济南数学中考15题类型
济南中考数学距离中考还有二十七天，这份押题简直绝了！选择题第二题考的是立体图形的主视图，这是基础知识点，要求学生要有立体图形思维。选择题第十题 是中考数学选择题压轴题，是区分度最高的题型之一。综合考察二次函数的核心性质是中考高频易错点 填空题第十五题属于几何综合题，常结合勾股定律相似三角形，是学生的高频优分点。解答题第二十题是解答题必考题，是学生必须拿分的题型。剩下的题型在这里不多讲，祝各位考生金榜题名！
粉丝5538获赞1.7万
相关视频
08:09查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学们，今天我们来做一道二零二五年山东省济南市的中考真题，这道题目呢，涉及到了一个三角形的内切圆的问题。好，我们一起来看一下这道具体的几何题目。如图是圆，是三角形的 abc 的 一个内切圆啊，就是这个圆， 这个圆 o 好， 与 a、 b， a， b， b， c， c， a， a， b， b， c， c， a 相切于点， d， e、 f 啊，也就是这三个点好，我们观察这个三个点，会发现它们都是由圆 o 连接了啊，这个切点的啊，几条半径，好，那这时候我们就应该意识到啊，一条线和圆相切，那么圆心到这个啊，切点的连线应该是垂直于这条直线啊，垂直于这条直线，所以我们得到了 三个直角，给它标注上，好，那角 d， o， e， d， o， e 等于一百二十度。标注上啊， ef 等于一百五十度，一百五十度， 好啊，这，这是我们得到的啊，条件好，继续，那么我们求三角形的三个内角的大小，我们要求三个内角的大小的话，我们来看一下啊，首先我们看到啊，在这个啊，在这个圆里面，我们发现，首先我们可以求一下角 f、 o、 d 啊，因为一个圆周角是三百六十度，那么它就等于用三百六十度减去我们已知的这两个角啊，也就是减去个一百二十度啊，再减去个一百五十度， 好，那我们可以把它求出来，它最终的话是等于九十度，好，就是说这也是一个直角好，这个时候我们会发现，在这个 a、 f 这个四边形 a、 f、 d、 o 中有三个直角， 有三个直角，好，那么四边形啊，这个 a、 f 啊， o、 d， 它就是一个矩形，并且呢，它还有啊，这个相等的这个边，你看它的零边长度相等 d， o 等于 o、 f 啊，这两个边长度相等，所以它是一个正方形， 好，正方形 a， f、 o， d， 好， 这是我们得到了有利条件，好，那么角 a 的 度数自然就出来了，角 a 的 度数的话，就等于九十度，因为它是一个正方形嘛，对吧？矩形， 好，那它四个角的话，显然都是直角，好，我们来看啊，这是 a 角的度数好，关键是我们要求 b 角和 c 角的度数好在这个四边形啊，在这个四边形 d、 o、 e、 b 中，它的内角和是三百六十度， 那我们知道了，这个是直角，这个也是直角啊，这个是一百二十度，那我们直接去减就可以啊，减一百二十度，减去九十度乘以二，那我们就可以把角 b 的 度数去计算出来，那么啊，就等于 啊，角 b 就 等于三百六十度，减一百二十度，是一百四十度，一百四十度，减啊，二百四十度，二百四十度减去一百八十度，那么就等于六十度，这是角 b 的 度数啊，角 b 等于啊，六十度，好，这是我们求的角 b 的 度数，角 c 的 度数也是一样，角 c 的 度数，这个角 f、 o、 e 有 了，这两边都是直角，同样的啊，也是用三百六十度减去一百五十度，减去九十度乘以二，那么就等于啊， 就等于啊，我们来算一下，一百啊，一百，这是一百五十度，二百一十度啊，二百一十度，减去一百八十度，就等于三十度啊，三十度， 好，这是我们求的角 c 的 度数就等于三十度，好，这 abc 的 度数就求出来，那么第一问我们就解决了啊，三个内角的度数。好，那继续，我们来看，我们也可以把我们求出的条件啊，给它标注在这啊，三十度。好，继续。那圆 o 的 直径是 d 啊，直径是 d， 那 么让你证明 d 等于 ab 加 ac 减 bc。 好， 这个时候我们来看啊， ab 就是 这一条边， a c 就是 这一条边， a c b c 就是 这一条边，也就是说它等于 a b 加啊，这个两个直角边的长度减去斜边的长度。好，我们怎怎么进行证明啊？这是第一问好，我们来看第二问 好，第二问好，那这个时候呢，我们会发现啊，我们去连接一下啊，连接一下这个地方，我来做一条辅助线。好，这个地方我来做一条辅助线。 好，这个时候我会发现啊，从在这条这个 o 呢，同时是在这个 b o 直线和 c o 直线上，并且由 o 出发到 由 o 出发，在这个角 a， b， e 中，由 o 出发到 a b 和 c b 的 距离， d， o 和 e o 是 相等的，这说明这个 o b 是 角 a， b， c 的 平分线，角平分线， 因为在这条直线上，这个点到两点的距离相等，所以它就是它的角平分线。好，所以我们找到了角平分线之后，我们自然而然的就可以得到。哎，这两个角的度数是相等的，所以说角啊， d， b， o 等于角啊， o， b， e 好， 那么 o b 本来就等于 o b。 好， 还有一个相等的角，就是角啊，这个 o d， b 等于角 b， e o 啊，当然我们这个地方啊，我们可以写成 o b o， e b 啊，好，那这个时候我们就满足了， a a s a a s 那 么三角形啊， d， o， b 全等于三角形 e o b， 好， 那这个时候我们就会得到了 d， b 就 等于 b， e， 好， 这个时候 d， b 就 等于 b e， 好， 这条线段被转移到这边来了，对吧？啊，转移到这边来了，好，那继续。那同样的道理，我们也可以证得 这个 f、 c 呢，它也是啊，等于 c， e， 同样的也是 o， c 是 角， f c， e 的 一个角平分线， 那么可以证 f， o， c 和 e o c， 它俩是全等的，它俩全等了之后呢，也是 a a s 两个角啊，两个角和一条边 a s， 那 么 f、 c 就 等于 e c 啊，就是这一条边等于这一条边。好，那这个时候我发现这一边儿， 这两条边啊，都被转移到 b c 刚好 d， b， d， b 加上这个 f c 就 等于 b c 了。好，所以 a， b 加 a， c 减掉 b， c 还剩了 ad 和 af， 这是啊， a， b 加 a， c 的 和它俩减掉了这个啊， b、 c 就 等于还剩下了 ad 和 af， 那 ad 和 af 刚才我们正过了，它是一个正方形，对吧？所以说它四边长度都相等， 四边长度都相等，那么这个 a、 d 就 等于 af， 并且就等于圆的半径，所以 a d 加 af 就 等于两倍的圆的半径，就等于 d， 好， 所以我们正出来了， ab 加 ac 减掉 bc 就 等于 d， 好， 最后我们就把这个第二问给正出来。好，这道几何题目你做会了吗？关注我，我是胖老师，我们一起学好初中数学。
76匡老师讲初中数学
21:37查看AI文稿AI文稿嗨，同学们好，我是虫虫老师，今天给大家带来淮阴区的二模试卷分析二模的这个试卷哈，还是从第九题开始分析，那么第九题呢，是仿着我们的去年中考来的 天桥二模也同样出现了这个题哈。首先，根据他的作图痕迹，先画了个弧，又打了个叉，我们能够得到 a 的是角平分线，对吧？所以这个点看这个点哈，他就是一个，呃， 角平分线啊，我们现在什么的也得不到哈。那么其次，这一个叉，这一个叉，所以我们能够得到 e h 呢，是垂直平分线， 垂直平分线的话，说明此时的这个点是不是就是 a 的 一个中点啊？其次，这里是垂直，那也就是说，如果我标个字母是个 q 的 话， 那 q 这个点我们就能得到 q 这个点， a q 这条线既是角平分线，又是高线，所以根据三线占两线，我们能够得到 af 是 等于 a e 的， 他说 af 是 五，所以呢， a e 也是五， c e 是 三，让我们去求 ac 的 面积，那到这我们是分析不出来的，所以我们再去利用垂直平分线的性质，到线段两端内的距离相等，这样的话，你会得到，一得等于 a 是 五， f 得等于 f， a 是 五，所以这个图形就是菱形， 这样一得的长度就得到了是五，根据勾股定律能够求出来， c 得是四，这样三角形的面积就可以求出来了。所以考了一个三线占两线，一定是等腰的性质哈，不是很难。 那我们再来看一下第十题，第十题呢，考了一个运动轨迹的问题哈，那么他是这么说的，这是一个正方形，边长是没有告诉我们的，他说 b e 是 bc 的 三分之一， 那么 p 呢？是从 b 往得出发， b 和 p 之间的距离。又说这一段长度是 x， p e 加上 p c 呢？是 y。 这个题是一个图像问题，对吧？但是它给了我们一个 y 的 最小值是根十。 那么你要注意哈， p 是 不是在正方形的对角线上啊？这里有一个，如果我去连接 pa 的 话， pa 的 长度是始终等于 pc 的。 来看这边哈， 因为你连接 pa 之后，这个 p 的 a 和 p 的 c 这两个三角形四十五度等于四十五度公共边，正方形的边长它是始终全等的， 所以我的 pa 加 pe， pc 加 pe， 就 变成了 pa 加 pe， 那 么最小的时候就是啊，直接连接三点共线的时候，此时这个点 p 就 在这个位置， 也就是说此时的最小值就是 a， e 的 长度是根十。如果我设 b， e 是 x， 那 这个 c， e 是 不是就是二 x？ 正方形的边长是不是就是三 x 啊？正好满足一比三比根十嘛，所以我们就能得到 b e 的 长度是一，正方形的边长是三。 好了，那我们再来看哈，这样知道了正方形的边长之后，我们再往上走的时候，那么我始终把 p c 都转换成了 pa， 那 p e， pe 在 这，对吧？你会发现，哎，要想它最大，那是不是就是让 p 走到得的时候，这样一连是不就是最大的时候啊？ 那 pc 的 话始终等于 pa， 所以 pc pa 要想最大，很明显是不是也是让 p 走到得的时候？我们就知道了，当 p 运动到得的时候，这个 y 值是最大的，那此时的 pe 就是 d 的 长度。勾股定律在 d e， c 里边求出来是根十三， 那么此时的 p a 就是 得 a， 它的长度就是三，所以我们答案就选的是啊 a， 所以 这个题你得随着去动哈，别的方法没有，也不是很好想，几何是最好想的哈，这是我们的第十题， 那么往下的话，这个第十四题没有出，我们常规的一次函数应用，出了一个反比例的 k 的 几何意义哈。 首先这个地方出现了一个垂直，所以我们的想法肯定是一线三垂直，那么由于它的 o a 是 根二倍的 o b， 也就说我往下做垂线之后，这两个三角形相似相似比就是一比根二， 那么我往下做了这两个三角形，是不是我们有一个之前学过的，就是和它的面积相关的一个知识点，就是这两个三角形的面积是不是二分之 k 的 绝对值啊？ 所以既然相似比是一比二，那说明面积比就是啊，一比二，那么这个 k 不是 四吗？所以这个小三角形的面积就是二，那说明这个三角形的面积是扩大两倍，就是四，所以二分之 k 的 绝对值是四，那 k 的 因为他在二四相间啊，这个一定要注意， k 是 负的，所以 k 就是 负八，那这样的话，第十四题就完事了，那么第十五题也不是考的折叠问题，他考了一个费马点哈， 他是这么说的，这个直角，这是个 a c b 啊，是个直角三角形， a c 和 bc 的 长度分别告诉我们了， p 呢，是一个动平面内的一个点 b， p 的 长度始终是一。那么读到这一句话，其实你能够知道， p 的 运动轨迹其实是个圆，它的圆心就是 b， 它的长度就是一个 b 半径哈，它是一个定点加定长的一个问题哈， 好，继续往后读，他说 o 呢，也是里边的一个点，相当于是 o 也是一个动点，让我们求 o a 加 o c 再加 o p 最小值，那么在做这一类问题的时候， o 在 三角形的内部对吧？ o a 加 o c 再加 o p 什么时候最小呢？其实就是我们的分码点问题， 分码点的话，你审肯定是想办法让这三条线段是不是在同一条直线上呀，那么它不在。所以 我们初中所学的三大运动，翻折叠、平移、旋转，我们就要用到旋转，那么转的话，记好了，这个知识点就是转六十度。因为我的目的是为了出等边哈， 所以我把这个三角形 o c p 绕着点 c， 因为这里不是有特殊角直角吗？绕着点 c， 顺时针、逆时针都可以哈，顺时针旋转六十，这样 o c 就 转到了 o c p 呢，就转到了 cp 一。 那么由于我转了一个六十度，所以我连接 o o 一 的话，这个三角形 o c o 一 是不就是一个等边三角形啊？ 此时我的 o a 还是 o a， 我 此时的 o c 就 变成了 o o 一， 此时我的 o p 是 不是就转换成了 o 一 p 一 啊？那什么时候它仨加起来最小？那是不就是三点共线的时候，也就是说最小值变成了 ap 的 ap 一 a p 一， 哈，要想这三条线段加起来最小，只需要让 a p 一 最小就行了。那么由于 p 的 运动轨迹不是个圆吗？那么他转过来，运动轨迹是不是肯定还是个圆啊？所以我肯定让他一箭穿心的时候最小。 那么你的 p 的 圆心不是 b 吗？你的 p 转过来了，你是不是得把 b 也转过来啊？所以我们就连绕着 c 转吗？还是连接 bc 转六十度转到了 cb 一， 这个角是六十，由于上面这个角 a c 一 b a c b 是 九十度，所以此时我拿个黑的哈，此时我们的这个大角是不就是在九十度的前提下，再加上这个角是六十，就是一百五十度啊， 那么这就是你的屁，你的屁是个运动轨迹，是个圆，转过来 p 一 就是一个圆，所以在这边没转之前，它的圆心是 b， 那 么转过来它的圆心就是 b 一， 它这就是它的运动轨迹。要想着我们求这个，刚才说了最小值不是 a p 一 的长度吗？所以我们就是一箭穿心， 半径肯定知道的是一，我只需要知道 a、 b 一 的长度就行了。 a b 一 的长度哈，所以我们的 a b 一 长度是多少呢？因为这个是一百五十度嘛，我肯定要把 a b 一 放在直角三角形里边，所以我们给它连接一下。 a b 一 好连接， 放在直角三角形里边过 b 一 往这做垂线，往谁做垂线呢？往 a c 的 延长线做垂线。一百五的旁边是不是这个补角就是三十度啊？ c b 转过来是四，所以三十度角所对的直角边 b e、 h 这条边就是二， 那么这个 c h 就是 二根三，所以此时的 a、 h 就是 五根三，这样勾股定里五根三的平方加二的平方，所以我们的 a b、 e 长度就是根号七十九，这样半径又是一，所以最小值就是啊，一箭穿心，那就是根号七十九减一， 所以这个题，这是一个飞马点问题哈，当你不知道这是一个飞马点问题的时候，怎么去做呢？原图里边做不出来的时候，我们就想平移，旋转以及折叠，或者说构造特殊三角形， 所以基本上考平移的可能性要少一些，基本上就是旋转呀，或者构造特殊三角形去做哈，这是我们的第十五题， 那么再往下这几个都比较简单，我们来看一下反比例，反比例函数这次考的也很简单哈。 首先这些点坐标表达式我都不再多说，那么第二问，注意， m 是 在正半轴上一个点， m a b 等于二倍的 a o c， 那 么首先 c 点坐标我们是已知的负一斗零， a 点坐标也能求出来是二斗三，所以 a o c 的 面积就能够知道求出来是二分之三哈， 底儿嘛， o c 高就是 a 的 纵坐标，所以我的 m a b 的 面积是不是就是三呀，因为它的两倍嘛。 那我们来看一下 m a b m a 这个点确定， b 这个点确定，那么 m 在 y 轴的正半轴，所以这个三角形是不是一个不规则的三角形啊，所以我们立马套不规则的三角形公式。二分之一铅垂高程啊，水平宽。 那么我们一直说的是过动点铅垂，所以我们过 m 向 x 轴做垂线交对边，那么我标了一个字母，是啊，得，所以我们的铅垂高，就是啊， m 得 水平宽，两个定点间的水平距离，所以 x a 减 x b， 这样一带进去发现 m 的 长度啊，是啊，五分之六，所以得点坐标我们是知道的，因为 ab 的 表达式嘛，所以得点是零度一， 那么从得往上走五分之六个单位，所以 m 的 坐标就是五分之十一，那么如果往下走五分之六个单位，是不就成了零度负五分之一了？所以我们这个答案要舍掉，因为他说了在正半轴哈，这是我们的第二位。 那么第三问考了一个矩形的存在性，而且这个矩形存在性非常简单，为什么呢？因为他说了以 ab 为边了哈，我们矩形呢，是把它当做直角三角形去做，就考虑让谁当直角就行了。首先 a 和 b 是 不动的，所以我们让 p 是 不是在 x 轴上动， q 是 不知道的。这样我们第一种情况，让 a 当直角，所以画一条线和 ab 垂直，那么这个点就是我要的 p， 他 说在 x 轴上。 第二种情况，让 b 当直角，再做一条线和 ab 垂直，那么 p 二就在这个位置，这就是以 ab 为边做的矩形哈。那么 这个题让我们求 p 点坐标，让定点当直角垂直吗？出现了，我们考虑两个，第一个就是需求表达式，哎，发现表达式非常好求，用的方法就是 k 相乘的负一， 又因为过点 a 嘛，所以我们的过点 a 和 b， 所以 我们的 l 一 和 l 二的表达式都比较好求，这样两个点坐标就求出来了哈。但是这里我要再着重说一下，如果这个题他没有这个 ab 为边这个前提，那么我们还有第三种情况，就是让 p 档直角大体画一下图，是不是就是这个状态啊？那么这时候我们这个点如何去求呢？比如说我们今年中考就考了一个以 a、 b 为对角线，让它是个矩形，那如何去求 p 三的坐标呢？ 我们的方法第一个就是设坐标嘛，设 p 点坐标。刚才我说了，我们的主见到垂直有两个思路，一个是 k 强乘得负一，一个是不就是一线三垂直啊？所以我们画一线三垂直是不是正？这个小三角形和这个三角形相似就行了，设出坐标来。 所以无论让谁当直角都要会做，最重要的就是用方法哈，这是我们的这个反比例，按理来说，应该拿满分的会有非常多哈，因为真的不是很难。 再来看二十四题，二十四题不少同学也拿到了满分哈。那么首先，这个第一个题里边，你的 a、 c、 b 是 一个一比三的直角三角形，那么 a、 b、 c 呢？转了九十度和得 e、 c 是 不是全等啊？ 他说 a 的 a 的 长度，我们在这个图一里边是可求的，是根二，那么 b、 e、 b、 e 也是可求的，是不是 b、 e 转过来， c， b 转过来是 c、 e， 是 不是一比一比根二是三根二啊？所以数量关系就是三倍， b， e 是 a 的 三倍， 那么其次位置关系，所以把 a 的 延长，那是不是这个角就是九十度？这个是填空吗？不用正也行哈， 但是我们可以正一下，因为这个角是不是转过来，是等腰直吗？刚才说了四十五度，这个角是不是也四十五度啊？所以他肯定是个垂直哈。那么图二他问我们结论是否成立，那么我们来看一下哈， 它不再是转九十了，转了一个任意角，那么转任意角的话，你的 a、 c、 b 和你的 c、 e 是 不是依旧是全等的？所以九十和九十这个是成立的，那 a、 d 和 b、 e 肯定问我数量关系，既然不是相等，我们首先要证的就是 相似，所以我把 a、 d 放在 a、 d、 c 里边，把 b、 e 放在 b、 e、 c 里边，那么因为你的 c b 比 a、 c 是 不是个三比一？ 你的 e、 c 比得 c 是 不是一个三比一？九十和九十相等，中间夹着一个公共角，所以钝角是不是和钝角相等啊？所以我们能够挣出来相似哈，相似比就是三比一， 那么把得 a 给它延长出去，相交于点 h， 根据我们的相似前后的对应角相等，所以我们是不是能够得到这个角一是等于角二的呀？这里边有个对顶角，看到了吧，所以我们的八字倒角又派上用场了，这是不是那个八字啊？ 哎，这个八字描出来了，这个八字倒角，好，这是那个八字，对吧？所以这两个三角形又相似，那我的这个角是直角，所以我的这个角是不是也是直角啊？言之有理就可以哈。 这个第二问也不是很难，那么有的同学说，老师我不好去找相似，那么给大家教一个快速的方法，看见这个题是不是都是绕着 c 转的了吗？那你就找和 c 相关的三角形， 你看，我不看图，我就能会做 a 的 b e 绕着 c 转，所以一个是 a 的 c， 一个是 b e c， 这样就完事了哈， 正，他俩相似准没错哈。好，第三问。第三问的话，那我的前边的结论，因为他不是说转任意角度吗？所以我前面的结论， a 的 c， a 的 c 和我的 b、 e、 c 是 不是依旧是三比一啊， 它让我们求 b e 的 长度，好求 b e 的 长度。根据前边的什么结论呢？ a c 是 一， b c 是 三。 那在这个题里边，你看我画的此时 a 得 c， 因为你的这个 a 得 c 是 不是个等腰三角形， bc 也是个等腰三角形，对吧？ 让我们求长度的时候肯定没法做哈，所以我就想着，哎，这个图里边我肯定是没法做了，那么等于三角形。我们的辅助线常见的就是啊，三线合一，所以我过点 c 向它做垂线，我求 b e， 我 是不是可以求出来 a 得就可以啊？所以 我的 q 得和 a q 是 相等的，因为三线合一嘛，我设 q 得是 x， c 得不是一嘛，所以我的 c q 是 能表示的，是不是根号下一方减去 x 方啊。 那么整个 ab 的 长度，因为是个一比三，比根十，所以 ab 是 不是根十？所以我的 b 的是知道的根十减二 x， 那 我的 q 的 是不是就是根十减 x 呀？ 这样，这个 q c b 是 不是又是一个新的直角三角形？哎，所以我们就能够得到 c q 的 方，加上 b q 的 方等于 bc 方，这样我们是不是就可以解出 x 来啊？解出 x 来是十分之根十， 这样 a 的是不就是两倍，那就是五分之根十。又因为前面的相似始终是相等的这个比例关系，所以呢， b 是 不就是 c 的 三倍，那就是五分之三倍的根十。 所以这个图三并不是很难哈。考了一个前边的结论之下，又做了一个辅助线，方法叫做三线合一。 那么我们再来看一下最后一个题，最后一个题的话，第一问不在说，第二问考了一个 a 字相似，首先 e f 和得屁是平行的对吧？ 他说 c e 比上一得呢是一比二，所以这个地方一定要看好了哈， c e 比上一得是一比二，那么刚才我们说的 a 字相似，相似比是这个小的比上整个得 c p， 是 不是一比三啊？ 所以 ef 的 长度是一的话，那我们能够得到得屁的长度是三得屁这条线是垂直于 x 轴的，所以我们去求坐标的时候，这条线是不是叫牵垂线呀？凡是牵垂线，第一步来设坐标 表，长度表示得屁是 y 上减 y 下，让它等于三解方程就好了哈。解出来两个答案，我们都要，因为都符合第四项线，并且没有重点的情况哈， 这样第一这个题的话，前两位能达八分。我们再来看第三问，第三问，他是这么说的哈，说这呢是零的负一，好，这是零的负一。 n 和 m 呢，是两个动点，并且 o n 的 长度始终是等于根二倍的 c m， 那 么让我们求 g m 加上 o n 加上 m n 的 最小值。 那么这个题如果要是没有 o n 等于二倍的跟二倍的 c m 的 话，我们之前见过这种题，就是两动嘛，这个是动，这个是动，这个是定， 这个时候我们的最小值。你看，如果单看 m n 的 话，是不是 m 在 这往上做垂直就是最小的呀？比如说再加上这个 g m， 让它俩是不是尽量的贡献就可以了呀？所以我们要做这个 g 关于 bc 的 对称点， 那就做过来，假如说是这撇吧哈，那么做过这撇来之后，往 o b 上做垂线，这个点就是我要的 n， 这个点就是我要的 m， 但是你看啊，此时我的 o n 是 不是在这？那此时我的 c m 是 不是在这？如果我过点 m， 往 y 轴做条垂线的话， 往 y 轴，嗯，往 y 轴做条垂线的话， 往外入做条垂线，哈，这是 m， 刚才说了，这是 n， 这是那个，这一撇，对吧？那么这个 o n 的 长度是不是等于这一块？这一块是不可能等于根二倍的 c m， 因为很明显它是一个等腰直角三角形嘛。这个题里边有隐藏的四十五度， 你的 o n 肯定是比这 c m 小 的，所以说这个方法我们是啊，行不通的哈，这是之前我们讲过的叫两动一定方法，那么行不通的话，我们就要考虑别的方法了，那么你看，我再给它移回去，哈，我们这个方法是这个样子的。 那么首先我是，我，因为这个题里边我刚才说了有一个隐藏的四十五度角嘛，所以我过点 m， 做了一个 y 轴的垂直线，这样一比一比根二，我设这个横着的是 t， 这是 t， 那 c m 是 不是就是根二 t 啊？ 那我又，因为 o n 是 c m 的 根二倍，所以 o n 是 不就是二 t， 那 我得到了这个二 t 之后，哎，我过点 m， 如果往上做一个垂线的话，那这块是不是就是 t？ 这块是不是也是 t 啊？因为这块是 m 的 横坐标嘛，是吧？ 哎，也就说我这条线是不是就变成了中垂线了，既是中线又是高线，所以我如果连接我的 o m， 那 我就能够得到我的这个 o m n， 一定是个等腰三角形啊， 三线占两线吗？对吧？所以我的 g m 加 m n 就 变成了 g m 加 o m， 那 g m 加 o m o 和 g 都是不动的， m 在 动是不就变成我们的两定一动将军印码和最小了？所以我只需要做对称就行了，因为 m 在 bc 上动嘛，我过这个点 o 做 bc 的 对称点， o 撇这个坐标是非常好求的，斯都夫斯 做完对称之后连接我的 g o 撇，这个点就是我的 m 哈，最小值就是 g o 撇的长度，两点间距离公式一套就完事了，答案就是啊五， 所以这就是这个题的一个思路，转化方法哈，行不通的时候我们就转化。以上就是我们怀阴的二模试卷分析，谢谢大家记得点赞关注哦！
40虫虫老师讲数学~
01:43查看AI文稿AI文稿中考数学复习关注我，持续更新韩塑，山东济南的中考真体。某公司生产了 a、 b 两款新能源电动汽车，如图， l 一 跟 l 二分别表示 a 框和 b 框新能源电动汽车 充满电以后电池的剩余电量 y 与汽车行驶路程 x 的 关系，但两款新能源电动汽车的行驶路程都是三百公里时， a 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 b 款新能源电动汽车电池的剩余电量多多少？千二十红姐 两条曲线都是一次函数，通过点零八十和另外一组点，我们很容易可以得到， 尤其一只它的函数。解析式。 l 一 对应的是 y 一 等于八十减去零点一六 x l 二对你是 y 二等于八十，减去零点二 x 题目是求 行驶里程都为三百公里时，就是 x 等于三百公里时，我们可以令 x 等于三 十二， y 二等于二十， 三十二减去二十等于十二，难为千瓦氏，所以这一答是十二。
19哨子老师
08:12查看AI文稿AI文稿来，我们来看一下刚考完的淮阴区的第十五题啊，这个题严格意义来说比费马点要更难一些啊，正常的费马点呢，就是 三条线段，这也只是一个三角形里边三条线段啊，到三个顶点距离的最小值，我们叫称之为废废码点，那它这个呢，是一个类似于多了一个圆啊，多了一个一箭穿心。嗯，首先给大家讲讲什么是废码点啊？因为这个这个题大家之前没有接触过啊， 好，我我我随便有一个屁点，这个屁点呢？到 pa pbpc 到最小值到最小值啊，除非把你我们简单说一下，什么叫将军一马啊？你比如说这个将军这个点和这个点，随便举个例子吧。啊，这样， 我这有一条垂垂线，这个点 pa 到这个点 p p b， p a， p b 这两个点的最近距离肯定是做一个对称，是吧？做一个对称，那么连接 p c 就是 对点距离，那么这种呢，如果三个点都是到三个都是动点，这怎么办？我们一般采用的方法呢，就是旋转一条，比如说我们旋转这个三角形 a p b 旋转多少度呢？就是这个这个三角形，也就是说 ab 这个边，我只要转六十度，要转到这来，然后这个三角形 p 呢，也转六十度到这来， 那这两旋转之后，这个三角形和这个三角形是全等的，那这时候你如果连接，比如说 b 撇 a， 这是 p 撇，连接 p 撇，你就会发现，哎，既然是旋转 之后六十度，比如说你学站之后的长度是一样的，就是 ap 等于 ap 撇，那么 等有一个角是六十度的，等边三角形是一个等啊，等腰三角形是一个等边三角形，所以你它也等于 pp 平，所以这时候它最小值。你看 p c 加上我们的 pp p b 呢？因为你是旋转的六十度，所以它加上了，实际上加上 b 撇， p 好 加上这个 p a 呢？ p a， 刚才说了，又等于加 p p p p 撇，所以你看这个整个式子什么时候最小？ p c p 撇 p 什么都行，这这三条线，这三条线段应该是什么时候最小？四四点贡献啊，贡献的最小啊，这是一个简单的费马点啊。我们来回到这个题中呢，他的思路是这样的哈，我把它放大一些， 这时候你可以什么？你可以把我们这个，这个，首先你要明白这个屁点的这个轨迹啊，它说 b p 是 等于一的 啊，我们看一下它 b p， 它说等于一，就是屁点是实际上是绕着 b 点做一个以 b 为中心，半径为一的这样一个圆， 是吧？这圆运动随着这个屁点，我们没法进行一个旋转，那怎么办？我们这时候可以啥？哎？我们可以旋转 o a o c o p， 我 们可以旋转这个 三角形， a o c a o c 旋转它也可以， 那怎么旋转呢？就是还是六十度啊？记住一定旋转六十度，当然如果这里有个加权的根二的话，你就旋转到四十五度啊，二倍根三的话，就是也是三十度啊，都一样的，如果你旋转六十度，大家会看到我把它画下来，哈，大概是这样的， 好，这个 o 呢？旋转六十度，大概是到到这来 o 撇 a 呢，到这 a 撇，然后你连一下， 所以旋转之后得到的这样一个三角形和它是一个全等的，这时候我们的 o c 和我们的连接一下啊，我把它用红色笔，哈，红色笔，这个三角形，这个是一个什么？等边三角形，你旋转到六十度，所以 o c 等于 o o 撇。为啥等边三角形好，又，因为你旋转的六十度，我们的 a o 啊， a o 就 等于 a 撇 o a 撇 o 撇， a 撇 o 撇，所以这时候我们让我们求的最小值就是 a 撇 o 撇加 o 撇 o 加 o p 啊，这是，这是，这个 o p 是 在动的哈，这个 p 点是在这个圆上运动的红色圆上运动，所以这什么是最小一箭穿心的数， 所以这个题考察的出的非常好啊，因为大家就学到了引援，又学到了什么一箭穿心啊，好，那我们就把数字带入去求一下啊。嗯，首先呢，如果他 最终确实正好啊，得到他是在一条直线上，那么就这样的一个图形，那么就这样一个大三角形， 对吧？大三角形，左右垂直大三角形。好，那大小三角形的底边是多少？高是多少？我们来一起求一下啊。好，因为 o a o 等于 a 撇 啊， a c 啊， a c 等于 a 撇 c， 你 旋转的吗？旋转九十度，旋转六十度啊，这是个，这是个六十度啊，我们目的是啥？旋转六十度形成等边三角形，边和一边互相的转换 啊，它等于三倍的根三，所以这是四倍的三倍的根三，嗯，再画一下啊，不小心死擦掉了， 这个样子。好，这是个三倍的根三，所以这是个三十度吧，这是个三十度 啊，你刚才旋转六十度啊，对吧？六十度，好，三十度，三倍的跟三，你的斜边就是二分之三倍的跟三，而你的这个底边，比如说 a m 吧， a m c m c， 这就等于除以他到这个边，这个边到这个边的转化是乘以跟三，那么就是二分之九， 这是四，所以在我们就看到一个非常非常细的三角形啊，这个三角形是这样的， 就是二分之九加四是多少？二分之 十七，这个是多少？这个是二分之三倍的根三。那我们购物令里来 a 撇 b 啊，这是个 b 点哈， b 点，那么就等于 a 撇 b， 就 等于根号下二分之三倍的根三，二分之三倍的根三的平方加二分之十七， 等平方减多少等于根号线啊，这个是多少？四分之多少？四分之二十七吧， 然后加上四分之二八九，这个记住啊，这个十七的平方二八九啊，等于四分之多少三三幺 三幺六等于多少？七十，根号下七十九吧，根号七十九，所以你 ab 撇等于根号四十九，那我们一箭穿心呢啊，因为你还有一个半径了啊，你要减去这个半径，所以最终答案是根号下 根号下七十九减一，所以这个题答案就对。好，这个题给大家讲到这。
75鞠老师讲数学物理
03:19查看AI文稿AI文稿今天天桥二模的试卷已经考完了，我们来看一下整体的难度。这套卷子呢，我感觉难度算是比较中规中矩，但是呢，他有些题目考的会比较新鲜，或者说平时见的不是很多，包括一模的试卷，给我也是这种感觉啊，就是题目不是特别的常规啊。 然后我们来看一下题目，九题难度比较适中啊。我记得当时天桥一模的第九题考了一个角平分线定律，好多同学就比较懵，没太想出来。这个题呢， 比这一模的难度要小了很多。第十题是一个比较常规的二函数与新定义结合的，这种题型去年考的还是比较多的，今年各个模考里边出现这个题，出现的频率就不是很高。 然后第十五题，这个题的难度我觉得要比这第十题大了不少啊。没有考比较常规的折叠问题，考了一个一线三垂直和构造相似啊，我觉得这个题不是很好做啊， 有就是后面的这个大题啊。二十三题，这个题呢，看起来考了一个新定义的题，叫被边矩形，他外面包的这个壳子特别厚，需要你能先搞清楚这个定义是什么， 有了定义之后去拆分这个被边矩形啊，我实际上是把它拆分成一个直角三角形，有了直角三角形以后，要考虑到跟直角三角形结合比较多的一线三垂直的结合，那我觉得这个题的整体难度来说要稍微的大一点点啊，他没有那么好得分。 我记得天桥一模的试卷，当时二十三题也是考了一个新定义的题，大家对于这种新定义题的做法都是会有一种天然的恐惧感，总觉得读不太懂题，所以这时候其实就是考验了大家的读题分析能力啊。实际上读完了题以后再去做未见得很难，但是很容易糊住一部分同学。 然后这次的第二十四题，整体来说难度不是很大，他的第三问问的比较新鲜，问什么时候这个三角形是一个锐角三角形，其实就是找一个临界状态，看他什么时候是直角三角形，所以他考的是一个直角三角形存在性的问题，如果能分析到这一点的话，剩下的部分就不是很难了。 然后这个题呢，跟二五年的历下三模的反比例函数那道题的第二问考的特别像，大家如果要是想再去练一下对应的这一道题目啊。 然后二十五题，这个题考的是一个十字架模型，正方形、矩形、平行四边形里边的十字架模型。第四问来说，整体的难度就非常大了，近几年在这个各个模考里边，十字架模型没有在大题里边出现过了哈。这个题应该得是 三四年以前的考试题，里边曾经有过类似的题目，但是近几年不太常见了。我记得天桥一模的这个几何压轴也考的 比较新鲜。安桥这两次模考的卷子怎么说呢？你说难吧，他确实有点难。然后问法呢，确实也比较新鲜，就是 感觉没有那么常规，可以在这些题目上多去拓展一下你的思路。哎，中考说不定考到的就是一些比较偏的，这种知识点也不好说，所以大家可以做一做，去拓展一下，看看哪些题型是你没有见过的， 大家也可以做一做，去感受一下这些不同的问法，遇到的时候该怎么去解决。但是呢，也会有一个问题，我总觉得这种题可能会让一些有实力的孩子考不出来特别好的分数，不知道咱们天桥区的同学和家长对这套卷子的感觉怎么样？欢迎在评论区里大家探讨一下呀！
122秋解数学 济南初中
03:59查看AI文稿AI文稿来，我们看下第十题哈。第十题，这个题呢？嗯，不大好想，不大好想呢，它是通过二次函数集合啊。呃，选这个，将军一马一起做这个题啊，应该说整个淮阴区这套卷子出的质量还是很高的哈。 嗯，难度的也是有在线的啊。难度在线？好，我们来分析下这个题啊，正方形 bc， d 上 b e 三分之一 bc， 然后 p 呢？从 b d 开始出发到的 d 啊， pd 啊， p e 加 pc 的 以外， p e 加 pc 啊，大家会看到这是 p 加 pc， 很 很明显，这是一个类似于相运码的题啊。 来，我们读一下题，说点图案是屁，运动时 y 就 他俩的和的在变化。首先呢，你肯定是从出发的时候，它很小很小，它随着越大越来越大，达到最小值，最小值，大家想想，什么情况下最小值啊？这，这里是不是隐藏了一个什么将军印码呗， 什么时候取得最小好， p 到一个定点到另一个定点的核，那啥，很明显将一码，对吧？ p 点，那这个题怎么做 啊？你看 p 一 直动点，一直动点，那么如果连接 ap， 你是不是能把这个 p， 能把这个 b c 找出来？就是过 c， c 是 关于这条河的对称点吧啊， 将军立马不就是过一个定点，你可以做 e 的 定点也行，你可以过 c 的 定点也行，那 c 顶点很明显是 a 点是吧？所以为啥？因为你正要全等，这俩是全等的，四十五度边边角边，边角边中间加个四十五度，全等，全等之后。哎， pe， 我 写这吧啊， pe 加上我们的 pc， 就 等于 pe 加上 pa， 那 你说 pe 加 pe 什么时候最小？ pe 加 pe 就 这条边两条边肯定是按三点共线的数， 对吧？所以它最小值是根十，你们看一下呗，我们假设这个 pe 是 x， 这就是三 x 呗，就是三 x 方 加上 x 方等于我们的根十，那求一下，这多少就根十的平方等于十，就是九 x 方， 十 x 九啊，九 x 方加 x 方等于十，所以 x 等于多少？ x 等于一吧。啊，所以说算，直接能算出我们长方形的边长来了啊， 这边上是就是我们的一求出来之后，好，求出来一后之后就好做了啊。一好，你大家想想他让我们求谁啊？最高点，最高点，你这个 a 呢？什么是最大？好，我们来分析分析一下， 你这个一点随着往上运动，你看他这个图像是逐渐增大的，是吧？那从属作的达到最大，你说从看这一块哈，从点点，屁啊，是从 b 移动，从 b， d 从 b 移动到 d 点， 说明啥？这什么是最大？肯定 d 点到最大，那 d， d 点是多少呢？我们求一下哈，好，你的 p 移动到这 p 和谁，让 p 和 d 就 重合了呗。这时候我们的最大点就身上就 p c 加上我们的 p e， p c 是 几？ p c 是 三吧， p e 呢？就是根号下 二方加三方，三加根号十三啊，就实际上这时候是找到最大，而这，但是这时候你注意啊，这个 p 和 d 的是重合的啊，它重合了啊，所以答案就是 a 选项啊， a 选项。好，这，这道题，这个题讲到这。
80鞠老师讲数学物理
17:48查看AI文稿AI文稿这条直线与 y 轴交于 a 点，所以 a 点的坐标一下子就取出来了，是零度三， 零度三，然后以 x 轴交于 c 点 c 点，也把 y 等于零代入得到是六等于零，六度零 凹线经过 a 点、 c 点的就是 a 点零度三和 c 点六度零代入。这个里面解方程组求出来 b， 求出 c， 那 个表达式就有了。非常简单，我们补写过程的 y 等于负四分之一， x 方 加 x 加三，这一位四边形 a， b， b 点坐标是可求的。我如何求 b 点坐标呢？我把 y 等于零带入这个抛物线， 把 y 等于零带入， y 等于负四分之一， x 方加 x 加三，得 负四分之一， x 方加 x 加三等于零，同时乘以负四， x 方减四， x 减十二等于零。五 x 减六，乘以 x 加二等于零，所以 x 一 等于六，对应的也就是 c 点了。 x 二等于负二，所以 b 点坐标是负二度零 四边形 a， b， c m 不 规则。那我们比较好求的是三角形面积，它不规则吗？分成一块一块的 m 点坐标，那我可以采用什么办法呢？射 m 点坐标，自然我设 m 点坐标，那就是借助这个抛线的解析式了，所以是 m 纵负四分之一， m 方加 m 加三，那此时这一个 四边形的面积，我可以分成三角形 a、 b、 c， 再加上 a、 c、 m。 但如果这样分法， a、 c、 m 三边不平行，坐标轴不是非常好求，那又做一个尝试，再做这个尝试。这样子的尝试， 我希望把它分成一块一块的都好求。你比如 a aob 好 求， a o m 也好求，为啥呢？ o e 当底呗，那 c o m 也好求， o c 当底呗，那这种分法是最好的。第二问，我们写一下过程。第二问解， 设 m 点坐标为小 m 方，加 m 加三。 哦， b 点坐标在上面，这在前面这个地方求出来了， a 点坐标在第一问的时候求出来了， c 点求出来了啊。 因为 s 四边形四边形 abcm 等于 s 三角形 a， o b 加上 s 三角形 a， o m 加上 s 三角形 c， o m 就 等于二分之一乘以 o， b 乘以 o a， o b 乘以 o a 加上二分之一，乘以 o a 乘以 x m 的 绝对值。 直线 a c 上方，那 x m 的 绝对值也就是 m 了，对吧？ a c 的 上方值第一项线，所以 x m 点的绝对值加上二分之一，这一块乘以 o c 乘以是 y m 的 绝对值， 那就等于二分之一，这是二乘三乘二乘三，加上 二分之一乘三乘 m 加上二分之一 o c， 这个地方是六乘六，乘以这个值了。在第一项线，它是正值，就是负四分之一 m 方加 m 加三， 这样这个地方是三，这个地方是二分之三 m， 这是三或者乘，那就是负四分之三 m 再加这个，那就是二分之九 m， 这是加九，再加三十加十二，等于负四分之三。配方法， m 方减去六 m 加十二加十二，不参与负四分之三 m 减三的平方，也就括号里面给他配个加九，这样再加上 四分之二十七，再加十二，等于负四分之三 m 减三的平方加上四分之七十五。 所以是当 m 等于三的时候，三大约在这个地方等于三的时候取得最大值， 所以当 m 等于三十 s 四边形 a， b， c， m 取得最大值， 最大值为四分之七十五，那么把 m 等于三，代入负四分之一 m 方加 m 加三，得 是负四分之一乘以三的平方加三加三等于四分之十五， 那所以这个 m 点的坐标是三度四分之十五， 那最大值是这个作答。而此时 m 点坐标是这个第三位， 现在的难度是第三位，要写过程，这是其中一个难度。线段 o a， a 点是零到三，那线段 o 长度为三的一个线段，绕着 p 点 f 轴上动点，并没有说 m 小， m 是 大于零还是小于零的。 顺时针旋转九十度。哦，那我要顺时针旋转，我会考虑当 m 是 零的时候，当 m 大 于零的时候，当 m 小 于零的时候，不同的情况，因为它顺时针旋转， m 大 于零呢，它就转到了这个地方， m 小 于零呢，它就转到了 这个情，这种情况位置是不一样的，明显不一样，所以我们需要讨论第三位。这个时候是这一块我们做的有点不太好了，为啥这里出现 m， 但是这里呢？我们设 m 了， 那我们如果是看到这一位的话，这里就改成 n 了，那没有看到，那我继续做，也不会有影响，不会因为这扣分的。 当 m 等于零时，那此时的 o 是 p 点为 零，零就是圆点，那么所以 o 撇，也就是它绕着圆点顺时针旋转九十度，所以 o 撇为零都零， a 撇为三都零， 这是 a 撇，那显然不符合要求，显然不符合要求，因为要求它要和抛物线有一个，只有一个共点吗？不符合要求， 我再进行讨论。当 m 大 于零时， 这个地方 m 都零，这是 m， 那么 o 点此时的 o 撇就是 m 度 m 喽。哎，那 a 撇呢？就是 m 加三度 m， 那 很显然， o 撇它因为只有一个空点嘛， o 撇在里面， a 撇在外面，或者是它们两个有人在 o 线上，怎么判断 o 撇在里面呢？ o 撇，哎，比高，比这个绿色的点矮，他就在里面，那一撇怎么判断一撇在外面呢？ a 撇也是 去比这个高，比这个绿色的点。 当 m 大 于零时，如图 o 撇 a 撇所示，那这样子的话， o 撇的值应旋转， 那所以 o 撇的坐标是 m 度 m， a 撇的的坐标是 m 加三度 m。 因为线段 o 撇 a 撇与抛物线 只有一个公共点， 那所以这个 o 撇要在抛物线的里面或者是抛物线上， a 撇在抛物线的外面，或者在抛物线上，那反映这信息是什么呢？作为对应点， m 动负四分之一 m 方加 m 加三， 这个 o 撇的高度要小于这个高度或等于这个高度，那所以负四分之一 m 方加 m 加三 要大于等于 m， 那 同样这一个这个高度值要小于等于 m 了，那就是负四分之一，括号 m 加三的平方加上 m 加三加三要小于等于 m。 拿到不等式我们去解它就行了， 由一得 m 抵消掉了。负四乘以 m 方移过来，是四分之一 m 方小于等于三， m 方小于等于十二， m 大 于等于负二，根三小于等于二根三， 由二得 这个 m 和这个 m 抵消掉了，然后也是二次的向移到右边，那就是四分之一 m 加三的平方是大于等于六的。 m 加三的平方大于等于二十四， m 大 于等于二倍的根六减三，或者是 m 小 于等于负二，根六减三。 整个的范围呢？是在 m 大 于零这个范围中，讨论呢，要满足 m 大 于零，还要满足这个，还要满足这个，这三个同时满足，所以 m 大于大于取大于，那负二跟三和零相比，我得取零，那取大于呢？这个直接就舍掉了，因为 m 大 于零，这是纯负的吗？这个是大于零的这个值，这是一点多， 这个值是一点多，那大于大于取大于零，负二根三，还有这个值之间，取大于，那就是取它了，所以 m 大 于等于二根六，减三 小于小于取小于，那只有这一个地方啊，有小于的要求啊，小于等于二根三， 那我们讨论了 m 大 于零，那我还得讨论 m 小 于零。继续写过程，当 m 小 于零时，那这个图啊，我们重新画图，如右图所示，画图的情景我尽量画好， 我为了符合要求，我 p 点大约在这个地方， 这是 p 点，然后这是 o 撇，然后呢，这是 a 撇，这样， 那 p 点的坐标是 m 度零， o 撇的坐标呢？还是 m 度 m， a 撇的坐标呢？还是 m 加三度 m， 此时 m 是 小于零的， 那我因为只有一个焦点的原因啊，只有一个公点，所以此时的 o 撇是在外面的。 o 撇外面是怎么判断的呢？是判断，看一下，是和抛物线上这个值进行比较，它的高度值大，那抛物线上这个值呢？自然的是比高了，同 m 值的话，比高 m 方四分之一， m 方加 m 加三。 哦，那 a 撇为什么在里面呢？他也是比高了，这样抵的是这个点， m 加三度啊，负四分之一， m 加三的平方，加上 m 加三，再加三， 也是因为旋转，那么所以这一个 o 撇的坐标为 m 度 m， a 撇坐标 m 加三度 m， 还是因为只有一个公点， 因为线段 o 撇 a 撇于抛物线，听说过的吗？于抛物线 只有一个公共点，那么所以这个时候比高 负四分之一 m 方加上 m， m 加三，这个是小于等于 m 的， 这个呢？负四分之一 m 加三的平方加上 m 加三再加三，是大于等于 m 的， 跟刚才几乎一样，只是符号是反着的。看一下，这个是大一等 m， 现在是小一等 m。 那 我解的计算过程也几乎就是一样的。那由一得 m， 那 解集就不是它了，跟它是互补的一个关系吧。 m 是 大于等于二根三，或者是 m 小 于等于负二根三，因为我讨论的是 m 小 于零，自然的，这个就舍掉了。有二得。 尤尔德也是，姐姐跟他呈现了一个互补的一个形式。呃，呈现了一个补集，整体呈现了一个补集，补集的形式，互补的形式。 m 大 于等于负二根六 减三，小于等于二根六减三。那所以在小于零的这个情况下啊， m 是小于等于小于小于小于小于小于小于取小于取的，这是负二根三，然后大于等于负二根六减三。那综上， m 是 有两个范围的，一个是这范围，一个是这个范围。题目说求 m 的 范围，我们最最最最后收尾了。 通上写在这个地方。通上， m 是 大于等于二根六减三，小于等于二根三，或者是 m 大 于等于负二根六减三，小于等于负二根三。
20小镇做题家杨老师
43:45查看AI文稿AI文稿hello， 大家好啊，我们来看一下这次历下二模的这个题目啊。呃，整体来说难度还是比较适中的啊。嗯，呃，难度跟中考比较接近啊。 呃，我们还是以压轴题为主。首先看一下第九题啊，那这个是一个呃尺规作图的题目啊，那我们读完题我们就知道啊，这个 a、 d 是 一条角平分线，然后 c、 e 这条线的话是线段 d p 的 这么一条中垂线，对吧？也就是这个地方是垂直的。 呃，那我们的思考点啊，或者说切入点就是角平分线，还有中垂线的性质吗？那之前的时候我也给大家讲过，是吧？那我们一个一个来看一下啊。 首先他说 a、 c、 e 是 直角三角形， a， c、 e 在 哪呢？ a c e 是 这个是吧？那很明显垂直中垂线啊，直角三角形没问题，是对的啊。第二个说 a、 c a、 d 等于 d c、 e， 呃， c a、 d 是 这个角，阿尔法，然后 d、 c、 e 呢？是这个角， 那我们知道是吧？角平分线吗？阿尔法，然后我们导一下角是吧，那这个地方肯定也是阿尔法，因为这个地方这个 c、 e、 d 是 垂直， dba 也是垂直嘛，所以说导过去以后一个八字也是阿尔法，所以说相等的啊，也没问题。 然后看第三个啊，第三个 a、 b、 d 的 周长和 c、 d、 e 的 周长之比啊， a、 d、 b 是 不是这个三角线啊？ c、 d、 e 的 话是这个三角形，看到吧，那他们两个很明显是相似的嘛，对吧？相似的话，你看一下 周长的比，就是边长的比啊，面积比的话，如果相似的话，面积比是边长比的平方，但是这个周长的比的话就等于，呃，这个就就等于边长的比，所以说 abd 的 周长比应该是 ab 比上它的对应边是谁啊？是不是应该是比上 c e 啊？那他这个地方写的 cd 的 话，那很明显是不对的啊，所以说这个第三个就直接错掉了，然后看一下第四个啊， 第四个他说 a d 也等于跟五倍的 c e， 也就是让你求一下 a d 和这个 c e 的 关系啊，那你猜一下的话，你看看起来啊，呃，像是两倍，但是也不太确定是不是，那我们呃 跟五的话你也不是很确定啊，所以说我们就需要通过做一些辅助线啊，或者说通过边的转移来求解一下。然后你看角平分线，我们做辅助线的话无非是三种办法，一种办法是我们去做垂线段啊，做垂线段 往两个边上去做垂线段。那再有一个的话，就是我们这个地方已经有垂直的，是吧？我们可以直接延长过来，是不也会形成两个全等三角形？那么再有一个的话，就是我们说特殊的点是吧？我们是截长补短的时候会去做这样的辅助线，那么对于这道题目来说的话，是我们延长的话是一个比较好的办法。 延长啊，主要是我们还注意到什么呢？你注意到，呃， bc 和这个 ab 是 相等的呀，那因为它是一个 abc， 是 一个等腰直角三角形，所以说再加上这个条件你也会想着把它去延长，那么延长以后我们交到一个点呃，点 j 吧， 好吧，点 j 的 话，那你就很敏感，就发现了阿尔法，阿尔法是吧？然后 ab 还等于 bc， 所以 说三角形 就呃就有全等了，三角形 a、 b、 d 是 不是要全等于三角形 c、 b、 j 啊？那么全等以后我们就是就知道了，这里面牵涉到了 a、 d， a、 d 是 不是要等于这个 c j， 对吧？那么 c j 是 什么呢？ c j 它又等于两倍的 c e 啊，因为这个等腰三角形三线合一嘛，对不对？所以说，哎，它应该是一个两倍的关系啊，那这个地方根五倍的话，很明显又错掉了，是吧？所以说我们只有两个对的，就选了 b 了。 呃，是这样的啊，呃，这个是第九题。 好的，下面我们来看一下这个第十题啊。第十题是一个二次函数的比较抽象的这么一个题目。 呃，我们先来读一下题目吧，他说，啊，抛物线是这样一条，然后上面有一个点 t 勾 m， 然后直线 上面有一点 t， 都 n， 是 吧？然后他们的这个联系呢？就是说横坐标是相同的啊，纵坐标分别是 m 和 n， 然后说有且只有一个整数 t， 使得 m 小 于等于 n 成立。 哎，到这里比较抽象啊，我们可以大致的画一个图啊，先把题目给读给读明白啊，什么意思？就是抛物线，现在开口向上大概是这样子，然后直线呢？哎，这么一条直线，对吧？ 他说有且仅有一个整数 t， 使得 m 小 等于 n， 那 么 m 是 什么？ m 是 当这个 x 取 t 的 时候 二次函数的函数值啊，那 n 呢？是 x 取 t 的 时候，这个一次函数的这个函数值 m 小 等于 n， 也就意味着，哈，是二次函数，是不是应该在这个 这条直线啊，这个一次函数的下方呀，并且在下方的这个区域里面，哎，是不是 t 在 这里面取的话，只有一个哎，一个整数哎，一个整数点 可以理解吧？哎，所以说当他这个 a 在 变化的时候，这个抛物线啊，他肯定是开口啊，包括上下是不是都在不断的变化？包括这个直线他也是在上下可能在移动的，哎，但是呢，我们就是通过这个去判断出来，哎，什么时候 抛物线在下方，然后直线在上方的时候，这个区域里面只有一个 t， 那 么直接去判断的话，很显然是不大好判断的，对吧？因为他这个里面参数的变化以后，他这个图像变化太厉害了，所以我们要去分析一下啊，先分析一下这个函数有什么特点啊？首先的话，这个二次函数 对称轴是不是第一眼能看出来对称轴是一对不对？然后的话有没有横过的点呢？ 哎，很明显是有的，是吧？第一眼能看出来是零逗三，哎，也就是，也就是说它有这个它的这个总结句，是吧？再有一个的话，就是像这种函数，我们是不是可以对它进行一个就提取一下这个因素啊？这样的话我们看横过的点嘛， 所以说它这个函数的话，我们可以变成，哎，提出一个二 a x 嘛，这样的话就变成了 x 减去一个二，是吧？加上三，哎，所以说当 x 取二的时候， 他的这个函数值是不是跟这个 a 就 没有关系了，哎，所以说横过什么？是不还横过二斗三这个点 可以理解吧？横过这个二斗三啊，哎，所以说我们这个两个点我们都知道了以后啊，两个点都知道以后， 呃，再加上对称轴，它图像性质就比较明确了啊，然后再看一下这个一，呃，正比例啊，不，这个一次函数是吧？这个就比较好分析了是吧？把 a 提出来， x 加一，加上一，那么它横过的点， 哎，就是负一逗一喽啊，那这样以后我们就可以把它的函数图像大致的给画一下 啊，首先是一二，然后这个地方是三啊，大概的二次函数大概是这样子的啊，开口向上的啊，对称轴是一是吧？横过零度三和二度三啊，对称的，然后是 这个一次函数啊，负一逗一过这个点，并且是不是相交一下啊？往上的，那我们现在再分析一下下面给的这个条件，是吧？ m 小 于等于 n， 是 不是下面这一块， 你想保证在这一块里面只有一个整数 t 渠道的话，哎，小于它是吧？只有一个整数 t 渠道。首先这个 t 等于一的时候，是不是显然是满足的吧？那么在我画的这个图里面，这个 t 等于二的时候，你看是不是也满足啊？ 所以说你想保证只有一个整数 t， 那 你看这个函数的图像，就是这个一次函数图像是不是要往下再降一降，也就是说绕着这个点旋转一下，让它更平缓一下， 那平缓以后降到哪呢？是不要降到这个三这个点的下方的时候，这个时候你看是不是只有一这一个点了， 对吧？啊，那当然你不需要考虑左边左边的点啊，因为左边的点的话，他顶破天是吧？他再怎么往上提，他再怎么往上提，或者说再再怎么倾斜，他也不可能取到负一这个点啊，也不可能取到零这个点，是吧？ 呃， ok， 那 这样的话，我们来，呃，就来可以来列一个等式哈。你比如说我们如果说为了方便书写的话，我们设这个 f x 啊，是这个二 a x 的 平方减四 x， 就 这二次函数啊，然后这个 g x 呢？我们变成这个正，呃，一次函数啊， a x 加 a 加一，所以说我们要满足这个条件，就是在二这个点上，哎，也就是 二的它的这个二次函数的函数值是不一定要什么？是不是要大于一次函数的这它的一个函数值啊，那这样的时候是不是一次函数才跑到哪？是不是才跑到了这个二次函数的下方？ 可以理解吧？ ok， 这个是我们第一个需要满足的条件啊，也就是我们得到一个不等式，一会我们再来解一下。那么第二个呢？你看一下，呃 呃，我们刚才只是说是限定了，说只有一个整数，是吧？但是呢，我们还要知道啊，在这 t 取一的时候，也就说取到这唯一一个整数的时候，是不是一定满足二次函数一定在这个一次函数的下方呢？哎，这个不一定是吧？那有可能是吧？有可能。哎，万一它是不是这样稍微往上一点呢？是不是稍稍微往上一点，那它倾斜到这， 他进行到这个程度的时候，大概是这样的时候，这个时候就不满足了，哎，所以我们还要列一个条件，就是在一这个点上，哎，就是 t 等于一的时候要满足的什么？二次函数的函数值要小于 是不是一次函数的这个函数值啊？ ok， 也就是说 f 一 是不一定要小于这一点， ok， 这两个不等式列完了以后啊，我们来想一下，这两个不等式哪一个能取等号，或者说是不是是不是可以取等号呢？ 哎，首先我们来看一下啊，看上面这个取等的时候行不行？取等的时候，也就是说这个一次函数是不是跟这个二这个地方交于一点，那这个时候是不是满足 m 和 n 是 不是相等啊？ m 小 等于 n 吗？是不可以啊？那可以的话，我们只需要一个点，它这个地方出来两个点是不行啊，所以说这个地方的话等号是不能取到的啊，等号不能取到，那下面这个可以吗？下面这个是不是根据这个 m 小 等于 n 的 话，是不等于的时候是可以的？ 哎，可以取到等号了，哎，所以说这个地方就要加上等号了，哎，那我们就去带进去啊，去解一下啊，看一下啊，首先二的话带进去也就是一个八 a 是 吧？减去， 呃，八 a 加三啊，就是三嘛，大于 g 带进去啊，二 a 加上 a 加一是吧，那这样的话，我们就得到的是一个三大于三 a 加一啊，解出来以后也就是一个三 a 小 于二 a 呢，是小于三分之二的 小三位数啊，你从这个题目里面看一下，是吧？ a 和 b 里面是不是选一个了？ ok， 再解一下下面这个啊， f 一 f 一 是多少啊？带你去看一下，也就是二 a 减去四 a 加上三吗？小于等于 g 一 的话，就是一个 a 加上 a 加一是吧，那我们解一下，也就是负二 a 加三小于等于二 a 加一嘛，也就是四 a 大 于等于二，所以说 a 是 大于等于二分之一的，那我们把这两个结合起来以后，是吧，我们就选 a 这个选项了啊，就解决了这个问题是吧？ 所以说像这种题目的话啊，呃，能竖形结合的一定要竖形结合啊。 我们来看一下啊这个填空题啊。首先第十四题比较简单啊，我们只需要求出来这个两条直线的解析式，然后让它们的纵坐标相减等于这个三十五是吧，这样的话就能求出来 x 是 一个二十八 啊，还是比较简单的啊，重点来看一下这个十五题啊，呃，十五题的话，呃它是一个折呃折叠的题目啊。 嗯，我们呃拿到这个题目以后啊，可能会想到是不是通过间系的方法啊去解决，那么系是好建的，但是我们建完系以后再去求解的时候，你会发现设这个参数啊，是不太好设的，并且 你输入参出来以后再去计算的话，也是不太好计算的啊，所以我我们还是考虑用几何的方法去进行一个研究啊。那么看到这个地方他是一个九十度，是吧？我们会想到，哎，可以做一条垂线坐下来， 哎，这样的话我们是不是构成了一个一线三垂直啊？一个相似对不对？比如上面这是 p， 下面这是 q， 那 我们做这个有什么用呢？我们先把思路来捋一下，我们要求的是 b j 比上 a j 嘛， b j 比上 a j， 那 么我们如果说能够求出来 ab 的 长度， 那么 b j 的 长度是不是也就可以求出来了？因为它这个正弦值告诉你啊，实际上我们可以射出来这个就是它，它这个 a j 或者是这个 e f q 的 长度啊，可以射出来，实际上可以理解成是已知的啊，哎，所以我们看啊， 这两个直角三角形的相似比，我们是不是可以得到，哎，因为 f 是 中点嘛，哎，所以说你看 d q 的 长度，我们是不是可以求啊？ d q 长度可以求的话， a q 的 长度是不是和 d q 的 长度相等的？也就是 p b 的 长度吧。那么 p b 和谁的比啊？ p b 是 不是和 f q 的 比，就是这两个三角形的相似比，看到吧，那这样的话，我们就可以求解啊，求解出这个 x 的 长度啊，具体我们来做一下看一下啊。 那首先的话，我们设什么呢？我们可以去设 f q 的 长度啊，就设成根十吧，设成根十以后比较方便啊，那这样的话， d f 是 不就是八？ 然后这个 d q 的 长度的话，我们算一下勾股定律，是不是一个三根六啊，也就说这个地方是三根六，这个是根十啊，这上面是八，哎，所以说 a q 的 长度是不是也是一个三根六，哎，同样的这个 p b 的 长度也就是三根六了，哎，所以说两个相似三角形相似比， 哎，是不是要是一个三根六比上一个三根六，比上一个跟十啊 吧。所以说我们现在啊，我们要求的是这个 x 嘛，我们要解决的就是求下 ab 嘛， x 实际上也是谁啊？实际上也就是这个 p q 的 长度嘛，对不对？那我们就设这个 p q 是 x 啊， p q 是 等于 x 的 话，那我们是不是可以得到一个相似的一个等式啊？也就是说 p f 的 长度比上一个 q e 的 长度是不是要等于三根六比上一个根十啊？ 呃，那么也就是说这个 p f p f 我 们知道是 x 减去根十，对不对？那么 q e 呢？哎，先写在这是不是要等，呃，等于三根六比上根十，那么 q e 的 长度是不可以求的呀？那 q e 的 长度应该可以看出来可以求啊，因为 f q 是 已知的， 那么 q e 和这个斜边 e f 加起来是不是刚好是一个三根六啊？哎，所以说我们通过勾股定律哈，是可以把 q e 求出来了啊，就这样设的，这个 q e 的是 m 的 话，我们是不是可以得到的勾股定律的等式，是不是 m 方加上一个根十的平方？ 是不是要是一个三根六减去呃，这个 m 的 平方，那么 m 我 们可以求出来啊？求出来的话是一个三根六分之 二十二，哎，这个地方你先不用化减，因为一会可能会相消，是吧？会相消，哎，然后呢，你把这个 q e 呢带到这个等式里面，你是不是就可以把 x 给解出来了？ 解出 x 的 话刚好是一个根十分之三十二，哎，这样的话，我们是不是这个 b j 就 可以求了？那 b j 的 话，是不是也就是这个 x 减去什么？减去上面这个 aj 吧啊？减去 aj， 那 么 aj 的 话是等于， 哎，可不是根十啊，因为它是一个两倍的关系嘛，是不是等于两倍的根十啊？哎，所以说也就是一个根十分之 三十二，减去两倍的根十的话，是不刚好是一个根十分之哎，十二，对吧？哎，所以说 b g 比上 a g 的 话， a j 是 不是也就是一个十二比上跟十，比上一个两倍的跟十啊，哎，所以说我们最后得到的是什么？得到的是一个六，比上十，也就是一个是五分之三，这样的话我们这个题目就解决了啊，呃，顺着这个思路啊， 好吧，呃，接下来我们看一下这个反比例的和 呃一次函数相结合的这么一个题目啊。然后第一小问还是比较容易的啊，都是送分的 m 求出来的话，是一个 m 求出来是等于三的啊，也就是说 a 点的坐标的话，是一个三度四， 对吧？然后 k 的 话，你求出来 k 的 话是一个三分之四啊，也就是说这条直线啊，是一个 y 等于三分之四 x 啊，我们可以求出来的。然后第二问是重点啊，首先的话， 呃，第二问的第一小问啊，他说当 o b 是 一条角平分线的时候啊，这个地方一条角平分线，然后让你求 o b c 的 面积啊， o b c 在 这呢， 是吧？那我们角平分线的话，我们就想到是不是它是，实际上是呃它的，呃，它的性质的话，是不是往两边去去做垂线段的话，这两个垂线段应该是相等的吧，哎，所以说这个地方的话，它的面积哈，也就是三角形 o b c 的 面积，实际上它也就等于二分之一的 o c 乘以一个，呃，比如说这个量垂线的，呃，这个垂足是 h 的 话，这就是是不是 b h 啊？那么 b h 等于 b d 嘛，那实际上也就是二分之一的 o c 乘以 乘以 b d 嘛，那这样的话，我们就可以把这个 b 点坐标给它设出来哈，去表示一下它，对不对？那我们就设呃这个 b 点的坐标啊，是一个 t 豆，呃， t 分 之十二，对吧？那这样的话，我们就尝试去表示一下这里面用到的 o c 和 b d 嘛。 那首先这个，呃，这个 b 点坐标设出来的啊，所以说 c 点的坐标那就是一个 t 豆 是有三分之四 t 啊，也可以表示出来哎，所以说 o c 的 长度的话，实际上我们就可以直接得到了啊，你看，因为它的斜率的话是一个三分之四啊，也就是说这个三角形三 四是不是五的这样一个关系啊，那么 o d 的 话，它是横坐标啊，是不是 t 啊？哎，所以说 oc 的 长度的话，就应该是 t 除以三，是不是再乘以五啊，也就是一个三分之五 t 啊，所以说 oc 的 话，我们直接可以得到是一个三分之五 t， 对 不对？那么剩下就是高了吗？高的话就是 b d 吗？ b d 的 话实际就是 b 点的一个纵坐标啊， b d 纵坐标是不是刚好是一个 t 分 之十二，对不对？所以说面积一下就可以求出来， 要乘以一个三分之五 t， 再乘以一个 t 分 之十二，那这个地方 t 啊，一个在分子，一个在分母，是不刚好可以消掉啊？所以最后答案你，你发现出来以后，刚好是一个什么刚好是一个十啊，就一下子就秒了哈，一下就做出来了，可以吧？ 这个是第一小问啊，呃，第一小问，然后看一下第二小问，第二小问的话也不是说特别难啊，用的就是一个等腰三角形的一个性质啊，你看一下他说 ab 为底是等腰三角形的时候，完了，你求 b 点的坐标， b 点坐标的话，你看一下我们这个地方是不是 我们可以去做一条垂线啊？比如说这个地方垂的话是一个 f 点，那我们就知道啊，这个等腰三角形的话，它两个腰的话是不是相等的呀？ 也就是说 ab 啊，这个 a c 的 话，是不是要等于这个 bc 啊？所以我们可以哈，就是说，呃，把这个 a c 和 bc 啊，如果说你能够用 呃一个参数给它表示出来，然后让它俩相等的话，哎，是不是就可以呃得到这个 t 的 这个值，也就是求出来这个 b 点的坐标了啊？哎，所以说我们还是跟刚才一样的思路啊，哎，当然你做这个， 呃，就是做这个呃垂线段的话，好像没，好像没有什么用啊，好像没有什么用啊，这就是我最开始在思考的时候可以做这么一个垂线段，然后想着是通过终点啊， 三线合一是吧？终点，然后求出这 f c 的 一个解析式，然后连力求出 c 点的坐标，然后求长度，是吧？那这样的话太麻烦了啊，太麻烦了，不如就是说我们 用它坐标直接相加减啊，你那样的话肯定会出现高次啊，哎，所以说我们现在去相加减的时候，我们不妨可以，是吗？我们可以去做一条垂线段往这边去做啊，比如说这个地方垂的是一个哎， p 点的话，那我们还是一样啊，我们还是一样去设 呃 b 点的坐标啊，还是一个 t 斗 t 分 之十二，那么 c 点的坐标的话就是一个 t 斗，是不是三分之四 t 啊？那这样的话， a 点的坐标实际上我们是知道的啊， a 点的坐标的话是一个，是不是一个三斗四啊？哎，所以说我们就可以去表示一下了， 这个地方去表示一下，看到吧，表示一下 ac 啊。首先先表示一下 ac， 那么 a c 的 长度的话还是比较好表示的啊，它实际上就是这个呃 c 点的纵坐标 啊，这样我们用横，我们用横坐标吧，实际上就是 c 点的横坐标减去呃 a 点的横坐标， 然后因为它的比例关系是一个三比四，比五嘛，哎，所以说我们可以通过这个比例关系直接得到 a c 啊，所以也就是 x c 减 x a 以后，是不是除以三再乘以五，这个就是我们要求的这 a c 是 吧？然后呢，我们就是要去表示一下 bc 喽， bc 的 话，实际上就是 呃 c 点的一个呃纵坐标减去呃 b 点的一个纵坐标是不就可以了？ 那这样的话就是一个 b c 啊，那我们来表示一下啊，那么 a c 的 话，呃 x c 的 话是一个三分之四 t 减去 x a， 是 不刚好是一个三啊？然后除以三，哎，乘以五是吧？然后 b c 呢？ b c 的 话是一个 y c 减去 y b y c 的 话刚好是一个三分之四 t， 哎，我这个地方写错了啊， x c 的 话是一个 t 啊， t 减去一个 a 点的横坐标，是不是三啊？是这个啊，然后 b c 的 话是一个 y c， 也就是一个三分之四 t 减去 b 点的一个纵坐标，也就是 t 分 之十二， 是这样一个值，那么它们两个是相等的啊，相等的，那这样的话我们就能得到一个一二次方程了啊， 也就是三分之四 t， 呃，减去 t 分 之十二，然后我们两边同时乘以一个三 t 嘛，同乘以三 t 以后，那不就是五 t 乘以 t 减三，然后等于一个， 呃，等于一个四 t 方减去呃三十六，是吧？然后我们一下向五 t 方减去一个十五 t 等于四 t 方减去三十六嘛，也就是 t 方减十五 t 等于，呃加上一个三十六， 那这个很明显是可以十字相乘的啊，也就是一一这个地方是十二，呃，三是吧负的，所以说一个 一个是等于三，一个呢是等于十二的啊，那么三的话肯定要舍掉啊，三的话就是他们两个这个点， d 点跟 a 点重合的时候啊，这个是要舍掉的，所以说 t 的 坐标的话就是一个十二了，哎，所以说 b 点的坐标就很简单了，就是十二，然后把这个十二带到哪里面呢？带到这个 b 点的坐标里面啊， 带到这里面是不刚好是一个一啊，哎，所以说 b 点的坐标就可以很轻松的求出来了啊，这样的话我们这个题就解决完了，整体的话并不是说特别难啊，还是比较好思考的。好吧，大家再思考一下， 我们继续看一下后面这个二十四题啊，那这个题目的话，呃，后面这一小问啊，还是不是很好想啊，呃，我们一起来看一下啊。首先第一问的话还是比较简单，是吧？ a 的 话求出来是等于一的，然后 c 求出来是等于三的，那这样的话，我们抛物线 c 二的解析式是什么？我们相当于是已知的啊， 呃，也就是一个 y 等于负四分之一， x 方加上 x 加上三，这样一个，呃，抛物线的一个解析式啊，呃。然后第二问，他说啊，呃，如图一是吧？ d 点和 a 点重合的时候 啊， a 点的这个地方它的坐标是二啊，呃，然后我们刚才这个题目里面，呃，就是在呃第一问哈，我们根据它这个直线求出来这个左边这个焦点的话是一个负二，这个 b 点的话，这个地方是一个六啊，包括 c 点的话，它这个地方是一个三， 呃，然后它让你求 e f 比上 df 的 值，是吧？ e f 比上 df 的 值， 呃，我们能够想到的是什么呢？能够想到的就是说 bc 这条直线我们是不是已知的可以求出来的， 那么 d e 的 话，他跟他是垂直的，那垂直的话他又过这个地点，哎，地点又是已知的，所以说直线 d e 这条直线实际上我们也是可以求的呀，也是可以求的啊，哎，所以说我们这样一连立以后，我们是不是可以求出来 f 点的坐标，哎，并且也可以求出来 e 点的坐标吧。 那这样的话，你想一下 ef 比上 df 的 这段的比例关系，那实际上我如果说我们去做垂线段的话，实际上是不也就是说他们的横坐标就是这一段横坐标差值，哎，这个编程的比啊， 哎，我来写一下啊，就是我们现在去做这个垂线段，那当然你用纵坐标也可以啊，比如说这个地方是一个 p 和 q 啊，所以说我们要求的这个，呃， e f 比上这个 d f， 哎，实际上它就等于什么？实际上是不是应该等于 q 比上一个， 呃， p d 啊，对吧？那么 p q 比上 p d 的 话，实际上也是它们横坐标的之间关系的一个比啊，那 p q 的 话，实际上也就是 e 点的横坐标是不要减去一个 f 点的横坐标，也就是 p q 的 长度是吧？那 p d 呢？ p d 的 话，实际也就是一个 f 点的横坐标减去一个，呃， d 点的话，它这个地方是一个，是不已知的是一个二吧。哎，所以说我如果说我们呀 能够啊，能够把这个 e 点和 f 点的坐标求出来的话，再带进来是不就很好求了？那这样也是比较好求的啊，我们来看一下， 呃，直线的话，都是已知的哈。 bc 这条直线啊，我们可以直接写了哈，斜率的话是一个负二分之一，然后纵截距的话，它的斜率是一个二， 然后终结句的话是一个四啊，是一个负四啊，因为它这个比例关系的话，是一个一比二的关系啊。下面这个点交的是一个负四是吧？写出来以后连力啊，连力的话，我们是不可以求出 f 点， f 点的话，我们求出来是一个 这样的话是五分之十四啊。逗啊，五分之八这样子啊，然后的话我们还要再去连立一下，求出这个一点的作呃一点的一个横坐标是吧？也就说连立谁呢？连立这个直线第一 也就是 y 等于二 x 减四是吧？还有一个是抛物线啊，也就是 y 等于负四分之一 x 方， 然后加 x 加三嘛，那么他们两个去连利的话，我们可以得到一点的一横坐标啊，得到的是一个，呃，去连利求解的话，得到是一个四根二减二，呃，这个的话肯定需要舍，呃，舍掉一个根啊，计算量是比较大的。那这样以后啊，我们就把这个 x 一 啊，包括这个 xf 是 吧？还有这个，呃， 这个五分之十四是吧？给他带到我们这个地方这个式子里面去，是不？我们就可以得到最后一个结果了，当然算出来这个最后的答案啊，还是比较古怪的，是吧？最后答案是一个 呃，算出来以后是一个呃，五倍的根二减六啊。啊，当然的话你只要细心去算啊，这个样也不会错。好吧，这是第一小问，然后我们看一下第二小问啊，他问你这个四边形的形状是吧？那我们现在已经知道了哈，已经知道了，说这两条直线， 呃，这个 b c 这条直线它俩垂直的对不对？并且哈，并且 f 点还是 d e 的 一个中点，哎。所以说我们现在要做的什么？你要如果说你想去判断它是一个菱形的话，因为我们猜一下是吧？猜一下垂直吗？大概率是一个菱形对不对？我们只需要再去证明什么，只需要再去证明它是一个平行四边形是不就可以了？也就是我们去证明 这个 f 啊，它是 bc 的 终点是不是就 ok 了？那么 b 点和 c 点的坐标啊，它的横坐标它都是已知的啊，所以说我们实际上我们实际已经可以猜到这个 f 点的坐标的话，横坐标它是不是应该是个三啊？ 对吧？所以我们只需要把它去表示出来就可以了啊。那这样的话我们我们因为牵扯到是两个解析式， 两个结式，如果说我们只设一个点未知数的话，我们要得到另一个点，我们是不是需要去呃得到直线的方程，然后再跟另一个结式去去连力啊？连力以后就会出现高次的情况，四次 啊，以平方的平方嘛，我们是不好解决的啊，所以说我们考虑到这样的话，就考虑到去设两个未知数啊，这样的话我们就可以去设， 呃，首先设 d 点的坐标啊， d 点的坐标的话，就可以设成，比如说是一个 m， 它的指数是一个四分之一 x 方，是吧？哎，四分之一 m 方减去二， m 加三了。然后这个 e 点的坐标啊， e 点坐标的话，我们就可以设成一个， 呃， n 呐， n 的 话是一个负四分之一 n 方加上 n， 哎，加上三，对吧？那么它们两个这个点有什么关系呢？它们两个点的关系就在这一个 f， 它们两个的终点 f 是 不是一定是在直线 b c 这条直线上的？哎，所以说我们就可以去求一下中点 f 了， f 还是比较好表示的哈，虽然说 可能是写出来比较复杂啊，但是还是好表示的啊。我们来看一下， f 的 话，也就是二分之一 m 加 n， 然后逗，二分之一是吧？把这个抄下来，四分之一 m 方减去二， m 加上三， 再减去四分之一 n 方加上 n 加上三，哎，然后你把这个 f 点的坐标给它带入到直线 b c 里面啊， b c 的 话是一个 y 等于负二分之一 x， 呃，是不是一个加三啊？哎，你带到这里面以后啊，你整理一下，哎，其实还是比较好整理哈，因为这个地方刚好里面会出现一个平方差，然后整理一下以后，你会发现你得到是一个 m， 呃，应该是 m 减 n 乘以一个 m 加 n 减去六等于零，那 m 和 n 是 不能相等的，对不对？这个就舍掉了，所以最后得到的实际上是 m 加 n 是 不是刚好等于六啊？ 哎，也也就是什么？你看也就是 f 点的横坐标看到没有？ f 点的横坐标二分之一， m 加 n 是 不刚好是一二分之六啊？也就是是几啊？是不刚好是一个三啊？那三的话说明什么问题啊？说明这个 f 的 横坐标是不是三啊？ 应该是在这边啊， f 的 横坐标是个三，是不刚好是 b 和 c 的 一个终点，那这样的话，我们就证明了哈，这个 f 点它实际上是 bc 的 一个终点， 是不也就证明了这个四边形的话，对角线相互平分，是不是一个平行四边形，然后再加上对角线是垂直的，哎，是不是我们最后可以判断出来它是不是应该菱形？ 哎，那这个就是我们具体的思路啊，就是是怎么从最开始的时候我们想着，哎，设一个点，得到另一个点，最后把它否定，然后设两个点，那么利用他们中点的关系，是吧？在这条直线上，那么在这条直线上，实际上我们是得到了一个等式嘛？ 我之前跟大家说过哈，初中的话，百分之九十以上的问题都是通过呃找等量关系，然后列方程进行求解的啊，那这就是一个很好的一个例证，是吧？ ok， 这是这个二十四题啊。 啊，我们继续来看一下最后这个二十五题啊，那这个二十五题的话，最后一小问可能是有点难度啊，不太好想。那么前面这些问的话还是比较简单的啊，首先就是位置关系啊，这个是平行的关系。 呃，通过上面这个条件啊，同方内角互补，是吧？那这样的话我们可以得呃，很轻松的得到。呃，然后呃第二小问，数量关系，角度，数量关系，这是一个角 a， d， e 啊，是等于两倍的 角 c， e， d 啊，那这个怎么去判断啊？ c， e， d 在 这呢，看到没有？然后 abd 的 话， a， d， e， a， d， e 是 在这呢啊？ 呃，然后因为是终点嘛，这个地点它说是 bc 的 一个终点哈，然后我们就可以想到是给它进行一个一个延长，是吧？也就是我们说这个内倍长嘛，内倍长，中线啊， 内倍长，这样的话，我们延长以后再延长一下 m c 两个设线交于点 p， 那 这样的话，我们可以很轻松地证明出来，这三角形 a， b， d 是 不是要全等于三角形？这个 p， c， d 啊？ 啊？怎么去正的啊？就是可以用一个角导边啊，你看一下这个地方角一是不是和角一相等的，对吧？内错角，然后这个地方又有这个对零角啊？再就是这个 b、 d 是 不是要等于这个 c、 d 啊？ 这样的话可以证明全等啊，那么全等以后啊，你看一下，我们就可以得到这个对应边，是吧？也就是 a， d 是 不是要等于一个 呃，这个 p d 啊？那么题题目里面他又告诉你的什么？告诉你的是 a d 还等于 d e 呢？哎，所以说 p d 和 d e 就 相等了啊，哎，所以也就是说这个 d c， e 这个地方是不是也要等于一个角 e 啊？ 哎，也要等于角 e， 那 么这个时候这个 a， d， e 啊，也就说我们要求的这个角，是吧？ a， d， e 这个角是刚好是这两个角 e 的 外角啊，刚好是一个两倍的关系是吧？所以说我们就得到了角 a d e 是不是要等于两倍的角一啊？也是，其实上也就是得出的这个结论啊。呃，那么第二问的第一小问哈，跟上面这个，呃，这个第一问的话是一样的哈，证明的方法也是完全一样的。还是一样啊，去进把它进行一个延长嘛？延长啊 啊，我我就这样画一下啊啊，比如说还是交于点 p 啊啊，同样的还是一样的，只不过我们这次证呢，不是全等了哈，是一个相似嘛，角一角一是吧，然后对零角角二角二， 然后乘比例啊，乘比例相似相似比的话是一个，他说这个 d e 等于一个。呃， d e 等于两倍的 a d 是 吧？ 呃，然后 d 点的话，刚好是一个 k 等于二的时候啊， k 等于二的时候，也就是说这个相似比的话是一个一比二的关系啊。呃，所以说， 哎，刚好这个 d p 是 不是要等于两倍的 a d 啊？那么 d e 也等于两倍的 a d 哎，所以说这个 d e 啊，和这个 d p 是 不是就相等了？ 所以说上面这个角也是角 e 啊，等于三角形哎，也就是跟上面这个这个推导的方法是一样的啊。外角是吧，所以也是等于两倍的角 e 啊，所以结论是成立的，那证明的方法也是一样的啊。好吧， 然后我们重点来看一下后面这个第二小问啊，来分析一下。首先呢， k 等于二，也就是说这个 b d 啊，比上 c d 还是一个一比二的关系啊。然后 ab 等于两倍 c e a b 等于两倍的 c e 啊，这两条边的比例是一个一比二的关系，那你求的是三角形 a、 e、 f， 哎，这个和三角形 a、 b、 c 的 比啊，呃，面积比。那么我们来观察一下啊，这两个三角形 它们有什么？就是说能联系到一起的地方，对吧？有什么能联系到一起的地方？首先的话，我们看一下啊，它们两个能联系到一起的地方的话，首先就是一个，是不是可以可以去做高啊？ 看一下，如果说我们往这边去做高的话，比如说这个是 h 二啊，然后这个三角形 a、 e、 f 的 高， 哎，比如说是一个 h 一 的话，那他们两个的高，你看一下他们两个高是不是是有关系的？ 因为什么？因为我们前面这一问已经求出来了啊，已经求出来这些角度，是吧？平行角度是不是像呃，这个内错角相等啊？所以说三角形啊， 比如说这个地方是 h 一 啊，这个地方是 h 二的话，这三角形啊， a、 b、 h 一， 它一定是相似于三角形 e 这个 e、 c、 h 二的呀，对不对？而且它的相似比我们也是也是知道的呀，是一个二比一的这么一个关系啊，哎，所以说他们的高的话，是不是也是这样一个关系啊？ 也就说他们的高的比是一个一比二，对吧？也就说他们的高的比是一个一比二， 哎，然后的话他高我们呃得到了，那么再看一下他们的底呢？那他们的底，你看一下一个 abc 的 底是不是我们以 ac 为底的话，是不是 ac 啊？ 对吧？那么三角形 aef 的 底，你看一下他就不是 ac 了啊，哎，刚好是一个，是不是一个 af 啊？哎，所以我们就想他们的是高的比，我们已经知道了，那么如果说我们再能够得到他的这个底的比的话， 哎，是不是我们就可以把他们这个面积比给算出来了？哎，因为这个面积等于底乘以高嘛，是吧？底乘以高，所以说底的比高的比，知道了底的比再知道是不就 ok 了？哎，那我们就来看一下能不能得到他的一个 这个底的比啊？那么底的比的话，实际上也就是要得到这个呃 af 是 不是比上一个 啊？ ab 的 长度啊？但是这个地方我们直接去得到它的这个 a f 比 ab 的 话不太好得，是吧？我们退而求其次，如果说我们能得到 a f 是 不是比上一个 fc 的 一个比值的话， 这个会更好得到一点，因为什么它牵扯到是不是可以用八次的相似去进行一个解决啊？你看一下这个 a f 和这个 fc 分 别是不是两个三角形的， 它这个对应的边相似三角形对应的边，但是这个相似三角形的话需要我们自己去补出来啊，我们只需要把这个 e d 进行一个延长，然后 a b 进行一个延长，哎，比如说这个地方是一个 呃，是一个呃，是一个 p 点吧？这个点我们设成一个啊，是一个 g 点吧，那这样的话我们就可以得到呃得呃就可以得到这个相似的八字，是吧？那首先第一组的话，就是这个这个 b d j 啊，和 这边这个 edc 是 不是相似的？并且他们的相似比是吗？是不是一个一比二，对吧？那再有一个跟我们这个 a f 和 f c 相关的这个八字，是不是这个 ab 啊？不是这个 aj 是 吧？ aj f 这个三角形和这个 ecf 这个三角形，那他们的相似比对应边的比例关系是不刚好是一个 a f 比上 f c 啊？哎，所以我们从这个地方去入手啊，去入手，那首先我们是要研究第一个八字啊， 也就是我们要得到什么，要得到的是 b g 比上是不是 ec 是 不刚好是一个一比二的一个关系啊？那么这个 ab 呢？ ab 的 话，它是等于两倍的 ec 的 啊，所以说这个 a g 的 长度啊， a g 比上， 呃，这个 e c 的 话，你想一下，是不是刚刚下面这个地方是两倍的 b j， 上面的话就是应该是五倍的 b j 了， 对不对？哎，所以说我们就知道了啊，这样的话我们就得到了，那么 a f 比上这个 f c 的 话，是不是也应该是这个五比上二的一个关系啊？ 那么我们这个底的比是不就可以得到了？那底的比的话，实际上是 a f 比上谁啊？比上一个 a c 吧，那 a f 还是五份的话，那么 a c 的 话，应该是占成这五加二，说明是七份， 哎，这样的话，我们就可以得到它们的面积比了哈。面积比的话是三角形，这个 aef 是 不要比上一个三角形 这个 abc 啊。我们来看一下，实际上也就是二分之一的 a f 是 不是乘以一个 h 一 啊？比上一个二分之一的 a c 乘以一个 h 二啊？然后把这个比例关系带进去啊， a f 五份是吧？ h 一 的话是一份的话， a c 的 话是一个七份乘以一个，呃，这个， 呃，这个两份，是吧？所以最后的面积比的话，是一个五比上十四的，哎，这样一个关系啊， 哎，这个挡到了，是吧？还是一个五比上十四的这样一关系。那这样的话我们通过呃，比例的一个转换啊，我们就把它这个面积比给它求出来了。那么本质上的话还是用的我们八字相似啊，包括实际上前面的第一问 啊，也是用的一个八字相似，对吧？啊？这个地方大家要注意一下， ok。
24数学安老师
00:30查看AI文稿AI文稿济南初三的孩子要系统刷一刷我手里的这道题。这道题市面上没有，但是我每年都会让我的学生至少刷两遍。这道题就是一年到二五年的济南中考分类会编，我从第一题到最后一个题全部分类好了， 看一下目录哈，一共一百二十页，一共一百二十页。我只答了目录。我们看一下这一块呢，就是我们的选择题的部分。呃，从这一部分就是填空题，然后从这到这就是我们的解答题。如果孩子正在备战中，考的这套题一定是要刷的，能刷两遍就刷两遍。
02:57查看AI文稿AI文稿济南初三的家长们，孩子中考数学圆的综合题总丢分，今天教你两个通用的破题大招，学会了直接拿捏满分！中考圆的压轴题，说白了就两个考点，倒角和相似。 吃透这两个点，再难的圆也能秒减！第一招，倒角你别慌，倒角其实就几个工具，圆的切线性质对吧？圆周角定里还有平行线垂直关系。 你像圆的切线性质就是切线和半径垂直，我们能直接出来九十度，那圆周角定力就是同弧所对的角是相等的，那你角度一定要是非常灵活的来去，嗯，随便去转。 还有平行线垂直关系啊，与角的对定角，你来回倒，你把角呢串成线。 第二招，相似，导完角立刻找相似，常见的有共角相似，平行相似直角，三角相等。相似呢，直接锁死。 比如这道题，已知 am 是 圆 o 的 切线，且 ab 等于 b m， 那 这些呢，是题给我们的， 因为角一因为 ab 是 等于 b m， 这个等要算形，所以我能得知角一是等于角二的。那又因为 a c 呢，是我们这个圆的直径，所以根据直径所对的圆周角为九十度，我们能知道 abc 是 直径啊，且呢，这个角也为直角啊，那我们就可以得到角一加角五等于直角，而角五呢，又加角四等于直角，所以能得到角四是等于角一的。 又因为角四所对的弧是 ab 弧，所以角三所对的弧也是 ab 弧。那这样一来，我就能通过等腰三角形的性质以及圆周角定里得出 一角一和角二以及角三角四这四个角是相同的啊。那这就是原内倒角的一个妙处。那倒完角之后呢，你可以再去找一下相似啊，因为呢啊，角一是等于角三的，所以角二和角二是一个 相同的角，所以三角形 abm 啊，是相似于这个的 am 的， 那这两个三角形就能够找到相似，所以解析思路呢，瞬间你就通了。那这些呢，都是我们解析的一个妙招，你要能够达到下意识的能够反映出来这些东西。 济南的孩子们最后冲刺阶段，圆的压轴题就死磕倒角相似这个逻辑，有不会的题可以随时问我。
00:43查看AI文稿AI文稿二零年济南中考考前最有含金量的一条视频，我们来看一下济南中考数学二四年和二五年选择题答题的一个分布情况。各位家长，你发现有什么样的规律呢？ 一共十个单元题， c 和 b 他 都出现了三次，然后后面的 a 和 d 是 出现两次，如果你要是会啊，咱就正常写，我说的是啥呢？是你现在啥也不会了，就是没招了，你蒙你也得往这个方向去靠一靠，最起码它也是个小的方向， 比如说咱前九道题你非常有把握，但是 d 选项只出现了一次，第十题的话，你压根一点思路和想法都没有，你拿不准的情况下，咱能不能直接选 d 呢？蒙呗，到时候蒙也是有个方向可以蒙的呀。各位家长和考生啊，咱们可以拭目以待一下到底是怎么回事。
42泉城班主任巩老师
02:06查看AI文稿AI文稿二零二六年济南中考，家长注意了啊，今年咱们济南的中考志愿填报总共分为四个批次啊，很多家长一直分不清每一批到底应该报哪个学校，该怎么去填报啊？今天我一次性给大家全部讲通透啊！先说第一批 提前批次，这一批呢，主要招收的是三加四贯通培养项目，今年所有的三加五的培养项目呢，也全部都归入了提前批了啊！提前批的学校呢，分为两种啊，一阶段测试元宵和二阶段测试元宵啊， 考生呢，填报自由度很高，可以两类学校同时申报，也可以只报其中一类提前批呢，最多可以填三个志愿名额。 再来说第二批平行志愿批次，这一批次呢，一共有七个平行志愿，也是大家填报的核心批次，最大亮点就是不高中职可以混报啊，不用分开填报，非常非常的灵活。 这里有一个极其踩坑的细节，一定提醒各位家长啊，如果选择中职升学班，大家一定要注意啊，一个志愿名额对应三个不同的专业代码啊，填报的时候务必仔细核对，千万不要出错啊！ 另外呢，已经拿到了这个高中特色班合格证的同学呢，记住一个小技巧，直接把特色班志愿填在七个平行志愿的最前面啊，优先提前录取啊 啊！接下来的是第三批征集补录志愿，前两批呢，录取结束之后呢，没有招满生源还有剩余名额的学校呢，都会在这一批再次开放名额啊。 第三批呢，可以填报零到五个志愿，大家根据自己的分数和剩余的招生名额自主选择填报的数量，最后呢是这个第四批，也是这个线下兜底的这个征集志愿了。 这是中考最后的一次不露窗口了，所有的滑档落榜，没有被任何学校录取，同学呢，全靠这一次 兜底捡漏，这也是最后一次升学机会啊！为了方便大家精准填报啊，科学定位分数，我专门整理好了济南市区区的一分一段表，全市的位次表，想要家长可以评论去喊我一下啊！
29齐鲁数学王老师
09:08查看AI文稿AI文稿大家好，今天跟大家分享的是来自于山东济南一模的填空的一个压轴题，也是一个非常经典的一个翻折问题啊，但这个翻折问题，他在求最值的时候啊，还是很有特色的，我们来看一下， 在矩形 abcd 中， ab 呢等于六， bc 呢等于八，那么点 e 和 f 啊，分别在 a d 和 bc 边上 将四边形啊 ab， 呃， fe 沿着 ef 做一个翻折点 a 的 对应点呢是点 h， 点 b 的 对应点呢是点 g， 然后告诉我们呢， 呃，恰好落在了 c d 边上，这个点 g 呢恰好落在了 c d 边上，然后呢连接 b h， 让我们求的是呢，三倍的 b h 加四倍的 ef， 最小的时候 f g 多长？ f g 等于 f b， 呃，他俩是相等的，实际上呢，就让我们呢找到一个 f 点，使这个 f 点呢正好能满足呢咱们这个三倍 b h 加四倍的 e f， 呃，这个取值呢会最小。 那么我们大家来分析这个问题啊，首先就是这个式子，两个线段前边都有系数，我们一定要想办法把这个系数呢给消灭掉。 然后呢，大家在这里头啊，注意观察这两个系数之间的关系，大家看三四六八好像正好成比例啊，它们之间会不会有一定的关联呢？ 哎，这个是呢，咱们在这里头啊，需要呢特殊考虑的问题，由于是一个翻折问题啊， e f 是 对称轴，所以呢，我们大家呢很难会能想到呢，把两个对应点呢给它联系起来， 那这个时候啊，他会与咱们的这个对称轴啊，形成一个垂直平分的这么一个关系。哎，那这个角呢，我们看啊，他呢对应的就是呢一个直角， 那么有了这个是直角啊，大家看我们这个 e f 与我们的这个 bg 啊，就满足了一个垂直的这么一个关系，那这个垂直会带来什么呢？这里头非常重要的一点啊，你知不知道呢？这个十字架模型， 十字架啊，在咱们这个矩形还有正方形翻折的时候非常有用，那像我们这个呢，典型的是一个矩形的翻折，这个时候啊，实际上呢，我们这个 b g 和 e f 之比应该等于四比三， 为啥呢？这个里头我们可以简单的证明一下啊，我过 e 点往 bc 上做一个垂线段， 那做完了这个呢，大家注意观察啊，我们呢，呃，这个角，这是一个直角角， c 呢，这也是一个直角，所以 f c g 加上呢，我们这个焦点 会呢构成一个四点共圆，当然你不做这个四点共圆，你去导角也能导出来啊，我们只是这样做呢，会方便一点。那这个四点共圆之后呢，我们知道圆的内接四边形，外角等于内对角，所以 e f p 这个角， 那么就应该和 b g、 c 这个角相等，再加上都有一个角是直角，那就能证明呢，三角形 b g c 与三角形啊， e f p 这两个三角形呢，应该是相似的，那对应边之比， b g 比上 e f 不 就等于 b c 比上呢？呃，我们这个 e p 吗？那就等于呢四比三。哎，这个结论呢，对我们来讲非常重要， 哎，我们要想办法呢，要能够把这个系数啊，要么给它去掉，要么改成什么呢？这两条线段的系数相同，然后我们发现这个 b g 啊，三倍的 b g 恰好等于四倍的 e f， 呃，这个结论呢，我们把它先给大家展示到这啊，三倍的 b g 等于四倍的 e f， 所以我们这个三倍的 b h 加四倍的 e f， 可以 想三倍的 b h 加 b d， 大家看，把系数提出来之后，只要括号里的最小就行了呗，你看，我们就巧妙地把这里面的系数给去掉了， 这个就是呢，咱们在这解题的时候的一个要领，哎，把这个系数给化掉，为啥能化掉？就因为 我们这个系数之比啊，恰好与我们这两条线段边长之比啊，那么是一样的。好了啊，那现在呢，变成了 b h 加上 bg， 我 们发现还是搞不了，为啥呢？因为这里 g h 都是动点， h 点的轨迹还不知道， 只有 b 点是一个定点。这个呢，我们不行，还是做不了啊，两条线段之合。但这个呢，能够让大家呢，呃，更快的会想到呢，我们想办法把它画成呢，两静一动，现在是什么呢？是两动一静，那怎么画呢？大家看啊， 我们其中的一条线段是 b h， 是 呢，原来的点 b 和 a 的 对称点 h 的 连线，那我们根据对称性啊，我们大家知道他一定与跟谁相等呢？跟 a 点与 g 点之间的连线距离应该是相等， 这是咱们对称的一个基本的一个性质啊，有翻折的时候呢，一个基本的性质，我们连接上 a g， 那么这个时候呢，我们可以证明出来， b h 和 a g 相等，那怎么证啊？大家可以证明三角形 b h g 啊与三角形啊啊， g a b 这两个三角形呢，是全等的，怎么证全等呢？用边角边，大家看这两个三角形都有 b g 这么一条边嘛， 都有一个公共边是不是？然后呢，我们这个 h g 和 ab 也是相等的，又要找了一条边，那再找假角呗，看这个角 h g b 这个角它等于九十度减去 f g b， 对 吧？再我们再看这个角 g b a 这个角，它等于呢九十度减去呢 f g f g b 和 f b g 是 相等的，所以啊，我们就可以证明这个三角形全等啊，全等之后呢，呃，这个结论就有了， 那这个时候啊，我们大家就可以呢把这个结论化成呢三倍的 b g 加 a g， 那 这个时候 a 和 b 都是定点，只有 g 一个是动点， 那么 g 又在 cd 的 这条线上运动，所以这个就是典型的一个将军野马问题。 那么下边呢，这个解法呢，大家都很熟了，我就快点说了，我们延长呢 bc 到点 q， 使 c q 和 bc 相等，然后呢再连接上呢 g q， 那 这个时候啊，我们这个 g b 和 g q 就是 相等的，哎，这是咱们这个对称的性质， 那么有了这个之后呢，我们就可以把原来的这个式子，我们就可以变成是谁呢？三倍的 a g 加 g q， 那 么 a g 加 g q， 我 们大家知道两边之和大于等于第三边，我们就想到呢把 a q 连上，那这个时候啊，当 g 点恰好落在 a q 这条线上的时候， 哎，就在这个时候，我们呢就能够取得咱们的对应的我们要求的这个数值最小值，其实这个时候呢，就是 a g q 三点共线的时候最小， a g 加上 g q 最小，那这个时候呢，三倍的 b h 加上四倍的 e f 也最小，那这个时候大家注意，由于 c 啊是 b q 的 终点，所以这个 g 啊，也一定呢就是我们这个 a q 的 终点， 那么所以啊，我们这个 c g 呢，他就是一条中微线，哎，他呢就长度就应该等于 ab 的 一半啊，那当然是终点时候，你说等于 c d 的 一半也行啊，这就是一个一半的问题了，那么下面要求谁？大家看我们要求这个时候的 f g 的 长度， f g 在 这呢，他和 f b 相等，那咋求啊，这个时候没什么好办法啊，列方程是最简单的， 我们呢可以呢设这个 f g 等于 x， 那 你这个是 x， 这个不就八减 x， 这是三吗？那就可以解勾五定里就行了，那我们会有呢， x 的 平方等于八减 x 平方加三的平方， 这个方程看着挺复杂，实际上 x 方能约掉，这是一个一元一次方程，非常好解，解出来的 x 等于十六分之七十三， 这个呢也就是咱们呢对应的这个 b g 啊，它的一个 f g 啊，它的最后的一个取值，哎，当 f g 等于十六分之七十三的时候，三倍的 b h 加上四倍的 e f 就 最小了，这就这个题啊， 这个题呢，我觉得还是有一定的难度的啊，给了四星，大家还有什么好的办法？欢迎呢大家分享到评论区，咱们今天分享这个题啊，咱们就讲到这。
02:59查看AI文稿AI文稿市中区这次的初二期末考试已经考完了，我们来分析一下数学卷子，看看这次数学考的难度怎么样。看，先看一下选择题啊，前面的选择呢，整体来说难度没有很大。第九题，这次考的题目特别接近中考题角平分线和中垂线的指标作图。 然后第十题，这个题呢，正常来说是选择压轴，他的这个压轴题呢，是属于课内内容的一个向外拓展，就是如果你课内掌握的比较好，或者几何做的比较好，这个题是可以考，嗯，就是能够做出来的，他不是说那种纯难题哈，脱离课本的那种难题。 嗯，所以这个题就看看大家的一个基础功底了。但这个题呢，四个答案全是对的，就害怕有些孩子蒙也蒙不对。 然后填空题的最后一个，他就相对有一点脱离课内了哈，他是一个新定义的题目，就属于，呃，给了你一个概念，要先弄弄弄明白这个概念以后，结合图形去做，他的难度会稍微大一些。 然后再有就是最后两道大题的压轴，倒数第二题，函数的压轴呢？这次考的这个第三问是角度存在性，对于我班的孩子来说，我感觉我很自信哈，我觉得这个题应该是问题不大，我们正好期末考试还复习，复习到了，而且我们上课讲的时候，四十五度角度 存在性也给孩子说了，因为这个东西，本来啊，他是在初三二册属于角度存在性，考的会比较多，然后在这两年呢，逐渐的一册属于角度存在性，陆陆续续的就相当于考点前置的这么一个感觉啊，我们在去年的课本里边就新增了这一家， 所以这两年一直在考这个内容哈。四十五度角存在性，考的还是挺普通的，那属于学了的同学应该是会做，没学的同学就应该会。 嗯，不太擅长哈，就是考试之前我也一直一直给孩子说，我说如果让我压考点，我就给你们压，交个存在性，没想到压中了。 然后这个二十五题还是常常规的老朋友手拉手，但这个题呢，他的第二问就设置了一个坎，第二问在拉手脚这个位置哈，他跟我们常规讲的那个倒脚的方式有一点不太一样。 嗯，然后如果要是说孩子的这个应变能力不强，可能第二问就就要就要失手了。然后第三问的难度会比较大一些，他的辅助线不太好做，然后以及想法考虑的都不太，都不太简单哈，所以这也是能拉开孩子差距的。这个题目主要的两个比较难的点，我觉得 一个就是填空的最后一个，一个就是这个最后一道答题的最后一问，这两问是属于难度比较大，不太好想的。然后剩下的第十题啊，以及这个倒数第二题，二十四题，这个题它属于是课内内容的一个小拓展，就看大家这个平时的基础功底怎么样了。 嗯，正常来说的话，哪怕这四道题你做的都不好。剩下的部分考察的还是比较基础和简单的，大概是一百三十五分左右吧，就看孩子的一个整体大体情况了。嗯，如果要是下来一百三，指定是还是有问题的啊，一定要在剧中的补一补。
427秋解数学 济南初中
