半分钟教会你如何绘制相切圆。首先快捷键 c i 空格键确定画圆二级菜单 t 确定, 根据命令提示选择第一根切线,第二根切线指定相切圆半径两百,空格键确定即可生成一个两百的相切圆。然后相同的命令 可以在两个圆之间以及弧线与直线之间生成相切圆。
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大家好,我是机械劳哥, cad 中绘制一条与圆相切并且带角度的直线,应该如何绘制呢?今天我总结了三种方法, 接下来我就分享给大家。第一种,直接输入直线命令 l, 指定第一点,选择圆的圆心,输入直线的长度六十, 按 type 键,输入直线的角度四十度,然后输入偏移命令 o 偏移距离二十五, 选择这条直线向下偏移二十五,删除辅助直线,那么这条直线我们就会制完成了。第二种方法,输入直线命令 l, 选择这个圆下面的下线点水平向右输入六十,确定框,选直线和圆, o, r 旋转指定基点 为圆的圆心,旋转角度四十度,那么也可以达到这样的效果。第三种方法, 输入直线命令 l, 按住键盘 shift 键加鼠标右键,选择七点,在圆上任意点击一点命令行提示,指定下一点,我们输入 at 六十, 小于四十度回车确定。那么这条直线我们也会制出来了。这三种方法你学会了吗?点赞收藏加关注,每天分享 cad 技巧!

cad 每日一练,今天来画这个图,这个图的难点在于这条三十五长的切线该怎么画?之前的课程说过用直线从圆心连接切点, 那么它的角度呢?是九十度,标注一下 这个图,这两个圆没有尺寸,怎么画呢?首先我们先绘制直径四十的圆,然后再用直线从象限点上去三十五, 再过来做一条水平线, c 空格,选择三点画圆。第一点,输入 t, a, n 空格,相切这个圆。第二点 t, a, n 相切这条线。 第三点呢,输入 p e, r 空格,垂直这条线,这个圆就出来了。然后我们再做这个四十七的圆弧, 输入圆角指令, f 空格, r 空格半径四十七,直接进行圆角。然后我们看一下这个四十七的圆心跟这个四十的圆心呢,是垂直的,这个我们可以通过旋转 输入 r o 空格,选择对象,空格指定基点,然后选择参照,参照这个四十圆心和这个七十五圆心 垂直,点击确定,最后 m i 镜像选择对象 到右边来。这个图呢,我们就绘出来了,你学会了吗?

我们来看一下这个图形是怎么做出来呢?我们首先知道的具体条件就是这个正方形它的边长为一百,对不对?好了,那么我们啊,先用 p o l 可以 输入一个四边形,然后点击边输入一个点,然后答上一百,先把这个四边形啊先给它做出来, 做出来之后呢啊,我们再来看里边,里边那两个圆,我们并不知道它的具体的直径或者是半径是多少,但是我们知道呢,它的其中这个小的是大的,这个两倍这么大对不对?一个是 x, 一个是二 x 啊,它们是两倍的关系,那么呢 两倍旁边又有一个两条线,这两条线呢是这个鱼儿的切线啊,切线,那么我们这个怎么做呢?最后啊,他不知道的话,我们就只能先画出来,然后再缩放啊,那么我们先用相切,相切,相切这两个呢,随便切一个,我就给 半径为十吧。好,半径为十,先随便切出来一个,我们最后缩放,哎,一起去做好切出来这个呢,那比它正好小一半的这个圆怎么画出来呢啊?我们需要用到两点圆,快捷键 c, 然后点击二 p。 哦哦,我先画一个这个斜线啊,作为辅助,然后呢没有这个斜线很难画啊。 c 二 p, 然后呢,我们用这个点,然后向上去连接,输入直径也是十, 输入直径为十。好,因为呢,我刚刚给的那个啊,大圆半径为十,小圆直径为十,然后呢就是相当于一个半径为十,一个半径为五,对吧,这样的话它俩就刚好是两倍的关系啊,那么这条这条切线呢啊,我就用构造弦来做了,快捷键呢是叉 l, 好 快捷键,叉 l, 右键按住 shift shift 呢,然后我们点击右键切点, 在小圆上切一下,再次点击右键切点,在大圆的切点上也切一下。好了,这样就可以了,那么另一边怎么做呢?我们把这条这个构造线选中,我们直接用镜像就可以, m i 镜像工具,以两个圆的这个圆心为这个参考线啊,然后向 另一边呢也切出来一条线出来。好了,这样就可以了,切完之后呢,我们就用 t r 修剪,把多余的线全部都修剪掉。 好,那这个斜线不要剪掉啊,这个斜线线不剪,把多余的都给删除啊,勾到线都给删除,斜线线不要删。好了,那么我们接下来呢就简单了,只要把这些全部选中,用 s c 缩放即可。好,以这个右下角端点为缩放点,然后选中 参考上面这个形状,给他拖到这个左上角的这个顶点上面去。好了,这个图形呢就画完了。好,再把中间的线删除好。

不会对象捕捉,看这里,这里有三个图,我们来练习一下, 普通的方法是在这里设置对象捕捉,一会开一会关,很麻烦,我们用 ct 二加右键来试一下。 第一个,在矩形中间画圆,输入 c 空格,按住 c 二后点,鼠标右键,选择两点之间的中点,点击两个点,输入 d 空格, 输入二零空格就画好了。同样的我们来画第二个切线,输入 l 空格,点击一个端点,按住 c、 t 二后点,鼠标右键,选择切点,点击原上的切点,重复上面的步骤,画出下面的切线。 来看第三个图, 点击对齐标注,点击直线上的一个端点,按住 c、 t 二后点,鼠标右键,选择焦点后,再点击两条直线就画好了,你学会了吗?

hello, hello, 大家好,今天我们学习任务是在三分钟内秒杀中考必考的圆,综合大题中的第一小问,圆的切线问及, 那今天呢,我们将以圆周角作为一个切入点,向大家展开如何去藐视它 好,首先我们来介绍一下什么叫做圆周角,圆周角指的是顶点在我们的圆上,并且两边跟圆相交的一个角。那么在图中呢,我们的角 b、 a、 c, 它就属于一个圆周角。 那么圆周角呢?它有四大天王啊,四个性质分别是同弧所对的圆周角相等,它指的是对于同一个弧。 bc 啊,我们在我们的圆上 随便截取一点一,那么我们的角 b、 a、 c 和角 b、 e、 c 是 相等的,但是这边有个现成条件,必须要是同一个弧, 同一个弧好。第二个性质呢,是同弧所对的圆心角,是圆周角的两倍。那么什么叫做圆心角? 顶点在圆心上,并且两边和圆相交的这个角就叫做圆心角。那么在我们的途中呢,我们可以发现,角 boc 是 弧 bc 所对的圆心角,角 bac 是 弧 bc 所对的圆周角,那么我们就可以得到一个结论,就是角 boc 等于我们的两倍,角 bac 好。第三个是直径所对的圆周角为九十度,那么我们可以看这张图,在这张图里面, ab 是 一个直径,它所对的圆周角就是我们的角 a、 c、 b, 它是一个直角 好。最后一个是圆的内接四边形,对角互补。那有同学可能问了,什么叫做内接四边形?内接四边形指的是四个顶点都在圆上的四边形。 那在图中呢,我们的角 a、 b、 d、 c 就是 一个圆的内接四边形, 它们所对的两个角,比如说角 a 和角 d, 它们就属于一组对角,它们之间有一个关系,就是它们是互补的。 那么有同学说呢,这个东西呢,比较难去记忆,它可是整整有我们的四个性质,那么我们怎么样快速去记忆它呢?我有一个小口诀啊, 相等两倍九十一百八,怎么去记忆? 第一个同弧所对的圆周角,相等第二个,同弧所对的圆心角是圆周角的两倍,是不是一个一比二的关系,对不对? 紧接着直径所对的圆周角是九十度九十 圆的内接四边形,对角是互补补角,是不是一百八,对不对也是一个一比二的关系。也就是说,你只要记得相等两倍九十一百八,记得两个一比二,是不是能立刻把圆周角的四个性质一下子给 打捞完毕?那么 in, 我 们在考试的时候,就可以先在我们做的圆的这个题目上,把我们的这四个性质先写上去,然后我们看题目中可能会用到哪一个性质, ok, 好, 那么在做圆的题目时候呢,我们还要额外掌握一些题目讯息, 比如说,如果题目中出现了角平分线加平行,我们要知道它会产生一个等腰三角线,如果反过来,题目里面出现了角平分线加上等腰,我们该知道题目中会出一个平行。 好,那具体落实到我们的圆的七项问题的时候呢,我们又会分为两类,第一类呢是题目中已经有了切点,那么我们直接无脑的连切点正直角就可以了,这类呢是圆的七项问题中最频繁的考法。 第二种呢,是题目中并没有给确切的切点,那我们就需要我们主动去做一个垂直,证明我们做的这个垂直和半径是相等的。 好,我们来实操一下。如图,在三角形 abc 的 边 bc 上取一点 o, 以 o 为圆心, o c 为半径,画一个圆圆 o 与边 a b 相切于点 d, 读到这里的时候,读到相切于点 d 的 时候,我们就应该怎么样啊?对,我们就该连接 o dog, a c 是 等于 a dog 的 连接 o a 交圆 o 于点 e 连接 c e 并延长交线段 ab 于点 f。 好,题目,让我们证什么?让我们证 a c 是 圆 o 的 切线?那这里面呢,已经帮我们标明了这个点 c, 它是一个切点,其实就是我们要我们去证什么?对,让我们去证角 o c a 等于九十度。好,那接下来我们该怎么去证呢?我们来分析一下条件啊,在我们连接了 o dog 以后,我们自然的可以得到什么 o dog a, 它是不是等于九十度? 因为题目告诉我们圆 o 是 与边 a b 相切的,对不对 啊?紧接着我们还能得到 o, 道格和 o c 是 相等的, a c 又等于 a d a o, 它又是一个公共边。聪明的同学是不已经想到 三角形 a c o 此刻和我们的三角形 o 到个 a, 它们什么关系? 对,它们是一个全等关系,它们是一个边边边的全等关系。那既然全等的话,那我们的角 o d a 和角 o c a 是 不是就应该相等? 那么我们就能证明角 o c h 等于九十度。好,紧接着我们来看第二个, 在三角形 abc 中, ab 等于 ac, 它是个等腰三角形,点 o 在 ab 上,圆 o 过点, b 分 别与 bc、 ab 交于 d 点和 一点, d、 f 是 圆 o 的 一个切线哦,看到切线,我们肯定要怎么样连切点,所以我们第一步先连接 o dog 啊!先不管题目为什么,我们先把 o dog 给连起来, 好让我们判断 d f 与 a c 的 位置关系啊!这一看我们大家就知道这是垂直的对不对啊?注意啊,题目你问的是位置关系啊,如果有一天他问关系的话,我们是要去讨论位置跟数量的好不好。 嗯,那其实题目让我们要正的是,这个角 d f m 等于九十度,那怎么正呢? 我们看题目给的最大的讯息是, a、 b 跟 a c 是 个相等的,它们是等腰三角形。而我们连接 o dog 以后,是不是也产生了一个等腰三角形?我们三角形 o boy dog, 它也是一个等腰三角形, 对吧?好,那 o boy dog 是 怎样三角形? a、 b、 c 是 怎样三角形?那么就说明我们的角 o b dog 和我们的角 o dog boy, 它们两这两个角应该是怎么样的?对,应该是相等的。 与此同时,我们的角 a、 b dog 和角 a、 c、 b 因为是怎样三角形也是相等的, 这样就产生了一个对同位角,角 o d b 和角 a、 c、 b, 它们俩是属于同位角,并且是相等的,所以我们就可以得到 对 o dog 跟 a c 是 平行的。而因为我们连了这个期限以后,这个角 o dog f 它是等于九十度的,我们自然而然的就能得到我们的这个角 a f boy, 它是不是啊?啊? a f dog 它是不是等于九十度,对吧?由此我们就正完了啊!好,我们再看最后一道题, 轮图, a、 b 是 圆 o 的 直径点 c 点 e 在 圆 o 上角 c、 a、 b 等于两倍的角叶 b, 并且角 a、 f 一 等于列,等于这个角 abc。 好, 题目,让我们正 e、 f 跟圆 o 相切啊!让我们去正 e、 f 跟圆 o 相切,那第一步有切点,我们是不应该连切点,我们应该无脑地去连接这个 o、 e。 好,一连接 o、 e 以后,我们会发现啊,这个 o、 e 跟 o、 a 它们都是半径,是不是产生了一个等腰三角形?那么拥有这个等腰三角形以后,利用外角的知识点,我们是不是就可以知道我们的这个角 e、 o、 b 的 啊?对于我们角两倍的角 e、 a、 b 的, 那就说明我们的这个角 e、 o、 b 本质上和我们的角 c、 a、 b 它们是相等的啊!这两个红角相等,而我们的 角 a、 f、 e 和我们的角 a、 b、 c 是 相等的, 这意味着什么?这意味着 这两个绿角所标绿角是不是相等的。而我们的角 a、 c、 b, 它是直径 a、 b 所对的圆周角,所以它本丈是个什么角?对,它是一个直角,对吧?它是个直角。那我们的 一个角 b、 a、 c 加上角 abc 是 等于九十度的话,是不是意味着我们的角 e、 o、 f 和角 e、 f、 o 相加也是等于九十度?九十度的。由此,我们是不是就能够证明 我们的角 o、 e、 f 它就是等于九十度? 好吧,那今天的知识点呢,就讲到这里,下一节课呢,我们将会更新原综合中第二道题啊,第二小问一般会怎么去考察啊?欢迎大家去听讲哦!

好,今天来给同学们讲一下圆的切线和切点弦怎么求啊?首先我们先看两种情况,这是第一种情况,就是我们知道一个点在圆上的,这种在点在圆上, 那他是不是只有一条切线?这条切线我们就可以通过我们的技巧去求出来。还有一种是什么?在圆外的时候画是不是有两条切线? 有两条切线对吧?也意味着有两个切点嘛,对吧?我们的技巧是求什么?我们的技巧是求这条,这条叫什么?切点弦求的是切点弦 方程。那我现在把这个技巧直接写给大家,就是 s 零减 a 乘以 s 减 a 加 y, 零减 b 乘上 y 减 b 等于二的平方。然后我教大家怎么用这个技巧, 就是我们第一步先要判断这个点在圆上还是在圆外,如果在圆上的话,那我们就是求的是切线,如果在圆外的话,我们求的就是切点弦, 知道了吧?怎么用?就是看这个点,首先先判断这个点在圆上还是在圆外,其实就是把它带进去,把这个点带进去,带到这个圆的方程里面,如果他等于四的话,那他在圆上,对吧?如果大于四的话,是不是在圆外? 好,那我们现在带一下就是二减一的平方,然后加根号三的平方就是三吗?等于等于多少?这里应该等于一吧,一加三是等于四吧,所以说他在 圆上,那我们正好带到这里面,就是求的是啊,切线方程,那这个周期怎么用呢?就是你想想就是带一半 进去就行了,什么意思呢?就是我们先把这个圆的方程开出来,那你 s 减一的平方不就是两个 s 减一相乘吗? 然后加 y, y 的 平方就是 y 乘 y 吧,等于四,然后把这个点的坐标,这个点的坐标带一半进去,就说我们只带这里, 还有这里就行了,就是带一半,就是二减一乘以 s 减一,这里就不用带了,然后加根号三, y 这里也不用带了,就等于四,那我们求出来的就是我们的切线方程,那简单求一下,就是 s 减一,加根号三, y 减四等于零嘛,所以说它的切线方程就是 s 加根号三, y 减五等于零。 ok, 大家应该会了吧?那我们再看一下这道题。第一步,先判断,先判断, 那我们把这个点带进去,就是二减二的平方,然后加二加一的平方等于多少?这里应该等于零吧?零加九等于九吧,正好等于这个九,那他就是在圆上, 然后求切线,那我们就是带一半吧, s 减二先开出来, s 减二加 y 加一, y 加一等于九,对吧?然后带一半进去,就是二减二,然后 s 减二加 二加一乘以 y 加一等于九吗?这里简单算一下,这里是零,然后这里是三啊,三乘进去就是三, y 加三等于九,对吧?然后就能解出 y 是 等于多少的, y 是 等于二的 好,还是一样我们快速解决这种题目,像这种题我们是不是得先配方,对吧?对,这个东西配方就是 s 减四, 加 y 的 平方加二, y 等于零,然后这里就是 s 的 平方减四, s 然后加四嘛,对吧?加 y 的 平方加二, y, 然后加一嘛,这边就等于五,也就是说 s 减二的方加 y 加一 的方等于五,对吧?然后再判断这个点是否在圆上,我们简单带一下,就是一减二的平方,加二的平方,对吧?看看它等于多少?应该等于五吧。所以说在圆上, 在圆上,那我们直接求切线方程,就是带一半吧,就是 s 减二,先开出来 s 减二,然后加 y 加一, y 加一等于五,对吧?然后带一半进去,把这里带一半,就是一减二, s 减二,这里不用带,然后加一加一, 然后 y 加一等于五,对吧?然后把这个解出来就行了,这里是等于负一的,这里是等于二了,也也说负 s 加二加二, y 等于五,对吧?然后这里其实化简一下,就是负 s 加二, y 减一等于零嘛,然后就是 s 减二, y 加一等于零嘛,这个就是答案好。然后我们刚才一直在做在圆上的点,那如果在圆外呢?在圆外的话,我们是说求的是切点弦,对吧?切点弦, 然后我们看这个方程,看这个题目, 我们先一样判断这个点在圆上还是在圆外,我们先判断一下,就是把它带进去吧,就是三减一的平方,加一的平方,它应该等于多少?这里应该等于四,对吧?四加一等于五,五是不是大于一的?所以说在圆外,对吧?在圆外, 在员外的话,也是用我们刚才那个方程,他求的这是什么缺点弦了?就比如在这个是 p 吗?对吧?他是不是有两条切线,然后缺点是 a, 缺点是 b, 然后我们求的是这条,对吧?缺点弦求的是这个缺点弦 是不是就是这里的直线 a b 的 方程了?还是一样就是开出来 s 减一的方,然后加 y 方等于一的吧?它就等于 s 减一, s 减一,然后加 y 乘 y 等于一嘛。然后把这个东西带一半进去,就是三减一, s 减一,然后加 一乘 y 等于一嘛。这里其实就等于二, s 减二加 y 减一等于零嘛。然后再化简一下,就是二 s 加 y 减三等于零嘛。


接下来我们再看一个题型啊,与切线有关的最值问题。首先我们看一下这道题啊,点 p 是 y 等于 x 方减 y, r 上任意一点, 则点 p 到直线 y 等于 x 减四的距离最小值。首先我们根据题意大致把这图画下来,让同学们去理解一下啊,这是那个曲线,好吧,这是那根直线,那这是 p 点,那首先看 他距离的最小值的话,那是不是就是在点 p 处的切线与 y 的 x 减四是平行的呀? 那换句话说,是不是在点 p 处切线的斜率就等于一啊?所以说我设 p 点的横坐标是 x 零,好吧,那我对曲线进行求导, y 导是不等于二 x 减 s 分 之一啊?那么 k 是 不是等于的是二 x 零减 s 零分之一啊,它是不是等于一啊?我们解出 x 零是等于一的,还有一个是负二分之一,那因为这个曲线的定域是 大于零了吧,所以说范围内我去舍掉吧。那我解出 x 零等于一了,那我是不是能推出这个 y 零啊? y 零是不是一样也是等于一啊?那 p 点坐标我就找到了 x 零和 y 零,那是不是就点到直线距离公式啊? d 啊,等于的是 根号二分之一减一减负四那个一一减一减四吧,那是不是就相当于是四啊?上面是绝对值四比根号二变成的是二倍根号二吧。 那接下来我们再看一个题啊,给咱们直线 y 等于 s 加 a 与曲线 y 等于 line, x 加 b 相切,那么求 a 方加 b 方的最小值啊,那同样相切,我没有切点吧,我还是设切点,设切点是 x 零 y 零,那接下来我对它进行求导, y 导是不等于的是 x 加 b 分 之一啊,那么这个直线的斜率 k 是 不是等于的是 s 零加 b 分 之一啊?那这斜率 k 咱知道它就等于一啊,那我是不是推出了 x 零等于一减 b 啊?那 x 零等于一减 b 的 话,那 x 零 y 零是不是在直线上,又在曲线上啊? 那 y 零是不是等于的是 x 零加一啊?同样 y 零是不是还等于小于 x 零加上 b 啊? 那我通过这个四十,我是不是能推出 s 零加一等于小于 x 零加 b 吧。那我把 x 零和一减 b 我 带到这个四里可以吧?那是不是变成了一减 b 加 a 啊? 等于零吧,那我从这里边推出 a 等于 b 减一吧,那么 a 方加 b 方,我是不是就可以变成的是 b 减一的平方加上 b 方啊?等于的是二 b 方减二, b 加上一,推出 b 的 二分之一时,取最小值吧,往里一带是不就能得到了?这里边最小值是二分之一吧。那接下来我们再来看一个题啊, 给咱们 f x 等于 x 方加三, x 减四倍来 x, 然后 p 是 这选项上的任意一点,这也跟咱刚才讲的第一个题是一样的吧。啊,这个 给同学们一个练习的机会吧,大家去练习一下啊,然后提前把答案告诉大家,这题答案是选择性的啊,大家去练习一下,然后有问题私信我,咱们再去交流。