睢宁2024年中考数学答案评分标准
今天一起来分析一下二零二四年徐州中考第二十八题，这也是历年最难的一道题目了，应该说是平行四边形 a， b、 c， d， a， b 是 六 b， c 是 十 b a， d， 这里是六十度，那当然这里也是六十度。 p 点是在 ab 上的一个洞点， c， p 绕着点 p 逆时针方向旋转六十度，得到了 e 点，然后连接，然后做 e， f 平行于 ab 连接 p， f 和 d， e 分 别取 p、 f、 d， e 的 中点 m 和 n 连接 m n。 第一问，若 p 与 b 重合，问我们 m、 n 的 取值，其实这问的第一小问还是可以拿分的。当点 p 运动到 b 点的时候，我们把它旋转六十度。 旋转六十度呢，正好这里的 a、 c、 d 也是六十度，所以说会形成一个这样的一个等边三角形，三角形 b， h、 c 为等边三角形， b， h、 c 为等边三角形。它说 m 是 p、 f 的 终点， 那这个时候的 p、 f 就是 b， f 就是 这样的一条线，我们比连出来，这个时候是 b f， 然后第二个 d， e 的 终点，我们来连一下 d， e 的 终点 m n， e 其实就是这个 h 点嘛。那这个时候的 m、 n 就 等于二分之一的 b h， 因为这是等边三角形，所以说二分之一乘以长度十，答案就等于五。这是第一问，难度还是不大的。我们再来看第二问，随着点 p 的 运动， m、 n 和 a、 q 的 长度如何变化？ 这个题难度就是比较大的，辅助线也确实比较多，我们好好的给他分析一下。结合第一问的思路，我们先把这个 p 点在 b 点的时候， 这个图给它还原一下。好，这个点是 h， 这个点是 h， 然后分析下这个题是一个什么样类型的题。 p 点在这个 b a 上运动，并且 c p、 e 这一个角是六十度，而且我们能够满足 c p 和 p e 的 长度是一样的，所以说简单来说它是满足一个定角定比的关系。什么定角定比吗？ c p 和 pe 这两个线段角度都是六十度，比值都是一比一，所以说它是一个典型的刮度题目。我们来找出始位置，出始位置 三角形 b h、 c 三角形 b h、 c 是 一个等边三角形，这也是第一问给我们提到的一个，算是一个提示。 好，接着来分析角度啊，需要我们求 m n 的 长度，那么 cp 等于 pe， 这里咱们连接呃，连接 c e， 连接 e h， 仔细观察一下，会得到一个什么样的结论？ 既然这个角是六十度，这个角也是六十度，所以说我们可以得到这里的角一等于角。二，再结合 c b p 等于 c h e 好，又可以得到的结论就是角 c b p 等于角， c h、 e 等于一百二十度。我们仔细观察一下啊，也就是说这个三角形和这个三角形是相似的啊，是全等的，并且这个角和这个角都是一百二十度。第一问我们已经分析出来了，角 b、 h、 c 等于六十度， 再结合角 b、 h、 c 等于六十度，咱们可以确定的是 b h、 e 这三点共线啊，这个对于我们来说是很有用的啊，是很有用很有用的。 b h、 c 这三点共线之后，我们假设这个交点是 o 点吧， a f 与 b h 的 交点是 o 点，这个三点共线的问题啊，当 嗯 b h 三点攻线的时候，咱们再来分析三角形 o、 e、 f 和三角形 o， h， d 啊。呃，这里是六十度，这里是六十度，并且这里也是六十度， 而且题目中给了我们一个条件，就是 e、 f 是 平行于谁的呢？咱去找一下。 e、 f 是 平行于 ab 的， 题目中在这里说了 e、 f 平行于 ab， 当然也平行于这里的 c， d 六十、六十、六十。 好，所以说我们就能够确定三角形 o， e、 f 和三角形 o， h， d 都是等边三角形，为等边三角形。分析清楚这两个是等边三角形之后，我们描两个红色的线段，那么 e 的 长度和 d f 的 长度是相等的， 所以说咱得到结论就是，呃， h， e 的 长度等于 d f， h， e 等于 d f 之后我们再来看啊，下一条辅助线，说实话比较难想了，这里的有一个屁点， 这个线段等于线段等于这个线段长度。我们这个时候呢，做一个点， p 平行于 a， f 这条线段我们假设就是 r 一 点吧。下一个就是做 pi 平行于 bc， 做 pi 平行于 bc 之后，咱们来观察一下啊， 还是可以得到下一个结论，三角形 pi b 为等边三角形，三角形 pi b 为等边三角形。之后呢，咱们可以知道的是 p b 等于 pi， 红色的边等于 pi。 别忘记刚刚的这两个三角形是全等的 啊。 b， p， c 和 e h， c 这两个三角形是全等的，所以说 p b 的 长度等于这里的 e h， 所以我们可以得到五个比较短的边相等， p b 等于 bi 等于 p， i 等于 g， e 等于 d f 啊，我们用红色的来表示出来啊， 可以，大家可以消化一下啊，消化一下，看这段长度，这是一个等边三角形，又因为 p b 等于这里的 e h， e h 又等于 d f， 所以 说这五个三角形全等，需要的是 pi 和 df 相等之后， 咱们来连接 id， id 这条线段啊，再来找 pi 现在等于 d f， 并且两直线平行内错角相等，也就说这两个小角是相等的，我们给它写出来吧。这个嗯，图已经很复杂了，叫 d f m 等于角，嗯， m p i。 然后题目中告诉了我们， m 点是这个图里面 p f 的 中点， 所以 p m 等于 m f。 大家来看一下，这个方法应该是能够听得懂啊，所以三角形 p i m 全等于三角形 f d m。 我 们用用这个笔把它给描一下吧。这两个，这两个小三角形全等。好，这两个小三角形全等， 还有刚刚的那个大三角形，这个三角形不好意思啊，描错了，这个三角形 p b c 和这个 e h c， 这两三角形是全等的。好，得到这个三角，得到这两个小三角形全等之后呢，我们可以得到的是 角 p m i 等于角 f m d。 大家可以发现的是，如果说这两个角相等的话，就说明对零角相等，那是不是可以理解为 i 点 m 点 d 点这三点共线？ 刚刚我说的连接的辅助线是连接的是 r m 和 dm， 我 们现在证明出这两个小三角形全等了，就可以说明 i 点 m 点 d 点这三点共线了，所以下一个结论是 i 点， m 点， d 点三点共线。 所以说我们可以确定一个最关键最关键的结论了，也就是说 i 点啊，也就是说 m 点为 d i 的 终点。好，同学们，我们再回头整体的看一下这个图啊，现在 m 点是 d i 的 终点了， n 点又是 e d 的 中点，那么我们就可以得到结论， m n 就是 等于二分之一的 e i， m n 等于二分之一的 e i。 又因为 he 的 长度等于 bi 的 长度，所以说 e i 的 长度肯定等于这里 b h 的 长度。 这个题目 b h 是 等于 bc 的， 所以说 m n 就 求出来了啊，接着写出来过程啊， m 为 d， i 中点的话，所以 m n 为三角形 i d e 的 中位线，中位线， 又因为 e i 的 长度，可以推导出等于 b h 的 长度， b h 的 长度又等于这个题目里面 b c 的 长度。题目中告诉我们， a d 或者说 b c 等于十，这里它等于十，所以说 m n 就是 等于二分之一乘以十，这个等于， 嗯，可以说这个难度确实是非常大的了啊，而且，嗯，大家可以看一下，我这个方法应该说 比你去搜作业帮，或者说选人搜题的方法还是要稍微还是要稍微简单一点的。那个辅助线，他给出的辅助线可以说是更难想， ok， 还有最后一点点，求出 m n 长度之后，我们再去求 a q， 嗯，再再来观察一下，现在 o m n 是 这个三角形的中位线了，那说明 o 点，说明这里的 q 点为 o d 的 中点， 大家再来看一下啊，这，这是 q 点 e i d 的 中位线 q 在 m n 上，我们写一下吧，因为 q 在 线段 m n 上， 所以说 o q 是 等于 q， d 等于二分之一 o d 的， 所以最终这个结果 a q 的 长度是等于 a o 加上 o q a o， 我 们知道呀， a o 是 等于 ab 的 长度， ab 的 长度是等于这里的，应该说是四吧。啊，是六，是六， a o 是 六， o q 是 二分之一的 o d。 这个题目中知道了，这段长度是 ad， 这段长度是十，这段长度是六，所以说这段长度就是四， 那么二 o q 就是 二，六加上二，答案等于八。嗯，故我们要求的 m n 的 长度是等于五， m n 等于五，这个 a q 的 长度是等于八。这就是我们二四年最后一题，给大家提供一点参考。
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19:10查看AI文稿AI文稿来，朋友们，李老师带你主体拆解二零二四年的中考真题。今天咱们先来分析选填题。第一题考的是绝对值负五，绝对值应该是等于它的相反数，也就是等于 a 的， 这题是必会的。第二题考的是科学基础法。 呃，当时在讲二五年卷的时候呢，已经说过了，当你碰到这种带 y 的 单位的时候呢，已经说过了，当你碰到这种带 y 的 单位的时候呢，已经说过了，当你碰到九百四十四乘以十的四进行分析， 他可以写成九点四四乘以十的二次方，对不对？然后再乘个十的四次方呢，就是六次方了，所以应该选择 b 选项的。第三题考的是三式图，这里呢，注意区分啊， 他这个俯视图是一个圆，里面加一个点，对不对？所以这个 a 和 b 肯定是不对的呀，而这个 c 呢， c 的 话上面是一个楞锥，他的话俯视图应该是一个就是正方形这个样子的好吧，他肯定不是一个圆的啊， d 选项是可以的好吧。 第四题考的是密度匀算， a 肯定是不对的，对吧？然后我们重点看 d 啊，这个 d 咱们在二五年卷里面也说过了，他考的是二次根式的性质，根号下 a 的 平方既可能等于 a， 也可能是等于负 a 的， 懂吧？到底等于谁，取决于 a 的 正负性。如果 a 是 一个负数，化简之后是 a 的 相反数负 a。 如果 a 是 一个非负数，化简之后是 a 本身的好吗？这个 d 需要注意啊。 第五题考的是弧长，这里呢，我们不要求你记住弧长公式，只要你会算比例就可以了。我举个例子啊，比如说画一个圆，如果让你求一下 这个弧 a、 b 的 长度，对不对？这个时候呢，你背公式当然没有问题啊，还一个方式，我们可以按比例来算。什么意思？如果说我知道了这个角 a b 的 度数阿尔法，那么这个阿尔法占整个圆周角的三百六十度， 这是不是这一小部分占整个全长的比例啊，对不对？这个时候你再乘以一个圆的周长二倍 r， 不就是等于弧 a b 的 长度了吗？明白不？无论是弧长还是面积，都可以这样算，先求比例，再乘以周长，这是求弧长的，如果是求面积呢？先求比例，再乘以平方，那这样的话，你就不需要去死记公式了， 然后经过计算呢，我们发现是选 c 的 啊，这是一个小的方法。第六题考的是反比例函数和一次函数交点，无论是什么图像的交点，既然是交点，说明什么呀？说明这个点 横坐标为三的，这个点既在一次函数上，也在反比函数上。既然是点在图像上，就可以把点的横纵坐标代入解析式。 把三代入一次函数，可以得出 y 是 等于负一的，对不对？所以三负一呢？应该也在 y 等于 x 分 之 k 上，把点代入，可以求出 k 的是等于负三的好吧，只要是点在图像上，都可以把点坐标带入解析式。 第七题，这个题呢，考的也挺好的。首先 abc 是 一个直角三角形，这里就要想到等腰的三线合一， 过点 c 向 ab 边做垂线，假设垂足是 e 点，此时点 e 应该是 ab 的 中点，再结合 c、 i 和 cd 的 长度，那么 ab 的 长度应该是能求的， ab 是 二倍根号二，因为点 e 本身是 ab 的 中点了，那么 b、 e 呢，就是等于根号二的，是不是再往后 他说 cd 等于 ab， 刚才说了 cd 是 啊， ab 是 二倍根号二，那么 cd 呢？应该也是二倍根号二。注意了， c、 e 是 根号二， cd 是 二倍根号二。我们发现在三角形 c、 e、 d 这个直角三角形里面，短斜边是短直角边是斜边的一半，那是不是意味着这个角度应该是三十度啊，对不对？三十度所对应的直角边是斜边的一半啊？ 那这样的话，我们就可以通过勾股定律啊，求出这个 d 的 长度是等于根号六的啊。这里可以用三角函数，也可以用勾股定律，都是可以的。 d， e 是 根号六，刚才求出来 b， e 是 根号二，一减 b、 d 不 就知道了吗？ 对不对？所以这个题考的是什么？第一个考的是等腰的三线合一，第二个考的是勾股定律，求长度。 第八题、第八题呢，主要考的是消元思想。注意啊，无论是 a 选项还是 b 选项， 让我求某一个参数的范围，我需要想办法把另一个参数给消掉。比如说让我求 a 的 范围，那我就需要把这两个设置当中的 b 这个参数给消掉，怎么消呢？这个 b 我 们可以给它写成 a 加一的形式。 看到没有一项啊，把 b 写成 a 加 a 加一，说明什么？说明只要碰到 b， 全都能给他换成 a 加一。所以说，把后面这个不等式里面的 b 选项，这个 b 参数换成 a 加一之后，就是二 a 加二，二 a 加二，大零小一解不等式就可以求 a 的 范围了。 同理，要想求 b 的 范围，把上面这个等式当中的 b 啊不对，求 b 的 范围，把 a 削掉， a 可以 写成 b 减一，对不对？ a 可以 写成 b 减一，那么我们就把这个式子里面的 a 换成 b 减一就可以了，也就是二 b 大 于等于小于一啊，由此可以求出 a 的 范围和 b 的 范围。那接下来，无论是求二 a 加四 b， 还是求四 a 加二 b， 都可以求了。比如说 c 选项， c 选项求的是二 a 加四 b 的 范围，先算二 a， 再算四 b， 一 加不就行了吗？ 对不对？同理，后面的先算四 a， 再算二 b， 那 么 d 的 范围不也就知道了吗？好不好。这个第八题主要考的是消元的思想啊，还有就是解不等式。 第九题呢，主要是考察的是全等三角形。注意，我来画一个图像啊，他说 ab 等于 a， e， b， c 等于 d， e。 好， 我简单画一下啊，指 a、 b、 e、 c、 d， 这样画是能够满足要求的。那接下来呢，我们看选项 啊，还有一个点， f 是 c， d 边的中点， f 是 中点了啊。第一个角 abc 等于角 a、 e， d， abc 在 这， a、 e、 d 在 这。如果这两个角相等的话，我只需要把 a、 c 和 a、 d 一 连。 首先证明三角形 a、 b、 c 全等。三角形 a、 e、 d 条件非常充分， a、 b 和 a、 e 相等， b、 c 和 d、 e 相等，再结合已知的这个角度，边角边正，全等全等之后， a、 c 和 a、 d 就是 什么呀，等腰三角形了， f 点是 c、 d 边的中点，那么我连接 a、 d 不 就是等腰的三线合一吗？所以 a、 f 就 垂直 c、 d 了，是不是 a 肯定是没问题的啊，好， b 选项角 b， i、 f 等于角 e、 i、 f， 我 们把这个擦掉， 连接 a f， b i、 f 和 e i、 f 是 相等的，这个时候没有三角形对不对？注意看，我把 b、 f 和 e、 f 连起来，先证明三角形 a、 b、 f 全等。三角形 a、 e、 f 这个条件也是够的。为什么？ a、 b 和 a、 e 相等一组边， 已知的这两个小角相等，一组角再加上公共的斜边 a、 a、 f 边角变成全等，全等之后的话， b、 f 和 e、 f 对 应边相等了，对不对？再结合 b、 c 等于 d， e、 c、 f 对 应边相等了，对不对？再结合 bc 等于 d， f 对 应 d、 f， 三边 对应相等，也可以证明这两个小三角形全等的。全等之后，那么这个角度， 你看这两组小角不就都相等了吗？对不对？这一组角相等，下面这一组角呢，也相等，两组角都相等，那你说这个地方垂直不垂直啊？当然是垂直的好不好？再看 c 选项 c 的 话，他说角 bcf 等于角 e、 d、 f， 你 看这里是一样的啊，注意，这样一连，先证明这个小的 b、 c、 f 和 edf 是 全等的好不好？先这两个小的啊，然后 圈等之后。哎，我把这个 a、 f 一 连， b、 f 和 e、 f 一 组边相等， a、 e 和 a、 d 两组边相等，加上中间的公共边三边相等，正全等，跟刚才 b 是 差不多的，也是推导出这两个小角相等， 是不是？那这样的话，这个 a、 f 和 c、 d 也是垂直的，那至于 d 的 话呢，就不太行了啊，为什么？因为 d 选项添加之后啊，是没有办法得出全等的。我来画一下，他说角 a、 b、 d 等于角 a、 e、 c， 那 我这样一连的话，哪一组全等呢？对不对？ abd， 我 把 abd 连起来啊。 abd 相等的话，就是说一个是三角形 abd， 一个是三角形 a、 e、 c， a、 b 和 a、 e 相等，一组边角 a、 b、 d 等于角， a、 e、 c 相等，一组角一，一个边一个角，能正全等吗？很明显不行啊，少条件对不对？所以说 d 选项是不行的啊。 好，再看第十题。第十题呢？嗯，看似是求的，所谓的 y 和 x 的 关系，本质上是让你嗯，正相似。还有就是求面积的啊，这里我们讲一下它的一个 思路。首先让我求的是谁啊？ d， b， e、 f 的 面积对不对？我们可以把这个 d、 e、 f 啊分成两部分，一部分是三角形 d、 e、 b， 一 部分是三角形 d， b、 f。 可不可以把大的转化成两个小的？这是第一步转换第二步，接下来的目标是求第一 b。 第一 b 的 话用底乘高，底是 b， e， 高是这个。呃，这段 d、 m 对 不对？同理呢， d、 f、 b 底边是 b， f， 高的话是 d n， 我们需要去求底。求高底的话，已知 a、 e 是 x， 那 么 b、 e 是 四减 x， 也就是说在 b、 d、 e 当中，底边可以表示的。那这个高是多少呢？注意啊，这个结构是一个非常常见的双垂直的射线定律结构， abc 是 一个直角三角形 bd 和 ac 垂直。首先用等面积法， ab 乘 bc 等于 ac 乘 bd， 等面积法先求出 bd 的 这个长度。这第一步先求 bd， 然后再通过勾股定律求出 ab 的 长度， 可不可以是可以的， a、 d 是 等于五分之八倍，根号五的。接下来注意看三角形 a、 d、 m 和三角形 a、 c、 b 应该是相似的对不对？通过这组相似，既能够求出 dm 的 长度，也能够求出 am 的 长度， a、 m 知道之后，那 b， m 和 d， n 也就知道了好不好？这是第二次啊，用相似分别去求 dm 和 d， n， 那 这样的话高不就知道了吗？接下来是不是还差一个 b f 啊？ b f 怎么求呢？注意了，这里有一个 旋转型的相似三角形 d， m， e 和三角形 d， n， f 是 相似的，那通过相似是不是可以把 n、 f 的 长度表示一下？ n， f 表示完之后，那 b， f 不 就可以表示了吗？ 对不对？经过这样一系列操作之后，第一步，等面积法，第二步，相两，呃，两个相似对不对？ b， e 的 长度可以表示， b， f 可以 表示 dm 和 d， n 都是定值，那么你一算这个 y 和 x 的 关系不就知道了吗？好不好？这个地方刘老师就不就不写出来了，咱们答案都有的啊。 好，再往下看第十一题。第十一题主要考的是分式，有意义的条件，分母不为零，比较简单啊。第十二题呢，主要是考的是五位数的大小的判断，这里我们需要用平方根号，十是一个五位数， 我们需要把它平方一下，平方之后是十，对不对？然后七分之二十二也平方，平方之后是四十九分之四百八十四，那我很那我发现很明显，四十九分之四百八十四是小于四十九分之四百九十的，而他呢，是等于十的 好不好？十三题，这个题也不算很难啊，分两步，他不让你取两个球吗？对不对？第一个球，你看第一个球可能有四个情况，这里呢，我分别把他们用 abc 表示了，黄球是 a， 白球是 b， 红球是 c， 红球是两个。用 c 一 和 c 二表示 好不好？这样写起来更加的简洁，第一个球可能是 a， 可能是 b， 也可能是 c 一 或 c 二，都是有可能的。然后在取第二个球的时候，要考虑到第一次的情况，如果说第一次取的时候就只能是 b 或者是 c 一 c 二了， 对不对？同理，如果说你第一次取的是 b 球呢？那么下面要么是 a， 要么是 c 一 c 二 好不好？所以说两次选球的结果一共是三乘十二个可能性，其中两次都是红球的概率 只有 c 一 c 二和 c 二 c 一 两个情况。这里我没有把图画完，咱们自己画好不好？一共是十二个情况，满足要求的是两个情况，也就是十二分之二，六分之一， 这个题也不是很难对不对？也就是说，到目前为止，你看咱们的选择题，呃，只有第十题是比较难的对不对？前面九题都可以得分，而填空题呢，前面三题都可以得分，也就是第十题比较麻烦一点点。 十四题里面第一小问也能得分好不好？咱们看题目啊，他说，呃，这是一个翻折问题啊，翻折问题？看我这个图像，这画的有啊，这里呢，本身是一个一线三垂直的全等结构， 呃， m n 和这个 e f 是 垂直的啊， m n 和 e f 垂直过点 m 向 c d 边做个垂线，假设这个垂直是 h 点，很明显，这个 m n h 和 e b f 啊，是相似的好不好？相似之后，他是不是让我表示， c p n m 啊， 这是 c p， 这是 n， 这是 m， 就 会这个角吗？这个角和这个角相等，因为他是翻折前后的对应角，而这个小角呢，又能够和这个小角相等 是不是？这个小角是不是九十度减二十八呀？然后就可以推理了好不好？这个不算难啊，最难的应该是数第二小问。第二小问，你需要会标这个参数，首先他说 h e、 f g 是 一个正方形，那既然是正方形，这里面就会出现多组一线三垂直的全等结构，这四个全是全等的对不对？既然全等，我就可以把线段长度表示一下，比如说这几个线段长度全是等于四的， 剩下的这几个线段长度全是等于八的，这是第一步好不好？根据 h e、 f g 是 正方形，得出全等结构，接下来我们再看。嗯，他现在还告诉我什么呀？嗯， 就没有说了，没说之后咱们再接着标。注意啊，这里面在这一块会有一个什么呀？等腰三角形，我不知道你能不能看的呢？我来标记一下啊，这个小角 和这个小角是不是相等的呀？因为他不是翻折前后对应角吗？相等的。而且题目是不是告诉我们 h g 和这个线段平行，然后呢， m、 n 和 fe 是 垂直的，所以这个地方是不是也是垂直的呀？ 那这里不就是有一个三线合一的逆向推论吗？既有角度相等，又存在垂直，所以说这个三角形应该是一个等腰三角形，对不对？我们不妨假设他们的边长是 x， 好， 再来看啊，现在他不是翻折吗？从 n c 翻折到 n c 撇，那你的 n g 已经是等于这段，假设这是 k 吧好不好？ n g 已经等于 n k 了，所以说剩下的 g c 和这个 k c 撇这一块和这一块相等不相等，那这个不也就是四了吗？ 好，接下来再看啊，再看看什么呢？ d g 是 怎么翻折的呀？ d g 是 不是沿着 h g 翻折到 d 撇 g 了呀，对不对？而 d g 和 d 撇 g 长度是八，然后他特地告诉我，这个地方是垂直的，有没有说呀？后面是不是补充了一个条件啊？ 我记得好像是的啊，补充了个信息，嗯，反正应该是垂直的，这个地方应该是垂直的，嗯，就这啊。啊，是垂直，为什么呢？因为这是直角三角形啊，这是直角，这个地方不也是直角吗？ 是不是垂直？注意看，这个地方也垂直，因为这是直角，翻折之后这也是直角，所以说 c 撇 n 和这个 d g 啊，是平行的， 这一小段是四，这一小段是八，那这不就是一个中位线吗，对不对？所以 c 撇是不是 h d 撇的中点呀？而 h d 撇又是等于 h d 的， 所以说这两小段长度都是等于二。通过勾股定律可以求出， h k 长度应该是二倍根号五的，而 k g 长度应该也是二倍根号五的，因为在这里面使用勾股定律啊，对不对？刚才咱们又说了 啊，说什么呀，这是一个等腰三角形，那这个点是不是 k g 边的中点，所以这段长度应该也是等于根号五的，是不是？那么 h p 撇的长度不就等于三倍根号五了吗？ 明白吧？把这个题目咱们再重新梳理一下。首先，第一个，根据 h e f g 是 一个正方形，推导出这么几组一线三垂直的全等，进而标出现的长度，这是第一步。第二步利用第一次翻折啊，注意， 利用第一次翻折推导出这个三角形，是一个等腰三角形，然后去设参数表示线段。第二次 再根据 d， g， g d 撇相等， c g c 撇 k 相等结合两次垂直推导出 k 点是 h g 的 终点， c 撇是 h d 撇的终点 好不好，这中规线啊。然后接下来就是呃，各固定里求长度以及三线合一推导出这个屁撇是 k g 的 中点就可以了好不好，本身不是特别难，但是在考试的时候呢，因为时间有限，所以可能就想不太到了啊。
251合肥李师傅讲初中数学
38:52查看AI文稿AI文稿上个视频呢，我讲了二零二四年南京市中考数学的一道二次函数的题目，那个函数题目非常的精彩啊，大家可以去看一下我们上个视频的讲解。那么今天呢，我们来讲一下二零二四年徐州市中考数学的倒数两道题目，倒数第一题和倒数第二题， 这两道题都非常非常非常精彩啊，大家一定要好好学一下啊。那么还要再说一下，就是我们前段时间没有正常更新 呃，熟悉我的老粉都知道，我们以前都是日更的啊，呃，但是后来呢，因为这段时间我们比较忙，我们团队事情很多，所以导致我有一段时间没有更新了，大概两个礼拜， 所以从今天开始，我们往后视频就会逐渐恢复到一个日更的状态，希望大家能够跟着我们一起来继续学习，保持进步。好吧，好，我们来先看一下二零二四年徐州市中考数学的倒数第二题， 他说在三角形 a、 b、 c 中，点 d 呢，是在 a、 b 上的，如果告诉我们 c、 d 的 平方等于 a、 d 乘以 d、 b， 然后呢，就说这个点 d 啊，是这个点 c 的 一个关联点，如图一啊，这个图一图二应该标上的啊，这个图一是左边的， 图二是右边的。在三角形 a、 b、 c 中角 a、 c、 b 等于九十度就等于九十度 c、 d 垂直 ab 与点 d， 那 这时候呢，就说这个点 d 是 指点 c 的 一个关联点，那它其实就是我们在学 啊，相似在学直角三角形里面最常见的一个结论，摄影定律啊，讲过很多遍的一个摄影定律啊，就是 c、 d 平方等于 ad 乘以 db， 这是一个应该要记住的一个结论 啊，那就证明一下呗。啊，证明一下就很简单吧，对吧？你看啊，这是阿尔法角，这是贝塔角，那这个是不是阿尔法角啊？啊，这个是不是贝塔角啊？所以三角形 a、 c、 d 是 不是相似于三角形 c、 b、 d， 对 不对？好，那这样子的话， a、 c 比上 c、 b 等于 a， d 比上 c、 d 等于 c， d 比上 b、 d， 是 不是？这样子的话， 我们要获得 c、 d 平方，那就是把它给写出来啊，那就是 c、 d 的 平方等于 d 乘以 b、 d， 你 看这个是不是就是题目中给的判定关联点的一个一个等式，所以它就是一个关联点啊，比较简单啊。当然了，摄影定律其实还有其他结论，你就说 a、 c 平方你也可以算出来， bc 平方也可以算出来啊，这个我们就不再算了，你们可以自己 就是在这个视频之后，可以认真的去给他算一下，他也是用到相似啊。好，这第一问比较简单，属于顺风题。好，我们看第二问， 第二问，他说的是如图二已知点 d 在 这个 a、 b 上。好，也就是说这个地点已经定下来了啊，定下来了，他说用这个无刻度的直尺和圆规做一个三角形 a、 b、 c， 使其同时满足下列两个条件，第一个是点 d 为点 c 的 一个关关联点。 第二个是角 a、 c、 b 式钝角，对吧？那保留作图痕迹，不写做法。首先你看啊，如果我们要跟前面一样， 如果跟前面一样，就跟图一一样，我们找 c 点，是不是好找？比较好找，但是的话，这里面这个 a、 c、 b 角是九十度远，他不满足题，题目说要控制它是一个钝角，哎，那这时候我们就要想， 那我的核心是什么？我的核心我要控制这个 cd 长度不变，对不对？ cd 长度不变，然后还要控制你这钝角，哎，其实也比较简单，也就说 c 的 运动轨迹 其实是有两个控制的，第一个它是由 abc， 哎，这个运动轨迹控制的，也就说 ab 为直径，哎， ab 的 中点为圆形的一个圆， 控制对不对？ c 的 运动轨迹，因为你要是九十度嘛，你得垂直嘛，对不对？就是定弦定角。第二个你是怎么控制的？第二个就说在图二里面，图二里面的话， 你这个 c 啊， c、 d 的 长度是一定的，因为你要确定它是关联点，那么这个长度 就是定值，它是个判断条件，你 a、 d 知道了， d、 b 知道了，那么 c、 d 平方就知道了， c、 d 平方知道了，那就是 c、 d 这个长知道了， c、 d 这个长知道了。意思就是说我们只要和图一里面把这个 c、 d， 因为你图一里面这个 c、 d 就 这么算的，这个 c、 d 长度，它就是满足 a、 d 乘以乘以 d b 的， 是不是？ 也就是我们要把图一里面这个 cd 给它做出来，然后把这个长度以地点为圆心，再给它画个圆，哎，再给它画个圆，这时候，这时候这个 c 的 运动轨迹就在新的以地点为圆心，以这个 cd 长度为半径的这个圆上， 这时候你要找一个对角三角形，或者找什么锐角三角形，就很简单了是不是？所以关键的我们分分情况看啊。第一步你要干什么？ 第一步你需要，你需要找到 c 的 大的大圆的运动轨迹，就找 大圆 大圆轨迹，这时候 c 正好在这个圆，圆就是以 a、 b 的 中点为圆形的，这个圆上是不是好，那怎么做啊？ 啊？很简单，那你首先要找到圆心位置，圆心位置就是说你分别以 a、 b 为圆心，以大于二分之一 a、 b 长度为半径来画这个圆，然后呢，在这个直线或者说线段 a、 b 上下两边各交于一点，一连线，哎，他和这个 a、 b 的 交点就是圆心了，这时候以这个圆心， 以这个点为圆心，以 ab 中点为圆心，然后以 ab， 以这个 ab 的 一半长度为半径。哎，这一画就可以了啊，我相信你们都不能画啊，所以呢，我就不再给你们画了，我就直接把这个圆给画出来啊， 直接把圆画出来， 好， 先把圆画出来啊，然后呢？然后怎么办？然后你是不是要过 d 点做一个垂线啊？和这个圆交点是不是就 c 点， c 撇点，对不对？就是你先确定 c 的 长度吗？对吧？好，然后的关键点就在于你如何过这个 d 点做 ab 垂线。 这个其实我们前两天刚讲过，我们在讲那个二零二四年南京市中考数学的，呃，倒数第三题的时候，倒数第三题还是倒数第二题的时候讲过，哎，他是给你四个点，说他是在正方形的四个边上的。好，这时候你如何去找到？ 如何去找到这个垂线？我们讲过啊，我们简单的试一下，比如说这是个直线，上面有一点， 我如何过这个地点做 l 的 垂线呢？其实很简单，你看啊，我首先我过地点， 哎，我以地点为圆心，然后以任意长度为半径啊，但是你不要太长，太长就画的不好看啊。我在左右两边各交一点，交于 e 点和 f 点， 可以吧？以 e 点和 f 点为圆心，以大于二，以大于 e、 d 的 长度为半径，然后划一下，划一下， 左边划一下，划一下，哎，这时候你看上面会交于点 g 和点 h， 然后一连 就可以了，那这样子的话，你看，哎，垂线就出来了啊，是不是？这东西就是利用了什么啊？利用了 菱形啊，菱形的两个对角线是互相垂直的，利用这么个结论我们讲过啊，所以这东西一定要记住，非常非常重要啊，在尺规作图里面非常非常重要，所以这个题目你看一看就是很重要啊，就是你以地点为圆心 啊，以这个长度为半径，在 a、 b 上找到两点啊，比如说这是 e， 这是 f， 你 再分别以 e 和 f 为 圆心，然后呢，在上面画一点，画一点，画一点，画一点，然后一连接就垂直的了啊，垂直的了，那么我呢，把方法给你们讲了，我自己的做的时候呢，我就不这样做了啊，我就直接画啊，好吧， 然后呢，我们就可以， 你看，这样子的话，这个就是我们找到 c 撇点，好，这时候 c 撇 d 啊，哎，它是不是就满足它的平方等于 a d 乘以 d b 了，对不对？是不是 c 撇 d 就 等于，哎，我把它连一下，你看啊， 首先这垂直的 对不对？然后呢， 这个也是垂直的，是不是？好，那就我们就提了啊， 好的，这样子的话，你看啊，那还那还不行啊，对吧？你得保证它是钝角，钝角的话说明 c 撇它不在这个位置哎，但是我们要保证 c 撇的长度不变，哎，那这时候很明显我们就能想到什么，我们以 d 点为圆心， 以 c 一 撇 d 为半径，哎，我们来画个圆， 嗯，这样子， 大概是这样子啊， 好，大概是这样子啊，这时候你会发现啊，我圆上的任意点和 d 点连线，是不是就等于 c 一 撇 d 的 长度了？是啊，比如说举个例子，那这时候你还保证它的钝角，那你就应该怎么画啊？应该在右边画， 这样划，这时候这个就可能是 c 一 撇点啊， c 一 点啊，那这样的话，你看一连， 这个是不是就是钝角啦？而且 c、 d 是 不是等于 c 一 撇 d 的 长度？ 是不是？所以这个题目呢，到这儿为止就出来了啊，啊，这个痕迹是还是挺复杂的啊，这是第一个，那么第这第二个，第三个，若三角形 a、 b， c 为锐角，三角形啊，锐角三角形，且点 d 为点 c 的 一个关联点，设 a， d 等于 m， d， b 等于 n， 用含 m n 的 代数式来表示 a、 c 的 去的范围， 那这样子的话，你看啊， a、 d 是 m， b， d 是 n， 这个题目中能看出来 m 和 n 的 关系大小关系 m 小 于 n， 对 不对？但是你题目一定要搞清楚啊，他有没有说？如图二，这三问有没有说？如图二没有说。所以呢，你要判断出来，第一个，若啊，若 m 小 于 n 呢？ m 大 于小于 n 的 话，这个 c 撇是不是靠近 b 这一点了？ m 大 于 n 的 话，这个表达式应该是这个 m n 互换啊，互换。好，那么这样子的话，也就是说你要确保 a 角这个角 a、 c、 b 为什么为锐角？哎，为锐角， 你要确保它为锐角，那么锐钝钝角的话，也就说 c 撇 d 的 右侧了呗，那么锐角呢？锐角应该左侧，哎，对了，左侧 随便划一点，对吧？那么这个就可能是 c 一 点啊，你看 c 一 点， a， c、 b 是 不是就是一个 锐角哦，而且，而且还有个范围，而且还有个范围，你还不能超过这个范围，你看啊，你还不能超过这个范围， 对不对？ 因为因为你超过了这个范围， 你看你 c 啊，在这个范围之内，你如果超过这个范围，你在下面的话，这个角 c e a、 b 是 个钝角，哎，所以你还不能超过这个范围，所以你大概就是这个角， 大概在这个位置，就是说在这个位置到这个位置之间， c 啊，在这个范围运动， 它能保证它是一个锐角，哎，你超过这个范围，你往下走，往往底下走，往这这边走，它是不是钝钝角了？哎，你往上面走，它也是个钝角，对不对？哎，它也是个钝角， 这没有问题吧？啊，没有问题啊，然后呢，它说，呃，设 a d 为 m d b n， 那 表示 a c 的 长度， 表示 a c 长好，那么第一种情况，好，我们来判断一下啊，那么最大值应该在哪？最大值就是 a c 一 撇喽， a c 一 撇怎么算？ a c 一 撇的长度，它是不是等于 a c 一 撇两那个平方嘛？它是不是等于 a、 d 的 平方加上 c 一 撇， d 的 平方 是不是等于 a d 平方？就是 m 平方加上 c 撇 d 的 平方，也就是 a d 啊， m 乘以 n， 对 吧？啊，这个简单啊，那就说 a c 撇应该等于根号下 m 平方加上 m 乘以 n， 这是 a c 一 撇，然后呢，就是，比如说这是 c 两撇，那么 a、 c 两撇呢？两撇也简单啊，也就是说，你看我把它连一下， 我连完了之后，它 a、 c 两撇是不是等于 c 两撇 d 的 平方减去 a、 d 的 平方，再开根号啊，是不是好？ c 两撇 d 是 不是就等于 c 一 撇 d 啊， 对不对？ c 一 撇 d， 所以 就是就是 m 乘以 n 喽，对吧？所以就是根号下 m 乘以 n， 再减去 a、 d 平方，就 m 平方， 是不是这种情况，就是 m 一定要小于 n 啊，一定要小于 n， 那 它才有意义啊。好的，这样子的话，这是最小值。那这样子的话，这个 m ac 啊，应该是在这个范围之内啊，就是根号下 m， n 减去 m 平方啊，加上在根号下 m， n 减去 m 的 平方， 对不对？这是 m 小 于 n， 如果 m 大 于 n， 那 就完全反过来，那就完全反过来啊。所以这个题目呢，还是有点意思的啊， 那很多人容易犯错的地方就在于什么呢？在于，哎，他发现了，在这个左侧应该是可以的，但是他忘了这个地方他也不能，他也要确定，要确保要小于九十度啊，你不能够超过九十度，也就说你不能够超过这一点啊，超过这一点就没有错了啊。 好，那么这个呢，是倒数第二题，很精彩的一道题目，很容易犯错啊。好，我们再来看最后一题，这题目呢，就很难啊，很难。他说，如图，在平行四边形 a， b， c， d 中， a， b 场等于六， a， d 场等于十啊，角 b， a， d 等于六十度 啊。然后呢，告诉我们， p 是 边 ab 上的一个动点，连接 p c， 嗯，将 pc 绕着 p 逆时针转六十度，得到 pe， 然后呢，过 e 做这个 e f 平行 ab 交 ad 于点 f 啊，你看啊，那比如说它是六十度，因为平行嘛，所以它有六十度，对不对？ 好，那么这个长度呢？等于六，这个长度呢？等于十，对吧？我们先给它标一下啊， 好，然后呢，他说啊，分别取 p、 f、 p、 f 和 d， e 的 中点为 m n 连接 m n 啊，交 a， d 的 交 a， d 于点 q， 如果第一问，他说如果点 p 和点 b 重合线段 m n 的 长度为多少， 那我们把它删一下啊，因为这图画的有点小，所以我们给他标一下啊，你看啊，他说的是点屁和点 b 重合，那这个就是 屁点，对不对？那么他说把这个 pc 绕着 p 点逆时针转六十度，那就是 bc 了， bc 绕着 p 点转六十度啊，转六十度，那就是大概是这样子， 嗯，大概是这样 去吧，大概是这样。 好，然后呢？嗯，然后你看啊，这一点应该在什么位置啊？我把图画的要画清楚一点，应该在这个位置， 对吧？这个图啊，我告诉你们怎么画啊，应该先画它的，嗯，应该先画它， 大概是这样子啊，大概是这样子啊，我们随意画一下啊，那么这个的话，就是 p e pe 啊，然后呢，过 e 点做 e f 垂着平行 ab， 那 么这个点呢？这个点啊，这个点其实就是就是 f 点了啊，就说 d 点正好是 f 点，应该就是这样啊，因为你 c d 正好和 ab 平行的嘛，而且你这个角也等于六十度嘛， 啊，说白了，它就下面是个等边三角形，对吧？所以这个你要控制好啊，你不要控制好，控制不好，你又多画了一些边，这个题目你就做不出来了，所以 f 点其实就是 d 点了， f 点就是 d 点，然后呢，他说这个连接 p f， 那 就是连接 p f， 对不对？连接 p f， 然后还有这个 e f 啊，这个 d e 啊， d e， d e 的 终点就是 n， 这个 p f 终点是 m， 哎呀，那就简单了啊，那就是这样子呗， 哎，中点一点大概是这样子，对吧？这个是 m， 这是 n， 那 这样子的话，你看啊，这个，这个 m n 是 不是平行且等于二分之一倍的 p e 啊？中位线嘛， 对吧？那么这样子的话， p e 是 由 bc 旋转过去的，那它就等于二分之一乘以一个十喽，等于五，对吧？所以等于五啊，所以第一问简单啊，第一问简单属于坎卦切赛啊，说问题， 第二问，哎，就有点难了啊。第二问，它说的是随着点 p 的 运动， m n 和 a q 的 长度是否发生变化？ m n 和 a q 的 长度，那么在中考题里面，就是二零二四年和二零二五年这两个地方的中考题里面所有碰到这种是否变化的，目前我们讲的题目里面 百分之百一定是没有任何变化。所以这个东西呢，我们要注意他的一些命题特点，就是如果变化了，他可能不太会问你，所以他问你的话，大概率你就要猜测他可能是没有变化的。因为我们讲过很多次中考题里面几何题第一步应该什么猜， 第二步是把你能想到的辅助线的东西全画上去，辅助线画了之后不一定有用，但是呢，可能会给你提示。那第一步是什么？猜这个题目我就猜他没有变化， 猜啊，猜好，我猜他没有变化之后呢，我得证明啊，对吧？好，这个题目呢，其实方法很多，我呢已经用了三种方法给它做出来了， 但是呢，我们今天只讲一种啊，讲我觉得最最重要的一种啊，其实你可以间歇做啊，什么间歇也可以做？我讲我觉得最重要的一种，就是你们以后可能会碰到这个东西呢，叫，叫什么呢？叫一线三等角。 什么意思？你看这里面有一个特点，你看啊， pc 绕着 p 点逆时针给它转六十度得到 pe， 是 不是？所以这个角啊， 等于六十度。我当时看这个题目的时候，我第一反应是连接 ec 啊，连接 ec， 我 先连一下啊，就不管它有， 不管有没有用，我先连一下你，那说明三角形 e、 p、 c 是 个等边三角形，不管有没有用，先连一下。然后呢，我又产生了另外的想法，就是你看啊，这个这个东西啊，它里面特别像我们以前讲过直播的时候讲过的啊， 有一个线，然后呢，它忽然戳出来一个角，哎， 这是而法，就是我们讲过的有一个线，忽然戳出来一个角。那么这个时候呢，我们可以考虑用一线三等角来做这个题目。怎么办呢？ 我们做两个辅助线，比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 这是 d， 这是 e， 我们做两个辅助线，就在这个两个边构成这个角的外边啊，够再造两个角，一个角是而法，一个角是而法，就跟你中间这个角是完全一样的，这时候你会发现，你看啊，如果我令他等于，而法令他等于贝塔吧， 他等于伽马，那你看啊，这个角是不等于伽马，因为你而法加贝塔加伽马等于一百八十度嘛， 有没有问题？没有问题啊，那说明左边这就是阿尔法贝塔加伽玛了，右边这个有一个阿尔法，有一个伽玛了，对不对？那这个角就是贝塔， 说明什么？两个三角形，所有内角相等，说明什么？说明三角形 a、 b、 c 是 相似于三角形， a 对 应的是 c， b 对 应的是 尔法，尔法对应的是 e、 c、 e、 d 啊？ d， 对 吧？是这样子，那这样子的话，你就可以用各种编的比例关系来做这个题目， 所以呢，他可能会给你解析提供一个，嗯，选择，提供一个思路，所以我在看了这个东西之后呢，我第一反应就是这个，我第一反应就这个，这个呢，我们后面在直播的时候会专门来讲啊。好， 好，那怎么办呢？那你就要去勾到角呗，这角勾到应该多多少度啊？看，你看这个图中间这个角是多少度，我左右两边就各勾到多少度， 中间这个角是多少度啊？六十度，我现在就要左右两边各勾到六十度，是不是？好，那这样子的话，你看啊，那我是不是把这个它延长， 然后呢？然后我过这个 e， 因为你 p e 是 一边嘛，哎，因为你 p e 是 一个边嘛，那这样子的话，这个是不是就六十六了， 对不对？哎，好，那说明 p e， 比如说这是，嗯， f h， p e， h 是 个三角形，对不对？好，那接下来我在右边，那么右边是哪个？右边就是 pc， 哎，这右右侧你还要构造个六十度，那怎么办呢？你看啊，那很明显你是这样构造， 你要再构造一个六十度，你看啊，这个角现在也是六十度，对不对？那我还要再构造个六十度是斜斜着的啊，那我们肯肯定是这样子的， 你看这个角，如果是六十度的话，我是不是能保证这个角六十度等边三角形嘛，对不对？好，那这是 h， 那 这个是，比如说这是 r 一 点啊， 也就说我勾到了两个三角形，那么这两三角形你看啊，它什么？它是什么关系啊？根据我前面刚刚讲，它俩应该是相似的关系啊，它俩应该对相相似的关系，然后你会发现，嗯，看啊，比如说我令它等于 r 法， 我令它等于阿尔法，它等于贝塔的话，你看啊，那么这个角是不等于贝塔，对不对？这个角等于贝塔的话，那么这个角是不等于阿尔法？ 有没有问题？没有问题。好，那这样子的话，你看啊，那就是三角形， 三角形 hpe 是 相似于三角形 h， 对 应的是六十度，应该就是 i 点， 对不对？ p 呢是阿尔法，就是 c 点， e 呢是贝塔，应该就是 p 点，对不对？就是 hpe 和 icp 正好是相似的，但是你看啊，这个六十度对应的两个边 是不是 pe 和这个 pc 啊？它俩正好是什么关系啊？相等关系。那说明什么？说明它俩不定不只是相似，而且是全等， 全等啊，全等。然后你看啊，我们也知道有些边啊，你看这个 bc 边是多多少？ bc 边是六，呃，不对，是十， 对不对？那么 i c 长呢？是不是十？ i c 是 不是北塔村那个边啊？所以 hp 长度等于十，有没有问题？没有问题，对不对？是不是没有问题？好，然后你看啊， 然后你看啊，呃，差不多，这个边的关系好像就这样，是不是？好，然后我们再看题目啊，然后怎么办呢？你看啊，他说这个 m 点是 p f 的 重点， n 点是 e d 的 重点， 那我们肯定会想到，用用中信来求这个，这个边长 m n， 对 不对？但是这个，这个 e d 和 f p， 它是能构造成一个三角形吗？构造不出来，那怎么办？ 构造不出来，我是不是想得想办法啊？那思路是什么啊？思路就是这个 n 点现在不是 e d 的 重点吗？那我们能不能用倍长中信， 对吧？我能不能以 p f 为一个边，构造出一个三角形来，使得这个 n 点正好在 f 某一个点，它的重点上， 对吧？那这样子的话， n 点呢？不仅是 e d 重点，可能是 f 某个点的一个中重点，对不对？好，那这样子的话，我们自然就会想到，我们过 d 点做平行线，一定会想到， 其实就是我们做题目经常会碰到叫背长中线，那这样子的话，这个 h i j， 我 们令它为节点，就是我们过，我们做 d j 平行，嗯，平行什么呢？平行 e f， 我们做 d j 平行 ef。 好， 那这时候你看啊，这个 n 点啊，那这时候呢？我们把它一连，我们把这个 j f j f 一 连，这个 j f 一 连之后，它一定经过 n 点， 对不对？因为你看啊，这个 d j 平行 ef 了，而且这个 j e， 这个 j e 不 就是 h e 吗？它是不是平行 a f 的？ 所以四边形 j e f d， 它是一个平行四边形，那么平行四边形的话，你 n 点已经是 e d 的 中点， e d 正好。是啊，对角线，那么说明什么？说明这个 n 点是对角线的中点，那么 j f 也是对角线，那么 n 点肯定是 j f 的 中点，没有问题吧？好，那这样子的话，你看啊， n 点是 j f 重点， m 点是 p f 重点，那么如果我们把 p g a 一 连， 如果我们把 p j 一 连， p j 一 连的话，哎，你会发现 这个 m n 是 不是等于二分之一倍的 p j 啊？你看这个 m n 是 不等平行且等于二分之一倍的 p j 没问题吧？好，接下来就是我们要算 p j 长度，这里面你看啊， h j 是 不是平行 a d 的， 对吧？我们刚刚做了 j d 平行 e f， 那 就是平行 h a 了，所以这个四边形 h j d a， 它也是个平行四边形，是不是？好，那你看啊，我们要求 h j， 或者说求 p j， 然后这里面有个六十度，我自然会想到一定是用的等边三角形，因为它很奇怪，这个六十度给的太巧了，对不对？好，然后你看啊，这个 h j 长度， 它是不是等于 a d 乘多少？因为你平四边形嘛，对边相等嘛， h j 等于 a d， a d 等于多少？等于十嘛？题目告诉我们的十嘛，所以说明 h j 等于十。然后你看 h j 等于十， h p 等于十，中间的夹角和六十度，说明它是个等边三角形，就是 三角形。 h j p 为等边三角形， 微等变三角形，那么等变三角形的话，那说明 p 接长度等于多少， 对吧？ p 接长度就等于十喽，对不对？它等于十的话，那么 m n 长度等于多少？ 等于五喽，所以说这个 m n 它是个定值，哎，就是不管怎么变，它都等于五。 好，接下来怎么办呢？接下来我们应该求 a q 长度， a q 长度。哎，有点麻烦啊，我们把这个都删了啊，这个你们可以截个图，好吧，先截个图吧，好，删了啊， 你看啊， a q 长度，你看啊，首先看啊，我们 h j p， 它是一个 等边三角形，对不对？等边三角形的话，那你看啊，如果 p j 和这个 a d 交于 k 点，也就是说这个点为 k， p j 和 a d 交于 k 点的话， 那么三角形 a k p 它是不是也是等边三角形？它也是等边三角形？然后我为什么要这么做啊？然后因为什么？因为你看啊，因为 m n 平行 p j 对 不对？而这个 m 点是 p f 终点，那说明什么？说明这个 q 点为 k f 终点， q 点为 k f 中点，有没有问题？没有问题。然后我们的关键是什么？关键是如果我们要算 a q 的 话，那 a q 怎么算啊？ a q 的 长度它是不是可以写成什么呢？ 那我们先不这么写吧，我们先把题目已知量给它表示一下，好不好？ 表示一下，因为你 p 点是动点，我也不知道这个 a p 长度是多少，对吧？但是你 p 点一定会影响着这个 ak 长度，对不对？所以我们设一下啊，我们设 a p 长度等于 a， 可以 吧？那最后最后可能就约掉了啊，这是中考几何里面常见的一个思路。 a p 长度等于 a， a p 长度等于 a 的 话，那我请问 p b 等于多少？ p b 是 不等于六减 a， 对 吧？因为整个 a b 等于六嘛，所以它就等于六减 a， p b 等于六减 a 的 话， 因为你 b i 长度是十嘛，对吧？因为你是等边三角形嘛，所以你看啊，这个 p i 长度， p i 长度是不是等于十 减十？加上六减 a 等于十六减 a 就是 pi 长度。然后你看啊， pi 长度是不是等于 h e 长度？ 它是不等于 h e？ 因为我们刚刚说了，两个三角形是全等的，就是 h p e 全等于三角形， i p 的 话是 r 法， r 法就是 c p， 对 不对？所以 p i 等于 h e 等于十六减 a， h e 长度是不是等于 af 长度？ 是不是等于 af 长度？好，然后你看啊，这个 q 是 k f， 重点说明 k q 的 长度是不是等于二分之一倍的 k f 对不对？ k f 乘等于多少？二分之一的 k f 是 不是等于 af 减去 ak 啊？ af 等于多少？等于十六减 ak 长度呢？ ak 长度是不是也是 a 啊？对于它是个等边三角形吧。你设 ap 等于 a， 那 么 ak 就 等于 a 喽，对不对？所以算出来应该等于多少？八减 a 是不是八减 a？ 好， 然后你要算什么？你要算的是 a q 嘛？ a q 是 不是等于 a k 加上 k q 啊？ a k 等于多少啊？等于 a 嘛？ k q 呢？等于八减 a 嘛？所以结果等于八， 所以结果等于八，他是个定值。所以你看这个题目是不是非常非常难啊？非常非常难。我讲的好像很轻松。你看这个题目我们做了多少道辅助键？这里面只有一个辅助键是没用的。哪个辅助键？这个辅助键 剩下你看啊，我们做了一个，两个三个四个五个六个七个，我们做了七条辅助键，所以这个题目当时的得分率不足， 不足千分之二还是万分之二，得分率非常低。但是呢，我其实有三种方法可以做啊，这个是其中一种方法。那当然了，你 这题呢，还可以用什么方法做？还可以用手拉手模型去做。但是呢，我没时间给你们去讲了啊，也不想去讲了，我们只想讲这一种方法。这个东西呢叫一线三等角啊，非常好的一个方法。我在看到这个东西之后，我立刻想到一线三等角原因就是因为， 就是因为他有一个很明显的特点，一定要记住啊，如果一个线上暗戳戳的给你来这么一个角 alpha， 哎，而且这两边都是一致的啊，那么你这个时候你就可以想办法去做一个一线三等角，一线三等角不仅在这里面可以有用，你在算这个， 因为他会构造出相似吗？构造出相似的话，那么你边长的比值，他的一些最值问题他也可以做，也可以做。好。那这个题目呢，我们就讲到这啊，如果大家觉得还不错的话，可以分享给你的朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子，那我们下个视频，再见。拜拜。
21杨金木点灯
01:31查看AI文稿AI文稿呃，我们身边的家长，不管你选择什么高中啊，分数为王，所以说二模全线统一，二模考试已经结束，最后想冲刺，想最大程度提分的啊，家长们和同学们一定要把这个视频认真的观看， 特别是学生，如果想最终快速提分，就两个字，聚焦。我们一定要把二模各科的分数 试卷分析好，找到哪一科薄弱，然后聚焦做徐州专卖的模拟卷和加急卷。我们只推荐这两套试卷，比如他的数学、物理、化学这三科没考好的好，那么我们就要 找到对应徐州专门的模拟卷和押卷，保证试卷系统的刷一遍，找到错题啊，考前把错题认认真真的做一遍，做到举一反三啊。 比如数学不到一百分，提高十五到二十分是完全没有问题的，这三个加起来二十分到三十分。紧接着如果是语文的，我的视频里有 如何去让孩子的语文过一百分考试的，一定要明确考纲哪些考哪些不考哪些考大题的这些内容后台私信或者进我们的群分享给大家。
106升学规划•房老师
36:56查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们看一下二四年的中考数学试卷，呃，觉得对大家有帮助的啊，可以点个点个赞，收藏，然后关注一下。呃，我们可以看一下啊，前面都是送分题，我们讲快一点嘛。第一题呢，负五的相反数五，所以选 a 那个绝对值，负五的绝对值也是五，然后负五的倒数是五分之一吧。第二个人送分题了，科学计数法，小数点点，这里小数点后面四位，所以应该是二点五，乘以了十的四次方，他前面这个数一定是要呢 大于等于一小于十的这个数啊，所以这个注意一下。第三个主式图，主式图应该选 b 吧。第四题， 将常温的温度计要插入热水，那么温度计是说应该呢，会先升高，不对不对，然后随着时间，他杯子里的热水肯定要肯定 啊，不要想当然，他括号里面写了恒温，所以后面就不变了啊。哎，所以这个题目应该选 c 啊，所以他的括号很重要啊，大家注意一下，做的时候我们接着看啊。 第五题了，这个质量，空气质量为 u 的 错误的是，我们看看五月份你空气质量为 u 的 天数， 五月份啊，这里这个是表示空气质量为 u 的 天数吗？那五月份十六吧， a 就是 对的嘛，这选错了，选这选错了啊， 好，这组这组数据的中数十五天啊，这里十五，十五，十五，三个十五，这也是对的，然后中位数呢，中位数你得排列一下吗？它是十二十四，然后三个十五吧， 还有一个十六吧，中间两个数的平数，这个也是对的，那他的平均数呢？这我们算一下啊，这里 你可以把这里减减个一吧，他就是十五吗？补到这里十五，但这里是十二吗？所以他的平行数肯定不是十五。那你也不要硬着头皮去算了，他也不是不是填空，对不对？所以这个题目选定了第六题呢， 看一下啊，选择一个空白的正方形，组成了正方形的展开图，这里呢，我们可以去探讨一下啊，当然，当时学的时候你学过啊，他展开图的话有哪些， 对吧？什么一四一一三二等等。那我们不管这个题目它总共也就这么几个，白色的， 白色的格子，对吧？你不能勾成填填字的，所以这个，这个肯定不行嘛，这个也不行嘛，对不对？那你剩下的就这么几个嘛，这个这个都没连起来吧你，你把这个放这里，它它这几个都没有连起来， 所以你能选的就在这里呀，这两个里面去选，放这里行不行呢？可以吧，放这里行不行呢？也可以吧，所以这个题目选 b。 第七，这个括号在括号里面啊，然后这是偶数次方嘛，所以它应该等于了一吧。这个好简单，提个公式 a， 所以 就 a 加二。 好，这是点的平移啊，点点的平移的话，你看啊，向右平移就横坐标加二嘛，横坐标加二，向上平移呢？纵坐标加三嘛，所以这个题目应该是一加二，向上向右往正方向去加啊，往上也是正方向加，所以这里应该一加三。 对应的这个就是三四吧，所以这个点的坐标就是三四。目前做到这里的话，都都不用动脑子吧，对吧？第十题，这也很简单的，正负号都没给我们写正负号都没写的话，这里就很简单了，就是 a 的 一百次方嘛， 十七了，田间的角 c a b c a b， 那 只需要把这里补一下吗？ 你这个 a d， b 是 一个等腰直角三角形， b c， d 也是一样的吗？你这，你假设这里为 a 了，这里就 a， 这里就 a 吧，所以添加的这个角就应该等于 a 除以二等于了二分之一吧。 目前到目前为止啊，还不用动脑子。十二题看到十二题，他说 ab 为圆 o 的 直径， ab 为二，然后 c 在 ab 上运动 过点， c 的 弦， d 垂直于 ab， 然后将 d b 一 这一条弧来沿 d 一 折过来，当 d 一 的长 为整数，谁先？你不要被这个这个题目给糊住了啊，他这里关键是在哪里？关键在这里啊， d 一 的长为整数。 那你想一下，假设从 b 点开始吧，他往左运动的话，你这个 d 应该是从从从几到几，从零，然后增加到多少过这里吧，二吧，然后又变到零吗？那这中间的 整数可以取的就是一二一吧，当这里为一的时候，当这里为二的时候，当这边为一的时候吧。三种情况吗？现在求啥？求 f b 啊？ f 是 谁？看一下啊， 它是这个弧交 a b 于 f 吗？交 a b 于 f， 所以 这里现在求的是 b f b f， 你 只要能把 b c 算出来就好了吧，相信这个直径给你连接一下 o d 了，当它为它说这个直径为二嘛，对吧？然后 d 一 等于一的时候， 它有两边呢？这边为一，这边为一吧。第一个一的时候，呃，这里就是二分之一吧， cd 等于二分之一，你这个半径就是一吗？直径为二吗？ 半径就是一，对吧。所以此时你观察一下，这又是一个直角三角形吗？这个边是这个边的一半呢，所以这个角就应该是三十多，但这个图画的不太标准，我们尝试着画一下， 对吧？大概这个样子啊，你这里是一吗？这是二分之一，这里就是三十度， 那所以呢，我们这一段就是了根号三吗？那我们要求的 b f 其实就是就是这里的 b c 的 两倍吧，这种情况下啊，这种情况下， b c 就 应该等于了 一二分之一，这里就是二分之一，二分之根号三吗？那所以 b c 就 应该等于了 这个一减去了二分之根号三，然后它的两倍吧，你这个翻折过来， b f， 哦， b f 应该是等于了两倍的 bc， bc 是 等于这个，所以你再乘二嘛，对吧？所以它答案就应该等于了二减去根号三嘛。第一个答案，二减根号三， 这应该看懂了吧？ bc 等于了一减二分之根号三嘛，所以 bf 等于两倍 bc 啊。第二种情况呢，就是当它到这个点的时候， 当你这个 d 恰好为一直径的时候， d 在 这里的时候， d 在 这里的话，你把这个 b 点翻折过来的话， f 就 在这里吧，所以此时的 b f 就 应该是等于二吧。第二个单简单吗？第三个单呢？如果到这边来的是，如果到这边来了，哦， 是吧？你这里算出来是一样的，这是根号三吗？那你想下此时的 b 点应该翻到哪去了啊？此时这是 d， 这是 e 啊，你你你，你这个，你这个应该翻到这边来了吧， 能理解吧？你把它的这个它指的方向， 你把它翻过来之后，应该长这个样子吧，那你这个 b 点应该在这里， b 点翻过来之后， f 点应该在这里吧， 他说交直线，直线 a、 b 与 f 嘛，对吧？所以此时 f 在 这个这个位置啊，换换，换，一个颜色， f 在 这里吧， b 点在这里吧，那这是多少还是一样的吧，其实就这一段的两倍吧，这一段应该等于。哦，这不是根号三，这应该是二分之根号三嘛，这是二分之一，这是一嘛，所以应该是一加二分之根号三的两倍，等于了二加根号三嘛。 好，这是我们这个题目。十三，这个也简单啊，派的零次方一吧，负的绝对值五啊， 这个分母都是一样的，送分题 x 减八分母分子相减嘛，一样的，那就分等于一嘛。好，第二个。第四十四，过 b 做 a、 c 的 垂线，这是个菱形啊，菱形对角线，垂直平分，对吧？ 所以比做 a、 c 的 直线，你只要连接一下 b、 d 就 好了，直线 b、 d 即为了 a、 c 的 垂线了。好，第二题呢？ 啊，垂线应该先用虚线把它连起来吧，对吧？做垂线啊，没有，不要纠结，它不是做距离，这样连起来就可以了，得到的就是 好。第二题呢，它这里说什么？点 e 为线段， a b 中点过点 b 做 a、 c 的 平行线。这里这个也简单呢，你只要把 c， 你 只要把 a、 d 先延长一下吧，这你用虚线延长， 然后连接 c、 e 并延长，这里会有一个交点吗？假设是 m， 对 吧？那你想一下，你现在把 b m 连起来， 这个四边形 a c b m 就是 一个了，平行四边形吗？但这里，嗯，你这一段，这一段都是用虚线的，最后一段可以用实线，能理解吗？这里其实用到了什么？你看到你延长之后，这是利用了啥， 对吧？你，你相当于是利用了做出了这个四平行四边形 a、 c、 b、 m 出来吧。在这里的话，可以去证 三角形 a、 e、 m 和三角形的 b、 e、 c 全等吗？一组边相等吗？然后它里面的对顶角相等吗？内错两直线平行，内错角相等吗？角角边证出它们两个全等吗？那你就可以得到了， a、 m 等于 bc， 通常它就是一个平行四边形嘛。咱们稍微多说了一下啊。好，十五看一下啊。开设人数相同的 a、 b、 c 三个班级，甲、乙两位学生是该下的一年级新生 第一个学生，甲分到 a 班，甲分到 a 班，总共三个班级嘛，所以分到 a 班的概率就是三分之一嘛。好，甲、乙两个新生，甲分到 a 班，乙也可以分到 a 班嘛。所以这应该是一个不放回的问题。我们可以列个表格， 假设这是假，这是 e 吧， abc， abc 不 放回啊，他说都分到同一个班，就是这三种情况嘛。 所以故假乙两个新生分到同一个班的概率， p 就 应该等于呢？九分之三，等于三分之一吧。那我们这个题目答案就出来了啊。啊。十六、看一下角， a、 b、 o， a、 b、 o 等于几角？ 然后直线 y 等于 x 分 之 k 经过了点 b 经过点 b。 这里注意一下这个前面第一句话都没看到它是一个了。等腰直角三角形，等腰直角三角形。好，那你现在等腰直角三角形吗？过 b 做 ao 的 垂线吗？它一定这个就是它的终点吗？ 然后他题目中又告诉了啥， a 是 四零，所以 o a 等于四吗？ b m 就 应该是 o a 的 一半吗？所以 o m 等于二， b m 也应该等于二吧。 等腰三角形三线合一， b m 就 应该垂直平分 o a 啊，对吧？而且呢，再根据了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，所以 b m 应该等于了 o a 的 一半嘛。那所以 b 点的坐标不就出来等于二二吗？哎，定位就让我们求吗？ b 点坐标出来了啊， 第二个呢？求 b c 所在的直线的解析式。那你 b 点在反比函数上吗？所以你可以把 b 点的坐标带入到了反比函数 y 等于 x 分 之 k 上吗？得到 k 应该等于了二乘二等于四吧，也就说，我们反比函数表达式就应该了 y 等于 x 分 之四。 那你看一下啊，我们这个 c 是 做了这个垂线吗？过 a 做了它的垂线呢？所以 c 点的横坐标 x， c 就应该等于了 a 点的横坐标等于四嘛。当 x 等于四时， y 就 应该等于四，除以四等于一嘛。所以，所以啊， c 点的坐标就是了 四， e b 点的坐标是二二嘛。所以我们可以令 b c 的 直线方程为 y 等于了 k， x 加 b 嘛。 那现在把 b c 分 别代入啊， b 二二 c 四一代入吧，得到两个，比如二二等去二 k 加 b 等于二吧，四 k 加 b 就 应该等于一吧，这种就作差二十减一是吧？你就可以解得了 k 就 等于多少二分二 k 等于负一吧，负的二分之一吧， b 呢？负二分之一， b 就 应该等于三嘛。所以这个答案就出来了，故 bc 所在直线的表达式为 y 等于了负二分之一， x 加三。好，这个题目答案出来了，六分题还是比较简单啊，但但但。感觉今年的话，这个反面函数移函数的大题的话，有可能会加大一点难度，但着重去练一练。十七、 看一下，角 d 等于 ab 式直径啊，角 d 等于角 abc， 角 d 等于角 abc， abc 这个角等于这个角等于六十度。 好，现在看啊，那么 a、 b 为直径，所以角 a、 c、 b 为直角嘛，对吧？那你这里你看一下啊，你这个角和这个角 b、 角 d 也相等，这个角 a、 b、 c 加上了这个角 b、 a、 c 等于九度吧。 你这个三角形 b、 c、 d 这个也是直角嘛。所以你这个角和这个角 b、 a、 c 应该是来相等的，所以这个题目答案就出来了。那言外之，我们现在 要正 b、 d 是 它的切线的话，只要正，只需要正啊，角 a、 b、 d 等于直角就好了吧。所以步骤可以写一下证明。 因为 ab 为直径嘛，所以呢，角 a、 c、 b 等于角 b、 c、 d 等于九十度。然后又因为呢，角 d 等于角 a、 b、 c 等于六十度，角 a、 b、 c 加上了角 b、 a、 c 等于了九十度吧。同理吧，角 d 加上了角 cbd 等于了九十度，所以你就可以得到这两个角相等嘛。 为啥？因为你前面这两个角相等嘛，对吧，所以你就可以得到了角，这个 dbc 等于角 bac 等于九十度。减六十度等于三十度， 所以角 a、 b、 d 等于角 abc 加上了角 d、 b、 c 等于了六十度。加三十度等于九度。记， b、 d 是 半圆 o 的 弧长，那你要求弧长，你就要把它的这个圆心角求出来吧， 无穷啊，圆形角就要取出来啊，所以第二位呢，我们可以连接一下 o c 吧。由于呢，角 abc 等于了六十度啊，所以角 aoc 应该等于两倍的角 abc 等于一百二十度。 同弧所对的圆心角是圆周角的两倍嘛。所以呢，角 a、 o、 c 应该是角 a、 c b 的 a， b、 c 的 两倍啊，等于一百二十度。那也就是说，你现在的 a、 c 弧长就应该等于了一百二十度，除以了三百六十度乘以二百二十八， b， c， b、 c 告诉了等于三哈，对吧？ b、 c 等于三，你这个角 b， a、 c 又等于呢三十度，所以这里还得写一部啊， 写一下它半径啊。好吧， 把这边的往左移一点啊，不然看不到。 好，我们看啊，这里的话得说明一下啊。呃，你这个角 a、 b、 c 等于六度吗？ b， b、 c 等于三吗？所以你可以得到这个角等于一百二，还可以得到了 a， b 等于了两倍的 b， c 等于六吧，也就是它的直径等于六， 那所以它的弧长就应该等于来 pi 乘以 d 吧， pi 乘以六，这是三分之一乘以六二 pi 吧。所以我们这个题目答案出来了，看有没有单位没有。 整体来说，这个题目还是挺简单的啊，挺简单的，十八， 书架宽八十四厘米，在该书架上，按图所设方式摆放了语文书和数学书和语文书，每本数学书厚零点八，语文书厚一点二， 共九十本，恰好摆满吧，求它各多少本？你这里的话，你可以设数学书为 x 了， 语文书为 y 本了，那第一个 x 加 y 等于了九十，第二个就是了，数学书零点八，零点八 x 吧，语文书一点二，一点二， y 等于了八十四厘米吧，然后解这个方程。 其实的话，这种题目我建议大家还是设个一元一次方程啊。一元一次方程组，实质还是要转化为了一元一次方程来解，所以我们不妨去设了这个数学书为 x 本， 则语文书呢，九十减 x 的 嘛？那我们先带进去吧。李航程，数学书零点八 x 吧，语文书一点二， 这个九十减 x 加起来应该等于了八十四厘米了，那我们现在只需要解这个方程，对吧？零点八 x 加上了九一十八九的九一百零八，减去一点二 x 等于八十四嘛。所以负的零点四 x 等于了八十四减一百零八， 这是，这是多少来着？这应该是二十二二十四吧，负的二十四，所以 x 就 应该等于了这个二十四，二百四除以四六十吧， 对吧？数学书就六十啊，解得 x 等于六十吧，则语文书呢，九十减六十等于三十本吗？那第一问答案就出来了， 好，第二个了，如果书架上已摆放十本语文书，那么数学书最多还可以摆放多少本？这不是好简单的 十本语文书，不妨假设它摆摆放，它的本意应该是考放生啊，你就摆外本了，那也就是十十本乘以了语文书的厚度，加上了零点八万， 等于了八十四吗？所以啊，零点八 y 就 应该等于多少？就十二七十二八九七十二，所以 y 等于了九十倍吗？他本意是这么考的，实际上列个式子算下来也出来了嘛，就 low 就 low 一 点嘛，用八十四 减去一点二乘以十嘛。把语文书的厚度减下来，除以零点八数学书的一本数学书的厚度就是他的本书嘛， 对吧？第一问，其实它本应是考二元一次方程组啊。但我觉得啊，我建议大家啊，能用一元一次方程去解的，你就用一元一次方程去解啊。十九看一下啊， 这也都说了太阳光线了， a m 垂直于 m n 又垂直于 m n， 好 吧， m e f n 在 同一直线上， m 等于 f， n 等于二十米， e f 等于四十米，然后 b 一 呢，等于二点四米，那么角 a b 一 等于一百五十二度。好吧，该表的该该该看的条件已经看完了。第一个求大口的。 呃，大娃的口径啊这句话，发现 ad 应该是呢这个 am 吧。 ad 应该等于 amn 呢，等于 amn， 对 吧？ amn 又等于 m 一 加上 e f 加上 f 吗？所以我们现在只需要证一下啊， ad 等于 m n 就 好了。这里咋整呢？我看啊， 他说了吗， ad 平行于 f 吗？因为 ad 平行于 ef 是 吧？那个 am 垂直于 m， 先写这个 d n 垂直于 m， 那 就可以得到了垂直于同一直线的两直线平行，所以 am 平行于 dm。 然后又因为 ad 平行于 ef， 且你根据上面的上面的这个垂直，还可以得到角 a m n 等于九十度啊。所以 四边形 a m n d 为矩形吗？含一个九十度角的平行四边形为矩形。 好，当然这少了一点步骤，自己补一下。当然，这也不是严格的证明题，你写出来就会给分啊。所以呢， a d 就 应该等于 m m 等于了 m e 加 e f 加 f m， 那 我们直接把它带进来算就好了，等于多少？等于二十加四十加二十等于八十米。 嗯，后面加了个点点，我们就加一下，第一问答案就出来了。第二问呢？求大腕的高度。 am， 那 你要构造一下直角三角形吗？这里 am 相对来说啊，观察一下，你可以过 b 做他的一个水线吗？我就用实线，你们用虚线了。 假设这个 v m， 那 下面现在就把 a n， a m 分 成了两段， a n 和 m m， 然后题目终于告诉了，角 a， b， e 等于啥。角 a b e 一 百五十二， 那我们这里的角 a， b， n 就 应该等于一百五十二，减去九十度等于六十二度，看一下它给的三角函数值有没有六十二，有的吧。 好，那你想想，我们现在做了垂直之后啊，那么这个四边形 b n， m， e 也是一个了， 正，呃，长方形嘛，矩形嘛，过 b 做 b n 垂直于 a m 于 m， 对 吧？ 前面说了嘛，这个 a b， c d， 它给你完底， b e， f c 是 矩形吗？对吧？有题可知， 角 b， e， m 等于了角 e， m， n 等于角 b n， m 等于了九十度，所以四边形 b n， m e 为矩形。 写这么多，你实在不会写，你就大致的说一下就好了啊，这，这本身是计算题，把它求出来就好了。所以呢，我们就可以得到啊，这里的 m n 应该是等于了 b e 吧， 然后 b n 应该等于 m e 等于二十吧， 然后又因为角 a， b e 等于二十吧，然后又因为角 a， b e 等于二十吧，然后又因为这里的话，还可以得到了 这个角 m， b， e 等于九十度， 所以角 a， b， n 就 应该等于一百五十二度，减去了九十度等于六十二度吧。那我们现在求 a m， 那 你就可以放到了，这里本来是不用写的啊，熟练的话， r t 三角形 a m b 入嘛， 对吧？你这个要求的是 a m 吗？已知的是 b m， a m 比上了 b m 应该是等于了 tangent 的 角， abm 等于 tangent 的 六十二度，所以我们这里的 a m 本来这一步是不用写的啊。这这这里是不用写的， a m 是 等于了， 你看一下这里， a n 应该等于了 b n 乘以减减的六十二度， b n， b n 是 二十哈，二十乘以了 这个乘减的六十二，一点八八约等于多少？我看这个题目有没有让你保留几位，这里有吗？精确到零点一吧，所以我们这里算出来一十八点八乘以二， 三十七点六吧。米，但我们这个题目还没做完呢，所以呢， am 等于 a n 加上了 m m， 哎啊，没错，就应该等于了三十七点六，加上了 b e 是 等于 b， e 等于二点四等于， 这要保留一个小数啊，你这里算出来应该等于多少？四十，对吧？四十，保留一个小数，四十点零嘛，然后你答一下，答案就出来了。 好吧，题目中保留了一份小说，包括第一问，这里也也要点零啊，不然的话要扣分了，扣分。好吧，题目中已经说了嘛，要精确到零点一米。好，二十题看一下啊。 图一，在三角形 a， b c 中， b d 平分角 b， a c 这两个角相等， 然后呢，交这个 a c 与 d 过 d 做 bc， 平行线加这个角一，这个角二 角三呢？那么呢，平行线的话，角一和角三相等吗？没错，角这三个角都相等，说明了 e、 b 是 等于 e d 的 啊，这你现在求啥？侵犯到了 b、 d 的 形状，这样，这就不就出来了， 角二等角三，所以它就是一个等幺三角形。这里要要写吧，啊，写下吧，先判断吧，三角形 b、 d 一 写这里吧，啊，写这个三角形 b、 d 一 为等幺三角形， 理由如下，因为呢， b、 d 平分角 a、 b、 c， 所以 角一等于角二，你也可以用字母表示啊。然后又因为 d 一 平行于 bc， 所以 角一等于角三，所以角二等于角三吗？ 故三角形 b、 d、 e 为零等腰三角形吗？ 好，第二位呢？如图啊，在平行四边形 abc 中， b 一 平分 abc 吧，然后平行嘛， 我们先假设相同的角，用相同的字母表示一下了，这是阿法，阿法，阿法吧。嗯，就比较直观一点啊。 然后呢，现在过 a 点做 a、 f 垂直于 b 来了，你看啊，同学们，我们相当于第一位，现在第一位是不是给你提示 三角形 b、 d、 e 为等幺三角形吗？那我们这个题目就是三角形 a、 b、 e 为等幺三角形。那你过它的顶点做它底边的垂线呢？我们根据来等幺三角形三线合一的形，是吧？你就你就你就可以得到很多事情啊，你就假设这个焦点为 o 咯， b、 o、 e、 o 应该相等吗？ 对吧？然后他两个顶角也相等吧，啊，不对，他顶顶角被平分了吧，所以我们现在可以看一下他问的是啥。第一个图中一定是等上三角形的 有几个，那这这这，我们得好好练一练啊，对吧？那同理。所以呢，你这里的 p 它， p 它这个角也是 p 它吧。那所以我们可以写下第一个呢，三角形 a、 b、 e， 第二个呢？三角形 a、 b、 g， 对 吧？然后你观察一下啊， 你这个是对零角吧，培特吧， ab 又和 d、 f 平行，所以这个角也是培特，那也就是说三角形 c、 g、 f 也是吧？三角形 c、 g、 f 是 的话，哦，那么三角形 d， a、 f 是 不是也是 d， a、 f 是不是也是？对了，这，然后还有没有 然后这里就没看出来吧，我目前找到了四个啊， 所以这应该选 b 吧。第二啊，第二个呢，已知 ab 等于三， c f bc 等于五啊， bc 等于五，那我们搞清楚这么多，直角等腰三角形之后啊，那所以你这个 b、 g 也是三吗？ bc 又等于五，这里就是二吗？所以 c、 f 也应该是二吗？ 那我们现在只需要正这些角向为为相等，然后呢？呃，证明它是等腰三角形就可以了。就三角形 a、 b、 g 和三角形 c、 g、 f 为等腰三角形这个题目答案就出来了，我原本还想要不要用用一下相似啊，这个题目根本就不用，所以我们可以把步骤写一下吧， 因为呢， b 一 平分角 abc 四边形 a， b， c， d 为平行四边形嘛，所以呢，角 根据它平分可以得到了角 a、 b、 e 等于角 c、 b、 e 吧， 然后呢，根据它平行，它是平行于 bc， 后面还要用到 a、 b 平行于呢 cd 嘛，所以角 a、 e、 b 应该等于角 b， c、 b、 e 等于，对吧？ 哇，这有点写不下了啊，我们写这里吧，挪到上面去。 哦，这个， 那你还可以得到了，对吧？等于 角 a、 b、 e 嘛，所以 a、 b 等于 a、 e， 对 吧？然后又因为呢，你这里的 a、 f 垂直， 根据了等幺三角形三线合一的性质，所以你就可以得到了角 b a、 f 等于角 e， a、 f， 对 吧？等于这两个角之后呢，再由刚刚的这个平行吗？ a， d 平行于这个吗？ 角，我们可以在上面写啊，根据这两个平行可以得到了。角 e， a， f 等于角 b g， a 吗？ 对吧？所以呢，角 b a， g 等于角 b g， a 等于角 c， g、 f。 根据这里的平行还可以，除了这些还可以得到了，我们要用的是角 f 等于了角 b， a， g 吧，等于角 f 吧， 对吧？所以三角形 a， 所以 abba 等于 b g 吧， c g 等于了 c， f 还写不下。嗯， 那就换一个颜色写这边了啊。 所以呢，然后又因为啊告诉了这个 a b 等于三， 对吧？ b c 等于五啊，所以 b g 就 应该等于 ab 等于三嘛。所以呢， c g， c， f 就 应该等于 c g 吧，等于 b c 减去 b g 等于五，减三等于二嘛，所以 c， f 的 长度是二嘛。好吧，具体的过程大家再捋一下啊。 好，我们先看到这里吧，后面的下次再讲。
116都昌数学物理占家兴
00:32查看AI文稿AI文稿孙宁县中考二模已经出分了，大部分的同学啊，相较于一模而言，分数都有所提升。接下来我说几组数据供大家去参考。那么第一个就是大于等于三百分的有一万三千四百九十六人。 大于等于四百分的啊，权限有八千九百九十一人，那么大于等于五百五十分的权限有八百四十三人。想知道大于五百分的权限有多少人吗？点赞、收藏加关注，并且晚上来到我的直播间！
56睢宁喜报教育
04:18查看AI文稿AI文稿啊，我们孙宁的家长，关于徐州市中考志愿填报的问题，各个县区的表格包括填报时间是不一样的，所以说，特别是我们孙宁的家长，你在进行 孙宁县区志愿填报的时候，一定不要参照徐州市区包括邳州的 填表原则，包括表格，这样极容易出现错误，比如说前年就出现了七幺零事件啊，我举个最简单例子，比如说我们填表时间， c 零线是六月六号要进行填报， p 周是等中考出分以后，七月份才开始填报。所以说，呃，所以家长一定要把这个视频点赞、收藏、转发给你的孩子。 好，我们看一下啊，这是我们孙宁中考志愿的填报表，我们举个例子，比如说我们孙宁学生，六月十七、十八、十九这三天中考结束啊，七月二号初分过，七月三号和四号就要进行南校和北校的录取 啊，南校北校录取两千八百人，紧接着录取完之后再是田家坪经开录取啊，田家坪经开，田家坪是一千人，经开是八百人，等这一千八百人录满之后，继续往下。同理， 所以说我们中考志愿填报的原则是从上往下，学校录取的方式 逻辑也是从上往下。我们看一下细节啊。第一个是特长生问题，比如说你的孩子他想报一中的科技特长生，科技特长生要看数学、物理、化学这三科的成绩的，要提前递交材料报名 啊。中考考完试两天之后，六月二十一号进行一中的校测，如果说你成绩比较好啊，哪怕你的中考分数不够，也可以被破格录入啊。啊， 不知道如何准备材料的啊，包括如何递交的？可以呃，后台私信联系我们。呃，我们也提供相应的服务。紧接着我们看一下就是困扰我们四群家长啊，最多的四选三的问题和南北校是否接报的问题。四选三就是 一、二、 a、 b 这四项只能选三样，在哪四所学校选呢？就是南校北校。填名就开我们看一下啊。比如说你的孩子你打算让他冲南校 啊，同时南校冲不了的话，你又打算让他冲北校，那么一和二后面的十你就要填上去，是可以同时接报的， 南校录取不了，可以被北校录取啊。如果说 a 和 b 这个一和二，你填完之后，那么 a 和 b 你 只能填一个了，如果说你四个都填满就作废了，这叫四选三。 比如说你的孩子不打算称南校，那么一后面的是就给他放弃，你在二这个后面填一个是 a 和 b， 你 就要写满了啊，这就是四选三的原则啊。好了，我们遇到了普高的这个知识点吗？很简单，也是分数优先，遵循志愿啊，从上往下排， a 是 你最有意向的志愿， b 次值， c 次值从同理往下排。比如说你的分数是 go、 京华、宁海、 里脊这三个学校的，您把最想去的学校一定要填在 a， 比如说你考了五百九十分，这三个学校都够，你挨填的是里脊 啊，你别看里脊只是五百四十分，那么你就被里脊录取啊。如果你挨填的精华精华录取分数是五百八十分，你五百九十分够，那你就被精华录取，一定是看你的 b 志愿，最先优先的志愿叫分数优先，你分数够是你的条件，遵循志愿，遵循你的意愿来， 从上往下。好，这个就是我们森牛志愿填报的规则，所以说森牛家长一定要把这个视频认真对照，不要掺上其他地区啊。呃，点赞收藏啊，感谢大家。
133升学规划•房老师
04:33查看AI文稿AI文稿先问大家一个扎心的问题啊，同样是数学，孩子考一百一十分和考一百三十分，他们只真的就是只差二十分吗？那么这二十分是他们的基础思维策略的三成的差距， 对应的中考复习策略呀，也是天差地别的，家长们只要照着给孩子去调整，一定可以提高的。首先啊，咱们先搞清楚这两个分数段的核心问题在什么地方。 考一百一十分的孩子呀，说白了就是基础不牢，漏洞百出。那么这二十分里面至少有十二到十五分是因为基础题丢分的 说，公式记混了，计算出错了，课本上的概念一知半解。剩下的丢分是卡在了争当题的第一步思路，稍微一卡就放弃， 根本就还没到难题的环节。他们的问题啊，不是不会做，而是做不对，做不全属于说白了就是假性的。会而考一百三十分的孩子呀，核心问题是基础能够满分，中档题能够稳拿， 而且不丢分，中档题啊，能够快速的找到突破口。那剩下的十来分啊，是在亚洲题的前两位或者创新题上拉开了差距， 他们的问题是如何突破，平静，冲击满分。搞懂了核心差异啊，咱们直接上针对性的策略，家长们可以直接抄作业。那么先来讲一下一百一十分孩子的抢分策略，核心就八个字，回归基础，死磕规范题。第一就是立刻 现在停一下你手头刷的难题，回归课本，把速读版教材上面的例题，还有课后的习题，还有公式的推导全部给我过一遍，必须做到做到脱口而出，然后还能默写出来， 每天啊，花二十分钟左右，专门做课本上的一些基础题，确保基础题做一道对一道是很重要的一点。第二就是建立错题本啊，只记错题以及错题本的使用。 第三点就是征当题，拆步骤去拿分。那么一百一十分的孩子啊，正得要练征当题的完整步骤， 比如几何证明题，哪怕最后我证不出来，也要把已知条件转化成的结论，辅助线的做法给他写上去，这都是分，每天啊，专门练几道征当题，不求快，只求步骤能够完整，逻辑能够通顺就可以了啊。 咱们来再说说一百三十分孩子的提分策略，核心也就是八个字，突破压轴，训练思维。一点就是专攻压轴题， 拆解得分点。中考数学的压轴题啊，不管是几何综合题还是函数的综合题，都是分步骤得分的。一百三十分的孩子，要练拆解压轴，第一问必须满分， 第二问争取拿步骤分。那第三问，我尽力向上冲。每天我精做一道压轴题啊，不是做完就扔了，而是分析这道题的突破口在哪，用到了哪些模型，比如手拉手啊，一线三等角啊，把模型吃透了，比 你刷很多题都管用。那么第二就是要训练现实思维，提升速度，一百分撑到一百四，拼的不仅是正确率，还有速度。 每周能做两套完整的中考真题啊，严格按照一百二分记时，做完后不仅要改分，还要分析哪道题，浪费了时间了，能不能我更快的解出来，比如选择题，用特值法，排除法，填空题，快速的验算，把时间给他省出来来做压轴题。那么第三点， 总结创新的题型，积累经验。现在中考越来越爱考创新题了，看似比较新，其实都是基础模型的变形。那一百三十分的孩子要专门整理创新题的解析套路， 比如新定义的运算、动态几何，把每类题的通用的思路给他记下来，避免考场上黄石了。 那么最后啊，给家长和孩子们总结一句掏心窝子的话，正好呀，不是一刀切的考试，别好高骛远，先把基础分牢牢抓在手里， 这是你们逆袭的底气。一百三十分的孩子别固步自封，要敢于挑战难题，用精准的思维突破瓶颈，这是你们称次高分的关键。 不管现在是多少分，只要找对了策略，一步一个脚印，中考啊，都能给你一个满意的答案的。记住，分数的背后是方法的较量，更是坚持的较量，加油吧！
24初中数学胡老师
00:55查看AI文稿AI文稿初三的二模成绩能不能决定中考成绩？答案是不能，以下我给大家总结了三点啊，大家可以看一下。第一科目不全，因为二模的成绩他的满分是六百三十分，并没有加体育必升还有英语。 那么第二点考试的难度不一样，因为正常情况下二模的难度是要大于中考难度的。 那么第三点还有就是孩子发挥不同啊，因为包含了一些情绪啊，临时的发挥，还有题目，为什么说题目呢？因为到中考的时候，有些孩子发现，哎，我出了这个题目我会做， 所以总结以上的三点，二模的成绩是不能够决定中考成绩的，所以家长们一定要耐心的等待。
14职教医考王老师
00:29查看AI文稿AI文稿如果说一模啊是在帮你找漏，那么二模的成绩啊，基本上就可以当做你中考志愿填报的依据了。 孙宁县啊，中考二模的时间在本月的十四号和十五号两天，如果到时候你的二模成绩出来了，不知道能够填哪所学校啊？记得 点个关注，我是在孙宁专门做中考集训和单招集训的刘老师，到时候啊，我们啊将为你一对一的免费做中考集训的规划。
24睢宁喜报教育
01:50查看AI文稿AI文稿最近呢，每天都有几十位家长问，陈老师，二零二六年九江中考多少分能上普高？孩子我考能不能上岸？会不会连零分都上不了？今天我把九江市教育局近三年普高录取线和核心数据全扒透，还有最危险的分数段，建议点赞收藏反复看！ 二零二三年中考，总分八百三十分，市值公办普高最低控制线五百六十七分。二零二四年，总分八百三十分，公办线五百八十一分，民办最低五百三十二分。二零二六年，总分八百三十分，市值公办最低五百三十九点五分，民办四百五十五点五分。 分数太给降了，很多家长觉得今年更容易了。我泼个冷水，二零二六年升学形势更加的紧张。二零二五年中考人数六万一千八百八十七人，二零二六年中考人数六万四千八百九十人，多了三千多人，竞争直接翻倍，招生计划没大幅增加， 分数线是涨是跌，你品品最危险的分数段是四百五十分到五百八十分区间，尤其是五百到五百五十分的孩子，上公办够不着，办民办不甘心。这个分数段呢，人最密集， 一分甩开上百人，发挥失常两分或志愿填错，可能从公办滑到了民办甚至职高。去年呢，就有孩子考五百三十分，因志愿没填好去了民办，一年学费几万，平白就多花几十万。 陈老师在这里给大家三个实打实的建议，第一，你的模考第五百八十分，提一调偏题，快题。中考百分之八十的都是基础题，把语文的古诗文、数学公式、英语核心单词吃透排名基础，一分不丢。第二，别总定分数了，排名才是硬道理。比如市职公办普高录取市职考生前百分之六十左右， 把校内排名换成全市排名，就能判断咱家孩子能不能上岸。第三，提前留好后路哦！现在就了解九江民办特长生。其他家长们，你家孩子能考多少分呢？评论区打出来，我帮你看看能不能稳上补高，还有多少提分的空间。觉得有用的给陈老师点赞收藏，转发给其他初三的家长，别让他们在升学路上踩坑！
00:33查看AI文稿AI文稿遂宁县的每所高中的最低录取分数线是多少？我已经给大家整理好了，大家一定要点赞收藏。下面我们先看一下公办高中的录取分数， 所有的公办高中收费标准基本都是统一的，接着我们看一下民办高中的录取分数和收费标准，大家一定要截图保存。 以上就是苏宁县所有高中的录取分数和收费标准，后期的视频我会继续把徐州的学校一一的给大家解说，记得点赞关注。
145职教医考王老师
17:49查看AI文稿AI文稿我们今天一个北京中考，应该是二零二四年的倒数第二期，来展示一下如何讲好一道题。那讲好题的特点呢，就是尽量只问通用的问题，这样学生才能啊，学会老师问的这些问题。这些问题越通用呢，越能够赋用给其他的题目，而不是告诉孩子怎么做 啊。另外呢，提问呢？嗯，所谓好的提问呢，是尽量里面少包含替孩子思考的部分啊，因为有些提问是虚假提问，虚假启发。好，那我们先看下这道题啊，说已知角 m a n 啊，等于阿尔法是一个小于四十五度的角啊，点 b， c 分 别在射线 b， c 分 别在射线 a、 n 和 a m 上啊，将线段 b c 绕点 b 顺时针啊，旋转一百八减二十八，得到 b d 啊，过点 d， 做 a n 的 垂线 啊，垂这个位置，然后交这个位置于 e。 我 们第一个，我们也是过掉啊，我们直接看第二个，说当点 d 啊，在这个角内部时啊，做 df 平行于 a n 角，射线 am 与 f 用等式表示线段 ef 与 ac 的 数量关系。这个和上一个视频的 二零二五年的倒数第二道题特别像啊，这个也不知道为什么连续两年的中考的同一个位置的题目如此之像，但这题还是有难度的，那我们开始了好吧，好的好，然后同样的这道题，让我们求什么？ 求 ef 和 ac 的 数量关系。嗯，那你现在在想什么？我在想，我得先观察一个他们的数量关系，然后再去证明。好，猜吧，两倍吧，看起来像两倍。那我们先放到这里啊，说 ef 啊，这个我要不得不强调一下啊，这里面仍然是一个猜测 啊，其实不一定。对啊，你要有这种心态，万一就是说两边这条路实在走不通了，嗯，可能也得回到这个位置重新猜另外一个可能的关系。嗯，但两边的概率实在是太大了。对，两边是的，有很多证明方法。 好，那既然有了这个猜测之后我们继续看这个题目的条件有没有什么昨天的老问题啊？嗯，嘿嘿，考察你昨天知识学的怎么样， 有没有什么特殊的条件特别值得你注意的啊？旋转啊，旋转对旋转应该联想什么呢？手拉手模型？手拉手模型，那这里面我们明确的就有一个类似于等腰这样一个结构。是的，旋转产生的等腰结构。是的。好，那既然我们考虑手拉手模型，接下来你要想什么呢？构造全等。 构造全等，那怎么构造？构造啥呢？再构造一个等腰？对，告诉了然后，但这个时候是有难度的。嗯，那到底是以哪条边继续旋转它得到一个等腰呢？ 嗯，注意，我们构造不是为了构造而构造肯定是有目的的。是的。嗯，我们构造全等其实是有啥用？大概率跟我们求解目标有什么关系？嗯，构造全等的目标是为了 证明相等啊。证明相等，嗯啊，那我们证明相等的方式是什么？是直接证吗？很少见对不对？嗯，是，一般是干嘛？一般是 把它放在全等里证啊，这个我不得不直接灌输一下啊。当然，如果有更多的题目呢？其实我可以让学生去做总结。嗯啊，我以这个图示来代表我们证明两个东西 是全等的，互相能推的啊，我们很少直接能证，只要他是难题。一般呢我们会出现这样一个结构，就是有另外一个东西能推出他 或者他俩是相等的，那我们只要证明他俩是相等的就可以了啊。是的，或者是他等于他，我们证明这个我需要找一个桥或者是这个。嗯啊，然后这个这个这个 啊，但是再难的题可能还会有四步推理。什么情况？高中这种题会更多一点，初考可能三步推理就差不多了啊。我们统称这个都叫转化啊。是，这是整个初中数学 可能排第一的，这个数学思想就是转化思想，所以我们去啊联想到了手拉手，手拉手的本质上会出现一对全等三角形，那么我们 一定是有目的的。嗯，是为了转化。转化。转化好，那肯定是跟我们的求景目标有关系的一个转化吧。是的，那么你现在思考一下这个一半的双手模型。嗯，我们在选什么有可能能跟我们求景目标有转化的机会。 嗯，他要不是能把 ef 转转转化一下。嗯，要不是把 ac 转化一下。是的，要不是把两倍的 ac 转化一下，要不把二分之一的 ef 转化一下。是的，来吧，分别考虑整个 ef 做转化， 整个 e f 做转化的话不挨着不挨手拉手的话是要从这儿拉一个顶点出去的。嗯，是的， e f 咋拉都不可能拉出一个等腰了。是的，好，那咱先别考虑一半的 e f 吧。嗯，那应该是略复杂的，后面考虑对不对？嗯，那接下来我们考虑 ac 有 没有可能对 ac 做转化。 嗯 嗯，如果 a c 做转化是不是意味着 a c 得在手拉手模型的一对旋转三角形里面。是的，那么另外一条边必然是 b c。 是 的，如果它是的话，那么这个三角形必然是 a b a b c， 对 不对？那么如果这个时候我们要构造的话，肯定是把， 谁要去做旋转，把 a b 做旋转， a b 做旋转，然后转呢？比如说一种最常见就转一个同样大小的度数嘛，因为这个是个一百八呀，加阿尔法，对吧？我把条件标一下啊，有个阿尔法，这个条件还蛮重要的， 写在这啊，这是个阿尔法。嗯，好，那我们可以勾到一个一个一个差不多的角吧，那就连到这了啊。嗯哼，好好假设，这个是一百一百八十二。行，好，那这个时候我们，呃， 应该是立即能推出一些东西了，对不对啊？首先我们这个构造完了，这个不能浪费吧？嗯，那这个是不是连上了？对，我现在我就像实心线啊。嗯，但是不方便画虚线。好，那这时候我们是不是要推一些东西了？嗯，是的，两个全能，以后什么谁和谁生的了？嗯，要一个 n 吧，挨，挨到 p 吧，啊，好，嗯嗯，好，嗯，对吧。角 b p d 等于 r 法，等于角 a 等于 r 法。哎，这个是，这个是一样大小的角，对吧？是的， 这个是阿尔法，还有吗？嗯，角 a c， b 等于角 p d b。 这个写到这儿啊，阿尔法 a c b。 嗯啊，那这个角等于这个角？是的啊，那画两条线啊。 哎，你已经掌握了啊，开始疯狂正推了啊。首先我这里解释一下，这个其实是到了初中以后非常基本的一个解题习惯，就是能正推一两步，正推一两步，只要没把图飙飞了，你这些正推都有可能在你倒推的时候， 让你的这个逻辑的距离更近，更容易想到这个等用的条件。 ac 等于 pd， 这是我们其实确定用它做构造的原因，对不对？是的，所以 ac 等于了啊，应该是这个，嗯，是的， pd， 对 吧？那这个是我要标一下这个， 把它标的颜色特殊一点啊，这个实在是太重要了，这条边依然等于了这条边，对不对？好，还有什么想推的吗？ 嗯，角 c b a 等于角 p 啊，对， p b c b a 等于这个小角，对吧？嗯，好 啊，这回就差不多了。差不多，因为手拉手里面，其实这两条边是不用考虑的，是它就能构造出来的相等，这是你肯定特别记得住。嗯，对，嗯嗯嗯 嗯，好的，好。然后这个其实我说一下，少一个正推啊。嗯，我们这有个等腰三角形，对不对？这个 b a， 哦， p， 是 的，你说数它行，模型其实是两次构造，一个第一次构造是一个等腰，嗯，第二次构造是一对全等。嗯，那这个等腰里边这个度数呢？嗯，我甚至也没有想后面能不能用的上，但是大概率你还是要把它标出来的 啊，是要思考一下，因为啊，你刚才问了一个非常好的问题啊，在我们录视频之前就是，为什么又是这个数字啊？这个他作为顶点的，呃，这个点幺三角形啊，他底角就是阿尔法。嗯，当然，这个结论呢，可记可不记，但估计对你来说已经很难忘掉了。嗯，印象特别深，因为连续两天的 压轴题都是这样的一个结构。是的啊，但是其实会好一些啊，所以这个时候我们也会机敏的认为这里面也有个阿尔法，嗯，是的，有可能有用，对吧？好， 那正推差不多了，嗯，对吧，那我们继续回到倒推逻辑，嗯，继续看一下我们要求解的东西。嗯，好， e f 等于二 a c 能联想到什么，该干什么。 e f 等于二， a c 对， ac 等于 pd 了已经，所以我们可以做一步转化啊。对，所以我们只要正等于二 pd 就 可以了。是的啊，对，哎，这个非常好啊，也就是说啊，我们 这里面其实有个思考的优先级啊，嗯，一个优先级是根据这个要证的结构，嗯，去构造啊，比如说二分之一 e f 或者构造一个二倍 a c。 啊，还有个优先级是我们刚才手拉手模型里面推出来的结论，嗯，去把它带入，嗯，对吧，那么我认为是手拉手模型的结论带入 右下角会更高一些。嗯，两个原因，一个是模型的存在，呃，是高，高就是非常明确的信号。嗯，因为，嗯，毕竟在中考范围内，他的这个有难度的几何模型数量不多，一旦你看见一次，有的时候大概就能用得上的。嗯，好，第二个就是 啊，所以模型的右下角是高于这个，你去结果上去倒推的。嗯，第二个是说这里面其实有分岔路， 我们既可以去截截长，也可以补短，对吧？我们可以阔背，我们可以取一半，所以这个时候这两个大岔路啊，它是两个大岔路，就会导致 你中间要费的时间还挺长的。你，你不不撞南墙，很难说，万一选错了你的第一条路，对吧？所以我们这个时候优先把这个考虑好，其实这个变得清晰一些了。好，那我们现在只需要考虑 e f 换个颜色啊。 e f 与 pd 的 关系了。好的，那这个时候你能想到点啥呢？ e f 与 pd 的 关系。嗯， 我们好像有一个平行。哎，我发现你首先，呃，你，你作为一个这个，对吧，我就不报学历了啊，这个非常优秀的学生呢，虽然隔了这么多年啊，但仍然这个学习习惯超级好。 是卡住了看条件。嗯，但这个是大部分学生可能需要很长时间去变成自己直觉的。嗯，我还是强调一下，就是卡住了看条件，不卡住也得把条件再看一看，对吧。嗯，所以我们有至少有两个条件没咋用啊。嗯，是的，一个是这的直角，一个是平行的。是的，好，那么这是个平行， 这是个直角。嗯，好。第二个能正推则正推一到两步，嗯，他眼看着这也是个直角，是的，对吧，你还有什么要正推的吗？嗯， 有一对护鱼，嗯，是的，有一对护鱼和相等的角。嗯，其他的应该没有。好，现在啊，我我提醒你一句啊。好的，呃，这里面呢我我为什么不得不不都不提醒了。原因是因为理论上如果你对一个 嗯情境足够敏感，嗯，你应该已经可以知道下步干嘛了。嗯，所以我们就避免浪费这个时间，如果你没想到呢，你是真不知道。嗯，首先我们既然已经标出这的一个呃直角，那我给你一点点提示啊。嗯，当然，我这个提示呢，依然判定你是对这个事不熟了。嗯，后面可以 假设你是个学生，我会安排对应的练习的。好的好，我们已经见到了一个直角三角形了啊。是的，我们想证的是这个 e f 其实已经是直角三角形的斜边。嗯，我们想证的是 e f 和它里边的一个这个线段的二倍关系，对不对？直角三角形二倍关系能想到个啥呢？ 有一个明晃晃的东西，如果你是个猪肉生，这个不知道的话，大概满分一百二，你只能一百零五以下了啊，我依稀记得，但是只要三角形的斜边中线定力，哦，这根线等于他，等于他，等于他，这三个完全相当，他是斜边的一半。嗯啊，所以如此啊，就是说，但 你是因为隔了很久啊，但是如果正常来讲的话，一个对技术知识足够熟悉的，然后呢，就对这个定力有足够敏感，反向敏感啊，那么这个时候他应该已经非常开心的。嗯，考虑 这块做一个终点了。嗯，好，那这个终点呢，同时也是我们 e f 的 和两倍 pd 的 这种到底是截长还是补短的？这个大决策里面 理解了。那也就是说，不管你是从啊这个二倍关系角度出发，还是从啊这出现了一个直角三角形你，你考虑二倍，嗯，都可以想到他，而且互相能够增加你对这条路径的一个信心，信心或者成功率的一个判断。好，那接下来问题变得相对简单，我得把这个 图擦一下啊，我们就只看这个局部，首先我们这出来了一个这个，一个这个啊，一个这个。嗯，好，我们变成了要正我标一下啊，这条线， 这条线直接相等就可以了，因为他已经等于他的一半，对吧？那么，呃，他的要等于他，那么他就等于两倍的他。嗯，好，这个题变得非常简单了，就是又是回到类似于昨天二零二五年那道题的问题，就是最后只剩两个 有共点的线段相等。嗯，我优先考虑的就是三角形啊。什么三角形啊？等腰三角形。对，我们肯定优先考虑等腰对不对，所以就变成了这两个角的证明过程。嗯，其实非常非常的容易了已经。嗯嗯， 注意哦，我们刚才是不是推了这个角等于这个角哦，是的，所以这个角一部分已经是二十法了。嗯，那你看看这个角等于多少吧。嗯， 有办法吗？上面这个角啊，上边这个角也等于二吧。为什么？因为 a b 等于 b， p 是 我们旋转过去的。对，所以也是一个等腰三角形，也就是刚才我们说正推的时候，手拉手模型是两个大角形，分别要推一推，对不对？是的啊，那么 推了你会这块更容易就一眼看出来吗？嗯嗯，所以是不是就等于我只要证明这个是阿尔法就可以了。是的啊，那么对于一个，我这里边直接说结论了啊，斜边中线这件事情呢，其实它是有一个小性质的。嗯，就是这个角是必然等于这两角才能拉大，因为这是凹三角形， 它这个外角等于两个内角和甚至等于这个的两倍。嗯嗯嗯，而这个角啊，确实。嗯，其实你图感好，一眼上而发，因为这是个平行。嗯嗯，对，所以后面我们没有特别多的启发啊，是因为其实回到了一个中等难度的题目的状态。嗯，好的，我们今天 总体上还是总结一下。嗯，第一个就是扑面而来的感受就是，呃，两连续两年的中考题的某种运用，嗯，当然一次是 啊扩背，嗯，一次是截长，一次剪，一次不短，嗯，但这个本上也不算质的区别了。嗯，好。然后第二个就是，虽然，呃，我们昨天刚做一个刷手模型的题，嗯，但今天仍然这道题仍然会遇到过很多困难啊。所以还真不是说你记的一些几何模型就能够解决问题的，他每一步都有这个一定程度的这个 对分析问题、解决问题的一个要求。那我们回顾一下关键步骤啊。第一个我们是在猜这个倍数对吧？是的，猜倍数之后呢，还是在条件里面找到了一些特别特殊的信息。嗯，首先手拉手，然后我们遇到一个，呃，今天的我们第一第一大的困难，手拉手是构造起来有点懵，嗯，那这个时候我们还是不是为了构造而构造，我们是为了去 啊求证，嗯，这个求证的关键词呢是转化，就是我在这块画的那个，你为了证他俩相等，嗯，你可以各种转，嗯，然后只要转出来他搭上了，对吧？任何一个角度搭上了啊，那么我们明显在这里面发现啊，我们是有机会对 ac 进行转化的。是的，这里边设置一个手拉手模型构造的熟练度就是， 嗯，相当于是说啊， ac 和这个你已经旋转的一条等等腰的一个边，对吧？搭上了之后 立即就知道了这个就是那条边了。是的，因为目前他还是要找。呃，手拉手模型是要一个共点啊，一个共点，对对对对，好，那沿这个我们概率很高，往下走，往下走以后，呃，这个已经你算是很快的熟悉了，说我们有了手拉手之后，嗯，肯定这个东西是要做一定的。 呃，正推的，嗯，这样呢，方便倒推的时候能够够得着。嗯，还有一个就是手拉手的基本正推，就你第四构造的正推也是要推一下的，嗯，事实证明我们最后确实是，呃，用上了，嗯，对吧，肯定是提高了我们做成的概率的。嗯，好的。这些正推了之后，我们又回到了这个 要求证的目标，这个两倍关系上。嗯，这两倍关系上呢？嗯，咱们强调了一个优先级的问题啊，一个是两倍关系，本身可以做构造产，这长不短，嗯，或者我们优先的是从手拉手模型的结论中去啊，思考它，嗯，那优先级我认为仍然是几何模型的优先级更高一些，因为条件太特殊了。嗯，所以这个时候我们已经， 嗯，这个 ac 转过去了之后啊，所以我们已经把问题先转化成求证。 ef 是 两倍的，嗯，这 kd， 嗯，对，那这个时候你自带一个好习惯，就是 卡住，看条件，嗯，但缺的是一个对这个模型的一个敏感度。嗯，这个这个定力，这已经是适当的定力，这不是二级定力。嗯，这边终点啊，这件事情好，那么从西边的终点出发， 或者是这个时候我们再从二倍的截长补短出发，嗯，那么都可以去找到这个点，嗯，找到这点之后呢，啊，基本上就是一个中等到简单的证明题，就是证明这两个等腰了。嗯，那就是等角啊，等角的话，刚才我们的正推习惯足够好，几乎是写在这了。嗯，啊，然后稍稍稍的仍然，其实还是对这个图形的 衍生的一些性质的熟练，就是就是这个等于这个，这个包括，嗯，很多学生在外角的使用上 没有那个内角之间倒来倒去三线八角这些熟悉。嗯，啊，那么其实这个你如果不没有，对，这个，呃衍生的一个性质，就是斜边中线的这个角，外角等于这个二倍，嗯，你也完全可以啊，单纯从外角出发， 想到他可以等于这两个角，因为啊，这个角这个实在是太基础了，因为在一个平行线的结构里面，他等于他，那么你只要思考这个角就可以了。嗯，那如果你做出习惯好，你就再对这个斜纹中线不那么熟悉，你是标过这三根线相等的，这么大个等腰在你面前你也立即能感知到这里边也是个阿尔法，这两个角是一样的。嗯，对，好，那 今天这个题就讲到这里。嗯，那后面呢？呃，尽量给大家带来更多的我们以北京中考为例。嗯，那后面呢？呃，尽量给大家带来更多的一些亚洲题的这种， 呃，仕途的这种讲解，那也希望大家关注啊。我们提的问题是不是尽量的？嗯，是可附用的这个给孩子的东西，嗯，其实没有绝对的启发啊，就是多多少少你会告诉一些东西啊，但是我们希望的是给的这些东西能够用到更多的题目之上。好嘞。
59卢达
01:04查看AI文稿AI文稿二零二六年中考数学第二十题到底考什么？这一题难度不大，孩子们只要认真复习，这是每一个孩子都能拿满分的送分题。咱们孝南区和五县市的一模考试都是考的反比例函数，包括二零二四年及以前都是的。 但是二零二五年湖北中考，除武汉外，二十题出的是综合与实践类题型。二五年是一道关于阅历的规律题。襄阳这次模拟考试，樊城区是出的关于算盘的，香洲区是关于进制的，这也符合新中考的命题方向， 开放性创新，培养孩子的信息整合与迁移能力。所以方老师预测，二零二六年中考数学第二十题大概率依旧不会考反比例。孩子们主要要复习近制，包括十近制、二近制、三行式规律、扬灰、三角乘 方公式的材料。阅读题对应的专题方老师已经整理好了，需要的可以打六六六。
62方老师爱数学
34:28查看AI文稿AI文稿好同学们，我们看一下二四年的江西物理中考卷，觉得对大家有帮助的欢迎点个赞，收藏，然后加个关注啊。我们开始了，然后第一题了，说明了声音可以传递了，开跑的信息吧，所以这应该是信息啊， 发令声是由物体的振动产生这种的。简单的，我们简单对一下啊，九年级同学，质量呢，为五十千克 合适的物理单位，它也没说是符号还是什么，填上去就好了。体温三十六点八摄氏度，但你也可以用汉字写，这里没有规定。然后 第三题，生活中常用干电池作为呢，它是提供电压的装置，电压是电路形成电流的原因吗？那这里是什么作为呢？电源吗？ 第四题，其中新能源电动汽车中的电动机通过了，利用了通电线圈在磁场中受力转动， 将呢电能转换来继续了吗？这里还是比较简单的啊。第五题来看一下啊， 站立不动时，他受到重力舞台对他的支持力，你看他的躯力，物体是谁，他受到的重力和对他的吧，作用在他自己身上吗？大小相等，方向相反，是一对了。平衡力吧， 其中重力方向是竖直向下啊，大家不要写个垂直向下，那是不对的。第六题看一下啊，他说大小为 f 的 拉力作用下，在时间 t 以内沿拉力方向移动的距离为 s， 则此过程中拉力对 f 对 物块所做的功 啊，水平拉力吧，水平方向上移动距离为 s 吧，所以他做的功就是 f 乘以 s 吧，功率呢？要除以时间吗？所以 f 乘以 s 除以时间吗？ 功等于 f 乘以 s。 数值方向的 g h 吧，功率呢？等于 w 除以 t 吧。第七题， 看一下啊， r 一 r 三主组织均相同，开关 s 一 断开， s 二至到一，电流表 a 一 a 二的系数之比。我们先看一下啊，开关 s 一 断开， s 二至到一。好，那我们从电源的正极模拟电流流出，沿着导线走吧，流进 s 二走过来吧。 那你会发现此时 r 二 r 三串联吗？第一种情况啊， s 一 断开， s 二接一， r 二 r 三串联吗？ 那么此时的电流表示数比它既然是串联的话，电流表应该相等嘛，所以就是一比一嘛。第二个，当开关 s 一 闭合， s 二知道二，我们看啊， s 一 闭合 s 二打到二，还是一样的模拟电流流流出来。现在走上面走不过去嘛，所以就走这里 好，走到这里之后呢，现在开始分开走了，一条走到这里吧，走到这里，另外一条呢？从这里走到这里吧，然后再一起回去吧。所以你会发现呢，我们这一部分 它是并列的嘛，然后 r 二没有接入电路嘛，所以这种情况下啊， s 闭合， s 二接二的话，此时应该是 r 一 r 三 并列嘛。好，那它俩的电电流表的示数值比看一下啊，我们在这里明显发现了， a 二测的是 r 三的电流吗？ a 一 呢，测的是干路电流吗？说明 鎏金 a 一 的应该是等于两条电路，两条之路电流之河。然后题目中又说了，他们三的组织一样嘛，那也就是说鎏金 a 一， 鎏金 r 一 的和鎏金 r 二的电流应该是一样的嘛。那你不妨假设这里为 i， 这里为 i 吧，那干路上应该是呢，箭头标反了 对吧？那杠杆上应该是二 m， 所以 a 一 与 a 二的胜数之比就应该是二比一。这个题目答案就出来了啊。第八题，某同学用餐时发现了从热汤出，热汤中取出的金属勺很烫手，这是通过了热传 d 的 方式 改变物体的内能，在这种改变物体内能的过程中，内能总是自动地从高温到低温物体转移嘛，说明能量在转移过程中具有了方向性嘛， 从高温到低温嘛，具有了方向性嘛。第二题，下图表示某物质的三种状态啊，某物质的三种状态不就是固液期嘛， 对吧？那显然呢，这里是固吧，这里是液，这是气吧。所以我们现在可以看啊， 从甲变成乙，从固体到液体，我们把它叫做来融化吧，所以选 b。 第十题， 下列物理量不是用这种方法定义的，我们看密度 low 是 等于了 m 除以 v 吧，比尔容啊， c 等于 q 除以了 m 得它 t 吧，质量，质量等于 low 乘以 v 吧，热值 q 等于了 m 啊，等于大 q 除以 m。 所以呢，这个题目应该选 c 啊，大家对公式要稍微熟悉一点啊， 而且啊，这比值定律的话啊，往往呢，我们得到的我们你比如这个密度啊，它密度的大小和质量和体积呢，都是没关系的，比比容也是一样的啊，热值是不是也一样的，只跟它是哪种物质有关呢？所以稍微注意一下啊。十一题呢， 万米深海处，继续下潜，不考虑海水密度，你看，这里是这是，这里是说继续下潜呢，说明呢，它的深度应该增加吧， 不考虑海水密度以及呢，它体积的变化才是说法正确的事。第一个，浮力不变嘛，压墙啊，那浮力是等于什么浮力呢？等于呢漏液 g v 排嘛， 那此时 v 排它已经在水里嘛， v 排是不变的嘛， g 也不变，密度也不变，所以浮力不变嘛，压墙呢，可以等于呢？漏 g h 吧， 我们说了它是下浅，下浅的话，它深度是升高的吧，所以它低压强了，应该是呢变大吧，所以这个题目答案应该选 a 吧。第十二题，看一下啊， 最终决定了通线通电螺旋管极性的应该是呢。呃，第一个，你看啊，我们比较一下甲和 甲和乙吧，甲和乙这是改变了电源的接法吧，电源正负极接法吗？方向变了吧， 再看甲丙了，甲丙啊，甲丙啊，不用看乙丙吧，乙丙看一下啊，它这里电源是一样的啊，接法一样，但是呢，它的绕法变了吧，这里也变了吧， 说明呢，你这个电电源正负极接法，接法会影响它吧，然后呢，它绕法也会接，呃，也会影响它吧，那这两个都有影响，难道这里选 a 和 b 吗？不是的吧，对不对？所以你观察一下 c 和 d 啊， d 的 话是螺旋管中电流方向，我们来判断一下，等一下我们来判断一下 c 的 话，肯定是错的啊，我们是通过了小磁针的指向来判断它磁极有没有改变吗？对不对？所以看一下 d 啊， 我们看下它线圈是中电流方向，对于甲来说呢，它是向下的吧，对于乙来说，它是向上的吧，对于丙来说呢，它是向下的吧，对于丁来说，它是向上的。那你看下，如果它都是向上的话，是不是一样的，乙和丁是不一样的， 甲和丙是不一样呢，对吧？所以这个题目选出最合适的答案就应该是了 d 吧，螺旋管中电流的方向啊。十三、电源电压保持不变，开关 s b 和滑片向右移动， 这个也很简单的，你看啊，分析电路，先把电压表遮住不看，那你会发现呢，这里的话 r 零和 r 应该是串联的吧，串联的，然后再看电压表吧，这里电压表很明显测的是滑动变气电压吧， 那我们可以根据呢串联电路的分析过程吗？先分析滑片 p 是 向右的，推出了，接入电路中的电阻应该是增大了吧，推出了 r 总 等于了， r 零加上 r 吧，这个增大吧，这个不变， r 总增大吧。追出电路中电流 u 等于了，而 i 等于 u， 除以 r 总， r 总增大 u 不 变，所以 i 应该减小吧。然后再去推这个电池电阻， 两段电压等于 i 乘 r 零， r 不 变， i 减小，所以 u 零减小吧。最后又回到了滑动变器的电压吧， 等于了，这个 u 减去 u 零吧， u 零减小 u 不 变，所以这个是增大的，从完全可以判断出来啊，我们电流表的示数， 它是来减小吧，电压表的示数，我们说了，电压表是测滑动变器吧，所以电压表的示数应该是来增大的吧，有没有答案呢？电流表示数变小， a 是 对的吧，电压表示数变大， d 是 对的吧，那这个题目答案就出来了，这也可以通过串反兵同的规律嘛。我们反复讲到过 和滑动变频器并列的，那它的变化和滑动变频器一样吗？和这个滑动变频器串联的，那它的变化和滑动变频器的这个话啊，这个电阻的变化是相反的吗？我们已经分析出来， p 往右移动的过程中， r 是 增大吗？那和它并列的 v 就是 增大吗？和它串联的就和它相反的吗？ 所以这个题目答案就直接直接就出来了啊。十四题看一下啊！第一个，揉泥泥团被揉成一定形状，是因为呢？泥具有了 弹性，你看一下，它揉成泥团之后，它是不能恢复的吗？不能恢复到它原来的形状，我们把这样的叫做了溯性吗？对吧，而不是弹性啊。 b 呢，说明 b 可以 改变物体形状， b 是 对的吧？ c 晒干的过程中，它是里面的液态的水，变成了气态的水吧，那液态到气态我们是要吸热的吧？前面说了啊，气体所在的所具体气体所具有的内能大于了液体的，大于了固体吧。 那你反方向这样来的话，你就要干嘛？热量它的内能要增大不，所以你要吸热嘛，反过来的话，你就要放热嘛。 所以我们这个题目应该是 c 热啊， c 就是 对的嘛， d 呢，类似于卷笔、刀削铅笔， 那么刀片和胚体之间的摩擦是滚动摩擦，我们知道车轮子和地面滚动摩擦的话，它和车轮子和地面是相对静止的吧，并没有发生滑动嘛，而你这个呢，相当于刀片在你这个碗胚的面上是在滑动的吧， 发生了相对运动，那这样的摩擦的话，其实是什么？是滑动摩擦吧，所以这个注意一下啊，这个题目应该选 b 和 c， 十五题看一下啊，电源电压二十四伏，电阻 r 为二十 o， 第一个闭合开关 s 求通过电阻 r 的 电流 b 和 s 啊，没有 b 和 s 一 嘛，此时就一个 r 吧，所以 i 就 可以等于了 u 除以了 r 吧，等于二十四伏，除以了二十 o， 算出来等于一点二 r 吗？第二题呢， b 和 s 和 s 一 通过干路的电流， 通过干路电流等于了一点六安吗？我们刚刚说了，通过 r 的 电流是多少，通过 r 的 电流算出来等于一点二安吗？对不对？那么流进 r 一 的电流就出来了，所以这个题目答案就出来了啊。你这里，你这里， r， r 一 和 r 显然应该是了并列电路吗？所以呢，它是电压相等， 然后分流吧。干路电流等于了各支路电流之合，所以流经 r 一 的电流就应该等于了干路上的电流减去了这个 r 的 电流吧，所以就应该等于一点六安，减去一点二安，等于零点四安了。所以 r 一 r 一 的电阻就应该等于 u 除以了 i， r 一 吧，等于二十四伏，除以了零点四 m 等于六十欧。那这个题目答案就出来了啊。第六题看一下啊，正常工作时电功率 正常工作时电功率，这里直接读出来就可以了，有表可知，他的正常工作时的电功率应该是在一千五百瓦吧，这是个送分题啊，对吧。然后第二题呢， 工作五分钟求电流所做的功啊。这个也很简单，正常工作的话，那你 w 可以 等于来 p 乘以 t 吗？用一千五百瓦乘以了五分钟吗？五乘以六十秒啊，全部转换为秒，那我们这里算出来啊， 三百一五零零三百是吧，所以就是等于四点五乘以十的五次方交啊，那这个题目答案就出来了，然后第三问呢，若该电热水壶接在额定电流为五安的电压上使用，判断了它是否 安全，我们五安的话，我们假设它最大电流为五安的时候，对吧？额定电压等于多少？那也就是说，我们这个插接线板，它的最大的功率，能承载的最大功率应该等于了 u， 乘以了 最大的电流吧，等于二百二十伏乘以五安吧，我们算出来等于多少？ 一千一百瓦吧，小于一千五百瓦， 从而就可以说明了这个不安全嘛，因为你这个插板插排插座嘛，最大能承受的电功率的话就是多少一千一百瓦吧，而你这个电热水壶正常使用的话是一千五百瓦， 所以就不行啊，但你也可以把它的电流算出来啊，你可以把它的这个正常工作时的电流算出来， i 等于 p 除以 u 啊，等于了一千五百瓦，除以了二百二十伏，这里算出来肯定大于五安，这样就更明显了啊，这个题目这两种思路都可以。 第十七看一下啊，你看这里多么人性化啊，单位都不用我们换算的，按理来说，这给你个厘米，你一点办法都没有。所以呢，我们直接写答案，密度 low 等于了 m 除以 v， 木块质量零点六千克吧，体积一乘以十的负三字方平方米，这里算出来就等于零点六乘以十的三字方千克每平方米。第二个呢，木块所受的重力， g 等于 m 乘以小 g 等于零点六千克，乘以十牛每千克，所以等于六牛吧。第三个，木块所受的浮力，浮力看一下啊， 漂浮在水面上啊，这个物块处于漂浮状态吧， 故 此时他的浮力是等于了他的物重的吧，这个木块自己的重力的啊，等于了六牛吧。你看这一题目还是很简单的啊，第四题呢，此时容器对水瓶做面的压力， 对水平桌面的压墙，这也太简单了吧，对桌面压墙应该等于总的压力除以了底面积吧，他这里说的是薄壁的容器吗？说明忽略他的厚度啊，就是了，底面积就是零点零一平方米吗，对吧，那你可以看一下啊，这个杯子 这个水，那这个杯子的重力也不用考虑了，你只需要考虑了这个水的重力和和这个木块的重力啊，所以我们可以算一下，锯水 就算出来等于四十牛吧，那所以呢， f 总总的压力就应该等于呢木块的重力加上了水的重力等于四十牛六牛加四十牛 等于四十六牛，所以呢，它底下墙就应该等于了总压力除以了底面积吧，四十六牛除以了零点零一平方米吧，那算出来应该等于四点六乘以十的三次方帕斯卡吧，那我们这个题目就出来了， 那这个题目的话啊，应该要改一下，应该要改一下，改什么呢？哦， 他应该去求呢，你这个液体对他或者你这个水对他底面的这个压力吧，比方加一问啊， 我们第五问呢，加一问吧，若水深，这也不知道水深多少，我想一下啊，二十厘米呢， 求了水对底面的压力吧，大家可以思考一下啊，落水深二十厘米，那么呢，水对这个杯子的底面的压力应该是多少？ 那么类似于这种呢，求它的液体里面的某一个面的面积的话，我们一般来说是分两步去做的啊，或者有的题目会给你降低难度。先给你说 啊，求它的某一个面的在某一个深度的时候要强，再给你求它的这个面有有一个面对应的那个压力啊，那样相对来说简单一点啊，那其实是一样的，我们这里的话分两分两步，第一步呢，求该深度的什么 要强吧，求该深度的要强啊。 p 呢，等于漏液漏水 gh 吧， 一点零乘以十的三次方，千克每平方米乘以十牛每千克乘以了二十厘米等于零点二米吧，这里算出来等于多少？二乘以十的三次方。怕了。第二个呢，再根据什么 f 等于了，本来是 p 等于 f， 除以了 ps 来算它的压强来算它的压力啊，来算它的压力。那我们算出压强嘛，二乘以十的三次方帕嘛，乘以它的底面积，底面积零点零一嘛， 那你这里算出来就等于多少？零点零一二十牛吧，对吧？二十牛，那你就可以把这个题目做出来啊，这个题目做出来，所以大家可以把这个题目第四第五问啊，补一下， 第五文补一下啊，然后好好理解一下，下次碰到类似题目可以按这个方按这个步骤来做啊。好吧，然后十八题 这里我们填一下吧，如图一所示，五克一克吧，所以加起来六克嘛，或者写个六点零也行。该天平标尺的分度尺分度值它是零到一分成了五格嘛，一格就零点二克嘛， 好，用电流表、电压表测量未知电阻的实验步骤。第一个，伏安法测量未知电阻的电路图。呃，伏安法这里也很简单的，这个这个， 但这个图应该画的比较小，能画画大一点。第一个呢，你现在有电源吗？第二个呢，你得有开关吗？ 然后得有个滑动变频器来调节吧， 然后你这个位置电阻得放这里吧， 然后得有电流表吧， 然后你还得测 r x 两段的电压吧， 对吧？那你可以把这里标出来啊。 第二个，闭合开关前发现了电压表尺寸，如图所示，如图这里它是闭合开关之前发现的啊，它的指征没有指到零啊，所以我们先干嘛，先进行了调零嘛。 第三个，闭合开关滑动面线啊，分别如图这个四甲乙所示，此时电流表失主 这里。图三是假设电流表接了零点六万的啊，只到了零点五的地方吗？所以这应该是零点五。电压表接了三伏的啊，这里只到二点五，所以这应该二点五。 然后进行多次实验吧，对相关数据进行进行处理，得出结果答案就出来了。当然了，你这个题目下次还可能考你什么，对吧。第一个，填表头的，设计一个表 来填数据的啊，那你要注意它的表头里面啊，表头你得包括什么？这个物理量名称啦，我们可以设计一下啊，都都都写这里了， 有第一次，第二次，第三次吧，你得测电压吧，电压表示数 u， 然后单位伏特吧，然后是啥？ 电流表示出吧， i m p， 然后通过这个计算嘛，电阻 r x o m。 那 你会发现它的表头应该包含三个啊，一个是呢，它的物理量名称，或者你待测的这个数据的名称，它的物理量符号，它的它的这个单位啊，这第一个，第二个呢？它可能考虑什么？ 他进行了这一次实验，得出算出了他的这个，这个，这个电阻行不行？那就不行吗？你得多次实验吧，你这里多次实验的目的是为了干嘛？减小误差吧。而有的有的题目中多次实验是为了寻找普遍规律吧。你比如你要探求了欧姆定律的话， 对吧？你多次实验得到的应该是主要是为了寻找普遍规律吧。好吧，那这个题目我们如果碰到的话，我们后面再说。 第十九、测量小球运动的速度，那你求速度嘛，这也是求速度啊，那你回忆一下速度的公式量实验原理， v 就 应该等于了 s 除以 t 嘛，路程除以时间，所以你得测路程，得测时间嘛。看啊， 分别测出小球通过的路程啊。 s， a， b， 这是刻度尺啊，你得读书吧，你得孤独啊，这是四十，看下它单位啊，厘米零到一分，成了十格，那一格的话零点一厘米吧，所以我们先读出来啊，这是四十二，一二三四吧，四十二点四， 好多人写到这里就完了啊，不对，这是刻度尺的读数，大家今年中考的话也一定要注意啊，刻度尺，读书一定要孤独啊， 因为这里肯定有一部分同同学啊，是吧，肯定会有一部分同学死在这里，对吧，所以这里一定要孤独啊，写个零吧，你看后面也有吧，这里提读书，这里后面的读书，这里相当于是给了你提示啊，降低了题目的难度。好吧， 小球在这三阶段的平均速度啊，这是用了 t a b 一 秒吧，一秒一秒， 那我们读出来这里也是保留了两位小数啊，看到了吗？所以我们这里的 v a b 就是 四十二点四零嘛，你这个零一定要写啊，它题目中都写了，你不写的话你就你就说不过去了啊，那么 c、 d 呢？ 十九点七零嘛，对不对？好，我们看啊，那么发现了 a、 b 的 速度呢，是大于了 c、 d 速度啊，小球在水平面上应该是做了，你会发现他速度是逐渐减小的吗？所以做的应该是他变速运动，他也没说怎么变速的，你就写个变速就好了。选个变速啊，小球运动时的速度不易过快啊，以免小球动能过什么，从桌面掉落时撒上人呢。 动能过什么？肯定过大吧。动能和两个因素有关嘛，一个是质量嘛，一个是速度嘛。那你质量对同一小球来说质量肯定相同嘛，速度越大，动能就会越大了，所以这里应该，应该，应该应该填个大字就好了。 好，继续啊。这里探球的是一个什么 平面镜成像特点，我们去看吧，大家看这个图就能看得出来啊，然后镀膜玻璃板作为平面镜呢。什么放置在方格纸上啊？这里应该要填呢？垂直放置吧。垂直啊，这里不要填竖直，这要和它的这个方格纸要垂直。 第二个呢，将一枚棋子这枚书呢？直到它完全重合，从而确定下的位置吗？我们书上是用了两个蜡烛，一个点燃的，一个没有点燃的，对吧？ 第三题呢，改变悟道镜面的格数，进行多次实验，得出它的这个象与悟道镜面的格子格数的关系吧。判断象与悟道镜面的距离的关系吧。 距离啊，你这是离这个图头近啊，呸，离这个平面近近还是远嘛？所以应该是距离的关系啊， 对吧。设计表格的来了，我刚讲了，所以你要抓住什么？它的表头一定要有啥三个啊，一个是呢，它的名称，符号以及呢它的单位吧。我们看下这个题目， 这个题目也没有单位哦，那我们设计一下这个实验次数， 或者写个项目，你写个实验次数，你肯定不能不止做一个实验嘛。啊，不止做一次啊，所以你这里可以标个一二三嘛，写出来，然后你看这里要，这里主要是比较了这个悟道镜面的距离， 物与物到镜面的格子数吧。格数，然后呢，后面就应该是了，向到平面，向到镜面的。 嗯，这里也没有用什么表示吗？如果你说这个这个本身就是数格数吧，所以这里也没有涉及到它的物理量的符号和单位啊，那我们就直接这样画了。哦，好吧，第五题了， 改变改改变叠放的棋子数量啊，进行多次实验发现了，看着啊， 这里数量的话，两个三个，它的高度变了吧，每次实验实验镜后棋子与镜前棋的棋子数量相同吧， 对吧，而且呢，与镜前棋子它的象完全重合，可以得到了象与物的大小相等吗？高度吗？大小吗？借助方格纸，可发现了象和物的连线与镜面是垂直的吧？ 垂直好，完成分享。上树后看一下啊，该同学与这个爷爷面对面玩起了照镜子游戏，该同学扮演了物，举起左手，那么爷爷扮演了镜中像，应举， 我们看一下啊，模拟一下。有这个人坐这里吧，这是镜子，这是他的左手，这是他的右手啊， 那你这个人站这里的话啊，这是他的左手，这是他的右手。那你比如他举了左手，举了这边手，你就对应的应该是在哪里啊？哇，这个图画的好抽象，重新画一个吧。 你这个人面对面的站这里吧，这是他的左。你的眼睛在这里吗？ 这是他的左手吧，这是他的右手吧，对吧？我左手在上面呢，好早就不管了。这是另外一个人吗？这是他的右手吧，这里是他的左手吧， 对不对？所以呢，爷爷扮演镜中像，应该举起了右手吧，你可以模拟一下，或者你想一想啊。 好，二十一题，同一小球由静止释放并并并且呢保持在释放时，悬线与竖直方向的这个什么不一样。看。这 往返一次的时间是否与绳长有关吗？是否与绳长有关的话，那你就要控制这个角度一样，对吧？所以呢，悬线与竖直方向上的 角度或者夹角不变吧，摆长越长，小球往返摆动时一次的时间越。你看呢，这是十次的吧，时间逐渐增加吧，算出来一次的也是逐渐增大吧，时间越长吧， 由此可耻啊，秋千未坐人时，往返一次的时间跟绳长有关吗？该探球所需的测量工具啊。第一个量角器吧，你得量角过。第二个呢，这个绳子的长短得测量吗？所以你得用到了刻度尺吧。 第三个你得计时啊，所以要用到了秒表或者停表。 你这里就不要写手表啊，是吧，或者电子表这些啊，你用 物理量测量也可以，这是用了什么累计法吗？十次吗？测了十次的来减少了它的误差吗？所以用累计法的我们可以看啊，这里物理书中一张纸的厚度可以吧，一支铅笔的，我们要多次测量，这个不是一个苹果的质量，这个不是一杯水的温度， 这个也不算。所以这个题目选 a 呀。第二题来采用这种方法的目的是为了减小测量的误差吧。 好吧，好杂技。演员荡秋千，有时站着，有时坐着，由此才想 改变重心的位置，相当于来改变，改变了摆长。该演员在秋千上从同一起点由静止往下荡时，坐着比站着往返一次的时间坐着重心相对来说低吗？站着重心高一点吗？所以呢，坐着的重心低，那么相当于摆长要长吗？ 对吧？所以坐着比站着往返一次的时间应该更长吧。那我们这个题目答案就出来了。好吧，试卷没有了， 那我们这个试卷就看到这里啊，觉得对大家有用的话，可以加个关注啊，或者收藏一下，然后我们后期还会更新啊，就是二三年，二二年以及以及之前的这个中考专题，大家可以保持关注，拜拜。
299都昌数学物理占家兴
03:20查看AI文稿AI文稿近期很多家长都来咨询，二零二六年广州三二分段到底该怎么铁爆？今年政策迎来重大调整，东职首次采用梯度头档志愿优先模式，和往年规则截然不同。不少家长抱有侥幸心理，盲目冲刺，一旦志愿排序不合理，很容易出现高分低落，甚至直接滑档落榜的情况。 今天我就一次性把填报方法、志愿顺序、技巧、优质院校、专业全部讲解清楚。先说说大家最关注的录取分数，参考二零二四年三二分段最低录取线四百二十二分，二零二五年直降四百零七分。那二零二六年是多少呢？ 今年广州考生持续上涨，升学竞争就会更加激烈，报考时路必须及时调整。本次志愿规则可填四所院校，每所院校可选四个专业，共计十六个专业。新规和高中头等规则类似，梯度属性明显。第一志愿事关重要，切记随意填报，把心仪适配的院校优先放贷前列。 我已经给大家规划稳妥的填报梯。第二志愿稳妥保底。第三志愿，守住录取。第四志愿，繁华兜底。 第一志愿，冲优选院校，四百八十五分左右提对的考生。这类院校热度最高，升学就业双保障，竞争热度偏高。第一个，广州市医药职业技术学校推荐，药剂、中医康复技术。第二个，广州市轻工职业技术学校推荐，数控技术、机电技术、工业机器人。 第三，番禺新造职业技术学校推荐计算机网络技术、影像技术、艺术设计与制作。第四，广州市信息职业学校 推荐数字媒体技术、计算机应用、无人机技术、电子技术应用。第二志愿稳健，择校院校难度适中，大学实力扎实，录取稳定性强。第一个，广州市旅游商务职业教育学校，推荐中心店点商务英语、旅游服务与管理。 第二个，广州市交通运输职业技术学校，推荐，新能源汽车维修、工业机器人、电梯安装维修、轨道交通。第三个，番禺区职业技术学校，近年升学亮眼，在职高考本科上线人数表现突出，是潜力黑马。院校推荐，新能源汽车、数控技术、无人机机电技术。第四个，广东省 食品药品职业技术中职部，推荐护理医学检验技术、制药技术。三、志愿高，招生量稳妥，院校招生名额充足，上岸率最高，最有效规避落档风险。第一个，广州市财经商贸职业学校，推荐，会计事务、电子商务演示、光与背景。第二个， 广州市城设建设职业技术学校，推荐基建技术应用、无人机技术、园林技术、艺术设计与制作。第四志愿都抵保障院校切勿空缺，前方投档实力后都抵院校首度入学名额。 第一个，广州市轻工技师学院，推荐，基建一体化、模具制造、汽车维修。第二个广州市番禺工商 职业技术学校，推荐手势设计、艺术制作、计算机应用。第三个，工贸技师三、二分段推荐，数字媒体、人工智能技术、新能源汽车检测。 最后提醒各位家长，考生，今年官方明确要求填报不能只参考以往最低分数线，学院的梯度和个人排名才是核心。新政策下，志愿排序的重要性远超以往，最新志愿名单包含批次、招生 计划、填报逻辑和注意事项，有需要的可以直接私信名单即可领取。关注我，分享真实升学干货！孩子升学少走弯路！
16小绵追日落
43:21查看AI文稿AI文稿上个视频呢，我们讲了二零二四年苏州市中考数学的最后一道压轴题，那个题目呢，难度是中等偏上，有点意思，大家可以去看一下我们上个视频的讲解。那么今天呢，我们来讲一下二零二四年常州市中考数学的两道题目， 非常有意思啊，有点难啊，都有点难啊，尤其是这个几何题目，看起来不是很难，但是要细究的话，还是挺难的啊。好，我们先来看一下啊，他说将这个边长均为六厘米的一个等边三角形 a、 b、 c 和 d、 f 给它叠放在一起，然后呢，使得这个 e 和 b 分 别在 a、 c 和 d、 f 上，然后呢，就说这个 a、 b、 e、 f 相交于点 g， a、 b、 e、 f 相交于点 g， 然后呢，边 bc 和 d、 e 相交于点 h 啊？第一问，他说如图一，当 e 点是 a、 c 中点的时候，两张纸片重叠部分的形状时， 我相信绝大多数人看到这个题目之后，能够立刻把这个答案给写出来，答案是菱形，对吧？这个看这个图应该就知道是菱形。首先是平行的嘛，是个平行四边形，一看就看出来了啊。然后呢， 呃，两个纸片的边长相等，又特地强调了是一个终点，那么肯定是个菱形啊，一看就看出来了。 那因为我们讲过，我们说在中考题里面，他这个图啊，画的都是很真实的，就是边长啊，角度还有比例都完全真实的。所以呢，你看这个图大概是什么样子，那就什么样子。所以很多人呢，这一步啊，他根本就没有严格的证明， 就是我知道他是个菱形，但是我如果真的让你去证明的话，其实有一点麻烦啊，其实有一点麻烦啊，其实很容易出错啊，我们来看一下啊，他怎么证明？ 首先吧，他因为他是个，其实这个他的就是他这个证明啊，其实我是费了一番功夫的啊，我想了很多种方法啊。第一个方法， 我想的是一线三等角，就是我们前几个视频刚刚讲过的一个模型，我们在直播里面讲过很多次的一个一线三等角，什么意思？就是一个边上，哎，他突然戳出来一个角，而法，对吧？然后呢，你可以做辅助线 啊，使这个等于而法，这个等于而法，那这样子的话，左边这个图一和这个右边这个图二两个正好是相似的两个三角形，那这个我们也讲过，对吧？也证明过。 然后呢，我就在想，那这样子的话，你看啊，这里面像这个角，而法啊， 像这个角是六十度，对吧？这个角是六十度，这没有问题吧？好，那这样子的话，他也不是就是在一个直线上忽然戳出来一个角吗？对吧？那我就想能不能证明，呃，两个三角形相似呢？ 对吧？我就在想，那你看左边这个正好是六十度，对不对？右边这个正好是六十度，对不对？所以说明什么？说明这个三角形就是三角形 a、 g、 e， 其实相似于三角形， a 的 话就是 c， g 的 话就是 g 的 话就是 e， 嗯， e 的 话就是 h， 对 吧？这两三角形是相似的，哎，但是呢，然后你就不好去做了，哎，你能不能证明这两三角形全等呢？哎，不好证， 不好证，你只能证明它俩相似，相似的话它们对应边相等，你看这个边和这个边是相等的，但是它两个角，就这个角 和这个角它不是对称角，对吧？这个角是阿尔法的话，这个角是阿尔法，这个角是贝塔，这个角它是贝塔，所以它不是对称角，所以呢，你就没办法去证明。呃，这两个三角形是 是全等的啊，他不是对应角，也不是对应边，对吧？所以呢，你就不好去弄了啊，你就不好去弄了。所以我当时一开始想的这一线三等角，发现不太好去正啊，你们可以去试一下啊。 但是我一想这个题目啊，他这么图形看这么简单，不会这么复杂， 对吧？他一看就是菱形，对吧？我们从图中看出来他也是菱形。然后呢，我就想另外一种方法，就是我们以前讲过的，就是在直播时候讲过，就是如果你看到一个等腰三角形，如果看到了底边的中点，那么你的第一反 应应该是要就是做这个顶点到这个终点的一个连线，对吧？然后他就变成了一个高，他就变成了一个角平分线 啊，这个我们以前讲过，我们讲过很多次，就是辅助线，他可能是猜出来的啊，他不是一开始就知道的。你比如说我刚开始没有做辅助线，我就觉得两个三角形是相似的，然后发现证明不出来，这样子的话，我们就想办法把它连一下， 看我把它连一下之后呢，那很明显这个东西就是垂直的， 对吧？也就说我把 b e 一 连， b e 连完之后呢， b e 和 a c 就是 垂直的，那么垂直了之后呢？你看啊，它这个边长， bc 长是多少？ bc 长是六 c， e 长是三喽，对吧？ 所以这样子的话，我们其实能够把 b 一 算出来，它就是三倍的根号三，因为有一个直角为三十度的一个三角形，它的三边之比是一比，根号三比二，是不是？所以 b 一 长等于三倍根号三， 好，然后问题了，然后你看啊，你看这个角是不是六十度，对不对？你看这个角是不是六十度，而这个 d 一 场啊，你看这个 d 一 场，他是不是也等于六 d 一 场是不是也等于六？你看这个 b e 他 对的那个边是不是正好是六十度？对的那个边 就是 b e 啊？ b e 对 那个边正好是六十度，对的那个边就是在三角形 b e、 c 和 b d e 里面， 是不是？那么这样子的话，如果你们上了高中之后，你就会发现，如果用正弦定理的话，这个题目就很简单，为什么用正弦定理的话，你就能发现这个角 等于九十度，哎，我简单给你们举个例子啊，那就是如果用正弦定的话，应该怎么做呢？应该说 b e， 哎， b e 比上 三的六十度，对吧？等于 d， e 比上三九 e b d， 嗯，那这样子的话，你看这里面只有这一个未知数，那这样子的话，你可以把这个角 e、 b d 给它算出来，是等于九十度了，哎，当时我就在想，哎，但是呢，初中阶段你是不能用这个东西的，对吧？好， 那怎么办呢？啊？当时到这之后，我就想，那这样子的话，我们可以用，反正啊，反正就是我们假设它不垂直， 就是我们假设这个 e b 和这个 f d 它不垂直，那不垂直的话，那我肯定可以过 e 做 f d 的 一个垂线，对吧？我垂线啊，我可以做垂线嘛，对吧？假设它不垂直，那我们就可以做垂线，就这样子，比如说在这儿， 比如说 f g h 点，比如这，哎，不对，这是有 h 了，是吧？有，那就是 r 点， 比如说我过 e 点做 f d 的 一个垂线为，呃，垂线交 f d 于 i 点。好，这时候你会发现什么？这时候你会发现，你看这个角就是角角 d 等于六十度，对吧？ e d 长度等于六， 是不是？那这样子的话，我们能够算出来什么？能够算出来 e i 长度等于多少？ e i 长度等于三倍高三，是不是 e i 长度等于三倍高三？好，然后你会发现这个 e i 场和 e b 场两个是相等的，哎， 对不对？而且 e i 场它是垂，它是垂直的距离，它不是斜边，对不对？如果是斜边的话，那确实都有可能它是垂直的距离，那说明什么？那说明 e 点啊，那说明 b 点和 i 点肯定是重合的， 如果不重合，那说明说明 b 点和 i 点肯定是重合的，如果不重合，那说明说明它就不可能垂直， 哎，因为因为你 ei， 我 做的是 ei 垂直 f d 嘛，对吧？但是我现在已经知道了， e b 长度和那个 ei 长度一样的，那说明什么？说明 b 点和这个 i 点一样是重合的，所以说明什么？说明这个 e b 同时也垂直 f d， 这样讲没有问题吧？好，那既然我们证明了 e b 垂直 f d 的 话，那说明， 那说明两个边啊，这个 a c， 哎，是平行 f d 的， 因为垂直嘛，对吧？啊？垂直嘛？好，那这他俩平行的话，那说明这些角都是六十度， 对不对？都是六十度，而且都相等，都都等于六十度，那说明什么呢？那说明这个等于这个喽，对吧？它俩全等了，对吧？因为你 a、 e 和 ec 是 相等的嘛，那说明这个肯定等于这个， 对吧？而且因为你平行，因为你平行，因为你这个等于六十度吗？这个等于六十度，所以你你就立刻能证明它玩它的所有的变量都是平行的，对吧？再加上你的 g， e 等于 e h 啊， g 等于 e h， 所以 它是个菱形，所以菱形就是这么证明的。就是你看这个图能看出来是菱形没有问题，但是你要真的想正的话，还是得那个花一番功夫的，他不是那么简单的啊，所以这个题目非常精彩，我希望大家能够记住。 好，这是第一题，我们看第二题，第二题，他说如图二，如果告诉我们 e f 平行 bc， 那 他没有告诉你们 e 点是 a c。 重点了啊，他说两张纸片重叠部分的面积最大值是多少， 那么这样子的话，其实就很简单，你看啊，我这个阴影部分的面积 s， 对吧？它其实等于什么呢？它其实等于 s， 就 等于 s 三角形 f e f d， e， f d 减去 s， 三角形 f g b 减去 s 三角形 b d s， 很 明显这个三角形和这个三角形都是等边三角形，没有问题，是不是？好，那么整个三角形的面积我们是知道的啊， 对吧？能够算出来，那就是把这两个分别算出来就可以了，那我们就设呗，设 f b 等于 x， 头 k 可以， 那这样的话 b d 长呢？就是六减 x。 好， 因为你是个等边三角形，所以这样子的话，我们这三边三个三角形的面积我们都可以算出来啊。其实呢，我们知道三角形的就等边三倍的 a 平方，这个 a 等于边长平方，对吧？所以我们就可以把 他提出来，就是四分之根号三倍的东西提出来，那里面是什么呢？大的，那就是六的平方，边长平方嘛，对吧？再减去第二个，第二个 f、 g、 b 边长是 x， 那 就是 x 平方，第三个就是六减 x 平方，对吧？就是中括号六减 x 的 平方， 是不是好，那就算出来啊，那就是四分之根号三倍的里面呢，是三十六减 x 平方，再减去三十六减 x 平方， 就是减十二 x 加上十二 x， 对 不对？好，那么三十六三十六约掉了啊，那么，嗯，那就是四分之根号三倍的里面是负二 x 平方，加上十二 x， 是 不是好，那这样子的话，这个很明显可以把它配方啊，那就是把二提出来，对吧？把二提出来，把二提出来，那里面就是这外面就是二了，二分之 二分之高三，对吧？里面这个 呢，就是六加上六 x， 是不是好，那这样子的话，应该加九减九，对不对？应该减九加九啊，减九加上九是不是好，那就应该是二分之根号三倍的， 嗯， 负的 x 减三的平方加上九，是不是负 x 平方？减去六 x 加六 x 加上九减九加九，对的啊，这没问题啊，所以你看它的最大值应该是什么啊？这个肯定是开口向下的，是不是？所以它最大值应该就是九， 就中间这个，而且当 x 等于三的时候， x 等于三的时候，那说明这个 b 点应该是中点，说明这个最后这个 s， 它的最大值应该就是 s 的 最大值，应该就等于二分之根号三，再乘以一个九，等于二分之九倍根号三， 对吧？所以这个题目呢，应该不难啊，我相信各位应该都没有问题啊。好，这是第二个，第三个，我们再来看一下啊， 第三个它说的是，呃，当这个 a e a e 大 于 ec 的 时候， f b 大 于 b d 的 时候，这个 a e 和这个 f b， 这个呢，我们从图中就能够看出来，他俩是什么关系啊？应该是相等关系，就是 a e 和 f b 啊，相相等关系，那你怎么挣呢 啊？我觉得很多人应该是挣不了的啊，那你但是呢，这个题目呢，他如果你把我们第一问就是图一那个方法给它搞清楚了之后，这个题目呢，大概你还是可以有方法去挣的啊，怎么办呢？我们想办法先把这个 b e 连起来， 我们图一不是过 e 点做 f d 的 垂线了吗？那这样子的话，你看这个 e 点和 b 点，它不是终点了，对吧？因为你 a e 大 于 e c 了嘛， 对吧？你 f b 大 于 b d 了嘛？你要求的是 f b 和 a e 的 关系，那我们很明显因为你不是终点了，那我们就肯定也能直接过它做垂线喽， 那我们就找中点呗，对不对？找中点。 好，那就这样子了，我过 e 点做 f d 的 垂线， e， f g， h i， 我 做过 b 点做 a c 的 垂线， 会接啊，那这样子的话，这个就垂直，这就垂直。因为你 e b 都不是重点，所以 i 和 j 和这个 be 是 不重合的啊，是不不重合的。那这样子的话，那你看啊，我要证明什么？我要证明 a e a e 和 f b 的 关系，对吧？ a e 和 f b 的 关系，那实际上 a e 就 等于什么？等于 a j 加上 j e f b 就 等于 fi 加上 i b， 它的关系 是不是没问题，对不对？好？然后你看啊， a j a j 和这个 f i 是 什么关系？两个肯定是相等的，因为整个大的等边三角形，边长相等， aj 长度是三，对不对？ fi 长度也是三，它俩都是三，对不对？因为因为 i i 和 j 是 终点嘛，所以 aj 和 fi 都等于三，那这样子的话，我们只需要知道这个 j e 和 ib 就 可以了， 对不对？ j e 和 ib 好。 那么 j e 和 ib 呢？ j e 和 ib， 你 看啊， e i 长度， e i 长度是不是等于 b j 长度， 对不对？然后呢，这个 b e 啊，是不是个公共边啊？而且还有一个垂直，那我们通过 h l 是 不是能够证明这两个三角形是全等的？就是 rt 三角形 e b i 全等于 rt 三角形 b e b i b e j 是 不是？那这样子的话，这个 b i 是 不是等于 e j 啊？ 对不对？ b i 等于 e j， a j 等于 f i， 两 a 加是不是就相等了？说明什么？说明这个 a e 等于 f b 这个题目呢？ 第一问，我相信各位都能写出来，答案都能算出来，但是呢，你如果不知道，那证明方法，我觉得很多人下不了手。第二问，我觉得各位也能算出来，这就是。第三问，我觉得各位就够呛了啊，很多人就够呛了啊，就够就就就，大概就想不出来了 啊。所以这个题目呢，非常非常的好，你看他辅助线就很简单，但是呢，他非常非常的好啊，这题目非常非常好，所以我说今天这个题目质量很高啊。好，这个是几何题的一个大题啊。然后我们再来看最后的压轴题， 这个题目呢，也很好，他，他主要考运算啊，他运算很巧妙啊，来看一下啊。 他说在平平面直角坐标系 x， o y 中，二次函数 y 等于负， x 平方加 b， x 加三的图像与 x 轴交于 a， b 两点与 y 轴交于点 c。 第一个 o c 场， 那么 o c 场就是求 c 点坐标了， c 点坐标就是令 x 等于零，求 y 值，对不对？ x 等于零， y 等于三，所以 o c 场等于三啊，这个简单，是吧？好。第二个，他说 已知点 a 的 坐标是负一零啊，告诉我们点 a 坐标，那你看这个二次函数，它是不是只有一个未知数 b 啊？说明我们只要知道一个点的坐标，这个二次函数的 表达式我们就能够给它解出来，是不是？好，那负一零带进去呗，那就是零等于负一带进去，负一的平方就等于一，就是负一减 b 加上三，对吧？ b 算出来等于二， 是不是负一带进去？负一的平方等于负一，就是减 b 加上三， b 等于三，减一等于二，是不是？好，那说明什么？说明这个抛物线是 y， y 等于负 x 平方加上二， x 加上三，有没有问题？没有问题。那这样子的话，其实我可以把这个对称轴啊，把 b 点坐标都给它算出来啊，那么给它配个方，嗯， 负的 x 减一的平方加上三，后面呢？是负 x 平方减二， x 加二， x 加上一，减一，加一加一喽，对吧？加一就加四，是不是 加四啊？那说明什么呢？说明什么呢？说明这个对称轴啊，对称轴是 x 等于一， 对称轴是 x 等于一，而且这个顶点坐标是一四啊，顶点坐标是一四， 是不是我们把这个配方用负一零带带带进去啊？负一减一等于负二，负二平方二负一，负二，平方四，负四，加四等于零，对着啊，说明对称轴是一，顶点坐标是一四。好，第一问，他说当 x 大 于等于一小于 m 的 时候， 那就是说它正好在对称轴的右侧，对吧？因为你对称轴是等于一嘛？ 好，那这样子。嗯，当 m 大 于一的时候， y 的 最大值和最小值分别是 s、 t 最大值是 s， 那 么最大值是多少？最大值很明显，就是当它等于一的时候，对不对？所以最大值 s， 我 们就能知道它等于四了，对吧？因为前面刚刚算出来定的这边是一四嘛。好，那这样子的话，他说 s 减 t 等于二，那说明 t 等于多少？ t 等于 s 减二等于二啊，说明 t 的 值是二， t 的 值是二，因为你在对称轴的右侧正好是单调递减的，就是减函数会越来越小，越来越小，对不对？所以等于二，它应该是只有一个一，呃，只有一个点， 只有一个点，也就说当 x 取 m 的 时候，这个值等于二，对吧？它不可能用两个点，两个点你还得分离讨论它只有一个点，说明 x 等于 m 的 时候，它这个值等于二，对不对？所以我们把等于 m 带进去，那就是负的 m 减一的平方加上四等于二，是吧？好，那就是 m 减一的平方加上四等于二，是吧？好，那就是 m 减一的平方等于二。 好， m 减一等于正负根号二，是不是？ 好，那 m 呢？ m 等于一加减根号二，这两个，这都能取吗？很明显不行，对吧？因为 m 要大笔，所以呢， m 等于一，加上根号二啊，就这个结果啊。好，那这个不难啊， 难的是第三题。 他说连接 a c p 呢，是这个二次函数图像上的一点，而且它位于右侧，位于 y 轴的右侧。 好，这个时候你要你要考虑一下，他只说位于 y 轴右侧，他有没有说在 x 轴上方还是下方啊？他有没有说在对称轴左侧还是右侧？没有说啊，所以呢，他可能是任意一点啊？好，我比如说，我举个例子吧，比如说 p 在 这， 比如说 p 在 这，我只举个例子啊， p 在 这。好，他说过点 p 做 p d 垂直 x 轴 p d 垂直 x 轴。 好，那么这是点 d？ 呃，垂足为 d 做 d p q 等于角 a c o a c o 这个角是固定的，对吧？或者说这个角是个定值，或者说它的正弦值与弦值等等，都是定值，就这个角等于 r 法，它这个定值啊，那这样子的话，呃， d p q 等于 a c o d p q 的 话， 就有两，有两种情况。第一种情况，你看啊，我如果这样做可不可以？可以啊，我这样做就是我做 a c 的 平行线，可以吧？我做 a c 平行线，那这样子的话，你看，如果它平行的话，那这个角肯定是 r 分 了， 对吧？因为你 p d 平行 c o 嘛，你如果这个 p q 再平行 a c 的 话，那他肯定是 r 法第一个。但是呢，还有一种情况，因为你只说角相等，你没有说其他东西，所以还有种情况就是我对称，对不对？我这样子也可以啊， 你看我这样子是不是可以？这个角也可以等于 r 法，是不是？好，那这样子吧，你看啊，呃，那就是，嗯，射线 p q 交 y 轴于点 q。 哦， p q 交 y 轴，点 q 交 y 轴，那这个角就是，那这样子的话，那就是这样子喽。 如果在左侧，那么这个点可能就是在这，对吧？这个是 q 点，那如果是右边这个的话，那就大概是这样子， 我这个画的还不太好啊。好，那么这一点大概就是 q 点是不是连接 dq pc， d q 等于 pc 啊？ d q p c d q 等于 pc， 那 我这图画的有点过分，是吧？ d q 等于 pc， 我 这图肯定画的不对啊。啊，那这个下面是可以的，对吧？上面这个不太行是不是？那下面这个你看， d q 等于 p a， 下面这个可以啊，对吧？ d q 等于 pc 啊，这个就是有可能的，是不是？ 那右边这个就不太可能了，是不是？但是你 p 点位置你你不知道啊，所以说他右边他有可能在其他地方他就符合条件了啊，所以说都不一定啊，都不一定还求 p 点的和坐标， 那这样子的话很简单，对不对？你，不，你不就是这个东西它相同吗？对吧？我把它表示出来不就可以了吗？我们就设备，我们设 p 的 坐标是 m， 哎，不能说 m 了啊。嗯， 说小 n 吧，小 n， 然后负 n 方加上二 n 加上三，负 n 方加二 n 加三，可以吧？这是 p 的 作坐标，那这样子的话，首先， 首先我们得知道一个情况，就是我们不管它怎么样，你比如说我们这个是 p q， 我们这个是 p 啊， p q 一 撇，这是 p q 两撇，可以吧？好，你把 p q 一 撇和 p q 两边你都得算一下啊。我们先算 p q 一 撇， p q 一 撇，它怎么算啊？ 因为你 ac 和 p q 是 平行的嘛，对吧？所以我们能不能知道 ac 这个线它的 斜率，哎？斜率，然后和这个 p q 一 撇，它俩正好相等，不就可以了吗？它的斜率相等不就可以了吗？那么 k b 的 a c 是 不是等于 y c 减 y a 除以 x c 减 x a 啊，对不对？那么 y c 场就低问 o c 场等于三， y a 等于零，还有 x c 等于零，是吧？ x a 等于负一，所以就三比上一等于三，是吧？所以 a c 的 斜率等于三，那这样子的话说明什么？说明 p q 一 撇，它的斜率也等于三， 是吧？等于 k p q 一 撇，那这样子的话， p q 一 撇这个方程我们就能够知道了，对不对？那么 p q 一 撇这个方程，那这不就是 y 减去这个 y p 了， 就加上 n 平方减二， n 减三，对吧？等于三倍的 x 减 n， 那 就是 p q 一 撇的方程。哦，那这样子的话，我们怎么得到 p 那 个 q 一 点的这个坐标呢？就是令 x 等于零，令 x 等于零，我们解出来 y 就 可以了啊。 那么 y q 一 撇就等于什么呢？ s 等于零，那就是，那就是负 n 方加上 n 啊，加上二 n 再减去三 n 减 n， 是 吧？然后再加上一个三 负 n 方，这个是减二 n 捋到右边去，就就加二 n， 再减三，减 n 加三，对的啊，所以 q 一 撇，它坐标应该就是零，负 n 方减 n 加上三， 有没有问题？没有问题啊，那么你你要知道这个 d q 等于 pc 对 不对？但是你知道这个距离公式，它是有根号的，对吧？那我们给它平方一下，你想相等，你平方肯定相到了，对吧？那么 d q 平方等于多少？ d q 的 平方就等于 x y q 减 y d 啊， y q 呢？就是负 n 平方，减去 n 加上三，对吧？再减去 y d y d q， 啊，不对，我写错了啊， 那 d q 对 的，对的， d q 平方等于多少呢？ d 点，因为 d 点坐标我们是定下来的， d 点坐标就是 n 零， 对吧？ d 点坐标它的横坐标和 p 点是一样的，好，我把它写在这， 对不对？那么 d q 的 平方就等于，呃， d q 的 平方就等于 n 平方， 就 x q 减去 x d， x d 等于零， x d 就是 n 平方，对吧？再加上， 嗯，负 n 平方减 n 加上三的平方，对吧？就是这么个玩意。然后呢？这个 pc 的 平方啊， c 的 坐标是多少？ c 坐标是零三，是不是？那么 pc 平方就是就是 n 平方啊，再加上一个 负 n 方加上二 n 加上三减三的平方， 有没有问题？ 就是 x p 减 x c 平方就是 n 方， y p 减 y c 的 平方。对的啊， 好，那这样子的话，它就等于什么呢？等于 n 方加上负 n 方加上二 n 的 平方。 好，这是这是一情况。那这样子的话，因为你 d q 方等于 p， c 方，对不对？所以这两个应该是相等的啊，所以说这个东西啊，等于这个东西 对不对？而你看这个 n 方， n 方是不是就没有了？所以就里面是什么？而且里面都是括号，对吧？所以里面就应该是，嗯，就应该是 n 方把它符号把它消了啊， n 方加上 n 减三，应该等于正负的， 正负的 n 方减二 n， 对 吧？ 我把它单独的写一下吧。啊？应该是什么呢？就第一种情况应该是负 n 方减 n 加上三，等于负 n 方加上二 n， 是 不是？这是第一种情况？那这样子的话，我们能算出来把它给约了啊？约的话，那么就是三 n 等于三， n 等于一 啊， n 等于一，那说明 p 点坐标就算出来了啊， n 等于，这是第一种情况。那么第二种情况呢？也就说是负 n 方减 n 加上三，它等于这个东西的乘一个负一，对吧？就是 n 方再减去二 n。 好，那这样子的话我们算一下啊，那就是二 n 方二 n 方，这个是负移过来就正 n 减去 n 减去三等于零，对吧？那就是一二负三一， 是不是一二负三一，那就是 n 加一， n 加一， n 加一，肯定不对，因为屁，它不可能等于负一，然后这二 n 减三啊，二 n 减三等于零， n 等于二分之三，对不对？所以这种情况应该是 n 等于二分之三， n 等于二分之三。好，这两这两种情况我们都算出来了啊，但是你别忘了，这只是其中一种情况。还有一种情况是什么呢？还有一种情况是，是 你这个屁啊，正好是对称的情况，它不是这种情况，应该对称。那怎么算呢？那这时候呢，你要算的，我们可以先把这个 ca 给它对称一下。哎， ca 对 称一下，你就说我们找到什么呢？ 好，我们就算算出来了。这个第一种情况是 n 在 我们在这写啊， n 等于一或者是二分之三啊，这是第一种情况。那么还有种情况是什么呢？还有种情况是把它这个删了啊。 呃，删了 y p c 这个 删哪了？这个删了啊，因为我觉得还能用得着，对吧？你不能全删了，你全删了，你就有点浪费。 嗯，把这个删了。 好，那这样子的话，那你看啊，我把这个，把这个对称啊，给它做一下 对称，做一下，我做 a 四，嗯，因为你那应该这样， 不对，它是这样，是吧？ 好，这个地方呢，就是 a 一 撇，那这时候呢，我们要算 c a 一 撇的斜率，对吧？ c a 一 撇的斜率。 好，那就是 k c a 一 撇，它等于多少呢？它等于 y a 一 撇减去 y c 除以 x， a 一 撇减去 x c， 那 么 y a 撇还等于零，对吧？ y c 呢？ y c 就 等于三， x a 撇呢？ x， 这时候的 a 撇，因为是对称过来的，所以它等于一啊， 等于一，那就是一减去 x c 等于零，所以就等于负三，所以 k c a 一 撇等于负三，那这样的话，说明 p q 两撇，它就应该等于 k p q 两撇， 对吧？所以这个 k q p 两倍等于负三，好，那这时候呢，这个东西就变了啊，就完全变了， 那它就不是三了，就应该是负三，对吧？呃， y 减去 y p 就是 y 加上 n 平方减二， n 减三，等于等于负三倍的 x 减去 n， 好，这个呢，就是 p q 一 撇的方程了啊，这是新的 p q 哦， p q 两撇的方程，那这样子的话，我们 q 两撇，这个坐标我们就能算出来，对不对？ 首先它的 x 轴 x 坐标肯定等于零，那么纵坐标呢？纵坐标就是把这个移过去啊，就是负 n 方加上二 n 加上三，他这个零乘积就是负 n， 负 n 乘以负三，就是加上三 n， 所以 就等于负 n 方加上五 n 加上三。好，那么这个就是 q 两撇的 坐标，那这样子的话， d q 平方，就是，就是 q 两撇就是 y， 就是 x， q 两撇减去 x d 的 平方， d 点还是 n 零，那就是，呃， n 的 平方加上， 这是 q 两撇啊，加上一个负 n 平方加上五 n 加上三的平方，对吧？那么等于 p c 平方， p c p 和 c， 那 这个不变，对吧？这个就是 n 方加上负 n 方加上二 n 加上三减三的平方，好，那这个 n 方 n 方就没有了， 对吧？这个就变成零了，对不对？所以它就变成什么呢？就变成了负 n 方加上五， n 加上三的平方，应该等于 负 n 方加上二 n 的 平方，是不是？好，那这样子的话，我们就可以还是分情况头了啊，还是跟刚刚一样分情况头。第一种情况就是负 n 方加上五， n 加上三，等于负 n 方加上二 n， 对不对？好，那这样子的话，负 n 方负 n 方没有了，那么 n 取了算出来，等于负一啊，等于负一， n 等于负一，那么是可能肯定要舍掉的，对吧？ n 不 能等于负一啊。那么第二种情况是什么呢？ 第二种情况就是负 n 方加上五加上三，它等于 n 方减去二， n 乘一个负号嘛，对吧？好，那这样子化简一下，就是二 n 方减七， n 减三， 二 n 方减七减三，等于零。好，那这个，这个给大家实测相乘一下，一二负三，一 还不行，是不是？一二负三，一二 n 方减七减三， 那负六负六加一负五，那这样做啊，肯定还不行，对吧？那我们只能 只能硬式分解了啊，那，那只能给它硬硬算了啊。那就是 n， n 等于二 a 二 a 分 之负 b 加减，根号下 b 平方减 c， 二 a 分 之负 b 加减，根号下 b 平方减 c， a， c， b 平方就是四十九 减四， a， c 减去四乘以六二十四，那么这样一算的话，这个是七十三，是吧？七十三， 呃，四分之七加减，根号下七十三，那么七十三的话，根号七十三等于多少？根号七十三应该等于九点几吧。啊？七 七点几，八点几，八点几啊，那说明肯定是取正好啊，那说明，嗯，最后应该等于四分之七，加上根号七十三，负的肯定要少掉啊，所以这个要保留，这个要保留， 所以呢， n 等于一等于或二分之三，或者是四分之七加上根号七十三，是吧？ 横坐标啊，我们只要求横坐标就可以了。所以你看这个题目还是很精彩的啊，非常非常精彩。我说了这个题目呢，就是考运算量，就是考你的计算，你分情况讨论。 好，那这个题目呢？非常好啊，这两个题目都非常好，大家可以好好来做一下。好，那么今天这个题目呢，我们就讲到这，如果大家觉得还不错的话，可以。呃，把这个题目呢，把这个视频分享给你的朋友，如果家长觉得还不错的话，可以分享给你的孩子，那我们下个视频，再见。拜拜。
28杨金木点灯
