华东师大版九下数学书电子版三角函数

来，我们看到这种求最小正周期的题，只需要记两条公式，第一条是适用于 sine 和 cosine 的， 它们最小正周期是 omega 的 绝对值分之二拍， pend 是 t 等于 omega 分 之拍，相差一个二都很好记。 那我们怎么找到这个像 w 的 这个符号 omega 呢？那我们可以看到这个 omega， 它就是 s 和 sine 函数名中间的那个数 s 和函数名中间的这个数 s 和函数名中间的这个数 s， 这里是 s， 后面的他放在后面，前后顺序都一样，只是有一些他会给你坑。那我们就只需要找 s 和函数名中间的这个数，这里是四，这里是二拍，这里是二分之一，这里是二。那么就可以直接写出 t 等于 二，二拍等于拍。这就对了， t 等于二分之一，二拍等于四。四拍， t 等于二拍，分之二拍等于一， t 等于四，二拍等于二分之拍。那么如果是 ten 呢？我们先把这里假设变成了 ten， 那 就是等于 t 等于这个 omega 也是二， t 等于二。

这个什么，来，我都给你。 apple for love all the negative shoe my mouth with the fifty one come on the bottom making sure my nap with the fifty five。 嗨。

当数学三角函数，其次是听我的，秒了，看第一个题，记住一句话，摊着的等于几，见到塞印就写几，所有的 cos 变为一就行了。那它现在二减一是一，二加一的是三，一分之三也就是三了。看第二个题，咱们知道摊着的 r 反呢，它是等于 x 分 之 y 的， 那它现在就是什么二啊？负二分之一，那它现在贪着呢，等于负二分之一。记住，贪着呢，等于几里面的塞也全部变成几，所有的 cos 变为一就行了。负二分之一加一呢，就是二分之一，负二分之一减一呢，那就变成负的二分之三了。 那同理，除以一个数，就相当于是乘乘以它倒数了，负三。看下边进阶题，你说老师如果加平方了呢？同理了，它按着等于几就把三 a 变成几二，三 a 的 平方，那不就是二的平方？减去三乘一， 贪婪的等于几，见到塞也就变成几就行了。减去九乘一，二的平方是四二，四得八，减三就是五了， 二得四四十六，十六减九就是七七分之五。看第二个题，咱们知道塞引方加上口顺方，它是 等于一的，所以说我现在给它除以一个一，除一个一呢？这个一我是不是可以写成三？一方加上 cos 方好了，摊着呢等于几二，那见到三直接变成二，二的平方，加上二乘一，除以 二的平方加上一个一，二得四，加一是五，二得四，加二是六，所以说它就变成了五分之六。学会了吗宝贝？

这种密函数乘三角函数类型记分用什么方法做最快呢？那就表格法三步就可以做出来。你先列两行表，把密函数放在上面那行，三角数放在下面那行。首先上导下积上面那行一次，一次给他求导，下面那行一次往回求积分，求到上面那行导数是零为止。 然后斜线相乘，从上面那行第一个数开始和他右下角的数相乘，上面那行第二个数也是和他右下角这个数相乘。然后第三步正负交替，第一组成完，你给他标个正号，第二组给他标负号，第三组又是正号， 那么咱直接就给它秒杀写结果了，就等于 x 方三 x 加二， x 口三 x 减二，三 x 加 c 搞定。

为什么中学课本正在逐渐删除愚切、正歌、愚歌，因为这几个符号在数学逻辑上纯粹是废话，他们在现代工程计算体系里毫无用处，完全是几百年前那个算力匮乏的时代，为了让人类手工计算时少做除法而产生的历史过渡产物。 在中学阶段学习的三角函数，核心任务是建立角度与线段长度之间的数值对应关系。在整个三角函数的底层框架里，真正具有不可替代性的基础基石只有两个半，哪两个半？ 正弦和余弦是那绝对的两个，正切算半个。你在坐标系里画一个半径为一的圆，这就是单位圆。在这个单位圆上任意找一个点，这个点到圆点的连线和横轴有一个夹角，这个点的纵坐标数值就是这个夹角的正弦值， 横坐标数值就是这个夹角的余弦值。这简直是人类历史上最伟大、最简洁的数学对应。正弦和余弦完美的描述了周期性的震荡。你在自然界看到的水波、声波、电磁波，在数学表达上全部都可以拆解为正弦和余弦的组合。那正切是什么？ 正切在代数上就是正弦除以余弦。在几何上，它代表这段连线的斜率。斜率这个概念在微积分里非常核心， 因为导数的几何意义就是斜率，所以正切虽然是由前两者推导出来的，但它拥有非常强烈的独立物理意义和几何直观表现，保留它是完全有必要的好基础。打完了，我们来看看被删掉的这三位， 余切仅仅是余弦除以正弦，或者说是正切的倒数正歌仅仅是一除以余弦是余弦的倒数， 于哥仅仅是一除以正弦是正弦的倒数。在理论层面上，这三个玩意没有提供哪怕一丝一毫的新增数学信息。用正弦、余弦、正切这三个基础符号，完全可以百分之百等价替换那三个符号出现的任何场合。这就好比我们已经有了加法和减法， 你非要发明一个新符号来专门代表被减数是一的减法操作一样，除了增加记忆负担，没有任何理论价值。 在以前还没彻底删减这些符号的时候，无数学生在三角横等变换这一张，痛苦不堪。老师会要求学生背诵各种繁琐的变形公式， 什么一加正切的平方等于正割的平方，什么凑出一个余割去化简分母。很多原本逻辑能力很强，适合学理科的孩子，就是因为记不住这些纯机械式的符号游戏，在考试里频频丢分，最后甚至对整个数学学科产生了严重的畏难情绪。 为了书写上少画一条分数线，少写一个数字，一去凭空捏造三个全新的数学函数符号，然后让全国几千万中学生花大量宝贵的青春去背诵他们之间的转换关系， 这是荒谬的，教育资源浪费。既然毫无理论价值，为什么几百年前的数学家要把他们发明出来，并且还能在全世界的数学课本里盘踵这么多年呢？这就必须回到他们诞生的那个特殊的历史物理环境。 懂了这段历史，你就会对今天教材的删减心服口服。在十六世纪到十八世纪的大航海时代和早期天文学大发展时期，远洋航行的船长和测绘星空的天文学家面临着一个恐怖的现实问题，庞大的天文级人工手工计算。那时候没有电子计算机，没有计算器，连机械式的计算尺都非常原始， 所有的数学运算完全依靠人类拿着鹅毛笔在草纸上硬算，加法、减法、乘法。即便数字很大，手工列数式虽然花时间，但总归能一步步算对。但除法，特别是除数，带有四五位小数的除法，在手工计算时是彻头彻尾的灾难。 大家可以设想一个非常具体的航海场景，一艘十七世纪的帆船在大洋上航行，船长需要通过星盘测量某颗星星的高度角来确定纬度。经过一系列公式推导，他最后需要计算一个表达式， 已知某段距离是四千五百六十七海里，需要除以正弦三十五度。船长翻开厚厚的三角函数对照表，查到正弦三十五度的值大约是零点五七三五。接下来，他需要在摇晃的船舱里用昏暗的烛光照明，手工计算四千五百六十七，除以零点五七三五。 稍微有点心算经验的人都知道，手工处理除数是四位小数的除法，那个失商的过程极度容易出错，而且耗时极长，船长可能需要花半个小时才能算出一个近四准确的数值，而在这半小时里，船已经偏航了。 为了解决这个致命的手工除法痛点，当时的数学家们想出了一个聪明且无奈的妥协办法。既然人工算除法这么痛苦，那我们就提前帮大家把除法算好， 数学家们雇佣了大量的计算员，把从一度到九十度的所有正弦值和余弦值全部用一去，除了个变，然后把算出来的这些倒数结果编转成全新的两本表格。 为了称呼方便，一除以余弦的结果表被命名为正格表。一除以正弦的结果表被命名为余格表。这样一来，刚才那个面临崩溃的船长，他的工作流就彻底改变了， 公式变成了四千五百六十七乘以余歌三十五度。他只需要查新的余歌表格，找到余歌三十五度大概是一点七四三四。然后他在草纸上计算四千五百六十七乘以一点七四三四， 把恶心的多位小数除法变成了相对简单的多位小数乘法。看明白这个逻辑了吗？愚切，正歌、愚歌这三个符号在本质上根本不是什么高深的数学规律，他们就是纯粹的查表快捷键，他们是人类在硅基芯片发明之前，为了规避肉身大脑算除法的劣势而硬生生造出来的工程妥协补丁。 那现在的科技界和工程界到底是怎么处理这些计算的？在目前主流的所有底层计算框架里，无论是 python 环境下的囊派，还是 c 家家的底层数学库，还是谷歌的 tensor flow pi torch 这种深度学习张量计算平台，你去找找看，哪有专门为你准备的正歌或者于歌内置函数 几乎绝迹。在现代计算机的 cpu 指令级里，浮点数的除法运算虽然比乘法稍微多占用一丁点时钟周期，但那也是在那秒级别完成的， 算一个一点零除以余弦的值，对现在的芯片来说，连个喷嚏都算不上。既然机器做除法和做乘法一样快如闪电，那么过去那种为了把除法变乘法而设立的特殊符号就彻底失去了存在的物理土壤。不仅如此，在现代的高阶算法工程里， 保留这些无用的倒数函数，反而会带来严重的副作用。在人工智能的深度学习训练中，我们每天都在做海量参数的自动微分求导，也就是反向传播算法。如果基础计算图是基于正弦和余弦构建的，他们的直域永远在负一到正一之间，连续且平滑，计算机求导的时候非常稳定。 但如果你非要把代码写成包含正格的形式，麻烦就大了。正格是一出以余弦，当角度逼近九十度或者两百七十度的时候，余弦的值逼近于零，正格的值就会直接飙升到无穷大。在计算机里，这就叫数值一出，或者叫起点。 一旦在几百层的神经网络里出现一个这样的一出，整个梯度的数值就会直接变成单，也就是非数值异常，你训练了三个星期的模型，直接当场崩溃。所以工程师们在实际干活的时候，极度厌恶这种带有无穷大起点的倒数函数。 我们宁愿老老实实的写成一点零除以余弦，并且在分母上加一个极小的常数，比如十的负八次方来防止除零错误，也绝对不会去调用什么原声正歌函数。这就引出了一个严肃的话题， 我们的中学数学教育到底应该培养什么样的能力？是培养在纸上熟练变魔术般化简废弃符号的能力，还是培养适应现代科技发展规律的数学直觉？这就是为什么教材一定要删掉这些东西的核心底层逻辑。高中阶段的教学课时是一个极度残酷的零和博弈，你总共就三年时间，减去高三一整年的复习刷题， 学生真正吸收新知识的时间只有两年。人的大脑在十五六岁这个阶段的高强度认知宽带也是有限的。如果你翻开过去老版本的高中数学教材， 你会发现三角函数以及三角恒等变换占了惊人的篇幅。老师们花两三个月的时间在黑板上板出复杂的长串恒等式，让学生去证明左边等于右边， 这里面大量的戏份就是娱切正歌，娱歌在互相嵌套提取共音式。这种训练在三十年前可能是合理的，因为那时候的社会还需要大量能做基础计算、心算快变形、熟练的基础技术员。 但在今天，这种训练简直是谋财害命。现在的高考，命题组和科标编写专家比谁都清楚，未来的国力竞争靠什么？未来靠的是数据分析能力，靠的是算法逻辑推演，靠的是面对海量不确定性信息时的概率统计思维。所以你看这几年的教材变动和高考卷子空间向量的权重被大幅度提升了。 因为向量是整个计算机图形学、三维建模、游戏引擎和机器人运动学的基础，概率统计和数据分布的考察越来越深了，因为这是整个人工智能、机器学习、量化金融的命脉。如果你不懂正态分布，不懂条件概率，你在未来的科技社会就是一个彻底的文盲。 微积分初步也就是导数的实际应用题越来越活了，因为导数是解决所有工程最优化问题、求极致、求成本最低和利润最大的核心工具。把宝贵的课时从无聊的三角符号化简里抽掉出来，全部砸到向量、概率、统计和导数这些真正能决定现代生产力的核心板块上去。 这就是教材删减最根本的战略意图。在这里，我必须给各位已经上高中或者即将上高中的学生和家长，推荐一个能够彻底重塑你们数学学习观念的电子资源。如果你想看看现代工业界真正在用的数学到底是什么样子的，强烈建议你去浏览器里搜索 sciapia official documentation， 这是全免费的全球理工科大学生和工程师每天都在查阅的顶级科学计算库文档。对于中学生来说，你不需要去看懂里面复杂的代码， 你只需要点开它的基础数学函数列表模块，你会直观的看到，在这个驱动着当今世界科技运转的庞大工具箱里，根本没有余切正割这种东西的立足之地。里面全部是简洁的正弦、余弦正切以及直接衔接到概率分布、矩阵运算的高级模块。 看一眼这个文档，你就会瞬间明白，你在老旧练习册上做的那些复杂的六个符号混杂的三角证明题，在真实世界里是多么的荒诞和毫无意义。这种视角的拔高，能让学生彻底脱离陷入题海死胡同的危险。 除了课时的争夺，删除这些多余符号，还有利于纠正目前学生在数学学习上的一个巨大误区，重袋鼠变形、轻几何直观。很多学生一看到数学题，第一反应就是找公式，套用各种袋鼠符号在纸上龙飞凤舞，但脑子里却没有任何几何图像。这种没有图像支撑的数学学习是非常脆弱的。 当教材只剩下政权、余权政切之后，老师的教学重心就被迫回到了单位员本身。只要你彻底吃透了单位员上那个点的横纵坐标规律，所有的性质、周期、对称性都会像印在脑海里的照片一样清晰。 讲到这里，我要推荐第二个硬核且对初高中生有奇效的工具， dysmos 在 线图形计算器。这个网站不需要任何特殊网络环境，直接在网页端输入数学表达式就能实时看到动态图像。在摒弃了繁琐的符号推导后，现在更推崇的探索式学习就是用 dysmos 这样的工具。 你让孩子在里面输入 y 等于正弦 x， 屏幕上马上会出现平滑的波浪线，然后你让他输入 y 等于一除以正弦 x， 此时屏幕上的图像会瞬间变成一端向上无限延伸，一端向下无限延伸且中间充满断层和渐近线的奇怪图形。 孩子通过自己拖动参数，用眼睛去观察一除以正弦 x， 在 这个分母趋于零的时候，整个函数值是如何剧烈爆炸的。这种通过动态视觉建立起来的起点直觉和极限思维，比老师在黑板上干巴巴的讲一百遍正歌的定义域要深刻一万倍。 这种对函数连续性和断点的直观感受，恰恰就是高数微积分里最核心的极限思想启蒙。 dysmos 不 仅是一个工具，它更是一种现代数学研究的真实缩影。在这个缩影里，视觉化的逻辑规律永远大于枯燥的符号死寂。 其实，放眼全球主流理工科强国的初等教育改革路线，和我们现在的步调是高度一致的。很多人可能有一种错觉， 觉得欧美的数学教育一直保留着这些符号，觉得我们删了就是基础不扎实，这也是之后的错误认知。如果你去仔细研究美国最新的 ap 微积分大纲，或者是英国的 a level 数学体系，你会发现，他们在中学基础必修模块里， 早已把重心死死锁定在正弦、余弦和正切上。只有在极少数的进阶微积分求导表或者某些特定的反三角积分公式里，才会作为中间过程稍微带过一下。但他们绝对不会像我们十多年前那样，在期中考卷子上出一道占十几分的、必须通过三次正格和余格变形才能解开的纯计算化简大题。 全世界都在给基础教育做减法，把大脑内存清空，留给真正的逻辑推演能力。针对这种不可逆转的教材改革趋势，作为一线的过来人， 我给现在的学生和家长梳理三条没有任何水分的执行建议。这些建议能直接影响你接下来的学习效率和应试策略。 第一条也是最紧迫的一条，立刻停止购买和使用市面上那些老旧版本的二手教辅，或者是没有及时更新题目的所谓经典刷题集，很多家长有一种囤积屁，觉得十年前的高考题也是经典，拿来给孩子练手绝不吃亏。 在数学这个学科上，这是行不通的。十年前的高考题库里存在大量基于六个三角函数相互嵌套的超纲怪题，孩子如果每天还在这种题上死磕，不仅是在浪费时间，更是在破坏他对现代数学考点方向的敏感度。现在的卷子越来越注重阅读理解、情境建模和数据处理， 把时间花在研究怎样把生活中的实际问题抽象成数学模型，远远好过在草纸上变魔术一样的消除正格符号。第二条建议， 要把数学学习的评判标准从算的快升级为想得透。以前评价一个学生三角函数学的好，是看他能不能一眼看出这道题，要把余切化成正切，然后提取公因子。现在评价一个学生学的好， 是看他能不能理解为什么在弹簧震子模型里，位移和时间的关系只能用正弦或者余弦来表达，而绝不能用正切。我们要训练的是物理模型的摄能力。你看到一辆汽车在圆形轨道上行驶，你能立刻在脑海里建立坐标系，写出汽车横向和纵向位移随时间变化的余弦和正弦方程。 只要你能建立这个方程，后续的极致问题计算完全可以通过基本导数法则解决，根本不需要你去背诵那些偏门的三角、倒数、横等式。这种建立模型的能力，才是高校自主招生和未来理工科专业面试时真正看中的核心素质。第三条建议 也是重要的一条衔接建议。在高二下学期到高三这个阶段，应该尽早引入最底层的微积分思想启蒙，来替代被删减掉的繁杂代数运算。当教材做了减法，学生的精力有了盈余， 千万不要把这些业余时间拿去打游戏或者漫无目的的复习。推荐大家去阅读一本书籍 sylvanas p thompson 转载的 calculus made easy， 这本书有中文翻译版，很多大学新生都把它当做救命稻草。这本书的伟大之处在于，它用大白话的语言彻底扒掉了微积分故弄玄虚的符号外移。它会明明白白的告诉你， 导数就是微小的变化量之比，积分就是把一堆微小的碎片拼积起来，它完全没有那些让人窒息的复杂符号推导。 当高中生读完这本书，建立起这种宏观的动态变化思维后，他再回头看高中课本上的那些函数极值单调性问题， 完全是站在高位打低位。他会彻底明白，数学里的每一个符号，都必须要有明确的现实指代，凡是不能指代现实规律，纯粹为了考试而存在的符号，迟早都会像教材删掉的那三个三角函数一样，被历史无情淘汰。

你好，你什么学历啊？啊？九八五啊，怎么了，读研了吗？读了，我给你一百块钱，可以帮我讲一道三角函数的题吗？哦，不用不用啊，不用给钱，我本身呢就是一名老师啊，我很多呢学生都已经被保送了。这样吧，我教你一个口诀吧， 十五秒呢就能记住。三角函数啊，初中高中都能用，看一遍呢，就能记住，几十年后都不会忘。赶紧点个小红心转发给你家宝贝来看一看。口诀来了，请记好，一二三 三二一三九二十七，所有跟号别忘记，三是二扣三是二，正切小三做到底，你记住了吗？ 像这样的口诀呀，整个初中三年并不多，咱一天背一个，寒假结束呢，也就全部都掌握了。我呢已经全部整理成电子文档了，想要的话我把全部的文档直接发送给您。

哈喽，各位同学，今天我们继续来看一下任意角三角函数在不同象限的正负，以及在特殊位置的 三角函数值是什么情况。我们上节课已经说过了，中边与单位圆的这个交点，可以写作它的坐标，可以写作 cosine， 阿尔法 sin alpha。 那 么我们来看一下它这个中边在这个平面直角坐标系不同位置的时候，我们的三角函数值会有什么样的特点。比如 第一个哈，当 alpha 这个角为零度，弧度也是零的时候，然后这个角的中边是与 x 的 x 轴的正半轴重合的，那就应该这个位置是 p 点中边与单位圆的交点，对不对？因为你是单位圆嘛，那所以 o p 的 长度就应该是一，所以我 p 点的坐标是可以写出来的，我 p 点的坐标是 一零，对吧？好，那对，照着我们的公式来看，此时我们的上零是 零， cosine 零是一，而 tanning 零是等于 sine 除以 cosine 就 零，除以一，仍然还是零， 对吧？好，我们再继续看中边在第一项线的这个位置的时候，因为它在第一项线嘛， p 点在第一项线，它的坐标是不是双正的？也就横坐标是正的，重坐标也是正的，那换言之，就是我们的 sine 值是 正的，这值呢？哎，也是正的，那于此正数除以正数，那不还是一个正数吗？ 对不对啊？那所以我们的口诀第一个叫什么？一全正，那在中间，在第一象限的它的 size， cosine 值和 tangent 值都是正的。好，继续，那我们继续划 p 点， 到了什么与 y 轴的正半轴重合的时候，此时中边与单位圆的焦点 p， 它坐标就应该是零。我们继续对照公式来看，发现此时 cosine 阿尔法它是零，然后塞阿尔法呢，是一，然后与此类推，一除以零，很明显是 除不了的嘛，对不对？那所以贪点阿尔法此时就应该是不存在，那我们继续再动，动到第二象限去了啊，我们知道 p 点如果位于第二象限，那它的坐标应该是 负正，对吧？那因此在第二象限的时候，我的阿尔法的 cos 值就是负的， size 值就是正的。好，一个正数除以一个负数，很明显还是一个负数嘛。所以我们的第二个口诀就叫做 二正弦，这是二象限，只有正弦是正的。好，我们继续再走 b 点再往这边移动的时候，它与 x 轴的负半轴重合，那此时 b 点的坐标是负一 零八，那所以啊，我中边在这个位置的时候，我的 cos 值就应该是负一，然后我的 sine 值 是不是又回到零了呀？好，我的 size 是 零， cos 值是负一，好，继续。零除以负一，那不还是零吗？啊，好，那我再继续转动这个中边角的中边位于第三象限的时候， 我的红中坐标是不都是负的呀？那所以它的 side 值是负的，高差值也是负的。哎，那就只有单调值负的除以负的是一个正的嘛。所以我第三项线就是什么三 正切，意思就只有你的正切值是正的嘛，对吧？好，继续啊，继续。那就下一个是中边与 y 的 负半轴重合的时候，我此时的 p 点是 p 等于零负一的时候。哎，那就说明啊，我此时我的角阿尔法的 cosine 值是零，零仍然不能作分母，对不对？所以我此时 我的正切仍然是不存在的。好，那我再继续转动的时候，我角儿把中边位于第四象限的时候呢？第四象限，他的点坐标是横坐标是正的，重坐标是负的，那横坐标是正的，那说明我的 余弦是余弦值是正的，那重坐标负的，说明我的正弦值是负的，那与此对推，负的出一个正的，那不还是一个负的吗？所以第四个就应该是什么四 鱼弦，你看我们的口诀就是这么推理出来的。继续，那又回到二派的时候， p 点不好，又回到 x 轴正半轴了吗？那此时我的阿尔法就是零，靠塞 值就是一贪停值就是零，那我们这表格就可以非常清楚的给它推出来，推出来之后的话，我们就按照这个东西就可以做题了。比如第一个例题，塞尔法乘靠塞尔法 大于零，塞阿尔法乘贪念阿尔法大于零，问阿尔法位于第几象限？首先塞阿尔法乘 cos 阿尔法大于零，说明这两个同号吧，要么同正，要么同负，对吧？那就应该第一种情况，塞阿尔法 cos 阿尔法都是大于零的，那它位于第几象限？第一象限吗？好，继续。第二种情况，塞阿尔法 call 在 r 发都是小于零的，你看一下它位于第几项线，第三项线吗？对不对？那所以说第一种情况，它可能第一项线，可能第三项线啊，那我们继续，又因为在 r 发 贪定阿尔法也要大于零，是不是说塞阿尔法贪定阿尔法也得是什么呢？也得是同号的嘛？那这个第一种情况就是什么塞阿尔法贪定阿尔法，哎，第一项线，第二个就是塞阿 尔法贪定阿尔法小于零呢？是几？是第四项线？你两个条件均要满足的，是不是就只有第一项线呢？ 你看我们写题是不是按到正负也推出来了？好，继续。我们再看一下，逆二而发位于第二象限好，而发位于第二象限。我们来看啊，由题可以知道，塞而发的正负呢？因为第二象限嘛，对不对？塞而发仍然是正的好， cosine 而发 是负的好，继续一个正数除以他的绝对值。正数的绝对值不就它本身吗？对不对？所以你吹你的本身，那所以塞尔法 除以阿尔法的绝对值是不是就等于一了？好，然后继续啊，塞尔法的绝对值除以 cosine 法 超载而发是小于零的，那说明你的绝对值和你本身是互为相反数的，两个相反数相乘相除，那是不是负一？所以你看代入进去一减负一不就等于二吗？所以这个题答案是不就是二，很简单，对吧？