8年级下册数学沪科版基础训练封面

八年级的家长注意了，我们这学期时间比较长，很多学校八年级的这个课程已经进入尾声了，很多学校要开始上八年级下学期的内容。 八年级下学期这个新改版的教材，呃，应该是不好买的，那谢老师呢？把八下的这个新改版教材电子档已经整理好了，有需要的家长可以进谢老师主页粉丝群我们来看一下。这个是我们八下改版后的最新的教材，新版本的教材 电子档已经在这里了。啊，你有的学校这学期要用的，那你就能用了，或者是寒假我们预习新课的时候可以打印出来使用，对吧？

大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学一百三十五页习题二十三点四的 一二三四题。嗯，第一题，某公司销售人员的个人月收入与其 与每月的销售量乘一次函数关系，当其售出一百件货品时，月收入为两千八百元。售出两百件货品时，月收入为三千四百元， 则当其月收入为四千六百元时，售出的货品为多少件？那么这道题呢？首先你来看，他是说个人的月收入乘以一次函数的关系， 那我们就可以啊去呃，设解器式啊，你看售出一百件货品，是不是这个销售量，这个两千八是收入，这个呢是销售量，这个呢也是月收入。所以我们来写设 设这个个人月收入 与每月的 销售量 每月的销售量 的一次函数。解析式为， y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，那么这里的呃， y 呢？ 对应的应该是月收入，然后自变量 x 对 应的是销售量啊，然后我们把这个一百件货品收入两千八和两百件货品， 嗯，收入三千四啊，代入得。那么这就是相当于两组点的坐标呗，是不是？那我们就写将一百豆两千八和两百豆三千四代入得， 嗯，代入得。然后列出一个方程组， 两千八百等于一百 k 加 b， 然后三千四百等于两百 k 加 b， 然后解得 k 等于 b 等于。然后我们用二式减一式啊， b 就 消掉了，它剩一百 k， 它应该剩啊六百，所以 k 应该等于六， 然后把六代入到一式里，这是六百移过来呢，是减六百，所以是两千二， b 应该等于两千二百，所以呢，你的一次函数解析式 为， y 等于六， x 加两千二百啊。然后第二个，那这个问题是，当你的月收入为四千六百元时，那我们写，当 y 等于四千六百时， 那也是六， x 加两千二百等于四千六百六， x 等于两千四百，所以 x 等于多少？ x 应该等于四百啊，所以售出的货品 为四百件。那这个填空题呢，我们就可以填上了啊，四百件， 这是第一题，那我们看第二题，他说某品牌的呃，服装开展促销活动，原价每件八十元的服装， 如果购买超过三件，则超过部分可享受八折优惠。求顾客所付款 y 与所购服装数 x 啊，强调了 x 比三大啊，然后之间的函数解析式， 那么这里头你观察啊，他就是一个啊，相当于分段计费，但是呢，他我们只算哪段呢？只算大于三那段是吧？所以我们可以直接写，当 x 大 于三十，你的 y 应该等于，那么他说超过三件以上的部分打八折，那不超过三件的，那三件以内的是不都是八十块钱，然后再加上超过三折啊？不对，超过三件以上的， x 是 一共的，然后去掉前面那三件，然后剩下的超过的部分，原价要打八折， 原价要打八折啊，然后我们给他整理一下即可。嗯，最后等于，这是两百四，这是六十四，那就是六十四， x 减去 这个呢，是六十四，乘以三三四，一十二，一百九十二，那就是两百四，减去一百九十二，等于 四十八啊，所以应该等于正的四十八，那么取这范围是 x 大 于三啊，这个呢，是第二小题，那我们看第三 说，某网店销售一款护眼台灯。啊，在销售的过程中发现了，说这款护眼台灯销售单价为六十元时，每个星期可以卖出一百个。 说如果调整销售单价，每降价一元，每星期就可多卖出两个 啊，降一块就能多卖两个。说线网店决定降价，销售说，设销售单价为 x 元，每星期的销售量为 y， 求 y 与 x 啊，关于 x 的 函数解析式。 然后当销售单价为五十二时，每星期的销售总额。啊，那现在呢，咱们来求一下第一问啊！求一下第一问，第一问，嗯，你的 y 呢？是销售量，那么你原来啊，以原价卖出的时候，也是六十块钱的时候，一个星期卖一百个， 那我降价呢？一个星期要多卖，所以多卖是在你一百个的基础上多的。 这话能理解吗？在一百的技术上多的啊，所以呢，来 一百的技术上，每个降价是不是要多卖？多卖用加，那现在呢？你得知道啊，他说降价一块钱就能多卖两个，那我得知道我降了多少钱，对吗？ 那我原来的单价是六十，我现在的单价是 x， 那 他降了，说明原来的价格高， 那么现在的价格低，那么我要求降多少钱？用原价减去现价，然后除以一，这就表示六十减 x 有 几个一，有几个一，就多卖几个，什么二 啊，多卖几个二，然后整理一下，嗯，这个是负二 x 加上二百二十 啊。这个化解完之后，所以第一问，他的解释就完成了。那第二问，他说，当销售单价为五十二元时，求每星期的销售总额， 那么你销售总额你是不得有单价呀，有单价乘以数量才能叫总额，对吧？总前数嘛。所以我们你的销售总额应该用五十五十二去乘以什么乘以 y， 而你的 y 等于什么？ y 等于负二， x 加二百二，那就是五十二乘以括号，负二乘以五十二加上二百二十元，然后等于 五十二乘以二等于一百零四，二百二减二百二减一百零四等于一百一十六，然后再用五十二乘以一百一十六，五十二乘以一百一十六，拿个验钞纸算一下啊， 三二三十八，五六零三二啊，六零三二， 所以他的销售总额应该是六零三二啊。这是第三题。那第四题说，为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案， 当每月用电量不超过二十四千瓦，每时按零点四元收费。用，当用电量超过二百四十千瓦每时，时 啊，超过的部分看，这按照零点五五元收费。设，一个家庭某月用电量为 x 千瓦，每时则交电费 为 y。 那 么这个题啊，他并没有说，就像这个似的，这个题最起码他问你是超过三件了，对吧？而这题没问。那这一题呢，就是两段，一个是小于等于二百四的，一个是超过二百四的 啊，一个是超过二百四的。所以呢，我来做第一个，呃，小于等于二百四啊， 当 x 小 于等于二百四十时，你的 y 应该等于，那你看不超过的是不是按零点四五元来计费？那我，嗯，现在是 x 减法时，那就是单价乘以个什么数量？这是第一个。那么第二个，当 x 大 于二百四十时 啊，那你的 y 就 分为两段了，一段是两百四十以内的啊，乘以零点四五，再加上超过两百四的， 那一共 x 减去两百四，是不是超过的？超过的按零点五五来计费，然后等于， 嗯，化解一下啊，二百四十乘以零点四五二十一，十二，一十六九零八零一两位一百零八， 然后加上零点五五 x 减去二百四乘以零点五五四五二十一，十二，一二零 等于一三二零零，一百三十二，然后等于零点五五 x 减去一百零八等于二十四啊，他应该等于二十四。 检查一下啊，看看计算有没有问题。二百四十乘以零点四五，没问，没问题。 乘以零点五五，一百三十二减去一百零八，没问题啊，那这是第一问啊，当你第一问算完之后啊，一定要记得给他总结一下啊。我在这写啊，这是第一问，说 这个，所以这个 y， 嗯，关于 x 的 函数 解析式为，然后 y 等于画一个大括号， 这是零点四五 x， x 小 于等于两百四，这个是零点五五， x 减去二十四，这是大于二百四，这个一定要做好总结啊。然后第二问说，这个家庭某月的用电量是不是超呀？ 一百四十一啊，电费啊，电费是一百四十一，对吧？那么你算算啊，我这个，呃， 二百四十千瓦时是一百零八，而一百四十一是不超过一百零八，说明他应该在第二段里啊。那么我们就写，当 y 等于一百四十一元时，那你的零点五五 x 减二十四等于一百四十一，那么 x 等于，那我们把它解一下， 一百四十一加二十四等于一百六十五，然后一百六十五除以零点五五。 三百啊，所以答呢？这个月 用电量是三百千瓦哟，不对，千瓦每时， ok。

二零二六版练习册包含多门学科与人教版教材适配，有它帮你巩固知识，查缺补漏、刷题不愁没方向，学习效率直线上升。

互科版的五星学霸，八年级下册互科我也会七下八下。都说互科的话，我觉得很简单，五星学霸证书你如果要用， 只把握十九张就可以了。因为从中考的角度来说，很多东西中考考的是比较简单的，比如说他前面的这一二次根式、一元二次方程。中考对你的考察就是最基本的计算，这个班上百分之九十人都能学会啊，是考察计算二次根式和方程。 说到勾股定力呢，这个我之前在人教版学过，其实我觉得勾股没有必要这么大张旗鼓分这么多细的专题，有点浪费时间，大家可能中午把重点把握一下，专题期就是多勾股，双勾股方程，这个很多孩子就不太会 的是十四到十九，如果孩子之前几何学的不好，那么这个可以去复习一下。如果之前几何学的很好，这个板块我建议也可以跳过了 也可以跳过。勾股定你，他就是一个工具，中考他不会在勾股，特别为难大家，那当然不排除少部分地方他会在中考的填空压轴去考悬图。勾股和相似，那就确实就难度很大了。你平常做再多题，也有可能在中考 在这个题上，在填空压轴的那个勾股题上面摘掉。所以说勾股其实是不值得花特别多的时间去去弄的。整个八下的妇科版五星学霸，我推荐的是十九张四边形，原则上我推荐这个四边形章节所有的专题， 因为四边形的几何学好了，你整个初中的几何应该不会有太大的问题了。那整个四边形章节从专题一一直到专题三十一，这三十个专题我都是非常推荐的， 也就是说如果说你是互科版的八下，你要用五星学霸这个教材前面的那些计算，不用去死磕二次根式，什么应用二次方程中考考都特别简单， 难的就在于几何。你就把四边形这个章节三十一个专题认真去突破一下，时间有限的情况下，优先做这个板块，只做四五星的。好吧，这是对互科版的八下五星学霸的一个整体这个资料的推荐。

复合版八下数学到底难在哪？安徽八年级下学期数学成绩为什么容易掉下来？今天这个视频一次性给你讲清楚，为期末考试做好准备。 其实真正拉开孩子分数差距的就两大核心板块。先说第一个，就是一元二次方程，你可能会说，前面不是还有二次根式吗？那个说白了其实就是一个计算工具而已，考的就是化简、加减、乘除这些基本操作， 你只要盯紧背开放数非复性这个坑，多做几道计算题，基本上就没什么问题了，完全没必要去钻偏题、怪题、难题。但一元二次方程可就不一样了，它是整个初中代数的重中之重，像配方法、求根公式、因式分解 根的判别式、伟大定的含餐问题，还有利润增长率这些应用，全都是中考的必考考点。这一张你要是学的不扎实，后面学二次函数的时候基本上就听不懂了。 再说说第二个板块，四边形八下几何的重点就是四边形。但这一张的难点不在于单纯的去记性质和判定，而在于综合性的考察。他会怎么考呢？ 他会把我们之前学过的一次函数三角形全都拉过来一起考，什么动点问题、最值问题、折叠问题，全都给四边形揉在一起，题型特别灵活。很多孩子学到这，数学成绩直接就断崖式的下滑了。就比如说这几张八下期末无效联考的试卷， 选择压轴、填空压轴，还有最后一题，压轴题考的全都是特殊平行四边形。你把这几张试卷做一做，就知道户口本八下到底难在哪了。

合肥八年级下册、安徽八年级下册数学期末考试就考这四类压轴题，大家一定要重点去复习。第一个是四边形动点对称问题，动点问题和对称问题常常在一起出现， 各个学校基本上都会考，大家一定要去注意将军引马这一个大模型，它包含了一定两动、两定一动、两定两动以及将军六马、将军搭桥等等很多的辨识， 只要大家抓住了做对称这一个核心的动作，多练习，那就不会有问题。第二个是应用二次方程应用题，这个呢是同学们到九年级学二次函数应用题之前最后一个应用题型，也是期末必考题，解题的时候记得使用应用问题的解析，七步法审设找列解验答。 第三个呢，就是四边形的折叠问题，这个考到的概率呢大概是八成，本质上是把四边形和上学期学过的全等三角形进行了紧密的关联。我们期中考试的压轴大题购物定义在期末呢，很少作为这种单独的压轴题去出现， 但是呢，他在这里折叠问题会穿插着去考察你。最后一个题型是每年八年级下期末考试的第二十三题啊，四边形综合大题， 它是绝对的，这种难度压轴，大家一定要熟练去掌握四边形的相关几何模型啊，十字模型、半角模型、对角互补模型，同时上学期学过的一线三垂直、一线三等脚、手拉手等模型也有可能会出场。 这里面四边形常见的辅助线做法要大量的练习，尤其是合肥的同学，大家一定要去重点练习这四类题型。曹老师给大家准备了期末压轴三十题，需要的在评论区留言，沪科版八年级。

八年级下册的五星学霸人教版测评来了，还有很多家长让我测评 北师版和护教版。关注我啊，我发现很多点赞我和收藏的没有关注我，关注我，后面都会更新北师和妇科还有护教。我们先说八下八年级下册五星学霸啊。首先我觉得八下的这个书呢，就比七下要好很多， 因为七下我觉得题目没有那么多难的题，但是八下其实数学就已经很难了。废话不多说，直接来划重点，第一个板块二次根式我只推荐专题七。第二个板块勾股定力，我推荐专题五六七九，章末检测的推荐二十二十一，二十二，主要强调勾股定力的应用。 然后重点来了啊，我们知道八年级下册最难的是四边形的几何和函数，所以我非常喜欢这个八年级下册人教版，他在呃第 二十一点三，特殊的平行四边形，我推荐他所有的章节，从专题十到专题二十五，矩形的折叠问题，一直到正方形的动点问题，这个专题划分的非常的详细，而且我觉得是很有必要。然后就来到了函数章节， 依次喊到前面的部分是相对比较基础的，我觉得没什么好说的后，我特别推荐他在章末检测这个板块推出的专题，我也推荐他所有的专题， 从章末检测专题十一到专题二十五。我们知道整个八年级他的难点，八年级下册数学的难点就在于四边形的几何和一次函数对不对？而我觉得这个五星斜杠，他在特殊的平行四边形专题十到专题二十五，以及函数的二十三张 章末检测专题，十一到二十五这两个板块都总结的非常的细和非常的好。所以说如果你用这两本书，你就重点，如果你要用五星学霸八年级下册，你就重点做我说的 平行四边形章节的大专题和函数的章末检测大专题。注意啊，含函数前面四个简单的章节我是不推荐的，你只做后面章末检测的大专题。好吧，这是我对八下五星学霸的一个测评，整体上其实我还是非常推荐这本教辅，还是很不错的。

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沪科版八下数学难点在哪里？安徽八下的数学难在哪里？曹老师，这个视频给你讲清楚，真正拉开孩子们分数之间的差距，其实就两大核心板块。首先第一个是一元二次方程，前面我们说的二次根式，它说白了其实只是一个简单的计算工具，它就靠化简、加减、乘除、运算这些东西， 你盯紧了被开方数的非复性这个坑，多练计算题根本就不会有问题，完全没有必要去钻研偏题、怪题和难题。但是一元二次方程不一样，它是整个初中代数的重中配方法，求根公式法、英式分解，还有根的判别式、伟大定义、含餐问题以及利润增长率这些应用题，他们全部全部都是中考的必考考点。 这张如果你学的不够扎实，后面的二次函数你根本就学不动。几何部分的四边形是八下的唯一重点，这一张难不在于单纯的性质和判定，而是在于综合性的这种考察。他会结合我们之前考过的一次函数，结合我们之前考过的三角形，各种的动点问题、最值问题、折叠问题，他会把它放在一起和四边形再考一遍， 题型相对来说非常灵活，很多孩子学到这里呢，他的数学成绩会有一个断崖式的下滑。曹老师这个春季班的培优课核心就是这个内容，围绕着一二三四方程和四边形的这个重点，以及必考的难点。如果你想跟着我的节奏去学，在评论区回复户口本，八年级。

八年级的家长别划走，孩子数学成绩下滑大概率是四边形没学好。呼叫板专用的举一反三。四边形专题专门针对初二数学痛点打造，从多边形基础到正方形压轴题，所有考点全覆盖，还有三角形、中位线 重心等拓展知识点，帮孩子打牢基础。同步教材，分层训练，基础差能补，想拔高也能充。现在下单库存告急，别等考试翻车再后悔。

基础不好的同学们，快来听我讲课呀！哈哈， 每天学一点，进步多一点。 hello， 大家好，我是教数学的张老师。今天是二零二六年五月十七日星期日，我们来看今天的这四道题目。先看第一题，读题 四个一次函数啊，说 y 的 a， x， b， x， c 加一， y 的 d， x 减三，这个图像如图所示，让我们求它们 a， b， c， d， 也就是前面 x 系数 k 的 大小。 那这里要补充一个知识点，就说这个，我们这个 k 的 大小，绝对值越大， k 的 绝对值越大，那么它就离 y 轴 越近，也就是越陡啊。 那么你这个在一三象限的时候，因为 k 都是正的，所以说你绝对值越大，你对呢？我的这个 k 就 越大，但是在二四象限，你绝对值越大，离这个 y 轴越近，你反而 k 是 小于零的，那他就对的 k 越小。 所以说这里 y 的 a x， b， x， 这样它都已经在第一象限了，所以咱就可以直接比出来大小啊，离 y 轴越近的这个最大啊， a 大 于 b， 然后再看 c 和 d 的 这个，一个是 cx 加一个是 d， x 减三，那么我们可以通过哎，把它平移到平移成正比的函数， 把这个 y 的 x 加一这个来给它平移成 y 的 x， 它的斜，它的这个 k 是 不变的哈，把它平移成正比的函数，那这个 d x 减三，也是给它平移成它。那此时我们看这个蓝色的 这个 d， x， 这个离 y 轴近，所以说它的 d 是 最小啊，其次是 c， 那 么我们根据正负来比的话， 一三象限的 k 是 正的，那 a 大 于 b， 而二四象限的这个 k 呢？呃，绝对值越大的，而反而这个对数越小，也说 c 是 大于 d 的， 那么这个 a 大 于 b 大 于零，这个 c 大 于 d， 那 它还小于零， 能把它连在一起写，那就是 a 大 于 b 大 于 c 大 于个 d， a 大 于 b 大 于 c 大 于个 d。 还有个小技巧，就是我们找到第一项限你最大的那个 k， 也就是这里离外中最近的这个按照我们的顺时针方向， 那他的 k 的 大小正好是由大到小。最大的是 a， 其次是 b， 然后是 c， 最后是 d。 就是 因为你离 y 轴越近，你的 k 越大，那我的一三项链 k 就 大为定了吗？我离的这个 y 轴越近，我这边的 k 就 越大，它是正数。正数的大小 就是开绝对值吗？而负数大小，你绝对值越大了，你反而是最小的啊。 这第十一题来下一题说，对于题面直角东边西东 p 点 x 都好。外说满足 x 的 绝对值等于 y 的 绝对值，则称这个点 p 为奇妙点。说以这一个一次函数 y 等于二， x 加 b， b 为常数，它的图像上有一个奇妙点，坐标是二都好。负二， 则一次函数 y 等于 x 加 b， 图像的另一个奇妙点的坐标是多少？那么我们先结合这个点的坐标以及这个函数表达式，先可以把这个函数表达式求完整，那把二 逗号负二代入，就可以得到二，乘上个二，加上个 b 等于个负二，求出来 b 等于个负六，进而这个函数表达式就 y 等于二， x 减六。 那么因为他说了，你要是奇妙点，你得满足 x 绝对值等于 y 的 绝对值。通过绝对值相等，我们就能得到两种情况，要么是 x 等于个 y， 要么是他俩互为相反数，也数 x 加 y 等于零。 通过前面这个奇妙点发现啊，二都好负二，那他是互为相反数，相等等于零的那个就拍出调，我们就不用看了。那接下来我们就看第二种情况， x 等于 y 的 时候，那你见 x 等于 y 了，那咱就把这个 y 等于负二， x 减六，这个把 y 提完成 x， 那 就 x 等于二， x 减六一个项，负 x 等于负六， x 就 等于六， 因为你 x 等于 y 嘛，所以说 y 也是六。另一个奇妙点，坐标就是六，逗号六。这是这一题，非常简单。好，我们把这一题 说一次。函数一， y 等于 a x， a 不 等于零， y 等于二分之一 x 加一。说，当 x 小 一的等于一的时候， y 二的图像要在 y 一 的上方，在 a 的 区域范围是， 那么我们先通过这个 y 二这条直线可以画出画一个它大概图像的位置， x o y， 那 这个横的啊，这个往右上方的这个 y 二二分之一 x 加一。 再说 y 一 啊，是 a， x， 也说它是一条过圆点的正比的函数，又说 y 二要在 y 一 的上方，那么我们知道你如果和它平行的话， 如果这个 a x 和这个平行，那么它们的 k 就 一样， f 等于 y 二分之一 x， 那 么此时因为你平行嘛，你的这个玩意始终在 y y e 的 上方，无论你是小于等于 e 的 时候，还是什么时候，它始终都在随着符合要求。既然我们知道你这个 a 的 话， 它是可以大于等于个二分之一的，那它的坡度就要比原来这个要陡，那陡的话，它可以这样， 那此时它的这个焦点交于我们的第三象限哈，那就不符合要求。说在 x 一 的时候，它这个 x 等于一的时候，因为 x 等于一大概在这个位置哈，那我们发现在 这种情况下，在 x 等于一的时候，在这一段上啊，在它的这个焦点 和这个 x 等于一的这个之间的话，我发现是红色在上，蓝色在下，那倒是符合 y 大 于 y e， 但是呢，你过了这个两条直线的焦点左侧之后，哎，蓝色的 y e 跑到上面去了， y e 跑到下面去了，就不符合了。所以说那他这个 a 的 话，就必须得比二分之一要大，或者是相等。那么这个判断完之后， 我们接着往下看，那我如果大能一直大到什么程度呢？啊？ 比如说咱们知道他说了，在 x 小 于等于一的时候， y 二要在 y e 的 上方，那咱先把这个 x 等于一的时候，这个与 y e 这个条直线的这个焦点哈，求一，求，那咱把这个 x a 一 代入，求出来这个 y 二这个点就是一逗号二分之三。好，那如果是刚好在这儿的话， 那么在这个焦点位置的时候，人说 x 等于一的时候， y 二和 y 一 相等，但是人家要求的是 y 二，要在 y e 的 时候， y 说 y 二，它得大于 y e， 不 能相等，进而我就不能取到这个一都和二分之三。 大家说这个是一个临界点，那如果刚好是一逗号二分之三的话，那咱把这个点一逗号二分之三一带住，发现 a 求是的刚好等于个二分之三，但如果 a 等于二分之三的话，我们发现这时候你是 外一和外相等了，我要求，所以说我就得比这个二分之三要小，那能不能大于二分之三呢？如果大于二分之三，那我接着再往上给它平移一下，此时你会发现，当 x 等于的时候， 我们要取的是小于等于一吗？那在左侧，你看，在 x 等于一的左侧，此时我的这个，我把原来的这个外一擦掉啊， 我们这个 y 一 是在这个 y 二在这个焦点的，来把这个焦点哈， 在这两张之间，焦点和一之间的话，那你看是 y 一 大于 y 二而不符合要求。而在这个焦点的右啊左侧，那倒是 y 二大于 y 一 了，但是它不符合。学的一的时候， y 二全部都在 y 的 上方，所以说我就不能大于二分之三，那只能是小于 二分之三。然后以及刚才咱特殊的你平行的话，这是最底下的这个哈，其实他的范围，我们就根根据这个图像，他应该就是在这个 大于等于二分之一，小于二分之三之间来移动，此时无论你的这个怎么去取啊，你看咱就以这个位置哈。 假如说在这的时候，你看你在这个 x 等于一时，在这个焦点左侧，在小于一的小于点一的左侧，你会发现红色的始终在这个 y 二始终在 y 一 的上方，它是符合要求的。 g r a 的 范围是大于等于二分之一，小于二分之三。 a 大 于等于二分之一，小于二分之三，为什么不能等于二分之三？你要等于二分之三，此时你这个 y 和 y 就 相等了，它不符合。在题目当中， y 是 要大于 y e 的 哈，这是这个第十四题。 先读题， y 等于 k f 加 b 啊， k f 等于零 k b 常数说 y 和 x 的 对应值如下表说下列结论一定正确的。先看这个表 数，看 a 点，它的横坐标是负一，纵坐标是 n， b 点横坐标是三，纵坐标是负三。那咱把它写成坐标的形式就是， a 点负一，逗号 n， b 点三，逗号负三。那我们来先看第一个说 n 大 于零的时候， k 小 于零，这个怎么求呢？结合咱这两个点的坐标啊，一个是负一 n， 一个是三，逗号负三。那咱把它带入这个表达式，就能得到两个关键词，一个是负 k 加 b 等于个 n， 一个是三 k 加 b 等于个 负三，那我们把它作 x， 就 能得到四 k 就 等于个负三减去个 n， 那给的是 n 的 范围，让咱去求 k 的 范围，怎么去求呢？那咱就把它变下形，把这个负 n 移到左边来，那就证明了四 k 移到右边去，负三减去个四 k。 好， 现在我知道 n 是 大于零的了，而 n 又和 k 有 这个负三减四 k 的 关系，那咱就可以把这个 n 替换成负三减四 k， 哎，它就大于零了。 既然咱就可以一项解释来， k 的 范围，把负三移过去，负四 k 大 于个三 k 呢？就小于负的四分之三，那你四负四分之三是小于零的，所以说 k 也是小于零的，所以说一是对的哈。这第一个， 第二个说 y， c， x 增大， r 增大，那就可以翻译成 k 是 大于零的。那现在反过来了， k 大 于零的时候，我们这个 n 又是什么样的哈？结合咱前面 n 等于个负三减四 k， 那 现在咱把它换过来， 咱也可以通过把 k 变形成负三减四， k 转化成 n 的 范围也行，那因为 k 是 大于零的，那同时先长个负四，那负四 k 就 小于零，那负四 k 再减去个三，那就小于个负三，而负四 k 减三，就是我们的 n， n 就 小于个负三，而负三又是小于零的，既然 n 也小于零，所以说二也是对的哈。这是第二个， 第三个稍微复打一下，那我们需要借助这个图像，然后把这个图画在这了啊，把它挪过来，给它放大一下。 原来我稍微画的有点丑陋， 好， x 轴 y 轴，说 b 点呢？我画一个大，这个大概的位置三度号负三， a 点呢？我们只知道他的横坐标负一啊，纵坐标不知道，那么他说 s、 a、 o、 b 的 面积九，说此是 n 或等于负五，或者 n 等于七，那么就这个 a 的 话，你的纵坐标 n 要么是 正的，要么是负的。如果正的，那就带第二项线，如果负的带第三项线。所以说的话，我们怎么去列这个 关系式呢？根据 s、 a、 o、 b 的 面积，我们可以把它拆成两部分，我们先把这个 a、 o、 b 和这个 y 轴的交点，也就是再取个 c 点。啊啊，这个 c 点呢？比较好求，它就是我们 直线 a、 b 有 y 轴的焦点，那咱把 x 等于零代起，那这个 c 的 坐标就零多少 b， 那 此时咱就可以转化成 s、 a、 o、 c 的 面积加上 s、 b、 o、 c 的 面积 啊。 a、 o、 c， 它们的这个底是一样的， b、 o、 c 的 底也是一样的，都是 o、 c， 那 么我们就可以利用二分之一底乘高，那 o、 c 的， 那就是 a 点的 什么坐标？我们的横坐标也就是 x a 的 绝对值，那么 b、 o c 的 面积呢？就是我们二分之一 o c 啊，乘上我们 b 点的什么坐标，横坐标也就是 x b。 好，那提个二分之一 o c 出来，那就是框里面的 x a 的 绝对值，加上 x b 的 绝对值。我们知道 a 点的横坐标是负一，那就是一加上 b 点的横坐标的绝对值，那就加三，就等于个二分之一乘上个四，再乘个 o c， 他说面积等于个九，进而 o c 的 长度，我们就可以求出来等于个二分之九，那这个 o c 是 谁啊？就是我们 b 的 绝对值，也说 b 的 绝对值等于个二分之九， 那 b 的 绝对值在二分之九的，跟我们求 n 又有什么关系呢？那我们别忘了，咱在上面的关系当中，我们知道 n 是 等于一个 负三，减去四 k， 那 我们就可以把这 n 带入到上面的数字当中，就可以把这个 b 和 n 的 关系求出来，咱把它带入到负 k 加 b 等于 n 当中，那我们把这个 n 替换成它，比如说负 k， 我 们要的是 b 和 n 的 关系，那就不想要 k， 那 这个负 k 怎么办呢？可以通过它变形转化啊。 那么咱把它移过去，别说 n 加上个三就等于个 么。 可以求出来 k 复 k 就 等于个四分之 n 加三，那咱就可以把它替换到下边 四分之 n 加三，加上个 b 就 等于个 n， 那 么你你 b 就 等于个 n 减去个四分之 n 加三。哎，此号，那 b 就 等于个通分下四 n 减去个框里面的 n 加三， 那化解一下，那就是四分之三 n 减三啊，那结合 b 的 绝对只得二分之九，那把它替换过来，就是三分之 n 三， n 减三，那绝对只得有个二分之九，那我们可以同时平。哦，四分之啊，这写错了， 我们可以同时平方，那么咱把这个上面三 n 减三可以踢个三出来，那就是四分之三， 然后 n 减一的平方，四分之三平方就等于个二分之九一平方，那就是四分之八十一。得到 n 减一的平方等于个 四分之八十一啊。把那个四分之三一平方就是九分之十六乘过来，乘上个九分之十六， n 减一的平方就等于个三十六， 那 n 减一就等于个正负六， n 就 等于个一加减六，那 n 一 就等于个一加六等于个七， n 二就等于个一减六等于个负五。所以说 n 有 两个值， 那么负五和七，那么四的话，咱刚才已经求过了，你这个 o c 不 就是我们 b 吗？而我们 b 是 等于个四 n 四分之三减三的，所以正确答案是一二三 啊。今天的分享就到这儿，我们下次再见。

我等你那么久了，你怎么知道？快进来学习，快来快来，快， 每天学一点，进步多一点。哈喽，大家好，我是教数学的张老师。今天是二零二六年五月十八日星期一，我们来看今天的几道小题。第一题，先读题目 说 y 等于个 y 一 加 y 二说 y 一 和 y 二， y 和 x 乘正比例， y 二和 x 减二乘正比例说，当 x 等于一时， y 等于零，当 x 等于负三是 y 等于二。第一问求 y 与 x 的 函数表示。第二问 y， x 等于三时，求 y 的 值。 那这个第一问啊，他让咱求的是 y 和 x 的 关系，但是呢，他给我们的这个 关系我们要注意。他说了啊，你这个 y 一 与 x 成正比的来说， y 一 比上个 x， 那 咱等于个 k 一， 那 y 二与 x 减二成正比的，那就 y 二比上个 x 减二等于个 k 二 结合成 y 又等于个 y 一 加 y 二，然后 y 一 和 y 二又可以用，我们还用 x 来表达啊，那咱把它化解一下。第一个咱们 x 乘过来，那就是 y 等于 k 一 x， 第二个把它乘过来， y 二就等于个 k 二， x 减去二倍的 k 二， 然后再把它合并，那么就等一个 k 一， x 加上个 k 二， x 减去二倍的 k 二，合并同类项 x 合并等于 k 一 加 k 二，括起来 x 再减去个二倍 k 二。好，再结合。他说了，我们当 x 等于一十， y 等于零，当 x 等于负三十， y 等于四，那再把这两个点代入啊，也就是 x 等于一十， y 等于零，以及 x 等于负三十， y 等于个四，那把它一代入，就能得到 k 一 加 k 二，括起来乘一， 再减去个二倍的 k 二等于个零。这是第一组第二组 负三乘 k 一 加 k 二，括起来减去二倍的 k 二等于个四，那此时我们就化得到一个关于 k 一 k 二的二元次方程组。那咱化简一下，那就能得到 k 一 减去个 k 二等于个零。第二个是负三 k 一， 然后后边是负五， k 二等于个四。我们连立求出来之后，发现 k 一 等于个负二分之一， k 二也等于一个负二分之一，那咱再把 k 一 和 k 二再给他带回去，就能得到 y 和 x 的 函数表达式了。好，那么咱带一带就能得到 k 一 加 k 二，那就是负二分之一，加负二分之一就负一了，那就负 x， 然后负二，再去长按个负二分之一，那就是加上个一。进而 y 和 x 的 函数表达式就等于个负 x 加一了。这是我们的第一问， 第二小问啊。结合他说，当 x 等于三求幺的值，那就把 x 等于三代入， 那么 y 就 等于个负三加一，就等于个负二。所以说 x 等于三的时候， y 就 等于个负二了。这是第十九小题。那么来继续往下看。下一题 说，在平面直角坐标系当中，一个一次函数 y 一 等于 k， x 加一。 解析三， q 不 得零， y 二等于 n 乘 x 减三加二，然后 n 不 等于零，说无论 x 取何值，始终有 y 二大于 y 一， 则 n 的 取之范围啊。我们可以通过这两个函数表达式啊， y 一 等于个 k 倍的 x 加一减三，然后 y 二等于个 n 倍的 x 减三加二，我们可以通过这个求出来它们过的定点。第一个过定点 多少能过我们的定点？负一，逗号负三，第二个还买二十过定点 三，逗号二，怎么求？过定点，就是说你既然过定点了，也就说与它这边这个 k 还有这 n 无关，那要想与它无关，就让 x 加一等于个零，求下 x 来负一， 那当它等于零的时候，那对应的 y 就是 负三了。随手过定点，负一都好，负三，下面同样道理，那让 x 减三等于零， x 等于三，三的时候，这前面这一大堆就等于零了，然后 y 就 等于二，随手过三都好。二，这两个定点好，那既然这两条直线过这两个定点， 要想始终这个 y 大 于 y 一， 那就说明 怎样才会让 y 二大于我们的 y 一 呢？你说无论你取 x 取任何值，那就说明什么？两条直线平行，我随便画啊，我画一下他们大致的模样啊。那上面这个是 y 二， 下面这个是 y e， 那 要想是 y 二始终高于 y e， 那 就说明 既然平行玩二始终在玩一的上方，但是不能重合，所以说我们就能得到他们俩的这个 k， 应该是一样的， 那就得到他们的这个 k， 那 咱把第一个给它乘出来，就是 k， x 加上个 k 减三，而第二个给它乘出来就是 n， x 减去个三， n 加二好，我们就能得到第一个一次函数个 k 和第二个一次函数 k， 那 就能得到 k 等于个 n， 这是第一个。以及 要想在他的上方，那我这个 y 二，也就是负三 n 加二，他这个整体这个 b 啊，就是说他其实这个就是我们的这个 b 二嘛，这就 b 一。 爷说你这个 b 二始终啊，写成 k 一 了哈， b 二要大于 b， 不 能像的，你要像的，它俩就重合了，它就不满足大于 y 大 于 y 大 于 y e， 它就变大于等于 y e 了哈。进而咱就解这个不能是啊，它应该就要大于我们的这个 k。 解三 结合 k 一 步等于个 n， 那 要想解关于 n 的 这个去值，那咱直接把这个 k 换成 n， 比如负三， n 加二就大于这个 n 减三一个项，负三减大于负三减二 负四， n 大 于负五， n 就 小于个四分之五，结合在前面还有个 n 不 等于零，且 n 不 等于零。所以说最终答案就选倒格了啊。 这是这一题好看，下一题读题目说 y 等于 k 加 b 啊， k b 常数 k 不 等于零， b 大 于二与直线 y 二 mx 减 m， m 为常数，且 m 不 等于零，交于点 a 三符号二。下面给了四个结论，那我们挨个看一看啊。先看第一个，他说 m 等于一， 这个怎么判断对不对呢？他不是过这个点吗？又是焦点，那我想求成 m， 他 在直线 y 二上有 m 吗？咱就把这个点 a 三逗号二，代入代入 y 等于 m， x 减 m 就 能得到三， m 减 m 等于个二 二 m 等于二， m 就 等于一了，所以说一是正确的哈。第二个说关于 x 方程，说 k x 加 b 等于 m， x 减 m 的 时候， x 等于二， 前面的 k x 加 b 就是 啊，我们的 y 一 嘛，后边 x m x 减 m 不 就是我们的 y 二嘛。沿着这个方程就转化成 y 一 等于 y 二的时候，那什么时候 y 一 才等于等于 y 二？那就是他们两个直线相交的那个焦点的纵坐标一样， 那当 y 一 等于 y 二的时候，那他这个焦点不就是 a 点三逗号二，也就是说 x 等于三的时候， y 一 就等于个 y 二等于个二，那进而这里的解应该是 x 等于三，而不是 x 等于二。谁说二号是错误的哈。我们把这个方程转化成两只线的焦点的横纵坐标啊， 纵坐标一样的，那他们这个 x 的 这个解就是横坐标啊。第三个 y 一 随着 x 的 增大而减小，那 y 一 这个 所以增大而减小，这个性子怎么判断呢？判断 k 的 正负，而 k 又给了后面 b 大 于二， k 和 b 是 有关系的，结合 a 点，那咱就可以把这个点 a 在 第三个啊，把这个点 a 三。逗号二带入 y 一 带入 y 之后，那就 y 一 就等于个。 帮我猜一猜啊，那就是三 k 加上个 b 等于个二，那一个项 b 就 等于负三， k 加二， 结合 b 是 大于二的啊，因为 b 大 于二，而 b 又等于负三， k 加二，也就是负三， k 加二大于个二，那一个项负三 k 就 大于个零了， k 把负三除过，那 k 就 小于零了，所以是 y 随 x 的 增大而 减小，所以第三个也是对的。好，再看最后一个， 最后一个说 y 一 沿 y 轴平移之后得到 y 三，说 y 三交 y 二于点 b， 然后点 b 的 纵坐标是一则不等式， y 三学 y 二的时候，解集是 x 大 于二， 那这个咱如何去把它求出来呢？啊？依旧是你 y 一 是等于个 k， x 加 b 的， 那你 y 三是由 y 一 沿着 y 轴也就是进行上下平移得到的，那咱就可以把它表示一下，就变成 k s 加 b 啊，咱把平移的距离看成个 n， 那 咱就加上个 n 啊。 那么你既然是平移之后的，那他们这个看是一样的啊，他说现在和 y 二交于点 b 了， 那这两条直线相交了，交于点 b， 那 么在这个焦点的位置一左右，肯定一条直线在上，一条直线在下，那焦点的横坐标就是这个临界点，那我们怎么去判断呢？结合咱第前面第三个，咱知道 k 是 小于零的， 既然这个 y 三，他的这个应该是经过，必定经过我们的第 二次相切，那咱就画一个从左往右递减的啊，这个就是我们的 y 三，我们不用画出来具体的啊，就画一个它大致的走向。 而既然它和 y 二相交，又点 b 了，而 y 二，我们前面求出来了啊，因为 m 等于一嘛， y 二是 mx 减 m， 咱把 m 等于一等，那就得到 x 减一了。好，那它的这个图像，那既然相交了，咱们这么一画， 画一个简图啊，这个焦点就是我们这个 b 啊，它焦点坐标就是动作标是一了啊，动作标是一呢，就说 y 是 等于个一了，那咱就可以把这个一带入到我们这个 y 二的表达式，把这个用红 b 盖一下啊。 哦，那把这一擦， 那咱把这个一带起，别说 x 减一等于个一， x 就 等于个二，虽说这个焦点 b 的 横坐标就是二，那咱换一下，它是个焦点， 那么这条竖直的这个直线就是我们的 x 等于个二，那在这个二的左侧，也说我们发现这个 y 二，这个蓝的在上 啊，这是 y 三啊， y 三这个蓝的在上，这个是我们的 y 二啊， y 二这个红色的在下，他让我们求的是 y 三小于 y 二，也要说谁在上， y 三小于 y 二， 也说 y 二在上，那个 y 三在下，那我们通过观察在这二的右侧，也说 y 二在上， y 三在下，所以说 y 二 大于 y 三的时候，我们对应的这个 x， 它的这个曲值应该是在这个二的。哎，咱画个线哈，你看只要在 x 等于二的这个右侧，咱随便画一个 x 等于个， 这写个 x 等于个四吧。哎，你看它的这个两个焦点， y 二始终要大于 y 三的啊。所以既然这个 x 曲值就是 x 大 于二， 所以说四也是对的啊。最终答案一三四。好，今天的分享就到这，感谢大家的聆听，再见！

基础不好的同学们快来听我讲课呀！又开始了，这没完了吗这？ 哈喽，大家好，今天是二零二六年五月十六日星期六，我是教数学的张老师， 每天学一点，学的多一点。今天我们来看这几道题目。第一题如图， 一次函数负 x 减二和 y 二等于 x 减四，这两个图像成交于点 a， 所以 x 的 轴呢？分别交于 b、 c 两个点，结合图像写出来 y 小 于等于 y 二的时候， x 的 取值范围。那么来看，要想求这个 y 小 于 y 二， 那么我们要找这个图像上 y 一 大于 y 二的部分。从这个焦点 a 处我们来看，分成了两部分，在这个焦点的左侧，发现这个 y 一 要比我们的 y 二要高，所以说不不符合我们要求，我们要求的是 y 二要大，那在它的右侧，也就是这边 y 二要高于我们的 y 一。 嗨玩勾 y 一， 那它就大于等于 y 一 了。所以说我们就需要找出来这个焦点 a 的 坐标来连立这两个 梯子函数，一个是 y 一 等于负 x 减二，另一个是 y 二等于 x 减四，那它俩相等。负 x 减二等于个 x 减四， 那负二 x 就 等于个负四。加二等于负二， x 就 等于个一，所以说焦点横坐标 x 等于个一，那也说在一的右侧，那 y 二要大于等于个 y e， 所以 说当 y 二 大于等于 y e 的 时候，对应的这个 x， 它的起始范围应该是大于等于个 e 的 啊，所以这是第一题答案 x 大 于等于一下一题 a 点二，逗号 y 一， b 点负一，逗号 y 二， c 点三，逗号一说都在这个一次函数 y 等于负 k， x 加十的图像上， 那比较 y 一 和 y 二的大小，那这种题比较 y 一 y 二的大小。我们有两种方法，你把这个横坐标带入去比较，这是一种，还一个是结合它的这个性质，我们看它 x 前面这个系数覆盖 他到底是大于零还是小于零。然后我们再根据大于零，那 y x 等于哪增大小？ y x x 等于哪减小，那么怎么求呢？结合这个 c 点是三一告诉我们了，所以说我们把它带入，那么把三逗号一带入，那就是三乘上个负 k 加上个十等于个一，那么一个项负三， k 等于一减十，负九，那 k 就 等于个三， 那么整个函数图，函数表达式就变成了负三 x 加十了。那你说 k 等于一个负三小于零，那 y c x 增大， r 减小，而我们的这个 x 一 和 x 二的大小， x 一 是二， x 二是负一， x 一 是大于 x 二了，那他们的 y 一 和 y 二应该是啊，相反就是 y 小 于 y 二，所以说就出来了啊， y 一 小于 y 二， 这是这一题。第下一题给这个函数， y 一 等于二， x 减一和 y 二等于负 x 加 m， m 大 于零，那么第一小个说，当 x 大 于等大于零小一的时候， y 一 的曲子范围是负一到 一啊，这个怎么求呢？给咱 x 范围的求 y 一， 那因为 y 和二 x 减一这个等量关系 给咱 x， 那 只需要把这个 x 变形成二， x 减一，就能知道 y 一 的范围了。那因为 x 是 大于零小于一的，那我们要把它变形成二 x 减一。先第一步乘上一个啊，我把它写到下边吧，下边空大一些哈， d 就 贴。那么因为 x 是 大于零小于一的，那二 x 就 大于零，小于个二同时乘二，那再减掉一二， x 减一就大于零，减一负一，二减一，一，而 y 是 等于这个二 x 减一的，既然这二 x 减一，就可贴完，是 y 大 于负一小于一了， 所以说第一个是正确的哈。那么我们来看第二个 说 y 二随 x 增大而增大，那 y 二它的这个，这是第一个的哈。第二个，它这个 y 二，它的这个 k 是 等于一个负一的，负一是小于零等于，那是 y 随 x 增大而减小， 所以说第二个是错误的。第三个说函数 y 一 的图像与 y 二图像，它的焦点一定在第一项线，那一般看到任务特别确定的这个说法时候，大概率可能会出现 啊错，那么来验证一下，怎么去证明啊？第三个，既然它相交了，那么只需要求它焦点坐标就可以了。连立 y 一 和 y 二， y 一 是等于二 x 减一， y 二是等于个负 x 加 m， 按照它俩相等，又是二 x 减一等于一个负， x 加 m， 然后一项横平对向三， x 就 等于个 m 加一， x 等于个三分之 m 加一，那 x 大 小取决于 m， 那 因为 m 是 大于零的， 那 m 加一，那它也是大于零的啊。也可以答，一大于一就是大于零嘛。 好，那你这个三分之 m 加一就是一个大于零的数。好，哎，说 x 是 大于零的了，那我们知道，在这个象限当中，横左边 x 大 于零的，要么是第一象限，要么是第二， 哎，四象限，那再是 x 横坐标，再把这横坐标带入。我们求求纵坐标，咱把这个 x 等于个三分之 m 加一，给它带入 y 等于二， x 减一，我们就能得到二。乘上一个三分之 m 加一，减一 等于一个 y， 那 换念一下就是三分之二 m 加二，再减去个一，通分下三分之三等于个 y， 那 么 y 求出来就是，好吧，三分之二 m 减一，那我们知道你这个 m 是 大于零的， 那二 m 也是大于零的，那二 m 减一，他是大于负一的，那大于负一的话，我们这个二 m 减一，他就有两种情况， 要么是大于负一小于零，他是个负数，要么是二 m 减一，那大于个零就是正数。所以说如果是第一种情况，那他就是负的，第二情况就是正的。 进而咱这个 y 有 两种可能，那 y 要么大于零，要么 y 小 于零，那 y 要大于零的话，结合横坐标 x 是 大于零的， 那么他此时就在一项线，如果是 y 小 于零， x 大 于零，那他就是四项线，这他一定在，那么这个题就太绝对了。进而第三个他是错误的汉。大家看最后一个四 四，他说这个点 a 啊，说这个点 a 逗号负二，在外一的图像上，那我们来看一下第四个， 结合外一，它是等于二 x 减一，它这个点 a 逗号负二，在它图像上，咱把它带入，那就得到二， a 减一等于个负二， 二 a 就 等于个负一， a 就 等于个负的二分之一，这是 a。 然后他让我们比较是 a 和 b 的 大小，那再把 b， 他 说了，在这个 y 二这个图像，咱把 b 以代入 y， 二是等于个负 x 加 m， 那 么把横坐标 b 带入，那就是负 b 加上 m 等于一个二分之一， 那么咱把它化解一下，一下象就能得到 b 等于个 m 减二分之一。好，现在 a 是 负二分之一， b 呢，是我们的 m 减二分之一，咱把它换个形式，换成负二分之一加上个 m， 那 一个是 a 是 负二分之一加零，一个是负二分之一加 m。 又因为咱这个 m 是 大于零的，所以你负二分之一加上这个 m， 是 要大于我们的这个负二分之一加上个零的。 所以说这个负二分之一 m 就是 我们的 b 嘛。负二分之一加零，就我们 a 嘛， b 大 于 a， 反过来就是 a 小 于 b， 所以 说四这个选项是对的，那正确结论就是一和四了。 那再看第十题，那读一下，题目要求 y 等于一减 x， 一 减 k 的 x 加上个二， k 减四，说不经过第一象限则 k 的 技术范围。那这个题如何去翻译？ 现在看第一个要求啊，你不经过第一项线，咱画一个草图，不经过一，那就可能是二四，也有可能是二三四。好，那如果是二四， 甭管你是二三二三四，他都经过二四，所以说他这是个整体，那个一减 k 是 个整体，也就是 x 行为系数，他是要小于零的，进而 k 就 要大于一。 然后因为你不经过第一项线吗？那如果是经过二四，那 b 是 等于个零，如果再往下经过三项线， 那 b 就 要小于零，那和结合在一起，就是 b 小 于等于零，而这里这个 b， 这个整体是我们的二， k 减四，那就小于等于零，进而解出来 我们这个 k 啊，它是小于等于个二，那把它合在一起写大小小，再取中间吗？ k 就 大于一，小于等于二了。今天的分享就到这，欢迎下次再听，再见。

初二真的是一个分数题，其他不讲啊，就是数学，初一的数学是比较简单的，就是我之前也跟给大家梳理一下初一的知识呢， 呃，大部分呢都是以计算为主的，尤其是到了初二，昨天梳理了八年级上册，大家就知道了。那主要难点呢，就是三角形和特殊三角形。到了浙江版的下册的数学里面就是平行四边形和特殊平行四边形，就孩子们到这个几何呀，真的是很头疼，我女儿就是这样，一碰到几何 感觉束手无策，所以今天我给大家再梳理一下浙江版八年级下册的一个数学。他这里面呢，其实前几张比较简单，第一个呢就是二十根四啊，第二个是一二二十方程，第三个是数据的初步统计， 第四个是平行四边形啊，第五张呢是特殊平行四边形。最重要的难点呢就是最后两张，第四根，第五。我大概的给大家梳理一下，第一个是二十根四，二十根四里面主要注意什么呢？主要你注意这个二十根四它的性质，嗯，必须是大于等于零的啊，有些孩子 就是求这个取值的范围，他不知道怎么去弄。第二个呢，是一元二次方程，一元二次方程呢，这里面难点是什么呢？就是两个实数根，这两个实数根呢，很多孩子不知道，因为他有三个，就是基本的性质是什么呢？你这个实数根有没有？ 呃，有的话就是大于等于零，没有的话，呃，你就小于零这个实实数根的一个前提。嗯，还是很多都忽略掉了。那一元二次方程的求减呢？他就用了前面的因子分解了，所以很多知识他都连在一块的， 它一次分解里面一个完全平方式啊，这个就用的比较多一点，还有一个平方差公式。第三个就是比较简单一点啊，一个数据的初步统计就是平均数啊，什么众数啊，像一些方差呀， 还有一个是离差平方和呀，这些大家知道，因为它这个里面会考到一个大题，让你去统计数据的。那最后一个就是平行四边形和特殊平行四边形这两个，这两张是 比较难一点了，因为概念比较多，定律比较多，就判定比较多。那你要知道什么是平行四边形，平行四边的性质是什么，是什么样的， 平行四边形的判定是什么样的。这里面还有什么中心对称图形，什么轴对称图形，好多孩子都搞不明白，因为他好多性质他不知道。那什么是中心对称图形，就是把这个图形给它翻转一百八十度，如果还是对称的话，就是中心对称图形，特殊平行四边形里面就什么矩形、 菱形、正方形啊，这些就是判定性质啊，你一定要搞清楚，因为它里面好多证明啊，求解啊，都会用到这个性质。其实像我们考二加四的话，数学里面 还是考的比较多的，比较难一点的，他不光考初一初二的那种，还有考初三的那种，如果说家里有初一初二的，想从二加四的，或者是在期中期末啊，发现有明显短板的，但是不知道怎么去补的，都可以来找我，我可以给你做一个学前分析。如果说要八年级下册数学的一个易错点或者做难点的话，也可以私信给我。

oh， my god！ wow！ 又开始了，这没完了吗？每天学一点，成绩高一点。 hello， 大家好，我是教数学的张老师。今天是二零二六年五月十五日星期五，我们来看今天的几道题目。 先来看第一题，说方程 y 零 k x 加 b 等于零，它的解释， x a 二说求函数 y 零 k x 加 b 的 图像，可能是，那么结合前面这个方程啊， 他的左边是 k x 加 b， 右边等于零，而我们知道 y 是 等于个 k x 加 b 的， 爷爷说现在 k x 加 b 等于零了，爷爷说 y 等于零的时候减的 x 等于二，说明这条直线过二逗号零这个点。 那么来观察一下他的这四个图像，第一个是负二，零排除掉，第二个是 y 轴零负二，我们要发现他应该是交 x 轴啊， x 轴的焦点， 所以说 b 也排除掉，那 c 是 二度号，零可以，然后 d 选项是零度号，负二了，交于 y 轴了，也不对，所以说选 c 啊，这是第一个， 他可能还会可能出一线啊，在头像给你一个点，假如说在这里啊，出现一个 啊，一等号一啊，说 k x 加 b 等于一的时候解的 x 等于一， 那么你就找这个点是一逗号一的就可以了。人说他不会直接告诉你这个点，而是以这种他和方程以及函数间关系啊，转化成点的坐标的形式去告诉你去找图像。在第一题第二题 说这个一次函数啊， y 等于 k e x 加 b， e y 二 k 二 x 加 b 二，它这个图像交于 p 点一逗号三说关于这个 x 的 不等式， k 一 x 加 b 一 大于 k 二， x 加 b， 二大于零啊， 那么 y 一 y 二，我们把后边这个不等式转化成我们这个直线之间的这个关系啊，表示间隔期。那前面的 y 一， x 加 b 一， 就转化成了 y 一 大于 k 二， x 加 b 二就转化成了 y 二，然后最后再大于零。人家说 y 一 要大于 y 二要大于零，那首先 零的话，其实就是我们的 x 轴嘛，它就是 y 等于零嘛，其实就相当于转化成了 y 一 大于 y 二大于我们的 y 等于个零，而 y 点的就 x 轴，那人说大于零就得在这个 x 轴的上半部分， 那我涂个颜色啊，爷说他的这个符合要求的区域在上面部分，那上面部分里边哪些才是呢？再结合他的这个 y 一 要大于 y 二，那爷说 y 一 所在的直线要高于 y 二所在的直线，那找这种直线，先找他们的焦点， 焦点是 p 啊， x 一 y 等于三，那么在焦点的左侧，我们会发现是这个 y 二要高，然后 y 一 呢要低，不符合我们的要求。那么再看它的右侧， 它右侧 y 一， 哎，跑到上面去了，而 y 二呢，跑到下面去了，那么 y 二能一直往下吗？它这里有一个要求，你得大于零，别说在这个上半部分， 那我们找出来其实就是符合要求的，就是这里， 从这个焦点 x 等于一开始， 那么在一的右侧一直到哪呢？一直到这个四，这里 超过四就不行了，因为超过四它的这个 y 就 小于零，虽然说它还符合我们的这个 y 一 大于二，但是它不符合大于零了哈，所以说最终 x 的 取值范围就是 大于一小于四啊，在这个一到四之间，这个 y 一 大于百二，然后大于 y， 零啊，大于零，这是第二题，随着这题选我们的到啊。 再看第三题，说下列结论正确的是，函数 y 等于负二， x 加三，说 x 取值范围是负一到三，说图像是一条线段， 这个的话，我们结合图像，我们这个一次函数，它是一条直线，那如果你规定了 x 的 范围了，假如说这个样子啊，啊，这个 for x 应该是从左往右划啊，往下一个下降趋势，然后他的这个 x 啊， 画一个剪图啊，就不画出来了啊， 好，对的， 左边这条直线啊，是 x 等于负一的时候，右边这条直线是 x 等于三的时候，那 x 取负一到三，也就是说截取这一段，还有包含这两个端点处的哈，所以说它是构成了一条线段， 然后把它加粗一些，也说这啊一条线段没问题，所以说 a 是 对的哈。那么 b 说一次函数，这个我们的 x 减一，它的图像与 x 轴的交点，那与 x 轴的交点就让谁等于零，让 y 等于零，让 y 等于零的时候，解出来 x 应该是等于个一，也说它应该是一逗号的，所以说 b 选项错在这， c 呢，说在 y 轴上的截距是负二，我们这个截距怎么去看呢？把这一次函数转化成我们的这个一般式。怎么转化成一般式呢？啊，我们来看一下 挠一挠什么去了？四， y 等于个四， x 减四，再减二就等于四， x 减六， 而我们知道 y 等于 k， x 加 b 是 它的一般式，这个截距就是比 y 轴的焦点的动作标。那么您说当我们的 x a 零的时候， 那对应的这个动作标球赛就是 y 等于个 b， 要看 b 就 能看成截距了，那这里的这个 b 是 我们的负六，进而就推导出来这个截距 就是我们的负六，而不是负二啊。这是 c 选项错在这，那么 d 选项 说他他他他这个图像一定经过二次相线，如果一定经过二次相线，就翻译成来他的这个 x 前面系数 k 应该是小于零了，那么来看这个到底是大 a 零还是小于零？我们先把它进行化简合并一下啊， 它应该是 y 等于负的， m 方减一，咱提个符号，负的 m 方加一，括起来 x 再加三， x 再加 n， 那 合并了同类项，那就是三减去 这个 m 方加一，扩起来这个 x 再加 n， 那 么爷爷说你的这个经过定义上也是由这个 m 方加一，然后三减 m 方加一来决定。我们知道 m 方 是大于等于零的， m 方加一呢，它就大于一大于等于一， ok， 那 么你三减去一个大于等于一的数，那么它可能如果是刚好是三的话， 那你三减三，那就是个零啊，那我们可能我们不能等于零，那你如果是比三大，那么你就是负的，如果你比三小，那就是正的。其实他会有三种情况，别说你这个 m 方 加一，他可能大于三，也有可能 m 方加一小于三，还有可能 m 方加一等于个三， 如果 m 方加一大于三的话，那三减一个大于三的，那这时候他的这个 k， 这个整体是小于零的，那这时候是二四。如 m 方加一小于三的，那这时候你的 k 是 大于零，那过的就会过一三。你如果等于零呢？ 你如果等于三呢？你用 k 等于零，而 k 等于零，他就不符合要求了，所以说这里他说一定过啊， k 绝对了。所以说第一是抄在这啊，得位题。第四个 说 y 等于 k， x 加 k 啊， k 不 等零，与三 x 减六交于第四象限，说则 k 的 曲的范围。这题我们需要画个土啊， 咱先把已知的这个三 x 加减六的这个画一个草图，那他结合 k 是 三，那应该是过一三再减六呢？向下平移六个单位，那画一个草图，大概长的就是这个样子啊。好，那这个焦点坐标就是零，逗号负六 啊， x 轴， y 轴圆点。这里要注意另外一条直线，它是 y 等于 k， x 加 k， 我 发现这里的这个 k 和后边这个 b 也等于个 k， 它们是啊，相同的，也就是说你 k 要大于零，你的这个 b 也就后边这个 k， 他也要大于零，所以说你开如果大于零，那你是过一三，你这个 b 也要大于零的话，那向上平，那还过个二，那此时他 好，我们再来看第二种情况啊，你如果 k 小 于零，那 k 又等于个 b 也小于零的话，你 k 小 于零，是过二四，那你 b 也小于零。次，再往下平，过二三四。那如果是第一种情况，过一二三象限的话，那咱画的图大概长这个样子啊，那可能是这个样子， 它即使有焦点，我们会发现它这个焦点会出现在第几项线，可能会出现第三项线，它永远不会出现在第四项线，所以第一种情况就排除掉。 好，那么我们把它擦掉，那第二种情况，那就开小矮陵的时候，那过的是二三四，那可能是这个样子啊， 可能这个样子，这是一种情况，也有可能是这个样子，那要想他们的焦点比赛第四象限如果是蓝色的这条直线这种情况，那他你又发现 他的这个 k 因为是过二三四弦影， k 等于小于零，这时候我们发现，呃，好像都符合 k 小 于零了，那 都能选吗？我们再来接着往下看，是，如果是紫色这条线，那又发现他这个笑点 就跑到第三项线去了，就和我们第四项线焦点不符合了来说，他可以怎么办呢？别说他有个临界点，就是在这个 y 等于三 x 减六这条直线与 y 轴的交点这个零负六这儿，它的这个 b， 也就是说这条直线啊，它抵在这个零到负六的上方，你不能跑到它的下方，你 而且也不能取到这个负六。如果你刚好是到零，这个过零到负六的话，你就发现他这个焦点在这个 y 轴上了，而 y 轴既不属于他，不属于任何象限，所以说 y 轴的点不属于任何象限，那他也不符合要求，那他这个点 焦点的位置就要向上平移，别说他与 y 轴的这个焦点啊，那大概就是什么要比我们的这个 负六要高，那高的话，那就是大于负六，但是你的 k 和 b 是 一样的， 你 k 还得小于零，谁说你光大于负六还不行，还得小于零，所以进而我们这个 k 的 取数范围又是大于负六小于零，那最终这题就选 a 了啊，这是结合图像来去确定它的范围。 好，今天的分享就到这，感谢各位大家聆听，我们下期再见。

啊，哈喽，大家好，今天是二零二零年五月九日星期六，我们来看今天的这几道小题。 先来看第一题，已知函数 y 等于 k 减一， x 加上 k 方减一，它是一个一次函数，求 k 的 趋值范围。那这里我们要注意，简单回顾一下，我们这个一次函数的表达是， y 等于 k， x 加 b， 其中 k 不 等于零，那这里这个前面 x 前面系数 k 减一，这个整体 不等于零。然后至于 k 方减一呢，无所谓，他没有要求。那么直接看一下这一就能得到 k 不 等于个一， 那么 x 取之反又是除了 k 不 等于一之外的啊，其他的所有式数啊。这是第六个啊，非常简单。 嗯，第七题，先读题，说关于 x 个方程它的解释， x 等于负一， 说直线 y 零 k s 加二， b 一定经过哪个点？这题我们思考一下啊，现在看条件，他给的这个有什么用？那给完这个呢，咱立马就能想到哦，既然他是他的姐了，那把他带入之后，他是成立的。 所以说第七题啊，咱们把这个 x 等于个负一带入这个方程， 那看带入之后得到啥，那就是负一乘 k， 也就是负 k 加上个 b 等于零，然后一个项，那 k 就 连个 b 了，那得到 k 和 b 这个等量关系之后，我们再把它带入到第二个直线表达式， y 等于 k， x 加二 b。 好， 既然 k 等于 b 了，那咱可以把 k 换成 b， 也可以把 b 换成 k， 那 我这里我把这个 b 换成 k， 那 就是 k， x 加上个二， k 和平的同一项实物就变成了这个 x 加二，括起来的 k， 你 们都有 k 吗？好，这题他说了啊，一定经过某五点， 这个题句话怎么去翻译呢？我们可以带几组 x 值来看一下。如果 x 等于一的时候，我们会发现 y 就 等于这个 k 加二， k 等于个三 k， x 等于二， y 就 等于这个二， k 加二， k 等一个四 k， 好， 以此类推， x 等于三啊， y 等于三， k 加二， k 等一个五 k， 我 发现随着 x 的 曲值，那他的这个 y 始终和 k 有 关系， 那人说 k 会影响我这个 x y， 那 么现在我们要求的是这个一定经过某个点，那也说明不受这个 k 的 影响，那只要不受 k 影响，那就让 k 前面这个系数 x 加二等于个零。此时你看 让 x 加二等于零的时候， x 等于负二的时候，我们再代入一下， x 等于负二的时候， y 此时就是 负二， k 加上个二 k， 哎，等于个零了。此时你看这个点负二多少零。你发现我们 x 和 y 这个外值和我们这个 k 没有关系，那他就一定会经过这个点，无论你的 k 取啥， 他最终这个 k 前面就等于零了，那我的这个外值是固定的，就不会受 k 的 影响了。所以说一定过负二零这个点啊。这是第七题 好。第十二小题先读题说，现在由 x 和 y 分 别满足两个等价关系式啊，一个是 x 等于三分之二， t 加 k， 另一个是 y 等于负二， t 减三， k 减三，那我可发现 x 和 y 都和这个 t 和 k 有 关系啊。 k 为常数说，我们就称这个点 m 啊， x 动和 y 为好点。第一小问，若 p 一 动和 m 是 一个好点，那则 m 等于几？那我们就根据这个定义啊，新定义嘛， 它这里的 x 是 等于个一， y 是 等于个 m， 结合它这个好点，要满足 x 等于个三分之二 t 加上个 k， 而这个 y 呢？要满足一个负二， t 减三， k 减三。好，我们把这里 这个提取出来，就能得到这个 t， 还有 k， 还有 m 之间的关系。那想求 m， 我 们根据第一个这个 t 和 k 的 六关系啊，咱们把它带入幻语啊，然后咱稍微把它整理一下 k 啊，第一个整理下 k 就 等于个一，减去三分之二 t， 那 下面是 m， 它等于个负二， t 减三， k 减三，那么就把这里的这个 k 啊，利用上面这个和 t 的 关系给它画圆。 那就等于什么呢？把它往下写一写啊，就等于负二， t 不 用动啊，负三乘上这个 k， 而 k 转化成了 e 减去三分之二 t， 然后后边减三不用动，那我们来化解一下 负二 t 减去个三，加上个 r， t 再减三。哎，发现负二 t 和正二 t 一 合并，一抵消没了负三减三变成负六了，其而求成的 m 等于个负六，这是第一小问， 那我们再来看第二小问。好，我们看第二问， x 大 于负三小于六，在这个范围内说，若直线 y 等于 x 加 c 存在着好点， 那么则 c 的 区域范围，那他给咱 x 范围要求 c 的 范围，也就是我们要得到 c 和 x 的 一个关系。那到底什么的关系？我们需要借助第一问啊，这个提莫嚷东的这个 x 和 y 的 这个关系哈，我们来看 你，既然 y 等于 x 加 c 了，咱一个项 c 就 等于个 y 减 x， 那 我们把这个 y 和 x 把它带入进来， y 是 等于我们的负二， t 减三， k 减三，然后呢？减掉我们的 x 是 三分之二 t， 再加上个 k， 我 们来看得到什么？负二 t 减去三分之二 t 等于负的三分之八， t 负三 k 减 k， 负四 k， 然后减三 f， c 等于它，那它和我们的这个 x 有 什么关系呢？结合它， x 是 等于个三分之二 t 加上个 k， 那我们只需要把他们俩研究出来他的关系就可以了。我们可发现我们把这个 c 等于这个 t 和 k 的 关系啊，给他提一个负四出来，负三分之八， t 提个负四，那还剩个三分之二 t 负四， k 提个负四，还剩一个 k， 然后负三不用动。哎，发现这正刚好括号里面就是我们的 x， 进而就得到负四 x 减三了，也就是我们 c 和 x 的 关系就等于 c 等于负四， x 减三， 那么现在在 x 是 大于负三小于六的，我们把这个 x 变形成负四 x 减三。第一步先乘个负四，那这里要注意同时乘一个负数要变方向啊。那么左边就是负二十四了，那右边负六 负三，乘负四小于十二，然后再同时减掉三负四，再减三的就负二十七了。 右边十二减三就是我们的九，而负四 x 减三就是我们的 c， 进而 c 九大于负二十七小于九，这就是我们的这一题。好，那我们来看最后一个 最后一题哈，给你两个 x， 两个 y， 然后说它是一个一次函数，那这就是用我们的这个待定系数法，根据两组 x y 的 去值，我们列两个 关于 x 和 y 的 二元次方程解而解它的不等式。那我们来可以看一下，是 y 等于 k， x 加 b， 那 k 是 不等于零的， 把这两个点分配带入，一个是三， k 加 b 等于个七，一个是负， k 加 b 等于个负，那么一化解求出来啊， k 等于多少， b 等于多少？ 那这里计算的过程咱就胜率，我们直接啊把 k 和 b 求出来， k 等于三， b 等于个负二，那么 y 就 等于三， x 减二，那么第二问，当 x 等于四，求 y 的 值啊。第二问，把我们的 x 等于四代入， 那么 y 就 等于三，乘上四减二等于个十，所以说 y 等于十了。好，今天的分享就到这。