六年级下册立体的截面步骤

同学们好，我是银川市兴庆区第十八小学的王老师，很高兴和大家一起探讨和学习。 今天我们一起走进青岛版六年级下册第二单元综合与实践立体的洁面的学习。请同学们准备好学具。 同学们，王老师带来了一组图片，仔细观察。你知道苹果是怎么切的吗？你有什么发现？ 我知道苹果可以横着切，也可以竖着切，我发现从不同角度切苹果，切出的面的形状不一样。切出的面叫什么呢？在数学中是有定义的， 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。同学们，我们以切苹果为例，把所切的具体的实物苹果看成一个几何体， 用小刀去切，就使用小刀去截小刀的刀面相当于一个平面，切出苹果的这些面就叫做截面。 通过老师的演示，相信同学们已经理解了什么是截面。那么从不同的角度去截一个几何体会出现什么情况呢？ 从不同的角度去结一个几何体，所得到的结面形状就有可能不同。 看来结面的形状可能是多种多样的。这节课我们就用数学的眼光和思维探索我们所学过的立体图形的结面，探求圆柱和圆锥的结面。 请同学们用小刀切圆柱形火腿肠，用小刀切圆锥形花泥，通过动手操作，分别来探究圆柱和圆锥的结面形状。请同学们按一下暂停键，一起动起手来吧！ 圆柱的结面有什么形状呢？我们来看小明是怎么探究的。 我探求出圆柱的结面有五种，第一种，横着并且平行于圆柱的底面，切得到的结面是圆。第二种，从圆柱的上底面竖着切到下底面，得到的结面是长方形。 第三种，从圆柱的一侧斜着切到圆柱的底面，得到的结面是拱形。第四种，从圆柱的一侧斜着切到圆柱的另一侧， 得到的结面是椭圆。第五种，从圆柱的上底面斜着切到下底面得到的结面类似于长方形，但它的左右两边是曲线。 圆锥的结面形状又有哪些呢？我们一起来看小丽的探求过程。 我探求出圆锥的结面有四种，第一种，横着并且平行于底面切得到的结面是圆。 第二种，从圆锥的顶点开始竖着切到底面，得到的结面是等腰三角形。第三种，从圆锥的一侧斜着切到另一侧，得到的结面是椭圆。第四种，从圆锥的一侧斜着切到底面，得到的结面是拱形。 同学们真棒，动手操作能力很强！通过圆柱和圆锥的结面探究，你还有什么发现或者困惑呢？ 我发现，如果圆柱的底面直径和高相等时，沿上底面直径竖着切到下底面，截面形状是正方形。 如果圆锥的腰和底面直径相等时，从圆锥的顶点竖着切到底面，截面形状就是等边三角形。 老师，切的方向不一样，所得到的洁面形状可能不一样，那可以根据不同切法来定义不同洁面吗？ 同学们真厉害！争执总是在于发现。当然，不同切法下的洁面也有不同的定义，请同学们跟着读一读。 斜着截几何体截得的面叫斜截面，水平截几何体截得的面叫横截面。沿垂直于水平面的方向竖直方向截得的面叫纵截面， 结合圆柱和圆锥的结面探究，请同学们再仔细阅读和理解什么是斜结面、横结面和纵结面。 同学们知道了圆柱和圆锥的结面形状，那正方体的结面形状又是什么样的呢？ 请同学们按一下暂停键，用小刀切一切正方体。萝卜动手探究一下吧！ 关于正方体的结面，你探究出了哪些形状呢？我们一起来看。 我的第一种方法是平行于上面的正方形任意一条边，并且垂直切到底面，洁面的形状是正方形。第二种方法是沿正方形对角线垂直切到底面，洁面的形状是长方形。 第三种方法是从正方形相邻两条边的距离开始，斜着切到高的任意一点，洁面的形状是等腰三角形。 第四种方法是沿正方形对角线斜着切到顶点处，洁面的形状是等边三角形。 第五种方法是沿正方形对角线斜着切到底面上，洁面的形状是梯形。第六种方法是从正方形顶点的位置斜着切到底面上，洁面的形状是五边形。 第七种方法可以用上面类似的方法得到的结面形状是六边形。如果我们切的比较精准，从每条边的中点开始，斜着切到底面，边的中点上，结面的形状就是正六边形。 看来正方体的结面形状很多，通过探究，同学们还有什么补充吗？ 我发现还可以结出平行四边形，还有菱形。菱形是一种特殊的平行四边形，它的四条边都相等。当然，从不同角度切正方体洁面，形状可能不同，也可能相同， 同学们都有一双智慧的眼睛，既有发现又有收获，探求出这么多的正方体的洁面形状。其实啊，找正方体的洁面是有方法和技巧的， 只要按照一定的顺序和方向去找，我们总会找到正方体的洁面形状。看完下面的视频，你会豁然开朗。 同学们，请你给以下正方体的结面分分类可以怎么分呢？ 我是这样想的，我根据边的数量进行分类。以上正方体的结面可以分成三角形、四边形、五边形和六边形。 其中四边形包括长方形、正方形、梯形、平行四边形和菱形。还可以怎么分呢？ 我是根据不同切法下的结面种类进行分类的。我将以上正方体的结面分成三类，分别是横截面、纵截面、斜截面。 其中横截面形状只有正方形，纵截面形状可能是长方形或正方形，斜截面形状可能是三角形、长方形、梯形、平行四边形、菱形、五边形或六边形。 同学们，我们可以用这两种方法对正方体的结面进行分类。如果把圆柱、圆锥和正方体的结面形状都放到一起，你还有其他不同的分类方法吗？ 可以根据边的曲值进行分类，可以根据有没有角进行分类。 同学们的思路真开阔，看来洁面的分类方法具有多样化。同学们，不管是规则的立体图形还是不规则的立体图形，从不同的角度都有可能结出不同的洁面形状。 洁面的知识在我们的实际生活中应用非常广泛，例如医学中用 ct 技术拍片来判断我们的身体健康状况。 家具材料的横截面代表着不同的质地的板材，还有蔬菜水果的拼盘，也利用了洁面的拼摆，让我们的生活更丰富，更有仪式感。同学们，通过本次实践活动，你有什么收获？ 通过本节课的实践探究，我知道了圆柱、圆锥和正方体的结面形状都有哪些，其中正方体的结面种类最多。 我知道了圆柱的结面形状有圆、长方形、拱形、椭圆，还有类似于长方形，但它两边是曲线的形状。 圆锥的结面形状有圆等。腰、三角形、椭圆和拱形。正方体的结面形状有三角形、长方形、梯形、平行、四边形、菱形、正方形、五边形和六边形。 通过这次实践活动，我知道了切法不同，切的角度不同，洁面形状可能不同。我还学会了用不同的方法对洁面进行分类。 我还知道生活中洁面知识的应用非常广泛，洁面的应用可以使我们的生活丰富多彩。 同学们说的都不错，在今天的实践活动中，同学们的收获颇多，从动手操作中获得了数学知识和方法，也希望同学们多参与这样的综合与实践活动。 同学们，三轮锥的结面形状有哪些呢？作为今天的实践作业，同学们课后可以探讨一下。今天的课我们就上到这，同学们再见！

哎，高一地理几何结面压轴题，期末年年考，学生年年摸，那么今天六十秒搞定它！做结面就三招，直接连线、延长找焦点、平行线定位。那不用思想空间来两道经典的例题啊，考场直接通用 例题，两点共面，类型比较简单，两点共面，先连线，延长交人，找焦点，再依次连接。比如这道题 延长 ef 交 a， d 和 c， d 以 m 和 l， 那 么再连接 g， l 和 g， m， 这道题就搞定了。那例题二，三点不够面的类型比较难。那这道题要先做平行线转化，再找焦点，连轮廓，前面就可以出来了。好像这道题 先做 q e 平行于 b， b 交 a e， b e 以一则 q e 和 r， c e 确定一个平面，我们可以转化为例题的情形。那么就这三招，解面题再也不丢分，你学会了没有？

挑战一个视频，让你看懂所有关于立体几何的洁面问题。

六下数学最难的立体图形，就这九大母子题专练，练完稳进班级前三！今天保姆式讲解，让你能够边玩边学，直接冲进年级前三！小升初数学立体图形九大母子题专练总复习，分项练习。 考点一，圆柱和圆锥的认识与特征一颗星要求，了解。考点二，圆柱的展开图两颗星要求，掌握。考点三，圆柱和圆锥的旋转构成法四颗星要求，一定要会。考点四，圆柱的表面积与实际应用同样是必会内容。 考点五，圆柱的体积与实际应用与表面积同等重要。考点六，圆锥的体积与实际应用和圆柱一样重要。考点七，圆柱和圆锥的背笔问题。考点八，圆柱和圆锥的表面积增减变化问题这两大题型都是五颗星考试必考，一定要会。考。点九，长方体和正方体中最大圆柱与圆锥四星重点内容，以上资料均有电子版。

这种长方体结面怎么画？一般就两种方法，延长线法和做平行线法，并且不用过分纠结什么模型，只要记住，核心就在于如果长方体的对面有截痕，截痕是平行的就行，这其实就是平行面的性质。 以图九为例，经过两个对立面的截痕一定是平行的，比如上面和下面，前面和后面，左侧面和右侧面。 当然需要注意的点是对面不一定有结痕，比如图八，它在下面有结痕，但是上面没有结痕，这个时候呢，就需要用到延长线法。 好，我们先来看第一个例题，如图，求第一 e、 f 这三个点所组成的结面。从图中我们可以看出，第一它是一个上顶点，所以这三个点组成的结面一定是和下底面有结痕，所以它就不存在一个对立面。 这个题目呢，我们就需要用到延长线的方法，那延长哪两条线呢？这个时候我们要找到在同一个面内的两个点，也就是 e、 f， 所以 我们要将 e、 f 连接并且延长。 延长到哪里呢？和 d a 的 延长线和 d、 c 的 延长线交于点 m、 n， 这个时候我们再连接 d、 m 和 d n 相交于的点是 g 点和 h 点， 这个面就是我们要求的结面。接着来看第二道例题，过 d、 e、 b、 e 三个点的结面该怎么画？ 从图中我们可以很明显地看出，这个结面和左侧面是有截痕的，截痕呢是 d、 e， 这个时候发挥一下我们的空间想象能力，这个结面它和右侧面应该也是有截痕的，那这个截痕该怎么找呢？ 刚刚我们说过了，如果一组对立面有截痕的话，那这两条截痕一定是平行的，所以我们只需要在 c， c， e 上找一个点，使得 b e， h 和 d e 平行就可以，这个点呢，很好找， 平行之后，这边我们用虚线表示 b h 点， e 和 d h 应该也是平行的。有了前两题的基础，我们来一起看一下第三题求过 o， e， f 三点组成的结面。从图中我们可以看出，这个结面和长方体的前面和后面都是有结痕的， 所以我们要先利用延长线法找到它和前面长方形的结痕， 那么此时 f n 就是 它和前面长方形的截痕，那它和后面长方形的截痕呢？肯定平行于 f n， 在 c， e， d 上找一点 q， 使得 p q 平行于 f n 即可， 而这就是我们要找的截面。

警告高中数学，球与多面体的洁面问题绝对是例题几何里最容易丢分的压轴小题。今天宋老师一条视频把球与多面体的洁面问题一次性讲透，听完这套方法，遇到洁面题直接稳稳拿分！ 数学想提分关注宋老师，高中数学难题我带你们全部攻破！言归正传，我们来看题目 前面的视频都在为新阶段的高一学生在服务，那么高三正在备考同学也对力敌几何部分有这么一丝的疑惑，其中比较经典的一个问题，或者说比较大众的一个问题，就是这个球与多面体的洁面问题。 当然洁面问题其实也是一个大类，它其实也有平面与多面体的洁面问题，但球与多面体的洁面会更挑战我们的这样的一个空间想象能力，所以对于大家来说难度也会更高一点。那么今天宋老师就带大家一起来理解一下球与多面体 会如何去产生洁面以及洁出来的东西，它那个胶线的长度，我们该怎么样去求解。 接着往下来看一看我们今天的正式内容。首先我希望各位能够去回忆一下的，应该是我们在初中就学过的一个定律，叫做垂进定律， 当时我们学习的是一个平面图形圆和一条直线相交，那么它很自然就会产生 ab 两个交点，而 ab 的 一个弦，那这个弦的长度怎么来求？我们当时的做法是把 o 点，也就是我们的圆心去连接到我们的其中一个端点，比如说 b 点， 再去过 o 点做垂直于我们的弦，希望我们这边比如说是 h 点，那实际上我现在阴影部分所描述出来的就是一个非常朴素的直角三角形，而这个直角三角形呢？三边分别是什么？分别应该是我们圆的半径，还有我们圆心到直线的距离，以及我们的弦长的 一半。哦，一定要注意，是一半，所以我现在写出来勾股定的式子是弦长的一半的这个平方啊，应该会等于斜边的平方，再减去我们的距离的平方，也就是我们的耳方，再减去我们的地方。 所以这样我只要知道了半径，再知道了我们的圆心到直线的距离，我就可以求出我们的弦的一半，那乘二就是我们的弦长。所以当时我们在平面图形里面去求解相交弦的弦长，就只需要这样来做就行。 而他到了三维的世界里面，圆变成了球，而我们的直线变成了平面，再去相交，产生的就不再是形，而是相交的一个平面，就是截面。 那一个西瓜拿刀怎么切？切出来，其实它的姐妹都是个圆，对不对？像圆锥，圆锥，我斜着切，横着切，或者说我竖着切，切出来可能是椭圆抛物线，或者说双曲线，可能不一定，但如果是一个完整完美的球体的话，你不管在什么位置，只要你切到了这个球，切出来一定是圆，那么这个圆， 它的半径就是它最重要的特征是多少呢？其实只需要在右侧的图中，我们稍微看一下，球出本来的球心到不再是线了，应该是到这个平面的距离，以及我们球的半径大耳。接下来上面的这个 o a 其实就应该是我们洁面的半径小耳， 而他们之间依然也会满足一个非常完美的勾股定律，就应该是我们的小耳的平方，就是洁面的这个圆的半径的平方，应该就会等于我们的大耳方，再减去小 d 的 平方。 所以说如果这个平面是我们在一个理想的平面，就是一个可以无限延展的平面，那么此时这个平面 与这个球产生的结面必然是一个完整的圆。注意是完整的圆，那这个完整的圆，只要我知道了这个半径，它的周长也好，它的面积也好，它的什么什么无所谓都好，我都能求得出来。 但很多高中的题目，尤其到了高考的时候，他会非常的恶心，他不再是一个平面和球的结，而是拿一个多面体。 什么叫多面体？多面体的每个面其实是很受限的，有没有看见？比如我现在提出了最朴素的两个，一个就是长方或者说正方， 另外一个就是这样的一个，其实是个墙角模型，就是三轮锥，一个简单三轮锥做了一个这样的动图给大家稍微来观看一下，我现在左边这个，左边这个最简单。我现在这个正方体有什么特色？它其实是一个六面体，讲白了，其实它有六个表或者六个这样的 平面，侧面都会和这个球有可能相交。那我现在画这个球呢，微微的小了一点，它只和左侧的阿尔法，后侧的贝塔以及下侧的伽玛是不是产生了 啊？交面，而这个时候阿尔法贝塔伽玛，我们必须要说它不是一个完整的平面，它应该是一个局部的平面，平面的一部分，所以它和这个球截出来的，比如说贝塔和这个球截出来的图形也不再是一个完整的 这样的一个圆了，对不对？你现在过的就是球心，我们假设到过球心只是举个例子，那这个 d 就是 零，那你截出来的截面的半径也就应该是本身这个球的半径就应该是大 r， 但是现在我发现它真正能在上面展示出来的只有九十度的一个圆形角，有四分之一的圆，所以你想让我求，比如说胶带的弧线的这个长度，那也是圆的整个周长的四分之一， 我没说错吧？所以这个环节相对而言就会多那么一步。我们并不是一个完整的平面和一个球的结面了，而是平面 的一个局部和球去产生结面，那会有什么影响？来我们看一下右边，右边这是一个墙角模型，它的平面也是比较局部的，每个平面其实都已经不再是完整平面，而是一个一个小三角形。 那教出来会怎么样？我们一起来动态的感受一下。各位观看一下这个视频，这是我拿鼠标稍微先拖动了一下，立体的感觉，让大家稍微建立一下，这个球的大小会变好。你看它变小的过程里面，它和 a 导 c， a 导 b， 还有我们的下方的 bc 导，其实都是有 交线的，对不对？而这个交线呢？因为我去把球形放的比较简单，就放在了我们这个正中间，就放在了我们这个顶点导上，所以你此时交出来的也就是应该是半径为这个球的半径的 球体，注意啊，就相当于此时这个半径，也就是我们此时这里应该就是什么，是不是就是球的半径？球的半径也就是这个黄色的点点到导点这个位置就应该是球的半径，就应该是不变的，没问题。紧接着如果它再去转动，再去变大，来注意看 它现在怎么样和前面的 a、 b、 c 那 个斜置的平面是不是也产生了相交的地方？一开始我太小了，还没有够到这个 a、 b、 c 是 这个平面， 现在我终于粘到了 a、 b、 c 这个平面了。那么现在怎么样？我就可以把我们的问题变得更加复杂了，让你去求它和 a、 b、 c 交出来的交线的长度，那这个问题就比较难了。首先我们要求出导点是不是到 a、 b、 c 这个平面的距离， 这是刚刚的 d 小 d， 上一页 ppt 里面是不是小 d 求半径我是知道的，那么整个结面就交出来这个平面的半径是可以用勾股定律把它求出来， 当我把勾股定律给它求出来之后，是不是这个完整的圆就是我们的交线的周长呢？或者这个完整圆都在呢？不是。你看此时此刻，其实我这个圆只有三段，就在上面黄色的点点在最前面的时候，黄色的点点是不是有三段在上面？来，我们再放大一点，你看 甚至都会没了，再变小，再变小，小小小小小，它就会浮现在这个位置的时候，差不多这个位置的时候，就是 a、 c、 a、 b 还有 bc 这三条棱上面那个边上的那个黄点点重合的时候，那个时候才是什么？ 才是刚刚刚刚好，是我们的什么？是不是一个完整的圆都在上方？刚刚好好都是一个完整的圆，是不是都在上方？那么这个时候的话呢？这个完整的圆才能够全部算。但如果说我这个球还比较大的时候，比如说像这样的一个状态的时候， 那其实在 a、 b、 c 上的交线其实也只有什么？是不是只有三段弧？乃至现在你比如说你把你的目光盯向 a、 d、 c 这个平面， a、 d、 c 这个平面和这个球体产生的交线，其实也只有两段 圆弧，也只有两个圆弧，并非是完整的一个扇形的弧长， ok 吗？所以它可能会有这样的一些考量，你就需要去考虑我这个圆，这个结的圆到底在这个局部的平面上究竟呈现了几成，或者呈现了几分之几，然后再去求它的面积，再去求它的什么周长，是这样一个做法。 那么相对的，这样向南的题目我们放在群里的配套练习之中，如果各位可以的话，到群里面找我来要电子版就可以了。好，那接下来的话，我们来看一道非常经典的高考题，这道题目是清高考一卷，还有一道高考真题， 它是这样说的，是直四棱柱，直四棱柱， a、 b， c 倒 a 一 b 一 c 倒，一能成均为二。开始画图，这个图其实并不难画，然后呢角 b、 a 倒呢？又是六十度，其实就是一个什么？ 是不就是一个菱形，这里是 b， 这里是 a， 然后这里是 c， 这里是倒嘛？然后直四人柱，所以这样坐下来，坐下来人长均为二。这画的也不要太夸张，应该各个面其实都是 正方形，除了上下底面是菱形以外，侧面呢均为正方形，这样的情况，他说以倒一点来，倒一点，在这个位置以倒一为球心，根号五为半径，然后与谁的交线长是与后面这个平面 b c、 c e、 b e 的 这样一个交线的长度。那么现在我们来思考一个问题， 我要去做这个交线，要把这个结面做出来，刚刚讲的关键量是哪些？还记得吗？第一个应该是球心到平面的距离 来，我们俯视图里面底面是一个菱形哦，相当于是一个呃，六十度，非常标准的二二二二，然后假角是六十度一百二十度是这样的一个菱形，这里是 a 一 点，这是 b 一 点，这是 c 一 点，这是倒一点。倒一点是我们的球心 b 一 c 一， 就是我俯视图里面的 b 一 c 一 c 一 c 这个平面的一个 攀缩后的一条线，对不对？所以我现在倒一点，这个球心到我们 b 一 c 一 的距离应该是根号三， 也就是说刚刚那个公式里面的小 d 应该是等于根号三的球的半径，其实里面直接给了就这里应该是画出来一个球，球的半径应该是根号五。所以把这些标准量、基本量要写出来，那就意味着如果这个平面 b c、 c 一 b 一 是一个完整的平面的话， 它和我们这个球产生的结面的半径一定等于多少呀？是一定等于根号呗。再开个根号，其实就是根号二喽， 所以小耳应该是等于根号二，小耳如果等于根号二的话，按道理说，我现在应该是画一个根号二为半径的圆，然后周长每每一算二 pi 耳不就是二倍根号二 pi 吗？ 就完事了，对不对？但实际上这道题不是的，这里的这个球做出来过以后，在这边的结面的圆心应该在 b、 e、 c 的 中点，也就是我们刚刚做这个垂线，这个 h 点，这个 h 点，这结面也长这样。 紧接着呢，我们画出来的应该是一个半径为根号二的原理，不要忘记 b、 c 一 整个的长度。来，我们把这个面给它拎出来，这是一个，其实是一个正方形，这里是 b 一， 这是 c 一， 然后这里是 b， 这是 c， 中间这个点应该是 h 点，整个 b、 c 的 长度其实只有二哦， 然后你现在却要画一个半径为根号二的圆，那按道理说，你画画画画应该画这么大，但是我现在的洁面只有 b、 e、 c、 e、 c、 b 这么大，所以真正能在这个图上面体现出来的，应该是我绿色的笔记所描出来的这段 圆弧的长度，也就是从这里的 p 点到这个 q 点弧， p q 才是我真正的结果。而 hp 和 h q 就是 我们刚刚求的小耳，就应该是根号二，这边呢，应该是一，因为 h 点是 b、 c 的 中点，所以 h 点的两边应该是一和一， 那这里也是根号二喽，所以这边也是一喽一喽，很基本这样的几何量，那么此时这里就也是四十五度，所以一目了然。中间的 p、 h、 q 这个圆心角就应该是九十度， 所以你现在这个 p、 q 这个弧，就是题目里面要的这个交线的长度。而这个交线的长度呢，其实就应该是一个根号二为半径的圆的周长的四分之一，所以应该等于四分之一再乘上二派小耳， 二派小耳呢，其实就应该是二倍根号二派，再乘上一个四分之一，其应该是二分之根号二派，所以这道题的交线长度就应该是二分之 考二倍牌，所以这道题目非常非常的经典，非常的经典。但距离今年的高考其实也有一定的年头了，在平时的高一下的期末考试，期末考试，我相信如果有高一同学在听的话，也一定会看到过 啊，一定有一部分同学看到过，做到过。这样的题目对于高一的孩子来说，难度还是有一点高的，但对于高三的孩子来说，你们的立体几何空间想象能力已经培养了，少说两年有余了吧， 对吧？所以想这些问题可能会稍微简单一点，但是呢，多想想准没坏处。现在新高考卷对于我们的立体几何的要求也在逐步的提升，只会单纯的间系这种暴算的方法可能不够了， 去年的外接球问题，可能看准经典建系统的方法，你有没有用透啊？可能也没有吧，所以，路漫漫其修远兮。各位，虽然距离高考的时间并不长了，但是能进步一点，总能进步一些， ok 吧？好了，关注宋老师，每个视频，送你一招，解决一个小问题。好，那今天的内容我们就讲到这，拜拜各位！

今天我们来做一道北京六年级的必考题，一起来看题，把一个长方体的木块截成两个完全一样的正方题。哎，如图所示， 那截完之后呢，那正方体的棱长和比原来的长方体增加了四十八厘米。 求原来这个长方题目块的表面积是多少？好在这一定要注意，求的是表面积，而不是体积。 好了，那我们就来分析一下，在这里呢，只给到了一个数据，就是棱长和增加了四十八，所以我们就要从棱长入手。 先来看原来，那原来这个长方体呢，他的棱就是由四个长，四个宽和四个高组成的。好，那我们再来看一看，切成两个正方体之后，那这四个长啊，还都在，只是被分成了两部分，长度没变化。 那这四个宽呢，你可以看到，也还都在。好，再来看四个高，四个高也都在，所以呢，原来这十二条棱在新的两个正方体当中都还在。 那多的是哪呢？多的是，这里你可以看到，一刀多两面，从长方体到两个正方，切开之后，表面积会增加这两个正方形，那棱长啊，增加的也是这两个面的这个棱。 好了，那我们知道，现在呢，切完之后是正方体，所以呢，这四条棱是相等的，这边这四条棱呢，和他也一样，也就是说一共会多出八条棱，那这八条棱是四十八厘米，那我们直接就可以计算出来，一条棱是六厘米。 好，那接下来咱们再来看一看，那切完的这个六厘米的棱和原来的长方体有什么样的关系？ 那你可以看到这条棱呢，就和原来的宽是一样的，这条棱呢，和原来的高是一样的，所以原来这个长方体，它的宽和高就都是六厘米 长呢，长被分成了两半，那一部分是六，两部分就是两个六，所以长就是六乘以二等于十二厘米。 好，那现在咱们知道了，原来长方体的长宽高都了解到了，那我们就可以来计算它的表面积了。表面积应该是长乘以宽，加上长乘以高，加上宽乘以高，然后呢再乘以二。 好，咱们来一起计算一下，那是七十二加七十二加三十六 乘以二。好，我们可以看到这是一百四十四，再加上三十六是一百八乘以二是三百六十。单位是什么呀？平方厘米啊，因为是面积 平方厘米。好，这样的话呢，我们就计算完了原来长方体的表面积了。那其实呢，我们还有一种方法。什么方法呢？就是算小的正方体的表面积，两个加在一起，那合成一个长方体，我们知道粘一起少两面， 所以呢再减去两个正方形的面就可以了。好，我们来一起计算一下，那我们知道一个面是六乘六，哎，棱长乘以棱长。好，那接下来我们来看有多少个呢？ 一个正方体是六个面，两个正方体是十二面，粘在一起少两面，把这两个面剪掉就可以了， 所以呢就是六六三十六乘以十，最后也可以计算出三百六十平方厘米。那你来看一看两种方法，你更喜欢哪一个？

不过，同学们有没有想过，人类是从什么时候开始研究用平面切割立体这件事的呢？让我们跟随杰瑞的脚步一起穿越回去看看吧！ 杰瑞的第一站穿越到了两千多年前。古希腊数学家欧几里的在几何原本里建立起了立体几何体系，但是只讨论了一般棱柱棱锥、圆柱圆锥的结面，并未研究正方体的结面。 而咱们中国的数学家早就上手实操了。魏晋时期的刘辉把正方体斜着切开，分成了线段，仰马 靠洁面规律计算体积。到了南北朝，数学家祖更更是总结出了惊天结论，自信地提出，密室技桐则积不容易。 这句话的意思是，只要两个几何体在任意等高处的洁面面积都相等，它们的体积就必然相等。 组更也因此成为了世界上最早系统研究洁面与体积关系的先驱，堪称洁面研究的鼻祖。随着时间的推移，人类对空间的想象力彻底觉醒，杰瑞来到了文艺复兴时期， 画家的透视学让人类真正看懂了立体空间，而迪卡尔创立的解析几何，更是让数学家们能用方程 精准算明白了我们刚才推导的平面与正方体的相交规律。到了十七至十九世纪，洁面研究迎来了黄金时代。 一位名叫鲁伯特的德国亲王与人打赌说可以在一个立方体上开一个洞，然后让另一个同样大小的立方体从洞里穿过去。 当时人们普遍认为这不可能，直觉告诉我们，一个立方体怎么可能穿过一个更大的立方体呢？然而，鲁伯特亲王最终赢得了赌注， 穿越回现代，有了动态数学软件，曾经难倒无数顶尖数学家的千年谜题，现在变成了咱们课堂上滑动手指就能看清的趣味游戏。一个简单的正方体结面，背后连接的是一段跨越数千年的数学探索史。 从古希腊的尺规作图难题，到中国古代数学家的智慧结晶，再到欧洲贵族的趣味读约。数学从来不是冷冰冰的公式和定力， 它是由无数充满好奇心和创造力的人一砖一瓦搭建起来的精神殿堂。

今天我们来复习立体图形的表面积和体积的所有计算公式。我们接触的第一个立体图形就是长方体。 我们知道长方体和正方体都有六个面，十二条轮，八个顶点，长方体相对的面完全相同，他的十二条轮分了四组，长四条，宽四条，高四条。 因此我们要求长方体的棱长和就等于小括号长加宽加高，小括号乘四。因为长有四条，宽有四条，高有四条，所以我们就用一组长宽高的和乘四 来接着。那如果我要求长方体的长呢？我们要学会公式倒推，我们就要用棱长，壳除以四减宽减高。 宽等于棱长，壳除以四减长减高。高等于棱长，壳除以四减长减宽。 好。接着长方体的表面积，长方体他有六个面，分为了三组，因此表面就等于小括号长乘宽，下面 加长乘高，前面加宽乘高，右面小括号乘二。 好。长方体的体积长方体的体积等于长乘宽乘高。如果用字母 v 来表示体积的话，它就等于 a、 b、 h， 当然它也可以写成底面积乘高。 好。再看正方体，正方体有十二条相等的棱，因此正方体的棱长和就等于棱长乘十二条。 那么如果告诉你棱长和怎么求棱长呢？棱长就等于棱长和除以十二。 再看正方体的表面积，包含了六个正方形的面，所以表面就等于棱长乘棱长，这是一个正方形的面乘六。那如果是五个二的话呢，就乘五。如果是通风管只有四个面，那么就乘四 好。接着看正方体的体积，等于楞长长，楞长再乘楞长，也就是楞长的立方，如果用字母式子表示的话，就等于 六 a 的 平方，这是它的表面积，体积 v 就 等于 a 的 立方。 再看六年级，我们又学了圆柱体，圆柱体有一个侧面，两个底面，把圆柱的侧面沿高剪开，可以得到一个长方形， 长方形的面积就是圆柱的侧面积。因此 s 侧等于 c h， s 侧等于派 d h， s 侧等于二派 r h。 再看圆柱的底面，是个圆形，而圆的面积 s d 等于派 r 方。 已知直径等于 pi 小 括号 d 除以二小括号的平方。已知周长等于 pi 小 括号， c 除以 pi 除以二小括号的平方。 那么表面积包含了两个底面积加一个侧面积，所以表面积等于底面积乘二加侧面积，当然还要根据实际情况去计算。 那么圆柱的体积，圆柱的体积等于底面积乘高，因此 v 等于 s， h 等于 pi， r 方 h 等于 pi 小 括号， d 除以二小括号的平方 h 等于 pi 小 括号， c 除以 pi 除以二小括号的平方 h。 再看圆锥，我们知道等底等高的圆柱体和圆锥体的体积，它们之间是有联系的。等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍，那么圆锥体积是圆柱体积的 三分之一。根据这个关系，我们得到了圆锥的体积 v 等于三分之一， s， h 等于三分之一 pi 方 h。 也根据这些公式，我们要完成很多很多相关的辨识，练，一起来练吧！

学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来复习立体图形。首先是长方体和正方，先来回顾一下他们的相同点、不同点以及之间的联系。先看相同点， 他们都有六个面，十二条棱和八个顶点。长方体的六个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形。比如这个长方体左右两个面是正方形，周围四个面是长方形，而且这四个长方形是完全一样的。 正方体的六个面都是正方形，所以长方体相对的面面积相等，上下一样，前后一样，左右一样。而正方体六个面面积都相等，因为它是六个完全一样的正方形。再看他们的棱长，长方体是长宽高各四条， 所以棱长总和是长加宽加高的。和再乘四，长有四条，高有四条， 合起来就是他的棱长总和。正方体十二条棱长度都相等，所以棱长总和等于棱长乘十二，他们之间的联系是，正方体，是特殊的长方体。正方体可以理解为他的长宽高都相等， 所以它是特殊的长方体。再看圆柱和圆锥，圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面。圆锥是由两个面组成的，一个底面和一个侧面，所以圆柱的底面是相等的。两个圆圆锥的底面只有一个圆， 他们的侧面都是曲面。圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形。什么情况下是正方形呢？当圆柱的底面周长与高相等时， 侧面沿高展开是正方形。圆柱的高是两个底面之间的距离，所以圆柱的高有无数条， 而圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，所以圆锥的高只有着一条。然后是面动成体旋转的问题。以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周可以形成圆柱。 例如这个图形，这是以长方形的长为轴，旋转一周可以形成圆柱。以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径，这里是以长方形的长为轴，那长就是圆柱的高，宽就是圆柱的底面半径。 如果以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周可以形成圆锥。例如这个图形，以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径。那从不同方向看到的形状是什么呢？圆柱，如果从上面或下面看，看到的都是圆。 如果从侧面看，看到的是一个长方形或正方形，那什么情况下是正方形？当圆柱的直径与高相等时，我们从侧面看，看到的是一个正方形。再看圆锥，如果从上面看， 看到的是一个带圆心的圆，也就是一个圆中间有一个点，这是圆锥。从上面看到的图形，如果从下面看，看到的是一个圆，从侧面看是等腰三角形，这是他的两条腰。 底是圆锥的直径，高是圆锥的高，他们之间的关系就是等底等高的情况下，圆柱体积是圆锥体积的三倍。注意这个前提条件。再来回顾一下他们表面积和体积的一个推导过程。先看长方体的表面积， 我们是把一个长方形、长方体相对的面面积相等，把这六个面标上序号， 一和三是对面，二和四是对面，五和六是对面。如果五和六是前后，一和三是左右，二和四是上下， 那这一段是长方体的长，这一段是长方体的高，这一段是长方体的宽。前后两个面是长成高成二，上下两个面是长成宽成二， 这六个面加起来就是长方体的表面积。利用乘法分配率把二提出来，就等于长乘宽、加长乘高、加宽乘高的和再乘二。因为正方体是特殊的长方体，它的六个面是完全一样的正方形， 所以正方体沿棱剪开，得到六个完全相同的正方形，那正方体的表面积就等于一个面的面积乘六，一个面的面积用棱长乘棱长，所以正方体的表面积就是棱长乘棱长再乘六。 圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面，所以圆柱的表面积等于两个底面积加一个侧面积。如何求侧面积呢？ 我们将圆柱沿着高和底面周长剪开，侧面是一个长方形，这个长方形的面积等于底面周长乘高。 再看他们的体积，在推倒长方形的体积时，我们是用棱长为一厘米的小正方体摆成了不同的长方形。发现了一个规律，长方体的体积是一立方厘米， 这里有十二个小正方体，将它摆成一排，拼成一个长方体，那这个时候长方体的体积就是十二立方厘米。如果这样摆摆成两排，那这个长方体的体积还是十二立方厘米。如果摆成两层，每层是六个小正方体， 那这个长方体的体积还是十二立方厘米。所以无论怎么摆，长方体的体积都和小正方的数量相等，所以推出了长方体的体积等于长乘宽乘高， 而正方体是长宽高都相等的特殊长方，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，把这里的长宽高都换成棱长。 再看圆柱体积的推导，我们把圆柱底面分成若干等份，拼成一个近似的长方体，它们的底面积相等，高也相等。圆柱的体积就等于长方体的体积等于底面积乘高。得到了圆柱的体积公式， 就等于底面积乘高。那根据这个推导图，我们也要清楚它里面包含的其他信息。比如长方体的宽等于圆柱的底面半径， 长方体的长等于圆柱底面周长的一半。 pi、 r， 它们的体积相等，但是表面积不同，长方体表面积比圆柱的表面积多 多了左右这两个面用半径乘高再乘二，这是多的表面积。还有一个是长方体的前面等于圆柱侧面积的一半，也就是长方体前后这两个面刚好等于圆柱的侧面积。最后是圆锥的提推导， 我们把圆锥形容器里的水倒入与他等底等高的圆柱形内， 三次才能倒满，得到了圆柱与圆柱体之间的关系，圆锥的体积等于与圆锥等底等高圆柱体积的三分之一。最后通过这个表格来总结一下他们表面积和体积的计算公式， 都用字母来表示，长方体的长宽、高分别是 a、 b、 h， 所以 长方体的表面积等于长乘宽加长乘高、加宽乘高的和乘二。正方体的棱长都用 a 来表示，所以正方体的表面积等于六 a 的 平方， 一个面的面积再乘六，圆柱的表面半径为 r， 高为 h。 圆柱的表面积是底面周长乘高， 所以是二。 pi r 乘 h， 底面积是 pi r 的 平方，再乘二是两个底面。圆锥底面半径为 r， 高为 h， 圆锥的表面积等于一个侧面加一个底面，底面是一个圆， pi r 的 平方，侧面展开后是一个扇形，所以是一个扇形的面积加一个圆，是圆锥的表面积。长方体的体积等于长乘宽乘高。 正方体的体积等于三个 a 相乘，也就是 a 的 三次方。圆柱的体积等于底面积乘高，也就是 pi r 的 平方 h， 圆锥的体积等于三分之一，底面积乘高，所以前面添上一个三分之一。 那长方体、正方和圆柱，它们有一个统一的体积公式，它们的体积都可以用底面积乘高来计算。求圆锥的体积不要忘了前面的三分之一。 最后再来总结一下立体图形的切割问题。先看切一刀的情况，长方体如果这样切一刀，它的表面积跟原来相比增加了两个长方形，这一段是长方体的宽，这一段是长方体的高， 所以增加的面积用宽乘高再乘二。如果是一个圆柱，沿着横截面切一刀表面，你跟原来相比增加了两个圆， 所以增加的面积用 pi r 的 平方乘二。如果是沿着直径和高垂直切一刀，增加两个长方形，这个时候增加的面积我们用直径乘高再乘二。 最后是圆锥，如果沿着圆锥的顶点和直径垂直切开，增加两个等腰。三角形的底是圆锥的高，所以增加的面积 用三角形的面积再乘二。三角形的面积是底乘高。除以二，那增加的面积再乘二也可以化解一下，等于直径乘高，这是增加的两个等腰三角形的面积。另一种是变长或变短的问题，如果将长方体变长， 那它的表面积跟原来相比发生了什么变化？表面也增加了周围这四个面，也就是红色部分，上面、下面、前面和后面。如果将长方体变短，那它的表面积会减少， 减少的也是周围这四个面，上面、下面、前面和后面左右面是不变的，圆柱也是一样。如果将圆柱变长， 表面你增加的是这里的侧面，因为它上下两个底面没有变，发生变化的是侧面积，而侧面积刚好多了这一部分，所以增加的面积就是上面的侧面积。如果将圆柱变短，表面积会减少， 减少的也是上面这个圆柱的侧面积，因为它上下两个底面没有变，发生变化的就是侧面积，那减少的部分就是这个圆柱的侧面积。所以无论是变长还是变短，变化的是侧面积。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？

一口气讲完逆题集合洁面问题一共三大题型，从做洁面的两种方式，到求洁面面积和周长，带你完善逆题集合压轴小题。 其实很多高一高三的同学都在问我，唐老师如何做洁面，他要是出的话就会出单选或者多选的压轴题， 那我们来看哈，他总共是有两种方式的，第一个呢是相交法去做洁面，第二个呢是平行线法，我一般都是两个结合着来用哈。 首先呢，我们来看相交法，为什么叫做相交法来，就是因为我们现在这个界面呢，很单零的，孤零零的在这个内部，对不对？ 那么此时我们就要使得它的延长线和其他平面的展开面，延长面我们要形成焦点，那 这时候的话，我们连接这个焦点和这里的顶点，我们就会得到节点了哈，你看，我们现在已知了 e、 f 这条边，对不对？我们就延长出来，延长出来，延长出来之后你会发现啊，好，我交右边这个面，你看右边这个面我也会延长，对不对？我就延伸右边这个面， 我就交右边这一个面于这一个点了，这一个点呢，就是咱们交的一个点嘛，所以此时我们再来连接咱们的 c、 e 和咱们这一个交点，就会得到跟右边这个平面的节点，就是在这的哈，这是节点了。 ok， 那 么 此时我们连接这个节点和这一个顶点，我们就会得到这两条接线了，对不对？好，我们继续来做左边我们延伸延伸，哎，你会发现我跟上面这个平面的延伸面，我是不是交于这一个点呢？ 这个点就是咱们的焦点，那么我们继续去连接咱们的焦点和这一个顶点哈，我们就会得到这有一个节点，所以说我们就去连接这个节点和咱们这一个焦点哈，连起来，哎，你会发现我们又得到了这一条结线， 所以总共我们最后得到的结面是一个什么？是一个五边形的，然后我们再来看到平行线法做结面哈，这是我的 e、 f， 是 不是已知的，对不对？所以说我们现在就去寻找另外一条平行线，它是过其他的顶点的哈，那它肯定就是一个平面的， 那么此时呢，你看我肯定是只能去过咱们的 c、 e 做 e、 f 的 平行线，所以呢咱们就做出来哈，做出来，做出来是这个样子的， 然后你就会发现咱们交下面这个平面，你看我交下面这个平面的延伸出来这个平面交于这个交点，对不对？这个交点呢，咱们再连接下面这个 f 点，是不是我就得到了跟下底面的节点，对不对？就得到这个节点， 所以说咱们就可以连接这一条线，它就是两条截线就在这了。然后同理我们上面是不是会得到跟左边平面的一个交点， 那么跟左边平面这个焦点得到了之后呢，咱们再连接一和这个焦点，此时呢我们就会得到他跟咱们的上面这个平面的节点，在这对不对？在这，然后此时呢我们就可以去连接咱们的这个点和这一点，所以最后呢我们得到的仍然是一个结面的五边形， 所以我们现在来看到我们的三个题型，第一个题型来比较简单，就是不全结面，如图，在一个棱长为二的正方体当中， m n 嘞是两个中点， 然后在图中呢画出过底面 abcd 的 点 o 这个中心点，而且与这个 amn 平行的平面，在正方体中的结面。那你想哈， 我现在要去画跟这一个平面平行的平面，那么我只需要使得两组相交的直线平行，我们两个平面就平行了，对不对？ 那你来看我们的 n m， 它肯定是平行于 b、 d 的， 为嘛嘞？因为咱们只要去连接 b、 e， d， e， 那 么我两个中点中位线，则 m n 它是平行于 b、 d， 所以 就会有咱们的 m n， 它是平行于 b、 d 的， 所以现在我们只需要去找到另外一个平行线就可以了。找谁嘞？其实你只需要去看哈， 咱们的 a n， 它可以平行于谁？是不是可以平行于 b， 然后我在这我再去取一个中点，再取一个中点，比方说咱们的一个 g 点吧，所以我去连接了一个 b g 之后，你就会发现，哎呀我去， 我们这一条边，它是不是平行于这条边的，对不对？然后呢，我这一条边它也是平行于这一条边的，对不对？所以我们就得到了两组对边，它都是相互平行的，所以说咱们包含的这一个平面它肯定是平行的。 那么我们再接着来说，我们要过咱们这三个点的一个结面到底是什么样的嘞？你来看哈，我们就用平行线法去做哈，我们 b d 在 这， 我现在来要去找平行于 b、 d 的 线，而且呢，它是过咱们另外一个顶点的，那你直接去取另外一边的中点不就可以了吗？对吧？我再去取个 h 点，我连接起来，那么此时咱们的 h g 它是不是就平行于咱们 b d 啊？对不对？所以此时我们就得到另外一个节点了， 所以我们再去研究 d h 的 时候，你就会发现，哎，确实我每一条截线它都是直接截这个平面的表面的，所以你看我们最后就得到了这一个截面，它是一个四边形，最后来他就问这个截面多边形的周长我们就不用去算了，我们直接在第二道题里面带大家去算一下。 如果你感觉自己学数学总是很迷茫，做不起题，真诚建议你来看看我的主页置顶群聊分享的系统学习路径，我会详细拆解学数学的底层逻辑和刷题方法，让你做一道题就彻底懂一类题。也欢迎大家在评论区留下你下期想看的主题，我一定满足。记得关注我，我是教你解题程序的北大堂，我们下期再见！

欢迎大家来到向上教育六年级数学亲子课堂，我们今天要学习的是立体图形。好，我们先来看例题，一个圆柱的高减少两厘米，表面积就减少十八点八四平方厘米。 这个圆柱的底面积是多少平方厘米？要求圆柱的底面积，必须要知道圆柱的底面半径，我们可以通过已知信息来想方设法求出圆柱的底面半径。好，我们先来看这个动画演示， 当高减少两厘米之后，表面积就减少十八点八四平方厘米。来分析一下这个十八点八四平方厘米是哪的面积。好，我们来简单的看一下动画演示。 好，我们会发现它减少的面积呢，是圆柱的侧面积，所以在这我们就知道十八点八四平方厘米是圆柱的侧面积， 有减少的面积是侧面底，还有减少的高，我们就可以求出圆柱的底面周长。所以在这需要大家记住这句话，也就是圆柱的高增加或减少的时候，表面积增加或减少的是侧面积， 有侧面积有高就可以求出圆柱的底面周长。所以呢，用十八点八四 平方厘米去除以减少的高二，就可以算出它的底面周长九点四二 单位厘米。好，有了底面周长就可以求底面半径，用周长除以 pi 除以二，也就是九点四二除以三点一四除以二，算出它的底面半径一点五厘米。 好，再去求它的底面积。 pi 二的平方派就可以了，也就是一点五的平方，去乘三点一四算出它的底面积七点零六五平方厘米。最后我们再写上答， 这个圆柱的底面积是七点零六五平方厘米。 好，所以今天我们需要大家掌握的就是当圆柱的高增加或减少的时候，表面积增加或减少的是圆柱的侧面积。好，同学们学会了吗？