2023天门中考数学试卷几何大题

来，如果今年的中考考这道题的话，我估计做出来的同学肯定非常的少。 告诉我们三角形 a、 b、 c 中 b、 c 的长度是二倍，根号三角 a 是六十度点 d 呢？在 a、 c 上，并且 c、 d 和 a、 b 的比是一比二，问的是 b、 d 的最小值。这道题目，首先 b、 c 长度已知角 a 是定的 定弦，对了，定角一定有定圆，所以咱们先把定圆给他画出来，那么这个圆大概的情况就是现在这个造型 知道了以后呢，我们就知道点 a 应该是在这个圆上来回的运动，那么此时圆心如果咱们认为是 o 的话，我们会发现，如果连接 b、 o 和 o c， b、 o、 c 这个角一定是角 a 的两倍，也就 就是一百二十度，那么相应的 o、 b、 c 这个角和 o、 c、 b 这个角都应该是三十度。那么接下来有一个条件给我们提示， c、 d 和 a、 b 的比是一比二，这个条件给的非常的无厘头，我们要怎么和他联系呢？ 在所有特殊角的比例关系中，三十度的正弦值的比不就是一比二吗？而 o、 b、 c 这个角就是三十度啊，所以 o、 b、 c 这个角应该是被构造出来的， 咱们不妨去连接一下 b、 o， 并且延长与这个圆相交到一个点，这个点呢，咱们叫做点 e， 再连接一下 e、 c， 那么我们会发现一个问题，此时 e、 c 和 b e 的比也是一比二呀，那么这 里是一份，这里是两份，这里是一份， a、 b 是两份。如果咱们连接了 d、 e， 并且再连接一下 a、 e 的话，大家就会发现 c、 d 比上 a b 等于 e c 比上 b c， 并且这两组边的夹角是同弧所对的圆周角，那么当然相等，所以此时 e、 d、 c 这个三角形和 e、 a、 b 这个三角形一定是相似的， 既然相似之后，那么角 e、 d、 c 就会等于 e a、 b 等于九十度角 e、 d、 c 是九十度啦。输 说明 e、 d、 c 三个点一定在以 e、 c 为直径的圆上，咱们把这个小圆呀再给他画出来，这个圆大概的位置应该是这么一种情况，咱们把它还画出来， 现在就变成了要求圆外的一个点到圆上某点的距离的最小值了，直接连接点 b 和 e c 的终点，也就是圆心即可。咱把它连起来，这个点叫做点 q 的话，那么我们要求的话就应该是 b m 的长度， b m 的长度就等于 b q 再减掉一个半径，也就是减去一就好了。 b q 的长度直接利用歌舞定理 b c 十二倍，根号三而 q c 是一的话，那么最终 b q 当然是根号十三而半径是一。这道题目咱们就做完了，大家听懂了吗小哥？

中考压轴助神黄昏。哈喽啊，我们给大家分享一下二零二三年陕西中考的大压轴，也就是全卷的最后一道题，十二分，看看你能拿几分 说呢？如图所示，点个象形 o a 等于 o b， 它是一百二十度，那就是一百二十度的等腰，这样去买 ab 是 二十四，然后呢， p 点和 m 点分别是两个动点，问什么时候 p m 最好值，简单的就这样做圆心，过圆心往下做垂直，哎，这是 p 点，这是我们的 m 点， 也就是说 pm 最小值是我们图中的 p 一 m 一， 而 p 一 m 一 怎么求与圆相关呢？就是拿圆心去求，也就是 o m 一 减去 o p 一 就行， 剩下的就给答案呗，应该挺好做的啊，好给吗？这是二十四，你往下做垂直的话，这个就是十二，所以说明我们的 o m 一 就是六呀，六减去 o p 一， o p 一 是半径呗，半径给的是四，所以它的最小值是二，简单动一下分吗？上来先来看看这样的， 这样的题目有点长，我们一起读啊。题目意思说，这有个五边形，然后呢，一个直角，两个直角，三个直角，并且这个总长是一万，这个总长是一万， 然后呢，这个长度是六千，这个长度就是六千。那你这样一来的话，我们如果把这边稍微补一下的话，则这个长度是四千，这个长度也是四千呗，对吧？也就说 b f 的 长度是四千， 没问题啊，好，他看要干嘛？他说在上面这个矩形区域内要修一个圆，半径为三十， 然后现在过圆心，往这边做个垂直，产生的 m n， 它的要求是，第一个要求，它俩之合要最短。 第二条九，在这个基础之上，它要最短。第三个要求，请求出此时的 o m 是 多少，我们一步一步来哦，先看第一个要求， b n 加上 p， e 又小值， p 是 圆心的问题，所以我们扣 p 一 点， 那就是请求 b m 到这个圆，再从圆到 e 又垂直，而且我们要求，因为它这是垂直的话，说明 o m 这条线是跟 a e 水平的， o n 呢？又是固定的三十，因为半径是三十嘛。 那这个时候 o n 这个东西，它其实方向也确定，长度也确定，你摆在中间就很违和，其实要干嘛呀？平移，我们可以把 b n 向右平移三十个单位长度，这个即为 b 撇，这是三十， ok 吗？这样一来，它本来要求的是 b n 加 e p， 而现在平移半处是不是变成了 b 撇 o 加 e p， 知道为什么有平移吗？因为你这个三十很碍事嘛。方向距离中确定你卡在中间干什么？没有用？好，那现在就是求它的对值，求它的对值，你想是不是它的长度加上它的长度，而它们之间的这个长度又是固定的三十， 那我是不是可以说其实是在求这三段的长度，因为这是三十五度的吗？加他有他没他无所谓，对吧？那你知道这三段什么时候有对称吗？那最简单，那不就是从 b 撇到 e 吗？所以我们直接连接一下 b 撇 e 就 行， 我们直接连接下 b b e， 我 们可以说两点之间相差最短，也就说这三段相加是比这个东西要大的。那当然我们两段相加的话，它就是大于等于 b 撇 e， 再减去个半径， 能理解吗？就这个三十的这个半径，你最终再如果要算长度还是要减掉，那说明什么？说明他们想要最小。我们的 b 撇、 o、 p、 e 这四个点就得共线，而想要共线必须在这条这条线上。共线说明什么？说明圆就在这条线上， 能理解吗？圆就在这条线上，它可能是这样的啊， o 点在这儿，也可能在这儿也有， 好的吧。好，因为它没问到最短值是多少，我就不晓得啊。好，来回答第二个问题，在这个基础之上。什么叫在这个基础上？就是在圆圆在这条线的基础之上，想要 m n， 这个 m n 最短，其实就是 o m 最短。想要 o m 最短，就是让圆心到这条线的距离最短，但是圆心要必须在这条线上，而且，而且它还要求我们要在这个矩形框内修一个圆， 那圆在这条线上想要离 ab 越近的话，是不是圆心要越靠下越好？是吧？我巴不得圆心在这呢，圆心要越靠下越好，但是最靠下，最靠下，你不能出了这个矩形，那你说最靠下是什么时候？ 就是当圆与这个矩形的边框相切的时候， o 也在这的时候。哎，这个我们切 o p 吧。 当圆 o 在 这个位置的时候，此时就是最靠下，因为它已经和 f d 相切了，再往下就要出这个矩形好了。那么这个时候我们请求 o m 的 最值，不就是过这个点做垂直吗？ 哎，这个就是我们要的 m 撇，这个就是咱要的 n 撇。 所以回答第二个问题，当圆 o 在 b 撇， e 切，圆 o 与 f d 相切，哎，这个时候我们是有最小值的， m n 是 最小的， 然后它的意思是请求出此时的 o m， 第三个要求，请求出此时的 o m， 此时的 o m 就是 等于我们的 o 撇 m 撇呗。也就是说请把这段长度算出来。那你做了这么多垂直，又有一些平行线，那大概就像相似三角形的一些问题了。我们看羽绒数据放大一些看吧， 与圆相切，所以说明这是垂直的，然后呢，半径是三十，那这样一来的话，这个造型明显和这个造型是相似的吗？ a 字形相似吗？我如果假设这个交点为 g 点的话， 我再做垂直，这个交点为 h 点的话，我如果假设 g h 为 x 的 话，那么我们是不是可以说 g h 比上 g d， 它是等于 o 撇 h 比上 e d 的 这两个叉形相似，所以这段比上这段就等于这段比上这段。那个地方。好，你再出去呗。 g h 是 一个 x， g d 就 等于 o p h 三十比上这边是六千， 所以三十比六千，是三比六，一比二百呗。那就说我们的 g d 呢，是两百个 x， g d 是 两百个 x， 但是 x b 要放出来怎么办呢？还有这列个数字，拿谁列个数字？别忘了，我们这平行这个三十还没用。说是三十的话，那我们其实可以再做一个相似，比如说我们过 b 撇往上做垂直，这个点呢？记为 r 点，那我马上可以说 b 撇 r 是 四千， 它俩相等，然后呢，这是三十，到这就是三十。哎，这个时候我们是不是再次可以说这个三角形和这个三角形它是相似的， 而且总长是一万，左边是三十 x， 右边出去了两百个 x， 我 们其实可以表示一下这个 g r 的 长度，它就是一万，减去左边的三十，再减去右边的两百个 x， 也就是九九七零，减去两百倍的 x。 哎，再来一次相似就好了，我直接列出来啊， o 撇 h 比上 b 撇 r 是 等于 g h 比上 g r 的。 我再给你画一遍，你看，也就是它比上它是等于这段比上这段，因为它俩是个面对面的，这样的相似嘛。 来，把数据往里一带， o 撇 h 三十比上 b 撇 r 是 四千，就等于 g h 是 一个 x， 比上它呢是九九七零，减去两百个 x， ok 啊。哎，所以这个 x 是 不就能算上？虽然说看起来数据挺抽象，但没办法，人家考试给的，我们在这就不给你展示了，一句算吧，我给你答案啊， x 也是二十九点九一，好吧，也还行，它最后是除以一万，其实也还好算。哎，这时候我们就可以给出它想要的 o m 的 长度，就是此时此刻我们的 o p m， 而 o p m 是 这段长，它不就是等于 f x 吗？ 对吧？ f h 总长是一万，你想去 f h， 只需要减掉 h d， 而 h d 总共是两百个 x， 这已经占了一个 x， 所以 它就是一百九十九个 x， 也就是一万，减去一百九十九个 x， 等于四千零四十七点九一。好吧， 怎么样，感受到强度了吗？一个是画出的原理，再一个呢，是相似列式子，甚至我相信对于很多同学来说，我就把这个式子给你，你都可能算不开，因为这个计算量的要求还挺高的。好吧，顺利满分。

第十六题，计算。计算的特点的话就是不费脑子，但是特别费心思和力气，一定要细心一点。 八的根号三次方，八的根号三次方。用语文翻译一下，就是一个数的三次方等于八，问你这个数等于几？二乘二乘二等于八，所以这个数等于二，加上一个数的绝对值，一个数绝对值等于这个数的正数，负的正数是五， 再加上负一的二零二三次方，负一的偶数次方就是等于一。负一的奇数次方的话就是等于负一， 负一的零次方的话也是等于，这是奇数次方，所以等于负一，然后整理一下，等于六。

第二十二题综合探求如图一、在矩形 a、 b、 c、 d 中， a、 b 大 于 a、 d， 对 角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o。 关于矩形的特点，大家一定要记住，第一个四个角都是九十度，第二个对边都相等，第三个的话对角线相等，而且相互平分，所以的话点 o， 它既是 a、 c 的 一个终点，也是 b、 d 的 一个终点。 我们标出来中点，然后接着看点 a。 关于 b、 d 的 对称点为 a 一 撇，涉及到对称这块的话，对称轴为 b、 d， 所以 的话 a、 a 一 撇连接起来，它是垂直的，与对称轴是垂直的，而且 a 等于一 a 一 撇，所以这里的话，点一也是 a a 一 撇的一个中点。 然后我们接着看连接 c， a 一 撇，再连接 c， a 一 撇，图形就已经出来了。看第一问，求证， a， a 一 撇垂直 c， a 一 撇。 刚刚我们已经看完题目了，题目条件已经标出来了，这两个是中点，中点的话想的是中位线，它 e、 o 跟 a 一 撇 c 是 平行的，而且等于 a 一 撇 c 的 一半，刚刚两个中点已经证明完了，所以这个题目就做完了。 初中数学跟小学不一样，它毕竟有一点点难度。这个题目的话，如果是直接告诉你这一个三角形， 这是 a 一 撇，这是 c， 这是 a， 这一点的话，一点的话是 a 一 撇 a 的 中点 c， a 的 话 o 是 c 的 终点，然后告诉你这是九十度，然后你就立马能知道这个也是九十度了。但咱们毕竟不是小学生了，所以他只能通过矩形对角线偷偷告诉你这个是终点，然后再通过 对称折叠对称，告诉你这个是这段的终点，然后就知道这两个终点，然后这个又是垂直，根据中位线定你平行且等于他的一半，所以题目就做完了，具体的大家再按照答案再。

好，那我们今天来讲一个北京中考二零二三年的倒数第二题，也是展示一下如何讲好一道题，追求的是尽量交给学生的是一些在其他题那可附用的东西，而不是只是理解了这道题怎么做。好，那我来读一下。题说，在三角形 a、 b、 c 中，角 b， 角 c 都等于二法， am 垂直于 b， c 于点， d 是 线段 mc 上的一个动点，将线段 d m 绕点 d 旋转，得到一个 d e， 这个角是 r r 法。 好，我们直接跳过第一问，第二问是说，若在线段 b、 m 上存在一个点 f， f 满足 d， f 等于 d c 连接 a， e， e， f， 直接写出角 a， e、 f 的 大小，并证明。好，那我们开始这题求什么呢？求角的大小，它是让你证明一个你猜测的大小。是的，你能猜一下吗？先， 这个角看起来像是九十度，那你要猜九十度吗？猜九十度。好的，那我们。好，那接下来我们开始去证明他。好，那整个到目前为止，你打算怎么开始？是正着出发还是倒着想？ 由于之前两道题接触的手拉手模型比较多，而且这道题目也涉及到了旋转这件事，而且阿尔法这个角度和角 b 等于角 c 等幺三角形。好，那接下来要想什么？一个全等， 构造全等好来秒怎么构造？或者构造手拉手的怎么思考，你能说一下吗？构造手拉手全等是从共点出发吗？共点出发，那就是找到两个旋转的 由旋转构成的角，这两个角分别做三角形，证明全等，而且这两个就是旋转的两个等，腰顶角应该是相等的。是的，这样才能创造一个小角是相等的。是的。好，那你接下来就得找边了，对不对？是的，找边得结合我们要求中的目标。但这个题用手拉手我有点不是很熟悉。 因为角 d 是 手拉手的共角， d f 等于 d c， d m 等于 d e， 但它确实又 f 和 c 又在同一条直线上，这个线是显得有点奇怪。是的，手拉手很少说，那就不是手拉手，因为它有一定错开的，对不对？是的，那到这是不是可以暂时性的搁置拉手这个角度了？可以。 好，那我先推荐一下。你先从这个。好，我下一个问题非常关键。这道题你觉得适合从条件出发还是从结果出发？从条件出发，为什么不是从结果出发？因为相对这个题目给的条件比较多， 而结果角 a f e 在 一个，只是在一个三角形里，他们这个三角形没有什么特殊的点，所以我觉得应该从条件出发， 而且其实也不止如此啊。我们从结果出发也可以试着想一想，我们为了证明一个角是九十度，手段可能不止一个。如果他手段只有一个，其实从结果出发反倒是好事，因为意味着你不会走错路。是的，但其实正九十度方法还至少不止一个。你能想象的有哪些吗？ 证明在三角形里边，证明其他两个角的和是九十度，证明他的叫什么角。互补的角对，是九十度。 嗯，另外证明两条线垂直。怎么正垂直，怎么正垂直。正垂直的方法。正垂直的方法。那你什么想法？那我帮你补一个。我们管这个叫手段便利，或者反向缩影，其实是等腰三角形的三线合一，也就是说你只要知道是角分线 或者是中线，你打中是在一个等腰三角形里面，那么他必然是垂直的三线合一。对，所以垂直的其中一个办法是三线合一。还有吗？垂直的 不正，九十度正，垂直本身想不到了是吧？是的， ok， 也没有了。好的，那确实这个可能的分叉路比较多，对不对？而且每个应该是个大分叉，因为一旦开始试图证明三线合一，要做的工作很多，想证明沪渝这个角倒起来功能也并不小，所以我觉得合理啊，从条件出发，那我们看一下这个条件里面有哪些是你觉得值得往前走一走的？ 往前走一走，首先角 b 等于角 c， 嗯，这是一个等，整个角 a b c 是 一个等腰三角形，且 a m 垂直于 b c， 嗯，这是我们刚刚说到的三线合一， 嗯，所以 a m 应该也是一个角分线。嗯，对，你在尽量正推，对，我在尽量使用。我目前能看到的条。条件 还有吗？ b m d f 等于 dc， 这个条件我有点不太会用。 d f 等于 dc， 对 不对？好，那我直接告知，这说明你学了一个知识，后面可以专门针对的去做一些练习。 d r 等于 dc 等于。告诉你 d 是 fc 的 终点，对不对？是的，提到终点是有对应的，就是中线的， 因为中点如果构造出了中线，那么就会出现平行，中线能带来平行这样的一个东西，比如说假设这有一个点是中点，你这再取一个中点，那么就会出现他和他是平行的，那么就会有一堆角，三线、八角之类东西，以及 ok， 以及它俩之间是个长度上的二倍关系。所以确实你这个题的问题很好，有一个条件你没法想到怎么用它，那么你可以想想，如果有了终点是可以构造中线，进而获得平行和二倍的长度关系的，那么你可以试着构造一下围绕着这个终点 d， 那 我如果是这样的，我会想在 a c 上取它的终点 n， 然后连接 n d。 这个这个首先构造方向是不止一个的吧？还是你现在只找到了这一个构造方向不止一个？ 对，那你往那你选择了这的原因是什么呢？直觉直 ok， 首先你现在能想到你构造出来的新的这个东西，对于你去证明 aef 是 九十度或者是垂直，有没有可能的帮助？ 好像没有什么帮助。对，而而那个不止一个，就这里面的这个中点的构造中线的肯定不止一个，对吧？是的，一个是在这个 a c f 这个三角形里面，对不对？不止在这里面有一个构造上的知识点，是说如果我们沿着 f c 再做一个三角形，一个是这个，对吧？其实还有一个是这个，只不过这个只有一半。 嗯，是的，我们是学过倍长中线的，所以我们把它做两倍也是一种构造方式哦，然后呢，在当然这个时候，你比如说这是点 p， 要把它连上才能出现这个中线，对吧？但是你要注意哦，我沿着它去做构造，是不是更有可能跟我这个角相关？ 是的，所以在围绕着 f c 这条边呢两个构造方向上，明显选这边会更有希望一些，对吧？是的，那其实我刚才那个想法其实是想要把短的结，把长的解开，但这个方法其实是把短的补上。 对，你刚才是是截截了个中点，我是非常出现了。好，那我们做了一次非常假设，我们先试一试。好吧。好，那试下以后你这次构造你能获得些哪些结论的性质呢？ d e 等平行于 pc。 对， 有一个平行出现了。好的，还有吗？ 平行于 dc， 然后平行就意味着这两个角。是的，是的，是吧？是的，因为这个是二二法啊。对，所以是不是这个大的也是二二法？是的，所以，所以点点 n， 点点 n。 哦，不对，是角 p c n p c a 是 也等于角 a c d。 对， 所以它也是阿尔法，对吧？是的，它是角分线。对，阿尔法减阿尔法还是阿尔法？嗯，你能得到好多性结论哦。 我想一下，没事，你觉得别的用不上，其实你能得到很多，你还记得吗？中线是能够获得平行关系，对吧？是的，还有一个是这个二倍关系。嗯，哦，二倍关系。 p c 是 二倍的 d e。 对， 这个 p c 应该是二倍的 d c。 对， 这个 d e d e。 我 们可以写上这等于二 d e。 好 吧。对， 好，差不多了，那我们可以继续去往下推了，你觉得下一步你可以怎么想？正反推都可以了，我有点卡住了。哦，那我建议你先试一下倒推，你要正的是这个角是九十度，对不对？是的，刚才不是列了一堆正九十度的办法吗？你重新回顾一下这些办法与现在已经推出来的题的这个条件。 哪个办法看起来已经有希望赋予的角补角？不太行，不太行，三线合一吧。啊，好，确实，这明显的是有一个终点了，对不对？是的，你只要证明这是连接 a p。 对， 只要证明这是个等腰，是不是工作就结束了？是的，这题就不难了。好，那所以我们接下来要证明角是角分线。 首先，我们先先要证的是，是这样的，三线合一的大前提是等腰三角形，所以等腰三角形加任何一个别的条件能推出另外两个。哦， ok， 所以 核心要证 a p 等于 af， 对， 好吧，那怎么证呢？两个线段相等， a p 等于 af 的 话， a p 等于 af 的 话，我是不是可以证明全等？哪两个？全等三角形 abf 和三角形 acp？ 是的，尤其是刚才你刚正了个画了个这个东西出来，对不对？是的，这条线不能，然后他已经你看角 b 等于角 a c b 有 一个角相等了，然后角 a c b 又等于角 a 不是 ac 都等于角相等了， ac 等于 ab 又有一个边相等，还差个啥？只需要再找一个边或者找一个角就可以了。是的，你想找哪个？按道理来说应该用得到上边，或者找一个角就可以了。是的，你想找哪个？按道理来说应该用得到上边，或者找一个角就可以了。是的，你想找哪个？按道理来说应该用得到上边，或者找一个角就可以了。是的，你想找哪个按道理来说应该用得到的地方？ 是不是这有个 d f 等于 dc？ ok， 然后 dm 又等于 d e， 对 不对？是的，它要等于二 d e， 对 吧？你是不是有一堆线段之间的关系？是的，是的，这个时候是不是你更有可能得到的是 b f 等于 pc 而不是角？ 是的，因为你的线段太多了，对不对？是的，下次要不好意思把你当学生。下次要想起来。回顾条件，而且这是一种不是具体的角度看待条件，而且这是一种不是具体的角度看待条件。 ok， 好 的， ok， 你 试着挣一下 b f 等于 pc 吧。还记得 所有证明题的终极初中数学思想还是啥呢？转化，对，疯狂转化吧。 ok， 想一下， p c 等于二倍的 d e， d e 又等于 dm。 对 对对，然后 dm 加上 m f 等于 d c 对， m 又是 m 又是角分线，所以 m 又是中点。 等会，首先是 p c 等于了两倍的 d e d e 这个 sorry， 两倍的 d e 等于两倍的 dm， 对 吧？是的，好，继续等于两倍的 dm， 继续 dm 加上 m f 等于 d c。 行， dm 加上 fm 等于 d c。 然后呢？等一下啊，我现在有点乱。 首先我提醒你一下，你是要证它和它相等对不对？是的，我们回顾一下基本条件，要证明它等于两倍的 df。 对， 就是转化的结构，是把它转转，把它转转，互相看看有没有相等的机会。对对，除了转，它是不是可以转它了？是的，来吧。那 b f 可以 等于谁呢？ b f 等于 b f 等于 b m 减 f m， 然后 f m 等于 d c 减 dm， d c 减 d m， d c 减 d， d c 减 dm。 嗯，看条件，卡住了。看条件。哦， d c 等于 d f， d c 等于 d f。 所以 我有点乱，现在，呵呵，来看条件，条件里边是不是有一个 这是个，这是个等腰吧？是的，这是个垂直吧。所以这是终点吧？是的，那是不是 b m 等于 mc？ 是 的，你 b m 是 不是可以试着转转？可以，所以这就是 mc mc 减，去把括号拆开，是不是减 dc 加上 d m？ d m。 那 请问 mc 减 dc 是 谁？ mc 减 dc 等于 md。 对， md 和 md 是 一个东西吧？是的， md 等于两倍的 md。 那 这是不是也两倍的 md？ 是的是的，两位第一嘛？就两位第 m。 这题结束了， ok， 你 做做总结吧。就是你觉得全程我哪些问题有用，或者你缺哪些知识，或者缺哪些思考角度。我觉得核心就是中线定律，知识上比如说中线定律这些，回顾下事实，对三角形的这些中线定律我是不知道的，如果不知道这些基础的 知识信息的话，这种相对比较复杂的几何转化题，证明题是做不出来的。然后另外是的，中线这件事很重要。然后另外就是我觉得核心还是我们在最开始助手的时候，正推还是倒推这件事是非常重要的。 是的，就是第一呢，要想的起来，正推不行，倒推，倒推不行正推。是的，其次呢，是应该有策略的选择正推还是倒推？是的。另外一个做辅助线的时候就中线定律。做辅助线这件事，我，我虽然我一开始想的方向不是特别对，但是我觉得就是尝试这件事本身这个过程还行。 对，起码能看到这边好像没啥用，对吧？对，但是这个大前提是你得知道他有不止一条道可走，对吧？一个是沿着这头往这边坐，一直往这边坐都可以。是的，然后最后我觉得最核心的就是我们能够在有思路要证明全等的时候， 然后宏观上的去回顾整个题目中的条件，然后感受哪些是有利条件情况下，我们选择是证明线段相等还是角相等？我觉得这个是最重要的一个环节。 是的，所以这道题我觉得是不是质量还是非常好的？就是，是的，是的，学到非常多的东西。是的，尤其是我学了两两两次手拉手模型以后，下一次的会去使用手拉手模型，但是很快的就否定了这个想法，因为他跟我们常见的手拉手模型的共点，然后塑造全等这件事有点走不通。是， 但我说一下，这里边这条题也是个手拉手在这，它这个共点是 a， 就 说这题，你你这做一个同样的这个一百八十度减 r 法，这个也能做出来，这是 r 法，这是 r 法。但是问题是最后你要证明 peep 在 一条直线上没法证了。哦，就是学了整个初中数学，没有什么办法能证三者在同一条直线上，所以你就它就卡在这事儿上了。它不是不能 他证明在一条直线上，证明他们的角等于一百八十度不行吗？可以，那你等于把答案正出来，他是九十度。哦哦， ok， 对， 是的，对，他就，反正我不会对我见过的这个解析里面一般也是这个理由，就会否定这条方向。他估计肯定有，这个世上不太可能没有办法正，只不过一般很少这么正的。

第二小问，如图三，图三，圆 o 与 a 一 撇 c 相切。前面已经要大家记了，涉及到圆的相切的问题，一定要把圆心和切点连接起来，形成一个垂直的九十度。假设这个切点是 w， 那 么 o w 是 等于 r 的， o e 也是等于 r 的， 都是半径。 然后根据前面的条件， a 一 撇 a 关于 d， b 对 称，所以这个也是九十度的。然后 e o 的 话是三角形， a 一 撇 a， c 底边 a 一 撇 c 的 中位线， 所以的话 e o 跟 a 一 撇 c 平行，所以这个是等于九十度的。所以从这里就可以看出， a 一 撇 w， o， e 是 一个正方形的，因为 首先它是个矩形，有三个直角的，所以第四个也是直角这个矩形，然后邻边相等，所以这是个正方形，所以这一段的话 i， a 一 撇 w 也是一个半径 r， 然后的话，因为 a 一 撇 c 是 e o 的 两倍中位线二 r， 所以 的话这一段剩下的也是一个 r， 然后 a 一 撇一的话正方形，所以这段也是 r， 然后根据对称关系， e， a 的 话也是 r。 这个时候的话，我们要想起我们长期的三个三角形， 一、二、三这三个三角形，这次要用到的是这个三角形，中间这个一比一比根号二，等腰直角三角形，所以这里的话这是 r， 这是 r， 我 们要想到这里是根号二， r 一 变成了 r 就 行了，变成了根号二 r， 所以的话 o c 等于根号二啊， o d 的 话 o， a， o b 都等于根号二啊。然后我们接着看条件， ad 等于一， ad 长度等于一。 前面也已经教大家记了，一个一条线段没有用，最好把它放到三角形，最好是直角三角形，所以 d a 等于一的话，这个一条线段要把它放到三角形 d a 这个直角三角形里面， 这里的话我们就可以看到一个等量关系了，根据勾股定律， d a 的 平方就是一的平方，等于 a 一 的平方， a 一 的话是 r， 所以 等于 r 的 平方加上 d 一 的话就等于 o， d 减去 e， o o d 的 话等于根号二啊， 减去 e o 的 话是一个啊，这样一减的话就等于 d e 了，所以它的平方 d e 的 平方加上 e a 的 平方就等于 r 的 平方。这个等量关系式我们也可以列出来了，然后看一个问题， 求圆 o 的 面积，圆 o 的 面积，圆的面积的话等于 pi r 的 平方来，这个题目就做完了，然后我们来整理一下， 一等于 r 的 平方加上根号二减一括号的平方乘以 r 的 平方，然后我们把 r 的 平方提出来， r 的 平方的话，它就等于一分之 一，加上根号二，减一括号的平方。然后我们整理一下的话，这里整理一下的话， 就等于 r 加根号二分之四， r 的 平方等于 r 加根号二分之四， 所以圆的面积的话等于 pi r 的 平方， r 的 平方抄上去， r 加根号二分之四。这个题目就做完了，然后具体的步骤大家再抄一遍答案就可以了。

各位初中家长朋友们，刷到这条视频，您算是来对了！今天咱们一起看一道苏州中考的填空压轴题。先读题角 b， a、 c 等于九十度 ab 等于 ac 等于三根号二 过点 c 做 c， d 垂直于 bc， 延长 c、 b 到点 e， 使得 b、 e 等于三分之一 c、 d 连接 a、 e 和 e， d 已知 e、 d 等于二倍的 a、 e， 问 b、 e 等于多少，结果保留根号。好！题目读完了，问题也出来了， 这道题考察什么知识点呢？大家想一想，根据给出的已知条件，有等腰直角三角形，有垂直关系，还有线段之间的比例， 是不是可以推断出我们需要用勾股定律来列方程？嗯，没错，那具体怎么操作呢？来咱们一步步拆解。第一步，大胆设未知数看到这种比例关系，千万别慌！我们设 b、 e 等于 x， 因为 b、 e 等于三分之一 c、 d， 所以 c、 d 就 等于三 x。 再设 a， e 等于 y， 因为 e、 d 等于二倍的 a、 e， 所以 d、 e 就 等于二 y。 第二步，计算已知线段的长度，在等腰直角三角形 a、 b、 c 中，腰长是三根号二， 用勾股定律斜边 bc 就 等于根号下三根号二的平方，加上三根号二的平方， 算出来是根号三十六，也就是六。那么 c、 e 就 等于 b， c 加上 b、 e， 也就是六加 x。 第三步，做辅助线，构造直角三角形。这是本题最关键的一步哦！ 我们从点 e 向 b、 c 的 延长线做垂线，设垂足为 q， 因为 c、 d 垂直于 bc， 所以 c、 q 和 bc 在 同一条直线上角 a、 c、 b 是 四十五度，所以角 q、 c、 e 也是四十五度。 这样一来，三角形 c、 q、 e 就是 一个等腰直角三角形，它的直角边 c、 q 和 q、 e 都等于二分之根，号二，乘以 c e， 也就是二分之根号二，乘以括号六加 x。 整理一下，等于三根号二，加上二分之根号二 x 点 a 在 线段 c、 q 上，所以 a， q 等于 c， q 减去 a， c， ac 是 三根号二，减完后得到 a， q 等于二分之根，号二 x。 第四步，用勾股定律列方程组， 在直角三角形 e、 c、 d 中，由勾股定律得到括号二 y 的 平方等于括号六加 x 的 平方，加上括号三 x 的 平方。 在直角三角形 eqa 中，由勾股定律得到 y 的 平方，等于括号二分之根号二 x 的 平方加上括号三根号二，加二分之根号二 x 的 平方。你看两个方程，两个未知数，思路很清楚吧。第五步，解方程。 把第二个方程带入第一个消去 y， 经过计算和化解，得到一个关于 x 的 一元二次方程， x 的 平方减二， x 减六等于零。 用求根公式解得 x 等于一加减根号七。因为线段长度不能是负数，所以舍去一减根号七。 最后答案就是 be 等于一加根号七。总结一下，这道题用到的知识点有三个，等腰直角三角形的性质，勾股定律，还有一元二次方程的解法， 核心方法就是设未知数做辅助线，再列方程。掌握这个思路，再遇到类似的几何压轴题，你也能轻松拿下。好了，今天的分享就到这里， 如果你想获取这道题的详细步骤和画图教程，在评论区扣个一我来安排，关注我，每天分享初中数学的实用技巧，帮孩子少走弯路，咱们下期再见！

第二十题，综合与实践主题，制作无盖正方形纸盒素材一张正方形纸板。步骤一，如图一，将正方形纸板的边长三等分画出九个相同的小正方形， 并剪去四个角上的小正方形，把这四个角都剪掉去。步骤二，如图二，把剪好的纸板折成无盖正方体型，纸盒折成了一个正方体，没有盖的。 然后在做这个题目之前，我希望大家养成一个习惯，在看见有很多小正方形组成的一个图形的时候，然后他边长又没告诉，一定要养成一个习惯，有大用， 把每条边长看成一个单位长度一个单位长度一个单位长度一个单位长度一个单位长度，这样的话我们就能求出每一条边的一个对应比例，这是一个单位长度，这是两个单位长度。所以 c、 b 的 话是一的平方加二的平方根等于根号五， a、 b 的 话就等于一的平方加三的平方的平方根等于根号十，就能求出每一条边的对应的一个比一比二比根号五，比根号十就是根号五，比根号十的话等于一比根号二。这个时候我们就要联想到这三个，要大家一直要大家记得 特殊三角形一比一比根号二。十九题也刚用完一比，看见一比根号二的时候，一定要想到这个直角三角形一比根号二。然后我给大家看一下， 像这个的话是根号二，这条是一，按照这个题目看到的是这条边跟这条边比是一比根号二，因为初中数学毕竟不是小学啦，小学它就会直接告诉你， 这里是九十度，这里是一，这根号二，但是已经是初中了，所以你们他告诉了你这个角两条边的比的时候，一比根号二，你要我们要学会自己联想，把它补起来，我们天天要记得这三个三角形当中的这个直角三角形，那这个题目已经做完了，这里等于四十五度， 把它补起来。至于为什么补起来，因为初中数学的话，这一笔根号二，我能想到的只有这一个特殊直角三角形， 所以我就把它补起来。初中数学毕竟不是小学数学，不可能直接帮你画出这个直角三角形的，他肯定偷偷的把这条不画出来，然后告诉你这是一笔根号二，叫你自己把它补起来，毕竟初中了，需要动一点点脑筋，然后看问题， 直一直接写出纸板上角 a、 b、 c 一 撇， c 一 撇的大小关系，这是四十五度，这个角的话，我们把它的俯视图画出来， 正方形的对角线一连，这个也是四十五度， a 一 撇， b 一 撇， c 一 撇，因为正方形对角线四十五度角平分线，所以这两个角是相等的，都等于四十五度，四十五度。第二题证明， 证明的话，所有的证明题一定要养成习惯，第一步是先有一个完整的思路，然后第二步的话是把标准答案抄一遍，直到抄到抄到高考前，你会发现你写的答案跟标准答案是一模一样的，然后我把答案弄出来，大家截个图 证明好了。

大家好，这个视频和大家分享这样一个题，如图，三角形 abc 中角 b、 a、 c 等于五十五度，上面这个 五十五度，若将三角形 a、 b、 c 逆时针旋转 r 法度，呃，往这个方向旋转，这是逆时针旋转，旋转了一个 r 法度，得到三角形 a、 d、 e。 这个三角形 a、 d、 e， 它是由三角形 a、 b、 c 逆时针旋转了得到的。 d、 e 和这个 a、 c 交于一点 f， 这里是 f 旋转的这个 r 法等于四十度的时候， d 点恰好落在了 bc 上。 这个信息就很关键，问这个角度是多少度？这个 a、 d 是 哪来的？它是 ab 转过来的，所以这个三角形 a、 b、 d 三角形，它是一个等腰三角形， 旋转的角度是四十度，那说明这里是四十度，那我们就能知道两个底角都是七十度，算这一个该怎么算呢？ 它旋转了四十度，那我们算这个是不是可以从这个三角形 a、 f、 e 这个三角形里面来看？ a、 f、 e， 这里这个角度，它是 a、 c 转到 a、 e 形成的。三角形旋转的过程中，整体转了四十度，那 a、 c 这条边转到 a、 e， 它也是转了四十度，四十度， 这里是四十度，那我们如果能知道这个角 e 的 度数， 那就通过三角形内角合，就能把这个角 a、 f、 e 给它算出来。可角 e 等于什么呢？角 e 怎么来的？它和这个角 c 是 相等的，因为 它是由角 c 旋转过去的。那角 c 呢？我们就在这个三角形 a、 b、 c 这个三角形里面看这个三角形里面，上面这个角 b、 a、 c， 它是啊，五十五度，在这里有 b、 a、 c 是 五十五度，底下角 b 是 七十度，那我们算角 c， 它角 c 就 等于一百八十度，减去一个五十五度，加上一个七十度。角 c， 它也是五十五度。 角 c 要是五十五度，那角 e， 它是等于角 c 的， 所以角 e 也是啊，五十五度，这个角 f、 a、 e， 它是四十度，那角 a、 f、 e， 那就等于一百八十度，减去五十五度，加上一个四十度，这是八十五度。 所以这个题我们选择 b 选项，这个题我们也可以这样去啊，考虑 算角 a、 f、 e， 那 就是算这个角的度数。我们知道总共这里是五十五度，而旋转转了是四十度，那这个小的这里就是十五度， 这个是十五度。根据等腰三角形，上面是四十度，那底下这里是七十度，这个七十度他转转到这里来，这个就是七十度。那所瞧的这一个就是这个小三角形 a、 d、 f 的 一个外角，那三角形的一个外角等于与它不相邻，两内角和十五度，加上七十度就等于八十五度，这样也可以得出来选择 b 选项。

第二问，以点 o 为圆心， o， e 为半径作圆。第一小问如图二，圆 o 与 c d 相切， 大家一定要养成一个习惯，涉及到圆的问题，有相切的时候，一定要把圆心和切点相连接， 形成一个垂直的九十度，这是一个做题的基本习惯，大家一定要有。然后根据矩形的一个对称性，圆的一个对称性，所以这里的话他也是相切的，只要有相切的，一定要把切点和圆形连接起来。 然后我们接着看问题，求证 a， a 一 撇等于根号三， a 一 撇 c 这一句话用语文翻译下的话就是求证 a 一 撇， a 等于一比根号三。 这个时候的话，我们就得想起我们天天记的那个特殊三角形了，这三个三角形一定要记住，前面三个题已经用完了三次了，这又是一次， 涉及到一比根号三的话，一比根号三的话，那这个题目就瞬间变成了，我们只需要求出这个等于三十度就行了，这个题目就立马做给做完了，三十度，六十度，九十度，一比二比根号三，然后我们直接开始做， 证明这个是等于三十度， e， a， o 等于三十度。假设这一点是 w 焦点， 首先的话 o e， a 跟三角形 o w， a 两个三角形的话，根据半径相等， e， o 等于 e， o 等于 o w， 然后又共了一条 o a 边 h l 直角三角形的 h l 证明证明 这两个三角形是全等的，所以这两个角就相等了。然后这里的话还有一点，这个角是等于这个角的，因为第一， 因为 c， d， e 加 e， d， a 等于九十度， e， d， a 加 e， a， d 等于九十度，所以的话这个角等于这个角，因为它加它等于九十度，它加它也是九十度，所以这个角等于这个角。然后根据内错角相等，这个角 c、 d， e 等于这个角 o、 b、 a， 然后的话，因为矩形的话是对角线相等的，这条等于这条 o， a 等于 o b， 所以 等腰三角形 o， a， b 是 个等腰三角形 o， b， a 等于 o a、 b， 这两个角也相等，所以间接的证明呢，这个角跟这个角也相等，所以这三个角都相等，所以这个角等于三十度。六十度，九十度，所以 a 撇 c 比 a 撇 a 是 一比根号三，所以证完了具体的证法，大家再抄一遍答案。

第六题，我国著名数学家华罗根曾为普及优选法作出重要贡献。优选法中有一种零点六一八法，应用了在初中所有学到的知识点里面，涉及到零点六一八的只有黄金比例，所以选 a。 黄金分割数 这个题目要做对的话，那你因为零点六一八属于比较一个偏的知识点，你必须要记住这个知识点才行，没有任何技巧等于格号五减一分之二约等于零点六一八，大家这个尽量记一下，只要记住就能做对。然后第七题， 某学校开设了劳动教育课程，小明从感兴趣的动职、烹饪、劳力、木工四门课程中随机选择一门学习。我喜欢用 a、 b、 c、 d 代替，因为字比较少，简单直接。 虽然叫法不同，但是概率这个做法是一样的，每门课程中被选中的可能性相等， a、 b、 c、 d 都等可能，小明恰好选中烹饪，恰好选中 b 的 概率为 a、 b、 c、 d 四种可能随便选一种，选中 b 的 概率为四分之一，答案选 c。 一元一次不等式组，一元一次不等式组 x。 看到这种的话，先是把分别把两个不等式整理一下，不等式的整理两边同时加减一个数，等式不变，所以这里的话两边同时加二， x 大 于一，加二等于三， 然后再把不等式合在一起， x 大 于三且小于四，所以选 d。 第九题， a、 b 是 圆的直径，在我们所学的直知识点里面，涉及到圆的直径的就一个圆周角等于九十度，我们把它标出来，这个条件就用完了。接着看角， b、 a、 c 等于五十度，角 b、 a、 c 等于五十度， 因为三角形内角和一百八十度，九十度，五十度，所以这个等于四十度。然后看到这里的话，因为弦对应的圆周角都相等，这里刚好有两个圆周角，所以由 a、 c 对 的弦， a、 c 对 的两个圆周角 b 和 d， 所以 这个也等于四十度。 然后看一下问题，问题是则角 d 等于角， d 等于四十度，所以选 b。 第十题，抛物线 y 等于 a， x 平方加 c 经过正方形 o， a、 b、 c 三个顶点经过 a、 b、 c、 a、 b、 c 三个点， y， b 在 y 轴上，则 a、 c 的 值为 一眼看去感觉没什么思路，但是大家就像前面讲的一样，涉及到函数有图像的就两个字，找点。那我这个题目感觉没什么思路，我直接找点就行了。先把条件都用一下， 抛物线图已经画在这里，所以开口向下， a 小 于零， a 的 话， c、 x 等于零的时候，对应的 y 的 值与图像 y 值的交点，所以这一点的话就是 c 点动作标等于 c， 然后接着看 a、 b、 c。 函数的技巧就是找点，我先找点 a 点 a 的 横坐标的话和重坐标点 a 的 横坐标的话，根据正方形对角线相互垂直平分且相等，所以的话， 点 a 的 横坐标就等于 c 的 一半，等于 c 的 一半。因为 o、 b 是 等于 c 的， 所以 c、 a 也是等于 c 的， 那这刚好是一半。对角线相互垂直且相互平分，正方形的还相等， 所以 c 的 坐标横中作 a 的 横中坐标的话，就等于 c 分 之二， c 分 之二，就立马找到这一个点了。函数的技巧就是找点，然后带入 abc， 三个点都行，我喜欢从 a 开始直接带进去 a， c 分 之二的平方，我直接写简单点吧， a， c 的 平方分之四，加上 c 等于 c 分 之二，把 x， y 点 a 带到函数这个抛物线上面，然后整理它一下， a， c 的 平方分之四等于负 c 分 之二，两边同时减 c， 然后这里还有都有个公有的 c， 所以 在两边同时除 c， a， c 分 之四等于 负二分之一，在两边同时乘以四， a， c 等于负二 点带到函数图像里面就用完了，然后答案就出来了。所以虽然这个题目没有实如，但是我们毕竟就学的这么一个知识点，函数函数的技巧就是找点，然后带入应用， 有时候是通过函数来求某个点，偷偷告诉你横坐标，叫你求重坐标，有时候就是通过点来找这个函数，这里做到这里刚好就做完了，选 b。

同学们好，我们来看一下二三年广东中考真题。实数 a b 在 数轴上位置 a 左 b 右 a 的 绝对值大于 b 的 绝对值，则 a b 负 a 负 b 从小到大排列。为什么？ 那这个题呢？考点考的是竖轴比大小，那我们知道说左小右大，负数越远越小，所以直接写 a 小 于负 b 小 于 b 小 于负 a。 这题就做完了，你会了吗？

好似山中的情。

来看一下第六题，第六题呢，也是一个正方题，然后他给了我们一个图，在正方 a， b， c， d， a， b， c， d 中， p 是 线段 b， c、 e 上的一个动点，下面判断好第一个，直线 b， b， e， d 垂直于面 a， c， e， d， 对 吧？这个很显然是对的，一箭穿心对不对？好，第二个， a， e， p 平行于平面 a， e， p， 在 这里平行于平面 a， c， d 一 a， e， p， a， p 呢，是在运动的一个动直线跟面平行，那我们就可以证明什么？面面平行对不对？我们证明面 a， a， e， b， c 平行面 a， c， d 就 够了，对吧？很想这两个斜的面，它是平行的，对不对？好， 我们来看下第三个意面直线 a， e， p 和 a， d， e， a， d， e， 我 们可以把它平行到 b， c， e， 对 不对？实际上就是求 a、 e、 p 与 b， c， e 所成的角，那我们把 a、 e， b， c， e 可以 连起来， 这是 a， b， c， e 连起来，我们可以发现，实际上这应该是，这是一个等边三角形，对吧？ p， 那 么 p 到最大的时候应该是垂直，对不对？最小的时候在 b 和 c 两个顶端六十度，所以呢，它这里应该是三分之派到二分之派，所以第三个呢是错的。 好，我们来看一下第四个，它要求 v， d， a， p， c 的 体积，我们来看一下 d， e， a， p， c， 它是这样的，对不对？ 那么在这里我们可以把它转换一下顶点，我们可以写成 v， 把 c 看做顶点，应该是 a， p， d， 那 么这个三角形，这个 a， d， e， p， 它是在这个 b， c， e 上运动，对吧？所以它这个底和高都是不变的，所以它底面积不变。然后呢，再求它的 c、 c 到这个面的距离，实际上就是求 c 到平面 a d， e， c， e b 的 距离，它也是不变的，对吧？所以底面积和高都不变，所以体积不变。第四个是对的，选 d。 好，那么这里的话就考察的是空间意面直线的关系，对吧？那么这题呢，就考察了我们空间点线面的位置关系。