张宇第八讲fx导函数连续性
s 函数 f x 是 可导的啊，那么 f x 的 绝对值在 x 等零处 不可倒啊，不可倒则什么结论啊？ a 选项就是 f 零等于零， f 一 撇零等于零，这是 a 选项。那么 b 选项讲呢，就是 f 零等于零啊， f 一 撇零不等于零， c 选项呢，叫做 f 零不等零， f 一 撇零等于零啊， d 选项叫做 f 零不等零， f 一 撇零也不等零。 我们先来讲他的这个常规解法了，大家知道啊，在绝对值问题上，如果你感觉它求倒啊，我们必须要把它先做横的变形，说 f x 它的绝对值，我们立即写成什么？各位，横号叫做平方开根号，对吧？这个叫横等变形。我一再给大家强调啊，数学写等号，本质上就得是横等，它是等过来的， 是吧？一切变换啊，你比如说，你说我这个东西变成另外一个东西，那是因为做恒等变形，然后计算出来的结果，省去了中间过程是不是？那你不等怎么写等号呢？那这个就很简单了， u 的 绝对值等于 u 方开根号，是吧？这个没有问题。 然后的话呢，你写到这，我们可以求导，大家注意啊，求导，对 x 求导，对求导，各位，第一步是根号优求导，就是他这个对应法则是对根号优求导是吧？根号优求导等于几个位？很好，二倍的根号 平方分之一，听到没有啊，这是第一层吧，第一层对根号求导，这二倍根号又分第二层对 u 求导，那么 u 呢？是太好了，是 f 方， f 方求到等于几个位横好，二倍的 f x 对 吧？ u 的 f 方 f 方求的是二倍的 f x， 还一层是什么？对了， f x 对 x 求导，叫做 f e p x 啊，这个写清楚啊，稍作整理我们就得到了呢，这个二和二余掉了，上面写成了 f x 啊，呃，乘上 f 一 撇 x， 对 吧？大家，底下是横好 f x 的 绝对值， 对不对？那平方开根号不是绝对值吗？这个就是我们绝对值求导的公式，大家是不是这个也可以啊，记一记啊，是不？大家，这个过程记一记， 很多东西说绝对是不能求到，不是不能求到，可以求到啊，可以求到。当然大家知道这里面是不是要求 f x 是 不得零的，对吧？啊？你在分母吗？啊，在分母上是不能得零的， 虽然平方可以保证他的根号里有定义，但是你要不能得零这一点才能保证在分母上有定义，对吧？啊，所以说不能得零啊，不能得零，所以大家看到这一步的时候啊，你是让这个题目你就发现呢，那么你看这个 f 零到底能不能是零呢？好，大家看，如果 x 等于零，那么就立即推，就 f x 等于零处，大家看是不是把它带进去了， 因为讲了 f x 是 可导函数啊，可导函数便是连续的，是吧？大家，你零点处是吧？那么如果能带进去，那么他就变成了 f 零啊， f 一 撇零比上 f 零的绝对值，对吧？大家， 那么你现在这一直就出来了，如果 f 点零把它带进去，如果这个是存在的，那是不就意味着绝对值在零点处是可导的呀， 是吧？那么这个存在只需要一条，什么什么条件？各位，那就是如果 f 零不等于零是不就行了，对吧？ f 零如果不等零，你看这个分母就有定义了 啊，有的人说讨论，你可不要讨论，这讨论什么，你就说去掉绝对值，可正可负，这个不能讨论呢，因为它等于零进去，它是正就是负就负啊， 他怎么讨论呢啊？听懂意思没有？你比方说，如果说 f 零等于一啊，假如说 f 零等于一，那你带进去一和一约掉了，就是 f 一 撇零， f 一 撇零是存在的，是吧？如果 f 零等于负一，他不是正的负一，那么这个负一比乘一，他就是负的。 f 一 撇零， 听懂没有？这是存在的啊，只要 f 一 f 零不得零，这就是一个确定的唯一的数， 他不会存在什么两个数啊，正没有，没有，政府之之说的，对吧？那么这样的话呢，就出问题了，所以我书上写了，如果 f 零不得零，立即推，是不是叫这个导数是存在 的，是不就矛盾了？他讲这个绝对值在这一点是不可导的，你 f 零不得零，他就可导了，是不是只能 f 零得零，对吧？ c d 不 能选了， 听懂意思没有啊？就是我们说的这一步啊，你先把这个 f 零等于零，把它定下来了啊，这个是有难度的啊，当然这个题目呢，这个有也是非常有收获的啊，大家是不是把这个公式啊掌握了 啊，你不能只会画图啊，数学分析啊，这叫分析学是吧？啊，高等数学为积分，你可以这样讲，我们这个叫做 analysis 啊，那个就是就是说他是这个怎么样啊？这个分析的过程是不是 好了，这是我们说的这个 f 零。好，下面我们看这个 f 一 撇零怎么办？这个呢，也是值得大家呢，认真学习，品味的把这个掌握好，这里面有深刻的一些概念和计算规则， 且我们 g g x 等于 f x 的 绝对值，我这个处理的方法呢，是合适的，为什么呢？因为带着绝对值研究啊，很多同学都看不清楚 啊，那么你就把这个写成一个新函数，那么大家看一下，请问那么 g 一 撇正零等于什么啊？大家看它等于零， x 趋零正，那是不是叫 g x 减去 g 零比上 x 减零 啊？我之所以啊，给大家写这么详细，比咱们书上答案还详细，原因在哪呢？就是很多同学要要刨根究底，他每次复习的时候他要再看一遍，很好，我就给你写一遍啊。同学，现在往里带是不是叫 limit x 趋零正，对吧？ g x 是 谁呢？对了， f x 绝对值对吧？减去 g 零是谁呢？是 f 零的绝对值吧，除以谁呢？ x， 这很简单是吧？按道理说很简单的，那大家回答我， f 零是不是得零？那刚才讨论过了， f 零得零啊，那么这样的话呢，我们就可以得到，说这个没有了，好，他吹，一旦他没有了呢，就精彩了。 limit x 去零正好啊，你 x 去零的零正的啊，是正的来，绝对值是不是给他了？ 我来问，你，来打这个 x 放绝对值里和放外面是不一样，这个 f x 的 这个绝对是不是一划到底了，而这个 f x 里面写什么？大家太聪明了，是不是写 f 零，这是不是写 x 减零，对了吧？啊？ x 去零正是不作用到绝对值里面去了， 比如说老师，你绝对值挡着他呢，挡着什么呀？挡着绝对值只决定正负，对不对啊？明白了吗？所以你往往里带说，就是往里带，所以它等于什么呢？它就是一个绝对值，然后 limit x 去零，正 f x 减 f 零， b 上 x 减零， 对吧？那么现在呢，我们就算出来这个很简单啊，这就是 f 一 撇 零的绝对值，因为题目提到过这个啊，大家知道小 f 是 可导的啊，所以你虽然这写的是诱导数，没有错，是诱导数啊，但是呢，我们确实是写成，写成导数就可以了， 大家看，这样的步骤是不是要对概念即为清晰啊？初学的同学啊，像我讲，这所有的东西都要把它搞清楚，每一步，他是因为在里面塞进去 f 零，而不是在外面写，你在外面写，你是不知道绝对值 b x 是 什么的，对吧？他不符合倒数定律， 明白意思吗？但是那你要把这个去掉以后呢，相当于这个在里边减 f 零啊，非常漂亮的啊，你在里面凑个倒数定律 是吧？虽然有个绝对值，没有关系，我极限去极限，极限一旦是传导在他身上的，你极限又不能算在绝对值上，是吧？要极限在他上面，那箭在他上面呢，就是这一点的导数值再加绝对值， 对了吧？我这一点呢，就是把它搞清楚了啊，把它搞清楚了，再换句话说啊，如果你还记得我们在第二讲里讲的，哎，对了，绝对是关系，我想呢，你更能够准确的复习原来的知识。我们怎么说的来着，如果 x 在 某种趋向下， 他的极限是存在的，是不是立即推 limit x 去 x 零 f x 的 绝对值的极限等于 a 的 绝对值啊，对吧？他不能往回推，但是这是对的，那同学想想看，你这个怎么成立的，哎，对了，这一点是可导的呀， 是吧，那就说这个是成立的，这不讲了吗？这函数可导啊。函数可导意味着不带绝对值的时候，大家想这个极限值是不是等于 f 一 撇零是不存在的，那不就是这个吗？那你推加绝对值，不就把俩绝对值加上了， 看到没有？那当然是成立的了，对吧？当然是成立的啊，又可以从另外一个角度呢，去验证我们这个结论啊，验证结论，所以函数基本功的重要性。 同理，我们来看第二个啊，那么 g 撇负零，它就等于 limit x 去零负，对吧？那么 g x 减去 g 零啊，除以 x 减零， 这个不用犹豫啊，还是这样带啊， limit x 去零负，这依然是这个 f x 的 绝对值，是吧？减去的 g 零呢？还是零除以 x， 现在知道怎么办了吗？很好，他就等于 limit x 去零负，看好了啊，我们是不是又得在里头减个 f 零 加绝对值？但是大家注意啊，这时候的 x 是 不是负的了啊？负的，你给他放绝对值，里面是不？外面得填个符号， 懂了吧，这不就出来了吗？啊，所以它等于负的，那么剩下的还是导数定义 f 一 撇零的绝对值，听懂了吗？这个绝对值我就不带解释了啊，刚解释过了，很清楚，所以大家看到没有，是不是叫左导数是负的， 那么右导数是不是正的？大家回答我啊，那么就说，如果 f x 去对值，大家看这啊， f x 去对值，它是不是在这点是不可导的吧， 那不可倒意味着什么？这个 f 一 撇零是不能得零的，因为他一旦他得零了，是不负的，零跟正的零就相等了，是不？这点就可倒了，所以我们说 f 一 撇零，只要不是零，那么左倒右倒必然是不相等的，对吧？ 做完了吧，这个答案选的是 b 啊，这道题目也是非常值得，各位啊，就好好的去整理啊，学习啊，等等 啊，接下来呢，我说一下这个题目的特殊解法啊，当然，为什么这个题要最后讲特殊解法啊，我怕你听了这个特解，你不听仔细听这个过程了啊，这个过程才是最重要的啊。 啊，他不是说就题论题啊，我们以后在其他的一些个选择题啊啊，证明题当中，解答题当中，经常会遇到这些的，你比如说绝对是求导啊，绝对是怎么求导， 带着绝对值怎么求导数定义啊，这都是重要的，明白吧。哎，这个这个现在的考试是比较喜欢的啊，要符合函数的导数问题啊，符合函数的极限问题，带绝对值的极限问题，这都是考试重点啊，所以这个题目呢，大家也可以当一个经典的例子，那么背一背， 简单说一下，住啊，我们可以用特例法，如果我们取 f x 啊，就是 x 啊，所以这个题却显然是 f x 的 绝对值，是不是就等于 x 对 值了 啊，就是处处可导函数吧啊，这个函数在零点处不可导，那么就来了嘛，所以 f 零是等于零是吧？ f 一 撇零啊，大家看是不是等于 b 啊，它就出来了啊， 哎，就好，也很简单啊，就好简单，我在这个实际情况下，我在就是鼓励大家用这个特例法吗？我想是这样说啊，我不是鼓励你用特例法，我是说在掌握了常规解法的情况下，我建议同学们要掌握特例法， 在考试当天你当然我鼓励你用特例法好不好？哎，这个还是那句话啊，要清晰的概念和完全的把握才能写特例，否则你你也不要随便用特例，是吧？ 好，这个题目呢，我们就说到这里了啊，说到这里，实际上对于一个函数来讲的话呢，什么叫做呃，打了绝对值就可能不可倒呢？其实他的意思是这样的啊，就是说这个呃在一个点处 啊，其实这个也不一定非得是这说在这个呃，这个零点处了，但在一个点处呢，是要这样，你看如果这个函数是这样的啊， 就说如果这一点函数值得零啊，且导函数不是零，那么这时候你看啊，你要是取绝对值这样的话，底下这块去掉了，他是不是关于 x 轴就镜像过来，大家看是不是这样，是不是这点就不可导了， 对吧？啊，所以就是说如果这一点呢，函数值得零啊，但导数值不得零的话呢，那一取绝对值这一点就不可导了啊，就是很简单的一个例子嘛，你就说明白了。好吧，我想呢，呃，这个例子呢，就给大家说到这里。
粉丝2455获赞1.1万
相关视频
06:10查看AI文稿AI文稿三点八，我们来看这个题，说设我们的函数 f x 啊，那么连续，设 f x 连续，且 limit x 趋向于一， 我的 f x 减去一，比上 ln x 等于二，是吧？则我们的曲线 y 等于 f x 啊，那么再点 x 等于一处，它的切线方程， 它的切线方程为什么好，我们来看着这个题啊， 解这道题目呢，比我们课本里的这个例题啊，例题三点七，呃，稍微增加了一点 啊，当然这个题呢，他就没有这个所谓的去这个函数列函数足了啊，这就是一个了是吧，这里跟 n 没有关系，但是呢，做正价的这样一个极限表达式，这当然也是我们的关系式了， 要用好它，通强。你看你这个模式很简单，你在 x 等于一处他的切线方程显然就应该是啊，他说就你往填充嘛， 是不是就 y 减去 y 一 等于，那么就是 y 一 了啊，这个也就是 f 一 了，是吧，就等于 y 一 撇一乘上 x 减一，对吧。 所以你要求的无非就是两个东西，一个呢，我们是要求出来这个最关键的，是吧， y 一 撇一，这里 y 就是 f 啊，这里 y 就是 f， 要关键的求出这个点，还一个，你得把这个 y 求出来，是不是啊？所以呢，一个是求函数在这一点的函数值，还要求函数在这一点的导数值，所以实际上呢，就把这个极限式啊，把它用好就行了啊，用好就行了，好，第一个呢，我们先得研究这个 y 一 或者 f 一 啊，再求 f 一， 根据我们在第一讲啊，大家学的很清楚的是吧，要求 f x 的， 它是这点连续吗？所以 y 一 也就是 f 一 喽， 那么我就写这个写成 f 吧，这样大家待会好对应啊，好对应，好，我这个 f 一 呢，它就定义为因为连续函数嘛，它就定义为 x 趋向一 f x， 对 吧？大家， 我告诉你啊，这个连续的定义很多时候是倒过来用的，是吧？他告诉你连续，你可以通过连续这个等式呢，把这个 f 一 这个值找找到，因为他往往给的是极限式，他不会给你 f 一 的，明白吧？好，我们现在算一算，看 limit x 去一的 f x 是 不是在这了， 懂吧？所以呢，你现在旁边有个减一，所以你这个就不要犹豫，减去一个一，是不是再加上一，是不是还是他， 对吧？哎，为什么要减一？很简单，因为人家题目里是带着减一的，所以呢，你减个一，再加个一，不就回来了吗？那么这个一的极限当然还是一，所以就写成了一加上 limit x 曲线一 f x 减一，对吧？大家， 哎，这样写就直接可以把这个极限对应上去了，这就是所谓的恒等变形， 这个思路都很清楚，是吧？好，他就等于，那么就是一加上又来了啊，看着 limit x 去选一，可是你这样对应呢？还只对应了分子，他有分母，我没有分母，是不？也不要犹豫了，直接怎么样？很好， f x 减一，除以一个 log x， 是 不是在乘上 log x， 这不又来了吗？你看，就是说，我们从最开始的 f x， 我 可以通过减个一加个一， 再通过除以烙印，再乘以烙印，再把一提出去啊，拆到外面去，来构造出来题目的这个极限，他等于二，你看是不是很快？这就是恒等变形对大家提出的基本要求， 好吧，然后第二个呢？ x 去一的时候，这个烙印 x 是 去几啊？这个是趋向于零的，烙印是零，所以这个结果呢，是等于一的，我们就算出来 f 一 f 一 是等于一的， 你看到没有？这一部分是不是回到了我们的第一讲这个函数极限的计算问题了，对吧？好，下面这个就完了，我们再来看 f 一 撇一，这个 f 一 撇一这一点用导数定义了， f 一 撇一就定义为 limit x 取向一，那当然就是 f x 减去 f 一 比上 x 减一，对吧？大家你现在看啊，同学们看这个 f 一 是多少，算过了吧， f 一 是不是刚好等于一？ 哎，很好，他就写成了 limit x 取向一，是不是叫 f x 减去一，你告诉我是不是又要跟他凑在一起了？ 这次抄起来，我想同学们更是啊，这个非常的熟练了啊，就解决了。你底下是不是除以烙印我这个底下是不是除的是 x 减一啊？我不要除以他，我就怎么样除以一个烙印 x， 再乘上一个烙印 x， 是 不是再把它放这？大家看这是不是又是横的变形， 是吧？好，这个极限又来一遍，这个极限是不是等于二，对吧？这个极限各位说，很好，当 x 去一时，烙印 x 等于二啊， 记得吗？他比他是一，所以这个结果呢，是等于二的啊，一气呵成，各位看到没有，就是你解数学题一定要用这种形式上的横等变形啊，非常准确的对应起来，反正就是这句话，你缺什么我就补什么，少什么添什么 啊，就这个转换的目标啊，和你变形的目标是非常明确的，好吧，这样 f 一 撇一等于二出来了啊，这个是二，所以故我们最终的这个切运方程是 y 减去一， 等于二倍的 x 减一啊，稍微整理一下就得到了 y 等于二， x 减一，这就是答案。
19启航考研自习室
05:31查看AI文稿AI文稿考研学生最讨厌的就是概念题，概念题里面最讨厌的就是这个导函数的极限与一点导数的存在性以及相等性。那我们通过一道章鱼一千题里的好题来跟大家讲一下，他说 f x 在 x 等于 a 的 某领域内有定义，然后在 x 等于 a 的 某器性领域内可导。让我们判断下面的论证 一共有四条吧，主要就是讨论这个导函数的极限跟这个一点导数的这个存在性以及相等性的关系。 那我们首先先给大家讲一个基本的认知啊，就是这个导函数的极限，它是很难存在的，不管它是 x 区域 a 啊，还是 x 区域无穷，导函数的极限都是很难存在的。 一般呢，题目都是告诉你，导函数的极限已经存在了，让你去推另外一个结论成立，而不是由别的条件呢去推导函数的极限存在。 然后第二个观念呢，就是厘米 x 去 a 的 fpx， 它跟 x 点 a 这点它是没有任何关系的，因为这个 x 呢，只是无限趋近 a， 它永远到达不了 a 吧。呃，所以说你是不知道 x 点 a 这点的任何性质的，甚至函数在这一点都可以没有定义吧， 但是我们的 fpx 存在呢，就一定要要求 fx 在 x 点 a 这点你肯定要先连续吧，不然你这个导数怎么可能会存在呢？所以说这两者的一个很大区别就在于这里。 那了解完这两个观念之后呢，我们就来看这道题目。首先 a 选项，他说什么呀？就是 limit x g a 时候的 f p x 等于 a， 然后让我们说 f p a 是 等于 a 的， 那这个是不是有概率是对的呀？因为它是告诉我们导函数的极限存在，让我们来去推另外一个结论吧， 所以说我们觉得它有可能是对的，但是我们思考一下，就是这个导函数的极限存在，一定能推出这个一点导数存在吗？我们刚刚是不是说了，这个东西它是不要求 x 等于 a 的 任何性质的，但这个东西呢，它是强行要求 f x 在 x 等于 a 处要连续吧。 所以说我们可以很简单举一个例子，就像这样子，它在 x 点 a 处呢，就是一个跳跃的间断点，就是函数到这里之后呢，直接跳到上面去了，然后再跳回来，那它的导函数的极限是不是肯定存在啊？就是这个那个线的斜率嘛？但是我们 f p a 是 不是肯定不存在？因为你在这点都根本就不连续啊， 所以说我们就可以排除 a 选项了。那 a 选项要怎么样才能正确呢？就是你得加上一个条件， f x 在 x 点 a 处是连续的，也就是这个导函数极限首先要存在，然后再加上什么呢？ f x 在 x 点 a 处连续，那你就可以推出 f 撇 a， 它一定是存在，哎，正好呢就等于 a 了。 然后我们下面来看这个 b 选项就是经典的错误了，它是告诉你一个结论，让你去推这个，呃，导函数极限存在吧，我们刚刚说了，这类选项 基本上都是错的，那这个反例的话，我们也非常好举，就是令 f x 呢，等于这个 x 减 a 的 平方乘上一个 sin x 减 a 分 之一。那这种反例的核心呢？其实就是为了求导之后在 x 等于 a 处，他会出现一个 sin 无穷或者一个扩散无穷， 因为有这俩的话，是不是肯定就是正当的呀？正当之后，你的导函数极限就肯定不存在了。比如说我们把这个式子求个导，你可以发现它等于什么呢？前面这个式子，然后再减去一个扩散的 x 减 a 分 之一吧， 这个玩意在 x 趋 a 的 时候是不是趋于无穷的？那你这个扩散无穷是不是肯定就是一个正当的了？于是的话，这个导函数极限呢？它就会不存在了。然后你这时候算一下这个 f 撇 a， 它是不是等于这个式子啊？你给它化解一下，就是 x 减 a 乘上一个 sin 的 x 减 a 分之一，是不是一个趋于零的数乘上一个有界量啊？那它的结果就还是零，于是的话就是这一点，导数存在，但是它的导函数极限却是不存在的，所以说你就要把这个返利给记住吧，也是很好记得，就是一个平方向乘上一个 sine 的 分之一，就可以 提示的话， ab 两个选项是不是都错啊？下面来看这个 c 选项，他说什么呢？厘米的 x 七 a 的 fpx 等于一个正无穷，然后呢则 fpx 不 存在，那这个呢？我们就要使用洛必达了，就是 fpx 它的定义式是不是厘米 x 七 a 时候的 f x 减 f a 除以一个 x 减 a 啊？我们下面就要对这个式子使用洛必达了吧， 但是大家知道就是概念题里面有时候能落，有时候不能落，于是我们下面教大家一个万能的判断，能不能落的方法，就是你先试着落一遍，如果试着落完之后的结果呢，就试落之后的结果极限， 它是无穷或者等于一个常数的话，那么你就确实能落，比如说我们现在这个东西啊，我们不知道能不能落吧？反正我们先试着落一遍呗，就是 limit x 去 a 时候的 f x 除以一个一吧，就上导下导嘛，就是 limit x 去 a 的 f 撇 x 吧。题目是不是说它等于无穷啊？所以说我们试落之后的结果呢？它确实是无穷和常数中的一种吧，于是的话，我们确实能落，那就是直接就等于这个式子了， 那就是说什么呢？就 f p a 等于这个式子，然后等于它吧，等于一个无穷，那是不是 f p a 确实不存在啊？因为 f p a 是 无穷哎，所以说 c 呢，就是正确的。 那我们最后来看这个四 g 选项，他说啥呢？ f p a 不 存在，则这个导函数极限一定是无穷，这是不是肯定错呀？因为我们刚刚是不是给了一个返利了，就 f p a 不 存在的，返利就是这个，就让这个 f x 在 x 点 a 处不连续就可以了吧，不连续就可以了。那这时候你看一下他的 f p a 就是 这个东西，也就是这个斜率吧，他肯定不是无穷吧，肯定是一个正常的数嘛，所以说我们四 d 选项就是错误的，那最后我们就选择呢 c 选项。
4775零次方zju
04:32查看AI文稿AI文稿设可导函数啊，这个 f x 是 大于零的，则请问 limit n 趋无穷大 n 乘上 ln f 零分之 f n 分 之一，这个等于多少？结？ 这个大家这也不用犹豫啊，我告诉你，这个非常有意思的是什么呢？就是说你烙印 a 比 b 是 吧？你要看着他没有想法的话，那这个题做不出来了 啊，你不要在里面就直接想办法去凑什么定义啊，我们还是善于利用什么烙印 a b 像 b 带什么，各位，很好，烙印 a 减去烙印 b， 对吧？这个题目说了啊，函数是可导的啊，所以真数大于零都没有问题的啊，所以这个题目的处理呢，是不是变成差了啊？变成差就好做了是吧？好，原式等于 limit n 趋无穷大对吧？你看的很清楚，各位，这样的话，分子是不是就直接写成了这个 law？ 什么 f n 分 之一吧，你看好了啊， long f 分 之一是不是减去 long f 零 是吧？只是符合函数吧， long f 看到没有，是不是 long f 啊，这无非就是个复合函数了，那你这个 n 在 这干啥呢？刚好除以 n 分 之一减去零，对吧？标准的导数定义 是吧，那么就实际上它就等于这个。不用啰嗦啊，由于讲了函数是可导的，但 听好了啊，函数可导且 f x 大 于零，那你放心，按函数 f x 可导，那么烙印一定可导，为什么？因为烙印 f x 这个符号，函数烙印本身是可导函数，是不大家处处可导，只要有定义， 那么 f 呢？他讲是可导函数，而且 f x 还大于零，所以他保证定律了，那么所以这个函数是可导函数，听懂没有啊，没有任何问题，那么就说这样的话呢，我们又用一下这个归结原则是吧，就是说你离散的我可以改成什么？改成连续的叫 limit x 去零正，对吧？ 这数叫 lo in f x 减去 lo in f 零啊，变成 x 减零。所以大家啊，我再说一遍啊，就你从这一步到这一步啊，又是归结原则的使用啊，但归结原则使用一定要注意的，就是说他有个前提是可导 的是吧，就在可导的情况下，这两个可以推的是吧，这他只要存在，他必然存在是吧，但是呢，他存在不一定有他，但是有归结原则的话呢，他就可以推出它， 好吧，这个说清楚了啊，所以他就等于零 f x， 大家注意啊，是不是求导之后啊，然后什么呀？带这个零进去是吧，带零进去， 带 x 带零进去，而且大家请注意啊，你这个不需要写零正。为什么不需要写零正啊？我又说了，这个函数是可导的，那么零也是可导的，你在这一点只要说这一点的导数存在，那么左导右导和导数值是都一样的， 明白吧？啊，就可以了。所以呢，我们确实可以就直接求导带零进去就行了啊，带零带零正，带零负，都是一样的 啊，所以它结果呢，等于让 f 求导一起背，哎，让 u 求导是 u 分 之一，再乘以什么 u 的 导数， 对吧？然后把 x 等于带进去，我们就得到了它等于 f 零分之 f 一 撇零啊，这就是答案啊， f 零分之 f 一 撇零， 哎，这道题目呢，主要是要用好啊，对了，我们的对数的运算的公式啊，这个很重要啊，就是说你在实际上做题当中呢，让这些公式啊，多见一些啊，这个多做一些， 我还是提倡大家要背这些题目，尤其基础阶段，我告诉你多背题特别好，反复的做，反复的背啊，你会发现你的技能啊，这个实际的操作能力是越来越强的。 纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行。这个意思就很清楚啊，不要只会停留在理论上啊，你们这作为这个理论，我觉得不用管那么多，你会操作他就行了，因为在考试是要靠你自己去做题的。 很多同学我告诉你，你要经过我们的很好的训练，很多同学可能不知道个什么去描述什么理论，可是拿到题他马上就思路啊，写起来特别快啊，这就是训练的结果啊，训练的结果。
01:56查看AI文稿AI文稿二七章宇强化讲义他到底怎么样？主播昨天也是拿到了这本书，然后花了一天时间给大家测评了一下。首先， 二七强化讲义他基本上没怎么改，部分讲他就改了一两题，整体上改动不大。章宇的强化讲义与基础讲义最大的区别就是基础讲义东西很多，无论是考的还是不考的都塞给你，而且例题也是按照知识点的排布去出，知识点偏多，例题偏少， 但强化讲义他没有很多知识点，他一讲是根据考察的题型进行大分类，各个大分类，你再进行小分类，配有题目，相当于解析出告诉你有哪些考法，并给出题目的例子。逆题的难度是不低的，你可以直接当习题特去刷 部分比较难或者比较经典的题，他配有详细的蓝框解释。总体看下来，大多数的题型分类还是不错的， 但是某些太抽象的题型还是没有必要，比如欧拉碎碎念的多元函数。其次，这道例题从二五年开始一直都有。然后就是张宇强化，他二六和二七的定位都是主要教错题，二四年是教知识点加做题，有点类似于武中央强化，所以你们跟二四年张宇强化的要要规划好你的时间跟做题也是比较长的。 那么对于张宇强化，我个人的建议是，因为大多数人高中基础学完的，要规划好你的时间跟做题也是比较长的。那么对于张宇强化，我个人还做了新习册。 所以如果你高数基础跟章宇，你高数强化不准备跟章宇的，你后面有时间可以刷一下强化十八讲，当习册刷就完了。 如果你不知道跟谁，或者不知道怎么安排的，我个人最推荐的打法就是你自己去刷强化十八讲，加一些币，不会的，你去看专题课，或者选听章宇的强化课补充。 当然有的人基础比较差，如果你在强化的时候自己做题根本做不下去，正确率远低于百分之四十。那我建议你还是看一下系统课，张宇的武中强的都可以，要规划好做题，那么张宇强化后面我会给大家出上面的重要与非重要部分。关注亚瑟，跟上亚瑟的节奏。
3412亚瑟爱数学*
21:06查看AI文稿AI文稿好，各位同学，我们今天来到第二讲数列极限。呃，这讲的话其实跟前面的一个极限的概念，函数极限的概念其实很像的，那就是数列的概念，数列的概念就是你去 你写的将把数列看成一种特殊的函数，就是说可以理解为 f x 中 x 取正整数的一个函数。呃，然后就是它的一个定义，它一个定义的话就是我们一般考这一节的话，就是考它是收敛的，就是说一个点的话，就是它收敛还是发散， 而发散就收敛，而发散，就是说当 n 趋近无穷时， x n 趋近于，就是说这个竖列，这个竖列趋近于一个长竖，然后我们就称称为它就是收敛于 a， 否则的话就是说它是发散的。呃，然后关于竖列的极限， 竖列的话我们在高中里面就是说等比竖列等差，竖列还有还有一些， 还有一些单调，还有单调，数列单调，就是说单调递减，单调递增。好，然后还有有界，有界。 然后怎么去判断有界？就是一般都是去找出他的一个，呃，看他有没有一个最大值或最最大值或最小值，然后通过加比尼尼还有放缩法，然后找对值的方法还基本不等式，然后去找出他的一个 有界，然后这个有界的话我们后面还是会重点提到的。呃， 然后的话就是它的性质，嗯，性质，性质，唯一性、有界性和保号性，我们在前面的函数的极限里面其实也讲过，然后唯一性的话就是就是 说它的，嗯，就是说我趋近于我， 我这个极限趋近于 a 的 时候，我只有一个 a， 就 只能趋近于 a， 这个 a 是 唯一的。然后关于保有界性，就是说如果说这个 函数的极限存在，则数列有限有界。这个的话在前面一张的话其实也提到了，反正你就不做证明了。然后的话保号性，保号性，就是说如果说我的 x n 它也是大于零的，呃，就是这个。好， 好，然后这里的话，其实一般都是，呃， a 大 于 b， 然后 s n 大 于 b， 因为它是正整数嘛，正整数它肯定它的， 因为它这个 s n 的 话是正整数，所以说它 s n 是 正整数，所以说它一般都是大于零的，所以我应该是大于 b， 然后一般其实也考 b 等于零那个情形啊。好，然后这是它的一个四则运算，四则运算的话就是，呃，就是我设呃，我就直接往后讲吧。往后讲，嗯，呃，在这里 四则运算竖列概念，四则运算，呃，四则运算，这个这个话还是挺简单的，就是说我的设两个它的一个极限， 就是说取进一个 a， 取进一个 b， 然后他们俩相加，也就等于他们俩值的相加，然后极限的相乘也等于他两个最后取进于值的相乘。然后这里的话就是他们相处的话也是等于相处的，但是这里 b 不 能等于零，因为 b 是 作为分母的。好，然后， 嗯，这其实也挺简单的。然后我们后面的话就是后面的话就是它的一个呃，海，海电机理，海电机理的话，我们就是相当于我们去呃把，比如说他书上写的，嗯， n 趋近于 n， 趋近于无穷时， n 诺言 n， 我 们去就是说把，它就说把 n 跟它换成 x， 然后换成 x， 然后我们就去用，就可以去就是说呃，如果说你是光成的 n 的 话，就是 就是说不好算，不好算的话我们就可以跟它换成 x， x 跟其实会互换的，因为我们在前面讲过它的一个呃函数的就是极限的定义，就是它就是其实就是 f x， 就是 说 x 取于正整数的一个情形， 我们把它换成这种，然后我们就看它是不是就可以去用呃洛必达，洛必达，然后还有它的一个 type 公式， 呃都可以用，还有他的一个什么七个呃微定式的一个计算，就是说他就是前面一节的所有的，就是说可以计算，然后这个的话就是他是不是无穷比无穷的形式，然后他就可以用诺必达，然后进行上下同时求导，然后取极限， 就是说把它换成函数，然后进行一个换算，做极限好，然后后面就夹逼定力，夹逼定力的话，呃其实也讲过很多，然后这里的方法的话，就是 这里的话就是就是说，就是说我就是说 x n x n， 它如果说是大于小于呃 y n 的， 然后小 n， 然后小于等于呃 z n， 然后我们这里如果说假设，就是说如果证明了， 就是说 sn 不好算，但是我的它和它都很好算，就是极限都很好算，那我们就就是说可以就是说假如 y n 它是等于一个等于 a， 然后 呃 z n 它也是等于 a 的， 那我们就可以跟它说是它的，就是说 那我们就是可以推出 s n 它的它也是趋近于 a 的， 就是说 n， 呃，趋近无穷的形容，呃，一般怎么去用这个公式？一般怎么用这个公式，我们一般的话就是用，嗯，就是基本不等式， 基本不等式，因为你可能 s n， 你 可能是，比如说 s n， 举个例子， s n， 它可能就是大于零的 大于零，但是我后面的怎么推，就是看他的一个基本不等式，然后这里的话就呃介绍了他的一定要用了基本不等式，然后基本不等式的一些， 一些就是些一些重要结论就是根号 n a b， 而是小于等于两倍的 a 加 b， 然后小于等于就是说 a 的 平方，根号 a 的 平方加 b 的 平方除以二， 这是它的一个那个，然后还有个绝对值的一个应用，呃 a 正负 b， 然后就说小于等于 a 正负 b， 就这个应用，然后的话就是还有一个就是 a 的 绝对值减去 b 的 绝对值的绝对值，然后小于等于 a 减 b 的 绝对值，然后这些都可以去用好，呃，然后， 然后后面的话就是就是推广它的一个呃，根号三，根号三 abc， 然后就是同理 a 加 b 加 c 除以三次方，然后小于等于根号下 a 的 平方加 b 的 平方加 c 的 平方除以三，这是一个 好，然后后面的那个三和四其实就挺简单的。然后这里的话就是说，嗯，它后面还有个五和六，五和六就是在 x 大 于 x 大 于它等于 x， 然后这这个是这是大于。呃，这里的话我们前面有一张 好，它就是呃，但是它这个取值啊，它这个取值的话是在呃零大于 x 大 于二分之二这个取值里面。然后的话还有就是呃，单独的话就是 x 三 x， 它是大小于 x 的， 然后它的话 x 是 大于零的时候。好，嗯，还有一个比较重要的就是它的， 呃，就是说 x 它是属于零到四分之派的时候，它是 x 大 于贪停 x， 然后小于派分之四 x， 呃，这个的话其实下面有立体， 然后还有如果说就是说，嗯，还有就是 x 它是零到二分之派，然后的话它就是三 x， 它是大于派分之二 x 的 好，然后后面的话就是， 嗯，后面的话还有一些也比较常见， e x 它是大于等于 x 加一，这个画图其实也能看出来，然后的话 x 减一，它是大于等于诺言 x， 然后 x 都是大于零的，这个 x 大 于零的好，后面的话就是讲了一个映射压缩映射原理，压缩压缩映射原理， 这还蛮重要的，蛮重要的。然后我就是压缩映设原理，然后就通过自己的理解去。呃，给大家讲一下 这本书的话就是压缩因子原理。呃，这里就是设定的一些条件，就是对数列 s n， 就是 说若存在一个常数 k， 使得就是说 x n 加 x n， x n 加一减 a 小 于等于 k 倍的 x n 减 a 的 角值，好，这就是角值好，然后则 x n 它是缩敛于 a 的。 呃，这个怎么证？这是怎么证明的？嗯，就是我先就是说它有绝对值，它肯定大于零的嘛，然后我们用一个嗯加 b t， 你 就可以算出来这个东西， 然后我们首先他是，呃，小于零，小于零的话我们就是这个这一块，他是不是就是这个是吧？好，然后我们算出来这个不等式之后，我把前面的盖住，呃，我把 我把前面的盖住，不看前面，那我现在就是这个 k 我 也不看， 呃， k 还是要看的， k 还是要看的好。我这一个，呃，是不是又可以等于它就是把 x， 就是 把这里的 s n， s n 加一换成 n， 那 它这里是不是 n 减一？是不是然后同时两边有个 k， 它是，它这里是不是有个平方了， 是吧？然后以此类推，就可以推到最后一位，然后 s n 减一，一直减减减减，它是不是就只能等于 s 一 减 a， 是 吧？好，然后，然后我们这里的话就，呃， 然后我们这里就，然后又因为 s s k， 它是属于零到一的啊。打比方 k， 它是等于二分之一，二分之一的 n 次方， 然后 n 区域无穷的，它是越来越小，越来越小，它是最终最终是等于零的，是吧？然后我们就有这个等于零， 对，它取极限，它等于零，然后对零取极限，它也等于零，然后两边等于零。好，大喊一声哪里跑，它往中间一夹，那是不是就是相当于相当于这个，它的这个极限趋于零， 对吧？那它去零的话就是相当于 x n 加一，它是收敛于 a， 那 这里就证明 s n 它也收敛于 a 的， 这个话用的还是蛮多的。呃，好。然后，呃，这个，这这这两道题目在后面的那个 二点五、二点一五和二点一四，二点一四的话我觉得还是蛮重要的，可以大家可以写一下这两道题目对这两个的应用还是挺好的好。然后 然后的话就是第二个原理二，原理二的话也是对原理一的一个推广，就是说先设立条件，呃，对于竖列，然后的话就是呃弱，就是说 s n 加一等于 f x n， 然后 f x 可导，那且就是说 a 是 f x， f x 等于 x 为一的减，然后的话就是就是有任意的一个 r s x 有， 就是说 f f 的 导， f x 的 导数，它是小于等于 k， 小 于等于一的。好，然后就则证，就是说有 s n， 它是收敛于 a。 啊，这个怎么证？ 呃，首先就是我们要证明它收敛于 a， 我 们首先写出来的就是 x n 减 a， 是 吧？我们要证明它，同理证明它等于零，就是它的极限等于零就可以了。呃，这里的话就是写的是 s n 加一，为什么写 s n 加一？因为这里有个 s n 加一， 然后我们用的就是去它减，它 s n 加一和 s n 都可以，然后这里的话为什么？因为它这里我们可以用这个公式嘛？好，然后，呃，写出来它之后，因为 s n 加一的话，它是等于这个 f s n， 然后 a 的 话， a 的 话是不是就是可以用这个？就是其实是 fa， 它是等于 a 的， 那么换一下它是不就是 a， 然后的话就是 fa。 好， 然后我们对它使用拉格朗日公式定义，拉格朗日公式定义的话在后面会讲到的。呃，这里的话就是简单写一下，就是它是，比如说是存在， 就是 f b 减去 fa， 就是 它是等于 f， 这个是一部曲子吧？一部曲子，然后 b 减 a， 然后这个一部曲子的话它是属于。呃， a 到 b 到 a 吧， 就是它是属于 a 到 b， 属于 a 到 b 中间的一个值，就是我能有一个，就是说它们两个之间的一个差值可以去用，就是我比如说一个函数中间就是说这两个呃 a， 呃，换值一点吧，我在这边旁边换， 比如说这有个函数，就这样函数吧。好吧。然后这里的话是有一个 a 值，然后这里对应的就是它的一个 呃， f a， 然后这里对应的它是它的，嗯， f b， 然后它们两个的点号就是它们两相减。哦，这里写，呃，写错，没写错。呃，它们两个相减， 它们两相减嘛？然后就可以去用它们中间的一个，就是你可以去找到一个值啊，比如说这里是它的一匹诺，然后你就可以去找到它的一个 f 一 匹诺， 然后找到这个值它的找，找到它的一个值，就是它的一个导数，然后减去减去就是它的 b 减 a。 好，就是我能去找到一个值，它的一个导数的值乘以，就是说乘以它们两个之间的一个 呃，差值，乘以它们两个之间的一个差值，乘以两个数的之间的差值，就是等于等于它们两个差值啊，这个后面其实会讲到的，其实现在就记住公式就可以了啊。然后我们就可以推广成这个嘛， 是吧？把这个人这个就是照着写好，然后我们同理啊，因为 f 一 撇这个，他这个是值，所以说他他是个常数啊，他是个常数，他是个常数，这没有疑问吧？他是个常数。 好，它是常数的话，然后我们就是依次还是一样通过，就是说通过这个可以，就是说可以去推出 s n 收敛于 a， 是 吧？好，好， 然后呃，这个就讲完了，然后我们就看到下一个，下一个的话就是，嗯， 单调有界准则，单调有界准则就是，呃，就是，呃函数我可以直接往下翻吧， 就是说单调有界，就是说单电单调有界。竖列必有极限，就是说，嗯，竖列 s n， 它如果说单调增加或者单调减小的话，就说它肯定有上界和下界嘛。然后就是说的证明，就是说 呃，这个极限，这个树列的极限存在，呃，这个其实跟那个有界性还是呃一样的，然后这里的话就不做证明了，然后这个话他就是说只要证明他是 只要证明它是单调减小，且就是说能取到上上线和下线的话，就是证明它的极限存在，这里在这证明就是树立极限存在。这种题目的话其实也挺好用的。第一个的方法就是其实有求导这个方法，求导 去证明它的上限还是下限，然后的话就是，嗯，然后的话就是就是证明它是有上界或者下界，就两必须 必须从事证明好。然后然后的话就是数学，数学归类法，呃，这个是跟这个题目的话是，呃有点像的， 呃，就是说我如果说想去验证，就是说 c 大 于 a， c 大 于 a 的 话，我们我只需要通过这个公式去验证 b 是，就是说两倍的落引 e 加 b， 它是大于，呃，两倍的落引 e 加 a， 那 这样的话我就是不是就证明了 这，这个如果说证明这个，那我们是不是要证明诺言 e 加 x 是 单调递增的，如果它这样递增的话，因为 b 它是大于 a 的， 那我们这里是不是就是证明了，呃，它是等于 c， 然后它的话因为刚才那个是等于 a 的 啊，这是证明了 c 加 b， c 大 于 a。 好， 这是一个方法。然后还有一个方法的话就是，嗯，就是说， 就是说，呃，我去验证 s 一 大于 a， 然后然后的话去设设 x k， 它是大于 a 的， 然后我们去验证 s k 加一它也是大于 a 的， 嗯，然后就可以证明它受力。呃，这个话其实大家看一下，其实跟跟前面一个一样，前面一模一样。呃，然后就是基本不等式， 然后就嘛，然后就是用基本不等式去证明他的一个极限存在，然后证明他有上限或下限，然后图画就是他的求导吧。刚也讲了。好，然后的话，呃，往下看。 呃，这个的话就这节还是挺简挺简单的。然后嗯， 就是说他还有个速度去收敛速度问题，收敛速度问题的话跟那个，呃，前面讲到的一个超时数，就是说张宇老师讲的一个超时数的话概念还是蛮像的。呃，大家可以看一下这个，这个其实不难。嗯， 好，然后我们主要的话有两个题目，就是一个二点二点一五和一个二点一四的话，就是就是说，嗯，得看一看，多看一看这两个题目，这两个题目其实我个人觉得我在那学第一次学的时候还是花了点时间的。啊，大家可以看一下。这个。好， 今天的话其实挺简单的，因为很多内容就跟上面一样。好，今天就到此结束，谢谢大家。
68XioLeii
01:40查看AI文稿AI文稿但是呢，有一个你们都要注意啊，有些知识他不叫二级结论，大家不要把它归错类了。比如说我们说一个可导的极函数求导之后是什么？ 一定是偶函数，这句话对不对？这句话对的，我们可以用导数定义和极偶性的定义去证明他的，那么这个就不属于二级结论， 这是为积分的基本结论，是吧？你们说可导的奇函数求导一定是偶函数，可导的偶函数求导一定是奇函数。 然后我们想到变现积分，如果一个 f x 是 可极的奇函数，那么它零下限开始的变现积分一定是偶函数。如果一个可极的函数是偶函数，那么它零到 x， f t、 d t 一定是个奇函数， 那么他这个结构性互换，包括还有周期性，周期性当然就有一个是不成立的了。这我们在课上都给大家讲过了，像这些结论属于微积分的基本结论，他就不是二级结论。再比如说像泰勒公式， 泰勒公式展开到第几节，无论是抽象的还是具体的，那么这些我们在书上也有一些判别方法，或者说也有一些结论，比如说展开至，比如说这个讲到具体型的啊，把两个函数 a 减 b 型，是吧？展开至这个 x 的 最低次密前面的系数不相等的 x 的 最低次密为止， 那么这样的结论就是他不叫二级结论，这个只是书上没有，但是在我们解析时是要用到的，所以同学们一定要区分啊，什么叫二级结论，什么是基本结论？这个别搞错了。
3897考研数学张宇
02:56查看AI文稿AI文稿三点四，我们看这个题，说 f x， 它是在 x 等于零处可导啊，那么 f 零等于 f 一 撇零等于根号二 则，请问 limit x 去零是吧？ f 平方 x 减去二比乘 x， 这个等于多少？ 呃，这道题呢，要换了一个思路是吧？这个主要是考大家的运算啊，还能变形的能力和倒数定义啊，这个相对简单一些 的人是等于啊，大家注意这个平方啊，你见到这个你也不要犹豫，平方减，那当然这个写成根号二平方了，做平方差把它分解了。 limit x 去零啊，大家注意看啊，那么这时候呢，我们就写成了 f x 是 吧，是不是叫减去根号二，再乘上 f x 是 不是加上根号二，对吧？然后呢，你底下除以 x， 我 不管他的，可是你要注意啊，这个除以 x 是 吧？ x， 所以 这样你除呢，这个位置就只能写一了。 有人说，老师，你为什么不把一写在这， x 写在这，大家谁能看得出来我们的预判啊，什么预判呢？你看这根号二是几啊，这根号二是不是刚好是 f 零， 对吧？你这样的话是不是错，导数对应出来了，叫做 f x 减 f 零比上 x 减零嘛，是吧？这时候呢，我们就得到了呢，整个这块啊，它的极限算出来呢，就是 f 一 撇零，是吧？大家， 哎，然后呢，这块用连续啊，因为 f x 在 这个零点是可导，可导在这一点必连续，所以那么 x 去零直接带进去了。那大家又用一遍， f 零是不等根号二，所以这是不是根号加根号二 啊？四四则又算规则啊，这刚好这个根号加根号二呢，是二倍，根号二也是存在的，他呢也是存在的，是根号二，对吧？大家啊，所以乘上呢，就是根号二加上根号二， 这是用四基本上规则啊，通过核力变形啊，然后算出来这结果了，这个呢是等于根号二，对吧？这个起来加起来是二倍根号二，所以算出来等于四，这个倒不难啊。这个倒不难啊，但是呢，这种考题呢，作为这个呃，考研也是完全可以出现的 啊，所以我说了，我们算是基础阶段哈啊呃，你现在做过这些简单一点的啊，考研也是完全可以出现的啊，所以我说了我们现在做过这些简单一点的题，第一是为了预防他就考这个 啊，同时呢，我们这题都会在后面埋下伏笔的啊，以后大家会看到在这个题的基础上的更好的，这个更好了，就是更为精彩的啊，这个综合了 啊，所以一定要好好学啊，你等着啊，你们即将会遇到啊，越来越精彩的数学啊，所以就是要一定要不怕困难。
11启航考研自习室
01:43查看AI文稿AI文稿我们在本科专业学习的时候，就是我们对书上的一些定理什么的，基本上都是有推导证明的。我想知道就是换到是高数这里的话，我有没有必要就是对这些定理的证明过程都掌握非常熟悉一些？ 很好，你这问题问的很好，你以后你要看到真题的时候，你会发现零九年左右呢，考过这么几个东西，一个是拉格朗日中支定理的证明，这个拉格朗中支定理的证明呢，他还不是用的是这个第一问，第二问呢，他还要再去讲导函数的问题， 这是一个就是喇格朗中之定律，然后后来呢，又考到用积分中之定律去证明问题。那几年啊，比较流行这个课本上的定律证明，但是我们警局现在什么呢？就是非常经典的几个，我当时说还有可能在考的就是牛顿莱尼公式。牛顿莱尼公式怎么证明？积分基本定律怎么证明呢？二零一五年他考的是这个， 就是证明 u 乘 v 的 导数等于 u 的 导数，乘以 v 加上 u 乘 v 的 导数，那就证明两个函数成极的导数公式，用什么证导数定义，这是二零一五年，据我们最近的一次就是关于课本上的定义或公式的证明，那么这是最后一次发生在二零一五年的时候出现这个情况。 总的来说，课本上的基本问题，我们这个考研数学啊，它这个难度啊和要求是远远低于数学专业的。 前面我跟你说过了，数学专业对于理论的要求是非常深刻的，所以你在书上关于定理的讨论，定理的研究和他的推导等等，那么当然是非常严格的，对大家提了很多的要求， 甚至包括数学专业的考卷，他实际上有的时候就让你叙述某个定律啊，然后可能说叙述某个定律之后并把它证明出来，对吧？然后呢？还有可能说出现他这个结论反过来不正确，你可能还要举出反例，像这样的问题在考研数学里是不会出现的。
5324考研数学张宇
05:06查看AI文稿AI文稿三点五，三点五，这是我们一千题的 a 主题第三章的第五题说 f x 等于 n 方分之一 啊，然后呢是 n 加一的平方分之一，小于 x 小 于等于 n 方分之一，大家注意啊，这个呢，是 n 加一括号的平方啊，这个二呢，要写在这啊，小于 x 小 点 n 方分之一，那么 n 取一二，一直取下去， f 零等于零，是吧？则 f 一 撇正零等于多少啊？就是零点的诱导数等于多少。这道题目呢，是很好的，要利用什么呢？利用这个加倍准则 啊，就是现对于现在的考题来说呢，他所谓的这种新颖性啊。结，他所谓的这种新颖性呢，实际上是能够 通过命题的新颖来考察同学们对于概念方法的深刻理解和把握啊。你比方说这个题的题目谈到 n 取一的时候，那么大家看这个变成什么，这个到这个 n 取一，那么就是四分之一到一， 是吧？如果 n 取二呢，那么这边就变成了九分之一到四分之一啊。然后你如果是把这个 n 的 等于一二三往里带的话呢，你马上就会看的很糊涂了，是吧？一段一段一段，这是无穷段的分段函数了是吧？啊，那么虽然告诉我 f 零等于零了，可是 你可能都认为这个函数在这点是不连续的，他怎么会有又导数呢？事实上呢，这些都是表面现象，是吧？啊，我们知道 f 一 撇正零，按定义写，他就是 limit x 去零，正 f x 减去 f 零比上 x 减零，对吧？大家啊，由于讲了 f 零得零，那这个去不要写了，那这个不要写了，大家看你转化成什么了， 是吧？就是我们盯着目标看，你光看这个条件啊，你搞不清楚的是吧，你也都不知道这在写什么，可是当你看到了目标的时候，我们的目标是不就是在算一个极限啊？ limit x 去零正， f x 比 x， 对 吧？大家你就是在求这个极限啊，而这个极限现在的问题是说他是无穷段分段函数，无穷段分段函数我们是没法去研究他 怎么办啊？落背打不能用是吧？太冷公式不能用是不是啊？基本的其他的方法也不能用， 你说这个做很能变形，这个怎么变形啊，是吧？啊，所以这个时候呢，我们讲到了，哎，对了，对于这种棘手的极限问题，不要忘记了，我们解题有一个利器啊，加倍准则是放大缩小，有人说老师放缩太难了，怎么会困难呢？他不已经告诉我们了吗？ 大家看，这，我们是不是说 x 在 a 到 b 之间，请问 x 分 之一呢啊？由于 x 去零正，它肯定是大于零的了，它当然就大于等于 n 方小于 n 加一的平方喽， 对吧？你这个方数已经有了，而 f x 的 表达是就等于 n 方分之一啊，所以当你把 f x 藏在这的时候，相当于是 在三个位置都乘上了 n 方分之一啊。大家看到 n 去无穷大时，同学们，这是不等于一啊，这个是不趋向于一， 看懂了吗？啊，大喊一声，哪里跑，被逼近到一，对吧？这样呢，我们就说这个极限等于一故，这一点的右导数值呢，是等于一的， 这个题呢就解完了，这种题是非常精彩的啊，就是但凡在考研的试卷上出现这种题目啊，那么他就一定会有很高的区分度 啊，那么我在这呢，先提前跟大家说一句啊，就说我们到了三十六讲里面会给大家提一个呃，这个解析的一个程序， 你现在先跟我学的是知识啊，解析方法，我们等知识学的非常的完整充分的时候，我们一气呵成把解法交给大家啊，这个叫叫什么呢？这个实际上你要盯住目标啊，大家一定要盯住目标， 先不要被条件各各各种啊，这个分文复杂的条件所迷惑， 盯住目标，我的目标是什么？求优导数。优导数是什么？答，就是这么个极限，这个极限好不好？求求极限的方法来了，鲁比达法则、泰勒公式、等价物有效替换、恒等变形等等等等， 如果都不奏效，不要忘记有一个利器叫做加倍准则，而加倍准则就是放松，题目已经讲了，放松了，你看一气呵成算出来的结果就是答案。这个题就讲到这里。
11启航考研自习室
05:22查看AI文稿AI文稿下面第九题这个题目呢，涉及到一点小的综合，但是呢，它不难啊。首先大家发现啊，设可导的极函数 啊，他把这个函数的性质呢放进来了，是吧？啊，希望大家知道啊，这个函数的相应的性质，我们很清楚的说，函数如果是极函数是吧，那么 f x 等于负的 f 负 x 是吧？哎，然后呢，如果可导的奇函数，求导是不是就偶函数啊，再求导是不是又回奇函数了啊？这些基本的概念大家要知道啊，满足这是关系式吧，重要的关系式，这给了大家一些约束值啊，问你 f 两三撇一等于几？ 那显然这个你不用犹豫了，直接求导就行了是吧？拿着这个关键式，两边一起对 x 求导，所以得到是 f 一 撇 x 的 求导，是 f 两撇 x， 对 吧？等于，这个是符合求导了，是 u 方求导是二倍的 u， 是 吧，再乘以 f 一 撇 x， 是不是？然后呢，你现在要三级倒，那我继续求啊，再求倒，那就得到 f 三撇 x， 它就等于乘积的倒数了，两倍的前面求倒，后面不动，是 f 一 撇 x 的 平方，对吧？然后呢，再加上前面不动，后面求倒是不叫 f 两撇 x 啊，所以这种呢，基本的运算大家很清楚。好，接下来是不要求 x 等于一了啊，所以当 x 等于一的时候呢，我们立即会得到 f 三撇一，他是等于二倍的 f 一 撇一的平方，加上二倍的 f 一， 再乘以 f 两撇一， 对不对啊？好，接下来呢，就要用到我们前面讲到的什么讲到的这个可导的极函数的问题了。好，开始啊，由于是极函数啊，所以大家知道 f 一 是等于负的 f 负一的， 对吧？这一点你要搞清楚啊。再来呢，就是说我这个 f 一 撇一，大家注意，是等于 f 一 撇负一的， 为什么啊？因为大家知道 f 是 极函数，导数就是偶函数了，偶函数代值是这个正负是相等的， 对吧？那么同样道理， f 两撇一是等于负的， f 两撇负一的，为什么呢？也也用这个说，如果是他是这个极函数，求到两次之后还是极函数，所以还有这种代值的结果，当然能不能用着啊，我们要看这个情况了。 好，大家现在看进去呢，你就发现题目只讲了 f 负一等于，是吧，所以这个就有这个了， f 负一是等一的，所以呢， f 一 是等于负一的， 是吧？所以 f 一 是等于负，就注意啊， f 一 是等于负一的，是吧？也就是说这接着写下去了啊，他等于二倍的这个东西的平方，先不管他啊，这个是这个 f 一 负一啊，是不是减去二倍的 f 两撇一，注意看啊，是不是减去二倍的 f 两撇一， 是吧？啊？然后呢，你现在这这个直线呢，是不好处理了，因为你这是 f 一 撇一，是吧？这个是不好处理的，因为一撇跟两撇他没有关系，现在啊，他俩关系在哪呢？大家看这是 吧，我们上面还一个，所以在这个位置呢，我们也把 x 乘以带进去，把 x 乘以带进去，我们就可以得到说， f 两撇一是不是等于二倍的 f 一 乘上 f 一 撇一， 对吧？好了，这里面也有，由于 f 一 是负一，所以这个是等于负二倍的 f 一 撇一。看到没？你是不是找到了 f 两撇一和 f 一 撇一的关系， 对了吧，所以这就出来了，这等于，那就是说或者是二倍的 f 一 撇一，它的平方减去什么呢？二倍的这个 f 一 撇一，所以负负的正加上四倍的 f 一 撇一， 对吧，就得到了这个结果啊，那么具体是多少呢？虽然我们这个是能够算出来的，因为什么我们再往这带是吧？ f 一 撇一我们也有它的值 是吧？因为这带 x 带一进去看到没有？这属于说啊，大家求下来之后再往回走，看到没有这个带值，就你需要什么，我在前面去找什么啊？往往大家不可能刚开始第一步我就直接带一进去，是不是你不知道最后要求什么， 所以我们不能马后炮是吧？所以我们在解题过程呢，我带着大家按照一个正常的思路再往回走，在 x 等于的时候呢，就是 f 一 撇一是不是等于 f 一 的平方 啊？ f 一 既然是负一，它的平方是一了，所以这个结果就有了， f 一 撇一是等于一的，所以是二乘上一加上四乘上一，这个结果是等于六的， 对吧？这样的题目啊，你不要以为简单，这样在考试当中的话呢，确实有可能啊，有的同学稍微这个呃，脑子一紧张，脑子一糊涂，他找不着这个函数值了啊，或者说这些基本关系可能搞不清楚 啊。这道题呢，倒是没有用到我后面这两个是吧？啊，倒是没有用到后面这两个，所以这个题目的难度还是不是很高的好不好啊？这只用到了第一个啊，只用到第一个。
140考研数学张宇
08:32查看AI文稿AI文稿alpha x 一 导就报，这道题，我敢说是二期考研概念题的天花板，我们如何去用一招破解这样的概念题呢？这样高难度题，我们又该如何举反例去思考呢？来，今天这道题我们教给大家好朋友们。今天我们来讲一道非常难的导数函数 的概念题。这道题呢，我个人觉得，嗯，他的答案不太好。来，我们今天来讲一种独特的视角来理解一下这道题。先看题， f x 在 x 等于零处二节可导，然后给了一个极限等于一，好，那么他首先是给的在某一个点处二节可导，对不对？在 x 等于零处，二节可导，对吗？ 来，我们可以对从这个地方推出一节课到什么性质，一节导数，一节导数，什么性质？我们不信的话，我们就来试一试。那么这一点的导数它是不是存在的？它定义为 limit x 趋零， f x 减去 f 零导数啊， x 减零，对吧？ 那么它有什么性质呢？我们不妨记它为一个 b 吧，对吧？好，因为你告诉我存在嘛，是吧？然后我们这里用极限脱冒法，那么 f 一 撇倒减去 f 一 撇零除以 x 等于 b 加 a， 它 x， 其中呢？我们定义 limit x 去零， beta x 是 等于零的，也就说 beta x 是 x 去零的无穷小量，是吧？来，我们现在可以解除 f 一 撇倒，那么 f 一 撇倒是不等于 b 被 x 加上 beta x 乘以 x 加上 f 一 撇零啊，是吧？这不就是 f 一 撇倒吗？ 我们两式同时取极限， limit x 去零， f 一 撇倒，对吧？你取极限，右边取极限，你看一下右边是什么东西？ b x 加 beta x 乘以 x 加上 f 一 撇零啊， 对吧？你看这个是是不等于零啊？这个我们刚定义了它是零，它也是零，对吧？它也就只剩了 f， 那 么也就是 limit x 去零， f 一 撇 x， 它是等于 f 一 撇零的，这是什么东西啊？这不就是 f 一 撇 x 在 x 等于零处连续啊， 对吧？在 x 等于零处连续，那么一阶导数，它在 x 等于零处连续，对吗？这我们刚刚推的这个结论。好， 那么你只是说在 x 等于零处连续在他领域内是个什么情况呢？我们并不知道，因为我们根本啥都没推出来，对吧？我们只推出来刚刚这个条件， 那只能说你在这一点二阶可导，对吧？我只能说你在这个地方附近，它是存在的，究竟长什么样我不知道，我只知道 x 等于零处，它是连续的。好，来，我们再看，如果它存在的话，是不是证明 f x 它本身 在领域内负得它倒得它，这是 f 等于零，它是可导的呀，也叫一阶可导啊？因为你告诉我这些地方都是存在的，对不对？ 存在的，那么它不就是一阶可导吗？你存在，但不一定连续，你可能乱七八糟，是吧？你可能这一点，这个点，这个点，但是它们都是存在的，但是我是一阶可导，对吧？因为你从这里可以推出我每个点的导数都存在，对吧？本身它是一阶可导的。 好，这也就是我们对 x 等于零处二且可导这个点的翻译。好，那我们再看后面这个地方，它翻译怎么翻译啊？它是 f x 除以 x 三次方的极限等于一。 我这里很很容易想到这个，用这个泰勒公式直接一招破解它，对吧？你再把它泰勒展开， f 零加上 f 一 撇零， x 减零，对吧？加上 f 两撇零除以二 x 减零的平方， 后面再加一个小 x 平方，这个是带配样墨鱼像泰的公式，对吧？除以 x 三次方等于来，你看这不很，这不很经典的，我们在某些那个什么 a 加 b x 加什么 c x 平方，当时我们要泰勒展开，然后求那个什么 ab 代替系数，是不是？你看你底下是三次方，你这里没有三次方的，是不是通通都应该等于零啊？前面系数， 你这里等于零，这里等于零，这里等于零，为什么呢？比如说，如果说你不信的话，你把这个 f 零除以二 x 平方拿下来除以三，如果它不等于零，它等于 a， 你 告诉我，它这里一约底下是不是还是个 x x， 它又是趋零的，趋零的它，它不炸了吗？对吧？ a 的 无穷大，对不对？那不炸了吗？它可能等于正负无穷啊，所以 仅有可能就是他们三个都等于零，也就是 f 零，他等于零， f 一 撇零也等于零， f 两节两节导数，他也等于零，对不对？好，我们得这个式子，我们该如何去思考呢？其实啊，我们在刚刚这个地方，他这个式子，他还有一招，就什么没有用，就什么极限脱冒法。 那 limit x 去零， f x 除以 x 三次方等于一，对吧？我们脱掉极限帽子， f x 除以 x 三次方等于一。加 r f x 还是老老套路，对吧？ limit x 去零， r f x， 它是等于零的好，我们把这个东西拉过去， f x 是 不等于 x 三次方加上 x 三次方乘以 r f x 来通过这里我们两个隐含条件，什么条件我们可以得到？首先啊， f x 它本身一阶可导，因为我可以直接求一阶导数嘛？我求一阶导数等于 多少？三倍 x 平方，加上前倒后不动吧。三倍 x 平方 r f x， 对 吧？加上 x， 三次方乘以 r f 一 撇 x， 对 吧？一阶导数，它告诉开导直接求导，对不对？好，你求导得到这个式子 来，这里面我们想得到这个 alpha x 的 更多信息，我们怎么用呢？其中还有个条件没用啊，也就说它这个二阶导数等于零啊。你不信，你写一下 f 一 两撇二阶导数定义，为什么？ limit x 去零， f x 导数减去 f 导数零，对吧？ x 减零，你把这个式代下来呀。代下来， limit x 去零， 除以零，是吧？你把它带下来，它不就是三倍 x 平方加上三倍 x 平方 r 法 x 加上 x， 三次方 r 法一撇 x， 对 吧？除以 x， 你 把预约吧。三倍 x 加上三倍 x， r 法 x 加上 x 平方， r 法一撇 x， 对 吧？ limit x 除以零，没错吧？好，你看这个式子，你有什么想法是吧？他告诉我们，首先我们泰勒公司自己告诉我们，它等于零吗？对吧？它也等于零，因为我们刚定义了它就是无穷小量，那么它等不等于零？ 由于你的最终答案，它是等于零，所以 limit x 去零， x 平方除以 r 一 撇 x， 它必须要等于零吗？对不对？那么证明什么东西啊？ x 平方减去得它乘以 r 一 撇 x， 它是有界的呀，这也是我们证明的这个点，它是有界的，它必须是有界的，不然它怎么办呢？不然它怎么会等于零呢？是不是？好 来，我们现在刚刚已经在这过程中呢，已经把第二问解决了，我们看下第一问，他说这个东西除以 x 平方，他等于三，来，我们看是不是啊？ 我们来写下第一问， f 一 撇 x 除以 x 平方，它的极限要求它是等于三的，可能吗？来，我们算一下它到底是什么东西？ f 一 撇 x 把它带进来吗？ f 一 撇 x 带进来。刚刚我们求了 f 一 撇 x 在 这里，对不对？你把它带进来，三倍 x 平方加上三 x 平方，二 x， 然后加上 x 的 三次方 r 法一撇 x 除以 x 平方。来，我们看它等于什么？是不等于三，加上三倍的 r 法 x 加上 x 乘以 r 法一撇 x， 它取这个厘米 x 去零。首先三的极限肯定是三，它呢？它也是零，我们刚定义了它就是零吗？对不对？ 而最后这个东西他是打问号的，为什么我们只知道阿法 x， 他 什么阿法？一撇 x 乘以 x 的 二减一个很小的量，他是有界的，对吧？你这里是什么？你这是阿法乘一个一界的，对吧？他，他可能，他有可能有界吗？对吧？我不知道，不清楚， 不清楚。它可能不存在，可能不存在。为什么可能不存在？为什么不存在？为什么说它可能不存在？来，我们举个例子，比如说 alpha， 嗯， alpha x， 它是等于 x 三 x 分 之一，对吧？那么它一求导， 首先这个这一点是不是满足了？厘米？它 alpha x， 它是等于零的，它求导前导后不动吧，加上后导前不导，后导 后面求倒，前面不动，那么等于 cos x 分 之一乘以负的 x 平方分之一，对吧？化解一下 sine， x 分 之一加上减去减去 x 分 之一被 cos x 分 之一，对不对？来，你看，对于他来说是不是有界的？你乘一下 x， 二减得它乘后面这个式子 sine x 分 之一减去 x 可乘分之一，对吧？你乘一下，首先他这个乘他，他，他们是不是直接归零了，对吧？因为你是取极限吗？厘米乘 x 去，后面这个呢？由于他这是一次吗？一次你这是比二小一点点的次，对吧？所以他后面他也是除以零，所以这两个都等于他是满足，这问题是有界的，但是呢，你看看，如果说他去乘以 x， 那 不炸了吗？你看 后面这个设置哈，前面是不用管，前面它确实是无穷响亮。而后面这个呢，减去扩散 x 因子，它是正当的，正当，也就说我们俗称的 f x， 它它导爆了，对吧？ 直接爆了，这正当，那你怎么办？那不就炸了吗？是不是？所以一，它是不一定存在的，它不一定等于三，我们看下三，我们在这里它只知道它是一阶导数的， f x 它都只有一阶函数，对吧？你这里两阶导数都来了，对吧？ 你觉得可能吗？这东西存不存在是吧？直接不知道对不对？你这个三阶导数，他也是定义于二阶导数吧，对吧？你只要跟他相关的，你都不知道他没有给你任何条件，对不对？所以这两个都是错的，所以以上正确的只有二，对吧？以上正确的只有二，也就是这个两阶导数等于零。那就这个题目就到这里啊，感谢大家收看。
02:31查看AI文稿AI文稿啊，你看这个第一题呢分析，我觉得这个大家没问题的，是吧？ f x 等于 x 的 平方乘进来 x e 的 cosine x 四方， 首先是不是有界，这个大家很好判断，因为这个猜你的 x， 大家知道当 x 趋向于二分之派的时候，它是个无界的几本乘等函数啊，各位，对吧？那么既然 x 去二分之派的时候它是无界的，那你想想看， x 方去 x 去二分之派的时候是不是个常数？ 二分之派的平方是不是四分之派方啊？哎，不理我是吧？一的 cosine cosine 二分之派是小于零的，一的零方是不是小于一啊？是吧？一个小于一的，一个小于四分之派方的，这都不小于零啊，那么它是无穷的，那显然它不是有界函数啊，是无界的都不理我，是不是，对吧？哎， 你，你这个弹性函数啊，是无界的都不理我，是不是，对吧？哎，你，你这个弹性 x， 大家很熟悉的，就这样长这个样子， 对吧？你这个是二分之半嘛，所以他这这个要么正无穷，要么负无穷啊，那么这个就曲无穷的，所以他不是有界的啊，这个很好说的啊，这就有一点极限思想了，是吧？哎，你要趋向的思想单调吗？ 啊，我这么说单调不单调，等我们学了导数，你用导数求导来看，是吧？在一个区间上，如果他导数始终大于零， 那么他就单调增啊，使使用导数幺零单调减，你现在那么没有导数工具，实际上大家看能看出来。我问你答，这个贪心的 x 是 不是有周期性啊？ 是不是？这个一的扣上也是不是有周期啊？他有没周期性啊，因为你口上 x 是 不是有周期的， 是不是？所以大家知道一个基本的一个情况，正是因为他们具有周期性是什么意思啊？就是在一个周期里面的东西会在下一个周期重复出现，是吧是吧？那么这样的话，他显然没有单调性， 对不对？那么我再说一遍啊，你到后面判断是用导数工具，你其实概念上也可以判断出来了，那么再说它是周期函数吗？那当然也不是，为什么？因为前面还有个 x 平方是吧？ x 平方不是周期函数， 对吧？啊？说这个判断应该是不难的，那答案选 d 了，那极函数当然作为选择题，一眼就能看出来，是不是啊？ x 方是不是偶函数啊？ e 的 口三 x 是 不是偶函数啊？中间的猜你的 x 是 不是极函数啊，这样正确的，当然极函数。
71启航考研自习室
05:28查看AI文稿AI文稿点八，我们说如果对于数列，我简单写了啊，对于数列根，是吧？我们存在常数 k， 这里 k 呢，是大于零小一的，使得 这个 x n 加一减去 a 的 值，对，值是小而等于 k 倍的 x n 减去 a 的 值的，这里 n 取一二一再取下去，是吧？说，请你证明 这个竖列 x n 啊，是收敛于 a 的， 大家听啊，都非常重要啊。分析， 呃，这个是我们在刚开始啊，这个进入第二讲以后的这种证明性问题，他本身呢，就是一些个对大家提高能力很有帮助的问题了啊，同时这个结论很很重要啊， 好，大家看呢，说，我们给的是一个，就是这个啊，这是我们这个关系式了，是吧？这叫关系式， 对吧？那关系式当然可以是不等式的啊，我们用的定义式，就是说他就他就是熟练嘛，对吧？然后存在一个常数 k， 你 可以认为这个 k 的 话呢，是一个约束啊，他就这个 k 啊，是大零小一的数，对吧？啊，使得这个关系式成立，然后证明 x 是 收敛于 a， 所以 大家一定要用好关系式，对的啊，用好关系式， 虽然这个大家看的很清楚，他就是一个地推嘛，是吧？地推对于 x n 加一减 a 来讲，他本身是大于点零的，是吧， 对吧？大家绝对值大点零，是吧？然后呢，就小于等于说了，这个题目叫做 k 倍的 x n 减 a， 所以 大家看啊，呃，从 n 加一 到 n 说就大于号的变到小于号的，他付出的代价是什么呢？你这个放大的代价很简单，就是说把 n 加一写成 n 之后呢，外边要乘个 k， 是吧？这就是他的形式上的怎么放大，所以你要学会这个，你就会写了，所以他就写二，等于继续来写。那么我们学了这个，一只葫芦画瓢，他就是这个，是地推，就是个思路。好，刚才说了啊，心中默念说，等大一号的写成小一号的，是不是写成 x n 减一了， 懂吧？哎，你把大一号的写成小一号，是不是你付出代价，是不是前面成个 k， 这是个常数吗？对吧？好，那么本来他原来还有个 k， 是 不是写 k 方了？ 再来一遍啊，那就继续加减去，说，你把这个就都挡住了啊，你把这个就都挡住了，都不要了，是不？就看他再来啊。心中默念说，把大一号的写成小一号的 x 减二， 这付出代价是不是前面成个 k 啊？当 k 原来有 k 方了，是不是 k 三次方，所以这规律就找到了，是吧？大家，所以一直写下去，那么写到多少呢？你就写到 x 一 减去 a， 大家想，这时候 k 了多少次方，是不就很容易出来了？ 因为这是一次方，这是 n， 这是二次方，这 n 减一，所以大家知道他俩加起来一定是 n 加一对的，所以这是一的时候呢，这显然就是 n 了。 所以大家以后要学会啊，这种连续放松啊，这个方法思路呢，掌握好它， 好，到这一步呢，我们就出来了，加倍准则可以用了，为什么呢？因为这块呢，就是零，是吧？大家？而这块的话呢，大家看， x 一 是这个竖列的首项吧，那首项这个数当然是个常数了， a 呢，也是一个常数啊，就是收敛于 a 嘛，这 a 是 常数了，对吧？然后呢，整个这个就是个数， 而 k 呢，是在零到一里面的常数，是不是所以大家知道这一项在 n 趋无穷大时说，哎， x n 趋无穷大时，那么这一项是趋零的， 对吧？因为大家知道这个是零到一里的常数啊，一个常数零到一里常数的无穷大次方是不是趋零的啊？所以这是无穷小，乘上一个常数是不极限为零， 大喊一声哪里跑我们就可以得到啊。就是 limit n 去无穷大，是不是叫 x n 加一减去 a 的 绝对值，是不是这个都等于 对了吧。哎，好，根据这个我们前面讲过的啊。呃，极限啊，跟绝对值极限的关系，我们毫不犹豫立即写 limit n 去无穷大，是不是 x n 加一减去 a 是 不是也等于零， 对吧？去掉绝对值是一样的，因为也可以写成它等于 a 了，对吧啊，于是我们就可以知道我这个 x n 啊是收敛的，这是定义了啊，且收敛于证明完毕。 大家不要在意这个加一啊，因为 n 无穷大时， n 加一和 n 没有区别的是吧，所以就也就是 x n 就 显示 a， 所以 得到了 x n 就 收敛于 a 的 啊。这个结论很重要啊，这个是我们的，就是在这个给大家介绍的啊，这个简化版的压缩映射原理啊。注， 这个是一个简化版的啊。呃，不是这个我只能这么说啊，简化版的压缩映射原理， 呃，这是原理，你把它掌握了就行了啊。呃，原版的，呃，但我们这个在高等数学或者微积分里是用不着的啊。呃，所以你不需要啊，你只要知道这个就够了啊，知道这个就可以了。这简化版的压缩因子原理啊，解决考研题的啊。
78启航考研自习室
10:16查看AI文稿AI文稿通过一道题掌握一类题，这次我们来学判别抽象函数在具体点的连续性、可导性。思考三秒，我们直接开始 f x 在 零的某领域内有定义，并且呢， f 的 绝对值小于等于一减，去根号下一减 x 方， 则 f x 在 零点处连续吗？可导吗？如果可导的话，零点的导数是不等于零还是等于零呢？这是一个抽象的函数在具体点判定连续性和可导性的综合问题。 这种题目它既涉及到概念，还涉及到一些简单的计算，所以说称之为综合题嘛。那概念的话，很显然就涉及到连续的定义和可导的定义。 回忆一下，函数 f 在 x 零连续是怎么定义的？ x 趋向于 x 零时，它的极限值如果等于 f 在 x 零的函数值，我们就称函数在 x 零这个点叫连续的。 如果 x 趋向于 x 零时， x 减 x 零分之 f， x 减 f， x 零的极限存在的是个实数啊，存在的，我们把这个极限值叫做 f 在 x 零的导数值，也称之为函数在 x 零是可导的。 那这道题目就是考察这两个概念的。我们先看一下函数在 x 零连续吗？那么我们得先知道一下 f 在 零点的值是多少？ f 在 零点的值是不是必须根据这个不等式得到呀？那我们第一反应是可以将不等式里面的 x 取成个零。 如果我们将上面的不等式 x 取成个零，就可以得到 f 零的绝对值小于等于一减，去根号下一减零，这不就是零吗？是不是就得到了 f 零的绝对值小于等于零，那么我们的 f 零就只能是零喽， 从而得到了 f 再零的值。下面我们还需要算一下 x 趋向于零时， f 的 极限是否为零。 咱们要算这个函数的极限。这个函数的表达式我们不知道，但是我们知道 f 加上绝对值可以往右放松，对吧？那你想到了哪个知识点？ f 和 f 的 绝对值求极限的时候，是不是有一个结论？哎，这个结论是这么说的啊， x 趋向于 x 零时 f 的 极限存在，如果是零的话，那么我们可以得到 x 趋向于 x 零时， f 绝对值的极限也会为零，并且反之也是成立的。 这个结论的特点在于，这个 f 的 极限值和 f 绝对值的极限值必须为零才行， 如果不为零是不行的啊。事实上，如果我们只知道 x 趋向 x 零时 f 的 极限为 a， 就是 a 可能为零，也可能不为零，那这时候我们也是能够得到 x 趋向于 x 零时， f 绝对值的极限等于 a 的 绝对值，但此时反之往往不成零。 关于上面这个结论，我们平时用的比较多，大家务必要记住了。不光记住结论，你还得知道它是怎么使用的。这个结论具体该怎么用呢？ 比如说，我要去算 f， x 在 x 趋向于 x 零时的极限值，而且我已经猜到了这个极限它大概率是零。我已经猜到它的极限大概率是零了，但是就是不好下嘴，比如说这里的 f 是 抽象的， 不好下嘴，不好下嘴怎么办呢？这时候我们可以考虑去算一下绝对值的极限。如果我能算出来绝对值的极限等于零，那根据上面这个结论，立马就知道函数的极限等于零了， 函数加上绝对值以后，求极限比较好求吗？是的呀，因为我们函数加上绝对值以后，我可以往左边直接缩成大于等于零， 而往右边，如果我能够放缩出来一个函数，而这个函数的极限是零，那么我们就根据夹逼定律可以得到绝对值的极限就是零。但是本身这个函数它再往左放缩是没那么好放的， 那有了绝对值的极限等于零，不就可以得到函数的极限等于零了吗？这就是我们通常使用这个结论的思路。 回到这个题目上来，你是不是一眼就看到了绝对值往右怎么放松了 是不是？而且呢，我们这道题目考察的是 f 在 零连不连续，如果它连续的话，它的极限值是不是等于函数值零啊？是不是我们猜它的极限值可能是零， 所以说自然而然就想到这道题目，我们可以先算一下 f 绝对值的极限，那么我们把 f x 的 绝对值自然的就可以放缩成大于等于零。而题目里告诉我们了，它可以往右放缩成一减，去个根号下一减 x 的 平方。 你瞅一眼右边放缩出来的这个函数是不是处处连续的？它在零点肯定也是连续的，那么它在零处的极限值就是谁零处的函数值，那可不就是一减一刚好是零吗？ 左侧常数，它的极限本身就是零，那么由夹 b 定律不就知道 f 绝对值的极限就是零？ 由我们下方的这个结论就得到了，此时 x 趋于零时， f 的 极限就是零， 而 f 在 零的函数值是不是已经知道是零了，那我们就得到了 f 在 零处的极限值等于零处的函数值，从而就知道 f x 在 x 等于零这个点是连续的哟， 所以说 a 选项是错误的。好，下面我们再判定一下函数在零是否刻到。好，这是第一步啊，下面判定零是否刻到，那么我们要默写零点的导数定义喽。 x 趋向于零时， x 减零分之 f， x 减去 f 零，那就是算这个极限。上面已经知道了 f 零就是零，能把 f 零等于零代入， 那这里不就相当于去算 x 趋向于零时， x 分 之 f 的 极限是否存在吗？存在不存在啊，不知道，因为 f 的 表达式我们不知道是不是。那怎么办呢？ 你看已知信息，是不是还是得把 f 加上绝对值往右进行收缩呀？ 那我们再次考虑去计算一下 x 趋向于零时， x 分 之 f， x 绝对值的极限，万一这个绝对值的极限是零 是零，我们是不是再次可以使用这个结论，绝对值的极限等于零，函数的极限也为零了。哎，我们现在期待它的极限是零。好，是不是零，这个还有待商议啊。咱先打个问号， 那我们现在开始算绝对值的极限， x 分 之 f， x 的 绝对值，它本身就是大于等于零的，那么往右能不能放缩出来无穷小量呢？ 好，分母 x 的 绝对值已经是密函数了，我们先不管，我们直接让分子上的 f x 的 绝对值往右缩成一减，去根号下一减 x 平方。在 x 乘以零的时候，分子上是不是可以使用等加代换？你想到哪个等加代换公式了？ 一加上框的 r 法次方减一，这里的框指的是一个趋向于零的函数，那么它就可以等加代换成 r 乘以框。 那你现在看我们的分子，它是不是就可以等价代换成 alpha， 指的是二分之一嘛？框呢，指的是负 x 方，别忘了还要再添个符号，那就是 x 方。 我们的分子上是个二阶的，分母上呢是个一阶的，上面是下面的高阶，无穷小量哟。所以说我们往右放缩出来的这个函数，它的极限是零，而常数零的极限也是零。 这里由夹 b 定律就知道 x 分 之 f 的 绝对值，它的极限是零。哎，这里确实是零，不用打问号了，那么我们这里 x 分 之 f 的 极限也是零， 这不就是 f 在 零点的导数吗？ 因此我们函数 f 在 零是可导的，并且导数值刚好是零。所以说本题的答案选 d。 我们再重新回头梳理一下本题的做题过程，从选项上我们能够看出来，这道题目就是在考察连续的定义和可导的定义，这个没问题。这道题目稍微有点难度的在于如何去计算 f 的 极限以及这一串的极限。 那怎么计算呢？必须得使用我们的这个结论，只有知道这个结论的前提下，你才可能考虑使用加逼定律，这道题目才能顺利的做出来。还是那句话，基础阶段，该掌握的结论，该掌握的基本做题逻辑一定要盘清楚了。
1051考研数学欧阳蕊
02:37查看AI文稿AI文稿函数概念天花板必错题你会了吗？今天我们来看一道函数易错题，这道题百分之九十同学一做就错，是什么样的原因？我们来剖析一下今天这道题来题目下列说法正确的是， a， 若 f x 等于这个东西，则 f 两节导出零，它等于二十一。来，我们首先看一下 a， 他 说，哎，这看起来像不像一个开的展开呀？那么啊，两节导数是二十一。首先 f 零定义为什么？ limit x 小 于零是吧？ f 一 导出 x 减去， f 导出零除以 x 减零，对不对？没问题吧？好，那么现在问题来了，它可不可导呢？ 题目有没有说没有，它可不可以导？ f x 可不可导？不知道对不对？比如说，你如果真的想可导的话，我问你，这个 o x 平方它可导性是不是未知的？ 那么你觉得这个东西他可能是不是不存在的，对不对？所以 a 选项在这里，很多同学都会选 a 选项对不对？那么他关键就是这个 o x 他 不一定可导，对吧？你不可导，那何谈这个两阶导数零他存在呢？对吧？当然，如果你可导，那么这个地方是对的，但是他没有强调可导， 所以 a 选项是错的。好，我们来看一下 b 选项 f x 在 x 等于 a 处连续，且这个极限存在，则 f 导 a 等于零。好，这个题肯定是对的，为什么？因为我们之前讲过数学二的那个卷子上讲过，它是真题改编的，对不对？好， c 选项，若这个极限它不存在，则曲线没有水平渐近线。 哎，是这样吗？你看，好像他这样说有点道理对不对？那么我首先请问啊，这个 x 趋于无穷大，是正无穷还是负无穷啊？ 还是说它两者都有啊？这个无穷大是不是正无穷和负无穷都包括啊？那如果说，比如说这个阿克探戈的 x， 它在正无穷的时候是二分之派，负无穷的时候是负二分之派，你告诉我它趋于无穷大的时候， f x 存不存在呢？是不是？不存在？因为它极限不为一啊，对不对？则它没有水平接近线吗？这不是一条，这不是一条吗？对不对？ c 选项直接给我们排出来。好，我们看下 d 选项， 若 limit 这个东西等于一，则他必有斜率为一的斜渐近线。我问你这个，他首先是不是求 a 的 条件对不对？这是我们求斜渐近线 a 的 条件是吧？他说一定会有一个这样的斜渐线吗？我，我请问 b 他 存不存在呢？你有没有说 b 存在吗？ 不存在，不一定存在，是不是？所以 d 选项也是错的，所以这个题很容易，对吧？就被他挖了坑掉进陷阱里。最主要的是 a， a 是 绝大部分同学做错他的这个点 据 b 选项可以回看我前面这个数学二的这一个解析。数学二他有一年，那一年我们二零二五年他考了一道类似题目，而且他那个比这个更全面，所以 b 选项是对的， 那个题目我们选四个，对吧？四个都是对的。好吧，今天这个题目就讲到这里，欢迎大家点赞和关注哈，不要天天收藏了，哈哈，不要白嫖了。好，感谢大家收看，祝大家考研顺利！
139小蔡聊数学（考研数学）
07:10查看AI文稿AI文稿这道题目呢，是对于大家这个定积分的概念啊，就是这个区编梯形的面积这件事情啊，就考的非常的深刻了啊，如果这道题你想用分析法去解，不是做不出来啊，那是相当的麻烦了哈， 好，我们看一下啊，设可导函数 y 点 f x 在 零到正无穷上，值域是零到正无穷啊， f 零等于零，那么大家这个图啊，我建议你就可以可以画了啊， 它在零到正无穷上的值域是零到正无穷，那也就是说我们现在研究的刚好是在 x 大 于等于零， y 大 于零的情况，是吧，是不是第一象限里头，对吧？然后呢， f 一 比 x 代零，那单调增了， 是不是那么单调函数啊？单调证，因为这讲一节导数了啊，但是虽然他没有提到二节导数，接下来啊，我们就要看他这个说法，那么单调证呢，就可能是这样上去，也可能这样上去，是吧， 那么就不好画的中，我们等会再说啊，看看有没有影响呢。 x 等于 y 是 y 的 f x 的 反函数，这个也没有问题，因为大家知道你这个函数单调增加啊，或者说函数就单调性啊，是反函数存在的充分条件，对吧？ 所以既然有导数带零，他必然是单调的啊，单调正，单调正，当然有反。所以这里面看来啊，我们实际上是说 x 等于 f， y 是 y 等于 f x 的 反函数，这里面就有一个坑啊，你要小心。 请问大家， x 等于 f， y 和 y 等于 f x 这两个图形是不是关于 y 的 x 对 称啊？回答我是，还不是 哦，你如果讲是就掉到坑里了啊，再就掉到坑里了，这个就是一个坑 啊，处处是陷阱。当然知道，我们在最开始就说过 y 等于 f x， 是 吧？哎，如果说呢，你反解出来了啊，就是说 x 等于罚 y， 这两个啊，是同一个图形是吧？它是同一条曲线啊， 你千万不要把它俩说说，作为这个，这个什么叫做关于 y x 对 称的曲线了？ 他，不是啊，不是，他没有换什么？没有换字母是吧？什么时候对称啊？你必须是否 x 等于 y 对 吧？大家，那所谓的否呢？是就 f 逆了， f 逆 x， 你 得写成 y 点 f 逆 x 和 y 点 f x， 是 关于说 y 点 x 对 称 的是吧？而他现在写的是 x 点否 y 啊，这个是同一条曲线，这点你要小心啊。好，现在我们记 i 等于零到 a， 比如说零到 a， 对 吧？它是 a b 大 于零的是吧？哎，零到 a f x d x 啊，加上零到 b f y d y， 那你现在看啊，那我就不得不画出来 f x 了是吧？不过没有关系啊，我就是说你只要单调增就行，那我就画一个 y 点 f x， 比如说，这样啊， y 点 f x， 请大家注意啊，这就是 y 等于 f x 是 吧？同时它也是什么打得好， x 等于 f y 啊，它也是 x 减法啊，这是两条线，是一条线，所以我们讲说 i 等于零到 a， 那 么零到 a f x， 那 么它实际上就是这块了，零到 a f x d x， 那 么大家看，是不是就这块面积啊，这是定积分的基本概念啊。哎，它的几何意义是很清楚的，加上零到 b 否 y 抵 y 啊，那大家注意这条啊，我们现在说这个是很简单那个事情啊，那这个零到 b 否 y 抵 y 是 什么呢？ 大家知道这是 x 轴，这是 y 轴啊，你算 d x 的 时候呢，当然就是切这个，是不是 d x 啊？那你要算 d y， 大家实际上也很清楚，我实际上是切的 y 轴，是吧？ 啊，我算的面积呢，实际上来讲是在这条线上以这个作为底边长，看着啊，就相当于是转九十，以这个作为底边长，是不是算这块的这个表达式对应的这个曲线，对应的这个曲线的面积， 懂了没有？那么我们现在看看，他说的是零到 b 啊，那大家注意啊，是 y 取 b， 看到没有， 这是 x 啊， x 取零， x 取 a 啊， x 零到 a 是 吧？ y 呢，是从零到 b， 是 y 等于 b， 那 你看看。好啊，我们这个表达式就写清楚， y 等于 b 是 吧？ y 等于 b 的 时候的话呢，就是 b 等于 f x 零了，看懂没？那么你现在 x 零也可以解出来说看这个就行了，是不叫 f 就 等于 x 啊，就 x 零啊， 对吧？所以呢，它实际上说 b 等于 f x 零的时候呢，也就说 f x 零等于 f 一 b， 对吧？哎， x 零等于发 a b， 哎，好，那么现在他说了啊， ab 是 大于零的，那么 a 小 于发 a b 时，就是说 x 零，这是发 a b， 是 吧？那么 x 零是不是大于 a？ 这个你要对应好啊，要对应好，你用这个不行，用这个就看得很清楚，他写的 a 小 于 a b 是 吧？ a 小 于 a b， 所以 a 小 于 x 零，那么就说这个位置，我可以给他描一个什么 x 零吧，就在这啊，这个叫 x 零，也叫 a b 啊，也叫 x 零，是吧？ 好，那么也就是说这个 f 啊， f x 零对应的就是 b 了，看好了啊，这是 x 零，所以对应的函数值叫做 f x 零是不是 f x 零是不是对应的 b， 所以 这一点对应的是 b， 这些基本问题啊，搞清楚，好吧，好，那么这样的话，大家知道，零到 b 罚 y 抵 y， 这条线就是 x 等于 y， 是 吧？所以呢，它实际上是这块面积， 看清楚啊，它实际上是这块面积，所以这道题目呢，它是要问我们的啊，就是零到 a， f x x 是 这块面积是吧？然后呢，加上零到 b， y y d， y 是 这块面积是吧？所以这个 i 呢，是这两个面积加起来， 对吧？好，当 a 小 于 f b 时，我现在问的是说这个 i 跟 ab 的 关系一目了然， 大家看出来了，这是不是一目了然的事情，是吧？那么我实际上来说呢，我们就看得很清楚了，哎，我这个这个这一块啊， a b 呢，我就用红笔画了啊，这 a b 呢，实际上是这个矩形面积了， 这是不是叫 ab， 大家看对吧？这个叫 ab 啊，这是矩形面积是吧？阴影部分的面积呢？是这块加上这块，那么显然 i 是 比 ab 大 的，看到吧， i 是 比 ab 大， 所以答案呢，我们选择 a 啊，选 a。
179考研数学张宇
12:44查看AI文稿AI文稿函数周期性还在，傻傻地推，一口气带你解决常考周期题型，看完再也不用去记二级结论了。函数周期性，我相信大家对双对称推周期，他用三角函数结论应该没有什么问题。那么本期视频呢， 我们来讲一讲周期性的进阶版，我们将从二倍、四倍以及六倍这三个形式给同学们推导一遍，然后再附上相应的例题。最后呢，还给同学们留了一个小小的疑问。首先我们来看到标准形式的周期公式， f x 加 a 等于 f x， 那 我们就知道 t 呢，它是等于 a 的， 我们观察下这个式子， 首先你要确定 x 前面的系数它是不是同号的呀，并且里面它是差了 a， 所以呢，我们就说周期等于 a 好， 接着我们来看到一些常见的变形，首先呢，我们来看到二倍的形式，也就是说 t 等于二 a 的 情况，这三个呢，是我们最常见的 t 等于二 a 的 形式，我相信同学们肯定也推导过，对吧？推导出来它的周期是等于二 a 的， 那么这里呢，我们不推导了，教同学们一个记忆的方法，以后呢，大家一定能记住， f x 加 a 等于负的 f x。 我 们前面讲过，如果里面差 a， 周期就等于 a， 对 吧？那我现在里面差了 a， 但是你会发现它的函数呢，是相反的吧，如果我再差一个 a， 想想看它是不是再次相反，那么两次符号它不就变成了正的吗？ 所以我就能直接呃得到 x 加二 a， 它肯定就是等于 f x 的 呀，这不就是我们的标准形式吗？ 所以这里的 t 一定是等于二 a 的。 好看到第二个，其实也是一样的啦，我这里差了 a， 它就变成了倒数。那么我再差一个 a 呢？它再倒一下，不就变成了 f x 吗？所以这里也是一样的， f x 加二 a， 它肯定就是等于 f x 的， 那么 t 呢？同样等于二 a。 最后一个，好，你这里差了 a， 是 负的倒数吧，我再差一个 a， 再负一次，再倒一次，它不就变成了 f x 吗？所以 f x 加二 a， 它肯定是等于 f x 的， 那么 t 呢？同样等于二 a。 并且我们知道从这三个式子来，我们能得到一些什么东西呢？看到第一个，如果它们差了 a， 那 么它们的函数只能互为相反数。 这里呢，如果他们差了 a， 他 们的函数值互为倒数。最后一个，如果他们差了 a， 那 么他们函数值呢？为相反数，负倒数我们直接降。好，那么接着往下看。这里还有两个式子，它的周期也是等于二 a 的， 但是碰到这种，我们一定就只能去推倒了，没有办法直接看出来对不对？我们来推一遍。首先第一个，我们往前递推一下，我们把它递推啊，看你怎么怎么理解，替换一下吧。 那么加上 f x 加 a， 它是不是还是等于 m？ 那 我们这两个式子你看一下，我用一式 减二式，那我右边肯定就变成了零了。那左边的 f x 加 a 是 不是消掉了，那么就变成了你用下面减上面的好了，好看一点嘛，那就变成了 f x 加二 a， 减去 f x 等于零，它不就是 f x 加二 a 等于 f x 吗？那它的周期当然就是二 a 啦。下面的公式其实也是一样的，只不过从两式相减变成了两式相除，同学们呢，可以自己去证明一下。好吧，好，我们接着看到一个比较简单的例题， 定义在 r 上的函数 f x 满足 f 一 等于五分之一，对于任意的 x 都有 f x 加三等于负的 f x 分 之一，那么从这里我们是不是能看出来 t 等于几啊？ t 是 不是等于六，它差了三，那么它是负倒数，那我差六再负过来再倒一下，不就是等于 f x 吗？所以 t 我 们知道等于六， 他现在问的是什么呀？ f 二零二六，那我们去看一下多少个周期，他最后肯定是余了一个什么 f 四，所以他肯定就等于 f 四了，那 f 四怎么办？来，看到这里 他差了三，是不是为互为负倒数？你看到这里一跟四，他是不是差了三呢？所以他一定是互为负倒数吧， 你这里等于五分之一，那么它呢？加个负号再倒过来不就是负五吗？最重要的答案就是负五。接下来我们再来看一下四倍形式的周期啊，这个虽然可能不太常见，对吧，但是我们在竖列里面是考的有点多。 好，那碰到这种怎么办？我们直接去跟上面二倍的时候一样的操作，我们直接令它 f x 加 a 好， 那么它就变成了一加上 f x 加 a， 再比上一减去 f x 加 a， 那么到这里呢？我们的 f x 加一是不是可以用这一坨直接替换掉啊？那么就等于一加，上一加 f x 比上一减 f x 再比上一减去一加 f x 比上一减 f x 好， 那么接下来的计算不会很麻烦啊，同学们可以自己操作一下，那么最后算出来呢，它就等于负的 f x 分 之一。好，我们看到这里， 它这里差了二 a， 它是什么呀？负倒数，所以你想想看，是不是 t 就 等于四 a 啊？那我差了四 a， 它不就负，再负一下，再倒一下不就回去了吗？对不对？ 所以像这种形式呢，它的周期就是四倍的形式，我们刚刚讲过，它在数列里面是非常的常见，它在数列里面是哪种形式，同学们知道吗？就是我们的 a n 加一等于 一加 a n 比上一减去 a n， 当然这种在数列里面我们是有遇到过，也讲过这种方法，怎么去解决吧。 这里还要注意，如果他们差了是二 a， 那 么他们的函数值呢？就是互为负倒数，对不对？好，那么下面我们来看到一个具体的例题，给了这样一个题目，我们知道碰到了这种东西，我们刚刚也推导过吧，它的周期 t 是 等于四吗？因为这里是一啊，所以 t 等于四， 让我们求 t 二零二六，并且 t n 呢，是前 n 的 积，所以我们需要先干嘛呀？是不是得先求一下一个周期内的积啊？ a 一 乘以 a 二乘以 a 三，再乘以 a 四。 好，我们刚刚讲到过这种形式呢，如果是差二 a， 那 他们的函数值是什么关系啊？互为负倒数，对吧？那你这里的 a， 它是一啊，所以只要差了二，那么他们的函数值就是互为负倒数。我们来看一下， a 一 跟 a 三是不是差了二，所以它们的函数值互为负倒数，那它们乘起来是不是就等于负一？那么 a 二跟 a 四呢？它们的 g 也等于负一，所以最后乘起来啊，它们的 g 就是 一，对吧。那我们看一下它这里有多少个周期啊？除以四，它最后余了两项吧，应该是，那么就剩下了 a 一 乘以 a 二，所以我们只要算一下， a 一 乘 a 二，就是这题的答案。 a 一 呢，我们这里已经是二了。好， a 二，我们用这个递推式算一下，令 n 为一，那么 a 二就等于一加 a 一 就是三，比上一减去 a 一， 负一，负三，负三乘以二，所以最后的答案呢，就是负六，没问题吧？ 那接下来咱们再来看一下六倍的形式，像这种呢，就是六倍周期的形式，怎么来的呀？我们推导一下，一下一样的吧，我们向前递推一个就可以了。 f x 加二 a， 那 么就等于 f x 加 a 减去 f x。 好， 我们这两个数字怎么办？你去相加的话，你这两项是不是可以直接约掉？然后呢，这两项是不是也约掉了，所以最后变成了 f x 加二 a， 这不就等于负的 f x 减 a 吗？那我们这里括号里是不是差了三 a， 差三 a 是 相反数，所以差六 a 呢？它不就是应该是相等的呀，所以就是周期等于六 a， 对 吧？很简单。 那么同样他在数列里面有遇到过吗？有，我们哪种形式啊？二接递推式嘛， a n 加一等于 a n 减去 a n 减一，这种形式呢？我们的处理方法是不是一样的？并且我们知道这里如果差的是三 a， 他 们的函数值什么关系？ 相反数对吧？好，我们下面来看到一个具体的高考题，已知函数 f x 定义域啊，给了我们这样一个式子，对吧？并且告诉我们 f 一 等于 a， 让我们去求 f k 从一到二十二的和好，我们知道这肯定是考周期的吧，那我们来看一下这个式子， 首先呢，他给了我们一个 f 一 等于一，那我们肯定会考虑把一带进去赋值一下吧，那么至于是令 x 等于一呢？那同学们可能就要试一下了。好，我们直接令 y 等于一， 那你会得到一个什么样的式子呢？ f x 加一，加上 f x 减一，就等于 f 一， 我们这里已经有了等于一，对吧，所以我这里不就是 f x 吗？ 这个不就是我们刚刚推到的什么呀，六倍周期的形式吧，我们把它写成我们刚刚一样的形式，那么 f x 加一，它就等于 f x 减去 f x 减一。再给同学们推导一遍啊，我们会出现 f x 加二，那么就等于 f x 加一，减去 f x， 我 们是把这两个式子怎么样去相加，对不对？ 一是跟二是相加，那么相加之后，这两项是约掉了，那么这两项呢？也约掉了，所以得到了 f x 加二等于负的 f x 减一。我们说了这里差三怎么样，它是相反的吧，那么差了六呢？当然就是相等，并且同学们要注意啊，我们这里差三相反，它其实也是一个条件，对不对？好，我们再来看到这个题目， 现在他让我们求的是前二十二项的和，我们知道周期是六啊，那你这里有几个周期？三个周期，余了四项吧，我们来看一下每个周期它的和是多少，那么也就是让我们算一下， f 一 加上 f 二，加上 f 三加 f 四， 再加 f 五加 f 六。好，如果你这里真的傻了吧唧的去怎么样？一个个负值出来算是有点有点笨呐，我们看到我们这里不是说了一句话吗？叉三怎么样？它是一个相反数， 所以 f 一 跟 f 四它是不是差了三，那么它们相反，它们的核呢？就为零， f 二跟 f 五是不是也差了三？核为零， f 三呢，跟 f 六它的核也为零，所以一个周期的核，那么就为零没问题吧？我们这里一共可以有三个周期，余了四项， 所以最后我是不是只需要算 f 一 加 f 二加 f 三，再加 f 四就可以了呀？并且我们知道 f 一 跟 f 四它是差了三吧，所以其实呢，最后只需要算一下 f 二 加上 f 三这两项的和就可以了嘛。好，我们来看一下这两项，我们先来解决 f 二。那你要算 f 二的话，它已经告诉了我 f 一 对不对？那么最简单的方法就是令 x 等于 y 等于一吧，那么这里出现了二，这里出现了零，这里都是一 单手一个问题啊，你这个零我们还得算一下吧，所以我们优先得算什么呀？ f 零好，算 f 零的时候，同学们注意啊，你不要一上来就拎 x 等于 y 等于零，你会发现呢，左边是两倍的 f 零，但是右边呢，它是 f 零的平方，是不是出现了一个真根 f 零有两个答案呢，所以我们这里不需要去拎它 全部等于零。那怎么办？那我怎么样才能出现零呢？我直接令一项为零就不可以吗？那我令什么为零？我令 y 等于零。好，你当然也可以令 x 等于一了，为什么呀？因为一是已知的嘛，我们这样令过去，你看看它会变成什么呀？ f 一 加上 f 一， 它不就等于 f 一 乘以 f 零呢？ f 一 是一，所以后面是 f 零， f 零呢？等于 f 一 加 f 一， 它不就等于二吗？所以我们能够知道 f 零是等于二。好，那我 f 零解决了，我再左手来，算什么呀？算 f 二吧。那么接下来就是令 x 等于 y 等于一，那么不就出现了 f 二加 f 零等于。 你后面是两个 f 一 相乘，不就是一吗？所以 f 二呢？我们也能算出来，一减去 f 零，它等于负一，没问题吧？ f 零这里是二啊，再算一下 f 三，那么 f 三怎么办？我随便令一下了，令 x 等于二， y 等于一，你不要令 x 等于 y 等于二，这里会出现负数，对吧？那你现在令 x 等于二， y 等于一，那么不就变成了 f 三加上，这里是 f 一 等于 f 二乘以 f 一， 我们是不是可以把 f 三算出来？ f 一 我们刚刚知道是一，没问题吧？ f 二呢？ f 二我们是负一， f 一 它又是一，所以这里是负一。好，我们说的 f 一， 它是一移过去变成了负二，所以 f 三它是等于 负二的，没问题吧？那么最后 f 二加 f 三，不就是负一加负二吗？所以选到 a 选项。那么在视频的最后呢，给同学们留了一个三倍周期的形式， f x 加 a 等于负的， e 加 f x 分 之一，它的周期 t 呢是等于三 a。 希望同学们呢自己去推导一下，把推导的过程呢留在评论区，我会一一检查好。那么本期视频我们到此结束，我在阳阳，我们下期视频再见。
655杨杨杨讲数学