鞋带定理求三角形面积推导过程
给定任意三个顶点的坐标面积怎么计算？携带定礼直接秒杀。首先我们把三个顶点的坐标按顺序写过来， 这里要特别注意，第一个顶点要写两次，现在我们就像系鞋带一样交叉相乘。首先我们从左往右开始相乘，二乘二等于四， 五乘一等于五，一乘五等于五。现在换个方向，从右往左，五乘五等于二十五，二乘一等于二，一乘二等于二。把得到的结果相减，取绝对值，再除以二，所以结果就是七点五。
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01:58查看AI文稿AI文稿你是不是还只会用割补法去求三角形的面积？今天老师一条视频带你轻松的避开割补，计算秒杀出来三角形的面积。这个方法呢，适用于初一、初二、初三的所有学生，秒杀所有的选填题，一点也不超纲。来，我们一起看。对于平面直角坐标系内的任意一个三角形，我们都可以这样子将它进行分割， 分别过三点向下做垂线，我们就可以得到这个三角形的面积，那么就等于左边的梯形加右边梯形，减去下面的梯形，角形 a， b， c 的 面积就等于左边的梯形。我起名 s 一， 右面梯形 s 二，下面的梯形 s 三，好，那就等于 s 一 加 s， 二减 s， 二减 s 三，梯形的面积都要乘二分之一，所以我先将二分之一提出来，哈，那么就是二。接下来就是化简了，来减 x a， y b 减 x b， y b 加 x c y c 减 x c， y， c 消掉，好，一起来看。那么还剩什么呢？那就剩二分之一的正的正的和正的 减减负的负负负。我们现在呢，就是将这个式子化简到了黄笔这一步，那么他们之间有什么规律呢？将这个三角形 a， b， c 的 坐标，哎，我依次写出来 x， 哎，我们就可以发现， x， c 乘外 a， 它乘它， x， b 乘外 c， x a 乘外 b， 减它乘它，它乘它，它乘它。原来这个三角形的面积等于哦调角相乘，减去调角相乘，那么来看，这个图像不像我们的鞋带是高斯发现的，所以这个方法称之为高斯系鞋带法。任意封闭图形，它 它的面积都可以用系携带法来求，来，我们一起用系携带法求一下这个三角形的面积 a 的 坐标，它乘它负六，它乘它负二，它乘它负二十一等于负的二十九，它乘它三， 它乘它二十一，它乘它负四，答案等于二十，所以三角形的面积就等于二十，减去负二十九除以二面积，我们就轻松的得到了二分之四十九。下一次再碰到了选填题，你就可以用系携带法来求出平面直角坐标系内任意多边形的面积了，你学会了吗？
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01:03查看AI文稿AI文稿已知三个顶点的坐标，你能三秒算出这个三角形的面积吗？看到 这代法来，直接上式套横坐标横着写一遍，横坐标在 横点流传物件一乘一等于二十九，继续写在最下面 记着其实是大学数学高等袋鼠中行列式的内容。总的来说就是三句话，横写两边去，头尾交叉相 除一二。怎么样？是不是很简单？是不是 so easy？ 赶快拿起笔看看这个吉他的面积，你能三秒算出来吗？
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01:02查看AI文稿AI文稿给定任意三个顶点的坐标面积怎么计算？携带定礼直接秒杀！首先我们把三个顶点的坐标按顺序写过来， 这里要特别注意，第一个顶点要写两次，现在我们就像系鞋带一样交叉相乘。首先我们从左往右开始相乘，二乘二等于四， 五乘一等于五，一乘五等于五，现在换个方向，从右往左。想要快速冲分，就来抖音精选搜高考数学提分技巧， 系统整合历年高频解析套路，帮你跳出低效备考怪圈，真正学懂学透章节分段，把考点题型按逻辑拆分模块解析步骤逐层拆解弱项题型，一键直达专攻。最后冲刺，用技巧碾压题海。 五乘五等于二十五，二乘一等于二，一乘二等于二，把得到的结果相减取绝对值再除以二，所以结果就是七点五。
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初中学过，判定两个三角形全等有五大定律，以 s、 a、 s 为例，你还记得它表示什么吗？在两个三角形里，只要两组对应边和它们的夹角分别相等，那这两个三角形就全等。 以上只是我们对 s、 a、 s 的 低级理解方式，那么高级理解方式又是啥呢？继续看三角形的小迷妹， 他的这两条边和夹角都确定了，那么此时他的第三条边必须是确定的，不信你可以自己画一画。不仅如此，他的这两个角也是确定的， 既然他们是确定的，那就一定可以求出来。因此，已知两边即夹角，必然可以求出其他的边边角角。 其实正是人类研究如何求三角形的边和角时才产生了解三角形问题。 在视频的最后，再送给大家一个新手福利大礼包。在以后，我们会经常遇到三角形 abc 以及它的边边角角， 那么为了书写方便，我们就规定角 a 角 b 角 c 可以 直接写作大写字母 abc， 这个角符号可以省略不写。 同时这三个角所对的边用小写字母 abc 表示，也就是说，小 a 就 表示 a 角所对的边 bc， 小 b 就 表示 b 角所对的边 ac， 小 c 就 表示 c 角所对的边 ab。 有 了这套符号系统，刚才的问题就可以写成这样，怎么样，看上去清爽了不少吧。 好啦，关于什么是解三角形，我们就介绍这么多，是不是迫不及待想要看到解三角形问题的全貌了呢？那就下个视频见吧，拜拜！ 嗨，大家好，在上个视频里我们说过，本章的主题是解三角形，也就是在一般三角形里已知一些边和角，求出未知的边和角。 在初中，我们处理过解三角形的低配版问题，解直角三角形。利用勾股定力和三角函数，我们可以在直角三角形中进行边角转化，从而利用已知的边和角求出未知的边或角。 那么到了高中，解一般三角形的问题会长什么样呢？我们又能用什么方法来解决问题呢？让我们一起来看看吧！ 话说，三角君的小迷妹给三角君寄来了一张照片，并且附带了这样一个问题，如果我的两个角 a 和 b 是 已知的，这条边 a 的 长度也已知，那么你能求出我这条边 b 的 长度吗？ 三角形一看这个已知条件，给出了两个角和一条边 a a s， 说明三角形小迷妹的形状就确定下来了，那么这条边 b 一定可以用这三个已知条件表示出来。 但是这三个已知条件都如此抽象，一个具体数都没有，还真不知道该从哪里入手。 实际上啊，如果把这三个条件改成具体的数，比如说角 a 等于四十五度，角 b 等于六十度， a 等于二，这就是一道我们初中很熟悉的问题了，相信大家都能轻松搞定。 做出一条高 cd 来，我们就可以把三角形划分成两个特殊的直角三角形，利用其中的边长关系，很快就可以算出 cd 的 长度应该等于根号三，那么 a、 c 的 长度就是 cd 的 根号二倍，也就是根号六。 只要给定已知的边长和角度，想要算 b 简直轻而易举，关键就是要做出这条高。那么回过头来看看这道小迷妹问题，你来想想看，想要解决这道问题，我们该从何入手呢？ 显然答案还是做高。只要做出这条高，我们就可以把一个一般三角形拆成两个直角三角形，有了这两个直角三角形，我们就可以利用三角函数来转化边角关系了。 那先来看左边这个直角三角形吧，斜边的长度是 a， 以直角角 b 的 对边是 c、 d， 那 么塞应 b 就 等于 c、 d 比 a， c、 d 就 可以写成 a 倍的三倍。为什么我们要表示出 c、 d 这条高呢？因为它是两个直角三角形的公共边啊。利用 c、 d 这条边，我们就可以把左边三角形里的已知条件传递到右边三角形里。 那么现在来看看右边这个直角三角形 c、 d 是 以直角角 a 的 对边，那么三 a 就 等于 c、 d 比 b， 所以 c、 d 又可以表示成 b 倍的三 a。 现在把 c、 d 的 两种表示方式替换合并，我们就得到这样一个等式，这下我们就可以求出 b 边了，那 b 边的长度就等于 a 倍的三 a、 b 再除以三 a。 解决完这个问题，我们回顾一下解析过程。通过作 c、 d 这条高构造直角三角形，再利用三角函数，我们得到了这样一个等式， a、 b 的 上沿 b 等于 b 倍的上沿 a。 这个等式就结识了这两个角 a、 b 和它们的对边小 a、 小 b 之间的关系。 在三角形中做高的方式有三种，那我们换两个方向做高，就能得到另外两个类似的式子， a 倍的三 e， c 等于 c 倍的三 e a， 以及 b 倍的三 e， c 等于 c 倍的三 e、 b。 把这三个式子放在一起，就可以表示一个三角形中边和角之间的数量关系了。 哎呀，什么？这也太弱了吧！孙小军觉得用三个式子才能表示清边角之间的数量关系，拖拖拉拉的，一点也不符合他潇洒气质，这要是传出去，还怎么在万千迷弟迷妹面前抬起头来呢？不行，一定要找到一个更炫酷的表达式， 那有没有什么办法把这三个式子合体呢？哎，有了，给这几个式子做个变形，把这些萨印全都除下去，奇迹就出现了。现在三个等式变成了这样， 把它们精简一下，就可以合变成一个非常帅气清新的表达式。 a 比萨印 a 等于 b 比萨印 c， 非常完美，简直跟三小军本人一样帅。 这么完美的柿子，不起个炫酷的名字怎么能行呢？其实啊，这个柿子就是我们之前剧透过的本章主角之一，也就是大名鼎鼎的正弦定理。 正弦定理它的描述非常简单，在一个三角形中，个边和它所对角的正弦之之比比之相等，用柿子表示，也就是这样的 正弦定理。式子简单，内涵深刻，结识了三角形的边角关系。不过这里有一个小问题，刚才我们通过做高找到了这三组式子，不过做高的时候，我们都默认了高，落在了三角形内部。 可是当三角形是直角三角形或者钝角三角形时，有的高就会落在三角形的边上或者三角形的外部。那么在直角三角形或者钝角三角形里，这个关系式还成立吗？ 答案是仍然成立。下面我们来简单说明一下。先来看看直角三角形中的情况，如图，假设这个 c 是 直角，那么三以 c 就 等于一。 根据直角三角形中的边角关系， a 比三 a， b 比三 a， b 显然都等于 c 边。再根据三 a， c 等于一，那么 c 其实就等于 c 比三 a c， 所以 a 比三 a 等于 b 比三 a， b 等于 c 比三 a， c 这个式子仍然成立。 现在我们让角 c 变成钝角，那么如果我们从 a 向 b c 边做高 ad， 这时的 ad 就 落在了 bc 的 延长线上，那么这个角 a、 c、 d 就 等于派减 c。 在 直角三角形 abd 中， ad 就 等于小 c 倍的撒应 b。 而在直角三角形 acd 中， ad 就 等于 b 倍的撒应派减 c。 别忘了，根据诱导公式，上引派减 c 其实就等于上引 c， 那 么 a、 d 就 等于 b 倍的上引 c， 这样一来， c 倍的上引 b 等于 b 倍的上引 c， 这个等式仍然是成立的。类似的，我们就可以得到， b 比上引 b 等于 c 比上引 c， 那 么在钝角三角形里，正弦定力也是成立的。 现在我们就可以放心的说，在任意三角形里，正弦定里都成立。 正弦定理解放了三角函数，让他们脱离了直角三角形求劳。有了正弦定理以后，在一般三角形中，我们也可以使用三角函数来转化边角关系了。剧透一下，在以后的视频里，我们会频繁使用正弦定理来解三角形。 既然正弦定理这么重要，那么我来考考你以下哪个式子是正确的正弦定理表达式呢？ 答案，选 b。 可别忘了，在正弦定理表达式中，三条边分别要和它所对角的正弦值作比，也就是说，角 a 和角 a 应该出现在同一个式子的分子和分母上，最简洁，也最对称，所以千万不要记错了。 最后补充一点，除了这个表达式之外，在使用正弦定的时候，还常常会用到另一种变形形式， a 比 b 比 c 等于三 a 比三 a， b 比三 a c， 也就是说，三边之间的长度比，恰好就等于它们所对角的正弦值的比。 通过比例转换，我们很容易证明这个式子，这就不多说了。不过啊，需要注意点，等式的右边呢，是正弦值之笔，而不是角度笔，可千万不要搞混淆了，若搞混淆了，那么在考试中又要丢掉可怜的两分。好，那就这样吧，拜拜！ 在上个视频中，我们学习了正弦定理，同一个三角形里，各边和它所对角的正弦值之比都相等，写成式子就是这样的。 这个式子既简洁又对称，简直可以当做三角星的招牌旅游广告。可是啊，在三角君看来，这个广告还是有点儿美中不足。 既然这三个比值都相等，那这个比值具体等于多少呢？如果能把这个比值表示出来，写在式子里，那这广告就更完美了。为了更好的宣传三角星，顺便刷一刷自己的存在感，三角君决定研究出挣钱定义表达式中这个比值到底是多少。 嘿嘿，狗蛋听说要计算比值啊，忍不住就发表了自己的看法，来牺牲一下三角军的身体，量出他这个角和这条边算一下，不就知道比值是哪个数了吗？ 狗蛋同学，你这么做考虑人家三角军的感受了吗？更重要的是，谁告诉你这个比值是个固定不变的数了？你想啊，如果现在把三角军的身体拉长， 那这个角不变，但边就变长了，所以啊，比值也会变大哦，看到了吧，正弦定律表达式求出的比值并不是横定不变的长竖，它与具体的三角形有关，因为三角形确定了，这个比值肯定就固定了， 所以这个比值应该是一个和三角形有关的量。但是很明显，它既不是边，也不是角，那还能是什么呢？甭管它是什么，我们先把 a 比三 a 用几何方式表示出来，真相自然就清楚了。 三角君随手画了一个三角形，对着这个三角形看了半天，并没有得到什么好的思路。毕竟在一般三角形里算 a 没法直接用三角形的边来表示，而坐高表示呢，又会产生更多新的未知量。狮子变得更复杂了， 想想看现在该怎么办呢？在一般三角形中，我们很难直接表示出三 a， 但是有一类三角形可不一般，可以轻松表示出三角函数。 相信大家也想到了，这就是直角三角形，那就先来试试它吧。如果三角形 abc 是 直角三角形，我们假设角 c 是 直角，那么根据锐角三角函数的知识，三 a 等于对边 a 比斜边 c， 那把三 a 做个替换，代入到原式中， a 比三 a 就 等于 a， 除以 a 比 c， 结果就等于 c。 原来在直角三角形中，斜边 c 就是 a 比三 a 的 几何表示呀。 注意看这个过程，通过直角三角形，我们发现了一个简单实用的事实，只要 a 边和角 a 在 同一个直角三角形中，而且角 a 是 a 边的对角，那么 a 比三 a 就 等于斜边 c。 说到这，有的同学会很不屑，这个事实初中就知道了，这还值得说吗？当然值得了，伟大的思路往往就是从平凡的想法中诞生的，从这条简单的事实就可以诞生。解题思路， 对于任意三角形，如果我们能把 a 边和角 a 像这样放在同一个直角三角形中，那就能表示出 a 比三 a 了。 所以下面就试试从 a 边出发构造直角三角形吧。从 a 边的端点出发做垂线，这两个端点都可以，那不如选 b 点吧。再从 c 点处做一个角，让它的大小等于二分之派减 a。 说这两条线的交点是 d， 那 么显然角 d 的 大小就等于角 a。 现在三角形 dbc 就是 符合要求的直角三角形了。在这个三角形里， a 边所对的角是角 d。 根据这个简单的事实， a 比撒引 d 就 等于斜边 c d。 又因为角 d 等于角 a， 所以 啊， a 比撒引 a 也就等于 c d 了。那么现在借助 c、 d 这条线段，我们就可以表示出正弦定律表达式的比值了。 相信不少同学已经暗自吐槽了，这样构造虽然表示出了这个比值，可是 c、 d 线段是我们硬生生构造出来的直角三角形 d b c， 它除了跟三角形 abc 共用 a 边以及角 d 等于角 a 之外，还有啥别的关系吗？ 用 cd 这条线段来表示比值，这就好像狗蛋的爸爸给三角君开家长会一样，简直牛头不对马嘴嘛！这个吐槽听上去好像挺有道理的，不过我可要告诉你，这个 cd 和三角形 abc 之间还有一个很隐蔽但是很紧密的隐藏关系。 冷静一下，看图，这两个三角形共用 a 这条边，而在 a 的 同侧所对的角 a、 角 d 这俩角度数相同的，仔细想想看，以前有没有见过类似图形呢？ 一条线段同侧所对的两个角相等，是不是隐约觉得这里有一个隐藏的圆呢？没错，这俩角相等，这就说明了 a、 b、 c、 d 这四个点落在同一个圆的圆周上。 如果我们把这个圆画出来，那么现在你看角 a 和角 d 其实就是同弧所对的圆周角了。 有了这个圆，现在我们再来看看 c、 d 与三角形 abc 之间的关系吧。 abc 三个点都落在圆周上，那这个圆其实就是三角形 abc 的 外接圆 cd 就是 这个圆里的一条特殊的弦， 那他特殊在哪呢？哎，别忘了角 dbc， 这可是一个直角啊！在原理，直角所对的弦，这不就是直径吗？也就是说， cd 其实就是三角形 abc 的 外接圆直径，他是三角形 abc 的 一条隐藏属性， 那利用这条隐藏属性来表示三角形 abc 正弦定里的比值，这就顺理成章多了，对吧？ 现在我们回头来总结一下我们发现的结论。在三角形 a、 b、 c 中，通过构造直角三角形，我们发现 a 比三 a 就 等于三角形 a、 b、 c 的 外接圆直径。 如果我们用 r 表示这个外接圆的半径，那么直径就等于二 r， 所以 正弦定律的表达式就可以拓展成这个样子，非常完美。 得到了这个关系是三角形，觉得心满意足，这不仅升级了旅游广告，还把三角形和圆联系在一起，非常开心。不过啊，这里有点小细节，我们还是需要稍微补充一下。 我们在探索这个表达事实，一直有一个默认，假设角 a 是 锐角，这样我们才能构造出含角 a 的 直角三角形。那如果角 a 变成直角或者钝角，这个结论还成立吗？ 答案当然是成立的。很多书上包括教材上都用了一种很复杂的方法，就是先构造出 a 的 补角，再构造直角三角形。想体验的同学可以暂停仔细看看。 那这里呢，教你一种一步到位的简单到爆的炫酷做法。当 a 不是 锐角时，比如说现在 a 是 钝角，那么角 b 就 一定是锐角。我们用同样的方法可以构造证明 b 比萨因 b 等于二倍的 r。 别忘了，我们还有正弦定的这个结论， a 比萨耶 a 等于 b 比萨耶 b 等于 c 比萨耶 c。 既然 b 比萨耶 b 已经等于二 r 了，那么 a 比萨耶 a 和 c 比萨耶 c 肯定也等于二 r。 结论成立， a 比三 a 等于 b 比三 a， b 等于 c 比三 a， c 等于 r r 这个表达式就是正弦定律的终极形态了。只要看到三角形题目中出现了外接圆半径 r 这样的关键字，我们就要联想到正弦定律。 除了这个标准表达式之外，我们还会经常用到它的两个变形表达式，分别是 a 等于二 r 倍的萨耶 a 以及萨耶 a 等于二 r 分 之 a。 那 么遇到给出三角形外角半径求边或者求角的问题时，我们就可以灵活运用这两个式子。 视频的最后，让我们跟着三角形一起，再给他的母星打遍广告吧！ a 比三 a 等于 b 比三 a， b 等于 c 比三 a， c 就 等于外接圆直径 r r。 欢迎大家来三角形旅游哦，拜拜！ 上个视频我们学习了用正弦定理解 s s a 型的三角形。 在解这类三角形时，我们碰到了一件非常奇怪的事情，有些题目明明都是确定了两边和一对角，解出来的三角形却有时是一个，有时呢是俩，这是为什么呢？接下来的两个视频，咱们就来一探究竟。 先举一道我们熟悉的题为例，已知三角形 a、 b、 c 中，其中 a 边等于根号三， b 边等于根号六，角 a 等于三十度，问角 b 得多少？ 利用正弦定理可以解出三 b 等于二分之根二，那角 b 就是 四十五度或者一百三十五度。 经过验证啊，这两个解都是符合提议的，为什么会有两个解呢？我们可以根据已知把图给画出来看看。 现在已知的是角 a 和它的一个邻边 b 以及对边小 a。 已知角就一个角 a， 那 先把它画出来，放在这下面来画两条已知边，那邻边 b 和对边 a， 你 觉得先画谁比较方便呢？ 答案是 b。 先画角 a 的 邻边 b 比较方便。因为邻边 b， 也就是 a、 c 已经有了一个确定的端点 a， 所以 只要以它为一个端点，在其中一条射线上截个根号六，就是邻边 b。 但想要画对边可就麻烦多了，毕竟对边的两个顶点位置都不确定嘛，根本无从下手。画好了邻边 b， 另一个端点 c 也就确定了。我们标出来， 下面就轮到角 a 的 对边小 a 了，也就是 bc， 它该怎么画呢？ 因为对边的一个端点 c 已经有了长度，是根号三。另一个端点 b 在 角 a 的 另一条射线上，那就以 c 为圆心，根号三为半径作圆，它与射线的交点就是满足要求的点 b 了。 做完圆，发现焦点有两个， b 一、 b 二，以 b 一 c 和 b 二 c 为对边，都可以组成三角形，所以三角形 a、 b 一 c 和三角形 a、 b 二 c 就是 这题两个解对应的三角形了。 哎，咱们刚才什么都没算，只通过作图就确定了解的个数。在作图的时候，我们似乎还发现了些门道，一个三角形解的个数，说到底就是最后做的这个圆和射线的焦点个数 有几个，焦点就有几个满足要求的三角形。那我们该如何计算焦点个数呢？ 很明显，交点个数和圆的半径，也就是对边 a 的 长度有关。 那我们就来研究一下，当 a 和邻边 b 固定，而且角 a 是 锐角的时候，如果对边 a 从零开始不断地增大，三角形解的个数会跟着发生怎么样的变化。 首先我们先想想当 a 边非常非常短的情况，此时以 c 为圆心， a 为半径的圆非常小，它与射线根本没有交点，也就无法构成三角形，所以此时不存在符合题的三角形，也就是无解。 下面我们让对边 a 也就是圆的半径慢慢的变大、变大、变大、变大。哎，会有一个时刻，圆和射线相切了，这时圆和射线就有焦点了，垂直于射线的这条半径就是我们要找的对边 a。 此时三角形 abc 是 个直角，三角形有一个解，而 a 继续变大的话，圆也跟着变大，圆和射线的交点就变成了两个，也就是我们上面那道题的情况，此时三角形有两个解， 看来圆与射线相切的时候，就是三角形有解和无解的分水岭，这个临界点非常重要。那我们就得算算了，相切时对边 a 到底多长呢？ 我们现在已知的是角 a 和邻边 b， 所以 要用角 a 和邻边 b 来表示出来。对边 a 相切时，三角形 a、 b、 c 是 个直角三角形散 a 就 等于 a 比 b， 所以 a 就 等于 b 位的散 a， 那 分水岭就是 b 位散 a。 当 a 等于 b 位散 a 时，圆与射线相切，三角形有一个结， 那当 a 大 于零，小于 b 倍三 a 时，圆与射线没有公共点，三角形就无解， a 要超过了 b 倍三 a 就 出现了两个解。那问题来了，是不是说当 a 一 直变大的话，三角形就一直有两个解呢？ 答案是 b 并不对。这么想的小伙伴肯定是没。从图上分析， 当对边 a 刚超过 b 为三 a 时，确实是两个解没有错。但如果对边 a 一 直变大，大到跟邻边 b 一 样长时，圆就过点 a 了， 此时三角形 a、 b、 e、 c 的 两条边就重合了，那它肯定够不成三角形，只有这个等腰三角形满足要求。 因此当 a 等于 b 的 时候，解的个数就又变成了一个。那当 a 大 于 b 以后怎么样呢？从图上很明显就能看出来，圆与射线在左侧不会再有交点，只有右侧有一个，所以以后都是一个解。 总结一下就是，当 a 边大于 b 被算 a 小 于 b 时，有两个解， 当 a 大 于等于 b 时，是一个解。到这里我们就讨论完了当 a 是 锐角的时候，三角形解的个数的所有情况。 我们发现 a 边的曲值被 b 被散， a 和 b 这两个特殊值分成了五种情况。你可以暂停视频，自己回顾一下， 有五种情况，是不是觉得很难记，不用害怕，只要我们记住画圆找焦点的方法，抓住这两个分界点解的个数就能直接搞定了。 我们来做道题感受一下。在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于三十度， a 边等于七， b 边等于十。你来判断一下这个三角形解的个数。 已知角 a 是 三十度画出来，然后固定住邻边 b， 下面就该画对边了。以 a 边长为半径作圆，对边 a 的 长度是七，比邻边十要短。那就有可能出现三种情况，相交相切或者没有交点。 那我们就要用 a 与 b 杯三 a 比一比了。这道题 b 杯三 a 等于十，乘以二分之一等于五，所以 a 边比 b 杯三 a 大。 圆和射线能有两个交点，所以这个三角形有两个解。 好了，这个视频就到这里，下个视频我们还要用左角和钝角的情况，拜拜！ hi， 大家好，上个视频咱们研究了 s、 s、 a 型三角形解的个数。简单回顾一下，在三角形 a、 b、 c 中，已知 a 边 b 边 a 角，当这个角 a 是 锐角的时候，我们讨论的方法是，先确定角 a 和邻边 b， 再画圆，找与射线的交点，最终确定三角形解的个数 a 是 锐角的情况。讨论完了，那直角和钝角时是什么样呢？ 下面我们就来研究一下角 a 是 直角的情况，也就是已知直角角 a 和邻边 b。 研究当对边 a 变化时，三角形解的个数会怎么变化。方法还是作图画圆找交点个数， 这里就是直角角 a， 然后在它的其中一侧截出邻边 b， 这里自然就是点 c 了。 下面就要做出对边 a 了，方法还是做圆。我们以 c 为圆心， a 边为半径做圆数，圆与这条射线的交点个数，随手挑个半径画个圆试试。 哎，我们发现半径太小的话，圆跟射线是交不上的，无法构成三角形。那你想想，当 a 边多大时才能构成三角形呢？ 答案是 b。 回到途中，我们发现只要 a 比 b 小， 圆和射线就不可能存在交点，肯定无法构成三角形。 当 a 扩大到与 b 相等的时候呢，圆就过点 a 了，与射线相切。不过此时 ab 两点重合，仍然无法割成三角形。 但我们只要让圆的半径再大一点，我们要找到三角形，就出现了解的个数就是焦点的个数一个。 而且啊，不论半径大到哪去，圆与射线的交点都只在右侧有一个。也就是说，当 a 大 于 b 时，可以确定三角形只有一节。所以总结一下角 a 为直角的情况，可以分为这两种。 我们换个角度再看一下这个结论。其实直接利用大角对大边也能解释，因为角 a 是 直角，所以他肯定是这个三角形中最大的角。那根据大角对大边，他所对的边一定是最长的边，所以角 a 的 对边一定要大于邻边。 总结完结论，我们拿道题来练练三角形 a、 b、 c 中角 a 等于九十度，对边 a 是 十，邻边 b 是 十二。你来判断一下这个三角形解的个数吧。 答案是 b。 很 简单吧，角 a 是 九十度，根据大小对大边，它的对边应该最长，而这里的对边十小于邻边十二，所以无法构成三角形。 最后，我们来说说角 a 是 钝角的情况。继续沿用刚刚大边对大角的思路，当角 a 是 钝角的时候，他必然是三角形中最大的角，所以角 a 的 对边小， a 肯定也是最长的边，因此他的结论跟角 a 是 直角的时候完全一样。 通过作图我们也可以直观的看出来，当对边 a 大 于邻边 b 时，有一个解， a 小 于等于 b 时，无解。知道了结论，我们再来判断一个钝角三角形解的个数， 三角形 a、 b、 c 中角 b 等于一百一十度， b 边等于四， c 边等于三。问三角形解的个数， 有的小伙伴拿到题就有点疑惑，说好的 a 角 a 边 b 边呢？怎么跟题目对不上啊？ 可见我们不能死记结论，而是要明白背后的原理。我们要先确定已知角，再通过对边和邻边的大小关系来判断三角形解的个数。 在这道题中，已知角是角 b 一 百一十度，他的对边是 b 等于四，邻边是 c 等于三。根据大角对大边，对边四大于邻边，三 a 没毛病，所以有一个解把图画出来是这个样子的。 好了，到这里我们就讨论完了所有 s s a 型三角形解的个数的情况，再来整体回顾一下。 当我们拿到一个三角形时，如果已知的角是直角或者钝角，那就简单了，只要满足对边比邻边长就是一个解，不满足就是无解，都不用算就能判断。 如果已知角是锐角的话，就得动笔画圆了。确定角和邻边之后，根据对边的长度画圆数、焦点。上个视频分析的五种情况列在这里，自己来看一下。 视频的最后我们再做一道题，巩固一下。三角形 a、 b、 c 中角 a 是 三十度， a 边等于七， c 边等于十。你来判断一下这个三角形解的个数。 拿到三角形，先找位置关系，题目中给的是 a 角 a 边和 c 边， 那 a 就是 对边， c 就是 邻边。然后看大小角 a 是 三十度，锐角 a 是 比较复杂的情况，得动笔画画了。首先固定角 a 和邻边 c， 然后画对边， 对边是七，比邻边短，那就得用 a 和垂直于射线的这条线段比比了，也就是 c 为三 a， c 位算， a 算出来是五，而对边 a 是 七，比它长，所以以 b 为圆心，七为半径作圆的话，肯定跟下面的射线有两个交点，也就是有两个解，因此答案是 c， 你 做对了吗？ 其实啊，这组结论远远不止能解决这么简单的问题，它更高端的应用，咱们下个视频见。 hello， 欢迎回来！之前说过，解 s s a 型三角形时，解的个数并不确定，可能有零个解，一个解或者两个解。 之前介绍了画图的方法，判断解的个数，这种方法很直观，也能帮你深入理解问题。 不过很多同学实际使用时，觉得这种方法有时候容易画乱了，然后自己也就凌乱了。所以这个视频再介绍一个绝对不会画乱的方法，因为这种方法压根不用画图，会算数就行，这就是代数法。 还是用具体的题目来说看题。三角形 a、 b、 c， 中角 a 等于四十五度，边 a 等于五， b 等于十，判断三角形解的个数 还是求解的个数。说了不画图，那咱们就不画图， 你还记得当初咱们是怎么发现这种三角形的解可能会有两个的，是算出来的对吧？这次咱们也还是来算一算。不记得怎么算了吗？来回忆一下， 在已知中有角 a 和它的对边 a， 这是用正弦定的信号， 又知道编 b， 那 根据散引 a 分 之 a 等于散引 b 分 之 b， 就 可以求出散引 b 吧。变个形，散引 b 等于 a 分 之 b， 散引 a 把已知条件都带进去，散引 b 等于根号二。 ok， 到这你意识到什么了吗？散 b 等于根号二，根号二啊，你还记得那些年咱们学过正弦是小于等于一的，对吧？这散 b 都大于一了，这不扯呢吗？明显无解吗？ 嗯，做完了，是不是很简单来总结一下。题目给了一组角和对边，根据正弦定律，可以求出另一个角的正弦。这题算出正弦大于一，自然就是无解了， 这就是代数法判断最简单的情况。那如果算出正弦不大于一，又该怎么判断呢？来看下一个例子， 看题。嗨，有什么好看的？这三个数换了一下，和上道题没啥区别嘛，还是知道角 a 和它的对边 a 以及另一边 b。 那怎么办呀？先算三 b 喽，过程不细说了，算出来三 b 等于二分之，根号二。哎，这回小于一了，还是个特殊值，那角 b 就 能求出来了吧。 注意， b 属于零到派，所以根据三 b 等于二分之根号二，可以得到 b 等于四十五度或者一百三十五度两个取值。好，现在你来想一想，四十五度和一百三十五度都可以取吗？ 角 a 都一百二十度了，你说这角 b 他 好意思等于一百三十五度吗？内角和一百八十度，不要面子啊。所以角 b 只能等于四十五度， 到这就可以确定这道题只有一个解了吧。好了，这题是怎么做出来的呢？就两件事，第一，还是算三以内，结果人家小一亿，那根据这个正弦可以求出两个 b。 第二，检验两个 b 是 不是都能要根据三角形内角和舍去了一个。 另外第二步，检验角 b 时，之前讲过适用性更广泛的方法是什么来着？大边对大角还记得吧？ 以本题为例，给出的两边， a 等于根号六， b 等于二， a 大 于 b， 那 角 a 就 大于角 b， 这就是大边对大角，角 a 才一百二十度，角 b 也当然只能是四十五度了。 两种方法，内角和一百八十度，大边对大角。还记得为啥说大边对大角适用性更广泛吗？ 对了，因为很多时候你求出的三角并不是特殊值， b 不是 特殊角，此时内角和可能就不太好用。看下面这道题你就明白了， 不用多看了，条件肯定还是那些。就是又换了仨数嘛，你看看角 a 边 a 边 b， 还是先上正弦定理吧。算三与 b。 我 细说了，三与 b 等于九分之五位，刚好三，哎，不是特殊值了。 第一步，先看大不大于一哈，平方一下是八十一分之七十五啊，不用约分了，知道小于一就行。 所以根据三 a， b 等于九分之五倍，刚好三，可以得到两个角 b， 一个锐角，一个钝角。这一步听懂了吧？ 第二步，检验两个角是不是都能要，这个时候内角和就不太好算了吧。但是大边对大角就还可以用， 看一下边 a 等于九， b 等于十， b 大 于 a。 好， 那角 b 大 于角 a 没问题吧？ a 是 六十度， b 比它大，取钝角锐角都没毛病，所以这题就是有两个解的。 看过三个例子来梳理一下这个方法。在 s s a 型三角形中，已知两条边和一条边的对角。第一步，先用正弦定例算另一条边对角的正弦， 根据正弦与一的大小关系，初步判断这个角有几个，正弦大于一就是零个，正弦等于一就是一个，恰好九十度嘛。正弦小于一就是两个，一个锐角，一个钝角。 第二步，检验每个角是否能要根据内角和或者大边对大角来判断，剩下几个角，答案就是几个。 好了，最后用一道题来检验一下你有没有学会吧。已知角 c 等于一百三十五度， a 等于四， c 等于五。嗯，换了个角哈。问解的个数你自己先做一下吧。 答案选 b。 已知角 c 和边 c 还有邻边 a， 所以 算谁呢？根据算，以 c 分 之 c 等于算，以 a 分 之 a， 先算算 a， 对 吧？等于五分之二倍，根号二， 这一看就小于一，所以根据三 a 角， a 有 两个，一个锐角，一个钝角，因为 c 边大于 a 边，所以角 c 大 于角 a， 因此 a 是 锐角，没问题。 钝角肯定要，那钝角呢？注意， c 等于一百三十五度是个钝角，那 a 肯定不能再是钝角了吧。 虽然 a 不是 特殊角，但因为 c 是 钝角，所以用内角和也可以判断，最终只有一个解。 又到了总结时间了，用代数法判断三角形解的个数，其实就是顺着解三角形的思路做，但不用全解出来，求出一个角就行。代数法还是做图法，大家选择自己习惯的把题做对就好。 最后给大家看一个有趣的东西，代数法算相应 b 分 了三种情况吧， 每种情况我画了图放在这里，感兴趣的同学可以找一找。大于一等于一小于一反映到图上是什么特点？那这个视频就到这里了，拜拜。
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27:31查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，我是番茄学术，那么今天我们学习的是零基础十五课里面的第七课，解三角形，那么解三角形的内容其实它还蛮简单的。对，它还挺简单的。那简单在哪呢？就是它只有两个公式， 然后所有的都寄于这两个公式来求的。好，那解三角形里面去给它解解解解的。嗯，那解三角形画一个呗。 a， b， c。 好， 我们规定哈，就 a 的 对边是小 a 哈，就是它的对边可以用 b， c 表示，也可以用小 a 表示， ok 吗？啊，默认的 b 的 对边就是小 b， c 的 对边是小 c， 可以 吗？就 a 等于 b， c， b 等于 a， c， c 等于 ab。 啊，为什么？你看嘛，这是 ab 吗？对不对？ c， 这 a， a 是 bc 吗？对不对？ ac 可以 用 b 表示吗？可以吗？用小字母表示，能够更方便一点。好吧，好，指三角形两个公式。 第一个，正弦定理，正弦定理好，正弦定理是这样子的， a 比散 a 等于 b 比散 b， b 比散 b 等于 c 比散 c。 好 的，然后等于二 r， 这个 r 是 什么东西呢？ 而是他的外接圆的半径， ok 吗？外接圆的半径。嗯，记住他就行。外接圆的半径一般如果他是告诉你外接圆半径，你就记得给他写出来， ok 吧？好，这个 r 外接圆半径， 外接圆一半会告诉你，不告诉你，一般就不用管，一般球其实不用这个东西。好吧，我们只只要记住 a 比三 a 等于 b 比三 b 就 行，可以吧？好，这是正弦的例， 对边比赛值等于对边比赛值等于对边比赛值，可以吗？嗯，好，接着余弦定你，余弦定你。好， 余弦定你。我们是记它的推论它的课本上是 a 方等于多少多少，但是我们写的时候我们记正记记，口三口三 a 等于减 a 方，你看口三 a 就是 减 a 方， b 方加 c 方，减 a 方除以二 b c， 你 看怎么记？ 口三以谁就减谁的平方，口三以谁就减对边的平方， ok 吗？然后邻边平方和除以两倍的邻边相乘。嗯，口三 a 是 这样子，口三以 b， 口三以 b 呢？口三以 b 也是减对边就是减 b 方， 减 b 方， a 方加 c 方除以二 a c， ok 吗？这，这公式是同一个哈，就是都都是余弦的六，可以吧？口算 a 就 减 a 方，口算 b 就 减 b 方嘛，口算 c 呢，就减 c 方嘛，可以吗？口算 c 就 等于减 c 方， a 方加 b 方除以二 a b。 大家记这个公式就行，可以吧？不要记书上那个，书上那个不好记啊，这个是不是好记多了，对不对？一样的，用哈，考试直接用哈，这是叫做余弦定律的推论。没关系，你这就是余弦定律就行了，知道就行，可以吧？ 好，那除了之前定义与现定义的话，我们还学了一个就是就是三角形的面积公式， a b c 的 面积我们规定哈，是二分之一 a b 散 c， 哎，你看或者是二分之一 a c 散 b。 好， 或者是二分之一 b c 散 a。 哦，我们来瞅一眼，就是已知两个边和另外一个角， 这两个边和另外一个角， ok 吗？ a b， 我 就要知道角 c a c， 我 就要知道角 b b c， 我 就要知道角 c， 可以 吗？这个和这个是不是有点像了？这反正你找规律吧。可以吧，我只要记一个就另外两个就知道了，这边也是一样的，你只要记一个就行，可以吗？ 好，所以正弦定律，余弦定律以及面积公式大家一定要记住了，可以吧？好， 那这边学完的话，我们再来两个，我们以常见的哈，之前学过的就是 r 加贝塔，如果等于 pi 的 话， sine 而法等于 sine。 贝塔。我们之前在哪哪里学过呀？就是上一节课的三角函数里面学过，对不对？两个角加起来等于 pi， sine 等于 sine。 怎么来的？就是之前有推过，就是 r 法会等于 pi 减贝塔 sine 而法等于 sine， pi 减贝塔， 然后等这边即便偶不变偶不变塞引贝塔，然后派减一点点，第几项线派减一点点，第二项线是正的，所以是正的塞引而法等于塞引贝塔。推，我就不推了哈，如果大家就是大家感兴趣的话，可以再去上几个看一下。一定要会这个啊， 因为你要学解三奥习的话，这个还蛮重要的。嗯，好，口塞引而法等于负口塞引贝塔。 好，然后还有一个就是 r 加贝特等于二分之 pi， 三而法等于口三贝特。哎，这两个公式蛮重要的，解三角形一定会用前面这个公式。 好，我们来看一下。哎，怎么用上呢？哎，我们发现 a a 加 b 加 c 会等于 pi， ok 吗？ a 加 c 加 c， a 加 b 加 c 会等于 pi 啊，你把这两个当同同一个角，你看你把它当 a， 把它当贝特，可以吗？是不是同样的 sin a 会等于什么？ sin b 加 c 可以 吗？嗯，也是，推的过程也是一样的，你可以我给大家浅浅的推一下哈，就是用用的什么 a 会等于 pi 减去 b 加 c。 刚跟刚才推的过程一样的， sin a 等于 sine pi 减去 b 加 c， 好 哦，不变。三 b 加 c， 然后 pi 减一点点，第二下线是正的，是不是三 a 等于三，三 b 加 c， ok， 那 我擦掉了， 这蛮重要啊，蛮重要的。三 a 等于三 b 加 c， 同样的，你把 b， 你 把 a 和 c 当一个整体，可以吗？是不是三 b 又等于三 a 加 c 啊，可以吗？ a 加 c， 同样的三 c 是 不是会等于三 a 加 b 啊，可以吧。好的，这三个小推论一定要记到哈。 其实记一个就行了，三 a 就是 就是，等于三 b 加 c， 三 b 等于三 a 加 c， 三 c 等于三 a 加 b， 然后如果知道 b 和 c 的 话，那三 a 就 等求就这边就是和差角公式展开塞口口塞，哎，大家有记住没有？ 嗯，好，等会儿我们来练习啊。好，同样的哎，阿尔法加比特如果等于 pi 的 话，那口三呢？口三 a 就 会等于负口。三 b 加 c 可以 吗？ b 加 c， 就 这个呀，这个公式啊， 就把 a 当一个整体， b 加 c 当一个整体啊，就长这样子，可以吧。推我就不推了，这个用的比较少，用的最多的是这个。好的公式。我们复习完了，还挺简单的吧。比讲比以前任何一个呃，章节都简单一点，因为他就一二三，然后一个小推论。好的，那我们来做题了， 那我们一般什么时候用正弦定你，什么时候用弦定你呢？其实给的很明确，一般给了两个角，一个边，那我们就用正弦 ok 吗？ 正弦两角，一边角一边。那鱼弦的话一般是两边一角可以吗？二边一角，你看鱼弦跟边有关，正弦跟角有关，你这样记就好了，可以吧。嗯 那我们怎么做来来来来来来来记你不用特别记其实正弦定律余弦定律每个式子里正弦定律余弦定律都会都能用就是你想用正弦可以用想用余弦也可以用只不过是看哪个简单的问题。那我们来先熟悉一下公式吧 就 a 告诉你的 b 告诉你了 a 告诉你了 c 能不能求呀 哎我发现哎。一百八十度减六十度减四十五度这边加起来是不是一百零五度。一百八十减去一百零五是不是七十五啊但是算以七十五或者口算以七十五是是能是我们有的那种吗 就是我们背的那些公式吗。就不是啊不是一二三三二一里面的对不对。所以这个七十五还要给他化简成四十五加 三十。那所以啊记住哈如果要求塞隐 c 哈你直接写塞隐 b 加呃塞隐 a 加 b 就 行可以吗不用凑来凑去还要做减法这边塞口口塞一下结束了塞 a 口 b 加上口 a 塞 and b 就结束了不用费尽心思把这个 c 算出来然后又给它变变成三十加四十五然后再算口口算没有用我要求算 c 的 话直接算 a 加 b 直接用公式 ok 吗。一定要这样子不要自己凑。我上次看到有的同学说哦老师用一百八十度减它 你能得到我能不知道能得到他吗。难呀你算半天别人已经赛口口赛都求出来了知道不。不要求角度哈一般给了你两个另外一个肯定是角度是不一样的知道吧就是不是特殊值。嗯 好的那我们来看一下三 a c 能不能求呀。为什么要求 c 呀？给了 a 和 a 呀， a 比三 a 等于 c 比三 c 呀，可以吗？啊？ c 比三 c， c 比三 c 好，然后就能求被。你看 c 就 等于就是把这个散 c 给它移向过去，移向过去就乘嘛， a 散 c 除以。 哎呀，我这写的什么东西啊？ a 比散 a， 我 怎么写散 c 啊？不好意思， a 比散 a， 然后把这个散 c 乘过来，好，等于 c 可以 吗？好，代公式就好了。我把这个 c 放左边去，可以吧。好， a 是 知道的，根号六 三 a 是 知道，一二三二分之根号三，知道吧。三 a 啊，一二三三二一，有印象不？六分之派，四分之派和三分之派，这个不知道的话就完蛋了呦，这个不知道就完蛋了呦，一二三三二，一定要会啊。好吧， 也教大家怎么记了啊。好，然后主要的问题就是这个三 c 啊，告诉你两个角，另外一个角的三或者口三是一定能求啊。好吧，好，我们来看三 a c， a 的 话一二三二分之根号三，口 b， 口 b 的 话二分之根号二加口 a， 口 a 的 话一二三三二一二分之一，你看多快。一二三三二一嘛，可以吧，一定要背熟练啊。好， c a b 的 话就是四十五。 呃，四十五的话二分之根号二， ok， 然后它们乘起来就行了呀。嗯， 这边四分之根号二乘根号三等于根号六，加上四分之，这边四分之根号二， 然后分母一样分子相加减，就是四分之根号六加根号二， ok 吗？好，所以这边乘三 c 三 c 就是 这玩意。四分之根号六加根号二， ok 吗？好，一定要注意，这边分子能和分子约，分母能和分母约好，这边是相对于根号六 乘法吗？这边根号六乘以它可以吗？嗯，然后分子和分子先约，分母和分母先约呗，就是 a 分 之 b 除以 c 分 之 d。 分 子能和分子约分母能和分母约，一定要注意哈，或者除以一个数等于乘以它的倒数，但是最好还是干嘛？最好还是分子跟分子约掉，分母跟分母约完之后，再除以一个数乘以它的倒数，这样会好很多。好吧，这样能简化匀算好， 如果大家这里等会没学会的话，一定要请你认识的朋友或者老师会的同学带你过一遍，这个计算真的很重要，因为你你除以一个数等于乘它的倒数的话，有很多时候很难算好。我们来看啊，四和二能约掉二，二就越没了，四就约成二分之，可以吗？ 好了，然后呢？接着根号三，根号六，是不是约掉了？根号六，根号三，根号六可以写成根号三乘根号二吗？对不对？根号三，根号三约掉，这分子分子呢？是不是约掉约掉变成根号二了对不对？根号二好，所以就长这样子。 好的，然后根号二再乘进去可以吗？二分之，根号二六十二，加上根号二乘根号二等于二十二，这边又可以写成三乘四，四又可以提出来变成二，然后拆分子就好了。 根号三就二分之二，根号三嘛就是根号三嘛，二分之二嘛就是一嘛，加一。好，所以答案就是根号三加一，大家一定要自己算一下。好吧，好，往下余弦定零。我们来看一下 a、 b、 c 的 对边分别为 a、 b、 c， 然后 a 等于刚好六， b 等于二 c， 口三 a 等于负四分之一。求 c 的 值，你看边多一点对不对？边的关系多一点，我们一般就是告诉你一个角两，然后还有边的关系，那我们就干嘛呀？用余弦 一个角，剩下是边的关系我们就用余弦，好吧，正弦就是一般会告诉你两个角，你放心。好吧。好，那这边我们就余弦定你的推论就好了。就是就是，我们记的那个吗？就是口三 a 等于多少口三 c 等于多少？就是那些记那些。我教你什么你记什么？你都看我课了， 哼。跟谁跟谁的课你就记谁的公式， ok 吧。嗯，不要不要，要专一点，同学们要专一点。喜欢我就只能喜欢我。给一个哟， 嘿嘿，好像太太太那个了吧。啊，没事，反正啊，没事没事没事，喜欢我就喜欢我的课吧，听我的就行。好吧，来吧来吧，继续继续。不说了不说了， ok。 口三 a 等于 a 方减 a 方， b 方加 c 方 o 除以二 b c， ok 吗？ 好的，我给你讲的，你就听我的就好了，就不用听别的老师讲了，可以吗？嗯， 还是有一点占有欲的啊。好，然后把公式带进去啊，等会他会等于负四分之一，可以吗？但是我先把这个 a abc 先带进去，我先要求 c 的 值，可以吗？要求 c 的 值，那我等会 b， 我 转换成 c 的 式子， 然后那这个式子里面就只有 c 的 式子了，我们来试一下嘛。 b 平方就是 b 平方等于四 c 方， ok 吗？那就四 c 方加 c 方减去 a 方， a 方就是六。好，除以二 b 二乘 b b 的 话是二 c 二 c， 然后再乘一个 c ok 吗？好，它会等于负四分之一，口三 a 等于负四分之一吗？好吧， 好，这样子之后你看啊，这边稍微化解一下，四 c 方，嗯，这边四 c 方加 c 方等于五 c 方。 ok， 好， 注意哈，分子能和分子约，分母能和分母约，一定要注意哦，可以吗？或者你交叉相乘一下也行嘛？交叉相乘一下啊， 四乘过去四五 c 方减六，等于。这边负负一乘四 c 方， ok 吗？ 你别分子分子约分母分母约，你这样子吧，你先交叉相乘一下吧，本来这个四和这个四能约的。嗯，分子能和分子约，分母和分母约 c 方，但是没关系嘛，你先交叉相乘也一样的嘛，这个四和这个四能约，约完答得到答案一样的嘛， 你看你提前约掉，提前约掉你就只需要把它超过来嘛，是不是一模一样对不对？好的， 我要求的是 c、 c 的 值。哦，那正好就求到了耶。把 c 方移到左边去，六 c 方，哎呦， 六 c 方等于把六移到右边， c 方就等于一， c 就 等于一，可以吗？你别说为什么没加正负，因为边长肯定是正的。 a、 b、 c 都是正的，可以吗？ a、 b、 c 都是正的，边长吗？边长不能是负的。好的，来，继续往下看， 便是二，在三角形 a、 b、 c 中， a 等于四分之派，口三以 b 等于五，五分之三，然后 a 等于二。好，这边教大家一下哈，就是因为 a、 b、 c 都在零到派里面，所以三影一定是正的，可以吗？三影一定要大于零，因为因为 a、 b、 c 都干嘛呀？ a、 b、 c 都是正的，可以吗？零到零到零到派嘛，都是零到派之间的嘛。那三影都是大于零的，可以吗？这个要注意，口三就不一定了，顿角的话口三就是负的好吧，好， 他说求面积，求面积，我们要知道两个边一个角，那我们来看一下他给什么条件吧。给了 a b 和边 a， 好 注意啊，给了口算 b， 其实就给，相当于给了三 a b， 为什么呀？因为通过口算 b 就 能求三 a、 b 吗？画三角形有印象吧， 然后等会再教一个大家一个快捷方法啊。口算 b， 假设这个是 b， 就是 画三角形的时候只是求这个角 b， 不是 说这个三角形 a， b， c， d， 你 赶紧往上标每一个让你求标那些东西啊。口算 b 单纯就是这个 b 的 大小，我只需要求 b ok 吗？ 不是，是你把 a、 b、 c、 d 标上去，没说它是直角三角形，我单纯的就是，我就想求 b 的 大小，不是 a b、 c 里面的 b 听得懂吗？反正口算 b 等于三比五可以吗？零边比斜边吗？那对边就是四，可以吧？ 那三 b 呢？是不是对边比斜边？是不是四比五可以吧，而且一定是正的，可以吗？好，下次看到三和五啊，另外一个是肯定是四，三肯定是四，可以吗？五分之四。嗯， 好的，这就是三角形法则吧，记得吧，画三角形嘛。嗯，好的。然后呢， a 告诉你了， a 也告诉你了，就是边 a 告诉你了，角 a 告诉你了，那是不是边 b 能求呀？ b 比三 b 等于什么？ a 比三 a 可以 吗？大家写的时候仔细一点，然后三 b 移到右边来，是不是变成乘法？除法，变乘法买一箱对不对？三 b。 好 的， 在公式被 a 是 二三， b 呢？五分之四除以三， a 呢？一二二分之根号二 ok 吗？大家一二三三二一一定要熟练哈一二三三二一一定要熟练哈，不熟悉的到三角函数那边再学一下啊。好吧好，这边 那就是上面就是五分之八。好，分子分子约分母分母约约不掉就不用约了约不掉就乘除以一个数等于乘以它的倒数。五分之八乘以根号二分之二可以吗？ 除以一个数等于乘以它的倒数吗？就能，约的时候提前约，约不了的话你就不用约了可以吗？好，然后这个根号二上下同时乘根号二。好，二二约掉，所以就是五分之八根号二。最后答案 b 是 五分之八根号二要求面积要求面积要求面积。还没着还没还没到最后呢还没到最后。别着急别着急，太着急了 不是最后答案。嗯，面积怎么求呀？哎，你有没有发现 a b 告诉你了，哎，那是不是用这个公式得了呀？二分之 a b 在 c 啊，冥冥中命中注定啊。就是要求这个东西啊，可以吗？ 那三 c 怎么求呀？ a b 告诉你了三 c 就 能求，可以吗？所以我们先求三 c 了。三 c 等于什么？不要用什么 a 减 a 减 b 啊，直接三 c 等于三 a 加 b 可以 吗？公式公式公式公式公式公式公式了可以吗？公式 一定要注意哈。然后塞口口塞，哎呀，移到下面来吧，不够写了都 塞 a， 口 b 加上口 a 塞 b 好， 塞 a 是 多少呀？哎呃，一二二分之根号二口 b 呢？五分之三 加上口 a 呢？口 a 也是二分之根号二散 b 呢？五分之四卖掉，卖掉计算一定要卖掉二五一十十分之三根号二加上十分之四根号二，那是不是十分之 二根？三根号二，四根号二，七根号二， ok 吧？好，所以我们就可以可以带数字了。二分之一 a， a 是 几啊？二， b 是 几啊？五分之八根号二，然后三 c 是 几啊？十分之七根号二， ok 吧？然后来约约约约约， 二分之一二约掉，好，注意哈，二根号二根号二是二， ok 吧？变成二了，二和十又约掉， ok 吗？十变成五了，所以最后就是下面是五五二十五，上面七八五十六。好， 大家一定要回去再计算一下可以吗？好，这个就是最终答案了。好的，这个我也是放在这边，然后大家可以在就是这个，这个笔记可以在顶至评论区或者在群聊里找到啊。好吧， 我会把给他放进去。好，我们继续往下。好，哎，口在三角形 a b， c 中，口三 c 等于五三分之二，哎。 a c， b c， a c， b， c 是 啥东西啊？哎，这就是我开头说的， a c 就是 b， b c 就是 a， a b 就是 c， ok 吗？如果是大题里面出现了 a、 b， a、 c 什么的，你就用直接用，如果是小题里面出现了，你就把它改成我们想要的小 b。 小 c， 可以 吗？这边是就是 a， c 就是 小 b， 就是 没他没有的那个字母的小写，可以吗？这边就是小 a 啊， 就这样子就好了。如果是大题里面，你就是他用什么你就用什么，可以吗？好，然后他说啥呀？他说口算 c。 呃，口算 c 告诉你了， b 告诉你了， a 告诉你了，问，口算 b， 口算 b， 哎，口算 b 怎么求？减 b 方， a 方加 c 方除以二 a c 可以 吗？那差谁呀？差 c， 不知道 c 能不能求呀？哎，能求呀，因为口算 c 这边就只有一个未知数嘛。 cosine c， 因为 b 和 a 都知道了。那通过这个式子能把就是未知数 c 求出来好， cosine c 等于减 c 方， a 方加 b 方除以 二 ab 代公式进去，三三得九，加上四四十六，减去 c 方除以二倍的四乘三等于三分之二，这样子。 好，然后我们来观察一下。就是就是分子能和分子约，分母能和分母约，大家听得懂没有？好，上面的话是九加十六，二十五减四，一方除以这边，下面是啊，八乘三等于三分之二就是三三约掉，可以吗？ 就两边都有三分之一，三分之一就可以约掉的，理解吧。八再乘到右边来，二八十六好了。二十五减十六等于 c 方，二十五减十六就是九呗，可以吗？所以 c 就 等于三了，可以吧，还挺好算的吧，一定要自己算一遍哦，可以吗？ 好，那口算 c 呃，口算 b 就是 减 b 方， a 方加 c 方除以二 a c。 我 带大家算一下啊。减 b 方就是四四十六， a 方就是九加九除以二倍的 a 三 c 三。好的，二二三三二二约掉三三得九，九分之一，简单结束计算很重要，很重要。难是不难，他一共就两个公式。 好，接下来我们来看一下全国二卷这个高考题吧，他也是，主要还是公式了 好。 bc 就是 小 a 等于二， ac 就是 小 b 等于一加根号三， ab 就是 小 c 等于根号六。问，哎，这么简单，就问 a 吗？那口算 a 呗，余弦定你呗边都告诉你了。减 a 方， b 方加 c 方除以二 bc， ok 吗？ 好，减 a 方就是四，二二得四啊，然后 b 方就是一加根号三，这个要慢一点，然后加上 c 方就是六。好，除以二倍的 b， b 就是 一加根号三， c c 就是 根号六，这边一定要慢一点。 好，首先六减四等于二，你直接写，然后前平方加后平方，根号三的平方就是三加两边的减乘二根号三，所以就是一加三就是四，四加二等于六，六加二根号三， ok 吗？除以下面的 二乘以，别着急，一加根号三，这边先别着急啊，乘根号六， ok， 好， 上面六和二能不能提出个二啊？可以吧，六提出一个二变成啥？六提出个二变成三，然后二根号三，提出二变成根号三。 好，上下都有一个乘二，所以二二约调可以吗？好，上面是三加根号三，下面呢？一加根号三，这有点东西没。 哎，根号六是不是可以写成根号二乘根号三，就以前不会算，没有关系吗？现在我在教你们可以吗？不要害怕吗？好吧，以前不会，没有关系，我现在不是正在教你吗？对不对？好，我们把这个根号你看哈，就是三加根号三，一加根号三，有点东西，我把这个根号三乘进去， 它就会变成根号三，加上根号三就是三。哎，三根号三加三加根号三，这不一样的吗？上下都有，是不是约掉了？ 是不是这一坨就是这个嘛，所以就是。呃，我写好一点根号三加三可以写成三加根号三，可以吗？乘以根号二，上面就是三加根号三，是不是这两个就是约掉了，所以留下根号二分之一就是二分之根号二，上下同时乘根号二。哎， 这个知道吧，这个已经熟悉的不得了了，在复数那边学的对不对？复数那边就上告诉你了，分母不能是什么带根号的或者带挨的对不对？要上下同时乘好的 二分之根号二什么时候是二分之根号二啊？口塞音什么时候呀？一二三三二一，是不是口塞音呢？这边四分之派四十五度，哎，好的，四十五度，哎，大家有没有理解到这边？ 好，然后的话另外的我就是解三角形，其实他除了这些还有一些额外的东西，那额外的东西大家到哪里学呢？呃，看完这个直接去十五课番外系列里面学可以吗？十五课番外 番外系列，番外系列就在主页，大家好像不知道这个系列似的， 十五课番外系列就是就是你学完这边你可以去学那边如果就是大家对公式还不熟悉的话，就先在这边学一学，然后最后十五课学完了再去十五课番外，那如果觉得这边听得懂的话，那现在学完这边再直接去十五课番外接着学就好了，可以吗？那边是就是解决的大题第二问， 然后大题第一问那边也有一定要去看十五科翻外，因为这边解三角形的内容就是前面就是两个公式，带你做一下，然后翻外那边就是带大家去开始做大题了，一定要学，一定要学，这个是真的一定要学。好吧，好了， 那么这期视频就到这，如果大家觉得不错的话可以给我点上关注，那么感谢大家的收听，拜拜。
5373番茄学数
01:36查看AI文稿AI文稿二十五年前，你可能不知道，已知顶点坐标求三角形面积，横坐标横着写两遍，纵坐标横着写两遍，把它看成一条虾，去掉虾头虾尾，交叉相乘再相减，得到负七五，负一相加取绝对值，再除以二，答案就出来了。 这就是携带公式求任意多边形面积的万能招式。你看，求面积不一定非要用底层高再除以二坐标系，方法更快， 可课本只教公式，从不告诉孩子。遇到这种题还有更聪明的解法，结果孩子只会套一种模式，题目一变形就卡住。这就是为什么几何高手做题特别快，他们脑子里装着的不是一个个孤立的公式，而是一整套模型思维库。 遇到图形，一眼就能认出这是等高模型，那是蝴蝶模型，答案自然手到擒来。看到这本书，我真的狂喜，它就是一套模型思维库的实战手册。 作者饶宗正对小升初及奥数几何考题进行了深入研究，把零散的知识规范成多个经典模型，包括等高模型、一半模型、蝴蝶模型、燕尾模型等。更难能可贵的是，每个模型不仅讲结论，还讲清楚背后的推导过程。 比如等高模型利用平行线之间距离相等等积变形。比如蝴蝶模型在梯形中利用面积比例关系， 孩子不但会做题，更能想通原理，立体解析时直接在原图上标注辅助线和等量关系。孩子跟着图走一遍，比自己闷头想十遍都管用。适合六年级备战小升初，也适合五年级提前接触奥数思维聪明的家长已经给孩子备上了。
49薛定谔的猫
00:17查看AI文稿AI文稿求三角形面积斜修一四写一遍，三一写一遍，交叉相乘再相减等于负十一，取绝对值除以二，等于二分之十一。
162高中数学张姐
08:24查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们天赋不够，努力来凑，今天我们要进入到正弦函数的一个应用啊，就是求三角形的面积。那如果这个视频对大家有一些奇葩的话，请留下个免费的关注，谢谢。 那我们先来一起来看一下，我们之前在一个三角形当中，他要求面积，我们一定要找到他的高，对吗？ 我们做一下它的高为 d， 所以 我们的 s 三角形 a， b、 c 是 不就等于 b， c 乘以 a， d 乘以二分之一了？ 因为 c、 b 等于 a， d 除以 a、 b， 所以 a、 d 就 等于 a， b 乘以 c 等于 a， d 除以 a、 c， 所以 a、 d 也等于塞进 c 乘以 a、 c， 所以 这个时候我们的三角形 a、 b、 c， 它就等于 b， c， b、 c 等于 a， a、 b 等于 c， a、 c 等于 b， 那 这时候我们三角形 a、 b、 c 是 不等于 b， c 乘以 a， d， a、 d 等于 a， b 乘以塞进 b， 然后再乘以二分之一， 那 bc 又等于 a， ab 又等于 c， 所以 它应该等于二分之一。被的 a、 c 乘以三 b， 那 它还等于什么呢？还等于 bc 乘以 ad， ad 还等于三， c 乘以 ac 乘以二分之一，所以它又等于二分之一， ab 乘以三 c， 同理，它依然等于二分之一， b， c 乘以 sin a， 所以 这个时候我们就会得到一个非常重要的面积公式了。 好，学完这个之后呢，我们一起再把正弦定律回顾一下， a 除以 sign， a 等于 b 除以 sign， b 等于 c 除以 sign， c 等于 r， r 了啊，好，那我们具体来看一下它题目应该怎么做吧。第一道题目， 这道题目他说求它的面积。哎，我们刚刚上节课讲了正弦或余弦的的解三角形的问题，那对于解三角形当中，我们说，哎，知道两边一角或者是三边，我们常常去用余弦定力去做，对吧？ 知道两角一边，然后正常的我们应该去用正弦，总之角越多，用正弦，边越多，我们用余弦，对吧？好，那这一道题目来， 人家是角比边多，所以我们用正弦好。因为 a， 它是等于三十度， c 等于四十五度， a 又等于二，所以 b 等于一百八十度，减 a 减 c， 对 不对？所以就等于一百零五度了。 所以 a 比上 sine a 等于 c 比上 sine c， 所以 a 等于二比上 sine 三十度等于 c 比上 sine 四十五度， 所以二比上 sine 三十度等于二分之一，等于 c 除以二分之根二，所以 c 等于二分之根二乘以二， 再乘以二，所以它就等于两倍的根号，所以 s。 三角形 a， b， c， 它是等于二分之一。 a， c 乘以三， b， 所以等于二分之一，乘以两倍根号乘以二，再乘以三，一百零五度。那三，一百零五度还记得怎么算吗？写在这儿。三，一百零五度等于三六十度，加四十五度等于三六十。 cos 四十五， 加上 sine 四十五。 cosine 六十度，所以等于二分之根三乘以二分之根二加上二分之根二乘以二分之一，所以它等于四分之根六加根二， 所以等于二分之一乘以两倍根二乘以二乘以四分之根六加根二。这个约掉了，所以它等于四约掉，等于根三加一，对不对？好，我们看一下第二道题目， 第二道题目他说，哎，他告诉你两边和一个角，我们正常去用余弦，对吧？所以 cosine b 是 等于 a 方加 c 方减 b 方除以二， a， c， 那 等于扩散六十度，扩散六十度等于二分之一的，所以它等于 二乘以八乘以 c， a 方八八六十四加 c 方减七七四十九， 所以 c 方加十五等于八， c， 所以 c 方减八， c 加十五等于零，所以 c 减三。括号 c 减五等于零， 所以 c 一 等于三， c 二等于五。那这个时候我们有两个解，所以，第一，当 c 等于三十 s， 三角形 a， b， c 等于二分之一， a， c 乘以三， b 等于，那它就等于二分之一。乘以八乘以三乘以三六十度等于二分之根三四二六除以它等于六倍的根三。第二种，当 c 等于五十 s， 三角形 a， b， c 等于二分之一，所以就等于二分之一乘以八 乘以五，乘以二分之根三，所以就等于十倍的根三。好，那我们再看一下最后一道题目，这道题目他有一点点变形，变现点在哪里呢？他告诉我们两条边，然后告诉角的关系。本质上还是用余弦定力吧，对不对？那我们怎么去找角的关系呢？ 现在是因为塞以 a， 它是等于两倍的塞以 b， 扩散以 c 的， 那我要找角的关系，那 a 与 b 和 c 有 什么关系？所以塞以 pi 减去 b 加 c， 它是等于两倍的塞以 b 扩散以 c 的 吧， 所以我们有动诱导公式可以知，它是等于塞以 b 加 c 的， 所以它依然等于两倍的塞以 b 扩散以 c， 所以 sin b cosine c 加上 sine c cosine b， 它是等于两倍的 sine b cosine c。 好， sine b cosine c 约掉一个，所以 sine c cosine b 减去 sine b cosine c， 它是等于零的， 所以三 c 减 b， 它是等于零的，那这个时候我们可以得到，所以 c 等于对等边，所以 b 等于 c 等于三，所以 随便取一个，所以我们这个时候取哪一个？ cosine c， 那 cosine c 等于 a 方加， b 方减 c 方除以二 a b， 所以 a 等于四， 加九减九除以二，乘以二，乘以三，所以它等于三分之一， 所以塞 c 等于根号。下一一减扩塞 c 的 平方等于九分之一，也是三分之两边的根号， 那这个数 s 三角形 abc， 它就是等于二分之一。 ab 乘以三， c 等于二分之一乘以二乘以三，乘以三分之两倍的根号， 所以它最终的结果为两倍的根号。好，那这节课就到这里，如果大家有什么疑问，欢迎在后台留言。好，那再见！
77派大星星星💫
03:10查看AI文稿AI文稿南通三模解三角形，三角形 abc 的 三个内角对应的三个边， abc 边满足这样的一个表达式。第一个问题证明 abc 乘等差数列，看到等差数列的话，我们立马要想到的就是去证二 b 等于 a 加 c 即可，正弦定律就是边角互化，所以这个式子就变成了二倍的三 a 等于三 a， 加上三 a c， 证明他成立就可以。好，再看题目条件， 题目做多的同学呢，应该能感受到这里面有一个信息，就是这个三 a b 扩散 c 和三 a c 扩散 b。 对 于这两个式子，它是可以进行一个两角合叉的一个转化， 转完好重点看一下第二个，第二个 b 角等于六十度，延长 bc 至减 d 啊。 题目中给的信息是 bc 等于二倍的 cd， 那 么这里面竟然是有两倍的关系，所以我们把边进行一个标注来，第一个是 ab 边就是 c 边， bc 就是 a 边，那这里就是 b 边，那么既然 bc 等于二倍的 cd， 所以 这个 cd 就 可以写成二分之一 a， 那这里问题问的是 a d 比上 a b， 那 a d 不知道怎么办？我们可以用小 d 来表示。好，这里面有一个特殊的角度是六十度。好，所以这个时候我们用余弦定里先去表示 d 边， 找到了 d 边和 a c 边之间的一个关系。那题目中还有一个信息，三角形 a b c 中也有一个余弦定，也就是说这里的 b 方是等于。 题目中的第一问其实已经给了我们一种思路，就是二 b 等于 a 加 c， 所以 这个式子就会进一步的 让它等于二分之 a 加 c 括号的平方好，所以通过这个式子就能推出，最后整理成 a 方加 c 方减二 a c， 哎，等于零，所以我们就能得到 a 是 等于什么？等于 c 的， 所以我们往里带就会得到一个 a， c 方 加上四分之九 c 方，再减去 二分之三倍的 c 方。那为什么要去保留 c 而去掉 a 呢？是因为题目中说了吗？要求的是 a d， a， d 就是 小 d 吗？ ab， ab 就是 小 c 吗？好，所以我们这里就能得到这个式子，就变成了，呃，计算一下是四分之 七倍的 c 方。好，那题目中问的就是 a， d 比 ab， 两边同时除以 c 方就能得到地方，哎，比上 c 方就等于 四分之七，所以 d 比上 c 就 等于二分之根号 d。 在 两个三角形中都用余弦定力，因为这里有一个共同的角是六十度，对不对？所以我们用上两个余弦定力，分别找上 a、 d， a、 b 的 关系，从而去找出比值。
47伍不会数学吖
