2023年江苏苏州中考几何压轴题
好如图像二次函数啊， y 等于 x， 平方减六， x 加八，它的图像呢，和 x 轴分别交于点 a 以及点 b。 像我们 l 啊，它是这个对称轴，然后呢，点 p， 它在这个函数图像上面，而且横坐标呢，要大于四。 接下来他把 pa 和 pb 连接了一下，之后呢啊，我们过这个点 p， 又做了一个 pm， 是 垂直于我的对称轴的，垂足即为点 m， 现在以我们点 m 为圆心，做一个半径为 r 的 圆，然后呢， pt 是 和它相切的，切点为点 t。 接下来第一小问还是很简单的，它要求 ab 的 坐标，那么你看这个抛物线对吧？你直接十字相乘，差一下是不是就是 x 减二，乘上一个 x 减四， 对吧？你看乘起来是不是等于正八，加起来的话呢，是不是等于负六？所以说明我们在这个地方一个坐标就是什么二零，一个坐标就是四零。那这个时候的话呢，我们的对称轴其实也就出来了，对称轴的话呢，应该是直线 x 等于三。 好，然后我们接下来再去看一下我们的第二小问啊，他说我们现在呢，如果这个圆 m， 它的切线长不是 pt 吗？对吧？我们以 pt 为边啊，去做了一个正方形，然后呢，这个正方形啊，它的面积呢，是要等于三角形 pa 的， 然后又说这个圆 m 呢，不能经过三二。想问 pm 的 取值范围，其实你上来是根本不知道这个条件怎么用的，很正常，没关系，你先想想常规做这种题上来你不用过脑子，你先把点 p 设一下对吧，那么横坐标你就设成 a 好 了。纵坐标的话呢，它的那个抛物线是 a 方， 那就是减六 a 再加八，好，然后点 m 是 不是就可以表示出来了，对吧？点 m 是 什么？点 m 的 横坐标是不是三？因为它在对称轴上纵坐标的话呢，和点 p 纵坐标是一样的，所以也是 a 方减六， a 加八， 好，这个时候你会发现，好，我三角形 p a b 是 不是先可以给它写出来？对啊，我们先写一下， 就是二分之一乘底底的话呢，是 ab， ab 长是不就是个二，对吧？高的话呢，是不是就是点 p 的 纵坐标？所以二分之一乘二吗？那我们就不写了，然后你把点 p 的 纵坐标抄一遍就可以了，所以就是 a 方减六， a 加八， 然后我们再来看一下我们这个正方形的面积，那么正方形它既然是 pt 作为边长的，是不就是 pt 的 平方？那你别忘了，圆里面又有相切，我们经常是需要把圆心和切点连起来的吧？这个地方是不是就九十度垂直？所以在这个直角三角形里面，你看 pt 的 平方其实等于什么？是不是 pm 方减去一个 m t 的 平方，那么这个时候 pm 它是多少？点 p 的 横坐标是 a， 点 m 的 横坐标是三，所以 pm 它就是 a 减三平方一下 m t 的 话呢，就是半径嘛，所以就是 r 好，那么这个时候的话呢， r 的 平方我们展开来观察一下这个式子， a 方减六 a 加九减 r 方，看到这里你应该反应出来了，既然这两个面积等好， a 方和 a 方等的负六 a 和负六 a 等的，那说明什么？九减 r 方是不是要等于八呀？ 那说明半径其实等于一吧，对吗？好，然后其实做到这里你就应该明白这道题它是怎么做的了。我这个圆 m， 它不经过三二。注意啊，三二它是很特殊的一个点，为什么特殊呢？ 我现在对称轴是三点 m， 他 是在这条直线上的。好，我们先意思意思啊，比方说三二在这个位置，那你想我随便去画点 m， 他 如果说我们反过来，我现在要求是不经过三二，那我怎么才会经过三二？ 那么是不是应该是这样子的情况？我有可能半径注意到半径是固定呢？是一样，我是不是有可能这么去画一个圆， 对吗？他现在的话呢，就是相当于上面这个点去经过一下我这个三二，那这个时候你想半径是一啊，说明点 m 此时是谁？点 m 是 不是就应该是三一？ 好，还有一种情况呢，是我圆的那个下面就是这样子，他去碰到三二的那个点，那么此时圆心是多少？是不就应该是三三， 对吗？好，那么我们现在调个思路啊，我就当它经过的时候，我去找一下啊，我们的这个点，呃，不是点啊，去找一下我们的 a 等于多少？好，我现在点 m， 它如果过三一，那么说明 a 方减六， a 加八， 是不是要等于一纵坐标等于一吗？那么说明什么？ a 方减六 a， 那 你配一下完全平方是不是加九，那么右边是不是应该是一个二， 所以话呢，是 a 减三，括号的平方等于二，那么要么 a 减三等于根号二，要么 a 减三等于负根号二，对吧？但是问题是注意了啊，我们在左边这个情况下的话呢，求出来是一个 根号二加三，右边求出来 a 是 不是等于负？根号二加三，但是有一点啊，我们因为点屁，他说了横坐标大于四的，所以的话呢，这个情况你是要舍掉的， 对吧？好，那我们再看一下第二个情况，如果说是过三三，那么 a 方减六， a 加八，它要等于三，一样的啊，你凑一下， a 方减六， a 加九等于四， 说明 a 减三，括号的平方等于二吗？要么 a 减三等于二，要么 a 减三等于负二，所以要么 a 等于五，要么 a 等于一，还是一样的一要舍掉。 那么这个时候你看题目里面，他因为问的是什么？ pm 的 长，那么在这个情况下， pm 长是多少？ pm 不是 a 减三来着吗？对吧？所以的话呢，是根号二加三减去一个， 嗯，呃，减去一个三，所以就应该等于根号二，然后另外一个情况里面，五减三求出来就应该等于二。但注意啊，我现在是倒过来的，我现在求的是它经过三二的时候， pm 等于这么多，那我现在是不是要求 pm 不 能等于它就可以了？好， 结束了吗？思考一下，我只要要求 pm 不 等于这个根号二，然后不等于二就好了吗？ 还有一点啊，注意了，我的半径 m t 是 不是等于一？ pm 它可是斜边，所以它其实要比一要大吧， 对吗？所以在这里应该是什么？一小于 pm 小 于根号二，然后呢？根号二小于 pm 小 于四，呃，小于二，然后最后一个范围就是 pm 要干嘛大于二 啊，这个才是我们的一个范围，你不要只把根号二和二跑掉了就没有了，还要比我的一要大，不然你就漏答案，应该会扣分啊。
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02:10查看AI文稿AI文稿苏州中考数学的命题老师真的是非常仁慈，因为你会发现他出的所有压轴题都不是那种巨难的题，你都是有线索可寻的，就看你能不能发现。就比如我们这道二零二三年选择题的压轴题， a、 b 是 圆 o 的 直径，然后给了我们一个弧 c、 d 等于弧 d、 b 三角形 a、 c、 o 的 面积跟 ob、 e 的 面积比是二比三。其实到这里你已经能推出来很多东西了，比方说给了我们弧 c、 d 等于弧 d、 b， 那 我们是不是可以得到角 c、 o、 d 和角 d、 o、 b 相等？ 而当你们连接 c、 d 和 d、 b 的 时候，是不是这两条弦也是相等的？然后如果你再连接 c、 b， 你 会发现这里会有很多个全等三角形，你还会发现 a、 c、 b 是 个直角，你再看这两个三角形，它们的底是不是一样的？也就是说，你是不是还能推出来它的高的比，就是二比三？ 而如果你还没有发现解析的方法，那你仔细看它的这个图，它在疯狂提示你什么。这个 c、 a 和 o、 e 两条线是不是非常像平行线？ 那我们怎么去证明它是平行线呢？如果要证明它们是平行线，是不是就要证明 c、 a、 o 和 e、 o、 b 是 一个相等的角，那你有没有发现， c、 a、 b 就是 弧 c、 d 的 圆周角，而 c、 o、 b 就是 它的圆周角，正好是圆心角的一半， 那么角 c、 a、 o 是 不是就等于角 d、 o、 b 啊？你是不是就可以得出来，这个 c、 a、 f 和 e、 o、 b 是 一个相似的关系？相似比是不是就是二比三？ 那么 a、 f 比 ob 是 不是二比三？ ob 是 不是就是它的半界 oc 等于 ob？ 那 我们仔细看这个 ocf， 这个三角形 of 相当于这里是几啊？是不是相当于这里是一， oc 相当于这里是三， 那么 c f 相当于这里是二，根号二，那天津的角 c a o 不 就是天津的角 a c o 吗？那就等于多少二？根号二比上二，答案就是根号二，非常的简单，你学会了吗？
25苏州数学肖消乐
03:52查看AI文稿AI文稿各位初中家长朋友们，刷到这条视频，您算是来对了！今天咱们一起看一道苏州中考的填空压轴题。先读题角 b， a、 c 等于九十度 ab 等于 ac 等于三根号二 过点 c 做 c， d 垂直于 bc， 延长 c、 b 到点 e， 使得 b、 e 等于三分之一 c、 d 连接 a、 e 和 e， d 已知 e、 d 等于二倍的 a、 e， 问 b、 e 等于多少，结果保留根号。好！题目读完了，问题也出来了， 这道题考察什么知识点呢？大家想一想，根据给出的已知条件，有等腰直角三角形，有垂直关系，还有线段之间的比例， 是不是可以推断出我们需要用勾股定律来列方程？嗯，没错，那具体怎么操作呢？来咱们一步步拆解。第一步，大胆设未知数看到这种比例关系，千万别慌！我们设 b、 e 等于 x， 因为 b、 e 等于三分之一 c、 d， 所以 c、 d 就 等于三 x。 再设 a， e 等于 y， 因为 e、 d 等于二倍的 a、 e， 所以 d、 e 就 等于二 y。 第二步，计算已知线段的长度，在等腰直角三角形 a、 b、 c 中，腰长是三根号二， 用勾股定律斜边 bc 就 等于根号下三根号二的平方，加上三根号二的平方， 算出来是根号三十六，也就是六。那么 c、 e 就 等于 b， c 加上 b、 e， 也就是六加 x。 第三步，做辅助线，构造直角三角形。这是本题最关键的一步哦！ 我们从点 e 向 b、 c 的 延长线做垂线，设垂足为 q， 因为 c、 d 垂直于 bc， 所以 c、 q 和 bc 在 同一条直线上角 a、 c、 b 是 四十五度，所以角 q、 c、 e 也是四十五度。 这样一来，三角形 c、 q、 e 就是 一个等腰直角三角形，它的直角边 c、 q 和 q、 e 都等于二分之根，号二，乘以 c e， 也就是二分之根号二，乘以括号六加 x。 整理一下，等于三根号二，加上二分之根号二 x 点 a 在 线段 c、 q 上，所以 a， q 等于 c， q 减去 a， c， ac 是 三根号二，减完后得到 a， q 等于二分之根，号二 x。 第四步，用勾股定律列方程组， 在直角三角形 e、 c、 d 中，由勾股定律得到括号二 y 的 平方等于括号六加 x 的 平方，加上括号三 x 的 平方。 在直角三角形 eqa 中，由勾股定律得到 y 的 平方，等于括号二分之根号二 x 的 平方加上括号三根号二，加二分之根号二 x 的 平方。你看两个方程，两个未知数，思路很清楚吧。第五步，解方程。 把第二个方程带入第一个消去 y， 经过计算和化解，得到一个关于 x 的 一元二次方程， x 的 平方减二， x 减六等于零。 用求根公式解得 x 等于一加减根号七。因为线段长度不能是负数，所以舍去一减根号七。 最后答案就是 be 等于一加根号七。总结一下，这道题用到的知识点有三个，等腰直角三角形的性质，勾股定律，还有一元二次方程的解法， 核心方法就是设未知数做辅助线，再列方程。掌握这个思路，再遇到类似的几何压轴题，你也能轻松拿下。好了，今天的分享就到这里， 如果你想获取这道题的详细步骤和画图教程，在评论区扣个一我来安排，关注我，每天分享初中数学的实用技巧，帮孩子少走弯路，咱们下期再见！
78阿数啊 ！
04:14查看AI文稿AI文稿哎，我们苏州地区初二的学生啊，我给你支个招来面对你的期末考试啊。数学，当然我知道看这个视频的很多是家长，你可以把这个方法呢传递给学生啊。但是我这个方法是有前提的，就是你目前学校学的并不是说很吃力啊， 我们现在初二在学这个相似三角形，你学的很吃力，基础知识都很吃力。那你就不要听了，划走就可以了啊，基础知识 ok 的。 好，那你就听我这个招，绝对管用。哎，绝对管用会改变你对部分几何题的一些认知。 好，其实秘密很简单，但是没有人会去说出来，没有人点你出来，你就你就认识不到这一点啊。好，我看能不能帮你点出来。这个招是什么呢？立马去买一本九年级下册的书，数学书，找到这个章节 自学一下，不管能学多少，学到什么程度，自学一下，内容很简单，但是非常管用， 叫做锐角三角函数。不要被这个标题下了，他根本不是函数。我们初中的这个其实就是一个啊，一个笔直很简单的学和不学会有很明显的区别，他会导致你辅助线能不能做的出来部分题目啊，特定题目能不能做的出来的问题。 好，这个章节是讲什么的呢？我觉得总结下来就是让同学们要认识角度，大多数同学都是认识线段长啊，这个是三，这个是四，这个是五，对吧？勾股定律，五不够的，我们要认识角度 好，这个角度不是说角的是多少度啊，他是三十度六十度，那当然好，四十五度当然好啊，也不需要他是特殊的度数， 是他的什么呢？是这个角所在的直角三角形的三边比。你现在不是学相似吗？对吧？你比如说这个角啊， 我给他知道一个数是三四五的长度，你想想我这个角所造出来的其他直角三角形，是不是三边长也是三分比四分比五分的？跟这个是相似的呀，对不对？两直角相等相似嘛， 能意识到吗？再放大一点呢？三边长是不是依然是三比四比五？你就要认识到这个角度的价值。那为什么这会我要提醒大家要技术还不错的，要学习这个呢？因为我发现我这边有一个数学考一百三的，满分的，初二的啊， 做这个题这个相似的问题有点吃力，做了二十分钟没做出来，我发现根本上我一讲他能听得懂啊，但这个解决不了问题啊，我要让他自己想得到辅助线怎么做怎么想，我发现根本上还是这个三角函数的视角缺失了， 我给他把它补充一下，他这个能力级别又会高一个层次啊，具体是什么呢？我大概长话短说，刚才那个识别角度啊，这个题目呢，大家可以自己看一下啊，我也是相似来的，这个是二，这个是四， 这个 h 是 终点啊，一二二好干嘛？听木说。这是二，这是直角，这是四，大多数同学都是二倍根号五，没问题，没问题，所有人都知道不够不够。你做出这个题， 只有极少数人能知道这个角度所在的直角。三角形三边比例永远是一比二，比根号五。我要把这个信息给读出来 啊，角度不是度数啊，是笔直，直角三角形的三边笔直，他有什么用处啊？他可以引导你做辅助线， 你看题目说这是，这是二啊。好，把这个直角三角形旋转过来，那这个圈是过来了，还记得这个角度的三边笔直吗？直角三角形的三边笔直吗？一比二，比根号五。好，我既然有这个角度的信息带过来了，那你接下来这个二怎么用掉？是不是要把它发挥出去，扩散出去？ 哎，做这个垂直，那这个比这个比这个数也是一比二，比根号五，你就能计算出更多的线段长。 好，这里我们就点到这啊，点到这，哎，有兴趣的可以去按照这个方法，或者说有还有什么疑惑的，我们可以交流交流，非常非常管用啊。
177中考数学许老师
03:11查看AI文稿AI文稿什么破题啊，有人能做的出来吗？别着急啊，我看一下哦。他给了我们一个直角三角形 b， a， c 是 九十度， ab 等于 ac 等于四，说明他就是个等腰直角三角形呗。然后 d a c 延长线的一个点， c， d 等于二， m 是 bc 上的一个点，以 c d， c m 为邻边做平行四边形， c m， n d 连接 an， 并取 an 的 中点 p 连接 pm， 求 pm 的 取值范围。这道题不就是动点求最值的问题吗？如果你不会，你一定要给我看完，说明你根本就不知道怎么去做几何动点问题的基本思维逻辑，会了，记得给我点个关注哦。 他让我们去求 pm 的 曲值范围，那你去分析 pm 这两个点是什么样的一个运动情况呀？是不是在 m 点的运动过程中， p 点也是在不断地动的？说明这里的 p 和 m 两个点都在动， 一个线段两个点都在动，你想去求它的取值范围是不是非常的难？那我们怎么样让它变得简单一点呢？是不是要让其中的一个点让它不要动了？当你仔细去分析这道题，你会发现，这个屁点运动的情况是不是其实是在跟 mc 平行的这条线上呀？ m 是 不是也是在一条水平线上？如果我们现在过 c 点做 m p 的 平行线，得到了 c e， 那 么此时 c e 是 不是就跟 m p 平行且相等？ c 点是不是就是一个固定的点？所以说，我们直接去求 e 点的运动情况就可以了。 那么怎么去求一点的运动情况呢？ p m 平行且等于 c e， 那 么 p m c e 就是 一个平行四边形呀，所以 p e 就 等于 mc， 也等于 md p 是 不是又是 a n 的 中点？根据三角形中位线的定义，那么是不是这里 p e 和 ad 的 交点 f f 也是 ad 的 中点？ af 等于 f d 呀？好， p e 等于 n d， p f 又是 n d 的 二分之一，所以 e f 就是 n d 的 二分之一呗。偶买嘎， e 点是不是就在这条平行线上，且 e f 的 值始终为 n d 值的二分之一？ n d 就是 c m 啊 m 从 c 点到 b 点动啊动啊动，是不是它的范围就是零到四根号二啊？ e f 的 曲值范围就是零到二根号二呗。接下来还不 so easy 啊，什么时候是最短的？是不是我过 c 点直接做这个 e f 的 垂线？ c h 啊？ f c h 四十五度， c f 又等于一，那 c h 求出来了呗，二分之根号二什么时候最长呢？是不是到 c e 的 这个位置啊？ e f 等于二，根号二，然后 e f c 还是四十五度？ c e 等于多少？不是直接出来了吗？ 等于根号五。但是你这里不要忘了，题目又说了， m 和 bc 不 重合啊，说这个值是取不到的，那么最后答案就出来了呀，它的范围就是二分之根号二到根号五，你学会了吗？
54苏州数学肖消乐
09:50查看AI文稿AI文稿下面分析的是庐江五中乡城三七一亩的几何第二十六大题，如果这题你不会做，那肯定难上高中。 下面对这道题目有三个小题，我们必须要掌握一种技巧，那就能轻松解决。下面老师通过这个题目一次性给你讲明白，让你中考多拿十分。我们来看题， 本题已知的是矩形 abc 上运动， 将 a 一 绕 a 点，顺时针旋转到 af， 而旋转角就等于角 b a c 再连接 cf。 下面依次三个小题， 实际上这三个小题的关系是说声提劲，而一般来说，这个技巧就第一小题比较简单，同学们应该拿得到分数。 而第二小题，第三小题的关键要在第一小题的基础上，我们要看第一小题用的是什么方法， 然后在第二小题和第三小题当中怎么来应用这个方法，或者说来应用第一小题的结论，这就是这类题目的通用方法。好，下面我们来看题。先来看第一小题， 所以第一小题我们一定要注意它的方法是什么。好，我们来看当 e 在 线段 b c 上时， 我们做 f m 垂直于 a c， f m 垂直于 m 为垂作，我们就这样子把它做出来，这个要我们自己做出来的，然后要求证 a m 等于 ab， 那么这个题目应该说证明线段相等。我们要用到的常用方法就是构造三角形全等， 我们看这个三角形和这个三角形，由于这里垂着一个角相等，我们再来看角一跟角二应该相等，为什么呢？根据旋转， 我们旋转的角等于 b s， 也就是说 e f 等于 b s， 而角一加上中间的角是 b s， 角二加上中间的角是 e f， 所以 角一等于角二。 好，我们再接旋转， a e 等于 af， 那 么利用角角边，我们得到全等，进而得到 a m 等于 ab。 所以 题目简单 啊，就是三角形全等角，角边得到三角形全等，得到边相等。好，那么我们要体会的是这个题目的方法就是通过全等三角形来解决问题。好，下面我们看第二项题， 当 a e 等于六根号二时，求 c f 的 长，那么注意，我们这个题目改出了两个备用图，那么对于改出备用图的呢，我们要自己画图，我们看 现在 a e 等于六根号二，我们说 e 是 什么呢？ e 是 直线 b c d 上运动， 所以我们脑子里就要想到这个一点，就有可能在 b c， 有 可能在 cd。 所以 第二小题我们首先要想到的是分类讨论，当 a e 在 b c 时，再旋转，再连接 cf。 第二种情况，当 a e 等于六根号，在 c 底上，我们再旋转，再连接，所以出现了两种情况，那么我们先来看第一种情况，要求 cf 的 长，那么我们这个题目就要想到第一小题， 我们过 f 点作 a c 的 垂线，垂作为 m， 那 么这里我们同样就可以得到三角形 a， b e 和三角形 a m f 全等， 所以第二小题就要想到同样的全等好，全等之后，我们根据 对应边相等，这个 f m 就 等于 b e， 那 么 b e 勾股定律就可以算错，所以 f m 就 可以知道了。在 a c 是 对角线，我们也可以求出来，那么 fm 知道了 a m 等于 a b， 所以 m c 也可求，所以在这个小的直角三角形中， m c f m 知道 f c 也可求 各规律求的 c f 等于二根号。三。好，下面我们看第二种情况。第二种情况实质上我们同样可以 做 a c 的 垂线，但是我们就要想到刚才是跟 a e b 全的，现在我们看这个 a f m 这个三角形，由于 a f 跟 a e 相等，所以这里我们就要 做这么一条辅助线，过一点做 e m 垂直于 a b， 那 么我们这里同样方法就得到 a f m 和 a e m 这一对三角形全等。 所以这里我们就可以类似的方法， f m 就 等于 e m 等于 b， c 等于六。 我们再来看，我们可以求得 a m， 因为 a f 等于六根号。二， f m 知道了求得 a m， 那 么 a m 知道了 mc 也可求，那么 mc 知道了 f m 知道了 f c 也用勾勾的。 所以第二题第一点要注意的是两种情况。第二点我们要掌握的就是同样要构造全等三角形。好，下面我们看第三题 连接 d f， 也就是说我们是一点是从 c 到 d 运动，所以我们把这个 e 画出来， a e 是 这样子，然后我们也做 a 以旋转，使得旋转的角度等于 b s e f 等于 b s， 我 们连接的是 df。 好， 本题我们要求的是 df 的 最小值，那么我们来看本题，我们就要仿照第一小题的方法， 过 f 点作 a c 的 垂线，垂作为 m。 我 们在刚才第二小题过 e 点作 e m 垂直于 ab。 那 么由于 a f 等于 a e， 大家都是实角，还有 f， a c 跟 e a n 不 难证的相等，所以同样得到全等三角形，由此我们可以得到 f m 就 等于 e n， 而 e n 等于 b c， 所以 我们得到了 f， m 就 等于零六这个定折， 那么说明这个点 f 到 a c 所在的距离为定值，所以我们就想到 f 点应该在平行以 a c 到 a c 距离为六的这条直线上， 所以我们找出了 f 点的运动轨迹。那么我们这个题目就简单了，你看 d h 就等于多少呢？我们可以利用这个等值法算出 d h， 接下来我们就看了 d f 就 等于 d 到 l 的 垂线段，垂线段最短， 所以这里我们就这样使得 h d f 在 一直线就 f 点跑到这个位置， 所以此时 d f 的 最小值就是六，减去五分之二十四就等于五分之六，所以这个题目就是 d 点到 l 的 垂线段，这段就是这一段。 本题我们就应该体会到，一二、三依次是熟练提进，第一小题是给错了方法，第二小题，第三小题我们是要利用这个方法构造全等三角形，同学你听明白了吧？本期就讲到这里，再见！
67苏州人讲数学
11:36查看AI文稿AI文稿直接来看一个几何学中的经典问题，如何在三角形内部找到一个点，使得它到三个顶点的距离之和最小。这个问题就是我们今天要探讨的核心费马点。大家请看这个题，想象一下， 你有三个城市 abc， 现在要在他们之间建一个物流中心 p， 目标是让从 p 到 abc 的 总运输距离最短，那么这个最优的 p 点应该选在哪里呢？这就是费马点问题 在现实中的一个直观体现。这个问题看似简单，但要精确找到那个点，并且证明它的最优性，背后却蕴涵着深刻的几何原理和巧妙的数学方法。它不仅仅是一个几何谜题，更是优化思想在空间布局上的完美应用。 今天的内容我们将循序渐进的展开。首先我们会明确费马点的定义，理解它到底是什么。接着我们会深入探讨如何根据三角形的特性来判定费马点的位置，特别是它与内角大小的关系。 然后我们会学习一种经典的尺规作图方法，看看如何在纸上精确的找到这个点。更重要的是，我们会剖析其核心证明思路，理解为什么这个点确实能实现距离之和的最小化，也是最激动人心的部分。我们将探讨 费马点模型在现实世界中的广泛应用，感受几何智慧的力量。好，我们先来给费马点下一个准确定义。在一个给定的三角形 a、 b、 c 所在的平面上，存在这样一个特殊的点，屁，它到三角形三个顶点 a、 b、 c 的 距离之合， p， a 加 p， b 加 p， c 是 最小的，这个点 p 就 被称为该三角形的费马点，也叫做脱离差利点。注意关键词，距离之合最小。这可不是随便哪个点都能做得到的， 它需要满足特定的几何条件。正如图中所示，点 p 位于三角形内部或边上，它与三个顶点形成的连接线段共同构成了我们追求的最短路径网络。现在 我们来看看费马点的第一个判定情况，也是最常见的情况。当三角形 a、 b、 c 的 所有内角都小于一百二十度时，也就是一个锐角三角形费马点 p 会出现在哪里呢？它会落在三角形的内部。更关键的是，这个点 p 有 一个非常独特的性质， 从 p 点出发，分别连接到三个顶点， a、 b、 c， 那 么这三个连线段 p、 a、 p、 b、 c 两两之间形成的夹角都是精确的。一百二十度， 也就是说，角 a、 p、 b 等于角 b、 p、 c 等于角 c p a 等于一百二十度。这个一百二十度的特性是费麻点，区别于其他三角形中心，比如重心、内心的重要标志，也是我们后续作图和证明的关键依据。 但是，如果三角形的情况变了呢？如果三角形有一个内角大于或等于一百二十度，比如一个钝角三角形，或者一个等边三角形，每个角都是六十度，当然远小于一百二十度。但这里讨论的是另一种极端情况， 这时费马点的行为就变得非常直接了。在这种情况下，费马点屁不再隐藏在三角的顶点重合。 比如，如果角 a 是 一百三十度，那么费马点就是顶点 a 本身，此时最小的距离和就变成了从这个顶点出发，连接另外两个顶点的线段长度之合，即 a b 加 a、 c。 大家可以想象一下， 如果强行把点 p 放在内部绕远路，显然不如直接站在顶点 a 上更近嘛。所以规则很简单，最大角大于等于一百二十度，费马点就在那个顶点上。 知道了费马点的性质，我们怎么用尺规作图把它找出来呢？对于内角都小于一百二十度的三角形，有一种非常经典的方法。第一步，我们要在三角形的外面以两条边，比如 a、 b 和 b c 为边，分别向外做等边三角形， 比如以 ab 为边做等边三角形 a、 d、 d 以 bc 为边做等边三角形 b、 c、 e。 第二步，连接 cd 和 a、 e 这两条连线， cd 与 a、 e 的 交点就是我们梦寐以求的费马点。屁，这个方法是不是很巧妙，通过构造等边三角形， 利用它们的对称性和角度关系，最终定位到了那个特殊的点。大家可以跟着步骤在草稿纸上试一试。 为什么废码点具有这样的性质，特别是那个神奇的一百二十度角呢？我们来看看核心的证明思路。 这里用到了一个非常漂亮的几何变换旋转法。假设我们找到了这样一个点 p， 使得 pa 加 pb 加 pc 最小。我们尝试将三角形 a p、 b 绕着点 b 旋转六十度，得到一个新的三角形 c 撇 p 撇 b。 由于旋转不改变距离，所以 p b 等于 p 撇 b。 而且旋转角角 p b p 撇等于六十度，这意味着什么？意味着三角形 p b p 撇是一个等边三角形， 所以 p p p 等于 p b。 现在原来的距离和 p a 加 p， b 加 p c 就 转化成了 c 撇 p 加 pp 撇加 p c， 而 c 撇 p 撇等于 p a， p p 撇等于 p b， 所以 p a 加 p b 加 p c 就 等于 c 撇， p 撇加 pp 撇加 p c。 根据两点之间线段最短的原则，当 c 撇 p p c 这四个点恰好在一条直线上时，这个和达到最小值， 也就是线段 c 撇 c 的 长度。反过来，如果 p 点满足所有连线夹角为一百二十度，那么经过类似的旋转构造也能证明 p a 加 p， b 加 p c 合等于 c 撇 c， 从而说明这种情况下距离和是最小的。这个证明过程充分展示了几何变换的威力。 废马点理论的魅力不仅在于其精妙的几何构造和证明，更在于它在现实世界中有着广泛的应用价值。最直接的就是工程选址，比如我们要在三城镇之间 建设一个物流中心或者变电站，目标是让铺设到这三个城镇的管或电缆总长度最短， 从而节省成本。这个问题的最优解往往就是由这三个城镇构成的三角形的废码点。同样，在道路网络规划中，如果我们需要连接三个地点， 并且希望新建的道路总长度最短，那么以废码点作为枢纽，分别连接这三个顶点形成的网络就是总长度最短的方案。这实际上是斯坦纳数问题 在三个节点情况下的特例。可以说，费马点为我们提供了一种寻找最优连接点的理论工具。在学习费马点时，很容易把它和三角形的其他几个重要中心混淆，比如内心、重心和垂心，我们来快速区分一下。 费马点，顾名思义是关于距离之河最小的点，其核心特征是当内角小于一百二十度时， 它与三个顶点连线的夹角均为一百二十度。内心是三条角平分线的焦点，特点是到三边距离相等， 是内切圆的圆心。重心是三条中线的焦点，它平分每条中线是三角形的几何中心。 垂心则是三条高的焦点，其性质与垂直相关。虽然它们都是三角形的重要特殊点，但各自的定义、性质和应用场景都有显著差异。理解这些区别，有助于我们更准确地把握费马点的独特之处。 理论讲了不少，我们来做一道练习题巩固一下。题目是这样的，已知三角形 abc 是 一个边长为四的等边三角形点， p 是 它的费马点，求 pa 加 pb 加 pc 的 值。大家可以思考一下等边三角形的费马点在哪里？ 它和我们之前讨论的一百二十度角性质有什么关系？计算这个距离和你会用到哪些方法？ 是直接利用对称性，还是运用余弦定理？或者是回顾一下我们刚才讲的旋转法，给自己一点时间， 动手画个图，尝试推导一下。我们来解析一下这道题。因为三角形 a、 b、 c 是 等边三角形，所以每个内角都是六十度，显然小于一百二十度。根据废码点的性质，废码点 p 在 三角形内部，且角 a、 p、 b 等于角 b， p a 等于一百二十度。 同时，由于等边三角形的对称性，可以推断出 p a 等于 p b 等于 p c。 我 们采用旋转法来求解，将三角形 a、 p、 b 绕点 b 逆时针旋转六十度，得到三角形 c 撇 p 撇 b。 根据旋转的性质， c 撇 p 撇等于 a p b p 等于 b p， 且角 p b p 撇等于六十度。因此三角形 p b p 撇是等边三角形，所以 pp p 撇等于 b p， 于是 p a 加 pp 加 pc 就 转化为了 c 撇 p 撇加 pp 撇加 pc。 根据之前的证明，我们知道当 c 撇、 p 撇 pc 共线时，这个核取得最小值即为线段 c 撇 c 的 长度。 现在我们来计算 c 撇 c。 在 三角形 c 撇 bc 中， bc 撇等于 b， a 等于四， 而三角形 c 撇 b， c 等于角 a b c 加角 p b c 等于六十度加六十度等于一百二十度。应用于弦定理就能得到 c p c 等于根号四十八，等于四倍根号三。因此 p a 加 p， b 加 p c 的 最小值就是四倍根号三。 我们来总结一下今天的主要内容。我们明确了费马点的定义，在一个三角形中到三个顶点距离之和最小的那个点，我们学习了 两种判定肺麻点位置的情况，如果三角形的最大内角小于一百二十度，肺麻点就在内部，且与三个顶点连线的夹角都是一百二十度。如果最大内角大于或等于一百二十度，肺麻点就退化为那个最大的内角的顶点。我们重点介绍了 利用旋转变换来证明肺麻点性质的核心思想，即通过几何变换将复杂的距离和问题 转化为简单的线段最短问题，也是非常重要的一点。我们探讨了费马点模型在工程选址、网络规划等实际问题中的应用价值，展示了其解决最优化问题的强大能力。课后大家可以继续思考和探索基础题， 尝试解决一个直角等腰三角形的费马点问题，计算其距离和拓展题。查阅资料，了解一下斯坦那树问题， 特别是当节点数量超过三个时，如何引入额外的斯坦纳点来进一步缩短总路径，这与费马点有何异同？深度思考题，费马点寻找最短总路径的思想。除了我们提到的物流和通信领域，还能应用到哪些你熟悉的领域？ 比如城市交通的换乘枢纽选址，或者大型商场的内部动线设计。请尝试举出至少两个例子，并简单分析一下其中的优化逻辑。今天的分享就到这里， 希望通过对废码点的学习，大家能感受到几何学中蕴含的优化之美，以及这些古老智慧在现代科技和生活中的持续生命力。感谢观看，我们下次再见！
88知识点小卖铺
02:25查看AI文稿AI文稿你中考几何压轴题真不难，就题目里面的每个字都不是废话，出题人已经把方法写在题目里面了，关键是看你能不能听懂他的黑话，只要你能够翻译转化一下思路，你就能够解穿。那今天老凯带你翻译六句核心的几何压轴题的黑话，思路马上清晰。 第一句黑话就是求线段的长度，啥意思？意思就让你赶快用我们的勾股相似等面积，三角函数，那三角形，四边形，圆里面出现九十度，你都可以往勾股上试。你看到平行线，不管是 a 字形、八字形，那肯定都得试一下相似，看到三十四十五、六十一秒，都别犹豫，直接三角函数。 第二句黑话就是看到线段笔，出题人明牌了，考相似，挨个去找有没有 a 字形，八字形，子母型、手拉手，三垂直半角形，只要你找出相似关系，这道题的分直接稳稳到手。 那第三句黑话就是求角度，那在几何题里面，求角度我们统称为倒角，那圆的题型的第一问就爱考这类题，那 平行线就可以转化我们的同一角，内缩角，同旁内角，那直角三角形，利用我们的直角互余换算，那圆里面有我们的圆周角，圆形角，弦切角，再加上半径相等带来的等腰三角形的角度转化。记住一句话，角度是一步一步导出来的，不是用肉眼看出来的， 要把已知角相互转换，等量代换，一步步传递，你肯定能算出你想要的目标角。那第四句黑话就是求面积，那普通的面积题底乘高除以二纯纯送分题。但是一旦他和我们的二次函数和我们的函数结合，核心考点就是牵扯法，同学们不要被复杂的图形给扼住，他的底层逻辑其实就是各补法 画几条平行于坐标轴的辅助线，把不规则图形拆成多个三角形，把它们的面积算出来就行，那这个题就是纸老虎，一点也不难。 那第五句黑话就是求最值问题，那很多同学一看到最值就头疼，其实题型就是固定那几类，那么两线段之隔最小秒，想千军一马，单条线段最短，优先考虑。我们的引援有定边、定角、定点、定长。还有一种就是八年级常做的刮豆原理， 如果实在没思路，你直接建坐标系，转化成二次函数，用解析式求最值，万能好用，百试百灵。 第六句黑话就是询问是否存在点批重题不用纠结了，百分之九十九都是存在的，那出题人不会大费篇幅去出题，就为了告诉你说不存在。你大胆假设批点存在，把几何条件转化成方程，列式计算，能够解出答案，直接得分，轻松拿捏。如果是算不出来，那就没办法了。 所以你千万别被几何压轴题吓到了，说白了，压轴题就是出题人在暗示答案，所有的解析线索都藏在题干里。吃透上面的六句黑话，压轴题轻松拿捏！
3962徐凯文数理思维
05:48查看AI文稿AI文稿中考几何？想要得高分，一定要知道这十条条件反射的速查手册！嗯，模型一坐标系中的面积斜着的不好算，一定要用铅垂法， 看到什么条件呢？而函数图像上有一个动点连接两个固定点，形成了一个三角形，求这个三角形面积的最大值。问题，反射什么动作？做铅垂线过动点做 y 轴的平行线与底边所在直线 相交，面积公式就是二分之一水平宽成铅垂高。嗯，第二个模型呢，是线段和的最小值。看到这样的求法，我们第一个条件反射就是将军印马模型，那看到的条件就是在一条直线上 啊，或者是在呃对称轴上， x 轴 y 轴反正是一条直线。嗯，有一个动点，使得到两个定点的距离之和最小，比如说 pa 加 pb 最小。嗯，那么我们反反射出什么动作呢？要做其中一个定点的对称点，然后对称点与另一个定点连线， 就可以求出这个线段和的最小值喽。第三个模型，等腰三角形的存在性问题，学生看到这个头都大了，其实是两元一线，看到什么条件呢？ 抛物线或抛物线对称轴或者坐标轴上存在一点，使得三个点可以构成等腰三角形，对不对？嗯，如比如说三角形 p a c 对 不对？反射什么动作？分三类讨论，分别计算， p a 等于 p c a p 等于 a c， p c 等于 c a， 那 分论分分，如果是 p a 等于 p c 呃 p c 的 话，点点的话就在 a c 的 中垂线上， a p 等于 a c 的 话，一 点以点 a 为圆心画圆， c p 等于 c a 的 话，以 c 为圆心画圆。最后检验是否三点共线，共线就不存在。嗯， ok。 那 么第四个模型呢？就是隐形圆，这个在我们陕西考的最多，其他的一些城市也有考道啊。嗯，嗯，那定弦定角的情况下，它有隐形圆，我们的条件是什么呢？ 有一条边，比如说 ab 线段固定不变，那么这个边所对的角它也始终保持不变，这个角度可以动，但是它的大小不变。反射什么动作呢？立即画出辅助圆。嗯，动点屁的轨迹，就是以 ab 为弦的圆弧。 模型五，隐形圆是最直的杀手，学生只会记得说一箭穿心，怎么一箭穿心？看到什么条件？平面内有一洞点，在园外或者园内到园上的一点距离最大或最小，反射什么动作？ 连接圆心与定点，直接连连线与圆的交点即为最值，最大值就是定点到圆心的距离加半径，最小值就定点到圆心的距离减去半径。嗯，第六种模型，我们要看到面积等分问题。嗯，我们要干啥？ 找重心，也可以说是找中心。嗯，我们看到什么条件呢？比如说过边上的一个点做一条直线，把图形的面积分成相等的两部分。嗯，这个要搞清楚。平分面积问题，反射什么条件呢？找中心点。 如果是平行四边形，那么对角线交交点就是我们的平中心点，对吧？嗯，如果是梯形三角形呢？我们利用啊等底等高转化或者求出总面积后列方程算高度。 好模型期直角三角形的存在性问题，两线一元，刚才那个等腰三角形是啥？ 两圆一线，看有区别，对吧？看到什么条件？动点构成直角三角形，反射什么动作？分角讨论。嗯，分别过两个已知点作垂线，再以已知线段为已知线段为直径画圆， 求焦点坐标代数法，用勾股定律或斜率为一进行列方程。对， 那么模型八呢，就是定角定高，也叫做探照灯，我们的最小拮据问题，看到什么条件呢？ 看到一个角度是一个定角，并且呢在这个对应的边上，他的高也是个定值，求 bc 的 最小值或者面积最小值的时候，我们反射什么动作呢？我们要做这个图形的外接圆啊， 比如说三角形，做三角形的外接圆，我们设半径为 r， 那 么圆心到 bc 的 距离 我们就能表示出来，然后当圆心与高的垂足重合的时候， bc 就 最短喽，事实它就是等腰三角形，对啊，然后模型九，几何最值，垂线段最短， 看到什么条件，动点在线段上运动，求某个点到线段的距离的最小值，对吧？这类问题的话，要转化角度，或者是那种倍倍数类的什么几分之几的最小值，他要转化的， 然后将所所求的线段转化为点到直线的距离，利用三角函数将他那个倍数根号，比如二分之根号三，对吧？转化为垂线段，再用垂线段最短的原理 进行计算，比如说胡不归。对，那我们的最后一个模型呢，就是折叠与平移对应点的连线被对称轴垂直平分，这是我们的核心知识点。 我们看到什么条件呢？比如说一个图形折叠啊，翻折呀，平移啊，这些我们都知道它的性质是前后图形全等，对不对？那么 让我们求坐标或者线段的长度，我们反射什么动作？列勾股方程，设未知数，在直角三角形中用用勾股定力建立方程。嗯啊，这样的话呢，我们把未知数求出来，即。
621初中数学夫妻档
05:35查看AI文稿AI文稿这个问题始终是我们中考当中几何压轴题，今天我们再来通过一个求最小值的问题，带大家求解一个考过的几何压轴。如图， bc 等于四，确定的 ac 等于根号十，这个量等于根号十， 然后 tan 的 角 a， c b， 结果等于三，然后 p d 垂直它， pe 垂直它，这有两个垂直，确定了，然后让你求低一的最小值， 那接下来我们怎么办呢？我们先分析一下啊， bc 等于四， ac 等于二，是 tan 角 a， c， b 等于三，那接下来我们肯定是要放垂才能够利用这个三角函数值过点 a 做 a t 垂于它， 好， a t 谁对它？这个地方 a t 是 不等于三，这量是一，这是三，那这个边长是不是也等于三？好，那这个量求出来这个量等于四十五度，然后 ab 的 长度是不等于四三倍零二，确定吗？ 好，接下来让你求第一的长度，我们通过这一个 tan 呢，以及我们两个边长，可以求出剩下所有的边长。好，那我们要求它的长度。我们接下来如果说你连上我们的 c， 连上我们的 c t， 我们这个地方 p d， c 和 p e， c 是 不是都是九十度，都是直角三角形，那么我们四点 p d， c， e 是 不是就是一个四点共圆问题？好，那接下来就是再取 c p 的 中点，取连接 cp 的 中点 o 是 不是？好，你要想求出我线段 d， e 的 最值，那肯定是要跟这两个边边最值是有关系的， 那你跟 o d 的 对值有关系，是不是跟 c p 的 对值有关系？ c p 的 什么时候会最小值呢？是不是当 c p 垂直 ab 的 时候垂线段最短？ 好，那接下来我们要求 d 一 的最小值的时候，是不是转化成求 c p 的 最小值之后再来进行求解？好，那这个地方的话，也就说我们已经分析出来 d 一 的最小，要推导出来这个地方就是 o 一 最小， 对不对？ o e 最小，是不是推导出来就是我们的 p c 最小，那 p c 什么时间会最小呢？我们通过分析得知，当 p c 垂直 ab 的 时候，我们 p c 是 最小的。 好， p c 最小，那接下来我们是不是通过面积代换 s 三角形 a b c 的 面积是等于二分之一乘以 a t 再乘以 c， b 等于二分之一乘以 c p 再乘以 ab， 好，那这个地方是二分之一乘以四，再乘以三等于二分之一乘以三倍的根号二，再乘以 c p。 好， 那所以说 c p 是 不是可以求出来是等于二倍的根号？ 二倍根号呢？ o 一 是不是就等于根号二？ o 一 的这个 o 一 等于 o d 这个地方变成是不等于根号二？ 好，接下来让你求 d 的 最小值，好，我们还是有一个条件没有用的，这个角等于它的这个地方等于三， 也就换进来讲，我通过这个斜边或者是不是圆的话，我们可以知道我们角 d、 o、 e 是 不是等于二倍的角 a c b。 如果说角 a、 c b 等于六十度，那接下来它角 d、 o、 e 是 不是等于一百二十度？是不是可以求解出来？ 但是你这个地方他给的是三角函数值，不是特殊的角度数，我们接下来依然是可以做出来的。我们的角 d、 o、 e 是 不是就等于二倍的角 a c b。 好，我们要，其实本质上我们 p b、 c， e 是 四点共圆的， d， e 就是 其中这个弦求弦长，肯定是要用垂进定力，垂进定力的话，这个题来讲的话，就过点 o 做 o m 垂直于 d e， 那 这个角是不是二分之一角 d o e， 它是不是也等于这个角等于角 a， c， d 好， 那接下来我们是不是就可以求找出来我们想要的？好？过点 o 做 o， m， c， d， 对 吧？ o， m， c， d， 接下来是不是可以做出来好？摊进的角啊？这个地方是不是推导出来我的角 e， o m 是 不是等于角 a， c， d， 那推导出来是摊进的角 e， o m 是 不是等于摊进的角 a， c， b 是 不是就等于三？好，那这个地方我们设为 x， 这是不是等于三 x， 那 这个量合起来是不是就等于根号？好，接下来就是 o m 的 平方， 这个地方是不是等于 m 一 比上 o m 等于三，我们接下来我们设 o m 等于 x， 则 m 一 等于三 x， 所以 说是 x 的 平方，加上三 x 括号的平方等于根号二括号的平方，所以说 x 等于五分之根号五，是吧？五分之根号五，那接下来我第一 它就等于二倍的 e， m， 它就等于六 x 就 等于五分之六倍的根号五，好，那最终解出，解出来我们第一的长度是五分之六倍的根号五， 好，也就是换进来讲，这个地方要求最值的时候，你首先要先判断出来我的第一是跟哪个线段是有关系的。 你连接 c p e 这个地方 p d， c， e 是 个四点共圆，你线段 d， e 的 最小值肯定是跟半径 o e 有 关系， 而 o e 是 等于二分之一 c p， c p 最小的时候是不可以推导出来 d e 最小。也就说你要能推导出来这么一个基本的几何逻辑关系，那这个题就可以做出来。好，那这道讲到这啊，同学们拜拜啊。
122显哥讲数学—徐老师
02:11查看AI文稿AI文稿为什么几何题你听别的老师讲这么简单，但是考场上你就是不会做，那你肯定没有听我的课，今天我教给你一个在考场上救命的方法，学会了给肖老师点个关注啊。 比如说这道题，他让你去求 a p 加 pd 的 最小值，如果你题目做的够多，那你就肯定能知道，我们这道题就是要把 a p 换一个位置，他现在是朝这我给他换个方向呗。那你就先猜一猜嘛，他可能是在这个方向呀。 大致的思路有了，现在你就要从他的条件去推理，你要把他的条件用到极致，他为什么要给你这个条件？给了我们 p f 等于两倍的 a e， 且 p 是 a e 的 终点。到这里你就要知道，我们这里大概率是要么就去去挣全等，要么去挣相似，到这里肯定是挣全等呀！哈哈哈，那我们就先从 p 是 终点开始，我强行去割它，构造一个全等三角形。我只要延长 a p 到 p g 的 位置，这里是不是就出现了这一对全等三角形？因为角 a e p 和角 p f、 g 它们俩相等，而 a e p 由角 abc， 也就是六十度加角 e、 f、 b 组成，而 p f、 g 是 由 p f b 加角 b、 f、 g 组成，它们俩有个共同的角，所以说这里 b f、 g 就是 六十度，以及且 g f 等于 a e， 那 g f 就 等于 b f 的 一半。我的天呐，这里你发现了什么？ b g f 居然是个直角三角形， b g f 等于九十度，角 f b g 等于三十度，那么 a b c 也等于六十度。这里又出现了一个直角， a b g 为直角，为直角， p 又是 a g 的 终点。哎呀， a p 我 现在都转成了 p b 了。 b 它是一个固定的点呀。那也就是说我现在去只要去求 p 到 p d 的 最小值就可以了。那我直接给他连起来不就行了吗？接下来你直接就勾股定你做个辅助线，我就不用讲了吧？直接做这条垂线你学会了吗？
153苏州数学肖消乐
02:02查看AI文稿AI文稿绝对不会允许我的任何一位粉丝不会做几何动点的问题，这类问题是中考压轴题，经常考的一种题型。点赞关注，我来教你实战技巧。我们第一步一定要去看它的问题，先去判断它是定点还是动点，会发现 p q 这两个点是不是都是动点， 那我们待会一定要通过转换的方法去把它变成一个定点，一个动点。哎，好像到这里我好像没有办法直接给它转换到其他的两个点上， 那怎么办？不要着急，待会你再去解决这个问题。首先这里是个正方形，且 b e 等于 c f， 到这里我们一定要去学会从条件进行推导。 简单的来说，你就要去思考它为什么要去给你这个条件？这里的 b e 等于 c f， 你 是不是很容易就能看出来，这里 a b e 和 b c f 是 不是就等于九十度？那么 b f 和 a e 就是 垂直的， 而 q 是 e f 的 中点，那么在直角三角形 e p f 中，如果我想求 p q， 我 是不是只要知道 e f 的 长度就可以啊？因为它等于 e f 长度的一半。也就说到现在我们要去研究 e f 这两个点的情况，这两个点是不是还是动点？我们现在要去把它变成一个定点，加一个动点。 那么怎么把 e f 转换到其他的两个点上呢？我可以去构造一个矩形啊，这是不是就是一个矩形的对角线呀？那我们 e f 是 不是就可以转化成这里的 c m 呀？好出来了， c 现在变成定点了，也就说我们现在直接去研究 m 的 运动轨迹不就行了吗？ e e 等于 c f， 那 么 d f 是 不是就等于 e c 啊？也就是说 d， f 等于 m， f 永远等于四十五度， 也就是说这里的 m 点是沿着 b d 这条线上运动的。那么 c m 什么时候最短？是不是直接过 c 做 b d 的 这条垂线？它的边长是十二，所以说这里的 c m 就是 六根号二， p， q 也就出来了，等于三根号二，你学会了吗？
127苏州数学肖消乐
02:49查看AI文稿AI文稿这道题是不是少条件啊？这怎么做啊？不要急，交给我哦！他给了我们一个直角三角形 a、 b、 c， 且它的一个边 ab 等于三 角 c、 a、 d 的 度数是四十五度，三角形 a、 c、 d 的 面积是六，求 b、 d 的 最大值。这道题是非常经典的繁衍变换模型，会了记得给我点个关注哦！ a、 c、 d 是 不是一个定角呀？ 它又给了我们一个 a、 c、 d 的 面积是六。那我们是不是可以通过三角形的加角公式， a、 c 乘 a、 d 乘以三点四十五度，乘以二分之一就等于六，所以 a、 c 乘 a、 d 就 等于十二根号二。 你只要看到这里有定点，且这两个边的夹角是定直，他们的成绩还相等，他就是繁衍变换模型。这里的 c 运动轨迹是不是一条直线呀？那么 d 实际上运动的轨迹是一个圆， 我们怎么去证明呢？不要急，不要急，你先去想，我们什么时候会用到两个边的乘积呀？是不是我们在做相似三角形的时候，两组边的笔交叉相乘？也就是说， 繁衍变换模型的本质就是要去找相似三角形。那么怎么去找到那组相似三角形呢？先记住第一步，你去找这个图上确定的那个线段，我们这里是不是就是 a、 b？ 那 么我们最后列出的式子是不是就是 a、 c 比 ab 等于什么比 a、 d 呀？ 这个相似的三角形 a、 d、 e， 它应该也是一个直角三角形，那就非常简单了，我直接做 e、 d， a 等于九十度，然后两边的比 a、 e 比 a、 d 正好等于 a、 c 比 ab， 是 不是就能做出来这组相似三角形 a、 c 和 a、 d 乘积是个定值， ab 的 值是三， a、 e 的 值就能算出来，等于四根号二。 a、 e 的 长度居然是个定值。通过相似三角形，我们就能得出 c、 a、 b 等于 e、 a、 d， 且这两个角中间是不是有个共同的角 c、 a、 e 啊？而 c、 a、 d 等于四十五度，所以 e， a、 b 也等于四十五度呗。 e 这个点居然是个定点，而角 e、 d， a 是 不是一个直角三角形？ 所以说 d 是 不是就是在以 a、 e 为直径的这个圆上转啊转啊转。那么什么时候 b、 d 就 最大呢？那就直接去做过圆心的这条直线呗。就是说我们要做此时 b、 d 的 长度直接过 o 做条垂线， o、 h 垂直于 ab， 所以 o， a 就是 它的半径等于二根号二，所以 o， h 等于 a， h 等于二， b， h 就 出来了，等于一。根据勾股定律， b、 o 也出来了，等于根号五。 o， b 是 不是正好就是半径等于二根号二，所以 b、 g 的 长度就出来了呗。等于二根号二，加根号五。
213苏州数学肖消乐
01:03查看AI文稿AI文稿同学们好，我是刘老师，当然这个东西不重要，我今天要说的是给大家喂一个甜瓜，今天这个瓜呢讲呢是从苏州的瓜豆讲起，那当然，作为一道中考题，那我觉得这道题目呢，哎， 十分的不好意思，我在这个地方轻轻的画了一个圆，还是把这个题目给破解了，当然了，我也可以不画这个圆，我不画这个圆呢，我就在这个地方找这么一个点，然后把它连接在一起， 这个角是六十度，这个角六，这个角六度。关于这个点，我之前的时候也有跟同学们慎重的去说过这个问题，所以我就把这个题目呢很轻松的解决了。 这个角是六度，这个角六度，因为他是二，他是三，所以二除以一个根号三，加上一个三除以一个根号三，所以正确答案就用来选 c， 就 这么简 答应我，一定要用最简单的方法，不要在那里绕来绕去，又是七七八八的搞了那么多，嗯，一定要遥遥领先。好了，今天我们就到这里了，同学们再见，给大哥点点关注。
29阿源教你口算压轴
05:33查看AI文稿AI文稿好，今天大家看一下啊，今天给大家分享一道咱们的中考压轴题啊，这道题大家看一下。这道题是在二零二四年某省的一个最后一道题的压轴题， 大家看一下，在三角形 a、 b、 c 当中，其中 a、 c 等于四十， bc 等于六十，以 ab 的 边做咱们的正方形 a、 b、 e、 d， 求 cd 的 最大值，并且在此时咱们的角 a、 c、 b、 a、 c、 b 等于多少度？这个题大家看一下，可能有些同学拿到这道题，感觉他很简单，给出的条件也很简单，做起来的话可能会觉得没有什么问题，但是大家在做的过程当中就会发现，给的条件太少了， 做起来难度是相当比较大的。那么这道题正确的应该如何去思考，如何去做呢？这里给大家去进行一个分享啊，大家看一看，看一下，咱们 a、 c、 b 当中，咱们的 a 只告诉了咱们的 a、 c 等于四十， bc 等于六十，但是这个角度是不是可以变的 对不对？但是有一点啊，就是 ab 和 ad 是 相等的，去转化一下思维， 去把这道题就很容易去弄明白了。咱们去将三角形 a、 c、 b 去旋转，旋转到啥程度？因为 ab 不是 等于 ad 吗？旋转到将 ab 等于 ad 的 时候，也就是 b 点到达 d 点，那么这个三角形就构成了这个大家看一下， 那么这里的话就是咱们的 c 片对不对？那么毫无疑问 ac 片长度是不变的，四十， dc 片呢？是六十没有问题，然后去连接咱们的 c、 c 片， 那么毫无疑问了，旋转了多少度啊？九十度，所以这是垂直，那么这就是四十倍的根号二， c、 c 片就是四十倍的根号二，没有问题啊， 看一下就将这个问题转化成了在新的三角形 a、 d、 c 片当中，因为 a、 d、 c 片由它旋转过来，那么它两个是相等的，也就是 ac 等于 ac 片， dc 片等于咱们的 bc。 那 么刚才说了，角度变的是谁啊？ a、 c、 b， 那 么就转化成了这个角度，变的是 a、 c 片 d， 对 不对？这个角度是可以变的， 但是咱们就构造出来了一个新的三角形 c、 d、 c 撇，这是这道题的解析关键啊，那么求 c、 d 的 最大最大值，也就是说看在三角形当中， c、 c 撇 d 当中， 求它的最最长边的这个最大值，这个角度可以变的话呢？那么你看我是不是可以进行这么 左右的去旋转，然后当他旋转到什么时候，也就这个地点到达什么时候最大，肯定是与 c、 c 片去在同一条直线的时候，对不对？那么这我写为 d 片好吧， 也就是说 cd 片他们共线的时候，是不是咱们的 cd 最大，也就是这个角旋转到这的时候是最大的， 那么最大是多少啊？因为刚才说了， c 这个和这个是相等的，这是六十，那么 c、 c 撇的话是咱们的四十倍根号二，所以最大值就是四十倍根号二加上六十，这是第一位。 c、 d 的 最大值就解出来了。 再看一下第二面啊，此时 a、 c、 b 的 角度是多少？ a、 c、 b， 也就是让你求 a、 c、 b 的 角度，是不是就是 a、 c、 d 的 角度，也就是咱们这个题当中最大值是在这的时候，这个角度啊， ac 撇、 d 撇的时候，对不对？是这个角度，那么这个角度如何去求呢？大家看一下他俩共线，那么这整个这是不是一百八十度？一百八十度咱们只需要解出来 ac 撇 c 的 度数就可以了，刚才这旋转了九十度，那么这个是一个什么三角形？是一个等腰直角三角形，所以 ac 撇 c 的 话就是四十五度， 那么 a c 片 d 片的话就是一百八十度，减去四十五度等于一百三十五度。看一下，这是咱们中考最后一道题的压轴题啊， 看起来比较简单，但是你实际做的时候可能会发现难度比较大，所以说咱们要转换一下思维。 咱们老师可能讲给大家讲过一些模型，就是无论您说的是一些爪子模型啊，还是奔驰模型啊，都是根据这一这个模型来的，所以说这一个就是正确的一个思路，正确的一个解法，也是最简单的一种方法， 不知道咱们听懂了吗？这道题的话是咱们的一个压轴题啊，难度相对比较大，咱们如果说是成绩在一百分以上的，可以着重去看一下，作为咱们中考的一个压轴题去了解一下，记得关注再走哦。
14清和研学
03:19查看AI文稿AI文稿二次函数不可怕，就怕函数加几何。来各位大神们，今天我们一起来挑战一下这道压轴题。已知它的函数解析式。 y 等于负四分之一， x 的 平方减四分之一， x 加四。 然后 c 是 这里不确定的一个点，连接 bc 并延长交 x 轴于点 e 点 f 是 线段上 a， d 上一个点，连接 f c， o， f 延长 f c 交 x 轴于点 g， 再将 o、 f 沿 o 逆时针旋转九十度，得到 o h 过点 h 作 h， k 平行于 f g， 且 o b， e 等于角 o k h 求 d 的 值， d 就是 它的垂线。那首先我们根据条件 f g 和 k h 它是一个平行且相等的关系，那么 k h、 g， f 应该就是一个平行四边形。我们现在连接 f、 h， 那么这里呢？我们就可以得到 f m 等于 h m， 那 么根据 o f 等于 o h， o m 等于 o m， 是 不是可以根据边边边得出来这两个三角形是相似的？它是相似的，那么这个 f、 o、 m 就是 四十五度， o f、 h 也是四十五度， 那么 o、 b、 e 是 不是就等于 o、 k、 h 且等于 f、 g、 a 这三个角都是相等的？我们要过点 c 做 y 轴的平行线和 x 轴的平行线，那么这个 f、 c， j 是 不是就等于 f、 g、 o 这两个角相等，且 b、 c， k 等于角 e， b、 o 这两个角相等，那么这四个角是不都是相等的？你再看这个三角形 d， f、 c 的 角是不就等于四十五度，加上 f、 c、 j， 而 d， b， c 是 不是也是四十五度，加 c b， o， d c 就 等于 d b、 c 这两个角相等， 这两个角相等，我们就可以得出来，此时 fc 就 等于 bc， 说明这里是一个等腰三角形，再根据 cd 垂直于 b f， 那 么 d 就 等于 d 是 b f 的 终点， d 的 终点坐标就是负一三，因为 b f 的 斜率是一，那么 c d 的 斜率应该是负一，所以我们可以很快的算出来 c d 的 表达式 y 等于负 x 加二，然后再跟这个它的二次函数的解析式进行连立。最后我们可以求出来 c 的 坐标等于 一。一到这里我们就可以用点和点的距离公式就是 d 就 等于根号下四，加上四就是二，根号二。
32苏州数学肖消乐
09:56查看AI文稿AI文稿咱们看一下这个括号二，括号一非常简单，所以它只有两分括号二，通过括号一我们就知道这个图它一定考的是什么模型，是不是考的是一线三等角，对不对？也有也有的说叫弦图，那一线三等角 就是之前讲过有两个垂直且相等的线段，对不对？首先你找到垂直且相等的线段，然后我们去找过这个垂直且相等线段直角顶点的一条直线，那直线有两种方式，一种是不会破坏这个直角穿过去，那我们怎么办？过这线段的另外两个端点 去往直线上做垂。那另一种呢？是不是我们需要穿过这个直角顶点去往直线上做垂？那另一种呢？是不是我们需要穿过直角顶点的？ 那我们仍然是要过这个另线段的另外两个端点往上做垂，去构造全等的图形。是不是直角只是其中一种比较特殊的情况，如果是钝角和锐角，情况是一样的，我们就要去要去构造全等。那通过括号二，你看， 我们先判断一下一些已知条件，我们知道 a、 b、 c 还是一个等腰值，哎，这个里面他告诉你这两个角等，那他俩既然等，我就给这两个角都设为 r 发角，这也是 r 发角好。然后呢，垂直且相等的线段是不是在这呢？ 穿过直角顶点的线段是不是这个 c e 有 没有往 c e 做垂，有一条垂线段，对吧？所以这种模模型一般他不会把两条垂线都给你，他会给你一条，让你自己去构造另一条。那我就想到怎么去构造，是不是或点 a 去往那个的 c 上做垂， 做一个 a h 垂直于这个 c、 d， 那 第一组全等三角形是不就出来了？三角形 a、 c、 h 和三角形 c、 b、 e 是 全等三角形是不是就一件三等角的？我刚才画的那个全等模型，全等完之后，不仅有全等，我把这 h 往上点写， 不仅有全等，是不是还有平行了？因为这是垂直，这也是垂直，我会把这个 r 法角导到哪？通过内错导到这个 h、 a、 d 上来，这个是 r 法角，那 c、 a、 h 是 不是就是四十五减的 r 法？ 四十五减的 r 法。然后你会想，哎，我想办法想，正，这个 c、 f 是 等腰值，看着就是等腰值，那现在你知道一个直角顶点，你要么正， c、 e 等于 e、 f， 要么正，这俩角有一个是四十五度，你看这不就来了，角 c、 h 是 四十五减 r 法，它等于哪个角 是不等于这个 ecb， 这也是四十五减 r 法，那你看四十五减 r 法加 r 法是不是导出来了？ 是四十五度，所以这个点是四十五度，等腰值正出来了，接下来我们开始导线段，它告诉你了 b、 e 和 b、 f 的 数量关系是一比三等于三倍的，对吧？那开始设 b e 是 x， 那 b、 f 就是 三 x， 那 因为全等 b e 等于 c h， 这也是 x， 然后我这个 c e 等于 f， 等于这个四 x， 这是四 x， 那 我就知道 he 也是三 x， 那 c e 是 四 x， 还谁是四 x？ a h 也是四 x， 因为红色这组三角形全等，我知道 a、 h 等于 c、 e， 那 a、 h 是 四 x， fe 是 四 x， 你 看它俩又相等了数八字形的全等就出来了， 为什么要证它俩八字形全等？因为你想题里告诉我们谁是三了，告诉你的 e g 是 三， 那你会想办法。哎，如果我这个点 g 正出来是 h e 的 中点，那怎么正中点？我如果能正出来， h g 等于 g e， 把它俩放到全等里面，是不是就可以正出来是中点了？刚好现在正来中点，所以我这个 h g 是 不是也是三，对吧？那 呃，六等于三， x 算完， x 等于多少啊？ x 是 不是等于二， x 等于二，那这段 c h 长是二， h g 长是三，二加三五， c g 就 求出来了，这块二全等就出来了，其实还是比较简单的，两组全等，块二三是稍微有点难的， 块二给了两个直角三角形，好到块二结束，几分儿？七分儿，也就说块二是五分儿。 这样写，这是两分，这是五分，你看到这你就拿七分了，十二分的拿七分了，对不对？让我们看一下括号三，括号三，你看， 告诉你这是直角，这是直角，那你上来是不就能挣出来一个 c d e 和 a、 c b 是 相似的，你这种相似只要挣出来又拿一分，那十二分题就拿了八分，明白吗？就是咱们最后考试一定要追求性价比的，因为我们所有的学大学的 成果都体现在这一百二十分的卷卷纸上。那我们是不是要尽可能的能证明多少，证明多少，他也不能空着呀，空着你就是真一分没有，对不对？你你你正一组最简单的相似，他都给一分呢。 好，他给的这两个是直角，然后呢？又给了 f 是 b 一 中点，那中点的处理方法，我们之前讲过，有 中位线，然后背长中线，直角三角形中线，还有三线合一这一个方法对不对？那这道题的话，给了一个 f 是 中点，我们想到什么？哎，我想到我可以构造个中位线，我取个 ab 的 中点，哎，对，还有条件没讲完呢。还有他给了一个 c 的 f 是 等边三角形， c 的 f 是 一个等边三角形， 然后最后他结论想问你的是 c a 和 ab 的 数量关系，那 c a 和 ab 的 数量关系，你光看着也想判断他俩是一比二的关系。很明显的，这是个三十度角的直角三角形，那我要么正这是六十，要么正，这是三十， 那我到底是正六十还是三十好呢？因为这道题里是有等边三角形的，所以很显然我正它是六十是更容易一些的，对不对？正这个角是六十，更容易一些的。那这道题我们怎么处理这个中点呢？ 我可以取个 ab 的 中点 m， 取 ab 的 中点 m， 因为它不仅是可以帮我们构造中位线， 我们还可以得到什么？还可以得到直角三角形的斜中线，对不对？你看我们有，首先第一组相似是三角形 a， d， e， 让我说的 a、 d， e 相似于三角形 a， c， b 得到了一个比例关系，就是 a d 比上 a， e 等于 a， c 比上 ab 等于 ac 比 ab。 哎呀，写反了，写成同一三角形了，应该是 a d 比 a， c 等于 a， e 比 ab。 刚刚写反了， a e 比 ab， 那 a e 跟谁有什么样关系啊？是不是跟那个 m f？ 因为我构造的是中位线，这是等边对不对？这三个斜中线我是不是有 m f 等于二分之一的 a e， 我的 c m 等于二分之一的 ab， 那 你看我这个 a、 e， 我 分子分母同时乘以二分之一，可不可以 二分之一的 ab 得到什么？二分之 a e 是 谁？是 m f 二分之一 ab 是 谁？是 c m， 你 看，我又得到了 a， d 比 a， c 等于 m， f 比 c m， 我把这个拿下来重新写一下， a， d 比 a， c 等于 m， f 比上 c， f， 你 看一下 a、 d 比 a， c 等于 m， f 比 c， f。 看到我想证明数相似了吗？是不是想证的是这个 d a、 c 和 m f， c 是 相似的， 为什么想证他俩相似？因为其实我 c、 d 和 cf 的 比是多少？是不是一比一？对吧？ c、 d 和 cf 的 比是一比一，我如果证出来他俩相似，那我 c、 a 比 c、 m 是 不是也是一比一？一比一意味着什么？是不意味着 c a 等于 cm， 那 由于我 c、 m 等于 am， 我 是不是证出它是等边，就证出我刚刚说的这个角是六十度了， 那现在我已经正出边的关系了，他比他等于他比他，是不是？那我需要把这俩线段换个位置，我要写成 a 的 啊，写错了，我需要写成 c， f 比上 a， c 等于 m， f 比 a d， 这是可以换的，对不对？这回对了， c f 比上 a， c 等于 m， f 比 a d， 两组边际那个比例关系已经出来了，现在差倒角了，对不对？我要倒一下角。那又因为 c、 m 等于 am， 所以 我可以设先设这两个底角是 r 法，设它是 r 法的话，这是不是就是一百八十度减二 r 法，这个是不是就一百八十度减 r 法？又因为中位线它俩是平行的，所以内错角相等，这是 r 法，这也是 r 法。 就我目标很明确，我就是要倒他俩这个两个线段的夹角对不对？一百二八十度减二耳法加耳法，这个角就是一百八十度减耳法。哎，夹角等于也正出来了，正出来了。角的 a c 等于角 f m c， 所以三角形的 a c 相似于三角形 f m c， 它俩相似了。所以 c 的 比上 c f 是 不是就等于 ca 比上 cm 等于一几啊？等于一，因为 c 的 等于 c f， 所以 c a 等于 c， m 等于 a， m 等边三角形这道题就结束了。其实就是两组相似，一组一组那直角三角相似，另一组是需要通过边角边，但是需要导一下线段，这个线段不是很好找，导一下线段正相似。嗯，这个题的话你可以给他整理一下。
115蔡老师数学
