一次函数图像和性质湘教版八下2026

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万众期待的巅峰对决即将开始，接下来让我们把目光投向赛道。随着尼克举起发令枪，清脆的比赛枪声突然响起。 然而刚起步，蓝色赛车却突然熄火。不久后，另一辆车紧急换车上场，结果又出了幺蛾子。当尼克看到赛车经过逆行警告标，立刻察觉到不对劲。 朱迪，你有没有发现两位选手好像行驶反方向啊？糟糕，真的跑错路线了！我们赶紧坐上警车，追上去拦住他们。他们车速不快，我们追赶也来不及。我们可以先计算出两车行驶距离，调度空中直升机前去提醒通知。 两辆赛车行驶速度相同，平均每分钟行驶三千米。红色赛车逆向行驶对应的函数解析式和绿色赛车对应的解析式我们已经知道了， 只要我们画出这两个关系是对应的函数图像，直升机就能精准对应时间，快速定位两位选手的位置。可是一次函数的图像究竟该如何绘制呢？ oh！ no！ oh！ no！ bingo！ oh！ no！ 刚才我们成功拦截了逆向赛车，赛场还有四辆备用车正在热身，他们的行驶轨迹对应着四个函数，请大家画出他们的轨迹，判断哪些正向行驶，哪些逆向行驶，找出决定方向的关键因素。 准备好了吗？开始挖掘知识宝藏吧！太棒了！

朋友们好，我们继续来刷题生，这个一这一页的内容的题目呢，都比较的难啊，我是尽量用数学结合的方法给大家把它讲的明明白白的。好吧，我们来看第一题，其中如图，直线 a， y 等于 k， x 加五， 与 x 轴交于点二，逗号零。直线 a 与直线 b， 而 y 的 m， x 加 n 交于点 p， t 逗号二，则 x 的 不等式。 k， x 加五大于 m， i 加 m， x 加 n 的 解集是多少？ 那我们不妨把它标一下吧，那这个写成 y 一， 这个写成 y 二，那现在就告诉你， y 一 要大于 y 二， y 是 谁呢？ y 一 是直线 a， 就是 a 要大于 b， 对 不对？ a 要大于 b， 那 这个也是 a， 那 肯定在这一侧了，对 不对？这一侧这是 a， 这是 b， a 要大于 b， 所以 要算出 p 点的横坐标。好了， p 点横坐标，它现在告诉你说什么呢？这个要 p， 要求 p 点横坐标，是不得知道这两条直线的解析式才行，是不是？ 他现在告诉你说这个与 x 轴交于点二的负零，那第一个直线是不是就斜出来了？就是 y 一 等于 k， x 加五，我们把二的零呢带进去，当 x 等于二的时候，就是二， k 加五等于零，所以二 k 等于负五，那 k 是 不是等于负的 二分之五？这解一式就是 y 等于负的二分之五， x 加一个五。好了，这就是 a， 那 p 点是不是在它上面？所以我们只需要求出这个，当 y 等于二的时候，求它的横坐标 x 等于 t， 那 就是负二分之五。 t 加一个五是不应该等于二， 这就是负二分之五， t 应该等于负三，那 t 是 不应该等于一个五分之六啊，对吧？ t 应该等于五分之六，所以呢？ 五分之六是多少呢？是一点二吧，加五分之一点二，所以这个横坐标就是一点二，那就 x 要小于一点二，所以这个题应该选择 c 选项，这就第一题。我们再来看第二题。已知一次，函数， y 等于 m， x 加 n 等于负 x 加三，当 x 等于一时， y 等于负二。 当 x 等于一时， y 等于负二。我们是不能得出一个式子，那就是 y， 一 是等于 m， x 加 n 的， 它过一都或什么它过 x 等于一， y 等于负二，这个点。

咱们看一下这道题，给了一个反比例函数，这个是 y 等于 x 四分之四，这个属于是贺行仿自己的题，第一次是五十二，贺行在二四年， 在二四年考了这么一道，今年他改吧，他又考了这么一道，他又考了这么一道，路子都差不多。 看它这条线，它是过 a 点做 y 轴的垂线。 a 的 这个坐标是啥？ a 的 这个坐标，横坐标是 m， 横坐标是 m， 那 因为它在这个上边，所以它的纵坐标就是 m 分 之四，它说是 b 点到 y 轴的距离， b 点到 x 轴的距离，等于 a 点到 y 轴的距离， a 点到 y 轴的距离，那它这个是它的纵坐标，这个是它的横坐标，所以说 b 点的坐标就是负的 m 分 之四， 逗号负 m， 这条直线是 y 等于 m， 给它写近点，是不是这条直线是 y 等于 m？ 第一问，他让求 k 的 值，但 k 的 值不用带 m， k 的 值带 m 就 费劲了。那直接咱们就设 a 点，坐标是 a， 逗号 b， 那 b 点坐标就是负 b， 逗号负 a， 它们俩都在这个上边，在相乘都得 k， 相乘都得 k， 是 不是还都在这个上边？那就是 y 等于 k， s 加 b， 那 把它们俩都带入 y 等于这条线， y 等于 k， x 加 b， 把 a 点 b 点都带进来， 那就先把 a 带进来，是不是他就等于不用 b 了？这块有个 b， 那 块有个 b， 字母就重复了，是不是？那直接就 x y 得了，对不对？那这个就是负 y， 负 x 往里带第一个，那就是 y 等于 k， x 加 b， 第二个是负 x 等于负 y， k 加 b， 它们两个做差，那这边是 x 加 y， 这边是 x 加 y， 括号 k 对 一， 第一问就完事了。第一问 k 得一好，再来第二问，第二问。他说的是这条线用上了过点 a， 在 这做了一个垂线， 使他部分把这个上方的 l 上方的，那也就是这一段给他翻折下来，又不像了，是不是？重新画一个给他翻折下来 y 等于八。 好一样的。这根蓝的，上边的不看，就看下边的这一段就行，就看的下边的这一段，就看下边这一段。瞄一下，好，别的不用管了。是不是别的不用管了 啊？看着有点乱，是不是给他藏一下？好，就是这根红的显示就是这根，行，就在这上放着，对不对？他说当 m 等于一的时候，求 g 图像，这个 g 是 啥？包括这个和他这是构成了图像 g 与 x 轴的交点坐标，那实际上就是求这个求 m 等于一，那一 a 点的坐标 就是一逗号四，他到这边是四，是不是他到这边也是四？他到这边是四，他到这边也是四，那他到这边他到哪，他就到八， 实际上这边别这么来，实际上就是求它纵坐标是八的时候，这个横坐标是几？纵坐标是八的时候，这个横坐标是几。那就直接来呗，对不对？直接把八带进去就行了。 那就是第二问，八等于 x 分 之四，推出 x 等于二分之一， x 等于二分之一，那这个点就是二分之一，交点就是二分之一。 第二问的圈一也完事了，第二问，圈二，他说了过点 b 做 y 轴的垂线，然后与 g 交于 n、 c 两点， nc 两点。这块我觉得它是个错，为啥？看它体例描述，它是过点 b 做了个垂线，垂直于 y 轴的垂线，它垂到这是不是？那它垂到这，它说的是和 g， 也就是和这一撇，或者是这一撇相交于那个 n c 两点，那这里边和这只有一点，那这点是 c n， 没有 n， 没有 n， 除非是和 b 点重合，但是他要和 b 点重合，那他不符合题，那他就得零了，那 c n， c n 或者说 bc 怎么能得零？是不是？所以说我觉得他这个点是啥？他 n 应该是在这，为啥？因为二四年他个型考的，他说的是一个 e f， e f 和 y 轴的交点是个 n， 所以说它这块我觉得它是个比物题出错了，但是咱们给这按照 n 在 这算，那么这时候圈二是啥？是 b n 等于二倍的 c n， 也就是 n 点不是和它这个 g 的 交点，它是和这个 y 轴的交点， n 在 这，那咱们就分别表示出来这个 b n 和 c n 就 ok 了。咋表示？那就来呗。还是那个套路。 a 点的这个纵坐标是 m 分 之四， c 点，那这条它过的是 b， b 是 多少？它是 y， 等于负 m， 那从 m 分 之四到负 m， 这个距离是多少？这个距离是多少？是 m 分 之四减 m， 那 也就是减 加减，负 m 就是 加 m， 那 也就是这个点的从这到这的距离。什么距离？这个距离？ 那在这边也得找这个距离，是不是好？能找着他的纵坐标，也能找着这个距离，那这个距离还得加上一个几，还得加上一个 m 分 之四， 那也就是在这边这个点的距离。在这点他对应的这个纵坐标，那就应该是他后边再加上一个 m 分 之四，那这边这个纵坐标是 m， 他的纵坐标 把他的纵坐标进他的解析式里，带到这里，那就是 m 分 之八加上 m 等于 x 分 之四，整理一下这块是多少？ m 分 之八加 m 方 等于 x 分 之四，交叉相乘的，不用了，直接给四乘过去就行了。那 x 等于啥？ m 方加八分之 四 m 算的这个东西，它是 c 点的横坐标， c 点的横坐标等于 m 方加八分之四 m， c 点的横坐标， c 点的横坐标。弄出来了，那 c n 是 多少？ b n 是 多少就 ok 了， 咱继续，咱继续。那 c n 是 多少？来，直接咱就用这个等式了，那就是这个 b n 等于二倍的 c n， b n 从 n 到这，从 n 到这，也就是 b 点的这个横坐标的绝对值，那就是 m 分 之四 c n 这一堆对不对？他在正的没啥说的，那他就等于 m 方 加八分之四 m， 但是他还得乘个二，对不对？他等于二倍的，他 那就弄一下呗，是不是？弄一下在这是不是直接就可以掉个四？先约掉个四， 那就是 m 分 之一等于 m 方加上八分之二 m 交叉相乘二， m 方等于 m 方加八， m 方等于八 m 等于二倍根号二， m 等于二倍根号二。算出一个是不是括号，这一问，他就是问 m 得几？那 m 的 值 m 等于二倍根号二，圈圈三圈三。还有一个他是想问咱们从 a 从 a 到 bc 的 最小值是多少？也就是说这个意思， a 到 bc 的 最小值是多少？ 那么这个 bc 所在的那个直线， bc 所在的直线就是 y 等于负 m， y 等于负 m， 那 这块我就直接就给做了个垂直，那就来呗，是不是？ 来呗，那它的垂直了之后，那咱直接就是纵坐标减负 m， m 分 之四减负 m 等于 m 分 之四加上 m。 如果要是会基本不等式，这个就是高中必修一了，那就直接出答案了，是不是 基本不等式？是啥？是 a 加 b 大 于等于二倍的根号 a b， 那 在这他加他，那就大于等于二倍的根号 m 分 之四加上 m， 中间这乘一约分等于几？等于四，那也就是他的这个最小值就是等于四，最小值就是等于四。那咱没学过这个，那咋整？没学过这个，那就直接给他化解化解。咋弄 通？分 m 分 之四加 m 方，这第一种方法直接用不基本不等式，第二种方法， 那么他等于了之后给上边配方，那我就配了一个加减二 m 减四 m， 那 就是 m 分 之四减四 m 加上 m 方，再加四 m 前面一个完全平方， m 分 之二减 m， 括号的平方再加四 m， 然后等于 m 分 之二减 m 括号的平方再加四。 想要让它最小，那得零，前面这一堆得零，那就是当 m 等于二的时候，它最小最小值是几？是四。

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好，我们继续来学习坐标系中的综合题。关于一次函数与平行四边形。首先题目条件提供的是如图一，在平面直角坐标系中给出的直线 a、 b、 c 的 解析式， y 等于二分之一 x 减三。解析式是用来求点和表示点的， 它说的是直线与 x 轴交于 b 点，与 y 轴交于点 c 点的坐标应该是零负三， 然后另外点零可以得到与 x 轴的交点 b 点坐标应该是六零啊。第一个直接写出点的坐标，那这个我们就不板输了啊。好，接着第二小题， 第二小题他说的是如图二， a 点的坐标是负二零。好，那 a 点点的坐标还是用来这个？从函数的角度来看求解析式。从几何的角度来看， o a 的 长度好， b 点坐标是已知的，是六零， c 点的坐标是零负三。 好，解析式。还是已知的 y 是 等于这个二分之一 x 减三。接下来说的是过 a 点的直线 a、 d 与我们的 y 轴交于 f 点，与这个地方的 b、 c 交于点 d 点 啊，那这个时候过 a 点的这条直线，我们可以引入参数来表示这条直线的解析式，比如说我们可以把它表示为 y 是 等于 k 倍的 x 加二， 这个表示的就是过负二零的这样的一条直线，这条直线与 y 轴交于点 f 点，那么 f 点的坐标就是可以表示的令 x 等于零， y 是 等于二 k。 另外它由直线 bc 的 交点是 d 点，那么这个 d 点也可以用我们的含有 k 的 式子来表示。然后接着给的信息的话是 f、 c、 d 这个角和 f、 d 是 相等的。 最后让我们求的是 a、 d 的 解析式，用点来求解析式找 f 点或者是 d 点好，那这个时候根据等腰三角形 f c 和 f d 相等，然后呢， f 点是用参数 k 表示， d 也可以用参数这个 k 来表示，那就建立 f c 和 f d 的 等量关系。 f d 是 一条竖线，上纵减下纵，用 k 来表示， f d 是 一条斜线，勾股定律表示 f d 的 平方， 但是因为这些啊，这些边的话都是带参数的，而且这个求出来之后，可以演示给大家看一下啊，也就是 k x， 然后呢，加上二 k 是 等于二分之一 x 减三，那移项合并，也就是 k 减去二分之一倍的 x 应该是等于三减去二 k 的 系数化一，那就是这个三减去二 k， 然后呢，除以 k 减去二分之一上下，同时乘以二，那就是六减去四 k， 除以这个二 k 减一。 这个时候就会发现这个地点的坐标相对比较复杂，所以这种方法虽然说是可行的，但是计算量会比较大，所以这个方法我们就这个不建议大家这样去用啊。主要原因是因为只有 c 点是知道的， d 点和 f 点都是未知的，所以都用参数来表示，计算量会比较大。 那另外一个想法的话，就是呃这个地方呢？因为呃 c 点的这个角度， f c d 这个角是在 c 点， c 点是一个已知的点，而这个地方的 f d c 这个角，它是在我们目标待求的地点的位置，它是一个未知的点， 所以这个角它如果放在一个不确定的点的位置上面的话，相对而言就不太好用，所以我们就有一种想法，就是把这个角想办法把它转移到已知点的位置，那已知的点就是 a 点、 b 点和 c 点，因为最终还是要跟我们的这个地方的这个呃 角， f、 c、 d 这个角去产生联系，所以这个地方呢，这个角在转移的时候是通过平行转移的，还是要提供角度的等量关系。那如果说移到这个地方，比如说 c 点的话，那就是这个内错角， 那内错角的话，实际上这个地方有相等的关系，那后续的话，实际上就是有一个这个角相等对称的这种想法 啊，这个方法在我们前面的题目里面是有出现过的，我们可以找到此时的 o 点关于 bc 的 对称点，然后呢，借助 c 和这个对称点，然后求出对应的解析式，再平移到这个 a 点，这种方法是可行的，但是也是有一些计算量的啊，因为 bc 它并不是一个比较特殊的直线。 好，然后呢，接着也可以把它平移到那 a 点，就不考虑了，因为本身就是共线的，移到这个地方的 b 点好，平移到 b 点啊，那平移到 b 点的话，可以得到 f、 d、 c 的 一个同位角，也就是 c、 b 毛毛的这个角，那这个时候就是跟我们的 f、 c、 d 这个角可以把它集中到同一个心里面， 也就是，呃，这个得到 bc。 猫猫应该是有一个等腰三角形，所以我们的这条平行线和我们的外肘形成一个交点，比如说这个交点我们记作 p 点的话，那就可以得到的是 bcp， 应该是一个等腰三角形， b 点是确定的， c 点是确定的，那么 p 点也是可以确定下来的。 好，那接下来如何来求这个地方的 p 点的坐标啊？求点的坐标一个是求解析式，但是我们是要根据点的坐标来求解析式，所以没有办法通过函数的方法来求 p 点。那就从几何的角度来分析， 因为刚刚得到的这个角度得到等腰本身就是一个几何的信息，那从几何的角度来看， p 点的坐标就是求 o p 的 长度 啊，求 o p 的 长度，那 o p 找寻的话，应该是 o p b 这样一个直角三角形，那就是一个勾股方程的想法，我们假设这个 o p 的 长度假设为 t 的 话，那这个时候就可以得到等腰三角形的腰 p c 和 p b 相等，应该是等于 t 加上 o c 的 三， 所以 p b 的 长度就应该等于 t 加三的好，那这样的话，在我们的 o b p 这样一个直角三角形里面建立勾股的方程，求出 t 的 值，进而得 p 点坐标，也就可以得 p b 的 解析式，再找到我们的目标带求的 ad 值这条直线上来。 好，那我们写一下他对的一个分析过程，先是平移倒角，也就是过这个地方的 b 点去做 b p 啊，是平行于 a d 的， 然后是交外周于 p 点。 好，那这样的话，接下来平行倒角就可以得到的已知条件里面的 f d， c 这个角同位角到我们的角 p b c 的 位置， 进而也就和我们的角 f c、 d 是 相等的，那 f d， 呃，这个 p b c 和我们的角 f c、 d 相等，就可以得到等腰三角形也就可以得到的是我们的 p b 和我们的 p c 是 有相等的关系啊，是等于 t 加三的， 那接下来就是在我们的 r t 三角形 b o p 中建立勾股的方程啊，也就是六的平方加上 t 的 平方，应该是等于 t 加三的平方。 好，把括号去掉，得到的是关于 t 的 一个一元一次方程啊，解这个方程得到 t 的 值应该是等于二分之九的，也就得到我们的 p 点的坐标，横坐标是零，纵坐标就是二分之九，那根据 b 点和我们的 p 点这样的两个点是可以得到对应的 p b 的 一个直线解函数。 好，那这个带电系数法求直线解析式，那这个过程我们就不板出了。好，从而得到 b p 的 一个直线解析式，应该是 y 是 等于负的四分之三 x 加上二分之九。好，那 p b 的 直线解析式出来之后，因为 p b 和我们的 a d 是 平行的 啊，这是和 a d 平行啊。啊，从而就可以得到我们的 a d 的 这条直线解析式，应该是 y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，加上啊，这个 b 目前不知道，那我们就加上 b 吧。那接下来的话，就是将我们的 a 点的坐标代入，也就是把负二零这个点直接把它代入。啊，好，那代入的话，就可以得到对应的 b 的 值，应该是等于负的二分之三。 好，从而也就可以得到 a d 的 直线解其式应该是 y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，减去二分之三。 好，当然也可以用过定点的方式啊，比如说表示为 k 倍的这个啊， k 是 已知的啊，是负四分之三，也就是负四分之三倍的 x 加二，表示的就是过负二零的这条直线，然后把括号去掉，整理成一般形式也是可以的啊。 好，接下来我们来看第二小题，他说的是一点，是直线 a、 d 上的一个动点啊，直线 a、 d 的 解析式已经表示出来了，是 y 是 等于负的四分之三， x 减三， 那这个时候的解析式是用来求点以及引入参数来表示点一点，它既然是 a、 d 这条直线上的一个动点，我们就可以引入参数来表示这个地方的一点的坐标。 好，那可以表示为一点的横坐标，假设为小 e， 那 根据这个解析式得到重坐标是负的四分之三倍的 e， 然后呢？减去二分之三。 好，接下来这个说的是外轴上是否存在 g 点，使得 g、 e、 b、 d 这样的四个点为顶点的四边形，刚好是一个平行四边形。那这个存在性的问题，我们都是先假设它是顶点的四边形，刚好是一个平行四边形，那这个存在性的问题，我们都是先假设它是零，因为是外轴上的点 纵坐标，我们就用 g 来表示吧。啊，因为是直接写答案的，所以我们写一下分析的一个过程就可以了啊。好，那这个时候他注意他是给的是四个点， 四个点啊，那这里面有一些点是能够确定的， b 点和 d 点这两个点是确定的，那么 b、 d 这条线段在我们目标的这个平行四边形里面，他是作为边还是作为对角线，我们是不确定的，所以他实际上会涉及到一个分类讨论的问题。 好，当然这个地方的做法，这个不为一啊，我们提供一个想法啊，就是啊，因为是直线上的点，我们把直线稍微画长一点啊， 好，那这个时候的这个 b g 这条线段，它有可能是这个平行四边形的一条边 啊，那这个时候如果是边的话，那就用我们的对边的平行且相等，那就相当于是平行且相等，就是一种平移的方法。其中有一个点是在外轴上，有一个点是在我们的已知的直线上，所以这个时候大概是在这样一个位置啊， 稍微好像跟这个点有点重合的啊，当然这个地方我们先还是正常的去算啊，也就这边是 g 点，然后呢这个位置是 e 点，好，那这个时候借助点的这样的一个平行且相等，当然这个地方因为相对位置是不确定的，所以这个地方在分析的时候，他还有可能会出现在大概这样一个位置啊， 我们把外轴也延长一下 啊，也就是，呃，此时的这个 e 点， 然后呢，这边是几点啊？ 好，我们必做，呃，换个颜色吧。 啊，这是第二种情况啊，就是，呃，首先这个地方满足的就是一个呃对边的平行且相等，所以相当于是一种平移的想法，那此时这个借助点的这样一个平移。 好，借助点的这样一个平移啊，就是 b 点和 d 点这两个点的一个相对位置，实际上对的就是我们的 e 点和 g 点的一个相对位置， b 点是已知的，是六零，那我们还需要知道这个地方的地点， 而 d 点这个点它是可以看作是 a d 这条直线和我们的 bc 的 交点，所以是需要把这个地方的 a d 的 这条直线减去式， y 是 等于负的四分之三 x， 然后呢，减去二分之三和我们的 bc 的 直线减去式进行连力，也就是二分之一 x 减三进行连力。 年利是可以得到对应的地点的坐标，那地点的横坐标是等于这个，嗯啊，地点的横坐标应该是五分之六，好，重坐标得到结果是负的五分之十二，这是我们的地点的坐标啊。 好，那接下来的话就是分情况来进行讨论。那第一种情况的话，就是这个 b、 d 为边。 好， b d 为边，那这个时候得到的这样一个平行四边形，呃，也是要分情况来进行讨论的啊。第一个就是我们的平行四边形应该是 b、 d、 e、 g 的， 因为体干条件提供的是四个点，没有上对位置啊，没有顺序，所以这是第一种情况。好，那这个地方在计算的时候方法是不为一的啊。第一个可以通过点的平移， 从 b 点到 d 点，那就相当于是，呃，往左，那就应该是五六，减去五分之六，也就是往左五分之十二个单位长度啊，五分之二十四个单位长度，向下五分之十二个单位长度， 所以 g 点到 e 点也是往左五分之二十四个单位长度，往下五分之十二个单位长度，所以借助点的平移来得到对应的这种关系 啊。另外一种想法的话就是，呃，这个对角线互相平分，所以会提供啊，就是 b 点和一点两个点的，呃，中点和我们的 b 点和 g 点和 d 点两个点的中点是同一个点，所以就借助中点公式的这样一种想法也是可行的啊，那我们这个地方就用点的平移。 好，那这个时候就可以得到的是这个 x b， 然后呢，减去 x d， 应该是等于 x g 减去 x e， 好点的一个平移，横纵坐标分别进行平移好，那这样的话，因为 g 点的横坐标是零， b 点和 d 点又都是已知的点，那这样的话，我们就可以得到此时的一点的横坐标，那一点的横坐标就是负的五分之二十四，也就是我们的小 e 是 等于负的五分之二十四 啊，这个一点的坐标，横坐标知道之后，带入解析式，我们就可以得到一点的纵坐标，好，那此时得到啊，这个横坐标的话是，呃，负的五分之二十四，带入解析式得到对应的纵坐标，应该是等于十分之二十一的。 好，那一点的坐标出来之后，然后呢就可以得到我们的 g 点的坐标，那就是这个把一点的这个点的纵坐标向上加上五分之十二，好，向上加上五分之十二就可以了啊，从而得到我们目标所需要的这个 g 点的坐标，我们写在下面吧。 啊， g 点的横坐标是零 g 点的纵坐标十分之二十一，然后呢加上这个五分之十二，然后计算得到结果应该是等于二分之九的，实际上就跟我们刚刚第二问得到的那个 p 点是重合的一个点。啊， 好，这是第一个 b g 为边的时候，然后呢，第二个也是以这个 b d 为边好，但是这个时候的这个平行四边形应该对的是 b d g e 的 好，那这个时候还是借助点的这样的一个平移啊，也就是 x b 减去 x d， 那 此时就应该是等于 x e， 然后呢减去 x g， 好， 从而得到此时的这个一点的横坐标，就应该是五分之二十四， 好，一点的横坐标是五分之二十四，那就代入解析式，得到一点的坐标，横坐标的话是五分之二十四，好，代入得到它的纵坐标，应该是等于这个应该是呃，负的五分之 呃十的十分之五是一样。好，那接下来的话，就是这个根据我们的 e 点得到对 g 点的坐标，那这个 g 点的坐标就用 e 点的纵坐标，然后呢减去这个五分之十二 啊，从而得到此时的这个 g 点的坐标，横坐标是零，然后呢，纵坐标应该是负的二分之十五啊，这是 b d 为边的时候，那此时 e、 d 和 g 点的相对位置会发生改变啊，啊，然后呢，第三种情况的话，就是 b d 还可以是对角线 啊， b d 如果是对角线的话，我们也把这个图大概给大家画一下啊， 它如果是对角线的话，那这个 e g 就 会经过 b d 的 终点，那经过终点的话，就是画出来大概的是这样的一个位，大概是这样一种情况啊，啊， 实际上最后得到的结果也是在这个位置啊，就是会经过这个终点，然后呢，一个在我们的直线 a d 上，一个在我们的外轴上，当然我们这个地方还是建立这样的一个对应的等量关系啊，这个是 e 点， 然后呢，这边是 g 点啊，好，那这个时候满足的等量关系就是还是根据点的坐标的一个特点啊，也就是 x， 好， 这个地方我们先写一下平行四边形啊，此时就应该是 b g d e 还是通过点的这样一个平移，但这个地方啊，就是边已经变了，就是 b g 和我们的 d e 平行且相等，那在表示关系式的时候，就是点的平移，那就是 x b， 减去 x g， 好，应该是等于 x e， 然后呢减去 x d， 好， 那这个时候 b 点， d 点以及 g 点的横坐标都是知道的，我们还是代入得到 e 点的一个横坐标啊， 此时得到这个时候的 e 点的横坐标应该是五分之三十六。好， e 点的横坐标出来之后，进而我们就可以得到 e 点的坐标，横坐标的话是五分之三十六十九。 好，那一点出来之后，接着得这个地方的 g 点，好，那这个时候就是根据重坐标啊，重坐标啊，他一个相对关系，那从 b 点到 g 点，就是从一点到 d 点， 那就是这个，呃，纵向的这个长度，负的五分之十二，然后呢减去负的六十分之六十九，然后呢再把 b 点向上进行一个平移，好，从而得到此时的 g 点的坐标应该是零二分之九。 好，大家也可以根据这个中点坐标公式的这种想法， b 和 d 的 纵坐标相加是 e 和 g 的 两个点的纵坐标相加也是可行的啊。然后后面的话就是一个综上作总结 啊，这个地方最后得到有两种情况的，这个记点的坐标是同一个点重合的，所以最后得到的符合要求的这个记点的坐标应该是有两个，一个是零二分之九啊，另外一个的话就是零，然后呢负的二分之十五，从而得到目标的结果 啊，当然这个地方的方法是不为一的啊，另外一个我们也可以去这个啊，比如说这个地方 abcd， 他如果说是一个平行四边形的话，呃，可以用对角线的这种想法，就是有一个对角线互相平分，然后呢，那对角线的这个中点就是同一个点，那就可以得到的就是我们的 x a， 然后呢加上 x c， 应该是等于 x b， 然后呢加上 x d， 包括他们的总坐标也是一样的，也就是 y a， 加上这个 y c， 应该是等于 y b， 然后呢加上 y d， y b 加上外地啊，因为同时如果说除以二的话，都是我们对应的是中点的这个横坐标以及中点的纵坐标，所以这个地方啊，就可以去通过对角线的这个方式来分析，就是有可能是 b g 是 对角线 啊，比如说这个情况下啊，下面的这种情况就是 b g 是 对角线，有可能是 b e 是 对角线，也有可能是 b d 是 对角线， 然后呢，按照从 b 点出发的三条线段，都有可能是对角线的方式，然后利用对角线建立等量关系，进行点的坐标的一个求解也是可行的啊。