今天我们来讲这道题。在圆 o 中， ab 是 圆 o 的 直径， ab 是 圆 o 的 直径。弦 cd 交 o b 于 m， 弦 cd 交 o b 于 m。 角 c d b 等于二十二点五度， c d b 这个角是二十二点五 好，这是一个圆周角，它是弧 bc 所对应的圆周角。一般看到圆周角呢，就要考虑圆周角定里同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半。 好继续过点 c 做圆 o 的 切线。 c n c n 是 圆 o 的 切线。看到切线，那我们肯定要连接半径，所以呢，这个 c o 是 一定要连的。 连接之后呢，可以得到一个垂直，好继续过点 a 做 a h 垂直 c n， a h 垂直 c n， 那 也就是垂直 h n。 若 ab 等于八， ab 等于八，那么 o a 跟 o b 都是四 好，这是所有的已知条件。由于刚才我们在连接半径的时候得到了一个垂直，而题目中的 a h 还垂直于 c n， 所以呢， o c 是 平行于 a h 的 好，这两条线是平行关系。 然后呢，由于题目中弧 c、 d 所对的圆周角是二十二点五度，那么它所对的圆心角就应该是四十五度，也就是角 c o b 这个角是四十五度 好，刚才呢， o c 和 a h 平行，那么这个角是四十五度，就可以得到它的同位角也是四十五度。 看到四十五度角，那我们应该考虑等腰直角三角形，通常呢，是通过做垂直来构造，所以呢，可以过点 o 做 a h 的 垂线，比如说 o p， o p 垂直于 a h， 那 么三角形 a o p 就是 一个等腰直角三角形，它是等腰直角，然后呢， o a 是 它的斜边，等于四， 所以 ap 跟 op 都可以通过勾股定律来求，它们应该是二倍的根号二， 然后呢？问题是求 c h c h。 通过我们刚才做的这些辅助线，你发现在这个四边形 c o p h 中已经存在了三个九十度， 所以这其实已经是一个矩形了。那么 c h 的 长其实就是 o p 的 长，所以 o p 等于二倍根二，那么 c h 就是 二倍根号二。
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可以了，连接它有什么好处呢？首先你会发现呐，这一段弧 a、 c 所对的圆周角是五十五度，所以你这段弧 a、 c 所对的这个圆周角，它也是五十五度，没有问题吧。那么除此之外，你要知道 a、 b 是 直径，记不记得 a、 b 直径，直径所的圆周角一定是直角哦，整个大角九十度，九十度拿走五十五度，所以我们要求的这个角呢，也就是三十五度啦，搞定哎，所以这里我们选 d 选项，挠 好，来到我们圆中的计算与证明，也就是圆和勾股定律了。首先告诉你，三角形 a、 b、 c 的 顶点在以 a、 b 为直径的半圆上，以 a、 b 为直径画个半圆啊，你会发现 a 点、 b 点、 c 点都在圆上。 好，现在过 c 点的切线哦，过 c 点，咱们画了一条切线，我们立马想到，如果你连接 o、 c， 对 吧？ 哎，根据切线的性质，你这个角一定是直角啊，也就九十度，对不对？好，过 c 点的切线啊，过 c 点发射一条切线，那么根据切线的性质，我们知道连接 o、 c 呢，这个角一定是直角。好，我们继续往后了。好，这条切线干嘛呢？跟这个 ab 的 延长线，它交于 d 点。哎， 好，过 a 点直接做 c、 d 的 垂线，我们过 a 点做整个切线的垂线，垂足呢，是我们的 e 点。好，给你标出来了。好，第五步，让我们求证 ac 平分角 e a d， ac 平分角 e a， d 也是怎么样？求证，这两个角相等，对吧？好，这两个角等不等我不知道。好，在这里面，我首先令，这个角是 ar 法，可以吗？因为你是半径吗？ oc 是 半径， 你也是半径了，所以 a、 o、 c， 你 是个等腰三角形，你这个角 alpha， 所以 我们知道这个角也是 alpha， 对 吧？好，那然后呢，你会发现，这条线它垂直于切线， 这条线它也垂直于切线，因此这两条线是不是平行？平行线能告诉我们，就是内错角相等，你是 alpha， 所以 这个角呢，也是 alpha。 喏，你等于我，我又等于他，所以咱们这两个角相等，因此你会发现 a、 c 平分。 搞定。好，接下来我们看第二问，告诉你 c， d 是 四啊，就这个边是四，然后告诉你 b、 d 呢？也就是这个边等于二。干嘛让我们求 b c， 也就是这条线段的长度，那该怎么处理呢？ 其实这个题的方法超级多，但我们首先能够想到的是， o、 c 这个边是半径， o b 这个边也是半径， 所以因此纽法在 o d c 这个大大的直角三角形中，一条直角边的平方啊，半径的平方，再加上另外一条直角边啊，也就加上四的平方，一定等于什么呢？ 等于整个斜边，也就是半径加上二的平方。那最终我们求出来满足条件的半径等于三，哦，也就是这个边等于三，这个边也等于三。那问题来，你可以用等面积法，你可以用三角函数，都可以，但我们用最常见的比方说呢， 啊，我们的等面积法，我们过 c 点直接往下做垂线好不好？比方说呢，这个垂足是我们的 p 点， 我们可以用等面积法把 c p 求出来。比方说呢，你整个三角形的面积等于二分之一的两条直角边的乘积，也就是三，乘以四， 还等于什么？等于二分之一的，你把整个 o d， 对 吧？当做底边啊，底边数再乘以什么呢？高，也就是我们的 c p， 所以 因此整数我们可以求出 c p 等于几呢？等于五分之十二。 o， 就是 这条线段长度，咱们求出来也就是 二点四，对吧？啊，等于五分之十二的好，因此你会发现，那在我们这个大大的直角三角形中，知道斜边是三，知道直角边是五分之十二，所以我们可以通过勾股定律，你求出剩下这条直角边，也就是等于五分之九，对吧？计算过程我们就省略了。 那最后你会发现，这个 o b 的 长度是三，你拿走五分之九，所以这个边呢，等于五分之六。那最终你会发现， 我们要求 b c， 你 只要在 c p b 这个直角三角形中，用勾股定你了一个直角边五分之六，另外一条直角边五分之十二，所以我们求出整个 b、 c 的 长度呢，等于五分之六倍的根号五，搞定。 当这个题你有相似，用三角函数去做，都非常简单，我们就不再多说了。好，第四个，圆和等面积法。首先在一个三角形中，我告诉你， b， a 等于 bc 啊，就是我们这一条红边 b， a 呢， 等于这条红边 bc， 也就是我们给出一个大大的等腰三角形，对吧？ abc， 好， 现在你以 ab 为直径啊，以等腰三角形的某一条腰为直径，你就画个圆， 你发现这个圆呢？它整个三角形的底边一定会产生一个焦点，这个焦点我可以明确告诉你，干嘛呢？这个焦点一定是整个 a、 c 的 中点，这对于我们之前跟大家提到过，对吧？这个叫做等腰圈的模型啊，就你只要给出一个等腰三角形吧， 以这个等腰三角形的腰为直径，你就画一个圆，比方说差不多长，对，这个圆就现在非常标准，对吧？哎，画个 圆好，这个圆呢，和整个底边的焦点，这个点一定是中点啊，就是你这条线段一定等于这条线段，它的证明方法也不止一种，但我个人觉得最常见最好想的连接顶点和这个点，对吧？因为你要知道你这是什么，这是一条直径呀， 以它为直径，所以直径所的圆中角一定是直角。那我这个等腰三角形，你过顶点往下做垂线，根据三线合一，你既是底边上的高，也是底边的中线、 中线，所以两条线段相等，证明完毕。因此呢，它这个中点，对吧？所以在这里面你要去证明也是一样的。你连接 b、 d 嘛，对不对？哎？连接 b、 d， 你 会发现 呐，直径所对圆珠角一定是九十度。哎，你一个等腰三角形，你给我顶点往对边做垂线，所以一定是底边上的中线，对吧？所以这个边一定等于这个边好不好？ 有没有用的不知道，我们继续往后了。好，现在过 d 点做 d 垂直 bc 好， 过 d 点直接垂直 bc 垂足呢？是我们的 e 点。好，让你求证 d 是 圆的切线， 那证明切线非常简单，对吧？也就是我只要连接 o、 d 嘛，我连一下是不是？我只要证干嘛？我只要证出你这个 o、 d、 e， 也就这个角等于九十度，是不就可以了？ 为了方便大家理解，我首先把这里的干扰条件把它清掉，也就是我要证明 o、 d、 e 这个角等于直角。好，那其实非常简单。为什么呢？我用比较笨的方式去证明，比方说我令这个角是 ar 法好不好？ 那你要知道，我是一个大大的等腰三角形嘛， bc 等于 ab， 你 是 ar 法，所以我这个角一定也是 ar 法，没有问题吧？ 除此之外，你会发现这个边是半径，这个边也是半径，所以 o、 a、 d， 它又是个等腰三角形，因此这个角呢，也是 a、 r 法。然后你会发现这两个角是什么角？ 这两条线被我们第三边所截，它产生了同位角，对吧？同位角相等，所以我们知道两直线平行，两直线平行嘛，对不对？两条红线平行， 你现在你会发现这条线它垂直于地，那和它平行的这条线是不是也垂直地啊？因此这个角是个直角。搞定 好，接下来我们把这个图还原，那我告诉你， a， c 等于八，你整个边等于八，所以我知道这个边等于四，这个边也等于四。好， bc 等于五，就是这个边等于五，对吧？所以你放在这个直角三角形中，我们立马可以求出这个边等于三。接下来让我们求什么？ 求 d 的 长，是不是太简单了？其实我跟大家说一下，你可以用等面积法来处理，但我希望各位同学，你们在考试遇到的时候， 希望你的思路比你的过程更快，那我们知道给出一个直角三角形，对吧？ abc， 如果你过直角顶点向斜边做垂线，那么这条垂线段它的长度等于什么呢？ 啊？就这个垂线段一定等于两条直角边的乘积，怎么样再除以我们这个斜边 啊，这个怎么正呢？等面积法，为什么呢？因为整个直角三角形的面积，它等于二分之一的，把它当做底边，对吧？ c 是 底边，那么高是什么呢？高就是这个 h， 对 吧？你把它当做底 高，不就是你吗？哎，二分之一 c， h， 那 么还等于什么呢？等于二分之一的直角三角形面积，两条直角边乘积的一半吧。 二分之一 ab， 左右两边同时乘以二， c， h 呢？等于 ab， 对 吧？所以 h 等于多少？左右两边同时除以 c， 左边除以 c， 等于它，右边除以 c 呢？不就等于这么多吗？你发现上面是什么？上面 ab 不 就是两条直角边的乘积吗？ 下面 c 是 什么？ c 不 就是斜边吗？ no， 我 们是不是证明完毕了？所以举个例子，比方说，以后告诉你呐，同学们，如果是选择填空题呐， 过直角，顶点向斜边，最后垂线等于几呢？六八十，对吧？所以把这两条直角边相乘六八四十八再除以它，你立马知道这个边等于多少，等于四点八好不好？那过程我就不再写了。这是一个大大大大直角三角形吗？ 用两条直角边的乘积十二再除以什么？除以整个斜边五，它指的是什么？指的就是这条高，也就是线段 d、 e 的 长度。搞定 好，第五个，圆和相似啊，这个题大概长这个样子？好，首先告诉你， a、 b 是 圆的直径啊，你立马想到直径所对的圆周角一定九十度。 好，现在 c 是 圆上一点啊， c 点在这，对吧？连接 a、 c、 b、 c。 嗯，目前没有什么特殊性。延长 a、 b 到 d 点，延长 a、 b， c、 d 是 哪个角？ b、 b、 c、 d 是 这个角，对吧？ 啊，就这个红角他干嘛？他等于角？ a 也就是等于这个红角啊，两个红角相等，我们把它标出来。好，接下来干嘛呢？让我们求成 c、 d 是 圆 o 的 切线啊，证明他是切线，那你肯定是切点了，说白了，也就是我们连接 o、 c 嘛， 我只要证明什么，证明这个角等于九十度就可以了。在这里量用最笨的方式去呈现出来。比方说，我拎这个红角是 ar 法，那你这个角一定也是 ar 法，因为 o、 c 是 半径， o、 a 也是半径，你是个等腰三角形，所以我可以推出这个角呢，它也是 ar 法。大家不要忘了， ab 是 直径， 直径所对的圆周角，也就是整个角 a、 c、 b 这个角一定多少度？这个角一定是直角九十度，对吧？你在九十度里面拿走 a、 r、 f， 所以 说白了，也就这个角等于多少度呢？这个角我们求出来一定是九十度减去 a、 r、 f， 此时就证明完毕了，你这个角是 a r f， 而我这个角呢，是九十度减 a、 r、 f， 你 会发现这两个角相加，告诉一个直角，也就是九十度，所以 o c 呢？垂直 c d， 因此呢，它是圆的切线。 好，接下来我们看第二问，他告诉你点 e 是 弧 a c 的 中点， e 点是整个弧 a c 的 中点，所以我们知道，也就是这一段弧一定等于这一段弧。好，现在连接 b 啊，把 b 点跟 e 点连接起来，交于 f 点。 好，现在我们过一点，直接做底边的垂线啊，做底边的垂线，垂足之计和圆呢，交圆去点。那么其实我们知道，通过垂进定律，你这条线段一定等于这个线段，对吧？以及你这个角一定等于这个角，根据对称性呢， b 这个边一定等于 b h 这个边。好，我们继续往后了， 现在吭滋吭滋搞半天，告诉你， b d 等于啊，就是这个线段是一，而且 c d 等于二啊，就这个边等于二。让我们求 b f 乘以 b h， b f 是 哪个边？哎，这个边， b h 是 哪个边？ b h 是 这个边，对吧？也就是让我们求这条线段来乘以这条线段二者的乘积。其实你要知道啊，只要让我们求线段乘积的，一定会用到什么？ 会用到相似，为什么呢？我们举个例子吧，其实这个形式就是 b f 比上几等于，呃，谁比上 b h 这种形式嘛，对不对？ 比完之后呢？那我们对角一乘，不就产生了这个东西吗？好，可是问题来了，这里面哪有什么相似呢？好，我们看看通过这个题干，我们可以得出什么条件。比方说我把这个角标做一个蓝角，当然，在这里面，如果你知道我们的共边共角相似模型， 我们做起来会更快一些，但如果你说这样呢？我不知道，没关系，你会发现在 dbc 这个三角形中有蓝角，有红色的 air 板， 以及在整个大三角形中，一样的，我们有蓝角，有红色的阿尔法，所以能看出相似吗？也就是我们的三角形 d b c 对 吧？ d b c 一定相似于我们三角形 d c a 对 吧？哎， d c a， 那 么这两个三角形对边之比呢？你发现这个三角形它的最短边一。哎，你用一比上整个大三角形的最短边呢？它的对边是不是二呀？哦，就是这个三角形的一 和整个大三角形的二，对吧？是对边这两个三角形相似，比是一比二的。好，我们继续往后。那然后呢？ 你想想，如果你用这个小三角形，注意啊，小三角形，你用它红角与蓝角的夹边，用这个二，对吧？ 比上什么呢？比上整个大三角形对应的红角与蓝角的夹边，整个 a d， 对 不对？哎，你这个三角形二，比上整个大三角形的 a d， 哎，你说 a d 可不可以求出来？ 就已经可以求出来，对不对？好，我们继续往后。还等于什么呢？等于用这个小三角形它的 bc 比上什么？比上整个大三角形对边谁？是不是 ac 啊？哦，你发现 bc 比上 ac 对 吧？等于 bc 比上 ac， 所以 在这里面我想问一下，那你对角相乘 ad， 对 角相乘四，所以你这个 ad 等于几呢？我们求出 ad 是 等于四的 啊，你整个边等于四，说明什么？你拿走一吗？也就是我们知道整个直径是三，对吧？好，整个 a b 呢，是等于三的，就是这条蓝边，我把它标出来，可不可以 整个蓝边直径的长度是三？好，接下来，然后我们还可以得到什么呢？举个例子，比方说呐，各位同学们， bc 比 ac 是 不是也是一比二？你这个三角形的 bc 比上整个大三角形，这边 ac 是 多少？一比二的，对吧？所以，如果我令这个边啊，令这条红边，我令你是 x， 其实一比二的直角三角形，它的三边比的关系也是特殊，但不是一比二比刚好三啊。你是 x， 我 这个边一定多少，一定是二 x， 对 吧？ 亮亮，哪有什么直角三角形呢？这是直径吧，所对的圆周角是不一定直角。那我想问一下，可不可以把 x x 求出来，一定可以吗？你的平方加我的平方等于他的平方，对吧？哦，也就是我们可以得到你的平方，我写字吧，加上你的平方 等于什么呢？等于整个斜边三的平方。所以你说我可不可以把 x 求出来，我直接写了啊，等于，哎，五分之三倍的根号五。好吧，计算过程我就省略了。所以整个 bc 啊，整个 ac 我 们就给求出来了。 可是问题呢，你吭哧吭哧求半天，你这个 b f 乘以 b h， 对 吧？这条线段乘以这条线段好像没有任何进展。注意啊，你需要把这两条线段放在不同的三角形中，我们尝试找出一组相似，对吧？可是你会发现，哎，根本没有，对吧？嗯， 这一段弧等于这段弧，两条弧相等，所以它所对应的圆周角，这个角是不一定相等呀。好，接下来，那然后呢？注意，我们求出了 bc， 我们知道 a b， 所以 我能不能把这两条已知的线段放在啊带有等角的三角形中啊，来进行处理呢？比方说，我们连接 e、 c， 哎，我们连一下， 那此时你会发现，弧 bc 所对应的圆周角呢？是这个角，对吧？以及与此同时，弧 bc 所对应的圆周角呢？还是这个角哦，也就是等于这个角了，那 此时你会发现，喏，在我们 c、 e、 b 这个三角形中，我有红角，我有绿角。一，在 f a、 b 这个三角形中，在这个三角形中，一样的，我有红角，我有绿角，所以你会发现，那 这个三角形，对吧？哎，我们可以正中，怎么样呢？下一组箱子我把它清掉啊，就是三角形 c、 e、 b， 哎，这个三角形一定相似于什么呢？ f a， b， 对 吧？哎，相似于三角形 f、 a、 b， 好， 问题，来，那相似，然后你发现，你这个三角形，你用五分之三倍根号五，啊，你用五分之三倍的根号五， 你比上谁呢？这个三角形的 bc 和整个三角形的 b f 是 不对边哦，题干中的 b f， 它不就出来了吗？好，剩下的，那么它等于什么？你想想，你用整个三角形，你的底边 b， 看到没有？整个三角形的底边 b， 你 的底边 b 比上谁呢？比上整个大三角形的底边几，是不是三？哦，比上三。哎，我们可以列出一个比例等式，对吧？你这个 b f 呢？就是我，可是 b h 呢， 你知道 b h 在 哪？ b h 在 遥远的这一边，对吧？我们刚才说了，你过一点做垂线，根据垂线定力这个边，而且我们知道 b、 e 这个边一定等于 b h 这个边，对吧？ 你就等于我的 b， 所以 你说你这个 b、 e， 我 能不能用 b h 去替换它呢？完全没问题，对吧？它就等于 b h， 所以 你把你对角相乘，哎， b f 乘以 b h 不 就是它吗？所以 b f 乘以 b h， 那 么一定等于什么？一定等于 对角相乘，我乘以你，也就是五分之九倍的根号五。搞定 好，接下来我们再来第六题，圆和三角函数一样的，在我们这个四边形 a、 b、 c、 d 中啊， a、 b、 c、 d 整个大四边形，我告诉你 b、 d 等于 c、 d， 嗯？什么呢？就是 b、 d 这个边，哎，它等于 c、 d 这个边，两条红边相等， 我还告诉你，角 c 等于角 b、 a、 d 角 c 是 哪个角？是这个角，对吧？哎，就这个蓝角等于谁？等于 b a、 d， b、 a、 d 也就是这个角了。哎，其实大家要注意啊，我刚说它是个等腰三角形，对吧？所以你这个蓝角一定等于谁？还等于我们这个角，对不对？哎，等于这个角， 现在以 ab 为直径的圆 o 啊，就是以 ab 为直径的，咱们画个圆。哎，叽咕噜啦说半天，好，第一个让我们求证， bc 是 圆的切线啊，就是 bc 呢，是整个圆的切线。 其实，那我发现我已经连接了圆心和你这个 b 点，对吧？所以也是我只要求证什么？我只要求证这个角等于九十度就可以啊，这个角不是已知的，我只要证明这个角是直角就可以了，怎么证呢？为什么？因为你要知道这是个直径， 直径所对的圆周角一定是九十度，对吧？好，现在呢，如果把这个角标做红角啊，那就结束了，对吧？你会发现，喏，在 a、 b、 d 这个大大的直角三角形中，我这个红角跟你蓝角两角相加九十度，那你这个蓝角跟我相等吗？ 我加你这个蓝角九十度，你说我加你这个蓝角九十度不？那这个角一定是直角啊。所以呢，我们正出来它的切线。搞定 好，我们再来看第二问，我告诉你， a、 d 等于二，也就这个边的长度呢，是二。好，紧接着我告诉你， cosin b a d， b， a d 哪个角？ b、 a、 d 好？ 就这个蓝角，它的余弦值是一比三。 呃，什么意思？就是在这个直角三角形中，对吧？你用这个蓝角所零的直角边，比上整个斜边等于几？等于一比三， 我是二嘛，所以整个底边一定是六，对吧？哎，我们知道，也就是半径是三，半径是三，然后你看吧，在一个直角三角形中，知道直角边上知道整个斜边是六，所以我们通过勾股定律，我们可以求出整个 b、 d 的 长度呢，一定是四倍根号。 好，你这个边呢，一定是四倍的根号。好，接下来问题来了，哎，让我们求 b， 求这条线段的长度，怎么办呢？ 你会发现，这个题目告诉蓝角的三角函数是三分之一，而这两个角都是蓝角，并且我是一个等腰三角形，我只要把其中的任何一个角放在直角三角形中，我们依然可以使用这个余弦值。 你说一个等腰直角三角形，我们如何产生直角呢？很简单，我们直接过顶点向对边做垂线，对吧？哎，我们还知道这两个边相等等腰三角形有三线合一的性质吗？ 好，接下来你会发现，喏，比方说在 d b 吧啦，哎，我就放个屁吧，放个红色的屁。嗯，在这个直角三角形中，喏，我的相邻直角边比上斜边等于多少？等于一比三， 就是，我是你的三分之一嘛，你这四倍根号，所以我们知道它是等于三分之四倍的根号，你这个边一样的，也等于三分之四倍的根号，因此你犯整个 b、 c， 也就是整条边的长度等于多少呢？等于三分之八倍的根号。 好，你把整个 b、 c 求出来，那我这个 b 怎么办呢？你可以用相似，但是在正面我直接去倒角， 你会发现，在 d、 a、 b、 e 这个大大的四边形中，它是一个圆的内接四边形。哎，而我们知道圆的内接四边形呢，它的对角是互补的。如果我令这个角是 alpha， 那 我们知道这个角也是 alpha， 圆的内接四边形，对角互补，你是 alpha， 所以 我知道这个角呢，一定是一百八十度减去 alpha， 当我们求出这个角之后，那么它的零补角呢？我们就会表示出来，对吧？我这个角跟你怎么样呢？相加一百八十度，你是一百八减二法，所以我求出这个角呢，它就等于二法了。哦，我也是一个蓝角，那两角相等，所以你会发现 b、 c、 e 呢，它是一个大大的等腰三角形， 我们求出 b、 c 等于这么多，所以我们要求的 b、 e 呢？啊，也等于三分之八倍的根号。搞定 好，接下来我们再看第七个辅助圆。首先我们给出一个正方形啊，告诉你， a、 b 等于 a， d 等于四啊，就这个边等于四，这个边呢也等于四。 好，接下来我们继续往后了，那现在我告诉你一点，是平面内的一点注意，是平面内啊，而不只是整个正方形里面，我可以在这在这在这在这随便都可以，对吧？但是它满足一个什么条件呢？ a、 e 的 平方加 d 的 平方等于 a、 d 的 平方，就是你的平方加我的平方等于谁呢？等于他的平方。那其实我们知道，也就是这个角一定是直角，对吧？啊，就是一点，不管在哪， a、 d 向外所发射的这个角一定是直角。哎，我不知道大家能想到什么好，你一点肯定是个动点嘛，动来动去的啊，比方一点可以在这，对吧？哎，哎，你这有九十度行不行？可以吧？ 一点还可以，怎么样？还可以在这，对吧？挪回回，对吧？我只要保证你这个角是九十度，你会发现 a 一 方加 d 一 方，你的平方加我的平方都等于整个 a、 d 的 平方，对吧？所以一点是整个屏幕动来动去，动来动去，不知道在哪儿 好，那请问在整个运动过程中， b 点跟 e 点啊，两点之间的最大距离最大值是几？其实我们知道整个三年时间里面，辅助圆最常见的有五类，其中非常具有代表性的一类呢，就叫做定边对定角，如果一条边是固定的， 它所对呢？这个角大小也是固定的，那么呢，我们知道一定可以构造辅助圆，怎么构造呢？你把 a、 d、 e 直接把这个定边和定角所在的三角形，直接把它强行放在一个圆里面就可以了。那么你这个一点呢，一定在圆上运动，那为什么呢？那你会发现， 比方说一点在这好不好？那你这条弦所对应的圆周角是九十度，那你这条弦所对应的这个圆周角呢？是不是也是九十度？没问题吧？ 同样，如果一点在这呢，喏，你这一条弦，哎，其实你会发现这九十度吗？对吧？所以你这个键一定是直径，直径所对圆周角呢？他不也是九十度吗？啊，看到了没？所以你会发现，喏，一点，不管在这在这，在这在这，对吧？不管在哪，只要在圆上运动，你会发现 我们直径所对的圆周角呢，永远是九十度，对吧？当我知道他的运动轨迹是圆，那剩下就简单了，比方说在圆外呢，有一个点 b， 在 圆上呢，有一个点 e， 对 吧？ 你说你 b 之间的距离如何是最大的呢？很明显，你只要连接 b 点和圆心，穿行而过就可以， e 点在这里时呢，此时 b 一定是最大的，没有之一。所以因此你把 e 点所在的这个圆的圆心找出来，很明显呢， a 的 直径圆心在这，对吧？我们知道这个边是二，这个边也是二， 此时我们连接 b 点和圆心，并且呢，把它延长，也是当 e 点在这里时呢，此时我们整个 b 一定是最大的。但我们一般情况下，不会直接求 b 点到 e 点的距离， 而是怎么样，而是先求 b 点到圆心的距离，也就是 o b。 那 你要知道，咱们这是一个直角嘛，所以在整个大大大大的直角三角形中，一条直角变四，所以我们求出整条线段长度等于二倍的根号五， 那我们知道圆的半径是二，圆的半径是二，所以你这条边的长度 o e 的 长度也是二，对吧？你的长度是二，所以你会发现，用这条线段，再加上这条线段，就是二倍根号五加二，它就是我们要求的最大值。搞定 第八个函数和圆，那么函数和圆量在这里就没有给出我们比较复杂的什么 r 函数和圆的一些啊，综合大体。因为我个人觉得啊，圆和函数一旦结合，最终跟函数基本就没有关系了，考的基本都是我们圆的内容。 好，在一个平面直角坐标系里面，我们给出一个固定的二次函数，嗯，它的图像呢，与 x 轴交于 ab 两点，其实通过这个函数，我们可以求出 a 点跟 b 点坐标，比方说，我们直接令它怎么样呢？令整个二次函数等于零，对吧？所以四分之一 x 方呢，等于，也是我们令 y 等于零吧。 嗯，那么最终我们求出来怎么样？等于四，也就是 x 方呢，等于十六，我们求出 x 等于正负四， 你干嘛？就是我们知道 a 点的横坐标呢？负四对吧？ b 点的横坐标呢，是四的。现在我告诉你，点 c 的 坐标是零三啊， c 点坐标呢？零三我标一下 啊，既然这么标，我索性就把整个坐标呢写完整好不好？好，现在问题来了，点 p 是 半径为二圆， c 上的动点啊，就是以 c 为圆心画一个圆，圆的半径等于几呢？等于二，而这个 p 点就是圆上的一个动点。 好，我们连接 a p 干嘛取它的中点，那我们知道随着 p 点运动，你这个点一定也跟着运动，对吧？哦，你这个边等于，这个边也是 q 点呢？它是一个中点。好，现在问题来了，干嘛呢？好，让我们求 o q 长的取值范围，也就是 o 点到你这个动点。 很多人可能会想到，我去把 q 点的运动轨迹找出来，可不可以？百分百可以，你用刮的原理一定可以找，但有没有更加简单的方法呢？有，如果求一条线段的最大最小值，或者求它的取值范围，如果你能直接处理，当然最好，如果不能呢？比方说 o q， 你 会发现比较难，对吧？ 你就找到它的相关线段，比方说，有没有一条线段和它呢？啊，有几倍的，你是我的几倍，我是你的几分之几，或者我和你相等，我们处理一下，也就是怎么样呢？利用转化思维， 这里怎么转化呢？你会发现 q 点是 a p 的 中点，根据抛物线的对称性嘛，你会发现 o 点是 ab 的 中点，看到没有？那 o a 等于四， o b 也等于四， 嗯，也就是这两个边呢，也是相等的。那所以你会发现，如果你连接 b p， 能看到吗？哦， o 是 中点， q 是 中点，所以整个 o q 呢，一定是大三角形的中位线，所以我这个边呢，一定等于 b p 的 一半。 哦，也就是我们整个 o q 的 长度，它永远等于什么？永远等于 b p 的 一半，对吧？所以你让我求 o q 的 取值范围，我不，我只要求 b b， 我 只要把它的取值范围求出来就可以。那怎么去求取值范围呢？ b 点是圆外一点 p 是 圆上一点，对吧？那我想问一下，喏，这是圆上的一点 p 对 吧？这是圆外的一点 b， 你 说这条线段它长度满足什么取值范围呢？ 求取值范围，说白了就是把它的最大最小值求出来，可以了吗？那怎么求最大最小值呢？连接 b 点跟圆心，并且延长，对吧？当你屁点在这里的时候，此时呢，我们整个 b p 一定最短。 当你屁点在这里的时候呢，整个 b p 一定最长。好，接下来耶稣干嘛我们连接 b 点跟圆心了啊？连完之后呢？我们并且把它延长，好不好？ 所以你要知道，喏，我们的最小值就在这里，对吧？我们的最大值呢？就在这里。当我们一般情况下，就像我们上题一样，我们不会直接求 b p， 或者直接求 b 点 p 二，对吧？我们干嘛？我们会先求它到原先的距离，这个咋求？你要知道 这个边的长度等于几呢？ c 的 坐标零三，所以这个边是三，整个 b 的 坐标是四零，所以这个边呢？及这个边等于四，对吧？所以因此我们可以勾股定律求出来，整个 b 点到圆心这一段的距离等于几？ 这一段的距离一定是等于五的，对吧？好，接下来剩下就简单了。为什么呢？那你会发现圆的半径过底，圆的半径是二， 我们是在一个半径为二的圆上运动，也就是这条线段的长度呢，它是二，对吧？哎，这个边我标一下是二，所以你会发现，在 整个五里面拿走两个单位，这不就是三吗？哎，你会发现 b p 的 最小值是三，可不可以取到三？可以取到三就在这里，所以你会发现 b p 它的取值范围怎么样？还是大于等于三吧，对吧？那小于等于几呢？一样的，那这个是不是也是半径 二呀？就是这一段对吧？你整个 b c 的 长度几？整个线段的长度你是五个单位，再加上半径二，所以五加二呢？你的最大值是几？最大值五加二七，对吧？啊？ b p r 小 等于七 啊，所以你会发现 b p 是 三到七之间的，而我永远是 b p 你 的一半，所以我们整个 o q 长的取值范围呢？就是你的一半，也就是二分之三。小等于 o q 干嘛呢？小等于二分之七。搞定，跟着亮亮无脑学习。
7.4万亮亮巧解数学
02:42查看AI文稿AI文稿离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破分值较高的地方。比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。 第二问，会有五个常考的类型，前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形， 这道题是正切线和扇形面积。前面说了想正切线固定方法之一就是连圆心，所以连接 o、 c。 题目给了角 b、 a、 c， 那 我们就从它入手。 它和角 b、 o、 c 是 同弧所对的周角和新角的关系，所以角 b、 o、 c 等于九十度，而 b、 d 和 c、 e 平行，所以有同旁内角互补得到角 o、 c、 e 也等于九十度。第一问，四分拿下，知道固定方法是不是很简单？ 第二问，求阴影面积，一眼就可以看出阴影部分不规则，所以不能直接求满，就要用割补法转换成梯形面积，减扇形面积。 关于阴影面积怎么求，我在前几期中做了专题，可以去那边再学习强化。回到这道题前面，我们已经知道扇形 b、 o、 c 的 半径和圆心角，接下来就要找到梯形的面积。 梯形面积公式没有忘吧，是不是关键就是这个？下底还不知道，所以目标就出来了，来看看怎么计算。因为平行，所以有同位角，相等 角，一的正切值就等于二，那遇到三角函数，前面在固定套路里面就说了需要结合直角三角形，所以辅助线也就有了过点 b 做 b， f 垂直于 e c。 在直角三角形 e f b 中， b f 等于 r 等于二。再利用正切值得到 e f 的 长度，把线段长和角度带入公式计算。第二问六分拿下。同样是固定方法，在指引解析思路 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。
75老严数学补差
05:36查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学，我们今天继续来讲解圆的证明。好了，我们首先来读题，如图， a， b 是 圆 o 的 直径啊，你直径所对的圆周角是九十度，得益是两点，延长 a， b 之 c 连接 c 的。 好，告诉我们一个角相等， b 的 c 等于 b， a 的 好，这两个角画完之后，我们看还没有别的相等的角是不是应该都相等，所以这两个角是不也得相等？好，我们标一下 啊，然后再来看，他让我们所正的是 c 的是圆 o 的 切线，我们知道要正，切线先连接，把我们的 o 的 连接一下，所以也就是说我现在要正，这里是一个直角，这方是个垂直，那我们现在是不是已经有一个垂直了？我们是不是可以从这方下手 呀？好，那到这为止了。之后呢，我们首先是需要干嘛呢？先找一下我们现在这题目里面已经有的相加为直角的角。首先是 这个角是蓝角，你说标它干嘛呢？因为这里是直角，那在这个三角形当中，我们是不是一红一蓝相加等于九十度，这没有问题吧？好，紧接着再看，因为 o， b 等于 o 的， 你俩都是半径吗？对不对？所以你这方是蓝色，我也是蓝色。 好，那我们刚才说了什么？一蓝一红相加等于九十度，对吧？这里不也是吗？一蓝一红相加等于九十度，那这里是不是就垂直了？那第一问很快就做完了啊，切线已经证明了。第二问， tanet， b e， d， b， e， d， 哦，红色的角，红色的角等于三分之二， a， c 等于九，求半径。好，首先呢，我们已经做过很多这种题了啊，看到这方了，出现了，那我们第一步要干嘛？我得找一下你所对的边，对不对？因为我们的 tanet 它是什么？是对边比上 零点好，那我们看一下啊，他说了是红色的角。哦，红色的角我这里有几个呢？这里有三个呢，是不是？好，我们看谁看谁所在的有对边比邻边。你想要出现对边比邻边，也就说你必须要在 rt 三角形当中，对吧？也就是我们的直角三角形。 好，首先来看这第一个红角，那他所在的这个角，妈呀，这可不是一个直角三角形，所以这个角我肯定用不了，但是我知道的是，只要是红角，他们的摊印的值都是相等的，所以我用哪个都无所谓，对吧？好，我们再来看一下。这个角遭了个高，这也不是呀，对吧？这个角所对的这个三角形肯定也不是个直角三角形啊，所以他也不行， 所以我们再来看这里。哎，这里可以，为什么？因为这不是有个圆周角垂直了吗？所以他这里是个 r 七三角形。哦，他这样可以写，那我们写一下 tnt 角 b e 的 就应该等于我们这个红色的角。 tnt 角 b， a 等于多少？等于对边比邻边就是角 a 的 对边比上邻边 a 得啊，不能比 ab 啊， ab 是 斜扁，所以就应该是 b 得比上 a 得等于多少？三分之二。 好，做到这了之后呢，我发现没有什么好做的了。那记不记得我们之前有说过，只要是圆的，证明里面实在没有办法做了的时候，我们要想什么？两个字 相似啊，那我们看有没有相似的角，有，我马上就能看到。为什么？因为它是不是还有个条件， a c 给我们没用，也就是说我需要找一条 a、 c 所存在的边上的三角相似。三角形好， a c 所在的边，那太简单了，它就三角形。三角形谁 a c 得呗， 对吧？还有，还有谁呀？你这条线这么长，就你了，对吧？那谁跟他相似呢？又跟他比较靠的近呢？我马上能看到的是这个三角形，你说为什么？因为我这里有个红色的角，那我就要往红色角上去看，这里是不是也是个红色的角， 对不对？但是在这个大的这个三角形当中，这个角是我现在还没有定义的，对吧？那我们这个三角形也倒是相等了，但是这里好像我也没有定义，我没有办法证明他们相等。但是呢，你看这个三角形 和我们这个大三角形除了有一个相等的红色角以外，他们是不是还共角？哦，三角形总共就三个角，你有其中一个角相等，另外一个角你们两个共角，那剩下的这个顶角不是肯定相等吗？对吧？好，那所以我来标一下。 好，我们最大的这个三角形和我们这个小的蓝色三角形，他们俩相似了，所以三角形 a、 c 的 相似。三角形 a、 c、 b 啊，那你们俩都相似了，肯定有对应边吧。我们来找一下， 先写小三角形的 b、 d、 b、 d 比谁是大三角形的较短边 a 的 小三角形的这条边，旁边这条边 b、 c 比的是大三角形的 c、 d 好， 就剩最后一个了。小三角形的 c、 d 比上大三角形的 a、 c 好。那你注意看，这里 b 的 比 a 的 哦，这出现了你 b 的 比 a 的是等于三分之二，那不就说明你整体的相似比也等于三分之二，对不对？而题目中又跟我们说了个 ac 等于九，带进来呗，这里等于九了， 那交叉相乘一下，是不是变成了三倍的 c 的 等于十八，那我的 c 的 是不是应该等于六？ 好， c 得等于六了之后。哦，这点等于六，我 b c 是 不是能算出来了？那好，继续交叉相乘，三倍的 b， c 等于十二，我的 b c 等于四。 好，你再来看一下啊，我们总个这个长度的 a c 他 是知道的，题目没告诉我们了，是九。那 bc 这段呢？你又算出来了，这是四，那也就说 ab 这段直径你是不是也知道了，是五，那直径是五，半径是多少？二分之五短了。 好，经过这几天的学习，希望大家对圆的证明呢，都能更加的熟能生巧，因为大家有没有发现，来来去去就这几个方法，你要不然倒脚，要不然倒边，要不然就相似没有了，对吧？所以这道题大家听懂了吗？
137郭老师讲初中数学
02:37查看AI文稿AI文稿离初中的决赛还剩五十来天，我建议后进生们把时间精力放在容易突破、分值较高的地方，比如几何大题的前两问，他们难度不算大，并且有固定套路。 最常出现的其实就两个，圆和四边形。拿圆来说，第一问常出现的是切线，证明就只有两个动作，不是连圆心就是做垂线。第二问会有五个常考的类型， 前面两个的对应方法是找半径和圆心，后面三个的对应答题方法则需要结合三角形 这道题要求正切线和三角函数。前面的方法说了，要正切线先连圆心，所以连接 o、 d 得到等腰三角形 a o、 d， 那 角 a 就 等于角 o、 d、 a， 而 abc 也是等腰三角形，所以这个角 a 等于角 c， 那 么 o、 d 就 平行于 bc， 而 d、 e 垂直于 bc， 那 d、 e 也就垂直于 o、 d， 切线就正到了四分拿下。 第二问求三角函数。前面的方法也说了，需要结合直角三角形给的两个已知都在直角三角形 b、 e、 f 中，所以就拿它入手。 b、 e 是 一， b、 f 是 三，所以三 e、 f 就 等于三分之一。角 f 同样也在直角三角形 o、 d、 f 中，所以也就有 o、 d 比上 o、 f 等于三分之一，而 o、 d 是 半径， o、 b 也是半径，所以得到 r 比上 r 加三等于三分之一，就能够求出半径，进而得到 a、 b、 bc 以及 e、 c 的 长度。下一步则需要连接 b、 d。 这个思路是从遇到直径连圆上的点来的，如果想不到，那只要做到上面那一步，这道题也有七分了。好，那我们继续把它完善。连接 b、 d 以后，得到角 b、 d、 a 是 个直角三角形， 由于角 b、 e、 d 也等于九十度，所以三角形 b、 e、 d 相似于三角形 b、 c、 d。 那 b、 d 比上 bc 就 等于 b、 e 比上 b、 d， 由此就可以得到 b、 d 的 长度，算出角 c 的 正弦值。 好，我们从这道题跳出来，是不是它两个问的入手点都是前面总结的那张图？所以家长们需要注意，题目千变万化，但解决方法不会变， 不要让孩子盲目刷题，而是去总结一类题的方法，再用专题训练去强化记忆，形成习惯，哪怕是后进生，也能做到让数学不再拖后腿。
56老严数学补差
06:42查看AI文稿AI文稿东莞中考数学必考题押题第二期，今天我们来看一道圆的综合压轴题，圆的综合题呢，一直都是东莞中考的重难点题型，在选填或者几何压轴呢，会出现很多同学一碰到这种压轴题啊，看到这个莫名其妙第三位的 k 值就被吓到了，根本不敢下笔。 其实我们中考的压轴虽然难，但是我们总能用自己学过的知识点去把它给解出来，所以掌握这些模型呢是非常重要的。今天潘老师就把这道题的思路解剖一下，中考要是碰到同款题型，同学们就不妨了，我们看下这一题。呃，首先这题有切点 啊，要干嘛呀？马上连这个辅助线是不是啊？把我们的半径弄出来就有九十度，那么第一问就证明出来了一个内错角，就把我们的这个角平分线弄出来了， 角一等于角二，这又是一个经典的半径的这个等腰三角形，所以角三等于角一等于角二，角三等于角一，这里就是一个角平分线。第二问，求 o a 的 长度，那么同学们，如果你们看到这个切线 以及这个弦 ef 呢？如果把 ef 一 连呢，就会发现这里其实是一个切割线，切割线的一个定律，那么根据切割线定律呢，就一定会我们的三角形 d ef， 我们的三角形 dce 相似，如果这块不熟悉的话呢，可以去复习一下弦切角定，你和我们的切割线模型得到它们相似之后，就是我们的边比边 d e 比 d c 等于 d f 比上我们的 d e， 再把题目的数值给它带进去啊，就求出我们的半径了，好看！第三问，第三问难在哪呢？会发现这个 k 啊，有点莫名其妙的，同学们可能会想到 a b 等于 k 倍的 o b， 那 我第一问，求出 o a 长为四的同时，我把这个 b g 给求出来不就好了吗？设未知数是不是啊？但是呢，这题啊，要想想，为什么题目没有把这个 g 点给你标出来哈，没有标出来的原因呢，在于这个 b g 它非常难算。那么这里呢，我们最好是按照提议的这个 k 啊， 把 k 给表示出来好呃，那么我们这里有我们的边等于系数的一个边，那么容易想到什么呢？把这个 o b 给它弄过来 是什么？是不是相似里面的边比边等于一个 k 值啊，对不对？所以这里看一下有没有两个三角形，一个含有 a b 边的一个三角形，一个含有 o b 边的一个三角形，是不？刚刚好是我们第一问的这个切线所得到的一个 a 字形的， 得到了这么一个 a 字形相似的一个三角形啊，对不对？所以马上得到三角形 e， o e 相似于三角形 b， a d 都是两个直角三角形哈，然后他们就会得到我们的边比边等于边比边，也就是我们的 o b 比 ab， 哎，这个边比是不是我们提议里面的 k 分 之一啊啊？当然，它同时还会等于我们的 b e 比上我们的 d b， 那 么我们的 o b 根据我们的题目的条件呢，可以稍微把它转变一下，因为这个 a b 和 o b 存在着一个这个关系， 是吧？然后我们稍微整理一下，就会得到 o b 等于四除以 k 减一。那么这里要小心了， 我们先判断一下这个分五 k 减一的情况啊，那么这里由于这个 b 点啊，是在这个切线上的点啊， a o 又是我们半径延长之后得到的 ab， 所以 我们的 ab 长度呢，肯定是要比我们的直径要长的嘛，所以我们这里其实可以稍微给它改一改，这个 k 其实大于一的， 所以这里的分母呢，是没有问题的哈， k 减一是一个大于零的一个数字，那么这边也是如法炮制，会发现我们的 d b 和 b e 呢，也存在着像刚刚这样的一样的关系哈，会发现我们的 b e 呢保持不变， d b 呢是我们的 b e 加三好，也会得到新的一个式子，就是我们的 b e 等于 k 减一分之三， 那么把它们都转变成和 k 有 关的式子之后啊，想方设法把它们放在一起怎么办呢？ o b b e 是 不是再和这个 o e 一 连，就是一个勾股定律啊，得到这个 k 减一分之四，括号平方等于 k 减一 分之三括号平方，加上最后 o e 的 平方，也就四个平方，最后解除 k 值就结束了 这么一个分式方程呢，你们可以考虑把 k 减一分之一设成一个新的未知数，也可以考虑呢，我们的等式两边同时乘 k 减一括号的平方都可以哈，解出最后 k 值 比较特别，它是四分之四加减根号七。由于我们的 k 值呢，是一个刚刚讨论过，是一个大于一的一个情况哈，所以最后应该是四加根号七除以四。 第四问，第四问，求这个 cosine 值呢？由于我们前面讨论过哈，它是一个切割线的一个模型，所以这个 e a f 这个角 e 啊， 哎，是不是同弦所对应的圆周角相等啊，就会变成我们的角 c， 很 巧的是，我们的角 c 在 我们的刚刚切割线的模型第一位里面会画出这个 e f 是 怎么样的呀？哎，是不是这个绿色的一个直角三角形啊？所以它的 cosine 值呢？非常简单，就是我们的 e f 比上我们的 c e 好， e f 比 c e 是 我们的扩散值，会发现这个边比边呢？是不是我们第一问也有的相似三角形里面的边比边啊？我们第一问写的是谁？写的是三角形 d e f 相似于三角形 d c e。 那么我们刚刚的 cosine 呢？是 e f e f 比 c e 比 c e 是 不是还是我们第一问里面的一个相似比啊？所以还可以往下走，这个边比边呢？还可以等于我们的 d e 比 d c。 又把第一问重新用了一遍啊，那么就会得到这个 e f 等于三分之一倍的这个 e c， 但反过来写也可以哈。然后对于这个直角三角形 e f c 呢？欸，它的斜边是不是我们的直径是八呀？欸，勾股定律，最后就得到我们的 e f 的 值，得到 c e 的 值，最后我们的 cosine 就 知道了嘛。
00:39查看AI文稿AI文稿说一个中考扣分小窍门啊，中考时不会做也能得分！我有很多学生在做圆的问题时总是卡壳，找不到解析的突破口，其实出卷老师早就给你留下了关键的解析信号， 只要题干中一出现圆的那节四边形，直接锁定考点，第一圆的那节四边形对角互补。第二 圆的内接四边形外角等于它的内对角。这类题百分之九十五都是用这两个性质进行等角转化的。记住这个小窍门，中考时圆类问题一分都不会丢，你记住了吗？
111关关读书学习
03:26查看AI文稿AI文稿这是一道二零二六年合肥市中考二模圆的综合题，这道题呢，主要是讲方法和技巧。现在呢，我们先看一看第一问，让我们求角 b、 a、 d 的 大小。 我们来看看 b、 a、 d， b、 a、 d 这个角所对的弧是 b、 d 弧，很显然 b、 a、 d 这个角与已知条件有点远，那我们尽量的跟已知条件靠近，再看看这个 b、 d 弧，另外还对一个角是 b、 c、 d， 那这个 b、 c、 d 跟已知条件就靠近了，就很好求了。具体的求解过程我都写在这，很容易求出来角 b、 a、 d 就 等于四十五度。那现在呢，我们主要是讲第二问呢，讲之前，我们先看看这样的一个三角形， 让我们求这个 b、 c 线段长。一般呢，这样的一个题目呢，它已知了交 b、 交 c 有 可能是特殊角，或者有时候即便这两个角不都是特殊角，但是其中有一个角，它的三角函数是能知道的。 这样的题呢，是在三角函数题里面也会经常出现，想求这个 b、 c 线段长，我们用的方法都是通用的。那遇到这样的题呢，我们就看 b、 c 线段，他对的顶点是 a， 我 们就从 a 点向这个线段做一个垂线。 那这个时候呢，就分成两个三角形，一个是 a、 b、 d， 一个是 a、 d、 c， 我 们就很容易求出来 b、 d 线段和 d、 c 线段，然后 b、 c 就 求出来了。那现在呢，我们再回到我们这个题里面， 这个三角形 a、 c、 d 在 d 问，我们已经求出来了 b、 a、 d 等于四十五度。通过刚才的证明，我们知道 a、 c、 d 这个角也等于四十五度。这个角我们知道了是特殊角，就相当于我们这个角 b， 我 们知道了。然后呢，这个角 d， 虽然它的角不知道，但是它的三角函数可求，为什么呢？你们看角 d， 这个角跟角 b 是 相等的， 角 b 是 在三角形 a c b 里面， a c 我 们知道等于二， a b 等于六，所以 b c 很 容易求出来。那么角 b 它的弹力的值也很好求，我在这里面也求出来了， 弹力值等于四分之二，那角 b 的 弹力的值知道那角 d， 它们俩是一样的，这两个角相等。那这样呢？我们这个求 cd 线段， 我们呢从 a 点向 c d 做一个垂线 f， 那 么这个三角形就被分成了 a c f 和 a d f 这两个三角形 c 知道， 那 c f 跟 f 都知道了，就等于根号 r， 弹力的 d 也知道了， f 知道弹力的 d 知道，我们就很容易取出来 f d， 那 所以整个这个题就解决了， 具体的解题过程都在我这个里面，我都全写好了，你们一看就明白。我主要的是讲 做这样题的时候，我们如何求一个线段长，这是我们常用的一个方法，在三角函数里面也常用这种方法讲解完毕。
65中考数学方老师
00:59查看AI文稿AI文稿一分钟学会一个几何模型，给出一个圆内接四边形的对角线，相互垂直，让你求这个圆的直径。很多同学看到这道题完全没有思路，那是因为你不知道圆美四边形，它有一个非常好用的小公式。首先，根据垂美四边形的性质，我们可知黄色线段的平方和等于绿色线段的平方和证明过程。可观看往期垂美四边形的视频， 其实它还等于一条线段的长度，就是我们直径的平方线段 a、 b 和 c、 d 已知代入到公式中，口算即可出答案。 那这道题常规做法是什么样子的呢？其实也非常简单，你让我求直径，那我们就把直径画出来，并连接 c、 f 和 b f。 因为直径所对圆周角是直角，所以角 a、 c、 f 等于九十度，又因为角 e 也是九十度，所以我们能发现 c、 f 和 b、 d 相互平行，于是轻松可得角一等于角二，所以他们各自所对的弧也相等，能得到所对的弦也相等。 此时在蓝色三角形中，因为 a、 f 是 直径，我们能得到它也是一个直角三角形。根据勾股定律，答案不就出来了吗？两种方法，同学们你学会了吗？
159正能亮数学
00:27查看AI文稿AI文稿中考时如果遇到圆类的问题，那么告诉你一个答题技巧，让你一分都不丢！只要题目中出现圆的内接四边形，直接锁定考点。第一，圆的内接四边形对角互补。第二，圆的内接四边形外角等于它的内对角。 这道题呢，百分之九十五都是这两个性质进行等角兑换。记住了吗？赶紧给孩子收藏起来！
29雷雷妈妈爱分享
00:31查看AI文稿AI文稿你好，很高兴认识你，我是江边周一。这期视频讲解初中数学原综合题是二零二零年至二零二五年近六年的甘肃定西的中考真题。原综合题，中考必考。原综合题题型多变，难拿捏，全程细致视频讲解 疏理解题思路，拆解答题步骤，吃透核心考点，考场轻松拿满分。喜欢的朋友点个红心，点个免费的关注，方便以后观看更多视频。
35:44查看AI文稿AI文稿你好，很高兴认识你，我是江边周一这期视频讲解初中数学原综合题是二零二零年至二零二五年近六年的甘肃定西的中考真题，原综合题，中考必考。原综合题题型多变，难拿捏，全程细致视频讲解， 疏理解题思路，拆解答题步骤，吃透核心考点，考场轻松拿满分，喜欢的朋友点个红心，点个免费的关注，方便以后观看更多视频。 你好，很高兴认识你，我是江边周一这节课我们来学习圆综合题是二零二零年甘肃定西的中考题，圆综合题，中考必考。 下面我们来看二零二零年的定期的中考题二十六题，如图，圆 o 是 三角形 abc 的 外积圆， 三角形的外接圆。那我们把三角形也叫做圆的内接三角形。其七线 a、 e 与直径 b、 d 的 延长线相交于点 e， 且 a、 e 等于 ab。 第一问，求证角 a、 c、 b 的 度数，角 a、 c、 b 的 度数。第二问，若 d 等于二，求圆 r 的 半径。那我们先来看第一问 啊，这个二零二零年的第一问，他让我们求这个角 a、 c、 b 的 度数，而且给我们给出来这块的 a、 e 是 虚线， a、 e 是 切线。那么谈到切线，我们就要用切线的性质，就是圆的切线垂直于过起点的半径。 然后呢，又告诉我们 b、 d 是 直径。谈到直径，我们马上想，直径所对的圆周角是直角。 那么在这块我们不妨是连结 ad， 我 们把 ad 施在脸上，连起 ad， 说明这个角 b、 ad 就 等于九十度，其 a、 e 等于 ab， a、 e 等于 ab， a、 e 等于 a、 b 等边对等角，说明这个三角形 a、 b、 e 是 等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等，说明这块的角 a、 b、 e 等于角，是这两个角相等， 那让我们求这个角 a、 c、 b 的 度数，求角 a、 c、 b 的 度数。角 a、 c、 b， 我 们观察它和这个角 a、 d、 b 相等， 因为它都是和 ab 所对的圆周角。我们根据圆周角 的性质定律就可以知道，在同圆或等圆中， 同弧或者等弧所对的圆周角相等，所以说弧 a、 b 所对的圆周角，角 a、 c、 b 和角 a、 d、 b 相等。圆周角定律，而第问中让我们求角 a、 c、 b。 在之后二一年之后呢？希望都让我们证明某条直线是圆的切切线，而这个二零年的中考题，它考了一个求角度，用了一个圆周角定力。 那么现在我们看，如果我们能求出这个角 a、 g、 b 的 度数， 如果能求出角 a、 g、 b 的 度数，那么在这块呢，它告诉我们 a、 e 是 远凹的曲线， 而这个角 d、 a、 e， 我 们发现这个角 d、 a、 e， 它是一个弦起角。弦起角这个概念，弦起角， 弦七角就是七线和一条弦所夹的角就是弦七角。 弦七角有一个性质定律，就是弦七角就等于它所夹的弧所对的圆周角，那比如说这块的这个弦七角，角 d、 a、 e 就等于它所夹的弧 a、 d 所对的圆周角就是这块的角 a、 b、 e。 所以 说这个角 g、 a、 e， 它应该等于角 a、 b、 e。 那 么这样呢，我们发现就是这个角 g、 a、 e， 它等于角 a、 b e a、 b、 e 那 么不妨我们可以设这个角为 x 度， 那么角 e 就是 x 度，所以说角 a、 b、 e， 也就是 x 度，注意设为一个说法，那么这时候呢，这个角 a、 d、 b 就是 二 x 度。 二 x 度这块呢？因为这个角 a、 g、 b 刚好是三角形 a、 g、 e 的 一个外角，我们根据外角的性质，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和， 所以说 a、 g、 b 就是 二 x， 也就是它是角 g、 a、 c 和 g、 e、 a 的 和，所以说就是二 x。 那么刚才我们又发现 b、 d 是 直径，所以说角 b、 a、 d 就 等于九十度，所以角 a、 b、 d 加角 a、 g、 b 就 等于九十度。直角三角形的两个锐角互余， 那我们就得到就是 x 加二 x 就 等于九十度， 所以三 x 就 等于九十度，所以 x 就 等于三十度， x 等于三十度，所以说角 a、 d、 b 就 等于二。乘以三十度就等于六十度。 a、 d、 b 等于六十度，所以说角 a、 c、 b 就等于角 a、 d、 b 就 等于六十度。 这就是第一问。第一问，那首先你要连接 a、 g 连接 a、 g， 因为 a、 e 是圆 o 的 虚线， 所以说角 g、 a、 e 就 等于角 a、 b、 e， 而 a、 e 又等于 ab 等边对等角，所以说角 a、 b、 e 就 等于角 e， 所以 说角 a、 b、 e 就 等于角 e 还等于角 d、 a、 e 角 g、 a、 e， 那 你不妨设 角 g、 a、 e 等于 x， 所以 说角 e 就 等于角 a、 b、 e 就是 x， 所以 说角 a、 d、 e、 a、 d、 b 就 等于二 x 度。 u、 b、 d、 b、 d 是 圆 o 的 直径， 所以说角 b、 a、 d 就 等于九十度。所以说角 a、 b、 d 加角 a、 d、 b 就 等于九十度。 所以 x 加二 x 就 等于九十度。 x 求出来就是三十度，这样我们就可以把角 a、 c、 b 求出来就是六十度。这也是第一问。然后整理思路，可以写出证明过程。然后第二问说热，如果第一等于二， 如果 d 等于二，我们该标的标一下，求这个圆 o 的 半径。第二问， 第二问。通过第一问，我们发现这块的角 e， 它等于角 d、 a、 e。 所以说第一就等于 a、 d。 就 等于二 等角，对等边。 而在记问中， 我们又求出来这个角 a、 b、 d 等于三十度，角 a、 b、 d 等于三十度， 而这个三角形 a、 b、 d 又是直角三角形 b、 d 是 圆 o 的 直径， b、 d 是 圆 o 的 直径，所以说角 b、 a、 d 等于九十度。 那么角 b、 a、 d 等于九十度， 说明这个三角形是直角三角形。所以说在 r、 t。 三角形 b、 a、 d 中， 三十度的角所对的直角边是啊，斜边的一半，所以说就是 b、 d。 应该等于二倍的 a、 d。 而 a、 d 是 二，所以说就是二乘二就是四， b、 d 是 四， b、 d 是 远 o 的 直径，所以说远 o 的 半径为 二，半径是直径的一半， 四乘二分之一就等于二。这就是第二问。接下来整理思路，写出证明过程。请看一连起 a、 d。 只要连接 a、 d 就 行了。这个地方这块是不是又用了另外的一个方法？下面下去同学们认真的再看一下，谢谢 你好，很高兴认识你，我是江边。周一这节课我们来学习圆的综合题，是二零二一年甘肃定西市的中考题。圆综合题中考必考 二十六题。如图，三角形 a、 b、 c。 内接于圆 o、 d 是 圆 o 的 直径 ab。 延长线上一点角 d、 c、 b。 等于角 o、 a、 c。 我们看在图中我们找到角 d、 c、 b、 d、 c、 b。 就是 这个角 d、 c、 b 等于角 o、 a、 c、 o、 a、 c 是 这个角 d， c、 b 等于角 o、 a、 c 过原形 o 做 b、 c 的 平行线，将 b、 c 的 延长线与 e， 那 这句话的意思就说 o、 e 平行 b、 c。 那 么有这句话 我们就可以得到 它。说过原形凹作 b、 c 的 平行线，将 b、 c 的 延长线与 e， 那 也就是说凹 e， 我 们就得到凹 e 平行 b、 c。 第一问，让我们求证 c、 d 是 圆 o 的 期限，要证明一条直线是圆的期限，中考必考，那么要证明一条直线是圆的期限，我们就要用期限的判定，期限的判定是 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的期限，那么意思就是说， 只要我们证明这条直线和半径垂直，并且经过半径的外端，那比如说在这块要我们证明 c、 d 是圆 r 的 曲线，那只要我们证明 oc 和 c、 d 垂直，而我们又发现这个 c、 d 它经过半径 oc 的 外短 c。 所以 说只要我们说明 oc 垂直 c、 d。 那只要说明 o、 c 垂直 c、 d。 那 只要你说明这个角 o、 c、 d 等于九十度，那如何来说明角 o、 c、 d 等于九十度？我们就要结合已知条件， 在已知条件当中给我们给出来， ab 是 圆 o 的 直径， 圆 o 的 直径 ab， ab 是 圆 o 的 直径，那我们根据圆周角定律，直径所对的圆周角是直角，那么 ab 直径所对的圆周角是角 a、 c、 b。 说明这个角 a、 c、 b 就等于九十度。那么在这块我们来分析，因为 ab、 ab 是 圆 o 的 直径， 所以说角 a、 c、 b 就 等于九十度， 那角 a、 c、 b 等于九十度，我们发现这个角 a、 c、 b， 它刚好是角 a、 c、 o。 角 a c， b 和角 abc， 角等于九十度，那也就是说 a、 c， o 和 o c， b 的 和就等于九十度。然后我们又发现 o， a 又因为 o， a 等于 o， c， 半径相等。引含条件，条件在圆当中半径相等。同学们一定要记着， 因为 o， a 等于 o c， 所以 说角 o， a， c 就 等于角 o c a。 而且已知条件当中又告诉我们，角 d、 c、 b 等于角 o， a、 c。 又因为 角 d， c、 b 就 等于角 o， a、 c， 所以 说角， 所以说角 o c， a， o c， a 就 等于角 d、 c、 b。 有 这两个式子， 等量代换，我们就得到角 o， c， a 等于角 d， c， b。 而 角 a， c o 加角 abc 等于九十度。所以说我们有这两个式子， 所以说把这个式子当中的角 a、 c o 用 g， c、 b 换上，所以说就是角 g， c， b。 加角 o， c， b 就 等于九十度。那么角 d， c、 b。 加角 o， c， b 刚好是这个角， 这两个角的和刚好是角 o c， d， o c， d， 所以说角 o， c， d 就 等于九十度。角 o， c， d 等于九十度，所以 o， c 就 垂直 c d。 且 o， c 是 圆 o 的 半径， 所以 c、 d 是 圆 o 的 切线， 所以说证明这条直线是圆的切线必须满足半径和这条直线垂直写说明 这块的某条线段是这个圆的半径，就可以说明这条直线是圆的切线。 这就是我们根据期限的判定，再结合已知条件来证明 cd 是 圆 o 的 期限，然后整理思路，写出证明过程。 下面我们看它的证明过程，就是证明因为 o， a 等于 o c， 所以 角 o a， c 等于角 o c， a。 又因为角 d c、 b 等于角 o a、 c， 所以 角 o、 c、 b 就 等于角 d、 c、 b。 又因为 ab 是 圆 o 的 直径，所以角 o、 c、 b 就 等于九十度，所以角 o、 c， a， c、 a 加角 o， c、 b 就 等于九十度。 等量代换，所以说角 d、 c、 b 加角 o， c、 b 就 等于九十度， g 角 o， c、 d 就 等于九十度，所以说 o、 c 垂直于 d、 c， 而且 o、 c 又是远凹的半径，所以说 c、 d 是 远凹的极限。 接下来我们看第二问，第二问，若 c、 d 等于四，好给我们给出来， c、 d 是 四， c、 d 等于四， c、 e 等于六， c、 e 等于六。让我们求远 o 的 半径及其判正题角 o、 c， b， o、 c、 b 的 值。 那我们先来看如何来求这个远 o 的 半径 给我们给出来 c、 d 等于四， c、 e 等于六，我们直接求半径好像没有什么办法，那么根据题设条件，题设条件当中告诉我们 bc 平行凹 e， 因为 bc 平行凹 e， b， c 平行 o， e， 所以 说我们根据平行线分线段成比例， 刚好是一个 a 型 b、 o、 e 这个三角形我们可以看作是被 b、 c 平行于几边的 b、 c 所截形成的 平行线分线段成比例，那么这样我们就可以得到，所以说就是 b、 d 比 ob 就 等于 c， d 比 c e， c， d 是 四， c， e 是 六，所以说它就等于二比三， b， d 比 o， b 等于二比三， 然后 o、 c 是 半径， o， b 是 半径。碰到比值问题，在这块有一个方法，就是设未知数法，对于这个方法同学们要理解，那么我们不妨设， 不妨设 b， d 等于二 x， 则 o， b 就是 三 x， 所以 说 o， b 就是 三 x， b、 d 属于是二 x， 而 o、 b 又等于 o c， 所以 说 o、 c 就是三 x。 而在计算当中，我们已经证明 c、 d 是 远 o 的 期限， 所以说 oc， 它就垂直 c、 d 期限的性质，期限的性质是圆的期限，垂直于过起点的半径，所以说 oc 垂直 c d， 所以 说角 ocd 就 等于九十度，所以说三角形 ocd 为直角三角形， 那我们在这个直角三角形中，那就是在 l t 三角形 o、 c、 d 中， 我们根据勾股定律就是 o、 d 的 平方，它就应该等于 o c 的 平方 加 c、 d 的 平方，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 o d 刚好是五 x， 那 也就是五 x 的 平方 就等于三 x 的 平方。继续加括号，再加 c 的 平方就是四的平方，那我们把它算出来，就是二十五 x 的 平方就等于九 x 的 平方。加十六， 把九 x 平方移过来，就是十六 x 平方，二十五减九十六就等于十六，所以说 x 平方就等于一，所以 x 就 等于一， x 等于正负一，但这块 x 等于一，把负一缩去， 因为线段的长都是正的，所以说 x 等于一，所以远凹的半径三 x 就 等于三，乘一就是三，所以远凹的半径 就是三，这就是 求圆的半径，那求圆的半径，刚才我们用的就是平行线分线段长比例这个知识点。然后就是设未知数法转化，在直角三角形中， 应用勾股定律得到关于 x 的 一个方程，然后把这个未知数求出来，半进去可以算出来。接下来看摊正极角 ocb 的 值，那我们求 ocb 就是 这个角， 求 tan 的 角 o c b 的 值，直接求 o c b， 好 像没有什么办法，那么现在我们观察， 我们已经求出来这个半径 o、 c 是 三，而 c、 e， 我 们还知道 bc 和 o e 平行， 那么这时我们就发现这个角 c、 o、 e， 它等于角 b， c、 o 两线平行内错角相等，而这个角 o、 c、 e 是 直角， 因为 o c 和 d e 垂直，因为 c、 d 是 平行，所以 在直角三角形 o、 c、 e 中，我们可以把角 c、 o、 e 的 正极值求出来，那么这样相等的角的三角函数值相同，我们就可以把角 o、 c、 b 的 正极值求出来 啊。那么现在我们看一下，就是因为 b、 c 平行 o e， 所以 说角 o， c， b 就 等于角 c o e c o 这两个角相等 u， 我 们知道这块的 o c， 也就是 c， d 是 圆 o 的 曲线， 所以说 o、 c 垂直 c d， 所以说角 o、 c、 e 就 等于角， o， c 就 等于九十度。 所以在 二次三角形 o、 c、 e 中， 它的角 c、 o、 e 就等于 c， e 比 o， c 就 等于 c， e 是 六，半径是三，就等于二。 所以说探证题，角 o、 c、 b 就 等于二。相等的角的三角函数之相同，这就是第二了。 下面我们看它的解析过程，整理思路，写出解析过程 它结，因为 o e 平行 bc， 所以 b、 d 比 o， b 等于 c， d 比 c e， 而 c、 d 等于四， c e 等于六，所以 b、 d 比 o b 就 等于四，比六等于二，比三。 设 b d 等于二 x， 则 o b 等于 o， c 等于三 x， o， d 就 等于五 x， 因为 c、 d 是 圆 o 的 切线上面加上一只，所以说 o、 c 垂直 c、 d， 所以 三角形 o、 c、 d 是 直角三角形。在二次三角形 o、 c、 d 中， 根据勾股定律， o、 o， c 的 平方加 c 的 平方等于 o d 的 平方，所以说三 x 平方加四的平方等于五。 x 平方，所以 x 等于一，所以 o c 等于三，所以圆 o 的 半径为三。 接下来又因为 b c 平行 o e， 所以 说角 o c b 等于角 e o c 在二次三角形 o c e 中，它正题角 e o c 等于 c， e 比 o c 等于六，比三等于二，所以说它正题角 o c b 就 等于二。谢谢。
03:54查看AI文稿AI文稿今天呢，我们来讲一下啊省实验刚刚考过的这个二模题的第十五题，题目上说点 g 的 坐标是零逗二，那么以点 g 为圆心，半径为四的这样一个圆，与 x 轴交于 a 和 b 与 y 轴交于 c 和 d， 那 么这个点 e 呢？是一个动点， 我们去过点 c 做 c， f 垂直 a， e 与点 f， 那 么我们知道一般来说我们牵涉到动点的问题，我们就要研究这个动点所运动的轨迹， 它让求线段 f、 g 的 最大值和最小值。那我们看一下角 c， f、 a 不管怎么动，它都是一个直角，那么根据直径对直角，也就是说我们点 f 的 运动轨迹是一个圆，是一个什么样的圆呢？它是以 a、 c 为直径， a、 c 的 中点 为圆心的这样一个圆上运动。我们来观察一下它的运动轨迹，它始终是在以 a、 c 为直径，以它的 终点为圆心的这样一个圆上运动。我们知道了它的运动轨迹之后，咱们就可以根据一箭穿心来求 f、 g 的 最大值，最小值了。当点 f g 和我们隐形圆的圆心 p 在 同一条直线上的时候，那么咱们的 f、 e、 g 就是 最小值。那我们来看一下该如何求呢？ 我们连结 ag， 因为 og 的 长度是二，咱们 ag 的 长度是四，根据一比二，我们就知道角 ago 是 六十度，那么因为 ga 等于 gc， 所以 这个等腰三角形的底角分别是三十度， 根据我们顶角为一百二十度的等腰三角形，三边之比，一比一比刚好三，那么咱们的直径 a、 c 的 长度就是四倍的根号三，那么我们的半径 hp 就 等于二倍的根号三， 那么我们还要去求 p g 的 长度，因为咱们的最大值就是 hp， 加上 p g， 最小值就是半径减去 p g， 那么我们三十度所对的直角边 p g 等于斜边 a g 的 一半，那么 p g 的 长度就是二，因此我们的最小值 f e g 就 等于半径二倍的根号三。减去 p g 的 长度二， 咱们的最大值 h g 就 等于半径二倍的根号三，加上 p g 的 长度二。
65硕姐教数学
01:21查看AI文稿AI文稿我把步骤缩到最简，一看就会记得收藏起来，这是一个圆，然后告诉我它的半径是五，给了一个特殊角的度数，一个七十五度角。我们都知道七十五可以拆成我的四十五和三十度，那这里肯定是要用我们的四十五度角，甚至三十、六十、九十来解决问题的。 这道题它重点在于辅助线的画法，你要知道如何去构造，只要三角形放相应的角进去，以及它给的线段长度能不能给过角关系。连接我们的 o、 b， 它延长交我们的圆 o 与我们的点 f， 然后再去连接 a、 f， 这样子是不是就出现了一个直径，且直径所对圆周角是九十度。知道这个圆周角是九十度，然后又告诉我们这有一个五倍的根号，三的长度以及圆的半径给了是五，那么 b、 f 自然就是十，那么勾股你自然能解出我们的 a、 f 就是 五，这样子你是可以得到一个特殊的角度出来，这是三十度， 那么自然这里就是一个六十度。再用我们圆同弧所对圆周角相等，这里再去给它连一个 a、 c， 你 就会同样得到这个角也是六十度。那么放在我们的三角形 a、 c、 f 里边，你就可以解得一个 特殊角出来，这个角的位置四十五度角，那当然这个角在我们的圆上，它是一个圆周角，圆周角找到它所对应的弧弧所对的圆心角自然就是我们的九十度。那这个题是不是就可以迎刃而解了？知道了九十度的，然后又有半径构成的直角三角形给他去解题就变得很简单。
24王老师初数思维
05:28查看AI文稿AI文稿来，同学们，今天这道题呢，它是圆中求线段长度的问题，其实这一类题对同学们说的话哈，也是比较难的。在这道题当中，我想特别明白什么，首先题干上的条件告诉我们， a b c 等于六十度， b， a c 等于角， c， d 等于四十五度。好，其实当我们看到这条线的时候，对于我而言，我知道 a c， 它就是角平分线。 在圆当中，我们遇到了角平分线，其实对于同学们而言哈，我们可以有以下两种方向的解析思路。第一种， 角平分线，它的性质就是其实是一个轴对称的图形，所以说我们可以考虑去构构造轴对称图形出来，这里面就包括像两边做全段，嗯，截长不短等。比如说我选择像截长不短吧， 我在 a b 上面截取一点 m， 使得 a m 等于 a 大， 再连接 c m， 这样子我就会保证 a 大 c 和 a m c 这两三行全等。 虽然我们仅仅只知道 a 大 加 ab 等于二，不知道 a 大 和 ab 具体是多少没关系，设参 x x， 那 这就是二减二 x， 继续 这辆三线全等肯定有作用，它保证呢 c 搭等于 cm， 同时呢， c 搭它等于 c b， 所以 遇等腰，那么我们可以考虑向左垂直平分线，这样子的话就会利用三线合一可以得到这个边呢，就只是一减 x。 那 么同学们，你们看在三角形 a c 大 当中， o a c q a c q 当中，这里呢，有 a q 等于一，那么我们可以算出来， a c 的 长度就应该等于根号二。好，有了 a c 长度等于根号二之后，那这道题它就没什么难度了，对吧？ 因为我们知道了 a、 c 长度等于根号二的话，要去求圆的半径， 我们知道这是六十度，就可知道这是一百二十度。接下来利用勾股定力就能够慢慢的把半径 r 算出来， r 呢，应该等于根号二，除以根号三等于三分之根号六， 看你做对了吗？当然，这仅仅是我们遇到角平分线的第一种做法。再来 第一种，说白了，遇到角平分线就够轴对称图形。第二种，我们可以旋转， 这是我想让同学们明白的第二个方法。为什么看到角平分线我们可以旋转呢？但仅限于在圆当中，因为在圆中有角平分线， 它就能够知道它对应的弧弦相等，那么这里有搭 c 等于 b， c 有 搭 c 等于 b、 c， 那 么我可以考虑什么呢？它满足了等边共点，那么可以去旋转，我可以考虑将三角形 a 搭 c 旋转过来， 旋转到 g、 b、 c 这里来。同时要注意一点， 为什么我们选择过来之后哈，你不能直接说 a、 b、 g 三点共线，你要因为哈，你要知道，同学们要知道，因为角 a 搭 c， 加上角 a、 b、 c 等于一百八十度，所以角 a 搭 c 呢？它旋转过来之后有等于角这里的 g、 b、 c， 所以 这就有角 a、 b、 g 等于一百八十度。如果这是一个证明题的话，这里你需要去证明， 然后呢，接下来这题就很简单了，对吧？因为我通过去旋转，就把 a 搭这条边旋转到 b、 g 这条边，我们知道 a 搭加 ab 等于二，那么现在就可以知道 a、 g 等于二。其次，因为我们这样旋转过程当中，其实保证了角 角 a、 c g 也等于九十度，又有 a c 等于 c g， 那 么三角形 a c g， 它也是一个等腰直角三角形， 现在接下来问题就很简单了，对吧？ a g 等于二等腰直角三角形，所以 a c 我 们就可以很快的算出来，就等于根号二。然后方法跟前面第一种方法的后半部分一样，去计算 勾股，还是可以算出来相同的答案。你看这两种方法，所以需要同学们哈。 在以后我们遇到角平分线，圆中有角平分线，怎么去操作呢？勾轴对称去旋转，你们不信，不信可以去试一试。好。
23老覃带你学数学
03:27查看AI文稿AI文稿这道题我不会，但我又想把分数拿下来，有没有办法？有，今天咱们的初中数学流氓解法来到了几何和圆的混合专题，辅助圆 亮带你揭开引圆的面纱，只取手机，拿下分数。那么这个就是我们今年最新的中考模拟题。那么给出一个矩形，它的对角线的交于 o 点，好过 o 点做 o e 垂直， b d 垂直。哎，也如我们知道这个角是直角。好，现在连接 b， 把 b 连接起来，我告诉你，角 a、 b 这个角等于二十度。 好，现在让我们求什么呢？求角 a、 o、 e， 也就是这个角的度数。那这个用普通方法怎么做呢？没有任何思路，但是我们知道矩形这个角也是直角。大家注意啊， 如果一个四边形，它的对角互补，你是九十度，我是九十度，我们相加一百八十度，那么整个四边形的四个顶点，也就 a、 b、 o、 e， 它一定在同一个圆上。我就过 a 点， b 点， o 点、 e 点，我就画个圆。每次到这里都会有同学说，亮亮，那这个圆心怎么找？你找圆心干嘛呢？ 答案直接出来了，这一段弧，我所对的圆周角是二十度。那这一段弧所对的这个圆周角呢？它不也是二十度吗？而这个角就是我们题目中我们的 a、 o、 e， 所以 这个题呢，我们选 c， 搞定。这个题也是我们去年中考的一个模拟真题，同样的，我们又给出一个大大大大的长方形， 好，现在我告诉你， a、 b 是 三， bc 是 五啊，就这个边是三，这个边是五，对吧？好，你这个 e 点呢？在对角线上面，但是 我们永远怎么样呢？构造一个九十度直角 e 点在这啊，咔嚓呢， f 点在这里，好，现在呢？让我们求 e、 f 比上 b 啊，就是求这条垂线段比上这个垂线段。嗯，这个题怎么处理呢？一样的，你发现矩形，它这个内角是直角，在 e、 b、 c、 f 整个大大大大的四边形中，哎，我的对角互补了 两个九十度相加一百八嘛，所以我们知道 b、 c、 f、 e， 它一定在同一个圆上，所以我们直接构造一个，嘿嘿， 回，对吧？哎，哎，差不多哎，这个圆还蛮标准的啊，嘿嘿，好，那画一个圆有什么好处呢？注意听清楚啊。你让我求 e、 f 比上 b， 对 吧？如果我把 b、 f 连接起来，你会发现啊，为什么会想到连接 b、 f 呢？你想想，一个直角， 我去，求两条直角边之笔，那不就在一个直角三角形中去求它的三角函数吗？哎，说白了，怎么样就是你会发现这个锐角，对吧？ 就求这个锐角所在直角三角形，用它的较长直角边比上较短直角边，对吧。而我们知道这一段弧它所对的圆周角是它， 而这一段弧所对的圆周角呢？是不？它，哦，也是这两个角相等。我们刚才说，求什么，你这个边比这个边，不就是我所在直角三角形较长直角边比斜边吗？那我只要求和它相等的这个角 所在的直角三角形 a、 b、 c， 对 吧？我用我较长直角边比上斜边，五比三，所以这个题 选 b 搞定。是不是觉得辅助员超级好用？其实我们辅助员的构造我们之前跟大家讲过五种，如果你想学习更多辅助员的方法，可以一步这条视频来进行学习观看。那么练习题目呢？拿去练习吧！下一期想听什么？打在弹幕里，亮亮火速更新，跟着亮亮无脑学习。
14.4万亮亮巧解数学
01:06查看AI文稿AI文稿家里面有二零二六年参加中考的这个家长先不要划走啊，呃，这个的话是今天中考数学的一个通分技巧，一定要分享给孩子， 是针对于中考数学的这个隐形元选择题和填空题的，直接可以秒出答案，今天的话就把这个方法教给大家。呃，像我们在中考考数学的时候碰到隐形元，而且一般是这种选择填空 哦，你比如说求这个三角形的这个面积的最大值，最小值，或者去求这个 呃，面积最值时他这个对应线段的一个长度，我们可以把这个三角形直接看成等腰三角形即可， 这样的话就可以提升咱们的一个解题速度，但是要注意啊，就是像这个解答题必须规范，见模作答，还不清楚的同学赶紧点赞 啊，收藏呃，转发给咱们备考的这个孩子，每天的话会给咱们分析分享这个中考的提分妙招啊，助力咱们中考就是少丢分，多得分！
34小车讲初升高
07:07查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的是北塔二摩的二十四体圆的综合，我们一起来看一下。这道题给了一个三角形 abc， 告诉我们角 a、 c、 b 呢，是九十度， 又给了一个角的角平分线，角平分线，立马得到两个角的大小相等，画了一个圆，这个圆呢，经过点 b 和点 d， 两个点原先落在了 a、 b 上面。第一小问，让你去正圆的切线。 正圆的切线，我们首先要搞清楚线和圆有没有交点，因为有交点，我连半径正垂直就可以了，如果没有交点，没有交点，我需要做垂直正半径， 他是两个类型的。那这道题圆和线有没有交点呢？有， 这个地方清楚的告诉我们，圆经过了点地，而点地呢，又在 a、 c 上面，所以点地呢，是这条线 a、 c 和圆的交点，那有交点，我们要去正切线， 需要连半径，所以我们把 d、 o 做一个连接，连完 d、 o 以后，它是半径，它也是半径，所以我们得到 b、 o、 d 这个三角形呢，就是一个等腰三角形，那这个角呢，和这个角相等，都是一个底， 立马得到这个角和这个角呢也相等，而这两个角呢，正好是啊，内错角， 内错角相等，两直线平行，平行以后，我把这个地方的九十度就可以挪到这个地方了， 所以我们立马得到 a、 c 和半径 d、 o 是 垂直的，垂直一定会相切，剩下的就是你把这个思路完完整整的写出来就可以了。 如果你还不会写切线的证明过程，你联系我，或者说写完有没有问题，你发给我，我给你看。接下来我们再看第二问。第二问呢，这个地方给了这样的一个条件， 这个条件我们在做题的时候，首先你要把它转移成比的关系。 为什么要转移成比的关系呢？因为我们在初三的这个地方，我们学完相似以后，谁是谁的几倍，其实就是谁和谁的比值是多少， 那涉及到比值的东西，考的就跟相似会挂钩了，所以我写成比的形式，方便我去找相似三角形对应边乘比例的比值。 第一问的辅助线我们划到旁边这个干净的图上来，两个垂直也挪过来， 那你看我现在呢，得到他和下面这条边的比值呢，是根号三，那我就看他们所在的三角形相似还是不相似就可以了。 第一问呢，我们已经得到了这两个角相等，而对顶角相等我可以直接用，所以我们立马得到这个三角形和旁边这个三角形两角对应相等，两三角形就会啊相似。 那接下来我们看一看，立马得到。我就简单写了，三角形 b、 e、 c 相似于三角形 d、 e、 o， 所以 我们现在知道的是 c， e 和 o， e 的 比值是根号三，那其他的对应边的比值呢，也是根号三，所以 bc 和 d、 o 的 比值是根号三，我们 b， e 和 d， e 的 比值呢，也是根号三。 至于要用后面这两个的哪一个，你等一下看求的东西哪个方便你去用哪个就可以了。我们现在要求的是这个角的正弦值，也就是这个角， 那你求正弦值，首先放到直角三角形，它现在在两个直角三角形大的三角形 a、 c、 b 里面，如果能知道这条边和这条边的长度，两个比一下就可以了， 也在小的直角三角形 a、 d、 o 里面知道它和它的长度，做一个比值也可以。但是这道题没有数据， 只有比值，说明你要设未知数。设未知数的时候我们也是有技巧的，小学或者一上初一的时候就会告诉大家，设小不设大， 设加，不设减，设成不设除，所以我们挑小的边去设， 挑小的边去射的时候去尝试看看怎么样好算这道题我们射 a、 o 的 长度会特别好算， 为什么会特别好算呢？我们第一问得到这条线和它是怎么样平行的，所以我们立马是不是也能得到这个小的直角三角形和我们大的直角三角形也会怎么样相似？ 那对应边是不是也成比例？它比值是多少呢？这条直角边和这条直角边是不是对应边？ 长的比短的是不是根号三？所以我们的斜边长的比短的也是根号三，就是它是它的根号三倍。所以我设 a o， 如果是 x， 那 我们的 ab 的 长度一定是啊，根号三个 x， 那剩下 b、 o 的 长度我就能表示出来。 b o 的 长度我就可以表示成根号三 x 减掉 x， 那 b o 是 半径，我们 d o 呢？是不是也是半径？所以 d o 的 长度也可以用根号三 x 减 x 来表示。那这样的话，你看我们这个角的正弦值 就等于所对直角边比斜边，我换成这根两的比值就可以了。 上面用根号三 x 减 x 代替，下面是谁呢？ x 上下同时把 x 除掉，前面除完以后剩 a， 根号三，后面剩个一，所以它的正弦值就是根号三减一， 剩下的把这个思路转换成完整的过程就可以了。好，这道题呢，我们就讲到这，拜拜。
84伍斌的数学思维