大家好，今天再分享一道尺规。注，图题如图，将矩形纸片 a、 b、 c、 d 折叠，使得点 b 落在对角线 b、 d 上，点 b 的 对应点即为点 e， 点 a 的 对应点即为 f。 折痕与边 a、 d、 b、 c 分 别交于 g、 h。 当折痕 g、 h 在 某一位置时，能使 c、 f 三点在同一直线上。请用无刻度的直尺和圆规在图中作出 折痕 g、 h 保留注图痕迹，不写做法。那首先我们把这个草图画出来，现在研究一下这个草图有什么性质。因为这个纸片呢，沿着 g、 f 翻折， 所以说根据折叠的性质啊，这个角 h e， c 等于角 h， e、 f 等于九十度，这是垂直的， g h 是 垂直平分比 e 的， 那既然 g、 h 垂直平分 b， 那 么这两个角就是相等的，我们记为角一和角二，那角二和这个角是互余的，记为角三， 角一和这个角角四也是互余的。等角的与角相等，那说明角三就等于角四了。 c、 e 就 等于 c、 d。 我们如果那这时候啊，我们就可以把一点确定了，怎么确定呢？就是以 c 为圆心， c、 d 成为半径，画圆跟 b、 d 的 焦点就是这个。一点一点确定了， 那么 b、 e 就是 确定的。 g、 h 是 垂直平分 b、 e 的， 那折痕 g、 h 我 们就可以做出来了。所以说第一步就是以 c 为圆心， cd 长为半径，画一个圆和，这时候和 b、 d 交于点 e， 然后我们做 b、 e 的 垂直平分线， 那这个 g、 h 我 们就做出来了。那这这道作图题就做出来了。 如果连接 h e， 然后再连接 c、 e， 并延长在 c、 e 的 延长线上，截取一点 e、 f 是 等于 a、 b 的 连接 g、 f， 这就是这个矩形纸片呐。翻折之后 b 点就落到这个 e 点， c、 e、 f 三点共线。
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02:28查看AI文稿AI文稿初中数学中考有一类题型，孩子是分还是蛮多的，最近看了一下，是哪类问题呢？就是尺规作图，尺规作图考察了孩子的实际动手能力，那么以及对敬意敬礼的深刻认识。而尺规作图常用的五种 必须具备啊，像做已知线段，做一个等角，做一个角的平分线，做线段的垂直平分线，以及过一点做已知线段的垂线，这五个基本作图必须吃透，了解明白，那么才能对接下来的实物作图进行 合理的分析。那么什么做图的解析，主要的这个思路和步骤就是逆向思考，按照已知条件先画出草图，那么根据草图去分析如何才能达成 他的要求，然后再通过已经学到的精益敬礼功力进行这个操作的，那万变不利。其中他主要还是来自刚才讲的五个基本要点。那么目前中考比较常考的有做这个二倍角、三倍角的作图，以及 做面积等分，而面积等分这近来模考属于高频这个热点考察啊，他的主要的思路就是这个 平行之间，平行线之间距离处处相等，也就是我们俗称的拉窗帘这个原理。那么通过线的转化， 再把面积转化后，其实还是落实到中点啊，中点三角形的中位线可以平分三角形的面积，这个主要的这个企业还是不离这个我们学习到的最基本的知识点啊。那还有做切线，切线也是近年来考的比较多的， 做切线也是用的垂直平分线定律啊，所以这个只顾作图，要想把分拿全，那么平时就要多练，多练是一个非常重要的，再一个你要学会逆向思考。 那么第三个一些新颖的这个骑行要进行这个练习下，那么找样他初期的内在命棋这个要求 也就说你掌握几层？第五、五个的基本操作，然后加上你已经学到的几何知识啊，近一近的去推演，然后进行分析，就能快速在考场上把这个分数拿到。
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05:39查看AI文稿AI文稿中考倒计时三十天，我发现有的孩子只会做图，还在丢分，这种题明明是套路题，掌握了方法，那五分完全可以全部拿到，你家孩子是不是也是这样呢？单独让画一个角平分线，画一个中垂线，都画的挺好，可以放到大题里，就不知道到底该做哪个了。今天呢，我就把中考必考的五种基本作图全讲一遍， 再教孩子一个倒推法，不知道怎么选的时候，咱们先画草图，倒着推就知道该做哪个了。最后咱们再说说面积相等这类复杂作图，怎么转化成基本作图。 第一步呢，就是五种基本作图，咱们必须闭着眼睛都能画，全国中考指挥作图，翻来覆去就这五种。那第一种呢，就是做一条线段等于已知线段。它的做法，第一步呢，就是画一条射线，然后第二步， 以已知线段长度为半径，在射线上截取。三呢，就是标记端点，然后截弄写线段 a、 b 即为所求。 然后第二个呢，就是做一个角等于一只角。做法呢，第一步，以一只角的顶点为圆心，画弧，交两边与两点。二、以目标位置顶点为圆心，相同半径画弧。三，以刚才两点距离定半径， 在第二条弧上截取，得到焦点。四呢，就是连线，它的核心用途就是做平行线，通过同位角相等可证。然后三呢，就是做一只角的平分线。 做法呢，是，一、以顶点为圆心，画弧，交两边与两点，然后分别与这两点为圆心大于两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点。然后第三步呢，就是连接顶点和这个交点，它的用途就是到角两边距离相等，常用于找内型。 然后第四个呢，就是做已知线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的垂直平分线，也就是中垂线。做法第一步，分别以线段的两弧交于上下的 两个点，然后过这两点的连线就是。那用途呢，就是到两端点距离相等，通常用于找圆心，找对称点，然后解决 pa 等于 pb 的 问题。第五个呢，就是过一点做已知直线的垂线，也就是高线。这里咱们要分两种情况，第一种，点在线上，这时候 先以点为圆心画弧，交直线呢于两点。第二部分，分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点。第三步呢，就是连接点和这个交点。 然后当点在线外的时候，首先呢，我们要以点为圆心，然后大于点到直线，距离为半径画弧，交直线于两点。然后再分别以这两点为圆心，大于两点，距离一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接这个点和焦点就可以了。它的用途呢，通常就是做三角形的高求点到直线的最短距离等。 注意每种作图完成后，必须保留痕迹，并且建议写上一句解弄，比如如图设限 oc 即为所求。虽然有些地区不强制写文字，但写上解弄能帮助孩子理清思路，也防止阅卷时因为没指出解弄而扣分。稳妥做法就是痕迹加一句话，解弄。第二步， 考试不知道选哪个，用倒推法教孩子一个方法，先画草图，再倒推。具体操作，第一步，先假设题目要求的图形已经画出来了，就咱们画个草图 二呢，就是看这个草图里的关键点有什么几何性质，是到角平分线，角两边距离相等，角平分线还是到两端点距离相等，中垂线还是某个角要等于已知角？做平行线还是需要做垂直做高线？ 三、由这个性质在反推，我应该做哪个基本作图？举个例子，题目说在直线 l 上找一点 p， 倒推就是 p a 等于 p b， 说明 p 在 p 到 ab 距离相等，那 p 一定在线段 ab 中垂线上，所以先做 ab 的 中垂线，然后与 l 的 交点就是 p。 第三步呢，就是复杂作图，咱们如何转化成基本作图？以面积相等为例，面积相等的核心原理呢？是同底等高，如果两个三角形同底， 要面积相等，那高必须相等，高相等意味着第三个顶点在一条平行于底边的直线上。怎么做这个平行线呢？做一个角等于一只角，利用同位角相等，两直线平行即可。咱们举一个具体的例子， 已知三角形 abc， 求做一条过点 a 的 直线，将三角形分成 a、 d， 中线呢，就分成两个三角形等底等高 等底同高面积相等，这里需要做中垂线，找到 bc 中点。所以第一步呢，就是做 bc 的 中垂线，找到中点 d， 再连接 a， d 完成。 再比如，求做 ab 边上一点 p 是 三角形 pbc 面积等于三角形 dbc 的 面积，那倒推，如果说 d 不是 ac 的 中点，那么 p 也不是 ab 中点，所以需要过点 d， 做一条平行于 bc 的 直线，这时候高相等，面积也相等，所以就需要做一个角等于一只角来构造平行线，那我们记住一句话，面积相等先想等高等高需要平行，平行需要做角。等于一只角，那如果说等高不平行， 等高不用平行，比如说中线，那么就用中垂线找中点。所以尺规作图呢，咱们先熟记五种基本作图的步骤，再用倒推法从结论反推该做什么，最后把面积相等这类复杂问题转化成 做平行线或者找终点。那冲刺阶段呢？让孩子把这套方法练熟，考场上五到八分就可以稳稳拿到手了。现在呢，我把中考持规作图真体会编以及模拟体会编放在视频的结。需要的呢，可以让孩子在考前过一遍这类套路题，咱们争取不丢分。我是博老师，祝孩子中考顺利，加油！
01:17查看AI文稿AI文稿二模考试之后，我的后台炸了，问的最多的并不是什么选择填空亚洲题，也不是什么二次函数题，他居然是画图题，为什么我家孩子每次做画图题，他就是一做就错，说了无数遍了，他还是错，这是为什么呢？ 那你刷到这条视频，你真的是太有福气了，不管你是哪个省的，哪个地区的，只要你家里边有七年级、八年级、九年级的孩子，考试的时候有画图的题，那赶紧把这条视频看完，后面的动画讲解真的是一下子就刻到他脑子里，我就不信他还能再错， 耽误你不到一分钟的时间，赶紧分享给你身边有需要的人。这个画图的讲解真的是太全了，有需要的赶紧安排上。
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06:09查看AI文稿AI文稿尺规作图作一个角等于已知角的原理，我们首先来看一看大家最喜欢用的一种方法。 已知角 a、 o、 b 求作的角 a 撇 o 撇、 b 撇。 我们通过作图痕迹来复原一下尺规作图的过程。我们首先是以 o 为顶点，以任意长为半径，在已知角上画一条弧，和角的两边分别有两个焦点 c、 d， 点 c 和点 d 都在这个弧上，所以啊， c、 o 和 d、 o 是 相等的，而且都是半径。 我们首先做射线 o 撇、 b 撇，以 o 撇为圆心，同样长半径来画弧，与 o 撇、 d 撇、 b 撇交于点 d 撇，所以 o 撇、 d 撇和 o、 d 相等等于 r、 c 撇是如何来的呢？ 是以 d 撇为圆心， c、 d 的 长度为半径，我们来画弧，这个弧和刚刚的弧啊交于点 c 撇， 所以这个 c 撇到 d 撇的距离就和 c、 d 的 长度是一样的。 同时这个 c 撇也在以 o 撇为圆心， r 为半径的圆弧上，所以 o 撇、 c 撇的长度也是 r。 我们为了证明角 a 撇 o 撇、 b 撇等于角 a、 o、 b， 我 们准备连接 c、 d、 c、 d 是 原来作图过程当中没有出现的线，我们叫辅助线，所以用虚线来表示，也连接 c 撇、 d 撇。 根据尺规作图的过程，我们可以推出 o、 c 等于 o 撇 c 撇 o、 d 等于 o 撇 d 撇 c、 d 等于 c 撇 d 撇。 那么三角形 c、 o、 d 就 全等于三角形 c 撇、 o 撇 d 撇了，我们的根据是边边边，再根据全等三角形对应 角相等，所以这个角 a、 o、 b 了。 我们的生物就是根据尺规作图的过程，先证明三角形 o、 c、 d 全等于三角形， o 撇、 c 撇 d， 再根据全等三角形对应角相等，所以角 a、 o、 b 就 等于角 a 撇、 o 撇、 b 撇。我们再看第二种方法， 已知角 a、 o、 b 求作的角 a 撇、 o 撇、 b 撇。 我们根据作图的痕迹来复原一下耻归作图的过程。 我们首先是以已知角的顶点为圆心，某个长度为半径来画个弧，在 o、 b 上有个交点 d。 我 们假设这个半径为小写的 r， 以 o 为圆心， 再长一点的半径，或者说另一个半径来画弧，与角的另一边交于点 c， 这个半径我们称之为大写的 r。 然后连接了 c、 d。 我们首先做射线， o 撇、 b 撇，以 o 撇为圆心，以小耳为半径来画弧，和 o 撇、 b 撇交于 d 撇，所以 o 撇、 d 撇 就等于 o、 d 就 等于这个小写的耳。 我们看一看， c 撇是两个弧的焦点，哪两个弧呢？一个是以 o 撇为圆心，以大写的 r 为半径来做的这个弧。 另一个弧是以 d 撇为圆心，以 c、 d 的 长度为半径来画的弧。 所以 c 撇、 d 撇就等于 c、 d。 那 么 o 撇、 c 撇就是大写的 r。 同样呢，在三角形 c、 o、 d 和三角形 c 撇、 o 撇、 d 撇中，我们找到了三条边分别相等， 所以三角形 c、 o、 d 就 全等于三角形 c 撇、 o 撇、 d 撇。 再根据全等三角形对应角相等，所以我们的角 a 撇、 o 撇、 b 撇就等于角 a、 o、 b。
11:38查看AI文稿AI文稿大家好，今天再分享一道尺规做图题，求出圆 o， 使圆 o 经过点 a 和点 b， 并且与直线 m a， n 相切。 那首先我们把这个圆呐，先把它画出来，然后分析一下这个图形有什么样的性质。圆 o 与直线 m a， n 相切于点 q， 那首先我们把 a b 连起来，并延长交 m a， 点 p， 要画这个圆 o 啊，只要确定这个圆心 o 所在的位置就行了，那圆心 o 一定是在这个线段 a b 的 垂直平分线上，也就 o c 垂直平分 ab 的 这个圆 o 与 m a 相切于点 q， 那 连接 o q， 那 么 o q 一定是垂直 m a 的。 然后我们根据切割线定义啊，会得到 p q 的 平方等于 p b 乘以 p a。 哎，这个式子就是我们作图的切入点，像这样的式子，在什么样的图形中会出现这样的式子啊？ 那显然是在相似中。那如果我们能各造一条线段的长等于 p b 乘以 p a， 因为这个 a 点 b 点 p 点都是一个确定的点，然后我们再用圆规就可以做出 q 点，所以说我们要做这个圆 o 啊， 要确定这个圆心的位置，只要确定这个 q 点的位置就行了。 那如何确定这 q 点的位置啊？我们就根据这个式子，那这个式子呢，我们怎么用呢？ 有这个式子，我们会想到这样的图形，射影形，就是在直角三角形 abc 中，如果 c d 垂直 ab 的， 那么三角形 a c d 啊，和三角形 a b c 它就相似了。相似三角形对应边乘比例，可以得到 a c 的 平方等于 a d 乘以 ab， 那 同理 b c 的 平方也等于 b d 乘以 b a。 如果，如果啊，我们能构造一个三角形，直角三角形，让 a b 这条线段呢， 这条边所对的角是直角，然后过这个 b 点做垂线就可以了。那如何构造呢？我们由这个圆在圆中啊，直径所对的这个圆周角是 直角，也叫直径对直角啊，我们构造出这样的收敛型，下面我们把多余的线把它去掉， 利用直径对直角和收敛定力来构造一条线段等于 p q。 那首先第一步呢，就是以 a p 这条线段为直径啊，画一个圆，然后再过 b 点做 a p 的 垂线与这个圆交点，即为 c 点 连接 a c p c。 根据直径对直角，那么这个角 a c p 就是 九十度， 这个角 c b p 也是九十度 c b 垂直 ap 的。 那么这个这几条蓝色的线呢？所构成的图形就是射影形， p c 的 平方就等于 p b 乘以 pa 呢， 而 p q 的 平方等于 p b 乘以 pa， 那 说明 p c 和 p q 是 相等的。 如果我们以点 p 为圆心， p c 长为半径，画圆 q 点，一定是在这个圆 p 上，也就是 q 点，是这个圆 p 与直线 m n 的 交点。 下面我们来来做一下这个圆 o， 那第一步是连接 a b， 并延长与这个直线 m n 交于点 p。 第二步，以 a p 为直径做一个圆。 第三步，过 b 点做 ap 的 垂线与这个圆 o 交于点 c 连接 c p， 那 c p 的 平方就等于 p b 乘以 pa， 然后以 p 为圆心， p c 长为半径，画圆与 m n 就 有一个交点 q 点，那么 p q 的 平方就等于 p b 乘以 pa 啊， q 点就找到了。再过这个 q 点呢？做 m n 的 垂线与 ab 的 垂直平分线交于点就是 o 点，然后以 o o q 长为半径画圆，这个圆就做出来 这个点圆 p 与 m n 有 两个交点， q 点 q p 点， 那这个我们再以 q 撇为呃过这个 q 撇，这个点呢？做 m 呢？垂线与这个 ab 的 垂直平分也有一个交点， 然后以 o 撇点为圆心， o 撇 q 撇为半径，画一个圆，这个圆也是满足条件的，也就是说有两个这样的圆，我们只要画出一个就可以了。 下面我们再介绍两种方法。这两种方法是不太好想，我们大概的说一下这个底部啊，还是做 a b 的 垂直平分线， 然后这个焦点呢？与 a b 的 焦点是 c 点，那这时候我们看 pa 乘以 p b 就等于这个 p c 加上 a c 乘以 p c 减去 b c 啊， a c 跟 b c 相等， b c 等于 a c， 那 它就等于 c p 的 平方减去 a c 的 平方 啊， c p 的 平方减 a c 的 平方啊。这时候我们可以构造一个直角三角形，怎么构造呢？这个直角三角形斜边是等于 c b 的 长，它直角边是等于 a c 可以以 c 为圆心， c p 的 长为半径画一个圆，然后过 a 点做 a b 的 垂线交这个圆， c 与点 d 连接 a d。 你 看，我们这样构造了这样的一个直角三角形， c d 的 长就等于 p c 的 长，那么也就是说 a、 d 的 长就等于 c p c 呃， c d 的 平方减去 a c 的 平方，也就等于 pa 乘以 p b 呢，也就是说 a d 的 长啊，就等于 p q 的 长。那割造这个直角三角形之后啊， 我们在这上面找一个点与找一个点 q 点与这个 p 点的距离就是等于 a c 的 长，所以说然后以 p 为圆心， a d 的 长为半径，画一个圆。那这时候这个圆与 m n 有 两个交，有，有个交点就是 q 点， 也就是这时候满足 p q 的 平方等于 p b 乘以 p a， 那 我们过着 q 点做 m n 的 垂线，交这个 ab 的 垂直平分于点 o 点， 然后以 o 为圆心， o q 长为半径画圆。这就是我们所要得到的圆。 那这个 q 点，这个圆 p 与 m a 还有个交点 q 撇点过这个点做它的垂线，它以这个 o 撇为圆心， o 撇 q 撇成为半径，也有一个圆， 也可以画两个，我们画出一个就可以了。这种方法就是构造一个直角三角形，让这个直角三角形一条边，就是等于 p q 的 长。 下面我们再介绍第三种方法，是利用 v 四三角形， 或者是利用微四的性质来做出这个圆 o。 那 第一步呢？还是做 a b 的 垂直平分线，然后交 m a 一 点 c 点连接 a c 跟 b c。 第二步是在 c d 上扔取一个点 p 做 p h 垂直于 m， 然后以 p 为圆心， p h 长为半径，画一个圆， 交 a b， a c， b c 于两点， e f 两点零，然后连接 p e， p f， e f。 下面我们再以过这个 a 点啊做 a o 平行 p e 连结 o b， 那 么三角形这个 p e， f 与三角形 o， a， b 就是 为四了，指为四。 然后我们以 o 为圆心， o a 成为半径画圆，这个圆与 直线 m n 相切于点 q， 那 这样我们也可以画出一个圆。 这个第三种方法是不容易想到的，还是有一定的难度的。
01:21查看AI文稿AI文稿断垂直平分线作图首先我们分别以线段 a、 b 的 端点为圆心，并以大于二分之一 a、 b 的 长为半径画弧， 两弧相交于点 c、 d， 然后只需要过 c、 d 两点做直线就可以了。 可能你不禁要问，就这没错，就这么两步。而且要证明 c、 d 的 垂直平分线的身份，只需要借助一句话，到线段两岸距离相等的点在线段的垂直平分线上。 因为以 ab 为圆心做弧的时候，半径是相同的，所以 c a 等于 c、 b， 进而得到点 c 在 线段 ab 的 垂直平分线上。那同样的道理，点 d 也在 ab 的 垂直平分线上。又因为两点确定一条直线，所以直线 c、 t 就是 线段 ab 的 垂直平分线。 而这里为什么要以大于二分之一 ab 的 长为半径画弧呢？是因为只有当半径大于二分之一 ab 时，以 ab 为圆心画弧，才会有两个交点。这里的半径要是太小，没有交点，就只能重画了。
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01:13查看AI文稿AI文稿在长方形 a、 b、 c、 d 中连接 a、 c 按尺规作图，痕迹作射线， a、 h 交 d、 c 于点 m 图中的这个尺规作图， 可以推理出 a、 m 它是角平面线，所以角一和角二相等的。 若角 a、 c、 b 等于七十二度， a、 c、 b 是 七十二。 长方形的对边是平行关系，所以 bc 它和这个 d、 a 互相平行，两直线平行，内错角相等。当角 a、 c、 b 等于七十二度时，角 d、 a、 c 是 它内错角也是七十二。 又由于角一等于角二，所以角一等于角二应该等于七十二度，去乘我们的二分之一，也就是三十六度。 我们的问题是，角 a、 m， 角 c、 a、 m 的 度数就是角二，则度数为三十六度。
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00:44查看AI文稿AI文稿画一条直线，标出 a、 b、 c、 d 分 别作线段 a、 b 和线段 c、 d 的 垂直平分线。 两条垂直平分线分别与 a、 b、 c、 d 交于 e、 f。 分 别以 e、 f 为圆心，同样长度为半径画弧，与两条垂直平分线分别交于 g、 h 连接 g h。 长方形 e、 f， g、 h 就 画好了。
28酒思思
07:28查看AI文稿AI文稿中考必考最全的六种指标，作图，让孩子好好看一看，跟着画一遍，中考能多得五分好！第一种，做一个角等于已知角。首先第一步我们需要做一个射线， 那这个射线我们跟它对应的来标，人家是 o、 b， 我 们就标为 o 片， b 片好，第一步。第二步是以 o 为圆心，以适当的长为半径做弧好， 交于与 o、 a 交于点 c， 与 o b 交于点 d， 不要改变长度，再以 o 撇为圆心，以刚刚的长度为半径画弧好，与这个 b 撇交于点 d、 d 撇跟它对应着来，然后再以 d 撇为圆心，以 c、 d 的 长好，我们用这个圆规量出 c、 d 的 长， 量出 c、 d 的 长好，然后以 d 片为圆心，以 c、 d 的 长为半径画弧，两个弧交一点，这个点就是 c 片，然后连接 o 片， c 片 好，那么这个就是我们所求的角好，这是详细的过程和它的原理，大家可以看一下。 好，再来看第二个啊，做一个角的角平分线好，做角 a、 o、 b 的 角平分线。那么第一步是以 o 为圆心，以适当的长为半径画弧啊，不要太长，也不要太短。 然后这个时候与 o、 a 交于点 c， 以 o、 b 交于点 d， 再分别以 c、 d 为半径画弧，因为如果小于二分之一， c、 d 为半径画弧，这个时候两弧就不会相交， 咱刚刚这个弧取得好的话，第二步就不需要改变半径，我直接划就行了。好，以四为圆心画一个弧，再以 d 为圆心，再画一个弧，然后两个弧的交点我们记作 m， 那 么这个时候只要连接 o、 m， 这个 o、 m 就是 所求的角平分线啊，我们把它连起来就可以了。 好，这个就角平分线，这是具体的步骤，这是原理。好，做一个角的角平分线。第三个做线段的垂直平分线。 好，那我们第一步是以分别以 ab 为圆心，以大于二分之一 ab 的 长为半径画弧，仍然要求大于二分之一 ab 的 长，不然的话两个弧就不会相交，我们还是取稍微长一点点。哎，这样就可以了，我们画弧从上面划一下， 下面滑一下，然后不用改变长度，再以 b 为圆心，上面滑一下，下面滑一下。哎，上面这个交点我们标为 m， 下面这个交点我们标为 n， 然后这个时候连接两个交点就可以了， 那么这个就是 ab 的 垂直平分线。好，这是过程，这是它的原理。 好，第三个垂直平分线做完了。第四个过直线上一点，做这个直线的垂线。好，这个直线这个点在 m， m 在 a、 b 上，那这个时候过 m 做 a、 b 的 垂线应该怎么做呢？好，第一步是以 m 为圆心啊，以适当的长为半径画弧。 哎，那这个时候先找到两个点，这两个点我们记作 c、 d、 c 点和 d 点。 好，这个时候我们就相当于再去做 c、 d 的 垂直平行线就可以了。好，那这个时候我们以 c、 d 为圆心，以适当的长为半径，不能再用刚刚的长为半径了，因为如果用刚刚的长为半径画弧的时候，这两弧就不会相交了，我们把它稍微放长一点。 好，那这个时候我们在一样的在上面划一个，在下面划一个，再以 d 为圆心， 上面划一个，下面划一个，这两个交点我们记作。这个交点呢，我们记作 p， 这个交点呢，我们记作 q， 然后这个时候连接 p q 就 就可以了， 那么这时候 p q 就是 过点 m 的 ab 的 垂线。好，这是具体的过程，这个是原理。 好。第四个，第五个，过直线外一点，做直线的垂线啊，这个，这个时候点 p 在 直线 ab 外边了，我们要做它的垂线，应该怎么做呢？第一步是以点 p 为圆心，以适当的场为半径画弧，这个时候这适当的场一定要比 p 到 ab 的 距离要大一些，不然的话就不会相交了。 好，那这个手我们稍微取大点。哎，那这个手，呃，再小一点。好，这个手我们，哎， 这个手这边划一下，这边划一下。哎，仍然是先找到这两个点，这两个点我们记作 c、 d。 好，那这个时候就跟之前一样了啊，我们以分别以 c、 d 为圆心，以大于二分之一 c、 d 的 长为半径画弧。 a 以大于二分之一 c、 d 的 长正面划一下， 这边也划一下，再以 d 为圆心，不改变半径，上面划一下，下面划一下。那么这个时候我们这两个记作 m 和 n 仍然是连接 m n 就 可以了 啊，那这个时候 m n 就是 过点 p 的 ab 的 垂线。好，这是详细的过程，这是原理，大家看一下。 好，最后一种是过直线外一点，做已知直线的平行线啊，这个直线我们记作 l， 直线外一点，我们记作点 p。 好，那么过点 p 做 l 的 平行线应该怎么做呢？第一步，先在 l 上取点，我们这个点记作点 a， 最好取在左边啊，取在点 p 的 左边，这个时候我们画锐角啊，好，第一步，在直线 l 上取点点 a 连接 a、 p 并延长至 q。 好， 我们把 a、 p 连起来并延长。 哎，这个时候我们这里标为 q。 这第一步，第二步，我们再以 a 为圆心，以适当的长为半径画弧。这么一划，这个时候我们这个与 a、 p 的 交点记作点 c 与 l 的 交点，我们记作点 d。 好，然后不要改变半径，再以点 p 为圆心，以刚刚的半径画弧。哎，这个时候画一个弧，这个时候与 p、 q 这个段交于点 e。 好， 那么接着我们以 e 为圆心，以 c、 d 的 长为半径画弧。我们要，我们要用这个圆规把这个 c、 d 给量出来啊。 好，量出来，量起来，量出来之后以 e 为圆心，以以这个 c、 d 的 长为半径划弧。哎，这么一划，这个时候这个弧跟刚刚那个弧交一点 f， 那 这个时候我们只要连接 e、 f 就 可以了， 那么这个就是就是 l 的 平行线啊。好，这是过程这个原理啊，我们本质上是构造的同一角相等得到两直线平行。好，大家一定要跟着划一划啊，自己划一遍，中考就会做了。
5572梁景
