本期视频来看高一数学立体几何通过结面延展的方法证明垂直的问题。已知直三棱柱这个侧面有一个面是正方形， ab 等于 bc 等于二， ef 分 别为所在棱的中点 b f 垂直于 a 一 b 一， 然后 d 点现在是图中没有标出来，它是在 a 一 b 一 线段上的动点， 现在要证明 b f 是 垂直于 d e 的。 那么现在问题来了，这个 d 既然是动点，为什么要正垂直呢？大家观察一下这个 d， 我 标出来当地位于左、中、右三个位置的时候，这个 d e 连线是什么样的呢？是这样的，那现在要证明无论 d 在 什么位置，这个 d e 始终垂直于 b f 吧。那说明什么呢？什么样的线动起来之后和另外一个线一定垂直， 那就是线面垂直，对吧？如果一条线垂直于一个面，并且这个动线是在面内的，那这个动线始终垂直于这个垂线。所以说下面我要形成一个垂面连接 a e、 e 和 b e e。 嗯，证明 b f 始终垂直于 d e， 也就是要证明这个 b f 是 垂直于平面 a e、 b e 的 吧。好，下面如何证明线面垂直？最常用的方法就是证明这条线和面内两条相交直线都垂直，那线已经有这个 b f 垂直于 a e、 b e 了。 想要证明这个 b f 还垂直于面 a e、 b e、 e， 那 只需要在这个平面 a e、 b e、 e 内再找一条和 a e、 b e 相交的线，并且证明它和 b f 垂直就行了， 对吧？那现在很显然，这个现成的这个面里很难找到一条和 b f 垂直线。那我想到了一个平面延展，我将这个面 a e、 b e e 向右继续延展，所以我过一点做一条 这个 a e、 b e 的 平行线啊，和 b c 有 一个交点，设为 h， 然后再连接 b e h。 原来的平面 a e b e e。 就 延展为了平面 a e b e h e 吧。很显然，在右侧面有一个线 b e h。 我 现在能不能证明 b f 垂直于 b e h 呢？呃，在右侧平面内，我可以利用初衷平面几何的三角形全等正出 三角形 b b、 e、 h。 是 全等于三角形 c、 b f 的 理由很简单，应该是边角边啊，这个加角都是九十度，证明全等以后， 继而可以得到这个 b f 是 垂直于 b e h 的， 那么这个分析的思路就完成了闭合啊。最后咱们写证明过程的时候，就是从后往前写就可以了，大家理解了吗？
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12:53查看AI文稿AI文稿十分钟带你拿下考试必考的垂直，证明所有题型！一个万种方法带你解决线面垂直、线线垂直到面面垂直的所有题型。听完我这节课啊，考试全是人齐分数，嘎嘎齐！首先是线线垂直问题， 咱核心就是找一个线面垂直，比如说我要证这个直线 l 与 bc 垂直，那 l 和 bc 这个异面直线题目一般不会告诉你它很坏。咱们通过证明 l 垂直 ab 以及 l 垂直 ac， 这样整个 l 是 不是就垂垂平面 r 法了，从而得到了 l 垂直另外一个直线 bc。 那如何正线面垂直呢？咱就是要找两个线线垂直，特别好找，比如我要正 l 垂垂平面 r 法，那咱就在 r 法里面找两个相交直线 m 和 n， 它们分别和 l 垂直 l 垂垂 m， l 垂垂 n。 然后呢，大体你再稍微说一下， m、 n 都在 r 法里面，同时 m 和 n 呀，是相交直线的，这样直接得到了 l 垂垂 r 法。 而最后这个面面垂直啊，更简单了，咱直接找一个线面垂直，在其中一个面里面找一条线和另外一个平面垂直。比如咱找到了哎， a 垂直阿尔法，然后这个直线 a 又在贝塔里面，那直接阿尔法垂直贝塔 这些方法适用于所有的考试真题以及高考真题。那接下来我们实操一下，赶紧截图呀，愣着干嘛嘞！ 首先是线面垂直套路，就是找两个线线垂直，所有的题啊，都是套路，我只要在平面里面找两个交线都和这个直线垂直，那就线面垂直了。好，直接看题，第一题给了个四棱锥，然后底面 a、 b、 c， d 是 菱形，菱形什么垂直？请扣在弹幕里，对角线垂直，所以赶紧先连接下 b d， 还告诉了你 p a 是 垂直底面的，那 p a 是 不是和底面任意一个线都垂直了呀？相当于 p a 就是 我这个几何体的定海神针了。然后 e f 入中点，让你证明 b d 垂直平面， p a， c， p c 这个平面给它画一下哦，证明这个蓝线和红面垂直，我只需要在这个红面里面找两个线和它垂直，两个线垂直即可了。哎，题目已经告诉了 p a 垂直底面 a， b， c， d， 那 所以第一个线就是 p a 垂直于 b d， nice， 而第二个线呢，是菱形哎，菱形咱是不是又可以得到了啊？这个 b、 d 是 垂直于 a c 的 哎，我一不小心这道题就拿满分了。你看这个 b， d 啊，已经垂直于两个 a c 和 p k 了，那是不是已经找到两个线平行了？然后你再说明一下，两个直线是相交的，所以直接 b、 d 垂直于平面， p a， c 满分到手。这些题啊，所有详细的过程我会放在本节课的最后，咱们先讲方法。 ok， 接着赶紧看第二个题，还是一个线面垂直 四棱锥这玩意 p a 垂直，这，哎，又是一个 p a 垂直平面了。 ok， p a 是 一个定海神针，那说明 p a 和平面的任何一个直线都垂直。然后给了这么多条件，说白了， a d 平行 bc， 然后底面的 b a， d 九十度哦，底面是一个直角梯形，它的这些直角边眼分别是一一一二。 好，最后让我正这个 dc 垂直平面 p a， c， 哎，线面垂直还是找两个线垂直在哪个平面呢？ p a c 里面找两个线和 d c 都垂直，来，咱看一下嘛， d c 在 这， 而 p a c 呢，是我的这个弧面，这个弧面里面是不是已经有了一个 p a 垂直 c d 啊？啊？因为根据线面垂直的性质，所以第一个线垂直已经找到啦， 而第二个，各位小小们，大家猜一下，这个 c d 它是和 pc 垂直呢？还是和 ac 垂直呀？底面是个直角梯形咱都知道了，所以底面这个垂直肯定是能正出来的。那所以第二个条件其实就是，哎， cd 垂直于 ac 了。 ok， 这个其实是一个垂直的小妙招，在这种一一二的直角梯形里面，它的对角线和这个斜边是垂直的，我给大家简简简单正 来，先把它的平面图形画出来，把一个立体几何问题转化成平面几何问题，它是直角，然后这个是一一二。我家猫都看出来 c d 怎么算呀，它是不是就等于 啊，这里再做一个平行， ok， 这个是一，这个是一，那一一根二， c d 就是 根号二，漂亮。 然后我们连接 ac， 小 子看好了，这一笔会很帅，那这个 ac 一 一，哎，又是一个根号二了， ok， 在 三角形 cad 中哇，根号二，根号二，这是个勾股书眼那所以直接角 a c d 就是 九十度了，请把 nice 扣在单位里。 这个其实是一个必须要掌握的二一结论啊，相当于垂直模型了。在 b c r 系统课中呢，我给大家讲了垂直模型的至少五种，这五种是考试常考的一些小垂直，你只要能找到，那么答案很快就出来了。 ok， 结合这两个，那我家猫都会正了， c d 也不就垂直于平面 p a c 了，直接 nice， 这两个题呢，也记录在必须要系统课中是讲一六十五页题型二，线线垂直。刚也讲了线线垂直，万能的办法就是找线面垂直的， 因为一般题目出题老师比较坏，他会让你证明两个异面直线垂直。比如说，我想证这个 a p 和 b c 垂直，哎，它都没有焦点哎，所以咱通过构造这么一个平面， 哎，我能证出来 pa 是 垂直于 a c 的， 同时 pa 还垂直于 ab， 那 这样 pa 是 不是就垂直于平面 abc 了？然后再根据线面垂直的性质得到了线线垂直， 所以是通过另外两个线线垂直来证这个异面直线垂直。好，直接。看题给了一个四棱锥，底面是平行，然后 abc 呢？是个一百二十度啊，这个一百二十度我知道了， 噢耶， ab 是 一 bc 是 四号， m 是 中点 pd 垂直 bc。 哦，有一个小垂直了。好，现在让你证明 ab 垂直于 pm， ab 是 在这呢， pm 是 在这呢。哇，这两个八杆子打不着呀。 但是呢，我家猫看出来了， ab 是 平行 bc 的， 所以我其实是让证这个 bc 垂直 pm 好 找吗？太好找了呀，你看，这里是 bc， 然后咱刚已经知道了这个 dc 啊，垂直 pd， 题目告诉你了呦。哎，我想证明 dc 垂直 pm， 你 说我再证明 dc 垂直哪个线就行了呀？请在弹幕里扣出来。不就是这个线段 dm 吗？直线 dm， 所以 我只要证 dc 垂直 dm 是 不就完事了？好，思路有了， 问题来了，这个 dc 垂直 dm 如何正呢？哎呦， dc 和 dm 不 就在这个平行边形 a， b， c， d 中吗？肯定是利用平面几何知识啊，所以根据这么多条件，咱肯定可以把这个 dc 垂直 dm 给它正出来来试一试。 你看，我知道在平行边形这个 a b， c d 中， mc 是 二的，而 dc 是 等于一的，你想证明这个垂直是不是直接勾五点零，一点零就完事了？所以咱把 dm 求一下，如果它等于根三，这个事就成了。 哎，如何正呢？这是个解三角形问题啊，别忘了，题目还告诉你 abc 一 百二十度，那根据平行 c 边形这个平行的关系啊，这里是不是就是六十度了呀？ 好，平面图形提取出来之后，相当于我知道这么多条件，一二六十度，然后只需要正这个角 m d， c 是 九十度，这不是易如反掌吗？ 我女朋友都会证，先用 cosine 六十度算出来这个 dm 呀，是一个根号三的，然后根据勾股定律逆推理，哎， dc 方加 dm 方等于 cm 方，那咱直接就得到了这个角 mdc 是 九十度，所以 md 垂直 dc 了， ok， 正比 好，这两个连理下，你会非常惊奇的发现哦， c d 和这个 p d 垂直哦， c d 还和这个 m d 垂直，那自然这个 c d 是 不是就和整个这个红色的面 p d m 垂直了？从而间接的挣出来了这个 c d 和另外一个 e 面直线 p m 它是垂直的。 请把 nice 扣在弹幕里呀呼，那拿下了，线面垂直，还有线线垂直。最后再来一个二零二二年全国一卷高考真题的面面垂直问题。 另外，本节课的知识点啊，全都在必修，系统课是讲过的，在这个八点六的垂直专题，包含了线线线面面它的垂直证明以及垂直性的利用，以及还有这个线线线面二面角空间角问题。 好，回顾到这个题目必须要系统课呢，在我的主页即可获取面面垂直。刚刚说了，就是找一个线面垂直，比如我想证阿尔法垂直贝塔，如果贝塔里面有个直线 a 和阿尔法垂直，那直接就证出来面面垂直。所以你需要去找一个线和面垂直，而线面垂直是不是又需要去找线线垂直啊？ 所以其实我要告诉大家哦，三花猫金句，所有的垂直问题啊，都给它翻译成线线垂直，线线垂直，垂直啊，是所有垂直问题的一个根基，核心是桥梁。 哎，如图，在这个四面体这玩意中， a、 d 垂直于 c， d。 赶紧标一下这里小垂直， ok， a， d 又等于 c d？ 我 的天呀， oh my god， a d， c 呢？是个等腰值的 nice， 然后角 a， d， b 等于角 b， d， c， 呃， a， d， b 和 b d， c， 哎，没毛病吧？好，接着啊，说了，这个 e 为 a c 的 终点，让你证明 b， e， d 和 a c， d 垂直，来找一下吧， b， e、 d 呢，是这个平面， 而 a、 c， d 啊，就是刚刚的等腰直角三角形了。好想证明这个弧面和子面垂直，那我需要在弧面和或者说子面里面找这么一个线与另外一个面垂直即可了。而想这线面垂直，又需要回归到线线垂直了。所以你先去找这个题目中已知的垂直条件，有没有线线垂直呢？ 哎，有呀，你看这个，因为它是等腰三角形， d， a 等于 d， c 又是一个中点，那所以这个 a、 c 是 不是垂直于 d 啊？ 好，各位猜一下，我已经有一个 a、 c 垂直 d 了，然后我现在想证明这个 a、 c 与子面垂直，是不是我再来一个 a、 c 垂直于 e、 b 就 好了呀？哎，如果能指出它，那这个题就可以得到 a、 c 垂直平面 b e、 d， 那 平面 b， e、 d 就 垂直平面 a、 c d 了， nice， 所以问题在于这个 a、 c 垂直 e、 b 能不能找到呢？哎，别忘了这个 e 还是一个重点，所以 a、 c 垂直 b e。 咱还是利用这个等幺三角形的三线合一，我只需要能证出来这个 c、 b 是 等于 ab 的， 那这道题就犹如探囊取物呀！好，现在问题又简化了，相当于给了这么多条件，我只需要证明这个 c、 d 等于 ab 即可。那如何挣嘞？ 这个两个角向的条件怎么用呀？咱高中也没有学过这种角向的转换呢，但咱再观察一下 c、 b 和 a b。 呃，这儿， 哦，这儿噢！而别忘了，刚刚咱们得到了 a、 d 等于 c、 d， 以及这两个角相等，哎， d、 b 又是个公共线，哇哦，这不就是三角形全等吗？ s a s 呀！各位同志们， 在两个三角形中，咱这把这个条件一列，你发现它就是 i c s 了，所以，这不是一个高中数学问题，还高考题呢，这不就是个初中数学题吗？哎呦，然后接下来我就得到这两个三角形全等了，是不是得到 c、 b 等于 a、 b 了？漂亮！ 好了，回到梦开始的起点， c、 b 等于 a、 b 了，我是不是得到了 a、 c 等于 e b 了？哎，这两个条件都有了呀，那么 a、 c 呢？就垂直于平面 d e、 b 了， 也就是咱的这个，哎，紫色平面，那 a、 c 垂直平面第一 b， 我 要证明 b、 d 和 a、 c、 d 垂直了， a、 c 又在这个 a、 c、 d 里面了，所以直接 a、 c、 d 垂直平面比 amazing 全部拿下了高考题不过如此。那么最后撒谎猫再把这个垂直方法给大家总结一下，线面垂直，说白了是找哎，线面垂直，间接的去挣了， 说白了找两个线线垂直啊，然后再证明另外一个，一面直线垂直，而线面垂直，找两个线线垂直面垂直呢？只需要找一个线线线面垂直，但其实所有问题啊，你想找这个线面垂直，想找线面垂直，是不是还是要回归到线线垂直了？所以说，其实所有垂直问题都是线线 垂直问题，以及下面这种特殊梯形的，这都是些垂直的小模型了，这是两个模型，总共有五六种的。 ok， 再到这个线线线垂直了， 我们通过证明 dc 垂直平面 pdm， 从而间接的证出来 dc 垂直 pm 以及呢这个高考正题面面垂直用了一个小小的全等。那接下来啊，就是非常套足了，一个线线推线面，再用线面推面面了，全部拿下数学七栋必需要系统课呢，也在我的主页 这里展示了系统课这个立体几何的板块，以及它所包含的题型啊，那我们下个视频再见！
690三花猫讲数学
10:41查看AI文稿AI文稿立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。
5.6万加数
08:29查看AI文稿AI文稿高一下学期来学这本教材，其中的第三个章节，也就是类体几何，是我们下学期的重头戏，也是大家开学来之后拿分的分水岭。 那这个章节核心抓什么？我们这节课给大家全部梳理一遍，你寒假预科是有方向的，不会走弯路，你才能够节约时间，高效率，行不行？行，我们一节一节给大家去说，你拿笔记下来。首先第八章立体几何，我写到这啊， 第一节叫八点一，八点一是基本立体图形，这里主要大家需要掌握的叫什么？什么叫做多面体 对吧？什么叫做旋转体，了解概念即可，不用做深度的，这个停流行不行？行，然后开始看八点二，八点二叫做直观图， 这里考你什么呢？只要考你一个东西，你会就可以了。就是高考考的也比较少，主要是在我们的月考期中考，考一道小题，明白没有？明白这个小题考什么？ 考邪二策画法主要考这个， 第一个就是你得会用斜二侧画法去画他的直观图，然后第二个就是画完之后你得知道，哎，完了，那个图形和没之前的原图之间的周长面积的关系就欧了，掌握到这个程度就结束了，所以寒假不需要浪费太多的时间， 真正要命的立体几何是从我们的八点三开始的，叫做简单几何体的什么体积？对了，与表面积，高考热点题型考试必考， 所以这里要求大家要死抓一个核心，你不仅要会算算，对公式得背对，你还不能出错，很多人丢分丢在不会计算上，或者说计算容易出错上， 粗心上，所以要刻意去训练行不行？行，现在高考已经不考，这种老掉牙的三十图都还原了，以前是还原完之后让你求体积表面积，现在不还原了。所以大家如果在其他的教辅上有看到，哎呀，一个三十图让你还原回去，让你去搞体积表面积这种题，直接划掉跳过，不要浪费太多时间好不好？好， 你要抓的是教材背后的拓展模型，这里主要拓展什么呢？来，拿笔给我记下来。第一个叫什么问题？叫做球的问题，球里面分为第一个结面， 高考考过很多次了。第二个跟球有关的外接球，外接球模型以及内切球模型，比如说外接球里面 哪些方法，哪些模型，一个一个给我去攻克啊。第一个叫什么模型？长方体模型， 简单的直接考你难一点的就是给你隐藏，最后发现，哦，原来如此，是个长方体，高考考过，考过很多回了。第二个叫圆柱模型，还有圆锥模型， 还有扇子模型，基本能力考九十分以上，这些是必须得会的，要冲到一百二一百三，把高问题来了，尤其是最后两个双半径单交线， 还有下一个双距离，对吧？单交线 拔高的，经常出现在亚洲体的位置。有模型的模型研究透，直接拿结果 ok 不 ok？ 然后内切球里面，比如说我们主要是一些 注体啊，常见的注体锥体都怎么去切的，需要大家喊着去好好去研究一下，也是高考的重点行不行？行，强调一下，除了球的问题之外，这里跟他有关的一些二级结论还有什么？比如说正四面体， 正四面体一些体积呀，表面积呀，高啊，必须要去做总结。你看，这就是为什么很多孩子把教材我都看了，为什么做题不会做，我提不了分。就是因为教材只给你底层的公式，或者只给你推导，他不给你模型。 你寒假如果能把这些模型直接练透，那你的能力跟别人就能够直接拉开差距了，明白没有？明白了好，再来说下一个叫做八点四， 呃，叫八点四点线面的位置关系。这个主要考什么？ 主要就是以概念定律为主，最多考试考一个辨析题，我们在高考当中考的直接考他也很少，所以大家的核心一定是放到哪里？放到接下来的八点五 以及八点六。一个是平行，一个是垂直，这两个才是立体几何里面的灵魂，因为你看到的所有立体几何的问题都是垂直的问题， 你包括体积、表面积里面的一些分析全都用到垂直。所以如果你的垂直学不好，你类地结合的第一问你，第二问，很多就没有办法去做的，不是吓唬大家的，所以你得知道你类地结合的核心重点是在哪里。 嗯，很多孩子这本题苦啊，不知道辅助线为什么这么做呀，这么画呀。所以说大家一定要去听胡老师一句劝， 类地结合不要一上来就去给我看答案。你要做的一定是根据我这些模型，先去总结模型，然后拿模型去刻意训练，能理解不？可以？你比如说平行垂直里面常见的什么矩形模型， 对吧？还有很多正形模型，这都是经典的勾股模型。三垂线模型， 先把这些模型吃透，然后后面你去做题辅助线，一眼就能够看出来他怎么画了。 最后胡老师必须要提醒大家一个点，就是你在教材里面，你翻过来，哎，八点六之后没有了，目录里面根本就没有写加角问题，但是加角这个问题出现在教材皱纹里面，有出现加角的定义，藏着的 夹角问题，这才是核心。写到这啊，夹角不要只单看目录， 线线角，线面角二面角，高大考必考题，而且还考你大题，教材没给大家方法，考试要考呀！所以大家必须掌握，比如说线线角 三大方法，比如说线面角四大方法，面面角对吧？五大方法，几何法怎么做，甚至直接过渡到空间向量里面怎么去做，寒假把它搞透。大家不要只去看教材表面 开学如果你只看表面，你开学发现教材背的滚瓜烂熟，题不会做，一个都不会做。这就是为什么很多孩子预习了发现没效果， 因为高中就是基础都在课本，但是模型都在数外，你缺的是实战演练，实战的模型。胡老师把教材背后的考点教材深挖，全给大家浓缩成了立体几何里面大家必会的三十二大模型满分攻略， 别在教辅书里面各种盲目去刷题了，就把这三十二大题型满分攻略给他练透，顶你盲目刷三百道题， 你只要寒假想拿下立体结合这个大的块，高考里面起码占二十五分左右了，对吧？你就留立体结合三十二大模型，胡老师把这些都给大家安排的明明白白的好不好？好好下课！
749老胡模型数学思维提升
07:02查看AI文稿AI文稿一个超好理解的方法，带你直接拿下理解几何压轴的二面角问题，当别人还在辛辛苦苦间隙计算的时候，你已经十秒钟把这个题拿下了。三号猫独家总结的办法，一、垂面，二垂直，三连接。核心就是这个一垂面， 直接找一个平面的垂面，在里面做垂直即可。因为二面角是有两个面的，我找一个平面的垂面，在这个垂面里面做一个垂直。好，直接看题，实操一下，保证让你轻轻松松拿下一体几何的二面角压轴体。 看第一题，哎，让求这个二面角 b 杠 f c 一 杠 c 的 余弦值观察一下里面两个平面 b f c 一 以及 f c c， 呃，这个 f c 一 在这是交线，另外两个顶点 b 和 c 分 别在这里。 好，一平面儿，我们先找其中一个平面儿的平面儿，那比如说第一个平面儿，呃，这个二面角的 f c b 它的平面儿，哎，能找到吗？ 不能呀，因为它是这个往后仰的，它这个平面儿不好找嘞。那另外一个是哪个平面呢？哦， f c c e 它的平面儿，哦，太好找了呀！因为题目告诉你了， c c e 是 一个定海神针，是一个垂线，它是不是垂直底面儿呀？ 哎，那这个平面蓝色的平面就和底面垂直了，那所以我就找底面这个垂面。好，第一步，垂面已经找到了，那咱刚刚说了，找一个平面的垂面在里面做垂直，那就在这个垂面 fcb 中做垂直。 过谁做垂直呀？过我的这个二面角的顶点 b 往谁呀？只能往 f c 做垂直了呀。因为 f c b 是 个等边三角形，所以做完垂直之后，哎，这个垂线段，它的垂足肯定落在 f c 的 终点 q 上，那 q b 就 来喽， 最关键的第一步已经完成了，二垂直三连接，意思就是二垂直呀！第二步，我只需要过这个 q 往交线，也就是二面角的这个交线做垂线啊，这么一做，好，假如落在这里，我记为一个 t 三连接连接这个 t b， 哎，漂亮！ 各位小小猫前方高能一句，我要告诉你，这个角 q tb 这个 c t 就是 我要求的二面角了，请把六六六扣在弹幕里。 好，这个截得到流程我也放在这里了，大家可以直接看。那最后我只要求这个 qtb 的 余限制就完事了， 因为 qb 啊，它垂直于 f c 了，我们做的，并且 qb 还垂直于 c c 一， 那么 qb 是 不是就垂直整个平面了？那所以其实这个红色的三角形是个直角三角形哎，角 tqb 是 直角，那么 cos 角 qtb 哎， 就是 q t 除以 q b 了。而根据平面几何的知识，咱很轻松的算出来，等边三角形 i q b 是 根号三，这边等腰直角三角形 q t 是 斜边，这个 f q 再除以根号二，那么就是二分之根，从而非常轻松的算出来。勾股定律，勾一下 i t b 就是 二分之根十四，那 q t 除以 q b， 我 家毛都会散，不就是根七分之一，七分之根七吗？请把 nice 扣在弹幕里！一，水面二垂直三连接，牢记 这个口诀啊，几乎可以把所有的几何法求二面角全部拿下！因为几何法求二面角也是今年高考的一个热点，所以各位同学们呀，不要再老老实实见戏了，赶紧想想几何法是不是也非常快呀， 能拿到满分的证明。过程我也写在这里了，好，拿下系统课，接着再用刚刚的方法来试几道题，因为三花猫说了，它是一个万能的方法，几乎这种二面角的几何法都能用。入座时看第二题，让求二面角 p 杠 b m 杠 d ok， 交线 bm， 两个平面分别是 pbm 和 dbm。 那 第一步找垂面，哎，你说哪个平面的垂面好找啊？很明显，是不是这个底面 dbm 的 垂面，它的垂面就是谁呀？就这个 abd 了，因为题目告诉你了，哎， abd 和 bcd 是 垂直的，第一步就完成了， 那接下来开始操作流程，咱只需要在平面这个 a b d 中做垂线，因为咱的顶点是 p， 所以 应该是过点 p 做垂线，哎，平面 a b d 只有一个 b d 啊，那就往这个 b d 做垂线呗。啊，这一坐舒服了， 好，先给他接一个 q 吧。接着二，垂直做交线的垂线，做 b m 的 垂线，过 q， 哎，那我就做一个 q 大 或者 q t， 哎，垂直 b m。 最后一步，三，连接连接 t p 好， 那么这个二面角很明显就是角 p t q 了。 那最后这一球 tan 的 角 p t q， 也就是 tan 的 c t， 它在这个直角三角形 p q t 中，它不就等于哎 p q 除以 t q 吗？ 那剩下你只要算这两个边上是不是就好了？这我家猫都会算的，自己用这个平面几何知识算一下哈。那最后算完之后，哎，上面是一个二分之根号三，这个 p q， 而 t q 呢，就是一个十四分之三倍根号十一， 那答案五就是三分之根号七。我嘞个骚杠嘞， nice， 请把六六六扣在 w 那既然是万能的，再看一道二零二一年全国卷的一个真题，重点翻一下这句话，二面角 e 杠 bc 杠 d 的 大小，能不能找出来呀？ 哎，刚刚我们说 e 垂面，先找垂面，交线是这个 bc， 那 么有两个面了，一个就是 ebc 啊， ebc 它的垂面不好找呀，这个面是斜的，另外一个是 dbc， 哎，这个面好找， dbc 是 下面这个面，哪个和它垂直呢？题目说了 a b d 和它垂直， 那 abd 和 bc 的 垂直 abd 就是 这个垂面的呀，第一步启动，找完了， ok， 核心在里面做垂直，在这个平面 abd 中，我做一个啊，因为顶点是 e， 那 只能做这个 eq 垂坠 bd 了。 接着二垂直，哎，我们是不是要做这个 q 与交线垂直了呀？所以做一个 qt 垂坠 bc 三连接，直接连接这个 t 和 e， nice， 小 子看好了，这一笔会很帅！连接 t e， 那 么这个二面角就是角 e t q， 题目说了是四十五度，所以这个就是四十五度了，那么这个 e q t 就是 一个等腰直了呀，一比一比根儿 nice！ 翻一晚了，那这个题就迎刃而解了，接下来这些东西都非常的好求，这道题呢，也输入在我的必修系统课中啊，这个方法呢？再比如题的方法以及这个二面角的绝招，都在必修系统课中讲过的。 藏猫讲数学，用最通俗易懂的语言，拿下最难的数学题，带你上大分！最后呢，这个二面角也给大家留了一个小作业，可以做一下，把答案扣在评论区， 需要更多练习题的，在我的 b c r 系统课中，以及更多的方法讲解整个 b、 c、 r 的 系统讲解。
495三花猫讲数学
43:49查看AI文稿AI文稿请坐，那今天我们把空间中线跟面这些垂直的问题我们再理理，但首先是 垂直，线跟线垂直，怎么判断线跟线垂直啊？你可以根据定义是吧？假小九十度，对吧？也可以，怎么样 深格考虑什么线和面垂直？那这个面我们往往去找的是什么面？ 空间中两条线要垂直，那要把意面的垂直转化为雾面的垂直，怎么转化为雾面垂直啊？把一条摄影到另外一个所在平面吧， 那实质上我们就证明线跟这个面垂直，这个办法叫做三垂线，是不是三垂线定律，所以线线垂直我们常见呢？这两招，那我怎么来判定线跟面垂直啊？ 根面里面任一条是地狱，但是好操作呢？ 每一条理都要去验证一遍，所以我们采取的办法是啊， 我们用两条线来代表这整个平面，所以他必须是这个平面的什么机机理， 所以通过线线垂直可以得到什么呀？线面垂直，那这个就是他的判定力，判定力。哎，那两个面垂直呢？ 什么叫两个面垂直啊？二面角，二面角，二面角是直的二面角，所以我们可以用定义来判断，我们去计算到二面角九十度，所以它们就垂直了。 或者呢判定定律，那就是线面垂直得到什么呀？面面垂直，一个面或另外一个面的 垂线，一个面过另外一个面去，那么这两个面就垂死了，所以我们要判断一下，直观判断，哪个面的垂线都好找，要找出来 啊。那么也可以由面面垂矢得到什么线面垂矢，所以可以用面面垂矢的。面面垂矢的怎么样性质定律来判断线和面垂矢 啊？当然，那面面垂直，他的判定定律是什么？垂直，对啊，那就一个面过另外一个面的垂线判定定，对吧？ 那当然这就是垂直。那我们还可以有用垂直来证明什么呀？平行，用垂直来证明平行怎么证啊？ 垂直一平面的两直线是平行的。垂直一直线的两平面呢？啊，也是平行的，对吧？所以由垂直来证明平行关系，这说明垂直跟平行之间有内在的联系。 好，大家，对吧？那我们先来看一下第一个问题，图图，这是一个三棱锥， 这两个面垂直，还告诉我们这一刻是垂直的， a 和 a b 是 垂直的。有这样线线垂直 来，弟兄们怎么选？ 也就你的车链是过屁座。这个啊，我们具体的车轮呢？车链上面 要线线垂直啊？线面垂直，哪个线？哪个面？到底是 a c 垂直， a b 锁在平面还是 ab 垂直？ a c 锁在平面，为什么是 ab？ 因为这一条要我们挣的，是吧？这条是已经有了，那你如果 都跟他垂直的，那叫 ab， 就 会跟谁垂直啊？啊？跟哪个平面？ p a 跟 o c 所在平面吧，那就是谁 p a c， 对 吧？所以你刚才你说的是什么？ 由面面垂直是吧？正面找一条跟 a b 垂直的吧。怎么找一条跟 a b 垂直的啊？过平做 a c 的 垂线，垂出记为 n， 那面面垂直可以得到什么啊？线面垂直，它就 p n 垂直于一面， a b c， 那 这样子 p n 就 会垂直谁啊？ a d， 所以，所以 a b 就 会垂直谁？ b a c， 所以 线线就平行了。好，所以两线垂直，把一条线分隔为一个面，分隔一个面，这个面往往找的是投影面， 但是，但是，各位，哎，我们这 a p 怎么样？跟 a b 是 已经共面了，我们找同一面，经常是把异面的变成共面，他已经是共面了吧？他已经是共面了，所以我们目标很明确，就是证明这对应的这个平面啊。嘴巴线伸折为面。 来，继续来看一下，底乘四轮锥，它的底是一个直角梯形，这两个角是直角。再来三段， c、 d 是 一个单位的话，那其他呢？ a b， b c， p， b c 都是两个单位 啊，把条件可设外，对吧？标起来啊。再来，这里还有两个面垂直，标注一下，那 pa 跟 b d 是 否垂直？请证明你的结论。 来来，我们承载了你 意面随形是吧？这两个是意面之间，那怎么办？ 摄影是吧，那这个把谁摄影啊？是 b d 摄影是在啊， pa 水上平面还是 pa 摄影呢？怎么做摄影啊？做 p 点去做垂线。垂线在哪里做啊？ 垂线在垂面里面，做交线的垂线。那我这里数有面面垂线，所以怎么做？ a b、 c 是 什么概念？ 等腰，所以我们取 b c 的 中点 m， 然后这坐下来以后， pm 是 垂的底面，所以 pa 在 底面摄影是谁啊？ am， 所以 我们目标，目标去证明谁 来目标证明 b d 垂直平面， a m 是 吧？朋友们， 那我只需 b d 跟谁垂直？ a m 这样 b d 跟 a m 垂直怎么测啊？那这个直观读不好看，我们把它的平面图还原出来，这个是 b d， 这个是 a m， 这看起来像九十度哈，怎么整？哎，别扔像，对吗？可以，还有什么办法？可以什么计算？计算哪个量？哎？正切哪个角？正切值？ 哎， b 啊， b a m 等于几？哎， 二分之一是吧？这个角正切出来二分之一，然后呢？再去算哪个角？正切这个角好算吗？ 不好算，不好算。这个角算哪个角啊？算哪个角？ d b c d， b c 也等于几，说明啥？ 说明这两个角是相等的，这两个角相等搞定了没啊？所以这个角跟他九十，那这两个角加起来垂直。垂线吗？搞定了，或者呢 两条线垂直，什么？项链？是不是项链啊？你说这样系行吗？ 总之可以利用几何三四全等，也可以用什么计算？计算什么？三角的或者呢项链的是不都行？请做。 那我个人比较偏好计算它的正确值，不是直角算一定。哎，这不很多直角吧，正确如何算？ 那么你如果算这个正切时呢？ a b d 呢？那应该他的正切跟他的正切相乘要等于几？ 以相乘等于一，是不是就赋予了把三角改为面？什么面 射影，射影面？对，把这个图影面，那其实就是叫做三垂线定力。是不是三垂线定力？ 好，接下来我们来看一下。面面垂直，那你要面面垂直，那就价格考虑。什么？线跟面垂直，那就一个平面要过另外一个平面的 啊？垂线就一个面过另外一个面的垂线。好，我们省题，这是一个四人柱 自然做那个底边是四边形哈，并斜差是正方形，圈出来第二个 a e a b d 和 a e b d 是 相等呢？角相等。求证，这两个面是垂直的。来思考一下。 uhh， 各位，我们的逻辑线条要面面垂直，那就面跟面垂直，而要线跟面垂直 啊，所以它最终的核心是线跟线的垂直，那我们要评估一下这两个平面谁的垂线好找？ a， b d a b d a， b d 往往是体对角线，是吧？ 这里好像不是那么好正的，是吧？还有那一个平面啊， a， e， a， c， c， 这是一个对角面，是一个对角面，好像它是站着的啊，好像它是不是站着的？ 那哪一条是它的垂线？一次是 b、 d， 对 吧？几何直观上面和线外一次是 b d， b、 d 有 垂矢的吗？啊？ b、 d 垂心， a、 c 的 一条还不够，对吧？那线段哪个条件粗啊？这个角你也可以怎么解读？ a， e， a 相对底面来讲叫它的什么线？ 斜线？哎，这个斜线的话，我们在上一次做了好多心投影，是什么心的问题，对吧？ 那今天这个斜线有什么特性？斜线跟面里面两条线所成角相等，与面中两条线所成角相等。 那有什么结论呢？则他在里面的摄影是什么啊？摄影是角平分线是吧？摄影是角平分线， 哎，怎么证明他摄影是角平分线？那这个角放在哪个三角形里面研究？ 而前面的是个 a， e， a、 d， 然后左边的是谁啊？ a e， a， d 这两个三角形 相等，那这两个数还相等完以后呢？啊，这两段是不是相等的啊？所以由这个相等可以得到的是 a， e， d 等于谁？ a， e， d， 对 吧？ 啊？利用群的得到这两个相等，这两个相等有什么用啊？啊？三线合一，那我们的 o 是 b、 d 的 中点，所以呢， a、 e、 o 垂直于 b、 d， 对 吧？ a， e， o 垂直于 b、 d 以后怎么样？ 那我这个臂力是不跟正面就垂直了，臂力跟正面的垂直了，所以呢，所以这束中线也是高，因此是他的绳线 来。三线和一是也是角边线，角边线，对吧？那好，那我 b d 跟正面里面是不是有两条线都垂直了，所以 b d 是 不是垂直？正面了， 所以得到 b d 垂直于平面， a c d， 对 吧？然后你一个面过另外面的垂线，所以面面就垂直了。 好，那这里面有三角形，我们是不是利用三角形来？如果没有三角形，咱们咱们怎么办啊？ 那就去过 a 一 哎，做正面的垂线是吧？ a h， 然后呢， 然后过 a e， 再做 ab 的 垂线和 ab 的 垂线，我们垂足即为 e f， 那 么 a e a e a e f 出全等呢？所以 a e 就 会等于谁？ a f 做 a e 等于 a f， 或者 a e 等于 a f， 那 a e 跟 a f 是 不是两条斜线？ 两条斜线相的折什么也相等，这也相等，所以 h e 等于谁？ h e 等于谁？ h f。 而 h e f f 是 不跟两边相垂直的， 所以这两段就叫做这个点到两边呢，距离，距离，如果相等到两边，距离相等，所以平行在它的什么线上？角平分线上，角平分线上， 所以它在角平分线上，所以勾上，勾上三角形来啊，勾上三角， 所以面面垂直，这样可考虑线面垂直，核心是线线垂直，而要线线垂直，又是线面垂直，是这种啊，循环的逻辑上面来啊， 第一次如果引入动点呢？那我们要去探讨跟垂直关系的动点问题，那怎么来想啊？好，我们看题，这是一个正的三楞柱， 底是正下弦没有歪掉，是直的楞柱，那叫正三楞柱。再来 a e a 四个单位， a b 两个单位， m 是 中点， m 是 a b 的 中点，证明两个面垂直 一周喽。看完图形，谁的垂线好找哎， 是 b m c e 的 好找，还是 a b e 的 好找呢？ ab e 的 ab e 是 我们前面的面，那它的垂线去哪里找啊？ 那找一个面的垂线，要得到线跟这面垂直，去他的啊，垂面，这前面，这个面跟哪个面是垂直的？已经垂直的 上里面，什么上里面就垂直了，所以他的垂线就是 再算里面根交线垂直的，那就是谁啊？ c e m c e m 垂直于平面， a b e 搞定对吧就好了啊，那这正三柱 底是一个正三角形，这个证明垂直线面垂直是不是好正？搞定了，所以面面垂直，那就有价格考虑。怎么样线面垂直，而线面垂直呢？ 又深，更考虑什么面面垂直，把这不好证的面转化为好证的这个面里面去转化的曲线啊。看第二个 b b 上面有没一点 q， 使得 a e q 跟 b m c e 垂直，如果有，把这个比值算出来， 哈哈哈哈 哈哈哈哈。 哎，王思凯，你怎么想 要找面的垂线？只要在垂面里面找 交线的垂线，而我 neq 竖在了垂面里面，所以要垂直，我只要找交线 bm 的 垂线，那请问 q 点在什么位置，我会有垂直呢？ 哎，跟刚才一样的，那就去算这个角的什么值，它的正确值是等于 q b 比去谁二？说 q b 比去二，这是 q a b 的 正确值。 来，这个角多少钱？我们去取这个角，那这两个角应该要干嘛？相等？相等，那这个角的正确等于几啊？ 啊？这个角的正弦 m b d e 是 四分之一啊，那你要相等，那就不要等了，那这样等的话， q b 就 等于几？ q b 等于二分之， q b 等于二分之一，那 b e q 跟它的比值呢？上面就二分之几，所以它的比值为几？ 一直为七啊，那我们写的上应该怎么写？当哎， b e q 除以勾 b 等于几的上七的时候， a q 就 会垂直于里面 b c e m， 然后呢，证明 如下是吧？先证什么？先证？这两个证先相等，所以呢，所以角角 q a b 是 吧？加上角加上角 m b， a 等于几度 九十，所以，所以 a q 垂直于 mb， 对 吧？ 为什么谁他这个线就谁的面？又因为两个面垂直出第一步已经正了 面，面垂直，然后再加个什么在面内，是吧？然后垂直交线，所以这边强调一下， a q 在 平面 a e b 里面，所以呢，截得出来没？ 所以我要线面垂直，我就去他的垂面里面找交线的垂线就行了。这垂面已经第一步证明完了，那我就用第一步的结论，马上就正第二步。 好，我们继续来看一下这个动点的问题。这是一个几何体长什么样呢？ e a 跟底面是垂直的，然后 e a 跟 dc 是 平行的， 那这个平行等于告诉我们什么？ dc 也跟底面怎么样垂直的？再来， ab 跟 ac 是 垂直的，所以这是一个什么模型？哦，这边是一个墙角， 这边是一个墙角，再来长度 d c 一个单位，那 e a 呢？两个单位， ab 两个单位， ac 两个单位。原来这个墙角也可以看作是 正方，而正方体的一部分，是吧？也可以看作是指三棱柱是切削下来的正方体切下来的部分。 好，那搞清楚几何体的结构以后， m 是 它上面的什么呀？中点，因为当 m 是 终点的时候，要这 bc 跟这个减面是垂直的，当 m 是 b d 的 终点时，求证 bc 跟这面是垂直的。 it's just it's just。 各位，这个面 e a m 长的有什么特点啊？ 不完整啊？有什么不完整？什么局部的？局部的什么？ 把这洁面给补齐了是吧？怎么补？不不不，不，做垂直，我们一般做中间做垂直不好做。你看几点连线是吧？几成点？ d c 的 终点 n， 然后连起来则 m a 跟 d c 平行，所以 m n 跟 e a， 所以 这四点是共面的，所以我的整个结面都长这样， 整个结面长这样，而且这个结面又长了什么特点？是站着的，是不是站着的跟底面是垂直的，然后我必须要跟他面垂直的，然后我必须要跟他面垂直。 那我只要去他的全面里面找交线，全面是吧？我的全面是谁啊？就你是谁呀？啊？ 我的前面说 a b c 啊，只要在 a b c 里面掉线是谁啊？ a n b c 跟 a n 垂直就行了。 b c 跟 a n 会垂直吗？所以 b c 垂直 a n， 而 e a 垂直谁？ b c， 所以 b c 会不会垂直？整个平面 搞定，这是一问，这局部不好看怎么办？延展对吧？对于几何体来讲，延展一下就看的好太多了。 哎，朋友们，继续看。第二问，现在问的是是否有点 m m 是 动呢？ 这不是终点吧，使得 e a m 和和 e b d 怎么样垂直？ e a m 跟 e b d 垂直。 如果有，把这个 m 点的位置找出来是吧？ 我要面面俱至，我只需 线和面垂直，只需线和面垂直，谁的垂线好走，谁的垂线好走？第一个 a m 是 这样子的 图，它的垂线如何走？ 但只需在底面里面跟谁垂直就好了 啊？就是 m 点现在动了啊，那我这个 n 撇吧， n 撇是不是也动了？那我只需在平面里面跟谁垂直？ a m 撇垂直，那行，那我就这条跟 a m 撇垂直吧。那跟你这边数一个焦点，我把这个焦点记做 f 吧， 我们只要找到 cf 跟 a n 点，随时搞定了，对吧？但很可惜 cf 在 不在 ebd 里面？不在什么 哦，要移到面里面去是吧？那就是要把 cf 移到上。怎么移上去？把 c 点移到谁 d 点，那把 f 点往上往上移到 g 点来就行了吧。那现在呢？要能移上去，刚好移到里面去，所以 g f 跟 d c 要什么相等？也是一个单位，所以我这个 g 点是什么点？ g 点是终点， 从下反推回来，你要能移回去，所以 g 点必须是什么点？终点，那 f 点呢？终点，那 f 点是终点？ f c 要跟 a 与 n 垂直，那 a 你 的位置确定了没？ 好，那我们把它平面图形还原出来，是吧？这两个单位这边中点，这不一个单位一个单位，然后连起来啊，然后呢？ f c 要跟谁垂直？ a n a n 是 不是垂直？ n 撇时候跑到这里来？这里要垂直， 怎么来？算？ n 点的位置正确啊？正确，是吧？正确，那应该是这个角的正确。跟谁啊？ 跟这个脚是要负来这个脚，跟这个脚要本来就得负于的，是不是啊？这个负于，那这个这个脚呢？ 啊？这个角跟这个角应该要干嘛相等，所以它应该是二比一，这个是不是二比一的？哎，那怎么算？我们做一个高下来吧。 那这个这个角跟这角是不是二比一的？所以我设这段为 x， 那 这段呢？二 s， 那 这段是二 s， 这段呢？啊，这段数也是二 s， 所以呢，整个就出来， x 三 x 三， x 等于二，所以 x 等于几？三分之二啊？ s 等于三分之二，那这边就等于三分之四，所以这点是什么点？三等分点，所以说 n 点也是几等分点？ 三等分，那 m 点呢？三等分点，用 b m 比 b m 去比啊，啊， 当这个上，那我们证明的，那怎么这样？当 dm 等于 b m 的 比为二的时候，然后我们取 m 点，使得这也是比值为二，所以是不是延展下来，是不是？ 然后啊，然后我们去证明这条线跟谁跟 f c 是 垂直的，所以 f c 垂直，这个面，对吧？ 右它是终点，所以取终点。这段跟这段平行，所以 f c 平行，谁 g d 啊？所以 g d 数也垂直面，所以面面就垂直了， 所以我们要线面垂直，那就线跟面垂直啊，在全面里面找交线的垂线，如果能一步到位，当然就好了，如果一步到不了位，那我们就两步，先把垂线找出来，然后再 平移，再平移进去。啊，这是动点，能这么来看究啊，这么来看究，去找它的充分条件。好，那同学们再把它跟方折结合在一起。 已知梯形中 a b 跟 p c 图形，这是底，再来 pa 等于 a， b 等于 bc， 然后 pc 是 pa 的 两倍， p c 是 pa 的 两倍啊，这一份这段呢？两份 a b 一 份 b c 一 份，这是一个什么图形？等腰梯形下底是上底的两倍， 然后 d 是 终点， d 是 终点，那么连起来呢 啊？这边是什么原因？等边？那这边是什么菱形？这菱形长的什么特点？六十度的菱形，是不是六十度的这个菱形？ 所以你先把这个平面图形的系数根据这些条件是不足够推出来了，所以因为这些条件你抄一遍，所以呢，三角形 a、 d 为等边呢？ 然后呢？ a、 b、 c、 d 为菱形，这菱形还有什么特点？且叫 b、 a、 d 等于这平面的问题，直接下结论。 好，那现在呢，我们把 p、 a、 d 翻起来， a、 d 是 不是它的轴？ a、 b 是 它的轴，在轴的轴的同侧，这图形有没有改变？翻起来以后构成四轮锥，所以翻起来的 p、 a、 b 是 什么图形？ 还是等边？ a、 b、 c、 d 呢？还是菱形？有没有改变？没有，但是 p 点到 b、 c 的 距离改变了，没？翻起来就改变了。那我们继续来往下看，使得它体积最大。求证 b、 g 跟 b， a、 d 求次， 体积最大啥意思？点 p 要跑到最高点去是吧？ 点 p 什么时候会跑到最高点去啊？他应该是值得，就值得 n 米小，所以他要体积最大则会怎么样啊？ 里面 p、 a、 d， p、 a、 d 垂直，谁？里面 a、 b、 c、 d 是 不是啊？他情绪上就告诉我们，这个面，这底面是垂直的，弯道垂直，弯道垂直，第一步既是终点。求证 b、 g 跟 p、 a、 d 垂直，那这个 b、 g 跟 a d 垂直， 那就 b、 g 跟 a、 d 垂直，那就 b、 g 跟 a d 垂直。 你怎么来说 b 七跟 a、 d 垂直啊？那你刚才说你是六十度，是什么菱形？所以呢？三角形 a、 b、 d 是 而等边三角形，所以呢？ b 七垂直，谁？ a、 d 因为体积最大，两个面垂直，所以在面对垂直交线则有线跟面垂直，所以第一步是不证明好了。 第二， e 是 bc 的 终点，在 p c 上是否有一点 f， 使得使得 d， e， f， p， f 和 a、 b， c、 d 垂直呢？ 钥匙的面面垂直充分线横， 谁的垂线好找啊？说 a、 b、 c、 d 的 垂线好找， a、 b、 c、 d 的 垂线在哪里啊？来一条啊。 那就去找 a、 b、 c、 d 全面里面找交线的垂线吧。它的全面是谁啊？它的垂线是谁啊？啊？ p g 是 吧？ 很遗憾 p g 不 在你那个面里面啊，平移过来是不是要找它？平移线 要过一条线跟正面平行，过线做面找用什么来投影这条线？所以我们把谁连起来？连起来， 连起来这点是什么点？中点？那你这个 f o 要跟 b 线平行，所以 f 点？是 啊，我们是不是已经来了？首先最终结论， f 点四啊， f 点四终点的时候是不是可以做得到了？ 那我们可以用平底把这一条 p 气换成谁，换成 f o， 而 f o 数在这平面里面呢？搞定。 所以我们判刑的时候还是按照找他的充分条件啊，把线把面面垂直问题这样个考虑线面垂直，而要线面垂直又深个考虑面面垂直， 然后我们就可以找到这条我们相应的线了啊，那今天就到这帅哥吗？
76汤老师
01:19查看AI文稿AI文稿立体几何二面角不会求？看完这篇秒懂，还在为立体几何二面角头疼吗？找不对平面角算不出角度，做题全靠蒙！别慌！高中数学二面角核心解题法， 一次性给你讲透！定义法棱上取点两面做棱的垂线，直接锁定平面角，基础题必用 三垂线法，找面的垂线，再做棱的垂线，一步定位平面角，高频考点秒杀！项量法间隙求法，项量公式直接算，不用找角， 难题直接通关！不管是定义法、三垂线法还是项量法，做题没思路，步骤一出错都是没掌握解析技巧， 别再盲目刷题死磕了！高中数学解析技法大权理整理了二面角全题型解析模板、易错点、避坑速算技巧，从基础到压轴题，一步步带你拆解思路， 手把手教你套用方法，再也不用怕立体几何！高中数学想提分，找对方法比盲目努力重要一百倍！需要完整版二面角解析记法的赶紧码住这份记法大权！链接就在下面！
30:37查看AI文稿AI文稿骚猫讲数学，立体几何是高一数学最难的板块了，但在这节课中呀，我把立体几何所有的解析技巧，解析妙招给大家总结了出来，用最通俗易懂的语言，让你拿下立体几何的六大解析技巧。废话不多说，赶紧开始吧，数学启动 一体几何究竟有多难呀？从八点一到八点六，此行猫呢，用这个必修二的系统课给大家把考点题型整理了出来，来请大家把自己觉得最难的板块的标题扣在弹幕里，是八点一还是八点二，还是到后面的八点五八点六了，以及中间补充了一个外接球与内接球专题。 那接着给大家欣赏一下本节课会讲到哪些解题妙招，以及针对哪种题型。第一个凑对称，来自二零二四年天津高考的真题体积问题。第二个妙招呢，是以尺子在这种正平行的题里面去找线线平行 这题看起来是一个小桥，但其实它包含了四个大题，看起来简单，其实一点也不难哟。接着呢，是换顶点问题，针对于求三棱锥的体积以及呢到了化解面问题，来自二零二一年全国二卷以及二零二三年全国一卷的高考真题 前脚转化两两垂直化为长方体以及向量法来求这种线线垂直的问题。一面直线垂直，这个可是很难的呦。 那首先第一个凑对称，针对于求体积问题，如果给了一个复杂的几何体， 那一般的思路就是割补法了，但不管是割还是补，它都是有依据的。比如这种遇到了结构对称的几何体，那咱们就抓住对称来直接看题。二零二四年天津高考，给了一个五面体，然后棱 a、 d、 b、 c、 f， 哦，这三条棱是 平行的，两两平行， ok， 互相平行，两两之间的距离为一，那说白了就是你这个棱之间的距离呀，哎，都为一，都为一， ok， a、 d、 b、 c、 f 分 别为一、二、三。问你五面问题的体积哇，这个五面问题，首先它很不规则，但是我知道这三条棱的长度分别是一、二、三。那各位学小猫，请在弹幕里扣一下，这个题怎么解决呢？是割还是补一？割成什么样子，补成什么样子， 哎，可能有同学想到的是去给他割一下，但割完之后其实非常难受，比如这里我找一个一啊，那这样，然后这里呢？找个三等分点，下面也是一， ok， 这个看起来呢，下面是一个棱台在上面，这个不太好求啊，上面再去割一下，那也蛮复杂的啊，有同学想到补了，很好，一、二、三，哎，你看这个三呀，他差了一个，差了一个一，那这补一个一出来， nice， 这里再补一个二出来啊，这么一连的话， ok， ok， ok， 哦，这个呢，就是整个一个棱台了，然后这是一个二二，这是一个一，但是看着还是很不爽，因为这个棱台，哎，他，你补出来了，这一部分也不规则呢，很难求，那咋办呢？ 哎呦，聪明的小黄猫，一看，一二三是个什么呀？各位小小猫，请在弹幕里扣一下一、二、三，这不就是等差熟练吗？那你何必补个一和二呢？一二三，我给他干嘛呀？我给他补个三二一出来，那这样不就非常完美，非常对称了吗？来，直接操作，你看这个，我给他补一个三， ok， 那 这个呢？我给他补一个二出来， 那这个呢？咱给他补一个一啊，这个三，我们再画长一点， ok， 到这里了，好，这三个线呢，长度分别为三二一，那这样你连一下就会非常惊奇的发现，哦，这一连到这了，这边一连呢？到这了， ok， 这二连呢？又到这里了，哦，这整个就是一个三棱台了，三棱柱，并且不仅补上了一个三棱柱，他还是一个非常规则非常对称的图形啊，没有发现吗？咱要求的是这块黑色部分的体积，而补出来这块红色部分的体积。 黑和红，他俩咋了呀？哦，他俩是一对啊，天生一对三二一一二三，他俩非常互补结合在一起了，是一对 cp。 那 我想用这个黑色体积不就是整个体积的二分之一吗？ amazing， 请把六六六扣在弹幕里， 那咱的五面体体积直接二分之一为这个三楞柱？好，三楞柱体球乘一个二分之一，答案嘚儿一下就出来了， 哎呦，那这个三棱柱体积怎么求嘞？两两之间距离为一啊，那说明这个三棱柱它中间之间的啊，这三个棱的距离一一一，哎，我家猫的名字一一，嘿嘿， 那这个结面就是一个边长为一的等边三角形了，等边三角形的面积，也就是底面积直接四分之根号三 a 方，那就四分之根号三乘以的平方四分之根号三。那么高的话，咱补完之后这个棱长都是四了呀，所以高就是一个四。 nice， 那 么最后的答案请扣在弹幕里， 二分之根号三选 c， 漂亮。也就是说遇到这种结构对称的几何体或者复杂的几何体，你可以给它补成结构对称。有的题呢，可能出来一个就是结构对称的，那么你其实只要求哎成个二分之一就行了，或者把总的求出来乘一个二分之一， nice， 另外这个两两之间距离为一，可以翻译成啊，这个棱柱啊，它的直径为一的等边三角形。 关于这玩意，怎么详细的证明在 b c r 系统课中啊，咱的配套讲义七十三页，本节课题目啊，均来源于三花猫 b c r 系统课配套讲义在 b c r 系统课也都是给大家进行全面的讲解了，只不过是把其中一些题型给大家抽了出来，所以需要 b c r 系统课的哎，可以在我的主页获取。 好，那各位是小毛，咱再回归到这个目录，我向大家比较难受的就是这个表面积体积问题，尤其这个体积问题啊，哎，刚刚就讲了一个呦！ 另外在必修二系统课中啊，丝毫把这些所有的知识点，题型技巧以及解题妙招全给大家讲完了。 系统课呢，不仅包含立体几何，还包含了必修二其他的章节，比如什么解三角形，平面向量以及统计概率等等。 最近好多小伙伴私信需要 bcr 系统课的，并且已经下单了。那小黄毛再给大家说一下， bcr 系统课有个五一假期特惠哦，仅针对于五一假期这两天。这些呢，就是跟着小黄毛学 bcr 系统课的部分截图啊。 三皇冠必修二系统课最大的特点呢，就是通俗易懂，我会用非常简洁的人话把一些很难的题型给大家拿下来啊，比如这位同学啊，说在学校听得一言难尽，然后三皇冠真的全靠你了。哎呦，系统课让他对数学重燃了斗志， 因为 pc 二系统不仅包含了全套 pc 的 课程视频，还包含，哎咱的配套讲义，一百页，总共一百页的哦，并且答案也是有的，包括电子版以及纸质版，还包含色号猫四个月大一最后的价格，大家直接在我的主页或者在本视频的链接获取，就能看到优惠完的价格了。 并且不管你的数学是多少分呀，其实都适合这个必选系统课的，因为每节课呢，我都会给大家讲哎最基本的知识点，然后接下来讲解题妙招。最后呢，讲这个题型的通法，哪怕你是零基础，你刚开始看知识点也是能看懂的，从零到一百分，以及再从一百分到一百三十分，把所有的题型全部拿下。 如果你的高中数学在学校学的难受，那必修二系统课就是你的法宝，包含了直指讲义，哪怕你平时在学校没有时间，也可以先做题，回来再看视频，因为每个视频的长度是三十到四十分钟，所以你每周去看一个板块就 ok 了，完全足够了，非常高效，非常通俗易懂。 那接着妙招二，移尺子哎，考试的时候可以带尺子的哟，就是对这种让你证明平行问题，说白了其实是找线线平行。比如你看这个第二题，哎，给了这么多条件问你不满足直线 m n 平行平面 abc， 那 我反过来思考杯，我就证明，哎，直线 m n 平行于平面 abc。 所以 这个题不简单嘞，它有四个选项，每个选项都需要你去判断一下或者证明一下 m n 是 否平行这个平面了。 那证明线面平行的方法是啥呀？在 b c r 系统课讲过了哦。啊，就是找线线平行，在平面 a b c 中找这么一个直线和 m n 平行，找线线平行。哦，那怎么找呢？哎，你偏平行这种感觉哦，用尺子一下不就出来了吗？这道题呢，也是 b c r 系统课配套讲义的五十六页 好，比如你看第一个 a 选项，我要证明 m n 平行这个平面 a b c。 那 在 a b c 中找一个线和 m 平行就完事了呀，怎么找呢？移尺子呀。啊，你看我这个尺子比了 m n， 然后往下移，我的眼睛就是尺一过一过，哎，它正好和 a c 平行了呀，平行吧，真的平行呀，那怎么正呢？ 哎，有了这个思路，先把它写上呗。我说白了就是证明 a c 平行于 m n 啊，如何证呢？我现在已经找到了。那你就哎顺着它的思路去思考。你看 a c 是 两个这个哎，终点一连 m n 也是两个终点了，但只不过这个终点小一点点，所以我需要去找这么一个面儿对角线让它变大。哦，那这我记为一个啊， p q 吧，所以通过 ac 平行 p q 以及 m n 平行 p q 平行线的传递性，那直接 ac 平行 m n 了，就挣出来了。 nice， 好， 接下来这个第二个，看我怎么移到这个东西你可能看着比较难受了，需要移尺子来，先把 m n 给它描一下 啊，当然，你们到时候用尺子移就行。你先用尺子比着 m n 啊，然后呢，给他往下移，下移，你看哪里平行了？一到 a 点啊，不行，这里太抽象，有点， 哎，看着有点难受了，他不在这个面里面，那一到 b 点都不得行哎，好像德行哦，一到 b 点呢，这边是一个 b， 这边交于了这个棱的中点了，那说明这个面呀，它太小了，给它延长一下啊，这里给它连接， ok， 这里也给它连接，连接到这里 来，我们用虚线吧。 ok， 这里给它记为一个 q 吧。啊， q 币，那整个这个 abc 平面是不是就相当于 a q c b 这个平面了？哦，那我只需要证明 m 平行， q b 就 完事， 那很明显，这个 m 和 q b 是 好正的，所以线面平行了啊，注意，这个平面和直线可以无限延伸的哦，你平完之后可以延伸了，那答案就出来了。好，接着第三个 m n 平行 abc 来，再用移尺子，哎，神奇的小尺子，移一移，这是 m n， 给它往左边移啊，移完之后， 哎，跑这了，焦点在哪呢？哦，焦点就在这个棱的中点啊。给大家也记为一个 q 吧，那连接 c q， 再连接 a q， ok， 你 会非常惊奇的发现，平面 abc 其实就是平面 abc， 那 我证明 m n 平行于 q b， 完事。 好，那通过移尺子，你发现 a b c 都是对的，那所以我肯定不能选 a， b c 就 要选大了，哦耶，答案就出来了，请在弹幕里扣出六六六移尺子，大家考试的时候一定要带尺子，这个非常关键，它是你至胜的法宝哟。啊，当然你也可以把三花猫带上，嘿嘿， 那这时候可能有好奇的小小猫了，三花猫呀，那最后一个移出来也是对的呀，为啥错了呢？最后一个，大家确实移出来，你发现 m n 和这个 a c 啊，它是平行的 啊，然后就觉得，哎， m n， 那 不就平行平面 abc 了吗？有这个思想的同学，我送你四个字啊，拖洋，拖死你跑，太年轻，太单纯呀。哎，这个 m 和 a c 是 平行的呀，但是注意这个正方形。给大家再补充一下，你没发现刚刚在 b 选项和 c 选项里面，我们都把这个面啊给他扩充了一下， 扩充其实就好看了，而这个 abc 你 看它非常的小，咱也可以给它扩充一下呀。你看 abc 在 棱的中点，那我多找几个中点呗。啊，这里 n 也是中点啊，咱把这个 b 和 n 连接一下。 欧耶， m 已经连接了。好，这我也找一个中点，把 c 和这个中点一点，再把 m 和这个中点一点。哎，你发现整个这个平面其实是啥呀？再来记为一个 a， c， q， m n， 它就是一个六边形，而咱要求的这个直线 m n， 它是包含在这平面里面的哟，包含在平面 abc 的， 因为咱把平面 abc 给它扩充一下，你发现是包含 m n 的， 那线和面平行需要啥呀？线不在面内才行呀，这个是线在面内，所以它就错了，这是一个易错点哦，注意正方体，你几个棱的中点相连，可以构成一个 正六边形，这也是一个场合的模型啊。 nice， 接着妙招三，转化顶点输入在 b c 二，系统课配套奖励的四十一。 好，直接看你三杠一，哎，值。三棱锥这玩意给了这么一堆条件，问你，三棱锥 b 杠 p a c 啊， b 是 一个顶点， p a c 呢？是一个底面。 ok， 没问题。那何为换顶点啊各位，就是针对于三棱锥的体积，这是个高频考点哦，咱干嘛呀？换高？因为三棱锥的体积众所周知是 v 等于三分之一 s、 h， 而在这个公式里面，最难搞的其实就是这个 h 了。 s 一 般好求，有了减三角形，二分之一 a、 b 三 c 就 求出来了。那这个 h 有 时候真的不好找，因为立体几何很抽象。比如你看这个题，我要求 v、 b 杠 a、 p、 c， 那 是不是需要从点 b 向这个平面 a、 p、 c 做一个垂线段才能找到这个高呀？ 那问题是，垂线它落在哪里呢？你做完之后落在这还是落在这？还是呢？落在这个棱上了，它不好找，因为找完之后，你这个长度也不好求。那所以其实呀，你如果以 b 为顶点去求这个高，真的难受，咋办呢？ 转换顶点，换顶点，换高，刚刚是以 b 为顶点高做出来这样子的，那我能不能以谁啊？以 c 为顶点，或者以 p， 或者以 a 为顶点。 三棱锥是有四个顶点的，那我以谁为顶点，其实都一样的呀。那你觉得哪个顶点好一些呢？各位，在 a、 b、 c、 b 中， ok， 请扣在弹幕里，那肯定是 p 好 点，为何呢？因为 a、 b、 c 这三个顶点都是二十六字母的前三个哟。嘿嘿，那 a、 b、 c 肯定是好球的。但是开个玩笑，这也是一个思路，你想想吧，点 p 是 这个 a、 c、 e 的 终点， a、 b、 c， 它就是这个三棱柱的底面哟，你看， a、 b、 c 不就这个三层柱的底面吗？那这个底面的面积非常好求呢？那我不就是求这个点屁到这个底面的高呢？那点屁到底面的高怎么求呀？哎，这个屁是个中点，你别忘了是个中点，那我通过这个点，屁往底面做了一个高， ok， 那 其实它是啥呀？它这个 c 到底面高的一半了，因为屁是它的中点，那我说白了就是 c 到它高，再乘二分之一就完事了。 好，有了这个思路，转换顶点启动，咱以 p 为顶点，把 v b 杠 abc 这个三棱锥给它转换成了 v p 杠 abc 啊，顶点换到 p 了，那咱刚又说了， p 是 终点，那 a c 一 的话，它是一条这个线， 那所以 c 到底面的距离是 p 到底面距离的两倍了。哎，这个很好看出来吧，那所以直接变成了五，哎，二分之一 v c 一 杠 abc 了。 其实这两步呢，都是这个三等球体积的两个妙招，我给大家标注一下，在这个 b 圈系统课都是讲过的， 第一步就是一个换顶点，第二步是比例放松，相当于出现了中点或者几等分点，那这样他的高也是他的几分之几啊，进行相应的放松就 ok 了，但一般这两个都是结合在一起出的，所以换顶点加比例放松。欧耶， 好，那现在这个就很简单了呀，直接二分之一啊， s 三角三分之 s 时，那就是三分之一 s 三角形 a b c 再乘一个高，高就是 c c 一 呀， nice， 所以其实我只要把 a 三角形 a b c 求出来就完事了。 a b c 的 面积怎么求呀？哎，他给了这个 a b 是 根号二， ok， bc 又是一个一，还给了 cos 角 a c b 是 三分之根号三，相当这个角的 cos 就 知道了。哎，那不就是解三角形问题吗？那怎么解？各位小伙伴自己操作一下吧， 四号猫马上公布答案。 ok， 四号猫要公布答案了，最后的答案如图所示，十二分是科二，各位学小猫算对的，请在弹幕里扣一个。 nice， 主要解三角形的过程我展示到这里了，先利用这个考材值算出来三边之长，然后再利用面积公式算一下三，答案就出来了。好，另外，这个三个二留作一个练习题，也对应于必须要系统课配套讲义的四十一页，大家做完了直接在系统课中对答案即可，或者在评论区抠出你的答案。 接着第四个妙招，化解面。呃，立体几何难就难在它是一个三维图形，但我们可以通过化解面把一个三维问题转化为一个二问题，也就是把一个立体几何问题转化为平面几何问题。 最突出，考的最频繁的你，像二零二一年全国二卷以及二零二三全国一卷，都考到了一个棱台的体积问题。棱台的体积我要去干嘛呀？哎，找这个高是最关键的。 ok， 棱台的体积公式还记得吗？来，记得的小小猫，在弹幕里面扣一个一， 是不是 v 等于三分之一？哎， s 一 加 s 二乘以个啥玩意呢？乘以个 h 漂亮， s e s r 好 求，主要这个 h 难求，所以其实求体积问题啊，说白了就是求高，求这个定海神针了。哟，那棱台这个高如何求呢？哎，我们先画一个图嘛。 ok， 如图所示。那我去找这个高啊，上里面中心，下里面中心，这么一连高就找到了。好，现在题目给了侧棱的长为二，说白了这个为二，那上下里面这个边上也知道，那我怎么求这个高呢？哎，这个二我都知道了，我要去找这个高，那说白了，哎，把这两个一连，这两个一连开心。 好，这是一个啥呀？因为他是高，所以这两个是垂直的。那这玩意其实是一个啊，直角梯形，那相当于这个轮胎，我通过把高移，哎，棱长，这个一连是不是做出来一个结面了？好，这个结面图形给它提取出来，如果还看不懂，可以提取一下呦。 提取完之后，直角梯形，这个腰长为二，那上下底边呢？哎，注意，上底边是啥呀？是整个上底面的对角线的一半啊，上里面这个边长为二对角线二倍根二乘以一个二，一半是一个根号二，同理下里面是二倍根号二。好，现在问你这玩意那不就是一个平面几何问题吗？ 怎么求呢？来，这再做一个平行，那这是根号二，那求他是不是直接勾一下就是一个根号二？漂亮， 所以求出来这个 h 就 等于根号二，欧耶。那接下来把这个东西一带，答案嘚儿一下就出来了。来，请把这道题的答案扣在答案里，快速算一下。 ok， 最后的答案如图所示。 选大。那这个题拿下了，给大家留个小小的练习题，四杠二，二零二三年全国一卷的题哦。 这个画界面其实它是一个非常重要的思想，也就是把立体结合问题给它转换成平面结合问题，多去把立体结合的界面画出来，因为咱们一般采用的斜二插画法，导致你在立体结合里面看图的时候非常难受， 那以及更多的方法，系统的讲解都在发红包，必秀二系统课，大家在我的主页获取或者该视频连接获取即可。 妙招五，墙角转化各行者们有没有玩过我的世界呀？简称 m c， 在 我的世界里面，我记得我小时候刚玩的时候就是去追那个猪打， 但发现这个猪每打一次就会乱跑，所以我就把它按到一个墙角，啊，边打啊，然后边这个它就跑不掉了。 那墙角是啥东西呢？就像我的世界一样，因为它我的世界那每个东西都是一个方块，那不就是个正方体或者长方体吗？哦，那咱们看题， 就相当于你看五杠一啊，三棱锥这玩意中给了 p a， 这不重要，重要是这句话， p a， p b， p c， 两两垂直。哦， 它都有个公共点， p， 两两垂直，那不够就构成了一个墙角吗？啊，你看，这里是 p b， 那 这是 pa， 这是一个 pc， ok， 是 不是构成一个墙角啊？这三个是两两垂直的啊，相当于我的世界里面一个角角落了。 那既然能勾出一个墙角，你想想，两两垂直，哎，他是我的世界一个方块的，一个一边喽。啊，一部分，那所以可可以把它放到一个方块里面，也就是放到一个长方体里面，好给他标一下吗？都是一个根三，哎，根三根三根三，长度还一样，那所以出来应该是个正方体，啥意思呢？ 如图所示，在这个正方体里面，既然刚刚这个 p 是 在这 p a p b， p c， 那 好，我用这个 p 在 这个正方体的顶点，那这里不就是 a b c， 哎， 你把一个三棱锥啊放到正方体里面了，每个三棱锥的顶点都在正方体的顶点上，我再给大家连接一下，现在是不是看得更舒服了啊？这个顶点 p 下面底面 a b c， 他 问你三棱锥的外接球， 哎，那这样这么一放到正方体里面，三棱锥的外接球其实就是谁呀？啊，这个蓝色的正方体的外接球，请把六六六扣在弹幕里， 那我求他的外接球，直接求正方的外接球，这个题答案就出来了。好，我先给大家梳理一遍思路，就相当于如果遇到一个三棱锥， 他出现了，哎，三条相邻的棱，两两垂直，那么这就是一个墙角模型了。利用墙角转化，把它当成一个墙角，那其实就是正方体的一个角了，那就给他转换成正方体外接球了。当然这个给的比较特殊，三条棱相等是正方体，有时候可能转化出来是一个长方体， 也输入在 b c 二系统个配套奖励的四十八页里面，给大家整理出来了这个三棱锥，哎，三棱锥外接球的各种球法，各种模型，这只是其中一种。 好了，各位学小猫大家自己求一下这个长方体它的外接球的体积。四号猫马上公布答案，最后的答案如图所示， 选报各位学小猫做对了，请在弹幕里扣一个， ok， 欧耶， nice， 都可以！ 那最后这个五杠二留作一个练习题吧，也是在 b c 二系统和配套讲义的。四十八 e， 注意这个正方体的外接球啊，它就是体对角线的一半，所以直接它的公式就是二分之根号三 a 了啊， a 是 这个正方体的棱长了，而在这道题里面，棱长就是一个根号三，所以咋把 a 等于根号三带进去，那算出来就是一个二分之三了。 nice！ 那 本节课的最后一个妙招，向量法。哎呦，各位同学们还能还没有学过空间向量，但至少你学过平面向量吧。所以向量法在解决一些立体几何问题的时候非常舒服，哪怕今天你还没有学，在学校没有学没关系，塞红包直接给大家讲懂，特别简单。 那直接看题吧，他说一个正方体 ok， 然后呢？ ab 呢？都是顶点， e f 是 终点，在途中满足 ab 垂直， e f 的 图形有哪些？ ab 垂直， e f 是 不是线线垂直呢？ 而在 b 圈系统给大家讲过证明线线垂直的思路，其实有三个。第一个啊， e 面直线垂直，我们干嘛呀？直接平移加减三角形，你把两个 e 面直线垂直，我们干嘛呀？直接平移加减三角形。求一下这个夹角如果是直角，那就完事。 第二种思路，别忘了，线面垂直有一个性质，线面垂直是不是可以推线线垂直啊？所以第二个，你可以通过证明线面垂直，然后再来证线线垂直。哎，相当于垂直之间的一个转化了。另外第三种思路，这个就比较牛了，也是撒哈密最喜欢的一种办法哎，向量法。 好，那我们可以先看一下这个啊，第六个的第一个。另外各位学长们可以猜一下这个题答案有几个嘞？他说满足垂直的图形的个数为几个？各位可以按个暂停键自己试一下啊，你可以试一找，这道题难度其实非常大，如果你用皮筋和线面垂直，做起来非常难受。 好，我们看第一个啊，比如有同学想问，这个平移的办法可以吗？我给大家讲一下，这是 ab， 而这个呢，是个啊， e f。 那 现在我把这个 ab 到现在给它平移一下，平移完之后，呃，它能和这个 e f 放到一起共顶点，那是不是就好了？比如平移到这里， 哎，这里可以吗？哎，可以，平移完之后呢？你看这就交于了这个棱的中点了，所以这边呢，我找一个中点给它接为 q， 连接 q e， 好在连接这个 eq。 大家看一下，这个 eq 和 ab 平行吗？太平行了，因为 eq 是 这个啊，和这个红色的直线平行，它是中位线吗？而这个红线和它又平行，根据平行间的传递性。好，我只要能证出来这个角是九十度就完事了。 那问题是咋证的？各位小小猫，那你要把 q e 长度求出来， q f 长度以及 e f 长度都求出来，然后就勾股定律验证一下，解三角形。 那这三个长度其实求起来计算量蛮大的呦，虽然他是个正方，你都可以设他为一个二，但其实计算量也不小啊，在考试的时候，你未必想的出来，或者说未必能算出来，算完之后时间没了。好，我们不管这个方法了，不用平行法了，来换一个办法。那有同学说那第二个办法用线面垂直可以吗？当然可以，那问题是你去找哪个垂直呢？ 那现在如果告诉你这道题答案就是一，或者他想让你证明这个一成立，我们就假设他成立，也就是假设 ab 已经垂直到 e f， 哎，假设我想正他是慢慢去，往后，从后往前推呢？ 那如果在 e f 里面再做一条线，因为 e f 我 一个在这中间，一个在这中间，看着难受， ab 是 个对角线，看着舒服。 那众所周知， ab 对 角线在正方形中，对角线是不是互相垂直呀？ ab 和它垂直的哟，那它和谁又平行哎，它，我这里再找一个中点，给它接为一个 q， 连接 f q f q 是 不是和 ab 垂直呀？那如果 ab 又和 e f 垂直，那 ab 就 和这个 q f e 整个平面垂直了，所以我再连一下，哦，我说白了，只要证明 ab 垂直两个线，然后 ab 就 垂直这个平面了， ab 就 垂直 e f 了。 这个看起来是挺简单的，但是你这个辅助线确实不好想。那所以大家下面垂直如果学的不好也难受呀，那咱们干嘛呀？我给他教一个万能的办法，向量法， 正方体中去找向量。你想证明 ab 垂直 e f， 哎，如果把这个向量 ab 以及向量 f e， 我都给他用另外的这个项链来表示，两个项链数量即为零，不就挣出来了吗？那怎么去表示呀？这两个项链肯定难受，他的家教你看不出来，如果能看出来，那还挣个什么哟。哎，没关系，四号猫有方法， 找啥呀？找基底，在平面相中，我们找了两个基底，那咱们在空间中就去找三个基底，正方的基底非常好找，我以 a 为这个圆点 好，这一个项链 nice， 这一个项链 nice， 以及上面还有一个项链给它都记为一个项链 a， 项链 b 以及项链 c。 欧耶， 那 abc 是 啥呀？它是三个两两垂直的项链，其实每个项链的长度是不是都相等呀？我给它都记为一个一嘛。 abc 毛长你都知道了，加角都是九十度，加角也知道了，它可以作为空间中的三个基底，请把 ok 扣在弹幕里。 那这几个也一样的，我都以这个 a 为定点，去找这么一个基点。好，那用这三个向量把这个 a b 以及 f e 表示一下，大家看下这个向量 a b a b 不 就是向量 a 加向量 c 吗？根据平行四边形法则，那所以直接这个 a b， 哦， a 加 c 完事了。 那这个 fe 呢？ fe 在 哪呀？哦，它在这呢。 fe 还比较复杂呢，但是没关系，其实也简单， fe 它是不是就等于 fa 加上一个 a e 呢？ 哦， fa 是 啥呀？ fa 是 负二分之一 c， a e 是 啥玩意呢？ a， e 是 这个向量 b 加上二分之一 a， 那 就是二分之一 a 加上一个向量 b。 好，现在我想求这两个向量的加角，那么根据加角公式，我先求下两个向量的数量积，好吧，所以 ab 与 f e 的 数量积。 那其实就是啥呀？就这个基底的向量积， a 加 c 是 ab， ok， 再乘了一个啥？二分之一 a 加上 b， 减去二分之一 c， 我 给它调换一下顺序， 按照这个字母的顺序来写。好两千的数量积一乘，如果是零，那是不是就垂直了？自己算一下呗。哎，你同学说三花猫呀，二项式乘三项式难受呢。哪里难受了？ a 我 们一个算吧， a 乘二分之一，我们非常惊喜的发现，哎，它们共起点，所以就是一个二分之一 a 方了。这一项出来了。好，第二项， a 乘以 b， a 模 b 模扣上 c 的， 求个啥用？ a 和 b 不 就是垂直的吗？所以这一项直接是一个零了。 nice， 同理， a 乘负二分之一 c 也是一个零呀， abc 两两垂直，你看我找的多好呀，请把好扣在单位里。 那接下来另外三个 c 乘二分之一哎，也是零，垂直的 c 乘 b 也是零，最后一个 c 乘负二分之一 c， 所以 减去一个二分之一 c 方， 哎，你在三棱，在这个正方体里面， a 和 c 摩擦相等，所以二分之 a 方减二分之 c 方就是一个零。好， ab 点 e f， 它的数量积就是一个零，所以 ab 垂直于 e f。 nice， 这个就是一个项链的办法呀，我通过找了这么三个基点，然后求出来这个向量为零，答案就出来了，所以向量法用起来特别舒服，特别简单。 ok， 在 正方体里面向量也特别的好找，因为考试其实他就喜欢考这种正方体哎！ nice！ 好，剩下三个选项，各位学友们大家自己用这个来向量法给它正一下吧，我给大家透露一下答案哦！这个题其实有几个呀？啊，这个确实有点坑人了，四个全都是垂直的，嘿嘿，所以你如果用平移和向量垂直，它正起来真的非常复杂，向量法一步搞定，全部拿下。 给大家总结一下，通过这节课的学习，大家都理解和里面一些比较难的题，有了一些非常好的妙招了。凑对称题里面想到结构对称，解决了这个二零二四年天津高考，以及以尺子找线线平行，再到幻顶点求三棱锥的体积啊，再到这个棱彩的体积，我们去无脑的化解面 墙角转换，针对于两两垂直的一个棱锥以及向量法啊，用这个基底来表示求下就完事了。以上所有的题啊，都输入在这个三红猫 b c 二系统课里面对应的这个页数也都给大家做了一个标注的。 另外我们可以再看一下这个历史几何的一个啊，他的这个知识点以及知识框架都收入在三皇冠必学系统课呦，哪个板块最难可以扣在弹幕里啊？必学系统课五一节特惠我也放到这里了，大家有任何疑问的可以私信我，也可以直接点击链接。 另外下单了之后一定要私信我，我把这个纸版的讲义和笔记给你邮寄过去呀！吼，那咱们下个视频再见！
588三花猫讲数学
42:25查看AI文稿AI文稿老师好，请坐好，那今天我们来看一下空间几何体的外接球跟内接球的问题， 那么第一类像这种怎么办？在三人追中， s， a 跟 abc 垂直， ab 跟 bc 垂直， 我们重新画一下 s， a 跟 abc 垂直，然后 a、 e 跟 b、 c 垂直，现在这三段的长度知道，请问外接球， 各位这是什么模型啊？啊？变老模型，哪里来的长方体来了？那长方体的外锥球跟这个三轮球外锥球一样吗？一样，所以我们第一种 第一种类型的问题就是把几何体给它组成什么长方体或者正方体这种 补完了以后我们就去学长八里正八里的外接球啊，那这一补的话是一个长八里 外接球的直径是啥东西？长八里外接球直径 底的对角线，所以我们这个二二会等于根号，说 a 方加 b 方加 c 方，所以它等于二根号二的平方再加二平方再加二平方，这边是十六， 随便记搞定，对吧？所以第一章就是补体啊，第一章就用补体的方法来，那我们再看这个几，已知这个四面体怎么样？ p a， b c 等于 等于根号十， p a 跟 b、 c 相等，等于根号十。 好了， p b 跟 a、 c 是 相等的，还有呢， p c 跟 ab 是 相等的， 这有垂直吗？没有啊，它特殊在哪里啊？对人相等对吧？那对人相等它有多特殊啊？哎， 对人相等，他是长方体的对角面的对角线围起来的，所以如果碰到这种，那咋办？补一下是一个长方底，补一下是长方底。 那长方里的外切球跟这的外切球是同一个球吗？是同一个球 啊，所以我这个 p a， 那 我这十二，这三边数 abc， abc， 那 我们这三条 面的对角线那面的对，那对应的不就 a 方加 b 方等于十，然后呢？ b 方加 c 方等于十二，然后 c 方加 a 方等于十四，你看这条是不是？然后我们几这条线是什么？ 哎，平方相加，那怎么得到平方相加？全部都加起来数两倍的几对角线的平方， 对吧？等于这三个相加，这边是等于三十六，三十六，所以，所以十八 k 二就三个二， 所以他的直性是不等于几秒就等于三倍的，三倍的话，那这块地球搞定了，所以对人相对没有这样子的信心， 那咱们那如果这个三人对人垂直呢？又有什么表现？对人垂直，哎，地面垂直怎么办？转化为共面怎么转化？ 异面垂直，转化为共面的垂直常用的是哪一张？各位是摄影，那你斜线跟它垂直折什么呀？摄影要不要跟它垂直？ 所以这个 a o 是 垂直， b c， 那 同样呢？ c o 呢？垂直谁 ab， 那 这个摄影是什么心啊？ 高的焦点是不垂心啊，高的焦点就垂心了啊，所以这个结尾的结构大家很清楚啊。三人追，三人追好，那如果不好补体，那我们又用什么办法来呢？比如说柱体，它的外追求问题怎么处理？ 已知已知值三人柱顶点均在球上，侧人二根号三 底的话，有一个角度三十度， b c 是 一，请问该求的表面怎么求？ 那对球来讲，如果用一个面去截球呢？那得到的是一个圆，是一个圆，那如果他没有过球心，那这样就是小圆了。 那小圆的圆心跟球心是与这个面什么关系啊？哎，谁吃的是谁吃的， 所以我们反过来呢，我要找球心的位置，那我就把小圆圆心找出来，那球心是在他的上方，就在他的垂线上 过小圆圆心的垂线上面，我们就用这一招反过来取。大家们，那我们这个这个图形是不是长这样子的？ a b c 有 没有个小圆啊？那球心跟弦连起来，跟这面是垂直的，那 o o 二呢？是跟上里面是垂直的，而上下底面是平行呢，可见这三点什么关系？ 哎，这三点是共线的，三点是共线的，并且根据对称性，那我的球心在哪里？哎，这个助理呢？中间，所以我这个高是等于二分之 h， 球心到面的距离是等于二分之 h， 那 我二是什么？二是到这点的距离是不是二？ 可见我 o a o e， 这是一个什么原因？直线而言，那我只要把小二求出来，问题就解决了。 小二是啥东西？底的外接圆的半径，外接圆半径，想到哪个定律？正弦，所以我二 r 除以 a b 去三， 那这里的 a 数等于一，上 a 数等于二分之几，所以这等于几？所以我的小二就等于一了，那我的高呢？高数等于高三，所以大二就等于几啊，啊，大二就等于二，所以表面积四 pi 平方搞定啊， 所以我们就可以这样来赌。那边呢，那如果我是是一个这样的三轮锥呢？不是编到的三轮锥呢？那怎么办？我是这样的三轮锥怎么办？ 这三轮锥的外接球跟这铸的一样不一样哎，那么古人铸，那他的外接球跟你铸的外接球一样不一样。 所以如果车轮跟底下里面是垂直的，那这样的三轮锥我们就可以把它补成。什么呀？补成 啊，这个直的能柱是不直的能柱，把这种就补成直能柱。那用直能柱的话，就用这办法，大小啊，二分之 h 构成直角三角形，那我们就可以解决啊。 好，那刚才讲，如果侧棱跟底下垂直的这种锥是这样子的，那如果是不垂直的，那怎么办呢？ 如同在三棱锥 a、 b、 c、 d 中， a、 b、 c、 d 跟 b、 c、 d 都是边长为根号三的等边三角形， 那这个图形我就可以看作是把 b、 c、 d 掀起来，是吧？绕着 b、 c 翻起来的，如果翻到二面角刚好是九十度，则这一刻的外接球表面积是多少？ 这好补体吗？哎，不好补，成长方体，正方体这种是吧？那怎么办？关键就是球心的位置是吧？怎么找球心？ 把两个面的小圆圆心都给他找出来，他们的焦点是不是你的球心啊？ 那么 b、 c、 d 是 等边呢？是一个小圆圆心，是 o、 e， abc， abc 小 圆圆心，我给他记做 o 二， 那球心呢？哎，球心连起来，则 o、 o、 e 就 会垂直。谁 啊？垂直于平面 b、 c、 d、 o、 o 二呢？垂直于平面，哎，垂直于平面， a、 b、 c， 对 吧？都垂直，都垂直，那怎么样？ 这两个面都垂直，那我把这面给。哎，我们把这个平面 o、 o 一、 o 二给它延展一下，会怎么样呢？哎， 延展一下跟个 b、 c 什么关系？哎， 跟 bc 是 不是就要垂直了？因为因为你 l 是 不是垂直 o 一 o 后一也垂直 o 二，所以这个 l bc 是 不是跟这个面是不是，是不是就垂直了？ 那垂直的话，所以这一点应该是 bc 的 什么点？那这都垂直的垂，这个角是什么角？ 这个角就是在二面角的平面角，这个角就是二面角的平面角，那么它是先成几度， 而且 a、 o、 r、 e， 你 是等边的，这三点应该是空隙，这三点呢？也是空隙，对吧？ 所以这三点都是空隙的。因此我们的球心的位置是在这样一个三角形 a、 e、 d 里面，而且 a、 e、 d 是 直角，三角 看见没？那哪一个是半径啊？到 a 点，到 b 点，到 c， 点数都是啊，那么这个点是中心，那你边长是根号三，二分之，根号三乘以高三，所以高是几？ 然后是二分之三，所以上面那段是，这段是一，这段是二分之一，这段是二分之一，那这个 e、 c 就 等于几？ e c 是 等于二分之根号三，那你 o c 怎么求？所以 o c 的 话是求的半径， o c 就 等于谁 啊？那就是 c e 的 平方加谁啊？ e o e 的 平方，这是 c o e 的 平方，那 c o e 呢？再加谁？ o e o 的 平方是不是零 c 了？ 那相当于这边是一个编码的模型啊，这里就有一个编码的模型。所以我们把这三段平方一下，二分之二，二分之一是不是一再加这段是多少？二分之一，所以应该是一加四分之一，所以二方等于四分之， 所以它的表面积就等于五块了啊，五块了。 所以如果是一些啊，普通的三轮锥，那我们关键就是球形位置，球形位置搞定了，那这个就可以找出来了来。刚才是弯成九十度，是吧？现在我弯弯成这样子的 平面四边形， a、 b、 bc 还有 a、 c 是 相等的， a b bc 也就它这个等边呢？等边呢？边长是二，边长是二的等边， 然后还有一个是 c， a d 角 a 六十度，再来 a b 跟 b c 是 垂直的，那现在呢？沿着 a c 把它翻起来， 翻起来翻到什么程度？翻到它的外切球半径刚好是二，请问你这个翻的多大啊？这个二面角是正弦值是多少呢？ 关键就是要把球星给定位出来，是吧？怎么找球星？ 小圆圆心？把它给找出来，是不是小圆？两个小圆圆心这样子对对接起来，是不是球心就找出来了？ b c a c b 是 直角三角形 小月月星，这是 o， 是 a c 的 终点，所以球心是不是在那个垂线上面？再来， abc 是 一个等边等边呢？所以我后移是不是连起来 只有 o o 二？ o 一 是连起来，那因为它是等边的，所以 b o 一 o 二三点是共线呢？啊，三点是共线的啊。 大家们，现在我这个外接球的半径是二，哪个东西是二零点，距离是二，那它是二，这条边是几一， 而我 o o 二是其的底面呢？所以这条就等于几啊？ o o 二就等于几？根号三，根号三， o o 二等于根号三，那 o 一 o 二等于几啊？啊？ o 一 o 二是等于高的三分之一， 高是不等于根号三，谁最大等于几？三分之根号三，那这里有没有一个角度二百， 所以，所以我的口三二百就等于几？就等于 o 一 o 二除以谁？ o 五 o 二，那就等于三分之一。口三二百是不是等于三分之一？哎，那这口三二百跟我二根角什么关系啊？ 人上去一点，分别引垂线，对吧？这里数已经是垂丝的，那我就过 o 二去做一条 o 一 跟他垂丝，所以这整个数二面角，平面角，对吧？ 啊？那这二面角跟我 r 什么关系？说这边数还要再加一部分，而 o o 二数跟底面弦加了几十度，加了九十度，所以我这个二面角，那就等于 r 加几 九十就二百加九十，那我的正弦值呢？啊？那我的正弦值是不等于三二百加九十，那就等于谁啊？可三二百，那可三二百零几三分之，所以他的正弦值是三分之对，三分之 好，所以，所以你折腾什么程度？那关键是我们连起来把 o o 一 o 二这面延展完以后，跟你的折痕什么关系啊？垂直的，那你这个面一切进去，刚好是二面角和平面角， 也就是我们是用垂棱法来做这二面角，平面角，对吧？做一个面跟你的棱垂直，那得到的交线，得到的就是二面角的平面角，我们就放在这个三角形里面来取线 啊，这是这一题。在台底的外接球怎么写呢？已知圆台的上下比半径是一样，体积是这么多，请问该圆台的外接球表面写 球心在哪里啊？圆台球心在哪里？ 上下圆心跟球心三点共线，三点共线， 那么我的球心可能在这角你的外面，你这个台体比较扁一点的下垂在外面啊，那也可能是他两个面之间啊，那总之这三点一定是什么呀？共线啊， 那我上下底的半径是一二，这个到前面的距离数都是二，所以关键就是要把谁给的位高高，那体积跟高什么关系 啊？底级是等一个三分之一的高，再乘以谁上底，再加下底，再加上下底的等比中下已知它等于三分之四十八，所以 h 点几来？ h 是 等于二方程，方程根号 r 方减一是不是 o e o 再加谁？根号 r 方减四是不 o o 二，所以它加起来等于几？加二点二，对吧？那你如果在外面减一样不一样， 不管是加还是减，是都是减。加方程都是同解的方程啊，移过去平方根都是同解的方程啊，所以不管是加还是减，也就是 o 点在外面，这里面是都是这个方程啊，都是这个方程。哎，那这个有两个根号的怎么办？ 把一边给他移的过来，然后再给他移一个过来平方，那按平方就可以解出来了。所以这是抬体的时候，我们啊跟柱体一样的球心位置定出来就行了。 第五课的话是内切球，内切球，那常见几何体的，我们要明白正四面体的那个们， 哎，正四面体的 我要求那些求的半径，我用什么来求那些求半径啊？经常是利用等几级来算，对比一下，在初中我们六七元的半径是等面积，所以这里是等几级。 那我这里总共几个面？四个面，所以我是可以割成几个三棱锥。四个三棱锥，每个三棱锥面积是不等于 s 乘以二， 加在一起加一等于谁啊？哎，等于三分之的 s 乘以，所以我的二呢？ 我的二是零几，是不是四分之一 h 啊？所以球心就在这里的，对吧？所以这个二是四分之一的高，那射四分之三是谁啊？ 那你是四分之一 h 是 外接球是多少？是不是四分之二 h？ 四分之二 h 啊，那 h 又等于谁啊？再等于 a， 这段是多少啊？ 二分之根号三 a 的 三分之啊，三分之二谁知道？应该三分之根号三 a 一 减三分之一，所以高等于几啊？三分之二开根号三分之根号六， 三分之二的四分之一是不是四分之二 a 是 不是它的高啊？内切啊，外切球，内切球，应该是啊，再乘以四分之一，是不是十二分之根号六 a 啊？所以这个大家很清楚的话，它是它的三倍， 那外切圆的半径是内切圆的几倍？来？ 外星人逆行逆行，人啊，两倍，这里几倍，三倍啊，那边是两倍，这边三倍，对吧？啊，那我们再来看一下，逆行正是人追，各条人肠都为二。 请问他的内切球的表面积是多少？ 那第一种当然是等几级来，是吧？等几级， 所以他应该是三分之一的内切球半径乘以谁表面积？表面积，其中有四个是， 四个是等边三角形，对吧？还有呢？还有一个是正方形啊，正方形是不是？ 而体积又怎么算？三分之一底面积再乘以高，这高怎么写 那么高？我们是可以放在三角形 p e c 里面，而 e c 是 底下外接圆的半径， 外外接圆半径，所以这条是等于根号二，然后这里二，所以高点几根号二，高点根号二，那这样二是不可以取出来了，所以内些圆半径，那应该是二分之根号六件根号二， 当然我们第二种也可以直接来。大圆在哪里啊？哎，那跟这些同心，大圆肯定是在高高上面，那个底面的缺点是谁啊？是底的中心， 那个圈面的缺点在哪里？是等边的中心，所以它大圆在哪里？ 是不是在沿着高中间切进来的？是不是这个图形？所以我的，我的内切球的大圆是不是就是这个圆？ 这三边是几？这等于二，这条根号三，根号三啊，那不就是这个等腰三角形的内切圆的问题吗？啊，所以我们去找大圆的位置啊，大圆的位置 好，这是内切球，那一般来讲，我们都用整体球会居多一些。第六人切球的问题怎么来考虑？ 如果一个正三轮锥里面的边长是二根号三啊，侧轮长是二根号二，如果一个球跟这个 轮锥呢？所有的人都相切，所有的人都相切，则这个球的表面上是多的。 let's do it， let's go to the。 关键是什么？关键是缺点的位置以及球心的位置。 那如果它跟 b、 c 边有一个缺点是 a， 那 跟 a、 b 有 一个缺点， a、 c 是 不是有一个缺点？这三个缺点构成什么 啊？这三个斜点构成的是一个小圆，是一个小圆，对吧？然后呢，跟 p a、 p b、 p c 是 不是也有三个斜点？ 那这三个斜点的位置呢？然后对应的是不是也有一个小圆啊？ 而且这个小圆刚好是不是它的外接圆啊？是不是这三个点的外接圆， 然后呢，这 m 点 n 点呢？你是正三菱形，那我球心在哪里啊？哎，那球心的位置跟这个三点应该是在一个啊，这个界面上 是不是这里相切的？这边过来是不是这样？大概是这样子的，对吧。各位 来，那我求外的一点，引流求的切切呢？ 从圆外一点与圆的切线切线长什么关系？相等，那我求外一点呢？哎，那我球心跟它连起来，是不是跟这切线应该是什么？垂直的？那这垂直的 ph 是 公共呢？所以这三条切线长应该是相等的， 所以我说这三段都为 a， 那 这三段是不是都为 a 了？那一样呢？我 a 点出发呢，你是不是跟我这三个人是不是都相切了？所以我这三段都为谁啊？都为 b 对 不对？都为 b， 大哥们，那你这个 pa 跟 pb 是 不是相等呢？那你前面 a 去掉的谁？这底下这段也是谁？ b？ 那 如果这段等于 b， 那 这三段都等于几？都等于 b， 那 其他的是不是也都等于 b 啊？ 对吧？可见 b 就 等于根号三， b 是 不是等于根号三？ 那 b 零根号三， a 等于几啊？二根号二减去根号三，对吧？ 那如果不是这三人追这种，我们是不是就得到一个方程组？你有几条人长，我就得到方程组。那一般来讲就是啊，这个对人这边的两段，他们之间长度是有关系的啊。对人的两段长度是有关系的， 所以我们只要你摸清楚了，那接下来我们就要去什么呀？求解。是不是用什么来求解呢？用什么来求解呢？ 是不是找方程啊？找方程？那你这边是小圆，所以，所以球心跟它连起来，跟中心连起来，这应该是中心嘛，说跟这底面是垂直的，可是 p h o 三点就要 啊， ph 二三点是要贡献我这个能切球的球心跟底面中心连起来是跟底面垂直的，而 p 点跟底面中心是不是也跟这个底面垂直的贡献？ 那我这个里面的边长是二，根号三，所以里面的高是零三啊，里面的高零三，所以 a o 是 不是等于二？ o n 呢？ o n 等于一， 然后，然后这 h 到 a 里的距离是不是能切出半径是二？ h a h m 呢？数也是能切，求半径，数也是二， 那利用什么来列方者搞出来？那我 p h 等于谁啊？ p h 等于谁？根号二方加谁？ a 方是不是二方加 a 方？ a 方二根号二键根号三的平方， 这是 p h， 那 h o 等于谁啊？ h 加球形啊， h o 等于谁啊？根号二平方减去这两个加起来是什么？是不是整条高？ 那这个是二根二数，整个高点几数，整个高数点二，这个方程能把二取出来啊，那我们这二就可以取出来了。 那你回过头把之前做的人切球那个屏幕再去研究一下看啊，之前是给过的人切球的问题， 所以人切球的问题，关键你就抓住这个取决于外的点做球的切线，切线长一定是相等的，切线长一定是相等的啊，所以每个顶点出发的三条跟切点的连线长都是相等的， 所以这个我们就是计算一下。 第七，跟这些有关的坠石问题怎么来处理呢？来让我们看一下第九题。已知求 o 的 半径是一 轮锥的顶点刚好是 o， 轮锥的顶点刚好是 o 里面那四个点。在求 o 上求 o 的 球面上，则该四人锥体积最大的时候，它的高是多少？ let's do it， let's do it。 有没有想是什么？是能追？没有没有，但是我们自己可以创造条件是吧？应该是什么时候他最大？正四能追，正四能追，所以我们就按照正四能追什么叫体积最大来数是吧？ 正四能追，什么叫体积最大？那如果底是正的是能追，那怎么样？我们高跟底的神秘有关系？ 哎。高跟底的小圆是不是有关系？用小圆是不是有关系？那我们先如果高确定呢？高确定，那这个小圆半径定了没？ 小圆半径高什么关系？那就 r 方加 h 方等于， r 方加 h 方等于一。对于每一个确定的高，那它的体积是什么？ 哎，体积的最大值是什么？那就三分之一高再乘以。谁说底面积最大？对于每个 h 大 底面积最大，它都最大了，请问这底面积怎么求啊？ 里面这四边形的面积怎么求啊？哎，里面四边形 abcd， 我们是不是可以靠直线来说它是正方形的最大？为什么？ 这四边形我们可以用什么办法来？就用正角线来，是不是面积的二等于谁？嗯，二等于 a、 c 乘 b、 d 再乘以角角的啊？正弦值是不是它面积啊？ 对吧？四边形的面积，如果两条棱是啊，两个对角形垂直的，那不就两个乘起来吗？那如果不垂直，如果加了一个角度，塞阿法， 塞阿法来塞阿法，取多少下才最大？ e 最大，而你这 a、 c 跟 b、 d 取到什么的下角最大，是不是直径的下数最大？ 所以它在零二二乘二，二乘一，那就等于二。什么二呢？所以它的面积啊，体积最大，那应该是这个整数最大， 然后，然后这 h 在 变化，这 h 在 变化里面这最大的有没有最大的？这个最大的是不是所有的体积里面最大的那一个？ 那双变量怎么办？哎，那三分之一 h 乘以谁二，二二就等于谁 二，二就等于二，哎，减二 h 平方，所以它等于三分之二 h， 然后呢？一减 h 平方，哎，这怎么求这值啊？哎， g 是 和是定值，只有最大值，但是这两个加在一起会是定值吗？它有平方，它没平方咋办？ 平方一下，所以这个量的平方它就等于九分之四 h 平方，然后这边写成一选 h 平方，然后呢？一选 h 平方，但是这三个加起来是定值吗？啊？要一个二，那这里一个二，它前面就设计九分之二 a， b， c， a， b， c 和为定值极就有最大值。什么叫取得 啊？那三个数相等的时候，所以单写平方 h 平方等于几的时候，三分之一的时候就取得，所以它的高低点几？三分之六乘三，对吧？ 我们是三次函数的，我们可以用最棒的啊，都在笔试定式啊，那这是高考题啊，这是高考题， 所以你看起来很简单，跟平常训练的也差不多，但是它新的地方在哪里？它不是外界，外界球，而是什么球形，杠是什么零点，但是内容是不是都是一样的？ 关键就是我的前面小圆圆心跟他连起来是垂直的，然后构造构造这个，哎，直来求解决问题啊，那我们今天要讲的是这些。
228汤老师
02:12查看AI文稿AI文稿本期视频来看高一数学立体几何求正三棱柱棱弦球的问题。已知正三棱柱体积告诉了 e 和 f 分 别为两条棱的中点，若求与三棱柱各棱均相切， 求求 o 的 这个表面积，也就是求棱切球的表面积吧啊！首先咱们设这个正三棱柱上下底面正三角形，棱长均为 a， 设高 a， a 一 为 h， 然后设上表面的中心为 o 一，下，表面的中心为 o 二，那这个 o 一 o 二连接一定是垂直于上下底面的， 而且这个棱切球的球心 o 一定是位于 o 一 o 二连线的中点吧，所以这个 o o 二就等于二分之一 h。 然后下面我再连接 a e， 这个 a e 一定是过 o 二的，再连 o f o e。 由于这个棱切球啊是与各棱中点相切的，所以这个 o f 和这个 o e 是 相等的，都是棱切球半径设为 r， 那么这个 o f 就 等于这个 o 二 a。 根据平面几何知识，这个 a o 二就是三分之二倍的 a， e 就是 三分之二三 a。 然后 o e 呢？怎么表示呢？在直角三角形 o o 二 e 中，利用勾股定律表示， 他最后化解完，就根号下四分之 h 方加十二分之 a 方， o e 是 等于 o f 的 吗？他俩相等，两边同时平方，最后得到 a a 就 等于 h。 好， 下面咱们再利用这个体积这个条件去求 正三棱柱体积，就是底面积乘以高，带入这里的 a 等于 h 以后 解出来 a 就是 二倍，根号二，那么这个棱切球半径 r 就是 o f， 带入三分之根号三 a， 解出来半径是三分之二倍，根号六。最后再求表面积四 pi r 方，答案是三分之三十二 pi， 大家理解了吗？
47张老师数学思维
02:38查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天继续来看二面角的下一个类型，也就是给我们给了一个二面角，让我们去求一些别的条件。以这个题为例，第二问，他说 a c m 和 c m b 两个半平面所成的角为六十度的时候，让我们去求 线面角。那么先简单复习一下，其实现面角就是斜线与其投影的夹角， 所以我们要求线面角的第一步，要先找到斜线在面内的投影。斜线是 c a， 平面是 amd， 我 们要去找的就是 c 这个点在 abm 内的投影点。那么根据题目条件，我们可以知道后面这个面和底面是垂直的，所以可以得到 ab 是 垂直于面 bmc 的。 因为我们可以通过面面垂直，然后又有一条线垂直于交线，得到了一个线面垂直 a b 垂直于 b m c， 就 可以得到 a b 垂直于面内的一条线，也就是 m c。 又因为后面那地方是一个 bc 为直径的半圆，所以 m c， 它还会垂直于 b m， 那 么就可以得到 m c 是 垂直于面 abm。 直线 c a 与平面 a m b 所成角其实就是我们的角 c a m。 那 咱们继续往下根据条件再推一步，因为 m c 垂直于 abm， 所以 是不是可以推出来 m c 是 垂直于 a m。 为什么要用这一步呢？因为我们马上就要用到二面角这个条件。二面角 公共棱是 mc， 要在公共棱上找个点，分别在两个面内做公共棱的垂线，所以第一个 am 已经找到了 am 垂直于 mc， 那 第二个也很好找，是 bm 垂直于 mc。 所以 咱们这个二面角的条件处理其实就是角 bma 等于六十度。又因为 a b 是 垂直于后面那个面，所以，所以可以得到 a b 是 垂直于 b c 的， 所以这个三角形 a b m 就 为 r t 三角形。那么我们根据边长是三，可以求出来 a m 的 长度是 二倍根号三。再通过勾股定律再求一下 a c 是 三倍根号二，那么我们要求的 c a m 这个角的余弦值就还差。最后一个东西就是 c m 的 长度， c m 的 长度求出来它应该是根号六，所以我们的 sin 角 c a m 就 会等于根号六。比上三倍根号二，约下分就是三分之根号三。
45函数魔导师
07:05查看AI文稿AI文稿各位高中的小伙伴大家好，不管你是高一高二还是即将参加高考的高三同学，这个视频的内容都值得你去看一下。 我们本视频将用三个典型例题，把二面角的常用三种方法跟大家讲明白，并且给大家准备了完整版的讲义视频，回复讲义即可领取。首先我们来看一下第一种方法，本条视频我们讲前面两种方法，第三种方法在下条视频会详细讲解， 根据二面角的定义直接去求解。那首先我们把这个方法给大家看一下，如图所示，以二面角棱 a 上任意一点 o 为端点，在两个面内分别做垂直于 a 的 两条射线 o a 和 o b， 那么这样的话， a o b 这个角就是我们二面角的一个平面角，那这个很简单，其实我们一句话概括就是我们找到两个平面交线的两条垂线。好具体我们看这个题目在我们题目当中的一个应用，如图，在四面体 p a、 b、 c 中， 三角形 a、 b、 c 三角形 p、 b， c 是 边长为二的正三角形 pa 等于三， d 为 pa 的 中点，则二面角 d， b、 c、 a 它的大小为多少？那其实我们就是要来找到刚才这个题目要我们求的这个二面角的一个平面角，那这里我们可以直接取 b、 c 的 中点 e 点，然后把 a e 给它连接起来，把 d， e 给它连起来， 那这个角也就是角 d e， a 是 不是我们这个二面角的平面角？我们可以简要的首先来证明一下，因为是三角形 a、 b、 c， p、 b c， 它是正三角形，所以我们可以直接得出 pe 垂直于 bc， 同理 ae 垂直于 bc， 并且 pe 交 ae 有 交点为异点，并且 pe 都是属于我们这个平面 pe， 那 根据线面垂直的判定，这个我们可以直接得出 b c 垂直于平面 p a e 平面 p a e， 然后 d， e 是 属于平面 p a e， 所以 这里呢，我们又可以得出 d， e 是 垂直于交线 b c， 然后 a， e 本身就是垂直于交线 b c。 这个就回到了我们这个二面角的定义，所以我们可以得出角 d， e a 为这个二面角的一个平面角。然后这个计算就相对来讲是比较简单的，我们直接在 t 三角形 a， d， e 当中运用三角函数就可以解决掉，那就是三角 d， e， a 应该等于 a d 比上 a e， a， d 是 pa 长度的一半，所以它是二分之三 a， e 是 我们正三角形的高，他应该是边长的二，二分之根号三倍，那边长为二，所以这个 a， e 应该是根号三，所以他应该是二分之根号三， 所以这个角应该是六十度，那也就是我们这个二面角应该就是六十度。好，我们通过这样的一个典型的立体，把这个常用的定义法给大家 讲解了。接着我们来看一下第二种方法，因为在我们实际考试当中，有时候遇到交线垂线不好找的一些情况，那就是我们有了这种第二种方法，叫做三垂线法，我们具体来把这个方法给大家看一下。 在平面阿法内选一点 a 向另一个平面贝塔做垂线， ab 垂直为 b， 再过点 b 向棱 a 做垂线， b o 垂直为 o， 然后连接 a o， 那 么这个角 a o b 就是 我们二面角的平面角。 好，我们来看一下他为什么这样去做，那这个角就是我们二面角的平面角，我们也简单的来证明一下啊，因为我们首先过平面阿法力的一点 a 向贝塔做了一个垂线，那也就是 ab 垂直垂直于平面 贝塔，我们这个棱 a 是 属于平面贝塔，所以呢， ab 肯定是垂直于棱 a 的 好。然后第二个是我们自己做出来的，也就是 b o 垂直于棱 a， 并且 ab 交 b o 有 交点，然后 ab b o 属于平面 a b o。 好， 通过这个条件我们就可以直接得出能 a 是 垂直于平面 a b o， 并且 a o 这条线是属于我们平面 a b o， a o 属于平面 a b o， 所以 我们得出 能 a 垂直于 a o， 然后 b o 本身是垂直于 a， 这个就是我们回到了我们二面角的定义，所以最终我们能得出角 a o、 b 是 我们二面角的平面角。 好，在我们小题当中选填当中，如果采用这种方法，当然是不需要去写这个过程，我们只需要记得这个结论就行。但是如果是在大题当中，我们不能直接写结论，必须把我们严格的证明过程给他写出来。好，具体我们也用一个例题 来把这个方法的应用来讲解一下。好，我们看例二，如图，四棱锥 v a b c d 底面 a b c d 是 边长为二的正方形，其他四个侧面都是侧棱，长为根号五的等腰三角形，则二面角 v a b c。 它的大小是多少？ 首先根据我们题目这样的一个描述，这个棱锥它应该是一个正四棱锥，也就是说它的顶点向底面的射影应该是底面 中心，所以这里呢，我们过 v 点向底面做一个垂线，假设垂足为 o， 那 这个 o 就是 我们底面正方形对角线的交点。 然后根据我们刚才讲的这个方法，我们过 o 点向 ab 做一个垂线，垂足为 e， 最后我们把 v e 给它连接起来，我们把 v e 连接起来，那么也就是角 v e o 即为它的一个平面角，那这个计算是比较简单的，那这个证明杠的过程跟刚才完全一样，所以这里我就不再证了。那我们把这个计算给它算一下，因为 va 是 等于根号五， a， e 是 二分之一的边长，所以它应该是一，所以根据勾股定律，我们可以把 v e 给它求出来， v e 应该是根号下五减一等于二，然后 o e 的 长度应该是边长的一半，那就是二分之一乘以二等于一。 好，那么在这样的一个直角三角形当中，这是 e， 这是 o， 这是 v 的 长度是二，它是，它的长度是一，所以我们直接可以用扩散扩散角 v e o 应该是等于 e o 比上 v e， 那 就是二分之一，所以 v abc 的 大小应该是六十度，六十度。好，那这第二种方法我们就讲到这里， 视频回复讲义，就把本节的内容的详细版的奖励可以找我领取，拿回去仔细的去练一练。好，这本条视频就讲到这里，再见。
42辰星初高数老曹
02:13查看AI文稿AI文稿学学，学个屁，好同学们，咱们今天来看一道高三的立体几何题目， 这个题目他第一问很简单，让我们求他的体积，我们就不求了，主要看第二问，他让我们去证明的是一个慢慢面垂直， 那么我们要清楚，要证明面面垂直的方法有大概几种。第一种就是很简单，我们通过定义去求，我们只要去找到其中一个面的垂线，在另一个面内他就垂直了。所以其实就是先先要去正线面垂直，再去正线在面内，那么就面面垂直。 这个方法，呃，我相信很多同学大家都能做出来，比如说观察到它是一个棱长为一的正方体呢，代表着 c、 e、 b 和 c、 e、 d 两个边都是面对角线，所以两个边相等，那么直接找到 b、 d 的 中点，连接 c、 e、 o， c、 e、 o 就 会垂直于 b、 d， 再连接 a、 o， 再连接 ac， 那 就可以得到 a、 o 也是垂直于 b、 d 的。 通过这个东西我们可以推出来 b、 d 是 垂直于面 a、 c、 e、 o， 所以 又可以推出来我的 b、 d 是 垂直于 c、 e、 d 的， 那么既然 b、 d 既垂直于 c、 e、 d， b、 d 又垂直于 c、 e、 o， c e o 和 c、 e、 d 又交在点 c， 所以 代表着可以推出来 b、 d 垂直于面 c e、 b d。 那 b、 d 垂直于面 c、 e、 b d， b、 d 又在下面这个平面内，所以我们就可以得到面面垂直面垂直于面 这个思路其实大家要做起来要很顺，但是我们今天要提供一种新的思路，就是如果你这个题目你没有办法在短时间内看出来这些辅助线，那么你就要通过二面角的大小去判断它垂直， 如果这两个面垂直，代表他们的二面角一定是九十度，所以要通过 b、 d 这个边的棱上的点分别在两个面内做垂线。要去求角 a、 o、 c 夹九十度， 那么其实就要求出来 a、 o 的 长度， o、 c 的 长度，还有体对角线的长度。利用我们的余弦定律去求这个角度的余弦值，也是一样的做法。
37函数魔导师
04:06查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天继续来看空间角的第二种类型，也就是线面角。那么咱们要清楚线面角 的余弦值是怎么求，就得先知道线面角是哪个角。线面角必须要求的是直线与它的投影所成的角，那么以这个题为例，它告诉我们让我们求的是 c、 d 与 a、 c、 m 的 线面角，那么我们就必须得找到 c、 d 这个边在 a、 c、 m 这个平面内的投影。也就是说，我必须要知道点 d 坐下来垂直以后，会坐在 a、 c、 m 这个面的哪一个点，那么我们就要根据题目的信息去拆解一下。题目中说这是一个四棱锥，底面是一个长方形， 而且 pa 垂直于 a、 b、 c、 d， 然后告诉我们了几条边的长度，告诉我们点 m 是 中点，那么我们要看一看。根据这些信息，我们要找到点 d 的 投影点在 a、 c、 m 的 什么位置，怎么找？首先 pa 是 垂直于底面的，所以我一定可以得到 p a 是 垂直于 c、 d 的， 因为我们可以通过线面垂直推出来。线线垂直又因为底面是个矩形，那我是不是依然可以推出来 a、 d 也是垂直于 cd 的？ 那么通过这两个条线，我们又知道了 pa 和 ad 是 有交线的，是交在点 a 的， 所以是不可以推出来我们的 cd 这个线一定垂直于面 pad， 那 么如果 cd 垂直于 pad， cd 是 不是就一定会垂直于面内的一条线，也就是 am？ 好 了，然后我们继续来看， 既然 c、 d 垂直 am， 点 m 又是 p、 d 的 中点，这个地方又是一个等压直角三角形，那么是不是可以得到 am 一定垂直于 p d， 那 么我们根据这两个信息，是不是就可以得到新的一个线？面垂直，也就是我们的 am 会垂直于面 p c d 然后我们要观察一下，题目中让我们求的 am 其实已经出现了，它就在 a c m 内，那既然 a m 垂直于面 p c d a c m 内又包含了这个面的垂线，那是不是代表着我们的这两个面就会垂直？好了， 快到最后一步的时候，大家一定要找到面面垂直。我们要推出来线面垂直的话，就必须得找到交线 p c d 与 a c m 的 交线是不是正好是我们的 c m？ 那 么所以我要去找点 d 在 acm 面上的投影点，我只需要过 d 做 d q 垂直于 c m 就 可以得到 d q， 这条线一定垂直于面 acm， 那 所以点 q 就是 它的投影点，这是为什么呢？因为这是我们利用了面面垂直的一个性质，若面垂直面，则 在一个面内找一个点垂直于交线，那么它就会这条线就会垂直于另一个平面。我们继续这个题目，到 d q 垂直于面 a c m 后，我们只需要求的东西其实就变成了抛散角 d c m 的 余弦值，那这个角的余弦值，我们两种思路，你可以去求这个 d q， 也可以直接去用我们的 d m 和 c m， 因为这个 d dmc， 它一定也是一个直角三角形。我们在第一步就证明了 cd 是 垂直于面 p a d 的， 所以 cd 一定会垂直于 md， 那 这就是个直角。所以我们为了简单，我们直接用 cd 比 cm， cd 的 长度是一 cm 的 长度就是 cd 的 方加 md 的 方， cd 的 方是一的平方，再加上 md， md 的 长度是根号二，那就是根号二的平方，再开根号，那就是三分之刚好三。 所以这个题目选到 b 选项，大家在做这种线面角的余弦值的时候一定要注意，我们要先根据已知条件先推出来一条线，这条斜线在平面内的投影才能去求线面角的余弦值。
91函数魔导师
43:06查看AI文稿AI文稿变化的东西光折后还在同一个平面里面呢，那他就关系就不会变。他不在平面里面，但不在同一个平面里面，那他的性质就发生变化了。 那我们在弯折的时候，其实就是一种旋转的变化，所以这条轴很重要，那么旋转的话就跟旋转体是相关的，那也就是说 垂直于轴，那旋转起来是一个什么图形？也就直角三角，如果绕着直角边旋转出来，它是一个圆锥，所以垂直于轴旋转起来，它是一个， 是一个圆，可以提出一个圆，圆所在的平面跟轴是垂直的。 好，那第一类问题，旋转完以后位置关系呢？好，那我们看一下第一个问题， 如图，等腰直角三角形， a、 b、 c 角， b 是 等腰，然后 a、 t、 g 分 别为 a、 c 跟 b、 c 的 中点，那 a、 d、 e 和 b、 c、 f 是等边三角形，现在沿着 ab 跟 bc 把它折起来，折在翻折过程中，下列结论中可能正确的是 z、 o 关系，就是平行跟垂直的关系。 好，那我们看第一个问题， a、 e 跟 b、 c 有 可能垂直的，但翻折以后它就意面呢？那意面垂直，我们一般怎么判断？ 硬面，对吧？硬面把它固面，怎么变成固面呢啊？只要把硬面的线变成固面的线，这个 a、 e 对 b、 c 来讲， b、 c 在 底面 向线要跟它垂直转化。为什么垂直来摄影会不会垂直？是吧？就摄影会不会垂直？会， 所以我现在是绕着 a、 b 这个轴运动，那一点的射影在哪里啊？所以我们过一点去做 ab 的 啊， 过一点做 ab 的 垂线吧。你说绕着轴来转，所以它的轨迹是什么？一点的轨迹是什么？是一个圆，这轨迹是一个圆弧， 对不对？好，那他的摄影有没有可能啊？这个摄影有没有可能跟 b c 垂直啊？ 那你只要是一点的摄影师，谁就会跟 b c 垂直？哎，是不是在这上面点数都有啊？那只要是 ab 的 什么点就好了。中点，那你要是摄影是 ab 中点，所以 a e b 这个面绕到什么程度？垂直于里面 n 的 九十度，是不是垂直的？所以有没有可能垂直 空间两条线垂直，一条射影到另外一条手在平面，那就把 e 面变成什么呀？所以 e 是 可以的。二、 f c 跟 a e， 哎，那现在他们都是什么空间两条线的 学生？哎，你这两个三个旋转的，那我们就给他怎么样， 看他变化过程。特殊位置，哪个位置最特殊啊？重在一起的时候，那这个图形是什么图形啊？ 这两段是等腰，然后这条呢？ a c 数还是根号？二，这两段数都是一，所以合在一起的时候 a e c 就 变成什么九十度，等一下再换一 啊。所以会不会垂直？会垂直啊？只要把它们变成一个啊。这个 e 点跟 l 点怎么样？重合在一起？这不就行了啊？那两个平行关系， e a t f g t e a t f g t 有 没有可能平行啊？啊？ 面面平行，那我们应该这样子考虑，什么线跟面平行，而要线跟面平行去找什么？有线线平行吗？中位线啊，所以 t c 是 平行的，面呢？ 还有没有平行的啊？哦，那你就是 mg 吧，对不对？ mg 什么时候会跟他平行？你这个 mg 跟底下垂直上，那这个也垂直上？说是平行啊， 你要找两条线，你这个在弯折过程中，弯折过程中，我只要是图一个平面的垂线，这两条线就平行了，所以，所以可以找两条线啊，平行一面，所以会平行。 那 b、 c 跟 a、 e 是 平行的，我们能，嗯，他们，他们什么关系？哎，异面，为什么是异面呢？ 来异面呢，我们有判定的定义，对吧？从判定两线异面或平面内一点跟平面外一点的直线与 平面内读过，该点的直线都是一面的，是这样来判断，所以这个就搞定了。啊，所以这是一面的 啊。首先在垂直这一类关系里面，如果是线线垂直，我们经常用三垂线定，对吧？把意面的空间转化为平面的 好，那第二个弯折里面的长度问题，如果在同一个平面内，两点间距离是不会改变的，那么你再翻起来，不在同一个平面内，它们距离就等于是改变。 好，那我们看长方形， ab 是 两个单位， 然后长是四个单位， e 是 终点，把 a、 b、 e 绕着 a、 e 关起来，关起来，然后把这些都连起来。 那么在翻折过程中， p 点 p 点到 a、 c、 d 距离的最大值是多少？那 p、 d 中点 f 的 尾极长度是多少？ 谁是旋转的轴？ a、 e， 那 再轴同色的路径有没有改变？没有，所以我们这关起来以后， p、 a 定不存在的。 等腰直角，因为 p、 a、 e 就是 跟 a、 b、 e 是 全等的， 等腰直角 c 加零二根号二啊，那 a、 e、 t、 d 还是一个直啊？等啊，直角梯形是吧？两边直角， 大家往下轴是谁啊？ a， 轴是 a， 所以 哪个东西很重要？垂直于轴的，垂直于轴的， 那么我们把这一个点叫做 h 点吧，垂直于轴的，当翻起来以后，点 b 的 轨迹是什么？是一个圆， 那翻动过程中是一个圆，对吧？那 p h 的 长度有没有改变 啊？没有改变。 p h 长度没有改变，它等于多少啊？除以根号二，没有改变，明白吗？那这个 p e p h 度乘以是 ab a e， 那你绕着它转的时候怎么样？始终保证 p 点到 a 的 距离有没有改变？没有改变。 p 点到 a 的 距离没有改变，所以点 p 到 a、 c、 d 的 线段，点到面的距离。 哎，如果 p h 垂直于面呢？那它是不是这个值？如果它垂直的，那就等于几根它二，如果不垂直呢？不垂直，那我过点 p 做面的垂线， 对吧？那这个 p 点到正面的距离比 p h 来的小，所以我翻起来立起来是要减去最高的，所以最大值等于高二。那么请问点 f 的 轨迹是什么呢？ 你说点 p 运动，败着谁运动？ l 点运动，那，那么你就左边，我想到哪一条线？中卫线，中卫线，怎么个中卫线法？哎，把谁连起来 啊？哎，把谁连起来？ 都把这里的 dh 都连起来。为什么连 dh？ 各位，嗯， dh 的 终点，终点 g 点是不是定点？ 那你刚才你这个是定时是吧？始终是不这样子的，所以你这边呢？啊，是不是这边做他的什么线？平行线，你是不是也是这样子来运动的啊？ 这上面 a 点跟 d 点就一点一点的这样子描出来吧，你是一个圆的，他这个终点呢， 是不是也是一个圆？是不是也是一个圆？所以我们就想到中位线，那你的长度呢？ 你到近点的距离呢？哎，二分之根号二，然后你转一转多少？转半圈？说半圈，那应该是二分之根号二，说二乘以圆心角 啊，搞定了吗？ 好，来，那我们继续再看一下距离。对， a、 b、 c 六十度边长为一个菱形， 这个菱形就是两个等边三角形啊，套在一起的菱形是吧？ 那么绕着 a、 c 弯折，弯到什么程度？弯到它的二面角是 c 角，求折后两条对角线之间的距离的最小值， 这穿起来就叫做空间式变形 来目标最小距离的最小值， 我们把这个最小的就叫做意面直线灯来距离是吧？也就是它的空锤线段的 空锤线段的长度来。那怎么求空锤线段长度呢？ 那我们就要翻折过程中它的位置关系呢？你这样子翻起来以后点 b 在 里面摄影是谁啊？ 摄影在哪里啊？在 b、 d 上，是不是从 b、 d 上？所以翻起来以后， b 撇 b， 恰好在 a、 c 的 成片上啊，所以 b 撇 b 跟 a、 c 恰好是垂直的，是不是垂直的？ 所以我要做 a、 c 的 垂线，是不是到它的垂面里面去 做？它的垂面是谁啊？ a、 c 的 垂面是谁？ b 撇 o、 d， 做 b 撇 o、 d， 而且 b 撇 o、 d 恰好是什么？是二面角呢？平面角吧，做二面角，平面角。 然后呢？现在在这个面里面，我现在这面里面所有的线数都跟 a、 c 都垂直了， 那现在我只要在这面里面再跟谁垂直就好了，一撇地垂直，而这翻起来的这个面是什么？是二零幺呢？所以我只要取什么中点，这一边数也垂直的啊，所以这是公垂线段，公垂线段长度是 最短的距离，所以我要取的是不是这条，那这个二面角的平面角是不是就是 b 撇 o b 啊？那这角度是不是斜长？ 那电场为一，所以最大等于几？二分之根号三。所以 o g 的 长度就等于谁啊？二分之根号三来可算以二分之，那二分之 c 呢？是三十到六十之间， 二分之 c 呢？在三十到六十之间。那，那什么时候是最小的？六十六十二分之一，所以最小的？各位， 四分之根号三，四分之根号三。所以最关键我们要理解清楚，它们之间距离的最小值就是公弦线段呢？怎么找公弦线啊？怎么找公弦面？ 第三，旋转中的角度问题。 好，我们看题，在边长为二的正三角形中， e f 是 终点。现在我沿着 e f 把这个三角形 c f 翻起来，翻完以后，我记作 p e f 翻到什么程度？翻到 p e 跟 a e 垂直的程度 啊。翻到 p e 跟 a e 垂直的程度，则 p b 跟 p e f 所成角正弦值是多少呢？ 各位，这 p e 跟 a e 对 不对？人不在 p e， 对 于 c e 啊， a e 来讲，叫什么线？ a 是 那个底上，那 p e 就 叫什么线。斜线，那斜线跟它是垂直的，摄影是垂直的。那请问 p e 在 里面摄影是 e 什么？是不是这意思？ b 在 里面射出 e 怎么办？那 e 怎么会跟 a e 垂直啊？在底面啊，你是等边呢？是 e b 是 不是跟它是垂直的？ 所以点 b 在 底面射在哪里？水翻到什么程度？翻到死的。 p e b 跟底面怎么样？垂直，对的， 就放在这层度啊，所以 p e b 跟底面是垂直的， p e b 跟底面垂直的。咱们接下来要求下大家思考一下， 接下来呢，这个几何体的结构不清了吗？我们看一下长度，这条是一，这条呢？一，这个是根号三。一一根号三， 然后呢？哎，那我这个 p g 垂直于 g 点怎么算？ 哎， p e 等于 p f， p e 等于 p f， 所以 怎么样？那 p e p e 要相等，那设也要不等啊，设也要等，那 g 点在哪里？ g e 要等于谁？ g f g e 要等于 g f， 那 g e 要等于 g f， 那 就啊，在 e f 的 形线上，中垂线上，而且我们是绕着 e f 来旋转的，所以哪条线很重要？ 所以这个轴是很重要，我们把它记错，分别记做 m 跟 m 啊，那刚才，刚才 p e 等于 p f， 那 它设要不等， 你翻起来是对称的对不对？所以你这个 g 点恰好是谁啊？是不是恰好从这个终点上面？那不就在在 m n 上面吗？所以这个点就是你的终点。 那这是几等分点？这是几等分点？哎，是一比二，是不是三等分点？那整条根号三，所以一 g， 哎，三分之根号三，一 g， 是 不是三比到三， 所以，所以它的位置是不是这样子的？ 而且你是轴，所以点 b 的 射影数都在我 m a 上，这个是点 b 在 里面，射影数都在 m a 上 啊，所以你的射影要刚好是 m a 跟 e b 的 交点的上 b 才会保证 p e 跟 a e 是 怎么样垂直的？因为这个射影它会垂直吧？啊，那剥清它的结构以后， 我要求谁 p b？ 跟正面所讲讲，各位， p b 现在长度是多少啊？根号 二是吧？根号二， p b 是 根号二。线面角怎么写啊？哎，那应该说做垂直，那做垂直连起来是这个角， 那它的正弦值就是等于 b 点到这个面的距离，那就是 b o 的 长度比去 b b 的 长度， b o 是 不是点到面的曲？点到面的曲两种处理方式，一种，一种是等底形，第二种直接记住， 那距离在哪里啊？在垂面里面做交界的垂线，就在垂面里面做交界的垂线， 但是很可惜，避免的垂面有没见到？没有？没有。换一个地方，哪一个地方？刚才距点这边有没有垂面？ 我们这折起来的 p m g p m a 是 不是就是 p e f 的 垂面啊？ 对吧？所以我过继去做谁的垂线？ p m 的 垂线， g k 垂直于 pm， 所以 g k 就 会垂直谁，哎， p e f， 对 吧？所以这是不是点击它的距离， 所以点 b 到它的距离呢？哎，点 b 到的 g b o 是 g g k 的 几倍，也就是它的距离不是这个距离三倍。 而刚才 p g m 是 什么概念？哎，直角三角形，是不是直角三角形， 对吧？这一段长度是几啊？我们的高速根号三，然后这一段是二分之根号三的三分之一，所以这段等于几？六分之根号三， 这 g m 是 六分之根号三啊，然后 pm 是 多少？ pm 是， 哎，二分之根号三，对吧？那我要求的是 g 点到它的距离是 g k， 这是二分之二的，哎，给他六倍一下吧。六分之根号三的六倍，那这是一，这是几三，那这条是几二倍？根号二，所以 p 七的长度是？哎， p 七的这么多，在乘以谁 三分之二六啊，所以用的面积能把 g k 取出来。 g 点到这面的距离 b 点是到那面，距离是它的几倍啊？三倍，是不是三倍？所以，所以这个 b、 o 的 长度是怎样的？那把 b、 o 除以 c、 e、 p 是 不是它们的正弦值的？ 他转那么多后门也可以，用什么啊？整体体来的，那整体体，我要求 b 点到正面的距离，是吧？所以我们去研究哪一个体型来一 p e、 f， 而 p e、 f 数这个等边上移，所以它等于三分之一的 b o 乘以 p e、 f 的 面积， p l 面等于几？四分之。另外一个方面呢？ 这体积有位，等于以谁为定点？那 b、 e、 f 的 b、 e、 f 的 面积可求吗？啊， b、 e、 f 的 面积，那就等于谁啊？就等于整个面积的四分之一， 就等于整个面积的四分之一。这块啊，四块就是四分之一，所以它等于三分之一。啊，四分之一的面积，面积是四分之二三，然后 p 点到正面的距离，这是谁啊？ p g 是 不是 p g？ 那 p g 的 长度怎么算啊？是换个直角算， p m g 里面算， p m g 里面算，所以算出来刚才说是三分之几，根号六，是不是三分之根号六 啊？所以第一 o 的 长度就等于谁啊？约掉约掉等于十二根之，又成十二个单位啊。 啊，所以他们所什么叫啊？那么它的基础还是在于我们这个旋转变化里面。我们注意到轴是 e、 f， 所以 跟轴垂直的这条线很重要啊，跟轴垂直的这条线， 哎，继续再看一下三角形， a、 b、 c 角 a 是 九十角 b 是 三十， a、 e 等于二 点， d 是 b、 c 的 中点，然后把 a、 c、 d 翻起来，翻起来给它记作 a、 d、 n， 把 a、 c、 d 改成 a、 d、 n， 那 这个 l 也就是起点， 那角 a 是 九十，那这个角度是。哎，三十，是不是这个角度？三十， a、 c 的 长度为二，这长度为二， 所以 a、 b 的 长度就等于几。哎，二倍根号三，然后那这个斜边 a、 c 就 等于几？ 斜边是为四，然后这个地点刚好是在终点，所以这段呢？呃，这段，呃，这段也是，所以它几何里的结构是什么？这个 a、 c、 d 是 等边三零啊，等边三都是攀起来了，那 a、 g、 b 是 什么概念 啊？等腰三角形，而且这顶角是几度？一百二，一百二，弯起来啊，这个结构宽起来，那这样太辛苦了，你就把层面先画出来啊，平面图先画出来啊，平面图先画出来 啊。那现在外接球的半径为二，求 a、 a 跟底面 abd 所成的角平行 关关到什么程度？关到外接球的半径刚好是。 那我们研究的锥底到外边，球锥底到外边，哪个形体很重要？ 哎，结面小圆是不很重要，前面讲我们先研究哪个结面？ a、 d、 b、 a、 d、 b， 它的小圆的半径是怎么算啊？ 小圆的半径我怎么算？三角形 a、 b、 d 外切圆的半径是吧？那我们就用什么定律来算？正弦定律属于二等于谁 啊？ a、 d 属于谁？三 b， a、 d 属于三， b 等于几？等于四，所以小二等于几？ 小二的。你看把球星啊，我们的球星刚好在哪里啊？这球星刚好是不是你这个这个小圆的手腕？ 这小圆圈什么圆？大圆，所以穿起来以后啊，这个就是他的钝角三，所以外外心在哪里？三角形外，三角形外，所以现在这个图形是不是更特殊了？ 刚才有评论就提到说正四面体，有正四面体吗？ 有正室面体吗？有哪一个是正室面体啊？啊？哦，原来这个是不是正室面体？各位，这个是不是正室面体 啊？因为 a， o， d 它是不是边上的都是二， 然后呢？ o， a 也是几二，而而 n， a， n， d 呢？ 都是二二，那能利用这个来求线面角吗？这样跟 abd 所成角结束了，就是正正四面体来能跟底面所成角，对吧？ 棱跟里面所成角，它是什么值？鱼弦值，射棱长为 a 啊，所成角线面角的线面角的鱼弦值棱为 a， 那高数是谁？三分之二开根号是三个，根号六，那求出来他正什么值啊？正弦值，那余弦值呢？三分之根号一下搞定了没？ 所以把这问题转化为你们熟悉的，你就可以把它熟悉的你这里有外界学，我们就这样了。 来求二面角余弦值的最小值，感的是什么呢？ 等等，他说他是平面四边形， a， b， c， d， 那 我 一开始也不要那么讲究了，就先给他画什么？ a， b， c， d， 你 先画等一下再调整一下，对不对？ 然后呢？ a， b， a， a， b， 还有呢？ a， c 还有 c， d 都是一，都是一，再来呢？ a， d， c， a， d， c 几度？三四，那这三只这呢？ 三十，这个也三十了，能要吧？那这个角度呢？一百二，这个角度一百二， 还有呢？还有哪个角度？ a， b， c 三十，三十变成一百二， 这是怎样？ d， a， b 是 一百二，那我看错了， d， a， b， c 一 百二，那这几度啊？哎 哎，这个是 a， b， c 三十，那这是一百二 b， a， b， 那 这是多少？ 所以我们可以图形一下，如果可以精确的话啊，那这边是什么？看？ abc 是 等腰直角，那这角度四十五， 然后这边要和在一起是多少？一百二啊？自己要一百二，那自己要一百二，那应该是这样子，是吧？ 这两个，这是 e， 这是 e， 这是 e， 是 吧？好，那现在呢？现在我们要沿着谁折起来？ ac， 把 ac 沿着这折起来，那么折起来动点 p， 动点是 p 啊，那画成直观图啊， 然后这个 a c p， a c p， 那 始终保持是等腰三角形， 这一点是 p， p 就是 原来的什么 d 啊。图形给大家画好了，来思考一下。求 a c p b 这个二面角的余弦值。什么是要被最小？二面角余弦值要最小，那就这个二面角要最大。最大是什么时候呢？ 我要把 a、 c、 d 关起来，那翻折过程中什么意思？最关键 我们的轴是谁？ a c 那 点 p 呢？点 p 的 位置在哪里呢？ 非常好，要去做轴的成线， 那我就把这条给延长这里做垂直过来，这是一个单位，这角度几度？六十，所以这个等于几？二分之一阶段， 所以我这边要在几个单位过来，二分之一个单位过来，是不是 啊？我们把这点记作 e 点吧。那 p 点在哪里啊？ p 点的轨迹是什么？ p e 的 长度是几？二分之根号三，然后让他 啊就转起来了，所以点 p 数在这个圆上运动，数在这个圆上运动， 因为我们绕着谁来翻折，就是什么呀？旋转体嘛，做旋转体，所以绕着这个方折，翻完以后，请问 a p p 什么？ pcb， 这个两个半里面所乘角最大是多少呢？是不是这意思？所乘角最大的一个，那一些是最小吧？啊啊，课后十点不再，我们下一节课再讲啊，大哥们。
44汤老师
05:28查看AI文稿AI文稿同学们大家好，欢迎来到肖老师课堂，今天我们讲空间的线线垂直，线面垂直和面面垂直的证明。首先我们看线线垂直，第一个线线平行的性质定律。 在这幅图中，首先我们看如果直线 a 平行于直线 b， 然后直线 a 垂直于直线 c， 那 么 b 也垂直于 c 啊，这是通过我们 ab 两个直线，如果说有其中一条直线垂直于这个直线 c， 那 么另一条直线也是垂直于这条直线的啊，这是线线平直的平行的性质定律。好，接下来我们看到线面垂直的性质定律 啊，如果这个直线 a 垂直于这个平面阿尔法，那么这个直线 a 垂直于平面内的任意一条直线啊，因为 a 垂直于阿尔法，所以 a 垂直于 c 啊。同学们，这两个线线垂直在空间中的定律，大家一定要注意 好，接下来我们看到线面垂直，线面垂直。首先我们看到第一个线面垂直的判定定律，这个定律是非常非常重要的，我们看 l 这个直线垂直于这个平面内的两条相交直线，那么我们这个 l 和这个平面就垂直。 老师再讲一遍， l 垂直于这个平面内的两条相交直线，那么这个 l 和这个平面就垂直啊，同学们一定要注意，一定是两条相交直线，如果说是两个平行直线是不行的， 嗯， l 垂直于 a， l 垂直于 b， 然后呢？ a 和 b 相交于点 p， 然后这两个直线都是属于这个阿尔法平面内的，所以说这个 l 垂直于平面阿尔法。 好。接下来我们看到线面平行的性质，这里这个是什么样子的呢？这个是如果 这两个直线平行，其中有一个直线垂直于这个平面，那么另外一个直线也是垂直于这个平面的啊。如果 a 平行于 b， a 垂直于平面二法，那么 b 也垂直于平面二法。 接下来我们看到第三个线面垂直的性质定律，这个也很简单啊，如果说这两个平面平行， 有一个直线垂直于某一个平面，那么这个直线也是垂直于另外一个平面的啊。看这个，这里阿尔法平行于贝塔，那么 l 垂直于阿尔法，那么这个 l 也是垂直于贝塔的。 好，然后我们看到最后一个面面垂直的心之力啊，同学们，这个也要注意，你看这两个平面相交于 m， 这个 l 垂在这个平面贝塔内， 这两个平面是垂直的，然后呢， l 垂直于 m， 那 我们就能够推出来这个 l 和这个平面是垂直的啊，这个是面面垂直的限制定律 啊，就是说什么呢？两个垂直平面其中某一条直线垂直于他们相交线，那么这个直线就垂直于另外一个平面 啊。在线面垂直中，这里的第一个和第四个是比较重要的，同学们务必要谨记 好。最后我们看到面面垂直，首先我们看到面面垂直的判定定律 啊，跟刚刚那个差不多。好，我们看一下，如果说这个 l 垂直于这个阿尔法的一个直线垂直于这个平面，那么 这个直线又属于另外一个平面贝塔，我们就能够测出来阿尔法和贝塔垂直就是什么呢？这个直线垂直于这个平面，那么这个直线所在的平面和另外一个平面是垂直的 啊，这是面面垂直的判定定律，我们在做立体结合的基本上都会用这个，但是我们面面垂直还会有有一种方法，那就用什么呢？我们用向量的方法来证明空间的垂直，这个我们后面学了向量之后，我们就知道怎么来求。 首先我们知道阿尔法和贝塔平面，然后求出阿尔法和贝塔平面的法向量，那么法向量他们的乘积是等于零的，那么能够说明他们法向量垂直，从而来推出面面垂直。 这个是我们后面学了下面的方法之后来证明空间的面面垂直。好的，今天老师的课程就讲到这里，谢谢大家。
42:02查看AI文稿AI文稿元宝是，好，请坐好，那今天我们继续来讲光泽里面的一些问题，那昨天角度这边我们留了一个题，我们看一下， 在平面四边形中，这三条线段为一，然后 a、 b、 c 是 三十度， d a、 b 是 一百二， 哈哈哈哈， 那我们这个 a、 b、 c 恰好是一个等腰三角形，等腰三角形那轴是 a c， 所以 我们在翻折的时候是不要过地点去做 a c 的 垂线。 当你翻折过程中呢点 d 的 轨迹是什么啊？以 e 为圆心的一个什么呀？是以 e 为圆心的一个圆， 然后这些长度刚好都是一啊，刚好都是一， 那这个角度是九十是吧？那现在现在让我们求的是 a c p b a c p b， 那 这个是一个二面角啊，半平面是 a c p 和 c p b， 那 a c p 就是 谁啊？就是刚才的 a， c， d 是 吧？ a c d， 另外一个半平面是 b c p 能是谁？ b 啊？ b c 啊？ p c， 那请问这个余弦最小是多少？怎么想这个问题，那我们看标准的图形里面我们怎么研究二面角？ another 另一款能上去一点，分别引垂线，而要做这个垂线的话，我们也不用什么来做三垂线，那三垂线应该是面内找一点做另外一个面的垂线， 接着呢过垂出去做交线的垂线，根据三垂线这边呢也会垂垂，来我这边做斜线，跟他垂垂呢，这摄影都会垂垂。对，那这得到的数都是二位角平对角， 那我的人是谁啊？ cp 那 面里面找一点做 cp 垂线，你说是 a 点做好还是 b 点做好啊？ b 点做 a 啊？ pc 的 垂线好还是 a 点做好？ 当然是 a 点做好了，为什么啊？他本来就是在这个面里面吧， 所以你一这个点早一点，你要做面的垂线，做人的垂线，对不对？那我这个 a 点，当然做人的垂线不好做， 那我们做人的垂线转过来，那这段长度等于几？哎 哎，这个是一，这角度是六根，那这条等于几？二分之根号三，这段等于二分之根号三，对吧？那现在呢？现在我要垂出，是不是？所以要过 a 点去做这个面？ b c p 的 谁见，对吧？但是 d c p 是 什么？ d c p 是 一个什么样的面啊？装着洞的平面， 然后这个重点在哪里？在这个圆上，是吧？连起来，连起来就让你做，你什么时候会坠什么啊？这条是定的，那应该这段坠什么时候？他的角度最大？最长的时候角度最大， 而这个面点 b 是 动的，但什么是定的？ b c 是 定的，那你 b c 是 定的，那什么时候会最 会最长啊？最长来，那我们将为考虑一下，在平面里面呢？ 一点到谁过定点的直线？一点到过定点的直线，距离什么时候会最长最长啊？ 拐一点点呢，距离就变什么短了？那现在把这个点升格为面，这个点升格为线，然后到线的距离就升格为到谁的距离，那什么时候距离会最长啊？ 那应该过 a 点，做谁呀？做 b c 的 垂线， b c 的 垂线。 当我 pcb 跟这一条线垂直呢？那我的距离是不是就是 a h 这么长呢？ 当我这个面跟 a s 不 垂直呢？那我的距离就怎么样？我距离就比这段来的短时间短了啊。所以，所以 什么时候会最长？ a 点到这面的距离什么时候会最长啊？因为你这面是不是绕着这边来转动嘛？那就什么时候？ 那就是当 a h 垂直于平面 c、 d、 b 的 时候，是不是最长了 啊？那最长这个下的角度就最什么啊？别动，它最最长的值是几啊？这是一一二分之根号是二分之根二， 那这是二分之根号三，这二根号，所以最大等于几？二分之一，所以它余弦的最小值呢？余弦的最小值就等于谁啊？哎，那就等于根号三分是吧？三根号三出去。 好，然后呢？我们说这二面角是面里面线和这面所成角里面最什么的啊？最大的，那如果，如果这条线不是跟它垂直，是条斜线呢？ 那这里是不是有个线面角？把这个线面要记住。阿法，那刚才把这个最大的这个角，这个角最大的是不是二面角？ 那么我们给它标注一下，这是 p o， 这是 a b 两点吧。大家们，那我这个 or sin theta 等于 sin theta 等于谁啊？ 啊？上一 c 函数等于 p o 比去谁？ p o 比去 p b， 那 我这上一 r 函数等于谁啊？啊？ p o， p o 比去谁？ p a， 那 还有一段是啥？ p a 跟 b， p a 跟 p b 是 什么？ p a 跟 p b 是 哪个角有关系啊？啊？是不是跟这个角贝塔数有关系？是不是这条线跟人所乘角数有关系， 对吧？那我们把这角记错了，三与贝塔呢？那三与贝塔等于谁啊？ p b 比去谁？所以我们得到什么？ sina， 阿凡等于谁？ sina， 塞塔乘以 sina， 这不三个正弦啊，那这个就叫三正弦，公式 怎么样？三正弦是谁啊？线面角等于谁？ 等于线跟这条棱所成角，再乘以二面角的正值，是不是？哎，对吧？那像我这里是不是棱数 b c 了？二面角数这两个平面了？ 那我找的线是哪一条线啊？我找谁是找 a c 是 不是 a c？ 那 现在我要学的是不是二面角的最大值，是吧？ 那我现在这个线面角线线角等于几啊？我这条线跟 pc 首先角等于几？一百二十度，所以我这个是等于多少啊？这个就等于几 啊，所以它就等于二分之二。那我要求角度最大，我就要求谁最大？ side 最大， side 最大， side 最大是几度啊？啊？ side 二最大， 也就是 a c 跟这面所成角，什么叫最大？ 哎？ a c 跟这面所成角成的最大是 a c 长度，再来什么？哎？ a 点到正面的怎么样做？ a 点到面的距离，哎，这又回到了我们该前面的分集的，是吧？你过定直线动的平面，什么时候距离会最大？那就以 a 点到这条定直线的距离会最大，那就高的十二处距离最大 啊，所以他这个值就会小于等于谁二分之，哎，二分之根号二比去谁，哎，是不是 啊？那这这个弦是最大等于三分之根号六，那余弦最小就谁三分之根号谁？ 所以你如果能看得出来的同学，那是不是可以用直接用这方法来三正弦，然后来取出这个问题啊？所以我们要学会去分析它在旋转过程中。那对了，还有个问题能取得到吗？ 因为你点 p 的 轨迹在 a b c 的 射影是在这条线上， 然后你要垂直呢？嗯，那就是这个的话，是不是要记在 p c 上，沿着这边啊？ 所以只要把 p c 延长一下，跟它设焦点，你点 p 落在这里，是不是 p， b、 c 正面是不跟 a、 b、 c 正面就垂直了？那你的高校是不是 a、 h 这一段了？好，这是角度啊，角度里面 第四综合，那就在换折过程中，两个位置关系，还有呢三个角，还有呢七个距离。正确的跑法来让我们看一下，往往是在多选与里面的。 如图这个四边形，它是 a、 d 跟 b、 c 平行啊，是梯形，然后 b、 c、 d 四十五度， 再来 a、 d 等于 ab 啊， a、 d 等于 ab， 再来 b， a、 d 是 直角梯形，上底跟一条直角的腰是相等的，还有这里四十五度， 那现在呢？我们要把它怎么样折起来？ b、 d 折起来，折成，什么时候折成？ a、 b、 d 跟 b、 c、 d 是 垂直的，那么以下写是正确的， 来看看第一个咱们要干什么活。 ok， 先把平面图形搞清楚，怎么搞清楚叫平面图形？直角梯形横，怎么研究？ 要么是补，要么是什么个？五个行吗？直接来形容这几度，四十五，四十五，那你这两条平行，所以一百三十五，因此这个角，因此它是什么图形？等腰直角是吧？ 好，那我不光说它是一个单位吧，那这条就是根号啊，那这条根号这条， 所以我们先把平面的结构弄清楚，那臂力是轴，那宽完以后呢？ 啊，宽完以后的话，这两个面有没有改变，所以这两个面还是等腰直角是吧？ 这，这个是直角边吧，所以这翻起来以后，如果 c 这边来看，那 c 如果相对于 abd 来讲， c 的 轨迹是什么？有，那 a 的 轨迹是什么？ 那我们应该过 a 做它什么线？垂线，然后延长过来，刚好是一个什么形，所以这个点 o 呢？ 哎，这关的过程中， a 点的轨迹是以 o 为圆形的一个啊，圆形的一个角， 哎，折成十二面角，那哪个东西就很重要了哎，所以 ao 就 会跟底面怎么样？垂直，然后我这条 o、 e， 我 这条 o、 e 跟谁 跟 b、 d 数平行了，就垂直了，这角什么角？就这样，那这两个面垂直，所以 c、 d 呢？垂直 abd， 所以 这个 a、 c、 d 是 小于呢？ 垂直要小于，所以我们把把这个情况给摸清楚来啊，摸清楚来。但是点 d 处点 d 处是墙角吗？ 不是，因为这个角度四十五啊，四十五，然后这边还是什么垂直啊？那你把心啊，这个 信息都给他格式化的标到图上去了啊，把这个信息都格式化标到图上去了来。那现在 a、 b、 c、 d 你 选择一下， 那么是因为如果 a、 b、 c 求之于 a、 b、 c 的 话， b、 a 就 要求之于频率 a、 b、 c。 但是 b、 a 跟 a、 c 的 夹角不可能是九十度，所以 你就算它 n 面角是吧？算它 n 面角不可能九十度，或者，那如果它会垂直呢？会有什么样子的啊？ abd 跟 abc 垂直，那谁也跟 abd 垂直啊， abd 还会跟谁垂直？ b、 c、 d 垂直啊，这 abd 也会跟 b、 c、 d 垂直。如果两个面都跟一个面垂直，什么性质？只有 交线要跟他垂直，那我的交线是谁啊？ b、 c、 b、 c 有 没有可能跟他垂直？反正就是想对不对？如果会垂直是得到毛的吗？所以他不可能垂直，那么假定他垂直是吧？好，那我们利用面面垂直的性质 啊， bc 跟 abd 所成角用哪个角啊？因为 c 点到面的射影加上谁是不是这个角？记住， c， a， c、 d， a， b、 c 两面垂直什么？ 一个面过另外一个面呢？谁见行吗？ 不是我跟你谁知去算个什么啊？二面角他人是谁啊？啊？ ac， ac， 然后谁跟 ac 谁知啊？ a、 c、 d 里面跟谁？ a， b、 c 跟人垂直的是谁？好做吗？不好做 那怎么办？一个面过另外面的垂线，谁的垂线好找啊？到垂面里面找交界垂线是吧？ a、 c、 d 过了哪条线？ c、 d， c、 d 这个所在的平面跟谁垂直？ abd 垂直，对吧？所以它的垂线到 abd 里面找交线 ab 的 垂线，那就是谁啊？啊，是不就是 ab 啊？是不就是 ab？ 所以 ab 会不会垂直？ acd， 喂，搞定了没 来？事实上我们观察要一个结构， b， a 垂直谁 ad， ad 垂直谁？ c、 d 啊，所以 b、 a、 d， c 什么结构？ 是一个编码的模型？是一个编码的模型，所以这个角也是什么角，对吧？或者你刚才这一一吧，你看你把数据给我标出来，这个编号二，这个点几？编号三，这个？是啊， 这个是根号二，谁最大得几？二？会垂直吗？会垂直好搞定了啊，来， b 选项， c， a、 b， d， c， a， b， d 过 c 作 a， b、 d 的 垂线，垂足为垂足为谁？ d 再过 d 作 a， b 的 垂线，垂足为 a， 连起来，所以哪个角是直角角？ c， a、 b 是 二面角，平面角，二面角平行于弦时， p、 b 根号上搞定了没？这里是对的啊，所以 b、 c、 d 是 对的。 所以它的关键还是在于什么啊？几何底的结构。 那你要摸清楚节，你就要那方的前的结构先要弄清楚，然后方折就是一个旋转变化，所以跟轴垂直的线很重要，你把它辅助的画出来，那么它的图形就清楚了。 还有这些长度是不是都可以标注出来了？那标注完以后，我们看它的垂直关系就比较容易发现，是吧？所以你把它标完以后，就可以发现这是一个编号的图形啊，它不允许的 啊。第二块内容，动点的问题啊，动点的问题， 那保持动点平行呢？垂直呢？角度是定直的，体积是定直的等等的这类问题。来我们看一个比较简单的， 这是一个正方体，等长是三点， m 在 哪里？在正方体内部以及表面上移动，包括内部啊，因为我们正方体是这样围起来的图形，对吧？但 bm 要跟 a d e c， a d e c 平行，请问蹦点 m 的 轨迹所形成的区域面积是多少？ 点点运动成什么啊？啊？点点运动成点，那我 b m 始终要跟你平行 啊，那就过哪里的面，过定点 b 的 跟它平行的平面，是吧？ 那是不是这个平面？然后我们点 m 呢？包括它的内部是不是就是这整个面里面的点？ 所以点 m 是 不是这个平面啊？不是平面，因为它在内部，那应该是在三角形以及它内部的点， 点 m 是 三角形以及它内部的点，然后我们要求求什么这一块区域的面积，那就求这个等边三是什么？等边三的面积。所以如果是平行，那去运动成跟它平行的平面， 那如果是垂直呢？ 点 p 是 正方体表面上的一点啊，表面它始终保持 b p 跟 a c 啊， a e c 是 垂直的， 来区分点 p 的 垂直是多少？ 那 a、 e、 c 是 什么？ t 对 角线，那 t 对 角线跟正面什么关系？都垂直的，那你现在过这个点， 跟他跟这条 a、 c 垂直的线呢？跟他跟这条线垂直线呢？跟这面有什么关系？要么是平行，要么是在这个面上面面内，对吧？ 那其实也就是我们要做的是过点 b 跟谁？ a、 e、 c 垂直的， 对吧？你跟它垂直的线是运动成整个面，这个面的话是跟 ac 是 什么关系的？垂直的，所以我要做的就是过 b 点做 ac 的 啊。水面是不是？然后点 p 输在水面上，也在这表面上，那不就是在这个等边在里面吗？ 所以他的轨迹长度就是三段的面的对角线长度啊，面的对角线长度，所以他能写啊啊三对的。 那，那如果重点，那定点距离是定时呢？ 那这个点在哪里运动？球面上运动。那我们看一下这道题。在平行六面体中， a、 b、 c、 d 是 棱长，边长为二的菱形，再来 b a、 d 六十度啊， 边长为二的菱形，再来车轮长度是三， 然后这两个面都跟底面是垂直的，点 p， 点 p 是 在这个层面里面的一点，始终保持第一 p 的 一个好奇则点 p 的 轨极长度是多少 啊？那我们把信息标注一下啊，最关键就站，哎，这条链怎么用？ 两个面都垂直，一个面垂直？对，有交线是不跟它垂直，这交线是谁啊？ a e a 啊，所以 a e、 a 跟这底面是垂直的，能做的测量跟底面垂直，所以它是一个智能柱，智能柱，所以先要搞清楚啊，智能柱 那直角处的话，圈内一个底面就是垂直的。各位，现在我第一批的一个号是什么意思啊？在球面上，然后呢，又在右侧这平面， 所以从右侧这平面去截，比如得到的是一个小圆，是一个小圆。小圆，圆心在哪里啊？ 小人，圆心跟第一点连起来跟正面什么关系啊？垂直的，我要做面的。垂线去哪里做？ 在垂面里面找交线的垂线，所以是哪一段？ b、 c 的 中点处取出来，因为你这个 b、 c、 d 是 什么概念？等边呢？ 所以这一点就是什么？是不是小圆的圆心小于圆心？那这段长度等于几 啊？是不是零幺三？这段长度零幺三，然后呢？啊，所以点 p 到偶遇的距离为几？ 这边是根号七，所以它就等于二，所以这段长度是二， 而这两段都等于几？一，所以呢？二十一，所以它这个轨迹是什么？是这样子的， 它这段是等于二，这是一，所以这角度几度 六十。这边也去掉一个六十，所以这边几度六十，所以应该三分之派乘以半径二，谁是最大弧长 啊？所以答案是多少啊？三分之好，所以第三个动点到定点的距离是定长，那这就是什么啊？曲面上的点，曲面上的点 一次点 p 是 人长为一个正方，比上底面的一个洞点，上底面的洞点， 然后呢， a p 跟底面所相交都是六十度，则点 p 的 诡奇是什么 线？面角六十度在哪里啊？怎么做？这个线面角过点 p， 做这面的垂线垂足，我们设为 q， 然后 a、 b 的 射影就是谁 a q， 那 这个三角形呢？这个角度几度六十，那这三角一六十一，所以这条 求二求根号三，谁知道是等于二，求根号三啊，请问你变成什么？定长的问题？定长的问题，求球面上，然后运到上里面， 现在前面上遇到上里面，所以小二等于几啊？所以等于三分之根号三，三分之根号三比一来的 小，所以这个点的轨迹就是一个啊。四分之一的什么呀？就四分之一的圆羽绒服啊。四分之羽绒服，所以，所以它应该是二分之派乘以小二。那小二刚才是等于几？三分之五号三。 哎，那我把上里面改成什么呢？表面上的一个点， 表面上， 表面上，那就除了上里面上，里面已经上完了，还有什么？下里面，下里面不可能的，那还有什么？如果他的层面呢？ 如果它的圈面呢？那它的射影是谁啊？从底下的这个啊，所以那应该是 ab 假角为几度的直线，六十度的直线是吧？ 那这边假角等于六十度，那这条等于一，所以这条等于几？二除以二，除以多少三 啊？那这边有没有？那这边有没有？没有输在这里？那其实的话它就是变成一个什么，一个圆锥 就变成一个圆锥，所以这个时候的话，表面上，那你还要再加两段，两段都是二除两段。 那我们说面可以用水来代替掉， 面的方向可以用谁来代替掉啊？法线是不是？那我这面的法线是谁啊？这这屏幕也可以改成谁 a p 与谁啊？与与谁？ 以 a e a 夹角几度，把它法线夹入三十度 的点的轨迹，那更直接了，他一条定时线，角角是定时的点是什么啊？那不就绕一圈吗？谁的轨迹是什么？ 以谁为轴？以 a a e 为轴的什么？圆锥？是不是圆锥？ 所以跟平面所成角是定直，就是跟平面的轴所成角是定直，所以它的轨迹是一个圆锥，是一个圆锥，又在又在平面上，所以是不是用这些平面去截什么呀？ 用这平面去截圆锥，并且呢， 所以啊，所以面的法线是不是很重要？因为法线的法线定下来，这个面的方向就定了，方向就定了，所以你线跟面所指的是线相对于面的倾斜程度， 那你线跟面倾斜程度是不可以通过线跟法线的倾斜程度来定义它线跟面的倾斜程度。 那朋友们，那我们继续来看一下 判球是否有点使得是面平行，线平行使得线垂直，面垂直这种判球的问题，那怎么办？来看第五 屏幕条件都看完了啊，那这个是面面垂直，再来，那这三条 s、 a、 s、 d 这还有底是什么？正方形，这边就垂直了，标注一下，这里是垂直的啊， 下面面垂直很重要，垂直，垂直于交线就会垂直另外一个平面，那水果 c、 b 跟这面垂直，我 ab 跟这面，这面是站立的三把这局部面整体 尾骨会变什么啊？转换你吗？哦，那 s、 a、 b 当做什么底？那就是一个三楞柱，而且是 正的三楞柱，正的三楞柱，所以把几何体结构先剖析住，然后再来判断一下。这个跟这个 第一个比较简单啊，只需什么啊？ d、 m 平行于谁？不要这样， 只需什么？要面面垂直，线面垂直，那我们要评估一下谁的垂线好找？ s、 a、 d， 因为 s、 a、 d 都占着了它的垂线去垂面。 s、 a、 d 垂面是谁？ a、 b、 c、 d 交线的垂线，那就是谁啊？ c， d， c， d 垂直于 b 面 s a， d， 所以 这两个面是垂直的，如果要正的，就 c， d 跟个面垂直的。 好，同学们继续来看。三、 s c 上是否有一点 a 使得，使得 d m a 和 a b， c， d 垂直？ so yeah， 怎么他丢要面面垂直，那就去找线跟面垂直，谁的垂线凹掉， 底的垂线凹掉，那就 a， b， c， d 它的垂线是谁？ s e？ 那问题是 s， e 在 面对吗？不在面对，那什么移进去吗？那什么叫移进去？过线做面找标线，找标线， 那就平移进来的，是吧？所以，所以过 s， e 要跟 d m， n 交在一起， 那你要移，用什么办法来移中心？谁的中心？ c 的 中心？是不是 s c 出一个 n 点，所以把 e c 连起来，这有没有一个焦点？ 我们发现这个点是什么点？终点，那你要平移进来，选 n 点是终点搞定， n 点是终点，所以，所以这个 c n 是 cs 的 做线做面罩，交线交线裙子啊，这样我们来解决它。好嘞， come on！
91汤老师
41:51查看AI文稿AI文稿好，那今天我们来计算二面角的大小，我们通过第二面角， 然后呢，平面角是九十度，就叫做十二面角，两个平面就垂直，这跟初中定义两个直线垂直是对立的， 那这一局我们的任务就是来求这个二面角的大小。那首先我们回顾一下什么是二面角？一条能出发的两个半平面构成的图形出二面角， 那怎么来度量它的大小呢？它需要用平面角来度量，是吧？ 那哪一个角是它平面角能上去一点，分别处垂线所形成的图形，比如说我们的图中是一个钝角，这是它平面角， 为什么这个脚可以来衡量贝塔香奈儿法的位置呢？ 别人就不行呢？啊？最大？什么最大？什么角度最大？如果我做 b 点不垂直的呢？ 那这条线 b o 撇跟 r 所成角在哪里啊？ 哎，我们刚才是钝钝的二面角，是吧？所以它的射影是谁啊？ 我们把这点记做 h 好 不好啊？那 bo 跟 bo 撇所成的角是谁啊？ 这两条线跟二把所成角是谁啊？一个是 b o h， 一个谁？ b o 撇 h 谁更大？因为对边带一样长一样长，而 o 撇 h 比 o h 来的长，所以这个角度应该来的大， 所以我们用的是用的是什么角？是面里面的线和另外一个平面所成角里面最大的角，最大的角，这就确定呢？这是唯一的来定义， 来定义贝塔相对二法的情节程度，对吧？那比如说在这里，那应该在这个陷面角的什么角？五角，如果钝角的时候是最大的陷面角的五角，最大的陷面角是什么呀？五角，如果他是内二倍角呢？ 那就是我们的什么最大的陷面角，最大的陷面角啊， 好，那第一个是大小的度量来看题，这是一个三轮锥， v c 根号三，其他都是二， 其他全是二。请问 b a b c 大 小谁是零？ ab 两个半平面， v a b 跟 c a b， 那 我怎么做它呢？你们讲我们注意到 v a、 b 是 什么原因？ 等边， c a d 也是等边能上取一点，分别引垂线，那就取什么点，那就去取谁的终点。 a b 终点，我们把它记作 m 吧。然后呢，连接 m v 跟 m c 兄弟连起来，连起来。然后呢，则怎么样？则 v a v m 垂直于 ab， v m 垂直于 ab， v c 呢？ m c 呢？垂直于 ab， 所以呢， a 角 c v m c 为 二面角的平面角。六，这三段都知道，所以这个角度几度？六十六十，然后下结论。所以二面角的大小多少？ 其实是三步骤是吧？第一步是干嘛呢？对吧？第一步，我们在做的是什么？什么活来度，把这个角度做出来。 第二步，我叙出了一堆来证明这个角数是二面角的一面角。 然后第三步，去去什么取，把这角给取出来，所以有三步骤。那我们把这种求二面角的方法叫什么法来，第一个方法叫什么法？定义法是吧？ 特别的构成这两个半平面是有特点的，是不是那两个都是全等的？等边塞，那我 v m 若垂直连接 cmcm 度也一定垂直啊，这两个是全等啊。 来，接着我们拆开第二二面角六十度， 那我们画一个四域图，二面角六十度，等于是 l a、 b 在 a、 b 分 别在二百根贝塔内，到它的距离是二根四，这是两个单位，这是四个单位距离，距离是垂直的。 然后再来这条长度为十，长度为十， 求 ab 跟 l 所成角正弦值是多少？ 呃，事实我都看明了，是吧？在哪个东西没看到？没看懂啊。六十度在哪里啊？ 能上几点？分别引垂线？哎，我虽然是引了垂线，但是几个点 两个点，说明啥意思啊？说明我 a、 c 跟 b、 d 这两个异面直线所加的几度。 我真的那意念直接转下六十度那意念了怎么办？共灭。怎么变成共灭呢？你已知之爱。 其次，我要求线 a、 b 跟 l 所成角，我也得去什么啊，所以也得去平移。所以怎么做过 c 做 b b 的 平行线，然后再过 b 做 c， b 的， 这全部都搬过来了。 哎，当完以后这个 a、 c、 e 这个平面长的什么特点？ 这个平面跟人什么关系啊？哦，你们人是不是垂直的？这个 c、 e、 b、 e 有 什么特点？ c、 d， b 是 什么？什么形啊？什么矩形啊？ 那我所乘角在哪里？ a、 b 跟 l 所乘角在哪里？哪个角？ a b a b a b 换哪里？研究 ab， a、 b， e 是 什么原因？因为 b、 e 跟正面什么关系？所以说什么原因？ 我的六十度在哪里？ a c， a、 c、 e， 这是根据什么来的啊？还是刚才那个问题出定义法？上局一定有分别是以权限六十，这等于二，这等于四，这 道等于几十，所以这条是什么？十 正弦值等于谁啊？就等于两倍的根号差除以几啊，对了没？所以刚才这个二面角我们怎么处理呢？第一把你有锤子吧，横上取一点，分别引全线， 如果是一点引全线，一步到位都是两点的半移在一起就变成一点了吧。你过来啊，你过来啊！第三题， 已知三人追踪， s a b 九十， s a c 九十，还有 abc 也九十，知道吗？ s a 跟 ab 相等， s b 跟 bc 相等， 那信息我都给它可塑化了，在图上给它标识出来了，清晰可见，对吧？ 这是啥东西啊？哦，原来是编码的模型，编码的模型对吧？第一步，这名 s b， c 跟 s a、 b 垂直，判定定命 运垂直，通过评估一下谁的权限好走，是 s a， b 好 还是 s b c 好？ s b c y 似的是不是？ 而 s a、 b 是 绿色的，它又是边到的模型，所以它的垂线是谁啊？啊？ b c b c 垂直于平面 s a b， 然后我 s b， c 过 b c 垂直了没？ 二，求二面角 a s c b 来思考一遍。 uhh， 那这个编码的模型所有的长度，这个关系度都清楚了。所，所以我们设 a b 为 a， 但是都可以标注出来的 啊，那构成这个二面小的两个半平面， a s c 角三角 形，斜边为几？哎，斜边为二 a， 所以 这两边直角边 a 跟二三 a， 另外一个呢？ s c， b 呢？啊？ s c， b 是 等腰直角三角形 能上去一点分别引垂线好做吗？是吧？不好做，这招怎么办呢？ 我们的目标是不是做能 l 的 垂线， 那如果要线线垂直，那什么呢？我们线线转换什么？空间里面线线转换成什么？是不是成了固面的线？线垂直也就转换什么线，找一条线在另外一个面呢？啊，是说射影所成的角 摄影垂直是斜线垂直吧，你看我们这是 s c， 这里面一个 a， 这里面是一个 b。 来，那你要用摄影三垂线来找摄影，所以我过 a 列记住 s， b， c 的 垂线， 这步 a 点在这边的摄影做出来了。那如果我这里做垂直呢？我做摄影垂直，则一定有什么斜线做垂直， 或者我斜线如果垂直，那摄影呢？而且这是一个什么原理？所以我们第二招用三垂线法来做 三垂线啊。三垂线， 因为这两个半平面同一点做不好做，因为两个半平面不是相等的，对吧？咱们也没什么确定不好做，所以我们去构建会知道在哪。 那怎么样？那现在到底是 b 去做 s， a， c 的 垂线好做，还是 a 去做 s， b， c 的 垂线好做？ b 比较好做是不是？ 然后过 b 点做 s、 c 的 垂线，那就只要做谁的垂线就行了啊，是不是？兄弟，那这条线我就去做 b e 吧。 b e 谁是 a c？ 那 b e 会不会谁是背面？这是 a， 根号 a， 根号三 a， 谁这条长度 二， a 除谁根号三 b 去做正面的垂线垂足，我记住 e 这条长度是几？二， a 除根号三。接着呢？ 先生，你过 b 点去做人的垂线可以，你过 e 点去做人的垂线，可不可以效果一样一样。 那到底是 b 点好做还是 b 点？为什么 b 点好做？那取它什么点？取中点连起来，这个 b o 是 不是全是 n c？ 而 bo 在 s a， c 的 射影是谁啊？ o e， 哦， bo 跟 s c， 谁是谁？ o e 呢？谁是谁？这个角就是 二面角呢？一面角，而且这个三角形是什么意思？ 那 o b 多长嘞啊？ o b 是 a 这么长，是不是？所以这个角的什么值可以搞定了？正弦值，所以正弦值？是啊， 二除以 c 搞定了没？不有可能是二啊，根化二大于一，根化二除以根化三搞定了。 因为我要做人的垂线嘛，是不是叫做人的垂线？ 所以，所以我要斜线跟你垂直，我摄影跟你垂直就行了吧？摄影跟斜线不也垂直啦？所以我们勾线，勾线，线面垂直来勾线这个二面的弧面的。 大哥们，那刚才我们做出来的这个面跟人什么关系啊？垂直的什么跟人垂直啊？所以我要找二面角和平面角，其实就是找一个面跟人怎么样垂直， 所以找一个面跟人垂直，所以我们这种话就叫做垂楞管。啊，垂楞管， 那既然跟人垂直，所以我做的这个面跟阿尔法贝塔什么关系啊？做也垂直了，第一次，那就是垂面法， 我如果做一个面跟阿尔瓦贝塔都垂直呢？我做一个面跟你阿尔瓦贝塔都垂直呢？那我跟你的交线什么关系？垂直的，那就 l 是 垂直我这个面，那 l 是 垂直我这两条线，所以这个角是二面角，平面角， 那其实都是一回事的，就是做一条，做一个面跟人怎么样？做一面跟人垂直就行。那要做一个面跟人垂直，就是做一个面跟阿卡贝塔都垂直，是做面的曲面。 好，接下来我们来看一下，已知平面被塔内有一条直线，是 a c a c 跟二百三十度， a c 跟 b d 四十五度，请问这个二面角的大小多大？ 哎，三十度这条线在哪里啊？过 a 点做这面的怎么样？垂线，这垂足为 a 型，然后呢？ 所以这个角度几度？三十度，这个角度三十度， a c h 三十度，我 h 跟里面谁知道把脚面都摆上要求的平面角在哪里啊？ 这二面角的平面角在哪里啊？啊？三垂线法是吧？有线面垂直的，我只要做交叉垂线就行了嘛，所以过过 h 点也行，过 a 点呢也行。过 a 做 b d 的 垂线垂足为 o， 然后连接 o h， 所以 这个呢？而且 a h o 什么概念？不知道这样的哎，搞定了没？ 哎，那现在我这个二面角大小都减减，直角大于谁啊？啊？ a o h 是 吧，都减下 a o h 设了，它为 a， 那 c o 呢？ ac 呢？ ac 更换为三十度，谁搞定了？ a h， a h 是 二倍的根化二，二倍二是它一半，二分之根化二 a 一 半呢？三十度 这个数只要占一半一半 a， 那 a o s 数两边知道了， 一边是他这个角的什么值？左边对边，一边是边边，所以这角的什么值可以取出来啊。所以正弦等于几啊？二分之根号二，所以大小四十九。好的， 那刚才我们是用这一定是吧。用三垂线法，三垂线， 斜线，垂直的摄影角，所以得到的是二面角的平面角，用三垂线法来做来。那继续我们再看。 已知 abcd 是 一个正方形， pa 跟底下垂直，并且 pa 的 长度跟 ab 一 样长。 九 p a b 跟 p c d 所成二面角的大小。 哎，这个模型叫什么？羊马是吧？ 现在这个二面角长的什么特点呢？各位 能能没刨出来是不是？但能是不存在的。我们这两个半明明是有交界的吧，有姑娘对一条交界这种的话，我们把它叫做无能二，命小啊。 第一种结话，零人怎么办？五人法是不是 怎么补这两人？这两人长得什么样？那不就是球 p c d 跟 p a b 的 交线了？ 你都知道他是养马了，那补一下，这是谁啊？从宋康里的一条人啊。为什么 我们说 p a b 交 p c d 于 l l 有 什么特点呢？ l l 是 跟谁平行，为什么 l 跟 ab 平行呢？那个点， 为什么 l 跟 ab 平行呢？过线这面找标线什么前提？所以这线是平行呢？因为 ab 平行 c 力，所以 ab 会不会平行平面 pcb， 然后呢？过线过线又 ab 再平面 pcb 中过线 做了一个面，找到谁交线，结论， a b 平行，谁来了？右 pa 垂直于底面，所以 pa 垂直谁 a b 所以 pa 垂直，谁来了， pa 又垂直来了， 那 pd 会不会垂直 l 啊？也会是吧？选 pd 也垂直 l。 所以 二面角的平面角是谁啊？啊？ a p d 什么 a p d？ 这不就是我们二角平面角， 那这个角度为几度？四十，所以这个二内角大小为补，能把能给补出来，但是大家你们发现我们补来补去补来的寂寞， 哎，你们都不要把二段就行了哈。为什么不要把二段也行啊？你要做二面小的比面小，事实上是 做一个面，做一个面跟谁谁吃，跟 l 谁吃，是吧？要做一个面，跟他交界谁吃。就是要做一个面跟这两个面都垂直， 都要做一个面，跟这两个半明面都谁吃啊？所以刚才我们有一个方法，几方法是叫什么法啊？水念法是吧？来，我们具体怎么实施， 先证谁先证平面 p a d 垂直平面 b a b， 然后平面 p a d 垂直于平面 b c d 这两个平面交于 l 则怎么样？ 这两个平面都跟他垂直，他的交界跟我这平面有什么关系？你看地板平面比，这个地板平面跟你左边的墙面，他们的交界跟我这平面有什么关系？所以我 l 跟跟谁 p a d 是 垂直的， 所以呢？ pa 会不会垂直 l p d 会不会垂直 l？ 所以呢？咱们下结论说三个角平面角对不对 啊？在这个角度是不是四十五度？搞定了没？所以五个人二面讲两招，一定要把它补出来，是不是 一定要把它补出来？第二招呢？第二招，我们找他的面的水面或者人的水面 啊，那这是我们今天啊讲的内容就是侧面讲我们常见的招数啊，第一招是地面法，第二招是全面法 啊，第三招是三权现法，对吧？第三招是三权现法。第四招呢？ 就冷的水面跟什么啊？根面的水面对吧？把它吹起来叫做什么啊？常见的是这三招，常见的是这三招。 好，那今天第二个任务，上一周大家做的一些题目，我们来点评一下吧，对了， 难受的地方在于什么？ 如果没有根号五，咱们彩笔的招数是将军一号啊，将军一号拉直的是不是折线度拉直的？ 但是这屏幕的特点是，这是一个直角三，这条边为一，这条边为谁？你看数据太吉利了。根号五根一啥意思？破 m 做他的什么线？ 你说 m 撇吧，那我这是不肯定大于等于根号五倍的谁 啊？根号五倍的 m n 撇是不是谁啊？你这不根号五比一嘛，所以根号五倍的 m n 撇就是谁啊？就是 a m 撇是不是 另外一条呢？ m a， m a 是 斜线段最小，什么叫最小？垂直的上最小，那就 m n 撇吧。 那现在就变成 a m 撇加上 m n 撇吧。 a m 加上 m n 撇等于谁啊？这恰好是不是等于 ab 的 长度啊？因为我们这边是一个什么形，所以它就是 abd 的 长度，是不是就等于杠五？ 所以呢，当然以后我们学完语言以后，根号五倍啊，经常会去找他的叫做还原点啊。还原点，因为我们语言可以看作是到两定点距离之比，是一个 定值，对吧？所以根原上点根号五倍就等于另外一段。这有一个系数的问题，我们记得以后也经常会用到这一招啊，这一招啊，当然今天我们就这样。另外一个呢？ 另外一个角度，一个根号五跟 pm 存在一起有点像。什么面面积？总面积除以二分之根号五，这面积可以分成几块？ a， b， e， m 跟谁啊？ b e， m c 是 吧？ 那这面积数等于二分之根五乘以 p m 再乘以什么高高，你把 p m 变成什么？又高来？ p m 是 大于 二分之一乘以 m a， 再乘以这个角度 r， 好 吧，除以 m n 跟 b c 的 夹角处 r， 这是贝塔吧，对吧？上面是阿尔瓦这个贝塔，阿尔瓦贝塔有戒吧，所以给他放松一下，所以起来练习。 二分之一根号是谁？这边呢？二分之一左边呢？好了吗？两边都乘以二，是不是根号就出来了？所以第二个你要想到这里面是面积，所以可以面积把它记住 啊。再来再来，一四七面一十五皮， 打一个正方形的纸片。那你翻折的问题，我们首先 把它的平面图画一下咯， 我现在要把 a b， e 绕着 a e 处翻起来， 直角三角形，绕着斜边翻起来是什么？这样是不是旋转体了？是不是旋转体了 啊？刚给同学提到出两个圆锥，那旋转体的问题要注意啥？轴的什么线？垂线？那就过 b 做 a 的 垂线 是不是垂直过来，刚好是它什么点？终点，这是二，这是一随这段为二除根号，整条根号随这段为三除根号。那你这是二根号。这边出一个三等分点 啊， f o 的 三的分点数，这个，这个 b e 是 吧？呃，这有 b b 撇啊，我就 b e 啊，看见没？那你就翻起来呢？翻起来长得怎么样？ 这是 o 是 吧？所以这翻起来以后是一个啥？是一个圆圈的底啊？那翻到背面去，是不是这边的三角形？这里啊？ 翻到底下来是不是这个？所以点 b 撇的轨迹是什么？是一个圆，并且 b 撇 b o、 m 这四个点呢？共面是不是共面的？ 因为你这边要垂直吧，延长过去下一个终点啊，所以这个 f 啊， b 啊， o 啊， b 就 空空面了。再来， b 撇在里面摄影是谁啊？ 你这个 b o b b o， b 撇这个面的里面都垂直了，所以 b 撇在底下摄影出这条线上的某个点，摄影出在线上某个点， 没毛病吧？来，这 a b c d 哪个选项需要解释一下？ 比如 c 选项好不好？ c l 会零点吗？ f 点，然后 b 撇 f 跟底面所乘角， 线面所乘角就是谁了？ b 撇 f， 谁 用 b 撇 f， 而这这些是共面呢？共面呢？我看不懂，我把平面图画出来，这是 b 啊，这是 o， 对 不对？这是 b， 这里还有一个三分之一，这点是 f 点，你是长这样子的， 然后这个连起来什么社会最大？切切的话连起来是九十度，最大的一记，二除根号最大的一记， 单独跟好友，谁的挣钱是最大啊？不是这么多事情想恨着，明白吗？要再比如说，谁知道问题呢？ b 撇 b 会跟 a e 谁生呢？那 b 撇 b 的 投影是谁啊？ b f， 那 b f 跟 a e 会谁生？那是不是斜线这里也垂直的啊？斜线都可以做出来对吧？是旋转的问题。 再来，若两条异面所成角七十度，或空前一点，跟它们都成七十度，这样直线有多少度？ 所成角？那我们是不是都可以移到一起来啊？可以吗？ 那如果我过点 p 做一条直线，跟它所成角如果相等，这条直线长的什么特点？ 这个角跟这角相等啊？那我这上面找一点 q 做正面的射影，做 o， 然后过这做垂直过来， 比如说 q e 垂直啊，这个真 q 是 吧？这是 o 啊， q e 垂直 a q e， 如果垂直 a， 那 o e 呢？垂直 a， 那 q f 垂直于 b， 那 o o f 呢？ 这两个脚相等刚才这只直角，所以左右两侧的两个三有什么关系？全等，这两段是不是相等？ 这两段对于底面来讲叫什么？叫斜线？那斜线如何相等呢？投影是不相等， 这两段相等是啥意思啊？到角的两边距离相等，所以这个点在哪里？ 所以我们现在解决了一个问题，如果过点 p， 要做一条线，跟 a b 所成角相等，那这个这条直线 l 在 这底面射影，一定是谁啊？是角平分线， 所以你看我们这个是七十度是吧？那七十度这个区域里面是不是这个叫做角平分面啊？从上到下还有呢？还有是不从下到上 只有两个区域，上面可以做，做一条，底下能做一条。还有两个平面是谁啊？钝角一百三十，一百一十度，这边是不也有啊？ 看见没？看见没？这个角度，这个最小是几度啊？三是三十五，所以跟 a、 b 三十五这样子有几条？ 是不是？有，且只有在这个面上的这条，然后四十度有几条？ 这一边是可以做一条四十度的，底下能不能穿上来一条？可以。而在这个区域里面，你是一百一甚至几度？五十五最小几度， 最小是五十五。那你要做四十度，能做的来吗？做不来对吧？做不来， 因为我们刚才为什么这个是最小的？为什么三十度最小？三十度是什么？躺着的都躺着的， 所以我这个斜的一定比躺着的来着什么大，所以最小是几度啊？三十五是最小是三十五。来回到本题， 他说要做七十度的，是不是？那你这里最小几度？三十五，所以在这个区七十可以做几条？两条这边是几度？最小几度？五十五也可以做几条。什么时候是三 条？那七十度改到几五十五，那这样子线可以做几条？什么时候两条 三十五到五十五之间是多两条三十五度的叫几条？三十度？没有，没有是吧？搞定了吗？ 因为所成角是可以进行平移的，所以你都移到一起来，变成过一点的线。
122汤老师
02:58查看AI文稿AI文稿好，同学们，咱们今天继续来看一下二面角的下一个题型，就是已知二面角大小，让我们去求一些线线角。 以这个题为例，它告诉我们 a、 b、 c 和 a、 b、 c 都是等边三角形，然后告诉我们 p、 a、 b 和 a、 b、 c 的 二面角大小为六十度，让我们去求的是 p、 d 和 a、 c 所成角的余弦值。这个题目很常规，我们只需要翻一条线就可以二面角大小，我们需要找到 ab 边的中点 连接 po， 这样会保证 po 垂直于 ab， 再连接 oc 会保证 oc 垂直于 ab， 所以 这个 po c 就是 我们的二面角平面角，所以这个地方应该是六十度，那如果 po c 是 六十度以后就会保证出来我三角形 po c 也为一个等边三角形。 那么到下一步我们要求的是线线角这个地方有一个易错点，大家一定要注意啊， p b 这个斜线的投影并不是 b o， 所以 大家不要直接用三余弦定理啊。觉得这个东西我要求的 p b o 这个考三赢值和 b a、 c 这考三赢值一求一乘就可以了。因为这个东西 p 的 投影并不是点 o， 所以 这个题我们老老实实利用平移法把 p b 找到某个面去给它平移过去，那肯定要平移到 p a、 c 这个面，我只需要连接 a p 的 中点与 o 点，就会保证 o m 是 平行且相等于二分之一 pb， 再找到 pc 的 中点 n， 就 可以保证 m n 是 平行且相等于二分之一 a c。 这样的话，我的这个 n m o 就是 我们的 线线角，那么我们要求这两个，那么我们要求这个角大小就必须还需要求出来一个边长，也就是 n o 的 长度， n o 长度也很好求，因为 p， o， c 是 个等边， n 是 中点，所以 n， o 也可以出来。 好，那我们求一下这些长度可以得到 p， o 是 等于 c o 的， 它等于二倍根号三，所以 pc 就 等于二倍根号三，所以可以得到 o， n 就是 三 o， m 的 长度是等于 m， n 的 长度， 它都等于二分之一的 p， b， 它就等于二。所以我们要求的这个 cosine 角， n， m， o， 它就是 m n 的 平方，再加上 m o 的 平方，减去 n， o 的 平方，除以二倍的 m， n， n， o 带进去求，就是负的八分之一，求出来八负的八分之一。以后大家要注意线，线角我们只规定它在 零到二分之派内，所以我们要取到它的补角，那么这样的话这个 cosine 值就为八分之一，所以这个题目选到 b 选项。
102函数魔导师
