人教版八下几何模型汇总

八下数学最难的正方形十大模型，三天练完逆袭班级前三！正方形中常见的七种模型，模型一，双正方形模型体型二，半角模型 体型三，正方形的十字架模型体型四，正方形中过对角线交点的直角问题模型五，三垂定律模型 七，外角平分线模型正方形中四个常考模型完整版分享！

八下数学最难的正方形，十种模型全部吃透，稳进班级前三、正方形中常见的七种模型，模型一，双正方形模型二，半角模型。 模型三，正方形的十字架模型，模型七，外角平分线模型。 正方形中的四个常考模型，模型一，正方形的十字架模型 完整版。

八下数学最难的九个重点模型全部吃透，逆袭班级前三。八下数学平行四边形九个重点模型模型一，垂美四边形模型模型介绍模型二，正方形半角模型模型三，十字架模型模型四，对角互补模型 模型五，矩形折叠模型模型六，梯子模型模型七，重点四边形模型完整电子版可打印。

八下数学最难的八大几何最值，全部吃透，稳进班级前三。平行四边形八大几何最值，一，将军引马问题二， t 字模型 三，确定轨迹四弧不规问题五，肺麻点问题。构造手拉手拳等 平移线段构造平行四边形线段的拼接完整版。

八下数学最难的平行四边形，九大模型吃透，考试多拿三十分可打印！

八、下数学最难的八大几何最值，全部吃透，稳进班级前三，平行四边形八大几何最值，一，将军引马问题二，梯子模型 三，确定轨迹四，胡不归问题五，废马点问题 六，定脚与定长问题七，构造手拉手拳等八、完整版分享！

八下数学最难的八大几何最值全部吃透，逆袭班级前三八种四边形中求最值技巧！技巧一，做对称点将军引马问题技巧二，取斜边中点 技巧三，确定轨迹技巧四，胡不归问题 技巧六，定脚与定长问题七，构造手拉手拳等完整版分享！

八下数学最难的正方形十大模型，三天练完逆袭班级前三正方形中常见的七种模型，模型一，双正方形模型二，绊脚模型 模型三，正方形中的十字架模型模型四，正方形中对角焦点的直角问题三，模型五，三垂定律模型模型七，外角平分线模型转向二、正方形中四个常考模型完整版分享！

巴夏数学最难的必考五大模型，全部练会，考试逆袭前三！巴夏数学亚洲必考勾股定律五大必会模型模型一，风吹树者例题一道三答案 二，蚂蚁爬行三三七八和五七八模型 五，垂美四边形完整版分享！

八下数学最难的八大几何最直，三天吃透逆袭班级前三，平行四边形八大几何最直一、将军引马问题二，梯子模型取斜边中点 三，确定轨迹四，胡不归问题五，费马点问题七，构造手拉手拳等 八、平移线段构造平行四边形线段的拼接完整版分享！

八下数学最难的正方形十大模型，三天吃透逆袭班级前三正方形中常见的七种模型，模型一，双正方形模型手拉手模型。模型二，半角模型。 模型三，正方形的十字架模型模型四，正方形中对角线交点的直角问题模型五，正方形中三垂定力模型。 模型六，正方形半角模型。模型七，外角平分线模型专享二，正方形中四个长口模型模型一，正方形的十字架模型模型二，正方形对角线交点直角问题模型四，正方形半角模型以上均用电子板。

八下数学最难的平行四边形模型全部吃透，稳进班级前三。八下数学平行四边形九个重点模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型。 模型三，十字架模型四，对角互补模型五，矩形折叠模型。 八下数学期末冲刺，每天三道题，勾股定律，平行四边形一次函数一到三，四到六完整版。

芭蕉数学最难的就这九个模型，全部吃透，稳进班级前三初二数学平面四边形，翻来覆去就这八大模型， 芭蕉数学平行四边形九个模型，模型一，垂美四边形模型二，正方形半角模型，模型三是自架模型，模型四，对角互补模型。模型五，矩形折叠 模型七，中点四边形模型八，一线三垂直模型，模型九，手拉手模型正方形。完整可分享！

你家孩子是不是也存在这样的问题，几何压轴题，辅助线不知道往哪个方向想，或者看答案能看懂，但是不知道辅助线怎么来的，为什么这么做？那这个视频你一定要看完，我正在用四期视频梳理整个八下的几何模型辅助线，帮助孩子建立完整的知识体系， 他看完这个至少能拿到题，知道往哪个方向去想。那咱们前面第一期已经讲过了勾股动力的三大应用，今天是第二期，讲的是四边形的一个变换，需要电子版资料的评论区留言。 咱们今天讲的是这个第二块的内容，主要是包括了这四个部分，那其中这个边角构造的话，边角构造其实咱们学全等的时候就已经学过了，那这些部分里面这四个都是特别特别重要的， 那像这个四六七都是属于你必会的内容，那这个平移构造的这个问题， 他是属于压轴题里，如果出现的话，他一定是难度是很高的，所以这个你可以是高分段同学，你是选学的，如果你能到一百以上，我就建议你一定是要学这个，如果你是刚刚过一百分，那你这个就是可学可不学，因为你刚过一百分呢，这个难度压轴题你做起来是比较吃力的。那我们先看第一个边角构造， 边角构造的核心特点啊，只要出现一组角相等或互补，那这组角的邻边也相等的话，那咱们就可以去构造全等三角形。所以它的特点是非常明显的，就只要有一组角是相等的，并且这组角的邻边也相等，那你就可以去构造角的另一边相等， 这样就能出来 s s a s 的 全等。或者是如果出现了一组角和这个角的对边相等的话，你也可以选择去构造这个边角构造全等，只不过这时候你构造的方式稍微变化了一下。 至于互补的情况，其实就是相等的一个特殊情况，就是相等的一个变形。我们先看这里的第一个，就是一边一角的一个基本图，那对于一边角构造的话，你像这里面比如说有 a、 b 等于 d e 体体出现这个条件了。其次还有这个角 b 等于角 e， 你 只要推边推角，发现了一组角是相等的， 并且角的邻边这里的 a、 b 和 d、 e 是 不是相等的，那你就可以去选择构造角的另一边，让角的另一边相等，他们俩是不是能组成全等三角形？ 那所以构造的方式有下面的第一种，比如说你可以把这里的 b、 c 延长，使这里的 b、 g， 咱们这里你可以做一个 b g 等于 e、 f， 那 现在是不是就能构造出这个三角形 a、 b、 g 和三角形 e、 f 全等了？ 或者是你可以在这个长边 e、 f 上截取一段，比如说你可以截取这个 e、 h 等于 b、 c， 那 这时候这个三角形 d、 e、 h 和这个三角形 a、 b、 c 是 不是也全等了？ 所以角和角的一边相等，你只要截取角的另一边相等，是不是能构造出 s a、 s 全等？那它的应用条件是非常非常广的，也是现在重点出现的一个类型。第二个就是我刚才说的一边一角互补，如果出现角互补的话，那其实咱们就给它还原成角相等就行， 因为两个角互补，那指着这个角的邻补角是不相等的，那以这里面举例子，你先角 b 和角 e 是 互补的，那并且这组互补的角，它的邻边你看是不是有 ab 和 d、 e 是 相等的？那咱们的构造方式，你第一种可以是把这个小，把这个 d、 e、 f 延长，延长出来之后它这个补角是不是和角 b 就 相等了？那现在是不就变成了刚才咱们说的一边一角相等的，邻边是相等的， 那咱们截取角的另一边 b、 c 等于 e、 m， 是 不就能得到这两个绿色的三角形等？那第二种形式你可以把这里的 c、 b 延长，那是不是就能得到这两个叉角是相等角 e 和这个角 abm 相等， 那这时候也是一边一角相等，两个叉角相等，以及叉角的邻边 a、 b 和 d、 e 相等，那再截取角的另一边，使 b、 m 等于 e、 f， 是 不就能构造出这两个绿色的三角形相等？这个就是属于一边一角相等它的一种变形，属于给你的一个角互补和邻边相等的情况。 那我们再看下一个，下一个部分是平移，那对于平移的问题，咱们说适合高分段，你选学的一百一以上的，我建议你一定是要研究这个东西。像这回大连三十四中的月考题，那个期中考试的题就出现了，最后压轴题就是出现了一个平移的问题， 这个题的得分率就非常低，很多孩子都是不会做的。那我们看啊，就是什么时候你适合用平移，比如说你题里遇到这种 x 型线段的时候，你就可以去平移，既有两条 x 型线段，比如说有一个 a、 b 和 c、 d 给你它俩相等了，或者让你求这个角，比如说这种角让你求这个角的数量关系， 或者角的位置关系，它俩它俩的假角多少度这种，那再比如说在正方形里经常出现的，你像这种， 比如说是这样的，这给你一个四十五度，那咱们通常也是通过平移的方式去解决，我这里面通过平移我就可以把他们这两个线段的端点转化到同一条边上去，那比如说咱们看啊， 你比如说是在这种情况下，那现在已知的是 ab 和 cd 这两个边相等，那咱们通过平移，比如说第一个里面我是不是可以把 ab 往这平移， 使平移之后这个点 a 和点 d 重合，那这样你一定要记着平移的话，一是会出来平行四边形，第二个是出会出来等腰三角形，你看这里面是不就出现了 a、 b、 b 撇 d 撇是个等腰，是个平行四边形。 同时那因为原来的 a、 b 和 c、 d 相等，现在是不是就变成了 a、 c、 d 和这个 b 撇、 d， 它们俩相等，就变成了一个等腰三角形？ 那这里平移方式很多，我只要平移之后使这个相等边的端点重合就都可以，那所以这个二、三、四这几个方式都可以。那对于平移的问题，咱们常见的是在正方形里的这种十字架结构， 比如说咱们正方形里是不是有一个圆图的十字架，比如说正方形里现在有两个线，它俩相等的相等是不是能得到垂直？那通常它的变形的话是有这种形式的，比如说现在是有两个线是这样垂直的， 这样那咱们就可以通过把这两个线平移回初，使的这种把它俩顶点平移回正方形的顶点，是不是能变成最初的十字架的结构？比如说我把这个线往上平移，把它平移到这了， 然后再把这条线往这平，把它平移到这来，你看是不是就变成了最初始的十字架里头？那把它变个形，是不就是咱们学的正方形的半角模型？咱们正方形的学完半角模型之后，你看如果现在是有两条线是这样的，我给大家画一下，有一条线是在这， 然后另一条线是在这，那我是不是可以通过平移？我把这两条线，比如说我把这个线往这平移，是不是就能把它的端点平移回正方形的顶点， 然后第二个线往上平移，是不就能把它的端点平移到这了？那现在这个角是不就变成了一个四十五度的一个半角模型？假如说已知这个角是四十五度啊，你平移完事之后，是不就平移回半角模型的情况了？所以在正方形里面咱们用平移的方式是非常多的啊。 下面这两个图就是我给他一个正方形的常见的平移的结构。那咱们通过这道题来看一下平移的问题你该怎么去解决？ 你看这里面他给了角十九度，又给了这里的 b、 d 和 c、 e 相等，有他们俩相等，还有一个 b、 c 和 a、 e 相等， 现在要求这个角度数，求这个角度数，指着我们是不是要求 a、 d 与 b、 e 的 夹角，那像这种交叉型的线段求夹角，那是不是可以通过平移的方式？所以我第一种方式，我可以把这里的 a、 d 往上平移，把这个 d 平移到 b 的 位置上。平移之后， 那咱的辅助线的话，因为平行之后你是勾到平行四边形的，所以你可以说做 a m 平行 bc， 且 a m 等于 b d， 那 现在这个 a m、 b d 是 不就是一个平行四边形？平行四边形对边平行相等，是不就能得到 a、 d 和 b m？ 他俩是平行相等的，那咱们想求这个 a、 f、 e 的 度数，现在是不只要求这个 m、 b、 e 的 度数就行，那我们再看他给的条件里，那对于这题给的条件，你看他是不是给了一个 b、 d 是等于 c、 e 的？ 那咱们平移之后，现在是不是就有 a m 等于 c e 有 这俩边相等，同时还有这个 a、 e 和 b c 相等，所以咱们怎么办？是不就连接 em， 构造这组一线三垂的全等？连完 em 之后，它俩是不是就直接 s s 全等了？ 全等之后是不就能推出三角形 b e m？ 它是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形，它的角 m、 b、 e 是 不就是四十五度？所以它的同位角这个角 a、 f、 e 是 不也四十五？最后答案就是 四十五度，那咱们再来看下一种，下一种就是四边形旋转，旋转和翻折绝对是几何压轴里面出现频率最高的这个问题， 那图形的三大运动，平移、旋转、翻折，其中平移出现的相对来说少一点，因为跟他相关的辅助线既灵活，相对来说也比较少一点，但是旋转和翻折里面就非常多，所以旋转和翻折他的出题频率绝对是远高于平移的问题。 那我们看平旋转的问题通常用用了什么方法？那常见的题型，我们先看四边形的旋转，通常在菱形、矩形和正方形里面， 其中菱形和矩形里面只要出现三十六十了，是不就一定会出现等腰或者是等边三角形，那有等边三角形旋转，咱是不通常都是构造手拉手， 所以旋转的话，手拉手绝对是最常用的题型之一。其次正方形里面是不也会出现半角和手拉手的旋转？然后正方形里其实还有一个比较特殊的啊，叫对角互补四边形，对互四的话，你可以把它看成是构造一个手拉手的问题。 那最常见的旋转是在菱形和正方形中出现的旋转，那我们看旋转的原则，不管是哪种旋转，旋转的方法其实跟咱们上上期视频讲的购物工具旋转其实是一样的啊。旋转就几类方法，第一个是构造手拉手， 第二个是半角模型，第三个是对角互补四边形，那第四个像飞马点什么在四边形就比较少了，那对于这三个，他不管哪种方式旋转，只要难一点的题，都是你自己需要去构造辅助线旋转， 那你就要需要记住辅助线旋转，你识别出旋转之后，你你就要知道旋转的原则是什么。不管哪种旋转，你都是先找到一组公共边的顶点，那比如说有一组相等边，他俩有公共顶点，那咱们就绕着这个相等边的重合顶点旋转。旋转多少度呢？就是把这个相等边转到另一个相等边上， 就这样旋转，比如说在这个图里边，那这时候我是不是可以把这 a、 b、 e 绕点 b 旋转，把这个 b、 a 是 不能转到 b、 c 这条线上来，是不就能把 b、 a、 e 转成了 b、 a、 f 上？那比如说第二个图里是不也可以是一样的方式， 那这里面我是不是就可以把这里的 e、 c 往上转，转到这个 e、 f 上来，对吧？这里面相当于其实咱是不就是构造的一个手拉手的全等，这里面你可以把三角形 a、 b、 c 看成一个等边，然后 f、 e、 c 也是一个等边，两个等边，然后通过旋转去构造手拉手的全等。 最后就是这种的绊脚模型旋转，绊脚模型旋转的话咱们在第一期视频里已经讲了，所以咱们不再去多说他的原则什么的，你就看一下在常见的正方形的绊脚模型旋转，他通常是什么样就可以，如果有绊脚模型旋转不太清楚的，可以去看一下第一期的视频。 最后就是这个四边形的翻折，那四边形的翻折，其实关于翻折的问题，他的辅助线的话，比如说像角平分线的翻折，或者是等腰对称的翻折，他是都是属于翻折。但咱们今天只说这个关于四边形翻折， 那四边形翻折的话，通常出现在矩形、菱形、正方形里面，那我们要注意的是以下几个点，第一个 辅助线，常见的翻折的辅助线的思路是连接对应点的连线，这个是同学们最容易忽略的，因为只要是翻折就是轴对称，那轴对称咱们在八上学全能上学的时候学过在轴对称的那一章，如果是北师大版的，他们是在旗下学的， 那关于轴对称里面有一解释说轴对称的性质，对应点的连线是不一定是被这个对称轴垂直平分的。 比如说以这个图一第一个图举例子，我把这个小的四边形 a、 b、 f、 e 翻到了上面来，翻完之后你看这里对应点是不是 a 和 g， 咱们对应点的连线是不一定被这个对称轴 e、 f 是 垂直平分的， 那这个是非常有用的一个条件，或者是你要连接 b、 h、 b、 h 是 不是也是被 e、 f 垂直平分？那第二个就是找直角三角形，因为翻折，尤其是矩形或菱形的翻折，咱们通常的方法是你要找一个直角三角形去列勾股盈利方程，所以这里的核心你是要找到哪个直角三角形去列勾股盈利方程， 有时候是需要双钩五分是比较麻烦的。然后第三个就是在翻折问题里，我们通常会出现等腰三角形，大家一定要注意你翻折之后是否存在等腰三角形，还是以这个头举例的。你比如说翻折之后，那翻折的对应角，这俩角是不相等，所以这个对称轴是不相当于这个大角的角平行 那角平分线再加上平行这俩角相等，是不就能出现直角三角形？也就是说这里的 i、 f 和这个 i、 e， 它俩是不是一个等腰？那对于第二个图里，你看翻折对应角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 等于 i e， 那 后面图也是翻折这俩角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 和 i e？ 后面每个图都是，所以对于翻折的问题的话，如果是四边形翻折，我们要记得那个辅助线连接对应点的连线， 以及去找它是否存在直角三角形，然后如果求边长的话，你就可能是需要用到找个直角三角形去列勾股定律的方程。

考试老师给大家找了正方形九个小模型啊，如果考到正方形的话，基本上就是这些东西。好，先来看一下括号一，这是一个十字架模型 啊，告诉这两个线段是垂直的，那么我们就能证出他俩是相等，如果告诉他俩相等，我们也能够证出他是垂直，对吧？好，把这个角设成角一，这个角设成角二，这个是角三， 一加二九十，二加三九十呢？一就等于三，再加上直角和直角，还有一个边， ab 等于 a， 得，是不是这两个三角形全等， 对吧？全等完之后就能证出 b、 f 等于 a、 e， 但是这个题啊，它通常不这么考，它会有一个变形，就是这两个线段它不在那个角上， 比如说这是一个正方形，然后给来一个这样的一个边和这个边是一个垂直，对吧？这样的话，我们也能够挣出这两个蓝边是相等，辅助线依然往下去做个双垂 好，然后就能证出这两个直角，三角形全等。先看边有啥啊，是不是这个 e f 应该等于这个边长，然后这个 c d 也等于这个边长，是不是 e、 f 和 c d 就 相等， 对吧？然后还能证出这是一个直角，然后这是直角，这也是直角，是不对。顶八字就能证出这个圈等于这个圈，然后还有一个直角等于直角，那这两个三角形是不是也全等， 对吧？ ok， 来看一下第二个小模型，就是考察的是正方形的对称性， 我们知道它的对角线是平分这组角，并且都等于四十五度，然后又因为 ab 等于 a 得再加上一个公共边，是不是这两个三角形全等，对吧？好，再来看一下第三个小模型，考察的是 它的对角线是互相垂直并且平分，也就是说这个是一个等腰直角三角形， 然后又因为这也有一个直角，是不是这个圈角就等于这个圈角，再加上这个是四十五，这个也是四十五，是不还能证出这个 o b 等于 o c， 那 这个三角形和这个三角形全等，那么 o m 就 等于 o n， 对吧？这里头还是还有一个叫做四边形对角互补，这是直角，这也是直角。四边形内角和是三百六，说明我们这个单线角加上这个双线角是不等于一百八， 然后他加上旁边这个角也是一百八，所以说这个角也能够直接正出，等于它，对吧？啊？好，再来看一下第四个小模型， 这是我们上一期讲过的一个半角模型，如果告诉我们这个角是一个四十五啊，那就能证出这个边 加上这个边它是等于这个边，那这个题啊，我们应该去不延长啊。 c 的 到达一个点 k， 然后让的 k 呢？是等于底下的 b e， 是不是就能证出这个三角形？然后跟我们的 a 对 k， 它俩就全等， 对吧？它俩全等完之后，是不是能证出 a e 等于 a k 还能证出这个 x 角等于这个 x， 对 不对？那因为原先的这个是四十五，这是九十，说明 x 加上这个 y 是 不等于四十五，这个就是四十五， 对吧？这个四十五等于这个四十五，再加上一个公共边，再加上刚才的 a e 等于 ak， 是 不是这个大的和这个大的就全等，那么啊， f k 就 等于 fe， 然后 f k 呢？又等于绿的加蓝的，那所以说这个绿加这个蓝就等于这个黄， 对吧？好，下一问，下一问。也是一个半角模型，还是把这个角设成一个 x， 这角设成一个 y， 如果这个是四十五，那 x 加 y 就是 四十五，对吧？他想让我们求是这个一号线段、二号线段、三号线段的一个关系， 现在这三条线段共线了，那一定是构造一个旋转，把某两个边或者某一个边给它旋转出来，对吧？好，我们知道这里头啊，有正方形，它就有等腰直， 是不是这个边跟这个边相等，并且这是一个直角，那想去构造旋转的话，我们一定是构造手拉手， 对吧？那也说我们可以去做一个它的等腰值，比如说我们呃让 a k 垂直于一个 a e， 并且 a k 等于 a e， 然后接下来给这个 k 的 连接起来， 是不是这个三角形跟这个三角形就手拉手，全等，对吧？全等完之后，我们是不是能把这个一号线段就给他导到这，然后这个是四十五度，这个也是四十五度，原先的这也是四十五，所以说这是一个直角， 那一号线段加三，一号线段的平方加三号线段的平方是不是应该等于 k f 的 平方？那接下来我们证明 k f 等于 e f 就 行，对吧？是不是又是刚才这个模型证明全等， 那他俩为啥全等呢？先找边啊？有 a e 等于 ak， 还有一个公共边，是不是就证明这个角等于四十五就行？ 它等于四十五是为啥呢？因为这个 x 导到这， x 加 y 是 四十五，这个 x 加这个 y 就是 四十五，所以说它就是四十五，然后这个角也是四十五，所以说全等下一个。 这个是前两天数学课上咱们讲的那个十五个变形，对吧？这是最简单的那一个啊，很多同学肯定是直接往下做垂，做完垂之后你挣不住全等，因为它没有边， 对不对？那这题啊，我们应该在这取一个 b k 等于 b e， 对 吧？一连接，那这个角就是四十五，这个是一百三十五，然后这个角也是一个一百三十五， 对不对？那边是啥呢？因为 ab 等于 bc， 用等量减，等量能减出 ak 是 等于 c e， 对 吧？还有一个角是啥呢？我们知道这个叉角加上九十等于这个大角，大角又等于十加它，所以说这个角是一个叉， 那两个角相等，再加上一个边，所以说全等，对不对？ ok， 再来看一下第七个， 这是一个比较基础的啊，叫做一线三等角。那咱再复习一下一线三等角，现在这个角是一个九十，然后有一根线穿过了这个角， 对吧？我们应该从等腰直的两个端点往这根线上也做一个，跟这个角相等，对吧？那也说过的点往这边做一个垂，过 b 点往这边做一个垂，这样的话就一定能够挣出这个三角形，跟这个三角形全等， 对不对？这个模型类似于刚才的十字架啊。好，再来看一下后两个，后两个啊，是四边形对角互补，对吧？我们知道这个角加这个角等于一百八，是不是？就是这个角加上这个角等于一个一百八， 对不对？那一会啊，要么延长这边这个找他的补角，要么是延长这边找他的补角 好，这种辅助线通常怎么找呢？你一定看到这里头有一个根号二倍的 e a， 是 不是那什么里头才会出现根号二倍的 e a 啊？等腰直，并且 e a 要当直角变，对吧？那接下来我们就去过 a 点 去做一个垂直，对吧？但是啊，这个时候你不能让他俩相等啊，因为我们还想要一对的延长线，所以说我们把这个边给他延长出来，对吧？那这样的话，是不是能构造出这个单线角，应该等于这个单线角， 对吧？然后呢，又因为俩直角叠到一起，是不是这个圈角等于这个圈角？还有一个 ab 等于 a 得，那这个三角形跟这个三角形是不全等全等完之后能证出 e a k 是 个等腰值，那么 e k 就是 等于根号二倍的 e a， 然后呢？呃，又能证出得 k 等于一个 b e， 所以 b e 加 e d 就是 根号二倍的 e a， 对吧？好，最后一问也比较简单啊，因为这块是一个直角，这也是个直角，首先你目测一下，是不是有个对顶八字，对吧？对，顶角相等，那这个角是等于它 对不对？然后我们想找根号二倍的 c e， 那 是不是还是要做一个 c e 的 一个等腰值？做不了等腰值，我们先做一个垂直 啊？先正先知道这是个直角，接下来再证明他是等腰，是不是就证明这个三角形跟这个三角形全等就行， 对吧？全等的俩角，一个是圈角等于圈角，还有两个直角叠到一起，是不是这个叉角等于这个叉角？然后还有一个 c b 等于 c d e 全等完之后，那是不是就能证出 b e 等于 d k， 还能证出 e？ c k 是 个等腰值， 那所以 c k 就是 c e 的 根号二倍。然后 c e k 呢？又是等于的 e 减去一个的 k， 那 所以的 e 减 b e 就 等于根号二倍的 c e。

八下数学最难的正方形十大模型全部湿透，考试直接躺赢！正方形中常见的七种模型，模型一，双正方形模型二，半角模型， 模型三，正方形的十字架模型四，正方形中过对角线交叠的直角问题五，三锤定力 七，外角平分线模型。正方形中四个常考模型完整版分享！

我简单写一下分析过程啊，真的来看黑板。嗯， a c 这段长， a， c 是 几？ a c 这段长是八倍根二， 那等腰直角三角形， a 得等于 c 得等于二分之根二， b 的 a c 算出来等于几是等于八，能听懂吧？第二个问题， a e 等于十， 这是九十度，这是十。刚才求出这段是几？八，这段长是几？是不是六？是不是？那这样的话，求出得 e 等于根号下 a e 方减去 a 得方等于六， a e 等于六，所以把 c e 求出来等于二， c e 求出来是二。所以 x 向量 a， c， e 的 面积 啊，等于二分之一乘 c， e 再乘 a 得啊。 a c， e 的 面积高是 a 得二分之一乘二乘八吗？ 好了， game over， 明白了吧？下一问看到是不是一个证明题，是不是？我看的是代数计算题 你信不信？你说你把我当保姆吧。这，这明显一看不就是个，对吧，是个几何证明题对不对？你给我说他是个代数计算题，有人说，我跟你说你不相信，不相信我让你心服口服来看黑吧。 不相信，你咋不相信了？我这辈子从来没把这几道题当回事啊，哎，都是送分题的。 你比如说你做数学题的时候，小的时候做数学代数题的时候，当你做不出来的时候，你设个未知数，哎，你发现这个题一下就做出来了，那其实那个时候就说明了一个点， 就是看你有没有胆量设未知数。如果你既有胆量又有习惯，经常去设未知数，经常去琢磨这个未知数，那恭喜你，代数你就能学到大乘，那么代数能学到大乘，把代数的学习方法放到这个几何里面去学， 那同样的问题，几何也能学到大乘，有人说，老师，怎么个叫大乘？我今天给你教一题。 我们首先呢，好好充分利用一下这条对角线，对角线能得得到多少？是不是四十五度？大家说对不对？为啥？因为这里面有个多少度？ 是有个垂直，是不是九十度？这多少度？这多少度？那你看我咋样做的， 看到了吧？来， 嗯，这段是 m， 这段是 n， 你 们给袁老师说这是九十度，首先是个矩形角平分线点到两边的距离是不是相等？是一组邻边相等，所以咱们分析一下。不着急，我写讲慢一点， 矩形 c m f n。 第二个呢？呃，是 f m 的 f n， 我 们如此可推出正方形 c m f， 这是不是一个正方形？是不是啊？这货是睡着了看他睡，一边睡觉一边闭目养神。一边睡觉一边闭目养神啊，你看他就玩嘛。啊，来， 这是 m， 这是多长？是不 m， 对 不对？这，这也是啥？ m， 这段是多长？这也是 m， 你 不会无所谓吗？那你帮袁老师说一下，这段是多长？ 也不知道这段是 n， 可以 吧？嗯，那这是 m， 这段长，这是多少度？ 是不是四十五？这多少度？是不是四十五度？那这段是多少？是不是 m？ 边长？是 m 加 n 减去二 m， m 加 n 减去二等于多少？是 n 减 m， 是 n 减 m， 对， 这又是多少？是 m 加 n， 是 m 加 n， game over！ 讲完了来看黑板。第一个， a e 算吗？ a e 等于根号下 m 加 n 的 平方，加上 m 减 n 的 平方 等于啥？ 是 n 方加 n 方吗？有问题吗？这个 r m n 抵消掉。这个咱把 a e 算出来， b f 算 b f 等于根号下 n 方加 n 方，大家说对不对啊？因为 嗯， a e 比上 b f 等于，那你把这个开根号看开一下来看，这时候可以写成根二乘以根号下 n 方加 n 方，是不是这个 b f 是 根号下 n 方加 n 方，那这个比值等于刚好抵消掉，是等于根二，所以 a e 等于啥？ 根二倍的 p f。 好 了，我说是代数题，你们相信了没有？ 相信了没有？相信了，看懂了没有？懂了没有？读懂了没有？读诵双体啥挑战？ 天天看这孩子刷题，多少减多少，等于根三倍的多少，多少减多少，等于根五倍的多少啊，这么难的题，根三根五题我都做出来，你看我多厉害 你，我就想说，那还算厉害吗？单项式乘多项式，多项式乘多项式，我会，我都把它算出来，我还需要证明吗？所以说告诉我刷题的意义何在？你只要把几何会证明，把几何里面的结论是不正出来， 你参数设到位，它所有的几何题都解决了，它有那么难吗？你们觉得学会了吗？

几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？

八下数学最难的八大几何最直，全部吃透，稳进班级前三，平行四边形八大几何最直一，将军引马问题 二，梯子模型三，确定轨迹四，胡不归问题五，废马点问题 六，定脚与定长问题七，构造手拉手拳等完整版分享！

八下数学最难的正方形十大模型全部吃透，稳进班级前！三、正方形中常见的七种模型，模型一，双正方形手拉手模型。模型二，绊脚模型，模型三，正方形的十字架模型， 模型五，正方形中的三垂定力模型，模型七，外角平分线模型。 正方形中的四个常考模型，模型一，正方形的十字架模型完整版。