加权逆等线旋心怎么找
家权逆等线全新来行进。大家好，我是热爱引体向上的建哥，今天咱们来复习一下全新这个知识点，同时用它进行一下实践的解析。能看到题目求的是 b q 的 最小值，那么看到了 b p 等于根号二倍 a q 这种形式，那么我就反映到他好像可以用全新的知识进行尝试， 但是呢，我们看到他和建哥之前讲的这些题有所不同，之前咱们的图形呢，都是大的三角形是固定的，但是这里面很明显啊，这个 a p b 这个大的三角形是一个变化的， 那么这种情况下，能否用我们之前的知识进行解析呢？哎，当然是可以的，我们不妨进行一个尝试。那么在这个过程当中呢，我们先得有一个思想，如果看这种 变动的你心里没有底的话，那不妨我们把它进行一个转换，我们把这种一般的转化为特殊的形式，看看特殊的图形能不能给我们一些启示。 那么假设呢， a b p 呢？它是一个固定的形状，那很明显这里都是四十五度，那如果这个时候 p b 等于根号二倍的 a q， 那 他的全新大家能找到吗？哎，应该是可以的啊，之前咱讲过，定方向，做拼图，做连接，最后咱们再验角度， 那很明显呢，因为之前建哥在视频中也分析过，图中 ab 是 定点，我们在做旋转的时候，尽量要定点对定点，动点对动点，因为这样我们得出的全新才是一个固定点的全新，他对我们解析才有更多的意义。那么这个时候呢， a 对 b， q 对 p， 是 吧？定完方向之后，我们做拼图，很明显是一个 四十五度的等腰直角三角形，那么做完之后我们就能看到是不是 o a q 这个三角形，它是相似于三角形 o b p 这样一个三角形， 那么我们看看能否用这面的图形来指导我们去解决这面的问题。那么这个时候啊，首先他之前学的做拼图的这个步骤好像是不太可行了啊，因为他毕竟是一个变的图形，给我们一些启示，你看啊，首先 a q 转移到 b p 这个点是不是四十五度啊？那么是不是在这个图形当中它相当于什么？你观察一下，它是不是相当于 o q 这个线段，旋转到 o p 这个线段它也是四十五度， 是不是？那结合这边有一个四十五度，那么你在做辅助线的时候，你有没有一些启发呢？哎，那我想到的是这样的， 过 q 点做 ap 的 一个垂线，那同时呢，设置点为 o， 我 要 o q 等于什么？等于 p q， 那 么我再连接 op， 那这个时候这个角 o q p 是 不是九十度，那么因为两者相等，那这个角 q o p 是 不是四十五度，那么角 o p q 也是四十五度。哎，这个时候我们发现什么？这里是不是出现一个非常特殊的一个角度啊？九十度，这里也是九十度，那么参考这边图形，你是不是很容易想到，哎，你把 o a 给连接上， 连接上之后，这个时候你应该再把什么 o b 连接上，哎，那这个时候我们再看三角形 o a q 这个三角形和三角形，什么 o b p 这两个三角形，哎，大家仔细去看啊，那题目中 p b 等于根号二倍的 a q 一 组对应边 o p 是 不是等于根号二倍的 o q 啊？又一组对应边，他们的假角什么？是不是 o p b 和 o q a 啊？那么是不是 s a s 的 一种相似啊？ 那么因为相似，我们就得到了 o b 比上 o a 是 不是等于根号二啊？那么这个角 a o b 是 不是也等于四十五度啊？那么这个三角形 o a b， 它是不是就是等腰直角三角形啊？ 哎，也就是这里是直角，那么 ab 等于六， o a 也就等于六，它是一个定长的，那么这个时候再求 b q 的 值应该就很好求了啊，因为 q 点是直角九十度， o a 是 固定的定角定弦，那么 q 点的轨迹就是一个圆，那么求圆外的一个固定点到圆上点的一个最小值，是不是只要我们连接圆心和这一点就可以了？ 那么 b q 呢？它就小于等于什么？假设这个点为 m， 它是不是小于等于 mb 减去？当这个点运动到这的时候，假设为 q 撇小于等于 mb 减去 m， q 撇它就等于什么？解这个三角形了， mb 就 等于三倍，根号五减去半径，半径就是三，那么计算完成。如果今天视频给了大家启发帮助，欢迎大家点赞收藏转发评论，多多分享，帮助到更多伙伴，我们下期再见！
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04:57查看AI文稿AI文稿hello， 大家好啊，好题分享继续登场！今天啊，玩到加权逆等线啊，这么一个题型，来自于济南的这个模考的这个最后一题啊，几何压轴最后一题， 那么这个题我们看一下底层逻辑考什么，什么叫加权逆等线呢啊，那么我们发现这个题说 a b 等于 a， c a n 和 c m 啊，是一个啊，三倍关系， 那我们之前学过逆等线，比如 a n 等于 c m， 让我们求 c n 加 b m 的 最小值，这个通过构造全等实现线段的转换，加全呢，就是有这个参数了， a n 等于三个啊， c m 啊，然后让我们求 b m 和三分之一 c n 之合最小值，那么这条套路怎么办？构造相似三角形，那么利用两边对应成比例，且夹角相等啊，那么最终啊，实现线段关系的转换， 哎，本来是交叉线段啊，再变成这种首尾顺次相连这种折线段啊，利用三点共线呢啊，从而求最值好，来看题干题目告诉 ab 等于 ac 啊，等于六啊，设 c m 为 x 啊，这块就为三 x。 好，下面求啊，这两条线段之和最小值， b m 加三分之一 c n 最小值，怎么办呢？我们要构造相似了，那首先这个角是直角，所以马上做一条线段 啊，使得啊，这个角啊和啊，这这个角相等啊，并且要截取啊啊，加上字母，比如说 p 吧，截取这个 c p 啊，必须等于几等于二，为什么？因为这块 a c 是 六，这块是二， 所以这样的话，我们出现这个相似，比一比三，六就要构造二，那么连起这个 m p 来 好，他发现这块 m c 比上 a n 是 一比三，而 c p 或者 pc 比上 ca 也是一比三，那么我们就挑战成功了啊，则我们看一下 pc 啊，比上这个 ca 等于这个 c m 啊， c m 比上 a n 等于一比三， 我们还做了一个垂直这个角 p c m 和角 n a c 相等，所以两个合二为一，所以三角形这个 p c m 和三角形 c an 是 相似的。那么下面发现这个 c n 和 pm 就 可以转换了。 pm 比上 c n 也等于一比三，所以 pm 啊，就等于三分之一 c n a， 我 们实现线段的转换，最终把三分之一 c n 就 换成了 pm 了。那么此题就考 b m 加 pm 之和最小。 由于 b 是 一个定点， p 是 一个定点， m 是 个动点，所以当 bmp 三点共线时 啊，则啊，这个 b m 加 pm 最小。我们只需要连接谁啊？连接这个 b p 啊，连接 b p 好， 那么我们只要求出这个 b p 的 长度啊，这个题我们就打完收工了，对吧？哎哎，我们把这个 b c 延长， 长度延长。我们往往用勾股定律过点 p 做垂线段，好加字母 e。 我 们把这个 b p 啊放在 r t 三角形 b e p 里面解决好。 ok！ 由于它是六，它是六啊，所以 bc 是 六倍。根号二，这个角为四十五度，这个角垂直，这个角为四十五度， 它为二。所以 p e 和 c e 都相等啊，为二分之，根号二倍乘以二，根号二，根号二 啊。所以最终啊，这个 b p 就 等于根号下七倍根号二的平方加上根号二的平方，等于根号一百等于几十。所以此题答案是十，你学会了吗？
12知兴爱数学
06:45查看AI文稿AI文稿好，今天来看逆等线模型里面的第四类模型叫加权逆等线。之前我们不管是三角形边上的逆等线，还是非边上的逆等线，还是同边上的逆等线，都是动点到分别到定点的距离是相等的，那加权逆等线，那这个时候就会多一个条件，也就是说我们也有两个动点，但是这两个动点到定点的距离并不是相等的，而是谁是谁的几倍 或谁是谁的几分之一。好，那这一类题目我们要怎么做？之前我们那一类题目，我们就是要用一边一角造全等的方法去做好，那么一旦遇到加全等线，怎么做一样的方法，只不过最后不是造的全等，而是要构造 相似。那我们来看一下题，他说角 b a c 等于九十度， ab 的 长度等于一， ac 长度等于二，到点到和点 e 分 别是 ab 和 ac 边上的动点好动点， 并且这两个动点到定点的距离是一比二的关系，点 e 到点 c 的 距离是点到到点 a 距离的两倍，现在问你 b e 加两倍 c 到的最小值，那这一类就是典型的加权逆等线模型，做法一样的去做定点跟定点重合，动点和动点重合，只不过我们现在要构造相似三角形，一样把这一个角那点 a 这一个定点， 它所存在的角就是我们的角 a， 把这个角给它转到角 c 为顶点的一个角上，那很简单，做 内错角，构造平行线。好，我们来看，那我们如果设 a 道的长为 a， 那 么 c 的 长就是二， a 有 a 道边的一个三角形，就是我们的 a 道 c， 所以 我们现在要去构造 a 道 c 的 相似三角形题目当中，也正好问你是两倍的 c 道，好，那此时夹着我们角 a 的 一边是我们的 a 道，另外一边就是我们的 a、 c， 所以 我们要把 a、 c 构造出来两倍长，设这个点为点， q 和 eq 连接 构造 c q 等于两倍的 a c。 好， 那你仔细看， c、 q 等于两倍的 a c 啊， c e 又等于两倍的 a 到 角 a 又等于我们的角 e、 c、 q， 所以 这就是两边对应成比例及其夹角相等。我构造出了 a 到 c 的 相似三角形，它是相似于三角形 c、 e、 q。 那并且它们的相似比 a 道对应边是 c e 等于 c 道，比 eq， a 道比 c e 等于一比二，交叉相乘相等，能得到两倍的 c 道等于 eq。 来把题目当中问你的两倍 c 道给它换掉，换成 eq， 所以 这个题目就是在问你 b、 e 加 eq 的 最小值，直接连接 eq， 直接把 b、 q、 e 相连。但是对于加权逆等线的题目，没有什么特殊的角，它并没有告诉我们 a、 c、 b 等于多少度，对不对？但是我们可以利用 a、 c、 b 的 tanana sine cosine 去做。那这时候怎么去做？你看， 将 b、 c 延长去构造直角三角形，设这个点垂足为点 h， 由于角 a c b 加角 q c h 等于九十度，那么角 c q、 h 加角 q c h 也等于九十度，所以这个角 a、 c、 b 是 和我们的角 c、 q、 h 相等的，那一旦相等，那他们的 tanina 值也会相等这个角的 tanina 值 a c b 的 tanina 值，它是等于 一比二，所以 c、 q、 h 的 探查值也等于一比二。好，那此时我设 c、 h 长度为 m， 那 q、 h 长度就是二 m 在 三角形 q、 c、 h 当中， q、 c 的 长等于两倍的 ac， ac 等于二，所以 q、 c 等于四。利用勾股定律去求出 m 的 值，最后放在三角形 b、 q、 h 当中。好，我们先来解一下 q、 c、 h 的 勾股定律。 m 的 平方加 四， m 方等于十六，五， m 方等于十六， m 方等于五分之十六。所以 m 我 们只取正的那一项，因为它是线段长等于五分之四，根号五，五分之四，根号五，这段长就等于五分之八，根号五。最后放在三角形 b、 q、 h 中，把三角形单独拎出来， q、 h 等于五分之八，根号五。 bc 的 长我们也可以求，因为三角形 a、 b、 c 它是直角三角形，所以 bc 等于根号五，那么我们的 b、 h 的 长就等于五分之九，根号五。最后用勾股定律去求 b， q 的 长就是我们这个题的最小值。好，那这个我是将 a 到转到了 c、 e， 构造了一比二的一个相似饼。 反过来我们也可以将我们的 c、 e 去转到 a 到去构造二比一的一个相似饼。看一下 一样，定点跟定点重合，动点和动点重合，那此时点 c 是 定点点， a 也是定点点， e 是 动点，点到也是动点。好，那么我们就可以把这个角 c 去转到以 a 为顶点的一个角上去， 保证这个角和这个角相等，这样个画扩弧的角相等好，并且这个是 a， 这个是二 a， 那 夹着我们角 c 的 一个角另外一条边就是我们的 bc， bc 长度等于根号五，所以我们要构造二比一的一个相似比，使得这个长度设这个点为点 n， 这个长度等于二分之根号五是 bc 的 一半，连接 n 道。那此时你看我们的 a 到比 c， e 等于一比二， a， n 比 bc 也等于一比二 夹角，夹角相等又是两边对应乘比例及其夹角相等的一类模型，所以 a 到 n 相似于我们的三角形 c、 e、 b。 同理，写出相似比 a 到比 c， e 等于到 n 比 e、 b， 那 这个时候我们换的就不是两倍的 c、 d， 而是 b e， a 到比 c， e 等于一比二， 交叉相乘相等两倍的道 n 等于 b e。 将 b、 e 换掉，换成两倍的道 n。 所以 这个题就是问你，我把这个二提取出来，问道 n 加 c 道的最小值，那道 n 加 c 道的最小值，同理，直接连接 c n， 那 一样的做法去将九十度角平角给它补齐。 由于这个是九十度，那这个是和我们的角 c 相等的，那么另外这个角就应该和我们的角 a、 b、 c 是 相等的角 a、 b、 c， 它的 tan 值，它等于 a， c 比 ab 等于二比一。好过点 c 去做蓝颜色线的垂线，垂足称之为点 k。 那 么我们就可以设 c k 的 长为二 m， 则 a、 k 的 长为 m， a、 c 为二。用勾股定律去求 a、 k、 c 这个三角形一样啊， m 方加四， m 方等于四， 五 m 方等于四， m 方等于五分之四。所以 m 就 等于五分之二，根号五 m 等于五分之二，根号五。二 m 等于五分之四，根号五。再次最后一步放在三角形 c、 k、 n 中去求， 我们要求的最小值就是这一段，最后再乘个二就可以了啊， c k 的 长是五分之四，根号五 k n 的 长等于 十分之五，根号五，加十分之四根号五，所以等于十分之九根号五，利用勾股定点求 c n， 最后才乘二就可以了。 好，这就是加权逆等线的一个做法，其实跟我们的全等都差不多啊，找定点跟定点重合，动点和动点重合构造相等的角，只不过加权呢，你一定要去根据它给你的比例，你也构造出来那个线段是另外一条线段的相等的倍数。好，这边也有一道题，自己可以做一下。
73小宋和初中数学
08:20查看AI文稿AI文稿逆等线是我们的高频考点题，也是重点难点，而我们的加权逆等线更是我们的难上加难的题目。很多同学看到这种加权逆等线，考场上是压根没有任何思路，干瞪眼。今天潘老师通过这道真题中考的真题 来教会大家如何看到加权费马点逆等线的它的底层逻辑和通用的思考解体方式，欢迎大家点赞收藏起来好不好？我们先来看这道题的题干啊 说如图，在 r d 三角形 abc 中，这个 abc 它是一个直角三角形角， c 呢是个九十度。看到啊， m， a 分 别是 b、 c， ab 上的动点， m 是 bc 上的动点， a 呢是 a、 b 上的动点。大家可以看到两个动点，它有等量关系，但是在两个等量关系，你看它有系数是什么意思呢？ a a 这个长，它与两倍的 b， m 就是， 你看 m 离到这的话，那 a n 就 跑到这来了，永远是两倍的关系。你看这种就叫做加权逆等线。我们知道逆等线就是说 两个线呢，永远是系数都是一，那这样子的话叫做标准逆等线。大家可以看到这里面是有也是恒等，而且是两个动点等量关系存在，这就叫加权逆等点。好，他让我去求谁呢？看求 c n 加上 am， 两个 am， 一个弦加两个 am 的 最小值，两个线段之合求最小值，又有等量关系存在，两个动点的等量关系存在。这种我们就用加权一等线的万能的一个思考方式就是，干嘛呢？我们第一步 先去找目标三角形看看啊，什么叫目标三角形啊？大家可以看到 bm 这个 是一个三角形，它里面有这个 a， m 是 个动的这样的一个直线， m 是 动点， a， m 的 长度跟着 m 的 改变改变，对吗？那么 a 呢？大家可以看到 a 呢 是个动点，所以 c n 的 长度也是改不改变它让我去求这个线段和这个线段两个和的最小值。我看到逆等线的问题，大家可以看到，我看到逆等线的问题，逆等线的问题， 永远的一个方法，干嘛我们用拼接或者是构造，只要是加权的，我都要构造相似三角形，大家可以看到我用是什么呢？我去有一个拼接一个，或者是拼接一个，或者是 构造一个相似三角形，构造一个相似三角形， 这是我们看到逆等线加权逆等线最基本的方法。那我们在这里面啊，我们怎么样去构造或者是拼接一个相三点，那么我们如何去拼接和构造相三点形吗？你记住规则就是动点和动点去对应， 定点和定点定线段去对应，那我们来翻一下啊，哎，我们来分析一下，大家可以看到啊，这个是这个 a， a 和这个是几比几一比二，老师说我如果这个是个 a 的 小字母，这个就是几二 a， 哎，这个角我如果过点 a， 做个谁？做个平行线好不好？做个平行线，我如果过个点 a， 我 因为我去构造或者去拼接形式吗？那你看这个对应的和这个对应的边，那我就想到，咦，老师说如果我去过点做个平行线， 你们来分析一下啊，好，如果这个是个圈角，这一定也是个谁圈角，因为为什么大家可以看到两直线平行内错角相等，哎，我再发现了啊，这个 比，我们知道我们标准逆等线是构造全等，是不是用的边角边，那这里面 加权逆等线，它的思维方式也是一样的，我拼接或者勾到相似三角形，用的也是两边对应成比例。夹角相等，这里面有个夹角，这有个夹角相等，哦，这是一，这是一份比，上一个谁，呃， abab 是 根号五，这个可以写成是谁？如果这是个二 a 一 比二，那这个是。我把它变成是几个，就是大家可以看呢？如果我来大家可以看呢？我如果把它也变成几分， 看，它比它是一比二，那这个也把它变成是两个，这个长两个 a b 的 长。跑到这边来了，你看我们来分析一下是什么场，什么情况？老师说我连接一下这个 g， 好 吧，我连接一个几 a， 好， 我们来分析一下哈。这个比，这个就是 a 比上个 a b， ab 的 场是根号五，这是一，这是二，这是根号五，那我这个是 a 级的场，是两个 ab， 就是 二倍的根号五，是不是我刚刚就跟你们说了，我们要学会啊，这个是两分，这个也是一定是 ab 的 两分。 夹角相等，两边对应成比例，它比它是一比二，那么 这个边比这个边也是几？一比二，是不是大家可以看到啊？我做的就是 a 级的长，是两个 a b， 两边对应成比例，也就是谁呢？ a a， 我 给你们写清楚啊， a a 比上一个 a g， 是 不是就等于 bm 比上个 a b， a g 是 两个 a b， 好， 我们来分析一下，大家可以看到 a 的 长是几 a？ a 的 长是两个 a， 比上个 a g 是 两倍的根号五，好，大家可以看到，只要这两个三角形它是相似的，相似的情况下，它们的相似比是几比几？一比 a。 那 我们在这里面老师拍的给你们 写一下，是不是三角形？ m b a 这个三角形它永远相似于三角形，看 m b a 这个三角形，它和 a n g a n g 一定是相似的， 你看我构造的也是，哎，这个是个洞边，这个是洞边，连接起来了吧，这个是定的直线看这个和这个对应起来，那我们在这里的用购物现在构建的相似的话，哎，大家可以看到啊，那么几 a 他 们是几比几？一比二，都是一比二，因为你看 a 比上个 b， m 是 一比二，那我请问你们啊， a m 比上个几 n 是 不是也是一比二？所以在这里有 a m 比上一个几 n 是不是一比二？好解， n 是 不是就等于两个 am？ 好， 这个解 n 就 等于二倍的 am 的 长了吧？好解， n 等于二倍的 am， 所以 他让我去求的是谁写 n 加上二的 am 就是 谁了。 g n 是 不是 好求，这个的最小值了吧，那么好看，大家可以看到这个最小值好求了吧。哎，这个 g 是 一个 a 级的长，是二倍的。根号五，他是和 b c 平行的，是定点， c 是 定点。求两格线段首尾顺次相连，他们的最小值是不是三点共线的时候，这个时候我只要把谁 c 级连接一下就可以，是不是我把 c 级的长给求出来，就是他们的最小值吧， 所以老师说我把 c g 一 连，这个 c g 的 长，它的最小值就是谁了， c g 了吧， c g 是 不是勾股定力？这个长是几一，这个是二倍的根号五，二倍的根号五的平方是不是二十？加上谁一一的平方，他们的最小值是不是根号二十一。 所以我们只要看到逆等线的问题，永远是干嘛拼接构造相似加权逆等线永远记住一个规则，定点和定点对应，对边和对边对应动边和动边去对应构造相似，我们这种题就迎刃而解。
198潘菁数学思维
