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中考最后三十天,三角形的题做起来还是真的想狗呆,有的是找不到相似,有的能找到,但是比例等式写不对,那三节盘点了超全的十大热门模型,零基础也能轻松通关。今天先讲最烫的前四类,如果大家分数比较高呢,就会 后面的好。首先我们来看第一个热门模型, a 字模型, a 字相似呢,我们要来看四张图,它呢经常出现在选填压轴,那我们的目标是减少计算失误,提高解析的效率,对吧? 所以我们把这四个模型摸透之后呢,时间就会大大的降低。首先我们要记住一个要点,就是平行有相似。 好,然后我们来看啊,第一个模型,题目会告诉我们 d e 平行于 bc, 那 么是不是很简单,我们就能得到这个三角形小的这个应该是相似于这个大的三角形 abc 的。 那具体的相似关系呢?就是 a d 比上 a, b 应该等于什么?应该等于 a, e 比上 a c 还等于 d, e 比上 b c, 这个是最最最基础的模型,大家都很清楚,具体就不说了。然后我们来再看第二个模型,反 a 字模型, 通常呢,题目会告诉我们什么东西啊,角一等于角二,那么呢,由于又存在一个这个公共的顶角 a, 哎,这个顶角,所以呢,我们就有这个三角形 a, d, e 应该是相似于这个三角形 abc 的, 那么它对应的相似关系是什么样的呢?哎,和第一张图就不一样了,我们看它应该对应的是 a, d 比上 ab 等于 a, e 比上 a c, 哎,还等于这个 e, d 比上 cb 啊,没问题吧?但是呢,题目通常会给我们一些变化,什么变化呢?哎,我们写一下啊,刚才说了,应该是 a d 比上 ab 等于 a, e 比上 a c, 那 么题目呢,有的时候会给你写成乘积的形式,也就是 a d 乘以 a, c 等于 a, e 乘以 ab, 如果你看到这样的形式,你要能识别出来,它是在告诉你一个相似的条件。 好,那接下来我们再继续看这个图啊,它的可拓展性非常强,我们看因为角二和角一是相等的关系,所以我们可以知道这四个点是不是四点共圆的。那除此之外,假如我们连接 这两条线,我们还能得到两个相似的三角形,应该是什么?应该是这个 a b、 d 相似于这个三角形 a c, e。 为啥?我们看图上是不是已经证明过这个它们,哎, 是呈相似比的,那同时还有一个公共的这个顶角 a, 所以 可以用 s a s 证明相似。好吧, 所以这个图它的辨识非常的多,大家一定要能识别出来。那么在第三个模型呢,题目里也会告诉你,这个 d e 是 平行于 bc 的, 它会让你证明什么呢?它会让你证明 d f 比上 b g, 它应该是等于 e f 比上 c g 的。 那这个好不好正呢?哎,我们对 a 字模型是非常熟悉的嘛,所以它非常的好正啊,只要把这个 a f 比上 a g 当成一个中间的桥梁,那么这两边两个三角形是不是就能把它搭起来了?具体的证明过程呢?我们就不正了,思路非常的简单。最后我们来看第四个,第四个是有一些难度的,因为它存在两个方程的计算,我们来看 第四个图,很明显也是有一个三角形, a、 b、 c, 然后 e、 f 是 不是也是平行于 b、 c 的? 那同时呢,题目会告诉你,这个 e、 f、 g、 d 是 一个什么东西啊?是一个正方形对吧?然后通常题目还会给你一个条件,就是 a、 h 是 高, 还会告诉你三条边的长度,也就是 a、 b、 a、 c 和 b c 这三条边的长度我们都是知道的,我们把它标出来,标成三个字母,就叫 a、 b、 c, 哎,题目告诉我们,这 a、 b、 c 三个数通常都会告诉你,那题目会问你什么东西呢?题目通常会问你一个正方形,它的边长是多少?也就是 ef 或者是 e、 d 或者是,哎,它们四个中任意一个,只要你能求出来是多少就可以了。那这道题好不好求呢?其实也有固定的方法,只要解两个方程就行。核心呢,就是要利用这个高,哎,怎么样作为跳板?就像刚才第三个模型,我们把中间的哎这个 a、 f 比上 a、 g 作为跳板一样, 在这道题里,这个核心就是把这个高作为跳板,具体怎么做呢?哎,我们来看,首先我们要设 b h 等于 x, 也就是这一段 是 x, 那 么这样一来,这个 c、 h 是 不是就能表示出来了啊?别忘了,我们知道这一条边是 a, 对 吧?所以它就应该是 a 减去 x。 好, 那把它们表示出来有什么好处呢?嗯,我们来看啊, c 和 b 我 们是不是都知道啊? 那么在这个三角形里,我们是不是可以用勾股定律表示出这个 a、 h 也就是高的长啊?同样的,在另外一个三角形这边, 我们也可以用勾股定律表示出 a h 的 长,对吧?因此呢,我们就有 c 的 平方,减去 x 的 平方应该等于 b 的 平方,减去 a 减去 x, 它的平方,对不对?那这个式子里别看有 abc, 但是他们都是题目告诉我们的只有 x 这一个什么一个未知数,所以我们一定会把这个 x 求出来,对吧? 那求出来 x 之后有什么好处呢?当然是我们就可以利用任意左边或者右边的式子,把高也就是 h 给求出来, 那么 a h 我 们就知道了,对吧?那接下来我们要求的是什么?大家还记得吗?我们要求的是正方形的边长,对吧?很类似,我们要解第二个式子,我们把这个 e f 和 e d 都设为 y, 也就是正方形的边长,我们设为 y, 那么这个 a i 这一小段就应该是什么呀?哎!这块也是 y, 对 吧?它就应该是 h 减去 y, 对 吧?也就是它是 a h 减去这个边长的部分,也就是 h 减去 y, 好, 那么我们就有 a i, 它比上什么?比上 h 应该等于什么东西啊?应该等于这个 e f, 也就是我们刚才设的 y 比上 b c, 那么这个 a i, 我 们刚才说了,他是不是等于 h 减去 y 啊?而 bc 又是什么呀? bc 是 不是也是题目告诉我们的就是 a 呀?所以我们是不是可以整理整理得到一个关于 y 的 方程了?因为 h 我 们也知道了,对吧?所以就应该是 h 减 y 乘以 a 等于 y 乘以 h, 那 么这个式子里只有一个未知数,也就是 y, 那 么我们当然可以把这个式子里的 y, 也就是正方形的边长给解出来了,那有同学说,哎,得到这个比利时的时候,我有点没跟上,我们来回头看一下, 这是不是两个 a 字形拼在一起啊?和这个形式是不是很类似啊?所以它中间的高的这个比例 h 减 y 比上这个 a h, 这个是不是就应该等于 a e 比上 ab 啊? 那么 a e 比上 ab 是 不是就应该等于 ef 比上 bc 啊?那 ef 是 谁?就是 y, bc 呢?就是 a, 就是 刚才我们得到的这个式子。 所以实际上呢,第四个模型是第三个模型的什么进阶,他只不过搞了一个正方形和高出来,让我们求的东西更加复杂了,但是还是第三个模型基础上得到隐身的一些相似关系。 好,那模型解完了,接下来我们就来看题。我们先来看第一题,这是一道中考真题,但是并不是特别难,难的是什么呢?难的是我们要在一分半之内就结束它,并且呢,我们要做到不错,不掉进这个易错点。 好来读题。首先说这个三角形 a、 b、 c 中,这个 d、 e 平行于 bc, 也就是它俩平行, 然后还说什么呢?还说 e、 f 平行于 a、 c, 也就是它俩是平行的,那么也就是说这个四边形是一个什么四边形啊?这个 e、 f、 c、 d, 它是不是一个平行四边形啊?好,那这个四边形是一个平行四边形。然后接着再读题啊, 说 a e 比上 b e 等于二,比五, b f 等于八,我们来看 a e 比上 b e 是 哪两段啊?是不是这两段啊? 这个是二,这个是五,对吧?所以我们要注意,第一个易错点就来了,那很多同学 这个时候就会掉进坑里,说 a e 比上 b, e 是 二比五,那是不是 e d 比上 b c 也是二比五啊?哎,恰恰不是啊, e d 比上 b c, 它应该是 a, e 比上什么 ab, 对 吧?应该是二比 七,对吧?那有这个继续看, b e 是 八,也就是说告诉我们这一段是八,让我们求的是 d e 的 长, d e 也就是平行四边形的这两条边的长,对吧? 好,那题目非常的简单,我们把这个设为 x, 利用相似来解方程就可以了, 因为我们看到这个是 x, 这个是 x, 对 吧?所以 bc 就 应该是什么? bc 就 应该是八加上 x, 那 我们刚才说了, a e 比上 ab 应该是二比上七,所以 x 比上八加上 x 应该等于多少?就应该等于这个二比七,对不对?哎,那解一下,七, x 等于十六,加上二 x 五, x 等于十六, x 解出来就应该等于五分之十六, 这道题选什么?选 a 好, 是不是非常简单啊?我们只要能把它这个模型识别出来,这道题的思路就不难,唯一的就是不要掉进这个比例的坑里。好,接下来我们来看第二题。 好,我们先来看这道题,这道题呢,看起来很长,他有四分,也是一道中考真题啊,而且选项非常的多,但是我的目标呢,依然是要在短时间内迅速解决战斗。好,先来读题说,如图,在直角三角形 a b c 中角 c 等于九十度,也就是这是一个直角 ac 等于六, ab 等于十啊,好嘛,于是我们就得到了一个什么样的直角三角形啊,我们很熟悉,对吧?它分明这里是个直角,这里是六,这里是十,哎,那分明就是一个六八十的直角三角形,对吧? 好,那接着看。说以 a 为圆心,适当的长为半径画弧, 分别交 a、 c、 a、 b 于点 m、 n, 再分别以 m、 n 为圆心,大于二分之一, m、 n 的 长为半径画弧,两弧在内部交于点 p。 我们来看,也就是说它这个图痕迹留给我们了。是这样先画了两条一样的弧, am 是 不是等于 an 啊?然后又这样以它俩分别为圆心,交了一个屁,然后把这个 a 连过去,很明显,这是一个什么画法,是不是角平分线的画法? 所以我们又知道了,这个角是不是应该等于这个角?没问题吧?好,那接着读, 说画射线, a p 与 b c 交于点 d, 然后 d, e 垂直于 ab, 垂足为 e, 也就是说这也是一个九十度。 好,我们还是把它标上。那么看这个图,我们首先就能发现这是一条角平分线,然后从点 d 出发, d, c 是 不是垂直于 a c 啊?那 d、 e 是 不是垂直于 a、 e 啊?角平分线上的点到角两边,它的距离应该是怎么样的?是相等的。那么同时我们还知道什么呢?还知道这两个三角形是不是应该是全等三角形啊? 那么 a、 c 应该等于谁?应该等于 a、 e 对 不对?所以这就是六。那我们既然知道了 a、 b 是 十, a、 e 是 六,那么 b、 e 是 多少?我们是不是应该也知道了, 它是不是应该等于四,对吧?那接下来我们就来看看题目,让我们求什么说下列结论错误的是哪个?先看 a 选项, cad 等于 b, ad, 也就是这个角等于这个角 没问题吧,肯定是对的,角平分线嘛,然后 c、 d 等于 d、 e, 哦,我们刚才也说了,到角两边距离相等好,第三个 a、 d 等于五倍的根号三,这个是对是错呢?我们肯定要算一算,先放过它 好来看 d 选项, c、 d 比上 b、 d 等于三,比上五,这个看起来好像比这个 c 选项要好判断,我们就从它下手。 这个比例关系让我们想起了一件事,我们似乎还有一个关系没有说什么关系啊,很明显,这是一个反 a 字形吧,能看出来吧?如果你把它竖起来,这个三角形和这个大的三角形, 它是不是一个反 a 字的关系啊?你看,这里有一个公共角,对吧?同时这个角和这个角是不是相等的? 实际上我们有一个三角形 b、 e、 d, 也就是这个三角形,它应该是相似于三角形 b、 c、 a 的, 那么这样一来, b、 d 比上 d、 e, 也就是这个边比上这个边就应该等于什么呢?就应该等于 ab 比上什么 c、 a 吧。那 ab 比上 c、 a 是 不是能求出来的?它是不是就应该等于十比上六,也就是五比上三,对吧? 好,那回过头来看, b、 d 比上 d、 e, 哎,这里的这个 d、 e 是 不是应该等于 c、 d 呀?毕竟这两条边是角平分上的,点到角两边距离相等,在这个选项 b 我 们也判断过了, 所以 b、 d 比上 d、 e 是 不是就应该等于 b、 d 比上 c、 d 啊?那你看, b、 d 比上 c、 d 是 五比上三,那么 c、 d 比上 b、 d 是 不是就等于三比五啊?啊,那这个选项是对的还是错的? 很明显,它是对的。好,那就只剩下 c 选项了。用排除法,我们也知道这道题应该选 c, 但是最后呢,我们还是来看一下,这个 a、 d 不 等于五根号三,它到底应该等于什么呢? 其实也是很好求的,我们知道这个小三角形和这个大三角形两个人是相似的关系,所以它们三条边的比例是不是应该也是一致的, 那么这个大三角形是一个六八十的三角形,那么这个小三角形就应该是多少三角形啊,是不是他应该等于是三四五的一个直角三角形啊?所以这个 b、 e 是 四,那么 b、 d 就 应该是五,这个 d, e 就 应该是三,对吧? 我们要求的是什么呢?我们要求的是 a、 d, 也就是这一条边的长度,那么在这个三角形里,是不是就可以用勾股定律把它求出来呀?也就是 a、 d 的 平方等于 a、 e 的 平方 加上什么 d, e 的 平方就应该是三的平方加上六的平方, 它应该等于四十五,对吧?所以 a、 d 就 应该等于根号下四十五应该等于三根号五,而不应该等于五根号三。好的,那这道题我们也快速的做完了, 最后呢,咱们就来点评一下。其实这道题呢,虽然说我们可以把它快速的做出来,但是实际上它涉及的知识点非常的多,毕竟呢,中考一张卷子二十多道题,要考初中三年学过的知识,必然会存在这种一题涉及多个考点的这种题目, 那么如果我们薄弱生想要更进一步呢?这类多考点融合的题目就要立正作对,中等生如果想要进步的话呢,这类题就要保证准确率的前提下,提高做题的速度, 比如如果你一眼就能看出复杂图形中的基础图,比如这个角平分线上的点到角两边距离相等,还有这个反 a 字形的相缩图,那么你就能快速的确定解体速度。好的,那接下来我们就来看第二个热门图形,八字形模型。 八字模型中呢,常考的就这三个模型。第一个是正经的人家八字模型,那也就是说在存在平行线 a、 b 平行于 c、 d, 还有一个对顶角的情况下呢,我们会有这两个三角形是相似的,也就是 a、 o, b 和 d o、 c, 那 么它们的八字的相似关系就应该是,它比上它 等于什么呢?等于它比上它还等于什么呢?还等于 a、 b 比上 c、 d, 这个没有问题了,不多讲了。另外, 像反 a 字模型一样。第二个是反八字模型,同样呢,题目会经常告诉你什么条件啊, 哎,我们来看一下,题目经常会告诉你有一对对顶角,这个没有问题,同时还会告诉你角 a 等于角 c, 或者是告诉你什么角 b 等于角 d, 那 自然呢,它就是和这个不一样了,那么它的这个对应关系就应该是 o a 比上 o、 c 应该等于呢? o, b 比上 o、 d 还等于什么?哎,还等于这个 a、 b 比上 c、 d。 我 们来到最后一个这个呢,题目会给我们不少条件,首先呢,会告诉我们这三条线 哎,它都是平行的,也就是说不只有这个 a、 b 平行于 c、 d 了,在这个中间拦腰的地方,还会有一个 e、 f 同时平行于他们两个人。那假如看到这样一个图形,那么我们就能得到一个有意思的条件,是什么条件啊? e、 f 分 之一等于 a, b 分 之一加上 c、 d 分 之一。 那么时间有限,具体呢,就不带大家证了,但是大家也要知道,他其实也是通过相似证明出来的,反正呢,这道题呢,也不会考大题。那么在选择和填空的时候,碰到这种图形这种问题了,我们就可以直接利用这个非常好用的结论就可以。 那这个式子呢,也并不难记啊,其实就是中间的分之一等于两边的分之一之合就可以了。好,那我们还是来看题,看题才是正经事。 接下来我们来看一道云南中考的创新题,我们来读题说, ab 与 cd 交于点 o, 且 ac 平行于 bd, 很 明显,这是一个八字模型。 有意思的是,另外一个条件说, oa 加 oc 加 ac 比上 ob 加 od 加 bd 等于二分之一, 那也就是说,诶, oa 加 oc 加 bc 等于二分之一。 然后问我们的是 a、 c 比上 b, d 是 多少? a, c 比上 b、 d, 其实就是这两边的比值。好吧,这道题呢,看起来还挺唬人的,其实一点都不难,为什么呢?你想想啊,这是一个八字模型,对吧?所以 a、 c 比上 b、 d, 是 不是其实就应该等于 o, a 比上 o, b 等于 o, c 比上 o d, 它们都应该是相等的,对吧?因为三边都乘比例嘛,对吧?那三边既然都乘比例了,那周长是不是理论上也应该乘比例啊?那如果你想不明白的话,小姐姐给你举个例子,比如说,一比上二 等于二分之一,对吧?三比上六也等于二分之一,四比上八还等于二分之一, 那我就问你,一加三加四比上二加六加八是不是也应该等于二分之一啊?不相信的话,你试一下,一加三加四等于多少等于八?二加六加八等于多少是不是等于十六啊?它是不是就等于 一加三加四比上二加六加上八 也等于二分之一好吗?那所以这故事告诉我们,周长的比是二分之一,是不是也就意味着本身它三边的比就是二分之一?所以这道题三秒钟都不用,你都可以填出,它就是二分之一。 好,那这道题我们就解完了,注意切记,小题大做。看第三个热门模型,一线三等角模型,那这个模型呢,其实非常非常常见,我们来看啊, 看第一个,首先呢,这个题目的图可能会直接给你一个直角三角形,也就是这样,同时呢,他还有可能给你一个矩形,然后 同样给你一条线,这个是九十度,对吧?还有可能给你一个什么正方形,哎,也是这样,给你一条线,这个也是九十度,同时还给你什么?还给你 ab 垂直于 bc, d, e 垂直于 c, d 同样都是垂直于 b、 d 啊,所以这里就出现了三个直角,这就叫一线,也就是 b、 d 这条线和三直角,一二 还有三,那这里一样的,通常题目也会给你或不给你,你都要知道,这边是可以做出另外两个直角的。好的,没有问题吧,那这一线三直角,它会出什么东西呢?很明显啊,这两个三角形 他应该是相似的,对吧?那为什么呢?其实很简单,想必大多数同学都是知道的,因为这里是九十度,直线这一块其实是个平角,对吧?他是一百八十度,那么这个角和这个角相加,也就等于九十度。 那在这个三角形里, a、 b、 c 这个三角形里,这边左边这个角和这个小角相加,是不是也是九十度啊?所以这个小角和这边这个角就是相等的,因此,哎,这有直角相等, 小角相等,当然这个角也同理也是相等的,所以它俩就应该是什么,就应该是两个相似三角形,那么它的相似比例是什么呢?是 a、 b 比上 c, d 等于 bc 比上 d 等于斜边比斜边,对吧? a、 c 比上 c 好, 没有问题。下面呢,我们来看第二个,第二个也是一个高频的模型,它通常会给你一个坐标系,哎,再给你两个什么正方形,然后问你的是什么东西呢?问你的是 d、 e 和 c、 d 它之间的关系。这个时候如果你直接想求这两个之间的关系怎么样啊?其实就会有点费劲,但是呢,因为求坐标都是垂直于坐标轴的,所以说我们可以做过点 d 做垂线,过点 f 做垂线。然后呢,我们就直接构造出了什么很多一线三等角的模型,对吧?看,这里垂直, 你看这里垂直,对吧?这里垂直,哎,这里又是九十度,这里又是九十度,这里又是九十度,所以其实它有非常多的一线三角的模型,我们就可以把这种 啊 d、 e 和 c、 d 这种斜线之间的比例关系转化成直线之间的比例关系。那怎么转化呢?我们来看图。首先这个 d 垂直于 x 吧,就是 d、 h 垂直于 x 轴, 那么我们要求的是 d、 e 和 c、 d 之间的比例关系,所以接下来我们也都往它们身上转换。我们看到这个小三角形 c d h 把它标出来, 它应该是相似于这个直角三角形 c d e 的, 因为这里是一个交叉的直线,对吧?所以它也是一个九十度, ok, 那 我们就把它的比例关系写出来 好了。那有了这个 c h 比上 h d, 我 们就有些高兴了。哎,来看这里是不是有一个一线三直角的模型啊?所以这两个标红的三角形,我们把它标作 o, 是 不是也是相似的关系啊? 那我们就可以把 c h 比上 h d 转化为其他的比例关系来写一下。 好,我们来看 c h 比上 h d, 它是 o, b 比上 o c, 它们直接就相等,因此我们来看这个是不是就是我们要求的比例关系啊? 那这个呢?和什么相关呀?是不是只和点 b 的 坐标和点 c 的 坐标相关?我们只要知道它们俩的坐标是不是,这下就能求出这个比例关系啦。那么除了这两个常见的模型之外呢?还有一个隐身的模型,我们把图清一清看一下, 哎,这个模型呢,实际上是第一个模型的变式,什么意思呢?我们看第一个模型是一线,哎,我们刚说了,就是 b d 这条线三直角模型, 但是这条线虽然也有,对吧?然后题目会告诉你什么东西,会告诉你这三个角相等,但是它们不是三个直角,而是三个钝角 或者是三个锐角。但是无论是三个钝角还是三个锐角,只要他是一线三等角,那么我们就有这两个三角形,他应该是怎么样的? 应该是相似的,那么比例关系也不变,所以我们要知道,这个模型本质上是一线三等角,不是三只角。 好,那接下来我们就来看一道山东的真题来。首先我们还是先来读题,这是一道选择题,说如图三角形 abc 是 一个等边三角形。哎,注意了,这是一个等边三角形,也就意味着三条边相等,并且三个角都是什么?六十度。 然后说点 d、 点 e 分 别在边 bc 和 ab 上,就是这样子,角 a、 d、 e 等于六十度, a、 d、 e 在 哪?是在这里对不对?这是一个六十度的角,哎, 发现什么没有?我们刚才不是说了吗,等边三角形三个角都是六十度,所以它俩是不是也是六十度?那我把它标出来,你看这是一个什么模型啊? 这是不是一个一线三等角的模型?只不过这三个等角都是六十度的什么锐角?好,接下来继续看题说,若 b、 d 等于四倍的 dc, d、 e 等于二点四,问我们 a、 d 的 长是多少? 首先看 b、 d 等于四, d, c 就是 这个等于四倍的,这个是吧?然后再看 d、 e 等于二点四, d、 e 是 谁?它让我们求的是这条边的长, 也就是 a、 d 的 长。首先呢,因为我们已经识别出了这个一线三等角,那么我们就把相关的边都写一写它的比例关系, a、 d 比上 d、 e, 它应该等于什么?应该等于 a、 c 比上 b、 d, 对 不对?没问题吧?这个比这个等于这个比这个对吧?然后 a、 c 比上 b、 d, 我 们又发现它是一个等边三角形呀,这个三角形 a、 b、 c, 那 么 a、 c 它应该等于什么? a、 c 它是不是等于 b、 c 呀? 所以它就等于 b、 c 比上 b、 d, b、 c 比上 b、 d, 其实就是这一段,比上这一段。 哦,那有了它,我们再看到这个条件, b、 d 等于四倍的 dc, b、 d 是 四份儿, dc 是 一份儿,那么 b、 d 是 四份儿的情况下, b、 c 是 几分儿啊?是不是五份儿啊? 所以 b、 d 比上 b、 c 应该等于几比几等于四,四份儿,对不对?所以 b、 d 比 b、 c 比 b、 d 就是 五比四,没问题吧?好,那 a、 d 比上 d, e 等于五,比上四,那么 a、 d 就 应该等于 四分之五乘以 d, e 告诉我们了二点四,对吧?啊,那这样一算,是不是就很容易能算出来,它就等于三, 那么这道题的答案就选 c, a、 d 等于三,是不是有了一线三等奖模型,我们迅速的识别出来,迅速得到比例关系,迅速的就把这道题做出来了。 好,那接下来呢,我们来讲今天的最后一个模型,手拉手模型。这个模型呢,也是非常的常考,尤其是经常在选择填空压轴题或者是压轴大题里出现。 好,我们先来看一道中考题,它是一道中考真题,同时呢,我们也要借助这一道湖南中考的真题,把什么叫手拉手模型给大家再复习一遍。好的,我们先来读个题说,如图一,在直角三角形 a、 b、 c 中 角, abc 是 九十度, ab 等于八, bc 等于六, d 是 ab 上的一点,且 ad 等于二。然后说过点 d 作 d, e 平行, bc 交 ac 于 e。 那 说了这么多,在图一上,其实它就是一个什么东西啊, 它是不是就是一个正 a 字模型啊,也就是说呢,这个小三角形 a、 d、 e, 它就应该是相似于这个大的直角三角形 a、 b、 c 的, 这个没有问题。然后接下来发生什么的呢?我们看说将三角形 a、 d、 e, 也就是小三角形,绕点 a, 顺时针旋转到图二的位置, 我们就看啊,这个三角形实际上就和我们刚才标的这个三角形是同一个三角形,只不过它旋转了一个位置,那也就是说它的边长、大小等等都不变,那它是不是还相似于这个大三角形 a、 b、 c 啊?没问题吧, 他转之前相似,转之后他的形状没有改变呀,所以他转之后依然相似。好的,那接下来我们来看一看题目,让我们求什么问,我们的是图二中 b、 d 比上 c、 e 的 值是什么? b、 d 比上 c、 e 是 谁啊? b、 d 在 这里, c、 e 在 这里。 ok, b、 d 比上 c、 e 就是 这两条看起来八竿子打不着的线段,它的比值。那这个题怎么思考呢? 其实如果眼尖的同学或者是学过这个手拉手模型的同学,一眼就能看出来我们这里存在一个手拉手模型,什么意思呢?我们是不是已经标出了这个小的三角形 a、 b、 c 是 一个相似的三角形啊? 那么假如我们把这个点 a, 也就是它们旋转围绕的这个点看作是一个头,它相似的对应点呢?比如说点 d 和点 b, 我 们看作是两个三角形的右手,然后点 e 和点 c 看作是两个相似三角形的左手,那么左手和头部 形成的这个三角形和右手和头部形成的这个三角形, 它们俩一定也是相似三角形,这就是所谓的手拉手模型。好的,那我们再重复一遍,什么叫手拉手模型?就是当我们已知两个相似三角形, 如果它们有一个共同的顶点,或者是绕着同一个顶点进行旋转,那么形成的新的两个三角形,左手和头部, 右手和头部,这样形成的两个三角形,它们俩一定也是相似的。好的,那知道了,这个题目是不是就变得非常的简单了,我们要求的是 b、 d 比上 c、 e 的 值,那么 b d 比上 c、 e 是 不是刚好在两个 我们得到的手拉手模型得到的相似三角形里呀?它应该等于多少啊?它是不是应该等于 a b 比上什么对应的边,也就是 a c, 对 吧?那么 a b 比上 a、 c 应该等于多少呢? 很容易求,对吧?题目告诉我们, ab 等于八, bc 等于六,那么很明显,这个大直角三角形是一个六八十的直角三角形,也就是 ab 比上 ac 就 等于八比十,也就等于四比上五。那么这道题选什么? 选 b 就是 四比五。好的,那最后一个手拉手模型,我们也利用这道题既学习完,同时也利用完了。那么以上就是今天的全部内容了, 最后,希望宝子们在六月都能落笔铿锵,成功圆梦!我是三姐,专门让你提别人提不了的份儿,我们下期再见!

看一下这道二五年的四川压轴题啊,四川雅安的压轴题,它告诉我们,三角形 a b c 里面,角 b 呢,是等于九十度, am 是 角平分线,所以得到这两个角是相等的。点 o 呢,是 a c 上的一点,经过点 a、 点 m, 呃,这样的一个圆 o 啊,分别交 a、 b、 a c 与点 e f, 在 这里如图就可以了啊,判断 b c 与圆 o 的 位置关系,并且说明理由啊,眼睛没有瞎的同学应该能够看到这个 b c 跟这个圆,它就是一个相切的,对不对?你把这个写进去,应该是有一分的,然后具体怎么去证明呢? 那证明切线的方法无非就两种,一个呢是连接半径,证明九十度,一个呢是做垂直,证明它的长度等于半径。然后这个题他告诉咱们啊,点 m 是 在圆上的,所以呢连接 o m, 我 们接着要想办法证明这个角是等于九十度的,对不对?那角 b 又等于九十度,所以我们只要证明 a b 跟 o m 平行就可以了,对不对?这里面用到了一个 很重要的一个模型,叫做平行平分正等腰 好。因为题目告诉我们这个 a m 是 角平分线嘛,所以这两个是相等的。然后因为圆的半径又相等,所以 o a 等于 o m, 所以 我们可以得到这个角二也等于角三,那么我们就可以得到角一等于角三,就可以得到 a b 平行于 o m, 因为角 b 等于九十度,所以这个地方也等于九十度,所以它就是它的切线。 具体的一个思维路径是这样子的,因为这个 a m 是 角平分线,所以咱们可以推出角一等于角二,然后因为这个它这个东西它是一个圆,所以咱们这个 o a 等于 o m, 所以 就可以推到角二等于角三。因为角一等于角二,角二等于角三,哎,所以这两个条件一结合,可以推到角一等于角三, 角一等于角三的话呢,内错角相等,两条直线平行,就可以得到 ab 平行于 o m, 然后再结合这个角 b 等于九十度,这两个条件一结合,所以就可以得到角 o m, 哎,算了,说角 o m 还不太好,你就可以直接说 o m 是 垂直于 a b c 的, 哎,所以这个 b c 是 圆 o 切线就是这样的一个思路,这是第一位好,再看第二位,他想让我证明 c m 平方等于 cf 乘以 c a, 又是一个非常非常非常简单的一个东西。 像这种形式啊,那你就得知道啊,分式 a 分 之 b 等于 c 分 之 d, 那 么它就会有一个交叉相乘,会想到 bc 等于 ab, 对 吧?那追溯到这个小学过去,它其实就是 b 比 a 等于 d 比 c, 那 外向乘积等于内向乘积,也能得到这样的一个式子,所以呢, 它现在左边是两个东西相乘,右边是两个东西相乘,我们就可以写成两个分式。我们来推导一下, c m c m 要跟 c m 相乘,所以这里放 c m, 这里就得放 c a, 所以 你就会发现,哎,这两条边是不是就三角形 c m f 这个放在一起是不是就三角形 c a m? 那 我们就看看这两个象形能不能证明相似喽。看回这个图啊, c m f, 哎,这个红色的 跟 c a m, 哎, c a m 这个蓝色的哦,首先这两个象形是不是已经有一个角相等了,对不对?然后这里的话,我刚刚第一问证明了它是切线,所以呢, m f 又是它的一条弦,所以这个角 c m f 它就是它的弦。切角这个题我都不用去思考的啊,因为有很多模型我们是可以直接套的,那弦切角,这个角就一定会等于这个 o a, 我 们可以根据第一问的, 可以根据第一问的这个结论去做哈,这个角是角一,这个角是角二,因为第一问是切线,所以呢,我们可以得到角一加上角二等于九十度,然后因为这里面有很多半径,所以呢,角二跟角三是相等的, 然后这个角呢看成角四,这个角呢看成角五,那我们可以得到角一加角二等于九十,角二加上角五等于九十度,然后就可以推出啊,那这个角二等于角三还不用了, 这样的,所以从这两个条件我们可以得到角一是等于角五的,对不对?然后因为里面有很多半径 o m 等于 o a, 所以 角四等于角五,然后这两个条件一结合,我们就可以得到角一等于角四。那在这在这两个三角形当中,我们是不是可以得到角 c 是 一个公共角, 然后呢,角一等于角四。两个三角形里面,它有两组角相等,所以呢,它就是一个相似的,那相似之后呢,我们就可以得到上面这个东西,得到上面这个东西之后呢,交叉相乘就可以证明到 c m 方等于 c f 乘以 c a 了。好,这是第二题的一个思路。

二零二六中考最后三课来了,接下来这三期视频我会教你数学中的一些套路,带你中考稳级二十分。话不多说,欢迎收看中考数学最后三课第一期数学压轴篇。 第一个模,行动境互换动静互换在考场上的实操性很强,实战中效果很好。例如二零二五年郑州一模数学压轴题、郑州二模填空压轴和濮阳一模压轴题,以及许多地势的中考压轴都可以用到这个模型。 动静互换就是把动态的图形看作静态的物体,反客为主,有点像物理当中的相对运动, 其中最经典的就是三角形的互换运动。比如今年濮阳一模的压轴题就考到了这个题目,而且还碰巧跟我三月份原创压轴题中了考点,那我就借此机会来讲一下这类题目。 接下来我们来看一下这道原创的压轴。第三,小问已知等幺三角形 abc 和 ade 的 直角顶点, a 中和 ab 等于四, ade 等于 ade 等于三,我们来连接 bd 和 c、 e, ade 在 旋转让求这三点共线的时候,一般来讲我们会把 ade 真正的旋转过去, 然后让划出来三点攻陷的情况来进行求解。这种情况在考场上面的话非常费时间, 也不好想。那么对于这种类型的题,我们可以怎么办?我们可以采取来动静互换这种方法来解决这类问题。 我们可以把 a、 d、 e 这个三角形不动,我让 abc 这个三角形定着的这个三角形来动。因为 a 四的长度是固定的,所以说 c 在 以 a 为圆心,半径长为四的一个圆上来运动, 这个圆的轨迹就是 c, 它的可能性 我们只需要让一撇 d 撇这个直线与这个 c 所在的轨迹圆上相交,那么这两个点就是 c。 有 可能的两个点, c 一 和 c 二。我们来连接 a 撇 c 一 和 a 撇 c 二。 由于我们前问其实已经猜过了,这个伯乐摩羯模型的结论就是 a e 呸呸, a f 等于二分之一的 c, e 的 值。 在前面第二问的第一小问已经去猜过,并证明了 这道题,所以说我可以直接来算出来 c 一 一撇和 c 二一撇的长度,从而除以二,就是 af 的 长度。我们来算一算过点, a 撇向第一撇做垂线交点为 g, 因为 a 撇一撇 d 为等腰直角三角形,所以说 a 撇记就是二分之三倍根号二, a, e, c 是 四,所以我们就可以勾勒里把 c e、 g 给求出来,就是根号下四的平方,减去二分之三倍根号二的平方。 最后的答案就是,根号下二分之三十二,就等于二分之根号四十六。 由于 e e g 等于 a e g, 所以 说 c e e 的 长度就能算出来,就是 c e g 减去 e 撇 g 等于二分之根号四十六,减去二分之三倍根号二。那么 a 撇一的长度就是 c 一, 一撇的一半就是四分之根号四十六,减去三倍根号二。 同理,我们就可以把第二个答案算出来了。 第二个模型,刮豆原理,该模型的实战伤害很高,近些年考察频率较高,种瓜得瓜,种豆得豆,主动点在运动时从动点的轨迹也可以确定。 二五年郑州一模数学填空压轴题,用刮豆原理可以轻松秒杀。下面我来借用三月原创卷第十题来介绍这个模型。我们来画一个图,在三角形 a、 b、 c 当中, 先来解决前半段问题, a、 o 垂直于 b c, b、 o 平分 a、 b、 c。 我 们来随便取一个点取,这里为 o, 这里为 a b c, a、 o 垂直于 b c, b o 平分 a、 b、 c。 也就是说角 a、 o, a、 b o 和 o b、 c 是 相等的, b a、 o 等于 b, c, o 连接 o、 c, 这两个角相等,又因为 o a 等于 o, b 等于 o c。 先由最后一个条件我可以判断出来 o 点是它的一个外心, 再由前两个我可以判判断出来三角形 a、 o、 b 和三角形 c、 o、 b 是 全等的,从而我可以判断出来 o 点又是它的一个内心或者垂心。所以说 o 点是三角形 a、 b、 c 的 三心合一,就是等边三角形,也就是三角形 a、 b、 c 为等边三角形,三角形 a、 b、 c 为等边三角形, o 点为它的一个中心。 还知道 ap 等于二,也就是说 p 点是以 a 点为圆心,也就是说 p 点的轨迹是在以 a 点为圆心,二为半径的一个圆上,也就是这个红色的圈,它代表就是 p 的 轨迹。它又说 p q 等于 q c, 我 来连接一下 q、 c, 那 么很显然, q 点 就在 c p 的 中点上,让求 b q 的 平方减去三十的最大值。这道题完全满足刚才所说的瓜豆原理,因为 p 点的轨迹 是已知的,同时 p q 等于 q, q 点为 p 点的从动点。 由于 p 点的轨迹是一个圆,所以 q 点的轨迹一定也是一个圆。此时我连接 pa, 我 会发现 q 点为 c, p 上的一个中点。 显而易见,我要连接 a c 上的一个中点,我记为 e 点连接 q e。 由于 a p 等于二倍的 q e, 所以 说 q 点的轨迹就是在以 e 为圆心 二分之一 a p 长,也就是一的半径的圆上。我们来画出来 q 的 轨迹, 就是这个绿色的圆,连接 b e 并延长交圆, e 于就是 q, 这个点就是 b q 的 最大值。因为 abc 是 等边三角形, c o 等于四,所以边长为四倍。根号三,它的高为 六,也就是 b 的 长为六,它的最大值 b q 最大值就是六。加一等于七,那么 b q 的 平方减去三十的最大值就是四十九,减去三十等于十九。 本期视频小节动静互换,解决移动移近问题。刮豆原理,解决跟随运动问题。

中考数学拉分难点十大压轴题型,刷完掌握考试直接躺赢!中考压轴题一、动点问题题目答案 中考压轴二、函数类问题压轴三、面积问题 压轴四、三角形存在性问题压轴十选完整版分享!

中考最后三十天,这样子三角形的题做起来还是真的想狗呆,有的是找不到相似,有的能找到,但是比例等式写不对,那三节盘点了超全的十大热门模型,零基础也能轻松通关。今天先讲第三类,第四类如果大家分数比较高呢,就会 速登后面的。好,那我们首先来看第三个热门模型,一线三等角模型,那这个模型呢,其实非常非常常见,我们来看啊, 看第一个,首先呢,这个题目的图,可能会直接给你一个直角三角形,也就是这样,同时呢,他还有可能给你什么,还有可能给你一个矩形,然后 同样给你一条线,这个是九十度,对吧?还有可能给你一个什么正方形,哎,也是这样,给你一条线,这个也是九十度,同时还给你什么?还给你 ab 垂直于 bc, d, e 垂直于 c、 d, 同样都是垂直于 b、 d 啊,所以这里就出现了三个直角,这就叫一线,也就是 b、 d 这条线和三直角一二 还有三,那这里一样的,通常题目也会给你或不给你,你都要知道,这边是可以做出另外两个直角的,好的,没有问题吧,那这一线三直角,它会出什么东西呢?很明显啊,这两个三角形 他应该是相似的,对吧?那为什么呢?其实很简单,想必大多数同学都是知道的,因为这里是九十度,直线这一块其实是个平角,对吧?他是一百八十度,那么这个角和这个角相加,也就等于九十度。 那在这个三角形里, a、 b、 c 这个三角形里,这边左边这个角和这个小角相加,是不是也是九十度啊,所以这个小角和这边这个角就是相等的,因此,哎,这有直角相等, 小角相等,当然这个角也同理也是相等的,所以它俩就应该是什么,就应该是两个相似三角形,那么它的相似比例是什么呢?是 a b 比上 c, d 等于 bc 比上 d 等于斜边,比斜边,对吧? a, c 比上 c 好, 没有问题。下面呢,我们来看第二个,第二个也是一个高频的模型,它通常会给你一个坐标系,哎,再给你两个什么正方形,然后问你的是什么东西呢?问你的是 d, e 和 c d 它之间的关系。这个时候如果你直接想求这两个之间的关系怎么样啊?其实就会有点费劲,但是呢,因为求坐标都是垂直于坐标轴的,所以说我们可以做过点 d 做垂线,过点 f 做垂线,然后呢,我们就直接构造出了什么很多一线三等角的模型,对吧?看,这里垂直, 你看这里垂直,对吧?这里垂直,哎,这里又是九十度,这里又是九十度,这里又是九十度,所以其实它有非常多的一线三角的模型,我们就可以把这种 啊 d, e 和 c、 d 这种斜线之间的比例关系转化成直线之间的比例关系。那怎么转化呢?我们来看图。首先这个 d 垂直于 x 吧,就是 d h 垂直于 x 轴, 那么我们要求的是 d, e 和 c d 之间的比例关系,所以接下来我们也都往它们身上转换。我们看到这个小三角形 c, d, h 把它标出来, 它应该是相似于这个直角三角形 c、 d, e 的, 因为这里是一个交叉的直线,对吧?所以它也是一个九十度, ok, 那 我们就把它的比例关系写出来 好了。那有了这个 c h 比上 h d, 我 们就有些高兴了,哎,来看这里是不是有一个一线三直角的模型啊?所以这两个标红的三角形,我们把它标作 o, 是 不是也是相似的关系啊? 那我们就可以把 c h 比上 h d 转化为其他的比例关系来写一下。 好,我们来看 c h 比上 h d, 它是 o b 比上 o c, 它们直接就相等,因此我们来看,这个是不是就是我们要求的比例关系啊? 那这个呢,和什么相关呀?是不是只和点 b 的 坐标和点 c 的 坐标相关?我们只要知道它们俩的坐标是不是,这下就能求出这个比例关系啦。那么除了这两个常见的模型之外呢,还有一个隐身的模型,我们把图清一清看一下, 哎,这个模型呢,实际上是第一个模型的变式,什么意思呢?我们看第一个模型是一线,哎,我们刚说了,就是 b d 这条线三直角模型, 但是这条线虽然也有,对吧?然后题目会告诉你什么东西,会告诉你这三个角相等,但是它们不是三个直角,而是三个钝角 或者是三个锐角。但是无论是三个钝角还是三个锐角,只要他是一线三等角,那么我们就有这两个三角形,他应该是怎么样的? 应该是相似的,那么比例关系也不变,所以我们要知道,这个模型本质上是一线三等角,不是三只角。 好,那接下来我们就来看一道山东的真题来。首先我们还是先来读题,这是一道选择题,说如图三角形 abc 是 一个等边三角形。哎,注意了,这是一个等边三角形,也就意味着三条边相等,并且三个角都是什么?六十度。 然后说点 d、 点 e 分 别在边 bc 和 ab 上,就是这样子,角 a、 d、 e 等于六十度, a、 d、 e 在 哪?是在这里,对不对?这是一个六十度的角,哎, 发现什么没有?我们刚才不是说了吗,等边三角形,三个角都是六十度,所以它俩是不是也是六十度?那我把它标出来,你看这是一个什么模型啊? 这是不是一个一线三等角的模型?只不过这三个等角都是六十度的什么锐角?好,接下来继续看题说,若 b、 d 等于四倍的 dc, d、 e 等于二点四,问我们 a、 d 的 长是多少? 首先看 b、 d 等于四, d, c 就是 这个等于四倍的,这个是吧?然后再看 d、 e 等于二点四, d、 e 是 谁?它让我们求的是这条边的长, 也就是 a、 d 的 长。首先呢,因为我们已经识别出了这个一线三等角,那么我们就把相关的边都写一写它的比例关系, a、 d 比上 d、 e, 它应该等于什么?应该等于 ac, 比上 b、 d, 对 不对?没问题吧?这个比这个等于这个比这个,对吧?然后 a、 c 比上 b、 d, 我 们又发现它是一个等边三角形呀,这个三角形 a、 b、 c, 那 么 a、 c 它应该等于什么? a、 c, 它是不是等于 b、 c 呀? 所以它就等于 b、 c 比上 b、 d, b、 c 比上 b、 d, 其实就是这一段,比上这一段。 哦,那有了它,我们再看到这个条件, b、 d 等于四倍的 d、 c、 b、 d 是 四份, d、 c 是 一份,那么 b、 d 是 四份的情况下, b、 c 是 几分啊?是不是五份啊? 所以 b、 d 比上 b、 c 应该等于几比几等于四,四份 比上五份儿,对不对?所以 b、 d 比 bc 等于四比五,那么 bc 比 bc 就是 五比四,没问题吧?好,那 a、 d 比上 d, e 等于五比上四,那么 a、 d 就 应该等于 四分之五乘以 d、 e 告诉我们了二点四,对吧?啊,那这样一算,是不是就很容易能算出来,它就等于三, 那么这道题的答案就选 c, a、 d 等于三。是不是有了一线三等奖模型,我们迅速的识别出来,迅速得到比例关系,迅速的就把这道题做出来了。 好,那接下来呢,我们来讲今天的最后一个模型,手拉手模型。这个模型呢,也是非常的常考,尤其是经常在选择填空压轴题或者是压轴大题里出现。 好,我们先来看一道中考题,它是一道中考真题,同时呢,我们也要借助这一道湖南中考的真题,把什么叫手拉手模型给大家再复习一遍。好的,我们先来读个题说,如图一,在直角三角形 a、 b、 c 中 角 abc 是 九十度, ab 等于八, bc 等于六, d 是 ab 上的一点,且 ad 等于二。然后说过点 d 作 d, e 平行, bc 交 ac 于 e。 那 说了这么多,在图一上,其实它就是一个什么东西啊, 它是不是就是一个正 a 字模型啊?也就是说呢,这个小三角形 a、 d、 e, 它就应该是相似于这个大的直角三角形 a、 b、 c 的, 这个没有问题。然后接下来发生什么的呢?我们看说,将三角形 a、 d、 e, 也就是小三角形绕点 a 顺时针旋转到图二的位置, 我们就看啊,这个三角形实际上就和我们刚才标的这个三角形是同一个三角形,只不过它旋转了一个位置,那也就是说它的边长、大小等等都不变,那它是不是还相似于这个大三角形 a、 b、 c 啊?没问题吧, 他转之前相似,转之后他的形状没有改变呀,所以他转之后依然相似。好的,那接下来我们来看一看题目,让我们求什么问,我们的是图二中 b、 d 比上 c、 e 的 值是什么? b、 d 比上 c, e 是 谁啊? b、 d 在 这里, c、 e 在 这里。 ok, b、 d 比上 c、 e, 就是 这两条看起来八竿子打不着的线段,它的比值。那这个题怎么思考呢? 其实如果眼尖的同学或者是学过这个手拉手模型的同学,一眼就能看出来我们这里存在一个手拉手模型。什么意思呢?我们是不是已经标出了这个小的三角形 a、 b、 c 是 一个相似的三角形啊? 那么假如我们把这个点 a, 也就是它们旋转围绕的这个点看作是一个头,它相似的对应点呢?比如说点 d 和点 b, 我 们看作是两个三角形的右手,然后点 e 和点 c 看作是两个相似三角形的左手,那么左手和头部 形成的这个三角形和右手和头部形成的这个三角形, 它们俩一定也是相似三角形,这就是所谓的手拉手模型。好的,那我们再重复一遍,什么叫手拉手模型?就是当我们已知两个相似三角形, 如果他们有一个共同的顶点,或者是绕着同一个顶点进行旋转,那么形成的新的两个三角形,左手和头部, 右手和头部,这样形成的两个三角形,它们俩一定也是相似的。 好的,那知道了,这个题目是不是就变得非常的简单了,我们要求的是 b d 比上 c e 的 值,那么 b d 比上 c e 是 不是刚好在两个我们得到的手拉手模型得到的相似三角形里呀?它应该等于多少啊?它是不是应该等于 a b 比上什么?对应的边,也就是 a c 对 吧?那么 a b 比上 a c 应该等于多少呢? 很容易求,对吧?题目告诉我们, ab 等于八, bc 等于六,那么很明显,这个大直角三角形是一个六八十的直角三角形,也就是 ab 比上 ac 就 等于八比十,也就等于四比上五。那么这道题选什么? 选 b 就是 四比五。好的,那最后一个手拉手模型我们也利用这道题既学习完,同时也利用完了。那么以上就是今天的全部内容了, 最后,希望宝子们在六月都能落笔铿锵,成功圆梦!我是三姐,专门让你提别人提不了的份儿,我们下期再见!

中考速写复习关注我,持续更新方程与不等式!我们看一道四川凉山州的中考整体,若关于 x 的 一元幺四方程的一个根是 x 等于零,则 a 的 值为好。我们可以解, 把 x 等于零,弹入圆方程就有 a 方减四等于零,所以 a 就 等于正负二。 又因为圆方程要想是一元二次方程,我们有二次项的系数, a 加二是不等于零的,所以最终就有 a 应该等于二,也是这题答案为 a。 这里一定要注意一元二次方程的这个隐含条件。四川南春的一道中考整体 已知 m 是 方程, x 方加四, x 减一等于零的一个根。求这样一个代数式的值啊!解我们第一种方法,我们可以把这个方程解一下, 所以我们可以解的 x 应该等于正负根号五减二。 我们发现如果我们把 x 的 值直接带入这样个怠速式解题过人或非常繁琐,所以我们可以采用第二种方法,我们将原怠速时进行处理。 m 加五 乘以 m 减一,就等于 m 方减四加四, m 再减五。 由于 m 是 圆方程的一个根,发现 m 方加四, m 代入圆方程,我们有 m 方加四, m 减一等于零, 所以 m 方加四, m 就 等于一。因此这样一结果的一减五等于负四,所以单位负是。