二次函数中考专项训练必刷题
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05:06查看AI文稿AI文稿我们今天讲一个关于二次函数坐标存在性的问题，大家在听讲解之前，可以先自己暂停过一下题目。好，我们现在开始讲解。首先第一问求函数表达式，它告诉你 a、 b 两个点了，直接用代对系数法代入这个 y， 最后你得出来 y 的 解析式， 那我们先看第二问， q 是 bc 上方抛物线的一个动点，那这个 bc 上方抛物线 q 一个动点，求这个 q bc， 那 么求这种题我们是不是都有套路呀？要么用这个铅垂法，要么用割补法，铅垂法就是求出来铅垂高水平宽，也就这两条线的长度， 这个水平宽我们好求，就是 x， b 减去 x， c 嘛，它们两个 x 相减的话，那这个是三，那这个铅垂高怎么算呢？那就是首先先把这个 bc， 把这个 b 点和 c 点带入 y， 等于 k， c 加 b 这个直线解析式里面，然后最后得出来解析式之后你把 x， q 带进去，因为他们俩的 x 值是不是相同的？这个点的 x 值和 q， 那 你带入之后得到这个点的 y 值，然后你再拿这个 y 的 q 减去这个点的 y 值，最后得出来它这个线的高度，然后再和它相乘，是不是能求出来了？因为之前我们牵扯法讲的比较多，这次我们用的是个布法做的 个补法，就是你要求这个三角形的面积，你可以看成这个三角形面积加上这个三角形的面积，然后再减去了三角形 b、 o、 c 的 面积，那么我在这列出来了，然后大家把这个数字带进去就行了。最后我们得到一个式子，是一个二函数对不对？并且它的图像是不是开口朝下呀？它的 a 是 不是小于零？ a 小 于零，开口朝下，它有最大值，那你把 m 等于负二分之 b 带进去，是不是就能得到这个它的最大值啊？是百分之二十七。 那第三问，我选择给大家分享一下我的思路，大家可以根据我的思路，然后自己尝试着做一下，看能不能得出答案。答案最后我会放在评论区， 我们先看题目吧，如图三，又知道了一个直线 l 和 x、 y 分 别交于 d、 e 两点，紧接着他和 bc 这条直线交于 f 点，那么他问你，在第三象限内，抛物线是否存在点 p？ 注意啊，是第三象限，这是一，这是二，那应该就是这条象限了，这是三，对不对？ 然后存在一个点，屁使角 p b f 等于角 d f、 b， 我 们看角 d f、 b 在 哪？这个 d f、 b 在 这，是不是我给它标出来了？那第三项线，我们把这个延长， 延长之后，这个 p、 b、 f 对 不对？ p b、 f 是 这样一个角，也就是说他要你要求你把这个角啊和这个角相等，如果存在的话，你就要把这个点写出来，那我们想肯定是存在的，对不对？那具体怎么算这个角呢？那首先我们先想啊，这个直线 l， 他这个斜率是多少？是三对不对？那这个 a 的 坐标负一，这块是一，然后这个 c 的 坐标是零三，那这块是三，大家注意没？这个斜率是多少？如果你把 ac 连接起来，他这个斜率是不是也是三呀？ 那这意味着什么？意味着我其实要求的这个 d、 f、 b 这个角，它这个线和这个线这俩线首先是平行的对不对？那这个 d、 f、 b 和这个 a、 c、 b 它是不是一个同位角，对不对？那就说我们由求这个角和这个角相等， 变成了求这个角和这个角相等，对不对？那这个角我们看有哪两个角构成吧？首先这个 o、 c 是 不是三呀？ o、 b 是 不是三呀？所以说这两个角应该是多少度？它是个等腰这样三角形，对不对？ 这应该是四十五度，对不对啊？这个也是四十五度，我也标出来，那也就说其实你这个 d、 f、 b 它应该是等于这个 a、 c、 o 这个角加上四十五度，对不对？那这个 a、 c、 o 我 现在思路就是我能不能构建一个和 a、 c、 o 一 样大的角？在这里如果说我能构建出来这样一个角的话，那我把这个线延长，他是不是就可以和这个抛物线一定有一个交点啊？ 那么我选择怎么做呢？嗯，这个角你会发现这个 o、 c 是 不是等于这个角？那我是不是还差一个条件啊？ 这不是个九十度对不对？那我们能不能构造一个全等三角形啊？也就是说我构建一个和 o、 v 这条长度一样的线，这个 o、 v 是 一，对不对？我在这找一个零负一，一个点，我把这个点称为 m 点吧， m 点一定是零负一。这个时候我如果连接 bm， 你会发现这两个三角形是不是全等的？那此时这个角是不是和这个角是相等的？那我问你，那如果说把这个 bm 这条线延长和这个抛物线， 我又画一个曲线吧，如果说这条线延长和抛物线有一个交点，那么这个交点是不是构成了这个 p 点？ 这个 p、 b、 f 此时是不是就是等于这个 a、 c、 b， 那 么也等于这个 d、 f、 b 呢？大家可以尝试着做一下，知道这个 b 点了，知道这个 m 点了，是不是能把这个 函数一次函数表达出来，那一次函数再跟这个二次函数连立一下，是不是就求出来这个点了？记得它与这个这个一次函数与这个含二次函数有两个交点，所以说我们要排出一个交点，那么另一个值就是 b 的 值，大家可以尝试的做一下。
158小王教数学
03:25查看AI文稿AI文稿hello， 大家好，我是初中数学林老师，二六中考百日冲刺打卡啊！我们来到了第七十一天，那今天呢，我们来看二四年中考题的一道选择压轴题，二次函数的内容啊， 他说已知一个二次函数自变量应变量的几组对应值啊，如下表所示，你会发现，既然给了这么一个表，我们说三个点就能求出一个二次函数，对吧？所以这道题其实二次函数已经告诉你了啊，我们算一算就可以了。但是呢，作为选择题啊，别急着算，一定要看一下选项， 大概率会让你算，对吧。但是呢，你优先先看选项来。第一个， a 开口向上啊， b 呢，是说 x 大 于零， y 怎么怎么变啊，这种题看的是什么？哎，其实看的就是对称轴，对吧？来第三个是经过什么什么向西啊，这个也是，有了 这个二次函数之后，就可以画出草图了，对吧？第四个看的也是对称轴， ok， 所以 我们来把这道题的这个式子给它算出来啊，这个题就结束了。 呃，首先，我们发现有零零，对吧，零零的话呢，说明 c 是 零嘛，对吧？其次呢，我们带入任意两个点啊，带两个简单的往进一带一求就好了啊。带一下，带进去之后，我们发现，负八就等于四 a 减二 b， 对 吧，负三就等于九 a， 嗯，加三 b 啊，然后带入消元，加减消元都可以啊，这里边呢，我想用加减消元，用加减消元的话，就得对这两个式子进行变形啊，这是一至是二啊，我们把一式呢变一下变成， 呃，乘个三，负二十四就等于十二 a 减六 b， 对 吧？给二式呢，乘个二，也就是负六等于二九一十八 a， 然后加六 b， 对 吧？哎，出现了这两个式子，那将这两个式子直接相加就好了， 负三十就等于三十 a， a 就 等于谁负一 a 等于负一，反着带回去，对吧？带回去之后，负八就等于负四减二 b， 那 b 不 就等于二吗？ ok， 这道题已经结束了啊，来，我们把这草稿一擦，然后这道题的式子就列出来了， y 就 等于负 x 的 平方加二 x 啊，对吧？ 然后图像再看 c 啊， c 图像经过二三四向线啊，我们来画下草图，开口向下经过这个零点，对吧？然后注意啊，问题是经过的是这样的二三四，还是这样的一三四，这个取决于啥？取决于对称轴，所以你会发现 cbd 啊，这三问全部指向于对称轴是谁？所以我们赶紧算对称轴啊，二 a 分 之负 b， 求对称轴，也就是二 负一，然后负二，负二分之负二就是一嘛，对吧？所以对称轴叫 x 等于一， x 等于一呢，当然对称轴在这边了，在这边的话就是一三四啊，所以 c 肯定是错误的。 那呃， d 是 对称轴，是 x 等于一 d 是 正确的啊，那我看一下 b 错在哪了？当 x 大 于零的时候， y 随 x 增大而减小 a 忘了啊， 大于零小于一这一段的时候，随着 x 的 增大， y 还在怎么样在增大呢啊？大于一之后才是随着 x 增大， y 在 减小啊。 ok， 所以 正确答案选择的是四 d 啊，这种题的。嗯，你想快速求解的一个思路就是 快速的先把这个式子给它求出来，求出来之后呢？哎，把对称轴求出来啊，这种题基本上就迎刃而解了啊，那今天的题咱们。
04:39查看AI文稿AI文稿中考最后三十天，数学如何再提十到二十分，跟着陈老师拿下最后三大题， 今天我们来看二次函数。结合三角函数题型，我们来看一下二零二六年部分学校一模卷第二十八题二次函数的题目。这个题目我们主要讲这个第一问和第二问，第三问我们留到下一次课去讲，目的也是为了讲第二题当中。如果题目当中出现一个三角函数的东西，我们的思路应该是怎么样的？在平面直角坐标系当中， 抛物线 y 等于 a， x 平方加 b， x 减三，与 y 轴交于点 a， 点 b 与 x 轴交于点 c。 设抛物线的对称，轴为直线 l， 点 m 为抛物线上一点求抛物线的解析式。抛物线求 a 求 b 两个未知数，两个点。所以只需要将 a 点负一零， b 点三零带入 y 等于 a， x 方加 b， x 减三，我们就可以得到零是等于 a 减 b 减三的， 零等于九， a 加三， b 减三。我可以解得 a 是 等于一， b 是 等于负二的，所以 y 等于 x 平方减二， x 减三。道题如图一，点 m 在 直线 l 的 右侧， 且 m 的 纵坐标是大于负三的，连接 m， c 过点 m 作 m， n 垂直于 c， m 交直线 l 于点 n 弱。好，这题目的关键点来了，如果题目当中给我一个三角函数， 我们说就要把三角函数放到 r t 三角形当中去啊，然后把三角函数转化成边之比，边之比，我们就可以得到是线段之比， 那么线段之比我们就会想到相似比，所以这个题目添进它角 m c， n， 它是等于五分之六的，正常我会说是六比五，那它是不是就是 m n 比上 c m 好？ 题目当中告诉我，他说是这条线段比上，这条线段是六比五好。这两条线段它还有一个很特殊的关系，就是这个位置关系，它俩还是垂直的，那通过我们刚刚的这种题型的方法的判定，所以我们现在是不是要想办法将这两个边转化到相似比去，那本质也是要将这两条边放到对应的三角形当中去 去构造一个相似啊，中间突然出现一个垂直，我们看到这种东西的时候，我立马会想到一个 k 字形， 所以我就会过点 m 做这个垂线，再过它做这个垂直，再过 n 做垂直。我现在是不是就有个 k 字形相似？那现在是不是可以将这个编织笔转化成这两个三角形的相似笔？ 通过之前的课程当中，我们知道要求三角形的相似笔，我就是这个相似笔，我要把它转化成与 x 轴与 y 轴平行的线段。 第二问过 m 作直线， l 垂直于 x 轴过 n 作 n， e 垂直于 l 于点， e 过 c 作 c， f 垂直于 l 于点 e， 易得三角形 c m f 相似于三角形 m n e， 又因为偏近它角 m c n 等于六比五，它是等于 m， n 比上 c m， 所以 m n 比上 c， m 等于 m， e 比上 c， f 等于 n， e 比上 m f 也是等于六比五的射 m 点坐标为 m m 的 平方减二， m 再减三，则可以得到点 f。 好 把它写在这 m m 的 平方减二， m 再减三， f 点的横坐标数就有了， m 补三 好， e 点的横坐标我也有了，它是 m， 但它的纵坐标我不知道，所以我要放在这好，这个当中我还知道 n 点的坐标，它的横坐标是不是对称轴，所以我可以把它转化成 x 减一，括号方减四，则我们可以得到 f 点坐标 m 负三， e 点我不知道 x， e 我是 知道的，它是等于 m， 我 也知道 x， n 是 等于一的， 所以现在我可以把哪些线段表示出来，是不可以把这个 c、 f 表示出来，它是等于 m 的， 我也可以把 m、 f 给它表示出来， 它是等于 m 的 平方减二。 m 的， 也可以把 n、 e 给它表示出来，是等于 m 减一的呀，所以我们是不是用了这个支笔啊？ m 减一比上 m 的 平方减二， m 它是不是应该是等于 六比五的？ m 最终是等于三分之一或 m 等于二分之五的？但是题目当中有一个条件，他说 m 的 纵轴 y 要大于负三，也就说 m 要在对称轴的右侧，所以现在 m 是 不是应该是要大于这个对称轴一的？所以最终我们是要把这个给它舍掉的， 则我 m 点坐标是不是就有了二分之五？把它代入到这个式当中，那就是负的四分之七。
64中考数学陈老师
00:38查看AI文稿AI文稿三秒钟一道中考压轴题， 先求出直线解析式，横坐标统一设未知数，上下两点纵坐标相减，直接列出线段长度，式子 瞬间转化成二次函数，求最值，开口向下找顶点坐标，答案直接出来，不用绕弯子，不用复杂辅助线掌握设点求差这个万能套路，以后遇到同类题型闭眼都能作对！收藏起来刷题直接套用！
149瓜瓜讲数学
05:47查看AI文稿AI文稿hello， 大家好啊，没这一题闪亮登场啊，今天啊，玩一道非常经典的这个淄博医模啊，这个啊，宜远地区的这个二次函数压轴的。最后一问，我们看该怎么思考 好，我们首先把该写的写一写啊，说抛物线的顶点为点 p， 那 么把二次函数啊进行配方，最终是负一到负四，然后点 a 负三，点 b 移 零啊，点 c 是 零，负三。好，告诉我点 a 坐标是负零。来看一下，说在抛物线的对称轴上啊，因为在直线 x 等于负一上存在点 h， 使得它俩之和等于四十五度的时候， y 点 h 的 坐标。 那么看题目中有没有隐藏的四十五度呢？哎，有了，首先 a o 和 o c 相等，这个角角为四十五度，继续走， n q n q 是 负一，减去负五是四，而 q p 距离也为四，所以这个角也为四十五度。 好了，首先不要着急，先挖掘题目中有没有隐藏四十五度呢，哎，发现这个 n q 啊，和 q p 相等，就可以推出这个角 q n p 啊，和角 q p n 啊，等于四十五度了，好，继续走。那么如果说这个点 h 啊，在对称轴上，无非在 x 轴的上方，如果在上方上取个点，那么能不能符合题意？不可能， 如果点 h 在 第二项线取个点啊，那么 h n p 这个角一定比四至五大啊，所以不符合题 e， 所以 点 h 只能跑到啊， x 轴下方，也是在第三项线的去取， 那无非这两种可能性，第一种可能性可能在点 p 啊，这个上方，有可能在点 p 下方，对吧？好，第一种情况，我们走一走啊，甲定 好，加上字母，这是 h 啊，这个字母 h 好， 那么题目告诉我说，这个 b c o， 这个叉勾角和这个 h n p， 这个对勾角之和为四十五度， 好，下面这个题的核心逻辑，我们要进行一个转角，好，由于这个对勾啊和这个角角多少度也为四十五度感受，所以这个角我们也叫叉勾角。 好了，所以第一种情况我们登场了，角这个 b c o 啊，和角这个 q n h 是 相等的逻辑，哎，这个是转角， 那么我们发现碳角 b c o 啊，啊，就等于碳角 q n h， 而 b c o 呢，正切是一比三，所以 q h 呢？比上这个 n q 也是一比三 啊，由于这个 n q 是 负一减五，是四啊，所以 q h 呢，应该等于三分之四，所以 h 坐标。第一种情况登场应该是负一逗负三分之四， 哎，打完收工来，我们看。第二种情况，就是我们发现这个点 h 如果跑到 p 的 下方，哎，取个点， 好，这是 h 点，好，我们把我们第一条线稍微擦一擦啊，稍微擦一擦，哎， ok， 好， 这个角还是四十五度。这时候我们发现题目告诉我说，这个 b c o 加上这个啊 h n p， 这个对勾角为四十五度， 那怎么转角呢？这个有点蒙圈哎，我们可以这样操作，因为这个角为四十五度，可以过点 n 啊，啊，做一条啊，做一条与这个 x 轴垂直的线，哎， 好，我们发现这个角为四十五度，那请问这个多少度啊？是不是也是四十五度啊，对吧？所以这个角为四十五度来感受， 那下面可以转角了，对不对？这个对勾加这个小角，角是不是四十五度？这个对勾和叉勾也是四十五度哎，所以我可以说这个角就是叉勾角 哎，能理解吗？再来一遍，好，对勾加叉勾四十五度，对勾和这个角四十五度啊，所以这个角和这个角相等都叫叉勾角。好，下面我们进行啊，那么过点 h 啊，往这条线做个垂线， 好加上字母 k。 那 么同样，我们看第二种情况，这个角 o c b 和角 k n h 相等方法一模一样，还是转角，所以碳角 o c b 这个火机就等于碳角 k n h 就 等于这个 k h 比上 n k， 对 吧？好， ok， 就 等于几？ o b 比 o c 一 比三。由于这个 k h 啊，和 n q 相等啊，等于几四， 所以 n k 的 长度为减三四十二，那么于是乎这个点 h 的 坐标横为负一 n k 啊，就是 q h 啊，等于负十二 啊，所以答案是两个，此题学会了吗？这个转角核心关键。
32知兴爱数学
06:19查看AI文稿AI文稿纵有 difficulty 也要变得 easy。 欢迎来到 e c 老师的课堂，今天我们讲解的内容是初中数学必会压轴题四，我们来看第二十四题。我们先来看第一问，求 b、 c 的 值以及点 p 的 坐标。我们读题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 等于负 x 方加 b， x 加 c， 经过 a 零三 b 六三这两个点，顶点为 p。 那 我们题先读到这里，我们就可以求出第一问了。想求 b、 c 的 值，我们就需要将 a 点零三以及 b 点六三代入到抛物线的解析式中，得到一个二元一次方程组，也就是 c 等于三以及负三十六 加上六， b 加 c 等于三。我们解一下这个方程组， c 呢是三，将 c 等于三代入到第二个方程中，也就是左右两边的三消掉了。负三十六加六， b 呢 等于零，那么六， b 就 等于三十六， b 就 等于六。 所以这个抛物线的解析式就是， y 等于负 x 方加六， x 加三，那顶点 p 的 坐标，那横坐标就是负的二， a 分 之 b 也负的二， a 是 负，二， b 是 六，也就是翻 纵坐标。我们只需要将横坐标代入等于负的 三的平方，加上六乘三加三等于负，九加十八加三等于十二，所以 p 点坐标就是 三十二。那第一问，需要截图的同学，三二一请截图，我们再来看第二问，点 d 在 l 一 上。我们回到主题一中最后一句话说到，两条抛物线在第一象限 内的部分分别记为 l 一 以及 l 二，那么 l 一 就是我们第一问所求的抛物线的解析式。点 d 在 l 一 上到 x 轴的距离是四分之二十三。这句话就告诉我们地点的坐标是 四分之二十三。判断 l 二能否经过点 d， 如果 l 能经过点 d 的 话，就意味着 d 在 l 二上。也就是说你将地点的坐标带入到 l 二中，这个等式是成立的。 若能求 a 的 值，若不能，请说明理由，那我们先来求出点 d 的 横坐标。由题意可知，因为 点 d 在 l e l e 的 解析式为， y 等于负 x 方加六， x 加三，上到 x 轴的距离为四分之二十三，所以点 d 的 纵坐标 y d 就 等于 四分之二十三。那么将四分之二十三代入，我们来解一下这个方程。负 x 方加六， x 加三等于四分之二十三， x 方减六， x 减掉， 加上四分之十一等于零。利用求根公式，那么 x 等于二， a 分 之，负 b 加减 根号下 b 方减去四， a 等于六，加减三十六减去十一等于六，加减根号二十五。 一个六加减五除以二，一个值是二分之一，一个值是二分之十一。这个是我们草稿纸上的内容。我们在答题卡上只需要写解得 x， d 等于二分之一或二分之十一，那么地点的坐标就是二分之一、 四分之二十三，以及二分之十一、四分之二二十三。我们再来读题，由于 抛物线 l 二经过点 c 二分之一二这个点，那么它就不能够经过二分之一、四分之二十三。因为我们知道函数 一个 x 对 应一个 y， 所以 a 二就不能够经过 地点中二分之一四分之二十三这个值。同时我们注意到， a 二的对称轴呢，是 x 等于三，二分之一到三的距离是二分之五， 那三作为对称轴，在三的右侧，它再加上二分之五，就是二分之十一，所以二分之一二。关于对称轴， x 等于三的对称点就是二分之十一二，所以 l 二经过 点 c 的 对称点二分之十一二，所以 l 二就不能经过 d。 点 二分之一四分之二十三或二分之十一，四分之二十三。那么第二问我们就讲完了，需要截图的同学， 三二一，请截图。
14数学EZ老师
22:50查看AI文稿AI文稿二次函数压轴题千变万化，袁老师呢，收集了全国各地的北京、上海、江苏、浙江等地各个地方的中考真题和压轴题， 分析了所有二次函数的压轴类型。我发现所有二次函数题，其他的都是表面和陷阱，我们抽丝剥茧，我们可以分离出四个动作。那么今天呢，袁老师就将这四个动作融合进了一道大题里面，分别分为一、二、三、四小题。 原题放在这里，答案放在这里，你可以看看你能做对几道题目。我们来看第一小问， 他说 y 等于 x 方加 b， x 加 c 与 x 轴交于两个横坐标，都含字母啊。已知 x b 等于三倍的 x a， 写出函数的顶点坐标和它的最小值，这个函数就只是 y， 对 吧？那么第一点呢？ 袁老师都建议同学们，既然要求顶点坐标和最小值，包括有些二次函数题，他都不要求顶点坐标。二次函数，呃，和最小值的，我们都要用配方的方式去重新写一遍。这个二次函数 配方为正二分之 b 的 平方加 c 减四分之 b 方，你看配方写完了之后，就能很清晰的看到它最终要换的啊。用 b 来表示，就是要把这个 c 换成这个 b， 也就是说在这里的主题就是转换这个字母， 那么原子已经有了这样的一个条件，我们如何把这个条件用好呢？这个就是接下来我们面对代数手法处理二次函数问题的核心技巧，我们不管他是哪两个字母之间的关系，我们都把它抄下来， 对吧？好，那么如果题目里面还有其他的语句，我们也抄下来啊，但是这里面没有了，对吧？那这里面没有怎么办呢？这就涉及到它的考点了，我们发现它最终要换的是 c 跟 b， 但是呢，它的关系是 x a 和 x b。 x a， x b 是 什么？是与 x 的 交点， 也就是 y 等于零的时候的 x 的 值，它是方程一元二次方程的解，一元二次方程的解就是为分之 b， a 是 一，那就是负 b， x a 乘以 x b 等于 a， 分 之 c， a 是 一，那就是 c。 看， 直接动用，第一个是提干条件，第二、三个是伟大定律。我们将所有能想到的等式，能有关系的等式全部都列在这里，这样我们可以很清晰的看到，它们是可以做到互相转化的。 怎么转化呢？由一得啊，有一带三啊，一带二啊。先一带二， x b 换成 x a， x a 加三倍的 x a， 四倍的 x a 等于负 b， 一， 再带三， x b 换 x a， x b 等于三倍的 x a， 即三倍的 x a 的 平方等于 c， 最终我们再把 x a 给它消掉，即 c 等于 x a 等于负四分之 b， 三乘以负四分之 b， 整体的平方等于十六分之三 b 方。这样以来，我 c 就 成功换成了这个 b， 我 只要带入进去是不是就可以了？ 好，所以第一小问给大家展示的类型，伟大定律、考点以及配方， 这个是基本的代数操作以及最终的消远，它将出现在大部分百分之九十啊，所有的这个二次函数压轴题里面都会有，这是我们第一个小问。好，我们继续来看第二个小问， 他说当 b 在 所有非零时数变化的时候，求顶点与 x 轴距离的最小值，那么顶点刚才我们已经求出来了，我们发现它是一个含 b 的 代数式，它没有办法求出具体的值，但是不影响 他说顶点与 y x 轴距离的最小值。那么有经验的同学就可以看到他的顶点，他不是一个固定值，如果是个固定值，他就不存在最小值，那么他既然要问你最小值，那就说明他并非是个固定值，那不是固定值的话，我们就求轨迹， 这也就是我们袁老师发现的第二大动作，在已知顶点代数函数问题的代数网当中求出他的轨迹，怎么解决？办法也很简单，我们发现 它的顶点的横坐标和纵坐标，虽然不知道是具体多少值，但是它俩都含 b。 按照刚才我们肖元的手法，左边是 x 坐标，右边是 y 坐标，我们可以用 x 零和 y 来表示。怎么去得到 x 和 y 零的关系呢？ 这个关系是不是就是它的轨迹，也就是它的 x y 的 一个函数关系式？还是套用刚才的手法， x 零等于负二分之 b， y 零等于负十六分之 b 方， 那么这个时候把 b 换成 x 零，给它往里带，即 y 零等于负的十六分之 b 是 多少？负二 x 负二 x 零的平方，即负四分之 x 零的平方。好，又出来了， 注意啊，这个是 x 零跟 y 零的，不是原式的这个 x y， 它是两个完全不同的函数关系，也即为 x y 的 关系， 那么这个也就是二次函数顶点的轨迹啊。也就是说，虽然说这个函数 abc 都是不知道的，但是我可以得出的是，它的顶点是这样的一个轨迹，开口朝下，经过圆点，所以它与 x 轴的距离最小值为零。 好，那么这个给大家分享的考点就叫诡计，当你其中的一个点是含两个啊，含共同的一个参数的时候，削壁怎么削？跟刚才一模一样的手法。 好，这个是第二小问，我们继续第三小问， 第三小问就有点复杂了，看起来啊，他说在 c 上有三个点， m 减二，阿尔法，四贝塔 m 阿尔法。哎，同学们，当你看到这些东西的时候啊，第一个它的字母非常的多，第二个它的字母非常的杂，那么在这种情况下，你就要尤其小心， 也要一定要从他们身上去找特点，这个特点袁老师两个字给他们点出来啊，叫做图像。哎，前面两个小问都是代数， 代数等式啊，伟大定律啊，代数值的变化都是代数，但是这种操作叫图像，你看从这个字母的个数就可以看到，它压根就没想让你消元和代数的方式去求解， 这才是关键。好，我们来看这个图像以外，它还有什么共性呢？啊，这个图，这个动作是怎么样的呢？ m 减二，阿尔法， m 阿尔法，我们发现这个 m 减二跟 m 利用钟点公式，它俩的 y 相同，钟点公式二分之 a 加 b。 啊，它俩 y 相同，那么也就意味着你把两个点取中点以后， 它是不是就等于我原来的这个对称轴负二分之 b， 那 这个是其中一点，这个叫做定轴。 同时我们也能看到，不仅能定出这个轴是 m 减一，我们也可以得到这个 m 减一跟负二分之 b， m 和 b 之间的关系。那虽然说它是图像题，但是也抓不准，它中间可能会让你有一点代数转换字母的操作，那这个是不是就跟前面串联起来了，对不对？ 所以我们可以先放在这里啊，留有后续使用。但他到底要不要用呢？同学们，技巧在哪里啊？技巧在看问题，你看问题他要不要你用问题，他问的就是 m， 所以 我们这个轴就挑这个 m。 好， 那接下来就是翻译了， 还有同学说了，袁老师，什么叫翻译啊？这个翻译啊，还真有好几种翻译方法，如果你要翻译成具体动作的话，他真的有各有各的翻译，但是呢，我整理出来的这个动作就是唯一的一个翻译啊，可能其他的动作有其他的翻译，但是我的这个翻译可以应对所有的翻译。什么翻译呢？ 距轴远近，先把类型给大家写出来啊。距轴远近，什么叫距轴远近？那我们来看，它要求的是满足 alpha 小 于 beta 小 于 c 啊，什么叫 c？ c 就是 这个。 那完整的写法是不是零 c 点就横坐标是零嘛？纵坐标是 c。 那 我们看一个二次函数的抛物线， 这个二次函数我们知道它的开口是朝上的对称轴，现在我们也知道了，它是 m 减一或者负二分之 b， 什么时候它们的 y 值可以产生大小比较？那么 alpha 小 于 b， 它 alpha 有 两个对应的 x， 那 么很简单，一个 y 的 值，它有对应两个 x 的 解，对吧？这也是困惑同学们最深的一个点，我不知道该选哪个。 那么我们来看，它的 y 越大啊，其实对应的是二次函数增减性的考点， y 越大，在开口朝上的情况下，它的 x 是 不是离轴越远， y 越小，是不是离轴越近？ 那么在这里你挑 x 减二和 m， 其实都是可以的，都可以代表这个 r 法，拿什么写 r 法呢？拿 m 减二和对称轴 m 减一的距离，或者你看啊，你挑这个 m， m 和 m 减一的距离，你看它俩算出来是不是同一个值，是不是都是一？ 哎，能读懂我这句话的意思吗？也就是说，这个阿尔法对应的这个 y， 它所对应的横坐标跟轴之间的距离是一，轴是 m 减一，哈，对不对？同理，贝塔， 贝塔的横坐标是四，非常明确啊，我们也不知道这个四在哪里不影响，因为这个四可以写成这个距离。注意啊，它这个写法是七上的绝对值的一个章节，两个点之间的距离坐标绝对值的 a 减 b 化简负 m 乘以五减 m， 给它调过来 m 减五。这个是当时的一个小技巧，含绝对值的代数式啊，我们在未来列的时候用 m 减五会更加好一点。同理，这个 c， 同学们， c 的 横坐标是不是零，是不是也不影响零减去括号 m 减一，那就是绝对值的 m 减一。好了，接下来他说了， alpha 小 于 beta 小 于 c， y 越小距离越近，所以我这个式子就完美的写出来，第一个一，哎，是最近的小于绝对值的 m 减五。第三个，小于绝对值的 m 减一。这个就叫翻译， 对于 y 大 小比较的翻译。接下来我们只要解这么一个不等式就可以了 啊，这个是可能是这回老师个人感觉啊，我在抓这个所有的考点当中获得的最有价值的一个点啊，就是在这里，因为这能同时解决前面同学们非常混乱的，如何去求 m 的 范围的一个 最深的一个痛点，我觉得啊，最深的一个痛点，把这个，那有同学说，老师我怎么把这个解出来，那我谈谈地方啊，我把这个这个是不是没用了？这个我就给它擦掉了， 我怎么把这个式子给它解出来呢？怎么把它写呢？像这种连续的不等式，我们相邻的两个给它写成两个不等式组，一个是 m 减一大于 m 减五的绝对值，第二个是 m 减五的绝对值，大于一的绝对值。 你可以讨论你取两个零件值，一跟五，当 x 小 于一，当 x 大 于等于一小于五。三个阶段分成三个分类讨论三个求解， 这个也是一样，五， m 小 于五的时候写解不等式， m 大 于五的时候写不等式。解出的值要跟我们初始的讨论的范围要去做一下检验。那么对于这种题还有更好的一个解法，我们可以把它翻译为上， m 到一的距离大于 m 到五的距离。 那么什么时候 m 到一的距离大于 m 到五的距离呢？我们画一个竖轴来，这个是一，这个是五，这个 m 是 竖轴上不在跑的点。什么时候距离大于一大于五呢？我们取一和五的中点，当我的 m 大 于三的时候，都不能等于三，因为等于三到一五的距离相同，大于三 就是 m 到一的距离大于 m 到五的距离，对吧？你看把七上的知识点给它纳入进来，同理，什么时候 m 到五的距离大于一呢？ 那么这个同学想象很好，想象 m 到五的距离大于一，那么是不是六的时候和四的时候 对不对？两个都是不能取到的，所以得到 m 小 于四或 m 大 于六。还记得这个符号吗？这个符号叫同时满足，我们现在分别针对两个不等式都解出了它的解，同时满足它俩，所以综上 怎么办？ m 大 于三包含了 m 大 于六， m 小 于四，所以综上 m 大 于三小于四或 m 大 于六，这样我们的 m 就 求出来了 啊。我觉得前面两个小问，如果大部分的同学在做压轴题的时候还有能做啊，或者说心里有数，刚才只是做了梳理，那么这一小问相信对同学们有很大的这个 感受啊，可能会有一点共鸣吧，对吧？啊，好，我们继续来看最后一个小问， 那么除了前面两个代数和后面的这个与轴的这个距离，这个轴的距离呢？是同学们以前在做压轴大题的时候经常会遇到啊，有的时候能做出来，有的时候做不出来，那今天袁老师就跟大家讲， 与轴距的大小跟 y 的 大小比较，连那样的不等式就可以求出来。那么最后一个小问就是非常的冷门了啊，非常的冷门了，那也是近几年考试的这个趋势，它其实涉及的是一个代数的手法。我们来读题， 在 y 一 的情况下，另设 y 二等于 x 减 a。 朋友们，当你读到这个 y 二等于 x 减 a 的 时候，你应该立马反应过来，它经过 x a 零点，叫做横过某个点，注意啊，只要 x 带下角标，它就是具体的一个点位。 继续再设 y 等于 y 二减加 y 一， y 一 加 y 二， y 的 图像与 y 的 图像在 a 之外另交于一点一， y 二的图像与 y 的 图像在 a 之外另交于一点 f。 求 a e f 的 长啊，求 e f 的 长。 那么回过头来想一想，它除了要交于 a 之外， a 就是 x， a 零啊， 还要交于 e， 还要交于 f， 求这个 ef 的 长度。那我们是不是要找到这个 ef 的 坐标？那么找 ef 的 坐标是不是意味着两个函数之间要连列，把 y 跟 y 相同？求这个 x 到底在哪里？那是不是方程问题？ 但是我们仔细分析一下，现在的三三个函数它是长这样的，我们全都列出来 y 二是 x 减 x a， y 就 相当于是它两之和。 好，这个把它们直接连列，是不是略显绝望了？同学们啊，比如说， y 一 跟 y 二连列， y y 相同了，左边 x 方加 b x c 等于 x 减 a， 求 x， 这个 x 求出来第一个肯定是 x a， 那 么第二个就不知道了，对吧？好，所以问题就在这里。那么当你在压轴题当中感受到了此类场景的时候，你一定要小心看看它是不是有 x 轴的焦点，因为我们的 y 一 还可以写成 这样的形式。那你再看看 y 一 跟 y 二的区别，是不是有共阴式啊， 对吧？同理，这个 y 你 左边是不是也可以写成上面的形式啊？ x 减 x a， x 减 x b， 这就相当于是 b x 加 c 了吧，对吧？ 啊？还最后再来了一个，加上括号 x 减 x a， 那 么其实我们还可以把它翻译一下，怎么翻译呢？ x 减 x a 合并同类项，只剩下 x 减 x b 加一，对不对？看，这个就是最终版本的 y 一 y 二 y 三。 如果你把它翻译成像这样的焦点时，那么它在连列的时候就非常的清晰。比如说 y 一 与 y 二啊，我直接给他写 y 一 等于 y 二，当我 y 一 等于 y 二的时候，我就是在找 a 跟 e 了，怎么办呢？冒号 y 一 是 x 减 x a， x 减 x b 等于 y 二， x 减 x a， 写成等式，移项得到 x 减 x a， 右边 x 减 x b， 因为移项变负，负一等于零，得 解得的一个 x 是 x a， 这个是我们原来就知道的啊，一个焦点就是 a， 还有一个焦点 x 二就是多少，就是 x b 加一，这个就是 e 点及 e 点的横坐标，是 x b 加一。那么 e 点的纵坐标在哪里呢？注意，它在 y 上， e 点的纵坐标就意味着是 x b 加一减 x a， 看这个坐标是不是立马就出来。再找第二个 f。 y 二与 y 的 这个交点，那么 y 二在哪里也是一样写，你看它俩如果相等，对吧？它俩如果相等， y 二等于 y， 我直接写了啊。像刚才一样，一向过来， y 二等于 y， 即 x 减 x a， 这个还是不变。提取公因式一向过后， x 减 y x b 加一减一，是不是直接得到这样的式子？所以 x 一 等于 x a， 你 看他说还是交于 a 点，这个是不变的。那么第二个 x 就是 x b， 即 f 点的横坐标就是 x b。 f 点的纵坐标带入到哪里，它是 y 二跟 y， f 点仍就在 y 二身上。 y 二等于 x 减 x a， 那 么 f 点就是 x b 减去 x a， 那 我会发现 e 点的横纵坐标跟 f 点的横纵坐标均差值为一。 一个是 x b 加一，一个是 x， 一个是 x b 加一减 x a， 一个是 x b 减 x a 加一， 它比它多一，它比它多一，所以它俩的差值，我们知道这个的长度是不是横坐标差的平方加纵坐标差的平方，所以横纵坐标都差二，所以它的值为根号二 啊。总之，当我们把 y 一 写成了这样的形式，当我们把 y 也写成这样的形式之后，对于我们函数的这个差值，对于求解的这个值来说就变得非常的方便，这个类型我们称之为叫 因式分解 差函数， 这是面向于函数与函数之间连列求点坐标的这个压轴动作。 好了，那么以上呢，我们所有的动作都集齐了啊，所有的动作都集齐了。第一个动作 配方韦达消元，这个是基础的，但是也属于压轴类型，综合型的动作组合。第二个轨迹。第三个距轴跟 y 的 大小比较， 我们当我们发现有很多字母且 y 大 小比较的时候，我们把它翻译成距离轴的远近之间的比较，可以很快的求出这个 m 的 范围。第四个动作，焦点式 啊，大家发现焦点式在用英式分解求焦点的时候是非常有用的，这样的一个操作形式，这一点一定要小心。好了，同学们你做对几道题目呢？如果有更多的问题，欢迎咨询和评论区留言。
60宁波原老师
05:49查看AI文稿AI文稿同学们大家好，今天呢，我们来做一道二次函数的综合题，二次函数在中考里面是必考点，必考点，一定要记住，是必考点。我们的先来复习一下知识点。第一个， y 等于 a， x 方加上 b， x 加 c， a 不 等于零，这是什么？二次函数的一般式？还有一个， y 等于 a 倍的 x 减 h 加上 k， 这是什么平方，这是它的顶点式， 这是一般式。好，这里面它的对称轴都是什么？ 顶点又都是什么？增减性又都如何？一定要滚瓜烂熟自己脑海子，脑海里面应该是有这个图像的啊。 来，我们看题。第一题，已知抛物线 y 等于 ax 方减二， ax 加上三， a 不 等于零，与 x 轴有两个交点， a b 给出来了 b 的 坐标。第一问，让我们求表达式和对称轴， 哎，对称轴怎么求？对称轴是负的， x 等于负的，二 a 分 之 b， 这个是自己记住的，不用往这写啊，等于啥？负的二 a 二乘 a 还是 ab 是 负，二 a 等于一，所以对称轴就是一啦。然后我们把点 b 三零带进来，零等于什么？ 三三得九，九， a 减去六， a 加三推出来，三 a 等于三，三 a 等于负，三 a 等于负一，所以它的表达式就是， y 等于负的 x 方加上二， x 加一， 这就是它的表达式了。第二问，若大 m 大 n 是 抛物线上的两点，且小 m 大 于 n， 求 c 的 取值范围，这里有一个八， 那我们画二次函数它的草图出来。第一个，它的对称轴是等于一等于一的时候，它的最高点是多少来着？负一加二加三等于个四， 一个点是三零，这是一二三。好，这样平滑的下来啦，另外一个对称点呢？三负一 这样上去啦，然后这样又下来啦，这边也下来啦，我们的八肯定是在这边的，对吧？八 n， 然后若大 m 的小 m 大 于这个 n， 所以 我们这边求出来另外一个横坐标。关于 x 等于一对称，谁呀？负六， 这个是负六，这边就是小 m。 假如啊，这还不能用，不能用小 m， 我 们给他用个 y 吧。 这样一个值，小 m 大 于 n， 小 m 是 不是得在这一块？所以我们这个 c 的 取值范围是啥？大于六，小于几？小于八，这个就是画草图就能得出来啦。 第三问，已知当 x 大 于等于负一，小于等于 q 时，抛物线对应函数的最大值，最小值的叉是五，叉是五，这才是几，这才是四呀。所以我们这个 q 的 值是在这边， q 的 值是多少？ q 的 值。这里面第三问的 y 是 等于个负一，把 y 等于负一 带进来就得出来， x 是 有两个值， x 一 是等于个一减根号五 x， 二是等于个一加根号五，这个要舍去。为什么？因为 x 由去值范围， 所以我们 q 的 值就是一加根号五。这个题不难，这个题不难，要拿满分啊。 用不用带着你们整理一下做题步骤？不用吧，这题多简单，划出来就好了啊。做个预告，我们五月十七号就要直播，播什么？播中档题？ 中档题啊，我们不播压轴题，我们只播中档题。中档题最容易拿分了，有基础，稍微练一练就能够把分给拿到了。压轴题现在去练呢，也来不及了，所以我们不做压轴题了。 另外就是我们的黑白卷马上就要到了，黑白卷免费分享，一定要点个关注私信我，我给你们发啊，或者在评论区里面艾特我都可以。好，今天的内容就到此结束了，大家明天见喽。 啊不对，明天没有了，我们这个系列的高频考点已经更完了，我们后面就给你们更一些易错的点。好，依然是明天见。
34小初爱学习
02:47查看AI文稿AI文稿二次函数的最值问题是很多初中生的噩梦，这类题中考必考，和高中关联也极大，但是很多同学呢，到中考都没有搞明白，那么今天用一道题，两分钟的时间，带你彻底掌握这类题型，让你以后碰到这类题型迎刃有余。 我们来看这个二次函数，对称轴显然为 x 等于一，而 p 减二到 p 这个范围是变化的，所以我们可以把这个范围从左向右慢慢移动，所以得到第一种情况， p 减二到 p 这个范围在对称轴的左侧， 那么慢慢的向右移动得到了。第二种情况， p 减二到 p 包含对称轴，但是呢， p 减二的函数值要比 p 的 函数值大一些， 再往右移动得到第三种情况，同样这个范围包含对称轴，但是 p 的 函数值要比 p 减二的函数值大一些。第四种情况， p 减二和 p 都移动到了对称轴的右侧。 针对这四种情况，我们先来求它的最小值。第一种情况， p 的 范围是小于等于一，那么最小值显然在 x 等于 p 处取的。 第四种情况， p 的 范围是 p 减二大于等于一，也就是 p 大 于等于三， 那么最小值显然在 x 等于 p 减二处取得。再来看中间两种情况，它们的最小值显然都是在对称轴处取得，也就是 x 等于一处取得。所以呢，我们把这两种情况合并成一种， 此时 p 的 范围为 p 减二小于一小于 p， 也就是 p 大 于一小于三，此时呢，最小值在 x 等于一处取得， 那么这就是最小值的情况。接下来我们继续看最大值的情况，我们发现最大值不是在 p 处取得，就是在 p 减二处取得，所以呢，最大值分为两种情况，前两种情况都是 x 等于 p 减二处取得， 后两种情况都是 x 等于 p 出去的，我们只需要求出各自的 p 的 范围就可以了。这里呢，我们要用到 p 和 p 减二的平均数，即 p 减一。前两种情况都是 p 减一位于对称轴的左侧， 所以 p 的 范围就是 p 减一小于等于一，也就是 p 小 于等于二。同理，后两种情况，我们发现 p 减一都位于对称轴的右侧，所以呢，它的范围为 p 减一大于一，也就是 p 大 于二， 这就是最大值的情况。所以呢，综上所述，最小值分为三种情况，而最大值分为两种情况。
173数学开窍社
01:02初二初三的收藏好，每天学一个二级结论 二次函数必考题型🔥
交点 + 顶点组成三角形
1 分钟快速判断形状
掌握判别式 Δ 秒出答案
九年级数学赶紧收藏✅
记得做好笔记
#初中数学学习方法 #中考倒计时 #二次函数查看AI文稿AI文稿二次函数里常考的题行为你顶点与交点组成的三角形，判断其形状。常规解法，先算每条边长，再用勾股定律判断。 等你算完，学霸已经上高中了，今天教你一个学霸会用的判断方法。二次函数 y 等于 x 平方加 b， x 加 c 的 图像与 x 轴相交于点， a、 b 顶点是 c。 判断三角形 a、 b、 c 为直角三角形， 当戴尔塔等于十二三角形 a、 b、 c 为等边三角形，当达尔塔等于三分之四三角形 a、 b、 c 为角， a、 c、 b 为一百二十度的等腰三角形。 看一道真题，当二次函数的图像与 x 轴交于 a、 b， 两点零点为 c， 且戴尔塔等于十二，则角 a、 c、 b 的 度数为。这道题直接给了戴尔塔值， 那我们就得知三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，那么角 a、 c、 b 就 等于六十度。学会了做两道题巩固一下。
69初中曾老师
04:24查看AI文稿AI文稿二次函数是中考必考题，今天我们用一个视频将二次函数的图像性质彻底讲清楚。我们来看第一个重点，看开口方向。如果抛物线的开口向上，则 a 大 于零。如果抛物线的开口向下， 则 a 小 于零，所以这里填小于号。我们来看第二个重点，看与 x 轴的交点。如果抛物线与 x 轴没有交点，则 b 方减四， a、 c 小 于零。 如果抛物线与 x 轴只有一个交点，那 b 方减四， a、 c 等于零。如果抛物线与 x 轴有两个交点，那 b 方减四， a、 c 就 大于零，所以第二题填大于号。 这个抛物线与 x 轴的第一个焦点坐标为负一零，所以当 x 等于负一的时候， y 等于 a 乘负一的平方，加上 b 乘负一，加 c 等于 a， 减 b 加 c 等于零，所以第三题填等于号。 这个抛物线与 x 轴的第二个焦点为四零，所以 x 等于四的时候， y 等于 a 乘四的平方，加上 b 乘四加 c 等于十六， a 加上四， b 加 c 等于零，所以第四题填等于号。我们来看第三个重点， 看与 y 轴的交点。如果抛物线与 y 轴的正半轴相交，那么 c 大 于零。如果抛物线与 y 轴的负半轴相交，那么 c 小 于零，所以第五题填大于号。我们来看第四个重点看对称轴。 因为对称轴与 x 轴交于这个红色的点，抛物线与 x 轴交于这两个紫色的点。 根据抛物线的对称性，红色的点是两个紫色的点的中点，所以红点的横坐标就是二分之负。一加四等于二分之三， 所以这个对称轴就是 x 等于二分之三，所以负的二， a 分 之 b 就 等于二分之三，因为负的二， a 分 之 b 等于二分之三，所以 b 等于负。三、 a 因为 a 小 于零，所以 b 大 于零，所以第七题填负三，第八题填大于号。我们来看第五个重点，第五个是最难的。首先看第九题， 因为 a 小 于零， b 大 于零， c 大 于零，所以 a 乘 b 乘 c 小 于零。第九题填小于号， x 等于一，大概在这个位置。 当 x 等于一的时候，对应的 y 在 这，这是大于零的。所以当 x 等于一的时候， y 等于 a 乘一的平方，加上 b 乘一，加 c 等于 a 加 b 加 c 大 于零，所以第十题填大于号， x 等于二，大概在这个位置。 当 x 等于二的时候，对应的 y 在 这，这是大于零的。所以当 x 等于二的时候， y 等于 a 乘二的平方，加上 b 乘二加 c 等于四， a 加上二， b 加 c 大 于零，所以第十一题填大于号， x 等于负二，大概在这个位置。 当 x 等于负二的时候，对应的 y 在 这是小于零的。所以 x 等于负二的时候， y 等于 a 乘负二的平方，加上 b 乘负二，再加 c 等于四， a 减二， b 加 c 小 于零， 所以第十二题填小于号。在讲第十三题之前，我要说明一下第十、十一、十二这三个题还有另外一种解法。我以第十题为例， 根据第三题的 a 减 b 加 c 等于零，以及第七题的 b 等于负三 a， 我 们可以得到 c 等于负四 a， 所以 第十题的 a 加 b 加 c 就 等于 a 减去三 a 再减去四， a 等于负六， a 大 于零，同理可以得到第十三题。四、 a 加 c 等于零。
319初中数学郁老师
18:20查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，这里是瑞克老师，首先恭喜一下这个刷到这个视频的同学啊，你们拿到了我们重庆二残数啊，这个角度性存在问题的分绝 啊。这节课老师会用高中的一些知识来对这个初中的一些就是我们的所谓的压轴题进行一个秒杀处理， 我们所谓的经常来说能想到假角公式啊，和也，其实也就是我们这个正确的和差角公式啊，我们如何的把它应用到我们的这个二次函数的压轴题里面，变成一个简单的计算题 啊。这个基本上大家听完这个视频之后，也会对二次函数和大题会有一个很大的概观，可能以后你遇到这个大题之后，你可能说我想花点时间把这个题做一做，因为这个题它其实就是一个计算题。 ok 啊，听起来很神奇对不对？但这就是事实啊，如果 啊，当然啊，点赞、投币和关注，咱们先给 rap 老师点一下啊，你们的知识是 rap 老师啊最大的动力。好，那我们来快点开始吧。 好，那一开始我们首先还是老规矩来讲一下前置知识，前置知识主要分为两个板块，一个是第一个我们的一二三四五模型， 这个常用的模型其实啊，还是没有讲过在视频里面啊，因为这个线下课老师讲的还是比较多，这一二三四五模型啊，大家如果想上线下课的同学也可以及时的私信老师啊。好，那咱废话不多说，咱们来看一下这个一二三四五模型到底是个什么东西。 ok， 那 咱们看一下啊，首先这个我们要认识两个常见的三角形，而我们其实之前常见的三角形有这个含有三十度角的这个直角三，对不对？他有一比二比刚好三 啊，还有我们的四十五度的这个三角形，这一比一比根号二啊，那这个两个三角形我们已经这个非常的这个熟悉了，但是其实我们还有两个在题目中常见的三角形啊，是给大家再补充一下 啊。第一个就是我们的这个直角边是一比二，一定要跟三十度，不要记混喽，因为三十度这是一比二，他和斜边是直角边是一比二啊，那一比二的另外一个边就是根号， 那所以说我们管这个一比二比根号五的这个角叫做什么呀？ r 法角啊。然后这还有一个情况就是一比三比根号十啊，就是叫做 beta 角啊。这个为什么一比二比根号五和一比三比根号十，老师经常拿出来说呢？因为我们会发现，如果 r 法角大概是一个三十六点五度， 而我们的 beta 角大概是一个十八点五度，两者一相加，正好是一个四十五度角，也就说正方形连接一个对角线啊，我随便一切割，我就可以切出来一个 alpha 角，一个 beta 角，所以说我们只要涉及到一些正方形的题目， 老师很可能拿这个 alpha 角和 beta 角去凑出句，大家能理解吧，因为这样的出句比较整，然后这样的话答案也比较规整，会比较正常啊，那所以说我们也就是切中了出题老师，他会经常性的这么出，所以说我们就把这两个角记一下。 而且除了 alpha 加 alpha 加 beta 等于四十五以外，他还有一个特殊点啊，那也就是说我们出题中还特别常见这种三比斯，哎，这个老师还写错了啊， 我们在出题的过程中还经常看见这种三比四比五的三角形，对不对啊？那其实三比四比五，大家可以想一下，三比四比五，其实大概是三十七点五，呃，就是三十七度嘛。啊？而我们的贝特角，两个贝特，你看我们刚才说完了，贝特是十八点五， 你乘个二就变成多少了，就变成三十七度了，哎，那所以说我们二倍的贝特，如果你给他进行个二倍的这个角的一个扩充的话，再组成三角形，他竟然就是三比四比五， 那当然阿尔法也可以啊，阿尔法他只不过是四比三比五啊，只不过是对着的边发生了变化，那其实他形成三角形都是三比四比五，那也就是说出现了三比四比五和出现了正方形四十五度，都有可能会出现这样的三角形的组合体， 所以说这也就让我们啊，这个非常的重视这个东西啊，为什么叫他一二三四五模型？因为你看这是一二三，还有个四和五四十五度，对不对啊？一共是一二三四五，全部凑齐了啊，老师，那我还凑了个十呢，对不对啊？这个咱们就忽略不计，对吧？ 你也可能你也可以叫他一二三四五十模型啊，也可以，对吧？啊，总之这就是我们的前置知识之一，一二三四五模型。 好，那我们继续我们的第二个前置之点，那就是 k 的 身份，就像我们一个人有不同的身份一样，你可能在家里是你父母的孩子，你在学校里面是老师的学生，对吧？啊？那么 k 也有很多身份，对不对？它有斜率，它是不也叫斜率啊？也叫比例系数啊？那其实它还是 他还有一个身份，那就是和谁是挂钩了？那有二分之三 x， 对 不对？啊？这是个正比函数嘛？那其实老师你这二分之三 x， 你 是不是可以通过 y 等于 k， x， 你 这样直接代数，对不对？你把这个 x 和 y 带进去， x 等于二， k 等于三， k 就 等于二分之三，对不对？那其实你会发现这个二分之三和我们的这个这个加角，我们把这个角设为 c， 它 它也等于这个角 theta 的 tanthan 值，那我们都知道 tanthan theta 是 不是对比零呢？那就是三比二，是不是一秒就读出来了？这肯定要比我们把它带进去这个式子算肯定要快很多，对吧？啊？那老师呢？是不是所有的满足呢？啊？其实也是不一定啊，就你看啊，因为 有些时候如果我们这个开口是向下的，来，我们观察一下，这个就是开口向下的，那你但是你得到了这个三角形，你得到这个三角形，其实你这个 c 特值，对吧？它形成的 c 特值，它很明显是个正数，对不对？啊？那你， 嗯，这个 c 特值，你看嘛，你对比零，你对比零，它是不是就是你这个都是负的，是不是就变成正的了？而且你就是用距离去比，如果这都是一对不对，一比一是不是也是正的呀？ 啊？但是其实你都知道他一，他是个低着头的，他肯定是个负的，所以说我们得到的这个值一定是对的，但是正负我们需要自己判断一下，如果抬着头就正的，低着头就负的啊，所以说贪念着谁呢？他其实可以表现成什么呀？他贪念着谁，他其实他就是， 其实这个 key 的 身份。还有一层含义，就是我们 python 老师为什么会出现这种负的？为什么负的？我用这个 python 值就不行，这其实和我们高中的这个任意角是有关系的啊，所以说我们现在可以不了解这个东西。好， 我们现在先知道他有这么一个身份，那也就说任何一个角，对吧？我们任何一次来说，我都可以用这种形成这个三角形，对边比邻边来求它的斜率 k 的 值啊。要说这个贪心，他和贪心的 c， 他 和这个 k 就 牢牢的绑定在了一起。好，那既然贪心的 c 他 可以和 k 绑定在一起，那是不是我研究 k 的 时候，我能不能去研究 tan 的 theta 呢？当然可以，我们研究 k 的 话，就等同于研究我们的 tan 的 theta， 那 么 tan 的 theta 它还是有很多这个公式的角度， 就任何一个角度，它对应的三角函数值都是不同的。就说任意一个 theta 角，它的 tan 的 theta 其实是个固定的值啊，它其实是个固定的值。那假如说你看我们有些时候是不是两条直线，它会出现一个夹角啊？ 那这个加角，如果我们想求这个角的 tangent theta 值的话，我们假设这个角是 theta， 那 我如果想求这个角的 tangent theta 值，我们正常来说是不是我要做个垂线啊？这是垂直了，然后看它的对边和邻边的关系，但是 我们现在千万不要忘了，我们这个它代表的是大角的这个大角的 tangent theta 值，然后这个它代表的是小角的 tangent theta 值。我们有一个公式，就可以直接通过这个大角和这个小角 的和差来求出这个夹角的弹性的值，这个就是我们大名鼎鼎的夹角公式啊，这只是初衷式，这个名字，它其实真实的名字叫做正弦、正切和差角公式， 也就是我知道这个大角的这个弹性的值，我又知道这个小角的弹性的值，我只要知道这个大角和这个小角的，我就可以求出它们的和角，或者是它们差角这个弹性的值 啊。这个公式其实我们如果正常来说，它就是贪心的阿尔法减去一个贪心的贝塔，比上一个一加贪心的阿尔法乘贪心的贝塔。 这个公式其实是我们的一个差角公式啊，就是我们的如果我们要求这个差角就是贪心的阿尔法减贝塔，因为我们这是一个大的减去一个小的嘛，其实我们这个就是一个差角公式，哎，老师，何角公式呢？何角公式只需要把减变成加，把这里的加变成 减就 ok 了啊，就是这么简单。但是我们会发现，假如说我们把这根设成 k 一， 把这根设成 k 二的话，那其实它这个，这是它 name 的 alpha， 这是它 name 的 beta， 我 们就全部替换掉 这些东西啊，全部替换上去就会变成什么呀？它就会变成只跟 k 有 关的 k 一 减 k 二，比上一个一加 k 一 乘 k 二，这个就是我们能见到的我们初中范围内使用最广泛的一个解这个等角问题的这个公式叫做加角公式了。 ok， 那 其实这个玩意我们到底要怎么应用呢？啊？我们来到具体的题目里看一下。 好，那我们来继续看这个题啊，那这个题是我们的二五年育才的一个节选题啊，老师把一些关键数据，然后先标在这了啊，就是我们解析啊，这个大家可以自己去求一下，只需要把这两个点全部带进去就可以了，也可以用焦点式来求啊， 来，然后这几个 abc 这三个点老师也给大家求出来了，咱们直接看第三问就行了。好，那第三问他给的我们是什么呀？ qoc 加 qoc 在 这， qoc 在 这 相加等于四十五度，那这个外角肯定是等于四十五度了，对不对？那因为它作为这两个三四这三角形的外角，那它等于两个不相邻内角的和，对吧？那这个，那这两个角相加等于四十五，哎，阿尔法加贝特也等于四十五，有没有可能是一二三四五模型呢？非常有可能，对不对？我们一看，哎，这又是一比二， 哎，那这一是一比二的话，那这个角不就刚好是阿尔法角吗？对吧？来，是不是我们刚才模型里面有角呀？ 一比二 r 发角，那另外一个角肯定是 beta 角了，没有任何问题，对吧？哎，那这个角是 beta 角了，那大家想一下，如果往这边做个垂， 对不对？那你会发现这个 beta 角就转移到了这个这里，对不对？这个 beta 角转移到这里了，我给大家发当一下啊，那这里是不是就是一个一比三了？那么刚讲完这个角，这个角它的 这个贪心的值，就是我们这个斜率，对不对啊？啊？但是你看一下，那这是不是一个啊？对比零，对比零是不是贪心糖？那就是三比一，那所以说这条直线就已经确定了 o q 这条直线就是 y 等于三 x， 是 不是非常快啊？来，那这个 q 点是不是直接就可以求了啊？ q 点呢？直接可以求了，就是三 x 和 bc 进行一个连力，对吧？嗯，那这个 bc 的 话，这个角形成了这个加角的贪心的值，就是我们斜率就是四，就是二，四比二就是 二，但是他是低着头的，他是负二的斜率啊，负二 x 他 又经过这个零度四，所以就加四，对不对？嗯， 所以说这个 q 点要想求的话就非常简单，但是有没有必要求我们先往后看，对不对啊？他说这个抛线沿着这个 o q 方向平移了二倍根号十个单位啊，哎，沿着 o q 平移了二倍根号十，我们刚还是不是这个三角形来，老师给它挖掘出来 一比三，比根号十呀？那你想一下，如果这边是二倍的根号十，那这块肯定是二了，这块肯定是六了，我们是不是要把这个斜着方向一改成什么呀？水平的一 啊？那斜向上的一，那肯定就向右，呃，这个同时向上了，对不对？那向右肯定是你，这是二倍根号十，你向右就是两个向上，就是给三也乘个二吧，乘六，那所以说这个二倍根号十，其实我正常来说我可以把它理解成什么呀？ 这个右二上六的吗？对不对？那所以说就是把这个整个抛物线， 把整个抛物线进行向右平移两个，向上平移六个吗？对吧？也非常简单。那你新抛物线 y 撇是不可以求了？ y 撇就等于一个负二分之一 x 减二的平方， 然后减去 x 减二啊，加上一个十就可以了，对吧？啊？这一步到位，你变成了负二分之一 x 方 啊，加 x 加八， ok， 那 这个 y 撇我们就已经求完了，那 y 撇求完了之后啊，啊，其实 啊，这后面咱们就往下看，对不对？他说 m 为新抛物线，那这个新抛物线大家最好画一下啊，我们的我们的新抛物线有了，它是不是沿上面平移了，向右平移了两个，向上平移了六个啊？然后我们看这画的像一点，可以啊，大概就这样， 对吧？因为它向上平移的比较多嘛，对吧？好，然后给它补充一下它这个图，给它补一下。 好好，来，那我们继续来看这道题，他说啊，这个 m 作为抛物线啊，抛物线 y， 对 不对？抛物线 y 片这个上面啊，对称轴右侧的一个动点，对称轴右侧，咱们先画一个对称轴， 对称轴大概在这个位置没有任何问题，那 m 就是 在这随便一个点，我们先点一下试试，对不对啊？他说做 m 平行 ac， 好， 我们平 m 平行 ac 了，呃，与 bc 交于点 n， 那 这个点就点 n， 他 是什么要求呀？要求我们这个角 b m n 等于 o c b m n 在 哪？ b m 在 这， 那等于 o c b o c b 又在哪啊？ o c b 是 不是就是我们的 o c b？ 就 这个角，对不对？就是我们的二法角嘛？二法角就是一比，二比刚好五啊，那就是保证这个角，呃，这个，这个贪心的值，这个角的贪心的值也等于二分之一就行了， 因为我们都知道这个角贪心的值是一比二，那就对比零就是二分之一嘛，对不对？我保证这个角它的这个这个加角的值也等于二分之一，不就可以了吗？啊？那所以说这个它这上面有一种情况，对不对？ 咱们下面肯定还有一种情况，对吧？那咱们一个一个来，咱们先把上面这个求完，那上面这个完求完的话也特别简单，我们直接用夹角公式就可以了。那怎么来的呢？咱们看一下这个三角形，首先 老师先做个三角形。好，那我们接下来我们知道这个角的这个 tan 的 值，它一定是一个二分之一，对不对？我们要求它一定得等于二分之一，那关键现在我们那个夹角公式是 k 一 减 k 一 乘 k 一 二，对不对？ 那我们会知道这个东西它最后肯定会有一个它，这个最后东西它肯定得等于二分之一啊，就是我应用这两个 k 一 和 k 二，它所得的这个夹角一定等于二分之一，对不对？那关键现在谁是 k 一， 谁是 k 二，这个问题我们要捋清楚，这个题不就结束了吗？那所以说， 那接下来老师要教大家到底哪个是 k 一， 哪个是 k 二？如果同样都是锐角的话，你看啊，这个它与 x 轴加角是不是锐角？这个它与 x 轴加角也是锐角，嗯，如果都同样是锐角，那我们就找这种角度大的减角度小的，角度大的就是一个 k 一， 角度小的就是一个 k 二。 哎，那咱们看一下这个 bm 肯定是作为大角了，对不对？那我们这个 bm 这条直线解析式我不知道，我就要求它的对不对？那所以说我的 k 一 就是这个我们的 bm， 谁是我们的 k 二呀？那就是我们的 am， am 就是 一个一，它的斜率那就变成了 k 一 减一，比上一个一加 k 一 乘一等于二分之一。 好，接下来就完，神奇的事情就要发生了，那这边就变成了二， k 一 减二等于一个一加 k 一， 我们就会发现 k 一 原来就等于三啊。来，那 k 一 如果等于三是不是就简单了呀？那这条直线呢？来，咱们看一下 这条直线的这个斜率等于啊，不对，这条直线的斜率等于三，对不对？那他又知道一个 b 点，我们就可以把这条直线的解析式求出来，求出来之后和这抛线连立，哎，这个 m 点出来了， 哇，好神奇啊，这个结式就是什么呀？三， x 加 b 等于 y， 对 不对？然后我再把这个二勾零带进去，对吧？啊？我们会发现二勾零带进去呢，就变成了一个三 x 减六等于 y， 对 吧？然后接下来和这抛物线连立就行了啊，新抛物线的结式在这 啊，他连立一下会发现这个点就是怎么样呢？等于四啊，没有任何问题，那第一个点我们就去搞定了。 好，我们来看第二种情况，第二种情况，老师把已经把图简单的发给大家了啊，哎，老师，这个角是不是有点小啊？但其实不影响做题，来，咱们继续看啊。来，那其实接下来我们是不是要用这个这条直线斜率和这条直线的斜率 啊？这个来，我们通，我们要通过这个加角的这个它的值啊，这个它的值很明显等于二分之一，对不对啊？我们现在已知的是不是这条直线斜率等于一 啊？然后我们是不是要通过这个夹角余弦值来反推这个直线的斜率啊？我说就就反对，我现在这个这个画的这条直线 b m， 归根结底我要求 m b m 嘛。啊，那其实，那你看现在我们会发现怎么样呀？我这条直线与 x 加角是变大了，就是我已知刚才是不是我们会发现刚才是 未知的比较大，而现在变成什么了？是已知的，你看这很明显，这很明显把它延长出来， 那角二和角一谁更大一些？是不是角二更大一些了？我们刚才说，而且他们都是锐角，那现在又得用大的减小的了，对不对？刚才是 k 一 减一，现在是变成一减 k 一 了啊？一减 k 一 逼上一个，逼上一个，一加 k 一， 对吧？好，那就变成了一个二分之一，好，那这样算出来的话，我们的 k 一 反而就等于一个三分之一了，对不对啊？那就 k 一 等于三分之一，我们再把这个 b 啊再带到这个 y 等于三分之一， x 加 b 里面，是不是我们就得到了 b m 的 解析式？其实就是个啥东西啊？ y 等于三分之一， x 减三分之二， ok， 那 到此为止，是不又结束了我这个三分啊？这个新的这个解析式和这个抛物线一连立， ok， m 点又出来了，那这道题两个解老师就说完了 啊。通常情况下，这种题我们都可以用我们的加公式的灵活应用来把这个题做出来啊，也是比较简单的，那这道题的复杂就复杂在这个前面，又给了你一大堆条件，还拥硬了一部一二三四五模型啊。所以说啊，总的来说，这道题的难度还是比较高的，如果觉得赵凯老师的视频对你有帮助，记得点赞收藏加关注，你们的支持就是我最大的动力。 并且如果有大家想问的题型，都可以评论在这个评论区里面啊，我让老师看到之后，将会挑一个点赞最高的这个评论，然后再作为下一节课的一个讲题， ok。
117重庆初升高rock老师
05:56查看AI文稿AI文稿每天一道压轴题，今天继续讲的是二次函数的存在性问题。已知抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 加 c， 过 a 点， b 点以及 c 点。 第一问，让我们求抛物线的表达式，因为图中已经告诉了我们 a 点和 b 点，所以我们可以用交点式。 设 y 等于 a 倍的 x 减去 x， 一 乘 x 减去 x。 二、把 a 点于 b 点代入 y 等于 a 倍的 x 加上一， x 减三， 化简成为 a 倍的 x 的 平方减去二， x 减三。我们再把 c 点代入 y 等于负 x 的 平方，加上二， x 加上三。 第二问，设点 p 是 直线 b c 上方抛物线上一点，求出三角形 p b， c 面积的最大值，以及此时 p 点的坐标。 求 p c、 b 面积的最大值。我们可以过 p 点做平行于外轴的直线，交 b c 于点 h， 这样我们就把一个斜三角形转化成了两个含有数值边的小三角形， 那么三角形 pcb 的 面积就等于三角形 pch 的 面积， 加上三角形 p h、 b 的 面积。因为 p 为抛物线上一点，所以 p 点的坐标我们可以设为 x， 负 x 的 平方加上二， x 加上三， h 为 b， c 斜线上的一点。那我们先求出 b c 的 解析式。 b 点和 c 点是已知的， 解得 bc 的 解析式为 y 等于负 x 加上三，所以 h 点的坐标为 x， 负 x 加上三，那么三角形 pbc 的 面积就可以写成二分之一， p h 乘以 o b。 为什么 p h 可以 直接乘以 o b 呢？因为在三角形 p c、 h 中，它的高为这一段，也就是 p 点到 y 轴的距离。 那么三角形 p h、 b 的 高呢？为这一段 h 点到 b 点的距离，那么它们的高的总和为 b 点的横坐标的距离，也就是 o b 的 距离。其中 p、 h 距离等于 p 点的纵坐标减去 h 点的纵坐标， 把这些量都代入等于二分之三倍的负， x 的 平方加上二， x 加上三，加上 x 减去三。化简完毕后，等于负的二分之三倍的 x 减去二分之三的平方，加上八分之二十七。 当 x 取二分之三时，三角形 p b、 c 的 最大面积为八分之二十七，那么 p 点的坐标为二分之三，四分之十五。 第三问，若 m 是 抛物线对称轴上的移动点， n 为坐标，系内一点是否存在以 b、 c、 m、 n 为顶点的四边形是菱形？ 在这里我们需要知道 b、 c、 m、 n 中间以逗号隔开，所以 b、 c、 m、 n 的 顺序是不一定的。 题目要求我们以 b、 c 为边，所以这个菱形可以写成 b， c、 m、 n 同样可以写成 b、 c、 m。 通过第一问，我们可以求出抛物线的对称轴为 x 等于负的二， a 分 之 b， 也就是 x 等于一。因为 m 为对称轴上一点，所以我们可以设 m 的 坐标为一。 t， n 点的坐标为 x， y 因为是菱形，所以 bc 边是等于 c， m 边的。 bc 的 平方是等于 c m 的 平方的， bc 间的距离。三减零的平方加上零减三的平方等于 零减一的平方加上三减 t 的 平方。这时解的 t 一 等于根号十七加上三， t 二等于负的根号十七加上三。 确定了 t 的 值，也就只能确定 m 点的坐标。 n 点的坐标，我们需要利用中点坐标公式，因为 bcmn 为菱形，那么它们的对角线是垂直平分的，那么 c 点的横坐标加上 n 点的横坐标除以二，就应该等于 m 点的横坐标加上 b 点的横坐标除以二。 零加上 x 除以二等于一，加三除以二。同理， c 点的纵坐标加上 n 点的纵坐标等于二分之。 m 点的纵坐标加上 b 点的纵坐标二分之三加上 y 等于二分之零加上 t。 这两个方程结合之前求得的 t 一 与 t 二的值解得。 n 一 点的坐标为四，根号下十七。 n 二点的坐标为四，负的根号下十七。 n 三为负二根号下十四，加上三。 n 四为负，二负的根号下十四，加上三。
245机智的魔法熊猫
02:48查看AI文稿AI文稿好，我们来看一下这道题啊，这道题是来自于我们中考真题里面的一个填空题啊，那这道题呢？它属于二次函数区间这只问题。好，我之前讲过二次函数区间这只问题，它的突破口是什么呀？你首先是不是要搞图像啊？ 你结合图像来搞的话，哎，你在做这题的时候就不会容易漏洞，对吧？好，那我们来看下这道题。首先给我们一个二次函数，对吧？来这样的一个式子，当 x 大 于等于负二，小于等于二十来 y 有 最小值，让我们来求 m 的 一个值。 好，那首先我们来看一下，你说这里面我们要，既然要确定这个二次函数图像，你是不是要确定它的开口方向啊？ 但是在这里面，你有没有明确说这个 x 方前面的系数到底是大于零呢？还是小于零呢？没有说吧，所以我们在这要干嘛？分类讨论。好，那第一个是什么呢？如果说当 a 大 于零的时候，哎，开口方向是不是向上的呀？来敲令它的对称轴。 对称轴又是多少呢？那你看啊， x 是 不是等于负的 r， a 分 之 b 就 等于什么？负的 r m 是 不是就等于负一啊？好，对称轴是 x 等于负一， 那我们来看一下， x 大 于等于负二，小与等于二，那你想看负二在哪？一定是在对称轴相邻的这个地方，那这个位置就是嘛，负二，那二呢？是不是离它较远一点？比方说零一二是不是？好， 那我们来在这个范围内去看一下，那它的最低点是谁？是不是就是这个屁股这一块呀？是不是对称轴的最顶点这一块呀？是吧？所以当 x 等于负一的时候， y 有 什么最小值是等于负四的？那也就是我们将这个 x 等于负一 代入到哪里去啊？是不是代入到二次函数的解析式里面去啊？所以我们就会得到一个什么呢？那 m， x 是 不是 减去一个 r m 是 吧？哦， x 这里面是一就错了啊，应该是 m 减去一个 r m， 然后加一等于多少等于，是吧？负四，那这里就说负 m 然后就等于多少呢？是不是等于负五？ m 就 等于法五，那第一个是不是就搞定了？好，我们看一下第二个，如果说当这个 a 它小雨零的时候，那小雨呢？ 时候，那可见他的抛物线开口方向是不是向下呀？那对称轴在这了，对吧？他的一二在哪？相邻的位置在这，那二是在哪？是不是离他比较较远的地方呀？哎，那我们通过图像来看，是不是在这样的范围内，我可以取到最小值是谁？是不是 x 等于二的时候呀？ 那好，那就是当 x 等于二十，那 y 是 不是最小值负四呀？那我们此时把二再带到二次函数里面去，那就多好，是不是 四 m 加上一个 c， m 加一等于多少？是不是等于负四呀？我们去解 m 就 等于负的八分之五。搞定，来，跟着老师。
181乡村老师
11:37查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们一起来做一下二零二六年中考数学每日一题，第九天二次函数综合。二次函数综合可以说是我们我们中考模考当中的压轴题，必考题型 啊，它的难度和题型也是比较多，比较复杂的，那我们一起来看一下这个真题。这个真题的第一问，它和往常不一样，它没有让我们去求解析式，它让我们去表示出三个点的坐标以及求角度， 那这个其实它的第一问题是比较新颖的，那我们一起来具体来看一下，那这里的三个点的话，注意它应该都是 y 值哦，怎么样 和 y 轴的一个焦点，所以 y 轴的焦点的话，直接什么令 x 等于零，所以我们的第一个 c 点坐标是直接令 x 等于零，所以 c 点坐标比较容易好表达，对吧？啊？哎，横坐标是零，那重坐标带进去，那就是二 m 加一啊，这是 c 点的坐标，那我们继续看 b a b 坐标， a b 坐标的话，那我说过了啊，那就是另外等于零，另外等于零的话，那就是解一个什么？解一个我们这个 一元二次方程。那这个地方呢？那有同学比较为难说，这里面有两个参数，怎么去解比较好一点呢？大家完全可以用这个里面的比较啊，简单一点的可以用十字相乘去求 十字相乘呢？大家的这个地方大家能看出来啊，这边的话我们提一个符号出来，那这边的话应该是一个是 x 怎么样？加一乘以括号 x， 然后减去二 m， 然后减一，然后等于零，所以这里面一个在这里，一个根在这里，所以 x 一 等于负一， x 二等于二， m 加一，那这地方那谁是 a 点，谁是 b 点？那这里面给了 m 大 于零， 我们大于零的话，说明它是大于零的，那就是右侧，对吧？所以我们这边 a 点坐标，那是一个定值，那就是负一逗号零，那 b 点坐标的话，那这边仍然是含 m 的 一个参数，对吧？那这样的话就是二 m 加一，逗号零， 那这样的话，我们利用呢三个点坐标就求出来了。后面还有一个，他说角 o b c， 这个角度是多少度？那这里面首先这有个九十了，那这里面怎么去求 度数？利用线段相等，你看到没有？虽然发现 o b 和 o c 怎么样，它的是相等的，那 o b 等于 o c， 说明它的多少。什么等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们的这个内角的话就是四十五度 啊，那这样的话我们的第一问就全部解决了啊，四十五度，好，这是第一小问，那我们继续看第二、 第二小问。这个地方又考察了一个角度的问题，对吧？我们你会发现我们的二次函数考角度最近的频率越来越高了，这边给的是角 a c o 等于角 c o 怎么样？它是一个什么定角，对吧？这个角是确定的啊， 那另外一个 cbd cbd cb， 这也是一个定边，那只不过 d 在 动， d 在 哪里动啊？ d 是 啊， d 是 个顶点， d 是 个顶点， 然后 cb 也是也是有啊，也是因为它的坐标是不定的啊，只不过它是这两个角数相等， 探求 m 值，那这个地方的话角度相等，探求 m 值。首先你大家要明确这里面是否有多种情况，就是说它是一种情况，还是有两种情况，我们要弄清楚。 首先这个地方，第一点它的顶点，首先它已经定在这个位置了，对不对？然后其次 b、 c 肯定在这个下方，所以也就意味着这个我们的这个角度相等，也就这一种情况，也就是说 d 不 可能在下面了，只能是上方。所以这个地方大家分析好只有一种情况啊，只有一种情况， 那这个地方我们可以用什么方法去？嗯，比如说是用相似笔呢？还是用三角函数值对应边之笔呢？那这个地方我们需要好好去思考一下 啊。这个地方因为他所在直角三角形左侧是有的，右边没有，所以你要学会构造，所以这道题啊，他的辅助线构造是这道题的一个难点啊，是这道题的难点，那怎么去构造比较好呢？这个地方可以完全可以，怎么样？可以把这里的 嗯， a e 给它连起来，把 a e 给它连起来，连好 a e 之后，大家发现这里面怎么样？ a e 和这里的 b e 是 什么关系啊？因为这是对称轴，所以是相等的关系，对吧？相等的关系。那这边我们最终要转化到哪两个角度相等呢？是这里的 a、 c、 e 这个角 和我们的这里的 d、 b、 f 啊？ d， b、 f 这两个大角相等，这两大角相等，为什么？因为这边是多少度啊？四十五度，那这里也是四十五度，对吧？所以这里四十五度， 这里也是四十五度，那就再加上怎么样相等的角，所以这两个角度相等，对吧？四十五度，四十五度加相等的两个角，所以我们最终的一个突破口是去转化成角 a、 c e 或者 a c b 也行。等于角，这里的 d、 b、 f 转化到这两个角相等去做啊。转化到这两个角相等去做， 那转化到这两个角相等之作的话，又因为这里的什么 o e 平行于 o c， 然后这里面就可以利用直角三角形的正切值啊，这里面转换一下 a、 c、 e， 那 我们就得到哪些边的比啊？首先 a c e 在 这个直角三角形当中，那就等于 a e 比上 c e 好，那注意 a e 又和 b e 相等，所以上面的 a e 可以 换成 b e， 对 吧？换成 b e， 下面还是 c e 啊，不动继续它还等于什么？还等于什么 b f 比上 o f 啊，进行转化，那最终应该也就等于 m 分 之 m 加一，然后再利用我们的这个已知，谁是知道的， 嗯，这边 b f 是 可以推出来的，对吧？可以利用这边，然后建立与与这个后面建立，是吧？ 建立方程啊，这里的 b f 和这里的 o f， 然后和这右边呢？建立一个比例方程，那这个地方 b 点坐标横坐标在在，我们刚刚推出来了这个在这， 然后 f 点是对称轴，对吧？对称轴，对称轴的话，应该是负二 a 分 之 b， 对 吧？负二 a 分 之 b， 那 对称轴我们这里表达一下， x 对 等于负二 a 分 之 b， 那 就是负二分之二 m， 那 它就等于什么？就等于 m， 所以 也就意味着 b f 就 等于二 m 加一再减 m， 那 就等于 m 加一， 然后 o f o f 的 话，我们这里面就是 m， 对 吧？就是 m 啊，也是正的，那就是 m， 那 么这边比例关系和我们的这边带进去，对吧？带进去那我们就能得到谁？嗯， m 加 e 比上 m， 就 等于这边 a e 比上 c e 啊，或者说 b e 比上 c e 也行啊，等于什么？等于 m 加一啊？等于 m 加一， 然后把它求出来啊，把它求出来， m 加一，把它求出来。好，最终 m 求出来，应该有两个结果啊，注意，要注意， m 要大于零啊， m 大 于零，所以这就是括号二，要注意进行一个转化啊。角度转化，利用什么？利用我们的这边 那个三角函数的什么正切值啊？比例关系好，这是第二小问，然后我们来看一下最后一小问，第三小问， 仍然考察的一个什么？仍然考察的一个角度的问题，那这边的角七十五度还是一个比较特殊的一个值啊，要保证这边的 a c p 等于七十五度，而且要求在第四象限。那所以我们任取一个点 p， 然后连接一下 c p， 那 交于我们这个 i 轴上的这个点呢？我们设它为点 q， 那 观察一下这边要始终怎么样？要等于七十五度， 那这里要等于七十五度的话，那说明我们这个角应该怎么样？一定比怎么样？因为一定这是我们这个三角形的外角，一定比这里的四十五度角怎么样？一定是什么？ c q a 一定比这个四十五度要大，对吧？因为它是一个外角的一个概念，因为我们这个这个角是四十五度，所以它一定是比四十五度要大，然后这个要比四十五度要大，这又是七十五，那就反推过来，这里的 c a q 就 应该怎么样？ 反推过来，我们这里的 c a q 就 一定比六十度要小， 比六十度的小，那我们肯定是以这个嗯结节值作为一个参考标准，对吧？所以就把它当做六十五度来做啊，就把它当做六十五到六十度， 就把它当做六十度，然后利用这里的一个比例关系啊，比例关系，那这里是一，那这里面前面推出来是二 m 加一，对吧？所以利用比例关系的话，我们就能得到二 m 加一， 本来应该是等于，因为这里是六十度，那这里是根号三，本来是应该等于根号三的，对不对？现在怎么样？不要小于六十度，那说明我们这个边怎么样小于根号三 啊？这是第一，第一个我们要那个要得到的一个结论，对吧？然后把这个 m 求出来，好，这是第一个，那还有什么呢？那同样的道理，我们这边还要保证我们的这个角度一定要比怎么样？ 一定比我们的十五度要大啊，十五度要大，所以我们的还有一个特征叫 c a q 一定是大于十五度， 大于十五，因为你这边至少是四十五，按四十五来啊，这边是七十五， 那我们假设在这里的话，你你肯定不能超过它，超过它的话，你这边就是刚好在这里的话，这是十五度， 所以你一定要在这个第四象限，那肯定在这个右边一点，所以你这边一定是比十五要十五度要大啊，比十五要大。所以通过这里面的话，我们又能推出 m 一定是大于二分之一，减根号三， 然后两种情况啊。结论结合一下，求出他的一个解解集，大家听明白了吗？好，具体详细的内容大家可以看后续。
44艾伦数学老师
03:56查看AI文稿AI文稿初三的同学请注意，这类题必须要会二次函数面积最大质问题，我们来看一下这道题，如图，抛物线 y 等于 a， x 方加 b， x 减四，与 x 轴交于点 a 和点 b 与 y 轴交于点 c。 那 么第一问，求抛物线的解析式。 抛物线解析式我们一般是有三种方法，第一个是顶点式，第二个我们可以用一般式， 也可以用交点式。那么这道题最简单的方式就是把负二逗零和四逗零直接带入，你也可以用什么用交点式把负二逗零跟四逗零带进去，然后再把零逗负四带入即可。那我们求出来第一问的解析式是 y 等于二分之一 x 平方减 x 减四啊。第一问就这样做完了，我们来看一下第二问，若点 p 是 bc 下方凹线上的动点，连接 pc 跟 pb。 好， 我们来连接一下。 当三角形 b、 p、 c 的 面积最大，是求点 p 的 坐标及面积的最大值，这是我们二次函数里面最经典的一道面积最大值问题。只要遇到这类题问题，我们统一的方法是要去求它三角形面积用二分之一乘以 铅垂高，再去乘以数平距。我那么先说一下什么是铅垂高，铅垂高是 需要你去做辅助线啊，那么通过点 p 做 y 的 平行线，交 bc 于点 q， 所以 p q 就是 我们的铅垂钩，而水平距就指的是 b 点跟 c 点横坐标之间的这个距离， 所以我们就直接去表示铅垂钩跟水平距就可以了。那么铅垂钩怎么算呢？我们需要去设出来 p 点跟 q 点。那么首先设 p 点，坐标是 m 动 二分之一 m 方减 m 减四， p 点在抛物线上，所以说我们只需要设它的横坐标是 m， 直接把 m 带到抛物线解析式里面即可。而 q 点它和我们的 p 点是 呃在同一条直线上，所以说它们的横坐标是相同的，而 q 点它在直线 b c 上，所以这个地方我们要先求一下直线 b c 的 解析式是 x 减四，然后再把 m 带到直线解析式里面， 得出来就是 m 减四。哎，所以说 p q 我 们就可以算了，怎么算呢？这个时候你要看一下 q 点跟 p 点，谁在上谁在下啊，那么这个时候 q 在 上，那你就用 q 的 纵坐标减掉这个 p 点的纵坐标就行了。 减完之后是它的结果是负二分之一 m 方加上一个 m， 这样的话铅垂高，我们就出来了，那么水平距就是 d 跟这个 c 跟 b， 它横坐标之间的距离也就是四啊，那这样的话，我们的面积就可以算了， s 等于二分之一乘以 p， q 再乘以 d 啊，所以等于二分之一带进去就行了。 带进去之后是得出来的这个结果是负的 m 方加上四 m， 那 你看 s， 它跟 m 之间是二次函数的关系。在这个时候我们如何去求它的这个 啊？最值呢？我们来看一下，因为它的 a 是 小于零的，所以它开口时向下有最大值，那么当 m 等于负的二分之 b 是， 也就是在对准轴处取得最大值等于二十啊。 s， 它有最大值，最大值是几？ a， 最大值是四，直接把这个二带到这个式子里面就可以了。 这道题还需要写出 p 点的坐标，很简单，直接把 m 的 值带到 p 点的坐标里面就可以了，那就是耳朵负四。这样的话这道题我们就解完了。同学们想要必考题型清单的话，请在评论区扣一。
04:00查看AI文稿AI文稿好，我们通过上一个视频已经得知啊，已经得知对称抛物线的啊，抛物线的对称轴啊， t， x 就 等于 t 的， 就等于啊一的。同时我们也求出了啊，也求出了 a 和 b 之间的关系， b 是 等于负二， a 的 啊，负二， a 的。 好，通过第二位，我们知道先求点到， 因为抛物线开口向上，它有最小值，那说我们求 y 的 最大值是九，那我们知道应该点到求，要么是 x 等于负一，要么是 x 等于负二，是求得吗？最大值，那谁是最大？我们根据点到对数轴之间的距离越大， y 值就越大，到对数轴距离越小， y 值就越小，我们就是对第一位和第二位的问题就迎刃而解。好，第三位啊，第三位 好，我们发现 x 大 于 m， x 小 于 a， 零的，它告诉我们了一个两个字母就是代数啊，字母之间的范围又告诉我们 y 是 大于三减，大于等于三减 a， y 是 小于三， a 加三的。教我们求 a 减 m 的 最大值，可能这个问题有许多同学拿到手以后是无从下手的啊，无从下手，那我们现在我们这个如何解决这个问题呢？我们知道抛物线 啊，抛物线开口向上，当 x 等于一，是有最小值，那我们把 x 一 带进去。好， 我们先把啊，把这个 s 函数通通化成，用 a 的 代数来表示，那就是 y 就 等于 ax 的 平方减去二， ax 加三。好，那我们把 x 为一是对称轴，我们求的最小值是多少？我们来求一下。好，那 y 的 最小值就等于 a 减去二， a 加三。好，就等于三减 a， 我 们发现告诉我们 y 是 大于等于三减 a 的， 那所以 e x 等于 x 等于一是取得最小值，所以 f x 大 于 m 和 x 小 于 a 是 在一只码是包含 e 的， 那谁是去掉三 a 加三是取得最大值和最小值呢？那我们好，我们假设这个码 取得最大值是三， a 加三，也就是 y 的 最大值啊，也就是最大值是等于三 a 加三的，那它我们求 x 是 多少就可以了。好，那我们就把这个函数减去到最大值，就说等于 y 就 等于三， a 加三， x 加三就等于三， a 加三。好，我们这样来求出 x， 好， 求出 x， 我 们来减一下。好，那就是 a x 平方减二， a x 好， 三，三就掉了，是吧？减去三， a 等于零，我们刚才说了 a 是 大于零了，那么我们这个等式两边同时除以 a 就 可以了。好， a 就 等于平方 减去二， x 减三等于零。好，那可以这样来，我们进行十字相乘啊，进行一次分解， a 乘以 x 减三乘以 x 加一，好，等于零，那我们求出 x， 一 是等于三的 x， 二是等于 负一的。好，没发现，就说当这 x 等于三十或者 a 等于负一时，是取得最大值的。取得最大值，是啊，是三 a 加三的，它告诉我们是 x 是 大于 m 小 于 a 的。 一在，那我们知道一是在这个范围之内的啊，一在这个范围之内包含的一的，那我们就讨论，也就是说当 x 等于三十，也就是说当，也是说当 i 等于三十，因为如果我们考虑到 m 是 不可能等于三的，等于三是一吗？不可能在这个区间里面啊，在这个区间里面，那所以我们就有 i 等于三十，当 i 等于三啊， i 等于等于三十，那所以 i 等于的取之范围应该是大于一，小于等于三啊，那我们说当啊，当 m 等于负一十 m 的 负一式，那么 m 的 结论应该是大于负一，大于等于负一而小于一的。好，他叫我们求 a 减 m 的 最大值，那 a 减大值，那我们 a 减 m 最大值，那所以我们 a 应该取得最大值，减去 m 的 最小值，就是 a 减 m 的 最大值，那 a 应该取几啊？ a 应该取三， m 应该取几啊？负一减负一啊，等于四，那所以 a 减 m 的 最大值， 是啊，等于四的啊，通过这题目，我们通过啊，通过分析啊，通过有减吗？代数思想啊，通过代数思想来解决啊，含有字母的参数的最大值问题，那我们通过取通过它的最低点，它的最低点来取得最小值，再发现，通吗？最大值是在哪个范围之内？我们一步一步的修剪好，你学会了吗？
