2026东城初三一模数学一次函数

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  2026一模数学18题，反比例与一次函数问题，第三问与平移的结合#跟着老师一起来学习吧 #教学我们是认真的 #一模数学 #林州一模

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  二零二六年中考一定会考到的一次函数和反比例函数相结合的题目，在这次一模当中的第十八题体现出来了，点赞收藏，转发给孩子看，一定让孩子学会这类题目。 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y 等于 k， x 加 b 的 图像与反比例函数的图像交于 a 一逗号四和 b 四逗号 n 两点与 x 轴交于点 c 与 y 轴交于点 d。 然后有三个问题，前两个问题比较简单啊，我说一下 思路，求反比例函数和依次函数的解析式。我们把 a 一 逗号四代入到反比例函数当中，得出来 m 等于四，所以反比例函数解析式 y 等于 x 分 之四。 然后呢，我们把 b 带入到反比例函数里边，得到 b 的 n 值是一，所以得出来 b 点是四逗号 b。 这个时候，我们把 a、 b 两点同时带入到一次函数里边，求出 k 值和 b 值，得到一次函数 y 等于负 x 加四啊。第一问比较简单，来接下来第二问。三角形 a、 o、 b 的 面积有两种求法， 第一种求法，我们让三角形 aoc 的 面积减去三角形 boc 的 面积。我们需要先求出点 c， 让依次函数的 y 值为零，求出来 x 等于四，所以 c 点的坐标是四，逗号零，那么 oc 的 常用就有了。 那么三角形 a、 o、 c 的 面积是 o c， 当比 a 的 纵坐标的绝对值当高，而 b o、 c 的 面积也是 o， c， 当比 b 的 纵坐标的绝对值当高，让这两面积相减，得出来三角形 a、 o、 b 的 面积是二分之十五。这是第一种方法啊， 面积相减，第二种方法是过点 a 向下做垂直和过点 b 向下做垂直，那么我们三角形 aob 的 面积就会转化成这个梯形的面积，而这个梯形的面积公式上底是 b 的 做坐标的绝对值， 下底是 a 的 做坐标的绝对值，高是 ab 之间横坐标的距离，这个同样可以求出来面积是二分之十五。 接下来我们主要看第三问啊，有第三问把很多同学都难倒了，他说线段 a b 沿着某一方向平移，得到 a 撇 b 撇， 使得 a 撇还落在反比例函数上，而 b 撇落在 x 轴上。我们的突破点就是这句话， b 撇落在了 x 轴上， 那么此时 b 撇的重坐标就变成了零，他的重坐标本来是一变成了零，说明向下平移了一个单位。由此我们就可以求出来 a 撇的重坐标向下平移，一个单位变成了三。那么 a 撇的横坐标不知道我们设为 m， 所以 a 撇就是 m 逗号三。它由于落在反比例函数上， 我们把 m 逗号三带入反比例函数 y 等于 x 分 之四当中得到三， m 等于四，求出来 m 等于三分之四，因此也就得到了 a 的 坐标三分之四，逗号三。关注我一位教数学更教方法的曹老。

  64林州数学曹老师
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  第28集|中考必考一次函数反比例函数综合大题精讲 初三数学函数压轴题完整版精讲！
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  1源源老师数学思维训练
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  2026海淀一模蔚宁老师小函数精讲#压轴题 #初中数学 #中考数学#海淀一模

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  hello， 朋友们，我们来看这道题，二六年罕见异模的一次二数综合，那它图像经过了二道号零和零道号负一，那两两一连立呢？ k 就是 等于二分之一， b 等于负一，这个很好算出来啊，咱们直接把它的式子列出来，也就是 k x 加 b 来。在第二问 他的底是 y 等于二分之一， x 减一，他说了小于二，这个 y 等于 m， x 减五，既小于 y 等于二， x 减一，又小于负三，这个咱们直接画图写， 还是要按照老师之前的方法来做就行。那因为他是小于二，所以咱们先把邻界值给标上，小于二的情况下，咱们就直接画一个邻界值出来， 画上操作的箭头，因为它若 m x 小 于五，别着急，先把后面两个图画上。那怎么画这 y 等于二分之一， x 减一呢？那应该就是当 x 等于零的时候， y 一定是等于负一， 那 x 等于一的时候呢？ y 应该等于负的二分之一，所以这样一连即可。 好，这样的话一定要标注上 y 等于二， x 分 之二分之一， x 减一，这样的话咱们方便去后边看啊。随后他说小于负三，所以咱们把负三也给他画出来， 也就是这根线绝对不能低于负三这条线上。那这个时候因为他说 mx 减五，咱们默认 m 是 四十五度，那减五一定是在下面喽，四默认四十五度， 那么如果是这样的话， y 等于 mx 减五，那这条线大家该怎么动啊？同志们， 他们说了，说这个 k m 三 k 对 不对？ k 一 共就考一个平行，还有考一个就是相交， 那我们就看一下吧，逐步移动来推断它最大值，最小值，那首先它说既小于二分之一， x 减一，那么这个点它旋转的过程当中 最大，哎，最大旋转是不是就跟它平行的时候，也就是 k 相等的时候，它以 m 也等于二分之一的时候， 它呢是横小于 y 等于二分之一， x 减一，知道几式的，但是你看它能不能再往下呀？同学们， 是不是可以的？哎，是可以往上，但不能往下，因为往下的话，它就有可能会变 比他大，对不对？那如果往上的情况下，我们再找找他的临界值呢？因为他是朝下的吗？所以说那往下的话，他这个 k 那 最大最大，他的 k 是 与负三有一个交点，那交点的话一定就是二逗号负三，因为咱们有横坐标了吗？啊， 与纵坐标连成的坐标轴，也就是二逗号负三，咱们直接带入进去， 也就是他临界值也就负三等于二， x 减五， x 就 等于一，这个时候咱们确认一下能不能取等啊？刚刚第一个二分之一，因为是平行的情况下，他是可以取等的。第二个相交的情况下， 因为大部分同学来说啊，他如果是小于二的话，范围如果不带等号，但结果就会带等号， 为什么呀？因为他是小于二，咱是以二为零界值做的，那这个一呢，也是以零界值做出来的取值，那结果呢？实际应用中，他是 x 小 于二，所以取值一定会小于二，所以他的值一定会比一小。这个一是满足题一的 最终答案呢，就是 one， 哎，这个 m 大 于等于二分之一，小于等于一。好，那咱们这道题讲完了，再梳理一下这个过程啊，也就是说这道题到底该如何去做？首先第一个， 建立平面直角坐标系，也就是说咱们所有的题，意思来说，很多同学你找不到，找不到，或者说你的取之范围取少了，或者说找不出来，那应该就是同一长度 建立之后做游戏。第二，标出来，你就像老师那样先把那二标出来，那你是不是知道一切的点平行或者香蕉是不是都在这个点进行呢？ 第三，要用铅笔画图像，为什么呀？因为很多函数啊，它的相差是比较小的，如果你拿黑色碳素笔的话，那很容易图像就标错了，那图像如果标错了，那就会导致你分析就会发生错误。第四， 咱们一定是要从右上方开始分析，什么叫右上方，也就是说咱们是肯定是先从上方这个位置往右下方开始分析，这样的话才是有序的分析，全面细致，不重不漏。第五，那转化不等式的后， 要核对三点，第一个，如果你确定，哎，我就是二分之一的情况下满足题是计小于 式子，又小于负三呢？第二，咱们通过上下平移函数，那你就看一下，那如果咱们说不能往上平移了，那是不是这就是最大值啊？那如果不能往下呢？那是不是最小值才能确定临界值最值的范围？第三， 一定要知道是否去等啊，一般取值条件不带等号，咱们结果就会带等号，以题中你一定要理解这个题。 第六， k 啊，因为这 m x 在 哪？在这个 k 的 范围上，那 k 是 怎么样不等于零的？那如果咱们说题中他算的，比如说啊，这 m 如果是大于等于负一呢？小于等于二呢？那这个时候咱们一定要注明 m 是 不等于零的，明白了吧？朋友们？ 最后一个，也就是说第一问一定要算准，如果第一问算不准，那直接导致后边就不会算对了，对不对？因为咱们都是以第一问的前提下去做题的。好，那这道题就讲到这。

  40蔚宁数学
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  2026东城初三一模函数压轴 没注意细节，成功掉坑#北京 #中考 #数学 #初三 #东城

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  首先啊，自我批评一下啊，昨天呢，给同学们在讲这个东城区初三一模函数压轴的时候呢，这个准确来讲呢，就是啊，慌慌张张的啊，没有注意细节， 那么当然本身的这道题目呢，难度呢，并不大啊，但是呢，请以我为昨天的我为反例啊，稀里糊涂的啊，给大家呢，这个最后呢，有个小细节 没有说到，并且呢，我自己呢，相当于掉坑了啊，那么当然这个题目呢，昨天跟大家讲了，我呢就不再赘述了啊，这个二乘数经过 o 点和 a 点，那么当然把零零带进去， c 就 等于零，那么另外的于零的话，算出 a 点的横坐标呢，是二 a 减一啊。其实这个题目呢，出题人呢，在第一问当中已经提示了啊，但是呢，正是因为我自己在做的时候呢，觉得，哎呀，太简单了，常规题型啊，没有注意到这个小细节，成功掉坑了啊，请一定以我为返利啊！ 那么昨天呢，其实这个 a 点的横坐标啊，二 a 减一啊，它一定不等于零对吧，就是 a 呢，肯定不能等于二分之一啊， 但这个大前提呢啊，昨天在给大家讲的时候呢，没有跟同学们去强调啊，那么呃，第二问呢，题型比较常规，就是把 m 点的坐标表示出来，把 n 点的坐标表示出来， m n 的 长也就有了 啊，绝对值得这个表达式，当然你也可以就是呃，连立这个啊，直线跟曲线啊，然后求焦点，然后分段啊，分类讨论也行啊，咱们呢就懒得分类讨论了。好，第一问呢，就不多说了， 第二问呢，又跟他说了， m n 随着 t 的 增大而增大，对吧，那么所以理论上呢，就是在这两段，就是图像往右上方画一段呢，就是二到四呢，可能在这，所以呢，保证 a 呢，大于等于四，还有一段呢，二到四呢，可能在这就是保，恩，保证呢，二 a 要小于等于二， 当然啊， a 肯定大于零啊，所以昨天呢，跟大家说到这呢，就结束了，但是啊，刚刚也跟大家讲了，对吧， 这道题目呢，有一个坑，昨儿呢，没跟同学们去强调，就是这里面的二， a 减一不等于零啊，因为它与 x 轴有两个交点吗？ o 点跟 a 点啊，所以呢， a 呢，还不能等于二分之一啊，那么因此呢，最终呢，应该是 a 大 于等于四， 或者是啊，零小于 a 小 于等于一，且 a 不 等于二分之一啊 啊，应该是这个范围，好，所以再次跟大家强调一下，这个叫做什么呢？叫做啊，战略上的藐视一下这个对手，或者说敌人，但战术上要重视啊， 所以你看，我在写的时候，因为一不注意啊，没有考虑到这个大的前提条件，哎，也漏了一个啊，以为呢，是非常简单的，实际上呢，就掉坑了啊，所以也给同学们做了一个反面的这个榜样啊，所以也给同学们做了一个简单跟大家更正一下啊。

  29栗子老师教数学
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  距离中考还有40天！孩子们坚持到最后就是胜利✌🏻 2026年东莞一模试卷第20题解析#初中数学考试 #2026中考数学 #东莞中考成绩

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  接下来看东莞一模试卷当中的第二十题，他说如图，在菱形 a、 b、 c、 d 当中，对角线 a、 c 和 b、 d 相交于点 o， 延长 c b 到点 e， 使得 e、 b 等于 bc 连接 a、 e 啊，过点 b 做 b， f 平行于 a、 c 交 a， e 于点 f 连接 o、 f。 第一个问，让我们求证四边形 a、 f、 b、 o 是 矩形。第二个问，如果角 e 等于三十度， o、 f 等于二， 让我们求菱形 a、 b、 c、 d 的 面积是多少？好，第一题啊，求四边形 a、 f、 b、 o 是 矩形，这个是不是很简单呐？哎，我们来证明哈，因为四边形 a、 b、 c、 d 是 菱形，所以有什么？所以 o a 等于 o c 是 不是 o a 等于 o， c 就 等于二分之一的 ac？ 是 不是？那么 o、 b 就 等于 o， d 也等于二分之一的 cd？ 哎， o、 b 等于 o， d 等于二分之一的 cd， 并且 a、 c 和 b、 d 也是相互垂直的关系，对不对？哎，角 a、 o、 b 等于九十度对吧？又因为什么？又因为 b、 e 等于 b c 啊， b e 等于 b c， b e 等于 bc， 并且 b、 f 平行于 a、 c， 那 么在三角形 a、 e、 c 中， b、 f 就 等于二分之一的 a、 c 就 等于 a、 o， 这个都理解哈，所以 b、 f 是 不是平行且等于 a、 o 啊？所以 a、 f、 b、 o 是 什么？ 是矩形？好，接下来看第二题，如果角 e 等于三十度， o、 f 又等于二，让我们求菱形 a、 b、 c、 d 的 面积，好！第二题，因为 a、 f、 b、 o 是 矩形，对吧？这是我们上题已经求出来的， 所以 o、 f 是 不是等于 ab 啊？ o、 f 等于 ab， 他 们是对角线对不对？就等于 b、 e 是 不是等于二？哎，又因为什么？又因为角 b、 f、 e 等于 九十度，角 e 又等于三十度，所以什么？所以 b f， b， f 是 不是就等于二分之一的 b e 啊？就等于 e， 所以 e f 就 等于根号三啊！所以什么？所以三角形 b f， e b f e 就 等于二分之一。乘以根号三就等于二分之根号三。又因为什么？又因为三角形 a， o， b 等于三角形 a， f， b 等于三角形 b， c， d。 并且它们都等于什么？等于四分之一的菱形 abcd 对 不对？ 所以，哎， a， b， c， d 等于什么？菱形 a， b， c， d 就 等于四倍的二分之根号三哎，就等于二倍根号三啊！所以菱形 a， b， c 的 面积就是二倍的根号三！这道题是不是也很简单呐？

  7优学之家托管李老师
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  2026北京东城初三一模几综部分解法及新定义#数学思维 #中考数学 #高考数学

  2兰析数学周老师
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  30:15

  2026东城初三一模新定义压轴 经典的点类新定义的考法#北京 #初三 #中考 #东城 #数学

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  哈喽，朋友们好，我是栗子老师。那么最后呢，我们给同学们再来解析一下今天下午刚刚结束的东城区初三一模的新定义压轴题。先下一个结论啊，这道题目呢，同样是一个点类的新定义，核心呢还是我们说的 老的话题，就是你能不能搞定所有的点在哪里？当然，这道题目我觉得还是比较有意思的，就是他绝对难度不算特别大，但是呢，特别考察同学们细心细致啊，而且其实最后一问反而不是 最困难的，或者说最后一问，我们一开始就能够给题目的解完了。来，我们先来看一下这个题目的定义，非常的简单啊，他说圆啊 o， 它的弦 a， b 和一个点 c， 给出如下的定义，第一，三角形必须是锐角三角形， 当然三个角都必须小于九十度啊，并且有一条 c a， c， b 是 切线啊，只有一条是切线，那么我们就称点 c 呢，是它的锐切点好了啊， 这个经常做出来新定义的同学们都知道是吧，你又是什么点类的新定义？所以还是在问同学们，任意一条弦给你了，那么它的锐切点在哪呢？ 那你还得想清楚这个问题是吧，所有的锐切点在哪啊？好，咱们呢，又得作图了， 好，那么注意啊，我们都没有看下面的问题啊，是不是不不管他啊，爱谁谁啊，你不用，你不用在意这个问题是什么，你就想我随便给你一条弦，你能不能画出他的锐切点？ 那么锐切点的要求两个大的部分，第一，每个角必须是锐角啊，三角形啊，那么第二，只有一条线是切线啊，当然大家其实也很容易联想到圆当中应该是一个什么对称图形，对吧？ 好，所以呢，我在这呢来，同学们可以拿出自己的直尺圆规两角器，咱们手动做图啊，把这图做出来，这道题目就很好解了。 好，我在这呢给同学们呢啊，直接用一个图来演示一下啊，当然大家看的呢，眼花缭乱的是吧，特繁琐啊， 注意随便画一个圆绿色的圆圆 o， 随便画一条，选 a b。 看好了，随便画的啊，我也不知道他多少，反正就随意啊，随意随意啊，随便画一条，选 a b。 好，那么我们知道他说了， a c 就是 这个点， c 啊，这个弦切点呐，啊，这个锐切点呐，这个 c 点满足什么要求呢？ 首先，他可能他必须要满足有一条线， c a、 c b 是 切线。好，那我们干脆先做出 o a 的 这个垂线，那么这条线就应该是 o a 的 切线，当然了， 你也有可能 c b 是 切线，对吧？所以你过 o b 点做 o b 的 啊，做 o b 的 这个切线，那就是垂线。 好，所以你会知道，所有的锐切点应该是在两条切线上面的，当然，这只是初步的啊，不是严格的初步的 所有的切线啊，那个锐切点应该是在两条切线上面的，就是对于任意的情况啊，所以同学们动手作图啊，来，咱们跟着一起做。好， 现在你知道了，所有的切锐切点应该在这两条呃，切线上，但是是都满足要求吗？并不是他要满足 c a b 啊，必须是锐角三角形。好，那我们选定一条线，比如说以这一条线为例， 垂直于 o a 的 为例。好，那么同学们也知道，如果我要保证 c、 a、 b 是 锐角的话，必须要满足三个条件，第一，满足角 c、 a、 b 小 于九十度。 第二，满足角 c、 b 小 于九十度。第三，满足角 a、 c、 b 小 于九十度。好，那我问同学们，你要是满足 c、 a、 b 小 于九十度，你怎么做 好？那你是不是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线，这条线，那么假定交另外一条线与点，呃，就是这个垂直的线与点 d 啊，就是你要满足这一条线， 因为这条线呢，跟 ab 形成的角呢，刚好是满足 c， 如果点 c 在 这个上面啊， c、 a、 b 要小于九十等于九十度，对吧？但是不能等啊， 好，你要保证 c、 b、 a 是 九十度，你怎么画好？当然同样道理，就是过点 b 做 ab 的 垂线，对吧？过点 b 做 ab 的 垂线，再来，这条线上所有的点呢？满足 c、 b、 a 是 九十度，当然不能取到九十啊，要小于九十。 好，那么然后呢，你要保证 a、 c、 b 小 于九十度怎么办啊？就是以 a、 b 为直径画一个圆，圆上所有的点都可以保证啊，这个 a、 c、 b 等于九十度，对吧？圆上任意的点都可以保证 a、 c、 b 等于九十度。好，那么就是圆周角嘛，等于九十度， 好，现在我要满足的是，呃，这个角，呃，这个 c、 a、 b 啊， c、 b、 a、 a、 c、 b 全都小于九十度。那么你看一下，我们刚刚呢，通过做垂线，做垂线，做一个 ab 为直径的圆，与我们初使的两条切线 啊，这两条虚线切线，那么就形成了一个共同的区域，同学们看得出来吧，是吧，你看，我要保证都要为九十度哦，小于九十度哦，所以 ab 为直径做了一个圆， 那么过 a 做 ab 的 垂线，过 b 做 ab 的 垂线， ok， 全都搞定了，那么这个时候同学们会发现，所有的也就都出来了，对吧？ 啊，因为你要保证所有的点还要在两条这个线上面吗？对吧？好了，那你想一下，看看他既要满足，呃，在这一条线的什么？就是在这一条线就是 ab 垂线的过，以 a 为直角顶点他的内部。因为这样一来的话呢， 因为你会发现他九十度吗？对吧？所以，呃，你要保证小于九十度，你，你做的这个是九十度，那么你要小于九十度，应该在这条虚线就是点 d 的 啊，往下走，往下移，对吧？你比方说啊，这个点在这个位置啊，呃，假定啊，这个就叫点 c 吧。好吧，我们把它标一下，这个就点 c， 所以 同学们看一下，所有的点 c 必须要在两条虚线，这两条虚线呢，就是指切线上，当然一条就可以了啊。第二呢， 我们刚刚讲，如果你在点 d 位置的时候呢，刚好满足 c， a、 b 等于九十度，如果你越过它，这个时候 c， a、 b 大 于九十度了啊，不满足，所以你必须在 d 点的下方。 好，当然，如你能够跑到 e 点的下方来吗？ c 点能跑到 e 点下方吗？也不可以。为什么呢？因为如果你再跑到 e 点下方， a、 c、 b 就 大于九十度了，也不满足，因为 a、 e、 b 等于九十度，所以你会发现，哎，点 c 就 应该在 d、 e 这个线段上面 啊， d， e 这个线段上。再强调一下， d 点是以 a 为直角顶点做 ab 的 垂线与点 b 为切点啊，形成的切线的焦点， 那么当然这个点 e 是 什么？就是以 ab 为圆心做了圆啊， ab 为直径做了圆，是吧？与切线的焦点，当然另外一侧呢，逻辑呢，其实是一样的。 所以同学们，看你通过准确作图，我说了，虽然我在这用工具了，我在这用工具主要就是为了方便同学们直观去看， 但是同学们其实要知道，你在考场上是可以相对准确的。严格作图的。圆规有吧， 两角器有吧？那么，呃，这个直尺有吧，铅笔有吧，你就都肯定能够做出来，因为你随便做一条弦， 你做切线，你会做吧，做垂线，你做切线会做吧，做垂线。第二，你要保证三角都小于九十度，照到零界九十度，你会做吧，直角顶点做垂线，直角顶点做垂线，以它为直径做一个圆。 好，你要满足所有的锐切点，要在两条虚线上，同时还要满足小于九十度，那么这个形成的焦点的区域就是这两条紫色的线，一个是 d e， 一个是 f g， 当然，注意，端点不能取点 d， 点 e， 点 f 和点 g 都不能取。 当然，事实上，同学们也能发现，就是任意一条弦，它所产生的这个锐切点，应该是两段不包含端点的线段。我再重复一下， 所有的锐切点是两段不包含端点的线段，当然了，这两段线段长度肯定 一样，是吧，那肯定一样好。那么因此，如果同学们能 get 到这个点，那这道题目我们先来说最简单的啊，第三问，有时候老师啊，是不是说错了，对不对？没说错啊， 我把这个问题给大家解释完了之后，第三问，反而是相对比较简单的，同学们看，他说，如果 t 是 t， 零圆， o 经过点 t， 就是 以一个， 咱们刚刚讲了，对吧？就是以 o 为圆心， t 为半径画一个圆，那么他说存在一条长为二倍根号七的线段，使得线段上任意一点都是圆 o 的 长为 t 的 弦。切点好了，就得问同学们了， 请问长度为 t 的 弦，那有无数个？对，咱们先画一个， 是吧？我随便画一个，长度为 t， 注意半径也为 t， 也就是说它其实是个什么三角形，等边三角形，就假定这个叫 a， 这叫 b， 这是一个任意的长度为 t， 这个是 t， 这个也是 t， 这个也是 t， 长度为 t 的 任意的啊。我画了一个 ab 的 弦，长啊，长度就为 t。 好， 那我们刚刚讲了，所有的锐切点在哪里？在两条没有端点的线段上，那线段还会画的吧， 是吧？会画吧。哦，以他做切线，以他做切线，然后，呃，垂直于 ab 啊，垂直于他，以他为直径，画圆，一定形成一个点，两个点，三个点，四个点，这一段跟这一段 对吧？这段跟这一段，两段不含端点的线段。但是注意了，这道题目说的是长度为 t 的 线，那你也知道，长度为 t 的 线就等价于将 ab 进行什么旋转 好，那么也就意味着我们刚刚所产生的两条长度为啊，这个没有端点的线段怎么样啊？进行旋转，当然线段长是一样的啊，线段长是一样的 好，所以我们是不是能够找出长为 t 的 弦的所有的锐切点，应该是一个不包含边界的圆环。好，我们再重复一下，应该是一个不包含边界的圆环，这个能想得通吧， 是吧？因为你有两个两段线段吗？是吧？所有的锐切点，因为我只是划出了一条长度为 t 的 弦，但是长度为 t 的 弦有无数个，也就是说等价于。假如说 a 跟 d， a 跟 b 的 长度是定的，等价于将 ab 旋转吗？你没有一个 ab 的 位置，就会产生一段，对不对？一段锐切点，两段锐切点啊，那么你转一圈呢，它就是圆环。好了，所以 同学们来看，我们在这所有的锐切点在哪里呢？就是以 o 为圆心哦， o e 的 长为半径，画一个圆。好，这个圆我就假定把颜色标成一个紫色的哈， 那么再以 o 为圆，哎呀，再以 o 为圆心，呃，这个 d 为半径，再来画一个圆，好，所以我们说所有的长度，我假定稍微差多一点啊，就是所有的这个衔接点在哪里呢？就是在这两个圆环上， 哎，问你，两个圆环，两个圆之间形成的圆环的区域，当然不包含边界啊，我们再讲一下，不包含边界啊，因为在这里面他是，嗯，这个端点不满足，对吧？因为端点是九十度啊， 好，不满足。当然，这道题目我们刚刚讲了， o a 是 t， o b 是 t， ab 是 t， 那 么所有的都是 t， 那这个角多少度啊？六十度，六十度，六十度。所以你想一下，看看我们所有的弦切点，是不是啊？锐切点是不是就找出来了？在这个圆环，那你就要想清楚，这个圆环呢，内径跟半径是多少，外径是多少呢？也就说 o e 多长啊。 哎呦，我说 o e 不知道多长啊，你别忘了啊，这里有老多的直角跟特殊角了，看一下，因为你这个点， e 就是 在什么垂直于 o b 的 这条线上啊，因为我说了，对称的长度也一样随便啊， o b 的 长是 t， 那 么 b e 的 长是多少？注意， ab 的 长也是 t， 然后呢，你别忘了这个角，哎呦，呃，这个，这个角 啊，也是，对吧？好，我把它描一下啊，哪个角的？ aeb， 这个角他也是九十度啊，而且这个六十度， aeb 呢？三十度，所以 ae 如果是 t， aeb 是 三十度，那 ae 呢？二分之一个 t， b e 呢？啊，就 b 点跟 e 点呢？二分之根号三个 t， 那 么 ae 是 t， d e 呢？同样的道理，就是二分之一个 t， 再除以根号三，对吧？六分之根号三个 t， 所以 注意 a， d， b 加 e 就是 一个非常典型的啊，这个特殊角的垂直模型，看得出来吧，是吧？啊，每个角有三十度角，有六十度角，并且 a b 长是 t， 所以 你就能够算得出来啊。 d， e 是 六分之，根号三个 t， 那么 b， e 是 三分之，呃，这个，呃， t 二分之根号三个 t， 对 吧？这个是六分之 d， e 是 六分之根号三个 t， b e 是 二分之根号三个 t， 当然加起来这个 b d 嘛，就是三分之二个三分之二倍根号三个 t， 因为 a、 d 的 长就是三分之 啊，根号三个 t， 对 吧？好，但是我要的是内径啊，内径就是谁啊？ o e 好， 记牢了吗？ o b 是 t， b， e 是 二分之，根号三个 t。 好，所以 o e 的 长也就出来了，那么然后呢？ o d 的 长有没有啊？那当然也就有了，是吧，你这个长吧， o b 是 t， 然后 b d 呢？是三分之二，被根号三个 t， 所以 o d 的 长也就有了。 好，我们在这呢，先不着急啊，我们先给同学们把这个画一下啊，就是在最后这一问当中，咱们给他画一画啊， 最终所有的在哪里呢？在一个圆环上，当然我说了，这个应该是虚线啊，不能包含这个边界，所以所有的锐切点是在以 o 为圆心。 那好，呃，一段长，这一段长是多少呢？刚刚已经说了，是吧？就是，呃， t 根二分之根号三个 t， 我 算一下内径啊，就是根号下 t 方加上四分之三个 t 方， 就是二分之根号七个 t 了，对吧？二分之根号七个 t， 对， 那么外径大耳呢？应该就是根号下 t 方加上三分之二倍根号三，就是九分之呃，十二三分之四个 t 方 啊，然后呢？等于三分之七，呃，看一下三啊，三分之二倍根号三，是九分之四乘三，对吧？三分之四个题房，对着啊，所以他就是三分之七个题房，那就是三分之七根号二十一个题， 是吧？这个咱们刚刚已经说过了啊，所以同学们可以算一下。好，现在呢，我们知道，呃，就是所有的锐切点应该是圆环啊，这个内部啊，当然不含边界啊， 但他说现在这条线段上面的任意一点都是锐切点，就是你要把这条线段怎么样啊？直接给他放进去就行了，对不对？当然我们知道 你这个 t 越大，也就是说这个半径越大，这个小儿大儿也就跟着越大，所以这个圆环越大，你肯定能够放进二倍根号七， 对不对？你肯定能放进去。现在最核心的就是什么？极限，极限就这个 t 不 能特别小，他肯定要特别大。那极限？极限是什么？极限直线就是刚好把这条线段怎么样啊？能塞进去，同学们可以想一下，你塞一条线段进去，你怎么塞？是最长的呀？在两个圆环之间， 毫无疑问只有长成。什么情形？就是跟内圆相切， 对吧？跟内圆相切，因为如果你一旦越过这个位置，同学们可以想象一下看看。如果你一旦越过这个位置，他摆放的长度其实就不够了，你，你把它稍微偏一点点。同学们想一下，偏一点点， 那这个时候假定我们这个 t 是 特最小的情形啊，你偏一点点，这个线段就怎么样啊？跑出去了是吧？端点跑出去了，那肯定不行啊。 好，所以只要满足这种临界情形啊。当然这种临界情形呢，我们也说了是吧，这段就是根号七，当然这个临界情形肯定不能取啊， 因为临界是指线段的端点刚好在圆上了，但是我们说这个圆是不满足要求的啊。好，所以最终呢，你找出这个临界值就成了啊。所以他就是大儿方减去小儿方等于根号七的平方，也就是， 呃，三分之七个 t 方减去四分之七个 t 方，十二分之七个 t 方，十二分之七个 t 方等于七啊，所以 t 的 零界值应该等于十二，呃， t 方十二，二倍根三。所以呢，只要保证这个 t 大 于二倍根三就行了。那当然，这就是最后这一问的答案 啊， t 的 大于二倍。刚才，好，我们再次跟大家捋一下啊，这道题目如何解出来的？它的核心逻辑是，我们首先做出任意长度为 t 的 这个弦的锐切点。 那么在最后一问当中，因为我们知道长度为呃，任意一种固定情形下，它能够产生两个没有端点的线段，那么如果长度为 t 的 弦的所有的锐切点就应该是个圆环， 那么好，你要保证二倍根号七的这个线段上任意一点都是它的锐切点，那么你就只要保证把这条线段能够塞到这个圆环里面去，那么当然最极限的情形就是我们所画的情形，对吧？当然同学们可以做一些尝试。 好，那么这个时候呢，你就能够算出 t 的 零界值二倍根三，但注意一下，因为在这里面圆环边界都不能取啊，所以它一定要严格大于二倍根三。好，所以这个呢，相对我们就可以把它处理完了，当然这个处理完了，我想第一题的第一小问，不用多说了吧， 是吧？你怎么做？会做吧？哦，做过 a 做他的垂线，过 b 做他的垂线，然后以 ab 为直径啊，做这个垂线，做这个垂线， ab 为直径的焦点就在这，所以这一段跟这一段 都是满足的啊，就是用相同的方法，所以这个我就不多讲了， c 二 c 三都是满足要求的啊，你就跟刚刚做法一样啊。那么最后这个呢，我们要稍微多说一下，就是第一问的第二小问。第二小问呢，实际上的逻辑是一样，就是说他给定了点 c 是 一个锐切点， 那么同学们注意，因为圆他本身是个对称图形， oc 等于二，同学们都知道，就是以 o 为圆心，然后呢，二为半径的一个圆，对吧？就是这个 c 点呢，应该在以 o 为圆心，二为半径的一个圆上。 好，但是呢，现在呢，相当于给定了 c， ab 呢，不知道，但他求的是 ab 的 弦长， 这个时候呢，大家一定要注意，因为 c 其实是在整个圆上，而圆是对称的，而 ab 呢，也是在整个圆上，圆也是一个对称图形。所以在这里面呢，我们干脆就是前面说的那个方法，叫做以静，呃，以动为静是吧？ 就是你既然 ab 只是考虑弦长，我就令 a 是 定的，只让 b 来动，这样不就让 ab 的 长度发生变化了吗？ 对吧？当然，你说我说我让 b 定 a 动呢，也一样啊，因为你只是考虑 ab 的 长度，对吧？而且这个时候我们通过呃最后一问的解释呢，大家也明白，就是它所有的锐切点应该是两段没有端点的这个线段，但是呢， 我们其实只要考虑一段就行了，因为它本身长度也一样，是吧？好，所以在这里面，我们就假定 a 是 定的，那 b 呢在动， 所以 c 呢，这个时候呢，也是确定的。好，我们只需要明确，假如说我们就令啊，比方说 c， a 啊是切线， c b 呢，那当然就不是切线，对吧？或者是啊， c b 是 切线， c a 就 不是切线，因为它本身是个对称图形，所以你只需要确认啊，一种 啊特殊的临界情形就好了啊。当然，这道题目最核心的点是什么呢？其实就是确保角度呢，都是小于九十度的啊。好，所以我在这呢也给同学们呢，把这个稍微看一下啊，大家感受一下啊。 好，大家看，我在这假定是令， a 是 定的啊， b 就是 动的，是吧？当然， c 呢， c 是 在这个以 o 为圆，心二为半径的圆上。 好，注意，我就令 b， c 是 切线就是 c， b 是 切线，当然 c a 呢？它就啊不一定是切线，对吧？就是我令 c， b 是 切线。我说了，你让谁定其实不重要啊。好，还是那个逻辑，现在的要求就是， 其实你只需要去确保，或者说你只需要去判断。当 ab 这条就是假定 a 点是定点啊， 就是 ab 这个长度发生变化的时候呢？这个，因为你 ab 有 a 是 定的，只要 b 确定一个位置，这个时候是个单动态问题啊，因为你 b 确定， c 就 确定，能理解吧？ b 确定， c 就 确定， 呃，就相当于是 b 确定 ab 的 长，确定此时点 c 的 位置也唯一确定啊。也就是说，此时的点 c， 它其实只取决于点 b 的 位置， 而点 b 的 位置又决定了弦 a b 的 长。所以大家呢，就可以找一些临界情形来看，对吧？而且你也能想得出来最极限应该是什么， 最极限的肯定就是什么九十度角的情形。因为我们前面已经解释过了，你其实难点不是相切，难点是什么？难点是九十度是吧？你得把这个九十度明确好了。好，所以同学们可以想象一下看看。当 b 特别靠近 a 的 时候，大家一想就知道他肯定不成立。 为什么呢？ b 靠特别靠近 a 就是 弦特别短，而 ac 的 长度呢，也相对是比较短的。但注意， bc 是 固定值， bc 等于多少？根号三， 这一点非常重要。 bc 是 个固定值根号三，为什么？同学们看啊？因为我是默认，或者说我是假设令 bc 为切线。我说了，令谁为切线不重要啊，就是假定我们就是 bc 为切线， 那么 bc 为缺线，同学们注意， ob 的 长是多少一， o c 的 长是多少？ o c 的 长是二 啊， o c 的 长是二，那么 bc 的 长呢？根号三？也就是说，在我们这种定的情况下，你会发现 bc 的 长不管你怎么变，它都是根号三， 都是根号三。并且我令 b c 为切线，同学们如果知道圆当中的结论的话，就知道弦切角等于弦所对的圆心角的一半，所以同学们也会发现我在这做了一个角，所以呢，就是 取弦的中点 d 啊，弦的中点 d， 那 么 b o d 这个角跟 abc 这个角一定是什么相等的啊，理由也很简单，对吧？因为垂径定律嘛，这个 d o b 加上角 obd 等于九十度啊，这边切线呢，相加也九十，也就是说 a b c 这个角跟 b o d 这个角相等啊，这个有很大作用啊， 因为后面你要算临界值，临界值是什么？就你要保证 a b c 每个角都是小于九十度的。当然同学们也知道，就是如果 ab 特别靠近 a 的 时候，大家能感受的出来，对吧？你自己画图也知道，就是 ab 特短 啊， ac 的 长度呢？反正因为你 b 特别靠近 a 的 时候呢，其实这个 ac 的 长度呢，也不会特别的长，而你 bc 的 长是定的，也就是说此时 bc 相当于最长边。好家伙，那如果你 ab 特别短，那不就保证 bc 是 钝角了吗？所以第一临界情形，你一定能够找得到在哪里， 就是在这种情形，哎呦，当时我就随手画一个这种情形下，也就是说 a c， 呃，当 b 点离 a 点有一段距离的时候，稍微远一点的时候，此时产生一个直角，这个时候呢，肯定是要满足要求的，对吧？肯定满足要求 好，那么当然同学们可以算一下，这个时候用什么来算？相似就行了啊，相似就行了，你看 b、 o、 d 这个直角三角形跟 b、 a、 c 这个直角三角形，怎么知道相似，对吧？相似。假如 b、 d 设为 x， 那么 o、 b 就是 一，那么 a、 c 呢？跟 b、 c 呢？ b、 c 是 根号三，所以 b、 c 比上 o、 b 是 根号三倍，所以 a、 c 比上 b、 d 也是根号三倍。如果你设 b、 d 为 x， a、 c 就是 根号三个 x， 那么 ab 就是 两个 x， 所以 根号三个 x， 两个 x， 呃， b、 c 的 长是根号三，能够算得出来，对吧？能够算得出来啊，所以也就是根号三个 x， 我 就把这个极限情形先算一下吧。好吧，把这个极限情形算一下， 也就是确保根号三个 x 的 平方加上两个 x 的 平方，等于呃，根号三的平方七 x 方等于三， x 方等于七分之三， x 等于七分之，根号二十一， 七分之，根号二十一。当然 ab 的 长肯定就呃大于七分之二倍，根号二十一，对吧，因为它是二 x ab 的 长，是吧？那么注意这个零件情况，那肯定是不能取的，是吧？肯定不能取啊，因为零件情况是九十度啊，九十度。 那么肯定呢？ a、 b 呢？最长最长，最长是什么呢？你 a、 b。 可以， 我们刚刚讲，如果 a、 b 特别短的时候，大家直观做一下图，会发现它肯定会产生钝角，这个时候不满足，对不对？所以你要保证 a、 b 呢稍微长一点，当你 a、 b 最长最长最长最长到几啊？到二 啊，到二，你会发现到二的时候呢，又特别巧，又特别巧，为啥？因为此时刚好就是直角三角形 啊，因为你 ab 最大，最大就是二嘛，对吧？当然到二的时候，刚好就直角，也就是说小于二的时候呢，那肯定就是锐角了，对不对？就是锐角了，当然同学们有人说，我说，那这个 a c b 呢？其实 a c b， 同学们观察一下啊，在我们如图的这个 啊长度情况下呢，大家可以去感知一下，或者说去做一下看看，它肯定是一个锐角啊，好，所以你会发现它最长最长就是 a b 取了二， a b 取了二的时候呢，大家找出这个极限情形，你会发现它呢？还是多少呢？还是这个，呃，这个，这个 啊，临界情形啊，当然这个临界情形呢，很好算，对吧？嗯，就是二，那么等于二的时候呢，大家注意一下，就是这个长度呢， o c 等于二，所以 bc 等于多少呢？根号三是吧？ bc 就 等于根号三 啊，好，然后这个 a c 的 长呢，也有了，是吧？此刚好就怎么样呢？是一个直角三角形啊，因为它本身就是直角嘛，对吧？本身就是直角啊， 好，所以，呃，另外一种极限情形呢，肯定就是二，当然能不能取到二呢？那肯定是不能取到二啊，肯定是不能取到二，所以在这里面呢，就是他要小于二啊，他小于二， 好，所以我们在这呢啊，还是给大家把这个呃图呢，给大家去看一下，大家感受一下啊，就是刚刚已经找了一个极限情形，就是九十度，对吧？就是 ab， 因为你假定 b 点是动的， a 是 定的啊，第一零件嘛，就是 b i c 等于九十度啊， b i c 等于九十度， 好，然后第二零件呢，就是极限，情形呢，就是 a， b、 c 等于九十度，就在这儿啊，就在这里是吧？好，所以，呃，这是一个零件，这是一个零件，当然有人说，我说呢，有没有可能角 c 是 九十九十度啊，这个时候肯定不满足啊， 肯定不满足，为什么呢？因为你随便是以 d 为圆心，就是 ab 的 中点， d 为圆心， ab 的 长为半径，画圆你画出来都没有办法，于，呃，都是相当于在圆的内部的。这个点呢，就是前面我们作图，我们也可以跟大家解释一下，为什么啊， 你看啊， d， b 的 这个长啊， d， b 的 这个长啊，你以 d 为圆心， b 为半径，呃， d， b 为半径，你，你重新画一个圆，你无论怎么画啊，你无论怎么画， 你会发现呢，这个，呃，画出来的圆呢，与这个半径为二的圆都没有交点，也就是说 b、 c 点呢，一定是在这个圆的外侧 啊，所以呢， b、 c， a 一定是一个锐角啊，所以你只需要考虑两种极限，一种极限呢是 b， a、 c 是 九十度，一种极限呢是 abc 是 九十度， 对吧？找到这两个极限就行了，只是 b、 a、 c 是 九十度，这个地方的计算呢，同学们稍微注意一下是吧，利用啊，一组相似啊，我们也就能够算得出来了啊，好，另外一种极限呢，很好理解是吧？二，很好理解啊， ok， 好， 所以这个问题呢，我们最终呢也就给大家解析完了啊，最终的答案呢，就是七分之二倍根号二十一到二之间啊，最后呢是大于二倍根号三。 所以这道题目我觉得还是比较有意思啊，就是说他其实，嗯在整个分析的过程当中还是有自己的这个特点存在的，虽然是一个点类的这个逻辑啊，同学们还是要仔细的去体会一下啊。好，所以这道题目呢，就给大家解析到这里啊。

  23栗子老师教数学
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  04:05

  反比例函数隐藏结论，中考直接用！ #中考数学 #北京中考 #反比例函数 #中考一模 #压轴题

  1520初中math铭迪老师
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  02:39

  #初三#一模20#一次函数
  初二同学现在也能完成

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  我们看一下这次初三一模二十题，本来这道题我觉得太简单就没必要拿出来说啊，但是万万没想到扣分的同学太多了，所以这里边给他拿出来再说一下扣分多的原因是什么？就是阅读分析能力不够， 要么就是题干里丢条件落条件，要不就是题干里的条件分析错误。然后我们看主要原因有哪些啊？第一个原因就是大部分孩子看到这句话啊，应该不是说大部分啊，就有一部分孩子看到这句话说，哎，这个 f 是 h 的 函数， 那个他应该是个反比函数，主观上一直就这么想，这样就是基础不牢啊。这句话他说的是，呃， f 随 h 变化，水位越高，振动频率越慢，他只是体现了什么？函数的一个增减性或者单调性， 跟你他是什么？函数是能定性吗？不是因为这句话定性的啊，因为哪句话？这是第一个出现错误原因？第二个，你如果往下读的时候，你这出现错误都不要紧，你看这样，他说分布在一条直线，那你看我们现在学的函数，呃，一次函数，反比的函数，二次函数分布到一条直线附近，那他必是一个一次函数。 再有你就想啊，我们这二十题做了这么久，他不始终考察都是一次函数，所以啊，你设反比函数，同学，这道题基本上扣十分，你说这十分错的，扣的可惜不啊，有一部分同学啊。然后第二个错误的原因。第二个错误原因在哪？在这呢？ 说保留这个表二中这个数据，保留整数这一块错的才热闹，保留整数，这有保留三百八十九的，然后有不保留的就不保留，什么情况？就根本没看着这四个字就给舍了？ 当然啊，从这道题也能分析，也能看出来，现在目前大多数的孩子在阅读分析能力上存在问题，存在问题原因多种啊。第一个就是看到字多的题读不进去。读不进去原因还有什么？就是平时这个手机刷短视频的影响，你碎片化的阅，碎片化的阅读太多了，那你说你很难注意力集中，然后也很容易丢掉关键信息。最后再回来说，这道题 你四舍五入之后两个都是整数，然后是呃 f， 关于 f 是 h 的 函数，涉及的函数结式 y 等，呃， f 等于这块也是啊，一定不要设错了。 f 等于 k， h 加 b， 然后带入两个点坐标，这个应该是最后第一个问，求完是 f 等于负的五， h 加四百三， 应该是这个啊，没记错的话，然后不要求这个企业取之范围。再往下看第二个问，第二个问就是因为两个表，第二个问这次对应的这个水位高度是多少？你这次对应的频率告诉你，三百九十二，你往求，刚才求那个函数也是一代入，你 h 不 就求出来了吗？然后第三个问，第三个问，他其实也是一个函数关系， 那有规律的增长吗？这个水位高度四十，水量是八十，是他的这个增长了二十倍，也增长二十倍，你往里直接让你写出，你直接乘以二十代入得了呗，就求出来了，所以整题十分。我觉得在这张试卷里， 倒数第三道来说，对于倒数第三道题来说，他这难度是降低了的，相比于去年一模和中考，但这难度都是要降低的。但是万万没想到啊，错误的缘故的同学和原因有这么多，希望这个所有的同学啊，都能引以为戒，在这种阅读分析的题目上一定要多加练习，读题的时候更细致一些。

  35教数学的大張
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  00:10

  东城区2026年九下一模代综。
  #北京中考 #初中数学 #中考数学 #二次函数 #解题技巧

  128只投三分儿
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  26:21

  粉丝的邀请继续分析2026贵州省初中一模，第二遍会火吗#校园教育教学 #我的数学学习经验分享

  157行哥
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  10:55

  2026东城一模圆综合｜卡点可能在“传染”没做好 圆综合最怕的不是不会算，而是条件不会“传”。
  #初三 #初三数学 #圆综合 #初三一模 #中考

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  几何快代数，稳心定力，还能提智商。 hello， 大家好，我是雨荷老师，我们一起来看一下这道东城一模的圆综合。这道题呢，如果大家在考场上或者自己做的时候啊，如果卡住了，要么咱们对圆综合的条件反射掌握的还不到位， 要么就是你的传染标图传染的基本功还掌握的不太好，不太熟练。要么咱们最后一个就是大家可能卡住的点就在于传染不动的时候，你没有射餐的意识。 原综合的无敌模式，咱们经常说疯狂传染，疯狂传染，当你传染不动的时候就射餐列方程， 这是咱们圆综合的无敌模式。那么这道题雨荷老师带大家一起啊，给大家示范一下如何用我们圆综的无敌模式去快速的秒杀这道题。好来如图，点 c， 在 以 ab 为直径的圆 o 上，看到直径 这么长，出现的条件就想直径，它自带终点，人家的圆心就是人家的终点。第二，直径所对的圆周角是九十度， 这个条件反正大家是要有的啊。第二个条件，弧 a、 c 等于弧 bc， 看到弧 我们马上就得意识到弧、弦角。三个亲密无间的三兄弟，看见弧就想弦，看见弧就想角，它所对应的圆周角和圆心角。所以既然弧 a、 c 和弧 bc 相等，那么连 oc 它们 所形成的两个圆心角一定是相等的，因为 a、 b 是 直径，是个平角一百八，所以被平分了，那不就只能是九十度吗？所以九十度，九十度 这个条件反射大家有没有掌握？看到弧等马上就想对应的圆周角，圆心角相等对应的弦等，这个题没划弦，咱们就先不多此一举啊。点 d 为弧， a b 上一点过，点 c 做了个切线 键，切线连半径标垂直。哎，半径 o c 连上了，那么垂直呢？自然而然 o c 垂直于 e、 f 好， 垂直，垂直两，这个平行自然就出现了，所以我们的第一问，直接秒杀 正平行。只要大家在做圆综合的时候，条件反射做到位，标图给我做好，那么第一问往往直接就能够标出来，都不用你动脑子直接标， 这就是我们天然形成的条件反射非常快。好！第二问连接 b、 c 交 d、 e 于点记好，交于点记 来，先把图补全，补全咱们再看啊！标图传染，疯狂传染。 这个题的第二问，这个题的第二问，在连的上它的那一刻，哎，我们就得想到哦！首先， o c 等于 o b， 人家都是半径，这个题里边半径特别多，最起码半径所有的半径等长，我们给它标出来啊！ o c 等于 o b 等于我们的 o d 还等于谁呢？ o a 还等于谁呢？这还有一个半径啊！假设这是 p 吧， o p 这个题中原中处处是等腰啊，大家在看到特别多的半径存在的时候，脑子里一定也意识到哦，半径相等，半径相等，所以 o、 b、 c 是 个特别标准的等腰直角三角形， 四十五度，四十五度有特殊角标出来，加上我们上一问的平行标出这个是四十五度。还有呢？ 还有大家能想想到什么平行？关于上一问的这个结论，大家经常听到，上一问是对下一问温暖而善意的提醒，看到平行，一想到角，二想相似，尤其在圆综合中，相似是我们求线断长特别 高频的考试的工具。那么一导角导角现在是导完了吗？大家想想，导完了吗？ 没导完呢，还能导出其他的吗？比如说点一，如果它是点角，那么它是叉角。好，这个是点角，这个也是点角，我们的点叉九十度啊，点加叉等于九十度，这个标图法好， 那么因为我们的 d a o。 哎，人家这个角因为平行也等于这个角啊， d a o 肯定等于角 f 好， 因为 d a o 是 圆中处处出等腰的一个等腰，所以说我们的整个大三角形 d f e 一定是个等腰三角形。也就是说这道题 e f 等于八，是可以通过标图传染出去的， 它等于八，那么我们的 d e 自然就等于八。相信有一部相当一部分同学卡点卡在这，你的原因就是因为你的标图传染不到位， 甚至可以说你或者说你对于第一问的平行，你一点这个想法都没有，倒角也没倒，相似也没找， 所以我们 ef 的 八就完全可以传染到我们的 d e 上去。 好，那么平行出相似，那么大家可以看到啊，这道题最后求 c g 的 长 c g。 所，我们都知道求线断长，要放到三角形中去，求线断长，那么 c g 所在的三角形要么呢？ c o g 要么呢？ c e g。 那 么平行我们的第二个特别高频用到的场景就是什么呢？相似，谁跟谁相似？ 大家可以看到，结合我们的最后要求的 c g 的 长，谁和谁相似？ o b g 和我们的 c e g。 相似。哎，做到这块，大家其实整个题读下来，你现在思路差不多已经有了，我只要找到 o b g 和 c e g， 找到它们的相似比，再找到 a b g 的 长，或者是 bc 的 长，那 c g 的 长我就出来了呀， 这是不是你的思路？好，那么咱们现在来根据我们的结论，哎，研究我们的结论，边放在三角形中，哎，结合我们的平行工具，我们推出了一个特别完美的这个思路。那好，咱们的条件还没用完呢啊，三角函数。 最后一个条件，三角函数，三角函数一定要放到直角三角形中去用，这是毋庸置疑的。那么角 e 作为点角，刚刚在老师的传染之下，哎，这个角也是点角，这个角也是点角，首先角 e， 天然所在的直角三角形有谁呢？ 只有我们的 o、 c、 e， 我 都不用我造，只有 o c e 是 一个角， e 本来就在的直角三角形中，也就是说 o c 和 o e 的 比一定是三比五， 但是你和这个八，但是我们的这个三角函数和我们具体的线段长度能够放在一起吗？你看这两个八，他在我们这样三角形中吗？不在，所以传染不动了。哎，现在可能遇到了咱们这道题的第二个困境啊，你传染不动了， 传染不动就干嘛射餐，射餐秒杀一切，那么射谁呢？在三角形 oce 中，我们就研究你这个三角函数，因为你三角函数用不上，你现在咋用你都用不上，所以你就死命的盯着它，我一定得把它用上。在直角三角形 o、 c、 e 中，你说 o c 是 什么？是半径，同学们，它是半径，那我假设人家设半径是 r， 那 么图中特别多，特别多特别多的 r、 o p， o c， o a， o d， o b， 人家都是 r。 好，那么你现在告诉老师， o c， o e 的 长呢？ o e 的 长呢？等于 d e 减 o d， 它就是八减 r 啊。所以在直角三角形 o c e 中， o e 比上我们的 o c， 反过来写吧， o c 比上 o e 就是 r 比上八减 r 是 谁？三， e 是 谁？三比五， 看传染不动就射参列方程，列什么方程？三角函数方程也行，勾股方程也可以相似方程还可以 勾股。相似和三角都是咱们求线段长的工具，也都可以把它拿来去列方程，一定要有射参列方程的意思，所以 r 就 等于三，也就是说这个圆，它的半径是三。老师把所有的三都给大家标出来啊， 三三三三，那么 o e 的 长就是五，那么勾股一下，咱们 c e 的 长三四五，这个勾股数， c e 是 四， c f 呢？人家也是四。 好了，现在还能继续传染吗？你现在都把半径求出来，还能继续传染吗？当然可以， b c 的 长多少？ b c 作为等腰直角三角形的斜边，人家一定是三倍根号二。 好，最后咱们的目的求 c g 的 长， c g 的 长，刚刚我们已经探讨过了，在平行出的相似里， 现在我们看一看，在这两个绿色阴影的相似三角形中， o b 比上我们的 c e 一定等于 b g 比上我们的 c g， o b 是 多少？三， c e 呢？是四， b g 呢？ b g 不知道， 但是它可以用我们的 c g 表示。我们刚刚才求出来 bc 的 长是三倍，根号二啊，所以三倍根号二减 c g 比上 c g， 这个方程就这么出来了，所以大家直接解方程就能解出来 c g 的 长应该是七分之十二倍的根号二， 所以这道题讲到这里大家就明白了。首先第一点，我们做任何原综合任何几何题，标图传染一定是我们的基本功，标图传染做到位，加上我们特别敏感的条件反射，能够快速的秒杀我们原综合的第一问，甚至有的时候第二问， 那么第二问在不在飙毒？传染不够用了，我疯狂传染都传染不动了怎么办？传染不动就射餐，咱们原宗的无敌模式一定要有射餐的这个意识和操作，那么这个原宗题就瞬间的就秒杀掉了。

  11全民数学通关
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  12:02

  2026初三海淀一模数学·函数压轴题精讲视频·双提数学肖菲老师精讲#初中数学#中考#一模#数学

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  2026初三西城一模函数压轴 #西城一模数学

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  有道是数学找小伟考试拨毁。哈喽，大家好，我是你的赛博数学老师小伟。那今天呢，咱们来小虐一道西城一模的这道代数压轴，这也是前段时间有很多同学问我的一道题，那废话不多说，我们直接开始啊， 他说已知二次函数 y 等于 a， x 方减去 b x。 啊，那通过这个条件，我们能得到两个信息，第一个，这个二次函数它的开口是向上的，因为 a 大 于零。 那第二个信息呢？因为这个二次函数它是没有长数项的，所以说 c 是 零， c 是 零，就说明这个图像它必过原点。那不管有没有用，我们就先给它标记上这个图像它必过原点。 好，那么下边第一问，他说当 x 小 于等于二的时候， y x 增大而减小。 x 大 于等于二的时候， y x 大 于 x 增大而增大。好，那他叭叭了这么多，实际上就在说明一件事，就是 x 等于二这么一条直线。所以那咱给他标记一下，他是 x 等于二， 然后他说用等式表示 a 与 b 的 关系。好，那我们直接套那个对称轴的公式就行了，非常的简单啊。但是 这个很容易错，为什么？因为咱们在背这个对称轴公式的时候啊，就背的是负的二 a 分 之 b。 所以 你说老师，我这个直接就是负的二 a 分 之 b 等于二，不就完了吗？大错特错。因为这里边啊，负的二 a 分 之 b 里边那个 a 指的是二次项系数 这个分子，那个 b 呢，指的是一次项系数，但这道题当中，他的二次项系数没问题，他就是 a， 所以 说负的二 a 是 没有问题的，但是 这个一次项系数他可不是 b 了呀，各位，因为他这个整体负 b 是 一次项的系数，所以特别注意他的分子应该是负 b， 这个数等于二，好，那么轻松加一块，咱们化解一下， b 就 等于四 a。 第一问轻松解决。 好，那我们来看第二问啊，他说当 a 等于一， b 等于二的时候， a 二次函数这个图像即为 c 一。 哎，出敌人还挺善良，他告诉了大家 a 和 b， 那 也就说这个二次函数他就完全的给到你了啊。那咱们来标记一下啊，这个 c 一， 它就是 y 等于 x 方减去二 x， 好， 那我们接着看，他说一次，还是 y 等于 k x 图像截为 c 二，好，那咱们也给他写在边上， c 二，它就是 y 等于 k x， 好， 那人家说了， k 是 大于零的，所以说它是一个过一三项线的这么一个正比例。 好，那他说过点屁， t 到零做 x 时候，垂线分别交 c 一， c 二于 m n， 好， 那后边 t 大 于负一小于三的时候，还是 m n 的 距离。有关系的这么一个东西啊，那其实换汤不换药嘛，还是按照去年中考改编的好，那我们还是老三样。第一步，先表示点啊， 先表示点，也就说我们要把这个 m 点和 n 点的坐标用这个 t 给它表示一下，那 m 点呢？因为它是过这个 t 六零的垂线，对吧？所以说它的横坐标肯定是 t， 那 纵坐标呢？我们带到二次函数当中，它就是 t 方减去二 t， 好，那同样的道理，我们再表示这个 n 点的坐标，就是 t 到 k， t， 好， 第一步，轻松加愉快啊，那第二步，我们就要表示这个 m n 的 距离了啊，那 m n 的 距离咋表示？是不是就是把这个 m 点和 n 点的纵坐标作差，加绝对值就 ok 了？ 好，那就应该是 t 方减去二 t 再减去 k t 的 绝对值。好，那咱们给它音式分解一下，它就是 t 乘上 t 减二，再减 k。 好， 那第三步我们就要去画这个关于 m n 和 t 的 这么一个图像了啊，就说它是一个横坐标，应该是 t 的 这么一个 二三数，那它的纵坐标表示的是 m n 之间的距离。好，那这个图像应该怎么画？各位注意这个解析式的特征，我们把它看成是一个关于 t 的 二三数了，那它是不是变成因式分解的形式？它应该就有两个根， 要么 t 等于零是吧？要么 t 减二减 k 等于零。所以我们能够找到它与这个横轴的两个焦点，是不是一个是圆点？零？逗，零，这个就是当前边这个为零的时候，还有一个呢，让后边这个为零， t 此时就应该等于 k 加二。那因为人家题干当中说了， k 是 大于零的呀， 所以说 t 等于的那个 k 加二就一定比零大，也就是说原点一定是左边的那个焦点，就这应该是那个原点，那那个 k 加二呢？ 它就一定是在零的右边，所以咱们可以画一个简单的草图，开口向上，是吧？开口向上这样的一个草图，稍微调整一下，它应该过这两个焦点。 ok， 然后需要注意的是啊，因为咱们画的是一个绝对值图像，绝对值它是一定不可能会存在这个动作标是负的呀，所以我们需要把这个 x 轴，或者说叫做此时的 t 轴下方的这一段图像，我们给它翻折上去就 ok 了。好，那咱们就区别一下，我就用这个红色的表示了这个翻折之后的情况。 那所以我们现在 m n 关于 t 的 图像，我们重点看什么呢？重点看这一段就是类似于一个这么一个小 w 的 这么一个图像。好，那接下来咱们就要分析这道题最麻烦的地方了啊， 就是当这个 t 大 于负一小于三的时候。 ok， 那 这个负一我是能够轻松找到的，这个负一它就一定是在这个零的左边，咱随便先标记一下，比如说这个位置，这个位置它是一个负一。 好，那三呢？因为三啊，他是不是在零的右边？但是他跟这个 k 加二什么关系我是不清楚的，对吧？他有可能是在 k 加二的左侧，有可能是在 k 加二的右侧，对吧？ 但是我们看右边的这一段啊，就是零右边这段图像，其实我们可以大致的分为三段，是不是一个是这么一段升上去的这一段，然后又升上去的这一段？ 所以这道题基本上啊，如果说咱们可以拆分为这三段图像的话，那我们就可以分为三种情况去讨论这个三的位置了。好，那我们来看第一种情况啊，就是当这个三是在上升的这一段。 好，那咱们首先先求一下这个对称轴，对称轴咱画一下，他是不是就应该是，呃，这两个端点他的横坐标相加除以二，也就是说二分之 k 加二， 这是二分之 k 加二。所以那么第一种情况啊，就来了，就是三，在这一段的时候呢，咱们需要先对它做一个小小的限定，就是二分之这个 k 加二，它是不是大于三的时候 啊？那咱们化简一下啊，那也就是说即 k 大 于四的时候， 好，那么三此时是在这一段。好，那接下来啊，我们就来分析，他说 m 点和 n 点的距离存在最大值，你说老师这什么叫存在最大值呢？ 大家注意啊，当三在这一段的时候，我们假设这个位置就是三，好，那负一到三这一段图像是不是就应该是这样的？ 那我们观察一下图像啊，我们就应该能看出来，这段我红色荧光笔画出来的这段图像，他是一段先减再增的图像， 那对于先减再增这种图像，我们看图就能知道，他如果说这个距离的最大值，也就是我们看纵坐标啊，他在哪可能会觉得大是不，要么是负一这个位置，要么是三这个位置， 但是恰巧的是这个人家 t 的 范围负一和三都没有取等，也就是这两个边界我们取不到， 所以那我只可能在负一和三这两处取得最大值，但是这个最大值我还取不到，那这个叫 m 点和 n 点的距离有最大值吗？是不是他就没有了啊？所以那么这种情况他其实是不存在的。 ok， 这是我们正确的去翻译这个题干。好，那第二种情况我们再来看啊，它是在下降的这一部分，还是我们在给它分类讨论的时候，一定首先 去讨论这个参数的范围啊？我们看需要对参数做一个限定，也就是当这个二分之 k 加二，它小于三，小于 k 加二。 好，那么我们还是化简一下，那那半部分，哎，他上边这个大于三十大于四，那小于三肯定就小于四了，那咱们来看这三小于 k 加二，那咱们快速的快看一下，就应该 k 大 于一啊，所以 这个范围，也就是说 k 大 于一小于四的时候。好，那咱们看啊，那这个时候对应的我红色荧光笔的图像就应该是嘚嘚嘚啊，就应该是这样的一个图像。 好，那我们观察一下这段图像的话，我们会看到在这个负一到三这一段图像当中，最大值可能在哪个位置取到？是不是有可能在负一处？ 还有可能呢？是在顶点处，是不是也只有这两个位置？但是根据刚才我这个第一种讨论的情况啊，这个负一，这他即使取到了，这即使有这个最大值，咱也取不到啊，所以我们呢，就在这种情况下，如果存在最大值，他就一定在顶点处取到的， 那么在顶点处取到，他需要做一个什么限定呢？就是我这个顶点处的最大值，是不是一定得比我这个负一的时候这个纵坐标要大， 否则的话这个顶点也不叫最大值。所以那咱们拆解两步啊，就第一步，我们先把这个顶点的纵坐标以及 x 等于这个 t 等于负一的时候，这个点的纵坐标我们给他写出来，然后我们再让顶点的纵坐标要大于 x， 这个 t 等于负一的时候这个纵坐标， 好，那咱们慢慢算啊，别着急，有点耐心。这个当 t 等于二分之 k 加二的时候， 那这个 m 和 n 的 距离，咱们直接给他带进来，是不是就应该是一个？嗯，我带到前面这个式子，可能相对来说会好算一点啊，他就应该是，嗯，二分之 k 加二的平方。 慢慢写，别着急，它的平方减去二，乘上二分之 k 加二，然后再减去 k， 乘上二分之 k 加二。 好，那咱给他化减化减，前面这个呢，就应该是四分之 k 加二的平方， k 加二的平方，就 k 方加四， k 再加四，然后减去一个 k 再减二，然后再减去一个二分之 k 方，再减去一个 k。 好，那我就稍微跳一点步骤啊，咱们看啊，我先把这个 k 方合并， k 方哪一项里边有 k 方，四分之 k 方，负的二分之 k 方，所以说这两项咱们化简之后就是负的四分之 k 方。 好，然后接着咱们看 k 啊，这有一个四分之四 k 就是 k， 然后减 k 再减 k， 那 它就剩一个负 k 了， 然后呢，再化减乘除项，这是一个四分之四，就是一一减二，那它就是负一。 好，那咱们接着来想啊，因为在这道题里边， k 是 正的，对吧？ k 是 大于零的，那这个负的四分之 k 方是不就一定是负数，对吧？然后这个负 k 是 一定是一个负数， 然后负一是一个负数，所以说三个负数相加，哎，它就一定是一个负数了，那么它的绝对值就一定是这个式子的相反数。所以说咱们在这样是可以去这个绝对值号的，它就等于四分之 k 方，再加 k， 再加一啊，那么顶点的纵坐标咱就表示完了。 好，那接下来啊，我们再来去表示这个 x 等于负一的时候啊， t 等于负一的时候，这个纵坐标，那 t 等于负一的时候呢？咱们还是代入到前边的这个算式当中，那此时它就应该是负一的平方就是一， 然后负二乘负一再加二，然后呢再加上一个 k， 所以 它就应该是 k 加三的绝对值。好，那因为 k 是 正的，所以 k 加三也一定是正的，那正数的绝对值显然它就还是 k 加三 好。那么我们呢，需要让顶点的纵坐标是不是要比这个 t 等于负一的时候，这个纵坐标大呀？那四分之 k 方加 k 再加一，它就要大于 k 加三。 但是各位注意啊，根据之前我就跟大家说了，当我们写出来了一个不等式的时候，我们就要考虑这个等号他能不能成立，养成这样的一个好习惯，那怎么样去检验呢？我们就假设他可以成立。 我们看啊，如果说这个顶点的纵坐标他就是 x 等于负一的时候，这个纵坐标他们两个一样，那是不是也能说在顶点处他取到最大值，因为他俩一样嘛，然后但是我这个顶点能取到负一的这个位置，取不到，所以也没问题，对吧？我顶点处也叫最大值，所以那我们这是可以取等的。 好，那咱们解一下这个式子啊，我就写在了右边吧，写右边那 k 和 k 约了，然后呢，我们把这个一挪到右边去，是不就是四分之 k 方，他是大于等于二的， 也就是 k 方大于等于八。好，那这个式子怎么解呢？是 k 方大于等于八，那 k 就 要么两边同时开根号大于等于二倍根号二， 或者是 k 小 于等于负的二倍根号。好，这个大家一定要会解好，那解出来这个之后大家注意啊，因为我是在这个大前提 k 大 于一小于四的这个范围当中去讨论的， 那这两个范围， ok， 很 抱歉，他就没有了，因为他不在我这个范围当中。好，那这两个范围咱们取公共部分，那此时就能得到第一个结果了，就是 k 是 大于等于二倍根号，二小于四的，这个是没有问题的。 好，那只剩最后一种情况了啊，咱们耐心一点，慢慢听完。那第三种情况咱们来看，也就是说这个三是在这一段，三，在这一段也就是三要大于这个 k 加二， 那三大于 k 加二的时候呢？ k 此时就应该是小于一的啊，即 k 小 于一时。好，那咱们来看啊， k 小 于一的时候，那咱们其实简单的想一下就行了啊，因为，呃，我现在啊， 他现在的图像就应该是一个这样的图像，那大家注意，我这个这个图像当中的最大值是不是要么在负一处取到，要么是在顶点处取到，要么是在这个三的位置取到，对吧？ 那因为负一和三咱都是取不到的，对吧？因为两边他没有取等，所以说，那这个时候的重任是不是还是压在了这个顶点处，对吧？也就是顶点处的值啊，我既要比这个 x 等于负一的时候，它也要比 x 等于三的时候它， 但是在圈二当中，当这个顶点要是大于负一的时候，咱得到的是这样的一个范围。 哎，那咱们想一下啊，首先 k 它是一个正数，所以说这个就一定不可能了，对吧？那其次，在我现在的讨论当中， k 小 于一，那它这个 k 大 于等于二倍根号也不在这个范围里边了， 所以你这个顶点啊，在 k 小 于一的时候，它都不可能比 x 等于负一的时候这个纵坐标大，那咱们还用算三吗？是不是就没有必要了？也就是说这个顶点它就不可能是这个最大值了， 所以那这道题到这咱们就做完了啊，最后也只有红色的这个范围，也就是 k 大 于等于二倍根号二小于四。 那如果说大家觉得听得不错的话，那感谢大家可以点个小赞啊。那如果有其他的问题，我们可以在评论区给我留言，那我们下期视频再见。拜拜。

  24小炜
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  2026北京昌平初三一模数学第20题 图形与几何#中考数学一模试卷

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  今天呢，来看一下昌平初三一模第二十题。 这道题目中呢，首先呢是三角形 a、 b、 c 中， a、 b 等于 b， c、 d、 e 分 别是 a、 b 和 a、 c 的 中点 连接 b、 e 过点 b 做 b、 e 的 垂线与直线 d、 e 交于点 f， 这个角是直角，连接 a、 f。 第一，求证四边形 a、 e、 b、 f 是 矩形。 有体例可以看出呀，这个角是直角，所以呢，我们只需要证明四边形 a、 e、 b、 f 是 平行四边形，就可以得到这个结论。 首先，根据 d 和 e 分 别是中点，根据中位线定里 d、 e 平行于 bc， 由此呢，就得到了 e、 f 平行于 bc。 其次，由 b、 f 垂直于 b e， 那 么得到这个角是直角，也就是角 f， b、 e 是 直角。同时呢，根据 ab 等于 bc， 可以 得到三角形 abc 是 等腰三角形，而 e 是 底边上的中点。 根据等腰三角形三三线合一的性质，也就得到了 b、 e， 它是垂直并且平分 ac 的， 也就得到了角 a、 e、 b 等于九十度，所以 b、 f 平行于 ac b、 c、 e、 f 中， e、 f 平行于 b c， b、 f 平行于 e、 c， 所以 得到四边形 b、 c、 e、 f 是 平行四边形。 因为 e 是 a、 c 的 中点，所以呢， a、 e 等于 e、 c 在 平行四边形 b、 c、 e、 f 中啊，我们可以得到 b、 f 平行且等于 c、 e， 那 么根据 c、 e 等于 a、 e， 那 么又得到了 b、 f 平行且等于 a、 e， 也就说明四边形 a、 e、 b、 f 是 平行四边形。又因为角 e、 b、 f 等于九十度，所以 得到四边形 a、 e、 b、 f 是 矩形，依据是有一个角是直角的，平行四边形是矩形。来看第二位，若 a、 d 等于五 tan 角 a、 d、 e 等于四分之三，求 a、 f 的 长，由第一位知道呀，四边形 a a e， b f 是 矩形，那么矩形呢？它的对角线是 相等，且互相平分，那么也就得到了 a d 呢，和 d f 是 相等的，都等于五。现在呢，我们做一个辅助线，过点 a 做 a g 垂直于 e f， 垂足为 g， 那 么也就得到了 tangent 角 a d j 等于 a j 比上个 d j 等于 三。比四，我们可以令 a j 是 三倍的 x， d j 就是 四倍的 x。 根据勾股定律，可以求得 a d 呢是五倍的 x， 那 五倍的 x 等于五， 求得 x 等于一，所以呢，就得到了 a g 是 三乘一等于三， d g 是 四乘一等于四。那么现在我们来看一下，在直角三角形 a f g 中， a f 等于根号下 a g 的 平方加上 f g 的 平方， a g 呢，是等于三， f g 呢，是等于 d f 加上 d g， 也就是五加四等于九，那么由此可以得到了 a f 等于根号下三的平方，加上九的平方等于根号九十，该方之后就是三倍的根号十，也就得到了 a f 的 长，是三倍的根号十。

  4心如止水
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  2026西城一模数学·函数探究精讲版蔚宁老师讲解 2026西城一模数学·函数探究精讲版蔚宁老师讲解#备战中考数学 #初三一模 #压轴题#函数分析

  13蔚宁数学
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  北京初三数学一模试卷-海淀区 北京初三家长注意！五一前刚过去的初三一模考试数学试卷中，海淀区试卷是最贴近中考、最有参考价值，难度和中考几乎一致，考法、题型、结构完全对标中考实战。
  #初三一模 #一模数学 #海淀一模 #数学一模 #中考
  @瀚海-SenJiang

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  北京出餐的家长们注意了！五一前刚过去的出餐一模考试数学试卷中，海淀区的试卷是最贴近于中考、最有参考价值，难度和中考几乎一致，考法题型结构完全对标中考实战。 其中基础题前七道选择、填空都很常规，实数计算不等式、分时化简四边形这些送分题一定要拿满，选填鸭肉考动点数形结合工程优化，阅读量适中不刁难。中档题依次函数、旋转、统计、圆中都中规中矩，灵活但不偏 压轴。三道大题，戴宗靠增减性，李宗靠旋转手拉手，新定义靠动态轨迹区分度清晰，没有偏题怪题，整体就是基础稳、中档准、压轴冲。海淀一模就是今年中考的风向标，吃透它，孩子心里就有底。

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