2026海淀二模数学三角函数怎么写

各位同学大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂，搞会，快速提分。今天我们来看的是二零二六年海淀二模关于三角函数的一道题目， 他说 f x 等于三 x， 加上 cos x， 加上 f 的 值域是这个，然后我们 f 是 多少？ 首先我们看到它先变形，对吧？ f x 等于三 x， 那 这里是一个它的和差公式，那就是 cos x， cos phi 减去带 x sine phi， 那 我们对它进行合并，是变成了 e 减去 sine phi 背的 sine x， 再加上 o x。 好， 我们发现，哎，这还能画辅助角公式吗？一般来说，我们对于这种三角函数，哎，我把它移化成这个辅助角公式，对吧？变成 a 倍的三 omega x 加上 five， 我 就可以知道他的值域了。但是这道题 他这画出来是一个这么抽象的公式，那我还怎么判断呢？其实是一样的效果啊， 这个一减去三 and five， 因为这个 five 呢，是我们具体的值啊，它是一个参数，你可以认为这这个是 a， 这个是 b， 它只不过用一个三 and five 把你迷惑了，让你感觉，哎，它也是三角函数，它是不是也变量？但是我们知道变量只有 x， 这个 sin phi， 它就是一个参数，因此我们就可以把这里当成 a， 这里当成 b， 对 吧？我可以设异径 phi 为 a， 设 cos phi 为 b， 对 吧？那我是不是就变成了 a 倍的 sine x 加上 b 倍的 cos x 呀？ 此时，那我再进行辅助角公式，我是不是就可以变了？那就等于啥呀？ 是不是根号下一减去三分之五的平方加上 cos 方 five， 是 不是就等于三 x 加上，后面是这再加一个值啊？我们这里就用 t 表示吧，它已经不重要了，因为它这无论取什么值，影响我值域的 是不是就前面这个呀？前面这个决定了我的值域，好，那他现在跟我说 他的值域为负，一到一，那我是不是就可以知道？所以根号下我可以把它先算一步啊？那就是一减去二倍的三倍，再加上三倍方法加 cos 方法是不是就等于一啊？我是不是可以得到这样的结果， 那我继续算，所以按方法加 cos， 方法等于一，那就是二减去二倍的 cos 等于一。 所以再引返，是不是就应该把它移过来？把它移过去，那就是二百零三返等于一，三返就应该等于二分之一啊，因此我就可以求出返，所以返就应该等于六分之派加上二 k 派或六分之五派加上二 k 派。 我们一定要有具备这种把它的通式写出来的能力啊，因为对于正弦函数来说，它等于二分之一的时候，所有情况的点就是这么多。好，那我是不是就可以写出来呢？这道题我就可以知道 a 选 a， 对 吧？ 那么在考场上，如果说老师我后面这很难想啊，我根本没想到，哎，他这还可以这样换元，那我还有没有什么方法可以做呢？当然可以，那你是不是我可以直接把值带入进去啊？ 我在考场这毕竟是个选择题，我把它带入进去，我只要能把答案选对就好了，是吧？你可以说带入值，哎，我对第一步验证，也可以说我直接去做去。 首先我们来看我分析题目中 a 派二分之派，那我是不是可以直接把这个带进去，那不就是诱导公式了吗？ 对吧？我可以直接带。 f x 等于就是三 x 加上 cos x 加反，当 b 选项的时候， b 是 什么？ b 是 二分之派，是吧？所以 f x 等于三 x 右的公式， cos x 加上二分之 pi， 即变五不变。符号看象限呢？变成了三 x， 然后二分之 pi 加 x， 它变到了第二象限， cos x 为负值，所以，那这就是减去三 x， 它就等于零了，所以 不复题。 c 选项是 pi， 所以 f x 应该等于的是三 x 加上 c x 加上 pi， 这个等于的是三 x x 加 pi， pi 那 是 o， 那 就即便 o 不 变，那就还是 cosine x 加 pi， 它属于第三项线，它是负值，所以 cosine 减去 cosine 四十，它的辅助角公式是啥呀？是不是应该是根号二倍的三 x 减去 t 啊？ 此时值域是不是应该是根号二负根号二到根号二呀，所以不符合题。四 d 是 啥？四 d 是 三分之四派，对吧？ f x 等于了三 x 加上 cos x 加上三分之四派，此时这个应该怎么得呀？ 我是不是可以把这个 cos 拆开，那就是三 x 加上 cos 三分之四派时，是不是还是负值啊？它应该是二分之一减去三 x 占三分之四派，占三分之四派，也是负值，应该是二分之根号三， 它是不是等于一减去二分之根号三倍的三 x 加上二分之一倍的 cos。 显然根号下 二分之一的平方加上一减二分之刚好三的平方是不是也不等于一呀？好， a 六分之，我是不是可以带进去？ f x 等于三 x 加上 cos x 加上六分之 pi， 就 应该等于三 x 加上 cos x cos x 六分之 pi 二分之刚好三 cos x 减去二分之 一倍的三 x， 这个是不是等于二分之一三 x 加上二分之根号三扣三 x 呀？ 它是不是就可以等于 a 一 倍的？因为根号线二分之一的平方加二分之根号三的平方是不是就一了？等于三 x 加上 t， 是 不是满足题好，我们就可以发现，哎，这道题正常情况下来说，我应该还是把它变形完之后，我可以发现，哎，这是一个整体，这是一个整体。 继续利用辅助角公式得到我的这个我们所说的这个 a 啊，三 x 前面这个 a 用它来判断，因为我的值域等于负一到一，因此我就认为这个值需要等于一， 它需要等于一。由此来求出了斐的所有情况，得出答案。第二种，如果我说考场上我没有判断出来，那我就代入值啊。其实这道题你如果上来就代入 a， 发现它就对了，但是你都已经用代入值了，我觉得可以把这个你可以再验算一下啊， 速度也很快，主要是考察你这个诱导公式用的熟不熟和差公式用的熟不熟就可以了。

大家好啊，那今天看一下二六年的海淀二模导数压轴的题目啊，这道题目，呃，说实在的，完全不知道该给它分到哪一类里面啊，如果硬要说分类呢？呃，应该说是带着三角函数的这种 导数题吧，那我们来看这个题目它到底是什么呀？呃，首先这个函数 f x 是 三 x 加二分之 x 加 a， 其中 a 大 于等于零，这个是没有什么特别奇怪的部分的。 但是第一问， a 等于零的时候，求曲线 y 等于 f x 经过点零到零的切线的条数， 那么经过某一个点的切线的话，我们基本上只能去把它的切线方程组给它求出来，然后去看一下这个零到零带进去之后到底有多少条它能够符合条件的， 所以这就比正常的第一位要麻烦不少。所以我们先算一下 f x 它的切线，再把它的用 x 零表示参数的这种切线方程给它算一下。 我们求一下这个 f x 的 导数，然后把它的切线方程先求出来，之后是这个 y 减去 x 零。 sin x 零加二分之 x 零，嗯， 呃，然后等于算 x 零加二的平方分之算 x 零加二，再减去 x 零倍的 cos x 零乘以的是 x 减 x 零， 然后再把零逗零带进去之后，会发现他化简之后会有两种情况，一种是 x 零等于零的话呢，这个 f x 零他本身就是过的，是这个零逗零肯定是过这个界限的， 那如果要是不过的话呢，我们可以给他进行一下化简。 x 零不等于零的时候，化简完之后会发现正好是 x 零乘以 cosine x 零等于零，那么这个 x 零等于二分之派加二 k 派，或者是负的二分之派加二 k 派的时候，他都应该是他的切减。 那么正常来说呢， x 零的个数有这么多呢？应该是有无数条的切线，如果把这个 x 零带进去之后，会发现随着 k 变化的时候，它这个切线它是不变的。 所以我们还需要再去求一下 x 零等于二分之派加二 k 派和负的二分之派加二 k 派的时候，这个 f x 它的这条切线分别是什么？把它重复的给它去掉， 那我们把这个它的 f 撇 x 零给它求一下，会发现会出现这个情况，就因为 x 零等于二分之派加二 k 派和负二分之派加二 k 派的时候，它的斜率是固定的， 等于二分之派加二 k 派的时候，它的斜率固定是三分之一，等于负的二分之派加二 k 派的时候，它的斜率固定等于一，那它又固定过零逗零这样的一个点，所以这条直线呢，就确定了。 所以他虽然有很多个点的切线都过零到零，但是这些点的切线是相同的，所以最后呢只有三条切线。然后第二问呢，是当 a 大 于二分之派小于等于二的时候，要求证，对于呃，所有在负二分之派到二分之派上的 x f x 都小于三分之二倍的 a， 那 么这个本身它就带着字母，然后 a 又有范围，然后要小于的还是三分之二 a， 所以 肯定是要找一些特殊的点， 还有一些特殊的值，把它转化成一个 f x 大 于某一个数或者小于某一个数这样的一个变化。因为我们求导能够处理的一个是零点是否存在，还有一个是最大值或者最小值等等类似的问题啊。那我们现在这个 f x 小 于三分之二 a， 我 们需要转化一下 他这二分之派到二分之派之间，很容易想到这稍微比较特别的点呢，主要就是负的二分之派零，还有二分之派， 嗯，然后代入之后会发现，应该是等于二分之派的时候是一个比较特殊的值。 对，零的时候是二分之一 a， 嗯，然后负的二分之一派的时候呢？下面应该是个一，上面是负的二分之派加上 a， 总的来说都还是比较奇怪的。然后 f 二分之派呢？我给他算一下啊。 呃，算一下之后， f 二分之派是六分之一倍的派，加三分之一 a 和三分之二 a 的 区别在于，这个六分之一派和三分之一 a 它是不一样的，就是如果六分之一派等于三分之一 a 的 情况下，它正好等于三分之二 a， 他这个 a 大 于二分之派，这个二分之派的来源就可以想到他这个正好就。呃，当 a 等于二分之派的时候，这个六分之派正好就等于的是三分之一倍的 a， 就是三分之一，乘以二分之派就是六分之一派。所以这个时候 f 二分之派呢，恰恰好是在极限的时候是小于三分之二 a 的。 那我们要想要去证明 f x 都小于三分之二，三分之二 a， 也就是证明这个 f 二分之派是 f x 的 一点 最大指点，那这样的一个函数，如果他要是再有一个增减性变化，就很麻烦了，所以最好呢，嗯，看他给的 a 的 范围的，我们可能会猜到他可能是想让我们证明一下，当 a 满足 a 和 x 满足这样特殊的条件的时候，这个 f x 始终是一个增函数，或者是 有其他的办法能够确定，这个在二分之派的时候，他确实是一个最大指点。 那接着我们就对 f x 进行一下求导，然后去判断一下它导数和零的一个关系。那么求完导之后会发现这个导数是 sine x 加二的平方分之 sine x 加二减去 cosine x 乘以一个 x 加一， 然后我们要判断它和零的关系的话，最好是把能够确定大于零的部分给它排除掉，然后把剩下的部分再组成一个新的函数，那么这个 sine x 加二很明显它是 大于等于一的，然后这个他的平方肯定也是大于零的，那么我们就需要分析的是上面这个部分就是三 x 加二减去 cos x 乘一个 x 加一， 那么现在这个 h x 的 又有 cos x， 又有 cos x 又有 x， 他 也是很不好判断，所以最好对 h x 也进行一下求导，那么在求导之前可以看一下 h x 有 没有一些特殊值，那么还是把负负二分之派还有零都给他带入一下， 那么求一下之后会发现这个一个是一，一个是三，还有一个是二减 a， 然后专门提到了 a 小 于等于二，那么就应该是在零的时候，他的一个数的一个值， 那么从这三个数可以看出来，应该都是要大于等于零的，那很有可能这个 h x 中就是大于等于零的一个数，那我们就对 h x 再进行一下求导，对他进行一下分解性分析。 那么对 h 撇 h x 进价求导，得到这个 h x 会发现这个数很特别，它是等于 x 乘以一个 x 加 a， 直接就变成乘积的形式了，而且这个 a 大 于等于 a， a 大 于二分之派，小于等于二的。 呃，那我们就可以非常确定呢？是呃，它只和散 x 是 有关的。然后我们就可以发现它是在 x 等于零的时候取得这个导数的一个 最小值，这个最小值也是大于等于零的。那这个 f x 就是 一个增函数，它就小于 f， 二分之派就小于三分之二倍的 a。 那 么第三我们看下一个视频啊。

考研反三样函数呢，有一个极易错的点，就是像这样 ark 散隐散隐 t 反三样函数嵌套的形式，它最后能输出这个 t 吗？答案是不行的，因为我们要考虑这个反三样函数呢，有一个输出域的问题，那我们下面首先给大家讲一下反三样函数的图像以及它的输出域。 那你想要画这个，比如说 y 等于 ark 散隐 x 这样子的图像的话，你是不是首先先要把这个 y 等于散隐 x 的 图像先给他画出来啊？ 我们下面呢就给大家看一下啊，我知道大家就最喜欢画的就这样子图像，对不对？就从零开始画一一拱，完整的一拱啊，但是你可以发现这一拱它是不是不单调啊？ 你想要有反函数，你就必须要单调吧，所以你可以发现这段它是符合条件的，而且它包含了所有的执意吧，它从负一到一它是全包含的，但是我们这一段呢，我们也是不采用它的， 我们的原则呢，就是采用离零最近的那一段单调段，你可以发现它是不是这一段是离零最近的呀？就是这边是零，然后你到这边，然后往下面再延伸一段，这段是离零最近的，零都在里面了，对不对？ 那它的起点呢，就是负二分之派撇负一，终点呢就是二分之派撇一。那了解了这些之后，我们就有一个基本的感知了，就是我们原函数呢，就是 y 等于三 x， 然后 x 的 范围是属于负二分之派到二分之派的吧，就只有在这个区间里面，它才能生成反函数。 老 y 呢，它是属于负一到一的，那这样子它生成的反函数呢？就是 y 等于二三 x， 然后这时候的定义域是不是就是原函数的值域啊？这个是我们高中就学过的，然后 值域呢，就是原函数的定义域，就这样反反一下嘛，那你可以发现就是 x， 它必须要属于负一到一吧。老 y 呢，它是属于负二分之派到二分之派的，所以说你可以发现什么呢？就是 y 等于二三 x， 它只能输出什么呢？只能输出负二分之派到二分之派的值吧，超过这个范围之内就不在我的能力范围了。比如说我们现在回到这里来，现在有一个什么呢？就是 t 呢？它直接等于一个一千派了，我们来看一下啊，就是 r 集合 集合一千派吧，你觉得它会等于一千派吗？ 我们刚刚是不是说了，我的能力范围我只能输出负二分之派到二分之派啊？你现在有个一千派直接把我撑死了，我输出不了这个东西的， 所以说这个等式它就是错的吧，也就是说呢， alpha 散隐散隐 t， 它是不一定等于 t 的 吧？你一定要考虑到这个反算函数，它有一个输出的能力极限的，能力极限它就在这里的。 然后考研呢，还是要要求你会画这个反向函数图像的，当然这个图像是不好记的，我们下面给大家讲一个小技巧来画出这个图像，那就是把这个圆函数图像呢，绕逆时针转一个九十度， 那你想想看，这个 x 轴的话，他转完九十度之后，他是不是就立起来了？到这里来了，立起来了，然后名字的话是不是还是 x 轴啊？ 然后这个 y 呢？他再转九十度，是不是就变成这个样子了呀？就是箭头呢，是往左的，然后是个 y， 然后我们看一下这个点就二分之派撇一，他转完之后在哪了？你可以这样子看啊，就他在外轴上的坐标是不是一啊？那你转完之后是不是坐标应该还应该是一， 所以说他这个点呢，就是一撇二分之派，然后同理的这个呢，就是反过来嘛，就是负二分之派撇负一了，就我们最终画出来就是这个东西这样子的。 然后你可以发现这个初步处理完的函数图像是不是有点奇怪啊？因为它的箭头是往左的，那我们平常只要坐标器，箭头肯定是往右的吧，所以说我们下面要进行一个翻转，就把这个左箭头呢给它转到右边去。 转的方法呢，就直接镜像就可以了吧，就这样子镜像一下，坐标点还是不变的，就是一撇二分之派，老负二分之派比负一，那画出来图像就这个样子了， 那最后呢，就把这个横轴的名字改成 x， 纵轴的名字改成 y， 我 们这样子就画出了 y 等于 arc sin x 的 图像了。 那同理的，你如果想画那个 y 等于 arc 探进 x， 或者说什么 y 等于 arc cosine x 图像都是一样的，你只要先找到那个探进 x 跟 cosine x 离零最近的那个单调段，找到之后呢，你先给它转个九九十度， 然后再把这个外走给他那个翻到右边去，那你这样子就画出他的图像了，你根本就不需要背的。 然后第二个呢，就我们刚刚讲这个欠套的极易错点吧，我们刚刚也说了，就是为什么这个不等于 t 呢？主要是我们输出能力是有限的，我们只能输出这个角度吧，那我们现在如果 t 它是属于二分之三派到五二分之五派的，那我们这个值它具体要等于多少呢？ 你想想看， t 是 不是现在要处于这一段啊？我们的原则呢，就是要把它给挪到负二分之派到二分之派这一段，因为你可以发现就是 sin 的 这一段，它是不是跟这一段大小是一样大的呀？也就是说什么 sin t 它跟 sin 的 t 减二派是不是一样大的呀？ 所以说你可以把它变成二个 sin， 然后 sin 的 t 减二派，那这时候呢， t 减二派它是不是就已经是属于负二分之派到二分之派这一段了呀？所以说最后呢，它输出的结果就是 t 减二派， 然后另外一个呢，就是 t 如果属于二分之派到二分之三派呢？就现在散隐 t 它是属于这一段的，那你还是可以发现我们要把挪到这一段来吧，怎么挪呢？还是使用这个等值的，你可以发现这两个他是不是等高的呀？然后关于这个那个二分之派是对称的， 也就是说什么呢？就是散隐 t 它是不是就属于负二分之派到二分之派了？所以说你最终输出的结果呢？就是派减 t。

在学习三角函数的时候，有个小朋友遇到了一个这样的问题，如果我知道了角阿尔法的值，比如说啊，它是四十五度，我还知道角贝特的值，比如说是三十度，那按理来说啊，阿尔法贝特，一旦确定我阿尔法加贝特，它这个值以及它的三角函数值，我应该也能确定才对吧。 但是我发现它四十五度加三十度， cosine 七十五度，这值我其实并不知道是多少，因为七十五度，毕竟它不是一个特殊角，所以今天我们就来解决两个角相加减之后，它的三角函数值究竟怎么求。 那我先给大家利用个图形，简单推导一个公式。先来看啊，在这个直角梯形里面，两角分别是 r 角，做了一个直角三角形， 那大家有没有发现这里面蕴涵了一个我们初中常用的一个图形，叫一线三垂直，你看啊，一点一叉九十度，一点一叉九十度，因为这俩点，这两这两个位置，哎，他俩是相等的角，都是二八角，对不对？因为说实话，上下两个三角形，他应该是一个相似关系嘛， 所以你看哈，咱得到这图形有什么用？如果我设啊它的斜边，如果是一的话，那在这三角形里面，短的这个啊，被它相对的应该是 sine， 被它长的这个是 cosine， 被它 还没完，现在我又观察下面这三角形了，我在斜边已知的情况下，我问大家这俩直角边分别是多少呢？我们来想一想角阿尔法，它的对边，如果我想象一下，乘成 x， 那 么对边比斜边应该就是 sine 阿尔法的，这是初中数学哈， 所以 x 值我就直接有了。 x 是 cosine beta 乘以 sine alpha。 抄上来。哦，那类似的另外一条边怎么求啊？我也会了，它应该是 cosine beta， 斜边乘以 cosine alpha。 ok， 这几个三角形我们一个一个研究，研究完下边，哎，我又想研究上面了。我发现在以 alpha 为顶点的这样的一个直角三角形里面，它的对边我能写成斜边乘以 alpha。 类似的，这 r 发的邻边是斜边乘以 cosine r 发。奇迹马上发生。再有，连一条辅助线，人为做个垂直，哎，我发现这又平白无故出现一个小的三角形，这三角形的斜边是一。哦，那这个角是多大？这角应该是 r 发加贝塔，对不对？ 我把阿尔法加贝塔看成一个整体的话，那这个长度应该是 sine 阿尔法加贝塔，这个长度应该是 cosine 阿尔法加贝塔，对不对？然后我把这书给大家标一下， 反的是 cosine alpha 加贝塔。来吧，小学几何知识。这整个最长的是 cosine beta 乘 cosine alpha， 这粉的是 cosine alpha 加贝塔。 那他俩之间差哪个长度？差的是这段这绿的长度吧。这绿色的长度我发现差等于三幺二乘三一倍，它对不对？哦，那很显然，粉色长度这短的等于长的减这个绿的 长的，这整体是 cosine alpha， cosine beta 减去短的这段是 sine alpha sine beta。 这就得到了我们第一个三角恒等变换的公式，它告诉我们，哎，俩角的和的 cosine 值能展开啊，它只跟角 alpha 的 sine 和 cosine 和角 beta 的 sine 和 cosine 有 关。 我们简记为口口减散散，口口减散散。有了这公式，我们就能解决两个角合的 cosine 值的问题了。那有宝贝想说，我还想知道更多公式，我现在光知道 cosine 展开时，我不满足，如果是 sine 展开，我怎么做呀？我们回到刚才那幅推导图， 刚才我们是利用啊水平的长度啊，说这段长度等于什么呢？等于大的减去小的，现在我回过来用数值长度。这谁啊？这刚才说了啊，斜边是一角度，是 r 加 beta， 所以 这条直角边应该是 sine r 加 beta。 那这条长度怎么样嘞？它等于这条线加这条线，所以跟我一起念 sign 阿尔法加贝特等于 sign 口加口塞， sign 口加口塞，舒服了。那和刚才一样的做法啊，那如果中间是减号怎么办？如果 sign 阿尔法减贝特嘞，我就能写成 sign 口减 cosine。 那我把刚才所有学过的公式放在一页 ppt 里， cosine 展开，它的形式是 cosine sine， cosine sine 的 展开时是 cosine， cosine sine cosine。 而且一定要注意， cosine 展开前后符号是改变前正后负，前负后正。但是 sine 的 展开前面是正的，后面是正的，前面是负的，后面是负的，前后符号是一致的。

同学们大家好，欢迎来到我们今天的第三节课，呃，专门是一个三角函数的专项题，因为我们知道啊，大家平时学数学，其实 嗯比较头疼的就是三角函数，因为这块呢是公式又多又乱，而且符号总是看错，图像呢也是变化绕来绕去， 而且我们大体的减三角形呢，还经常的去漏解或者是判断错误那个角，而且考试其实我们考的不难，但总是会莫名其妙的去丢分，其实不用怕啊，因为我们三角函数是我们高中数学里 最套路也是最好拿分的模块之一。咱们把核心逻辑还有我们必须要背的公式，以及我们常见的类型题和遇到这种题之后你要做的一个步骤整理清楚，那我们基本上这段，嗯这块部分是不会丢分的。 那首先来看一下，我们今天要从这三个核心考点进行学习。首先第一个就是我们三角函数的定义式，然后诱导公式和和差公式。其中诱导公式和和差公式呢，是我们高考 经常考的两个公式，是我们必须必须要背会且背的非常熟练，然后非常容易运用的公式。 那第二部分呢，是我们的三角函数的图像和性质，这部分也是我们嗯选择和填空经常考的一部分。然后第三个呢，就是解三角形，解三角形的话，其实我们常考的部分是在 呃大题里面，也就是十五题的那个位置和数列式二选一的。今天我们把这三部分内容学扎实之后，其实呃高考这部分的分基本是能够拿稳的。 那我们先来第一部分，首先就是啊三角函数的定义，其中最实用的定义。第一个就是单位元的定义，单位元定义什么？中角，而法中边交于单位元 p， 也就是说这个角是我们的，而法角 而法角，然后交于这个单位圆 p， 它是坐标，是 x y， 然后我们这里是 x， 这里是 y， 那 在这种情况下，我们通常令三引，而法就是纵坐标 y， 然后口三引，而法呢，是我们的横坐标 x， 然后它们进它，而法呢，是我们的纵坐标比横坐标， 但因为呃这里面 x 它做了分母，所以我们在此情况下， x 是 不能等于零的。如果你想，如果 x 等于零的话，那么也就是交到了这个点上，那这个点我们的角 其实是没有定义的，这是我们第一个单位元的定义。那第二个呢，就是直角三角形的定义，我们来看这个是左边这个三角形，它是一个 a、 b、 c， 它是一个直角三角形，然后我们通常这个角是而法角的情况下，我们对于三眼而法它的一个定义是等于 a a 比 b， 那 也就是说我们的 a、 b、 c， 也就我们的对边比斜边，这是三眼而法那口三眼法呢，是我们的零边比斜边，也就是 b、 b、 c， 那我们的弹琴的二法呢？就是我们的对边比邻边，就是我们三角形的一个定义。 然后第三部分呢，其实就是我们的一个嗯，中边相同角。什么是中边相同角呢？其实顾名思义和我们的三角函数的一个周期相关。我们来看一下我们这个图啊 啊，三引 r 法加二 k 派，也就我们二派是一个周期三百六十度，也就是从这个坐标 x 轴，然后绕着这个圈转了一圈之后， 我们发现如果这里是 r 法角在这里，然后我们绕了啊一个二派之后，它还是回到了原来的地方， 那么我发现三引他还是 y， 然后发现如果他绕两圈之后呢，我们发现他的纵坐标还是 y， 所以 我们就用三引阿尔法加二 k 派之后，他的呃值还是等于三引阿尔法。 那同样对于 cosine 耳法呢，也是，我们不管是绕了一圈还是绕两圈，还是绕了三圈，还是绕了 k 圈，我们发现啊， cosine 啊，他的一个值永远是保持不变的，也就永远是 x， 所以 我们有 cosine 耳法加二 k 派，也是等于 cosine 耳法。 那关于贪进他呢？因为我们发现贪进他是等于 y 比 x 吗？当我们这个转了 半圈，也就转了一百八十度之后，他也是 y b x， 虽然原来在第一项线他是同正的，但他变到了第三项线之后，他是同负的，他的值还是相同的，所以我们贪婪的阿尔法，他就不是二 k 派，他就变成了 k 派，然后他的值还是保留不变的。这个呢，其实和我们后面要学的一个三角函数的周期是 挂钩的，这是我们第一部分三角函数的定义的那个第二部分诱导公式。这个诱导公式这一块，其实我们高考，特别是三角函数里面， 嗯，一定要记牢且记熟的公式，就是考试中一旦看到了相关公式是，嗯，不要花太多时间去思考的公式。那首先我们来看一下这个诱导公式的一个记忆法则，即变五不变符号看象限。 我相信啊，就是但凡只要是你上课听了一点的，你肯定知道三角函数的这个经典的口诀，即变偶不变，符号看象限。那到底是怎么即变偶不变？为什么怎么去看那个符号，怎么去看象限呢？ 我给大家稍微解释一下啊，就那个即变偶不变，看的是谁的倍数，看的是二分之派的倍数，如果二分之派是基数倍的话，那我们的名称互换， 因为基数倍的情况下，名称呼唤就是由三引他变成了靠三引。那如果是偶数倍的话，他原来是三引，他之后还是三引，原来是靠三引，他之后还是 靠三引，那符号看象限是在此基础上，一定要把尔法永远视为一个锐角来看，然后我们再去看它原函数是在第几象限，然后是正的还是负的， 这就是我们诱导公式，即变五 b 符号看象限。然后我还给大家整理了一些高频公式，大家这个东西看完之后要直接背，因为这是我们考试呃，只考这几种， 剩下的东西啊，就是大家用口诀去判断，但我列出来的这几个公式一定要是能看到就直接背会的，首先就是负角，三引，负二法等于负的三引，二法考三引，负二法等于考三引。二法贪婪的负二法等于 负的弹紧它而法，然后三引拍减而法等于三引，而法考三引拍减而法等于负的，考三引而法弹紧它，拍减而法等于负的弹紧它而法，然后三引二分之拍减，而法等于考三引。 尔法考三以二分之派，尔法呢？二分之派减，尔法呢？等于三以尔法，然后最后一个就是三以派加尔法等于负的三以尔法考三以派加尔法等于负的考三以尔法，然后弹紧的派加尔法等于 弹紧尔法。这个是需要你考试啊直接去写的，所以要花时间去背。 这里提醒一个易错点，就是贪婪他在二分之派加 k 派的时候是没有意义的，因为这个后期后面的时候我们会学一个贪婪他的函数，我们就知道为什么在二分之派没有意义了。 然后我们解析的时候记住啊，化简的时候优先用这个即变偶变去快速的转化，然后特殊角呢，我们要结合一个定力去推导，咱们也不需要去死记，然后实在不行的话，我们就是画图去看他的正负。 那关于诱导函数呢，就是先化解吗？然后再用我们同角关系去求值。然后我们第三个考点就是和差公式，和差公式同样和诱导公式一样重要，也是我们考试必考的公式。那首先就是正弦方面的 合角公式，就是当三以 a 加 b 等于三以 a， 口三以 b， 加口三以 a， 三以 b， 然后三以 a 减 b 呢，等于三以 a， 口三以 b 减去口三以 a， 三以 b。 我 们发现正弦的情况下，它中间是加号，然后分解开之后还是加号， 中间是减号，它分解开之后还是减号，这个很好记。然后余弦公式呢是 cosine a 加 b 等于 cosine a， cosine b 减去 cosine a， cosine b， 然后 cosine a 减 b 呢，等于 cosine a， cosine b 加上 cosine a， cosine b。 那 这个呢，我们就发现 考三与余弦函数中间是加号，它外面变成了减号，中间是减号，外面变成了加号，这个也是大家注意去写的时候不要忘了这个符号的变化。 然后正切函数呢，有一个贪心，它 a 加 b， 就 等于贪心的 a 加贪心的 b 除以一减，贪心的 a 乘贪心的 b， 然后这里是加号， 同样这里加号，那对应的下面就是减号，那贪婪的 a 减 b 呢？就等于贪婪的 a 减贪婪的 b 除以一加贪婪的 a 贪婪 b， 我 们发现这里面是减号，它上面也是减号，但是下面是 加号，所以这些公式其实相对来说它前后都是相同的规律，但是一定要把加号和减号记牢，考试的时候不要记混了， 这也是我们常见的一个易错点。然后关于角的一个范围呢，就是求之后一定要去结合实际的范围，然后根据我们三角形内角的定域啊，内角的一个和或者是我们题目给出的一个定域，请检验一下我们这个符号 究竟是正还是负，这是我们常见的一个易错点。然后现在我们来看第二个考点，就是三角函数的图像与性质，因为三角函数我们在高中阶段常学的就是三个三引， 靠三引和弹紧的。首先我们来看一下三引它的这个图像，我们发现它是一个哎，首先它这里是过的，是圆点，然后我们发现它从这里到这里哎，它是一个周期，然后后面之后呢，它跟着 又是一个周期，所所以说它这里是负派，这里是 派，这里是圆点，那它的一个周期就是二派，以二派为周期的。然后它的定义域呢，就是在整个 x 轴上它都可以取到值，所以定义域是 r。 然后值域我们发现它是在 负一和一之间去正荡的，但是它不可能超过负一和一，所以它的值域是在负一到一，并且它是关于圆点，是一个 奇函数对称的。那我们来看一下单调性和对称性。首先我们发现当他在这一块到这一块的时候，他是单调增的，然后这一块到这一块的时候，他是 单调减的，这只是在我们一个周期上，那在于其他周期上呢？它同样是有相同的单调性，而它的周期呢，是二派，所以我们去自己写一下它的一个。嗯，单调性，首先它是在负二分之派， 是在负二分之派加上二 k 派，因为二 k 派代表的它是周期的倍数。然后在二分之派加上 二 k 派，这个周期上它是单脚蹬的。然后在二分之派加上二 k 派， 一到二分之三派加二 k 派，在这个周期上它是单调减的，这是它的一个单调性。那对称性呢？对称性我们分为中心对称和轴对称。那首先来看中心对称就是它和 x 的 交点，它一定是中心对称的，那 x 的 交点呢？应该是 k 派 零，然后是中心对称，那他的对称轴呢？哎，我们发现他这的一个是对称轴，这也是一个对称轴。我发现他们对称轴的一个周期并不是二派，他的周期是派。所以当 x 等于 二分之派加 k 派的时候，这是它的一个对称轴，这是我们呃正切函数，呃，正弦函数。现在我们来看我们的余弦函数，余弦函数它的一个走势其实和呃我们的正弦函数是 一样的，但是他的一个对称性和单调性又有不同。我们来看，首先这里是我们的 y 轴，这里是圆点，然后发现，哎，他是从这里到这里是从这 到这是一个周期。然后从后面呢又是一个周期，首先我们发现他的周期依旧是派， 它依旧是二派。然后发现它的止于同样，它依旧是在负一和一之间正到，而且它的定于同样是在我们的 x 轴上，是全部能取到的。而且我发现 它这里是 y 轴，它是关于 y 轴对称的，所以它是一个偶函数。那我们来判断一下余弦函数的一个单调性。 哎，我发现单调性它是在呃这块到我们的 y 轴是单调增的，然后我们的 y 轴到这块它是单调减的，并且由于它的周期是二派， 所以我们发现在每个周期上它的单调性都是相同的。那我们继续去写一下它的一个单调性。那考三 e x 呢？它是在二 k 派到 派加二 k 派，二 k 派同样表示是它的一个周期是单调减的。然后再派加上二 k 派， 二派加上二 k 排上是单调增的，这是呃余弦函数的一个单调弦。那同样它也存在我们的轴对称和嗯中心对称，我发现轴对称就是 哎这一块，同样它也是以派为中心的，所以当 x 它是等于 k 派的情况下，这是它的一个轴对称，那中心对称，同样它也是我们跟 x 轴的交点是中心对称的，那跟 x 的 交点，发现它是 二分之派加 k 派零，这是它的一个中心对称。 那我们来看我们的正切函数，那正切函数其实和我们的正弦和余弦，他的走势就不一样了，我发现他的走势，嗯，他是 从这里到这里，这是一个周期，从这里到一个这里又是一个周期，我发现他的周期要比正弦和余弦的周期要少一半，所以他的一个周期形式等于太， 并且他在我们二分之派以及他的一个周期倍数上是取不到的，所以他的定域是在二分之派加 k 派上是取不到，但是他的值域呢？我发现他是能够上下无限延长出去的，那他的值域是 r， 所以 这个正弦函数的定域值域周期性要单独记一下，并且他也是我们关于圆点中心对称的，所以他是一个 奇函数。那我们继续观察这个图案，我发现它整个图里面它单调性只有一种，就是 单调增的，但由于它不是在我们定义上连续单调增的，所以我们的单调区间要哎，要概括一下，那它的一个单调性应该是在负二分之派 加上 k 派，到二分之派加 k 派上，它始终都是 单调增的。然后他有对称轴吗？我发现他不是一个对称图形，他没有对称轴，但他有周那个中心对称的点，所以他的中心对称点应该是二分之 k 派零，这是他的一个 中心对称这个表大家一定要记得非常非常的牢。还有我们这个四正弦与弦正弦函数的一个单调性对称性一定要记得很牢，这是我们选填常考的。那说到这，我们就直接 来看一下他三角函数的第二个，呃，图像和性质，也就是我们的图像变化。呃，考试经常考的是三个变化，第一个就是平移变化，第二个伸缩变化，第三个纵深变化。常考的其实是平移和。呃，这个 伸缩啊，那平移我们分的两个方向，第一个是左右平移，第二个是上下平移，那左右平移呢？有一个口诀就是左加右减，那向左平移就是加，向右平移就是减，那这个加和减呢？单独的是只针对 x 的 情况下，那比如说如果是三 x 呢？那三 x 加 f 就是 相当于把我们三 x 哎向左移了 f 个单位，那上加下减呢？是我们对整体的 y 进行一个上加下减，比如说我们向上平移了 b 个单位，就直接在后面加个 b， 那 向下平移了 c 个单位，就直接在它的整体后面，哎，变成减 c 就 可以了。这我们的平移左加右减。 然后关于这个伸缩呢？其实伸缩它对于的是我们 x 前面这个欧米伽进行一个伸缩，实际上它直接影响的是我们这个函数的周期性。 那比如说如果它是缩了欧米伽倍，那我们就在 x 前面乘一个欧米伽，如果它是扩了欧米伽倍呢？我们就变成了，哎，我们就成了 y， 等于三欧米伽分之一倍的 x 加 f， 所以 阔的情况下，它应该是乘欧敏感分之一，这个是我们要重点去记的，不是说你缩了就乘欧敏感分之一，它正好是一个相反的。 那第三个呢？纵深呢？也就是说啊，正负变了，正负怎么变呢？就是在整体前面乘一个 a， 比如说它， 呃呃，变高了多少，那么他就是在前面乘一个多少，比如说变矮了必背，那就在前面乘个 b 分 之一。这个其实呃对于众生来说是非常简单的，只要你前面的一个正负变就行。但是平移和伸缩大家一定要注意 一些核心的性质呢，它其实是可以直接用的，就比如说对于一个函数 y 等于 a 倍的散引 omega x 加反，然后加 b， 那 此时呢，它的值域呢？就是 b 减 a 的 绝对值到 b 加 a 的 绝对值。这个考试其实我们可以用，而且经常在选择和填空里面遇到这类型的题的时候，是直接很容易去计算出它的一个 值域的范围的。那第二个就是周期呢？正弦和余弦函数来说，它的一个周期 t 是 等于二派除以欧米伽的，但单独的正弦的时候，它的 t 是 等于派除以欧米伽的。 第三个就是中心对称，那对于这种题型中心对称要怎么说呢？我们可以先令 t 是 等于欧米伽 x 加 f 的， 由于我们三也 x， 它是一个 呃呃，它的一个中心对称点是 k 派零嘛，所以我们令 t 的 与 k 派情况下，我们就可以得到 x 等于 k 派减负外，除以 omega， 那 这样子我们就可以得到它具体的一个值了。 那同样对于对称轴来说也是对称轴，因为三 x 是 关于二分之派加 k 派对称的，所以我们令它等于二分之派加 k 派的情况下，我们就可以算出来 x 的 值。 那说到这，我们直接去做一道例题，这道例题和我们前面学的就非常的相关，首先它考的是呃点 a 零，其中 a 大 于零，然后函数是 y 等于二倍的贪记的 x 减三分之派的一图像的一个 对称中心，那请问你 a 的 最小值是多少？首先我们按照刚刚的步骤，第一个我们可以先令 t 是 等于 x 减三分之派的，那如果是一个函数啊，摊进它 t 的 话，那它的 中心对称中心应该是，哎，我们说这里是二分之 k 派 零，对不对？所以呢，我们要想去求他的一个对称中心，那我们就令 t 等于二分之 k 派，然后去求一下，而我们刚说 t 是 等于多少， t 等于 x 减 三分之派，所以我们就得到了一个 x 是 等于几啊？ x 应该等于三分之派加上二分之 k 派，那知道了 x 等于三分之派加二分之 k 派之后，那么他呃 y 的 一个对称中轴对称对称中心就应该是三分之派加上二分之 k 派 零，对吧？所以 a 他 应该是等于他，但是我们说了 a 他 这应该是一个最小值为多少？并且 a 他 有一个范围是 a 大 于零，那么我们就看三分之派加二分之 k 派， 他最小值是等于啊，哎，应该是等于，在 k 等于零的情况下，应该是等于三分之派的，所以我们这里选的就是 c 选项，那这里的其实就是考察的一个贪婪他的对称中心，以及我们要怎么去在他平移变换之后求他的一个对称中心。所以说对于贪婪他，还有我们之前学的正弦与弦的对称中心，一定要去记，少记喽。 这我们第一部分，那我们来看第三个考点，就是解三角形，那解三角形我们通常就是正弦定力与弦定力和 面积公式，那面积公式其实是根据我们的正弦和余弦定力去求的，那最重要就是正弦公式，正弦定力和余弦定力，这是我们考选填常考的，有时候我们解三角形大题的时候，也会经常用到的 两个定律，那我们来看一下具体的公式。首先正弦定律就是 a b 三以 a 等于 b， b 三以 b 等于 c， b 三以 c 等于二 r， 其中这个 r 是 外接圆半径。 有的同学不知道，那什么是外径圆半径啊？这里我给大家画了一个图，就这个三角形呢，是 abc 这个三角形，然后角 a 角 b 角 c， 然后它的边呢，就是所对应的 a 角对应的是 a 边， b 角对应的是 b 边， c 角对应的是 c 边，然后它的外径圆呢，就是相当于在也过这三角形 abc 三个顶点去做了一个相接的一个圆，那么它的半径，这个你的半径就是我们的 r。 然后了解这些之后呢，大家只需要记住这个公式以及后续的一些变形，那这个变形公式就是 ab 三 a， b 比三以内 b， c 比三以内 c， 我 发现哎，它是对应乘比例的，且是等于二的，那经常就有 a 比 b 比 c 就 等于三以 a 比三以 b 比三以 c， 那 情况下就是 a 还能等于哎等于二二倍的三以内， 然后 b 呢，等于二二倍的三以内， c 呢等于二二倍的 三以 c。 这些公式呢，其实在我们大体里面也是经常考，并且你要习惯去呃转换的。 那呃正弦定律的一个适用条件就是已知两角及一边的情况下，要么你知道了两个角和它的斜边，要么就是知道了两个角和它中间的夹边， 然后要么就是知道了两个边移其中一个边的对角，在这种情况下就要注意一个多结了，明白吗？就和我们之前初中学的一个全等一样， 就会有一个角是在这边，一个角是在那边的情况，这个是注意一个可能会存在两个结的问题。 那第二个呢？就是我们的一个余弦定力，余弦定力这里是同样， a 是 我们代表 a 角的对边， ab 就是 b 角对边， bc 就是 c 角对边的 c， 然后它有一个 a 方等于 b 方加 c 方减二 and b 考三 a， 那 同理，其他角就有 b 方就等于 a 方加 c 方减二 a， c 靠三引 b， 然后 c 方就等于 a 方加 b 方减二 a， b 靠三引 c。 这个正弦定力和余弦定力大家一定要记住啊。然后余弦定力所使用的条件呢？就是知道了两个边及一个角，或者是知道了三条边的情况下， 我们常用的是余弦定律。那了解了正弦定律，余弦定律之后，我们来看我们三角形的面积公式，它是等于二分之一 a， b 三乘以 c 加二分之一 a， c 三乘以 b 加二分之一 bc 三以 a。 呃，那这张 ppt 上面展示的所有公式，大家一定要记得，非常非常的牢，包括我们余弦定律。后续关于考三 a， 考三 b， 考三 c 的 一个变形也要记牢， 然后解三角形呢？这里有一些常用的结论，大家是需要记牢的，而且我们考试的时候是可以直接用的，特别是选择题和填空题的时候是可以直接用的，而且在这种情况下，其实做题的速度会提高吗？ 那第一个就是三角形内角和当 abc 加起来等于 pi， 为什么？因为三 a 加 b 是 等于三 a pi 减 c 的 吧，然后三以派减 c 就 等于三以 c， 那 同样考三以 a 加 b 呢，就等于考三以派减 c， 然后考三以派减 c 呢？是等于负的考三以 c。 其实整个过程是这样算，但是你遇到然后填空题的时候，你直接这么 用结论就行。那第二个就是对于大边对大角，如果有三角形里面呃 a 边大于 b 边，那直接可以得到 a 角大于 b 角，三以 a 大 于三以 b， 这个也是我们考试直接用的，而且在考试的时候其实能够判断出很多的选项来。 那第三个就是关于锐角三角形的一个判定，这是我们大题啊，经常出错的一个 范围，就是有时候你去忽略了他的一个角的范围呢，你有时候得到的结论就可能会比较多，那一定要注意一下这个三角形的判断就是锐角，三角形一定要是三个角都为锐角， 那现在我们来看一下我们的例题。例二，在三角形 abc 中，角 abc 的 对边分别是 a、 小 a、 b、 c， 然后三角形 a、 b、 c 的 面积是二分之一 b 乘 b 倍的。三以 b 减 a 倍，三以 a 减 c 倍等于 c， 问你角 b 是 等于几度？那首先我们来回顾一下三角形的面积，我们 a 它是等于二分之一 a， b 三以 c， 二分之一 a， c 三以 b， 二分之一 bc 三以 a 的。 那这里我们既然要求角 b 的 话，我们把三以 b 直接列出来，就是可以得到 三角形的面积等于二分之一 a， c 三以内，然后这是我们知道的一个呃原本的面积的公式，但是题目给出了它的面积，那我们令它两边等起来数，它是等于二分之一 b 倍的 b 倍的三， a 减去 a 倍的 三 a， 我 们把两边同时把二分之一约掉之后，就可以得到左边 a， c 三以内就等于右边。我们把 b 直接乘进去了，就等于 b 方 三以内减去 abc， 三以内减去 bc， 三以内 c， 我 们用我们之间所的这个正弦定律， 它三以 a 就 等于 a 除以二 r， 三以 b 呢，就等于 b 除以二 r， 三以 c 呢，等于 c 除以二 r， 那 左右两边二同时约掉之后，哎，我们直接就可以得到哎。 abc 等于 b 的 三次减 a 方 b， 然后减去 bc 方，我们能发现左右两边又同时有一个 b， 我 们可以把 b 约掉，那就是 a c 是 等于 b 方减 a 方，然后减 c 方的。他其实我们发现他是不是和我们的一个余弦定力长得有点像呀？你看是和我们这个是不是长得有点像？所以我们把 b 方移过来之后，就等于 b 方，就等于 a 方加 c 方，然后加 a c， 那 我们余弦定里原本是等于 a 方加 c 方减去二 a， c 靠三，隐蔽的是不是？那我们两边等了之后， a 方 a 方约调， c 方 c 方约调之后，应该是有 a， c 等于负的二 a， c 靠三引币，那靠三引币等于多少？靠三引币应该是等于负的二分之一，因为 a 和 c 一定是大于零的，因为是三角形两条边嘛，那靠三引币等于负二分之一，那角币应该是就等于一百二十度，也就是三分之二排，所以选择的是 四 d 选项。那这道题呢，其实就是一定要考察我们对于余弦定律和正弦定律以及我们的一个面积公式的考察，所以这些公式一定要是记牢并且运用非常熟练的， 这是我们解三角形里面的一个选择题，那我们大体呢，常也常考一个解三角形题，那我们来看一下这道题 题目给出了啊，三角形 a、 b、 c 中角 a 角 b 角 c 对 应的边分别为 a、 b、 c 问你 b 方减 a 方等于 a、 c。 求证，第一问求证 b 等于二 a， 第二问，求证。如果三角形 a、 b、 c 是 锐角三角形的小编 a、 b、 c 的 一个取值范围，那其实这也是考的我们正弦定力和 弦定律，我们再去巩固一遍我们的正弦和余弦定律，那现在我们的求第一问角 b 角 b 是 等于两倍的角 a， 那 这个我们的出发点是什么？哎，其实我们的出发点啊，是等于哎我们的 这个公式的对不对？然后我们来看啊，首先你 b 方它是等于我们用这个公式 b 方移过来是等于 a 方加 a c 对不对？但由于移弦定了，我们用原本就能知道 b 方是等于 a 方加 c 方减二 a， c cos 等于 b 的 对不对？然后我们发现两边 a 方 a 方约掉之后就可以得到 a， c 是 等于 c 方减去二 a， c 靠三引 b 的， 然后我们发现其实等式两边是同时有一个 c 的 对不对？所以我们两边同时把 c 约掉之后，就变成 a 等于 c 减去二 a 靠三引 b， 让我们用正弦的定律可以到他们的比是相等的，就得到一个三引 a， 是 等于三引 c 减去二倍的三引 a 靠三引 b， 然后我发现等式左边是 a 角，然后等式右边呢？又是 a 角和 b 角，而这里突然出来一个 c 角，我们是不是因为 a 加 b 加 c 是 等于一百八十度，所以我们三引 c 直接能变成三引 a 加 b 啊？所以就等于三引 a， 就 等于三引 a 加 b， 然后减去二倍的三引 a 靠三引 b。 那 我们把这个三引 a 加 b 这个合角公式拆开之后，就等于三引 a 靠三引 b 加上三引 b， 靠三引 a， 然后再减去二倍的三引 a 靠三引 b， 我 们化简一下，就得到了三引 b 靠三引 a 减去三引 a 靠三引 b， 它就等于我们的三引 b 减 a， 让我发现三以 a 等于三以 b 减 a， 而且它们又都是在零到派，所以说就等于 a 是 等于 b 减 a 的。 那我们是不是有一块钱就得到 b 等于 二 a 了，对不对？所以我们第一问就这么证明出来了，那我们来看我们的第二问。首先第二问，你看啊，三角形 a、 b、 c， 也就是 a 角、 b 角、 c 角都是 锐角，那么就有 a， 它是一个大于零小于二分之派的。然后 b 呢？ b 也是大于零小于二分之派，那 b 是 等于二 a 嘛？所以二 a 也是大于呃，大于零小于二分之派的。 然后同样 c 角，那 c 角应该是派减去 a 减去 b， 就是 派减三 a， 它 c 角也是要一个小于 九十度的，所以它 c 角也是大于零小于二分之拍的。那最后我们就得到了一个 a 的 范围， a 的 范围应该是大于六分之拍，小于 四分之拍，那同样的，我们关于三 a 呢？它就是大于二分之一，小于 二分之根号二的，这是我们算出来一个三引 a 的 范围。那题目要求的是 a 比 c， 对 吧？等等我们来看啊， a 比 c， 他 就能写成一个三引 a 比上 三以 c， 那 我们刚说 c 是 等于拍减三 a 的 吗？那三以拍减三 a， 就 等于三以三 a， 所以 就写成了三 a b 圈三以三 a， 那 三 a 我 们又能写成 a 加 二 a， 是 吧？三 a 加二 a， 那 我们把这个分母上的 a 加二 a， 用我们的核角公式化简之后，就变成了三 a a 背的三 a 括号三 a a 加上 三 a a， 括号三 a a， 然后我们去把三 a 二 a 和三 a 括号三 a 二 a 去啊代换掉，又全部用三 a 代换掉之后，就变成了三 a 倍的，下面是三引 a 倍二倍的三引方的 a 减去一加上二倍的三引 a， 靠三引平方 a， 然后靠三引方 a 呢，又能化解成一减三引方 a， 所以 我们就化解一下，变成了三引 a b 以上四倍的一减 三引平方 a 被的三引 a， 然后去减去三引 a。 我 们化解完之后，哎，都有三引 a， 而 a 呢？三引 a 呢，是大于二分之一，小于二分之二的，它不等于零，所以可以上下直接约，就约成了一 比上我们的三减去四倍的单引平方 a， 所以 我们发现 a 比 c， 它能够化简成这样一个式子，那这样一个式子要求它的取值范围，实际上就要求我们的三以平方 a 的， 也就是三以 a 的 一个取值范围。那我们刚刚已经得到了三以 a 的 一个取值范围在二分之一到二分之根号二， 那它的平方呢，是等于四分之一到二分之一之间，然后我们看分母，它的一个范围就是在我们的一到二分之一之间，一到二之间，对，一到二之间，然后分母一下，那说明它的一个结果应该是属于一个 二分之一到一的，所以它的一个取值范围就是我们的二分之一到一。所以这道题呢，其实就是我们标准的高考的十五题的考法，那基本上呢，就是会考一些我们 正弦定理与弦定理的一些应用和翻过来绕过去的一些公式的考验。所以说我们这这块呢，整体来说就是要把我们的公式一定要是记牢记，熟 悉会，并且能够快速的去应用，快速的去找准问题的一个解决方案。 那我们这节课呢，就是讲的哦，我们三角函数正弦与弦还有正切，那我们首先必备的公式，就我们三角函数的公式，诱导公式和 和差公式。然后一些性质就是三角函数与弦函数，正弦函数的图像和性质，比如说我们的单调性呀，对称性呀，还有一些周期呀，止于啊，这些是我们一定要非常了解的性质，包括我们一些变化，就是呃变化有 拼一生疏，还有一个严扎，这三个也要牢记，那关于必须要掌握的定律，就是我们的正弦定律，余弦定律，包括他的一些变形，还有我们的一些面积公式，这些是我们一定一定要记牢的，这些是必须要背会的公式， 而且我们在整个计算过程中一定要认真，就是不绝对不要因为一些粗心去丢分。 那这节课后呢，我给大家相应的出了一些呃，选择填空，还有一些大题，那大家下去之后呢，可以 自己做一下，做完之后呢可以和答案对一下，咱们的习题答案呢，在配套的资料中评论区呢，我们可以有免费的获取资料。那这节课就到这，我们下节课见。

高考数学小拿分，先看考频，那我们三角函数啊，是很多同学头疼的一个板块，那近几年呢，咱们选择填空啊，它也有几个非常常考的高频知识点，那我们今天呢，就一起来带着大家把这一块 搞懂搞透，哎，三角函数的选填再也不丢分。那首先呢，哎，三角函数选填啊，他最爱考的就是咱们的同角三角函数的基本关系，哎，咱们三角函数选填的一个热门考点啊，近十年呢，考了有十一次。 那什么叫同角函数的基本关系呢？哎，咱们各位同学啊，回想一下，我们是不是在刚接触三角函数的基本关系呢？哎，咱们各位同学啊，回想一下，我们这个公式算一方加 cosine 方啊，它是等于一的， 对吧？还有我们 tangent 的 r 法，它是等于三样法，比上 cosine 法，那这个呢，其实都是咱们同角三角函数的基本关系啊，同样的啊，我们衍生出来的一加减两倍的三样法， cosine 法等于 cosine 法加减 cosine 法的平方，哎，也是咱们的 啊，一个同角三角函数的关系，那这里呢，哎，考就是考这么些东西，哎，具体怎么变，那就要根据题目中的信息来看了啊，那我们这块这块啊，有一些套路，比如说咱们一的代换，比如说闲话切，比如说其次是话切，哎，听到这些不懂，哎，没关系，我们马上来看题， 那我们先来看第一道真题啊，二四年的这一道已知啊， cosine alpha 比上 cosine alpha 减三， alpha 等于根号三，那 tangent 的 r 加四分之 pi 等于几？来，我们来看啊，题目中给了一个分式形式的这个，呃，等式结构啊，那要求的是 tangent 啊，那 tangent r 等于什么？ tangent r 加四分之 pi 等于什么？被公是， 哎， tangent 的 阿尔法加四分之派是不是等于一减 tangent 的 阿尔法？ tangent 四分之派分之 tangent 阿尔法加 tangent 四分之派， 对不对？那四分 tangent 的 四分之派是可以已知的，是等于一的，对不对？所以说现在题目中啊，唯一不知道的就是 tangent 的 阿尔法，所以我们其实是要通过前面的等式去求 tangent 的 阿尔法。那这个分式形式没有呀，我们 tangent 的 阿尔法等于啥呢？ 哎，它是不等于 sine 尔法，比上 cosine 尔法对不对？所以你看这个分式结构啊，我能不能给它构造出 tangent 尔法？当然可以，我分子分母同时除以这个 cosine 尔法，哎，我是不是就出现了咱们的 tangent 尔法， 对不对？哎，那为什么可以除以呢？哎，注意，此时的 cosine 法它一定不为零啊，如果说为零的话，那这个等式它就不可能等于根号三。哎，这个你除的时候啊，一定要注意它到底等不等于零，这是一个非常容易丢分的点啊。那这里我们判断除了它不为零，所以啊，分子分不同啊，同时除以三 a r 法，那我们就得到了一比上， 一减它的 r 法等于根号三，对不对？那解一下啊，那它应该是等于一减去三分之根号三的， 对不对？那我再把这个值带到上面去，那原式呢， tangent r 加四分之派是不是就变成了二减三分之根号三分之三分之根号三啊，比上三分之根号三，那最后等于几啊？等于两倍根号三减一，对不对？这道题选 b， 哎，这就是咱们刚刚上面说的，其次是化切，哎，其次是化切，这种呢，就属于是一个，其次是上下四方是相同的，对吧？它就是其次的一个分式形式。好，我们再来看道题啊， 二一年的若 tangent 的 theta 等于负二，那让我们求这么一大串的一个值啊，那既然要求这么一大串啊，那我们先来把这一串给它化简一下 啊，对吧？题目中的信息呢，只给了跟 theta 有 关的一个信息，对不对？那后面这里呢啊，除了 sin theta， cosine theta， 还有咱们的一和 sin 二 theta 啊，那我们肯定优先要把这两个部分都化成跟 theta 有 关的东西， 那我们分分子上啊，一可以变成什么呢？哎，注意啊，我们上面有什么一的代换对不对？这个公式大家一定一定要注意啊，看到一一定要想到它，所以说这里呢，我们把一变成 sine 平方 c 加 cosine 平方 c， 那 sine 二 c 呢，就变成了两倍的 sine c 乘以 cosine c， 对 不对？那在比上 sin theta 加 cosine theta， 哎，那很明显啊，咱们上面分子这块啊，括号里的这一串呢，它其实是等于 sine theta 加 cosine theta 的 平方的，对不对？所以你发现啊，咱们上面是一个平方，下面是一个 sine theta 加 cosine theta， 那 是不是都可以约掉一个呀？哎，为什么可以约？此时它们一定不为零啊，因为 sine theta 和 cosine theta 它肯定不能同时为零的 啊，所以说，这个括号内的这个东西啊，它一定是不为零的，那除掉之后，这个式子是不是就变成了 sine theta？ 哎， 乘上 sine theta 加 cosine theta， 好 到这一步啊，很多同学不知道该咋做了，哎，有些聪明的同学啊，有点小聪明的同学可能就想着，我们 tangent theta， 它是等于负二的，对不对？所以说，我就可以通过咱们这个三角形的三边关系啊，构造一个直角三角形，去求出咱们的 sine theta 和 cosine theta。 哎，但是一定要注意，我们这里的这个 tangent theta 是 负二，对不对？那我们 sine theta 是 负的还是 cosine theta 是 负的，你是不知道的，你是不能确定的， 对不对？所以说这道题呢，你用这样的方法啊，很容易出错，那我们到底该怎么去做呢？哎，注意啊，这里又来了 一的代换啊，一的代换，大家一定要把这个刻到脑脑子里啊，现在题目中给的信息是 tangent 的， 但是我这里啊，化化减以后，它只有 sine 和 cosine， 对 不对？那我想像第一道题一样，我把它换成跟 tangent 有 关的，怎么办？哎，最简单的方法， 分母变成 sine 平方 c 加 cosine 平方 c， 为什么呢？因为它这个式子是不是就可以变成 sine c 啊？ sine 平方 c 加 cosine 平方 c， 它 对不对？而且你会发现什么呢？咱们上面这一块，它是一个二次式对不对？三 e c t 的 平方加上三 e c t 乘括号三 e c t， 它其实是二次的，对不对？那分母呢？我们这样构造出来后， 同样的它也是一个二次的，那现在啊，分子分母同时除以三 e 平方 c t 了对不对啊，那我们就得到了 tangent 平方 c t 加上 tangent 平方 c t 加一 对不对？那现在 tan 的 c 他 知道了，我们直接带进去就好了，哎，那这样子带呢，你会发现你直接带的就是题目中所给的值，哎，他就很难去出错对不对？所以说最后的结果是多少五分之二选 c 啊，这是咱们第一问啊，所以说大家现在了解了什么叫其次石化，切，什么叫一的代换了吗？对不对？那接下来呢，我们再来看啊，三角函数的诱导公式，这个呢，也是选择填空啊，三角函数这块最容易考的，比较容易考的一个板块啊，那这个近十年呢，考了有九次 啊，这一块呢，它的考法啊，就比较基础，首先是角的一个对称性的转换啊，再一个呢就是结合咱们奇偶性啊的应用去考你，然后就是与咱们和差公式二倍角公式啊，结合去求角，或者说去求一个最值 啊，那这里方法啊，最简单诱导公式嘛，背口诀即变偶不变符号，看相线对不对啊？那这里呢叫要注意的啊，就是优先把咱们的角度转化为锐角来计算 啊，还有一个非常重要的点啊，就是，呃，诱导公式呢，它其实是非常容易放在三角形里来出的，为什么呢？因为我们角 a 加角 b 加角 c 在 三角形里相加加合是不是等于 pi 对 不对？哎，那我只要知道两角和的一个三一值或者 cosine 值，我是不是就能啊，去利用它们这个 pi 减去两角和去求另一个角啊，利用咱们诱导公式进行角度，角度之间的转换，对不对？哎，那我们马上就来看一道啊，也就是在这个三角形 a、 b、 c 中，角 a、 b、 c 对 应的边是小 a， 小 b、 小 c， 那 若 a 倍的 cosine b 减 b 倍的 cosine a 等于 c， 那 角 c 呢？是等于五分之派的，让我们去求角 b 的 值。哎，那看到这个式子啊，哎，小 a， 小 b， 小 c， 对 不对？那这是啥呀？哎，很明显的正弦 定力，对不对？哎，正弦定力啊，那就 a 变成 sine a， b 变成三以 b， c 变成三以 c， 对 不对啊？顺数上面那个式子啊，咱们就变成啊我写出来的这样的一个形式了，那你看三 a cosine b 减三 b cosine a 是 什么？ 是 sine a 减 b， 对 不对啊？它等于 cosine c 啊，那这里角 c 给了五分之派啊，咱们五分之派是不好去算它的特殊值的，对不对？不好去算它的正弦值的，那我就不把它反放过来啊，我把它变成三以 c， 现在左边是 a 和 b， 右边是 c 啊，那我能不能去找下 a、 b、 c 之间那个关系呢？当然能啦，我刚说了，是不是 a 加 b 加 c 等于派，那我的 sign c 是 不是就等于 sign 派减 a 加 b， 对 不对？那 sign 派减 a 加 b 又等于啥呀？哎，是不是就等于 sign a 加 b？ 哎，所以你就会发现啊，原来我用诱导公式啊，把三角形的这个角度一换，我就求出了这样的一个等式， sign a 减 b 等于 sign a 加 b， 那你自己把它展开看一下。哎，我们是不是最终得到了三 b 乘以 cosine a， 它应该是等于零的， 对不对？那你看啊，我们在这个三角形里面啊，没有一个角能等于零，也没有一个角能等于派，对不对？他们的所有的这个正弦值都是处在这个呃，零到一 之间的啊，却是一个开区间，对不对？就像我现在画的一个这样啊，在零和派的时候，它们俩都是挖空的在这个 sign 图向上啊，所以咱们的 sign 角 b 啊，它是一定不可能等于零的，对不对？所以说，那要它们俩相乘等于零只能是谁啊？只能是 cosine a 等于零了， 对不对？那扩散 a 等于零，且 a 是 属于零到 pi 的， 那 a 只能等于几啊？哎，只能等于二分之 pi 了，对不对？那角 c 呢？等于五分之 pi， 那 角 b 自然不就出来了吗？哎， pi 减去它俩，那就等于十分之三 pi 选 c， 哎，这就是咱们这个三角函数用到公式在三角形里的一个应用啊。好，那我们再来看下面这道题啊，那这道题呢？它是你看，他说若 f x 等于什么，什么再加什么，什么等于偶函数，哎，来，我们看 f x sine x 加分之差啊，偶极有性哎，那这是啥呀？哎，就是，这就是咱们的极有性，哎，结合函数，结合咱们诱导公式来考你，对不对啊？那这里呢，他说这个东西是偶函数啊，那我们偶函数一定有什么？是不是一定有负 x 等于 f x， 对不对啊？那现在呢？啊，我的 x 是 不是任意取值它都有这样的关系啊？那且我的 x 它是属于 r 的， 对不对？因为题目中没有限制吗？咱们的这个各个函数也没有限制，所以 x 它可以任意取，那我该怎么去取好算一些呢？哎，大家可以 想想啊，我们的 sine x 啊， sine 三角函数这个部分啊，是不是相对于前面两个来说是最难去算的对不对？所以这里啊，我可以干嘛呢？我是不是可以 让后面这个东西消掉，哎，利用咱们的诱导公式去消掉，哎，因为我这里是等式关系啊，我左边哎，比如说我左边取一个负的二分之派，那我右边他就应该是等于 f 二分之派，对不对？那我 f 负二分之派和 f 二分之派带到这个公式里，他是不是可以用诱导公式转换成相同的式子然后消掉？所以说啊，左右两边呢，他就只有跟这两个 部分的函数相关了，哎，这样子就能够很轻松的去求求 a 的 一个值，对不对啊？所以说这里呢啊，我取的是 f 负的二分之派啊，当然你们也可以试一下别的值啊。那这样带进去之后呢，左边 f 负的二分之派，它等于什么？等于负的二分之派减一的平方啊，减去 二分之派 a 再加上三以零，对不对？那 f 二分之派它等于什么？等于二分之派减一的平方加上二分之派 a 再加上三派啊，那你看啊，零加派它们俩是不是相等的？三以零等于三派消掉了，那这一块啊，不一样，那这块也不一样，那我是不是就把它们列等式之后呢？哎，就能得到咱们的 这个 a 的 值了，对不对啊？所以说最后解出来 a 他 是等于二的哈。啊，那这道题呢，其实，呃，你可以用啊，可以用咱们的导公式，也可以不用啊，你怎么着都能解啊，那总的来说呢，嗯，像我们正常的这个高考的时候啊，他也是会去结合咱们的基友性会去考的 啊，是说大家也可以去留意一下啊，那这道题呢，咱们就解出来了啊，这是咱们三角函数导公式的一个考法。好了，那我们今天呢就先讲到这啊，下期咱们继续来讲到三角函数的选填还有哪些考点。好，我们这期到这结束了，拜拜。

大家好大家好，我是李老师，如果你的数学还没到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂，搞会，快速提分。今天我们来讲的是二六年昌平二模的关于三角函数的题目， 他给了我们一个 sine， 我 们一个 x 加上六分之 pi 啊，然后说 f x 在 这个区间上单调递减， 然后问我们 omega 的 范围，这种时候怎么做？因为他问我的 omega 还是个范围，是吧？那就说明他在这上面单调递减，那不一定单调递减区间就是他。如果说在题目中，有时候他的这个单调区间能够判断出来，比如说二分之派到派是吧？他的 t 应该等于派， 那你一发现，哎，这就不是半个周期吗？那他就是能说到他是他的单调区间。但是这道题显然不是这个意思啊，因为最后让我们求的是 omega 的 范围， 说明这有一个可变的周期，然后求它的范围，我们来看一下怎么求解。首先 f x 在 二分之派到派上单挑去减，它的思路是一样的啊， 同样我们要去映射这个 f t， 因为 x 现在的范围是 pi 到二分之 pi， 那 我要去得到 omega x 加上六分之 pi， 我 就可以得到 t 的 范围，对吧？所以 omega x 应该小于等于 omega pi 二分之 pi， omega omega x 加上六分之派应该小于 omega 派加六分之派二分之派， omega 加上六分之派，哎，我是不是就可以把这个范围求出来了？所以我现在来令 t 等于 omega x 加上六分之派，我是不是就得到了 t 的 范围啊？ 所以 t 是 不是应该也是这样的范围？我们一个派加上六分之派和二分之派，我们一个加上六分之派，那我得到 t 的 范围有什么好处呢？因为 f t 他 是，他是啥呀？是不是应该是我令他为他之后，他是不就等于代替啊？ 我虽然说不知道 omega x 加六分之派的图像，但是我可以画出三一 t 的 图像，我是非常熟悉的，因为三一 t 图像不就这么画吗？是吧？这是派，这是二派， 这个我是很熟悉的，这是三一 t， 那 么我想说，他给了我，现在我知道了 t 的 一个定义域，说他在上面单调递减，那我是不是知道他一定应该在这个区间呀？单调递减，他一定是这个区间的一个子区间， 没问题吧？这里是啥呀？这里是不是二分之派？这里是二分之三派。因此我就可以得出一个结论，得到这个不等式啊。左边 是不是二分之派，我们给减去六分之派啊？加上六分之派。口误加上六分之派，他是不是就得大于等于这个二分之派？ 由于他周期函数，所以我要大于二分之派加二 k 派，我们要严谨一些，对吧？同样，这是左端点，这是右端点。右端点。我是比小于等于二分之三派呀， 得小于等于这个值，所以二分之三派 omega 加上应该是这 omega 加上六分之派，是不是应该小于等于二分之三派加上二 k 派？因此我知道，我只要解这个不等式组就可以了。 如何得到呢？首先我们把它们都移过来啊，那就是二分之派 omega 应该大于等于二分之派，减去六分之派，应该等于三分之派加上二 k 派。一下，这 omega 派应该小于等于二分之三派，减去六分之派，那就是六分之九。 减去六分之八等于六分之八派，六分之八就是三分之四派，加上二 k 派。继续，那我的 omega 是 不是应该大于等于它们乘以二啊？派分之二呀？派分之二，那就是三分之二加上四 k， omega 应该小于等于 三分之四加上二 k。 因此我说就把 omega 的 范围给求出来了。那么这道题那 k 就 等于零的时候，所以 k 应该是 omega 应该属于三分之二到三分之四。这道题选择二 b。

hello， 朋友们，我们来看一下我们今天题型，我们今天题型是三角函数异常求周期的求解啊，我们所有这种异常周期的求解都是放到原函数当中去找原周期，对吧？就原长度对应多少个周期啊？好，那我们来看一下。 首先我们这个函数 f x 等于 sine obx 加 f， 对 吧？然后这个函数的在这个最小值，它就是负一到一， 哎，它不是负二到二啊，它就是负一到一。好，那么我们想要求这等直线 y 等于二分之根号二，与我们这个函数图像有两个交点，一个是 a 和 b， 那 么 a 和 b 的 长度是四分之派，那么 a 和 b 的 长度 a 和 b。 如果我在原函数图形当中，也就是我在 sin x 当中，我们先找它对应的周期长度啊？好， 那么，呃，当我等于二分之根号二的时候，那么就是 sin 四分之派和 sin 四分之三派，对不对？好，那么我们的四分之三派减去我们的四分之派，它对应的就是二分之派， 那么一整个周期的长度是二派，对不对？一整个周期的长度是二派，而二分之派它占了多少？它占了四分之一个周期，那么也就是当我的纵坐标，对吧？哎，当我这个函数最大值最小值是一的时候，当我的纵坐标等于二分之根号二的时候，那么这两段之间的长度对应 四分之一个周期，对不对？好，那么我放到这个里边，对吧？哎，最小值角值是负一到正一，对吧？那么我外等于二分之二的时候，我对应的这个长度，它就是四分之一个周期，那么也就是我们四分之派的长度，它就等于四分之一个周期，那么一个周期我们就得到它等于派， 所以啊， t 等于二， pi 比上我们的 omega， 它等于 pi， 我 们的 omega 就 等于二。因为 omega 大 于零啊，没有负的。好，所以我们现在函数极数就是 f x 等于 sine 啊，二 x 再加上我们这个 f， 对 吧？我们现在已经求出这个 omega 了，对吧？我们的所有的 omega 基本上都是通过周期去求的啊。好，那么，呃， f 对 吧？ f 的 话我就通过代数 好，然后接下来我们还有一个条件没有使用呢，他说我在十二分之五派到十二分之十一派上面是单到递减的，那么我们这个上面是单到递减的，也就是我并不能确定他是不是我完整的减去减，我们只知道说，哦，他在这个上面单到递减，对吧？好，所以然后接下来 你刚才求的周期就有用了，我们一个周期的长度是派，那么二分之一个周期的长度就是二分之派，而我这个里面十二分之十一派减去我们的十二分之五派，他刚好等于十二分之六派，就是二分之一个周期， 所以，哎，他的长度刚好就是二分之一个周期，那么我们就得到了这个就是我们完整的减区间，那么十二分之五派在这，十二分之十一派在这，那么也就是 我要么列我们的十 f， 十二分之五派，哎，它等于正一，我要么列我们的 f， 十二分之十一派，它等于负一。列哪个都可以啊，列哪个都行啊，你求任何一个，对吧？好，你可能求这个比较多，我给你求一下这个啊，那么也就是我们的 side 二乘以十二分之十一派，对吧？然后再加上一个 f， 它等于我们的 f 等于我们正弦的负一。哎，在这呢啊， 你说在这边也行，没关系啊，它等于我们的二分之三派，加上我们的二 k pi， 对 吧？好，所以我们的 five， 它就等于这是六分之九，减去六分之十一，负的六分之，那个负的六分之， 负的六分之三派，对不对？ 呃，对，没问题啊，六分之九六，负的六分之三去了负的六分之二派， 然后再加上我们这个二 k 派，对吧？好，那么我们给它整理一下这个式子，它对应的就是这个 f 就 等于负的三分之派，再加上我们这个是 k 派，对吧？所以二 k 派，然后我们的 k 是 属于 z 的， 然后他说我们 omega 的 那个 f 的 绝对值是小于二分之派的，那么只有当 k 等于零的时候才会成立，所以 f 就 等于负的三分之派，那么我们用这个式子求出来的跟它是同一个答案， 有任何问题啊？好，他说我在这个范围上单调的减，我并不能代表它是我完整的减区间，而我通过检查它的周期才发现，哦，它就是我完整的减区间，对吧？所以我们才能做出来啊。好，那么这个题我们就看到这里了，拜拜。

各位同学大家好，我是大刘老师，我们继续我们最后三十天数学中考的冲刺计划。今天呢，咱们来说我们山西中考的一种必考题型，锐角三角函数的实际应用题，他一般出在我们大题的第二十题的位置或二十一题的位置， 不管出在哪个位置啊，咱们同学们只要搞清楚他的核心的底层逻辑，一定可以从这里拿到分数。关注大嘴老师带你从容中考中字。咱们山西中考呢，一般呢，在这一块他有考两种类型，一种是需要设的，一种是不需要设的。 学生很纳闷，我没听过我们老师这么给我们说过啊，什么需要设？什么不需要设的？咱们今天呢，先说一种类型， 嗯，就是不需要设的这种类型，然后呢，需要设的咱们放到下一期视频来说。那到底什么是不需要设的呢？我给同学简单说一下啊，就是你题目中，咱们题目中都会给咱们一些长度的数据，总知道吧， 如果这个数据呢，他刚好是你所构建直角三角形中的边长。那么咱们想一下啊，咱们在一个直角三角形里面，如果他给了 r 法角的度数， 还给了这其中，比如说这个边长是 a， 你 是不是可以通过三 e r 法考三 e r 法探整的 r 法去求出这两条边呢？ 是不是就可以直接去算了？这个时候你还需要设某一条边是 x 吗？不需要吧，这就是我给他划分的第一种类型，不需要设的，就你发现 a 题目中给的长度数据，刚好是我这个直角三角形中的某一条边长， 这个时候呢，我们就可以带着我们的锐角三角函数直接去计算，不需要设，那这个时候呢，肯定呢，初一老师，哎，可以直接算，是不是感觉简单一些，初一老师就会给你挖坑了，那他给你挖坑的点在哪呢？ 直角三角形的构造，就说既然边长我给的你简单了，那么这个直角三角形的构造上就不会能让不会让你那么轻易的找到直角三角形。再有就是一个题目的长度上， 题目长度给你设置的长一点，让你不那么轻松的能够找到题中的条件，让你一读就蒙。 所以说呢，咱们今天来看一下他挖坑的这两个点。咱们分别找了一道题，咱们先看第一道题，第一道题呢，咱们可以看先看下长度啊，我两样 才能把这个题将将的放下，这个长度是不是非常长，所以说呢，就需要我们去好好的去读题，然后呢去筛选出题中的有用的条件，他说这是一个 遮阳伞，然后给了我们说什么 ap 垂直于地面，要搞清楚， ap 垂直于地面相当于我们的立柱， 然后呢又给了 a b d q d j， c f 是 悬托之杆，这个时候没有给它们的边长，所以说先不要在图上把它们描出来， c 点呢是一个可旋转散体的接头，然后呢示意图，散体的界面，示意图是一个三角形 c e f， 呃，还算重要，三角形 c e f， c e 四 f 是 散体的支架，且关键条件来了，是不是 c e 等于四 f， 然后 c e 等于二米，那意意味着 c f 也是二米，然后角 c e f 等于十五米，十五度， 这个地方是不是出现了个度数？咱们锐角三角函数里面度数的角度的条件特别重要，找 c e f 十五度，咱们 c e f 跟它算等腰三角形，说明这半也是十五度， 是吧？那咱们继续往后读这个呢，给了一个时刻表和对应的太阳光和地面的夹角，九十啦，八十五、七十这些都给了。这个时候咱们来看下参考数据。我头先说一下啊， 参考数据这非常重要，因为你就想参考数据，咱们如果特殊角三十四十五六十，不会给你三 e 考三 e 摊正的值，但凡给到你，比如说三 e 十五，这里的三 e 七十考三 e 十五，七十摊正，十五七十，就说明你可能会用到。那就说明题里 怎么你的直角三角形里得有这两个角度，所以说呢，你构造直角三角形里得有这两个角度。所以说呢，你构造直角三角形里得有十五度，得有七十度。 那这个时候呢，咱们十五，想一下，十五度，哎，前面这个三角形里面 cf 里有，说明后面可能会用到，是不是七十度呢？ 是不是这个位置两点对应七十度，哎，说明你其他十二点、十三点、十五点、十六点、十七点可能就考不到了。那咱们来看一下项目结果，中午十二点 太阳光与地面垂直时，他说了使 e f 平行于 ab 是 吧？然后点 e 刚好落在 ap 上，点 e 落在 ap 上， 这样效果最佳。这个时候呢，咱们来看下午十十四点，是不是就是七十度的时候，然后还有个下午十七点，他省略了，说明这个时候不需要咱们去 做了。那这个时候咱们来看看一下问题，如图一，当中午十二点太阳光与地面垂直时，让咱们求影子 ab 的 长约多少？ 然后这个时候呢，咱们因为题目长呢，咱们就哎把咱们的条件都放到一面上，咱们前面关键条件 c e 等于 c f， c e 等于两米还是角？ c e f 是 十五度题图一中 ef 和 ab 平行且点 e 在 a p 上很关键的条件。第一个题呢，就让咱们在图意中求十二点时 a 太阳光与地面垂直，是地面引自 ab 的 长。那咱们题里说了， ef 和 ab 是 平行的，而且呢， e 在 咱们的 ap 上，那是不是就说明咱们的 ef 等于 ab 啊？为什么？因为你这个地方是九十度，咱们这因为光线这也是九十度，两个九十度了吧。然后你这个地方 他们是平行，这是不是也就九十度啊？所以说你的 e f b a 就是 矩形，是矩形的话， e f 就 等于 ab， 那 咱们让咱们求 ab， 因为你 ab 又不在 三角形里，也跟咱们的度数十五度、七十度构建不了联系。那这个时候如果求 ab， 咱们转换成求 ef， ef 刚好能跟咱们十五度构建联系。咱们 c ef 是 等腰三角形，你是不可以做一个 垂线，做 c m 垂直于 e f， 那 这个时候 c m 是 不是咱们 等腰三角形的高中线角平分线都可以三角合一性质是吧？那这个时候让求 e f 的 话，是不是求出 e m 就 可以了？求出 e m， 你 会发现，哎， 这有十五度的角，然后呢，求 em 的 话， t e c 给了二，这个时候你会发现三角形，这三角形 c e m 里面有一条边是二，斜边是二，然后呢？有一个角是十五度，我求出 em em 和咱们的斜边二是这个角的什么？这个角十五度的什么？ em 是 这个角十五度，什么边？零边，是不是用考塞你就可以求出来？ 是不很简单，不需要设，直接就能算，是不是求出 em 以后， ab 等于 ef， 它们是 em 的 二倍乘以二就完事了，是不是？哎，很简单，它步骤没有任何说 com 的 点，它 com 的 点是不是就是题目的长度上，同学们有没有发现？ 然后咱们再来看第二问，如图二，下午四点十四点时，他说求散体在地面上留下的影子， bk 的 长度， b k 就是 这个位置，而且七十度公分标上了，这个时候咱们求 b k， 你， 你来看 b k 在 直角三角形中吗？不在。七十度，在吗？也不在。那这个时候你自己去构造一下，相信同学们很多同学 都会构造，我要把七十度往直角三角形里放吧，而是要把 b k 往直角三角形里放，直接这样做个垂线不就完事了吗？是不是做个垂线，咱们设这个点为 n， 那 这样的话，咱们的 e k n f， 这就是个矩形，是不是咱们的 e f 就 等于咱们的 k n 啦？咱们第一位算了， e f 是 多少？三点八八，那你的 k n 是 不是三点八八？那就你发现。哎，我要求 k b， 那 k n 三点八八，有了，这个地方是七十度，是不是 k n 是 七十度的什么对边？然后呢？ k k b 是 斜边，七十度的对比，斜用三 e 不 就出来了吗？直接算就行了呀，发现没有任何个坑，两道题都是值， 给出你一条完整的边长，直接算就出来了，没有任何的弯弯绕绕，最后算出来，他这个说仅仅找四点一米，最后算的时候同学们注意，算到小数点后两位最后约等于四点一，注意一下答要有答占一分。 有没有发现这个过程非常之简单，而且这个构造直角三角形也不难吧？咱们的构造的目标就是把这些十五度、七十度往直角三角形里放就行了，发现只要构造出来，这个题就出来了， 而且这个直角三角形中有边长，直接算，单看过程他根本不配放在二十一题的位置，太简单了。 那他能放在二十一题，为什么？就是因为咱们前面这题怎么太长了？他是因为长度 导致会让很多同学觉得难，刷掉很多同学，他们理解了吧。所以说是不是还记得咱们以前一直强调的，咱们山西中考有一个特点吗？题目越长 越简单，把这个刻到你的脑子里。那咱们再来看第二道题，第二道题题目长度好像没那么难了，这个题呢，它是放在了二十题的一个位置，咱们来看下，它说是一个手机支架，手支架如图一。 然后呢，他的结构说是，哎，立杆 ab 垂直于地面，高度是一一五，给了我们一百一十五厘米。 bc 是 一个可旋转的枝杆，可以旋转，然后呢，长度固定是三十， bc 三十给了 bc 三十可以写出来。 然后呢， cd 是 一个可滑动的旋杆，可滑动旋杆说明 cd 可滑动，说明它可以伸长，包括能理解啊，不能理解，你可以先不着急去考虑它，然后参考数据给了个五十三度， 这个时候你发现题里现在还没有说度数，是吧？然后呢？说调节，如图二，调节质感 bc 选杆 cd， 使得选杆 cd 给了四十厘米，然后角 abc 是 一百四十三角， bcd 是 二十三，这个时候你会发现题里压根没给这个五十三度， 那这个时候你就想，你要构造直角三角形吧，是不是啊？构造直角三角形，你要找五十三度角，题里五十三度在哪呢？没有。 这个时候你要考虑哪个角能跟五十三度去构建联系？这个地方二十三跟五十三 好像联系不起来，是不是？他们差个三十度，是吧？哦，好像是个特殊角，一百四十三和五十三差多少？是不是差多少度啊？他俩之间差多少？九十度啊？好像这一百四十三，这样可以，哎， 可以去做一些，做一些东西了吧。然后咱们看问题，求地到地面的高度，地到地面的高度咱们可以简单先先做出来看一下，哎，实际上是求这个，这个虚线的这个高度，是吧？这个时候 你做文章的位位，地方在哪？你就应该先盯着一百四十三看，为什么？因为你要尝试构建五十三度的角呀，你的眼睛就应该盯着一百四十三，那一百四十三这个位置你怎么能划分出五十三呢？咱们刚才说九十、九十的话， 我这样画一下，这是九十，那这个这个位置不就是五十三度了吗？是吧？那五十三度的话，怎么把这五十三度放到咱们顺势做个垂直， 做个垂直，哎，这不就是咱们的，这不就是咱们的五十四 m， 这不就是咱们，哎，五十三度角啦，这个位置咱们做一个标，一个点 n， 标个点 n， 标个点 n， 咱们发现，哎，这个直角三角形 c b n 里面角 c b n 就是 五十三度，是不是？而且这个时候 c b 的 长度也给了，给出长度我就给他标上，我换换一个颜色笔吧， 给出长度我就给他标成红的。那你看，在 c b n 中，五十三度有 c b 有， 你能求出 c n， 能求出 b n， 是 不是？那这个时候咱们有没有发现有二十三度角还没有用？有的同学，那我构建二十三度的角，他也没给我三印，二十三考三印，二十三摊成二十三啊，对，你的方向是对的， 他没给你二十三度的锐角三角函数，你就不要尝试把二十三度往直角三角形里放了，这个时候你就要考虑这个二十三度怎么用， 这个时候你要想，他没给你，而且你现在只有五十三度能用，你就二十三度这个条件还没有用，你就这个时候来看，这是二十三度， 这个地方是多少度？同学们，想一下，你这是五十三，这个位置是多少？哎，一减三十七，那三十七加二十三，哦呦， 六十，哎妈，一个特殊角出来了，特殊角，这也是为什么题里参考数据没有，参考数据里没有给你，三以六十考三以六十摊成六十，因为特殊角的锐角三角函数是我们要求背的东西，是不是？哎，那这个地方，而且这个角 是六十度，他跟给的 c d 是 四十厘米，是不是能放到一个三角形里？怎么放？我从 d 做垂线，做了一个 d， d， e 垂直于 c m， 那 这个时候我有两个直角三角形 r t 三角形 c d e， 我 可能画的比较乱啊， r t 三角形 c b n， 其中 c d e 是 三十度六十度的特殊角，直角三角形 c b n 是 我们五十三度的，这个时候呢？你说那跟我要求的东西有什么联系？这个时候咱们来看，咱们要求的是这个位置， 咱们现在要求的是黄线的这个位置，是不是啊？那这个时候他和咱们的 em 是 不是相等？ 相等吗？相等吧，所以说你要能求出 em， 咱们问题不就求出来了吗？那 em 等于什么呢？ em 是 不是等于 c m 减去 c e？ 那 你说那 c e 能求吗？ c e 不是 你直角三角形里 c d e 里的吗？ c d e 里面 c d 是 多少？四十 c e， 这是六十度角，这个地方不是三十度，三十度所对边斜边的一半是不是直接就能得 c 一 是二十，那这个地方求出 c m 不 就行了吗？对呀，求出 c m 不 就行了，那 c m 等于什么？ c m 是 不等于 c n 加 n m， 那 c n 怎么求？ c n 在 三角形 c b n 中，那 n m 了吗？ n m 等于 ab 啊， ab 是 多少呀？幺幺五是不是就都出来了？ c n 可以 通过 c b 和五十三度来求。哎，这下所有的思路就都打通了，是不？我们发现我们这个时候，我们直角三角形里面都是有完整的边长的，一个是咱们的完整边长是咱们的 c b， 一个是咱们的 c d。 那咱们来看一下过程，咱们做三条辅助线，过 c 做 c m 垂直于地面，交地面于点 m， 然后过 b 做 b n 垂直于四 m， 然后过 d 做 d e 垂直于四 m， 然后呢？垂完做完以后，则 e、 m 就 和我们就是我们点 d 到地面的高度，它们是相等的。然后呢，我们根据题的条件把角度算了一下，是不是可以得到 c、 b、 n 是 五十三度一个关键条件，然后呢，我们还推出了我们的 d、 c、 e 是六十度，现在这两个直角三角形，我们在 c、 b、 n 中我们求出 c、 n 是 二十四厘米，在 c、 d、 e 中我们求出我们的 c、 e 是 二十厘米，然后呢，最后通过我们 a、 e 加得到了我们的 e、 m 是 一百一十九厘米，所以说地到点，地到地面的高度也就是一百一十九厘米。他们做的时候会感觉这个这个过程，哎，感觉没那么复杂，思路是我给你讲的时候感觉很齐，但是实际上这个题卡你的位置就是这个 这两条幅，这两个三角形 c， d， e 和 c b a 你 能不能做出来？很多同学就在这第一步就把你卡住了，都不要想后面再去做什么了。这道题卡点就是在于直角三角形，很难构造， 不是我们平时做那些射的，哎，延长一下，呃，把那个位置稍微延长一下，水平的稍微延长一下，或数值的稍微延长一下就可以得到的。这个地方需要你做辅助线，需要做好几条， 很多同学容易卡在这个位置，但是他也是有一个方向的，就是找题目中给的这些这些角度的，给锐角，三角函数这些角，他就看你给的角度，怎么能和这个角构建联系啊？ 是不是还有一定要把这些角度合理利用，还有给的这些完整边长，你想这些完整边长都是要放到直角三角形中，就围绕着它，围绕着它去构造，你不要乱写，就围绕着这些边长， c、 d、 b、 c 去构造就可以了。简，可以说一个简单的思路，就给的这些斜的，斜的边长啊，我直的边长我不管，如果是完整边长， 你的构造思路就是从这个边长两个点，一个点做数值，一个点做水平，这样做数值垂线，一个点做水平的平行线，就可以构造出直角三角形，这样方向做，或者说或者说朝朝右做也可以。 这个点做水平，这个点做数值，都可以看你的一个习惯，这是这个地方，你实在不会做。以后碰到这个类型，这个点做数值，都可以看你的一个习惯，这是这个地方，你实在是给出 长度了。像 c、 d、 b、 c， 你 就从这线段的两个端点，一个端点做水平的平行线，一个端点做数值的垂线，然后呢它们交于 一个点，就构造出你的直角三角形了，你到时候去解，尝试根据题的平行的关系了，或角度的给出的角度，去找到这锐角的锐角的度数，然后去算。这就是我们做这种题的一个思路， 这就就是我们今天要给同学们说的第一类型，不需要设的，如果考出来就这两道题，这两种模式，同学们一定要把它学会，对你的中考会有非常大的帮助。 咱们下一个视频呢，给同学们说一下需要设的他的套路模式是什么样子的，帮助同学们把这一块的分给你，完完整整的拿下来。好，我是大队老师，关注我，带你从容应对中考，我们下期见。

大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，那么跟着我把这些中档题真正搞懂搞会。今天我们来看的是二零二六年丰台和朝阳的二模关于三角函数的题目， 这样的题目都是考察我们的周期的性质。在三角函数大题中，我们也经常通过一些三角函数的性质来判断周期，通过周期我就可以知道 omega 大 小，通过 omega 我 就可以继续再去求 f， 对 整个三角函数就清楚了。 我们来具体看这道题，他说他的图像如图所示，问偶命是多少，我们可以看到他是不是给我们标了两个点呀？因为两个零点，两个零点。这就涉及到了我们一条性质，那就是两个相邻零点或两个相邻对称中心 距离应该是多少啊？是不是就是二分之 t 啊？所以对于这道题来说，我是不是可以迅速的通过图像我就知道了他的 二分之 t 个周期应该是多少，二分之 t 个周期是不就应该是十二分之五 pi 减去负的十二分之 pi， 它就应该等于二分之 pi， 因此 t 等于 pi， 对 吧？ t 等于 pi 之后， t 又等于二， pi 除以 omega， 所以 omega 就 等于二，就非常轻松的写出来。所以我们要知道我们要从图像中得到什么信息。 第二个，他要将 f x 图像向右平移三分之派个单位得到 g x 图像，写 g x 一个对称轴，那也很容易了，我们只要知道了 他的一个 f x 的 具体函数，然后向右平之后再得到 g x 函数，知道一个三角函数之后，直接去写他的对称轴，那还不容易，是吧？ 首先我们来看，我们现在知道我们应该等于二了，我们是不是要求 f 呀？ f 怎么求？我们是要，要具体带到一个具体的值里面。 对于这道题来说，我是不是，哎，我是不是可以知道他的最大值点是二啊？那此时 f 应该等于多少呢？是不是应该是在负十二分之派到十二分之五派的中间？ 因此啊，我的这个终点的值就应该是，比如说十二分之派，十二分之五派要减去一个四分之派，那这里就是六分之派，对吧？ 因为他俩中间应该差了四分之派，他俩应该差了四分之派，因此我就知道 f 六分之派应该是等于二的，因此我就把它给带进去。 嗯， f 六分之派就应该等于二倍的赛欧米克等于二，是吧？二乘以六分之派等于三分之派，加上派就应该等于我的最大值二， 因此三分之派加上派就应该等于二分之派加上二 k 派，是吧？他就应该等于所有的最大值，又因为小于派的绝对值小于二分之派，因此就等于六分之派加上二 k 派， 那么 f x 的 唯一值等于六分之派，对吧？那我 f x 的 图像就知道了，它应该等于啥呀？是不是二倍的三二 x 加上六分之派，怎么得到 g x 图像呢？这是不是我们就是利用了图像的变化呀？ 怎么得到 g x， g x 就 应该等于二倍的三，左加右减，是吧？它是说向右平行三分之派个单位。那么这里就一定要注意， 我只对 x 变换外边的二一定要提出来，不然的话，你所有对于图像变换题目都可能做错，向右平，左加右减，减去三分之派，加上六分之派，好吧，它就等于了二倍的三二 x 减去三分之二派，加上六分之派， 应该是多少呀？是不是应该是减去二分之派了？那我对这个函数你看我是不是诱导公式啊？我是不是可以去再做一下，它是不是就等于了负的二倍的三二倍的 cos 二 x？ 好， 那我如果说知道了 g x 图像，我来画它的对称轴，这该怎么画呢？那是不就是我让二 f 等于二 x 等于它的性质就可以了？ 对于 cosine 来说，它的图像是什么？对于 cosine 来说，它的图像是不就是 k 派呀？所以 x 就 等于二分之 k 派，因此它的其中一个对称轴就可以是二分之派。 好，同样，对于朝阳二模的这道题，也是考察周期的性质，他说 f x 图像是这个，对于任意的实数 x 都有 f x 小 于等于 f b 大 于等于 fa， 则 a 减 b 的 最小值， a 减 b 绝对值的最小值。 这道题其实最难的一点是，我们在最开始的要，要有一个问题的转化能力，你要先读懂题是什么意思，我们拿到这道题之后应该怎么想？ 对于任何一个 x 都有，他要大于等于 f a 小 于等于 f b， 那 我是不是首先要知道一个东西，就是 f b 应该是最大值， fa 是 最小值啊？这是不是应该是我们看到的东西？意思有人说我的 a b 分 别是最大值和最小值最值的，然后 a 减 b 是 啥意思呀？ a 减 b 是 不是他们俩之间的距离啊？是吧？那我随便画一个图像，比如说对于一个 cosine 函数来说，虽然说他这平移了啊， 我不管，这就是他的一个函数，你之后平移再说平移的事，那他的最大值是不是就这里面的其中一个呀？最小值是不就是这里面的其中一个呀？对吧？我就任意挑此时 a 减 b， 他的距离是不是就是一个变量了？ a 减 b 可能是这段距离吧，他同时是不是也可能是这段距离啊？他是不可大可小，那么他问最小值，其实也就在说什么呢？ a 减 b 最小， 那就是在问我们相邻最值，相邻最值的距离是不是就已经一定是最小的呀？ 相邻最值，我们就可以知道他应该是几个周期啊？是不是是二分之 t 的 周期啊？我们只要能够把这句话翻译出来，那这道题就太简单了， a 减 b 的 最小值就是相邻最值的距离，也就是二分之 t， 所以 我们是不是只要求二分之 t 就 可以了呀？那这道题我可以发现， t 等于二，派除以欧米根等于二，派除以派等于二，那所以二分之 t 不 就等于一吗？ 我是不是直接就把答案写出来了？因此这道题主要考察我们的分析能力。这两道题都对我们的二分之 t， 它到底可以表征什么？考察了周期的性质，大家可以放在一块来对比学习一下，谢谢！

大家好，我是李老师，如果你的数学还没有到一百二十分，跟着我把这些中档题真正搞懂搞会，今天我们来看的是二零二六年顺义和昌平二模关于三角函数的题目。 这两道题都涉及到了一个概念，就是角，而法角、贝，它均以 o x 为矢边，然后 p 一 p 二在这个中边上。这句话我们要理解是什么意思啊？大家不能只会做 sin cosine 的 问题，你得知道我换个角度说，这个 o x 是 什么， 我得知道这些是什么意思，对吧？ o x 是 不是就是我的这个坐标轴啊？ o x 为矢边，然后我在这转转转， 这就是我旋转的角度，其中这个角就是我的尔法角，这个角它是不是可以不断的变化，它可以为到二分之派上，然后比二分之派，再达到第二项线到第三项线到第四项线，甚至可以再转回来到， 比如说这里是二二派加六分之派的，就是，对吧？那我们来看，首先看顺义的这道题，他说角、尔法、角贝，他均以 o x 为矢边，我们把这道题画全好， 他说若萨尔法大于零，则萨贝特大于零。这道题他说他为真命题的条件是什么？我是不是就来找， 若满足三 f 大 于零，哪些选项三倍是小于等于零的，则排除 是吧？因为如果说我们现在来正着找，如果三 f 大 于零，那三倍也大于零，但你找的是不是特殊条件呢？你有可能只是在那个情况下成立，并不是所有的成立，所以你可以来，反正其他的不成立，咱们用排除法来做。 比如说这道题 a 选项，他说 p 一 p 二关于 x 轴对称，那比如说我都先在第一项先找，是吧？ p 一 在这，他关于 x 轴对称的话，那 p 二是不在这呢？ 首先我要知道，对于散来说，他在第一项线、第二项线是正的，第三项线、第四项线是负的，所以只要他的这个 p 二，也就是这个，对吧？他落在了这个第四项线、第三项线，那这道题他就不成立。 所以对于 a 选项来说， p 二现在落在了第四项线，他的三倍，他一定是小于零的，则 a 不 成立。那么 b p 一 与 p 二关于外周对称，那我们来看 p 一 在这， p 二的话，是不是就应该我们来标一下这里是 a 选项，是吧？ 那 b 选项是不是 p 二在这了？好？ p， 我 们看起来他在第一项线，他在第二项线是不是均成立了？ 那么同样，如果说他是 p 一， 那他是不是就是 p 二了？因为他只要和外周对称，他都在这个 第一象限和第二象限中间徘徊，因为你的 c f 大 于零，就必须让他在第一象限第二象限，所以他关于外周对称，这个是可以的。 p 一 与 p 二关于 y 等于 x 对 称，我们把它消掉。这关于 ab， 你 们看 cd， 他 若关于 y 等于 x 对 称， y 等于 x 是 谁啊？是不是这条斜线呀？所以当他等于 d 在 d 线这里的时候，他是不是应该在这？哎，好像也满足，对吧？ 那么继续看，若他处于第二项线，此时散元法也是正的，对吧？他关于 y 等于 x 对 称，是不是就到了第四项线来呀？此时他就不满足了， 因此 c 是 错的，那么 d 也是同理，若他关于 y 等于 x 对 称，我只要 r 法处于了第一项线，我的贝塔是不是就变到第三项线来了？ p 二 p 一， 所以 d 也是错的， 所以 a， c， d 我 都可以很轻易的就找到。反之，然后 b 我 分析以后，他确实无论你在第一二象限怎么找他。关于外周对称之后还在第一二象限，那我就成立了。因此我最终只要能够把这句话找对， 同时我具体我可以再具体一点，我就说在一二象限任意找一个耳法贝特，他是落落在第三四象限则排除，对吧？ 我就可以一步步把问题转化了，细化到我非常熟悉的领域，然后去完成它。好，同样我们继续来看，对于昌平二木来说，他也是同样的例子。这道题比较简单啊，我们快速的把它做完， 他说均以 o x 为矢边，它的中边。关于外轴对称，而法属于六分之派到三分之派是不是也就这点区间呀？ 那我是不是可以把他那的图像再画出来？他那他而法在六分之派到三分之派上，他是不是属于应该属于三分之根号三到根号三，那么他的倍，他的最大值是多少？ 他和他对称是不是就是在第二象限呀？第二象限他的值是不是就成了这样？此时 他有他的最大值，最小值。如果说若 r 法 bit 关于 y 轴对称，我是不是可以得到？我的这个 bit 应该是等于派减去 r 法，然后加上这个二黑 pi 呀？所以我的 time 的 bit 不 应该等于是 time 减去 r 法 也就等于负的贪念他而法那我就不用来这找来了，是吧？我直接来这找负的贪念他而法，那他属于负的三分之派，负的六分之派，负六分之派，负的三分之派，那此时我就要写他最大值，最大值是不是就这里啊？ 它这这线的距离是不是就是图像？是不就这一段啊？此时最大值不就这个点吗？所以 and the bit max 就 等于看成负的六分之派，也就等于负的三分之根号三，而 t 为负的三分之根号三， 因此这两类都是关于这个以角，而法角被它为矢边。然后关于这种 y 轴对称呀， x 轴对称呀， y 等于 x 对 称呀，你要知道在几何意义上它是什么意思，以及在数学含义上我怎么把它表示出来，同时去看我图像的最值关系。

好了，我们一起来看二零二六年西城二模的第十七题，三角函数的问题。做到三角函数的题，首先有一个原则，你需要将三角函数转化为 a 倍的 sin， omega， x 加上斐的形式。 那如何将题目的已知算式变成你想要的形式呢？我们往往会用到三角函数的化简公式。化简公式一共有三种啊，第一种叫做两角和差公式， 第二种叫做二倍角公式，第三种叫做辅助角公式。大多数的题目，三个方法都会使用到， 那除了这三个以外，还有一个前提的公式叫做诱导公式。所谓的既变偶不变符号看象限，那如果你不记得诱导公式也没关系，因为 所有的诱导公式你都可以通过和差公式来得到。好的，那我们接下来看它的第一问。题目是要求函数的最小正周期，那我们就进行转换， 那首先会发现这里面有二分之派加派，典型的既变偶不变符号，看相线，这是一倍，所以它是基数倍，那正弦就变为弦，而它们的符号刚好一样，所以可以直接转化为 cosine， 那 就写成了 cosine 二 x， cosine phi 加上 cosine 二 x sine phi， 那 屏幕前聪明的你应该能够看出来，这就是一个典型的三 q q 三的形式，两角和差公式的反用，所以可以合并得到 sine 二 x 加上 phi。 那 如果题目问的是什么，它的最小正周期怎么做？还是一个公式周期？它等于二 pi 除以 omega 欧米伽在这里是二，所以二派除以二等于派，那第一问的五分轻松拿到最小正周期为派。好了，那我们接下来看他的第二问。第二问就是我们最近几年典型新高考的问题，题目会给你一二三三个条件，那你要从中进行选择，这里的选就是个大问题了， 如果说的复杂一点，那你会怎么做？你需要去判断一二三，谁对谁不对，当你在判断谁对谁不对的时候，别人都已经做到第十八题、十九题了。所以我们有一些原则， 那是用根据什么来呢？首先三个条件里面肯定有一些你觉得看起来会更简单一些的，那我们第一优先用简单的，那简单如果错了，那非常倒霉，那你可能需要选第二个或者第三个，那这里谁比较简单？一个是直接告诉你相等的两个点， 一个是告诉你性质，还有一个是性质，那毫无疑问，带点肯定是远远比函数的性质要简单，所以这里我们优先选第一个， 那我们选第一个来做做看选条件。一两个函数相等，那就只需要把十二分之 pi 和四分之 pi 给带入就行，那得到的是 sine， 六分之 pi 加 sine， 它就等于 sine， 二分之派加派。那问屏幕前你一个问题，两个正弦想要相等，这两个角要满足什么条件？你可以点一下暂停键，思考十秒钟。 很多人会想到的是，哎，那很简单啊，两个正弦相等，那这两个角就相等，所以写出的他们的第一个算式，六分之派加派等于二分之派加派，那这就是第一个陷阱， 不一定是两个角，因为我们叫做任意角。你还可以相等的，就是上转三百六十度又回来了，所以相等的情况应该在后面加上一个，加三百六，加 kpi， 那 pi 和 pi 底角很明显，左边和右边也不可能相等，所以这种情况他无解。 那除了两个角相等在一起，正弦会相等，有没有另外的情况是？有的，还可以，一个在左边，一个在右边。三十度和一百五十度叫互补，那这时候你就写出了你的第二个想法，叫相加得一百八， 那这个时候同样还是有陷阱，任意角什么，你除了可以是一百八，你还可以继续多一个三百六，多一个三百六，所以后面补上一个二 k 派等于零，那这里我们就会解出对应的派，那解出派等于六分之派加 k 派。 好，是两个角相加互补的，一个角加另外一个角互补。哎，这里应该写派好，那我们最后解出来是六分之派加 k 派， 那得到了这个之后呢？大部分的时候角度都应该是比较小的，有规定是负九十到九十，所以那 far 只有唯一的一个值，所以 far 只能等于六分之派。加上代入元函数，那就得到了原来的函数，就应该是等于 三引啊。二 x 加上六分之派，那接下来题目的问题就会更简单了，他问的是函数的最大值和最小值。分三步走，第一步，看函数它的 x 的 定义域，那定义域是属于零到二分之派的。接下来第二步，你就可以求出整体的范围， 那整体二 x 加六分之派的范围就属于六分之派到六分之七派。那第三步，结合图像出答案， 那画一个图像，你会发现它是一个波浪线，从圆点开始，而我们要的是图像的六分之派到六分之七派这一段，那毫无疑问什么时候最大在一的时候， 什么时候最小在六分之七派的时候，那我们就可以去写算式了。那第三步就是那所以当我们的一个整体等于二分之派的时候，就有最大至一，这个整体等于最小，呃，六分之七派的时候就会最小直角负二分之一。 接下来我们说一下为什么条件二是不能选的？在第一问当中，我们已经得到了周期是派，那周期是派的话呢？就表示我们这个波浪线，它这里就是二分之派，就是在上面，对吧？二分之派就是在下面，或者也可以理解为 它单调递减的这一段就应该是二分之派，单调递增的这一段也是二分之派。而题目给的这个是三分之派到派中间间隔的三分之二派个单位，它是大于二分之派的， 所以肯定是远远超过的一个完整的减区间或者增区间。所以条件二一定是不对的 啊。条件三其实跟条件一差不多，但是很多人可能不认识偶函数，那根据这个条件你就可以得到的是偶函数左右对称，那也就意味着 f x 加六分之 pi， 它就等于 f 负 x 加六分之 pi。 同样的也可以解出对应的 f 也是一样的答案，那最后求出来的最大值最小值也是相同的。 好的，我们最后总结一下，那这道题能够选的是一和三啊，不能选的是二，最终的答案是最大值为一，最小值为负二分之一。 那下次再遇到这种像条件的大题，你要去选择的时候，一定是优先用你认为简单的，这样你能够快速做出来，哪怕他是不对的，你也可以排除掉。那在今年西城二模考试的题目当中呢？你选的是条件几呢？可以在评论区告诉我。那关注我，每天我们学习一个数学知识点。

四十六分钟学完三角函数四五节内容，我们来到第四节内容，和角公式与被角公式。首先来看第一点， 两角的和角与差角公式。好了，之前我们学到的三角函数，它是这样子的，比如说 sine alpha， 对 吧？或者说 sine beta， 那 么现在和角，它就是把这里的 alpha， 把这里的 beta 变成阿尔法加贝塔这样子，那这种情况怎么办呢？它是有公式的，它可以展开为向 这里向后面这样子这样子的，那么我们如何展开呢？下面我们来一起来看一下。那么我们先来看沙眼的阿尔法加贝塔，那么它展开为两个部分 相加。好了，那这一部分呢？我们先简写啊，这里可以写 s， c， 后面的这一部分呢，可以写 c 和 s 这样子来组合，那这个 s 呢？就是 s 吗？对吧？ s 就是 s， 就是 口 s 吗？好了，那这里 r 法和贝塔怎么写呢？你只需要看这里前面是 r 法，后面是贝塔。好了，那么前面是 r 法， 后面是 beta， 前面是 alpha， 后面是 beta， 这就行啦。然后这里有一个符号的，跟着括号里面的这个符号就行了，它是加，那我们就是加，那如果像这样子， gamma alpha 减 beta， 如果像这样子的话呢， 它是碱，那我们这里就写碱就 ok 了。好了，那前面呢，还是塞耳阿尔法，口塞耳贝塔碱，口塞耳阿尔法塞耳贝塔，这就可以了，那么所以呢，总结一句话来说，我们的塞氧化碱之后， 它就是 s c 加 c s 这样子了，记住这个就行了。好，我们再来看口三眼，那么口三眼相对于三眼来说就简单很多了。好，我们来看怎么写啊？口三眼的阿尔法加贝塔如何展开？ 我们只需要记住口口塞塞或者 c c s s 就 行了。我先写口上 r 法加 beta 等于 c c s s， 那 么唯独不一样的就是中间的这个符号啊，它是相反的符号，那这里是加号，我们这里展开之后就变成减号这样子啦。好了，我们一起来默一默一下吧。 c c 减 s s， 那 就是口上 r 法 cosine 贝塔啊，这个角也是一样的，前面是阿尔法，后面是贝塔，也是一样的，那当然了，你把它这样子 反过来写也是没有问题的。好了，减 sine 阿尔法乘以 sine 贝塔，就是这么简单了。 好了，我们来看天准吧，天准他考的比较少，所以呢，我们重点还是记第一第二条天准呢，我们也要知道，那么天准 ar 加 beta， 它有点特别，它是一个分式来的，那么上分式的上面是一个加法的形式， 分式的下面我们可以简称，它是一个乘法的形式。好了，上面是加法，那就是 tangent ar 加 tangent 贝塔，那这个符号呢，就就跟着他走了，这个是加号，我们分子的位置也是加号，那么下面呢，有点特别，它是一减 ten 准 r 乘以 ten 准贝塔，所以呢，下面就是一个乘法嘛。那当然了，这里还有一个符号，就是减号，就跟他的符号相反就行了，上面前面是加，那么我分母就是减 好了，就这样记就 ok 了。那么接下来我们来看一下背角公式吧。背角公式这里有 三眼，有一条，口上有三条，天准，有天准一条，那这三条公式呢，都是非常重要的，特别是第一条和第二条， 这三条口上的三条公式也一定要背，一定要背会，那么背角公式就简单很多了。那么三眼的 二 r 法啦，这个叫做背角啊，因为本来呢，我们是 sine 呢 r 法，它变成二 r 法变成了两倍，这个叫做背角。 背角公式好了，它展开之后呢，就变成两倍 sine r 法乘以扣上 r 就 行了，就相当于把这个二欸 提取出来，然后呢，三眼 r 照写在后面，再写多一个 q 三眼 r。 好， 接下来我们来看 q 三眼二 r 法， q 上二 r 法，它就是等于 q 上的平方 r 法减三眼平方 r 法，那这里呢，你记住， q 三眼是大哥就行了， 口上是大哥哎，所以我用大哥减小弟好了。第二条是指口上二 r 法等于两倍，口上平方 r 减一也是他的道理，口上是大哥，所以呢，我用两倍口上的平方减一， 第三条空上二 r 法等于一减两倍三眼平方 r 法，这个时候三眼是小 d， 所以呢，我用一来减这个小 d。 好， 这三条就这样记就 ok 了。到了 ten 准二 r 法，那它呢，就是等于 两倍 tend 算法，然后除上一减 tend 平方算法，这样子就行了。那么还是那句话啊，第一条和第二条啊，第一点和第二点，这四条公式非常重要，先背会这四条，再背 tend 的 好，学完上，学完上面的内容，我们来看一下题型，先来看题型一和角公式的基本应用。好，第一题，求三点七十五度的值， 那么三点七十五度它是不是一个特殊角？它不是特殊角，像我们三十度，四十五度， 六十度的这种才是叫做特殊角，那么我们思考一下，七十五度和这几个 和这三个有什么关系？哎，你会发现三十加四十五是不是变成七十五了，所以呢，我这里就可以把它写成 sine 三十度加 四十五度这样子啦。那这里是不是一个合角公式啊？三眼的合角公式。来，我们来一起来做一下三的合角公式，先写 s c， 再写 c， s 好 了， s 呢，就是三眼 c 就是 口塞啊，对吧？然后这里的三十度，四十五度一前一后写下去就行了，三十度在前，四十五度在后，三十度在前， 四十五度在后。好，这里什么符号？这里是加号，所以我们这里就是加号。好，我们已经展开完了，然后我们直接计算就行了，很简单的，这里上三十度二分之一，扣上四十五度，二分之根号二 加二分之根号二，等于二分之根号二。哦，四分之根号二， 写错了，等于四分之根号二加四分之根号六，所以最终的答案就是为四分之根号二加根号六，写在一起把它。 ok， 我 们来看第二题，那第二题呢？这里呢，是展开的，我们要利用合角公式逆向来把它变成合并起来的。好，我们来写一下这个口三眼的合角公式。口三眼的 alpha 乘以 cosine 的 beta 加 sine alpha 乘以 sine beta， 它就是等于 cosine 的 alpha， 这里加还是减。注意了， cosine 比较特殊，中间的这个符号要变成相反的符号，所以呢，它是减啦。 阿尔法减贝塔，他是这样子的，那现在呢？七十二度就是为阿尔法，四十二度就是为贝塔，这样子吗？所以呢，他就是，他就是变成口沙眼的七十二度减四十二度这样子了，等于口沙眼 三十度，那么口上三十度是多少啊？是不是等于二分之根号三？好，我们来到，我们来到题型二二倍角公式的基本应用逐渐往上加难度了。题目说，已知二法的中边 过点三度复式，求 cosine 二 alpha 的 值啊，这里呢，它是一个二倍角，所以呢，我们要先把它展开。 cosine 的 二倍角有有三条公式，我先写下来， cosine 平方 alpha 减 三眼平方二法第二条，两倍口上平方二法减一第三条一减两倍三眼平方二法。 那么我们用哪一条呢？三条三选一。那么呢，在这题呢，我们其实可以用第二条和第三条的其中一条都可以的。那为什么不用第一条？因为第一条你既要求出口三人，又要求出三人，比较麻烦。那么如果是第二条，哎，我只需要求出口三人就行了， 第三条我只需要求出三人就行了。那么我现在呢，就直接用第二条作为例子吧好了， cosine 二 r 法等于两倍， cosine 平方 r 法减一。那现在的问题就是，我要把 cosine r 求出来。还记不记得第一节的内容？ 题目说过，点三都负四，这个三指的就是 x 轴，这个四指的就是 y 轴。那么我们先把 r 半径求出来， r 等于根号 x 的 平方加 y 方，对吧？还记不记得等于根号三的平方加负四的平方等于根号二十五等于五。 那么扣上 r 法等于多少？扣上 r 法，它是不是等于 x 比 r？ 那 这个不要忘记了，三角函数的基本性质非常重要， 那直接代数进去了，等于三比五，那就是五分之三了，扣上 r 法。对五分之三，直接把它带进去，这里 等于二乘以五分之三的平方。减一等于二乘以二十五分之九 等于。哎，减一等于二十五分之十八，减一等于二十五分之十八减通分二十五分之二十五等于负的二十五分之七了。 我们来看第二题，第二题他说已知三眼阿尔法等于五分之三，然后分别求这三个东西，那这三个都是二倍角来的。我们先来看这个三眼二阿尔法， si n 二 r 法，而且写在这里吧，写在右边一点， si n 二 r 法等于两倍 si n r 法乘以口上 r 法，对吧？好了，现在我们只知道 si n r， 还不知道口上 r 法，怎么办？ 已知三眼要求口三眼是不是同角三角函数的关系？是三眼平方阿尔法加口三眼平方阿尔法等于一的这条，不要忘记这条了，很常用的。那这时候呢？我们把这个数字带进去就行了。那五分之三的平方呢？就是二十五分之九， 加口上平方 r 法等于一口上平方 r 法。我这写快点啊，等于二十五分之十六，口上 r 法等于正负五分之四。这里取正的还是取负的？题目给了 r 的 一个范围， 九十度到一百八十度，它在第几项线？它在第二项线。我们来画一下全 s t c 的 这个图，画在最右边这里吧， 全 s t c 的 这个图，它说它的第二项线，第二项线只有上为正的，所以切都是负的，那么扣上就是为负的，所以扣上。哦，这里 写一个条件线，因为二分之拍小于 r 小 于 pi， 所以 扣上 r 等于负的五分之四。 ok 了，全部都求出来了，直接带进去， 那它呢？就等于二乘以五分之三，乘以负的五分之四，等于 负的分母为二十五，分子为二三得六四六二十四，负的二十五分之二十四。好，这个就求出来了，我们再来看扣上二 r 法怎么求？那还是那句话，我们看回刚刚的这三条公式，那么 cosine 二 r 法 和 sine alpha 的 关系第几条？第几条？是不是第三条？所以呢，我们直接套第三条公式就可以了。 cosine 二 alpha 等于一减一减两个小 d 啊，两倍 sine 平方 alpha 算是小 d 嘛？记住，这个等于一减二乘以来五分之三的平方二十五分之九， 然后把这里先擦掉，然后口塞二阿尔法等于一减二十五分之十八，等于 二十五分之七。现在塞耳二阿尔法和口塞二阿尔法都求出来了，最后求添准，添准二阿尔法，那我们就用同角三角函数的关系式了，它就是等于 sin 二 alpha 除以口上二 alpha。 这条式子不要忘记了，也是很常用的。等于负二十五分之二十四，除以 二十五分之七，那么除以一个数，就是乘以它的导数，那就是乘以七分之二十五，这里一约 等于负的七分之二十四。好了，那这三个呢，就是这题的答案了。第三题稍微有点不一样，那刚刚我们的第一第二题呢？都是已知撒野阿尔法 就已知一倍角，然后求二倍角，那现在反过来了，已知二倍角，求一倍角，那么呢，也是同样的道理啊，我们不用管他，不用管他什么，你看到二倍角，那大概率就二倍角的公式了。好了，我们来思考一下，再看一下观察题目啊，他这里给了扣上二 r 反 求 cosine alpha， 它现在是不是 cosine 与 cosine 的 关系啊？那么刚刚 cosine 二 alpha 二倍角，它有三条公式，我们用哪一条再写一下？再回顾一下， 等于，口三眼平方二法减三眼平方二法，口上二二法等于两倍。口上平方二法减一，口上二二法等于一减两倍三眼平方二法 用第几条？已知口上二 r 法求口上，那是不是只有第二条啊？只有第二条才是。哎，既有二 r 法，又有 r 法。好了，我们就直接使用第二条公式了。口上二 r 法等于两倍，口上平方 r 法减一，那把数字带进去就 ok 了。 八分之七等于两倍， cosine 平方二法减一来两倍， cosine 平方二法等于八分之七加一， 那这里的八分之七加八分之八，那就是八分之十五，我这里直接变成八分之十五，然后方程两边同时乘以二分之一，那就变成口上平方二法等于，那他这里乘以二分之一，那就变成十六分之十五了。 所以得出 cosine alpha 等于正负四分之根号十五，它是正的还是负的？我们来看， alpha 属于零到九十度，那它是第一项线根据。又根据回这个全 s t c 的 这个图，第一项线全部都是正的， 因为零小于阿尔法，小于二分之拍，所以口上阿尔法等于正的四分之根号十五。那么所以正确答案呢？就是四分之根号十五了。 我们来到题型三合角公式的综合应用题目越来越难了，大家一定要顶住了！好了，题目说已知上 r 为五分之三，给出了一个 r 的 范围，求扣上 r 加六分之拍，这个是什么？ 这个是一个合角公式啊，它是一个合角公式来的。所以呢，我们就要先用合角公式把它给展开来，看一下它，它会变成什么？口塞 r 法 啊？不是口塞 r 法加六分之拍，它是等于口塞 r 法，所以等于口塞 r 法乘以口塞六分之拍。注意啦，这里是减号 减 sine alpha 乘以 sine 六分之拍。那这个时候我们先把已知的数据先写上去，等于口上 alpha。 不知道，那我们先写口上 alpha。 口上六分之拍，六分之拍是三十度，那么它就是二分之根号三减 sine alpha。 我 们知道了，五分之三 乘以三三十度二分之一。那现在的问题就是，我是不是只有 cosine alpha？ 不知道怎么办？ 我们又用到了这条空，是 sine alpha 的 平方加 cosine 哦，上平方 alpha 加 cosine， 平方 alpha 等于一的这条又用到了这条。 好了，那这里直接代数进去就行了。二十五分之九加口上平方 r 法等于一，得出口上平方 r 法等于二十五分之十六得出口上 r 法等于正负五分之四，取正的还是取负的？题目说 r 法是九十到一百八十度，它是第二项线，我们还是画一个全 s t c 的图，第二项线只有三是正的，其他都是负的，所以口三为负的。因为二分之拍小于阿尔法小于拍，所以口三阿尔法等于负五分之四。 ok 了，一切都水落石出了。 等于负五分之四乘以二分之根号三减，我这里直接写二五一十十分之三， 等于这里一约变成了二负五分之二倍，根号三减十分之三，我们就写成这样子吧。 所以正确答案呢，就是，负五分之二倍，根号三减十分之三，那么他还有另一个，还有另一种形式，你要写成这样子也行。 那这里呢，变成了负十分之四倍，根号三减十分之三，对吧？你把它通分，然后分母写在一起也行，等于负的十分之四倍根号三。注意了，这里是加三了，因为你提了一个符号出来，然后这这个符号要变成它的相反的符号。 好吧，你写成这个答案也 ok， 没问题，但是不太建议写这个答案呢，因为呢，它有一个细节，就是提了一个符号出来，这里要变符号很容易出错，所以呢，我们尽量写成这种形式吧。好了，我们来看第二题吧，第二题很难，第二题是二零二三年的一个 高考难度的题目来的，我们认真听啊，这个要认真听一下。那现在题目呢，我主要看后面的这两坨吧。题目呢，给了一个差角公式的值， 然后反过来求三点 r， 那 么我们的正常的思路，同学们一看到这个会不会直接想到，哎，我直接用和差角公式把它展开，口上 r 法，口上四分之拍 加三呀二法，三呀四分之派等于十三分之五。哎，同学们一般都会想到这个，然后再把数值带进去，二分之根号二，口上二法，加二分之根号二三呀二法，等于十三分之五。 哎，算到这里的时候，有的同学就不会算了，有两个未知数怎么办？那么如果你再用这个三点平方二法， 用这个和角公式把它连立，这样做的话呢，非常的麻烦，因为两个未知数又有两个平方，做起来很痛苦。那么这个方法呢，我们就 不用，我们再思考一下，思考什么呢？题目给的范围是这给的这个条件是 alpha 减四分之拍，我们要求的是 alpha， 要思考一下 ar 法减四分之拍如何变成 ar 法怎么变？你是不是在它这个的基础上加一个四分之拍就 ok 了？那么所以呢，我，现在，我我先把这里拆了，我现在就可以把 size r 法这条式子，我是不是可以把它改写成三眼 r 减四分之拍，再加一个四分之拍，是不是可以这样子？好了， r 法减四分之拍，它是一个整体， 我们用括号来扩起来，然后它外面是一个大整体，我们就用中括号来扩起来。那这里呢？它是不是就是个合角公式啊？前面为一个整体，后面为一个整体，那么我们用合角公式怎么展开上的合角公式？它是不是 s c 加 c s 这样子啊？好了，那它就是 sine 阿尔法减四分之拍，它是一个整体，乘以 cosine 四分之拍 加 cosine 的 阿尔法减四分之拍，乘以 cosine 四分之拍，它是不是变成这样子了？再把已知的数值带进去。 sin alpha 减四分之拍题目没给，我们先照抄 sin alpha 减四分之拍乘以 cosine 的 四分之拍二分之根号二加，那这个题目就给了十三分之五 乘以二分之根号二。好啦，又回归到了同角三角函数关系式了。题目给了 cosine， 我们现在要求三眼，那它就是三眼的平方那只不过现在我这个角有点长。没关系， r 减四分之拍加口三眼平方 r 减四分之拍等于一，对吧？ 三眼的平方 r 减四分。哦哦，对对对，减四分之拍加 幺六九分之二十五等于一三点平方。阿尔法减四分之拍，我就写快点了，等于幺六九分之幺四四， 得出 sine。 阿尔法减四分之拍等于正负十三分之十二。它是取正的还是取负的？这里有点难题木给出。阿尔法是这个范围，我们要判断 括号里面的这个在第几项线来。因为 四分之拍小于阿尔法小于四分之三拍，那么所以我现在的角度为阿尔法减四分之拍，那么我就在它的两边同时减上一个四分之拍就 ok 了。 同时减上一个四分之拍好了，那么这里就变成了零小于 alpha 减四分之拍，小于这里变成四分之二拍来说二分之拍，所以它在第几象限？ 零到九十度，它是在第一象限，那么第一象限得出 side。 阿尔法减四分之拍等于正的十三分之十二。一切都出来了，全都出来了，把它带进去，等于 十三分之十二乘以二分之根号二。加十三分之五乘以二分之根号二。等于 二十六分之十二根号二。加二十六分之五倍根号二等于二十六分之十七根号二。那么所以这题的答案就是为二十六分之十七根号二了。 我们来到题型，是和差角公式的最后一个题型呢，被角公式的综合应用 好。第一题已知三角法加口三角法等于四分之一，求这个，那么如果你在已知条件中看到三角法加口三角法，看到这种形式的，我们直接两边平方就 ok 了，它就变成 sin 二法加 cosine 二法的平方等于四分之一的平方，就是十六分之一，这里就是完全平方公式了， 变成 cosine 平方二法加两倍上二法， cosine 二法加 cosine 平方二法等于十六分之一。好了，这里 cosine 平方加 cosine 平方等于什么？是不是等于一啊？ 那么这个是什么？中线的这个是什么？这个不就三眼的三眼的二倍角公式啦，它就是三眼的二 alpha 嘛，所以三眼二 alpha 加一等于十六分之一，三眼二 alpha 等于十六分之一减一 三幺二二法等于十六分之一减十六分之十六等于负的十六分之十五。这样子了，他的答案为负的十六分之十五啊，这题也是比较经典的题目啊，两边平方的这个套路大家一定要学会。 接下来我们来看第二题，第二题，好像他现在来了一个四次方， 没关系，完全没关系，我们来直接换原法吧，换换一下吧，就是我们把这个 cosine x 看成是 a 吧， 把这个 cosine x 看成是 b， 把它看成这样子吧，这样才好看一点。那现在呢，它就是 a 的 四次方减 b 的 四次方等于三分之一。那我们先对这个前面的这个进行化解吧， a 的 四次减 b 的 四次，那其实这里就是一个完全啊差， 其实这里就是一个平方差公式啊，就是 a 方减 b 方等于 a 加 b 乘以 a 啊，乘以 a 减 b， 这样子嘛，那只不过呢，它现在是四次方，我们怎么把它变成平方呢？很简单呢，那 a 的 四次呢，其实就是 a 的 平方 再平方嘛， b 的 四次呢，就是 b 的 平方再平方，这样子嘛，它就是等于 a 方加 b 方，乘以 a 方减 b 方，这样子。到了这里，能不能理解？能不能理解到这里就是本来他是 a 方呢，就是 a 加 b， a 减 b 的， 那么呢，我现在呢，只是把这个普普通通的 a 变成 a 方，所以呢，我其实就是在这条公式的基础上， 他的 a 和 b 全部给他套一个平方而已，他就是这样子，只在他基础上套一个平方而已，就就变成这样子了。好了，其实写到这里呢，我们就可以把这个 a 变回这个口三眼，把这个 b 变回三眼了，那他这里就变成了 cosine 平方 x 加 sine 平方 x 乘以 cosine 平方 x 减 sine 平方 x， 但它这里 三眼平方加口上平方，它是不是等于一啊？这个应该能理解吧。好，到了后面，口三眼平方减三平方，它是不是口上的二倍角公式啊？口上的二倍角公式，口三眼二 r 法等于口三眼平方 r 减三眼平方 r 法，我这里只是反过来，对吧？所以呢， 它的打这里为一就不写了，它这里就变成口三眼的二 x 了， 所以化简到最后，它就是变成 cosine 二 x 等于三分之一这样子啦， 是不是很有趣？好，把，这里擦掉，我们来看看一下 cosine 二 x 与 sine x 之间的关系。 cosine 的 二倍角公式，我们直接用这条 cosine 二 x 等于一减两倍 sine 平方 x 代数三分之一等于一减两倍三点平方 x， 两倍三点平方 x 等于一减三分之一，那就是三分之二了。 方程两边同时乘以二分之一，三眼平分 x 等于它这里乘了二分之一，那就变成了三分之一了。把这个擦掉，所以三眼 x 等于正负三分之根号三，它是正的还是负的？题目给了 哦，这个应该是 x 啊，这个应该是 x。 题目给了 x 的 范围，零到九十度，第一项线全 s， t， c 啊，第一项线全都是正的， 因为零小于 x， 小 于二分之拍，所以三 x， 它是等于正的三分之根号三啊，所以正确答案呢，就是三分之根号三。 好了，以上就是和差角公式和倍角公式全部的内容了，如果里面有很多题目啊，如果学不会的，要反复的观看，看到学会为止。 我们来到三角函数第五节的内容，三角函数的图像和性质，那么本节内容有两个非常重要的知识点，我们来看第二小点里面的第一小点，最小正周期的公式， 这个是第一个重点内容，第二个重点内容就是下面的这一点，最大值与最小值两个重点内容非常关键，高考直接考这两个好了。在学这个重点内容之前，我们先来看一下 这两个三角函数的图像和性质。一个是正弦型的函数 y 等于上 x， 一个是余弦型的函数 y 等于口上 x。 那 这里呢？有个表格，我把表格重要的信息跟你们说一下。第一个就图像，那么 y 等于上 x 的 图像，它是过圆点的， 所以呢，它是一个奇函数来的，也是下面提提到的，它是一个奇函数，那么 y 等于 cos x， 它的图像是关于 y 轴对称的来看，你会发现 y 轴把这个图像分割成两半，所以它是一个偶函数来的。 那第二个直域，我们来看，直域就是这个函数图像最小值和最大值。好，我们把这个图放大一点来看，用蓝色笔吧，你会发现他的最低点是哪个，是不是这个？第一个是这个，然后第二个是这个，那么这个点我们来看， 它在 y 轴所对应的值为负一，那么所以它的最小值为负一，最小值 为负一。再来看它的顶点，顶点是这个点，这个点，那当然了，它后面呢，它是无穷无尽的，不管怎么样，它的顶点 在 y 轴所对应的点是这个点，那这个点的值为一，所以它的最大值 也为一。那同样的道理啊，余弦函数也是一样的，最小值在下面的这里为负一， mini 为负一，那最大值在上面的这里，所以说最大值 max 为一。那么换句话说呢， 无论是正弦型函数也好，余弦型函数也好，它的最小值和最大值分别都是负一和一。那么如果我现在把这个函数写成这样子， y 等于两倍三 x， y 等于两倍口三 x， 那 它的最小值和最大值为多少？它的最小值和最大值就是为一个正数，正二， 最小值，那就是为负二。所以说最大和最小值，我们直接看它的系数就 ok 了。再举一个例子， y 等于负二， 三 x 负三吧，负三三 x， 它的最大值为多少？哎，有的同学说了哦，我最值就看系数嘛。所以呢，它的最大值就是为负三，那最小值啊，就是它的相反数就为三，你看一下对不对？ 最大值比最小值还要小吗？那这里呢，我们反过来就行了，最大值就是为三，最小值就是为负三，这就行了。 所以呢，下面这里啊，有条公式啊，就是最大值。先不要管这个 k， 它的最大值呢，就是绝对值的 a 就是 它的系数，加一个绝对值就是为最大值了，最小值就是负的绝对值， a 就是把它绝对值变成绝对值之后，在它的前面加一个负号就 ok 了，也就是这里啊，到了这里，不要不要再说最大值是负三了，这个，这可不是啊，注意一点。好了， 来看下面的这一点，最小正周期，像我们这种 y 等于 sine x 啊， y 等于 cos 啊 x 啊，它们的最小正周期都是二拍啊，那等会呢，就讲一个最小正周期的公式的公式，看一下这个二拍是怎么得出来的啊？基偶性刚刚说过了， 单调，单调性就不说了，这个考的很少，甚至不会考，这一部分就不说了。好，我们直接来看第二点， 最小正周期的公式。那最小正周期的公式呢，就是 t 等于二拍除以绝对值的欧米伽，那这个叫做这个 w 读作欧米伽，二拍是固定的。欧米伽是什么？我们来看这里， 它的函数为 y 等于 a sin 欧米伽， x 加 f 加 k 欧米伽，记住了，为 x 的 系数 好了，也就是 x 前面的那个数就是 omega， 就 这么简单。好，来看第三点了，第二点就这么简单了，来看第三点，辅助角公式。那么辅助角公式通常来说的应用就是求最大值和最小值。 我们来看这条函数的特点，它是 y 等于 a 乘以三 x 加 b 乘以 cosine x， 那 它的特点就是函数它会出现三 x 和 cosine x， 并且它们两个的这两个的次数为一。 什么意思？就他们都是一次的，那如果他写成 y 等于 a sin 平方 x 加 b cos 这种就不行了，因为这个是两次，这个是一次，我们要统一都是一次才行。记住了，好了，如果出现这种情况，那它的最大值 mass 就是 等于根号下 a 方加 b 方，很简单了，其实就是勾股定律，那它的最小值 mini 就是 等于负的，根号下 a 方加 b 方，就你会发现它的最小值就在就无非就在最大的前面加一个负号而已。 好了，那以上呢，就是三角函数图像和性质的全部内容了，我们直接来看一下题目。 题型一，求三角函数的最小正周期。那么这里呢，我列举了四道非常经典的例题，我们逐一来看一下。第一题是最简单的，最常考的，直接求最小正周期，那么我们就直接用最小正周期的公式， t 等于二拍除以绝对值。欧米伽，欧米伽刚刚说了为 x 的 系数，也就是为四，所以这题二拍除以四等于二分之拍，最小正周期为二分之拍。就这么简单来看第二题， 函数 y 的 三幺二 x 加口上二 x 的 最小正周期，它跟第一题不同，它既有一个三幺二 x， 又有一个口上二 x， 那 它的最小正周期的公式是什么？还是一呀？ t 等于二拍除以绝对是 omega， 这里的 omega 指着也是 x 的 系数都为二，所以 omega 就是 为二，所以等于二拍除以二，等于拍好了，最少这六七为拍。到了第三题来看， 它现在的函数变成 y 等于 sine 平方 x， 这里的次数为二，所以属于二次。 如果三角函数的次数为二，那么最小正周期的公式要变一下，变成 t 等于 pi 除以绝对值的 omega， 这个一定要记住， 如果次数为二，它的最小正周期的公式为 pi 除以 omega， omega 还是一样 x 的 系数，这里 x 前面的数是什么？没有，也就是把一给省略掉了，所以它就是 pi 除以一等于 拍。第三题的答案为拍。第四题，我们观察一下这个函数它是多少次， 它的次数为一次还是二次？很明显了，二次，因为平方，平方就是二次。来看第三题，平方就是二次，这是一个 二次的，所以他的最少正周期公式公式 t 等于拍除以绝对值。欧米伽，欧米伽还是一样， x 的 系数为六，拍除以六，那就是六分之拍了，就这么简单。 题型，二，三角函数的最值非常简单，这种题目是简单的，在高考当中简直就是送分题，把分送到你们的嘴里面了。 刚刚说过了，最大值和最小值，看哪一个数？看三眼前面的这个数， 那不不是看 x 的 数啊， x 前面的那个数是求周期的，而三眼前面的数才是求最大值的。好，现在为四，所以这个最大值为四，最小值为负四，就这么简单。第二题， 这条函数观察一下，前面是一个三角函数，但是后面多了一个减一，所以我们现在先管先单独来看一下前面的这一个 好了。前面的这个能不能一眼看出他的最最大值为多少？那有的同学说啊，这个值为负二，那最小值就是为差，相反数就是二。又搞错了，最大值才是二呀， 最大的最大值肯定比最小值要大呀，所以最大值为二，最小值为负二，其实一眼就能看出来了。好了， 它后面是不是还多了个减一？所以整一条函数 y， 它的最大值就是二，减一 等于一，最小值就是为负二，减一等于负三。好了，所以答案就是为一和负三，非常简单。我们来看一下最后的一个辅助角公式的应用吧。那么辅助角公式的应用呢？刚刚所说的就是勾股定力 mass 就 最大值等于根号下 a 方加 b 方。最小值 mini 就是 等于负的，根号下 a 方加 b 方。 这里的 a 和 b 指的是撒尔和口上的系数。好了，撒尔的系数为一，所以 a 等于一， 口上的系数为根号三，所以 b 等于根号三啊，所以很简单了，最大值我们来看一下，等于根号下一的平方加根号三的平方等于根号一，加三等于根号四 等于二，对吧？最大值为二，那么最小值就是在他的前面加一个符号就行。那为什么刚刚和刚刚的这里不一样呢？又要减一，因为他后面多了一个常数项，我们这个叫做常数项，所以呢，我们要把这个常数项也加上去，但是后面 这题他后面没有任何东西啊，没有常数项了，所以就不用管了，最大值最小值为负二就 ok 了。好了， 第二题还是穿的道理，勾股定律，不要管，不要管，它的符号是什么，我们直接写就行了。 a 等于负一， b 等于。哦，又是根号三，好，那么直接用公式最大值，那就是根号下 a 方加 b 方等于根号下负一的平方，加根号三的平方等于根号一，加三等于根号四 等于二，所以它的最大值还是二，最小值还是负二，就是这么简单。 那么这一节的内容就全部讲完了。五点五上角函数的图像和性值，重点考的就是刚刚所说的那七八道的例题，大家一定要反复的去观看，一定要学会这种送分题。

哎，二零二六届海淀高三二模选择压轴题，这道题不是会不会做的问题，而是三分钟、五分钟，还是五分钟以上解决的问题。 一个含餐的分段函数，北京高考几乎每年必考，当然分段讨论。 第一段函数抛物线对称轴 x 等于一，在分界点的左侧，当然先减后增。第二段，指数函数上下翻折，再纵向移动，始终是一个单减的， 这是一个基本条件函数的等值点，如果存在等值点，相应的函数值最大值和最小值的差不超过三，这当然要画出函数图像，竖形结合 求参数的取值范围，显然差一点排除，这都是最基本的解题思路，要行云流水。好，我们先看差一点四个选项，划出这四个区间， 负三到正无穷，负二到正无穷以及这一段。这一段正无穷就是一个差一点，它是一个极限点。 如果 t 是 正无穷，我们来看第一段函数，它就跑到天上这样的一段。而第二个函数呢？当然从二这个点开始往下走， 显然它要想有等值点，只有这个抛物线这一段，它的最大值和最小值之间不超过一，显然满足这个条件。 所以正无穷这个点可以把 b、 d 排除。接下来我们再看 a 和 c 的 差一点， c 显然是 a 的 真子集。负二当然不是差一点，负三才是。我们把负三带进来，画出这两段函数这个图像，这是有等值点， 最多到这里，这边最多到这里。哎，这里呢，是负一，这里是负四，这是开的，这是可以取到的，最大至最小之间小于三， 所以答案是 a。 好！ 北京高考的选择题都是单选择题，很多时候我们通过排除法寻找选项之间的差异点， 有时通过极限点来进行排除，比如正无穷，负无穷，比如正无穷小，比如负无穷小。极限点在判断时有时更加快速高效。 这是我们高考考前视频更新计划，欢迎关注分享。二零二六高考，我们创造辉煌！

朝阳二模第十三题，三角函数题干就只有一句话，但是题目的条件，它包装起来非常吓人，叫做对于任意的一个三角函数来说，它其实都有 fa 小 于等于 f x 小 于等于 f b， 那 你以为呢？需要分类讨论，那它其实啊，这道题的考点就只有一个，叫做求最值。好的，那我们一起来看题。 题目是说有一个三角函数满足这样一个要求，问 a 减 b 的 最小值绝对值是多少？ 怎么去做？所有的三角函数都有同一个原则，就是你需要把它转化为 a 倍的 sin omega x 加上 five， 那 像这道题，题目写的是 cosine omega x 加上 five 也是一样的，只要变成了这种形式，它都是能做的。我们变成标准形式之后有什么好处？所有的三角函数，如果它是一个正弦，那么它就应该是从原点开始上去下来，上去下来的一个波浪线， 那如果是余弦，像这道题，它就是一个以 y 轴为对称轴，上去下来上去下来的波浪线。而今年朝阳这道题是送分题，因为它已经给你化简好了，所以它就是一个波浪线。 而且这道题是对于任意的一个 x 而言，那也就是说 x 如果属于 r， 那 同样还是属于 r， 所以我们整个波浪线从头到尾都是可以取到，那既然都能取到，那最大就应该是一，最小就应该是负一，并且最大值和最小值之间刚好就应该相差二分之一个周期。二分之 t， 那这道题的周期是多少呢？因为题目告诉的欧米伽等于 pi， 所以 周期就等于二。 pi 除以欧米伽就等于二，那既然周期是二，那半个周期就应该是一， 所以最大值和最小值之间最短的距离， a 减 b， 对 吧？那两个人 b 是 最大的时候， a 是 最短的时候，那两个人之间的差就是我们的半个周期，所以最小值为 一。好的，那屏幕前的同学，你在做这道题的时候，第一反应是把它变成不等式去求值，还是你就看出来了，我们要翻译条件， 把它变成一个标准的三角函数，然后题目给的这两个任意 f， a 小 于函数小于 b， 其实就是在告诉你，它是最小值，这是最大值。 如果你学会了翻译，那么这道题就直接秒了。好了，那我是北京，在北京教数学的陈老师，如果你关于数学有不会的可以关注我，我们每天会讲一个数学知识点。

好啊，接下来我们来看到几何综合啊。几何综合我们先看它的条件，首先是一个外接圆，然后圆的内容，它这个三条弦相等，那么弧也对应的是相等的啊， a， d， b， c 和 cd， 然后延长到这个 f， 使得 a、 f 等于这个 a 得。好，那 a、 f 和前面三条三条这个线段都是相等的，现在要证什么呢？证这个 a、 c、 d、 f 是 平行四边形， 那么已经有一组对边相等，我们正它平行就行了。那这平行怎么正呢？平行肯定是在 ab 和 cd 这去正， ab 和 cd 平行呢，你看下这个内错角嘛。 好，那这个角对应的是 bc， 弧 bc 这个角对应的是弧 a 得，那么就会平行了。好，所以第一问比较简单啊，因为这个 ad 等于 bc 等于 cd， af 等于 ad， 所以 af 首先等于 cd。 再说啊，这个角是弧 bc， 这个角是弧 ad， 那 么弧 bc 等于弧 ad， 所以 角 bac 等于角 acd， 所以 ab 平行 cd， 所以 这个 af 和 cd 也会平行，那所以 af 平行等于 cd， 所以 四边形 acdf 是 平行四边啊。第一问，还算是啊，比较简单的一个证明啊。 好，第二问，他说半径，半径是十啊，这里有一条 c、 d， 那 半径很明显是要连的了啊，你这个 b o， c， o， d， o， 那 这三条是非常有可能要去连的线啊。那么我们再继续看一下，这是一得乘 a、 c 等于八十。 那我们看到这个算式的时候啊，我们就要往什么地方想呢？那肯定是往子母型的相似去想，这考考的很多了啊。 ok， 好， 那这里他是一的乘 a、 c 啊，一的乘 a、 c 不 太好看啊，但是我们来观察一下啊，应该来说这里他是一个等腰啊，因为这个角和这个角也会相等啊。 ok， 那 先先正一个等腰。第二位，因为角 b、 a、 c 与角 b、 d、 c 对 应无 bc， 所以 这两个角相等， 那所以角 a、 c、 d 等于角 b、 d、 c， 所以 e、 c 等于 e 的 啊，因为这个 e 的 乘 a、 c 等于八十，所以 e、 c 乘 a、 c， 它也是八十， 那它就是这条线乘这条线，这条线乘这条线，那应该会等于 c、 d 的 平方啊。那，那接下来我们就要去证这个 c、 e 的 和这个 c、 d、 a 相似，那相不相似呢？相似的话就要证这两个角相等啊，那它的话是对应这个弧 c、 d 的 啊，那这里又对应的是弧 bc 啊，所以会相等啊。 好，然后再写一个弧 bc 等于弧 cd， 所以 角 bdc 等于角 cd， 因为角就这公共角嘛，公共角 acd 等于角 dc， 所以 三角形 ced 相似。三角形 cda 啊， c ced 和 cda 啊， 那么我们就得到关系啊，这个 c、 e、 c e 比上 cd 等于 cd 比上 cd 好， 所以 cd 方等于 cd 乘 cd 等于八十， 那么 cd 就 会等于四倍。根号五，要把 cd 先算出来了，这些数量关系都是我们非常重要的一些条件啊，接下来他是考虑这个内心的事情了， p 是 内心啊，大致在这里啊， 然后我们要算这个 o、 p 的 这个平方啊，那 o p 它是，它是一条斜线，那我们要找到更多的这个直线啊，找直线的话呢，那这里是 o 的， 他就有个垂直定律啊，有垂直定律就就就好办啊。 那我们连这个 o 的， 连了 o 的 会交于一个点 m， 然后再把这个 o、 c 给连起来吧，好，这个样子，那么他要算这个 o 的 o p 方， o p 方肯定会等于这个 o m 的 平方加上 mp 的 平方啊， o m 的 平方应该好做啊，这 mp 的 平方， mp 的 平方， 那应该可能会啊，要用这个 cp 减去这个 c m。 好， 到这里，好，先确定确定的一个基本方向，之后我们再往这个方向去做啊， 连接这个 o c o 的 对 a d 等于 c d， 所以 啊，这个弧弧相等，弧会相等，然后又因为 o d 是 半径，所以 o d 垂直 a c a m 等于 c m o c 啊， o 与 a c 交于点 m 啊，好，这也出来了啊， 这出来了，这里应该是用这个代数来数啊，代数来表示，然后这个 o c 等于 o 的 等于十，但是 o 的 被一分为二，但凡这种一分为二的，你都要去设其中一条为 x 啊，那么那么去设啊， 设 o m 为 x， 得 m d 为十减 x， 这是 x 的 十减 x， 这是十，这里又是四倍杠五哦，双勾固定你就出来了，好， 双勾五厘米，这个 o m 方加上 o 的 方会等于 c m 方， c m 方又会等于这个 c d 方啊，这是做减法，这是 o c 方减去 o m 方，这是 c d 方减去 d m 方。应该这个方程肯肯肯定是可以解的啊， 十的平方减 x 平方，等于这个四倍根号五的平方减去这个啊，一百减 x 平方等于八十减去。好， x 算出来啊，这里 x 算出来是等于六啊，等于六，所以这个 o m 等于六， o m 等于六之后，那接下来我们就是算这个 mp 了啊，那 mp 的 话呢，按这个 cp 要去算出来啊，这个 c m 也要去算一下啊， 那个 c m 好 算了啊， c m 可以 可以，先把它算出来，在 r t 三角形 c o m 中，这个 c m 等于根号 o c 方减去 o m 方，那刚好就六八十嘛，等于八啊，这个对八求出来了，八求出来之后啊，那那就是最关键的， 最后把一个 cp 求出来就可以了啊，好 cp 看一下啊，怎么求啊？那这个 cp 的 话， 猛的一看啊，好像没有没有任何的这个支撑，但是呢，这个 p 你 观察他是什么形，他是内形是吧？既然是内形的话呢，你可以试着把这个 p 的 这连一下，说不定他就有些角的关系啊，角的关系，那这连了之后， 那这个到考试的时候我们就要做一定的猜想了，这个 c p 比如说和这个 c d 会不会相等啊？如果相等，你就要去正，这个角等于这个角啊，那就是正啊， 好，把低温擦掉。正角 c p d 等于角 c d p， 那 c p d 这个角它是等于这两个角相加，这两个角相加啊， 然后这个角，这个角是等于这两个角相加啊，来看一下啊，有，有没有，有没有可能相等的这个地方好，首先它这个 bc 是 它，它等于它啊， 那这个角啊，这个角手啊，之前正过，他是等于他的啊，然后他等于他，那就现在就是看这两个角，哎，刚好是平分是吧？平分就相等啊，那我们去标一下吧， 这里来个角一，这里来个角二吧，由一得这个 a 得，他是等于 c 得的，所以角一等于角二，也会等于这个角三，然后因为这个 c 一 等于得一，所以角二等于角三， 所以角一等于角三，角一等于角三连 p d， 因为 p 是 内形，所以是角平分线嘛，啊，所以角这个 a d p 等于角 p d 好， 所以角这个 c p d， 它是等于角一 加上角 a d p， 角 c d p， 它是等于角 p d 一 加上角三。好，所以这两个角相等，所以 c d c p 吧， c p 等于 c d 等于四倍根号五。 好就都出来了啊，这四倍根号五整完之后，整完之后这个 mp 它就会等于四倍根号五减掉一个八，那么 o p 的 平方就会等于 o m 平方，加上 mp 的 平方等于六的平方，加上四倍根号五减八的平方。好，那最终啊，算到多少就就是多少了。 好，这里主要是就说我们都是一步一步求， 一步一步求的话呢，因为就只差这个 c p 是 多少了，那这里呢，我们还是按照之前的条件去探究一下啊，不然的话好像没有其他的可以做，而且他的这个内心的子弹也还算比较明确嘛，就 p d 一 点，有角角平分线啊。 好，下一个落，这里给了一个 t 卷啊，是 t f 等于 m， 那 那这个角肯定是需要转移的啊，他不会就让你放在这个地方啊， t 卷这个 f 啊， f 的 话啊，这个通过前面的这个证明啊， 这个 f 他 是等于等于这里啊，然后也会等于这里，因为他平行四边形，平行四边形你都要考虑啊，这里对角相等啊，对角相等，然后他这里又等腰，他又能转移到这个地方啊，也就说这四个角啊，都是相等的，只是说你转移到哪个地方啊，我们算起来会比较方便啊。 好，那这里的话呢，我们再看一下啊，他现在是一个代数了啊，他就不再像我们前面是一个八十，但没关系，分析方法差不多，那差不多的话呢，你就这个 o， c 和 o 的 肯定是要连起来。好，连起来之后看到哪里有直角三角形呢？这个地方有直角三角形，这还是 m 啊，那，那就说明你这个 f 是 要转移到这个角， 刚刚我们设这个角为角一了，对吧？到这个角，所以这个直角三角形就就出来了。好，用 m n 的 式子表示这个 c e 和 ab 啊， ab 在 这里，然后 c e 在 这里啊， c， e 可能比较好表示啊，那我们那我们先处理一下你的这个由一的， 你这样平行四边形啊，角 f 等于角这个 a c 的， 然后因为 a 的 等于 c 的， 所以角一等于角 a， c 的 等于角 f， 所以 tangent 角一等于 dm， 比上 am 等于小 m 啊， 那我们就去设啊，设这个 am 为 x， 那 dm 就 为 mx， 由二得一得乘 a， c 等于 c e 乘 a c 等于 c d 方等于这个被 c d 等于二。二 n， 好， 这个也是可以比较快速的出来的啊，得到这这个条件，那 c d 等于二 n， 它，它又等于这个 a 的 啊， 好，所以 a 的 也等于二 n， 那 么你在这个直角三角形 a， m， d 里面，你就可以把这个 a， m 和 dm 都算出来了啊，就把这个 x 给它解出来啊。啊，那在 r t 三角形 a， m， d 中， a m 平方加 d， m 平方等于 a a 得方，那它就是 x 平方加上 m x 平方等于四 n 方，好， 然后解出 x 方等于啊，这个运算啊，来提取公因数是吧？啊，因为 x 大 于零，所以 x 好， 先解出这个啊， x 是 am， 好， 先看一下这个 c e， 对 吧？ 好，那你的这个 c e， 它就会等于四 n 方除以 ac， ac 它等于两倍的 am。 好， 做一个除法， 做一个除法，同学们，这个反分数的这个运算还是要非常重视他这里啊，你这个四 n 和这个四 n 约掉了，就是还有一个 n， 然后这是一啊，除以他，那就是把这个乘上去， 乘上去之后啊，先一步一步写吧，他相当于是他除以他整体，那就就会乘他的倒数，他的倒数刚好是什么？刚好就是根号 m 加一啊，这是 c 的 表示就出来了。 好，再看这个 abab， 我 们先看特征啊，它是，它是角平分线的，角平分线，这个平分角的这这一条线段啊， 那么我们也是把斜线把它变成啊，转移到这个直线啊，那这考一个角平分线定律啊，这个 ab 比上 a 等于，这个 b 比上 b 比上这个得一。好，来看一下啊，因为因为角一等于角二啊，还是这个用这个弧相等啊？ 因为弧 bc 等于弧 cd， 所以 角一等于角二，那所以 a b 比上 a， d 等于 b， e 比上得一。我看一下啊，这个 a d 是 有了啊， b e 有 没有呢？ b e 还没出来啊，然后得 e 是 有了，那我们我们再把这个 b e 求一下。好，来，先观察一下这个 b e， d， e 是 有了， 但 b 一 好像比较难求啊，但是我们观察啊，你的这个 a c 和 b 的 肯定是相等的啊，但是你要去先证一个等腰梯形，是吧？先去证啊，这个四边形 a， b、 c、 d 是 等腰梯形，所以这个 a c 等于 b 的， 那 a c 多长呢？四 n 除以根号啊，那所以这个 b 一 就出来了啊， b 一 就等于 b 的 减去得一，得一等于 c 一 嘛，那就减减去这个好。好，那最终最终这个 a b 会等于看起来非常长啊，但是他很多地方都可以抵消了， 除以得一得一等于 c 一 写一下啊，得一等于 c， 再乘，再乘，再去乘这个 a 的， a 的 等于 c 的 再乘以二 n。 好， 那对于这个 n 抵消了，是吧？啊？但这抵消抵消就就是一啊，主要是这个 n 和这个 n 抵消之后，然后他和他乘起来就得到四除以减一，括号乘以二 n 乘了之后得到是八 n， 再减去二 n。 这个算式啊，当你通通分一下也也是可以的啊， 八 n 减去二 m 方 n 再加上二 n， 再加上二 n 之后再再减去二 n， 那 就得到这个是六 n， 就 这个算是。好，这里它还是涉及到这个角平分线啊，只是说你的这个线的等量关系怎么去找的？一个一个问题，包括考这个等腰梯形都是非常好的一个地方啊，要等量关系把握的比较准。

几何快代数，稳心定力，还能提智商。 hello， 各位同学们，大家好，我是讲函数的肖飞老师，今天这个视频呢，肖老师给大家讲的是我们初三下人大负二模的这道模拟题啊，这道函数压轴题， 这道题目呢？同学们，做到这个第三问，是不是感觉特别特别烦，对吧？怎么这么多点呀？ b p 对 不对？然后又过它做 c q e f， 天呐， 太多信息了对不对？哎，同学们，这里肖老师要给大家一个认知啊，越是这种让你看起来好像有点烦，需要咱们自己画图的时候，同学们，我告诉你，这正是你弯道超车的好机会，因为大部分同学坐到这都烦， 谁看谁烦，我看我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，我别人烦，我不烦，我刚才都烦半天啊！但是同学们，如果你能做到，哎，别的小屁孩做到这块，早就已经烦的不行了，对不对？肯定画图画错了， 只要你，哎，耐心阅读，一句一句的画，哎，一句一句的读，你会发现画图这事有啥难的呀，对不对？只要你不着急，包能画对的。 而且像这样的题，只要你画对了，我告诉大家，后面一定是坦途，一定非常简单。为啥？因为一道题难度是守恒的，他不可能画图也难，计算也难，然后题目还难，对不对？难上加难加难，那不可能， 对不对？所以一道题目难度是守恒的，哎！所以同学们，这道题，只要你给点，给自己点时间，耐心去画图，你会发现，哎，他其实还可以 啊。当然，这里也建立在这道题目呢，也建立在你对这种斜边的关系，应该怎么能转化成这种横平竖直更好算，能更好？表示你对这种转化工具非常熟悉啊，所以总结一下这道题，同学们，他主要考验你两个要点，第一个， 信息量这么大的时候，你能不能够耐心画图，别烦哎，能够清楚的准确的看到你的研究对象。 第二个就是，如果碰到这种斜边的式子的时候，我们应该怎么去给他列式子转化，能转化成好？列式子的形式能好算对不对哎，什么转化工具可以转化成转化斜边？哎，这两个问题肖老师都会给大家进行示范。 好的，那咱们来看一下这道题目啊。首先这个圈二的话就不用多说了啊，这个还是非常简单的，是一个确定的抛物线，然后咱直接令它外得十，然后去求解这个 x 一 x 二就可以写出 m n 的 长度了啊，这个非常简单，大家跟肖老师对对答案就可以。好，重点来看。第三问同学们， 哎，好，开始。首先呢，我们先画一下这个抛物线啊，只要画抛物线，我们就是开州店啊，不确定的确定的直接画上，不确定的咱们就先随便画一种情况是不是？比如说，以这个题为例，目前开口 向上，对吧？画一个开口向上的抛物线对称轴，哎，不确定在哪边是不是？没关系，先随便画一种呗，对不对？图不是为了立马做出来的，而是为了理解提议的好，与外轴交点，零豆一画上。所以向老师嘚儿画这个绿色的抛物线没问题吧？ 好，接着与外轴交于点 b 啊点 b。 这里零豆一啊，点 b 是 一个确定的点啊，零豆一，嗯， 好，过点 p m 逗 y p， 那 就随便个随便放一个屁呗，对不对？哎，过点 p m 逗 y p， 哎，去做一条什么在抛物线上，好，再给这个点上点一个。随便点一个。点哪都行啊，随便点一个好，没有线就随便点。 分别分别过点屁啊，过这个点，注意认真看啊，这就是你容易画错的点来了啊，分别过点屁，做 x 轴和直线 ab 的 垂线啊。 我猜这里肯定有不少同学凭着自己的做题惯性嘚就画了一条竖线，对吧，然后就标上这是 c， 这是 q， 是不是？有没有这样的同学，如果说中，你可以在弹幕上扣个一啊，嗯，是不是？哎，但这题不是，对吧，人家是过点 p 做 x 轴的垂线，对吧？做，哎，过点 p 做 x 轴的垂线，然后交于点 c 啊，做 ab 的 值垂线啊，做这个 ab， 这个线段的垂线交于点 q， 人是往这边做，这个点是点 q， 哎，好， ok， 然后接着 e 是 p q 上一点，并且满足 p q 是 四倍的 pe。 好， 先画图，再玩柿子。好，他说过点 e 啊，做 p q 的 啊， e 是 p q 上一点，那咱们就随便点个 e 啊，并且满足它的一个差不多四倍关系啊， p q 是 四倍的 pe， 哎，差不多就这样式儿，哎，好，这里出现了一个元素，同学们出现了一个边比， 而且这两条边 p q， p e 还是两条斜着的边笔。同学们，回想一下咱们初中几何学过的所有工具，斜着的边笔会让你想到什么？ 斜着的边笔画，你想到什么？哎，同学们非常聪明啊，在我们的坐标系当中，我们非常喜欢横平竖直的线，横平竖直，那多好表示啊，横着的线，对吧？横坐标右减左，竖着的线纵坐标上减下，那多简单呀，斜着的还得勾股大，带个大根号，多烦呀，对不对？ 所以在坐标系的世界当中，所有的斜着的边啊，我们都可以转化成横竖着的，那怎么转呢？哎，你给我笔直了，我可以用什么转？ 我见到笔直了，我可以用什么转？我可以用相似去转，对不对？而且往往就是最简单的 a 字八字啊，非常好构造，对不对？所以其实你看肖老师这个图已经看出来了吧，我就可以瞬间把 pe 比 p q 给它转化成 p f 比 f h， 是 不是也可以转化成 e f 比 q h？ 反正就是这个背后有相似嘛，对吧，对不对？哎，边笔背后肯定有相似 啊，好，接着看啊，一会用哪个相似，咱们一会再聊，接着看。过点， e 做 e f 平行 ab， ok， 做 e f 平行 ab 啊，这个做对了， 交 pc 啊，别交错了啊，这题真的很烦，所以你画的时候耐心点啊，交直线 pc 啊，交直线 pc 于 f， ok， 交这个点于 f。 嗯， 好。然后他给了一个 m 的 范围，让咱们研究对象是谁呢？哎呀，画了这么半天，终于画到，哎，研究对象是我们的 e f， 对 不对？研究对象是我们的 e f 啊，研究对象是咱们的 e f， 好， 那咱们就看看呗。哎，这个 e f 啊， 看看我们的 e f， ok， 研究对象是他，对不对？按照今天肖老师教大家的，画完第一图之后啊，如果能从图上看就看，如果不能从图上看，就开始表示字表一切了，对不对？这个 e f 难表示不？同学们， e f 难不难表示？ 难表示吧。哎， e f 难表示，那怎么办？一定有工具啊，有工具帮你变成好表示的。比如说，这有什么工具有这个相似？你让我研究 e f， 我 非得研究 e f 吗？ 我可以研究谁？因为你告你刚才告诉我了，它比它是一比四，对不对？那你 e f 比 这个 a 字音相似多明显呀，对不对？比这个 q h 是 不是也是一比四啊？对不对？这也是一比四的关系，这也是一比四的关系啊。所以你让我研究 e f， 你 不就等于在让我研究 q h 吗？对不对？那 q h 也难算呀？有同学说， 难道这个题只有这一个相似的工具吗？同学们， q h 在 哪根线上呢？ q h 在 ab 这根线上呢？你有没有意识到，同学们， ab 是 一根定直线，并且这根定直线它是 y 等于 x 加一的这根定直线。所以呢， 它的斜率多少度？倾斜角，它的角度是多少度？ y 等于 x 加一。各位同学， y 等于 x 加一，它 k 得一， k 得一呢？这个直线与 x 轴加角就应该是四十五度，对不对？那我们看在这个直角三角形当中，这个角如果是四十五度，那 这个角就也是四十五度，哎，同学们，所以看到了吗？你让我研究 e f， 我 可以研究 q h， 我 可以转化成研究， 哎， ph 到没到你的舒适区，同学们，再陌生的问题都能转化到咱们舒适区啊！这道题怎么转的？ 利用了直线背后的特殊角，四十五度对不对？ k 得一，倾斜角是四十五度，哎，第二个，利用了这个相似的边比，对不对？我们就轻松的把一根 e f 这么恶心巴拉的线转化到我们的舒适区， 竖线竖线竖线竖线，到底舒适区了吧，同学们，哎，好，来，那接着咱们就快速看一下这个题了，具体的先剩下的步骤了啊。 首先刚才肖老师说的那些就是这里啊，根据这个相似，我们可以把 e f 写成它，是啊， q h 写成是四倍的 e f 是 不是？哎，再根据这个大的等腰值啊，这个三角形啊，这个 这个三角形啊，应该是这个什么？这个我标个 m 吧， m c h 啊，根据 m c h 是 个等腰值，哎，我们就可以写出来这个四十五度是不是？那这个 p h 也是我们的根号二倍的 q h 啊。所以你让我研究 e f， 我 就只需要研究四倍的四分之一的 q h， 那 q h 又可以写成 根号二分之一的 ph， 对 不对？所以这道题研究 ef 就 等于研究 ph 啊，研究 ef 的 增大就等于研究 q ph 的 增大。好，那咱们就接着试字表一切 去表示 ph 吧。哎， ph 这就没难度了。它的点 p 的 横坐标带进解析式啊，把 m 带到这个抛物线，解析式，表示一下 y p， 再把 m 带到直线 ab 的 解析式，哎，表示一下 y h 是 不是啊？ ok， 然后就是它减它，哎，就出来了， 哎，得到一个新函数，得到新函数之后，立马对这个新函数进行具象化，哎，画出来的草图，哎，很简单，画出一个 w 图像，然后这个是零，这个是四，对吧？与 s 两个焦点，然后再把它给的范围，哎，它的研究范围 m 的 取之范围，它只研究从零 往右到 a 加二分之一，也就是说他只研究从零开始，一直动到 a 加二分之一，得满足增大而增大， 所以呢，所以非常简单，那不就是 a 加二分之一不能超过这个对称轴二吗？对不对？哎，咱们就只需要满足 a 加二分之一小于等于二，所以 a 小 于二分之三，哎， a 小 于等于二分之三， 好，所以最后综上就是 a 要大于零啊，注意前提，确认 a 要大于零，小于等于二分之三，好，后面都是大家的舒适区啊，主要是前面好。小结一下，同学们，通过肖老师给你讲完这道题，你有没有意识到， 如果今年的中考题他考了一个，也是信息量如此之大，一会 b， 一 会 p， 一 会 q， 一 会 e， 一 会 f 这么多个字母的时候。同学们， 这就是你考验你画图的耐心的时候了啊，他就在考你画图的耐心呢！而且这个时候我告诉大家，大部分同学都是容易画错的，所以只要你能画对，你就赢了啊！所以同学们，记住肖老师说的，只要画图，重音阅读啊，一定要画对了啊，并不难画。 其次，如果这个今年中考给你玩一个这种比较恶心的长相的，这种线段长，你不太会列式子了，同学们，找转化工具，一定有工具能把它转化成横平竖直的，转化到咱们的舒适区，横线竖线的好表示的。比如说这个题的两个转化工具，一个是我们的 斜边笔背后的这个相似，一个是我们这个直线，它的 k 得一， k 得一，意味着它的夹角是四十五度啊，这个特殊角，哎，这两个都是能够轻松帮咱们把斜着的边的问题转化成横着的，或者竖着好玩的这种边的问题的，嗯。

我们去看一下经开区二模的三角函数问题啊，题目中开场告诉我 ab 呢是二十， o 是 中点，那画的是这是平行， ab 和 c 得平行， c 得是十二， 然后并且 c e 等于二， e 得那有个一比三的关系。所以因为这个逻辑，你知道这是五，这是十啊，有啥用？待会再说。 o e 是 五， 呃，然后这还是个垂直，那平行的话，这也是九十度。现在你的信息告诉我， ab 这条线和水平面的夹角是三十五度， 那画的意思他他们俩又平行，那说明他与水平面夹角是不是也是三十五度？所以由题可知，这个角也是三十五度。 呃，在这个的基础上，第一问他要求 dm， 那 非常的 easy 啊。那我们已知条件是这个 c d 要求 dm， 所以 第一问直接是在 r t 三角形 c m d 中直接搞一个对边比斜边 sign， 三十五等于 dm， 比上 c 得，也就是比上十五，然后约等于零点五七四，那 dm 用这个十五乘上零点五七四，约等于八点六一，然后约等于八点六啊，他说的精确到 零点一厘米，保留一位小数好，关键这道题的你的所有的重心都应该落在第二位上，难度会比较大。他从问 a 到这个地面的距离， 他现在已经知道了这个下面这的距离是 c， 到这边的距离是六十，你就告诉我这是六十，我只需要求的是这个 c h 的 长度啊，就这是 h 点， c h 到底是多少？那我怎么样确定这个 c h 是 多少呢？ 嗯，那现在看我的刚才，刚才你那一堆的信息都在哪？都在这一坨，我想去求 c h， 这个时候 你会惊喜的发现， a o 和 c e 平行且相等，所以你手不自然的就会去连接 a c， 那 这个时候我们就自然的得到了 c e o a 啊，这是这玩意是个 品色，又因为有一个角是九十度，所以他是一个漂亮的矩形，然后你发现这矩形这是九十度，而你刚才做的是垂直一条线上，一个九十，两个九十，三个九十。 然后那你，你先拉过来，这是五吗？刚才举行正过来，这是五，那，那画的意思，这两个三角形铁定相似了，你这是三十五，这是不是六十五？但这个角是不是三十五？所以我换个颜色啊，就你的这个蓝色角和这个蓝色角，他现在都是三十五度， 那在这个三十五度的基础上，你想求 a h， 那 我只需要在 r t 三角形 a c h 中用一次，你想求 a h， 已知的是五， 所以用一个 cosine 三十五等于零，边比斜边 a h 比上五，嗯， cosine 三十五是多少？零点八幺九，零点八幺九， ok， 然后我们算一下， a h 就是 约等于五乘上零点八幺九啊，保留一位小数啊，四点四点零九五， ok， 那 拉过来你看看， 那我知道这是五，哎，然后我这 a h 出来了，要求啥？求的是从 a 尽头 a 到地面的距离，那就是从这到这的距离，那于是，那我就来一下吧，哎，别 m， 你 有 m 是 吧？那就 n 吧， 就是你 a n 就 直接等于四点九，呃，零四点零九五，加上一个六十， ok， 我 们就约等于六十四，对吧？哎，六十四点一，那保留一位小数，所以六十四点一厘米就是它的距离。