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02:16查看AI文稿AI文稿上一期我们表述了什么是拿破仑三角，即不管什么形状的三角形，只要在三条边上各搭一个正三角形， 把它们的中心一连，永远是一个完美的正三角形。今天我们来证明它。我们从头开始，先画三角形 a、 b、 c， 然后在三边外侧画三个正三角形，并找到它们的中心，分别叫 p、 q、 r， 把它们连起来，得到三角形 p、 q、 r。 我们要证明的就是 p、 q。 二是正三角形。接下来找到三角形 a、 b、 c 的 费马点， o 费马点有个特殊性质，从 o 看三角形的三条边，每个角都是一百二十度。现在画出正三角形 a、 b、 f 的 外接圆。注意看角 a、 f、 b 是 正三角形的角，等于六十度，而角 a、 o、 b 是 费马点的角，等于一百二十度。 六十加一百二十刚好一百八十度。这说明 a、 f、 o、 b 四点共圆， o 一定在 a、 b、 f 的 外接圆上。同样的道理， o 也在正三角形 b、 c、 d 的 外接圆上。现在关键来了， o 同时在两个圆上，而 b、 o 是 这两个圆的公共弦， 根据圆的性质连接两个圆心的连线。二、 p 一定垂直于公共弦 b、 o 设它们的焦点为 s。 同样的道理， p、 q 垂直于 c、 o， 焦点即为 t。 现在看四边形 o、 s、 p、 t。 角 o、 s、 p 是 直角，角 p、 t、 o 也是直角。又因四边形内角和三百六十度， 所以角 s、 p、 t 等于三百六十，减一百八十，再减角 s、 o、 t， 而角 s、 o、 t 就是 费马点出的一百二十度，所以角 s、 p、 t 等于六十度。用完全相同的方法可以证明，角 p、 r、 q 和角 p、 q 二也都是六十度，三个角全是六十度，那三角形 p q 二 就是正三角形。总结一下，利用费麻点的一百二十度性质，证明它在三个外接圆上，再用公共弦垂直于连心线，巧妙地推出 p q 二，每个角都是六十度。 不管原来的三角形长什么样， p q 二永远是正三角形。这就是拿破仑定律的优雅之处。觉得厉害的话点个赞收藏吧！
185几何题的几何解
00:56查看AI文稿AI文稿大家好，今天介绍一个经典的几何定律，打破了定律。首先我们画一个三角形 a、 b、 c， 这个三角形可以是任意形状，在它的三条边上，我们分别向外做三个等 边三角形 a、 b、 d。 边上三角形 b、 c、 e 以及 c a 边上的三角形 c、 a、 f。 现在去这三个等边三角形的中心分别是 o 一、 o 二、 o 三， 连接着三个中心点。神奇的事情发生了， o 一、 o 二、 o 三竟然也是一个等边三角形， 这就是拿破仑定律。
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00:32查看AI文稿AI文稿发现了件神奇的事情，这里有两个等边三角形，让他们手拉手联动，然后再用一个等边三角形将他俩连接起来，三角形的大小和旋转角度可以随意变换，就像你看到的这样，神奇的是，如果你分别找出这三个三角形的重心，然后连接三个重心点， 你会发现这三个点竟然也构成了一个等边三角形。同样，无论三个三角形如何变换，旋转角度或是大小，三个重心都会构成等边三角形，这究竟是为什么呢？
460草堂思维
02:22查看AI文稿AI文稿当你坐车的时候，或者你开车的时候，你有没有想过，为什么有些国家是左心，有些国家是右心呢？这背后啊，不是什么技术问题，而是被冻结在柏油马路里的权力斗争的历史。 在古代啊，其实大部分人都更倾向于靠左走，因为你右手是拔剑的那个。你想，如果你在左边，你的敌人就在右边，那靠左走就能让你用你的灵活的右手始终面对着陌生人，你也不，因为你也不知道他会不会攻击你， 这可不是什么习惯，这是一个防御的本能。直到今天，英国、日本这些受贵族歧视文化影响深远的国家，依然保留着这个习惯。 而至于为什么会有右行呢？是拿破仑干的。传说中的拿破仑是个左撇子，靠右行能让他拔剑更顺手，但这只是表面中的表面，更深层的原因是当时的贵族习惯靠左骑马，而普通老百姓只能靠路边 的右边的那个沟里走。拿破仑为了打破这个贵族特权，强行要求他征服的所有领土一律改为靠右行。 他用武力强行改变了半个欧洲的交通逻辑。至英国，他没有被拿破仑政府，所以说他就成了左行最后的古董。 到了二十世纪，美国汽车工业崛起，亨利福特成了最后的裁判。当时的马特福为了方便用右手挥鞭子，喜欢坐在马车的左侧，为了看清对象来车的轮子，他们必须靠右走。 所以说，福特的 t 型车就顺应了这个习惯，把方向盘转到了左边。随着美国汽车横扫全球，左舵右行成为了效率最高的工业标准， 很多原本靠左行的国家，为了能用上便宜好用的美国车，纷纷选选择了弃左投右。 所以说啊，你下次你开车的时候，你可以想想你现在的行驶方向，不单单是什么随随便便选择的东西，要么他在执行中世纪的骑士，要么是在执行拿破仑的革命指令。 所以说啊，很多文明的规则，虽然可能来路不是非常的正哈，但是一旦他写入了底层协议，哪怕他过了几百年，我们仍然在这些旧代码里跑着自己的新生活。我是小叉，下期见。
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00:31查看AI文稿AI文稿你知道吗？拿破仑不仅会打仗，还发现了一个超美的数学定律，随便画一个三角形，不管他长什么样，歪的、扁的、瘦的都行。然后在每条边上往外画一个等边三角形，注意看，这三个红色的、绿色的、 蓝色的三角形，都是完美的等边三角形。现在找到这三个等边三角形的中心点，把它们连起来，见证奇迹的时刻到了，你得到的这个黄色三角形，居然也是一个完美的等边三角形，这就是拿破仑定律。
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02:09查看AI文稿AI文稿不亲眼看着系统运行，就永远无法断定他最终会不会崩溃，对吗？当然不对了！施救系季末，俄国数学家亚历山大离亚普诺夫在薄熙论文中向这个节点发起挑战，他提出了一种完全绕开求解微分方程的方法， 后来被称为离亚普诺夫直接法。核心思路性为，系统虚构一个标量含宿地类似抽象的能量。如果在平衡点附近微是正定的， 且被沿着系统轨迹的导数 v 对 t 的 导数始终附半径，那么系统稳定。如果 v 对 t 的 导数严格附半径，系统就会渐渐地回归平衡点。这套逻辑的优美之处在于，它让人无需运行系统一步就能做出终极判决。最经典的例子是在粘性阻尼的弹簧震子 计量，快为一为 x， 速度为力，力线方程直接求解需要处理特征根，但若构造总能量 v 等于二分之一 m 乘 v 平方，加二分之一 k 乘 x 平方， 求导后得到 v 对 t 的 导数等于负 c 乘 v 平方，其中 c 是 阻尼系数，因为这个导数永远小于或等于零。结合拉塞尔不变原理，剔除掉出原点外的其他不变集合，我们就能在从未实际压缩过一次弹簧的情况下斩钉截铁的宣告，无论出系条件如何， 系统最终必然禁止在平衡点。这种未动先机的能力让离崖普诺夫直接法成为航天器姿态控制、电力系统暂态稳定分析等领域不可替代的安全担保。 我的意思是，你以为要等到最后一刻，等累积到某个一级，等他终于展现离开，你才能断定这段关系是不是真的走到了尽头？ 克利亚普诺夫告诉你另一个版本，你不需要亲眼看着他崩溃，你只需要偷偷算一算那个叫能量的函数。 当这些能量的导数永远小于零，那个结局不需要等到最后一天你已经知道答案。真正的告别从来不需要见证他早在某次你松开手却没有被重新握紧的时候，就已经写在了系统的方程里。
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