湘教版八下数学一次函数拔高题

e 三数中考重点题咱们也来看，给出了 e 三数， y 等于 ax 减 a 加一，这里边有 a， 这里边有 a， 那 咱这咱们都知道，给你点了以后，在这个图像上，所以说赶紧想到两个字，咱们是不是涉及到反代啊，对不对？那解题过程咱们也来看一下的解。第一个 把咱们说的这个负的二分之一都是三，带入到这个 y 等于 ax 减去 a 倍的加一中，得到 咱们的负的二分之一， a 减去 a 再加一的话，是不等于三呢，对吧？所以说咱们通过这个解得的话， a 的 话等于负的三分之四。第一问完事，那对于第二问，给出了一个当 x 大 于等于一，小于等于二 来第二问，咱们来看一下，这是两问啊，所以说不能用第一问的啊，因为现在 a 不 等于零，所以说咱们是不是应该分类讨论呢？第一种情况， a 大 于零时，那一定要写成一句话， y 随 x 的 增大而增大， 那此时的话，当 x 等于二十， y 有 什么值啊？ y 有 最大值啊，对吧？最大值，因为为啥会有这种情况？那咱们画一个解析式呗，对不对？ a 大 零是在他的话，那随着增大增大，那最大值肯定是二呗，因为二是不在最最右右边的，对不对？那他图像大概咱们画的过程中，他可能是啊，他可能是这个 a 大 于零，可能是这种情况，那现在一个是负一在这，一个是二在这，那你发现哪个大呀？肯定是咱们说的这个二要大呀，对不对？越往右去越大嘛，对吧？所以说此时的话，那就是当二的最大值，则 二等于一个二， a 减 a 加一的 a 的 话等于一个一的值，这是第一种情况。第二种情况， a 小 于零时，正好的相反呢？ y 所以 增大而 减小，一定要记住，不是减小而减小啊，那就是此时当 a 等于多少啊？负一时， y 有 最什么值啊？ y 有 最大值， y 有 最大值多少啊？你往里边带呗，对吧？那此时的话，同样也是咱们说的这个 二等于一个二，这个该多少啊？等于一的吗？对不对？所以说这样应该等于一个负的 二分之一。那综上咱们 a 有 几种情况来表示了两个种情况啊，对吧？ a 等于一个负的二分之一，或者是咱们说的 a 等于一个一。

八、下函数压轴王依次函数的动态问题读题这道题目给到你点 m 呢，是一个动点，并且 a q 平行于 c m， 其中 a 点三斗零， c 点负一斗零是给到你的 m 点呢，它的运动轨迹其实也是可以分析的，你现在不认识它，没关系，我们到了初三好好的了解一下啊， 给你这些条件之后，人家让你求的是 p q 的 长度。来，我们先来做一个简单的分析，由于 m 点是一个动点，那整个 a m 直线应该也在动，那直线与我们 y 轴产生的这个焦点 p 点应该是在不断变化到，所以 p 点应该是一个动点。 同理， a q 平行于 c m， m 在 动的话， c m 的 倾斜程度也就是它的斜率应该也在动，那我 a q 的 斜率是不是也随之运动？所以对应的 q 点的坐标也是不能确定的。 两个点都在动，却让你求这两点之间形成的线段长度是多少？我大胆猜测一下出题老师的想法，这两个点虽然都在动，但是它们所夹的这条线段长大概率是一个固定的值，不然不可能让你去求它呀。 但很多同学分析到这里，已经被整道题目的动点个数给吓跑了，完全不知道应该从何下手。没关系，曾曾老师带你一起来拆解一下这种题目到底应该怎么做，再配合曾曾老师为你贴心整理的一次函数十三大题型解密，手把手的带你从一次函数求解析式的问题，到信息提取问题、 求面积问题、动点最值问题，以及依次函数与方程不等式的联系，带你一次通关依次函数所涉及到的所有高频考题，刷完这套资料，期末还能再提十分来回到这道题目吧。 这道题目最明显的是给到你 m 点的坐标，虽然它在动，但这个信息我是可以用起来的。由于我涉及到的第一个点 p， 它应该是 a m 这条直线与 y 轴的交点，那这条直线的解析式你能不能求呢？当然可以， m 点对应的坐标是给到你的，如果你把这里对应的小写字母 m 当成一个具体的数字来用的话，待定系数法两点求坐标一定是能解的。 当然，如果你看过村村老师之前教你的快速求 k 法，你也会知道，纵比横为 k， 所以 纵坐标做差得到 m 方减二， m 减三，横坐标做差得到 m 减三。 中共都有这里的 m 减三，所以我只需要把这里因式分解成 m 加一乘 m 减三，最后 k 其实就是一个 m 加一了。当然这里再把 a 点的坐标带回去，我的 b 应该也知道了，所以这边减去一个三倍的 m 加一。 注意这里的计算过程我直接省略掉了。如果你觉得这里很吃力的话，记得撕一下孙孙老师我细细的给你讲来，它到底是怎么来的哦。在做这一步计算的时候，你发现啊， m 减三这个整体呢，作为我的分母，所以我的分母不为零， m 是 不能为三的。先把这个前提条件写在这里，我继续往下看。 p 点不是知道直线与 y 轴的交点吗？令横坐标为零，所以纵坐标得到一个负的三 m 减三，我把 p 点就已经找出来了。接下来呢，我应该不遗余力的去把 q 也给表示出来，那 q 怎么表示呢？注意，题目给到了 a， q 是 平行于 c m 的， 这说明什么呀？ 平行嘛，倾斜程度应该是相等的，也就是我的斜率，也就是我的 k 值应该是一样的。那么 c m 的 k 我 能不能求出来？ 大胆动手操作一下？非典坐标是负一到零，根据纵比横为 k， 我 没开二度。我要算的应该是这么一个式子，所以再次英式分解成 m 加一乘 m 减三，约掉之后， m 减三也是一个很好算的数，当然这里 m 加一变成了的分母，所以 m 又有一个范围，它是不能等于负 一的。由此呢， a q 直线所对应的 k 值呢，应该也是 m 减三。那有了它，我的 a q 解析式不就能大胆地写了吗？所以 k 为它加上一个 b， 把 a 点的三勾零带进去，就可以把这个 b 给算出来了，算出这里的 b 值得到一个九减三 m 这个呢，其实也就是我 q 点的纵坐标，因为 q 点呢，也是这条直线与 y 轴的交点嘛，所以截距带进去，零到九减三 m， 这是 q 的 坐标， p q 都用含有 m 的 式子表示出来了， 所以整个 p q 的 长度用它们纵坐标的叉就可以做出来。你也有负的三 m， 你 也有负的三 m 减一，减减没了，那得到就是负三减九，负的十二加上绝对值就是最后的结果，所以 p q 的 长度为十二。注意，大前提， m 不 能等于三， m 不 能等于负一。 这道题目我们反复采用了一个技巧，就是快速求 k 值。当然，如果你对这个技巧不够熟练的话，你也可以用待定性算法从头到尾去计算一遍，算完这道题，依次来数相应的压轴题，你应该也就开窍啦！重数选李家强青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！

今天教大家一个求一战术解析式的斜修大法，尖子生都在用，不需要待定系数法，只要瞪眼法，三秒钟出答案，有手就行，马上开始给你一个图像如何快速的求出他的解析式。分三步骤，第一步，确定 k 的 符号， k 往上走为正，往上走为正，往下走为负。第二步，求 k 的 数值，只要用纵截距的绝对值除以横截距的绝对值就搞定了。这里纵截距是四，横截距是二，所以呢，四除以二， 绝对值为二，横截距为二，绝对值为二，二除以二等于一，所以 k 等于一。最后一个纵截距为四，横截距为二，所以呢， k 的 大小为二。 第三步，确定 b， b 的 话看重叠句，重叠句是四，所以这里是加四，这里是负二，所以这里是减二，这里是正四，所以是加四。搞定，你学会了吗？

八下数学最难的一次函数压轴题全部练会，考试逆袭前三二六年八下数学压轴题专项训练一次函数十二道压轴题题型一、两个，一次函数图像共存问题 题型三，一次函数与三角形全等问题。四、一次函数与三角形存在问题。 五，折叠问题。 六，利用依次函数解决分配方案问题。完整版分享！

一次函数的对称变换问题是八下数学的常考题型，很多孩子碰到对称变换就开始头痛了，因为他们不懂得用画图的方法去找到对称之后的直线。那么今天呢，林老师就借由这道题来教会孩子们找对称的底层逻辑， 学会之后，再把林老师给大家准备的一次函数八大题型拿去整理巩固一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，在平面直角坐标系中，直线 l 一 与 l 二，关于直线 y 等于一对称 l 一 的表达式呢？已知，然后让你求 l 二与 y 轴的焦点坐标是多少。那么这种题呢，纯文字表达，所以你想要直接解决是非常麻烦的。那么以后呢，大家记住，只要碰到对称啊，焦点啊这种问题，最常用的办法就是两个字， 画图，所以我们马上把图画出来，很快你就能找到突破口了。好，接下来我们画一下 l e 的 草图，那么 l e 我 们观察一下，它的截距是三，所以呢，它必过啊，这个三零到三这个点， 然后呢，它的斜率呢，是负二，所以它是一条往下走的直线，我们可以把它的草图画出来。好，那大概是这样子， l 一， 而且呢，这个点呢，它是三，我们也可以标一下。好，接下来再来画这个对称轴， y 等于一，那 y 等于一在哪里呢？是在这个位置的，标注一下 y 等于一。好，接下来最核心的步骤来了， l 一 跟 l 二呢，是关于这个 y 等于一对称的，也就说这个 l 二在哪里呢？他在这个 l 一， 关于 y 等于一，这样对称下去，也就说他在这，然后折下来， 对吧？啊？所以我们可以画出这个 l 二的草图出来，大概是这样子，这是 l 二。好，然后要你求 l 二和 y 轴的焦点坐标，就是要求这个点，咱们把它叫做 p 点吧。 好，那接下来我们开始来研究他的性质了啊，你想这两条线呢？他是关于中间这条线对称的，所以他们其实是镜像的，他们是对应的部分是相等的，对不对？所以呢，你看他是 y 等于一，那这里是一，那这一段我们可不可以知道 三减一，它就是二，对吧？然后呢，这个点到这个 p 点是不是也得相等啊？所以这一段它也得是什么？也得是二，那么一减去二是多少呀？我们就不难算出它是零斗负一，你看坐标我们就出来了，所以最后答案就是 零斗负一。所以记住了，以后凡是这种求对称的题目呢，一定要把图画出来，画完图之后很多线索一目了然，好，你学会了吗？

依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

八、下期末必考的一函数的三大几何变换，分别是平移变换、对称变换和旋转变换。今天梁老师用一个视频教会你平移变换怎么做。来，咱们看题说将这个一函数的图像向右平移一个单位，再向上平移两个单位后， 所得的图像对应的解式是， y 等于 x 加三。那么求 k 等于多少， b 等于多少。 好了，各位，其实这类题目很好解决，你只要记住平移的口诀就行，就是左加右减自变量，上加下减常数项。那具体怎么做呢？我们来看，它说给这个图像向右平移一个单位， 那么向右怎么办？向右是不是要给这个自变量去减？那你看是不是给这个 k x 减一呢？ 不是。这里边的自变量是谁？这里边的自变量是 x， 所以 只给 x 减一，也就是 k 倍的 x 减一， 然后呢，它又向上平移两个单位，那向上平移上加给谁加？给常数项加，那这里边的常数项是谁？常数项是 b， 所以 给 b 加个二， 对吧？好，那我现在把它整理一下，就是 k， x 减 k 加 b 加二。好，那我把它写成这个样子，就是加 b 加二， 再减 k， 这是平移之后的解析式。那么他又说了平移后的解析式是谁？是 y 等于 x 加三。 好，他们俩都是平移后的形式，那么这两个是不是应该相等啊？相等的话，那么一次项和一次项相等，长竖项和长竖项相等，所以 k 等于多少？ k 等于一，对吧？那么 b 加二减 k 是 不是等于三？所以 b 是 多少？ b 是 二吗？ k 等于一， b 等二。那今天的这道题目大家听懂了吗？听懂的话再把我整理的依次函数的必刷题拿去练习，轻松应对期末考。

八年级的一次函数中，已知平行求解析式是期末高频的易错题型，但是呢，刚学一次函数的孩子，他根本就不理解在函数里面平行是什么意思， 他们的脑袋瓜里面在想说，哎，平行不是几何里面的事吗？怎么函数也关他事啊，然后也不懂得带变去求逼，所以呢，经常丢分，十分可惜。 而且我要告诉你，一次函数还只是个开头，后面我们还有二次函数，反比例函数都在等着他们呢， 所以呢，我们一定要开个好头，把基础学好，一点一点的进步。那今天林老师呢，就手把手带着大家把这类题型吃透， 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数八大题型拿去练习巩固一下，期末考可以多拿二十分。好，我们来看题，若一次函数 y 等于 x 加 b 的 图像 与直线 y 等于负二， x 加一平行，而且呢，过这个点三动，问这个一次函数的解析式是多少？ 那么在刚开始学一次函数的时候呢，孩子们对于平行这个几何的概念怎么用在函数里面还是不太熟练的。那么今天呢，我就给你讲清楚它的底层逻辑。 我们知道一次函数的解析式啊，它叫 y 等于 k， x 加 b， 然后呢，你得知道这个 k 和这个 b 分 别代表什么？那么今天呢，就来讲讲这个 k， 它有一个专门的名字，叫做斜率，那么大家可以想象一下，斜率是什么意思， 是不是代表它倾斜的这个程度啊，对不对？那么你想想看，当它跟另外一条直线平行的时候， 平行的时候，那是不是代表着它们的倾斜程度是一样的，对不对？所以呢，我们今天要教的方法，就像如果你看到平行，那就意味着它的斜率相等，也就是 k 相等， 所以呢，我们可以由这个平行条件直接得出它的 k 就 应该是这个负二，所以我们可以这样写， y 等于负二， x 加 v， 你 看我们已经解决了一半的内容啊，已经把这个 k 解决了。 好，那接下来我们再看第二个条件，他说过这个点三斗五，那过点又是什么意思呢？你看有这么一条直线，然后呢，里面过了这个点，这个点呢叫三斗五， 那说明什么呀？是不是说明这个点它得符合这条直线的算法呀？那现在我们知道这条直线它长，这个算法就是 y 等于负二， x 加 b， 所以呢，我们这个三动五是不是也带进去，它也得成立呢，对不对？所以呢，我们就可以啊，把它带进去， 三带进 x， y 带进五啊，那就得到了这个五等于负二乘以三，再来加个 b， 哎，那这个就轻松解的，把这个移过去， v 等于什么？十一，那至此 k 和 b 都被我们解决了，所以这道题的最后答案就是， y 等于负二， x 加上十一，搞定，你学会了吗？

八下数学一共有两大亚洲难点，一个是平行四边形，一个就是一次函数。这道题好了，他把平行四边形和函数结合在了一起，下面我将会用两句口诀，轻松的带着大家秒出这类选填亚洲题的答案。 那有 v i p 向量数与几何图形这类综合题，老师特别给大家做了一个专题，就是考验大家知识综合和复合压轴题型答题能力。如果咱们孩子现在做这种题目，还经常有困难， 没有思路，家长们一定要打印出来，逐个题型的，咱们来进行练习。下面呢，咱们就来一起看看这道题啊！说平行四边形的一边在坐标轴上， b 的 坐标已经知道了是哪个二 直线 f n 呢？它是 y 的 k x 加 b， 把平行四边形的面积分成相等的两部分，这是不是考察平行四边形的基础性质？什么性质啊？之前老师就给大家总结过，哎，过平行四边形 对角线交点的直线，可以任意把平行四边形分成面积相等的两部分，无论你怎么分怎么分，左右两边都是相等的。 所以你明白这个道理，你就知道，他既然能把平行四边形面积分成相等两部分，那就说明这条线一定过一点，这一点就是什么。 对了，平行四边形对角线的焦点了，而对角线的焦点是什么？是不是两条对角线互相平分呢？ 他是不是一定是任意一条对角线的终点呀？所以求出我们对应这一点的坐标就比较容易了。这是六二，这是零零 终点坐标公式，终点求平距，我们很容易可以求出终点坐标为三 e 终点的坐标已经有了，你又知道他与 x 轴的交汇点，这点是六零，已知两点。想求直线的解析式容不容易？ 非常容易，叫做待定系数法，直接待定就可以了。设 y 等于 k， x 加 b 一 就等于三 k 再加 b 了。来，同样零就等于六 k 再加 b 了。哎，我们解这个关于 k 和 b 的 方程就可以求出答案了。 在这里啊，我们可以解出来 k 啊，不是负的三分之一，当然 b 点呢？求出来 a 的 二，而这道题直接问你 k 的 值，那你就可以直接求答案了，也就是负的三分之一。

八下必选一个就要感化压入难题，一个是平行四边形，另外一个就是一次函数了，而一次函数对应的图像变换、平移旋转又是我们在另年期中期末必考的一项技能，而且在中考当中还会结合着最后一道题，二次函数出综合的压轴大题。 今天啊，一个视频，老师将带大家捋清楚有关一次函数图像变换的几种结论。那有关一次函数这样的图像变换，老师也给大家把历年考过的一错真题做了一个梳理，如果咱们孩子遇到这种题还经常出错，马后家长一定要打印出来， 逐个类形题，带孩子去练习记结论好不好？下面啊，咱们就来一起看看这道题。若依次函数的图像沿着 x 轴平移 n 的 单位长度来这里设置到平移了。平移，它的口诀是什么？ 对了，叫做上加下减谁？对了，就是那个 b 长数项，接下来平移左右，怎么平移啊？还是让左加右减？口诀记住了，左加右减谁啊？ 字变亮是那 s， 而且注意，平移的时候我们还要把它关上禁闭，只平移它。 好，那接下来他又说得到的图像是原图像，关于原点旋转一百八十度得到。关于原点旋转后的图像有什么特点 哦， x 变为它的相反数， y 也变为它的相反数。哎，知道这两个特点和口诀，这道题就容易错了，下面咱们来一起写一写。哎，是不是原图像是 y 等于二， x 减二啊， 它平移 m 的 单位长度，是不是左右平移啊，对不对？所以沿着 x 轴平移，是不是在 x 轴的基础上加减 m 的 单位长度对不对？减二，这是平移之后的图像，把它整理一下，就是二 x 加减二， m 再减二。 接下来得到的图像是关于原点旋转一百八十度得到。咱们得知道这个图像 y 等于二， x 减二。关于原点旋转一百八十度后到哪了？ 它旋转一百八，它有什么变化趋势啊？哦， y 变成负 y 了， x 变成负 x， 它就变成这样， 再整理一下， y 就 等于二， x 内乘二了。所以旋转一百八十度得到的图像是它，而原来平移之后得到的图像是它，那把它俩对应相等就行了，对不对？所以我们就有正负二， m 减二就等于二， 看到了吗？所以有正负二， m 就 等于四，所以 m 就 等于负二了。爸特别着急，在这一写，俩答案就完。那你不就错了吗？这里 m 是 哪呀？ m 个单位长度他一定是啥？长度是正的，所以平移多少个单位长度？两个单位长度对不对？那左右平移，他才算到加二和减二。那这种题目平移旋转的均相变换，你现在弄明白了吗？

最近有不少家长找林老师吐槽，说孩子八下数学学到一次函数之后就突然跟不上了。 原因呢是一次函数的图像变化多端，课本没有讲透，考试的题目却很灵活，孩子呢，是靠死记硬背记知识点的，结果呢，越学越懵。其实啊，这真不过孩子不够努力，而是他用错了方法。 今天这期视频呢，林老师将做一期盘点视频，帮助孩子们把依次函数的各种图像性质做一期盘点，帮助孩子们理解并记住依次函数的每一种图像的由来。只要把这个方法学会了，以后这种题就是送分题。 学完之后，再把林老师给大家整理的一次函数的十大题型拿去巩固练习一下，只要把里面的题型搞定啊，期末轻松多拿二十分。好，我们来看一下这个表格。首先，我们得认识一下，所有的一次函数都可以写成 y 等于 k， x 加 b， 这个叫做标准式。 然后里面的这个 k 和这个 b 呢，它对图像是起到决定性的作用的。首先先来看一下 k 啊， 那么 k 在 一次函数里面呢，又叫做斜率，它决定了这个直线的倾斜程度。 什么意思呢？就是如果当 k 是 大于零的话，它这个图像一定是往右上方走的，也就说，它的变化趋势一定是这样子的一个形状啊，只要 k 大 于零，它就是往上走的。 然后呢，如果这个 k 是 小于零的啊，那它的图像一定是这样子的一个下降的趋势，明白吗？所以呢，你看， k 决定了上升或者是下降，然后呢， k 还决定了它的增减，是什么意思呢？你看我们作为一个平面直角坐标系， 往这边是不是 x 在 变大呀？对不对？然后你发现这个图像它是往上走的，所以越往右你会发现这个 y 它是不是往上走了呀？所以呢，我们这就叫做 y 会随着 x 的 增大而增大，这个就叫做增函数的性质。然后再来看下面这个还是一样，咱们往右看，会发现这个 x 在 变大的时候，这个 y 呢，它在往下掉，对不对？所以这个 y 呢，它会变小， 我们这种情况就叫做 y 随 x 的 增大而减小，所以现在大家有感觉了吧，就是这个 k 呢，它直接决定了它的倾斜的方向，变化的趋势，还有它的增减性。那接下来我们来看一下，这个 b 又决定了什么？ b 呢？在我们的一次函数里面，它有个专门的名字叫做截距，那么截距指的就是这个图像和 y 轴的交点，是什么意思呢？我来给大家讲一讲啊。 就像咱们以这个 k 大 于零，而且 b 大 于零的这个示意图，我们一画你就知道了。首先因为 k 是 大于零的，我们前面讨论过，它是往上走的，而且这个 b 呢，它是跟 y 轴的焦点啊，也就说它 b 大 于零的话，它的焦点一定就在这上面，所以我们就可以画出这种情况的这个大致的示意图， 又要往上走，又要过这个 b 点啊，这就是它的示意图了。好，那么经过什么象限呢？你看一二三，它经过了一二三象限，你看接下来再看这个题， b 是 小于零的，那么它与 y 轴的交点呢？就小于零，也就是它交 y 轴在下面， 我们又要往上走，又要交这里，所以它的图像呢，画出来是大概这样子的，对吧？所以它交一三四象限。好，再来看下面两种情况， k 小 于零，那它就往下走的喽，对不对？然后 b 是 大于零， b 大 于零的话，与 y 轴交点在上方，所以它的图像就会变成这个样子啊。经过一二四象限，再来看最后一种情况， k 小 于零 b a 小 于零，说明，首先你要往下走，而且你的焦点呢，要在下面啊，所以你只能怎么画，你只能这么画 好，那经过二三四象限，所以这就是我们全部的性质，你看，你学会了它的底层逻辑之后，根本就不需要死记硬背。 接下来，为了帮助大家理解，我再拿一道例题出来，请看这道题，若直线 y 等于 k 加 b， 经过了一二四象限，则这个直线是下列的哪个图呢？ 首先呢，咱们来画图解决，它说经过一二四象限，那么一二四它的图是长这样子的，对不对？那么根据我们前面学的性质，我们可以知道它是往下走的，那么 k 就 小于零，没毛病吧？然后呢，焦点在这里，说明这个 b 怎么样？ 是大于零的，是不是？好？再来看我的问题，现在的斜率变成了负 b， 然后呢，这个截距变成了负 k， 那 根据我们这里的 b 大 于零，那你的负 b 就 得干嘛？就得小于零，对不对？说明你的直线是得要 往下走的啊，往下走的，那是不是瞬间排除了这个 b， 它是往上的吗？还有这个 d 它也往上的吗？两个排除了。 再来看这个负 k， 我 们前面已经有了这个 k 是 小于零的，那么负 k 自然就是大于零了，所以负 k 大 于零，说明我们的这个焦点是不得在上面呢， 对不对？你看他这个焦点在下面，那他就不对了啊。所以你看这么一顿分析，答案是不是轻松选出来 a 啊？所以你看，只要有了方法技巧，这种题啊，秒变送分题，你学会了吗？

初中阶段一共有三大函数，一次函数，二次函数，反比例函数，而其中我们最早接触的就是一次函数，可以说，一次函数学的好不好，会直接影响另外两个函数的学习，最后直接影响中考分数。 所以啊，一次函数我们一定要学的扎实，明白，那孩子们刚开始接触一次函数的时候呢，碰到的第一个坑就是这种平移的题目了。 很多时候呢，孩子一看到题目里面啊，说图像去进行平移，然后就开始吭哧吭哧的画图了。但是这种题啊，恰不是用画图的方法做的，而是用一个方法大招，哎，今天我会把这个大招教给你，并且带着你把这道题给他搞定。 学完这道题之后，再把林老师给你整理的依次函数的八大题型拿去练习巩固一下。平时做题没有思路，你只要对着老师给你的解析，一步一步按步就把它练习，考试能多拿二十分。好，那我们来看题， 将 y 等于三， x 减二的图像向左平移五个单位，再向下平移三个单位，然后求平移之后的图像解析式是多少。 那这种题呢，千万不要去画图解决，因为我们有方法大招啊，叫做左加右减自变量，上加下减常数项，老师来教你怎么操作。咱们呢，先把这个原式给他写下来， y 等于三， x 减二， 好来第一个左加右减自变量啊，那他这里是左五对不对啊？所以呢，我们要进行一个左五的变形，我们呢，就对自变量向左进行加五 啊，那就是 y 等于三，自变量是谁？自变量就是这个 x， 所以呢，我们给它括个号啊，变成 x 加五，其他照抄啊，其他照抄。这样子呢，我们的左五就变形完毕了， 接下来再来变这个向下移三。哎，那么这个口诀的后半句，上加下减长竖项，我们呢长竖项就是这个，后面这个减二，所以呢，我们只要给它变成一个啊，下三啊，那就是 y 等于三， 其他不变啊， x 加五，然后呢，减二的基础上，我们再来减个三啊，那最后把这个答案给它化简一下就出来了，我们来化简一下啊， 三， x 加上十五，然后呢再减二减三，也就是减五，那加十五减五，最后就变成了加十啊，这个也就从最后的答案 y 等于三， x 加十。好，你学会了吗？

八下数学一共就有两大亚洲难点，一个是平行四边形，另外一个大难点就是一次函数了，而且函数这块一定会在我们中考最后一道亚洲大题当中出现，二次，一次和几何结合在一起就有点难度了。 今天这个视频呢，老师带领大家把一次函数指向性质的基础复习清楚，把平移、旋转相应的性质搞透。 那有关于一次函数，这里啊，老师也给大家总结了每年必考的易错真题三十题。如果咱们孩子现在做一次函数的时候，这些图像性质的题目还经常出错，家长们一定要打印出来，帮助孩子逐个题型的落实和掌握。 下面呢，咱们就来一起看一下这道题啊。说一次函数 y n k x 加 b 的 图像向左平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度 所得的图像对应的解析式仍然是 y 的 k s 加 b， 让你求 k 的 值。那这种题目咱们解析其实就是两句口诀儿，叫做上加下减哎，左加右减 哎，上加下减，其实针对谁？针对的是那个长竖向 b， 左加右减针对的是谁？是那个自变量 s。 所以 你在左加右减的时候，必须把 x 关上进 b 去加减哎，比如说加减 m 的 单位长度，平移 m 的 单位长度，看见了吗？下面呢，咱们就按照这个准则去来平移一下这个图像。原来呢，是 y 等于 k， x 再加 b 向左平移两个单位长度，看 哎，把 x 关上，关起，进 b， 左加右减，加上多少？两个单位长度对不对？向上平三个单位长度是不是在 b 的 基础上往上啊，加上三个单位长度，这就是我们对应平移之后的函数解析式了。 把它展开，那不就是 k x 再加二， k 再加 b 加上三个吗？对不对？这是平移之后的新的解析式，它和平移后的这个 y 等于 k， x 加 b， 解析式 仍然是一致的，这是不是平移之后的解析式？所以两个解析式咱们放在一起对应相等就可以了。你看这都是 k、 s， 那 对照相等不就说明这两部分相等吗？这两部分相等，他们就成一条线了吗？解析式不就是一样的吗？ 所以我们就有二 k 加上 b 加上三等于 b， 消灭 b 之后，我们就有二 k 加三等于零， k 的 值直接可以求出来是负的二分之三了。那所以以后遇到这种题，咱们通过两句口诀，上加下减长，竖向左加右减次变量就可以轻松搞定了。

八、下数学最难的核心考点速记全部吃透，考试直接躺赢！一、面积问题二，平行转换三等线段问题 四，全等与依次函数。七、依次函数与全等相结合。 八、依次函数与四十五度角默性完整版分享！

八下数学最难的一次函数压轴题全部吃透，考试直接稳了！八下数学一次函数十五道压轴题，数形结合一，面积问题 二，平行转换三等线段问题 四，全等与一次函数五平行转换与千锤法解决面积问题一， 平行转换与千锤法解决面积问题二，一次函数与全等相结合。完整版分享！

一次函数是八项数学的重中之重，而其中三角形的面积问题是必考题型，百分之九十的孩子都会在这里丢分，原因是他们找不到做辅助线的方法，结果硬算白白丢分。 那今天呢，林老师就教大家这一道题目，如何用一道关键的辅助线化腐朽为神奇，然后轻松破解出来。 学完之后，再把林老师给大家整理的依次函数拔高训练，拿去给孩子巩固练习一下，只要把里面的题目搞定，期末轻松多拿二十分。好，我们来看题，如图，已知点 a 三斗零啊，点 a 在 这里，点 b， 零斗二在这里， 点 p 呢，是 m 到一在这里，然后呢，面积 s 三角形 a， b， p 啊，中间这个红色的三角形面积是四，要我们求 m 的 值，就是求这个 p 的 坐标，那这道题的核心呢，肯定就是把这个 s a、 b p 等于四给它用起来，然后去解方程嘛，对吧？ 所以呢，我们要把这个三角形想办法表示出来。最常用的两个主流方法呢，第一个就是我们去构造一个大型的割补法，对吧？我们来一个这样子啊，这个一割三啊，就是一个大的矩形， 减掉三个直角三角形，这是第一种方法。第二种方法呢，我们也可以用牵垂法的面积公式，就是水平宽乘以牵垂高除以二也可以。但这两个方法呢，都有个弊端，那就是计算量非常的大，而且费时间，又容易算错，所以它不是最优解。 那这道题呢，究竟什么是最优解呢？我告诉你，只需要一条关键辅助线，那就是连接 p o， 你 看整个 s 三角形 a b p， 它是不是整个大的四边形去减去底下的 a p o 呢？对不对？等于 s 四边形 a o p b， 减去 s 三角形，底下的 a o p， 对 不对？好，然后呢，这个大的 四边形呢？你观察一下，它是不是又可以分成左边的这个三角形，加上右边的这个三角形呢？对不对啊？所以它又可以变成 s 三角形 bpo 加上 s 三角形 abo， 再来减去 s 三角形 aop。 那当你能想到这一步了，那这道题其实就离做出来不远了，我们只需要把数值带进去就拿下了。好，我们一个个来。 v p o 是 这边的这个三角形，那它的底呢？是这一段，对吧？ v o 啊，那就是乘以二， 高呢？是这一段啊，也就是 m 的 相反数啊，乘以负 m， 好， a b o 是 谁？ a b o 是 右边这个直角三角形，那 底高我们都有啊，就是加上二分之一乘以二，乘以三，好，减个 a o p， 那 a o p 是 谁？ a o p 是 底下这个三角形，对吧？底下这个蓝色的三角形，所以它等于二分之一，底是 a o 啊，那就是二分之一乘以三， 高呢？是这个 p， 这里可以做个虚线下来，得到这一段高，也就是一好。那么这是一个关于 m 的 表达式，我们整理一下，等于负 m 加上二分之三，然后呢，根据已知条件，它等于四。好，这里等于四， 所以轻松解得，我们的 m 就 等于负的二分之五。好，最后答案，负的二分之五。所以呢，有没有发现，只要做对辅助线，这种题目我们能轻松解决，你学会了吗？

八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。