路啊，就说怎么去求呢？ 我们不知道，这 k s 加 b， 我 们把它结合这个直线百拉式啊，有两个点，然后我们把它带点，利用带点系数法啊，二 k 加 b 等于个一啊，负 k 加 b 等于个负二，那咱连立一下口，算一下，把这相加啊，三 k 一 座叉，三 k 等于个三啊， k 就 等于个一，那咱把 k 等于一代入，那 b 就 能求出来了啊， b 就是 个负一， 虽说这个直线它的表达式 y 就 等于个 x 减一，那再求这个不等式，就转化成了 二分之一 x 啊，大于这个我们 x 减一，再大于一个负二，那像这种连不等式给它拆分成两个，一个是左边的， 那一个是右边的，形成一个不等式组。那咱来求一求 一个是二分之一 x 大 于 x 减一，另一个是 x 减一大于负二。 那么解一下第一个啊，一个项咱们二分之一 x 减 x 大 于负一，左边是负二分之一 x 大 于负一， 那么咱给它系数差一，同时除以负二分之一，那就小于个二了。那这是第一个解， x 小 于二，第二个呢？一个项负一，移到右边去，负二加一大于负一， x 大 于负一，那根据咱们这个 同大吉他同大取大同小，取小，大小小在取中间，那么大大小小无区间。这个话，负一和二二是大的，然后负一是小的，大于小的，小于大的，所以说取中间 x 就 大于负一小于二，那这是他的这个答案。 好，这题还有个更简单的方法，不用去列这么多式子，我们直接通过观察图片啊，观察图像就可以得出来答案。怎么去观察呢？他说两个点啊，咱把它一标 a 点，横坐标是二，动作标是一 b 点， 把上面擦一擦 b 点，他的这个横坐标是负一啊，动作标是负二。 他说了这个不能是二分之 x 大 于 k， s 加 b 大 于负二的这个解集，咱们可以把这个左右两侧的这个转化成直线的表达式。二分之一 x， 这个可以看成一条直线， y 一 等于二分之一 x， 中间这个就是 y 等于 k， x 加 b 这条直线啊。后边这个负二的呢？我们也可以找一张 y 二等于负二，是一条平行于 x 轴的水平直线，那么我们也可以把这三条直线给它在图中画出来。 那第一条的话，二分之一 x 这个，那他证明函数过圆点，那带入一个点坐标，咱就带入这个 x 等于二的时候，哎，刚好是一，所以说他刚好过 a 点，而逗号一，那么再经过圆点，咱们就可以把这条直线给他画出来。好， 那么这条直线就是 y 等于二分之一 x， 而图像给的这个是 y 等于的啊，这是 y 等于 k s 加 b 的。 然后还有一条，我们 y 等于负二这个，那它是过零负二这个点，所以说它也经过这个 b 啊，负一负二， 稍微加粗一下。 哦， 那么此时三条直线都出来了，我们看如何去通过这个图去解出这个答案呢？那他说了 k x 加 b 和二分之一 x 这样直线， 他是这个二分之一 x 这样直线他是要大于 k s 加 b 的， 那么就结合图像你这个直线，呃，高的他就大于直线，低的啊，那我们来看，你二分之一 x 要高， 那这个 k s 加 b 要低，那应该是在这一段啊，我标红一下 这一段，然后这是 k s 加 b。 好， 那在这里它的这个负一， 其实你这个再往下，它也是大的哈，爷说在你这个焦点的这个 a 点啊，在 x 这个小于二的， 爷说在二的左侧，我的这个二分之一，这和直线，它始终是高于我的这个 y 点 k s 加倍的直线，进而它的这个 y 值就一直大 大于 k x 加 b， 那 这时候如果只有这两个线的条件，那直接 s 小 于二就可以。但是像现在又限制一个条件，说这个 k f 加 b 呢，它还要大于我们这 y 等于负二这条直线， 那么咱来看 y 等于负二这条直线和我们 k s 加 b 这条直线相交于 b 点，那么什么时候它才会大于负二呢？也就是说在负二的上边，那下面是取不到的，那么就把下边这一点擦掉。 所以说此时你的这个 b 点的横坐标，焦点的横坐标是负一，那么符合要求的就是这一段 x 从负一到二这一段它就符合啊，这个谁最大呢？我们的这个红色的这条 在下面这个标个 y 二啊，他等于负二红色这条是最高的啊，他在最上面。那其次啊，是我们这个绿色这一条，他是在中间，然后最下面这个黑色这一个他是最小的，那他在最下面，此时我们 x 阶梯就是在负一到二之间啊。 那既然这么繁琐，就是为了以后你再去分析上停的时候，借助这个图像，你就可以快速得到答案了，就可以不用再去求了哈，这是第二个方法。好，这是这一题， 下一题说 y 点开始加倍啊，还是如图，上面有图 说经过 b 点二都或零，所以还是 y 点二， x 的 图像交于点 a。 下列结论让咱填正确的序号，我们一个一个的看。第一个 a 点的横坐标是二，我们来看一下图像， 此时我们观察这两条直线相交于点 a， 但是它对应的是我们的纵坐标等于二，而不是横坐标，写出一是错误的。 第二个说关于 x 不 等式， k s 加 b 小 于零，它的解集是 x 大 于二，我们来看 k s 加 b 是 这条直线啊，我给它加粗一下 这个红线啊，红色的是 k f 加 b， 他 说要然让呢，咱们找这个 k f 加 b 小 于零呢？我们先找到它和 y 轴的交点，因为你和 y 轴相交的时候，就是 y 等于零的时候。那既然是小于零，我们只取它的下半部分 啊，也就是下半部分，而下半部分对应的这个 x 取值还应该是在这个 b 点 啊，横坐标也就是二多或零在二的右侧，言说 x 大 于二的时候，它的所有的 y 值全部都是小于零，所以此时它的解集不是 x 大 于二，应该是 x 小 于二。谁说 哦，是 x 大 于二，刚才老师口误了， 在 x 这个大于二啊，所以说二是对的啊。第三个 说关于这个 x 方程， k x 加 b 等于二 x 说它的解释 x 等于二，那 左边这是 k x 加 b 这条直线，右边是二 x 这条直线，那它俩相交的焦点应该是 a 点，而此时它的对应的这个解 f x， 它这个取值应该是几呢？我们应该是把 y 零二代入， 那就二等于个二 x 解出来， x 就 等于个一了。爷说他的解对应的应该是 x 等于一，而不是 x 等于二啊，所以说三是错的。那再来看最后一个， 说不能是左啊， k x 加 b 大 于零小于二 x， 那 这个还是通过观察图像更简单一些啊。 这个如何去分析呢？ k x 加标大于零，爷说我们再去取它的时候，要取它的上半部分啊，这是 x 轴上半部分， k x 加倍是大于零的， 然后能一直搭上去吗？他还要找小于二 x 的。 那么焦点的处，这个是刚好等于二 x， 那 在焦点的左侧，我们会发现这个 红色的，也就是我们的 k f 加 b 要高于我们绿色的这个二 x 也说在 x 等于一，他这个焦点啊， x 为一，它的左侧应该是红色的，这 k s 加 b 要大于二 x。 但是咱现在需要的是我们这个 k x 加 b 小 于二 x， 那 也就是在它焦点的右边，绿色的在上， 红色在下 h， 二 x 要大于我们的 k x 加 b f 和要求。所以说，那它的这个解 介级就是在这里啊， x 大 于一，但是能一直大吗？这个对点焦点都表示二零，那么你不能超过二啊，你超过二之后，我们这个 k i 加 b 就 小于零了，咱就不符合大于零了。所以说只有这一段 啊，是符合要求的啊，这段符合要求的对，那 x 的 范围呢？是在一到二之间，那左右一和二是取不到的，因为是大于号和小于号啊，在最终 x 的 g g 是 大于一，小于二，所以说四是对的啊，所以说正确的题目序号是 二和四。那再看最后一个，说在平面直角坐标系内啊，依次函数 y 点 k 和 y 点 x 加 b 的 图像，如图。第八题都在最上方，我们来看说法正确的 好，再一个一个来看，把旁边这些擦一擦。 先来看第一个，说 x 小 于零的时候， y 是 大于负二小于零， 我们看 x 小 于零。哈，那 x 取的时候就是取这个 y 轴的左侧这一段，那我们看对应的 y 值，哎，全部都是在负二的 什么下方，也说它应该是小于负二的，而不是大于负二小于零，应该是 y 小 于负二，是 a 是 错的， 那 b 选项说 x 加 b 等于零的时候， x 等于负二，当出现等于零的时候，就是与 x 轴的交点，那我们通过观察与 x 轴的交点坐标是一多少零， 那此时 y 等于零，而 x 应该求得解是一，所以说不是 x 等于负二，应该是 x 等于个一，所以说 b 选项也是错的。 猜看 c 选 c 选项，说 y 大 于负二的时候， x 是 大于零了。那我们来看一下图片啊， y 大 于负二的时候，那么等于负二的时候零，负二说这是在这啊，那大于负二了。 c y 大 于一块，大于一块，大于一块，大一块。好，此时对应的这个 x， 他的这个，你看对应的 x 的 取值啊，对于 x 的 取值全部都是大于零的，所以说他的这个 c 选项是对的啊。 其实就是你观察图像啊，在这个零对 for 的 右侧这一段，它对应的 x 的 取值，你看 对应 x 的 取值啊，全部都是在零的右侧，那所以说是 x 大 于零没问题。那再看最后一个，说 a x 加 b 小 于零的时候，即即是 x 小 于零， 那这要直线啊，小于零，那你就看 x 轴的下半部分，那我们通过观察他的下半部分，您是在这，在这个焦点一逗号零的左侧，您那是 x 小 于一，而不是 x 小 于零啊，而在一的右侧， 然后使面弦在一的右侧，也说 x 大 于一的时候，它的这个 a 加 b， 它的对应的 y 值全部是大于零了，哈，其实你看这一个焦点就能把掉这些一分二，上面的是大于零，下面的是小于零了，中间那个焦点刚好是等于零了，哈， 这时候就把一次函数以及我们的一元一次方程以及一元一次不等式组就都能联系在一起了哈。今天分享就到这，感谢大家聆听，再见哦哦哦哦哦哦。
13:24查看AI文稿AI文稿oh， my god！ wow！ 又开始了，这没完了吗？每天学一点，成绩高一点。 hello， 大家好，我是教数学的张老师。今天是二零二六年五月十五日星期五，我们来看今天的几道题目。 先来看第一题，说方程 y 零 k x 加 b 等于零，它的解释， x a 二说求函数 y 零 k x 加 b 的 图像，可能是，那么结合前面这个方程啊， 他的左边是 k x 加 b， 右边等于零，而我们知道 y 是 等于个 k x 加 b 的， 爷爷说现在 k x 加 b 等于零了，爷爷说 y 等于零的时候减的 x 等于二，说明这条直线过二逗号零这个点。 那么来观察一下他的这四个图像，第一个是负二，零排除掉，第二个是 y 轴零负二，我们要发现他应该是交 x 轴啊， x 轴的焦点， 所以说 b 也排除掉，那 c 是 二度号，零可以，然后 d 选项是零度号，负二了，交于 y 轴了，也不对，所以说选 c 啊，这是第一个， 他可能还会可能出一线啊，在头像给你一个点，假如说在这里啊，出现一个 啊，一等号一啊，说 k x 加 b 等于一的时候解的 x 等于一， 那么你就找这个点是一逗号一的就可以了。人说他不会直接告诉你这个点，而是以这种他和方程以及函数间关系啊，转化成点的坐标的形式去告诉你去找图像。在第一题第二题 说这个一次函数啊， y 等于 k e x 加 b， e y 二 k 二 x 加 b 二，它这个图像交于 p 点一逗号三说关于这个 x 的 不等式， k 一 x 加 b 一 大于 k 二， x 加 b， 二大于零啊， 那么 y 一 y 二，我们把后边这个不等式转化成我们这个直线之间的这个关系啊，表示间隔期。那前面的 y 一， x 加 b 一， 就转化成了 y 一 大于 k 二， x 加 b 二就转化成了 y 二，然后最后再大于零。人家说 y 一 要大于 y 二要大于零，那首先 零的话，其实就是我们的 x 轴嘛，它就是 y 等于零嘛，其实就相当于转化成了 y 一 大于 y 二大于我们的 y 等于个零，而 y 点的就 x 轴，那人说大于零就得在这个 x 轴的上半部分， 那我涂个颜色啊，爷说他的这个符合要求的区域在上面部分，那上面部分里边哪些才是呢？再结合他的这个 y 一 要大于 y 二，那爷说 y 一 所在的直线要高于 y 二所在的直线，那找这种直线，先找他们的焦点， 焦点是 p 啊， x 一 y 等于三，那么在焦点的左侧，我们会发现是这个 y 二要高，然后 y 一 呢要低，不符合我们的要求。那么再看它的右侧， 它右侧 y 一， 哎，跑到上面去了，而 y 二呢，跑到下面去了，那么 y 二能一直往下吗？它这里有一个要求，你得大于零，别说在这个上半部分， 那我们找出来其实就是符合要求的，就是这里， 从这个焦点 x 等于一开始， 那么在一的右侧一直到哪呢？一直到这个四，这里 超过四就不行了，因为超过四它的这个 y 就 小于零，虽然说它还符合我们的这个 y 一 大于二，但是它不符合大于零了哈，所以说最终 x 的 取值范围就是 大于一小于四啊，在这个一到四之间，这个 y 一 大于百二，然后大于 y， 零啊，大于零，这是第二题，随着这题选我们的到啊。 再看第三题，说下列结论正确的是，函数 y 等于负二， x 加三，说 x 取值范围是负一到三，说图像是一条线段， 这个的话，我们结合图像，我们这个一次函数，它是一条直线，那如果你规定了 x 的 范围了，假如说这个样子啊，啊，这个 for x 应该是从左往右划啊，往下一个下降趋势，然后他的这个 x 啊， 画一个剪图啊，就不画出来了啊， 好，对的， 左边这条直线啊，是 x 等于负一的时候，右边这条直线是 x 等于三的时候，那 x 取负一到三，也就是说截取这一段，还有包含这两个端点处的哈，所以说它是构成了一条线段， 然后把它加粗一些，也说这啊一条线段没问题，所以说 a 是 对的哈。那么 b 说一次函数，这个我们的 x 减一，它的图像与 x 轴的交点，那与 x 轴的交点就让谁等于零，让 y 等于零，让 y 等于零的时候，解出来 x 应该是等于个一，也说它应该是一逗号的，所以说 b 选项错在这， c 呢，说在 y 轴上的截距是负二，我们这个截距怎么去看呢？把这一次函数转化成我们的这个一般式。怎么转化成一般式呢？啊，我们来看一下 挠一挠什么去了？四， y 等于个四， x 减四，再减二就等于四， x 减六， 而我们知道 y 等于 k， x 加 b 是 它的一般式，这个截距就是比 y 轴的焦点的动作标。那么您说当我们的 x a 零的时候， 那对应的这个动作标球赛就是 y 等于个 b， 要看 b 就 能看成截距了，那这里的这个 b 是 我们的负六，进而就推导出来这个截距 就是我们的负六，而不是负二啊。这是 c 选项错在这，那么 d 选项 说他他他他这个图像一定经过二次相线，如果一定经过二次相线，就翻译成来他的这个 x 前面系数 k 应该是小于零了，那么来看这个到底是大 a 零还是小于零？我们先把它进行化简合并一下啊， 它应该是 y 等于负的， m 方减一，咱提个符号，负的 m 方加一，括起来 x 再加三， x 再加 n， 那 合并了同类项，那就是三减去 这个 m 方加一，扩起来这个 x 再加 n， 那 么爷爷说你的这个经过定义上也是由这个 m 方加一，然后三减 m 方加一来决定。我们知道 m 方 是大于等于零的， m 方加一呢，它就大于一大于等于一， ok， 那 么你三减去一个大于等于一的数，那么它可能如果是刚好是三的话， 那你三减三，那就是个零啊，那我们可能我们不能等于零，那你如果是比三大，那么你就是负的，如果你比三小，那就是正的。其实他会有三种情况，别说你这个 m 方 加一，他可能大于三，也有可能 m 方加一小于三，还有可能 m 方加一等于个三， 如果 m 方加一大于三的话，那三减一个大于三的，那这时候他的这个 k， 这个整体是小于零的，那这时候是二四。如 m 方加一小于三的，那这时候你的 k 是 大于零，那过的就会过一三。你如果等于零呢？ 你如果等于三呢？你用 k 等于零，而 k 等于零，他就不符合要求了，所以说这里他说一定过啊， k 绝对了。所以说第一是抄在这啊，得位题。第四个 说 y 等于 k， x 加 k 啊， k 不 等零，与三 x 减六交于第四象限，说则 k 的 曲的范围。这题我们需要画个土啊， 咱先把已知的这个三 x 加减六的这个画一个草图，那他结合 k 是 三，那应该是过一三再减六呢？向下平移六个单位，那画一个草图，大概长的就是这个样子啊。好，那这个焦点坐标就是零，逗号负六 啊， x 轴， y 轴圆点。这里要注意另外一条直线，它是 y 等于 k， x 加 k， 我 发现这里的这个 k 和后边这个 b 也等于个 k， 它们是啊，相同的，也就是说你 k 要大于零，你的这个 b 也就后边这个 k， 他也要大于零，所以说你开如果大于零，那你是过一三，你这个 b 也要大于零的话，那向上平，那还过个二，那此时他 好，我们再来看第二种情况啊，你如果 k 小 于零，那 k 又等于个 b 也小于零的话，你 k 小 于零，是过二四，那你 b 也小于零。次，再往下平，过二三四。那如果是第一种情况，过一二三象限的话，那咱画的图大概长这个样子啊，那可能是这个样子， 它即使有焦点，我们会发现它这个焦点会出现在第几项线，可能会出现第三项线，它永远不会出现在第四项线，所以第一种情况就排除掉。 好，那么我们把它擦掉，那第二种情况，那就开小矮陵的时候，那过的是二三四，那可能是这个样子啊， 可能这个样子，这是一种情况，也有可能是这个样子，那要想他们的焦点比赛第四象限如果是蓝色的这条直线这种情况，那他你又发现 他的这个 k 因为是过二三四弦影， k 等于小于零，这时候我们发现，呃，好像都符合 k 小 于零了，那 都能选吗？我们再来接着往下看，是，如果是紫色这条线，那又发现他这个笑点 就跑到第三项线去了，就和我们第四项线焦点不符合了来说，他可以怎么办呢？别说他有个临界点，就是在这个 y 等于三 x 减六这条直线与 y 轴的交点这个零负六这儿，它的这个 b， 也就是说这条直线啊，它抵在这个零到负六的上方，你不能跑到它的下方，你 而且也不能取到这个负六。如果你刚好是到零，这个过零到负六的话，你就发现他这个焦点在这个 y 轴上了，而 y 轴既不属于他，不属于任何象限，所以说 y 轴的点不属于任何象限，那他也不符合要求，那他这个点 焦点的位置就要向上平移，别说他与 y 轴的这个焦点啊，那大概就是什么要比我们的这个 负六要高，那高的话，那就是大于负六，但是你的 k 和 b 是 一样的， 你 k 还得小于零，谁说你光大于负六还不行，还得小于零，所以进而我们这个 k 的 取数范围又是大于负六小于零，那最终这题就选 a 了啊，这是结合图像来去确定它的范围。 好，今天的分享就到这，感谢各位大家聆听，我们下期再见。
03:21查看AI文稿AI文稿一次函数是八项数学的重中之重，而其中三角形的面积问题是必考题型，百分之九十的孩子都会在这里丢分，原因是他们找不到做辅助线的方法，结果硬算白白丢分。 那今天呢，林老师就教大家这一道题目，如何用一道关键的辅助线化腐朽为神奇，然后轻松破解出来。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子巩固练习一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 三斗零啊，点 a 在 这里，点 b， 零斗二在这里， 点 p 呢，是 m 到一在这里，然后呢，面积 s 三角形 a， b， p 啊，中间这个红色的三角形面积是四，要我们求 m 的 值，就是求这个 p 的 坐标，那这道题的核心呢，肯定就是把这个 s a、 b p 等于四给它用起来，然后去解方程嘛，对吧？ 所以呢，我们要把这个三角形想办法表示出来。最常用的两个主流方法呢，第一个就是我们去构造一个大型的割补法，对吧？我们来一个这样子啊，这个一割三啊，就是一个大的矩形， 减掉三个直角三角形，这是第一种方法。第二种方法呢，我们也可以用牵垂法的面积公式，就是水平宽乘以牵垂高除以二也可以。但这两个方法呢，都有个弊端，那就是计算量非常的大，而且费时间，又容易算错，所以它不是最优解。 那这道题呢，究竟什么是最优解呢？我告诉你，只需要一条关键辅助线，那就是连接 p o， 你 看整个 s 三角形 a b p， 它是不是整个大的四边形去减去底下的 a p o 呢？对不对？等于 s 四边形 a o p b， 减去 s 三角形，底下的 a o p， 对 不对？好，然后呢，这个大的 四边形呢？你观察一下，它是不是又可以分成左边的这个三角形，加上右边的这个三角形呢？对不对啊？所以它又可以变成 s 三角形 bpo 加上 s 三角形 abo， 再来减去 s 三角形 aop。 那当你能想到这一步了，那这道题其实就离做出来不远了，我们只需要把数值带进去就拿下了。好，我们一个个来。 v p o 是 这边的这个三角形，那它的底呢？是这一段，对吧？ v o 啊，那就是乘以二， 高呢？是这一段啊，也就是 m 的 相反数啊，乘以负 m， 好， a b o 是 谁？ a b o 是 右边这个直角三角形，那 底高我们都有啊，就是加上二分之一乘以二，乘以三，好，减个 a o p， 那 a o p 是 谁？ a o p 是 底下这个三角形，对吧？底下这个蓝色的三角形，所以它等于二分之一，底是 a o 啊，那就是二分之一乘以三， 高呢？是这个 p， 这里可以做个虚线下来，得到这一段高，也就是一好。那么这是一个关于 m 的 表达式，我们整理一下，等于负 m 加上二分之三，然后呢，根据已知条件，它等于四。好，这里等于四， 所以轻松解得，我们的 m 就 等于负的二分之五。好，最后答案，负的二分之五。所以呢，有没有发现，只要做对辅助线，这种题目我们能轻松解决，你学会了吗？
622初中数学林老师
18:10查看AI文稿AI文稿基础不好的同学们，快来听我讲课呀！哈哈， 每天学一点，进步多一点。 hello， 大家好，我是教数学的张老师。今天是二零二六年五月十七日星期日，我们来看今天的这四道题目。先看第一题，读题 四个一次函数啊，说 y 的 a， x， b， x， c 加一， y 的 d， x 减三，这个图像如图所示，让我们求它们 a， b， c， d， 也就是前面 x 系数 k 的 大小。 那这里要补充一个知识点，就说这个，我们这个 k 的 大小，绝对值越大， k 的 绝对值越大，那么它就离 y 轴 越近，也就是越陡啊。 那么你这个在一三象限的时候，因为 k 都是正的，所以说你绝对值越大，你对呢？我的这个 k 就 越大，但是在二四象限，你绝对值越大，离这个 y 轴越近，你反而 k 是 小于零的，那他就对的 k 越小。 所以说这里 y 的 a x， b， x， 这样它都已经在第一象限了，所以咱就可以直接比出来大小啊，离 y 轴越近的这个最大啊， a 大 于 b， 然后再看 c 和 d 的 这个，一个是 cx 加一个是 d， x 减三，那么我们可以通过哎，把它平移到平移成正比的函数， 把这个 y 的 x 加一这个来给它平移成 y 的 x， 它的斜，它的这个 k 是 不变的哈，把它平移成正比的函数，那这个 d x 减三，也是给它平移成它。那此时我们看这个蓝色的 这个 d， x， 这个离 y 轴近，所以说它的 d 是 最小啊，其次是 c， 那 么我们根据正负来比的话， 一三象限的 k 是 正的，那 a 大 于 b， 而二四象限的这个 k 呢？呃，绝对值越大的，而反而这个对数越小，也说 c 是 大于 d 的， 那么这个 a 大 于 b 大 于零，这个 c 大 于 d， 那 它还小于零， 能把它连在一起写，那就是 a 大 于 b 大 于 c 大 于个 d， a 大 于 b 大 于 c 大 于个 d。 还有个小技巧，就是我们找到第一项限你最大的那个 k， 也就是这里离外中最近的这个按照我们的顺时针方向， 那他的 k 的 大小正好是由大到小。最大的是 a， 其次是 b， 然后是 c， 最后是 d。 就是 因为你离 y 轴越近，你的 k 越大，那我的一三项链 k 就 大为定了吗？我离的这个 y 轴越近，我这边的 k 就 越大，它是正数。正数的大小 就是开绝对值吗？而负数大小，你绝对值越大了，你反而是最小的啊。 这第十一题来下一题说，对于题面直角东边西东 p 点 x 都好。外说满足 x 的 绝对值等于 y 的 绝对值，则称这个点 p 为奇妙点。说以这一个一次函数 y 等于二， x 加 b， b 为常数，它的图像上有一个奇妙点，坐标是二都好。负二， 则一次函数 y 等于 x 加 b， 图像的另一个奇妙点的坐标是多少？那么我们先结合这个点的坐标以及这个函数表达式，先可以把这个函数表达式求完整，那把二 逗号负二代入，就可以得到二，乘上个二，加上个 b 等于个负二，求出来 b 等于个负六，进而这个函数表达式就 y 等于二， x 减六。 那么因为他说了，你要是奇妙点，你得满足 x 绝对值等于 y 的 绝对值。通过绝对值相等，我们就能得到两种情况，要么是 x 等于个 y， 要么是他俩互为相反数，也数 x 加 y 等于零。 通过前面这个奇妙点发现啊，二都好负二，那他是互为相反数，相等等于零的那个就拍出调，我们就不用看了。那接下来我们就看第二种情况， x 等于 y 的 时候，那你见 x 等于 y 了，那咱就把这个 y 等于负二， x 减六，这个把 y 提完成 x， 那 就 x 等于二， x 减六一个项，负 x 等于负六， x 就 等于六， 因为你 x 等于 y 嘛，所以说 y 也是六。另一个奇妙点，坐标就是六，逗号六。这是这一题，非常简单。好，我们把这一题 说一次。函数一， y 等于 a x， a 不 等于零， y 等于二分之一 x 加一。说，当 x 小 一的等于一的时候， y 二的图像要在 y 一 的上方，在 a 的 区域范围是， 那么我们先通过这个 y 二这条直线可以画出画一个它大概图像的位置， x o y， 那 这个横的啊，这个往右上方的这个 y 二二分之一 x 加一。 再说 y 一 啊，是 a， x， 也说它是一条过圆点的正比的函数，又说 y 二要在 y 一 的上方，那么我们知道你如果和它平行的话， 如果这个 a x 和这个平行，那么它们的 k 就 一样， f 等于 y 二分之一 x， 那 么此时因为你平行嘛，你的这个玩意始终在 y y e 的 上方，无论你是小于等于 e 的 时候，还是什么时候，它始终都在随着符合要求。既然我们知道你这个 a 的 话， 它是可以大于等于个二分之一的，那它的坡度就要比原来这个要陡，那陡的话，它可以这样， 那此时它的这个焦点交于我们的第三象限哈，那就不符合要求。说在 x 一 的时候，它这个 x 等于一的时候，因为 x 等于一大概在这个位置哈，那我们发现在 这种情况下，在 x 等于一的时候，在这一段上啊，在它的这个焦点 和这个 x 等于一的这个之间的话，我发现是红色在上，蓝色在下，那倒是符合 y 大 于 y e， 但是呢，你过了这个两条直线的焦点左侧之后，哎，蓝色的 y e 跑到上面去了， y e 跑到下面去了，就不符合了。所以说那他这个 a 的 话，就必须得比二分之一要大，或者是相等。那么这个判断完之后， 我们接着往下看，那我如果大能一直大到什么程度呢？啊？ 比如说咱们知道他说了，在 x 小 于等于一的时候， y 二要在 y e 的 上方，那咱先把这个 x 等于一的时候，这个与 y e 这个条直线的这个焦点哈，求一，求，那咱把这个 x a 一 代入，求出来这个 y 二这个点就是一逗号二分之三。好，那如果是刚好在这儿的话， 那么在这个焦点位置的时候，人说 x 等于一的时候， y 二和 y 一 相等，但是人家要求的是 y 二，要在 y e 的 时候， y 说 y 二，它得大于 y e， 不 能相等，进而我就不能取到这个一都和二分之三。 大家说这个是一个临界点，那如果刚好是一逗号二分之三的话，那咱把这个点一逗号二分之三一带住，发现 a 求是的刚好等于个二分之三，但如果 a 等于二分之三的话，我们发现这时候你是 外一和外相等了，我要求，所以说我就得比这个二分之三要小，那能不能大于二分之三呢？如果大于二分之三，那我接着再往上给它平移一下，此时你会发现，当 x 等于的时候， 我们要取的是小于等于一吗？那在左侧，你看，在 x 等于一的左侧，此时我的这个，我把原来的这个外一擦掉啊， 我们这个 y 一 是在这个 y 二在这个焦点的，来把这个焦点哈， 在这两张之间，焦点和一之间的话，那你看是 y 一 大于 y 二而不符合要求。而在这个焦点的右啊左侧，那倒是 y 二大于 y 一 了，但是它不符合。学的一的时候， y 二全部都在 y 的 上方，所以说我就不能大于二分之三，那只能是小于 二分之三。然后以及刚才咱特殊的你平行的话，这是最底下的这个哈，其实他的范围，我们就根根据这个图像，他应该就是在这个 大于等于二分之一，小于二分之三之间来移动，此时无论你的这个怎么去取啊，你看咱就以这个位置哈。 假如说在这的时候，你看你在这个 x 等于一时，在这个焦点左侧，在小于一的小于点一的左侧，你会发现红色的始终在这个 y 二始终在 y 一 的上方，它是符合要求的。 g r a 的 范围是大于等于二分之一，小于二分之三。 a 大 于等于二分之一，小于二分之三，为什么不能等于二分之三？你要等于二分之三，此时你这个 y 和 y 就 相等了，它不符合。在题目当中， y 是 要大于 y e 的 哈，这是这个第十四题。 先读题， y 等于 k f 加 b 啊， k f 等于零 k b 常数说 y 和 x 的 对应值如下表说下列结论一定正确的。先看这个表 数，看 a 点，它的横坐标是负一，纵坐标是 n， b 点横坐标是三，纵坐标是负三。那咱把它写成坐标的形式就是， a 点负一，逗号 n， b 点三，逗号负三。那我们来先看第一个说 n 大 于零的时候， k 小 于零，这个怎么求呢？结合咱这两个点的坐标啊，一个是负一 n， 一个是三，逗号负三。那咱把它带入这个表达式，就能得到两个关键词，一个是负 k 加 b 等于个 n， 一个是三 k 加 b 等于个 负三，那我们把它作 x， 就 能得到四 k 就 等于个负三减去个 n， 那给的是 n 的 范围，让咱去求 k 的 范围，怎么去求呢？那咱就把它变下形，把这个负 n 移到左边来，那就证明了四 k 移到右边去，负三减去个四 k。 好， 现在我知道 n 是 大于零的了，而 n 又和 k 有 这个负三减四 k 的 关系，那咱就可以把这个 n 替换成负三减四 k， 哎，它就大于零了。 既然咱就可以一项解释来， k 的 范围，把负三移过去，负四 k 大 于个三 k 呢？就小于负的四分之三，那你四负四分之三是小于零的，所以说 k 也是小于零的，所以说一是对的哈。这第一个， 第二个说 y， c， x 增大， r 增大，那就可以翻译成 k 是 大于零的。那现在反过来了， k 大 于零的时候，我们这个 n 又是什么样的哈？结合咱前面 n 等于个负三减四 k， 那 现在咱把它换过来， 咱也可以通过把 k 变形成负三减四， k 转化成 n 的 范围也行，那因为 k 是 大于零的，那同时先长个负四，那负四 k 就 小于零，那负四 k 再减去个三，那就小于个负三，而负四 k 减三，就是我们的 n， n 就 小于个负三，而负三又是小于零的，既然 n 也小于零，所以说二也是对的哈。这是第二个， 第三个稍微复打一下，那我们需要借助这个图像，然后把这个图画在这了啊，把它挪过来，给它放大一下。 原来我稍微画的有点丑陋， 好， x 轴 y 轴，说 b 点呢？我画一个大，这个大概的位置三度号负三， a 点呢？我们只知道他的横坐标负一啊，纵坐标不知道，那么他说 s、 a、 o、 b 的 面积九，说此是 n 或等于负五，或者 n 等于七，那么就这个 a 的 话，你的纵坐标 n 要么是 正的，要么是负的。如果正的，那就带第二项线，如果负的带第三项线。所以说的话，我们怎么去列这个 关系式呢？根据 s、 a、 o、 b 的 面积，我们可以把它拆成两部分，我们先把这个 a、 o、 b 和这个 y 轴的交点，也就是再取个 c 点。啊啊，这个 c 点呢？比较好求，它就是我们 直线 a、 b 有 y 轴的焦点，那咱把 x 等于零代起，那这个 c 的 坐标就零多少 b， 那 此时咱就可以转化成 s、 a、 o、 c 的 面积加上 s、 b、 o、 c 的 面积 啊。 a、 o、 c， 它们的这个底是一样的， b、 o、 c 的 底也是一样的，都是 o、 c， 那 么我们就可以利用二分之一底乘高，那 o、 c 的， 那就是 a 点的 什么坐标？我们的横坐标也就是 x a 的 绝对值，那么 b、 o c 的 面积呢？就是我们二分之一 o c 啊，乘上我们 b 点的什么坐标，横坐标也就是 x b。 好，那提个二分之一 o c 出来，那就是框里面的 x a 的 绝对值，加上 x b 的 绝对值。我们知道 a 点的横坐标是负一，那就是一加上 b 点的横坐标的绝对值，那就加三，就等于个二分之一乘上个四，再乘个 o c， 他说面积等于个九，进而 o c 的 长度，我们就可以求出来等于个二分之九，那这个 o c 是 谁啊？就是我们 b 的 绝对值，也说 b 的 绝对值等于个二分之九， 那 b 的 绝对值在二分之九的，跟我们求 n 又有什么关系呢？那我们别忘了，咱在上面的关系当中，我们知道 n 是 等于一个 负三，减去四 k， 那 我们就可以把这 n 带入到上面的数字当中，就可以把这个 b 和 n 的 关系求出来，咱把它带入到负 k 加 b 等于 n 当中，那我们把这个 n 替换成它，比如说负 k， 我 们要的是 b 和 n 的 关系，那就不想要 k， 那 这个负 k 怎么办呢？可以通过它变形转化啊。 那么咱把它移过去，别说 n 加上个三就等于个 么。 可以求出来 k 复 k 就 等于个四分之 n 加三，那咱就可以把它替换到下边 四分之 n 加三，加上个 b 就 等于个 n， 那 么你你 b 就 等于个 n 减去个四分之 n 加三。哎，此号，那 b 就 等于个通分下四 n 减去个框里面的 n 加三， 那化解一下，那就是四分之三 n 减三啊，那结合 b 的 绝对只得二分之九，那把它替换过来，就是三分之 n 三， n 减三，那绝对只得有个二分之九，那我们可以同时平。哦，四分之啊，这写错了， 我们可以同时平方，那么咱把这个上面三 n 减三可以踢个三出来，那就是四分之三， 然后 n 减一的平方，四分之三平方就等于个二分之九一平方，那就是四分之八十一。得到 n 减一的平方等于个 四分之八十一啊。把那个四分之三一平方就是九分之十六乘过来，乘上个九分之十六， n 减一的平方就等于个三十六， 那 n 减一就等于个正负六， n 就 等于个一加减六，那 n 一 就等于个一加六等于个七， n 二就等于个一减六等于个负五。所以说 n 有 两个值， 那么负五和七，那么四的话，咱刚才已经求过了，你这个 o c 不 就是我们 b 吗？而我们 b 是 等于个四 n 四分之三减三的，所以正确答案是一二三 啊。今天的分享就到这儿，我们下次再见。
11教老师的张数学
06:04查看AI文稿AI文稿尖子生本都在悄悄用的一次函数大招，居然这么好用，不用列方程，只用瞪眼法，就能直接写出一次函数的表达式来。今天林老师就教会你这五种一次函数的常用解析式，只要你学会了，轻松成为一次函数的高手， 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高练习，拿去给孩子巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。依次函数一共有五种表达方法，而我们的课本里呢，只有第一种， 其他四种隐藏款课本里面没有出现。那么今天呢，一个视频给你讲明白。先来看第一种，第一种呢，是我们课本里面的， 如果知道了斜率 k 和截距 b， 那 么它的表达式我们就可以写成 y 等于 k， x 加 b。 举个例子，例如说斜率 k 等于二，而截距 b 等于三，那么它的表达式呢，就会变成 y 等于二， x 加三。 那么这种方法呢，因为你有了斜率，也有了截距，所以它有一个名字叫做斜截式。第二，如果我们知道了一个点的坐标加上斜率 k， 那 么如何直接写出它的表达式呢？ 这个时候啊，林老师要教会你一个公式，叫做 k 的 几何意义。那么我们在函数里面， k 呢，可以写成 delta y， 比上 delta x 这个公式任何时候都能用，那是什么意思呢？它指的就是这个 delta y 呢，指的是 y 的 差，所以你可以把它写成我们的表达式里面的 y， 减去这个第一个点的坐标 y 一， 然后呢，去除于这个 x， 减去这个 a 点的坐标 x 一 好，然后就写完了，把头和尾我们把它连在一起，把这个 x 减 x 一 移过来，就直接写出来，它表达是 y 减去 y 一， 等于 k 倍的 x 减 x 一。 好，我们来举个例子，例如说 k 等于二，然后这个 x 呢，它等于一，这个 y 它等于二，那么结果会怎么样呢？你看，我们带进去直接变成了 y 减去二，等于 k 是 二，那就是二倍的 x 减一，然后化解就直接得到解析式啦。这种方法呢，由于我们是知道了一个点加上斜率，所以它有个专门的名字叫做点斜式。好，那这是第二种，第三种情况，如果你知道的是两点坐标，该如何写它的表达式呢？ 我们课本里的方法是待定系数法，但是呢，你需要去解方程，那今天林老师教给你的方法是直接套的，具体怎么做呢？你看好了啊，首先我们的依据还是这个 k 等于 delta y， 比上 delta x 这个 k 的 几何意义？记住，这个公式任何时候都能用好，接下来我们来构造它， 你看 delta y 就是 指 y 的 差，所以呢，我们可以写出 y 减 y 一 啊，然后呢， delta x 是 指 x 的 差，我们可以写出 x 减 x 一 出来。 然后呢，再看到我们的已知条件里面，我们知道的是两个点，所以我也可以直接用两个点来写出 y 出来啊，所以我们直接写出 y 一 减 y 二，然后呢， delta x， 我 们就用 x 一 减 x 二就搞定了。 好，接下来我们做点小小的变形，我们把这个 y 一 减 y 二，因为它是常数，和这个 x 减 x 一 呢，我们交换一下位置，就可以得到一个全新的表达式了， 就变成了 y 减 y 一 除以，把这个 y 一 减 y 二放下来， y 一 减 y 二等于 x 减 x 一 除以 x 一 减 x 二。 搞定好。来举个例子，例如说 a 点的坐标 x 是 二， y 是 四，然后呢，这个 b 的 坐标呢？ x 是 负一，然后 y 呢是负二？好，我们直接套这个公式，看能得到什么结果。直接写出， y 减去 y 一， 那就是四咯啊。 y 减四除以 y 一 减 y 二，那就是四减去负二，那就是四加二好，然后呢， x 减 x 一， 那就是 x 减二。米上 x 一 减 x 二，那就是二减去负一啊，那就二加一 好，然后去化简，就直接出答案了。这种知道两个点直接写出解析式的方法呢，也有一个专门的名词，叫做两点式。 第四种情况，如果给你两个截距，就像这个直线一样，给你一个 x 轴的截距 a 和 y 轴的截距 b， 那 么我们可以直接套公式， x 除以 a， 加上 y 除以 b 等于一， 这个公式就是鼎鼎大名的截距式。给你举个例子，例如说 a 是 二， b 是 负三，那么我们代进去，可以直接得到 x 除以二，加上 y 除以负三，等于一。 搞定。这些公式虽然好用，但是有注意事项，那就是当分母出现参数的时候呢，我们一定要记得这些分母是不能为零的，就像这个结句式， a 和 b 不 能为零。还有前面咱们的两点是， y 一 减 y 二作为分母， x 一 减 x 二作为分母，都不能为零。那有没有一个六边形的公式没有这些限制的呢？ 有，还真有啊！所以我们今天的终极 boss 就是 这个通用表达式，那么一切的一次函数到最后都能化成这个式子？ a x 加 b， y 加 c 等于零， 这个式子没有任何限制，堪称六边形战士请膜拜！好，我们总结一下，如果知道斜率 k 和截距 b， 那 么可以写成 y 等于 k， 我 们可以写成这个点斜式。 如果知道两个点的坐标，我们可以写成这个两点式。如果知道两个截距，我们可以写成截距式，但是要注意这里呢，你分母不能为零。最后六边形占是 a x 加 b， y 加 c 等于零，这个就是我们依次函数的全部表达式，你都学会了吗？
522初中数学林老师
03:31查看AI文稿AI文稿一次函数和将军密码结合的这种待几综合的题目是八下数学的必考点，百分之九十的孩子呢，一做就错， 根本的原因就在他们不懂得如何在一次函数的背景下使用将军密码的知识点来解决。那今天林老师就教你一个方法叫对称找焦点，彻底的搞懂这一类题， 学完之后再把林老师给你整理的依次函数专项练习拿去巩固练习一下，只要把里面的题目搞定啊，期末多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 和点 b 的 坐标，并且 p 呢是 x 轴上的一个动点，好， p 在 这上面动， 要使三角形 a b p 的 周长最小。问此时 p 点的坐标？好，我们来画个图理解一下。提议， a 点和 b 点呢是定点，而且是已知的。然后呢，要你在这个 x 轴上找到一个点 p 啊，然后呢，要你把 a p 和 b p 连起来啊，还有这个三角形 a b p 的 周长最小值， 那么你想啊， a b 呢是定长，不用管啊，那么要的就是 a p 加 b p 的 最小，对吧？那这个就是我们典型的将军印嘛，相当于这里是个和， 然后呢，将军要从这个 a 点呢去合上，遛个马，喝个水，然后呢再赶去 b 点，然后要求这个最小距离。所以我们可以用对称的方法来找到这个最短路径的点在哪里。那我们既可以把 a 点去做对称，也可以把 b 点去做对称，例如说我们这里选择把 b 点做个对称， 我们对称到这里来，叫它做 b 撇点，然后呢，再把 a 和 b 连起来， 那么此时的这个焦点呢，就是我们的最短路径的那个焦点 p 点啊，再把这个 b p 也连起来就搞定了。好，那接下来 p 点位置已经有了要求 p 点的坐标呢？是不是要先把这条 a b 撇的直 线表达式给它求出来啊？好，我们已知两个点要求解析式，用的方法叫做待定系数法，对吧？我们第一步设框架， 我们设这个 l a， b 撇是什么呢？是 y 等于 k， x 加 b 啊，把这个框架给它设好，然后呢，将 a 和 b 撇点的坐标带进去， a 的 坐标我们知道了一一，那 b 的 坐标呢？你看三是一样的，是三 二呢，翻下去变成了负二。好，所以我们将 a 的 这个一漏一 和这个 b 撇的这个三动负二，我们代入，就可以得到两个方程，分别是一等于 k 加 b， 还有负二等于三， k 加 b。 好， 我们解一下，这个方程可以解得 k 等于负的二分之三， b 等于二分之五。 所以啊，这个表达式我们就有了， l a、 b 撇就等于 y 等于负的二分之三， x 加上二分之五。 好，那么此时你要求 p 点的坐标很简单， p 点在谁上？在 x 轴上，那么在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零的，所以我们对我们刚刚求出来这个直线呢，令它的 y 等于零，就可以解除 p 的 坐标了，令 y 等于零，那么可以的，这个 x 是 等于三分之五，那么 p 点坐标就有了，三分之五都零搞定，你学会了吗？
250初中数学林老师
05:27查看AI文稿AI文稿最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？
845初中数学林老师
00:50查看AI文稿AI文稿来，各位初二同学，一函数呢，是初二下半学期的一个难点，那我这里呢，整理了一函数的十个必考点，这些题目呢，很有可能就是你本次期末考试的原题。那第一个必考点就是函数的概念，第二个函数自变量的取值范围。 第三个一函数的定义，第四个一函数图像与系数的关系。第五个一函数的图像与坐标轴的焦点及面积问题。第六个一函数的平移。第七个一函数的增减性。第八个一函数的解析式。 第九个一函数的实际应用。第十个一函数的图像问题。那这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长在粉丝群回复一函数拿去练习。
87梁老师讲初中数学
