尺规作图画球内接长方体，怎么画
画一条直线，标出 a、 b、 c、 d 分 别作线段 a、 b 和线段 c、 d 的 垂直平分线。 两条垂直平分线分别与 a、 b、 c、 d 交于 e、 f。 分 别以 e、 f 为圆心，同样长度为半径画弧，与两条垂直平分线分别交于 g、 h 连接 g h。 长方形 e、 f， g、 h 就 画好了。
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05:47查看AI文稿AI文稿同学们，今天我们来画几个常见的立体图形，首先画一个正方体， 先画一个平行四边形，然后画一个正方形， 特别注意这条边和这条边长度相等且平行，这条边和这条边长度相等且平行。另外我们再画几个生活中常见的长方体， 先画一个平行四边形，然后一个长方形，然后这条边和这条边长度相等且平行。 这条边和这条边长度相等且平行。另外生活中还有几个常见的长条的长方体， 这都是生活中常见的。另外我们还可以把这个长方体给它切割。 特别注意的是我们要学会画一个正方体，把一个大的正方体平均分成若干个小正方体， 有利于我们后续学习表面涂色的正方体。 先画一个大一点的正方体， 然后把每条棱都平均分， 我这个是把它平均分成了七份，顺次把每条棱上都平均分。 同学们在画的时候可以用直尺。 好，下面我们来思考 这个正方体被我平均分成了多少个小正方体呢？首先我们可以 一层一层的，是每行有七个， 一共有七行，然后呢有这样的七层， 所以说是三百四十三个， 这些图形呢是我们六年级常用的基本的图形。另外还有想把几个相同的图形拼到一起去。好，首先我们来看一下， 这是一个长宽高分别为五三一的长方体，我们可以在下边再画一个这样的长方体， 当然了也可以在他的右边画一个这样的长方体， 这个也是五厘米，这个也是五厘米平行线。 好，同学们加油哦！
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02:10查看AI文稿AI文稿中考不想失去指挥作图的三到五分，一分钟帮你搞定全部指挥作图！我们第一类是做一条线段等于已知线段。第一步，我们是做一条直线，在上面取一个点 a， 以点 a 为圆心， a 为半径，画圆交于一个点 b， 那 么 ab 就是 我们的所做的等线段。 第二类，做已知角的角平分线。我们第一步是以顶点 a 为圆心，任意长为半径，画圆交角的两边与 p、 q 两点。第二步，我们分别以 p、 q 为圆心，大于二分之一， p、 q 长为半径，做圆交于点 m。 那 么第三步，我们连起来， an 就是 射线， an 就是 我们的角 b、 a、 c 的 角平分线。第三类，我们是做已知线段的垂直平分线。 第一步，分别以 a、 b 为圆心，大于二分之一的 a、 b 长为半径，作圆交于 p、 q 两点。第二步，我们连接 p q， 那 么 p q 就是 线段 a、 b 的 垂直平分线。第四类，我们是做一个角等于已知角。 第一步，我们是做一条直线，在线上取一个点 o 撇。第二步，分别以已知角的顶点和 o 撇为圆心相同的半径，画一个圆，以已知角交于 n、 n 两点，以直线交于 n 撇点。 第三步，我们就以 n 撇点为圆心， n、 n 的 长为半径，画圆交于 n 撇，连接 o 撇， n 撇构成的角就是我们的已知角相等的角。 第五类，过直线外一点，做已知直线的垂线。我们第一步以点 c 为圆心做弧交， a、 b 于点 e、 f。 第二步，分别以 e、 f 为圆心，以 e、 f 的 长为半径，做弧交于点 g。 第三步，连接 c、 g， 那 么就是 ab 的 垂线。 第六类，已知三边做三角形。我们第一步做一条直线，在上面取一个点 a 撇，以它为圆心， a 的 长度为半径，做弧交直线于点 c 撇。 第二步分别以点 a 撇和 c 撇为圆心，剩下的 b 和 c 的 长为半径，做弧交于点 b 撇。第三步连接这三个点，那么就是我们所要求做的三角形。
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02:37查看AI文稿AI文稿一个视频教大家快速的画长方体和正方体。首先我们画这个后面的这个长方形，看不见的这个这组长和宽呢，我们画虚线，看得见的呢，我们画实线，然后前面这个长方形我们都画实线， 注意画的时候尽量平行就可以了，看得见的就是用实线连接，看不见的就用虚线连接，然后这个左右方向这个呢我们给它命名为长，用字母 a 表示，然后前后方向的这个是宽，宽我们用 b 来表示，就是它的高。 然后我们就可以让孩子看着这个画的长方体，说他的面的一些面积啊，或者是说这个求棱长和公式呀，是不是四条长，所以说四 a， 我 们先写一个啊，因为四 a， 然后这个宽， 然后高是四， a 是 我们用乘法分配率把四提到外面，所以说 a 加 b 加高乘四，另的乘法分配率，这是棱长和这一块。然后我们再看第二个比较重要的公式，就是表面积， 表面积呢就是先看上下面，上下面是不是长乘块，是不是 a 乘 b， 然后前后面是不是长乘高，是 a h， 然后呢侧面宽，宽乘高加 b 乘 h。 因为是有相对面吗？相对面面积相等，两分别都是两组，一共六个面，分别是前后、上下、左右，所以是我们乘二。 你要知道这个长乘宽代表是上面，然后这个长乘高呢，代表的是前面，也就是正面。宽乘高呢代表的是侧面，也就是说右面也行，侧面也可以哈，因为他有相对面嘛，所以我们乘二。但是呢他比较常考的呢，就是那种无盖或者说没有底，就是比如说那种孔明灯啊什么的那种啊， 无盖无底的呢，你就让他画完以后呢，你要看是不是谁是单独的，比如说以这个为例，比如说这个是游泳池，是不是？所以我们就只算底面，底面就是 a 乘 b， 就 长乘宽，把这个底面算出来，然后剩下的四周我们就正常的写下来 啊。这两天学完这个长方体表面积，大多数同学基础的题型都会了，但是一些变式的应用题在这块容易出错。我觉得如果你具备这种画长方体的能力，你在列的时候你更清晰一些，正确率会更高一些。好，接下来我们看这个画正方形，正方形跟这是一样的哈，我们这两个边呢，画虚线，外面的实线，然后再看前面这张画， 你自己画，不用要求太高哈，只要就是说看起来很像啊，能辅助你做题。咱不是说像美术生一样，画的非常的规整啊，我这画的也有点像长方方体哈，但是没关系啊，你就是说 很像，就能辅助做题，这个就是咱的目的哈。然后呢，因为是有六个面，六个完全相同正方形嘛，所以他的每一个棱都是 a， 他 一共有十二条棱，所以棱长和为十二 a， 表面呢，一个面是 a 乘 a， 那 六个面呢啊，简写成六 a 的 平方。但是我平时代入算式的时候哈，就说比如说棱长为三，我们一般还是这样，列三乘三，乘六前面代表一个面面积，然后乘六就是六个面的表面积，这个就是 啊，这个就是他的表面积公式，这个是他的冷藏盒公式啊。就是啊，快速的让学生给你说一遍，让孩子给你说一遍，或者他看完一遍以后呀，然后让孩子自己试着多画两遍，这样就能快速的提取公式去列式了，因为这学期时间比较短，希望这个视频能帮到大家，帮到孩子们快速的做题，正确的做题，加油！
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00:19查看AI文稿AI文稿如何在园内建够正六边形呢？首先画一个任意半径的圆，在圆周上任选一点 a， 以 a 为圆心，以 o a 的 长度为半径画弧，交圆周于 b， 继续以同样的方式画弧，依次连接 a、 b、 c、 d、 e、 f， 就 得到一个正六边形。
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10:02查看AI文稿AI文稿好，第一个视频我一定要非常认真的给大家解释一下，啥子叫尺规作图，括号七项。 你别看我这只放六个字啊，它分为三个部分，第一，什么叫尺规？第二，做图是做什么图？在哪做图？第三， 七下要做什么？先介绍尺规，在七下这个阶段，我们就用了一个工具，叫 无刻度尺尺。这个规是啥？是圆规，等到八年级和九年级会用到啊，所以七下就是一个东西。那无刻度尺尺，这是我们第一次碰到这个说法啊，你一定要明白 无刻度是啥意思，直尺是啥意思啊？他们都有潜台词的，无刻度的潜台词是无长度， 你再也不能像小学的时候一样，你画一个长五厘米的线段了，没有了，你也不能用你的尺子去量一根线，然后告诉别人他有多长。不行，我们是借助网格的数量来去算他的长度了啊，所以尺子 画不出来长度，也量不出来长度了啊。第二个，直尺，明明我们买了一套，里面除了有直尺，还有三角板呢，为什么只让你用直尺？他的潜台词是 无角度，你不能再用三角板做出一个三十度，六十度或者是四十五度了啊，当然你更不能画九十度了啊，因为有些同学很激贼啊！老师，直尺我太擅长了呀，虽然无刻度，但是我自己买的尺子上面有刻度啊， 我拿那刻度一对齐，这边一竖，不就是画了垂直吗？不行，你画的那个是你假想的，我们不认可。 那这无刻度尺尺又量不了长度，又给不了角度，那它到底能干什么呢？ 他就干一件事，画直线。有人心里肯定笑了，画直线还用你来说？不是的，画直线也分两种，你有没有注意到这个事情？你去查你的题目里边，他会有两种线，实线和虚线。那什么时候画实线，什么时候画虚线？我们只有一个原则， 对于结果用实线表示，所有你辅助得到结果的过程，用虚线表示啊。 当然，实际做的过程中我已经发现了啊，由于大家刚开始接触尺规，做图东西又很杂，往往很多老师在过程中并没有严格要求说必须画实线，必须画虚线啊。 所以稍后我们在具体讲题的过程中在解释啊，怎么去判断画哪种线啊？好，我们知道了无刻度支持，不能干什么，能干什么。但这些话并不能劝服大家，因为实际答题过程中出现了大量的伪证， 这是在其他类型知识里边很少出现的，计算题也没法伪证。当然选择题会有人会猜了，几何证明题大家限阶段要么算不出来，要么也做不出辅助线啊。简单题也不需要你伪证了。但是在此规作图里边大量存在， 我称他为马良派神笔。马良嘛，你画什么就成什么啊。这其实都叫伪正，伪正就两个特点，第一，无作图痕迹。举个例子，这是一个边长为一的最小的正方形方格。 哎，真的会有人突然点一个点，他说，老师，这就是我找的终点，上面是零点五，下面也是零点五，请问 你都没有刻度，量不出长度来了，你凭啥说这就是终点啊，所以没有做出痕迹。第二，无几何逻辑。举一个例子，以这一条线段让你过 p 做 ab 的 垂线，哎呀，你偷偷的拿出你的那个有刻度直尺， 非常像模像样的，感觉上是个垂直，而且你还非常贴心的标了一个直角符号，告诉老师，你可一定要相信我哦，这是个垂直。 不行，你没有证明你这个垂直是怎么得到的呀，所以这些 伪证都会导致你的分全扣了。刚才第一个关键词是尺规，第二个关键词叫做图，我有把它分为两部分，第一，在哪做图？ 第二，做什么图？我给了一个典型的图啊，这种图我们称它叫网格图啊，当然你会发现我这里边没有给什么 坐标系，当然加一个坐标系很简单， x y 轴一画就变成坐标系了。网格图里边有两个重要的词汇，你得明白啊。第一， 这些虚线叫什么呢？它叫隔线，网格里边的线叫隔线，然后两条隔线的这些焦点，它的名称叫隔点啊。 而且绝大部分时候它是用单位长度为一的小正方形组合起来的，所以我能够自带它的横竖方向的长度，你只用去数格子就 ok 了。 同时由于它是正方形，你确实能得到这里边的九十度啊。这是隔线和隔点的介绍等等。差点忘了，一种天才型，马良选手，他嫌题目给的网格图不够大， 自己手动人工扩大了，真是个天才。第二个， 做什么图？这我们就主要说七下了啊，因为尺规做图会从七下开始，伴随你到八上八下，九上九下一直到中考，所以它是一个非常庞杂的一个知识体系啊， 在这我会把知识结构做个介绍啊。第一种最简单的能做平移，它也是我们在坐标系里边学了点和线段的平移的知识过来的。 而平移是有两个考察方式，第一，平移扫过的面积，不管是线段扫过还是很容易错的一个三角形扫过的面积啊，还有一个小小的坑。平移的线段之间到底是什么样的关系啊？这是第一个，第二个， 有平移就能够做平行啊，因为平移就能产生平行，而平行又分为两种难度，最简单的大家最擅长就是做格点线段的平移，比如说 我的线段 ab， 两个点都在格点上过， c 做 ab 的 平行线就非常简单。但是还有一种很怪的叫非格点线段，比如说 图中给了我 a 和 b 这条线段过这一个 p 做 ab 的 平行线，此时你会感觉到很麻烦，因为这个 p 不 在隔点上，它在隔线上。 如果说平行和平行是比较基础的东西，那么到垂直这块就有一点超纲了啊，严格来说，它属于八年级上学期的一个东西，因为它用到了全等三角形的背后逻辑啊。 但是在期下确实有些题目超纲让你去做某一条线段的垂线啊，我稍后会详细解释这背后的逻辑啊。 还有做角度，做角度其实是从平行延伸出来的，因为我们说过，你的指尺你画不出来度数，你只能靠什么？靠平行能得到那三线八角的关系啊？ 所以一看到角度，我们就要想到利用平行关系。同时麻烦的是，很多同学看到刚才的网格图之后，他把平行里边两个最重要的东西忘了啥呢？ 拐点和射参就是单独让你去正平行或做平行的推理的时候，你都会一旦放到尺规做图里边，这两个东西你就感觉失忆了一样。 最后的最后是尺规作图里边最难的一类做面积，它又分为两类，第一类叫平行等积，让你去找一个特殊的点，满足 s 一 等于我的已知三角形的面积到底有多少个这样的点，你应该见过这样的题。第二类 是让你补一个点，满足特定的值，比如 s 三角形等于四点五啊，这里边的花样非常多， 好简单做个总结。后面的视频我会用各种经典题型把这五种知识讲透，同时在讲题过程中把各种马良派的风格错误案例做一个展示， 来解释为什么会扣掉你的分啊。关注梳理黑板，现在下课！
523数理黑板
06:37查看AI文稿AI文稿啊，这个时候又有同学说了，老师我练了两天了，这个直线画不直，这个直线画不直，这个时候呢，我们画长方体的时候就可以顺便练习一下垂直线的画法 啊，这个垂直线他怎么样能画的直呢？还是要利用惯性物体垂直下落啊，只要是一个重量比较正常的物体，他垂直下落的时候啊，他垂直下落的时候他就会 走直线啊，他不会说，呃，拐弯着下落啊，除非他是树叶。如果你的手啊手腕控制不要动手腕一定要打直， 胳膊就是你的大臂啊，控制好看这个手腕，手腕和手臂连接的地方 控制住，他要连接好，然后垂直下落，这样去练习速度可以稍微快一点。还有就是你画的这个铅笔啊，画的时候你的铅笔和纸的夹角 尽量要贴着纸边画，他不要，你不要这样啊，笔尖戳在上面，笔尖戳在上面，这样画，这样画很难控制的啊， 夹角小一点，尽量也是锐角的方式去往下画啊，我们这个也是顺着往下画啊，顺着这个东西往下画 啊，左右来回的画啊，因为很多同学刚开始他是他是没办法直接就说掌握了这种需要练习的手段，他一开始肯定会有一些挫折。 还有就是我们画的时候呢，尽量画长一点，什么意思？就是说这个点画到这里，那你画的时候你千万不要说只画到这里就结束了，你要尽量画出去， 这样的话能保证在这一段区间内，这个线是比较直的，当你画完了以后，你可以选择把这些多余的线擦掉啊，不要觉得这很麻烦，这是一个手段啊，你能把线画直的一个手段。 还有就是我们之前说了，这个线条呢，尽量你不管是排线也好，你还是画直线也好，你的这个线这头都要轻一点，这头 啊，中间要重一点，两头轻一点，你不管是衔接也好，画辅助线也好，它到后期呢，它有一个比较好方便操作的点，一个是好衔接啊，一个是好过渡， 过渡起来会比较自然啊。这个时候呢，我们透视的关系就是近大远小，近大远小，近大远小， 离我们最近的这条线呢，画的要清晰啊，明确一点。 然后就是我们要区分的亮面、黑面、暗面啊，我们现在的统一光源都是从左边过来啊，因为左边过来画起来会比较顺手啊。 我们第一遍呢要干嘛呢？涂色，首先把多余的辅助线呢擦一擦，稍微的擦一擦，线条呢，稍微修整一下 啊，有的同学呢画的线呢特别的细，有的同学画的特别粗啊，什么样的情况都有，刚开始画的时候呢，这都属于正常现象， 画画这个东西他不是一蹴而就的，他不是说啊，你今天学了，今天把这个方法掌握了，你就立马就会画了，你需要不断的练习，不断的试错， 不断的练习啊，可能这一笔没有那么直啊，多画几次他就会直了，因为这需要一个肌肉记忆的练习，你只有画的多了，你这才会产生肌肉记忆 啊，不自觉的就画出来了，还是虚实关系，要注意，光从上方来 就会出现，上面的颜色要深一点，下面的颜色要浅一点，因为上面的颜色深对比强烈，距离光源越近的地方呢，它对比越强烈， 距离光源远的地方呢，它的对比就会减弱。 我们顺便把这个 投影也一起啊，先简单的铺一遍颜色，我们之前也讲了，如果说你这个第一遍的颜色不够重的时候呢，我们就交叉排线啊，夹角最好不要太大， 这个锐角啊，十五度左右，十五度到三十度左右的时候是比较合适的。 let's get started i want you to。
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04:14查看AI文稿AI文稿啊，今天我们接着来学一下长方体的一个画法，首先呢也是找到上下左右啊，最高点，最低点，最左 最右， 还是上面留的少一点，下面留的多一点。我们在单体绘画的过程当中呢，需要你去把握这个构图的练习啊，后期我们会画一个两个三个组合的物体的时候再去调整 啊，在旁边画一下步骤。第一步，上下左右画的时候要注意这个长宽比例啊， 长宽比例，物体的特征，高矮胖瘦啊，就是它的特征，比如说这个物体它是高高的啊，瘦瘦的，高矮胖瘦就是它的特征。 第一步先把框架打出来，第二步，区分这个分割比例啊，我们可以明显看出来， 右边的面要大一点，左边的面要小一点，上面这个面呢就偏窄一点， 我们还是辅助线呢，尽量画这种水平线和垂直线啊，方便我们去寻找这个斜度的夹角。 第三步就是把你找到的这个比例关系啊，给它勾勾连出来啊，我们画这个长方体和之前画这个正方体呢 有相似的地方，还是找点连线，我们一共有一二三四五六七七个点位，上面四个，下面三个， 还有一个去哪了呢？还有一个啊，被挡住了，不需要不需要完全画出来。这个阶段啊， 我们在画的时候呢，理论上上下这两根线呢是平行的，学过数学的同学，但是呢， 我们根据透视原理，这个物体近大远小，近大远小，近大远小，这是透视关系啊，绘画里面的透视关系，所以呢，这两根线一般情况下是呈收缩状态的，我们现在还是 接着画，再画一遍啊，找到它的长宽比例， 左边这个面窄一点，右边这个面宽一点，这是它的特征。这个面的长宽比例啊，宽是固定的，因为我们宽要根据大的情况来画， 它的高呢就会比较窄。找到这个点上面有四个点啊， 这根线呢，它也是，它不是完全水平的，它肯定是有一点斜度的， 我们可以先画上面这个边 啊，通过上面这个边呢，我们就水平往下平移画这个面 啊，这个时候又有同学说了，老师我练了两天了，这个直线画不直， 这个直线画不直，这个时候呢，我们画长方体的时候，就可以顺便练习一下垂直线的画法啊，这个垂直线他怎么样能画的直呢？
34沐久风
01:17查看AI文稿AI文稿二模考试之后，我的后台炸了，问的最多的并不是什么选择填空亚洲题，也不是什么二次函数题，他居然是画图题，为什么我家孩子每次做画图题，他就是一做就错，说了无数遍了，他还是错，这是为什么呢？ 那你刷到这条视频，你真的是太有福气了，不管你是哪个省的，哪个地区的，只要你家里边有七年级、八年级、九年级的孩子，考试的时候有画图的题，那赶紧把这条视频看完，后面的动画讲解真的是一下子就刻到他脑子里，我就不信他还能再错， 耽误你不到一分钟的时间，赶紧分享给你身边有需要的人。这个画图的讲解真的是太全了，有需要的赶紧安排上。
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03:29查看AI文稿AI文稿大家好，我是你们的小夏老师，我们来看这一题，这一题说让我们画线段，画出射线 bc， 线段 a、 b， 直线 d、 a、 d。 用。然后二、第二小题，用圆规在线段 a、 c， 取一条线段 a、 e， 使 a、 e 等于 ac、 ab， 那 我们这题怎么画？怎么做？那我们就要用尺子，尺子画出射线 bc， 那我们就画出射线 bc， 那 射线 bc， 我 们都有人是以 c 为端点，然后 b， 然后延长，但是，但这就不叫射线 c bc 了，这就叫射线 c、 b 了。那我们应该怎么画？没错，就是以 b 为端点，以 c 为圆 延长 b、 c 延长，所以线射线 b、 c 就是 这么画。那我们看线段 a、 b， 我 们都知道线线段它，它是有两个端点的，那我们从 a 到 b， 你 看它，这就是两个端点，我们就知道应该这么画，那我们看直线 a、 d， 那 直线 a、 d， 我 们是不是也知道，直线它是两头无无限延长的， 无限两段无限延长，所以 a， 直线 a、 d 就 可以这样画。当，当然直线 a、 d， 它是两段无限延长，可以叫做直线 d， a， 那 我们再看 第二小题，用圆规在线段 a、 c， a、 c， 取一条线段 a、 e 是 a、 e 等于 ab。 到这题的时候，我们要用上我们，我们要用上圆规， 所以我们要用这个大号圆规。 暂停一下，我们把笔头拔掉，那我们看啊，它上面说了，用圆规在线段 a、 c， 取一条， 取一条线段 a、 e， 我 们先画一条 条，我们先画一条线段 a、 a、 c。 线段，线段 a、 c 是 从它线段有两个端点， 叫从 a 到 c， 那 接下来他说取一条线段 a、 e， 使 a、 e 等于 ab。 说明， 说明这什么？说明这个 a、 e 和 a、 a、 b 一 样长？那我们就量一下，量一下 a b 长多少？ 这么长，那我们来看 这 e 点是不是相当于就在这 我们就可以求出来了？ e， 这 e 点在这这题我们就做出来了，谢谢大家。
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39:27查看AI文稿AI文稿高中数学的外接球问题，其实无非就这四类模型，今天一个视频带你快速学完，认真跟上，以后碰到外接球就是送分题。话不多说，我们直接开始先来看我们的第一个模型，关于方体的一个外接球模型， 也就是如果说现在有一个长方体或者说正方体，比如说我们直接拿长方体来看哈，因为正方体就是长方体的特例嘛。 那假如说长方体的三边长分别是小 a、 小 b、 小 c， 那 么它的外接球半径我们可以直接求出来。怎么去求呢？我们来给大家讲一下咱们要找外接球的话，那说白了，我们是不是得先去找球心呢？对不对？第一步一定是要去找球心呀，那么球心在哪里呢？ 你？你就要去想球心有什么概念，有什么性质，它指的是到这个几何体各个顶点距离相等的一个点，对不对？那我们既然想找的球心满足这个性质，那我们先来想， 我们先来看上面哈，先来看这个长方体的上面这一部分，它是一个长方形，对不对？对于这个长方形，我们先来找一下它的中心呀，它的中心在哪里呢？ 中心就是对角线的焦点呀，对不对？这个中心他到四个顶点的距离肯定是相等的嘛，然后同理下底面的中心也是在这里啊，对，角线的焦点，对不对？所以我们可以找到两个中心，然后你把这两个中心连接起来，他们的终点其实就是我们想要找的球心呀， 这个很好去想哈，因为你想我们现在这里有一个 o 一， 这里有一个 o 二，对不对？ o 一 是上底面的中心，那我们过 o 一 做一条垂线，对不对？那么这条垂线上的每一个点到上底面四个顶点的距离都是相等的， 然后同理我们过 o 二也可以做一条垂线，然后这条垂线上到下底面四个顶点的距离也是相等的，对吧？然后 o 一 o 二肯定正好是垂直于上下底面的嘛？ 所以说 o 一 o 二就是那条垂线呀，所以说他们他们的垂线重合了，那就是我们要找的球心就在 o 一 o 二这条线的连线上了嘛，对不对？并且它应该是在终点处取得的， 因为根据对称性嘛，对吧？我们我们需要让它到每一个顶点的距离都相等，所以肯定是在终点处取得的。然后这个时候呢，你看你再把这个球心跟底面的一个顶点连接起来，是不是就构成了一个直角三角形了呢？对吧？ 然后在这个直角三角形里面，我们可以得到这里是垂直的，因为 o 一 o 二他一定是垂直于上下底面的吗？对吧？那他垂直于下底面的话，就垂直下底面的任意一条边，所以他肯定是垂直这条线的， 所以说我就可以得到这是一个直角三角形啊，对不对？这这部分呢，他是二分之 h， 对 吧？就是这个长方体高的一半，然后因为我们现在其实已经给他设边长了吗？三边分别是 abc， 比如说这个是 a， 这个是 b， 这个是 c 的 话，那对应的这一段就是二分之 c 了吗？对吧？然后下面的这一部分呢，我们来看一下， 那我们就要把下底面给抽出来了，这个是 a， 这个是 b， 然后对应的对角线就是根号下 a 方加 b 方了吗？然后对角线的一半的话，应该是二分之根号下 a 方加 b 方呀，对不对？所以说我们在这个三角形里面来列勾股定律的话，那就是 二分之 c 扩起来的平方，再加上二分之根号下 a 方加 b 方，扩起来的平方就等于斜边的平方，斜边的话，这个时候你看他正好就是外接球的半径吗？因为这里你看这里是球心，然后呢这个是顶点，这个顶点也是在这个球面上的，所以对应的这段连线 就是我们要求的外接球的半径 r 了，然后这里是 r 方，对不对？那我们来化解一下，就是四 c 方加上四倍的 a 方就等于 r 方， 所以说 r 方是等于四分之 a 方加 b 方再加 c 方的，对不对？那所以 r 就 等于二分之根号以下 a 方加 b 方再加 c 方了吗？ 我们是不是就求解出来了，对吧？所以说这个结论大家可以去记一下哈，你考试的时候记住结论的话，直接套用是速度要更快一点的。这个是关于我们长方体的外接球模型， 然后关于长方体这里呢我们可以给他进行隐身，因为我们考试的时候经常要考的是下面这种类型哈，就是我可以通过 补形的一个思想，我把它给它放入到长方体内，然后你利用长方体的这个基本模型，然后来进行求解。怎么进行补形呢？一般有两种，第一种是墙角模型， 比如说我们来给大家看一个最基本的墙角模型哈，这个是最基本的，然后剩下的二和三都是基于它扩展出来的哈。我们先来看一这个墙角模型，一呢，你看 它其实说白了就是在 b 点这里是不是有一个 a b 垂直， p b 垂直、 p c 呢？这三条棱是不是两两垂直呢？对吧？ 看 ab 垂直 p b， p b 垂直 bc， 然后 ab 也垂直 bc， 它们是两两垂直的。所以说对于这种，你看碰到三条，三条三条这个线交于一点，并且这三条线互相垂直的话，它其实可以放到墙角里面， 墙角的话不就是咱们长方体的一个角吗？对不对？然后你把 p a、 p、 c、 a、 c 再连接起来，这个就是一个三棱锥了。对于这种模型呢，咱们就可以直接放到长方体里面，你看你现在求出来的这个长方体的一个外接球的半径，正好就是这个三棱锥外接球的半径呀。 因为大家来想哈，我们假设这个长方体各个各个端点呢，这个是 d 点，然后这个是 a 一， 这个是 c 一， 这个是 d 的 话，现在我们是不是可以求出长方体的一个球心 o 呢？对不对？ 现在这个 o 它到 a、 b、 c、 d、 a、 e、 p、 c、 e、 d、 e 这八个顶点的距离都是相等的，那对应的它是不是到这个 p 点、 a 点、 b 点、 c 点的距离也是相等的呢？对吧？包含与被包含的一个关系， 所以说根据咱们的概念，那 o 点也就是这个三棱锥 p 杠 abc 的 一个球心了嘛，对不对？所以说它是可以把它放入到长方体里面的，然后我们对应的去求长方体的一个外接球的半径，长方体外接球的半径就是这个三棱锥外接球的一个半径哈， 然后我们这里一定要注意一个点，如果说，如果说你屁点在这里，然后你是这样的屁 a、 b、 c 的 话，那这个时候就不能放到长方体里面了哈，因为这个时候你的屁点它并不在这个长方体的顶点处呀，对不对？所以说咱们，呃，咱们到时候去画图以后，那你这个屁点 并没有在这个球面上，那这个时候不就不能放到长方体里面了哈？咱们放到长方体的前提必须是你这个几何体的顶点跟长方体的几个顶点，你看是完全重合的嘛，对不对？然后我们再来看隐身的这两种情况， 你现在呢是 p b 垂直于这个底面 a、 b、 c 嘛？然后同时满足 p b 垂直， a b 垂直、垂直 bc， 然后 a b 又是垂直 bc 的， 它满足一个三条棱两两垂直，对吧？但是如果不是这种情况的话，也可以，比如说我这里有一个 p c 垂直面 a、 b、 c 嘛，对吧？但是它这里就不满足，呃，同一个顶点的三条棱两两垂直了，这个指的是我们的墙角模型一哈， 那如果说它不满足同一个顶点的三条棱两两垂直的话，也可以，比如说现在 p c 是 不是垂直于底面 a、 b、 c 的？ 然后在 a、 b、 c 这里是不是有一个 a b 垂直 b、 c 呢？对吧？这个时候情这种情况也可以啊，因为你会发现它正好就是长方体的一部分嘛，对吧？ a、 b、 c p 正好就是长方体的顶点， 又或者说呢，你这个 p 点放到这里，你看这个时候 p a 垂直底面 a、 b、 c 也没有问题啊，对不对？所以说其实，呃，大家可以去记的话，就是我们第一种情况呢，就是有一条侧棱垂直底面，并且在底面呢，它有一个三角形， a、 b、 c 是 直角三角形，大家能理解吗？这大家可以去记的哈， 所谓的墙角模型，其实就是底面呢，有一个直角三角形，然后呢有一条侧棱是垂直底面的，大家可以这样去记哈。然后还有一种情况就是 p 点在这里， 那这个时候你会发现没有一条侧棱垂直底面了呀，但他也是成立的，因为你因为你会发现 p 点、 a 点、 b 点、 c 点，他不都是在这个长方体这个顶点处吗？对吧？所以说他同样可以放到长方体里面，那这这种情况至于什么时候补成长方体的话，大家可以根据题目你灵活去判断哈， 这是我们的第一种情况，墙角模型。然后我们再来看第二种情况，三棱锥中如果出现对棱两两相等的话，我们同样可以给他放到长方体中， 因为你想对棱两两相等，那不就是长方体相对的两个面，你看相对的两个面吗？它们的对角线肯定是相等的，相等的呀，对不对？比如说你看这里的 p、 c 是 不是等于这个 ab 的， 它们的面是全等的，上下底面是全等的，它们对角线的长度也是相等的，所以你对棱两两相等的话，可以正好放到长方体里面， p、 c 和 ab 是 不是正好对对棱相等呢？对吧？然后再来看这个 c、 b 和这个 p、 a， 它们分别是在左右两面儿嘛，对不对？那么它们同样满足对角线相等呀，然后再看这个 a、 c、 a、 c 在 前面， p、 b 在 后面，是不是同样满足对角线长度相等呢？对吧？所以对棱相等的话，非常适合放到长方体里面哈，大家这个可以去记一下。 ok， 那 我们现在也知道是呃长方体它对应的一个球外接球的一个公式了，然后我们也知道什么情况可以补成长方体了，那我们直接带大家做题来练一下。首先来看我们第一题，他说在四面体中， a、 b、 a、 c、 a、 d 两两垂直，那这个是一个很关键的条件吗？ 因为你会发现它们有一个共同的顶点 a， 对 不对？并且这三条棱还是两两垂直的，所以说我立马想到了，这不就是咱们之前讲过的墙角模型吗？所以说我们一定是要把它放到我们的长方体中的。比如说他说现在 a、 b， 你看哈，这个是 a、 b， 它垂直， a、 c 垂直， a、 d， 这个是两两垂直的呀，对吧？那我们给它连接起来，我们得到这个三棱锥， b、 d 连接起来， b、 c 连接起来， 然后剩下的里面还有 c、 d 都连接起来。我们继续读题，他告诉我们 a、 b 是 等于三的， a、 c 是 等于四的， a、 d 是 等于五的。他说如果 a、 b、 c、 d 都在这个球的球面上，问我们这个球的表面积是多少， 那要求一下这个球的表面积的话，那说白了就是求一下它的半径嘛，对不对？那我们要去求这个外接球的半径嘛，因为第一句话它其实说明了 就是我们现在这个球，它是四面体 a、 b、 c、 d 的 一个外接球嘛，对不对？外接球才会让它的顶点在球面上哈， 然后再要求表面积，说白了就是求 r 嘛，对不对？怎么去求呢？直接套公式呀，因为你现在可以把这个四面体放到长方体中，所以我们现在直接去求长方体外接球的半径就可以了。直接套公式，它就等于二分之根号下 a 方加 b 方，再加 c 方嘛， 这个时候 abc 都有了呀，你看不就是长宽高嘛，三四五都有了，所以就是三三得九四四十六，五五二十五。我们来计算一下， 九加十六呢是二十五，二十五加二十五呢是五十，那不就是二分之五倍的根号二吗？对吧？现在这个 r 有 了，求表面积，那就是四派， r 方就是我们的四分之二十五，再乘个二吗？然后这里消一下 二和四，再消一下二，再乘二十五，等于五十嘛，所以是五十派，也就是我们的 a 选项是不是算出来了，对不对？这就是我们第一题整体的一个解析思路哈，说白了就是先补成长方体，然后再利用长方体的思路进行求解。 ok， 我 们再来看一下第二题， 他说在这个三棱锥 p、 杠、 a、 b、 c 中，已知 p a 等于 b c， p c 等于 a b， p b 等于 a c， 它们分别，你看分别相等，那这个是什么意思呢？它其实指的就是对棱，两两相等呀，大家看一下能不能理解， p a 和 b c 不 就是对棱吗？对吧？对棱它的字母是完全不一样的，比如说你这个是 p a， 你 这个是 b、 c， 它们字母是不是完全不一样，对吧？字母完全不一样的，其实对应的就是，呃，对应的就是咱们的对棱哈，然后这个指的是在三棱锥中的，指的是在棱锥中哈，三棱锥， ok， 然后你看 p、 c 和 ab 是 不是字母完全不一样？ p b 和 ac 是 不是字母完全不一样，对吧？所以它一定可以放到长方体中，对棱两两相等，我们就直接往长方体里面来放。首先我们可以先把上面这个画出来，这里来一条线， 然后呢我们下面来一条线，这个是不是就满足对棱相等了呢？比如说我们这个是 p a， 这个是 b、 c 的 话，你看直接四个点出来了，你剩下的就是把这四个点连接起来呀，对不对？那我们这个时候来画一下哈，那它又告诉我们 p c 是 等于 a、 b 的 pc 和 ab， 我 们也画出来了，然后我们的 pb 是 等于我们的 ac 的， 这个再连接一下，那我们就把这个三棱锥给他画出来了。那我们画出来以后，你再表示一下各边的长度，他说 pa 呢是根号三， 然后我们的 ab 呢是根号五，然后我们的 pb 呢是根号六。那么大家来看一下 这道题有一个易错点呢，就是大家会想到把它放到长方体里面，对不对？然后接下来肯定想的是要求长方体的外接球的半径吗？有些同学会直接这么去求， r 就 等于二分之，根号下，根号下什么呢？ 嗯，根号下根号三的平方，加根号六的平方，再加根号五的平方。有些同学会这么去求，这样去求对不对呢？大家可以在弹幕里打一下，这样肯定是不对的。为啥不对呢？因为我们讲的那个公式里面 里面对应的是 a 方加 b 方再加 c 方，这里的 abc 是 长方体的长宽高呀，对吧？所以说在这个图里面，你得到的是对角线的长度呀，不是长宽高呀，长宽高我们现在不知道呀， 所以说你要分别设它们是 abc， 然后我们来进行求解。比如说在这个图里面，我们发现 a 方加 b 方是等于六的， 我们在前面的这个长方形里面列勾股定律不就行了吗？对吧？然后同理我们可以得到 b 方加 c 方是等于五的， 然后 a 方加 c 方是等于三的，对吧？那我们现在想知道 a 方加 b 方加 c 方的一个呃，一个值是多少？那我们对应的就把这个式子相加呗。左边相加得到二， a 方加二， b 方再加二， c 方就等于 六，加五再加三就等于十四，所以 a 方加 b 方加 c 方是不是就等于七呢？对吧？所以它就等于二分之根号七，这个是它的半径，现在要求体积，那就是三分之四 pi 再乘 r 的 三次方就是八分之七倍的根号七了嘛。 我们来化解一下，那对应的应该是六分之七倍的根号七派了吗？所以答案就是我们的二 b 选项是不也就做出来了呢？对吧？这道题呢，它对应的解题思路也就是先把它放到长方题里面，然后再套公式进行求解就可以了。这是我们关于方体的一个外接球模型哈。 ok， 然后我们继续往下看，再来看第二个模型，关于圆柱的外接球模型。这个其实也很简单，我们想找圆柱的外接球，那就是找一下圆柱他外接球的球心在哪里吗？要找一个点 对不对？找一个点到他各个顶点的距离是相等的，对于圆柱来讲的话，就是对上下底面的每一个点，上下底面你看圆周上的每一个点的距离都是相等的，那我们还是一样的。我们先来求一下上底面 他对应的中心应该是在这里啊，因为他上底面本来就是一个圆吗？那肯定找的是上底面的圆心啊，对不对？上底面可以找到一个圆心，下底面可以找到一个圆心。他俩连线， 他俩连线以后对应的这条线肯定是垂直于上下底面的吗？对吧？这个是圆柱的结构特征，几何特征哈，这个就是没有什么要多说的了，就应该直接就能理解清楚。所以说我们现在做出一条线，对吧？这条线他是垂直于上下底面的， 然后我们现在想找一个点到上下底面，圆周上每一个点的距离都是相等的，那说白了就是这个点要到上下底面的距离相等吗？因为 因为对应的，你看我们可以列勾股定律吗？对吧？上下底面的半径是一样的，那你如果说想让他到圆周上的点的距离也相等的话，那你对应的另外一条直角边的长度得相等吗？ 那另外一条直角边的长度想让它相等的话，那不就是直接把它的高一分为二吗？对不对？所以说我们现在大概就想清楚了，它对应的这个球心呢，就是把上下底面的圆心连线，然后取一个中点，然后把这个中点作为的就是我们的球心， 然后这个球心呢，你在和我们圆周上的一个点进行连线，然后这里我们就可以构成一个直角三角形了， o o e 是 垂直底面的，对不对？ 所以 o e 肯定是垂直这条线的哈，肯定是垂直我们 o e m 这条线的，所以这里是直角，那对应的这个斜边肯定是我们要求的外接求的半径 r 了嘛，对不对？然后这个 o o e 的 话，就是二分之 h， 这个 m o e 的 话，就是咱们底面半径小 r 嘛，对吧？那这个时候你直接列勾股定律 r 方是不是就等于根号下四分之 h 的 平方呢？是不是直接就求出来了，对吧？这个就是我们对应的一个公式哈， 这个公式的话，大家也不用非要去死记硬背，因为考试的时候你直接列个勾股定律就是，很快我们就可以列出来了哈，这是 关于圆柱的外接球模型，然后我们还是一样的，那我们碰到什么几何体可以补成圆柱呢？这里大家可以直接去记哈， 我们经常补充圆柱的图形呢。第一种情况是一条侧棱垂直于底面，因为大家来想一条侧棱垂直于底面，那这个侧棱对应的你看不就是我们圆柱这里的侧棱吗？对吧？你看侧棱垂直于底面，现在呢，我们从圆柱里面抽一部分的话，那不就是一条侧棱垂直底面，底面是一个圆周，对不对？ 那你想，那你如果说想补成圆柱的话，那你这个底面这个图形只要能放到这个圆周里面不就行了吗？那一般都是可以放到圆周里面的呀，对不对？所以说，比如说大家来看右面这个图， a b c p 很 明显 pa 垂直底面嘛，对吧？然后这个底面 abc 是 不是就直接放到这个圆里面了，对吧？很明显是没有问题的， 因为我们随便给一个三角形，我们肯定是可以画出它的外接圆的交点嘛，所以说你肯定是可以放到底面这个圆周里面的， 这是我们对应的第一种情况，大家就记住，如果碰到侧棱垂直底面，然后我们就放到圆柱里面就行了。然后第二个呢，是直棱柱，直棱柱的话也很好理解呀， 你想想圆柱长这样子，那直棱柱的话，不就是把上下底面的圆周变成一个三角形了吗？或者说，呃，或者说四边形，你看还是一样的呀，就是在上下底面的圆周里面各自取了一个几何图形吗？对吧？ 这是我们的直楞柱，大家可以去记住哈，这两种情况，那我们现在给大家做题来练一下，比如说这道题，他说在三楞柱 a b c 杠 a b c 一 中已知 a a 一 垂直底面 a b c， 那 大家来想，三楞柱加上侧楞垂直底面， 那可以得到什么呢？说明他是一个直棱柱呀，对不对？因为侧棱是互相平行的，你有一条侧棱垂直底面，那其他侧棱也就垂直底面了，所以他就是一个直棱柱了。那他既然是直棱柱，如果说要研究外界球问题的话，我们的解析思路就是直接把它放到圆柱里面，非常清楚哈，这就是我们的解析思路， 那他现在告诉我们测棱 a a 一 等于二， ab 等于一角， a c b 等于三十度，那我们大致画一下哈。首先我们先把那个圆柱画出来，因为咱们最终肯定是要放到圆柱里面进行求解的嘛，然后我们又讲过了，圆柱的话，球心直接取在这里，你看正中间嘛，对吧？然后和底面的一个点连接起来， 然后呢对应的往下做一个垂直，对不对？然后这个是我们的小 r， 这个就是我们外接球的半径 r 了， 现在我们肯定想知道 h 和小 r 的 长度对不对？说白了就是求这两个嘛，那 h 的 话现在知不知道呢？其实是知道的，因为这个三楞柱的话，它告诉我们 a a 一， 你看侧楞 a a 一 是等于二了， 那大家来，大家来想哈，我们直接画一个，我们画一个棱柱吧，大概有一个棱柱长这样子对不对？现在它的侧棱不就是我们圆柱的侧棱吗？对不对？所以它的高是二，那就对应的我们圆柱的高是二，所以说二分之 h 是 等于一的，那关键就是求小 r 了，小 r 怎么去求呢？ 那不就是求一下底面这个三角形，它外接圆的一个半径了吗？对吧？那我们假设这个是 abc， 我 们把它拎出来哈， 你看我们给他拎出来以后，他告诉我们角 a c b 呢？这里是三十度， ab 是 等于一的，那这个时候如何去求外接圆的半径 r 呢？这里给大家总结一个方法，大家可以去直接去记住哈， 他利用的就是我们的正弦定律，大家直接记住这个方法在外接球里面非常非常非常常考哈正弦定律。怎么去利用正弦定律呢？正弦定律的话，你看对边比对角，一比上乘三十度， 一比上三十度，他是不是就等于二 r 呢？对不对？咱们之前公式里的这个大 r 其实指的就是外接圆的一个半径，然后在我们现在这个体盖里面，他是用小 r 来进行表示的， 剩三十度不就是二分之一吗？一比二分之一不就是二吗？二等于二 r， 所以 小 r 是 等于一的呀，对不对？那小 r 是 等于一的话，我们是不是可以直接勾股定律了？那对应的大 r 是 不是就等于根号二的？它现在要求体积的话，那不就是三分之四 pi 再乘个 r 的 三次方吗？也就是二倍的根号二， 那不就是三分之八倍的根号二 pi 了吗？是不是直接求出来了？答案就是我们关于圆柱外接球模型哈， 我们来总结一下我们的解析思路，就是我们看到值楞柱，于是想到他应该去补成圆柱，然后呢我们就画一个圆柱出来，我们利用这里来进行勾股定律，然后这里我们又涉及到如何去求小 r， 那 小 r 如何去求呢？他涉及到的解析思路又是通过正弦定律来进行求解，这个都是非常固定的，大家直接记住就可以了。几乎百分之九十以上的外接球模型，我们都是用这一套解析思路哈， 所以说我们讲到这里也可以给大家总结一下哈，就是你会发现所有的数学题，除了外接球模型，其他的那些你觉得稍微有一点难度，你觉得做不出来的题目，本质都是因为你没有去学系统的他对应的一个解题通法解析思路。比如说你可以想一想， 你现在是不是经常会发现上课听得懂，但是一道做题就没思路了，或者说呢，这个题目稍微变一下形式，你就不知道去往哪个方向思考了。大家可以想一想，你现在有没有这种情况，有这种情况的同学可以在弹幕里打一个真实， 咱们所有的这些同学，你仅仅只是因为你没有学对东西，没有人去教你。数学，他不同板块可以分别总结出来什么题型，然后不同题型他对应的解析思路，解析方法是什么？ 你没有按照这个逻辑去学，那成绩提不起来当然不奇怪了呀，对不对？所以大家如果也存在这些问题的话，你可以通过这里加我，加到老师以后呢，你可以把你的成绩以及你现在的学习困惑发给我，老师来告诉你，你现在到底为什么提不了分， 以及老师可以教你如何去学不同题型以及不同题型对应的答题思路哈，老师都可以把这些方法分享给你。 ok， 那 么这就是我们第二个模型了，我们继续往下看。再来看我们第三个模型，关于圆锥的一个外接球模型， 他说如果圆锥高是 h， 底面半径是小 r， 母线长是 l 的 话，那么他的外接球半径 r 是 等于这个的。我们来给大家拖一下，为什么 圆锥的话还是一样的思路，我们要找一个点到各个顶点的距离是相等的吗？对吧？圆锥的话，他的顶点和底面圆周上的每一个点，他是正好在这个球面上的哈，所以说我们要找一个点，你看到这个球，呃，到这个圆面上的每一个点以及到这个顶点的距离是相等的， 那么大家来想底面这个圆面的话，那肯定找圆心 o 一 啊，对不对？然后过 o 一 做一条垂线，那这个垂线其实正好就是这个圆锥的高吗？因为圆锥的高是垂直底面的，这个我们都知道，对吧？所以其实就是在这条线上，在这个高上找一个点， 找一个点，到底面圆周上每一个点的距离是相等的，并且到这个顶点的距离也是相等的，那我们就任意取一个点，这个为 o 呗，对吧？那对应的这一段我们设成 r， 那 这一段也是 r 了呗，对不对？所以说我们就可以得到那剩下的这一段 o o 一 呢？大家来看， 那剩下的这一段 o o 一， 它不就是 h 减 r 了吗？对不对？因为它总的长度，你看总的从这个 o 二到 o 一 的话，它的长度是 h 嘛？所以 o o 一 就是 h 减 r 了，然后下面这个是小 r 呀，对吧？所以我们所以说我们是不是就可以得到 r 方，是等于 h 减 h 减 r， 阔下的平方再加上小 r 方呢？对不对？我们是不是可以这样列方程，对吧？然后这里其实还有另外一种思路，我们从圆锥这里开始，就可能涉及到两种情况了哈，比如说在这里你看这个圆锥可能比 点一点呀，对不对？那这个时候呢，这段对应的是他的大 r， 然后里面这段呢，对应的是他的 h， 他的大 r 是 要大于 h 了，所以说我们再在这里来列勾股定律的时候，大家来看一下哈，还是一样的思路，斜边是大 r 对 不对？然后这一条直角边呢是小 r， 然后对应的 o o e 就 变成 r 减 h 了，所以说我们列的勾股定律呢，是 r 方就等于呃 r 减 h 括下的平方再加小 r 方，大家来对比一下这两个方程，其实你会发现它求出的结果是一样的， 因为它的区别就在于这里嘛，一个是 h 减 r 的 平方，一个是 r 减 h 的 平方， h 减 r 和 r 减 h 它俩肯定是互为相反数的呀，对不对？然后后面加了一个平方，所以他们最终得到的值也是一样的哈， 所以这也就说明了大家考试的时候，你不用刻意的去分情况讨论，你就直接去按一种情况来列方程就可以了，然后最终求出来的结果其实是一样的哈，这是我们关于圆锥的一个外接球模型，然后对应的我们什么时候补成圆锥呢？ 那就是侧棱长相等的一个棱锥，比如说正棱锥，它的侧棱长肯定是相等的嘛，对吧？然后如果指示侧棱长相等的话也可以哈，那比如说大家来看你底面的话，你可以任意取一个三角形或者四边形或者五边形都可以嘛，对吧？反正你都可以放到这个圆周上， 然后呢，你这个顶点 p 到各个顶点的距离相等，那对应的不就是圆锥的母线相等吗？对吧？所以说如果碰到侧棱长相等的棱锥的话，你就直接放到圆锥里面进行求解就可以了。 比如说我们这里来给大家做个题，举个例子，他说在三棱锥 p 杠 abc 中，三角形 abc 呢，是一个等边三角形 p a 等于 pp 等于 p c， 你 看这个是一个非常关键的条件，他告诉我们侧棱长是相等的，对吧？ 那碰到侧棱长相等的话，我们对应的解题思路就是要给他补，我们要补形对不对？我们要给他补形成圆锥，然后利用圆锥的思路来进行求解。 那我们这个时候先把圆锥画出来，我们大致画一个这样的圆锥，对不对？然后呢你把高再做出来，这个是它的高，然后呢我们的球心在这里对应的，把这个三角形我们画出来， 对应的这个是大 r， 这个是小 r， 这个是这个是 h 减 r， 对 吧？那我们就是要表示这个小 h 以及这个 r 了。那我们现在把这个三棱锥， 我们把这个三棱锥再画出来哈，它这个三棱锥里面呢告诉我们的条件，比如说这个是 a、 b、 c， 这个是 p 点的话， p a 等于 p b 等于三，然后 p a 呢是垂直于 p b 的， 也就是这里是垂直的，那大家来想 p a 等于 p b 是 等于三的， p a 垂直 p b， 那 么斜边 a、 b 的 长就是三倍根号二了吗？所以我们现在就知道这个底面呢，是一个边长为三倍根号二的一个等边三角形，因为他已经说了嘛， a、 b、 c 是 等边三角形呀。 那这个时候我们想求这个小 r 的 话，如何去求呢？这个小 r 就是 他外接球的一个半径吗？对吧？那这个时候呢，如果说你记过一些公式的话，那你就可以直接套公式，等边三角形外接圆的半径呢，他对应的是三分之根号三 a a 呢指的是边长，所以就是三分之根号三，再乘个三倍的根号二，它其实是等于根号六的，这个是我们记结论的话可以快速得到的，那如果说不记结论的话，你直接做个垂直，然后呢？我们对应的三等分点，你看三等分点下面， 呃，靠近边的这一个点对应的就是我们外接圆的一个圆形 o 了，然后我们想找到外接圆的半径的话，那不就是 o a 的 长度吗？对吧？就是这个高的三分之二， 你如果非要去求的话，也可以去求哈，这里我们就不多说了，反正我们现在知道小 r 呢是根号六，对不对？所以说这块就有了这个小 r 是 等于根号六的，现在我们要求 h， 那 h 如何求解呢？大家来想一下，那我是不是要过点 p 向底面做一个垂线，然后正好交于底面的中心 o 点啊？ o 一 吧，正好交于底面的中心 o 一 点，这个 o 一 其实就是我们刚才求的这个 o 一 啊，大家来看就是外接圆的圆心啊，对吧？那我们是不是可以把 b o 连接起来？ p o e 肯定是垂直底面 a b c 的， 因为我们现在做的是一个高嘛，所以 p o e 肯定是垂直底面的，所以这里是一个直角三角形， b o e 的 长度就是咱们这个小 r 呀，就是根号六呀， 然后斜边是三呀，对不对？所以说 p o e 的 长度呢，它就是根号下九减六，就等于根号三，也就是我们的 h 是 等于根号三的，所以这里就是根号三减 r 扩起来的平方再加上， 呃，小 r 呢是根号六，那就是加上六了呗，对不对？根号六的平方是六嘛？化简一下 r 方就等于三减二倍，根号三 r 再加 r 方再加六，这个时候左右两边 r 方消掉了， 然后对应的呢，就是九等于二倍的根号三 r， 所以 r 呢，是等于九除个二倍根号三的， 也就是我们来化简一下，也就是二分之三倍的根号三嘛。然后我们要求体积，那对应的就是三分之四 pi， 再乘 r 的 三次方，那就是八分之二十七，再乘个三，再乘个根号三嘛，对吧？我们来化简一下 四和八，消一下，这里变成了二，然后三和三消掉了，那就是二分之二十七倍的根号三派吗？所以答案就是我们的二 b 选项是不是也做出来了，对吧？这个是关于圆锥的外接球模型哈。 最后呢，我们再来看圆台的外接球模型，跟之前是一样的思路，先来找球心，那么圆台包含上下两个圆面吗？对吧？那我们可以先取上底面的圆心 o 一， 再取下底面的圆心 o 二。 那你想哈，我现在是不是 o 一 到上底面圆，上面的每一个点距离都是相等的，对吧？那我做一条垂直，这条垂直其实就是 o 一 o 二这条线了吗？对吧？在这条线上的每一个点 到上上面这个圆，他的每一个点的距离是相等的，因为你来想，你看你到上底面，你任意做一个直角三角形， 它对应的这段长度是不是一样的，然后这个都是小 r 吗？对吧？你看，你在上面任意取一个点构成的这个直角三角形，它的直角边两个直角边都是一样的，所以斜边长度肯定是一样的吗？对吧？然后同理在这条 o 啊 o 一 o 二这条线上的点到 o 二的每一个点的距离也是相等的，对吧？他们各自到上下底面每一个圆周上的点的距离是相等的，但是我们现在想找一个点让他到 上底面，你看上底面圆上一个点的距离和它到下底面圆上某一个点的距离是相等的，那这个 o 的 话就不能在正中间了。为啥呢？因为你想， 你看，你看我现在画出来的这个图，上下是不是分别可以构造呃，构造一个直角三角形，可以列勾股定律呢，对吧？然后这里是 r 一， 这里是 r 二，它的直角边已经不一样了，它的一条直角边不一样了，那另外一条直角边必须也得不一样，才能满足让它斜边相等，大家能理解吗？它已经不是全等的三角形了哈， 所以说对于圆台来讲，他的球心一定不是呃，在这个正中间的哈，一定不是。在这个，你看上下底面连线取中点一是一定不是在这个中点处取得的。然后第一种情况就是咱们这种情况， 这个球心 o 正好是在圆台内的，然后还有一种情况呢，就是这个圆台扁一点嘛，对吧？然后这个时候这个球心 o 他 就是在外侧了， 那这个时候怎么去列方程呢？我们先来看第一种情况哈，这个时候我们可以从高这里入手来列方程，这个时候你看 o o 一 再加上 o o 二，是不是等于 h 呢？对吧？所以说我们就把这个标成 h 一， 把这个标成 h 二，我们利用 h 一 加 h 二等于 h 来列方程，这个时候 h 一 它是不是根号下 r 的 平方再减 r 一 的平方呢？对吧？然后再加上根号下 r 的 平方，再减 r 二的平方，它是等于 h 的。 你就考试的时候，你就这样去列方程就可以了啊，因为你要求的 h 一 般是可以求出来的，然后 r 一 r 二也是可以求出来的，这三个量求出来，然后再去列方程，求这个大 r 就 可以了。然后左边这种情况是什么意思呢？那这个时候呢，你看我们再来列方程的话，这个 o o 一 它对应的 既不是我们的高，也不是我们外接球的半径，那这个时候怎么列方程呢？还是去找高之间的关系， 会发现 o o 一 减去 o o 二，是不是就等于 o 一 o 二了呢？那这一段不就是 h 了吗？对吧？所以说我们可以设这个是 h 一， 这个是 h 二，现在我们可以得到 h 一 减 h 二是等于 h 的， 也就是你看我们设它斜边分别是大 r 嘛，对吧？然后这个是 r 一， 这个是 r 二， 也就是我们根号下 r 方，再减 r 一 的平方，然后这里是减法了，就变成减法了哈，再减去 h 二，就是再减去根号下 r 方，再减 r 二的平方，就等于 h， 我 们这里可以列这样的方程。所以说你会发现这两种情况其实是不太一样的哈，因为一个是减法，一个是加法，大家反正记住 h 一 加减 h 二是等于 h 的 嘛，对吧？这里，对呢，是有一种情况成立，有一种情况不成立的，因为他不可能。你看这个球心记在 既在圆台外，又在这个圆台内吗？不可能吧，肯定是二取一吗？对吧？那具体取的是哪一个呢？你就可以把这两个方程都列一下嘛，反正就是一个加减号的一个问题，计算量也不会变得特别大，你可以都列出来，然后最后看一下哪种情况成立就可以了，这是我们对应的圆台的解体思路哈。 然后什么图形图形经常补成圆台呢？对应的就是棱台了哈，因为你想想棱台的话，不就是上下，你看上下底面分别取多边形放到圆台内嘛，然后构成一个棱台，棱台也是可以放到圆台内的哈，这个很好理解，大家记住就行了。 那我们这里直接做题来练一下，他说已知正四棱台 a、 b， c， d 杠 a， b， c， e， d， e 的 上下底面边长分别有了，对不对？然后如果该棱台的体积有了，问我们棱台外接球的体积， 那么大家来想，他既然是一个棱台，那我直接放到这个圆台里面就行了呀，对不对？所以说老师把图放到这里了哈，方便我们一会来进行理解哈。那这个图里面呢？大家来想，既然已经放到这个圆台里面了，那我们就直接来列方程呗。圆台的方程是什么呢？ 那你就一般，一般你可以记这个图吗？这个图一般看起来简单一点，或者说你喜欢记前面这个，你也可以记前面这个哈，然后老师习惯呢，是用右面这个图 看，这个是 h 一， 这个是 h 二，这个是大 r， 然后这个是 r 二，这个是 r 一， 对不对？你把这个图放放到这里，你就立马就能想到这个方程怎么列了，它对应的不就是 h 一 加 h 二是等于 h 吗？ 对吧？那对应的不就是根号下 r 方再减。 r 小 r 一 的平方再加上根号下 r 方，再减 r 二的平方就等于 h 吗？对吧？那我们分别来求一下啊。 r 一 和 r 二，这个时候 r 一 的话，是我们上底面外接圆的一个半径， 那上底面外接圆的半径是多少呢？你看上底面呢？他是一个，呃，他，他是正四棱台，所以上底面是一个正方形，这个正方形的边长是根号二， 那他外接圆的半径的话，那对应的不直接就是对角线的交点，也就是对角线的一半吗？对吧？根号二，根号二，所以对角线呢，就是二了，那他的一半呢？就是一了呗，对吧？所以说 r 一 r 一 是等于一的，然后再来看 r 二，同理它的边长是二倍的根号二，那么斜边呢？斜边就是四了呗，对不对？ 那四的一半呢，就是二，四的一半是二，所以说 r 二是等于二的，现在这两个都有了，再来求一下 h， h 等于多少呢？他说这个棱台的体积是三分之十四的，十四倍的根号三，我们来直接上体积公式。 棱台的几何式呢？是三分之一乘 s 上加 s 下，这个时候 s 上呢，是根号二，乘根号二，那就是二了嘛，对吧？ s 下呢，就是二倍的根号二，再乘二倍的根号二，也就是它的平方，也就是四，乘二就等于八嘛，对不对？然后再加上 根号下， s 上再乘 s 下，二乘八等于十六，根号十六不就是四嘛，对不对？然后再乘 h 是 等于三分之十四倍的根号三的。我们来化简一下，左右两边三分之一和三分之一消掉了。 二加八等于十，十加四等于十四十四， h 等于十四倍的根号三，那不就是 h 等于根号三吗？现在 h 也有了，我们来解这个方程，对应的呢，就是根号下 r 方减一，再加上根号下 r 方减四，是等于什么呢？是等于根号三的， 那这个时候如何去求 r 呢？对不对？他是双根号的，解起来肯定是需要稍微计算一下的，那这里呢有两种思路，第一种是你直接猜，第二种呢是计算。我们先来讲第一种直接猜的话，怎么猜呢？ 就是你先给 r 限定一个范围，因为它是带根号的嘛，根号需要满足一个性质，就是根号下的数必须大于等于零，所以说这里我们需要限制 r 方大于等于一， r 方大于等于四，所以说这个 r 方他肯定是要满足右边这个嘛， r 方大于等于四嘛，那咱们就来给 r 方来赋值，你看看，我们把 r 方看成一个整体，我们对它赋值， 它要大于等于四，那我们就从四来试一下呗，如果当它正好等于四的话，这里就变成根号下四减一，就变成根号三了，这里呢就变成零了呗。根号三加零正好等于根号三呀。哎，你看这不就猜出来了吗？很明显是没有问题的，所以说你可以去猜哈，但是有些时候猜不出来，那这个时候就要硬算了，怎么硬算呢？ 大家来想哈，这个时候呢，它是有两个根号，那我们就一个根号，一个根号的去去，我们先来去第一个根号，比如说我们把其他的全部移到右边 根号下 r 方减一，是不是就等于根号三，再减去根号下 r 方减四呢？对不对？我们先把一个根号拎出来，然后这个时候左右两边我们同时平方，就可以得到 r 方减一就等于三，加上 r 方减四，再减去二倍的根号下根号下三乘个 r 方减四，也就是三 r 方再减十二，我们左右两边把 r 方消掉了，然后三减四呢？等于负一，负一和负一消掉了。哎，那就直接变成零了呀，零等于负二倍的根号下 三， r 方减十二嘛，也就是二倍的根号下三， r 方减十二等于零，所以肯定是里面这一坨等于零呀， 所以三 r 方减十二是等于零的，那 r 方就等于四了呗，所以 r 一定是等于二的呀，是不是？求解出来了对不对？ 那对应的这道题要求什么呢？要求外界球的体积，所以三分之四 pi 再乘 r 的 三次方就是乘个八嘛，四八三十二，所以三分之三十二 pi， 答案就是我们的二 b 选项， 是不也就求出来了呢？对吧？这是关于圆台的一个外接球模型哈， ok， 那 以上就是咱们关于外接球问题的一些必考题型了，但是老师说实话呢，你光学会这一个模型，他顶多呢只能让你在这个板块多拿几份，对不对？我们高中数学真正想提分的话，拼的根本不是你刷了多少道题，而是你底层的一个学习逻辑。 咱们很多同学可能不知道，老师我以前数学也是一个不及格的底子呀，但是为什么我在高考前能一路逆袭到多次满分呢？为什么我能从二本的水平最终逆袭到 九八五的一个水平呢？就是因为老师发现了一套极度理性的一个数学提分系统，因为题海战术救不了提分，但是对的方法可以， 老师我把我自己从不及格到多次满分的所有底层学习方法以及避坑指南全部整理成了一节内部逆袭方法课。大家想数学快速提分的，你可以通过这里加我，这节课老师免费发给你，你花半个小时看完就能立刻停止你的低效无效努力。 最后呢，千万别忘了三点加关注，小马老师接下来会继续更新我们高中数学的一些必考题型以及对应的解析思路。那我们就下期视频再见了，大家拜拜！
1705小曼老师的数学课
05:58查看AI文稿AI文稿不了，好家长们，今天我们要讲的是尺规作图，把三角形、长方形、正方形、平行四边形各边画在同一条直线上。那么这个题型我预估是期末考试必考的内容。 其实尺规作图还有一部分内容，就是我们在二单元学的用尺规作图，画已知线段的等长线段。那么其实这个题 之前这个内容呢，是我们今天要讲内容的基础。那么你把三角形、长方形、正方形还有平行四边形的几条边分别画在同一条直线上，其实就是画每一条边的等长线段，所以我觉得这部分内容它是 考试的重点，那么今天我们通过一个视频来重点的讲一下，那么它的步骤还有注意的事项。 先我们先讲一下，把三角形的三条边画在同一条直线上来，一定要让孩子记住，第一步是给每条边标上字母， 也相当于给每条边像人一样起上名字，呃，我们一般是用小写字母 a、 b、 c。 好了来第二步，我们一般是先画一条直线，接着别忘记标上一点，因为考试时候他可能提前已经给你画好一条直线了。那么孩子经常会什么呀？ 忘记标上这一点，这是端点好了，那么下一步我们就要分别用我们的圆规量出三条边的长度。首先我们来量一下 a 边， 好用你的针角固定在你刚才画的端点上来画弧，注意一个问题，这个弧一定要长一些，而且要穿过这条 直线，画完了之后接着标上字母 a， 表示这条线段就是代表三角形 a 的 长度。好，画完之后量出线段 b， 然后注意一个问题，要首尾相接，比如说 a 的 末尾结束点就是什么呀？就是下一条线段，下一条边的 起始点。好在画弧，注意弧要长一些，穿过直线。好，画完之后接着标上字母 b 表示的是你这条线段是画的是 b 边的长度，接着依次量出 c 的 长度，依然首尾相接。好在直线上画弧，注意弧要穿过直线。记住，我也告诉孩子们，一定要这个弧画的长一些啊，不要让别人产生误会，你是用手画的。好了，标上字母 c， 那么三角形的三角边就分别画在了同一条直线上，关键是别让孩子忘记标端点，而且要首尾相接。第一步，千万别忘记让孩子标上字母， 好，接着我们画一下，把长方形的四条边，那么画在同一条直线上。呃，其实这个是，嗯，三角形的三条边画在同一条直线的一个扩展。呃，但是你也要会啊，因为我们这学期学了长方形和正方形。 好了，来，第一步依然是和三角形一样，给每条边标上字母，也就说起上名字，但是 有一个关键点是什么？长方形的关于边的特征，他的对边相等。所以如果你给他的长起了名字叫字母 a， 那 么他的对边也是 a 啊。如果你给字，你给他的宽起的名字是字母 b， 那 么他的对边另一条宽也是 b 啊，这一点尤其要注意，而且这样会帮助你节省步骤。 好，第一步，标完字母之后来第二步，画一条直线，并标一点，依然和三角形一样。如果考试的时候，那么已经给你画好一条直线了，之后千万别忘记标一点，那平常孩子最容易犯的这个错误，就这一点 好了，编完一点之后，你用圆规，首先你可以先量出 a 的 长度来，注意一个问题，量出 a 的 长度来之后，你要画几条 a， 因为对边相等，所以你要画两条 a 来，穿过直线，注意要长一点。好了，首尾相接。 好啦，画完之后别忘记接着标上字母，两个 a 必须都要交，都要标，表示你画了是它的两条长。 好啦，来画完长之后，接着开始量宽的长度来，首尾双肩一样的画，量出一条宽来，我们要画两条宽。 好了，画完之后别忘记标上字母 b。 这里有一个关键点是什么？有的孩子是画完一条边 a 呃，长之后 他怎么办？他接着再画另一条呃，宽 b， 那 你这样子要量四次，划四次，那么我们的方法是什么呀？量完长呃，长之后接着画两条长， 连完币之后接着画两条币，那么你只需要量两次，这样可以大大节省时间，而且减少出错的概率。
03:43查看AI文稿AI文稿尺规做图是中考的必考题型，特别是我们徐州中考每年都要考，而且的分值还不低，那很多孩子拿到这个做图很容易蒙，不知道从哪下手。首先他们要知道，所有的尺规做图在中学阶段其实就是五种基本的类型。 第一种就是做一条线段等于已知线段。第二个做一个角等于已知角。第三个做已知线段的垂直平行线。第四个做一个角的角平行线。第五个过一点做已知直线的垂线。这个点呢，可能在这条这个直线上，也可能在直线外， 就这五种基本类型没有了。所有的中考尺规做图题，不管多复杂，都是由这五个基本操作组合过来的， 他就像一个什么很复杂的机器，但你拆开之后，你会发现他其实就这几个螺丝和几个螺母。所以第一步你们一定要把这五种作图法练到肌肉记忆，不用想就能画出来。题目当然不会考这么简单，题目是怎么考？是把这五种基本的做题法给他组合在一起。 所以说孩子们你不是不会画，而是不知道从哪开里开始画，画哪一条，画哪个线段，还是画哪个角。先把这个图假设给他画出来， 你不知道这个图的精确，怎么画，但是我可以画一个大概的模糊的样子，把这个图形大概的样子给他画出来之后，然后再去反过来，再逆向去推。哎，我想把这个图画出来，我需要画哪个线段，我需要画哪个角，平线我是画哪个角， 这就逆向推力。给大家举个例子，比如说我们在一个等边三角形里面画一个正方形，这个正方形的四个顶点都要在这个 三角形的边上，那么先大概画出来，它大概应该这个样子，我们不难够发现这个四边形的四个点，其中这两个点一定是和这个中间的这个对称轴是对称的， 对吧？然后呢会自己观察，哎，这个角等于六十度，然后呢这个边和这个边相等， 所以说我们发现这最后啊来总结，发现这个是六十度，这是九十度，这是一百五十度，所以这个角和这个角，这个边和这个边也相等，因为它是个等边三角形，所以这个边等于这个边，这个边也等于这个边，所以这个三角形它是一个等腰三角形，等腰三角形之后，那这个就是十五度， 哎，我发现这个角是六十度，六十度到画一个十五度就可以了，所以我只要把这个角做出一个十五度的角连在一起，那这个点 就出来了，这个顶点就找出来了。所以说我现在就开始把这个题变成什么，就变成哎，先去把这个角给他平分，画一条角平分线，得出一个三十度的角，然后再把这个三十度角再给他进行一次平分，得出一个十五度角，这个 正方形就画出来了。所以尺规作图这个逆向思维很，就是说我们不要先去想那个过程，你先把那个结果画出来，把那个目标图形先画在你的脑子里，或者用铅笔画个草图，然后问自己这个目标图形和已知条件之间差了什么， 对吧？然后根据我们的目标去找他的已知条件，找出来之后你会发现这些关系无非就是平行、垂直、等距，而平行、垂直、等距这些就是你前面练的那五种基本的作图法能够解决的。 所以说整个思路就是说假设画出来，然后去找关系，再用基本的作图法实现这些关系，这个就是逆向拆解。好，加油吧。
176阿迪数学
![[初二数学]尺规作图（一） 五种基本作图#每天跟我涨知识 #课堂 #努力学习 #初中数学](https://p3-pc-sign.douyinpic.com/image-cut-tos-priv/d825fa3050f3660ec4d89396aa57180b~tplv-dy-resize-origshort-autoq-75:330.jpeg?lk3s=138a59ce&x-expires=2106576000&x-signature=9ez%2BKozjOCGawn5QRPFO2%2BoU4bM%3D&from=327834062&s=PackSourceEnum_AWEME_DETAIL&se=false&sc=cover&biz_tag=pcweb_cover&l=202610060032401962E99C7D502602ABE9)
