吉林市二模数学几何题解析

二零二六年吉林市二模数学总的来说，没有太难的题目，也没有太偏的题目。最后一题容易考虑不到两种情况和长度大于零的限制条件。 动点问题不难，但是需要根据题意画出图，需要一点画图功底。不同于一模，第一个问无脑就可以回答二十一题，类似去年二模最后一题，注重综合分析能力。还有一个多月，加油吧孩子们。

老师拿到了这一次二模的数学试卷，给大家稍微做一个小平啊，现在还是重点题啊，八题，反比的函数，直接特殊值代入就可以了啊。十四题，跟我们之前说的一样，而有关的多选考察了那些四边形啊，等等啊，相似啊，角度计算难度不大， 那格格点很简单，就不再过多的说了，然后说二二二三二四，二十二题，跟我们之前发的那个视频说的一样，圆这一块一定是大家在前一个阶段重点复习的内容，那么在二十二题考了一个跟圆有关的最值， 他也是跟我们去年中考一样，套了一个新定义啊，定义了一个角的内切圆，内切圆啊，是他向外拓展了一下啊，这个多边形变成了一个角 啊，重新定义了啊，考察的内容相对来说比较简单啊，运动轨迹是一条射线，也给我们前文做了很很明显的提示了，然后这个面积最值就是半径最值，半径最值，线段最短，线段最短，垂线段最短的最短，流程走一下，然后特殊角的三角函数就能解出来， 虽然狠心，但是不难啊。二十二题有一个比较大的革新就是，呃，原来我们考察图形一般都是什么，一般都是外围是一个三角形，外围是一个平行四边形，这次呢，这次我给大家看一下，这次他考察的是一个平行线啊，平行线截线的成比例这么一个环境和背景，虽然他还是在考察三角形的内容，但是 这一个小小的改变，可能会稍微影响一下孩子的这审题和思路啊，是对于能力强的孩子应该没有什么太大问题啊，难度也不高啊，算量也没有以前的那个计算量大， 但图形变换呢，是轴啊，轴对称，对称，轴绕定点旋转啊，这就是引燃轨迹了，定点定长形的引燃轨迹，在第四个的时候呢，这个地点的运动轨迹，它是可以在直线上运动啊，有两种情况，大家不要漏解， 二十四题就呃一个二叉树，二叉树有一个变化矩形啊，我们变化矩形，矩形在这个空间内转啊，还是在平面直角坐标系的环境下能说过就到。三垂直模型可以去表示各个 点的横坐标与纵坐标对应的线段长度关系啊，一个相似相似比就可以把这个 m 求出来。然后呢，希望大家 不到两个月啊，对住这口劲，沉住气啊，不管这次考的好与不好，俺们最终的目标都是通过这次考试，知道自己在整个全市的一个排名和能力区间，根据这个成绩啊，根据自己的这个错题，然后最后的两个月的时间内，最后冲刺。

吉林市初三刚考完的二模老师呢，今天在对这个二模的试卷进行一下分析，这套卷呢，其实跟一模对比难度相差不大，也就是说这套卷呢，也比较基础。首先先说这个选择填空啊，选择填空其实没有难点，第一题考察了五理数， 第二题考察了中心对称，第三题，不等式组。第四题，多边形。第五题，反面函数的性质，最后一道题，方程。然后再来看填空。 第一题，因式分解。第二题，分式有意义，注意啊，分式有意义的条件是分母不等于零。第九题，科学计数法。第十题是尺规作图，注意它尺规作图做的是什么？第十一题考的是圆， 接着往下是大题，这个计算题跟咱们平时练的其实有一些偏差，一般计算都会出分式计算题或者是整式计算题。但是二模卷呢，出现了一道实数的计算题，其实实数计算题吧，大家都会， 主要是这个 x 加一的零次方，任何一个不为零的零次密都等于一，有的同学愿意把这写成零。十三题，概率没有啥难的，十五题分式方程没有啥难的，别忘了精检验。 主要是这个十四题的争议比较大。有的同学说呀，我既然已经知道了 a、 b 和 c、 e 是 平行的，那不就说明了这俩三角形是相似的了吗？那我就直接写上呗。这个不行啊， 咱们所说的那个 a 字形相似和八字形相似，它之所以相似，是因为两条线平行，有两个角对应着相等才是相似， 而并不是因为两条线平行就相似。那你说 a 字形和八字形什么时候可以直接用小题？你可以直接用，因为小题不用咱们证明吗？但一旦是大题，并且他还让你去证明相似， 那这时候你就得先说，因为平行，又因为哪两个角对应相等，所以相似。这是一个丢分点，十六十七也没啥说的，也比较基础。接着我们往下丢分点比较多的就是这个十八题，尤其是十八题的最后一个问。 有的同学不一定能想到，前两个问是让你画直径，那怎么去画直径？这里面应用到的就是直径所对的圆周角是直角，那既然这个角已经是直角了，那我就连接这条线呗， 这不都是在圆上吗？所以这个角不就是圆周角吗？它既然是直角，那么它一定是直径，那同理。第二个是不是也应该是这样， 一乘三和三乘一网格对角线交在一起形成的这个角一定是直角，所以还是依据直径所对的圆周角是直角。 然后有同学问我说，这个出头给不给分啊？我认为出头是给分的，但前提是你得把这两个字母你得给人标好，一个是点 m， 一个是点 n， 如图所示， m n 即为所求， 这是不扣分的。然后比较复杂的就是这第三个问，第三个问，有的同学说，那我直接找不着了，我直接点个点，他能不能给分？这个是明确的，如果你直接点个点的话不给分，你怎么能证明你这个点他就是圆心呢？对不对？ 那你找圆心的一个最好的方法就是什么？两条直径的焦点就是圆心，所以你可以把第一个问和第二个图里头画出来，那这两个直径的焦点不就是圆心吗？那第一个直径你会画， 直接就这样画了，那第二个直径怎么画？先把这第二个问的图做出来，你也先画一个一乘三和三乘一的对角线交点，然后再去连接，那这时候你这两条线不就能交于一点了吗？那你这交于一点的这两条线，你再去把它 画出来，这个点不就是点，哎，这块有点画偏了啊，应该画在这啊，这是第一个，这是第二个。然后还要注意一个点，就是这道题第三个问只让你画了圆心，不是让你画线，所以你图中画出来这些所有的线都应该是虚线，不是实线啊。我这个 不太好画虚线，所以我就画实线了。像第十九题和第二十题也是比较基础的题，像稍微难一点点的可能就是这个。第二个问的最后一种解析式相对而言比较难求，但是照我们平时练的也会好求一些。大家在看那个标准答案的时候， 二十题的第一个问是给你标出了资本量 x 的 取值范围，然后有的同学就给我留言说，我如果没标这个取值范围，扣不扣分？不扣分，首先就是题当中已经给你标出了取值范围， 第二个是这个题当中没问你资本量的取值范围。第三个是因为你求出这个函数，它只是一段，并不是两段，不是分段函数，所以你不标出取值范围，这道题是不扣分的。最后这俩题其实前面这三个问都是 不难的，就是程度中等偏上的孩子没有什么问题。这两道题主要的难点就是在这最后这一个问身上，所以这个卷程度好一点的孩子一百一十五分左右应该是没有什么问题的。前提是你不马虎啊， 就除了这两个文会扣分，前面其实都应该不是你丢分的点，还是说这套卷稍微比一模难一点点的地方？就是这个作图题会比一模稍微难一点，因为他有点不好想。然后还有一个就是，嗯，这个 证明相似容易丢分，然后就是我说的这个计算题容易被丢分，剩下其他的其实没有丢分点，基本上也都是一直带大家练的这些东西。

一个视频跟大家说了要录一个这个最直的视频哈，那我们来说一下啊，呃，最直这一块呢，他的解决手段基本上是两种啊，第一种就是几何手段，第二种呢就是函数手段 啊，函数手段其实就是，呃，就是间隙啊，啊，或者说这条线段的长度等于一个二次函数，然后通过二次函数最值去求这条线段长度的最值，或者是这条线段长度平方的最值啊，一般都是跟钩股定力有关的 啊。那这个不去过多的介绍哈，主要是几何这一块。几何这一块会分为两种啊，一种就是单条线段 最值，还有一个就是多条线段啊，多条线段基本上就是以两条线段为主啊，当然有没有三条的也有啊，也有啊，那单条线段其实分为两种啊，一种就是一定一动啊，还有一种呢就是两动。 好，那两动其其实我们要通过一些手段一些模型去转化成一定移动啊，那么一定移动类的怎么去解决呢？主要是研究这个动点的运动轨迹啊。那在初中阶段呢，我们有两大运动轨迹，一个就是直线型的运动轨迹啊，一个就是圆形的运动轨迹。 好，那么直线型的运动轨迹哎，你看是不是就垂线段最短就找到了啊？圆形的运动轨迹呢？哎，那你会发现就是一箭穿心加班，呃，这个圆心到这个点的距离加上半径，哎，就是它的最大值，减去半径就是这个最小值 啊，这个就是这样的啊，当然，那你说什么样的情况是直线型运动轨迹，什么样的情况是圆形的运动轨迹呢？这个我们在暑假会系统给大家去讲啊，这里边就不不都说了啊，太长时间好，那多条线段啊，多条线段一般会分为这样几种类型，首先第一个就是将军一马 啊，将军马啊，当然了，我这个前面的视频有一个多条线段加和最值的这个合集，大家可以去看一下哈。然后第二种呢就是造桥啊，造桥选址我就解解了哈，然后第三种呢就是胡不归啊，第四种呢就是阿士圆，第五种呢逆等线 啊，然后还有什么呢？还有这个哎，还有一个比较常见啊，比较网红的啊，叫做费马丁 啊，这些啊，我们都是属于是多条线段最值，但其实多条线段最值呢，他的核心就是把这些两条线段变成这样的 啊，不管是什么样的呃，线段情况，你都需要把这两条线段连起来啊，然后让中间的这个连接点是动点，然后让两边的这两个点呢是定点啊，他俩形成一个反射的形状 啊，而且前面的这个线段的系数必须得是一啊，满足这三个条件。然后呢，我们把两个定点一连，利用两点之间线段最短去解决多条线段加上对折问题。那有的同学说，老师，那肺麻点呢？肺麻，肺麻点的状态是三条线段放射状， 那我们需要通过旋转把它转，把它变成三条线段链状，然后也是哎，这个是一个定点，这个是一个定点，这个是个动点，这是个动点，然后这么一拉直，利用两点之间线段最短去解决啊。那以上讲的这些内容，我们在暑假的压轴题的课程当中啊，八乘九的 都会给大家系统的讲到啊，我们啊，大家想去了解的话，咱们评论区进我的这个粉丝群。

同学们好，我是刘老师，我们今天用画画来把这道压轴题给解决一下。好，这道题目呢？作为一个资深的数学老师，资深啊，资到什么程度了？就是就是，就是很资深。上次的时候我到学校里面去做讲座，一个校长就这么介绍我的， 我心里觉得特别的难过，真的特别的难过，为什么？说到资深两个字，我就会联想到我是不是一个上古神灯？好， 我们一起来看一下，我把这相等的角度给大家标了一下啊，标完了之后，第一问答案也就出来了，为什么？因为这个角是共用的，对不对？ 这两个角相等的，所以问题就解决了，它就是相似。然后第二问的时候，大家注意啊，这个 d e 啊，这个 d e 跟它是相等的， 那就相当于是他比他是一比二的关系，也就是 em 比上一个 cd 等于一个一比二的关系。如果他一比二的关系，那我的问题就解决了，那我怎么去证明他是一比二呢？ ok， 你 就用这个图里面的条件就够了，就这个三角形， emc 有 三角形， d、 b、 c 两个三角形是相似的关系啊，也就是这个边，这个边比上一个这个边。大家看一下，这个红色的角对的是这个边，对不对？这个红色的角对的也是这个边，对吧？它们俩的比等于什么呢？ 是不是就等于这个边比上这个边啊？你看，我们完全是在画画啊，我充分的把我小时候的优势发挥出来了，我小时候在上，大家在家，这个年纪啊，上初中的时候，我真的是拿了很多很多很多画画的奖。 哎，不能这么说啊，我放弃了我心中挚爱啊哈哈哈。嗯 当然了我觉得就是每次的时候就做出来的视频得到了大家的认可以及同学们跟我说帮助他解决了问题我就是一件非常非常开心非常快乐的一件事情同时我觉得我的工作是特别有意义的。 首先说的这两个位置关系是长这个样子的。那其实这个最后一问的话就是涉及到一个背叛角构造的问题吗 然后他说他等于四的我看看我们怎么样能够顺其自然的想到这些勾股啊想到这些浮线的问题对吧 就是我怎么顺其自然的发声而不是非常的刻意对不对装作是我们不经意的偶遇。好那怎么偶遇呢你看他长这个样子对吧你你说的是这个但是你求的是这个对不对？你求的是这个那我能不能把它搬过来。那必须可以搬过来啊你看我一点都不可以的。 那你看我是不是偶遇啊就是说这一段的话他等于十一的对不对然后但是他求的是 c f 的 长就是这段。这段 啊瞅好了就这段子场 ok 到了这个地方的时候我好像已经卡住了啊已经卡住了。这个鱼刺夹在了喉喉咙里你说我是吃鱼还是不吃呢。上不上下不下。哎这个时候你就要注意了啊 你现在没得选你就必须要把它吞下去。怎么吞你看这个条件咋没用上这没用上的话其实在出生阶段的时候我们经常会说这个被绊脚构造的问题对不对？那就是如果说我要构造这个角的一半怎么办？半径对吧？半径啊，半径， 然后背呢？背推是不是你？你通过构造这两边相等腰三角形去构造的这个角 c t c t 两 c t， 那 这两个边相等，那这个地方就应该是四 c t， 很 简单啊，很简单。 ok， 好， 那我在这个地方的时候构造的时候就小心一点啦，小心一 点，我在这个地方我做了一个这两个边相等，然后这个角呢，就跟 这个红色的角是相等的，但我也知道这个角比跟他是相等的，那显然跟他也是相等的。那我在射的时候要注意啊，不要不要去直接射，有的时候我们射的时候了，但我是很喜欢用，就是说一些巧妙的做法，我不喜欢就是说。嗯， 就是，怎么说呢？就是射它是一个技巧吗？就是你动动脑子，你看这个地方是四，对吧。 其实我可以设它为 x 啊，因为你求的不是 f c 吗？我设它是 x， 那 它不就是十一减去 x 吗？你也可以直接设，但是我觉得那么设的话它是不方便的啊，你看那有的答案写的又臭又长，反正我是不不会选择的。就是十一减去 x， 我觉得我在数学上我永远是追求这个思想上的极简啊，十一减就二 x 啊，十一减就二 x， 容易激动啊，不好意思啊，好颤抖的心，激动的手。哈哈哈， 把这个答案给写出来了。 x 等于几？等于三，就这么简单， x 等于三，所以这个 f c 对 断， m c 就 等于八。没了没了，就这样了啊，撤了撤了，算了算了啊，问 cf， cf 就 这样了。嗯，很简单吧，就这么简单。 你看我们洋洋洒洒的分析下来，是不是感觉非常的干脆的，非常的利落，是吧？也没有什么，就是说很刻意的怎么 怎么怎么样，是不是你看像我们能不做辅助线的时候，那这个东西的话，你完全是经过你这个画图画出来的，你说我们有刻意的就是证明什么全能啊？我觉得都是不对。 我们能够帮学生去省时间，或者说追求那种极简的顺其自然，我们要尽可能的去引导学生，引导我们亲爱的小朋友们往这个方向去想，对吧？帮助他们就是说能够更好的需要给大哥点点关注。

来，各位同学看看这个长春市按摩这个酒坛酒啊，他考察了一个新定义啊，那定义了一个圆的那期啊，一会我会展开给大家分析分析这个出题思路和我们后边的这个呃准备的思路啊， 然后，呃，虽然是一个新定义，但他实际考察的是一个单条线段最值啊。那我们来稍微解释一下，单条线段最值应该怎么去求啊？这里边单线段最值问题他有两种，一个一种叫两动类的啊，一种是一定移动类的啊，这里边两动类的需要去通过转化转化成 一定移动类啊，那我们说一说这个一定移动类的，那一定移动类，我们就需要去找这个动点的运动轨迹啊，那这个动点轨迹呢？一共会出现两种情况，一种是直线型的啊，一种是圆形的 啊，那直线型就比较简单，比如说 a 点在这个 b 点在这条直线上运动，说连接 ab， ab 最小值，那肯定就是根据垂线段最短呗。 啊，那如果是圆呢？哎，如果这个 b 点在圆上运动啊，然后圆外有一个点 a， 那 说现在 a b 的 最小值或者是最大值的话，那我们是不是就是一个一箭穿心，对吧？哎，这个 o a 加上半径啊，那就是等于 a b 的 最大值啊， o a 减去半径就等于 a b 的 最小值啊。那下面的一个问题就是，那我这个运动点的运动轨迹应该怎么找？对不对？运动点的运动轨迹，那什么样的是直线，什么样的圆？那直线型呢？一般分为两种，一种是定边定角啊，这个角度固定不变，这条边固定不变，那么这个点就只能在这条射线上运动了。 还有一种呢，叫定边定距离啊，一个点到这条线的这个距离是相等的啊，都等于 a， 那 因为平行线间的距离处处都相等，所以这个呢，也是一条直线型的应用轨迹。圆，比较常见的两种啊，这个在这次考试的第二十三题当中也考察到了啊，叫做定点定长， 还有就是定弦，定弦定角啊，这是比较常见的两个，但是还有对角互补啊，刮豆原理和这个在变换啊，都可以得到圆形轨迹啊，但是你正常来讲啊，掌握这两个类型就可以了啊。 好，来看看这题，这题说，对于给定一个大于零小于一百八的角啊，我们有这样的定义，定义它的内切圆。好，那内切圆的定义我们是有的啊，注意这块啊，给大家稍微说说它的这个出题思路。内切圆本身这个概念我们在初中阶段是学过的啊，比如说 一个三角形的内切圆，对不对？哎，一个正方形的 内切圆是有这个概念的。好，那但是他说了一个新的什么呢？他外围图形不再是一个封闭图形了，而是一个角，而且在封闭图形当中，如果有内切圆的话，他是唯一的 啊，但是如果是你想一下，一个角内切的话，我是不是有有老多了，是不是有老多了，对不对？哎，所以呢，这里边就会存在一些小问题，比如说他会告诉咱们 说圆 o 啊，是一个内切圆，证明 o 点在角 b、 o c 的 角平分线上，那就直接一个三角形的全等呗。啊，或者是切线垂线段，垂线段相等到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上啊，都可以证明出来啊，比较稳妥的话呢，就是证明一个三角形的全等啊。 啊，第二个啊，问的是角 b o a 啊，它 b a o 的 啊， b a c 啊， b a c b a c 等于一百二十度啊，那它是不是就角平分线了？那所以它就六十度，那 o a 等于二，求半径，是不是就解一个三六九的三角形？嗯，直接解一个三六九的三角形就完事了啊，这个也非常简单，我们来看最后一位， 如图四说角 b a c 等于六十度啊，这角是六十度，那么点 n 呢？在 ab 上，并且 an 的 长度等于八毫，那 a 点是不是定点了啊？ n 啊，不是， n 点是定点啊， n 点是定点， 那么 o 呢？是它内切圆啊，内切圆，内切圆，圆心在什么上？内切圆，圆心是不是在角 a 的 角平分线上？哎，所以 o 点的运动轨迹就在这上走。 现在问什么以 n 为圆心， n o 长为半径，画一个圆弧，问圆的面积，圆的面积跟啥有关？是不是只跟半径有关？所以呢，其实就求半径的最小值，而半径是不是就是 n o， 哎，也就是求 n o 的 最小值，那你看 n o 是 不是一定 移动的一个状态啊？那所以什么时候最小呢？是不是就垂线段的时候最小？那此时六十度一半，是不是就三十度啊？他是八，那他就四呗。啊，所以他的最小值就四，那他的面积派二方就等于十六派啊，这就是他的最小面积，非常简单。

初三二模数学考完了，我也是第一时间做了这张试卷，那么给大家分析一下，那么整张试卷的话，难度不大，但是呢，想拿满分还是需要避过几个坑的。 那首先呢，就是选择题，那么与其他题相比呀，还是不那么容易得满分。个别题呢，还是有一些小陷阱的，比如说像那个 a 七题， 考的就不是常规练习的，这个尺规作图考的呀，比较新颖，平移旋转和对称不是常练的，这个题型孩子呢，还是需要花一点时间呢来分析的，不能一眼看出答案。第八题呢，讲之前的这个反比例函数与几何图形相结合呀，是降低难度了，但是呢，与之前考的这个跨学科问题来比的话， 它又增加了难度，所以这个用伟大定律吧，相对来讲更容易做一些。但是伟大定律啊，最近模拟题当中常考，所以 说第八题还是不太容易能够快速的做出来答案的。到之前一模的时候呢，还是有一定的提升，相对来说，填空题还是比较简单了，无波无澜的，尤其是第十四题， 这三个答案都很容易就能选出来，叫一模来说，十四题真的是降低了难度。十五题的二十一题就偏简单了，尤其是十五题，就是只要我们听课，那么就会答的十七题呢，网格题还是维持了这个一模两问六分的这个模式，比之前我们考试的时候少了一分。这一分给哪了呢？给到了二十一题， 这次二十二题考的是圆的问题啊，探讨与应用比较容易，平常呢，也就是常练的这个题型，拓展呢，还是维持了这一个正常的难度，二十三题考了九上的平行线分，现在成比例，并且呢回归了一模没考的尺规作 图，那这个尺规作图啊，也需要这个分析一下才能画出来，有的孩子呢，就是不擅长尺规作图的，那咱们需要注意一下了，一到三问都是比 一模还简单。对第四个问，才考的是一百一十分以上孩子做的二十四题的话呢，第一个问题，第二个问呢，这两个小问也都是比较简单的，所以也都是能够非常容易得分的，也都是我们经常练的这个题型。而最后一问呢，对于这个有能力的孩子来说，其实题的方向还是挺明确的，也不需要花太长的时间去分析。 所以对于这张卷子，我们总体上来看的话，它是按照官方文件出题的，就是降低难度嘛，减负导向，同时呢会出现很难拉开分值的一个现象。那么绝对聪明的孩子，其实这套题不是特别友好的，那么想通过数学向上拉分的这种孩子， 最好还是把这个短班补齐，要不然真的就是没有优势了。中考呢，不失误，稳定发挥才能取胜，这个是关键。关注韩老师，我会讲更多的关于中考一些干货。

很多老师的水课，然后把孩子都给耽误了很多，现在这次考的分数的话，就是一百分左右的孩子特别多，因为这次二十三题他的结构换了，以前二十三题是存动点啊，是有运动的，但是这次二十三题考的更多是这种几何考的，这种是回归 大多数这次数学考的不好的孩子，他们的反馈是我们现在二十二题、二十三题和二十四题有问题，很多的一些市面上的一些老师，他领孩子练的是综合，但实际上你说你二十二题不会二十二题的话，他就有这些模型，你去单独练这个模型，把这个模型练，练透了二十二题的分数他就得到了 二十三题，他就几个模型，包括二十三题的知识点相似啊、自身笔啊，你把它整透了，他这个粉就得到了。那你说刷综合卷子的时候，你孩子做一套卷子会还是会不会？还是不会？

今天我们继续来讲这道流量明星，就说这个正方形呢，在全国各地市的考试中呢，出现的次数比较多，所以呢，我最近呢非常非常想跟同学们说一下，这个分是很容易拿到手的，网上那些说这个分多么多么难打的，全是在妖言惑众， 那我今天呢就带同学们来证一下啊，就说我把这个题目读完之后，我的答案就自然浮现在眼前，同学们跟我一起来浮一下啊， 这两个角相等的，右边相等，所以角相等，所以这个角也相等。找这个时候让我们证明是平分的，也就是角一等于角，二 角一等于角，很简单呀，你找跟他相关的，什么叫相关的？你东西被偷了，那你首先想的是不是我周边的人呢？我的邻居啊，是吧，谁谁谁谁谁，是不是？所以你就找跟他相关的互鱼的互补的，我找到了互鱼，所以这两个角相等，同角的与角相等没了。 第二步的时候也极其的简单，说这个 b a e 是 等于阿尔法，那就这个角是等于阿尔法，这个角是四十五度，所以这个角就是四十五度加阿尔法。五角星， 他呢也是等于四十五度加阿尔法，也就这个角四十五度加阿尔法，这个角是四十五度，这个角也四十五度，所以这两个三有相似，他就必须有的啦。很简单， 那最后一问的时候说这个 o e 是 等于四的，我们要给同学们解决什么要要领先的思想啊，不要说那些七的八的没有用的，就同学们的用起来的最简单的极简的想法，就从第二问的时候，我们已经证明了这两个角相等的对不对，所以这个大角跟这个大角也是相等的。同学们，为什么想不到？我告诉你们，你看 我在这个图里面我就做了很多的标记，是吧？我平时都跟同学们说过很多遍，你自己要善于做标记，你不要什么都等着我，好像看着我写很开心的样子，等到考试你就傻眼了。那么到了这个时候呢，你就要发现啊，为什么我标了这个你没发现吗？它对的是它，它对的是它， 这两个角又相等，所以这个三角形就是三角形 o、 e、 b。 同学们写的时候注意啊，三角形 啊， a、 c、 e 这两个三角形是相似的，并且他们的相似比是一比二。结束收工了，我可以拜拜，再见了。为什么 就说明这个边是等于几的？等于八的哇，我已经得到它等于八了，你说我都知道它等于八了，对我来说是不是小意思了？没有了，彻底结束了。为什么这么说？因为 b、 e 比上一个 c 一 等于一个一比二，它们相似在这个地方已经证明了，所以我就把它八 求什么 a f， a f 也就等于个八，乘以个三分之二等于个六。你看我这道题目从头到尾写的有那么多吗？啥也没写呀，你说你跟学生说多难多难多难， 我觉得不对的，我们把思路给理理，就是很简单，你就把一些已知角标一标，什么结论啥的，就上一问这名的结论，标一标彻底解决了， 你是不是觉得神清气爽？哇，你的自信又回来了。好了，同学们，我们今天就到这里了，可以在评论区告诉我，你想让我帮你解决什么样的问题？散会。

二模的数学下来了，再有个问题不知道大家有没有发现啊，就说二模的这个第二十四题，咱们二模的第二十四题我录了啊，大家可以看上一个视频啊，二十四题考察的是咱们二次函数上中的一个几何模型，十字架模型啊。但是呢，最后一个问，看似考在函数中考察了，但实质上其实跟函数没多大用， 结果就是用了一个坐标，没用到一些函数中的思想啊，所以现在就有些人觉得，哎，那现在我发现一件事啊，函数的思想被弱化了，你现在考几科了？你二十二题考几科，二十三题考几科，二十四题最后也考几科，你，你函数在哪？函数的思想在初中被弱化了啊，那当初到了高中之后，只对逆三角，所有的函数，哎，都来了， 所以现在的问题就是这样的问题，也就是说函数在咱们整个的初中阶段，你会发现啊，越来越不高了，你考全是老几合子，你看前边这家也都是相似，要不就是那个第十四题圆，哎，到是到了二次函数这块，又不考二次函数了，又不考方正，又不考这个函数建模思想了啊。我觉得啊，这一点就是个人的而言， 我觉得现在这个出题啊，是有些 bug， 但这也可能是咱们的以后的考题，咱们初中的考题方向，但是对于初高中衔接这样的，绝对是有一些 bug 所在啊， 我觉得大家有的可能也都发现了啊，怎么办呢？那现在可能就是这个现状，大家还是就是你去去多练习，你自己可以用，呃，用初中把几何打好，但是到了高中之后，这个函数思想依旧要用，没有办法， 只能接触现状。但是呢，在大家要知道的就是你到了高中之后，你这个函数东西你还是不能你呃，轻易的就拿地位给他不学的啊，是要重视函数的，虽然初中考的函数已经这个不是那么的重要。嗯，他已经偏向几何了，大家不能把这个函数思想给我拉掉就可以了。

长春市二模数学考试已经结束了，李老师其实早早的就收到了卷子啊，做了答案才到出时间，给大家录一个整套卷子的讲解和分析。整个二模试卷呢，它难度会比一模难一点点，但是说实话没有难很多，如果你做的不顺手，那主要还是体现在你基本功不扎实， 理解题的能力不够深刻，读题审题细节掌握不到位。但其实这套卷子的知识没有任何超纲的，只是更加新颖，像那个八乘八啊，乘八乘八再除八，他考的是密的预算都换成以二为底的选择题。还有一个说那个三角形一号怎么变到二号， 是一个平移，以一定倾斜角度的平移，又考了函数的增减性，还有一次函数 k 得一的时候，它倾斜角度是四十五度。这些其实我带我的学员都有复习过，包括后面压轴题的平移线，分线的成比例也好，包括最后一个的直角倾斜，用弦图做三垂也好啊。其实我们在练习中都有带自我，都有带自己的学员做了，不知道大家发挥的怎么样，然后然后方叉， 不只是方差，有小学稳定，我还教大家如何去求方差的公式，都有带大家复习到，如果大家基础基本功扎实，把知识都学透的话，那这套试卷你一定成绩会非常理想。这也是一直李老师主张的题不在多，以透为主，以透为主，专注于学生，把 是学透学扎实。所以我也一直贯彻让学生们自己去课下巩固的时候，去把每道题老师认为重难点的让你吸收掉的，把它重新讲一遍，给李老师讲一遍，这样的话你才能把知识越来越学透啊！那话不多说，接下来李老师就给大家讲一下本套试卷，并告诉大家你接下来的小两个月到中考之前如何进行数学学习。 一个视频带大家解析二六年长春中考试模数学试卷。第一题考相反数，第二题，科学技术法，三个一段，他正好是四次方，那符合书写形式，并且次方也对的是二倍选项。第三题，用数学这个式子表示问你结果，他其实要把八换成二为底的 逆的形式，二的三次方乘二的三次方，除以二的三次方，那前边是二的底数不变，指数相加算完是十二，再除以二的三次方，底数不变，指数相减得二九次方。当然你可以先把它除完，得一也是可以的。第四题，考察角分平等腰乘。李老师的学员 一直都给大家贯彻，我把它称为六字真言，讲了很多很多遍，大家有没有秒出答案呢？第五题，有邪用弦无邪用切给了 p q， 所以 一定用弦的函数四 d 勾掉，求的是 q r 发的 邻边，所以应该用 cosine。 本道题就一个 cosine 选择 c。 六题， y x 增大而减小的。对于一次函数来说， k 应该是负的。二， b 是 对的。 c 和 d 选项它都是抛物线，无论是开口向上还是开口向下，它都是分为对称轴，左侧和右侧两种情况的。第七题是一个易错题，考察的是平移。来，我给大家画两条线，大家就理解了， 他是沿这个倾斜方向进行平移得到的选择 a。 第八题，一次函数 y 的 x 加 b， 那 这个 k 是 得一的。嗯， k 的 负一和一，也就是正负一的时候，我们都能得到一个结论，就是这条一次函数与 x 轴所夹锐角是四十五度，那他虽然往向上平移了，但他倾斜角度是四十五度，是不发生改变的。他说与反比例函数交于 ab 两点 点， c 是 ab 的 中点。反比函数也是关于 y 等于负 x 成轴对称的。然后这条直线因为倾斜角度是都是四十五度吗？他这块是垂直的，他和他对 ab 来说直线， ab 来说也是关于 y 的。 负 x 成轴对称的。反比函数也是 y 的 关于 y 的 负 x 成轴对称的，所以中间的这个点一定会落在对称轴上。 那 y 的 负 x 横纵坐标互为相反数的意思，我们带你去 n 等于负 m， m 加 n 等于零。第九题，二是根号四，要比根号三大，或者说我们背过根号三，约等于一点七三二等等， 也可以选出来因人分解，提供因式即可啊。这个式子也比较好练，没有复杂的背景，小于零。外角和 n 边形的外角和跟边数无关，都是三百六十度。十三题考察方差越小，成绩越稳定。选择角，十四题，等边三角形外接圆等边三个角都是六十度。用圈来表示相等，三个边也相等，也就三条弦，那利用四量定里弦相等 同圆中弦相等，那他三条弧也是相等的。 ab 弧等于 bc 弧等于 ac 弧，那我们来看这个角同弧所对圆周角相等，他也是六十。然后利用弧 a、 b 的 同弧，能得出这个角也是六十。所以 a 圈一是对的，圈二 d a c d e， b 有 一个公共角角 d， d， a， c 是 一百二十度， d， e、 b 也是一百二十度，两个角了，看有没有边。 d、 a、 c 中的 a、 c 是 等边造型的一条边，而 d、 e、 b 里边它并不是没有一条相等的边，所以它只能得出相似，得不出全等圈。三、 d、 a、 e、 d、 c、 b 如果相似的话，它是一个反 a 型，我们看看相不相似，有个公共角 d， 然后 d、 e、 a 这个角是不是也是六十度？因为旁边这两圈是一百二，整个是六十度，所以它是角角相似对的圈。四、 b、 e 是 直径，而我们也不用同化了，把这个圆心挪到 b、 e 上去，它就是直径了。那为什么告诉直径在圆里边有一个关于直径的圆周角定里，所对的圆周角是直角，那我们就得到角 c 是 九十角， a 也是九十度 啊，那我们看他求的是角 d 的 度数，那我们用这个角 a 就 可以了。旁边这个圈角是六十度，用外角定里，那这个角 d 就是 三十度，所以他也是对的。选择一、三、四，这道题容易得到三分。 好，我们来看一下整个选择填空的部分，如果说是比较新颖易错，或者是说耽误了大家时间的，可能有第三题，然后就是第七题不确定啊，第八题蒙也可以蒙对的啊，然后 就是第十四题，可能会耽误一些时间，但整体选择填空最新颖的就是七题和第三题了，其他的只要认真审题，都不会耽误太长时间，看看大家有没有得满分。接下来是解答题的基础部分，十五到二十一，第一个整式的花间求值，而且都没有涉及到减法编号的问题，还是比较轻松的啊。第二个概率，第一层是 ab， 第二层是 ab 一， 一共是四种情况，最终算完两种情况是可以选到一条绳子。二分之一。十七题也是比较简单，注意画的是线段 a b， 而且 b 在 格点上这些位置都是可以的。第二个画等腰三角形，可以是直角，也可以不是，但是要求呢， cd 在 格点上，且三边均为五里数。我画的是一个等腰直角， 你也可以画。在这十八题分式射的时候写在位，然后检验，然后答案。十九题也是我说的稍微跟以前有变动的地方啊。他是通过平四间接证明平行的，两条直线互相平行，所以因为垂直，所以就能平行了。 然后他俩又相等一组，对边平行且相等，那就推出它是平四，进而推出 a c 平行于 l。 这个基本供歙石的同学来说没有任何问题。 二十题第一题考的是重数，第二题答的时候要写约第三个十五分钟，进来之后肯定会拉低平均数，选的是圈一，中位数没有发生变化。三十名同学的中位数是第十五和第十六，即使来了个十五分钟，这块是七人了，那前面才是加一起是九，第十五十六还都是落在二分钟里的， 所以没有发生中位数改变，重数也没有。一直领先的是二分钟，人数比较多。十人二十一题非常简单，最后一问直接带入 y 二百就可以了， 然后第二问注意数别算错了，把两个点带回去检验对了，再往后算。如果圈二错了，圈三直接就跟着错了，而这是大体的部分，大题部分整体来说非常的简单呢，有十九题可能会稍微耽误了点时间，但也还好吧，二十一题和格点画图题都非常的容易得分。二十二题考察的是 相切内切圆 o 是 否在平分线上。有两种正法，一种是通过性质到角两边距离相等的点在角的平分线上，也就是老师所给你写的过程。还有一个可以通过 h l 全等来推出这俩角相等，推出它是角平分线也是可以的。用 我们来看，根据上一问的这个图啊，我们思维延续方法延续，辅助线也延续，做个垂直，然后利用一比根号，三比二求出半径，进而求出周长，看好不是面积啊。最后一问，拓展求面积的最小值，又是对值问题，那面积的最小我们还是很少接触的，但大家不要慌，面积公式拍二方 它是不动不变的，那要想面积最小，只需要让 r 最小， r 是 一条边，所以又是我们以前学的知识。一条线段最小，那它的原理要么是两点之间线段最短，要么是垂线段最短。我们来看一下他说什么啊，前面背景大家已经做过了，老师不细读了， n o 为半径，那只需要让 n o 最短啊。那我们看啊，这个 n 的 位置是不变的，因为 a n 得八，但谁在变呢？这个内切圆 是在动的，那无论怎么动，那个圆心一直在 a o 这条线上，大家看对不对？因为他到角两边的距离相等，我们在圈二的时候已经正过了点 o 一定在角 a 的 平分线上。这就是老师说的探讨题，一定要注意上下问之间的结论啊，那他既然在这条线上，他的轨迹不就找到了吗？那 n 是 定点 o 在 一条线上动 点到直线上的点中所有距离中垂线段是最短的，所以它运用的是五字垂线段最短。那我们还是用一比高，三比二求出 n o 的 长度是四，进而再利用派 r 方求出面积的最小值，一个是周长，一个是面积，别省错题。二十三题也是整套卷子中比较新颖的题，是以平行线分线段成比例为背景 考察大家的。但李老师的学员老师带你们做过格点画图题，经常用这个平行线分线的乘比例也给大家贯彻过很多次，不知道大家发挥的怎么样？左上比左下等，右上比右下。本道题第一个是比较简单的，就是上比下等于二，这侧是四比二，这得二，右侧也得是二。无刻度尺尺考察了一个操作类的，只会做图， 这个我们也是经常有复习，他看似是线段相等，但是这二倍，大家看看跟上一问是不还是上下问之间的连接？ b d 得二 c d 的 呀， 对不对？那上一问都已经证明了，那是不是就说明只要画 b d 的 a d 就 行了？ b d 怎么能得 a d？ 垂直平分线上的点到两端距离相等，所以它操作画的是垂直平分线，也就是中垂线。括号三相似考的是公边共角模型， 公共角，然后相似这个角 b 对 的是角 c 斜射影直接相似之后对应边乘比例交叉相成之后有一个结论啊，公共边 ab 方等于 ab 乘， ab 乘二就行了。第四题 可以画圆，可以不画圆啊，但是对称啊，翻折呀，是引圆的一个标志。那我们在对称过去的时候，知道这个 a 是 定点， ab 永远等于 ab 撇，所以我就以 a 为圆心， ab 为半径，做一个圆啊，然后再利用比例啊，利用勾股，都可以求出最后的长度，两个结果。二十四题和矩形结合， 直角倾斜用弦图，我经常有跟同学们说到这个啊，窍门顺口溜，弦图，也就是直角倾斜，用三垂。前三问都比较简单，对称轴与 y 轴交点。第二问， p q 平行 x 轴， p 已经在 y 的 三上了，那 q 也得落在这，它还在抛线上，那是二到三， 比较简单。第二问， o p 比 o q， 那 就是直接用三垂模型弦图就完事了。我们来看做垂直，这是二，这是三，这是三， 那我们来看一下对应边，那求 o p 比 o q， 那 就是三比二，比较简单，我们只要正一步相似，对应边成比例就可以了。最后一个也是利用相似，再结合直角倾斜，用三锤来求出或表示出 点 q 的 坐标，再带入抛物线，即可算完事。两种情况，这是整个压轴题其中好得分的，像二十二题，你无论是利用角平分线定义，还是用性质，都可以正出来。第二问周长，只要你注意上下问之间的连接，把辅助线一做垂直，那见到六十度，我们 即使没有背景，也是能想到做垂直的，所以前几问是比较好得分的。拓展也还好，它就是一个单一线段垂线的最短，只要你利用圈二的结论，在角平面线上点 o， 在 角平面线上就可以找出它的轨迹了。然后二十三题只会做图也还好啊，相似的这个 共边共角形就最后一个稍微难一些，二十四题也是就最后一个稍微难一些。前几问还是比较基础的，最后一问还是求直，也不是求范围，所以难度整体还是比较低的，并没有比一模难多少。所以接下来的不到两个月的时间，我们还是以知识学透，知识灵活度，然后回归教材，重视基础为主。

今天是初三，明天二模考数学，在这里面呢，还得跟大家叭叭一遍考试的注意事项，当你刷到这条视频的时候呢，可以马上拿出你一模的答题卡，从头到尾浏览一下，看看你丢分的点在哪，哪个点是你不该丢分的，这是最该引起你重视的。然后咱们接着往下说。 第一呢就是一定要看好了选择填空的排列顺序，是横向排列还是纵向排列？接着呢就是填空题 什么时候该加括号，什么时候不该加括号，什么时候加单位，什么时候不加单位，什么时候该整理，什么时候不该整理。首先先说什么时候加括号，因式分解加括号，顶点式加括号，多项式后面带单位加括号，可列方程为可以有括号。题目中带单位 后面横线没有单位的时候必须加单位，把列方程为不整理。剩下所有的答案都得整理成最简形式。特殊强调因式分解，必须分解成最简形式。 根号 a， a 有 e 的 条件是 a 大 于等于零啊，千万别忘留等于，如果根号在分母位置上， 根号里面不能等于零，只能是根号大于零。科学计数法是几点几乘以十的几次方或者是负几次方，一定要看好大题。第一题计算，如果是分式，必须得整理成最简形式。如果是整式，所有的括号都打开， 如果让你取一个值代入分式，不光是让这个式子当中出现的分母不为零，你整个计算过程中出现的所有的分母都不能为零。应用题解设答必须写分式方程，应用题经检验，别忘了 概率题一共多少种等可能情况， p 括号别忘了正确等，一定要看好了到底是 a s a 还是 a s 还是 h l。 画图题包括所有几何证明题，只要你想做辅助线，一定要用铅笔先在圆圈上画，觉得没有问题了再用中性笔描在答题卡上统计的填空题一定要看好了，这个数需不需要填百分号，后面有没有百分号 让你估算的时候，别忘了写单位和答三个函数题，涉及到矩形，一定要证明矩形每一个过程都得有单位。最后别忘了写答答最后什么什么什么约为多少。反比例函数题一定要看好了，字母的表示 是不是 x 和 y， 字母一定要对应上几何题。如果问你 ab 和 cd 的 关系，这里面包含了位置关系和数量关系，如果实在不会，你就写 ab 等于 cd， 理由如下，这也是一分重点题，如果实在算不出来，哪怕写上资本量 x 的 取值范围，他也有分 一次函数那道题，如果让你求的这个函数的解析式是分段函数，必须要写上资本量的取值范围，不管他让不让你写，这是必须写的。做的题能做上多少做多少，一定不能空题，只要你做上就有希望。对，最后祝大家都取得好成绩吧！加油！

有同学问这个道理，二模这个无刻度纸画图啊，如何来进行理解啊？好，那我们老师领着来看一下啊。 首先呢，他说做一个四十五度角，那我们知道构一个 m 型啊，那么从这这是一个，还有这是一个，那可以构造一个等腰直啊，这样就有四十五度了。第二个 函数 a、 c、 d 要等于一比二，那么这是三角比，那这道题出的还是不错的，我们通常在做这种啊，无刻度画值，画图要的是构型，也就是转化，那么三角比是个比例，能转化成什么？相似比， 那么我们就需要找一块比例，一个相似比是一比二的，那么是沿这个三角形看，我这个比，这个三角形和这个三角形比例是一比二，那正好是这个焦点了。 ab 这个线的什么焦点啊？那这样的话就得到了一比二， 那下面呢？是要垂直还是转化？那么垂直，我们知道这等号直，这里有个立导，有人管这个叫双高图啊，我们叫立导啊，那立导这个点是怎么确定呢？你说老师我不能画这样的，叫立导，直接立导了。这个这这多长？ 那要我们需要找一个从这到这的距离，等于从这到这还是够一个，这个三角形全等在这延长，全等这俩三角形全等就完事了啊，然后一连接啊，这就是一延长，这就是垂直啊。 啊，那么其他部分呢？比如说像这需要的，他说让你画什么的地方用实线，那其他地方用虚线， 那像这类题呢啊，这个考的现在无刻度尺画图，跟以前那个画图不一样了，考的就是逻辑啊，也就比如说这里的转化思想是不是一种逻辑啊？对吧？好，加油。

大家好啊，那今天看一下二六年朝阳二模的椭圆压轴的题目啊。这里面首先是求椭圆的方程，给的两个条件，一个是长轴与短轴长之和为六，就是二， a 加二， b 等于六，然后 a 加 b 等于三。 另外一个是焦距等于二倍，根号三就相当于是 c 等于根号三。我们用一下 a 方减 b 方等于 c 方，嗯，把 b 用 a 来表示一下把，就可以把 a 求下，等于二等于一。 最后求出来这个椭圆的方程是 x 方，除以四加上 y 的 平方等于一。 接着来看它的第二位，设 o 为圆点，点 a x 一 y 和点 b x 二 y 分 别为这个椭圆第一象限和第二象限内的点。而且 a 点的横坐标是 b 点纵坐标的二倍。 当点 m 满足向量 o m 等于二分之一， o a 加上二分之根号三的 o b 的 时候， 正一下点 m 在 椭圆 e 上面，这个 a 点和 b 点的坐标我们都是清楚的，这个 o m， o a 和 o b 就 相当于其实就是 m 点 a 点和 b 点的坐标，也就是 m 点，可以用 x 一 x 二和 y 一 y 给它表示出来。 那我们先写一下 m 的 坐标，那很容易可以写出来， m 的 坐标就是这个条件，其实指的就是 m 是 二分之 x 二分之一倍的 x 加上二分之根号三倍的 x 二。 呃，然后纵坐标是二分之一 y 一 加上二分之根号三倍的 y 二。那么这道题有一个特点，就是他没有直线方程了，我们也不需要去设直线，然后用伟大定律呃，要正一下这个点在椭圆上，其实就我们把这两个横纵坐标平方加起来，呃， 椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方等于一，那我们也可以用这个 x 方除以四加上 y 方，看看是它是不是等于一，或者去证一下， x 方加四， y 方等于四，这样就没有这个分母。 那剩下问题是，它一共有 x 一、 x 二和 y 一 y 二四个字母，但实际上呢，因为 ab 都是在椭圆上的，所以这个 y 一 可以用 x 一 表示， y 二也可以用 x 二来表示，然后它给了这个 a 和 b 的 相线，那么就省掉了一个分类讨论的一个情况。 那么又有另外一个条件，就是 x 一 等于二， y 二。这样呢，我们实际上最后应该是可以把它转化成只有两个字母的一个式子。 转化成只有一个字母呢？比如说所有的字母都可以用 y 二来表示啊，因为 x 二可以用 y 二表示，然后 x 一 可以用 y 二表示，那么 y 一 呢？可以用 x 一 表示。那比如说，我们最后可以转化成比如说都用 y 二来表示的一个式子，然后去把这个 y 二的这个式子进行一下化解。 接着呢，因为它是在椭圆的上面，所以我们可以把我们可以列出的所有等式都列一下，看一下怎么进行消圆，然后得到我们最后的一个式子。 那么条件分别是 a 在 椭圆上， b 在 椭圆上，还有 x 一 等于二， y 二，我们把它进行一下简单的呃 b 之后，会发现它会得到一个式子，是四万二的平方加四万一的平方等于四， 那么这个式子，呃，很显然它算是比较整洁的，因为这个能够说明 x 一 x 二，呃，还有 y 一 y 二，它们如果组成一个坐标的话，都在一个圆上面， 然后我们也可以把 x 一 的平方加 x 二的平方当成一个字母，就比如说我们最后能凑出一个 x 一 的平方加 x 二的平方，那我们就可以不用把它都强行换成某一个字母了。 那接着我们就需要去算一下 m 这个式子，看看这个 m 这个式子怎么能进行化简。比如说变成 y 一 的平方加 y 二的平方，或者是 x 一 的平方加 x 二的平方，如果不能呢，我们就需要再进行一下，比如说用 x 一 再表示 x 二之类的， 那么 m 这个式子里面有 x 一 x 二也有 y 一 y 二啊，那我们最好还是要给他进行一下处理。比如说如果我们想要凑的话呢，可能会比较想要凑 y 一 的平方加 y 二的平方，因为如果 x 一 的平方和 x 二的平方，感觉上应该会有比较多的一个分数， 我们需要替换的就是 x 一 和 x 二，只保留 y 一 和 y 二，看能不能凑一个 y 一 的平方加 y 二的平方。那么这里面呢，我们就需要去看一下 这个是二分之一倍的 x 一 加二分之根号三倍的 x 二。然后我们在这里面， 比如说我们这个把 x 一 替换成 y 二，或者是把这个四 y 二的平方，或者把四 y 二的平方替换成 x 一 的平方之后，会发现一个比较巧一点的事，这个四 y 一 的平方，它应该等于 y 二的平方， 那么也就是说 y 一 和 y 二也是可以互相表示出来的，我们就不需要再转一手了。那我们就接着就用这个把 x 一 换成二百二，然后 y 一 应该是要换成负二倍的 x 二， 那进一步化简之后呢？呃，我们可以用 x 一 的平方加四外一的平方等于四和 x 二的平方，加 x 一 的平方等于四，可以得到这个 x 二的平方，它应该等于四外一的平方。 然后因为 x 二是小于零的， y 一 是大于零的， b 在 二项线， a 在 一项线，所以我们最后可以把 x 二换成负的二外一。 这样呢，我们就也没有分类讨论的一个情况了，因为我们正常互换应该是带根号的，那么这个 m 我 们最后就可以把它换成只有 y 二和 y 一 的。那接着我们就需要把这个 m 这个点带到椭圆的方程里面，看看能不能正好凑出 y 一 的平方加 y 二的平方。 如果可以的，我们 y 一 和 y 二就可以不用互换了，那接着我们代入一下，求出最后结果就可以。 那么把这个 x 二和 x 一 都替换完之后，然后再代入这个四分之 x 方加 y 方，会发现最后化简完的式子正好就是 y 一 的平方加 y 二的平方，那这样我们就可以直接证明这个 m 就 在椭圆 e 上。