滨海三模2026数学难吗

这次变新区高三三模的成绩出来了，这次三模是咱们的新区统考整体试卷难度来说对比一模和二模来说要简单很多， 是三模应该有的一个正常难度。题型方面的话也比较常规，除了数学可能孩子们普遍犯规，依然有一些这个难度，可能数学上会有一些八校和一模的翻版题型，孩子们会觉得稍难一些。其他科目的整体考察情况还是一个正常三模该有的 考试情况，所以这次三模的考试成绩应该是孩子们正常发挥应该有的样子啊。那么说完了三模整体的难度情况，咱 们再简单说一说咱们汉武一中的整体考试情况。这次汉武一中孩子们复分后的成绩看上来也像是正常，大部分都是四百多五百多的正常分数，总体上来讲这一次复分后不算轻易， 汉沽一中六百分以上有三人，五百分以上有一百一十六人。然后咱们再说说一中整体小光给的一些划线情况，这次汉沽一中 复分后考到五百二十五分，对应汉沽一中是六十五名。呃，小光觉得对标高考的话可以看到一本参考线上线，这次复分扣考到四百七十五分，在一中能够排到一百九十五名，小光觉得四百七十五，未来可以看到高考 公办本科五百分左右的这个样子。这次复分后不嗨听力考到四百三十三分，对标看过一中是三百二十名，小黄觉得这是一个未来对标高考的本科线啊，四百三十三分，这次算我复分后的成绩 啊。这就是一中整体的考试情况，三模的结束意味着离真正的高考越来越近了，最后还有两个半的时间，希望孩子们都能超常发挥，考出自己真实的水平。跟小光聊同学，少走弯路，不纠结，记得点赞关注哦！

各位天津的家长和同学们大家好，我是一名在天津的数学老师，刚考完的滨海新区的呃，这个高三三模的数学卷子呢，已经七年出炉了，老师呢也拿到了卷子，也去仔细的看一看，今天给大家去录一条视频，今天给大家去结合一下咱们前两年天津的一个高考的出题方向，和大家去仔细的聊一聊这套卷子的一个整体的情况，包括这套卷子的一个 难度的排布，还有高考的一个贴合程度。同时呢也给大家去分享一下，在最后二十多天的这样的一个阶段里，如何去使用好咱们这套卷子。首先整体来看呢，咱们这套啊，碧海三模的这套试卷， 呃，题型结构是贴合于咱们天津往年高考的一个出题框架的，咱们再去对比一下前段时间的各个区的模拟卷，就类似于咱们和平的二模呀，还有这个河西的二模，这套卷子出题的风格会更加的平稳一些，没有那种过多的呃偏门的或者说那种贵的题型，整体的难度处于一个适中的一个区间， 比较贴合于县级段的咱们高三学生的一个实际的一个做题的水平。我就不去逐一的去给咱们讲每道题目了，咱们挑选几个有代表性的地方去和大家去分析一下。像选择题部分，大多数呢都是咱们常规练习的一个基础题型， 都是咱们平日里这个高频练习的一个考点，像函数比大小的三角函数，立体几何这类的题型，都是咱们填卷里去里边会常出现的咱们这样的题型，选择题的末尾两道压轴题，设置了一点一点的一个区分度， 难度把控也是比较合理的，比较贴合于咱们平时的一个搞好的节奏的。呃，填空题呢？这个我要主动去说一下。填空题是这道试卷比较有看点的地方，呃， 前四道题型是比较基础的，呃，用来巩固一下，去稳固咱们的一个基础分数是没什么问题。填空题的最后两道属于咱们整张试卷的一个呃，点睛之笔，也是咱们一个区分的一个题型，尤其是像这一个分段函数。像这道题目， 初一的思路呢，很贴心，咱们近几年高考的一个考察的方式，比较侧重于这个数形结合这个一个运用，也是咱们同学们容易丢分的地方， 这个值得咱们同学们去好好的去复盘一下。像解答题的排布也是比较规整的，像解三角形啊，还有这个立体几何，像这样的题型也很常规，很适合去用来咱们平时去练习一些答题步骤。还有这个出题角度呢，也比较中规中矩，倒数的这个压轴体 难度设置也比较温和，不会给咱们学生造成一个过大的一个做题的压力。再客观呢，和大家去评价一下这套卷子的一个呃，咱们滨海三模的这个优势，还有这个小小的不足的地方，整套试卷的一个考点覆盖是很全面的， 就是基本可以囊括了咱们高中阶段的一个呃，高频考点，很适合在考前去用来查去补漏。难度的梯度分布也是比较自然的，从基础题型到 中档题型，再到咱们的一个压轴题型，过渡也比较流畅的，适合咱们同学去用来咱们练习自己的一个答题节奏，还有整体的一个命题思路， 和咱们天津的高考出题思路呢，是比较契合的啊，具备不错的一个参考的意义。小小的不足就是部分的一个题目计算量会稍微大一些，就是比较考验咱们同学们的一个做题的耐心，这也是咱们考试中会场遇到的一个情况啊。最后呢，重点和同学们讲一讲该如何去利用好咱们这套试卷。 第一点呢，首先就是建议大家抽出来一个完整的一百二十分钟时间，去进行一个现实的练习，去按照咱们高考的考试的标准去完成，咱们不中途去查询资料呀，以及看自己县级段就是未来咱们一定要看清咱们县级段的一个真实的水平 啊。第二呢就是哦，做完之后咱们不要说就是简单的去核对答案就完事了，咱们要做好这个错题的一个整理分清，是知识点掌握不牢，还说咱们计算粗心，或者说是咱们解析的思路方法有欠缺，咱们去针对性的去弥补一下啊。第三呢就是临近高考阶段吗？还有二十来天， 嗯，不建议再去刷各类那种冷门的题型，就是类似于咱们碧海赛马这种质量还不错的呃，模拟卷，模考卷，咱们可以去认真的去吃透几套，会比那种盲目的去刷题的效果要更好一些 啊。第四就是大家可以借鉴一下这套试卷的一个答题的节奏，去调整一下咱们县级段的一个做题的习惯，然后好运用到咱们后续的一个正式的呃，一个考试当中 啊。综合来说呢，咱们滨海新区这次的一个三模的数学卷，呃，质量还是挺不错的，是一套质量很不错的一个模拟的试卷，很适合咱们二六届咱们天津的高三的孩子在这一个冲刺阶段，冲刺复盘这个阶段去使用。 咱们各位家长和同学，咱们想要咱们滨海新区三模数学这个圆卷的，还有这个参考答案，还有以及这个评分细则的，各位家长和同学可以给老师点个关注，然后可以去私信老师联系咱们老师后台的小助理就可以领取了。咱们今天视频就先剪到这了。

一模、二模、三模哪次最接近中考成绩？一模难度高，一轮复习刚结束，学校为了压一压学生的浮躁的心态，体会出的相对偏难，所以考砸了也不用担心，代表不了什么。 二模难度其实是最接近中考的，大部分同学知识体系已经很完善了，考试的心态也趋于稳定，所以二模的成绩最能反映出中考的真实水平，哪怕成绩不理想，也千万不要放弃。模拟考试只是模拟，主要的作用还是检验我们是否真的做好了查漏补缺。 中考不到最后一刻，不要放弃三模主要为了调节大家的心理状态，所以题目难度呢，不会很高，主要是让学生适应考试的流程，稳定发挥。三次模考的作用其实都不一样， 一模看名次，二模看分数，三模看心态。相信咱家孩子一定会把最好的一次成绩留给中考，考上理想的高中。

今年的三门考试呢，我个人感觉啊，并不像往年那种，就是给你一个定心丸那种感觉。三门考试呢，按照我们传统观念，都觉得都到最后了，赶紧简单点吧，给考出信心吧。只是过去是那样，但是现在呢，好像给我们的感觉就是在稳中求进。 你比如说像滨海新区的三模，前面的选择题，其实都是套子题，就这些东西，你会感觉跟仿长变的都差不太多。然后填空题呢，基本上也是各区大多数模拟题出的那个意思。那么值得一说的呢，其实就是在滨海新区三模的十八题和十九题， 也就说第十八题圆锥曲线这道大题的最后一问。这一问当中呢，他问的是以 m n 为直径的圆，与 x 轴相交的弦长为定值。好多学生包括学习不错的孩子也问他这个，问怎么做的时候， 他没有想到用这个数量机为零去操作，他们更多人想的是，那就找到这条直径的终点，就是圆心。然后呢， 算出来， m n 的 弦长作为直径，有了圆心，有了直径就有了半径的，于是把圆方程建立起来，然后再去搞根 x o 相交那弦长。大多数孩子是这么做的，但其实这道题最为简明的做法就是用 数量即为零百座，而这个现象恰好就是在二零一四年的天津卷曾经就考过这种思想。所以我就说这一问，滨海新区的三模这一问，实际上是二零一四年一算，这都有十来年了，是十年前的一个翻版。再来说说他的第十九题，十九题的初恋这道题， 这道题的二三问搞的是非常棒，尤其这第三问，有的人看那个答案给他通分通回去都不太好回去。就这道题的第三问，的确有他的创新之处，没做过的人好好接触一下，我觉得能够让你们特别佩服出题人 呦。另外呢，这道十九题梳理的第二问，他恰好考察点主要就在于这个 sigma， 他 给你的这个 sigma 的 底下这个标 i 从 k 开始，不是从 e 开始。 如果你想把这个问题做的比较简化的话，它是需要你把 i 从 k 开始转化成 i 从一开始，这就需要你先把 sigma 先给它罗列出来，先给它列出出来，找出里的规律，再转化成我们刚刚所说的 sigma 底下 i。 从一开始这道题其实相当于我们计算机里面编程里的二重循环， 所以有的人如果说学过 c 语言，再看这个东西，他会有一种恍然大悟的一种感觉。总体来讲吧，滨海新区呢，三模值得一提的其实也就是这两道题，我觉得这两个题咱们考生如果说你的时间有限的话，一定要好好的去研究一下，相信你能够获得意想不到的收获。

今天呢，我们来看一道滨海高考三模的数学里边一道综合性比较强的题目，相对于和平三模来说呢，感觉这份模拟测试卷啊，它的难度更加贴近于往年天津高考所考的内容。 我们来看一下选择题第八题，这道题考的三角函数图像和性质，与之前的模拟考和高考的考点差别在于，这道题有一定的创新性，它结合了 f x 的 绝对值 啊，像这种条件呢，对于许多学生来说是比较困难的，那么我们做这种综合性较强的题目，最重要的就是分析清楚每个条件，以及他和我们在课内所学的知识点的一个连接。嗯， 找好这个列减，那你就可以呃，顺其自然，得心应手的做这种函数题了。我们来分析一下条件。第一个，首先 a 肯定是二啊， omega 是 二倍的 omega x 前面系数啊 five， 这都是很常见的三角正弦函数图像题。 那么重要的条件啊，对 x 满足的绝对值这两个等式呢？首先第一个， 第一个 f x 的 绝对值如果大于另一个的绝对值，我们需要想的是 f x 的 绝对值本身，它指的是函数的最高点与最低点的绝对值，也就是最大值和最小值，正常来说就是我们的 a 的 绝对值了， 那么这个 a 的 绝对值它是大于等于 g x， 如果把 后边这个绝对值当成 g x 的 话，那说明这个 g x 是 要小于等于 f x 的 绝对值。那我们知道绝对值都是一个非负性的东西，所以也就是说，后边这个 f 六分之五 pi 的 绝对值，它是零， 因为我们的一个绝对值 x 绝对值是要大于等于零啊，这个呢，好多同学不大理解，其实你就把它当成一个数值来看，那我绝对值大于等于谁呢？韩成立，那肯定是大于等于零了，因为我不可能是负数， 所以六分之五派才是我们这个函数 f x 的 一个对称中心。三角函数的对称中心就在这里看啊，有好多觉得它是啊， 对称中心或者是对称轴都找不上来，或者是最直分不清楚。那么你需要把它的啊，整个 g x 拎出来看，把它当成另外一个函数， 那同样的道理呢？ f x 如果小于等于，这就说明这个函数的绝对值最大，最大的话或者是最小，因为是绝对值，两种情况，要不上要不下 最值，所以这样的话， f x 就 小于等于 g x 的 绝对值，那我们的 g x 自然而然就是最值了，所以十二分之十三派就是最值，那最大值或者最小值都有可能，但我们得知它的一个对称轴是十二分之十三派。 由这两个式子接下来的处理办法也比较多，可以用公式把对称中心和对称轴的一个式子 解出来。欧米伽啊，像这种计算呢，计算量比较大，我一般推荐的是高考的时候，时间没有那么多，可以简单画个图，因为他说的是 一个是对称中心啊，六分之五派，一个是对称轴，十二分之十三派，根据他俩这个差别不是特别大。那我们又 根据 f x 单调递增的这个区间，十二分之七派到啊，整个派上是单调递增的，所以我们自然而然可以画出来这一段单增的图像，画出来图像之后，我们就得到了零点和最值这四分之一个周期，那这个周期和整个的 啊，递增递减的性质我们就都可以判断出来了。也就是说从这个画图中呢，我们可以得到 omega， 它就是一 啊， omega 是 一啊二， omega 自然而然就是二，也就是我们最熟悉的二 x 加 five 的 问题 啊，那它的周期就是 pi， 然后，呃，根据这个我们就能求 pi， 求 pi 呢，之前也强调很多遍了，一定要带的是最值，所以把十二分之十三 pi 给它带进去，带进去 omega 是 一整个函数，解析式可以求出来 pi 是 三分之 pi， 然后最后根据 x 的 区间求二 x 加 five 整个啊区间。尤其要注意的是，当你求完了之后啊，如果画出图像三分之派到四分之五派上， 是啊，这个单调性，那求它的最小值的时候，我们看到最小值已经是 f 四分之五派了。好多同学分不清楚这时候的 x， 其实它就是最后的 sine 括号里边的东西，而不是说把四分之五 pi 再带进去，二 x 加上 sine 里边再去求一下，因为这个已经是它 啊整个函数的图像的一个缩解图啊，所以一定不要再重新带回去，不然再重新带回去可能就算错了。那这样子的话啊，四分之五 pi 的 sine 啊，比较简单，二分之根号二，然后也是负的一个结果。 所以根据这道题呢，我们就能看到，如果高考要考三角函数的话，难度就和这个差不多，只不过要分析一部分条件，找到它的对称轴和对称中心，也就完全可以解决此类问题。

今天是？嗯，三模，就是高中三模考试下成绩的第三，第二天。对，第二天。其实怎么说呢，这次三模考试考的又很不理想。嗯， 我也难过了很长时间，就比如说刚下成绩那天，我看到成绩那一刻，我整个人都是傻傻了的，整个人就是呆住了的感觉，脑子里有炸弹炸开了一样。我看那个成绩单我自己都不敢相信，你知道吗？我自己我真不敢相信。怎么说呢，我高三那年过的不是很顺利，因为从一模考试啊。因为一模考试是年前吗？就是上学期考的， 因为考试考了十九名，在我们班就是怎么说呢，也没有很差，也没有很好，因为和之前对比的话，之前十五十六的那个名次比的话还是稍微往后了一点，然后现在比的话十九也挺好的了。但是十九名好像是当时没有进重点， 然后那个开学的时候班主任就说之前该进重点，就是带重点标的，如果你没进重点的话，开学的时候就要站一周嘛。然后我当时紧张了一个寒假，然后后来发现他给忘了还是怎么着给我站了好像。然后呢？二模的时候啊，对，二模也没考好，就是一二三模都没考好，就回回都往后退，一直在往后降名字一直往后退，我当时真的很焦虑，因为一模的时候考了十九名，我们班是有 五十五，五十五左右吧，五十五个人左右，然后第一次一模考了十九名，第二次考了二十七名，但是这个打击力不小，因为从十九到二十七，你想想二十七马上都三十了，然后就很焦虑，但是考成绩的时候我很不相信，我当时以为那个二十七是因为从手机上查的吗？我当时以为二十七班的呢，然后以为是我的班级，我觉得我不能考那么差吧，发现确实是我的零次，然后 我以为再怎么差也不能再比二十七更差了吧，然后没想到三模直接给我一个致命打击。三模的时候距离高考还有二十多天， 二十多天了，就是感觉所有人都觉得三门成绩肯定就是你高考和你高考成绩最接近的一次，但是呢，我又一次下回时长又没考好，这次不仅没考好，而且考的还是最差的一次，是我入班以来考的最差的一次，考了 三十六名，我自己都不敢信，因为之前的成绩的话比较靠中上游，然后我去一般看成绩的话就是比较喜欢从上面往下面找，就是找自己的名字啊什么的，然后这次往下找的时候我，哦对，其实我考试之前不那个下成绩，之前被答的时候感觉考的还可以，就是和二模差不多，或者比二模更好一点，但是并没有，因为我在看我的成绩。嗯， 从下往啊，从上往下看的话，看到我们名次就是那个名单一半的时候，也就是中上游以上的时候，发现没有我，我当时在想我是不是漏掉了，然后我又回去又看了一遍，发现还是没有我当时有点崩溃，有点接受不了， 因为我觉得现在都已经就是中往下一点，还是没有我的名字，然后我当时有点害怕，有点害怕，对，然后就继续往下看嘛，然后往下了，就是往下一截了，还是没有我当时我就想哭了，你知道吗？后来就发现我快成倒数了，就是我们班考的应该就是五十五个人左右，我考了三十六名， 我记得我入班的时候，因为高中的时候没好好学嘛，高中的时候根本没学，然后就我记得我刚入这个就是到二十分班之后，刚入这个班是最差的一次，是三十四名，我没想到高考最后就是高考前最后一次这样的考试，我考了三十六名， 就比入班就是刚入班不学的时候考的还差，就是我当时对其一个否定呢，就是对自己脑里除了对自己能力的怀疑，已经没有别的想法了，就是觉得我怎么回事，我怎么到了高考这个关键点了，我怎么越考越差？因为一模的时候十九名，二模的时候二模的时候，三模的时候三十六名，一直往后降，一直往后降，但是平时模拟考就是我们的小考周测什么月考的那种，就考的还可以，就是十几年的水平， 然后我在怀疑我是不是适合大考，因为我大考的时候容易紧张，我不知道为什么紧张，然后就是平时的小考比较放松嘛，然后我就觉得我应该是意志力不行， 然后在想怎么提高这个应试能力，但是呢，发现到现在三模了，还是没有提起来，然后现在正焦虑的是因为没有，因为就是从三模到高考已经没有很正式的考试，剩下的都是自己的小考啊，什么都不重要，不正式。然后在想我已经没有机会了，我心里已经没有退路了，心里又没有机会去选择那种高压下的那种。嗯， 备考状态，考试状态了，我怀疑他考都考不好，但是我高二的时候每次考试都能考好。嗯，高二的时候我记得期中考试是我考的最好一次，考了第十一还是十二名，因为我成绩不是特别突出，我觉得十几年就靠近前十二名，因为我现在距离高考还有二十四天。然后呢？我现在就很焦虑。焦虑到什么程度呢？嗯， 焦虑到我也说不上来，就是每天不想上学，每天很厌学，去了学校之后除了打瞌睡犯困，就是上课集中不了注意力，走神啊什么的，就是一点学习的热情都没有，因为我现在的每次考试都在往后推，给了我很大的打击，所以就没有学下去动力那种感觉。嗯， 哦，对，因为我去年的时候。什么时候有这种感觉呢？是第一次是在去年，就是二零二五年十一月中旬，嗯，也就是十月十五号的那天，我突然感觉到自己身体就是不是心理上，但是心理上也有，就是身体上嗯， 突然出现了一些不适感，就比如说，嗯，就是胃很胀，然后肚子也很胀，就是每天就是感觉肚子里面有很多的气一样，就是很胀，然后头也痛，头也疼也晕，然后肩膀也酸，因为每天写字写的嘛，写字就穿穿的鞋，然后这个肩膀就很痛，然后那段时间不知道咋回事，全身都疼，然后有点内分泌失调啥的， 就是不仅外部疼，然后里边也难受，就是心里也难受，每天都是提不起精神，就跟抑郁了一样，就差不多那种很抑郁的状态，不想跟人说话，然后话也变少了，因为我之前都说就是一种，就是一个比较开朗的人，我是一个，然后跟我同学呢，我的话就是每天的话都很多，然后那段时间就感觉他们也能意识到，能感觉到我是有点变了，就是话很少，下课也不想说话，不想笑啥的，就提不起精神来。 那段时间我真的感觉我天呐，就每一天起来的时候，那个尤其早晨起来，早晨起来肚子胀的，我天，我受不了了，就是感觉那个胃和那个就是我也喜欢不上来，就是这边吧，这边肚子和胃之间那个就是那个气体在咕噜咕噜的那种，一直在传，传过来传过去，然后就很难受， 然后嗯，这是最难受的。嗯，这一个感觉的话一共持续了五个月。对对，这五个月我真的我觉得自己很厉害了，因为五个月我扛过来了，嗯，然后再加上嗯我自己觉得我心理素质很强大，但是并没有。嗯， 回回考试的时候看到那个成绩心里都会难受很长时间，很长时间，就是最后的时候跟自己和解，需要很长时间去接受这个结果。然后这次三模考试成绩下来的那天，嗯，是 嗯大课间的时候看到的成绩。然后呢？当时看到成绩的时候，嗯，距离上课距离第八节自习，第八节就是一个小时的数学自习，距离时间还有五分钟吧，然后到了那节数学的时候，我一个题都没做进去，我脑子里全是在想那个，然后想着想着呢，眼睛里就我就觉得充满了泪水，然后就。 嗯，对，下午理发姐是要去吃饭，就是晚饭空，然后到食堂我就绷不住了，就直接在我同学面前哭了，他们在食堂我在哭，虽然我觉得对他们的心情来说很不好，然后破坏了他们的心情， 我觉得很抱歉，然后我觉得当然他们也很关心我，安慰我，给我买好吃的，所以我没有那天没有吃饭，因为难受的不行。然后那天吃完饭回去之后第一节写上的语文，他发了一张题，我觉得是我一个题没有做，我当时很难受很难受，当时回去的时候还在哭，然后就随便拽出一张纸哐哐哐在那发写我什么？嗯嗯，写心里的难受啊，把那些抱怨的话全都写在纸上翻译出来，哎， 现在那张纸还在我这洞子里，然后准备过几天把它拿回来。嗯，然后就是这样，我觉得最后这二十几天，二十三天，二十四天了，一般这时候最后的时候嘛，不都学不下去了吗？很浮躁啊，什么现在就这个状态？然后我在想我那五个月我都扛过来了，就这二十几天我为什么扛不过来呢？然后我同学，我同学跟我说什么一次考试而已，不能定义我们，虽然我很焦虑，我很焦虑，我那个 这次考试没考好，上次也没考好，哎，我们班主任说我们班这次集体成绩都很好，我们班主任就说，嗯， 考得好的同学呢，嗯，是一次好的预兆，高考的胜算也就更大一点，然后考得不好的呢，也不要气馁，就是高考的变数很大嘛。但是我在想你现在的话就是他一直在给我传递一种我一直我现在是越考越不好的那种信号，然后导致我现在一直在折磨我这种想法，然后导致我的信息一直在消退，然后我一直越来越不自信，然后就很担心，很焦虑，很焦虑，现在高考该怎么办？ 哎，怎么说呢，只能说是这样吧，然后再努力啊什么的，差不多最后就二十多天了。

本次课呢，咱们说下这个合并三模的这个数列体，他这个说要 a 一 a m 到 a m 先画个圈，对吧？咱们先画个圈，然后后面你看这个先是算 ak 减一，到 ak， 对 吧？说明 ak 和 和 ak 减一是在这个 a m 之间的这个数，对吧？咱们画一下啊， a 一 a 二画圈， 然后到这个是 ak， 嗯， ak 减一，对吧？ ak 减一，然后再来个 ak 吧，然后下面应该还有一个 ak 加一，对吧？你看这还有 ak 加一，咱们把这个能说的都说出来啊，然后后面再继续画圈，往后接着画的话，再到 am 减一， 还有 am， 对 吧？所以的话这样可以形成一个圈，稍等啊，给他稍微给他画好看点， 对吧？这样的话就可以形成一个圈了，那这样的话，咱们就是一个 a 一 到 am， 然后中间的话会有 a k 减一， a k 和 a k 加一这一项，对吧？那么那么看，他说 a 一 到 a k 这是一个等差，对吧？所以说我呢， a 一 到 a k 这样转就是一个等差了，对不对？ 然后呢，我要是 a 一 a 一 a m a m 减一，注意他为什么这样是倒着说的，因为他是从这么往后走的，对吧？你一定要画个圈才能理解，你要平着画，那是理解不了的啊，所以的话你一定要画圈啊，所以的话，他到谁呢？到 a k 都是等比，对吧？ ap 呢？就是等差，是这意思，所以的话他说这个这就完了啊。第一问， 那来咱把这个圈复制一下，然后咱们按照这个圈呢去写通向就可以了，咱们不要再平着写了，平着写的话是没法理解的，不好理解，来啊，那咱们先看 他说这一圈是等差式，对吧？ a 一 到 ak， 所以 的话呢，你首先这个 an 等于 n， 你 这里是不是可以写个通向，对吧？这里的话，这是一二一直到 k， 对 吧？但你看后面说的 k 等于九了，说明他这个应该到九就结束，对吧？所以就是 写在 a 九吧， a 八就不写了，这是九，对吧？这样 a 一 到 a 九都是一个等差式 a n， 然后再往后他又得倒数了，对不对？你 a 一 到 a k 的 话，所以的话，你 a 一 的话，这块是一，然后下一个公比是三，这得是三，对吧？然后这得是三平方，对不对？那就是九吗？对吧？这就是九啊。 所以的话，你看他俩要重合，对吧？哎，你看啊，他俩 a 一 到 a k， 这是一个等差列，对吧？然后 a 一 到 a k， 他 也是个等比数列，就就这样转倒着转啊。那所以说 a k 的 话，他是满足两个等，两个通向，对吧？他这个又得满足等比，然后这个又得满足等差，对吧？所以的话， 呃，你如果这个时候如果是等比能和等差转到同样的一个值的话，说明他俩应该要重合，对不对？ 所以的话，你这个时候是不是有一个 a m 减一等于 a 九啊？他应该就到这里就停了，对吧？他应该本来就说 a 一 a m 减 a 一， a m 减一到，其实 a m 减一就是 a 九，然后这就应该是等比就停了，对不对？总共就三项，所以的话呢，你这应该是把这段图了啊，都图了， 呃，应该再把它这个这样吧。呃，这个咱们重新画个圈吧， a 九，对吧？ a 九的话，下面还有一项，这是 a 十，对不对？然后这就形成一个圈了， 那么这个呢？是咱们等比，然后呢，这个是咱们的这个等差，对吧？所以的话呢，你现在，呃，你要求和的话，这个应该是什么呀？你就给他加一遍，不完了吗？对不对？给他这样，呃， a 一 a 加到九，然后加个 a 十，不就完了吗？对不对？所以说你这个 s m 的 话，总共就是 a 一 加 a 二加到 a 十，所以的话，当然这你可以解出来是 m m 减一等于九，对吧？ 总共就十项，然后的话你就是 a 加到 a 九的话就是一加到九，然后除二，然后再加一个这个 a 十，自己的话不就三吗？对吧？ 这样 a 加 a 九，对吧？然后加个三就完了，对吧？所以说你这样自己求完，这不就是十，然后五，然后四十五，再加三四十八吗？对吧？哇，这是咱们第一问啊，然后看第二问， 那第二问咱们也照这圈画就可以了，对吧？第二问咱们也照这个圈画，他说，呃，给了 a 一 和 d 了，然后那就是整个他给通向都给了，对吧？通向都给了，所以的话咱们照这接着画啊。 那么这个呢，是首先画个等差，就是 a 一 到 a k， 对 吧？ a 一 到 a k， 所以 的话这个画里面首先这个 a n 的 话是， 呃，我，我先不写 d 吧，我先不写 d， 好 吧，我，我就先把这个它原本的形式写出来， 首先他手相是二，对吧？手相是二，然后的话他 a 二的话就什么二加 d， 对 吧？我先，我先不带这个 d 零二啊，我先这么写，然后再往下一直写到这应该是二加 k 减一倍的 d， 对 吧？ 这个有点小啊，这地这 k 减一倍的 d， 对吧？ k 减一倍的 d d 啊，然后的话，这样咱们里面就转完了，然后再转外面，对吧？转外面这个呢？首先还是首先是二，对吧？首先是二黄色啊， 然后再下一项，不得是二 q 吗？对吧？二 q， 然后这就是二 q 方，对吧？往后，往后转到这个 ak 的 时候，对吧？ ak 的 时候应该是什么呀？你看这个咱不能用一减 k 啊，不能这样写，咱们得是 m 减 k， 看一下他俩之间隔多少向，对吧？因为一不能体现出他俩是这个隔了多长，对不对？ 一一减 k， k 减一的话，得是他告诉你这么多，是告诉你这么个长度，对吧？那你还得去总共的 m 减 k 了，当然怎么样都行啊，怎么样都行。 m 减 k 的 话是多少啊？ m 减 k 是 说明这个， 呃，你们之间隔了多少项，对吧？你们之间隔了多少项？所以的话，比如说三到一，三到一的话，你三减一的话是隔了两项，对吧？是刚好是不是一二一两项，所以的话你 m 减 k 的 话，说明这里是 q 的 m， 呃，减 k 隔这么多项，对吧？但是注意啊，你是二，你是从二 q 这里隔的这么多项，对吧？所以说你这里还在怎么样？乘二 q 对 不对？乘二 q， 所以 的话，你 乘二 q 的 话，你再把 q 给它放上来，对吧？你可以再给它写上二的 m 减 k 加一，对吧？就是这个 ak 这项，对吧？所以的话，你这样正着写一遍，然后反着写一遍，那就是整个的通项都找到，对吧？所以说你首先就可以得到第一个等式，就是 ak 要被表达两次，对吧？有所谓的算两次嘛，它俩它又是可以等差得一次通项，然后等比也得一次通项，对吧？ 那么 a k 呢？等于二的二加 k 减一倍的二，对吧？现在我要把公差带进来，对吧？公差带进来，然后它呢？又等于二的二的 m 减 k 加一， 对吧？因为我这个时候他不说可以说 q 和 d 都是二吗？对吧？都带进来了，所以说我的这个就是可以约个二吧。好吧，先约个二，所以说你这个就是 k 等于二的 m 减 k 加一，对吧？所以你这会有一个非常强烈的感觉，就是 能不能三面分离，对不对？三面分离，咱们把变量分离一边到一边嘛，对吧？所以说，那你把这个减二，这二的负 k 次方，不就是二的 k 减一次方分之一吗？你把它乘过来，对吧？所以说这是 k 乘二的 k 次方等于二的 m 加一次方，对吧？也就说你要保证这个等式呢要，呃 呃，时刻成立吧？时刻成立，那他说 m 小 于二零二六的时候，那你就想这边不就是可以小于二的二零二七次方，对吧？二零二七次方，所以的话呢，呃， 他是给了你一个上界的放缩，那就是二零二七，对吧？ 好了，那所以说你就把这个这个不等式解一下嘛，对吧？把这不等式解一下就可以了啊。你发现这块这个 k 乘二的 k 次方，它要等于这个的话，说明怎么样？你的 k 一定是个二的倍数，对吧？ 所以的话，它一定是这个二的一次方，二的二次方这种的形式，对吧？它不能带有什么三乘二的一次方，这肯定不行，对不对？不行，所以说它一定 k 是 二的二的这个倍数，比如说二的指数，对吧？那现在 k 要是二的倍数的话，那你， 呃，你就卡一下这范围不就好了吗？因为这边是单增的啊，这边是单增的，所以说你看这边咱们叫成，呃，啊，这有叫 c 吗？没有叫 c c k 的 啊，咱们叫这这边为 c c k 吧。 又因为 c k 单独绿灯，咱们卡一下这个，什么时候这个 k 超过这个值，什么时候 k 小 过这个值就可以了，对吧？所以说你肯定注意到 k 等于二的十字方的时候， 也有说二的倍数吗？对吧？所以说二的二的十字方的时候就是二的二的二的十字方，对吧？这是二的，呃，二的十字方，这是什么？一零 二四，对吧？一零二四，然后加上十的话，因为你这个指数乘不得加在一起吗？对吧？一零三四，对不对？所以的话，你看这个是小于二的 二零二七的，对吧？所以的话，那你这个时候不就可以成立吗？那你就再找一个他超过这个值的时候，对不对？那肯定是二十一次方，大概就超了，对吧？二十一次方乘二的二的十一次方，应该就是二的二零二零五九，二零五九， 对吧？二零五九，那肯定是大于二的二零二七的呀，所以说那就不满足，对吧？那就这个成立。所以的话，那你把把这个卡点给卡下来了，所以说那就 k 的 最大值的话，就是 二的十字方，对吧？二的十字方，所以的话，那 k 的 最大值的话，你有了，那你是不是你想找一个这个 m 最大值的话， 呃，直接直接让它相等不就好了，对吧？这样子让它直接让它相等啊，所以说那这个就是二的十字方乘二的二的十字方等于二的 m 加一，那刚刚这是二的一零三四，对吧？等于二的 m 加一的话，那这个 m 不 就等于一零三三吗？对吧？一零三三，因为你的这块 左式是一直单调递增，对吧？你右式也是单调递增的，你如果保证右式的这个地方是能有最大值的话，你必然是在在右边这个地方，它也是一个最大值，对吧？ 因为你单增的话，你函数值越大，它对应的这个横坐标越大呀，对吧？所以说你 k 越大，所以说导致的这个 m 越大，对吧？所以说，那一定你要这里注意，要是 k 越大，所以的话就会导致 m 越大，好吧， 好啊，那这样的话，咱们这个，呃，当然是下面这个，下面这个 这个，好吧，那咱们是第二问啊，然后咱们再看第三问啊， 那么第三问呢？咱们也同样去用这个画图 来啊，还是画图，那咱们还是一样照着写一遍这个通向，对吧？照着写一遍通向。这回呢？啥也没给你的吧？就给一个，就给了一个 q 等二，那就是咱们也带 a 一 和 d， 然后 就两个参数的吧，带参数写就可以了，所以说呢，这个咱们顺着这样先写公差，这个等差数在这边就是 a 一， 然后 a 一 加 d， 嗯，然后的话，这个 a k 减一，我就不写了啊，这块是 a 一 加 k 减一倍的 d， 对 吧？然后的话 当然就对应 a k 啊，然后这样倒着写一遍啊，倒着写一遍的话，就是什么？你这边是 a 一， 然后的话，你这是二的一次方乘 a 一， 对吧？这样吧， a 乘二的一次方， a 一 乘二的二次方，对吧？你这样顺着顺着写的话，咱们刚不把这 k 的 通向写出来了吗？对不对？是 m 减 k， 对 吧？ m 减 k 二倍的，当时是用 am， 然后乘上一个 q 的 m 减 k， 对 吧？那就是 a 一 乘二的 m 减 k， 对 吧？当然这 a k 加一我就不写了，这块写省略号吧。 所以的话，它就等于什么呀？ a 一 乘 二的 m 减 k 加一，对吧？是不是可以了？这块写的有点难看啊， 对吧？这样就可以了。所以的话，你看又是这个 a k， 这里咱们有两次表达的句子，对吧？这是算两次嘛，对吧？算两次啊。 所以的话，呃，咱们对这里的话， a k 呢？做一个等式就可以了， a 一 加 k 减一的 d 等于 a 一 乘二的 m 减 k 加一，对吧？所以的话，呃，你现在要让这个式子它俩求和相等，比如说它要从 a 一 加到 a k 减一，对吧？加到这儿，嗯， a k 加到 啊， a， a k 加到 a k， 啊， a 加到 a k， 啊， a 加到 a k， 那 这样的话，就是咱们等杀率就会变吗？对不对？咱们等杀率的话，这边 a 加到 a k 的 话，就是 a 一 加， 呃，你这式子不能不用，对吧？嗯，咱们都换成这个时候，可以啊，对吧？你这个式子可以让它 a k 的 话，就让他直接表达成 a 一 乘上二的 m 减 k 加一，是不是可以啊？咱们就在这里用一下呗，对不对？然后呢，再乘上一个 k 项，是不是可以了，对吧？然后的话，咱们 a k 加一也加到 am， 对 吧？那这样的话，你得看这个 a k 加一和到 am 之间有多少项嘛，对不对？所以说 啊，咱们是不是可以用末减少再加一啊？对吧？为什么？因为你可以咱们举个例子，比如三到一，我现在只想让你三和一给我凑出来这个三到一有几项，对吧？ 那就是三减一，三减一的话，是对应哪个？是对应的二一这两个项，对吧？然后咱本身三没算，对吧？你再算上加一本身就可以，对吧？所以这不就是末减少再加一嘛，对吧？末减少再加一，所以的话，总共来说这是一个 m 减 k 加一再加一的这些项，对吧？一共这么多项，那就是 m 减 k 嘛，对不对？ 那就说咱们用等比数学求公式的话，就是二减一，然后二的 m 减 k， 然后减一，然后你乘的这是谁啊？你这个乘的这个手相的话，应该是 am， 对 吧？这是从 am 来，呃，这个二 a 一 来的，对不对？ 对吧？所以这样的话，咱们再看，他说这个要是三倍相，三倍的关系，那所以说，那咱们复制一下啊， 这个要等于三倍，这个，对吧？所以说咱们可以首先的话约个 a 一， 对不对？约个 a 一， 然后呃，这个二咱们再乘过来，这个是一，对吧？那就这个是十， 呃，十二，十二，所以的话就是一加二的 m 减 k 加一，然后再乘上 k， 然后等于十二倍的二的 m 减 k 减一，对吧？ 这样的话，咱们看这个是个等式的话，这一般问的什么问题啊？看他问的是存在，对吧？存在性问题，然后你看这是 m 和 k， 它有关系的，所以说这个 m 和 k 有 关系，所以说它要存在的话，它也得存在，对吧？所以说就是个存在 mk 的 一个任意性存在性问题，那任意性存在性问题的话，咱们一定会涉及到这个什么呀？整除 余数，对吧？整出余数，那你看这边的话，这个这块是个基数，对吧？那这边的话，但是不知道咱们看右边，这是一个基数，对不对？那这边是个偶数吧， 所以说这一定是 b 为偶数，对不对？那你肯定想问，这怎么就是基数了？因为这是偶数啊，对吧？你偶加个 e， 这一定偶加个 e， 这一定是个基数啊，对吧？那这边呢？这边是偶 减一，这一定是个计数，对吧？所以说这一定是个偶乘积，偶乘积，对不对？所以说你 k 一定是个偶数， 当然呢， k 位偶数还不够，对吧？因为 k 的 话能等于二四六，一直往后能走无穷，对吧？所以说，那你还要把这个 k 的 范围再限制一下，那怎么限制呢？咱们一般通过放松或者是通过极限来这个 呃所有他的范围，但是这题呢，极限并不行了，对不对？因为他这是存在 m， 对 吧？所以咱们只能只能通过放松了，放松的话，咱们看怎么放松呢？你看这两个形式是不是很相近，对吧？我让他除下去，是不是可以啊？所以说你看这是呃， k 等于十二倍的二的 m 减 k 减一，然后除上二的 m 减 k 加一，再加一，对吧？所以的话，你这样的话，这个式子咱们上，因为你这个最高次的话要加一，对吧？所以说这时候乘二，然后这个再乘二分之一，对吧？ 乘二分之一 m 减 k 加一， 再加一，所以的话，你这个时候呢，这块是不是可以呃分离常数了，对吧？你这边加一，再减个一是不可以了？你这边减三减三，对吧？然后加一的话，这边约出来是一个二分之一，对不对？这句话，这是一个十二倍的二分之一减三倍的 一个地小啊，拿过来 二分之一减三倍的二的 m 减 k 加一，再加一， 对吧？所以的话，你这个地方是不是可以放松一下，对不对？这是小于二分之一的呀？所以的话，你这个地方不就整个来说是小于 十二乘二分之一的吗？它等于六啊，所以你看这不就是 k 小 于六吗？然后 k 还为偶数，对吧？ 你看 k 还有偶数，所以的话，到这来说的话，不就是 k 零等于二四吗？但是注意啊，注意，咱们上数只是通过放松和找必要不充分的关系，咱们这个关系找出来，对吧？所以说你还得自己带进去验证一下，对不对？所以的话咱们还得这个 k 零二，这样就是 必要不充分，对吧？这是必要不充分啊，所以还自己验证一下。那 k 零二的话，这是 带进来带到这来的话，对吧？因为他俩上下等价吗？对吧？带这来的话，这是一个 k 零二，然后 k 零二的话，这是二等于十二，然后乘二的 m 减 k 加一，再加一分之二，这是减 k 啊，这是 二的 m 减一，对吧？然后呢分之二的 m 减二，再减一，对吧？然后的话这块的话咱们约个二十六，然后呢把它再乘过来，这是 二的 m 减一加一，等于啊，这六，对吧？你得让次数相同，对不对？所以说你再乘二进去，那就是三倍的二的 m 减一再减六，对吧？然后的话你这个再给它呃通分，呃，给它 合并成一项，这是一个变成二，对吧？这二，然后这边过来日期啊， 所以的话，你看这是什么？既不等于 o， 对 吧？所以说矛盾啊，矛盾，对吧？矛盾。那这样的话，呃，咱们还有个 k 等于四，对不对？ k 等于四，看，这能成立吗？ 四等于十二乘二的 m 减看， m 减减三， m 减三加一分之二的 m 减四减一，对吧？那这样的话，咱们约个三下去，呃，这个乘过来，那就是 二的 m 减三加一，等于三倍的二的 m 减四减三，对吧？那你这样的话啊，他俩保持同次数的话，那这个提个二出来，对不对？提个二出来就是二的二的 m 减四，对吧？ 嗯，这个过来的话，就是一倍的二的 m 减四，对吧？然后这再过来就是四，对不对？这就是四等于二的 m 减四嘛。所以说你发现这是 m 等于几啊？六就可以，对吧？ m 等于六，那一致定的话，这个 m 等于六的话，那就是 k 等于四， m 等于六，比如说它存在一个 k 等于四， m 等于六，这一组解，对吧？所以它就整完了啊。

初三的一模考试、二模考试、三模考试，哪次最重要？哪一次离咱的中考的成绩最接近，这是现在我们九年级的家长啊最关心的问题，那么今天我给大家直接梳理清楚。 首先是一模考试，一模考试他的题目相对来说比较难一些，一轮复习刚结束，那么孩子的知识点还没有完全的整合，学校为了督促咱家孩子能够尽快的进入这个冲刺的状态，那么调整咱们孩子浮躁的一个心态，所以说题目相对出的比较难一些， 那么如果咱家的孩子一模考试没有考好，反而是件好事，能够让孩子抓紧时间查缺补漏，这个时候哈完全有时间来得及查缺补漏，立刻调整状态，依然有机会考上自己理想的高中。记住一句话，一模不用丢分数，重点看年级的名次。 那么二模考试一般会在一模考试的三十天左右，也就是现在这个时间，那么孩子已经完成了系统的查缺补漏，那么这次基本上就是孩子最好的一个考试状态， 所以说二模的出题难度比较适中，他的题型，他的试卷结构，他的考试的节奏，都高度的贴合正式的中考， 那么也是三模考试里面最接近中考成绩的一次考试，不管是公分高中还是志愿填报，那么二模的含金量都是最高的，如果没有考好的话，大家也不要放弃，一定要知道模拟考试的作用只有一个，就是来检测咱家的孩子到底哪个知识点没有学明白， 及时的让孩子进行一个查漏补缺。那么最后就是咱的三模，他会安排在中考的前三周左右， 那么这个时候大家想要通过考试来提分已经不太现实了，一般三模考试的难度不大，目的就是为了让孩子在考前提升他的一个自信，减轻他的一个压力。所以说最后给大家再总结一下三模哈，一模看名次，二模看分数，三模看心态。 想要咱的孩子中考稳定发挥，甚至超常发挥，那么首先家长啊，你要稳定情绪，不焦虑，不催促，那么陪着孩子啊，一步一个脚印的往前走，那么相信每一个认真付出的初三的孩子们，都能够稳稳的上岸，考上自己心仪的高中。

万众瞩目，江苏巴士三摩最全深度解析，二零二六考前必做！五月六日下午，江苏有九个市用两张试卷同时举行了模考， 南通、徐州、盐城、扬州、泰州、淮安、宿迁、连云港这八个市一张试卷，南京单独一张，近四十万考生同台竞技，在距离高考仅剩一个月的时间查漏补缺。 都说江苏是散装的，未曾想到广大苏北地区在这时候如此团结，标志的苏南、苏北、南京三圈鼎立，妙不可言。天下英才如过江之计，浩浩荡荡准备最后的冲刺。 巴士三模整体创新性很高，热点考点类型一应俱全，但难度相比二模下来了一点，只在在学生考前找到感觉，把盲点扫除。 其中第八、十、一、十四题比较耗时，大题部分虽然几个大题难度都不低，但也都不是很难，即使是十、八、十九题也都能做的，全卷依然有一定的区分度。一般认为三模会降低难度以增强学生信心， 本卷也确实有所体现。当然，离高考还有一个月，依然会有很大变数，黑马都是最后冲刺来的。第十八题解析几何用两个较强相关的点，采用设点法后一马平川。 如果采用追原参数方程，三角换元设各个点的坐标会显得简单一些，省去了试字的一些繁琐变形，一路水到渠成。 第十一题，将数列和倒数融合在一起，各个选项集数归放缩于一体。 c 选项计算几项，找下返利， d 选项用分析法证明 换元，求倒证明即可。倒数数列这种创新考法，高考前还是值得关注的，非常综合的一题。 第十九题，概率理解障碍的考法第二问很多学生绕不出来，因为假第 n 次恰好通过第三级考试，把整个事件分割成三段， 比如设假第 k 次恰好通过第一级考试，第 k 加二次恰好通过第二级考试，第 n 次恰好通过第三级考试。 底下就是考验人的书写 k 二范围的时候了，写好以后求壳即可，用等比数列转换即可。你学会了吗？留言看一下哦，记得点赞关注哦！

各位苏北高三的同学和家长们，今天刚刚考完的苏北七十三模数学卷，咱们来快速的看一看。 整张卷子的难度梯度很明清晰，前几道选择、填空基本上都是基础题，集合、复述、向量这些送分题，只要不出心就能稳稳拿分。但从第七题、八题开始，难度直接拉升 大部分。呃，像十五题例题集合、十六题解三角形都很常规，属于稳拿分的板块。但后面呢，明显就冲着区分度去了 呃，尤其是倒数第二位，对思维和计算要求都很高。整体来看呢，这张卷子很贴合新高考的命题趋势，基础题不玩花样，中档题考灵活，难题考深度。 对中等生来说，稳住前面的基础和常规，大体就是胜利。对尖子生来说，想拉开差距，得在后面的压轴题上多下功夫。 这次三模呢，主要是帮助孩子找到薄弱项，调整节奏，针对性查漏补缺，高考一样能逆袭，加油孩子们！

好的，各位观众老爷早上，中午，晚上好啊，今天给各位带来一套试卷，这道试卷被誉为是二零二六年， 就是说这一年考高等数学，就是专升本考试之前高数二山东省里边比较偏难的一套试卷了。 然后这道试卷我做了两遍，第一遍我是在纸上做的，我是打印出来之后在纸上做的，第一遍就感觉这个试卷 怎么越做越难受啊，真的是越做越难受。你看前面几个题，第一个送分，第二个送分，第三个也送分，第四个开始送命了， 真的，第四就开始送命了。第五题啊，第五题，这个急做标签到牵扯到二重积分，我就没有涉及，就没有做。 第六题，常规，第七题，常规，第八题我先不做，因为第八题高数二，它包括好多大类，比如说经管类，比如说医学类，所以第八题我先不做。第九题，第九题还行， 第十题不做。第十题。这个这个我在想办法把这个列一个专题，就是说单选亚洲，或者是说填空亚洲，这个再当一个，就是合集，再把几张试卷中的这个相应的题目给他汇总一下，然后再统一做一下，再录一个视频 计算题。从第一题就开始有点上难度了，这是第十一题，十二题，天呐，十二题十三题 不是一个求发现的，你搞这么复杂干什么？你就不能简单一点吗？你，你答案也，你过程不简单，答案也不简单。答案搞了个分式， 就是三分之四 x 加三分之七，然后十四个不定积分高抬一手。这个题目无非就是说你方法想不出来，你把想方法想对了之后，这个题非常之简单， 真的就是用平常一个公式就可以做，而且这个公式在积分不定积分定积分里面算是一个必备公式了。第十五题我没做出来 第十五题，我，我不知道该怎么搞，这个题，我后边会单独再录一个。单独录一个，我欠了多少视频没录了，我的天呐，我现在，现在是晚上九点，我现在在一个没有人的教室里边录视频， 然后我发现我每次录视频的时候都会说一句话，叫做这个视频我会单独再出一个，就是这个题我会单独再出一个视频，这些题我会单独再出一个合集，我欠了多少视频了？我的天呐，等着啊各位，如果说想催更的，就比如说你看之前的视频，在视频里面说， 主播，主播，你说这个视频里边要把这个题再给录一个新视频的，你怎么没有录好，我给你补上，你什么时候说，我什么时候给你补，说到做到，说话算数好不好？但是我容易忘啊，你要提醒我啊。第十六题， 十五题应该是没做出来，但十五题我一开始做出来了，我一会再尝试尝试。这是做的第二遍，做第一遍也是这两个题不会做，第二遍还是这两个题不会做，嗯？这不整我的吗？ 然后第十八题咱们现做一下，因为我已经求倒求出来了，但是这个题还没有做，所以咱们一会再做一遍， 这个是我的打草哈，我另起一个新的讲义，哎，是不是有那味了？就是当当你试卷发下来的时候，你首先折叠一下，你看到的就是这么一个画面，就是高等数学，二是题。 然后，好，咱们先来看第一题，以下函数是奇函数。这个题不用我多啰嗦了吧，三次函数一定是奇函数，来，我给你们画一个三次函数，哎，怎么成直线了？ 虽然说不大准确。这个是不是 x 的 三次方啊？这个是不是 x 的 三次方？然后如果说我倒过来呢？不太标准啊，如果这个呢？ 这个是不是负的 x 三次方？奇函数的定义是说它关于图像，关于原点对称，当然偶函数呢？举个非常简单例子， x 的 平方，它是不是关于 y 轴对称的呀？ 关于 y 轴对称的啊？所以说这个是典型的偶函数，这个是典型的奇函数。第一题就不要搞这么复杂，当你能判断出这是什么函数的时候， 你如果说这个函数的具体性质你知道，比如说这个 b 选项三次函数，你一看就知道它是一个奇函数，那你就选它。如果说四个函数都确定不了，你一眼看不太对呀，那也就根据奇函数和偶函数的定义，去挨个带上数，或者是带上坐标，或者是根据 它的性质给大家做一做。第一题咱们就非常简单的做出来了，选 b 吗？第二题， 这个题怎么做？ x 等于一是什么点？各位，你看中间这个零， f x 等于零的时候， x 等于一，对不对？那所以 f x 等于零呗。 我们就可以求这么一个点，看上面这一段， x x 大 于一，是不是一正？然后我们列一下，这个极限，就是 x 趋向于一正，就是 肾 x 方减一，然后 x 减一。 各位，咱这个题该怎么搞？这个题就是把这个极限算出来等于多少就行了，对不对？是不是非常简单？算出来结果是二？ 所以在在这段里边，当 x 等于趋向于一正的时候，他的 f 一 等于什么？等于二这个函数一样 limit x 趋向于一负，因为它小于一吗？就是三减 x 比上二，它求出来非常简单了，把一直接带进去就行了，等于一， 然后所以说在这一部分它 f 一 是等于一的，你看二零一， 是不是就感觉你看随便画一个图像，然后这个是 x 等于一的一个直线。假如说 x 等于一，然后第一个是 x 等于什么？第一个是 x 等于二， 哎，假如说这个点是二，这个是第一个点，然后第二个点是第二个点，第三个点 x 又乘一了， 是不是这第三个点啊？是不是一？哎，又来了，是不是感觉跟跳起来一样，跳来回横跳，是不是跳跃简单点，是不是非常的简单啊？ 然后咱们继续看第三题呗，第三题最值问题，干什么？求倒？求几次倒，求一次倒， 那我们就求一次倒吧， a 恒大于零，这是条件。 a 就 不用我们判断了，就是 f x 求一次倒，等于三倍的 a x 的 平方减去十二 a x b 没有，是不是 他是一阶导数，我们令一阶导数等于零呗，求他的最大值点，那就是三 a x 平方减十二 a x 等于零，把它挪过去三 a x 平方等于十二 a x， 是 不是这个能够约掉，这个也能约掉， x 等于四， 可以吗？可以， x 等于零行不行？重点把这些零啊一啊负，一啊根二什么这些特殊值带进去试一试，当 x 等于零的时候，这个式子是不是依然成立？是不是成立完之后零等于零，是不是这个式子依然成立啊？所以说可能存在的最大值点有两个， 一个是 x 等于四，一个是 x 等于零，然后各位，区间负一到二，你四在负一到二之间吗？四属于负一到二之间吗？ 是不属于啊？那这个就可以割掉了。那直接选 x 等于零不就完了吗？哎，对不对？这个题又选完了， 第四题，哎，第四题，前三个题，前三个题非常简单，第四个题开始做大炮了， 哎，真的是没招了，这个题各位看看啊！这个前半句就很具有迷惑性， e 的 x 的 平方次方是 f x 的 一个圆函数，那我问谁是函数，谁是导数？ 谁是函数，谁是导数？然后老师说了，就是有人说了，老师啊， f x 是 圆函数，对不对？那 e 的 x 方是不是它的导数啊？ 反了，彻彻底底的反了。各位，他问，他说的是 e 的 x 平方次方是 f x 的 一个圆函数，那是不是可以列出这么一个式子来啊？是不是 f x 求积分等于 e 的 x 平方次方， 跟刚刚那个小同学说的彻底相反，对不对？那如果我们要求 f x， 我 们怎么求？ 是不是两边同时求导？是不是 f x 就 等于它求导就是二 x 乘以的二 e 的 x 平方次方，这个才是正儿八经的 f x， 然后他后边有一个根号 x， f 根号 x， 或者 f 一 倒根号 x， 那 我们就把这个 f x 给它换成 f 根号 x 呗。那前面这个换了，后边这个就要两倍的根号 x 乘上 e 的 x 方呗， 对不对？是不是没有毛病？然后接下来咱们把这个式子列出来，何妨？因为这个题啊，有两个方法，我第一遍用了这个麻烦方法，第二遍用了一个简单的方法， 然后我们先来这个麻烦方法，就是 f 一 倒根号 x， 我 先把这个写上 f， 根号 x 比上根号 x 乘 d x 等于什么？往往上带式子呗，就是 f 根号 x， 哎，还没有求导，这个还需要再求个导啊， 因为它里面有个这个东西，求导等于什么？前导后不导。根号 x 分 之一乘 e 的 x 四方， 因为两两倍的根号 x 求导，各位怎么搞？实际上就是两二乘 x 的 二分之一次方求导是不是等于一乘上 x 的 负二分之一次方，是不是就是根号 x 分 之一啊？是不是就是它呀？是不是没有问题啊？ 然后加上后边求导前不去导，那就依旧是两倍的根号 x 乘上一的 x 次方，就是这么个式子， 然后我们就可以把它往里带了。分母是根号 x， 分 子是什么来？分子是钢球的。根号 x 分 之一乘上 e 的 x x 次方，加上什么？加上两倍的根号 x， 乘上 e 的 x 次方， 然后这是前面这个 f x 倒，再乘上后面的 f 根号 x， 就是 再乘上两倍的 e 的 x 平 x 次方，再乘根号 x 又 d x， 各位，这个是不是给他约一下，是不是这两个东西能约掉？然后又写上根号 x 分 之一乘 e 的 x 方，加上两倍的根号 x 乘 e 的 x 方，再乘两倍的，把二拿前面去，把二拿前面去， e 的 x 方乘 d x， 然后把这个东西再给它乘进去，然后就可以算出是两倍的积分号里边二 e 二 x 次方怎么样？ 加上什么？不是两 e， 那 个二已经提前面了。不是二了啊，是 e 的 二 x 方，加上两倍的根号 x 乘 e 的 二 x 次方 e x。 哦，他，我直接直接把答案写出来了，这个题太麻烦了，真的，这个题最后发现这个题非常的复杂，我直接把答案写出来吧。 四 x e 的 二 x 四方加 c， 它的一个减变方法，我写这吧减变方法就是说 f x 等于 e 的 x 平方次方。求导，等于两倍的 x 乘 e 的 x 次方， 这个是一样的吧。 e 的 x 平方次方平方次方。减变方法。我好像写这了，没在我的试卷上写这了。 哦，他是直接把这个分式给他弄完了，就是等把他直接给他凑了个微分，就是两倍的积分号里 f x 乘 d f 根号 x， 然后直接能得出这个这个式子来。 天呐，这比这比我一开始直接求简单多了，对不对？我先把这个擦掉吧。先把这个擦掉啊。这个第四题的答案是选的四 d 选项， 第五题不做，第五题不做哈。第六题，第六题怎么讲？它趋向于零，哎，等于二让，然后里边有个 k 让你问 k 是 多少来？往下把这个式子列上 limit， x 趋向于零， 一加上四分之 x 的 平方的一减口三 x 分 之 k 次方。各位，他们能不能画一下 x 趋向于零，他这有个一减口三 x， 是 不是给它画成这个东西？ 一加上四分之 x 平方，一减口三 x 在 x 趋向于零的情况下，是不是能够等价？ x 的乘二分之一 x 平方啊，是不是二分之一 x 平方啊？能等价，那它就换成了二分之一 x 的 平方分之 k 呗，然后接下来怎么搞？接下来可以把它分子分母同时乘四。 为什么同时乘四？一会你就知道了。 limit x 趋向于零，一加四分之 x 平方，然后 这个是四 k， 然后下面是二 x 平方， 然后发现端尼了没有四 x 平方，是不是？这个还能再给它看？给我看出什么东西来了？没有 x 平方，分之四乘上乘，乘什么？乘上二分之 k， 它是什么？它是不是 e 啊？ 是不是 e 啊？它是 e 的 无限次无限次方的这么一个微定式的一种形式，它就是 e， 然后 e 的 二分之 k 次方等于二， 两边同时取 lo， 就是 二分之 k 等于 lo， 二 k 就 等于两倍的 lo 二，于是乎这个 k 就 可以求出来是两倍的 lo 二。 这个第六题说实话有点考验，就是计算能力也有点考验，就是说你换算这一步会不会换算，再就是说你能不能判断出来这个东西可以给他等加无穷，再就是这个东西他能不能凑出来他的倒数，这个是主要的。 第六题比第七题难，我个人觉得第六题比第七题难。来，各位高中的数列学过没有？ n 是 不是趋向于正无穷？趋向于正无穷或者负无穷都可以，因为可能是正向数列，可能是逆向数列。那能不能直接把这个给他去掉？ 只要把它去掉行不行？可不可以？可以，因为咱们 n 就是 趋向于正无穷的或者负无穷的。这个就是咱默认的一个竖列的一个格式，直接把这个括号去掉就行了。就是 a 的 a， n 减两倍的 b， n 等于四，这个一样， 这个一样，直接去掉 a n 加 b n 等于七，这个是一，这个是二，然后我们连累一下，怎么样？ 我们连立一下，把这两个式子给它连立，然后二乘二加一，就是两倍的 a n 加两倍的 b n， 加上 a n， 减去两倍的 b n， b n 没有了，等于二七十四。十四加四等于十八，那么 a n 三倍的 a n， 这是两倍，这是一倍。三倍的 a n 就是 等于十八。那 a n 等于几？等于六，对不对？ 然后告诉你 a n 加 b n 等于七了，那是不是就能推出 b n 等于一来啊？那 a n 就是 六， b n 就是 一，那不就六吗？是不是很简单呀？ 就这个格式可能写的比较复杂，然后有些可能就是说，老师呀，我没见过这种格式呀，怎么办呀？我做不出来。不要担心， 看到一个类似于你之前学过的知识点，那么你就考虑之前的知识点是不是跟这个有关系，如果有关系，而且条件合适的话，那你就换换试试，就跟这个第六题上的等下无穷小这个条件是一样的， 你能想到把它换成二分之一 x 的 平方，那你能想到把这个底下这个题目，把这个另外给他拆掉。好吧，第八题咱们依旧不讲，第八题不讲来，第九题 不是出题，老头，第九题谁让你把它出到这里面去的来。第九题是一个球偏倒，然后再偏倒，前面还要再乘一个那个竖吧， 然后咱们，哎，有空格没有？我在这吧，我这边有试卷，我直接把那个题目给他抄到这里。第九题是设 z 等于三 y 分 之一加上 low x， 然后则， 哎，我时间不太多了，就是录视频不能时间太长了，已经录了二十分钟了，这个视频我不能再把河南的那个题目的时间给它超过去了，因为河南那个虽然计算量大，但是它概括题多，这个题量小，他不能比那个时间还要长吧。 题目是则 x 乘上函数 z 关于 x 的 偏导，加上 y 方乘上函数 z 关于 y 的 偏导。来，各位，咱们先来求偏导吧。 偏导等于什么？等于 y 分 之一加 low x， 它先求偏导对不对？然后后边再求偏导， 后边是它，是它求导，是不是口塞了，口塞它里边继续。 然后既然是求 x 的 偏导，那除了 x 以外，其他的字母全都是常数对不对？那 y 什么的可以给它割掉的对不对？直接对它求导，那就是 x 分 之一乘上口塞 y 分 之一加 lo x， 然后这是第一个 x 的 偏导，第二个 y 的 偏导， y 的 偏导还是这个东西， 那就是把 x 看成长数呗。 y 分 之一对它求导，是不是负 y 平方分之一，后边一样，后边跟这个东西一样，就是口剩 y 分 之一加 lo x 来，他让求什么？ x 乘上 函数 z 关于 x 偏导，加上 y 方乘上函数 z 关于 y 的 偏导，那不就是 x 乘 x 分 之一，后边是这个东西， 这两个东西是一样，我就用圈给他替代了，他这个东西等于圈圈在这，然后减去 y 方分之一乘上外方圈，他是负一，他是正一，正一圈加负一圈是不是零啊？ 所以这个题答案是多少？是不是写个零就完事了？所以这个题老头你挺刁钻啊。如果说各位如果看到这个题，你可能说这个知识点忘了，或者说一时半会不想做题，不太会，然后你说，哎，我先求一个偏导，然后我把另外一个规律找一找，我列个式子进去，怎么样？ 你要答案是个柿子，你就错了，你又掉到老头的陷阱里了。那个老头就以为说，各位考生们，看到这个题，你肯定是以为很长的一个柿子吧，答案很长，但是他答案是零， 这就很很刁，对吧？很刁钻。第十题也是不做的。第十题，我会录个视频，就跟我刚刚拍这个视频之前我说的那个话，如果说我之前在视频里边说的某个题或者某一个合集要更新的话，我忘了更， 各位记着在评论区里边提我，或者是私信我也可以，因为我确实是容易忘事儿。然后咱们正儿八经来看计算题吧。 计算题的话，咱们看一看这个第十一题，各位，你一看这个第十一题，你两个分式相减，是不是 你立马就能想到把它俩合并一下，给他通个分位就是贪婪 x 乘 x， 那 分这边的就变成了一加 x 乘 x， 右边呢？减去贪婪 x， 是 不是？然后各位还有一个条件啊，等价无穷小贪婪 x 在 x 相于零的前提下，它是不是等加于 x？ 那 么下一步我们就可以写出，分母是 x 的 平方， 分子是一 x 加上 x 的 平方，减去 tan 减 x， 把它拆开了，把它也给合并了。然后各位 知道吧，因为你把零都带进去，零零零，零分之零还是不能解答答案的。 零零模型，零比零形，无穷比无穷形用什么来着？落必答，落了就能达到你想要的结果来落 limit， x 趋向于零，分母是二 x 分 子是一加上二 x 减去什么？减去 second 方 x 对 不对？然后如果你再补这个，这个时候你可以做题了吗？看一下啊， 当 x 等于零的时候， second 方是什么来着？是不是贪？不是？是不是口塞方 x 分 之一啊？当 x 等于零的时候，口塞方 x 是 不是一啊？这个时候是负一，负一 加一是不是等于零来着？那分母二 x 分 子只有二 x， 那 是不是直接等于一了呀？那这个题的答案就是一喽， 对不对？是不是感觉有技巧，有思路，也没有特别难吗？但是就是说，虽然说呃，有点难，但是 做着做着就发现这个题其实表面看着有点复杂，然后做的时候有一点点麻烦，后面你发现，哎，豁然开朗，柳暗花明，有没有那种感觉？行，咱不废话了啊，咱继续记十二题。十二题是依旧一个求极限雷美特 x 趋向于零， 然后把它写上 lower。 一 加 x 减一的 x 次方加一分母是 x， 这个破笔啊， x 乘一减根号下一加 x， 各位看到什么了？看到这个东西，哎呀，这个笔你在干什么？看到这个东西了没有？ 这个东西，你说你不把它画成有理的有理分母有理画一下，你是不是心痒痒啊？来来来，来，咱来分母有理画一下下，分母有理画一下，上面不动照抄。一加 x 减一的 x 方加一分母 x 乘上一加根号下一加 x， 然后底下一加根号下一加 x 乘上一减根号下一加 x， 然后接下来就可以化简了。哎。 limit x 趋向于零，呃，它剩什么来着？ 呃，它是不是就只剩下，哎？它剩什么来着？它剩。呃。一减一，一减去一加 x， 就是 一减 x 分 之 x 乘上一加根号下一加 x 再分之，上面那个长的一加 x 减去一的 x 方加一， 然后这个东西能给它，哎。这个东西你看啊，这个东西给它拿上面去可不可以？能不能到上面去？能拿到上面去，这东西就没有了， 然后它就变成了负 x， 负 x 再乘 x， 是 不是分母就只剩下了负二 x， 然后我们再写一步更直观，负 x 负不是负二， x 是 负 x 平方，哎， 等会啊，这是个乘，哎，一减一，等会，等会。这个是什么？一减去一，哦， 这个乘是负 x 乘啊，这个是乘啊，这个是乘，就是负 x 平方，分母是这个分子是 low， 一 加 x 减去一的 x 方加一。框起来，这个东西拿这来吧，我就不写了。 还是有一个东西，就是当 x 趋向于零的时候，这个一加根号下一加 x 趋向于几啊？ 是不是趋向于一？加根号里面一加零等于二啊？是不是趋向于二啊？那我能不能把二直接写上去？可不可以？可以，那就等于两倍的 limit x 趋向于零， 然后负 x 平方，然后这边是 low， 哎，这边是 low。 一 加 x 减一的 x 方加一，然后再把零带进去，发现，哎，坏了， 跟刚刚那个情况一样。什么情况？又是零比零落再落，我就不信落不出来了。负二 x 一 加 x 分 之一减一的 x 方， 这个时候代数可以不？哎，是不是还不行啊？那就再落了一遍，那就是两倍的 limit x 趋向于零，然后负二上面是一加 x 分 之。什么 上倒下不倒零，零减。什么上倒下不倒？不是，先是上倒下，再是下倒，上不倒就是 一呗。然后减一的 x 四方 x 等于零的时候，分母是负二，分子是一加零分之负一就是负，一 减一再乘二，是不是负？哎，负是不？哎，等会啊，二倍的一减零，一减一，负二负二一，这个是一，一乘二是二是二，差点又算成负二了啊。 这个是二，所以这个题答案就是十二题，答案就是二。哎呀，两个，两个，两个 limit， 求极限，就已经干到这个地方了。我的天呐，来十三题吧。这个十三题 不行，这个十三题不是办法，来，来个大空，那个地方实在容不下这个十三题。 十三题我写一下啊，这个架子在这，十三题，哎，十三题不在这哇，十三题是求取 x 加二， y 等于 x 平方，加 y 的 平方，再点负一，一处的负一，一处的法线方程。各位法线方程。 各位法线方程和切线方程的斜率有什么关系来着？ k 一 是法线的方程的斜率， k 二是切线方程的斜率，它俩项是不是等于负一啊？ 什么是法线方程？各位，我随便画一个函数吧。随便画啊，哎，这个不能算， 随便画一个函数来。这个是切线，哎，这个是切线，这个是切线方程，对不对？它的切点是不是在这啊？法线方程是什么来？ 啥时候他俩垂直，垂直，他俩垂直一下， 这个是 k 一， 这个是 k 二，它俩斜率相乘等于负一，可不就是这两条直线垂直吗？对不对？所以这个这条 l k 一， 这个是它的切线，这个 l， 哎， l， 我 去， l k 二是它的法线，这是切，这是法， 没问题吧？然后我们就把这个图擦了啊，让你们各位理解一下切线方程和法线方程是什么意思，然后他俩的协力的关系怎么样的？后边咱们就可以做题了。 首先是不是求导来着？各位看，这是个什么函数？这是引函数，引函数求导来求 x 加二 y， 先给他来个倒，再乘上 x 加二 y 分 之一等于二 x 加上两倍的 y， 乘 y 一 倒， 这个就以函数的求它的导数的一个特殊点就说，因为这个 y 它可能代表的不是一个具体的数值，也不可能是一个具体的字母，它可能是一大长串非常复杂的函数，所以它叫引函数， 对不对？能明白吗？这是一整个函数，这个里边的函数只有一个值，就是 x， 那 y 是 什么？ y 是 一大长串，有 x 作为自变量的一做，哎，作为 是音变量还是自变量来的？反正是作为一个动量来变化的，反正很复杂。所以说这个 y 不 能直接给你求出来，就是直接 y 一 导等于一肯定是不行的，所以只能写 y 一 导。然后这个就很好搞了，就是一加上两倍的 y 一 导， 然后乘上一乘上 x 加二 y 分 之一等于二 x 加二 y 乘 y 一 导。 然后接下来怎么搞？两边同时乘这个吧，一加二 y 一 等等于二 x 加二 y， y 一 等，乘上 x 加二 y， 展开吧。一加二 y 一 等等于二 x 方加上 二 x 四 x y 加上二 x y y 一 导，加上四外方外一导，把带外一导全都挪这边去，那就是二外一导减去 二 x y， y 一 导减去四外方 y 一 导，等于二 x 平方加四 x y 减一，这个加一，给它挪到右边去，就是减一，然后 他是不是可以给他把 y 一 撇提出来？二减二， x y 减四， y 方等于二 x 方加四， x y 减一，是不是到这了， 把这个地方除过去， y 倒就等于二， x 平方加四， x y 减一，除以二减二， x y 减四， y 方。各位刚刚告诉我们的条件是什么？负一到一的法线方程， 那么先告诉我，求出来的求出来的切线，把这两把这个点带到你求出来这个外移导里边。他的方程的斜率，求出来的数是法线方程的斜率还是切线方程的斜率？ 是切线方程的斜率，所以你还要再做一步，把它给换成法线方程的斜率。怎么做来？把？ x 等于 x 等于几来？ x 等于负一， y 等于一带进去，那 y 一 撇就等于二减去四减一，分母是二减二加二，然后是减四， 哎，是减，哎，分，大家看一下啊，分子是二减四减一，分母呢？是分母不对啊，分母是二 加二减四，哎，我没求错吗？我看我这求错了啊。 嗯，二 x 方加四， x 加四，外方加。哎，我看啊，我是不是漏了点什么东西？ 好像有个二 x 减二， y 二 x x 方啊。提杆抄错了提杆抄错了，这个是减外方，这是减外方。我提杆抄错了，哎呀，提杆抄错了，那那那，这不，那这个就是减， 这个就是减，然后呢？这俩都是减了，这俩都是减了。 哎呀，题干抄错了，他就变成加了，又挪过去加，加，那这个就是加号，那就是二减二加四， 再算一下啊，二减去二加四， 那就是六减二等于四啊。对，没问题，就是四分之。什么四分之四减一等于五五，负五加二等于负三， 这个斜率是什么？斜率是切线方程的斜率。那法线方程的斜率呢？来，我们 k 法等于 三分之四，有问题吗？你看看啊，负的四分之三乘上三分之四是不是等于负一？说明斜率搞对了，法线方程它也是过这个负一以点的。那我们可以用什么？可以用点斜式，就是 y。 哎，我又在看题干了，这个题目好长。 y 减一等于三分之四， x 加一，然后 y 就 等于三分之四， x 加上三分之四加一，那么就推出 y 等于三分之四， x 加上三分之七。 所以这个题的答案就出来了，它的发现方程是， y 等于三分之四， x 加上三分之七， 跟看这个答案一样不？三分之四， x 加上三分之七，没毛病，没毛病。这个题也做出来了， 然后，哎呀，一个不定积分，一个定积分，这个定积分我先不搞了吧？定积分我先不搞了先。这个定积分有点难搞，先把这个不定积分弄出来，这个不定积分很很简单这个不定积分真的很简单。 不定积分。二分之 e 的 x 方加上 e 的 二减 x 方乘 d x， 把二拿前面去，就是两倍的积分号。 e 的 x 方加上，把它给它放上呗。 e 的 x 四方分之 e 的 平方，然后再乘 d x， 然后各位发现一个问题了没有？你一旦分母出现了这种东西，你肯定想办法给它挪上面去，就是分母给它同时乘这个东西，就可以做题就可以搞成 e 的 x 四方比上 e 的 二， x 四方加上 e 的 平方， d x。 各位有没有小一个东西？是不是各位分式里边 a 方加 x 方分之一，求积分 等于 a 分 之一。 ark tangent， a 分 之 x 加 c， 然后这个题你看 e 的 二 x 四方是不是 e 的 x 四方，然后它是不是 e 乘 e 啊？ 那么这个 x 方实际上对应的就是这的 e 的 二二 x 次方，这的 a 方就对应这边的 e 的 平方，那是不是很简单了呀，对不对？当然上面为什么有 e 的 x 次方？我，我给各位说一下啊。 其实这个东西求导，他其实有一个特殊之处，他的分母分子应该是 x 的 导数，对吧？他应该是有个 x 的 x， 导数是一，所以这个地方默认为是一。 这个地方如果他这个地方这个对应的 x， 他 对应的是 e 的 x 次方，那么这个求出来的分就是这个积分号上面的这个这个函数，他应该是 e 的 x 次方，求导 还是 e 的 x 方，那就好搞了，那这个式子就妥妥的套用这个式子用就可以了，就是两倍的 乘上 e 分 之一吧。 a 分 之一 a 是 e， 阿克攀登 a 分 之 x， 对 不对？ a 分 之 x 现 a 是 什么？ a 是 e， x 是 什么？ x e 的 平， e 的 x 方加 c， 然后答案就是一分之二。 arct， 一 分之一的 x 方加 c， 到这应该就没啥问题了吧。这个不定积分其实还挺简单的。这个第十四题，第十四题不是那么难，不是那么复杂。然后这个第十六题微分方程还剩这么个空，我把这个微分方程解了吧。 哎呀，我这个微分方程我再算一算，别搞别的，搞错了， 微分方程这个极致。我再出个视频，把这两个视频剪一块吧，因为我现在得赶紧讲完题，我得回宿舍了。就是微分方程二， x 乘上弹阵的方外， 加上一加 x 方，乘上 y 一 撇，再乘上 second 方 y 等于零的通解。通解它难度降低了，它没有让你去特解，特解你还要再解一步，通解好搞。各位判断一下这是什么微分方程， 一阶其次，非其次。微分方程怎么解？ 先给他挪一挪向。要不要把左边指示先给他挪一挪向？这个东西具体怎么挪向啊，看我操作。呃，把这个先给他挪右边去，就是一加 x 平方乘上 y 一 倒， y 一 撇 往 y 一 倒， y 一 撇，容易缩混了。等于负的二 x 弹着它方外，然后再把。 嗯，再把什么东西弄过去呢？再把这俩东西通通除过去吧。这俩东西通通除去 y 一 撇等于负二 x 弹着的方外，然后是一加 x 平方 second 方外，然后各位看到这个东西没有？这个东西接下来怎么往下搞？怎么往下搞呢？来看我操作这个题啊， 是不是需要把它给拆开啊？是不是 d y 分 之 d x 等于 y 方外乘一加 x 方乘上 second 方 y， 然后给它分离一下，把 y 拿一边去，把 x 拿一边去，那么就可以写成负的 second 方 y 比上 tangent 方 y， d y 等于二 x 比上一加 x 平方 d x， 然后两边同时求积分，两边积分， 是不是这个东西两个同时积分怎么搞？左边看到这个 second 的 方外，你是不是感觉很很一点意思啊？因为摊着的外求倒是不是。 second 的 方外是不是就可以凑为分啊？是不是就是摊着的方外分之一 d tan 值 y 等于。这个不用我多说了，把二提出来， x 分 之一加 x 平方，这个还需要我多说什么吗？除以二 d x 平方加一。好了， 右边这个东西搞完了，左边这个东西嘛，就很好搞了，就是它这个 y 分 之一等于 lo n， 括号里边一加 x 方。各位可能不太了解，如果 lo n， 如果这种公式的话，你可能不知道 lo n 后边这个到底是绝对值还是括号。 告诉你，一加 x 方，他这个数肯定是一直大于零的，他肯定不可能是小于零的，所以就不需要加绝对值。但是如果说没有这种特别明确的指示，说这个括号里边这个绝对值里边，他这个数一定是大于等于零的。不，你不能等于零啊，大于零的， 那就必须要加垂直了，加 c。 好， 这个题就做完了，这个也可以给大家改改写，改写一下。 cosine 的 y 等于 loon， 一 加 x 平方加 c， 这个是最终答案。 对，这是最终答案。通解就写成 cotangent 的 y 等于 loane， 一 加 x 平方加 c。 这是第十六题的答案。十四题的答案是 e 分 之二乘 ark tangent。 呃，一分之一的 x 四方加 c。 好 题，这个应用题，这个第十八题，我会后边再录一个视频，把它拼到后边去，让这个视频看起来毫无违和感。 好，各位，我又回来了，我把这个视频又给上面那个视频给它拼一块去了。这个题目长这样啊，这是原函数，然后对它，它要求它的极大值点，极小值点，以极大值、极小值，那又对它求个导，求个一结导， 然后可以给他画成这么一种形式，然后令他俩分别等于零，可以解出两个 x 的 点来，然后判断函数单调性倒函数的正负关系。 然后当 x 等于一的时候啊， f 一 有 f 一 是这个函数的极大值，然后当 x 等于三， f 三是他， x 是 他的极小值。 具体求出来就是把这个数带到圆函数里面去，那么极大值 f 一 就等于 二， x 二减四等于负二，乘上 e 的 一减 x 就是 一，加上 x 的 平方是一减去六，那是不是就等于负七呀？ f 三呢？带去二， x 等于六，六减四十二二，再乘上 e 的 一减 x， 次方是 e 的 负二，次方加上九减去十八， 那是不就是两倍的 e 的 负二次方减去九啊。那么这两个式子就是它的答案了。好，今天的题目到此结束， 注意帮注意给我催更啊，就是说我那些合集啊，视频的，帮我催一催，就是我有可能忘事。拜托了各位。

这套哈，三中的三模考了有一段时间了，但这套试卷我觉得是出的非常的。我觉得是有点恶心的啊。难度比较低啊，但是有点恶心。 嗯，小题没什么好说的啊，这边他们说是马尔科夫恋这个，但是我没看出来我的第一反应应该是什么求和的内容。并不是这个马尔科夫恋啊 啊，还没有去研究管他呢啊。主要是这个十六题啊，考场上他们说啊排排这个全错牌给自己排蒙了。然而我老早就已经做了排列组合的合集全错牌问题在高中他最多考了五缺，果不其然，这个题只考到了四个元素的全错牌，所以我这边是拿到就直接就轻松搞定了啊。对， 忘记说了啊，这边我觉得这个多选题好像有点耗时间。当时啊，最后这两个题把时间给拉回来了，也就是给我后面十八十九， 正常情况下我需要留一一整整一个小时各半个小时去搞定十八十九的。最后呢，就是因为这个，这个题我比较熟练，所以加上这个题十七题非对称为，它定义又比较常规，我也非常的熟练，而且我的过程是非常的优美啊，得夸自己啊。这个我我的过程绝对是最简的啊。已经最简了。 嗯，常规方法最简单。也许你有邪修。我不知道啊，反正在考场拿满分是没有任何问题的。就说这个排列组合我已老早就已经做过视频， 然而就前面很多次考试其实都不是考全错牌，我都误以为是全错牌，我硬着头皮是套不知道抽了多少多少次题目啊，多少次大题我都是硬套全错牌，结果发现最终并不是。 哦，然后呢，这里终于考到了，我终于就有发发发挥的地方了，然后完整发挥出来了，嗯，然后最后考了这个新定义对不对？ cover x y 啊，这叫什么来着？ 我也不记得了啊，反正呢，这个的话就是也是有思维难度理解提议。这里当时有同学问我就直接写了个通向在这里啊，大概就这个意思。然后第十八题的话，第三问我是纯粹没看前两问，真的是纯送分呢对吧。哎， 两六十度， c 叉九六十度，那还有什么难点呢？没有什么难点啊，但是我还是扣分了啊，就第三问只有七分呢，这里我忘了，是面面角，我们要绝对值的，所以最后呢也是扣掉一分。 是的，这边的话我是差一点就拿满分了啊，当时大家都很惊讶，感觉我这个题要拿满分的。最后呢是在这里抽了一下对吧。这个 g x 取倒 三求三四应该是十二，我写了一个八，哈哈，导致后面答案呢偏差了一丢丢，并没有得到最终的那个什么五，我得出个四， 所以这里没有办法。第一轮总共六分吧，我们就扣掉四分算了，就只拿前面两分，然后第三题的我差点就搞定了。我已经解到，可惜我方字没写这啊， 没写这 h x h x 就是 这个啊。对，他有个重根 x， 他 有两个 x 减一。好吧，他有两个 x 加一啊， 我死活想不到他还有第二个。我想着我已经带过负一了，我就不要再带负一了，多带个三次方程，差一点呢就给他解出来了 啊，最后也是。嗯，考完演示了一遍，确实很容易解的哈。忘记重更这个梗啊，我这个可能前面把脑子用光了吧。是的，所以这个试卷我觉得是有机会拿到很高的一个分数的。所以这里最终的是一百三十分，确实也已经算是比较高了。 对，也基本上只有这五分，加上这边七分，就这个题，这套直线的话我可以不扣这七分的，也就幺三七 对幺三七左右。所以这个试卷呢，我觉得是，就是说看平时积累吧，刚好我运气比较好，我都积累到了，所以，呃，很多题能搞定，但十九的话是一个难度非常偏低的压轴题，因为压轴题比他恶心的多的多的多。

滨海三模他来了，今天的话终于给大家咱们迎来了第一个的三模试卷，注意今天是高三了，今天讲初三这段儿上瘾，我看一下进滨海三模这个试卷，然后各和零点 说，这个 f x 等于绝对值小于零，绝对值大于零等于这个东西，绝对值，也就是绝对值和绝对值有四个零点，我们老生常谈尽量做到什么层面分离，观察发现我们说下一段这个部分 就是 x 放减五， x 减四，这一段的话，餐面分离，这比较好，因为这边是没有餐的，上面一段呢，我们要餐面分离的话，并不能完完全全的分开，但是总的来说的话呢，它 a 能够掌控的位置是比较少，然后呢我们要餐面分离，所以说呢，我第一个，其实我们想去解决什么呢？ 不妨令 f x 等于什么呢？ ax 的 绝对值，我们就让 a 的 绝对值，我们就让 a 的 绝对值，我们再去看这个函数， 这个函数，然后但是除过的时候呢，我们要考虑一下有没有说这个图是自带零点，自带零点就当 x 等于零的时候，原原式的话 a x 是 等于零的，然后里面的话呢，应该是零的话等于四，没有自带根，没有自带根的问题，我们就可以放下大胆除过去，不会考虑要定域和这个增根的问题。 好，我们出去之后拿到一个，那前半拉的话呢，应该等于这叫做二倍的 x 分 之 a， 然后呢加上一个一整体的绝对值，依然是 x 小 于零的部分，那这半部分呢？好说，等于 x 加 x 分 之四，然后呢减一个五整体的绝对值，这是 x 大 于零，我们除去 x 不 能等于零，拿到这个函数，我发现我们还是依旧老的方法分而治之。主体形的话呢，这时候我们先看什么？我们先看这个，这个叫什么？正半轴，正半轴正好办，画一个坐标系，尽量画大一点， x 加 x 分 之四减五的绝对值，这样的话应该在最小二倍根号四减五，应该最小值是负一，在二的位置取负一，我们这样把负呢翻出来，然后显让观察发现的根的话，应该是一和四，同学们应该可以看出来啊，观察是一和四，那下来上去 好，下来画的有点潦草，这是一的位置在什么？在这个知道二的位置取得它的最大值，最大值是一，这条线是一，右边画完了之后， 哎，从这来看呢，我们说这个 a 的 绝对值，这个东西的话呢，如果说卡到这个叫零到一的时候，我们就已经是四个，但是如果说卡到这个大一的时候是 两个等一的时候呢？有三个，这一个预预先的预判，哎，右边这个东西，二倍的 x 减 a 的 绝对值加一和这个东西我们知道啊， x 分 之 a， 这个东西如果说它的单调性只受 a 影响，如果说 a 是 一个正数，那是个单减数， 如果 a 是 个负数呢，是单增函数，并且它们正好是什么被这个外轴所支配的，所以说呢，没有这其他的断点。那我们一个最基础的讨论点就是什么呢？就是这个叫做 a 大 于零和 a 小 于零， a 等于零，我看需要吗？ a 等于零的话呢，不行，圆的不行， a 等于零的话应该是什么？这块的话，水平线和它有两个交点，上面是没有交点的，所以 a 等于零。第一种情况，当 a 等于零的话呢，显然原式是舍掉了，就粗略型。第二种情况，当 a 怎么样呢？ 当 a， 这个我们看看，研究一下，我们研究一下单调递减的吧，比如当 a 大 于零， a 大 于零的话，我们看上面这个函数，它有一个水平渐减，这个水平渐减线，水平渐线是几， 换一个颜色，水平间接线是 y， 等于二，是固定的。那如果说 a 是 一个大于零，说圆函数在右半是个单调递减的初通会的一个反比例单的递减，然后呢，减完之后呢要加绝对值，那也是我们把 下面之后，哎，把下面根呢好，我们把它翻上去，哎，一个草图就此而再生。所以这个高度水平值呢是二，现在我用 a 的 绝对值，这条水平线要去穿这个图，我们现在已经知道了， a 是 一个绝对值呢，就是 a， 用这 a 呢有几个焦点呢？ 有四个焦点，同学们看图，四个焦点的部分应该是左二右二，左二右二应该没问题，左二右二的话呢，只有这个情况。所以 a 大 于零的时候的话，我们说这个上限是几一，下限是几啊？是零，而且的话呢取不到，应该是这个时候，应该是我们是零到一的开取键， 零到一的开解来，接着看下面如果说的话呢，我们看第三种情况，第三种情况，如果是个 a 小 于零， a 小 于零的话呢，我们这个函数应该是在左半和单调递增的，而且水平间接线是二。好，我们的图形呢， 直接就上去了，青云直上啊，今天刚学的词，拿了之后说，我们现在呢，我还依然用什么？我们现在用一个粉线去穿什么？ 右边是，左边是绿的，右边是二次函数，一共有四个交点，看在上最高的部分应该是几个呢？二加一，加二等于三，所以较低的部分的话呢？应该是。哦，刚才哦，解释有点问题哈 刚才有点问题，刚才这块有一点问题啊，那红线的部分，那红线的部分的话呢，应该是多少？哎呦，果然是刚喝了口啤酒，没弄好，哎，红线的部分应该是，这叫什么呢？啊？一到二啊，一到二，不是零到一，一到二的开，应该是左二右二。老师刚看这边了， 那现在我用一条粉线，这时候如果一共有几个呢？有四个的时候，在这个时候的话呢，你会发现这条线叫什么？这条线叫做负 a， 刚才呢，这条线叫正 a， 正 a 的 话应该是左二右二加起来是几？ 是四个？如果说是这个负 a 去穿条线呢，应该是左边配零个，左边配零个和这绿线右边配几个配四个。所以说负 a 是 位于什么呢？位于这个叫做零到一呢， a 呢，是负负一到零的开线。 嗯哦，那就可以了啊，所以综上，那这个题比较容易啊。综上 a 属于什么？属于负一到零，然后并不是什么一到二的 开始线。总来说的话呢，还是尽可能的进行裁判分力。那这个题的难度是比较低啊，比如老师看同学这个时间好像才五分钟左右，然后呢，应该是我们整体采用裁判分力这个的风格的话呢，总体来说还是比较像二三年左右的风格。呃，这个难度的话呢，还是 ok 的。 所以老师今年 对各科零点题的话也有一定的预测啊。在这我就不方便这个在线，望在网上这个透露几个方向啊。但是有这个比较感兴趣同学的话呢，可以去私我哈。高考之前的话我准备 去去预测几个方向，我不不方便在网上去录出来。你们可以看这个题，这个题呢，应该属于一道简单题型。

ok， 做这套做起来也是挺舒服的，其实试卷出的我觉得难度是非常的适中。嗯，可能稍微有点偏低吧，毕竟三某吧。然后这边刚对了答案呢，错了几个简单题。总的说的话，这套试卷是上一百四，没有任何问题的。 接下来我们把试卷具体的改一改，这边的话是 c， b， a， c 没有问题，这边的话他的第五题是选 c， c， d， b， d， 所以 这里我是第五题错了啊，哈哈，多选没问题啊， b， c， a， b， c， a， b， d。 来，我再看一下， 二倍，二倍杠三，我错了哈，这个没问题，这个也没问题。奇了怪了啊，我为什么这个出这种问题啊？我就有点奇怪了，二倍杠十三 都估不定你吗？嗯，这边二分之二没问题，然后这边二分之七没问题，这边的话四分四分之五，以及这个范围负穷到一和一到这么穷也没有任何问题。对， 这个过程我比较好奇的是啊，他用上了 x 一 等于 x 一 加 x， x 一 加 x 二等于 x 三加 x 四。我没用上啊，没用上，我用的是什么？我直接把他们全部解出来，这个应该也是合理的啊，没问题的，能解出来吗？也能比较吗？是不是？然后这边的话， 这个没问题，定值为一没问题。这个面积我没有写完，那么现在我仔细看一下到底该怎么去扣分。 嗯，这里我是把面积全部用 k 和 m 表达出来了。那题目中的话，题目中并没有这个东西，是吧，这让我很为难啊。这个第三分总共是七分，我就这里拿个扣五分太多了，扣，扣四分吧， 差不多。嗯，然后这次概率题也是做的汗流浃背，但是做的是非常的好啊，没问题的啊，这种问题我已经完全的已经突破了，该怎么去做？ 嗯，确实遇到的次数太多了，这边的话我已经判断出来这个 n 大 于等于三十，这个 f n 是 单增的，跟参考答案的过程呢也是差不多。这边我也多算几个，直接全都是负的啊，全都是负的，就先减后增。那个过程是这样过程啊， 然后还要算出什么呢？算出哪里为正？我自己算到第五项才会正。嗯，没有问题，他也是什么呢？算出哪里为正？我自己算到第五项才会正。嗯，没有问题，他也是。 n 等于三四的时候都是什么？就是负的。 最后的中上手术呢，我看一下，那么这里最多就扣两分就足够了，就是说省略一点点，过程。对，扣两分，酌情扣两分。我省略什么过程呢？就是把这个表达式写清楚，他等于通个分之类的呀，那种是吧？扣两分，对了，好的，这边扣六分，这边扣十 十分，所以就是一个幺三四。嗯，差一分呢，挺好的试卷啊，我的实力肯定是幺四四以上的啊，没有什么问题。

刚考完和平三模，整体感觉还可以，主要就是查缺补漏，对比前几年的和平三模真题，这次确实简单不少，估计是为了给我们这些备考的孩子多攒点信心吧，毕竟离高考越来越近，需要增加学生备考信心。 其实现在反而觉得这种友好的模考挺好的，既能检验近期的复习效果，又不会打击湿气。接下来的日子就继续把错题啃透，把基础再夯实点，争取高考的时候能发挥出最好的状态。你们最近模考感觉怎么样？一起加油呀！

好，各位同学，大家好啊，今天呢我们这个拿到了德州这个三门数学的这个试卷，今天呢我会来给大家来分析一下这个咱们这个三门这个这个试卷的情况以及呢？ 嗯，先大概分析一下吧，这套这套试卷呢，还是有一定的争议的，首先呢难度呢，还是有一点点大 难度呢，就是我这里说的难度偏大呢，还是针对于这个高考的最后这个情况，一个是难度偏大，再有一个就是最后的还有十多天吧， 那么这十多天呢，大家的这种分析的这种复习的策略，以及最后大家比较关心的关心的这种压题问题啊，这个我们都会放到最后给大家来讲一讲。首先呢先来大概来分析一下咱们这个试卷的情况， 那么这个试卷的情况呢？前面的题我们来看，比如说像前面这种题还是难度不是很大的， 比如说一到四题，一到四题呢，我们首先来看看像第一题这种，这种我就不讲了，第一题是比较简单的，然后我们就是画一画树轴就可以了。那么第二个呢，这里有一个 i 的 六次方， 那么 i 六次方呢？你把得把它写成 i 平方外边的三次方，对吧？所以说就是负一的三次方，所以说等于负一，这个呢你只要把这个东西写对就可以了。然后呢这个第三题呢？ 第三题呢，你主要得画一下图像，对吧？这个假如说我随便画一个 abc， 然后他现在给了一个条件，他说向量 ab 呢，等于二倍的 b d， 那么这个点 d 在 哪里？这个点 d 应该是在外边对不对？这个是中点的，这个是 b d， 对 吧？向量 ab 等于向量 b d， 所以 说呢，你再求向量 c d 的 话，所以说 c d 呢？ 啊，应该等于这个 c b 加什么 b d， 然后剩下就可以按行匀算的思路做了，往下大家就应该会了，只要你画图别画错了就可以。 前三个呢，其实还是比较可以的，但是呢，相对来说比我们平时做题要稍微难了一点。第四个题呢，他说角 a 呢，是等于 三角形是吧？角 a 等于六十度三分之派，边上应该等于二，然后求周长，求这个面积，嗯，就知道了，面积求周长，这是典型的正弦定律加余弦定律，对吧？你正弦定律呢，二分之一 b c 乘以一个三， a 等于一个根三， 那么这样的话，我就可以把 bc 求出来，再根据什么再根据余弦定律，对吧？ cos 等于 a， 什么等于 b 方加 c 方减 a 方， a 方呢，是四，比上一个二， bc 等于一个二分之一，然后通过它呢，再把 b 加 c 算出来。所以这个题的计算量呢， 稍微有一点计算量，确实是这个题的计算量还是偏大，正常高考呢，没有这么大的计算量，但是思路呢，确实是我们常见的思路，答案呢，大家应该已经有了，第一题应该是选的是 a 啊，第二题选的是 d， 第三题选的是 a， 第四题选的是 d， 然后呢，我们来看，接下来我们来看这个第五题的情况。第五题呢，这是一个考的是二人式定律，这个二人式定律呢，和我们平时见的稍微略有不同，对吧？他说呢，是一加根三的五次方，然后呢，让你算这 a 加根三 b， 那 么这个题其实， 嗯，在考试的时候，我觉得没有什么特别好的办法，你把它拆开呗，对不对？拆开不就是什么 c 五零乘以一是吧？加上一个 c 五一 乘以一个一乘以一个根三的一次方，什么等等等等，你把这些拆开的一个一个算一算吧，是吧？这个也没有什么办法。第五题呢，选的是 c 选项，那么我们来看第六题，第六题呢，这是一个圆锥，这个圆锥呢，你只要画出图来， 它告诉了这个底面的直径和高，然后呢，它是以 p o， 这是 o， p o 呢，就相当于是它的高，它在这个中间位置做一个结面，中间的这个位置做了一个结面，做出一个 这个圆柱来，相当于是对吧？然后呢，求这个东西的一个几何体的表面积，这个表面积大家不要忘了，它就相当于是这个圆锥的表面积加上一个 啊，圆锥的表面，然后呢，再加上这个圆柱的侧面积，应该是对吧？哎，把这些东西呢都加起来啊，这个算的时候不要算错就可以了，这个题呢，选的呢，也是 c 选项，那么来看第七题， 哎，第七题呢，这个计算量还是比较大的，正常高考，我们一般现在的高考呢，确实是不怎么考计算量大的题，但是我们要知道，模考题呢，向来出题难度要大一些， 比真正的高考题的出题这个难度，这个计算量要大。那我来看这个，他说 pink 是 在椭圆上，他说的告诉了这个角，假如这个角正切，那么大家也知道，就是我知道了 tan 的 c， 它其实就相当于是什么呢？三 e c 的 和扣三 e c 的 就知道，你想想扣三 e c 的 是不是等于五分之四？ 那我来让他要求 o p 的 长度， o p 的 长度，这典型的向量吧，就是向量 o p 等于二分之一倍的 p f 一， 加上一个 p f 二， 对吧？哎，就是典型向量。然后呢，两边一平方就可以了，这个东西一平方，因为他们的中，他们的中间那个向量的数量积呢？就刚好就是这个 q 三 e c 塔，对吧？直接说 p f 一 和 p f 一 加 p f 二是等于二 a， p f 一 加上 p f 二等于二 a 二 a 呢，在这里是一个六乘以二。然后呢，我只要把这个东西算上来代入就可以了，这个这个计算量也不小，选的是第四，第四个选项。 嗯，但是思路确实是没有什么特别的新意啊。这种题我们见的比较多，就是典型的圆锥曲线的一种解析思路。然后呢，我们来看第八题啊，那么这个第八题呢？ 这第八题其实也还好，主要是不好想，可能是我来看这个第八题。 第八题呢，是单选的最后一道题。他，首先呢，有些同学，今天上午有同学在这说是不是求导，其实这题不是求导，为什么不求导？因为你这个二的 x 加三四，然后减 n。 哎，你这个图像他是知道的，后边这个 log， 什么四 log， 这个四他也是 它的图像，也是知道的，所以说因为你有相，相，当于是你要画一画图，我们来看我这个二的 x 方，这个图像它有可能是这种，也有可能是这种，对吧？你一加绝对值就翻到上面去了。那么来看，你想，如果说 x 小 于零的时候，它最多就是两个， 对吧？最多就是啊，有两个零点，有两个焦点和这个 f x 等于 t， 这是存在就可以了。 那我来看就会发现，如果说这个图像和 x 轴的焦点，如果跑到了这个函数，图像跑到这个 x 轴的跑到外部的右边去的时候，那么这个时候呢，你又出不了两个， 两个焦点，那就只只能顶多就只有一个，对不对？所以说它与 x 轴的交点应该在左边，也就是说什么呢？二倍的 x 加三次方减 n， 他如果等于零的时候，他与 x 的 与 x 的 交点呢？他应该是在是小于零的，所以说这个图像呢，我们来看，我简单画一画， 这个图像做完了之后呢，应该类似于是这样的一个图像，这边呢是这样的，这边呢是这样的，大概的，大概的，假如说这里呢是 x 一， 这里呢就是 x 二，那么来看， x 一 就是二的 x 一 加三 减去 n， 那 么来看，这个时候我做出来的 x 一 加三就等于 log 以二为底 n 的 倍数，所以说这个 x 一 呢，就等于 log 以二为底， n 的 倍数减去一个三呢，它应该是要小于零的， 不能等于零，对吧？这时候 n 呢，做出来应该是小于二的三次方小于八。而第二个 x 二呢，就是 log 以四为底，这是 x 二加上一个六 减去 n， 它的绝对值等于零的时候，我们这个时候算出来， x n 加六呢，等于一个四的 n 四方，对吧？那么来看，这个时候的 x 二等于四的 n 四方减去六呢，它应该小于零， 那么它应该小于零，那么这个时候呢，它应该大于零，它应该在在外头的右侧，对吧？大于零，所以说这个时候的 n， 我 们来看， 这个 n 就 应该大于 log， 以四为底，六对数，而这个 n 呢，是小于八的， 哎，那么来看，这个 n 呢，又是一个正整数，所以说 n 呢，应该是从二开始可以取，对吧？有二有三，但是不能超过八，所以说一直到七就是二三四五六七、 二三四五六七，这一共六个数，算一算就是九乘以三，对吧？就等于二十七。所以第八个题应该选的是 b 选项， 就是前七道题呢，其实也是一些套路题，这个题目呢，就是说第八题这个东西，可能有些同学呢，会误认为是求导之外，其他的都还是常规的思路。 嗯，但是呢，对大家的计算要求比较高啊。首先来说呢，高考不可能考这么难，就是特别是选择填空，这个难度确实比较大。 第九题选 ab 选项第九题，选 ab 选项。这个呢，大家自己做的这个题确实都对称了，其实你就直接带 f， 三分之二派等于零就可以了，对吧？然后你把 f 值求出来，往下正常做就行。这个第九题， 嗯，再有一个就是这个题没有选 c、 d 啊，我们当时我们之前说过啊，就是多选题的话，一般 高考历史上只有一次选的是 ab 啊，其他的时候就是 ab， 也说至少是对一个，我们也可以这么来理解这件事。然后来看这个第十题，第十题呢？多选题，第二个多选题，第二个，这个题是 abd 啊， 这个题我觉得出的还是比较不错的。这个题他牵扯到了一个什么呢？有的部分是二线，他有的部分是二线分布，你想想他有五道题，五道题是全对的， 有五道题是完全对的，有两道题的这种对的几率呢是五分之三，最后一道题的对率对的几率呢是五分之一。所以说呢，这个 d、 a、 b 选项都是分类计算就可以了。你比如说对八道题的概率是吧？都都对， 就是五分之三的平方乘以一个四分之一，这个是比较好做的，至少对八道，至少对八道，就是有可能对八道，有可能对七道，那那分成几类是吧？然后这个 c 选项呢，它有一个数学期望， 数学期望，这个数学期望呢，你如果一个一个做，确实是比较麻烦，但是你如果把它选项成二项分布， 这题还是比较好做的，用公式来做就可以。 d 选项呢是一个，这个 d 选是一个条件概率，按条件概率来做就可以，这个呢我觉得也是属于基础问题，不是特别难。 那我们来看十一题，十一题的 a、 b 选项呢，还是比较好做的，但是这个 c、 d， 尤其是 c 选项， c 选项呢，考试的时候呢，你主要是计算量的时问题，时间上可能不太够用。 题目本身呢是可以做的，包括这个 d 选项，这个 a、 b、 c、 d 呢？ ab 是 比较好选，这个题选的是 abc、 ab， 我 认为是非常好做，就是相对来说要好做一些。来看，我大概给大家写一下大概的图像，就是这样的，首先呢，你要能够确定这个点 m 的 轨迹，那么他说呢，这个点 m 轨迹是怎么来的？我们来看， 他说呢，和这个平行，和哪个面是平行的？和 a、 c， e m， 那 么就是 a e c e 和 a c e 和 d 就是 我现在画的这个平面啊，和这个平面是平行的，这个 o 呢，是对角线的焦点， o 就 大概就在这个位置上， 那我来看就相当于是什么呢？我要过点 o， 要做一个面和这个 a 一 a 一 c 一 d 啊，这两个面是平行的，对吧？那么已有了面面平行之后呢，再往下做就可以了。 所以说我们来看，我们首先呢要考虑，要考虑，那么呢这个面呢，它应该在哪里啊？就是这个点 m 的 轨迹，它应该是到底是什么样子？ 所以说你这个地方在做的时候呢，你要首先来做，根据面面平行来做，对吧？面面平行来做，其实也是比较好选的，你你看这个 a c 是 不是和 a 一 c 一 就是平行的，对吧？那么来看，如果我再来做，大家看我做的辅助线， 然后呢你如果连接哎这个 ab 一 ab 一 呢，和 dc 一 又平行了，然后再连接 b e c b e c 呢，又和这个 ad 是 平行的，所以说你会发现这个轨迹点 m 的 轨迹呢，它的长度其实就是 b e c 啊， 是一体点， m 的 轨迹其实就是 b e c 这个线，所以说你根据国五定律，马上呢就能把 a 做出来，那么这个 b 选项呢，相对来说也是比较好做的，他这个时候过的是 amd 一， 那么 amd 你 这时候找两个特殊点，这个特殊点是非常容易看的，你比如说我 m 就是 在这，当 m 取到终点的时候， amd 一 这个这个，然后它的结面肯定是平行四边形，所以说 b 选项也是比较好做的，但是 c 选项这个地方不好做，这个零啊，我们比较好判断，但是这个根号二好像不好算， 反正算不出来，算的话就是，嗯， c 选项呢，我可以选端点，对吧？选端点的话做上来好像是三分之根三，好像是三十度，那么到底是不是根二呢？我不知道，这个时候你就得间隙， 但是间隙算上来确实就是，好像就是三分之根三，就是 c 选项不选，那么 d 选项呢？他说但是这个就比较浪费时间了，你你感觉端点是不对的，但是你选不选这个就比较犹豫。 那么 d 选项呢？这个地方牵涉到一个外接球，就是这个棱柱的外接球，棱柱的外接球在哪里？外接球的这个球心，棱柱的外接球，球心应该是在高的中间位置上，而且呢是上下两面做投影的，肯定投到它的外形上。大概来看，大家来看 球心呢，这个这个这个这个这个，嗯， o 撇就应该在这个位置上，那么 o 撇呢？ m 是 动的，那么就相当于是我这个 o 撇呢，向 bc 呢做一个垂线，我要来求这个长度， 这个时候呢，你需要连接 o 撇 c 和 o 撇 b 一， 那么找这个三角形， 这是 o 撇，这是 c， 这是 b e， 那 我往这做的垂直呢，就是这个最小值，这个计算量确实是很大，因为你需要把 o e c， o e b 和 b e c 都取出来，然后呢来求高正弦定力啥的，余弦定力，是吧？都得用上，这个太浪费时间了。 所以说这个题的 ab 呢，还是比较好判断的，这是多项题的部分，嗯，然后我们来看这个填空题的部分，第一道题还是第一道题考的是切线啊， 切线的问题呢，我认为是在高考当中的一个比较重要的位置啊，大家一定要注意他这个，其实这个切线的问题在这考的还是不错的。 首先切线啊，切线是必考一个点，也不能说必考，反正每年相对来说考频是比较高的。嗯，这个第一个答案是二，这我不讲了，这切线已经讲了，已经说了无数遍了，切线是一个非常重点的问题，然后十三题， 十三题，这个呢？这，这，这也是一个常见的题目，对不对？你只要把这个图像画出来，他说过的是 f 一 f 二的一个圆，应该是 f 一 f 二的一个圆，他说呢，这个有一个 啊，有一个屁，是吧？这个这个点就是屁，他说以 f 一 f 二为直径，那么你连接这个 o p 之后呢？ o p 就是 c， 对 吧？ 然后你连接 f 一 p， 连接 f 二 p， 这刚好是一个直角三角形，因为这个时候 o c 刚好等于 o f 一， 也等于 o f 二，等于 c， 这个直角三角形斜边上的中线呢，等于斜边的一半，对吧？就相当于是你看我画的这个图，相当于就这样一个图， 这里呢就是 p， 这里是 o， 这是 f 一， 这里是 f 二，这里是垂直，嗯，这都是 c， 而且呢，这个角的 c 呢，它的 c 的是等于二，然后呢，来让你求离心率，结合定义 p f 一 减去 p f 二，假如说这里是 m， 这里是 n， 结合 m 减 n 等于二 a， 对 吧？然后呢， m 方加 n 方还等于二 a， 然后再结合刚才讲的这个，这个它的 c， 它 啊，还有这个等于二，然后再往下做，一做就能做出离心率了，这个离心率等于根五。这个题计算量呢，也还行，就是反正老老思路对不对，这种呢就是考试的最后阶段呢，这都属于套路题，就是你应该能不能很快能想出来 啊？然后呢，这个第十四题，这个题出的还是比较有意思啊，他说呢，恰好有三个零点，然后呢， a 的 这个取值范围和 b 的 取值范围。告诉你们这个地方，我们首先要搞清楚一件事是什么呢？第一个他这个讲了一个什么有序的实数对， 这个有序的实数对有多少种？因为 a 呢是正数，这个大于零小于等于六，所以说 a 的 选项呢，也是有六个， 所以说他这个有有序的时候，都是一共就是三十六种。第一个要想明白这件事，第二个步呢，我要来求，恰好有三个零点，这时候就是求导了，对吧？因为这个为什么要求导？因为这个函数图像咱不知道， 就是三 x 方减去三 a， 哎，这一看二次函数开口向上的，对吧？他有两个根，一个根呢是负的根号 a， 一个根呢是正的根号 a， 所以 说我们来看这个图像，你这个负的根号 a 就是 它的极大值， 正的根号 a 呢就是极小值，所以说我就能列出来不等式，就是 f， 负的根号 a， 你 得大于零， f 正的根号 a 呢，你得小一点，哎， 这样的话，代入之后呢，就会得到一个 b 的 范围，这个具体我不算了，好像是二 a 乘以根，二 a 就是 大于一个负的二 a 乘以根号而已，好像是这个东西啊，然后有些同学到这来就不会做了， 其实到这来往下也是比较好想的，到这来，我怎么想？我就让 a 等于一呗，一个一个算，对吧？我们来看，如果说这个时候，当 a 等于一的时候，你这个 b 的 范围就是大于一个负的，负的不管了，小于二对吧？ b 是 不是就只能有一个值， b 就 只能等于一， 那么如果 a 等于二的时候，那么 b 呢，就大于这个也不晚了，小于一个是四根二，小于四根二的话，好像是一到五都行，唯独六不行，然后就一个一个想， a 等于三的时候， a 等于三的时候，好像六个都可以，一二三四五六，哎， 然后这样做出来，其实是符合这个要求的， b 呢，应该是有三十种就有三十种符合，一共是三十六种，所以说就是三十六分之三十六分之五，最后的结果。 嗯，十四题呢，其实呢，嗯，就是反正就是一个综合，第一个综合呢，有一个排列组合进来，下面这个地方呢，有一个极值的最大值和最小值的问题。其实这个题不是特别难想啊，但是呢，计算也不是，计算量也不大，其实这个题出的还是相当不错的。 其实这一题十四题啊，这些题出的都还是比较好啊，高考题和这个感觉有点像， 无论是难度上还是这个，呃，计算量上，但是有些小题可能出的难度偏大了一点。 然后我们来看解答题的部分啊，解答题的部分呢？今年，但是呢，可能这套试卷也是受到了有一部分最近的有一些这个出题的影响，就是说的是啊，今年高考难度他会变大，对吧？这个是属于小道消息，那我来看第十五题，这个第一问呢， 有些同学这个地方做的不是很好啊，这个地方做的不是很好，他这个地方其实就是取倒数，就是取倒数，两边呢都除以 a 一， 变成了 a n 加一分之一，等于一个二分之一加上 a n 分 之一 啊，然后呢，取完倒数之后呢，你会发现 a n 分 之一呢，是一个等差数列 啊，就是说呢，到这来我们说一下，这个往下就不讲了，往下肯定你们会了，都等差数列出来了，对吧？ 那么有关这个数列的问题，在高考的时候呢，大概是什么意思啊？大概是怎么考数列呢？现在有两种说法，我认为呢，今年有一种可能呢，就是考前面的题，就是考第一题或者是第二题，就是十五题或者十六题， 那么既然考十五十六题，大家对于通向的做法一定要比较熟练，通向的考法一定要比较熟练啊， 但是呢，这个这个这个这个通项，通项，其实来来回回就就那几种，对吧？等差等比，然后呢就是那个代入系数，然后呢 a n 等于 s n 减， s n 减 e， 然后累加累乘，还有求倒数。 其实长时间我们需要准备的就这么多啊，其他的不用准备太多啊。第二个是一个错位相减，因为去年应该考力量相消了，今年考错位相减的几率应该不是很大了，应该是比较大，如果考到熟练的话，当然也有可能熟练考最后一道题。 好，这是我们讲的有关这个题，然后呢就是统计概率，统计概率呢，在这个地方出了一道大题啊， 统计概率这个点呢，现在网上比较说的比较多的还是认为统计概率今年会考这个最后一道题，我也偏向于认为考最后一道题或者是倒数第二题的一个难度， 因为为啥呢？统计概率去年已经出到前第一道题了，今年不应该再出简单题了。这个题的第一问呢？哎呀，这个什么中中间值，求这个平均数是吧？其实这题出的挺好的，我认为这个题出的还是不错的啊， 大家呢，可以认真练一练。这个第二题呢，它结合了一个什么呢？它结合了一个这个正态分布，正态分布呢和三 c m 原则和这个求概率的一个东西来算。这个题出的其实也是比较有新意的， 就方案一我们不说了，方案二，比如说他说呢，在不高于这个里边呢，给赠送是这个钱 啊。方二呢，比如说他可以说是 x， 如果是想要等于二百二的话，就是我赠送的二百二，那么其实假如说后边是 y 的 值，那么不高于就是小于等于三七八，算一算它的概率。这个地方呢，大家只要把 数学七八的这个 m 和 c 个码算清楚就可以了。这个 m 呢，好像是第一问算出来的，第一问因为有平均值，第二个 c 个码是谁，他都说了标准差是 s， 然后告诉你 s 是 六十九点 六九五，这个地方好像可以把它变成七十，也可以不变，直接做也行。那么你这边不就是没有加 c 的 吗？这边就是没有减 c 的 吗？对吧？ 其实正态分布，正态分布基本上高考的时候不会出特别难的题，基本上就考到这个难度就可以了，十六题呢，我认为大家应该也要认真对待一下，这个题出的也是比较好的。 然后来看例题几何，例题几何呢？这个第一问呢，有些同学，我现在问的是有些同学第一问好像没做出来，是吧？第一问感觉有点难啊。第一问呢，其实关键问题就是什么呢？我如何来证明这个 m c 要垂直于 b d， 那么如何来证明他啊？如何来证明他？像这种题啊？像这种题一旦是在一个什么正方形啊，什么一个像这个题，他是一个在一个梯形当中， 对吧？然后呢，我要正这两个线垂直，这个时候一旦我一看不大好做，对吧？直接正正不出来。这种题肯定是用向量来做的 啊，用限量来证明，限量来证明就是什么呢？我把就是我要来正向量 b d 和向量 m c 的 数量积等于零， 或者正垂直，不就是正数量积吗？把 b d 呢找两个基底，比如我都用 ab 和 ab 来表示，都用 ab 和 ab 来表示，然后算一算它的数量积为零就可以了啊，这是一个，这是一个，大家一定要注意类似的题，其实这种题见的挺多的。那么第二个问题， 第二个问题，如果说实在是迫不得已，实在是万不得已了，那我大家我知道我这个题就是垂直，但是我想不到方法，那你考试的时候你就直接写上 b d 和，因为 直接写 b d 和 b d 和 mc 垂直，实在没办法了。然后我还证明为什么，我为什么这样说，因为这样的话不影响你做第二问啊，不影响做第二问，就是所谓的跳步， 跳步的时候呢，在高考的时候应该是顶多就给你把这一个步骤的分扣掉了，后面的分他还是会给你的，所以说，所以说呢，就是一个经验之谈啊，程度好的同学呢，这个题第二问就没有啥了。第二问就是垂直的话，就证明这个 ap 和 ed 好 像相等，是吧？三线合一，然后再往下做就行了。 但是呢，其实这个题出的还是稍微有点偏了，稍微有点思路上稍微有点偏。然后呢，我们来看第十八题，是吧？十八题第一问比较，第一问好像也同学做不出来，是吧？你把那个图画出来，他就是什么相邻的一个正方形了， 就是你这是一个通径了，相当于是我这个圆刚好在这里。哎，它这个直径呢，它俩是垂直，就证明这个直径和通径是相等通径，你一算就是二 p 嘛，这个半径直径好像就是八，是吧？就是 p 等于四，所以第一个就是外方等于八 x， 这是第一问啊，那我来看第二问，第二问这道题，哎，我认为这个题真的应该是 应该是能做出来，因为这个题确实不是很难啊，因为这是典型的过一个交点交于 ab 两个点，对吧？你最不计连立方程组，你总会吧 f 点坐标是二零了，所以说 ab 的 直线方程，你一设就是 x 等于 t y 加二， 这个反射直线呢，我非常建议大家来学会，其实这个题你不会也没问题，不会我照样能做，对吧？然后呢，和外方等于八 x 连立，把维达定律写出来， 哎，这个地方有一个地方呢，他们在我问的有些同学，他们在做这个 a f 等于 b f 的 时候，就是 a f， 有 两种思路，第一个思路呢，就是用的是 x 一 加上一个二分之 p， 对 吧？ 加上一个二，这是可以的，用的是定义，也可以用弦长公式。弦长公式，比如这个题，就是根号下一加题方乘以一个 y 一 的绝对值，对吧？然后一乘，这个怎么做都可以， 但是不推荐别用两点之间距离公式啊，两点之间距离公式你就做不出来了。那么 g h 的 坐标呢？你肯定能做出来，因为这点的横坐标是负的二分之一，纵坐标就是 y 一， 对吧？然后下面是 y 减二，而且呢，这是一道证明题， 而且这是一道证明题，所以说你这个第二个没做出来的东西，我我建议啊，我非常建议大家认真来对待一下，因为高考的时候呢，这个第二个呢，我们重点还是考以计算为主啊。接下来就是这第三问，第三问，这个题就是 我问了几个同学啊，大家做的不是很理想，这个题感觉比较难，其实第三问，哎，没有想象那么难，这个题他都是设点啊，而且这个点的坐标都已经告诉你了，对不对？所以说你不需要他做啥了。 你比如说他说过 m 且斜率为二的直线，那么这个直线方程不就是 y 减去四 t 等于二倍的 x 减去二地方吗？ 然后它和 y 等于 x 的 交点，你把连立方成组，那不，你那样的话，你不就把 q 点坐标写出来了吗？顶多这个数就复杂一点呗，对不对？然后接下来再说， m q 等于这个 q p， 那 么 m q 等于 q p 就 算向量呗，我就直接算不就完了吗？那么 m q 是 不就等于 o q 减去 o m q p 等于 o p 向量减去 o q 向量？所以说 o p 向量不就等于二倍的 o q 向量加上一个 o m 向量吗？但是你说我不会这么做，那你就老老实实算，那么这样的话，你就能把点 p 的 坐标做出来了，对不对？ 点 p 坐标做出来，那么 o p 的 直线方程不就是 y 等于 y p 比上 x p 乘以 x 吗，对不对？那么 o p 的 直线方程，然后接下来和 y 方等于八 x 连立，你是不是就用求出来点 n 的 坐标， 点 n 的 坐标求出来，那么 m n 的 直线方程是不就是两点式就可以了，或者是斜截式，对吧？或者点斜式，先求斜率，再用点式吗？ 虽然我这个最值做不出来，但是 m n 的 直线方程我应该是能够写出来的。这个题好像写到这给的分值挺高的，写到这的话，我记得是给到十十三四分了，就给到了啊。呃，对，就给到十三四分了，就基本上。 所以这个试卷呢，对于基础好的同学来说呢，上一百二十分应该是难度没有那么大，甚至有同学能可能上一百四啊，但是上一百四的同学应该不多，但是上一百三的同学应该有一部分还是因为这个他没有说，呃，毕竟还是以常规思路为主啊。 然后呢，就是最后一道解答题，最后一道解答题呢，这种题咱们也讲过非常多的次数了，非常非常多， 基本上最后这段时间一直在讲。第一个求极值啊，极值呢，大家这个地方应该比较简单，求完倒，这个一定要注意啊，你求完了倒之后，这不是 x 分 之一减一吗？写上定义域 一定要写单调性啊你，你没有单调性，你不可能有极值，对不对？你不能就说 x 等于一就是它的极，什么值？它为什么就是写单调性啊？因为它是一减 x 一，所以说呢，在零到一之间呢，是一个增函数，然后一到正方形之间是一个减函数，所以说他只有极大值，极大值就是 f 一， 但是没有极小值。把这些话都说清楚了， 嗯，这个地方坐到这的话应该是四分，应该是四分，这个分值还行是吧？还可以，如果只求倒的话，应该就只给一分。第二个来看这个横成力是吧？横成力我们一直在讲，我也认为这个横成力问题是 咱们今年的高考一个非常重要的问题啊。恒成力的问题，现在呢，有关导数的一个考法，基本上就是有两个考法是基本上是二选一啊，我认为今年的高考就是二选一，要么就是考恒成力 第一种，要么就是极点个数，两个极点或者两个零点，但是应该不会考极点偏移啊，我认为应该今今年不会考极点偏移。这个地方来看，恒成力我们当时讲过首选多少是分离参数法， 第二个才是整体求导，那么这个分三行不行？你看你这个 k， x， 你 小于等于这个数的时候，你 x 往这边除， x 是 大于零的，不需要分类讨论。所以说这个题是可以考虑分三的 啊，是可以考虑分三的，绕 x 减去一个绕 x 加 x， 而且分完餐之后 k 要小于等于这个数，就要小于等于这个数最小值，那么求完倒之后发现如果他有最小值或者说最小值比较好求，那么这个题是没问题的， 哎，对吧？所以说这个题确实比较简单啊，连有些同学说，老师这个题能不能有必要性探索？我给大家说一下这个横长立的考试的时候一个思考的顺序问题啊。 第一个我先考虑的是分餐，第二个我先考虑，再有一个就是整体求导都拿到左边去呢，都拿到右边去求导，然后这两个话如果都不行，再考虑必要性探索或者是单体认证。 这个答案上好像给了一个必要性探索，是吧？我记得这个题不是，这个题不是端点验证啊，这个题不能用端点验证来做 必要性探路。这个不是端点验证啊，必要性探路呢？一般像这种类型的题，我们不会做端点验证，为什么呢？因为你得把那个最端最头上那个点，最头上那个点 x 乘以零， x 乘以零的话，你这地方就会出现 l 零了， 对吧？你如果是捞引零的话，那你就要来考虑什么呢？你如果是捞引零，你就要来想捞引零，他的极限情况，那么极限情况你不是出罗比达了吗？对不对？所以说这个不是那么做，但是你可以整体求到，整体求到之后，好像跟引零那也有点关系啊， 所以说这个第二个呢，直接用分餐就可以啊。答案上写的这个必要性探路呢，他反正就是给了你第二个选项，你可以试一试，但是我认为这个必要性不大，可以不考虑这个东西 啊，好像也可以是吧？好像也可以啊。对对对，必要性探路是可以的，但是呢，必要性探路你得把它化简一下，把它化简一下。 嗯，好，尽量尽量分餐吧，因为这个题非常简单的分餐啊。然后第三问呢，还是比较比较难的。第三问，我给大家说一下，你们， 我感觉需要做这个题的同学不多。第三问，他说这个地方呢，在这上面零点个时候，这题肯定是整体求导，对吧？全导之后，像这种题啊，含有这种扣三元三元的题，他是从负派到二分之派，这地方你可以分段， 你把它分成三段。什么负派到负的二分之派，负的二分之派到零，然后零到二分之派。我为什么这么分？因为在这个里边，他的 cosine 的 增减是定的， cosine 增减也是定的，最大值最小值也是定的。 所以说这种题呢，如果在高考的时候遇到呢？就是如果说想要得分的话，就是优先讨论恒成力，你能不能看出在这几个区间里，你能够把恒成力做出来就是胜利了。好吧，这个就是我们讲的这个第十九题啊。 整体呢，我们大概给大家分析了一下，其实这个试卷呢，我觉得出的啊，整体来说还是比较不错的，整体来说还是整体是没有问题的。第一个呢，其实整体来看还是比较好的，因为他考的很多的都是套路化的题目，就是考你的熟练度， 他没有太多的新东西啊，都是些老题，相对来说就是没有说什么新花样啊，都是些老题。看看你对于这种经典的题目，这个是不是够熟？如果说不熟呢，大家需要再来练一练，再总结一下 啊，因为没有太多新鲜的东西，这是第一个。第二个难度上来说呢，我认为这套试卷的难度，呃，这个就是低档题，偏少，就是那个 整体来说都计算量都比较大，他这个他这个做，我估计啊，我估计咱这个初级老师是受到今年能今年比 难度要大于二零二五年是吧？大于二零二五年的难度，有有这么一个说法，现在有这么一个说法，我看各个地方出的魔法题基本上也是朝这个方向出的，他们这个原他们这个这个，这个理由是什么？就是这个武汉四钓，对吧？他们是根据这个东西来来说的。应该是啊， 武汉四钓的一个说法，因为武汉因为他是根据二零二五年的一个情况来看的，武汉四钓难度比去年难，所以说他们就认为这个东西就是出了难。 这个但是呢，大家呢可以练练，我认为应该难度没这么大，特别是选填题。第三个呢，就是虽然简单题难度变大，但是解答题我认为难度差不多。 解答题的难度还是比较符合的啊，就是除了最后一个题不够难之外，前面就像这些第一题，第二题这种中档题 确实也差不多，确实也差不多。这个中档题呢，大家要认真对待一下。第四个呢，就是说这次考试呢，我考试之前给大家说了，这属于一个练习性的一个考试，把它当成周测就可以了， 注册或者月考，不用有那么多的心理负担，心理负担呢，也没有什么意义到，毕竟到了最后的时候，如果说你到最后这段时间呢，这个学习的这种 这种意志力还是比较强的话，就是总结一下这个这个地方做错了有哪些，然后这些里边呢，都有些基础方法的问题， 大家把这些方法呢要总结一下，有问题呢可以再问问我啊，或者是问问老师，问问同学啊，我这些基础话搞熟练了，那么高考的时候呢，我遇到一个熟练的题目呢，起码不会慌。第五个呢，就是对于押题来说，押题呢，我们 后边呢会给大家再来讲押题呢，现在到了最后这个阶段呢，基本上押的还是以己答题为主了，选择填空呢，我押中一个呢，也意义不大。己答题的押题思路呢，现在也是比较多的，但是呢，咱们这个试卷来看，整体来看，如果说把它放来拿来押题的话呢， 这个这个可见度没有那么高啊。这个押题呢，一方面是押己答题，再有一个就是出题的方向问题， 因为你比如说吧，像这个题就没有考三角函数，对吧？解三角形好像没有解三角形的，我认为今年应该考的，反正这里现在有两个思路，要不就是解三角形和熟练的这两个可能会有一个会会去掉，是吧？或者说不会单独出题，但是我也更倾向于考解三角形啊， 解三角形的考法呢，就就有那么多，比如说你这种数列的考法呢，基本上就是解，呃，求和就是两种对吧？要么就是理想相像，要么就是错位相减，今年的更向倾向于这个，这个错位相减，理想相像，对吧？所以这个方向呢，我们后期再考， 后期呢我们再来认真再来讲一讲，如果需要同学呢，咱们再可以再说，嗯，然后最后的就是真正的押题卷，就是打靶卷啊，打靶卷其实现在还没有多， 我这里手上现在不多这种打把卷，还要可能再等上一周的时间，真正的打把卷，打把卷就是每年的到最后的临高考的一周左右的时候呢，会出现一些各个名校的打把卷会，那个是真正的预测卷啊，那种预测卷的范围也比较小啊，所以说呢，相对来说就是说重视一些 啊。好吧，这个就是我给大家来讲的，大概分析一下这个三模，三模的话呢，大家呢放平心态，然后呢多总结考的成绩呢，其实我认为是无所谓的，好像这次也不也没有这个这个这个 排名了，也没有分数线了，这个时候分数线什么都已经没有意义了，其实大家呢就是尽量多准备，准备的时候呢，还是以基础的东西为主， 他高考考的是你对于基础的概念的理解问题啊，他并不是现在计算量已经降下来了，大家更倾向于考他的理解问题， 我们现在做到的这些题目其实都是为了帮助你来理解这个一些基础的概念而已。好吧，大家就可以这样来，对于这个高考的这个准备呢，可能会稍微好一些。好吧，这个这次课咱们咱们就讲到这，有什么问题呢？咱们再说啊，同学们再见。

好，整体来说呢再给大家快速的过一遍啊好，接下来用技巧快速给大家过一遍滨海新区三模的单选。那第一个呢叫情景交际纯翻译但是呢我们直接看横线的一句优先看啊 uh little weeks left 还有好几周呢后边删掉对吧。 a 是 说我们今天就这样吧啊感觉 a 可以 啊 b 呢就这么定了或者是尘埃落定或者是解解决了 感觉有点怪 b 呢是 that's the point 等于有道理等于 that makes sense right 四 d 呢就是慢慢来不慌啊四 d 也挺不错那么如果能出答案就直接出了如果出不了像这样啊你再往前读一下他说 i still haven't decided what gift to prepare for the coming mother's day mother's day 几月几号呀这个啊已经过完了吗这个 ok anyway 他 说我不知道给母亲什么礼物啊他说你别急你不能说这个咱们 今天这个完工吧就哈哈哈直接选收工吧就啊直接选四 d 啊他说 take your time 等于别慌等于什么呢等于 no rush。 记一下啊等于 no rush 等于还等于什么呢等于这个啊，叫 haste makes waste haste makes waste。 欲速则不达心急吃不了热豆腐好吧 ok 嗯第二个 呃第二个撞从纯翻译但是也没必要都翻译 pressure 什么压力呢不重要就是压力对吧被好好的控制健康的控制将会有一个消极影响。什么消极影响呢不重要不重要不重要啊。好，所以我们代入翻译就完了啊 压力呃自从被很好的控制有个消极影响肯定不对啊一旦也不行除非除非嘛，除非被很好的控制，健康的控制啊，将会有一个不好的影响。直接选 r b 啊，好，第三个， 第三个定从 the way 先行词的 way。 答案是三个，咱们讲过 that in which 或者不填，所以答案直接选 r b。 下一题第四个 over 的 past 多少年是现完，那么 c 和 d 排掉。呃， together with。 看前边 cos 的是单数，单数现完直接选二 b 下一题 第五个，呃，第五个辨析题找搭配，行求名，复求动。那么在这里呢，考察名词，找一个形容词 proper 表示合适的。合适的什么呢？ a 式方法， b 式方法， d 式方法都有方法，那完了对吧。那，那考察的是什么呢？意思和用法？考察的是用法 啊，考察的是用法。那么 to 加 doing approach 加 to 加 doing 直接选 a b 呢？加 of 的 means of by means of 都背过对不对？ method 也加 of 对 不对？ way 也加 to 单加 to do 对 不对？所以直接选 a 了啊。天津不会考这种啊，它不会考意形，这个形似或意似的辨析不会考啊。那注意了， approach 除了 表示方式方法还有什么意思？还有靠近的意思，还有靠近啊，靠近，明白吧啊，就是 around the corner， around the corner。 好 吧，那么第六个， 第六个非谓非谓啊。看到逗号先把 to do 给排掉啊。这个逗号后边就不选 to do 好 吧，要记住啊，除非有插入语，但是高考也不考插入语，特殊句是不考了对吧。那么我们来看一眼 the project manager invited invited him to the to the meeting。 先把两个修饰词删掉啊，就变成 the manager invited them to the meeting， 对 吧？经理邀请他到会议上啊，什么？他介绍？他肯定是主动。经理介绍主动直接选 c 没错吧？ a 一 般在句首必须有明显的时间先后，呃，甚至他会给你翻成已经，甚至会给你一个附加一段时间。 d 是 被动直接排啊，好， 第七个第七个 the opera 后边儿删掉啊。 if you want to enjoy your performance。 如果你想要，想要欣赏这样一个表演， 这个 opera 怎么样？ a 是， 呃，这个不顾风雨，这快别了。 b 呢，是符合所有的标准， takes all the right boxes。 c 呢，是人做主语对吧？ d 呢，是 paves the way。 为什么铺路一般是为成功铺路，后边也没有成功。他说，呃，如果你想看一个什么呢？看一个表演，结合了音乐，戏剧戏曲和一些其他的，无所谓了。那肯定是符合所有的所有的标准呀，直接选二比一啊，好。第八个 is what to me happen to me？ 表示什么？发生在我身上了对吧？还呃， occur to me 表示我想到 is what to me that i could book tickets online 呃，中间定语全都删，连续三个定语直接排啊。他说我可以网上订票 对吧？那肯定是我，呃，我想到呗啊，对吧。然后逗号加 which， 加动词直接填 which 不 能。然后逗号和介词后边不能填 that。 这是咱们也讲过四 d 四 d 排调直接选 c 没问题吧。啊，这个出这个第二题出的很好啊，高考可能会考啊。好，第七个啊，第八个第九个，第九个第九个。呃， 这种啊，这种表从看从句啊，表从宾从看从句。记住了啊，它说， eating local food is better for the environment。 呃，吃本地菜，这个对环境更好吃嘎巴菜，煎饼果子，对 对环境更好是吧。呃，为什么呢？ because it doesn't need 它不需要什么呢， 对吧？呃。本地菜不需要什么呀？不需要 need to be done 嘛，等于 need doing 记一下就完了。直接选上 b 啊， ok？ 不 需要背运输嘛啊？直接第十个第十个，呃， small talk can help you figure out。 可以 帮助你搞明白 搞明白。后边缺个东西，缺个宾语 you have 什么 in common have 后边也缺个宾语，前缺后缺选 what 直接选而 b 对 吧，且翻成什么对吧？或者是事情对吧 ok d 是 一， d 是 一，又是辨析找搭配，直接全名词 bedtime。 呃，睡眠时间， a 是 灵活的可以， b 呢是一致的 啊，也可以。 c 呢，可获得的不行， d 呢是 contradictory 相处的也不行啊。睡眠时间和起床时间对吧？那前面说的是 regular life 有 规律的生活有规律等于 consistent 对 吧？需要一个一致的，每天得一致对吧？起是这个，这个作息时间嘛。啊，那么第十二题， 第十二题，呃，还是一样，你看兵从是不是看从句这前头都废了啊。所以是 watching online， online videos。 呃，刷视频呢？在手机设备 什么电视和电脑可以省电，省了百分之四十四的电。 ok 而不是吗？而不是啊。 a 是 取而代之而不是吗？ c 是 除除了 d 呢？是 啊，虽然吗？即使虽然。这让步不说了啊。 ok 第十三题呃，链的话一般考代词啊，一般考两个， 你看它代指的词，如果是单数选代它复数选逗子，对不对？除了链还有否也是一样的啊？一般是这样一般是这样啊，所以在这里呢，你可以看到 data processing capability 数据处理能力在这个五 g 芯片是比之前那一代更快。 通过翻译呢，你要知道它是个数据处理能力，能力是单数。直接选 c 了，结束了，对吧？ even if even if you are k care。 说 driver， 即使你是个老司机啊，就是你开车老特别小心。 you 有 什么？ miss read a traffic light， 你 可能闯红灯，对吧？这读错了，一个叫红绿灯，那不就闯红灯了吗，对吧？你可能吗？直接选 r b 啊， can 翻译为可能啊， 剩下三个不是人话啊，你必须闯红灯，你应该闯红灯，你这个你，你需要也不行。第十五第十五，辨析找搭配 process 结束了，就这一个词， 这个过程。什么过程呢？就是经历这个过程。直接选 a 啊，下面三个您翻译一下都不是人话。 put put the side， 搁置 brain of the brain 表带来后边一般加改变啊， brain 表示，呃，夺门而入，这快被夺门了，直接选 a 了，没有问题吧。啊，还是比较简单的啊，还是比较简单的，并且咱们有很多的 题。呃，咱们的五月五号二考点经都有覆盖，覆盖到啊，比如说第十三题对吧？第十二题你斯特姆也讲过对吧？ 呃，第第十题前缺后缺选 what 对 吧？然后这个 which 逗号加 which 加动词，第四个了，对不对？呃，然后那个非谓啊，非谓主动， 呃，第四个对吧？现玩的时间标志词，除了 over， 还有 during， 还有 for， 还有 in， 还有最后一个 within， 这五个词对不对？这五个词对不对？第六个 the way， 第七个 对吧？第七个讲到了七个啊，相当于一半了对吧？一半了啊，没有啥问题啊，比较简单啊。 ok， 好 好。呃，整体来说并不是特别难啊。并不是特别难啊。

这他是淄博三模，最后的分数非常的差，听说这个试卷是非常难的那种啊，所以我考这个分数好像并没有特别意外， 但不知道为什么，我的目标是幺三零，呵，最后的估分最高就是幺三五，最低幺幺九，也就说我的失误应该是占了很多的，就很多题我都有把握，但是最后呢，还是草率了。 我们依次来看一下啊。这个试卷就按顺序来看吧，单选题，第三题我直接就错了，真题我都感觉我做过的。呃，但是我这里现场思考错了，因为从背从不背题目嘛，所以直接第三题就开始错，这是一个失误， 然后第七题也给搞错了。呃，第七题我不会，我忘记了，我算半天算不出来啊，奇奇怪怪。对，这个是我的问题，第八题是非常的简单的， 然后第九题全对，第十题，第十题全错，我把这个 a 给选了，应该是和准象相切嘛。我一次想背二级杰顿，结果还背错了，非常的无语啊。第十一题直接蒙了一个 b， d， 嗯，非常稳就得了四分。 是蒙的吗？我不太记得了。应该是蒙的，我应该没有那么多时间。接下来是第十一、十四啊，十四题，这个其实难度并不大，但是又是， 嗯，对吧。最后我们总结下来就是这三种情况，我们是 a 是 二的倍数， b 是 五的倍数， c 是 都不是，所以他应该是这三种情况。 我的时候好像搞多了，对，我的方法不是特别好啊。但其实我们当时做完也是在直播间研究了很久的，我们反复的找，因为我的第一反应是找反面， 反面的特别复杂，特别复杂，六七种情况，其实我最后呢，我们啊受到我们有银匠同学的提示啊，他应该找这个正面就有三种情况，那么呢就可以轻松搞定的， 十五十六没有问题的，第十七题也没有问题，然后就是这个第十八题，第十八题，我居然把这个第二问真事没搞定，前段时间明明是遇到过一次的啊， 最后我是想明白了，他就是什么呢，就是以这个为中心，这样一个双曲线在底面上。呃，可惜我考场没有想到这一点啊，之后这里也是痛失很多很多分，这里起码有六分吧。 不懒得，我只能说第二问不懒得。第三问这个东西我看都没看啊，没有时间啊，我第二问就一直搞不定，我一直不知道为什么，想不清楚啊，他这个到底是什么玩意？ 唯一做的比较好一点的就是我们第十九题了，他的我这第一问呢，一开始我很草率的去进行了一个分解参数最后端点值是个零，我总不能用罗比拉法则吧，所以我最后第一问重新做了一遍，总算是搞对了。我的评价是这个第一问应该是第二问的难度 好。第二步呢，只要想到什么把赛旗次化就行了，想到旗次化就可以轻松进行一个判定哎，这个的范围，然后就可以轻松得出这是一个等比数列，很简单。第三问的话我是只搞定了左边，左边成立队我只搞定了左边，因为左边又是很常规的，跟我们广州那套是差不多的， 右边的话我们没有时间思考，我就最后选择简单尝试后选择了一个放弃，嗯，所以大家会看到这个十九题我都只扣了四分，对不对？就这个较难的我反而有些还会的啊，像这些中等难度的，我非常容易失误啊 啊，这个很多同学都有这样的疑问对不对？我们这个很难把自己的考试的能考试中把能力完整的发挥出来，非常的正常的， 我们首先要这样，这种问题我们不要慌啊，不要慌啊，多练习，多练习这个考场的这个心态啊啊，我也会跟大家一起去练习这个心态的。其实我在高中的时候，我刚上高一的时候，特别容易失误，每次考试过后，因为我上课表现非常活跃啊，我话比较多啊， 跟老师互动比较积极啊，所以老师对我的印象特别深啊，每次考完都会过来帮我分析试卷，说我本来应该拿多少分的，拿全班第一的，结果就因为失误怎么样怎么样，那我一定要小心。然后就这样持续了什么？持续了半个学期 啊，然后我期中考试又是因为失误考了个一百分，百分考了七十多分，于是呢，我们老师他就再也不会来帮来帮我分析了，上课也感觉就是有一点刻意的去回避我跟他的互动， 我当时就是呢，我就非常的伤心啊，当时我就非常伤心啊，嗯，我想要干嘛呢？我想要证明自己，我想要证明自己，所以我也不知道我是怎么就下，就是自己就 我也不知道怎么怎么搞的，我现在想不起来了，如果我想起来，我肯定现在也那样搞啊，就是就克服了这个问题，知道吧，就整个高高中我就失误就会特别的少，我也不知道为什么， 就后面的时期，我就是整个的失误就是特别少啊，整套试卷最多一般就失误一个题目而已，而我现在，我我不知道当时我是怎么做到的，哎。主要是什么呢？大学四年的话，这个啊，把这个英雄联盟啊打了四年人都废了呀， 想不起来了，我那四年都没进步啊，就像一直在倒退的这种感觉，现在想重新拎回来，所以还需要继续努力。大家一起努力 哦。哎呦，好哥好哥好。