八下数学人教版几何试卷全品
家有八年级孩子的家长们注意了！史上最全八下期末真题卷会总来了！由陈帆博士精编整理，里面包含所有八下数学期末考试提醒， 覆盖二十到二十五年滨海新区以及天津各区最新年度八下期末真题，想让孩子在期末考试脱颖而出的家长抓紧领取，助力孩子八下分水岭，赢在起跑线！
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03:26查看AI文稿AI文稿好，我们看一看，来，我们看一看这个第二十二题啊，这是正方形，又是正方形的一个经典模型，手二手全等。他说了啊，这是 c a 的 延长线的，记这三点的共线的。这第二问要用的啊。 在第二问，当我们求这个边的时候，这不是九十度吗？直接这个边平方加这个边平方就行了，开始 开根号嘛，对不对？哎，这第二个很简单的，我们看第一问也很简单，两个正方形，我们就这样去标，这是头跟他挨着的两个顶点，左手右手，然后是左手右手嘛， 耶，或者说这样想，你们要证明这两个边相等吗？证明这两个边相等，你总要找 全等吧？八年级你们只学过全等来证明相等的呀。那是不是很明显是两个瘦三角形啊？这个三角形和这个三角形， 对吧？这很明显，其实也就是我们头左手右手左手右手，标完之后，左手拉左手，右手拉右手，用头左左这个三角形，跟头右右这个三角全等就好了。 为什么全等呢？很好证明呢？找找边，这个边不是等于这个边的吗？这边等于这个边呢？这边等于这个边呢？本身这九十度，这九十度他们都加上中间这公共边，公共角是不是等于公共角啊？ 就是 s a s 全等啊，这第一位，那第二位是吧？这好简单，真的好简单， a g 等于根号二 让求这个记到的，而且题上给的，你看题上给的，看出来了，哎，是延长限了一点吧，是吧，那为什么没又看错了啊？ 头发太乱了，这不是很清楚吗？所以说你看正方形对角线本身是不是对角线互相垂直的，这个边会求吗？来，小郭，这个边等于多少？怎么算的？ ac 等于 ac 等于 b， 倒的，它正方形不是对角线互相平行相等的吗？这是不是也是等腰直角三角形啊， 直接怎么算啊？是三除以根号二就行了呀。一比一比根号二吗？能不能理解？是不是也等于这个边的，对吧？那不就得二分之三倍根号二吗？ 对吧？这是不是也是二分之三倍根号二吗？能懂吗？那么算的时候现在就很简单了， g o 啊，就导 g 的 平方等于一个 g o 的 平方加上一个导 o 的 平方开根号呗，对不对啊？ 啊，这个好，我在左边这个平方底下就开根号好了。 g o 是 等于多少？是不是根号二再加上一个二分之三倍根号啊？ 等于二分之五倍根号二平方再加一个二分之三倍根号二的平方开根号，对吧？算完之后等于根号十七，简单吧？很简单的啊，过了。
21浙江数学李
25:47查看AI文稿AI文稿几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？
349喜欢数学的张张张张
14:14查看AI文稿AI文稿我正在用四期视频系统梳理八下的几何模型和辅助线，帮孩子建立一个完整的知识体系，至少让孩子知道遇到压轴题，知道往哪个方向去想，以及这个思路是怎么来的。 一共分了四个模块，前两期视频已经讲了第一部分和第二部分，那今天咱们讲的是第三期这个倒角的基本型，那这一期视频的话难度非常大，也是压轴题，如果你想冲一百一十五以上是必须要掌握的，当然如果你是一百一以下的， 你只做一个了解就可以了，那需要电子版资料的评论区留言。倒角问题的难点除了孩子们不知道怎么倒，最大的问题就是孩子根本想不起来去倒角，因为很多题他不需要倒角，他就可以直接做，所以孩子根本想不起来，你需要进行复杂的倒角，最后找出角的疏远关系，才能决定你怎么做副线。 那常见的涉及到倒角的问题有以下几种，第一个就是咱们要说的这个二倍角，关于二倍角的话，那属于几何压轴里面一个比较重要的专题，同时也难度比较大。那二倍角的常见的处理方式有四种，第一个是等腰法， 等腰法的意思是你可以以这个二倍角为外角去构造这个等腰三角形，你看咱们以二倍角为外角构造等腰的时候，现在里面这个等腰三角形，它的底角是不就是 r 法？ 那第二个等腰法，你也可以以这个小的 r 法为等腰三角形的底角去做一个等腰三角形，这样你做完之后是不就能把这个二倍角转化出来了，外面这个角就是二倍角， 那不管哪种方法倒角的核心，这个二倍角的核心都是要转化相等角，你要么把二倍角变变成它的半角，要么把这个半角变成它的二倍角。 那第二种方式就是很直接，直接做这个二倍角的角平分线就可以了。你做完角平分线，有角平分线，是不就可以想到角平分线的那些相关辅助线。 第三个是对称法，是把这个 r 法，把这个半角以它的一条边为对称轴进行翻折，比如说我这里就把下面这个角往上翻折，是不就构造出来了一个新的二倍角？ 那还有一种方法就是咱们这个顶角法，也是常说的那个绝配角。好多同学其实听过绝配角，但是不知道怎么用。绝配角很简单，就是以这个顶角，以这个二阿法二倍角为顶角去构造等腰三角形。凡是涉及到绝配角的问题，一般难度都非常大。 那顶角这个顶角法指的就是出现二倍角的时候，你可以以这个二倍角为顶角去构造等腰，构造完等腰，这个等腰的两个底角就都是九十减二法。 然后我们再看一些二倍角通常和哪些东西是组合到一起的。第一种就是二倍角和角平分线的结合，那如果遇见二倍角，像我这个图里有二倍角，有单倍的小角，还有一个角平分线，那我们肯定想我要构造的是 角平分线的翻折的辅助线，那我可以把这小的三角形 a、 d、 c 往上翻，就是第二个图里面我翻上来啊，我这个是翻的是第三个图啊， 比如说第三个图里，我先把这个 a 得 c 往上翻，翻上来之后，那这个二阿尔法是不就跑到这来了？那再加上这个角 b 是 阿尔法，所以是不就能得到这个角？ bdf 也是阿尔法， 也就是说此时这个 bdf 是 不是就是一个等腰三角形？那第二种翻的方式就是我这第二个图里，我可以把这个 a、 b、 d 这个三角形以角平行线为对称进行翻折，翻到 a、 d、 e 这块了，翻完之后，我是不就把这个阿尔法这个小角转移到角 e 的 位置上来了？ 再加上这个 a、 c、 b 是 阿尔法，你是不是就能正出三角形？ c、 d、 e 也是一个等腰三角形？第二种组合方式就是二倍角加直角，当二倍角它同时出现在直角三角形里的时候，那咱们的方式有很多。第一种 你可以以这个 r 法，就这以这个单倍的小角，以它的直角边为对称轴进行翻折。我把这里的 a、 c、 d 是 不可以翻到 a、 c、 e 这上来，你翻完之后是不就能得到这里的角 e 是 九十减 r 法，你得到它有什么用？你再加上原来的角 b 是 r 法，你发现这个角 b、 a、 e 是 不也是九十减 r 法？ 所以是不就能推出一个等腰 b、 a 等于 b、 e 来？这是一个方式。那还有一个方式是我可以直接翻折这个大的三角形，我把 a、 b、 c 以 a、 c 为对称轴翻过来，翻完之后你就能得到这里的倒角，就能得到 e， a 是 等于 e、 d 的， 它是一个等腰。 或者是我可以以这个二倍角为外角去构造一个大的等腰三角形，那这时候当 b a 等于 b e 的 时候，咱是不就能出现新的 alpha 这个小角？ 那第二个二倍角里的问题就是绝配角。绝配角它其实也是肯定是涉及到导角出来二倍角的问题，那什么是绝配角？它的定义指的就是一个角和它一半的余角就是绝配角。什么意思？比如说阿尔法和它的一半是阿尔法，那阿尔法的余角是不是九十减阿尔法， 所以一个角和它一半的余角，这两个角是能组成绝配角的。那为什么要绝配角呢？因为这两个角你放到一个三角形里的时候，正好它是这个，它会变成一个等腰，因为你去推的话，另一个角它肯定也是九十加二， 所以绝配角它指的就是两个角是能构成等腰三角形的。那什么时候你涉及到绝配角的时候，你可以去以二倍角为顶点去勾到这个等腰三角形。 第二种就是题里比如说给你了角 a 等于九十减去二分之一角 b 这种，那这时候是不是就是出现了角 a 和角 b， 他 们俩就是满足绝配角的关系的？因为 a 是 不是正好是角 b 一 半的余角？如果题里给你这种角的数量关系，那也是涉及到绝配角的， 那绝配角咱们的常用的方法是什么？第一种就是你需要倒角，出现绝配角肯定是需要倒角，因为很多时候你看题里给你两个角是绝配角，但是你最后实际用的不是他俩，是你自己倒角倒完之后其他的角，你发现其他的角也有绝配角，你是用的其他的角， 那咱们在倒角的时候，常见的是设这个等腰的顶角是二阿尔法，那等腰的底角就是九十减阿尔法。你像我下面这三个图里都是，我可以设这个，第一个图里顶角是二阿尔法，底角就是九十减阿尔法。 那第二种就是出现二倍角的时候，咱们就可以以这个二倍角为顶角去勾到等腰。那常见的几组绝配角都有什么？第一个就是二阿尔法和九十减阿尔法与四十五加上阿尔法， 那反过来是不是就可以变成九十加上阿尔法和四十五减阿尔法，他俩是不也能组成绝配角？同样的是六十减阿尔法与六十加上阿尔法，或者是六十加上阿尔法与六十减阿尔法， 这都是可以组成绝配角的，出现这些角你要知道，哎，那大概率是会出现同样的形状，那跟绝配角特别像的一个东西。其实你也可以看成绝配角的变形，就是一个叫镜面角的东西， 它指的是咱们可以把这个 d、 c 看成是一个入射的光线，那经过镜子 a、 b 反射之后， c、 e 就是 一个反射光线，那这时候是不就有这入射角 alpha， 等于这个反射角这 alpha， 所以 咱们是给它降成镜面角，给它看成一个镜面的反射光线的问题。那对于镜面角，咱们核心思路就是将相等的角转转移， 那咱们这里转移的方式有两种，第一种我可以把这个其中一个角的线延长，比如说我可以把这个 e、 c 延长，延长之后是不是就能把这两个相等的角转化到这来了？那比如说第一个图里现在是不是就变成了 a、 c 平分 角， d、 c、 f 平分之后，咱是不是就可以用翻折角平分线，翻折的辅助线构造一个全等？那第二个图也是， 那或者是你在这组光线就入射光线和反射光线之间做一个平行线，就做这个镜子。平行线做完平行线之后，是不是就能把这两个相等的角转化到 m 和 n 这两个角的位置？转化到这之后，你发现这里的 c、 m 和 c、 n 是 不是就变成一个等腰三角形了？ 接下来咱们要说的是这个等腰基本形。等腰基本形指的不是像手拉手等腰这种的，指的是三个东西，第一个共底双等腰，第二个是共顶三等腰，第三个是 共底共腰双等腰指的是这三个双等腰。那出现这种双等腰的时候，咱们肯定是需要倒角的。那咱们看啊，先看这个共底双等腰什么意思？它是指两个等腰三角形，底边在同一直线上。比如说像这两个图 都是属于 a、 b、 c 是 等腰，然后 a、 e、 c 也是等腰，那这两个等腰上角，你看它们的底边是不在同一直线上， 同时其中一个腰，一个等腰上角的顶点是在另一个等腰的腰所在直线上。比如说第一个图里点 d 是 不是在 ab 上？ 第二个图里点 a 是 不是在 d、 e 这条线上？这都是属于共底双等腰。共底双等腰重点强调的是底是在同一条直线上的，那出现这种共底双等腰的时候，我们一定是需要导点的。然后有同学就说，老师这里有没有结论？有结论的 那结论是这些每个图里都有结论，所以大家不要去硬记这些结论啊，你就记住一点，出现共底双等腰，你需要去倒角就可以了。那像这里面，比如说第一个图里，你习惯了之后，你能直接导出这两个角相等的，后面这图里也是这俩角相等的，这个图里就是这俩角是互补的。那第三个图里也是这俩角是 有数量关系的，那我们该怎么去记？你不需要去记哪个图里该有什么数量关系，你就知道出现这些图里，你需要去倒角，那至于哪些角有数量关系，这个是需要记的，你记着是腰与腰的夹角，左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系的。 你看这里面每个角是不是都是左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系，你不需要去记。什么数量关系啊，你只要知道它是有数量关系的，然后你遇到题，你自己去倒就可以了，你要记的话是容易记乱的。那怎么去倒？咱们就是 倒角的基本方法就是设等腰上学的顶角为阿尔法，一个是阿尔法，这个角是二倍的，那第二个图也是一个等角，这是阿尔法，另外一个是二倍的，你把你要倒的这个角倒出来就行。比如这是阿尔法，这是二倍的，你倒完之后肯定是倒，能倒出这两角是有什么数量关系的，要么相等，要么互补的。 那对于底下这些，拿到电子版资料，同学你不要去记啊，你一定不要去背，你要去会导，可以自己去尝试导。那咱们共底双等腰导完之后，通常都会出现一边一角相等的一个情况， 所以就是咱们上期讲的，你通过导角之后，就要变成了边角构造全等的一个思路，去一边一角去挣全等。那除了共底双等腰，第二个就是共顶三等腰。 共顶三等腰他他的特点更明显啊，就是指同一个顶点引出三条线段，他跟构造手拉手的那个鸡爪图是非常像的，但是区别在于构造手拉手的那个鸡爪图，那三个线段不一定相等的， 但是共顶三等腰里，它这三个线段一定相等，比如说这三个图里都有 a、 b 等于 a、 c 等于 a、 d， 有 它们三相等，你发现我是不就能出现三个等腰？比如说第一个图里，你看 a、 b、 c 是 不就是一个等腰？ a、 b、 d 是 不也是一个等腰？ acd 是 不也是一个等腰？所以它们叫共顶三等腰。 共顶三等腰里，它的角数量关系更多了，所以大家不要去记啊，越记越蒙，一定记着你就出现这种倒角的，你就去设未知数倒角就可以了。 那第二个图、第三个图都是共顶三等腰，那咱们常见的是在正方形里，因为正方形里头四个边相等，在菱形里面也常见共顶三等腰。那比如说我现在把一个正方形的边旋转旋转之后，哎，你发现这三边是不相等的， 所以这里面就一定会出现共顶三等腰。在正方形里面旋转的时候出现共顶三等腰，大家一定要注意去倒角啊，好多时候都是你通过倒角去倒出特殊特殊的度数来，比如说九十啊，垂直啊，或者是四十五度啊这种的，你进而决定了你要用什么思路。 那对于共顶三等腰，咱们也是倒角，一般思路倒角倒角之后通常有一边一角相等或一边一角互余，然后我们再去构造，手拉手去等。 那第三个就是共腰双等腰。共腰双等腰的话比前两要稍微简单一点，但是它的频率我感觉要比前两高一点，那也是在初三的几何压轴里面出现的比较多的。你像这回大人的异模就是初三的异模，就出现了共顶三那个共腰双等腰的一个问题。 那我们看啊，这里面共腰双等腰指的是两个等腰三角形，只要腰在同一直线上就可以。比如说这个图里面 ab 和 abc 和 abd， 他 们的腰是不是就在同一条直线上， 所以这个就属于共腰双等腰。那这个共腰双等腰的结论你可以记一下，因为这个比较简单，它的结论就是 底两个底的夹角与不共线的那两个腰夹角是存在数量关系的，就两个底的夹角是不共线的两个夹角的一半。至于你到底判断谁是谁，谁是谁的哪个角， 谁是谁的一半，你就自己去倒角就行了。你比如说这里的角 f， 你 怎么判断它到底是 b e c 的 一半还是 a b 的 一半啊？你看不出来对吧？那你就去倒一下就完事了。 那对于第二个图里很容易看了，两个底的夹角是不这个角 g， 那 两个不共线的两个腰的夹角是不是这里的这个角？ 那是不就是角 g 很 明显是等于一半的个 h c 吧，不可能是不等于 a、 a、 h 的 一半，所以这里面它是比较好挣的。那对于共腰双等腰的话，咱们有一个特殊的情况，就是当共腰、双等腰，那两个不共线的腰是垂直的时候。比如说这样， 我这样画一下，现在假如说这里有一个等腰三角形 a、 b、 c， 我 写一下 a、 b 等于 a、 c， 同时这里面还有 be 等于 b、 f， 有 个 be 等于 b、 f， 那 当它们相等，你看这是属于共腰、双等腰，然后同时不共线的两个腰 b、 f 垂直 a、 c， 这时候一定会出现一边一角互余、勾全等，我们通过导角是能导出这个角 f、 b、 c 与这个 a、 b、 c 是 互余的，这两个角互余，同时它们的邻边 b、 f 和 b、 e 是 不是相等的？ 所以那两个角互余，两个角是邻边相等，那咱们就直接做垂，过到全等就行了。过 f 向下做个垂，再过 e 向下做个垂，就能得到这两个三角形，他们俩是全等。大家要记住这共腰相等腰，这里共线，两个腰垂直，这个情况它是非常常见的。
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13:51查看AI文稿AI文稿你家孩子是不是也存在这样的问题，几何压轴题，辅助线不知道往哪个方向想，或者看答案能看懂，但是不知道辅助线怎么来的，为什么这么做？那这个视频你一定要看完，我正在用四期视频梳理整个八下的几何模型辅助线，帮助孩子建立完整的知识体系， 他看完这个至少能拿到题，知道往哪个方向去想。那咱们前面第一期已经讲过了勾股动力的三大应用，今天是第二期，讲的是四边形的一个变换，需要电子版资料的评论区留言。 咱们今天讲的是这个第二块的内容，主要是包括了这四个部分，那其中这个边角构造的话，边角构造其实咱们学全等的时候就已经学过了，那这些部分里面这四个都是特别特别重要的， 那像这个四六七都是属于你必会的内容，那这个平移构造的这个问题， 他是属于压轴题里，如果出现的话，他一定是难度是很高的，所以这个你可以是高分段同学，你是选学的，如果你能到一百以上，我就建议你一定是要学这个，如果你是刚刚过一百分，那你这个就是可学可不学，因为你刚过一百分呢，这个难度压轴题你做起来是比较吃力的。那我们先看第一个边角构造， 边角构造的核心特点啊，只要出现一组角相等或互补，那这组角的邻边也相等的话，那咱们就可以去构造全等三角形。所以它的特点是非常明显的，就只要有一组角是相等的，并且这组角的邻边也相等，那你就可以去构造角的另一边相等， 这样就能出来 s s a s 的 全等。或者是如果出现了一组角和这个角的对边相等的话，你也可以选择去构造这个边角构造全等，只不过这时候你构造的方式稍微变化了一下。 至于互补的情况，其实就是相等的一个特殊情况，就是相等的一个变形。我们先看这里的第一个，就是一边一角的一个基本图，那对于一边角构造的话，你像这里面比如说有 a、 b 等于 d e 体体出现这个条件了。其次还有这个角 b 等于角 e， 你 只要推边推角，发现了一组角是相等的， 并且角的邻边这里的 a、 b 和 d、 e 是 不是相等的，那你就可以去选择构造角的另一边，让角的另一边相等，他们俩是不是能组成全等三角形？ 那所以构造的方式有下面的第一种，比如说你可以把这里的 b、 c 延长，使这里的 b、 g， 咱们这里你可以做一个 b g 等于 e、 f， 那 现在是不是就能构造出这个三角形 a、 b、 g 和三角形 e、 f 全等了？ 或者是你可以在这个长边 e、 f 上截取一段，比如说你可以截取这个 e、 h 等于 b、 c， 那 这时候这个三角形 d、 e、 h 和这个三角形 a、 b、 c 是 不是也全等了？ 所以角和角的一边相等，你只要截取角的另一边相等，是不是能构造出 s a、 s 全等？那它的应用条件是非常非常广的，也是现在重点出现的一个类型。第二个就是我刚才说的一边一角互补，如果出现角互补的话，那其实咱们就给它还原成角相等就行， 因为两个角互补，那指着这个角的邻补角是不相等的，那以这里面举例子，你先角 b 和角 e 是 互补的，那并且这组互补的角，它的邻边你看是不是有 ab 和 d、 e 是 相等的？那咱们的构造方式，你第一种可以是把这个小，把这个 d、 e、 f 延长，延长出来之后它这个补角是不是和角 b 就 相等了？那现在是不就变成了刚才咱们说的一边一角相等的，邻边是相等的， 那咱们截取角的另一边 b、 c 等于 e、 m， 是 不就能得到这两个绿色的三角形等？那第二种形式你可以把这里的 c、 b 延长，那是不是就能得到这两个叉角是相等角 e 和这个角 abm 相等， 那这时候也是一边一角相等，两个叉角相等，以及叉角的邻边 a、 b 和 d、 e 相等，那再截取角的另一边，使 b、 m 等于 e、 f， 是 不就能构造出这两个绿色的三角形相等？这个就是属于一边一角相等它的一种变形，属于给你的一个角互补和邻边相等的情况。 那我们再看下一个，下一个部分是平移，那对于平移的问题，咱们说适合高分段，你选学的一百一以上的，我建议你一定是要研究这个东西。像这回大连三十四中的月考题，那个期中考试的题就出现了，最后压轴题就是出现了一个平移的问题， 这个题的得分率就非常低，很多孩子都是不会做的。那我们看啊，就是什么时候你适合用平移，比如说你题里遇到这种 x 型线段的时候，你就可以去平移，既有两条 x 型线段，比如说有一个 a、 b 和 c、 d 给你它俩相等了，或者让你求这个角，比如说这种角让你求这个角的数量关系， 或者角的位置关系，它俩它俩的假角多少度这种，那再比如说在正方形里经常出现的，你像这种， 比如说是这样的，这给你一个四十五度，那咱们通常也是通过平移的方式去解决，我这里面通过平移我就可以把他们这两个线段的端点转化到同一条边上去，那比如说咱们看啊， 你比如说是在这种情况下，那现在已知的是 ab 和 cd 这两个边相等，那咱们通过平移，比如说第一个里面我是不是可以把 ab 往这平移， 使平移之后这个点 a 和点 d 重合，那这样你一定要记着平移的话，一是会出来平行四边形，第二个是出会出来等腰三角形，你看这里面是不就出现了 a、 b、 b 撇 d 撇是个等腰，是个平行四边形。 同时那因为原来的 a、 b 和 c、 d 相等，现在是不是就变成了 a、 c、 d 和这个 b 撇、 d， 它们俩相等，就变成了一个等腰三角形？ 那这里平移方式很多，我只要平移之后使这个相等边的端点重合就都可以，那所以这个二、三、四这几个方式都可以。那对于平移的问题，咱们常见的是在正方形里的这种十字架结构， 比如说咱们正方形里是不是有一个圆图的十字架，比如说正方形里现在有两个线，它俩相等的相等是不是能得到垂直？那通常它的变形的话是有这种形式的，比如说现在是有两个线是这样垂直的， 这样那咱们就可以通过把这两个线平移回初，使的这种把它俩顶点平移回正方形的顶点，是不是能变成最初的十字架的结构？比如说我把这个线往上平移，把它平移到这了， 然后再把这条线往这平，把它平移到这来，你看是不是就变成了最初始的十字架里头？那把它变个形，是不就是咱们学的正方形的半角模型？咱们正方形的学完半角模型之后，你看如果现在是有两条线是这样的，我给大家画一下，有一条线是在这， 然后另一条线是在这，那我是不是可以通过平移？我把这两条线，比如说我把这个线往这平移，是不是就能把它的端点平移回正方形的顶点， 然后第二个线往上平移，是不就能把它的端点平移到这了？那现在这个角是不就变成了一个四十五度的一个半角模型？假如说已知这个角是四十五度啊，你平移完事之后，是不就平移回半角模型的情况了？所以在正方形里面咱们用平移的方式是非常多的啊。 下面这两个图就是我给他一个正方形的常见的平移的结构。那咱们通过这道题来看一下平移的问题你该怎么去解决？ 你看这里面他给了角十九度，又给了这里的 b、 d 和 c、 e 相等，有他们俩相等，还有一个 b、 c 和 a、 e 相等， 现在要求这个角度数，求这个角度数，指着我们是不是要求 a、 d 与 b、 e 的 夹角，那像这种交叉型的线段求夹角，那是不是可以通过平移的方式？所以我第一种方式，我可以把这里的 a、 d 往上平移，把这个 d 平移到 b 的 位置上。平移之后， 那咱的辅助线的话，因为平行之后你是勾到平行四边形的，所以你可以说做 a m 平行 bc， 且 a m 等于 b d， 那 现在这个 a m、 b d 是 不就是一个平行四边形？平行四边形对边平行相等，是不就能得到 a、 d 和 b m？ 他俩是平行相等的，那咱们想求这个 a、 f、 e 的 度数，现在是不只要求这个 m、 b、 e 的 度数就行，那我们再看他给的条件里，那对于这题给的条件，你看他是不是给了一个 b、 d 是等于 c、 e 的？ 那咱们平移之后，现在是不是就有 a m 等于 c e 有 这俩边相等，同时还有这个 a、 e 和 b c 相等，所以咱们怎么办？是不就连接 em， 构造这组一线三垂的全等？连完 em 之后，它俩是不是就直接 s s 全等了？ 全等之后是不就能推出三角形 b e m？ 它是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形，它的角 m、 b、 e 是 不就是四十五度？所以它的同位角这个角 a、 f、 e 是 不也四十五？最后答案就是 四十五度，那咱们再来看下一种，下一种就是四边形旋转，旋转和翻折绝对是几何压轴里面出现频率最高的这个问题， 那图形的三大运动，平移、旋转、翻折，其中平移出现的相对来说少一点，因为跟他相关的辅助线既灵活，相对来说也比较少一点，但是旋转和翻折里面就非常多，所以旋转和翻折他的出题频率绝对是远高于平移的问题。 那我们看平旋转的问题通常用用了什么方法？那常见的题型，我们先看四边形的旋转，通常在菱形、矩形和正方形里面， 其中菱形和矩形里面只要出现三十六十了，是不就一定会出现等腰或者是等边三角形，那有等边三角形旋转，咱是不通常都是构造手拉手， 所以旋转的话，手拉手绝对是最常用的题型之一。其次正方形里面是不也会出现半角和手拉手的旋转？然后正方形里其实还有一个比较特殊的啊，叫对角互补四边形，对互四的话，你可以把它看成是构造一个手拉手的问题。 那最常见的旋转是在菱形和正方形中出现的旋转，那我们看旋转的原则，不管是哪种旋转，旋转的方法其实跟咱们上上期视频讲的购物工具旋转其实是一样的啊。旋转就几类方法，第一个是构造手拉手， 第二个是半角模型，第三个是对角互补四边形，那第四个像飞马点什么在四边形就比较少了，那对于这三个，他不管哪种方式旋转，只要难一点的题，都是你自己需要去构造辅助线旋转， 那你就要需要记住辅助线旋转，你识别出旋转之后，你你就要知道旋转的原则是什么。不管哪种旋转，你都是先找到一组公共边的顶点，那比如说有一组相等边，他俩有公共顶点，那咱们就绕着这个相等边的重合顶点旋转。旋转多少度呢？就是把这个相等边转到另一个相等边上， 就这样旋转，比如说在这个图里边，那这时候我是不是可以把这 a、 b、 e 绕点 b 旋转，把这个 b、 a 是 不能转到 b、 c 这条线上来，是不就能把 b、 a、 e 转成了 b、 a、 f 上？那比如说第二个图里是不也可以是一样的方式， 那这里面我是不是就可以把这里的 e、 c 往上转，转到这个 e、 f 上来，对吧？这里面相当于其实咱是不就是构造的一个手拉手的全等，这里面你可以把三角形 a、 b、 c 看成一个等边，然后 f、 e、 c 也是一个等边，两个等边，然后通过旋转去构造手拉手的全等。 最后就是这种的绊脚模型旋转，绊脚模型旋转的话咱们在第一期视频里已经讲了，所以咱们不再去多说他的原则什么的，你就看一下在常见的正方形的绊脚模型旋转，他通常是什么样就可以，如果有绊脚模型旋转不太清楚的，可以去看一下第一期的视频。 最后就是这个四边形的翻折，那四边形的翻折，其实关于翻折的问题，他的辅助线的话，比如说像角平分线的翻折，或者是等腰对称的翻折，他是都是属于翻折。但咱们今天只说这个关于四边形翻折， 那四边形翻折的话，通常出现在矩形、菱形、正方形里面，那我们要注意的是以下几个点，第一个 辅助线，常见的翻折的辅助线的思路是连接对应点的连线，这个是同学们最容易忽略的，因为只要是翻折就是轴对称，那轴对称咱们在八上学全能上学的时候学过在轴对称的那一章，如果是北师大版的，他们是在旗下学的， 那关于轴对称里面有一解释说轴对称的性质，对应点的连线是不一定是被这个对称轴垂直平分的。 比如说以这个图一第一个图举例子，我把这个小的四边形 a、 b、 f、 e 翻到了上面来，翻完之后你看这里对应点是不是 a 和 g， 咱们对应点的连线是不一定被这个对称轴 e、 f 是 垂直平分的， 那这个是非常有用的一个条件，或者是你要连接 b、 h、 b、 h 是 不是也是被 e、 f 垂直平分？那第二个就是找直角三角形，因为翻折，尤其是矩形或菱形的翻折，咱们通常的方法是你要找一个直角三角形去列勾股盈利方程，所以这里的核心你是要找到哪个直角三角形去列勾股盈利方程， 有时候是需要双钩五分是比较麻烦的。然后第三个就是在翻折问题里，我们通常会出现等腰三角形，大家一定要注意你翻折之后是否存在等腰三角形，还是以这个头举例的。你比如说翻折之后，那翻折的对应角，这俩角是不相等，所以这个对称轴是不相当于这个大角的角平行 那角平分线再加上平行这俩角相等，是不就能出现直角三角形？也就是说这里的 i、 f 和这个 i、 e， 它俩是不是一个等腰？那对于第二个图里，你看翻折对应角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 等于 i e， 那 后面图也是翻折这俩角相等，然后等于它的内错角是不是也是有 i f 和 i e？ 后面每个图都是，所以对于翻折的问题的话，如果是四边形翻折，我们要记得那个辅助线连接对应点的连线， 以及去找它是否存在直角三角形，然后如果求边长的话，你就可能是需要用到找个直角三角形去列勾股定律的方程。
188喜欢数学的张张张张
05:09查看AI文稿AI文稿哈喽，滴答里我们继续来分享黑白卷，白卷的倒数第四题，它是几何中考中 几何综合的题，就是一般都是求边长呀，求面积啊。嗯，这样子的题，它会涉及到疑问，第一问的话让你去证明，第二问的话让你去求一个线段的长度，或者去求一个面积，或者去求一个周长。 这个的话在八年级它通常是会作为是倒数第二题来考，在中考的话就只能排到倒数第四题来考。我们来一起看一下这个这个题吧。 首先有个大三角形，他说这个大三角形这里是直角，然后告诉你中点，中点的话，我一般喜欢圈起来这个 d 和 o 是 中点， 然后接着告诉你这段和这段是相等的，接着让你证明是菱形还是坏事。再复习一下菱形的话，首先平行四边形加一组菱边相等，我就写个菱就可以整，还有菱，平行四边形，再加对角线，互相垂直，它也可以整菱形。然后还有四条边， 四条边都相等的四边形，它是菱形，还有对角线，你先满足平分，平分了以后再加出这个这个菱形，总的话就是这四条。那我们来看这道题，这道题它已经告诉你这个对角线是 相等的了，对吧？这两边是相等的。然后接着这里又是个中点，那么这 a、 o a 和 o c 也就相等， o a 也就等于 o c， 然后那它就是平行四边形了。接着还有这个中点没有用，还有这个中点没有用，两个中点在三角形里面考中位线，嗯， o d 它会平行且等于二分之一的 b c， 也就是三角形第三边的一半，所以这里平行的话，刚才这个九十度，这里的直角就可以转换上来。那就是首先对角线互相平分，它到达了平行四边形的地方，再加对角线互相垂直，它正数，它是菱形，那么这一问就讲完了， 那么这一问就讲完了，我们接着看第二问，第二问他说这两条直角边，直角边的话，我们搞清楚直角边是谁，直角边是 a、 c， 还有 b、 d 啊，不是 b， d 是 b、 c， 它们之和是十四之差的话，之差的话看起来 b、 c 长一点， b、 c 减去 a、 c， 它的话是等于二。 嗯，而且小括号里面是中间，它也告诉你哪一条边更长，这样子列出来了一个式子。好，为了我们好讲解的话，我们把这条边设为 a， 把这条边设为是 b， 这条边设为是 b， 那 么其实我们就得到了 a 加 b， 它等于十四， a 减 b 等于二。然后接着它让你求的是刚才这个菱形，你看它们字母是一样的菱形的边长，所以就是你能不能求出来 a、 d 或者是 d， c 或者是 c、 e 啊？就是随便哪一边都可以，因为菱形四边都相等，它的边长，四条边也是都一样的，所以，嗯，有多种思路来做吧。首先你可以通过第一问，刚才你知道它是 o、 d， 中位线是平行，且等于第三边的一半，它就等于二分之一 b， 而这里的话是二分之一 a， 所以 你要的 a、 d， 它其实就等于二分之一。呃，二分之一 a 的 平方加上二分之一 b 的 平方，再开根号，这条边不就求出来了吗？对吧？好，还有其他思路吗？ 有的，还有其他思路，就是你从最大这个三角形里头来看，呃，这个是中点， 那么这个就是中线，中线平行，呃，中呃直角。三角形中，中线等于斜边的一半，也就是它的 c d 其实会等于二分之一的 a b， 而 a b 呢，它又等于 a 的 平方，再加上 b 的 平方，再开根号也可以做 好，所以进来看怎么来找这个 a b 呢？我也有两个思路，第一个的话，你想到你初一下学期学的知识点，你把它当成一个二元一次方程组，把它解出来，这个的话其实是一个模型经常考的。 x 加 y 等于 m， x 减 y 等于 n， 其实它的 x 的 话等于 m 加 n 除以二，因为你看它不会相反数，一加 y 就 没有了，但是 x 的 话变成二倍，所以除掉。然后如果要求 y 的 话，它等于 m 减 n 除以二，这个的话推导出来了很简单的，然后所以这里也是一样的，假如你要求 a， 它其实就等于两式相加除二等于。
20:59查看AI文稿AI文稿方法不对，努力白费。今天给大家讲一下八年级期末考试的压轴难题，这道题目初二和初三的同学都可以做。首先先讲一下初二的方法， 那么用初二的解析方法去研究这个题目，思路特别多，但是我们如何寻找到一个最简洁、最容易想到的方法，那我们就需要找到这道题目的一个突破口。首先条件给了正方形 abcd， 看到了 b、 d 是 对角线，那从辅助线的一个长引的方法来看，我们很容易想到的就是把它的另一条对角线 a、 c 也连上。 因为正方形最特殊的是什么呢？就是它对角线的性质。这里 a、 c 和 b、 d 相等，互相垂直， 并且互相平分。那么每一条对角线所在的直线都是正方形的对称轴， 所以我看到 b、 d 上有一个 m， 自然想到的就是把 m、 c 也连上。那么我们异正 m a 和 m、 c 是 相等的， 那我们可以通过啊 b、 d 两侧的三角形存在一个翻折全等的关系，推出 a、 m 和 m、 c 相等。那再看一下条件，条件给了一个互补， 那这个互补有什么用？好，一个角是角 a m、 d， 另一个是角 a、 n、 c， 而这个位置也存在一个互补，所以我就看到了内错角相等于是可推 b、 d 和 c n 是 平行的， 那么就可以把刚才的这个对角线的直角可以导到角 a、 c、 n， 所以 我就看到了一个直角三角形 a、 c、 n， 同时看到了等腰三角形 a、 c、 m， 那 么等腰三角形的底边恰好是直角边，所以我能推什么呢？啊？我根据倒角可知，看等边对等，角擦角相等， 根据沪语可知，叉角加点角等于九十，这里的叉加这个点也是九十，于是推出两个点角相等，那么 m c 跟 m n 也相等， 所以 m a 等于 m c 等于 m n， 那 也就意味着我能推导出 m 是 a n 的 终点。 好，我能够推导出 m 是 a n 的 终点。好，那接下来我们继续来看此题。给了正方形的边长，还给了两条边的关系，它是 dm 和边长的关系是根号二比三。 那我们发现 dm 跟 ad 有 关， d o 跟 ad 也有关系，那于是就可以推出 dm 和 d o 的 关系。好，那在这不妨我们利用这个比例设一下两条边， 我们设比的一份为 x， 那 么 dm 它就可以表示为根号二 x， 而 ad 可以 表示为三 x。 进而呢，我们看到等腰直角三角形 a， d o 可以 表示出 d o 是 二分之三倍，根号二 x。 好 的，那么 dm 和 d o 都含 x， 所以 我就可以求一下两条边的一个比值，也就是 dm 比上 d o， 它就是根号二 x， 比上二分之三倍，根号二 x， 那么经过月份化简，我们可以把它化成二比三，那就意味着 dm 是 两份， d o 是 三份。那不妨我就在 m o 这个位置标记一份，所以就说明 m d 是 m o 的 二倍。 好，那请同学们继续再来看。刚才导出 m 是 中点， o 也是中点，那 m o 就是 a n c 的 中位线，所以我发现 c n 也是它的二倍。 那于是我们就可以推出这里的 dm， 它和 c n 的 一个关系。是什么关系呢？平行且相等。好，于是就可以导出这个四边形， m d n c， 它是一个平行四边形啊，这是一个平行四边形，那么这如果是个平行四边形，说明什么呢？它的对角线互相平分，那就意味着点 e 既是 m n 的 终点，也是边长的终点。 好了，那么导出点 e 是 终点之后，此题要求 n f， 那 么我们还是需要把 n f 进行一个转化。好，那么在这里 n f 可以 转化到哪去？根据平四的性质特点，它和这里的 啊 m 这个点，我们设它一个字母，设它为点 q， 它和 m q， 通过八字形全等可以推出它俩是相等， 所以我们要求 fn， 其实就是求 m q， 那 m q 又该如何求呢？大家观察一下，你看 q 这个位置，这个角，这个黄色的角，像不像一个直角呢？ 好，哎，我们发现这个角特别像直角，于是呢，这道题目你看它的关系特别多，这里既有数量关系，又有位置关系，都是通过我们题目当中的条件挖掘出来的。 好，所以当你这个位置大胆的提出一个猜想，我猜想他是九十度，那我们就要啊去推导出他为什么是九十。 好，那首先请同学们在这里观察一下这个叉角和这个叉角的关系。好，那这两个叉角的关系是相等的啊，根据刚才的一个等幺三角形等边对等角好了，然后这里这个角和这里这个角 是不是都是四十五度，于是就可以得到圆圈角和这个圆圈角什么关系呢？ 那这两个角就可以推出相等啊，这两角推出相等。而在这里大家又看到这里点 e 是 c d 的 一个中点，所以 a d e 和这里的 b c， e， e 正全等，所以上边的圆圈可以倒下来。 好，那圆圈下来之后，这个圆圈和这个圆圈相等，这里存在一个正方形的一个直角，所以摄影型出来，因此我们在这里可以移正一个九十度。 当然你想推这个九十度，还有其他的方法，你去通过这个 o b、 e、 c 啊，这个八字形推导出这个角，也是一个叉角，完全也可以推导出来一个垂直啊，所以这个推导垂直这块，大家可以在这运用不同的方法去推 好。当我们导出这是直角之后，我发现 m b 的 长度是可求的啊，它怎么求呢？我们知道了，大家看边长二倍根号五，我们知道边长是二倍根号五，于是就可以求出 o a 的 长度， 拿二倍根号五除以根号二，就是 a o， 那 么 a o 的 长度可求，它是根号十 好，而这里的 o m 是 o d 的 三分之一，也就是 o a 的 三分之一，所以 o m 它是三分之根号十啊，剩下的就都是计算好，那于是我们就可以求出，用勾股定律在二 t 三角形 a o m 中求出 a m 的 长度三分之十 啊，求出 am 三分之十，好，那接下来 am 的 长度当然也就是 cm 的 长度啊，所以这条边长度可求 好，而这里的 bc 是 二倍根号五。刚才我们说 bm 可求，它怎么求？看这两份， 三份啊，那这个也是三份，三份，一份四份，上边两份，下面四份，说明 m d 和 b m 的 关系就是一比二，那因此这里的 b m， 它就是整条对角线的多少呢？三分之二对角线是二倍根号五，乘根号二，也就是二倍根号十， 再乘三分之二，这就是 b m， 所以 它的结果就是三分之四倍的根号十。好，于是我看到 b m 可求 b c， 已知 c m 以求，所以这个黑色三角形知道了三条边，并且我们在这个位置看到了一个垂直的关系，所以我就想到了三角形 m b c 可解 啊，那么我们要求 f n， 就是 求这里的 m q， 所以 我不妨把 m q 设为 a， 我把 m q 设为 a， 那 么啊 q c， 它就可以表示为 m c 减去 a， 那 就是三分之十减去 a， 所以 我就可以利用这条边，也就是 b q， 利用这个公共边的平方，双勾股列方程。 好，所以我们列出的方程就是 m b 的 平方，那就是三分之四倍，根号十，括号 y 平方减 x 的 平方， 结果就应该等于 b c 二倍，根号五的平方减去三分之十减 a， 括号 y 的 平方。好，这里换成 a， 这是 a， 哈， 这是 a。 好 了，那于是我们根据这个方程，方程中仅有一个未知数 a， 那 我们去掉括号，最终求得 a 的 结果等于三分之四，而 a 是 三分之四，那 fn 就是 a， 所以 它的结果也是三分之四。 好了，那么这道题目呢？老师，从初二这个年级啊，这个阶段啊，从我们平时解决这个问题藏隐的辅助线套路，以及我们经常使用的一个推导方法，把这道推的思路给大家从头到尾啊捋了一遍。 好了，那么在初二这个阶段，除了可以用这种方法以外，我们还能够想到一个特有的方法是什么呢？好，那这道题目我们还可以运用建立坐标系的方法，也就是间隙。 好，当我们学习了一次函数以后，好，那这道题目你看我们可不可以建立一个坐标系，就是把这个正方形放在坐标系中。 好，那比如说我如何间隙呢？我可以以这里的点 c 为坐标原点，以 c b 所在的直线为 x 轴， c d 所在的直线为 y 轴，那我们建立这样的一个坐标系，那我建立这个坐标系的目的是什么？题目要求 fn 的 长度，那我就想办法把 f 的 坐标求出来，我把 n 的 坐标也求出来， 那么如果用间隙的方法去解决这个问题，就不需要推导那么多的关系了啊。你看，比如说 f 的 坐标怎么求呢？我只需要用到这个点， e 是 终点。好，当我推出这里这个点 e 是 c d 中点以后，根据正方形的边长，我可以求出 e 点坐标零度，根号五，根据边长可知， b 点坐标是负二倍，根号五都零，所以 e b 知道，那么 b e 的 解析式就可求了。 好，再来看我求 b e 的 目的是什么？我是为了要求出点 f 的 坐标，那 f 是 b e 跟 d n 的 交点， 那么 d 点的坐标知道是零到二倍，根号五，那么 n 点的坐标又该如何去求呢？好，那下面我们来看一下，刚才在这个位置我们发现了一个什么呀？平行四边形， 对不对？通过平行四边形，我们可以知道这个叉角和这个叉角是内错角，因为这里是四十五度，所以这个叉角也是多少度呢？这个叉角也是四十五度。 好，那么这个叉角是四十五度，我如何去求点 n 的 坐标呢？那我肯定得过点 n 向坐标轴画一个垂线啊，假设这个垂足为点 p， 那 也就意味着只要我求出 p n 和 c n 的 长度，我就能够表示出 n 点的坐标。 好，那 n 你 要求 n 坐标，你怎么求这两条直角边呢？那你就得知道 c n 呢？ c， n 跟谁相等？跟 md， 那 md 肯定可求啊，知道 ad， 然后 md 和 nd 的 关系有了，是不是这条线段可求？拿到这来用， 放到 r t 等腰直角三角形中，可以把这两条黄色的直角边都求出来，进而求出 n 的 坐标。那有了 n 的 坐标，就可以求出直线 d， n 的 解析式， 那么 d， n 的 解析式如果也求了，让它和 b e 连立相交，求出 f， 所以 它们俩就可以求出 f 的 坐标， f 的 坐标知道， n 的 坐标，也知道，那么两点之间的距离，就可以利用勾股定底来求。你看过点 f， 向它做一个垂线啊，设这个垂线啊，设一个字母为点 f 啊，点 f 有 了， 设这个垂足为点 s。 好， 那么在这个 r t 三角形中，根据 f 和 n 的 坐标，那么 sn 和 f s 都能求，最后勾股求一下 fn 也是可以的 啊。所以说，我们可以用一种尝试，一种新的方法，就是建立坐标系，然后去求两点间的距离啊。这是针对于初二的同学啊，我们采取的以上不同的两个思路，那么这道题目如果拿给初三的同学去做啊，那就容易得多。 好，来，我们看一下这道题目如果用初三的方法该怎么做呢？啊，我们在这里可以用到相似对不对？好了，我们也可以用到三角函数。好，那这道题目由于它的关系，你看特别多，这个关系既包括数量关系，也包括位置关系。 好，首先我们前面推导过这两条直线，什么关系呢？平行，我们导过这个 m、 d 和 c、 n 是 平行且相等的，所以说这对三角形我们异正，它是一个八字形的全等，所以可得点 e 是 m、 n 的 中点，因此这两条边的比就是一比一。 前面咱们通过推导线段知道 m、 d 和 ad 的 关系，那么我们就可以得到 m、 d 和整体 b、 d 的 关系。所以前面咱们也用到过这个关系，它俩字比是一比二，它俩字比是一比二。那么此题要求的是 fn 的 长度， 那么我不妨求 d、 n， 再求 f 分 d、 n 的 比啊，再求它俩的一个比啊，那这样的话是不是就可以求出 n、 f 的 长度了啊？那辅助线我之前还要用到这一条， 也就是说这里还是一个平行四边形，你 am 等于 mc， 根据平四 mc 就 等于 d、 n， 所以 咱们前面求出来的 am 是 三分之十，那就意味着 n、 d 就是 三分之十。那接下来就只需要求出 f 分 d、 n 的 一个比例关系就可以了， 在这里看到一比一，在这里看到一比二啊，所以 b、 d、 n、 m 啊，包括这里这个 b、 f， 老师把这几条边给大家描述一下啊，有 b、 d， b、 d 上有比例 好， d、 n 上的点， f 这个节点是带求的， m、 n 上有比例关系，一比一。 那接下来我只需把这个 b、 f 再连上。大家是否也看到了咱们鞍山市试模十五题出现的那个飞镖模型，在这个模型当中总共有四条边，两条边上有比例，就能求出七与两边上的比例关系。那么当时讲这个问题的时候，老师讲了十二个方法，十二个方向， 那我们在这里随便选一个点，我们可以做什么呀？平行啊，来运用平行线的啊，相似的基本模型去解决这个题。由于这道题目天然存在一个平行，而这个平行 c n 平行的恰好是黄色的边 b d， 而且这个 c n 恰好过飞镖模型一个点，所以我这道题不需要格外的做其他的辅助线。 好，那我们就只需要把你做的这个平行线让它和谁相交，让它和这个飞镖模型的第四条边 b f， 你 看你是选择了 m n 这条边上的 n 啊，你用到的是这个平行， 那么你就让这条平行线，嗯，它平行的是 b d， 让它和 b f 延长相交即可。那这个交点我们设它为点 q 啊。好了，在这里再说一下 n 是 怎么形成的？ n 是 m n 和 d n 的 交点，所以这个线段 m n 作为第一条边 d n， 第二条边 b d 第三条，那么 c n 平行第三条，那么跟第四条 b f 相交 啊。好了，那么交完之后，大家观察这个位置存在一个一比二，那不妨把这个边设为 a， 这个边设为二 a， 所以 整条边就可以表示为三 a。 好， 那再看到这个位置点 e 是 m n 的 一个中点，有中点，有平行，那我们在这可以得到一个八字形的一个全等， 大家看这个三角形和这个三角形，这俩是一个八字形的全等，所以 b m 是 二 a， 那 么 n q， 它的长度也是二 a， 它也是二 a， 那 么这个是二 a， 整体是三 a。 那 接下来请同学们跟老师再看一个八字形，也就是 b， d， n、 q， 看这个八字形，在这个八字形中，你不是想求 f 分 d、 n 的 比例吗？那么这两条线段的比其实就是二 a 比三 a， 也就是二比三，所以在这我可以求出 n， f 和 df 的 比等于二 a 比三， a 二比三，所以你要求的 n、 f， 它就是 d， n 的 五分之二，所以五分之二乘以三分之十啊，轻松的可以解出来，最后答案就是三分之四。 当然老师只讲了一种方法啊，之前说过，在这个黄色的飞镖模型当中，点 d， 点 m， 点 b， 包括这里这个点 e， 点 n， 还有这里这个点 f， 一 共有六个点啊，四条四条线段，两两相交，一共有六个点，这六个点过任何一个点向七与两边做平行，那么交第四条边于一个点，都能够把这道题解出来，所以这十二个方法大家有兴趣的可以去挑战一下。 好了，那这道题目呢，老师分别从初二和初三不同年龄段的同学给大家讲了不同的方法啊，希望同学们能够把这道题目 吃透，因为这道题目他逻辑性特别强，答题方法特别多啊，希望同学们能够用一题多解的方法来从中归纳一下，哪个方法更适合你呢？好了，这点这道题就给大家分享到这。
88张野数学
10:17查看AI文稿AI文稿考试老师给大家找了正方形九个小模型啊，如果考到正方形的话，基本上就是这些东西。好，先来看一下括号一，这是一个十字架模型 啊，告诉这两个线段是垂直的，那么我们就能证出他俩是相等，如果告诉他俩相等，我们也能够证出他是垂直，对吧？好，把这个角设成角一，这个角设成角二，这个是角三， 一加二九十，二加三九十呢？一就等于三，再加上直角和直角，还有一个边， ab 等于 a， 得，是不是这两个三角形全等， 对吧？全等完之后就能证出 b、 f 等于 a、 e， 但是这个题啊，它通常不这么考，它会有一个变形，就是这两个线段它不在那个角上， 比如说这是一个正方形，然后给来一个这样的一个边和这个边是一个垂直，对吧？这样的话，我们也能够挣出这两个蓝边是相等，辅助线依然往下去做个双垂 好，然后就能证出这两个直角，三角形全等。先看边有啥啊，是不是这个 e f 应该等于这个边长，然后这个 c d 也等于这个边长，是不是 e、 f 和 c d 就 相等， 对吧？然后还能证出这是一个直角，然后这是直角，这也是直角，是不对。顶八字就能证出这个圈等于这个圈，然后还有一个直角等于直角，那这两个三角形是不是也全等， 对吧？ ok， 来看一下第二个小模型，就是考察的是正方形的对称性， 我们知道它的对角线是平分这组角，并且都等于四十五度，然后又因为 ab 等于 a 得再加上一个公共边，是不是这两个三角形全等，对吧？好，再来看一下第三个小模型，考察的是 它的对角线是互相垂直并且平分，也就是说这个是一个等腰直角三角形， 然后又因为这也有一个直角，是不是这个圈角就等于这个圈角，再加上这个是四十五，这个也是四十五，是不还能证出这个 o b 等于 o c， 那 这个三角形和这个三角形全等，那么 o m 就 等于 o n， 对吧？这里头还是还有一个叫做四边形对角互补，这是直角，这也是直角。四边形内角和是三百六，说明我们这个单线角加上这个双线角是不等于一百八， 然后他加上旁边这个角也是一百八，所以说这个角也能够直接正出，等于它，对吧？啊？好，再来看一下第四个小模型， 这是我们上一期讲过的一个半角模型，如果告诉我们这个角是一个四十五啊，那就能证出这个边 加上这个边它是等于这个边，那这个题啊，我们应该去不延长啊。 c 的 到达一个点 k， 然后让的 k 呢？是等于底下的 b e， 是不是就能证出这个三角形？然后跟我们的 a 对 k， 它俩就全等， 对吧？它俩全等完之后，是不是能证出 a e 等于 a k 还能证出这个 x 角等于这个 x， 对 不对？那因为原先的这个是四十五，这是九十，说明 x 加上这个 y 是 不等于四十五，这个就是四十五， 对吧？这个四十五等于这个四十五，再加上一个公共边，再加上刚才的 a e 等于 ak， 是 不是这个大的和这个大的就全等，那么啊， f k 就 等于 fe， 然后 f k 呢？又等于绿的加蓝的，那所以说这个绿加这个蓝就等于这个黄， 对吧？好，下一问，下一问。也是一个半角模型，还是把这个角设成一个 x， 这角设成一个 y， 如果这个是四十五，那 x 加 y 就是 四十五，对吧？他想让我们求是这个一号线段、二号线段、三号线段的一个关系， 现在这三条线段共线了，那一定是构造一个旋转，把某两个边或者某一个边给它旋转出来，对吧？好，我们知道这里头啊，有正方形，它就有等腰直， 是不是这个边跟这个边相等，并且这是一个直角，那想去构造旋转的话，我们一定是构造手拉手， 对吧？那也说我们可以去做一个它的等腰值，比如说我们呃让 a k 垂直于一个 a e， 并且 a k 等于 a e， 然后接下来给这个 k 的 连接起来， 是不是这个三角形跟这个三角形就手拉手，全等，对吧？全等完之后，我们是不是能把这个一号线段就给他导到这，然后这个是四十五度，这个也是四十五度，原先的这也是四十五，所以说这是一个直角， 那一号线段加三，一号线段的平方加三号线段的平方是不是应该等于 k f 的 平方？那接下来我们证明 k f 等于 e f 就 行，对吧？是不是又是刚才这个模型证明全等， 那他俩为啥全等呢？先找边啊？有 a e 等于 ak， 还有一个公共边，是不是就证明这个角等于四十五就行？ 它等于四十五是为啥呢？因为这个 x 导到这， x 加 y 是 四十五，这个 x 加这个 y 就是 四十五，所以说它就是四十五，然后这个角也是四十五，所以说全等下一个。 这个是前两天数学课上咱们讲的那个十五个变形，对吧？这是最简单的那一个啊，很多同学肯定是直接往下做垂，做完垂之后你挣不住全等，因为它没有边， 对不对？那这题啊，我们应该在这取一个 b k 等于 b e， 对 吧？一连接，那这个角就是四十五，这个是一百三十五，然后这个角也是一个一百三十五， 对不对？那边是啥呢？因为 ab 等于 bc， 用等量减，等量能减出 ak 是 等于 c e， 对 吧？还有一个角是啥呢？我们知道这个叉角加上九十等于这个大角，大角又等于十加它，所以说这个角是一个叉， 那两个角相等，再加上一个边，所以说全等，对不对？ ok， 再来看一下第七个， 这是一个比较基础的啊，叫做一线三等角。那咱再复习一下一线三等角，现在这个角是一个九十，然后有一根线穿过了这个角， 对吧？我们应该从等腰直的两个端点往这根线上也做一个，跟这个角相等，对吧？那也说过的点往这边做一个垂，过 b 点往这边做一个垂，这样的话就一定能够挣出这个三角形，跟这个三角形全等， 对不对？这个模型类似于刚才的十字架啊。好，再来看一下后两个，后两个啊，是四边形对角互补，对吧？我们知道这个角加这个角等于一百八，是不是？就是这个角加上这个角等于一个一百八， 对不对？那一会啊，要么延长这边这个找他的补角，要么是延长这边找他的补角 好，这种辅助线通常怎么找呢？你一定看到这里头有一个根号二倍的 e a， 是 不是那什么里头才会出现根号二倍的 e a 啊？等腰直，并且 e a 要当直角变，对吧？那接下来我们就去过 a 点 去做一个垂直，对吧？但是啊，这个时候你不能让他俩相等啊，因为我们还想要一对的延长线，所以说我们把这个边给他延长出来，对吧？那这样的话，是不是能构造出这个单线角，应该等于这个单线角， 对吧？然后呢，又因为俩直角叠到一起，是不是这个圈角等于这个圈角？还有一个 ab 等于 a 得，那这个三角形跟这个三角形是不全等全等完之后能证出 e a k 是 个等腰值，那么 e k 就是 等于根号二倍的 e a， 然后呢？呃，又能证出得 k 等于一个 b e， 所以 b e 加 e d 就是 根号二倍的 e a， 对吧？好，最后一问也比较简单啊，因为这块是一个直角，这也是个直角，首先你目测一下，是不是有个对顶八字，对吧？对，顶角相等，那这个角是等于它 对不对？然后我们想找根号二倍的 c e， 那 是不是还是要做一个 c e 的 一个等腰值？做不了等腰值，我们先做一个垂直 啊？先正先知道这是个直角，接下来再证明他是等腰，是不是就证明这个三角形跟这个三角形全等就行， 对吧？全等的俩角，一个是圈角等于圈角，还有两个直角叠到一起，是不是这个叉角等于这个叉角？然后还有一个 c b 等于 c d e 全等完之后，那是不是就能证出 b e 等于 d k， 还能证出 e？ c k 是 个等腰值， 那所以 c k 就是 c e 的 根号二倍。然后 c e k 呢？又是等于的 e 减去一个的 k， 那 所以的 e 减 b e 就 等于根号二倍的 c e。
1479大连百鸣数学李老师
00:28查看AI文稿AI文稿八下数学最难的平行四边形全部吃透，稳进班级前三！其实吧，八下数学平行四边形反反复复就这二十道题， 人教版八下数学必考平行四边形证明题二十道，第一题，问题答案，第二题，第三题，第四题，第五题，第九题，第十题，第十九题，第二十题，完整可分享！
22:48查看AI文稿AI文稿好，同学们，我们来看看这一套栏山卷，八年级刚刚今天刚刚考完的八年级的栏山卷， 这套试卷呢，难度说实话，表面看上去呢，比较基础，但是实际上比较的有难度的，还是比较有难度的， 要求我们对于课本，尤其是课本上的定力啊，二级定力这这一块要掌握的非常好， 对平行四边形的各个判定性质，包括面具公式都是要掌握的非常好，甚至还要求我们把那个课本的例题 啊，都是要非常熟悉的，那所以呢，有的同学呢，那如果说只注重于难题，没有注重这些细节，没有注重这些基础的话，那肯定是不是很好的，所以呢，这套试卷我觉得得高分是很不容易的啊， 那么我们来看看，为什么这道题要紧扣课本呢？我们来看看第一题，第一个，第一个的话选 dog 是 吧？对减二次根式要求里边不能有分数也不能有啊，开得进的对吧？这八里边有四，第二个呢 是二三四肯定不行的，第三个呢，这个比较有迷惑性，我觉得第三个可能会有一个扣分项，第三个呢，就考我们的什么呢？就是平行四边形和等腰梯形一组平一组对边，平行一组对边相等， 对吧？那 c 选项人 b， a， d， 本来它们俩平行就能得到这个，所以 c 选项是错误的，那我们来看 b 选项和 d 选项， o a 如果等于 o c 的 话， o a 如果等于 o c 的 话，就是这个是中点的话，那我们这个是中点的话，我们可以证明，通过三角形全等可以证出来， a d 和 bc 既平行又相等，唯独这个 d 选项， d 选项又是等腰体形，你看看了， a o 等于 d o， a o 等于 d o 的 话，只能说明上面这个是等腰三角形，那么这个等腰梯形完美符合，对吧？所以这个第三题选选 y 第四题，人家问的是斜边，也就最长边，所以呢是选 c 的 第五题，十二边形，十二边形三百六十除以十二等于三十，是吧？每一个外角的度数三十，那内角的度数就是十一百五十。第六题，那五分之根号五 考的是化简，是吧？选 boy 第七题呢？第七题，我们以前做过这个题，在平时的练习当中就做过这个题，我们要把 s 三写成 s 一 加 s 二，再加上 s 二等于五十加 s 一， 那么 s 一 s 一 没有了，所以 s 二等于多少呢？等于二十五， 而这个三角形当，而这个三角形和 s 二呢，是同底等高，是吧？多了一个二分之一，所以它应该是二分之二十五。选 c 第七题， 第八题，一看，这个题啊，考的就是学中半啊，菱形加上学中半，菱形对角线互相垂直，且且 o h 是 他的学中半，所以他如果告诉我们 d h o 等于二十度，那这个就是二十度，那这个也是二十度，是吧？那这个就是七十，这个是七十，所以 b a d 等于四十度。选 boy 第九题考的是勾股定力，那这个呢？这个比较简单，直接就送了，这个是哎， 这个是十五，对吧？每小时十六的话，这个半小时八，那这个十七，八十五，十七考的是那那几组什么五十二十三啊啊七，二十四，二十五呀，八十五十七啊九，四十四十一啊，这些非非常规性的这些这些这些搭配 好了，那么所以这个题选倒等用半个小时吗？第十题，这个是有难度的，但是有难度，我们说过了，像这种题目当中，你可以量啊， 你可以量啊，所以这个题呢，上第一个 e h 等于 ab， e h 等于 ab， 不 会怎么办？你就量啊，第一个可以量的出来的。第二个 a b h 等于 e e h， e c 也可以量啊，第三个 他第三个不好量，对不对？那我们还是正儿八经讲吧。好了，第一个我们来看第一个，第一个呢， e h 这个里边考的是学中班，你看这里边有个垂直 c e 呢，是垂直的，那么 e h h 又是中点，所以 e h e h 等于二分之一， bc 等于 b h 也等于 ab， 斜中半，第一个是正确的。第二个呢，那就考的同角的与角相等啊，那我们来看了，既然是斜中半的话， 那么角一就等于角二是吧？那它的与角，它的与角是 h e c， 所以 它俩第二个是相等的。 第三个表面看上去啊，第三个我们来看看哦，这俩这俩呢，是一个等腰三角形， 这一个呢，已经有一个角相等了，那我们现在就求这个角相等，或者说呢，在这里边 ab 呢，又等于这个，那实际上呢？而我们知道这个是四十五度，难点就来了，我们如果他全等的话，这个角是否等于四十五度， 那我们找一个和它四十五度的角，我们试一试不就行了吗？你用尺子，你用两角去量一量它是不是四十五不就可以了吗？但实际上它不是。为什么只有连接 d h 的 时候，这个蓝色的角才是四十五度，这个 c h e c h e 可不等于四十五度，那么所以它们俩是不全的， 所以 c 是 错误的。我们再来看最难的，这里边比较难的 d 啊， d 的 话，我们刚才在第二个当中，我们得到了这一个角，等于这个角，等于这个角， 对不对？那我们知道了这个角，这个角，这个角三吧，角三等于谁呢？角三等于四十五度加阿尔法，是不是角三等于四十五度加阿尔法，而哪一个呢？这一个角，这个角也是 四十五度加阿尔法，对不对？也就是角三等于角四等于这个 b， 角 b o， b， a 等于角 o， a， b 等于角三嘛，它们都等于四十五度加上角 f 啊，或者四十五度加上角 g a 什么 h， 所以呢，这个也是阿尔法， 既然是阿尔法的话，那么 a c a c 就 等于 c c f， 那 也等于 b d。 因为矩形的对角线相等，所以第四个是正确的。第十题选 c， 你 看这个选择题的话，我觉得第十题是一个扣分点，是吧？第三题的话，粗心的话可能也会出现一个，所以呢，现在来说的话，你扣了三分或者扣六分了，基础知识掌握不牢靠。第十一题，一二根号五，一减根号五，这个没毛病，这一个呢，有意义， 有意义，指示分母要求有两个，第一个分母，第二个被开方数，二次根式的被开方数，所以呢，是 x 大 于八，不要加等号了，也不要自作聪明，写上 x 不 等于零啊， x 不 等于零之类的连式分子，和它没关系啊，不要自作聪明。 第十三题，这个题呢，考的是二次根式，开出来以后带绝对值，那么这个开出来，因为我们这个是 m 减六，加上 m 减九的绝对值，六减 m 都可以，那 m 大 于六，所以这个出来是哎， m 减六，这个出来就是九减 m， 所以呢，答案是三。 第十四题，第十四题，那一般情况下，你可能会认为 a 在 这里做，然后呢？在这里，在这里，在这里画，求这两个三角形，但是我们不知道点 c 啊，咱们不知道点 c 的 坐标是在哪里， 对不对？我们也不知道，你怎么知道这个是四十五度呢？所以这个不是这样算的，而是将军一马，这个题考的是将军一马，对不对？连接了以后 a 撇对称点，因为入射角等于反射角，这个是 a 撇， 对不对？那这个是我们一给他连接三四五，所以他的路线长就是五。第十五题，考的是中点四边形，我们知道了矩形的中点四边形一定是一个菱形，因为 e g， 因为 e g 一定垂直于 a f 的， 对不对？所以呢，在这里边，那各自一半的话，考的是五十二十三，那零点五，一点二，一点三，一点三，乘以四是五点二。 第十六题，第十六题，这个这个比较综合，首先考的是将军印码啊，考的是将军印码，那么点 m 在 这上面，所以呢，我们要连接 啊，这个 m 在 这里边做一个对称，点 m n， 但是又又瞧的是他们的最小值，那什么时候最小呢？垂直的时候最小，所以呢，这这种情况最小 m 最小，又考的是等面积， 他说了周长是 m， 那 么他的边长边长呢？就是四分之 m， 乘以这个高等于面积 n， 所以 h 等于来个四 m 分 之四 n， 所以呢，不要怀疑，自己做出来就做出来了， 没有单位，并且呢，没有单位，所以这个题又是一个扣分点，所以呢，哈，现在扣分第十七题， 这十七题，哎呀，讲吧，四倍的根号三减去根号三，加上三倍的根号三，等于六倍的根号三，这个没毛病，这个直接除也行，化简完除也行。直接除的话，那你就根号十六加上根号八等于四加两倍的根号二， 这个呢，提取公因式 x 减二，当然你硬算也行。等于根号三加一，乘以根号三减一，是二，这个呢？ 啊，一点四一四，我们约等于一点四一四吗？咱都知道，所以呢， a 就 等于三加根号二减四，等于根号二减一， b 呢，等于三减根号二，三减根号二的话还是一点几。那再减一就是二减根号二， 所以呢， a 加 b， 所以 a 加 b 等于多少呢？等于根号二减一，加上 二减根号二等于一，所以呢， a 加 b 的 平方根为正负一啊，平方根有两个正负一。这，这好像七年级的题。 第十九题考的是什么呢？中位线 df 等于 f b， e 又是中点，所以呢？ ef 中位线 ef 平行等于什么？二分之一 ad， 是 吧，又，因为 ad 又等于 cf， 所以呢， ad 平行等于 cf， 所以 平行四边形，这个没问题。 第二问，第二问，这个题跟闹着玩一样，这题白送的啊，一，他说又是三，对吧？一三，而且呢，这个中位线，所以 d a 等于二， cf 等于二，对吧？二三，根号十三。 第二十题，那为什么回归课本？第二十题是课本上的，课本上列出举例子的话，举例子一个是必达格拉斯的这个图案， 一个是赵爽玄图，是吧？一个是赵爽玄图，赵爽玄图应该是长这样的。 还有一个是这个加菲尔德总统，这个总统的总统的政法呢，就是利用了等腰梯形啊，就是利用了梯，不是等腰梯形，是梯形。梯形的面积公式是什么呢？上底加下底，上底加下底是 a 加 b， 高呢，也是 a 加 b， 上底加下底乘以高除以二 等于这个，这个是由什么呢？这个等腰直角三角形二分之一 c 方加上两个 ab， 也是两个。这个阴影部分两个二分之一 ab， 等号两边同时乘以 ab， 同时乘以二分之一啊，同时乘以二， a 加 b， 括起来平方，也就是 a 方加 b 方加二， ab 等于 c 方加二 ab， 所以 a 方加 b 方等于 c 方。这个就是考你的正法啊。 第二问，第二问的话呢，考的是勾股定律的逆定律啊。勾股定律和逆定律，那么我们来看的话，那这一个是， 这个是二，这个是四，由固固定逆定律的话，两倍的根号，呃，由固定理的话，两倍根号五，这个是四，这个是六，那由逆定律的话，这个的平方是二十，他的平方是十六，加起来刚好是三十六，所以这个是垂直的， 所以这个的面积呢？这个尖形，这个，这个，这个啊，回旋标的形状，像高端导航的一样的。这个形状呀，它的面积呢？是整个的。呃， 二分之一四乘以五，整个大三角形减去底下这个小三角形啊，减去四四乘以二倍的根号五，所以呢，答案是四分之根，四倍的根号五减四。 有单位吗？有单位，所以呢，我们要给他一个括号，厘米的平方，平方厘米啊。 第二十一题，二十一题呢，只归作图，这个只归作图，做的是什么呢？做的是角平分线，考的是菱形的判定当中，我们知道菱形的性质里边有一条是对角线，对角线平平分一组对角， 但是到了判定里边，他就没有了，那没有了怎么办呢？没有了，这个我们上课时候说过了，他实际上用的是平行加平分的三等角，在这里边，既然是角平分线的话，那么角一就等于角二， 是吧？那么既然由平行角一又等于角三，也就是角一等于角二等于角三嘛，所以什么呢？ ab 等于 b e， 那 又因为 ab 和 af 相等啊，所以呢， b e 平行等于 af， 所以呢，平行四边形，那这俩又相等，又有邻边，所以菱形 一组零面相等，对不对？那第二问，第二问考的是菱形的面积公式，两种，两种表示方法。第一种呢，他说我们来看了整个的平行圆形的面积三十六 ab， 也就是这个底啊，底 比上它，因为它们的高是一样的，所以呢，因为 ab 等于三分之二 bc， 所以呢， s 菱形就等于三分之二 s 平行四边形。平行四边形等于多少呢？等于二十四，那 b f 又等于六，所以我们可以得到了二分之一乘以六，乘以 a e 嘛，等于二十四， a e 等于八，那所以呢， a o 等于三， b o 等于四，再由勾股定律可以证得这个是五，是吧？到目前为止还是送的。 第二十二题，二十二题，第一，第一个平行加平分三等角，你看，又折叠了，昨天晚上我们讲课的时候呢，我们压了压了一个折叠，但是没想到出的这么简单，对不对？我们来看的话，这一个 角一等于角，角一等于角二等于角三，是吧？那所以呢？ egf e e egf， 哦，是这个角啊，这个角呢？那就是六十六的同旁，六十六乘以二的同旁的角啊，一百三十二，应该是四十八，对不对？四十八度。 那么第二个探求 e f g 的 形状，我们在第一个已经写出来了，是吧？因为折叠由折叠角一等于角二，因为它是个矩形，所以呢？ dc 啊，平行于 ab， 所以 角一等于角三，所以角二等于角三， 对不对？不要了，这种题的解析，解析细节就是先写形状，再写理由，先写等腰三角形，对吧？再写理由。 第三问，第三问呢？这个，呃，我记得在什么时候呢？我们讲过一个，就是如果在里边画一个菱形啊，折叠的时候，我记得确实是讲过了这种，这种，我们做过这种题， 就是折叠了像这种矩形的一折叠的这个图案，当时那个题是这个图案一定是一个菱形，然后呢，让我们判断这个菱形的面积最大值 什么时候最大呢？就是这个菱形的，也就是这个折叠了以后，这个 b 撇啊， b 撇刚好与点 d 重合， 这个 b 撇刚好与点 d 重合啊，所以呢，这个是 f c 撇， b 来个括号表示重合，是吧？第三问， 那么为什么呢？我们可以这样理解，我们可以这样理解，这是一个等，这是一个等腰三角形，我们根据等腰三角形的话，那肯定是尖越细，也就说这个角越小，这个角越小， 或者说呢，这个角越大，它的底角越大，那么这个三，这个这个等腰三角形越尖，对不对？越尖的话，它边长越长，因为我们在这里边的话，折叠过来的话，这个是 x， 这个是 x， 这个是九减 x， 这个是三，对不对？ 那这种情况下， x 越长， x 这个底越长，它的高是不是就越长啊？它的它的它的它的长度就越长，所以在这里边呢，我们就可以看到了啊，因为这两个三角形，是是是，是这两个三角形相等的，我们高是一样的，所以呢是吧， 只需要这个 df， 或者说呢，这个这个点是 e 是 吧？或者 b， e 最长，那么在这里边解得三四五 啊，三四五 a， e 等于四 e， b 等于五的时候最大啊，那么这个面积的最大值你自己算，那这个就是五，这个就是三，是吧？这个也是五，因为它是一个菱形。好了，那么或者说呢，你就这样吧， 那么第二十三题，二十三题这种题呢，属于一道经典老题了，同步上或者说自主上应该都有。我们昨天晚上的话，还复习了一下，昨天晚上这个题是这样的，你看第前两位是一模一样的。 第三问呢，他这个点 e 跑到了 b 的 左侧，我们昨天晚上做的是点 e 呢，跑到了 b 的 右侧，对不对？那都是一样的。这个题呢，他考的不是三垂直，因为这个题长得乍一看着去的话，很像三垂直，难免有同学 做了这个三垂直，但是这个题不是这样的，而是截长补短。第一问，第一问的话，那肯定是 s a s 呀，是吧？那第一问的话，那那那在这里连接取中点 m， 那 取中点 m， 这个角一百三十五，这个角一百三十五，然后呢，同角的与角相等，角一等于角二，是吧？ am 等 am 等于 ec， 所以呢，这个是 a s a， 那 么易判定 a m e 全等于对应边的，一定要写好 e c f， 对 吧？那第二问，同样的第二问呢，我们怎么写呢？我们在我们在 a b 上取一点， 和刚才一样， m 使结 m 使 a m 等于 ec， a m 等于 ec。 啊，这样吧，所以呢，这个 b e 就 等于 b m， 同样的这个是一百三十五度，同样的这个是一百三十五度，同样的角一等于角二。这种类比题，第一问会做，第二问就会做，第三问就更不在话下了，对不对？那第二问就出来了，送了 啊。这个题十三分的话，能不能看最后一题，这五分怎么来的？我们来看去的话，这个点 e 跑出去了，跑出去了，点点 e， 我 们做的是 c e 等于 am， 那 么点 e 跑出去了，那么这个 am 呢？这个 c e 好 长的， 那么只有两种情况，要么 am 往上跑， am 往上跑的话，我们连接的是使什么呢？使 b e m 是 一个等幺三也行，但是如果你这样的话肯定不行，那么我们只能往哪跑呢？让他往下跑，把它擦了，这个呢，只能往下跑， 我们可以延长延长 ab 至 m 是 bm 等于 b e， 或者呢，你也可以写 am 等于 c e 都可以，那么仍然的 bm 仍然是四十五度，这个角是四十五度，那么根据这个对顶角角平分线吗？四十五度，四十五度 对不对？那么在这里边的话，四十五，四十五，那还有一个角呢？哎，同角的与角相等，这个 角一和角二都有一个共同的与角，角三，对不对？那当然了，还有 am 等于 am 等于 ec， 仍然是 a s a 全等，那全等了以后呢？他说了啊，说了以后呢？求 ef 的 长度， ab 等于三， c f 等于根号二， cf 等于根号二，那么 e m 就 等于根号二，由勾股定律，并且四十五度设，这个是 x， 这个是 x， 我 们轻易求得。 bm 等于一， b e 也等于一，而 ab 等于根号三。啊，是根号三吗？ 啊？根是三，对不对？啊？三一三，根号十，所以这个答案就是根号十。那我们总结的话，实际上呢，你们一讲了以后呢， 也比较简单，对不对？但是确实啊，确实是，是吧，那当然了，图二我们还要看了，这里边还漏了一个，我还漏了一个，也就是这里边了，也就是这一个，在延长线上的时候也不变啊，变不变，他没让我们， 没让我们成立之后成立，对不对？那所以呢，肯定是成立的，为什么呢？因为这个题是这样的，你看跑这来了，对不对？ 那所以呢，那这个题呢？那可能是啊，延长 c e， 跑到这里边， c e 那， 哎，在这里往上延长， 是吧？变成这样了，这个是 m， 所以 这个题呢，实际上它中间它应该给我们一副，应该给我们一副备用图的啊， 你看，你看，这套试卷是不是特别紧靠课本？不管是不管是不管，是各种定律的运用， 包括画图，我们昨天晚上，嗯，我还想着是折叠，找了几个折叠的，是吧？找了几个折叠的，结果也没有考的折叠，是吧？这种黄金的，还有一些这种画图的，这次结果没考，这种画图的这种格点画图没考。那 好了，教师，这总来说呢，你对对答案，以后你看自己得多少分啊？好了。
297积佳数学韩cc
12:09查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学，今天我们继续来吐槽近深学八下期中考试的二十三题啊 啊，那么吐槽归吐槽，这个题目的话呢，本身我觉得还是非常有难度，非常有意义的啊，这个老师看到好题就忍不住的流下了兴奋的口水啊， 我们一起来看一下这道小题到底该怎么做。确实，对于八年级的同学来说，出这样的题目呢，哎呦，你有点过分了啊，是不最近进升学这个出的名校联考的初三题受到了影响呀， 哎，这题搞的确实是很有难度啊，但是你如果说实在是不会吗？也不是咱们八下的宝贝呢，已经学到了平移对称和旋转，学到了几何变换，那么大家要有前瞻意识，像这样的题目确实是大家将来会面对的动态分析的问题，我们一起来感受一下。首先， 这个，呃，老师要吐槽一下，这个这个这个这个元起，什么意思？我读到这个题的时候呢，有点蒙了啊，呃，怎么还给我整上意境了？元起， 我在人群中看到你啊，缘散缘落，我看你在人群中，什什么玩意啊，好忽略。我们直接来看题目， 把两块三角板啊，这么放到一起读读题啊，已知等腰。直角三角形 a、 b、 c、 l 是 过顶点的一条直线，两条直线平行。然后又说 一个关键的点，点 d 是 直线 l 上的一个动点，它是直线 l 上的动点，这情况就有点太多了，连接 b、 d， 以 d 为顶点做一个直角三角形，那么 d、 e、 b、 e 分 别交直线 a、 c， 注意啊，也是交直线 a、 c 于点 p 和点 g， 呃，那么其中 a、 b 等于五角， b， e， d 等于三十这个题目的话呢，大家就得注意了啊， 他说的是什么呢？ d e 和 b e， 他 说的是这两条边交直线 a， c 于 p g 两点， 告诉我们 ab 的 长度是等于五的，还告诉一个定角，这角 b、 e、 d 永远是个三十度，相当于。告诉我们什么呢？这个三角形 b、 d、 e 多大我不知道，但它永远是一个三十度，六十度、九十度的三角形。 紧记着，第一小题非常简单啊，重合的时候让我们证明 d b 等于 d p， 哎，这就非常简单了，重合的时候，你看啊，这是垂直的啊，又平行同旁内角互补。哎，我们说，哎，题上是不是也说了过点 d 啊，以点 d 为直角顶点 啊，那这个时候的话呢，如果 b、 d 垂直于 l 的 话呢，首先有个直角，其次呢，内错角相等，这个角是个四十五度，那这个角也是四十五度，非常好推啊。一个等腰三角形 d p 就 等于 d p 了，这没啥好说的，送分题第二小题说， 如果分析了什么 d 点在 b 点右侧的，但在 a 点左边呀，这种情形，让我们继续猜想 d b 和 d p 之间的数量关系。 当然，我们依旧是猜想这两条线段长度是相等的，可是该怎么证明呢？大家这个就得注意了，其实有的同学可能看不太出来，但是这个地方其实有个 b 型显招。如果我猜想 d、 b 是 等于 dp 的， 同学们就会出现一个情况，你发现 d、 b、 dp 这两条线段呢，他就会围成一个等腰直角三角形的感觉，哎，同学们，那这个时候你还会发现 d 点还有一条线叫做 d a， 那么这就让我们不禁想起了手拉手的构造，那我能不能围绕着点地，我再做一条垂线？同学们，老师这样来做 垂线，我把这个点特意记为 a 撇点，大家应该就明白老师的意思了，此时此刻，你就有了 d a 等于 d a 撇 d p 等于 d b 的 感觉。注意啊，同学们是有这样的感觉，似乎就有了手拉手全的那味就来了。那我们当然了，冷静下来，看一下咱们这样去构造到底能不能实现我心中的目标能不能正出来。 那我们首先来看一下，当你过点 d 做一条这样垂线的时候，其实我们还是很轻松的，能够证明 d a 是 等于 d a 撇的，因为这是个等腰直角三角形。其次， 那我们再来看啊，呃，还有什么呢？这个角度是一个一百三十五度，这个角也是个一百三十五度，一组角相等。再其次，这个角和这个角也相等，都等于九十度角，减去这个公共角， a 撇 d p， 所以 同学们，没问题啊， 虽然不是手拉手的边角边的证明方式，但是老师说了，它形似手拉手，我们构造出来这样一个图形，那么是由角边角推出来两个三角形，全等三角形， d a p 全等于三角形， d a 撇 b， 你 自然也就得到了 dp 等于 db 的 说法。好，前五分钟的时间给大家把这些小题梳理完，我们直接来看最后一问。 那最后一问在这里呢？同学们，很多同学说，老师有三个答案，但是我个人感觉啊，近身学的答案是不是错了呢？应该是有四个答案在里头的啊，我们首先来分析第一种情况 啊，其实这个题我觉得处理有点太难了，你又有点的变化，又有等腰三角形的分类讨论，那么在这个题当中，老师就只说可能的情况啊，看图二，我们会发现角 e 是 固定的三十度，那如果说 p g 等于 eg 的 话呢？这个也是三十度， 好，我们能怎么推呢？同学们，这个角就是一个六十度，这是九十度，这是三十度。你要求的 b g 就 应该是 ab， 长度是五，但是它占到了根号三份， 所以有一个答案就是 a g 的 长度等于三分之五倍根号三，那么 b g 的 长度就是三分之十倍根号三。正常来说啊，这个答案是你最应该能求出来的一个答案好， 当然很多同学其实坐到这里心态就炸了啊，这个题根本就别说求了啊，来三分之十倍，告诉大家这第一个答案，那么第二个答案，我们就得在备用图当中去疯狂画图了。第二个答案，他是不是可以长这个样子呢？我们假设 d 点出现在 b 点的左边，出现在这个位置。好， 如果你将 b d 连起来，胆子要大啊，大胆的去画一个三十度，六十度、九十度的这样一个三角形，我们大概给它画出来，把这记为点 e。 此时此刻，你看题上怎么说的， d e 和 b e， 同学们注意感受啊， d e 和 b e 交直线 a c 来把 a c 进行一个延长，怎么说呢， d e 是 交于点 p 的， 而而这个 b e 呢，是交于点 g 的， 大概长这个样子。那此时此刻你还说还可以吧？同学们，这个图有点像什么呢？有点像 e p 等于 eg 的 时候，那这个角是三十度的话呢？我们来推一下，哎，这下面每个角都是七十五度，你看这也是个七十五度， 再往后推一推，七十五度算特殊角吗？算，这是个四十五度，那这个角就是一个六十度，所以把七十五度做垂线给它分开。同志们，你知道 bc 的 长度是一个五倍根号二， 你要求的是 b g， 我 把它设为 x， 它就是根号三 x， 这也是根号三 x， 而 b g 的 长度就是二 x。 所以 这里头有个比较难算的东西啊，就是 x 就 等于五倍根号二除以一加根号三。这么多份，同志们啊，这么多份，好，那 x 稍微整理一下，分词分母同时乘上一个根号二减一，其实就变成了啊，这个二分之 根乘以根号二减一啊，这个什么乘以根号三减一啊，就变成了五倍根号六减五倍根号二。那么我要求的 b g 等于二 x 也就等于五倍根号六减五倍根号二了，是有这样一个答案的， 好，那么紧接着呢，我们再来分析下面一种情况啊，他说，老师不是还有个情况的吗？还有个答案的吗？是十。哎，不着急啊，其实情况还有，还有，不止这个十，这个十大概是怎么出现的？同学们，就是我们继续把地点，比如说往左移 啊，假如说移到这边好，这个图呢？它甚至变成这个样子啊，大家注意来看一下，变成这个样子，好，那这个时候啊，同学们说，不如就让这条线呢竖起来 好，你看一下，那有没有可能实现这种情况呢，这是 e， 这是 p， 这是 g， 让这个角和这个角相等，是三十度，那这也变成三十度了，这是直角，这就是个六十度啊，那这种情况下呢？这是五， b g 的 长度是他的。 哎，等我看一下啊，这是五，呃，我看这对不对啊，这是三十度啊，这是个一百二十度 啊。我们看一下， b g 在 哪里哦， b g 在 这里，那这个地方呢？老师来推导推导啊。这三十度，这个地方是六十度的话，那么这是五，这不就是十了吗？对吧？这图有点丑了啊，这大家可以修正一下。 好，这是第三个答案。那么接着老师要提出一个问题来了，我是哪里有错误吗？因为我发现了一个新的答案。同学们，我发现一个新的答案，这个题还能怎么做？大家一定要注意啊， 我可以把地点，因为还没有一个图是这样的题目的，我把地点放到他的右边， 比如说在这样一个位置，同学们假设地点在这里，然后再做出一个三十度、六十度、九十度的一个三角形来啊，同学们注意好， 这个图可能就有点太长了，大家注意感受一下啊。来，我把 b e 连起来。好，这个图按它的说法呢，再延长 a c， 再延长 a c， 同学们注意看啊，不着急，这个图缩小一点，再延长 a c。 好，首先我们说这个 a c 直线和 d e 的 交点，我记得是记为了点 p， 然后 b e 和 a c 的 交点 啊，那正常来说的话呢，是有这样一个图啊，同学们，是这样一个图啊， b e 和有有有同学这么说的吗？ b e 和 a c 的 延长线交于这样一个点 啊，但是大家得注意啊，同学，这个情况你说要不要把它算在里面呢？其实是不需要的啊，这种情况是不需要把它算到里头的，因为按照题上的说法，它的要求是什么？是边？我，我看它的意思啊，应该是边 b、 e 和这条边和 a、 c 这条直线有交点，那么你会发现，如果是这个图的话呢，就变成了 b、 e 这条线和 a、 c 这条线有交点了。其实很多同学算出来一个答案，说，老师，如果这个角是三十度，这是十五度，这是十五度，我似乎还能根据 啊，还能根据这十五度角的特殊条件算出来一个我们十五度角吗？是一比根号六，减根号二，比上一个根号六加 根号二，似乎能算出一个答案，好像是五倍根号六加上五倍根号二，但你要明白这个答案为什么不行？同学们，它不是这个记点，不是边和直线 a、 c 的 交点，所以大家明白了吗？那其实这个答案 还是没有错的啊，确实是有三个，但是该吐槽还是得吐槽，你这个题出的是不是有点太难了？
07:44查看AI文稿AI文稿嗯，好，我们看一下这个题啊，二四年，二五年的，去年的钱塘，钱塘区的八项期末第二十四题，最后一道题，这是正方形，又跟三角形全等呀，跟特殊三角形三边关系啊，结合的还有平行四边形的，判定 它正方形 a， b， c 倒，然后延长出去，使 c f 等于一个 b e。 第一，呃，还有垂直，那是过点 f 做的垂直，这记得这九十度啊。第三问，要用的 第一问，让我们证明这个 a、 e、 f 倒数平行四边形，好证明吧，用什么判定啊？ 这边等于这边的，对不对？这段等于这段，所以这段等于这段吧，用的什么 a 倒跟 e、 f 平行且相等， 对不对？第一问，平行形，等一下，第二问，是根号二，为什么呢？我们看这个题啊，它 b、 g 的 长度等于一个根号三加一， g 倒等于根号三减一， 那么所以我们的 b 倒不就能算出来吗？是不是它俩相加就得根号三啊？能理解吧，现在让我们求的是谁啊？求的是 c、 f 的 长度，那怎么求呢？我们想现在这个长度有了，能求出来谁， b 倒有了能求出来谁，是不是能求出来 b c 跟倒 c 啊？是不是 b、 c 等于根号二分之 b 倒啊，正方形一比一比根号二，能不能理解啊？我把这个边除以根号二就行了，也就根号二除以根号三等于多少？根号三除以根号二， 得二分之根号六吧。这是二分之根号六啊，没问题吧？那现在 c、 f 怎么求呢？ 我们这个题可以把 b、 f 求出来的，知道吗？为什么？这角是不是也是四十五度啊？ 那你看下面是不是又是个等腰直角三角形，所以 b f 等于根号二倍的 b g 的， 知道吧？对不对？然后 b c 算出来是根号六。哦哦哦，我上面算错了啊， b 到等于二倍高三，它俩相加，我这个地方写错了，二倍高三，是吧？那这个应该等于个这二倍高三，我算错，对不起啊，所以这边等于根号六，是吧，方法是没问题的啊。那下面这个边是不是等于它的根号二倍啊？ 所以 b f 应该等于根号二倍的 b g 等于多少？ 根号二乘一个根号三加一，等于一个根号六加根号二，对不对？然后再怎么办，是不是作差就行了呀？这是根号六加根号二，拿这个减去它就行了，对吧？这个是根号六啊， 对吧？这个答案就是它减去它 c f 等于根号二啊，这第二个 好，我们直接看第三问啊，讲完大家再听着。第三，当点 e 在 任意位置运动时，让我们求 eg 这条边和 a e 这条边的比值，大家猜一下它俩是几比几的， 看一下几比几，一比杠二，呵呵，好不容易想，是吧，这个猜不容易猜，那这个题怎么做的？看好了，我们直接求这个边，跟这个边肯定不好比的，如果在三角形中，就三角形中就行了呀， 已经有两两个边了，我们能不能连接一下 ag 啊？你看连 ag 是 不是像一个，像不像一个等腰直角三角形啊？如果等腰直角三角形，是不是就一比一比杠二了？就扯了，所以我们目标是去证明这个，看它能不能等于九十度，知道吗？ 怎么证明呢？你看啊， ag 我 连了一下子，我再连一下 cg， 为什么呢？ 如果连了 c g 的 话， a g 它俩是会相等的，这边等于这个边吗？这公边这个角等于这个角等于四十五度，是不是相等的， 能理解吧？ a g 等于 c g 啊，这是用全等来证明的，我不证明了，刚才已经说过了，这个它跟这个它全等的，对不对？那然后我们再看啊，刚才是不是说过 c f 等于 b、 e 的 呀？ 下面这两个边相等，我们是不是很容易发现这两个三角形是全等的， 能理解不？可以证明啊？我简写过程了， g b， e 是 全等于三角形 g f c 的， 明白吧？这四十五度，这四十五度，这边等于这个边，角够了，边够了，边角边就行了。边角边写一下吧， s a， s 写完之后能得到什么呢？看好了啊，我就标了啊，角一等于角二， 能不能理解？而且还有什么同学们刚才说了，这个角是不是等于这个角的 角？ a g b 等于角 b g， c， 你 们能不能看出来 这个角等于这个角还是绿色角，能不能看出来？刚才还是这个三角形？全等吧，这两个是一样的，这两个是一样的，知道吧？ 一样的都是谁全等啊？我给你们写一写吧，是三角形 a， b， g 全等于三角形， c， b， g 得到了，知道吧？ s a s s a s， 得到了啊，这角等于这个角，你说为什么？因为我要证明这是九十度的呀。那现在看下，绿色加紫色是不是等于九十度的？ 左边这个绿色加紫色是不是等于九十度了？是不是又出来了？这等于九十度了呀，而且这个边还等于这个边呢，等于这个边呢，对不对？ 所以可以推导出啊。可推导出角 a g b 加角 e 等于九十度，知道吗？ 在 a g 等于 g c， g c 又等于个 g e 的 嘛？这边等于这个边吧。所以三角形 a g e 是 等腰直角三角形，知道吗？ 所以呢？所以 g e 比成一个 a e 是 不是就等于一比根号二，等于二分之根号二啊，听懂了吧？我是简写的过程啊。这是一个正方形的压轴综合题目。好，大家更一下。
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07:22查看AI文稿AI文稿雄赳赳气昂昂，数学难题正面刚！哈喽，各位同学哇，好久没有更新咱们的每日一题了，那今天我们就来看一下给大家布置作业里面的啊， 三十七中的，哎，正常来说应该是去年五月份月考的一道题目，那这个题目的话呢，老师可以给大家说一说啊，很明显 这个题是经过改编的啊，为啥呢？最起码你从这里可以看出漏洞来。小虎和小倩 分享了自己的发现，哎，但是呢，你发现哈，同学们，我也有发现对吧，这个只有小虎同学的问题啊，等着被我们解决，你会发现，哎，我，我小千呢，小千的问题去哪呢？哎，同学们，为什么呢？因为这个题啊，是 模拟哎，他是改编，他改编了一下初三年级的某一道题目，哎，哪一道题呢？这个瞒不过老师啊，因为大熊老师做过好多遍了，哎，这可不是老王卖瓜自卖自夸， 这是二一年的那个时候，二十二题是几何压轴啊，大家可以去找一找二一年的中考数学题啊，就山西的，你去搜一搜，绝对是啊，就这道题， 这个图四原不原样出现了啊，当然你说，呃，可能跟这个小虎和小倩啊，这个名字可能是没有的啊，但是一定是这样一个完整的图也是两个问题啊，他这里做了一些省略，好了，扯了一分钟的闲篇，我们来看一下这道题究竟该怎么做。 先说啊，整体的大思路是折叠，也就是我们常说的几何变换当中的对称。那在这里呢，首先你把第一小题读完之后啊，同学们前面的操作，你读完他这么说的， 首先沿着 a p 折过去，哎， b 和 q 重合，那我们心里就得明白这一步，三角形 a、 b、 p 全等于三角形 a、 q、 p。 好。紧接着又做了两次折叠，分别沿这个什么呢？ a， q 啊和 p q 进行了折叠。那你看，如此一折， d 点和 r 点，哎，这就重合了。那么就有第二个圈的三角形 a、 d、 q 全等于三角形 a、 r、 q。 当然还有第三组，全等三角形 c， p、 q 全等于三角形 r、 p q。 大家要像老师一样，这才叫读题。同学把它分析清楚。那么第一小题其实问的很友好， p、 a、 q 的 度数是多少？首先它肯定是个特殊角 啊，不是特殊角，怎么可怎么可能考你呢，对不对？那 p、 a、 q 在 哪？先找到 p a、 q、 o 这个角的度数呀？我们把它设为 x， 由于折叠角， p， a、 b 也是 x， 哎，由于折叠角 d， a、 q 也是 x， 而这个角度是九十度， 平均分成三份，每一份就是三十度。好，紧接着呢，让我们来到第二小题，第二小题如图所示。来，同学们，这个题为什么老师特别想给大家讲一讲呢？因为这里面用到了一个很容易被同学们忽略的一个知识点。 当然有的宝贝也说了，说，老师，老师，这道题是平行四边形，我们还没学呢，其实也能做， 大家注意，你学了平行四边形，就知道，它在难题当中顶多就是一个舞台背景板，你注意，它就是当背景板用的。同志们，哎，不是说这个你没学过，我们小学就见识到什么是平行四边形了，对边平行且相等，有这一个够了。 接着他说，沿着 b、 f 来提到一个特殊点， f 是 c d 的 中点，这么一折， 那同学们想一想，这一折可就折出了不少的等量关系。首先，由于 f 是 中点， d f 肯定等于 c f， 其次，你这又折了一下，所以它就等于 c 撇 f。 当当当当当，有共顶点 f 的 三条线段相等， 那注意，同学们请看啊！把题读完，说连接 d c 撇，延长产生了点记，让我们证明 a g 和 b g 是 相等的，对吧？他让你判断是否正确，那我虎哥的结论肯定是没毛病啊！ 至于为什么如何证明 a g 等于 b g， 也就是既是 ab 的 中点。我们再来看这个题，老师把它放大，最关键的一步在于，你得敢把 c c 撇连起来， 此一连，可谓一箭双雕。老师，老师怎么又开始整上这个文言文了，哎，为什么叫一箭双雕呢？同志们注意看啊！首先， cc 撇，这叫什么？这叫对应点连线。大家一定要注意这么一句话，折叠前后对应点连线被对称轴垂直平分，这是可以直接拿来用的结论，也就是在这里呢， cc 撇， 它的中垂线就是我这里的折痕， b f 就是 b， f 是 垂直平分 c c 撇的。我们可以把这个交点记作点 h， 这个地方又垂直，并且 c 撇 h 等于 c h 啊，这就是折叠就对称的逻辑嘛，同学，不难，这第一个点， 第二个点，大家就还得注意啊，这个三相等到底有什么用？同学们注意看！那么 c c 撇 f 是 一个等腰三角形，它的两个底角。我的妈呀，这笔就有点粗了啊， 两个底角，我给它记为阿尔法，这没毛病吧？那么与此同时， c 撇 f d 也是个等腰三角形，它的两个底角我记成 b 它。 那这样一来，两个阿尔法加两个贝塔，正好是内角和一百八十度。记住了，同学们这个初三也会考，所以一个阿尔法加上一个贝塔就等于九十度。谁是九十度？这个角可注意了啊，角 d c 片 c， 它是九十度， 这也有九十度，这也有九十度。哎，你可以说是内错角，内错角相等，两直线平行，这 d g 可就平行于 f b 了。 好，再配合上同学们，再配合上，这 d f 自然是平行于 b g 的， 两组对边分别平行，我们就能推出来这个四边形呀。 d g b f， 它是一个平行四边形。这个其实我们将来就会学到啊，平行四边形的判定 好，那证明完了以后，同志们，这 d f 就 等于 b g， 而我们知道 d f 是 等于 c d 长度的一半，那就证明 b g 也就等于 ab 长度的 一半了。因为 c d 和 ab 嘛，对边相等啊，也是相等的。所以呢，由于 b g 等于二分之一 ab， 所以 g 点就是 ab 的 中点。那么 a g 等于 b g 这个题目就搞定了，你听懂了吗？
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06:03查看AI文稿AI文稿我们讲一道八年级下七十六中期中考试最后一道压轴题，四边形 a、 b、 c、 d 是 正方形， e、 f 分 别在边 a、 d 和 c， d 上， e、 f， a、 f 与 b e 交于点， g， d， e 等于 c、 f 两条蓝色的边相等。求证垂直。那同学们读完题就知道这是正方形中的十字架问题，那当然就是正十字架所在的两个三角形全等啦。那我们用等量减等量，能得到 a、 e 等于 d、 f， 这里 a、 e 等于 d、 f， 然后两边夹一角，两三个人就全等了。全等之后，角一就会得角二。 嗯，那角二加这个角三等于九十度，那一加三当然也得九十度啦，所以这就垂直啦。所以第一问非常简单，圈二 g、 h 分 别是 b、 e 和 a、 f 的 中点，中点，那我们能想到什么呢？当然想到中位线了，对吗？ 而且告诉它的长度是一，让你求 d、 e 的 长，其实求 d、 e 就是 求 f、 c 吧，一样的长度啊， 那它怎么能是中位线呢？ h 已经是中点了，我让 g 也成为中点，所以你要想到也是常见辅助线哈，连接 a、 g 并延长交于点。假设 n， 那 么你自然会想到它是中位线。连接谁呀？对， n、 f， 那 n、 f 的 长是多少呢？ 对，是二啊，根据重围线。那想求 f、 c， 是 不是只要猜这是个等腰直角象形就行了？那它怎么等腰直的呢？上一问，有 d、 f 和 a 一 长相等， 那我只要证 d、 f 和 b、 n 长相等，用等量一减等量，它们俩就相等了。好，怎么证它和它相等呢？那你很自然地就想到证这个是一个八字全等的三角形， 是不迎刃而解呀。最后这个答案就应该是二，除以根号二，所以答案是根号二，括号二。矩形 a b c d 中点 e 在 边 b c 上， c， e 等于 a b o， c， e 等于 ab， 其中还告诉一个角的关系，角 c f， e 加上角 b a e， 那 我就设角 b a， e 为 r 法，那角 c， f、 e 就 应该是九十度减二 r 法， c， e 等于两个 b e， 那 我就可以设 c， e 是 二 a， b 是 一个 a， 那 ab 和它相等，也是两个 a， 它要求 c e 和 d h 的 关系，那我只要把 d h 用含 a 的 式子表示出来就行了，对吗？好，那它是多少呢？我设为 x。 同学们啊，你看它给的这些角的关系，你要想到干什么呀？对呀，倒角啊， 倒角，倒着倒着能出什么造型啊？猜一猜，当然是等腰三角形了，对了，所以我们来找这个等腰，你看，九十减二 r 法，那这个就是二 r 法，这个就是九十减 r 法。 哇，那你就发现了，这个角根据绝配角，它也是九十加二法，那内错上去，这个也是九十加二法，所以这个三角形是一个等腰三角形了吧？说明这两条线段长相等啊。 那这两条线段长就都应该表示成三 a 减 x， 同样，这个也是三 a 减 x。 接下来，根据我们初二的经验，我们需要一个方程，而这个方程初二你只能用什么勾股定律啊？那你就得找一个直角三角形，对不对？对，所以你很自然地想到过 h 做垂呀，这是 m。 好， 那么在这个三角形中，是不是三边都能表示啦？这个是三 a 减 x， 这个是什么？对，这个是三 a 减 x， 这是 a 呀，所以剩的这段长就是二 a 减 x 了吧？ 二 a 减 x， 嗯，而这个高度是二 a。 好 了，在这个三角形里，利用勾股定比列方程，最后呢，解出 x 等于二分之一 a， 所以 这道题它俩就是四倍的关系。很简单，其实只需两步， 倒了一个等腰三角形，然后找一个直角三角形，里面勾股定比列方程，找到 a 和 s 之间的关系就 ok 了吧。最后一问， af 垂直于 a e， 那仍然这是一个等腰三角形，再加上一个垂直，那你想到了什么？斜边中线，对吧？那这个三角形就也是一个等腰三角形，所以它的两个腰长相等，那么你就得到了这个 h 是 个什么点？中点。所以第一步，你用直角三角形斜边中线图导出了一个中点， 接下来上面的辅助线仍然好用，所以我辅助线取的是 e c 的 中点叫 m， 然后连接 h m， 那 中位线和它平行，那你垂直，我也垂直了，所以垂直的条件不就来了吗？好，这垂直， 我想求 b e 和 c e 的 比值，而 c e 是 二 a， 所以 我只需要求这条红色的线段 b e 就 行了。那 b e 怎么办呢？还是老方法，仍然使用勾股定律？对了，看，这个是二 a， 根据刚才我取的终点，这个是 a， 你 能找到什么？对，这个是根号五 a， 那 这个也是根号五 a 啊，这个购物定律可太简单了是不是？那这是根号五 a 一 减，这就出来了，所以这就是根号五 a 减一个 a 呀， 那最后的答案你是不都猜到啦？是二分之根号五减一个 a 呀？那最后的答案你是不是都猜到了？是二分之根号五减一个 a 呀？那最后的答案其实就两步， 第一步通过直角三角形加上一个等腰，你应该想到斜边中线，发现这是终点。嗯，第二步 你想到了已知终点。你要想到什么中位线呢？但是不能做中位线，我去做个中点，然后一个小小的勾股定律，两步解决。最后一道压轴题也很简单。关注我，全网唯一贯通小学初中数学的女老师。
102王东妮数学极简思维
