几何画板胡不归课件

搞定几何最值压轴题的专题讲义来了！这本是特殊平行四边形中的几何最值模型专题讲义，整理了考试最常考的四大核心模型，胡不归、瓜豆费马点、一等线，全是初中生觉得难的考点， 这些都是八年级期末考试一定会出现的压轴题型，刷单道题没法掌握规律，集中练同类型模型才会有效果。这份讲义采用前例题后练习的结构，学完马上就能练，帮你巩固刚学会的模型思路。 所有题目都是从全国各个地区的期末试卷中整理出来的，不管你在哪个地区，都能用。内容专门适配八年级学习进度，只保留当前学段需要的考点，不用你自己删减内容。 光是答案解析就有一百多页，每一步都写的很清楚，自己对照就能改，不用找老师问。步骤适合数学一百三十分以上，需要给平行四边形章节做培优拔高的八年级学生。需要的朋友点击下方链接购买。

一分钟搞定图不规给出一个图形，让我们求它的最小值。其实这种题型很简单，因为方法不定，听完就能拿满分。 只要是求线段加 k 倍的线段的最小值，就只有两种模型，第一种，模行动点在直线上，用弧 不规。第二种，模行动点在圆上用它是圆。这道题中动点 p 在 线段 a c 上动，轨迹是直线，直接锁定弧不规。弧不规模型的解题方法就一招，构造直角三角形。 只要系数 k 大 于零小于一，就使得系数后面的 b 为斜边，再让直角边比上斜边的比值等于 k 即可。这道题中的 k 是 二分之一，正好是三十度的直角三角形。三十度角所对的边是斜边的一半，所以以 a p 为斜边构造直角三角形， 使得顶点 a 或者顶点 p 的 角为三十度。这里因为 p 点是一个动点，所以我们选择定点 a 做一条三十度角的射线，过点 p 向这条射线去做垂线， 那么这里就是我们要的三十度角的直角三角形。那么二分之一的 a p 就是 p q 的 长度，要求的小 a 加二分之一的小 b 就 转化到了这个位置， 因为 p 点在 a c 上动，假设 p 点动到这个位置的时候，连接 p b 同样向三十度角的射线去做垂线。现在求的就是这两条线段和的最小值， 因为底下必须都是垂直的关系，才有三十度的直角三角形哦。所以要求小 a 加二分之一，小 b 最短，就用垂线段最短或点 b 做三十度射线的垂线。所以当 p 点运用到这的时候， p b 在 这个位置，二分之一的 a p 在 这个位置，那么它们和的最小值就是 b、 h 的 长度。 现在因为这个角是三十度，而在三角形 a、 b、 c 中，因为这个角是三十度。 三直角所对的边是斜边的一半， b、 c 等于三，所以 a、 b 等于六。那同样三直角所对的边是斜边的一半，所以 a、 h 等于三。根据勾股定律，不难求出 b、 h 的 长度是三倍，根号三搞定。

还有一个月就要中考了，好不容易搞懂了瓜豆剩下的胡不归问题如何应对？没关系，不用慌，这节课我们书接，上回继续复习我们的一个醉酒模型。本节课讲解的是胡不归。在此之前，请同学们观看一段故事。 此去求学，山高路远。记住，万事皆需勤面，切莫虚度光阴。不可能！半月前的信里，父亲明明还好好的，不可能 两点之间线段最短，只要我沿着这条直线跑，就一定能赶上。在焦急的催化下，他选择相信了几何学中最无懈可击的铁律，直线就是最快的路。但他忽略了地图上平坦的红线，在现实中横亘着一片致命的流沙与碎石。 快一点，再快一点啊胡不归， 爹，要是，要是我能再早一点，只要早一点点就够了。 老师，我不明白，我明明在这张地图上找到了最短的路，我一刻也没有停下，但为什么， 为什么时间却不能提前？哎，孩子，你要明白，最短的路线和最短的时间从来都是两个概念，只有在绝对相同的速度下，最短的路线才能等同于最短的时间。 但这世间的路有平川，有泥泞，你若不懂得根据不同的路况去变换轨迹，哪怕走的是直线，也只会被困在砂石之中，耗尽光阴。我们总以为两点之间线段最短，但在现实的阻力面前，最直的路往往最慢。 想要用最短的时间到达终点，我们需要研究的不是如何画出那条完美的直线，而是如何在不同路况的阻力下找到那条真正的最优路径。 哎，好，这是我给大家准备的一个简单的一个小故事啊。这个小故事呢，主要是来介绍为什么它叫胡不规模型，以及胡不规模型所产生的一个实际问题。我们现在呢，就要去研究去解决这样的一个问题。 这个故事呢，我已经把它简单抽象成了一个数学模型，嗯，大概就如图所示。这个 a 点呢就是出发点，然后 b 点呢是它加是中点，然后呢，这段褐色的区域呢是沙石地，这一段蓝色的区域呢是 e 道。那我们这里肯定知道沙石地的速度为 v 一， v 一 是不是一定小于你的 v 二？为什么？因为沙石地硌脚嘛，对吧？ 你的平台 e 道，他是马车，那肯定速度不一样。然后呢，我们还知道你现在从 a 从学院直接到家，直接走过，走直线过去是不是不行啊？因为从故事来看，你直接穿过去的话，你的时间来不及吗？他来不及见他的父亲最后一面。所以呢，我们给他的方案是什么？你要先走一段的 e 道，走一段 e 道之后，然后再从这个点 出发回你的家。这样走的话，他的时间能不能稍微短一点，是不是使他的时间最小？哎，是这样的一个问题。好，那接下来我们就要看了，你既然使你的时间最小，你的时间现在是不是分为两段？这一段，比如说在 e 道的时间，我们记为 t 一， 这段时间记为 t 一 吧，这段时间记为 t 二。那我们这里的 t 一 是不是等于一个你的 bc 除以一个 v 一， 然后你的 t 二呢？它是不是等于一个 ac 除以一个 v 二？那所以你的总时间 t 它是不是等于一个 b c 除以一个 v 一 加上一个 a c 除以一个 v 二啊？我接下来想要使这个 t 时间最小，这个式子呢，我们是不是要对它进行一个变形？怎么样变形呢？ t 这里提取一个 v 分 之一出来，是不是变成了一个 b c 加上一个 v 一 比 v 二，再乘以一个 a c 啊？好到这步之后就有同学说了，老师为什么要去这么去变形？这里呢就涉及到一个数学当中的两个非常重要的一个思想，第一个叫做分离常数， 第二个呢叫做化规思想。那分离常数的意思是什么意思呢？你这里的 t 把它看成是一个函数，你这里的 v 一 和 v 二相当于是一个定值， bc 和 ac 相当于是两个变量。 我提取个 v 分 之一出来之后，把这个常数你看给它分离出来之后，你的 bc 前面的系数是不是变成了一？ 你的 a c 前面的系数是不是变成了一个定值？因为 v 一 比 v 二，它是个定值嘛？这样，为什么这样这样去变呢？因为这样去变了之后，可以使我们的变量更加的集中，方便我们去研究。不 过这里跟你们讲的，你们可能不是很能理解啊，等你们到高中之后，你们可能就会理解了，很多老师这一步他就直接不讲了，因为为什么？因为这一步讲起来你们不是很能理解，但是下面这个化规思想呢？你们是可以去理解的。给大家举个例子，比如说 x 一 加一等于三，这是不是一元一次方程，你们肯定会解， 比如说我现在再来一个方程，比如说来一个 x 平方加上一个二， x 减三等于个零。如果你们当初八年级没有学过一元二次方程的话，叫你直接去解一个方程，你们肯定是不会解的。 但是呢，我们知道我们既然一元一次方程会解，那一元二次方程跟他之间有什么联系呢？哎，这里才有一个叫什么化规思想， 我可以把一元二次方程把它转化成一元一次方程之后，我不就能求解了吗？所以这里呢，就是我们七年级阶段为什么要学英式分解的一个原因，就是我把一元二次方程给它英式分解，那是不是分解成什么？是不是分解成 x 加三乘以个 x 减一等于零，这样的话是不是转化成两个一元一次方程？比如 x 加三等于零，或 x 减一等于零，这样的话，我们方程是不是可以求解了？那为什么要讲这个呢？那同理， 你这样一个两个线段相加，我们什么时候遇到过两个线段相加求最值的问题？遇到比较多的是不是一个将军驿马模型啊？比如这里有个 a 点， 这里有条直线，然后呢，这里有个，比如说 b 点吗？这是 a 点，这是 b 点，这个线段上面是有一点 c， 我 怎么样才能使找到这个点？ c 使我的 ac 加 bc， 使它的长度最小嘛？那我们怎么做？是不是过点 a 做这条直线的对称点，即为 a 撇点，那这样的话，我的 a 撇 a， c 加上一个 bc， 它是不是就等于我的 a 撇 c 加上一个 bc 啊？那 a 撇 c 加上一个 bc 什么时候最小呢？是不是连接 a？ 是 不是连接 a 撇 b， 它们中间有个交点，那这个交点是不是即为 c 点，才能使我的 a 撇 c 加上 bc 最小吧？因为为什么？因为点到点之间的距离线段最短嘛？是不是这样的一个问题？好，那我们写过这样的一个最值问题之后，那两个线段之间相加最小， 你之间前面有这样的系数吗？是不是没有这样的系数？那我们的思路是不是就有了？我只要把你的这里的系数给它转化掉，是不是就可以了？好， 下来再看。那我的 t 是 不是等于一个 v 分 之一 bc 加上我这里的 v 一 比 v 二，我把它变成 k， 相当于乘一个 k 倍的 a c， 我 把这里的 k a c 把它转化成一个线段，是不就可以了？我在这里我构造一个角，构造一个角为 alpha 角。 我这里的 sin alpha， 它是不是等于一个 c h 比上一个 a c， 那 这样的话，我的 a c 乘以一个 c h 比上一个 a c h 啊？我在这个时候，我令我的 sin alpha 等于你这里的 k 不 就完了吗？ 我这个 k 其实它是个定值啊，因为为什么 v 一 的速度你可以求出来？因为它在 s， 它速度肯定是个定值，包括你的 e 到的速度 vr， 它也能求出来。你的 v 一 比 vr， 它就是个定值。之后，那比如说定值就假设等于二分之一，那我这里是不是构造一个三十度是不是就可以了？如果是二分之二，那构造一个四十五度是不是就可以了？ 那就意味着我这里的 k 倍的 a c， 那 t 是 不是等于一个 v e b c 加上一个 c h 啊？没问题吧？那 b c 加上 c h， 那 什么时候最小？那是不是？哎，这个时候你想一想， b c 加上这个 c h， 那 什么时候最小呢？点一个点相当于一个点到一条直线的距离，那是不是干嘛？ 垂线段的时候是最短的？那又有同学讲了，老师，那我肯定想不起来构造这个三压法，而这个三压法是多少呢？万一是个不是很一个很特殊的角，万一是个带根号的怎么办？ 放心，你们初中阶段这个的 k 值，这个 k 要么等于二分之一，要么等于二分之根号二，要么等于四分之三，它一定是一个设计好的一个值。你们直接过做垂直之后， 它比如说这个四分之三这个量，它比如说一个变长为三，一个变长为四，它恰好是构造好的，所以你们放心大胆去做就可以了。就是以后遇到这样的一个问题，就是 k 小 于零，小于一这样的一个问题，你们就大胆构造三 h 就 不带系数就可以了。 那有同学就要问了，老师，这是第一种情况，那第二种情况，那万一这里的 k 它是大于一的，我怎么办呢？看好了，如果你这里的 k 它是大于一的。假设啊，假设我们这里写一个，比如说 t 等于一个 bc 加上一个，比如加一个两倍的 ac 吧，那怎么做？你可以把这里的二提出来二倍的， 那这里是变成了二分之一倍的 bc 加上一个 ac 啊，你看你这里的二分之一 bc 前面的系数是不是小于一了？那你就把二分之一 bc 给它转化掉就可以， 所以胡为模型的做法非常固定。接下来我们来看两道例题。好，接下来我们看。第一，如图，已知抛物线 y 等于 a x 平方加 b x 加 c， 与 x 轴交于 a 点一零 c， 点负三零，一零负三零，与外轴交于点 b 零三。若 p 为外轴上的一个动点， p 为动点，连接 a p， 则二分之根号二倍的 b p 加上 a p 的 最小值为多少？你看这不就典型的一个叫做胡不规模型吗？为什么？因为我们知道将军一马模型是没有办法去解决这些线段前面带系数的问题。那解决胡不规模型的一个思路是什么？我是不是讲过了，是不是构造一个三亚法 等于一个 k？ 你 这里的 k 是 不是就等于二分之根号二？那你觉得三幺 alpha 等于二分之根号二，那所以你的 alpha 等于多少度啊？是不是等于一个四十五度？所以这里的题目当中一定会构造一个四十五度就可以了，而且题目大概率是给你设计好的，会天然产生一个四十五度。 你看这里，你把 b c 一 连接，因为 b c 为，因为 bo 为三， c o 长度是不是也为三？你把 b c 一 连接的话，你看这里是不是产生一个四十五度？没问题吧？它的坐标是零三吗？这个长度为三，这个长度为三，一连接这里不就是一个四十五度吗？ 那这里是个四十五度之后，那接下来我们的思路是不是把 b p 作为斜边是不是就可以了？那 b p 怎么作为斜边？是不是你只要过点 p 做 b c 的 垂线交啊？垂足为 h 点，那这样的话， b p 是 不是作为斜边了？我的 b p 乘一个三 y f， 也就是 b p 乘一个二分之根号二， 那是不是就等于一个多少啊？是不是等于我的 ph 啊？那相当于是二分之二倍的 b p 加上 a p 的 最小值，是不是相当于等于一个 p h 加上一个 a p 的 最小值？那你们觉得 p h 加上 a p 什么时候最小啊？你 p h 在 动吗？是不是这样？那什么时候最小呢？ 哎，过点 a a 到直线的距离，那是不是垂线段的时候最短？是不是这个时候它是最有最小值吧？那这个最小值怎么去计算呢？ 是不是也很简单，因为你这个 a 点坐标为一，那所以这个坐标这个长度为一，所以 o p 的 长度也为一，那也就意味着 ap 的 长度是不是等于根号二？ ap 的 长度为三，那也就意味着 b p 的 长度这个长度是不是二， 那也就意味着你的 h p 的 长度是不是二？乘以一个三 y f， 三以四十五度，那这个长度为多少？是不是就为根号二？那这样的话，那 a h 的 总长度是不是等于一个根号二？是不是等于二倍根号二？所以这题选什么？选 c 简单吧？好，接下来我们看列二。如图，在菱形 a、 b、 c、 d 中，对角线 a、 c、 b、 d 相交于点 o， a、 c 长度为八， b、 d 长度为六，那一个为八，一个为六， p 为对角线 a、 c 上的一个动点，则 b p 加上五分之三倍的 ap 的 最小值为多少？那这里是不是依然属于个什么问题？两个线段相加，其中一个线段前面的系数不为一， 像这样的一个问题，那这样的问题我们是不是讲过了？是不是想办法把五分之三倍的 ap 给它转化就行了，其中 ap 作为一个斜边，构造一个三亚法， 使你的三幺法等于一个五分之三，是不是就可以了？那题目当中五分之三，那怎么去构造呢？那又它是个菱形，那菱形的性质是不是对角线互相垂直， 那这个角是不是直角？然后呢？其中一条对角线，那对角线又是互相平分的，那 a、 o 的 长度是不为四， o、 d 的 长度是不为三，那根据三四，所以 a、 c 长度是不为五，那这样的话，这个角是不就为阿法角？因为对角 对角三压法是不是等于三比五，是不是等于五分之三？那我怎么样才能使 a p 作为斜边呢？那 a p 作为斜边，那是不是很简单？干嘛我过点 p 做 a d 的 垂线不就可以了吗？垂足为 h 点，那这样的话， a p 是 不是就为斜边了？那 a p 作为斜边，那五分之三倍的 a p， 它相当于是 a p 乘一个三亚法，就等于一个 a p 乘一个五分之三，是不是就等于你的 p h 啊？那这样的话， b p 加上一个 p h， 相当于求这个东西的最小值嘛？那这个时候这个东西什么时候最小？哎， 垂直的时候最小嘛？点一个点到一条直线的距离，是不是垂线段的时候最短？我们是把这段长度求出来就可以了。这段长度怎么求呢？这里有个问题， 有同学到都到这一步了之后，他不会求，不会求这个 b、 h 的 长度为多少？这个长度其实很好求，你们求一个问题的时候，你们一定要观察图形当中的一个几何 e 是 什么？你过点 b 做 a、 c 的 垂线，你这个 b、 h 不 相当于是高吗？它的几何 e 是 不是相当于它是高啊？那它是高的话，你能想到用什么方法去做，是不是等级法去做？ 我们知道菱形的面积怎么去求菱，菱形的面积是不是对角线相乘除以二，那是不是六乘八除以二是不是它的面积？ 菱形的面积它是不是等于一个底乘高啊？底是多少？是不是一个 a、 d 乘以一个 c、 h 是 不就可以了？那这样的话，六乘八，六八四十八，除以二是二十四， a、 d 长度为五乘以一个 c、 h， 所以 c、 h 长度为多少是不等于个五分之二十四啊？这不就是例二吗？例二，这样听起来是不是也很简单？ 接下来我们看例三这道题目，例三这道题目呢，我就给同学们自己去做了，然后呢，它还是两个动点问题，一个 e 点和一个 f 点呢？在动教你求它的一个最小值为多少？ 不过此时要注意他这里的系数，看到没有，他这里的系数是不为一的。但是如果同学们你没有好好去看我这段视频的话，你就能知道系数不为一的时候，我在一开始的时候我就提过应该怎么样去做，这里要提取一个系数，哎，给同学们提示一下啊。 好，接下来这道题目呢，同学们自己去做就可以了，做完之后告诉我答案在哪里？答案做完之后告诉我答案是多少？写在评论区，好吧。

什么是弧不规模型呢？这期讲下弧不规模型。点 a 是直线 l 上一点点 p 在直线 l 上运动，求 k a p 加 b p 的最小值可以通过做直线 l。 一与直线 l 的加角为 offer， 使得 sine offer 等于 k 过点 p 做垂线 p c 垂直 l e 于点 c， 则 p c 等于 a p 乘以 sign of 就等于 k 乘以 a p， 则 kap 加 bp， 等于 pc 加 bp。 问题就转换成了求 pc 加 bp 的最小值过点 b 做垂线 bd 垂直直线 le 于点 d， 交直线 l 于点 e， 点与直线之间垂线段最短，固有 p c 加 b， p 大于等于 b d。 当 p 运动到点一时，达到最小值， 最小值为 b d k 一般都是特殊值，比如 k 等于二分之一时， off 就等于三十度。一般考的都是这三个特殊值。 还有一般的情况，求 x a p 加 y， b p 的最小值有两个系数，把 y 提取出来就转换成弧度规模型了。关注我，了解更多的数学知识。

初中数学的几个难题当中，百分之九十都跟最值有关，那么像这种一个线段加上另外一个线段多少倍的最值问题呢？两种情况，第一个，第二个， 这二者之间的区别在哪里呢？弧不规动点的运动轨迹是一条直线，而 r 是 圆动点的运动轨迹是在一个圆弧上面。我们来看一下这一道题，说三角形 abc 当中，角 a 等于十五度， ab 的 长度是十 点，屁是线段 ac 上的一个动点，那所以这是一个弧不规问题了，怎么解决这种问题呢？ 中指就是找另外一条系数为一的线段去替代掉二分之根号二倍 ap 怎么去替代？我们知道三引四十五度是 等于二分之根号二的，所以我就要去围绕着线段 ap 去构造四十五度角，要么围绕点 a 构造，要么围绕点 p 构造。由于 p 点是个动点，所以我们围绕着 a 点去构造一个四十五度角。 如果我们过 p 点往这条线上做一个垂线，那么这个时候你就会发现 p d， 它就等于二分之根号二倍 a p， 那 么我们要找到二分之根号二倍 a p 加 b， p 的 最小值就会转换成 p d， 加上 p b 的 最小值， 我们就实现了用一个系数为一的线段去替代掉二分之根号二倍 a p 的 这样一个目的。那么我们接下来什么时候 p b 加 p d 的 值能够最小呢？我们就过点 b 往 这条线做垂线， p 点就应该在这里， d 点就应该在这里，所以 p b 加 p d 的 最小值其实就是 b d， 而 b d 怎么求呢？ 这一个角是四十五度，这个角是十五度，所以我们的这一个大角是六十度。 a b 等于十的情况下， a、 d 就 等于五倍根号三，也就是说它的最小值 二分之根号二倍 a p 加上 b p 的 最小值就是五倍点号三了。点关注不迷路。

好同学们，今天我们一起来学习一个特别经典的几何模型，弧不规模型。好同学们，先看题目条件，直线 l 上有固定点 a， 直线 y 有 固定点 b， 还有一个系数 k 满足零小于 k 小 于一 p 是 直线 l 上的动点，可以随意移动。我们要找 p 在 哪里，能让 k 乘以 a p 加上 b p 的 值最小。拖一拖 p， 看看值怎么变化。 解析的关键步骤来了，在直线 l 的 下方过 a 做一条射线，让这条射线和 l 的 夹角 alpha 满足 side alpha 等于 k。 因为 k 等于零点六，所以 alpha 大 概是三十六点八七度。 从 p 向这条射线做垂线垂足，即做 c， 这样就构造出直角三角形 a c p。 直角在 c 斜边是 a p。 注意了，在直角三角形 a c p 中， p c 等于 a p 乘以 sine alpha， 也就是 k 乘以 a p， 所以 k a p 就 等于 p c。 目标换成让 p c 加 b， p 最小。 根据三角不等式， p c 加 b， p 大 于等于 b c 撇。 bc 撇是 b 到射线的垂线段长度，这是最短的。等号成立时， b p c 撇三点共线 把 b c 撇延长，交直线 l 于 p 撇，这就是最优位置。此时 k 乘以 a p 撇加 b p 撇恰好等于 b c 撇等于四点八，就是最小值。

中考临近，今天咱们给大家讲一道中考压轴题。今天这道题呢，胡不归专治在系数的折线最直三角形 a b c 角， a 为十五度， ab 等于六 p 在 a c 上撒欢的跑，求二分之二 a p 再加上 b p 的 最小值。先把三角形整出来， a b c 三个角激活 p， 这小东西在 a c 上来回蹦跶啊，不挨 a 也不挨 c， 把这个 b 个 p 呢，拿绳一拴， b p 就 出来了，我要算啥呀？二分之高二， a p 加上 b p 的 最小值了。哎，这玩意一看就不正经，前面挂个二分之高二，要是没这个系数啊，那咱们直接两点间线段最短啊，一取完事，可这有系数啊，老别扭了。 但是啊，咱们东北人脑子快呀，啊，有破解之法呀！看好了，二分之二是个啥呀，那不三四十五度吗？哎，所以说，二分之二 a p 就 等于 a p 乘以三四十五度，那等于 a p 在 某个方向的影子，哎，从 a 往斜下方一甩，嗖哎，整出这么一条绿色的射线， a m， 这射线跟 a c 的 夹角必须得是四十五度，为啥呀？那不是四十五度的话，那射线它也不等于二分之二呢。接着从 p 这个小东西伸出一条垂线，垂直呢，砸到了 a m 上，砸出一个点 h。 现在咱们看这个 r t 三角形， a p h 角 p h 等于四十五，那 p h 等于 a p 三也乘以四十五，那么三也四十五等于二分之二，所以 p h 刚好等于二分之二乘以 a p， 那 么原来的二分之二 a p 加上 b p， 摇身一变，就等于 p h 加上 b p 了，系数没了，干净漂亮。但是 p h 加上 b p， 它还是个折线呢！家人们， 折线求最小，江湖规矩化，折为直啊！啥时候 p h 加上 b p 最小啊？ b p h 三个家伙， b p h 三个家伙站在一条线上， 而且这条线儿呢，还得垂直 a m 此时二分之高二， a p 加上 b p 的 最小值就是这条粗筋线。 b h 的 长度写成不等式，就是二分之高二 a p 加上 b p 大 于等于 b h， 现在咱们就算 b h 的 长度就行了。看角 b m 等于哎角 b a c 加上角 c a m， 它等于六十度。 b h 呢，等于 ab 乘以三点角 b h 等于六，乘以三点六十度，等于三倍的高三。结果总结，咱们胡不归啊，就三句真经，第一看见 k a p 加上 b p 求最小值。 第二句呢，把系数 k 化成 sin sin。 第三句，做射线过 p， 做垂线划折为直，过 p 砸一条垂线段会了吗？家人们，口诀就是系数化， sin 划折为直，垂线已砸，点点关注，咱们下期再唠！