什么是柯西定理
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05:05查看AI文稿AI文稿科西不等式堪称不等式界的上分神器，不管你是刚摸门道的学渣，还是冲刺满分的学霸，掌握科西，解这类醉职问题就像喝水一样简单。 但大家都知道，科西在初中啊，只能解决填空题，面对大题的时候，科西没法写过程会扣分。那今天呢，老师一条视频教你两种解决醉职的方法，考场上无论遇到填选还是压轴都能拿满分。好，我们来看题， 已知呢，一个平方的式子，结果是五，求依次的式子最大值。那这种问题呢，是一个典型的科西的考法，如果遇到填选，怎么快速解决呢？来，大家请跟我背一下我们的方法啊！科西不等式的方法叫什么呢？叫做方和积 大于等于积和方，很多孩子记不住，我再给你说一遍啊，方和积的意思就是平方，就是 a 方加 b 方 方和，这不是平方的和嘛，乘积乘谁呢？ c 方加地方，你跟着我再写两个平方的和相乘， a 大 于等于积和方。什么叫积和方呢？就是先是乘积，那谁乘谁呀？ a b， a， c， a， d， 谁是谁？注意哦，是 a、 c， b， d 啊，那就是 a， c 加 b d 括号的平方， 所以这个题咱们可以对照一下啊，你会发现哦， a 和 b 很 明显就是 a 和 b， 是 不是？那这里的 a、 c 谁和 a 相乘呢？它就是我们的 c， 能理解 b、 d， 谁和我们的 b 相乘呢？就是这里的二，所以说它就是我们的二，就是我们的 d。 ok， 所以 说这里 c 方加地方就是九加好，四等于十三，它是几呢？它是五，五倍的，它也就算一下是几。十三乘以五是六十五大于等于 a， c 加 b， d。 好， 换一下， a， c 加 b d 就是 咱的什么 三 a 加二 b 括号的平方，对吧？它小于等于六十五，所以三 a 加二 b 小 于等于根号。六十五，各位，这个题填选直接拿下。 好，大家遇到题型不用写过程，草稿是让自己完成，但往往很多题目呢，材料阅读也好，压轴题也好，是需要写过程的。今天分享一个方法，叫做构造队友式，全网你能听到很多老师都讲自己的队友式，但是我的讲法呢，是结合书本的呦， 什么叫对偶式？我的理解啊，实际上都是从方程组那会儿开始的，举个例子请大家看啊，二 x 加三 y 等于八啊，三 x 加二 y 等于，比如说是七。好，你告诉我快速解决 x， y 的 方法是什么？ 是不是你会发现， x 的 系数给了 y， y 的 系数给了 x， 它俩整体作加减五 x 五 y 等于十五，是不是特别简单？那么这个呢，在我讲方程组的时候就叫系数轮换。 其实孩子们完全可以对照这种记忆方法去理解对偶式。来举个例子，你现在求什么？各位，你现在求的是不是三 a 加二 b， 对 吧？你给我的是平方，我就想到诶，利用平方公式，完全平方公式就是第一步。我写一下，三 a 加二 b 的 平方等于什么？ 九 a 方加上四 b 方，再加上一个二倍的，它两相乘，二三得六十二 a b 是 不是？但你会发现我 a b 项是不要的呀，所以我需要这里挑一个减号，对吧？那接下来我怎么去轮换呢？各位，怎么去对偶呢？你看啊， a 的 系数是三，那我这里给他来一个 b 的 系数是几？ b 的 系数是三， ok， 好， 这里 b 的 系数是二，我给一个 a 的 系数也是二，所以说答案是二 a 减三 b 括号的平方，来算一下它是多少，它是四 a 方，它是多少？加上九 b 方，然后它是几呢？减去十二倍的 ab。 各位，你看这两个式子是不是一目了然？我要谁不要谁，非常清晰，我需要 a 方加 b 方，我不要它俩，能理解， ok， 所以 它俩整体一十二是相加。好，写过程就写一加二，得 得到啥呢？来，各位请看啊，就是三 a 加二 b 的 平方加上二 a 减三 b 的 平方，等于来这里相加十三倍的括号， a 方加 b 方。好，因为 a 方加 b 方等于五， 且注意这个地方是不是就六十五了，是吧？我就先不写啊，且，咱们求谁啊？求的是它的最大值，就是求的是三 a 加二 b， 我 先求平方最大值，对吧？好，你琢磨一下这个平方怎么回事儿？ 平方非负呀，他是大于等于零的，各位，你想想他们的和是一定的，是六十五，对不对？那么他想取到最大，他必须取什么？最小？那么平方最小值是几啊？是不是零？好，所以我们只有写过程，对吧？啊，这个二 a 减三 b 的 平方是大于等于零，所以最小值 为零， ok， 那 么它取到最小，那是不是它就最大呀？好，所以说直接代入，所以最后我们的三 a 加二 b 的 平方的最大值 为六十五。最后写答案。啊，我空间有限，我就不写了啊，所以三 a 加二 b 的 最大值就是，你这是平方吗？算入平方根根号六十五。各位，不管是填写秒杀的科比不等式，还是大体写过程的构造，对，有式两种方法，你更喜欢哪一种呢？评论区告诉我。
6801郭嘉老师数学思维
04:22查看AI文稿AI文稿科西不等式堪称代数求最值的上分神器，不管你是刚摸门道的学渣，还是冲刺满分的学霸，掌握科西，解这类二次一次最值的问题啊，就像喝水一样简单。老师今天啊，就把科西的结构、用法、口诀、记忆，一次性讲透，考场遇到直接秒杀。 由于科系呢，它本身来说是一个高中的学知识点，那在初中呢，很多考试啊，会把它下放到材料阅读，那如果大家真的能够听我认真讲完，真的能在考场中直接秒杀，认真听啊，所以它的结构呢，是二次一次最值问题。 好，我们了解一下它的结构，那接下来呢，我们来看一下科西不等式的内容啊。首先，科西不等式咋记呢？来，因为它是个高中知识啊，我这里就直接给大家讲一下它的用法啊，咱们会用能迅速地秒杀就可以了，分别是 a、 b、 c， d， a、 c， b、 d。 老师，这咋记啊，看好了啊， a 方加 b 方括号乘以， c 方加地方括住，然后呢，大于等于 a， c 加 b、 d 整体括号的平方， ok， 来看一下怎么记的呢？ a、 b， c、 d， 然后再干嘛？然后再去 a 乘 c， b 乘 d 去交叉相乘， ok， 那 么它的记忆方法也给大家总结了一下啊，叫做先求平方再求和。你看 a 方， b 方再求和， c 方地方再求和，求完和以后再去求乘积方和积， 然后呢，大于等于来，各位， a、 c 是 不是先求积，先求积 b、 d， 然后再求和，积和，最后再求平方，所以说方和积大于等于积和方。那有了这些东西，我们怎么可以让孩子们快速在考场上用上呢？来看一下啊，你是先找到了对方和 问题，对吧？所以说它最接近于这里的 x 方加 y 方， ok 吗？然后紧接着你看问题，问什么啊？五 x 加二 y 是 不是 a 现在是 x， b 现在是 y， 那 么这里的五就是这里的，什么是不是 c？ 五乘以 x， 对 吧？二就是这里的，什么就是这里的 d 啊，二是这里， 所以说这个地方呢，就是我们的系数啊，乘以来五的平方，加二的平方大于等于。各位多少？这边一套啊， a 是 x， 那 就是五 x 加二 y 括住的平方， 你看你方和积大于等于积和方直接找到 x y 以后直接代入，那所以说呢，它就是三乘以这里是几 五的平方，加它的平方是二十九，大于等于来五 x 加二 y 括住的平方，那么我们可以得到什么呢？哎，五 x 加二 y 小 于等于，你看小于号朝它是不是？那么三乘二十九是八十七，这里是算数平方根，根号八十七， 所以它的最大值就是根号八十七，咋来的最大值呢？因为你会发现有些科西啊，他问的是最大，有些科西问的是最小，怎么去甄别它们呢？大家请看啊，如果我们最后求的是先乘积再求 和的话，你看是不是先乘积再求和，它是不是小于等于某个数，那对吧，我的体重小于等于啊，一百八，那所以说一百八来说是我的什么最大值， 明白了吗？好，那接下来呢，我们来看一下第二道题，看能不能直接套用咱们的科级不等式来解决，他是直接求他们的最小值。 大家想直接求最小值的话，是在我们不等式的哪一头是不等式的这一头，对吧？他大于等于谁？那他是不是有最小值去找啊？这里面谁扮演 a 啊？是不是 a 的 平方加 b 的 平方？括号乘以 c 的 平方加 d 的 平方， 能理解吗？所以说我们来判断一下 a 等于几啊？ a 就是 x， b 就是 y， 对 吧？ c 的 话是 x 分 之一， d 的 话是几呢？来它开平方根，是不是 y 分 之根号六， 能理解吧？好，那所以说我们直接套用啊，来柯西不等式，它就大于等于什么？ a、 c 加 b， d 括号的平方来往进套啊， a、 c 就是 它乘它是多少，是等于来一加上它乘它是几，是根号六括号的平方，对吧？就说 a、 c 加 b， d 括号展开是一加六加二倍根号六 啊，所以答案是七加二倍根号六。各位，因此他的最小值大于等于多少？七加二倍根号六。答案是七加二倍根号六。各位，以上就是我们材料阅读中真的遇到了科西不等式，你学会了吗？
1821郭嘉老师数学思维
04:37查看AI文稿AI文稿一个视频三种方法，讲清楚科西不等式的底层逻辑，它的推导方法，那我们知道科西不等式是 a 方加 b 方乘以 x 方加 y 方，大于等于 a x 加 b y， 那 我们今天呢通过三个维度来推导第一个呢，方法一，几何法，几何法是什么呢？就是我们用直角三角形来推导我们，首先呢找到一个直角三角形， 然后呢我们来做它的相似三角形，等比例的放大一下， 在这个直角三角形里面，假如这一边长是等于 x， 这一边长是等于 y， 那 这个斜边当然就是根号下 x 方加 y 方，我们让这个边长是 ax， 这个边长是 a y， 所以 这个斜边就是 a 倍的根号下 x 方，再加 y 方， 我们让这一段长是 b x， 这一段长是 y， 那 么斜边就是 b 倍的根号下 x 方，再加 y 方，我们把第一个三角形呢给它勾下来，把第二个三角形呢也给它平移下来，平移后呢我们进行一点旋转， 这个时候保持这个这两个三角形是一样的啊，和上面这个三角形它们是一样大的。接下来我把所有的边长给它标上这个三角形，它的边长是 a x， 这里是 a y， 我 们进行了第二个三角形进行了旋转，所以呢这段长就是 b y， 这段长是 b x。 好，我们很快能够很清楚的发现，这个地方肯定是直角，因为这两个三角形是相似的，我们把它的斜边给它连起来，我们再次看到了勾股定律，这段长是 a 倍的，根号下 x 方加 y 方，这段长是 b 倍的，根号下 x 方加 y 方， 那么它的斜边长就应该是根号下 a 方加 b 方，乘以根号下 x 方加 y 方。我们来看一下这一段长这个直角边，现在这是一个直角梯形，在这个直角梯形里面，这个直角边显然是小于等于这个斜边的。那什么时候它们两个相等呢？如果 a y 等于 b x 的 时候，它们相等， 所以我们就会得到一个东西，叫做 ax 加 b y， 它是小于等于根号下 a 方加 b 方，乘以根号下 x 方加 y 方的。当前，仅当 a y 等于 b x 等号成立， 我们再给这个式子平方一下，我们就能得到 ax 加 b y 的 平方。小于等于 a 方加 b 方乘以 x 方加 y 方。 这是可求不等式的第一个解法，几何法。那么方法二，站在我们数学几何意义的角度，它还能代表什么呢？把这个式子呢挪下来，我们会想到什么？ a 方加 b 方，我们也会想到哦，向量的模长，模长的平方 a x 加 b y， 我 们是不可以想到向量的乘积数量积。 所以呢，方法二，我们用向量法，我们让 m 向量是 ab， 让 n 向量是 x y， 这个时候我们来看 m 向量乘以 n 向量，刚好就出现了我们右边的样子， ax 加 b y， m 向量的模长的平方就是 a 方加 b 方。 n 向量模长的平方就等于 x 方加 y 方。 m 向量 乘以 n 向量的平方。它展开以后，有 m 向量的模差乘以 n 向量的模差乘以 cosine c 塔的平方，所以 cosine c 塔的平方它是小于等于一的，所以这个式子显然是小于等于 m 向量的模长乘以 n 向量的模长的平方。那什么时候等号取等呢？那就是当前紧当这个 m 向量乘以 n 向量以后，这个 cosine c 塔的平方等于一，是 cosine theta， 平方等于一，那么就说明 cosine theta 是 等于正负一的。 cosine theta 等于正负一，说明两个向量的夹角是零度或者一百八十度，那此刻就说明 m 向量是平行于 n 向量的。 m 向量平行于 n 向量，那就意味着什么？那就意味着 a x 减 b y 是 等于零的。 那方法三，我们用代数的手法，我们要比较两个数的大小，我们就去做差来比较两个数的大小。所以呢， a 方加 b 方乘以 x 方加 y 方，我们减去一个 a x 加 b y 的 完全平方， 然后我们全部打开就会得到一个 a 方， x 方加上一个 a 方， y 方加上一个 b 方， y 方减去 a 方， x 方减去二， a b x y 方， 这时候 a 方 x 方就抵消了 b 方， y 方也抵消了一个，我们得到的是 a 方， y 方加 b 方 x 方减二， a b x y， 这又是一个完全平方，所以就会得到一个 a y 减 b x 的 完全平方，那我们知道完全平方肯定是大于等于零的，当前仅当 a y 等于 b x 是 取等。好了，以上就是我们从三个方法，几何法、代数法，我们来证明了一下科西不等式的底层逻辑。
2359高中数学田芳芳
08:27查看AI文稿AI文稿注意看，这个式子名叫卷积，它看起来很复杂，但其实你可以把它简单的理解为把两个函数的所有对应数值都先相乘，再相加。事实上呢，它也就是这么个意思，并不复杂。在人工神经网络里，也有一个基础操作叫做卷积， 他进行的操作其实也相当简单，那就是把上层和下层对应格子里的数值相乘，然后再相加，而他得出的值相当于一个加权平均值。在人工智能领域，我们把上面这一层移动的格子叫做卷积核，我们给合理的格子排列上不同的数值，就能起到各种不一样的作用。 比如我们按高斯分布来排列核数值，那么我们就得到了图像的高斯模糊操作。 所以，卷积在人工智能和图像处理中都是极其重要的一个操作。然而，但是它其实并不是真正的卷积，它只是名字叫卷积。我们接下来就会知道具体的原因。 大部分讲解卷积的书籍都会选择从离散型卷积开始入手，因为这貌似更容易理解。然而，历史上的真实情境却是直接从连续型卷积开始的。如果我们回到卷积最初诞生的那一刻，我们面对的将会是类似这样的一个问题，如果一个银行家手上有两笔重要的投资， a 和 b 每个月分别给他带来差不多四万和六万的利润，那什么叫差不多呢？就是有时候会多一点，有时候会少一点，也就是说会有些误差，并不是固定的四万和六万块钱。另外，经过计算，这些误差发生的概率呈现出正态分布。然而，两笔投资的正态分布参数并不统一，一个比较集中，一个比较分散。好， 那么问题来了，如果我们只想知道总额十万块钱的概率又是多少呢？ 用精确的数学语言来表述，就是已知随机变量 a 和 b 各自的概率分布。现在要求 a 加 b 的 概率分布，这个问题突然间就复杂起来，因为四万加六万是十万，五万加五万也是十万。更可怕的是，我们可以把小数也算进来，比如三点二加六点八万也是十万，这样的组合有无数多个，你怎么求呢？ 一八二，一年的时候，我们的科西大神面对的正是这样的问题，他最终给出了答案，而他使用的方法当时并没有一个正式的名称。直到二十世纪的时候，当人们重新回顾这一方法，才发现这个算法实在是太实用了，于是就给他起了一个响亮的名字，叫做卷积。 从本视频开始，我们将进入合集微积分之美。这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美，伟大的定力和天才的数学思维。 这本书专注于硬核数学科普，它将由机械工业出版社出版，会在今年的三月份正式上市。这里先做一个预告好了。让我们还是回到卷机上来。卷机的最大应用场景是在信号处理和图像处理中，概率听上去只是它的一个比较小众的应用吧。 卷积真的是起源于概率计算吗？不用怀疑，确实是的啊，科西当年碰到的呢，确实是一个联合概率分布的问题。而且我们从概率出发来看的话，卷积其实很简单，为了简单起见啊，我们还是先来看一下离散的情况。 假设 a 投资和 b 投资，他们的收益都只能是一到十万，而且是以万为单位，不能够拆分开，那样的话会是一种什么情况呢？我们一起来看看。 如果 a 和 b 的 收益都只能是一到十万的离散值，并且我们想知道的是总收益固定为十万的情况，那也就是说， a 收七万， b 就 收三万喽， a 收六万， b 就 收四万喽。所以在总数确定为 t 的 情况下， a 和 b 之间是有约束条件的，也就是 a 加 b 等于 t。 好， 现在我们扩展到连续的情况， x 和 y 是 两个连续变量， f 和 g 是 它们的函数。 注意了， x 和 y 也是有约束条件的，那就是 x 加 y 等于 t， 稍微一下项就变成了 y 等于 t 减 x， 所以 g 函数又可以写成这样。现在我们要求 f 和 g 的 联合概率，那当然就是把两个函数相乘了。然后呢，刚才我们说 t 固定为十万，但如果我们想固定在其他数值上呢？比如和为八万又怎么求呢？ 和为六万又怎么求呢？如果我们一个数值一个数值去求，那不是很傻吗？所以我们用一个积分式，一次全部搞定，也就是这样。哎，这个就是大名鼎鼎的卷积公式了。 哎，慢着点，慢着点，你这个解释有大问题啊，如果我们想沿着 t 值积分，那后面的这个微分符号应该是 dt 啊，这里怎么又是对 d、 x 积分呢？这不对啊，哎，可以哦，被你发现一个非常关键的问题， 而且必须有点数学直觉才能问得出这样的问题来啊，这个公式本身是没有问题的啊，我们一起来看看详细的解释。 让我们回到随机变量 x 和 y， 如果我们把它们分别看成是两条坐标轴，那么它们就构成了一个二维平面，这个平面上的任意一个点，正好就是两笔投资收益的一个组合。比如 x 如果为六点七五，那么 y 就是 三点二五，当然这只是总收益固定为十的情况， 其他情况也会有，所以它们一起构成了平面上所有的点。然后刚才我们说了， x 和 y 等于 t 减 x， 那也就是说，我们可以直接把 y 看成是 x 的 函数， y x 等于 t 减 x， 这个函数的图形是怎样的呢？嗯，它是一条斜线， t 呢，是它在 y 走上的截距，所以当我们以 d x 为单位向前推进的时候，我们实际上是在沿着这条斜线在做直线移动。 那再加上积分符号呢？我们先不用去管这个 t 值，就把它看成是一个常数，比如看成我们视频开头的十万，那么这个积分是在求什么呢？ 那当然就是以 d x 为移动方向的一个面积了，这就是定积分的基本定义啊。好，现在我们再关注一下 t 值，如果我们改变 t 值呢？ t 值是 y 轴上的解距啊，那毫无疑问，我们就是在把这条直线向前推进了，而且每推进一步都会计算出不同的面积， 那么就很明显了，把这些面积全部拼起来，它们就会构成一个空间曲面，而这个空间曲面的表达式。嗯，很多粉丝朋友应该已经猜到了，那不就是 f 和 g 这两个函数的乘积吗？ 嗯，你没有看错，两个正态分布的联合仍然是一个正态分布，这个不难理解，我们看一个最简单的例子，因为指数函数的乘法就是把指数相加，所以结果就变成了这样，这里 x 平方加 y 平方实际上是一个半径，也就是说他把一个中型曲线变成了三维的中型曲面，简直完美。 嗯，你这么一解释确实变得很有意思，而且还有更有意思的事情，就是如果我们把这个问题再次离散化的话，你会发现一切都是相通的。 来让我们进一步的简化一下模型，我们假设 a 投资和 b 投资的收益都只能是偶数，也就是从两万到十万，以万为单位不能拆开，那会怎么样呢？我们一起来看看 离散的情况。在离散的情况下， a 和 b 的 收益只能是这样几种情况，按前面的假设， a 以四万为中心呈正态分布， b 以六万为中心呈正态分布，我们以区间概率作为各个数值的离散概率，我们把所有可能发生的情况化成一个矩形，现在我们要计算总和为十万的概率。 哎，有趣的事情发生了，我们要计算的实际上是这样，一条斜线上的所有概率值相加，这跟我们在连续情况下正好是吻合的。那如果我们要计算不同总和下的概率呢？没错，那正好就是把这条斜线向前推进，连续前进和离散前进就这样形成了完美的契合。 当然了，卷积还可以有这样的信号处理时的解释，这个呢，我们就下回再说，虽然视频开头的图像卷积并不是一个真正的卷积计算，但卷积仍然是人工智能里一个最为重要的算法，这应该是两百年前的科西大神做梦都想不到的事情吧。 好了，本视频归属于合集闲聊高等微积分，这是合集的第一个视频。这个合集的部分内容将选自我本人的新书微积分之美、伟大的定力和天才的数学思维。 这本书专注于硬核数学科普，它将由机械工业出版师出版，会在今年的三月份正式上市。好啦，我们下集再见。拜拜！
2.4万科技3D视界
00:23查看AI文稿AI文稿期末专题，科西周经理对了两个函数，假设这两个函数在同一个 b 区间上连续同一个开区间内可倒的话，则在这个开区间内存在某点的倒数值之比， 就是 f 撇可 c 比上 g 撇可 c 等于 f b 减 f， a 比上 g， b 减 z a。 科技中心里对应的两个函数分别是 f 和 g。 关注我期末必过。
275徐子恒（考研数学)
06:12查看AI文稿AI文稿今天咱们介绍一下这个科西不等式。科西不等式什么意思呢？对于任意的实数都有 a 方 加 b 方，然后乘以 c 方加地方也大于等于 a、 c 加上 b、 d 括号的平方。这以前我们高中老师教的时候，这个当时有竞赛培训呢，说的时候怕你记不住，给了一个这个顺口溜，你看，咱们从其实就是平方和的乘积得大于等于积的和的平方，所以当时呢，有个小顺口溜，就是 方和积大于等于积和方，平方和的乘积大于等于 g 的 和的平方。所以说简单可以说成方和 g 大 于等于 g 和方，因为字母太多，方便你记忆。 这个东西呢，这也非常好证明，用初中的知识其实很简单就证明出来了，我们要正不等式大于等于，大部分时候不都是用的作差法，所以我们可以给左右作差。 左边展开以后就是 a 方 c 方加上 a 方，地方加上 b 方 c 方 加上 b 方 d 方做叉往减后边，也就是减去 a 方 c 方减去二倍的 a、 b、 c、 d， 再减去 b 方 d 方 b 方 c 方约了， b 方 d 方也约了， 所以左边减右边呢，实际上就等于 a 方 d 方加上 b 方、 c 方减去二倍的 a、 b、 c、 d 正好是 a、 d 减 b、 c 括号的平方，那这个式子当然永远大于等于零了，从而我们正出了左边永远大于等于右边。当然呢，通过这个式子也说明，如果你想要取等，那么当且仅当 a、 d 等于 bc 的 时候，它才取等号。你把这个等积式变成比例式，也就是 a 比上 a 比 c 等于 b 比 d 的 时候， a 比 c 比 b 比 d， 当然你也可以写成 a 比 b、 比 c、 比 d， 就 当呃比值一样的时候， 此时恰好相等在初中。其实这个科七不等式可不是就这两下子，咱们只是说在初中阶段，科七不等式翻译成初中生能理解的也就是这一个不等式。在初中以前，你考小卷啊，前那些竞赛题啊，常见的题型就那么三种。 第一种就是咱们前两天那个网格题，有一道题，当时他说 a 方加 b 方是一个定值，往往定值是几了，咱先编一个，比如说 a 方加 b 方得八，是吧？当时他问什么时候三 a 加二 b 最大，他问什么时候三 a 加二 b 最大， 求最大值啊。我们根据这个克西不等式，三 a 加二 b， 括号的平方应该永远小于等于三的平方，加上二的平方，再乘以括号 a 方加 b 方。 所以说我们再把 a 方加方等于八带进去，你就可以求三 a 加二 b 的 最小值，这如果让求最小值，但是当时那网格 t 没让取最小值，就问你什么时候，所以我一看都知道是 a 比 b 等于三比二的时候能取到最大值。 这是咱们第一个题型的应用。但是如果真要求他的这个最值，咱们也可以算一下啊，这是 九加四十三乘以八，所以呢，这个三一加二 b 小 于等于开根号，是吧？ 二 b 根号二十六是很简单的应用，一看这个题，你就是科七，不能是专用的题。 还有第二种题型，刚才咱们是 a 方加 b 方是定值。还有很多题，它不是有 a、 c、 b、 d 吗？很可能是 a、 c、 b、 d 有 特点，编一个，比如说 x 的 平方加上外方分之九， 再乘以 x 的 平方分之一加上外方，让你求它的最小值，求它的最小值， 这一看很吓人。当然这些题都可以用构造图形，用几何方法去证明去，但你有科一不等式的话，我直接一步到位了，它永远大于等于 这个几何方嘛。所以说咱们拿 x 乘以 x 分 之一，就是一拿外分之三乘外就得三，永远大于等于它的平方，你说这是最小值，肯定十六啊，这是常初中常见的第二类题，还有第三类题就更吓人了， 二次根式的地方，你也得够到几何的方法去去算，比如说下面一个根号里边，比如 x 减三，再加个根号里边，八减 x， 让求它的最大值，这个也很吓人。咱们也可以用同样的方法求最大值，那就还是得让它小于等于谁是吧？所以它应该小于等于 方和积是吧？方和积，也就是拿咱们现在我可以想象成啊，是一乘以它加上一乘以它，所以根据柯西不等式，它应该小于等于 a 方加 b 方，你看 a 方加 b 方，不就是一加一吗？然后再乘以这个 c 方加 d 方，也就是 x 减三加上八减 x， 这个直接得五，所以这个式子就永远小于等于十。所以说科西不等式解决很多求最值问题，包括不等式的问题的时候，非常的方便。当然我们刚说了 科西不等式，咱们讲的只是在初中的一个简单应用，实际上这个科科西不等式可了不得，他是怎么着呢？咱有关于投影， 对于这个代数界他都占着很很重要的地位，咱们现在初中研究都是二维的坐标系，都是平面制的坐标系， 可以说这个东西绝对是连接了二维和多维的一个桥梁，也是初等数学和高等数学之间的一个重要的桥梁。如果你把数学比喻比喻成一座大厦，科西不等式绝对是一片承重墙。厉害。
437正道的数学老师
11:29查看AI文稿AI文稿大家好，我是美日记张老师，今天我们来学习英姐定理与科西球面积，澳门以这个直线和椭圆橡胶为案例 啊，本题说过 a 做直线和我们的椭圆交于 pq 两点，让我们研究 椭圆内的三角形 opqopq 面积最大时直线的方程 啊， opq 面积在耳机的方 啊。那么这样的问题是可以使用应解定理的，也就是我们的嫌长公式和距离公式啊。在这张老师给大家分享一下咱们的应解定理啊，对于 a 方分之 x 方加上 b 方分之外方等于一啊，他和直线 y 等于 kx 加 m 来说啊。那么英姐定理可以直接把判别是为大定理都搞出来 啊，判别是是四 a 方， b 方背的 a 方 k 方加上 b 方啊，再减 m 方，然后我们的伟大定理啊，伟大定理可以用这种形式记忆， a 方分成 x 加 x 二啊，它等于二 mb 上 a 方， k 方加上 b 方，再乘以 斜立的相反数啊，然后我们的重所谓的为大家定理，外一加上外二 啊，他也等于二 mb 上 a 方 k 方加上 b 方啊，他只要乘以一就行了 啊，这个分母这样的结构和我们的椭圆保持一致啊！还有我们的成绩为 大家定理，用 a 方分之 x e， x 二啊，他就等于分母都一样， a 方 k 方加上 b 方 啊，分子的话就是 m 方，用 a 的话就是这边是 b 方啊，如果用 y 的话交换一下啊，他就等于 m 方，再减去下方的 a 方 k 方， 一个是 f 方减 b 方，一个是 f 方减去 a 方 k 方啊，这是我们的应解公式 啊，我们的闲长公式，当然之前我们讲过很多次了，他就是一加 k 方乘以 二十四项系数，就是 a 方， k 方加 b 方啊， 啊，上方就是我们的判别式啊，所以本题的话，咱们用应解公式可以快速来解决本题的，所以咱们的第一种方法， 上面这些公式可以通过他们两个连力计算出来，在这里给大家一个便于机的方法啊，那么我们来算距离地 啊，直线的话，在这我们就设为 y 等于 kx 减二啊，那么距离 d 的话就是啊，然后我们再来算距离 啊，距离的话在这跟二亚一加 k 方不动啊，分母就很好记，就是分子很好记，就是分母减 m 方就是四 k 方加一，再减四就是四 k 方减三啊， 记住这个公式之后，我们的三角形就很好算了，下方是一个四 k 方加一，我们可以把它搞成均值定理，均值定理 啊，所以说对分母使用基本不等于是大于等于倒回来小于等于四倍的根号下，四 k 方减三啊，比上下方四倍的四 k 方减三 啊，这样就获取了一，也就是说他的最大值为一。当然还要关注取等条件，就是四可以方减三等于四 啊，四 k 方减三等于四，所以说 k 方就等于四分之七啊， k 就等于 啊，这是我们的英姐定理啊，接下来给大家再来介绍可惜不等事啊，那么可惜不等事是射点的策略，我就可以知道，依旧等于 四分之 x 一方外一的平方啊，我们再乘以外二的平方，加上四分之 x 二的平方，然后利用科技不等式，它就大于等于 二分的 x 一乘以 y 二啊，后方倒没有复制，就是减去二分之 x 二乘以 y 一的平方， 而我们的面积坐标公式就是二分之一 x 一怪二减去 x 四二万一啊，所以这种方法就避开了上述的连力啊，他就小于等于一啊，所以说用反而的话，一个科级不等式可以快速获取面积的最值 啊。那么此法的话驱动条件，此法的驱动条件是什么呢？就是项链贡献啊，所以驱动的条件就是 x 一 x 二加上四倍的外一外二等于零。 好，那么在本题中，因为要求直线的方程，所以我们需要知道 k， 所以就用到了上述我们所背的这个为大关系式啊。所以说我们在这 就可以发现，外一外二比上 x 一 x 二啊，他是等于负四分之一的，而我们这个维达关系，你可以发现， 他俩相比的话，刚好就是 m 方减 b 方等于负 m 方加上 a 方 k 方 啊，因为这个东西就等于负 a 方分之 b 方，这样我们就可以获得配方，就等于啊，在本题中就是四分之八减一 啊，所以说驱动条件仍然是 k 方等于四分之七啊，所以说咱们在 解决问题时，对于这种面积最大，此时我们可以知道，对于三拖源类的三角形 opq 来说啊，他的面积最大就是 邪律之机等于负 a 方 b 方式啊，如果在圆中就是他们互相垂直史好，那么在这客机不等式的驱动条件并不是始终成立的，因为我们的驱动条件是 a 方 k 方加上 b 方等于二 m 方，但是这个条件如果 二 m 方小于 b 方的情形时，将不能去等号，也就是说这个条件就要求二 m 方 减 b 方，必须是大于等于零的啊。这个天成立时是可以去等的，也就 我们的 a 点离椭圆交远时是可以成的， a 点离椭圆的中心越近，这个条件越不容易成立啊，如果特别近的话，就不符合这个条件了 啊。所以说，科技不等式的等号并不是横成立的啊，因此用法医是解决此类问题的通法啊，法医是此类问题的通法。如果好，我们来看一下啊，涉嫌法，我们用应解定理 啊，英姐，定理可以直接用，嫌长公式好，我们推荐大家记忆为达定理， 有两根之和，就仿照我们的拖延方程， a 方分支 a x， e 加 x 二啊，它就等于二 m， b 上 a 方， k 方加 b 方，再乘以负 k。 而我们的 中指标的为大家定理，两根之和可以继承 b 方分支外一加 y r 啊，它就等于二 mb 上 a 方， k 方加 b 方 啊。这个结果什么特点？就是我们知道斜滤机啊，我们的 k 乘以 kom 等于负 a 方分之 b 方 啊，所以我们两室一比，就是负 k 等于 a 方分的比方啊，所以可以借助终点公式来辅助机，而我们的维达 乘机啊，为大家乘机更好记， a 方分支 axcx。 二，还是仿照椭圆，那么它的分母都一样，都是 a 方 k 方加 b 方，分子就变成 m 方减 b 方， 而中指标 b 方分成 y 一 y 二就变成了 m 方减去 a 方 k 方就分母。如果你分母是 a， 我们就 用 m 减他，如果分不是 b， 我们就用 m 减他，这样可以快速记忆我们的啊。另外，我们积累经验，使用科技，不等事实，取等条件必须满足 二 m 方大于等于 b 方啊！这是当直线是 y 等于 kx 加 m 的情况下啊。那我们要求二 m 方 要大于等于 b 方。如果你设的直线是 x 等于 t， y 加 n， 那就需要满足二 n 方大于等于 a 方了啊！这是 y 的分母， 对 b 方是 y 的分母， a 方始终指的是 x 的分母啊。如果发现该田也不成立，那么科技不等于就不能再使用， 就只能用传统方法来预算啊。今天的每一题就分享到这里，我们下期再会。
104每日一题高考数学
00:57查看AI文稿AI文稿每天一道题，数学不着急，今天杰哥给你带来了一道题目呢，非常厉害，叫做代数最值问题里面的科系不等式。首先什么是科系不等式呢？一起来看一下。我们用咱们的方法去记忆，叫做平方和的成绩呢，一定会大于等于成绩和的平方，那因此我们把这个公式直接用到咱们这个题目中来，就非常简单了。那么我们知道啊， 二 a 加三 b 的平方是什么呢？叫做乘积和的平方一定会小于等于平方和的乘积，也就是说小于等于 a 方加 b 方，再乘以二的平方加三的平方。 好，这个时候呢，我们直接去代进去计算就可以了。那么二 a 加三 b 的平方呢，一定会小于等于 a 方加 b 方就是十三， 而二的平方加三的平方呢，也是十三，所以这个时候就知道了，二 a 加三 b 的最大值应该就等于十三，所以题目的答案就是十三。因此对于我们的科学不等式，你学会了吗？
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