六下数学立体图形推导过程动画
徐大将，圣人今晚就要登坛祈福，可外面那四根通天红柱还没刷漆，三百盏宫灯还是光秃秃的骨架，若误了及时，你我有几个脑袋够砍？尚书大人，库房告急，这点漆和纸只够精准的用一次， 算错一分一毫，材料不够，便是欺君之罪。阿源，平日里你自取算术通神，这批圆柱形的立柱和灯笼到底需要多少漆，多少纸？你必须在天黑前给我一个数！ 敢接令吗？师傅放心，徒儿一定算准！可是这柱子是弯的，尺子是直的，这该怎么量呢？ 尺子与弧面并不重合，弧面长度如何？得知此脑筋直，卷起来是圆柱，若沿着高剪开呢？这曲难道就不能变直吗？ 坏了！侧面虽好，但这上下通气，风吹灯灭，挂在御花园肯定不行。这宫灯不比刚刚的柱子，是要封口的，加上它这天和地，阿源，现在的总面积又该怎么算？ 表面级就是给圆柱穿一件完整的衣服，连头带脚都要包起来。 小阿源，快帮我也算算，我要做这顶高帽子，还要给水缸配个木盖，你就按刚才侧面加俩底的法子，赶紧给我算算料，慢着，大叔， 帽子封了底，脑袋往哪伸？水缸配盖子那是求几个面。看来这圆柱体还真不能死板的，都算三个面啊！ 停，看清楚单位再动笔，否则算得再对，也是零分。 好啊，徐大将这活儿漂亮，用料分毫不差，没浪费，也没误及时，阿远 将的本事不再死记硬背，而在把这万千变化的图形装进 原来。这璀璨的长安夜色，真的藏在我们计算的每一寸毫厘之间。同学们，今夜的挑战结束了，但你们的工匠之路才刚刚开始。
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08:41查看AI文稿AI文稿孩子们好，今天我们来学习六年级下册第四单元比例，比例的应用的例式，图形的放大与缩小。今天呢，王老师给大家带来了一幅图，一起来看，你见过这些现象吗？ 在这些现象中，哪些是把物体放大，哪些是把物体缩小呢？来看第一幅图，小朋友在这照相，照相是把物体放大还是缩小？对照像是把物体缩小，用放大镜看书， 对，这是把物体放大，用投影仪来演示，那这叫把物体放大，用显微镜观察细胞的结构，这叫把物体放大。不管是把物体缩小还是放大，大小变了，但是它的形状变了吗？ 对，没有变。那大家思考怎么样把平面图形放大与缩小呢？那要想使平面图形不变形，一定要按 b 放大或者缩小，一起来看。例四， 按二比一画出下面三个图形。放大后的图形按二比一放大是什么意思呢？ 二比一我们可以把它看做一个比例尺，那它表示的就是图上距离比，实际距离等于比例尺，这里的实际距离其实就是指原来这些图形的大小，所以它指的是原来的图形。那图上距离呢？指的是 放大以后的图形，也就是变化后的图形。那按二比一放大，那就表示变化后的图形是原来图形的二倍。注意 怎么样放大呢？是按照个边的长放大到原来的二倍。要想把这三个图形按二比一来放大， 那我们要找到这些图形原来各边的长度。我们来看正方形，它的边长是三格，那按二比一放大，所以三乘二等于六格，那这就是按二比一放大后的正方形。 再看长方形，长四格，宽两格都放大到原来的二倍，所以长八格，宽四格，那这就是放大后的 长方形。再看这个直角三角形，这条直角边四格，这条直角边三格分别扩大到原来的二倍，那么它的直角边就变成了八格和六格，然后连起来就是斜边的长度。那大家思考 斜边的长度是不是扩大到原来的二倍呢？那孩子们你可以来测量一下，也会发现斜边的长度也是原来斜边的二倍。接下来大家观察放大后的图形，与原来的图形比较，它们的内角 边长、周长什么变了？什么没变？你发现了什么？首先看这些图形的内角变化了没有，因为我们知道 角的大小与边的长短没有关系，虽然他们的边变长了，但是这些角度是没有变化的，所以他们的内角是不变的。 接着再看他的边长是不是扩大到了原来的二倍，那同样周长也扩大到了原来的二倍。 那么什么变了，什么没变呢？从图上我们直观的看出来，它们的大小确实变了，大小变了，但是呢，它们的形状并没有改变。 除了直观的观察，我们通过求出它们的比，也证明形状没变。比如原来的长方形，长与宽的比是四比二，那化简以后就是二比一， 放大到原来的二倍以后，它的长与宽的比是八比四，化简以后仍然是二比一，它们的比不变，从而也证明它们的形状是不变的。通过观察，我们发现每个图形各边的长都扩大到原来的二倍， 周长扩大到原来的二倍，内角不变，图形变大，但形状不变。那如果我们把放大后的正方形按一比三，长方形按一比四， 直角三角形按一比二缩小，各个图形又会发生什么变化？在方格纸上画画，看，你又发现了什么？ 根据这三个比，我们怎么知道是把图形放大还是缩小呢？来看一看。变化后的图形是原图形的三分之一， 变化后的图形是原图形的四分之一，变化后的图形是原图形的二分之一。从这里我们也知道，是把现在的三个图形进行缩小。先看正方形， 它的边长占了六格，那么变化后的图形是原来的三分之一，也就是六格的三分之一。那所以缩小后的图形，它的边长就是两格，这就是缩小后的正方形。 接着看长方形，变化后的图形是圆图形的四分之一，也就是把它边的长度都缩小到原来的四分之一， 八格的四分之一就是两格，四格的四分之一就是一格。所以按一比四缩小后的长方形就是 长两格，宽一格。再看直角三角形，按一比二缩小，就是变化后的图形是原来图形的二分之一。那我们把它两条直角边缩小到它的二分之一， 八格的二分之一，四格，六格的二分之一是三格。所以缩小后的直角三角形，这条直角边占四格，这条直角边占三格。 我们观察这些缩小后的图形，你发现了什么？对，缩小后的图形与原来图形相比，大小变了，形状仍然不变。 那好了，孩子们，我们回忆一下，图形的放大与缩小，其实与我们比例尺的意义是不是紧密相关，那他们在图形的放大与缩小的时候，表示的就是变化后的图形比原来的图形。那如果 不给你图形，只给你一个比，你能判断是把图形放大还是把图形缩小吗？来给大家带来了四个比，八比五、四比一、一比七、二比五。 通过这些比，你能判断哪些是把图形放大，哪些是把图形缩小吗？ 好了，孩子们，请你按一下暂停键，动脑思考一下，一起来看。八比五表示变化后的图形是原图形的八除以五等于五分之八。 四比一表示变化后的图形是原图形的四倍。发现它们都大于一，所以这两个比 都表示把图形放大。接着看一比七，那一除以七表示变化后的图形是原图形的七分之一。 二比五表示变化后的图形是原图形的五分之二，我们发现它们的比值都小于一，所以这两个比表示的是把图形 缩小。孩子们，现在给你一个笔，你能判断是把图形放大或者缩小了吗？来总结一下，通过这节课的学习，你有了什么收获呢？首先，我们知道了在方格纸上按一定的笔画放大或缩小后的图形的方法， 回忆一下第一步干什么？一、数原图形各边分别占几格。二、算按给定的比计算放大或缩小后各边占几格。三、 画按计算出的边长，画出放大或缩小后的图形。另外，我们还知道图形按一定的比放大或缩小后， 大小变了，但形状不变。好了，孩子们学会了把图形放大与缩小。一起来看教材，五十八页的做一做，那这道题就教给你啦！
1570大王教数学
04:22查看AI文稿AI文稿圆柱的体积， 古代的劳动人民真是太让人佩服了，他们仅用自己的智慧和双手就建造出了这么雄伟的建筑。这么粗的柱子得需要多少木材呀？ 这个柱子是一个圆柱体，是不是算出圆柱体的体积就知道了。是的哦。那圆柱体的体积应该怎么求呢？ 别着急，先想一想你们学习过哪些立体图形的体积？我们学过长方体和正方的体积都等于底面积乘高，也就是 v 等于 s h。 那 你们再想想圆柱和它们有联系吗？ 圆柱体也有底面积和高，我猜圆柱的体积可能也等于底面积乘高。 我们不仅能猜想，还要去验证我们的猜想。在学习圆面积的时候，我们采用了画趋为直的方法，就将圆转化成了一个近四的平行四边形。 那我们也可以沿着圆柱的底面直径并垂直于另一个底面切开，再将每部分都八等分，然后将它们拼在一起，这样就能将圆柱转化成为一个近似的长方体。 哎，我们还可以将圆柱进行三十二等分、 六十四等分、 一百二十八等分观察，发现越来越接近长方体了。 观察拼成的长方体与原来的圆柱有什么发现？转化前后的底面积高和体积没有发生变化。长方形的体积等于底面积乘高。最初的猜想，圆柱的体积也等于底面积乘高是正确的。 按照长方体体积等于长乘宽乘高这个公式，我们也能推导出圆柱的体积公式吗？善于思考，给你点赞！ 通过观察，我们知道长方体的长就是圆柱底面周长的二分之一等于派 r 长方体的宽就是圆柱的底面半径， r 长方体的高就是圆柱的高 h 长方体的体积 v 等于派 r 乘 r 乘 h 等于派 r 的 平方 h， 派 r 的 平方就是圆柱的底面积 s 得到 v 等于 s h， 所以 我们依然可以得到圆柱体的体积等于底面积乘高。 嗯，那现在只要知道这些信息，就可以求出圆柱体的体积了，咱们赶紧找找有没有对这个建筑的详细介绍。 嗯，快看，这上面有一根柱子的底面半径为零点四米，高为五米，圆柱的体积 v 等于 s， h 等于胎儿的平方 h 代入得出结果。这个地方要注意，可以运用乘法结合律计算会简单一些。 没错，那我手中的这个水杯能装多少毫升的水呢？我来计算，水杯底面直径是六厘米，高十六厘米，列示为。 如果忽略杯子的边缘和底部的厚度，就可以看成它的容积是四百五十二点一六毫升。 啊，这个杯子装的水也太少了，这游玩一天下来都还不够喝呢，你看这是啥？哈哈哈，咱们接着去别的地方游玩吧。
04:54查看AI文稿AI文稿今天我们来复习立体图形的表面积和体积的所有计算公式。我们接触的第一个立体图形就是长方体。 我们知道长方体和正方体都有六个面，十二条轮，八个顶点，长方体相对的面完全相同，他的十二条轮分了四组，长四条，宽四条，高四条。 因此我们要求长方体的棱长和就等于小括号长加宽加高，小括号乘四。因为长有四条，宽有四条，高有四条，所以我们就用一组长宽高的和乘四 来接着。那如果我要求长方体的长呢？我们要学会公式倒推，我们就要用棱长，壳除以四减宽减高。 宽等于棱长，壳除以四减长减高。高等于棱长，壳除以四减长减宽。 好。接着长方体的表面积，长方体他有六个面，分为了三组，因此表面就等于小括号长乘宽，下面 加长乘高，前面加宽乘高，右面小括号乘二。 好。长方体的体积长方体的体积等于长乘宽乘高。如果用字母 v 来表示体积的话，它就等于 a、 b、 h， 当然它也可以写成底面积乘高。 好。再看正方体，正方体有十二条相等的棱，因此正方体的棱长和就等于棱长乘十二条。 那么如果告诉你棱长和怎么求棱长呢？棱长就等于棱长和除以十二。 再看正方体的表面积，包含了六个正方形的面，所以表面就等于棱长乘棱长，这是一个正方形的面乘六。那如果是五个二的话呢，就乘五。如果是通风管只有四个面，那么就乘四 好。接着看正方体的体积，等于楞长长，楞长再乘楞长，也就是楞长的立方，如果用字母式子表示的话，就等于 六 a 的 平方，这是它的表面积，体积 v 就 等于 a 的 立方。 再看六年级，我们又学了圆柱体，圆柱体有一个侧面，两个底面，把圆柱的侧面沿高剪开，可以得到一个长方形， 长方形的面积就是圆柱的侧面积。因此 s 侧等于 c h， s 侧等于派 d h， s 侧等于二派 r h。 再看圆柱的底面，是个圆形，而圆的面积 s d 等于派 r 方。 已知直径等于 pi 小 括号 d 除以二小括号的平方。已知周长等于 pi 小 括号， c 除以 pi 除以二小括号的平方。 那么表面积包含了两个底面积加一个侧面积，所以表面积等于底面积乘二加侧面积，当然还要根据实际情况去计算。 那么圆柱的体积，圆柱的体积等于底面积乘高，因此 v 等于 s， h 等于 pi， r 方 h 等于 pi 小 括号， d 除以二小括号的平方 h 等于 pi 小 括号， c 除以 pi 除以二小括号的平方 h。 再看圆锥，我们知道等底等高的圆柱体和圆锥体的体积，它们之间是有联系的。等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍，那么圆锥体积是圆柱体积的 三分之一。根据这个关系，我们得到了圆锥的体积 v 等于三分之一， s， h 等于三分之一 pi 方 h。 也根据这些公式，我们要完成很多很多相关的辨识，练，一起来练吧！
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04:34查看AI文稿AI文稿的旋转在图形王国中，立体图形是这个王国的贵族，他们个个彬彬有礼，善待他人，整个王国呈现欣欣向荣的景象。 但随着时间的推移，立体图形变得傲慢起来，他们越来越看不起作为平民的点线面。身为国王的援助，意识到如果这样发展下去，图形王国将会分崩离析，于是他召集所有贵族，决心改变这种局面。 身为王国的贵族，你对咱们王国的子民都有哪些了解啊？对于那些身份卑微的点线面有什么好了解的？ 住嘴，身为王国的贵族，如果连王国的子民都不了解，你的贵族也就当到头了。 陛下息怒，我听说在咱们王国中一直流传着一句话，点动成线，线动成面。但我们一直不是很懂， 你为我们解一下惑吧。点是咱们王国的基本元素，点动呈现就是说当点运动起来，他的运动轨迹就形成了线，这条线可能是直线，也可能是曲线。 这就好比一只沾满墨水的蚂蚁在白纸上爬行，蚂蚁就是那个点爬行轨迹就是点移动所形成的线。 原来点和线还有这么密切的联系，这是我从来没有意识到的。理解了点动成线，那线动成灭就不难理解了吧。线是咱们王国的主力军，当线运动起来， 它的运动轨迹会形成灭。比如我们让一支粉笔在黑板上平移，这支粉笔就相当于线，粉笔移动所形成的印记就是灭。原来如此，我明白了。 点线灭不仅相互之间关系密切，而且与我们的关系也异常紧密，你们的身上都离不开他们的身影。正方题，你不要觉得自己身为贵族就高高在上，你的身上不就有八个顶点、 十二条棱和六个面吗？陛下，我知错了，你们刚才所说的那句古话并不完整，完整的话是点动成线，线动成面，面动成体。 也就是说，从运动的视角来看，身为贵族和王室的我们也都是由面的运动形成的。陛下，您身为国王，怎么可能也是由面运动形成的呢？让长方形、三角形和圆进来， 长方形，你来给大家跳一段你最擅长的旋转舞蹈吧，这样他们就明白我所说的话了。 大家看看，长方形的长就相当于圆柱的高， 长方形宽就相当于圆柱的底面半径。实际上，不仅长方形旋转会形成我们圆柱，圆通过平移也会形成圆柱。所以我们圆柱的上下底面都是两个完全相同的圆形。 如果将我们圆柱解开，所形成的面会是圆形、 长方形或是椭圆形等等。我们圆锥也是如此，可以将我们视为由一个直角三角形旋转而成。 三角形的高就相当于圆锥的高，三角形的底就相当于圆锥的底面半径。如果将我们圆锥切开，结面可能会是圆形、 三角形或是椭圆形等等。 原来我们立体图形与点线面存在着这么密切的联系呢，我以前真不应该看不起他们，我错了，我们错了，大家能认识到这一点真是太好了，不妨我把大家召集起来， 图形王国的贵族们从此改变了对平民的看法与态度，图形王国又恢复了以往和谐美好的氛围。
11:17查看AI文稿AI文稿学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来复习立体图形。首先是长方体和正方，先来回顾一下他们的相同点、不同点以及之间的联系。先看相同点， 他们都有六个面，十二条棱和八个顶点。长方体的六个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形。比如这个长方体左右两个面是正方形，周围四个面是长方形，而且这四个长方形是完全一样的。 正方体的六个面都是正方形，所以长方体相对的面面积相等，上下一样，前后一样，左右一样。而正方体六个面面积都相等，因为它是六个完全一样的正方形。再看他们的棱长，长方体是长宽高各四条， 所以棱长总和是长加宽加高的。和再乘四，长有四条，高有四条， 合起来就是他的棱长总和。正方体十二条棱长度都相等，所以棱长总和等于棱长乘十二，他们之间的联系是，正方体，是特殊的长方体。正方体可以理解为他的长宽高都相等， 所以它是特殊的长方体。再看圆柱和圆锥，圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面。圆锥是由两个面组成的，一个底面和一个侧面，所以圆柱的底面是相等的。两个圆圆锥的底面只有一个圆， 他们的侧面都是曲面。圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形。什么情况下是正方形呢？当圆柱的底面周长与高相等时， 侧面沿高展开是正方形。圆柱的高是两个底面之间的距离，所以圆柱的高有无数条， 而圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，所以圆锥的高只有着一条。然后是面动成体旋转的问题。以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周可以形成圆柱。 例如这个图形，这是以长方形的长为轴，旋转一周可以形成圆柱。以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径，这里是以长方形的长为轴，那长就是圆柱的高，宽就是圆柱的底面半径。 如果以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周可以形成圆锥。例如这个图形，以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径。那从不同方向看到的形状是什么呢？圆柱，如果从上面或下面看，看到的都是圆。 如果从侧面看，看到的是一个长方形或正方形，那什么情况下是正方形？当圆柱的直径与高相等时，我们从侧面看，看到的是一个正方形。再看圆锥，如果从上面看， 看到的是一个带圆心的圆，也就是一个圆中间有一个点，这是圆锥。从上面看到的图形，如果从下面看，看到的是一个圆，从侧面看是等腰三角形，这是他的两条腰。 底是圆锥的直径，高是圆锥的高，他们之间的关系就是等底等高的情况下，圆柱体积是圆锥体积的三倍。注意这个前提条件。再来回顾一下他们表面积和体积的一个推导过程。先看长方体的表面积， 我们是把一个长方形、长方体相对的面面积相等，把这六个面标上序号， 一和三是对面，二和四是对面，五和六是对面。如果五和六是前后，一和三是左右，二和四是上下， 那这一段是长方体的长，这一段是长方体的高，这一段是长方体的宽。前后两个面是长成高成二，上下两个面是长成宽成二， 这六个面加起来就是长方体的表面积。利用乘法分配率把二提出来，就等于长乘宽、加长乘高、加宽乘高的和再乘二。因为正方体是特殊的长方体，它的六个面是完全一样的正方形， 所以正方体沿棱剪开，得到六个完全相同的正方形，那正方体的表面积就等于一个面的面积乘六，一个面的面积用棱长乘棱长，所以正方体的表面积就是棱长乘棱长再乘六。 圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面，所以圆柱的表面积等于两个底面积加一个侧面积。如何求侧面积呢？ 我们将圆柱沿着高和底面周长剪开，侧面是一个长方形，这个长方形的面积等于底面周长乘高。 再看他们的体积，在推倒长方形的体积时，我们是用棱长为一厘米的小正方体摆成了不同的长方形。发现了一个规律，长方体的体积是一立方厘米， 这里有十二个小正方体，将它摆成一排，拼成一个长方体，那这个时候长方体的体积就是十二立方厘米。如果这样摆摆成两排，那这个长方体的体积还是十二立方厘米。如果摆成两层，每层是六个小正方体， 那这个长方体的体积还是十二立方厘米。所以无论怎么摆，长方体的体积都和小正方的数量相等，所以推出了长方体的体积等于长乘宽乘高， 而正方体是长宽高都相等的特殊长方，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，把这里的长宽高都换成棱长。 再看圆柱体积的推导，我们把圆柱底面分成若干等份，拼成一个近似的长方体，它们的底面积相等，高也相等。圆柱的体积就等于长方体的体积等于底面积乘高。得到了圆柱的体积公式， 就等于底面积乘高。那根据这个推导图，我们也要清楚它里面包含的其他信息。比如长方体的宽等于圆柱的底面半径， 长方体的长等于圆柱底面周长的一半。 pi、 r， 它们的体积相等，但是表面积不同，长方体表面积比圆柱的表面积多 多了左右这两个面用半径乘高再乘二，这是多的表面积。还有一个是长方体的前面等于圆柱侧面积的一半，也就是长方体前后这两个面刚好等于圆柱的侧面积。最后是圆锥的提推导， 我们把圆锥形容器里的水倒入与他等底等高的圆柱形内， 三次才能倒满，得到了圆柱与圆柱体之间的关系，圆锥的体积等于与圆锥等底等高圆柱体积的三分之一。最后通过这个表格来总结一下他们表面积和体积的计算公式， 都用字母来表示，长方体的长宽、高分别是 a、 b、 h， 所以 长方体的表面积等于长乘宽加长乘高、加宽乘高的和乘二。正方体的棱长都用 a 来表示，所以正方体的表面积等于六 a 的 平方， 一个面的面积再乘六，圆柱的表面半径为 r， 高为 h。 圆柱的表面积是底面周长乘高， 所以是二。 pi r 乘 h， 底面积是 pi r 的 平方，再乘二是两个底面。圆锥底面半径为 r， 高为 h， 圆锥的表面积等于一个侧面加一个底面，底面是一个圆， pi r 的 平方，侧面展开后是一个扇形，所以是一个扇形的面积加一个圆，是圆锥的表面积。长方体的体积等于长乘宽乘高。 正方体的体积等于三个 a 相乘，也就是 a 的 三次方。圆柱的体积等于底面积乘高，也就是 pi r 的 平方 h， 圆锥的体积等于三分之一，底面积乘高，所以前面添上一个三分之一。 那长方体、正方和圆柱，它们有一个统一的体积公式，它们的体积都可以用底面积乘高来计算。求圆锥的体积不要忘了前面的三分之一。 最后再来总结一下立体图形的切割问题。先看切一刀的情况，长方体如果这样切一刀，它的表面积跟原来相比增加了两个长方形，这一段是长方体的宽，这一段是长方体的高， 所以增加的面积用宽乘高再乘二。如果是一个圆柱，沿着横截面切一刀表面，你跟原来相比增加了两个圆， 所以增加的面积用 pi r 的 平方乘二。如果是沿着直径和高垂直切一刀，增加两个长方形，这个时候增加的面积我们用直径乘高再乘二。 最后是圆锥，如果沿着圆锥的顶点和直径垂直切开，增加两个等腰。三角形的底是圆锥的高，所以增加的面积 用三角形的面积再乘二。三角形的面积是底乘高。除以二，那增加的面积再乘二也可以化解一下，等于直径乘高，这是增加的两个等腰三角形的面积。另一种是变长或变短的问题，如果将长方体变长， 那它的表面积跟原来相比发生了什么变化？表面也增加了周围这四个面，也就是红色部分，上面、下面、前面和后面。如果将长方体变短，那它的表面积会减少， 减少的也是周围这四个面，上面、下面、前面和后面左右面是不变的，圆柱也是一样。如果将圆柱变长， 表面你增加的是这里的侧面，因为它上下两个底面没有变，发生变化的是侧面积，而侧面积刚好多了这一部分，所以增加的面积就是上面的侧面积。如果将圆柱变短，表面积会减少， 减少的也是上面这个圆柱的侧面积，因为它上下两个底面没有变，发生变化的就是侧面积，那减少的部分就是这个圆柱的侧面积。所以无论是变长还是变短，变化的是侧面积。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？
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04:42查看AI文稿AI文稿嗨，同学们，欢迎你来到了六年级下册的最后一个阶段总复习。我们来看图形与几何领域的一个经典题型，叫做带图案的正方题。展开图的问题如图，正方体盒子的外表面上画有三条粗黑线， 将这个正方体的盒子的表面展开。展开图可能是 a、 b、 c 还是 d 呢？ b、 c、 d 四个选项全部都是正方体展开图中的一四一型。所以啊，看展开图是看不出来的。这里呢，我们就需要复习两个很重要的知识点， 还记得如何在展开途中判断相对面吗？第一个口诀是木字对两段字中间隔一个，这两段的面就是相对面。第二个口诀叫做 z 字对手尾， 那以下图色部分的面就是相对面。除此之外，我们还知道了如何确定公共边。确定公共边的时候，我们要找构成直角的时候，我们折成立体图形的时候，就是一条公共边。 比如说这个边和这个边，这个边和这个边，这个边和这个边，还有一个就一行或者是一列连着四个面的时候，两头的两条边是同一条边，好比是 a 和 b， 它们折成立体图形以后就是共的边。 明白这个以后，现在大家在看题中给出的三条粗实线，粗实线一个在上面，一个在前面， 一个在路面，这三个面都是相邻的面， a 选项。根据刚刚的口诀，我们先找木子， 这就是一个横着的木子，木子对两端，所以这个面和这个面是相对面。 给出的正方体中这三条线所在的面都相邻，所以我们要排除 a 选项，因为这两条线并不是在相对面的位置，哎，给出的正方体中，这三个粗实线呀，有三个焦点， 而在 b 选项中，这一条粗实线和另外的这条粗实线，它们并没有公共的焦点，所以 b 选项也可以排除。 b 选项也是同样的道理，大家看，这条粗实线和这条粗实线并没有公共的焦点，所以 c 选项也可以排除。 选项中这两条粗实线倒是有一个交点，但是这一条我们不知道和另外两个线有没有交点，且大家会发现这个正方形离着这两个带有粗实线的正方形距离有点远， 所以我们要想办法让这个面和这两个面靠近。记得我们刚刚说到的公共边吗？这两条边 中间的夹角是九十度，重叠起来以后，这一条边和这一条边是公共边，他们会重合在一起。教大家一个小技巧，在这里有两条公共边， 一条公共边在这个面上，另外一条公共边在这个面上，这样的我们就可以把其中一个正方形 旋转九十度，从而使它靠近我们想靠近的这个面，我们一起来看看吧。现在我们让这个面旋转，从而靠近这个面，这是旋转了第一次， 这是旋转了第二次，现在低选项的图形就被我们旋转成了下面的样子，而在下面的展开图中有两个焦点， 他们又知道这一条和这一条是一个公共边，所以他们在折成立体图形的时候是重合在一起的。既然是重合在一起，说明这个点和这个点在折成立体图形的时候，他们也是重合的点，这样呢，就有了三个重合的点， 同时这三个面又是相邻的不合图中给出的正方体合字的样子，所以这道题展开图应该是 d。 我 们来回顾一下，如何判断带有图案的正方展开图呢？首先前提就是要满足正方体的十一种展开图。 除此之外，我们还要通过找相对面的方法去排除一些选项。排除以后，剩下的选项我们还可以进一步观察打开图上图形的特点。比如说这道题有一个显著的特点，就是他们会出现三个焦点， 所以没有焦点的 b 和 c 选项也被排除了。后一步，如果我们想判断的那个面离其他的面离的距离较远的，我们就可以通过旋转九十度的方法 使展开图带图案的面相邻。通过这四个步骤，我们就可以找到带图案的正方题展开图啦。
144π的旋律
04:06查看AI文稿AI文稿图形绕某个点旋转。啦啦啦啦啦啦啦啦。吼吼 呦，小虎，你今天怎么这么开心？今天美术课上，老师表扬我了。 哦，不可能吧，你可是小马货，不挨批评就不错了。哎呀，是真的，今天美术课上， 老师让我们绘制风车，我就用数学的知识给大家讲解了我画风车页的过程，老师夸我能将知识活学活用，是个聪明的学生。哦，原来是这样呀， 那你也来给我讲讲你是怎么画的，让我也学习学习。好呀。第一步，我拿来一张方格纸，找到方格纸上的一个中间点，作为风车的中心点。 第二步，以这个中心点为三角形的一个顶点，画了一个等腰直角三角形。 第三步，将这个三角形照中心点顺时针旋转九十度，画一个同样的三角形。第四步，哎，等等，第一步，第二步我会了，但是这第三步， 嗯，绕中心点，顺时针方向旋转九十度画线段。我会，但怎么画同样的三角形呢？ 其实方法是一样的，我来演示给你看。先将三角形在中心点上的其中一条边绕中心点顺时针旋转九十度，画出来相同的长度。 再将三角形在中心点上的另外一条边绕中心点，顺时针旋转九十度，画出和原来相同的长度，根据这两条边就可以确定第三条边的位置， 这样就能画出绕中心点，顺时针方向旋转九十度的等腰直角三角形了。哦，这样我就明白了。之后就是将第一个三角形绕中心点，顺时针方向旋转一百八十度， 再画一个同样的三角形。最后再将第一个三角形绕中心点，顺时针方向旋转二百七十度，再画出同样一个三角形，这样四个三角形画完，风车的叶就出来了。 哇，你这果然用到了数学的知识。我发现图形绕某个点旋转画出来的， 而且第四个三角形也可以用第一个三角形绕中心点，逆时针方向旋转九十度画出来。 哇，你这个方法也很对，看来你也学会活学活用了。其实还有很多种方法。那我再来考考你，你能画出图中的小奇绕点 m 顺时针旋转九十度后的图形吗？ 没有问题，看好了，将小奇绕点 m 顺时针旋转九十度，就可以得到这个图形。我还可以绕中心点 m 顺时针方向旋转一百八十度，得到第三个图形， 再绕中心点，顺时针方向旋转二百七十度，得到第四个图形。哈哈，你有一个风车，我也有一个风车了。我们把书本上的知识都用到生活中去，这样就有更大的收获了。嘿嘿， 大风车呀，直悠悠的转，当当当当当当当。
13:45查看AI文稿AI文稿你来，我觉得听说这次复习我把之前的学之前遗忘的旧知识又吸收吸收吸收消化新知识正在消化。嗯， 好，你有想说的？嗯，以前我是不知道。嗯嗯，都可以用 s 表面积等于二 s 底面积加 s 侧面积，但是我现在知道了， 哎，很好，也就是说我们现在开始寻找这些知识之间的什么联系哎，联系了对吗？好的，谢谢。那我们 这一个把我们知识的联系也找出来以后在课前老师还要求同学们对这方面的知识去寻找一下相关的易错题是不是？嗯，可能没办法把所有同学的易错题都展示出来，老师 找了两位同学的我们一起来看一下这是哪位同学的五心仪。好啊，五心妍请你来跟大家同学们跟着他一起来读一遍这道题啊，来看一看。来五心妍你来跟大家读读题吧。 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽两米，直径一点二米，前轮转动一周压路机的 面积是多少平方米？那你觉得这一道题同学们一错的地方在哪里？嗯，一错的地方可能就是不知道轮宽两米到底是指的是什么 你知道吗？轮宽我们可以这个可以作为那个轮胎吗？你能跟大家指一指轮宽指的是哪里吗？轮宽其实就是指这条高，同意吗？同意。嗯，除了这里要注意的还有吗？还有就是压路的面积， 压路的面积其实就是这个圆柱体的侧面积，一起看屏幕拿着 是这样的吗？所以经过我们呃，夕颜同学的提醒你们现在知道这道题该怎么计算了吗？知道好，谁来口答一下，你会吗？ 就是这个压路机的面积该怎么算？侧面机，侧面机乘 他的那个里面的周长乘以他的高，就是一点二乘以他应该是一点二乘以二， 同意吗？一起揭晓答案对不对？对哎，非常棒，请坐下来。好，也谢谢你的分享。那这是我们第一位同学的错题，我们再来看一下第二位同学，他又有什么样的困难呢？ 这个是谁的？胡志勋，来跟大家先读一读题，同学们跟着他一起来看一下题目。 好，一根，你说一根长方形木料，长十米，横截面是一个正方形，将它截成三段，表面积增加十平方平方分米，请问原木料的体积是多少？ 好，你觉得这道题同学们哪里容易错？你说就是 可能不会注意到那个表底面积的大小。哦，那个单位，单位说错了，单位是吧？嗯，一个是他们的单位，要注意换算，是吗？还有吗？ 就是木料截成三段之后，他增加了几个面，同学们，这个地方知道吗？ 截成三段他会增加几个面？四个面，对，我们来看一下，我们切一刀就会增加几个面，四个，那三段我们只需要切，所以会增加四个面，四个面，那根据这个条件我们又可以得到什么呢？ 他的这个长方形横截面的大面积怎么计算？你们会了吗？会了。好，你来跟大家说一下这个横截面是怎么算的？呃，十 十平方分米除以四，对吗？当我们算出了这一个横截面的面积以后，后面来求体积，同学们会做了吗？会，好，那我请一个同学来说一下这个体积是如何把它算出来的？好，你来。 首先要把这个十米画下来，要画成一百平米，因为这个单位不同。嗯，然后呢，有二点五乘以一百等于二百五十。呃，一方公里 接手答，对不对？对哎，非常棒啊，而且口算也很厉害。好的，现在这样的题目都难不到你们了吧。嗯，那你们知道吗？现在其实正是草莓成熟的季节， 你们喜欢吃草莓吗？喜欢哎，老师也很喜欢，所以老师就想去摘一点草莓来。可是老板给我出了个难题，你们能帮帮我吗？能，你看。 来到草莓旁边，老板告诉了我一些信息，他就要问我了，这个大棚的空间有多大呢？覆盖在这个大棚上的薄膜它的是多少平方米？好， 同学们有想法了吗？有，现在请你们拿出你的练习单，先独立思考，再来做一做，好不好？ 会算吗？空间是要算什么？ 嗯，他其实就是算他的什么二分之一的什么三等于四。嗯，再乘以十五，你可以看一下图。嗯，然后呢？再怎么样？ 二的平方乘以高，再除以二。很好，好， 同学们可以只列算式不计算好不好？嗯，当然，如果你算的很快的同学你可以计算约有多少米呢？嗯，多少平方米？ 做好的同学用你的坐姿告诉我。嗯，表扬你， 我看到很多同学已经把算式都练好了，对吗？ 嗯，表扬你。 好，时间到。表扬做的最好的这边的男生。嗯，还有那里的女生。很好。谁来跟大家说一说这道题，你的想法是什么？ 好，你说。嗯，他说是一个横截面，是一个半径为两米的半圆。嗯，然后，然后他这个空间， 既然他这个横截面是一个半圆的话，他整体是一个，呃，圆柱的一半，所以你只要把圆柱的体积求出来，然后再除除压就行了。 他的想法你听懂了吗？听懂了，非常棒，请坐下来。如果听懂了，所以我们第一道题的算式应该是怎么列的？一起说，这是 对，如果算的比较快的同学可以算出答案，就是刚好是九十四点二平方米。好，再来看第二道题，他要你求的又是什么呢？ 这表面积谁能够说的更具体一点？好，你说他就是求这个， 这个就是上方部分，就是这个，就那个上不开，就是这一面的那个那个面积，这求他的这个意思就是求，假设这是一个圆，就是求他的二分之一的表面起，四面起，四面起，然后所以双子就是用二分之一的，然后 这个侧面积，他说这是一个圆柱的侧面积的多少？二分之一一半，对不对？那除了这个侧面积，我们还需要算哪里？ 八元，八元，八元哦，两边有两个半圆，那这是一个圆哦，这是一个圆，一个圆的面积，再加上我们侧面，记得多少？一半啊？二分之一，那你列出算式了吗？ 也就是怎么计算的？就是先算出的侧面积啊，一乘以它的直径是四乘以三的一，四乘以一十五，再加上它的底面积二的平方派就可以了，对吗？底面积，我们因为把两个圆放的两个半圆合起来形成了一个圆，对不对？好， 请坐下来。那现在同学们因为把两个圆放的两个半圆合起来形成了一个圆，对不对？好，请坐下来。那现在同学们来看一下，这么难的题目都难不到大家， 老师经过大家的帮助呢，就摘到了草莓，我最后摘到了 这样一篮新鲜的草莓，这么美味，所以老师忍不住啊，就从里面拿出了五颗，打算把它放到一个 这样的圆柱形，底面，直径为二十厘米，而水里面有十二厘米的水的杯子里面去洗一洗，结果发现水刚刚上升了三厘米。 同学们知道我这个草莓的体积是多少吗？好，那你知道的话，可以在你的练习纸的背面继续完成这一道题。 这个题目该怎么算呢？背面，背面看到没？ 好，我看到有同学已经写完了， 想听一听同学们的想法吗？我们请个同学来说一说他的好不好？ 停下笔来，我们请一个同学做完的同学来说一下，你说你是怎么做的？嗯，他就是他的里面半径是 是十厘米，然后他把草莓放进去是上升了三厘米，就是说他的高增加了三厘米，然后就是用那个呃底面积十的十的平方乘以拍，然后再乘以三，就可以算出那个草莓的体积， 听懂了吗？哎，请坐下来，他其实是把我们的草莓的体积转化成了什么哎，上升的那一部分水的体积来计算对不对？ 很好，这样就可以算出我们草莓的体积了。那同学们，今天这节复习课你有一点收获吗？好，谁来说说你的收获？你说。 当然，我们学会了把那些新的知识，自己不懂的知识转化成那些旧的知识，然后从而解答自己不会的题。嗯，转化是个好方法，对不对？还有吗？ 好，你讲。就是那个我们的那个呃计算的方式和他的，还有他的这种，就是他的这种六个面之袋的这种东西更加了解的更加具体，就是 更深的印在我们的脑海里面。嗯，开始会去寻找知识之间的联系了，对不对？那我希望同学们在下课以后也能够根据这节课所学的知识来把你课前的那一张 整理图再进行一下完善，可以吗？好，那我们今天这节课就暂时上到这里了，同学们下课。
03:53查看AI文稿AI文稿这道立体图形的综合链是有点难度的，一起来看，有一个棱长和九十六厘米长宽高的比是三比二比一的长方形铁块， 王师傅需要将这个铁块熔铸成一个高是十二厘米的圆锥形器件，这个圆锥形器件的底面积是多少？ 那么通过读题，我们发现，王师傅要把长方体熔铸成圆锥体，那么请问他们的 形状变了，但是他们的什么没变？对，体积没变，也就是说圆锥的体积就等于长方体的体积，现在我们要求圆锥的底面积，那必须得知道体积啊， 要求体积，咱先得求长方体的体积好，所以我们来看，长方体中只知道棱长和九十六厘米长宽高的比是三比二比一。孩子们的第一个错点出现了，有的孩子 抓住了，哎，求一份量九十六，直接除以三加二加一去了，这就错了。那么在这里为了避免错误，咱们要先向冷场和公式来预备走长方体的冷场和等于小括号 长加宽加高，小括号乘四。好，我们来看，那么这个公式当中呀，它是一组成宽高的和乘四才等于九十六的，也就是说九十六里面是四组 长宽高的和，那我们就要先求一组长宽高的和，那么就是九十六除以四就等于二十四厘米， 那么这二十四厘米就是三份加两份加一份的长度和，抓住他们，我们就能求出一份的长度。好，二十四除以小括号，三加二加一就等于四厘米， 现在我们就能求出长了，那么长就是三份，也就是四乘三等于十二厘米。好，宽宽就是两份，四乘二等于八厘米。好了，高高就是一份四乘一等于四厘米。 好了，现在我们可以求体积了。来，依然是对公式，长方体的体积等于长乘宽乘高。 看代入公式就是十二乘八乘四就等于三百八十四 立方厘米。看它的体积就是它的体积啊。圆锥的体积就出来了，那么体积 等于三分之一 s h。 那 现在我要求底面积列倒过来， s 就 等于体积，先除以三分之一，再除以 h。 好，代入公式就是三百八十四，先除以三分之一，再除以十二。 来。我们在算的时候呀，可以换位置啊，三百八十四，先除以十二就等于三十二，再乘三等于九十六平方厘米，圆锥形的底面积就是九十六平方厘米。 看比较复杂的一道题目，它的综合性比较强，公式的倒推要灵活。听明白的点个赞吧。
70燕南飞
40:04查看AI文稿AI文稿你来说长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，还有吗？还有圆形啊，还有圆形，还有没有其他的图形？ b 型，嗯，你来说还有立体图形，例如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，说的对不对？对。好，那么其实在生活当中 我们也有很多这样的图形，谁能说一说这都是什么图形？你来说， 呃，第一个是长方体，第二个是正方体，第三个是圆柱体，第四个是圆锥体， 非常好，这就是我们曾经学过的立体图形。那么大家想啊，看到这些图形的时候，你想到了什么问题？你，你来说，我们曾经学过长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积，嗯， 会计算他们的体积，是不是？还有吗？你还能想到什么问题？你来说，呃，还有计算这些立体图形的表面积还有没有？ 除了体积和表面积还有没有？你来说还有他们的占地面积啊？占地面积这个也属于表面积那个范围内的，是不是？ 好，那么相信大家看到这些图形的时候，脑海里散落着许多的我们曾经学过的问题。如果说新的学习是在大海里捞取一颗颗美丽的珍珠的话，那么今天这堂课，我要，我们要把这些珍珠串成一串漂亮的项链是不是？ 好了，大家请看，由无数个点可以连成一条线，无数个线可以形成一个面， 那么无数个面能形成体，所以我们可以用十二个字来概括，那就是点动呈现 线动成面，面动成体，非常棒，大家都说出来了，那么也就是说点、线、面、体， 他们之间有着千丝万缕的联系，对不对？那么刚才我们说的这立体图形，是不是他们之间也有着怎样怎样的联系呢？对不对？除了同学们刚才所说的立体图形的表面积和体积，所以，这节课啊， 让我们一起走进图形世界， 回顾一下我们曾经认识的立体图形。好了，大家请看，这是一棵知识树。那么刚才大家提到了，我们要研究和复习的是立体图形的什么呀？ 有体积，还有呢？表面面积？嗯，你还能想到什么？除了体积，表面积都都都都。 平面图形，我们重点研究周长了是不？那么立体图形除了表面和体积还有什么？你来说还有容积？哎，还有容积，那属于在这个体积范围内，我们又学了容积是吧？ 想一想，这例如正方体有多少个面啊？这属于是它的什么呀？特征对了，哎，非常好啊，我发现我们班同学真聪明，老师一说，大家就想到了 还有他的特征是不？所以，今天这堂课，咱们就按照这几部分作为重点来复习。 好，大家请看复习目标，谁来读一下，声音洪亮啊，来，静点声。复习目标一，回顾整理立体图形的特征、表面积、体积的含义和计算公式，理解体积的推导过程。二、进一步 探求立体图形之间的关系联系。三、灵活运用公式解决实际问题。清楚了吗？清楚了，那么有了目标，我们就有了努力的方向。首先，大家请看循序要求，也就是小组合作学习。呃，全体女生轻声读一遍行不行？好， 群学要求一二，群学要求一，把你掌握的立体图形的特征，跟小组同学互相交流，比一比，看谁说的既有条理又具体。 二对比一下想想他们之间有什么相同点区别和联系。嗯声音再大一点就更好了啊。好了那么大家了解了这个群学的要求我们先来在小组里交流一下这些立体图形的特征好不好。开始 啊啊 好的，怎么样？非常好啊，这样吧。呃我们先来做个游戏好不好？好，我愿意玩游戏哈。 我在里面摸出一个图形然后我口述大家猜它是什么体有没有自信？有，但是不要盲目抢答啊。首先我摸到的这个图形它有六个面 有八个顶点，我摸到了一个平面，这个面是正方形 有能抢答的吗？没有我就摸到了一个面也是正方形而且有的同学能说了你说，呃我觉得这个图形是正方体啊，他认为是正方体。那我再继续说。还有一句话啊 我又摸到了一个面他是长方形这时候来女孩是长方形是不是是不是？对。好了那你能不能说一说为什么根据老师哪句话你认为他是长方体啊 哪句话你说。根据老师的最后一句话，嗯这个图形有一个面是长方形。嗯那刚开始的时候老师说有正方形的时候，嗯这群女生认为他是正方体， 那是不是有这种可能呢？有有可能是正方体，但当老师说最后一句话的时候你改变主意没？改变了。非常好啊，我们在数学学习当中就应该善于思考不能什么 武断是不是应该谨慎的思考。好了那有了刚才的经验这样接下来我想找一名同学来摸然后你像老师那样来描述 行不行？谁愿意尝试一下？好，最后那名女生来到前面来， 嗯，我摸到了一个图形，它的一个面是正方形，嗯，又摸到了一个面，也是正方形。抢答， 正方，正方，抢。哎呀，直接说出来了是不是对，好的，那我想问一下大家，刚才抢答的同学，谁，谁说话了？来，你先请回 来。那个，那，那名同学，你为什么判断他是正方体？呃，因为他的两个面全是正方形。嗯，而且刚才老师把这个长方体拿出来了。那假如说啊， 如果里面还有一个长方体，你单靠两个面是正方形，能不能断定他是正方体？不，能，不能，是不是？ 呃，那么刚才，好，你的回答是正确的，那么来，请坐，大家给点掌声啊，相信大家也听过了，是不？那通过刚才咱们这个小游戏，我相信大家对长方和正方的这个特征 有了深入的了解，那么谁能够更加的全面具体的再表述一遍，再说一遍，长方都有什么特征？嗯， 啊，那个女生长方体的特征，一是他的对面相等，而且他有六个面。嗯，第二个特征是，他一共有十二条冷长，嗯，他的，呃，他的四条，他的冷长分别是高和长，还有宽，他的长宽高分别相等。 弟说的是指的是四条长相等，四条长，四条宽，四条高，分别相等。嗯，他的第三个特征是，他有八个顶点。说的全不全？全，非常好，给点掌声啊， 这就是长方体的特征。那谁愿意把正方体的特征再具体的说一说？正方体，我发现咱们同学啊，发言很踊跃，而且说话很有条理。你来说， 正方体有六个面，而且面面相等，每个面的面积都相等。呃，他有十二条棱长，每个棱长也都相等，而且他有八个顶点，四条棱平行且相等。嗯，那对比一下这长方体和正方体他们有什么共同点呢？ 共同点来，那男孩，嗯，都有十二条棱与八个顶点，并且对等的棱相等， 都有六个面，十二十二条灯，八个顶面，对不对？好了，那么接下来我这里还有谁愿意再抽一下，再抽出来个图形， 你来吧，行不？先别拿出来啊，你先摸，站起来来告诉大家，我的图形有三个面，两个面是圆形， 圆柱。想拿直接说圆柱，异口同声是不是？对，恭喜你答对了啊。那么那谁能再把它的其他特征补充完整？ 你来说，呃，圆柱上下两个面都是圆，而且这两个圆分别都相等，而且这个圆的侧面展开也可能是长方形，正方形或者是平行四边形，而且长。呃， 圆柱体有无数条高。哎。又补充一下，他有无数条高，那也就说他是有两个平面和一个虚线面围成的立体图形。好看一看说的是否相近？ 基本上都说出来了，对不？那么只是沿高展开，一般是长方形，但也有特殊的情况是正方形或者是平行四边形。那最后一个图形相信大家不用猜的，是不是应该是圆锥？好了，那么这个圆锥它有什么特征呢？ 来，最后的。你说圆锥是由一个圆面和一个曲面组成的，然后他如果剪开的话，得到的是一个。呃，一个三角形，同意吗？不同意。你来说 那个沿着圆锥的侧面展开是一个扇形，这样剪开展开是一个扇形，对不对？还有没 啊？你来补充。呃，与圆柱体不同的圆锥只有一条高，对不？非常好啊？对比圆柱，那么他俩的最大区别就是圆柱有无数条高，而圆锥就只有一条高，是顶点到圆体面圆心的距离，对不？但是他们的共同点是什么？ 你来说，嗯，他们的共同点是都有一个区面，对，非常好啊。来，我们看一下最后一个特征， 有一个底面是个圆形，有一个侧面是个曲面，展开是个扇形，有一个顶点只有一条杠，是不是大家非常棒啊？通过刚才这个小游戏，我们是不是对这个 这几个立体图形的特征已经了如指掌，是不是？好了？那么你们真真棒啊。接下来我们再考再考虑一个问题， 长方体和正方体有什么关系呢？你来说，使六个面都变成正方形，就是正方，嗯，那是不是这样子？ 如果他缩短的话，对不对？他就能当什么情况下他成正方体了？当六个面相等，六个面的面积相等，当他的所有棱长都相等的时候，他就行了，形成了正方体，那也就是说这个正方体是特殊的 长方体，嗯，也包括在长方体之中，对不？好了？我们再次讲，圆柱和圆锥有什么联系？他们之间有什么关系？好，你来说。呃，与圆柱等底等高的圆锥是圆柱的三分之一，你指的是什么？是它的三分之一。 呃，圆锥是圆柱的三分之一，具体说是周长吗？ 你说。呃，圆锥，呃，等底等高的圆柱是圆锥体积的三倍，嗯，这是我们一会要研究的这个体积，他们的关系是不？那么大家想象一下，刚才那个长方体变短变成了正方体，那么我们看一下怎样才能把这个圆柱变成圆锥呢？ 哪地方变化一下呢？你来说将圆柱体切割啊，可以切， 大家都学过可以削成一个圆锥，那是不是把它的上面这个面给它变小，变成一个点，变成大还是变小变成一个点？答对了，非常好啊，是这样吗？当它上面那个面变成一个点的时候， 说到一个点他就成了圆锥了，是不是？嗯，那前提他俩现在肯定是等也等高，对不好？非常好啊，那么通过刚才的同学们努力，我们把那个特征复习完了，接下来啊，想同桌之间对学，回 忆一下他们表面积的公式是怎样推导出来的，行不行？嗯，好，开始。 好的。谁能先回答一下到底什么是立体图形的表面积？ 嗯，你来说。呃，立体图形的表面积就是立体图形的六个面的面积。呃，六个面的面积？那是不是所有图形都有六个面啊？是不是？那咱们概括一下，是它所有面的面积总和。 一个立体图形所有面的面积总和叫做它的表面积。先能举例子说一说，假如说牙膏盒， 牙膏盒它的表面呢？指的是？嗯，你来说说行不？牙膏盒指的是几个面？牙膏盒指的是六个面，六个面，前后左右上下，对不对？ 我们看一下啊。先看这三幅图，长方体，正方体，这个由于视觉差，这个有点有点不太像，是不？你课架的问题，这个中间是正方体啊，然后圆柱， 我们看一下谁能站起来用字母来表示这些长方，呃，长方体，正方体，还有圆柱的表面积用字母公式来表示。 嗯，等会长，方体表面积用字母表示是 a 乘 b 加 b 乘 h 加 a 乘 h 的 和乘二。 那一般字母和数字相乘的时候，数字写在前面。好，第二个，正方体的表面积用字母表示是六 a 的 平方。急了。圆柱的侧面积用字母表示是 s h， s h， c， h， 嗯， c h 是 不是？那 c 是 指的是周长体面周长 h 是 高高，还有没？底面周长还可以换成， 谁来谁来。那个补充一下，里面周长还可以，里面周长还可以换成二 pi r， 二 pi r h， 对 不对？里面周长还可以用二 pi r 来表示，那也可以换成 pi d 是 不？所以都乘高，那就是二 pi r h 或者是 pi d h 也行啊。圆柱的表面积 圆柱的表面积圆柱的表面积，这呢来，你来说。呃，圆柱的表面积是？呃，二 pi r h 加上二的平方乘 pi 乘二， pi 的 平方乘 pi pi， 那 就是 pi r 方呗，对不？ pi r 方乘二乘二，那数字如果放前面，应该是二 pi r 方，很好，大家一起说一遍行不？圆柱的表面积可以是 阿尔卑斯加阿尔派阿尔方，对不？加两个底边缘 很好，看来大家对这个表面积的公式掌握的还非常好。好了，接下来呢，我们刚才已经把这个表面积这个问题已经解决了，是不是？那接下来我们想一想，还剩最重要的，也就是我们求立体图形的体积， 先回忆一下什么是立体图形的体积。这个男孩，嗯，立体图形的体积就是图形占的空间的面积。嗯，再来说一说，你说，嗯，就是物体所占空间的大小叫做体积，嗯，很好， 物体所占空间的大小叫做它的体积，是不？刚才我们说了，除了体积，那容积呢？ 所体积是所占空间的大小，那容积是所容容纳空间的大小。但是这节课我们把这个容积先不作为重点，重点我们来看体积是不？回忆一下这几个图，什么体积公式， 我不给你思考的时间，看谁能直接站起来就说出来啊。第一个，长方体，长方体， 那女生同意不同意？那汉字公式应该是长头发很高，对，长头发很高 abh 好。 第二个，这个正方属实有点失真了啊，不过是屏幕显示的问题。正方体积，嗯，这边女生最后一个 冷藏的立方，声音再大点就更好了啊，你回答对了，来，下一个。嗯，圆柱的体积，圆柱的体积，这个女孩，第二个女孩叫你了， s h， 同意不？同意。 s h， 也就是底面积乘高乘高。最后一个，圆锥一起说 三分之一 x h， 三分之一 x h 是 不好了，咱们思考一下啊，正方长方与圆柱的体积计算有什么相似的地方？ 有什么相似的地方？你来说，嗯，他们的体积都是用底面积乘高，都可以用底面积乘高，也就是 s h 来表示，对不对来计算，那这是他们三个共同的计算公式，那圆锥可不可以？为什么呢？他的公式必须怎么的？ 必须得这么说，因为圆锥与它等底，圆锥的体积是它等比等高体等比等高。圆柱的体积的三分之一啊，三分之一。所以我们在计算圆锥体积的时候千万记住了，不要忘记成三分之一 是不是？好了，那大家回忆一下啊，咱们把公式都说出来了。那你想一想我们当初在研究这个长方体体积的时候是怎样研究的，记得吗？ 那你能说一说吗？嗯，是用小正方体摆成的长方，嗯，然后摆完之后我们数一共有多少个小块，嗯，长有多少块，宽有多少块，高有多少，然后从而 得到长方体的体积，那他们之间是连乘的关系对不？乘出来到底有多少块，他的体积就是多少，是这样算的。不是。那后来，后来你先别坐下，后来我们进一步利用他，我们又想研究正方体的体积时候，也是这样研究的吗？呃， 是不是？大家回忆一下，帮他想一想是不长方体我们这么推出来了，其实正方也是，是不是 长有多少块，宽就有多少块，高就有多少块？因为它的每条棱长都是相等的，所以最后我们就推出来了三个 a 连乘就是它的体积，简写为 a 的 立方，是不非常棒，给他点掌声啊， 学习了这么久了啊，还记得我们这个他长方体和正方体的推导过程，那大家现在回忆一下，圆柱是我们这学期学习的重点，那他的公式我们是借助什么图形推导的？长方体？长长方体对不对？谁能 简单说一下怎么推倒的了？将圆柱体平均分成若干个小三角形小三角体，然后它是怎么切的呢？平均切是盐什么切的？盐盐糕，盐盐糕 和直径竖着切开的，是不是这样？不？嗯，然后呢？嗯，然后再将这些半圆平均分，平均分，也就是从 是从这写的吗？是不圆心，然后平均分成若干等份，然后再将这些等份合在一起，就分成了一个 近似长方体，对不是吧？很好啊，拼成了一个近似长方体，然后呢，大家想了啊， 长方体的体积我们会求长乘宽乘高，对不？那也就是说我们只要找到了长宽高是多少，我们就能把这圆柱的体积求出来了，当时是这么想的不是？好了，那现在你们找一找吧，这个长方体的底面和圆柱的底面相等，相等，那也就是说 圆柱的底面就是长方体的底面，对不对？这个高就是圆柱的高，就相当于长方形的长方形的高，然后半径大点声说 就是长方形的宽，长方形的宽，那现在我们看一下，知道了长宽高，我们就把这个长方体的体积就能求出来了。那谁能用字母公式来说一下，这个长 怎么求？长？相当于这个圆柱的底面，周长的一半是一半，那周长是二 pi r， 一 半是 pi r， pi r， pi r 也是 pi r， 所以 谁能说一下长方体的体积是底面积层高，那么这个底面积怎么求？看着这个字母底面积怎么求？ 长是 pi r， 宽是 r， 那 成在一起就是 pi r， 哎， pi r 方，对不？ 然后呢？高呢？所以我们就推出来了 pi r 方，长方形体积是 pi r 方 h， 也就是 s h 是 不对，然后最后我们推出来，那其实圆柱的体积也可以用 非常好啊，这个在脑海的记忆当中，我相信大家当时推导的 肯定也是这样想的，对不好了？这是圆柱的体积推导过程，我们借助的是谁啊？其实这也是我数学当中经常提到的一个思想， 嗯，然后也算是转化，是不是把圆柱的体积转化成了长方体来计算的？ 好了，我们回回一下圆锥，圆锥是怎么推倒的呢？它的体积借助圆柱，哎，对， 有了之前的经验，我们借助圆柱推倒的是圆锥的体积，对不对？好，那谁能说一下？具体说一下，你来说。 呃，取出一呃，用一个等等底等高的圆柱和圆锥的容器，在圆柱里面装满水，倒到圆锥里倒了，一共倒了三次。呃， 一共倒三次，然后在圆锥里装满水或者是沙子倒到圆柱里，也就是倒水和倒沙子都行，是不？那最后倒了三次之后，正好是是圆柱满了，嗯，装满了，所以我们推出了 圆锥圆等底等高的，圆锥的体积是等底等高圆柱体积的三分之一。你说话真严谨，他反复的强调，一定是等底等高的时候，圆柱的体积是圆锥体积的 三分之一，圆柱是圆锥的三倍三倍，圆锥的体积是圆柱的三分之一。所以，那当我们知道圆柱的体积是底面积乘高的时候，那么圆锥的体积就得底面积乘高 乘三分之一，哎，对，还得乘三分之一，因为它的等底等高情况下，它的体积是圆柱的三分之一，是不是？这也是我们在计算的时候应该注意的地方。 好了，那么大家啊，刚才你们把这个圆柱和呃圆柱、圆锥以及长方体、正方体它们体积的推导过程又回忆了一遍，现在我们看一下 圆呃长方体，借助它推出了正方体正方体的体积，又推出了 圆柱的体积，然后借助圆柱，我们用圆柱的体积，圆锥的体积，所以说知识之间是有联系的，是不？那我们看看还有什么联系呢？想一想这些立体图形，它的大小跟什么有关系？ 面积高高和长宽高，它的体积跟长宽高有关系？非常好，正方形长能长能长，扩大它的体积就扩大。那圆柱呢？ 直径和高直径，直径跟直径有关系，还有高有关系是不？那除了直径，你想想直径越大，半径越大，他的什么就越大就对了。所以说跟底底面半径，直径还有底底面积都有关系，是不？还有高。那光底面积扩大 然后高不变的话，那么我们想一想，底面积扩大，然后高不变的话， 如果底面积扩大二倍，那它的体积扩大几倍？高不变，底面积扩大二倍，体积扩大二倍，二倍扩大四倍呢？如果底面积扩大四倍呢？扩大四倍。那反过来想想，如果底面积不变 高，扩大二倍，体积怎么变化？扩大二倍也是扩大二倍，对不对？好，那我们再想想圆锥，圆锥它的体积大小变化跟什么有关系？ 跟平面跟平面有关系，还跟什么有关系？高高越高，他的体积变化就越大，是不？非常好啊。 最后我们再想这个问题，圆柱，圆锥和我们学过的什么平面图形有关系？圆，想想怎样做？我们知道他和之前学过平面图形有关系， 你来说。呃，圆柱可以由长长方体，不是长方形旋转而成，圆锥可以慢点说，长方形旋转而成是不？那我简单写，应该是转 圆柱是什么转成的？可以是长方形或者一个长方形，沿哪个边转，沿 长或者是宽，都能转出一个圆柱。好，它跟长方形有关系，还跟什么有关系？正方形， 正方形。例如呢？呃，比如说一个圆，一个长，一个正方形，沿着它的边长旋转，可以得到一个圆柱。嗯，正方形也能转出圆柱来。他说的，大家在脑海里想象 也跟正方形有关系。除了这个图形，其他的也可以说一说。还跟什么有关系？转，那这个图形是谁转出来的？谁转出来的三角形？什么样的三角形？它是由直角三角形沿直角边旋转出来的。好了，除了转，还有没有别的思路？ 这是什么切？怎么切？他能是什么样的？你说。 嗯，把一个，把一个圆柱沿着它的底面直径和高切开。嗯， 切完之后，切完之后会得到一个长方形，这个竖着切，我们把它露出来的面叫抛面，对吧？那竖抛面露出来的形状是长方形，也可能是正方形。竖着切，那横着切呢？ 这叫横着切，就叫洁面了，对不？横，洁面是个什么形？圆形，他是圆形，对不？那他切呢？ 三角，三角形，横着切，他的抛面是三角形，横着切呢？圆。所以我们可以顺着他的思路啊。除了切，转，还有没有别的思路？想想， 想一想，我们研究圆柱的时候好像做过这个实验是不？这叫什么呀？卷，对，顺着老师的思路。然后你们想到了卷，那可以是什么型？卷出来？卷出来的 长方形、长方形或正方形的情况下，正方形能卷出圆柱，对不对？嗯，横着卷也行，竖着卷也行。那无论怎样卷，它的 侧面的不变不变，大小都一样的，对不对？非常棒，看来啊，同学们不仅对本节课特征表面的体积有了深入了了解，而且大家通过你们的思考，不同的方法，我们找到了图形，立体图形和之前平面图形之间的联系，有没有信心 我们解决一些问题？有，有，声音不够响亮，有，我不给时间啊！迅速读题，迅速作图判断手势告诉我，第一个对长方体，最多有两个正方形， 全对左侧的侧面展开，不是正方形就是长方形，高点举 好，说明一下，为什么不是正方形，就是圆。那个长方形侧面展开还可以是，你说还可以是平行四边形对不对？斜着切，它展开就是平行四边形。第三个长方形的三条棱就是它的长方高， 对，还是错？长方体的三呃，三条棱，拿出来三条棱肯定是长宽高吗？有可能是都是长对，因为它四条棱都是相等好。最后一个圆柱的体积是圆锥的体积的三倍， 好，全是认为是错的，有没有认为对的？没有，非常棒，那说明压力不对。那个女生， 因为圆柱和圆锥，等你等高的时候，圆柱的体积才是圆锥的体积的三倍。他抓住了关键词，大家一起说什么等你等高，只有是等你等高的时候才能是三倍。关系好，一起看。 认真思考，我会填。第一个，做一个长方体铁皮罐头盒要求需要多少？铁皮是求它的侧面体，侧面体表面体表面体 罐头盒周围贴商标纸，求商标纸的面积是侧面面积，非常棒。下一个，做一个圆柱型通风管要用多少？铁皮是求它的侧面通风管一定是通风的，通风的对，只能求侧面。 非常好啊，大家反应真快，下一个。一个圆柱型水池占地多少平方米？是求圆柱的底面积，求水池占多大的空间就是求它的底面积， 求这个水池能装多少水。如意，看来你们对知识掌握的非常的透彻了，深思熟虑我会选这个，可要谨慎了啊，里面有陷阱。第一个，正方体能长三厘米的话，如果能长扩大二倍，那他的体积扩大几倍？二倍，二倍。 棱长扩大二倍，只是一条棱扩大呢？那是应该扩大体积，应该扩大平方倍，立方倍，立方倍几的立方啊，谁来回答一下这个问题到底应该选几？有点快了是不？ 呃你来说应该选第四个。答案，八，因为扩大几倍，因为这个是棱长，再加上是问他的体积扩大几倍，应该是二的立方倍，所以应该是八倍，同意不同意？同意，体积扩大的是棱长的立方倍，所以二的立方是八。 答对了啊。第二个把一段长三米的长方体木料平均截成两段，想一想啊，两段表面积增加八平方厘米，那么原来这段木料的体积是多少立方厘米？ 注意单位选几呢？可以动笔算一算也行，口算算不出来。动笔也可以 给大家一点时间啊，先想想说说你的思路行不来？那男孩切开之后，切开之后会呈现出两个正方形，嗯，是增加了两个正方形的面。增加了两个正方形的面，嗯，这边一增加两个面是增加了八平方厘米。 呃，用八除以二等于四就求出增加一个面的面积，这个面就是长方形的，呃底面积，再用底面积乘以，因为三米用，因为要求立方厘米化成三十厘米， 然后再用三百厘米，然后再用四乘以三百等于一千两百。那这道题刚才我说有陷阱，那陷阱是哪？哪个地方呢？ 对，三米一定要换算成厘米，哎，三百之后再去乘。那刚才老师纠正一下，因为我一直拿着这个长方体呢，但不是所有的长方体对面都是正方形的，也就说他只是增加了两个量，对不？我们知道八 八平方厘米是两个面，那一个就是一个面，肯定就是四四了，对吧？好了，看看他答的对不对，对不对？对，而且说的非常清楚啊。好，第三题，一个圆锥的体积，如果是 n 立方厘米的话，那和他等底等高的圆柱的体积是， 圆柱的体积是。那个女孩应该选择三三 n， 因为圆和因为圆锥的体积是他等底等高的圆柱的体积的三分之一，反之， 他的和他等底等高的圆柱体的体积应该是和他等底等高的圆锥体的体积的三倍，所以应该选择三三 n， 对 不？所以很清楚了啊。最后一个等底等高的圆柱和圆锥的体积相差十六立方米， 相差十六平方米，这个圆柱的体积是多少立方？求的是圆柱啊，差十六 来，男孩，呃，我觉得应该选四二十四，因为差十六是用三减去一是两份，用两份十六除以二，求出一份的量是八。 呃，要是求圆锥，那他的体积就是八，一份八，那圆柱是就是三乘以八等于二十四三倍，对不对？同意不同意，非常好啊。 来这道题，你能推想一下下面的立体图形的体积可以怎样算吗？有了刚才的基础，大家想一想，圆柱啊，正方体，长方体都可以用底面积乘以高，那我们想一想可以怎样来求呢？ 那么这堂课马上就要结束了，我想我们的学习是无止境的对不对？那么除了我们要研究的这些立体图形之外，你是不是还去继续想探索其他立体图形怎样算呢？对不对？除了体积可能还想研究他的什么呀？ 他们有什么特征对不对？想一想你还想看出什么立体图形？你还知道什么立体图形吗？ 除了长方体，正方体还有什么？还有球体？对，还有球体，可能还有很多，就像刚才这道题一样，那他们的体积究竟怎样算呢？ 我想留到以后我们自己去研究行不行？不行？嗯，回家去思考一下，记住我们之前的这个研究的方法好了。嗯，最后我想问问大家，这节课你们有没有什么收获呀？有，有谁能简单的说一说 你再说。呃，通过这节课，我更加深入的了解了立体图形的特征，表面积和体积。嗯，还有没有？还有其他的吗？除了知识上的，情感上有没有？ 你们觉得在数学的学习过程中有意思吗？有，有，是不是？我们不仅研究的是他们自己的特征，还研究了他们之间的联系，以及和我们曾经学过的那些平面图形的联系。 看来啊，大家是一个研究型的学生，所以我相信大家，你们今后如果照着这个方法思路去走下去，一定会成为最棒的。好了。
12:58查看AI文稿AI文稿今天我们来看几道立体图形的练习题，掌握做题技巧。先看第一题，把一张长八十厘米、宽十厘米的长方形纸对折，再对折， 将展开后的纸围成一个高十厘米的长方体纸盒的侧面。如果要为这个长方体纸盒配一个底面，这个底面的面积是多少平方厘米？先来理解一下题目的意思。 首先是一张长方形纸，长八十厘米，宽十厘米。我们可以给他标一下，将这张长方形纸对折，再对折展开后，围成一个高十厘米的长方体纸盒的侧面，也就是这个长方体纸盒的侧面。他的高也是十厘米， 刚好和长方形的宽是相等的。那你知道这个长方形纸是如何对折的吗？沿着中间对折一次，然后再对折一次， 将它展开之后，就是四个完全一样的长方形，围成了这个长方体的侧面。我们可以求出这一个长方形的长用八十除以四等于二十厘米，它对应的是长方体的长和宽 都是二十厘米。让我们给长方纸盒配一个底面，那这个底面积就是长乘宽二十乘二十 等于四百平方厘米。这道题关键是理解它是如何对折。再对折的。展开之后是四个完全一样的长方形，将它围成一个长方体的侧面，高是十厘米， 那说明这八十厘米就是长方体的底面周长，这样可以求出长方体的长和宽，再求出底面积。我们来看第二题，把一个棱长为六厘米的正方体切成棱长为两厘米的小正方体， 可以得到多少个小正方体？他们的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了多少？首先要理解他是怎么切的这个大正方体，他的棱长为六厘米， 切成了小正方体，棱长为两厘米，要求小正方体的个数。我们可以用大正方体的体积除以小正方体的体积。六乘六乘六除以二乘二乘二等于二百一十六，除以八等于二十七个， 这是小正方体的个数。再看增加的表面积，有两种思路。第一种思路，用小正方体的表面积之合，减去原来大正方体的表面积，就等于增加的表面积。一个小正方体的表面积是二乘二乘六， 一共有二十七个小正方形的表面积。六乘六乘六等于六百四十八， 减二百一十六等于四百三十二平方厘米。第二种方法，我们把它转化为切割问题。我们知道切一刀增加两个面， 也就是增加了两个大的正方形，那将它切成小正方体，一共切了几刀？竖着切两刀，横着切两刀， 再看这边的竖着切两刀，所以一共切了六刀。增加十二个面，用六乘二。一个面是一个大的正方形，面积是六乘六， 这样就能算出增加的面积。六乘六，这是一个面的面积。再乘增加的十二个面等于三十六乘十二 等于四百三十二平方厘米。这两种思路都可以。第三题，用一根长二十四厘米的铁丝围成一个长方体或正方体框架，在这个长方体表面糊一层纸，怎样为框架用纸最多？ 在它的表面糊一层纸，那纸的面积指的就是它的表面积。问怎样围用纸最多？也就是问怎样围它的表面积最大？那你知道这里的二十四厘米是长方体的什么？围成了一个框架，框架指的是长方体的棱长， 所以二十四厘米是长方体的棱长总和。那我们要想到长方体的棱长总和是怎么算的？长加宽加高的和乘四等于二十四厘米。 我们可以求出长加宽加高的和用二十四除以四等于六厘米。那怎样为表面积最大呢？这里有一个知识点，当长方体棱长总和一定时，长宽高越接近，它的表面积越大，体积也越大。 什么情况下，长宽高越接近，也就是长方体越接近正方体，它的表面积越大。我们可以举个例子，在这里 长加宽加高的和等于六厘米。我们把长宽高都取整数，举几个例子来对比一下。第一种情况，长四厘米，宽和高都是一厘米。 计算出长方体的表面积等于长乘宽四乘一、加宽乘高一乘一、加长乘高的和再乘二 等于十八平方厘米。第二种情况，长是三厘米，宽两厘米，高一厘米，求出表面积三乘二加二乘一、加三乘一的和再乘二等于二十二平方厘米。第三种情况， 长宽高都是两厘米，那他就是一个正方体，求出表面积二乘二乘六等于二十四平方厘米，这种情况下他的表面积最大。所以写到这里，下一步就要知道，围成正方体时表面积最大。 我们要求出正方体的棱长六除以三等于二厘米，也就是围成棱长为二厘米的正方框架，用纸最多。再看第四题，仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图， 这堆纸箱可能有多少个？这是通过三式图让我们确定正方体的个数。这是从正面看到的图形，说明每一列最多有三个。这是从左面看到的图形， 这一列最多有两个，这一列最多有三个，这是从上面看到的图形，说明他最底层一共有四个。做这种题有一个方法口诀， 上面看打地基，前面看疯狂盖，侧面看拆为建，把它看成盖房子。先从上面看打地基，因为从上面看，我们看到的是最底层，一共有四个。 再从前面看疯狂盖，也就是这里的正面。从这个方向去看，第一列最多有三个， 那他对应的是这一列最多有三个。我们让他疯狂盖，这一列，上面都填三。第二列 对应的是这一列最多有三个，让他疯狂盖，上面都填三，满足。从正面看是这个图形，侧面看，拆为见，这里是从左面看，我们要根据这个图来拆掉违规的正方体。从左面看是从这个方向去看， 这是第一列，他对应的是这一行，这里能看到两个，就说明这一行最大是二，而且至少有一个二，这里出现两个三，所以不符合题，要拆掉，满足。最大是二，而且至少有一个二， 可以都是二，也可以一个一，一个二，或者这边是二，这边是一，这样才符合题。再看第二列，他对应的是这一行，能看到三个，那说明这一行最大是三，而且至少有一个三， 我们都填三，满足了。从正面看这个图形，所以这两个数字不用变。那一共出现了三种情况，第一种情况是三三二二，第二种情况是三三一二， 第三种情况是三三二一。我们看一下这三种情况是否都符合题。三三二二，从正面看都是三个，从左面看 二三符合题。三三二一从正面看都是三个，从左面看二三符合题。所以这三种情况都符合题，那可能有多少个？第一种情况，两个三，两个二 三加三加二加二，剩下这两种情况，他们的总个数是一样的，两个三加一个二，一个一三加三加二加一，等于九个，可能有十个或九个。 这种题型我们就可以用这种方法来解决。第五题，考察正方体的展开图，如图像小在拆一个正方体纸盒时，不小心把其中一个面 s 折断了， 现在他要把这个面粘回去，变成一个完整的正方体。展开图共有几种不同的粘法。我们先来回顾一下正方体的十一种展开图。第一种是一四一行，都分为三行，第二行都是四个， 第一行和第三行都是一个。我们先观察这四个图形，第一行和第二行都是相同的 变动，第三行这一个小正方形的位置，这样就有四种展开图。接着把第一行这一个都放在第二个位置，第二行还是这并排的四个，第三行这一个有两个位置， 所以一四一型一共有六种展开图。再看二三一型，同样是三行，第一行和第二行位置不变，移动。第三行这一个正方形的位置，一共有三种情况， 二二二行只有这一种情况，分为三行，每一行都是两个，最后是三三行，只有这一种情况，两行每一行是三个，那找对面。也有一个方法口诀，跳过一格找对面， 对面不在拐个弯。先看一四一行第二行，对面最好找，跳过一格找对面，那这个对面就是他， 我们跳一格再找，所以他们两个是对面，那这两格就是对面。跳一格再找，剩下这两格是对面。 再看这个展开图，这两个是对面，我们跳一格去找这两个是对面，那么剩下的这两个就是对面。后面这四种情况就不再写了，跟上面是一样的，我们来看二三一行，第二行比较好找， 这两个是对面，这两个是对面，这两个是对面。再看他的对面，我们跳过一格找对面，正常情况下应该是他，但是这里没有，我们就拐个弯到下面，所以这两个是对面，剩下的这两个是对面。我们跳过一格找对面，正常应该是在这里， 这里没有，我们就拐个弯往这走，所以他俩是对面。再看这个图找他的对面，我们跳过一格找对面，应该是这里，这里没有拐个弯在这，所以他们两个是对面， 那么剩下的这两个就是对面。再看二二二型找他的对面，我们跳过一格找对面，应该在这，这里没有，我们就拐个弯到这，所以这两个是对面。 再看他的对面，我们跳过一格找对面，应该在这这里没有拐个弯就是他，所以这两个是对面，那么剩下的这两个就是对面。跳过一格找对面，应该在这，这里没有，就拐个弯，所以他们两个是对面。最后三三行这个比较好找，这两个是对面。跳一格， 这两个是对面，剩下这两个是对面。再看这道题，一共有几种不同的占法，放到这里是一种情况， 一四一行放到这里可以吗？二三一行这个位置不行，如果放到这里， 他和这个正方形是对面，那这个正方形又和他是对面，就出现矛盾了，所以这个位置不符合题，这里也不行，出现了田字，他不是正方体的展开图，这个位置也不行，出现了凹字也不是展开图， 这个位置可以，一四一行，这个位置也不行。这是一个田字，这里也可以。二三一行，最后这里也不行，出现了田字，一共有四种不同的粘法。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？
155佳佳老师
04:09查看AI文稿AI文稿图形的放大和缩小，在七个小矮人的帮助下，王子和公主过上了幸福的生活。 啊，这个故事太感人了，小矮人们帮助王子找到了白雪公主。王子 啊，王子啊，我是王子，王子，王子，王子。 嗯，好吧。嗯嗯，太感谢你们了，正是有了你们的帮助，我才能和白雪公主过上幸福的生活。所以我想给你们修建一栋新房子，大家有什么要求尽管提出来。耶，真是太好了， 既然王子殿下这么有心，那就按照我们的比例来进行修建吧。就是就是，我现在住的房子都是为普通人修建的，实在不太方便。 嗯，你们的身高与普通人的身高比是一比四，我们普通人住的房子是四米高，那你们的房子， 呃，应该设计高度在一米，这样比较适合我们。王子殿下，我之前的房间面积太小了，我想要个面积大点的房间，扩大后的房间与现在的房间比是三比一。 这个我知道，现在的房间这么大，扩大后与现在三比一，可以这样子，或者还可以这样。 嘿嘿，这个是不对的，我们先了解一下图形的放大与缩小。图形按比，放大时要使放大前后图形对应线段长的比相等。 如果我们用这个长方形表示你的房间的大小，所以房间的长放大到三倍，宽也要放大到三倍 哦。长和宽都要放大三倍啊。原来长是三个格，宽是两个格，所以长扩大到三倍变成为九个格，宽也扩大到三倍变为六个格，对应线段长的比相等。 这样我的房间就够用了。谢谢王子殿下。王子殿下，这是我们兄弟之前的饭桌，他的桌面有点太大了，我想要个小点的桌子。缩小后的桌子面要与现在的桌子面的比是一比二。 如果用这个三角形表示饭桌面，需要怎么做呢？图形按比例缩小时，只要是对应线段长的比例相等就可以了。是的，就是把三角形的两条直角边从六个格缩短为三个格， 再将两条直角边连起来就可以缩小后与前图形的斜边比一比二也是，这样就符合缩小后的桌子与现在桌子的比是一比二的要求了。嗯，太好了，谢谢王子殿下。 嗯，看来你们都明白了，那我来考考你们，我这有一张图片，如果按一比四放大，哪个符合呢？我应该是第三幅，这幅是满足对应线段的比相等。 嗯，没错，看来你们掌握要领了呀，现在我就按照大家的要求去修建房子了，你们等我的好消息吧。好啊好啊，几个月以后， 房子按照小矮人们的要求建造好了，从此他们的生活更加便利，过上了幸福快乐的生活。
04:31查看AI文稿AI文稿除了线段围成的多边形是我们的学习重点，回忆想我们都学过几边形呢？来给自己，我们学过三角形，也叫三边形，还有四边形，三角形， 那以后我们还会学习五边形，六边形。 同学们，我们先来看一下三角形，你是怎么把三角形进行分类的呢？老师给大家准备了一些三角形，我们一起来看，想想你是怎么做三角形的呢？ 直角三角形和钝 角三角形，有一个直角，两个锐角，钝角三角形有一个钝角，两个锐角。 我想补充说明一下，这三类三角形，每一类都有两个锐角，但是它们的不同点是， 锐角三角形的第三个角是锐角，直角三角形的第三个角是直角，而钝角三角形的第三个角是钝角，我想这是它们名，是它们名字由来。嗯，你补充的很到位。 同学们，我们一起来看，在一个三角形中至少有几个锐角啊？有，那就是他们的共同点， 每一三角形都有自己的不同之处。锐角三角形，第三个角是锐角，直角三角形呢？直角，钝角三角形呢？钝角。那这三类三角形就是并列关系，我们用大括号来连接 好。同学们，三角形除了按角来分，老师啊，还发现了这样的你们的作品，好，我们来看一下。来看三十一号老师是我的好，你来说说你是怎么想的？我是按边分的，嗯，按边来分三角形，对，老师给你 一类是三边不等三角形，两两边相等的等腰三角形和三条边都相等的等边三角形。 嗯，你是按照边来分三角形的，同样是按边来分，我们来看，还有同学是这样做的， 来一号作品是谁的？老师，是我的，我是这样分的，我把三边不等的三角形分成了一般的三角形，特殊的是两条边相等的等腰三角形，这其中最特殊的是三条边相等的等边三角形，这是你的分法。我们再来看这次同学的作品。 二十四号，老师，这是我的，我是这样想的，三角形有三条边，如果两条边相等，就是特殊一点的等腰三角形，如果三条边相等，就是最特殊的等边三角形。同学们，我们来对比一下这三幅关系图， 看一看你认为哪一幅图最能清楚的？从边的角度反映出？我把不是这么分平面 b 图形的，我把 b 图形分为长方形、圆柱、 圆锥和其他 b 图形，如求圆台， 你们分清楚吗？清楚，很清楚， 具体图形除了可以像他们这样分，在刚才你们交流思维导图的过程中，啊，老师啊，还发现了这样的分类方式，我们一起来看一看。 二十八号作品。老师，这是我的作品。好，老师说你是怎么想的？ 我认为正方体是特殊的长方体，所以长方体中包含着正方体，而圆柱中也应该包含着圆锥，因为。
41:34查看AI文稿AI文稿今天老师给大家带来几个平面图形，都很熟悉啊，哎，那这些平面图形如果旋转，它能得到哪些立体图形呢？ 第一幅图能得到哪个立方体？第三个哦，第三个，第二幅图呢？第一个，第一个，第三幅图，第二个。哎，大家回答的非常快，哎，我们来看一下他们旋转的过程吧。 好，先看这个圆，这个圆锥， 那我们还可以绕另外一条边旋转一周， 看得到两个完全不同的圆锥，那这个正方形旋转一周就是一个圆柱，哎，圆柱，看看， 来呀，平面图形通过旋转，我们能得到立体图形，那平移可不可以？ 可以，可以啊，哎，比如说，老师这里一个圆，他上下平移的过程中会得到一个什么立体图形？圆，圆都说出来了，你说圆柱，哎，圆柱，那如果是一个正方形呢？ 它平移的过程中，你认为能得到什么立体图形？你说正方体或长方体，哦，正方体或长方体，哎，我们也来看一下它们平移的过程， 圆向上平移，得到一个圆柱，越来越高了，再看看正方形， 那么这个正方形平移到什么时候会得到一个正方体？谁来说？李同学，你说比它的边长一样高度的时候，哦，好的， 这样差不多对不对？再往上的话，就会变成一个长方体，长方体了。哦，那看来平面图形通过旋转和平移呀， 都能得到一些立体图形。今天这节课呀，我们就对这些立体图形进行整理复习，课前大家已经对他们的公式进行了整理，老师这里呢收集了几幅同学的作品，大家来看一看。 先来看看第一幅作品，你觉得哪里需要补充或者是改正的吗？好好，先检查一下 哪里，想要提醒的可以举手。 我们男同学一声，长方形的表面积要把那些挂起来再乘上哦，那么他这里计算了几个面？ 三个面，不，三个面。那我们需要计算六个面，所以应该乘二漏乘了。还有吗？ 嗯，李同学，你说圆柱的面积忘记乘高了哦，忘记乘以高了，那我们侧面积应该是 二二派啊， h 啊，而且公式里我们应该是先写派啊，只是在计算的时候，我们这个派是取三点一四的。嗯，还有吗？ 没有了是吗？同学们，看看这位同学他是怎样整理的？你说他是通过文字的方法整理的哦，文字的方法？那我们看看第二个同学的作品，他是用什么方式整理的呢？ 男同学，你说字母整理哦，字母整理的。再来看看第三个同学的，哎，这个同学除了用字母，他还有哪里不一样？ 来边。男同学，你说他还说上的表格哦，表格被你看出来了，如果加上横的线或者是 竖的线，它其实就是一张表格哦，那这个同学他不仅用上了字母，还用上了表格。好，接下来老师把这三幅作品都放在一起，你觉得哪个作品最清晰最明了？ 哎，不着急啊，请你把你的想法跟你的同桌说一说，开始对， 好，谁有想法快说。哎，你来说。我觉得第三个作品，呃，比较清楚，因为他这样整理能够不遗漏每一个字母公式，然后让人很清楚哦，他认为很清楚，还有谁想说吗？ 能不能行？你说。因为他的那个每个每个公式之间都是有一定的间隔的，不会如果像前前两个，他把它重这样弄在一起很容易看错。如果不小心把公式 体积公式看成表面积公式可能就会算错了哦。排版非常美观清晰是吗？是的，看来我们整理公式的时候，不仅可以用上字母， 还可以用上表格，显得美观又清晰。老师这里呀，也是用一张表格来表示这些公式。好， 接下来请同学们看看这几个体积公式，那这三个体积公式你能用一条公式表示吗？谁知道 后面的同学，女生 v 等于 s h 哦， v 等于 s h， 为什么能用这条公式来表示？请大家结合老师的这张图片，跟你的同桌说说看，为什么它们能用一条公式来表示它们的体积？开始， 为什么它们的体积 好？第一个，长方体，谁来说长方体这个公式里面哪部分表示它的底面积？ 你来， a b 相乘的积就表示 s 哦，底面积。好的，这样子，那么正方体呢？它的 s u 在 哪里？ 尹同学，你说什么？ a 的 方哦， 谁听明白了？再来说一次，听懂。李同学，你说 a 的 平方，也就是 a 乘 a， 那 么后面这个带着它的高，所以它的面积，它的体积公式就是 s h 是 吗？嗯啊，那么圆柱我们就不用说了啊，那看来这三个立体图形的体积，它都能用一条公式来表示，那就是 b 等于 s h 都能用这条公式来表示，那我们啊，就把它写成一条， 哎，大家看看，那么除了这三个立体图形，你觉得哪些立体图形它的体积也可以用这条公式去计算呢？ 你们哪里见过安方贤，你说中间中通的圆柱？哦，你认为这样的也可以用底面滴成的？好的，那老师这里呀，收集了四个立体图形， 同学们来看看，你认为哪一个可以用 v 等于 s h 来计算？第三个，第二个和第四个，第四个，第二个和第四个物， 你还要什么？补充，我觉得只要上下底面都相等且平行的立体图形都可以用 v 等于 s h 来计算。哦，说的真好。是的，这样的立体图形啊，我们把它称为柱体。 好，其实柱体的体积都可以用 v 等于 s h 来计算。 好，接下来我们再来看看这三个柱体的表面积。哎，大家看圆柱的这个表面积，它是 一个侧面积加上两个底面积。嘿，长方体和正方体也能用这条公式去计算它的表面积吗？ 好，不着急判断，这样，老师这里有他们的展开图，请大家 观察这些展开图，再思考一下到底能不能用它的公式去计算长方和正方的表面积。把你的想法跟同桌说一说，开始 谁来说说你的看法？老铁，你来。嗯嗯， 我觉得可以，因为中间的四个面可以看成他的可以看成这个的侧面积，然后呢，旁边的两个面就是他的两个底面积。谁听明白了他的意思，那请你说， 他的意思就是说长方体和正方体中间的那一条侧面肌和圆柱的侧面肌是一样的，然后呢，上下的两个底面，也就是跟圆柱的那个一样， 他们的表面积也就可以用侧面机加上两个底面积来计算。说的真好，是这样吗？是，所以其实他们的表面积都可以用 一个侧面机加两个底面积去计算啊。好的， 只是底面的形状不一样而已。大家看看，那我们这个圆柱的侧面积是怎样计算的？谁来说一说？ 后面？男同学，你说底面周长是高，哦，底面周长是高，为什么呢？谁还记得？ 女同学你说，因为它底面圆的周长就相当于那个中间侧面积那长方形的 长，然后他的他的宽度相当于他的高，然后所以就可以用这条公式来计算。哦，是这个道理啊。嗯，哎，那大家看看，那我们这个正方体和长方体，他的这个侧面积能不能也用底面周长乘以高去计算？ 可以可以，真的可以，好像可以，好像也可以，好像也不可以。不着急啊，老师呢，今天带来了一个正方体的展开图，老师呢，把它合拢，大家再看一看， 在观察的过程中，你再去思考一下到底可以不可以啊？先看看这个侧面积的长在哪里，先把它长找到啊。好观察 可以吗？可以。哎，这么肯定，谁来谁说你的看法？ 男同学，你说我认为可以，嗯，因为侧面肌的它的长刚好可以围绕底面肌绕一圈。哦，说的真好，谁听明白？ 女同学你来，哎，请你说。呃，他觉得我， 我觉得，我也觉得可以，因为就是他是底面，就是侧面那四个面，然后正好可以绕他的底面绕一圈，然后那四个面的长度呢？就正好是那底面一圈的周长。说的真清楚，是吗？哎，那这个正方体， 他这个侧面的这条边，其实就是下面这个正方形的四条边也是一样的，所以他也是底面周长乘以高，那么长方形的道理是不一样的， 一样的。哎，看来这三个图形的侧面积也能用同一条公式去计算，就是底面周长乘以高。好，那我们又可以把表面积的公式 整理成一条。哎，大家看看，那现在呀，我们这三个柱体，表面积也可以整理成一条，体积也可以整理成一条，那你是不是以后去计算的时候都只用这条或者是这条？ 嗯嗯，摇头，为什么？谁来说理由？你说下面还有一个圆锥，因为圆锥的体积是利用三分之一 s a 去来计算。嗯，是的，那如果也不是圆锥，就是圆柱或者正方的长方体， 你会不会一直使用这条公式去计算？嗯， 会。嗯，李同学，你说啊，啊，如果是正方体的话，那正方体的那个就可以用，比如棱长，告诉你你就会怎么算？用棱长乘棱长乘以六来计 算它的表面积，是吗？同学们，嗯，哎，是的，虽然我们整理起来能整理成一条，但是实际去算的时候，我们还是得去选择 最快捷最合适的方法，对吧？方法很多，但是我们要选择最合适的方法。说的真好，好了，哎，我们刚才呀，整理了 啊，正方体，长方体， 圆柱的体积，还有一个圆锥，圆锥的体积是什么？三分之一 h， 同学们，看看黑板上的这些立体图形，哎，我们再去研究它们的体积公式的时候是怎么研究出来的，还记不记得？ 需要想想对吗？好，接下来请同学们结合老师黑板上的两幅图去说一说我们是怎么得出他们提及公式的啊？请大家在四人小组里面讨论一下。开始 啊 啊， 那哪个小组愿意说说你们的结果你来 是圆柱体的三分三分之一所以圆柱圆锥的体积是圆圆锥的体积公式是 b 等于三分之一的 c 去。嗯 想到圆柱的对吧嗯还有谁有补充吗？ 好你来。我认为我们通过倒水实验将圆锥将圆锥灌满水再倒入与它等比等高的圆柱之中倒满三次我们就可以得出圆锥体积 是圆柱体积的三分之一。哦说的真好原来我们是通过倒水实验知道的哎同学们再来看看这个实验 实验结束我们发现圆柱底筋等于底面积乘高圆锥的圆锥底筋等于底面积乘高乘三分之一。是的这里有一个 必要的条件就是等你等到。看来我们在研究圆锥的时候是把它联系到圆柱去研究的啊还有好几个呢谁来说一说他们又是怎么得来的。 按到小女生可以把圆柱切成一半然后其中的一半切成若干份体积相等的三角体将第二个切的跟前面一个切的一模一样 将它们拼接在一起可以变成一个近似于长方体的立体图形。说的真好喂我们第一步先拼了。然后呢 你同学你说拼完之后这个呃这个近似长方体它的底面积就相当于圆柱的体底面积然后这个近似长方体的高就等于圆柱的高这样我们就可以得出来圆柱的体积是底面积乘高 是这样吗？哎这位女同学说的很清楚哎那看来我们研究圆柱的时候又是联系到长方长方体去的还剩下一个正方体呢 他又是哎，女同学，你说其实正方体是一个特殊的长方体，因为正方体和长方体都有六个面，只是正方体的棱长是等底等高的， 冷藏全部一样的，对不对啊？所以它也能联系到长方体去。哎，大家看看，我们在研究它们的体积时，其实都用到了同一种方法，是什么？ 你说我们都把一个图形转化成了另一个我们已经学过的图形，哎，真好，这个方法，其实在数学里，我们就把它叫做 转化。对，转化呀，是我们数学里一个非常重要的思想方法，我们经常会通过转化把一些新的知识转化成旧的知识，这样我们学起来就轻松多了，对吧？好的， 刚才我们说呀，黑板上这三个柱体，它的体积公式都是 s h， 哎，只有一个圆锥，孤零零的，它的体积是 三分之一 s h， 哎，那它有没有半呢？还有哪些图形也是用这个公式的呢？ 好像没怎么见过，是吗？嗯，这位同学有什么想法？我觉得只要有一个底面，并且它有上面有一个顶点的立体图形，都可以用三分之一 s h 来计算体积。哦， 你的想法非常好，大家听明白他的想法了吗？嗯，明白了，听明白了，真的，那老师给大家看看，我们刚才的这四个立体图形里，你能找到也能用 v 等于三分之一 s h 来计算的图形吗？ 你觉得哪个是第一个？第三个？异口同声的说，第一个和第三个？是的，这样的图形呀，我们就把它称为锥体。嗯， 锥体的体积啊，它其实都是用三分之一 s h 去计算的。哎，那大家看看 这第一个这个锥体啊，它的底面是三角形，所以我们把它称为三角三棱锥。啊，三棱锥，那你觉得这个三棱锥的体积是谁的三分之一？ 来，同学，你说第二个同学的三分之一，哎，看着就像第二个，是吗？其他同学认为呢？ 嗯，就是旁边这个三棱柱的三分之一。哎，你觉得他们俩应该也要有一个什么条件呢？等底等高，必须也是等底等高才可以的。那下面这个 它是底面，是一个五边形哎，所以我们可以把它称为五棱锥。那这个五棱锥的体积又是谁的三分之一呢？ 你说是第四个的，是第四个的，对吧？哎，那他们也需要有个什么条件？等底等高，等底等高。所以呀，其实锥体的体积 都是跟他等底等高柱体体积的三分之一。是的。好的哦，那现在呀，我们整理的就差不多了，所有的知识都在这张表格里了，是吧？那接下来我们来练一练吧。 来，大家看，周谷老师给大家一个无钙的玻璃鱼缸，你想研究他的什么问题？ 男同学，你说表面积，表面积，女同学，你说容积。哦，容积。好，好， 那接下来我们就先来研究一下同学们刚才提的这两个问题吧。好，大家把这个纸拿出来，你可以把算式直接写在这张纸的背面开始。 哎，写好了吗？写好了，好了。哎，这两个题目啊，我们就一起看看屏幕上跟你写的一样不一样。 第一道一样吗？一样不一样的好，不一样。嗯， 哦，算是不一样，是吗？那意思是不是一样的呢？是，同学们，看看这里你送了几个面的面积？五个五个面，为什么？请同学 你说，因为这是一个无盖的玻璃缸，所以它整体呈五个面的表面积，是吗？五个面。好，那下面这个结果等于多少？三百，哎，好，我们继续来研究这个鱼缸。 哎，大家来看一下，如果老师啊，在这个鱼缸里注满水，要放进去一个橡皮泥，水就溢出来了啊，那这个时候这个长方形橡皮泥的底面积是多少？ 想一想， 嗯，老师，看大家啊，基本上都已经有了想法，把你的想法跟你的同桌说一说你是怎样想的 好啦，哎，谁来说说你的想法，你是怎样想的？ 那么谁，你说我的想法是这溢出来的十二点五六升的水是这个长方体的体积，而这个高就是就是算它体积的关键数字。 算式是十二点五六除二，等于是六点二八，大家想的跟他一样吗？嗯，哎，讲的非常清楚啊，那看来这溢出来的水像刚才这位同学说的就是 长方形的体积，体积。哎，那我是不是这道题就是十二点五六除以二一道算式就好了？ 不是不是，还有，还有什么？还有一步，还有什么？你说，因为他十二点五六是深，他要把它转化成单位，转化成那个分米，对，这个细节我们还得要注意到啊，所以第一步是转换单位啊，转化，然后再去计算他的 底面积好了。哎，这个橡皮泥啊，老师，再把它拿出来来试试看，把你的想法写下来 好，写好了吗？写好了，谁来说说你是怎样算的？ 来，你说我是老师，能直接报算出来吗？可以，十二点五六乘三点一等于四，直接算出圆柱的高。哎，为什么就这样一步算时就能算出它的高？因为那个圆柱的体积等于体面积乘高。 哎，那我老师这里是长方体的体积，告诉你，你怎么就直接用了呢？因为长，因为圆柱的体积和长方体的体积相等，所以它们的体面积也相等。 看看刚才谁听明白他的意思？李同学，你说啊，因为这里是把长方体捏成圆柱，所以这里的体积不变，然后要要求底面积的话，他就可以直接体积除以底面，体积除以高等于底， 体积除以底面积等于高。哦，所以这里有一个没告诉我们，但是我们都知道的， 哎，我把这个捏成这个图形，他们的体积还是相等的哦，所以直接这样算就能算出他的 高。还有其他算是吗？都这样想的，是吗？你有不同的。老师，那个我是列方程的哦，还可以列方程怎样？我们可以解释，假设他的高为 x， 然后按照公式就是三点一四乘以 x 等于十二点五六，然后就是 x 等于四。 很好，那老师这里写 h 应该也没事吧。好的，看来我们一个题目啊，方法不止一种哎，方程的好处就是我们可以直接根据公式 把算式写出来。好的，哎，同学们想象一下，那我这个捏完的圆柱，它可能是长什么样的？ 来看看老师这里的跟你想的一样，不一样，这个圆柱 是这样吗？嗯，比这个长方体要高一点。哎，我还要继续捏呢，我把这个圆柱啊拿过来，我继续捏，我要把它捏成一个 等底的圆锥，让同学们想象一下，这个圆锥的高可能是多少，他是长什么样的呢？ 安同学，你说高是十二，哎，你怎么想的？我，因为我通过我们之前学的知识，圆锥和圆柱，假如是等底的话，高就是他的三倍 底，等底的话，等高的话，底就是他的三分之一， 等高的话也是三倍，哦，也是三倍。这位同学说的好，完整，说了两种情况，谁听明白了再来说说看。 那同学，你来。因为以等底等高的圆锥和圆柱，它的体积比是三比一，而所以如果他们的体积相等的话，比一样，那想 如果它们的底一样，想让它们的体积相等，那高就必须得是圆锥的高就必须得是圆柱的高的三倍。嗯，说的真好，很清楚。是吗？所以，那么这个圆锥的高，你可以怎样计算？算式式？ 那同学，你说那个我们可以四乘三，因为之前说过底是相等，所以它的高是它的三倍，所以我们就可以直接乘四乘三， 等于十二。十二。那如果我们老老实实按公式去计算，算式是怎么列的呢？那你说十二点五六乘三，除以三点一四 也等于十二，对吧？哎，我们也可以按公式去算。那同学们想象一下我这个捏出来的圆锥长什么样？ 比圆珠高，看看是吗？有多高？具体三倍是他的三倍。好的，那刚才呀，我们大家一起练了一道题目，接下来呀，请大家拿出老师事先发好的作业纸， 现在我们自己来练一练，看好开始。 下面这个写好了吗？ 嗯，老师发现有些同学已经写好了啊，写好的同学，你第二题是怎么想的？可以跟同桌说说看啊， 两个面对二三个。 好，大家写好了吗？写好了，好了。好，那请大家跟黑板上的同学，跟你写的一样吗？不一样，不一样哦，有哪里不一样？ 你来 和圆锥的体积不一样，他那个八是八是圆锥的直径，要先把直径除以二，然后用直，用半径的平方来计算哦，所以这位同学 公式计算错误了，对吧？那正确的应该是怎么样的？是这样吗？对哦，应该是这样的。 那看来我们在算的时候还得注意记清楚，对吧？那左边这个呢？这位同学，左边这个，大家都跟他一样吗？一样哦，一样的。哎，老师，刚才发现一位同学， 算式是原本是这样写的，你知道 哦，后来呀，老师提醒他了，哎，这个题目里让我们算什么呀？他，哦，知道了，他原来看成什么了？你说 他原来看成了体积哦，看成了，实际算的是侧面积。是的，那还有老师班级有个同学原来写了三道算式，老师也问了他，哎，题目里让我们算什么呀？哦，多了，你知道他算什么了吗？ 你说还被你看出来了，他有两个算子擦掉了，对吗？所以，其实这两道题目对同学们来说不难，但是很容易错，很 容易看，哎，所以写的时候我们还得注意什么？看清，看清题目啊，计算还得加上我们的细心，对吧？好，第一题，接下来第二题， 先来看看这位同学写的跟你一样吗？一样，不一样的啊，谁来说说看你的想法，你是怎样想 的？是把这个整道题都放进去啊？ 好，那同学你来对我们来看一看， 这清楚吗？是放大一点。他，这，他这个第一部分的是半径 哦，因为他增加了两个表面积，除以二，就是增加了一个表面积，这个一个面积，然后面积除以这条高，就是这就是这一条，而这一条对应的刚好是圆柱的半径， 然后后面就可以用 v 等于 s h 这条来计算它的面，它的体积了。嗯，谁听清楚了啊？谢谢啊，坐回去，谁听清楚了再来说一说。李同学，你来，我上去了啊。好的，你也上去。 因为这样计算，然后表面积增加了八十平方厘米，这八十平方厘米是这多出来这两个面的，再除以二，算出来一个面的面积， 然后我们知道这一个面的面积是用半径乘高来表示的，然后只要拿这个算出来的一个面积，然后除以高，然后就等于半径，然后接下来就可以用 体积等于半径的平方乘以这条公式来计算。嗯，说的非常清楚，是这样吗？同学们，是，那看来这道题我们关键就是要找到它的 半径，对吧？哎，多出的面其实是有两个，然后，嗯，除以它的 高，我们就能得出它的半径。哎，半径找到了，接下来体积就能算了。嗯，非常好。好，那同桌两个人互相检查一下，看看你们是不是还有什么其他问题。没有？ 这个是， 哦，好的，老师，那边有几个啊？给那位女同学。好了。 好了，同学们，刚才我们又自己练了一下，是吧？好了，同学们，时间也差不多了啊，我们这节课也就上到最后了，同学们慢慢回顾一下我们这节课学了哪些知识。 刚开始我们先整理了公式，哦，整理了公式，知道了，用字母加表格的形式，然后又整理了 柱体的功，体积功，哎，柱体的体积公式，对吧？还有它的表面表面积公式，得出了一个 统一的公式，对吧？那除了柱体，我们还知道了椎体，对，椎体。是的，那在这些体积 公式推导的过程中，我们还知道了用转化的方法，是吧？嗯，是的，整理呀，是一个很好的复习方法。其实我们平时复习的时候，除了整理，还有很多有用的复习方法。比如说 你说他错题真好，你的想法跟老师想到一块去了。其实错题也是一个非常重要的复习方法。哎，每个人可以整理出自己的错题，这个就是别人 每个人独一无二的复习方法。嗯，希望大家自己回去的时候可以整理整理有关立体图形的错题。
24月亮姑娘优质课
05:54查看AI文稿AI文稿大家好，这里是一道六年级的求组合图形表面积与体积的题目，我们一起来看一下，要求求下面组合图形的表面积和体积，那我们稍微观察一下这两个立体图形，会发现上面是一个 圆柱体，下面是一个正方体啊，有两部分组成，那我们就来回顾一下圆柱体与正方体它们的表面积和体积公式吧，大家必须要熟练的去掌握啊。首先我们先来说一下圆柱体，圆柱体的表面积应该怎么算呢？ 应该用它的侧面几加上它上下的两个底面积，那么圆柱的体积呢？ 你是否能够快速的说出圆柱的体积应该是 pi r 方 h， 也就是底面积乘以高，底面积用 pi r 方来求高就是 h 啊，那下面我们再来回顾一下正方体的表面积， 正方体的表面积，其实我们要知道正方体的六个面是完全相同的嘛，那它的表面积指的就是它六个面的总和，也就是棱长乘以棱长是它的一个面的面积， 因为像这样的面它有六个，而且六个是完全相同的啊，棱长乘棱长再乘以六就可以了。那我们再来说一下正方体的体积呢，正方体的体积公式是棱长乘棱长再乘以棱长，三个棱长相乘，我们就用棱长的立方来进行表示 好了，那这个是我们回顾一下圆柱体以及正方体的表面积和它的体积公式，那下面的时间咱们来开始分析这个图， 我们可以优先来计算一下它的表面积啊，看一下这个表面积可以怎么求。首先我们观察一下，会发现圆柱的表面积呢，下下面的这个圆啊底面积，这个底被正方体的上面这个面给盖住了， 所以稍后我们在计算它的表面积的时候，这个底面是不要算的。然后在计算正方题的表面积的时候呢，同样的需要特殊注意一个地方，就是这里 它顶上的这个面啊，最上面的这个面有一部分被圆柱体的底面给盖住了，所以这个部分一会我们在求的时候需要稍微注意一下，那下面的时间咱们就一步一步来算它的表面积，应该先用圆柱的表面积 加上正方体的表面积，刚才我们已经说过了，我们只需要用它的 底面积一个底面积去加上它的侧面积就可以了，那么它的底面积呢是 pi r 方，然后它的侧面积呢就是底面周长乘以高 二 pi r h 啊就可以了，然后再加上正方体，我们能够看到的完整的是五个面， 一个面呢用棱长乘棱长，也就是八乘八，像这样的面呢一共有五个，所以我们再乘以五就可以了。那么现在最重要的就是老师刚才打阴影的这个部分，这个部分应该怎么求呢？应该用最上面的这一个正方体的这个面，也就是棱长乘以棱长八乘八， 减掉这个圆柱的底面，那最后我们要加上八乘以八减去 派二方他的一个底面，那在这里我们就会发现一个问题了，前面这里有一个派二方，后面这里有一个减派二方，那他们两个相减是不是就没有了呀？ 哎，就互相抵消掉了，所以在真正计算的过程当中，哎，其实这个派二方你就不用算了，就这个圆珠的底面积，然后剩余的部分我们正常进行代入就可以了。 二派派我们取三点一四啊，乘以三点一四 r 呢，就是呃，圆柱的底面的半径，这里面标注了直径啊，是六厘米，那半径就是三厘米喽，乘以三，再乘以高，高就是这里啊，也就是三厘米， 然后再正常的去加这个后面的这个部分了啊，八乘八乘五，再加上八乘八，实际上就是这个正方体完整的这个表面积了，那我们口算一下，它的答案是三百八十四， 最后把两部分合起来就可以了，两部分合起来的答案是四百四十点五二，单位是平方厘米，这样呢，我们就求完了它的表面积，那么下面的时间我们再来求一下它的体积， 它的体积呢，其实也是由两部分组成，一个就是圆柱的体积， 一个就是正方体的体积。那这个还是比较容易求的啊，直接代入公式就可以了。圆柱的体积公式是 pi r 方 h， 然后正方体的体积是棱长乘棱长乘棱长，也是棱长的立方， 所以呢， pi 我 们取三点一四 r 呢，就是它的半径，就是三的平方，高呢，也是三乘以三加上棱长的立方，棱长呢就是八，那也就是八乘八，再乘以八， 那这个地方大家可以在草稿纸上进行计算，它们最终啊相加的结果是五百九十六点七八立方厘米。 这道题目就结束了，那对于大家来说，它考察的公式就是圆柱体以及正方体的表面积和它体积的公式应用，同时需要注意我们上面这个部分，它的表面积应该怎么做？你学会了吗？
13小新老师教数学
