数学高一下册立体几何证明
斜修立体几何到底有多强？他能让立体几何的大题瞬间变成小学计算口算题啊？ 那很多同学听完胡老师讲立体几何的垂直，都说以前所有的垂直问题都白学了，那么今天胡老师给大家讲透垂直问题，听完之后我们再也不丢分好不好？好，期不期待？期待所有的垂直问题一共分为几大方向？我们来先来看一下，第一个叫什么？ 让你证明了什么？垂直？第一个叫做让你证明线线垂直，还有呢？线面垂直很好，让你证明线面垂直，当然这些经常融合在一块，考你啊，还有一个面面叫做面面垂直，咱一个一个来说，我们先来说线线垂直， 只要你把这个模型学好了，那么另外两个学起来就很轻松，跟他一样套模型就可以了。好吧，好，那么线线垂直里面总结过吗？一共有多少种模型？常见的第一个叫做三垂线， 也就是三垂线定律，非常重要，很重要，而且很实用，所以今天我们要把它先讲透的啊。第二个还有什么？ 还有正形模型，第三个，这全是给大家总结出来的啊，勾股模型，还有第四个，对，叫巨型模型，还有第五个就是用面面垂直去证明线线垂直的模型五大种， 所以咱们先来看第一个叫做三垂线，三垂线就是三垂线定律，大家对对于这个定律熟悉吗？熟悉，第一个叫做三垂线定律，这个定律主要是用来干嘛的？ 告诉我，在老教材里面是直接有的，新教材稍微弱化了一下它。嗯，这个定力主要是用大，让你来证明意面意面垂直的。 对啊，哎，什么 l 垂直于 m？ 但是你俩在不同的面上叫异面垂直，明白没有？来，我说一下三垂线定的是什么？画个图。首先比如说这是阿尔法面， 然后呢？阿尔法面，这，这是一根线，这不是面内的线啊，这叫 l。 然后呢，阿尔法面内有一根线叫做 m， 让你证明 l 垂直， m 是 不？或者 m 垂直于 l， 这叫做意面垂直，没问题吧？没有。 所以三垂线定里说的是啥呢？两句核心的话，第一句话叫做记下来，垂射臂垂斜， 第二句话叫做垂斜臂垂射。啥意思？ 这根线叫做翘起来的线，与平面有一个交点，这个点我们把它叫斜足，行不行？可以我们过线上的一个点给面打垂线。 垂直的吗？这个线是垂直于面的哦，比如说这个点叫做 m 点，这个叫什么？足垂足，这个叫斜足连接，垂足和斜足连完之后，这个黄线就是它在面上的投影。对摄影 ok 吗？ ok， ok。 所以 什么叫做垂射必垂斜？就是如果我发现啊，这个 m 是 垂直于它的摄影的，把它叫做 l 一 撇吧，行不行？可以垂直于 l 一 撇，我立马能够推出来 m 垂直于 l， l， 或者说我如果能够知道 m 垂直于斜线， l 是 不叫垂斜，他一定垂直于他的摄影，这就叫做三垂线定律。需要我证我就来证。需要证吗？需要。那我们来简单证明一下。来证明。 我先给你证明。第一个，为什么要证他？因为证明他的过程就是你大体里面的过程， 你大体要写这个过程呢？你不能由这直接到这，为什么这个过程要写的当模板化操作了，明白没有？明白好，我写的是思路啊，我现在不写过程，我先带你们写一下思路来。 m 垂直于 l， 一 撇垂直于它，为什么能够证明垂直于 l 呢？ 线和线垂直，核心是证明线和这个面垂直，对吧？我只要和这个面是不是垂直就可以了，因为我 m 还垂直于，比如说这个叫 p 吧，叫做 pm， m 和一个面中的两根相交线垂直，我就能够得到 m 垂直于平面。 p n m， 因为你是平面内的线，所以 m 垂直于 l， l l 是 你中的线吗？我写的是思路， 对，没有问题吧？没有这个为什么垂直？理由是什么？因为 pm 垂直面，对了，因为 pm 是 垂直于底面的，这个底面是什么？你写一下 是吧？是理由，就是因为 pm 垂直于它，因为 m 小， m 是 你中的线，所以它垂直，对不对？对，因为因为它，所以它又因为你俩推出它 能理解不理解，然后你需要把这个过程给他润色一下，加一些关键性的语言。又因为 l 是 这个面中的线，所以你垂直是这个意思，必须先学会写这个思路，然后再去润色。思路成过程没问题吧？没有好，第一个会了，那第二个是不是也是一样的？ 垂斜臂垂设？比如说 m 垂直于 l， 是 不又因为 m 还垂直于 pm 了？ m 和一个面中的两根相交线垂直，所以说 m 垂直于平面， p n m 思路是一样的吗？对，嗯，又因为 线在面内，哎， l 一 撇是你面内的线吗？所以 m 垂直于 l 一 撇， 两个理由是一样的。会了吗？会了，这叫做三垂线定律。接下来我们看一看三垂线定律在我们考试中，包括高考中是怎么考大家题目的？来看这道二零二一年新高考卷的真题，考察的就是我们的意面垂直问题。来读题 说下列正方体当中 o 全都是正方形的中点，这 p 都是什么点？ 他的楼上的终点没问题吧？没有说 m n 为正方体的顶点，你看到 m n 都为顶点，然后说，哎呀，满足 m n 垂直于 o p， 就是 两个蓝线垂直的，是问哪一个满足是不是叫意面垂直啊？好， 回顾一下，意面垂直最经典的第一个考法是三垂线。对，三垂线法，你看 m 点是不在面内呢？ 这个，哎呦，是不是翘起来的线啊？对不对？我们锤折，锤射必锤斜，锤斜必锤射，说的是给翘起来的这根线，说找他对应的投 影，摄影，摄影，谁翘起来找谁的摄影，是不是？是。所以对于这种意面垂直问题，以第一个为例，你告诉我找谁的摄影， m n 是 不是就在面上？对，相当于在正方体的那个外面的表面上，我肯定不管 m n 吗？ ok， 相当于就是翘起来的线吗？对，是不是找他对应的摄影是不是就可以了？那 o p 对 应的摄影你会找吗？嗯，会找，给给谁找摄影？找。看 你是不是要证明的是这两个意面垂直吗？是不是这个翘起来的线往这个 m 所在的面是不是去打摄影呀？是的，所以说 o p 是 不是就是这里的？哎呦，该没问题吧？没有打摄影，往哪个面打摄影？想一想，往上面，往 m n 所在的面对不对？上面下面都可以， 因为 m n 也可以移到下面来，对，是不是往下面打比较容易啊？垂射臂垂斜。看过他给他打垂直，是不是就这玩意？对， 就这玩意，打完就是他吗？对吧？你说 m n 跟他的摄影能垂直吗？不，垂直不可能，所以说第一个排除掉，甚至你都可以不用打垂直。你把 m n 移下来吧。 你把 m n 往这一移，来，我们把 m n 往这一移。我都不用找投影的。你看他俩之间是不是有夹角呀？是啊，这显然不是垂直关系吗？所以我也能把 a 排除掉，是不是？是啊，都可以。来下一个，告诉我 哪个是斜线。我们这个叫 l 叫斜线。看 m 是 面内的线，哪个充当了这根红线来？哪一根线 是 m n 还是 o p？ 两个都翘起来了， m n 明明在面内啊。哦， m a 是 不是在面内啊？是，对啊，这个 o p 是 不是穿这个是不是跟侧面是不是相当于是翘起来了？这是不是相当于是侧面了？懂了，能理解了，不？可以懂了吧。哎，是不是过 o 点给侧面找 什么？摄影打垂线对不对？对，来，过 o 点给他打投影，打到了怎么打过 o 点，是不是？哎呀，给侧面打 是不是垂到这来了？对，这个叫斜足，这个叫垂足。一连是不？这个叫摄影？是的，红线叫摄影。是不是？我只要证明 m n 和红线是否垂直就完了。来，他和红线是否垂直？垂直，这是终点吧？对，对吧？这是终点吗？ m n 跟谁是垂直的？ m n 跟他是垂直的， 你不是中位线吗？对，你俩是不是平行关系吗？是的，所以跟他垂直不垂直。 m n 垂射必垂斜，这就是斜线。 图像相对翻了一下，能看来吗？可以，所以说 b 选项正确。下一个告诉我谁相当于我这里的斜线？一个是意念吗？一个是 l， 一个是 m， 哪个相当于我这里翘起来的 l 来哪一个？ o p？ o p。 为什么？因为 m n 在 右侧面上吗？是的，在面上吗？你是不在体内穿来穿去的吗？面上的线好研究吗？是不是过 o p 是 不给这个面打垂线呀？对，给这个面打也可以，我是不是打到这个面也可以？对，距离哪个近往那边打都可以吧。可以，因为 m n 是 不相当于这个吗？ 是不跟这个平行的吗？是的，可以移到这边来。所以说过 o p 给这个面打可不可以？可以，咋打过 o 做垂线细点是不是就是你与面的 焦点相当于是这里的点，这是不是相当于是屁点了？没有，没问题吧？没有，来吧，给面打垂线是不跟刚才一样的。噔噔噔噔，这个叫做垂足，这个叫做斜足，打完之后垂足和斜足一连，你的摄影是不是就出来了？他的摄影不就这个吗？ 是还是不是，是垂直吗？嗯，这个也垂直，为什么垂直？他刚好也是个终点，哎，很好。这个点是不是应该是终点啊？对，对吧，也是终点。 m n 不 就这个吗？这个跟谁本来是垂直的。 来告诉老胡，他本来跟对角线是不跟这个对角线垂直的啊？是的，你是不是对角线相当于一半吗？看到没有对中位线吗？所以他是垂直关系 没问题吧？没有没有问题，来下一个，哪个相当于斜线？哎呦，告诉我 p o o 还是 o p？ 为什么？因为艾蒙在背面的面上来。对，也可以认为在前面的面上是不都可以。是的，艾蒙也可以是这条线一样的。对， 哎，对，你相当于翘起来的线，那么你跟我面的交点是屁，是不？就这个点屁，对，对吧？过哪个点给给谁打垂线呢？来告诉我。能看来吗？把这个关系要捋清楚啊。 过这个点往面上打垂线，过藕点，往前面这个面上是不是打垂线？是的，对了，过藕点，给前面的面上打垂线，是不是打到这来了？这叫斜足，这叫垂足。把你俩一连 是不是叫摄影呀？是的啊，这个就是 p o 在 前面这个面上的摄影，你不断的把这个模型要往这个上面去套嘞，相当于这个 p 点相当于这里哪个点， o 点相当于这里哪个点跟它要对起来嘞，能理解这个事吧？可以能理解啊，然后人家问 m n 是 否和它垂直， m n 是 这， 这是重点吗？对吧？你说 m n 跟它垂直吗？不垂直咋可能垂直呢？所以说排除掉， 这叫意面垂直。三垂线定力好用不？好用，真好用。所以说你的脑子里面只要有模型，你没有发现辅助线你就知道怎么打了，是不是就瞬间出来就可以直接秒杀了？是的，很爽吧？爽，但是大家要注意哈，意面的垂直 不仅仅有三垂线模型啊，你只会他，你其他的遇到你不就不会了吗？对不对？你要把线线垂直玩转的很六六六。那么剩余的其他的模型对应的题型你要练习的非常透彻，所以说只有这五大模型全都凑齐，你都整会，你做题才能够做到游刃有余。 那么今天因为时间原因我们没有办法一个一个带着大家去做，但是胡老师把这五大题型对应的所有的高拿考的真题以及辨识训练全都给大家梳理出来了，所以大家抓紧时间打印，跟着我们的课程训练起来。我相信垂直对于你而言不在话下，行不行？行，好，下课。
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14:10查看AI文稿AI文稿立体几何的线面关系证明已经不能叫做高频考点了，它是纯粹的必考内容，年年高考，张张试卷，几乎无一幸免。但是大家在第一次学习的时候，可能连线面垂直是个啥意思都不一定知道， 所以今天咱们从纯零基础视角一起来拆解线面关系到底是个啥？ 首先呀，是线面垂直，说直线垂直平面啥意思？大家在生活中有没有见过相关的例子呀？哦，电线杆笔直的插入平坦地面， 咱们引入实物来进行观察，当我们把视角放平、放平再放平的时候，最终平面又被压缩成了一条地平线， 而 l 一 正好垂直于它，这个就是线面垂直的本质。好的了解了基本定义，这时候如果在平面内随便放两条直线，你认为红黄两线之间会是什么关系呢？ 就比如这个 l 一 和 l 二，既然 l 二在平面内，那么当平面也被压缩成地平线的时候， l 二就和地平线重合，红线垂直平面， 红线就垂直平面内的线，而且并非个例。像这样一个更没有特点的 l 三，它也和 l 一 垂直吗？ 还是一样的步骤，在我们的视角给平面不断压缩，直到成为一条地平线，红线垂直平面就垂直平面里边的线。 任何平面中的线压缩后都一定和这个压缩线重合，被红线 l 一 垂直贯穿。 那么简单总结就是，只要红线垂直黄色平面，红线就垂直平面内的任何一条线。当然一定要交代黄线包含于黄色平面，这是已知线面垂直可以推的玩意，记作定里一 接着，如果这个定律反过来说，红线同时垂直于两条黄线 l 二和 l 三，并且两条黄线同属于黄色平面，您认为是否一定能够推出红线垂直黄色平面呢？ 还是老规矩，咱们引入实物平面，先看这种红线只垂直于一条平面内黄线的情况。那么不妨认真思考一下红线和平面之间的角度，它定死了吗？ 显然，在 l 一 和 l 二垂直的情况下，平面完全可以以 l 二为转轴 随意转动，并且这对 l 一 和 l 二的相互垂直不造成任何影响。换个视角看也是同样的道理，平面绕轴转动不影响黄色轴线和红线的相互垂直， 所以这个平面他不是固定的，和 l 一 不必然形成九十度的垂直角度。但是呀，如果我再引入一条 l 三也在平面阿尔法内和红线垂直了，咱们仔细观察一下， l 二和 l 三卡在一块，同时包含他俩的平面，是不是有且仅有这唯一的一个呀？他这下就真的转动不了了， l 一 必然像电线杆一样，从完全竖直的方向狠狠插入这个唯一的平面 l 一 垂直平面阿尔法。 呃，但是，如果 l 二和 l 三不相交，两个是平行关系呢？上边还一定能够推出下边吗？思考一下。 首先，平移是完全不改变几何关系的，而当我们将 l 二和 l 三平移到重合位置时，同时垂直 l 二、 l 三 仅仅相当于垂直平面里边的一条直线，而红线只垂直于平面里边的一条直线，根本推不出红线垂直平面。这是咱们前边最开始就推理过的，平行不行， l 二 l 三就得互不平行。但是试卷上更规范的表达是， l 二交 l 三等于 p， 有焦点就是不平行，直接给他替换掉。那么整个推导过程简单来说就是红线同时垂直于两条黄线，两条黄线互不平行，有焦点 属于同一平面，那么红线就一定垂直于这个平面。以后凡是碰到线面垂直，都需要这样的步骤才能把分数拿全。 就比如这样一道二三年的高考真题，要证明红线垂直黄色平面。根据刚刚的经验，只需要在黄色平面里边找出两条不平行的黄线，被红线垂直，黄色平面也就被红线垂直。 但是这两条黄线分别取谁？好嘞， p a a b 还是 p b？ 咱们先标数据 提杆，右手 pa 垂直，底面 abc 线垂直于平面，就垂直于平面内的所有线。比如面内的 b、 c 就 被 pa 垂直， ac 也被垂直， ab 还被垂直。 哎，这个 pa 和 bc 是 不是刚好就是咱们所需要的红色黄色垂直？对啊，哎，已经找到了一组垂直了。 接着咱们看棱锥的蓝色背面直角三角形底边长度根号二。 再看棱锥底面等腰直角三角形直角边 bc 垂直 b a 又得到了一个红黄垂直对。 接着就是标准的书写流程了，红色 bc 同时垂直于黄色的 pa 和 b a、 pa 互不平行，交于点 a， 而 pa、 ba 又都包含于平面 pa b， 所以 红线 bc 就 垂直于平面 pa b。 再看这样一道二三年的全国二卷实体，要证明红线 bc 垂直于黄线 da， 这线线垂直不应该初中就会了吗？ 但是呀，这俩是异面直线。咱们研究一下红色 l 一， 黄色 l 二，要证明红线垂直黄线，咱们是不是可以引入一个平面阿尔法， 黄线 l 二包含其中？只要我能证明红线垂直面内的黄线呀， 简单过一遍，要证明线线垂直，就得给黄线找个面，红线垂直，这个面红线就垂直黄线。 以上是意面直线的垂直证明方法，大家可以借助这道全国二卷的证明题来应用练习。 再比如，大家碰到这种更坏事了，要证明平面和平面面面垂直，好像又是一个新的知识点，红色平面阿尔法，黄色平面贝塔。如果说这两面相互垂直， 会是啥情况呀？咱们引入实物图一探究竟。凡是涉及平面的几何关系，方法非常明确，把平面都旋转到压缩成线的视角， 压缩线之间的关系就是平面之间的关系。好的，了解了面面垂直的本质之后，咱们得想个办法证明它。比如咱们引入一条 l 一 包含于平面阿尔法， 同时垂直平面贝特，就这两条，能推理出平面阿尔法垂直平面贝特吗？思考一下， 咱们还是引入实物图来加以研究。首先，红线 l 一 垂直这个平面 l 一， 就一定垂直这个平面的压缩线， 这是线面垂直的本质。现在说 l 一 包含于平面阿尔法，比如长这个样子。 这里请大家认真思考。当我以 l e 为转轴去转动这两个平面镶嵌而成的组合体时，不管这个平面阿尔法有多大，他也总有被压缩成线的那一天。 此时的红线 l 一 正好和平面阿尔法的压缩线重合，俩平面的压缩线相互垂直，就等效为面面垂直。 好的整体简单梳理一遍，只要红线 l 一 垂直，平面贝塔 l 一 就一定垂直。平面贝塔的压缩线 l 一 又是平面阿尔法里边的线， 整体以 l 一 为转轴，就百分之一万能够转到这个两个平面都被压缩成线的时刻，而平面阿尔法最终被压缩到和转轴共线，他的压缩线也和贝塔的压缩线相互垂直， 而压缩线相互垂直正是面面垂直的本质。大家同样可以借助一道经典例题来强化理解。 再接着进入第二部分，一条红线 l 一， 一个平面阿尔法。但这一次我说红线 l 一 平行于平面阿尔法，你能想到它的本质是啥不？ 咱们引入实物图，根据前面的经验，只要有平面，就得给他压缩成线，线平行于面，线就平行于面的压缩线，这是线面平行的本质。 那么在更多的考场环境下，如果需要证明线面平行，应该怎么做呀？ 比如在黄色平面内放置一条黄色直线 l 二，通过红线平行黄线来证明红线平行黄色平面，你认为这合理吗？ 当然一定要交代 l 二包含于平面阿尔法，思考一下好，还是引入实物图，凡是有平面，又要找几何关系，第一时间给它压缩成线。 红黄两线相互平行，而黄线又在平面阿尔法内，所以平面阿尔法被压缩成线之后，必然和 l 二位置重合，和 l 一 相互平行， 而线和面的压缩线平行，就是线面平行的本质。综合来讲，定律的大概流程就是，红线平行于黄线，而黄线又在这个面内，红线就一定平行于这个面， 这是线面平行的判，好像还有点瑕疵。这个 l 一 平行于 l 二，好像从来没说过 l 一 不能在 l 二这个平面内吧， 所以他当然是错的。一个平面内的线不可能平行于这个面本身，所以为了简单粗暴的切断这种可能性，我们直接在条件中加一句红线 l e 不 可以包含于平面阿尔法， 这样就百分百隔绝了。而线面平行这样一个判定定律，大家同样可以用一道高考真题来加以巩固。
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01:59查看AI文稿AI文稿就你还没学会立体几何的证明啊！一分钟我教会你学不会，我打死你！来看立体几何的证明。先来线线平行，线线平行，一万能平，平顺排平 或者三角形中线两个渠道，线线垂直，弓骨定米三四五或者特殊三角形，遇见终点，三线合一，自然就垂直了。再来看线面平行怎么来着？在平面上找到一条线和它平行就可以了。再来线面垂直，要让这条线垂直，平面内两条相交直线才可以 面面平行。在 a 面上找到两条相交直线和 b 面平行，证明面面垂直。在 a 面上找到一条直线垂直于另一个平面，或者这个平面找到一条直线垂直这个平面。 学会这么点玩意，高考能得分了，想啥呢？看例题来看题，在直角处， abcd、 abcd 中 ab 和 bc 平行， ab 垂直， abd 得二， abd 得三， bc 等于四。想证明 ab 平行于平面， abd 平行于平面， abd 会不会？不会？不会跟我学。 我们来看 ab 平行，杠子的二标上 ab， 三标上 dc， 四标上，想证明 a、 b 和面平行所有的证这条线平行面上的一条直线，那么取 dc 中点，比如边边 s， 然后直接连接 d， e、 f， 再连接 f， 观察终点 f， 所以 这块本来是四，一半就是二，那么 a、 b、 f、 d 就是 个平四，所以 a、 e 和 b、 f 平行且相等， 那么 b、 f 和 a、 d、 e 平行且相等，所以 a、 b 和 b、 e、 f 就 平行了。线和线平行，线和面就平行了。再学不会，我打死你。
1.3万数学王超子老师
11:53查看AI文稿AI文稿一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到立体几何平行的全 体行，在这节课，我会给大家把见面平行，面面平行所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是怂问题。 那么首先呢，我们来看到线面平行，你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b， 使得 b 和咱们的 a 是 平行的，那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈， 那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推导咱们的 a 呀，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢，给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的， 但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边他是平行的哈， 所以说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b d 呀，对吧？所以说我们直接连 b d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时来我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的，而此时来咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目。 那么我们再来看看第二种题型，就是我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点， 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了， c e 在 这的，我们要去找它平行于平面， a， d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给它平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a， d， e 看起来就很像了，但是我要怎么去说明它看起来很像，但是实则它是一个平行关系嘞？你会发现哈， 这看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明它是一个平行四边形嘞？那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于咱们的 c， d， e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢， dc 为二的哈， dc 为二，那么平移上去， c， d， e 也是为二的，所以说你又有平行，又有相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈， 因为咱们的 c 一， 第一它是平行于 cd 的 cd 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 cd 一 啊，它是平行于 ab 的， 又因为咱们的 a 一， 它等于 cd 等于 cd， 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 cd 一， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以立刻推到咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c 一， 它平行于 a、 d 一， 然后你就可以说，哎，因为一个包含也是个平面，另一个不包含也是个平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 咱们再来看到第三个题型哈，就是证明面面平行，大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，他就可以唯一确定一个平面，他就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思。那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行四边的平的平行，那， 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我看到中点我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时来它让你去证明的是咱们的 a、 e、 e、 f， a、 e、 f 来画一下哈， a、 e、 e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d g 的 a d g， 哎，也就是后面这个大的三角形，那大家来观察一下哈，我们这两个平面，它会出现哪两组线线平行啊，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行， 对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么？先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e g 连 e g， 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形 哪一个嘞？是不是咱们的 a e g， d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d e 平行于咱们 e g 啊？对吧？ a e、 d e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b e、 c e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的，所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形，所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了。我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来？ 正，咱们的 a、 d 一 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b、 c、 d、 e 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a、 b 它是平行且等于 d、 e、 c、 e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写了？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢，我这里和这他是什么？他是相交直线哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得整两个平面是平行的。那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，它是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢？是一个点一个动点， 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e b f 时， p a 它要平行于 e b f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的， 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c 就是 四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行。你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干货， 分别是四十页的逆袭北大解题一百招，还有两万字，说你我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页，这里群聊数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
2.0万北大糖的魔法数学
12:38查看AI文稿AI文稿立体几何？在各位同学第一次听到这个概念的时候，会不会感到莫名其妙？尤其是当你看到这么一堆乱七八糟的毫无美感的线条的时候。 这是一个平面试卷啊，试卷上还堂而皇之的画了一个立体图形， 这就是诈骗。但是，高考毕竟不是大学的期末报佛教此时此刻就有搞懂的必要。所以，今天咱们用九分钟时间，让大家对二 d 试卷上的三 d 几何体的感受，不再是面对一堆错综复杂线条的和一位，而是真的能够一下子感知到几何体的真实模样。 首先呀，是这样一个经典的不能再经典的立方体。呃，这难道不是一个六边形吗？ 第一次接触立体几何，你要是不这样想才不正常。但是嘞，我们也不能总是这样想，而想要打破这样一个认知局限，其实也是相当之不太难的。 看到二 d 试卷上画着个三 d 几何体，首先不要生气，咱们把它从试卷里拿出来 观察观察，再观察。哦，原来是这么个样子哎，您不妨思考一下， 这条棱和这条棱，谁和屏幕前的你挨得更近呀？转体运动， 这一条和这一条，谁和屏幕里面的我隔得更近嘞？我想，聪明的你一定有了答案，给他放回试卷中。 哎，我又不太明白了，这虚线是个啥玩意？辅助线吗？准确来讲，这是透视线， 我们平时看到的都是实心物体，那人家立方体要闭月羞花，把那几条棱往屁股后面一藏，说，我就不给你看，有啥子办法嘞？ 哎，你不给我看，咱们可以强行透视一下。你看呀，这条在实心情况下来讲，无法被看到的棱其实一直都是真实存在的。 再切回试卷平面，所以立体几何中的虚线是确实存在，但是藏在里边我们看不到的，而且绝非个例。当我们拿出未来出境频率极高的正四面体，还是同样的道理， 观察观察，再观察！好，扫描完毕。 您认为这第一条棱和这第二条棱在你的视角应该把谁当做虚线呀？没错，聪明的你一定晓得了得，是第二条藏在后边， 接着难度再升一级，这是一个叫做棱台的玩意。老规矩，观察观察再观察， 左瞄右瞟，上瞅下看。此时此刻，请回答，这条棱 和这条呢？应该把谁当做虚线呀？答案是这一条，而这条更加靠近你的红色实线，肉眼可以直接看见，所以不用虚线。 再回到人类视角，你可以猜一猜他和他的几何关系。不过重点还是这条，这条，还有这条，他们各自是实线还是虚线呀？ 没错，都是藏在后面，需要透视才能看得到的虚线。好的，此时此刻，相信你已经是信心满满。我们再稍微变难一点， 这个玩意叫做正六棱柱，请仔细观察人类视角，并记在脑海中。试卷通常是不把我们当人的。 好的，亲爱的同学，请选择红色的 a、 橙色的 b、 黄色的 c、 绿色的 d， 哪些是虚线呀？ 紫 e、 粉 f、 褐色、记清河、灰暗梅花钩。这里面还有没有虚线呢？ 大家可以简单的验证一下，和您的想象是完美对应，或者有所出入，还是相互独立呢？ 但不管怎么样，能够看到这里，你已经很棒很棒了。而且啊，所有高考试卷上的立体几何全部都是开了天眼的上帝视角。对了，高中生偶尔也可以是上帝。就比如这样一个三棱锥 虚线，是一条真实存在的棱，藏在屁股后面。二四年的四棱锥红色虚线，从不是辅助线，而是切实存在却藏在几何体的内部或者后背的东西。 二五年的全国二卷大的圆柱桶，里边放了两个小球，并且容器顶上还封了盖 虚线呀，他比较害羞，咱们肉眼一下子看不见，但是呀，当你愿意一层一层的剥开他的心，你会发现他永远在这里默默等着你。好的，接着我们来看一下具体的考场应用， 说在正方体 a b c d 杠 a e b e c e d e 中角 a e d e c 的 大小为。 首先，我真求你了，不要一上来就认为他是一个钝角，我们闭上眼睛认真感受立体几何的美，感受他的真实建模。你看，是这样的，转导，转导，再转导， 这了吗？是一个直角。所以在我们最开始学习立体几何的时候，一定要培养这种能够在大脑中把物体旋转的能力， 而这个能力的培养只有一条路径，就是反复的看，反复的看这个几何体的转动过程。 接着我们来进一步研究刚刚说到的正四面体，也就是有且仅有的四个面都是正三角形的集合体。等边等边还等边。 棱 a c 的 中点为 q， 他 问角 a q b 切换为人类视角 几何体边转动，大家可以边思考这条棱和这条棱之间有什么关系？当然呢，重点还是丁方角 a q b 转动，转动，再转动。 当我们俯身从正四面体的头顶观望这个底板的等边三角形的时候， b q 这妥妥的垂直平分线呢。那么角 a q b， 它就是九十度？没错，这个看似不直，挺有点像钝角的 a q b， 它刚好就是九十度大小。 接着看更难的第二个问题，要判断角 p q b 和六十度之间的大小关系。黄色的角 p q b 好 说，这六十度上哪找嘞？ 哦，等边三角形的任意一个角都是六十度，咱们取这个还是那句话，用心感受。 当我们把点 q 看成一个 a c 棱上的动点的时候，这个点 q 他 越是接近 a， 这俩角度大小就越接近。那么你认为点 q 向点 a 靠近的过程中， 咱们感受一下黄色角度是不是越来越锋利，越来越尖锐，但是大小也越来越小呀？ 没错，无论向谁靠近，都要付出相应的代价，靠的越近，代价越大。所以由黄到紫，由大变小。黄色大角 p q b 大 于六十度，紫色小角 p a b。 好的，接着我们再来看难度更大的第三题，要比较三角形 p q b 和三角形 p c b 的 面积大小。既然红蓝俩三角形都是等腰三角形，那预示不决，咱们先设个腰， 哎，这又是面积又是邻边的，直接把夹角设出来。 那么这红色三角形面积，咱们是不是就可以借助前面解三角形才学的等于二分之一倍？第一方 sizeit 蓝色更简单， 并且咱们老早就晓得了，角 a q b 等于九十度。点 q 在 a c 上，越是向 c 靠近，红色的腰第一就越长，逐渐变大，向第二靠近。 但刚刚第二问也说了，越向 c 靠近，黄色 c 塔越锋利，角度越发的小，所以 c 塔是在逐渐变小，向六十度趋近的。 呃，一个变大，一个变小，折拐了，比不了大小了 欸。等会儿，红蓝两三角形都是等腰，而且还有共同的底， p b 底边取中点标记 n 等腰三角三线合一， n q n c 两条高线重见无缝，最简单的最高效二分之一底层高， 底边相同，都是 p b， 那 么就只用比较 h 一 和 h 二两条高线就能够间接的得到面积的大小关系了。还是那句话，请用心感受。 在转动的过程中，大家可以认真思考怎么比较两条蓝色线段的长度，是最好最简洁高效的办法。哎，我发现了，这个角度就是破局的关键， 它也是个垂直啊！谁曾想呢，角 n q c 居然也是个九十度角，把 n q c 彻底放平，斜边长于直角边大小比较也就完美搞定了。 在视频的最后，给大家留一道二四年的北京卷高考真题，希望你可以用心感受。我是佳树，希望本期视频能够对你有所帮助。
12.6万加数
10:27查看AI文稿AI文稿啊，各位高中家长同学们啊，这个之前粉丝问我是张老师，你讲讲这个立体几何证明这个东西到底该怎么去学吧。啊，今天张老师给你们把咱们立体几何问题的处理逻辑给大家说一下， 有人说老师那立体几何那么长那么长，咱们不说具体，就你们所谓那些题型啊，咱们就说立体几何证明题的处理问题处理方法，证明题的处理方法，那么证明题的处理方法，咱们首先说我要知道立体几何证明咱们有处理哪些问题，是吧？ 啊？首先一条，一个是证明，一个是计算，咱们先说就说证明，证明的话无非就是什么啊，我的线面的什么垂直啊，平行啊，是不是？对不对？包括什么面？面的平行垂直是不是？ 这是问题，是不是让我证明哪个哪条线垂直于哪个面？是不是？或者证明哪条线平行于哪个面？是不是？我们先从问题出发这个问题，比如说啊， 是要证一个线面垂直问题，你看老师为什么不给你们用具体的举例，就是要告诉你，你们有的时候做题的时候大家做不上，或者说大家慌，就是因为你们杂念太多，你看这里头没有题， 我就直接是摆问题，我问你是不是咱们任何的那个图形，他甭管图形长成什么模样，是不是就这么大概就这么几样，是吧？ 是吧？就是证明线面关系呗，是不是？或者可能这是证明，哎，我证明个一面，证明个两条直线垂直，是不是线线，线面是不是？那再加个线线吧，是不是线线关系是吧？啊？ 我要正线面垂直，正出一个线面垂直之后来首先第一条先定位问题，搞定第二个第二步 上题目里边去定位去，此时我们才去定位去啊，我看了一题，几十题，我告诉你就怎么看，我都不看题，我第一步都压根，我就不看图，我就直接先看问题，你让我正啥？ 正完之后我先脑瓜子里头先反应出来啊？先变垂直，他需要什么东西啊？判定定理，性理是不是那些东西？然后紧接着第二步 上题目里找条件去，我要证明线面垂直，我需要哪些条件？此时干啥？用判定定理是吧？ 确定需要的条件，所需条件 啊，用判定定理确定所需条件 干啥？我这不正线面垂直吗？线面垂直咱们用干啥？我第一步首先是我要干啥？一垂二是吧？一条线垂直于一个面里的两条相交线，是不是？是吧？两条相交线，对吧？ 这就是所谓的判定定律，是吧？我用判定定律，我要确定一个我需要哪些条件， 你看这些这块我都不需要看图是啥？看图或者看条件， 需要看好了啊，我需要的东西。然后第三步它是干啥？去图形和条件中 找所需呗。 先看条件，因为我们比如说我线面垂直，我是俩条件，是吧？俩条件，两个垂直。两个线线垂直吗？是吧？两个线线垂直。我题目条件可能会有一个这个题目，这个有的条件他可能不是直接给你的， 我可能是用啥线面垂直的性质给你的，可能是用固定利率给你的，是吧？我给你一堆边长，让你给我算出直角来，是吧， 对吧？也可能是什么？比如说我是有等边，我三线合一这种东西，有中有终点是吧？有性质，几何性质。反正我能给出一个题目条件，一般的话大概就要有一个这个垂直条件，然后目的就是剩下的干啥？找剩下的找缺的条件 找，然后才是上题目找缺的条件，这时候找缺的条件时候干啥？大家记住了，找缺的条件时候你们要记着换个位。你比如说我现在 我如果给你一个，我证明 p a 垂直于一个平面 abc 就 这个底，一个垂直，就这么一个三中锥是吧？ p a b c 是 吧？我要证明 p a 垂直于 a b c 这一个简单图形，老师举个例子啊，那我现在这个有了，但是我另外一边我现在有一个垂直条件，你不管是我给你边长让你去给我求出来，然后或者是干啥， 另外一个我不知道，那我这时候不知道的时候，你记着，我就说我 pa 垂直于 ac， 我 找不定的时候，这时候干啥？记着要转换条件，我要正 ac 垂直于 pa， ac 垂直于 pa， 我 可以往下推， ac 垂直于 pa 所在的面儿 是吧？我不一定非得去挣个你，我跟 pa 和我，我挣 ac 垂直 pa， 我 有时候我可能挣不出来，就是这这个东西，老师只是举个例子啊，但具体的条件是不是会出现这种情况？那么但是我如果 ac 垂直 pa 所在的面的时候，此时我不一定非得 我非得去纠结于 ac 和 pa 的 垂直，我可以找 pa 所在的另外一个面的，我这个 ac 和其他的另外一个面的，我这个 ac 和其他的两个线段垂直就行了，是不是啊？对不对？ 条件的转化，转换干啥？我把它塞到另外一个面上去， 看见没有？就这种转换思想，然后有的说老师那有的还要做辅助线或者干嘛？做辅助线的原则是干啥？是让我们要找到我们所缺的条件是不是？那我做辅助线的原则是不是也跟这个一样啊？ 我得一点点找去，是不是啊？我要求点面距离，首先我得找点在面上的投影，那么我如果找不到，那就干啥？我找底面的垂面，就 过这个点的垂面就行了，是不是？找垂面，找交线，然后再做垂线，这么出来是不是 听明白了吗？但是前提是你得知道啊，我要做点面，垂点面距离，我要找啊， 点到面，点在面上的投影，也就是说把这过这个点的垂线，那这个垂线怎么去找？有的时候就就只有一个点，底下没有面，那怎么办？我找到这个垂面，找到交线，然后干啥？ 再往交线上做垂线去，是不是啊？有问题一步一步去找，去看见没有？这个路我是 由问题出发，问题需要哪些条件？需要的条件里面题目有哪些缺哪些？缺的东西我怎么去找？我用性质定律去找条件， 看见没有？而且我线面线面的找不着的话，我先找面面，然后再找线面升高为，然后再往低为转， 听明白了吗？就是立体几何是一个纯考逻辑思维的，有时候老师这玩意我们之后之后有那个间隙或者啥的，你们看一下子行，间隙这个东西有时候很无脑，是很无脑，但是间隙的这个东西有的时候 两条，我们高考出题立体几何这块东西需要考察我们的是对几何性质的掌握，直接拿间隙的话，几个几个几何性质这些东西就全都跑掉了，那变成直接考向量计算了，对吧？ 人家就是要让你去干啥？我要去间隙就不让你去间隙就不给你，这个咱们不给你，那个直角坐标系不让你做出来，你看咱们之前头两头两年，你看那个立即有人提是吧？就这样子，他不给你，系， 你没有这种三线垂直，你怎么找啊？你做都做不出来，你，你怎么整？我没有一个，我，我找不到两个垂面， 我找不到这两个互相垂直的面，我，咱找到两个互相垂直的面，我做垂线做，我做垂线是吧？我可以找到这种是不是？ 但是他这种都不给你，就是让你纯干啥？做几何证明你包括做角，包括做线面角，做二面角，怎么样子？我把把这个线面角，我把在立体图上，我线面角咱得是在一个平面上，是不是啊？ 把它转成平面的，把立体转平面，高位转低位是吧？找条件的时候找不着的时候干啥？低位转高位是吧？我线线找不着的时候往线面上找，然后再往 利用线面的性质，再往低位，再往线线上找，看见没有？这就是完整的一个啥。咱们立体几何的一个解析思路，就是大家做事的时候就这样子去做，先从简单题开始做，把性质定律 还有基本的辅助线是吧？我平行的时候干啥？找终点是吧？我垂直的时候干啥？我要先找垂面，是不是啊？对吧？ 就是这些基本的东西一点点往出练啊，一点一点练啊，纯练逻辑思维的。但是这个逻辑思维的路线从哪里起始？直接看问题，然后一步一步干啥？往下去找啊？听懂了吗？啊？
127张兵老师高中数学
11:47查看AI文稿AI文稿一口气讲完平行四大证明，无论是线平行还是面平行，我都会告诉你最简单逻辑和证明方法，听完我这节课，你就是平行世界的王。哈喽，欢迎大家来到逆题结合平行的全体行，在这节课，我会给大家把线面平行，面面平行 所有的关系全给你拉全了哈，非常的轻松，全都是松问题。那么首先呢，我们来看到线面平行， 你要去证明线面平行的本质是模子嘞，就是你其实是要去证明真正的线线平行的，只要你在这个平面上找到一个 b 式的 b 和咱们的 a 是 平行的， 那么你就可以说明咱们的 a 是 平行于这一个平面的哈，那么具体的符号是怎么写嘞？ a 如果说 a 平行于 b， 那 么如果说 a 它又不包 包含于咱们的 alpha， 然后呢， b 又是包含于咱们的平面 alpha， 那 么这三条综合起来，你就可以推得咱们的 a 啊，它是平行于咱们的平面 alpha 的， ok 了哈，这就是一个符号语言。 那么哈，我们再由这道题呢给大家讲一讲，如果说我们要去找线线平行哈，一般就只有两种关系， 第一种呢，就是咱们三角形的中位线，尤其是题目就告诉你有一个中点的时候，你立刻马上要反应出来这是中位线，所以说你马上要去找另外一个中点连成中位线。还有另外一个比较进阶的哈，就是说 他说告诉你这是一个三等分点，或者说他占另外一段比例为四分之一，那么你马上要去找另外一个同等比例的点给他连起来哈，那么这个等位线他也是平行的。 然后其次第二个嘞，是关于咱们平行四边形，他两组对边都是平行的，但是有同学说，唐老师他不就是平行四边形吗？那么我还要怎么证明嘞？哈，你一般是要先由一 组对边，你是平行且相等的，可以推得他是一个平行四边形，然后你才可以得到说我的需要的这一组对边，他是平行的哈， 说总共只有这两种方式的。那么我们不妨来看到这道题目，我根本不用去看，他问的是模子，他只用看 m、 n 分 别是终点，大家看一下哈， m 和 n 是 终点的情况下， 底面又是一个平行四边形，我现在要证明的是什么？咱们的 m n， 哈， m n 这条我要平行于咱们的 p b， b， c 这一个平面，就是前面这个平面，咋整啊？同学们，我有中点呐，我直接连接俺们的 b、 d 呀，对吧？所以说我们直接连 b、 d， 你 会发现咱们的 b、 n、 d 是 三点共线的，因为哈，咱们平行四边形，它是过中间这个中地中心的哈。 此时呢，我们会发现，哎，我们的 m 啊，它是为 p d 中点的。而此时呢，咱们的 n 呐，它是为 b d 中点的。马上立刻你就会得到什么，咱们的 m n 为中位线，所以 m n 它马上平行于 p b。 好， 开始默写公式了， 因为咱们的 p b 它是包含于前面这个平面的，又因为咱们的 m n， 它是不包含于这个平面的，所以 m n 它是平行于前面这个平面的。 over 了哈，所以说这就是第一个题目，这证明面面平行。 大家注意哈，咱们平面是由什么组成的？这它的标志是什么？你能构成一个平面，一定是因为你出现了一组相交的直线，那么这一组相交直线，它就可以唯一确定一个平面，它就相当于是这个平面的 logo， 对 吧？ logo 标志的意思， 那么此时你想，我要去证明两个平面是平行的，其实也就是在证明我们一组相交直线是分别平行的就可以了。 那么其实我们要真正证明的是两组线是平行的，那么我们刚才讲了，是不是有中位线的平行，还有咱们平行，四边的平的平行。 那我们来看到这道题哈，他说在一个四棱柱当中，咱们的四边形 a、 b、 c、 d， 就是 底边是一个正方形，然后 e、 f、 g 来分别为中点，我就高兴哈，因为它代表了非常多的中位线 e、 f， 还有咱们的 g 哈，那么此时呢，它让你去证明的是咱们的 a、 e、 f， a， e、 f， ok， 也就是这一个小三角形，然后呢，它是平行于咱们 a、 d、 g 的 a、 d， g， 哎，也就是后面这个大的三角形。 大家来观察一下哈，我们这两个平面，他会出现哪两组线线平行，你会发现哈，我这一画出来，这和这看起来就一模一样的平行，对吧？然后我们再来看哈，看得出来哪里不？哎，这和这也是平行的，所以说我们先来正什么先正？ 先证咱们的 a、 e、 e， 它是平行于第一 g 的， 那你来看一下我这一组它是平行，你要怎么说明呢？你会发现它其实是一个平行四边形来的，对不对？所以说你要去连接咱们的 e、 g， 连 e、 g。 然后呢，这时候你其实是要证明咱们的四边形， 哪一个嘞？是不是咱们的 a、 e、 g、 d e， 它是为平行四边形的，对不对？所以这时候嘞，我要怎么去证明它是平行四边形嘞？是不是因为咱们的 a、 e、 d、 e 平行于咱们 e、 g 啊？对吧？ a e、 d、 e 平行于 e g， 而且平行且等于。有些同学就会问，唐老师，为什么这里是平行且等于了？宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于了。宝贝，你看哈，咱们 e、 g， 它是平行且等于咱们的 b、 e、 c、 e 的， 那么 bc 又是平行且等于咱们的 a 一、 d 的， 所以说这一段和这一段就是平行且等于的。所以你就可以推得哈，一层一层往上面推，它就是平行四边形。所以呢，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，那么第一组边就证明结束了，我们再来看第二组边，我们选哪一个嘞？我们选另一个吧，这一个和 和咱们的这一段，他们两个为什么又平行嘞？你会发现哈，我这一个和这一个有一点像咱们三角形的一个中位线哈，但是具体的怎么像三角形中位线？来，我们连接一下咱们的 bce， 连 bc 一 的情况下，你会发现 ef 为中位线，所以 ef 它是平行的，对不对？ ef 是 平行于咱们的 bc 一 的，那么此时呢，我们的 bc 一 和咱们的 a、 d 一， 它也是平行的，但是你要正哈，怎么去证明来 正？咱们的 a、 d 一， 它是平行于 bc 一 的，那么你就会发现哈，这一组对边它平行，是放在这个平行四边形里边来的。 所以呢，你继续往上面一层去推，你要证这一个啊， a、 b c d e， 它是为平行四边形，但是这一个平行四边形怎么证明？来？你会发现哈，我只要证明这一个 和这一个它是平行且相等就可以了，你再去证 a b， 它是平行且等于 d e c e 就 可以了。 所以说你就一层一层往上面推，你就推到两个平行，那么推到两个平行了之后，你最后要怎么去写嘞？你要说，哎，我这一个平行于这一个，这一个平行于这个，然后呢？我这里和这他是什么？他是相交直线，哎，我这和这是相交直线，而且他们俩都各自属于不同的平面， 所以最后得证两个平面是平行的，我是要由平行四边形来证明的。这道题来，我也不管它写的是什么，我只用去看我需要的条件，比方说 f， 它为一个中点，那么肯定有中位线的考点。 然后他说求证 c e e 平行于 c e e， 我 们先找到在哪了？ c e e， 在 这的，我们要去找它平行于平面， a d d e a e， 也就是说我们平行于左边这个平面呗，对吧？大家再注意了，立体几何这种题目，你就直接写左平面哈，你不要去管这些字母，不然的话你看的慌， 那么我 c e 怎么给他平移过去找到左边跟它平行的那一组线嘞？你会发现我连接 a d e 看起来就很像了，但是实则它是一个平行关系嘞，你会发现哈， 看起来就是一个不折不扣的平行四边形啊，但是我要怎么去证明他是一个平行四边形来，那你就要去找一下题目条件了哈， 首先它是一个直四棱柱，那么此时嘞，还有它的四边形为一个梯形， a、 b 平行于咱们 c、 d 的， 所以说这条边平行于这条边，然后呢，它又是一个直四棱柱，所以说它又平行于这，所以说咱们的 a、 e 就是 平行于咱们的 c、 d、 e 的。 然后你再看哈，我们的 a、 e 为二的，然后呢？ dc 为二的哈， c 为二，那么平移上去， c 一 d 一 也是二的，所以说你又有平行，又有呃，相等的情况下，它就肯定是平行四边形哈，所以呢，我们就来写一下哈，因为咱们的 c 一、 d 一， 它是平行于 c、 d 的， c、 d 嘞，它又是平行于 ab 的， 所以咱们的 c、 d 一 啊，它是平行于 ab 的。 又因为咱们的 a 一， 它等于 c， d 等于 c， d 一， 它是等于二的， 所以立刻马上 c、 d、 e， 它是平行且等于 a、 e 的， 所以你可以推得咱们的这个四边形啊，它就是为一个平行四边形，对不对？ 然后呢，它是平行四边形之后，你就可以推得另外一组对边，它是平行的，所以一 c、 e， 它平行于 a、 d、 e， 然后你就可以说，哎，因为一个包含于平面，另一个不包含于平面，所以这一条线它是平行于平面的。 over 了， 那么我们再来看到拔高难度最后一道题，就是我们要去由平行去推比例关系哈，他是压轴题，更常考的 在一个四棱锥当中嘞，咱们的底面 a、 b、 c、 d， 它是一个平行四边形，然后呢？ e 点是一个三等分点， ok 了，然后 f 点呢，是一个点，一个动点。 他说，当咱们的 p a 啊，它是平行于 e、 b、 f 时， p a， 它要平行于 e、 b、 f， 也就是说我要在 e b f 上找到一条线段，跟它是一个平行关系，对不对？然后此时他问 p f， 然后比上 p c 为多少？不要管哈。那么此时我们应该咋搞来？同学们，这是我一定要给它掐过去， 加到这个上面哈，那么此时我们不妨就直接去连接咱们的 ac 为母子来，你会发现哈，我连了 ac 之后，此时大家会发现哈，我这是一，这是二的，对不对？这里是一， 这里是二的，那么我这一段就应该是三了，对不对？三。所以说你会发现我这出现了相似三角形，这一个三角形它是相似三角形，相似比为一比三的。 这时候你会发现，哎，我这一段比上这一段为一比三，对吧？所以这一段比这一段也是一比三。那么此时来我们连接一下咱们的啊，假设这个点是 o 点哈，我们再去连接一下 off， 如果说咱们此时这一段 比这一段也是为一比三的，所以此时这一段 off， 它就是一个等位线，等位线的情况下，它就跟咱们的 ap 是 一个平行关系的。那么你看我们最后的答案是不是已经出来了？ 他说此时 p f 比上 p c， 也就是 e 比上 p c， 这是四的，所以最后大家来选咱们的 d 选项。讲到这里，同学们，我想说，平行的本质是方向相同，永不相交。其实我特别讨厌别人说要追上谁谁谁，在立体几何里边平行线来，它是永远追不上的，但是它们都朝着同一个方向。我从小县城走上人大北 伟大，从来不是因为追上了某个人，而是和我心里那个最优秀的方向一直保持平行，你不用再去刻意的追任何人，只需要追求卓越，追求那个更优秀的自己。视频的最后，我给大家准备了三份非常重磅的干活， 分别是四十页的逆袭北大借题一百招，还有两万字梳理我为什么从五十分进不到一百四十六分的数学底层学习方法。最后来是为前五十名同学赠送一个免费的数学成绩分析和规划，点击我的主页这个群聊，就可以免费领取。数学想要考年级第一，从来不是天赋，而是执行程序。我是北大堂，我们下期再见！
963北大糖的数学课
13:31查看AI文稿AI文稿大家好，又到了即将要期中考试的时候，所以今天呢，我又准备了一套高一下学期期中考试的数学试卷。这一套数学试卷呢，还是很有代表性的，还是老规矩啊，你只需要关注我的公众号，会放羊的教书匠 在公众号里那个聊天框回复高一下这三个字就可以了啊，只需要在我的公众号回复高一下这三个字，就可以获得这一套非常有代表性的其中试卷了。记住啊，有效期只有三十天， 也就是说在视频发布之后第三十一天，你再关注我的公众号，回复高一下这三个字，可能就得不到这一套资料了，知道就行， 因为这一套试卷啊，他题量非常大，而且难度也是有的，所以咱就选择其中三道题来讲一下。第一道题的话，别看是个小题，你要用传统方法做还是需要花不少时间的，本身这道题呢，就 是从江苏高考一道题衍生出来的，然后 a 等于六十度，这是角 a 啊，然后 a 边呢，等于根号三，让你求这样一个取值范围，传统做法的话，需要做很长很长时间，继续要用到正前定理，比如说 a 比三 a， 这个，因为都知道啊，根号三比上二分之，根号三 等于二，也就是说外捐的直径呢，就是等于二的，然后还得用什么呢？还得利用一下这个余显定理，这是第一种传统的方法啊， 然后余弦定理的话，那就是 a 方等于 b 方，加上 c 方减二 bc， 然后再乘口三角 a， 因为你这个角 a 和 a 的长度都是知道，所以我就直接改了啊，他是等于三，然后口三 a 不就是二分之一吗？ 最终的话我们可以整理一下，也就是说左边这样一个三的话，咱先不要着急变啊， b 方 加上 c 方，然后呢？他问的是再加上 bc， 那你就加上 bc， 对吧？加上 bc， 然后加上 bc 以后的话，你右边是不是还得减掉二 bc 才能配平啊？对不对？然后把这个负二 bc 呢移到右边去，就变成了三，加上什么三，加上这个二倍的 bc 就行了。 也就是说我们只需要求出这个 b 乘 c 的范围，然后这道题就解决了。传统方法的话，你必须用到正弦定理、余弦定理这样结合的内容，也就是说 b 呢，是等于二 r 乘三 mb 的，也就是说他等于二乘三 mb， 然后小 c 的话，它是等于二乘三 c 的，能理解这个意思吧。所以说继续往下做圈一这个式子呢，实际上最终就等于三，加上八倍的三 b， 再乘三 c， 然后角 b 和角 c 的话，两个量，咱们最好转换成一个量，因为三角形他其中一个内角已经是六十度，另外两个内角肯定加起来是一百二十度，我们用一百二十度减去角臂，这样就都化成角臂了。后边这个过程特别特别多的一页纸，可能才刚刚能写下，甚至都写不完。 如果写详细过程的话，最终你会画成这样一个结果，他的话是等于三，再加上什么？三，再加上二，再加上四倍的，实际上最终也就是等于五，再加上四倍的这样一个三 二 b 再减去多少？再减去这个六分之拍的，然后根据这个 b 的范围，因为它是一个锐角三角形，人家说的很清楚啊，不是说任意的三角形，你要是锐角三角形的话，必须保证 b 它是小于九十度的，对不对？二分之拍，然后还得怎么样啊？还得是 大于多少？大于这个六分之拍，影下就不清楚了，你凭什么要大于六分之拍？原因很简单，如果你比六分之拍小的话，那角 c 就比这个二分之拍大了，理解吧，所以你自己求一下就行。 最终的话，这个圈的结果能求出来的啊，他就是在这样一个七到九的左右开右臂区间就行了。其实花了很长很长时间的啊，才能够做完正确答案，选 d 就行了， 其实有另外一种更加简单的方法。什么方法呢？咱们画这个辅助员不就行了吗？刚才由于线内里可以得到，其实这个 b 方加 c 方再加上 bc， 就是让你求这个三，再加上什么， 再加上二 b c， 你只需要求出这个 b c 的反过来就行。那 b c 是什么意思呢？咱们画一个图你就清楚了。好，这个就是 b c 的长度，也就是小 a 加它等于根号三，那你既然它这个角 a 永远等于三分之拍的话，现在我们把它三角形 a b c 的外接元这个圆 o 吧给画出来就行了。 我们只需要保证这个角是一百二十度，那这个点 a 在什么范围内运动呢？点 a 的话，肯定是在这条这个幽弧上运动，永远能够保证这个角 a 是六十度的，能理解这个意思吧，但是说这样就够了吗？其实也不是， 我们还有一个面积公式，这个面积等于二分之一， b c 三 a 角 a。 知道啊，也就是说四分之根号三 b c， 能理解这个意思吧？你本来的目的是求这个 bc 的范围，现在 bc 和这个面积呢？有，所以说我们只需要求面积的范围就行了。你说面积最大是多少啊？很简单的第一种情况，当这个 三角形变成一个正四角形 a b、 c 的时候，这个时候面积肯定是最大的呀，为什么呢？因为你以 b、 c 为底，以这个根号三为底，你这个高变成正四角形以后，也就是说 a 在 a 一这个地方的时候，它这个面积是最大，高是最大的， 能理解吧？正三角形的时候呢，这个面积最大值咱就直接算了啊，这个很好算，他是等于四分之三倍的根号三的。 那什么时候面积最小呢？有同学可能就要说了，老师，这个点 a 啊，跟点 b 就会重合的时候，反正这个面积大于零就行。其实不是的， 锐角三角形啊，你如果说这个点 a 在我画的这样一个位置，他已经变成钝角三角形，所以事实上锐角三角形的极限就是无限接近一个直角三角形吗？懂了吧，在 a 片这样一个位置，理解我的意思吧。所以说六 九十度的直角三角形，所以应该是大于他的面积的啊，这个面积很好算，一比根号三比二，他这个面积应该是大于图中的面积 a 撇 b c， 也就是二分之根号三的，你看他这个面积的范围出来了吧。二分之根号三 到四分之三倍根号三左开右 b 区间，所以说根据第二个式子，那这个小 bc， 也就是说 b 乘 c 的范围呢？也很快能得出来这个 bc 的范围是多少啊？其实算完以后呢，就是等于二到三的左开右 b， 那你再带入第一个式子里头嘛，所以最终的范围是不是就算完了吧，我就标成个圈三吧，所以说圈三也就是最终的范围呢，你带入以后还是七到九？你认为哪种方法简单？肯定是画图更快一些，反正是小题嘛，对不对？我们继续来看 第二个题，这个题的话是填空题的最后一道题，前头的话都是一些废话了，你自己读一下就行，从哪开始呢？其实你就看图二中，他有一个正六边形，边长是四，记住啊，边长是四， 然后内部呢，他有一个圆，这个圆的圆心正好是正六边形的对称中心，这个大家知道就行。那么半径是二行吧，反正你随便算一下肯定能算出来，这个圆肯定是完全被包含在这个正六边形内部的。 那么现在呢？点 p 在什么上面？ m n 是直径啊，点 p 在这样一个正如边形的边上运动，是一个动点问题，让你求 p m p n。 这个题的话方法很多了，我的话有一种非常快的方法。什么方法？对于原来说最重要的点 什么？肯定是圆心这个点？所以你干嘛不连接这个 po 呢？也就是说这个 pm 啊，本身你应该是写成 po 干嘛呀？ po 再加上 om 的，然后这个 pn， 同样的道理，他肯定是等于这个 po 再加上 on 的。我问你一个问题， 你说 om 和 on 是什么相量是方向相反，长度相啊，是两个相反相量。既然是相反相量的话，我这样一个加上 on， 其实相当于减去 om， 这个是没有区别的。 所以说你带入圆式里头 pm 点成 pn， 他就是等于 po 的平方，再减去 om， 他这样一个平方吧。 om 等于多长？ om 不就是这个圆的半径吗？等于二的平方吧，实际上也就是 po 长度的平方， 再减去二的平方，其实就是减去四，你只需要算出 po 的取值范围来就可以了，现在知道了吧？好了， po 范围呢？非常非常好算，你说算出来是多少啊？ 你看点撇到点哦，什么时候？最近肯定是当点撇运动到正六边形某一条边的中心的时候，你根据这个正四角形对吧？算一下正四角形的高就行。这正四角形呢，他这样一个边长是四对吧？那高就是二倍，根号三啊。咱们标上 那最远的话，不就是当点 p 跟端点点 a 或者端点点 f 这种类似怎么样的时候？这个重合的时候对吧？它的长度是等于多少呢？它正好是等于四的。 嗯，好，这就写完了。所以说圈一的范围算出来了吧。所以说圈一最终的范围呢，是等于这个八到十二之间的 横向上填八到十二就行了。这个题呢，你主要是得知道我们必须换成什么，其实相当于一个抵消法，你得意识到这个 om 和 on 是一个相反相量，得意识到点 o 是非常关键的一个点才行。继续来看啊，最后一道题， 有些学校讲的稍微快一些，这个是倒数第三道还是倒数第四道大题？有些学校讲的快，就已经讲到这个立体几何了。咱们也来说一下啊，这个题本身不算很难，在正方体中这个点译呢，是棱上的终点。 然后现在让你求什么呢？让你证明这样一个体对角线 b、 d、 e 平行于这样一个平面， a、 e、 c 呢？咱标一下吧，就这样一个平面能看出来吧。那为什么平行呢？你要证明这样一个线和面平行的话，是需要用什么？需要用线线平行来正的，那线线平行的话，你至少 得怎么样得平移？实际上你假装你有一把尺子吗？你可以拿一把尺子然后推，必须是平移啊， 将这一把尺子这个沿平移到这个平面里头，往下平移，正好会平移的，所以说这就给了你一些灵感了。复制线我就直接做了啊，其实只需要连接这个 b、 d 有一个焦点，对吧？ 比如说这个焦点是 m， 然后呢再连接一下 e m， 我们只需要证明 e、 m 平行于 b、 d， e 就行了。好了，现在我把这个辅助线画出来吧，这个里头呢写的是点 o 啊，知道就行。辅助线的话我说一下吧， 我们需要干嘛呢？第一步需要连接什么？连接 b、 d， 连接 b、 d 之后的话，这个 b、 d 与谁？ b d 与 a、 c 这个对角线呢，是交于点 o 的，并且连接一下这个点 o 与 于点 e， 对吧？连接完了之后的话，由这个立方体的性质肯定呢，它是一个平面啊， a、 b、 c、 d 是平面的话，所以点 o 肯定是终点，也就是说点 o 它是谁啊？它是 b、 d 的终点， 然后再继续啊，还有个终点啊，还有谁还有这个点意呢？他也是对应的这个 d 第一的终点。那既然是终点的话，两个终点是不是就出现了中位线？谁是谁的中位线啊？ 你看好了啊，在这样一个三角形 b、 d、 e、 d 中好两个终点的话，所以我知道了，此时这个 o、 e 啊， 它就是谁的中位线，就是 b、 d、 e 的中位线，这不就完了吗？线和平面内的一条直线平行于平面外的这个 b、 d、 e， 所以就平行，剩下的你写一下就行了。所以说这个 b、 d、 e， 它是平行于 平面， a、 e、 c 的就正完了。继续来看这个第二问啊，第二问的话，可能跟第一问有点关系，咱看一下吧。 这个第二问的话，说的是 f 点是终点，咱就标上了啊。然后呢？求证这个平面谁啊？就是第一问里头这个平面呢，和第二问里头咱画的这样一个 b、 f、 d 一，他是平行的。要想证明两个平面是互相平行的话，需要干嘛呀？ 需要证明两条线线平行才可以，对吧？两条线线平行，关键是怎么去正呢？其实已经有一条线成的了，也就是说，第一问中 咱们是不是已已经有一条线线平行了呀？也就是说这个 o、 e 它肯定是平行于 b、 d、 e 的，那 o、 e 平行于 b、 d、 e 不就相当于这个 o、 e 平行于谁？ o e 平行于平面，咱写上吧啊，平行于这样一个平面， b、 f、 d 一行再继续啊。那其次的话，是不是也很容易得出一个平行四边形 c、 f、 d、 e、 e 来？ 根据这样一个平行四边形的话，你想一想，第二组线线平行就出来了吧，也就是说这个 c、 e 呢，它是平行于 d、 e、 f 的，进而很容易推出来。谁呢？很容易推出来这个 c、 e， 它也是平行于平面 b， f， d， e 的。 根据判定定理吧。根据面面平行的判定定理。一个平面里头，这是不是两条相交直线？是啊，一个平面里头两条相交直线都平行于另外一个平面。所以说面面平行，懂我的意思吧？所以说剩下的你写清楚一些。然后呢？直接写平面是吗？ 平面 a， e， c， 然后平行于平面 b， f， d 一。然后这道题呢就整完了。分享课堂知识，感受数学之美。我是阿范老师，下节课再见。
4131会放羊的教书匠
03:55查看AI文稿AI文稿很多同学立体几何学不好，第一反应就是自己的空间感不行，但是郑老师说句实话，高中的立体几何考察你的空间感少之又少，他重点考察的思想并不是空间感，考察的更多的是同学们的推理能力。今天郑老师利用五分钟的时间， 重塑你立体几何的学习思路。关于立体几何的视频，赵老师已经给同学们准备了十七节的一个资料评论六六六，抓紧拿回去下载打印，相信你的立体几何绝对能够学明白。立体几何到底怎么学。第一部分一定是和初中有关系的一些内容，但这个内容只局限于什么呢？认识几何图形 不用考虑太多，我初中不会，怎么办？没关系，不影响，所以第一部分啊，就是认识图形。第二部分我们会写空间一些图形的什么的体积表面积公式，所以我们会学到表面积啊，体积的一些公式， 尤其是像球呀，设棱台啊，像这样没学过的一些内容，他的一些体积表面积公式我们需要单独学一下，其他以前学过的照用就可以了。第三个哈，是什么呢？ 强调同学们的一个画图能力，我们会画一些简单的一些几何图形，像圆柱啊，圆锥啊，棱锥啊，棱锥啊，像这样的图形球啊，我们都要会画，哎，这是非常重要的一点， 那这些的话，整体上就可以认为是什么呢？就是认识一些几何图形与初中有关系，或者说作为一个简单的了解就行。 像这个体积表面积公式里边可能比较难的一点就是什么呢？我们的内切球以及外接球问题，像这个是一个最难的一个点啊，那除了认识几何图形第一部分以外，第二个部分就是我们立体几何高中最重要的一个环节了，就是空间里的点线面的位置关系， 其中包含什么呢？比如说平行关系，然后呢？第三种垂直关系，像这个平行的话，比如说线和线的平行，线和面的平行以及面和面的平行。像这些线线线面面面，他们的一些什么呢？性质定力、判定定力都是我们需要掌握的一些重点， 好，包括垂直，垂直也是包括线线垂直，线面垂直包括面和面的垂直，所以同学们会学一些全新的证明的一些定力，包括性质定力和判定定力，这两点都会学。 那除了这样平行垂直语言进行的下一个内容就是夹角问题，但是这个夹角问题的话，包含的比如说线与线的一个夹角，线与面的一个夹角，两个面的一个夹角这三个问题， 间线先变以及二变这三个问题的话，在高二上学期的时候，我们会学到间线的方法去解决，但是对于高一的学生，反而这一块的话难度比较大，只能用 纯纯的几何法去证明。那历低几何这地方哈，周老师说他考察的并不是空间感，而是同学们的推理能力。为什么这样说？比如说我们看一下这两个证明题， 重点哈就是平行垂直的证明，这是我们高一的学生最需要学会的一些东西。那推理思路讲的是什么？比如说拿线面垂直的证明来说，我们需要用到线面垂直的性质定力，也就是说一个线如果和一个面垂直， 然后呢？ m 呢？恰巧在这个面里，那么我们这个线就会和这个线垂直，那根据定力的话同一位思考一下问题，我们想要解决这个线下垂直，我们就得需要用到线面，那我什么东西能整为线面呢？我们去想我们就需要找线面垂直的判定力理， 而线面垂直的判定定律呢，就是 l 必须要垂直于这个面里的两条相交直线，也就是说你必须要找到 l 垂直 b 就 行，而它俩垂直又变成了线线，再去找它们成立的原因， 也就说推背要体会，慢慢哈。想要证明一个东西，我们需要用到怎么去推理，把它给推出来，而不是看出来。至于例例题和的推理能力怎么去计算，下节课我们结合具体的例子，然后一起来提升一下你的推理水平。关注我，带你看更多更好方法！
138郑肖老师直播号
01:42查看AI文稿AI文稿今天我们来看一道立体几何的证明大题，如图，四棱锥 p 杠 a、 b， c、 d 中 ab 平行于 bc， e 是 ab 上靠近点 a 的 四等分点， f 是 pc 上靠近点 p 的 四等分点，证明 ef 平行于平面 p a、 d。 那么要证明线面平行，首先得知道线面平行的判定定力。判定定力为线在平面外，且 平行于平面内。这道题呢，不太好从我们的平面 p、 a、 d 中找到与 e、 f 平行的直线，所以得利用到我们的面面平行的性质去推导到我们的线面平行。 所以接下来我们就构造我们的面面平行来以此达到我们正的线面平行。那么题目中说到了两个四等分点，那么肯定是要用到我们所证明线线平行的 平行线分线段成比例，所以取 d、 c 中靠近地点的四等分点为 g， 然后连接 e， g， f、 g。 根据我们的 f 点， g 点和 e 点分别为我们的四等分点，那么根据比例就可以证明出我们的 f、 g 平行于 pd， eg 平行于 ad。 那 么就可以得到我们的平面 e， f、 g 和平面 p a、 d。 它是平行的，那么既然面面平行，那我们就可以推断到我们的线面平行 ef 平行于平面 p a、 d。
49一昂数学🧑🏫
19:43查看AI文稿AI文稿好，同学们，立体几何不用愁，解析套路全知透，高中立体几何一大巨头，证明问题的半壁江山就是我们今天要讲的空间中的平行关系。想要立体几何不丢证明分， 空间中的平行关系必须知透，掌握判定定理性制定理规范答题步骤，证明题轻松满分，接下来让我们开始吧。哦，同学们，今天呢，我们来讲一下立体几何当中非常重要的证明模块的 平行的相关证明。那我们这主要分为三大块，主要是线线平行，镜面平行，还有面面平行。那我们首先先从线线平行来说一下， 那线线平行呢？在讲它之前，我们先简单的把线线的这个位置关系我们全部给它罗列一下。我们说对于线和线来讲啊，它的位置关系呢，我们是主要分为，呃，这个两大类啊，一个是共面，一个是异面， 那共面又分为什么呢？共面当中我们又分为平行相交， 其实还有一个，其实还有一个是重合，只不过是这个我们一般来说很少去提啊，然后呢，对应的只要不平行也不相交，当然肯定也不重合，我们称之为就叫一面直线，所以这个是我们说直线啊，在空间当中的一个位置关系。那垂直属于什么呢？垂直比较特别，它有可能是相交的垂直， 也有可能是意面的垂直，所以我们垂直不会单独拎出来，作为一个位置关系来讲，它就是它既有可能是共面，既也有可能是意面啊。 好，这个是我们说线线位置关系，那接下来我们来讲线线平行一般怎么去正，只要我们的线线平行，没有单独的以一个小问的形式去考察的话，我们一般来讲用初中所学的内容用什么呢？比如说非常典型的平行四边形， 也就是我们只需要去证明一组对边平行且相等，那我就可以得到另一组对边一定是平行的，这是一种，或者说我还可以利用相似，那相似当中最为典型的就是中位线， 这个是我们用的非常多的。然后除此之外呢，比如说我还是可以去利用这个传递性啊，我们说 a 平行于 b， 然后 b 平行于 c， 那 这个时候我一定可以得到 a 平行于 c， 对 吧？这个是我们初中所学的一些涉及到的相关证明，那我们在高中当中啊，如果是你其中某一步需要这么去证的话，你完全可以去用。 但是如果我们的线线平行，单独一个小问的形式让你去证，他肯定不是考这些这么简单的，他会考的是我们到时候后面会来讲的性质定理啊。我们来讲一下，我们来啊，其实也就是我们对应线面平行和面面平行的性质定理啊。首先我们先来讲一下线面， 线面平行的话呢，首先还是要我们把这个位置关系罗列一下，我们说线和面空间当中的位置关系，首先还是可以去分为啊，这个平行 给他往这边来，首先呢可以是平行的，平行的时候，这个时候对应的是有零个交点，或者说我的线面相交，相交的话呢，这个时候其实也就相当于是线穿过这个面啊，所以是一个交点， 然后也有可能是线在面上，也就是我这也就以重合写，但其实严谨来写的话，应该线在面上啊，这个时候是无数个交点， 因为整个线都在上面啊，所以相当于线上的任意一点都是他俩的公共点。好，那接下来我们来讲证明对于线面来讲，他有判定定力和性质定力。 判定定力我们是怎么去挣的呢？我们说如果你要去挣线面平行，只需要去找线平行于面内的一条直线即可。所以我们在描述的时候啊，首先 得有一个面，阿法有一条线 l， l 平行于面内的一条线 m， 那 我们符号语言描述的话，就是 l 平行于 m， 同时一定要记得去说明 m 在 面内和 l 不 在面内啊，这一定要去注意。 然后啊，由这三个条件同时满足，我才能得到 l 是 平行于阿法的。所以我们会发现啊，如果我想去证明线面平行，我需要找什么？我需要找的是一组线线平行 啊，这是我们线面平行的判定定里。那接下来他对应的还有一个性质定理，性质定理是什么呢？就是相当于反过来我们刚刚说要正线面平行，对吧？那性质定理是我已知了线面平行，我又可以去推什么？ 那我们说对于已知线面平行，就像 l 平行 alpha 现在是变成已知条件了，那我们说可以借助线面平行去推线线平行怎么去推过这条线？因为我现在已知 l 平行 alpha 过这条线，我做一个平面， 任意一个平面都可以啊，背它，此时这个平面一定会与 alpha 交于一条直线 m， 那 我符号元怎么去描述 l 平行于 alpha， 且 l 在 beta 面内，又已知 l 啊，这个 alpha 交 beta 于 m， 所以 这个时候就可以推出啊， l 一定是平行于 m 的， 所以这个是我们说线面平行的性质定律，它其实是可以推出来什么？它可以推出来一组线线平行的， 那这个就是我刚刚所谓的，如果这个线线平行单独一个小问考察，他肯定不是考我们上面讲初中所学的东西，他一定是在考这个性质定理，也就相当于题目看似让你挣线线，实际上让你找的是线面 啊，好，这个是线面平行，那接下来我们再来看面面平行，面面平行的话啊，首先还是一样他的一个判定定理， 它是有规律的。我们说线面平行要找的什么？是找线线，对吧？那我们说对于面面平行，你要去正它的话，这个时候我们就要找的是线面， 那我们要找几组呢？这个时候我们是要去找两组，而且我们对于这两组线面平行是有特殊要求的，这两组线必须是相交的，比如说这也是阿法，这也是贝塔，我必须是满足阿法内有两条相交的直线，比如说 a 和 b 均平行于另一平面贝塔，我才可以去证。那我们来写一下符号语言的描述，首先 ab 必须都在阿法内， 同时我得表达出来 ab 是 相交的，那你就必须以一个 a 交 b 得有一个点的形式啊去描述出来，或者你用文字语言描述 ab， b 交于一点 p 啊，类似的都可以。 好，然后接下来同时满足 a 平行于贝塔， b 也要平行于贝塔，那这个时候我就可以说明此式阿尔法一定是平行于贝塔的，也就是我要找面内两条相交直线均平行于另一平面。那这个时候我们刚说了，它其实就是找两组线面即可， 一定要记得去强调啊，这两组线必须是平行的。好，那接下来性质定律。 那我们前面讲说线面的性质，可以推线线，那我这里的面面性质肯定是可以推线面的，对不对？那这个时候我们来看啊，只要已知阿法和贝塔平行，因为我们说性质定义就相当于反过来平行变成了已知条件，也就是已知阿法平行于贝塔。 那此时我只要在阿尔法面内任意一条直线，你背他面上也行啊。反就是我只要面内有任意一条直线，此时这条直线就一定会平行于另一平面，所以我就可以得到 l 一定是平行于背他的。 这个是我们说可以去推啊，线面平行，我这就简写了啊，可以推线面。好，那面面平行能不能推线线呢？也是可以的。如果说我们想用面面平行去推线线，这是第一个，然后我们来看第二个， 如果已知了面面平行，我想去推线线平行，那这个时候我们必须要找一个第三个面与两个面同时相交啊，比如说这里有一个面啊，与它交于这条线，然后延长和底下这个面呢？哎，也交于一条线，比如说交于的这个是 m， 这个是 n， 那 我们说只要是同一个面与两个平行面相交的，这个两条交线一定是平行的。这个在我们之后做洁面问题当中经常会用啊，我们现在就相当于先做一个了解那符号原描述的话，比如说这个面是伽马，那这个时候也就是已知阿法平行于贝塔， 写阿法交伽马于 m， 贝塔交伽马于 n， 那 这个时候就可以直接推出 m 一定是平行 n 的， 这个就是我们是一道平行定律当中啊，基本上我们常考的定律就是这些啊。 好，那接下来我们来结合具体的例题来看，这些都是一定要会背的啊。好，然后接下来我们来看例题。首先先来看下第一道题， 如图，在下列四个正方体当中， a b 为正方体两顶点， m n q 为所在棱的中点，能正出 a b 与 m n q 平行的是好，也就相当于让我们去正先面平行，对不对？那我们首先先来看 a 选项， a 选项能不能乘出来线面平行，那我们回忆刚才定例，我们要正线面最主要找什么？找线线对不对？找一组线线就够了。好，那现在我们来看，我既然要证明 ab 是 平行于 p m n q 的， 我只需要去找 ab 能不能在 m n q 这个面内找到与一条与它平行的线。 我们说最简单的办法就是什么？你自己在做图的时候啊，你可以把笔放在这条线的位置，给它做平移， 平移直至有交点，那这个时候你就会发现，很显而易见，我这条线不能在这个面上，对不对？因为这个时候我和这个 q 已经相交了，但是我底下的这条线并没有和 m n 有 交点，所以这个时候 a 选项是正不出来的，它实际上应该是和哪个面平行，它实际上应该是过， 就是它应该是过这个点啊，就假如说我是以 q， 比如说我这里标一下，这是 c 啊，这是 d， 它应该是 ab 与 q c， d 是 平行的，因为我可以正出，比如说这是 o 点，我是可以正出来 ab 平行于 o q 的， 这个怎么去正？ q 是 中点， o 也是中点，所以我可以利用中位线正，所以 a 选项这个地方是错的啊，它不是这个面。 然后接下来 b 选项 ab 平行于 m n q， 那 这个时候还是一样，我们去找平行，那你会发现， ab 是上底面的对角线，它和下底面 m q 均为中点的，这条线显然是平行的，对不对？所以这个时候可以推出啊，它是线面平行，怎么去证呢？借助 ab 是 平行于 m q 的 啊，同，然后接下来再来看 c 选啊，所以 b 选项是对的哈，然后 c 选项 ab 平行于 m n q， 那 首先还是一样，我找这条直线，它是左侧面的对角线，同样的道理，你会发现我平移啊，你可以选择平移啊，或者说你能直接看出来也行。 平移之后你会发现，哎，我正好可以和这里的 m q 是 重合的，所以这个时候我只需要去证 ab 平行于 m q， 我 就可以证出线面平行，所以 c 也是对的。 然后再来看啊，这个 d 选项 d 选项 ab 在 这个位置，那接下来还是一样啊，你可以去平移，或者说你直接观察都是可以的。 那我就发现，哎，我平移的时候，正好能平移到前面面朝我们的这个面上的 n q， 所以 这个时候它证明 ab 平行于 n q， 我 也可以推出线面平行啊。所以这一道题除了 a 不 选啊，其他都是可以选的， b、 c、 d。 然后接下来我们来看第二题，已知四棱锥 p 杠 a、 b、 c、 d。 底面为平行四边形， e 为 ad 的 中点。好，这是中点 f 呢？在 pa 上 ap 等于 number 倍的 a f。 已知 pc 是 平行于面的，则 number 的 值。 好，已知线面平行，那你就要注意了，我们说已知线面可以推什么？已知线面我是可以去推面面平行，对吧？这一方面是证明啊，但当然我们要证明面面平行得有两组，我这也只有一组，那我就只能想，哎，他可以利用性质定力，我们说面面平行的，线面平行的性质是可以去推 线线的，对不对？那我们来看具体怎么去找。首先 pc pc 直线对应的在这个位置， 然后呢，这个时候已知它是平行于 b e f。 好， b e f 在 这个位置。那你就想啊，那我 pc 一定会和这个面里面的哪条线平行呢？我们说最直观的一定是什么？ p e。 比如说，你看我把 pc 平移过来，直至确定过这上面一个点，所以是不是一定会过 f 点啊？但当然这个图画的有点不准啊，所以有点歪啊，它对应的是不是？呃，是，是啊，对，是有点歪啊，它这个地方其实相当于，比如说我把这个点标一下啊，这个是 m 点， 它一定会平行于 fm。 这个怎么去解释？就是利用我们线面平行性质定律就可以。比如说，你像这里，我已知 pc 是 不是平行于 pdf， 同时我又知道 pc 是 不是在面 p a c。 当，呃， p a c 上， 而面 p a c 又和我们的这个 b f 是 相交的，交于哪个线段呢？这个时候我们可以在图上啊，给它找出来 p a c 这个三角形和我们刚才讲的 m e f， 呃，这个 b f e， 首先有一个公共点是 f， 另一个公共点在哪？另一个公共点就是 m， 所以 这个时候我知道它们交于 m f， 交于 m f 的 话，那这个时候结合我们线面平行的定义，我们就知道了，线平行于面，则过该线的任意一个面与这个平面的交线一定和原直线平行，所以这个地方我就可以推出 pc 一定是垂直于 m f 的， 所以这个是我们线面平行的性质，定能得到一个条件，那这个时候我就可以得到 ap 等于纳姆塔 af 我是 可以转换的。 ap 比上 af 等于纳木塔。那我利用相似 ap 比 af， 我 现在就可以转换成 ac 比 am。 这个利用的是什么？利用的是三角形 a f m 相似于三角形 a p c 利用什么来的？利用我平行正出来的，没问题吧？好，那接下来我就只需要去算 ac 比 am 就 可以了。那 ac 比 am 好 不好算呢？也是好算的， 为什么我还是可以用相似，这个时候用的是哪两个三角形相似呢？这个时候我们用的是 a， 这个我看我标一下啊，这个应该是 a e m 和这个 b m c， 啊，和这两个三角形相似，我这里来写一下 三角形 a e m 相似于三角形啊，这个地方应该是 c m b 这个你要正相似的话怎么去正啊？这两个角是相等的，对角也是相等的啊，所以它是对应的，是可以去正相似的。正相似呢，这个时候就可以得到。 我们刚才要算的是 ac 比 am， 对 吧？ ac 比 am 其实就可以转换成 am 加 mc 除以 am， 而我们这两个三角形相似，又可以推出什么？可以推出 am 比上 mc 就 应该可以转换成我这里的 a e 比上 bc， 又因为 e 是 终点，所以它其实就相当于是二分之一。那这个时候我就可以不妨令你，不妨令 a m 就是 等于一， m c 就是 等于二，反正我只是算比例嘛，对不对？所以它这你代减的话，就相当于应该是一分之一加二，所以它的倍数应该是三。所以最终答案就出来了 啊，所以这个地方呢，就是在利用我们的线面平行的性质定律啊，去做一个转换。好，接下来我们来看这个第三题。 如图，正方体棱长为二，则下列四个结论中错误的是。好，我们首先先来看 a 选项， a c 一 与 a d 一 为异面直线。好，回忆一下，我们前面讲异面直线的 概念是什么？定义是什么？我们说只要是既不相交也不平行，当然也不重合啊，但我们说一般直线你判断的话，它不可能是给你重合直线啊，那我们来看 a c 对应的在这个位置啊。这题对角线相当于啊， a c 一 啊，看错了， a c 一， 那应该是上面这条直线啊。然后接下来和这个 a d 一 a d 一 在这个位置 啊。那你就想他们俩可不可能平行，可不可能相交？首先平行肯定不可能，对不对？那有没有交点呢？那你结合你自己比划一下，你也能看出来，它显然是没有交点的。所以 a 选项是正确的， 既不呃，既不平行，也不这个也不相交啊，所以它对应的是一个异面直线。好，然后再来看 b 选项， a、 c 一 平行与 a、 c、 d 一 好。 那这个地方就涉及到我们前面讲了，这也让我们去证的是线面平行。那我们说线面平行要找什么？要找一组线线对不对？那我只需要去找 a、 c 一 平是否平行于这面？那一条直线 a、 c、 d 一 在哪呢？ a、 c、 d 一 对应的是三个面上的对角线 啊，是这个面。那我哎一画图就判断出来了， a、 c、 e 显然是和 a、 c 平行的，对吧？因为它上下底面的对角线啊，所以这个时候它俩平行，我就直接可以称，呃，推出线面平行啊，所以它一定是对的。然后再来看 c 选 项，平面， a、 c、 e b 和 a c、 d e。 好， 我们来找一下啊， a、 c、 e、 b 啊，对应的应该是这个三角形 好，然后 a、 c、 d、 e， 那 就是我们刚才黄色的画的虚线，这个三角形好，现在面面平行。那来回忆一下，我们判定定理，如果要正面面，我们需要知道什么？需要找两组线面，对不对？ 那两组线面，其实我们又讲了，你要正线面，其实也就是正线线，所以它其实也就相当于归根到底找两组线线平行就行了。但是你在证明写解答题的时候必须写的是线面啊，不能直接从线线到面面 好，那下面我能不能找到两组平行呢？那，那可太可以了对不对？它都是这个面上的对角线，所以你会发现啊， a d 一 和 b c 一 是平行的，同时 a、 c 一 和 a c 也是平行的，两组找到了对不对？两组找到你就可以转换成两组线面，两组线面我就挣出来面面平行了啊，所以 c 选项是正确的，这个是这个正方体当中特别喜欢考的两个面啊， 而且这两面还一定是等边三角形啊。然后接下来我们来看 d 选项， d 一 杠 a， d， c 的 体积为三分之八，那这个地方呢，涉及到我们前面讲三棱锥的一个体积公式，三棱锥的体积公式我们说是怎么算的？ v 等于三分之一， 底面积乘以高，对不对？好，那来看啊， d 一 杠 a， d， c， 我 们把这个，我用这个红粉红色的笔啊，把这个三轮锥给它拎出来啊，白色吧，不然看不清了啊。好， d 一 杠 a， d， c， a， d， c 的 话，底面是 a， d， c， 好，我们给它做出来啊，这个是三等锥，那这个时候显然我就发现它底面积是谁？底面积应该是三角形 a， d， c， 对 不对？所以也就是三分之一 s 三角形 a， d， c 高呢？正好就是我的棱长啊，所以是 d， d， e， 那 我们接下来代入就可以了， 三分之一 a， d， c 的 面积应该是二分之一，底乘高正好也就楞长相乘二分之一，乘二，再乘二，这面积再乘上它的高，也是楞长，所以乘二，所以解出来的话呢，最后应该是三分之四，所以 d 选项是错误的啊，所以这个唯一错误的呢，应该是 d 选项。 那我们的平行我们就梳理完了，平行这一块，最主要就是学会怎么去找平行的直线，或者说记住我们对应的定律，学会怎么去找这个条件，这个是最重要的啊，像，呃，比如说像看图啊，或理解啊这种空间当中的思维，那我们只能说慢慢做题，慢慢去积累。
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26:10查看AI文稿AI文稿今天我们要学习内容是高中立体几何这块的洁面问题，那么说到洁面问题，很多小伙伴都会比较头疼，为啥呢？ 因为它确实比较考验我们的空间想象能力。那么举个例子，比如说在这个正方体中，哎，出现了 a、 e、 f 这样一个平面，那么我们来观察一下这个平面它有哪些特征好，那么首先呢，我们看到 a e、 f 这条边，它是怎么样的？它是出现在整个正方体的前面的，对吧？它是在表面上出现的，但是呢， 相反呢， e f 和 a e 这两横边呢，它是深深嵌入到正方体内部的，从中间穿插而过的，所以说遇到这种情况呢，我们是很难对它进行处理的，为啥呢？因为这个平面它首先是一个不完整的平面， 我们说什么能称得上一个完整平面呢？也就是它的每一条边都出现在我的立方体的表面上，哎，这才算完整。但是呢，出现了 e、 f， 出现了 a e 这种从中间穿插而过的， 我们无论是想求面积也好，求体积也好，或者说求动点轨迹问题也好，哎，他都是不好进行操作的，所以说呢，哎，我们先来看一下，先把它扩出去，把它变得完整，会变成什么样子，哎，会变成这个样子，那么我们来观察这个图像 平面呢？还是这个平面，只不过这一次呢，它的面积变大了，哎，变成了这个绿色框框，对吧？所以说这个绿色框框带来的这条边，这条边，这条边，还有这条边，这几条边是不是全都是浮于表面的， 全都出现在了立方体的表面上呀？那么这个平面呢，它就是完整的，那么从这一步到这一步，那我们进行了扩平面的操作，那么扩平面有哪些方法呢？ 这块给大家介绍两个方法，那么第一个方法是可以通过平行来扩平面，第二个方法呢，可以通过相交来扩平面，对吧？我们说根据立体几何的基本事实，一平行可以确定平面，相交呢，也可以确定平面 啊，这就是这两个方法的由来。那么平行扩平面呢，他属于是比较简单，也比较好想，而且呢也足够应付大多数问题了。但是呢香蕉扩平面比较难想，比较抽象，而且呢他的出现场景也会相对来说比较少，但是呢有些问题他确实只能通过 香蕉来解决，所以说两个方法我们都要会。好吧，那么依次来认识一下，首先来看一下平行怎么扩平面，比如说这块出现一个平面 abc， 那 我想把它扩出去，那么我就可以过它的一个端点，比如说这块呢，我过它的端点 c 去做谁呢？去做 a b 的 平行线。好，那么我现在是不是就得到了 c d 和 a d 这样一组平行关系啊？那么根据它俩平行，我是不是就能确定一个平面，那么再去连接 b d， 好， 平面就出现了，这就是怎么通过平行扩平面，非常简单， 那我们往往只需要过它的一个端点做什么？做对边的平行线，哎就可以了。好，那么之后呢，再来看一下相交扩平面还是这个平面，哎，只不过这一次呢，我需要干嘛？我需要延长它的某一条边，比如说我去延长了谁啊？延长了 a b， 把它延伸出去，哎，找到点 d， 找到点 d 之后呢，再去连接 c、 d， 同样的我这个平面也得到了扩张，但是呢，哎，这块比较抽象，就是这个为啥非要去延长 a b 呢？对吧？为啥它的延长中点 d 呢？对吧？很多小伙伴会有这样的疑惑， 所以说我们依次来看一下相交扩平面在实操中应该注意哪些点？那比如说这样一个平面，我们首先要关注的是啥？就关注的它的一条边和一个端点，那么一定是这条边和它所对应的这样一个端点， 那么我分别把这一条线和点呢放到哪里啊？放到两个平面中，把这条线呢放到 alpha 平面中，把这个点呢放到 beta 平面中，好，那么这条线呢，就是我们要做延展的线，对吧？我要把它延伸出去，那么同样的话，我也得过这个点 去让它俩相交，那么我们来想一下它的交点会出现在哪里？是不是它的交点一定会出现在两平面的什么交线处，这个点 p 呢？一定是线通过延伸之后和交线的交点，那找到点 p 之后呢，我再去连接这两个点， 是不是我就成功的进行了扩平面了？那么原本的话，这个平面这条边它是出现在立方体的内部的，那么通过扩平面之后呢，变成了这条边和这条边是不是全都是怎么样 出现在 r 法面和 b 堂面中的？最终完成了我们的诉求。好，那么了解完橡胶扩平面之后呢，我们一起来看一下例题。那么首先告诉个棱长为六的正方点 e 呢？是做了中点 点 f 呢？在这里做了三等分点，分别去连接之后呢，得到这样一个紫色结面，现在问题是这个结面它所结的完整面积是多少？那首先我们来观察 aef， 它是不就是我们所说的不完整的平面，为啥呢？因为首先 a f 出现在正方体的表面上没问题，但是呢， a e 和 e f 它都是内嵌在里面的，都是从中穿插而过的，所以说面对这种图形，我们需要干嘛？ 我们需要扩平面，那么扩平面两个方式既可以通过平行来做，也可以通过相交来做，那么在一般情况下呢，我建议大家能选平行，尽量选择平行，为啥呢？因为它相较来说比较简单，需要考虑的也比较少，对吧？那么这里回顾一下怎么通过平行扩平面，比如说这里给了一个需要扩大的平面。 好，那么第一步呢，我们先去观察一下它的每一条边，哎，它的每一条边有没有出现在所给立方体的表面上，那比如说这条边它出现在立方体的表面上，我就可以过它所对应的端点， 怎么样做平行线让它俩平行之后呢，再去连接，哎，平面就扩出去了。那么回到我们这道题，哎，对于这个 a e f 来说，你会过哪条边做平行呢？是不是肯定是过谁啊？过 af， 而且 af 它所在面呢，正好是正方体的正面，所以说 af 所对应端点呢是点 e， 哎，我就需要把点 e 放到哪里啊？放到正方体的反面，对吧？也就是这个面，哎，正面和反面它俩本身所在面呢，就是平行关系，所以说这次我过点 e 去做 af， 平行线肯定也是能做出来的， 好，那么直接做啊，做出来之后呢，得到这样一个端点，那么别急，哎，我们把这个端点找到之后呢，先去确定他的位置，对吧？那么由于平行的关系，我能得到这个三角形和这个三角形他俩是相似的，那么下面这个三角形呢，长直角边比短直角边呢是六比四， 也就是三比二，那么上面这个三角形呢，同样也是三比二的，由于点一是中点，所以说这块长度呢就是三，哎，这块长度呢就是二， 所以说这个端点的位置呢，我就找到了，那么给它起名叫点 h， 那 么我再去连接 a h， 好， 那么左边这条 a e 是 不是就成功把它括出去了？那么 a e 有 了之后呢，我们还要扩水，还要扩 e f， 那 么一样的道理，我们再来看一下，还有哪组平行可以找呀？ 这一次哎，我可以把 a h 放到侧面中，那么点它所对应的端点点 f 呢，也放到这个侧面中，哎，两面平行，所以说呢，我肯定能过点 f 做它的平行线嘛，所以说这一次呢，我继续来做平行，找到这样一个端点，对吧？那么这个三角形和这个三角形它俩就是相似的关系， 那么下面这个三角形，这块是四啊，这块是六，对吧？同样也是三比二，那么这段呢，长度是二，这段长度呢就是三， 所以说找到点 j 的 位置呢，就位于哎，这条线的中点，好吧，那么找到点 j 之后呢，再去连接 e j， 好， 那么由此呢，我就成功把它的平面补齐了，补齐之后呢，我们之后是要干嘛？是要求得面积，对吧？所以说我们来观察一下，这样一个不规则的多面体，怎么来求面积呢？ 那么我们说这块要使用割补法，把它割补成我们熟悉的三角形啊，或者说梯形啊。那对于这道题来说呢，我就可以连接 h f， 把它分割成下面这个三角形和上面这样一个梯形。它为啥是梯形呢？ 很简单，因为这里都是中点，所以说这条线呢，他和我这个正方形的对角线是平行的，对吧？他俩平行，那么又由于呢，这两个点，对吧？都是位于这里是二，这里也是二，所以说呢，这里和这里是不同样也平行啊，对吧？那他俩平行长度又不相等，所以说上面是个梯形，好吧， 把它分割出来之后呢，先看下面这个比较好求的三角形，那么这里是四，这里是六，所以说它的长度呢，二倍根号是三。那么继续来求一下 h f， 刚刚我们不是说了吗， h f 是 不是和这条对角线长度是相同的呀？对吧？那么对角线长度是六倍根号二，所以说它也是六倍根号二。 好，那么下面这个三角形的面积是不是已经可以求了？我们再来看上面这个梯形，上面梯形的话呢，首先你发现，哎，直接求的话不太好求，那这块呢，我的选择是把它补成什么？ 补成三角形，那首先来算一下 e j， 因为这里是终点，这里是终点啊，他是三，他是三，所以说这块是三倍根号二，那么我同样我就可以把这个三角形补出来，对吧？把它补回三角形。 好，那么由于呢点 e 是 做了它的终点，它为啥是终点？原因很简单，因为这块和这块平行啊，它的长度又是它的一半，所以说 e j 呢，是做了整个三角形的中位线，所以说呢，上面这个小三角形的面积就是整个大三角形面积的多少呀？四分之一，这里是多少三分。 那么这个大三角形面积呢，又和下面这个大三角形啊，他俩是全等的，所以说俩面积呢又相等，我又知道下面三角形面积是 s， 所以 说整个面积呢，是不是就是四分之七倍的 s， 我 只要把 s 算出来 好，那么再乘上系数，整个面积就有了。所以说下面这个三角形呢，单独把它拿出来，腰长是二倍，根号十三啊，底边是六倍，根号二，那么三线合一之后呢，这块是三倍根号二，有底有高，哎，面积就可以直接算了， 那么最后面积算出来呢，就是这个东西。那么这道题呢，我们说除了通过平行来做，也可以通过什么？也可以通过香蕉来做，那么我们一起来感受一下，要通过香蕉来做，我们需要干嘛？我们刚刚已经具体讲了，对吧？它的几步，哎，首先呢，要找一条线和它所对应的端点， 对吧？那么线的话呢，这次又能选择谁啊？是不是只能选择 a f 呀？ a f 所在平面在哪里？是不是在这个正方体的 正面，那么它所对应端点呢？是点 e， 点 e 呢，既可以被视作是在上面，也可以被视作在反面，对吧？那么这次呢，我为了让两个面产生什么交线，只能选择在上面，所以说呢，我把 a f 放进这个面中，哎，把它放到这个黄色面中，把点 e 呢放进蓝色面中， 好，那么选择完两个面之后呢，我去找到他俩的交线，也就是 a 一 b 一 这条线，把它延伸出来，那么之后呢，再去延长谁呢？再去延长 af， 找到他俩之间的交点，那么有了交点之后呢，再去连接点 e 和这个交点，那么点 e 在 这里相交于一点，哎，那么这个点呢，就是点 j， 当然点 j 的 位置在这块，我们还是通过相似的，对吧？那这里是四 啊，这里是二，对吧？所以说是二比一，那他是六，他就是三，那么这个三角形和这个三角形呢， 他俩是不是也是相似的呀？不仅相似，还全等，因为这块也是三啊，这块也是三，所以说呢点 j 呢，就做了这条边的中点，好，那么确定完位置之后呢，我们来看一下这个图像， 是不是已经把右边这块扩出来了，那左边这块还要继续扩，所以说香蕉还能继续发挥它的作用，那么这次呢，我们选择谁呢？我们选择这条 e j， 那 么 e j 所对应的端点呢？是点 a， e j 可以 放到上平面中，那么点 a 的 话呢，既可以放到这个面，也可以放到这个面，也可以放到正面中， 对吧？所以说呢，他的选择有很多，那么我们选择逻辑是啥呢？是不是肯定是要产生交线，所以说我就选择把它放到哪里，把它放到侧面中，把点 a 放到侧面中，好， 那么两个面呢，会产生交线，也就是 a 一 d 一， 把交线延伸出去，再找到它和 e j 的 交点，那么这个交点呢，再去连接点 a， 好， 连接完成之后呢，这块这个交点，再把它连接之后，我这个平面是不是就出来了，对吧？那由此呢，同样也能得到这样一个无边形，那么最后呢，面积的 求解方式呢，都是相同的，对吧？所以我们说呢，在看完香蕉和看完平行之后，哎，你会发现平行来讲，一般都会比较简单，那么我们在方法选择上呢，尽量是能选平行就选平行，那如果实在不行的话呢，再去选择香蕉。继续来看第二题，那么还是给了一个棱长为六的正方体，现在告诉了点 e 是 a， b 中点，点 f 呢是 b， d c 中点分别连接之后呢，又得到一个紫色平面，哎，现在还是求什么？求它的周长，求完整洁面的周长。那么首先给我这个洁面呢，它是不完整的，哎，你发现 d e e 和 d e f， 它又说什么？又是内嵌在里面的，对吧？所以说要把它括出去，两个方法，平行或者相交， 那么秉着平行比较简单的原则，哎，我们先去尝试平行，但是你就发现，哎，如果要使用平行的话，我是不是只能去做 e f 的 平行线，因为只有 e f 在 面内好，那么我要做他的平行线肯定是过第一做， 做完之后呢，我就发现这条平行线跑到哪里去了，是不是跑到我的立方体外面去了，这是不是表示着平行是不能做的呢？ 哎，其实是可以做的，但是呢，过程会比较麻烦，为啥呢？因为我需要把这个立方体给它补出去，对吧？在这块呢，我得再加上一二三三个立方体，把它扩出去，这么一来才能把这条平行线用起来，对吧？所以说你发现平行比较复杂的情况，哎，我们不妨去尝试什么？ 去做香蕉，去做香蕉，那么还是选择谁呢？还是选择这条 e f， 那 么 e f 和它所对应的点，也就是第一，我得分别把这条线和这个点放进什么？放进香蕉的平面中，那么 e f 呢，它所在的肯定是底面，没有问题，那么第一的话呢，可以把它视作是在背面这个面上， 也可以把它视作是在这个面上，也可以是在这个面上，哎，我们就看哪里是相交的，那么在这里选择背面，或者说选择侧面，是不是都会和底面发生交线，对吧，所以说选择他俩都是可以的，那么我们先选择谁呢？先选择背面，那么选择背面之后呢， 我就需要把它们两个的面，对吧这个黄色面和这个蓝色面的交线找出来，也就是 dc， 再把 dc 做个延长，延长之后呢，再去延长谁？延长 e f， 找到它们之间的焦点，那么有了焦点之后，再去连接 d e 和这个焦点，这里这个焦点是不是就是我们要找的 好，那么连接找到点 h 之后呢？把它补出来。注意了，我们每找到这个点啊，一定要先去确定一下它的具体位置，那么在这里呢，确定位置用的最多的就是相似。首先由于点 f 是 中点啊，所以说这个三角形和这个三角形不仅相似，而且还全等，因为这条边和这条边是相等的， 那么这里是三，所以这里也是三。好，那么相同的，我是不是也可以得到这个三角形和下面这个三角形，它俩是相似关系啊，而且呢点 h， 哎，就在上面，对吧，这块是三，所以说这块是六，他俩之间是二比一的相似关系，那么点 h 呢，就出现在哪里啊？是不是出现在三等分点，这段长度是二，这段长度呢 是四，好确定点 h 的 距离之后呢，其实我们这块外扩呢，已经完成了一半了，对吧？相当于把这条边呢给他扩出去了，现在还剩一边左边没有扩，那么怎么做呢？ 是不是还是可以继续从 e f 出发呀？那么刚刚我们说了，做了背面的交线，它的侧面交线还没有做呢，所以说这一次呢，我还是找到 e f 和 d e， 这次把 d e 呢放到旁边这个黄色平面中，找这个平面 和底面的交线，对吧？那么交线是谁呢？交线就是 a d， 那 么继续把 a d 延长出去，继续来做 e f 左边的延长线，好找到它这一次和交线的交点，那么再去连接，哎， d e 和交点， 那么在这里呢，我是不是又找到了第二个点点 j， 那 么再去补其他啊？当然点 j 的 位置呢，也是咱们通过相似获得的，首先呢，我能得到这个三角形和这个三角形，他俩是什么？他俩全等，对吧？所以说这里是三啊，这里同样也是三， 然后呢，我就可以得到这个三角形和这个三角形，哎，他俩也是相似的，所以说点 j 在 这里呢，是不是又是，哎，因为这里是三，这里是六，对吧？二比一的相似关系， 所以说点 j 呢，同样是在三等分点上，好，那么确定点 j 位置之后呢，我是不是就把这个图像补齐了呀，对吧？这个东西呢，就是完整的平面， 那么我们来算一下周长，那之后其实就是通过不断的使用勾股定律就能把它搞出来。那这块呢，因为这里是三，这里是二，所以它的长度呢，三倍根号二啊，那这里的话是四，这里是六，所以说二倍根号是三，所以说你发现哎，这块其实 一步一步算哎，都能把它算出来，最后呢，五条边相加就能得到周长啊，是这个大家做对了吗？好，那么通过这道题呢，我们得到一个启发，就是有的情况下呢，平行也不是说完全不能用，对吧？但是你发现 做的平行线，如果说出现在了什么立方体的外部，那这种情况下呢，为了保证图像还是比较简单的，我们尽可能的还是去选择相交会比较合适一些。那么相交呢，也是大家学习这块的弱项，所以说今天的例题呢，主要都是关于谁啊？ 关于相交会多一点，继续来看练习三，那么首先给了一个正三棱柱，啥是正三棱柱啊？同学们，就是他的上底和下底呢，都是等边三角形，这里又说了，所有棱长呢，均为二， 所以说两个等边三角形呢，都是边长为二，并且三条高的长度呢，也都是二哎，每一条线段你能看到的长度都为二，那么点 e 和点 f 呢，分别是中点。那么首先呢，又给了一个不完整的结面，我们需要干嘛？ 是不还是要把它括出去啊？那么平行和相交两种方式都可以选择，我们能选平行，尽量选择简单的平行。那么所以说呢， 平行我得先找什么？先找在我立方体表面的线，那么 a f 和 a e 好 像都算，那么在这里呢，就可以做两组平行线，我既可以过点 e 去做 a f 平行线，在这里， 我也可以过点 f 呢？做 a e 的 平行线是不在这里，但是你发现线确实能做出来，但是问题也来了，因为我这个立方体它不够大呀，我这个线呢，直接做到立方体的外面去了，那我就需要把立方体扩大，再扩大平行 才能用，所以说你发现使用平行法经常会遇到这个问题，但是相交的话，虽然说过程比较复杂，但是它相对来说是更万能的方法，那么我们还是选择相交。那么这块呢，选择相交，我就得找到一组线和点，那么也是两组选择，我既可以选择 a f 和它对应的点点 e， 这是一组线和 点，我也可以选择，谁呢？选择 a e 和它对应的点点 f， 因为它俩呢，都是在什么在我的立方体表面上嘛？ 好，那么这块呢，我们就以 a f 和点 e 为例，带大家来过一下。那么选择好了线和点之后呢？我是不是需要把线和点放进各自所在平面内呀？对吧？那么先看 a f， a f 的 话，它没得选，它是不是只能放在哪里啊？ 只能放在背面，对吧？只能放在这个黄色平面中，那么点 e 的 话呢，它就会面临选择点 e 的 话，它既可以选择放进这个面里面，是不是也可以选择放进这个面里面，对吧？两个选择都可以，那么咱们的选择标准是啥来着？是不是 选择出来这个面必须和黄色平面产生交线，那你就发现两个面好像都有交线，两个面都可以，所以说在这里呢，我们选择这两个面也都能把它做出来，那么我们就以选择这个面为例，让大家继续来过一下。 好，那么选择完面之后呢，我需要关注什么？是不是需要关注两个面的交线，也就是 c e c 这条线，那么把它延长出去， 延长出去之后呢，再去延长谁啊？ a f， 找到它和延长线的交点，那么有了交点，再去连接交点和点 f， 好， 那么它和立方体呢，在这里产生了交点，那么我就可以把它括出去了，对吧？给 它起名叫点 j， 那 么再去连接 f j， 那 么我这个平面呢，就成功的括出去了，当然这还没算完，为啥呢？因为我们还需要确定点 j 的 具体位置， 那么要求周长，它的每一条边是不是都要算出来，所以说呢，点 j 怎么求具体位置？这块要借助相似了，首先发现这条边 a c 长度是二，这里是一，所以说呢，你发现上面这个小三角形和外围的大三角形，它俩是组成了 a 字相似的，而且相似比呢，就是二比一， 对吧，所以说这段长度是二，这里是中点，这段长度呢，同样也是二，那么一组相似，那么这一块呢，又出现一组八字相似，对吧？你发现 用的最多的往往都是八字相似，所以说一定要关注他，那么他俩的相似比呢是多少？因为点 e 是 中点，所以说这里是一啊，一和二，那么相似比呢，也是一比二的， 那么这段比这段呢，也是一比二，所以说点 j 呢，是做了这条边的什么三等分点，那么 b 一 j 的 长度呢就有了，哎，它的长度就是三分之二，那么点 j 的 位置呢？就能确定了。 好，那么之后我们来算一下周长，首先 a e 和 a f 很好算，那么它们直接用勾股定律，哎，就能推导出来，这里是二，这里是一，所以说它是根号五，这里是二，这里是一，所以它是根号五，那么 e j 的 话呢，也能快速算出来。 刚刚我们说了，这里是三分之二，那么这里就是三分之四，那么它是三分之二，它是一，所以勾股定律算一下， e j 长度呢， 就是三分之，根号十三，还剩谁？还剩 f g， f g 怎么算呢？ f g， 首先我知道这段长度，哎，它的长度是一 没问题吧，因为点 f 是 中点，那么这段长度呢，又是三分之四，那么中间夹角呢？又是六十度，哎，所以说这个三角形，我们知道什么边角边，可以直接通过什么余弦定理对它进行计算， 那么第三条边呢，算出来，哎，它的长度呢就是三分之二十三，那么每一条边相加之后，哎，答案 c 就 等于这个东西，所以说这种方式呢，我们通过相交确实能把这道题做出来。那么刚刚也有小伙伴说，如果我在这里选择了谁呢？选择了 a e 和点 f， 能不能把它做出来呢？也可以。那首先呢，把 a e 放进它所在的平面，那点 f 的 话呢，是不是可以放进上面，对吧？这个面是不是也可以放进背面？咱们选择标准呢，肯定是要让两个面产生交线，那你发现，哎，两个面好像都有交线，所以说 还是两个面都可以选，那么这块我的选择还是把它放进上面，那么找到交线，把交线延长，再去延长谁？延长 a e， 找到焦点， 再去连接点 f， 同样呢也能帮助我们找到点 j， 只不过这种方式的话呢，通过相似再去确定点 j 位置，稍微有点繁琐，但是也能确定，那也能做出来。好， 那么这道题就结束了，继续来看这道练习四，那么告诉一个棱长为二的正方题，又告诉了点一和点 f 呢， 分别是两条轮上的中点，那么分别连接之后，得到这样一个紫色平面，先来问洁面面积是多少，那么我们说方法选择上呢？还是平行和相交两种方法，那么我们首选平行，那么我就发现，哎，我可以过点 b 去做谁啊？做 e f 的 平行线对吧？因为 e f 的 话呢，在这个侧面上， 那么点 b 的 话呢，是不是也在这个侧面上？他们面面肯定是平行的，所以说过点 b 呢，肯定是能做出 e f 的 平行线的，那么由于点 e 和点 f 呢，分别是他们各自所在边上的中点，所以说，哎，做他的平行线是不是也就是这条 b c e 啊，那么这条边和这条边，它俩一定是平行的。好， 那么再去连接谁呢？再去连接 f c 一， 那么我这个平面呢，就成功把它扩出去了。那么现在咱们要求什么？要求它的鞋面面积。那么对于这个梯形来说，因为它的上底和下底是平行，所以它是梯形，把它的每一条边啊，我们都可以通过勾股定底算出来，这里根号二啊，这里根号五，这里根号五，这里二倍根二， 所以说梯形做高，直接就能把面积算出来，非常简单，那么 s 呢，就等于二分之九，那么这道题能不能使用相交方法来做呢？也可以，我选择的是 e b 和点 f 啊，选择它俩，那么把 e b 呢，放进它的面儿中， 点 f 的 话呢，既能放在左边，是不是也能放在背面，对吧？咱们的选择标准一定是它所在面要和现在这个面产生什么交线，对吧？所以说两个面呢，都可以啊，我就把它选择放在背面中，那么找到交线是 c、 d， 把它延长出去，再去延长谁呢？再去延长 e b， 哎，找到焦点 再去连接他们俩好，那么同样呢，也能把这个面补齐，对吧？补齐之后呢，也是这样一个题型，所以说呢，殊途同归，两个方式对于这道题来说都是完全可以的。继续来看这道练习五，那么给了一个棱长为二的正方题，又告诉了点 e， 点 f， 点 j， 分 别是三条边上的中点， 那么三个点就可以确定这样一个紫色平面。现在问题是洁面面积到底是多少？那么我们说这个图像呢，在学习正方题的时候还是经常会出现的，对吧？三个都做了中点，那么我再找到 b， c 的 中点再做，找到 c， d 中点，再找到 d， d， e 的 中点，分别去连接它们，连接完成之后呢，得到一个什么？ 得到一个正六边体，这就是最终的结果。那么这个图像是咋来的呢？还是通过平行或者说相交？那我们说先找平行，平行毕竟比较简单嘛。那要做平行的话呢，我先看到它，我是不是可可以过点 e 呢， 做它的平行线呀，对吧？那么平行做出来了，结果你发现它捅到立方体的外面去了，哎，确实不好用，所以说呢，肯定不选它，那么再换一个思路，如果说我先看到的是它，那么过点 j 呢？做它的平行线是不，同样也是捅到外面去了，所以对于这道题来说呢，平行并不好用，那咋办呢？那么咱们就选择 相交，选择相交的话呢，那么我在这里就锁定这条线和它所对应端点，把它们放进各自所在平面中，那么首先 f g 呢，能把它放进哎，上底面中，那么点 e 的 话呢，它就有两个选择了，既可以放进正面，也可以放进侧面，咱们的选择标准呢，就是和已知面怎么样产生交线，哎，就可以了， 对吧？那么我在这里就选择把它放进正面，其实正面和侧面的都可以，那么两个面呢，产生的交线是不是就在 b e c e 这条线上，把它延长出去，再去延长谁呢？再去延长 g f， 找到焦点，哎，再去连接它俩， 那么找到他和谁啊，他和我立方体的交点，那么就可以找到哎，这样一个点 h 了，那这个点 h 具体在不在终点呢？哎，我们还是要借助全等去证明一下，对吧？首先呢，这个三角形和这个三角形啊，他俩是全等的，那么这里是一，那么这里就是一， 那么这里是终点，所以说呢，第二组全等也出来了，我是不在这里呢，同样也能得到他俩是八字全等，那这里是一啊，那这里也是一，所以说点 h， 终点的位置呢， 就把它做实了。那么做到这步之后呢，我们这个图像是不是已经补齐一半了？那么刚刚我们用相交是不得已而为之，那么现在呢，我们是不是就可以选择用平行了呀？我可以过点 h 呢，做 f g 的 平行线，对吧？那么焦点呢？在这里是点 i， 我 还可以过点 i 呢，再做谁呢？ 做 e f 的 平行线，那么焦点呢？就是点 g， 对 吧？再去连接他俩，好，那么这个正六边形呢，就把它补齐了。那么最终要算面积呢，也非常简单，你可以把它视作梯形，毕竟每一条边都能算出来，那么梯形做个高哎，是不是就 两个梯形，对吧？两个梯形再乘以二就可以了，对吧？那么面积算出来呢？就是三倍根号三。
90昊哥跃动数学
37:50查看AI文稿AI文稿本视频时长三十七分钟，带你搞定立体几何四个基本事实，从原理出发，讲透说了啥，能干啥，配合立体代练，掌握解析思路，回复立体几何，可领取视频讲义。 今天我们要讲的这个内容呢，叫做立体几何中的基本事实。啥叫基本事实呢？就是有四个不用证明的，大家认为它成立的这样一个事实，一、二、三、四，那对应的是啥呢？就是这四个东西， 比如说一本事实一过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，那你想一下，你随便画一个不在一条直线上的三点 abc， 我 们用常识去想一下，它就只有一个平面，就是这个平面 abc 所 说，你一想这好像说了什么，又好像什么都没说，所以基本事实或者说公理，他给我们的感受就是他说这句话是对的，但是这句话说了之后又等于没说这种感觉，那没错，所以就是因为这种感觉，我们会产生一种好像我把公理学了， 但是到真正去用公理，或者说用公理，或者叫总之我说公理，大家就知道说的就是这个基本事实啊。这个说基本事实还是我不习惯的一个方向，就是我们用公理真正要去证明一个问题的时候， 我们小伙伴可能就会联系不起来，因为真正要去挣的东西，和他描述的这个东西在很多情况下会差一些。所以今天呢，咱们就围绕这几个基本事实，他到底说了啥？他能挣啥， 对吧？比如说刚才所说的过不在一条直线上的三点，有些只有一个平面，其实它能够去证明多点共面，那怎么正呢？其实就是正这几个点所构成的两条线是平行或者相交都能得到它们几个点是 面的，那包括后边的也是一样，这个公理描述的很绕，但是他可能能正的和这个建立不起关系。所以我们今天一起先来感受一下公理聚焦的说人话，他到底说了什么，然后以后遇到要去证明哪些问题的时候，哦，他考的是这个公理，对吧？ 那你知道了，考的是这个公里，然后他正的时候到底是怎么正的，过程是怎么写的啊？要把它整清楚，这是咱们这节课的目标。当然了，这四个公里呢，更重要的在后续咱们要对一些 几何体去找面与面的交界，或者说要去找结面，要把一些结面补充出来或者画出来，其实 本质上考察的也是大家对什么对这四个公理的理解。所以我们今天就聚焦于这四个基本共识啊，说了啥，能干啥，然后怎么干？ 解决这三个问题，那基本上公里所产生的这些证明题你就会了。那我们首先从第一个大家最好理解的这里没出现的基本事实四开始，因为这个是所有人都能够理解，也都能用得上的，他说的比较明确，平行于同一条直线的两条直线平行 那么在初中就学过，只是当时是指在一个平面内平行，同一条直线的两直线是平行的， 那么今天再扩充一下啊，放在空间内，平行于同一个直线的两个也是平行的。我们用数学语言或者用符号表示，就是 l 一， 比如说平行于 l 三， l 二也平行于 l 三，那么 l 一 和 l 二也是平行的， 那这个具体的咋用？或者说特别是过程咋写？我们通过一个非常简单的题带大家认识一下。如果说考个题啊，你感觉好像这就是成立的呀，这还要写过程吗？那我们主要看一下过程咋写啊。比如说这里有一道题，在一个空间四边形 a、 b、 c、 d 中， 那也就是什么三棱锥， a、 b、 c、 d 中， h、 j 分 别是这两个或的什么中点啊？ h 点、 j 点是这两个棱的中点，然后 e 点、 f 点呢？分别是这两个线段的三等分点。 现在要让我们证明四边形 e、 f、 g、 h 是 一个梯形，想一想，要证明它是梯形，本质上是在证明什么？本质上是不是在证明 h、 j 和 e、 f 平行，当然了， e、 f 和它还不能怎么样相等，如果这两个货再相等， 那就变成平四了啊，那我把这个证明的思路和过程都给大家过来，这非常简单，本质上你要证明它两平行，那它两又没有直接的条件能正平行。但是你看到这里终点你就会想到啊，这是中位线，所以它平行于 a、 c， 然后接下来在这个三角形当中呢，在三角形当中，当然就是在一个平面当中了，对吧？然后呢啊，两边对应成比例，所以这两个也平行， 所以你看这里就用一个点，就是咱们基本共十四，在空间中平行于同一条直线的两个直线是什么平行的？再结合它等于这个的多少二分之一， 它等于这个多少三分之二，然后它俩是不相等的，所以整个图形是七行 啊，这就是考到了基本共十四的时候，我们对它的理解，那有了这个理解非常简单，然后呈现一下过程，在这道题里边，从它给的图，它没有连接这两条线，所以首先你连接一下 e、 f， 连接一下 g、 h， 然后接下来在第一个三角形 a、 c、 d 当中，也就是在这个平面 a、 c、 d 当中， h、 j 分 别是这两个边的什么啊？中点，所以呢， h、 j 平行于它，这靠的是什么中位线，而且等于它的一半就有了。 同样道理，在三角形 a、 b、 c 中，这有一组比例，所以 e、 f、 e、 f 也平行于这个线，并且等于它的三分之二。那在这种情况下，你会发现 平行于同一个直线的两条线是平行的，它俩平行，并且 e、 f 比 gh 要大， 所以它俩平行却大小不等，所以四边形 e、 f、 gh 是 梯形，所以这是一个我相信，就是可能在这老丈没梳理，大家也会理解的非常清楚， 他只是把在平面中平行的传递性延伸到了什么空间中，依然是成立的，所以我们优先把最好理解的基本共十四说完。那么接下来的话，我们就基本式十一，基本式十二、基本式十三一起来看，这几个稍微会比较抽象一点，比如说这句话，就是不在同一条直线上的三个点， 能够确定唯一一个平面，对吧？这就是啊，他说的对，但是这有啥用呢？咋用呢？对吧？那么这个本质上大家可以理解为不在同一条直线上的三个点 啊，任意两个连线，他们都是，这两个线都是什么相交的？举个例子啊，比如说这两个连线啊，我们画出来他俩是相交的，这两个连线他俩画出来也是相交的，对吧？ 这两个连线画出来也是相交的。所以说你对这个公里或者是基本事实的理解，可以理解为什么相交可以正共面，如果两个直线相交的，他就可以正共面， 那这刚好和他引申出来的推论就完全一致了。比如说推论一，他说一条直线和直线上任意一点一连线，他还是一个什么 两条线相交的关系，所以说我们能得到的就是相交还是可以正这些点是怎么样的共面的。 那再来，这就更赤裸裸，两条相交直线确定一个平面，所以相交可以正共面好了，这是基本事实一，和它对应的推论一、推论二，在这给大家说一下什么叫做相交能正共面， 那这样的话，你就对于你学的基本事实一未来能干什么有一个认识了。因为我们以后会看到的题，比如说你不管它条件告诉我们什么，它最终会经常说证明哪几个点是共面的，那你就要知道啊，相交可以正共面。比如说 啊，我把这四个点看成一个线， p q 和 bc， 如果我能够证明 p q 与 bc 相交，那就能正共面了。 所以这样基本事实一，哎，一下子就有了什么作用了。本来你想着不共线的三个点确定一个平面，那除了它，你好像感觉跟这个靠不拢，但是你把它理解成 相交的两条线可以得到一个面啊，那就可以得到它们共面，那相交就可以去正四点共面了。以后遇到多点共面，你也就想到基本事实一，通过相交可以正好接下来看它通中三。通中三是指两个平行直线，也可以确定一个平面。 那也很简单，那刚才是相交直线能够正共面，这回就是平行也能正共面。感受一下，还是刚才这个例题，你看到这个问题，现在就能想到了啊。我，那我看一下 p、 q 和 b、 c 是 不是平行的，如果我能证明它俩平行，我就能解决这个问题。所以 基本事实一，你结合它的三个推论，你想明白了，就是在告诉你，同样一件事情，相交和平形都可以得到这些点是共面的，所以它能干啥呢？它就能挣多点共面。但凡你以后像刚才一样看到证明哪几个点共面， 那你就看它们构成的两条线，能用平行正，还是能用相交正？能正它们平行结束了，能正，它们相交也就结束了，这就是基本事实一，用来要干的事情。好，接下来就看题。那咱就看刚才这道题。 这道题告诉我们，有个三棱锥， s、 a、 b、 c 啊，一个三棱锥，然后点屁，是这个面啊，所在三角形的重心，点 q 是 这个面，所在这个三角形的重心。 现在要证明 p、 q 和 bc 啊，这四个点是共面的重心，是三条中线的焦点啊。首先第一个啊，有人可能不知道重心，重心是中线的焦点，而且分中线为一比二两部分啊，一比二两部分。 这道题的话呢，老赵就用两个方式都带大家过一下重点还是一想明白。二呢，咱们要会写过程啊，证明其写过程。那这里你一看四点共面，你脑海中马上想 正共面的方式有两个，一个是证明平行，一个是证明相交。所以你在这先做个选择。这道题大家选正平行还是正相交？看到 bc 与 p q， 啊？平行是吧？这看着就平行，对吧？啊？我们说立体图形中，因为斜二侧画法会导致可能角 变得跟以前不一样了，相等的角看着不相等，相等的长度看着不相等，但是平行看着永远是平行的，所以平行永远可以用眼睛一看。嗯，看着平行，所以我也选平行， 所以我就要试着去证明这两个是平行的，要正正，这两个平行直接正肯定正不了，因为它是重心，我们就想一下重心是什么？中线的焦点，而且它分中线为一比二，那就连一下呗， 它是中线的焦点，我就连接一下 s p， 我 就连接一下 s q， 连完之后呢，我设这里的焦点是 m， 这里焦点是 n， 那 m n 是 什么呢？ m n 就是 这两个边的什么中点，因为它是中线的交点，那这里是中点的话，首先我们就知道 m n 肯定和 b c 是 平行的中位线嘛。然后又因为这是二比一，这是二比一，所以 p q 和谁啊？ m n 也是平行的，所以它俩都平行于谁啊？ m n， 那 所以它俩平行， 所以这样的话，我们就知道 p q 平行于 bc 了，那 p q 平行于 bc， 所以 它们四个点一定共面，整个思路就结束了。 所以这就是我们看到四点共面，你马上想到的方向是正它们平行，或者正它们对应的组成的线是什么？相交的。然后你看了一眼平行，那你就朝平行去正就行了啊。好了，那接下来老赵写一下过程。那么这道题首先做的辅助线是连接 sp 加 ac 于 m， 连接 sq 加 a b 于 n 啊，再连接一下 m n， 那 第一个证明的时候是因为 p q 分 别是重心，然后呢， m n 就 会是中点，因为重心，所以连完之后就会得到这是中点，并且呢， s p 还等于二 pm， s p 等于二 pm， 这些初中所学过的性质就不用证了，可以直接写，对吧？所以这里是二比一，那我们就得到 bc 会是平行于 m n 的， 为什么？根据的是中点加中位线，也会得到 p q 是 平行于 m n 的， 对应的是什么？三角形中两侧边乘比例对应边平行， 所以 b c 平行于 p q， 所以 p q b c 四点共面结束了。所以说你看，当你理解清楚了，看到四点共面，你的方向是很明确的，我就是正平行，或者正什么香蕉，然后怎么选啊？你选了平行， 那么像我永远经常上课的时候给大家讲，我总是那种比较另类的，我就在想，那香蕉行不行？你们都用平行，我也用平行，显得我很没个性，对吧？来香蕉行不行？我看到这四点的时候，我看到的是 p c 和 b q 这两线一看就不平行吗？ 那他俩不平行，我要去正，我就想，那我能不能证明这两货是相交的？那我要证明这两是相交。最关键的，我相信很多人脑海中会打个问号， 咋才算证明他俩相交了？没听过正相交这个词呀，对吧？所以接下来咱们就正一下。那么要证明他相交，你就先把这个线延长，他和谁啊？ s a 肯定会有个交点，你设成 m， 然后你把 b q 也延长，它跟 s a 也会有一个交点，但是你也不能说是什么 m， 要不然你发现那一延长就像交完了呀。啊，那不能这么说，你只能说交它于 m 撇， 那么接下来怎么证就能说明他俩是相交了。哎，不是反证法，你一个延长过来看，他肯定是相交 m 的， 这个延长过肯定是相交的，你设为 m 撇，然后你接下来怎么证就说明他俩相交了？对，证明重合， 所以接下来你只要证明 m 和 m 撇是重合的，那他俩就一定相交了。哎，有人问为啥一定会在 s a 上相交？ 首先你要知道 c p 和 s a 这是一个平面问题，在一个三角形是一个平面内过重心肯定和对边是相交的啊， 这是一个平面问题，所以一定相交。所以接下来要正就很简单了，连接 c p 交射，连接 c p 交它于点 m， 连接 b q 交于 m 撇。然后接下来，因为 p q 都是这两个三角形的重心，所以 m m 撇重合，所以 两条直线相交于 m， 所以 四点共面。所以你看，反过来一道题，我说了，平行可以正共面，香蕉可以正共面，那这就是利用香蕉正它们共面，而且用香蕉正好要过程还更简单一些。好了， 那到这里的话呢，咱们宫里一及其他的推论咱们就讲完了啊。就是，所以宫里一就是说不共线的三点确定一个平面相交，直线确定一个平面，直线和直线外一个点确定一个平面，三个合起来都在说相交可以正共面， 然后平行直线确定一个平面平行可以正共面，所以以后看到多点共面，你的方向就是，那我要证明由它们四个点组成的线分成两条线，对吧？ l 一 l 二，我们要么证明它们相交于一点，我要么证明它们平行 就行了。那到底证明相交还是平行？你通过图看呗，你看到了平行，你正平行，我看到了相交，我正相交。总之 至少有那么一种方法一定是能挣出他的。好了，这道就先过了一个期，先带大家从两个角度把 事实、基本事实一感说明白，我们接下来就说基本事实二，基本事实二就感觉更加废话了，他说若一条直线上有两点在一个平面内，那整条直线在这个平面内，那你这个要一想啊，就是那么回事，因为面是无限延伸的吗？对吧？你两个点在，你整个直线在，你说的对， 所以说这句话你看说了好像也啥也都没说，那么这个能干啥呢？说实话，这么多年了，我也没见他能够直接去证明什么，其这个定律往往是用来辅助我们把过程写的更严谨。 你这个，呃，公理，他经常和公理三会一起去证明多点贡献或者多线共点，所以他在描述的时候主要是为了给我们描述点在面内。 那我具体说一下啊，那这道题的话，它写出来就是用字母表示， c 属于 r 法， d 属于 r 法，那直线 c、 d 一定包含于什么 r 法啊？在这些刚好把这个属于啊，还有这种包含关系的。这说一下，后边的话就不再强调了。首先 我们在空间中的元素是点的什么集合，面是点的什么集合？ 所以点与线面之间的关系用什么？你想你站在集合的元素与集合之间，一定用什么属于关系啊？所以你看，只要是点与线，点与面都是属于， 那线与面之间，两个集合之间是什么包含？而且线和面不可能相等，还是真包含，所以线与面之间独有的真包含经常就这么来表示。好吧，这就说完了，所以以后当你想不清楚是什么，就站在集合的角度， 点是元素，线和面都是点的集合，它们之间的这种关系属于还是不属于？包含还是不包含，你一下就通透了。 好了，接下来我们说这个说了啥？就是线上有两点在这个平面内，那所有点都在，它能干啥？它比如说我看到了平面 abc， 哎，看到平面 abc， 我 肯定知道 a 是 什么属于这个平面的，对吧？因为 a 就 在这个面上， 但是如果说我这个平面 abc， 我 看到是这样的，那我如何说 d 在 ab 上，我如何描述 怎么得到 d 在 这个平面上呢？所以说好像直接说 d 在 这个平面上，好像有点欠缺，因为从描述的方式上，这个平面里边也没提到 d， 对 吧？所以说在描述的时候，有些时候它能干啥？就是正点在面， 比如说啊，我们先说点在线上，然后线在面上，那最终你就一定能得到这个点也在面上，这就是他所说的。所以这个描述的时候，主要在公里二和公里三合起来做一些证明其的描述严谨性上。比如说我已知的是 bc 啊， 这两点在这个平面上，那我怎么说明 a 也在？那你只要 a 在 这个线上，线在这个面上，那 a 就 在这个面上， 所以他不会作为一个独立的证明其去证。所以你未来想证明一个点在一个面上的时候，很多时候你发现你要先说这个点在他上面其中一个线上，从而得到他在一个面上， 所以这是我们描述点在面上的一个非常严谨的过程啊，所以说这个大家理解一下就行。然后这里我说了，他不会独立去证，他会结合谁啊？公里三一起去证，公里三中一定会用到这样的描述，那接下来我们就说基本事实三， 基本事实三呢是如果两个不重合的面，那不重合的面要么平行，要么怎么样相交，那么能有一个公共点，那他俩自然是什么相交了。比如说点屁，就是他们的公共点， 那他告诉我们过点屁，有些只有一条直线啊，有些只有过该点的一条公共直线啊，是公共直线。然后你看这个话说的特别的绕啊，我都不知道说啥，那说白了就是说如果两个面是相交的， 他俩的公共部分是唯一的一条直线，或者说两个平面公共部分是一条线，两个平面相交 是一个交线，那你的公共部分肯定都在这个交线上，只要这个点是公共部分，肯定在这个线上。你看这要说成白，就是咱们人话就特别的简单，特别的通俗，所以说他再说了个啥，就是公共点一定是在唯一的交线上， 那还是那句话，那它能干啥呢？它能挣多点贡献。如果你没有这样去了解的话，你会发现啊，比如说你遇到了其说证明 p、 q、 r 三点贡献。站在我们正常的角度会去想，我怎么证明这三点贡献呢？像公里、一公里、二公里、三公里四中，没有一个说是点贡献的问题，对吧？那我就会想啊，我先证明两个点一定是贡献的，我再证明另外一个在他上边，那这样就走远了， 我们真正的以后只要你遇到了，证明多点贡献，咋证啊？只要证明这每个点都在这个交线上， 那他们不都就贡献了吗？对吧？点 p 在 交线上，点 q 在 交线上，点 r 在 交线上，那你说他们共不贡献，那他们一定贡献，那我咋证 它在交线上呢？咋证一个点在交线上，如何去证明啊？空间中一个点在两个面的交线上，很简单，就是证明这个点同时在两个平面。 你想，如果你能证 a 属于平面 r 法，你也能证明 a 属于平面贝塔，那你想 a 等于啥？ a 的 这个功力就是在告诉我们，如果两个平面有个公共点，那这不就是两个平面的公共点吗？那它一定在这个唯一的直线上。所以你要证明这三个点共线是证明 a 同时在两个平面 啊， p 同时在两个平面， q 同时在两个平面， r 同时在两个平面，其实他们三个各自挣各自的，他们三一点关系都没有，最后他们三个都在交线上，所以他们贡献。 所以你只要遇到了，证明三点共线啊，想都不用想。在例题集合中，嗯，跟刚才先证明两个点，确定一个线，把另外一个证明他也在上边啊？不是，这就直接证明他们都在交线上就行了啊。所以说公里三学完之后他能干啥你就想明白了， 只要遇到多点贡献，考的就是基本是十三。那咋正呢？就是每一个点你都证明他既在这个面上，又在那个面上，那他就能正，当然了，他还能正什么？多线共点，这个一起待会，这个在这个图上说不清楚，待会通过例题再给大家讲。好吧，好了，到这里呢，我们说 关于啊，基本是十一、二、三，咱就四也说了啊，四太简单了，四大家都能想明白，所以就不用整在这了，所以他们分别说了什么。 那么公理一，主要就是说如何去判断共面啊？就是正多点共面就是正他们相交，或者证明他们所啊几个点构成的两个线平行嘛，然后这两个结合起来，主要是在证明多点共线或者多多线共点，那么咋正都是正点在这个两个平面内。举个例子吧， 比如说这道题，你看结果说证明 c、 e、 e、 o 三个点贡献，你一看到这三点贡献呀，哎，考基本是十三嘛，这就是你理解之后知道它能干啥的时候，你就觉得这很丝滑的，就对应啥。那那咱们找一下， o 是 啥呢？ o 是 底面对角线的焦点， 然后这个 e 是 啥呢？ e 是 起对角线与这个面啊，一条线与这个面的一个交点啊，就是 a、 e、 c 与 c、 e、 d、 b 这个面的交点， c、 e 是 这个。 那你想一下，要证明这三点共线，我们说啊，跟这三点没关系，要同时证明它们在两个平面内。 那首先你看，很明显现在已知的它们三个都在哪个平面内？第一个就是我画的这个 c、 e、 b、 d 嘛，那第二个你还要再找一个，那你给大家找第二个，那还要再找一个跟这个面相交的，而且它们都在的，那那个面是谁啊？大家说 a、 e、 a、 c， 你写成这个面的话，你你，你发现你如果只说这个三角形构成的面的话，这个 c 一 不太好说，所以咱们直接说成四个点，好不？你就把它也包上，那第二个面是不是就说明 a 一、 a、 c、 c 一 它们，你如果能证明它们同时也在这个面上， 你说跟线有啥关系没有？你只要证明都在蓝色面上，然后都在什么黄色面上，然后两个面是相交的，结束了，这就是我们要证明的。我们说你学完他之后，你会发现他要挣的三点贡献，跟这个基本公里三 直接描述的这个就根本挂不上钩。但是你把它想明白理解清楚了，你就知道他能干啥了，你知道他能干啥了，你也知道怎么干了，那就太简单了。那接下来就剩下如何严谨的写出过程。首先我们接下来一个点一个点的来写，比如说我来先写点 o 啊， 当然辅助线先做一下，因为原来里边是没有谁啊， a 一、 c 一 的，所以先连接 a 一、 c 一， 然后设两个平面的交线为 l， 因为在这个正方起中，它俩很显然是正方起中是相交的，你就设它们的交线为 l。 然后 首先第一个 c 一， 因为它很明显，你看你描述的这个平面，它就属于这个平面，那同样 c 一 是不是也属于 b、 d、 c 一， 而这两个直接可以描述， 那说明 c 一 在什么？ c 一 一定属于 l， c 一 就证明完了。接下来比如说我要证明 o， 你 会发现 o 在 证明的时候还有点说道，你没办法直接说 o 就 在这个平面内， o 在 这个平面，因为从 你所描述的这些字母来看， o 没在这个平面内，对吧？所以为了严谨就要用公里二， o 在 哪里呢？ o 在 b d 上， 所以 o 属于 b d， 那 b d 呢？在平面 b d， c e 中，所以 b d 包含有它，所以 o 属于它，这就是在用公里二， 点在线，线在面，所以点在面。所以我说公里二不单独考。但是很多时候在证明三点共线的时候，为了把一个点在这个面上能描述清楚， 你会发现它要从点在线，然后现在面，然后得到点在面。在这里写过程的时候，还原了一下 基本事实二，他描述他是干什么，就是让大家在这写过程的时候严谨的，没有给人感觉从这里脱离了你的这个图，你根本就看不出。哦，为啥在这个平面？你这么说肯定就说清楚了， 然后同样 o 在 ac 嘛， o 在 ac， 那 ac 在 哪里？ ac 在 这个什么面上，所以 o 在 o 同时在两个面上， o 属于 l， 同理， e 属于 l， 三个点都在 l 上，所以 c、 e、 e o 三点共线结束了。 所以这道题的话，就是咱们理解了基本式十二，基本式十三知道了它在说什么，它能干什么， 写过程就是怎么干，除了你要证他同时在两个面上，还要怎么去写他在两个面上。那到这里呢？我们说基本事实二和基本事实三能干的第一件事情，证明多点贡献就说完了，你会发现那个谢 并不，他们之间没啥关系，各挣各的，挣完了，这，哎，你也在这个线上呀，哎，你也在这个线上，给人一种这样的感觉，而不是，哎，咱俩一起去那个线上啊，没有这种感觉啊。好了，接下来我们说第二个，第二个他能解决的问题叫做证明好几个线交于一点，就是老赵所说的多线共点 啊。那我先帮大家读一下，这个七又是个空间四边形，啥意思呢？就是个三轮锥吗？这两个点是中点，这两个点三等分点。好像在今天第一个描述基本事实的时候， 一模一样的条件证明了个啥？谁还记得？我看有没有人从十一开始就跟进来。今天我们基本事实四用的利奇跟他一模一样，证明了这个线啊，证明他是七行，这证明这这两个线是什么？ 平行的，对吧？证明这两好了，那这其实就换句话说，我们如果一开始就清的话，看到这里我们就知道这两线是平行的，用什么呢？用咱们的基本事实四，也就是平行的传递性很快就能证明出来。但是接下来这道题人家不是，人家还证明这三条线交于同一点， 证明三个交于一点的时候，往往是先证明两个交于一点，然后你比如说你先选两条，它交于一点，假设是点屁，然后你再证明这个点屁在最后一条上， 那么要证明点在一条线上，你想想往往是证明点在一条什么线上。根据咱们上一个证明三点共线，我们往往证明一个点在什么线上比较拿手， 是在交线上，所以看一下这个棋里边哪个扮演交线会比较好？那我们发现这个线扮演交线比较好，你看这个线刚好在这个面里边，这个线刚好在这个面里边，他扮演了两个交线。 所以我们第一步如果说先能证明这两条线是什么相交的，假如他们相交于点 p， 然后我们设这条线 a、 c 是 l， 我 们再证明点 p 什么属于 a、 c， 那 是不是就可以证明三线是共点的？那么我们首先第一个要解决的就是，那这俩是不是相交的呢？是不是相交得看它们是不是共面的， 然后他们所共面的这个能不能是平行，哎，就是不平行的，那这个很简单，这就是为啥我刚才给大家说，今天一上来咱们讲基本事实四的时候，就证明了这是一个什么七行。为啥快速的说一下啊？在三角形 a、 b 啊这里 abd 中啊， a、 b、 d 中，在 a、 b、 d 中， e、 h 分 别是中点，所以 e、 h 平行于 b、 d， e h 也等于二分之一 b、 d。 好， 然后接下来呢，在三角形 c、 b、 d 当中，因为一比二、一比二， 所以这个线也平行于 b、 d， 并且等于 b、 d 的 多少三分之一，从而你就得到了这个货和这个货是平行的，并且它两之间不相等，不相等的话，那这个四边形 e、 f、 g、 h 就是 一个什么啊？是一个梯形， 如果它俩是梯形，两腰 g h 和 e f 是 不平行的，所以我们就可以设两腰 e、 f 和 g h 交于点 p， 你 可不敢上来，直接设 e f 和谁啊？ g h 交于点 p， 你 得证明它俩是共面并且不平行的，你才能假设它俩相交于点 p 不 敢上来，你说你会了，你就直接写了它俩相交人，然后再证明这个交点在什么交线上，那你写的那个过程也不会得分啊，所以这里一定要写严谨。好了， 到这里呢，我们已经证明啊， e f 和它相交于点 p， 所以 第二部分就很简单，要证明点 p 在 a c 上， a c 是 交线，怎么证明点在 交线上呢？只要证明点 p 同时在两个平面上，因为点 p 是 e f 和 g h 的 交点，所以点 p 一定你看属于 e f， e f 又包含于平面 abc， 所以 这就点在线，线在面，所以点在面，是不是又在这里用基本式十二写过程？同样道理， p 点属于什么？ g h， 因为它是这两个线的交点，肯定在它上边， 那 g h 又在哪个？ g h 又在这个平面内，所以 p 在 线上，线在面内，那点在面内，那这两个点都在这个面内，所以假设两个面的交线，哎，从图中知道是 a c， 所以 p 在 a c 上，那你看 它俩交于点 p， 点 p 在 a c 上，所以三线交于一点，那非常严谨，也非常的清晰，所以到这里你才算把基本式十二、基本式十三， 什么叫做证明多线共点怎么证？什么叫做证明多点共线怎么证？整明白了，好，那这是前两个，我们说通过这两个带大家感受了一下，他能干什么呀？他能挣点共线，多线共点。当然了， 在后续我们在解决平行啊、垂直啊、洁面问题的时候，为什么要把这个我们说基础在这讲了，那你未来比如说要去证明个平行，找个交线你都找不到，所以还有这种考法啊，比如说已知 p a、 b、 c、 d 是 个四棱锥，然后 b、 c 和 a d 是 平行的， 然后 bc 小 于 ad， 啥意思呢？七型设，它两个的交线是 l， 然后请你做图确定 l 的 位置，并说明理由，就是你做出来还得证明一下它是交线。 那这个是对咱们未来影响最大的，因为我们在做垂直的时候，会有交线相关的性质定律，我们在去正平行的时候，会有交线相关的性质定律。那有些时候，有些图的交线就是看不到， 你要想去证明，有些时候就得做出来。当然了，以后去处理洁面的时候，也经常要去做胶线，所以这个能力很重要啊，做一个试试看。那要找胶线其实很简单， 首先你知道两个平面相交啊，公共部分是胶线，怎么样确定一个胶线呢？两点确定一个胶线吗？那你就找到两个他俩的公共点。 什么是他们的公共点呢？就是既在这个平面，又在这个平面的点，那么一画一放啊，只有一个点。屁， 这么大的两个平面公共点只有一个吗？那不行，还得找一个，那咋找呢？那你就得去找，就是公共点是什么？哎，你看这个假设个阿尔法好说，阿尔法面内的一条线与贝塔面内的一条什么线的交点，你比如说点屁，可以看作是这两个，也可以看作是这两个。 所以你在两个平面内，首先要各找一条线，然后让这两个线相交。哎，那这个点不就是两个平面的公共点吗？ 那你就盯着你看这四个线啊，一号、二号、三号、四号都交于点 p 了，那你要关注的就是五号这两个平面内肉眼可见的六号线，看一下这两个会不会相交， 如果会，你能不能把它的交点做出来。那么题目你看，告诉你这两平行说明什么？这四点共面，那 a、 b 和 c、 d 是 共面的， 你就看它们平行不平行，只要不平行，共面的一定相交，因为这两平行是七型，所以这两延长一定会交于点 q， 所以 连接 p q 就 一定是这个交线。所以要找很简单，就是在两个平面内各找一条线，让它们相交， 只要他们相交，找到这个交点，两个一点就是交线。思路没问题的话，接下来我再说一下，那咋咋正呢，人家还让说理由呢。好吧，来，我接下来说过程。所以接下来你要证明它是交线，那也很简单，你只要证明点 q 同时在两个平面内， 点 p 同时在两个平面内，那同时在两个平面内的点肯定在交线上。两点确定一个什么直线， 所以接下来我们延长 a、 b 和 c、 d 交于点 q， 这是我们对在这道题中的什么啊辅助线完了之后呢？我们说啊， q 是 属于 ab 的 啊，因为它延长，那么这样 ab 是 属于平面 abp 的 啊。 pab， 所以 点在线，线在面，所以点就在什么点就在平面内，就 ok 了。然后第二个也是一样， q 属于谁啊？ cd， 因为它在它的延长线上点在线，那 cd 又在这个平面 pcd 上点在线，线在面，点在面，你看两个都是在描述什么？公里二，或者基本是十二， 它俩同时在两个平面内，那它俩一定在交线上，所以此时 q 一定是属于 l 的， 在交线上。 那么根根据这个题目，我们发现点 p 也是属于两个平面的，所以点 p 也在交线上，所以直线 p q 为交线 l 就 证明完了，这就是我们最终要写的过程。对，就是 p q 两个点都同时属于两个面就 ok 了。那到这里的话，就是你对基本事实最终的理解就是 应该要停留在这简洁而且通俗易懂的就是他说了啥，他能干啥，你发现这个就是他不会去考题，但是他是为了让我们对于点线面的关系描述更怎么样，更严谨。 所以在很多时候，但凡要用公里三去证明多点贡献，多线贡点的时候，都要用公里二来证明点在什么 面上，对吧？所以写点的面上就要用它，那么证明多点共线，多线共点，你以后只要看到，只要看到你就知道啊，他考的就是公里三。那到底怎么用公里三？你只要描述出这两个点，这个点同时在两个平面上，他就在交线上，就整个就结束了。 那么对于公里基本事实一也是一样的，看似一个公里加上三个推论，本质上他都在说怎么证明几个点是共面的，那么证明的方式无非就是两个，看着相交，正相交，看着平行，正平行 就完了。那么正平行有正平行的方式啊，香蕉有香蕉的方式，正平行在这用的比较多的就有咱们的基本事实 几了，基本事实四啊，所以这是从理论上用人话翻译出来，然后刚才讲的这些例题呢，就是让你更直观的啊，想到这个东西的时候，别人如果看你笔记，看到这些字，就是这些字，他未必能够彻底的理解，这 看似是人话，好像还是不知道咋用。那么这些例题就是来印证具体用的时候咋用，过程咋写，最重要是过程啊，最重要是过程，因为只要是证明其例题结合的过程，对严谨性要求是很高的。
1068老赵高中数学
23:20查看AI文稿AI文稿哈喽，今天的高考风向标，来给大家去讲一道，继续讲一道我们二模的这个空间几何的题目啊，这道题目我就觉得对高一、高二、高三三个年级的同学都非常的有启发的意义， 甚至说，尤其是对我们高一，呃，如果发布视频刚刚呢，就是在我们的这个高一下学期临近期末的时候啊，七中的时候刚学到了，就很多同学刚刚学到了空间几何， 那么我接触的学生啊，可能百分之八九十学习这一章的这个方法都是全错的，都是全错的， 那这里为什么呢？这道题目就很能告诉我们这个点，它是一个非常典型的一个例子，包括我，明天我会继续分享大家同样的一道题目啊，就是同样类型的一个空间几何的题目，告诉大家你们现在做的大部分的一个题目，高考都不会这么考。好吧，我先说结论再讲题哈，结论是什么呢？ 同学们，在本章就是在我们的必修二的第八章，对吧？必修二的第八章的时候，是不是接触到的很多的题型和我们很多同学，就我举个例子吧，比方说，比方说哈，一条直线 l 垂直于一个平面 r 法， 那么如果我们说，哎，我们理解的是，哎，我要怎么去证明它，那么就是我这条直线要那个垂直于在这个平面内的这个两条相交的一个直线啊，对吧？哎，如果有这个理解算不错了，那么 更加的是什么呢？就是有很多同学在背啊，在背啊，各种的背啊，就觉得我们的这个第八章好多东西要背啊，对吧？这里多少个条件啊？这里五个条件啊，对吧？就一条直线在阿法上，一条直线在阿法上，然后呢啊，它们相交啊，相交于点 a， 比方说 然后呢， l 垂直于 m， l 垂直于 n 啊，所以我们推出 l 垂直于 r 法，就在这样背啊，这样背我直接说结论，这样背对于我们的高考是没作用的，以目前新高考的考法，大家根本一点用处都没有。 那问题来了，我们的同步练习有很多这样的题目，对吧？那所以这个题目是要给大家熟悉的，而不是套题型的。那我说一下为什么在高考用不到哈，因为高二高三的同学会知道，我们即将进入到高二的一开始我们的必修一啊，那个选 b 一 就会讲到了，选 b 一 啊 的第一章就会讲到什么东西啊，会讲到空间向量，是吧？那么空间向量呢，就提供了我们解析几何的方法来解决这个问题。而在我们高考的其中一道大题，不管是新一卷、新二卷，还是说北京、上海、天津卷，基本上 不可能跑得掉，一定会有一道道这个空间几何的大题啊，一定会有一道大题是关于这个空间几何的。 空间几何，好吧，那么空间几何呢？我们要知道，现在我们学习了这两张，我们就有两个不一样的方法，一个是空间向量的方式，第二个方法呢，就是我们合成几何的方法。 合成几何其实在我的课里面有，就是这个名字，什么意思？就是说我们没有用到那些什么坐标啊，那些来解决这个问题啊，在我们的选 b 一 就解决用这样的问题啊，无论是平面的还是向量的，那有方法 a 和方法 b， 那么方法 a 和方法 b 是 并列的吗？基本不是，我们不说它完全不是啊，在某些情况下肯定要用到 a， 但是在处理这个问题当中， b 基本上是要大于 a， 大 部分的情况我们不说特例，所以我们会知道，在这道空间几何的大题当中，我们基本上是一定是会用到这个选 b 一 第一章的知识点，虽然两两个方法都行，但用这个方法呢，是很麻烦的。 好吧，那问题来了，既然这道题只能考到大家这个，而这个不就考不到了吗？对吧？那我高考的出题人是不是讲究我的高考，嗯，我的高中所有的内容尽可能都考得到啊，那所以他们会怎么考啊？我们就不使用这样的方式， 我们的这种证明什么线面垂直啊，面面垂直啊，线面距离等等这样的问题，我们就纳入到这个板块当中，那这个呢？哎，这个就是我们今天去分享的这道题，这个给大家的一个启发，我们来看一下这样的题目啊，高考当中是怎么样来考我们的啊？所以这个东西 我们要怎么做？你们在最后自己来拿得到一个启发，一定要有什么东西呢？一定要用空间思维，用增强自己的空间的感觉啊，而不是死记硬背，然后呢去把它说出来就可以了。好吧，我们来看一下这道题目。 好，那首先呢，我们来看在一个正四能柱，我们八点一的知识，正四能柱什么意思？正四能柱就是他的那个侧能，是垂直于底面，对吧？然后呢，底面是一个正 多多少边形，那这里正四能住就正四边形，就底面是个长方形 a a 一 呢，等于两倍的 ab， 也就说呢，比方说这个是 x， 这个是 x， 这个就是二 x 啊，这个意思。然后点 ef 呢，分别是能 b b 一 和 a e d e b b e 啊，我们来标一下嘛， b b 一 这个上面呢会出现这个点一，然后 f 呢是 a e d e a e d e 啊，好吧，这两条一个是 e， 一个是 f， 会出现在呃这两条棱上，然后呢含端点，则当 e 为 b b e 的 中点的时候啊，当 e。 我 们首先看第一个第一题啊，看到我们的呃第一个选项，当 e 呢是它的终点的时候呢，存在点 f， 使得 c e f， 我们的 c e f 啊，我 f 在 哪里？我不知道啊，对吧？比方说就 c e f 存在，然后呢平行于平面， a c e 啊， a c e， 我 们来标一下， 好，是这样子的问题， e 呢是它的终点，对吧？ a c e， 那 么我们是否 存在这么一个点 f 呢？那这个时候呢，我们要知道就是什么，我们要知道就是我们的这个是什么东西啊？这是一个线和一个平面平行的问题， 我们就想到它的判定是什么，就是如果我们是面外的一条直线，然后呢去找到面内的一条直线跟它平行，那么它这个线就跟这个面平行，那么这个架构里面我们是很敏感的，会知道，哎，这个 a 一 c 会平行于，也就说这个 a 选项哈， a 一， 这里 a 撇啊，都一样啊， a 一 a e c e 会平行于我们的什么？会平行于我们的 a c， 对 吧？所以我们就能找到，当 f 点在位于 a e 的 时候， 它就会满足，所以存在其他有没有别的不重要，因为我们现在要的是存在，我们找到存在就我们找到一个就够了， 对吧？那这里问题来了，为什么我说，哎，我们很容易能找到了，你要说一下过程呢？ 在整个高中数学当中，这个空间几何的问题，有一些就是你要平这个感觉，而并不是说要求你每个东西。当然当然大家肯定知道怎么去证明他们这个平行的问题啊，对吧？比方说我们的侧棱是平行的，而且长度相等，然后这个呢？是一个那个什么平行四边形，所以这个不需要， 课本当中已经暗示大家了，课本说过这个问题啊，课本说过，大家从一个什么样的角度，我忘记课本的一个措辞是什么？就是从感官的角度，从这个感觉的角度说，课本本身也要让大家去培养空间思维的能力，所以我们会知道。哎， 那么我们课本现在教的哦，在直线外的一条啊，那在面外的一条直线跟面内的一条直线平行，这个是给我们指引的啊，这个是给我们做什么用呢？是给我们指引的，就是我们在这个过程当中我们要找到什么？我们要找到一个 c e f 啊？我们要找到一个，找 到一个 c e f 平行于我们的 a c， 或者说其他的，对吧？其他的，但是我们要找到，呃，这个是比较明，呃，就比较明显的，对吧？那么所以呢，我们要找到一个这样的东西，所以我们的这个线面垂平行的这个判定是给我们一个指引，一个方向， 大家能理解吗？给我们一个方向，而并不是我们这样去一板一眼的去用的，所以高考不会用到那个东西的，大概率情况下，同学们要知道哎，所以 a 是 不是对的？ a 是 对的，存在 f， 当 f 在 于 a 一 的时候啊，我还是把这个给改一下吧，就是让大家去不要啊， a 撇 a e b e c e d e 啊，首先有一个点啊，这个图是我预先我不花，就是我在讲题的时候不花时间去画这个图，但这个图是这个考卷上面是没有的啊，大家要知道这个这个图是没有的， 所以大家首先也要有这个画图的一个能力啊，这个图并不是啊，他们给到我们的，你要知道这个是我画的啊，我画的比较简单的一个图，我们看 b 选项，当 f 为 a 一 d 一 的终点的时候啊，此时 f 是 他的终点，对吧？我们 f 是 他的终点， 然后此时呢，存在点 e， 使得平面 c e d f c e 嗯， d 在 哪里啊？ c e d f 平行于平面 a c a c e 不 用动，对吧？ c e d f 好 吗？ c e d f 会啊，这个平行于我们的 a c e a c e 那 这个时候呢，我们又想哈，平面与平面的平行关系，两条相交的直线都跟另外一个平面平行，那这个时候呢，就是两个面平行的关系，是吧？那这个时候呢，哪个点是确定的？我们的？我们先搞清楚哪个是确定的？ c e f 那 个 c f， 呃， d 啊， gdf， 这个是确定的，这是确定的，这个 f， 它就在那个 a 一 d 的 终点，那么这个 e 呢？不确定啊， a 一 在这个 b 一 b 上面去那个浮动，对吧？不断的去变动，那这个时候呢，我们就会看到这个东西啊，在变动的时候，我们要找到两条跟它平行，我们会发现很难找， 那这个时候呢，我们又需要我们的什么空间思维能力，那这个思维能力告诉我们什么呢？他要告诉我们究竟我们的方向是正真 还是政委呀？就比方说我觉得是存在一的，我们要去证明他，那么我们就要去找到那么一点一，如果他不行的话，那我们永远就在不可能找得到，对吧？那所以这个时候呢，如果我们有一定的空间思维能力， 我们是可以快速的帮助，我们就觉得应该是不存在的，那这里也没有办法跟大家说明，那么现在我们来证明哈，我们觉得他感觉啊，他思考上这两个面就是不平行的关系， 那这个时候我们想，如果他不平行，因为平行的平面必然是在其中一个平面类的，任何直线都会跟另外一个平面平行，所以如果他们不平行，我们可以找到在一个平面内找到一条直线跟另外一个平面是不平行的关系 啊，对吧？那我们要找到这样的东西，而因为 e 它是在变动的，对吧？ e 是 变动的，那么所以 e 是 变动的情况下， c e 和 a e 都在变，有没有可能问题出现在 a c 上面呢？ a c， 我 们会发现它 a c 它跟哪条线是平行的？它跟这一条线是平行的？ a c e， 那 我们现在又有一个我们的这个，呃，第八章里面的结论， 它过这一点，对吧？和面外的一点，这个 a e 是 c e f d 面外的一点，而 c e 是 面内的一点，过面外的一点和面内的一点， 一定这条线是跟它是不是平行的关系，所以 a a e c e 跟这个平面不平行，而 ac 呢，又平行于 a e c， 所以 ac 是 一定不平行于这个 c e f d 啊， c e d f 这个平面的，所以无论 e 怎么变，一定这条线就不行， 所以不满足两个平面平行，任何一个平面内的任何一条直线都平行另外一个平面，好吧，所以我们就进行了政委，所以这个是错的， 好吧，哎，大家去思考一下，我们用到了什么东西啊？首先我们正真真和政委是怎么来的，想出来的哈，想象出来的哈，当然我们用用这样的方式，其实我经常说哈，其实跟我们初中的几何很像， 初中几何并不是说我们每一个辅助线，我们都是，干嘛？我们都是，哎呀，要要要，我们很多时候是先想象出来这两个三角形应该是全等的，然后呢才往那个地方去做辅助线的，是这样子的，这个就是我们的空间感觉。 那么有了之后，我们如何去验证我们就是我们很严谨的验证我们的想法呢？我们就用到平面的一个性，平面平行的一个性质， 两个平面平行，任何一个平面内内个这样的东西，对吧？所以呢，你看我们的知识如何去调用啊？所以我们会知道这个是一个错误的。然后我们的 c 选项对任意给定的 e 啊，这个时候呢， e 是 任意给定的，存在点 f 使得什么呢？ d e e 好， 我们节省时间，那直接一步到位画给大家，就是我们的 d e e， 对 吧？垂直于我们的 c f， 那这个时候呢，我们要想到什么东西呢？这个时候呢，我们会观察到正方形，所以如果 f 在 a 一 点上，也就说我们的什么呢？也就是说我们的这一条 c a e， 好， 我们的这个 c e a e， 因为它会垂直于整一个面，哪个呢？ d b b e d e 啊，同学们看一下，就是这个面， 所以它会垂直于面内的任何的直线，所以无论 e 怎么变动，我的 c e a e 都一定会垂直于 c e a e 都一定会垂直于，谁都一定会垂直于我们的 d e e， 所以 我们就找到了这个点 f， 对 吧？我只要把 f 摁死在 a e 上， 那么此时所有的都会垂直，对吧？我们就找到了，所以这个对不对？这个是对的，对吧？好，那我们这里来反思， c 选项我们是怎么找到的呢？我们为什么会感觉到这一个面，然后有这样子的一个关系呢？ 啊？同学们怎么找到呢？又是有一定的空间感觉和一定模型，对吧？我们看到这个交叉的这个正方形的对角线啊， 那么这个时候呢，如果我们像在初中，我们是那个呃，在平面当中没有经过邪恶策划法，那么这个时候呢，看的会比较清楚，那这个时候我们要知道它是正方形，所以这里呢，是一个这样的一个 c e a e 跟这个平面是垂直的关系，这个又是要有一定空间思维， 所以我能告诉你他为什么会垂直，对吧？我垂直啊，老师告诉你，他垂直，为什么呀？因为这个对角线垂直，所以 c e a e 垂直于 b e d e， 而然后呢？ b b e b b e 呢？垂直于这个底面 a e b e c e d e， 而这个这我跟这样跟你讲没有意义啊，没有任何的意义，你直接知道这个对角线垂直就可以了。 然后呢，我们关键点，因为这个要证明的太过于简单了，对吧？就最最基础的问题啊，同学们都不会出问题啊。如果说有道题目的第一个小问说啊，请证明 c e a e 垂直于这个平面，我想大家百分之八九十的同学都没有问题，但问题是大家怎么发现这个面， 这又回到了我们的这个什么空间思维的能力的问题。然后呢，我们的 d 看一下，对任意给定的点 f 存在点 e， 使得 e f 垂直于 c e， 那 么对于 d 选项呢，我们会发现它有别于 c e 选项的地方，在什么地方呢？ 然后呢？ d 选项呢？我其实我们会发现它有别于 c 选项在哪里呢？ c 选项当时大家还记得吗？ d e e， 然后 e 呢？给对任意给定的点 e， 那 所以我无论 e 怎么变， d e 是 确定的，所以它们会有一个确定的平面，而此时我的 e f， 它是干嘛？ 因为我们的一是存在点一，我首先是任意点 f， f 会变，一也会变，所以没有办法确定一个平面，那这个时候呢，其实我们可用我们想到，其实线线垂直是最简单的，其实我们最最傻瓜式的方法就会想到什么东西啊，比方说我这个不是 x 啊，我就设定它是，或者我们可以不防射 啊，不防射它是什么？它是二，大家知道两倍吗？啊？这个是二，这是一，这是一， 对吧？那当然大家可以用什么？用二 a a a 来表达，这更一般化，但是也没有必要，如果作为一个解答题，我们可以这么去做，更严谨的去证明，但是我们的填空题和我们的那个选择题，我们就这样就可以了存在。然后对于任意给定的 d、 f， 也就说什么呢？我设我可以什么？我可以去设 啊？ d， e、 f 等于多少呢？比方说它是 a， 哈，那这个 a 是 多少呢？因为 f 在 这上面走，所以呢， a 是 会在哪里呢？它是在零到 一之间啊，对吧？那一和零都能取，因为可以取两个端点，是吧？那这个时候呢？其实他就是问我们啊，在哪一个部分，那我能不能设那个 a e f 是 a 啊？都可以，都没问题，对吧？我对于任意的这个 f， 我 就表达出来了，那是否存在点 e 怎么办呢？我就，我就定什么了，我就我就设什么了？ b e 等于 x 嘛？ 那这个 x 呢？是要我对 x 是 否有 x 在 零到二里面的解，我能构成什么东西？我能构成一个什么啊？我能构成一个直角三角形，那直角三角形就什么勾股定律嘛？你就说勾股定律，我的 c、 e 的 平方会加上我们的那个 e， f 的 平方，会等于 c、 f 的 平方，那么我们把它表达出来就会变成一个代数的问题，可以吧？我该说什么？ b， e 等于 x 好，然后 d、 e、 f 等于 a 好， 这个时候我们是不是就能表达了？我们说呢， c、 e 是 多少？ c， e 的 平方是不是一的 啊？那个啊，一加上 x 的 平方，让大家看得清楚，加个括号，好吧，那这样就能对的清楚一点，加上 e， f， e， f 呢？就是什么呢？它就是我们的这个 a， 可以 这样子，我们可以是 这里画一条线，就是我们的多少啊？这个是一的平方，一的平方就是我们的这，这里画一条垂线过来啊，这里用另外一个颜色的笔画一条垂线过来，是吧？然后 a， e， e， 那 这个是一的平方，再加上这个呢，这个是 x， 这个是二减 x， 所以呢这个是二减 x 的 平方。 好，二减 x 的 平方，这是得到了什么？得到 a 一 一，然后呢这个的平方再加上什么呢？再加上 a， e， f， a， e， f 呢？就是，呃，一减 a 平方，对吧？那我就表达出来了什么？我们就表达出来 e， f， 然后等于 c f， c， f， 然后它 c， f 就 变成了我的这个对角线， c， d， e 的 平方，再加上 a 的 平方，那 a 的 平方加上这个对角线的平方是五，是吧？一加上一加上四啊，对，它是五。 好，那现在的问题就是说是否对于任意的它变成了什么？变成了我们的必修一第二章的那个问题，记不记得？就变成了一个纯代数的问题啊？纯代数， 好吧，我们来看一下，我们往往先往下，是吧？我们先把它给给化解了， ok， 一 加上 x 的 平方，加上一加四，加 x 的 平方减四， x 加一的平方减二， a 的 平方加五。好， ok， 那么一个来，第一个呢，就是我们的是 x 嘛？二 x 二次项，首先我们处理二次项，二次项里面呢就二 x 的 平方，然后呢处理一次项，一次项就是四， x 就 减四 x， 接着呢我们处理常数项，常数项呢，我们里面呢先处理，大家也要有这个这个条理性在这里啊，然后呢先处理 a， a 的 话，这个两个抵消了，对吧？减二 a 啊，减二 a， 所以 这个处理过了，这里这个处理过了，然后呢接着四五六七，然后加减五加二， 是这样子吧，那我们再确定一下，一二六七减五啊，所以这个是二，然后呢就是二 a a 的 平方抵消了，所以最后我们得到这个东西等于零啊，对吧？那然后呢，我们来看一下 x 的 平方减二， x 减 a 加一等于零，好，这个是， 那现在要干什么呢？就说是不是对于任意的 a 是 零到一，我一定能找到一个什么零到二里面的 x 的 解，不，无非就是这个问题嘛。 那这个问题我们来看一下，我们回回到以前的知识当中，你看这个就是高考很喜欢考大家的综合性的问题啊，对吧？就是我在考察大家这个问题的时候，我又能考察到别的知识，十九道题里面尽可能的考察到大家知识。来看一下，我们如果说是第二塔，我们研究一下第二塔等于 b 平方减四 a， c 减四 a c， 对 吧？等于四减四加四 a 等于四 a， 那 么这个时候我们会知道 a 属于零到一，所以它干嘛？它一定是有解的， 它一定是有解的，有可能一个解，有可能两个解，那现在问题就是这个解是不是落在我们要求的零到二里面啊？对吧？要求零到二里面，那我们来看就是这个我们来看， 我们要先确定它有什么确定的因素啊，对吧？比方说，呃，我们如果作为一个函数去理解它， y 等于这个函数，我们可以先看它有什么确定的因素。比方说 我们可以看到，如果它是零的时候呢，它会是一减 a， 对 吧？因为 a 是 在零到一之间，所以它一减 a 是 一定会在这个位置的，对吧？这是我们知道的一点。第二个呢，我们会知道它的对称轴负二， a 分 之 b， 它是一，所以它的对称轴在这里啊，这是它的对称轴，对吧？ 所以是这样子，所以呢，我们会知道这个点，然后呢，我们就会知道他对称过来，如果他两个解的情况下啊，一个解就一定会在这个位置了，如果是一个解的情况，那么就一定是一，那满足。那如果是两个解的情况呢？那他一定是什么？ 一个是在这里，一个是在这里，对吧？所以呢，这个是第二塔大于零的一个情况，第二塔等于零呢，我们就不用研究了，他一定会在对称轴的位置，对称轴是多少？是一，所以满足 题目让我们找到的零到二之间的解，所以这个时候呢，这个解出来，在这里，这个解呢是对称的，而这个解是零到一，所以这个一定是在这个位置，所以我们就会知道，无论如何他一定会找到一个解啊，一定会找到零到二里面的一个解，所以他是 ok 的 啊，这个就变成了一个什么纯代数的问题，纯代数的问题，所以 d 选项呢？是对的，所以这道题呢，我们选 a、 c、 d， 这个就是我们真实会出现在高考当中的题目，所以我们一定要去反推我们现在需要什么样的一个知识储备，而不是说自己感动自己的去做，然后去狂背那些东西，像文科那样去背，最后到高考当中你会发现你现在背的知识一点用都没有。 好吧？这个就是给到大家的一个启发点，让他去思考一下这道题目，给到大家的一个启发，非常非常重要的一个非常关键的一个题目啊。
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08:23查看AI文稿AI文稿平行如果是三级难度的话，有辅助线的垂直一定是六级难度。很多同学力的技巧学不好都是从辅助线开始的， 但是这个辅助线到底怎么做出来的？答案还是老师也罢，往往都是一笔带过。既然郑老师利用正推法和反推法两个方面分析辅助线到底该怎么去做，郑老师先给结论， 所有的辅助线都是什么呢？推出来的，而不是看出来的这一点哈，反直觉，很多同学觉着立体几何我没有学好，是原因，是我的空间感不好，我这个图根本想象不出来他长什么样。错，很多同学做不出来的原因都是因为你的推理能力的问题。 那什么是推理能力？怎么去推？咱来看一下，常见的推理方法就是两个，一个是正推法，一个是倒推法。什么是正推法？这个题的关键信息是什么呢？这个消息正推里边最有用的条件就这一个，为什么是这个是最有用的一个条件？ 同学们想，两个面垂直往往有一个什么呢？唯一的结论，但凡带上唯一这两个字的都是重点。这个推论是这样说的，两个面如果垂直，有一条交线，其中一个面里头一条线如果和 bc 垂直，那么这个线就和另一个面垂直， 也就是说两个面垂直，先找交线，那这两面的交线就是谁啊？就是 bc。 那 第二步你就思考一个问题，在 pbc 或者在 a、 b、 c、 d 中，哪条线适合交线？ bc 垂直的， 那很多同学说，我看到这地方就已经看不明白了，这个 bc 的 垂线我找不到，那找不到正常的，如果找不到的时候，这就是我们做垂线的原因了，我们就把它干什么做出来，因为两个面垂直，刚才说这个结论是一个唯一结论， 也就是说题干给了这两个面垂直，它就是想让你用上刚才这个定律，你必须要找到交线的垂线， 必须要找到交线的垂线，在心里默念三遍，所以我必须要找到 b、 c 的 垂线，那么怎么找？要么在 p、 b、 c 中找，要么在 a、 b、 c、 d 里找，找不到怎么办？找不到你就画上。 那这个地方，咱做 b、 c 的 垂线的时候，首先考虑一下 p b 和 p c 是 否相等，如果这两边相等的话，咱只要取一个中点，哎，连起来 这个 p o 就 和 b c 垂直，但是你找来其他条件，你仔细观察会发现你并没有找到这个 p b 和 p c 是 相等的，也就是说这个中点和这个 p o 啊和 b c 垂不垂直不一定不知道，那怎么办呢？ 那不知道我们也必须要找到 bc 的 垂线，那我干脆啊就直接做好了，直接做 bc 的 垂线， 那至于这这个垂线是不是终点，对不起，不知道，因为这个地方题干上并没有给我们一些 pbc 这个三角形的一些有用信息，关于 pbc 这个三角形，它只告诉我们了这是四，这是六十度，其他都没有这个长度啊什么的，这个长度都不知道，那所以这个地方我们就直接强行的做 p o 垂直于 bc， 那这样话，根据我们的分析哈，这两个面垂直，我们就通过自己的做辅助线的方法找到了 p o 和什么呢？和 b c 垂直，继而又推出来了 p o 和底面 abcd， 哎，是垂直的，这就是我们的推理， 那这样的话，我们推出这个 p u 和底面 a b c d 垂直来之后呢？干什么用呢？再怎么用呢？后边又陷入了沉思，这个题又不知道怎么做了，那后面的方法我们就使用的这个题的什么呢？反推思路。那什么是反推思路呢？ 我们的目标是证明 ab 垂直于 pd 啊， ab 和 pd 垂直，那证明两条线线垂直。我们在高中里使用的方法可以说也是唯一的方法，就是说在线线垂直里边就是正线面啊，这样同学说你线面平行线垂直方法很多呀，什么菱形、对角线，勾股定力。 强调一下，咱说在高中里你学的这个力线线主要就是通过线面来挣的啊，可以说就是用线面来挣的，也就是说，根据我们的推理思路，我们证明的就是什么呢？要么证明 ab 垂直一个面，要么你去证明一个什么呢？ p d， 哎，垂直于一个面，这两个都是可以的，要么正 a b 垂直于一个面，要么正 p d 垂直于一个面。至于其他方法呢？没有哎，没有。好了，那到底是 a b 垂直于一个面，还是 p d 垂直于一个面？我们再去想， 你想要找 a b 垂直于一个面，这个面就是 a b 的 垂面，对吧？那你就需要什么呢？需要找 ab 的 垂线，因为只有 ab 的 垂直于两条线 啊，只有 a b 垂直于两条线，你 a b 才有可能垂直于一个面。所以同学们根据这个思路去想，你必须要找到 a b 的 什么呢？垂线，而这个地方同学们看 已经就出来了，为啥呢？ p u 垂直于这个 a、 b、 c、 d。 那 这样的话， p u 是 不是就和 a、 b、 c、 d 里所有的线都垂直啊？也就是说这个 p u 就 肯定是垂直于谁啊？是不是垂直于 ab 啊？正好和我们前面呼应上了，哎，我们需要 ab 的 垂线，因为你只要找到了 ab 的 垂线，你才能找到这个垂面。 所以基于这个思想， ab 垂直于 p o， 哎，我们把它写在这个地方哈，就是说 ab 垂直于 p o， 那 好了， ab 垂直于两条线，看见没？有一个是 p o， 目标是 pd， 那 ab 就 必然垂直于 p o d 啊， p o pd 所在的平面，也就是 p o d。 然后我们只要证明什么呢？ ab 垂直于 p o d 就 可以了。那我们看图， p o d， 哎，需要把它该连的把它给连起来，自然而然这条边你就做出来了。所以很多同学辅助线，辅助面怎么做到底怎么去想的，我怎么不知道？同学们体会出第二个这个 p o， 我 刚才怎么做出来的？同学体会出来没有？ 第二个我，这个 o、 d， 我 为什么要连起来？同学们体会出来没有。所以同学们一定记住，立体几何垂直最难，最难的就是要把这个 p o d 找出来，真正当你找出这个面来之后，你去证明，哎，你会发现简单很多。那这样的话， ab 垂直 p o d， 我 只要证明 ab 垂直 p o d 的 两条线就行，对吧？然后这个地方我们稍微换一下策略， ab 啊，底面是一个平行四边形哈， ab 的 话，我换成 c d， 为什么换成 c d 呢？因为底面 ab 和 c d 首先说是平行的，第二个 c d 和这个面啊，它更近一些，它这地方夹角啊，或者这长度 包括长度一些东西，它更什么更多一些，所以换句话说，这个地方哈， c d 和这个面它的联系啊更密切一些， 所以你把这个 ab 转化成 c d 垂直于 p o d， 哎，这样就简单很多，那这样的话，只要正 c d 垂直于这个面里了，是吧？是不是两条线就行了？那两条相交直线一条是谁？ c d 垂直于 p o， 对 吧？ 原因是不还是这个原因啊？哎， p o 和这个面垂直另一个 c d 要想垂直这个面是不是另一个，是不是只要证明什么，这个 o d 就 可以了？哎， c d 垂直于 o d， 这个刚才已经通过这个地方挣出来了。那 c d 垂直 o d 的 原因，我们来分析一下， c d o d 他 两个为什么会垂直呢？就说这个角为什么是个直角， 那么一下，现在好多的时候长度还没有啥，那这个是四，我们自己做了个垂直，那这是六十，这是三十，哎，这个是六十度，对吧？这是六十，这也是六十。一二六十能不能算出来？这个边是跟三 对吧？一二六十度是不是能用余弦定律算出来叫根三，这是根三，这是一，符合勾股定律吧，所以这个长度的证明使用的是什么呢？是不是勾股定律啊？啊，这是用勾股定律啊，挣出来的，最后别忘了加上 p o 加 o d 等于 o 啊，这个答案就出来了， 也就是说这个题同学们思考一下哈，例题，几何最难的，咱讲就是如何去做这个辅助线， 那这个辅助线的话，首先说，不是说简简单单看出来的，也不是说答案给了之后我一看答案就会， 也不是说老师说，哎，你就应该在这个地方做，你是看到他你就做个垂线，做个重点，并不是这样，都是靠一步一步的推理 逻辑把他给推出来的。由于时长有限，关于立体几何常见的推理思路包括什么？内切球、外接球的一些推理方法，这老师的十七节视频里边都已经有了，有需要的同学评论六六六，拿回去下载打一关注，我带你看更多更好方法。
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07:50查看AI文稿AI文稿二零二零年的高考模拟越来越侧重于立体几何的几何法，尤其是像这二面角很多的间隙，现在越来越不好建了。那几何法解决二面角往往是同学哈，尤其是高一学生期末考试里面最大的一个揪分点。 今天郑老师通过三分钟的视频，带同学们理解一下力的几何的二面角几何法的求解的常见的三个方法。学会了这三个方法，所有的力的几何二面角问题，你都将有思路去求解。第一个方法就是我们的定义法，那定义说的很简单，两个面的夹角怎么办呢？只要两个面是不是有一条交线， 在左边这个面里找一条线垂直于交线，在北塔里边找一条线垂直于交线，这两条线 m 和 n 的 夹角，哎，就是这两个面的夹角，那根据定义的话，我们需要怎么做呢？我们先看这两面的交线，那找到两面交线之后，在左边这个面里做一条交线的垂线， 在这个面里找一条交线的垂线，然后呢，这两条线的夹角就是那解决这个问题的话，常见的有这么几个难点， 一个难点，你做的这个垂线和在这个面里做的这个垂线，这两条垂线的垂足不一定是同一个，所以这里边还牵扯着一个小知识点。什么呢？我们做了一个 m， 在 这上做了一个 n， 然后呢，他俩如果不相交，我还要做 n 的 平行线， n 撇，让 n 撇和 m 相交形成 c 塔，要说可能会用到平移问题。 第二个问题是什么呢？就是说使用这个方法的话，我们在两个面里分别做胶线的垂线也可能很好做，那做完之后，第二个问题是我们要求解这个夹角，那如何去求解呢？想要解决角度问题，一定是放在一个什么呢？一个平面里， 也就是说我们把它平移完之后，哎，也相交了，形成一个面，那想要解决这个三角形的一个角，我们是不得需要这三个边，这三个边往往 m 这个边在左边这个面里的话，通过单独把这个面摘取出来，然后这个线往往长度是可以求的。 同样道理，这个 n 的 这个长度啊，在这个面北塔里边，我们把北塔这个面摘出来，也往往是能够求的，那唯一不好求的就是这个长度。 这个长度求解的这个难易程度决定了方法一的难易程度。比如说方法一的话，局限于这个长度该怎么求？如果说这个长度很好求的话，哎，方法一这个定义法就变得非常简单，如果说这个长度不好求，那方法一的话，这个方法就抓紧把它 pass 掉。考虑第二个方法， 那第二个方法的话，是我们常见的最重要的一种方法啊，找垂线法，那找垂线什么意思？先说一下他的逻辑，在 r 法中找过一个点，做另一个面的垂线，假设这是 p 啊，这是 o， 第二步过 o 做交线的垂线， 那做完交线垂线之后呢？连接 pm， 那 这个 pm o， 哎，就是这个夹角， 那这个题呢？他的这个难点在什么地方呢？这个地方他的难点就是做 p o， 这是最难的一个问题，怎么做 p o， 对 吧？就是说做这个面的垂线怎么去做？那为什么说这个很难的，做垂线不感觉挺简单的吗？但实际上不是的，这是一个空间里的垂直，同学们一定要理解。这是一个空间里的垂直，他不是一个平面里的垂直。 那你平面里，哎，你做这个胶线的垂线，在平面里做他是非常简单的，但是在空间里你做的这个线很有可能会做歪了， 你很容易做歪，那怎么做才一定是对的？那使用这个方法的前提条件是什么？记住这个北踏这个面，他的要求必须要有什么呢？有垂线或者是垂面， 什么意思呢？白塔这个面，比如说在这上有一条垂线 l， 那 我们只要过屁点做 l 的 平行线，这个线和这个线平行，那这个线就和这个面垂直，那这个 p o 就 好做了。 所以像这种理论哈，这个白塔这个面，你看有没有一条垂线，如果白塔这个面有垂线的话，你就使用方法二，绝对好做。那没有垂线，他有垂面啊，他有一个垂面，哎，在这个地方假如有个嘎巴面， 这擀面呢？黑白他这两面是垂直的，那咱根据两面垂直的一个推论，两面哎，有一条交界线，这里边有条线，哎，这里有条线，哎呀， 和这个交线垂直，这个 n 就 和下边的面垂直。所以这个北塔如果有一个面，伽马垂直于北塔的话，我们只要在伽马中这个面中找一条北塔的垂线就可以了，这个线垂直于交线，所以这个线是非常好找的，找到它之后，再过屁点做 n 的 平行线，就能把屁股做出来了 啊。做平线，这样话你就能找到 p u， 找到 p u 后边做他和他，哎，这是比较简单的，所以方法二他的难点或者使用前提条件就是另一个面哈。其中阿尔法贝塔也罢，必须这个面有一个垂线或者有一个垂面， 那只要是这个贝塔这个面有一个垂线或者有垂面，你就使用方法二做，准能做出来。 那这个第二个方法还是我们绝大多数做这种二边角问题使用的一个常见几何法啊，最最重要也是最最常见的方法，朋友们一定要通过这个图像理解好怎么去做的， 不要局限于上来就过屁点做垂线，上来就过屁点做垂线，往往你做的都是错的啊，你做不直的哈，做的这个线并不是一个垂线。那第三个方法的话，就是我们的公式法， 也是我们的什么呢？叫向量法。那使用向量法的它的逻辑是什么呢？两个面，两个面哈， 在这个 r 法中和贝塔中分别找交线的垂线，这个和方法一是一样的，在 r 法中找一条交线的垂线，比如说就是这个线，假设是 ab， 然后呢，在贝塔中找一条交线的垂线，假设是 c、 d， 哎， c d 和 bc 垂直，假设这是个垂直，哎，这地方是个垂直。 那好了，那账号我们根据向量内容， b a 向量和 c d 向量的夹角就是这两面的夹角。因为向量不 论是在平面也罢，在空间也罢，它自带平移效果，所以不需要用方法一定义法，然后把它俩平移到一块。不需要，那不需要的话怎么去求呢？我现在已经知道了，它的夹角就是这两面夹角，怎么去求呢？连起 a d， 那么我们就会得到根据空间向量或者平面向量知识啊， a、 d 向量完全可以从 a 出发，先想到 b， 再从 b 呢走到 c， 再从 c 呢走到 d， 就是 我们即使平面向量，我们也学过多边形法则，对吧？空间多边形法则依然是适用的，所以这个式子依然成立。 那有了哈之后，我为了得到 b、 a 号，我把 a、 b 写成负 b， a 后边的都不动哈，后边都不动好了，想要出现两个夹角，是不得需要用到他两个的乘法，那他两个的乘法的话，将这个数字左右两边同时平方就可以，那我们就得到了 a、 d 相等的平方， b， a 方， bc 方 加上 c， d 方，加上二 b 的 它两个乘，加上二 b 的 它两个乘，然后呢，再加上二 b 的 这两个点乘啊点乘， 那这里边的话哈，我们看 b， a 和 b、 c 是 垂直的，所以 b、 a 和 b、 c 点乘的话，是不是应该是等于零啊？ b、 c 和 c、 d 也是垂直的，所以点乘也是一个零，所以想要解决它的的夹角，我们看哈，我们得需要知道 a、 d， b， a， b， c， c， d， 也就是说我们需要知道这个长度，这个长度，这个长度，这长度， 也就是说使用这个公式法的话，你只要知道这几个这四个边的边长，套入咱的公式，就能算出 b、 a 和 c、 d 的 夹角来。 那这样好，我们就用相当的方法推出来了这个二面角的公式法，带入四个边长，哎，这个答案立马就出来了，这就是解决二面角问题的公式法， 关于二面角的求奖方法以及立体几何其他题型的常见求法。向平行垂直的推理思路，向内接球，外接球问题在咱的视频课里边都有所体现，有需要的同学评论六六六，拿回去下载打印，争取期末考试能上一百二十分。
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