三年级数学下册垂直怎么画
三年级常考的垂直判定题，还有许多同学不会判断，这个视频就来讲一下这类题型应该怎样解决。观察下图，已知角一等于五十五度，角二等于三十五度，直线 b 与直线 c 互相垂直吗？为什么？ 为了方便观察，我们把已知角的度数标在图形中，角一是五十五度， 角二是三十五度。有些同学遇到这类题会直接拿三角尺来量，但是这道题考察的是垂直的定义，我们要写出判断过程，直接写答案的话是不给分的，所以我们得用算式来进行推理。 我们来想一下，两条直线在什么情况下是互相垂直的呢？这里考察的是垂直的定义，两条直线相交成直角时，那么这两条直线就互相垂直了。这需要满足两个条件的，第一个 两条直线得要相交，第二个还要相交成直角，也就是九十度。再来观察图形，直线 b 和直线 c 已经相交了，我们只需要求它相交成的这个角是直角就可以了。那求哪一个角比较好求呢？ 是不是这个角比较好求呀？为什么他比较好求呢？来看图，角一和角二和这个角是不是形成了平角呀？那我们把这个角设为角三，我们就可以得到 角一加角二加角三等于一百八十度，角一的度数是五十五度，角二的度数呢是三十五度，角三是不是就很好求？等于一百八十度，减去五十五度，再减去三十五度，结果等于九十度。 两条要求都满足了，我们就可以说直线 b 与直线 c 互相垂直， 因为两条直线相交成直角时， 这两条直线就互相垂直。
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09:52查看AI文稿AI文稿同学们，上节课我们认识了相交于平行，知道两条直线相交成直角时，它们互相垂直。今天我们要亲手掌握画垂线的技能， 还会解锁点到直线的距离这个重要的知识。首先我们来解决第一个问题，画一条直线 a、 b 互相垂直， 应该怎么画呢？我们可以从垂直的定义入手。垂直的定义是两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线是一条直线的垂线。根据定义，这条新直线要满足和直线 a、 b 相交，而且相交形成的四个角都是直角。是的， 满足这两个条件，两条直线才互相垂直。怎样可以确定相交形成的角是直角呢？我知道有两种常用的方法， 我用三角板画，把三角板的一条直角边紧紧贴在直线 a、 b 上，完全重合，不能留缝隙。沿着三角板的另一条直角边，从直线 a、 b 上任意一点画一条直线， 在垂足处标上直角符号，这样就表示相交成直角了。大家注意，直角边必须和已知的直线完全重合，不然画出来的角不是直角， 两条直线就不垂直了。我用两角器画，步骤也很简单， 首先把两角器的九十度刻度线与直线 a、 b 重合，然后沿着两角器的直边画一条和 a、 b 相交的直线， 最后同样在垂足处标上直角符号。两种方法都能画出垂线，核心都是保证相交成九十度。大家可以选自己拿手的方法来用。 我们难度升级过直线外一点 p 画直线 l 的 垂线可以怎么画呢？需要准备什么工具呢？ 需要三角板直尺和铅笔。好，下面跟着老师一步步操作吧！ 我们先把直角的一条直角边与直线 l 重合。三角板的一条直角边仅靠直角平移， 直到三角板的另一条直角边与点 p 重合，再过点 p， 沿着三角板的另一条直角边画垂线， 最后在垂直处标上直角符号。也可以用两角器画。 第一步，先将两角器的零刻度线与已知直线重合，使九十度刻度线经过点 p。 第二步，在九十度刻度线处标上点 b。 第三步，过点 p 和点 b 画一条直线，这条直线就是经过点 p 到直线 l 的 垂线， 在垂足处标上直角符号。那大家画完后思考过，点 p 向直线 l 能画几条垂线呢？ 我尝试多次后发现只能画一条。是的，在同一平面内过直线外一点，尤其仅有一条直线与已知直线垂直。 再看这个情况，过直线上一点 p 画直线 l 的 垂线可以怎么画呢？ 和之前的方法一样，也是将直角的一边与直线 l 重合， 三角尺的一条直角边紧靠直角平移，直到三角板的另一条直角边与点 p 重合， 然后握点 p， 沿着三角板的另一条直角边画垂线，最后在垂足处标上直角符号。 太聪明了，其实方法完全相同，但大家要注意，不管点在直线上还是直线外，都让三角板或两角器的直角边准确对齐已知直线和已知点。 大家对比一下两种情况，过直线外和直线上一点画垂线，方法是不是一样呢？ 方法是一样的，都是在边线重合的基础上平移找点，然后沿另一条直角边画。是的，逻辑完全相同，只是点的位置不同，平移三角板的距离不一样而已。 我们来做个小实验，从点 p 向已知直线 l 画一条垂直的线段 pa 和几条不垂直的线段。 先为每条线段标上符号，然后用尺子量一量，记一记。你有什么发现呢？我把这几条线段叫做线段一、二、三、四、五、六。 经过测量，线段一是五十五毫米，线段二是三十七毫米。 线段三是三十四毫米，线段四是三十七毫米，线段五是四十五毫米， 线段六是五十五毫米。通过比较，与直线 l 垂直的线段 pa 最短，其他不垂直的线段都比它长。 是的，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。而这条垂直线段的长度就叫做点到直线的距离。 注意，点到直线的距离不是指这条垂线段本身，而是它的长度，而且它是点到直线的最短距离。 生活中从家到学校走直路最近，就是这个道理。下面我们回顾点 p 向已知直线 l 画垂直线段的过程，以及测量过点 p 的 这些线段的长度。 你发现了什么？我知道了，在同一平面内过一点，尤其仅有一条直线与已知直线垂直。 我也知道了，连接直线外一点与直线上的点的所有线段中，垂线段最短。 同学们，今天我们学会了画垂线和认识点到直线的距离，谁来总结一下收获？ 我知道了，不管是通过直线外一点还是直线上一点，都可以画出这条直线的垂线。我知道了，画垂线时，要在边线重合的基础上平移找点， 然后沿另一条直角边画。我学会了画垂线的方法，可以总结为依靠。二画三标记。 我知道了过点 p 向直线 l 只能画一条 垂直线段的长度， 就叫做点到直线的距离。我知道了从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段的长度最短。 大家总结的很全面，生活中很多地方会用到画垂线，比如建筑施工时画直角，测量最短距离等。 大家课后多加练习画图，巩固今天的知识。今天的课就上到这里，下课。
94姜题通
06:51查看AI文稿AI文稿垂线是不可能单独存在的，你垂直于我，我垂直于你。那么其实我们画垂线就是在画与这些已知直线相互垂直的直线或者是线段，对吧？好，比如说第一题，画直线 l 的 垂线， 看，我们要画的就是与直线 l 相相互垂直的线。好，大家可以比划一下与直线 l 相互垂直的直线大概长什么样子，比划一下 是不是这样？既然是相互垂直，所以他们要形成什么？这样直角，对吧？那如果我想画出直角，我要干什么？ 对了，我们要借助工具，三角尺是最方便的，因为三角尺的这个角是一个直角，要形成这个直角的两条边，我们叫它直角边。我们现在把这个三角尺的 的一条直角边，也就是这条边怎么样？贴着已知直线 l 贴着它，这样的话，你看直线 l 和三角尺的另一条直角边是不是形成了一个直角？对，那这样如果我们挨着另外一条边画的话，是不是就画出了与 l 相互垂直的直线，对吧？好， 这样我们这里就是一个直角，那这里要不要画出头呢？要，要画出头。为什么他让我们画的是垂线？垂线其实是一条直线，直线的特点是什么呀？对了，他的两岸可以无限延长，延长一些，第一幅图我们就完成了，第二幅图难度增大了， 他让我们过点 a， 画直线 l 的 垂线，这个垂线还要怎么样？过点 a， 过点 a， 那 我们找到点 a 在 哪里？ 在这里是不是用三角尺的一条直角边干什么呀？贴，贴上一支直线 l 平移移到他正好碰到 a 点，这个时候我再画的这条垂线 是不是就系于 l 形成直角，又经过 a 点啊？那我这里要不要给他画出去？要，要，因为这里画的是垂线，给他补一点出去就可以了。 接着来看第三个，这个点，跑到直线呢外面去了，这就是过直线外的一点，去画已知直线的垂线。来，我们比划一下直线 l 的 垂线大概长什么样？哎，是不是这样？那我们就要调动一下我们的三角尺，让三角尺的一条直角边贴着 已知直线 l 开始移动，碰到 b 点就可以停止了。接着我们来画出 这条经过 b 点，而且垂直于 l 的 直线，这个要不要画出头？要，要画出头，哎，我们可以回来再给他补一点，看第四个。第四个是过点 c 画已知角两条边的垂线段。 已知角，两条边？啥意思？已知角就说明图里面肯定有个角，你能找到这个角呀？不就是这个角吗？是不是 画已知角？什么两条边？那角是不是有两条边？一条是这，还有一条是这个。 那我们经过 c 点要画这两条边的垂线，所以一会你画的时候要画几条垂线段？两条我们给他起个名字吧。 o， 这个是 o a o b， 所以 我们要画过 c 点 o a 的 垂直线段，过 c 点 o b 的 垂直线段。哎，这里啊，这个词变了，我们来读一下，这叫什么？垂线段？刚才都是什么？ 刚才都是垂线，那垂线段你知道什么意思吗？就是不出头那种。对了，垂线段是一种线段，它是有长度的。先来画过 c 点这个 o a 的 垂线段，接着我们用三角尺干嘛？第一步 和 o a 贴上去，然后进行平移，哎，到这里碰到 c 就 停止了，就以 a 为一个端点，到这个 o、 a 的 时候，他们的焦点为另外一个端点，这里我们给他标一个直角符号，过 c 点到 o、 b 的 垂直线段。 这时候我们的三角尺的直角边应该和哪条边贴在一起啊？ o b 是 吧，调整一下角度好，开始干什么？ 移，一直移到 c 点，然后从 c 点开始，到哪里啊？ o 到 o、 b 这条线段上停止就可以了，这样我们就画出来了， 过 c 点 o、 b 的 垂直线段，画上直角符号。第五小题，过点 b 画 a、 c 的 垂直线段，过点 a 画 b、 c 的 垂直线段。这里有几个操作，两个我们一个一个来看，过点 b 画 a、 c 的 垂直线段好点 b 在 哪里？能找到吗？这里这是点 b 画 a、 c 的 垂线段。 现在这个时候啊，有同学可能会晕，因为点 b 和 a、 c 它是在一个三角形，也就在一个图里面了，这个时候你可能会容易受干扰，所以说我们要学会排除干扰， 说到谁我们就只看谁。这里说到过点 b 画 ac 的， 所以我们眼里只有点 b 和线段 ac。 好， 我们可以啊，你看我把它移走。哎，那现在变成这样，看起来是不是简单多了，对吧？然后我把它放回来啊，三角尺的直角边应该和谁 贴在一起？和谁啊？和 ac 贴在一起，然后进行平移。好，这个时候画的时候一定要注意是画垂线还是画垂线段， 读题要读清楚啊，垂线段，所以我们就从 b 出发，一直画到和 a、 c 相交，就停止了标直角符号。第二个操作，过点 a 画 bc 的 垂线段，现在过的是点 a 了啊，画谁的垂线段？ bc 在 这里。好，那我先把另外两条边给他移走， 你会发现什么？哎，我想画 bc， 我 发现 bc 怎么样？不够长。哎，这时候怎么办呢？ bc 延长非常好，它无限延长。哦，我把这两条边给放回来啊，这个时候呢，我们可以把 bc 给它延长一下，我们用虚线，这样就能区分这个原来图里的边和我们延长的边， 所以我们用虚线给它延长。好，这个时候是不是就够宽的啦？好，我们接着把三角尺的直角边对齐 bc， 然后平移到 a 点的地方，再画垂直垂直线段，这个时候我们就画出了过 a， 点 b、 c 的 垂线段。接下来我们来总结一下画垂线的方法。首先我们要用到一个工具，就是三角尺。那拿出三角尺，第一步，我们干什么？贴，贴， 用三角尺的哪里贴哪里？三角尺的直角边去贴已知直线。第二步呢？ 移，移，移。为什么要移？因为我们需要过某点，所以我们要平移到某点，是不是接着就是画画了，对吧？画什么呀？画垂线。最后不要忘记标直角。好，四步，贴移画标。
5722小赵你真行
20:31查看AI文稿AI文稿挑战二十分钟带你学会线面垂直五种核心球法，两种重点题型，零基础也能轻松拿捏。哈喽，各位小伙伴大家好，今天我们来开始讲解这个线面垂直的这一节内容。这节内容的话我们主要是给大家先通过四个方向去讲解，第一个我们先给大家去讲解这个线面垂直的判定和性质， 第二个会给大家讲到线面垂直的证明思想，第三个我们会给大家讲到线面垂直证明的一个步骤， 第四个主要讲到线线垂直的证明的步骤。好，那总共会讲到五类核心思想，两类重点题型。那首先我们来先看一下第一个知识，也就是线面垂直的一个知识。首先你要知道线面垂直的一个判定定律是什么 啊？知道之前的话你得先了解。哎，什么是线面垂直？怎样一条线跟一个面才能垂直呢？这条线要跟面内的所有线都要垂直，则线就跟这个面就互相垂直了，记法记成 l 垂直于 r 法，这是可以的。 然后他的判定定律就是我们不可能去证明一条线跟面的时候，我把所有的线去挣出来，不可能的，那我只需要在这个平面中啊找到两条相交线哎就可以了，就是我只要证明这个 l 这条线垂直，这个 平面 r 内的两条相交线就可以，这两条相交线就可以作为一个代表直接代替这个平面，这个原理是可以通过我们的向量的肌底知识可以了解到的。 那我们后期证明这个线面垂直的时候，只要证明线垂直面内两条相交线，他的一个符号语言写法就是你得先写这 fa 和 b 是 在平面内，这两个平面还得有交点， 而且并且我们的 l 要垂直 r 法， l 要垂直 b 场其对于这五个条件中最核心的就是线线垂直，就这两组线线垂直，好吧，你这五个条件够了，就能挣出来我们的线垂直于面， 这就是线面垂直的一个判定定力，大家在书写过程中肯定是要把这五个条件都要书写到。 接下来我们说一下这个线面垂直的性质定力。判定定力是什么呢？判定定力就是你现在并不知道这个线跟面垂直，你要判定证明他，而性质就是你已经知道线面垂直了，你能得到什么。那性性定力，第一个就是你要一条线啊，两条相交线垂两条平行线。 接下来我们来看一下这个性质定律，性质定律是什么？就相当于他已经知道了我们的线面垂直了，你能得到什么呢？那第一个我们来先看 他，如果是垂直同一个平面的两条线，那肯定是平行的，这就是我们的性质一了。就是这两个线啊，都跟我们这个 f 平面垂直，那则就能推出来 a 和 b 平行，那相当于你要正的就是 a 垂直 f， 而 b 也垂直 f， 那 我就能推出来 这两条线平行，那这个内容主要是用来辅助我们的线线平行的。那第二个性质就是我们可能用的比较多，但是其实它是一个定力的一个延伸了啊，它是定力延伸，定力说的是定义，说的是我们的线要垂直面，线就要垂直面的所有线，那如果一个线已经垂直面了， 是不是相当于他就垂直面内所有线了，是吧？那这个内容其实比较简单，但他在后面我们正题中证明过程中其用的比较多了。线垂直这个面了，如果这面内有个 m 这条线， 对吧？那线肯定也就垂直于 m 这条线，那你在书写过程中，你只要先强调一下这个线跟面垂直，并且这个 m 在 这个平面内，那我们就可以得到这个线 l 跟 m 就 垂直了。这后面是为了服务我们的线线垂直的，我们待会掌掌握这个五种核心思想的时候， 其实里面就有一个我们的线，这个啊，线面垂直性质定律。好，这就他的一个线面垂直的判定定律跟性质的讲解。那接下来我们就要去证明一下我们的线线垂直。刚才说了，我们的线面垂直的证明最核心的就是在证线线垂直， 其余的两个都是，其余这三个条件属于流水账，对吧？那我们先来看一下线线垂直的总共有多少种方法思路呢？ 我们这块给它整理了五类思想，那这块是石头哥自己整理出来的东西啊，这个我们一般的大本题都是能沿用这五个知识，那首先我们来看这五个知识是什么？第一个比较简单，就是它是一个等腰三角形或等边三角形的一个三线合一， 就是如果出现等腰或等边或者两边相等，那你直接取中点或者题干中有中点，那直接连线就能挣出来，线和面就垂直了，因为这个三角形 这多少三也行吧？那中点一连三线合一，这条线也就跟这条线垂直，是不是就得到了一个线垂直了？这是第一个。 第二个就是我们的几何图形的性质，那比如说正方形了，矩形了，菱形了，是吧？长方形了，这些规则图形中他的邻边垂直或者掉线互相垂直，他自带一些垂直属性的，那我们可以直接判断的，好吧？第三个就是我们的勾股定律逆定律。就如果题干中出现了这个线段长度或者边的比例， 那大家要想想，如果你三边符合勾股定律，就 a 方等于啊， b 方加 c 方，这三边都符合这样的关系了，那是不是就从而能证出来？哎，你映证那个三角形是个直角三角形了，对吧？计算三边的平方关系，满足等式即值垂直 垂直的话，就就可能就能用于我们的服务线线垂直了，对吧？所以这就是我们的勾股定 e 定律。这个前提你要看题干中如果有这个线段的长度或者是边长比例，你可能会想到这个知识，好吧。第四个就是我们的线面垂直和面面垂直的性质判判性质定律 就是你如果线垂直面，那刚才不是说了吗？线如果垂直面了，那线垂直面对所有线吗？对吧？那你就能正出来线线垂直了。还有就是面面垂直，你可以通过面面垂直能反推出来线线线面垂直，通过线面垂直再反推出来线线垂直，这完全可以做到的，有高级的一个能推出来我们的一个线线垂直。 好，那接下来到第五个就是全等和相似，那这种考题不高，但是考出来我们的一个线线垂直。好，那接下来到第五个，就是在立体图形中， 我们可能很抽象想象不到它其实能证明相似和全等，因为你正出来两组相似或全等以后，你可以通过角的一个转换，或者角的这个等价直接能得到垂直或者是我们的呃，相当于角的一个合适九十度。 所以像存在这个，何时能想到垂相似和全等呢？就存在相等的边，或者相等的角或者线段成比例，那我就可以通过相似和全等，最后通过角的一个转换推出九十度。那我们等会给大家一一把这五种思路，通过题目给大家讲到。 好，接下来我们来给大家讲解一下这个对应的一些题型。那这块我们总共讲解四道题目，包括我们的线面垂直，还有牵线垂直的一个两种题型，那线面垂直我们会讲解三道题型，那这块会囊括我们刚才讲的五种思想。那首先我们来先看一下第一道题目，题中条件给的是一个正方题， 然后他让证明的是 a、 c 和这个平面要垂直。首先我们在图形中先把这个线和面给他画出来。好，他就是让证明 a、 c 和这个平面 b e， b d， e d， 他 要垂直，那我们怎样证明呢？首先我们要证明线垂直一个面，那自然是要证明他的线垂直面内两条相交线。我们现在就肯定核心是要找到这两条相交线跟我们的已知直线垂直。行了，那 a、 c， 首先它是正方体，大家很快能想到我们这个思路，它是有一个 a、 c 是 不是就直接垂直于我们的 b、 d 了，因为它是正方体，上面这个底面是不是就是一个我们的啊？正方形，所以它俩互相垂直的，没有任何问题的。 a c 垂直， b d， 这是一条线， 那其余的另外一条线在哪呢？那我们 b d 找到了，肯定不能再找 b e b e 的 b e d e 的， 这是同一条线，它俩平行的，那我肯定先优先选择这个 b b 一， 它是正方体，是 b b 一， 是不是垂直于我们的这个底面，也就是上底面 abcd， 如果你这条线跟这个面垂直了，那你的我的 a c 是 不是肯定是在这个上底面里？那 b 一 b 一 是不是就垂直于我们的 a c 了？刚才我们讲到的这个线面垂直的性质定律， 线垂直，面线就垂直面对任意一条线，那是不是相当于我们的 b b 一， 也就 a c， 自然也就会跟 b b 一 垂直？ 那是不是这两个题目的思路就出来了？这两条线够的话，那线垂直，面线线垂直，线线垂直，然后你再把这三个条件一写，然后就能挣出来我们的线面垂直了。那我们把过程给大家写一遍。 好，接下来我们给大家把这个过程已经写完了，那我们写完过程以后，大家要注意啊，在我们的书写过程中，一定要把这个该写的要写完整，比如说他的两组线线垂直，这是第一个，这是第二个，两个线线垂直。还有你要强调两个线在面内以及我们的两条线相交，总共是五个条件， 集齐以后，那咱就能得到我们的线面垂直。而本题用到的思想就是我们证明了一个线线垂直的过程中，用到了第一个，就是用到了我们的几何性质，也就正方形的。第二，用到了线面垂直的性质定律，也就用了侧棱一根底面垂直，从而就能跟另外里面的一条线垂直了，从而就得到了我们两组线线垂直 可以了，所以核心还是线线垂直。好吧，大家一定要把它练厚。接下来看一下我们的第二道题。第二道题是一道线面垂直的证明啊，那这道题目的难度会比上面一道上升一个台阶。那我们先来看一下题目条件，题中给出了 a b c 是 一个等边扇形 哦，那我可能会想到等会可能会用到三线合一了，对吧？然后四边形 b b e c e b， 它是一个正方形，然后底 d 是 ab 的 中点，标一下 a， e， d 是 根五。 让你求证的是我们的 c、 d 垂直于我们的平面， a e a b b e， 对， 就是这个正面这个面儿。 那我们现在怎样去证明这个线垂直的面呢？那肯定是要证明线垂直面内两条交叉线嘛，那还是要找到这两条交叉线。那首先 cd 肯定会跟我们的 ab 垂直，这首先是一个三线合一的思路， 是不是 a， 呃， cd 垂直于 ab， 这是一个三线合一。好，这是没问题的。 那现在还需要再找另外一条线，到底是谁呢？ a b 找完以后肯定不会再找 a 一 b 一 了，因为它俩是平行的，是相当于同等效的，没有必要。那我肯定是要找 a a 一 或者 b b 一， 那我们肯定是倾向于我们选择 b b 一 会更好一些，因为 b b 一 的话，它是能用到我们的正方形，同时也能可能用到我们这个边啊。虽然说题干中给的这个 a、 e、 d 这个边是根五，对吧？可能等会我要采用一些相似或全的啊，相似或我们的购物定例，因为它有数据， 对吧？那你说这个底边边长是二，说明 b、 c 是 不是也是二？那 d 又是终点，那是不是 a、 d 就是 一了？ a、 d 是 一的话，那我们的 a、 a 一 跟我们 b、 b 一 长度是一样，这是二？是不是很容易能想到这块是刚好是勾股定律的？就是你的 a、 a 一 还有 ad 一， ad 还有 ad， 它这三边刚好符合勾股定律？符合勾股定律的话，那是不是相当于你的这个 ad 就 垂直于我们的 a、 a 一 了？ 但是题干中我们如果你要证明出 a、 a 一 跟 a、 d 垂直，但并不是并不能证出来 c、 d 跟它垂直嘛。所以我们 a、 a、 a 一 如果跟 a、 d 垂直了，那 bb 一 是不是跟 a、 d 也是垂直的？因为它俩是平行的嘛，所以我们这块是能证出来一个 bb 一 垂直于我们的 a、 b 或者 a、 d 都行，垂直 a、 b 吧，因为它垂直 a、 b 也就垂直 a、 d 了，那还有什么条件吗？题干中不是，我们这是个正方形吗？那 b、 b 一 是不是也仍然正垂直于我们的这个 c、 b？ 通过这两个条件的话，咱能证出来什么呢？通过这两条件，咱是不是能证出来我们的 b、 b 一 就直接垂直于我们的平面 abc 了？ 你说 b、 b 一 都跟这个平面 a、 b、 c 垂直了， c、 d 是 不是在这个边内？那是不是相当于我们就又能证出来 c、 d 是 不是也就垂直于 b、 b 一 了？ 因为你的 b b 垂直的这个侧面 abc 嘛， b b 垂线垂直面，线就垂直面内任意一条线，那 b b 一 就垂直于 c、 d 了，那相当于这两个条件够的情况下，那谁是不是能证出来我们的线和面就垂直了，那这个题目就得正了。 好，那我把过程给大家写一下，过程就给大家写完了。那主要是要先得到这个三角合一，得到线线垂直，然后再通过购物定里以及我们的这个性质， 这个正方形的性质，从而得到这两组线线，从而就能得到那个线面，就是 b b b 一 嘛，垂直这个面，从而验证出来 c d 垂直我们的这个 b b 一 了，所以这两个条件是我们的核心了。 好吧，中间是嵌套了一次线面垂直了，那你看这种题目难度就会上升一点，他会给你嵌套一个线面垂直，然后这两条线够了以后呢？从而就得到了我们的线面垂直，你把后面这三个条件再补充进来就行了。 所以，好，再来看一下我们的第三道题目，第三道题题中给的条件是正长方体中啊。然后 ab 是 四， ad 是 三， a a e 是 我们的五， m 是 我们的 a b b b 上的一个点，它告诉你 b m 的 一个长度是五分之十六了，就这段长度是五分之十六， 它让你证明的是 a m 垂直我们的 a e d e c， 它现在让你证明的是 a m 垂直这个 a e d e c 啊，这个平面，那我们怎样证明它呢？首先我们要证明啊，这个线垂直面肯定是要证明线垂直面那两条相交线的，那先找线 第一个比较明显的，因为它是个长方体，是不是它这个侧棱就是 a、 d 一 会跟它的正面这个垂直了，所以我们首先找到了 a、 d 一， 也就 am 是 垂直于 a 一 d 一 的， 因为 a、 d 垂直于我们的正面，然后线垂直面，线就垂直面的另一条线， am 在 这个面内，可以的，所以 am 垂直 a、 d 一， 这是第一个。接下来需要找线，那我们就排查一下，看 a c， a c， a e、 c 可不可以 a c 我 们先不选择，先把选择这个 d、 c 吧。 d c 的 话，我们能不能把它这个 d、 c 直接转嫁到我们前面这个 a、 e、 b 中， 就是你的 d、 c 是 不是跟 a、 e、 b 是 完全平行的？所以我直接证明这个 a、 e、 b 就 可以了，因为 a、 b 至少跟 am 在 同一个平面内，它就在我们的正视正面里面。那我现在就证明 a、 e、 b 和 am 什么关系去了。那题干中啊，大家其实可以看到这个 a、 e、 a、 b 这个三角形跟 abm 这样三角形，首先是它的都是个直角三角形，而且它知道一些边的数据，那我们就现在研究这两个三角形就行了。 a、 e、 a、 b 跟我们的三角形 abm， 那 我看能不能挣出来这两个三角形全等，可能不太可能，有数据的话，我们可以试尝试着看一下。那相不相似呢？看它两个三，两个边成不成比例。你看这个较短的边是 bm， 看你的 bm 比上这个较长边是 ab， 等不等于我们的这个 a、 b 就 较短边比上 a a b， a a 吗？ ab 比上 a、 a， 它俩相等不相等呢？相等不相等可以看一下啊，这是五分之十六，比上四是五分之四，而这边是四比五，也是五分之四，说明这个是完全成立的。这两个成立以后，说明这个三角形，这个 abm 和三角形，我们的 a eab 三角形是完全相似的。 既然相似了以后，哎，那我们可以进行倒角，看能不能最终把这个 am 跟 ab 也就中间这个角倒成个九十度就可以了。那这个角我们把它标成，这个角，标成角一，这个表就成角二， 这两角是不是相同的？月亮相似，对应角就相同，这两角相同，那角这个标成角，三角二加角三，是不是也就九十度？那所以这个角就是九十度了。 突然就能得出来我们的这个呃线线垂直了，就相当于通过这个相似通过倒角问题，然后最后得到了 am， 其实是跟我们的这个 a e b 也是垂直的，那么通过相似证出来这个 am 垂直于我们的 a e a e a e b， 那 a e b e a e b 是 不是跟 d e c 是 完全相同的？所以从而就能推出来我们的 am 也就垂直于我们的 d e c， 是 不是这个条件和我们这个条件两个条件够的情况下，是不是咱就直接能推出来我们的 am 垂直于 adc， 对 吧？那我们把过程给大家写一遍。好，我们就给大家把这个题目给它写完成了。那 首先在步骤中需要注意就是首先第一步还是先去用我们的线垂直 a e d e， 对 吧？这是我用过刚才已经说过，通过我们的这个线平行定律。 第二个通过相似倒角就证明出来我们的 am 垂直于 dc， 好 吧，这两个条件够的后，再把其余的三个条件一写就可以了。所以这道题目主要用到了相似倒角以及我们的线面垂直性质定律。 大家去看一下第四道题，也就是一道线线垂直的一个证明啊，因为我们在通过线面垂直也是能反推出线线垂直，所以我们来看一下这道题目啊。题中给的三棱柱，然后又给了一个 ab， 等于 ac 侧棱跟底面是垂直的，相当于是我们的 a a 一 啊。 b b 一 c c 一 跟底面都是垂直的， d 是 我们的终点，他说 a、 d 一 要垂直这个线， b c 一， 这 b、 c 一 在这呢， a、 d 是 在这个位置呢， 这两个是意面直线，那我要证明这两个意面直线要垂直的话，我们的核心思想就是要构造线面垂直。这就是如果一个题干中让你证明线线垂直，那我们的第一个想法就是一定要找到一个面，把其中一条线放入面内，就可以证明线面垂直，通过线面垂直性质 反推出我们的线圈垂直。那现在就要逐一查一查，排查一下，我到底要把哪个线放入哪个面呢？你把 a、 d 一 放入哪个面？ a d a d 啊？把 a d 放哪个面？ a d 放入 abc 吗？还是把 b、 c 一 放入哪个面内？ b c 一 可能现在更更更合理更直观的应该是放在 b 一 c 一 cb 中，感觉就能跟 a d 垂直，所以我们就先尝试这个最可能的，就先把 b、 c 一 给它放入我们的平面， b 一 b c c 一 中。好，那我们只需要证明 a d 垂直这个平面， b b 一 c 一 c 就 可以了，如果你能正出来这个线和这个面垂直，那你的 b、 c 又在这个面内，那自然你的 ad 就 跟 b、 c 垂直了。 那我们接下来看一下我们的怎样证呢？现在要证明线面垂直，我们还是跟刚才一样，是不是？我们主要还是要五个条件，先找到两条线线垂直，那 a、 d， 你 这刚才这是有个等腰三角形吗？ ab 等于 ac， 然后 d 是 终点，三线合一，直接有了 a、 d 垂直于我们 bc， 那还有一个线，它题上中不是告诉你侧棱是跟底边垂直的，侧棱跟底边垂直，侧棱跟底边垂直，或说明它直棱住，直棱住的话，那你的侧棱跟底边垂直了以后，你的 a、 d 是 不是在底面 abc 里面，那你 b、 b 也就跟你的 a、 d 也就垂直了，所以相当于 a、 d 也还跟 b、 b 垂直。 它这个题目的证明线面垂直，它这个题目的证明还是比较简单的，就这两条线，一个 b b 一 跟 a、 d 一 垂直，它这个题目的证明还是比较简单的，就这两条线，一个 b、 b 一 跟这个平面就垂直了， 那从而你的 a、 d 也就垂直 b、 c、 e 了。那我们这种题的核心就是你应该先要找到那条面，把那个线放入面内就可以了。 好，那我给他把过程写一下，这道题我们就给他写完。那这块的话，他主要的思想就是构造线面垂直，然后你过程中只是用了一个非常简单的一个三角形，以及我们的这个线面垂直的一个心与定力就可以了， 生出来我们的线面垂直，从而就能推出来线线垂直。那这道题目主要用的想法就是三线合一以及我们的这个线面垂直的一个性质理想。了解更多的高中数学的知识可以关注石头哥，后期我们会给他更新更多的系统课程。好，拜拜。
4838数学石头哥
02:05查看AI文稿AI文稿我们今天来学习一下垂线的画法，如何画两条互相垂直的直线，你能想到哪些方法？第一种，利用方格纸，在方格纸上画，方格纸上我们可以得到这些网格线是互相垂直的， 所以利用网格线先画一条横线，在这条横线上再去画一条竖线，我们可以得到这个角等于九十度，所以这两条线互相垂直。 第二种，可以利用两角器，我们先画一个点，再利用这个点画一条射线，利用两角器以这个点进行重合，在两角器上找到九十度的位置画一个点，接下来将这两个点进行连线， 我们可以得到这个角等于九十度，所以这两条线互相垂直。第三种，我们利用到三角尺，同学们知道三角尺都有一个直角， 相应的我们称这个直角两边称为直角边。接下来我们可以利用这一个直角三角尺，两条直角边进行画线， 所以可以得到这个角等于九十度，因此这两条线互相垂直。第四种方法，用两把直角也能画，我们知道直角，它是一个长方形，所以它的四个角都是九十度。 利用直角的短边和长边进行重合，我们可以得到这个角会等于九十度的角， 所以将这个形成九十度的角的两边进行画线，因此得到这两条线互相垂直。
12艾桐🌾林老师
05:58查看AI文稿AI文稿不了，好家长们，今天我们要讲的是尺规作图，把三角形、长方形、正方形、平行四边形各边画在同一条直线上。那么这个题型我预估是期末考试必考的内容。 其实尺规作图还有一部分内容，就是我们在二单元学的用尺规作图，画已知线段的等长线段。那么其实这个题 之前这个内容呢，是我们今天要讲内容的基础。那么你把三角形、长方形、正方形还有平行四边形的几条边分别画在同一条直线上，其实就是画每一条边的等长线段，所以我觉得这部分内容它是 考试的重点，那么今天我们通过一个视频来重点的讲一下，那么它的步骤还有注意的事项。 先我们先讲一下，把三角形的三条边画在同一条直线上来，一定要让孩子记住，第一步是给每条边标上字母， 也相当于给每条边像人一样起上名字，呃，我们一般是用小写字母 a、 b、 c。 好了来第二步，我们一般是先画一条直线，接着别忘记标上一点，因为考试时候他可能提前已经给你画好一条直线了。那么孩子经常会什么呀？ 忘记标上这一点，这是端点好了，那么下一步我们就要分别用我们的圆规量出三条边的长度。首先我们来量一下 a 边， 好用你的针角固定在你刚才画的端点上来画弧，注意一个问题，这个弧一定要长一些，而且要穿过这条 直线，画完了之后接着标上字母 a， 表示这条线段就是代表三角形 a 的 长度。好，画完之后量出线段 b， 然后注意一个问题，要首尾相接，比如说 a 的 末尾结束点就是什么呀？就是下一条线段，下一条边的 起始点。好在画弧，注意弧要长一些，穿过直线。好，画完之后接着标上字母 b 表示的是你这条线段是画的是 b 边的长度，接着依次量出 c 的 长度，依然首尾相接。好在直线上画弧，注意弧要穿过直线。记住，我也告诉孩子们，一定要这个弧画的长一些啊，不要让别人产生误会，你是用手画的。好了，标上字母 c， 那么三角形的三角边就分别画在了同一条直线上，关键是别让孩子忘记标端点，而且要首尾相接。第一步，千万别忘记让孩子标上字母， 好，接着我们画一下，把长方形的四条边，那么画在同一条直线上。呃，其实这个是，嗯，三角形的三条边画在同一条直线的一个扩展。呃，但是你也要会啊，因为我们这学期学了长方形和正方形。 好了，来，第一步依然是和三角形一样，给每条边标上字母，也就说起上名字，但是 有一个关键点是什么？长方形的关于边的特征，他的对边相等。所以如果你给他的长起了名字叫字母 a， 那 么他的对边也是 a 啊。如果你给字，你给他的宽起的名字是字母 b， 那 么他的对边另一条宽也是 b 啊，这一点尤其要注意，而且这样会帮助你节省步骤。 好，第一步，标完字母之后来第二步，画一条直线，并标一点，依然和三角形一样。如果考试的时候，那么已经给你画好一条直线了，之后千万别忘记标一点，那平常孩子最容易犯的这个错误，就这一点 好了，编完一点之后，你用圆规，首先你可以先量出 a 的 长度来，注意一个问题，量出 a 的 长度来之后，你要画几条 a， 因为对边相等，所以你要画两条 a 来，穿过直线，注意要长一点。好了，首尾相接。 好啦，画完之后别忘记接着标上字母，两个 a 必须都要交，都要标，表示你画了是它的两条长。 好啦，来画完长之后，接着开始量宽的长度来，首尾双肩一样的画，量出一条宽来，我们要画两条宽。 好了，画完之后别忘记标上字母 b。 这里有一个关键点是什么？有的孩子是画完一条边 a 呃，长之后 他怎么办？他接着再画另一条呃，宽 b， 那 你这样子要量四次，划四次，那么我们的方法是什么呀？量完长呃，长之后接着画两条长， 连完币之后接着画两条币，那么你只需要量两次，这样可以大大节省时间，而且减少出错的概率。
03:51查看AI文稿AI文稿这个图中有几组线段互相平行，有几组线段互相垂直，咱先来看互相平行，那既然是互相平行的话，那就说明两条线段它的方向是 一致的，对不对？要不然都是横着的，要不然都是竖着的，或者是斜着的。那在这幅图里面，我们可以看到像这样 横着的线段，看他们是不是都是互相平行的， 那这里到底有几组呢？可能有的小朋友看到我画出了四条，就说是四组，你觉得对吧？不能数一条线段，因为平行是两条线段之间的一个位置关系，我们称它为一组，听明白了吗？啊，那怎样才能数的清楚呢？我们先给他编个号， 这个呢，我们叫一号一，这个是二号，三号、四号，接下来我们就要有序的去数，这样才能不重复，不遗漏。那我们就从一号开始，一号谁和一号互相平行呢？ 可以看看二号和他互相平行吗？哦，我们写出来，一号平行于二号，接着一号还平行于谁？哦，一号还平行于三号，还有吗？一号平行，一号，一号还平行于四号， 一号，数完了吧？数完了该谁了？二，哎，该二号了，那在找二号和二号互相平行的线段的时候，还要不要回头再去找？一，不要了，因为这里已经写了一号平行于二号，那二号也平行于一号，所以我们从二号开始往下找，二号平行于三号， 二号还平行于四号，非常好。接着三号平行于四号，找完了吧？找完了，一共几个？六个，这六个都是横着的。哦，有的同学已经发现了，在这个图里还有像这样竖着的互相平行的线段， 我们接着来数，竖着的接着编，这是五号，这一条是六号，这一条是七号，这一条是八号。好，我们再来，从五号开始，你说我写。五号平行于六，这是六， 五号平行于七号，七号，五号还平行于八号，还有吗？没了。从六号再开始，六号平行于七号，八号，六号还平行于八号，没了吧？七号最后七号 平行于一，共几个？一组、两组、三组、四组、五组、六组、六组加六组，一共是十二组互相平行的线段。接着我们来数，互相垂直。既然是互相垂直，那我们就要去图里去找什么直角直角，来，我们找一找， 这里有一个直角，这里有一个这里有一个，这里有一个，这里有一个。哎，赵老师，找完了吗？ 哪里还有哪里有？外面，外面，这里容易漏掉，这里还有一个，是不是？所以一共有几个直角？我们数一数啊，一二三四五六七八，一共八个直角，而每一个直角你看看都是由两条 互相垂直的线段组成的，是不是？好，我们把它写出来。好吧，我们从这里开始，哪条线段垂直于哪条线段？一垂直于五，好，这个呢？ 五垂直于四。继续说，按顺序这样转一圈说给我听，我来写啊，这里四垂直于六，继续三垂直于六，继续 三垂直于七，三垂直于七，非常好，继续。二垂直于二垂直于七，还有吗？二垂直于八，一，最后八，一垂直于八，所以一共是八组。对，是八组互相垂直的线段。
1795小赵你真行
07:53查看AI文稿AI文稿hello， 大家好。呃，今天这节课我们讲一个例题，它是初中几何里面很经典的一个模型，一般我们叫做三垂直模型， 这个这种题目呢，它并不难的，但是你一定要很熟悉，如果很熟悉的话，你就是一眼就能够识别，就一下子能做出来，我们来看一下啊，这种题目是送分的，一定要掌握的，看一下啊。 a、 b、 c 中 a， b， c 这个三角形角 b， a， c 九十度， a， b 等于 c， a 最长等于最短，等于说它是一个等腰直角三角点 a 在 直线 m 上， b， d 这里垂直， c、 e 垂直。 求证，三角形 b， d， a 全等于三角形 a， e， c 啊，这这两个证明 旋转，这就是最经典的这个三垂直模型，所谓的三垂直模型就是这个里面你至少可以发现三个直角，你发现没？这边一个，这边一个，这边一个 啊，那么怎么样突破这种呢？其实非常简单，你看要证明他们全等的话，一个角已经有了，直角已经有了，对吧？角有一个已经有了，边呢？已经告诉一个了呀， a、 b 等于 c， a 是 不是也有了？那你观察一下，我们能不能再找一个角呢？边是不是没有啊？ 所以这个三垂直角形里面最关键的就是找到相同的角，那么很简单的，你看，比如说你这里这个是设它为角一， 这个是角二，因为这个角是直角，对不对？因为角 b、 a、 c 等于九十度的，那是不是所以角一加角二， 他也是等于九十度啊？等于说是故余，对不对？角一加角二等于九十度，那么 角二又跟谁加起来等于九十度呢？是不是这个角三又因为这个是垂直的，对吧？ c 垂直 m， 所以 考试的话再写详细一点啊，这个角是直角写出来，比如说，所以角这个 a、 e、 c 等于九十度，这些要写出来啊， 所以是不是角二加角三也是互余啊？关键就是这些啊，他加他九十度，他加角二加角三又是九十度，所以呢，是不是这个关键就得到角一等于角三了， 对不对？这样的话，就在这个两个三角形当中，你看一个是直角相等，又这个角三等于角一，对吧？角角边，角角边， 所以是不是就搞定了啊？就是找这个互余的关系就很简单，就是三垂直，你发现三个至少三个直角，就去找这个角相等的这个关系。好，就是这样子很简单的啊，但是就是你一看就要想到 那么有些，呃，书本里面一般叫一线三垂直，你看这这边这个三个直角都出现在一条直线上，对吧？我这边没有写一线三垂直，是因为有些题目当中这三个角不一定在这个一条直线上，但是思路是完全一样的。我们来看这道题，第二道题， 第二道题是这样子的，你看，呃，这里一个直角三角形是这样，看起来像躺着的，那么这里也有个直角，这个直角，这个直角，并且告诉你 e 呢，是 这个的中点，那 c 等于一比啊，好，还告诉一个边的关系， a， b 等于 e、 d， 哎，这一条 a b 跟一的，哎，这一条相等，注意哦，这里有没有三垂直啊？是不是出现了一个垂直，两个垂直，第三个垂直在这里 啊？他们不在一条直线上，但是思路是一样的，一模一样的，这边有一个垂直的，那我们看一条边已经有了，这两个三角形 a、 c、 b 跟 e、 d、 d 当中一个直角已经线有了，对吧？ 一条斜边已经有了，然后能不能找到第二个角呢？找到的话，角角边好整理，全等， 我们要证明的是这个 b、 c、 b、 c 这一条等于 b、 d 啊，那就是证明另外一条直角边相等，我们只要证明这两个三角形全等就可以了。 能不能找到第二个角啊？思路一样的，随便选一个，比如说选这个，在三角形 a、 c、 b 当中， 在三角形 a、 c、 d 中，你选一下，比如选个角 a， 角 a 是 不是跟这个角，你标一下，跟角一加起来等于九十度，角 a 加角一等于九十度，对吧？ 然后呢，角 a 对 应的是不是这个角？标一下，比如说这角二， 哎，角 a 跟角二是相等吗？那就只要说明因为已经有了，角一加角 a 等于九十度，对吧？然后呢，因为这里垂直喽，这里写一下，又因为这边垂直的， e、 d 垂直 a、 b， 对 吧？ e、 d 垂直 a、 b， 所以呢，这不是一个直角吗？对不对？所以你可以写角 e、 f、 b， 角 e、 f、 b 是 不是等于九十度啊？ 啊，所以这个角一加角二呢？角一加角二是不是也是负余的也等于九十度， 那么啊，这个加这个九十度，这个加这个九十度，所以呢，是不是角 a 就 等于角二了？哎，是不是就 得到了角角边，角角边，所以这两个三角形全等，全等以后，就得到 b、 c 等于这个 b、 d， 对 吧？啊，第二题更简单了， 若比一比，告诉你等于十，求 a、 c 等于多少？ a c 比一比等于十了吗？ b c 不是 跟他一样长吗？那 b c 也是十了， b c 是 十的话，那他的一半一比不就是五吗？对不对？又因为刚才这个全等啊，所以这个 a c 他的对应的这个对应的这个全等的这个对应的边，他不就是一比吗？对吧？所以他也等于五。 所以关键这里的是你发现没有，他都是三个垂直的时候，就去找另外一个角去找它相等，那么又因为有一个是直角已经现成的， 再加上一般告诉你一条边相等的，所以角角边马上得到两个全等的三角形，那么这些题目就搞定了啊。有的是三个角在一条线上叫一线三垂直，但有的他不在一条线上，无所谓，思路一模一样 啊，这个三垂直模式要这个要掌握。听懂了没有？学会了吗？下课。
53爱做饭de杨老师
04:44查看AI文稿AI文稿大家好，我是于老师，今天我们继续讲解第五单元第三课时平行线的性质和画平行线。 首先呢，我们先去还是正常的去把上一个前面两课时讲解的内容进行一个简单的回顾啊，因为这节课是主要是和平行线有关系，那么我们先来看一下下面哪这一组的两条直线是互相平行的 好，通过这个我们要注意的是什么？第一，两条直线应该是在同一平面内的。第二，不能光是看画面上的两条线，两条直线是不是平行的，有没有相交，要将它去做延长线， 比如说这个最后一个，它互相延长的话是会相交的，所以这个也不是互相平行的两条直线。 下面我们来讲一下怎么样去画平行线。首先我们先要知道平行线它的一些特征， 才能知道怎么样去画好。在这个图片中我们发现 a 和 b 两条直线是互相平行的，也可以读作 a 平行于 b。 我 们需要做以下的几件事情，第一，在直线的 a 上面任取几个点， 然后呢分别向直线 b 画垂直线段。 好，这个就是我们已经画好的在 a 上面取任意取了这样三个点，然后向 b 直线画了垂直线段，我们也给它标上了垂直符号角的垂直符号。 那么通过这样的画图，我们会发现画的线段垂直于直线 a， 并且也垂直于直线 b。 那 还有什么发现呢？这是第一个发现，我们会发现画的这几条垂直线段，它们都是相等的长度啊，可以用 圆规去进行一个测量，或者用直尺也可以，那我这边就用圆规来测量 好，然后这样再移过去，再移过去，通过这个测量我们会发现这三条线段是相等的， 所以我们会发现两条平行线之间画出的垂直线段都是相等的。 也就意味着像这样我们画出了垂直线段的长度，它就能表示是直线 a 与直线 b 之间的距离， 并且这两条平行的直线之间，它们的距离是处处相等的，也就是说我不管怎么样去画这样垂直线段，它都是相等的。 那么比较下面上上面的这个画出的垂直线段，它们都互相平行吗？你是怎么样判断的呢？ 只需要把它们去进行两段的延长，它们并没有相交，所以这样的垂直线段就是什么平行的，这个就要回顾到之前前两课是讲到的 不相交的，在同一平面内不相交的两条直线，它们就是相互平行的。 好，下面我们就来讲怎么样去画这个两条相互平行的平行线。首先第一种就是在带有方格的这样的方格图里面去进行画， 为什么？因为我会发现在矩形这样的特殊的图形的里面， 它的对边就是相等的，那这样的话我们会发现这个其实就是一个矩形的两条对。
119常州数学侠
05:23查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看一下关于长方形和正方形的画法。第一个将下面没有画完的长方形和正方形画完整，这里面呢，其实我们可以先过这个点去做这条边的一个垂线， 注意一下它的长度和右边的大约是相同的，这里注意一定要标上垂直符号啊。那然后我们可以再过这个点去像钢化的这条边去做一个垂线， 当然它也垂直于原来的这条边，这里标上垂直符号。画长方形，正方形。同学们一定不要忘记去标垂直符号，如果你不知道该在哪里标，那就把四个角都给标上去， 这里也是一样的，画正方形过这个点我们画他的垂线，注意这里的长度要和上面这一条线段的长度相等。嗯，我们也可以大约的量一量他的长度啊，那这里再画一个和他同样长的 垂直的一条边，长度注意和横的这条是相等的啊。然后我们把这四个角都标上垂直符号。 来看这道题，说张爷爷有两个蔬菜大棚，他要在两个大棚之间修建一个最大的 最大的正方形的水池。那请你在图中画出这个正方形，那这里面我们首先要去做垂线啊，垂直于这两边的两个大棚， 这里是垂直的，这里也是垂直的，那这里面我们又要量出这个垂直线段的长度是多少，然后我们在这里取一个相同的长度，因为要求是正方形 取一个相同的长度，这里需要用尺子去量或者用圆规去画啊，然后再画一个，这里一定要让这条边的长度和这条边长度是相等的， 我们再来看这样一道题，他说按要求画一画，填一填他，然后这里面是要怎么画呢？说在这个正常方形中画一个最大的正方形，这个正方形的边长应该是多少呢？ 这里最大的正方形只能和这个宽两厘米是相等的，因为你三厘米是不够的，对不对？所以说这个正方形最大的正方形边长是两厘米，那我们找到 这个地方就是大约是垂直的地方啊，这里是垂直，也是画垂线啊。那这个右半边是一个 最大的正方形，它的边长是两厘米，那这条边其实就是三减二，等于一，对不对？剩下的这个图形是一个长方形， 那这个长方形的长其实就原来大长方形的宽，对不对？长是二，宽是一，注意这里填空的是一定是长二宽一啊，不要长一宽二，我们一般这个长方形的长比宽要大的啊。 这道题第一个，他说用上面两这种正方形和长方形拼一个边长四厘米的正方形，可以怎样拼？这两种图形各需要多少个？这题里其实有个陷阱，这题只能用这个正方形去拼，用到这长方形拼不了边长四厘米的正方形的。 你看，因为这个边长这个长是三，你只有加上一个一厘米才能出来一个四，对不对？那这里没有一厘米给他，所以说只能用这个，全都用这个正方形，四个四个这样的正方形就能拼成一个边长四厘米的大正方形了。 第二个说用上面这种正方形和长长方形拼一个长五宽四的长方形，长五宽四， 那这里面你看，因为长是五厘米，这有个三，这有个二，三加二是不等于五，那我们就先把这两个左右拼到一起去，这个时候呢，它是一个长五宽二的，那要求是宽是四，其实我们在下面再加两个一样的， 这样一来就变成了一个长是五，宽是四的一个长方形了。 来看最后一道题，以线段 ab 为长方形的一条边画一个长方形，并且这个长方形的另一条边要经过点 c。 那 这里面第一步其实我们要过点 c 去做 ab 的 一条平行线。 好，平行线做好了，接下来我们分别过点 a， 过点 b 做这条平行线的垂线， 这个长方形我们就画完了。
01:38查看AI文稿AI文稿懂一道，会做一类，轻松拉开分数差距。这道题目考察的是我们孩子对这个啊，平行和垂直的一个理解啊，整体来看错误率也是蛮高的啊。我们来着重看一下 平行和垂直的定义，分别是什么啊？先看垂直好，两条直线相交成直角时听清楚，像相交成怎么样，一定是有什么相交 才会出现我们的可能性是垂直直角对不对？那这里你们看一下我们的 b 选项肯定是错的，没有相交怎么可能会有垂直呢？是不是？所以它们俩一定是怎么样，是在一个范围内的啊？我们来看看 a 和 c 就是平行的，位置是一样的，是吧？他们是把垂直相交的位置换了一下，看一看到底是谁包含着谁啊？有相交才有可能是垂直好，这里的选项是 a 比较符合，看看 c 是 怎么样的，他意思是先垂直 才有可能是相交，那明显是不对的，对吧？我们可以举个反例呀，比如说啊，这个角，两个角肯定不是直角，是锐角，小于九十度，对吧？它垂直吗？ 不可能，所以说只有相交的可能性 a， 当然符合直角的时候，它才可能是什么垂直。所以这个题目的选项是正确的，是选的是 a。
82小学数学课堂
00:34查看AI文稿AI文稿这道题孩子错是因为概念层级没理清，不是背。要画图。同一平面上两条直线位置关系哪个图对？先记住一句话，两条直线 要么相交，要么平行。没有第三种，选 a 的， 把平行套进香蕉里。错，平行和相交是此对头，不能包含。选 c 的， 把三个并列。错，垂直不是和他们平级，他是 香蕉的孩子，平行在旁边互不干扰。香蕉是妈妈，垂直是闺女，平行是邻居，不进这家门。这句口诀转述给孩子，比讲十遍概念有用，收藏了去试试。
11橙诚爱数学
03:14查看AI文稿AI文稿只有一个条件，如何榨干它的价值？这道题目跟我们说，在一个正方形当中， a 垂直于 e、 d， 这是一个直角， e、 d 的 长度给到你了，为五让求的是 c、 d、 e 的 面积， 要求一个三角形的面积，我要么知道对应的边长，要么去知道对应的假角。但这道题目呢，我只知道一条 d、 e， 其他啥都没有，条件明显是不够的。所以这里想要表示整个 c、 d、 e 的 面积，我就一定要想办法。 很多同学看到题目，不知道如何转化自己的思路去分析题目到底要你干什么？题目到底在考什么？所以拿到题目完全不知从何下手， 白白浪费掉明明会的题。今天村村老师原原本本的告诉你，我拿到一道题到底是怎么想的？再配合村村老师为你贴心整理的四边形方向专列，把四边形当中包含正方形所在的所有类型题目全部总结到一起，这个章节也就快速通关喽。来回到这道题目， 这道题目要你求的是一个三角形的面积。三角形求面积的方式有很多呀，比如说这边我可以以最常规的 c、 d 为底一点，往这儿做个垂直，作为我的高，那此时面积不就变成了二分之一的 c、 d 乘 e、 h 吗？ 但这里的底边和高显然都是不好求的，如果你的辅助线像这样做，这道题将会非常难求出来啊！所以一步踏错，赶紧纠正回来， c、 d 为底不行，我何不换一条底边呢？比如说我以 d、 e 为底，那 d、 e 所对的点 c 就是 我做高的那个起点了， c 点往 d、 e 所在的直线做一个垂直，这个时候 三角形 c、 d 的 面积就变成了以 d e 为底， c h 为高的这么一个三角形 d e 我 都知道了，为五高， c h 又是多少呢？如果熟悉这类题目的同学应该已经发现了啊，这道题考你一个正方形当中的经典弦图。 题中的直角明显不是白给的，你如果把另外的直角全部给他补完的话，应该会得到这样的一个图形。 图中所出现的四个小直角三角形围成了如图所示的一个正方形。由于这里的弦也就是我的斜边在外面，所以呢，我们把它叫做外弦图。由此呢，你也可以去复习一下内弦图， 内外弦图如果你都不知道的话，也完全没有关系，我们可以简单的证明一下，你不是只想证这两个三角形全等吗？非常好证啊，题目给到你这是一个垂直，所以圈加叉一定得到一个九十度。由于正方形这边也有一个九十度，所以这边圈加叉得九十，这一定也是一个小圈角， 圈角圈角相等，直角直角相等，再加上正方形天然带给你的一组边相等，所以这边 a a s 可以 证出两个三角形一定全等 全等。三角形对应边相等，所以 d e 所对的 c h 也就等于五啊，这边是五，这边也是五，整个面积用二分之二十五来表示，所以最后的答案得到一个二分之二十五，直接搞定 这道题目要求的原始三角形 d c e 长这个样子，如何想到？转换思想，把底边和高挑出最合适的那一条，是解决这类题目的 关键。如果你还没有真的学到这种分析能力，赶紧打印练起来吧！初中数学哪加强？青青草原我最狂，关注我，获得更多好题！
20:28查看AI文稿AI文稿今天这节课呢，我们来学习啊，画垂线和点到直线的距离。 好，首先我们来看一下例，他说画一条直线与直线 a、 b 互相垂直。 好，我们上节课学习了平面上两条直线的一个位置关系，是吧？好，其中的一个，我们说两条直线如果相交的话，当它们的好， 比如说直线 a， 这直线 b， 哈，当它们所形成的其中的一个角是直角的话。 好，那么我们就说这两条直线是互相垂直的， a 垂直于 b， 对 吧？好，那现在来看，它让你画一条直线与直线 a、 b 互相垂直。好，那么这里其实让你画的是什么？ 这是画垂线的其中一种情况，叫做什么？做一条直线与已知 直线 垂直， 这是第一种。好，那么怎么画呢？好，我们最常用的是用三角板。好，我们的三角板上是不是有一个直角， 是吧？这有个直角，对不对？好，我们上节课讲了三角板上的这个直角的这两条边叫做它的直角边，对吧？如果说我们用其中的一条直角边去给我们的直线 a、 b 重合。好，也就是这儿， 你看这是它的一条直角边，对吧？去和直线 a、 b 重合，那么这个时候我们只要沿着它的另一条直角边，从上往下做一条垂直的线， 因为这里让你做垂线的话，你可以做直线的话，你也可以画下来一点，看到没有，好，然后我们标上什么直角符号，我们说这个角啊，它就是一个直角，为什么？因为你，你的，如果你这个点为你这个点哈， 为顶点的话，你会发现这个角其实是一个平角，对不对？是吧？那你这边这个角是九十度，这是三角形，三角半，它本身就有一个九十度的角，对不对？它是九十度。好，那么这边红色部分的红色，呃，用红色笔画的这个角，符号 所代啊，所表示的这个角是不是也是九十度，对吧？用一百八十度减九十度，等于九十度，所以这个地方它一定是一个直角，它一定是个直角。好，那既然啊，你，你两边都是直角，是吧？那你这条线它一定是什么？垂直于 啊？我们用 l 来表示，是吧？你这条直线 l， 它一定是垂直于直线 a、 b 的， 好，而且其实好在这里，因为这个角它本身就是一个直角了，对不对？我们刚才讲了，你两条直线相交， 只要其中的一个，它们相交的四个角哈，只要其中的一个角是直角，那剩下的四个角它都是直角了，对不对？是吧？只要其中的一个角是直角，那么这两条线它一定是互相垂直的，所以现在我们说直线 l 垂直于直线 a、 b， 是 吧？好， 那我们再来看，可以用两角七来画。为什么？为什么可以用两角七来画？我们刚才的原理是什么？你只要保证你的这两条直线它们相交的一个角是直角， 那就说明那就可以保证这两条线是互相垂直了，对不对？那所以我只要保证其中一个角是直角就行了呗？好，在我们的两角七上。好，这条线 是不是九十度的那个刻度线？如果这条是，我们这条是零刻度线，是吧？是零刻度线。零度刻度线。好，零度刻度线到九十度刻度线的这个地方，这个角 是不是就是一个直角，是吧？好，所以你只要好，你只要保证你画下来的这这个地方哈，你画出来这个地方是直角。好，那我们最后画下来这条直线是不是就和直线 a b 是 互相垂直的，对不对？好，那么你现在来看 它是怎么做的呀？它是用九十度的这个刻度线去和谁重合？和 a b 重合，所以我们说用九十度刻度线与 直线 a b 重合， 那这个时候你好，当然这里哈，因为这个零度刻度线在里面，那你沿着外面这条线画是不可以的。你外面的这条线，它其实和零度刻度线是不是重合的？因为你把九十度这个刻度线你延长过来，其实这个角 它是不是也是一个直角，对吧？好，所以说我们的方法是用九十度刻度线与直线 a b 重合。好，沿着 好两角器 的直线 直的那条边哈， 沿着两脚气的直的那条边好，做一条直线 l 则 l 垂直于 a b， l 是 垂直于 a b 的。 好，那这个就是我们刚刚讲的方法啊，我们可以把它延长一点，延长一点，是吧？那这个就是我们的直线 l。 好， 那么现在我们来看一下，好，把刚才这个笔记补充一下吧。好吧，好，用三角板来画的话，我们是怎么做的啊？用 三角板的一条直角边与直线 a b 重合啊？沿另一条直角边做 直线，是吧？好，做直线并延长，是吧？ 应该是做射线哈，你做出来应该是一条射线，你后面延长才得到，是吧？做射线并延长成直线 l 则 l 垂直于 a b。 好， 这是我们的第一种做法哈，垂直符号要写。好哈， 好，那接下来第二个考法就是过直线外的一点。好，就是给你条直线，是吧？就是一条直线 l， 好， 在外面找一个点，看到没有？好， 过直线外一点，然后画直线 l 的 垂线，也就过直线外的这个点 p 啊，做一条直线去和啊，你的这个直线 l 垂直，是吧？好，所以这种考法叫做过直线外一点 p， 画已知直线 l 的 垂线啊，可以怎样画？ 我们来看一下。可以怎么换呢？你无非就是要找到一个直角，对不对？好，刚才我们所做的直线呃，去垂直于直线 a b， 并没有要求过哪个点，但现在要过， 呃，现在要求过一个点 p 了，对不对？好，那无非你就把你的尺子怎么样移一移呗，是不是移一移？好， 所以我们怎么做呢？好，那你移的过程中，你移过来，你得保证你的尺子不歪吧？好，比如说你啊，你要画 好，按照我们之前的做法，你只要这里有把尺子，是吧？你用它的直角边去和直线 l 重合，那这个时候你做这样一条线下来，不就得到一条直线 l 去和呃呃， a 吧， 直线 a 去和 l 重合，呃，垂直了吗？对不对？好，但现在你要你要把这个 a 给移到点 p 来，那你，你下面，你在推动的往这边推动的这个过程中，你的这条边是不是不能就是跑偏呀？对不对？那怎么才能不跑偏呢？就用我们的 直尺，看到没，因为我们直尺上的这条边它是直的，看到没，这条边是直的，那你在移动的过程中， 只要下面的这条边它不跑偏，那上面的这条边你换你，你不管怎么移，你移下来，你移过来，它永远都是怎么样？垂直于下面的这条。呃，这个，我们的这个直尺的这条边的，那这条边又和 l 重合，那，所以，所以，那你画的这条 直线 a， 它是不是就垂直于我们的这个直线 l 的， 对不对？好，所以我们方法是怎么样的呢？我们来讲一讲刚才原理讲的话，下面来讲一下。 好，现在这个图啊，那给了一条直线是吧？ l 给了直线为点 p。 好， 现在要过点 p 做直线 l 的 垂线怎么做？好，第一步，我们用 直尺啊，第一步，用直尺的一条直角边去和直线 l 重合，这第一步用 直角的一条长边啊，因为它旁边也有边嘛，是吧？长边 聚合直线 l 重合。好，这第一步，第二步呢？用 三角尺的 一条直角边 紧靠 直尺的这条长边，是吧？好，你靠了以后，现在你是不是就可以移动你的三角形了，是吧？三，移动 三角尺啊，移过来要移到哪呢？直到它的这条直角边，是吗？经过点 p， 对 不对？直到啊，是一直移哈，是 另一条直角边， 经过点 p， 是 吧？好，最后一步就该画了，对不对？好，过 点 p 画一条啊，这里应该是一条射线，是吧？射线 啊，可以用好画一条射线，这条射线呢，交 l 直线 l 于一个点，比如说点 o， 可以 吧？啊，则射线 o p 垂直于直线 l， 是 吧？垂直于直线 l， 写清楚一点直线 l。 好， 你看 它这步是不是这条边就重合了，对不对？好，这条边重合了，然后它三角尺在怎么样？在移动是吧？好，它从 右往左移，对不对？好，移过来，直到这条直角边，它是不是经过了点屁？好，那这个时候我们从点屁好过点屁哈， 画一条这个射线啊，它正好可以交。那画过来，你画不过去了嘛，是不是？那最后就得到一条射线，对不对？好，正好交这个直线 l， 是 不是交在了一个点？在这儿，对不对？交在这儿。那这个点我们可以记做点 o 啊，这个点 o 其实就是什么？ 就是垂垂足啊，是不是就交这个点？这个点是点 o， 其实这个点 o 呢？它就是一个垂足，对不对？垂足是一个点嘛？是吧？有两条直线，两条 直线相交，是吧？交的一个直角，那他们那个焦点呢？就称为垂足，是吧？好，那么这个时候标上直角符号，好，这样就得到了 过直线 y 一 点 p， 画这个直线 l 的 这条垂线。好，第五步要补充一下啊，注意，第五步啊，标上 直角符号， 好，这个垂足不用标出来啊，要注意。好，在这儿。好，现在清楚了吗？好，当然还有第三种考法，就是说好给你一条直线 l 在上面取一个点，比如说点点 p， 现在说过这个点 p 啊，去做一条这第三种考法哈， 过这个点 p 呢？去做一条啊，垂直线段啊，垂过一点，过这个点 p 呢？做一条直线垂直 l， 好， 那么这个手怎么做呢？好，一样的，你用你的三角板，是吧？三角板， 这个时候用一个三角板就够了，对吧？你看你，你的一个三角板在这，这样子，这样子放，对不对？好，你只要拿这条边去和 l 重合，是吧？然后你移动它， 一切都不用移，你直接拿这个直角的这个顶点，是不是去和点 p 重合，是吧？重合以后你过这条直角边去做一条，呃，射线，是吧？正好就垂直于直线 l， 对 不对？好，我们可以换一换哈， 你看，假设你的三角板在这儿， 是吧？好，那这个不就是那个直角吗？对不对？三角板的直角。好，你直接用这个顶点啊，去和点 p 重合，对不对？好，重合以后，然后你过这条直角边这样子做一条垂线，是吧？做一条这样的射线，那这个条射线正好是垂直于直线 l 的， 是吧？好，你，你也可以延长下来，对不对？好，当然这个地方你可以记住 a， 是 吧？所以是 a 是 垂直于 l 的， 没问题吧？好，那这就是三种考法。好，现在都讲了。好， 那现在我们来看一下三。好，从点 p 向已知直线 l 画一条垂直的线段 p a， 它和几条不垂直的线段。 好，哪条是垂垂直的呀？很明显这条是垂直的，对吧？对吧？因为这里有直角符号嘛，直角符号就表示它是九十度，那就是垂直的嘛，是不是？好，那剩下的这四条五条线，是吧？就不是垂直的了？好，量，一量所画线段的长度，你有什么发现？ 好，借你，你用尺子去量一量这条，这条我我们标一标嘛。嗯，这是，比如这是 a 是 吧？ b， c， d， e， 你 去量这些。呃，设呃线段 a， b， c， d， e 它们的长度，你会发现其实还有 pa 的 这个线段哈的长度，你会发现其实 pa 是 最短的。 好，也就是与直线 l 垂直的线段 p a 是 最短的，那我们把这条线段的长度也就与直线 l 垂直的线段的长度，就作什么点 p 到直线 l 的 距离。好，也就是与， 我们写在这儿啊，与 直线 l 垂直等线段 p a 的长度是点 p 的 直线 l 的 距离。好，那也就说如果给你一个点啊，不管你命名成什么好，给你一条直线，给你直线外一点哈。然后 问你这个点到这条直线的距离是什么？好，你只需要从这个点好出发，往这条直线做一条什么垂线，那么所得到的这条垂线的长度就是直线 y e 点到这条直线 的距离。好，我们称它为点到直线的距离 好。什么叫点到直线的距离啊？ 啊？也就是从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度就叫做点到直线的距离。 好，这是点到直线的距离的定义哈，利用点到直线的距距离呢？我们可以啊。呃，在生活中啊，就是完成一些。嗯，就是利用点到直线的距离呢，我们可以啊，在生活中有比较广泛的一些应用哈。
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05:06查看AI文稿AI文稿大家好，今天我们来看一些关于平行和垂直的题型。第一题，下图是一条直线和直线外一点 a， 过直线上的 a、 b 分 别画该直线的垂线，那这里面首先我们要过 b 点去画垂线， 另外过点 a 也要画一条垂线。当然我们在纸面上去画垂直的时候，要，呃，按照一贴二靠三移 四画的原则来去画图，一贴二靠三移四画这样一个原则来去画图， 那这里量出来的距离是十五毫米。还有一个，我们在做完这个垂直之后，一定要记得去标这个垂直符号。 第二题，过点 p， 画出 o a 的 平行线，过点 p 画 o a 的 平行线，这个平行线的画法也是一贴二靠三一次画这样一个口诀，但是，呃，怎么贴怎么靠还是有点不一样的啊。 过点 p 画出了 o i 的 平行线，过点 p 再画出 o b 的 垂线。 加一两个工厂都要修一条路与公路连接，你认为怎样修合适？在图中画出来这里肯定是想要最短的一个路径，所以说我们这里其实是要过过这个点，向这个最近的这条路去做一条垂线， 那这个也是由已工厂向这里去做垂线，这都是最短路径啊，他认为怎样修合适这里面呢？呃，要求我们在点子图上画出已知直线的一条平行线，那这里画法很多啊，我们只要 这样子画出一条就是他的平行线，然后他又要过点 a、 点 b 和点 c， 向 这个刚刚画出来的这个直线去做垂直线段啊，这是做出的垂直线段，按题目要求啊， 然后肚梁可以发现，画出的这三条垂直线段的长度肯定是相等的，这三条线段不要写相同啊，同学们要写相等两个字，线段长度是相等的。然后由此可以推断，在两条平行线之间，所有的垂直线段的长度都相等， 这里就叫垂直线段啊。 第四小题说如下图，与画挂歪了，倩倩呢，就将挂画的两根绳子的长度调整成一样大，一样长后，画就正了。这是运用了平行线之间的距离 处处相等的道理，这几个字不要出错了啊。那这里面它为什么是歪了呢？歪了就说明它这个没有和这个上面这条线平行，对不对？它一旦平行了，它是不是就呃就不歪了？那 它这里面其实就是说因为这条线比这条线长，我们要给它弄成一样长的，调整成一样长的之后， 最后一题，一位探险家得到了一张藏宝图，可是上面只标了 abc 三个点。如下图，在藏宝图的夹层里，有一张羊皮卷，上面写着 有一条笔直的河流经过点 b、 点 c。 其实这里就是让我们连接 bc， 形成一条直线， 宝藏在点 a 的 右上方的区域，宝藏在点 a 右上方的区域，这这个区域里了宝藏与点 a 的 距离等于点 a 到该河流的最短距离。 好，那点 a 到该河流的最短距离就是做垂直线段，而且藏宝地与点 a 的 连线与河流平行。那这里面其实让我们过点 a 去画一条和 bc 平行的直线， 而这个这个宝藏呢，藏宝地就在这条 平行线上。然后他刚才又告诉我们说，宝藏在点 a 的 右上方的区域，而且这个距离 a 点的距离与 a 点的距离等于点 a 到这条河流的最短距离就等于这条垂直线段的长度， 那我们这里就量出这条垂直线段长度，然后呢在这里取相同的长度，这就是藏宝地的位置。
