七巧板旋转解题技巧中考
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08:52查看AI文稿AI文稿大家好，我们今天来看这个题啊，这个题是一道中考的模拟题，模拟题他考的什么呀？图形的这个旋转啊，图形的旋转啊，这个地方啊， 图形的旋转，或者说这个折叠呀，是中考几何当中经常考的一种方式啊，我们看一下，遇到这样的题目应该怎么做啊？ 如图，直角三角形 a， b， c 啊， a， b， c， 这个直角啊，直角三角形 a， b， c 啊，角 a， b， c 等于九十度，将三角形绕点 a 啊，然后这个点旋转，哎，这样转过来啊，顺时针旋转九十度，得到三角形 a、 d， e 啊，对应的点 bc， 对 应的点分别是什么？ d， e 啊， b 到 d 来了啊， c 到 e 来了啊，延长 b、 d 连接 b、 d， 并延长交 c， 又以点 f， 若 ac 等于个四啊， ac 等于四，问 ef 等于多少，这个选项等于多少啊？ 这个题目呀，我刚才说了啊，涉及到这个旋转的问题，我们首先要看一下，我们之前跟大家讲过啊，旋转也好，折叠也好，有一个最基本的条件是什么？对应的线段， 对应的线段啊，角度不变 啊，线段角度不变啊，你该是直角还是直角，该等于三还是等于三，该等于四还是等于四？所以我们看这个题啊， abc 绕着 a 点旋转九十度，得到 a、 d， e， 那 就很明显 ab 啊，相当于 a、 d 是 吧， b 到 d 点来了吗？ ab 等于 a， d 啊， ab 等于 a、 d， 那 你这个就是什么呀？ bc， b， c 一 旋转九十度以后，哎，变成了 d 一 是吧，那你这个 ac 就 等于一个什么等于 a 一 啊， ac 也转过来了啊， ac 在 这直到到这啊， ac 等于 a 一 啊， ac 等于 a 一， 并且怎么了？这个角是九十度啊，因为是旋转九十度过来的嘛，所以说 这是我们能够知道的一些条件啊，这样的话是让我们可以看出来一个什么呀，它等于个四啊，它等于个四，这里不是我们会发现三角形 a、 b、 d 和这个三角形，什么 a、 c、 e 都是什么？等腰直角， 等腰直角三角形是吧？啊？等腰直角，三角形就旋转以后， a、 c 等于 a、 e， 并且旋转九十度啊，这个最基本的我们能够看出来啊，这个最基本我们能看出来啊， 现在是让你求这个 e、 f 啊，让你求 e、 f 啊，我们看这个 e、 f 啊，你求这个线段，肯定要把它放在一个图形当中， 要不放到四边四边形，要不放到这个三角形当中啊，你不可能孤零零的求这个线段啊，这时候我们看 说他在三角形当中吧，他在这个 a、 d， 在 这个 d、 e、 f 当中啊，这个三角形上并没有什么比较特殊的东西啊，并没有什么比较特殊的东西，这个怎么来看啊？怎么来求啊？ 这个时候如果说图形比较敏感的同学的话，我们会想到一个什么啊，我们来说啊，做一条平行线，过这个 c 点 啊，做一条平行线啊，过 c 点，做一条平行线，然后呢与 b、 f 的 延长线相交 啊，与 b、 f 相交，我们假设啊，这个点是个这点啊，这个点是个这点 啊，这个时候你就会发现啊，你就会发现实际上这就出现了一对三角形，是吧？哎，这个三角形和这个三角形，并且这怎么了？ 顶角有顶角啊，这两个三角形我们会知道什么呀？ c、 a、 e 等于九十度啊， b、 a、 d， b， a、 d 也等于九十度啊， 我们刚才说了啊， a、 b、 d 啊，和 c、 e 这两个三角形都是等腰直角三角形，这样的话我们就知道了啊，所以我们就知道了啊，角 d、 b、 a 啊，等一个四十五度啊， d、 a 等于四十五度，等于什么角？ b、 d、 a 啊，就这个角，这个角都等于四十五度啊，都等于四十五度，他等于四十五度啊，那很明显这个也等于四十五度，就是 因为这个是个这个地方，这个地方是个直角啊，他这个四十五度，那很明显这个在一条直线上啊，那很明显这个角也是四十五度啊，那就是角 e、 d、 f 也等于四十五 度，那他也等于四十五度，是吧？因为我们说 c、 g 剁的是平行于第一啊，所以他也等于四十五度，所以这两个三角形怎么了？ 这样算什么啊？这两个角肯定也相等，三个角相等啊，三个角相等， 三个角相等啊，我们来看一下啊， f、 d、 e 啊，我们刚才说了啊，这个也等于四十五度啊， f、 d、 e 等于四十五度。完了以后我们还可以知道什么， 刚才给大家说了，这些都等于四十五度啊，这等于四十五度啊，而我们也知道啊，而我们也知道，这个角也是四十五度 啊，那就说明什么呀？角 c、 b、 g 也等于四十五度啊，就这个角也等于四十五度啊，他也等于四十五度，那就说明什么呀？ 三角形 b、 c、 g 是 个什么？等腰直角三角形， 等下直角三角形啊，等下直角三角形，那就说明。所以我们说 c、 d 它十二等于什么？ b、 c 它等于 b c 的 话， c， g 等于 b c， 那 它还同时也肯定等于 d e 啊，因为我们这面前面它是旋转过来的，所以 b c 肯定也等于个 d， e， 它等于 d， e 以后，那我们就可以证明三角形 c， g， f 全等于三角形。什么 c， g， f 全等于三角形 e， d， f 啊， e d， f， 所以 啊， e f 就 等于一个 c f 啊，就是说个 f 实际上它的终点啊， f 是 它的终点啊， f 是 c 一 的终点啊，等于一个二分之一个 c 一 啊，而我们知道三角形 c， a， c， e 啊，是个等腰直角三角形，它等腰直角三角形的话，我们就知道了， a， c 等于 a， e 等于个四啊，上 c， e 就 等于个什么呀， c， e， 它应该等于一个什么四倍的根号二 啊。四 e， e 等于四倍的根号二。带进去以后我们就可以得出来， e， f 相等于什么二倍的根号二 啊，二百的变化啊，这是这个题啊，这个题，这个题实际上就是考察这个旋转啊，另外做一条辅助线怎么来？求，单独一个线段肯定要放在一个图形当中啊， 好，今天呢，我们就讲到这里啊，喜欢老师的话可以点个关注，也欢迎大家转发点赞，有什么疑难问题可以给老师发私信，好，谢谢！
39初数小蜜蜂
12:49查看AI文稿AI文稿啊，我们来看一下这道题啊，在三角形 abc 中给了 ab 和 ac 是 相等的角， b， a 一 角 b， a、 c 九十度，这样是九十度，所以三角形 abc 是 什么？等腰直角，这样是等腰直角，三边就是一比一，比根号二，对吧？然后呢？ d 分 别在两条直角边上，并且 a、 d 等于 a 一， 那么 a、 d 也是什么？等腰直角也是等腰直角， 然后呢？将三角形 a、 d 一 绕点， a 顺时针旋转，顺时针旋转，是不是这样的去旋转旋转阿尔法，旋转阿尔法，然后连 b、 d 和 c、 e 来，同学们，我们把前面的旗杆给读完了来，这是一个什么模型？ 典型的我 abc 等腰直角， a、 d、 e 也是等腰直角，然后呢？ a、 d、 e 是 不是绕 a 点去干什么？去旋转，对不对？两个等腰直角， 他们有个公共点是 a， 所以 它就是一个典型的什么手拉手，对吧？那这个题后面考的无外乎就是什么手拉手全懂，或者是什么手拉手的什么相似，对吧？所以我们来看第一喔， b、 d 让我们证 b、 d 等于 c e， b、 d 是 不是等于 ab 减 ad 呀？ c、 e 是 ac 减 a e 啊，所以第一喔，我们直接相减就可以证出来了。 但是我们很多同学第一问，这个三分他是没有拿到的，为什么？因为他占的是三角形 a、 b、 d 全等于三角形 a、 c、 e， 所以 b、 d 等于 c、 e 来，对不对？同学们， 不对啊，在第一问里面， a、 b、 d 还是共线的，而你要出现三角形 a、 b、 d 是 不是在头二里边呀？头二在哪？头二是第二问要运的啊。 所以朋友们，到了九年级，你现在离中考只有三十七天的情况下啊，你还在犯这种低级的上期问题， 就非常要不得了啊。我们考试也好，我们做题也好，你始终要秉承一个原则，什么原则？ 能做的题，会做的题，怎么样坚决不丢分？像这种现在还在犯这种省题问题啊，是最不该的。好，那接下来我们看第二网，当 c 一 的延长线经过点 d 的 时候，经过点 d 时候， 带了 a、 d 二分之七倍根号二， a、 b 是 二分之十三倍的根号二。那我们刚分析了三角形 a、 d 一 是什么？ 正腰直角，对吧？告诉我们一条边，那么他的三边是不是都知道了，对不对？那同样的 ab 也告诉我们了，是不是说三角形 abc 的 三边是不是也是知道的？ 那么既然 ab 和 abc 三边都知道，他让我们求 c 一 的长，哎，那让求 c 一 的长怎么求？我们来看， 刚说了他要考的就是什么手拉手，对吧？那么 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的对不对？它们是一个边角边的全等，我们可以得到这俩角是什么？相等的，对吧？这俩全等 c、 e 是 不是等于 b、 d 呀？ 那现在要求 c 一 的长该怎么求？来？同学们，我们在前边啊，做复习时候给大家讲了与三角形相关的计算中，让我们去求边长，往往从两个角度啊，去考虑哪两个？ 第一个是什么？把这个边放在了放在 r 七三角形中，运什么运？勾股去解决，对吧？第二窝，第二个方法是把它放在了 放在相似三角形中，我们通过相似笔去解决问题。好，那我们来具体看第二网。第二网 既然告诉我们了 a、 d 和 a、 e 来，那么 d 一， 我们看 d 一 是不是能算出来 d 等于多少？ d 一 是等于根号二倍的 a、 d 对 不对？所以 d 一 是几？ d 一 是不是七呀？再来 a、 b 是 二分之十三倍的根号二，那么 bc 呢？是不是它的多少呀？根号二倍是不是十三？所以同学们，我们来看 来第一是七对不对？而 bc 是 多少？十三，要求 bd 或 c 一， 要求 bd 或 c 一， 那怎么办？你想到了什么？来？这俩相等，这现在是不是一个三角形？想到了什么？ 我们是不是要用它呀？那么这个三角形是一个直角三角形吗？我们来看 a、 e、 c 和 a、 d、 b 全等，那么这个角角 a、 e、 c 是 不是等于角 a、 d、 b 呀？ 等于多少度呢？来，这儿是四十五度，他说 c 的 什么延长线经过点 d， 所以 这儿是四十五度，这儿是多少？ 是不是一百三十五度对不对？而角 b、 d、 c 这一个角是不是等于角 a、 d、 b 减 a、 d、 c 呀？而 a、 d、 c 是 多少？ 是不是也是四十五度？所以 b、 d、 c 是 多少？是不是九十度？既然九十度，这个两个要求的是不是在这个直角三角形呢里边了。接着干什么？勾股方程啊，我们设 b、 d 为 x， 可以 吧？ 那么 c 一 就是 x， 所以 我们可以得到 x 方，加上七加 x 方等于多少？十三的平方。来，我们有同学到了这一步要干什么？去括号去解了，同学们，这是一个什么方程？勾股方程，勾股方程，给大家讲什么？ 解勾股方程干什么？猜啊猜，猜什么？猜？勾股数啊？勾股数，我们来看斜边是多少？ 十三，对吧？那么十三相关的勾股数是多少？就是五十二十三吗？所以我们猜出来 x 等于五，但猜了完事了没？没有，你猜了还要去干什么？去验证啊？来，这是五七加 x 是 几 十二吗？我十二十三，对不对？是对的，但是你在写的时候，你能直接这样去解到 x 等于完了，可以吗？不行，一定要加上一个是什么？你放心，他有一个正的，一定会有一个什么？ 一定会有一个负的啊。来，我 x 等于负十二， x 等于负十二，这是不是负十二七加 x 是 不是负五？负五的平方加负十二的平方是不是也等于十三的平方？所以你这一定要写一个怎么样，负值怎么样？ 不止一式啊。注意了，这是一个一元二次方程，一元二次方程只要有解，一定是什么两个相同的解，要么是两个相同的，要么是两个不相同的，但是他一定是有两个解啊，一定是有两个解，所以你照这一个 不止于少就是必不可少的，一定要给写上去。好，这是第二步，我们再来看第三步，当 c 的 延长线经过谁呀？经过 ab 的 终点 f、 f 现在是 ab 的 终点了， 与 b、 d 相交于点 g 这个条件， a、 g 等于二分之一 ab， a g 等于二分之一 ab。 让求探清 b、 c、 g， 探清 b， c、 g。 是 这个角啊， 我们既然要求探底，那么肯定要把它放到了，是不是肯定要放到 r 七三角形中啊？那么这个 r 七三角形该怎么去找？我们来看来这儿是不是九十度， 对不对？不管你这个三角形怎么去旋转，始终会有三角形， a、 b、 d 和 a、 c、 e 全等，对不对？既然它俩始终全等，那么一定是会有这个角 a， b、 d 等于角 a c、 e 啊，对吧？那我们现在来看这俩图形是什么？ 来，我们来看看这个图形和这个图形是什么图形？同学们， 是不是八字模型啊？既然是八字模型，这个角跟这个角是不是相等的，对不对？而这又是什么？对，顶角，所以角 b g、 c 等于多少度？角 b g， c 是 不是九十度？既然角 b g、 c 等于九十度，那么要求的探清 角 b c、 g 是 不是就应该是 b g 比上谁呀？ c g 对 吧？ 记着要求它的比值，要求它的比值。我们是不是要放在这个三角形 b、 c、 g 里面去干嘛？去解决问题？那这个问题该怎么去解决呢？我们来看 f 是 什么？ f 是 ab 的 终点呀， 既然 f 是 ab 的 中点，那么我们不妨设 ab 等于二 a 可以 不？ ab 等于二 a， 那 么 af 是 不是就等于 abf 呢？也是等于 a 对 不对？而 ab 和 ac 是 什么关系？相等，所以 ac 是 不是也是二 a？ 那 么 cf 呢？ c f 是 不是就等于根号五 a 呀？所以我们要求 b g 比 c g 是 不是只需要把 b g 跟 g f 就 求出来就可以了？我们只需要求这一个边和什么这一个边来， 只要把它俩求出来了，是不是 c g 就 可以知道了，这个比值就可以比了，那么它俩怎么求来？同学们，我们来看 是不是第二个运什么运相似呀？既然这俩三角形这直角相等，这俩又是什么相等？所以是不是一定会有三角形？谁呀？ b g、 f 相似于三角形谁？是不是有 cf 呀？ 对不对？ bgf 一定相似于 cf， 而 cf 这个三角形的三边我们是怎么样？是不是给表示出来了？ 三边给表示出来了？二、 b、 g、 f 这个三角形我们也知道一条边，那么就可以通过相似比怎么样？是不是把 b g 和 g f 给干嘛给表示出来呀？来，我们试一试，看看，既然它俩相似，就有 b g 比上谁，比上 c， a 等于 g， f 比上 af 等于 b， f 比上 cf。 来，我们把数值带进去， bg 是 我们要求的，我们写着 c a， c， a 是 二 a 等于 g f， g、 f 也是我们要求的，比上 af， af 是 a 等于 b f， b， f 是 a， 比上谁呀？ cf 是 根号五 a 来，那么我们可以求出 b、 g 等于多少？交叉相乘根号五 a 乘以 b g 数等于二 a 的 平方啊，所以 b、 g 应该是多少？来， 两边同时除以根号五分母有多少？五分之二倍的根号五 a 对 不对？这是毕竟，那么我们再来看 g、 f 算出来是多少？ a 的 平方，除以根号五 a， 应该是五分之根号五 a， 所以 g、 f， g、 f 等于五分之根号五 a。 那 么 c g 呢？ c、 g 是 不是就是五分之根号五 a 加根号五 a 是 多少？是不是五分之多少？六倍的根号五 a 呀？ 那么叹气叫 b， c、 g 是 不就等于 b、 g 比上谁？ b g 比 c、 e， 那 就是五分之二倍的根号五 a 比上五分之六倍的根号五 a 是 多少？所以叹气叫 b， c、 g 等于几？两个相比是不是应该是一比三呀？ 所以这是第二网，这是第二网。那这道题啊，这道题非常的好啊，他把我们前面讲的这个与三角形相关的计算，我们讲的两种方法在这道题里面都 考到了啊，正好第二问就是考的什么 r 七三角形中，放在 r 七三角形中。第三问他考的就是什么我们的相似的一个音韵。好，那接着这道题，我们再把与 r 与三角形相关的计算。 常用的两种方法啊，常用的两种方法给大家做了复习巩固，我希望你们以后再遇到这类题，都可以，都可以做出来，都能够做出来这个题的十一分拿到手，一分不丢。 ok， 好， 这题我们就讲到这。
18十堰数学张老师
01:44查看AI文稿AI文稿直线小 a 平行于 b 三角形 a、 o b 的 边 o b 在 直线 b 上，角 a o b 等于五十五度。 将三角形 a、 o b 绕点 o， 顺时针旋转七十五度至三角形 a e、 o b e。 这里面大家要清楚啊，旋转角是七十五度，它的出使边呢，应该是我们的 o a， 那 经过旋转转成了 o a 一， 所以 o a 和 o a 一 之间的夹角，这就是七十五度。 边 a e o 交直线小 a 于点 c 求角一的度数。 由于直线 a 和直线 b 平行，那么角一呢，和我们的角二 是同为角关系，所以当你把角二的度数求出来的时候，角一的值应该和角二相等，而角二与四五十五度、七十五度相加是一百八十度。 所以角二的计算方法就是，一百八十度减去五十五度，加上七十五度，等于一百八十度，减去我们的一百三十度，差是五十度， 角二是五十度，那么角一它也是五十度 啊。理由是角一和角二同为角关系，角度是相当的。
104初中数学赵老师
04:20查看AI文稿AI文稿大家好，这个视频和大家分享这样一个题，如图，三角形 abc 中角 b、 a、 c 等于五十五度，上面这个 五十五度，若将三角形 a、 b、 c 逆时针旋转 r 法度，呃，往这个方向旋转，这是逆时针旋转，旋转了一个 r 法度，得到三角形 a、 d、 e。 这个三角形 a、 d、 e， 它是由三角形 a、 b、 c 逆时针旋转了得到的。 d、 e 和这个 a、 c 交于一点 f， 这里是 f 旋转的这个 r 法等于四十度的时候， d 点恰好落在了 bc 上。 这个信息就很关键，问这个角度是多少度？这个 a、 d 是 哪来的？它是 ab 转过来的，所以这个三角形 a、 b、 d 三角形，它是一个等腰三角形， 旋转的角度是四十度，那说明这里是四十度，那我们就能知道两个底角都是七十度，算这一个该怎么算呢？ 它旋转了四十度，那我们算这个是不是可以从这个三角形 a、 f、 e 这个三角形里面来看？ a、 f、 e， 这里这个角度，它是 a、 c 转到 a、 e 形成的。三角形旋转的过程中，整体转了四十度，那 a、 c 这条边转到 a、 e， 它也是转了四十度，四十度， 这里是四十度，那我们如果能知道这个角 e 的 度数， 那就通过三角形内角合，就能把这个角 a、 f、 e 给它算出来。可角 e 等于什么呢？角 e 怎么来的？它和这个角 c 是 相等的，因为 它是由角 c 旋转过去的。那角 c 呢？我们就在这个三角形 a、 b、 c 这个三角形里面看这个三角形里面，上面这个角 b、 a、 c， 它是啊，五十五度，在这里有 b、 a、 c 是 五十五度，底下角 b 是 七十度，那我们算角 c， 它角 c 就 等于一百八十度，减去一个五十五度，加上一个七十度。角 c， 它也是五十五度。 角 c 要是五十五度，那角 e， 它是等于角 c 的， 所以角 e 也是啊，五十五度，这个角 f、 a、 e， 它是四十度，那角 a、 f、 e， 那就等于一百八十度，减去五十五度，加上一个四十度，这是八十五度。 所以这个题我们选择 b 选项，这个题我们也可以这样去啊，考虑 算角 a、 f、 e， 那 就是算这个角的度数。我们知道总共这里是五十五度，而旋转转了是四十度，那这个小的这里就是十五度， 这个是十五度。根据等腰三角形，上面是四十度，那底下这里是七十度，这个七十度他转转到这里来，这个就是七十度。那所瞧的这一个就是这个小三角形 a、 d、 f 的 一个外角，那三角形的一个外角等于与它不相邻，两内角和十五度，加上七十度就等于八十五度，这样也可以得出来选择 b 选项。
32了了心
02:16查看AI文稿AI文稿中考倒计时，这道旋转找规律的问题你能搞定吗？我们一起来看一下题。 a 点坐标一，逗根号三，那立刻反应过来，一比根号三比二， o a 的 长度等于二，先标上，而且我还知道这个 o a 的 倾斜度一定是六十度， 接着它以 o a 长为半径画弧，那交到这个 b 点，所以 o b 的 长度也是二。而且我能知道 a、 o、 b 它的顶角，这个等腰三角形的顶角是一百二十度， 那又是我们熟悉的一比一比根号三，这个比例，你就可以把 ab 的 长度给标出来，是二倍根号三。然后它又分别以 a 和 b 为圆心， ab 这个二倍根号三的长度去画弧，交于这个点 c， 那 说明 abc 一定是一个等边三角形了。 所以我们知道这儿是三十度，这儿是六十度，所以 b c 它是垂直于 x 轴的整个 o、 b、 c 三角形，又是一个三十度六十度的直角三角形。我们就可以拿这个一比根号三比二的比例去计算， 那么 o b 是 二的话， b、 c 按比例就应该是二倍根号三。所以 c 点现在的坐标是很好求出来的，就是负二逗号二倍根号三 ok 了，然后它就要开始旋转了，每次旋转九十度，那这种旋转问题，你要找到它的周期是多少。 每次旋转九十度，四九三百六一圈就回去了，所以它肯定以四为周期。那么这个第九十一次旋转的时候，我们就用九十一去除以四，那么算一下，九十一除以四，二四得八 十一，二四得八，余了个三，也就是说你前面转了很多很多圈，最后又转了三个九十度，那我们来看一下它最终的位置，就应该是从 o c 绕着点 o 转九十度，转一百八，转二百七，好，最终转到这个位置了。这儿标一个 c 撇，那我就能得到角 c， o c 撇，它是一个九十度， 而且 o c 又等于 o c 撇，明摆着就是让我去画一个 k 字模型，全等的呗。那么我过 c 点往这个 x 轴上做一个垂直，立刻就能发现可以构造出来一个 k 字模型全等，那么这一段的长度就是二， 这一段长度是二倍根号三，那 c 撇点的位置就应该是二倍根号三。逗二，答案选 b， 你 学会了吗？
98饭饭的数学小灶
16:45查看AI文稿AI文稿好，现在我们来看一下第二十八，讲平移对称和旋转。 嗯，这几个常见的变换啊，你要脑子里有一定的模型， 这个模型不要太死板，因为我们现在基本都在去模型化，但是你要有这个基本的印象，比如说平移，对吧？你要想到我们的这种将军一马，呃，有一条定线段，连着两条动线段这种感觉啊。还有这种逆等线 类的问题，通过平行四边形去转移边，然后呢？旋转，你要想到什么呢？半角模型，然后手拉手模型，对角互补模型，你都要能够想到，然后这个 后面的还有一个什么对称的操作，对吧？对称操作呢，他这里分两个，一个是轴对称，一个是中心都对称。轴对称的话，你就想三线合一的这个模型啊，包括我们这里提到的中垂线，对吧？ 好，那么考试呢，小题呢？会考中心对称和轴对称的图形啊。那你要区分开，中心对称是绕着对称中心旋一百八十度能够重合的 啊，这样的一个图形，你就可以把它称之为中心对称图形，比较经典的就是平行四边形了，对吧？ 那当然矩形、菱形肯定也是的。好，全等的变换，基本上我们说的就是这三大类啊，所以呢，如果你看到了这种变换，那你就一定想到全等它对应的特点。好，现在我们看一下第四个题， 正方形 a、 b、 c、 d 的 边长为二，边长为二，意式中点啊，第一句话和第二句话交代了一个背景，我们可以快速的标记一下 哦。第三句话，翻折啊，折叠的全等，那就来了，折完了之后就是一 好，那折叠正方形，你就联想到我有半角，那我们这里呢，可以继继续往后读啊，他说 这是角分线，这里是角分线，这里是角分线。这个，这个是什么？这个是内心，对吧？内，角分线的焦点，内心，所以呢，我们就知道了，内心呢，它的证明过程是涉及到了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以可以预测哈，我们可能会用到这个 m、 n、 k 这三条啊，三个垂足。好，然后呢，现在要求的是其中一小份的面积，那么我知道 其中一小份的面积一定是要把 g d 和 h n 的 长度求出来，对不对？所以我们就往这个方向靠拢就可以了啊。那么这里提供一个常规方法啊，这个题连接一个 g e， 如果你把 g e 连上了之后呢，你会发现这里一定是直角，为什么？因为我们的全等，这里有一对全等的，因为一和一， 斜边和斜边，直角和直角，所以它就全等了。那全等，我们就可以知道，这里一半一半一半模型角 g e d 呀，它就会等于九十度。好，那么这个九十度呢？你接下来就可以算了吧，我要求 g d 的 长度，好不好求啊？非常好求的啊，因为这里呢，相当于一比二比根号五，这两个角是一样大的嘛， 对吧？一比二比根号五，所以呢， g d 的 长，它其实就能算出来，对吧？我们把它算出来， 这是根号五，那么根号五对应的是两份数，所以呢， d e 去除一个二，就等于 g e 的 长了，再去乘以一个根号五，就会等于 d g 的 长，对吧？就等于 d g 的 长好，那么 d g 长长是多少呢？ 那我们可以知道，呃， d g 就 等于根号五，二分之根号五乘根号五，那就是二分之五，而这里又有一个二，对吧？这里就会有一个二分之三了， 对不对？这样的吧， ok， 好， 当然你也可以用勾股定力来算啊，我们这里是用了一个相似，就这个题的速度会非常多，包括用二倍角，用正切的公式也是能做的 啊。接下来呢，其实有一个小技巧，因为他们高都是一样的，所以我把整个面积算出来去看分数，这不是三四五吗？所以 底呢？ g d 是 占母，分数高都是一样的，所以这个小窍门呢，你可以学一学哈。 s 三角形 h g d 会等于 三加四加五分之五去乘上一个三角形 a g d 的 面积啊，我刚一起讲了哈，因为它的高是同一个高 啊，是相等的高，所以面积比等于底之比，然后这一圈三角形加起来是不等于整个 a g d 三角形的面积，所以 g d 应该是占五份的。 好，我们就可以知道，算出来的结果应该是，十二分之五去乘以一个二分之一乘二分之三乘二，这个是底乘高除以二啊。后面这个过程，那约个分是不是就可以了？约个分，这里二和二约 二和没得约了啊，这三和十二约，剩下个四，那就等于八分之五了。所以这个题选的是 a 选项好吧，选的是 a 选项。当然我们说了，你如果正弦和角公式想得明白的话，很多辅助线呢，你就不需要去做的，对吧？ 这个 sit 是 等于二分之一的，那么 tangent 二 c 塔就等于三分之四，所以 tangent 九十度减二 c 塔就等于四分之三，所以我们就很快得到这个正切的值。对，边比零，边是三比四， 三比四，那这里是二，这里当然是一点五啦，那这里当然是二点五啦，是吧？这个计算的话，就是全等，咱们也不用看了，就直接硬解就好。然后呢，你再用内心的性质啊，去思考我们刚刚的这个逻辑对不对？就 啊，当然，那你再用一次，比如说，有的同学说，老师我要把这个高求出来，能不能求出来，肯定也能求出来，因为你这个角的正弦值被他的正弦三分之一，知道吧？是三分之一来的 啊，这里有四十五度吧，这是 x， 这是 x， 这是三 x， x 是 不可以算的，明白吧？啊，那么高呢，你也可以把它算出来，你硬算也可以，所以这个题呢，非常灵活，作为中考的第八题来看的话，它是比较合适的啊，所以大家可以看一看这种题 离心。嗯啊，又是一个翻折啊，翻折看一下已知条件，三角板 a b 等于四，所以这是个定三角形， a c 的 长是一个二倍的根号三，是吧？这样的一个数据。然后我们继续往后看，他说折完了之后要平行啊，也就说这里会有直角， 因为 d、 e 和 bc 是 平行的，对吧？那好，那现在呢，我们就是无非就是翻折和平行这两条件，你得好好用吗？那三十度，这里有三十度，这里也会有一个三十度，发现了没有啊，平行的作用，把这三十度可以倒下来， 所以上面呢，这里就会有两个十五度，因为你是折叠的，那十五度的值，如果你知道的话，你是不是可以硬解啊？是不是可以硬解？ 那这个题呢？我们也可以解一个方程，好吧，我们就假设他直接是一个呃，这段吧，这段叫 x， 那 他就根号三个 x， 对 吧？那这里也是根号三个 x， 好， 那么下面这一段呢？ 下面这一段是多少？因为你有三十度，应该是用二除以根号三，得到的是 q c 这一段，所以 a c 的 乘呢？可以是二倍，根号三是我们刚开始说的，也可以是 a d 加 d q 加上 q c 啊，所以我们就得到了二倍根号三等于根号三 x 加上 x 加上根号三分之二。不妨左右两边同时乘一个根号三六等于三 x 加上一个根号三 x， 再加上一个，这是多少来着？乘一个根号三，是不是？ 是不是消掉了，就变成了一个，变成了个二，对吧？左右两边同时乘一个根号三，哈， 好，所以呢，我们这个结果移过来，它就会变成四，那么右边你可以把它看作什么呢？看作是根号三 x 有 一个，还有根号三个，看到没有？ 因为我要的是什么？ d e 的 长是根号三 x， 所以 我会有这样的一个构造，你要是直接把 x 求出来，还得再乘一个根号三，对吗？啊及， 我们的一加上根号三倍的 d e 啊，会等于四，那么 d e 的 长就会等于四除以一个根号三加一，那么把它分母有理化，乘一个根号三减一就可以了。 所以下面的结果这里应该是一个二约掉了之后是二倍的根号三减一。好了，这就是我们的长有没有单位啊？没有单位，那就保留就好了，也可以拆开写啊，都可以 啊，尽可能把它拆开吧，因为是一个比较简单的结果，我们就把它拆开就好了。好吧，相当于是乘法呢，分配率再算一次， ok， 这是我们的例题器， 接下来看一下例题九啊，这道题目呢，说的是把 a e 射线转到 af 这里来，哎，给它转过来 啊，转九十度，那么其实就相当于是，呃，这两条边相等，这两条边相等，加上直角，是希望考一个全等，把它转回去，所以这个四边形的面积和原来的正方形的面积是一样的。 好，所以它的面积会等于 s， 正会等于四四十六。这里我们就不过多说了，因为难度不大。第二个题， e 是 它的终点， 那这里就有二，这里也有二啊，四四四，对吧？那接下来呢，要证明 c g 和 b g 的 关系，这里呢，你就知道 它这个旋转的九十度啊，它说 a g 绕着 g 点去转九十度之后得到的结果是 h g， 它是一个等腰直啊，是一个等腰直角三角形，所以这里会有四十五度。那么你会联想到什么呢？半角模型吗？是不是半角， 对吧？然后呢，我们再继续看一下半角模型出旋转呗，那我们的辅助线呢，就可以直接把它转过来，做一个简单尝试啊， 尝试完了之后，会有对称型的全等记忆，你也给它连起来，所以接下来我们看，这里是二，这里是四， 然后呢，这里是，比如说是 x， 那 么这里就是四减 x， 对 吧？然后你再折上去就是二加 x， 所以 在这个三角形当中啊，我们知道了这个三条边 在直角三角形 g c e 中啊，我们有，根据勾股定律哈，我们有 g c 方加上 c e 方等于 g e 方，也就是说会有四减 x 括号的平方，加上二方等于二加 x 括号的平方， 左两边的平方呢，去掉就会有一个二十减掉八 x 和四，加上四 x， 十二 x 等于十六 x 就 等于多少？ 约过四三分之四，对吧？那所以呢，我们就知道 b g 等于三分之四， g c 等于四减三分之四，三分之二，三分之八，你看到没有？所以 c g 等于两倍的 b g。 前面咱们省略了什么？省略了两次全等哈，一次旋转的全等，如果你旋过来了之后啊，一定要去说明一下 咱们这直角，这直角的贡献，对吧？然后呢，你再去讲，因为我们后面用到了 c g 等于 g e 这个细节啊， 一定要会啊，一定要会，好吧，一定是要去通过你全等 来转一边，那你一个 c b g 都不共线的话，那 c g 的 长度是没法直接加和的啊，这个细节一定要注意，好吧？嗯，然后我们再看一下第三个，好吧，来看一下第三问，第三问的话，我是这么做的啊， 他要我们直接写出 am 的 长度，你去思考一下，一二 三四好，算 am 的 长度。那无非呢，我们在做这种题的时候，就是等腰啊，全等啊，勾股定律啊，对吧？还有相似啊，那这个题目最值得我注意的应该是什么？ 应该是这个三号条件一百三十五度很特殊，对吗？所以当时我就这样去做的，一百三十五度的话，我们可以标个角，比如说这个角是一个小碎角，它是二角，它就是一百三十五度 减二法好，所以合起来呢，就是一百三十五，这里有个四十五度角哦，这里刚好标完之后就是个二法角， 所以 alpha 角四十五度角，我们这样标角呢，就标完了啊，标完了，什么东西标完了？这个相似啊，因为有四十五度和 alpha 嘛，对不对？三角形 c m e 相似于三角形 c b m 就是 旋转放缩的这种相似，那么跟题目的意思是不是也很近，对吧？ 是这样的，不好，那么有相似就会有对应边乘比例， c m 比上 c b 就 会等于 c e 比上 c m。 为什么不写另外一组呢？因为这两组的数据我们是已知的啊， 那也就是说 c m 的 长的平方会等于 c b 乘以 c e， c b 是 减四， c e 是 减一，对吧？啊，所以 c m 呢，就等于二， 那 c m 等于二，那所以呢？ am 就 等于 ac 减掉 mc， 看到没有？这个就是我们经常说的，你正常去求 am， 其实不是求 am， 是 求 cm， 这就是为什么我去思考右下角这个逻辑， 知道吧？好，所以这个答案呢，就四倍根号二减二，有没有单位？没有，所以这个题就结束了。 好吧，一开始思考的过程当中，其实我是有做这条辅助线的，所以如果你也跟我一样，做出了这条辅助线，但是没有发现相似，但是意外的标出了这个角， 也算是 ok 的， 因为这有直角，对不对？然后你在标一圈的过程当中，其实你也能发现，好吧，这个尝试呢，是非常合理的，如果大家有这个尝试，说明呢，你的这个几何思维还是非常好的。好吧，那这道题目呢，我们就讲到这里了。 ok， 有 什么问题呢？也可以在评论区我们一起讨论这个视频呢，我们就讲到这里。
51深圳数学涂老师
03:14查看AI文稿AI文稿three two one， 那 这种常用的勾股定律的来源哈，当年是怎么挣的？媛媛已经给大家展示过了，那现在呢，让你来判断一下。他说这么说的啊，中国古代数学的辉煌成就在世界上产生了深邃的影响。 下列的图形，哎，第一个，青朱出入图，哎，青朱出入图，媛媛讲过对不对？第二个，七巧板，哎，七巧板，媛媛没有讲过七巧板呢，它不是为了证明什么定力，它主要呢是给大家展示了一个树形结合的思想。第三个， 刘辉割圆术，哎呀，这个刘辉又是青朱又是割圆，还是很厉害的，那割圆术是顾名思义就是跟圆有关的了。最后一个，造爽玄图，造爽玄图，媛媛也讲过，对不对？这是也相当于是一个外显图，现在人家问你， 什么时候哪一个图是中心对称的图形，那什么是这个中心对称图形呢？好，概念上是这么说的啊，他说如果一个图能够旋转 一百八十度后，还能和原图 重合，咱就叫 a 中心对称图形好了。那么如果你做可以怎么做呢？首先我们来看 a 选项， a 选项我现在呢，中心大概在这个位置，我先旋转九十度，这个正方形应该在这个位置，对不对？ 我在旋转九十度，那这个正方形呢？应该在这个位置，你说圆呢？它是顺时针还是逆时针？都可以，都可以哈，你会发现这个正方形在上下面，但是原本这个正方形这在上面，所以咱 a 选项是不对的。然后我们再看 b 选项， b 选项，哎，这个地方是它的中心，我现在旋转九十度，那么这一个七巧板的这个部分，它应该是在这里了， 那我再旋转九十度，那他就应该在这里了，本来在下面的，后来变成了在上面，所以能重合吗？也不能，所以七桥半也是不对的。那我们现在看 c 选项， c 选项这个刘辉割圆数，那我们找到这个地方有个终点，我们现在来旋转一下。首先这个地方呢，这个三角形的顶角在上面，我旋转九十度，他这个三角形可能在这里， 我在旋转九十度，这个三角形就在下面了，能否和原图重合？不能，所以这一个也是错的。最后 我们看大选项，大选项他就像一个风车一样，他在旋转九十度，这根线就到这里，在这再旋转九十度，哎，这个线就在这，还是能够和原图重合，所以我们这道题答案选大，这道题答案选大。 如果公主王子你的思维不是特别好，就是你说这个旋转你也想象不到，那怎么办呢？媛媛，教你个办法， 这不是你的作业或者是你的答题卷吗？对不对？你这个地方点一个点，你把卷子向右，就是向右旋转，然后你再把卷子向右旋转，再旋转一遍，你看看能不能和原图重合， 能的话就是中心对称了。好，那媛媛呢？就把这个知识点讲明白了，你如果听明白了，自己来做一做吧。
24:52查看AI文稿AI文稿本期视频总时长二十四分五十一秒带你深度解析哈尔滨八年级数学二十期压轴题，全是哈尔滨本地考法，全程干货！好看一下这道题， 坐标系当中点 o 是 坐标原点，点 a 在 y 轴上，点 c 在 a 轴上， o c 大 于 o a， o c 和 o a 的 长度分别是一万方乘它的两个根， 那么十字相乘， x 减二，乘以 x 减一等于零， x 一 得一， x 二得二。 那么因为 o c 大 于 o a， 所以 说 o c 是 二， o a 是 一 点 b 在 第一象限内连接 a b o b b c 满足 a b 平行于 o c， 角 a b o 三十度， 那因为 a b 平行 o c， 所以 说角 b a o 得九十度，那么角 b o a 是 六十度。 让我们求 b 的 坐标，那么三十度角斜对折边呢？斜边一半， b o 等于二倍， a o 则二 勾股三角形 b o a 可以 求出 a， b 等于根号三，所以说 b 的 坐标应该是根号三都一。 第二问点 p 在 线段 o b 上， b p 等于 c， q 等于 t， 那 么通过这个条件啊，我们知道 b p 和 c q 相等， 那么这个极品形啊， o b 和 o c 相等， b p 和 c o 相等，所能得到结论就是 pe 等 e q 啊，这是个函数模型， 那我重新画一个图 you， 那么连接 b q 交 b c 点 e， 取 o p 中点 d 连接 d e， 那么先看 o b 的 o c， b， p 等于 c 休，那么通过通过这个条件能得到的是 p， e 等于 e 休。方法有很多，我们可以过 p 做 x 平行线 挑 b e 余点 i， 那 我们知道 o c 是 二， o b 是 二三角形 o b c 是 等腰三角， 所以角 b c o 等于角 o b c， 那么做 pi 平行于 o c， 所以 角 pi b 等于角 p c 呃 o c b， 那 么三角形 pi 这样的上角 p b 等于 pi， 那 么平行，所以角 i p e 等于角 p q c 对 角相等，由此可以证明平八全等 三角形 p i， e 全等于三角形 q， c， e 全等。条件就是交角边， 从而证得 p e 等于 q， 那 么我们也可以过 q 做 p b 平行 交 bc 延长线 于点勾，那么角 e， c， o 对 顶勾 q 平行于 b p 角 p b， e 等于角勾，所以 q， c 等于 q 勾， 那么结合着对角相等，我们可以证明三角形 p b， e 全等于三角形 q o e 从而得到 p e 等于 eq。 或者我们可以利用双垂处理啊，过 p e 向 b， e 所垂， 过 q 向 c 做垂， 这是 k， 这是 l 对 顶过来啊，这个单数对顶过来，那么角 p b， e 等于角 q c， l 结合着九路和九路， p b 等于 q l。 由此可以证明三角形 p b， k 全等于三角形 q， c， l 交角半径相等，从而得到 p k 等于的是 q l。 那 么九十度，九十度对角相等，由此可以证明三角形 p， k， e 全等于三角形 q， l， e 交角半径等， 所以 p e 等于 eq， 那么这就是正 p e 等于 e 秀的方法。三个 那么连接 p 秀交 b c 邻 e 取 o， p 中点 d， 那 么 p d 是 等于 o d 的 连接 d e， 若 d， e 是 d， 用含 t 的 式子表示 d。 现在 e 是 p 秀中点 d 是 o， p 中点， 所以说 d e 是 三角形 p o q 的 中位线， 那么 c q 是 t， oc 是 二，所以 o， q 等于的是二加 t， 那 么 d， e 就是 d 等于二分之一的 o， q 等于一加二分之一 t， 这是二问。 接着看三位以 a p 为边， 向上作等边三角形 a p w， 这点是 w， 那 么当点 e 的 纵坐标为点 w， 红坐标的四分之二是杠三时， 那么第三项线是否有一点 h， 使得以 o a w h 为顶点的四边形是拼四边形？若存在，求出点 h 的 坐标，若不存在型，说明理由， 那么我们可以先根据 t 的 表达式求出 e 的 纵坐标， 那我们已知 b p 是 t， 所以 说 o p 等于着是二减 t 点 d 是 o， p 中点，那么 o， d 等于着是一减去二分之一 t 过 d 向 l 做垂啊， 垂足是 k， 那么 ab 平行于 o c 角 a， b， o 是 三十度， 所以角 b， o， c 是 三十， 那么三十度角随所对角平分其面一半，那么 d k 就 等于二分之一的 o， d 等于二分之一的 o， d 等于二分之一，减去四分之一 t， d， e 是 平行 x 轴的，我们过 e 向 x 轴垂， 垂足是 n， 那 么可以证明 d e， n， k 是 矩形，也就是说 e 的 e n 啊，就应该等于的是 d， k 等于二分之一，减去四分之一 t， 那 么这是 e 的 总目标， 那么 w 的 横坐标可求。 那么因为三角形 w， a p 是 等于三角形，所以角 w， a p 是 六十度， 那么角 p o， a 是 六十度。 那么通过外角导在三角形 a p o 啊，利用 a p o 的 外角 阿尔法，加六十度等于六度减阿尔法，那么这两个角相等。再结合着 aw 等于 a p 边角全等，四路过 w 下 y 处做垂， 过 a 下 o， p 做垂度， 这个垂度是 t， 这垂度是 s， r 和 r 相等，九十度和九十度相等。由此我们可以证明，三角形 w a t 全等于三角形 a p s 角角边全等， 那么 a o 是 一 三十度角，垂直于等斜面一半，那么 o s 等于二分之一。勾股三角形 a o s 可以 求出 a s 等于二分之根号三等于 t w， 那 么 t w 就是 w 的 横坐标， 那么通过 e 的 坐标二分之一减去四分之一， t 等于 w 横坐标的四分之根号三倍，那么就是二分之根号三， 乘以四分之根号三，由此可以求出 t 的 值 t 的 二分之一， 那么点 p 就 定死了。 那么现在 b p 等于二分之一， ab 等于钢幺三 三十度，角随折变的随变一半，那么 a s 啊，刚求过了，等于二分之二，那么所以说 b s 高股三角形 b a s 可以 求出它等于是二分之三， 所以说 ps 等于二分之三，减二分之一等于一，那么 ps 等于的是 t a， 由此可以求出 w 坐标 二分之根号三都二，那么现在 w 已知 a 点，坐标已知， 圆点已知， 那么 h 是 第三象限， 那么使 o a w h 为顶点的四边形是平行四边形， 那我们构造就平四平行连接 o， w 过 o 做 a， w 平行线，过 a 做 w， o 平行线， 那么这是 h 点， 那么现在 a w o h 是 平四，那么求出 h 坐标， 那么因为 a w o h 是 平四，所以说 a h 等于的是 w o， 那 我们可以过 h 向 y 轴做垂， 垂足是 g 延长 w o 交 h， g 于点勾 过 w 向 l 做垂， 垂足是 g， 那 么通过倒角 双弧啊， a 是 平行于 w o 双弧等于双弧， h g 平行 a 轴双弧等于双弧，由此可以得到角 w o g 等于角 a h g， 那 么九十度等于九十度， a h 等于的是 w、 o， 由此可以证明三角形 a、 h、 g 全等于三角形 w o、 g， 那么由此可以得到 h， g 等于 o， g 等于二分之二三， 那么 a g 等于 w， g 等于二， a、 o 是 一，所以 o g 等于一，由此可以求出 h 坐标负的二分之杠三都负一， 那么这里面对于 w 坐标，我们可以用边角旋转思路以外，我们还可以构造共顶点双边旋转去处理。 我们现在已知三角形 a、 w、 p 是 等边三角形 b a、 o 是 三六九，那么我们可以取 ob 中点 连接 au， 那么斜边中心等齐面一半，所以 a u 等于 b u 等于 g u， 角 a、 o、 u 是 六十度，所以三角形 a、 o、 u 是 等边三角形，那么连接 w u 交 ab 余点 v， 那 么三角形 a、 p、 w 等边三角形 a、 o、 u 等边，从而产生共顶点双边旋转，那么三角形 a、 p、 o 和三角形 a、 w、 u 全等， 所以角 a、 u、 o 也是六十度，那么角 a、 u、 o 也是六十度， 所以角 w u b 也是六十度， 那么 a u 得 b u 三线合一， u v 垂直于 a b， 那 么 v a 等于二分之一的 a b 等于二分之杠三， 那么通过双等边旋转也能得到 w 的 和。 那后面的方法和第一个方法类似，方法很多，仅供参考，下期见。拜拜！
06:10初一几何杀招！120°半角模型，学会直接秒杀大题 半角模型的核心，从来不是死算，而是旋转！
120°等腰半角题，用这个思路，直接秒杀。
#中考数学 #解题技巧 #数学学习日常 #解题思路#半角模型解题技巧查看AI文稿AI文稿大家好，今天给大家讲的数学几何模型是绊脚模型，它它是七年级下册第四张全等三角形当中的重难点模型。接下来让我们看这道题， 已知等腰三角形 a、 b、 c 当中 b a、 c 等于一百二十度，就是它 它它等于一百二十度。然后我们又知道 a b 等于 a、 c， 用这个两个横线来表示它俩相等，然后大 e 为 b、 c 上的两点，且角 大 a、 e 等于六十度，就是这个角等于六十度。然后现在让我们来证明一下吧。 首先我们先来分析一下这道题绊脚模型，它是通过全等来表现 做这道题目的，然后我们先可以看到这个六十度夹在六十度中间的角，然后呢这一个大角是一百二十度，那是不是这个六十度是刚好它的一半啊？所以说这道这个模型我们就称它为绊脚模型。接下来让我们来看一下。 首先先写姐字，你要想这个半角模型是通过旋转来表示的，然后这里又刚好是六十度，又是这个一百二十度的一半，我们是不是可以把这个角旋转 到这个地方，然后呢跟它凑成一块啊？现在让我们来画一下。 好，我们将这个三角形 b、 a 大 旋转到了这个位置，然后呢我们设这个点为 f， 然后我们再连接 e、 f 这个角，是不是就跟这个角全等了？ 让我们来写一下格式吧，把三角形 b、 a 大 让点 a 逆时针旋转一百二十度， 就可以得到一个新的三角形 a、 c、 f 就是 相当于这个地方旋转到这个地方，然后因为它这个一共是一百二十度，所以说相当于它逆时针旋转了一百二十度， 然后呢由于这有公共边这两角相等，然后呢这旁边还有两个角，所以说我们就可以得出三角形 a、 b 大， 然后就全等于三角形 a、 c、 f 是 因为他是旋转到这个地方的，相当于他一切都没有变动，所以说他们俩是全等的。然后我们接下来再看这个条件， 我们这两这个条件用了，我们再可以已经构造了一个全等，我们连接了这个就可以占这两个全等，让我们来写下格式吧。 然后由这两个圈等，所以说我们可以得出 a 大 等于 a f， 然后 b 大 等于 c f， 角 b a 大 等于角 c a、 f， 然后呢还有一个就是因为是半角，然后呢这两个各占了一半，所以说我们还可以得到一个角 a、 c、 f 就等于角 b 等于角 a、 c、 b 等于三十度， 所以呢我们由这个半角就可以得到一个角 e、 c、 f 等于角 a、 c、 f 加角 a、 c、 f 等于六十度，然后我们再看条件， 它这个地方的条件我们还要还需要用，就可以再写一下过程。因为角大 a、 e 等于六十度， 并且角 b、 a、 c 等于一百二十度，我们是不是就可以得得出这个角 b、 a 大 加上角 e a、 c 等于六十度， 并且我们同理 也可以得出角 c、 a、 f 加上角 e、 a、 c 也等于六十度啊， 所以说因为他们这个里面同时出现了这两个角，这两个角相等，然后这个角和这个角分别加它都等于六十度，那我们就可以得出角 b a 大 也等于角 c、 a、 f， 然后没有结合条件，因为这个 a e 和 a e 它俩是公共边，所以说这个它俩有一个公共边，所以说我们还可以再写一个，因为 a e 等于 a e， 所以 说我们就可以认出这个三角形 a 大 e 全等于三角形 a e a f e 运用 s a s， 也就是边角边正出来的。大家这道题听懂了吗？记得点关注哦！
00:41查看AI文稿AI文稿初中几何旋转压轴题，不用死克辅助线，记住旋转三大核心转边角相等，由等腰比出全等，看到旋转，先找旋转中心和旋转角对应边相等，对应角相等，立马锁定全等三角形， 遇六十度旋转直接找等边三角形遇九十度旋转优先构造等腰直角三角形求边长，求最直就用手拉手模型套结论，不用一步一步推导，证明 所有旋转压轴题就抓找中心定转角，勾全等套模型，掌握这个套路，考场直接秒解不丢分。
03:11查看AI文稿AI文稿大家好，这个视频和大家分享这样一个题，如图，三角形 abc 中这个三角形角 b， 它是按三十度，这里是按三十度。将三角形 abc 这一个三角形绕着点 c 顺时针旋转六十度，这样转，转了六十度，得到的是一个三角形 d， e、 c 是 这个三角形 点 a、 b 对 应点分别为 d。 一 就是 a 转到了 d 这里， b 转到了 e 这里，延长 b， a 交 d 一 于点 f。 下列结论一定正确的是，咱们一个一个看看。 a 选项， 角 a、 c、 b 是 这样一个角，角 a、 c、 d 是 上面的这一个。根据三角形旋转，要旋转可以知道这个角 a、 c、 b， 它应该是等于角 d、 c、 e， 那比如说是等于角 a、 c、 d 要旋转可以知道这个 a、 c、 d， 它应该是六十度啊，这两个肯定是不相等的， a 肯定是错误的，不选 a 啊。 b 选项 a、 c 平行于 d， e、 a、 c 在 这里 d、 e。 由题中我们可以知道，原来这个 b 这里是一个三十度， 那旋转之后，这个角 e， 这里也是三十度。假如说 d、 e 和 a、 c 要平行的话，那就能得出来这个地方也是三十度，即使没有这个条件，说 a、 c、 e 这里是一个三十度，得不出这一个来。 b 选项不一定正确，咱们再看 c 选项 a、 b 等于 e， f， a、 b 是 等于 d， e 的 等于 e， f， 这个 不一定啊，除非 f 和 d 是 重合的，现在也没有说 f 和 d 一定要重合，所以这个 c 也不对。那咱们看 d 选项，这个 d 选项 a、 f 垂直于 c、 e， 其中有角 b 等于三十度 b、 c 它是转到了 e、 c 也是这条边转到了这里，并且它这个旋转是转了六十度，所以从这里到这里 它是六十度，那由三角形内角合就能知道这里是啊，九十度，所以这个 b、 f 和 c、 e 是 啊，垂直的，所以 d 选项一定正确。
44了心思
06:43查看AI文稿AI文稿每天练一题，中考肯定没问题，今天我们要来讲二零二六年漳州市二次检 检答题第二十三题。这是一道新定义的题目啊，那么题目告诉我们，如果两条线段相等，并且它们的其中一个夹角是六十度，那么就把它称为是互互为双变 换线段，互为双变换线段，所以这个东西它有两个条件，第一个是两条线段要相等，第二个是六十度啊，所以你要知道第一个条件跟第二个条件是什么啊？那么接下来我们来看一下第一道题啊。第一道题要我们挣这个 在图三里面，正这一条跟这一条干嘛？是双变换线段，那就也就意味着我们要去正这个角等于六十度，而且还要去正这条边跟这条边相等哦，所以我们来想一下，正边等的话，我们可以用什么借助全等？所以你直接去找 题目给我们的等边三角形，所以 ab 等于 ac 哦，再来这个角跟这个角等于六十度啊，那这一个是题目给的 a、 b 等于 a、 c， 然后角 a b， a、 c 等于角 c 等于六十度。然后再来又告诉我们 a、 d 等于 b、 c。 好， 所以其实我们可以得出这两个三角形 a、 b、 d 跟三角形 c、 a、 e 是 全等的啊，全等的，那全等的话就可以得出边等 a、 e 等于 b、 d， 那 这时候你还要去证这个角等于六十度，对不对？那这个角的话，实际上等于 这个角加这个角外角定里，对吗？那它等于这个角加上这个角，那这两个角相加，因为我们来标一下一、二、三，又因为， 所以我们可以得出这个边等，还可以得出角一等于角三啊，又，因为角一加角二是等于六十度，然后角一又等于角三，所以角二加角三也会等于六十度，所以角 a、 f、 d 等于六十度。最后再下一个结论啊，这个，所以最后这一个，那么第一道题就搞定了。 再来第二道题，第二道题是要我们做图，对不对？补全图，所以这个画图的话，其实也是有分的哦，好像是一分，那么把 e g， e g 由线段 a e， a e 旋转六十度啊，其实你这个可以大概画一下就可以了，然后差不多是二点五，那我们旋转一下啊，差不多，差不多就这样， 我们用这个画，然后二点，嗯，差不多在这里啊，这个是点距。好，这个是点距，然后又叫我们连接 d 距， 连接 d 距。 ok， 那 图画完了，我们再来看一下，这个角是旋转角，等于六十度啊，六十度。然后再来又告诉我们， a c 等于四倍的 a d， a f 乘以 a e 等于八，所以你只要看到线段相乘，你就要想到什么相似了，对吧？做了这么多年了啊，看到线段相乘，或者这两条线段相乘等于另外两条线段相乘，那你就要想到什么 a 相似啊。像我们的二十五题，二十五题他也考到了相似。 好，那接下来他题目让我们求的是这一条 d 句，那我们自己看一下，画出来，其实这个图形很像什么平行四边形。好，那你要求 d 句，其实我们来看一下，这个角是六十度，没错吧？因为由第一题就可以得出来的，所以由一得 角 v f e 等于六十度。好，我只写，我大概写一下，我不是写完整的啊。然后这个角旋转角 f e g 也等于六十度，所以我们其实可以推出 d v d 是 平行 e g 的， 而且这个旋转过去的，那 a e 是 不是等于一句，然后 a e 又跟谁相等？ b d？ 所以 其实我们可以得出它们是平行且相等的哈，它是平行且相等的，所以这个四边形 b e、 g d， 它为平行四边形。我大概写一下就好了，然后平行四边形的话，对边就会相等， d g 就 会等于 v e， 所以 我们已经把它的题目变了，它要求的是 d g， 我 们转换成求 v e， 那 v e 又跟谁相等？哎，等于 c d 好， 又转化成了求 c d 了。 所以我们来看一下，既然刚刚说到这个是要用到相似，那你就要想想，这哪两个三角形相似呢？那就看它的边有什么嘛，对不对？ a f 跟 a e ok， 锁定在这一边了，那这个三角形有共角，你看， 其实我们角 a、 f d， 三角形 a， f、 d 跟三角形 a、 c、 e 会不会相似？其实是会的，第一个共角嘛，然后再加上这个角 c 是 不是六十度，这个角是不是也六十度？所以啊，第一题 是完完全全被用到了第二题，所以这道题如果你第一题都不会做，那你第二题就别想了，对不对啊？第二题不太会做，那你就慢慢推嘛。但是你要想到第一题是可以拿来用的，如果你不会用， 那你这道题也很难做出来，对不对？那他的条件呢？推出他们两个相等，那我们写一下，角 a、 f、 d 等于六十度，然后共角角 e a c 等于角 f a， d 其实应该写 d， a， f 啊，已经没位置了，那就不写了。那相似的话，对应边就会成比例， a d 比上谁， a， d 是 比较第二长的边，那就比上 a， e 就 会等于来长一点的边。 a f 比上 a c， 那 这边的话 a e 乘以 a， c 是 等于八，所以你可以得出 a d 乘以 a， c 是 等于八。 a d 跟 a c 有 关系，四倍和它的分要设圆，所以其实四 x 的 平方就等于八， x 的 平方就等于二，那解出来，因为 x 大 于零，所以 x 等于根号二，对吧？那 这个是 x， 这个是它的四倍，那这边就是三 x， 那 这一条是三 x， v 也等于三 x， d 句也等于三 x， 那 就是 d 句就会等于三倍，根号二， ok， 解决。 哦，那么这个是新定义的题目，那么在中考的话，或者在这几次的质检卷里面，其实二二二三二四二五，他其实考的题型都是 有规律的吧？就是从这几个，比如说指挥工作图是不考了，统计概率，这也是一定会考的新定义。刚刚的这一道指挥就是上一道嘛。概数推理啊，也是考到考过了，然后探求规律，或者是解直角三角形的实际应用， 这个也是偶尔会考，对吧？跨学科的二次函数，这个肯定是会考的。圆根相似，这也是一定会考的。那有时候其实就是几何证明嘛，几何证明无非就是全等啊，相似啊，对吧？然后勾股定律啊，这些去求边求角或者倒边倒角相等，对吧？ ok， 那 我们今天就讲到这里。
77爱辅导的张老师
02:47查看AI文稿AI文稿哈喽，同学们好，我是周老师，跟着我每天一道题，今天我们来看南开二模的第十题，也是基础题，但是他开始有难度了，有些同学从这里就开始卡住了，我们一起来读题，如图，正方形 a、 b、 c、 d 绕着点 c 逆时针旋转六十度，得到了正方形 e、 f、 g、 c 点 a、 点 b， 点 a、 点 d 的 对应点分别是 g、 f、 e 连接 a、 f， 得到 a、 f 是 四。问我们 ab 边 多长呢？好的，我们读完题之后就开始想，按照我们之前说的，旋转里面 必有全等，如果这块我们只得到 a、 b、 c、 d， 正方形全等于 e、 f、 c、 g， 那 是完全不够的， 因为用它我们解决不了问题，所以我们以往的旋转得全等，通常是三角形全等。然后第二步去找我们的旋转角 alpha， 第三步再去利用等腰。如果说我们有六十度角，旋转角是六十度，那么大概率有等边。所以这道题我读完题目之后，我立马就开始有一些想法和思路了，旋转六十度，哦，那必然有 等边三角形啊，所以我就开始找啊，告诉我的是 a、 f 这个长度是四，那 a 点原来是绕着点 c 转的吧，那转到哪了呢？巧，就转到了 f 这里对不对？所以我们对角线一连，这不就是我们的旋转角吗？ 旋转不仅仅是 a、 b 旋转走了， c、 d 旋转走了， b、 c 旋转走了， ad 旋转走了，我们的对角线 a、 c 也旋转了呀，所以 a、 c 也是四， c、 f 也是四。那么我们求 a、 b 就 很好求了吧，一比一比根号二，所以它的长度四除以根号二二倍根号二，选择 c 选项。 这是我们从旋转的角度以及旋转角是六十度去找的，等边出发。那很多人这块，哎呀，我没有这个想法，思路怎么办？那我们就回过头来求 a b， 看一下我要求的 a b， 也就是我们这个正方形的边长啊，跟 a f 能扯上什么关系呢？我们去找它们两之间的关系，会发现啊， a b 是 边长。那我如果我能把对角线求出来，不也能够解决我边长的问题吗？所以我们尝试连一下 a c 和 b d， a c 一 连立马就出来 a c c f f 三边相等等边三角形。好的，这道题的思路你掌握了吗？欢迎大家在评论区进行打卡，中考加油！
70周老师
02:06查看AI文稿AI文稿各位同学大家好，我们来看到今天内容啊，今天讲的呢是一个旋转 去转移我们的角或者边的问题啊。好，我们来看到这个题，边长是二 a 的 等边扇形二 a 对 不对啊？ m 呢，是在这个高 c h 上的一个动点， ok 吧，连接 m b， 将 b m 呢绕着 b 点逆时针旋转六十度得到 b n， 所以呢，这个什么 m b n 就是 一个等边了喽，连接 h n， 然后呢，他说在 m 的 运动过程中呢， h n 的 长度最小值是多少？ ok 吧，两个等边三角形共顶点啊，我们的想法是什么东西呢？是手拉手， 这里一定会有个手拉手的全等对不对？哪两个三音全等呢啊？这个需要大家对手拉手比较熟哈。 c m b 和 a n b 这两个三音一定是全等的， ok 吧？好，全等之后呢，我们就可以转移边和转移角了，我们可以考虑到 h 点是个定点，是 a b 的 中点嘛，对不对？那 h n 就是 一根什么线呢？叫中线， 我们可不可以在这里也做一根中线出来呢？ m 是 顶点对不对？我们取 b c 的 中点为 q， 那 么 m q 是 不是也是中线呢？所以我们就可以得到 h n 就 等于 m q， 对 不对？要 h n 最小，也就是要 m q 最小， q 点是中点，固定的 m 点呢？在这个线上面动对不对？那怎么样能够最小啊？垂直的时候最小吧 啊，垂直好，整个是二 a， 这个是终点，所以这是 a， 这个角是多少度呢？三十度所对的边等于斜边的一半二分之一 a， 所以 答案选多个， ok 啊，今天内容我们就讲到这里。
01:57查看AI文稿AI文稿这道绵阳中考旋转压轴题，不用相似，不用复杂推导，今天老谢教你一招，直接用勾股定律秒杀孩子们！这道题的核心条件是什么？旋转， 将三角形 a、 b、 c 旋转至三角形 a、 e、 b、 e、 c。 旋转意味着什么？等边等角。这道题的突破口就是对应角 r 法相等条件说 a、 e、 b、 e 平行， a、 c 这两个内错角相等，这个角也是 r 法等角对等边，所以 fa 等于 f、 c。 你 看这个蓝角是整个三角形的外角， 它等于两内角之和，等于二倍阿尔法。这个大角是一个直角，它里面有一个红角，阿尔法剩余部分绿角等于九十度减阿尔法。在三角形 f、 b、 c 中，内角和是一百八十度。 计算一下角， f、 b、 c 也等于九十度减阿尔法等角对等边，所以 f、 b 等于 f、 c 等于 fa， f 点是 ab 的 中点， e、 f 是 三角形 abe 的 中线，中线平分面积，所以这两个小三角形的面积相等。 现在可以处理这个条件了，看我步骤。最后推出三角形 a、 e、 f 的 面积和三角形 a、 c、 e 的 面积之比是三比二，它们的高相等。在等高状态下，面积之比等于底边之比，所以推出 e、 f 比上 c， e 等于三比二。 我们设 e、 f 等于三 x， c， e 等于二 x， c， f 就是 五 x f， a 等于 f， b 等于五 x， a， b 就是 十 x。 在 直角三角形 f、 b、 e 中，根据勾股定律可算出 b、 e 等于四 x。 在 直角三角形 b、 e、 c 中，根据勾股定律可算出 b、 c 等于二倍，根号五 x。 好 了，孩子们眼睛看宽一点，发现什么了吗？ 在直角三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于十， x， b、 c 等于二倍根号五， x， a、 c 等于八，可以用勾股定底列出方程算出 x 等于五分之二倍，根号五， a、 b 等于四倍根号五。方法找对效率翻倍，跟着老谢轻松学习！
113谢老师拆解中考数学
