一次函数能力型问题，直线 y 等于负， x 加 m， 在 这与 y 等于 n， x 加五， n n 不 等于零，焦点的横坐标记为负三，则关于 x 的 这个不等于，你观察这个就是它这个式子就是这个式子， 那就记为让这个 y 一 大于 y 二，那么 x 取什么值？我们先考虑它。观察图像这样题，你就看焦点坐标，焦点坐标负三左右分析，当 x 小 于负三时，你看对应的 x 负 x 加 m 在 这它的上方，所以 y 一 大于了 y 二，符合这种情况， n x 要大于负三，那么这个 n x 加五， n 到它的上方，所以这种情况舍去，那现在我们就得到一个关系， x 小 于负三， 此时它大于它。这里面还有一个条件， n x 加五， n 大 于零，就是这条直线大于零， 那它的值就是 y 大 于零。那 x 取什么值呢？我们看它有特点， n x 加五， n 像这样的，你提出 n 就 出现了 x 加五， 那说明当 x 等于负五时， y 就是 零，像这样的，你就考虑它一定经过一个定点，此时就是负五零，说明它与 x 轴的交点是确定的负五。 那这时我们就可以看到，当 x 取负五右边的数，即 x 大 于负五的时候， 对应的 y 的 值都是正数，但是还要满足负 s 加 m 大 于 n， x 加五， n x 小 于负三，所以最后我们确定它的取值范围，大于负五小于负三，在这之间的整数解，那只有负四。
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05:58查看AI文稿AI文稿八年级数学今天我们来看一下这道八下依次函数求解析式的题目， 以前呢，我们从来都没有讲过求这个函数解析式的题目，今天我们就来看这两道经典的题目。首先第一题，在矩形 abcd 中，他给出了 这个点， a 的 坐标为负三到二，点 c 的 坐标为负二到零，它要求的是直线 b、 d 的 解析式为多少？ 首先呢，他问的是 b、 d 的 解析式，现在我们只知道 a、 c 的 点的位置，所以呢，我们就要根据 a、 c 求出 b、 d 这两点的位置。首先我们看 a 这个点是负三勾二，那它的横坐标呢？也就是负三， 那这样子 b 它没有在 y 轴上有对应的点，在 y 轴上对应的点为零，所以呢， b 的 坐标就是负三角零， d 点是同样的原理，先看它在 x 轴上的坐标是多少，也就是 c 的， 它和 c 是 对应的，所以它的 x 横坐标也是二。然后呢，再看它的纵坐标， 它这个地方呢，我们看一下它这个地方也是二，因为它和 a、 b 是 一样高的， d 就 等于二。逗二，现在我们已经知道了 b、 d 两个坐标，我们把它带入这个 y 等于 k， x 加 b 这个式子里，算出来就可以了。我们算出来最后的结果呢，就是等于多少，就等于 k 等于二五分之二，然后呢， b 就 等于五分之六，这么算出来，它这个解析是 y 就 等于五分之二， x 加上五分之六。 这一步代入很简单，同学们可以回去再算一下。然后呢，现在我们来看第二题，将四十五度角三角形放在坐标系中，如图， a、 b、 c。 然后呢，点 a 的 坐标是多少？负三到零点 b 的 坐标呢？是零到二，它这次求的是 bc 的 解析式为多少？你看它已经给出了 b 的 解析式，那我们就 已经给出了 b 的 坐标，那我们就只要求 c 就 可以了。然后呢，它因为它是个四十五度角的三角形，这两个角是四十五度。然后呢， a， c 就 等于 ab， 因为等角对等边， 我们看一下，他已经知道了 a 等于负三到零， b 等于零到二，那我们怎么求他这个 c 点的坐标是多少呢？ c 点的坐标我们首先看一下，我们先往下，从 c 点往下做一条垂线，这一点我们命名为 d， 让我们来观察一下，通过这条垂线呢，我们可以得到什么？ 就是得到一个新的三角形，我就写一下新的三角形就是 c， d， a 和 a， b、 o， 它是全等， 为什么全等呢？首先两个直角，这上面这个角也是相等的， 然后这个 d， a 和 bo 也是相等。得到这个两三角形相等之后，我们就可以知道 b， bo 和 d， a 是 不是值，是不是一样？ bo 的 值我们从图里就可以知道， bo 的 值就等于二，所以 d， a 也等于二，那 d 的 坐标呢，那就是负五到零。再看这个点， c 点， 我们看一下它这个刚才说了这两个点相等， a、 o 等于三，所以呢， c、 d 也等于三。现在我们已经知道 c、 e 的 横坐标是负五， 它的 y 轴上的坐标是三，所以呢， c 的 坐标就是负负三。求出来 c 的 坐标，那就是代入。呃，将这个 b， c 代入，这个 y 等于 k， x 加 b， 这个式子中带有这个式子，我们最后算出的结果呢，就是 b 等于二， k 等于负五分之一，没问题吧？然后呢，这个解析式 的是多少呢？ bc 的 解析式，它就是 y 等于负的五分之一， x 加上二。那么第二题我们也解决了，这两道题其实性质都是一样的，就是他给你两个点， 然后呢，让你求另两个点的一个解析式为多少？很多同学可能给出 ac， 就 直接把 ac 先带入这个式子，你直接算了，那这样是不对的，因为带入 ac 算出来的话，就是 ac 的 解析式，而不是它的 b、 d 的 解析式。 这道题也是一样，但这道题还还加了一个这个全等三角形进去，它这个难度变大了一点。 那这两题就讲解结束了，同学们可以整理一下笔记，谢谢大家。
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03:10查看AI文稿AI文稿依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。
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29:26查看AI文稿AI文稿一个视频搞定一次函数，整个初中数学所考察的所有考点都在这里，我们今天一次性通关，听完这期一次函数，彻底搞懂，准备好了吗？七个考点，我们现在开讲。 好，那么首先来看一下第一个，也就是图像与系数啊，就是我们给出一个一次函数，那他的图像如图所示。什么叫图像与系数呢？就是你要知道，给出一个一次函数，对吧？他的 k b 啊，对于函数图像有什么影响？嗯，好，现在问题来了，你可以推出 k b 的 正负， 请问另外一个意思是， y 等于 k， x 减 k， 它的图像大致是以下中的哪一个？那首先我们知道，因为图像从左往右是下降的，所以我们知道这个 k 呢，它一定是个负数， 你与 y 轴交于正半轴，因此我们知道呢？哎，你这个 b 一定是正的，但这个题呢？因为你这个 b， 他 根本就不考，他只有什么？只有 k， 对 吧？ k 是 一个负数，所以我们知道你前面这个系数呢，一定是负的， 对吧？那你这个 b 是 负 k， 你 不要觉得是 k 啊，这个负 k， 我 们知道啊， k 是 负的嘛，所以这个负 k 呢，它就是正的 o， 也就是你所谓的依次向的系数负的，所以你整个图像，也就是你如果画出来草图，应该长长什么样子？ 负的，所以从左往右是下降的，对吧？但你与外周交于正半周，与外周交于正半周，从左往右是下降的，所以你会发现选哪一个？ b 不 对吧？ c 不 对吧？ d， 你 从头往右下降，但是你交于怎么样呢？交于负半轴了，对吧？所以都不对。因此这里面你发现符合选项的只有 a 选项，但这个题你会发现，我个人觉得啊， 他对我们的口点挖掘的并不充分。喏，你比方，如果是我的话，我可能会画一个这个，再画一个什么的， 画一个像这种，对吧？嗯，这个是一，这个呢？哎，这是一，这是二，对吧？你觉得哪个对？好像你用这个正负极判断，好像每个都可以，对吧？但你要知道，其实我们这个一函数，你仔细观察一下，如果你令 y 等于零，也是求它与 x 轴的交点，有办法你移过去呢， 我们可以求出来，对吧？你这个移过来，负 k， x 等于负 k x 等于 x 等于，就这个一次函数，它与 x 轴，对吧？交点的横坐标百分百是一，那这里面标出来了，所以这里我们选的是 a 选项。搞定 好，接下来我们再看第二个啊，就是用待定系数法求我们的一次函数。好，那么首先我们给出一个一次函数，嗯， 当 x 在 一到三之间的时候呢？我们的 y 是 二到六之间，那么请问 m 的 值等于多少？我告诉你，这个题呢，分两类同学。一类同学说，亮亮，你看一到三的时候，我的值是二到六，所以也就是当 x 等于一的时候，对吧？ y 一定等于二， 以及当你 x 等于三的时候， y 一定等于六。把这两个点带进去，不就结束了吗？嗯，为什么呢？不能这么想，为什么？因为这里面 m 是 正的，而负的，你知不知道？你不知道，所以它的图像有可能像这个样子，有可能像这个样子，对吧？所以它有两种情况啊。亮亮，我早就知道有两种情况， 两种情况对应着两个一函数，所以你答案就有两个，对吧？所以这个题肯定选 c。 如果你这么想，哎，也是错的，那我们怎么去处理呢？首先分类是对的，因为你这里面不知道 m， 对 吧？我的图像是往上而往下的，所以我们考虑第一种情况，当我们图像呢？嗯， m 大 于零， 你整个图像也就是像这样，对吧？上升的。好，那我们知道你一到三的时候，对应的是二到六，所以我们知道啊，也就是像这个样子，那你这个是一，对吧？ 那你这个是三，现在你对应的是二到六，就是一所对应的外值是二三所对应的外值呢？是六。我画了一个草图啊，所以你会发现这个点的坐标呢，也就是一二吧， 这个点的坐标呢，也就是三六，对不对？好，但你会发现，我们整个一函数里面，它只有一个未知的参数 m， 所以 你只需要一个点坐标就可以把 m 求出来。比方说我们把一二带进去， 你把一二带进去，横坐标一，也是 m 减四， m 等于几呢？等于纵坐标二，对吧？等于纵坐标二，所以你求出来 m 等于几，也就是这边呢，是负三 m 负三， m 等于二，所以求出来 m 等于几呢？你这个求出来， m 等于负的三分之二，对吧？ 好，接下来你把这个点带进去，按理说你 m 应该也等于负三分之二，对吧？好，接下来你把三带进去， 三 m 减四， m 等于几？等于纵坐标等于六，也就是负 m， 对 吧？等于六，所以我们觉得 m 等于几？ o m 等于负六，那就说明什么？说明也就是把这个点带进去呢？ m 等于这么多，把这个点带进去呢？ m 等于负六，那你说你这个一乘以一 y 等于二，当 x 三 y 等于六，你觉得可能吗？ 绝对不可能，对吧？所以第一种情况他是不符合提议的，产生矛盾了，所以接下来我们考虑第二种情况也就怎么样呢？ m， 小 林，我们这个图像呢？哎，从左往右下降的好，在一到三的时候，你看看一到三，那很明显，一所对应的就更大了，对吧？你这个三所对应的反而更小一些。 一所对应，你看看，在整个方位里面，我是二到六的，你说明这个点，他的纵坐标是二，以及你这个点的纵坐标呢，是六，对吧？ 嗯，所以也就是你发这个点呢，他是一六，而且你这个点呢，是三二，是不是？那么接下来你会发现，喏，把这个点带进去，也就是 m 呢，减去四 m 等于几？等于六，对吧？ 你这个等于负三 m 负三 m 等于六，所以我们知道，你求出来， m 等于几？ m 等于负二， 那如果你还经过这个点，这个点带进去，你除了 m， 应该也等于负二，对吧？好，你把三二带进去试一下， 三二带进去，也就是三 m 减去了四 m 等于二，你这个求出来，负 m， 负 m 等于二，所以你算出来怎么样？ m 也等于负二，对吧？行不行？行，因此我们知道，也就是 m 呢，它只有一个值，也就是负二。所以这个题我们选择 b 选项搞定，要分类，但是我们要排除掉其中的一种。 那么有些同学呢，一直傻傻分不清楚，函数到底该怎么拼啊？其实所有的函数呢，大家只需要记住八个字，叫做左加右减，对吧？以及呢？我们上加下减，但你要注意啊，就是你这个左右加减， 它是在 x 上完成的，而我们这个上加下减呢，它是在我们表达式 上面完成的。好，那么接下来买什么意思呢？举个例子，比方说，我们有一个函数，也就是 y 等于二 x， 你 干嘛？你往右移动两个单位，对吧？我们说左加右减，所以你往右移动，你就应该怎么样呢？减二，我在哪减二呢？ 在 x 上面减二，你 x 减二，你这个 x 减二之后， x 就 会变成什么？变成 x 减二， 理解了没有哦，所以整个函数平移之后，它就会变成 y 等于二倍的 x 变成 x 减二了。好，接下来往上移动四个单位，我们说上加下减吧，你往上，所以我们就加，对吧？加式在哪加呢？在表达式上面 往上移动四个单位，所以在表达式上直接加四搞定。那最终你化简可得， y 等于二， x 减四再加四，所以等于几呢？等于二 x， y 等于二 x， 选哪一个啊？因此你会发现，选 a 搞定。 这个题考的就是函数与不等式，它没有任何的计算量，但是你需要去理解，你不理解，你可能都不知道答案怎么来的。好，给出一个一次函数，给出一个一次函数两个。哎，我就把它标一下，好不好？比方说这个一次函数呢，我就把它标成红色的 y 等于 k， x 加 b， 而剩下这一条呢，我就把它标成蓝色的，也就是 y 等于 mx 加上 n， 就 像这种形式。好，就像这样好，其实你会发现，在图形里面，我们可以看出来，二者会有个焦点，而且这个焦点的横坐标呢？是负三。好，请问 那么这个不等式它的解集是什么？那有没有同学说，亮亮，我要把这个，对吧？把这个直线表达式求出来，把这个直线表达式求出来，带进去。哎，我们就构造一个不等式，把这个不等式解出来就可以，如果你这么做就太麻烦，而且很多题目你是求不出表达式了，那该怎么办呢？ 其实你有办法， k x 加 b， 不 就我的外值吗，对吧？而我们右边这个 mx 加 n 呢， 它不就是这个蓝色一次函数它的表达式吗？哦，也就是这两个函数，对吧？红色函数小于蓝色函数。大家记住啊，像这种题，你只要记住一句话，叫做焦点左右望，谁大谁在上，你会发现这两个一次函数它会产生一个焦点吧？ 哦，焦点的左右就是大家大小的分界点。好，那你会发现红色小于蓝色， 所以红色应该在下面，蓝色图像应该在上方，就在焦点的哪一边，我们整个蓝色在红色图像的上方呢？ 哦，你会发现在焦点的左边，你这个蓝色在红色的下方，那不行，在焦点的右边呢。哦，你会发现， 喏，我的蓝色是不是在上，红色是不是在下，蓝色在红色的上方，所以这一边可以，对吧？所以焦点左右望，哪边满足？右边满足，焦点的右边满足。所以呢，我们的取值范围也就是怎么样？ x 大 于等于注呀，这里有等于号，对吧？就两个一次函数，它们可以怎么样呢？相等，所以你这个焦点满足的大于等于负三。搞定 好，接下来我们处理一次函数里面的最值问题，那首先给出一个坐标系，有一个菱形， a、 b、 c、 d 菱形，我们知道四边相等，对边平行。好，现在 a、 b 两点呢？它都在 x 轴上面， d 点在外轴上面啊， d 点在这， 嗯，点 c 呢？在第一项键，我们看得出来。好，现在我告诉你 a、 d 的 表达式等于这么多，那想想 一条直线的表达式告诉我们之后，我们可以求什么呢？首先可以求它以 y 轴的焦点，不就是你后面这个东西吗？对吧？所以 d 点坐标我们知道是零四的，那怎么求 a 点坐标呢？其实很简单，你令整个函数，对吧？ y 等于零， 解这个方程就可以了，所以我们知道也就是三分之四， x 加上四等于负四，所以我们求着 x 等于几等于负三， 也就是我们知道 a 点坐标呢，一定多少？一定是负三零，对吧？我写这里啊，负三零，其实也就是我们知道你这个边是三了，以及我们知道这个边等于几呢，这个边等于四，对吧？就 d 的 总坐标， 所以通过勾股定律，你可以求出来整个边是不是五呀？哎，我们就写在旁边好不好？哎，我们知道零时的边上这个边是五，可不可以？好，那么接下来我们继续往后了。好， 现在 p 是 b 边上一个洞点， p 点在整个对角线上动来动去的。哎，菱形有什么特点啊？好，现在那么 ap 加 o p， 它的最小值 啊，就是 p 点是个洞点，连接 o 点，连接 a 点，对吧？求这两条线段制合的最小值。好，比方说我把这一条边呢，把它标做红边。好，剩下这个 p o 呢，我就把它标做一条蓝边，比方说你是个蓝边， 也是，接下来我们要干嘛？要使得红边加蓝边，两边之隔最小，那很明显它就是一个将军一马问题嘛，我们要么做 a 关于 b、 d 对 称点，要么做 o 关于 b、 d 对 称点，都可以，但是哪个更简单呢？我们知道 菱形，它是个轴对称图形，对吧？ a 关于 b、 d 的 对称点就是 c 点哎，所以你会发现，喏，你是对称的，那么根据对称性，我们知道连接 p、 c， 那 么这两条线段一定相等， 所以也就是我只要舍得这一条红边，加上这个蓝边，两边这个最小就可以。那如何最小呢？其实你要知道，屁是一个动点嘛，他就相对从 c 点出发，走走走走，走到 b 地边上再走走走走走，回到 o 点，对吧？ 从 c 点出发到达 o 点，但是你要经过 b、 d， 两点之间线段最短，所以你直接连接 o、 c 是 不就可以了，对吧？你要经过 b、 d 边上的 p 点，那不就顺手的事吗？所以你会发现，最短路径呢，就是线段 o、 c 的 长度。那问题呢， o、 c 怎么求呢？ 非常简单，你要注意啊，因为你这个角是直角吗？坐标系哎，你外轴垂直于 ab， 你 这个外轴一定就垂直 dc 了，所以也就是这个角一定是直角啊。那最终你会发现，喏，在 c、 d、 o 这个大大大大的直角三角形中，一个直角边五， 剩下一个直角边呢？这个边其实我们刚才标出来了，它是 d 的 中坐标，也就是四，对吧。所以你会发现，通过勾股定律，你的平方 加上怎么样呢？我的平方在开方吧，所以我们求出来就是我们整个 o、 c 的 长度，对吧？选哪一个？根号四十一所，我们选 a 搞定。 其实我们整个一次函数里面的应用题非常多，但是我拿出非常具有代表性的一个调用问题。好， 现在我们将甲、乙两厂的生产设备运往 ab 两地啊，把甲厂乙厂有些设备呢运到这里，这里，对吧？哎，搞事，现在甲厂有六十台设备，乙厂有四十台。好，写出来。就甲厂呢，总共有六十台，你这个乙厂呢？总共有四十台，对吧？加起来一百台。 那 a、 b 需要多少呢？你会发现我们这个 a、 d 需要七十台。哎呦，我需要七十台哎，你都得给我对吧？好， b、 d 需要三十台。那你想想， a、 d 和 b、 d 总共加在一起，我需要一百台吗？ 我们总共有一百台，而你刚好需要的也是一百台，也就意味着假场和遗场所有的设备要一台不剩的全部运出去，对吧？好，现在每台设备的运输费用呢？如表所示，什么意思呢？就是甲运到 a， 每台呢，要七单位，是什么？七百元？甲运到 b 呢啊，每台需要十个单位。乙运到 a 呢，需要十个百元，对吧？ 以运一台设备去 b、 d 呢，要十五个百元啊，就这个意思。好，现在是从假场运往 a、 d 的 设备有 x 台， x 为整数，你不说我也知道，对吧？好，就是假运往 a、 d， 你 运了怎么样？运了 x 台对吧？好，那我想问一下，请问其他的我们能表示吗？百分百可以表示出来，你是 x 台吗？我们刚才说了， 我们所有的设备你要一台不留的全部运出去，对吧？我总共六十台，我往 a、 d 用了 x 台，剩下是不是都得用往 b、 d 去啊？用六十减 x 吧，所以你用往 b、 d 的， 甲用往 b 的 一定是六十减 x， 有 这么多台，对吧？所以你会发现哦，甲用往 b、 d 不 就出来吗？ 六十减 x 台，好问题呢，你用 a、 d 的 呢？其实这里面我们都会表示，为什么呢？因为 a、 d 需要七十台嘛，你给我送来了 x 台，所以剩下你需要给我补齐多少台？ 七十减 x， 嗯，就是这个意思啊，它要七十减 x， 需要这么多台，明白了吧？好，接下来 那么这块怎么表示呢？你有两种方法，第一个 b、 d 总共需要三十，你这个乙需要送多少呢？你用三十减去它，哎，你会把三十减去六十减 x， 我 们求出来等于多少？ 等于 x 减三十，这是第一种方法。第二种方法干嘛呢？我乙总共有四十台，我往 a、 d 已经用了这么多，所以我剩下是不都得用往 b、 d 啊？一台不留嘛，所以你用它减去它，你可以试一下。哎，你用四十减去你，对吧？ 七十减 x， 你 求出来也是 x 减三十 o， 不 管用哪一种方法，你需要的是怎么样？以往 b 运这么多台，所以你想想，以往 a、 d 运的呢？以往 a、 d 运的也就是七十减 x， 以往 b 运的呢？ 以往币运的怎么样？也就是 x 减三十。好，表示完毕之后呢？接下来让我们设计一种调运的运输方案，要使得总运费最低，并求出最低费用是多少。行，我们就利用这个费用呢，我们另他是 y 好 不好？那这个费用怎么表示？ 你假用往 a、 d 总共用了 x 台，每台是七个单位，对吧？哎，你就说七个，你说真讨厌。七百元也是怎么样呢？七 x 加上你用往 b d 呢？哎，每台多少？十个百元，总有这么多台，所以用十乘以它，说白了就是加了十倍的 六十减 x， 加十倍的六十减 x， 让我们再加上什么呢？一样的喏， e 往 a 运了这么多台，每台需要这么多钱，我们乘一下就是整个代数式吧，加上十倍的七十减去 x， 那 最后呢？ 以往币呢？运了这么多台，每台需要这么多钱，所以乘一下就是这个代数式，所以我们加上什么呢？加上十五倍的呢？也就是 x 减三十。好，所以最终我们需要做的干嘛？就是把整个式子，把它给求出来，我们来试一下啊， 等于七 x 加上六百，减去十倍的 x 加上七百，然后减去十 x， 然后怎么样呢？加上十五 x 再减去四百五，等于这么多。 好，所以最终我们求出来等于多少呢？来，我们算一下啊，七 x 减十 x 负三 x 再减十 x 负十三 x 加十五 x 呢？ o 总算是正的二 x， 对 吧？好，接下来 六百加七百，一千三，一千三减去，你呢算你最终求出来等于多少？八百五，对吧？哎，最终答案呢，比较简洁，也就是我们最终的费用是二 x 加上八百五。好，那问题来了， 你要去求它的最大最小值，你是不是得知道 x 取的范围才可以啊，对吧？你不然怎么求费用呢？ x 等于一百一万，一千负一负一百你都不知道，对吧？那范围怎么求呢？其实这种钓鱼问题，范围非常好求干嘛？你只要使的夹往 a、 d、 b、 d， 以往 a、 d、 b d 你 调用的这所有的台数的数量大于等于零就可以了，对吧？比方说 x 大 于等于零，哎，你要舍得这个东西， x 大 于等于零， 其次呢，你要保证这个东西大于等于零，对吧？也就是六十减 x 大 于等于零，我们就说 x 呢，小等于六十，其次，你这个东西你调用的不能是负数吧， 你最起码得大于等于零，对不对？你大于等于零，七十减 x 大 于等于零，所以 x 怎么样呢？ x 小 等于七十，还有什么你，对吧啊？ x 减三十，你得大于等于零， x 呢？得大于等于三十，所以也就是你会发现 no 同大取大，所以取值范围多少？也就是三十。小等于 x 同小取小，所以呢，小于等于六十。好，这个就是我们 x 的 取值范围。那你要知道我们整个 e 函数 k 是 大于零的嘛，所以 y 随着 x 的 增大而增大， 我要费用最低送你 x 越小越好。 x 小 到什么程度呢？嗯，最小三十嘛，对吧？所以也就是当 x 等于三十的时候，对不对？当 x 等于三十也就怎么样呢？他让我们设计方案 这个班我们直接说啊，就夹往 a 里，对吧？你这个是三十 x 三十嘛？你这是三十 x 三十，你这是四十， x 等于三十，你这是零，明白没有？这么去调运，哎，一定是最省钱的。呃，最少的费用多少？把三十带进去， 二乘以三十呢？六十加上八百五，我们求出来等于九百一十，单位怎么样？百元，你是百元，我也答百元啊，好吧。哎，开个玩笑了，就是我们平常这个答题的时候你要写啊，没有这种对吧？哎，九万一千元搞定。 其实像这种题，我个人觉得比较简单，无非就是把我们熟悉的东西呢放在里面。我们首先来看一下前面小问好，我们给出一个一次函数，它的图像呢，分别交 x 轴、 y 轴于 ab 两点啊，交 a 点、 b 点。其实通过这个一次函数，我们可以求出来，就像上一题一样吧， 我们知道 b 点坐标呢，是零三，以及呢？另外等于我们求出 a 点坐标呢，也就是负四零，我们把它标注出来。好，问题来了， 点 c 是 a 点，关于 y 轴的对称点，所以我们知道这个点的坐标呢，也就是四零，好 过 c 点做 y 轴的平行线啊，其实说白就是做 x 轴的垂线，对吧？嗯，交于 d 点，所以我们知道 d 点横坐标也是四，而 d 点在整个直线就是在它上面横坐标四，把四带进去， 你是三再加三的，所以我们知道 d 点坐标是四六的， p 是 整个射线 c d 上一个动点。注意啊， 射线 c d 就 意味着我可以在线段 c d 上，我可以跑到线段 c、 d 的 外面去，对吧？但不能在这啊，在这呢就叫直线 c d 了。好，第一个求地点坐标，我们已经搞定了。 好，接下来我们看第二问啊，就是把整个三角形 a、 d， c 呢？沿着我们 a p 翻一下，对吧？啊？把它翻过去干嘛？使得 c 点 的对应点 c 撇啊？你这个对应点 c 恰好落在直线 a、 b 上，让我们求这个点 p 的 坐标。其实这个题呢，你用等面积法可以，你用勾股定点呢，也可以，比方说，通过我们前面这个图，我们知道整个底边是几， 整个底边是八，对吧？哎，整个底边的长度一定是八，而且我们知道，那通过地点坐标，咱们知道这个边的长度是不一定是六，没问题吧？所以我们知道整个斜边一定是十八六，八十吗？你是把这个三角形，对吧？ 哎，你把这个三角形，你把它翻过去，你这个边是八，所以我们知道这个边长度一定也是八，并且你这个角九十度，所以这个角也是直角，说白了他也是个直角三角形。 与此同时，我们知道你整个斜边是十，拿走八个单位，所以这个边是二。好，你让我求 p 点坐标，其实说白了， 它的横坐标几？ c 的 横坐标是四嘛？所以整条直线横坐标都是四，所以我们知道 p 的 横坐标一定是四，我只要求纵坐标 c p 就 可以了，对吧？好，那么此时我们大胆引入未知数，比方说另这个边是 x， 你把它翻过去了，你这个边 x， 所以 我这个边也是 x， 你 整条线段长度是六，所以我们知道这个边六减 x。 最终你会发现，在这个直角三角形中，用勾股定律，你的平方， 也就是 x 平方加上你的平方，对吧？一定等于什么？等于它的平方，也就是六减 x 括起来的平方。那最终呢，我们可以求出 x 方加上四等于三十，六减十二， x 加上 x 方，对吧？ 好，左右两边我们哐当，哐当也就是十二， x 呢，等于三十二，所以我们求了 x 等于几。除以十二， 也就是除以四，三分之八，哦，也就是 c p 的 长度呢？三分之八，所以我的纵坐标呢，也就是三分之八。 p 点坐标搞定。 好，我们看第三个，如果直线 o p 啊，就是连接 o 点跟 p 点，那 p 点在上面动来动去，比如 p 点，你就在这吧，可不可以？好，你连接一下 o p， 哎，延长，对吧？哎，你会发现二指头会产生一个焦点。好，焦点是我们的 q 点在哪？不知道。 好，当然它呢，不能跟 d 点重合好，是否存在 p 点，它有什么要求呢？你这个 p 点使得 c p q， 哪个 c p q？ 哦，干嘛也是我连一下对吧？我把这个擦掉，哎，我连一下 是吧？ c p q， 这个三角形面积等于二倍的 d p q 等于这个三角形面积的二倍。有没有这样的 p 呢？如果有，求 q 点坐标，如果没有，请说明理由。好，你其实你想想啊，就是你有发现这个三角形跟这个三角形 它有什么联系呢？它的高是公共的，你过 q 点往这边做垂线好不好？比方这个是 h， 哎，把这个 b 擦掉啊，哎，这个 p 在 这里，明白没有？哎， p 点在这呢，连接 o p， 焦点 q 点。好，你会发现我们这个三角形能看到吗？它的底边是 dp， 它的高是什么呢？ h， 而我们这个钝角三角形，一样的底边呢，是 c p， 高呢？是 h， 所以 你有发现这两个三角形它的高是公共的，相等的，重复的，对吧？所以面积比呢，一定等于底边之比，底边之比，我的面积是你的二倍，说白了，也就是我们知道底边一定是你的二倍， 对吧？就是 c p 等于二倍的 d p， 而大家不要忘了啊，所以你发现面积关系，其实我们可以怎么样呢？把它变成我们的， 哎，线段的比例关系，对吧？哎，你刚才屁点在这，大家不要忘了 d 点坐标，它是四六的，四六就意味着整条线段是六，你把它分成二比一的两部分，所以我们知道整个长度一定是四，明白了没有？ 哎，也就是你这个屁点坐标呢？横坐标是四，对吧？纵坐标呢？还是四？好，那接下来你让我求 q 点坐标， q 点咋求？所以你看把图形，把图形补全，对吧？ q 点差不多在这， 那经过 o 点，经过 p 点，所以它是个正比的函数，对吧？那我想问一下，整个正比的函数大家可以求出来吗？ 那四四，所以我们知道它是 y 等于 x， 没问题吧？求正比的函数，你只需要一个点，四四代均没有问题。好，而我们知道这条直线的表达是多少呢？ 那 y 等于四分之三， x 加上三，所以我们知道知道 p 点坐标， 求出正比的函数，那求二者的焦点。剩下我觉得简单了吧，就是 x 呢，等于四分之三， x 加上三移过去四分之一， x 呢，等于三，所以 x 等于几？ x 等于十二，就是 q 点这个焦点，对吧？ 哎， q 点焦点的横坐标是十二，纵坐标呢？你可以把十二带到这里面去，你可以把十二呢带到这里面去。哎，带这个更快，对吧？所以我们求出 q 点坐标呢，十二，十二。好，那接下来问题来了，你要知道 q 点怎么样？ 它在整个射线 c、 d 上运动，它除了在这条线段上呢，它可以跑到外面去，对吧？那比方说呢？哎，差不多就长这个样子吧，可不可以好？连接 o p， 对 吧？连接 o p 怎么样？它这个与直线 a、 b 的 交点呢？这是我们的 q 点， q 点在这 好干嘛呢？哎，我们连接一下， c p q 是 哪个？ c p q 不 就是这个三角形吗？它的面积等于什么？等于 d p q， d p q 啊，就这个三角形吧，就是我这个大三角形，是你这个小三角形面积的二倍，一样道理呢？你会发现，你过 q 点做垂线，对吧？ 你会发现这个三角形，你把它当做底，它的高是不是这条垂线段一样的？你这个三角形呢？你把 d p 当做底，我的高是不是也是这个垂线段？所以整个大三角形的高是这么多， 你这个钝角三角形，这个小三角形高也这么多。两个三角形高是重复的，相等的，完全一样的，所以它们的面积比其实就等于什么呢？就等于它的底边这里，所以就是整个大三角形，它的底边 c p 是你这个小三角形，对吧？哎，它的底边 d p 的 二倍，也就是我是你的二倍。说白了， d 点就是整个 p c 的 中点， d 点坐标，大家不要忘了啊，是四六的好不好？所以你要知道整个是六嘛，所以这个也是六，也就是它的坐标是四十二，那一样道理。 它是一个正比的函数，经过圆点，经过 p 点，所以我们可以非常快速求出来，它是 y 等于三 x， 对 吧？横坐标四带进去，纵坐标是不是十二？ 好，接下来呢？和这条直线产生交点，对吧？这个直线我们说的是 y 等于四分之三 x 加上三的，所以接下来 求这个正比的函数和这个一次函数二者的交点。所以构造方程也就三 x 呢，等于四分之三 x 再加上三，所以把这个移过去，嗯，四分之九倍的 x 呢？等于三，所以我们可以求出 x 等于几， x 等于 三分之四。 o， 也就是干嘛？也就是你这个焦点 q 点，对吧？我们求出来焦点，哎，就是我们第二个 q， 它的横坐标呢？是三分之四的，那纵坐标呢？你可以把三分之四带到这里面去，你可以把三分之四带到这里面去，你会发现我们的纵坐标等于四。 搞定，也就是最终我们满足条件的 q 点呢，就这两个。好了，一次函数的核心考点就这些，哪块不熟，倒回去再看一遍。亮亮也给大家准备好了一次函数的练习题，赶紧去领取练习起来吧，跟着亮亮无脑学习。
10.1万亮亮巧解数学
01:33查看AI文稿AI文稿穿越千年的时光，让我们翻开中国古代数学的巅峰之作九章算术，在这部充满智慧的典籍中， 不仅藏着古人的生活哲学，更蕴涵着深刻的数学规律。 在素米之法篇章里记载，素律五十粒米，三十一些，是说五十份素恰好能换得三十份粒米，这种兑换比例是恒定不变的， 正是我们上节课所学的正比例关系。试想一下，当我们拥有五十、一百、两百份素时， 对应的粒米便是三十、六十、一百、二十分。如果我们将这一组组跨越古今的数据 精准的描绘在平面直角坐标系中，这些孤立的点会汇聚成怎样优美的线条？这条线上又暗藏着哪些专属的数学密码呢？ 带着这份好奇与思考，今天就让我们一同走进正比例函数的图像与性质，开启一场全新的数学探究之旅吧！
312课件PPT魔法屋
01:31查看AI文稿AI文稿这种一次函数图像题，百分之九十的同学都会看错，教你一招满分逻辑，直接秒杀看题。直线 y 等于 k x 加 b 于直线 y 等于 k b x， 它们在同一坐标系中，它的图像大致应该是什么样子的？这题它的方法就是看一次函数，去定 k 和 b 的 取之范围，然后再去算 k b 的 符号，去匹配正比例函数。首先先看 答案， a， 我 们先看他的一次函数，一次函数，从图像上看，他是过一、三项线，过一三项线，那说明 k 应该是大于零。 另外，它与 y 轴交于 y 轴的负半轴，说明 b 应该是小于零，那我们就可以得到，由它可以推出 k 乘 b 应该是小于零。如果 kb 小 于零，那正比例函数应该是过二、四象限。题目里面正好过的是二、四象限，说明 a 选项正确。再看二、 b 错误选项， 还是先去确定一次函数，从一次函数上它过的是二、四象限，说明 k 应该是小于零。再看它与外轴交于外轴的正半轴。 b 大 于零，那可以推出 kb 应该是小于零，那正比例函数就应该是二四象限。再看 c 选项，还是先看一次函数， 它是过一三象限。 k 大 于零，与外轴交于正半轴。 b 大 于零，那可以推出 k 乘 b 应该过一、三象限，而题目里面它的正比例函数过的是二、四象限。四 d 选项 先看一次函数，一次函数的它是过一、三项线，那 k 大 于零。另外，它与外周交于外周的负半周。 b 小 于零，它可以推出 k 乘 b 应该是小于零，那就可以得到正比例函数，它应该是过二、四项线，而题目里面的正比例函数过一三项线，听懂的同学扣六六六。想看更多题型点关注！
02:40查看AI文稿AI文稿好，接下来呢，我们就要正式引入到咱们的正比例函数和一次函数来了啊，我们来看第三个，第四个知识点，什么叫正比例函数呢？一般的我们形容 y 等于 k， 乘以 x 这种形式的函数就叫做正比例函数。 我们在定义函数的时候呢，给的咱们都是这种描述性的定义，就长得像这样的就行了，长得像这样子，我们来解读一下， y 等于 k， s， 这是什么样子呢？ 首先哈，这个 k 呢，我们说是一个不等于零的常数，也就是说只要是 y 等于某个数，比如说它是一个正的也行，负的也好，反正不等于零就行了，比如说是个五吧，在干嘛？再乘以 x， x 这里呢是依次的，看到没有 x 这里是依次的，因为我们这一张就是研究的依次函数，你不能出现了高次的，或者说不能再出现了分母当中那些都是不正确的。好吧，必须是这样子，而且呢，你有没有发现就得是什么乘以 x， 后面有任何的其他的后缀吗？有其他多余的吗？没有， 你别再给我加个后缀啊，加个五啦，减个八啦等等，这些都不行，都不行，必须是 y 等于一个不等于零的数，乘以 x 只能长成这样子的才叫做我们的正比例函数好吧，啊，不等于零的这个数呢，就叫做比例系数， 明白了，必须得长这样，你不能有其他后缀，我提示完了没有？好吧，这我们第三个知识点啊， ok， 那 么有了这第三个知识点呢，接下来我们就可以练习啊这个它相关的一些考点了。我们来看正比函数的一个定义来说，这个函数呀，是正比的函数，问 k 和 b 的 值是多少？ 来我们读一遍，它是什么玩意啊？ y 等于 k 减一倍的 x 的 k 的 绝对值方，再加上 b 加一来我们正比例函数的定义是什么呀？是形容 y 等于什么？ y 等于一个非零的数，去乘以 x， 只能长这样，没别的，对吧？所以我们这里就确定，首先你要乘以 x 的 话， x 前面这个东西必须干嘛？必须不等于零，而且你有没有觉得这个易错点太熟悉了，这题他小时候报过你吧？我们在学任何方程定义的时候是不是都考这题？来到了函数，发现没有，他依旧会考， 哎，依旧会考啊，这就是学数学，你得学一些底层的能力啊，它都是相通的了。来继续 x 的 k 的 绝对值次方，这是 x 几次方啊？一次方，对吧？所以这里的 k 的 绝对值呢？得是一次方，而且这里还有个 b 加一。哎， b 加一是个什么东西？我的定义里面有这东西吗？没有，没有的话说明这是加了个零， 这是个零啊，那我们在这呢，根据这是加了个零，听懂没有啊？ b 加一它是个零啊，那我们在这呢，根据这是加了个零啊，那我们在这呢，可以求出来是正负一 啊，这里 b 呢，求出来是负一，对吧？因为它要不等于一，所以这里 k 呢，只能等于负一啊， k 是 负一， b 也是负一， k 是 负一， b 也是负一。这题选我们的四 d 选项，这就是考察我们正比例函数的一个定义啊。这个还是很简单的，你学会了吗？
44张华初中数学
03:50查看AI文稿AI文稿带绝对值的一次函数不会画，看视频轻松拿捏，那我们来讲解一下啊，带有绝对值的一次函数的图像该怎么画？比如这里的 y 等于绝对值的 x 减二，通过前面的学习呢，我们是比如说画 x 减二的图像，我们是很熟记的，那现在一个问题就是这个绝对值该怎么去掉，把它转化成我们学过的， 那我们想去绝对值的时候，我们应该考虑什么？对啊，考虑这个 x 减二，它究竟是一个大于等于零还是小于零的，所以呢，这里就需要讨论 x 和谁的关系啊？ 对啊， x 和二的大小关系。所以呢，画图的第一步就是什么呢？要确定零点，注意啊，这个零点可不是说让 x 等于零，而是要令绝对值中的式子等于零。那对于这个题来说， 令 x 减二等于零，所以呢， x 就 等于二，我们就可以得到啊，当 x 小 于等于二，那就得到了什么？ x 减二呢？小于等于零，那所以呢，那去掉绝对值的时候，它就要变成什么相反的 好，那另外一种情况呢，如果 x 大 于二，这个时候我们就得到了 x 减二呢？大于零，所以这个时候我们再去去绝对值的话，那是不是就是本身 好？掌握了这个啊，我们就进行第二步，得到这个分段函数的解析式。 y 等于两段啊，当 x 小 于等于二时，我们得到的，想想是什么要取相反，所以呢，就是负 x 加二， 好，把这个范围啊，加一个括号好，那如果说 x 大 于二呢，那就是取它本身啊， 就是 x 减二。通过刚才这两步，我们可以看，我们可以看到啊，一个带有绝对值的函数，其实它可以被拆成一个分段函数，就是不同的范围对应着不同的函数。 那接下来呢，我们就来瞄点连线。注意啊，这两个都是我们熟悉的一次函数本身，在一次函数取点的时候，我们是不进行什么要求啊，但是这里建议大家啊，把这个就是两个范围的交界点取上， 比如说对于 y 等于负 x 加二，这个时候呢，我们取一个点呢，它交界点是 x 等于二的时候，那对应的 y 呢，就是零，我们再取一个点吧。好，这个点呢，我们优先啊，在这个小于等于二这个里头取，比如说 x 等于零吧，那 y 呢，就等于二。好，我们先来画它的函数图像啊， 二零零二，好，注意啊，对于这个直线的话，我们只要小于等于二，也就是二左侧的那一部分， 大于二的呢，我们就不再画了。好，那接下来呢，来画 y 等于 x 减二还是交界处呢，就是二零，再取一个点，再取一个点，在大于二里头取啊，取一个四二。好，我们来瞄点 二零还是这个点，四二，这个好连线啊，我们要的是 x 大 于二的那一部分，那就是二右侧的，那就是这一部分图像啊，这个啊，对于红色的直线大于二的我们不再要，那同样的这个蓝色的线小于二的部分不要。 好，这样呢，我们就得到了啊，这个函数图像呢，它画出来之后呢，是一个 v 字形，那 其实啊，对于这种带有一个绝对值的一次函数，就是没有什么特殊的要求的话，画出来的图像基本上都是一个 v， 有 的呢开口朝上，有的开口朝下，所以呢，这就是刚才啊，在大家取点的时候，建议啊把这个分界点给取上，为什么？因为这两条线，红线和蓝线到时候它会相交到这个分界点处， 如果说啊，你没有取这个分界点，如果画图稍微有点偏差的话，这个就落不到这个二零身上了，所以这是画图的时候需要注意的一点啊。今天这个视频呢，我们讲的是含有一个绝对值的，那之后的话会再更新含有两个绝对值的。好，我们下期见。
79math鱼渔
00:51查看AI文稿AI文稿八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。
04:44查看AI文稿AI文稿各位家长注意啦，八下数学求一次函数里面的三角形面积是期末压轴的丢分重灾区，百分之九十的孩子都做错了，因为他们碰到这类题目呢，只会硬算，没有思路，导致白白丢分。今天这个视频就跟你盘点在不同的情况下如何求三角形的面积。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子总结巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，在依次函数的背景下求三角形的面积。一共有这三种情况，先来看第一种， 已知一条直线和两个坐标轴围成了这个红色三角形，然后呢，要求面积，那么这种呢，是最基本的款式，我们需要先求出这个底和高他们的这个长度出来就 ok 了。 那这个点呢，不难得到它是 b 啊，这个截距是 b， 然后这个呢，我们也可以令 y 等于零，得到它的坐标是负的 k 分 之 b， 然后呢，我们用三角形的面积公式， s 等于二分之一底层高，那就是 b 的 绝对值去乘以这个 负的 k 分 之 b 的 绝对值。为什么要加绝对值呢？因为有些时候这个 b 它可能在下面啊，然后呢，这个负的 k 分 之 b 有 可能在这边，所以我们加个绝对值下去呢，就确保它一定是代表线段的长度，从而乘出来这个面积就一定是正数。 好，那接下来我们把绝对值进行一下化解，最后得到二的 k 的 绝对值上面是 b 方啊， 那这个就是这种情况下的面积公式。第二种情况呢，就是两个直线和一个坐标轴围成的情况，那么就像这个三角形一样，你看我们已经把这几个点都先求出来了，那么我们就可以用这个三角形的面积公式， s 等于二分之一，你看 这一段的长度呢，我们要用这个大的这个 x 一 减去这个小的 x 二，也就是右减阻，所以呢，我们可以用这个 x 一 减去 x 二，如果你不知道谁大谁小，我们就加绝对值号，知道吧。然后呢，它的高呢？是这一条高，它其实就是这个 y 的 绝对值，所以呢，它去乘以这个 y 三 的绝对值，那就 ok 了。第三种情况是我们压轴题里面最常出现的就是任意三直线，就像这个图一样，你看 a、 b、 c 三个点都是在平面直角坐标系里面的任意三点，然后呢，没有坐标轴的参与，没有特殊的情况， 那该如何求面积呢？这个时候啊，就要请出我们今天的主角千锤法公式，它是这么说的， 二分之一乘以水平宽，乘以千垂高，就能得出任意三角形的面积了。那具体怎么做呢啊？我给你解释一下。首先什么叫水平宽，它指的是 从上往下，咱们做一个投影，假设上面有个太阳，然后呢照下来，把整个三角形呢，照在这个 x 轴上，它的影子范围就叫水平宽，那么这里垂直下来会得到 b 点的，这个影子会照到这里来， c 点的影子呢，它也会照到这个位置来，那么这一段 就是它的水平宽，这里呢照下来它是 x 三，这里照下来它是 x 二。好，那么这个铅垂高又是什么东西呢？它指的是啊，这个 a 点呢，往 b、 c 上 去做垂线，然后交 vc 与这个点 d 啊，然后呢这段 a d 就 叫做铅垂高，那具体是怎么回事呢？林老师给你推导一下哈。这个公式的底层逻辑是割补法，我们把这个三角形呢，通过 a、 d 这一个铅垂高，把它割成左右两边的三角形， 然后呢，我们以这个 a、 d 作为底，来看一下左边的这个三角形的面积，我们把这里稍微延长一下，你会发现这边左边的高呢，是不是相当于从 v 点这样做个高过来？ 右边的三角形呢，是不是相当从 c 点往 a、 d 上去做个高，然后不难发现，这一段的高加上这一段的高，是不是就相当于整个底面的这个水平宽呢？ 对不对？所以它就变成了二分之一底乘以这条宽加这条宽的和，也就是我们的二分之一水平宽乘以铅垂高这样一个表达方法。那具体我们可以怎么做呢？你看 水平宽我们可以通过 x 三减 x 二得来，非常简单。那如何求这个铅垂高呢？这个时候你只需要把 b、 c 这两个点的直线求出来， 求完之后呢，你别忘了这个 d 点和 a 点它的 x 是 一样的，只需要把这个 b、 c 求出来，然后令这条直线里面的 d 啊，等于 x 一， 然后就可以求到 y 了，然后来一个 y 一 减 y 二， 就得到它的高了。以上呢，就是我们在一次函数的背景下求三角形面积的三种常用的方法，尤其是最后一种牵垂法，一定要掌握，你学会了吗？
535初中数学林老师
03:42查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，这里是郭凯老师，今天郭凯老师给大家讲解一下八年级下册一次函数类型啊，咱来看一下这种类型题呢，在中考现在，嗯，也可以说是常考的题型， 从八年级下册开始，已经逐渐学习到和中考直接有关的知识，所以说会更难一点，需要大家更好的去理解。函数啊，函数它本身呢，也比较抽象，咱们来看一下， 他说某市会鼓励居民节约用水，实行两级收费，其实像这类问题呢，我们你看啊，收费制这种他就非常基础的，我们小学学过分段收费的问题，从这上面去理解也可以， 他如果每月用水不超过十四吨，则每吨按照优惠价 m 元收费。注意这两个啊，每吨和 m 如果说每月用水量超过十四吨，则超过部分每吨按 n 元。小明家，三月份二十吨交四十九元，十八吨交四十二元。来看第一题啊，让咱们求优惠价和市场价，那其实他就是一个什么呀， 二元一次，方程组问题吧，对不对？都不用设了，人家就是收费完了，所以说咱们去列，咱们先来看一下啊，他用了二十吨，那我问你是不是前十四吨每吨收 m 元，后面的六吨 每吨收 n 元啊？第一次交了四十九块，四月份呢，咱看前十四吨还是一样收 m 元，后面的四吨 收了四十二元，这好解吧，特别好解啊，这个是六 n， 这个是四 n， 你 先削 m 是 最好的是吧？一减二对吧？得 二 n 等于我看看啊，应该有七，那就是 n 等于三点五， n 的 三点五带进去，那求得把 n 等于三点五带入一啊，我们能得到 m 等于二，那就 ok 了。你这样算完以后，咱们是不是求出来解得 m 等于二， n 等于三点五，这样写一下啊？这是个步骤， 那第一问就学完了，是不是来看第二问啊？这回让你写出函数解析式，也就说我们要分析一下，他说用水量为 x 吨，这里边有什么难点呢？首先第一个难点就是我们不知道 x 是 多少吨，这是分段收费的问题，他的一个特点，既然不知道他多少吨，我们要就要去考虑一个他的取值范围。 这个也是我们初二学生进入一函数的实际问题时的一个难点啊，经常会把这个给落下，那你落下了就容易落下函数解析式，落下函数解析式，其实那这一问就难得分下一问，哎，还比较好得分。所以说，那我们就来计算一下子， 当 x 是 大于等于零，小于等于十四的时候，我们能列出什么解析式呢？ y 元是吧？这个是你需要交多少钱？那前十四吨每吨就收你两块，那你怎么就是就是二 x 呗， 对不对？哎，咱们再来看一下子啊，那你如果是你这 x 比十四大，我们怎么收费啊？还是 y 元阶梯收费制？是不是？第一次是十四乘二，剩下的按 n 元，剩下多少，剩下 x 减十四，按 n 去收费，然后咱们再给他让 n 元是三点五，直接写下来啊，然后呢，再给他整理一下，最终是三点五， x 减二十一， 那就算了呗。啊，那你再整理一下子，怎么整理一下子啊？是，所以是 y 等于一个是二 x， 这个是零到十四吨，一个是三点五， x 减二十一是比十四吨多啊，就 完事了，咱们再来看一下第三个，我刚才说难点在这，其实我们所有的应用题啊，在小学的时候都已经学完了，学大差不差了啊，只不过是上了初中，变了一种模式去考察咱们。咱们再来看一下第三题，他说小明家五月份用水二十六吨，应该交多少钱？咱们先来判断一下二十六吨比十四大，那带到哪个函数里， 带到下面这个即刻是不是，对吧？把谁啊？你看用水量是 x 吧，那就是 x 等于二十六，带入 y 等于三点五， x 减二十一，那么解得 y 等于七十。嗯，这个题就求解完成了啊，班级下册呢，是一个难点，到这一张更加抽象，所以我们更应该仔细的去 学好依次函数的图像和性质。这个是重点啊，包括咱们要了解到你去解决问题的时候重点在哪里。那今天问题就讲完了，大家如果有不会的题目，或者希望郭凯老师讲的题型可以放在评论区，或者是私信郭凯老师。
13星途爱学习
02:52查看AI文稿AI文稿八、下数学的一次函数，求参数的取值范围，是一种必考的题型，很多孩子呢，明明图绘画也会分析图像，却还是丢分了，原因就是他们在做分类讨论的时候啊，少考虑了一种远点的情况。 那究竟当时是怎么回事呢？我们还原一下案发现场，来给大家避避坑。学完这道题之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去练习巩固一下， 只要把里面的题搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题。那现在呢，我们就假设今天做错这道题的同学的名字叫做小明同学， 那么带入他的视角，看他从哪一步开始犯错的。若一次函数 y 等于括号内 k 减二， x 加 k 的 图像不经过第三象限，然后呢，要求 k 的 取值范围。小明同学说，老师，这道题要画图啊，好，咱们把图画起来，第三象限在这个位置， 所以呢，不经过第三象限，他就说这样画好。接下来呢，小明同学又说，老师，这个图像往右下方走，说明他的斜率啊，这个 k 减二啊， 必须小于零啊，这是他找到的第一个关系。接下来他又说，老师，后面这个常数，这个加 k 指的是这个图像和 y 轴的这个交点啊，我用红色标起来啊，表示这个交点， 他说这个焦点呢，从图可知，他在 y 轴的上面，所以说明这个 k 啊，他要大于零，对吧？啊，就是这个点。所以呢，他要列出第二个式子，他说 k 要大于零哎，所以他是这样列的， k 大 于零。好，然后呢，他就把这两个不等式给他结合起来解了一下，解得这个 k 呢，是大于零小于二啊，然后呢，他看了一下选项，就很快乐的选了这个 a 选项啊，结果就丢分了， 你们知道问题出在哪里吗？其实问题就出在啊，这个不经过第三象限，除了他画了这种情况之外， 还有一种什么情况呢？我是不是这条直线还可以往下继续移啊？我最低最低，我是不是可以移到我刚好过圆点，这样子也叫做不经过第三象限呢，对不对？所以也就说我的这个斜率的分析，这一步没问题， 但是呢，关于这个截距这个点呢，我不一定是在 y 轴的上面的，我最低最低最低可以去到 圆点，这里也是符合题意的。所以呢，这一步呢，我们就是说 k 大 于零，要变成 k 大 于等于零都是可以的。所以最后呢，我们的答案呢，就跟小明同学的答案就差一点点，就是这个地方要补个等于号 啊，所以最后答案呢，不应该是选 a， 而应该是选 b 啊，这里呢，要加一个等于号好，是不是很坑呢？你学会了吗？
616初中数学林老师
06:04查看AI文稿AI文稿尖子生本都在悄悄用的一次函数大招，居然这么好用，不用列方程，只用瞪眼法，就能直接写出一次函数的表达式来。今天林老师就教会你这五种一次函数的常用解析式，只要你学会了，轻松成为一次函数的高手， 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高练习，拿去给孩子巩固一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。依次函数一共有五种表达方法，而我们的课本里呢，只有第一种， 其他四种隐藏款课本里面没有出现。那么今天呢，一个视频给你讲明白。先来看第一种，第一种呢，是我们课本里面的， 如果知道了斜率 k 和截距 b， 那 么它的表达式我们就可以写成 y 等于 k， x 加 b。 举个例子，例如说斜率 k 等于二，而截距 b 等于三，那么它的表达式呢，就会变成 y 等于二， x 加三。 那么这种方法呢，因为你有了斜率，也有了截距，所以它有一个名字叫做斜截式。第二，如果我们知道了一个点的坐标加上斜率 k， 那 么如何直接写出它的表达式呢？ 这个时候啊，林老师要教会你一个公式，叫做 k 的 几何意义。那么我们在函数里面， k 呢，可以写成 delta y， 比上 delta x 这个公式任何时候都能用，那是什么意思呢？它指的就是这个 delta y 呢，指的是 y 的 差，所以你可以把它写成我们的表达式里面的 y， 减去这个第一个点的坐标 y 一， 然后呢，去除于这个 x， 减去这个 a 点的坐标 x 一 好，然后就写完了，把头和尾我们把它连在一起，把这个 x 减 x 一 移过来，就直接写出来，它表达是 y 减去 y 一， 等于 k 倍的 x 减 x 一。 好，我们来举个例子，例如说 k 等于二，然后这个 x 呢，它等于一，这个 y 它等于二，那么结果会怎么样呢？你看，我们带进去直接变成了 y 减去二，等于 k 是 二，那就是二倍的 x 减一，然后化解就直接得到解析式啦。这种方法呢，由于我们是知道了一个点加上斜率，所以它有个专门的名字叫做点斜式。好，那这是第二种，第三种情况，如果你知道的是两点坐标，该如何写它的表达式呢？ 我们课本里的方法是待定系数法，但是呢，你需要去解方程，那今天林老师教给你的方法是直接套的，具体怎么做呢？你看好了啊，首先我们的依据还是这个 k 等于 delta y， 比上 delta x 这个 k 的 几何意义？记住，这个公式任何时候都能用好，接下来我们来构造它， 你看 delta y 就是 指 y 的 差，所以呢，我们可以写出 y 减 y 一 啊，然后呢， delta x 是 指 x 的 差，我们可以写出 x 减 x 一 出来。 然后呢，再看到我们的已知条件里面，我们知道的是两个点，所以我也可以直接用两个点来写出 y 出来啊，所以我们直接写出 y 一 减 y 二，然后呢， delta x， 我 们就用 x 一 减 x 二就搞定了。 好，接下来我们做点小小的变形，我们把这个 y 一 减 y 二，因为它是常数，和这个 x 减 x 一 呢，我们交换一下位置，就可以得到一个全新的表达式了， 就变成了 y 减 y 一 除以，把这个 y 一 减 y 二放下来， y 一 减 y 二等于 x 减 x 一 除以 x 一 减 x 二。 搞定好。来举个例子，例如说 a 点的坐标 x 是 二， y 是 四，然后呢，这个 b 的 坐标呢？ x 是 负一，然后 y 呢是负二？好，我们直接套这个公式，看能得到什么结果。直接写出， y 减去 y 一， 那就是四咯啊。 y 减四除以 y 一 减 y 二，那就是四减去负二，那就是四加二好，然后呢， x 减 x 一， 那就是 x 减二。米上 x 一 减 x 二，那就是二减去负一啊，那就二加一 好，然后去化简，就直接出答案了。这种知道两个点直接写出解析式的方法呢，也有一个专门的名词，叫做两点式。 第四种情况，如果给你两个截距，就像这个直线一样，给你一个 x 轴的截距 a 和 y 轴的截距 b， 那 么我们可以直接套公式， x 除以 a， 加上 y 除以 b 等于一， 这个公式就是鼎鼎大名的截距式。给你举个例子，例如说 a 是 二， b 是 负三，那么我们代进去，可以直接得到 x 除以二，加上 y 除以负三，等于一。 搞定。这些公式虽然好用，但是有注意事项，那就是当分母出现参数的时候呢，我们一定要记得这些分母是不能为零的，就像这个结句式， a 和 b 不 能为零。还有前面咱们的两点是， y 一 减 y 二作为分母， x 一 减 x 二作为分母，都不能为零。那有没有一个六边形的公式没有这些限制的呢？ 有，还真有啊！所以我们今天的终极 boss 就是 这个通用表达式，那么一切的一次函数到最后都能化成这个式子？ a x 加 b， y 加 c 等于零， 这个式子没有任何限制，堪称六边形战士请膜拜！好，我们总结一下，如果知道斜率 k 和截距 b， 那 么可以写成 y 等于 k， 我 们可以写成这个点斜式。 如果知道两个点的坐标，我们可以写成这个两点式。如果知道两个截距，我们可以写成截距式，但是要注意这里呢，你分母不能为零。最后六边形占是 a x 加 b， y 加 c 等于零，这个就是我们依次函数的全部表达式，你都学会了吗？
522初中数学林老师
03:21查看AI文稿AI文稿一次函数是八项数学的重中之重，而其中三角形的面积问题是必考题型，百分之九十的孩子都会在这里丢分，原因是他们找不到做辅助线的方法，结果硬算白白丢分。 那今天呢，林老师就教大家这一道题目，如何用一道关键的辅助线化腐朽为神奇，然后轻松破解出来。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子巩固练习一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 三斗零啊，点 a 在 这里，点 b， 零斗二在这里， 点 p 呢，是 m 到一在这里，然后呢，面积 s 三角形 a， b， p 啊，中间这个红色的三角形面积是四，要我们求 m 的 值，就是求这个 p 的 坐标，那这道题的核心呢，肯定就是把这个 s a、 b p 等于四给它用起来，然后去解方程嘛，对吧？ 所以呢，我们要把这个三角形想办法表示出来。最常用的两个主流方法呢，第一个就是我们去构造一个大型的割补法，对吧？我们来一个这样子啊，这个一割三啊，就是一个大的矩形， 减掉三个直角三角形，这是第一种方法。第二种方法呢，我们也可以用牵垂法的面积公式，就是水平宽乘以牵垂高除以二也可以。但这两个方法呢，都有个弊端，那就是计算量非常的大，而且费时间，又容易算错，所以它不是最优解。 那这道题呢，究竟什么是最优解呢？我告诉你，只需要一条关键辅助线，那就是连接 p o， 你 看整个 s 三角形 a b p， 它是不是整个大的四边形去减去底下的 a p o 呢？对不对？等于 s 四边形 a o p b， 减去 s 三角形，底下的 a o p， 对 不对？好，然后呢，这个大的 四边形呢？你观察一下，它是不是又可以分成左边的这个三角形，加上右边的这个三角形呢？对不对啊？所以它又可以变成 s 三角形 bpo 加上 s 三角形 abo， 再来减去 s 三角形 aop。 那当你能想到这一步了，那这道题其实就离做出来不远了，我们只需要把数值带进去就拿下了。好，我们一个个来。 v p o 是 这边的这个三角形，那它的底呢？是这一段，对吧？ v o 啊，那就是乘以二， 高呢？是这一段啊，也就是 m 的 相反数啊，乘以负 m， 好， a b o 是 谁？ a b o 是 右边这个直角三角形，那 底高我们都有啊，就是加上二分之一乘以二，乘以三，好，减个 a o p， 那 a o p 是 谁？ a o p 是 底下这个三角形，对吧？底下这个蓝色的三角形，所以它等于二分之一，底是 a o 啊，那就是二分之一乘以三， 高呢？是这个 p， 这里可以做个虚线下来，得到这一段高，也就是一好。那么这是一个关于 m 的 表达式，我们整理一下，等于负 m 加上二分之三，然后呢，根据已知条件，它等于四。好，这里等于四， 所以轻松解得，我们的 m 就 等于负的二分之五。好，最后答案，负的二分之五。所以呢，有没有发现，只要做对辅助线，这种题目我们能轻松解决，你学会了吗？
623初中数学林老师
03:08查看AI文稿AI文稿八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？
1577初中数学林老师
