凉山州近几年A卷中考题数学
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35:48查看AI文稿AI文稿中考最后三十天，三角形的题做起来还是真的想狗呆，有的是找不到相似，有的能找到，但是比例等式写不对，那三节盘点了超全的十大热门模型，零基础也能轻松通关。今天先讲最烫的前四类，如果大家分数比较高呢，就会 后面的好。首先我们来看第一个热门模型， a 字模型， a 字相似呢，我们要来看四张图，它呢经常出现在选填压轴，那我们的目标是减少计算失误，提高解析的效率，对吧？ 所以我们把这四个模型摸透之后呢，时间就会大大的降低。首先我们要记住一个要点，就是平行有相似。 好，然后我们来看啊，第一个模型，题目会告诉我们 d e 平行于 bc， 那 么是不是很简单，我们就能得到这个三角形小的这个应该是相似于这个大的三角形 abc 的。 那具体的相似关系呢？就是 a d 比上 a， b 应该等于什么？应该等于 a， e 比上 a c 还等于 d， e 比上 b c， 这个是最最最基础的模型，大家都很清楚，具体就不说了。然后我们来再看第二个模型，反 a 字模型， 通常呢，题目会告诉我们什么东西啊，角一等于角二，那么呢，由于又存在一个这个公共的顶角 a， 哎，这个顶角，所以呢，我们就有这个三角形 a， d， e 应该是相似于这个三角形 abc 的， 那么它对应的相似关系是什么样的呢？哎，和第一张图就不一样了，我们看它应该对应的是 a， d 比上 ab 等于 a， e 比上 a c， 哎，还等于这个 e， d 比上 cb 啊，没问题吧？但是呢，题目通常会给我们一些变化，什么变化呢？哎，我们写一下啊，刚才说了，应该是 a d 比上 ab 等于 a， e 比上 a c， 那 么题目呢，有的时候会给你写成乘积的形式，也就是 a d 乘以 a， c 等于 a， e 乘以 ab， 如果你看到这样的形式，你要能识别出来，它是在告诉你一个相似的条件。 好，那接下来我们再继续看这个图啊，它的可拓展性非常强，我们看因为角二和角一是相等的关系，所以我们可以知道这四个点是不是四点共圆的。那除此之外，假如我们连接 这两条线，我们还能得到两个相似的三角形，应该是什么？应该是这个 a b、 d 相似于这个三角形 a c， e。 为啥？我们看图上是不是已经证明过这个它们，哎， 是呈相似比的，那同时还有一个公共的这个顶角 a， 所以 可以用 s a s 证明相似。好吧， 所以这个图它的辨识非常的多，大家一定要能识别出来。那么在第三个模型呢，题目里也会告诉你，这个 d e 是 平行于 bc 的， 它会让你证明什么呢？它会让你证明 d f 比上 b g， 它应该是等于 e f 比上 c g 的。 那这个好不好正呢？哎，我们对 a 字模型是非常熟悉的嘛，所以它非常的好正啊，只要把这个 a f 比上 a g 当成一个中间的桥梁，那么这两边两个三角形是不是就能把它搭起来了？具体的证明过程呢？我们就不正了，思路非常的简单。最后我们来看第四个，第四个是有一些难度的，因为它存在两个方程的计算，我们来看 第四个图，很明显也是有一个三角形， a、 b、 c， 然后 e、 f 是 不是也是平行于 b、 c 的？ 那同时呢，题目会告诉你，这个 e、 f、 g、 d 是 一个什么东西啊？是一个正方形对吧？然后通常题目还会给你一个条件，就是 a、 h 是 高， 还会告诉你三条边的长度，也就是 a、 b、 a、 c 和 b c 这三条边的长度我们都是知道的，我们把它标出来，标成三个字母，就叫 a、 b、 c， 哎，题目告诉我们，这 a、 b、 c 三个数通常都会告诉你，那题目会问你什么东西呢？题目通常会问你一个正方形，它的边长是多少？也就是 ef 或者是 e、 d 或者是，哎，它们四个中任意一个，只要你能求出来是多少就可以了。那这道题好不好求呢？其实也有固定的方法，只要解两个方程就行。核心呢，就是要利用这个高，哎，怎么样作为跳板？就像刚才第三个模型，我们把中间的哎这个 a、 f 比上 a、 g 作为跳板一样， 在这道题里，这个核心就是把这个高作为跳板，具体怎么做呢？哎，我们来看，首先我们要设 b h 等于 x， 也就是这一段 是 x， 那 么这样一来，这个 c、 h 是 不是就能表示出来了啊？别忘了，我们知道这一条边是 a， 对 吧？所以它就应该是 a 减去 x。 好， 那把它们表示出来有什么好处呢？嗯，我们来看啊， c 和 b 我 们是不是都知道啊？ 那么在这个三角形里，我们是不是可以用勾股定律表示出这个 a、 h 也就是高的长啊？同样的，在另外一个三角形这边， 我们也可以用勾股定律表示出 a h 的 长，对吧？因此呢，我们就有 c 的 平方，减去 x 的 平方应该等于 b 的 平方，减去 a 减去 x， 它的平方，对不对？那这个式子里别看有 abc， 但是他们都是题目告诉我们的只有 x 这一个什么一个未知数，所以我们一定会把这个 x 求出来，对吧？ 那求出来 x 之后有什么好处呢？当然是我们就可以利用任意左边或者右边的式子，把高也就是 h 给求出来， 那么 a h 我 们就知道了，对吧？那接下来我们要求的是什么？大家还记得吗？我们要求的是正方形的边长，对吧？很类似，我们要解第二个式子，我们把这个 e f 和 e d 都设为 y， 也就是正方形的边长，我们设为 y， 那么这个 a i 这一小段就应该是什么呀？哎！这块也是 y， 对 吧？它就应该是 h 减去 y， 对 吧？也就是它是 a h 减去这个边长的部分，也就是 h 减去 y， 好， 那么我们就有 a i， 它比上什么？比上 h 应该等于什么东西啊？应该等于这个 e f， 也就是我们刚才设的 y 比上 b c， 那么这个 a i， 我 们刚才说了，他是不是等于 h 减去 y 啊？而 bc 又是什么呀？ bc 是 不是也是题目告诉我们的就是 a 呀？所以我们是不是可以整理整理得到一个关于 y 的 方程了？因为 h 我 们也知道了，对吧？所以就应该是 h 减 y 乘以 a 等于 y 乘以 h， 那 么这个式子里只有一个未知数，也就是 y， 那 么我们当然可以把这个式子里的 y， 也就是正方形的边长给解出来了，那有同学说，哎，得到这个比利时的时候，我有点没跟上，我们来回头看一下， 这是不是两个 a 字形拼在一起啊？和这个形式是不是很类似啊？所以它中间的高的这个比例 h 减 y 比上这个 a h， 这个是不是就应该等于 a e 比上 ab 啊？ 那么 a e 比上 ab 是 不是就应该等于 ef 比上 bc 啊？那 ef 是 谁？就是 y， bc 呢？就是 a， 就是 刚才我们得到的这个式子。 所以实际上呢，第四个模型是第三个模型的什么进阶，他只不过搞了一个正方形和高出来，让我们求的东西更加复杂了，但是还是第三个模型基础上得到隐身的一些相似关系。 好，那模型解完了，接下来我们就来看题。我们先来看第一题，这是一道中考真题，但是并不是特别难，难的是什么呢？难的是我们要在一分半之内就结束它，并且呢，我们要做到不错，不掉进这个易错点。 好来读题。首先说这个三角形 a、 b、 c 中，这个 d、 e 平行于 bc， 也就是它俩平行， 然后还说什么呢？还说 e、 f 平行于 a、 c， 也就是它俩是平行的，那么也就是说这个四边形是一个什么四边形啊？这个 e、 f、 c、 d， 它是不是一个平行四边形啊？好，那这个四边形是一个平行四边形。然后接着再读题啊， 说 a e 比上 b e 等于二，比五， b f 等于八，我们来看 a e 比上 b e 是 哪两段啊？是不是这两段啊？ 这个是二，这个是五，对吧？所以我们要注意，第一个易错点就来了，那很多同学 这个时候就会掉进坑里，说 a e 比上 b， e 是 二比五，那是不是 e d 比上 b c 也是二比五啊？哎，恰恰不是啊， e d 比上 b c， 它应该是 a， e 比上什么 ab， 对 吧？应该是二比 七，对吧？那有这个继续看， b e 是 八，也就是说告诉我们这一段是八，让我们求的是 d e 的 长， d e 也就是平行四边形的这两条边的长，对吧？ 好，那题目非常的简单，我们把这个设为 x， 利用相似来解方程就可以了， 因为我们看到这个是 x， 这个是 x， 对 吧？所以 bc 就 应该是什么？ bc 就 应该是八加上 x， 那 我们刚才说了， a e 比上 ab 应该是二比上七，所以 x 比上八加上 x 应该等于多少？就应该等于这个二比七，对不对？哎，那解一下，七， x 等于十六，加上二 x 五， x 等于十六， x 解出来就应该等于五分之十六， 这道题选什么？选 a 好， 是不是非常简单啊？我们只要能把它这个模型识别出来，这道题的思路就不难，唯一的就是不要掉进这个比例的坑里。好，接下来我们来看第二题。 好，我们先来看这道题，这道题呢，看起来很长，他有四分，也是一道中考真题啊，而且选项非常的多，但是我的目标呢，依然是要在短时间内迅速解决战斗。好，先来读题说，如图，在直角三角形 a b c 中角 c 等于九十度，也就是这是一个直角 ac 等于六， ab 等于十啊，好嘛，于是我们就得到了一个什么样的直角三角形啊，我们很熟悉，对吧？它分明这里是个直角，这里是六，这里是十，哎，那分明就是一个六八十的直角三角形，对吧？ 好，那接着看。说以 a 为圆心，适当的长为半径画弧， 分别交 a、 c、 a、 b 于点 m、 n， 再分别以 m、 n 为圆心，大于二分之一， m、 n 的 长为半径画弧，两弧在内部交于点 p。 我们来看，也就是说它这个图痕迹留给我们了。是这样先画了两条一样的弧， am 是 不是等于 an 啊？然后又这样以它俩分别为圆心，交了一个屁，然后把这个 a 连过去，很明显，这是一个什么画法，是不是角平分线的画法？ 所以我们又知道了，这个角是不是应该等于这个角？没问题吧？好，那接着读， 说画射线， a p 与 b c 交于点 d， 然后 d， e 垂直于 ab， 垂足为 e， 也就是说这也是一个九十度。 好，我们还是把它标上。那么看这个图，我们首先就能发现这是一条角平分线，然后从点 d 出发， d， c 是 不是垂直于 a c 啊？那 d、 e 是 不是垂直于 a、 e 啊？角平分线上的点到角两边，它的距离应该是怎么样的？是相等的。那么同时我们还知道什么呢？还知道这两个三角形是不是应该是全等三角形啊？ 那么 a、 c 应该等于谁？应该等于 a、 e 对 不对？所以这就是六。那我们既然知道了 a、 b 是 十， a、 e 是 六，那么 b、 e 是 多少？我们是不是应该也知道了， 它是不是应该等于四，对吧？那接下来我们就来看看题目，让我们求什么说下列结论错误的是哪个？先看 a 选项， cad 等于 b， ad， 也就是这个角等于这个角 没问题吧，肯定是对的，角平分线嘛，然后 c、 d 等于 d、 e， 哦，我们刚才也说了，到角两边距离相等好，第三个 a、 d 等于五倍的根号三，这个是对是错呢？我们肯定要算一算，先放过它 好来看 d 选项， c、 d 比上 b、 d 等于三，比上五，这个看起来好像比这个 c 选项要好判断，我们就从它下手。 这个比例关系让我们想起了一件事，我们似乎还有一个关系没有说什么关系啊，很明显，这是一个反 a 字形吧，能看出来吧？如果你把它竖起来，这个三角形和这个大的三角形， 它是不是一个反 a 字的关系啊？你看，这里有一个公共角，对吧？同时这个角和这个角是不是相等的？ 实际上我们有一个三角形 b、 e、 d， 也就是这个三角形，它应该是相似于三角形 b、 c、 a 的， 那么这样一来， b、 d 比上 d、 e， 也就是这个边比上这个边就应该等于什么呢？就应该等于 ab 比上什么 c、 a 吧。那 ab 比上 c、 a 是 不是能求出来的？它是不是就应该等于十比上六，也就是五比上三，对吧？ 好，那回过头来看， b、 d 比上 d、 e， 哎，这里的这个 d、 e 是 不是应该等于 c、 d 呀？毕竟这两条边是角平分上的，点到角两边距离相等，在这个选项 b 我 们也判断过了， 所以 b、 d 比上 d、 e 是 不是就应该等于 b、 d 比上 c、 d 啊？那你看， b、 d 比上 c、 d 是 五比上三，那么 c、 d 比上 b、 d 是 不是就等于三比五啊？啊，那这个选项是对的还是错的？ 很明显，它是对的。好，那就只剩下 c 选项了。用排除法，我们也知道这道题应该选 c， 但是最后呢，我们还是来看一下，这个 a、 d 不 等于五根号三，它到底应该等于什么呢？ 其实也是很好求的，我们知道这个小三角形和这个大三角形两个人是相似的关系，所以它们三条边的比例是不是应该也是一致的， 那么这个大三角形是一个六八十的三角形，那么这个小三角形就应该是多少三角形啊，是不是他应该等于是三四五的一个直角三角形啊？所以这个 b、 e 是 四，那么 b、 d 就 应该是五，这个 d， e 就 应该是三，对吧？ 我们要求的是什么呢？我们要求的是 a、 d， 也就是这一条边的长度，那么在这个三角形里，是不是就可以用勾股定律把它求出来呀？也就是 a、 d 的 平方等于 a、 e 的 平方 加上什么 d， e 的 平方就应该是三的平方加上六的平方， 它应该等于四十五，对吧？所以 a、 d 就 应该等于根号下四十五应该等于三根号五，而不应该等于五根号三。好的，那这道题我们也快速的做完了， 最后呢，咱们就来点评一下。其实这道题呢，虽然说我们可以把它快速的做出来，但是实际上它涉及的知识点非常的多，毕竟呢，中考一张卷子二十多道题，要考初中三年学过的知识，必然会存在这种一题涉及多个考点的这种题目， 那么如果我们薄弱生想要更进一步呢？这类多考点融合的题目就要立正作对，中等生如果想要进步的话呢，这类题就要保证准确率的前提下，提高做题的速度， 比如如果你一眼就能看出复杂图形中的基础图，比如这个角平分线上的点到角两边距离相等，还有这个反 a 字形的相缩图，那么你就能快速的确定解体速度。好的，那接下来我们就来看第二个热门图形，八字形模型。 八字模型中呢，常考的就这三个模型。第一个是正经的人家八字模型，那也就是说在存在平行线 a、 b 平行于 c、 d， 还有一个对顶角的情况下呢，我们会有这两个三角形是相似的，也就是 a、 o， b 和 d o、 c， 那 么它们的八字的相似关系就应该是，它比上它 等于什么呢？等于它比上它还等于什么呢？还等于 a、 b 比上 c、 d， 这个没有问题了，不多讲了。另外， 像反 a 字模型一样。第二个是反八字模型，同样呢，题目会经常告诉你什么条件啊， 哎，我们来看一下，题目经常会告诉你有一对对顶角，这个没有问题，同时还会告诉你角 a 等于角 c， 或者是告诉你什么角 b 等于角 d， 那 自然呢，它就是和这个不一样了，那么它的这个对应关系就应该是 o a 比上 o、 c 应该等于呢？ o， b 比上 o、 d 还等于什么？哎，还等于这个 a、 b 比上 c、 d。 我 们来到最后一个这个呢，题目会给我们不少条件，首先呢，会告诉我们这三条线 哎，它都是平行的，也就是说不只有这个 a、 b 平行于 c、 d 了，在这个中间拦腰的地方，还会有一个 e、 f 同时平行于他们两个人。那假如看到这样一个图形，那么我们就能得到一个有意思的条件，是什么条件啊？ e、 f 分 之一等于 a， b 分 之一加上 c、 d 分 之一。 那么时间有限，具体呢，就不带大家证了，但是大家也要知道，他其实也是通过相似证明出来的，反正呢，这道题呢，也不会考大题。那么在选择和填空的时候，碰到这种图形这种问题了，我们就可以直接利用这个非常好用的结论就可以。 那这个式子呢，也并不难记啊，其实就是中间的分之一等于两边的分之一之合就可以了。好，那我们还是来看题，看题才是正经事。 接下来我们来看一道云南中考的创新题，我们来读题说， ab 与 cd 交于点 o， 且 ac 平行于 bd， 很 明显，这是一个八字模型。 有意思的是，另外一个条件说， oa 加 oc 加 ac 比上 ob 加 od 加 bd 等于二分之一， 那也就是说，诶， oa 加 oc 加 bc 等于二分之一。 然后问我们的是 a、 c 比上 b， d 是 多少？ a， c 比上 b、 d， 其实就是这两边的比值。好吧，这道题呢，看起来还挺唬人的，其实一点都不难，为什么呢？你想想啊，这是一个八字模型，对吧？所以 a、 c 比上 b、 d， 是 不是其实就应该等于 o， a 比上 o， b 等于 o， c 比上 o d， 它们都应该是相等的，对吧？因为三边都乘比例嘛，对吧？那三边既然都乘比例了，那周长是不是理论上也应该乘比例啊？那如果你想不明白的话，小姐姐给你举个例子，比如说，一比上二 等于二分之一，对吧？三比上六也等于二分之一，四比上八还等于二分之一， 那我就问你，一加三加四比上二加六加八是不是也应该等于二分之一啊？不相信的话，你试一下，一加三加四等于多少等于八？二加六加八等于多少是不是等于十六啊？它是不是就等于 一加三加四比上二加六加上八 也等于二分之一好吗？那所以这故事告诉我们，周长的比是二分之一，是不是也就意味着本身它三边的比就是二分之一？所以这道题三秒钟都不用，你都可以填出，它就是二分之一。 好，那这道题我们就解完了，注意切记，小题大做。看第三个热门模型，一线三等角模型，那这个模型呢，其实非常非常常见，我们来看啊， 看第一个，首先呢，这个题目的图可能会直接给你一个直角三角形，也就是这样，同时呢，他还有可能给你一个矩形，然后 同样给你一条线，这个是九十度，对吧？还有可能给你一个什么正方形，哎，也是这样，给你一条线，这个也是九十度，同时还给你什么？还给你 ab 垂直于 bc， d， e 垂直于 c， d 同样都是垂直于 b、 d 啊，所以这里就出现了三个直角，这就叫一线，也就是 b、 d 这条线和三直角，一二 还有三，那这里一样的，通常题目也会给你或不给你，你都要知道，这边是可以做出另外两个直角的。好的，没有问题吧，那这一线三直角，它会出什么东西呢？很明显啊，这两个三角形 他应该是相似的，对吧？那为什么呢？其实很简单，想必大多数同学都是知道的，因为这里是九十度，直线这一块其实是个平角，对吧？他是一百八十度，那么这个角和这个角相加，也就等于九十度。 那在这个三角形里， a、 b、 c 这个三角形里，这边左边这个角和这个小角相加，是不是也是九十度啊？所以这个小角和这边这个角就是相等的，因此，哎，这有直角相等， 小角相等，当然这个角也同理也是相等的，所以它俩就应该是什么，就应该是两个相似三角形，那么它的相似比例是什么呢？是 a、 b 比上 c， d 等于 bc 比上 d 等于斜边比斜边，对吧？ a、 c 比上 c 好， 没有问题。下面呢，我们来看第二个，第二个也是一个高频的模型，它通常会给你一个坐标系，哎，再给你两个什么正方形，然后问你的是什么东西呢？问你的是 d、 e 和 c、 d 它之间的关系。这个时候如果你直接想求这两个之间的关系怎么样啊？其实就会有点费劲，但是呢，因为求坐标都是垂直于坐标轴的，所以说我们可以做过点 d 做垂线，过点 f 做垂线。然后呢，我们就直接构造出了什么很多一线三等角的模型，对吧？看，这里垂直， 你看这里垂直，对吧？这里垂直，哎，这里又是九十度，这里又是九十度，这里又是九十度，所以其实它有非常多的一线三角的模型，我们就可以把这种 啊 d、 e 和 c、 d 这种斜线之间的比例关系转化成直线之间的比例关系。那怎么转化呢？我们来看图。首先这个 d 垂直于 x 吧，就是 d、 h 垂直于 x 轴， 那么我们要求的是 d、 e 和 c、 d 之间的比例关系，所以接下来我们也都往它们身上转换。我们看到这个小三角形 c d h 把它标出来， 它应该是相似于这个直角三角形 c d e 的， 因为这里是一个交叉的直线，对吧？所以它也是一个九十度， ok， 那 我们就把它的比例关系写出来 好了。那有了这个 c h 比上 h d， 我 们就有些高兴了。哎，来看这里是不是有一个一线三直角的模型啊？所以这两个标红的三角形，我们把它标作 o， 是 不是也是相似的关系啊？ 那我们就可以把 c h 比上 h d 转化为其他的比例关系来写一下。 好，我们来看 c h 比上 h d， 它是 o， b 比上 o c， 它们直接就相等，因此我们来看这个是不是就是我们要求的比例关系啊？ 那这个呢？和什么相关呀？是不是只和点 b 的 坐标和点 c 的 坐标相关？我们只要知道它们俩的坐标是不是，这下就能求出这个比例关系啦。那么除了这两个常见的模型之外呢？还有一个隐身的模型，我们把图清一清看一下， 哎，这个模型呢，实际上是第一个模型的变式，什么意思呢？我们看第一个模型是一线，哎，我们刚说了，就是 b d 这条线三直角模型， 但是这条线虽然也有，对吧？然后题目会告诉你什么东西，会告诉你这三个角相等，但是它们不是三个直角，而是三个钝角 或者是三个锐角。但是无论是三个钝角还是三个锐角，只要他是一线三等角，那么我们就有这两个三角形，他应该是怎么样的？ 应该是相似的，那么比例关系也不变，所以我们要知道，这个模型本质上是一线三等角，不是三只角。 好，那接下来我们就来看一道山东的真题来。首先我们还是先来读题，这是一道选择题，说如图三角形 abc 是 一个等边三角形。哎，注意了，这是一个等边三角形，也就意味着三条边相等，并且三个角都是什么？六十度。 然后说点 d、 点 e 分 别在边 bc 和 ab 上，就是这样子，角 a、 d、 e 等于六十度， a、 d、 e 在 哪？是在这里对不对？这是一个六十度的角，哎， 发现什么没有？我们刚才不是说了吗，等边三角形三个角都是六十度，所以它俩是不是也是六十度？那我把它标出来，你看这是一个什么模型啊？ 这是不是一个一线三等角的模型？只不过这三个等角都是六十度的什么锐角？好，接下来继续看题说，若 b、 d 等于四倍的 dc， d、 e 等于二点四，问我们 a、 d 的 长是多少？ 首先看 b、 d 等于四， d， c 就是 这个等于四倍的，这个是吧？然后再看 d、 e 等于二点四， d、 e 是 谁？它让我们求的是这条边的长， 也就是 a、 d 的 长。首先呢，因为我们已经识别出了这个一线三等角，那么我们就把相关的边都写一写它的比例关系， a、 d 比上 d、 e， 它应该等于什么？应该等于 a、 c 比上 b、 d， 对 不对？没问题吧？这个比这个等于这个比这个对吧？然后 a、 c 比上 b、 d， 我 们又发现它是一个等边三角形呀，这个三角形 a、 b、 c， 那 么 a、 c 它应该等于什么？ a、 c 它是不是等于 b、 c 呀？ 所以它就等于 b、 c 比上 b、 d， b、 c 比上 b、 d， 其实就是这一段，比上这一段。 哦，那有了它，我们再看到这个条件， b、 d 等于四倍的 dc， b、 d 是 四份儿， dc 是 一份儿，那么 b、 d 是 四份儿的情况下， b、 c 是 几分儿啊？是不是五份儿啊？ 所以 b、 d 比上 b、 c 应该等于几比几等于四，四份儿，对不对？所以 b、 d 比 b、 c 比 b、 d 就是 五比四，没问题吧？好，那 a、 d 比上 d， e 等于五，比上四，那么 a、 d 就 应该等于 四分之五乘以 d， e 告诉我们了二点四，对吧？啊，那这样一算，是不是就很容易能算出来，它就等于三， 那么这道题的答案就选 c， a、 d 等于三，是不是有了一线三等奖模型，我们迅速的识别出来，迅速得到比例关系，迅速的就把这道题做出来了。 好，那接下来呢，我们来讲今天的最后一个模型，手拉手模型。这个模型呢，也是非常的常考，尤其是经常在选择填空压轴题或者是压轴大题里出现。 好，我们先来看一道中考题，它是一道中考真题，同时呢，我们也要借助这一道湖南中考的真题，把什么叫手拉手模型给大家再复习一遍。好的，我们先来读个题说，如图一，在直角三角形 a、 b、 c 中 角， abc 是 九十度， ab 等于八， bc 等于六， d 是 ab 上的一点，且 ad 等于二。然后说过点 d 作 d， e 平行， bc 交 ac 于 e。 那 说了这么多，在图一上，其实它就是一个什么东西啊， 它是不是就是一个正 a 字模型啊，也就是说呢，这个小三角形 a、 d、 e， 它就应该是相似于这个大的直角三角形 a、 b、 c 的， 这个没有问题。然后接下来发生什么的呢？我们看说将三角形 a、 d、 e， 也就是小三角形，绕点 a， 顺时针旋转到图二的位置， 我们就看啊，这个三角形实际上就和我们刚才标的这个三角形是同一个三角形，只不过它旋转了一个位置，那也就是说它的边长、大小等等都不变，那它是不是还相似于这个大三角形 a、 b、 c 啊？没问题吧， 他转之前相似，转之后他的形状没有改变呀，所以他转之后依然相似。好的，那接下来我们来看一看题目，让我们求什么问，我们的是图二中 b、 d 比上 c、 e 的 值是什么？ b、 d 比上 c、 e 是 谁啊？ b、 d 在 这里， c、 e 在 这里。 ok， b、 d 比上 c、 e 就是 这两条看起来八竿子打不着的线段，它的比值。那这个题怎么思考呢？ 其实如果眼尖的同学或者是学过这个手拉手模型的同学，一眼就能看出来我们这里存在一个手拉手模型，什么意思呢？我们是不是已经标出了这个小的三角形 a、 b、 c 是 一个相似的三角形啊？ 那么假如我们把这个点 a， 也就是它们旋转围绕的这个点看作是一个头，它相似的对应点呢？比如说点 d 和点 b， 我 们看作是两个三角形的右手，然后点 e 和点 c 看作是两个相似三角形的左手，那么左手和头部 形成的这个三角形和右手和头部形成的这个三角形， 它们俩一定也是相似三角形，这就是所谓的手拉手模型。好的，那我们再重复一遍，什么叫手拉手模型？就是当我们已知两个相似三角形， 如果它们有一个共同的顶点，或者是绕着同一个顶点进行旋转，那么形成的新的两个三角形，左手和头部， 右手和头部，这样形成的两个三角形，它们俩一定也是相似的。好的，那知道了，这个题目是不是就变得非常的简单了，我们要求的是 b、 d 比上 c、 e 的 值，那么 b d 比上 c、 e 是 不是刚好在两个 我们得到的手拉手模型得到的相似三角形里呀？它应该等于多少啊？它是不是应该等于 a b 比上什么对应的边，也就是 a c， 对 吧？那么 a b 比上 a、 c 应该等于多少呢？ 很容易求，对吧？题目告诉我们， ab 等于八， bc 等于六，那么很明显，这个大直角三角形是一个六八十的直角三角形，也就是 ab 比上 ac 就 等于八比十，也就等于四比上五。那么这道题选什么？ 选 b 就是 四比五。好的，那最后一个手拉手模型，我们也利用这道题既学习完，同时也利用完了。那么以上就是今天的全部内容了， 最后，希望宝子们在六月都能落笔铿锵，成功圆梦！我是三姐，专门让你提别人提不了的份儿，我们下期再见！
104桑尼姐讲新中考
05:59查看AI文稿AI文稿看一下这道二五年的四川压轴题啊，四川雅安的压轴题，它告诉我们，三角形 a b c 里面，角 b 呢，是等于九十度， am 是 角平分线，所以得到这两个角是相等的。点 o 呢，是 a c 上的一点，经过点 a、 点 m， 呃，这样的一个圆 o 啊，分别交 a、 b、 a c 与点 e f， 在 这里如图就可以了啊，判断 b c 与圆 o 的 位置关系，并且说明理由啊，眼睛没有瞎的同学应该能够看到这个 b c 跟这个圆，它就是一个相切的，对不对？你把这个写进去，应该是有一分的，然后具体怎么去证明呢？ 那证明切线的方法无非就两种，一个呢是连接半径，证明九十度，一个呢是做垂直，证明它的长度等于半径。然后这个题他告诉咱们啊，点 m 是 在圆上的，所以呢连接 o m， 我 们接着要想办法证明这个角是等于九十度的，对不对？那角 b 又等于九十度，所以我们只要证明 a b 跟 o m 平行就可以了，对不对？这里面用到了一个 很重要的一个模型，叫做平行平分正等腰 好。因为题目告诉我们这个 a m 是 角平分线嘛，所以这两个是相等的。然后因为圆的半径又相等，所以 o a 等于 o m， 所以 我们可以得到这个角二也等于角三，那么我们就可以得到角一等于角三，就可以得到 a b 平行于 o m， 因为角 b 等于九十度，所以这个地方也等于九十度，所以它就是它的切线。 具体的一个思维路径是这样子的，因为这个 a m 是 角平分线，所以咱们可以推出角一等于角二，然后因为这个它这个东西它是一个圆，所以咱们这个 o a 等于 o m， 所以 就可以推到角二等于角三。因为角一等于角二，角二等于角三，哎，所以这两个条件一结合，可以推到角一等于角三， 角一等于角三的话呢，内错角相等，两条直线平行，就可以得到 ab 平行于 o m， 然后再结合这个角 b 等于九十度，这两个条件一结合，所以就可以得到角 o m， 哎，算了，说角 o m 还不太好，你就可以直接说 o m 是 垂直于 a b c 的， 哎，所以这个 b c 是 圆 o 切线就是这样的一个思路，这是第一位好，再看第二位，他想让我证明 c m 平方等于 cf 乘以 c a， 又是一个非常非常非常简单的一个东西。 像这种形式啊，那你就得知道啊，分式 a 分 之 b 等于 c 分 之 d， 那 么它就会有一个交叉相乘，会想到 bc 等于 ab， 对 吧？那追溯到这个小学过去，它其实就是 b 比 a 等于 d 比 c， 那 外向乘积等于内向乘积，也能得到这样的一个式子，所以呢， 它现在左边是两个东西相乘，右边是两个东西相乘，我们就可以写成两个分式。我们来推导一下， c m c m 要跟 c m 相乘，所以这里放 c m， 这里就得放 c a， 所以 你就会发现，哎，这两条边是不是就三角形 c m f 这个放在一起是不是就三角形 c a m？ 那 我们就看看这两个象形能不能证明相似喽。看回这个图啊， c m f， 哎，这个红色的 跟 c a m， 哎， c a m 这个蓝色的哦，首先这两个象形是不是已经有一个角相等了，对不对？然后这里的话，我刚刚第一问证明了它是切线，所以呢， m f 又是它的一条弦，所以这个角 c m f 它就是它的弦。切角这个题我都不用去思考的啊，因为有很多模型我们是可以直接套的，那弦切角，这个角就一定会等于这个 o a， 我 们可以根据第一问的， 可以根据第一问的这个结论去做哈，这个角是角一，这个角是角二，因为第一问是切线，所以呢，我们可以得到角一加上角二等于九十度，然后因为这里面有很多半径，所以呢，角二跟角三是相等的， 然后这个角呢看成角四，这个角呢看成角五，那我们可以得到角一加角二等于九十，角二加上角五等于九十度，然后就可以推出啊，那这个角二等于角三还不用了， 这样的，所以从这两个条件我们可以得到角一是等于角五的，对不对？然后因为里面有很多半径 o m 等于 o a， 所以 角四等于角五，然后这两个条件一结合，我们就可以得到角一等于角四。那在这在这两个三角形当中，我们是不是可以得到角 c 是 一个公共角， 然后呢，角一等于角四。两个三角形里面，它有两组角相等，所以呢，它就是一个相似的，那相似之后呢，我们就可以得到上面这个东西，得到上面这个东西之后呢，交叉相乘就可以证明到 c m 方等于 c f 乘以 c a 了。好，这是第二题的一个思路。
52张老师👨🏫
09:01查看AI文稿AI文稿二零二六中考最后三课来了，接下来这三期视频我会教你数学中的一些套路，带你中考稳级二十分。话不多说，欢迎收看中考数学最后三课第一期数学压轴篇。 第一个模，行动境互换动静互换在考场上的实操性很强，实战中效果很好。例如二零二五年郑州一模数学压轴题、郑州二模填空压轴和濮阳一模压轴题，以及许多地势的中考压轴都可以用到这个模型。 动静互换就是把动态的图形看作静态的物体，反客为主，有点像物理当中的相对运动， 其中最经典的就是三角形的互换运动。比如今年濮阳一模的压轴题就考到了这个题目，而且还碰巧跟我三月份原创压轴题中了考点，那我就借此机会来讲一下这类题目。 接下来我们来看一下这道原创的压轴。第三，小问已知等幺三角形 abc 和 ade 的 直角顶点， a 中和 ab 等于四， ade 等于 ade 等于三，我们来连接 bd 和 c、 e， ade 在 旋转让求这三点共线的时候，一般来讲我们会把 ade 真正的旋转过去， 然后让划出来三点攻陷的情况来进行求解。这种情况在考场上面的话非常费时间， 也不好想。那么对于这种类型的题，我们可以怎么办？我们可以采取来动静互换这种方法来解决这类问题。 我们可以把 a、 d、 e 这个三角形不动，我让 abc 这个三角形定着的这个三角形来动。因为 a 四的长度是固定的，所以说 c 在 以 a 为圆心，半径长为四的一个圆上来运动， 这个圆的轨迹就是 c， 它的可能性 我们只需要让一撇 d 撇这个直线与这个 c 所在的轨迹圆上相交，那么这两个点就是 c。 有 可能的两个点， c 一 和 c 二。我们来连接 a 撇 c 一 和 a 撇 c 二。 由于我们前问其实已经猜过了，这个伯乐摩羯模型的结论就是 a e 呸呸， a f 等于二分之一的 c， e 的 值。 在前面第二问的第一小问已经去猜过，并证明了 这道题，所以说我可以直接来算出来 c 一 一撇和 c 二一撇的长度，从而除以二，就是 af 的 长度。我们来算一算过点， a 撇向第一撇做垂线交点为 g， 因为 a 撇一撇 d 为等腰直角三角形，所以说 a 撇记就是二分之三倍根号二， a， e， c 是 四，所以我们就可以勾勒里把 c e、 g 给求出来，就是根号下四的平方，减去二分之三倍根号二的平方。 最后的答案就是，根号下二分之三十二，就等于二分之根号四十六。 由于 e e g 等于 a e g， 所以 说 c e e 的 长度就能算出来，就是 c e g 减去 e 撇 g 等于二分之根号四十六，减去二分之三倍根号二。那么 a 撇一的长度就是 c 一， 一撇的一半就是四分之根号四十六，减去三倍根号二。 同理，我们就可以把第二个答案算出来了。 第二个模型，刮豆原理，该模型的实战伤害很高，近些年考察频率较高，种瓜得瓜，种豆得豆，主动点在运动时从动点的轨迹也可以确定。 二五年郑州一模数学填空压轴题，用刮豆原理可以轻松秒杀。下面我来借用三月原创卷第十题来介绍这个模型。我们来画一个图，在三角形 a、 b、 c 当中， 先来解决前半段问题， a、 o 垂直于 b c， b、 o 平分 a、 b、 c。 我 们来随便取一个点取，这里为 o， 这里为 a b c， a、 o 垂直于 b c， b o 平分 a、 b、 c。 也就是说角 a、 o， a、 b o 和 o b、 c 是 相等的， b a、 o 等于 b， c， o 连接 o、 c， 这两个角相等，又因为 o a 等于 o， b 等于 o c。 先由最后一个条件我可以判断出来 o 点是它的一个外心， 再由前两个我可以判判断出来三角形 a、 o、 b 和三角形 c、 o、 b 是 全等的，从而我可以判断出来 o 点又是它的一个内心或者垂心。所以说 o 点是三角形 a、 b、 c 的 三心合一，就是等边三角形，也就是三角形 a、 b、 c 为等边三角形，三角形 a、 b、 c 为等边三角形， o 点为它的一个中心。 还知道 ap 等于二，也就是说 p 点是以 a 点为圆心，也就是说 p 点的轨迹是在以 a 点为圆心，二为半径的一个圆上，也就是这个红色的圈，它代表就是 p 的 轨迹。它又说 p q 等于 q c， 我 来连接一下 q、 c， 那 么很显然， q 点 就在 c p 的 中点上，让求 b q 的 平方减去三十的最大值。这道题完全满足刚才所说的瓜豆原理，因为 p 点的轨迹 是已知的，同时 p q 等于 q， q 点为 p 点的从动点。 由于 p 点的轨迹是一个圆，所以 q 点的轨迹一定也是一个圆。此时我连接 pa， 我 会发现 q 点为 c， p 上的一个中点。 显而易见，我要连接 a c 上的一个中点，我记为 e 点连接 q e。 由于 a p 等于二倍的 q e， 所以 说 q 点的轨迹就是在以 e 为圆心 二分之一 a p 长，也就是一的半径的圆上。我们来画出来 q 的 轨迹， 就是这个绿色的圆，连接 b e 并延长交圆， e 于就是 q， 这个点就是 b q 的 最大值。因为 abc 是 等边三角形， c o 等于四，所以边长为四倍。根号三，它的高为 六，也就是 b 的 长为六，它的最大值 b q 最大值就是六。加一等于七，那么 b q 的 平方减去三十的最大值就是四十九，减去三十等于十九。 本期视频小节动静互换，解决移动移近问题。刮豆原理，解决跟随运动问题。
2.3万呗榆
00:32查看AI文稿AI文稿中考数学拉分难点十大压轴题型，刷完掌握考试直接躺赢！中考压轴题一、动点问题题目答案 中考压轴二、函数类问题压轴三、面积问题 压轴四、三角形存在性问题压轴十选完整版分享！
78山野赴星河
13:39查看AI文稿AI文稿中考最后三十天，这样子三角形的题做起来还是真的想狗呆，有的是找不到相似，有的能找到，但是比例等式写不对，那三节盘点了超全的十大热门模型，零基础也能轻松通关。今天先讲第三类，第四类如果大家分数比较高呢，就会 速登后面的。好，那我们首先来看第三个热门模型，一线三等角模型，那这个模型呢，其实非常非常常见，我们来看啊， 看第一个，首先呢，这个题目的图，可能会直接给你一个直角三角形，也就是这样，同时呢，他还有可能给你什么，还有可能给你一个矩形，然后 同样给你一条线，这个是九十度，对吧？还有可能给你一个什么正方形，哎，也是这样，给你一条线，这个也是九十度，同时还给你什么？还给你 ab 垂直于 bc， d， e 垂直于 c、 d， 同样都是垂直于 b、 d 啊，所以这里就出现了三个直角，这就叫一线，也就是 b、 d 这条线和三直角一二 还有三，那这里一样的，通常题目也会给你或不给你，你都要知道，这边是可以做出另外两个直角的，好的，没有问题吧，那这一线三直角，它会出什么东西呢？很明显啊，这两个三角形 他应该是相似的，对吧？那为什么呢？其实很简单，想必大多数同学都是知道的，因为这里是九十度，直线这一块其实是个平角，对吧？他是一百八十度，那么这个角和这个角相加，也就等于九十度。 那在这个三角形里， a、 b、 c 这个三角形里，这边左边这个角和这个小角相加，是不是也是九十度啊，所以这个小角和这边这个角就是相等的，因此，哎，这有直角相等， 小角相等，当然这个角也同理也是相等的，所以它俩就应该是什么，就应该是两个相似三角形，那么它的相似比例是什么呢？是 a b 比上 c， d 等于 bc 比上 d 等于斜边，比斜边，对吧？ a， c 比上 c 好， 没有问题。下面呢，我们来看第二个，第二个也是一个高频的模型，它通常会给你一个坐标系，哎，再给你两个什么正方形，然后问你的是什么东西呢？问你的是 d， e 和 c d 它之间的关系。这个时候如果你直接想求这两个之间的关系怎么样啊？其实就会有点费劲，但是呢，因为求坐标都是垂直于坐标轴的，所以说我们可以做过点 d 做垂线，过点 f 做垂线，然后呢，我们就直接构造出了什么很多一线三等角的模型，对吧？看，这里垂直， 你看这里垂直，对吧？这里垂直，哎，这里又是九十度，这里又是九十度，这里又是九十度，所以其实它有非常多的一线三角的模型，我们就可以把这种 啊 d， e 和 c、 d 这种斜线之间的比例关系转化成直线之间的比例关系。那怎么转化呢？我们来看图。首先这个 d 垂直于 x 吧，就是 d h 垂直于 x 轴， 那么我们要求的是 d， e 和 c d 之间的比例关系，所以接下来我们也都往它们身上转换。我们看到这个小三角形 c， d， h 把它标出来， 它应该是相似于这个直角三角形 c、 d， e 的， 因为这里是一个交叉的直线，对吧？所以它也是一个九十度， ok， 那 我们就把它的比例关系写出来 好了。那有了这个 c h 比上 h d， 我 们就有些高兴了，哎，来看这里是不是有一个一线三直角的模型啊？所以这两个标红的三角形，我们把它标作 o， 是 不是也是相似的关系啊？ 那我们就可以把 c h 比上 h d 转化为其他的比例关系来写一下。 好，我们来看 c h 比上 h d， 它是 o b 比上 o c， 它们直接就相等，因此我们来看，这个是不是就是我们要求的比例关系啊？ 那这个呢，和什么相关呀？是不是只和点 b 的 坐标和点 c 的 坐标相关？我们只要知道它们俩的坐标是不是，这下就能求出这个比例关系啦。那么除了这两个常见的模型之外呢，还有一个隐身的模型，我们把图清一清看一下， 哎，这个模型呢，实际上是第一个模型的变式，什么意思呢？我们看第一个模型是一线，哎，我们刚说了，就是 b d 这条线三直角模型， 但是这条线虽然也有，对吧？然后题目会告诉你什么东西，会告诉你这三个角相等，但是它们不是三个直角，而是三个钝角 或者是三个锐角。但是无论是三个钝角还是三个锐角，只要他是一线三等角，那么我们就有这两个三角形，他应该是怎么样的？ 应该是相似的，那么比例关系也不变，所以我们要知道，这个模型本质上是一线三等角，不是三只角。 好，那接下来我们就来看一道山东的真题来。首先我们还是先来读题，这是一道选择题，说如图三角形 abc 是 一个等边三角形。哎，注意了，这是一个等边三角形，也就意味着三条边相等，并且三个角都是什么？六十度。 然后说点 d、 点 e 分 别在边 bc 和 ab 上，就是这样子，角 a、 d、 e 等于六十度， a、 d、 e 在 哪？是在这里，对不对？这是一个六十度的角，哎， 发现什么没有？我们刚才不是说了吗，等边三角形，三个角都是六十度，所以它俩是不是也是六十度？那我把它标出来，你看这是一个什么模型啊？ 这是不是一个一线三等角的模型？只不过这三个等角都是六十度的什么锐角？好，接下来继续看题说，若 b、 d 等于四倍的 dc， d、 e 等于二点四，问我们 a、 d 的 长是多少？ 首先看 b、 d 等于四， d， c 就是 这个等于四倍的，这个是吧？然后再看 d、 e 等于二点四， d、 e 是 谁？它让我们求的是这条边的长， 也就是 a、 d 的 长。首先呢，因为我们已经识别出了这个一线三等角，那么我们就把相关的边都写一写它的比例关系， a、 d 比上 d、 e， 它应该等于什么？应该等于 ac， 比上 b、 d， 对 不对？没问题吧？这个比这个等于这个比这个，对吧？然后 a、 c 比上 b、 d， 我 们又发现它是一个等边三角形呀，这个三角形 a、 b、 c， 那 么 a、 c 它应该等于什么？ a、 c， 它是不是等于 b、 c 呀？ 所以它就等于 b、 c 比上 b、 d， b、 c 比上 b、 d， 其实就是这一段，比上这一段。 哦，那有了它，我们再看到这个条件， b、 d 等于四倍的 d、 c、 b、 d 是 四份， d、 c 是 一份，那么 b、 d 是 四份的情况下， b、 c 是 几分啊？是不是五份啊？ 所以 b、 d 比上 b、 c 应该等于几比几等于四，四份 比上五份儿，对不对？所以 b、 d 比 bc 等于四比五，那么 bc 比 bc 就是 五比四，没问题吧？好，那 a、 d 比上 d， e 等于五比上四，那么 a、 d 就 应该等于 四分之五乘以 d、 e 告诉我们了二点四，对吧？啊，那这样一算，是不是就很容易能算出来，它就等于三， 那么这道题的答案就选 c， a、 d 等于三。是不是有了一线三等奖模型，我们迅速的识别出来，迅速得到比例关系，迅速的就把这道题做出来了。 好，那接下来呢，我们来讲今天的最后一个模型，手拉手模型。这个模型呢，也是非常的常考，尤其是经常在选择填空压轴题或者是压轴大题里出现。 好，我们先来看一道中考题，它是一道中考真题，同时呢，我们也要借助这一道湖南中考的真题，把什么叫手拉手模型给大家再复习一遍。好的，我们先来读个题说，如图一，在直角三角形 a、 b、 c 中 角 abc 是 九十度， ab 等于八， bc 等于六， d 是 ab 上的一点，且 ad 等于二。然后说过点 d 作 d， e 平行， bc 交 ac 于 e。 那 说了这么多，在图一上，其实它就是一个什么东西啊， 它是不是就是一个正 a 字模型啊？也就是说呢，这个小三角形 a、 d、 e， 它就应该是相似于这个大的直角三角形 a、 b、 c 的， 这个没有问题。然后接下来发生什么的呢？我们看说，将三角形 a、 d、 e， 也就是小三角形绕点 a 顺时针旋转到图二的位置， 我们就看啊，这个三角形实际上就和我们刚才标的这个三角形是同一个三角形，只不过它旋转了一个位置，那也就是说它的边长、大小等等都不变，那它是不是还相似于这个大三角形 a、 b、 c 啊？没问题吧， 他转之前相似，转之后他的形状没有改变呀，所以他转之后依然相似。好的，那接下来我们来看一看题目，让我们求什么问，我们的是图二中 b、 d 比上 c、 e 的 值是什么？ b、 d 比上 c， e 是 谁啊？ b、 d 在 这里， c、 e 在 这里。 ok， b、 d 比上 c、 e， 就是 这两条看起来八竿子打不着的线段，它的比值。那这个题怎么思考呢？ 其实如果眼尖的同学或者是学过这个手拉手模型的同学，一眼就能看出来我们这里存在一个手拉手模型。什么意思呢？我们是不是已经标出了这个小的三角形 a、 b、 c 是 一个相似的三角形啊？ 那么假如我们把这个点 a， 也就是它们旋转围绕的这个点看作是一个头，它相似的对应点呢？比如说点 d 和点 b， 我 们看作是两个三角形的右手，然后点 e 和点 c 看作是两个相似三角形的左手，那么左手和头部 形成的这个三角形和右手和头部形成的这个三角形， 它们俩一定也是相似三角形，这就是所谓的手拉手模型。好的，那我们再重复一遍，什么叫手拉手模型？就是当我们已知两个相似三角形， 如果他们有一个共同的顶点，或者是绕着同一个顶点进行旋转，那么形成的新的两个三角形，左手和头部， 右手和头部，这样形成的两个三角形，它们俩一定也是相似的。 好的，那知道了，这个题目是不是就变得非常的简单了，我们要求的是 b d 比上 c e 的 值，那么 b d 比上 c e 是 不是刚好在两个我们得到的手拉手模型得到的相似三角形里呀？它应该等于多少啊？它是不是应该等于 a b 比上什么？对应的边，也就是 a c 对 吧？那么 a b 比上 a c 应该等于多少呢？ 很容易求，对吧？题目告诉我们， ab 等于八， bc 等于六，那么很明显，这个大直角三角形是一个六八十的直角三角形，也就是 ab 比上 ac 就 等于八比十，也就等于四比上五。那么这道题选什么？ 选 b 就是 四比五。好的，那最后一个手拉手模型我们也利用这道题既学习完，同时也利用完了。那么以上就是今天的全部内容了， 最后，希望宝子们在六月都能落笔铿锵，成功圆梦！我是三姐，专门让你提别人提不了的份儿，我们下期再见！
155桑尼姐讲新中考
01:57查看AI文稿AI文稿中考速写复习关注我，持续更新方程与不等式！我们看一道四川凉山州的中考整体，若关于 x 的 一元幺四方程的一个根是 x 等于零，则 a 的 值为好。我们可以解， 把 x 等于零，弹入圆方程就有 a 方减四等于零，所以 a 就 等于正负二。 又因为圆方程要想是一元二次方程，我们有二次项的系数， a 加二是不等于零的，所以最终就有 a 应该等于二，也是这题答案为 a。 这里一定要注意一元二次方程的这个隐含条件。四川南春的一道中考整体 已知 m 是 方程， x 方加四， x 减一等于零的一个根。求这样一个代数式的值啊！解我们第一种方法，我们可以把这个方程解一下， 所以我们可以解的 x 应该等于正负根号五减二。 我们发现如果我们把 x 的 值直接带入这样个怠速式解题过人或非常繁琐，所以我们可以采用第二种方法，我们将原怠速时进行处理。 m 加五 乘以 m 减一，就等于 m 方减四加四， m 再减五。 由于 m 是 圆方程的一个根，发现 m 方加四， m 代入圆方程，我们有 m 方加四， m 减一等于零， 所以 m 方加四， m 就 等于一。因此这样一结果的一减五等于负四，所以单位负是。
31哨子老师
