深圳数学八年级下册数学手工模型几何
对于孩子来说，凭空去想像立体几何模型的展开图是挺有难度的，这时候就可以借助这款透视几何模型教具。长方形的展开图，我们可以看出它的相对面是相等的。圆柱体的展开图是两个圆形和一个圆形。 四棱锥的展开图是四个三角形和一个正方形，它能将立体图形转化为平面展开图，对于孩子学习表面积和体积都很有帮助。 五年级数学下册要用的几何教具一定要提前准备，不然上课要用的时候来不及买。立体图形的面积和体积是下学期的重难点，借助教具更直观，孩子学起来更轻松。他把十五款立体图形都凑齐了，透明的设计更利于孩子观察，不管是学习表面积还是体积， 还是培养空间思维都非常有帮助。自带收纳盒，收纳起来也方便，快给五年级的孩子安排起来吧！
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01:10查看AI文稿AI文稿正方形中非常经典的一个结合中位线分析的题目，难度比较大，但是如果你掌握模型，掌握套路的话，也是了解的。 正方形边上二倍根号 e、 f 分 别是中点， g， h 也是中点，中点比较多，我们肯定联想到中位线，求 g， h 的 话，我们先去构造 g， h 是 哪个三角形中的中位线，因为 g 呢是 e c 中点，我们可以连接 c， h 并延长它与正方形的 a、 d 边呢？加入交点 m， 根据题干的信息，我们可以得到 f 是 终点，那这两个地方都是根号二，平行加 h 是 终点，我们可以很容易找出这两个三分之全等，也就是 m， d， h 和 c， f， h 全等， md 呢，也是根号二，那同时还能得到 h 呢是 c， m 终点，那 g， h 就 推导出来了， g 呢是 e， c 终点， h 呢是 m， c 终点，这两个能帮我们解决的是 g， h 是 平行且等于二分之一的 m， e， 也就是中立线勾造成功了。那根据题干信息呢，这里是根号二和根号二，所以等腰直角三角形 e m 的 这个斜边， e m 的 长，它就是二，那 g， h 等于一半等于一就行了。好，只要利用到中立线这样一个缩尾方式。
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14:48查看AI文稿AI文稿亲爱的同学们，大家晚上好，今天晚上我们所学习的内容是八年级下册专题，勾股定律与折叠和线段计算。那这一部分过程中主要涉及到的就是在折叠问题中勾股定律的应用。那首先我们来看第一道题目， 题目中讲到的是说，如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 a、 c 为六， bc 为八。现在将三角形 a、 b、 c 进行折叠，使得点 b 与点 a 重合，那由折叠我们可以得到图中三角形 a、 e、 d 就 全等于三角形 b、 e， 我们就可以得到对应边相等，对应角相等，也就是所以我们可以得到 a、 d 等于 b、 d。 接下来他想让你去求 a、 d 的 值，那么设 a、 d 为 x， 那 因此我们就可以得到，所以我们的 c、 d 就 等于 bc 减去 b、 d， 也就是八减 x， 那 在这里大家就清楚。我们接着在二 t 三角形 a、 c、 d 中，由勾股定律可知， a、 c 的 平方加上 c、 d 的 平方，就等于 a、 d 的 平方 a、 c 六的平方 c、 d 八减 x 差的平方 a、 d， 也就是 x 平方，所以我们就能得到关于 x 的 一个方程，解得这个方程，我们就能求出 a、 d 的 值。下面题目中给出的是在等腰直角三角形 a、 b、 c 中，那我们不仅能得到角 c 是 直角，我们还能得到 a、 c 等于 bc， 角 c 等于九十度 d 点啊 d 点是 bc 的 中点。将三角形 a、 b、 c 进行折叠，使得点 a 和点 d 重合，那么就能够得到我们的三角形 a、 e、 f 和三角形 全等于三角形 d、 e、 f。 接着题目中告诉你 a、 c 为八， 那我们等腰直角三角形 bc 也是八， ab， 那 就是八位的根号二。 d 点是中点，所以我们的 b、 d 等于 c， d 等于四，那接下来要想去求 d、 f 的 长，我们可以过点 d 做 ab 的 垂线，垂足为点 h， 那因为三角形 a、 b、 c 是 等腰直角三角形，所以角 b 等于四十五度，因此我们也能得到我们的三角形 d、 h、 e 为等腰直角三角形。 既然它为等腰直角三角形，且 b、 d 等于四， 因此我们就可以得到我们的 d、 h 等于 b h 就 等于二倍的根号二。那 d h 等于 b h 等于二倍的根号二，那我们的 d、 f 是 不在直角三角形 d、 f、 h 中，对吧？接着 我们由勾股定律可知， d、 f 的 平方是不是就等于 d、 h 的 平方，加上 f、 h 的 平方，我们令 d f 为 x， 那 它就是 x 平方。 d f 是 x， 那 我们的 a、 f 是 不是也是 x？ 那 所以 f、 h 是 不就等于 ab 减去我们的 a、 f， 再减去我们的 b h a、 b 八倍的根号二。 a、 f， 那 就是 d f 就是 x b、 h 我 们刚刚求出来是二倍的根号二，所以我们就等得到的是六倍的根号二减 x， 这是我们 d、 h 的 长。 接着 f h 啊，这里 d、 h， 我 们刚讲到它是二倍的根号二，我们刚 f h 是 我们的，这里六倍的根号二。减 x， 那 是我二倍的根号二。 所以大家就能发现，我们得到一个关于 x 的 方程，解方程就能求出来 d、 h 的 差。 好，第二个，这个讲到的是说如图，在三角形 a、 b、 c 中，角 a、 c、 b 等于九十度啊，又出现了直角 a、 c 等于四， bc 等于根号二，那在二 t 三角形 b、 c、 i 中，由勾股定律可知，我们的 b、 i 是 不是就等于根号下四的平方加上根号二的平方四的平方十六，二的平方二十八，那十八就是三倍的根号二。 求出 a、 b 的 长之后，接下来题目中又告诉你，他说，嗯，点 d 在 我们的 a、 b 上将三角形 a、 c、 d 沿着 c、 d 进行折叠，使得点 a 落在点 a 一 上，那因此我们是不是得到三角形 a、 c、 d 是 不全等于三角形 a、 c、 d？ 可以 吧，由全等我们是不是得到对应角相等，那就是我们的角 a 等于角 a 一。 因此经过这我们又能够发现，我们题目中是不是又告诉你， a、 e、 d 平行于 bc， 由平行线我们是不可以得到角 a、 e、 d、 b 是 不等于角 b？ 那 角 a、 e。 角 a 加上角 b 等于九十度，那是不说明角 a 一 加上角 a 一， d、 b 也等于九十度。因此我们就可以发现我们的这个角是不是直角，那这个角是个直角啊， 我们就能求出 c、 e 的 长，对吧来。三角形 a、 b、 c 我 们可以看作以 b、 c 为底，乘上 a、 c 乘二分之一，我们是不是也可以看作以 a、 b 为底 啊，对吧？乘上我们的 c、 e 再乘二分之一，因此我们的 c、 e 是 不是就等于 bc 乘 ac 除以 ab bc， 我 们讲到根号二 ac 四， 而我们的 a、 b 是 不是三倍的根号，所以最终结果就是三分之四。可能有同学会说，老师你为什么要去求 c、 e？ 那 大家知道 c、 e 求出来 a、 e 是 不就知道了， 对吧？我们的 a、 e、 e 是 不是就等于我们的 a、 e、 c 减去我们的 c、 e， 而 a、 e、 c 是 不等于我们的 a、 c 减去 c、 e， a、 c 是 减四，减去三分之四，所以大家一定能够知道，就是三分之八。 a、 e、 e 的 长度我们是不是也揪出来了？ 还有最后一道题目，它稍微有一点难度啊，如图，在四边形 a、 b、 c、 d 中，角 a、 c、 b， a、 b、 c 啊，等于我们的角 b、 c、 d 啊，直角，对吧？等于九十度，且 dc 等于我们的， 你看又是六十， dc 等于我们的 a、 c， 从这里有一个角是六十度的等腰三角形，我们是否可以判定出来三角形 d、 a、 c 为等边三角形， 那等边三角形的特点就不用我多说，边相等，角相等。题目中又讲到的是啊， a、 b 等于二， a、 b 等于二， 那大家知道我们刚刚在前面的时候是不提到了三角形 a、 c、 d 是 一个等于哦，等边三角形，所以我们的角 a、 c、 d 这个角是不是六十度，这个角是六十？又因为我们角 b、 c、 d 是 九十，所以大家就能知道我们是不是得的 角 d， c、 a 等于六十度，那因此角 a、 c、 b 是 不等于三十度？三十度锁定的直角边等于 斜边的一半，所以 ab 等于四，我们就可以得到 ac 啊。 ab 等于二，二的二位是四，那 bc 我 们得到的就是二位的刚好三，对吧？那既然我们得到的我们的 ac 等于四，那所以 bc， dc 和 ad 是 不都等于四？接下来他想让你去求 ef 的 长 ef 啊，看一下 ef 所在的位置，那么这里我们可以 求出来。你看 ef 由图中目前我们所有的。我们是不是首先发现在二 t 三角形我们的 bcf 中， bf 的 平方加上 cf 的 平方， 对吧？而 b f 你 不要忘记折叠折叠 b f， 它是不是其实又等于我们 d f， 那 大家就知道，对吧？我们此时 d f 和 c f 它俩相加之和，是不等于 c d， 也就是四 对不对？那所以我们可以令 c f 等于 x， 那 d f 是 不就是四减 x cb 刚刚求出来是二倍的根号三的平方，再加上 c f 的 平方 x 平方来解的 十六减去八 x 加上 x 平方，就等于十二加上 x 平方，所以负八 x 等于负四，那 x 就 等于二分之一， x 等于二分之一，所以 df 此时是不就等于我们的 b f 是 就等于四减二分之一，那就等于二分之几？ 继续啊，那么在这里求出来它之后，我们不难发现，题目中是不是还有一个，我们的角 d 等于六十度，我们是不可以投掉推得角 d a b 等于一百二，那 d 二 b 等于一百二，如果我延长我的 c a 过点 b 做我们 d a 的 垂线 垂足微点 h， 那 大家一定知道我想要干什么，对吧？那我们是不就可以求出来， 在二的三角形 b a b h 中，我们的角 h a b 是 不等于六十度，那意味着我们所以角 a b h 是 不等于二，所以我们可以得到 a h 是 不等于一， 我们的 b h e， 大家不要忘记，对吧？那是不就是我们的根号三 b h 等于根号三，那接着在 二 t 三角形 b e h 中，我们是不可以得到 b e 的 平方，是不就等于 b h 的 平方加上 e h 的 平方由折叠，不要忘记 b e 是 不等于 d e b h， 那 题目中我们刚已经求出来它是根号三啊，等于 再加上 e h 的 平方，你看 d e 和 e h 这里面差的是不是一个 a e 零 a e 等于 y， 那 d e 是 不是就是 a d 减 a e 可以吧？就等于根号三的平方加上 e h 是 不是 a e 加上 a h 可以 吧？那 a d 那 就是四减 y x 的 平方就等于三加上 y 加一和的平方。还行吧，那我把上一道题的过程暂时也给它擦了哈。 那我们顺着这个思路继续往下做，我们就可以得到十六减去八 y 加上 y 方就等于三加上 y 方加上二， y 加一 来二， y 挪到那面负十， y 就 等于三加一四，四减十六，那是不是等于负十二？所以 y 等于五分之六， 那 y 等于五分之六，我们是不可以求出来 d e 的 长度，所以此时 d e 那 是不就等于四减五分之六等于五分之十四？ 还行吧，你看大家就应该知道我想干什么了。我都求出来 d e 的 长了，过点 e 做 d e 的 垂线，垂足为点 m 角 d 是 不等于六十度， 对吧？ d e 的 长度我们得到的是五分之十四，那所以在二 t 三角形 e dm 中，角 d 等于六十度，那所以我们的 dm 是 不等于二分之一的 d e 是 不等于五分之七，那我们的 em 是不就等于五分之七倍的根号三 em 求出来了。所以我要想去求 ef 的 长，那么是不在二 t 三角形 e m f 中 ef 它的平方是不就等于 em 的 平方，再加上 m f 的 平方， 那 em 刚我们求出来是不是五分之七倍的根号三，那就等于二十五分之四十九乘三来 m f 啊。 m f m f 它是不等于 dc 减 dm 减去 c f， dc 是 四 dm， 我 们刚求出来 五分之七， c f 我 们求出来是二分之一，那就是等于五分之十三， 减去二分之一，十分之二十六，减去十分之五，那是十分之二十一， 可以吧？那它的平方就等于十分之二十一，它的平方。 所以通过计算我们就可以求出 e f 的 长度。那 e f 的 长度解出来了，这一道题是不就解决了啊？这个里面最后一道题是相对来说比较难的， 还希望答案能够理解，如果不理理解的情况下啊，把答案拿出来再看一看。那么今天就分享到这里了，拜拜。
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06:19查看AI文稿AI文稿打好基础你也可以变得优秀。八项期末必过的压轴题，垂直平面线和特殊直角三角形以及勾股定律的结合，这样的题目难度还是非常大的，因为涉及到很多的辅助线，那很多同学谈到辅助线不知道怎么去下手，不知道怎么去做，那么接下来我们也会出一系列的 这个讲解的视频给大家啊，在讲题的过程当中讲解这些做题的思路，那今天我们也是通过两步轻松解决这一类型的题目。那么现在读一下这个题，先把一些已知的条件先标记一下，这里呢有角度是三十度 啊，第一呢是等于二的，而且这个一呢是终点，终点就意味着两条线段相等， 从这里是垂直的。那么看到这里的话，我们要立马想到啊，在特殊的直角三角形里面，我得到一个边长，另外的两条边长也都是可以直接算出来的， 那比如说这个斜边，在 a d 一 这个直角三角形里面，这是三十度所对的边，等于斜边的一半啊，反过来这个斜边就是它的两倍，它等于四，然后通过勾股定律啊，就可以求到 a 一 啊，它是等于二倍的，根号三的， 那这是终点，这是二倍杠三，这里呢也是二倍杠三。接下来我们继续啊，这里还有一个 bc 等于杠三，我们也标记一下，还有一个 cd 呢，等于根号十九，让我们求的是这个 c 一 的 长度，那拿到这个呢，这些条件好像都用不上啊，都用不上，那所以第一步呢，我们先去找一找这些已知条件有没有什么关系啊？ 那首先我们可以看到啊，这里有一个垂直，而且平分很明显啊，这个 d 一 呢，是 a b 的 垂直平分线，哎，看到垂直平分线，我们要想办法把它怎么样呢啊？补充完整， 补充完整就是说就怎么样呢？就是这个垂直平分线上的点到两端的距离相等，那你看我地点呢，连接了 a， 那 我应该要补充一下，把 d、 b 也连接起来， 哎，先我们不用管它有没有用啊，先连接起来再说。连接起来之后呢， b、 d 和 d、 n 是 相等的，它也等于四， 它等于四呢，而且这个是等二扇形啊，我这个底角也可以把它写过来，这是多少度呢？三十度。哎，那这时候我们再来看啊，你有没有发现，在这一个三角形里面，你看三条边都是已知的， 已知的话，你会不会感觉这是一个直角呢？哎，对你这样的直觉应该是正确的。 那我们来看一下，验证一下用勾股定力的逆定律，你看他的平方是等于多少？等于四的平方等于十六，他的平方呢？是等于三，这个的平方呢，等于十九，十六加三等于十九，那不就是一个勾股关系吗？所以这个长的边所对的这个角就是九十度啊。 啊，那接下来你又说，哎，那怎么办呢？我这个又好像没有思路了，那这个时候呢，你看这一特殊角啊，他存在就是非常有意义的，你看这个是三十度，这个是九十度，那延长他的话就能产生另外一个特殊角啊，你看三十九十，那这肯定是六十度啊， 那有了六十度之后呢？我这里啊， bc 呢，又是已知的，那我们肯定要想办法围绕着这个做一个什么直角三角形呢啊，这样子才能得到其他的一个关系啊，你看，这就思路好，那这个是杠三的话，我们这是六十度，这里呢就是三十度啊，这是三十度， 那三十度的话，我们可以得到啊，这条是它的一半二分之三，通过勾股定律可以算到啊，这是二分之三。 好，那这个时候你会发现啊，我要求的 c 一 啊，它不就出来了吗？那这个 c 一 是怎么来的呢？你看啊，它在这个 c e m 这个直角三角形里面，我们可以用勾股定底来求它就可以了 啊，那这个时候你看啊，啊，那此时呢，我这个 e m 的 长度啊，它是等于多少呢？二倍根号三，加上二分之根号三，通一下分啊，这是二分之四倍根号三， 那就是二分之五倍的杠三，那我这个 c m 呢，就等于二分之三，接下来我用勾股定底求这个 e c， 那 来到这个这个地方呢？哎，我可以给大家呃，讲讲一个办法啊，就是在用勾股定底的时候，我们可以用缩放法啊，缩放法来简化它的计算，缩放 就是说放，缩小，放大，那这时候呢，我们先把这两个数写一下啊，二分之五倍杠三，这是二分之三，这两个都是直角边，我要求的斜边。首先第一步呢，我们先把这个数啊变成整 整一点呢，不要分母，再好算一点，所以我们可以同时乘以一个二，那就变成了五倍的杠三，就变成了三。好，那接下来呢？哎，我们再想化简呢，把它缩小呢，就比较比较难了啊， 好，那这时候呢，我们就直接来算啊，他的平方呢是等于多少呢？很容易啊，是七十五，他的平方等于九，这两个相加呢，等于我们的斜边是八十四，那我们现在是平方得到的吗？我要开回去啊，就是根号八十四， 根号八十四呢，它是等于四乘二十一的，所以它等于二倍的根号二十一。好，那这时候呢，我们要回去，回到原来的地方，我原来呢是乘以二得到的，回去我就除以二，那这个东西除以二呢？二和二就消掉了，就剩下根号二十一。 那所以这个题的话，我们要选择什么样呢？选择 d 答案，选 d 答案。总结一下啊，你看我们注重题的输入在哪里呢？首先我们要找一些模型啊，根据这个模型把它完善完善，就相当于添加辅助线的。 那所以我们这里看到这是中点，这里有垂直，垂直平行线到两端的距离相等，所以我应该下意识的连接 b、 d 连接在 b 地，又得到它的长度又是特殊角，那就发现这个三角形里面三条边的想啊，都已经给到了，所以我们要想到勾股定律的逆定律，验证一下，原来它点九十度，那它点九十度之后，这种特殊角就出来了。在一条线上的话， 经常会考到这种这种特殊角的啊，三十度，这里肯定是六十度啊，看到有六十度，又有斜边有一条长度是给到的，我们通常就会沿着这个特殊角了做直角三角形 啊，做了之后呢，你会发现啊，这个 c、 e 是 在这个大的直角三角形里面，我可以用勾股定律去计算它，大部分我们做这样的题目，思路都是这样子来的啊？
42粤数
02:31查看AI文稿AI文稿四边形的线段求最值！问题是八年级下册期中期末考试的必考压轴题型，百分之九十五以上的孩子碰到这种题目都无从下手，更别说这道题它还有双动点。 但是呢，别慌，这道题其实是有方法模型的，只要你学会了这个方法模型考试遇到就拿下。学完这个方法之后，再把林老师给你整理的平行四边形的章末八大题型，包括动点问题、 折叠问题、存在性问题等等，拿去巩固巩固，只要把里面的题目搞定啊，期中期末考多拿二十分。好，我们来看题，如图， 正方形 a、 b、 c、 d 的 边长是四好，这个边长是四， e 和 f 分 别是 c、 d、 b、 c 上的动点好，这是动点，它也是动点，这是一个双动点问题。 然后呢， c、 e 等于 b、 f， 那 也就说这段蓝色的等于这段蓝色的，然后要求 a、 e 加 a、 f 的 最小值。好， a、 e 是 这个红色的， a、 f 是 这个红色的。 那这道题出一看，好像这两条线没有什么关系，很难把它们联系在一起，但是呢，我告诉你，这就是 逆等线模型的经典考法了。这种题的解法是什么样的呢？林老师直接告诉你啊，主打四个字叫做移花接木，你只需要把这个三角形 把它巧妙的装到这边过来，把它移花接木平移过来就 ok 了，而且里面的要求就是这段蓝色的这个 b、 f 呢，完美对接。那具体怎么做呢？来看一下这个辅助线啊， 好，辅助线做好啦，你看这个 b、 f 呢，放到这里来，然后这个 a、 b 呢，我们使它等于这个 c、 g， 这里有个九十度，这里有个九十度，所以我们很好得到这个三角形。 a b f 呢，是全等于这边这个 c g 的。 那这样子啊，你看我们这两条红色的线，这条就不用看啦，我们只要看这条红色加这条红色的值的最小值。那相信到了这里，你肯定知道下一步怎么做了。 连接 a g， a 点是定点， g 点是定点，那么 a g 线段就是我们要求的最小值， a b 是 四， b g 是 四，加四等于八，那么这里有个直角，利用勾股定力轻松求得最后答案， a g 等于四倍，根号五。好的，搞定，你学会了吗？
733初中数学林老师
02:55查看AI文稿AI文稿这道题太难了，很多同学遇到这种题都不知道辅助线该怎么做，做不出辅助线，这道题 a、 b、 c、 d 摸一个也是百分之二十五的正确率， 但是一旦你掌握这种题目，辅助线的技巧，真的如鱼得水，来一个秒一个，今天叶老师就把我总结出来的，哎，这个三缺一的秒题大招教给大家啊！那有关这类题型啊， 终点辅助线模型，老师是给大家做了一个特殊的总结和梳理的，如果咱们孩子经常来做这种题目，想不到方法，没有思路，咱们家长一定要带孩子打印出来，逐个题型进行梳理，因为这种题真的是有方法的。 下面呢，咱们就来一起看看这道题。如图，在四边形 a、 b、 c、 d 当中， n 分 别为我们 b、 c 和 ab 的 终点终点画小大圆点，哎，这叫做条件上足， a、 c 呢等于八， b、 d 呢等于六， a、 c 垂直于 b、 d 让求 n 的 长。这种题目，老师是不是给大家一个四缺一的解例技巧啊？什么意思？来看这道题给了我们哪些条件？来这儿，这儿两条边的终点提到了 四边形，对角线，我们提到了它 q 到了四条线，那组成这个四边形的基本要素当中，还有两条线，它是没有提到的，对不对？四边形基础要素一共就有这六条线， 所以我们说 q 四线之后四缺一，必须五个条件才能完成这道题的解决过程。所以另外一个条件在哪找？就在没有 q 到的这两条线上，任意找一条线，取中点。 哎，这个我们取到了终点，假设是点 p， 所以 四缺一，我们就在另外一条现场找一个终点 就完成了五个条件，召唤神龙，五个人可以排位了，对不对？来，那我们现在选完这个终点怎么办？看，这也是终点，这也是终点，很明显要构成正位线了， 所以我们在这里连接 np， 连接我们 pm， np 平行且等于二分之一 a c， 这是八，这是四， 同样 p m 平行线的二分之一的 b， d， 这是六，这就是三。所以你有发现点什么？三、四，你想到什么？ 勾不定理啊，那能不能用勾不定理啊？你看这是不是有个垂直的条件啊？这是垂直的，这也是垂直的，所以说我们有直角三角形 通不定理三、四、五，直接求出我们 i n 最终的答。所以以后遇到这种题，大家可以想到在这种 四边形模型当中，它题干当中 q 到了四条线，那我们想解决这种题目就是 q， 四线二选一，在没有 q 到的两条线当中选一个去终点连终点，利用中微线就可以轻松搞定这类题目的答了。
263依依老师da数学
01:41查看AI文稿AI文稿东平的家长朋友，刷到请停留！今天我们来看八年级下册图形相似中的重点内容，八字模型， 它是一个非常实用的解题工具，核心是解决几何图形中的角度计算和线段比例问题。它有一个非常重要的结论，那就是无论怎样变化，角 a 加角 b 始终等于角 c 加角 d。 那 这个怎样证明呢？其实非常简单，我们知道三角形的内角盒是一百八十度，那么我们来看这个八字模型的上半部分， 三角形 a、 o、 b， 它的三个角分别是角 a、 角 b， 还有我们交叉点 o 处的这个角，我们把它记作角一，所以角 a 加角 b 加角 e， 它就等于一百八十度。 你再看它的下半部分，它的三个角分别是角 c、 角 d， 还有交叉点 o 处的另一个角，我们把它给记作角二，所以我们就可以得到了角 c 加角 d 加角二等于一百八十度。那么两个式子关联起来， 因为两个式子都等于一百八十度，所以我们可以写成角 a 加角 b 加角 d 加角二。 又因为角一和角二是一对对顶角，也就是二者相等，所以 我们把等号两侧的角一和角二同时去掉，就可以得到角 a 加角 b 等于角 c 加角 d。 这样我们就挣出了八字模型的核心结论。关注王阳算术，在东平，我和你共同努力！
05:09查看AI文稿AI文稿哈喽，滴答里我们继续来分享黑白卷，白卷的倒数第四题，它是几何中考中 几何综合的题，就是一般都是求边长呀，求面积啊。嗯，这样子的题，它会涉及到疑问，第一问的话让你去证明，第二问的话让你去求一个线段的长度，或者去求一个面积，或者去求一个周长。 这个的话在八年级它通常是会作为是倒数第二题来考，在中考的话就只能排到倒数第四题来考。我们来一起看一下这个这个题吧。 首先有个大三角形，他说这个大三角形这里是直角，然后告诉你中点，中点的话，我一般喜欢圈起来这个 d 和 o 是 中点， 然后接着告诉你这段和这段是相等的，接着让你证明是菱形还是坏事。再复习一下菱形的话，首先平行四边形加一组菱边相等，我就写个菱就可以整，还有菱，平行四边形，再加对角线，互相垂直，它也可以整菱形。然后还有四条边， 四条边都相等的四边形，它是菱形，还有对角线，你先满足平分，平分了以后再加出这个这个菱形，总的话就是这四条。那我们来看这道题，这道题它已经告诉你这个对角线是 相等的了，对吧？这两边是相等的。然后接着这里又是个中点，那么这 a、 o a 和 o c 也就相等， o a 也就等于 o c， 然后那它就是平行四边形了。接着还有这个中点没有用，还有这个中点没有用，两个中点在三角形里面考中位线，嗯， o d 它会平行且等于二分之一的 b c， 也就是三角形第三边的一半，所以这里平行的话，刚才这个九十度，这里的直角就可以转换上来。那就是首先对角线互相平分，它到达了平行四边形的地方，再加对角线互相垂直，它正数，它是菱形，那么这一问就讲完了， 那么这一问就讲完了，我们接着看第二问，第二问他说这两条直角边，直角边的话，我们搞清楚直角边是谁，直角边是 a、 c， 还有 b、 d 啊，不是 b， d 是 b、 c， 它们之和是十四之差的话，之差的话看起来 b、 c 长一点， b、 c 减去 a、 c， 它的话是等于二。 嗯，而且小括号里面是中间，它也告诉你哪一条边更长，这样子列出来了一个式子。好，为了我们好讲解的话，我们把这条边设为 a， 把这条边设为是 b， 这条边设为是 b， 那 么其实我们就得到了 a 加 b， 它等于十四， a 减 b 等于二。然后接着它让你求的是刚才这个菱形，你看它们字母是一样的菱形的边长，所以就是你能不能求出来 a、 d 或者是 d， c 或者是 c、 e 啊？就是随便哪一边都可以，因为菱形四边都相等，它的边长，四条边也是都一样的，所以，嗯，有多种思路来做吧。首先你可以通过第一问，刚才你知道它是 o、 d， 中位线是平行，且等于第三边的一半，它就等于二分之一 b， 而这里的话是二分之一 a， 所以 你要的 a、 d， 它其实就等于二分之一。呃，二分之一 a 的 平方加上二分之一 b 的 平方，再开根号，这条边不就求出来了吗？对吧？好，还有其他思路吗？ 有的，还有其他思路，就是你从最大这个三角形里头来看，呃，这个是中点， 那么这个就是中线，中线平行，呃，中呃直角。三角形中，中线等于斜边的一半，也就是它的 c d 其实会等于二分之一的 a b， 而 a b 呢，它又等于 a 的 平方，再加上 b 的 平方，再开根号也可以做 好，所以进来看怎么来找这个 a b 呢？我也有两个思路，第一个的话，你想到你初一下学期学的知识点，你把它当成一个二元一次方程组，把它解出来，这个的话其实是一个模型经常考的。 x 加 y 等于 m， x 减 y 等于 n， 其实它的 x 的 话等于 m 加 n 除以二，因为你看它不会相反数，一加 y 就 没有了，但是 x 的 话变成二倍，所以除掉。然后如果要求 y 的 话，它等于 m 减 n 除以二，这个的话推导出来了很简单的，然后所以这里也是一样的，假如你要求 a， 它其实就等于两式相加除二等于。
14:36查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，今天给同学们分享的是武汉市江岸区八年级下册数学期中试卷，那么这道题也是这张试卷的一道压轴题，考察的是夹半角模型，我们一起来看一看。这一道题 首先给了我们问题的一个背景，就是在直角三角形 a、 b、 c 中角 b a、 c 等于九十度， ab 等于 ac， 那么这个条件就是告诉我们，这是一个等腰直角三角形 e、 f 分 别是边 bc 所在直线的上的两点，且角 e、 a、 f 等于四十五度啊，那这个问题的背景在我们的第一问、第二问和第三问都是通用的，所以啊，这里是固定的条件，它是不变的啊。那此时我们来看这个 角 e、 a、 f 是 等于四十五度的，也就是这个角是四十五度角 b、 a、 c 是 一个九十度，那这里就有九十度夹四十五度，所以这是一个标准的夹半角模型。 那夹半角模型我们一般是用什么方法去解决的呀？是不是就是用旋转呀？所以啊，这一类题型我们用的方法是旋转。 如图，一过点 a 做 a、 h 垂直 af， 那 此时这里是一个直角，那么角 h、 a、 e 也是等于四十五度的， 且 a、 h 等于 af 啊，那它为什么要去做这样的一条线呢？我们刚才说了，夹半角的模型就是什么呀？旋转，那我们是不是可以将这个条件看作将 a、 h 绕点 a 顺时针旋转九十度至 h 啊？ 所以啊，我们这一题啊，也可以写作啊，将这个 a、 f 绕点 a， 顺时针 旋转九十度至 a h， 那 此时连接 b、 h、 h、 e， 可以 证明三角形 a、 c、 f 和三角形 a、 b、 h 全等，也就是这两个三角形全等， 那我们来分析一下它的全等判定条件啊。那此时我们观察到这个 b a 等于 a c， 角 b， a c 是 九十度，这是一个等腰直角三角形，那 a h 等于 a f 角 h a f 是 不是也是九十度啊？所以啊，角三角形 a f 是 不是也可以看作一个等腰直角三角形呀？ 那此时两个等腰直角三角形还共端点 a， 这时候就构成了等腰直角三角形的手拉手模型。那此时我们根据手拉手模型的 判定方法，也就是左手拉左手，右手拉右手，是不是可以找出两个全等的三角形呀？那我们看到这个 a h 啊，我们可以看它是左手， af 就是 右手， ab 是 左手， ac 就是 右手，那么左手拉左手就是 h b 相连，右手拉右手就是 f c 相连。那我们来再看看条件怎么去正的啊？这一组全等的判定条件， a h 等于 af， 还有一组角，我们可以假设这个角为角一，那么这个角，这个大角就是角二，这个角就是角三，那么因为角一加角二等于九十度，角二加角三是不是也等于九十度啊？ 所以角一等于角三，那这里中间那个条件就是角一等于角三。那还有一组边就是 a b 等于 a c， 所以 啊，这一组全等的判定条件是边角边，再可以证明三角形 a、 e、 f 全等三角形 a e h。 那 此时我们继续要找一找这组的判定条件，那我用蓝色的笔表示 a h 是 等于 af 的。 还有一组假角，我们刚才说角 a h a e 是 等于角 e、 a f 都等于四十五度的， 那么还有一组条件，就是公共边 a e 等于 a e， 所以啊，这两个三角形全等的判定条件也是边角边，那全等之后，我们就可以找到对应边相等了。他说请直接写出 b e、 c f 还有 e f 之间的一个关系，那我们转换一下啊， b e 就 在这里，那此时 c f 和哪条边是相等的呀？它是跟 b h 是 不是相等的呀？ 所以啊， c f 是 等于 b h 的， e f 呢？又跟 h e 相等，所以也就是相当于啊，我们要去看 b e、 b h 以及 he 这三条线段的一个数量关系，那这三条线段是不是刚好在一个三角形里啊？那依旧啊，我们用这个全等，我们知道这个角，这个角 h b a 是 等于角， a、 c、 f 都等于四十五度的， 那这个角本来它就是一个等腰直角三角形，所以也是四十五度，所以这里就构成了一个直角。那么在这个直角三角形 h b 中， 我们可以运用这个勾股定律， h b 的 平方加 b e 的 平方 是等于 h e 的 平方。那此时我们再把这个线段转换一下啊，因为我们要求的是 b e、 c f、 e f 之间的关系，也就是啊， b h 可以 转化成 c f， 那 也就是 c f 的 平方加 b e 的 平方等于 h e h e 转化成 e f 的 平方。所以啊，最后我们的数量关系就是 c f 方加 b e 方等于 e f 方。 好，那这就是啊，第一问啊，第一问，我给大家证明的比较详细，主要是让大家能够理解啊，夹半角模型是怎么去旋转构造全等的？那夹半角模型一般是要需要正两次全等，所以它这里要先证明了这个三角形 a、 c、 f 和 a h b 全等，又证明了 a、 e、 f 和 a e、 h 全等去转化对应边和对应角， 由此去求出线段的数量关系。就看到第二问尝试迁移。尝试迁移就是要在第一问的基础上，将第一问的方法应用到我们的第二问之中。那第一问的方法用的是什么呀？旋转，那我们来读题啊，在问题背景的条件下，那么三角形 b、 a、 c 依旧是一个等腰直角三角形，角 e、 a、 f 是 等于四十五度的， 那此时将角 e、 a、 f 绕点 a 逆时针旋转啊，至如图二这一个位置，它跟我们的图一是不太一样的， c f 等于三， b e 减 c e 等于二。那这里啊，就告诉我们这两条线段的一个关系，我们可以设 c e 为 x， 那 么 b e 就是 x 加二。我们在图上啊，可以表示一下 x x 加二。 求三角形 a、 b、 c 的 周长，那此时我们是不是只需要求出 b、 c 这条斜边的长度就可以确定啊，它的两条直角边的长度了，那就可以确定啊，这一个周长。好，那这一问我们该怎么去入手呢？ 我们看到 ab 是 等于 ac 的， 此时啊，我们是不需要旋转 ab 和 ac 的， 那是不是还有这个角 eaf 等于四十五度呀？那么这个 ea 是 不是可以去旋转？所以我们这几道题啊，就是将 ae 绕点 a， 逆时针旋转九十度至点 m 啊，那我在这里写一下，将 ae 绕点 a， 逆时针旋转九十度 至至 a m。 那 我们观察到啊，这个三角形 b、 a、 c 也是一个什么呀？等腰直角三角形，那 e、 a、 f 这里也是一个直角，对不对？所以角 f a、 m 就是 四十五度，那依旧是两个等腰直角三角形共顶点 a， 那 我们依旧是可以构造手拉手模型，左手拉左手，所以三角形 a、 b、 e 啊，就找到了 右手拉右手，所以我们将 mc 连起来，要连接 mc， 那 此时我们是不是就可以去证这个三角形 a、 b、 e 和三角形 a、 m、 c 全等？那我们来依旧啊，写一写判定条件， ab 等于 ac， 那 么还有一个角相等，那这里啊，假设是角一，角一加上角二是等于九十度的，那么角二加这个角三 是不是也是等于九十度的呀？所以啊，此时角一就等于角三，还有一组边 a、 e 等于 am， 所以 啊，三角形 a、 b、 e 全等。三角形 a、 c、 m 全等，判定条件是边角边。好，那我们说了，夹半角模型是需要证两次全等的，所以啊，我们现在只证了一个全等。我们再来找一找，全等 a、 e 是 等于 am 的， 那 a、 f 又是一组公共边，还有这个角 e、 a、 f 是 等于角 f a、 m 都等于四十五度，所以我们再连接 m、 f， 那 依旧是可以去证一组全等的。那我在这里啊，就不写这个判定条件了，因为它比较好找啊。角三角形 e、 a、 f 全等，三角形 m、 a、 f 全等，判定条件依旧是边角边，那全等之后，我们就可以转化对应角和对应边了。 那此时这里我们知道角 b、 c、 a 为四十五度，那又因为旋转，所以角 a、 c、 m 等于角 a、 b、 e 也等于什么四十五度，所以啊，这里就构成了一个直角，那这个三角形 m、 c、 f 是 一个什么三角形啊？ 直角三角形，那我们是不是可以用这个勾股定律了？那我们再来转换一下边啊，由于三角形 a、 b、 e 和这个 a、 c、 m 是 全等的，所以 b、 e 是 等于 c， m 等于 x 加二， 那此时 c、 f 是 三， m、 f 又等于 e、 f， 所以 这里是 x 加三。所以在直角三角形 m、 c、 f 中， m、 c 的 平方加 c、 f 的 平方等于 m、 f 的 平方，也就是 x 加二的平方，加三的平方等于 x 加三的平方。那我们可以解出 x 等于二，那 x 等于二， a、 c 就 等于 六。那根据等腰直角三角形啊，三边比例关系，它是一比一，比根号二，所以 bc 永远是直角边的根号二倍，那我们 ab 是 等于 a， c 等于六比根号二，就是二分之六倍根号二，三倍根号二。所以最后我们算得三角形 abc 的 一个周长，就是三倍根号二 加三倍，根号二加六，就是六倍的根号二加六。好，这道题啊，依旧是要去挣两次全等，通过旋转挣两次全等，再结合了一个勾股定律啊，勾股方程， 好，这就是我们的第二问，尝试迁移。接下来我们继续看到第三问，拓展创新，那这一道题啊，跟前两位的做法还不太一样，因为它是需要同学们去发挥创新的思维。 那怎么去想这一道题呢？怎么去做辅助线呢？那一定是要根据题目的条件，所以此时啊，题目的条件就非常的重要了。如图三，在三角形 a、 b、 c 中，角 b， a， c 等于九十度， d， e 在 边 b、 c 上，其中角 d， a， e 等于四十五度， b， d 等于 c， e， a， d 等于五，那我线段的长度用蓝笔来表示，方便大家跟角度去做一个区分，直接求出 bc 的 长。那我们知道四十五度是不是也是一个特殊角呀？如果将它放在特殊的等腰直角三角形里，那我们就可以用它的三边比例关系了。那包括说 b d 等于 c e， 那我们是不是可以在这个 b c 上取中点 o， 那 此时 b o 是 等于 o c 的， 那么 o d 是 不是也就等于 o e， 那 我们再连接 a o， 那 a o 是 这个直角三角形斜边上的一个中线，是不是？所以我们就有斜边中线定力？好，那我们再写啊，再取 b c 中点 o 连接 a o， 那 此时啊，我们这个 a o 就是 直角三角形的斜边中线了，那 a o 是 等于 b o 等于 oc 的， 那此时 a o 就 等于二分之一 bc， 因为我们这道题要求的是什么 bc 的 长度，那我们来看啊，能不能去背长中线呀？ 我们去背长 a o 是 点 m， 使 a o 等于 o m， 那 此时 a o 等于 o m， d o 等于 o e， 我 们再连接 d m， 连接 e m， 我 们是不是就可以去证这个四边形 a d m e 是 一个平行四边形啊？这里写一下 a o 等于 o m d o e， 所以 可以推出这是平行四边形 a d e m e， 那 这出这一个四边形是平行四边形之后啊，我们 a m 就 等于二倍的什么呀？ a o， 所以 a o 是 等于二分之一 bc， 也就相当于 bc 等于二倍的 a o， 那 二倍的 a o 是 不是等于 am 呀？ 所以我们现在是不是只需要去求出 am 的 长度即可呀？那此时我们观察到 ad 是 五，所以我们可不可以去延长 ad， 然后去再构造一个什么呀？直角三角形，延长 a， d 做 m， n 垂直 a d， 那 此时三角形 a， n、 m 是 不是就是一个直角三角形呀？那我们就可以用什么勾股定律，所以延长 a， d 做 m， n 垂直 a， d 延长线于点 n， 那 此时我们就构造了这个直角三角形 a， n、 m， 那 我们来看一下啊，这是一个平行四边形， 所以这里角 a、 d， m 是 角 d， a， e 的 什么呀？同旁内角，所以这个角为一百三十五度，那这个角就是四十五度，这个角也是四十五度，这是一个等腰直角三角形，那我们刚才说的这是一个平行四边形啊， a， d， m， e 是 平行四边形，所以我们可以转化它的对应边， 此时 dm 就 等于 a、 e 都等于三倍，根号二。那由于这是一个等腰直角三角形，所以根据三边的比例关系，它是一比一比根号二，所以 n d 就是 三，那么 n m 也是三，那我们现在是不是又确定了一条边的长度啊？那此时我们知道 d a 是 等于五的， 那此时我们可以放在这个直角三角形 a， n、 m 中， am 的 平方是等于 an 方加上 n m 的 平方，所以我们要求的是 am 的 长，它等于根号下 八方加三的平方，根号八方加三方，也就是等于根号下六十四，加九等于根号七十三。那么说了啊， bc 是 等于二倍 a， o 等于 am 的， 所以 bc 等于根号七十三。 这一问，他就是需要同学们能够根据题目的条件去联想。那想到这个四十五度，就应该想到特殊的直角三角形，想到 b o b， 想到 b d 等于 e c， 那 我们就想此时可不可以在这个 b c 上去取一个中点，那么使 d o 等于 o e， 那 么再选用倍长中线的方法去构造平行四边形。好，这道题啊，还是比较创新的，所以需要大家在做题的时候一定要去灵活的应用。
12:35查看AI文稿AI文稿初中数学几何不好的同学可以看过来，咱们今天继续学习十字架模型。上节咱们已经讲了这个十字架模型的第一种类型 是正方形，然后十字架过顶点，然后今天咱们来看一下这个十字架模型，不过顶点。 咱们看一下这道题的条件啊，在正方形 a、 b、 c、 d 中点 e、 f、 g、 h 分 别在四条边上，然后给你 e、 f 垂直于 g、 h， e、 f 这条边垂直于 g、 h。 咱们观察这道题型啊，咱们看见了正方形，然后又看见了两条线段垂直，那咱们想到十字架模型， 那它和第一个不同的是，它现在没有三角形对不对？那咱们怎么办呢？咱们可以构造三角形，那怎么构造呢？这里有两种方法啊。第一种我们可以怎么办呢？首先过点 h， 向 b、 c 做垂线啊，假设垂足是 m， 然后过点 f 向 a、 b 做垂线， 我们设它的垂足是 n 啊，这样我们就构造出了两个三角形，哪两个三角形呢？ 是不是一个是 h、 g、 m 啊？ 然后另一个呢？是不是 e、 f、 n 呐？ 然后咱们看啊，怎么利用， 怎么利用这三个两个三角形？咱们之前学的那个过顶点型，是不是利用两个三角形全等了？咱们看这两个三角形能不能全等。首先分析啊， 都有直角对不对？这两个三角形这有个直角，这个 e、 n、 f 是 直角，这个三角形 h、 g、 h、 m， g 是 直角，好，有一个直角了。然后咱们看看还有什么条件， 是不是可以证明 h、 m 等于 n、 f 啊？怎么证明呢？首先咱观察啊，在 h、 d、 c、 m 中 是不是有两组对边分别平行啊？因为因为 a、 b、 c、 d 是 不是平行于 b、 c 这条边呢？也就是 h d 平行于 m c， 然后呢，因为我们做了 h m 这条线垂直于 b c， 那 么 cd 这条边是不是也垂直于 b c 啊？那所以 h m 是 平行于 cd 啊？那是不是在这个四边形 h、 d、 c、 m 中， 两组对边分别平行啊？那是不是可以证出来，首先它是平行四边形，然后又因为有直角，所以它是矩形，那么所以 c、 d 就 等于 h m， 对 吧？那同理啊，在 n f c b 中，同样的道理啊， 我们可以证明 b、 c 这条边等于 n f 这条边，那么 n f 等于 b c， c d 等于 h m， 那 所以 n f 是 不就等于 h m？ 咱们先写下过程啊。 呃，在正方形 a、 b、 c、 d 中， 因为 a、 d 平行于 bc， 所以 h d 平行于 m， c 因为 h m 垂直于 bc， c、 d 垂垂直于 b c， 所以 h m 平行于 c、 d。 那因为啊，因为 h m 平行于 c、 d， 然后又因为 h、 d 平行于 m c， 是 吧？那么所以四边形 h d、 c、 m 是 平行四边形， 然后又因为因为这个 c、 d 垂直于 bc 吧，所以角 d c、 b 或者说 d c m 等于九十度，所以平行四边形 h d， c、 m 是 矩形， 那么所以 h m 它就等于 c d。 那 么咱们可以同理啊，同理可以得到什么？同理可得， 同一可得什么？是不？ n f 这条边等于 b c 啊， n f 等于 b c 啊，然后又因为在正，因为 ab cd 是 正方形， 所以是不是这个 c、 d 等于 bc， 等于 h m 等于 n f？ 好， 咱们现在证明了这两个三角形里边两条边相等，然后咱们还知道两个直角了，那接下来咱们怎么证明呢？我们接下来研究一下角的问题啊。咱们观察 在这个三角形中，以及 在这个三角形中，咱们看一下这两个三角形的特点啊。首先，这个角和这个角是不对等角啊？ 其次，这个角和这个角是不是都是直角啊？ 那么在两个三角形中有其中两个角相等，那么第三个角是不是也相等啊？也就可以得到 g h m 等于角 e f n 呐？ 好，我们写一下证明过程啊。嗯， 假设这个焦点是点 g 哦，这个点是，呃，这个 i 哦，这点是 k 哦。 再三角形 h i g 和三角形 g k f 中， 因为角 h g i 等于角 k g f， 这是因为对点角相等。然后角 h i g 等于角 g k f 等于九十度，所以角 g h m 等于角 e。 那 么好，那现在啊，这个全等的条件咱们是不是就都有了？咱们看看都有什么啊？ 首先在 三角形 g， h m 和三角形 e f， n 中啊， 有什么呢？首先是不是有 n f 等于 h m 啊？还有什么刚才我们说的角 g h m 等于角 e f n 呐？还有什么是不是两个九十度啊？角 e， n， f 等于角 g m h 啊？ 那么所以三角形 g， h m 全等于三角形 e f， n 呢？那么两个三角形全等是不是就有 有这什么了？ e f 等于 g h 了，好，咱们是不是挣完了？
10:48查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，今天给同学们分享的是去年武汉市江岸区八年级下册数学期中试卷的第二十四题，也是一道压轴题，我们一起来读题。已知四边形 a、 b、 c、 o 是 一个矩形 点， d 为边， b、 c 上的一个动点，分别以点 o 为坐标的圆点 o， a 所在的直线为 x 轴， o、 c 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。第一问啊，若点 b 的 坐标为三五，我们可以在旁边标志出来 三角形 a、 b、 d 翻折得到三角形 a、 e、 d， 那 这里考察的就是矩形的折叠问题。那在讲矩形的折叠的时候，我们给大家总结了一个口诀，就是翻折 b， 还原还原，找对应。 那翻折之后啊，我们就可以得到这个三角形 a、 d， b 和三角形 a、 d， e 是 全等的，那么全等就会有对应边相等，对应角相等。 好，我们再来读题 b， 使得点 b 的 对应点 e 刚好落在 y 轴上啊，那第一问，请直接写出点 e 的 坐标，那我们知道 e 点在这个 y 轴，那我们只需求出 e、 o 的 距离即可，也就是这一段的距离。那我们看到啊，这里给了 b 点的坐标是三五，它可以表示一些线段的长度，那在这里， o， a 就是 三， ab 就是 五，那由于翻折后 ab 的 对应边是 a、 e， 所以 a、 e 也是五。那又因为这是直角，我们很快的得到，在直角三角形 o、 a、 e 中， o、 e 的 距离是四三四五是一组勾股数，那所以 e 点的坐标就是零四。 第二题啊，求出点 d 的 坐标，那我们看啊， d 点在这里，它的什么呀？纵坐标是不是跟这个 b 点的纵坐标是一样的呀，都是五， 关键是在于横坐标，怎么去求？那要去求横坐标，也是，就是要去求 c、 d 的 长度，那我们这里可以去射圆标边勾股求长，所以射 c、 d 为 x。 那 c、 e 呢？ c、 e 是 五减四等于一，那 d e 是 多少呀？那我们知道 d、 e 是 等于 d b 的， d、 b 的 这一段距离，我们可以用 o a 的 长度啊，也就是 bc 的 一个长度，它是等于三减 x， 所以 d、 e 也是三减 x。 那 在直角三角形 d、 c、 e 中， 我们可以得到 d c 方加 c e 的 平方，就等于 d e 方，也就是 x 方加一方等于三减 x 的 平方，那我们直接求出 x 的 长度即可，那么 x 是 等于 三分之四，所以 d 点的坐标是三分之四五。好，这就是我们的第一问。 接着再来看到第二问，如图二，当点 d 为 bc 的 中点时啊，那这里加了一个条件， d 是 bc 的 中点，真将三角形 a、 b、 d 沿 a、 d 翻折，得到三角形 a、 e、 d， 所以 我们是可以得到啊，跟第一位相似的一些结论，连接 c、 e 并延长交 o a 于点 f， 让我们去求证 f 为边 o a 的 中点。 那这个时候我们可以先假设啊，这个结论就是什么成立的，那当 f 为边 o a 的 中点，我们可以得到 fa 是 等于 c、 d 的， 为什么呀？因为 d 是 bc 的 中点， f 又为 o a 的 中点， o a 等于 bc， 那 么 c、 d 就 等于 fa， 那 c、 d 又是平行 fa 的， 所以我们可以判断啊，这个四边形 c、 d fa 是 一个什么呀？平行四边形。 那关键啊，我们能不能去证出 c、 d、 f、 a 是 平行四边形呢？那这个啊，就是我们这一道题的一个切入口。那在讲矩形的折叠的时候，老师还给大家总结过一个方法，就是对应点的连线被折痕垂直平分，那这里 a、 d 就是 我们的折痕，我们连接 b、 e， 那 么 b、 e 就是 被 a、 d 垂直平分的，所以可以得到 b， e 是 垂直 a、 d 的， 那这里我们写一下证明 连接 b、 e， 由折叠可知 a、 d 垂直 e b， 那 除了我们可以得到啊， a、 d 垂直 e b。 刚才我们说了啊，矩形的折叠会有对应边相等，那么 d、 b 是 等于 d， e 的， d 又是 bc 的 中点，所以 c、 d 等于 d b。 大家看到这个三角形里，这个最大边的中线是等于最大边的一半，那此时大家想到了什么？定力 是不是直角三角形斜边中线的逆定力啊？那直角三角形斜边中线的逆定力的证明方法大家还记得吗？我们说啊，直角三角形斜边中线逆定力就是要通过什么呀？去正这个角是直角，那此时我们可以得到很多边相等，边相等就可以转化成角相等，那么就可以通过啊，正这个角 就可以是直角了。那此时我们可以得到 cd 等于 d、 e。 我 们假设这是角一，这是角二。那么因为 cd 等于 d e， 所以 角一等于角二。假设这个角 d e、 b 是 角三，这里就是角四。那么又因为 d e 等于 t b， 所以 角二，所以角三等于角四。那这四个角相加就构成了三角形的内角和。那由于角一和角二都是相等的，我们可以写成二倍的角二 加角三和角四也都是相等的，写成二倍的角三等于一百八十度，那这里我们只需要提一个什么二出来，所以角二加角三就等于九十度，那这里我们是不是证明成功了呀？这里的角 c、 e、 b 啊，就是一个直角，需要大家对这个直角三角形的斜边中线逆定律掌握的非常熟练， 那我们得到这里是一个直角，又因为 a、 d 垂直 e b， 所以 内错角相等，两直线平行，那我们是不是就得到 c f 啊，是平行 d a 了？那又因为这是一个矩形 a o c b， 所以 c d 也是平行 fa 的， 那根据这两个条件我们就可以推断出啊，这是一个平行 c 边形 c d fa， 那 我们刚才说了啊，我们正出这个是个平行四边形，就可以得到 fa 等于 c d， 那因为 fa 等于 c d， d 是 什么呀？ b c 的 一个中点，那 fa 肯定也是等于 o f 的， 所以 fa 等于 o f， 那 么点 f 为边 o a 的 中点。 好，那这一问还是相比我们的第一问有一些难度的，那难度主要在哪里呢？就是你要对这个矩形的折叠对应点的连线是被折痕垂直平分，要能够判断出啊，这里是一个直角。再然后就是大家对直角三角形斜边中线的逆定力的应用的一个掌握程度了。 好，我们接着来看到第三问，如图三，若点 d 为边 b c 的 中点，点 b 的 坐标是三五点 p 的 坐标是一零，那我们可以知道 o p 就是 一 p， a 呢是二， 那此时点 q 为平面直角，坐标系内一点，且角 b q p 为直角，那这里有一个特殊的角连接 d q， 请直接写出线段 d q 的 范围，那既然是范围，肯定会有什么呀？最大值和最小值，那这个时候我们就想啊，在哪里可以出现最大值和最小值啊？ 是不是在三角形的三边关系里啊？因为两边之隔大于第三边，那此时就有什么最小值，两边之差小于第三边，那此时就会有最大值，那我们来看看啊，怎么将这个 d q 放在一个我们可以知道线段的长度的三边关系里呢？那此时我们先连接 b p， 连接 b p， 我 们可以去求出 b p 的 一个长度，那此时我们想到第二问，我们用了这条三角形的斜边中线定离，那此时我们也是取于 b p 的 中点，假设这一点为 h， 连接 h q， 连接 h d， 那 此时啊，三角形 h d q 中，我们可以尝试一下，可不可以把它放在这样的一个三角形里，那我们先连接 b p 取决于 b p 中点 h 连接 h q d h， 那 此时我们知道这里 h 是 b p 的 一个中点，那根据斜边中线定律，我们可以求出 h q， hp 以及 b h 的 一个长度，那此时我们先把它求出 b p 的 长度，也就是在直角三角形 b p a 中， b p 等于根号下， b a 是 五方加 ap 二的平方就是根号二十九。那此时我们说要将它放在这个三角形的 d h q 中，是不是？那我们要求的是 h q 的 长，那么 h q 是 等于二分之一， b p 就 等于二分之根号二十九。那我在图上先用蓝色线段表示出来， h q 是 二分之，根号二十九。 此时如果我们能求出 d h 的 长度，是不是就可以去求这个 dc 的 一个取值范围了，那我们来观察一下啊，我们可以想到求两点之间的一个距离，是不可以用到两点间的距离公式，那两点间的距离公式的前提是我们要知道 d 点的坐标和 h 点的坐标， 那 d 点我们是不是已经知道了呀？因为这个 d 点是 bc 的 中点，那我们知道 d 点的纵坐标就是五横坐标呢？它的横坐标是这两个这两点的横坐标之合的一半，所以是二分之三， 那所以 d 点的坐标是二分之三五，那 h 点的坐标呢？那 h 是 b p 的 一个中点是不是？那我们也可以用这个什么啊中点公式，那 b 是 三五， p 是 一零，那此时 h 点的坐标，它的横坐标就是什么呀？两个横坐标之合的一半，二分之三加一纵坐标呢，也是纵坐标之合的一半二分之五，所以最后求的 h 点的坐标就是二 二分之五。那现在我们要去求 d h 的 距离，就可以直接用这个 d h 的 距离公式了，它等于根号下横坐标之差的平方，那么 d h 横坐标之差就是二分之三减二的平方，加上 五减去二分之五的平方，那这个计算还是比较考验大家对计算的一个熟练度的，最终求得 d h 是 二分之，根号二十六，那此时 d h 的 长度也出来了，那我们现在 d q 是 不是就可以确定了呀？因为 我们 d q 在 这个三角形 h d q 中，那两边之差小于第三边，也就是 h d， 那 我们这里要一定要注意什么呀？线段的长度 h q 是 大于 h d 的， 所以 h q 减 h d 小 于等于 d q 那两边之隔是大于等于第三边的，所以 h q 加 q， h q 加 h d 要注意啊，老师，这里已经取等了，那在什么情况下可以取等呀？就是三点共线的时候就可以取等。那我们来算一下奥题的一个最终答案，也就是二分之根号二十九，减根号二十六。 小于等于 d q 小 于等于二分之根号二十九，加根号二十六。那这道题考察大家，就是对这样三角形斜边中线定力的一个应用，以及我们两点间啊，这个中点的坐标公式应该怎么去求，以及两点间的距离公式，大家可以再下去之后再好好的梳理一下。
01:11查看AI文稿AI文稿二、下册识透平行四边形和一次函数这两张就稳稳攥住了初中数学大班核心。为什么这么说呢？因为这两张是整个初中数学呈上启下的关键，决定孩子后续学习的节奏。 首先我们来说平行四边形这一张，知识点多，题型也灵活，也是初中几何难度提升的关键节点，要想学好它，只是死记硬背，定力远远不够的， 一定要学会灵活的添加辅助线，日常练习当中也务必吃透一线。三、垂直弦图和绊脚这些经典必考的模型，这样在今后遇到几何大题、压轴题的时候，孩子才能够轻松的找到解题的方向。 再说说一次函数，这是初中函数学习的一个开端呀，也是整个函数体系的一个根基， 务必要吃透图像性质、解析式以及各类的实际应用，养成了数形结合的这个解题思维，把基础打牢。我们初三在学二次函数、反比例函数的时候才能够得心应手。所以初二啊，沉下心把两章学透。
04:46查看AI文稿AI文稿初一下学期第一次月考就是平行线几何，证明家长一定要给孩子准备这本初中几何模型大全，等考试你就会知道他有多轻松。初中三年所有的重点模型都在这了，双脚平分线模型、飞镖模型、手拉手模型等等， 每个模型的结论是什么，怎么推导出来的，辅助线怎么画，他都详细的罗列了出来，做题时用上他能节省大量时间，还有对应的例题帮助理解，掌握后再做题，及时巩固。 吃透这些模型，轻松搞定初中三年几何题！现在年终福利只要五折，要是等到开学就不是这个价，抓紧准备上吧！
