2026惠州三模数学试卷解析几何

刚考完和平三模，整体感觉还可以，主要就是查缺补漏，对比前几年的和平三模真题，这次确实简单不少，估计是为了给我们这些备考的孩子多攒点信心吧，毕竟离高考越来越近，需要增加学生备考信心。 其实现在反而觉得这种友好的模考挺好的，既能检验近期的复习效果，又不会打击湿气。接下来的日子就继续把错题啃透，把基础再夯实点，争取高考的时候能发挥出最好的状态。你们最近模考感觉怎么样？一起加油呀！

济南三模。呃考完好几天了啊然后今天终于有点空了跟大家说一下啊这问题我做下来之后啊整体感觉，呃 我的感觉是难度不大啊但是呃最难的最难的几个题啊就是十一题是一个创新题啊呃十一题不好做他是一个但是如果同学们知道一个叫叫什么卡卡特兰树啊卡特兰树 卡特兰数的话啊这个题一节就能迎刃而解了啊。这并不说我就我我我我以前知道的我也是看这个题之后呃到后来查了查的东西啊从网上看了一下才知道什么叫卡特兰数啊 但是你如果不知道这个数啊你顶多能选出一个来啊顶多能选出一个来其他的你要想在考场上想做出来几乎是不可能啊。 这第十一题啊然后说难题的话一个十一题啊那这是一个创新的还有一个就是十九题十九题啊十九题。然后你记住好一些的话第一问应该是差不多啊第一问应该行然后往下再做就难了是吧啊这是给我的感觉啊 呃然后呃其他的其他的还还好啊其他的没有没有说很难的啊你看第八题应该是个常规题让我说啊然后第十题这这这都都不值得一说其实 安徽这个倒数题是中规中矩的啊。呃数列题是吧哎然后这个这十四题十四题也也不是多么多么难啊哎你这基本功要扎实一下的话也可以做出来啊哎这列两个方程就出来了呃 这是我的整体感觉就两个难题啊呃但是说呃虽然我这么讲啊但是这费事题放在三模啊放在这个三模这个位置 他难度还是偏大的。难度还是偏大的啊啊一般这个三模考试比一模二模都要简单一些啊三模一般是给孩子增加信心的但是今年这个三模题放在这里哎我觉得难度偏大可能有点打击打击孩子的自信心 啊啊我的感觉是这样那接下来我说一下啊。嗯咱整体的捋一下子啊。那前第一个题就不说了是吧。第一个题是他的虚部至于虚部不带挨啊虚部不带挨。哎呦有的同学 我这里有我这里有学生然后前三个题一个一一分也没得前三个题全错了。干的啥呀啊是吧哈哈哈。他绝对都是送分的啊啊绝对都是送分的然后第第二个题是用对称性是吧。用对称性啊正在分布的对称性啊。 第三题第三题要会解啊啊就 x 分 之一小于一他可以写成两个式子怎么去解啊。分 x 小 于零的时候 啊。第一种情况然后第二种情况分 x 大 于零的时候 x 大 于零的时候他两个就都是大 都是同号的。那就是 x 要大于一取倒数啊。它的理论依据是什么它的理论依据是 a 如果 ab 都是正数然后如果 a 大 于 b 那 就是一定有什么 a 分 之一小于 b 分 之一啊。这不等式里面的 东西有有有多少孩子是不会解的这个这个方程啊那那我解完了之后他两个再去再去并集是吧就是 x 幺零或者是他两个去交集是吧或者 x 大 于一啊然后再和 x 大 于一去一交一交是吧。 啊不是这样子，他他那里，他那里干啥？集合 a 集合 b 啊，让他俩的关系，是吧？那肯定是，那 b 是 他的一个子集，是吧？ b 是 他的子集， b 是 真子集，像 c， 是 吧？嗯， 呃，第四题，第四题，把它两个都展开，是吧？都展开，然后一加一减， 然后求出这个塞，阿尔法塞比，他来，求出口，塞阿尔法口塞比他来，然后两个是一出不就出来了吗？是吧？这个也简单，是选选 a， 是 吧？ 嗯，然后第五题，第五题，哎，这都是送分的题啊，哎。直线经过远点，然后和他交于两点，他不是和这个，和和和一个， 哎，这是个双曲线，是吧？他和他交于两点，你知道这两点一定是关于原点对称的，是吧？啊，你设这个是 x 零都和 y 零，这个就是负 x 零都和负 y 零，是吧？然后他说这两个点 的横坐标之积为负十六，也就是 x 零乘以负 x 零，也就是负的 x 零的平方，这不就两两个横坐标之积吗？它等于负十六，你知道 x 零的平方等于十六，那 x 零等于四， x 零等于四，然后再把它代入这个方程，对吧？ 啊？ x 零等于四呢？ y 零呢？写 y 零在在这个直线里，是吧，所以这个 a 点的坐标就可以写出来，它就是，呃，四都好跟三，是吧，然后再把这个点代入这个方程，不就求出来了， 对吧？哎，这是第五题啊，第六题啊，第六题是一个二项式定力的题，然后， 啊，一看好像是负值上。不是负值啊，就是给它转换一下，转换一下。求 a 七啊，求 a 七。我只需要把 x 给它换成 x 减一不就行了吗？ 换成 x 减一这个式的时候，写成 x 减一裹起来的八次方等于个 a 零，是吧？这里不都成 x 了，哎。加上个 a 一 x 加上 a 二， x 平方，一直加加，加到一个 a 八乘 x 八次方，他要求 a 七的话，那中间有个 a 七乘 x 七次方，他要求 a 七上去，求这个二项式展开式当中的 x 七次方的系数，是吧？ x 七次方的系数怎么求啊？把它展开二项式就能展开，不就是 c， 你 可以再给他换换位置啊。负一加八写成行吗？负一加 x 裹起来的八次方展开式就是 c 八， 呃，解一负一的解次方是吧？然后 x 的 解次方 x 是 不是需要七写七啊？那这里也是七，那这里就是一是吧，那所以它的系数就是谁啊？系数就是负八是吧？系数就是负八选 a。 我去，这个也是秒掉的哈，这个也没啥难度啊。第七题，第七题啊，第七题。然后画图。属性结合啊，属性结合。呃呃，他说实数 a 大 于零， f， x 等于这一串，底下等于这一串，他的值域是按求 a 的 取值范围啊。 九， a 的 九。那么你看这个函数题啊，做一个小这种小题，他好在这种六七八这个位置出现是吧？那他就是一个是 log 一 二为 d x 啊，这是横过一度零点是吧？ 然后还有一条线呢，叫 x 大 于一，嗯， x 大 于一零小 a 的 时候，在这里 x 大 于等于 a 的 时候，它是 x 减一啊，其实你只需要画一条线就行了， x 减一这条线，我我把它画到一条一个一个一个一个里面，嗯，它就是这么。 嗯， 我给他画上这么一条线，这个 log 一 二与 d x 底下，是啊，上面呢就是 y 等于 x 减一。你给他画一条线啊，他他会有两个焦点，一个焦点是谁啊？一个焦点是一度零，一个焦点是谁啊？是二度零， 这个焦点就是横坐标是二，横坐标是二啊，哎，你只要会画这个图，这就也也就秒了。选 d 啊，一到二十。嗯， 第八题，这八题考的不错啊，这八题你可以有两种方法啊，一种方法你可以用， 你可以就是用预先定例啊，用传统的传统的做法去做啊，然后还有一种办法呢，就是用，用什么阿诗圆，你看出是阿诗圆来就可以了啊。哎，我把第八题给大家说一下啊，有两种方法给大家解一下这八题啊。嗯， 这个第八题啊，大家看看啊，我把这个图画到后面啊，嗯，他说是 a、 d 等于这里一个地点啊， a， d 等于 db 相等啊，然后 e 是 一个三等分点， 然后连接 b， e， c、 d 交于 o 点啊，然后 ab 等于六，那这段就是三，这段也是三，是吧？嗯， 呃，他问三角形 abc 的 面积的最大值啊， abc 面积的最大值， 他的最大值是谁是吧？嗯，你得这个题，你先把这个图形给他研究明白了啊，这个图形你得看先，先看明白，看不明白这个这个图，然后直接不行啊。哦，还有个条件是 o b 等于两个 o d， 是 吧？ o b， 那 两个 o d， 你说这个 o d， 我 如果设置 m 的 话，那这个 o b 等于两个 m， 是 吧？哎，你画出这个图来之后，你就发现这个 a、 b、 d 这三个都是一个定点，是吧？这个 o 是 个动的啊，这个 c， 其他的其他的点子都是动的，是吧？只有 a、 b、 d 是 一个定点， 那不是 o b 和 o d， o b 比 o d 等于二是吧？它是一个定值。所以你首先啊，你如果会那个什么的话，会阿是圆的话啊，那这个题他就可以迅速的搞出来了啊。呃，那你不会阿是圆怎么办？不会阿是圆，你得， 那不管你会不会啊，是缘。这个图，你首先得把这个图先先给他分分析透。像这个这种图形，咱在这个做像平面像量的时候经常会遇到啊，经常会遇到这个三等分点，这个两等分点，他两个一连是吧？他两个一连，然后形成这样一个图形，呃，这时候你需要把这个， 把这个地方给他连一下，连起来之后你就发现 f 是 a、 e 的 中点， d 是 ab 的 中点，在三角形 a、 b、 e 当中， d 和 f 都是两个中点，所以说 e、 f 是 中位线 d， f 啊， d， f 是 中位线，中位线它就平行于谁啊？它就平行于 b、 e 是 吧？那你再在三角形 c、 d、 f 当中，你发现这个 o e 又平行于 f， d， o e 平行， f， d e 又是这个 cf 的 终点，所以说什么？所以 o 点就是 cd 的 终点是吧？ cd 就是， 哎，就他的终点，所以说这个 o 点就是什么？ o 点就是个终点啊， o 为终点是吧？ 那也就是说 ceo 也是 m， 哎，知道了这个关系啊，你就可以去表示了啊，咱先不用二十元去做啊，咱先用什么？咱直接把这个三角形给它表示出来，行吗？表示出来怎么去表示啊？ 你看我用什么，我利用这两个角度的关系，那如果它是随它，它就派点随它，那这个三角形 abc， 它应该等于 用余弦定律二分之一啊，在这个三角形的 a、 c、 d 加上个 b、 d， c 啊。啊，他觉得你设他是谁大，他是判减谁大，而肾谁大和肾判减谁大都是一样的，他等于二分之一，那就乘上一个二 m， 再乘上一个三， 然后再乘一个 c， 随它。那这个面积是这样啊，那这个 b、 c、 d 的 面积和它是表达方式是一样一样的，所以这个数再乘上一个二就行了，所以它一共就是这个二和这个二消一个，它就等于六 m 倍的 c， 随它， 是吧？哎，于是你就有了方向了，那我只要把塞塞它，再给它表示出来，用 m p 表示，是吧？那这题不就可以了吗？那我要表示塞塞它的话，我在这三角形谁啊？在三角形 b、 o、 d 当中， 我用余弦，用一下余弦静底行不行？哎，我说的这个是塞塞啊，那这口塞塞，你是不是会写 口乘 c？ 它，它就等于 m 方加上一个九，减去一个四 m 方，再除以上一个两倍的三乘以 m， 那整理一下，也就是，呃，负三倍的 m 方加上个九，等于个六倍的 m 乘一个口乘 c， 它，这样我把口乘它可以表示出来，所以口乘 c， 它应该等于个 都出一个三，是吧？都出一个三，它就成了二 m， 这里成了负的 m 方加上一个 三，对吧？口算谁家，写出来了算谁家，那是不是会表示了啊？算谁家等于根号下一减去他的平方，对吧？一减去四 m 方分之上面就是三减 m 方裹起来的平方。 嗯，那所以说三角形的面积我就可以去写了。三角形的面积就等于六倍的 m， 再乘上一个 c， 它 c， 它就等于把这里面给它通个分，是吧？那就是四 m 方分之 四， m 方减去一个括号里面，那就是 再写成 m 方，再写的是 m 方减三吧，过去的平方，先不要着急化减啊，先不要着急化减， 你先给他用一个换元，是吧？把这个 m 先给他弄到里面，搞到里面这里，哎，到根号下里面 m 方， m 方，他就没有了， 是吧？然后这时候你可以用个换元啊，要不然出现一个四次的不好看。令 t 等于 m 方，好吧，令 t 等于 m 方，所以说里面这个东西，它就变成了把这个四再给它搞出来， 我出来是不是二了？那它等于三倍的根号下里面就是四 m 的 平方，减去直接四 t 了啊。四 t 就是 四 t 减去一个 t 减三裹起来的平方，这不是关于 t 的 一个二次式吗？你就再令 f t， 当然这里你得属于什么 m 方数零到正无穷啊，是不是其他的都没有范围限制是吧？那 f t 就 你令 f t 等于 四， t 减去 t 减三裹起来的平方，那他就等于四， t 减去 t 方，加上一个六， t 再减去个九，那就等于负的 t 方加上一个四， t 减去个九，它是关于 t 的 一个二次函数。开口向下对称轴是 t 等于五，是吧？哎，所以当 t 等于五十， t 等于五十， f t 的 最大值它就等于负的二十五，加上一个五十，减去个九等于 十六，是吧？哎，所以说 s 三角形面积的最大值三乘上一个底下最大值的十六， 那那开出来就是四啊，它就等于十啊，那这个题就选出来了，是吧？哎，这是第第八题的做法啊。 那当然，你如果，如果你看出是个 r 式圆的时候，这个题它就更简单了啊。哎，看 r 式圆，看出 r 式圆来之后啊，你必须得会 r 式圆才行，你不会 r 式圆，那，那，那也不行，知道吧？嗯， r 式圆是怎么回事啊？到 c 的 一个内角平分线，然后延长一下 c、 b， 那 这里呢？还有一个外角平分线，是吧？嗯， 然后如果是 a、 c 比上 ab， 等于一个栏木的啊，栏木的当然不能等于一，是吧？啊？ 呃，这是内角平分线啊，这个 c、 d 是 内角平分线，这个这个 e 角外角 c， e 是 外角平分线，它，它，那这个角和这个角是相等的， 里面这两个内角是这样子的，那咱有内角平分线性质定律。还有一个外角平分线性质里，那是不是一定有 a c 除以 ab， 它就等于？你看 a， c 除以 ab， 它就等于 a， d 除以一个 d， b 还等于谁？ 还等于一个 a， c 比 ab 等于个 a， e 比上个 e， b， 是 吧？哎， a， e 比上 e， b， 它这个地方怎么记啊？就是你看，这里是 a 到内，这个叫内分点。 a， d 是 a 到内分点，然后比上内分点到 b， 这个是 a 到外分点，比上外分点到 b， 那 这样的话，那这个 c 的 归记啊， c 的 归记， 它就是一个圆。为什么？因为这两个角加起来是 这两个角上呢？这两个角上呢？那他一共的是一百八十度，所以这这个角呢？中间这个角他两个，他两个的一半加一半，是吧？那就是九十度。所以说，所以说什么？ 所以 c 的 规界就是个圆，他就是在 d 点 e 点为直径的一个圆上，是吧？啊？他如果蓝布达已经确定了，那 d 点 就是一个定点，那同样 e 点也是个定点，那他在这个 d e 为直径 d e 为直径的圆上，这个圆我们就称为 r 是 圆，是吧？这个圆我们称为 r 是 圆啊。 d 是 内角内分点，这个 e 是 外分点，是吧？ e 是 外分点啊， 那你看这个题，我画的和咱这个图是用是吻合的啊？啊，画的是吻合的，然后现在咱知道 ab 等于六，那这段是三，这段是三，是吧？这个栏目大，现在等于谁啊？等于二啊？栏目大等于二，栏目大等于二的话， 嗯，哦，不好意思，那这里这个，这个图，这个，这个点是 o 点，是吧？哎，你你，你放到这个图里面，证明是 o 点，是吧？ o 点，然后是 o b 比上 o d， 它等于二，对吧？ o b 比上 o d 等于二， 那那直接看这个图吧，那也就是说 o b 等于， 嗯，那不是吻合的，不是吻合的啊。那，那那接下来你这个图你都看明白了，然后再看这里，行了啊，现在是 o b 比上 o d， 它等于二，是吧？那我要找到它的， 要找到它的圆心，我怎么去找？那我需要做一个过 o 点，做它的内角平分线， 是吧？然后过它再做它的外角平分线啊，然后它的内角平分线，比如说这个点，我让它叫叫 p 吧。外角平分线， 然后这个点叫它叫 q 吧。啊，你看，现在是 o d 比上 o b， 它是等于一比二，那底下这个是一比二，那在这写吧，在这写吧，那就是 o d 比上 o b， 它等于个一比二，那它还等于 d p 比上一个 p b d p 比上一个 p b， 而这个整体是三呢？所以说这段这个 d p 是 不是一啊？这个 p b 就是 二，是吧？它还等于谁？ o d 比上 o b 等于它比上它， 它是不是等于 d q 比上个 d b 啊？是吧？哎， b q 比上 d b， 那 也等于个谁啊？一比二 d q d q 比上一个 q q b 啊？ q b 比上个 q b， 嗯，它还得等于一比二。所以你去看这个 q 点上是哪个点？ q 点是不是就是 a 点，是吧？ q 点上去是 a 点，是吧？因为它等于这个 q b q b， 它需要等于两个 d， q 等于二分之一个 q b， 那你看到这个 q 点，它是一个它剩下的 a 点的话， a 点的话，那这个题就简单了，是吧？然，然后找到这个点， 它就内内分点，那这个 a 点就是外分点，是吧？所以说这个 o o 的 规记就是一个二十元， o 的 规记就是二十元，以 p q 为直径的一个二十元，是吧？ 那我们要求谁啊？要求这个，那半径等于几啊？半径。你看这一段就是 dp 就是 一，那 ad 就是 三，是吧？那它的半径就等于就等于二，半径为二，那三角形 s， 三角形 oab 的 面积在什么会表示？那它的最大值等于等于二分之一，乘一个 ab， 再乘一个半径 r， 是 吧？哎，当它是半径 r 的 时候，它是面积最大的底乘以高吗？ 那也就等于二分之一，再乘上一个 ab 是 六，再 r 是 二，那它就等于等于六。而三角 s 三角形 c a b 的 面积呢？ c a、 b 的 面积，你看，因为 o 点是中点啊，那 c 应该是它的两倍啊，它的高，是吧？那它它的面积应该是两倍的，哎，这个面积二乘以六等于十，哎，这样就出来了啊，这还是让你会了的，很简单，你不会他也很难啊啊 啊，你学会了，它就很简单啊，当然也可以也有。这是用的什么？用的初中的办法啊？用的初中的办法。那高中的办法有没有呢？ 哎，你可以就是求谁你就射谁，你可以暴力求出来，是吧。啊，你看看这，看这里，这个图啊，这 abac 求谁就射谁，射出 x y 来，然后把 a 点坐标。那，那这时候找个中点啊，找个中点， 然后设它是 a， 负 a 度零，设 b 点，这里边是 a 度零，然后 o a 比上 o b 啊， o a 比上 o b 等于一比二，用两点间距离公式给它表示出来，可以暴力求出来，哎，然后圆心半径都可以写出来，它的圆心应该是圆心，写出来之后它应该是多少呢？ 记不大清了啊。应该是 a 倍的蓝不大方加一乘以蓝不大方减一了，还是这个半径等于二。 a 倍的蓝不大减去蓝不大分之一的绝对值。嗯，应该是这么个数啊， 好吧。嗯，你看这个 a， 现在这里的 a 是 谁啊？这里这 a 上就等于个三，是吧，那这栏木呢？等于二，那这里的半径呢？上就等于谁啊？等于二， a 上是六，然后底下就是二，减去二分之一 等于二分之三，六乘以个三分之二。呃，它等于哦，等于四了 啊，不是，这里的 a 等于三啊，这里 a 等于三，现在是以 d b 是 以 d b 为极点去减的啊， d b 是 等于三的，所以二一是三啊，二一是三，所以这个地方求出来是二二，半径等于二，这样也能求出来啊。关于这个关于这个 r 式圆啊。我在前面课程里啊 在前面课程里是哪一天的啊。呃比较早了啊。呃朋友们大家好啊那今天我跟你说一下我给他找一下我给他找找。呃他是在 在哪一期呢啊前面可以翻翻着去看看啊。在前面我课程里都有啊在我前面的课程里啊我都就有过详细的一个推导与论数啊有兴趣的同学然后可以走来看看啊。 好的第八题啊然后剩下的啊我下来第九题第九题是个送分题啊啊如果做不出来肯定是技术不行第十题第十题你就画一个正方题啊啊这个也不难 这是比较简单的一个题啊。第十一题啊第十一题他是一个你如果不会卡特兰数的话啊啊 你像学霸你想你想你想你想再进你想再提高一步的话你就从网上去找找这个卡特兰数啊 啊就画一个画一个这样的一个呃一个表格然后他在他在这条线下面啊这里咱不讲了啊很麻烦的讲。 嗯第十二题啊接下来填我十二题是送费的吧是吧哎十三题也是非常简单的一个题啊。十四题我来说十四题其实也不难啊。也是也是 其实你的基本功力扎实的深厚才行啊。十字题你给他你看在一个椭圆当中 f 一 是椭圆的两个焦点 然后它上面有 p q 两点啊然后满足两倍的 f 一 p 向量等于三倍的 f 二 p 向量所以它两个是共线的或者叫平行的是吧。这个上面一个顶角加上 k 以 q 为顶角的时候它两个是互余的求离心率啊。 这个也不难。嗯，我跟他说说吧。来来，画个图啊，在后面，在后面啊。嗯， 这图画好了啊，它这是 f 一 p 向量两倍的他，他不是等于三倍的 f 二 q 向量吗？这时候你可以这里面咱这个这个条，这个题目里的是不是任何条件都不知道啊？就是任何一个数量都不知道，咱只知道这么一个比例关系，是吧？还知道一个角度的关系，那你就不妨给他， 哎，给他设个数，行吗？我知道 f 一 p 他的长度，他的模长是三， f 二 k 又模长是二，因为他俩平行的，是吧？啊，然后这个是等于等于二，这个等于三，这样计算起来很简单啊。然后，呃，又知道这个九和这个九是加起来等于九十度 啊，他两个平行，所以说这个屁，这个角和这个角是位相等，那他俩加起来九十度，他俩加起来就是九十度，所以说中间这个角应该是个直角，是吧？在这里就都是直角，是吧？既然都是直角的话，这两个三角形就是相似的，那相似比就是 三比二，是吧？那我不妨我就设交于交于哪点？交于这个 m 点吧。我就设 m q， 这段是两个 x， 那 这段是，那这个就是三个 x 喽。 f 一 m 是 吧？那这个是两个 y， 那 上面就是三个 y， 是 吧？接下来我去找个等式，把 x y 可以 解出来。找什么等式啊？你看，首先在这个三角形 m q f 二中，这个四倍的 x 方加上四倍的 y 方，它是等于四的，所以说也就是 x 方加上 y 的 平方，它是等于一 的，是吧？然后再找一个等量关系。找什么等量关系啊？根据定义， p f 一 加 p f 二， 它等于二 a， 而 q f 一 加 q f 二呢，它是不是也是等于二 a 啊？根据这个列列式的，那怎么去列呢？呃， q p f 一 不就是三？加上一个五倍的 y， 那 它就等于。呃，在这边 q f 一， 它是不是就五个 x 加上一个二？所以这样我是不是可以得出一个五倍的 y 减 x， 它是不是应该等于一？ 嗯，不对，它等于负一五倍的 x 减 y 啊？是五倍的 x 减 y， 它是不是应该等于个一啊？也就是 x 减 y， 应该等于个五分之一，那这是一式，这是二式 啊。他俩的平方和等于一，他俩一减等于五分之一，这 x y 也不需要算，你猜猜就猜出来了。 x 等于谁啊？ 等于五分之四， y 等于五分之三，是吧？哎，你看他俩写的正好是一，一减是五分之一， 那你对数字得敏感啊，得敏感啊，这样就求出来了，是吧？求出 x y 来之后，那咱是不是就可以表示出来了？表示谁啊？表示这个 f 一 q， 它就等于五个 x 啊，也就等于四啊，是吧？嗯， f 一 q， 它就是四， 那这时候，呃，那这个二一等于谁呢？二一是不是等于四，加二也等于个六啊？ a 等于三，是吧？然后再表示一下这个 c， 这个 c， 那 在这个三角形 f 一 f 二 m 当中，这个直角三角形中，我再表示一下 c， 那 是不是四？ c 的 平方应该等于 三倍的 x， 裹起来的平方再加上个两倍的 y， 裹起来的平方也就是四 c 方啊，等于这个三 x 写三 x 是 不是就是五分之十二， 是吧？裹起来的平方再加上一个两倍的 y， 那 就是五分之六。裹起来的平方，那他又等于二十五分之一百四十四，加上一个三十六，等于二 十五分之一百八十，是吧？所以四 c 方呢？那也就是前些个月分，那他等于个五分之三十六，是吧？ 那所以说四 c 方等于五分之三十六，所以 c 方呢？等于个五分之 除以四九，所以 c 呢？应该等于根号五分之三，离心率等于 a 分 之 c， 那 a 呢？是三，上面是根号五分之三，那他等于根号五分之一，五分之根五，是吧？嗯，是吧？嗯， 这题你一定是经过训练啊，你别上，老师，我看到你做的太简单了，这笨。这东西它是经过训练的，是吧？经过训练的啊，哎，经过训练之后你也可以，是吧？嗯， 这是第十四题啊，第十五题是不是一个常规题啊？哎，第十五题，求限行回归方程啊。限行回归方程，我要求大家啊，只要是我的学生，我要求这个公式，你不但要， 不但要什么，你，你不能，你，你，你要把它背下来啊，你不但要背下第一个公式来，而且他第那两个公式你都要背下来，因为这到时候他给你一个公式，他给的数据不一定是那个。 那 b 帽子等于这一串，是吧？这是第二个公式。还有还有公式叫什么？叫 c 个码 i 从 e 到 n， x， i 减去 x 八裹起来的平方。这个分母商是谁啊？这个分母商是方叉的 方叉的，你看它再出上一个 n 是 不是就是方叉，就是 x 的 方叉，是吧？所以它就是方叉的 n 倍 啊。嗯，方叉的 n 倍上面呢？是这样， c 个 y 从一到 n， 然后 x i 减去 x 八裹起来的平方，它乘一个 y， i 减去 y 八裹起来的平方。 哎，你对自己要求严格一点的话，然后你把这两个公式都背过，他不但背过，而且还要还要会推导，还要会推导啊，只有这样你才能游刃有余。这种题型的一个变形就是什么啊，这种题型的一个变形啊，就是 去互联方程啊，它有时候可能还会给你变出各种各样的来。不是现行关系的啊，比如说它写一个，写一个 lo n y 等于一个 lo n x b b 的 lo n x 再加上一个谁啊？再加上一个小 c 吧。 这种情况下，是谁和谁成密切关系啊？是 l x 和 l y 成密切关系。好吧，不会的，还要继续弄啊。十六题立体几何应该是一个常规题啊，线面角啊，用的是正弦值，有的人然后用到用到口塞了 啊，线面角用口塞写出来之后，然后再写一节口塞，写出来之后，然后再写一节口塞，直接就带着正弦值是吧。 第十七题啊，一个错位相减法啊，然后求出 a n 来，根据 a n 和 s n 的 混合式推向做叉，求出 a n 等于 n 来，然后再把它带到这里面，把这个 a 再带到 b n 里面啊，然后求它的前二项和 前二项和。很多人就不会了，哼，是啊，你看它可以连起来去写啊，连起来去写也也可以有大招啊。这个 s n 等于谁啊？等于 a b 的 n 加上一个大 b 乘以 q 的 n 次方减去一个大 b， 你 求出这个 s n 来，然后把这个 把这个 n 再换成二 n， 后面再加上一个 n 就 行了啊，前二 n 项和前二 n 项和基数项和五十项都是 n 项，所以说你把这个一啊单独给它截出来，哎，他就 n 个一，然后这里面，然后直接用公式去写就行了。 嗯，第十八题上也是一个常规的题目啊。第三问啊，第一问啊，去求最小值，然后第二问是恒成立求餐的问题啊，第三问，第三问，尤且只有一个公点，咱们稍微麻烦点啊，但是， 哎，在考场上你想得全分好像也不是那么容易。这个题啊，哎，这个第三问，尤其这个第三问啊，嗯，十九题啊，这个十九题是怎么回事？十九题下面啊， 咱做出第一问来还是比较容易的。做出第一问来啊，哎，它就是一个用啥？你知道那个切点旋公式啊？知道切点旋公式， 嗯，就是 a 一， 嗯，这里有个 a 一， 这里有个 a 二，是吧 啊，这里是 a 二，这里是 a 三， a 一 a 三都在，都在直线上，都在曲线上啊。你设 a 一 的坐标是 x 一， 逗号 y 一， 那不能这么设了啊，你就设 x 一， 逗号二分之一 x 一 的平方， 然后设 a 三的坐标呢？是 x 三，逗号二分之 x 三裹起来的平方。你根据写一倍留一倍那个办法去写啊，把 a 一 a 二写出来，然后把 a 一 a 三， 然后把 a 二再代入这个方程，那把 a 二 a 三再写出来， 写出来之后把 a 二也带入这个方程，然后这个关系就出来了啊，哈哈，是吧，咱们这个结论你要用的话需要先证明啊需要先证明，需要先证明啊。嗯， 后面这两位啊，我还没来细细的去看啊，还没来得及细细的去看。好，我先给大家说这些吧，啊？

这套哈，三中的三模考了有一段时间了，但这套试卷我觉得是出的非常的。我觉得是有点恶心的啊。难度比较低啊，但是有点恶心。 嗯，小题没什么好说的啊，这边他们说是马尔科夫恋这个，但是我没看出来我的第一反应应该是什么求和的内容。并不是这个马尔科夫恋啊 啊，还没有去研究管他呢啊。主要是这个十六题啊，考场上他们说啊排排这个全错牌给自己排蒙了。然而我老早就已经做了排列组合的合集全错牌问题在高中他最多考了五缺，果不其然，这个题只考到了四个元素的全错牌，所以我这边是拿到就直接就轻松搞定了啊。对， 忘记说了啊，这边我觉得这个多选题好像有点耗时间。当时啊，最后这两个题把时间给拉回来了，也就是给我后面十八十九， 正常情况下我需要留一一整整一个小时各半个小时去搞定十八十九的。最后呢，就是因为这个，这个题我比较熟练，所以加上这个题十七题非对称为，它定义又比较常规，我也非常的熟练，而且我的过程是非常的优美啊，得夸自己啊。这个我我的过程绝对是最简的啊。已经最简了。 嗯，常规方法最简单。也许你有邪修。我不知道啊，反正在考场拿满分是没有任何问题的。就说这个排列组合我已老早就已经做过视频， 然而就前面很多次考试其实都不是考全错牌，我都误以为是全错牌，我硬着头皮是套不知道抽了多少多少次题目啊，多少次大题我都是硬套全错牌，结果发现最终并不是。 哦，然后呢，这里终于考到了，我终于就有发发发挥的地方了，然后完整发挥出来了，嗯，然后最后考了这个新定义对不对？ cover x y 啊，这叫什么来着？ 我也不记得了啊，反正呢，这个的话就是也是有思维难度理解提议。这里当时有同学问我就直接写了个通向在这里啊，大概就这个意思。然后第十八题的话，第三问我是纯粹没看前两问，真的是纯送分呢对吧。哎， 两六十度， c 叉九六十度，那还有什么难点呢？没有什么难点啊，但是我还是扣分了啊，就第三问只有七分呢，这里我忘了，是面面角，我们要绝对值的，所以最后呢也是扣掉一分。 是的，这边的话我是差一点就拿满分了啊，当时大家都很惊讶，感觉我这个题要拿满分的。最后呢是在这里抽了一下对吧。这个 g x 取倒 三求三四应该是十二，我写了一个八，哈哈，导致后面答案呢偏差了一丢丢，并没有得到最终的那个什么五，我得出个四， 所以这里没有办法。第一轮总共六分吧，我们就扣掉四分算了，就只拿前面两分，然后第三题的我差点就搞定了。我已经解到，可惜我方字没写这啊， 没写这 h x h x 就是 这个啊。对，他有个重根 x， 他 有两个 x 减一。好吧，他有两个 x 加一啊， 我死活想不到他还有第二个。我想着我已经带过负一了，我就不要再带负一了，多带个三次方程，差一点呢就给他解出来了 啊，最后也是。嗯，考完演示了一遍，确实很容易解的哈。忘记重更这个梗啊，我这个可能前面把脑子用光了吧。是的，所以这个试卷我觉得是有机会拿到很高的一个分数的。所以这里最终的是一百三十分，确实也已经算是比较高了。 对，也基本上只有这五分，加上这边七分，就这个题，这套直线的话我可以不扣这七分的，也就幺三七 对幺三七左右。所以这个试卷呢，我觉得是，就是说看平时积累吧，刚好我运气比较好，我都积累到了，所以，呃，很多题能搞定，但十九的话是一个难度非常偏低的压轴题，因为压轴题比他恶心的多的多的多。

好的，各位观众老爷早上，中午，晚上好啊，今天给各位带来一套试卷，这道试卷被誉为是二零二六年， 就是说这一年考高等数学，就是专升本考试之前高数二山东省里边比较偏难的一套试卷了。 然后这道试卷我做了两遍，第一遍我是在纸上做的，我是打印出来之后在纸上做的，第一遍就感觉这个试卷 怎么越做越难受啊，真的是越做越难受。你看前面几个题，第一个送分，第二个送分，第三个也送分，第四个开始送命了， 真的，第四就开始送命了。第五题啊，第五题，这个急做标签到牵扯到二重积分，我就没有涉及，就没有做。 第六题，常规，第七题，常规，第八题我先不做，因为第八题高数二，它包括好多大类，比如说经管类，比如说医学类，所以第八题我先不做。第九题，第九题还行， 第十题不做。第十题。这个这个我在想办法把这个列一个专题，就是说单选亚洲，或者是说填空亚洲，这个再当一个，就是合集，再把几张试卷中的这个相应的题目给他汇总一下，然后再统一做一下，再录一个视频 计算题。从第一题就开始有点上难度了，这是第十一题，十二题，天呐，十二题十三题 不是一个求发现的，你搞这么复杂干什么？你就不能简单一点吗？你，你答案也，你过程不简单，答案也不简单。答案搞了个分式， 就是三分之四 x 加三分之七，然后十四个不定积分高抬一手。这个题目无非就是说你方法想不出来，你把想方法想对了之后，这个题非常之简单， 真的就是用平常一个公式就可以做，而且这个公式在积分不定积分定积分里面算是一个必备公式了。第十五题我没做出来 第十五题，我，我不知道该怎么搞，这个题，我后边会单独再录一个。单独录一个，我欠了多少视频没录了，我的天呐，我现在，现在是晚上九点，我现在在一个没有人的教室里边录视频， 然后我发现我每次录视频的时候都会说一句话，叫做这个视频我会单独再出一个，就是这个题我会单独再出一个视频，这些题我会单独再出一个合集，我欠了多少视频了？我的天呐，等着啊各位，如果说想催更的，就比如说你看之前的视频，在视频里面说， 主播，主播，你说这个视频里边要把这个题再给录一个新视频的，你怎么没有录好，我给你补上，你什么时候说，我什么时候给你补，说到做到，说话算数好不好？但是我容易忘啊，你要提醒我啊。第十六题， 十五题应该是没做出来，但十五题我一开始做出来了，我一会再尝试尝试。这是做的第二遍，做第一遍也是这两个题不会做，第二遍还是这两个题不会做，嗯？这不整我的吗？ 然后第十八题咱们现做一下，因为我已经求倒求出来了，但是这个题还没有做，所以咱们一会再做一遍， 这个是我的打草哈，我另起一个新的讲义，哎，是不是有那味了？就是当当你试卷发下来的时候，你首先折叠一下，你看到的就是这么一个画面，就是高等数学，二是题。 然后，好，咱们先来看第一题，以下函数是奇函数。这个题不用我多啰嗦了吧，三次函数一定是奇函数，来，我给你们画一个三次函数，哎，怎么成直线了？ 虽然说不大准确。这个是不是 x 的 三次方啊？这个是不是 x 的 三次方？然后如果说我倒过来呢？不太标准啊，如果这个呢？ 这个是不是负的 x 三次方？奇函数的定义是说它关于图像，关于原点对称，当然偶函数呢？举个非常简单例子， x 的 平方，它是不是关于 y 轴对称的呀？ 关于 y 轴对称的啊？所以说这个是典型的偶函数，这个是典型的奇函数。第一题就不要搞这么复杂，当你能判断出这是什么函数的时候， 你如果说这个函数的具体性质你知道，比如说这个 b 选项三次函数，你一看就知道它是一个奇函数，那你就选它。如果说四个函数都确定不了，你一眼看不太对呀，那也就根据奇函数和偶函数的定义，去挨个带上数，或者是带上坐标，或者是根据 它的性质给大家做一做。第一题咱们就非常简单的做出来了，选 b 吗？第二题， 这个题怎么做？ x 等于一是什么点？各位，你看中间这个零， f x 等于零的时候， x 等于一，对不对？那所以 f x 等于零呗。 我们就可以求这么一个点，看上面这一段， x x 大 于一，是不是一正？然后我们列一下，这个极限，就是 x 趋向于一正，就是 肾 x 方减一，然后 x 减一。 各位，咱这个题该怎么搞？这个题就是把这个极限算出来等于多少就行了，对不对？是不是非常简单？算出来结果是二？ 所以在在这段里边，当 x 等于趋向于一正的时候，他的 f 一 等于什么？等于二这个函数一样 limit x 趋向于一负，因为它小于一吗？就是三减 x 比上二，它求出来非常简单了，把一直接带进去就行了，等于一， 然后所以说在这一部分它 f 一 是等于一的，你看二零一， 是不是就感觉你看随便画一个图像，然后这个是 x 等于一的一个直线。假如说 x 等于一，然后第一个是 x 等于什么？第一个是 x 等于二， 哎，假如说这个点是二，这个是第一个点，然后第二个点是第二个点，第三个点 x 又乘一了， 是不是这第三个点啊？是不是一？哎，又来了，是不是感觉跟跳起来一样，跳来回横跳，是不是跳跃简单点，是不是非常的简单啊？ 然后咱们继续看第三题呗，第三题最值问题，干什么？求倒？求几次倒，求一次倒， 那我们就求一次倒吧， a 恒大于零，这是条件。 a 就 不用我们判断了，就是 f x 求一次倒，等于三倍的 a x 的 平方减去十二 a x b 没有，是不是 他是一阶导数，我们令一阶导数等于零呗，求他的最大值点，那就是三 a x 平方减十二 a x 等于零，把它挪过去三 a x 平方等于十二 a x， 是 不是这个能够约掉，这个也能约掉， x 等于四， 可以吗？可以， x 等于零行不行？重点把这些零啊一啊负，一啊根二什么这些特殊值带进去试一试，当 x 等于零的时候，这个式子是不是依然成立？是不是成立完之后零等于零，是不是这个式子依然成立啊？所以说可能存在的最大值点有两个， 一个是 x 等于四，一个是 x 等于零，然后各位，区间负一到二，你四在负一到二之间吗？四属于负一到二之间吗？ 是不属于啊？那这个就可以割掉了。那直接选 x 等于零不就完了吗？哎，对不对？这个题又选完了， 第四题，哎，第四题，前三个题，前三个题非常简单，第四个题开始做大炮了， 哎，真的是没招了，这个题各位看看啊！这个前半句就很具有迷惑性， e 的 x 的 平方次方是 f x 的 一个圆函数，那我问谁是函数，谁是导数？ 谁是函数，谁是导数？然后老师说了，就是有人说了，老师啊， f x 是 圆函数，对不对？那 e 的 x 方是不是它的导数啊？ 反了，彻彻底底的反了。各位，他问，他说的是 e 的 x 平方次方是 f x 的 一个圆函数，那是不是可以列出这么一个式子来啊？是不是 f x 求积分等于 e 的 x 平方次方， 跟刚刚那个小同学说的彻底相反，对不对？那如果我们要求 f x， 我 们怎么求？ 是不是两边同时求导？是不是 f x 就 等于它求导就是二 x 乘以的二 e 的 x 平方次方，这个才是正儿八经的 f x， 然后他后边有一个根号 x， f 根号 x， 或者 f 一 倒根号 x， 那 我们就把这个 f x 给它换成 f 根号 x 呗。那前面这个换了，后边这个就要两倍的根号 x 乘上 e 的 x 方呗， 对不对？是不是没有毛病？然后接下来咱们把这个式子列出来，何妨？因为这个题啊，有两个方法，我第一遍用了这个麻烦方法，第二遍用了一个简单的方法， 然后我们先来这个麻烦方法，就是 f 一 倒根号 x， 我 先把这个写上 f， 根号 x 比上根号 x 乘 d x 等于什么？往往上带式子呗，就是 f 根号 x， 哎，还没有求导，这个还需要再求个导啊， 因为它里面有个这个东西，求导等于什么？前导后不导。根号 x 分 之一乘 e 的 x 四方， 因为两两倍的根号 x 求导，各位怎么搞？实际上就是两二乘 x 的 二分之一次方求导是不是等于一乘上 x 的 负二分之一次方，是不是就是根号 x 分 之一啊？是不是就是它呀？是不是没有问题啊？ 然后加上后边求导前不去导，那就依旧是两倍的根号 x 乘上一的 x 次方，就是这么个式子， 然后我们就可以把它往里带了。分母是根号 x， 分 子是什么来？分子是钢球的。根号 x 分 之一乘上 e 的 x x 次方，加上什么？加上两倍的根号 x， 乘上 e 的 x 次方， 然后这是前面这个 f x 倒，再乘上后面的 f 根号 x， 就是 再乘上两倍的 e 的 x 平 x 次方，再乘根号 x 又 d x， 各位，这个是不是给他约一下，是不是这两个东西能约掉？然后又写上根号 x 分 之一乘 e 的 x 方，加上两倍的根号 x 乘 e 的 x 方，再乘两倍的，把二拿前面去，把二拿前面去， e 的 x 方乘 d x， 然后把这个东西再给它乘进去，然后就可以算出是两倍的积分号里边二 e 二 x 次方怎么样？ 加上什么？不是两 e， 那 个二已经提前面了。不是二了啊，是 e 的 二 x 方，加上两倍的根号 x 乘 e 的 二 x 次方 e x。 哦，他，我直接直接把答案写出来了，这个题太麻烦了，真的，这个题最后发现这个题非常的复杂，我直接把答案写出来吧。 四 x e 的 二 x 四方加 c， 它的一个减变方法，我写这吧减变方法就是说 f x 等于 e 的 x 平方次方。求导，等于两倍的 x 乘 e 的 x 次方， 这个是一样的吧。 e 的 x 平方次方平方次方。减变方法。我好像写这了，没在我的试卷上写这了。 哦，他是直接把这个分式给他弄完了，就是等把他直接给他凑了个微分，就是两倍的积分号里 f x 乘 d f 根号 x， 然后直接能得出这个这个式子来。 天呐，这比这比我一开始直接求简单多了，对不对？我先把这个擦掉吧。先把这个擦掉啊。这个第四题的答案是选的四 d 选项， 第五题不做，第五题不做哈。第六题，第六题怎么讲？它趋向于零，哎，等于二让，然后里边有个 k 让你问 k 是 多少来？往下把这个式子列上 limit， x 趋向于零， 一加上四分之 x 的 平方的一减口三 x 分 之 k 次方。各位，他们能不能画一下 x 趋向于零，他这有个一减口三 x， 是 不是给它画成这个东西？ 一加上四分之 x 平方，一减口三 x 在 x 趋向于零的情况下，是不是能够等价？ x 的乘二分之一 x 平方啊，是不是二分之一 x 平方啊？能等价，那它就换成了二分之一 x 的 平方分之 k 呗，然后接下来怎么搞？接下来可以把它分子分母同时乘四。 为什么同时乘四？一会你就知道了。 limit x 趋向于零，一加四分之 x 平方，然后 这个是四 k， 然后下面是二 x 平方， 然后发现端尼了没有四 x 平方，是不是？这个还能再给它看？给我看出什么东西来了？没有 x 平方，分之四乘上乘，乘什么？乘上二分之 k， 它是什么？它是不是 e 啊？ 是不是 e 啊？它是 e 的 无限次无限次方的这么一个微定式的一种形式，它就是 e， 然后 e 的 二分之 k 次方等于二， 两边同时取 lo， 就是 二分之 k 等于 lo， 二 k 就 等于两倍的 lo 二，于是乎这个 k 就 可以求出来是两倍的 lo 二。 这个第六题说实话有点考验，就是计算能力也有点考验，就是说你换算这一步会不会换算，再就是说你能不能判断出来这个东西可以给他等加无穷，再就是这个东西他能不能凑出来他的倒数，这个是主要的。 第六题比第七题难，我个人觉得第六题比第七题难。来，各位高中的数列学过没有？ n 是 不是趋向于正无穷？趋向于正无穷或者负无穷都可以，因为可能是正向数列，可能是逆向数列。那能不能直接把这个给他去掉？ 只要把它去掉行不行？可不可以？可以，因为咱们 n 就是 趋向于正无穷的或者负无穷的。这个就是咱默认的一个竖列的一个格式，直接把这个括号去掉就行了。就是 a 的 a， n 减两倍的 b， n 等于四，这个一样， 这个一样，直接去掉 a n 加 b n 等于七，这个是一，这个是二，然后我们连累一下，怎么样？ 我们连立一下，把这两个式子给它连立，然后二乘二加一，就是两倍的 a n 加两倍的 b n， 加上 a n， 减去两倍的 b n， b n 没有了，等于二七十四。十四加四等于十八，那么 a n 三倍的 a n， 这是两倍，这是一倍。三倍的 a n 就是 等于十八。那 a n 等于几？等于六，对不对？ 然后告诉你 a n 加 b n 等于七了，那是不是就能推出 b n 等于一来啊？那 a n 就是 六， b n 就是 一，那不就六吗？是不是很简单呀？ 就这个格式可能写的比较复杂，然后有些可能就是说，老师呀，我没见过这种格式呀，怎么办呀？我做不出来。不要担心， 看到一个类似于你之前学过的知识点，那么你就考虑之前的知识点是不是跟这个有关系，如果有关系，而且条件合适的话，那你就换换试试，就跟这个第六题上的等下无穷小这个条件是一样的， 你能想到把它换成二分之一 x 的 平方，那你能想到把这个底下这个题目，把这个另外给他拆掉。好吧，第八题咱们依旧不讲，第八题不讲来，第九题 不是出题，老头，第九题谁让你把它出到这里面去的来。第九题是一个球偏倒，然后再偏倒，前面还要再乘一个那个竖吧， 然后咱们，哎，有空格没有？我在这吧，我这边有试卷，我直接把那个题目给他抄到这里。第九题是设 z 等于三 y 分 之一加上 low x， 然后则， 哎，我时间不太多了，就是录视频不能时间太长了，已经录了二十分钟了，这个视频我不能再把河南的那个题目的时间给它超过去了，因为河南那个虽然计算量大，但是它概括题多，这个题量小，他不能比那个时间还要长吧。 题目是则 x 乘上函数 z 关于 x 的 偏导，加上 y 方乘上函数 z 关于 y 的 偏导。来，各位，咱们先来求偏导吧。 偏导等于什么？等于 y 分 之一加 low x， 它先求偏导对不对？然后后边再求偏导， 后边是它，是它求导，是不是口塞了，口塞它里边继续。 然后既然是求 x 的 偏导，那除了 x 以外，其他的字母全都是常数对不对？那 y 什么的可以给它割掉的对不对？直接对它求导，那就是 x 分 之一乘上口塞 y 分 之一加 lo x， 然后这是第一个 x 的 偏导，第二个 y 的 偏导， y 的 偏导还是这个东西， 那就是把 x 看成长数呗。 y 分 之一对它求导，是不是负 y 平方分之一，后边一样，后边跟这个东西一样，就是口剩 y 分 之一加 lo x 来，他让求什么？ x 乘上 函数 z 关于 x 偏导，加上 y 方乘上函数 z 关于 y 的 偏导，那不就是 x 乘 x 分 之一，后边是这个东西， 这两个东西是一样，我就用圈给他替代了，他这个东西等于圈圈在这，然后减去 y 方分之一乘上外方圈，他是负一，他是正一，正一圈加负一圈是不是零啊？ 所以这个题答案是多少？是不是写个零就完事了？所以这个题老头你挺刁钻啊。如果说各位如果看到这个题，你可能说这个知识点忘了，或者说一时半会不想做题，不太会，然后你说，哎，我先求一个偏导，然后我把另外一个规律找一找，我列个式子进去，怎么样？ 你要答案是个柿子，你就错了，你又掉到老头的陷阱里了。那个老头就以为说，各位考生们，看到这个题，你肯定是以为很长的一个柿子吧，答案很长，但是他答案是零， 这就很很刁，对吧？很刁钻。第十题也是不做的。第十题，我会录个视频，就跟我刚刚拍这个视频之前我说的那个话，如果说我之前在视频里边说的某个题或者某一个合集要更新的话，我忘了更， 各位记着在评论区里边提我，或者是私信我也可以，因为我确实是容易忘事儿。然后咱们正儿八经来看计算题吧。 计算题的话，咱们看一看这个第十一题，各位，你一看这个第十一题，你两个分式相减，是不是 你立马就能想到把它俩合并一下，给他通个分位就是贪婪 x 乘 x， 那 分这边的就变成了一加 x 乘 x， 右边呢？减去贪婪 x， 是 不是？然后各位还有一个条件啊，等价无穷小贪婪 x 在 x 相于零的前提下，它是不是等加于 x？ 那 么下一步我们就可以写出，分母是 x 的 平方， 分子是一 x 加上 x 的 平方，减去 tan 减 x， 把它拆开了，把它也给合并了。然后各位 知道吧，因为你把零都带进去，零零零，零分之零还是不能解答答案的。 零零模型，零比零形，无穷比无穷形用什么来着？落必答，落了就能达到你想要的结果来落 limit， x 趋向于零，分母是二 x 分 子是一加上二 x 减去什么？减去 second 方 x 对 不对？然后如果你再补这个，这个时候你可以做题了吗？看一下啊， 当 x 等于零的时候， second 方是什么来着？是不是贪？不是？是不是口塞方 x 分 之一啊？当 x 等于零的时候，口塞方 x 是 不是一啊？这个时候是负一，负一 加一是不是等于零来着？那分母二 x 分 子只有二 x， 那 是不是直接等于一了呀？那这个题的答案就是一喽， 对不对？是不是感觉有技巧，有思路，也没有特别难吗？但是就是说，虽然说呃，有点难，但是 做着做着就发现这个题其实表面看着有点复杂，然后做的时候有一点点麻烦，后面你发现，哎，豁然开朗，柳暗花明，有没有那种感觉？行，咱不废话了啊，咱继续记十二题。十二题是依旧一个求极限雷美特 x 趋向于零， 然后把它写上 lower。 一 加 x 减一的 x 次方加一分母是 x， 这个破笔啊， x 乘一减根号下一加 x， 各位看到什么了？看到这个东西，哎呀，这个笔你在干什么？看到这个东西了没有？ 这个东西，你说你不把它画成有理的有理分母有理画一下，你是不是心痒痒啊？来来来，来，咱来分母有理画一下下，分母有理画一下，上面不动照抄。一加 x 减一的 x 方加一分母 x 乘上一加根号下一加 x， 然后底下一加根号下一加 x 乘上一减根号下一加 x， 然后接下来就可以化简了。哎。 limit x 趋向于零，呃，它剩什么来着？ 呃，它是不是就只剩下，哎？它剩什么来着？它剩。呃。一减一，一减去一加 x， 就是 一减 x 分 之 x 乘上一加根号下一加 x 再分之，上面那个长的一加 x 减去一的 x 方加一， 然后这个东西能给它，哎。这个东西你看啊，这个东西给它拿上面去可不可以？能不能到上面去？能拿到上面去，这东西就没有了， 然后它就变成了负 x， 负 x 再乘 x， 是 不是分母就只剩下了负二 x， 然后我们再写一步更直观，负 x 负不是负二， x 是 负 x 平方，哎， 等会啊，这是个乘，哎，一减一，等会，等会。这个是什么？一减去一，哦， 这个乘是负 x 乘啊，这个是乘啊，这个是乘，就是负 x 平方，分母是这个分子是 low， 一 加 x 减去一的 x 方加一。框起来，这个东西拿这来吧，我就不写了。 还是有一个东西，就是当 x 趋向于零的时候，这个一加根号下一加 x 趋向于几啊？ 是不是趋向于一？加根号里面一加零等于二啊？是不是趋向于二啊？那我能不能把二直接写上去？可不可以？可以，那就等于两倍的 limit x 趋向于零， 然后负 x 平方，然后这边是 low， 哎，这边是 low。 一 加 x 减一的 x 方加一，然后再把零带进去，发现，哎，坏了， 跟刚刚那个情况一样。什么情况？又是零比零落再落，我就不信落不出来了。负二 x 一 加 x 分 之一减一的 x 方， 这个时候代数可以不？哎，是不是还不行啊？那就再落了一遍，那就是两倍的 limit x 趋向于零，然后负二上面是一加 x 分 之。什么 上倒下不倒零，零减。什么上倒下不倒？不是，先是上倒下，再是下倒，上不倒就是 一呗。然后减一的 x 四方 x 等于零的时候，分母是负二，分子是一加零分之负一就是负，一 减一再乘二，是不是负？哎，负是不？哎，等会啊，二倍的一减零，一减一，负二负二一，这个是一，一乘二是二是二，差点又算成负二了啊。 这个是二，所以这个题答案就是十二题，答案就是二。哎呀，两个，两个，两个 limit， 求极限，就已经干到这个地方了。我的天呐，来十三题吧。这个十三题 不行，这个十三题不是办法，来，来个大空，那个地方实在容不下这个十三题。 十三题我写一下啊，这个架子在这，十三题，哎，十三题不在这哇，十三题是求取 x 加二， y 等于 x 平方，加 y 的 平方，再点负一，一处的负一，一处的法线方程。各位法线方程。 各位法线方程和切线方程的斜率有什么关系来着？ k 一 是法线的方程的斜率， k 二是切线方程的斜率，它俩项是不是等于负一啊？ 什么是法线方程？各位，我随便画一个函数吧。随便画啊，哎，这个不能算， 随便画一个函数来。这个是切线，哎，这个是切线，这个是切线方程，对不对？它的切点是不是在这啊？法线方程是什么来？ 啥时候他俩垂直，垂直，他俩垂直一下， 这个是 k 一， 这个是 k 二，它俩斜率相乘等于负一，可不就是这两条直线垂直吗？对不对？所以这个这条 l k 一， 这个是它的切线，这个 l， 哎， l， 我 去， l k 二是它的法线，这是切，这是法， 没问题吧？然后我们就把这个图擦了啊，让你们各位理解一下切线方程和法线方程是什么意思，然后他俩的协力的关系怎么样的？后边咱们就可以做题了。 首先是不是求导来着？各位看，这是个什么函数？这是引函数，引函数求导来求 x 加二 y， 先给他来个倒，再乘上 x 加二 y 分 之一等于二 x 加上两倍的 y， 乘 y 一 倒， 这个就以函数的求它的导数的一个特殊点就说，因为这个 y 它可能代表的不是一个具体的数值，也不可能是一个具体的字母，它可能是一大长串非常复杂的函数，所以它叫引函数， 对不对？能明白吗？这是一整个函数，这个里边的函数只有一个值，就是 x， 那 y 是 什么？ y 是 一大长串，有 x 作为自变量的一做，哎，作为 是音变量还是自变量来的？反正是作为一个动量来变化的，反正很复杂。所以说这个 y 不 能直接给你求出来，就是直接 y 一 导等于一肯定是不行的，所以只能写 y 一 导。然后这个就很好搞了，就是一加上两倍的 y 一 导， 然后乘上一乘上 x 加二 y 分 之一等于二 x 加二 y 乘 y 一 导。 然后接下来怎么搞？两边同时乘这个吧，一加二 y 一 等等于二 x 加二 y， y 一 等，乘上 x 加二 y， 展开吧。一加二 y 一 等等于二 x 方加上 二 x 四 x y 加上二 x y y 一 导，加上四外方外一导，把带外一导全都挪这边去，那就是二外一导减去 二 x y， y 一 导减去四外方 y 一 导，等于二 x 平方加四 x y 减一，这个加一，给它挪到右边去，就是减一，然后 他是不是可以给他把 y 一 撇提出来？二减二， x y 减四， y 方等于二 x 方加四， x y 减一，是不是到这了， 把这个地方除过去， y 倒就等于二， x 平方加四， x y 减一，除以二减二， x y 减四， y 方。各位刚刚告诉我们的条件是什么？负一到一的法线方程， 那么先告诉我，求出来的求出来的切线，把这两把这个点带到你求出来这个外移导里边。他的方程的斜率，求出来的数是法线方程的斜率还是切线方程的斜率？ 是切线方程的斜率，所以你还要再做一步，把它给换成法线方程的斜率。怎么做来？把？ x 等于 x 等于几来？ x 等于负一， y 等于一带进去，那 y 一 撇就等于二减去四减一，分母是二减二加二，然后是减四， 哎，是减，哎，分，大家看一下啊，分子是二减四减一，分母呢？是分母不对啊，分母是二 加二减四，哎，我没求错吗？我看我这求错了啊。 嗯，二 x 方加四， x 加四，外方加。哎，我看啊，我是不是漏了点什么东西？ 好像有个二 x 减二， y 二 x x 方啊。提杆抄错了提杆抄错了，这个是减外方，这是减外方。我提杆抄错了，哎呀，提杆抄错了，那那那，这不，那这个就是减， 这个就是减，然后呢？这俩都是减了，这俩都是减了。 哎呀，题干抄错了，他就变成加了，又挪过去加，加，那这个就是加号，那就是二减二加四， 再算一下啊，二减去二加四， 那就是六减二等于四啊。对，没问题，就是四分之。什么四分之四减一等于五五，负五加二等于负三， 这个斜率是什么？斜率是切线方程的斜率。那法线方程的斜率呢？来，我们 k 法等于 三分之四，有问题吗？你看看啊，负的四分之三乘上三分之四是不是等于负一？说明斜率搞对了，法线方程它也是过这个负一以点的。那我们可以用什么？可以用点斜式，就是 y。 哎，我又在看题干了，这个题目好长。 y 减一等于三分之四， x 加一，然后 y 就 等于三分之四， x 加上三分之四加一，那么就推出 y 等于三分之四， x 加上三分之七。 所以这个题的答案就出来了，它的发现方程是， y 等于三分之四， x 加上三分之七， 跟看这个答案一样不？三分之四， x 加上三分之七，没毛病，没毛病。这个题也做出来了， 然后，哎呀，一个不定积分，一个定积分，这个定积分我先不搞了吧？定积分我先不搞了先。这个定积分有点难搞，先把这个不定积分弄出来，这个不定积分很很简单这个不定积分真的很简单。 不定积分。二分之 e 的 x 方加上 e 的 二减 x 方乘 d x， 把二拿前面去，就是两倍的积分号。 e 的 x 方加上，把它给它放上呗。 e 的 x 四方分之 e 的 平方，然后再乘 d x， 然后各位发现一个问题了没有？你一旦分母出现了这种东西，你肯定想办法给它挪上面去，就是分母给它同时乘这个东西，就可以做题就可以搞成 e 的 x 四方比上 e 的 二， x 四方加上 e 的 平方， d x。 各位有没有小一个东西？是不是各位分式里边 a 方加 x 方分之一，求积分 等于 a 分 之一。 ark tangent， a 分 之 x 加 c， 然后这个题你看 e 的 二 x 四方是不是 e 的 x 四方，然后它是不是 e 乘 e 啊？ 那么这个 x 方实际上对应的就是这的 e 的 二二 x 次方，这的 a 方就对应这边的 e 的 平方，那是不是很简单了呀，对不对？当然上面为什么有 e 的 x 次方？我，我给各位说一下啊。 其实这个东西求导，他其实有一个特殊之处，他的分母分子应该是 x 的 导数，对吧？他应该是有个 x 的 x， 导数是一，所以这个地方默认为是一。 这个地方如果他这个地方这个对应的 x， 他 对应的是 e 的 x 次方，那么这个求出来的分就是这个积分号上面的这个这个函数，他应该是 e 的 x 次方，求导 还是 e 的 x 方，那就好搞了，那这个式子就妥妥的套用这个式子用就可以了，就是两倍的 乘上 e 分 之一吧。 a 分 之一 a 是 e， 阿克攀登 a 分 之 x， 对 不对？ a 分 之 x 现 a 是 什么？ a 是 e， x 是 什么？ x e 的 平， e 的 x 方加 c， 然后答案就是一分之二。 arct， 一 分之一的 x 方加 c， 到这应该就没啥问题了吧。这个不定积分其实还挺简单的。这个第十四题，第十四题不是那么难，不是那么复杂。然后这个第十六题微分方程还剩这么个空，我把这个微分方程解了吧。 哎呀，我这个微分方程我再算一算，别搞别的，搞错了， 微分方程这个极致。我再出个视频，把这两个视频剪一块吧，因为我现在得赶紧讲完题，我得回宿舍了。就是微分方程二， x 乘上弹阵的方外， 加上一加 x 方，乘上 y 一 撇，再乘上 second 方 y 等于零的通解。通解它难度降低了，它没有让你去特解，特解你还要再解一步，通解好搞。各位判断一下这是什么微分方程， 一阶其次，非其次。微分方程怎么解？ 先给他挪一挪向。要不要把左边指示先给他挪一挪向？这个东西具体怎么挪向啊，看我操作。呃，把这个先给他挪右边去，就是一加 x 平方乘上 y 一 倒， y 一 撇 往 y 一 倒， y 一 撇，容易缩混了。等于负的二 x 弹着它方外，然后再把。 嗯，再把什么东西弄过去呢？再把这俩东西通通除过去吧。这俩东西通通除去 y 一 撇等于负二 x 弹着的方外，然后是一加 x 平方 second 方外，然后各位看到这个东西没有？这个东西接下来怎么往下搞？怎么往下搞呢？来看我操作这个题啊， 是不是需要把它给拆开啊？是不是 d y 分 之 d x 等于 y 方外乘一加 x 方乘上 second 方 y， 然后给它分离一下，把 y 拿一边去，把 x 拿一边去，那么就可以写成负的 second 方 y 比上 tangent 方 y， d y 等于二 x 比上一加 x 平方 d x， 然后两边同时求积分，两边积分， 是不是这个东西两个同时积分怎么搞？左边看到这个 second 的 方外，你是不是感觉很很一点意思啊？因为摊着的外求倒是不是。 second 的 方外是不是就可以凑为分啊？是不是就是摊着的方外分之一 d tan 值 y 等于。这个不用我多说了，把二提出来， x 分 之一加 x 平方，这个还需要我多说什么吗？除以二 d x 平方加一。好了， 右边这个东西搞完了，左边这个东西嘛，就很好搞了，就是它这个 y 分 之一等于 lo n， 括号里边一加 x 方。各位可能不太了解，如果 lo n， 如果这种公式的话，你可能不知道 lo n 后边这个到底是绝对值还是括号。 告诉你，一加 x 方，他这个数肯定是一直大于零的，他肯定不可能是小于零的，所以就不需要加绝对值。但是如果说没有这种特别明确的指示，说这个括号里边这个绝对值里边，他这个数一定是大于等于零的。不，你不能等于零啊，大于零的， 那就必须要加垂直了，加 c。 好， 这个题就做完了，这个也可以给大家改改写，改写一下。 cosine 的 y 等于 loon， 一 加 x 平方加 c， 这个是最终答案。 对，这是最终答案。通解就写成 cotangent 的 y 等于 loane， 一 加 x 平方加 c。 这是第十六题的答案。十四题的答案是 e 分 之二乘 ark tangent。 呃，一分之一的 x 四方加 c。 好 题，这个应用题，这个第十八题，我会后边再录一个视频，把它拼到后边去，让这个视频看起来毫无违和感。 好，各位，我又回来了，我把这个视频又给上面那个视频给它拼一块去了。这个题目长这样啊，这是原函数，然后对它，它要求它的极大值点，极小值点，以极大值、极小值，那又对它求个导，求个一结导， 然后可以给他画成这么一种形式，然后令他俩分别等于零，可以解出两个 x 的 点来，然后判断函数单调性倒函数的正负关系。 然后当 x 等于一的时候啊， f 一 有 f 一 是这个函数的极大值，然后当 x 等于三， f 三是他， x 是 他的极小值。 具体求出来就是把这个数带到圆函数里面去，那么极大值 f 一 就等于 二， x 二减四等于负二，乘上 e 的 一减 x 就是 一，加上 x 的 平方是一减去六，那是不是就等于负七呀？ f 三呢？带去二， x 等于六，六减四十二二，再乘上 e 的 一减 x， 次方是 e 的 负二，次方加上九减去十八， 那是不就是两倍的 e 的 负二次方减去九啊。那么这两个式子就是它的答案了。好，今天的题目到此结束， 注意帮注意给我催更啊，就是说我那些合集啊，视频的，帮我催一催，就是我有可能忘事。拜托了各位。

下面来看十五题，这是一道非常基础的利息几何题目，我们可以使用空间向量做，也可以用纯几何的方法来做，而且即使使用纯几何，也有不少证明方式，这里我简单提几句即可。因为这道题比较基础，所以我可能会挑一些步骤。 第一问，证明 m， n 平行于平面 p a， d。 这里给大家提供三种方法。法一，就是我们取 p， d 中点， 比如说叫做 e， 然后连接 a， e 和 n e， 那 不难证明 e， n， m， a 是 平行四边形， 这样就有 m， n 平行于 a， e， 也即 m， n 平行于平面 p a， d。 这是一种方法。 法二，我们可以选择取 c， d 中点， 比如说叫做 f， 然后连接 n， f 和 m， f， 换一支颜色的笔，紫色的，比如这里叫做 f， 尤其非常容易证明 n， f 平行于 p d， m， f 平行于 ad， 所以 平面 m， n， f 平行于平面 p a， d。 既然两个平面平行 m， n 自然就平行于平面 p a， d。 第二问，同样我们既可以使用空间向量，也可以使用几何法来求解，这里还是给大家讲一下几何法，因为我觉得更为简洁， 尤其显然有 c， d 垂直于 a， d。 因为是正方形， c， d 垂直于 p d。 因为 p， d 垂直于底面 a， b， c， d， 所以 我们可以推知 c， d 垂直于平面 p a， d。 然后我们要求的是 p a， d 与 p b， c 夹角于弦值，我们已经找到 c， d 垂直于平面 p a， d。 相当于它就是平面 p a， d 的 发向量。 然后我们再看是否有垂直于平面 p， b， c 的 线，仔细观察一下，应该不难发现，首先有 b， c 垂直于 c， d， bc 垂直于 p d， 道理跟刚才一样，所以 bc 垂直于平面 p c， d， 也即 bc 要垂直于 d n， 然后显然 d， n 垂直于 pc。 因为由第二问的条件， p， d， c 是 一个等腰直角三角形， n 是 pc 中点 d， n 三线合一，所以 d， n 垂直于 pc。 这样由 d， n 垂直于 pc 以及 d， n 垂直于 bc， 我 们可以得到 d， n 垂直于平面 p b， c， d， n 垂直于平面 p b， c。 意味着 d， n 向量就是平面 p b， c 的 一个法向量，那我这里再多写几句， 故 c， d 向量为平面 p a， d 的 法向量， dn 向量为平面 pbc 的 法向量。 让我们求这两个平面夹角的余弦值，我们只需要求 cd 向量和 d， n 向量夹角的余弦值即可。这里显而易见，因为 pdc 是 等腰直角三角形，所以 d， n 和 dc 的 夹角当然是四十五度， 显然 角 n， d， c 等于四分之派，所以 平面 p a， d 与平面 p b， c 夹角 二分之根号。这道棋的解法是非常多的，我只是举了其中一两种方法。 大家可以看到这里我虽然用了空间向量，但是我却并没有间隙，这也不失为一种比较优雅的方法。 当然大家也可以间隙去计算，也是没有任何问题的，或者找到二面角的平面角，直接算出来也没问题。我这里并没有用几何的方法来证明 ndc 就是 二面角的平面角，而是用空间向量的方式为大家呈现。 十六题解三角形已知条件第一问，让我们证明边 a， b， c 乘等差数列。看到题目条件，我相信大多数同学第一反应肯定就是交叉相乘 二倍的散 b 减去散 b cosine c 等于散 c， 再加上散 c cosine b。 看到这两个，肯定要考虑把它放到一边，而且放到一边之后，它直接就是散 a， 所以 二倍的散 b 等于散 c 加上散 c， 括号 b， 再加散 b， 括号 c。 根据正弦定律，二 b 等于 a 加 c， 自然就证明了 abc 乘等差数列。 第二问，如果角 b 是 六十度，延长 bc 至 d， 使得 bc 等于两倍的 cd， 求 a、 d 比 ab 的 值。先简单画个图， 延长 bc 至 d， 使得 bc 等于两倍的 cd， 那 就是延长一半的样子， 求的是 a、 d 除以 ab， 条件只有一个，就是 b 等于六十度。这里我们有几种方案，比如说其中一个是考虑把 b 带回原式条件，看看能不能算出来 c 是 什么。或者我们可以考虑直接对 b 使用于先定里 cos 等于 a 方加 c 方减 b 方除以二 a， c 等于二分之一。然后利用第一问的二 b 等于 a 加 c， 带入到这个式子中，看看能不能得出什么。 两个方法都是可以的，这里我主要讲第一种方法，就是把 b 等于六十度回代到题干条件。如果大家用余弦定律像这种方法的话，是可以算出来 b 方等于 a、 c 的。 由于 b 方等于 a、 c， 意味着 a、 b、 c， 它乘等比数列，同时 a、 b、 c 又乘等差数列，三个数既乘等比数列，又乘等差数列，那只能这三个数是同一个数。 比如说三三三，他们既乘等差又乘等比，只有这一种可能，三个数相等，因此这是一个等边三角形。 好，这是刚刚讲用余弦定的方法，咱们还是回到将 b 等于六十度带回原题的方法， b 等于六十度带回原式就是三点六十。二分之根号三比上一加上二分之一等于三， c 除以二减括号 c 交叉相乘一下是二分之三三 c 等于根号三减二分之根号三括号 c。 这个式子用辅助角公式，看起来有点不好算，我们两边同乘个二，然后再一个项就是三倍的散 c 加上根号三倍的 cosine， c 等于二倍根号三。左边用一下辅助角公式，二倍根号三乘以散 c 加上根号三除以三是三分之根号三。六分之派等于二倍根号三，那也即散 c 加六分之派等于一。显然 c 等于三分之派 又等于 b， 故三角形 a、 b、 c 为等边三角形。 既然为等边三角形，那我们所有的边都可以用 c 表示，因为等会求的是 a、 d 比 a、 b 嘛。 a、 b 就是 c、 c、 c， c、 d 是 二分之一 bc， 也就是二分之 c。 这样我们对角 b 用一下预先定力，就可以把 a、 d 给表示出来。 cosine， b 等于 c 方加 b、 d 的 平方就是二分之三 c 的 平方四分之九 c 方，然后再减去 a、 d 的 平方除以 二乘以 c 乘以二分之三， c 等于二分之一。这样我们不难解得， a、 d 的 平方应当等于 四分之七 c 方，那也即 a、 d 等于二分之根号七 c， 所以 a、 d 比 a， b 等于二分之根号七， c 比 c 等于二分之根号七。 十七题，一道中规中矩的导数中档题，其中第一问和第二问的第一小问非常简单，咱们一笔带过即可。 告诉我们一个三次函数说，如果 x 等于二，是它的极小值点，让我们求 a， 这没啥说的，直接求导 x 平方减二， a x 加一。那如果二是极小值点，则 f 撇二是必然等于零的，所以我们令 f 撇二等于四减四， a 加一等于零， a 等于四分之五。但到这还没完啊，因为这最多只能说明它满足 x 等于二是极值点的必要条件。我们还需要说明 a 等于四分之五的时候，真的 x 等于二是极小值点， 所以当 a 等于四分之五十， f 撇 x 等于 x， 方减二分之五， x 再加一，令 f 撇 x 等于零， x 等于二分之一或 x 等于二。显然 f x 在 二分之一到二单调递减，二到正无穷单调递增符合题 故， a 等于四分之五。 如果 f x 存在两个极值点，且 x 一 小于 x 二低问求 a 的 取值范围，那这个没啥说的，只需要让导数 的 darta 大 于零即可。四 a 方减四大于零，得 a 方大于一，即 a 大 于一或 a 小 于负一。 由于导函数是二次函数，我们知道二次函数它如果有两个零点，这两个零点显然都是编号零点，所以是符合极致的要求。因此这个答案可以放心的写上，如果实在不放心，就在答题卡上简单验证一下它符合极致的条件即可。 第二小问设点 ab， 证明存在 x 三 x 四，使得 y 等于 f， x 在 x 三和 x 四处切线都与直线 ab 平行。 它的命题背景其实就是拉格朗日中日定律。 拉格朗日定律是说一个连续且可导的函数。高中我们不需要纠结什么叫连续可导，我们学的函数几乎都是连续且可导的，在区间 a 到 b 内至少存在一点可 c， 使得 f 一 撇，可 c 等于 f， b 减 f， a 除以 b 减 a。 大家看到 ab 直线 ab 的 斜率，它就是 f x 二减 f， x 一 除以 x 二减 x 一。 让我们证明函数在 x 等于 x 三和 x 等于 x 四的切线与它平行，那其实就是证明 f 撇 x 三等于 f 撇 x 四，并且与它是相等的，所以本质上就是拉格朗日定律。 好，我们看一下用高中的方法如何来证明它。没啥说的，我们肯定得先把 k b 算出来， k b 等于 f， x 二减 f， x 一 除以 x 二减 x 一。 这里注意， x 一 x 二是导数等于零的两个根，它等于零显然可以由伟大定律得出。我们红笔在旁边写一下， x 一 加 x 二等于二， a， x 一 乘 x 二等于一，然后我们来计算， 将 x 二和 x 一 代入函数解析式，可以得到三分之一 x 二的三次方减 x 一 的三次方减去 a 倍的 x 二平方减 x 一 的平方，再加上 x 二减 x 一， 比上 x 二减 x 一。下面需要咱们进行因式分解，因为这个式子显然过于复杂，是不能直接计算的。 这里我们可以使用平方差公式拆出一个 x 二减 x 一， 后面本身就是 x 二减 x 一， 所以应该能想到把 x 二减 x 一 约掉之后，是一个比较好算的式子。三分之一乘以 x 二减 x 一， x 二平方加 x 一， x 二再加 x 一 的平方减去 a 倍的 x 二减 x 一， x 一 加 x 二，然后再加 x 二减 x 一， 比上 x 二减 x 一。 题目中说了， x 一 小于 x 二，所以 x 二减 x 一 肯定不为零，我们可以上下同时除以 x 二减 x 一， 并且 把这里再处理一下，写成我们用伟大定律可以表达的形式就是三分之一乘以 x 一， 加上 x 二的平方，减去 x 一 x 二，后面就是减去 a 位的 x 一 加 x 二，再加一， 然后将伟大定律的数值代入，可以得到三分之四， a 的 平方减三分之一，再减去二， a 方加一，化简一下就是负三分之二， a 的 平方加上三分之二。 由于 a 方是大于一的，所以这个式子显然是小于零的。我们这里画一个 f x 图像，不一定特别精确，主要看个意思就行， 这是 a 点，这是 b 点，然后连接一下 ab， 假设它的中点我们记为 c。 根据三次函数图像的性质，我们应该知道 c 点就是 f x 图像上的对称中心，而 c 点的横坐标必然也就是 a。 因为 c 是 ab 的 终点嘛， x 加 x 二等于二 a， 所以 c 的 横坐标就是 a。 这样我们来看图，应该能看得出来，在 a 到 c 之间，应当有一个地方，它的切线 跟 ab 或者说 ac 是 平行的。同理，在 c 到 b 之间应该也有一个地方，它的切线跟 ab 是 平行的。也就是说 x 三应该在 x 一 到 a， 而 x 四应该在 a 到 x 二。 所以我们根据图像或者说我们对三次函数的性质有足够的了解，我们很容易的可以想到令 g x 等于 减去 k a b， 我 们只需要证明 g x 在 这两个区间存在零点即可。因为存在零点的意思就是 导数等于 k a b， 也就是切线的斜率等于 k a b， 那 也即切线和 ab 是 平行的， 这样 g x 一 我们都不需要计算。因为 f 撇 x 一 肯定等于零，所以 g x 一 它就等于负的 k b。 刚说过 k b 是 小于零的，所以它大于零。 g a 我 们需要简单计算一下，它等于 f 撇 a 减去 k b 加 a， 代入导数解析式可以得到，负的 a 方加一，加上三分之二， a 方，再减去三分之二，等于负三分之一， a 方加三分之一。由于 a 方是大于一的，所以这里显然小于零。 这样我们就可以看到 g x 一 是大于零的， g a 是 小于零的。所以，根据零点定律，在 x 一 到 a 之间至少存在一个 x 三，使得 g x 三等于零，也即 f 撇 x 三等于 k b。 由零点定律 存在， x 三属于 x 一 到 a， 使得 g x 三等于零，也即 f 撇 x 三等于 k b。 同理可证， 存在 x 四属于 a 到 x 二， f 撇 x 四等于 k b。 这样 x 三跟 x 四分属不同的区间，那它俩当然不相等， 并且它们俩又都跟 ab 的 斜率相同，所以此时函数在 x 三和 x 四处的切线就与 ab 平行到。这就可以说正 b。 这道题以拉格朗日中支定律为背景，结合集值导数的几何意义、函数图像等，很好地考察了大家综合应用导数的能力。

屏幕前的各位同学，你们好，本次小视频我们重点讲二零二六自主去三模解答题十九题，那么这是一道关于导数的一道压轴大题， 好，那么本次小视频我们从切线方程到横成立，再到竖列不等式，每一步都给大家讲透它的这个逻辑，以及讲清它的这个易错点。好，我们先看一下题，已知 f x 等于二， a x 加 a x， cosine x 减二倍的 sine x。 第一问题，当 a 等于一的时候，函数 f x 切线方程。第二问题， x 大 于等于零， f x 大 于等于零，横乘以啊，求 a 的 取值范围问题。 第二个呢，啊，这个不等式成立。好，那么这道题的第一问题就是切线方程问题。第二个呢，横乘以求参数问题。第三个呢？竖列不等式。好，我们先讲一下第一小问 啊，那么在这呢，他说当 a 等于一的时候，当 a 等于一的时候，那我代入到这个 f x 当中嘛，那它是二 x 加 x， cosine x 减二倍的 sine x。 好，这个函数过派 f 派点，那么 x 等于派的时候， f 派等于多少？哎，带进来发现它是等于派，所以我们确定了这一个函数的切点啊，也就是派都派，那接下来要该怎么办呢？ 啊，要给这个函数求导，那么通过四次运算法则啊，我们给这个函数求导，也就是二减 cosine x 减 x 倍的 sine x。 好， 我们把 pi 这个点给他带进来，那么 f 撇 pi 也就是等于三，也就是确定了这个函数的斜率，它是等于三。 好，那么切线方程的公式你还记得吗？很好，也就是 y 减 y 零等于 f 撇 x 零乘上 x 减 x 零。好，那么题目当中讲了 x 零是多少 pi， 好，我们算出来 f 派是多少啊，也就是派 f 撇派是多少？三，好，我们把这些值给他带进来，确定这个函数的切切方程，也就是三 x 减 y 减二派等于零。好，那么这道题他就是考察的是函数的切切方程问题，同学们听懂了吗？ 好，我们再看一下第二问题，那么第二问题是横乘以求参数范围问题。好，我们先审一下题啊，那么他说，对于任意的 x 大 于等于零，有 f x 是 大于等于零横乘以。 f x 大 于等于零横乘以嘛，那它是大于等于零。好，我把这个负的二倍的 sine x 移到不等式的右边， 那它是二 a x 加 a x， cosine x 大 于等于二倍的 sine x。 诶，在这我发现有公音是 a x a x 可以 把它提出来嘛，所以它是 a x 倍的二加 cosine x 大 于等于二倍的 sine x。 好， 在这个不等式的两边，我同时除以二加 cosine x， 因为这个二加 cosine x 一定大于零。为什么呢？ cosine x 的 范围是负一到一中间嘛，那么给它加上二，那它肯定大于零。不等式两边同时除以大于零的式子，那么这个不等号的方向不变，所以 a x 大 于等于二加 cosine x 分 之二倍的 sine x。 好，然后呢，我把这个二 sine x 比上二加 cosine x 移到这个不等式的左边，那它是 a x 减二倍的 sine x 比上二加 cosine x 大 于等于零，那么我接下来呢？构造函数，也就是 j x 等于它。 好，那么现在呢？我把这个核心问题转化，为什么在区间 x 大 于零上啊，使 j x 大 于零横成立，那么求 a 的 曲折范围问题。 好，那接下来我该怎么办呢？给这个 g x 求导，那么通过这个商的运算法子， g p r x 求导之后，它是等于 a 减二加 cosine x 的 平方分之二倍的 二， cosine x 加一。好，我用换元方法令 t 等于二加 cosine x， 那 么 t 的 范围是一到三，那么给这个十字带起来呢？它是等于六倍的 t 分 之一减三分之一的平方加三分之二，那么也就是分析这个 g x 导数的符号，然后确定这个 g x 的 一个单调性。 好，接下来呢，我们分析这个情况讨论啊，分情况讨论，锁定这个 a 的 一个单调性。好，接下来呢，我们分析这个 a 小 于等于零的时候， 取 x 等于二分之 pi， 则 j 二分之 pi 啊，我们发现它是小于零的，那么它是不满足恒成立，所以我们把它排除。 那么当 a 大 于等于三分之二的时候，哎，我们发现这个 g x 就是 大于零，能满足它是单调递增啊，所以 h 大 于等于三分之二。好，当 a 大 于大于等于零小于三分之二的时候，那我令这个 h x 等于 sin x 减二分之三 x， 然后给它求导， 那么二分之三是在零到一中间， x 零是在零到二分之派，所以这个 g 撇 h 撇 x， 它是， 呃，在零到 x 零上是大大于零，也就是单调递增。那么 h x 大 于 h 零呢？也就是零嘛，那三 x 大 于二分之三 x， 那 我发现这个 g x 它是小于零，那它是不满足的。那么总上我们能判断出这个 a 是 大于等于三分之二。 好，那么也就是第二题的第一问，我们是怎么做的呢？那么第一个呢？我们啊先去构造了这个 g x 啊，然后把它转化成了 x 大 于等于零上 g x 大 于等于零横成立的 a 的 取值范围问题，然后我们给这个 g x 去求导分析 g p， r x 的 符号，确定 g x 单调性，然后呢，分组讨论啊，就是锁定 a 的 范围，那么 a 是 大于等于三分之二，好，那么这道题同学们听懂了吗？ 好，我们再看一下第三小问，那么第三小问呢？他说对于任意的正整数 n 啊，那么三分之二加括号以内 k 分 之一， k 等于一到 n 的 合适，它是大于 n 加三 n 分 之一减三分之二， 那么这道题就是竖列不等式，那么我们要降为打击啊，要用一的结论构造它的基基础不等式，那么要用哪一个结论呢？第一，第二题的第一文，我们是不是算出了 a 是 大于等于三分之二， 那我们现在呢，取这个 a 等于三分之二，那么对于任意满足的 x 大 于零的时数，可以推导等 g x 是 大于等于零， 那么刚才我们是构造过这个 g x， 这一个是第二题的疑问，我们构造出来的，对吧？那么我们把这个负的二倍的 sine x 比上二加 cosine x 移到不等式的右边， 那它是三分之二 x 大 于等于二倍的 sine x 比上，而加 cosine x， 现在的 a， 我 们就是带的是三分之二啊，好，然后在这个式的两面，我先同时乘二倍的 cosine x， 然后两面同时除以二 x， 那 能得到这一个不等式， 那我用这个换元方法代入 x 等于 k 分 之一，那么现在的这个 cosine x 就 变成了 cosine k 分 之一嘛？ 好，然后呢？三分之这个二加括号三 k 分 之一大于等于这个 x 分 之一，也就是变成 k 了，然后乘幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺 幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺幺 啊，就是现在呢，就是左边，就是我们要求和的这个项，然后右边是一个关于 sign k 分 之一的一个式子，那么接下来我们只要把这个右边呢给它放缩成一个好求的和的一个形式就可以了。 那么对于 sign x 做太了的一个放缩啊，那么把它变成多项式好， 那么为什么要处理这个 sine k 分 之一呢？因为它是三角函数，直接这个没法求和，我们把它变成多相似，比如 k 分 之一， k 方分之一这种，那么它才能逆向求和。 那么怎么放松？那么我们用一个非常好的结论，也就是 x 大 于零，小于等于一的时候， sine x， 它是呃大于 x 减三分之一 x 的 三次方， 那么我这个我们尽量把它弄成一个简单的式子，所以我们令这个斐 x 等于 sine x 减 x 加三分之一 x 三次方，那么我们看它在这个零到一上时的一个单调性是什么样子的 好，那么斐 x 设完之后，先给他求一阶导，然后再给他求二阶导，然后再给他求三阶导 a， 三阶导刚好是怎么样？大于零？ 好，那么三阶导大于零，为什么呢？因为这个 cosine x 在 负一和一中间，那么二减去它，那它肯定是大于零啊，所以在这的这个，它的这个二阶导是在零到一上是单调低增， 那它单调低增的话，二阶导是是大于零的，那么它的这个一阶导的话是零到一上是单调低增， 那么它的这个一阶导大于 f 撇零， f 撇等于零嘛，那么 f x 零到一上式单调递增，那么 f x 大 于 f 零，也就是等于零，那我们能算出这个 sine x 是 大于 x 减三分之一 x 的 三次方。 好，那么现在呢？把这个 x 等于 k 分 之一代入到这个不等式，所以它现在变成了什么 a 乘三 k 分 之一大于一减三 k 的 平方分之一，因此这一个不等式它是成立的啊。那么现在在它的这个左边的每一项，我们都放缩成了一个一减三 k 的 平方分之一。接下来我们求和就更加简单了， 那么接下来的第三步骤呢？我们就列向求和，列向求和，那么当这个 k 等于一的时候，那它是三分之二，加括号一嘛，它是大于三分之二，所以它是成立的。那么 k 大 于等于二的时候 啊， k 大 于等于二的时候，那么在这儿呢， k 方分之一，它是小于 k 乘 k 减一分之一，它等于 k 减一分之一，减 k 分 之一。 那么在这啊，很多同学想，这为什么呀？这个其实我们在数列当中这列项销这一块当中其实是学过啊，也可以给大家稍微简单的说一下啊，因为这的这个 k 方它是大于什么 k 方啊？这个减 k 嘛， 我把这边的这个 k 可以 给他提出来嘛，那他是 k 倍的这个 k 减一嘛，所以我们的这个 k 方分之一啊，他肯定是小于这个呃， k 倍的，什么？ k 减一，你看这不是乘以吗？ 啊，好，那么这样子的话，那我们能得到什么？三分之二加果三， k 分 之一大于一，减 k 减一分之一，减 k 分 之一。 好，那么这一个弄完之后，那对于 k 等于一的时候，我们给他求和，那求和的话呢？ k 等于一到 n， 那 三分之二加果三， k 分 之一，它是大于三分之二加果三，一加 k 等于二到 n 的 和，是一减三分之一倍的 k 减一分之，这个减 k 分 之一。 好，那么把它的这个右边我们再去给它展开，那它是刚好是等于 n 加三分之三， n 分 之一减三分之二。 好，那么这个正好是就是题目当中要正的这个不等式的右边，所以这个不等式他是成立的。好，那么在这呢，就是他的这个核心逻辑的话呢，就是先这个不等式构造与放松，然后列向效这个求和，然后通过这个结论验证他的这个确认。 好，那么这道题啊，同学们明白了吗？好，那么这个第十九道题，压轴题，他第一问题考察的是切线方程，第二个是横乘以求参数问题，第三个呢是熟练不等式。 好，那么同学们啊，要关注我啊，带你把数学难点都变成一些送分的题，喜欢老老师的课可以点关注点赞哦！

大家好，这里是龙虎七队。苏北八市三模数学考试今天下午刚刚结束，从苏北四十一模到苏北七十二模，再到今天的八市，参考城市越来越多，可见试卷质量之高。 咱们先来看选择题，第一题已知集合 a， 集合 b， 我 们解一下。方乘好，应该说是不等式， x 减三乘以 x 减一小于等于零，所以 a 交 b 中元素的个数有一、二、三，所以答案选 c。 第二题， z， i 等于二加 i， 则 z 的 虚部 c 等于二加 i 除以 i， 然后上下同乘以分母的公和负数，这里我们乘以负 i， 当然乘以 i 也是一样的，负 i 方分之负二， i 再减去 i 方，简单整理一下，就是一减二 i， 所以 答案选 b。 第三题， a， b 是 加角为一百二十度的，注意后面单位向量，所以 a 的 模长和 b 的 模长都等于一，而且 a 点乘 b 要等于 a 模， b 再乘以 cosine 一 百二十度，也即是一乘一乘以负二分之一， c 等于二， a 加 b。 问我们 c 的 模长，这里显然我们把 c 的 模长平方一下，它等于 四， a 模长的平方加上四倍的 a 点乘 b， 再加上 b 模的平方，也即五，加上四乘以负二分之一，五减二等于三， c 模平方等于三，那 c 的 模长自然等于根号三。 第四题，足球联赛中，甲的平均数为二点一，乙的平均数为一点四。在某足球联赛，不知道这是不是苏超啊。 乙平均数一点四，那显然甲平均数高于乙，所以甲的进攻能力更强，甲的标准差比乙更小，所以说甲更稳定一些，那也即乙波动更大一些。看下选项，显然 c 复合题甲进攻更强，乙波动更大。 第五题已知 p 点在圆外，那自然就有 m 方加 n 方是大于四的 直线与圆 c 的 位置关系。我们判断直线圆的位置关系，主要就是通过计算圆心到直线的距离，这里圆心到直线的距离 d 等于根号下 m 方加上 n 方分之圆心坐标是零， 所以前两项都是零，最后一项是负四的绝对值，这样等于根号下 m 方加 n 方分之四。 由于 m 方加 n 方大于四，所以根号下它就要大于二。既然分母大于二， d 就 应该小于二，也就是圆心到直线的距离是小于半径的，所以应当是相交。 六题已知曲线 y 等于 f x 向右平移六分之派个单位后，得到 y 等于扩散 x， 则 f x 等于什么？ 我们第一反应应当是 f x 就 等于 cosine x 加上六分之派。 因为左加右减嘛，我们减掉六分之派之后，他恰好是 cosine x。 但是想都不用想，选项中肯定不可能有这个答案，不然这个题不会出在第六题，他肯定需要我们再用一下什么公式。 这时候我们挨个看看选项吧。 a 跟 b 显然不太可能，那就是 d 选项到底有没有负号的问题。我们这里把它写成二分之派，加上 x， 再减去三分之派。根据导公式， cosine 二分之派加阿尔法应当等于负的 sine 二法，所以 答案选 d。 第七题设 r 上的可导函数 f x 满足 f 撇 x 比上二 x 减三大于零。 这个条件略微有些奇怪，因为我们做这种导函数乘以或除以什么东西大于零，更多的时候是会跟原函数构造有一些关联， 不过这里的 f x 除以二， x 减三，似乎跟原函数构造并没有什么关系，因为它既不是这种，也不是 f x 除以一， 更没有涉及到 sin 或者 cosine 这些东西。所以我们还是先看后面条件。且 f x 加二分之三是偶函数，那这个条件我们就太熟了。 f x 加二分之三是偶函数，我们可以得知 f x 图像 关于 x 等于二分之三对称， 这里我就不详细解释这个是怎么来的了，不知道同学可以看一下视频链接，之前我讲过很多次， 这样前面那个条件也就合理多了。因为关于 x 等于二分之三对称，而分母的零点或者说 x 等于二分之三的时候，分母恰好等于零。翻一下就是 x 大 于二分之三，分母就大于零，反之 x 小 于二分之三，那分母就小于零。 所以它的意思就是当 x 大 于二分之三的时候，导数为正，当 x 小 于二分之三的时候，导数为负。也就是说 f x， 它图像首先关于 x 等于二分之三对称，然后呢，在负无穷到二分之三，它单调递减，在二分之三到正无穷，它单调递增。如果我们画一个二次函数图像的话，近似就是这个造型。 比如说这里是二分之三，它实质上来研究的东西就是后面的这几个横坐标， 或者说后面这几个变量，它跟二分之三的距离仅此而已。看图我们能看得出来， 当自变量或者说 f 括号里，这个数离二分之三越近，它的函数值就越小。离二分之三越远，它的函数值就越大。 对于 a 零点二的三次方，它等于零点零零八，这个距离二分之三是非常远的，大概大概在这个位置，它只比零稍微大那么一点点，所以大概是这个位置，它的函数值肯定要高一些。我用这来表示，它大概就是 f 零点二的三次方， 然后 c 是 f 二，那 f 二很清楚的一个位置就在它的右侧，比如说我不妨这里就是二号， 然后 f log 二三 log 二三，我们知道它应该是比二分之三要大，但是显然要小于二，因为 log 二三是小于 log 二四，大于 log 二二倍根号二， 它就是二分之三，它就是二，因此 log 二三是介于二到三之间的，所以它的位置大概， 比如说在这里 f log 二三，那这里可能就是 f 二，所以它们大小关系是一目了然的。显然 a 最大， c 其次， b 最小，因此答案选 b。 下面来看第八题，在直三棱柱 abc 杠 a 一 b 一 c 一 中点 p 满足三倍的 ap 向量等于 ab 加 ac 向量。我们先不看后面条件，先来翻一下这个条件是啥意思。 比如说这是 a， 这是 b， 这是 c， 我 们常写的会是 ad 向量等于 ab 加上 ac， 这种相当于是以 ab 和 ac 为邻边，画平四边形，然后 ad 是 它的对角线。 在解三角形的题目中，或者是向量的题目中，我们常常会有两倍的 a， e 等于 ab 加 ac， 这翻译下其实就是 e 点是 bc 的 中点。好，它现在整了个三倍的 ap 等于 ab 加 ac， 那 大家想一下， p 点应该在哪啊？是不是应该在这里啊？并且有 ap 等于两倍的 pe， 这个大家自己想一想，应该能想明白，或者说 a、 p 比上 a、 e 应当等于二比三，其中 e 是 b、 c 的 中点。 好，这是根据向量关系我们可以得到的。接下来他说，若经过 p、 b、 c、 e 三点的平面，将棱柱分为伽马一和伽马二两部分，伽马一的体积较小，则伽马一与伽马二的体积之比为多少？ 我们观察一下选项，选项是确定的答案，也就是说只要这个三棱柱它满足值三棱柱，则答案是确定的。作为选择题，我们不妨把它特殊化一下，直接就在正三棱柱中来研究。这个问题 会简化很多。正三棱柱底面是正三角形 a， p 比 a、 e 等于三比二，其实 p 点就应该是底面的中心。然后 他说过 p、 b、 e、 c、 e 三点的平面，这里我们肯定需要过 p 做一条平行于 b、 e、 c、 e 的 线，假设交 a、 b 于点 d， 交 a、 c 于点 e， 那么红色的部分应当就是伽马二，这个大家应该能想明白吧。结面就是 b、 c、 e、 d 红色部分即为伽马二。显然伽马二这是一个三棱台，我们需要计算它的体积，只需要用三棱台的体积公式即可。那我们假设整个三棱柱 的体积为 v， 然后底面积 s， 三角形 a、 b、 c 等于 s， 高是 h， 那我们来计算一下三棱台的体积。伽马二的体积等于套下公式，三分之一乘以 h， 乘以 s 上加 s 下加上根号下 s 上 s 下 s 上就是 s s 下。由于 a、 d 等于三分之二 ab ap 当然也等于三分之二的，比如说这里叫 f 吧 a、 f， 因此 s， 三角形 a、 d、 e 应当等于九分之四 s， 这样 s 下就是九分之四 s， 然后再加上根号下 s， 乘以九分之四 s， 这样简单计算一下，应当等于二十七分之十九 s h 整个三棱柱的体积 v 是 等于 sh 的， 这样伽玛一的体积就应当等于 sh 减去二十七分之十九 sh， 也即二十七分之八 sh。 那 显然伽玛一和伽玛二的体积之比 v 伽玛一比上 v， 伽玛二就等于二十七分之八 sh， 比上二十七分之十九 sh， 把二十七和 s h 都消掉，等于八比十九。所以这道题答案选 d。

来，上午刚考的二零二六年名校联盟五月联考也是名校联盟的三模啊， 必须安排主题精讲啊，虽然说前面还有坑没有填完，但是呢，这套卷考的人太多了，还是得赶紧搞一搞啊，也希望大家多多点赞关注支持一波啊。来，废话不多说，直接开整得了。 第一题啊，集合是吧，全集呢？是 r 啊，然后呢， a 集合呢，是一个对数，那么对数啊，有天然的定域，也就说真数位置上的数啊，一定得大于零 啊。然后我们再想， log 二比几能等于二啊， log 二比四嘛。所以说 x 的 取值啊，是在零到四之间，那么取它的补集，那就是啊，小于小于等于零和大于等于四呗。啊，这题很明显啊，选得 这个第二题是个立体几何啊，他说呀，能够判定啊， a 平面垂直于 b 平面的充分条件式啊，这是反着说的，所以说相当于啥呀，看底下的哪一个选项能够推出这个 a 垂直于 b 啊，这两个平面垂直， 哪个选项能推出来这个两个平面垂直啊，咱就挨个看呗啊， a 选项，他说如果说阿法跟贝特都垂直于蛤蟆，那能不能那个证明阿法和贝特是垂直的，比如说这个底下就是蛤蟆 啊，这个是一个阿法平面啊，这个阿法平面呢，垂直于这个蛤蟆平面，然后有个贝特，那我这个贝特平面可以这样呢， 对吧？那你看这两个平的假角可不是个直角，他是这个假角是任意的，可以是直角也可以不是啊，所以说这个是不能推出阿法和贝特一定垂直的啊。所以说 a 选项不对啊，咱们再看 b 选项啊， b 选项，他说啥呀？ 他说，如果说阿法与贝特的交线是 a 直线，比如说啊，这是阿法 平面啊，这是 b， 它平面啊，有两个平面，那么中间的交线呢，就是 a 直线，它说有一个 b 啊，是垂直于 a 的， 而这个 b 直线呢，是在 b 的 平面内的 啊，在 b 的 平面内，有一个 b 直线，它是垂直于这个交线 a 的， 那能证明这个阿法与 b 的 垂直吗？ 他在说啥呀？这跟阿法和贝塔垂直有啥关系啊？没有任何关系啊，对吧？我这个阿法平面可以横着画呀，这样的话，这假角不就更大了吗？当然，我也可以画的更小一点，这样画，这不也行吗？啊，无所谓，也就说阿法贝塔平面啊，是可以任意的， 所以这道题 b 也错啊，而且来看 c 选项，他说阿法与贝塔这两个平面啊，是平行的， 等一下子呗，阿法跟贝特这俩平啊，不，这是贝特平面啊，然后呢？有一条直线啊，这个直线是 a 啊，然后呢？ a 呢？还平行于这个 a 平面啊，阿法平面，那这个是阿法平面，行不行啊？ 也行啊，对吧？这阿法平面也平行于 a 直线，但是阿法与贝特的平面可以任意角度啊，对不对啊？这也所以说 c 也是错的啊， 那这题只能选的了啊，咱们再看一眼的啊，他说 a 直线呢，平行于 r 法啊， a 直线平行于 r 法，这是 a 直线啊，平行于了这个 r 法这个平面，然后呢， a 直线呢，还垂直于了一个别的平面， 这不很明显，这两个平面必须得垂直啊，啊，不垂直没有别的办法画，对不对啊？所以说这道题是选的啊，大家画画图就可以了，是吧？ ok， 来，咱们再看这个第三题。 其实这种题啊，我们有很多种办法可以做的啊，非常非常多的路线啊，我们可以选择一个相对来说比较好求的路线去做这种题。 那你看，首先我们可以先想啥呀？哎，我可以先把这个阿法加四分之派变成二倍角，就变成二阿法加二分之派，然后呢，这个二分之派就可以通过诱导公式去掉，从而得到， 哎， sin r 法，这是一种路线，可不可以啊？可以，或者我可以怎么的？先求 sin r 法，或者是先求 cosine r 法，对吧？我减一个四分之派就完了呗。 然后呢，再通过 sin r 法，再去求 cosine r 法，然后呢，再去求 sin 乘以 cosine 就 变成 sin 二倍角了。但是这么求有一个问题，就是你需要讨论这个正负的问题 啊，这是第二条路线，那第三种路线就是我可以直接通过它啊，把它变成塞加口，对吧？然后再平方，然后就变成了一加上二倍的塞乘口， 二倍赛程口就是他。哎，这种方法也行啊，总体来说三种路线，那我们可以看这个第一种路线啊，第一种路线总体来说比较简单，对吧？那我想给他先变成二倍角，那怎么变成二倍角啊，对吧？那我可以先给他变成塞方，然后用一减二塞方就等于口塞 r r 法了，对不对啊？所以说塞方 alpha 加四分之派啊，那就应该等多少啊？八分之一，对吧。那么 cosine 啊，二 alpha 加二分之派啊，是不就应该等于一减去二倍的塞方啊， 对不对？哎，就等于这个呀，所以说应该等于啊，一减四分之一等于四分之三呢，然 然后口塞 r 法加二分之派，根据诱导公式是不可以把这个加二分之派去掉啊，那就变成了负的塞 in r 法。所以说啊，塞 in r 法啊，就可以等于负的四分之三啊，你看，这方法 不需要去讨论它的正负的问题啊，就是也就说角的象限的问题不需要考虑啊，直接算啊，所以说我应该选 a 啊，我觉得这种方法强调说比较简单， 那么还有种方法哎，也比较简单。什么方法？就刚才我说的直接求 sin 加 cosine 对 吧，那么就可以通过辅助角公式给它打开，它就变成二分之根号二倍的 sin alpha 啊，再加上一个 cosine alpha， 对 吧？因为 cosine 四分之派和 cosine 四分之派都等于二分之根号二，是吧？ 它等于四分之根号二啊，所以说塞加口等于二分之一，我们再给它平方那一平方了，变成塞方加口方，塞方加口方等于一，再加上二倍的 塞阿尔法口，塞阿尔法啊，应该等于四分之一啊，所以说啊，这个二倍的塞乘以口就是塞阿尔法，那么求也很简单，就等于负四分之三，于是啊，因此啊，我觉得这个第一种方法和第二种方法你可以自己选一种啊，去做都可以。 那么这个刚才我们所说的那个第二种方法啊，去单个球赛或者单个球口赛这种话都比较绕，而且还有福利讨论啊，不推荐啊，不推荐啊。 ok， 咱们看这个第四题，这第四题呢，是一个排列组合， 这个跟我平时上课时候讲排列组合的时候举的例子是一模一样的，只不过我举的是五个不同大小，这个五个颜色不同的球 啊，放到这个三个不同的盒里啊，球不一样，盒也不一样，那这种题我们应该用什么样的办法？就是我们做这个，呃，排列组合的题一定要大，大概脑子里边是要有非常清楚的概念的 啊，就是你可以把所有这个排列组合的题啊，当做这个都抽象成球往盒里放的这种问题。那比如说就是五个球啊，往三个盒里放，对吧？那么这里边就区分啊，以什么区分球？到底区不区分顺序是五个一模一样的球啊？还是五个不一样的球啊？ 盒区不区分顺序是一模一样的球啊？哦，一模一样的盒还是不一样的盒啊？啊？然后呢？有没有规则？啥规则？就是有没有说，哎，每个盒里边至少得放一个球啊，你把这些东西都整明白的 排列组合白给啊。那你看这道题，五个大学大学生那肯定都不一样啊，对吧？然后呢，分到这个高一的三个班级，那每个班级肯定不一样啊，所以说这相当于啥呀？五个不同的球往三个不同的盒里放，选择什么方法啊？先选后排吗？ 就是我们一定要先把他们选出来，分好组，然后再把这些组分到高一的一二三班里就完事了，这样的话就不会乱啊。所以说这种题啊，五个球往三个盒里放，有多少种不同的方法啊？因为要求啊，每个盒里面至少得有一个球吗？ 所以说怎么的？哎，可以分成第一种情况啊，三幺幺分组啊。第二种情况，二二幺分组，没有别的分组了，就这两种情况啊。第一种情况，如果是三幺幺分组的话，那么就先把这五个人啊，分成不同的三份，对吧？那就是 c 五三，从五个人里选三个人，这是第一组，然后呢，再从两个人里选一个第二组，再从剩下了一个人里选一个，但是 c 一 可以不写均分呗，均分了，这不三幺幺吗？他俩是相同的啊，所以说要除以 a 二二，对吧？这除完之后，就相当于是我把五个人分成了三组， 还没没排那个没分配呢，我还要把这三三组分配到一二三满，那怎么分呢？ a 三三就完了吗？对吧？说，这是多少啊？ 十乘以二，除以二就是十乘以六呗，那就是六十啊，这是第一种情况。第二种情况，二二幺，就是 c 五二，剩下三个人再选俩，剩下一人选一个二和二重了啊，除以 a 二二， 再乘以 a 三三啊，就这么玩，对吧？那么 c 五二，这是十，这是三十，除以二十五 乘以六九十啊，那么六十加九十一百五啊，所以这道题选 c 选项啊，没有任何的毛病。咱们再看这个第五题，这第五题明显是画图题，对吧？哎，这是一个正态分布，有同学这还记不住呢 啊，这个 n 是 啥呀？正态吗？大 h 是 啥呀？超级核对吧？ b 是 啥呀？二项这些最基础的知识点，如果现在还有遗漏的话，赶紧去看啊，赶紧去看， 是吧？所以说，现在的考试啊，最重要的是啥，不是你考多少分啊，而是你能通过这张卷找出来你多少自己的问题 啊，这是正态分布标准，正态分布。所以说中间的这个啊，就是这个 mu 嘛，啊，就对称轴 mu 了几 mu 了。二，有时候中间对称轴是二，然后呢，他说小于负二，比如说负二在这 啊，小于负二，就这块占了多少啊？占了零点一，然后呢？在零到四之间。那零到四之间啊，二，零，那应该在这零到四之间啊，就是在这个范围内， 这是零啊，这是二，这是四，在这个范围内占了多少啊？占了零点五，然后他问你，四到六之间啊，四到六啊，这是六。 ok， 那 你看 这个小于负二的区间，占了零点一，是不应该跟大于六的区间是一样的？为啥呀？因为二是中轴线，你按二到负二中间的距离是四，那么二到六中间的距离也是四，所以说这两边是完全相等的，也就是说这块呢，也占了零点一，对吧。哎， 因为现在我要求的是四到六，那我现在我再知道一个二到四是不整个，这是一半啊，用零点五减去，他俩不就剩的就是四到六吗？ 那这块是多少啊？因为人家数了零到四之间是占了零点五，而且他俩是对称的，所以说那这块是多少啊？那就是零点二五呗。哎，所以说这块是零点二五，那你说中间夹这块多少啊，是不应该用零点五减去零点二五，再减去个零点一啊？就这么点事 等于零点一五啊。所以说这道题选啥？选 b 啊？ ok 啊，咱看第六题，这第六题纯纯白给吗？这不就是一个竖列，只要你把这个公比像素手相都数明白的就完事了吗？这不是等比竖列的 求和吗？对不对？ ok， 那 么等尾数，这求和首先看公比，公比多少啊？第一项是三，第二项是二十七啊。第一项是三，所以说公比多少，这是九啊。别看着三，就觉得 q 等于三啊。 q 是 等于九的 啊，这是第一个问题啊。 q 等于九，然后第二个问题，首项啊，首项是多少啊？ a 一 a 一 就等于三，还差啥了？像素，哎，那这个像素，你说老师，这个是隔两个的是吧？那一个是三次密，一个是五次密，你不好看，不好看怎么办？你给他写，换个方式写是吧。哎，你给他换个方式写，这么写 啊，那他是不可以等于三乘以三的平方，那不就是九的一次密吗？ 下一项是多少啊？是不相当于三首项再乘以九的，这是三的四次密，那就相当于九的平方一直加，对不加到啥呀？三乘以，这是三的二 n 次密，那不就是九的 n 次密吗？哎，你这么写完之后到底多少项啊？第一项是九的零次密，一直到最后一项是九的 n 次密， 那么是一共多少项啊？从一到 n 是 n 项，那从零到 n 呢？这不多一项吗？所以说是 n 加一项啊，所以说项数 啊，这是 n 加一项啊，全齐活了。那就写 s n 呗，也就是这个式子里边的 f n 是 吧。 f n 等于一减 q， 一减九分之首项三乘以括号，一减九的 n 加一次密都完事了，是不是应该等于啥呀？八分之三啊。乘以九的 n 加一，再减一呗， 对吧。那你选哪个呀？这不选 b 吗？对吧。哎，稳稳当当的啊，五分就稳稳当当，拿住，别着急是吧。来，第七题，又是画图题是吧，你看画图啊，太重要了。你看，我经常听我这个 主题精讲的同学就知道画图，画图画画图啊，就是嘎嘎，画啊，画明白的。那你题就做的明白了啊，就这么点事是吧？来，这是一个双曲线啊，哎呀， 双曲线，焦点呢，是在这个 i 轴上的是吧？然后呢， f 一 f 二，这是 f 一 啊，这是 f 二，他说以 f 一 f 二啊，直径画了个小圆圆， 画了个小圆圆啊，对吧，然后这个圆呢，与第一项进进线的第一项线的交点画一下。进进线啊，进进线实际上是虚线啊，但是我就为了大家看清楚，我就画成实线了啊， 啊，这样的呗，对吧，它是交于点 m 是 吧？交于点 m 这个点就是点 m， 然后呢， o 点坐标原点，然后 f 二 n 呢，是垂直于 o m 的 啊， f 二 n 是 垂直于 o m 的， 这么画的这个点呢，就是点 啊，他说其中啊， m n 是 等于根号二的啊， m n 的 距离是等于根号二啊，然后他说啊， f 二 n 和这个 f 二 o 啊， 它俩的乘积是等于六的啊，它俩的向量的乘积等于六的，那这是垂直的，所以说 f 二 n 如果像他做投影的话，其不其实不就是 f 二 n 的 平方吗， 对吧？啊，那无所谓啊，咱是一会再说啊，你说老师我不知道，看不出来，那没事，那你就是正常用向量算就行。首先呢，这个 f 二那一定是 b， 对 吧？啊，这是个二阶结论，那老师我不知道，不知道也没有事， 这个是间接线的吧，所以说他的弹进的谁的应该等于这个 a 分 之 b， 对 吧？那而这个 o f 二他一定是 c o f 二是 c 的 话，那么正好它这个弹性的值是 a， 分 之 b， 那 么这不正好是 a， 这是 b 吗？哎，正好满足这个题啊。所以说 o n 呐，等于 a， 然后 n f 二等于 b， o f 二等于 c， 而整个的这个 o m 啊，它也是 c， 对 吧？ o m 也是 c 啊， o m 它等于 c， 为啥呀？ 这不是以这个 c 为半径画的圆吗？对不对啊？所以说 o m 也等于 c， 因此我们能得到啥？第一个 m n 等于根号二，那是不是相当于 c 减 a 等于根号二啊？啊，这是第一个 啊，然后第二个就是这个向量啊，这项量怎么做？那我们可以用模模乘以模，然后呢？再乘以口算夹角也行啊，那比如说这个角角叫角 a 角呢？叫角 r， 对 吧？那你看 f 二 n 写一下 f 二 n 向量乘以 f 二 o 向量 啊，那应该等于啥呀？是不等于 f 二 n 的 模，那就是 b， 再乘以这个 f 二 o 的 模，那就是 c， 再乘以 cos 阿法啊，而这个角是直角，对吧？所以说是直角三角形，那这个 cos 阿法，实际上不就等于 cos 它吗？ 一样的啊啊，当然不变也行啊啊， b 乘以 c cos 了，等于 b， b c 吗？啊，这一除，这不 c 约掉了吗？ 啊，所以说这道题就等于 b 方， b 方等于六，你说，哎，如果你不这么做，有什么更简单的办法没有啊？ f 二 n 和 f 二 o， 那 你看 o 点，在这个 f 二 n 的 投影不就正好是 n 点吗？ 所以说它数值这个方向跟 f 二 n 乘，因为它是垂直的，一定得零，所以说就相当于是 f 二 n 就 乘以个 f 二 n， 就是 f 二 n 的 平方啊，所以说就是 b 方啊，怎么都行啊，怎么都行。所以说 b 方等于六， b 方等于六，就说明 c 方减 a 方就应该等于六， c 方减 a 方就写成 c 加乘以 c 减 a。 你 说老师为啥这么写？因为我知道 c 减 a 等于根号二啊， 这等于六，所以说 c 加 a 等于多少啊？应该等于这个玩意六除以根号二，三倍根号二啊。 c 加 a 等于三倍根号二， c 减 a 等于根号二，那 a 呢？等于根号二，所以说这道题 e 等于多少啊？二倍根号二，写一下 a 分 之 c 等于二呗。啊，所以这道题选 c 啊。这题纯纯白给是吧，没有任何难度啊。 第八题又是画图题，零点问题，开始画图。首先看这个分段函数啊，这是有一个带绝对值的，无所谓。画图的时候啊，你就把这个绝对值先去掉，你先画里边就完了呗。然后它整体加绝对值相当于啥？相当于下翻上吗？ 对吧？哎，先大概有一个始入，然后他说 f x 等于二分之一的 f x 减二，这叫啥呀？这叫类周期函数啊。如果没有这个二分之一的话，是不说明这函数的周期是二啊， 但是呢，他前面加了个二分之一，说明啥呀？说明他的这个这一个区间跟他下一个区别，区间是图像，要么就是被压缩了的，要么就是被撑长了的。 那你就看这个二分之一是压缩了还是撑长了。那老师我这老看不明白，看不明白怎么办？代数啊，你看啊，这是零到二，是一个间隔，对吧。那我就举这个， x 等于三，你得到啥了？是不得到 f 三呢？应该等于二分之一倍的 f 二不 f 一 啊，三减二等于一啊，那你说 f 三的值相当于你把 f 一 的值再乘个二分之一， 那是不说明他越往后这个周期，他的这个图像越缩小了，越缩小为原来的二分之一了。横向的啊，横向的缩小为原来的二分之一， 所以说这个图啊，你大概就有感觉了，然后他说啥 g x 又等于它减去 a 倍的这个玩意，而且只有三个零点，那不就说明 f x 跟它有三个交点吗？就是 f x 这个函数跟 a 倍的 x 加一啊，这个函数它有三个焦点，而 a 倍的 x 加一，这是啥呀？这是一条直线，而且它有横过点，没有横过点，横过点是 x 等于负一，负一斗零是它的横过点，也就是说我只需要把 f i 图像放上来， 然后呢过负一斗零，画直线啊，什么时候能跟他有三个焦点，我就取那个斜率是多少，就这样式吗？啊，你看这道题，你先分析明白，那这题就剩画图的画图的这个问题了，画图的话，对吧？整个长点的， 整个高点的，哎呀，不行，这边还有负一呢，是吧，得给这边留点位置啊，是吧？哎，大概啊，就是这么个意思， 是吧？他说呀，这个先画这个吧，零到二之间的这个问题，我们重坐标呢，要稍微的抻长一点，这样的话呢，更适合我们看，是吧？ ok， 他 说在零到二之间，然后呢，我们先算零呗，啊，把零的画出来，这个这个函数啊，不看这个绝对值，他是不是一定是递增的函数， 所以说他一定递增啊，所以说我们先看他，当他零的时候，零的时候相当于二的负一乘以二分之一，二分之一减一等于负二分之一啊，那我们假设负二分之一，这就是负二分之一啊，对吧？在得零的时候，那就得得这啊，在这个位置，然后呢，他说， 那我不看。当 x 得二得一的时候呢？当 x 等于一的时候，它正好是一减一，正好得零啊，那么我这个横坐标画小点啊，啊，这是一的时候，它正好是经过零点， 然后当 i 等于二的时候呢，啊，这个点是二，当 i 得二的时候，带上去就是二减一，正好得一啊，得一，那这么长是二分之一的话，那就应该在这呗，这是一，所以说他经过这个点， ok， 那 这个图呢，是不就可以画了？哎，简单的画一下子，那应该是长这样， 先是这样的，然后再上去呗，对吧？哎，就长这样了，哎，因此应该是长这样。这边 啊，那么这样的话呢，我把底下的图像擦了，哎，这就是一段了，那么下一段呢？啊，这就是二到四之间了，那么二到四之间的图一定是要把它压缩的，也就是说这个点变成四分之一了， 而这个最高点原来是一呢，变成二分之一了，变成二分之一，哎，因此他的图应该是长这样的，哎，我把这个图对称过去，是吧？那么这是三啊，这是四 啊，啊，对，还有看他的这个这个端点的位置啊，这个零是能取到的，所以说这块一定是实心点，而二是取不到的，所以说这块是空心点啊， 那么这个点是四分之一，是吧？那么就说明他在二的时候，这个点是四分之一，然后呢，到三的时候又变成零了，然后呢，他最高点呢？这回只能弹到二分之一了啊，弹到这个位置上，对吧？哎，就这样式的， 这样的一个图，那么接下来还是一样，那再往下画呢啊，再画一下吧，啊，意思一下啊，对吧？那当心等于四的时候，那是不是应该等于八分之一了？哎，等于八分之一啊，所以说就在这了， 八分之一啊，对应的就更矮了啊，这个点是实心的，到这，然后下一个呢，就到四分之一了啊，这啊， 这么的这么个意思，当然了，再往下就越来越矮，越来越矮啊，估计画这些够用了，然后我们接下来看，对吧？他说跟谁做焦点呢？跟这个直线，对吧？ y 等于 a 倍的啊， x 加 x 加一，那所以说它是横过负一斗零的， 横过这个点的一条直线，画横线啊，画，画直线什么时候呢？能有这个仨焦点呢？那你看我如果我画的高一点，哎，这种情况呢？它有俩焦点，那因此我这个得往下窜，是吧？往下旋转就是顺时针转啊，转到这个位置的时候， 是不是正正好好是三个焦点的临界点呐？画一下子，哎， 就这个时候啊，正好是三个交点的分界点，这是一个交点，这是两个交点，这是三个交点，但是这个地方他取不到， 对吧？取不到，那么再往下这条绿线呢？再往下转一点点的时候，他就能取到三个交点了，所以说这个点是不能要的， 要他再往下啊，那么先把这个斜率算出来，那这个点多少啊？对应的是二分之一，对吧？所以说我们可以算一下， 那么这个的长度呢？是二分之一，它对应的啊，这个 s 轴上的跨度是多少啊？从负一到四，所以说这跨度是五，所以说在这个情况下，它的 k 啊，等于多少啊？ k 应该小于这个值，对吧？小于多少啊？它的纵截距二分之一，因为这个角的弹进的值就是我想要的 k 嘛，对不对啊？就也就是 a 啊，对于这道题来说，就是 a， 是 吧？ a 就 相当于弹进了谁的，那弹进了谁的，应该小于二分之一，除以五， 也就说，哎呀，一定得小于十分之一， ok， 然后呢，继续往下转，转转，转到哪的时候就又不行了呢，哎，转到这的时候， 转到这个点，就他正好过这个二斗四分之一。这个点的时候，因为再往下串啊，就到这个点的时候就已经不行了。为啥？你看这有一个点啊，画一下，把它画出来，它俩离得比较近哈，这个还需要再往上串一丢丢 啊，这个图啊，往上串一丢丢啊，在这个位置啊，这个是临界点。在这个点的时候，你看有几个焦点啊？这是一个，两个，三个，四个，你看就已经有四个焦点了，但是人家说啥呀，有且仅有三个零点，说到这时候就不行了 啊，到这时候就不行了，那这个点我们是不能取的，因为取了的话就正好是四个啊，取了的话正好就是四个焦点 啊，所以说这个点也不能要，那么也就是说他只能啊，他的斜率啊，只能在这个范围内来回混，所以说，哎呀，还得大于多少呢，哎，在这个点的时候，你看这是多少？重坐标，重坐标，这是四分之一，对吧，而他们的横坐标的跨度呢，是负一到二，那是三 啊，所以说这边 a 呢，还得大于四分之一除以三，也就是说等于十二分之一啊，都不能取等，都不能取等，所以这道题应该是大于十二分之一小于十分之一啊，所以这道题选 a。 你 看这题没有任何的计算啊，就这块啊，你算个除法 啊，所以说就用你画图啊，非常非常重要啊。 ok 啊，这就是单选啊，我们后边会更这个，多选个天空啊，下个视频见，拜拜。

同学们好，咱们来看一下二零二六年的浙江省的一轮系统复习的第三次努力考的试卷啊，今天的话是在五月二十一号刚考的啊，二六年五月二十一号。那么来看一下这份试卷。 首先第一问，标准集合题是并集吗？那么零三五都要取了，那么选择 a 选项非常简单。那第二问，不等式， a 大 于 b 的 情况之下，那么 a 肯定错了，因为 b 加了二嘛，然后 a 大 于三 b 吗？哎，不会的，你两边同时三，所以 b 也错了。 那么 c 呢？ c 呢？你把小的再减到一，是不是更小了？所以 c 呢？正常来讲呢，我们可能会对，对吧，那么 d 呢？呃，那这个 d 肯定是什么？你把它往左边，应该是 a 减 b 大 于零嘛，是吧，所以他明显选 c 啊。第三题啊，好，负数是这个，那么其共恶负数的魔，那么共恶负数就是什么？改成三加上四 i， 那 求的是魔嘛？魔，其就是根号加什么三方加四方，这还是五嘛，对吧，没什么影响啊，所以还是选择我们 a 好。那么第四题，等它动象太简单了吧，你可以假设中间为 x 好 呢，这不说明两倍的 x 等于等它动象吗？等于头尾的和等于十八 x 么？等于九了啊，非常简单，选 c 好。 第五问，定一域定一域，那么根号里面怎么样？要求的是大于等于零，所以 x 大 于等于负六啊，好，那么很明显大于等于负六，选择我们答案，选择 a 选项 好。下一个第六题， x 如果大于一，它一定会小于等于二吗？这肯定是错的，充分肯定没有的。然后 x 如果小于等于二，它一定会大于一吗？也是没有的，所以它这个题目，哎，没任何相关性的呀，对吧？毫无疑问，选择记不充分，记不必要。哎，记不充分也不必要啊。好， 第七题啊，呃，好，看看这里啊，嗯，六个五折嘛，六个人啊，六个人排，排队了，对吧？排队对不对？ 那么其中的这个甲啊，它不能够第一个，也不能最后一个，所以先排甲嘛。甲是不是后尾不能排六个人位置，中间有四个位置，所以对于甲来说， a 四一四挑一，然后剩余的什么，剩余的人随便你排嘛， a 五五嘛，搞定 啊，就这么简单，所以就是四乘以五，乘以四，乘以三，乘以二，乘以一。好，我们把它计算下来的话，这里是二十，后面多少？后面是二十四，那么对，四八零啊，选择 b 选项。 好，接下来看第八问。第八问，我们图像焦点个数，这个非常简单，我们要先会余弦图像比方怎样了？跟正弦是一样的嘛，就是微微移动一下啊，这样子， 那么跟它的焦点个数，这个是 y 等于 pi， 同学们看清楚了，是 y 等于 pi， y 等于 pi， pi 是 三点多，三点一四嘛，它是 y 等于横向的弦，我们这里最高点就是 e， 所以 在它的上面这边，毫无疑问其实是怎么样，所以根本就没有焦点的呀， 对吧，我们都说很明显，它其实根本就一个角都没有，所以是零个嘛。选择 a 选项啊， 看第九问，第九问问的是 f， a 等于三啊，要等于三，那我们这个 a 到底是怎么样呢？我们不清楚呢。所以呢，假设 a y 大 于零的情况下，是在这个地方，那就 a 减一等于三， a 等于四，这个时候 啊，等于四呢？你看 a 大 于零， a 等于四，是不是符合条件呢？符合呢，说明 a 可以 等于四，说明 a 是 四，那把四放进去了，这不是 f 三减四，是负一， f 负一， f 负一，在下面这个变成三的负一，四等于三分之一。好像搞定了 啊，好像可以了，好像是，好像是这个选这个 c 选项，那么再看啊，再另外再减一下，看好了。还有个情况是什么是 a 小 于等于零，这时候你带的是三的 a， 四方等于三了， a 是 不是等于一， a 等于一跟小于零冲突了，它不可以舍去这个情况，只有三分之一选 c 好。第十题好。这么多来抽样啊。是分层抽样，反正分层抽样三个是分层抽样，总共的比是三，二比三比一，那么人口最少的一个就是抽出的是一百人，对，这里是一百了，那么按照比例去看呗，这是一百倍，那这里三百了，这里两百了， 然后你整个样，整个样本的样本人呢？总共数量算出来了，是六百啊，非常简单选到 啊。十一题，这个乘以这个等于零嘛，说明考证负性的吧，要么同正同正的话，说明 r 法是第一项线同正，要么同负同负的话是在第三项线，所以是 r 法是一或者三， r 法是一三项线， 那如果第一项线这个题目肯定都是正的，看起来看全部正的，所以屁点横纵坐标都是正的，所以第一项线肯定是有的。那如果它第三项线呢，那么它俩是正的，三也是负的，所以一正一负的坐标一正一负的话在 第三啊，以正负 x 为正的在第四项线，这是一四啊，搞定，选择 b 选项非常简单 啊，十二题，以这个圆心跟 y 轴相切，这题太简单了，画个图就好了啊，负三四在这里，跟 y 轴相切嘛，来， y 轴跟 y 轴相切。这样，这样子画喽，这样子相切了，所以毫无疑问，这个半径是多少？半径是三 啊，所以半径是三十九嘛。那么 c 在 哪里挑？让你看圆心，很明显的啊，我们这里选哪个啊？选的答案呢？是 c， c 选项嘛？啊， c 啊，看十三问二，相似系数非常简单，就是二的 n 次方等于三十二，那我们 n 等于几？ n 应该等于五，那么 n 等于五，它其实是什么？其实是我们的 n 等于 n 等于五啊，那么总共有六项，他问的是第五项等于倒数第二项嘛。啊，那这个题目的话，我们可以快速往下看啊， 那么求第五项嘛，那 t 四加一等于 c， 五四乘以二， x 的 一次乘 x 分 之一是 x， 负一次得四次，那么等于 c 五四乘以二， x 乘以 x 的 负四次， 那么跟它合在一起，这个是五位，是十十 x 的 过三次啊。搞定了啊，选择 a 选项二十四文， 抛物线上的点到焦点的距离，我们画个图形，朝右边，这上面的点到焦点的距离啊，那跟它到 y 的 距离差为 m， 则 p 为极啊，很有意思啊，我们根据定义啊，抛物线肯定考定了，不用说了啊，来，这个点到这个的距离应该等于它的准线的距离嘛，应该这样相等的呀， 对吧？好，但是他现在告诉我们到 y 的 距离是 m， 说明这个距离是 m， 那 么这里的距离呢？是不是二分之 p， 所以 整个长度是多少啊？是不是 m 加上二分之，加上二分之 p， 对 吧？也就这里的总长是二分之 p。 好， 那么这里是不是又会等于这个点 p 到这个焦点距离等于 d e 嘛？那么现在问我们 p 等于多少，我看一下啊， 那么我看这个距离是叉我们俩个数字就好了，等它到这个交点的距离，这个长度到 y 轴距离也就是这个。 哎，这个是不是我到这个 y 轴距离它到交点距离就等加于这个嘛，就等加于 m， 加二分之 p 等于这个的嘛，然后呢？减去到 y 轴就是减去 m， 减去 m 嘛，然后等于多少等于 m 这样的十字里啊？看嘛，那你看 m m 是 不是叠加啦，所以二分之 p 等于 m， p 等于二 m 嘛？搞定，选择 b 选项，大家不要看错 十五题啊，主式图长这样子，然后呢，这个俯视图又是个圆啊，然后左视图呢，也是个方形，所以这个图形是个什么图形？是个圆柱的柱体呢？是个圆柱的柱体。那这样应该这样子的情况， 这样子左视角看过去是不是正方形？左视角也可以正方形，但俯视图就是个圆了，对，它是个圆柱体呢，就这个侧面角好不好算，非常好算。那这个底面是二等于一啊，所以侧面角等于什么？底面周长乘以高二拍，乘以一乘以这个高是二乘以二等于四拍嘛？啊，非常简单，选择 b 选项 啊，再看第十六文，是一个二倍角，那我们考虑把它展开吧， 这个是 c， 那 么这里扩三一三分之判三六十度等于二分之一减去 s s 三英的二 a 乘以三英的三，三英的六十度等于二分之根号三。 好，那我们要求下这个问题，求下这里是不是二倍角公式可以利用二扩三英 a 方减一，再乘以二分之一减去三英二呢？是二倍的三 a 乘以扩三 a， 二分之根号三。好，对了，然后呢，那三 a 等于二分之一，所以我三 a， 这个等于多少等于多少？一减去这个等于二分之根号三嘛。那么三角形里面肯定取零到一百八，这百分之二是这个。好了，那我们把它带进去好了，大家算下看。这里带进去是四分之一乘以二分之一减去一 负二分之一，负四分之一减去这个啊，二倍的三 e 或三 e 也是四分之根号三乘以这个啊，大家算下看啊，这边啊， 等于减四分之三，那把它合在一起减一负一啊，等于负一，刚好选到啊， 十七题啊，呃，互为垂直的两个单位向量啊，这个，那占一个的门，一个长短，互垂直单位向量很好。 然后我们这个 a 向量减 b 向量等于多少？那我们一般减法都看成什么？都看成加法就好了，加上负 b 向量嘛，对不对？好，把 b 向量在这里，负 b 向量呢，那就这样子了。负 b 向量是这样子，那就说明这样说 a 向量加 b 向量的时候，可是不是加上去了，看到没有就正好加上去了，所以答案就等于它指向它， 对吧？那么这个指向这个可以怎么看呢？我们我们把这个图给它拎过来吗？把向量可以平移，平移过来，只可以看成这样子的一个 加这样的三个嘛，对不对？那么你往左边走，你 e 一 是不是往右走呢？那你现在是往左边走，大家觉得负的意义相等对吧？从这到这里，这是负的一一相等，然后呢，再往上走，那往上走是不是跟他同个方向呢？那，那就加三倍的，什么三倍的一二相等搞定了呗，就这么简单 啊，那么选择 a 选项好看。第十八题啊，感觉有点复杂啊啊，这种问题正正常呢，属于这种函数模型的文字题嘛。啊，首先这种题目很好做，先把这个关系式先抓到 啊，抓到之后呢，把你们的数据明确好， a 是 一个常数， a 代表是一个数据之作啊。然后这里好好看清楚啊，这里的 p 代表什么呢？这叫做这个 text 的 含量叫做 p。 死亡年年数是 t 啊， t 是 年数， p 是 碳含量，碳含量。那我们来看一下，二零二四年的时候发现什么呢？发现其发现这个 内碳十四碳啊，体内这个十四碳约量为原始含量的百分之八十一。好，稍微注意下，什么意思啊？这个时候等于二零二四年是原始含量的百分之八十一， 那么我们来把这里的信息给它提炼出来，可以提炼出什么呢？首先这里还有一个问题，年份看到没有，按照一个比较小点，大概过了这么多， 怎么样变成圆的一半？这里有个性质啊，也是过了五七三零的时候，是它还能 p 变成圆的一半，所以我们把这些点呢先拎出来起 啊。首先过了这么多，对吧？每经过这么多年衰减原来的一半，那你现在去 p 嘛，原始这个式子嘛，是变成原来的一半，也就是二分之一， 对啊，变成原来的二分之一，那这个时候是多少呢？应该是二分之一的，来，我们看一下，是过了这么多时间， 这是什么？是 a 分 之时间？是五七三零啊，比较大的一个数据。那么你这个嘛，很简单，二分之一的一次等于二分之一呗，所以这个等于一了，就解出 a 等于多少？ a 等于五七三零了，就这个意思呗。 啊，所以本质上这个函数已经知道了等于二分之一，然后五七三零分之 t 这么一个函数关系式。 好了，那么现在是不是要求的发现它这个电子元的零点八一啊？你说现在问的是什么？现在问的是这个 p 等于零点八一的，什么就零点八一啊，等于这个二分之一的啊，这个五七三零分之 t 呢？ 这样的意思，然后呢，从这个里面我们把这个 t 给它解出来嘛，就说时间解出来嘛，对吧？好，那我们就把这个式子给它进行一些运算就可以了，那我们要结合这个式子呢，肯定要结合一下啊，所以我们可以把它置换一下啊。怎么置换呢？首先这个时候以二为底呢，那你二分之一不就是二的负一次吗？所以可以变成二的负的 五七三零分之 t， 那 把整个变成二的负的五七三零点八一等于二，等于这个 good， 五七三零分之 t， 那 这个信息，然后呢，根据这个题目的意思，刚好等于多少？ good， 零点三啊，所以这个等于零点三，所以 t 呢？等于五七三零乘以零点三。 好，把这个这个乘以零点三，那么等于三三得九，三七二十一，那我说一七一九，那么我们观察一下看，一七一九，那么属于哪一个阶段的时间。好，那这道题啊，有同学可能这个还这个还看不清楚，那你看这个图形嘛，看这个图嘛，它给你标注了时间了嘛， 我们这个再往前推，同学嘛，再往前推，因为我们这经过多少年，这里面没有这个一七一九了，对吧？所以我们说现在是二零二四，对不对？那我们就减去这个所谓的这个一七一九嘛，减下看嘛。啊，这轮到三百零五年嘛，那三百零五年大家说在哪里？很明显嘛，在这个三百零五年，在这个位置了，吸金的时候了啊，就选择 c 选项。 好，我们再看题，问题啊，斜率为根号三，那别忘了是 k 等于根号三，别搞错，那么这个时候倾斜角是 tan， 加到 f， 那 么那么 f 留到多少？六十度喽，非常简单啊，或者三分之半。 好，二十题，平均数，平均数我们就算就好了，平均数啊，非常简单啊，把这个算下看，这里是十，这里是十四嘛，二十四，二三四十等于六十啊，非常简单。 二十一问，从这个里面结合当中取一个数为 k， 这边取的为 b， k 加 b， 不 经过第二下限线，那我要看怎么样，不经过第二下限， 不经过第二下限的话，如果你是这里一条红线，那你可以增，可以这样子增，如果你是减函数的话，百分之百经过的，不管你怎么画，这样子减的话，一定会经过，不用说了，那只允许为增啊，后面只能为增，同时这个 b 呢，这是 b 的 位置对不对？ b 的 话呢，一定要小于零，造型没有零，所以还好一点，所以 k 首先要怎么样？要大于零的情况 必然要小于零就好了啊，所以我们这里总共的概率是多少看的见，总共的概率呢，是本身从前面怎么样去选 三挑一，后面三挑一嘛，对吧？所以三得九是不是九种？本质上来讲，那我们现在符合条件了啊，那么看符合条件有哪些啊？说了 k 要大于零呢，所以这里面是二选一， 那么这里呢，要小于零只能选这个负一，选择一种，那么点多少啊？点到九分之二嘛，非常简单，二十三问啊，解下哪些问题？ a c 等于二四倍的三 a 等于三倍的三 a b 或三 a， b 等于五分之一，那么求我们这个的面积是多少？好看一下， 从这个信息里面发现呢，有四倍的三 a， 三倍的三 a b， 然后呢，还有这个库三 e c， 那 么求面积，求面积，我们先选择面积公式吧。 啊，那本期的面积公式的话呢，我们怎么选呢？首先第一个，大姐们，我们看到这式子啊，第一反应是什么？第一反应是可以变鸟互化，把它换成 a， 把它换成 b， 这是不是四 a 等于三 b， 对 吧？然后呢，上面二十二还没讲啊，等会你等会再讲啊，这个四 a 等于三 b， 然后 ac 其实小 b 边嘛， b 等于二嘛，这个意思哎， b 等于二，天呐， b 等于二，那你这个里面就是二三得六，那么 a 就 有了呗。啊， a 等于二分之三 啊， b 等于二，然后呢，哎，这个三一或三一 c， 那 不就告诉我们三一 c 了吗？正的吗？等于减去五分之一的平方啊。等于二十五分之一，等于二十五分之二十四，等于五分之根号二根号六。好，那你看。哎，有了吧，用二分之一的三一 c 乘以 ab 嘛，搞定了啊，三角形，二分之一的三一 c 乘以我们 a 和 b， 那么就是二分之一的三一 c， 就 这个啊，那乘以这个五分之二根号六，乘以这个二分之三乘以二，你把它化解一下啊，把它约掉，约掉，这一段应该是刚好一位的。五分之三根号六啊，搞定，非常简单，这三根号六。 好了，再看这二十四问，二十四问啊，好，我们乍一眼看到这个，其实有点像什么呢？像那个减什么等于六啊，有点像那个什么双曲线的感觉啊，注意一下，留意一下，等你看题目，题是没考双曲线啊，有有可能会考到那么这个 m 点哦，果然这两个点是焦点，其实是 发现没有，其实这两点是焦点，对吧？然后现在就是说在直线上的点 p 满足这个信息啊，我先不管直线，反正就是点 p 满足这个信息，这个信息其实恰好是一个什么？是一个双曲线的信息， 对不对？对的嘛，这个双曲线信息，那么意味着 pm 减去 p n 等于六，没有整体下绝对值说明没有，没有这绝对值说明 pm 要大一点呢，所以 p 应该在这个双曲线的右侧，这样的意思呢，那么这个是右侧，那么这个长呢？减这个短呢？等于六嘛？啊，所以这双曲线方程其实我们是有的 啊，那有没用呢？那我们先分析一下看，然后又告诉你，这个点 p 呢？在我的直线上，这个直线很有意思啊，这个直线是 y x 啊，是正比例的，去过原点去说啊，然后这个点 p 在 这里，也就这个直线上，比如画画一下这样子好了，这个直线上有个点 p 能满足这个信息， 那我们 k 的 范围 k 是 什么？ k 是 不是斜？对不对？ k 的 范围， k 的 范围，也就是说这个题目这个点 p 是 不是既在直线上，也在这个双曲线上？所以说白，它是想求这个直线和这个双曲线的交点， 对吧？要，要让它有焦点，存在的焦点，但是这个里面有个有个致命的一个问题在是右边的啊，它是右边的，这个 右边的一个图像没有左边的，所以本题很容易错，你们说很容易错，那我们 k 的 范围嘛，那也就是说求求什么？求焦点问题嘛，那么很简单，可以用连立方程用得来去做。 好，那我们先把这个双曲线先画一下看啊，那是不是 c 方等于十六四十六吗？这是二一嘛，所以 a 方呢，等于九，所以我们 b 方呢啊，等于七，所以这个双曲线方程是九分之 x 方减去七分之 y 方等于一 啊，所以我们本质上这个题目我们完全可以用什么做啊？任意方程啊，任意方程去做啊， 那干嘛呢？算得它呀？把 y， 把 x 删掉，把 y 删掉，得出什么什么 x 方加什么什么 x， 等于零，然后用得它怎么样？要求有有效点嘛？这样子，然后算完之后呢，你这里要核对一下看呢，因为它是右边的这个图像 啊，要与右指左边这个斜伸没有呢，左边这是没有的斜伸啊。啊，那这个是一种方法，但我们一般不采取这个方法。为什么啊？太慢了，没必要，我们还会有更好的方法。什么方法呢啊？我们这类题目其实会有专门知识点的嘛。啊，我们直线跟曲线的焦点问题都是用德他做的，但是唯独跟双曲线可以不用，也可以用， 所以根算角还可以用间接地线去做啊。我们算它的间接地线， y 等于正负 a 分 之 b 啊 seven 根号七 x 啊，它有个间接地线， 对吧？它有个间接地线，我们判断看你这个直线我们判断看你这个直线啊，要跟它有交点，说白了不知道你这个直线要怎样， 要怎样，要往下摆，你只要往下转一点点就跟它有交点，因为你比如说你这个直线跟我的渐离线是重合的，这时候是不是 k 等于多少？ k 等于 三分之二七，跟我重合的时候你是跟它渐离线一样的呀，那你这个渐离线跟这双角形是没有交点的，那你往下稍微挪一挪就可以了。那往下挪的时候是不是前一点变小了？前一点变小了，因为 k 也变小了，所以 k 可以 小于三分之七加三分之七 小于它等于等号是不能去了，然后一只脚就就啊，小哪里呢？那小到这个水平的时候，水平的时候 k 等于零了， k 等于零，那你再往下走了是不是？那走到这个地方就是负的 三分之七，那怎么样？是不是在这个之间就可以了？这样子转，所以这个时候它也是可以的，这样也是可以的。下面小于负三分之根号七，三分之根号七啊，这样才正确。 好了，所以我们用这个做快一点啊，不需要算什么的。 ok， 好， 我们再看这二十五题，三角形 a b c， 对 的， a b， c 的， 废话啊，给我们这个式，这个式子很明显是什么？是可以怎么样，是可以边角互换的嘛？ 然后呢，求 c 的 值，那我们看下这个式子啊，那么第一问，把它换成三 a 乘以我们的括号 a， 加上括号 a， 乘以括号 a 啊，等于这个三分之 c 方。 那我们会发现一个问题，这个数字里面给我们什么感觉？是不是 s c， 把它位置换下，是不是 c s s c c s， 然后 ab， ab 是 复合的，所以变成三音的，什么三音的 a 加 b 等于三分之 c 方，你别忘了这个，其实根据内角和定义，三音 a 加 b 等于三音 c， 对吧？然后呢，把我们这个三 a c 又怎么样，又置换成我们的啊，置换成我们的这个 c 边，那么这三 c 等于 c 方， c 嘛，等于三嘛？还有一个零嘛，零嘛，肯定没有的了，对吧？好，搞定 好，或者说这道题目用其他的话也可以，用什么方法呢？因为我们可以扩三 a b 扩三 a 嘛，你用 v 线段也可以啊，用 v 线段也行，这个反逆形要效果啊，那么这个咱们自己去画好了。 好，再看第二个啊，有 a 等于 b， 这个太简单了，是吧？那因为 c 等于三这个条件肯定可以用的啊，它没有弱子的嘛。然后呢， a 等于五 b 就 好了呀，扩三 a b 二 a， c 分 至 a 方，加 c 方减一方，那么和三 b 等于两倍的 五，乘以三分之二十五，加九减四十九。毫无疑问，我们其实不用算它，这个值都不用算，其实按你要算也可以，反正这个值怎么样，它整体是负数，上面肯定是负的小于零，所以角 b 怎么样？为单调型角， b 为等角零， 所以为等的三角形。祝大家啊，为等的三角形一定要写完！对， ok 了，非常简单啊。 好，我们再看第二十六文啊。呃，长方体啊，那么 a b 呢？等于二， a 到 a 等于二啊，那么说明左右两侧是正方形，然后总共的长呢？是六 点， e 呢，是上面的一个动点，哎呦，点 e 是 动点，很有意思啊，点 e 是 动点。若三轮锥，这个 b 杠 a 等于 b 杠 a 等于。体积。是这么多，那么求 a e 的 长，这个好求吧，很好求嘛啊，设 a e 为 x 好 了，对吧？ a 为 x 长度，那么你看这个的面积好不好算，那么 u t 可得这个 ab 是 为高的呀，为你的高，我不多说，让自己说一下啊。好了，所以呢，你整个的体，整个的体积呢？ a 等于三分之一乘以底面积，底面积是直角，这也不用说了呀，不是二分之一的二乘以 x 再乘以高，高数是二好了，都等于三分之八嘛。那么看这数字可以减 x 了吧，这里约的约掉刚好能减。 x 等于加等于四，那么等于四 好了。所以 a e 等于多少等于四，咱们说一下好了。那第二问啊，如果 a e 等于二等于二等于二等于二等于啊，立马看到，好让二面角 a 杠到一杠 b， 这个题目太简单了啊，到目前为止，数学还是蛮简单的， a 杠到一杠 b， 这里等腰直角，所以肯定是用等腰直角去做就好了。用等腰直角就好了，因为你知道题目 a 到等于 a 一 等于二嘛。我们先做辅助线，辅助线先取什么？这辅助线等腰线取中点，取到一中点 f 连接 a f e f。 好，那么毫无疑问，因为等腰，所以我们这个 a f 百分之百垂直于导一，然后又因为我们来看，这个不用说了，我们可以算算三角形，全等三角形 b a e， 所以 b 到等于 b e， 所以呢， b f 垂直于导一啊， b f 垂直于导一， 好，所以两个都有了吧。所以角 b f a 为二面角 a 杠到 e 杠 b 的 平面角。说一下啊，那么就做正切值，非常简单，这个是指向量。那么正切值太好了啊，你把 a 求它就好了， a 等于 f e f e f 求它等于根号二，我就参加这个角 啊。 f a b 等于对边比，对边等于二， b 上根号二啊，太简单的试卷非常简单啊，等于根号二，可以 二十七问啊，有分布列，这个很好做啊。那第一个嘛，这个加起来是为一呢，所以第一问非常简单，就十分之一加五分之一加 a 加二， a 加上十分之一等于我们的一。所以你把 a 解一下，再听你把 a 解解好啊， a 解完的话，应该是 刚好是多少？刚好是五分之一。 那第二问求 x 大 于等于四的概率，那大于等于四，那么就四根五了。所以这个可以怎么算？ 其实就等于多少？就等于 p x， 这个是等于四的时候嘛？跟加上我们这个 p x 等于五的时候嘛，就这么简单嘛。那你这里已经是五分之二了呀。那就等于多少？五分之二加十分之一等于十分之五， 好，等于二分之一。 第三万七万太简单了，剩下一加，然后剩下一乘，然后和相加啊，一乘以十分之一，加上二乘以五分之一，加上三乘以五分之一，加上四乘以五分之二，加上五乘以十分之一。 好，最后咱们自己算一下，最后等于五分之十六啊， 好，接下来看第二十八题啊。哎呦，是个蛮复杂的一个题型啊，我们读一读啊，巴拉巴拉叽里呱啦一大堆啊。反正我们就是测量，测量 a 以速度 v 一 零的时候啊，有一个进入一个足够长的水平，直到那么这里开始制动。什么叫制动啊？就踩刹车啊，做一个匀减速的一个运动啊，懂意思啊，就越踩越慢嘛，刹车踩下来嘛。 啊，那前方有个，有一个地理章数，有个障碍物啊，目标障碍物测量，测试，测量。这个 b 也横定说出同向同一个方向，那下面的图同一个方向运出，运出形式 为确保 a 在 任何时刻都不能跟 b 发生碰撞，不能撞，不能不能碰到在一起啊，那么建立函数关系式，那么为满足这个最好的什么时候啊？实验这个，那么怎么样？如果数据都是合适， t 这个时间， v 是 速度，那看一下，看一下我们这个过程。呃，因为你在制动嘛，所以随着时间的过去，是不是速度会慢慢降下来？没有错，没有任何问题，然后行驶的路程是不是会慢慢增加？没有问题的表格，表格很正确。那么第一问，求这个 v 和 t 是 一次函 数，那么分别，求这个还比较好做啊。第一问，那么设 v 等于 k， t 加 b 行吗？那我们先来带入什么？带入两个点就行了啊，再来带这个零 二十和一十二，带这两个点就好了。带进去啊，一个是二十等于 b， 一个是十二啊，等于 k 加 b， 那 么我们把它记好， b 等于二十嘛，那么 k 的 话等于负八，所以 v 等于负八， t 加二十 啊。第二个二次函数，那么 s 等于 a， t 方加 b， t 加 c， 我 们也是一样的，选了带入三个点，肯定带什么？肯定带零零，带零零，然后呢，带个一十六，二二十四。好，这个咱们自己大家看啊， 在这之后呢，刚好一个是 c 等于零，一个是这个 a 加 b 等于十六啊，还有一个是 四， a 加二， b 等于二十四，还算比较客气的啊，最后呢，三个值正好能算出来啊，非常好解。而且啊， a， a 是 负四， b 是 二十， c 的 话是零，所以这题是搞定了，所以 y 不 对，不是 y 了，所以 s 等于负四， t 方加二十 t。 好， 那我们这种时候写函数，函数值我们都应该给一个什么？给一个要求，给个定义域嘛，那 t 的 时间嘛，时间嘛，肯定大于零了，那你就给个大于零。 好，再看第二问，求车辆 a 从这个道完全停下来，好，完全停下来什么意思啊？也就是让你的速度为零的时候呀，所以说在这里面，一次里面要速度为零，那为你这个总路程看时间嘛，所以这个题目是蛮好理解的。所以在一次里面要怎么样令我们这个 v 等于零？ 那厘米的有零嘛？所以负八 t 加二十要等于，包括一下啊，等于零，所以我们的 t 呢，计算一下，等于 等于二分之五啊， t 等于二分之五，好， ok， 也是二点五秒的时候，然后呢，我们现在这路程呢，是不是把 t 等于二分之五带入到我们的这个 s 当中，带进去看一下 s 等于多少啊？来，咱们自己计算一下，非常简单，最后等于刚好等于二十五米，就搭一下为二十五米，总路程为多少啊？搭一下好了，搞定。 看第三问啊，这个测试的车辆 a 啊，在这个运动的同时，这个呢，也是也是怎么样呢？从其正前方 d 米的时候开始， 那么 v b 则是 b 的 速度为八米每秒，匀速向前行驶，为了确保 a 不 会撞上这个 b 车，那么要求初时的安全距离。好了，那这个时候呢，这个题目呢，现在呢，我们就需要一定的理解了，就是你要理解一下 如何确保它这个一个初时距离，对吧？让它不会相撞，啥意思啊？就是说我们从 a 这里啊，那看到它的时候是不是障碍物，是不是 d 米这个时候， 那我们是不是开始踩刹车？我们第二题是有关系的，是不是花了两点五秒，你是不是降下来为零，也就是在这过程当中，你不能碰到 b， 就 这个意思对吧？好，所以这里面我们核心是拿什么算呢？ 想让我们的这个路程 s 刚刚就算过去就二十五米，必须要小于，等于什么呢？ 我们 b 车是不是八米每秒，对吧？也就也就经过多少时间之后，不管怎样啊，也就你要小于它的这个 八米秒的时间，再加上我们的正前方的这个距离 d， 所以 本题应该是拿这个距离初时的距离跟我们这个 b 行驶的距离去做一个比较，啥意思？也就说需要让 我本身这道题目 行驶的是 s 米，对不对？对吧？假设这个过程当中嘛，总共行驶了 s 米嘛，对吧？是 a 车的嘛？那么不管你怎么样， a 车行驶的距离啊，给它画图， a 这个 b a 往这边走呢，没任何问题。那么 a 不 管它走多少米，走了 s 米，比如走到这 s 米好了， 对吧？对，在这个范围之内，然后不管怎样 a， 那， 那你这个 b b 是 不是也花了 t 一 分钟？ t 秒的时间，它也是 t 秒的时间，是八米每秒吗？所以八 t 的 时间，那本身处死就是有个 d 呢？所以你这个八 t 它所行驶是，比如 b 在 b 在 这里，刚开始，对不对？让它行驶到这里，所以这个数，这个的路程是八 t 加上我们的初值距离，加上加上我们的 d， 这八 t 加 d， 不 管怎么样，要比你这 a 的 性质距离要怎么样？要稍微短一点？比 s 要稍微短一点，这意思好，这个咱们要稍微梳理一下看了啊，是不是啦？给大家再画一下，好吧，大家再再理解一下啊，这题不是很难啊， a 在 这里，那我们是时间是不是 t 啊？ t 秒之后嘛， a， 比如嘚嘚嘚跑到这里来，对吧？那我 a 总共行驶的路程是不是 s， 对 吧？那同样的 t 秒我本身，比如说我本来这个 b 呢，在这个位置的， 对吧？那我过了 t 秒，它是不是嘚嘚嘚跑到前面来，跑到跑到这个位置来了？那不管怎么样，我这个距离是不是 t 跑的距离是不是就叫做八 t？ 因为 t 秒嘛，它是八米每秒嘛，所以这个距离，那你为了不让他们碰上嘛，说白了这个之间肯定要，肯定要留有你的空隙了，不应该这个之间留有你的空隙啊，或者这个之间，这个之间本来是 d 啊， 那你现在是不是行驶了这么长的距离，是不是八 t， 那 加我原本到你 a 的 距离是不是 d 啊？这个距离一定要比你这个要小嘛？这个距离之间一定要比你这个比你这个 s 距离要小一点，这样他就不会不会碰到了，是吧？ 啊，所以说是这么一个，这么一个信息，只要你的 s 这个距离 a 的 距离加比你这个，我们这个八 t 加 d 要小一点 就可以了，那就这个意思，然后我们的 s 是 有的呀， s， 那 啥时候开始的嘛？这个路程嘛，是不是第二题有了，是不是负四 t 方加二十 t， 对 吧？ 然后呢，我们这个时候可以带进去吧，带到这里面去，所以你把这个八 t 跟它合在一起，所以我们会获得一个信息，获得个什么呢？获得一个 d 应该是大于等于负四 t 方 加十二 t 啊，很有意思的一个式子，说明你的距离要这样子，那别忘了我们这个 t， 别忘了同学们，别忘了我们的 t， 那 我们他问的是最小值，所以这是不是一个二三数朝下呢？所以当 t 等于负二一分之 b， 题目负二一分之 b 是 八分之，刚好是二分之三，是一点五 秒十啊，是我们最啊，这个最大值的时候呢，能把它带进去啊，这个时候 五十 t 方加十二 t， 单单一点五啊，应该正好等于九米，所以第二怎么样？第二大于等于九米才行，出的距离大于等于九米，所以最后呢啊，尾九米就要值 尾九米好，搞定好这题目，第三问还是有点难度的，需要理解啊，如何让它不会撞伤，出的距离有多少？ 好，我们再看这个第二十九题啊，看样子是比较简单的，我觉得啊，好，交集为二，那么 c 等于一，这个周长是什么？二，图形 好， f 一 p k 的 状其实是四 a， c 等于四，根号二，所以 a 呢，等于根号二，那么非常简单， c 方等于一， a 方等于二，那么 b 方呢， 也等于一嘛。所以本题左边分的是多少？是二分之 x 方加上 y 方等于一啊，非常简单。好，再看第二问吧，求 p 勾相长。哎呀，这题目太容易做了，我觉得， 那么我们看一下啊，这里有有一个倾斜角的嘛，这不是 f 一 f 二 p， 别看错了啊，那我画的是不太对啊，这是不是三分之二 pi 一 百二十度呢？这个呢，六十度了，没关系的，那么可以等于探间它三分之 pi 等于根号三。好，所以我们的直线是不是过 f 二呢？ f 二是多少？是一零嘛，所以我们这个直线 p q 可以 直接立马求出来，再求下点， y 等于根号三， x 减根号三。好，我们马上连立方程啊，来不及解释了，太简单了啊，然后把它带进去。 好的，我们把它删掉啊，删掉之后呢，化简完应该是七 x 方减十二， x 加四等于零好了，那么 p q 的 长度好不好做？非常好做，我们用常见的得它的公式 对括号上一加 k， 一 加三乘以根号得它是 b 方减 c， c 一 百四十四，减去四乘以七乘以四，然后再除以七的绝对绝对值嘛。那么最后大家算下看，正好等于多少呢？正好等于这个七分之八根号二啊，还可以的数据啊， 结束啊，看第三，问 m 点为什么啊？为它这个 p f a 中点啊，来， p f e 在 这里啊， m 在 它中点，那么求什么呢？求 m p q 的 面积。很有意思啊， m p q 的 面积，呃，这题目一一看就要怎么做啊，非常非常简单， 对吧？为什么？因为你 m 是 中点嘛，我们求这个一半，没必要求一半，你直接求整一个的。什么 p f e q 求了整一个的，那这中点是不是占一半？这肯定占一半的呀，中点嘛，中点嘛，一分，那就说明中线嘛，这两个底是一样的，高是底是等长，高是等高的嘛，这就一半就好了。这个题目很好做啊，那我们只需要上到整一个的面积就好了，那整个面积屁股不是有了吗？天呐， 那啊，由图上可知， s 三角形 m p q 等于二分之一的 s 三角形 p f e q， 那 么我们只需要把这个平行的求号就好了，就缺一个什么变大直线距离，所以求高就行了。 那立马求高啊，这个直线给它换一下， g 根号三， x 减 y 减根号三等于零，所以是三加一。 再把我们这个 f 一 至负一零带进去，根号三减一，减根号三啊，画一下 啊，这是零啊，大家看，等于二分之二根号三，那么等于根号三，刚好等于根号三。好，正好等于根号三。好了，那么有了吗？面积有了吗？有了， s p f e q 就 等于二分之一的 p q 乘以的高 啊， p q 是 七分之八，根号二乘以我们的根号三啊，最后算一下它总的面积， 这里是七分之，它越来越掉四根号六好了，所以最后 s 三角形 m p q 的 面积，那么就是它的一半啊，等于多少七分之二啊，非常简单。 好，我们看第三十问啊，这道题目看着好像蛮复杂的啊，数学题嘛，呃，最接近的整数四十五入的话，比如说与四点六接近的是五啊，与七点四接近的是七，没任何问题。然后现在 n 属于 n 加正整数没有问题啊，那么 a n， 那 么 a n 是与九分之 n 最接近的整数，这同一个 n 啊，那么先来第一题， a 一 啊，我们可以算下看，虽然我们直接写出来，我们算下看好了，那你 a 一 跟谁对？跟九分之一对，那么这个时候 啊，也就是说 a 一， 根据题目读一下，若 a 一 是与九分之一最接近的整数， 那整数嘛，要是整数啊，那你这肯定是什么？ a 一 肯定取零了， a 一 取零， a 二对应是谁对应九分之二，对吧？那也很明显也是零。哎，所以发现一个规律啊，有个规律，很多重题我们先斜开了，但你不知道什么，后面怎么做的也是，哎，你看到到到到九分之九分之四也是， 你还是零五呢，对吧？五的时候怎么样？同学们 为五的时候发生点变化，他对应的五的话，最靠近九分之五的整数应该是一了。哦，看到没有，这里有个规律，一二三四的时候都还是贴贴近前面一个数值，但过了五之后开始往后进一了。哎，这个是个规律，等我可能用到了啊，我们可以先推推看，然后 a 六也是一样的，九分之六， 那都还是一九分之七，九分之八到九分之九吗？都还是一吗？还是一啊，那这个意思啊，那我们把第一题先做好题目啊，我们看一下这里啊，那是不是 a 十七？ a 十七对的是什么？是九分之十七， 那你 a 十七应该等于几？你们看看多少？这里是一点几吗？二九十八，其实快靠近二了，最高点它肯定是二，意思 a 二零二五，对应的是不是九分之二零二五啊？让我们看一下 啊，大哥，点多少啊？二九十八，嗯，二九十八，四十五，五九四十五，那正好呢，不要数正好二五，这个正好点啊，不要数刚好呢，这个规律，那么第一问，三分必须得拿到手啊，然后第二问，哎呦，记这个数量， a 呢，前 n 项和为 s n 啊，求 s 二十，还好呢，还可以，他求 s 二十，求 s n 的 题目得难死我们了，还好求的是 s 二十。那其实啊， 好，从我们刚刚写的规律时，我们能够明显的感觉出来啊，我们其实可以给大家举个例子，题目怎么去理解啊？我们那个 a 一， a 二， a 三，你会发现一个问题啊，刚我们已经写过了，那你可以自己可以再再再一遍试试看啊，这个题全部等于零， a 五等于九分之五才开始为一的，然后 a 六到 a 七， a 八， a 九，这里呢，又全部为一，这里有几个？有五个一，那你看啊， a 十呢？ a 十的时候呢，是九分之十呢？还是一， 然后 a 十一呢？九分之十一依然是一，一，一到多少呢？到这个 a， 比如到这么到 a 十四，稍微一下看，那九分之十四 啊，那么要等于多少了？应该要等于这个啊，看一下啊，百分之十四是一九得九嘛，然后五九是，这是变成二了啊，这也变成二了，那往后往，往后走，所以这道题它其实是有一定规律的 啊，怎么个规律呢？你会发现这个时候，那一到四全为零，然后这里的时候呢？这里好多好多个一，对不对，但是你不能给他归在一起的，因为我们这个题目很明显是分一个一个阶梯，一个阶梯段的，所以你要分清楚，你从你觉得你从 a 一 分到 a 几为一段比较完整，你要想清楚， 因为你等会那喊喊进来，你前面零零零一一，后面一一二二的呀，后面还有好多好多二的呀，你要分清楚了啊，那我们是不是九啊？九啊，那肯定是以九为主说了，不然他干嘛除以九呢？回来水肯定是以到这里为为一组嘛，对吧？那你看是不是四个零配五个一， 对吧？ so， the greedy， 那 么看这里是十呐，这里是十一、十二、十三，那我们看这里十、十一、十二、十三，你看有几个一，那也是怎么样呢？四个一诶，五个二，看到没有？所以九项九项为一， 前面四个为零，后面是五个为一，同样道理，这里呢也是一样道理。加下去呢，这里是一，这里呢是二，这有五个，这里有四个，看到没有？同学们啊，我把它重新表达一下， 那么这里是四个零，五个一，同学们看到没有？四个零，五个一，然后又，然后又四个一，五个二，那加下去呢？又是四个 二，五个三，那其实这个时候你会考虑考虑把它们合在一起，因为这一好了，好几个一的嘛，对吧？干脆合在一起好了，你合在一起的时候你就有惊人的发现，哎哎，九个一，搞了半天，那四个零配九个一，四零配九个一，配九个二，配九个三，配九个四， 这只规律呢？啊，懂了吧？同学们，这规律你要先看得出来，不然这题目就没法做了，做不了，所以 s 二十呢？那我们第二问是好拿的，我觉得 s 二十，因为你可以接单列的 a 一 加 a， 二加一，三加一，四，得得得，加到 a 二十嘛，我们按照规律 啊，那前面四项 a 一 到 a 四，是不是那属于四个零，那就四乘以零好了。那加下来九个，是不是九个一， 加了九个呢？是不是九个二？唉，别搞错了，我们总共才才二十项，你这里十八，这里九十八。超了，超了，看到没有？超了，完了，超过了，所以后面这里没有那么多了。这里已经有多少项了啊？四项加这个九项十三项了，最后面还有七个啊，只有剩下七个，那么就加在一起 啊，那非常简单，等于多少？等于二十三，对吧，看到没有，这怎么做的来？这题目非常简单，其实啊，那么，哎，第三题有点意思啊，看一下，看第三问， b n 等于 n 乘以 a 的 三 n， 哎呦，这个有点意思， a 三 n， 然后求他的前移项和 t n， 然后让我们求 t 二十。好，既然这道题目敢让我们求 t 二十，在考场之上，我们为了节约时间，说实话，你不要有别的想法，我就单求 道题嘛，我就单求就死求就好了。好吧。啊，因为我们考试你是 love 的 思考的，当然它有什么快捷方面一定是有的，但我们没必要去追求，因为它只让我们求 t 二十，所以道题们大胆去做，等于什么？等于我们的这个，那我把 b n 写上， 这个是一，这个是第二题啊，先找看那 b 一 啊，那是必然了， b 一 等于什么？一乘以什么？ a 三这样子，那 b 二呢？我们按道理还是把规律稍微写啊，看你要写了，不然你不清楚了。好，大胆去写吧，不用慌。二乘以 a 六， b 三三乘以 a 九， b 四四乘以 a 十二， b 五五乘以 a 十五。好，我们把这个给它算一下， 那我们 a 三，咱你知道的，我这都练这里了，是不是为零？那我们这里呢？ a a 六也是一嘛，这里为二，那么三倍的 a 九呢？ a 九自己找找看，这里还是一，依然是一啊， 那么乘以三十三，那么这里呢？ a 十二呢？ a 十二的话应该是一了，那就是四， a 十五， a 十五看一下，应该在下面二，那么二乘以五是十， 那我们继续写啊，那你按照这规律，因为我们前面发现过 a 的 规律是不是九个九个，是不是前面出前面四个字是九个九个一循环加一加一加一的，你一直往后写，好了，写就好了，问题就不多写了。对，他答案很简单，就是零加我们的二加三，加四加十，再继续写， 加十二加十四，加上二十四，加上二十七，继续加上三十，加上四十四，加上四十八， 加上五十二，再加我们的七十，再加七十五，加八十加一百零二加一百零八加一百四十加一百四十。好，最后求和，求解， 求和随你怎么求，因为这个题目其实你写过之后，你就发现明显是有规律的。有什么规律呢？我们可以仔细看一看这个题目的规律， 我们看看吧，我们这里看中间，这里啊，来零二三四十，然后十二十四，二十四，二十七。来，你会发现这里还是比较贴近的。首先首先，首先这三个是连加一的，这三个呢？ 连加二的。这三个呢？连加三的。这三个呢？连加四的。这三个呢？连加五的吗？这三个连加六的，懂吗？那你看看这是不是三个三个，一二三四五六六组，三六十八，十九二十。扎扎，这个头是零，尾是一四零，看到没有？其实这种节目你也， 你别觉得我，我也我也是一个一个这样子练的，练到死的。不是的，是很明显有规律的，三组三组分别加一，然后这里呢？这里是跳了，这里跳多少？这跳了六个，这里呢？跳了十个。那你看，那你说这里跳多少？ 跳多少？跳十四嘛？这里呢？跳多少？三都知道六十十四跳十八了。所以我们有规律的呀，要跳二十二了，有规律的啊，不要不要，真的死船了，不是死船了。最后你求个，求个随你，随你，怎么求都行啊，就等于九百五十九 啊，搞定结束，这题目很有意思的题，来找来找技巧。

本次课呢，咱们说下这个合并三模的这个数列体，他这个说要 a 一 a m 到 a m 先画个圈，对吧？咱们先画个圈，然后后面你看这个先是算 ak 减一，到 ak， 对 吧？说明 ak 和 和 ak 减一是在这个 a m 之间的这个数，对吧？咱们画一下啊， a 一 a 二画圈， 然后到这个是 ak， 嗯， ak 减一，对吧？ ak 减一，然后再来个 ak 吧，然后下面应该还有一个 ak 加一，对吧？你看这还有 ak 加一，咱们把这个能说的都说出来啊，然后后面再继续画圈，往后接着画的话，再到 am 减一， 还有 am， 对 吧？所以的话这样可以形成一个圈，稍等啊，给他稍微给他画好看点， 对吧？这样的话就可以形成一个圈了，那这样的话，咱们就是一个 a 一 到 am， 然后中间的话会有 a k 减一， a k 和 a k 加一这一项，对吧？那么那么看，他说 a 一 到 a k 这是一个等差，对吧？所以说我呢， a 一 到 a k 这样转就是一个等差了，对不对？ 然后呢，我要是 a 一 a 一 a m a m 减一，注意他为什么这样是倒着说的，因为他是从这么往后走的，对吧？你一定要画个圈才能理解，你要平着画，那是理解不了的啊，所以的话你一定要画圈啊，所以的话，他到谁呢？到 a k 都是等比，对吧？ ap 呢？就是等差，是这意思，所以的话他说这个这就完了啊。第一问， 那来咱把这个圈复制一下，然后咱们按照这个圈呢去写通向就可以了，咱们不要再平着写了，平着写的话是没法理解的，不好理解，来啊，那咱们先看 他说这一圈是等差式，对吧？ a 一 到 ak， 所以 的话呢，你首先这个 an 等于 n， 你 这里是不是可以写个通向，对吧？这里的话，这是一二一直到 k， 对 吧？但你看后面说的 k 等于九了，说明他这个应该到九就结束，对吧？所以就是 写在 a 九吧， a 八就不写了，这是九，对吧？这样 a 一 到 a 九都是一个等差式 a n， 然后再往后他又得倒数了，对不对？你 a 一 到 a k 的 话，所以的话，你 a 一 的话，这块是一，然后下一个公比是三，这得是三，对吧？然后这得是三平方，对不对？那就是九吗？对吧？这就是九啊。 所以的话，你看他俩要重合，对吧？哎，你看啊，他俩 a 一 到 a k， 这是一个等差列，对吧？然后 a 一 到 a k， 他 也是个等比数列，就就这样转倒着转啊。那所以说 a k 的 话，他是满足两个等，两个通向，对吧？他这个又得满足等比，然后这个又得满足等差，对吧？所以的话， 呃，你如果这个时候如果是等比能和等差转到同样的一个值的话，说明他俩应该要重合，对不对？ 所以的话，你这个时候是不是有一个 a m 减一等于 a 九啊？他应该就到这里就停了，对吧？他应该本来就说 a 一 a m 减 a 一， a m 减一到，其实 a m 减一就是 a 九，然后这就应该是等比就停了，对不对？总共就三项，所以的话呢，你这应该是把这段图了啊，都图了， 呃，应该再把它这个这样吧。呃，这个咱们重新画个圈吧， a 九，对吧？ a 九的话，下面还有一项，这是 a 十，对不对？然后这就形成一个圈了， 那么这个呢？是咱们等比，然后呢，这个是咱们的这个等差，对吧？所以的话呢，你现在，呃，你要求和的话，这个应该是什么呀？你就给他加一遍，不完了吗？对不对？给他这样，呃， a 一 a 加到九，然后加个 a 十，不就完了吗？对不对？所以说你这个 s m 的 话，总共就是 a 一 加 a 二加到 a 十，所以的话，当然这你可以解出来是 m m 减一等于九，对吧？ 总共就十项，然后的话你就是 a 加到 a 九的话就是一加到九，然后除二，然后再加一个这个 a 十，自己的话不就三吗？对吧？ 这样 a 加 a 九，对吧？然后加个三就完了，对吧？所以说你这样自己求完，这不就是十，然后五，然后四十五，再加三四十八吗？对吧？哇，这是咱们第一问啊，然后看第二问， 那第二问咱们也照这圈画就可以了，对吧？第二问咱们也照这个圈画，他说，呃，给了 a 一 和 d 了，然后那就是整个他给通向都给了，对吧？通向都给了，所以的话咱们照这接着画啊。 那么这个呢，是首先画个等差，就是 a 一 到 a k， 对 吧？ a 一 到 a k， 所以 的话这个画里面首先这个 a n 的 话是， 呃，我，我先不写 d 吧，我先不写 d， 好 吧，我，我就先把这个它原本的形式写出来， 首先他手相是二，对吧？手相是二，然后的话他 a 二的话就什么二加 d， 对 吧？我先，我先不带这个 d 零二啊，我先这么写，然后再往下一直写到这应该是二加 k 减一倍的 d， 对 吧？ 这个有点小啊，这地这 k 减一倍的 d， 对吧？ k 减一倍的 d d 啊，然后的话，这样咱们里面就转完了，然后再转外面，对吧？转外面这个呢？首先还是首先是二，对吧？首先是二黄色啊， 然后再下一项，不得是二 q 吗？对吧？二 q， 然后这就是二 q 方，对吧？往后，往后转到这个 ak 的 时候，对吧？ ak 的 时候应该是什么呀？你看这个咱不能用一减 k 啊，不能这样写，咱们得是 m 减 k， 看一下他俩之间隔多少向，对吧？因为一不能体现出他俩是这个隔了多长，对不对？ 一一减 k， k 减一的话，得是他告诉你这么多，是告诉你这么个长度，对吧？那你还得去总共的 m 减 k 了，当然怎么样都行啊，怎么样都行。 m 减 k 的 话是多少啊？ m 减 k 是 说明这个， 呃，你们之间隔了多少项，对吧？你们之间隔了多少项？所以的话，比如说三到一，三到一的话，你三减一的话是隔了两项，对吧？是刚好是不是一二一两项，所以的话你 m 减 k 的 话，说明这里是 q 的 m， 呃，减 k 隔这么多项，对吧？但是注意啊，你是二，你是从二 q 这里隔的这么多项，对吧？所以说你这里还在怎么样？乘二 q 对 不对？乘二 q， 所以 的话，你 乘二 q 的 话，你再把 q 给它放上来，对吧？你可以再给它写上二的 m 减 k 加一，对吧？就是这个 ak 这项，对吧？所以的话，你这样正着写一遍，然后反着写一遍，那就是整个的通项都找到，对吧？所以说你首先就可以得到第一个等式，就是 ak 要被表达两次，对吧？有所谓的算两次嘛，它俩它又是可以等差得一次通项，然后等比也得一次通项，对吧？ 那么 a k 呢？等于二的二加 k 减一倍的二，对吧？现在我要把公差带进来，对吧？公差带进来，然后它呢？又等于二的二的 m 减 k 加一， 对吧？因为我这个时候他不说可以说 q 和 d 都是二吗？对吧？都带进来了，所以说我的这个就是可以约个二吧。好吧，先约个二，所以说你这个就是 k 等于二的 m 减 k 加一，对吧？所以你这会有一个非常强烈的感觉，就是 能不能三面分离，对不对？三面分离，咱们把变量分离一边到一边嘛，对吧？所以说，那你把这个减二，这二的负 k 次方，不就是二的 k 减一次方分之一吗？你把它乘过来，对吧？所以说这是 k 乘二的 k 次方等于二的 m 加一次方，对吧？也就说你要保证这个等式呢要，呃 呃，时刻成立吧？时刻成立，那他说 m 小 于二零二六的时候，那你就想这边不就是可以小于二的二零二七次方，对吧？二零二七次方，所以的话呢，呃， 他是给了你一个上界的放缩，那就是二零二七，对吧？ 好了，那所以说你就把这个这个不等式解一下嘛，对吧？把这不等式解一下就可以了啊。你发现这块这个 k 乘二的 k 次方，它要等于这个的话，说明怎么样？你的 k 一定是个二的倍数，对吧？ 所以的话，它一定是这个二的一次方，二的二次方这种的形式，对吧？它不能带有什么三乘二的一次方，这肯定不行，对不对？不行，所以说它一定 k 是 二的二的这个倍数，比如说二的指数，对吧？那现在 k 要是二的倍数的话，那你， 呃，你就卡一下这范围不就好了吗？因为这边是单增的啊，这边是单增的，所以说你看这边咱们叫成，呃，啊，这有叫 c 吗？没有叫 c c k 的 啊，咱们叫这这边为 c c k 吧。 又因为 c k 单独绿灯，咱们卡一下这个，什么时候这个 k 超过这个值，什么时候 k 小 过这个值就可以了，对吧？所以说你肯定注意到 k 等于二的十字方的时候， 也有说二的倍数吗？对吧？所以说二的二的十字方的时候就是二的二的二的十字方，对吧？这是二的，呃，二的十字方，这是什么？一零 二四，对吧？一零二四，然后加上十的话，因为你这个指数乘不得加在一起吗？对吧？一零三四，对不对？所以的话，你看这个是小于二的 二零二七的，对吧？所以的话，那你这个时候不就可以成立吗？那你就再找一个他超过这个值的时候，对不对？那肯定是二十一次方，大概就超了，对吧？二十一次方乘二的二的十一次方，应该就是二的二零二零五九，二零五九， 对吧？二零五九，那肯定是大于二的二零二七的呀，所以说那就不满足，对吧？那就这个成立。所以的话，那你把把这个卡点给卡下来了，所以说那就 k 的 最大值的话，就是 二的十字方，对吧？二的十字方，所以的话，那 k 的 最大值的话，你有了，那你是不是你想找一个这个 m 最大值的话， 呃，直接直接让它相等不就好了，对吧？这样子让它直接让它相等啊，所以说那这个就是二的十字方乘二的二的十字方等于二的 m 加一，那刚刚这是二的一零三四，对吧？等于二的 m 加一的话，那这个 m 不 就等于一零三三吗？对吧？一零三三，因为你的这块 左式是一直单调递增，对吧？你右式也是单调递增的，你如果保证右式的这个地方是能有最大值的话，你必然是在在右边这个地方，它也是一个最大值，对吧？ 因为你单增的话，你函数值越大，它对应的这个横坐标越大呀，对吧？所以说你 k 越大，所以说导致的这个 m 越大，对吧？所以说，那一定你要这里注意，要是 k 越大，所以的话就会导致 m 越大，好吧， 好啊，那这样的话，咱们这个，呃，当然是下面这个，下面这个 这个，好吧，那咱们是第二问啊，然后咱们再看第三问啊， 那么第三问呢？咱们也同样去用这个画图 来啊，还是画图，那咱们还是一样照着写一遍这个通向，对吧？照着写一遍通向。这回呢？啥也没给你的吧？就给一个，就给了一个 q 等二，那就是咱们也带 a 一 和 d， 然后 就两个参数的吧，带参数写就可以了，所以说呢，这个咱们顺着这样先写公差，这个等差数在这边就是 a 一， 然后 a 一 加 d， 嗯，然后的话，这个 a k 减一，我就不写了啊，这块是 a 一 加 k 减一倍的 d， 对 吧？然后的话 当然就对应 a k 啊，然后这样倒着写一遍啊，倒着写一遍的话，就是什么？你这边是 a 一， 然后的话，你这是二的一次方乘 a 一， 对吧？这样吧， a 乘二的一次方， a 一 乘二的二次方，对吧？你这样顺着顺着写的话，咱们刚不把这 k 的 通向写出来了吗？对不对？是 m 减 k， 对 吧？ m 减 k 二倍的，当时是用 am， 然后乘上一个 q 的 m 减 k， 对 吧？那就是 a 一 乘二的 m 减 k， 对 吧？当然这 a k 加一我就不写了，这块写省略号吧。 所以的话，它就等于什么呀？ a 一 乘 二的 m 减 k 加一，对吧？是不是可以了？这块写的有点难看啊， 对吧？这样就可以了。所以的话，你看又是这个 a k， 这里咱们有两次表达的句子，对吧？这是算两次嘛，对吧？算两次啊。 所以的话，呃，咱们对这里的话， a k 呢？做一个等式就可以了， a 一 加 k 减一的 d 等于 a 一 乘二的 m 减 k 加一，对吧？所以的话，呃，你现在要让这个式子它俩求和相等，比如说它要从 a 一 加到 a k 减一，对吧？加到这儿，嗯， a k 加到 啊， a， a k 加到 a k， 啊， a 加到 a k， 啊， a 加到 a k， 那 这样的话，就是咱们等杀率就会变吗？对不对？咱们等杀率的话，这边 a 加到 a k 的 话，就是 a 一 加， 呃，你这式子不能不用，对吧？嗯，咱们都换成这个时候，可以啊，对吧？你这个式子可以让它 a k 的 话，就让他直接表达成 a 一 乘上二的 m 减 k 加一，是不是可以啊？咱们就在这里用一下呗，对不对？然后呢，再乘上一个 k 项，是不是可以了，对吧？然后的话，咱们 a k 加一也加到 am， 对 吧？那这样的话，你得看这个 a k 加一和到 am 之间有多少项嘛，对不对？所以说 啊，咱们是不是可以用末减少再加一啊？对吧？为什么？因为你可以咱们举个例子，比如三到一，我现在只想让你三和一给我凑出来这个三到一有几项，对吧？ 那就是三减一，三减一的话，是对应哪个？是对应的二一这两个项，对吧？然后咱本身三没算，对吧？你再算上加一本身就可以，对吧？所以这不就是末减少再加一嘛，对吧？末减少再加一，所以的话，总共来说这是一个 m 减 k 加一再加一的这些项，对吧？一共这么多项，那就是 m 减 k 嘛，对不对？ 那就说咱们用等比数学求公式的话，就是二减一，然后二的 m 减 k， 然后减一，然后你乘的这是谁啊？你这个乘的这个手相的话，应该是 am， 对 吧？这是从 am 来，呃，这个二 a 一 来的，对不对？ 对吧？所以这样的话，咱们再看，他说这个要是三倍相，三倍的关系，那所以说，那咱们复制一下啊， 这个要等于三倍，这个，对吧？所以说咱们可以首先的话约个 a 一， 对不对？约个 a 一， 然后呃，这个二咱们再乘过来，这个是一，对吧？那就这个是十， 呃，十二，十二，所以的话就是一加二的 m 减 k 加一，然后再乘上 k， 然后等于十二倍的二的 m 减 k 减一，对吧？ 这样的话，咱们看这个是个等式的话，这一般问的什么问题啊？看他问的是存在，对吧？存在性问题，然后你看这是 m 和 k， 它有关系的，所以说这个 m 和 k 有 关系，所以说它要存在的话，它也得存在，对吧？所以说就是个存在 mk 的 一个任意性存在性问题，那任意性存在性问题的话，咱们一定会涉及到这个什么呀？整除 余数，对吧？整出余数，那你看这边的话，这个这块是个基数，对吧？那这边的话，但是不知道咱们看右边，这是一个基数，对不对？那这边是个偶数吧， 所以说这一定是 b 为偶数，对不对？那你肯定想问，这怎么就是基数了？因为这是偶数啊，对吧？你偶加个 e， 这一定偶加个 e， 这一定是个基数啊，对吧？那这边呢？这边是偶 减一，这一定是个计数，对吧？所以说这一定是个偶乘积，偶乘积，对不对？所以说你 k 一定是个偶数， 当然呢， k 位偶数还不够，对吧？因为 k 的 话能等于二四六，一直往后能走无穷，对吧？所以说，那你还要把这个 k 的 范围再限制一下，那怎么限制呢？咱们一般通过放松或者是通过极限来这个 呃所有他的范围，但是这题呢，极限并不行了，对不对？因为他这是存在 m， 对 吧？所以咱们只能只能通过放松了，放松的话，咱们看怎么放松呢？你看这两个形式是不是很相近，对吧？我让他除下去，是不是可以啊？所以说你看这是呃， k 等于十二倍的二的 m 减 k 减一，然后除上二的 m 减 k 加一，再加一，对吧？所以的话，你这样的话，这个式子咱们上，因为你这个最高次的话要加一，对吧？所以说这时候乘二，然后这个再乘二分之一，对吧？ 乘二分之一 m 减 k 加一， 再加一，所以的话，你这个时候呢，这块是不是可以呃分离常数了，对吧？你这边加一，再减个一是不可以了？你这边减三减三，对吧？然后加一的话，这边约出来是一个二分之一，对不对？这句话，这是一个十二倍的二分之一减三倍的 一个地小啊，拿过来 二分之一减三倍的二的 m 减 k 加一，再加一， 对吧？所以的话，你这个地方是不是可以放松一下，对不对？这是小于二分之一的呀？所以的话，你这个地方不就整个来说是小于 十二乘二分之一的吗？它等于六啊，所以你看这不就是 k 小 于六吗？然后 k 还为偶数，对吧？ 你看 k 还有偶数，所以的话，到这来说的话，不就是 k 零等于二四吗？但是注意啊，注意，咱们上数只是通过放松和找必要不充分的关系，咱们这个关系找出来，对吧？所以说你还得自己带进去验证一下，对不对？所以的话咱们还得这个 k 零二，这样就是 必要不充分，对吧？这是必要不充分啊，所以还自己验证一下。那 k 零二的话，这是 带进来带到这来的话，对吧？因为他俩上下等价吗？对吧？带这来的话，这是一个 k 零二，然后 k 零二的话，这是二等于十二，然后乘二的 m 减 k 加一，再加一分之二，这是减 k 啊，这是 二的 m 减一，对吧？然后呢分之二的 m 减二，再减一，对吧？然后的话这块的话咱们约个二十六，然后呢把它再乘过来，这是 二的 m 减一加一，等于啊，这六，对吧？你得让次数相同，对不对？所以说你再乘二进去，那就是三倍的二的 m 减一再减六，对吧？然后的话你这个再给它呃通分，呃，给它 合并成一项，这是一个变成二，对吧？这二，然后这边过来日期啊， 所以的话，你看这是什么？既不等于 o， 对 吧？所以说矛盾啊，矛盾，对吧？矛盾。那这样的话，呃，咱们还有个 k 等于四，对不对？ k 等于四，看，这能成立吗？ 四等于十二乘二的 m 减看， m 减减三， m 减三加一分之二的 m 减四减一，对吧？那这样的话，咱们约个三下去，呃，这个乘过来，那就是 二的 m 减三加一，等于三倍的二的 m 减四减三，对吧？那你这样的话啊，他俩保持同次数的话，那这个提个二出来，对不对？提个二出来就是二的二的 m 减四，对吧？ 嗯，这个过来的话，就是一倍的二的 m 减四，对吧？然后这再过来就是四，对不对？这就是四等于二的 m 减四嘛。所以说你发现这是 m 等于几啊？六就可以，对吧？ m 等于六，那一致定的话，这个 m 等于六的话，那就是 k 等于四， m 等于六，比如说它存在一个 k 等于四， m 等于六，这一组解，对吧？所以它就整完了啊。