ex构造函数
这个视频呢，我们来详细的讲解一下。构造函数的第三种，就是利用 f x 与 e 的 x 次方去构造函数，解决一些不等式的问题。那么接下来呢，我们来详细的看例题。 已知 f x 为尔上的一个可导函数，其导函数为 f 一 撇 x， 且对于任意的 x 属于尔，有一个式子是满足的，就是 f x 加上 f 一 撇 x 是 大于零的，则下面的 abcd 选项哪一个是正确的？ 那现在我们就要从题目中给的这个式子去入手了， fx 加上一个 f 一 撇 x 是 大于零的，哎，那你想一下， 这里的话，前面是 f x 是 没有求导的，后面 f 一 撇 x 它是求导的结果，对不对？所以按照我们正常的一个思路应该是什么？就是说两个式子的乘积，然后最后我们求导一个求导一个不求导，然后最后求一个和 说明的话，你这里的话肯定是有一个式子是求导之后的结果，但是它是一，或者说你是一个共同的值，也是 ok 的。 那这边的话肯定是缺了一个 不用求到这个式子，但是你这两个的话肯定是保持一致的，这样的话你就相当于并且它的式子要不就是全部大于零，要不全部小于零，导致你最后的结果是保持一致的，对吗？所以现在只有一个什么样的方式呢？就是如果说我把这边的换一下， 换成 e 的 x 次方，乘上 f x， 再加上 e 的 x 次方，乘上 f 一 撇 x 大 于零是没问题的，对吗？为什么？因为 e 的 x 次方它求完倒之后还是它本身，并且 e 的 x 次方又是大于零的，所以你的整个式子的大小是不影响的，对吗？ 符号也不会发生影响，所以我们现在就可以构造出函数什么呢？令 h x， 它是等于 e 的 x 次方乘上 f x， 对 吗？所以呢，我们求完导之后的结果，就等于 e 的 x 次方 f x 再加上一个 e 的 x 次方 f 一 撇 x， 所以呢，我现在提取出来一个 e 的 x 次方，那括号里面呢，就变成了 f x 加上 f 一 撇 x， 那 么我们知道 f x 加 f 一 撇 x 是 大于零的， e 的 x 次方也是大于零的，所以这个导函数 h x 也是大于零的，就说明什么？说明你的 h x 这个函数，它在耳上肯定是单调递增的，对吗？ 所以那接下来我们去判断这个 a、 b、 c、 d 的 选项，其实就看什么了，因为 h x 在 耳上是单调递增的，说明什么？说明 h 负二零二四 肯定是小于 h 零的，对吗？那么我们得到的结果把它带进去，就是 e 的 负二零二四次方乘上 f 负的二零二四，它是小于 e 的 零次方，再乘上一个 f 零， e 的 零次方就是 e， 所以 的话就是 f 零了，对不对？那我们来看一下，哪个是符合的呀？ a 和 b 是 符合的， c 和 d 就 不选，那我们同样的再来看一下， 另外的就是 h 零，它也是小于我们的 h 二零二四，对吧？那就是 h 二零二四呢，要大于我们的 h 零。那所以呢，我们带进去之后，那也就是 e 的 二零 二零二四次方程乘上一个 f 二零二四，它就大于 f 零了，对吗？好。所以最后答案选呢，就只有 a 了呀， a 是 正确的， 所以这里的特点其实也比较明显，对吗？好，总结一下，就是利用 f x 与 e 的 x 次方构造的一个常见的形式。一个就是对于 f 一 撇 x 加 f x 是 大于零的，那我们就可以构造出 e 的 x 次方，乘上 f x 再进行求导，因为你要知道 e 的 x 次方它求完导之后还是它本身，这是我们选择的一个关键，明白了吧？ 好，那如果说 f 一 撇 x 大 于 f x， 那 么你就可以构造出什么呢？ f x 比上一个 e 的 x 次方，这种的话也是常见的一种构造形式，明白了吧？ 好，那如果刚才这些都理解的话呢？我们后面自己再做个练习去巩固一下，看他是不是真的会了。
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02:35查看AI文稿AI文稿导数构造题，别再认错了！遇到这种含有 f 元素加 f 元素一平大于零这种题也没问题时， 我们首先要补充知识基础。第一类，出现 f 元素一撇加 n 倍的 f x， 这种形式，要构造类别就是 f 元素等于 e 的 n x 方乘 f x。 如果出现 f x 一 撇减 n 倍的 f x 形式，要构造的类别就是大的 f x 等于 e 的 n x 方。分解 f x， 所以 显然 是我们的第一类，所以 f x 等于 f x 乘 e 的 x 方，这就是我们构造的式子，进而对这个构造式进行求导，求导之后，得到的是 e 的 x 方程。 f x 加 f x 一 撇，由于题干条件当中这个部分是大于零 e 的 x 方，图像横在一种上方，所以这个整体横大于零， 所以 f x 就是 一个增函数。第一步题目当中 f 三等于三，所以把三带到大 f x 当中去，得到是三乘以 e 的 三次方。根据 胜诉以以求得的姿势，我们可以找到 r f x 这一图，如出手势，它是一个单调递增的，而且 r 是 三，对应的值已知。所以呢，我们可以 根据最终要求的这个问题， f 二是大于三乘以 e 的 三减 x 方，那么这个式子可以化简。由于 e 的 三减 x 方是等于 e 的 三次方，比上 e 的 x 方，进一步化简，可得 把 e 的 x 方乘过来， e 的 x 方乘 f x 大 于三乘以 e 的 三次方。显而易见的时候， f x 这个部分的 f x 和它实际上是一致的。 后面这个其实就是大的 f 三及大的 f x 大 于 f 三。所以根据矢图，由于 f x 要大于 f 三，就是 在 f 三上方的部分，那么对应自变量 x 就 要大于三，所以本题的解集可以知道，在三的右边积于三到整数里。
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03:45查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看这样一个题目，若关于 x 的 方程， b 的 x 方等于 a， b 的 烙印 s 减一加上 a b 的 烙印 a 减 a， 在 一到重分大有解个 a b 个次范里， 那对于这种有解问题，我们肯定是要分的更差的，但是我们发现直接分的变量反而解决不了，因总的一个处理， 首先呢，我们发现右侧呢，每一项都有 a， 所以 说两边先同时除以 a 得到 e 的 x 方，以上 a 应该是等于 long 台词减 e， 然后呢，加上 long a 减 e， 等我们把这个 long a 改及到左侧去，可以得到 e 的 x 方抵上 a 减去 long a 等于什么？ long x 减一，然后呢？减 e， 然后这 a 呢？我们给它进行处理一下哦。一、可以解动 e 的 s 方，比上 a， 我 们写中 e 的 哎 lo a， 然后呢，减去 lo a， 它等于什么意思呢？等于 lo x 减一减 e， 这样的话左右可解动 e 的 s 减去 lo a， 然后呢，减去了 a 等于什么呢？烙印 s 减 e， 这时候我们发现这是 e 的 s 减烙印 a， 就 说我如果把左侧加上也是 s， 那 就可以变成占一平值啊，对了，对吧？ a 加上 s， 哎，这地方它 s 减了 a， 这上面是 e 的 s， 减了 a， 就是 它可以写成一种 e 的 次方加上 t 的 形式，那我左侧加了一个 s， 那 右侧呢？同样呢，我需要个 s， 它就变账，然后呢，这是面右面我总把它变成 e 的 七次方加七形式呢？我发现这 x 减 e， 给这个解出 e 的 平方派减 e， 然后呢，加上平方减 e， 那 这样画右侧呢，也变成了 e 的 七次方加切形式。因此这时候我们直接设函数 f 记它等于 e 的 七次方加七。 那我们发现呃 f t 呢？它应该是单调去松的，因为一 t 松是单调松的，然后 t 呢？也单调松，因此 f t 也单调松的。因此我们看左侧，它其实就是我们住的 f x 减去了 a， 而右侧呢，它等于 f law 以 x 解密。那么由于 f 七是单调的，因此我们说 x 减去 law， a 应该等于什么 law 以排斥 e。 这时我们就用回形变量被得到一个 law， a 应该等于 x 减去 law 以排斥 e。 那显然我们说要求 a 的 范围，我只要求 s 减去 lo in s 的 反义词 e 总设 d s， 那 等于 s 等于什么？ lo in s m e， 那 显然这个 s m e 也等于， 然后我们总其他范围呢？因此我们求 g s g 等于 g e 减去 s 减一分之一，就等于了 s 减一分组啊， 我们发现，当 g s 撇大于零齿，那这时候我还是等于二。然后呢，这时候我们发现 g s 应该是单调风的，对不对？ 然后呢，当 g x 撇它小于零齿，那这时候呢？我们发现 s 应该是小于二，大于一，这时候我们还有 g s 应该是吗？单调写的， 那这样话也说明 g 二应该最小值，因此我们判念 g s 应该是。那么大于等于 g 二， 而 g 的 段呢？我们在正或式等它，比如说 g 二是呃 g x 是 大于等于 g 二的，比如大家。因此我们说 y a 应该是大于等于二，因此过 a 大 于等于一个二次方，这题应该选择 d。
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04:57查看AI文稿AI文稿好，今天呢，给大家讲一个啊，关于呢这个高级三中一轮复习的构造函数问题。 嗯，已知呢，函数 f x 是 定义在 r 上的一个偶函数，对于任意的 x 一 x 二是在这个零到正无穷这个范围上啊，大于等于零的，并且呢， x 一 不等于 x 二十啊，我们说都有一个这样的函数， 这个关系式横成立的，对吧？并且呢，已知 f 一 的值等于二啊，则这个满足这样的一个关系式的 a 的 取值范围是多少？ 首先呢，类似于这样的问题呢，我们一定是从什么呢？从这个角度啊，从这个角度呢开始出发，为了保证什么呢？为了保证我们这里边的 数呢，是一些正数，所以呢，我们现在可以设什么呢？可以设这个 x 一， 比方说我大于 x 二啊，因为 x 一 和 x 二呢，都是大于等于零的数，对吧？我们设一个 x 一 大于 x 二大于等于零的情况下， 那我们现在两边给它同时乘以这个 x 一 减 x 二的时候，此时我们会得到的是 f x 一 减掉 f x 二啊，我这个一定是小于二倍的 x 一 加 x 二， 乘以的是 x 一 减 x 二，那么同学们可以注意到我们这个地方呢，它应该是一个平方差公式，对吧？我把这个数呢给它整理开了之后呢，应该是二倍的 x 一 的平方，减掉的是二倍的 x 二的平方， 对吧？这就涉及到我们构造函数当中一个叫做什么呢？统一变量的思想啊，统一变量，什么是统一变量呢？就是把所有的 x 一 放到一起，把所有的 x 二呢，我们给它放到一起， 所以呢，我们现在要针对于这个数呢，给它进行一个一项处理，那就是说，我们能得到的就是 f x 一， 我减掉两倍的 x 一 的平方，小于的是 f x 二，减掉两倍的 x 二的平方， 对吧？好，这两侧呢，应该说呢，它具备同样一种形式，那么这两侧具备同样一种形式的情况下，所以呢，我们可以设一个函数是 g x 这个函数，它呢一定等于 f x 减掉两倍的 x 的 平方，那我们这个左侧的话，它一定就是 g x 一 啊，右侧的话一定是一个 g x 二。好，我们同学呢，可以看一下这个位置，说 x 一 大于 x 二， g x 一 又小于 g x 二，此时我们就一定会得到 g x 这函数啊，它一定是在零到正无穷这个范围上啊，这是一个减函数的定义，对吧？这是一个减函数。还有第二个问题， f x 呢，是一个偶函数， 所以这个是一个偶函数的情况下，偶函数加减偶函数，他仍然得到的是一个偶函数，就是说我们这个 g x 也应该是一个偶函数，并且在零到正无穷上单调递减， 对吧？好，那 f 一 的值呢？等于二，我们要得到 f 一 的值，咱们一定要得到这个 g 一， 对吧？ g 一 呢，应该等于 f 一， 哎，我再应该减掉二的。 好，所以 f 一 的值如果等于二，此时 g 的 值呢，应该等于的是零啊，那我们这个大致图像的话，我们就可以画成啊，这是一个 y 轴，这是一个 x 轴。 好，这是 y 轴，这是 x 轴啊，那么 g 一 的值应该等于的是零，并且呢，在零到正无穷上单调递减，那也就是说呢，我们在负无穷到零的时候呢，他一定是一个单调递增的，这个点应该是负一，对吧？这个点对应的函数值的话，也应该得零。 好，最后呢，他让我们求的是 f 浪元 a 小 于等于二倍的浪元 a 的 平方，对吧？那我们现在可以把它构造成一个这样的函数，就是说我这个 f 浪元 a 啊，小于等于二倍的向量 a， 他的一个平方的话，此时的话呢，我们针对于这个 g x 的 话啊，可以构造成一个 g 向量 a， 他 呢一定等于的是 f 向量 a 啊，减掉两倍的向量 a 的 平方 就是一个这样的数，对吗？这个数的话，按照题目当中要求的话，他一定要小于等于零， 他一定要小于等于零。此时大家呢，可以看一下这个图像， g x 这个函数哪块是小于等于零的，那我们能得到应该就是楞印 a， 我 要大于等于一，对吗？或者楞印 a 我要小于等于负一的。好，所以呢，最后啊，我们这个 a 呢，一定是大于等于一，那或者 a 真数一定要大于零，小于等于的是一分之一的，所以呢，最后的答案呢，应该选的是这个 c 选项。
11:11查看AI文稿AI文稿这个专题我们来看一下，构造法比较大小呢，是比较经典的一个体型，作为压轴题，我们经常用构造或者是泰勒展开来对付这种压轴题。今天呢，我们主要来看一下构造法， 构造法的一个核心思想呢，它主要是观察它的一个结构，结构共性，然后呢我们可以把它统一成一个同一个函数。 通过构造函数呢，我们一般情况下需要对它进行求导，然后判断它的一个单调性。当然对于有些题，嗯，相对比较简单，我们可以直接判断它的一个单调性，然后我们带入我们的一个数值，然后进行判断它的一个 大小，这是我们的一个核心思想，它的重点呢主要就是在构造它的一个结构共性。这里边我们后面呢，我们会 通过五个典型立体不同类型的进行展开分析，这样子的话，它就能够掌握我们的一个构造法。 嗯，接下来第二点，我们把常见的八大类型，我们来浏览一下。首先第一种类型是这种是对数比上 x 幺二， x 比 x， 那这种呢，我们举个例子，比方说遇到二分之零二，三分之零三，这个还是很常见的。我们比较它的一个大小呢，我们可以构建一个零 x 比上 x， 构造这么一个函数， 我们对它进行求导，判断它的一个单角性，我们就可以知道零到 e 之间，然后 e 到正无穷，它们的一个单角性分别是递增和递减。嗯， 等会后面有一个题，我们就可以看一下这种类型。第二个类型呢，是把它导了一下，那么它的一个单调性呢，就和它是相反的。 第三个类型是指数 e x 比上 x， 那 这种类型呢，我们也可以对它进行求导，它的一个 单调性是零到一是递减，一到正无穷是递增，我们其实就需要平时把这些八大类型的一个单调性把它积累下来，那这样的话，我们 在考试的时候，面对构造法的时候，我们就可以比较更加快捷的。第四种类型，我们再来看一下，那就是刚才他的一个相反的形式， x 比上 e x， 那 他的一个单调性呢？也是和它相反。 那么类型五我们再来观察一下，它是相乘的形式， x 比 x 乘以 long x， 我 们再来看第六种类型，那么它呢是 x 乘以 e x， 这个这个 x 乘以 e x 是 相对来说比较好用的一个模型，为啥呢？因为它的单调性是 x 大 于零，是单调递增的， 我们再来看一下模型。第七种类型，我们再来看一下第七种类型， 这种类型呢就是说有的时候我们一个函数它是无法满足，这个时候我们就需要用两个函数来进行， 这里边我们就可以用 e x 减去 x， 这个其实就是两个函数，两个函数下面的 x 减 lo x 也是这个道理，这个有的时候我们可以利用放错的时候，也可以利用利用这个模型 啊，最后一种，最后一种是比较经典的一个题，就是二的三次和三的二次，这两个随大随小，那遇到这种类型的，当然这两个的一个大小很好判断，我们主要是研究一下这种类型咱们怎么做。这个时候我们可以两边同时取对数， 两边同时取对数，以后呢还需要分子分母同时除以一个 a、 b， 那 这样的话它就又变回成我们的 l x 比上 x 这种模型，所以说模型八呢，是咱们近几年比较常见的一个一个模型。 好了，那我们现在掌握了八大类型的一个单调性。那我们第三步再来了解一下我们做题的一个基本构造的一个基本步骤。第一步，第一步当然比较大小就是做差，做差的话 做差我们可以通过它的一个它和零之间的一个大小关系。 如果我们构造出来一个函数，构造出来一个函数，比方说比方说我们构造出来这个函数， 嗯，它呢？它和零它是大于 f 零的，如果这个零正好等于零， 那么 f x 就是 大于零的，那我们构造了这个函数，因为我们刚才构造的是 a 减 b， 那 么 a 减 b 就是 大于零的， 所以我们其实主要用的是这个原理。我们我们到最后呢，其实构造完一个函数呢，我们其实想要找找见它和零，我们需要找见它的一个零点。第二点我们需要注意的就是我们在整理构造的时候呢，有些时候 需要对这些常数进行变形，比方说一，我们需要把它变成 l、 n、 e， 包括这个浪一，我们可以可以，可以表示零，一的零次可以表示一，也就是说我们遇到一零一的时候，我们需要想办法能够把它构造成对数和指数的形式。这个时候我们在 统一结构的时候非常重要，统一结构，然后第三步，第三步的话，那就是我们刚才说的要把我们的两个值都统一成一样的一个结构。 第四点，判断这一个单调性，然后我们最后只需要判断 x 一 x 二就是它们两个的一个大小，在集合单调性我们就能判断出这两个 f x 一 和 f x 二随大随小。 好了，我们刚才其实已经提到过这个经典题目了，我们现在来看一下这个二分之 one 二，这个一看就是我们的模型一，我们统一把它变成这种结构，变成这种结构以后呢，单调性我们刚才也都分析出来了，那么它就是 它是以以这个 e 为分解线，那么它它这个零到 e 之间呢？它是单调递增的，然后这个 e 到正无穷，它是单调递减的，所以说我们就可以把它的大致就是把它大致函数图像给它画出来， 那么我们可以把二和三五带进去，三和五呢肯定是在右边，这个不用说，因为是单调递减的，所以说 f 三 肯定是大于 f 五的，但是 f 二怎么办呢？ f 二是在它的左边， 因为 e 是 个二点七，那在左边的话怎么办？这个时候我们就需要对它进行变形，这是咱们这块的一个难点。这个时候我们可以把 l 二，然后分子分母同时乘以二， 那下边就变成了四，下边变成四以后呢？那上边根据我们对数的性质，二可以把它变成 lo n 二的平方， lo n 的 平方也等于四，所以说我们这个 lo n 二 比上二，它其实就等于 lo n 四比上四，那这样的话我们就可以把它放到我们的右边，那这样的话它就是 它的一个单调性，就是 f 三大于 f 四大于 f 五，那 f 四既然是等于 f 二，所以说最终的一个结果呢，就应该是，嗯， f 三是最大的， 这个是最大的，然后排第二的就是这个，最小的就是这个，这就是比较经典的一个题。 好了，我们再来看另外一个例题， e 的 平方加上二的一次，这个咱们刚才其实点到过，那 e 教这种题咱们怎么做呢？ 咱们可以两边同时取对数， 那这样的话它就等于二倍的平方 e， 然后 e 倍的平方二，那这样的话我们可以分词分母同时乘以同时除以一个二二 e， 那这样的话一约我们就能得到它其实就是 long e 比上 e， 它呢其实就是 long 二比上二，那这样的话我们就又回到了刚才那个题，我们就可以知道 它其实就等价于 long e 比上 e， 刚才我们知道 long e 其实就是它的一个最大值，所以说很明显 这是我们两个经典例题。接下来我们再来看一下我们的一个秒杀口诀。 根据我们的一个例题分析呢，众多的例题分析，我们有以下的一个原则，含 len 的 时候优先用 len x 比上 x， 含 e x 的 时候优先用这两个。遇到乘积形式呢，我们要单独其他的一个单调性，因为这两个单调性比较特殊一些，然后遇到我们的 a 的 b 次和 b 的 a 次，两边同时取对，然后统一结构，那就把这个这种形式呢就化为我们的一个模型一 好了。最后我们还需要除了记积累一些 口诀，我们还可以积累一些单调性，这些单调性其实在我们的八大类型里边，其实刚才都了解过，这里边大家再实际一下。 好了，这就是我们构造法的一个基本方法论。接下来的话我们分五小节，我们可以把 五种不同的类型筛选出一个经典立体来进行分析，那这样的话大家就能够从这个实践的角度真正掌握这个构造法比较大小。
10:23查看AI文稿AI文稿今天我们来学习新函数的另一种构造方式，函数的复合 f g x。 在 学习之前，我先问大家有没有吃过木瓜鸡？我吃过，非常美味。它的做法也很简单，你去屠夫那里采购一只鸡后， 让他给你把鸡嘎了，然后放进蜕毛鸡里蜕毛，把鸡肚子里的零件清理一下， 出来光头鸡，你再把光头鸡带回家，放进锅里，再放点酸木瓜，还有酱蒜，盐，小火慢炖半小时出来，就是美味的木瓜鸡。 当然你也可以自己把活鸡提回家后，自己把它嘎了，然后自己蜕毛，自己清理鸡肚子里的零件，然后放进去锅中，把它炖了，同样也会出来美味的木瓜鸡。 那么现在同样的道理，对于函数，我们也可以做同样的操作，让莱布林兹先把活鸡 x 嘎了，放进去褪毛鸡里，这个褪毛鸡叫小鸡 出来光头鸡 g x。 再让莱布林兹把光头鸡放进去锅里，这个锅叫 f 出来，就是美味的木瓜鸡 f g x。 当然你也可以直接把活鸡 x 提回家，自己嘎了蜕毛，得到光头鸡 g x 放进去锅里，再给它盖上锅盖， 小火慢炖半小时，得到美味的木瓜鸡 f g x。 这就是我们旧函数构造新函数的另一种方法， 函数的复合。这类似于我们的工厂，把 x 丢进去 g 这个工厂，加工出来 g x 这个产品，再把 g x 丢进去 f 这个工厂，加工出来 f g x 这个产品。但是现在有一个 f 圈 g 的 工厂， 能一次完成加工，中途不用再搬运什么的出来，就是 f g x， 我 们把这个过程称为函数 f 和 g 的 复合记作 f， 盖个锅盖记读作 f 圈肌或者 f 复合肌。 具体是怎么个事，我们来看例子。例如， y 等于 f， u 等于根号下 u， u 又等于 g， x 等于 x 的 平方加一看这两个，得知，由于 y 是 u 的 函数，而 u 又是 x 的 函数， 因此 y 最终还是 x 的 函数。要想吃到木瓜机，你活机必须要嘎掉。我们通过代入法计算，得到 y 等于 f， u 等于把这个 u 替换成 g x 得到 f g x， 而里面的 g x， 它等于 x 的 平方，加一再替换掉。现在这个式子就用完了，不用再看了。看这里，这个 x 的 平方加一是 u 上面的 f u， 它等于 u 上面带个根号，那么这里的 x 的 平方加一也要带个根号，这个过程称为复合。 因为新函数有两个给定的函数， f 和 g 复合而成。一般来说，给定两个函数 f 和 g。 我 们先取 g 定义域内的一个 x 计算 g x。 若 g x 在 f 的 定义域内， 就可以计算 f g x。 注意，一个函数的输出会作为下一个函数的输入。由此得到的新函数 h x 等于 f， g x 是 将 g 带入 f 得到的，称为 f 和 g 的 复合函数。或复合记作 f 圈 g 读作 f 圈 g。 下面给出它的真正定义，给定两个函数 f 和 g。 复合函数 f 圈 g 也称为 f 和 g 的 复合定义为 f 圈 g， x 等于 f g x。 f 圈鸡的定义域，是鸡定义域中所有满足 g x 属于 f 定义域的 x 集合。换句话说，只有当 g x 和 f g x 都有定义时， f 圈 g x 才有定义。你要吃木瓜鸡，人家给你嘎一只鸭就不行了嘛。 这个机器图展示了如何用函数机器的形式来直观理解 f 圈鸡。右边 f 圈鸡的机器 由先运行的 g 这个机器和后运行的 f 这个机器组成。理解了这个后，我们接下来是实战了。若 f x 等于 x 的 平方， g x 等于 x 减三。求复合函数 f 圈 g 和 g 圈 f 解。 f 圈 g， x 等于 f g x， 这括号里的 g x 等于多少？它等于 x 减三，把它换下来等于 f x 减三，而上面的 f x 等于 x 的 平方。把这一坨看成 x， 然后再给它带一个平方，再给括号里的这一坨带个平方等于 x 减三的平方。同理， g 圈 f， x 等于 g， f x 等于 g x 的 平方减三。 现在我们从这个例子可以看出，一般情况下， f 圈 g 不 等于 g 圈 f， 请记住记号。 f 圈 g 表示先应用函数 g， 再应用函数 f。 在这个例子中， f 圈鸡是先减三再平方的函数鸡，圈 f 是 先平方再减三的函数。这就好比你要吃美味的木瓜鸡，如果你把鸡嘎了后，先蜕毛得到光头鸡，再把光头鸡放进锅里，出来是木瓜鸡，但你把鸡嘎了后， 先放进去锅里，炖出来落汤，鸡再褪毛。请问再次出来是什么鸡？还能吃吗？还是人吃的木瓜鸡吗？出来的肯定不是木瓜鸡，因为顺序错了， 数学上复合顺序不可交换。下一个例子，若 f x 等于根号下 x， g， x 等于根号下二减 x。 求下列函数及其定义域， a f 圈鸡 b 圈 f c f 圈 f d 圈 g 减 f 圈 g， x 等于 f g， x 等于 f， 根号下二减 x 等于根号下根号二减 x 等于四次根号下二减 x。 在 这里，因为 g 自身的定域是 x 小 于等于零了，那么外面这个根号下自然就大于等于零了，所以只需 x 小 于等于零。 因此， f 圈 g 的 定义域是所有满足二减 x 大 于等于零的 x 取值所构成的集合，它等于 x 小 于等于二所构成的集合等于负无穷到二的半开半闭区间。 g 圈 f x 等于 g， f x 等于 g。 根号下 x 等于根号下二减根号下 x。 要使根号下 x 有 定义，必须满足 x 大 于等于零。要使根号下二减，根号下 x 有 定义，必须满足二减根号下 x 大 于等于零， 即根号 x 小 于等于二，或 x 小 于等于等于四。若 a 大 于等于零小于等于 b， 则 a 方小于等于 b 方，所以这里两边平方还是成立。因此， x 要同时满足这两个，就是 x 大 于等于零小于 b 方，所以这里两边平方还是成立。因此， x 要同时满足这两个，就是 x 大 于等于零小于 b 方，所以这里两边平方等于四。 g 圈 f 的 定义域是 b 区间零到四。 f 圈 f x 等于 f， f x 等于 f。 根号下 x 等于根号下根号 x 等于四次根号 x。 f 圈 f 的 定义域是零到正无穷。 g 圈 g， x 等于 g， g x 等于 g。 根号下二减 x 等于根号下二减根号下二减 x。 该表达式有定义的条件是，二减 x 大 于等于零，且二减根号下二减 x 大 于等于零。 第一个不等式意味着 x 小 于等于二。第二个不等式等价于根号下二减 x 小 于等于二，即二减 x 小 于等于四，或 x 大 于等于负二，因此 x 大 于等于负二，小于等于二极。全极的定义域是 b 区间负二到二， 我们可以对三个或更多函数进行复合，例如， f 圈 g 圈 h， x 等于 f g h x。 复行函数 f 圈 g 圈 h 的 计算顺序是，先应用 h， 再应用 g， 最后应用 f。 例如，若 f x 等于 x 加一分子 x， g， x 等于 x 的 十次方， h， x 等于 x 加三，求 f 圈 g 圈 h， h 圈 g 圈 h， x 等于 f g h x。 现在需要理解一个玩意，最原始的输入是 x 得到，输出 h x， 然后输出 h， x， 再作为下一个函数的输入，得到下一个函数的输出， 以此往复下去，那么这里原始输入是 x 得到的第一个输出是 h x， 它等于 x 加三，有 h， x 的 地方替换成 x 加三等于 f， g， x 加三， x 加三又作为 g， x 的 输入， g， x 里 x 的 地方替换成 x 加三，得到 f， x 加三的十次方。现在，它又作为 f， x 的 输入 f， x 里 x 的 地方换成 x 加三的十次方，得到 f， x 加三的十次方等于 x 加三的十次方。比上 x 加三的十次方加一。到目前为止，我们可以通过 我们通过复合将简单函数组合成复杂函数。但在微积分中，将复杂函数分解为简单函数往往很有用，如下列所示，给定大 f， x 等于 cos 加九的平方。求函数 f g 和 h， 使得大 f 等于 f 圈 g 圈 h。 由于大 f 等于 cos x 加九的平方，大 f 的 计算规则是，先加九，再取余弦，最后平方。因此，我们令小 h x 等于 x 加九，先加九 g， x 等于 cos x， 再取余弦， f， x 等于 x 的 平方，最后平方则 f 圈 g 圈 h x 等于 f g x 等于 f cos x 加九等于 f cos x 加九等于 cos x 加九的平方等于大 f x。 好 了，现在莱布林斯给你们把木瓜鸡炖好了，大家趁热吃，别忘了函数的复合与美食一样，步做错了，味道就不对了。
359小兀同学
11:53查看AI文稿AI文稿今天我们要讲的呢，主要是导数里面的构造函数，当时课堂上没有讲过的一个内容哈，什么时候用构造函数？我们来先来说一下， 在做题的过程中，这种题一般是考选择或者是填空，什么时候用构造函数呢？其里面有一个与倒数有关系的不等式，或者是等式， 我们就用构造函数。然后这里呢有一些常见的构造类型， 相对来说我们考的比较多的是第五点和第六点，这个是需要你背诵的哈。首先函数和导数它们作和或作差，大于零或者小于零，我们需要把 e 的 x 四方构造出来， 那么有的时候构造的是乘法，有的时候构造的是除法，这个我们怎么样来区分来看一下，我们看的是中间的符号，中间的符号如果是减法，我们构造的是两式相除。 如果中间的符号是加法，构造的是两式相乘， 这是大方向，不是绝对的哈，大体方向是这样的，我们可以回过头来看一下我们这里讲的八点，你看看这里是加法，构造的是成，然后下面是减法，构造的是除，大体思路是这样，当然不绝对哈， 常见的构造。然后我们以讲例题的形式，这里我主要是给你们讲一下 f x 和 f x 的 导数，它们有关系的构造，这个怎么样来用哈，其他的话呢，你们可以下来自己看一下。来，我们以这个题为例， 读一下题哈，题里面给了椅子， 这里导数大于函数，这个就是一个与导数有关系的不等式，那说明这个题要构造函数。构造构造的步骤是什么哈？来，第一步，先移项， 所有东西放在左边，零放在右边，这个是一个与导数有关系的不等式。那么现在接下来我们需要构造怎么样构造呢？看中间的符号， 中间的符号是减号，那说明我们构造的是两数相除，那么哪两数相除？这个是我们考的最多的是 f， x 和 e 的 x 次方 构造他们相处。然后接下来下一步我们就是要来检验我们构造的对不对，怎么样来检验哈？检验的步骤是对你构造的函数进行求导，能够判断单调性，那我们构造的就是对的。来除法的导数 分母的平方分子的倒数乘分母，减分母的倒数乘分子， 然后画一个减分子分母，同时除以一个 e 的 x 次方。 这个时候我们来看一下已知，已知给了倒数减函数大于零，那说明分子为正分母式指数函数永远为正，那么整体就是正数， 整体正数说明我们构造的 g、 x， 它应该是单增的，那现在能够判断你构造的函数的单调性，那我们构造的它就是对的了。看一下啊， 这是唯一一个需要你去背的，其他的话呢，就只有根据已知我们去做构造完单证了以后，我们再来看选项，问我们哪一个他是正确的。 既然构造了函数，现在我们应用的就必须是这个构造函数，只能用它去做题哈。来，我们来看一看 a， b， c， d 四个答案， a， b， c， d 四个答案，它比较的就是 f， 零和 fa 它的大小关系，那我们就要找 f 零和 fa 来， 因为 a 是 大于零的， a 为什么大于零？这个题里面给了哈正实数 a， 那 么 a 大 于零， g x 是 单增的，所以 ga 就 要大于 g 零， 那为什么要去用 g？ 哈，因为你只有用 g x， 你 才能够营造出 f x， 然后 g a 可以 写成 fa 除以 e 的 a 次方， 然后七零就是我们的 f 零除以一的零次方， 然后去一下分母，为什么能够去分母？因为指数函数永远为正，所以 f a 大 于一的零次方是一。这节课给大家备注一下，它是一， 所以大于 e 的 h 方乘以 f 零，看一看有没有这个答案啊？当然这个题的话，我记得当时打的时候这个地方是写错了的啊，所有的 n 都是 a， 没有 n， 看一下有没有这个答案。 f x 大 于一的 x 方乘以 f 零，有了好答案是选 d。 这就是我们最常见的一个构造，就是 f x 和 f x 导数的关系。 然后除了这个最常见的构造呢？还有一些刚刚那个前面给你们讲的八个题型，你们可以去背那个哈，然后我来给你们说一下其他的构造，当然这是三角函数的，这也是比较容易考的，来读一下，切， 这是定律，在定律的范围内，这个式的成立你发现没有，这一个就是一个与导数有关系的不等式， 那肯定就是构造函数怎么样构造我们一般是看中间的符号，但是唯一一个跟中间符号可能关系不是特别大的就是三角函数， 因为你们记得到三角函数里边有一个是自带符号的，就是我们的 cosine x， 它的导数是负的 sine x， 哈，首先这里肯定是想着要构造的， 构造一个函数中间是加，按理来说，我们应该构造两个函数相乘，哪两个函数相乘，我们看的是导数的这一项 导数，这一项是哪两个函数，我们就会构造哪两个函数相乘。所以这节的构造按理来说应该是 f x 乘以或是 a x。 然后接下来下一步我们来看构造的函数对不对？怎么样看哈，就看它的导数能不能判断正负。这是两个函数相乘，导数等于前面的导数乘以后边加后边的导数乘以前边。 我们来看一看这个能不能判断出正负。肯定是不能的，怎么判断正负？肯定是要用这个椅子呀，是不能判断哟，因为椅子中间是加，这里符号是减，那说明我们构造的函数错了哈， 为什么这种常规方法不能用了？为什么会错？这是因为题里面有三角函数了，三角函数不能严格按照我们讲的方法来做，因为它求导以后自带负号，所以这个题我们来试一下除法， 哪两个函数相除？看导数这一项哈，构造的是 f x 和 cos， 它的导数分母的平方， 分子导数乘分母减，分母的导数是负的，我这变成加了 乘以分子，你看，现在就可以用已知了，分母一个数的平方肯定是正，然后分子也是正，所以我们得到了 g x 单增啊，在零到拍用零到二分之拍，因为这是已知给了的， 在这个范围内当真。然后现在我们要判断一下答案， a、 b、 c d 哪一个是正确的？你要先看答案，看它给的是什么东西。 f 负的三分之拍和 f 四分之拍，这个怎么样去用它 负的频率都是零到二分之拍，首先要考虑的应该不是负数哈。一个一个的来，我们直接从答案 d 开始先判断正的，因为 g x 单调递增， g x 单调递增，那么我们现在就可以判断 g 的 三分之拍 肯定是大于 g 的 六分之拍的，因为在零到二分之拍是单增。然后我们现在来带 g 三分之拍，带这个椅子等于 f 三分之拍 除以 cosine 三分之 pi， cosine 六十度大于 f 六分之 pi， 除以 cosine 六分之 pi， 也就是 cosine 三十度二分之根号三， 然后都是正数交叉相乘相等，两边同时乘嘛，或者是你这直接除过了也行，除以二分之一，相当于乘以二， 这个地方就乘以一个根号三分之二， 我们来看一看满不满足。我们这个答案 d 把根号三乘过去，也就是根号三倍， f 三分之拍大于 f 六分之拍，那么答案 d 就是 对的。 那么答案 a、 b、 c 怎么去判断哈？你观察一下，这里还有一个已知没有用偶函数，偶函数我们会有什么性质？ f、 x 和 f 会相等，所以你自己做题的时候，你要去判断答案 a、 b、 c， 你 就要用偶函数的性质，你把这个叫变成 f 三分之拍， 因为你只得到了零到二分之拍的单调性哈。当然做二分之拍到零，因为我们高一既有函数性质也能得，但是你可以不用去管它，我就直接只做零到二分之拍也行。 看一下这一个可以下去算一下啊。 hmm。
03:54查看AI文稿AI文稿很多题目啊，真的只是看着比较麻烦，实际只要你认真去做，一定能把它做出来的。比如说像这道题目啊， 那看着好像题目条件给的比较复杂，那么我们可以想象一下，遇到这样的形式，我们在什么样题型里面出现的比较多？一般来说它是大于零，然后它是一个奇函数，可以把其中一侧挪到另外一边，对吧？ 那么这是一边四是怎么办呢？我们可以想，那可能是要构造函数，既然是有两个部分，那我把四可以拆成二加二，有可能会利用到这样的形式。 那么像这个部分 x 的 立方，它是一个奇函数，那么后面这个部分想办法变，把它变成一个奇函数，三呢？变成一个二，那么我们可以把三里面提一个一出来，变成 f x 等于 x 的 立方减去一的 x 加一分之二，把这个三里面提个一，那一呢就变成一的 x 加一分之一的 x 加一，然后再加上二，中间这部分合并，那就是 x 的 立方加上一的 x 加一分之一的 x 减一， 好，加上二，这里面有加二了。我把这个部分可以假设成是一个 g x， 那 么这就意味着 f x 应该是等于 g x 加二， 好。那么像原先的这部分的方程，这部分的方程是不是就能把它变成 g a 方加二，加上 f 三 a 减四，加二大于四，好，二二四是不是能把它约掉？约掉之后，那就是 g a 方 要加上 f 三， a 减四要大于零。再来观察一下，这个我能不能挪到右边，挪到右边变成 g a 方大于负的三 a 减四。 接下来就要判断出来它是奇函数还是偶函数呢？好，我们来可以来观察一下， 把负 x 放进去，既负 x 放进去，负 x 的 立方加上一的负 x 加一分之一的负 x 减一，它是等于负的 g x， 所以 这个 g x 它是一个奇函数，当然它的定义也是关于原点左右对称的，它是奇函数。然后再观察一下它的单调性是怎么样的， 这个部分它是单调递增的，这个部分呢，也可以判断出来它是单调递增的。这个部分。如果同学们不太会判断可以怎么办？可以把它放在这个式子里面去判断 这个式子它是不是相当于一减去一的 x 加一分之二，这个 随着 x 的 增大，它越来越小，随着它增大越来越小，前面再加了一个负号之后，那它是不是也是递增的？那相当于两个增函数相加，还是一个增函数，且它是一个单调递增的。那好， 接下来问题就变得比较简单了，那么我要证明呢，就是 g a 方大于 f， 四减三 a， 哎，只要满足这个条件就可以了，那么我进而就能得到，我只需要结合它是单调递增的，那我只需要得到 a 方大于四减三 a 的 范围就可以了。把它求解，那么 a 的 范围就能确定好， a 要大于一， 或者 a 要小于负四，那它最终范围就知道了，就选 a， 同学们明白了吗？关注派老师，每天收获一道数学题！
99金华数学 π老师
06:06查看AI文稿AI文稿听说你数学很下对，好，这个题给了我们这一串式子，等于 x 分 之一的 x 次方， x 分 之一的 x 次方，然后好得到 f 二等于八分之一的平方。他说当 x 大 于零的时候， f x 是 什么东西？其实这个题还是有点难写的，你看， 首先它又不是前面我们讲的给了我们这个式子，比如说它单独给我们大于零，或者单独给我们小于零，直接能得到构造新函数的单调性，这种它不是对不对？它是给我们什么呢？等于 x 分 之一得 x 次方吗？是不是？所以你看，其实这个题它的意思是什么呢？ 他的意思是什么呢？我的这一串，这一串是什么东西？我们还是要构造函数吗？但凡看到这种东西还是得构造函数，那么我们要构要构造的 f x， 他 类似于哪一个？这地方是加法对不对？所以说我要构造什么东西 构造成，那么是 x 方 f x 对 不对？是不是？所以其实这个题他表达什么意思呢？所以我可以得到 x 方 f x 这一个整体，它求到等于 x 分 之 e 的 x 次方， 能理解吗？它求导过后等于 x 分 之 e 的 x 次方。好的，那么那么我们又来讲，求导过后等于的是 x 分 之啊，求导过后得到的是 x 分 之 e 的 x 次方，那么我其实想得到的是 f x 吗？ 对不对？我想得到的是 f x， 那 么你要怎样想？这个地方怎么思考？好，我们得到 f 到 x 等于 x 分 之 e 的 x 次方， 令 h x 等于 x 分 之 e 的 x 次方，它的图像是呢？减再加上一个勾吗？对，然后这个是 e， 这个是 e， 那 你看 这个图像是我们是值得记一下的，因为他太爱考了，到处都有他，所以我就可以得到当 x 属于富无穷到零 的时候的时候， h x 是 小于零，这个时候 x 方 f 到 x 再加 再加二 x f x， 它就小于零了嘛。所以我就得到大 f x 呢？我们刚假设了大 f x 等于的是 x 方 f x， 对 不对？所以我就可以得到大 f 导 x， 它在这个区间段内是不是小于零？好，我们写的完整一点吧。所以得到当 x 属于负无穷到零的时候， 好，零时，这一个时候好大 f 打 x 小 于零，对不对？它小于零啊，这个时候 i 大 f x 是 单调递递减，是不是？大 f x 单调递减能理解吗？好，然后 又因为好又可以得到，当 x 属于零到正无穷的时候， h x 是 大于零的， h x 大 于零，所以我们得到 得到 x 就是 上面这一串了。我们再抄一遍个好，或者快一点得到这一串是不是小于零？那么也就是可以得到这个时候 f 到 x 应该是大于零，然后 f x 单调递增，对不对？ 好了，那么我们稍微的已经近了一步了，得到了 x 翻倍的 f x 的 单调性。你再来思考，我想得到的是 f x 的 单调性，然后并且他还给了我们一个值，这一个值肯定是要用一下的。 f r 等于八分之一方 x 方 f 到 x 加上二倍 x f x 等于 x 分 之 e 的 x 次方来求它 f 到 x 等于 x 分 之 e 的 x 次方，然后再减去减去二倍 f x f x， 然后再除以 x 的 平方 x 的 三次方分之 分之 e 的 x 四方减去二倍到 f x， 当 x 属于零到正无穷的时候，好，所以我就来带一个 f 到二。 f 到二等于多少呢？等于是 e 的 平方，然后再 减去 f 得二，对不对？减去二倍 f f 大 f 二吗？对不对？可是大 f 二再除以八，是不是等于多少零？好，再来看一下来五零 five x 等于 e 的 x 次方，减二倍 f x， 所以 斐导 x 等于 e 的 x 次方，减去二倍 f 导 x， 然后于是斐导 x 等于 e 的 x 次方减去， 减去 x 分 之二倍 e 的 x 次方，然后等于的是 x 分 之 e 的 x 四方 x 减二，是不是？是不是？ x 减二，然后接着。 好，这一个我们可以 x 大 于零的，所以我就可以得到这一个 fly 的 x 的 话，它图像是大致成这种样子，是不是？然后这个是二 fly x 就是 先减后增，所以我就可以得到 得到 far x 的 最小值就是 far 二，对不对？ far 等于多少零，有没有证了？ 有没有？证出来了？证出来了吗？是不是？所以我就得到得到这一个分子，它的最小值是等于零吗？ 对不对？分子的最小值等于零，所以就得到 f 到 x， 在 零到正无穷上是大于等于零，在二处等于零，是不是？
07:54查看AI文稿AI文稿大家好，欢迎光临微课堂，今天跟大家分享的是三角函数的求值计算的相关模型，叫构造角，其实呢，构造角呢，听起来有点邪乎，其实就是相当于整体换元啊，变相的就叫换元， 那什么时候是勾导角呢？勾导角，我们比如说我们放了两个模型在这，已知 sine f 加二分之三， pi 等于三分之一，这个模型跟 sine f 加六分之 pi 等于呃，三分之一。这个两个模型。上面一个模型呢，这一个考察的叫诱导公式。 然后呢，下面这个模型呢，它考察的呢是叫勾导角，就是整体画圆， 什么意思呢？上面是叫七遍，五遍负二根弦线二分之拍，背诵的时候套一下公式。下面是六分之拍，他就考察了构造角，因为他打开计算的时候呢，比较麻烦，所以呢，我们把它整理完。 然后呢，我们一般要用到的公式呢？我们做题目要用到的公式啊，呃，三幺 r 加减倍它，然后以及三幺二 f 库三幺二 f 的 公式我们就写在旁边了。呃， 公司如果有一半的同学呢，可以简单复习一下。下面呢，我们来看两道例题，第一个是一倍角的勾到角，第二个呢是二倍角的勾到角，它是洛库三 a 加比特等于五分之三，三 a 比特减四分之八呢，等于十三分之五。 alpha 跟贝塔呢，属于零到二分的派，则三 alpha 加四分派等于多少？首先呢，我们先分析一下这个模型啊，这个是 alpha 加四分派怎么来的？我们可以由 alpha 就是 这个地方啊，可以把它写成三的中括号， alpha 加贝塔 减去呢，贝塔减四分之拍，哎，给它勾导一下，勾导出这个模型，然后呢，既然有这个模型的话，我们在这边写的时候，是不是要出现萨因阿法加贝塔， 然后呢，套一下这边的公式，库萨因阿法加贝塔减四分之拍，然后呢，再减去库萨因阿法加贝塔以及呢 sin beta 再减四分派。那我们看一下题目，这方有 cosine alpha 加 beta， 哎，这个量有了，然后呢，有了一个 sine beta 减四分派，哎，这个量也有了，还有前面两个量，不知道下面呢，我们就还是综合分析一下这道题啊， 那题目给了角的范围吗？是不是？那因为呢， alpha beta 呢，都属于零到二的拍，所以呢，我们这地方呢， alpha 加 beta 呢，它属于呢零到拍，所以呢， sine alpha 加 beta 呢，它大于零。又因为呢，那这边呢， cosine alpha 加 beta 呢，它等于五分之三，然后呢， sine alpha 加 beta 呢？ 的平方跟库萨尔法加贝塔的平方呢，加起来呢，它等于一，所以呢，我们这边的萨尔法加贝塔呢，它就等于五分之四， 对不对？然后呢，同样的第二个呢，给了这个角的范围呢？因为呢，贝塔呢，属于呢零到二分之一， 所以呢，贝塔减四分之拍呢，它属于负的四分之拍到四分之拍，然后呢，对于这个范围呢，我们整理一下，它就变成了这个角呢，是第四项减跟第一项减角。所以呢，呃，我们这边的库萨尼呢，贝塔减四分之拍呢，它也是大的点的， 因为这个题目啊，已知的是三一 beta 减四分之拍，三一 beta 减四分之拍，等于十三分之五。然后呢，我们知道三一 beta 减四分之拍啊， 跟库萨尼贝塔减四分之八的平方啊，它加起来呢，也等于一，然后常见的勾股书。所以呢，库萨尼贝塔呢，减四分之八呢，它就等于十三分之十二啊，我们就不慢慢算了啊，然后呢，哎，这两个量呢，它也有了，哎，这两个量它也有了 啊，这两个量，对，是不是？然后带动计算，计算答案就能算出来喽？ 当然有的题目呢，如果这个角度呢，三个他如果是个特度值的话，他肯定问你那个阿法加四分拍的角度是多少，或者阿法的角度是多少。这地方呢，我们不涉及啊，就到这地方结束了。同样呢，我们再来看一个叫二倍角的构造角，这么来的， 你看库三 r 加六个横排对不对？三别，他减四个横排，这两个模型呢，不打开都当做两个整体啊，不打开这个地方一样不展开，不展开呢，我们这个地方呢，是三二 r 加十十二个横排，那这个地方怎么来呢？首先呢，我们去构造一下这个形式两倍的括号， r 加这道不是有六分派吗？加六分派，再减六分派啊，不跳步啊，因为有同学啊，一跳步，他感觉啊，这个很二乘负六分派，再把后面十二分派消掉，它消不掉啊，它消不掉，它就等于呢，三两倍的阿尔法加六分派， 减三分之派，再加十二分之派，减四分之派。所以呢，这个是再乘以一下，就是 sine 两倍的 alpha 加六分之派， cosine 呢，四分之派再减去呢？ cosine 两倍的呢？ alpha 加六分之派， 三四五拍。那我们知道这两个量呢，都等于二分之根号二是不是？那还是，呃，这两个量要求吧，三的一个二倍角， cos 三的一个二倍角，下面呢，我们就由这个题目给了角的范围啊，把它求一下，哎，我们也分析一下哦，分析一下， 因为呢， alpha 属于零到二分之拍呢，它就属于六分之拍到三分之二拍， 是不是然后呢，这个地方呢？三呢？ alpha 加六分子拍？我们知道 alpha 加六分子拍是第一象限跟第二象限，它是大的，所以呢，呃，因为库三 平方， beta 加六分子拍加三， alpha 加六分子拍的平方加起来等于一，再加上这个条件对不对？我们稍微跳一小步啊，那就三 alpha 呢加六分子拍呢， 对不对？他就等于呢五分之三，再加上呢，这边用二倍角把它打开，这边打开呢，这一辆呢就是两倍的三阿尔法加六分之八，是不是库三也有阿尔法加六分八， 然后呢，这边呢，把它打开等于多两倍的 cosine alpha 加六分之二的平方再减一，是不是？然后呢这个式子呢，如果按照我们计算的话，它就等于它乘二分之二，然后呢，减去呢， 它乘二分之二啊，下面数据再计算的话，我们就省略了一个五分之二，一个五分之四，带你去算一下啊。 呃，好的，我们下面再来看一下这道题啊，什么叫构造角？构造角我们刚刚讲的其实就是换元，换元呢， 这一个式子呢，上面模型考察的是诱导公式，下面这个模型呢是叫构造角，对于这个式打开预算的时候，不放心的同学可以自己去试一下啊，计算量比较大，所以呢，我们一般看到这个整体的时候啊，一般不打开， 一般不打开。然后对于二倍角的构造角呢，有同学如果觉得难受的话，我们可以呢，对于这地方，你可以提前把这个阿富尔加六分的排列， 你把它换圆换成 t， 那 你 r 画呢？就等于 t 减六分宽，而带到这个里面去换圆也是一样的，把这个 r 画给它换掉，画完了之后呢，不会出错，我们这个画呢，是当做一个整体在构造好的，今天关于这个构造角的，求三角函数值呃，就分享到这里，谢谢大家观看。
82南京高中数学周家
03:09查看AI文稿AI文稿这个是带两个变量的，其实你带几个变量无所谓，它最核心的一件事情就是我刚才跟大家说的，就你结构上它的一样，对吧？咱们先看一下这个就是去年的安徽的那个模考题 啊，能不能讲今年的呢？哎，这这这还得等过两天啊，对吧？这这今年呢？这还没出来嘛。然后说这个题呢，他说对于任意的这个正整数 x x r， 它属于我们这个区间啊， m 到这个正无穷的时候，他说如果说当这个 x 是 小于这个 x r 的 时候呢，我们会有 x 一 乘六， x r 减到 x r 乘到 x 一， 比上这个 x 一 减 x r 呢，它是大于二，很成立的。然后要我们来求这个 m 的 这个取值范围，对吧？就首先呢，先简单说一下吧，就是啊，两种不同的这个思路 啊，因为它这里涉及到是两个变量，对不对？就是设设置到两个未知数啊，一般来说呢，基本的一个处理的一个手段 啊，最基本的呢，就是我们把它这个 x x 二呢，就是把它两个变量啊，给它单独都分开，对不对？比如说左边全都是 x 一 啊，右边全部都是 x 二，那么这里呢，首先呢，因为说现在我们知道 x 一 它是小于我们这个 x 二的，所以呢，你 x 一 减掉这个 x 二，它实际上是一个负数，对吧？那么就分母上呢，它是个负的， 好，我把分母给它乘过去，两边同乘以一个负数，我要改变一下这个不等号的方向，那么就变成了这个 原来是大于，那么现在就变成了小于两倍的 x 一， 减掉两倍的 x 二，那我就可以把它变成这样的一个这个表达式嘛，对不对？然后呢，得到这个数字之后呢？哎，咱们又可以呃，接着来画箭，因为你看这个时候呢，咱们把它这个稍微 呃给它做个一个项吧，好吧，你稍微这个在这里一个项呢，就把论 x 一， 论 x 二呢，我们把它单独拆开，那在这里呢，首先呢，我们先把这个 x x 二给它约掉， 就两边我同时出一个 x 一， 两边我再同时出一个 x 二。那这样的话，左边的第一项啊，约掉一个 x 一， 就剩下了一个洛 x 二比上 x 二，然后呢，减掉这边呢，约掉一个 x 二，剩下个洛 x 一 比上 x 一， 那么小于 右边呢？两倍 x 一 呢？比上 x 一 乘 x 二，约掉 x 一， 那么剩下个 x 二分之二，后边呢？剩下一个 x 一 分之二，然后你再把它一个向，对吧？一个 x 一 分之二，然后你再把它一个向，之后呢，这里就变成了是一个这个洛 x x 二 啊，比上这个 x 二，然后呢，减掉这个 x 二分之二，小于啊，论 x 一， 比上 x 一， 减掉这个 x 一 分之二， 它就变成是这样的一个表达式，对吧？所以你再结合说，我们一开始它题干中给的这个基本的要求，就你 x 一 是小于 x 二的。然后呢，现在呢，又有这个表达式，是论 x 二比 x 二，减掉 x 二分之二，它小于。论 x 一 比 x 一， 再减掉 x 一 分之二。那它实际上表达的就这个函数是递增还是递减过来，递增还是递减？ 递减嘛，对吧？字面量大的函数值反而小，对吧？所以这样呢，就变变成我们假设一个函数是 sum x 比上 x 啊，再减掉这个 x 分 之二啊，或者呢，你就把它写成是 x 分 之 啊？ sum x 减二，那现在整个就变成是一个问题，就当我们这个 x 属于这个区间啊， m 到正无穷的时候，那么函数 f x 呢？它是个单调递减的， 他既然是单道递减的，那咱知道呢，我们需要保证的就是它的导函数呢，我得让它小于等于零，对不对？所以这个题其实往后面来减呢，就比较轻松啊，往后面就求它导函数啊，让它导函数呢，是这个小于等于零的啊，就可以得到我们这个 m 的 这个取值范围。
02:54查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，大家好，今天我们来分享一道成都期中第十周的测试题。第十四题，已知函数 f x 与 g x 若存在 x 一 到 x n 属于零到二，使得这个等式成立，则 n 的 最大值是多少？ 我们观察这个等式，我们可以先将相同的变量整理到一起，那么就会有 g x n 减 f x n 等于 g x 一 减 f x 一， 加上 g x n 减一，减掉 f x n 减一。 我们来观察这个等式，那么我发现呢，等式的左右两端呢，全都是 g x 减掉 f x 的 结构， 那么我们的目标是来求 n 的 最大值，那么也就是说，我们需要让这个等式的右端 g x 减 f x 的 值达到最小，这样呢，它的项才能达到最多。那么因此呢，这个题我们应该研究 g x 减 f x 的 最值情形。 我们令大 f x 等于 g x 减掉 f x， 也就是 s 的 立方减掉三 x 加三，我们对其求导 导数就是三 x 方减三等于零，我们可以算得极值点是一，我们来会知一下导数的减图， 那么因此大 f x 在 零到一上是单调递减的，一到正无穷上是单调递增的。大 f x 的 最小值 也就是大 f 一 等于一，那么大 f s 的 最大值应该在零或者二处取得。我们先将零代入算得大 f 零等于三，再把二代入大 f 二等于五， 那么接下来我们要让 n 取得最大，那也就说我们让右侧每一个 g x 减 f x 的 结果都达到最小是一，让左侧 g x n 减 f x n 达到最大是五， 这样我们就会得到五等于 n 减一，所以呢， n 的 最大值就是六。小伙伴们听懂了吗？点赞加关注，明天我们继续更新。
33吉米多维奇
08:01查看AI文稿AI文稿学会这五个函数啊，你就可以搞定大多数的 excel 难题。第一个使用 excel lookup 进行数据查询，现在呢我们这里有一列领导姓名，这一列有， 呃秘书姓名，现在要根据秘书的姓名去查找对应的领导。好，这里呢，我们就使用 excel lookup 啊， 我们看一下，在这里输入等于 excel， 然后呢第一个参数是你要找谁，哎，我们要找谁呢？是要找这个一二单元格。好，我们这里呢可以直接输入一二单元格，要找这个一二单元格，然后查找的数组， 哎，第二个就是在哪列找，我们是通过秘书找你的，那么我们选择这一个秘书姓名， 现在因为我们下面还有其他单元格要，哎进行拨动啊，我们为了防止这个查找的区域发生变化，可以按 f 四啊把它设置为绝对引用，哎，他会在行和列号前面都加一个美元符号，就把它固定住了， 然后返回的数组，那我们要从这里面返回，哎，也就是选择哎这一列，然后呢按 f 四把它，哎锁定起来。 最后一个参数是什么意思呢？如果说我们没有找到，那么显示什么内容，没有找到这里呢就显示制服查无此人 啊，按回车。那么第一个呢能够找到对应的记录，那么它就显示出来，双击右下角填充，这里呢没有找到对应的记录，它就显示查无此人。 第二个一对多查询，我们现在啊要把对应性别的记录啊，全部给他筛选出来。这里是女，那么这里呢就显示所有的女性，哎，这里如果我们改成男，这里呢就显示所有的男性。好，我们来看一下啊， 在这里输入等于 field， field 函数啊，第一个参数就是要筛选的区域，呃，我们现在呢要筛选姓名这个区域，然后第二个参数啊，就是筛选的条件， 筛选的条件是什么呢？就是这个姓名这里啊要让它等于这个性别，哎，这个性别如果说我们后面要拖动的话，这里呢？哎，可以把它绝对引用 好，看一下，就根据这个性别呢把对应的人找出来了啊，这个是一个数组的公式啊，它会自动溢出，不需要下拉填充，直接就显示所有对应性别的姓名出来了啊。第三个呢就是逆向查询， 现在我们要根据这个商品名称来查找前面的对应的销售经理啊，这个是怎么来的呢？ 好，就用等于 look up， look up 啊，它的参数也比较简单，第一个就是要查找的值，第二个呢就是查找的向量。好，我们现在啊要查找的是一个什么值呢？这里啊 查找这个这个值啊，是一个逆向查询的，呃，经常用的写法啊，我们现在要找一找一这个值， 那么呢我们要找的项链就是用零来除以它，哎，这个条件好，用零除以，除以什么条件呢？ 除以商品名称啊，等于左边这一个，好，现在商品名称这里我们把它选中，因为我们这个公式还要往下拖动，所以说我们这个区域啊要把它按 f 四，哎，绝对引用 商品名称等于什么呢？等于这边 f 二单元格的值， f 二单元格的值，好，我们把这个条件呢要给它用括号括起来，然后我们找到了之后啊要返回什么结果呢？这里我们就要返回前面的这一个销售经理这个区域啊， 好，现在呢打印机啊，就对应的是周美玲，然后我们把它双击右下角填充，这里也就找出来了这个公式，这里呢，哎呀，能复制的时候复制漏掉了啊，我们把它加上去， 这里是一个绝对引用的这个区域，这一个参数找到之后，返回的就是这一个区域 b 二到 b 十，并且要把它绝对引用， 所以说我们通过这个 lookup 函数啊，可以指定某一列的值啊，然后等于哪一个值。在返回的时候呢，我们不一定是要 把这个查找的列啊放到第一列，如果我们使用微 look up 的 话，我们找的时候啊，一定是要把我们所查找的列啊放放到第一列里面才行，但是使用 look up 呢，它就没有这个限制了，我们找其中任何一列可以返回另外的任何一列 啊，如果说这个公式不是太好理解，那么呢你也可以把它收藏起来，需要用到的时候呢，我们可以直接去改变这个引用的单元格的区域啊，其他的不动它一样可以就是实现我们的达到我们的工作的目的。 第四个呢就是根据出生年月日来计算年历啊，这一个相对来说比较简单一点啊，使用的呢就是我们的 date def 函数，第一个呢就是开始日期，就是这个出生日期。第二个呢就是我们可以使用到函数啊， 就是终止日期。最后我们比较现在要计算年历，比较的就是间隔的年数，就是这个 y 啊，然后呢我们双击右下角填充，这里呢就完成了 第五个统计费用的总金额，那么我们看一下这个明细费用，这里啊各种各样的写法啊，都不相同，那么我们要把其中的金额部分把它提取出来，然后进行汇总相加， 这里呢我们是使用的这个萨姆函数，萨姆呢他就是求一个去里面的一个值，那么啊我们看一下这里最主要的是一个这个正则表达式的这一个函数啊，前面这个一乘以呢， 就是要把正则表达式取出来的文本呢变成数值啊， 这个是正则表达式的公式，现在要从哪个里面取值呢？从这个 b 二里面去取值。那么后面这一个呢，就是我们的正则表达式这一个啊，零至九后面加个点，这个符号啊，就是包含小数点的连续的数字 问号等于元呢，哎，就是表示制服之前，哎这个元之前的内容确保了只提取金额数字，如果说我们这里面其中有另外的数字啊，他前面他后面不是元，他是不会把它提取出来的。 好，我们现在看一下，把这个里面的正则表达式啊，直接给他复制进来，好复制。 然后呢在这个公式里面啊把它放进来，这样呢就可以了，我们在双击右下角填充这五个公式啊，我们平时用到的几率啊可能比较大，可以点赞收藏起来了以后再用。关注超哥，看更多干货。
83软件开发超哥
00:13查看AI文稿AI文稿构造函数就是导数拿分的定海神针，看到这些形式啊，直接构造对应的函数导数，小题瞬间就有思路了，考试再也不慌这张模板，截图保存做题直接套用！
146点滴数学
