实际问题与一次函数八下

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  实际问题与一次函数分段函数 23-4.1 #数学思维#八年级下册#中考数学

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  好，再来看实际问题与一次函数，生活当中也是有很多一次函数类型的问题，那么我们做题应该按照什么顺序呢？你要先将实际问题抽象为一次函数的问题，再把这个一次函数的解析式求出来， 结合图像就可以分析并且解决问题了。来看到这个例题，它的某玉米种子的价格为每千克的种子，那么它的价格是不变的， 如果你一次性购买超过两千克的种子，那么超过的部分他的价格就给你打六折。 他的问题是这样的，写出付款金额，关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，这个呢，书上有答案，我们就直接来看，对吧？因为他是超过两千克价格，就会有另外一种算法，所以呢， 你看他的图像在二之前和二之后是不是长得不一样啊？对不对？好，那么怎么去画这个图像，怎么去算这个解析式呢？那么这个直接从实际问题出发， 前面的两千克对不对？每千克四十元，你现在把这个数量，咱们把它当做 x， 把它的价格当做 y， 对 吧？那么总价格就等于数量乘以单价就是四十乘上 x， 所以 在两千克之前就是 y 等于四十 x， 那写出来了，对吧？注意他的 x 取值范围必须是零到二之间，那么如果说超过两千克呢？怎么算呢？哎，前两千克你超过了两千克，那么前面的两千克你还是按四十块钱每千克去算的， 那超过的部分呢？我们把这个数量当做 x， 超过两千克的部分，你就用这个数量减去两千克，那么 x 减二就是超过两千克的部分，然后超过两千克的部分干嘛呢？单价打六折，四十块钱打六折多少钱呢？ 是不是二十四块钱，所以超过的部分按二十四块钱去算，那么他这个式子就可以写成， y 等于四十乘二，加上二十四乘上 x 减二，对不对？这个二十四怎么来的呢？我们这里写一下，二十四就是四十块钱打六折 等于二十四元，这个二十四元是这么算出来的，对吧？然后你再把这个解析式化简一下， y 等于四十乘上二，加上二十四，乘上 x 减二，那么 y 就 等于八十加上二十四， x 减去四十八，那么这个 y 就 等于二十四， x 加上八十减四十八等于三十二，跟我们书上写的是一样的， 那么你可以分类讨论，那么书上的话，他这里是分类讨论的，去写这两个解析式，那么我们也可以写成分段函数的形式。那么像这里你把这两个结果写在一块，这个就叫分段函数。 分哪两段呢？是 x 在 零到二之间和 x 大 于二的时候，分这两段去写，知道吗？可以写成这种形式，但是注意一定要把它的什么取值范围写清楚，然后第二问他说，如果一次性购买四千克的玉米种子需要付多少钱？ 那么四千克有没有超过两千克呀？超过了，超过了两千克呢？我们就选择第二种方案，那么第二种方案的话，你就把这个 y 带进去， 那么 x 换成四，那么就是等于二十四乘上四，加上三十二，等于一百二十八元，所以一次性买四千克种子就需要付一百二十八元，就是这个意思。 好了，那么他这里呢，其实还叫我们画图像呢，图像我们没算，对不对？他是直接给我们画出来了，那我们怎么办呢？我们就画这个图像的话，你就 把它当做 x 等于零的时候啊，和 x 怎么样？等于二的时候，这里正好是它的两个端点嘛，对不对？好，我们算一下，这里也写一下，好吧，我们把它计算写出来，好，这里我把它擦掉啊， 这个 y 等于四十 x， x 小 于等于二大于等于零的，对不对？我们这里当 x 等于零，那么这个 y 也等于零，所以就会过零零这个点，然后当这个 x 等于二的时候， y 就 等于四乘二等于八十，所以它就会过 这个二八十这个点。那你看一下，他这里画出来两个点，是不是？第一个点就是零零，第二个点就是二八十啊，对不对？好，那么在第二段的话，你要去画，那么就要画大于二的部分，那大于二的部分的话，那你就让 x 等于二和 x 等于啊， x 等于三和四， 那么就写这个等于二十四， x 加上三十二，那么当这个 x 等于三的时候，那么这个 y 呢？就等于二十四乘上三，就加上三十二，二十四乘三等于七十二，再多写一步啊， 就等于七十二，加上三十二，它就等于一百零四，所以它就会过三一百零四这个点，然后当这个 x 等于四的时候， 他这里给我们算了，对不对？当 x 等于四的时候，这个 y 是 等于一百二十八的，所以他就会过四一百二十八这个点，那么这里呢，他是没有给我们把点画出来的，我们可以自己写一下，比如说这个三往上，对对齐之后 画一下虚线啊， 好，那么我们画出来的这个点，它就是三，一百零四啊，一百零四，然后的话还有四，假如说这里有个四，咱们也是往它往上对， 它的焦点呢？是超过了书上画的这个图的，那么这个点的坐标就是四，一百二十八，对吧？你把这两个点连接起来， 和这个点正好有交点，那么就把图像画出来了，当然你也可以把它的临界点算出来，虽然它这里说 x 要大于二，但是你可以把 x 等于二的时候带进去算一下，知道吧？ 画图的话呢，书上就是没有给这个过程，我就把这个过程补了一下，好吧，其他的都是 ok 的 啊，大家可以自己整体看一下， 再来看练习。第一个，一个实验室在零点到两点之间要保持二十摄氏度的恒温， 在两点到四点要匀速升温，并且是每小时升高五摄氏度， 写出实验室温度 t 关于时间小 t 的 函数解析式，并且画出函数图像，那么根据实际情况来算一下它的解析式。 首先第一个是零点到两点之间温度要保持在二十摄氏度，它是不变的，知道吗？所以我们这里有题可知， 这个 x 小 于等于二大于等于零的时候，对不对？ 这里用 t 啊，这里用 t， 时间是小 t 啊，这个 t 在 大于等于零和小于等于二的时候，那么他要保持二十摄氏度的恒温，那么这个温度 t 温度大， t 就 要等于 二十不变，知道吗？啊？这里我们写当 t 大 于等于零，小于等于二的时候，这个 t 等于二十是不变的，那么下面一个时间段就是两小时到四小时之间，那么当 时间大于等于二，小于等于四的时候，因为前面我们取了等号，我们后面这个二我们就不取等号了， 前面这个二我们取了等号，后面这个二我们就不取等号了。好吧，那么原本就是二十摄氏度的恒温，然后每小时上升五摄氏度，时间是 t 对 不对？好，那我们就用这个时间 t， 它就是本来有二十摄氏度的，然后 每小时上升五摄氏度，但是你不要直接乘 t， 为什么呢？因为前两个小时它是不升温的，所以你要乘上 t 减二，然后再化减，这个 t 就 等于二十，加上五， t 减去十， 那么 t 就 会等于五， t 加上十。好了，那我们就可以把这个写成分段函数的形式， t 就 等于二十，这个 t 是 在 二到零之间的时候，然后呢，第二段是五， t 加上十，这个时候 t 是 小于等于四，大于二的就 ok 了。好，这就是写成分段函数的形式，然后并且画出图像吗？他叫我们画出图像，对不对？那我们就算一下， 当 t 等于几的时候，算一下，当一等于零的时候，这大 t 等于二十，在这里算吧。 当 t 等于零的时候，这个大 t 等于二十，然后当 t 等于二的时候，大 t 也等于二十，当这个 t 等于三的时候， 这个 t 就 用第二段了，就是五乘三加十等于二十五，然后当这个 t 等于四的时候，大 t 就 等于五乘四加十，就等于三十摄氏度，那么这里对应的就是过 零二十这个点，二二十这个点，然后三二十五这个点，四三十这个点。现在来画图像， x， 哦，不是 x， 哦，是小题，大题，小题单位是时间大题的问，这个单位是奢侈度啊，这里是零，我们就写四个小时， 一二三四，然后这里呢是二十摄氏度，这里是十摄氏度，二十摄氏度， 这里还有一个三十摄氏度，中间卡一个二十五就可以了。好了，我们瞄点，首先是零二十这个点就是零二十，再看二二十，那么二二十就在这个位置，然后三二十五， 四三十 四个点描起来了，再把它连起来， 到这儿往上走。好，完事了。那前面这一段就是 t 等于二十的时候，后面这一段就是 t 等于五， t 加十的时候，那图像就给我们画出来了，那么这道题就搞定了。 再看第二个，某市出租车的收费方式是路程不超过三千米的，收费九元，超过三千米的部分呢，它就每千米收两元，即乘客乘坐出租车的路程为 x， 这个 x 呢会大于三千米， 并且乘车费用设为 y 元，叫我们求 y。 关于 x 的 函数解析式，我们先看第一个，这里也是一个分段函数，对不对？分 x 在 三之前，一个是 x 在 三之后，对吧？我们就写，当 x 小 于等于三，大于等于零的时候，就是不超过三千米的时候，对吧？那么这个固定收九块钱， y 就 等于五九。然后第二个，当 x 大 于三的时候，它的收费 前九块钱是不变的，这个九块钱是稳收的。然后超过三千米的部分呢，怎么表示呢？超过三千米的部分，你就用 x 减去三千米，这个时候每千米收两块钱， 乘上二，咱们化解一下， y 就 等于九加二， x 减六， y 就 等于二 x 加三，所以我们再把它写成分段函数的形式， y 就 等于 九，然后二 x 加三。第一段取的范围是 x 小 于等于三，大于等于零。第二段 是 x 大 于三的时候。好了，分段函数解析式咱们就写出来了。第二个，他说若有一位乘客付了二十三块钱的乘车费，那么他的乘车路程是多少？那就反过来去求了，对不对？就是当这个费用是二十三元的时候， 这个解析是用哪个呀？那肯定用这一个，因为二十三块钱是不是大于九块钱的，对不对？好，因为 二十三块钱大于九块钱，所以采取第二段，就是 y 等于二 x 加三的这个式子，把这个 y 替换掉，替换成二十三等于二十三。负二 x 等于负二十 x 就 等于负二十，除以负二 x 就 等于十，所以它的乘车路程为十千米 就 ok 了。

  365毕老师细讲数学
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  八下教材精讲：23.4实际问题与一次函数 #八年级数学下册#教材精讲#实际问题与一次函数

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  今天咱们接着昨天的来看啊，昨天咱们讲的是一次函数与方程与不等式之间的关系，今天来看实际问题与一次函数 这一小节难度可能会比较大一点啊，慢慢来看。首先在实际生活中啊，很多问题的变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，这个我们之前就说过了， 在运用一次函数解决问题的时候，我们第一步先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图像和性质分析并且解决问题啊，咱们来看第一个啊， 某玉米种子的价格为四十元每千克，若一次购买不超过两千克的种子，价格不变，超过的部分我们打六折。 首先第一问是写出付款金额关于购买量的函数解析式，并且画出函数图像，咱们来解决第一问啊， 咱们首先知道付款的金额与种子的价格有关，而种子的价格不是固定不变的，它又和购买量有关。所以说我们第一步先要意识到，这个函数并不全程是同一个一次函数，它是分两段的， 他在前半段，也就是 x 在 零到二之间的时候，他在购买不超过两千克的种子的这一块，他是满足于一个一次函数了，在比二大的时候，他又是满足另一个一次函数了。所以说咱们来看看怎么写啊。 首先设购买量为 x 千克，付款金额为万元。然后接着来看，当这个 x 在 零到二之间的时候，种子的价格是不变的，是四十元每千克，它的函数解析式就是 y 等于四十 x， 当自变量 x 值大于二的时候，购买的种子中有两千克的部分，咱们是按四十元每千克计算的，其他的部分也就是说我们总共是 x， x 减二千克就是超过两千克的部分，咱们是按照打六折，六折就是四十乘零点六 等于二十四，所以说超出两千克的部分，咱们按二十四元每千克计算。 所以说呢， y 等于这个八十啊，是两千克，按四十元计算的，也就是二乘四十，再加上后面那一部分是二十四元每千克，二十四元乘以对应的这个千克数，二十四乘以 x 减二，整理完之后就是二十四 x 加三十二。 函数图像我们照常来画啊，一个是在零到二区间内的画，取两个点一画，还有一个就是在 x 大 于二的时候继续来画，画出这个样子。这是我们的第一问，写出函数解析式和函数图像。 第二个我们说一次购买四千克的玉米种子需要付款多少元，因为我们知道这个四千克种子比二大，所以说他满足的函数解析式是第二个，也就是说 y 等于二十四， x 加上三十二， 满足他这一块的函数解析式就是说咱们把 x 等于四带入到我们这个解析式之中， x 带四，二十四乘四加三十二等于一百二十八， 这样子的话，我们就表示出来了，一次购买四千克的种子需要付款一百二十八元，其中呢，黄筐部分一定要注意啊，我们一般来说啊，函数解析是用这样来表示，这样的话就可以表示在整个自变量 x 取值范围内 它的两段区间了。首先我们知道自变量 x 取值范围 x 肯定大于等于零啊， x 所对应的值是购买量嘛，购买量肯定是大于等于零的，这么表示的话就可以比较方便，一眼就能看出来了。接下来我们来看一下练习题啊。 说了一个实验室啊，在零点到两点之间呢，保持的是二十摄氏度的恒温，在两点到四点的过程中呢，匀速升温，每小时呢，升高五摄氏度，要写出函数的解析式，并且画图。 首先咱们把函数解析式写出来就可以了。首先我们知道这个时间 t 是 自变量，先把时间 t 的 取值范围写出来， 我们不就是在零到两小时之间，还有二到四小时之间，咱们只管这两部分就行了。所以说 t 的 取值范围一定是小于等于四大于等于零的，因为我们就是看 t 在 四个小时之内发生的温度 t 的 事。 那么写出函数解析式 t 的 在前两个小时的时候，也就是在 t 小 于等于二大于等于零的时候，这不就是零点到两点前两个小时吗？它保持的是恒温，所以说永远是二十 t 在 二到四小时之间匀速升温，所以说那 t 在 二到四之间的时候，是在二十摄氏度的情况下升温，加上五倍的 t 减二， 因为是升了吗？应该是这个问题是升了，应该是加，所以说二十呢，加上五 t 减去二五一十，所以说应该是十下五 t， 这样就对了，为了写的方便，咱们把五 t 放在前面，所以说就写成这个五 t 加十就行了。 这个注意好，它是升文，所以说不能是减函数。解析式就是这个样子的，横坐标是自，变量是 t， 纵坐标是这个函数值是大。 t 在零到二区间内，这是二，一直都是维持着二十就行了。在二到四之间，他此时的区间是多少呀？ t 取二的时候带进去五乘二加上十等于二十，他在二的这一刹那，他也是这个。二十是在这块，但是在四的这一块呢？把 t 等于四，带进去五乘四加上十 四五二十放一块就是三十了。所以说在 t 等于四的时候，他所对应的坐标是三十一点就可以了。 所以说，咱们图像应该是这样画的啊，具体过程是这一块，我画具体写到书上的过程，写这一块就可以了啊，就是画圆圈的这一部分。好，这是我们的第一题，我们接着往后看啊， 看底下的第二题。某市出租车的收收费方式是，路程不超过三千米，咱们收九块钱，超过三千米，每步每千米收两元。 我们把这个乘坐出租车的路程为 x 千米，乘车费为外元，写 y。 关于 x 解析式，首先啊，我们在外等于九， 此时呢，等于九的时候， x 是 三大于等于零的，因为在零到九千，因为在零到九千，因为在零到三千米的这一块内，永远都是收费九块钱。那三千米之外呢？ x 大 于三的过程中，我们写在这里啊， 超过三千米的每部分，超过三千米的部分，就是每千米收两块钱，那就是九加上两元乘以超过的部分，超过的部分是多少呢？我统共走了 x 千米，再把最开始的三千米减去就行了，你得化解 九加上二 x 减六，那也就是说是二 x 加三，这才是我们的函数解析式啊。 第二本说了，如果说有一位乘客，他支付了二十三元乘车费，我们第一步知道二十三元乘车费，他比九块钱大，所以说意味着 x 的 取值范围 x 一定大于三， 因为乘车费是外元嘛。 y 等于二十三，带入 y 等于二， x 加三之中， y 带二十三等于二， x 加上三，那反过来二 x 就 等于二十了， x 等于十，那么它乘车的路程就是十千米。 做一件事情有时有不同的实施方案，从中选择最佳的方案是十分必要的。在选择这个方案的过程中啊，从数学的角度进行分析，其中我们只要发现到它涉及到变量的问题了，我们就可以用函数来解决了啊。 接下来我们来看贪求一这个问题比较有意思啊。这个表格中啊，给出了三家游泳馆 abc 的 三种年卡的套餐收费标准。先看看这个年卡，首先年卡费用，就是说你上这家游泳馆，进门就开卡，开卡 a 是 六百块钱， b 是 一千二百块钱， c 一 千八百块钱。我们开年卡有什么用呢？是可以在一定的游泳次数之内免费。 像 a a 年卡，他在他一年之内就游了二十次泳，他不用再额外花钱，但是他如果游了二十一次游泳，他多花的那一次，我们就得要他四十块钱。 b b 年卡套餐呢，他是一千二百块钱，他前五十次游泳免费， 就是包含在这个年卡费用，一次咱们收四十块钱。 如果是 c 年卡的套餐标准，那么你就不限次游泳，游多少次就收你一千八了。 从我们这个分析中就可以看到啊，在在套餐 a、 b 之中啊，游泳费用与年游泳的次数有关。在套餐 c 中啊，游泳费用与年游泳的次数无关，因为多少次它都是一千八百块钱的， 所以说我们设年游泳的次数为 x 次，则套餐 a、 b 的 费用为外一外二，它都是关于 x 的 函数比较，它们就需要在 x 大 于零的条件下进行比较，考虑何时外一等于外二，外一小于外二，外一大于外二。我们要利用函数解析式，通过方程不等式或者函数图像来解决下面的问题。 我们再用其中省钱的套餐和套餐 c 进行比较，就可以对年卡套餐做出选择了。我们看啊，在套餐 a 中啊，我们说年卡是六百块钱免费二十次， 多的次数是四十元一次啊，这是 a 年卡套餐的收费标准。那咱们就说了， x 代表的是游泳次数，所以说 x 在 零次到二十次之间，咱们都说了不额外花钱，它就是六百块钱， 多的部分就是四十元一次，多了几次呢？拿我实际的用次数减去二十就可以了，这是在 x 大 于二十的情况下， 通过化解我们就可以得到这样的外因。依然是画图，画出来一个分段函数。好，这样我们就把套三 a 的 函数解析式和图都画出来了。 接下来往后看类似的，我们可以刻画套餐 bc 的 游泳费用 y 二和 y 三。关于年游泳次数 x 的 解析式，我们来回忆一下，套餐 b 是 一千二百块钱的年卡，费用是前五十次是不额外花钱的，五十次以上的是四十元一次， 所以说我们就知道前五十次他不额外花钱，所以说就是一千二百块钱。 x 在 零到五十次之间，那多余五十次呢？就是在一千二百的基础上，加上四十块钱一次是多的部分，就是总量减去五十就行了，我们得对他进行化减， 就是一千二百加上四十 x 再减去四五二十两千等于四十， x 减去八百，对应的数值范围是 x 大 于五十。 y 三呢，不就说了吗？年卡费用是一千八百块钱，不再发生变化了，所以说 y 三就等于一千八。那我们接着来比一下啊，在图中画出 y 二 y 三的函数图像，结合函数图像与解析式， 看一看在多少的时候可以节省游泳费用啊。在这幅图中，我们得把 y 二和 y 三画出来。我们知道啊， y 三比较好画， y 三一直就是一千八百块钱，所以说在上面找一个数，大致找一下，我假设这是一千八百， 所以说 y 三就是一条直线，那这个 y 二呢？ y 二的函数图像长这个样等于一千二，它所对应的是 x 小 于等于五十，大于等于零。 还有就是四十 x 减八百，所对应的值是 x 大 于五十。好找一找啊，先把五十找到，这是四十往这边走， 这个点大概是五十在前五十次的时候，永远是一千二百块钱，一千二我在这个位置吧，一千二在一千二之后，他就是四十， x 减八百了。咱们 x 取六十和取七十的时候找一下就行了。 如果 x 取六十的话， y 二等于四十乘以六十，减去八百，四十乘以六十是两千， 四百块钱减去八百等于一千六。 x 等于七十的时候， y 二等于四十乘以七十，减去八百 四千二十八，两千八百减去八百等于两千，这时候找到了 x 等于六十，在这是六十。 y 三， y 二所对应的值就是一千六，一千六就在这个位置，所以说往上走这个地方是一千六。 x 等于七十， 七十之后就已经过两千了，得在这个位置了，所以说还得接着往上画这么一画，我们把这个外衣进行延长好，通过这个图我们就可以看出他们在多少的区间内，谁是最便宜的了啊。 首先我们知道啊，在零到二十次之内，在这块的区间内，我换个颜色啊，在零到二十之内，我们可以很明显的发现外衣是最便宜的， 那也就是说在 x 小 于等于二十，大于等于零的时候，套三 a 是 最便宜的，因为套三 a 在 最底下吗？接下来看我们看套三 b 在 什么时候最少啊？ 套三 b 是 我们这个 y 二， y 二在哪一块？其实就是在这一块，这块是最少的，那它所对应的值，它所对应的值不就是这一块吗？ 这块的值是多少呢？我们会发现啊，这个是套餐 b 与这个，这个焦点和这个焦点之间，咱们就得算算，也就是说 y a 和 y b 的 时候什么时候相等就可以了啊。 y a 等于 y b， 我 们知道 y a 等于多少，此时 y a 是 在这个位置，我们也不知道是多少， y a 就是 y 一， 也就是四十， x 减二百， y b 是 多少， 在这个位置他们还是直线的这一部分，所以说就是一千二，具体的值就是四十， x 等于一千四百四， x 等于多少？ 二四三，四十二就是二十三十五， x 等于三十五， 所以说他们是在三十五的这个地方发生重合的。大概不其实画的也还可以吧，没有歪太多三十五吧。 这段的时候，我们是套餐 b 最便宜，这一块的范围就是 x 在 二十到三十五之间，在多少的时候，套餐 c 就 最便宜了，也就是在多少的时候，这两个都超过套餐 c 了，也就是说在这一块 这块之后，他们两个不就都比套餐 c 高了吗？所以说套餐 c 此时是最便宜的，那么就找这个点，这个点其实就是 y 二和 y 三的交点，咱们想想， y 二此时带哪个点呢？ y 二，我们带这个函数，四十 x 减八百， y b 等于 y， c 四十 x 减八百，等于套餐 c 的 价格，套餐 c 永远是一千八，四十 x 等于一千八加八百，那就是两千六， 两千六的话，那 x 就 等于四， x 等于二百六十， x 就 等于四六二十四，还剩二十六十五啊。所以说当 x 大 于六十五的时候，套餐 c 最便宜啊，这样我们就做出来了， 接下来我们来看一下练习题啊，这道题，一家公司要印制产品宣传材料，假厂的收费方案是收一千五百块钱的质版费，每份材料再收一块钱的印制费。 乙印刷厂材料就是一份材料两块五。那咱们写出解析式呗，先写甲厂，再写乙厂，甲厂是在 y 等于一千五百块钱的基础上，每一份收一块，那就是一千五加 x。 为了写的方便，咱们把 x 放到前面，就是 x 加一千五乙的 y 是 等于多少？不收制版费，一份就是两块五。二点五 x， 这是他们的函数解析式。第二本问哪张印刷厂比较合算？咱们就想想他们什么时候是，那我们就得想想这两家印刷厂什么时候相等呗。那就是外加等于外乙，什么时候相等， 那就是 x 加上一千五百等于二点五 x， 那 么把这个挪过来就是一点五 x 等于一千五百，那算完之后 x 很 简单， x 等于一千，所以说在一千的时候，这两家店是一样合算的啊。再算算外甲比外乙大的时候，谁更贵啊？ 那外甲带 x 加上一千五大于外乙就是二点五 x， 把这个 x 挪过来就是一点五 x 小 于一千五百， 算完之后是 x 小 于一千。第三种情况就是外乙贵的时候，外甲小于外乙，那 x 加上一千五小于二点五 x， 反过来一点五 x， 它就是大于一千五的了。那么 x 大 于一千，我们再写一个大话 综上，当这个份数材料的份数小于一千时，谁最便宜？一场选一场材料份数大于一千时，大于一千时，谁最便宜？假场最便宜， 选假印刷厂。当材料份数等于一千时，就是刚好一千的时候，选两家印刷厂都一样，这是我们探牛一啊，我们接着来看探牛二，可能更麻烦一点了。 有一家学校计划在总费用不超过两千三百块钱的情况下，租用客车送这个二百三十四名学生和六名教师集体外出活动。已知每辆轿车上我们得有一名教师，现在有啊，两辆大客车，现在有甲乙两种大客车，他们的载客量和租金向这个表中所示。 第一问问我们共需租多少辆客车。第二问给出最节省费用的租车方案。我们要注意这么两个要求啊，第一个，二百四十名师生都有座位，所以说我的载客总数不能小于二百四， 还得保证。这不说了吗？每辆客车上至少有一名教师，就是这两个点，我们需要注意。那么我们想想啊，我们甲乙两辆车是这样的，我写到这里啊，方便后面做乙， 上面是他们的载客量和租金。一种情况，我们要保证二百四十名人都得有座位， 那么我们就想想怎么做呢？客车总数总不能少于多少，还得满足。第二个应该好说，每辆客车上至少有一名教师，有一名教师就客车总数我不能大于六，因为只要比六多了，那那人不就要比六多了， 那教师就不够分了。第一个我得做够二百四十名教师，那就想想最少最少的情况呗。如果我们全租这种假客车，就是四十五人一辆的，我们全租假客车，这种四十五人一辆的，得租多少辆才能到？二百四 就是二百四十，我得除以，除以。四十五应该上五吧，五五二十五，四五二十 二十二，二百二十五，还余几辆。所以说我客车总数肯定不能少于六辆，因为我就算全租这种载客量多的，这种假车我也得五辆多，所以说客车总数不能小于六辆，客车总数还不能大于六辆， 那不能小于，也不能大于，那我们就可以知道客车总数肯定就是六，所以说这是我们的第一问，就可以根据他的条件满足一些性质啊。 客车总数为六了，那么我们就可以说租车费用和所租车的种类有关。可以看出当客车的总数 a 确定，这个 a 不 就为六了吗？在满足各项前提的情况下，我们尽可能的多租以车，因为以车一辆车才二百八十块钱，假车一辆车四百块钱，以车更便宜， 就是尽量减少租用假种客车可以节省费用。那我们设如果说我们设租了 x 辆假种客车，租车费用为 y 是 x 的 函数，那么那么我们就可以写 y 等于四百 x， 这个是租假客车花的钱，加上二百八十乘以 a 减 x， a 就是 客车总数。我们在这里写的不是六吗？ 把这个确定的 a 的 值六带入上市，可以化解这个函数，那就是四百 x 加上二百八十乘以六减 x 进行计算， 算完之后呢，等于四百 x 加上二百八十乘六，二百八十乘六是 零六八，四十八进四二六十二十二加四幺六八零，再减去二百八十 x 啊，这就好算了， y 等于一百二十 x， 加上一千六百八十。后面来看啊，为了使二百名师生乘车都有座位， x 值不能小于多少。 我们首先知道 x 是 什么， x 是 假种客车的含假种客车的量数，如果使它都有座位，那么我的这个 x 就 得把 x 带进去呗。先算人数， 假种客车租了是 x 量，四十五乘 x 是 所有的假种客车可以载的人数，再加上一种客车，不就是一辆载三十多少辆呢？六减 x 量，这个数他必须得比二百四十大， 这样就可以保证二百四十名师生都有座位吗？四十五 x 加上三十乘六是一百八十，再减去三十 x 大 于等于二百四十 四十五， x 减三十 x 等于十五， x 大 于等于，咱们拿二百四减去一百八等于六十，那 x 就是 大于等于四，所以说 x 值它不能小于四， 这样就把这个失声的问题解决了。租车的费用不能超过两千三，那我们的租车费用就是一百二十 x 加上幺六八零，他肯定得比两千三小，那就小于等于两千三百块钱。 所以说一百二十 x 就 小于等于两千三，减去幺六八零等于六百二， x 小 于等于一百二十分之六百二十，咱们还得对这个数进行化减，那就是十二分之六十二， 上下约约二吧，那就是六分之三十一，六分之三十一，咱们化成代分数等于五又六分之一， x 小 于等于五又六分之一，咱们 x 不 能取一个小数啊，所以说 x 的 数就不能超过五了。五离五又六分之一最近吧。 所以说我们可以知道， x 他 得比四大，还不能超过五，那 x 值肯定就是四或五了。 不能小于四，就是 x 大 于等于四，而且 x 还得小于等于五，那 x 只能等于四或五。那我们接下来往后看， 考虑到上面问题，可以得出几种不同的租车方案，为了解决费用，应该那个选其中的哪种方案，并且说明理由，那咱们就想想吧。假车呀，是 x x， 如果假车取四的话，乙车只能选二， 假车如果取五的话，乙车只能取一，因为两种车的数量总和它是六啊，咱们就来算算就行了。 假车是四，那把 x 等于四，带入到 y 等于一百二十， x 加一千六百八十里面，那就是一百二十乘四，加上幺六八零，算完得数是两千一百六十，把 x 等于五，再带入到这个式子里，就是一百二十乘以五，再加上幺六八零， 得数是两千二百八十，这俩哪个便宜？肯定是第一种便宜，所以我们选四辆甲种客车，两辆乙种客车。好，这样我们就把这道题搞定了。接下来我们看啊微纳中的内容， 解决含有多个变量的问题时啊，可以分析这些变量之间的关系，从中选取出一个取值可以影响到其他变量，取值的变量作为自变量，再根据问题的条件去找函数，找到自变量和函数，就可以解决这个问题了。那么我们来看下一个题啊，再来应用一下 一家文具店呢，进了 ab 两种型号的计算器，咱们进行销售，进价和售价如下表所示， 说了为了满足市，说了为了满足市场需求，我们资金量不能超过两千块钱， 然后计算器的总数是一百块钱，如果说采购的计算机能够全部售出，得给出利润最大的进货方案，并且找出最大的利润是多少。咱们按照咱们刚才那个规划中的内容，先找出他的自变量，再找出他的函数值。 首先我们已知自变量肯定是要么我设这个型号 a 计算器的数量，要么就设 呃型号 b 这种计算器的数量，就来设一设呗，咱们设这 a 型号计算器吧， a 型号计算器 x 台， b 型号的计算器一定是一百减 x 台，因为我总共就是一百台嘛， 函数值肯定就是总利润了，我们把总利润也顺手射出来啊，我们射为外元，我们根据这个来列式子，用的资金总量不超过两千块钱，我们来算 x 的 取值范围啊。 第一个就是算进价， a 型号是进价二十二块钱一台，进了多少台呢？进了 x 台， b 型号是十九块钱一台，十九乘以乘以一百减 x， 它的值不能超过两千块钱，所以说就小于等于两千就可以了。 简单计算一下啊，二十二 x 加上一千九减去十九， x 小 于等于两千，那就是三， x 小 于等于三千九， x 小 于等于啊，不是三，不是三千九，两千减去一千九得一百三， x 小 于等于一百，那 x 就 得小于等于三分之一百。三分之一百，他是约等于三十三点三三三三循环的。 因为计算机的台数，所以说 x 为正整数，计算机肯定没有零点几台，那么我们就可以知道这个 x 的 取值范围啊，一定是小于等于三十三，得比三十三小，还得比零大，且 x 为正整数，那么我们就可以设了。 根据这个总利润 y， 我 们得把这个利润所对应的一次函数列出来。利润 y 等于 k， x 加 b， 所以 说我们再想想啊， x 的 取值范围写出来了， 我们得把这个利润求出来，那 x 就是 a， 一 百减 x 是 对应的计算器 b， 咱们表示出来呗， y 等于利润， a 型号机器的利润是三十二减去二十二乘以 a 型号的机器，再加上 b 型号的利润是二十五，减去十九乘以 b 型号的台数就是一百减去 x， 咱们来计算就行了。 y 就 等于十 x 加上二十五减十九，等于六六倍的一百减 x， 那 就是十 x 加上六百减去六 x， 得数是四， x 加上六百，找他的最大值， 那就是 x 最大，那这个值就最大呗。 x 最大值我们取的是三十三的，所以说加 x 等于三十三代入就行了， 那么 y 就 等于四乘以三十三，再加上六百，看看得数是多少。四乘三十三，三四十二，进一三四十二，十二加一十三，再加上六百等于七百三十二啊！ 所以说利润最大的进货方案就是进三十三台，全进这个 a 型号机器，进三十三台。 a 型号机器 最大的利润咱们也算出来了，是七百三十二块钱啊，这是我们的这道练习题，接下来往后看啊， 是夫妻巩固。已知某公司销售人员的个人月收入和每月的销售量是成的一次函数的关系，当销售出一百件货品的时候，月收入为两千八， 二百件货品的时候月收入为三千四啊。问那个收入为四千六百块钱的时候，售出的商品货商品为多少件？咱们可以很简单的看出来啊，因为我们可以找到他们乘的是一次函数的关系，所以说我们就可以找到他的自变量和函数值， 说售出商品的数量不同，他的月收入不同，所以说他们的这个自变量和函数值就可以找到 自变量是每月的销售量，所以说我们把销售量设为 x， 函数值就是月收入，月收入是后边的，所以说设为 y， 接下来我们把 y 关于 x 的 一次函数的关系式写出来，然后根据关系式就可以取得。当 y 为四千六百的时候，售出的货品，也就是 x 值为多少， 那把 y 等于 k， x 加 b 射出来，注意啊，其中 k 不 等于零，然后发现它过两个点，一个是 x， 取一百的时候， y 是 两千八，所以说过一百逗两千八这个点，还过二百逗三千四。来看啊， 要把这个 k 和 b 解出来，分别把两个点带进去吧，就是两千八，它等于一百 k 加 b， 三千四，它等于二百 k 加 b。 是 这个样，试着求解一下这个，想想啊， 这是一式，这是二式，咱们直接拿二式减一式应该就可以了啊。二式减一式，那等式的左边就是三千四减两千八等于六百。等式的右面呢？二百 k 加 b 减去一百 k 加 b， 那 b 跟 b 就 消没了。二百 k 减去一百 k， 还剩一百 k， 那 k 等于六，这个是能算出来的。把 k 等于六带入到任意一个式子，像我们带一式中吧，那就是两千八 等于一百乘六，那就是六百加 b， 那 简单， b 等于两千二， k 等于六， b 等于两千二，那我们就可以把这个函数解析式写出来， y 等于六 k 加上两千二。说了，月收入为四千六，再把 y 等于四千六带进去，四千六百等于六 k， 不是 k 六 x 六 x 就 等于两千四百 x 就 等于四六二十四， x 等于四百行售出货品为四百件，这是我们的夫妻巩固的第一题。接下来我们来看这个第二题。 说呀，某品牌服装开展促销活动，原价为八折优惠。 问，这个付款 y 和 x 的 解函数解析式？读完题之后啊，让我们求解这个 y 与所购服装数 x 之间的函数解析式。我们发现这个 x 是 大于三的时候，所以说我们就不考虑 x 小 于三的时候了，也就说不考虑原价购买的时候， 那么 y 就 等于他一定买了大于三件，那少于三件的部分呢，就是三乘八十加上大于三件的部分，那就是 x 减去三再乘以八折优惠嘛。一件是八十，再乘以八折乘以零点八，算出来就可以了啊。 三八二十四，二百四十加上八十乘零点八，那就是六十四， x 加三六十四乘以括号 x 减三，然后就是二百四十加上六十四， x 减去三乘六十四，三四十二减一 三六十八十九啊，算出得数是六十四， x 加上四十八，注意这个 x 取值范围啊，是 x 大 于三。搞定！ 接下来我们来看第三题，说某一家网店卖一款护眼台灯，发现如果说他单价为六十的时候，每星期卖一百个，如果调整单价，每降一块钱就可以多卖两个，那么他们决定降价销售。给出了自变量 x 和函数之外，写出外关于 x 的 解析式。 y 就 等于原来每星期卖一百个，现在呢，我降价了，每降价一块钱就可以多卖两个，所以说加上二乘以我降价了多少钱就行了。我降了多少钱，那不就是原价的六十减去我现价， 就是我降价多少钱。我们解这个，然后把这个函数解析式化简一下就行了。一百加上二乘六十是一百二十减去二 x， 那 就是二百二十减去二 x， 这是我们的函数解析式。说了单价为五十二块钱，那把 x 等于五十二代入就行了。 y 呢，等于二百二十减去二乘以五十二，二乘五十二是一百零四，算出得数就是一百一十六吧。二百二十减去一百零四等于一百一十六。好， 此时没完，这是一百一十六，是算的我们的销售量外格，他问的是销售总额，统共销售了一百一十六个，每一个的价钱是五十二块钱，这样一百一十六乘以五十二才是我们的销售总额，得数是六千零三十二块钱。 再写一个答话就行了，补一下答话就 ok 了。接下来我们来看第四题啊，说是为了鼓励居民节约用电，某市实施阶梯电价的方案， 当用电的数量在二百四不超过二百四十千瓦的时候，按照这个四毛五来收费。当用电费用超过二百四十千瓦时的时候，超过的部分按五毛五收费。 然后写出外关于 x 的 解析式，因为它是阶梯收费嘛，所以说当这个 x 在 二百四十以下的时候，小于等于二百四十，大于等于零的时候，它是四毛五，那零点四五 x 就 行了。 那多的那一部分呢？多的部分按五毛五收费，那肯定就是够了这个二百四十了。所以说零点四五乘二百四十，这是它在那之下的， 那再加上这个二百四十往后的部分，他是零点五五乘以往后的部分，咱们就拿 x 减去二百四十就行了。 这个化简完之后直接写就行了。零点五五 x 减去二十四，这个应该好化简啊，注意他此时 x 的 取值范围是 x 大 于二百四十啊，是这个样子的， 这是 y 关于 x 的 解析式，为了美观一点，咱们写到这里啊，等于零点四五 x， 其中的 x 小 于等于二百四十，大于等于零。 还有另一部分是零点五五， x 减去二十四， x 是 大于二百四十。行看第二个啊，说这个家庭的电费为一百四十一块钱，问这个月的用电量是多少？咱们先算算在第一种情况下的时候，他最多最多花多少钱，不就是 x 选二百四的时候吗？ 零点四五乘二十四等于一百零八，我们发现这个一百四十一啊，是比一百零八大的，那么我们就可以说明此时这个月的用电量一定是比二百四十大的。 所以说呢，我们把 y 等于一百四十一带入到底下的那个式子，就是 y 等于零点五五， x 减去二十四之中， 算出来一百四十一等于零点五五， x 减去二十四，解出来之后， x 应该等于三百，那么这个月的用电量就是三百了，三百乘以这个就可以了。 这是我们的第四题。接下来我们看第五题，说某剧院的观众，说某剧院的观众席座位从前往后依次增加，有一个这个部分数据，我们可以根据上面的规律找到， x 每次增加 y 如何变化？ x 由一变二， y 加了二 了， x 由二变三， x 还是加一，那 y 还是加。所以说我们就说当 x 每增加一， y 就 增加二。 接下来来看第二，问，问这个 y 是 x 的 函数吗？肯定是啊，因为一个量变了，另一个量跟着它变，就可以说它是一个函数。如果是写出座位数 y 与排数 x 之间的函数解析式， 我们可以随便找两个点，把这个 k 和 b 求出来就行了。我们发现他过这个一五十这个点， x 是 一， y 是 五十，还过这个二五是二这个点，我们再把这个函数解析式设出来，设 y 等于 k， x 加 b， 其中的 k 不 等于零， 带入就可以了啊。特别是像带第一个点，那就是五十等于 k 加 b， 在第二个点，那就是五十二等于二， k 加 b， 然后求解出来 k 和 b 就 行了。算出来之后， k 应该等于二， b 等于四十八，所以说 y 等于二， x 加上四十八，这是我们的函数解析式。 第三问，按照上面所示的规律，问第二十排有多少个座位，那就是将 x 等于二十代入就行了。代入的解析式， y 就 等于二乘以二十，加上四十八， 应该等于八十八个，后面还是再补个大话就行了。这是第五题，接下来我们来看第六题啊。两家商场售出同样的商品，春节期间两家生产都开始促销活动。假商场很简单，所有物品八折优惠， 以商场麻烦一点，一次购物中啊，十付金额，如果你超过二百的那部分，咱们打七折，我们写出他的函数解析式。首先先写假商场所有东西打八折， y 等于零点八 x， 这个是很简单的啊，以商场呢， y 等于你少于二百块钱的部分，咱就收原价， x 不 就是原价吗？大于等于零， 你大于二百的部分，首先你二百以内的部分，咱们是原价，那就是二百，再加上超过二百的部分打七折，就是零点七乘以这个 x 减二百，咱们还是得化解一下， 二百加上零点七， x 再减去二百乘以零点七，那就是一百，四十就是零点七， x 加上六十啊， 其中 x 是 大于二百的，这样我们就写出来了外，关于 x 的 解析式，我们来写在一个平面直角坐标系中，画出这个函数的图像，我们可以发现有甲和乙两种啊，我们用红线来画这个，甲用蓝线来画，乙 用画圈来表示一下啊，甲呢，一直是零点八， x， 它是一个一次函数，所以说大概是这个样，绝对不能往后画了，因为 x 有 取值范围，商品的原价不可能是负数，所以说永远是大于等于零的啊。乙呢，在二百的这一部分呢， 它就是原价原价，其中我们看它前面的这个 k， 它是一比零点八大，所以说它会比零点八更加锋利一点，所以说更加往上一点，到二百的时候停，我忘了，咱们说咱们得拿反比划啊， 更加锋利一点，到二百停二百之后就没那么锋利了，是零点七 x， 因为零点七这个数会比零点八小，所以说它没有零点八那么锋利，所以说会平一点，大概长这个样子啊， 这个是外移。好，咱们接下来往后看啊，问，春节期间去哪家商场购物更省钱，我们就看看在多大，当你花多少钱的时候去哪家更便宜，不就是这个意思吗？ 所以说我们来看啊，找出他们两个相等的时间啊。首先我们知道啊，当 x 在 二百块钱以内的时候， 肯定是去假商场便宜，因为一个是零点八 x， 一个是 x 嘛。咱们问题就是得把这个焦点找出来，也就是说 x 大 于二百的时候， 零点七 x 加上六十，他得等于零点八 x 找到这个焦点是多少减过来，零点一 x 等于六十， x 等于六百。那么就简单了啊， 他们在六百花六百块钱的时候，两家商店是花一样的钱，那六百块钱往后呢？当 x 比六百块钱大的时候， 那就是蓝色的更便宜，也就是乙商场更便宜。在六百块钱以下的时候，咱们还是取甲商场，我们写一下综上就行，可以了。 当 x 小 于等于六百，当 x 小 于六百大于零的时候，去哪个商场？去铜线就是假商场，去假商场便宜。当这个 x 等于六百的时候，两家商场一样便宜，当这个 x 大 于六百的时候， 去以上上更便宜。好，这是我们的第三问啊。接下来我们来看第七题。一家外卖平台招聘外卖骑手，有这么两种月工资，第一种是底薪两千块钱，每完成一单提成两千，提成两块。 第二种是每月没有底薪，完成一单六块钱，咱们得写出外一外二的函数解析式，如果说是外一的话，就是底薪两千块，然后每完成一单提成两块，那再加上二 x 就 行了。 y 二呢，就是一单六块钱，那就是六 x， 其中两种情况下， x 都为正整数。第二题说李明是一家外卖骑手，看看哪种方案更便宜啊，看看选择哪种方案更好一点。那咱们就看看呗， y 一 和 y 二相等的时候是什么时候？ y 等于 y 二，那也就是说两千加上二 x 等于六 x， 那 么四 x 等于两千 x 等于五百。所以说在外卖单数为五百单的时候，两种情况都是一样的啊。再看看 y 一 小于 y 二的时候，两千加上二 x 小 于六 x， 那 就是四 x 大 于两千 x 大 于五百， y 一 大于 y 二两千加上二 x 大 于六 x， 得出来四 x 是 小于两千的， x 小 于五百。 还是写一下大话啊。东上，当外卖单数为五百单的时候，两种方法一样，对应的是收入相同。当外卖单数大于五百时，大于五百时，选一种情况，因为一种情况给的多嘛， 选第二种方案，当外卖单数小于五百时，选第三种方案。呃，第一种方案。好，咱们来看拓广探索。首先来看第八题啊， 这个主要得根据图像去进行研究，看一看。问何时刘伟离家最远？此时刘伟离家多远？这个可以看到啊，他在这个时候，也就是说在十二点半的时候，离这个出发点最远， 此时他的离家距离是四十五千米，所以说在这里写好就行了，在十二点半到一点半之间，是离家最远的，此时离家多远呢？四十五千米。第二个找刘伟什么时候开始？第一次休息，休息多长时间？ 第一次休息就是他不动的这段时间，也就是说在十点三十的时候，是第一次休息，休息了多长时间？从十点三十到十一点，他是休息的，休息了三十分钟， 此时刘伟离家多远？直接一看就行了，离家是三十千米。第三问问在十一点到十二点半之间，也就是在这段距离，刘伟骑了多少千米？是从三十千米骑到了四十五千米的位置，所以说咱们拿四十五减去三十等于十五千米就可以了。 第四问问刘伟在九点到十点半的时候，咱先看九点到十点半在这段的距离，他的平均速度是多少。我们知道平均速度是拿路程除以时间就行了，注意单位，咱们就取小时吧，路程是三十千米 除以用了多长时间？九点到十点半是一点五个小时，算出得数是二十千米每小时。那后半部分从十点半到十二点半，十点半到十二点半，我们只看骑了多远，总路程是四十五减去三十，那就是十五千米， 走了多长时间呢？十点半到十二点走了两个小时，所以说十五除以二等于七点五千米每小时，这是我们的平均速度。第五问问刘伟返回家的时候平均速度。刘伟从什么时候返回家呀？在这个位置开始往家走， 就找这一段，他的平均速度是多少，首先看他走了多少啊。首先看他走了多长的距离，也就是四十五千米除以时间，从一点半到三点半之间，那就是两个小时，四十五除以二等于二十二点五千米每小时。 第六问问两点半的时候，在这个时间刘伟离家有多远？我们发现两点半所对应的距离是十八千米，问回家的距离何时距离刘伟家是六千米，这个时候就比较麻烦了，我们问何时距离，何时刘伟距家。 我们接下来来看回家路上何时刘伟距家六千米。首先看距家六千米肯定是在这段距离之内， 我们不知道哪个点是距离加六千米，这样就需要我们将复杂的生活问题转化为一次函数的问题。 先把这段距离的平均速度算出来吧，是十八千米，除以他的时间，从两点半到三点半就是一个小时，所以说他此时速度挺快的，是十八千米每小时。我们把他的平均速度算出来之后，应该就可以直接根据这个生活情况把那个函数列出来了。 设这个回家的距离与家路程为 y， 把函数值列出来，那个时间是自变量为 x 小 时。 好，咱看看啊，从这个点开始， y 等于它回家是在十八千米的过程中，每小时走十八千米，减去十八，走了多少个小时？ x 个小时 算这个，因为他此时说了，距加为六千米，将 y 等于六代入，那么六等于十八，减去十八 x， 那 么十八 x 就 等于十八。减六等于十二， x 就 等于三分之二。三分之二小时所对应的这个分钟，三分之二小时所对应的就是四十分钟。在这个两点半的基础上，往后推四十分钟，所以说他在三点十分的时候，距离加是六千米。 这样我们就解出来了第八题。接下来是我们最后一道题，是第九题啊，通过购买机器人来提升这个效率， 两种机器人每小时分拣快递的量和价格都是不一样的啊。首先咱们来看第一问，购买甲种型号机器人 x 台，购买十台机器人花费的总数量为 y， 求 y 关于 x 的 函数解析式啊。 y 等于甲种机器人 x 台，那就是一架是五万块钱，那就是五 x 剩下的，因为总共就买十台嘛，那剩下的台数咱们就买乙机器人呗， 加上三倍的一个是三万块钱，三乘以十减 x 计算过来等于二 x 加上三十啊，接下来我们来看第二个啊，说购买几台甲种型号的机器人，使花费的总费用最少，最少花费最少的费用是多少？ 那这样咱们就得满足这个，这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于八千五百台。我们先把这个机器人所分拣的数量给他写出来。 首先我们假设买了 x 台甲种型号机器人，那甲种型号机器人每小时就是干一千 x 个，那再加上一种型号是八百乘以这个十减 x， 它得等于八千五百。一千 x 加上八百乘十呢，就是八千， 再减去八百， x 大 于等于八千五百，这个减这个等于二百， x 大 于等于八千五百减八千等于五百，那么 x 大 于等于二分之五。所以说我们就可以观察到啊， 在外等于二 x 加三十的这个过程中啊，我们发现它是一个一次函数， 其中呢，它的 k 所对应的值是二二比零大的，所以说在这个函数值之中，所以说在这个函数图像之中， y 随 x 的 增大而增大，也就意味着 x 越大， y 就 越大， 咱们要找什么最少费用？也就是说 x 最小的时候， y 才最小呢， x 大 于等于二分之五，那么 x 最小值就是 x 等于三十， y 才取最小值了，因为 x 最小就是三嘛，而且机器人咱们不能取半价啊，所以说距离二分之五还比二分之五大的最近的整数就是三 x 以三十啊 y 取最小值， 那 y 的 最小值就是二乘以三，把 x 等于三，代入到这个函数值的解析式之中，二乘三加上三十等于三十六。所以说写大话就行了， 买三台假型号机器人费用最少，其中最少费用为三十六万元。好，这样我们就完成了 这一小节的所有内容。这一小节内容不少，后面还是数学活动，大家可以自己去看下一个视频，咱们来讲解一下这一单元的小节。

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  人教版数学八年级下册23.4实际问题与一次函数（第1课时）PPT

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  一次函数的图像与性质 23-2.2 #数学思维#八年级下册#中考数学

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  好，前面我们研究了正比例函数的图像与性质，现在咱们来研究一下依次函数的图像与性质。因为正比例函数是特殊的依次函数，所以我们先研究特殊的，再研究这个一般的， 比如说这个例题二里面，它就给了两个函数，其中一个函数 y 等于负三 x， 它对应的是 y 等于 k x 的， 那么秦如这样的函数，我们把它叫做正比例函数，所以它是正比例函数。而这个呢，它对应的是一般式的依次函数，就是 y 等于 k x 加 b， 看到没有，他们这个加一就对应加 b， 所以呢，它是一个依次函数， 并且你会发现它们的 k 值都等于负三。好了，我们现在就是要比较这个正比例函数和依次函数的图像有什么区别。 那么既然要画图像，那你就描点吧，描点你就要画表格。哎，这里给我们画好了，它这里 x 取了五个值，我们分别带入这两个函数里面，把它给算出来就可以了。好，先算第一个， 把负一带到负三 x 里面，变成负三乘负一，负三乘负一等于三，所以这里写三。第二个是负三乘负零点五乘负零点五的话呢，它就会等于一点五， 零乘负三等于零，零点五乘负三，它就等于负一点五。再看下面这个，下面这个是在这个基础之上加上一个一。好，那么我们刚才已经算了负三 x 了，现在只需要加一就可以了，那你就拿三加一， 它就变成了四一点五，加一等于负零点五， 然后负三加一会等于负二，那么这样的话呢，我们就可以得到 y 等于负三， x 会过五个点，哪五个呢？这五个点，我们把这五个点分别写出来，负一三，负零点五、一点五、 零零零点五、负一点五，以及一负三。 第二个函数会过这五个点会过这五个点，我们也直接把它写出来， y 等于负三， x 加上一，它会过，负一四，负零点五，二点五， 零一零负零点五，一负二，他会这过这五个点。呐，这五个点呢，其实你把它全部画全，全部写在这里，你就可以标上去了，我得复制一下， 这个负一点四 在上面，负一四在上面，然后负零点五，二点五在这里，零一在这 零点五，负零点五在这个位置，然后一负二在这个位置。呐，把这五个点都描上去，连起来就是它的函数图像。 再看这个， 负一三在这个位置，负零点五，一点五在这个位置，零零就是圆点在这个位置，零点五，负零，负一点五在这里， 然后一负三在这里。啊，稍微有点啰嗦啊，但是呢，秒点就是这个，就是这样的， 一定要细心。描完之后，那我们就要观察他的图像特征了，对不对？好，他这里探究呢，也帮我们引导了，他说比较上面两个函数图像的相同点和不同点，填写你观察的结果。 那么这两个函数的图像形，图像的形状都是什么？哎，连起来是不是都是一条直线呢？对不对？所以形状都是直线， 并且倾斜程度。什么叫倾斜程度？比如说我们的一个坡度，对吧？你看这个坡陡不陡？那你就看它的夹角，它和水平，地面的夹角越小，它这个坡是不是就越缓啊？ 越缓，那如果这个坡度和地面的夹角越大啊，这个角越大，那么说明这个坡是不是越陡啊，对不对？好，所以它的倾斜程度你可以比较什么呢？你就可以把它当做是这条直线 与 x 轴 x 正半轴的夹角。那你看这条直线和 x 轴正半轴的夹角，一个在这里，另外一条 它的夹角在这里，你会发现这两个夹角是不是一模一样大，所以它的倾斜程度就是一样的。所以我们这里写它这个倾斜程度，你可以看什么作为参考呢？可以看这个直线 与 x 轴正半轴的夹角， x 轴正半轴的夹角， 并准确地说应该是 x 轴上方的直线， x 轴上方的直线 与 x 轴正半轴的夹角，那 x 轴上方的这条直线和 x 轴的夹角看到了吗？那就这个意思，那么这个夹角相等，那我们就说它的倾斜程度是相同的。 这个呢，到了高中啊，咱们会进一步学习。函数 y 等于负三 x， 它这个图像会经过原点，函数 y 等于负三 x 加一，它的图像与 y 轴交于哪个点？你看一下， 与 y 轴的交点是这个是零一，对不对？好，所以它的交点就是零一， 那你发现没有，它这里是不是加了一，那就是零一啊？所以呢，它这个焦点对应的 y 等于 k， x 加 b 啊，当 x 等于零的时候， y 一定会等于 b， 所以 它会横过零 b 这个点啊，过零 b 这个点，也就是说与 y 轴的焦点就是零 b， 知道吧？啊？这是一般式里面的， 即它可以看作由直线 y 等于负三 x 向上平移了一个单位而得到的。你看这条线 整体是不是相当于把这条线向上平移了一个单位，你看它每个地方是不是都是向上平移一个单位？看到没有，它的纵坐标三变成四，一点五变成二点五，零变成一，负一点五变成负零点五， 负三变成负二，所有的重坐标全部加了一，那么这个点所有点是不是就向上平移一个单位？而直线是由无数个点组成的，所以它整体就相当于是向上平移了一个单位，一个单位长度得到的。 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图像有上述关系的道理吗？哎，这个就是比较了，那怎么比较呢？你会发现， 当这个横坐标相同的时候，他的重坐标是不是始终比他大一啊？对不对？我们就可以通过这个看出这条直线就是由这条蓝色的线整体向上平移一个单位得到的啊。 我在这里也写了一下，自变量取值相同的时候，那就这个 x 的 取值相同，也就是横坐标相同的点，这个 y 等于负三， x 加一的函数值总比 y 等于负三 x 的 大一，也就是它的重坐标始终比它大一啊。这里多写了一个总字，把它擦掉， 差一，所以我们就可以把它理解为 y 等于 x 的 图像， y 等于负三， x 的 图像。向上拼一个单位长度就可以得到 y 等于负三， x 加一的图像就可以了。咱们把这段话 写在刚才的那个地方就可以了，我这里剪切过去就放在这个位置， 就在这个位置就可以了。好，最后他说联系上面的结果，考虑依次函数 y 等于 k， x 加 b， k 不 等于零的图像是一个什么样的形状？什么形状？哎，一条直线对不对？什么形状呢？咱们就说一条直线， 它与直线 y 等于 k x 有 什么样的关系啊？上下平移嘛，对不对？好，这里下面就有总结，它是比较一次函数 y 等于 k， x 加 b 与正比例函数 y 等于 k x 的 解析式。我们可以得出 一次函数 y 等于 k x 加 b 的 图像是由直线 y 等于 k x 平移 b 个绝对值的单位长度可以得到的。如果 b 是 大于零的，那么就向上平移， 那就加嘛，对不对？如果 b 小 于零就向下平移，那就在 k x 后面呢，去减嘛，对不对？好，所以依次函数 y 等于 k x 加 b， k 不 等于零的图像也是一条直线，我们称它为直线 y 等于 k x 加 b。 这里同时你也要 补充一点，那你看我们前面画的图像，这个 k 值是不是都等于负？三 k 值相等的时候，也就意味着这两条直线怎么样是可以通过平移得到的。那么既然是可以通过平移得到的，那么这两条直线就平行，这个是一个隐藏的 条件，知道吧？所以以后题目里面出现了谁谁谁哪两个一次函数，它是平行的，你就可以直接说它们的 k 值是相等的，明白吗？好，我在这里写一下依次函数中 非相等的情况下 图像，也就是直线可以通过平移得到，直线可以相互平移，可以平移得到， 那么因为是平移得到的，所以这些线是平行的啊，因为平移，所以呢，可以得到 线与线，直线与直线之间 是平行的， 所以我们可以得到，比如说，例如 y 一 等于 k 一， y 一 等于 k 一， x 加 b， 然后 y 二等于，这个是 b 一 啊， y 二等于 k 二， x 加 b 二，当 k 一 等于 k 二时，那么直线 y 一 就会平行，直线 y 二，当然你也可以反过来当，这里接着后面写， 当 y 一 平行 y 二的时候，我们也可以得到 k 一 等于 k 二啊，这个是可以相互转换利用的好吧？ 好， b t 三。这里叫我们画出这两个函数的图像，这两个函数都是依次函数，对吧？第一个是 y 等于二， x 减一，第二个是 y 等于负零点五， x 加一。 好，那么由于一次函数的图像都是直线，而两点就可以确定一条直线，所以我们只需要描两个点就可以了。 这个例题里面给出来的 x 取值，一个是零，一个是一，我们分别把零和一带入到第一个函数和第二个函数里面去算就可以了啊，你把零带进去，二乘零减一， 对吧？就等于零减一，等于负一，第二个把一带进去，那么就是二乘一减一，二乘一减一，就是二减一，它会等于一啊，所以 y 等于二， x 减一， 就会经过这两个点，第一个点是零负一，第二个点就是一一啊，那么这个例题里面已经把这两个点描进去了啊，一个零负一在这里，一个一一在这里，把这两个点连起来， 就是 y 等于二， x 减一。再看第二个函数，把零带进去，负零点五， x 来加上一，那么它就会等于什么？它就会等于零加一，对吧？等于一，所以它就会过零一这个点， 然后呢，把一带到里面去，那就是负零点五，乘上一，再加一，那就负零点五，加一就会等于零点五，所以这个点它就是一零点五。好了， 我们就把这两个点挂在直角坐标系里面，零一在这一零点五，在这连起来，这条直线就是 y 等于负零点五 x 加一，对吧？当然它也有其他画法，我们可以通过正比例的平移去画 它，这里就是这样说的，它说先画直线， y 等于二 x， 好， 我们现在按照它的思路，我们再画一次， y 等于二 x， 那么同样呢，让它的横坐标分别等于零和一啊。 x 等于零的时候，那么 y 就 等于二乘零等于零，所以它会过的点就是零零，然后等于一的时候， x 等于一的时候， 那么 y 就 等于二乘一等于二，所以它就会过一二这个点。好了，那么现在呢，我们把零零标出来，零零在这里，对吧？然后一二一二，假如说这个是二 一二在这里我们连起来， 好，那么这条直线呢？就是 y 等于二 x， 那 然后呢，它在平移，怎么平移呢？向下平移一个单位，是不是就和这条直线重合了，对不对？好，所以它就这么来的。那么我们画这条直线的话，就先画 y 等于负零点五 x， y 等于负零点五 x， 我 们这里 x 等于零的时候， y 就 等于负零点五，乘上零等于零，所以也会过零零。然后第二个点就是 x 等于一的时候， y 就 等于负零点五，乘上一等于负零点五， 所以它会过一负零点五一负零点五在这里。 然后还有一个是零零在这里，我们把这两条直线连一下，把这两个点连一下，那么这条直线就是 y 等于 负零点五 x， 那 你看，把这条直线向上，整体向上平移一个单位，就会得到 y 等于负零点五， x 加上一，这条直线看到了吗？好，所以它也可以这么去画。好吧，好，这个是例题三， 再看探求，这里叫我们画出函数。 y 等于 x 加一， y 等于负， x 加一， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一的图像，观察这些直线， 总结他们从左向右上升或者是下降的规律，我们先把图像画出来吧。好吧，好，先画 y 等于 x 加一，那么我们画的话，首先要瞄点，那么先求出 x 等于零的时候，这个 y 会等于几？ y 就 等于零加一等于一，所以会过零一，这个点，对吧？好， x 等于一的时候呢， 那么 y 就 会等于一加一等于二，所以会过一二这个点。好，这是这两个点，然后再画这个 y 等于负， x 加一，那这个时候 x 等于零的时候， y 就 等于负零加一，所以也会过等于一， 也会过零一，那 x 等于一的时候，这个 y 就 会等于什么？ y 就 会等于负一加一等于零，所以它会过一零这个点。好， 我们再把它们两条直线画在直角坐标系当中， x y 一 二 负一负二，这里是零二一负二，负一。好，现在就瞄点了，一个是零一， 一个是一二，在这里能把它连起来，这条直线呢？ 这条直线就是 y 等于 x 加一，好，再来画这个零一和一，零在这里。那我画一下这条直线， 就是 y 等于负 x 加一，好了，画出来了。啊，那你观察一下，你看一个 k 等于一，一个 k 等于负一， 这种情况下 k 是 等于一的，而这种情况下 k 是 等于负一的，知道吧？ k 等于一是一个正数， 它就大于零，所以我们可以得到的是，这个是 k 是 大于零的，而这个呢是负数， k 是 小于零的，哎，你会发现 k 大 于零的时候斜向上，对吧？所以是从左向右，它是上升的， 而如果 k 小 于零的话，它就是下降了，从左到右，它这个直线是下降的方向，知道吧？好，这就是总结这个规律。好，我们再来看这个图像， y 等于二， x 加一和 y 等于负二， x 加一一样的， 咱们先把它算出来， y 等于二， x 加一， x 等于零的时候，这个 y 就 等于二乘零加上一就会等于一， x 等于一的时候， y 就 等于二乘一，再加一，它就等于三啊，所以我们发现这里过零一和一三这个两个点。然后再看 y 等于负二， x 加上一，它，当 x 等于零的时候， y 就 等于负二乘零加上一，它就等于一，所以过的也是零一， x 等于一的时候呢， y 就 等于负二乘上一再加一，负二加一等于负一，所以它会过一负一这两个点，那一负一这个点和这个点，再把它画在直角坐标系当中。 x y 这里是零啊， 一二三一二三三二一 负三，负二，负一，负三，负二，负一。好了，那么现在呢，我们来瞄点，这个是零一零一在这里，然后一三一三在这里 连接一下这条直线，就是 y 等于二， x 加一，再看另外一个是，也是零一 x 一 负一，在这个位置，再连接 这条直线是 y 等于负二， x 加上一，发现没有， 上面这个 k 是 等于负二的，这 k 是 小于零的， 所以 k 大 于零，它是从左到右斜向上上升去画的，然后从然后 k 小 于零的话，从左到右，它是不是下降的方向去画的，对不对？好，所以呢，它们的规律我们就找到了， 书上下面就有总结啊，咱们就不直接总结了，直接看就可以了。他说观察前面的一次函数图像，可以发现这个规律，当 k 大 于零的时候，对吧？直线 y 等于 k， x 加 b， 它从左向右是上升的，所以我们画的时候呢， 就这个画法就得斜向上画 好。然后呢，当这个 k 小 于零的时候，这个直线 y 等于 k， x 就 从左向右下降，那么我们画的时候呢，就斜 向下画。 所以一般的一次函数 y 等于 k， x 加 b， k 和 b 都是常数， k 不 等于零，就具有下的下面的这个性质。当 k 大 于零的时候， y 随 x 增大而增大，对应的是斜向上滑。到了高中呢，这个叫什么呢？这个叫单调递增 啊，然后 k 小 于零的时候， y 随 x 增大而减小。到了高中，我们会说单调递减， 大家提前知道一下就可以了。好吧，啊，初中我们不会用这两句的，只不过如果你的老师是以前教过高中的，他可能会习惯性的去说单调递增或单调递减，你要知道什么意思？ 大家看练习第一个，直线 y 等于二， x 减三，与 x 轴的交点坐标是多少？首先你要知道在 x 轴上对不对， x 轴上的点，它们的重坐标是不是都等于零呢？对不对？好，重坐标 为零，也就是什么？即 y 等于零，所以我们要算它与 x 轴的交点坐标，我们就写，当 y 等于零的时候， 这个 y 等于二， x 减三，就会变成零等于二， x 减三，所以啊，就变成三等于二 x， 那 么二 x 就 等于三，除以二， x 就 等于二分之三，所以它会过二分之三零这个点， 这个点的坐标就是二分之三零，就是这么了。然后与 y 轴的交点，坐标呢？与 y 轴的交点，它的横坐标为零， 也就是什么呢？也就是 x 等于零，那我们就写，当 x 等于零的时候，这个 y 等于二， x 减三，就会变成 y 等于二乘零减三，就是 y 等于零减三， y 就 等于负三。所以我们可以得到的是什么呢？ 它这个点就是零负三，所以它在与它在 y 轴上的点就是零负三，也就是与 y 轴的交点就 ok 了啊。然后经过哪几个象限呢？那你看一下，你都已经求出来了。 与 x 轴的交点以及与 y 轴的交点，与 x 轴的交点，假如说这个是二，这个是一，那中间这个点就是二分之三零，对吧？然后与 y 轴的交点是零负三， 交换一下位置啊，不然不好画。这个点的坐标是二分之三零，然后你找到零负三，那么这里假如说这个就是负三，这个是负二，这个是负一，那这个点在这里就是零负三， 你把这两个点一连，对吧？好了，那么你就可以通过图像直接看出，怎么啊？他过哪几个象限？第一象限、第二象限，第三象限和第四象限，他是过一三四象限的，对不对？所以他会过第一、 第三以及第四象限。 然后从图像上咱们可以看得出来，它是从左到右斜向上画的，对不对？那这个叫什么法？这个叫什么？这个叫 y 随 x 增大而增大，你也可以直接判断它的 k 是 等于二的， k 大 于零，所以我们可以得到 y 随 x 增大而增大。 再看第二题，分别在同一个平面直角坐标系当中画出一和二当中各函数的图像，就是这个， 这里有三个，这里也有三个。把这三个函数图像挂在同一个直角坐标系当中，并且指出每个小题当中三个函数的图像有什么关系。好，那么由于这个比较多，我就直接去写点了。好吧，好，先看第一个， 第一个是 y 等于 x 减一，那么你让 x 等于零的时候，那么 y 就 等于负一，所以第一个是零负一，如果是等于一的话呢，那么他这个 y 就 会等于一减一等于零，所以是一零。 好，第二个是 y 等于 x， 那 这个比较简单，第一个是零零，对吧？第二个呢，就是一一 好，然后 y 等于 x 加一的话，那么等于零的时候就等于零一，等于一的时候，那就是一二，那你直接带进去算就可以了。然后我们再把它画在直角坐标系当中，放大来画， 因为这里最多是二啊，所以我的横中坐标就画的不超过二，就写到二这里就行了。这里是一，这里是二，这里是二，这里是一，这里是零，这里是负二，这里是负一， 这里是负二，这里是负一。然后把点描上去，零负一，一零零，负一一零，在这里画一下， 这条直线，就是 y 等于 x 减一。好，再看第二个是零零和一一零零在这里，一一在这里画一下 这条直线，就是 y 等于 x， 还有零一和一二零一在这，一二在这， 这里，应该是画高了一点，大概就长这样啊，这个点要粗一点。好，那么这条直线的话呢， 稍微有一点点倾斜啊，实际上这三条线呢，它都是平行的，这是 y 等于 x 加一。好，这三条直线我们就画好了，对吧？它们的图像有什么关系呢？这三条直线互相平行，对吧？好，所以我们就说它们的图像， 再看第二个，第二个，这里是 y 等于负二分之一， x 减一，我们这里也是把它的点先直接算出来，好吧，好， y 等于负二分之一， x 减一，那你如果让 x 等于零的话， y 就 等于负一， 如果让它等于一的话，那就是负二分之一乘上一再减一，那就等于负二分之三，所以这里是一负二分之三。 好，两个点够了，然后 y 等于负， x 减一，那么这里的话呢，如果等于零，他也是负一，如果等于一的话，如果等于一，那就是负一减一，那就等于 负二，然后 y 等于负二， x 减一等于零，那么是负一等于一的时候，那就是负二乘上一再减一，那就等于负三，所以是一负三。好，我们再把这三个函数也挂在同一个直角坐标系当中。 x， y， 好， 这里是一， 这里是零，然后下面呢，就是最多到负三负三，负二， 负一。好，因为他们都经过什么，都经过零负一这个点，那么就把零负一先标起来，然后一负二分之三，一负二分，这里是一负二分之三，大概在这个位置。 好，在，这里好，画一下 这条直线，就是 y 等于负二分之一， x 减一，然后再画第二个，这里是一负二 这个点连接一下， 这条直线就是 y 等于负， x 减一，然后最后还一个就是一负三，一负三，在这个位置， 这条直线就是 y 等于负二， x 减一。 我们把这个都写在一起吧，都放到这里面。好了，你看这三条直线，他是不是都经过什么？都经过零负一这个点，对不对？好，他们都经过零负一这个点，这第一问，第二问啊，分开打，他们的图像 都经过零负一这个点，并且呢，他们都经过二三四象限，对不对啊？都经过 第二、第三和第四象限， 然后呢，最后一个就是它们都是怎么样从左到右斜向下划的，所以我们都说，并且因为它们的 k 都是负数嘛，对不对？所以我们就说，并且 y 随 x 增大而减小， y 随 x 的 增大 而减小。好，那么这个题目咱们就回答完了， 再看第三题。已知一次函数 y 等于四， x 加七，当 x 大 于二的时候，利用函数的性质，将我们求出函数值 y 的 取值范围， 那么你要知道这个是一次函数，它有两种情况，一次函数里面 k 大 于零， y 随 x 增大而增大， k 小 于零， y 随 x 增大而减小，而对应的 y 等于 k， x 加 b 当中这个 k 是 等于四的，所以它的 k 是 大于零的，对不对？ 所以我们就说 y 随 x 的 增大而增大。 好， y 随 x 增大而增大，所以这个 x 大 于二的时候，那么你把这个二带进去， y 就 会大于它，是二的时候，知道吗？好，这个 x 等于二的时候， 这个 y 就 会等于四乘二加七会等于十五啊，所以这个 x 大 于二的时候，这个 y 就 会大于十五。那你利用性质就这么去做的。那如果你做到这里感觉不太理解，那么我可以直接把这个图画给你看， 你通过图形去理解，可能会更好一点。那因为它这个点，那我们这里画两个点出来，第一个是 x 等于零的时候，这里我是另外一种做法了啊， x 等于零的时候，它的 y 是 等于七的，所以它会过零七这个点，然后 x 等于一的时候， 它的 y 会等于四加七等于十一。好，那这里我简单画一下，这里是零，好吧，这里呢是一。好，这里我就画十一吧。好，这里就是七。 ok， 大 概就画成这样，那么它就过这两个点， 过这两个点，那么他说当 x 等于二的时候，你把二带进去算，它确实是会等于十五的，对不对？ x 等于二的时候， 它的 y 就 会等于十五，所以你在画二的时候，它就会等于十五， 这个点就是二十五。你看它的 x 大 于二的时候，是不是向右往右边走，对不对？那这个图像是不是在这个方向，在这个线上的所有的点，它的 y 坐标是不是都比十五大？看到没有啊？那我这里用黑色的笔，那么大于二的时候，就在这个位置，就是这条直线。 好，那么这个 x 呢？要大于二，就在这部分，那么它的 y 呢？对应就在十五的上面，十五的上面，所以从图像上看， x 大 于二的时候， 它的 y 就 会大于十五。那你直接从图像上去看，再来一遍，哎，这是它的图像， x 大 于二的图像对不对？它对应的 x 轴 横坐标都是大于二的，那么再看这上面所有的点，你对应到在 y 轴上去，它所有点的重坐标是不是都比十五大？所以 x 大 于二的时候， y 大 于十五。当然你如果对性质足够了解，那么你这个图是不用画的，知道吧？

  406毕老师细讲数学
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  八下人教版数学公开课 19.1.2《应用函数图像解决简单的实际问题》 全国大赛一等奖 完整视频+课件+教案 #全册每节课都有#优质公开课#数学课件#学到了

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  好， 我们观察一下这个图像当中 a 点、 b 点， c 点代表实际 e 是 什么溶液？先说 a 点代表实际 e 对不对？好， b 点往里头那个假车到达 b 点时停留一个小时。呃，假车到达，到达以地时，哪个车？快车从假地到以地啊？到达以地停留一小时对不对？好， c 点 三起说，快车到达乙地，快车，快车到达甲地，从乙地返回甲地，到达甲地，对不对？好，那么在这个图像当中，我们再来看一下快车行驶的时间是多少？ 七小时啊，七小时，来，我那个往里开说一下，其中有一小时是停留，停留时间对不对？好，那么接着我再想问一下，快车行驶的路程是多少 啊？快车从甲地到乙地，然后那么整个行驶的路程是对不对啊？下一个问题，快车的速度是多少？请你还说一百二十七啊，避暑三百六除以三等于零啊，或者还是怎么避暑？ 总路程三百六除以二，总时间除以七减一，对不对？好了，非常好啊，那我们再来看一下，请写出快车距出发 b y 与时间 s 之间的函数关系，那么其中图像当中 s 轴代表是什么 时间？行驶的时间 y 代表是什么啊？那就是距出发 b 的 路程。那么此时问的这个是不是图像当中三条线段的形式？好，那么动算一下，看看。 o a、 b、 c、 d、 e、 f、 g、 e、 f g， 它是一个什么函数？正弦函数。哦，提高整个的 y 是 什么函数？正弦， 其中的 o a 是 什么函数就特别不错啊， o e 的 指数一百二十 m， y 等于一百二十 m 对 不对？小于等于等于，等于三？好，第二个 a， t 是 多少？ y 等于四百六， s 大 于等于三小于四 y， y 等于 y 等于一百二十 m 加二百四， 对不对？说的对不对？好，非常好啊！我们再来看第四个问题，快车行驶多长时间距？出发地的路程为二百四十千米，那么现在我们看一下图像当中的最远距离是多少？三百六，符合要求应该有几处两处好来添加成说，第一处 等于二百四，代入 y 等于 y 等于二百四，代入 y 等于那个一百二十 x， 所以 方程变为二百四等于一百二十 x， 所以 x 等于二。 第二个是把二百四带入 y 等于负，一百二十 x 加八百四，那就是见到 b c 这种是这样的好，二百四等于负的一百二十 x， 加上八百四十一个 x， x 五好，那么最后记住要查一下啊，出发两小时或者五小时五小时，预出发 b 为二百四，可以变好。 那么通过这道题的解答，我们看出解决一次函数当中形成问题的关键在于正确的解读图像信息。那么想通过这个难点，需要从以下几个方面入手。第一个，看清图像当中 s 轴、 y 轴表示的含义， 将刚才这图像当中我们说 s 轴代表是什么行驶时间， y 代表的是自触发 b 的 过程，很好。第二个，抓住图像当中的关键点，理解关键点实际意义，那么刚才图像当中的关键点应该是 a 点， b 点 c 点很。 第三个，理解每条线段的意义，即每条线段表示的运动状态，那么这个图像当中体现了三个线段，第一个是线段平行，最后一个是线段平行，很好。第四个看清出发时间和行驶方向，尤其是涉及到两车的问题，那么这个出发时间一定要注意他们是不是同时 行驶的方向，是相向还是相向的问题。把这四点把握好之后呢，那么做题他就是非常顺畅。下面我们来看一下二零一三年牡丹江第二十五题的这款题。 好，那个降坡慢，走一下，快慢，两车分别从相距三百六十千米，快车到达雨地后停留一小时，然后按原路原速返回。快车比慢车晚一小时到达雨地。快慢两车距各处出发地的路程 y 线米与出发后所用的时间 x 小 时的关系，如图所示。 总结的图像信息检查项目，好，虽然这个问题我现在没给出，那么看一下通过看图像能获得哪些信息，这样四个人小组啊，等一下， 一点，九十一是三十八，三十后快车到达。 第一点是快车四十四小时后从乙地休息一小时，准备出发返回甲地。嗯，然后第一点是快车在返回甲地的途中与乙车相遇，第一点是慢车到达乙地，第一点是快车返回到达甲地。嗯，好。他在回答的过程中我听了一个问题啊，他对地点的敬意，地点是在返回的过程中与 慢点相遇，筷子和慢点相遇，同不同意啊？朱奇说，啊，好，那么这两位同学说的哪个同学说的对？朱奇啊，根据是什么来？嘉诚说， 好。那么这个地点是表示两车距出发地的距离相等地点横坐标表示出距出发地相等的时间，那么纵坐标表示相等的距离。好了，下面我们看一下问题啊，第一个，换上两车行驶的速度来，第一组同学 对不对？对，好。第二个问题，出发多少小时？快慢两车距各自的出发地的路程相仿来准确回答，射出发 x 小 时和各两车最多的出发就是求地点作用啊，然后射 y b， c 等于 x， x 加 b， 好， 慢点啊， y， b， c 等于减多少？一百二十 x 加八百四，很好， 然后 y o e， 然后等于六十 x 乘以二分之三十五。好，那么联立方程解得应该是从一百二十 x 加上八百四十等于六十 x 解得 x 等于三分之一十四，即出发多少小时？ 快慢两车距出发地距离相等。好，那我们问题还有，把 s 等于三分之十次带入截得 y 等于多少？二百二百八十。那么再画一下图像，在你的九图像处画，此时快慢两车是不是相距？ 如果老师在这把这块发一个图啊，整个是三百六，那么派球走出去二百八十，那么慢球地他的出发地也是二百八十的话，三分之十四，是吧？如果是这样啊，就到了， 那我看一下快艇啊，最出发地是二百八十千米，而对于慢船来说，最出发地为二百千二百八十千米，所知道是相同的啊。好，我们再来看下一个问题。 呃，请直接写出慢车到达甲地前快慢两车相距一百五十千米的次数。三次啊，三次，因为这个题能做，是不是总得这三次呢？当时怎么解决的？想不想画简图对吗？这样，同学在本上画啊。 那么第一种情况，在两车相对之前的时候。

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  【八下一次函数实际应用题】分段函数求最值的技巧#每天跟我涨知识 #每天学习一点点 #数学 #知识分享

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  欢迎来到大王老师的数学课堂，今天我们讲述的是八下一次函数的一道实际应用题，接下来我们来一块看一下题目条件。受新冠一行的影响，一、水果种植专业户有大量水果无法出售，经销商主动从专业户购进甲乙两种水果进行销售。 专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠。对乙种水果 按两元每千克的价格出售。社经销商购进夹水果 x 千克付款。 yy 与 x 的函数关系如图所示， 那很明显，外语 x 是一个分段函数的一个关系。第一段，当 x 大于等于零，小于等于五百的时候，是一个正比例函数关系。第二段， x 大于五百的时候，是一个依次函数关系。那在这里我们就可以用待定系数法分别设出两段的解析式，然后对应的带出点，把我们的解析式求出来 就可以了。好，那第一问的答案我们就直接给出 y 等于，当 x 大于等于零，小于等于五百的时候，求出来是 y 等于三 x。 第二段，当 x 大于五百的时候，求出来是 y 等于二点五 x 加两百五十。好，这是我们的第一小问，接下来看一下第二小问，若经销商一次性购进甲乙两种水果共一千两百千克， 且甲种水果不少于四百千克，不少于及大于等于又不超过及小于等于一种水果的两倍。问，经销商确保完成收购计划至少准备多少资金？ 那这个题相当于又是求这个资金的一个最值的问题，那我们可以用函数的角度来解决这个问题，那函数的话啊，我们需要设两个变量，在低温中，我们在前面，我们已经设好了这个假的啊，购买的啊，这个质量是重量是 x 千克，那我们就可以直接来用甲已经知道是够了 x 千克，那则乙购买的应该是一千两百减 x 千克。 好，这题研究的是资金的一个最值，我们同样的也可以设我们的资金为 z 元。 那接下来我们首先需要做的就是把啊 z 关于 x 的函数关系式给列出来，然后再找它自变量的取值范围。那根据啊不等式啊里面的这个不等关系，我们可以先找到 x 的一个取值范围。第一个补等关系，加重水果不少于四百千克，即 x 大于等于四百。 第二个不等关系，加重水果不超过一种水果的两倍及 x 小于等于二倍的一千两百减 x。 好，那第一小问，我们就可以求得好，且燃灯我们先就可以求得 x 范围是大于等于四百，小于等于八百的，那我们接下来表示一下。哎，用 x 表示一下资金，资金，我们明确他是购买甲乙当中水果，那乙种水果是很好说的，他的啊，数他的那个单价就是二， 数量就是一千两百减 x， 主要就是我们的这个。嗯，甲状水果它表示的这个啊，付款的前数是 y， 它是一个分段函数，所以说我们在表示 z 的话，它同样也是一个分段函数。那我们在这需要注意的点是，我们的第二问中， x 是大于等于四百， 小于等于八百，那我们需要在这个范围内再进行一个细分，当 x 大于等于四百，小于五百的时候，我们就可以确定 y 的这个进行式就是三 x， 好，那接下来啊，我们来写一下。第一部分，当 x 大于等于四百，小于等于五百的时候，那此时 z 是等于 三， x 加二被盗，一千两百减 x， 好，那我们整理一下几。 z 等于 x 加 两千四百，好，那我们家来求这个，嗯，至少我准备多少次性，也就是他的一个最小时，那这道题里面这种情况下， k 是等于一的大于零，所以 z 随 x 的增大而增大， 所以当 x 等于四百时，我们的 z 有最小值，应该是等于两千八百，好，这是第一种情况，那第二个分类的话，就是当我们的 x 大于五百，小雨等于八百的时候， 那此时 z 他应该等于 y， 此时就是二点五， x 加二百五十，再加二倍的 一千两百减 x， 那同样的我们也可以用啊，就是刚刚的这种增减性的方法，求出我们的那个最小值，那在这里我们就不再给大家展示的，直接就给出答案。当 x 等于五百，是我们的 z 最小值是两千九百， 那很明显两千八百是小于两千九百的，我们现在就要找他至少准备的资金数，那我们肯定是选两千八百的这个，那所以当我们的 x 等于四百的时候，此时的资金就是最少 最少，好，那我们就可以达到达，至少准备 两千九百元啊，两千八百元，好，那我们这道题的角兽就到这里，再见。

  450大王老师的数学课堂
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  实际问题与一次函数复习巩固 23-4.4 #数学思维#八年级下册#中考数学

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  好，再来看到一次函数当中实际问题的复习巩固。先看第一个某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系， 当其销售出一百件货品的时候，月收入为两千八百元，销售出两百件货品的时候，月收入为三千四百元， 那么当其月收入为四千六百元的时候，那么出售的货物为多少件？那么实际上呢？他是告诉我们依次函数里面的两个点啊。我们这里首先要先设一下，他既然月收入跟他的销售量 成依次函数关系，我们就把其中的销售量设为 x， 它的月收入设为 y， 我 们这里设一下，设月收入为 y 元啊，然后每月销售量 为 x 键，那么根据它告诉我们的两个条件，我们就可以确定有两个点，这里是什么意思呢？根据条件，也就是当它的销售量 x 等于一百的时候，也就当 x 等于一百的时候， 它的 y 是 等于两千八百元的，然后当这个 x 呢等于两百键的时候， 这个月收入是等于三千四百元的，我们就通过这两个条件带入一次函数解析式当中，对不对？好，那么解析式，依次函数解析式，我们写成写它的一般式就可以了。 好， k 不 等于零啊， 那么你把它带进去， x 等于一百 y 等于两千八，对吧？那么对应的就是 两千八等于一百 k 加上 b， 然后这个对应呢，就是三千四等于两百 k 加上 b， 这是一式，这是二式，把它们两个 组成一个二元式方程组，接下来就是计算了，对吧？我们拿二式减一式，三千四减去两千八等于六百， 两百 k 减一百 k， 还剩一百 k 减 b 抵消了，所以这里的 k 就 等于六百，除以一百 k 就 等于六，那 k 等于六，你再把这个 k 代入一次当中， 那么两千八就等于一百乘上六加上 b， 所以 两千八就等于六百加 b， 所以 这个 b 就 等于两千八减六百， 所以 b 就 等于二千二，对吧？所以我们可以得到 k 等于六， b 等于两千二，所以它的解析式就是 y 等于六， x 加上两千二，对不对？两千二。 然后呢，现在月收入为四千六，那么就是当 y 等于四千六的时候，那么这个解析式里面的 y 就 换成四千六， 就可以得到四千六等于六， x 加上两千二。移项四千六减去两千二等于六， x 这里减的话等于两千四， 那么移过去两千四除以六等于 x， 所以 就是八，这里就是四百 等于 x， x 就 等于四百，所以呢，过五为四百件就可以了啊，我们要通过他的题目条件啊，确定两个点，这里其实就相当于是这个依次函数过的点是一百两千八这个点， 然后这里就相当于是两百三千四，这个点知道吧？过这两个点，把这两个点代入依次函数解析式，求出解析式，再把它的 y 换成三千啊，这个四千六去计算，算出 x 就 可以了。 再看第二题，某品牌服装开展促销活动，原价每件八十元的服装，如果你购买超过三件的话，那么超过的部分就可以享受八折的优惠。叫我们求顾客所付款 y 元与所购服装数量 x 件之间的函数解析式，并且呢，它叫我们求出 x 大 于三的时候，解析式 x 在 零到三之间，你就不用算了，对吧？那我们就根据它的实际情况来算就可以了。前三件是不是每件八十元，那么超过三件的部分就按八折优惠，对不对？那我们怎么写呢啊？前三件正常写，那么它的付款 y 前三件是按八十元的原价去算的，那么超过的部分怎么算呢？超过的就用 x 减三，假如说你买了五件，对不对？那么超过几件呢？超过两件你是不是用五减三呢？对不对？那么现在我把这个五换成 x， 那 么超过的部分就是 x 减三，那我们就超出了 x 减三件， x 减三键的部分原价打八折，那我们这里就要乘上八十块钱，然后再乘上八折，乘零点八， 或者是写百分之八十。好，那么这个 y 就 等于两百四，加上这里八十乘百分之八十就是六十四，那么 y 就 等于两百四，加上六十四， x 减去 一百九十二，然后再化解，把这个六十四 x 写前面，对吧？然后用两百四减去一百九十二，它就等于这个四十八啊，去加四十八，对吧？好，所以呢，我们这里再把它的 x 取的范围写上去， x 大 于三就可以了， 那么这个是付款的费用啊，付款的费用，这里我们是这个写总费用写一下关系啊，等于前三件原价原价购买， 前三件原价购买对应的就是这个三乘一百八，这个总费用是 y， 前三件原价购买，对应的就是三乘八十，那么超出三件的部分， 超出三件的部分或是超出三件的数量， 就原价打八折。 好，那么一个一个对应超键，超出三键的数量就是 x 减三，原价就是这个八十，打八折就是乘百分之八十一一对应就可以了，好吧？然后它只教我们写出函数解析式， 并且是 x 大 于三的部分，那前三件就不需要算了，知道吧？然后这里我们写上 x 大 于三，这里补充一下，并且这个 x 为正整数，且 x 为正整数，你不能是小数吧，对不对？正整数 就 ok 了。再看第三题，某网店销售一款护眼台灯，在销售过程当中，他们发现这款护眼台灯销售单价为六十元的时候，每个星期可以卖出一百个，如果调整销售单价， 每降价一元，那每个星期就可以多卖出两个。现在网店决定降价销售，设销售单价为 x 元，每个星期销售量为 y 个。 这句话比较难理解，每降价一元，那么每个星期就可以多卖出两个，什么意思呢？他原来的单价是六十块钱一个，对不对？如果他卖五十九块钱，是不是降价一块钱，那么就在一百块钱的基础之上加两个。如果他降两元，卖五十八块钱， 那么降了两块钱，就会多卖四个，那么它现在就会卖一百零四个，就是这个意思，我们要把这个关系表示出来。好，那么根据题目要求，咱们先列一下，现在的单价是 x 元，现单价 是 a 元 x 元，那么降了多少呢？不知道对不对？我们怎么样去表示降价呢？降了多少钱？我们写一下啊，降 了多少钱呢？那我们怎么算降了多少钱？假如说现在卖五十五块钱，那降了多少钱？ 是不是降了五块钱？你怎么算呢？是不是拿六十减五十五，得到降了五块钱？如果他现在卖五十块钱一个，对吧？如果他现在卖五十块钱一个，那你用， 你看一下从六十到五十降了多少钱？是不是降了十块钱？你现在是不是拿六十减五十，就表示降价了十块钱？那么现在我不知道现在单价是多少，那么怎么算？是不还是拿六十减 x， 我 就知道它降了多少钱，所以现在降价了多少钱？是拿六十减 x 元， 对不对？好，那么现在呢？它的销售数量，销售数量， 销售数量也要表示出来销售数量是多少个呀？好，我们类比一下，好不好？类比一下，你看啊，我降价了几块钱，我看我们先要从降价了几块钱开始，因为它是降价一块钱就多卖两个，对不对？ 我写几个例子出来，你看啊，如果现在单价是五十九块钱，说明降了 一块钱，那么他的销售数量就是什么？就是用一百加上一乘二， 对不对？好，或者是二乘一，因为降价一块钱就多卖两个，那如果我现在卖五十五块钱，那降了多少钱？是不是六十减五十五，对不对？然后呢？现在是卖多少个？是用二乘上它的降价 这个数量降价的这个费用，降了六十减 x， 就是 六十减五十五，是乘五的吧？是不是六十减五十五啊？对不对？现在我们只需要把这个五十五换成 x 就 可以了，所以是降了 x 元， 对吧？那现在单价是 x 元，降了六十减 x， 那 么现在的数量呢？就是一百加上二乘上六十减 x， 好， 所以现在的数量就是一百加上二乘六十减 x， 这个就是现在的销售数量， 我们把它写过来，所以它现在它的销售数量是一百加上二乘上六十 减 x 个，啊，就这个意思，好，那么现在销售数量它说的是把它写成 y 个，对不对？所以现在的 y 是 不就等于这个？现在 y 是 不就等于这个？好，那我们这里把它写下来吧，那对齐， 因为我们现在是把这个五十五换成了 x， 这里就是六十减去 x 一 样的，然后把这个五十五换成 x， 那 么这里对应的是 y 个，对应的是 y 个，所以我们刚才表示的这这一串就等于 y， 所以呢， y 就 等于一百加上二乘上六十减 x， 同时你要把它的取值范围写上去，它降价，它肯定不能全降嘛，对不对？那也不可能不降嘛，对不对？如果你降价，你现在单价为零元，可不可以为零元， 对吧？如果现在单价还是六十元，那么降价了吗？是不是？是不是说明没降价，对吧？所以我们这个 x 取的范围必须再怎么样，必须要大于零，小于六十，对吧？好，再把它化简出来。那么这个 y 呢？ 就等于一百加上一百二减去二 x， 所以 它就等于负二 x 再加上二百二， 所以这个解析式就是 y 等于负二 x 加上二百二，然后并且写上它的取值范围小于六十大于零。 这个呢，你们到了九年级还会学啊？还会学。然后第二个，他说当销售单价为五十二元的时候，叫我们求每个星期的销售总额。 好，那我们先把它的数量算出来吧，销售总额是不是等于销售单价乘上销售数量啊，对不对？好，销售总额它是等于销售总量 乘上销售单价的 好降价为五十二块钱，那单价知道了，那我们是不是要把数量求出来？现在的数量是不是就是 y 个，对不对？所以我们第二问写的时候就要写，当 x 等于五十二的时候， 那么这个销售数量 y 就 等于这个负二，乘上五十二，再加上二百二十，那么这个算出来的话是等于多少呢？ y 就 等于负一百零四，加上二十二百二十，所以 y 就 等于一百一十六，所以销售总量现在是一百一十六，那么它的销售总额 就等于销售总量一百一十六，乘上销售单价五十二，那么乘完它的结果就等于六千零三十二元就可以了啊，这个就是它的销售总额。 所以在这道题里面，你对关系它们数量之间的关系要特别熟悉，不然的话做这道题还是有点难的。 再看第四题，为了鼓励居民节约用电，某市实行居民生活用电阶梯电价方案， 当每个月的用电量不超过两百四十千瓦时的时候，就按零点四元每千瓦时进行收费。 当用电量超过两百四十千瓦时的时候，超过的部分注意是超过的部分按零点五五元 千瓦时每千瓦时收费。这里的千瓦时呢，就是我们通常的口头表达里面的度，一度电，两度电的意思。 假设一个家庭某月用电量为 x 千瓦时，那么应该缴电费为 y 元，叫我们求 y 关于 x 的 函数解析式，那么这里是一个分段函数，分 两百四十千瓦时以前和超过两百四十千瓦时的这个两个函数，所以我们要分段，知道吧？分两段，这里先写第一段，当 这个用电量 x 小 于等于两百四大于等于零的时候，那么这个时候收费，你就只需要拿它的用电量这个 x 度，也就是 x 千瓦时去乘上它的单价就可以了。所以这个比较简单，就是 y 等于这个 x 乘上零点四五，那么我们就可以写成 y 等于零点四五 x， 这是第一段，那么第二段呢，就要稍微复杂一点，它要怎么做呢？这是第一种情况啊。第二种情况就是当这个 x 大 于两百四十的时候， 那么这个时候前面的两百四十度，它是按原价收的，按这个零点四五元每度去收的，所以呢，前面的不变，这个 y 这个收费总收费等于什么呢？前面的 两百四十千瓦时，还是按 零点四五元每千瓦时收费收费，然后再加上超过或者是超出两百四十千瓦时的部分， 按零点五元每千瓦时收费，那么这个总收费呢？还是把它当做 y 元。 前面的两百四十千瓦时按零点四五收费，那就是两百四乘上零点四五，那前面的两百四十千瓦时，按零点四五元收，一一对应这个总收费对应 y， 然后超出的部分怎么算？超出部分，假如说我这里用电是两百五十千瓦时，那么超出了多少？是不是超出了十千瓦时，那就用两百五十减去两百四，对不对？那我现在是 x 呢？我现在表示为 x， 那 你就把这个换成 x， 所以现在超出的部分用 x 减去两百四，那就是加上 x 减去两百四，这个对应的是超出两百四十千瓦时的部分对应这个。然后再按什么呢？按零点五五元收费， 那就是按零点五五元收费，对应的就是这个。好，现在我们把它化简出来就可以了。化简出来 两百四乘零点四五，等于一百零八，加上 x 乘零点五五，那就是零点五五， x 再减去两百四乘零点五五，就减去一百三十二， 然后一百零八减去一百三十二，那么它就等于多少，它就等于负二十四，对吧？所以是零点五五， x 减去二十四，那么这里有两段，所以我们要把它写成分段函数的形式，那么 y 就 等于 零点四五 x， 这个时候 x 的 曲值范围是要大于等于零，小于等于二十四的。那第二段呢？是零点五五， x 减去二十四，这个时候的 x 曲值范围是要大于两百四十千瓦时，就是大于两百四十度的。我们把这个写在最下面，这个就是第一问的结果啊， 用分段函数的形式表示出来。好，现在再看第二问。当然在第一问当中，其实我们需要补充的是什么呢？就是如果两百四十度交满了，他是多少钱？因为第二个 第二问，他说的是如果某家家庭某月用电为一百四十一元，那到底是用第一段还是第二段呢？我们不知道对不对？所以我们这里要写一下 两百四十，如果 d 档交满了，它是等于一百零八元，对不对？那么你看一下这个一百四十四十一元是不是已经超过了一百零八元，所以它的用电量肯定超过了两百四十度，知道吧？好，这里我们写一下， 不然的话你两个都要试一下嘛，对不对？好，这里我们写一下。当， 当 x 等于两百四十的时候，这个 y 是 等于两百四十乘上零点四五等于一百零八元的，然后因为这个题目给的一百四十一元大于一百零八元，对不对？所以 当 y 等于这个一百四十一的时候，他的 x 一定是大于两百四的，那么为什么要写这个呢？就是要，我就是告诉我这个审题的人，我们要用第二段，知道吧？好，所以呢， 我们就可以得到这个一百四十一等于一零一点五五， x 减去二十四再移向过来 一百四十一加上二十四等于零点五五 x， 那 么把它他们俩加起来就等于一百六十五等于零点五五 x， 那 么一百六十五除以零点五五 就等于 x， 所以 这里算出来是三百等于 x， 所以 x 就 等于三百啊，好，那么这里我们就可以直接答了啊，答，这个家庭这个月的用电量是多少？ 是三百千瓦时就 ok 了。好吧，这不就写完了。

  110毕老师细讲数学
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  人教版数学八年级下册23.4实际问题与一次函数（第3课时）PPT

  5中小学资料
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  初二数学下册-一次函数的实际应用问题练习题1 #初中数学

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  我们讲一下伊斯函数的实际应用的练习题啊， 我们看一下核心知识点，一的话是一次函数的简单应用啊。看第一题，母品牌鞋子的长度 y 厘米啊，与鞋子的码数 x 之间满足一次函数关系。 若二十二码鞋子的长度为十六厘米，四尺四码鞋子的长度为二十七厘米，则三十八码鞋子的长度为多少？嗯，这里呢，就是说这个鞋子的长度和鞋子的码数是一个以散数的关系，那我们就可以把它， 把他的函数关系把它表示出来，就 y 等于 ks 加 b， 然后呢，他给了一组两组对应的值哈，二十二码的时候，长度是十六，那实际上的意思就是，当 x 等于二十二的时候 呢， y 是等于十六，那么当 x 等于四十四的时候呢， y 是等于二十七。所以呢，我们把这两组量带入这个函数关系时，就是带定系数法一样的哈，把它带进来之后，就得到这个二元一次防生组，这样的话，就求出 k 是等于二分之一， b 呢，是等于五啊，就是 kb 的直来。 然后呢，就能够得到这个 y 和 x 的函数关系了，是 y 等于二分之一， x 加五，然后他说三十八码的鞋子，注意，三十八码码数的话，是 x 啊，把它带入到这个 x 里面来，就能够求出 y 的值，也就是鞋子的长度了啊， x 等于三十八十，取出 y 呢，是等于二十四嘞，也就是这鞋子的长度是二十四厘米。这道题选 b 啊，这就是一三函数的实际问题啊，一三函数实际问题，就是说他拿一个实际问题，我们把它转换成一个数学的 函数问题来做啊，就是要能够读懂题意，我们再看第二题啊，在弹性限度内，某弹簧的长度外，与所挂物体的质量 x 之间的关系，如图所示，当所挂物体的质量为十千克时，弹簧的长度为多少？注意，这个弹簧的长度 与这个挂的物品的这个质量啊，是一个也是一个一次函数的关系，对吧？那他要求的是 物体所挂物体的质量为十千克，就是说 x 等于十的时候，求这个弹簧的长度哇，也是多少？ 我们只需要取出这个函数的关系式，就可以把这个 x 等于十带进来，求挖一个值了。所以呢，我们先取函数关系式哈，这里注意是他我们已经知道了两个点的坐标了，实际上知道了 b 的值是十，对吧？另外一组呢，就是 x 等于二十的时候， y 等于二十。同样，我们还是设 y 等于 k， x 加 b 啊，把这个零十带进来，就 b 等于十，然后再把这个 x 等于二十， y 等于二十带进来啊，同样得到这个二元一次发生组， 求出 k 的直来，求出 b 的直来，就得到了函数关系式是 y 等于二分之一， x 加十。然后他说，当 x 等于十的时候啊，物体的质量是十千克的时候，那把这个十千克带到函数关系式，就能够求出这个弹簧的长度是十五啊。 好，再看第三题，一到六六个月的婴儿生长发育的非常快，在一到六个月内，一个婴儿的体重 y 啊，与月龄 x 之间的变化情况如下表啊，就是说一个月的时候，婴儿的体重呢，是四千 七百克，两个月的时候，婴儿的体重是五千四百克，三个月的时候呢，婴儿的体重呢，是六千一百克啊，我们注意看一下，从一个月到两个月增加一个月体重增加七百千克 啊，二到三也是提那个月是月份，是增加一个月体重还是增加七百千克，对吧？他都是在增加七百千克，那这就是一个依次函数的关系，所以呢，我们同样还是设 y 等于 ts 加 b， 然后呢，找两组量把它带入进来，任意两组都行啊，只要这个表格中的， 当 x 等于一的时候啊，把它带进来，就 y 是等于四千七百，当 x 等于二的时候把它带进来，然后 y 是等于五千四百，同样这样的话就能够得到这个啊。二元气方程组求出 k 是等于七百， b 是等于四千，那所以的话，函数关系 是 y 等于七百， x 加四千啊。如果要写字边的取值范围的话，那就是 x 要大于等于零了啊，啊，要大于零。 然后我们再看第四题啊，核心知识点二是分段函数的应用。注意，分段函数就是说在自变量的取值范围不同的时候，他的函数关系也不一样啊，这就叫分段函数啊。你看在零到三这个取值范围内的话，他是这个样子， 三到十的话是这个样子的一条直线了，十往上又变成了另外一个样子，就是说他是好几段的函数组合起来的，这就叫分段函数啊。我们先看这道题，某式出租车的收费标准如下，三千米以内含三千米，收费六元，三千米到十千米部分，每 每千米加收一点三元，十千米以上的部分呢，每千米加收一点九元。那么出租车收费外与行驶里程、行驶路程 x 之间的函数关系图像表示为， 最近我们要观察一下，他说三千米以内都是收六元，这里的三千米以内的话，就是你比方说你乘坐一千米，两千米啊，甚至是零点五千米，他都是收六元，那这样的话 a 可以排除 啊，你说他在这个一千一千米，两千米的话，也应该是六元，应该是这个样子的啊，只要是三千米以内，他都是六元啊。然后第二部分呢，他是 三千米到十千米呢，每千米要加收一点三元，那这个时候就要向上来了，是吧？然后 十千米啊，超过十千的密封。嗯嗯，部分呢，每千米加速一点九元，注意他加速的部分是比这个一点三元要高的了，所以他的曲线应该是啊，这条直线应该是升高的更快，所以呢，应该是选 b 啊， 像这个的话，他十千米应该是再往上升啊，这个十千米也应该再往上升啊，他不可能说十千米之后就就收十五元不再收了啊。这道题是选 b 第五题啊，购买一种苹果十，付款金额 y 与购买量 x 之间的函数图像如， 嗯，由如图所示的线段 oe 和设限 ab 组成，则一次性购买三千克这种苹果比分三次，每次购买一千克这种苹果可节省多少元，我们就要看一下一次性购买三千克的话需要付多少钱好，根据这个 函数图像的话，一次性购买三千克只需要付二十六元，对吧？三千克是二十六元，但是然后呢，分三次，每次购买一千克，那购买一千克的话，是在这一段之内的啊，两千克是二十元，那一千克的话就是十元， 那他说分三次购买一千克，就一不购买一千克十元，再买一千克十元，再买一千克十元，总共是花三十元，那比一次性购买三三千克的话，花了二十二十六元，是不是多了四元？也就是说啊，这里应该是选四元？ 好，第六题，小明从家步行到学校需走的路程为一千八百米啊，这是他需要走的全部的路程啊。一千八百米途中的折线 oab 反映了小明从家步行到学校所走的路程 s 余时间 t 的 查处关系。根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行十五分钟时，到学校还需步行多少米？注意，他问的是还需步行多少米哈，而这个上面的这个 s 呢，指的是他离开家的路程哈，那他说步行十五分钟， 十五分钟的话，是在这一段，差不多是在这个位这个位置啊。所以呢，我们需要求出这个 ab 的函数关系来求出 ab 的函，函数关系，把这个 t 等于十五的十五带进来，对吧？ t 等于十五带进来， 好，我这里是写的是 y 和 x， 那实际上应该是 s 和 t 啊，那要求 ab 的函数关系的话，就把这两个点带入进去就行了。 t 等于八，就 x 等于八的时候呢， y 是等于九百六十 啊，然后 x 等于二十的时候， y 是等于一千八百啊，就把它带入进来求数， k 是等于七十， b 是等于四百，所以呢， ab 的函数关系就是 y 等于七十， x 加四百，然后他说当步行十五分钟的时候，我们就看一下他行驶了多少路程，把 x 等于十五带进来， 求数呢？ y 是等于一千四百五十。这里需要注意的是啊，这个一千四百五十呢，是他已经行驶的路程，而问的是他到学校还需步行多少米，那就用总的路程一千八百米减去他已经行驶的一千四百五十米啊，求数呢是等于三百五十米 啊。啊，这六道题呢，就是一些简单的一些函数问题了啊，函数与实际问题相结合的问题，最关键的就是要搞懂他们之间的函数关系啊， 我们现在学的是依次函数，基本上都是涉及到依次函数与这种实际问题的一个关系啊，要在要把他的实际的这些句子哈，这些话把他 能够弄清楚他是一个一个什么样的数学模型，那对于我们一三二数就是一三二数的数学模型，把它转化成数学题去做啊。好，就讲这些。

  341骑行选手-赵老师
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  实际问题与一次函数不等式 23-4.3 #数学思维#八年级下册#中考数学#一次函数

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  好，再来看到实际问题当中依次函数与不等式的结合。 guess 二当中是这样说的，某学校计划在总费用不超过两千三百元的情况下，租用客车送两百三十四名学生和六名教师集体外出活动， 每辆客车上至少要有一名教师。现在有甲乙两种大客车，他们的载客量和租金如表所示。下面有个表啊，写了，甲客车 载客量是四十五人，租金是四百元。乙客车载客量是三十人，租金是两百八十元。 他第一问问我们共需要多少辆客车，第二问让我们给出最节省费用的租车方案，那么说明这里不止一种方案吗？对不对？好，我们先来看一下一共有多少人？ 学生两百三十四名，教师有六人，对吧？所以一共呢，就有两百三十四，加上六等于两百四十名， 对不对？所以有两百四十个人，那么他说问我们需要租多少辆客车，那我们分析一下，如果说全部做已车，那么是不是用两百四除以三十等于八辆， 但能不能租八辆呢？肯定不行，为什么呢？因为老师只有六个，他这里要求一辆客车上至少要有一名老师，对不对？那么如果说你租八辆的话， 那么六辆有六辆车是有老师的，那剩下的两辆车是不是就没老师？那么就不能满足题名要求吧，所以肯定不能是八辆， 对不对？那可不可以是六辆呢？那六辆是可以的，那六辆的话，你就不能租用乙车了，你就要租用甲车，你看一下两百四十人除以这个四十五，对吧？他的结果是不超过六的，对不对？那当然也不小于五啊，我们可以算一下， 这个两百四除以四十五人，他是约等于五点三三的啊，五点三三的，所以他如果全部租假车的话，需要六辆，那这可不可以满足题目要求呢？可以，因为正好是六辆车， 每辆车一名教师，对不对？那是可以满足题目要求的。这里我写了一下分析，因为这个假车比乙车的载容量是要多的啊，这个是多字啊， 多。那么全部租假车的话，可以使这个租车数量尽可能的少。 两百四除以四十五是约等于五点三三辆的。那，那由于五辆车最多也就可以坐四十五乘上五等于二百二十五人，对不对？够不够两百四？不够两百四对不对？小于总人数两百四，所以 他的这个客车总数是不能小于六辆的，所以不能小于六辆，知道吧？然后呢，因为总共就只有六个老师，所以你的这个车的数量也不能超过六，所以我们通过这两两个分析就可以知道一共需要六辆车。 这个是第一问， 路上呢，他也给了一个分析过程，对不对？你看，一要保证两百四十名师生乘车都有位置，所以根据第一个条件，我们可以知道客车总数是不能小于六辆的，对吧？不能小于六辆。 然后再根据这个第二个条件，就是要使每辆客车上都至少有一名教师，而总共就只有六名教师，对吧？所以客车总数是不能大于六辆的， 又不能小于六辆，又不能大于六辆，那么综合起来来看，那就只能为六辆，对吧？好，那第一问咱们这个就答完了， 第二问，这里叫我们给出最节省费用的租车方案，那么我们要先看一下假租几辆对不对？那我们就设一下。好，这个是第一问， 现在来写第二问，那我们就要设一下这个费用，租车费用是 y 元，设租车费用 为 y 元，然后呢这个假车就是 x 量， 那乙车呢？乙车就是六减 x 量， 看到没有？因为我们前面已经分析出来了，一共六辆客车对不对？那假车有 x 辆，那乙车就是六减 x 辆就可以了。那么除了这个费用之外，还涉及到一个问题，就是位置，我们这里假设这个位置，座位啊，车的座位，这个座位， 咱们就写 w 个，好吧，有 w 个位置，我们要让这个位置大于等于两百四，而且要让这个费用 y 呢， 不超过两千三就小于等于三，知道吧？好，那么根据这个表格我们就可以开始算了，来看一下 啊，来看一下，那么首先是这个费用表示，费用表示的话，假车是四百元，乙车是两百八十元，所以我们列出来的就是 y 等于这个四百 x 加上二百八十乘上六减 x， 那用他的这个数量乘上他的单价，数量乘单价加起来就是这个租车的费用，然后你再看这个座位， w 个座位呢，就等于 x 辆假车，这个一辆假车四十五个座位，所以就是四十五 x， 然后呢乙车呢？一辆车是三十个座位，就用三十乘上六减 x， 好， 那我们根据这两个条件，他说的是什么？ 他说的是费用不超过两千三，人数要大于等于，也就是座位要大于等于两百四，所以我们就可以通过题目条件得到什么呢？得到这个 y 要小于等于两千三， 而这个座位 w 呢？要大于等于两百四，然后我们再根据这两个式子去化解。好，这里写上一二，这是一四，这是二四，那么一四算一下， 让这个要小于等于两千三，对吧？那就是四百 x 加上两百八十乘上六减 x 要小于等于两千三，把这个不等式算出来好，那么就是四百 x 加上六乘两百八 是一千六百八十，再减去两百八十 x 小 于等于两千三，然后再移项就变成了四百 x 减去两百八十 x 小 于等于两千三，减去一千六百八十。 那么这里的话呢，就减完之后就还剩六百二十，前面减完是一百二十 x， 然后再把一百二十 x 移过去除，所以 x 小 于等于六百二十，除以一百二十。那么往旁边写一点啊，这里挡住了， 那么这个 x 呢，就小于等于一百二十分之六百二十，所以 x 咱们再化减一下，就变小于等于五又六分之一就可以了。好， 再来看第二个不等式，第二个不等式是四十五 x 加上三十乘上六减 x 要大于等于两百四 四十五 x 加上这个三六十八，就是一百八减去三十 x 大 于等于两百四四十五 x 减三十 x 等于十五 x， 两百四减一百八， 那么十五 x 就 大于等于六十 x 就 大于等于六十除以十五 x 就 大于等于四。所以我们中上来看，这里算出来的结果就是 x 小 于等于五又六分之一，大于等于四就可以了。那么这种情况下我们可以得到的是什么？我们可以得到这个 x 的 整数解，因为车它肯定是整数，对不对啊？因为 这个 x 都是大于等于零的啊， x 是 大于等于零的，并且呢， x 为正整数， x 为整数啊，所以呢，这个 x 可以 等于四 或者是五，在这个范围之内， x 可以 等于四，然后不超过五有六分之一，那就可以等于五吧，对不对？所以有两种方案，第一种方案就是假车四辆，第二种方案就是假车五辆， 对吧？一个是假车四辆，一个是假车五辆，然后我们再分情况去算它的什么，它的费用，那我们再去算它的费用来看方案一，方案一，第一种方案就是假车有四辆， 乙车呢，就是六减二啊，六减四等于两辆， 那么它的费用呢？就是四乘四百，加上二乘二百八，对不对？好，我们这种情况下算出来的。好，这个写 y 啊，应该这样写， 应该，第一种情况就是 x 等于四， 这里我们把实际情况也写一下，第一种情况就是就是 x 等于四的时候，那 y 就 等于 四百乘上四，加上两百八乘上二，算出来的结果就是两千一百六十元。好，再看第二种情况，第二种情况其实就是假车五辆， 乙车呢？一辆，这个时候是 x 等于五的时候，这个费用 y， 它就会等于这个 四百乘上五，加上二百八十乘上一， 等于两千两百八十元。然后最后总结一下，因为这个两千一百六十小于两千两百八十，所以呢，是什么时候最省费？正水最省钱呢？就是甲适量 以两辆 最省钱， 可以了啊，就可以了，那么这个就是这道题的过程啊，大家可以暂停看一下，然后下面呢，它有填空让你填，对吧？好，我们把这个算一下，这里呢，它是用这个 a 去表示了我们一开始确定的六辆车，所以这个 a 是 等于六的， 然后呢，它这个费用呢，这个 y 费用就是用这个式子去表示，它就等于四百 x 加上两百八乘上六减 x 啊，不过呢，它这里可以化简出来，化简出来的话呢，就可以得到是 一百二十 x 加上一千六百八十，然后通过我们这里不等式的这两组不等式的计算，哎，你会发现这个 x 呢，它是不能小于 适量的，然后为了使注册费用也不超过两千三，那么这个 x 呢，就不能超过六，所以综合起来， x 的 取值就是四 或者是五，当然你这里写具体的五又六分之一也是可以的，知道吗？这里我们算出来的不超过这个费用不超过两千三的，这个费用是小于五又六分六分之一的，所以他这里就不能超过六， ok 吧。好， 那么在考虑上述问题的基础之上，你还能得到几种不同的注册方案，为了节省应用，选择哪种方案说明理由，那么我们在这里的计算就是说明了方案的费用，并且这个费用少的就是最省钱的，对不对？好，我们这里已经说清楚了，好吧， 再来看到这个归纳，解决含有多个变量问题的时候，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个，选取一个取值能够影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数， 以此作为解决问题的数学模型。那么在这道题当中呢，我们这个假车的数量是可以影响这个座位的，也是可以影响费用的，所以我们就把假车的数量设为 x 了，就是这个意思 啊。然后呢，像这种用函数去表示，用函数去表示的，我们也可以通过图像，只不过这里位置太小了，我就没画图像。那大家想要看这个用函数图像怎么做这道题，你可以翻一下之前的视频去看一下，好吧，好，再来整体看一下就 ok 了， 再看练习。某文具店购进 a、 b 两种型号的计算器进行销售， 其进价与售价如下表所示， a 型号的计算器进价二十二元，售价三十二元，那么说明他卖一台 a 型计算器是不是可以赚十块钱，对不对？我们顺便把它的利润也给它，算出来 的利润就是三十二，减去二十二等于十元，他卖一台赚十元。然后 b 型计算器呢，是进价十九元，售价二十五元，对吧？那我们就用二十五 减十九，所以他卖一台卖一台这个 b 型计算器可以赚六块钱。 为了满足市场需求，第二季度文具店计划用不超过两千元的资金采购这两种计算器，一共一百台，那采购的话，你就按进价算知道吧， 若采购的计算器能够全部售出，那售出之后给出利润最大的进货方案，那么我们想要算利润，那么你就要用这个去算知道吧， 并求出最大利润是多少。好，那么这里已经告诉我们一共是一百台了，对不对？那我们就设这个 a 型 a 型号 x 台， b 型号不要设 y 台啊，因为它们是一共一百台，你把它设为一百减 x 台， 然后利润呢？这个利润我们设为 w， 写总利润 为 w 元啊，然后呢进价，总进价 为 y 元就可以了。好吧，因为这里要和这个 采购资金作比较的，可以把总进价和总利润都表示出来，总进价就是 y， 对 吧？好， y 等于什么呢？这个 a 型的是 x 代， b 型的是一百减 x 代，如果你算进价的话，你就用进价乘上它们的数量，再加起来，它就等于二十二 x 加上十九，乘上一百减 x， 对 吧？好，并且这个 x 肯定要大于等于零， 小于等于一百，并且还是整数，对不对？好，我们算一下，把它化解一下， y 就 等于二十二 x 加上一千九百减去十九 x， 这个 y 就 等于二十二 x 减十九 x， 三 x 加一九零零。好，这个是什么？ 这个是总进价，我们要让这个总进价怎么样？不超过两千元，所以这个总进价就是三 x 加上一千九，要小于等于两千啊，所以三 x 就 小于等于两千减一千九就小于一百，所以 x 就 小于等于一百除以三， 那 x 就 小于等于三十三又三分之一，就可以了啊。然后再来看第二个就是利润，利润呢？要最大，对不对？ 那我们就把它表示为 w， 利润呢？按十和六去算， x 抬 a， 那 么就是十 x， 它的利润就是十 x 加上六乘一百减 x， 那 么这个利润就等于一百。这个十 x 加上六百减六 x， 那 么 w 就 等于什么？就等于十 x 减去六 x 等于四， x 加上六百。 好，你看一下这个是什么函数？这个是依次函数，对不对？好，这里的 x 取的范围也是要小于的，一百大于等于零，并且是整数的啊， 它是一次函数，而这里呢，它只给了一个 x 要小于等于三十三又三分之一的一个范围，其他的范围没有，对吧？那我们总不可能把从一从零到三十三全写出来吧？那肯定写不下，所以我们就分析一下，这个一次函数，它是一次函数，它的这个四也就对应的这个 k 值， k 值是不是正数，对不对？好，我们这里写一下，因为这里的 k 是 等于四的， 所以 k 大 于零。在依次函数当中，如果它的 k 值是大于零的，说明这个函数是不是随着 x 的 增大而增大呀？对不对？它的 k 是 大于零的，所以这个 w 总利润就随 x 的 增大而增大。 所以你想要利润最大，那么你就要让这个 x 最大，所以 x 当取 x 的 最大值的时候，最大值 即可得到 利润 w 的 最大值， 而这个 x 的 最大值在这个取值范围之内，是不是只能是最多就是十三十三，对不对？所以因为 x 的 最大值等于三十三啊，这里应该写一下， 因为这个 x 要小于等于三十三又三分之一，所以 x 的 最大值等于三十三，所以这个利润的最大值，它就等于四乘三十三加上六百，所以这个利润的最大值把它算出来， 就等于七百三十二元。好，所以最大利润是七百三十二元，那这个时候 x 是 等于三十三，说明 a 型机器这个计算器就是三十三台， 那么它的这个方案是多少呢？那方案最佳方案，我们就说这个，当 a 型 三十三台， b 型就是一百减三十三，一百减三十三的话写出来吧，就等于六十七台， b 型六十七台的时候有 最大利润 为七百三十二元就可以了。啊，这样的话呢，我们就既回答了他的进货方案对不对？也回答了最大利润就可以了，好吧，再整体看一下。

  281毕老师细讲数学
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  11:09

  人教版数学八年级下册数学第23章 一次函数（复习课件）

  2中小学资料
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  00:50

  八下数学期末必考：一次函数【十大题型】 @抖音小助手 @DOU+小助手 #数学思维 #初中数学 #八年级数学 #中考数学 #一次函数

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  来，各位初二同学，一函数呢，是初二下半学期的一个难点，那我这里呢，整理了一函数的十个必考点，这些题目呢，很有可能就是你本次期末考试的原题。那第一个必考点就是函数的概念，第二个函数自变量的取值范围。 第三个一函数的定义，第四个一函数图像与系数的关系。第五个一函数的图像与坐标轴的焦点及面积问题。第六个一函数的平移。第七个一函数的增减性。第八个一函数的解析式。 第九个一函数的实际应用。第十个一函数的图像问题。那这些题目呢，全部都有详细的答案解析，有需要的家长在粉丝群回复一函数拿去练习。

  87梁老师讲初中数学
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  02:38

  人教版八年级下数学《一次函数与图形的面积》 #人教版八年级数学 #初中数学优质课 #一次函数与面积问题 #人教版初中数学 #数学教学视频

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  哎， x 等于负四，比如说我接下来这个图像过什么呀？负四零这个点和零负四这个点，是不是这两点就确定了这条直线，对吧？我把这两点一连，那接下来我们看是不是这个就是 y 等 于负 x 减四的图像，那大概的图像有了之后，那它和余继续啊，那你图像有了，那观察它这个面积我们如何去求？你是怎么求的？你这样打出来， 嗯，说一下，因为他正好就是在一个圆角三角形的这样的一个角，嗯，然后，所以就是对一些长刀，然后剪 一下。啊，那也就是说他刚才说了这块正好是一个直角，哎，稍等啊，那我们看这个三角形的这个底就是谁啊？ a c a c 这块距离是底，那 ob 这个长度是高，对吧？哎，那我想问一下，这个三角形这个 a a c 这个底如何去求？你是怎么求的 啊？这两个焦点咱们刚才求的一个是四零，一个是二零，那现在这两个焦点在这呢？那这个线段 a c 的 这个长度我们如何去求呢？啊？两个角的值相加，哪两个角的相加 a o， 嗯，那也就是这里面点 a 的 坐标是什么呀？二零点 c 的 坐标是负四零，那也就是这里面我选举的都是它到原点的距离，这两个的距离就是几呀？ 负四的绝对值就是几呀四，那 a 到 o 的 距离就是它的绝对值就是几呀二，那这个底就是什么呀？二加四等于几呀？六，对吧？哎，那这个高呢？ ob 这个长度你是如何求的？ 高的话，因为它正好是在外周上的，所以这个就是它到这个， 它到。那现在 b 点的坐标是什么呀？零四。那我们看那这个距离如何去求的 啊？也就是负四到这个零的距离就是负四的绝对值。没问题的啊，没问题。好，回去。那接下来我们再讲。比如说现在，刚才马克里说呢， a 点的坐标是什么？加二零啊。 c 点的坐标是什么？加 负四。那我们接下来来看一下啊。这里面我们突破的一个问题就是我能把这个底算出来高，算出来就行，对吧？哎，刚才马克里是用的两个绝对是相加。那你还有其他的方法呢？ 嗯，还有其他的方法吗？等一下啊。

  15真相只有一个
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  02:37

  八年级下册数学，利用一次函数图像比较大小#数学 #初中数学

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  我们来看一个实际操作过程中，需要大家自己作图，并结合图像的比较两个函数值的大小关系，那作图的话，我们遵循的原则还是列表描点连线，大家一定要坚持这个，所以呢我们先把这个列表的过程写出来，这时候呢我们可以选择啊一些， 因为在同一个坐标系统做出两个图像，我们可以把它给放到一起， 最上面呢我们写上它的自变量，下面呢分别是 y 一 和 y 二， 由于它没有自变量的数值范围，我们写一些省略号，先取数的时候我们观察啊，因为知道我们知道这都是一次函数，对吧？我们可以取一些关键的好算的数据。 好，如果我们看到这里呢，我们想取一个整数的话，可以选择一个负二，选个负二负数的，负二的话有个好处是这里乘完之后是一加二等于三，这里呢是负二乘三呢是负六，它也是三，在这里哎，找到了它的交点，然后我们可以选择它取个零， 这个零的话，它是二，这里是九啊，这里基本上就够了，我们再把后面呢给写成省略号，但如果最开始你这个点正好没有正好取得焦点也没关系，你可以再去算一下我们的焦点，尽量把焦点找出来啊，做到这个坐标系里面呢，我们找到一些关键点，首先是负二的位置 啊，然后是负二，是对这个外一呢是负二三，外二也是负二三 这个点，对吧？这个是零二这条线啊，我们用尺子呢，你把它画好，就相当于这根线呢，就是 y 一， 它就等于负二分之一 x 加二这个图像，然后这个三四加九呢？这里零九零九比较高啊，我这个图像呢，你可以考虑把这个往上去画一画，大概在这个位置 好，画出这个图像之后，它是 y 等于三， x 加九，对吧？所以这个焦点，焦点坐标比较关键，它是负二三这个点。 那我们来结合这个图像来比较大小关系呢？肯定不是简单的说谁大，而是写清楚，当 x 大 于负二时，我们发现是 y 二大于 y 一。 当 x 等于负二时， y 二呢？是等于 y 一 的。当 x 小 于负二时， y 二是小于 y 一 的啊，这就是它们的大小关系的比较。

  23乐其数学
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  03:32

  八年级下册数学，一次函数实际应用1#数学 #初中数学

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  我们来分析一个利用一次函数解决实际问题的经典例题。某玉米种子的价格是四十元每千克，若一次购买不超过两千克的种子，其价格不变。一次购买超过两千克的种子，超过部分打六折。第一本写出付款金额关于购买量的函数关系式，并画出函数图像。 那我们解决这个题的时候，先把这两个变量给设出来，设付款金额为外元，因为它是相当于我们函数的一变量。关于购买量呢，那就是再设出 购买量为 x 千克这两个变量，我们把它给找出来。然后根据题意呢，首先分为两类，第一类呢，当这个 x 小 于等于二十 y 呢，是等于四十 x 的。 当 x 大 于二十， 首先前两千克呢，还是价格不变？后边的 x 减二超过部分是打了六折，打六折，也就是四十乘以零点六。好，我们稍微化简一下。 然后后边是二十四 x 减去二十四乘二是四十八，最终 y 是 等于二十四 x 加上三十二的。 好，我们第一位呢，给它整理一下，写成一个分段函数的表达， y 是 等于四十 x 的， 后面备注一下， x 的 系数范围大于等于零，小于等于二。还有一个是二十四 x 加上三十二 x 是 大于二的啊，我们以这样一个总结的形式把它总结出来，那还得画出函数图像， 正常的我们还是要列表描点连线，我在列表的时候发现啊，就是首先第一段是一个正比函数， 所以我们可以选择过圆点，再借助一个关键拐点，也就这里是二，在零和二之间呢，它的纵坐标。我们可以选一部分数据，比如说四十八十 啊，因为我们知道一对的这个点是四十二呢，对的是八十。第一段函数这个正比函数一部分，我们把它画出来，在大于二的时候呢，我们也是呃，从这个位置，因为这个大于二，我们可以找到三和以及四这些点去找一下，我们找到三，我们看一下啊，三对的值是 二十四乘以三，再加上三十二，三四一十二，二三得六七十二，加上三十二是一百零四，对吧？这个下面我们就可能搞到了，这个一百二，一百零四呢，可能比它稍微低一点， 在这个位置好，也就第二个第二个图像这样子，那我们第一个图像呢，旁边的标注一下， y 等于四十 x， 第二个图像是 y 等于二十四 x 加三十二，这就是整个它的函数图像。 那第二问，购买四千克玉米种子，那我们知道四首先是大于二的，所以我们要带入第二段函数图像上，也就是当 x 等四时，我们把它带入到第二段， y 等于二十四乘四，加上三十二，算出这段结果是一百二十八。 那最后再总结一下，再答一下，就是一次性购买四千克玉米种子呢，需要一百二十八元就可以了 啊。整个题目呢告诉我们一个道理，也就是我们在做这个题目的时候，首先要知道分段的那个关键的数据，就是字面量在哪个位置，以此为界限，我们来画出对应的图像。

  18乐其数学
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  02:24

  八下第五章《一次函数》第三弹来了！一次函数总是掉坑的同学看过来！建议点赞收藏跟着华姐的思路多看几遍！#初中数学 #解题技巧 #一次函数 #学霸秘籍 #家长必看

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  正比的函数你学完了，那么一次函数就正式的拉开帷幕了啊，那我们接下来定义一下一次函数的定义呢，就是一般的啊，形容我们 y 等于 k， x 加 b 这种形式的函数叫做一次函数，同样的 x 前面这个系数比例系数 k 呢，要不等于零？ 好吧，要等不等于零，但是你有没有发现它跟正比例函数啊，它不一样的点在于，它引入了一个 b， 但是它没有提 b， 它只提了个是常数，它并没有提 b， 这里能不能是零啊？它没提，没提说明什么？没提就说明 可能是可能，不是，我不关心，我不 care， 只要 k 不 等于零就行了好吧，所以这里 b 可以 等于零，可以不等于零，而且你发现当这里面的 b 等于零，可以不等于零，而且你发现当这里面的 b 等于零，而且你发现当这里面 b 可以 等于零，而且你发现当这里面 b 可以 等于零，而且你发现当这里面 b 等于 k， x 是 啥呀？ 是我们刚刚学过的正比例函数吧，对吧？是正比例函数啊，所以呢啊，我们就能总结出来了，正比例函数是 特殊的依次函数，特殊在哪呢？就是在依次函数解析式当中的 b 等于零的时候，就变成了正比例函数了。当然，如果 b 不是 零， b 不是 零，那就是我们一般的依次函数了。好吧，啊，一般的依次函数了啊， ok， 好， 这是我们的一次函数的定义啊，接下来我们来啊考察一下下列函数呢，一共给了大家五个啊，是一次函数的有谁啊？来套。我们定义， y 等于 k 乘 x 加上我们的 b， k 呢，不等于零， b 呢啊，可以等于零，也可以不等于零，都可以，对吧？都可以啊，然后呢？ y 等于派乘以 x 啊，就是只要这个派，不要把它当成字母啊，它是一个这个无限不循环的小数，对吧？只要 是非零的数乘以 x 就 可以，但这个其实是个正比的函数，对吧？它还属于一次函数啊，二 x 减一，没问题，非常非常的对照啊。 y 等于 x 分 之一，这个不行啊， x 遇到了在分母当中出现分式的形式的，不可以， 那是整式的形式，那这是 y 等于二的负一次方减去三 x， 这个行吗？看着好像有坑似的，有诈似的，其实没有啊，这个我们来化解，二的负一次方就是二分之一，对吧？二分之一减三 x， 那对照我们 y 等于 k， s 加 b 这种形式呢？那其实就是负三 x 再加了个二分之一，对吧？这里的 k 呢是等于负三 x 啊， 这里的 k 呢是等于我们的负三的，这里的 b 呢是等于我们二分之一的，好吧，也可以哈，也可以，没问题。然后 y 等于 x 平方减一啊，这这这出现二次了呢，你还想啥了呢？不对啊，只有我们的这个题是一二三啊，三个啊，这个题选我们的 b 选项啊，这是咱们一次函数的定义，各位同学你掌握了吧？

  39张华初中数学
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  00:08

  2026人教版八下数学一次函数实际应用题20道 #初中数学 #一次函数 #应用题 #八下数学

  34帝源教育图书旗舰店书籍号
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  八下数学期末必过经典题：一次函数与不等式的关系#八下数学 #初二数学下册 #一次函数 #一次函数与不等式

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  依次函数与不等式的结合，这样的题型是我们期末每年必考的题型，记住啊，是必考的题型， 那到目前为止，我还看到相当一部分同学啊，对这种题啊，还进行大量的进行计算才得出结果，那实际上这样的题型只需要看图就可以得出答案。今天我们通过去年的两道期末的真题，给大家讲一讲这种单求函数怎么来求范围。 我来看一下第一道题啊，他说这里有一个函数的结式， y 等于 x 加 b， 图像给到了，还有两个交点，我们把这个坐标标一下，二斗零和零斗三 啊，然后他要求这个 x 加 b 大 于等于零的时候， x 的 这个取的范围啊。第一步呢，我们通常来讲啊，会对它进行一个转化，把这个 x 加 b 呢变成 y， 因为 y 本身就等于它嘛，大于等于零。 好，那么知道这个之后呢，第一步要干什么呢？就是无论你是大于还是小于，我们都找到等于的时候，那这地方呢，我们就找到 y 等于零的地方， 那找到 y 等于零的地方，我们看这条函数图像上，哪一个点的 y 是 等于零的呢？很明显就是二这个位置好。找到它之后呢，我们从这个地方画一条竖线，画这条竖线呢，就相当于把我们这个图形啊分成了两个部分，左边部分和右边部分。好，那接下来我们来找一找啊， 第二步啊，就去找他的这个符合条件的啊，这个图像在哪里？那这里有个口诀，就是大鱼的时候，我们就往上面走，小鱼的时候呢，就往下面走，那你看这里是大鱼啊， 大鱼呢，因为这地方 y 等于零吗？大于零我们就往上面跑，那符合要求呢，就是这一段，这一段呢，在我们这条线的左边，我们来看一下，图象，找到了之后呢，就看 x 在 哪个范围， 这条竖线对应的是二，也就是说一开始是二，而往左边走的话，那我这个图像往左边走啊，我这 x 呢，也是越来越向左的，那就是越来越小了。 好，那这个时候呢，我们的 x 呢，就是小于二的啊，当然这个时候呢，原本啊，我们是有等号的，要保持一致，所以 x 呢，也是要等于二的，所以这种结果呢，我们就选择 c， 答案 x 小 于二。 好，第二种呢，它就是不与零进行比较了，与另外的一个数比较，这个地方呢，它就与四进行比较。我们看一下啊，这也是它的图像，而且给出了一个点的坐标， a 是 负二负四， 然后呢，他要求 k x 加 b 大 于四，那我们转换一下，就是 y 大 于四的时候，我们说了，无论大于还是小于，先找到等于的时候，那我们看 y 等于四在哪个点呢？很明显在 a 点，因为 a 点的 y 是 等于四的，依然是通过一点做一条竖直的线， 整个平面呢，分成了左边和右边部分。那么现在要找这个符合要求的图像在哪里呢？ 上大下小哈，既然又是大于，我们就往上面跑，哎，就是这段符合要求，那对应的 x 在 哪里呢？这条竖线一开始对应的是负二， 既然是右边的图像，就是往右边是越走越远的，那我的 x 也会往右边移动，那就说比负二越来越大，那所以我们 x 呢，是大于负二的，因为它没有等号，所以我这里也没有等号， x 大 于负二就可以了。

  85粤数
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  八下期末必考：一次函数面积之割补法 八下期末必考：一次函数面积关系之割补法✨，数学赵老师讲解，简单易懂📚，考试不愁！ #数学技巧 #一次函数 #期末复习 #一次函数面积问题

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  e 函数面积关系第二种方法歌补法如何来操作？听到了啥讲解？下面的视频有很多 学生只会用歌补法。第二种歌补法，这里如果歌补法呢？根据上面的分类的话，我们再有两种情况，一种是 p 在 这里 p 一 的位置，另外一种是 p 在 上面是 p 二的位置。如果是用歌补法的话，我们一定是要分类讨论的。第一种就在 p e 的 位置嘛，连接一下 b p e 有 一条条件，我们得出了三角形 a、 b、 o 的 面积，所以得出什么 a b， p、 e 的 面积也是等八的，而这里就这里，如果直接算的话，这里直接算 a b、 p 这个面积的话，知道这个底蛋高不好算吗？高不好算的话，你看我们就用什么用比较规则的我们算割股法，割股法我们主要用的是什么？两个能够算出底层高的相减或相加，就是要么是割上两个相等，要么是补，所以这里的话他不好算的话，能发现这里的话 b a 大 的面积是怎么算出来的？只用 b a b 大 这个三角形减去 ap 大 这个三角形就可以了。 所以这里你可以读出来这个三角形 a、 b、 p、 e 的 面积是可以等于三角形 a、 b 的 面积减去三角形 a 大 p e 的 面积的。 a 大 p e 的 面积这里 p 的 多半不知道，你们可以试直接试试，它的横坐标为 a， 因为是在 b 大 这条直线解析上可以用什么负二，哎，负二 a 加四 来表示，我们这一种看一下 a 的 面积是二分就直接写了。这里的话 a 大 的面积是四，这是二，所以 a 大 是等于六的，高的话，就是 b、 o 的 长度是等于四的，这乘以四减去 a 大 p 的 面积的话，发现这个高底的话，也是 a 大， 这个高的话，就是也是等于底 啊，底也是等于六的高的话，你发现是这个长度，而这个长度是相当于是 p 点的纵坐标， p 点的一定是在大点上方的，所以 p 点的纵坐标一定是正数， 这个数它是等于什么？是等于这个三角形 a、 b、 o 的 面积幺幺零等于八，所以这个几何也是等八的，我们通过它来计算，算出 a 的 值的话， p 的 就能算出来了。把这个算一下，十二减去三倍的负二， a 加四也就等于八，进一步转化，进一步转化掉就是四，就等于三倍的负二， a 加四，进一步算是算出来的负六， a 就 等于八，那 a 就 等于三分之四， 这种 p 的 长度对照中度怎么算出来？我就不算了，直接是三分之四。哦，三分之四，第一种情况就算出来了，刚才说是在 p 的 位置，那如果在 p 二的位置就在上方呢？就是 a p 二 b 这个三角形，这个紫色的怎么求呢？这是第一种方法。第二种方法的话是一样的，要求的是三角形 a、 b， p 二的面积是等于三角形 a、 b、 o 的 面积。我们转化一下这个等八嘛， 看一下这跟它一样的，这个底高的话，这个不好算，看一下最大的是这个三角形，所以就需要用 p 二 a 大， 这个三角形减去 a、 b 大 就可以了， 就别写了。三角形 p 二 a 大， 减去三角形 b， a 大， 等于三角形 a、 b、 o， 也就是等于八的，然后直接带进去来进行算，带进去的算二分之一乘以六，乘以 a 等于高的话， p 二这个度数也一样的，这是二分之一等于等于乘以高的话， p 二这个度数等于大，所以直接乘以负二， a 加四，然后减去二分之一乘以六， 乘以一点， p 四等于八。通过它算出 a 的 值等负三分之四，所以 p 二的也就是负三分之四到三分之二是两种方法，这种方法，割补法。这种方法很多学生都说不好理解，但他算 的麻烦一点，算的麻烦一点是第二种方法。我是赵老师，请关注赵老师，为您讲解各种做题方法和技巧，有什么问题及时留言。

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