立体几何思维导图高中棱台
今日分享高中数学必修第二册第八张，立体几何初步全套高清思维导图，知识点公式全部整理，高一学生老师自取，家长可转发给孩子点赞关注不迷路！持续更新期末考点高考解析大招，学习干货不断更新！
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02:13查看AI文稿AI文稿同学们是不是考试只要遇到内切球，立马蒙圈，无从下手啊？今天老师专门帮你搞定圆锥和棱锥内切球的所有考点，我们现在来看圆锥的内切球公式，我们沿着圆锥的顶点往下垂直切一刀切出来的这个结面呢，就是一个等腰三角形， 而这个等腰三角形里面形成的内切圆正好就是我们圆锥内切球的最大结面。那现在我们就别再去想空间公式了，直接利用我们初中的三角形的面积公式就可以了。那现在得到的这个等腰三角形呢？我们知道圆心到每个边的距离都是我内切球的半径大 r， 那我现在可以把这个三角形的面积切割成三个小三角形的面积，那它的面积就可以写成二分之一周长乘以半径，最后的结果就是二分之一二 l 加二 r 乘大 r。 初中的时候还学过三角形的面积是二分之一底乘高，那它现在的面积还可以写成 s， 等于二分之一乘二 r 再乘 h。 把这个公式整理一下，我们就可以推到我们内切球半径的公式了。 那我球棱锥的内切球可不可以还看面啊？那不行吧，因为我切完之后，每个面长的是不是都不一样啊？那这个时候呢，我们就可以利用等体击法，我们想象一下球心到各个面的距离，他都是内切球的半径小 r 吧。 那这个时候呢，我就可以把大棱锥切成以各个侧面为底，球心为顶点的小金字塔，然后我们再利用等体击法一计算是不是就可以了？ 老师就可以把整体的体积拆成三分之一，每个面的体积乘以我内接球的半径 r， 然后就推出 r 等于三 v 比上 s 表。所以呢，只要是多面体，我们就认准等体积法就没有错了。 好了，现在老师已经把圆锥和棱锥球内切球的方法都讲透彻了，那如果我们遇到圆台或者棱台的时候怎么办呢？他们依然呢适用于等面积法或者等体积法，但计算量呢，会比之前复杂一些，千万别被复杂的底面积公式给绕晕了。 同学们，你们发现了吗？数学并不是被公式，而是找逻辑。我是池池老师，如果我带你用最简单的脑细胞解最难的数学题。
135池池数学🌼
11:41查看AI文稿AI文稿大家好，我是超越老师，我们这个视频开始讲体积表面角有两个基础的公式，我们要知道 v 等于三分之一，叫 s 上，加上 s 下，再加上一个根号下， s 上乘以 s 下，然后再乘以这个 h， 这个 h 叫正高。比如说求一个圆， 它的 s 上和 s 下是不是相等的呀？所以你看这是相等，相等，这个开放也相等，所以三，它就三倍的跟这个三约掉，所以 v 就 等于什么？ 是不？ s h 就 做出来了，看到没有？如果你要求有圆锥呢？你看它的上面积是不是一个点啊？就是零，所以这两个都没有了，所以它就是 v 就 等于三分之一倍的 s h， 看懂了吗？这个时候那最关键就是能抬，我们记这个总公式就是为了记这个来台啊，台的话就是上底下底，看到没有，他有两个了，这时候咱们就不写了，就这个公式啊，这第一个公式，第二个公式叫 s， 等于也是一样的，叫 s 上加上 s 下，再加上 s 侧， 看到了吗？上和下咱都不说好求，主要这个测啊，这个测我们统一变成内三角形啊，我们来讲内三角形，内三角形或者是梯形啊，梯形啊，我们来举个例子啊，比如说， 比如说就就就以这个台为例啊，台的话，你看上面几，这个叫 r 一 啊，这个叫 r 二，那上面几就是派， r 一 的方加上下面几 是不是派啊？派啊二的平方，再加上这个侧面积，他侧面一展开是不是像一个扇子的一部分，这个他像什么形？这个像像梯形，梯形不长这样子的吗？对不对？所以这个他就是用梯形面积公式啊，叫二分之上底，这，这个，这一圈等于什么？这一圈就是这一圈的面积，叫什么？周长， 这个就是上面这一圈，叫二派 r 一， 然后再加上下面一圈，叫二派，二派 r 二，然后再乘以这个，这个叫母线长啊，叫 l， 叫母线长，看到没有？这个高就是母线长， 这就是它的公式啊。当然这能化解，但是我们不化解，我们算就直硬算哦，很多资料是给你化解后的结果，那谁记得住啊，对不对？久了就容易忘啊。然后我们再做一个，比如说是追呢， 锥也是一样的啊，锥也是一样的，看没锥也是一样的，然后他展开之后，你要想的他是一个什么形？是不是像这样的？他展开是不是像这样的？这像什么形？像三角形。对， s 就 等于二分之一， 二分之一乘以底，底就是这个弧长，弧长就这一圈啊，叫二派。比如这叫 r， 二派 r， 然后再乘以这个高，然后再乘以高，高是什么高？就是这个母线长啊，这个母线长我们常用大 r 写 就做出来了，看到没有？如果你带这个整个表面积啊，这是，这是侧啊，这是侧，你还加上 s 上， s 上等于零， s 下叫什么？叫 pi r 平方看到没有？这就是它的公式， 能追能助也是一样的方法啊。如果说，比如说一个三等锥，这个展开之后，它是不是三个三角形啊？三个三角形啊，一般他考试喜欢怎么样？喜欢这个加个正字啊， 喜欢加个正字不？不加正的话，他这三个侧面高就不相同，你要一个一个算，那就没办法听没。如果他加了正字啊，那你要，你要算侧面积 s 等于你这个展开，你也把它看这个三角形看到没有？看这个三角形看到一个就有点像内啊，就长得像三角形的意思啊， 对不对？所以他是二分之一乘以底底就是这个是不是？比如边长角 a 是 不是三 a， 然后再乘个高高就是这个面去算就行了，听没？这 a 七撇， 再加上你要算表面积的话啊，再加上底面积要四分之根号三倍的 a， a 平方就做出来了。遇到具体的题咱们再讲啊，主要这两个基础公式你要知道，我们看一下第一题，他说正四能抬，我们来看一下图啊，这个上面是 a， 然后这个没画好啊，大概就这个意思吧。 然后他说侧人所在的直线与上下两个面的中心线所成的角等于四十五度，让你求这个侧面积啊，首先我们知道它展开之后是几个梯形啊， 是不是四个啊？咱就不画了啊，所以他看成一个梯形对不对？他的那个侧面积他应该是等于二分之上底，上底就这一圈叫四 a 对不对？加上下底是不是四 b， 再乘一个 h 一 p 啊？我们目标就是求这个 h 一 p 啊， h 一 p 就是 这个，这个侧面就是这一个啊，画出它的辅助平面图就是一个， 这是这是 a， 这是 b， 看到没有，然后这样对不对？这个长是不是二分之 b 减 a， 然后他 你要求这个看见没？这叫 h 一 p 啊，那我知道这个线不就可以知道这个吗？这个怎么求？就要看他这句话啊，他说侧能 与中心线连线成四十五度啊，所以这个地方我们要画一下啊，这个假如这个地方叫做 o 啊，这个地方叫做 o， 你 看这边他长是不是大概长这样子的？ 是不是这样的？这这这，这是 o 一， 这是 o 一， 这是 o 二，然后这个地方有个四十五度啊，因为你这个延长出去，显然在上面看到没有？显然在上面是不是大概这样的？ 是不是大概这样？这是四十五度，看到没有？四十五度，然后这个里面可以算啊，因为这这个长可以算啊，这个长是不是二分之根号二倍的 a， 看到没？因为这个总长是根号二倍，然后他一半，所以这是二分之根号二倍的 b， 对 不对？然后这个长咱们是不是可以算啊？这个长是多少啊？因为这个是四十五度，所以这也四十五度，然后等下这样这样写，然后这个边长是可以求的，是不是二分之根号二乘以 b 减 a 呀？你看 是不是这样的？然后再乘以根号二，就这个边乘以根号二，所以他就是 b 减 a， 所以 这个边长是 b 减 a， 最后你去算，那这是二分之一呢？是不就是二分之根号三倍的括号 b 减 a， 看到没有？二分之根号三倍的 b 也带到这里面去啊，这个里面你去算出来，刚好等于二 a 减二 b， 然后这个二又跟他约掉了，就是 a 啊，就不对， 加啊，这个是不是 a 加 b， 乘以一个根号三倍的 b 减 a， 是 不是对于根号三倍的 b 平方减 a， 平方平方差公式啊，对不对？第一个就这个答案啊，根号三倍的括号 b 方减 a 方，第二个他没有这个四十五度这个条件啊，他说侧面积与底面之合 等于底面之合啊。侧面积，我们这个地方我们来看一下，他要求高，这个地方高，要注意他指的是正高啊，指的是正高不是侧高啊，所以他 两个底面之合不就是 a 方加上 b 方吗？然后等于侧面积，侧面积还是一样的啊，展开之后是一个梯，四个梯形合在一起，是不是二分之上底？对啊，是不是四 a 加上四倍的 b， 然后再去乘以这个，这个这个地方叫 h 一 撇啊，这个地方我们要把这个图给他画一下啊， 是不是 h 一 撇，我们就可以把这个 h 一 撇给他算出来啊？他等于二 a 加上二 b 分 之 a 方加上 b 方，然后怎么去求正高？我们来看一下啊，他是这样的啊，这个地方你要求正高，你首先要怎么样？要把这个正高给他画出来，怎么画？ 比如说我找这个点他往下做垂线，你要知道他垂线是什么样的，他是不是一个回字形啊？你想想啊，因为他这个是正的，看到没有？正视人台，他这是一个回，看到没有？回啊？我们来看一下啊，你想你这个点的投影， 投影或者做垂线的垂足，是不是就这个点看到没有做垂下去哦？垂下去看到没有？这个就是我们要求的 h， 那 这个边往这边做一个线啊，这边做一个线啊，然后把这个一捏啊，这个一捏， 这这这，这应该是虚线，这是虚线啊，然后这个就是我们刚求的 a 七撇，看到没有？求求的 a 七撇，然后这个长是可以求的啊， 这个这个长等于多少？这个这个短的这个长，这个短的这个长，你看总长是从这到这是不是 b 啊？然后这是 a， 是 不是这个这个长，是不是二分之 b 减 a？ 这个要注意啊，我这个图没画好啊，就这个边是竖线，看到没？这个是斜的，所以是 h 一 撇的平方减去这个 是不是二分之 b 减 a 括号的平方，再开方就做出来了啊？然后我们来算一下，这个是等于根号下上面是不是 a 方加上 b 方括号的平方，下面把这个填到前面要四倍的是不是 a 加上 b 括号的平方， 然后再减去四分之，这是不是 b 减去 a 括号的平方。这个时候你要通分啊，为什么要通分？因为这个呢？通分的话刚好这里面有平方差公式量这边同乘以 a 减 b， a 加 b 啊的平方，然后 a 加上 b 括了平方，这个里面你去看一下，这刚好是不是就 b 方减 a 方的平方啊？就这两个算出来，最后分母相同了，就是四分之括 a 加上一个 b 方，看没有这个地方，你看这是 a 方加 b 方的平方，这是 a 方 b 方减 a 方的平方，中间是减号，是不是那个什么四方四方都没有了？是不是最后上面应该等于四倍的 a 方加上 b 方，因为这两倍，这又负两倍合在一起是不是在开放，然后约掉之后，这是不是刚好等于 a 加 b 分 之 a 乘 b。 第三个又是个正三轮台啊，正三轮台他说上下底边长分别是一和二，斜高是一，让你求体积啊求体积，我们来画一下图啊， 斜高指的是这个啊，把这个也画一下啊，把这个也这是一，这是二。斜高是指的这个啊，就这个线从这个地方线啊，然后让你求体积啊，我们背体积公式叫 s 等于就位啊，位等于三分之一倍的 s， 底底就是四分之根号三倍的 a 方带进去是不就是 a？ 是， 是不是刚好根号三，对不对？然后再加上上底的是不是四分之根号三，然后再乘以这两个相乘啊？再加上这两相乘就四分之根号三，乘根号三是不是就四分之三啊？四分三开方就直接写啊，是不是二分之根号三 合在一起，你看一下这多少个啊？四分之七倍根号三，然后三分之一再乘以这个 h， 这个 h 什么正高啊？ 跟这个题类似的啊，你想你往它下面做，做那个垂线是不是也是一样的？它是个等边向形，看到没有？有点像回啊？有点像回，然后你要求到这个正高，是不是往它要做一个垂线，看到没有？做一个垂线，垂足就在这，看到没有？然后因为你知道侧高了呀，知道这个侧高，知道这个 测高是等于一，是不是过这边就过这个做一个垂线，看没？这也是个垂线啊，过他做一个垂线，然后把这个一连，这个长就是一，那这个长等于多少？就这段小的知道了，不就用购物定率算了吗？这段小的怎么算？过这个中心，然后给他做一条线下来，这一段长 他是等于大三角形的三分之一高，还记得吗？重心定力啊，就这，这一个是这个，这个， 这两个是两倍关系，所以这个占全长的三分之一，这个占全长的三分之二，那这个是不是占三分之一？那是不是就三分之一倍的这个高？这个高要去算一下这个因为这个单元边长是二，所以这个高是，这是不是根号三？是不是三分之根号三减去这边呢？这是二分之一，是不是二分之根号三？是不是减 这一段啊？这一段也是占这个小三角形的三分之一，三分之一倍的，这边是二分之根号三， 然后你算刚好等于六分之根号三，对不对？六分之根号三，我们口算要一减去三十六分之三，是不是十二分之一？开根号是不是等于一个根号十二，然后根号十一，对不对？然后去给它乘到这里面去啊？乘到这里面那就是 七，然后根号三，然后下面是十二根号十一，然后这边是不开传法都可以约，是不是等于四倍根二倍根号三，根号三，约掉了，看到没有？最后是不是等于一个最后？你算啊？最后是不是刚好等于二十四分之七倍根号十一。
15超越数学
06:30查看AI文稿AI文稿高考数学立体几何今天一节课，梳理清楚所有的核心考点，听懂了立体几何，没有所谓的不会断，来拿本记。首先你要有认知，我们高考数学当中立体几何的考察非常的套路和死板化，非常的简单。立体几何一共是五个重点，第一个重点， 常见几何体的概念和基本性质必须熟悉，包括圆柱、棱柱、圆锥、棱台、圆台和球，能够熟练的画出它们图形本身以及各种拼接和展开图， 那你的空间感自然而然就能够建立。高考数学这几年特别爱考察二零二二年新高考一卷跟追题有关的侧面展开图，面积问题，跟台题有关的体积问题，会画图，那你自然而然就能够拿到满分了。接下来第二个重点，六大外接球问题，两大内接球模型。 那第一个你要学习的重点题型叫做外接球，那外接球里面要求大家必须掌握六大外接球模型，那第一个叫做长方体模型，注意，并不是说只有长方体才能够用，往往锥体也能够用它，所以呢，关键在于识别条件，一共有三个。第二个 圆锥模型，还有圆柱模型，同样这些并不是说只有圆锥圆柱才能够用，那棱柱也能够用。我们的圆柱模型呀， 包括咱家神兽头大的扇子模型，切瓜模型，双距离单胶线，还有双半径单胶线模型，这些是我们必须掌握的利达模型。还有一个比较特殊的圆盘问题，这几年高考考的还是比较多的， 那么你把外切球掌握完之后，我们还要掌握第二个跟它相匹配的内切球模型，哎，你得知道我们这个柱体跟它内切是怎么切的呀？我们这个锥体相关的公式 r 等于三 v 除以 s， 你 要对这些非常的熟悉，这就是我们讲的第三个重点， 平行与垂直问题。那很多神兽总以为我没有空间想象能力，我这个是不是平行和垂直就做不了？我拿不下，非常负责任的告诉你，其实还真不是这样子， 只有极少数的立体几何的题目，它的选填压轴对于大家这个空间想象能力要求比较高之外，那对于大部分的题目，它的处理都是非常的套路和死板化。所以呢，在线授课几千个小时之后，带过上千名学生，你看他函数即使学的一塌糊涂， 却能够把立体几何学的游刃有余，不仅仅是因为这个空间能力想象比较好，还是因为他掌握了立体几何里面所有的核心题型和方法。 所以呢，重点来了，我们接下来先说平行。平行问题对应的第一个方法叫做尺子法，那平行四边形、三角形、中位线怎么处理，以及在考试过程当中考的非常多的问题叫做动点探索问题，是否存在一点使得，哎，谁和谁线线平行呀，面面平行呀，我们这里用到的方法就是谁不动平移谁， 你这些常见的方法掌握的足够明白，再配点历年的高考真题，那整个平行问题很快就能够拿下了。那接下来我们再来说第二个垂直问题，垂直问题是整个立体几何的核心，所有立体几何问题到最后都可以归结为我们的垂直问题， 垂直，比如说我们经常去证明线线垂直，要证明线线垂直的核心是什么？是拿一根线放到这个面内去证明这个线面垂直， 所以你重点要攻克的是我这根线我怎么选？我如何快速的把这根线选出来，每次做题的时候，我就去关注这根线我应该怎么去选择，最后发现这根线的选择它是 有套路的，你把这些通信通法总结出来，下次做题的时候，你一眼就能够看出来我该选哪根线了。好，我们还比如说我们的面面垂直问题吧，那我们面面垂直的核心是什么？它的核心是你要从这两个面当中选一个面， 从这个面当中去挑一根线，跟刚才的思路是一样的，我选哪个面，这个面当中的哪根线，我怎么去挑？这里面全都是有套路的。其实不管是线线垂直、线面垂直，还是我们的面面垂直，我们在考察的过程当中，他不会单一的去考察这个条件，会和所有要求的东西砸到一块，揉到一块去 垂直里面。你比如说我们大家必会的三垂线模型呀，真形模型呀、矩形模型呀，勾股模型呀，都是非常好用的方法，你学好这些模型才能够搞定我们的垂直关系吧。 好，对于这一块，我们后面学习夹角问题，也是在做一个铺垫，你搞好了，后面搞夹角间隙才能够游刃有余。第三关过完之后，我们再来说第四关，第四关就是所谓的夹角问题了，它是高考的重点，重中之重考大题。 那夹角里面可以分三个方向，第一个叫做线线夹角，线线夹角里面有三大方法，咱们一个个来说啊，主要是意念直线 之间的一个夹角问题，那第一个方法叫做平移，我通过平移把意面直线给它变成共面的去解这个三角形。第二个叫做空间选定力，注意它不是选定力，它是空间选定力。还有第三个叫向量法，很重要来第二个线面夹角，线面夹角问题，线和面的夹角不仅会考察大家大题，还会考察大家小题， 这个方法注意也是推荐大家三个方法，第一个方法叫做定义法很重要，你像高考这几年考察你们的时候考小题主要考察的就是定义法，所以你得知道什么是定义，当然有些题目你会发现我无法把定义用这个夹角把它找出来，所以呢我们还有第二个方法叫做 点到面的距离问题，我们转化成等体积需求高，以及最后的第三个保体方法，向量法，这是我们线面夹角， 我们再来说我们的面面夹角，哎，面面夹角，那面面夹角的方法也是比较多的，也是重点考察的，你必须得会给大家推荐。一样是三个方法，那第一个方法和线面夹角一样，就是我们的定义法，那 二念夹角定义非常重要，在我们这一个几年的高考当中，考小题考的是非常多的，那第二个方法就是当我这个定义角找不出来的时候怎么办？哎，我要去找个备胎呀，那我们这个方法在考试大题当中用的还是贼多的，叫做三垂线法，我们还有我们第三个方法，保底的方法就是我们的向量方法，所以夹角问题一共是刚刚给大家提到的九大方向， 是大家主要去攻克的一个难题，你只要能够掌握这些核心方法，那么你这一块的基本功就会非常的扎实。虽然呢，我们很多高三的孩子可能会说，老师我这一块只要有空间向量就够了呀，但是 空间向量的计算量非常的大，你考试一紧张，连算都算不出来，正确答案写都写不对，甚至连坐标都会写错。当别人在解析的时候，有的小题你不好解析，你也不会解析，所以说只有几何法才能够让你和别人拉开差距，尤其是高一的宝字，一定要在学立体几何的时候， 特意训练这些几何法，让自己的基本功跟别人拉开差距。好，最后一个重点问题，重点问题就什么呢？距离问题， 重点重视一下这个，我们以前在老高考当中经常考，大家这个点到这个面的距离问题属于必会题型，你看考体积吧。那问题这一块，这个距离问题，包括我们的这个新教材，新高考当中增加的知识，除了这个点面问题之外，还有意面、直线距离，你要好好去研究一下。 那么这个大家按照以上五个知识体系，一层层去梳理清楚，掌握以上五个核心考点，剩余的我们立体几何当中的结面问题，轨迹问题，这种综合问题学的不用特别难，常规的处理手段会就可以了。所以呢，不管你现在是正在高一，还是说马上高三要进行高考了，我不知道立体几何这一块怎么去学习，怎么去复习？按照以上五大知识体系，我们一个个去过。
78大林子讲高中数学
00:17查看AI文稿AI文稿高中数学最难的立体几何全部吃透！逆袭最强黑马立体几何的向量方法，利用向量球空间距离、向量球空间角、向量球夹角、意面直线所成的角学习误区。
99追枫者
02:03查看AI文稿AI文稿正四棱台上下面积分别一和四，侧面是六，主体的这个题特别好，这次考试是很可能要考的啊，这个是很经典，上面面积是一边长，那不就是一了吗？面积是四边长，不是二了吗？ 哎，侧面是六，四个面他不得六吗？一个面不二分之三了吗？侧面积。哎，看好了，咱们给他 这么画一个图。这么画的目的是啥呢？看好了，先求下侧高，上面是一，下边是二，一加二，上里加下里乘以高二分之一等于二分之三，这是三二分之一。哎，这不就到一了吗？这边不就一了吗？ 这边的一直厚了，咱们现在要求啥呢？要求一下子这个棱台的高。棱台高咋求？看好了，咱把它抽出来，把这头像抽出来，上面一下边二，这边不也是一了吗？做一个 v 线， 整个是二，这是一，那剩下不是一了吗？一半不二分之一了吗？这个边用勾股定力一减四，四分之一，二分之二，三了呗，这边就二分之二三，所以这个棱台的高就是二分之二。 那体积公是等于三分之一， s 加 s 撇，这个完，我得代数呗，代数的话就三分之一，高是二分之，刚好三 乘以 s， 一个一个来，一加上底面的四等于一乘四就变成六分之。根号三乘以七，六分之七倍，根号三选 a 选项。就这个测面积的就是四个面的面积。 完了之后，中间找一个结面，画结面的图形去求高去，要不这不好求，不是很难啊，一定要理解，理解是很重要的。
00:51查看AI文稿AI文稿棱台和圆台一个是多边形底，一个是圆底，但他们的几何式结构完全一样啊。统一公式， v 等于三分之一乘以 h 乘以 s 上加下 加上根号下， s 上乘以 s 下。其中 s 上 s 下分别是上底和下底的面积。棱台就把上下底的多边形面积算出来，带入圆台就把上下底的圆面积带入。注意啊，当 s 上等于零， 台体就变成了锥体。公式退化为三分之一，乘以 h 乘以 s 下。当 s 上等于 s 下时，台体变成了柱体，公式退化成了 s 乘以 h。 可以 用来检验公式。有没有记错啊，记住，这是统一的公式。棱台和圆台都不用分开背截图保存。
66点滴数学
31:55查看AI文稿AI文稿同学们好，我们临时抱佛脚，第二十一课的内容是立体几何的大体综合，那么首先我们对立体几何里面的基础支点进行相应的回顾， 那么在前面的课程中呢，我们对立体几何其实基本的支点我们已经介绍了一些，只不过在这里我们再进行相应的重复啊，再回顾一下，首先就是我们的空间几何体， 我们空间几何体呢，通常有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球啊。 那么当然除此之外呢，还有相应的一些表面积与体积公式，比如说柱体的表面积等于上下两个底面积加上侧面积，那么它的体积呢，等于底面积乘高。 而对于锥体来说，它的体积无论是圆锥还是棱锥，它的体积都是三分之一，底面积乘高。 而圆锥的次面积呢，它等于 pi r l， 其中 r 是 底面半径， l 为母线。而对于台体来说呢， 台体的侧面积等于 pi 大 r 加小 r 再乘以 l， 那 它体积也是一样的，等于三分之一的高，乘 以上底面的面积，加下底面的面积，加上根号下上里面的面积乘以下里面的面积啊。那么对于球来说呢，这个就是老生常谈的问题啊，那它的表面积是四 pi r 的 三次方啊。 除此之外呢，我们对于三式图与直观图也要能够进行相应的判定，你要能够根据他的三式图还原出，或者想象出他的原来的图形， 或者是说根据原来图形，你要能够判断啊，而且快速的判断他三式图是吧，那么三式图包括主式图、左式图、俯视图，当然这里面呢，我们有长对正，高频齐宽相等， 这里面呢，会涉及到一个叫斜二策划法， 那么对于斜二测法来说呢，我们平行于 x 轴的长度不变，那么平行于外轴的长度减半啊，那么平面图形直观图的面积， 直观图的面积等于四分之根号二，原来图形的面积， 这个是要记得的。那么下面呢，就是我们的空间点 直线平面的位置关系。当然我们有平面的三个基本定律，它分别是啊，公里一，若直线两点在平面内，则直线在平面内，就判定线在平面内。 公里二，不共线的三个点确定一个平面，公里三，两平面相交，交线是一条直线，当然我们有相应的推论，直线加直线外一点，两条相交，或者是平行的直线确定一个平面等等啊， 当然我们空间两只角的位置关系，有共面，有异面直线的夹角，当然我们要注意异面直线的夹角的范围哈，异面直线 夹角 c 塔的范围呢，是属于零到二分之派啊，范围一定要注意哈， 当然我们还有个公里四，是吧，平行于同一直线的两直线互相平行，当然还会涉及到等角定律，我说空间两角两边分别平行，那么两角相等或者是互补吗？ 那么下一个呢，就是线面面的位置关系，那么直线与平面呢？有线在平面内，线面平行，线面相交，那么对于平面与平面来说呢，有平面与平面平行，平面与平面相交。 当然我们平行里面，我们的判定是核心性质是其次，那就说这两个东西同等重要啊，我们有线线平行，线面平行，面面平行，他判定的理里面的条件缺一不可。 那么除此之外呢，我们的垂直关系也是重中之重，我们的线线垂直，线面垂直，面面垂直，他的判定和性质我们也需要进行相应的回顾和掌握。 当然了，我们说前面我们讲了一面直线所成角的范围，是吧？我们一面直线所成角的范围是零到二分之派吧，那么我们一般的求法是平移成相交，然后解三角形，取锐角或者是直角，对吧？那当然我们还有一个东西叫线面角， 就一条直线与平面的夹角，那么它的范围呢？是零到二分之派，你看它们两个的范围不一样哦， 没问题了啊。当然我们说这里面有个公式， sine theta 等于什么？等于直线到面的距离，也就是我们垂线段的长度，除以斜线， 这线段的长度啊，好，当然我们还有个二面角，那对二面角来说呢，我们认为其实也是一样的哈，只不过他们每一种角的范围是不一样的。 零到派啊，零到派，好，我们通常的求法呢，是在棱上取点做垂线，让他利用三垂线定力或者向量法，是吧？高考常考的向量法。那接下来就是我们的重中之重，空间向量解立体几何 通用的一些大招啊。当然这也不是大招，它是基本知识啊，我一直在强调数学的学习要脚踏实地， 不要去相信所谓的大招。当然那些大招他只不过是我们基础知识推出来的结论，仅此而已。那你如果基础知识都掌握了， 你去记一些结论，二级结论啊，我们俗称，那这样的话，我认为无非于锦上添花，那如果你连基础知识都没掌握，你上来就去记几个结论，我认为那是画蛇添足啊，当然，这是我自己的愚见啊。 好，那么第一种类型呢，就是向量平行与垂直。我们说如果两个向量它是平行的，我们就等价于其中一个向量与另外一个向量，你拿不拿背或者弓弦吧，对吧？那么如果两个向量是垂直的， 我们就等价以这两个向量的点乘为零嘛，对不对？好，当然我们还有相应的加减公式，我们讲的是空间向量哈，他其实和平面向量差不多啊，他只不过在平面向量的基础上增加了一个 坐标嘛，对吧？好，括号应，这个表示是 ab 向量的夹角啊，好，它等于什么呢？直接代值嘛，是吧？等于 a 向量，点乘 b 向量除以 a 向量的周长乘以 b 向量的周长，对吧？ 那么就是 x 一 x 二加上 y 一， y 二加上 z 一， z 二再除以， 这个就比较简单了，是吧？ x 一 的平方加上 y 一 的平方，加上 z 一 的平方，乘以根号下 x 二的平方加上 y 二的平方加上 z 二的平方。啊，这个呢，是我们的加减公式， 一定要注意哈。当然，我们用向量法去解体的时候，对于向量角来说啊，我们直线的方向向量为，假设是 s 向量法向量为 n 向量，那么三 e c 它是不是应该等于 cos 三 e c 它的绝对值？ 当然，我讲的不准确哈，我讲的不准确。好，我们还是写一写线面角，线面角，比如说我们直线方向向量我们记为 s 向量，而平面法向量 我们记为 n 向量，那此时 sin theta 是 不是应该等于 cosine 直线的方向向量与法向量的这个夹角的绝对值啊？好，那么第二个好，很多同学在问了老师，为什么这个东西等于它呢？ 因为它有发尾嘛，对不对？好，那么接下来我们来看，对于二面角来说， 它是两法相像的假角或者是补角，你主要要根据图去判定它是钝角还是锐角哈，好，第三个呢，就是点到直线的距离啊， 我们说以前学过一个点到一条直线的 距离角是设为 d 嘛？ 问题哦，但是现在我们要研究什么点到平面距离怎么算？ 那就是任取一个点是吧？然后呢，连接起来，把平面的法向呢也求出来，要注意哈。那么其中我们要求这个 a 为平面内的点， 你说 p 是 吗？这 p 是 吗？点到平面的距离，这个 p 就是 p 吗？对不对？ 就说你这个点，你选取在平面上选一个点，而这样个点形成一个向量，然后呢，你再求出这个平面的法向量，用这个公式就能够算出点到平面的距离啊。 那当然我们也有一些常用的结论或是易错的一些点，你比如说证明平行或垂直的时候，我们常用的一些方法是优先用几何法，你如果难算，你是不是在用向量法？好，第二个呢？我们由面面平行， 是不是可以推出线面平行，是不是再可以推出线线平行？而面面垂直是不是可以推线面垂直，也可以推线线垂直吗？当然我们说意面直线，它既不平行也不相交啊，这是个概念， 什么？能追是吧？能助他的一些体积公式别忘记啊，无论是 我们讲的圆锥还是楞锥，只要是锥体，是不是都要乘一个三分之一啊？还有我们其他的策划法去算它的一些面积等等啊，当然我们还有外接球和内接球啊，外接球和内接球主要是嘛？求那个球体的半径啊。 好，那么我们的基础知识讲完了啊？讲完了，那现在我们来看一下 我们这个支点里面所涉及到一些考点吧。你说第一个考点是平行空间的关系是吧？空间中的平行关系通常呢放在第一位的位置。好，现在我们直接来看啊， 我们最开始讲我们肯定要好好写一写，那后面我们就大致讲一讲方法了啊，因为这个计算，如果我在这里讲，我觉得没这个必要啊，我们直接把方法掌握，我们练那么几个题，那剩下的就只讲方法啊。 好，那是他要证明一条直线平行一个平面，一条直线要平行一个平面 是在这个，这个是 l， 这个是 a 吗？我们说这个直线属于这个平面，并且这条直线平行于这条直线，并且这条直线在平面外，你就能够推出这条直线平行这个平面了，那定力就这个样子的，所以我们就直接写吗？ 写，要写什么？证明如下，他不是让你写证明吗？好，那这时候我们看有题目给的条件是， bc 等于一，这个 ab 是 不是等于根号三，那 ac 是 多少？是二，所以你就会得到 a c 的 平方，是不是等于 ab 的 平方加上 bc 的 平方，所以 ab 是 不是垂直于 bc， 又因为 pa 是 垂直于底面题目给的条件吧？ a、 b、 c、 d 那 条直线垂直于这个平面，是不是垂直于这个平面的所有直线？ 好，那么 bc 是 属于底面 a、 b、 c、 d， 那 么这个时候，所以我们就会得到 bc 是 垂直于 pa， 我们又因为 a、 b 交上我们的这个 pa 是 与 a 这个点，那 pa 是 属于平面 p a、 b， 所以 说我们就会得到 bc 是 不是垂直于平面？ p a、 b 问题喽，我们又因为什么？又因为 p a 是 不是垂直于底面？ a、 b、 c、 d， 我 们说 ad 是 不是属于这个底面的， 对吧？所以现在你是不是得到 a、 d 是 不是垂直于 pa 了？问题喽，我们现在接下来我们继续看，那么 a、 d 是 不是垂直于 p b， 且 p、 b 交上 pa 是 不是点 p 这个点？然后呢？ p b， p a 是 不是都属于平面？ p a、 b 问题哦，所以这个时候我们的 a、 d 是 不是垂直于平面？ p a、 b， 所以 说就得到 a、 d 是 不是平行于 b、 c， 那 么垂直于同一个平面的两只线平行吧。 又因为什么？ bc 是 不属于这个平面， 所以会得到这条直线就平行于这个平面嘛。好的问题解决了啊。好，第二个考点呢，是空间中的垂直关系， 我，天呐，他让你证明垂直垂直，这个是不是也非常的好证明？我们如何证明？我们根据题目给出的条件去看嘛，对不对？好， 现在我们来看哈， a、 d 它是不是等于五倍的根号？三上面有啊，什么时候？ ab 等于多少？ ab 是 不是等于八？所以说 a、 e 是 不等于五分之三倍的 a、 d 两个线段的关系嘛，那么 a、 f 是 不是应该等于二分之一的 ab 问题哦，所以这个时候 a e 的 长度是不是就知道了？那么 a f 的 长度是不是也知道了？在这个三角形 a e f 中， 你的余弦定力是不是能用？用的平方等于 a f 的 平方，加上这一个的平方，是不是再减掉两倍的它，乘以它，再乘以 q 三音这个角， 对吧？所以它就等于我们直接代值十六减，加上啊，十二减掉二乘四乘二倍加上三，再乘以二分之三吧，是吧？你是不是四啊？你推出 e f 是 不是等于正负二？因为它这个长度是不是显然等于二？ 所以我们右看在三角形 a e f 中， 我们得到什么？等于 e f 的 平方加上 a e 的 平方等于 a f 的 平方，所以这个时候 ef 是 不是垂直 a e 的？ 那你现在不是将它翻折下去了吗？好，这里面稍微有点问题啊。稍微有点问题，就我们题目里面，他不是要翻折下去吗？是吧？你像这个三角形翻折到变成这个三角形啊，应该是这样子的， 你翻转下去之后，你就会得到什么？ e f 是 不是垂直于 pe 的？ 你听 我说，你看，又因为 a e 是 不是交上 pe， 是 不是为这个点液？那 a e pe 是 属于平面 pe 电，所以说你会得到 e f 是 不是垂直于平面 p c 点，那又因为什么 p d 是 不是属于这一个平面，对吧？平面 p e d 嘛，所以最终你是不是 ef 就 垂直于 p d 了？ 我们说一条直线，垂直这个平面，它就垂直平面的所有直线嘛。那就解决好第三个考点。求空间中线段的长度，底面距的所有直线嘛，那就解决好第三个考点，求空间中线段的长度等于最值或者是范围。 好，第一个证明一条直线，这个呢，我们就点一点啊，你证明一条直线平行一个平面，是要在这个平面内找到一条直线与这条直线平行吗？好，这个平面是不是这一个？ 那他是不是和他平行？是吧？他和他平行，我们这个属于这个平面，这个不属于这个平面，所以他就平行吧。第一问就解决了。好，第二问，求 m 到 这个的距离，我们当时讲过求他的距离，你需要怎么办？你是不是 需要我们说能降到最高的条件下，是不是可以？ d 是 不是等于 p a 乘以法向量，再除以法向量吧，对不对？但是这里面我们看它求 m 点到 a， d， e， 那 现在我们来看底面面积是不是可以知道？那底面面积知道高是不是知道？那这个的体积是不是可以表示出来？ 那这个体积表示出来之后，你以这个为顶点，这个为底面表示一个体积，那你要求的是 m 到这个平面的距离吧？那你是不是可以以这一个为底面， 这个为顶点，求它的高嘛？能理解吧？所以最终我们列出的式子是不是三分之一乘以 s， 三角形 a， d， e 再乘以 d， 是 不是等于三分之一乘以 s， 三角形 e， d， m 再乘以 o， a 嘛？这时候你是不是就能够把 d 解出来， 但前提是你三角形的面积要算出来啊？它你要知道，对吧？那我就不说了哈，这个我认为比较简单，因为你经常去算的时候算三角形的面积，你是不是要用我们的 三角形里面的一些公式，是吧？二分之 a b 三一 c， 二分之 a c 三一 b， 二分之 a b c 三一 a， 这里面是不是求 q 三验 q 三验你算出来之后，三验是不是就出来了？那一环扣一环嘛？ 好。第四个考点，空间中的体积表面积的值及最值的这个范围啊？好，首先我们来看它，证明一条直线平行一个平面， 那这条直线它要平行于这个平面。我的天呐，这个是不是就非常的简单了？没必要再讲吧？ 我认为没必要啊，没必要。你是不是去找一个与他平行就行了吗？对吧？你去这个平面内找一条直线与这个直线平行就行了吗？ 能理解吧？可以啊。好。第二个，你说若这个有一百二十度，求他的体积，求他的体积怎么办？好，我们直接把他的体积表示出来。 v p 杠 a b c 是 不等于三分之一乘以 s， 三角形 a b 线再乘以 pm 吗？ 哦，没有，不是 pm 哈，应该乘以什么？应该乘以它的高 h 嘛？是吧？应该乘 h。 好， 这个 h 在 哪？ 这个 h 应该比较简单，是吧？那么现在问题是不是要算它和它？那你经常去算就可以了嘛，对不对？好 好点。五，因为我讲了，这个的计算无非就是你要有思路，然后你的计算不要出问题，这个题一般是不会出问题的啊。好，第一个，证明两个平面垂直。你要证明两个平面垂直怎么办啊？同志们， 你是不是首先要证明其中一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面，对吧？然后你再说这条直线属于这个平面，这两个平面就垂直嘛， 就这个思路啊。好。第二个，求直线 a 一 与它所成角的余弦值。好，余弦值，我们是不是想到假角公式， 那么这一个你是不是它的方向向量？是不是 a e？ 那 么这一个它的方向向量是不是 c f？ 那 么等于什么？等于 a e 乘以 c f 除以 a e 的 周长乘以 c f 的 周长吗？问题哦， 很多同学在问，老师，我们连坐标都没加，那当然了，你肯定都没加坐标嘛，对吧？那你怎么去加坐标？ 是把这个连接起来，对不对？然后你看这个时候啊，我们这一个是不是为 x 轴？然后这个是 o 点嘛？ 这个是不是为 x 轴，这个是不是为 y 轴？那数值的这一个是，我们找一个数值的做上去，是不是为 z 轴？ 那你把这几个点的坐标表示出来，把这两个向量表示出来，然后直接再直去算就可以了嘛，对不对？那当然，我们说这个角它属于什么？二面角，它是一个什么角？显然是个锐角，所以你算出来，如果它是负的，你要挑一下符号啊。 好，考点六，求线面角的最值及范围。我天呐，第一个，让明证明这两个相等， a c 等于 a c， 你 如何去证明它相等？ 如何证明它相等？是不是可以可以根据线面垂直啊？ 然后呢？面面垂直的判定定力和线定力，是不是你可以得到 a？ 我 看一下哪一个垂直哪一个 好，我们过 a 一 哈，我们过 a 一 做 a o 垂直于 c c 一 哈，理解吧。 那过 a o 过 a 点做 a， 这个什么东西？ a o 吧，可以吧，我们过 a 点做 a o 垂直于 c c 一， 能听不 说，交于点 o， 交于点 o 之后，那么这个时候问题是不是就解决了？那就解决了，但是最终你是不是能够推出我们的 a、 e、 o 垂直于平面，哪一个是不是 b c c e b 得到这个吧。那么垂直之后，我们讲他，说他到他的距离为一，说明什么？说明 a、 e、 o 是 不是等于一？ 你这时候你是不是在这个三角形里面，是不是 a、 c、 c 一 这个三角形当中，是吧，你就可以把谁算出来。 c c 一 是不是等于 a a 一 是不是等于二？你设 c o 等于 x 嘛，那么 c、 e、 o 是 不是等于二减 x 啊？那因为它是不是都是直角三角形，所以 c c 一 等于二，那这时候你就会得到 c、 o 的 平方加上 a、 e、 o 的 平方，等于 a、 e、 c 的 平方吧。 同样 a、 e、 o 的 平方加上 o、 c、 e 的 平方是不等于 c e、 a、 e 的 平方。当然还有 a、 e、 c 的 平方加上 a、 e、 c、 e 的 平方是不等于 c、 e、 c 的 平方， 所以这里面你就会得到相应的这个等式吧。 不是方程吗？解解，这个 x 应该等于一哈，我们这个时候是不是就会得到 a、 c 是 不是等于 a、 c 是 不是等于根号啊？就他们两个就相等了吧。问题哦，这是我们的第一个思路。好，第二个，若两个 直线的距离为二，我们求它的正弦值，我们得看哈那线面角的正弦值， 这个是不是可以算的？问题吧，这个我就不说了啊，距离为二，这个显然很简单嘛，那说明 b、 d 等于二嘛，是吧？然后你经常带进去算，算完之后你是不是在三角？哪一个三角形？ 我看一下啊，应该在哪个三角形？ a bc 是 不是在这个三角形里面？ a b 一 c 一 这个三角形里面，你把 a、 c 表示出来，把 b、 c 表算出来，把 a 一 b 是 不是算出来？因为它的这个距离为一，所以这个的正弦值是不是你算出来的这个距离分之一吧。 那就结束啊。好，第七个考点，求二面角的最值及发尾啊。第一个让你证明这个，我认为第一个的证明可以直接过哈。为什么可以直接过？因为它非常的简单嘛，对吧？ 这个没问题吧？我们最终目的你要证明线线垂直，是不是要证明哪一个？哪一个？这个还要说吗？你是不是证明其中一条直线垂直另外一个平面嘛？ 对不对？我们最终就推出它垂直平面内的所有直线吧。那么证明一条直线垂直一个平面，是不是在那个平面内找两条相交直线， 是吧？在这个平面内找两条相交直线，然后呢，一条直线垂直于它，一条直线垂直于它，那时候 a 交 b 是 不是为一个点片？那么 a 是 不是属于阿法， b 是 不是也属于阿法 啊？五个条件缺一不可，是不是就能够正出一条直线垂直一个平面了吗？思路很简单哈，你证明一条直线垂直一个平面，然后呢，又因为另外一条直线在这个平面内，所以这两条直线就相互垂直。好求二面角的正弦值， 求二面角的正弦值呢？我认为问题不大，我们首先要注意二面角的正弦值 是不是等于什么？一减，这个还要说吗？同志们，括号音是不是两个向量的？向量的夹角的，这个再开根号，这个要注意啊。 那么现在的问题是不是转化成了间隙？间隙是不是很简单？这个为 x 轴，这个为 z 轴吧，你把这个的向量 a 一 算出来，把这个的向量 a 二算出来。 嗯，先把括号音 n 一 n 二，这个用夹角公式是吧？一个 n 一 乘以 n 二啊，不好意思啊，应该是 n 一 乘以二除以 n 的 周长，除以 n 的 周长啊。好，应该是 n 一 乘以 n 二啊， 啊，在这除以 n 一 的魔长乘以 n 二的魔长。那你把余弦值算出来，是不是带这个值答就出来了吧。具体计算过程我就不算了，因为那个计算过程， 我觉得只要你的计算不出问题，他是不会错的啊，他是不会错的。好。第八个考点，已知一面直线所成角 线面角二面角求值的。哎呀，这个就不说了，很弱是不是小条件，是不是只能用 d y？ 那 么你要说 a d 平行于平面， p d c 是 不是 a d 平行于这个平面，是不是在这个平面内找一条直线与它平行嘛？对不对？ 你找一个与他平行就可以了吗？能挑，你看他是不是平行，他能挑，那么他是不是属于这个平面，所以他就平行这个平面吧，因为这里完毕了。好。第二弯 弱是不是又是个小条件？是不是只能用到第二弯？他说这个且二面角的正弦值，同志们，你看 二面角的正弦值，看到没有？二面角的正弦值是不是这个东西？那也就是说这里面你需要做的事情是不是三音？这正弦值是不是等于科三音这两个平面啊，这个平面的法向量我们记为 n 一， 这个平面法向量记为 n 二， 我们这个时候是不是 n 一 n 二，对吧？是吧？好，我们把这个稍微挪到这边一点点， 你最终得到结果，是不是根号下一减他的平方，那么你把这个算出来了，这个也算出来了，就两个平面的法向量你都给他算出来了，那下一步是不是就非常的明确了？说列关于他的等式啊 或者方程吗？那你去解不就可以了吗？同志们，或者是说哈，就是刚才我们讲的这是第一种速度哈， 那第二种思路呢？我们把这个平面啊看一下，我们把这个平面的这个法向量 a 一 算出来，把这个平面的法向量 a 二也算出来。你看正弦值这么多，所以余弦值 是不是根号下一减正弦值的平方嘛？就余弦值一算出来之后是不是七分之根号七，那么这个时候你直接带余弦值扩散 n 一 n 二 的这一个是不是等于 n 一 向量减乘以 n 二向量除以 n 一 向量的模长乘以 n 二向量的模长等于七分之根号七。一旦是不是也能够得到方程？ 通往罗马的路不止一条啊？好，那么第二十一课啊，临时抱佛脚的第二十一课，我们就讲到这，好，拜拜。
39数雨禅
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