数学八年级下册函数课本答案133
大家好，我是讲数学的小红老师，今天我来讲解新版八年级下册数学第一百三十三页练习。 嗯，某公司要印制产品宣传材料，假印刷厂的收费方案是收一千五百元制版费，每份材料再收一元制印制费， 以印刷厂的方案收费，方案是不收纸板费，每份材料收二点五元的印制费。第一个问，分别求出两家印刷厂的收费 y， 关于印制宣传材料数量 x 的 函数解析式 啊。第二个是问，你选择哪家印刷厂比较合适，那么我们来写一下。第一问，第一问，他说分别写出两家印刷厂的收费啊，那么第一家 y 假， 他应该等于有一千五百块钱的质版费，那么一份材料收一块钱，那我 x 份是不是收 x 块钱，这就是假的。那么乙的呢？ 他说不收纸板费，每份材料二点五元，那是不一份二点五 x 份，是不是就二点五 x 啊？ 这是第一问。那么第二问，他说问你选择哪家印刷厂比较合算？这里面呢，你第一种方法，你可以用画图像啊，把这两个函数图像画出来，画出来之后呢，你对比一下 啊，你可以对比一下，那么如果你不画函数图像，你可以这样算啊。第二问，你可以呃，先令 y 假等于 y， 也就是我们求出，当你的 x 等于多少时，你的这个到两家印刷厂的费用是一样的，那么呃， x 应该等于一千 啊，意思就是说，当你的 x 啊等于一千时，你到甲乙两家印刷厂的费用是相同的啊。嗯，我怎么写呢？ 不这么写啊，先求出来它来。第一种情况，嗯，当 x 等于一千时，那么 选择甲乙两印刷，是不是印刷印刷厂的费用 相同啊？那么第二个，当你的 x 如果大于一千时 啊，那要是大于一千呢？那我们来算一算呗。如果是，嗯，两千 啊， x o 的 两千，两千这边就是三千五，两千这边就是五千，说明你的甲比较合算呗，是不是？那你就是选择甲印刷厂， 嗯，费用 核算， 你也可以列个不等式啊，你比如说我列一五零零加 x， 你 像这个大于一千呢，就得是那个小于小于二点五 x 啊，小于二点五 s， 让你的乙这个费用高啊，然后你解不等式不就可以了吗？是不是来第三种，就是当你的 x 小 于一千时，那肯定是乙了啊，选择乙印刷厂， 费用核算啊，也就说你你的第二个是选择甲的时候，你就相当于是列了一个不等式乙柜 啊，如果要是选乙的话，那就说明甲柜了呗，列不等式啊，你可以解不等式就能求出来啊，这个对应的就是 这是假币，那就是以合算的是这个算式，然后这个呢就是第二个算式，这个呢就是第一个算式啊，这个要嗯清楚一下。
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03:23查看AI文稿AI文稿是不是咱们肥城好多八年级的家长和孩子们都会犯愁，平时基础题做的轻轻松松，一遇到反比例函数综合的亚洲题直接就卡壳， 看到题目文字多，图形复杂，心里直接发怵，看了半天不知道从哪里下手考试，压轴题直接空着就丢分了。其实我给大家说实话，初中数学压轴题根本就没有大家想象的那么难，尤其是针对于咱们八年级下册反比例函数压轴大题，出题都是有固定套路，并不是凭空瞎出题。 很多孩子做压轴题之所以拿不到分，说白了就是拿到题急就盲目硬算，不会拆解题目。今天我们就拿反比例函数压轴题实战的思路 分享给大家，学会这套方法，压轴题你也能稳稳的去拿高分。首先第一步，你通读题干，抓取已知的条件，你拿到压轴题，你别着急着上手做题，你先把题目完整去看一遍，标记出给出的函数啊， 坐标呀，图形的边长了，是不是面积的数值了？你看到三角形面积，你不想到谁是底谁是高吗？还有 k 值已知相关的信息，你心里清楚这些题给你了哪些可用的条件，你避免做题做到一半，你反反复复去看题目，你该圈笔画出来，是不是浪费时间？第二步，什么拆解题型？ 你判断题型考点反比例函数压轴题万变比例，其中反来复去就那么几个考点，要么考函数图像坐标求解是吧？要么考 k 的 几何也求面积，还有什么函数与几何图形结合，求线段长啊，求动点坐标，还有就是什么呃，存在性 对不对？平行四边形的存在性是不是啊？等幺三角形的存在性，函数结合的这种最值问题啊，首先分析出考出什么题，你立马就锁定他所对应的答题思路 对不对？第三步，你通过已知求未知，顺着逻辑来推导题解做压轴题，千万不要凭空去想，想要推力解题，我一般会提出大洋四位哈，就是我们求什么已知什么 缺什么，怎么补，倒着以中位置倒着往回推，这样你知道了啊，函数解析式图像的这个任意点坐标了吧， 你拿到这种坐标数值，你可以求出线段长度图形的面积了吧，你再结合全，等再结合相似，有时候可能会截些旋转直角图形的这种共因里，你结合这种几何的支点，一步一步的把隐含条件给他标出来。大题都是疑问，扣着疑问这样来回去做前疑问 都是后一位之间有关联的，我们可以拿前一位的结论当做第二位的条件来使用啊，基本上都是后一位的解离条件对不对？第四步是什么？你复盘这个错题时候，你要去总结出这个题型的陷阱，你平时做不完压轴题，你不要对着答案，你这就完事了，你一定要回去复盘一下这个题你自己卡在哪一步了， 是坐标计算你出问题了，还是你忽略 k 值的几何意义，还是动点问题？你没有考虑多种情况， 所以说你把常踩坑整理出来，下次再遇到同一个题型，你直接避开这种失误点。最后想说，基础题啊，拼细节，压轴题拼的是思路，你只要解决，你只要掌握正确的答题思路， 多针对性练习反比例函数的综合大题，慢慢你就会发现，再难的压轴题，你也能一步一步顺顺利利的解出来。觉得有用就记得收藏，后续持续去分享解析干货。
28:20查看AI文稿AI文稿好，再来看依次函数与方程组和不等式的复习巩固。先看第一个利用函数的图像去解方程，二分之三， x 减六等于零，对吧？那么这里既然要求了让我们用函数图像，那我们就先把图像画出来，好吧， 来看一下，那么我们想要画出来的话呢，就先把它写成函数形式，令 y 等于二分之三， x 减六，对吧？那么你现在当 x 等于零的时候，求出 y 值， 当 x 等于零， y 就 等于二分之三，乘上零减六， y 就 等于负六，所以它就会过零负六这个点，对吧？那么这个点在哪里呢？就在 y 轴上，然后你想求在 x 轴上的点，就当 y 等于零， 那么零就等于二分之三， x 减六，移项六就等于二分之三 x， 那 么这个六除以 二分之三等于 x， 六就乘上三分之二等于 x， 所以 四等于 x， x 等于四，所以它就会过四零这个点，那么咱们再把图像画出来， x， y 与这里的交点是四，零与 y 轴负半轴的交点是零负六，把这两个点画出来 连起来就是依次函数的图像，这个就是 y 等于二分之三， x 减六啊，那我们要通过这个图像看出它的减，就是让 y 等于零的时候，那么 y 等于零的时候，那就是这个点 啊，就是这个点啊，就这个点，所以 x 就 等于四，对吧？所以我们就可以通过图像看出来， 在这个点的时候，它的 y 值等于零，它的 x 值等于四，正好对应了这个 y 换成零，那么这个 x 对 应的呢？就是四，所以我们由图 由这个点四零得出 啊。二分之三， x 减六等于零的减 为 x 减四啊， x 减四，那么有些人可能会说，我在这里都已经算出 x 等于四了，我为什么还要通过画图呢？对不对啊？是不是多此一举啊？那么这个题目它其实是为了让你更好地去理解这个图的意思， 然后这个图像呢，他也可能觉得你自己手里有这个画函数的这个软件，你直接可以通过软件去画，因为前面他也讲了如何用碗软件画图像，对吧？啊？像我们自己这样直接手搓一个图像出来，那肯定是要算出这个 x 等于四的，对不对？好， 再看第二个，利用函数图像解不等式，五 x 减十大于零和负二， x 减四小于零，那么咱们这里呢，也要把它当做函数的形式，那我们就令 y 一 等于五， x 减十， y 二就等于负二 x 减四，那我们要画图吗？画图的话，你就令 x 和 y 等于零，对吧？当 x 等于零的时候，这个 y 一 就等于五乘零减去十等于负十，说明它过零负十这个点。好，这个呢，我们等会再算，不然弄混了。然后当 y 一 等于零的时候， 就零等于五， x 减十啊，把五 x 移过来，负五 x 等于负十， x 就 等于负十，除以负五， x 就 等于二，所以它就会过二零这个点。好，再算这个，再算 y 二， 这里也写个零，好算。当 x 等于零的时候， y 二等于负二乘上零减四，负二乘零就是零，零减四等于负四，所以就是负四，那么就过零负四这个点。然后当 y 二等于零的时候， 这个零就等于这个负二 x 减四，把负二 x 移过来，二 x 等于负四， x 就 等于负二，对吧？所以它就会过这个负二零这个点。好，我们在图像上把它画出来，先画这个图，先画这上面的图， 一个过零复十，一个过二零二零的话大概就在这个位置，零复十，我们就画在这个位置，两个点一连 就是函数解析式，就是函数解析式的图像了，这个直线就是 y 一 等于五 x 减十，好了，他说要这个五 x 减十大于零，对不对？大于零在哪里啊？ 大于零在上方看到没有？大于零，零在这个位置，零在这个点上，那比零大，那么就在他的上方，所以上面这段图像就是 五 x 减十大于零的地方，对吧？啊？五 x 减十大于零，那么又意味着 y 一 大于零，而 y 一 大于零就是在 x 轴上方的图像，而这个图像上对应的所有的横坐标都比这个点的横坐标要大吧，对不对？它继续往后延， 它这里的横坐标往下一一对应，都是比二大的啊，所以这个 x 怎么样就大于二，当然了，你说，哎，我不能直接算吗？我直接算就可以了，对吧？ 好， x 大 于二就可以了，那这里呢？是为了让你理解这个不等式和图像的关系，知道吧？咱们再画第二个图， 一个是零负四，一个是负二零零负四，我们就画在这个位置， 负二零，咱们画这个位置连一下。 好，这条直线的话，就是 y 二等于负二 x 减四，知道吧？那么你看一下它要它小于零，对不对？小于零， 那么零就是在这个位置，这个点的纵坐标就是零，对吧？比零要小，那就在它的下方， 那么就在它的下方，在下方上面的点对应的横坐标是不是都比这个负二要大呀？所以 x 就 大于负二，知道吧？好，所以我们写一下，因为 负二 x 减四要小于零，那意味着 y 二小于零，而 y 二小于零的话，就是对应的是这一段图像，这段图像对应的所有横坐标都是比负二大的，所以 x 大 于负二，就是这个不等式的。解了。 再看第三题，也是叫我们利用函数的图像去解这个方程组，那这里有两个方程对不对？都是带 y 的， 所以我们要先把这两个转换成什么？转换成函数形式。怎么转换呢？第一个是三， x 加上二， y 等于五， 那么角先把 x 移过去，二， y 就 等于负三， x 加五，然后两边同时除以二， y 就 等于负二分之三， x 加上二分之五，这是第一个。 那么第二个函数呢？就是二 x 减 y 等于八，移过去啊，就把二 x 移过去，负 y 就 等于负二， x 加八，两边同时除以一个负一，那么 y 就 等于二 x 减八，对吧？那么现在呢，我们就要画图了， 我们画图的话，一般都是令 x 等于零和 y 等于零嘛，对不对？这是 y 一， 这是 y 二，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之三，乘上零加上二分之五等于二分之五，所以它就会过零二分之五这个点。然后当 y 一 等于零的时候， 那么零就等于负二分之三， x 加上二分之五。好，移项二分之三， x 等于二分之五，同时乘上二三， x 等于五， x 就 等于五，除以三等于三分之五。啊，是三分之五了。好，那么我们就可以通过 这个 x 等于三分之五，判断出它过三分之五零这个点，这个时候 y 是 等于零的，所以重坐标是零，对吧？好，这里也是一样的，当 x 等于零的时候， y 二等于二乘零减八，就等于负八，所以它就会过零负八这个点。然后当 y 二等于零的时候， 就变成了零等于二， x 减八，移向负二， x 等于负八， x 就 等于负八，除以负二，它就等于这个四，所以它就会过四零这个点。 好，再把这两个点画在图像当中，我们来画一下， 这个是零二分之五，那我们在这里就画二分之五零二分之五，然后呢这个点呢？是三分之五零，那我们就画这个位置，三分之五，大概在这个位置， 这条直线的话呢，连起来这条直线就是 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，有点写不下了。 y 一 等于负二分之三， x 加上二分之五，就是 y 一 这条直线。 y 二这条直线的话呢，四零，然后另外一个零负八，那么零负八的话，我们就画下面一点， 这可能就比较远了，假设这个点就是零负八吧，这个是零负八，然后这个点的话，就当做是四零，然后把这两个点连起来 延长过来，好，这条直线就是 y 二等于二， x 减八。 好，图像画好了，那么你会发现，你把这两个当做方程组的时候，它的解就是它的焦点， 而这个焦点呢？说实话啊，我没画出来，对不对？我们不知道它的焦点是多少，所以呢，我们要试一下，对吧？因为你不能去算，你不能把它当做去算，所以你要去试一下，你看这个是几啊？这个是 这个三分之五，这个是四，那么比三分之五大一点是几啊？就是二，三对不对？二肯定对不上，二肯定对不上，那么你就找三，所以我们就分别试一下，当他们俩都等于三的时候好不好？好，当这个等于三的时候，当这 y 一， 当 x 等于三的时候，这个 y 一 就会等于负二分之三乘上三加上二分之五，它就等于负二分之九 加上二分之五等于负的二分之四等于负二，所以它就会过三负二这个点。 然后呢，你在当 x 等于三的时候，你再算这个 y 二 y 二就等于二乘三减八等于六减八也等于负二，它也过三负二这个点，发现没有，它们经过同一个点，所以 三负二就是它们的焦点啊。所以我们就看得出来， y 一 与 y 二的焦点 为三负二，所以 x 等于三， y 等于负二，就是这个方程的解，为这个方程 三 x 加二， y 等于五和二， x 减 y 等于八的解就可以了。 如果呢，有些题目呢，他直接画了图，并且告诉我们焦点，那我们这些画图的过程就都可以省略。 再看综合运用第四题，甲乙两个工程队分别同时开挖两段合渠，所挖合渠的长度为 y 单位是米与挖掘的时间， x 单位是小时之间的关系。如图所示，那 红色这一段是假的，然后绿色这一段是乙的，叫我们分别求出假。对在零到六，就是 x 大 于等于六大于等于零小于等于六的时间之内和乙对在 x 大 于等于二小于等于六的这个时间内， y 关于 x 的 函数解析式，那么求解析式的话呢？你可以看得出来，假的话经过哪两个点？ 第一个是圆点，对不对？第二个就是六六十，经过这两个点，我们就可以带入一次函数当中，对吧？好，那么乙呢？他只教我们求二到六这段时间之内，那么你看二到六这段时间，他也经过两个点，一个点是二三十， 另外一个是六五十，对不对？好，我们就把这两对点带入一次函数当中，我们这里就写一下，好吧，先求 设假对，在 x 大 于等于小于等于六大于等于零的时段内，解析式，函数解析式 为 y 假，对吧？等于 k 一， x 加上 b 一， 为什么要这样去写呢？因为你乙对也要去设呀，对不对？它们俩的 k 值和 b 值不一定相等啊， 对吧？所以我们就复制一个出来，改一下数据设，再设一下乙，对，不过可以等会来算，我们把里面改一下，甲对换掉， 然后时间段换掉解析式，这个换掉。好，那我们就写设乙对，在 x 小 于等于六大于等于零的时间内，函数解析式为 y 甲 y 乙 等于 k 二， x 加上 b 二，对吧？好，设一下。那么现在呢，我们就知道甲经过零零，甲经过的点是零零这个点以及六六十这个点。好，我们就将 零零这个点与六六十带入到 y 角当中，那么你就可以得到方程组，对吧？这个方程组呢？等一下啊， 这个方程组呢，就是把这个解析式里面的零和 y 都换成零，那么就是零等于 k 一 乘上零，再加上 b 一。 然后第二个呢，就是六十等于 k 一 乘上六，再加上 b， 那 么这里的话，我们化简一下，就可以得到 b 一 是等于零的，对吧？这个是零，这里也是零， b 一 就等于零，然后你再把零带进去， 对吧？好，那么就是六十等于六， k 一 加上零啊，因为 b 一 等于零，写一下吧，还是写 b 一 吧。好，这两个式子，这是一式，这是二式，你将第一个式子带入到第二个式当中，将 b 一 等于零 带入到二式当中，那么零六十就等于六 k 一， k 一 就等于十，那么我们就可以得到 k 一 等于十， b 一 等于零，所以这个假的解析式就等于十 x 啊，就等于十 x， 同时你再把它的取值范围写上 x 小 于等于六，大于等于零的时候，是这样的。 好，再来求第二个一样的操作啊，也是将这两个点，这两个点我们直接在图上写出来，一个是二三十，一个是六五十，对吧？我们将这两个点带进去， 将二三十与六五十带入到 y e 当中，好，那么我们算一下， 把三十带进去，二三十带进去，是三十等于 k 二乘上二，加上 b 二，把六五十带进去，就是五十等于 k 二乘上六，加上 b 二。两个式子，你拿两个式子一减啊，拿二四减一四，那这里五十减三十等于二十， 这里是六 k 减二， k 减掉了啊，所以我们这里就是负四， k 二 等于负二十， k 二就等于负二十除以负四，那么 k 二它就等于五，然后你再把五带入到其中一个解析式当中，将 k 二等于五 带入到一式当中，那么就三十等于 k 二， k 二已经知道了，就是五乘二，再加上 b 二，那么三十就等于十加 b 二，那 b 二呢？就等于 三十减十， b 二就等于二十，那我们就可以得到这里的 k 二等于五， b 二等于二十这个解析式， 你就会等于五 x 加二十，并且取之范围是 x 大 于等于二，小于等于六，对不对？好，那么这个就算完了。再来看， 那这里说当 x 为和值的时候，甲乙两个对在施工过程当中所挖合取的长度是相等的，那么你就看它们的焦点，这里是有一个焦点的对不对？那这个焦点是多少呢？哎，我们不知道，我们就可以把这两个 函数当做一个方程组啊，去算 x 等于几就可以了，知道吧，因为它们在这里有焦点的时候，意味着在同一时间内，它们挖的长度也相等，所以就是找焦点。 第二问就是找焦点，所以我们列方程组， y 等于十， x 和 y 等于五 x 加二十那两个式子， 那么呢，我们就把一次当中的 y 等于十 x 带入到第二个式子当中去，那你就可以得到十 x 等于五 x 加二十一项，十 x 减五 x 等于二十， 五 x 就 等于二十， x 就 等于二十，除以五 x 就 等于四，所以那么当 x 等于四的时候，他们所挖的渠道是相同的，知道吗？好，那么这里我们同时也把 y 算出来， 那么 y 就 等于十，除乘上四， y 就 等于四十，所以这里算出来的是 x 等于四， y 等于四十，对吧？好，我们最后再答一下啊，当 x 等于四的时候，加以两对。 施工 的时候，施工过程中，施工中挖的和渠长度 相等都为四十，单位是米就可以了。 再来看拓广探索第五题，在同一平面直角坐标系当中，画出函数 y 一 等于负二分之一， x 加上二与 y 二等于三， x 加九的图像，并且结合图像比较这两个函数值大小的关系。 那咱们就先画图，先看 y 一， 这个 y 一 呢，等于负二分之一， x 加二还是一样的令， x 等于零和 y 等于零，对吧？好，当 x 等于零的时候， 这个 y 一 就会等于负二分之一乘上零加二就等于二，所以我们就知道它会过零二这个点，对吧？你其实算多了，你就知道，当 x 等于零的时候，它就一定会等于二，对吧？等于它这个 b 值。然后当 y 等于零的时候， 那么零就会等于负二分之一， x 加上二一项二分之一， x 加上等于二， 那么 x 呢，就等于四，所以它就会过四零这个点。好。再看 y 二， y 二等于三， x 加九一样的，当 x 等于零的时候， 这个 y 就 等于三，乘零加九就等于九，所以它就会过零九这个点。然后再当 y 等于零的时候， 那么这就会得到零等于三， x 加九，一下负三， x 等于九， x 就 等于九，除以负三， x 就 等于负三，所以它就会过负三零这个点。好，咱们再把这两个图像画到什么？画到同一个坐标系当中， 我们这里就画大概啊，就不画那么精确了，因为画太精确了，我会画 y。 然后呢，找到，先画这个 y 一， 找到零二和四零，那零二 大概在这个位置零二四零呢？咱们就画这个位置四零两个点一连 这条直线呢，就是 y 一， 再画这个，这个是零九和负三零，那负三零的话，大概就画这个位置负三零，然后呢？还有一个画九零九的话，九应该很高了吧， 对吧？往上挪一点， 我就在这里画九零九，那实际上可能不止这么高啊，我们这里画个大概 好，这条直线就是 y 二，对不对？好了，那么现在你会发现它会有焦点吗？而这个焦点是多少呢？我们不知道，那我们就把它列成一个方程组，把它的焦点算出来， 因为你要比较大小嘛，对不对？你看在这个焦点的左边是不是 y 一 大， y 二小，而在这个焦点的右边，是不是 y 二大， y 一 小啊？对不对？好，所以呢，我们就把它列成一个方程组， y 一 等于负二分之一， x 加上二， y 二等于三， x 加上九，列一个方程组，那么因为他们的 y 都是相等的，所以就是得到三， x 加九等于负二， x 加二移项，三 x 加上二分之一， x 等于二减九，那么这里算出来的话， 就可以得到是二分之七， x 等于负七， x 就 等于负七。除以二分之七就等于七。乘上七分之二， x 就 等于负二，所以它的横坐标是负二，再把这个负二带进去， y 就 等于三乘负二再加九， y 就 等于负六加九，所以 y 就 等于三。所以他们的这个解就是， x 等于负二， y 等于三，所以我们就可以知道他们的焦点是负二三。好，这个焦点是负二三， 我们写上来负二三，这里对照的横坐标就是负二，这里对照的重坐标就是三。好了，图像画完了，那怎么去做比较呢？其实这个图的话，它画标准了，反而不好比较，我们这里画一个缩略图，好比较一点，那这里 我画一个缩略图，那就简单画一下，看到没有？就这样简单画一下。 好，这个是 y 一， 然后这里有一个焦点是二，它的横坐标是不是二，看到没有？好，我们就以二为分界点，在这个二的左边，你看这个二的左边，负二的左边，是不是？ y 一 在上面， y 二在下面，对不对？好，在它的左边， y 一 在上面， y 二在下面，所以左边对应的就是什么？ y 一 大于 y 二， 而这个左边对应的是 y 一 大于 y 二的时候，你看它们的横坐标对应的是不是都比负二小，对不对？好，所以就可以得到，当 y 一 大于 y 二的时候，它的 x 是 小于负二的，这是第一种情况，看到了吗？好，现在我们再看，在它的右边的时候，你把它延伸过去，这个 y 一 延伸过来，哎，反过来了，现在 y 一 在下面， y 二延伸过去，反而变成了 y 二在上面，这个对应的是它的右边，它的右边对应的是 y 二在上面， y 一 在下面。这个表示的就是当 y 第二种情况，就是当 y 一 小于 y 二的时候，看到没有？ y 一 在 y 二的下面，表示 y 一 小于 y 二，而这个时候，你看这个图像所对的横坐标是不是都比负二大，对不对？它都比负二大，所以这个时候 x 就 大于负二，看到了吗？这是第二种情况，那什么时候呢？它们会相等呢？就是在焦点的时候，所以这个时候我们就写第三种情况， 当它们相等的时候，当 y 一 等于 y 二的时候，这个 x 就 等于负二，那么它们的大小关系三种情况都写出来了。 他们的大小关系一个是大于他，一个是 y 一， 大于 y 二，一个是 y 一， 小于小于 y 二，一个是 y 一 等于 y 二。这三种情况的结果我们都写出来了，都是通过图像去看的，知道吧？这个图像是标准图像啊，标准一点啊，因为我画的也不是特别标准，这个是他的缩略图， 我们通过缩略图就好比较，因为这样的话，这个这个 y 一 在上面， y 二在下面，这个是不对，看过去不是很好比较，这里是 y 二在上面， y 一 在下面啊，其实是一样的，只是这样看的话会比较好看一点，那么我们就是分左右就可以了。
360毕老师细讲数学
15:02查看AI文稿AI文稿好，我们再来看依次函数概念的复习巩固。先看第一题，问我们下列函数当中，哪些是依次函数，哪些又是正比例函数？ 那这里你要知道，正比例函数是形容 y 等于 k， x 的 k 不 等于零，对不对？依次函数呢，是 y 等于 k， x 加 b 的 k 也不等于零，对吧？好，那么这个时候就看下面这几个式子当中， 他们 x 的 指数是否都是一，并且是否都满足胚不等于零就可以了，对吧？这里呢，正比例函数是特殊的一次函数，所以是正比例函数的话，他一定也是一次函数。我们先来判断第一个， 第一个是 y 等于负的零点二， x 对 不对？这里对应的是什么呢？这里对应的就是它的 k 是 等于负零点二的，它没有等于零吧，对不对？并且呢，它有没有这个 b 值啊？没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以我们就说是 正比例函数， 那同时呢，它也是一次函数，因为正比的函数就是特殊的一次函数，对吧？好，再看第二个，第二个我们要怎么样？先进行化简， 把它化简，负三去乘这个框就等于负三， x 减三，那么这里对应的呢，就是前面这个 y 等于 k， x 加 b 对 应的也是负三，这里对应的就是 k 等于负三，它这里的 b 也等于负三，是不是符合第一种形式啊？所以呢，它是不是正比例函数呢？它不是，它有 b 值，对不对？所以它不是 这个正比例函数，但是呢，它是什么？它是依次函数就 ok 了。再看第三个，第三个是 s 等于 pi r 平方，这个是面积，对不对？ 这里其实不容易看出来，因为你不知道哪个是 s 啊，但是呢，你分析一下你就知道了，这个半径呢，是会发生变化的啊，而这个派呢，是一个定值，所以呢，这个派就是 k 值，所以 k 就 等于派啊。而这里的 r 的 平方，它对应的是什么呢？如果我们把它写成 y 和 x 的 形式，你可以理解为 y 等于太 x 的 平方，这个 x 它是一次吗？它是不是一次，对不对？这里的自变量 r 为二次，这里写一下自变量 r 的 平方是二次的，它不是一次的，对不对？所以它就不是一次函数，那也不是正比例函数，所以我们就说 它这个不是正比例函数，怎么样也不是一次函数。再看这个，把它化简一下，可以把它写成二分之一 x， 好了，那这里呢，这个 k 就 对应的呢，是二分之一了，对不对？好，这个 k 对 应的就是二分之一，好，那么这个呢？没有尾巴，没有这个 b 值，所以它是正比例函数啊，所以它既是正比例函数，也是依次函数，所以它这里 是正比例函数，也是依次函数，就 ok 了。再看第二题， 用函数解析式表示下列问题当中的 y 与 x 的 关系。先看第一个，一个长方体的长为两厘米，宽为一点五厘米， 高为 x 厘米，它的体积是 y 立方厘米，那么这里就要让我们找到这个 y， 也就是体积和高的关系。那我们知道长方体的体积公式是什么？是长层宽层高，对不对？长方体的体积 等于长乘宽乘高，对吧？那么对应呢，这个体积 y 就 等于它的长二乘上的宽一点五，再乘上它的高 x， 对 吧？好，那么 y 就 等于三 x 就 算出来了啊，当然了，这个高必须要怎么样？大于零，这个 x 必须要大于零， 为什么呀？你如果高小于零或者是负数是负数，那肯定是不可能的，对不对？那如果说是零的话，那么会怎么样？他就没有长体积了，对不对？所以呢，他就不满足长方体这个要求，所以如果是长方体，他的高一定必须是正数，对吧？好， 再看第二个，某水箱里面有水，十升，以零点五升每分钟的速度往外开始放水， 放水的时间为 x 分 钟，问我们剩余水量 y 是 多少升，对吧？好，那么这里呢，它的关系也比较好找，就是水箱里面剩余的水量等于原有的水量减去放出去的水，对吧？好，我们这里写一下剩余 水量，它是等于原有水量 减去放出的水量。 好，这个剩余水量呢，就是 y， 原油水量呢？是十升，那这里写了原油水量十升，对吧？好，你零点五升每分钟，那么你放水的时间是 x 分 钟，那么每分钟零点五升，那么放出去的水就是零点五， x 同时写上它的自变量取值范围，那么十升水最多能放多少分钟呢？你就用十怎么样去除以零点五十，除以零点五，等于二十分钟，对吧？ 好，我们这里写一下，十升水需要多少时间呢？需要二十分钟，怎么样？可以放完， 那么放完就没有水了，对吧？那这个计算呢，就不用写了。所以呢，我们这里 x 的 取值范围必须要怎么样呢？必须控制在二十分钟以内，要小于等于二十，同时大于等于零就 ok 了，对吧？好，当然我们这里重新再写一下， 我们把它写成 y 等于负零点五 x 加上十 x 的 取值范围小于等于二十大于等于零。 好，再看第三题，若 y 与 x 成正比例关系，并且 x 等于二的时候， y 等于八， 写出 y 关于 x 的 函数解析式，并且求出 x 为和值的时候， y 会等于负四。好，你看这里是正比例关系，对不对？ 正比例关系的话，那么我们把这个 k 当做正比例系数，那么 y 比上 x 等于 k， 那 么我们就可以把它写成 y 等于 k， x 啊，这里再写一步，因为这个比号的计算就相当于是除号的计算，我们把除以 x 移过去，就变成了乘以 x， 对 不对？好，那么这个就是正比例函数的一般式吧，对吧？好，那我们把它写出来之后，把它带进去算就可以了。 因为当 x 等于二的时候， y 等于八，所以我们这个 y 等于 k， x 就 可以写成八等于 k 乘上二，那么八就等于二 k， 那 么 k 二 k 就 等于八， k 就 等于四，对不对？好， k 等于四，所以这个函数解析式就是 y 等于四 x， 好 了，这个算出来了，我们再把这个往里面带，对吧？好，当这个 y 等于负四的时候， 这个 y 等于四， x 就 可以写成负四等于四 x， 那 么四 x 等于负四， x 等于负四，除以四， x 就 等于负负一，所以呢，当 x 等于负一的时候， y 它就等于负四了，对吧？好，那这样的话呢，咱们就回答完了再看综合运用第四题。某银行一年期的存款利率为百分之一点五，即存入的本金为 x 元， 一年到期的时候，那这个本息和为 y 元。那么首先你要知道什么叫本息和。本息和呢？就是连同本金在内，加上利息一共多少钱，就叫本息和，知道吧。啊？而利息的计算呢， 它等于本金乘上年利率，再乘以七数，乘上年利率， 再乘上七数。 好，那么我们知道了这个之后再去写，你先把利息算明白啊，它的利息等于什么呢？本金设为 x， 年利率是零啊，百分之一点五，对不对？然后再乘期数，它这几年一年是不就可以了，对吧？所以呢， 这个本息和 y 就 等于本金，本金是 x， 加上利息，这个利息呢，等于本金，也就是 x 乘上什么呢？乘上年利率百分之一点五， 再乘上什么？再乘上期数。一。好，这个是 x 啊，不要把 x 和乘号弄混了，就把 x 写大一点 乘好，那么这个 y 就 等于 x， 加上零点零一五 x， 那 么 y 就 等于一点零一五 x， 好， 这个就是它的函数解析式。 然后呢，它自变量值的范围呢？必须大于零，对吧？你存的钱不可能等于零吧，对不对？那零元还叫存钱吗？是不是？或者是你是负数的话，那就不叫存钱了，那叫借钱了，对不对？ 再看第二个，他说存入多少钱？存入一万元的时候，一年到期之后，本息和是多少？我们这里就写，当 x 等于一万的时候， 那么这个 y 等于一点零一五 x， 咱们就可以把它写成一点零一五，乘上一万，那么这个 y 就 等于一万零一百五十啊，所以他的本息和是多少钱呢？ 本息和就是一万零一百五十元就可以了。 再看拓展探索第五题，学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包六十元，张华有零花钱四百八十元， 即他用零花钱捐献的书包个数为 x 个，剩余的钱为 y 元。那么第一个叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式， 以及自变量 x 的 取值范围。好，那么这里呢，我们可以先把它的关系写出来，对不对？好，这个剩余的钱等于什么？剩余的钱等他已经有的钱减去买书包花的钱就可以了，对吧？好，我们先写一下 剩余的钱 等于什么？等于总共有的零花钱 减去买书包的钱。 买书包六十元，怎么样？一个，那么这里有 x 个，那就是减六十 x， 剩余的钱呢？是 y， 对 吧？总零花钱呢是四百八，减去买书包的钱减去六十 x。 所以 这个解析式咱们就可以写成 y 等于负六十 x 加上四百八。然后他教我们求自变量值范围，首先要大于等于零嘛，对不对啊？ 那还有什么呢？还有你看他这么多钱最多能买几个，我们算一下他最多 能买多少个呢？你就拿他的总共的钱去除以他的单价，你会发现最多能买八个， 最多就能买八个。所以这个解析式，他这个 x 呢，就是小于等于八的，对吧？不能超过八，所以 y 等于负六十 x 加上四十八啊，四百八会得到 x 取的范围是 x 大 于等于零， 小于等于八啊，第一位就搞定了，对吧？好，第二个，若他至少留下一百八十元购买课外书，那么他最多能捐献多少个书包呢？ 那这里的是，这里的意思呢，就是让剩下的钱一定要大于等于一百八，对不对？至少要留下嘛，对不对？所以剩下的钱余下的钱要 大于等于一百八，也就是 y 要大于等于一百八，而这个 y 呢，是等于负啊，这里是负六十， x 就是负六十， x 加上四百八要大于等于一百八，然后呢，咱们把这个移过去一百八减去四百八，就会等于负三百， 然后两边同时除以负一百六啊，除以负六十就要编号 大于等于就要变成小于等于，所以呢， x 就 小于等于几个呀？五个，所以它最多能捐献五个书包，所以我们这里写 它最多能捐献 五个书包就可以了。
174毕老师细讲数学
03:10查看AI文稿AI文稿依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。
83木子数学
00:51查看AI文稿AI文稿八级下册数学一次函数单元，反反复复就考这六大板块的培优的压轴题型，基础扎实，想要攻克压轴题，粉丝重点掌握，那我把这些压轴题型都整理到了这份一次函数的压轴题里面，可以用做这个配合练习巩固。 第一是一次函数与线段关系。第二，一次函数与将军印码模型结合。第三，一次函数和铅垂高法求三角形面积。 第四，一次函数和等腰三角形、直角三角形、等腰直角、三角形、全等三角形结合的七大类题型。 第五，一次函数和平形、四边形、矩形、菱形、正方形等几何图形结合的存在性问题。常考期末考的压轴题。第六是一次函数动态问题。 以上内容我都整理到了我的八项系统拓展视频里面都有立体跟练习的配套巩固，帮助同学们解决压轴题不会写的问题。
40:40查看AI文稿AI文稿好，再来看一次函数与方程组和不等式的关系，那么这个知识点呢，理解起来是稍微有点难的，不过呢，你一旦理解之后，做很多题目，你可以直接看图，甚至都不需要计算啊。我们先来看这个一次函数和一元一次方程的联系， 那你要知道一次函数呢，它的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 如果你知道了它的解析式，那么这个 k 值和 b 值咱们都是知道的啊。你比如说这里给了一个一次函数 y 等于二， x 减一，它对应的 k 值和 b 值分别就是二和负一，对吧？好， 那么他说这个一次函数 y 等于二， x 减一的图像与 x 轴的交点的横坐标是零点五，当自变量 x 的 值为零点五的时候，那么它的函数值是多少？ 你可以直接看图就可以看出这条直线和 x 轴的交点是零点五零，我这里写一下，它这个点的 就是零点五零。那你要知道依次函数上的任何一个点的横纵坐标，横坐标 对应的是 x， 纵坐标对应的是 y， 你 把这个横纵坐标对应 x 和 y 带回解析式当中，那么这个零呢？ 就在这里，零点五呢，就写在乘二的二乘的后面，就零等于二乘上零点五再减一，对吧，这个等式是仍然成立的，任何一个点带回解析式都可以让等式成立， 那么他这里说，当自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值是多少，那就是零嘛，对不对啊？你把这个带进去算嘛， x 等于零点五， x 等于零点五的时候， 这个 y 就 等于二，乘上零点五减一，它就等于一减一等于零，它的函数值对应的就是零， 那么由此可以得出一元一次方程二，这个二 x 减一等于零的解吗？是可以的，那你看这个二 x 减一等于零的时候， 和这个前面部分，这个后面部分和这个前面部分是不是一样的，对吧？好，只不过一个是 y， 一个是零，而我们前面可以得到，当自变量 x 等于零点五的时候，它的 y 值就这个函数值，它就是零的。 那当这个 y 值等于零了之后，那和这个式子有什么区别吗？它没有什么区别，计算上是一样的，对不对？所以我们就可以得到啊，当这个 y 等于零的时候， 这个式子它就会变成了这个 y 等于二， x 减一，就会变成零。等于二， x 减一，你再反过来写，就变成了二 x 减一等于零和这个一元一次方程， 它的形式上是不是一样的？那么计算上也是一样的，你把这个一移过去，二 x 等于一，那么 x 就 等于一，除以二，它就等于零点五，发现了吗？哎，你看 这个一次函数，当你的 y 值知道了是几之后，你就可以直接把它当做一元一次方程来做，对不对？好，所以我们可以直接通过图上的点去观察 这个点的坐标，它的重坐标是零，那么也就说当 y 等于零的时候，它的横坐标就是多少啊，它的横坐标 x 就是 零点五，那么如果说他给出来了一个方程，他告诉你 这个二 x 减一，它就等于零，叫你求 x 等于几，你不需要算，你可以直接看与 x 轴的交点，那就是零点五，就这个意思，看到了吗？啊？你看这个横坐标， 依次函数 y 等于二， x 减一的图像，与 x 轴的交点的横坐标为零点五，它的重坐标是零，那因为这个点的坐标就是零点五，零嘛，对不对？ 这表明自变量 x 的 值为零点五的时候，函数值为 y， 由此我们可以得出，一元一次方程二 x 减一等于零的解，就是 x 等于零点五。 那么任何，因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程，都是可以变形成 a， x 加 b 等于零， a 不 等于零的形式。所以解一元一次方程的时候，从函数值去考虑的话，就相当于什么呢？就相当于某一个函数值 y 等于 a， x 加 b 的函数值为零的时候，求这个自变量 x 的 值，从函数图像的角度去思考的话，相当于已知直线 y 等于 x 加 b， 求它与 x 轴交点的横坐标。 啊，就是这个意思。那么这一段话呢？它解释起来的话啊，还是比较长的，那我这里给你转换成这个计算语言，就是说函数图像上的点可以作为这个 y 等于依次函数这种形式方程的动态解啊，我这里写一下啊， 依次函数图像上的点可以作为依次函数解析式，作为方程的动态解。什么意思呢？我把这个放大一点，你看这条图像上这条直线，这个图像上它肯定不止一个点吧，对不对？好，那么它除了这个 零点五零以外，他还有哪些点呢？他还有这个点，假如说这个点的坐标，我把它标出来，零负一，对不对？这里也有点，这个点的坐标呢，就是二分之一，那这个点对应的就是四分之一，也就零点二五， 负零点五，这个点对应呢啊，然后呢，往前走，如果他的横坐标对应的是一的话，那么这个点的坐标他是一一 啊，你可以自己算的，你把 x 等于一带进去，二乘一再减一等于一，所以它会经过这三个点，我就拿这三个点来举例，好吧，好，这里是我把它反过来写，把它变成二。 x 减一等于 y， 对 吧？当这个 y 等于 y 等于负一的时候啊，也就是当 y 等于负一的时候，那么这个二 x 减一等于负一的减，它的这个 x 就 等于零，它的减就是零啊。然后呢，当这个 y 等于负零点五的时候， 当 y 等于负零点五的时候，那么这个二 x 减一等于负零点五，那么它的横坐标 x 啊，也就它的减 x 就 等于二点五，你不需要算的，你只要确定点没错，你就可以直接出结果啊。然后再看， 当这个 y 等于一的时候，这个函数就会变成二。 x 减一等于一，那么这个 x 就 直接等于一，你不需要算了啊，当然你说这么简单，我自己口算就看得算出来了，但是如果这个式子这个解析式它特别复杂呢， 对不对？那么有有些题目条件，他会直接告诉你经过某个点，那么你就不需要算了呀，对吧？你就可以直接通过这种方法求出当前 y 等于特定值的时候， x 等于几。 所以依次函数解析式当中，你知道 y 值的时候，你就可以直接把它当做一元一次方程去算就可以了，知道吗？就这就是这个这个知识点的意思啊，这个就是一次函数和一元一次方程的关系。 好，再来研究一次函数与一元一次不等式的关系。先看这个思考，如图，这个图呢，就是上面这个图，我把上面这个图呢挪下来了，画在这里啊。 利用一次函数 y 等于二 x 减一的这个图像，你能得到函数值大于零时， x 的 取值范围吗？函数值小于零的时候， 他的 x 取值范围又是多少？那么由此你能分别得出一次函数不等式这个二 x 减一大于零和二 x 减一小于零的解吗？那么就不等式的计算而言，我们这两个都是可以直接算出来的，你我可以算给你看啊， 你把这个移过去，减一移过去，那就变成了二 x 大 于一，那么 x 就 大于一，除以二，一除以二就等于零点五，对不对？然后这里呢，就小于二， x 小 于一， x 就 小于零点五， 你是可以直接算出来的，那为什么它还要结合一次函数呢？因为我们可以直接通过一次函数的图像看出它的取值范围，不需要算，知道吗？你说，哎，我可以算啊，那万一它这里是 k x 加 b 呢？它如何大于零呢？ 你能算吗？你肯定算不了啊，对不对？这里是因为你知道这个 k 值和 b 值具体是多少你才能算，如果你不知道，你就算不了，那我们以后很多的情况他都是不知道的，那你只能看图像，知道吗？他就是逼着你去看图像，所以你必须要学会看图像，来看 我们如何去判。这个函数值大于零的时候， x 的 取值范围是什么？函数值大于零，这个函数值对应的是不是就是 y 的 值？你要知道函数值对应的就是 y 值， 而 y 值对应的是什么？ y 值它对应的又是重坐标一个点的重坐标的值， 而函数值要大于零，那么也就是说重坐标要大于零，而重坐标大于零的点在哪里呢？重坐标大于零的点全在 x 轴上方，我们就可以知道在 x 轴上方， 你来看一下这个图像当中，这个图像当中重坐标大于零的是不是就在 x 轴上方的这个图像上方？这个图像上的所有点的重坐标 是不是都大于零，对不对？这个点的重坐标，那对应正数，这个点的重坐标对应正数，这个点的重坐标对应正数，它在 x 轴上方这条直线上的所有的点， 它的重坐标都大于零，也就意味着什么呢？也就意味着它的这个 y 值是大于零的，也就意味着它的函数值大于零， 那所以我们就可以知道在 x 轴上方的点，它重坐标大于零，对吧？那么也就是函数 y 值大于零，也就意味着它函数值大于零。那么你看一下这个直线在 x 轴上方的时候，你看看到没有， 它这个上面的图像，所有的点的横坐标对应什么范围？那我放大一点 这个图像，它的横坐标它这里有很多个点，你看一下我这多画几个点，它的横坐标对应的是在这里对应在这里对应，在这里对应，在这里，它的横坐标的所有的值是不是都会大于这个焦点？也就是大于零点五， 和我们刚才算出来的这个大于零点五是不是一样的？看到了吗？那么也就是说不等式的计算，我们可以直接通过函数图像去看出来啊。所以你看他说当这个图像上的点的横坐标 重坐标大于零的时候，这个点是在 x 轴上方的，跟我这里讲的是一样的，并且它的横坐标大于零点五，在 x 轴上方这条直线上所有点的横坐标，它对应下去 都是在零点五的右边，那么也就是说大于零点五吧，也就是说函数值大于零的时候， x 的 取之范围是 x 大 于零点五，那么你就可以直接通过函数图像求出了不等式的解， 就这个意思，明白了吗？你再看当函数图像上点的纵坐标小于零的时候，那在哪里啊？ 重坐标小于零，那么在 x 轴上方的重坐标都是大于零的，在 x 轴下方这个图像上所有的点的重坐标都是对应负数的，也就对应小于零， 所以它是在这个点是在 x 轴下方的，那么它的横坐标小于零点五，为什么呢？你看这个上面所有的点，我们描出几个点来， 它这些点对应的横坐标是不是都在这个零点五的左边？在零点五左边是不是小于零点五？所以这个函数值小于零的时候， x 的 曲子范围就怎么样， 就是小于零点五的。由此我们可以得出，不等式的这个二 x 减一大于零的解集是 x 大 于零点五，二 x 减一小于零的解集是 x 小 于零点五，这个我们都是可以直接通过图像判断出来的， 知道吧？那么以后我们怎么去判断呢？你看一下我这里呢，换一个普通一点的图啊， 那实际上它可以，它不仅仅只是算 x 大 于零的，它还可以算 x 大 于一大于二大于三的，知道吧？你只需要知道它的什么，你只需要知道它对应的重横坐标是多少就可以了。比如说我这里它这个焦点， 假如说这个焦点对应的是 m， 这条直线是 y 等于 k x 加 b， 那 么我就可以通过这个图像得到 k x 加 b 啊。这个 k x 加 b 如果是大于零的话，那么它就在 x 轴的上方取点，而这些点的横坐标都是在 m 的 右边的，所以我们就可以得到这个 x 是 大于 m 的。 然后呢，如果你要让这个 k x 加 b 小 于零的话，你要让这个 k x 加 b 小 于零的话， 那么这个小于零，也就是 y 小 于零，明白吗？你看这个 k x 加 b 是 等于 y 的， 那么 k x 加 b 大 于零就是 y 大 于零， y 大 于零就是重坐标大于零，这个点的重坐标大于零，那就在 x 的 上方， 这是一连串起来的啊，要连串起来。然后呢，这个 k x 加 b 小 于零， k x 加 b 是 等于 y 的， 所以意味着就是 y 小 于零， y 小 于零就是它的重坐标小于零，而点的重坐标小于零，必须在 x 轴的下方，而下方这些图像上的所有点的 横坐标对应下来都是比 m 小 的，它对应的就是 x 小 于 m， 这就它的解 明白了吗？我们很多时候他算题目的时候，他不会很准确的告诉你这个 k b 值是多少呢？他甚至会隐藏起来，知道吧？所以你一定要会看图。那当然了，你刚我刚刚说它不仅仅只限于大于零和小于零，那如果说具是具体的一个数字呢？我这里再举个例子， 我这里再举一个例子，我画一个反方向的，好吧？我画一个反方向的，比如说这个图像长这样啊？我这里不告诉你与 x 轴的交点，我告诉你的是它这里有一个点， 它这里有个点，它的这个这个点的坐标明确告诉你，就是多少呢？就是 负二五，好吧？这个点的坐标就是负二五，这条直线还是 y 等于 k x 加 b， 那 这个时候它不比较，它不跟零做比较，它不跟零做比较，因为我这里根本就没有画出 y 值来，对不对？好，我这里也没有画出 y 的 这个 y 轴来 好。跟零做比较的话，其实就是看是在 x 轴上方还是在 x 轴下方，因为在 x 轴上的点，它的纵坐标都是零。那么现在我要比较的是这个 k x 加 b 大 于五和 k x 加 b 小 于五的时候，它的解是多少？ 那 kb 值都没告诉你了，对不对？好，那么这个时候它大于五，这个点，它的重坐标就是五，那要比五还要大，它的重坐标比五还要大，那在哪里？就是在这个点的上方， 那什么上方？你这里做一条水平线，在这条水平线的上方，那是不是这一段，而这一段上面所有点的什么 横坐标对应下来，那他这个这个点对应下来的坐标就是负二，而上面这一段所有点的横坐标对应下来都是比负二小的，所以我们这里可以推出这个 x 小 于负二， 当这个 k x 加 b 大 于五的时候，这个 x 小 于负二，因为在图像上看到的是在这个点的上方，这里所有的图像的横坐标对应下来都比这个负二要小， 明白了吗？那这个 k x 加 b 要小于五的话，那小于五，这个是五，对不对？比五还要小，就在这个水平线的下面，而下面的图像上所有的点， 它的横坐标对应的怎么样都比这个负二还要大，所以它对应的就是 x 大 于负二。 好了，那么这个呢，就是给大家拓展出来的内容，不要只盯着和 x 轴的比较啊，就是和零的比较，因为它不仅仅只考零，它还可能考其他的数字，你要灵活变通，你再来看下下它下面这段话，他说 对于可以化成 ax 加 b 大 于零或 ax 加 b 小 于零的一元一次不等式，在求它的解集的时候，从函数只考虑，当 相当于在某个一次函数 y 等于 a， x 加 b 的 值大于零或小于零的时候，求自变量 x 的 取的范围，从函数的图像考虑，那么相当于已知直线 y 等于 a， x 加 b 啊，相当于就是这条直线。确定这条直线上的点的横坐标大于零或小于零的时候， 他的重坐标大于零或小于零的时候，他的横坐标的取值范围他的重坐标大于零，那就在 x 轴的上方，在这个 x 轴的上方，小于零的时候就在 x 轴的下方，对吧？重坐标大于零嘛，那就说明在对应的是 y 轴的正半轴， 对吧？小于零的时候，对应的就是 y 轴的负半轴，就这个意思，那么再看他的横坐标的取值范围就 ok 了，那这个就是呢，依次函数和一元一次不等式的关系， 最后再来研究一次函数与二元一次方程和二元一次方程组的关系。先看二元一次方程， 这里给我们举了一个具体的例子，还是刚才那个 y 等于二， x 减一这个函数，它说方程二 x 减 y 等于一，是可以转换为 y 等于二， x 减一的， 怎么转换呢？就是移项嘛，把这个减 y 移过来，一移到右左边去，它就变成了二 x 减一等于 y， 然后左右交换位置，就可以写成函数形式啊。这里呢，他也说了，这种形式是可以对应依次函数 y 等于二， x 减一的，对不对？ 这个方程和这个方程它是有相同的解的，所以这就是为什么二元一次方程可以转换成一次函数的形式，而一次函数的计算也可以看作是二元一次方程的计算，明白吗？好，那么由于一次函数 y 等于二， x 减一，它的图像 是一条直线，这条直线上的每一个点的坐标 x， y 都是这个方程的解啊。以这个方程的解的 x， y 的 值作为一个坐标的点的话，那么这个点都一定会在这条直线上，都会在这个 依次函数的图像上。那你拿这个来看，刚才那个是二 x 减 y 是 等于一的，对不对？好，我们把它转换成 y 等于二， x 减一，那么你从图像上至少可以看出有两个点， 这个点它坐标是零点五零，这个点坐标是零负一，那么这个东西它就可以看出有两个减，一个减是 x 等于零点五， y 等于零。然后另外一个解就是 x 等于零， y 等于负一，看到没有这个点，这个直线上任意一个点的横中坐标都可以当做这个方程的解，因为这个是二元一次方程，所以它是有无数个解的， 那么也就对应了这条直线上有无数个点都可以作为他的解，就这个意思，所以以后你再看到这种二元一次方程，你就可以把它转换成一次函数，对吧？或者通过一次函数的图像去求二元一次方程的解，对不对？好， 继续来看，由于每个函数 x 和 y 的 二元一次方程都可以转换成依次函数的形式，所以每一个这样的方程都对应一个依次函数，于是也对应一条直线。而这条直线上的每一个点的坐标 x、 y， 它的值都可以作为这个方程的解，以这个方程的解， x、 y 的 值为坐标的点也都在这条直线上，所以它们是相互的， 知道吧？好，这里再来思考，他对于二元一次方程组的话，你能从函数的角度去解这个 方程组进行解释吗？啊？对这个解这个方程组进行解释吗？你看这里给了两个二元一次方程，他把它放在一起就是二元一次方程组，对不对？而前面这个我们是可以直接通过书的这个图看出结果的， 而这个呢？啊，他这里也画了，看到没有？他这里直接给我们画出来了，他把下面这个方程也转换成了一次函数的形式，我们转一下，好吧。啊，你先把这个三 x 移到右边去，变成五 y 等于负三 x 加八， 一开始呢是八减三 x， 对 吧？两边同时除以五 y 等于五分之八，减去五分之三 x， 再交换位置等于负的五分之三 x 加上五分之八，你看就转换成了一次函数的形式吧。 这个图呢啊，我们自己做题的话，肯定要自己画，但是书上已经给我们画好了，我们就不用画了，对不对？他把这两个函数的图像画在一起了，看到没有？这两个函数图像它有焦点，这个焦点就是这个 p 点， p 点的横中坐标都是一，那什么意思啊？ 你看这个方程的解，在这条直线上，这条直线上的任意一个点都是这个方程的解，而这个方程的解 在这条直线上，这个直线上的任意一点都可以作为这个方程的解。那么那哪个点可以同时满足这两个方程呢？哎，那就找他们的焦点，对不对？这个焦点就是他们的公共点。什么叫公共点？ 既在 y 等于二， x 减一这个函数图像上，也在 y 等于五分之三， x 加五分之八这个函数图像上，它满足它同时在这两条直线上，对不对？那就可以满足这个方程， 这个焦点既是这个方程的解，又是这个方程的解。好了，那么这个 p 点的很重要，就是这两个方程共同的解，那既然是它的共同解，那就这个方程组的解，就这个意思。所以你要解二元一次方程组， 那么你就把这两个画成图像，找他们的焦点就可以了，知道吗？所以呢， 这两条直线的焦点坐标为一，一，由此可以得到，这个方程组的解就是 x 等于 y 等于一，这个就是一次函数和二元一次方程组的关系。 这里书上也做了总结，它是一般的由含有未知数 x 和 y 的 两个二元一次方程组组成的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数呐， 方程组里面有两个方程，这两个方程对应两个一次函数，把它图像画出来对不对？好， 于是也对应两条直线，从数的角度来看，解这个样的一个方程组相当于求自变量，也就是 x 为和值的时候对应的两个函数值，函数的值啊，这个自变量对应的就是 x 这个函数的值，两个函数的值就是 y， 就是 说什么时候 x 相等，而 y 也相等，那不就是它们的解吗？对不对？ 以及这个函数值是和值，从形的角度来看，就是从图形的角度来看，解这样的一个方程组，相当于确定两条直线焦点的坐标是多少，哎，就可以了。 再来看书上的立体，同时释放两个探测气球，一号气球从距离地面五米的高处出发，以每秒一米的速度上升。二号气球从距离地面十五米的高处出发， 以每秒零点五米的速度上升。两个气球都上升了一分钟。第一问，叫我们求出 这个两个气球所在位置高度 y， 关于上升时间 x 的 函数解析式，那这个还是比较好写的，对不对啊？那么这里的话呢，先看第一号气球， 它距离地面一开始是五米，然后一米每秒的速度上升，那么一开始就是五米，一米每秒，那就是一乘 x， 因为它的时间是 x， 单位是秒，对不对？所以是一 x 就是 x， 所以 它就可以写成 y， 一 等于 x 加五， 而这个 x 的 曲值范围呢，是小于等于六，是大于等于零的，因为它只说了上升一分钟，对吧？好。第二个 y 二， 他是从距离地面十五米的高处出发的，所以一开始就有十五米的高度，然后每秒上升零点五米，那就零点五 x， 所以 这个 y 二就等于零点五 x 加上十五，然后他的曲子范围 也是零到六十秒之间，对吧？第一位就搞定了。那第二个，他说两个气球在某一个时刻 是能否位于同一个高度？如果能，这两个气球上升了多长时间，位于什么样的高度？那这个东西呢？你就可以把它列成一个方程组了，因为因为你看对应的 y 等于 x 加五和 y 等于零点五， x 加十五，对不对？好， 那什么意思呢？他既然说了位于同一个高度，那么对应的就是什么意思啊？对应就是 y 相等，他的高度就是 y 嘛，对不对？他说了高度用字母 y 表示，那同一高度，那不就是 y 相等吗？那 y 相等的时候 对不对？他说这个时上在同一时间，注意某一个时刻，在某一时刻，也就是说 x 相等时间，他不会。因为什么这个两个物体不同的情况下，他就不一样嘛，对不对？因为他这里说的是 同时释放，所以他的时间经过是一样的啊，所以 x 相等， 他既然是同时释放，那就不可能说，哎，他飞了五秒，而他只飞了三秒，不可能吧？时间都是一样的，对不对？你不可能，你的时间比别人过得快， 对吧？大家过的时间都是一样的啊，你过了一天，他也过了一天，就这个意思。所以在某一个时刻能否位于同一高度？但位于同一高度就是 y 相等，在某个时刻就是 x 相等，那那么过的时间是一样的，它同时啊， 是不是所以 x 相等， y 相等嘛？那不就是把这两个一次函数列在一起，当做 二元一次方程组去算吗？对不对？好，那么怎么去算呢？你看 y 相等，那既然这两个式子的 y 是 相等的，你就可以直接把这个 y 替换掉，把下面这个 y 替换成 x 加五，对吧？好， 你就直接把将 y 等于 x 加五带入到二十当中，这一十，这是二十，那就是 x 加五等于零点五， x 加上十五，一项， x 减零点五， x 等于十五减五， 那么零点五 x 就 等于十， x 就 等于零十除以零点五十除以零点五， x 就 等于二十，那么 y 是 等于二十加上五的，所以 y 就 等于二十五，这里算出来就是 x 等于二十， y 等于二十五，也就是说当时间 过了几秒啊，二十秒的时候 啊，两个气球位于同一高度，两个气球位于同一高度， 并且高度为 二十五米， 这就是第二本啊，当然了，书上呢，它也有完整的答案啊，并且呢，书上还把图画出来了，大家可以看一下它这个图可能会更好理解一点，我这里就是把它计算过程写得详细了一点，大家可以看一下， 好，你看对吧？在某一个时刻，两个气球在某时刻位于同一高度，就对应 x 的 某一个值， 这两个函数有相同的 y 值，那就可以列一个方程组了，他把图像画出来，一个从五米开始 放，一个是十五米开始放，对吧？他们的焦点呢，就这个 p 点，这个 p 点的横中坐标呢，就是二十和二十五，对应的就是 x 和 y， 值对应的就是二十和二十五，明白了吗？啊，所以你想要求这两个啊， 依次函数具有相同解的时候，其实就是求这两，就是看这两个依次函数的图像焦点在哪里就 ok 了。 好，再看。练习第一个画出依次函数 y 等于负二 x 加八的图像，利用这个图像去解方程和不等式 啊，我们先把它的图像画出来，我们一般画的呢，都是与 x 轴和 y 轴的交点，我们先画与 x 轴，那么如果你要求与 x 轴的交点，那么你就让 y 等于零， 因为与 x 轴上的与 x 轴的交点，它的重坐标都是零，当 y 等于零的时候，那么零就等于负二 x 加上八，那么二 x 就 等于八， x 就 等于四，所以它会过四零这个点。然后你要求与 y 轴的交点， 那你就让 x 等于零，因为在 y 轴上的点横坐标都等于零，那么你就当 x 等于零的时候， 那么 y 就 等于负二乘零再加八，那么 y 就 等于八，所以它就会 y 就 等于八，所以它就会过零八。这个点的话，画图一个是四零，一个是零八，这是 x 轴， 这个是 y 轴，那我这里就不画的那么细了，我们就画个大概。好吧，假如是这个就是四，这个就是八。好，我把这两个点一连， 这个点的坐标呢是零八，这个点的坐标是四零。 好，你要通过图像去看它的解，负二 x 加上八等于零，对不对？那对应的是不是就是它的 y 等于零呢？负二 x 加八等于零，那对应的 对应负二 x 加八啊，不对，是 y 等于负二 x 加八中 y 等于零的时候， 你把 y 换成了零，那不就是这个四字了吗？对不对？好，那么它对应的就是 x 是 等于四的，因为当 y 等于零的时候，它的横坐标是四，所以 x 等于四，这是由图可知啊。 由图可知好，然后呢？求这个。那么负二 x 加八大于零，那也就是对应的就是函数图像的重坐标大于零，对应的就是 y 大 于对应 y 等于负二， x 加八当中， y 大 于零的时候， 这个图像上的点的重坐标大于零，那不就在 x 轴的上方吗？在 x 轴上方，它这个上方的图像上的点横坐标对应的是不是都比四小啊？所以我们这里对应的就是 x 小 于四 啊， x 小 于四，然后再看负二 x 加八小于零的时候， 它对应的呢，就是 y 等于负二， x 加八当中的 y 小 于零的时候， y 小 于零，就是这个图像上点的重坐标小于零。重坐标小于零，说明在 x 轴的下方，因为下方的 图像上点对应的就是 y 轴上的负数，对吧？就是小于零的时候，那么对应横坐标呢？对应横坐标的话，就在这个四的右边，看到没有，所以 x 就 大于四就可以了。当然了，你说老师 我这个都能直接算出来，我为什么搞得这么麻烦啊？因为后面的题目它可能不会告诉你它的 k 值和 b 值是多少，知道吧？ 第二题，依次函数 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的图像，它的焦点坐标为二一，请确定方程组它的解和 x 的 值， 那么这两个函数它的焦点坐标是二一的话，那么你把这两个函数的解析式连立成一个方程组啊，那么这个二和一对应的就是 x 和 y 的 解，知道吧？我们用文字表示一下， 因为 y 等于二， x 减三与 y 等于 a， x 加二的焦点 为二一啊，焦点为二一，说明这个点既在前面这个函数解析式上，又在后面这个函数解析式上，对不对？函数图像上啊，所以把它们两个列成方程组，这个就是它的结。所以 y 等于二， x 减三和 y 等于 a， x 加二，它们的解就是， x 等于一， x 等于二， y 等于一。用文字描述一下，所以方程组 这个方程组的解 为， y 等于二， x 等于二， y 等于一，就这个意思。那么既然这个解是 x 等于二， y 等于一，那么也就是说，把这个解带进去算，就可以算出 a 值，对不对？满足这两个式子，所以将 x 等于二， y 等于一， 带入二十当中， 那么 y 换成一就是一， x 换成二就是二， a 加上二，一减二等于二， a 负一等于二， a 二， a 等于负一， a 就 等于负一，除以二等于负二分之一，所以 a 就 等于负二分之一，这个也算出来了。 好，再看第三题。刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游， 在假公司租车，那需要收取固定租金八十元，在此基础之上，再按每小时十四元去计费。如果你在乙公司租车的话，就不需要这个固定租金，只需要直接按每小时三十元收费就可以了。 那么当他将租车为多长时间的时候，租用假乙的这个算法，函数解析式表示出来。好吧， 好，首先是假公司，那假公司呢？他上来就要八十块钱，对不对？然后慢按每小时十四元去收费，那么加十四 x， 好， 这里我们写一下，设设一下啊，不能无中生有，设租用时间 为 x 小 时，租用费用， 租用总费用嘛，啊， 为 y 元，这样去表示就可以了。好，那么这个假的这个解析式就可以写成十四 x 加上八十，对吧？那么乙呢？ 它就是按什么？它就是按三十块钱一个小时算的，那么你经过了 x 小 时，那就是三十 x， 对 不对？就三十 x， 那 你 在什么时候，经过多长时间，他们的费用相同，那也就是说甲和乙相等吧，对不对？那你把它列成一个方程组求解就可以了。 y 等于十四 x 加八十，另外一个就是 y 等于三十 x， 对 不对？好，我把它算一下，因为这个 y 值是相等的，费用相同， 那么左边的 y 相等，那右边是不是也相等呢？当然你直接把这个 y 等于十四 x 加八十带入下面这个式子也是一个意思，对不对？好， 那么 y 相等的话，那么这个右边就相等，十四 x 加上八十等于三十 x 到一项十四 x 减三十， x 等于负八十，那么就等于负十六， x 等于负八十 x 就 等于负八十，除以负十六， 然后算出来 x 就 等于五，对吧？所以经过五小时之后啊，如果他租用的时间为五小时，那么你选择假公司和乙公司都是一样的，对吧？所以我们就答 这里也没有叫我们求出这个 y 值啊，你想要求出这个 y 的 费用也很简单，你拿三十乘上五就可以了， y 就 等于一百五十六，对不对？你如果要用这个式子去算的话，那就是 y 等于十四乘上五加八十，十四乘五等于七十，七十加八十也是等于一百五的，当然了，这里不需要我们求 y 值，知道吧？答，租车时间 为五小时的时候， 五小时租用甲乙两个公司 汽车费用相同。
2661毕老师细讲数学
17:53查看AI文稿AI文稿好，来看依次函数的图像与性质，研究依次函数，哎，你就不免研究它的特殊情况，正比例函数，正比例函数呢，就是特殊的依次函数，形容 y 等于 k x k 不 等于零，那么这个就是正比例函数的一般式，对不对？好，那么既然要研究图像和性质，那你就要先画图吧，对不对？那这里的例题一呢，他就给了两对正比例函数让我们画 啊。第一对呢，是 y 等于二 x 和 y 等于三分之一 x 啊，它这里呢列了个表格，这个表格呢，仅仅只是写 y 等于二 x 的， 那这个是 y 等于二 x 的， 那么我们还要把 y 等于三分之一 x 算出来，不过我们先观察一下它这个表格里面给出来的数据，能得到哪些点，对不对？好， y 等于二 x， 当 x 等于负二的时候，那么用二乘负二等于负四， 当 x 等于负一的时候，二乘负一等于负二，对不对啊？然后零乘二得零，一乘二得二，二乘二得四，好，把它的函数全部写出来，哎，你就可以知道这个 y 等于二 x 一定会过哪几个点呢？ 第一个点是负二、负四，负一、负二、零零一二二四，他会过这五个点，书上已经给我们画好了，他把这五个点呢，都画在图像上，已经标好了，看到没有？ 负二负四就是这个点，负一负二就是这个点，零零在这里，一二在这里，二四在这里啊，他已经给我们画好了，并且连接起来这条直线，另外这条蓝色的线就是 y 等于三分之一 x 了， 那么这里没有告诉我们点呢，所以我们自己补充一下，好吧，那我们在下面一行就写 y 等于三分之一 x， 当这个 x 等于负二的时候，你把负二乘上三分之一，就等于负三分之二，你拿负一乘三分之一等于负三分之一，你拿零乘三分之一得零，你拿一乘三分之一得三分之 二就可以了。哎， 那么我们就会发现， y 等于三分之一 x 一定会过什么负二负三分之二这个点，也会过负一负三分之一这个点， 过零零这个点，过一三分之一这个点，然后过二三分之二这个点，所以它会过这五个点，那么你把这五个点描上去也是一样的，对吧？所以它会过 负二负三分之二就这个点，负一负三分之一在这里，零零在这里，一三分之一在这里， 二三分之二在这里。好了，这五个点连起来也是一条直线啊，是同他们在同一条直线上，这条直线就是 y 等于三分之一 x， 好 吧，好，你会发现这两个图像它都经过一三象限 回原点，对不对？这个是第一对正比例函数，再看第二对，那它也画了啊，它在画下面也画了个表格 来，这里写的是 y 等于负一点五， x 的， 你拿负二乘负一点五就会等于三， 拿负一乘负一点五就会等于一点五，拿零去乘负一点五就会等于零啊，也，后面也是一样的，可以得到这五个点，所以我们就可以得到 y 等于负一点五 x 会经过哪五个点呢？会经过负二三 负一一点五零零一，负一点五 二负三啊。这个 x 呢，对应呢就是横坐标， y 呢，对应呢就是它的重坐标啊，会过这五个点，那书上呢？已经给我们画好了，这个在这，这个在这，这个在这，这个在这，还有这个啊， 连起来是一条直线，然后呢，这个 y 等于负四 x， 它这里没写，我们同样补充一下啊，同样补充一下， y 等于负四 x 负二乘负四等于八负二，而这个负一乘负四等于四零乘负四得零，一乘负四得负四，二乘负四得负八。好，所以我们就会知道 y 等于负四 x 会经过 负二八这个点，会经过负一四这个点，零零这个点，一负四这个点，以及二负八这个点，它会经过这五个点，然后呢，我们把这五个点描出来啊， y 等于负四 x 会过负二八在哪里呢？ 负二八的话就估计在这里了，我们就要把这条线延长出来了。延长一下，好吧， 它这个负二八的话，估计标的比较远，估计得跑这来。这是负二八，然后负一四在这个位置啊，零零在这个位置， 一负四大概在这里，然后下面的话，二负八其实还要往下延啊，还要往下延长啊，这里我就不延长了，大概在这个位置。好吧， 好，也是。这五个点把它连起来是一条直线，它是经过什么呢？这两个直线都只经过二四象限和圆点，对不对？好，你看一下它是怎么总结的？ 再回顾一下，当这个 k 值都是正数的时候，它经过一三象限，对不对？ 当这个 k 值都是负数的时候，发现了吗？它都经过二四相减，看到没有？以上四个函数图像都经过圆点，其中 y 等于二， x 和 y 等于三分之一。 x 的 图像它是经过第三和第一相减的，从左向右上升，看到没有啊？ 斜上方，它是斜上画的，从左到右是上升的， 你再看 y 等于负一点五 x 和 y 等于负四 x， 它都是斜向下， 看到没有？它都是经过第一项线和第四项线的，并且从左到右，向下，向下。 那么这个画法呢，有很多种说法，有从左向右上升，我们书上管它叫什么呢？我们书上管它叫 y 随 x 增大而增大。斜向上，斜向上，我们把它称之为 y 随 x 增大而增大，斜向下，我们称之为 y 随 x 增大而减小。 那么有些呢，有些老师也会直接说，哎，向上画或向下画啊，但是他会理解为这样向上，这样向下啊，那是不对的，知道吧？斜向上，斜向下，那么到了高中的话，我们叫单调递增和单调递减啊，单调递增，单调递减， 所以叫法有很多，知道吧？啊，反正书上的说法就是 y 随 x 增大而增大，这是 k 大 于零的时候，它就是斜向上画的， 然后呢， y 这个 k 小 于零的时候，那么它就会从左向右下角书上是叫 y 随 x 的 增大而减小。你们答题的时候最好按照这个标准来，不要想着啊，我写这个，你写这个的话就很容易错了，知道吧啊，因为它不够严谨。 记住，斜向上化叫 y 随 x 增大而增大，斜向下化叫 y 随 x 增大而减小，对不对？那么我们总结出来就是什么呢？总结出来就是 k 大 于零啊，向上化，斜上化， 斜向上啊， k 小 于零，斜向下，然后这个呢，是经过什么呢？ k 经过第一项线和第三项线，这个呢，是经过第二项线和第四项线啊， 然后你再看我们刚才画图的时候，立体里面是不是都给了五个点啊？对不对？但是你会发现正比例函数图像画出来是不是都是一条直线？ 哎，你发现这个问题了，那书本上也发现这个问题，他说由于正比例的正比例函数的图像他都是一条直线，那么你想一下，一条直线是不是有两个点就可以确定下来，为什么呢？因为两点确定一条直线呢？ 两个点就可以确定一条直线了，对不对？所以我们只需要画两个点就够了。而正比例函数 y 等于 k， x k 不 等于零，它的图像又是经过原点的直线，所以我们只需要再知道一个点就可以了。因为正比例函数怎么样一定会经过原点， 正比例函数一定会经过原点，所以你只需要再加上另外一个点就可以了。 所以只需要在确定正比例函数图像上的另一个点，就可以画出正比例函数的图像。一般的我们可以取 e k 这个特殊值，因为 y 是 等于 k， x 的， 当这个 x 等于一 y， 一定会等于 k， 因为 k 乘一得 k 嘛，对不对啊？所以你可以取圆点和一 k， 取点一 k 以及圆点，再单独写一下，加圆点，这两个点都是特殊点， 那么你在脑子里就可以把这个图像画出来了。来看到练习，第一个用你认为最简单的画法 画出下列函数图像，那么最简单的刚刚前面已经提过了，对不对？第一个正比例函数怎么样？过圆点零零，然后呢？他一定会过一 k 这个点，对吧？两点确定一条直线，你就可以直接把这两个正比例函数画出来了。 所以第一个是零零肯定会过的，第二个就是一 k， 这是它的特殊点，所以我们把这两个函数画成一个表格啊，所以我们画三格就可以了。 第一行写 x， 我 们就写零和一，第二行写 y 啊， y 等于二分之三 x， 这里写 y 等于负六 x， 你 把零带进去，一定等于零，对吧？零乘任何数都得零，然后你再把一带进去，一乘任何数都得任何数等于二分之三以及负六。所以它这个函数图像，它会经过零零这个点， 它会过零零这个点，也会过一二分之三这个点，然后这个呢，会过零零这个点，也会过一负六这个点。 ok 了，好，咱们现在画一下图像， 原点肯定是要有的，对不对？ x， 然后这两个点，另外两个点呢？它在第一象限和第四象限， 这里是零啊，然后这里写这个，写，这就写一吧，等一下写这里吧，这里写一。然后呢，这个上下要取到六，这里是六，这是三 五四二一，这里取到负六负三啊，其实可以了，够了，一个是零零，一个是一二分之三，在这个位置， 这里对到二分之三两点，确定一条直线，连一下这两个点，这条直线就是 y， 等于二分之三 x。 再看这个，这里经过零零，不用多说。然后一负六，找到一负六，一负六就在这里， 这就是一负六，这是圆点。好，把这两个点连起来。 好，这条直线呢，就是 y 等于负六 x， 好 了，咱们这个图像就画完了。 再看第二题，若点二 m 和点负三 n 都在函数图像上，这个函数是 y 等于 k x， 并且 k 小 于零，对吧？叫我们尝试比较 m 和 n 的 大小，那么这个就要借助图像了，你说，哎，这个 k 没告诉我们呢， 我怎么借助图像呢？它告诉我们 k 小 于零，对不对？好，我们这里可以写，因为 y 等于 k x， 并且 k 小 于零，说明什么？所以这个图像就是 y 随 x 的 增大而减小 啊。 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小， k 大 于零的时候， y 随 x 的 增大而增大，我们把它写出来， y 随 x 的 增大 而减小啊，所以这个图像过这个二四象限，过二四象限和圆点。 如果你还是不太理解，你还是可以跟刚才一样画表格，对不对？画哪两个点呢？一零啊， 零零和一 k。 假如说这个是 x， 这个是 y 等于 k x， 那 么你把零带进去就是零零，你把一带进去就是一 k， 所以 你会过零零这个点和一 k 这个点，而 k 怎么样？它是小于零的，你在图像上画出来， 那原点肯定是会过的，对不对？还有一个是一，而 k 呢，是一个负数， k 是 小于零的，它是一个负数，所以在第四项线，那么假如说这个点就是 k， 这个 k 不 一定就在这里啊，它 k 也有可能在这里，对吧？它也有可能在更下面，都可以啊，连接这两个它就怎么样，它就是它的函数图像。好，那么一个是二，一个是负三，二在哪里啊？呐？假设这里就是二， 它对应的这个点的这个位置对应的就是 m 啊，这 y 轴上的点就是 m， 然后你再把这个点，这个线延长一点出来，那再找到负三， 假如说负三在这啊，这个 x 轴咱们也要稍微画长一点，不然对不上 好对齐，这个点就是 n， 因为这个点呢，在图像上就是负三 n， 它既然说这两个点一定会在函数图像上，所以它只能这么画，知道吧？这个就是 r m， 那 你觉得 这个 m 大 还是 n 大 呀？你就在 y 轴上去找 y 轴上 n， 在 这个 m 的 上面，是不是说明这个 n 比 m 大， 所以我们这里就可以直接由图可知，对不对啊？由图 可知，这个 n 是 小于啊，不对， n 是 大于 m 的， 或者是你这里写 m 小 于 n 也是可以的，对吧？但是呢，像这种方法啊，比较麻烦， 那么我们更多的呢，是用什么呢？用它的性质，它 y 随 x 增大而减小嘛，什么意思呢？这句话就是 x 越大 啊，它的 y 就 越小，明白吗？所以我们就直接接着这个下面去写，因为这个二是大于负三的，所以我们就可以得到这个 m 就 小于 n 就 可以了。 以后的话，这个题目是不需要画图的，你只需要通过它 k 值是正数还是负数去判断它是 y 随 x 增大而减小，还是 y 随 x 增大而增大，就可以了。所以 k 大 于零，单调递增， k 小 于零，单调递减 啊，这个一定要记住，我们都是通过这个性质去判断的，不会再画图了，知道吗？只有刚开始的时候，我们研究的时候才会去画图，以后就不会画了。 那么这里呢，我们再说一下，就是它的横坐标 x 越大，在这里，因为它是 k 小 于零嘛，所以是 y 随 x 增大而减小，所以这里 x 越大，说明它的纵坐标就越小，知道吧？好，所以二大于负三的情况下，那么这个 m 就 会小于 n， 那 如果这里 k 大 于零，那就反过来了，那就反过来。如果这里是 k 大 于零的话，那么 x 越大，它的 y 就 越大，就这个意思。
290毕老师细讲数学
21:57查看AI文稿AI文稿好，我们再来看一下如何用待定系数法去算依次函数的解析式。那么什么叫待定系数法呢？我们来看一下这个例题四，你就知道了，它这里告诉我们已知一个依次函数的图像，它经过点二负四和点负三十一， 那因为这个依次函数的图像怎么样啊？它是一条直线， 而两点就可以确定一条直线，所以他告诉你两个点了，那你就可以把一次函数的图像画出来， 那如果说他叫你求解析式呢？那么你就把这两个点怎么样带入一次函数的一般式里面， 一次函数的一般式就是 y 等于 k， x 加 b， 对 吧？它既然在这个函数图像上，那么把这两个点带入解析式，是一定可以满足等式的关系的，对不对啊？你把它带进去，比如说二负四， 你带入带入到哪里呢？带入到 y 等于 k， x 加 b 当中，那么你就会得到把这里的负四换成 y， 把这个二换成 x， 那 么你就会得到负四等于二 k 加 b， 因为 k x 就是 k 乘二， k 乘二等于二 k， 对 不对？然后你再把另外一个点负三十一 带入到 y 等于 k， x 加 b 当中，你就会得到用十一换掉 y， 用负三换掉这个 x， 那 么就是十一等于负三 k 加 b， 对 吧？好，那么你看一下 这两个方程当中是不是有两个未知数，因为这里的 k b 是 相等的，所以你可以把它连立在一起，那么它就是一个二元一次方程组， 二元一次方程组的话，是可以求出两个未知数的，对不对？所以我们现在只需要把这两个怎么样算一下就可以了，看到没有？ 那刚才我们把这两个点带进去了，整理出来之后发现是这两个方程，把这两个方程重新写一遍，把这二 k 加 b 写左边，复式写右边， 负三 k 加 b 写左边，十一写右边啊，连立方成组，然后把 k b 算出来。那么这里呢？我们把它当做一式和二式，书上没有写步骤，没有写计算过程，我把这个过程补一下，你拿这两个四字相减一，四减二四，对不对？左边减左边，二 k 加 b 减去负三 k 加 b 等于负四减十一，对吧？左边减左边，右边减右边，那么就会得到二 k 加 b 减负三等于加三啊，然后减 b 减四，这个负四减十一等于负十五，然后把它加起来，五 k 加 b 减 b 抵消掉了，所以五 k 等于负十五， k 就 等于负十五，怎么样？除以五 k 就 等于负三，然后你再把这个 k 等于负三带回到其中一个式子里面， k 等于负三，带入到一式当中，那么这个二乘负三 加上 b 就 等于负四，所以就是负六加 b 等于负四， b 就 等于负四加六， b 就 等于二，那么你就会算出 k 等于负三， b 等于二，然后把它写在这个位置就可以了。好了，那么这个 k b 都算出来了，你再把 k 和 b 还原到它的一般式里面，还原到 y 等于 k， x 加 b 当中，你把这个 k 换成负三，把 b 换成二，你就会得到它的解析式。 y 等于负三， x 加 b， 这个方法就叫做待定系数。法 面意识上理解，就是把这个 k 值和 b 值把它当做不知道的数值，就是待定嘛，对不对？好，这就是待定系数法， 那么由于这个一次函数 y 等于 k， x 加 b， 当中 k 和 b 两个待定系数，所以用待定系数法的时候，一定要根据两个条件列出二元一次方程组。如果你只能带入一个点的话，那么这个是算不出来 k 和 b 的， 知道吗？必须要有两个点才可以啊。然后把这个 方程解出来，就可以求出一次函数的解析式了。而前面的例题三和例题四，那说明两个方面。 首先如果你知道解析式了，那么你就可以通过解析式去取点，得到两个点之后，你把这个两个点连起来， 你是不是就可以画出依次函数的图像，这条直线对不对？那如果呢？你只知道图像怎么办呢？你如果只知道图像，那么你就在图像上选两个点出来，然后通过这两个点带入到 依次函数的解析式当中，列一个二元式方程组，就可以把 k 值和 b 值算出来，那么就可以反过来求出依次函数的解析式，所以它们两个是可以相互的，知道吗？知道解析式可以画出图像，也可以知道图像画出算出解析式啊，这个是互通的。 再看立体五，一位记者乘坐汽车负三百六十千米外的乡村去采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路，那么在高速路上肯定跑得快一点，对不对？ 普通公路就会慢一点。汽车在高速公路上和普通公路上分别以某一速度匀速行驶， 汽车行驶的路程 y 与时间 x 之间的关系如图所示，那么你看他两小时之前是不是比较抖，对不对？说明跑的比较快，两小时之后是不是比较缓，这条直线是不是比较平，对吧？好，所以他就比较跑，跑的就比较慢。 第一问，这里叫我们求汽车行驶的路程 y 关于时间 x 的 函数解析式，那么这里你要分两段去求，你光是一段的话是不行的，知道吧？啊？ 第一段呢，就让它怎么样？大于等于零，小于等于二，第二段的话，咱们就让它大于二就可以了，分两段去打。 好，那么你第一段就是求 o a 这条函数解析式，对吧？那么你就可以通过这个图形怎么样看出 a b 两点的坐标。首先 o 点的坐标不用多说，对吧？啊，咱们这里可以由图可以看出， 这个 o 点的坐标是零零啊， a 点的坐标呢，是二一百八， b 点的坐标是三点五二百七。好，那我们要求 o a 这条直线的解析式，那你就把 o 和 a 带入这个 一般式 y 等于 k， x 加 b 当中，对吧？好，那么将 o 点 将这个 o 点零零与 a 点二一百八，带入到解析式这一段，我们就求 o a 等于 k， x 加 b 当中。那有些同学说，哎，这不是正比例函数吗？是的，是正比例函数，但是有些同学看不出来的话，你就直接用一般式去证，最后算出来正比例函数 b 就 会等于零，知道吧？好，那我们就带入正常带入就可以了，你就会得到两个， 你把零带进去，零带进去， k 乘零，加上 b 会等于零，那么就是 k 乘上零再加 b 会等于 y， 就 等于零。 再把这个二和一百八带进去， y 换成一百八，二换成 x， 所以 就是 k 乘上二加上 b 会等于一百八。好，化简一下，你就会得到 b 乘零得零，对不对？好， k 乘二就是二， k 加 b 等于一百八，那么由于这个 b 是 等于零的，所以这个式子可以接着算一下，它就算成了二， k 加零等于一百八就等于一百八，所以这个 k 就 等于九十。所以第一段 o a 这条线段，它的解析式就是，哎，九十啊，不是九十度 就等于九十 x， 并且 x 取值范围小于等于二大于等于零，对吧？这第一段再求 ab 这条直线，那 ab 这条直线，那么你就要把 ab 这两个点带进去了，对吧？好，将 a 点二一百八和 b 点三点五二百七 带入到 a b 这条解析式当中，那就是 k x 加 b 当中啊。这里的话，我们可以因为一个题目里面它不能有两种啊，不能用这个 k 同一个字母表示两个不同的未知数，所以我们就把它设为一一，这里都写上一， 好吧。那么下面呢，我们这里的 k 呢，就把它全部换成 k 二和 b 二， 这样表示这两个 k b 值是不相等的，好吧？然后带进去，那么你把这个 a 点带入这里面，那么你就会得到是 k 二乘上二， 再加上 b 值会等于 y 值一百八。第二个你是这里是 b 二啊，再把三点五换掉这个 x， 把这二百七换掉 y 加上 b 二等于二百七。好，咱们再化简一步，就会得到二 k 二加上 b 二等于一百八，然后这个是三点五， k 二 加上 b 二等于二百七，这是第一个式子，这第二个式子，我们拿第二个式子减去第一个式子，那么你就会得到啊，这里我就不写的那么详细了啊，直接就去减了 b 二减 b 二抵消掉了三点五， k 二减二， k 减二， k 二还剩一点五 k 二， 然后这个二百七减去一百八等于九十，所以这个 k 二就等于九十啊。写九十总是习惯性的写上度， k 二就等于九十除以一点五，那么九十除以一点五的话，这个 k 二就等于六十，然后你再把 k 二等于六十带入到一式当中，将啊，这个 k 二等于六十带入到一式当中，将啊，这个 k 二等于六十带入到一式当中。将 带入一式当中，那么就会得到二乘六十，加上 b 二等于一百八，所以这个 b 二就等于一百八。减去一百二，所以这个 b 二就等于六十。那我们算出来的结果就是 k 二等于六十，缩小一点啊， c 二等于六十， b 二也等于六十，所以它的这个第二段 a b 的 解析式，它就是什么呢？它就是六十 x 加上六十，它的取值范围是 x 大 于二的。好了，那么这两段咱们就都求出来了， 再看他的第二问，记者出发之后多长时间可以到达这个采访地，那么他要到多少多远呢？ 三百六十千米外，对不对？所以他也等于三百六十千米，那你就让第二段你看，从从图像上来看，你就看出他这个三百六一定是在第二段的，所以我们就带入这个设置里面去，对不对？好，当 y 等于三百六的时候，那么这个 a b 等于六十， y 等于 ab， y ab 等于六十， x 加上六十，就可以写成三百六十等于 六十 x 加六十，移项负六十 x 等于六十减三百六，所以负六十 x 就 等于负三百 x 就 等于负三百，除以负六十 x， 它就等于五， 所以过多少时间呢？过五个小时就可以到了，对吧？所以我们就说啊，出发五小时后 到达 采访地就 ok 了。当然了，这道题的话，下面它也是有答案的，书上也写了完整的过程啊，只是它把计算过程省略掉了。我在上面呢，就是把计算过程给大家补齐了，好吧，大家可以自己看一下。 再来看到练习第一个一个依次函数，当自变量 x 等于一的时候，函数值 y 等于五， 当 x 等于负一的时候，函数值 y 等于一。叫我们求这个一次函数的解析式。首先我们把一次函数的一般式写出来， y 等于 k， x 加 b， 然后一对应往里面去套，知道吧？他说当 x 等于一的时候， y 等于五，那我们就可以推出这个式子里面的 x 和 y 分 别换成一和五，那么就是五等于 k 加 b 啊。然后第二个条件，当 x 等于负一的时候， 它的 y 等于一，我们就可以得到这个 x 换成负一，这个 y 呢？换成一，那么就是一等于负， k 加 b。 好， 我们整理一下这两个式子， k 加 b 等于五， 负 k 加 b 等于一，一式和二式，你拿两个式子，一加一式加二式，你可以把这个 k 抵消掉，对不对？你就会得到二 b 等于六，因为五加一，它就等于六，对吧？好，所以这个二 b 呢，就等于六， b 就 会等于六，除以二， b 就 等于三。好， b 就 算出来了。那如何求 k 呢？那你就两个式子相减，对吧？一式减二式。好，因为这里的计算不是很多，我这里写完整一点一式，左边减，左边 k 加 b 减去负 k 加 b， 右边减，右边 就是五减一，那么 k 加 b， 加上减负 k 就是 加 k， 再减 b 等于四， b 就 被抵消掉了。二 k 就 等于四，那么 k 就 等于二，所以最后算出来是 k 等于二， b 等于三，所以这个解析式 y 就 等于二， x 加三就可以了。啊，这个就是它的解析式。 再看第二题，一个一次函数的图像经过点九零和二十四，二十叫我们求这个一次函数的解析式。咱们要求一次函数的解析式，可以用待定系数法把这两个点带入一般式当中，对吧？好，一次函数的一般式是 y 等于 k， x 加 b， 我 们就将这两个点带进去，将九零和二四二十 带入到 y 等于 k， x 加 b 当中。好，那么这样的话呢，咱们就可以得到两个式子，你把九换成 x， 零换掉 y， 那 么就得到了零等于 k 乘九， 再加 b， 然后把这个带进去，那么 y 换成二十，那么就会得到二十等于 k 乘二十四加 b。 好， 整理一下就会得到九， k 加 b 等于零，二十四 k 加 b 等于二十。 好，我们拿这两个式子一减，你就会得到 b 被抵消掉了，对不对？二四减一四二十四 k 加上 b 减去九， k 加 b 等于二十减零。好，拆开括号， 加 b 减 b 就 抵消掉了。那么二十四 k 减九， k 等于十五 k， 十五 k 等于二十 k 就 等于二十。除以十五，这个 k 就 等于三分之四， 咱们再把这个 k 等于三分之四，三分之四带入到一式当中，那么这个九乘三分之四加上 b 等于零，就会得到九和三，约掉还剩三三四十二，十二加 b 等于零， b 就 等于负十二， 那么咱们就可以得到 k 等于三分之四， b 等于负十二，那么这个解析式就是 y 等于三分之四， x 减十二啊，加上负十二就减十二嘛。这个这样的话，咱们就把它的解析式求出来了。 第三题，一位旅客乘坐某航空公司飞机的时候，购买了经济舱的机票， 他所托运的行李费用为 y 元，与行李的质量 x 的 关系如图所示，那么这位旅客可以免费托运的行李最大的质量是多少千克？你看如果是二十五千克的话，那他就要花九十块钱， 如果是三十千克的话，他就要花一百八十元，你看这里有一段红色的线，看到没有？也就是说他到这里的时候，哎，他所有的钱都是零元，是不要钱的，知道吗？好，所以他问我们的其实就是问这个点是多少， 你把这个点求出来，那么他的这个质量就在这个点之前就是免费的，知道吧？好，那我们这里写一下。首先我们从这里可以看出有两个点，一个点是二十九、二十五、九十， 然后这个呢是三十、一百八十，那么你会发现它是一条直线吗？所以我们严格来讲，我们就设一下，设这个函数 的解析式为一次函数， 那就是 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零，对吧？好，现在我们把这两个点带进去，将 二十五、九十和三十一百八这两个点带入，你就会得到 它的横坐标 x 可以 换掉 x， 它的重坐标九十就可以换掉 y， 所以呢，我们就可以把它写成九十等于 k 乘二十五再加 b， 然后第二个你把这个带进去， x 换成三十， y 换成几一百八，所以它就是一百八十等于 k 乘三十，再加 b。 再整理一下，把它的 k 和 b 都写左边，那就是二十五 k 加 b 等于九十三十， k 加 b 等于一百八，那么这两个式子里面都有一个 b， 两式一减，就可以把 b 抵消掉，二式减一式，那么就是三十 k 加上 b 减去二十五， k 加上 b 等于一百八十减九十三十 k 加 b 减去二十五， k 减 b 等于九十，加 b 减 b 抵消掉三十， k 减二十五， k 等于五 k， 五 k 就 等于九十， k 就 等于九十除以五，九十除以五等于十八，所以 k 就 等于十八，对不对？咱们再将 k 等于十八带入到其中一个式子， k 等于十八 带入到一式当中，那就是二十五乘十八加上 b 等于九十，对吧？ 算出来等于四百五十，加上 b 等于九十， b 就 等于九十，减去四百五，那么 b 就 等于负三百六啊，那么 k b 就 都算出来了， k 等于十八， b 等于负三百六，就 ok 了。那么这个解析式呢，就是 y 等于十八， x 减三百六，那么我们要求这个点对不对？与 x 轴的交点，那么你就令 这个 y 等于零，因为在 x 轴上的点，所有的点，它的纵坐标都是零，所以你就让 y 等于零，则零等于十八， x 减三百六，咱们把十八移过来，负十八， x 等于负三百六，所以 x 等于负三百六除以负十八，那然后呢？这个算出来就是 x 就 等于二十，所以这个与 x 轴的交点 就是二十零，那么也就是说在二十之前它都是不用给钱的，对不对？所以它这里可以免费托运的行李最大的质量就是二十千克啊，二十千克，所以我们就写 可以免费托运的行李最大的质量为二十千克就可以了。
345毕老师细讲数学
02:20查看AI文稿AI文稿在我们日常生活中，处处都存在着数量变化的规律，一总量发生改变，另一总量也会随之有序变化。放学啦，我们去前面奶茶店买饮品喝吧。这家奶茶店的奶茶单价固定不变， 买的数量不同，最后花费的总钱数也就不同。同学您好，本店奶茶价格一致，请问你们需要购买几杯？ 那我们先买一杯尝尝吧。单价保持不变，购买数量增加，总消费金额便会均匀增加，变化规律清晰明确，味道很不错，我们再买一杯吧。好嘞，请稍等。这种一个量不变，另一个量随之均匀变化的数量关系，就是我们今天要学习的一次函数。 同学们，视频中奶茶的单价是固定不变的，购买的杯数越多，总共花的钱也就越多，而且变化十分有规律，我们用字母表示出数量与总价，就能列出对应的关系式。接下来就让我们一起探求一次函数的相关知识。
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02:32查看AI文稿AI文稿生活中有很多有趣的变化现象，就像这辆匀速行驶的小汽车，它的路程和时间藏着我们学过的数学规律。我们知道，路程 s 等于速度 b 乘时间 t， 当速度不变时，时间越长，路程越远，这就是正比例函数的变化规律。 可如果两辆小汽车的行驶速度不同，其路程随时间的变化率也存在差异，仅通过文字描述与公式推导，难以直观呈现这种差异。 在数学领域中，有一个实用的格式化工具，可将这种抽象的变化规律转化为直观图形及函数的图像。本节课我们将共同探索正比例函数的图像与性质，熟练掌握这一格式化工具，深入理解正比例函数的变化规律。
9阿峰
05:58查看AI文稿AI文稿一次函数的共乘问题是我们每年期末几乎是必考的题型啊，是必考的一个压轴题，他要求呢，我们对正比例和一次函数的图像要非常的熟练，还要求我们能够清晰的探讨他们这样的关系，特别像这种题目，他给你一个双重 buff， 给你叠加 buff 啊， 那又怎么样呢啊？原本定义当中 y 点 k 加 b， 那 我给你个解释，也有 k 也有 b， 那 这 k 和 b 之间到底是什么关系啊？很多同学就搞不清楚，那今天的话，我们一步一步给大家讲清楚，那在讲之前的话，我们现在回顾一下这个正比例和一次函数的图像， 那总的来说，我们正比例和一次函数呢？总共有六种图像，正比例呢有两个，一次函数呢有四个， 那这里呢？影响他们这个图像不一样的一个因素在哪里呢？就是两个字母，一个是 k， 一个是 b。 我 们先来看一下 k， k 无论是在正比例还是在异次函数，他们影响的东西都是一样的，就是趋势。 什么叫趋势呢？就这么从左往右来看，像这种呢就是上坡啊，上坡，像这种呢就是下坡，下坡，下坡。那这个呢，就 k 来解决啊， k 来决定。那上坡的时候呢， k 统一都是大于零的啊， k 都是大于零的， 下坡的时候呢， k 都是小于零的，这只 k 都是小于零的。好，那这个 b 这个字母决定的是什么东西呢？这个决定的是与 y 轴的交点位置 啊，交点位置，那如果说我这个图像与 y 轴交在这个地方，这是 y 的 正半轴，那你比如说这个也交在正半轴，那 b 也是大于零的， 那像这种呢，它交在这个地方是 y 的 负半轴，那就是 b 小 于零啊，这个呢，也是交在 y 的 负半轴， b 也是小于零的，那你看啊， k 和 b 共同就影响到了我们的六个图形。 哎，那你说，哎，我知道你的 b 去哪里了，那也就说它经过原点，相当于歪着胶带的这个零这个地方，说明此时 b 是 等于零的，所以我们的正比例里面没有这个 b 字母啊，所以我们要弄清楚啊，这两个图形， k 和 b 是 怎么影响的？好，接下来我们回到这个题啊， 来看一看。那要解决这个问题呢，首先我们要弄清楚 k 啊，我们这里我特意用红色来标出来的啊，我们定义当中的 k 是 决定了它的趋势的，定义当中红色的这个 b 决定了它是与 y 轴的交点位置的， 那他现在给出来的这个黑色的 k 呢？哎，也是我们这个 x 前面的，所以这里的红色 k 和这个黑色的 k 是 一样的道理 是等同的啊。但是呢，后面我这个红色的 b 在 这个地方表达式里面对应的应该是负 b， 比如说这个表达式里面，负 b 这个整体决定的与 y 轴的交点位置 啊，好，来到这里，正比例呢，也是这样，我红色的这个 k 啊，就是我们定义当中的 k， 它决定的是趋势，那在这个表达式里面，它等同于负的 k 分 之 b 这个整体，那这个整体决定的趋势好弄明白的这个东西呢，接下来我们要采取两步， 我们就用假设法，哎，我们从 a 答案开始，那假设其中一条，那是正确的，我们可以得到 k 和 b 的 一个取的范围。然后第二步呢，我们就把它带入到另一个函数里面，去验证它是否是正确的。那比如说，我们看从 a 答案出发，我就假设依次函数啊， y 等于 k， x 减去 b， 它是正确的。我们从它的图像上来阅读一下啊。你看，首先看趋势，它是上坡的，说明我这里的 k 是 大于零的。 然后其次看到与 y 轴的交点，哎，很明显交在负半轴。我们说了这里的影响与 y 轴的交点是我们的负 b 啊，所以此时应该是负 b 小 于零， 那么 b 呢？就是怎么样啊？就是大于零的。好，我们知道了 k 大 于零， b 也大于零，那么就验证一下此时我的这个正比例，它的图像对不对？ 那你看啊，啊，我 k 大 于零， b 大 于零，说明 k b 同号，同号为正，再添加一个负号，说明我这个整体是怎么样呢？是小于零的。那小于零的话，那个趋势应该是怎么样？下坡， 那你很明显啊，这个证明就是上坡的，所以怎么样啊？不符合，不能共存，那就是去掉。我们再看一个 b 答案，我们依然假设这个 依次函数，它是正确的。那首先看趋势，从左往右是下坡，说明 k 是 怎么样呢？小于零的交点在正半轴，我们交点是由负 b 决定的，负 b 大 于零，反过来 b 就 怎么样呢？小于零。 好，那么现在来验证这个正比例啊， y 等于负的 k 分 之 b x， 那 你看 k 小 于零啊， k 小 于零， b 也小于零，同号哎，同号为正，再加上一个符号就是负啦，小于零，小于零的话，它应该是下坡，结果它还是上坡，还是不行， 我们再看 c 答案， c 答案呢？我们假设一次函数正确， y 等于 k， x 减 b， 首先看趋势，下坡 k 是 小于零的，看焦点， 焦点负 b 是 怎么样呢？就在正半轴大于零，那 b 就 怎么样呢？小于零。好，那这个时候我们来验证一下这个一次函数啊， y 等于多少呢？负的 k 分 之 b x。 那现在我们知道 b 小 于零， k 也小于零，也就说 k b 同号，同号为正，加上一个负号，整体是小于零的。小于零就意味着我这个正比例啊，应该是下坡的趋势，哎，好，哎，很明显啊，这就是下坡的，你看就符合要求啦， 符合要求说明它是什么呢？能够共存，能够共存，那就正确了。所以这个题选择啊， c 答案，大家自己去验证一下。
57木子数学
02:18查看AI文稿AI文稿咱们继续做学霸题中题里的这个第七题，它是转向题，有十九里的第十七题， 这个都好做一点。他说周末早晨这个老师王老师从家里出发去公园锻炼，连续匀速走了六十分钟 后回到家，也就是说他一直在以六十，呃，以一个匀数整来的时间 t 是 六十 v 不 变， t 等于六十 图中的折线。这儿看这图啊， o、 a、 ab、 bc 是 他出发后所在位置离家的距离 s 与行走时间 t 之间的函数关系。也就是说它 o a 段它是在离开加征兆了吗？然后 ab 段在加的位置没变，但是它在运动，但是距离加不变。你说能想到圆啊？ 那不是所有到这个一个点的位置相同的这个集合就是圆吗？ b、 c 是 从 b、 c 的 时间开始匀速的返回家里。 他说下列图形中可以大致描述王老师形影路线的事，按刚才的分析的话，那 a 和 c 就 直接排除了，只有这个圆心圆上的点到圆心距离不变，对吧？但不能是纯圆吧？ 唇沿他这么走的时候是条弧线吧，在这个这里表示上，在这个图形上至少是一条这类类似这样的曲线， 所以就选择 b 呗。 b 是 离开，是条直线，匀速离开嘛，所以是条直线。然后这 ab 上的时候，始终距离这个角的位置是不变的， 然后 b、 c 再匀数匀数直线的回来，这不就对上了吗？所以就选 b。
4刷着玩吧
00:46查看AI文稿AI文稿八年级下册数学专项训练一次函数全书五十二页，聚焦八年级下册函数与一次函数核心重难点，梳理了十七个高频知识点、二十个必会提分点搭配五个强化专项练， 从函数基础、一次函数定义、性质、不等式与一次函数的关联，到实际问题与一次函数层层拆解考点配套，针对性常考题型搭配，精细讲解， 专项练习与综合练习梯度分明。课后附参考答案与解析，帮学生夯实基础，突破薄弱点，高效掌握一次函数知识。
01:33查看AI文稿AI文稿方程与函数的关系，那今天呢，我们来看一下函数与方程组之间的关系 啊。我们在解这个方程组时，利用初一学到的消元法可以求解，但是呢，我们利用函数思想，可以把这个方程拆解成两个一次函数，上面这个可以写成 y 等于二， x 减一下方，这个呢我们进行转化， y 是 等于负三， x 加八的， 那 y 呢，能写成负五分之三， x 加五分之八，也就是这个函数解析式，我们也给他可以写出来 啊。这个组成方程组的意思是什么呢？通过作图，我们发现它是两个异次函数的图像，它的解集就是一个 x 和 y 同时满足上面的函数和下面的函数，也就是这两个图像的焦点，焦点坐标，我们通过作图发现它的焦点坐标是一，所以直接就解出这个方程组的解了。 那我们看下课本上的总结，解这样的一个方程组呢，相当于求自变量为和值时，对应的两个函数值相等这样一个要求，以及这个函数值是和值，也是求对应的焦点的横坐标和纵坐标，从形的角度来看，就是焦点的坐标了 啊。当然我们如果要求解两个直线的焦点的时候呢，也是反推回来，其实本身是个解方程啊，因为这个我们这个一到底是怎么求解的呢？还是让这两个函数值相等，也就是把它转化成二 x 减一等于负五分之八， x 负五分之三， x 加五分之八 求解，这个方程的解就是 x 等于一，然后再代入任何一个解式，就是 y 等于一可以了，所以这就是方程组与函数值相的数形结合关系。
34乐其数学
04:55查看AI文稿AI文稿一次函数与不等式是我们期末必考的题型，而上一条视频，我们讲了单条函数的不等关系，这一条视频呢，我们来讲两条函数的不等关系，求范围。今天我们也找了两道去年的期末的真题，特别是第二道题，是一个难点。我们先来看一下第一个题， 哎，他说这里有两条函数，一个是 l 一 啊，一个是 l 二，那么对应的解析式呢，也给到了，现在呢，焦点也给到了，我们是 m 得四，要求这个不等式的一个解析。 那我们首先第一步呢，依然是转换，但这个地方呢，因为有两个 y， 所以 对 y 呢，要进行标号， ok， 标为 y 一 和 y 二，那这里我们就转换成 y 一 小于等于 y 二。 好，然后呢，我们看啊，无论大还是小，我们第一步依然是找到相等的位置啊， y 一 等于 y 二，什么时候 y 一 等于 y 二呢？肯定是两条函数的交点，就是 a 点， 那从 a 点画一条竖线，这是我们的传统。接下来呢，这个竖线把整个图形分成了左边部分和右边部分，接下来我们要去找一找，哎，哪个图像是符合要求的？这里有个口诀，就是谁大， 随着图像就在上方，就随着 y 大， 随着图像就在上方。我们来看一下啊，先从左边这部分开始，左边这个部分呢，图像这里有一条，这是谁的呢？ l 二，也就是 y 二 的图像，很明显， y 二的图像呢，是在 y 一 的上方，那所以 y 二呢，是大于 y 一 的， 那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 是一样的，所以左边符合要求。那因为这里等号吗？也可以取上等号啊， 好，知道了图像所在的位置，那接下来我们就要看 x 在 哪个范围啊，依然是从这个 a 这个地方， m 开始往左边走，就是越来越小，所以 x 应该是小于 m 的， 但是这不是我们的答案， m 要求出来，怎么求呢？这个地方就是 a 点啊， 它既在这个，也在这个里面，所以我们可以带进任何一个函数里面，但肯定要带入 y 一 里面，因为它是已知的，所以这地方可以带进去啊，就是看到我们的 y 呢，就变成四，看到 x 呢，就变成 m， m 加上三， 所以我们可以到 m 等于一，那所以这个时候呢，我们就小于等于啊，要等号保持一致，小于等于一。这个题我们就选择怎么样呢？选择 d 答案 好。第二个题呢，就是我们的一个难点了啊，他这个地方难在哪里呢？就是他不像第一个左右两边都是完整的给出来的函数，这个呢，他把它融合在一起了 啊，我们来看一下啊，依然是有两个函数， y 等于负二， x 和 y 等于 k 加四。而当这个地方图形上啊，他并没有标注谁是呃，谁是谁的表达式，但我们可以很清晰的判断啊， 这个呢，很明显是怎么样呢？是这个正比例，所以过远点一定是这一条，我们可以标记一下自己， y 等于 four x， 我 们可以把它标为 y 一， 这是 y 二啊， y 一 好，剩余的这条肯定是 y 二的了啊， k， x 加上四，接下来呢， a 点，我们也标记一下这是 m， 这都三，好。 哎，这个时候呢，我们就要注意了，我们一定要先把它移一下向，把它变成像上面这个题一样，两个左右分别为一个 y 的 形式。那这个地方我们观察可以看到啊，这是 k 加四，这里面呢，也有一个 k 加四是完整的， 那另外一个呢？本来是负二 x， 这是加二 x， 我 们怎么办呢？可以移一下向就可以了，就可以把我们的 二 x 移到右边去，就变成负二 x 啦。你看，此时呢，左边就是我们的 y 二，右边呢就是我们的 y 一， 好，依然是转换之后，我们要去找相等的位置啊，就是 y 二等于 y 一 的时候，在交点这个位置画一条竖线。 好，接下来我们去判断左边部分和右边部分哪个符合要求，左边部分看齐，这一个呢，是 y 一 的，这个呢是 y 二的，那很明显， y 一 在上方，那也就意味着 y 一 是大于 y 二的，那和我们题目要求的 y 二大于 y 一 不符合要求。 我们看右边这一条呢，是 y 二的，这一条呢是 y 一 的啊，很明显 y 二在上方，那所以 y 二大， y 二大于 y 一 啊，因为有等号嘛，我们也保持一致，大于等于。 那所以我们发现啊，右边这个部分符合要求，那么对应的 x 呢，他是从这里的 m 往右边跑的，就是越来越大，那 x 呢，肯定是大于 m 的 啊，求 m 呢，和上面一样可以带入啊，我们带到这里面来啊， 那就是三等于负的二 m， m 等于多少呢？负的二分之三，所以我们这个结论啊，但这要保持一致啊，有等号就要保持一致， x 大 于等于负的二分之三。哎，所以这个结果呢，哈，这个解集我们就写上了。
62木子数学
02:20查看AI文稿AI文稿这是我们去年期末新考的一次函数与不等式组的结合，它和以往有点不一样，以往呢，就是给到两条函数，求的是两个函数之间的代数关系，而这一次呢，它是两条函数，求两个不等式的关系。 那这样的题目呢，实际上啊，也是换汤不换药，我们来看一下啊，今天通过两步轻松解决它，它都给到了两个焦点，一个 a 是 负三六零， b 呢是一六零，而且呢，两条函数， y 等于 x 加 b， y 等于 mx 加上 n， 要求这个一个大于零，一个大于零的剪辑就是 x 的 范围。那怎么办啊？很简单，我们首先第一步啊，这种题呢，就分别的去看图，求范围可怎么办呢？我们先看第一个 a， x 加 b 大 于零，也就是说我这个 y 啊，比如说我这 y 一 吧， y 一 大于零的时候，那么说 y 大 于零，小于零的时候，我们先找到 y 等于零的时候在哪里啊啊？ y 等于 x 加 b， 是 这一条，那么找到这个地方，这个地方 y 等于零嘛，大于就往上面走嘛，对吧，上大下小嘛。哎，符合要求的就是这一段啊，我们可以画条竖线在 a 点这个地方啊， 那我们这一条函数上，这个不等式啊，对应的 x 在 哪个范围呢？一开始是负三，那右边符合要求就是往右边走的，所以 x 要怎么样呢？大于负三，这个是我们第一个不等式的解集，我们再看第二个，而第二个我们把它划掉啊，第二个呢，这里是一到零， 他说这个 mx 加大于等于零，那就是 y 二啊，也就是说 y 二大于等于零，这我们是 y 二。标记一下啊，先找到等于零的地方，就是 b 点这个位置画一条竖线， 那么大于就往上走，上大下小。哎，左边相对于说我这条线的左边符合要求，那么 x 呢？是从一出发也要往左边走，那这个时候我们的范围就是多少呢？ x 小 于等于一，因为有等号，保持一致。 好，那这个时候我们再来看啊，把这两个解集啊，再来取公共解就可以了。那这个地方口诀啊，大小小大中间找啊啊，大小小大中间找 啊，就是比小的这个要大，比大的数要小，取中间，那就是 x 大 于负三，小于等于一就可以了。
57木子数学
01:35查看AI文稿AI文稿今天我们简简单单看几道八年级的函数题，函数是整个八年级最重要的一块，这第三条，这点 m n 在 这条在这个直线上，然后求这个，然后你一看的话就知道怎么写了。 m n 的 话，大家直线的话，我们这边是把带入 r m 减三，是个等 n， 他 要求的是四 m 减 r n， 然后我们把它稍微变形，形是不是 r m 减 a 是 不是等于三？那四 m 减 r n 减 a 是 不是等于三？那是不是二乘三加二。 然后看第四题，他说关于 x， 就 放了个解是负一，他解的是负一的话，那我们把它带进，带进起来，是不是负 k 加 b 等于零，那把负 k 移过去的话，是不是 b 等于 k， 也是 k 等于 b， 他 说这个图像经过什么点，那此时的话，我们 b 是 不等于 k， 那 是不是加上二 k， 那 此时的话 t 和 k 的 话，是不是变成 x 加二？他此时这个方程的话，此时这个解集式的你看当 x， 当 x 加二等于零， 或者是 x 等于负二的时候， x 等于负二的时候，你不管你 k 取取任何数，任意的数，负的正的，它是不反反， y 是 不永远都等于零，所以它经过哪个点，是不是经过负二零。 然后看第一题，他说一次函数这个图像经过两个点，然后若这个，若这个它经过这个点，我们就代入 r x e 加上 e 是 不等 y 一， 然后二 x 二加上一是不等于 y 二，他求的是 y 一 减 y 二， y 一 减 y 二的话是右边减右边，那是左边减左边，这边一是不是小了，那是不是八倍？ x 减去 x， 二是不等于 y 一 减 y 二，他说 x 一 减 x 二是不等于这个是不等于二？二乘二等于几？是不等于四。
21三门峡数理化
00:50查看AI文稿AI文稿一次函数在石家庄八年级下册期末考试时，通常会考一个利润相关类型的应用题，通常这道题呢，由两到三问组成，第一问是一个二元一次方程组，第二问是一个不等式，让我们去求取值范围。 第三问是让我们列出来利润最大或者是花销最小，并且去求利润最大值或者是花费最小值。那在解决第三问的时候，一定要注意它的考察点，是 k 大 于零还是 k 小 于零，根据 k 大 于零、 k 小 于零来去决定 我们对 x 的 取值，是取最大值还是取最小值，再增加一个难度。最后一问再给我们一个参数 a， 让我们去确定利润最大，这个时候要根据参数 a 的 范围来进行分类讨论。
