数学第五章七下轴对称图形画图题技巧

今天我们讲的是简单的轴对称图形，首先我们知道等腰三角形是比较常见的图形，我们就可以通过它的对称性去利用折纸的方法得到一个等腰三角形。那首先我们要知道等腰三角形是不是轴对称图形，我们可以去验证一下。好，首先看 沿着，如果说他是轴对称图形，那么他必须要能够沿着某一条直线，直线左右两旁的部分能够完全重合，那我们会发现如果沿着这一条竖直的线 去进行折叠的话，左右两部分就是可以完全重合的，所以说他是轴对称图形。那么沿着对称轴折叠之后，我们可以得到一些相等的线段，比如说这两个腰是相等的角，两个底角是相等的。 等腰三角形的对称轴是一条什么样的直线呢？那其实我们会发现沿着这条线折叠，那么这条线既是底边上的高线，又是顶角的角，平分线还是什么呀？他的中线。 因此我们可以得到等腰三角形的一些性质，这个是它的性质，首先第一条性质是它的对称性，等腰三角形是轴对称图形，然后在这里面它有一条对称轴。 第二个等腰三角形顶角的中线，还有底边上的高是重合的， 而这三线我们因为重合，我们起了个名字，就叫做三线合一。当别人提三线合一，你就要反应出来，他指的是等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高线重合，那么这三条线重合而成的这条直线就是等腰 三角形的两个底角相等，那既然等腰三角形的两个边就两个腰，肯定也是相等的。好，那我们来看。第一， 已知一个等腰三角形的底角是顶角的二倍，求他各个内角的度数，而我们知道等腰三角形有一个顶角，两个底角，所以再根据三角形内角和，我们就可以知道， x 加二， x 加二， x 等于一百八十，求出 x 的 度数，这个 x 是 顶角的度数，然后我们再乘以二，就是 底角的度数，所以他的三个内角分别是三十六度、七十二度和七十二度。那么等边三角形有几条对称轴呢？我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，为什么说特殊呢？他是三条边都相等， 所以等边三角形他应该是有三条对称轴，就是每一条边上都有三线合一的那条线。 好，我们来看碎糖练习第一题，下面是由大小不同的等边三角形组成的，请找出他的对称轴。好，那来先看第一个，因为他是等边三角形，那所以说我们首先第一条对称轴肯定是在这个样子的好，那么第二条， 因为他们都是等边造型，然后第三条，所以他的对称轴应该是有三条啊，就是这三条线所在的直线。 好，第二题，钉墙上钉了一根木条，李叔叔想用一个如图所示的测平仪检测这根木条是否水平，在这个测平仪中， ab 等于 ac， 那很明显，如果他是三角形，他就一定是个等腰三角形。 bc 边上的中点啊，这是中点，说明 b， d 等于 c， d 挂了一个重垂，李叔叔将 bc 边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点 a， 如果重垂线经经过点 a， 那 么这条 木条就是水平的，那首先因为 ab 等于 ac， 所以 三角形 abc 在 这里面就是一个等腰三角形， d 是 bc 的 中点， 所以说我们连接 a、 d 的 话， a、 d 肯定是三角形的中线，对不对？等腰三角形的中线，而我们知道等腰三角形的中线底边上的高线是三线合一的，那这地方是垂直的， 所以说他一定会经过点 a。 那 么简单的轴对称图形，除了等腰三角形，我们还有就是线段和角。那我们来看线段，线段是轴对称图形吗？那其实是一条呢？一条对称轴就是他 垂直平分线所在的直线，其实另外一条对称轴就是直线本身所在的直线。啊，好，那我们来看 他的性质，线段是轴对称图形，垂直并且平分这条线段的直线就是他的一条对称轴。 书上还给了一个定义，垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，我们叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 所以说对于线段而言，它对称轴，一个是垂直平分线所在的直线，对吧？垂直平分线，另外一个就是这条直这条线段所在的直线。好，我们来看这个尝试思考。如图，五杠十三、直线 l 是 线段 a、 b 的 垂直平分线，点 c 是 l 上的任意点，在线段 a、 b 上画出以直线 l 为对称轴的一组对应点 d 和 d 片，连接 c、 d 和 c d 片， 你认为 c、 d 和 c d 片之间什么关系？那我们可以得到 c、 d 等于 c、 d 片。好，那为什么呢？首先因为他说了这个他是对称点 d 和 d 片，所以点 d 到直线 l 的 距离和点 d 片到直线 l 的 距离是相等的，对不对？ 然后因为这是它的对称轴，所以这里面相当于是一个垂直平分线，那这地方是公共边，所以我们其实可以正这两个三角形全等，所以 c、 d 等于 c、 d 片。 好，他说特别的，当点 d 和点 a 重合的时候，点 d 片在什么位置，那么点 d 片就和点 b 重合，此时 c、 d 和 c、 d 片还有一种的关系吗？当然还是有的，因为我们还可以用来政权的。那你会发现啊，这个 d、 d 片和 a、 a 和 a 和 b 相当于都是什么呀？关于直线 l 的 一组对称点对不对？因为这个直线 l 既平分 a、 b， 又垂直平分 d、 d 片，因此我们可以得到一个性质，就是线段垂直平分线上点到这条线段两个端点的距离相等， 就是说，如果说这个点是在这个线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离是相等的，这垂直平分线的一条性质到后期我们在做题的时候是用的比较多的。啊，好，那我们来看这个思考交流说如图。五杠十四、已知线段 a、 b 如何做出它的垂直平分线？ 假设线段 a、 b 的 垂直平分线已经做出，请你回答下来问题，这条直线有什么特征？好，你做的是线段 a、 b 的 垂直平分线，首先他肯定是 垂直 a、 b， 并且平分线段 a、 b 还是一条直线，对吧？那如何确定这条直线上两个点？用三角尺、两角器圆规去试一试。如果只用圆规呢？ 我们要去用这条直线上的两个点。好，那我们就可以用这个三角尺去量一量这个长度。 好，例二，如图五杠十五，已知线段 a、 b， 请用尺规做线段 a、 b 的 垂直平分线，因为他要是垂直平分线对不对？那我们在做的时候怎么办？我们可以以点 a 为圆心，以大于二分之一 a、 b 的 长为半径画弧， 然后再以点 b 为圆心，以同样的长为半径画弧。好，那这时候 a、 c 等于 a、 d， 然后这个 bc 等于 b、 d， 对 不对？所以说我们就可以证出来，它就是它的。什么呀？垂直平分线。 我们接着来看操作，思考，在这个图中，已知直线 l 和 l 的 一点 p， 如何用尺规做 l 的 垂线，并且要求它经过点 p， 因为我们知道垂线，那如果我能做一个垂直平分线的话，它就一定会垂直于 l， 那 这时候我们怎么办啊？因为它不是一个线段。 首先我们要以点 p 为圆心，以适当的长为半径，我们去画一个弧， 那这样我用这个圆规去画的话，那这时候这个点 p 一定是 ab 的 中点，为什么呢？我们是以点 p 为圆心，然后以 pa 等于 pb 的 长度为半径去画的， 那点 p 首先一定经过 ab 的 中点，对不对？那这时候如果说我们再去画线段 ab 的 垂直平分线，那么他一定可以满足，既垂，既这个垂直于直线 l， 又经过点 p， 那如何做线段 ab 的 垂直平分线呢？我们讲过啊，以点 a 为圆心，以大于二分之一 ab 的 长为半径去画弧，然后同样再以点 b 为圆心，以同样长的长度为半径去画弧， 然后这四条弧会有两个焦点，我们过这两个焦点做一条直线，这条直线一定会经过点 p， 并且一定会垂直于直线 l， 因为我们其实相当于做的就是线段 a、 b 的 垂直平分线。 好，再来看学堂练习第一题，如图，已知 ab 是 线段 cd 的 垂直平分线啊，垂直平还平分 e 是 ab 上一点，如果 ec 等于七厘米，那么 ec 等于多少？那这个其实利用的就是垂直平分线的性质。那我们在写的时候就说，因为 ab 是 线段 cd 的 垂直平分线，所以 ec 就 等于 ec 等于七厘米，所以 ec 就 等于七厘米。 这是我们的第一小第一小题啊，看第二小题，画一条线段 p q， 用尺规做线段 p q 的 中点，因为这里面我们要注意啊，它做线段 p q 的 中点，它不是让你用尺子直接去量，你不能说老师我用尺子量一量 p q 是 多少厘米，然后我们取它的一半， 它要用尺规做中点，那其实就是我们去做线段 p q 的 垂直平分线，那垂直平分线的话，它一定会经过它的中点，所以我们同样的方法就是以点 p 为圆心， 以大于二分之一 p q 的 长为半径去画弧，然后同样我们再以点 q 为圆心，以同样的长为半径去画弧，这时候这四条弧会有两个交点过，这两个交点做一条直线，这条直线就是线段 p q 的 垂直平分线。 那既然垂直平分线，那所以说我们这个 m 就 一定是 p q 的 什么呀？中点。好，这个是关于我们线段，那么角角，在我们生活中角也是比较常见的，他也是一个轴对称图形 角是轴对称图形角平分线所在的直线就是它的对称轴。好，那我们来看这个尝试思考，他说如图 o p 是 角 a、 o b 的 平分线，然后点 c 是 o p 上任意点，在角 a、 o b 的 两边上画这个以 o p 所在直线为对称轴的一组对应点 d 和 d 撇连接 c d 和 c d 撇。问你他们之间有什么关系？那其实我们可以挣出来 c d 是 等于 c d 撇的，然后为什么啊？首先因为我们这里面他做的是一个对称点， 对称点，所以这是垂直的，这还相等，对吧？那其实我们就可以在 o d 在 这里面是等于 o d 撇的，然后这个 o c 是一个公共边，然后这个 o p 是 角平分线，这两个角相等，所以我们就可以证出来三角形 o d、 c 和三角形 o d 片 c 全等，所以 cd 在 这里面就等于 cd 片。 第二问，当 cd 垂直 o a 的 时候，然后 cd 片与 o b 有 怎么样的位置关系？那么位置关系其实也是 cd 片垂直于 o b， 然后他们依然是相等的，那我们来看为什么啊？同样就是因为我们做的是对称点，对吧？所以这里面我们可以得到 o d 是 等于 o d 撇，然后这是角平分线， 然后这个是一个公共边，所以我们可以挣出来他俩全等，全等可以得对应角相等，所以这垂直并且还可以得 c d 等于 c d 撇，那因此我们就可以得到一个结论，角平分线上点到这个角的两边的距离相等。 好，那来看这个思考交流。他说给你一个角如何做测角平分线，那角平分线其实我们之前也讲过啊，就是我们以点 o 为圆心，以适当长为半径去画弧， 然后画弧之后，这个弧会与这个角的两边有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点间距离为半径去画弧，然后这两个弧还会有一个交点，然后我们过点 o 和这个交点做一条射线，那这条射线呢？就是这个角 a、 o、 b 的 角平分 线，那说明这两个角角一等于角二， d、 e 垂直， ab 垂足是 e， 你 认为 d、 e 和 d、 c 相等吗？那这里面肯定是相等，为什么呢？因为刚才我们说了角平分线到角两边的距离相等，距离就这里面是垂直。那我们在描述几何圆的时候，一定要说，因为 b、 d 平分角 abc， 然后还要说垂直，然后且 d、 e 垂直 ab， 然后逗号 dc 垂直 bc， 那 为什么 dc 垂直 bc？ 因为它是一个直角三角形，由角平分线加两个垂直，所以我们才能得 d、 e 等于 dc， 这个地方缺一不可，你直接用角平分线得它俩相等是不对的啊，我们要注意是到角两边的距离 就是垂线段的长度。好，第二个任意画一个角，用尺规将它四等分，那这个怎么去画呢啊？首先我们先将这个角给他做角平分线 二等分，然后再去进行四等分。好，我们来看一下啊，假如说这个角是角 a、 o、 b 的 话，我们要做角 a、 o、 b 的 角平分线， 因为我们知道要将它四等分吗？那首先我们来看怎么去做啊？我们以点为圆心，以适当长为半径画弧，然后以大于二分之一这两点间的距离为半径去画弧。 好，这时候我们这两个弧有一个交点，然后过点 o 和这个交点，我们去做一条射线， 那这条射线首先就将这个角 a、 o、 b 是 不是分成了两个相等的角，然后我们再去做这个角 a、 o、 c 和角 b o、 c 的 角平分线，那我们就可以将这个角四等分了。好，我们来看一下啊， 以点为圆心，以适当长为半径画弧，然后这有两个交点，这两交点为圆心，以大于这两点间的距离为半径，然后画弧 好，然后把这个给它连起来， 这时候它又这个角 a、 o、 c 又被我们等分了，同样我们再做角 b、 o、 c 的 角平分线， 然后我们再去做一条射线，好，这时候我们就把这个角 a、 o、 b 进行了四等分，其实就是做两回。什么呀？角平分线 好，接着我们来看 ct 五点二，如图，在下面的等腰三角形中，角 a 是 顶角，分别求出它们底角的度数。我们知道等腰三角的两底角相等，所以说角 b 就 等于角 c 就 等于一百八十度，先减去顶角的度数，再除以二， 然后就可以得到等于六十度。然后对于第二个同样角 b 等于角 c 就 等于一百八十度，减九十度，除以二就等于四十五度。第三个 角 b 等于角 c 等于一百八十度，减一百二十度，除以二等于三十度。 然后第二题画一条线段 a、 b 用尺规将它四等分，那这个和上面那个交一个角四等分是同样的啊，我们就是做两次这个垂直平分线就可以了，这个就不再给大家讲了。 然后第三个任意画一个三角形，用尺规做三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你能发现什么？你会发现这三条垂直平分线会交于一点， 然后任意画一个三角形，用尺规做三角形三个内角的平分线，那这个角的角平分线刚才也讲过了啊，我们就不再说看第五题，等腰三角形的底角可能是锐角吗？那当然可以，你看上面这这两个三角形，他的底角 是不是就是锐角？一个底角是四十五度，一个底角是三十度，可能是直角吗？这个是不可能的，为什么呢？因为两个底角相等，如果两个底角都是九十度的话，两个角的和就已经是一百八十度了，而三角形的三个角和才一百八十度，那钝角就更不可能了啊，所以这两个是不可能的，锐角是可以的。 第六个，在等腰三角形 abc 中，已知角 a 是 一百度，你知道这个等腰三角形的底角是多少度呢？那首先我们要来看啊，因为角 a 是 一百度，那角 a 肯定不能是底角，因为底角不能钝角，那这个的话，角 a 只能是顶角， 角 a 是 顶角的话，那么它的底角的度数就是一百八十度减一百度，然后除以二，就等于四十度。那如果角 a 是 三十度，那这个角 a 既可以是顶角，也可以底角，那第一种情况，角 a 是 顶角， 如果角 a 是 顶角，那么底角度数就是一百八十度减三十度除以二，那就是七十五度。那如果说这个角 a 是 底角，那第二种角 a 是 底角，那角 a 底角度数是不是就是 三十度？所以这个一定要注意分类讨论啊，哪种是符合题的，哪种是不可能的。 第七题，在三角形 a、 b c 中， ab 不 等于 ac 啊，这个意思就是它不是一个等腰三角形，线段 am 是 它的一条中线，说明 b m 等于 c m 点 p 是 线段 am 上的一个点。你认为 p b 与 pc 相等吗？那这里面是不相等的啊，不相等，为什么不相等呢？ 你要想知道 b p 等于 c p， 那 点 p 一定要在线段 bc 的 垂直平分线上，但是我们只知道这个是平分它并不垂直它，对吧？所以说这个是不相等的。那如果 ab 等于 ac 的 情况下， ab 等于 ac， 说明它是等腰三角形。等腰三角形的话，如果我们知道 am 是三角形 abc 的 中线，那我们直接就可以得到 am， 就 垂直于 bc。 因为三线合一，等腰三角形已知中线，就可以得它的高线， 然后得高线之后，那么我们就可以得到这个 am 垂直平分 bc， 然后又因为点 p 在 am 上，所以 pm 就是 垂直平分 bc。 这句话写不写都可以啊，所以说 bp 就 等于 cp。 因为垂直平分线点到线段两端点的距离相等。好。第二个，在线段 ab 的 垂直平分线上，任取两个不同的点 m 和 n， 好 线段 ab 的 垂直平分线，我们画个草图啊， 然后任意取两个不同的点 m 和 n， 那 么角 m a， n 和角 m b n 之间有什么关系？那肯定是相等的，为什么呢？因为这垂直平面上点，所以说到线段两端点距离相等，这是一个等腰三角形，那所以我们可以得角一，等角二，同样下面可以得角三，等角四， 所以角一加角三就等于角二加角四，所以角 m a、 n 就 等于角 m、 b、 n。 当然你划到其他地方也是这样的啊。然后第九题把两个同样大小的含三十度角的三角尺，按如图所示的位置放置，其中 m 是 这个 a、 d 与 bc 的 交点， 这是 mc 的 长度，就等于点 m 到 ab 的 距离，你看是为什么啊？首先它是一个直角三角尺，所以这是九十度，对吧？然后点 m 到 ab 的 距离，那就是往下做垂线， 它就是让你证明 mc 等于 me， 那 怎么来证明？因为这个是一个含三十度角的三角尺，那我们可以得到角 c， a， e 是 六十度， 六十度，然后这个角 m， a， e 是 三十度，那所以这个角也是三十度，相当于 am， 就是 角 c、 e 的 角平分线，角平分线，这两个是垂直的对不对？角平分线加两垂，值得线段相等，也就角平分线点到线段两到角两边的距离相等， 所以说 mc 就 等于 m e 啊。这个利用的还是这个角平分线的一个性质。第十题校园一角的形状如图所示，其中 a、 b、 b、 c、 c、 d 表示为墙，如图二所示。小亮通过做角平分线，在图示的区域中找到了一点， 然后使得这个点 p 到三面墙的距离都相等。请解释他这样做的理由啊。那我们来看一下，因为他是角平分线，那角平分线的话，角平分线点是不是到角两边的距离相等，对吧？所以说我们过点 p 向 bc 做垂线， 然后再过点 p 向 ab 做垂线，然后再过点 p 向 c、 d 做垂线， 那根据角平分线性质， p n 就 等于 pm， 然后 pm 又等于 p q， 所以 等量代换 p n 就 等于 pm 就 等于 p q， 所以 它到三面墙的距离都相等啊。这个利用的就是什么呀？角平分线的一个性质。 十三题，如图，一张纸上有 ab 四 cd 四个点，请用尺规找出一点 m， 使得 m a 等于 mb。 好， 同学们，首先因为 m a 等于 mb， 说明 m 就 在线段 ab 的 什么呀？垂直平分线上。所以首先第一步，我们要连接 ab， 连接 ab， 我 们去做这个线段 ab 的 垂直平分线。垂直平分线大家应该还记得怎么做吧？以点 a 和点 b 的 为圆心，以大于二分之一 ab 的 长为半径去画弧， 然后这四条弧会有两个交点，然后过这两个交点做一条直线，那这条线就是线段 ab 的 什么呀？垂直平分线，只要在这条线上的点，它到 a 和 b 的 距离就是相等的。然后又因为 mc 等于 md， 说明点 m 还在线段 cd 的 垂直平分线上。 所以接下来我们要做线段 cd 的 垂直平分线。 和刚才的方法一样啊，我们去做线段 c、 d 的 垂直平分线。好，那这时候过这两个点画一条直线，他就是线段 c、 d 的 垂直平分线，那 m 肯定也在这条直线上， m 又在这条直线，又在这条直线那。所以说要想找到 m 的 位置，他肯定这两条线的什么呀？ 中点交点，对吧？所以此时 m 应该在这个地方，这时候它既保证到 a 和 b 的 距离相等，又保证到 c 和 d 的 距离相等啊！这就是我们的第三题，今天讲的内容，你学会了吗？

轴对称必考模型，将军印马坠子问题，一分钟带你轻松秒杀！另外，轴对称十大经典题型汇总，全部给大家整理好了，电子版取件码九八五找我领。我们来看一个经典的轴对称期末考试的压轴题型。 在四边形 abcd 中，角 b 和角 d 是 等于九十度，角 a 是 等于四十度， m 和 a 呢，分别是两个洞点， 当三角形 m， c， n 周长最小时，求角 m， c， n 的 度数为多少？好，那么看到这一类题目，它的解析核心在于三角形的三个边是随着 m 和 n 在 变化的，它是属于我们讲将军密码过程中典型的 两个动点，一个定点求最值的问题。那两个动点，一个定点往往会涉及到做两次对称的思路来实现画折为值来去求最短，那所谓的画折为值求最短，就要利用到轴对称来实现等量变的转化。 那题目中我们来看啊， c 点，它是一个定点，我们做对称往往做的是定点。关于动点所在直线的对称点，大家一定要记住这句话，这是我们这一类题目解析的普遍规律。做定点，关于动点 m 所在这条直线，也就是过点 c 做关于 ab 的 对称点。哈，那假设它的对称点呢？为 p， 我 们来连接 pm， 那 实际上根据走对称，我们知道 cm 实际上是等于 pm 的。 那同样的解题思路，我过点 c 做关于 n 点所在直线的对称点，也就是过点 c 做 a， d 的 对称点，那我们可以记为叫 k， 我 们来连接 n k， 那这个时候我们会发现，原来我们要求的 c， m 加上 m a 再加上 c， n 的 长度呢？实际上我们可以转化成原来的 c， m， 转化成 pm， 再加上 m、 a， 那 原来的 c、 n 呢？我们就可以转化成 k、 o， a， 那 我们来看 原来三角形的三个边，我们最终转化成了 pm， 加上 m， a， 再加上 n， q 的 长度，求它的最小值。实际上我们可以把 p、 q 来直接 连接起来，利用两点之间线的最短，那就实现了画则为只求最小的思路。所以这个题呢，最短距离应该就是 p、 k 的 长度。 那么我接下来把这个图呢做一下简化。那我们来看，当 p、 k、 o 来进行连接的过程中，它与 a、 d 的 交点为 n 与 ab 的 交点呢？为 m。 要想求 m、 c、 n 的 度数，实际上我们要找的是三角形里面的角度之间的关系， 那根据手对称，首先我们知道角 q， 假设我们既为角 x， 那 n、 c， q 也既为角 x， 那 下面的角 p 呢？我们既为角 y， 角 p 既为 y， 那 么角 m、 c， p 也既为 y， 那 根据三角形 c、 p、 q 的 内角和是一百八十度，我们可以知道 x 加上 y， 再加上角 b、 c、 q 是 等一个 一百八十度的。当然我们会发现，这个题干中呢，在原来的四边形 a、 b、 c、 d 中，我们实际上是可以求出来 b、 c、 q 的 度数，因为角 b、 角 d 是 等于九十度，角 a 呢，是等于四十度，四边形的内角和 是三百六十度，我们可以求出来角 b、 c、 d 呢，应该是一百四十度，也就是 b、 c、 q 是 一百四十度，那么 x 加 y 这个整体呢，就应该是等于四十度。 那这个时候我们要求的角 m、 c、 n 的 度数，其实应该是角 b、 c、 d 的 度数减去 x 和 y 的 和，也就是 b、 c、 d 一 百四十度，再减去四十度，最终呢，应该是等于一百度。那所以这个题最终答案呢？ m、 c、 n 的 大小呢？为一百度，你学会了吗？

这是一道期末考试的压轴正题，百分之九十的同学都很难找到突破口，今天微微老师教你将军引马的必胜技巧，让你轻松完成模型速解。我们先来看题角， l、 b 等于四十五度，这个角为四十五度， m n 为动点，其中 m 点在 o a 上运动， n 点在 o b 上运动，同时 m、 n 又等于九，也就是这一条线段，虽然它是运动的，但是它们之间的长度始终不变，那也就是 m、 n 这两个点，它其实呢是联动点。 同时这个三角形 o、 m、 n 的 面积等于十八，也就是这一个三角形的面积为 十八。 p 点是直线 m n 上的动点，也就是这个动点 p， 它在这条动直线 m、 n 上运动， d、 f 分 别为 p 点的对称点， p 点和 d 点关于 o a 对 称，同时 p 点和 f 点又关于 o b 对 称。问，这个三角形 o、 d、 f 的 面积的最小值， 我们要求这个三角形 o、 d、 f 面积的最小值。那我们首先就要认识清楚这个三角形 o、 d、 f， 它究竟是怎样的一个三角形。微微老师结合往年增题，近年中考增题，整理出了初一下将军引马必考题型， 配套十二种模型立体解析以及专项练习评论区。回复九九九，我发您一份。这里的 o 点呢，它是一个定点， d 点和 f 点都是 p 点的对称点，也就是它们都关于 p 点对称。那么这道题的突破口就是轴对称，所以我们首先要去连接 o、 p， 然后呢，通过轴对称去进行导边。导角，我们先来进行导边，因为 p 点和 d 点关于 o a 对 称，那么 o、 p 这条线段呢，也就和 o d 这条线段是相等的，那么就有 o d 大 于 o p， 同时 p 点和 f 点又关于 o b 对 称，所以 o p 这条线段它又是等于 o f 的， 所以 o p 等于 o f， 那 么这三条线段都相等， 因此就有 o d 等于 o f。 那 么经过导边，得出了这个三角形 d o f， 其实它是一个等腰三角形。接下来我们来进行导角， 而题目当中有关角度的条件只有这一个角 l b 等于四十五度，也就是这一个角呢，等于四十五度。 这一个角被 o p 这条线段分成了两部分，我们把这两部分分别记为阿尔法和贝塔，因此就有阿尔法加贝塔等于四十五度。 因为我们的 p 点和 d 点是关于 o a 对 称的，所以这两个打勾的小角应该相等，因此这一个勾角呢，也应该是贝塔。同样的道理， p 点和 f 点关于 o b 对 称，所以这一个小角也应该是 r 法。 那么在这个大角 d o f 当中，出现了两个阿尔法和两个贝塔，所以这个大角 d o f 就 应该是阿尔法加贝塔的和的二倍，也就是等于九十度， 这样通过倒角出现了九十度的角。这个三角形 d o f 其实是一个直角三角形。那么到现在为止呢，这个三角形 d o f 就是 一个非常特殊的三角形了，它是一个弹腰直角三角形，也就是这两条边 o d 和 o f 的 关系是既相等又垂直的，所以我们要求的这个三角形的面积， 三角形 d o f 就 应该等于它的这两条直角边乘积的一半，也就是二分之一 o d 乘以 o f， 而 o d 和 o f 它们都和这个 o p 这条边相等，所以这个面积呢，也就等于二分之一倍 o p 的 平方。 而题目当中要求的是这个面积的最小值，要去求这个三角形面积的最小值，其实也就是要去求 o p 这条线段的最小值。接下来我们就来观察一下 o p 这条线段。 我们先连接 o p 这里的 o 点呢，是一个定点，而 p 点呢，它是一个动点， 它在直线 m n 上运动，也就是 p 点呢，在这一条直线上运动。因此 o p 这条线段呢，它是变化的，它的长度是不确定的。 那什么时候最小呢？这道题的问题就变成了去求 o 点到这条直线 m n 的 距离的最小值，那点到直线的距离最小，垂线段是最小的， 所以我们应该过 o 点向 mn 这条直线去做垂线段。因此辅助线出来了，我们首先应该去延长 n m， 然后呢，再过 o 点去做 mn 的 垂线段 来这一个垂足就应该是动点 p 点真正的位置，我们把它记为 o p 一 撇，也就是 o p 一 撇，就是这个 o p 线段长度的最小值。接下来的问题就变成了如何去求这个线段 o p 一 撇的长度。 因为 o p 一 撇是垂直于线段 m n 的， 所以我们可以把 m n 看成是底边儿， o p 一 撇呢，看成是 m n 这条边上的高 有了底，边儿有了高，自然而然会让我们想到这个三角形 o m n 的 面积。而题目上告诉我们，这条底边的长度是九，三角形 o m n 的 面积是十八，所以有了等量关系，二分之一倍底乘以高 就应该等于面积十八，因此我们可以算出 o p 一 撇的长度应该等于四， 也就是 o p 这条线段的最小值为四。这道题还没有结束，它要求的是这个三角形 o d f 面积的最小值， 因此这个面积的最小值就应该是二分之一。被 o p 一 撇的平方也就等于二分之一乘以四的平方等于八。 那么这道题的最后结果就应该是八。同学们，你们听懂了吗？关注魏魏老师，学习如此简单！

同学们好，我是小狐狸老师，我们这节课来学习平面图形变换的简单应用。这节课内容比较简单，我们今天的学习目标是利用图形的平移轴对称、旋转可以进行图案的设计，进一步理解平移轴对称旋转等变换的概念和性质， 来欣赏下面图案，说出他们分别可以由哪一部分经过怎样的变换得到，并在途中把这一部分图形标出来。那我们第一个图形是不是可以看着第一个图形先向右平移，向右平移，向右平移，然后向下平移， 然后再让这个这个图形可以看到他向右平移，之后再向下平移。最后一个图形也可以看到第一个图形向右平移，再向下平移啊，然后我们第二个图形 是不是可以看作这个图形折叠，折叠之后就到了这个图形啊？折叠也可以看作通过轴对称得到的，是不是？那第三个图形我们是不是可以看到其中的这个一部分？我们就把它先让 顺时针旋转一个角度得到这里，再顺时针旋转一个角度，这里。顺时针旋转这里，顺时针旋转这里。所以第一个图形经过左右平移和上下平移得到。第二个图形通过轴对称得到。第三个图形经过旋转得到 来以图的右边缘所在的直线为轴，这个图形以它为轴，将该图形做轴对称，再绕中心按照顺时针方向一百八十度得到的图形是先轴对称，轴对称之后得到的图形，就应该是 我们先把它进行一个轴对称，它轴对称之后得到的图形是不是与它完全重合呀？折叠之后完全重合，所以说应该是 d 向与它是一个轴对称， 然后我们在这个的基础之上顺时针旋转一百八十度，顺时针旋转一百八十度，我们就找其中的一个点吧，我们就拿这个角，这个角顺时针旋转一百八十度，是不是到了这个角的地方？所以说这个，然后这个圆对应的这个圆是不是就就应该在这里啊？圆应该是在这，那对应的，那不是只有 a 吗？所以说答案选 a 好。如图是正方形塑料板的示意图，用四块这样的塑料板拼成一个正方形图案，那很好吧，先让他按照这个线去 这样，这样先让他轴对称，再按照这边就让他轴对称，是不是可以？然后再让这个图形旋转一百八十度，得到这样的一个图形，这是不是我们得到一个图形？这种图形类型有很多，第一种、第二种、第三种 来用十六块这样的塑料板设计一个轴对称图形，我们只需要画出一个对称轴，然后让它左右两边一样就行了，这是不是其中一种？其实也不止这一种，我们可以把它的方向完全相反，是不是也可以？ 那我们设计图案的步骤，第一步就是确定图案的表达意图，设计图案给定的基础图形，然后通过平移、旋转、轴对称的变换，设计出形式清晰、寓意明确的图形。 那在读清要求之后，我们可以根据要求对方案进行一个尝试。一般的话，我们在设计的这个过程都是一个不断修改的过程，能够使得问题在修正中得以解决，最终画出我们所需要的图形 来。我们看几道随堂练习题。下图中三角形二、三、四是由三角形第一个平移、旋转和轴对称得到的，分别指出这些图形变换的名称，并指出其对应的边，这是第一个，这是第二个，这是第三个，这是第四个。 第一个和第二个是不是通过平移就可以得到？这个点和这个点对应，这个点和这个点对应，这是对应边，这是对应边，这是对应边，对吧？好，我们再来看第二个图形， 第二个图形这个点到了这里，那显然是平移做不到的，平移做不到，而且他的这个方向是不是发生了完全的改变，这个线完全到了上面去，那到了上面，我们是不是可以去 旋转得到呀？这个点和这个线的位置发生了互换，那肯定是旋转，所以说第二个是通过旋转得到的旋转，而且这个边是到了这里，这个边到了这里，这个边到了这里。好，下面我们来看第四个图形，第四个图形这个点 在这，但是我们这一条边的这个点跑到了这里来，这个点跑到了这里来，这不就是我们的轴对称得到的吗？是不是因为关于这个对称轴，他们两个是不是可以完全重合？所以说第一个平移，第二个旋转，第三个是轴对称。 那第二题如图所示，在方格纸上有两个形状大小都一样的图形，说明如何运用平移、轴对称、旋转这三种变换，将其中一个图形与另一个图形重合，那其实就是在问我们这个图形到这个图形是怎么得到的？或者上面这个图形到下面这个图形怎么得到的？是不是我们可以先把下面 这个图形往下去平移，平移到这个地方来， 可不可以？平移到这个地方之后，我们这个点最终是要到这个边上，到这一条线上来，到这条线上来，你看我们这一条线是不是可以旋转，旋转到这里，绕着这个点去旋转，这个点是不是就到了这里？到了这里之后，我们的这个新的图形是不是就成了这样？然后到了这一步之后，我们再向左平移，是不是就可以得到了？ 其实这种方法它不止一种，它也可以通过其他的方法，比如说我这个先向这边平移，再旋转，然后再向下平移，是不是也是可以的？一样的方式？好，我们看我说的那种，第一种，先将图形一平移之后得到图形二，再让图形二绕着点 p 旋转，得到图形三，图形三再经过平移就可以得到我们的图形四了。 好，第三题如图，这是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，帮他完成余下工作。将圆图形绕着点 o， 逆时针旋转九十度，逆时针往这个方向来 绕着点 o， 那 也就是它每条线都要逆时针旋转九十度，这个线逆时针旋转九十度，是不是到了这个位置，这条线逆时针旋转位置就到了这个位置，而这个 o a 的 旋转逆时针方向就到了这个位置，所以说这就是我们逆时针旋转后的图形， 进一步设计图案，让图案变得更加美丽，我可以继续旋转啊，是不是继续旋转，继续这样旋转不就得到了我们一个好看的图形，是不是这样是不是都行？ 好，下面我们来做两道拓展拔高题。如图，一、认真观察四个图形中的阴影部分构成的图案，其中每个小正方形的边长都为一。回答下列问题，这四个图案都具有的两个特征，特征一就是它们都是轴对称图形， 我们见到阴影部分，是不是大部分都会考虑它的面积啊？我们会观察到第一个小图形它的面积这部分， 第一个阴影部分面积，这一部分加这一部分是不是等于这个两个正方形的面积，这一部分加这一部分也等于两个正方形的面积，所以说第一个图形阴影部分面积是四。第二个图形阴影部面积是四。第三个，这是一，这是一，这是一，这是一，面积也是四。 第四个，这两个看着一个，这两看着一个，这两看着一个，阴影部分的面积也是四。所以说第二个特征就是面积都是四。 那请在图案中设计一个你心中最美丽的图案，使它也具备你上述所表述的特征。那这种方式不止一个呀。第一种，让他看，这样一画，只要他的面积等于四，他是一个轴对称图形，是不是都可以任意画一个都行？ 好，这就是我们这几个学习的内容。我们这几个的内容比较简单，其实就是一个图形的设计，通过一些轴对称呐，然后平移啊，旋转呐，去得到我们一些比较好看的图案就可以了。 好，这是我们的作业题，大家自己截图，然后去看。选一个答案，第一个选 c， 第二题选 c， 第三题， 选 b， 第四题，选 a， 第五题，选 a。 好 了，我们这几个的内容到这里就结束了，同学们再见。

同学们好，我是小狐狸老师，我们今天来学习轴对称图形，今天的学习目标是理解轴对称图形与轴对称的概念。二、能够识别简单的轴对称图形及其对称轴，能够抽象出实际生活中的一些简单的轴对称图形。 我们生活中到处可见很多的对称图形，比如说蝴蝶面具以及我们剪的一些剪纸。 同时我们在我们数学中也有很多常见的对称的图形，比如说等腰三角形，比如说正五边形，比如说我们大写的字母 m， 而我们这些图形都有相应的对称轴，我们的等腰三角形可以沿着这条线对折重合，正五边形也可以沿着这条线重合，而我们的 m 也可以沿着这条线 进行一个折叠重合。那么我们如果将一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形我们就把它叫做轴对称图形，这条直线就叫做它的对称轴。 我们的轴对称图形的特点就是一个图形沿着对称轴能够完全重合，是有对称轴的 对称轴我们一般是用虚线来进行表示。来我们判断一下下列图形是否是轴对称图形，分别有几条对称轴， 我们判断它是否是轴对称图形，我们就看能不能找到一条直线，能够让这个图形沿着这条直线折叠，然后左右两侧完全重合。我们的第一个五角星是不是能够找到一条对称轴，能够让左右两边完全重合。所以说第一个是轴对称图形， 第二格也是轴对称图形，第三格也是第四格也是通通过这四个图形，我们会发现我们的对称轴不一定是竖直的，也可以是横着的，也可以是斜着的，对不对？那我们再来观察第一个图形，我们是不是还可以画出好多条对称轴啊？因此第一个图形我们有五条对称轴， 第二个图形就只有这一种。第三个图形有四条对称轴，最后一个图形有两条对称轴， 因此我们的轴对称图形的对称轴可以有一条，也可以有很多条。比如说我们的圆圆，你能够画出几条对称轴呢？是不是可以这样这样这样这样这样都可以啊？最后一个不对，最后一个要经过圆点才行，这样它就叫对称轴。所以说我们的圆， 所以说我们的圆有无数条对称轴。我们观察这些圆的对称轴，会发现它的对称轴都经过圆心。 那我们圆的直径是它的对称轴吗？看我们圆的直径正好也经过圆心，是吧？圆的直径不是它的对称轴，我们的对称轴是一条直线，而我们的直径是一个线段， 所以说直径不是它的对称轴，而直径所在的那条直线是它的对称轴。 好，我们看一个练习，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中可以看作是轴对称图形的。是，就看我们能不能找到一条对称轴，让它完全重合。 a 项显然不是 b， 也不是 c， 是 c， 我 们可以从这里画一条对称轴，左右两边完全重合。所以说答案选 c。 看下列五个图形是轴对称图形吗？若是它们各有几条对称轴，第一个是等腰 c 角形，当然是我们的轴对称图形，有一条对称轴，第二个是等边 c 角形，等边 c 角形就出现了三条边，分别相等，那么它的对称轴就有三条。 长方形，他的对称轴有两条，横竖两条。而正方形他的对称轴有四条，他还有对角线的四两条，而圆他是有无数条的对称 轴。对称轴是一个直线，而不是射线或者是线段，大家一定要谨记。因此我们在画这个对称轴的时候，一定是虚线，并且出去他的这个内部一个轴对称图形的对称轴可能不止一条，也可能只有一条， 具体的话我们就看具体的图形，那一个图形沿着某条直线对折，这两部分能够重合，我们就把它叫做轴对称图形，这两部分不能重合，他就不是轴对称图形。一定要注意，我们的轴对称图形是一个图形，是折叠之后的重合。 好，那我们下面再看两组图。如果说我用印章在一张纸上盖上一个印，就是这个 a， 趁着印记未干，将纸张沿着直线 l 折叠，直线 l 在 了这个图形外面得到了另一个印 b， 那 我在打开之后是不是就出现了 纸上就出现了两个图形，一个是 a， 一个是 b， 而且这两个图形是完全重合的关系，是不是同样的方法，我们也在图形上，也在纸上画一个这样的图形，然后沿着这个线一条直线折叠，就得到了另一个图形。我们观察这两个图形，你看也是能够完全重合的， 那我们这样的一个图形，我们就是说左边的图形沿着某条直线折叠后，与右边的图形完全重合，那现在是不是出现了两个图形啊？ 那像这样一个图形沿着一条直线折叠得到另一个图形，我们把图形的这种变换称之为关于这条直线的轴对称，那么此时称这两个图形，就是关于这条直线对称，也就是图一与图二成轴对称，这条直线叫做对称轴。 也就是说我们成轴对称涉及到的是两个图形能够完全成和有对称轴，所以大家一定要区分我们的轴对称图形和成轴对称，这是两个不同的概念。 来我们对比一下轴对称图形和轴对称的一个区别。轴对称图形，它是比如说这种图 而对，而轴对称是这样的，是两个图形，而这里是一个图形，那他们的相同点都是沿着一条直线折叠，直线两旁的部分都能够互相重合，都有对称轴。 那第一个轴对称图形呢？它是指一个图形的特征，只对一个图形而言，至少有一条对称轴。而我们的轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，而且它只有一条对称轴，它不可能有无数条。像它这样的一个 对称轴就不是对称轴。他这种无数条的对称轴是针对于同一个图形而言，轴对称只能是沿着某一条直线，这条直线是确定的。 好，那我们的轴对称图形呢？就是把轴对称图形沿着对称轴看成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成对称轴， 那如果说把这两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。所以大家看到没，我们的轴对称图形和轴对称是可以相互转化的，就看你去怎样划分它的图形部分。 那我们两个图形重合时，相互重合的点就叫做对应点，又叫做对称点。那我们能够在图中标出 a、 b、 c 三点的对称点， a、 e、 b、 e、 c、 e 吗？ a 点的对称点 a 一、 b 点的对称点 b 一、 c 点的对称点是 c 一。 那对折后重合的线段叫做对应线段，比如说 ab 与 a 一、 b 一， 这两个线段就是对应线段。对折后重合的角就叫做对应角，比如说这个角和这个角，这个角和这个角，这个角和这个角，这些都叫做对应角。 那我们思考一下，轴对称图形，或者说乘轴对称的两个图形，它们的对应线段和对应角有什么关系呢？是不是都相等啊？ 所以说我们轴对称图形的基本特征就是它们的对应线段相等，对应角也相等。用我们的几何语言来表述，就是说 ab 等于 a 一， b 等于 b 一 角， b 等于角 c 等于角 c 一 来我们做一道练习题，如图四边形 a、 b、 c、 d 是 一种滑翔伞的平面图，它是轴对称图形，其中角 b、 a、 d 等于一百五十度，这里等于一百五十度，角 b 等于四十度。 让我们求角 a、 c、 d 的 度数，这个角的度数是多少度？我们这这里是一百五十度，而我们的角一和角二相加，等于一百五十度。角一和角二又是相等的关系，因为他们是轴对称图形。轴对称图形，它折叠之后就是完全重合。关于 a、 c 这条直线完全重合，那么角一和角二就是对称角， 对应角的话，我们的角一就等于角二等于七十五度，角一等于七十五度，那么我们就能得到这个角。 是不是用我们的一百八十度减去四十度，减去七十五度，结果等于六十五度，对不对？ 所以我们的这个角 a、 c、 d 也等于六十五度，因此最终的角度是六十五度。好，我们来做几道随堂练习题，观察下列图形，分别判断是不是轴对称图形。只要我们能够画出对称轴，它就是轴对称图形，对不对？我们看第一个，第一个可以画出它的对称轴在这里， 第二个不是轴对称，找不到对称轴。第三个你一定要观察到这里和这里长的是不一样的，所以说他也不是轴对称，第四个也不是，第五个也不一样。第六个是可以画出对称轴的，左右两边一样，第七个画不出来，第八个可以横着画，上下是完全重合的，第九个也有对称轴 第。而且第九个的对称轴不止一个，大家可以下面自己画。第十个不是第十一个，我们可以斜着画一条对称轴，十一个也是十二个不是。所以说一、六、八、九十一是我们的轴对称，剩下的不是轴对称图形。我们看第十二题，找出下列各图形的对称轴。第一个的对称轴是竖着的吧， 第二个对称轴是一个斜着的，第四个对称轴，一个竖着的，一个斜着的。 好。第三题如图，已知正方形 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g、 h 分 别是 d、 a、 a、 b、 b、 c、 c、 d 的 中点，也就是这里是中点。 四边形 a、 b、 c、 a、 b、 g、 e 沿着 e、 g、 a、 b、 g， e 就是 这个四边形，是个长方形，沿着 e、 g 能够对折，与上面的这个四边形重合，那点 a 的 对称点，点 a 的 对称点不就是点 d 吗？ 四边形 a， f， h， d， 也就是这个四边形与沿着 h、 f 对 折，与这个四边形也完全重合，点 b 的 对应，那不就是点 b 和点 a 重合吗？对不对？ 好，我们来做几道拔高题。图中的五角星有几条对称轴，那我们就挨个找呗，从他的拐角的这些地方都可以去找对称轴，一条、两条、三条、四条、五条，是不是找完了？所以说五角星一共有五条对称轴， 那我们能用一张纸剪出这个图形吗？大家可以去剪一剪，沿着我们的一个长方形，我们的一个长方形的一个纸，你先把它这样去对，折成这个样子，然后你再沿着这样折一下，这样折一下，这样折一下，这样折一下，折完之后， 你他会形成一个就这样的一个三角形，你沿着三角形这样剪一下，他就是一个五角星。 好，我们来看下一道题。在三角形 a、 b、 c 中，角 b， a， c 等于九十度，这个等于九十度。角 b 等于五十度， a、 d 垂直 bc 垂足为点 d， c， l 型 a， b， d 与 c l 型 a， d， e 关于直线， a、 d 垂对称啊，这关于它对称，既然关于对称，这又是一条直线，那这两个肯定是直角，因为它们俩要相等相加，又等于一百八十度，是不是？所以这时九十度，这时九十度， 点 b 的 对称点是点 e， 没错，那角 c， a， e 的 度数是多少度？这个度数是多少度，那就是九十度。减去这两个角度数呗，这两个角又相等，这个角是五十度，这个角是九十度，这个角肯定是四十度，那这个角也是四十度，那这个角是不是十度啊？ 好，这就是我们这节课学习的内容，我们学习的轴对称图形，一定要区分轴对称图形和轴对称的一个概念，他们都是有对称轴的。那常见的轴对称图形以及它的对称轴都有哪些，我们一定要掌握 好。下面大家可以截图自己去做这些题。这个答案选 c， 这是第二题。答案，选 a， 这是第三题。答案选 a， 这是第四题。答案选 d， 这是第五题。答案选 d， 这是第六题。 好，这是我们课后留的几道作业题，大家一定要暂停自己去做，做完之后再对我。嗯，视频里面的答案。好了，这节课到这里就结束了，同学们再见。

走对称必考模型，将军印马坠子问题，一分钟带你轻松秒杀！另外关于走对称十大经典题型汇总全部给大家整理好了，电子版取件码一二三直接找我领。 我们来看一个经典的轴对称求最小值的问题，可以说这个题呢，难倒了百分之九十的同学，那在直角三角形 a、 b、 c 中角 a、 c， b 是 等于九十度， a， c 是 等于六， bc 是 等于八。如果 d 点和 e 点是 bc 和 ab 上的动点， 求 a， d 加上 d， e 的 最小值为多少，那咱们会发现这个 a， d 加上 d、 e 这两段的最小值哈。实际上这一类问题解析的核心在于两个折线的问题，求最小值往往会用到通过轴对称来实现化折为值求最短的思路。 那这个题如何利用到轴对称进行求解，实际上在于如何通过轴对称来实现等量边的转化。那咱们来看这个题呢，给了我们一个角， c 是 一个直角， 等于九十度，那实际上我们会发现点 a 关于 bc 的 对称点应该在它的左侧，我们可以延长 a c， 使得 c， h 是 等于 c a， 那 么也就是 a 点。关于 bc 的 对称点呢，我们记为 h 点， 那我们来连接 d h， 实际上我们会发现，根据轴对称 a、 d 的 长度就可以用 h、 d 的 长度来进行转化。 所以我们原题中要求的 a， d 加上 d， e 的 最小值呢，就可以转化成 d h 加上 d、 e 的 最小值，而 d、 h 再加上 d、 e 的 最小值呢，我们就可以利用两点之间线段最短来进行画折为值。那么最短距离呢？应该是 h e 的 长度，我直接把 h 点和 e 点来进行连接，那 a 点是一个定点，它的对称点， h 点呢，也是一个定点，但是这个体感中， e 点是一个动点， h 点到 e 点的一个距离，我们会发现它有若干条， 那怎么样求出来？ h 点到 e 的 距离最短，实际上就是直线外的一个点，到直线的距离应该是垂线呢，最短，也就是 h e 垂直于 a、 b 的 时候，我们能够求出来 h e 的 最小值， 那这个过程中呢？既然 h e 是 要垂直于 ab 的， 实际上我们就可以把 h e 理解为 ab 边上的高，那我就可以想到等面积法，也就是我把这个题当 b s 来给它进行连接。 那么根据三角形 a、 b、 h 的 面积，我们可以写成二分之一，那么底边 a c 是 等于六，那左边的 c h 也等于六，也就二分之一乘以个八，那么它就应该等于二分之一 ab 的 长度再乘以 h 一， 那在直角三角形中， a c 是 等于六， b c 是 等于八。根据勾股定律，六的平方加八的平方等于 ab 的 平方，那么 ab 呢？应该我们能算出来，它是等于十的，也就是常见的勾股数六八十。那么 ab 的 长度呢？是等于十，我们 写成二分之一乘以十，再乘以 h 一， 我们来去求解等量关系，实际上会发现 h 一 呢，应该是等于九点六，那所以这个题我们要求的 a d 加上 d， e 的 最小值呢，就应该为九点六，你学会了吗？

初中必考三大变分，平移、旋转、轴对称，而其中最常考的就是轴对称问题。黑板上这道题是我们期末必考题型，也是考试中的一道填空压轴题，我们来看一下， 如图，在三角形 a b c 中角 a c b 等于九十度。好，这个角是九十度， bc 等于六， ac 等于八， a b 等于十。动点 p 在 a b 上运动，不与 ab 重合。关于 p 点啊，这个 p 点啊，关于这个 bc 的 对称点是记作 p 二的 p 点，关于 ac 的 对称点，记作 p 一。 让我们求的是线段 p 一 和 p 二长的最小值。好，既然 p 点关于 bc 的 对称点是 p 二，那我们同学来看一下啊，也就意味着这而垂直的关系，对吧？也就这一段 和这段应该是等长的，也就是 bc 是 p p 二这条线段的垂直平分线，对吧？我们有一句话叫做见中垂连两端 啊，垂直平分线也叫中垂线，叫见中垂连两端， 对吧？ p 和 p 一 是关于 a c 对 称的，所以啊， a c 是 p 和 p 一 这条线段呢？垂直平分线好见中垂，这是中垂线好，也就是 c p 一 应该是等于 c p 的 啊。键中垂连两端，这是线段的两端好， c 点连接 p 一， 再连接 p 好。 同理， c 点连接 p 二，再连接什么 p， 所以 啊，哎，同学们来注意， c p 一 就等于什么 cp， 这条线段和这条线段是相等的。同理， c p 二是等于 cp 的 好，也就是 cp 一 等于 cp 等于 cp 二。 是不是好？比如说老师，那很好求啊，那 p 一 p 二不就是求二倍的 cp 吗？对吧？因为 cp 一 和它相等， cp 二也和它相等，那 p 一 p 二就是求二倍的 cp。 那 在这儿我们就出现一些小的问题，什么呢？ 我们要去证明 p 一 p 二这条线段是经过点 c 的， 也就是 p 一 c p 二三点什么共线？如何证三点共线呢？ 我们去证这个角是一百八十度即可，是吧，因为一百八十度也就证明它是一个什么平角好，我们来看一下根据反折呀，反折对称它的一些基本性质。这个角如果是阿尔法， 它对称过来的话，就相当于把它把这个三角形沿着 a c 是 不是翻折过来，所以这个角是阿尔法，那这个角也是什么阿尔法好。同理，那这个角如果是贝塔， 翻折过来之后，对称过来之后，这个角也是什么贝塔好。又因为角 a c b 啊，等于九十度，也就是阿尔法加上贝塔 等于九十度，所以二倍的 alpha 加上二倍的 beta， 就 应该等于一百八十度，也就这个角是一个平角。所以啊， p 一 c p 二三点 贡献啊，这个非常非常的重要啊，非常的重要，尤其是证明题，一定要去证明三点贡献。你不能说 p 一 p 二的长度就是三二倍的 cp， 是 不是好？因为 p 一 p 二是一条线段，我们要去证明它是经过点 c 的。 好了，那问题就转化了。所以啊，求 p 一 p 二，它的最小值， 就是求二倍的 cp 的 长度，也就求二倍 cp 的 长度，也就是求 cp 的 什么最小值。那 cp 的 最小值怎么求呢？ p 点又是一个什么点？动点啊？ p 是 一个动点， p 在 ab 上运动，求点到这条直线的最短路径，那就是点到线的垂线段最短，好当点 p， 当 p 点运动到这儿， 也就是 c p 和 ab 垂直时， c p 取得最小值。好，那这个最小值该怎么去求呢？我们用什么等级法啊？也就是二分之一，这个三角形的面积也就是二分之一， ac 乘以 bc 是 三角形，面积应该等于二分之一，乘以 ab 的 长 好，而 a c b c， a b 都是知道的，所以我们可以快速求解，两边二分之一都去掉。 a c 乘以 b c， a c 是 八， b c 是 六六八四十八，那么就等于 a b， a b 是 十十倍的什么？ c p 这样解得， c p 就 等于四十八，除以十等于四点八， 而 p 一 p 二的长度是二倍的 c p， c p 是 四点八，二倍的 c p 就 等于九点六，这就是 p 一 p 二长的最小值。你学会了吗？关注李老师，学习路上不迷路！

七、下轴对称必考模型，将军印码最值问题，一分钟带你轻松秒杀！另外，轴对称十大经典模型全部给大家整理好了，电子版取电码九八五找我领！ 我们来看一个经典的轴对称求周长最小值的问题，如图所示，地点和 e 点分别是等边、三角形边 ab 和 bc 上的中点， a、 b 的 长度呢，是等于二，也就是既然是中点，那么 a、 d 是 等于一， b、 d 是 等于一， b、 e 的 长度和 c、 e 的 长度呢，都是等于 f 点为 c d 上的一个动点， 求三角形 b、 e、 f 的 周长最小值。那么这类问题属于典型的将军 a 问题中，两定一匹 马从 a 点出发，要到小河边某一点 p， 带着马去喝水，喝完水去 b 点吃草，这就是典型的将军马的问题。我们最终呢求的是 a p 加上 b p 的 最小值。那要想实现求最小值的问题，有同学可能会想到两点之间线段最短，我直接把 a 点和 b 点连接起来，但是你会发现它没有去 实现去河边喝水，那所以既要满足题干中的要求，又要能够实现两条线最短。我们往往会用到走对称的思路，把题目中的等量边呢来给他做一个转化。那比如说这个题呢，是属于 a 点和 b 点，两个点都是定点， p 点呢是动点，那这类问题做走对称的思路呢？就是关于定点做动点所在直线的对称点， 那简单来说就是做点 a， 关于这个 p 点所在的这条小和 l 的 一个对称点，实际上 a 点关于 l 的 一个对称点，我们可以记为 m 点，我们来连接 pm。 那 么根据走对称，实际上 ap 的 长度呢，是等于 pm 的 长度，那么我们圆体中 ap 加上 pb 的 最短值呢？就可以实现 mp 加上 pb 的 最短值， 那 m p 加上 p b 的 最短值，实际上最短距离应该是 m b 的 长度，那么 m b 的 长度就是我们讲的两点之间线段最短。当我们连接 m b 与小核相交的点 p 即为所求，那么 m b 呢，也是最小值，这就是我们讲典型的将军马问题。好，那我们来回到这个题，求三角形 b e f 的 周长最小，那首先它的周长应该表示为 e f 加上 b f 再加上 b e， 那 么 b e 的 长度呢？本身是等于一的，那重点就是求 e f 加上 b f 的 最小值，那我们根据题干的条件哈，三角形 abc 是 属于一个等边三角形 c d 是 一个中线，那这个时候我们知道左边的 a d c 和右边的 b d， c 应该是相互对称的。关于 c d 是 对称， 那实际上我们可以理解为 c d 是 a b 的 垂直平分线，那么垂直平分线上点 f 到 b 的 距离应该是等于 f 到 a 的 距离。所以这个题呢，我们来连接 f a 啊，我们能够知道 f b 的 长度是等于 f a 的 长度的，那我们原来的 e f 加上 b f 的 长度就可以转化成 e f 加上 af 的 长度再加 e， 那 么 e f 加 af 的 长度。我们来看这两段折线的问题，我们还要经过 c d， 实际上我们可以直接 把 a e 来进行连接，我们把 a e 来进行连接，那最短距离 e f 加上 af 的 最短距离就应该是等于 a e 再加上 e， 那么 a e 的 长度我们来回到这个题干中来去看哈，因为本身这个三角形 abc 呢，是属于一个等边三角形， e 点和 d 点都是属于中点。实际上我们根据三角形里面的中线的三线合一 角， a e b 是 等于九十度，那么 a b 的 长度是二， b e 的 长度是一。在直角三角形里面，我们可以衍生出来一个勾股定律，也就是 a e 的 平方加上 e 的 平方是等于二的平方，那么 a e 呢？我们能求出来它是等于二， 根号三，那所以最短距离呢？应该是等于根三加一，你学会了吗？

今天我们讲的是第五张的第一节轴对称及其性质。首先我们先来观察下面这些图片，这个是我们的一个脸谱，这是一个蝴蝶的一个 剪纸，然后这个是我们的一个呃房子，然后我们来观察一下这个脸谱也好，这个蝴蝶也好，还有这个房子也好，它能够沿着一条直线，是不是左右两边其实是可以重合的，你看 他是不可以重合的，所以这里面我们就给出了轴对称的定义。什么定义呢？如果一个平面沿图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。根据这个定义，我们要知道轴对称图形指的是一个平面图形， 而沿一条直线折叠之后，直线两旁的部分能够互相重合的，这条直线我们起了个名字，叫做什么叫做他的对称轴。好，那我们来看下面这个， 这个图五杠二呢，他就是一个轴对称图形，因为他沿着直线 l 折叠之后，直线 l 两旁的部分能够完全重合，对吧？那这时候这个直线 l 就是 他的对称轴。沿对称轴折叠之后，点 a 与点 a 撇重合， 所以我们称点 a 关于对称轴的对应点是点 a 撇，那同样点 b 和点 b 撇重合，那么点 b 关于对称轴的对应点就是点 b 撇， 那我们再来看对应线段，线段 a b， 关于对称轴的对应线段是线段 a 撇 b 撇，他们是可以重合的， 然后角 b 关于对称轴的对应角是角 b 撇，那么角 b 就 等于角 b 撇，那图中还有一些对应点，对应线段和对应角，那我们来看这里面对应线段，还有 bc 折叠之后和 b 撇 c 是 重合的，所以 bc 关于对称轴的对应线段是 b 撇 c a c 关于对称轴的对应线段是 a 撇 c， 对 不对？那对应角我们还可以去找能够重合的角，在这里面都是什么呀？对应角， 我们再来看下面这个图形，说图五杠三也是一个轴对称图形，它的对称轴是直线 l， 好 让你回答下面的问题。第一个，在图中任意选一组对应线段好，那里面 a、 d 的 对应线段 a 片 d 片，两条线段有什么关系？那就是相等， 为什么相等？因为在这里面他是轴对称图形，关于直线 l 对 称，那么直线两旁的部分能够完全重合，所以 a、 d 就 等于 a 片 d 片，对吧？第二个，在图中任意选一组对应角，比如说角 a 和角 a 片， 他们的关系也是相等的啊，同样就是因为他们能够完全重合好。第三问，连接对应点 a a 片 线段 a a 撇与对称轴之间有什么关系？那你会发现线段 a、 a 撇在这里面是被对称轴，什么呀？垂直平分的， 我们连接 c c 撇，连接 b、 b 撇，也是同样满足这样一个关系。好，再来看我们下边这些图，他说观察图五杠四中的每组图案，注意每组图案啊，每组里面是两个图案，你发现什么？ 哎，你会发现这两个图案沿着某一条直线折叠之后能够完全重合，那这里面注意他是两个。你看，如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称， 所以两个图形成轴对称指的是两个图形的关系轴对称图形指的是一个图形啊，这里面要注意，这条直线叫做这两个图形的对称轴，那么它的性质是否和上面轴对称图形的性质一样呢？我们来探究一下。 我们将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字十四，然后再展开，那这时候我们会发现这两个十四， 然后沿着这条直线 l， 他 能够这两个图形能够互相重合，所以这两个图形之间他就是一个。什么呀？这两个图形成轴对称， 那我们来看一下对应线段有什么关系？好，线段 ab 和线段 a 片 b 片，我们可以去测量一下，发现他们是相等的， 然后对应角我们也发现他们是相等的，比如说角 d 和角 d 片，然后我们再连接对应点的线段，比如说 c c 片， e e 片， a a 片， b、 b 片，那么与对称轴 l 之间的关系依然是被对称轴 l， 什么呀？垂直平分， 因此我们可以得到性质就是不管是轴对称图形也好，或者是两个成轴对称的图形也好，他们对应点所连的线段 都是被对称轴垂直平分，并且对应线段相等，对应角相等，这个就相当于什么呀？他的一个性质，大家要记住啊，里面有三句话， 一个是对应点所连线段被对称轴垂直平分，第二个是对应线段相等，第三个是对应角相等，这个可以为我们后续做题提供一个依据。好，再来看例题，例题是让你画出这个轴对称图形的另一半， 他给你了一半让你画，另一半怎么画？那我们根据他的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。既然 m n 是 对称轴，那我们要想做他对应点，我们就延长 a o， 然后在这条延长线线上截取 a 撇， o 等于 a o， 根据性质嘛，所以我们可以知道 a 撇，同样我们再连再延长 b n， 在 b n 的 延长线上截取 nb， 撇等于 nb， 那 我们就可以找到 b 撇，然后我们把它连起来， 连起来，对吧？然后我们直接在连接这个 a 片， b 片就可以，你看就可以了，这样我们就可以画出他的另一半，注意我们画的时候啊，最后画出来这个图形，我们要用实线去连接就可以了。 接着我们来看学到练习。第一题，下面的图形都是轴对称图形或成轴对称的图形，请分别找出它们的对称轴，那看第一个，第一个是一个图形，所以这里面它是轴对称图形啊，我们找出它的对称轴， 那这条就是它的对称轴，沿着这条直线，直线两旁的部分能够互相重，互相重合，对不对？然后看第二个，第二个，这里面它也是一个轴对称图形啊，我们来画出它的对称轴， 这是一条，当然我们还可以再画出，比如说这个地方， 那么这条都是，这些都是它的对称轴，对不对？好，再来看第二个，第三个， 只要它沿着这条直线，它两旁的部分能够互相重合，那么就是它的对称轴。 第四个， 然后我们再来画这个，第五个，这个树叶啊，他也是一个轴对称图形，他的对称轴就在这个地方，注意他只有一条。好，再看下面这个啊，下面这个我们来看他的对称轴，去找一下啊，看在哪里？ 你看沿着这条线，他两旁的部分能够互相重合，同样沿着这条线也是可以的啊。 好，我们再来看下面，下面都是两个图形的间的关系，对不对？那这个里面，你看这两个图形，这两个图形，那他就是成轴对称图形啊，我们来看他的对称轴，在这里面。好，一条， 一条，一条，然后这个它是有两条啊，注意，好，那这个也是有两条。 最后一个，首先横着水平方向，竖直方向肯定有两条，对吧？然后我们斜着的话，也是可以的啊， 他就类似于跟一个正方形一样。好，所以说这个应该是有四条，那通过这道题你会发现，轴对称图形和成轴对称的图形，他的对称轴 不止只有一条，对吧？有可能是一条，也有可能是多条，那你要像对于圆来说，他是不是就有无数条，对吧？所以这个大家要注意啊，他的对称轴的条数在这里面不是唯一的。 好，再来看第二题，用笔尖扎对折的纸，可以得到下面成轴对称的两个图案。 一、找出两组对应点，对应线段，那对应点很好找啊，比如说这两个点就是一组对应点，然后这两个点就是一组对应点，两条对应线段，这条对应这条和这一条是对应线段，对吧？然后这一条，这条也是对应线段，还有两个对应角， 对应角，对应角，说明你找到的对应点所连线段被对称轴垂直平分。好，那我们来看，我们可以连接这两个点，如果这个标做 a， 这个标做 a 撇，我们连接 a a 撇， 那这时候我们底下有一个点， b 这个地方标做 b 撇，然后连接 b， b 撇， 好，然后我们竖直的这个地方就是我们的什么呀？对称轴，对吧？那你会发现他是被他垂直平分的。然后第三题啊，第三题是让你画出图形的另一半，这个另一半具体的画法啊，刚刚给大家已经说过了，怎么去画 啊？首先因为它是沿着直线 l 是 对称的，对吧？所以说它这个图形首先它肯定是也是对称的，我们在画的时候啊，这个角度和这边这个角度是一样的，老师给大家画一个草图啊， 长度也要一样，同样上面也是啊， 这个我们需要用刻度尺去量一下它的这样一个长度， 好，这是我们的第一个图形，那第二个图形就同样，那其实我们找到对应点，对吧？量一下它的这个长度，然后找到这个对应点， 然后再去画 就可以了啊。然后这个圆的话，那大家就需要用这个圆规去画出来他的另一半啊。这老师用个草图给大家画一下， 然后再把这个眼睛，然后找到他的具体位置给他画出来就行了。那这个其实就是我们的作图，其实很简单，对不对？ 我们再来看我们的题型，五点一下列汉字中哪些可以看成轴对称图形，那要想是轴对称图形，他必须是这个直线两旁的部分能够互相重合，那这个草字他就是的啊，然后这个木， 然后这个水不是的啊，水不是的，然后中是的。那我们可以再找一些类似的汉字，比如说这个日头的日， 对吧？田地的田啊，都是的。然后第二个在下列图形中找出轴对称图形，并找出他的两组对应点。那一是轴对称图形啊，我们画出他的一条对称轴的话， 如果以这条作为他的对称轴，他的对应点这是一组，对不对？这是一组。然后第二个也是轴对称图形啊，我们找他的两组对应点，这是一组，这是一组。第三个也是 一组。两组啊，这个大家去画就行了。然后这个它就不是一个轴对称图形。然后这个就是 对应点比较多啊，比如说这是一组，这是一组。大家自己去找一下。第三题，如图，将长方形纸片 a、 b、 c、 d 沿 e、 f 折叠点 a 和 b 片处说明这两个就是折叠后的 点 a 和点 b 的 对应点。如果角 e、 f、 b 撇等于七十度，这个角是七十度。然后问你角 c、 f、 b 撇的度数是多少？首先我们是将这个图形是沿着 e、 f 折叠过去的， 所以说这两部分相当于是能够被能够这个 e、 f 两旁的部分能够什么呀？互相重合，所以它其实相当于就是一个什么呀，轴对称，对吧？所以我们可以得对应角相等，那么角 e、 f、 b 片对应角就是角 e、 f、 b， 那 这个角也是七十度。我们要求这个角，首先这地方是不是一个平角一百八十度，所以我们要求的角就等于一百八十度，减七十度，减七十度，最后就等于四十度，所以这个题答案就是四十度。 好，再来看第四题，如图所示的图形是由一张纸对折之后得到的。展开折纸，你能得到什么样的图案？那首先他只是说 对折，那至于是怎么对折的，我们不知道对不对？如果是沿这一条边对折，那我们可以画出原来图形，那原来图形就是这个样子， 原来图形就是一个三角形，沿这个折叠的，当然他也可以沿这条边折叠，那沿这条边折叠，我们也可以画出来他折叠前的图案， 那折叠前的图案是不是也是一个三角形？但如果他要是沿这条边折叠，那我们折叠前的图案，那，那这里面他就是一个四边形啊。我们找对应点， 如果沿这条边折叠，那么折叠前的图案就是这个图案，它就是一个四边形，所以你能得到的图形是三角形或者是四边形。好，再来看第五题。第五题，一个轴对称图形是由 的一半，如图所示，直线 m n 是 这个轴对称图形的对称轴让你画出另一半，那很简单了呀，我们说了，因为对应点被对称轴垂直平分，所以我们首先可以量一下 am 的 长度，对吧？ am 的 长度得到之后，然后我们就可以往这边去画 好，找到它的对应点 a 片，同样我们可以测一下 b n 的 长度，找 a 片 b 片，然后我们就去连接 a 片 b 片，对吧？ 那我们这地方画实线啊，然后这里面我们还要需需要注意的是，我们还要连接 o a 片，对吧？我们要找到点 p 的 对应点 p 片，然后我们再连接 p 片 b 片，那这样我们就把这个图形的另一半给画出来了啊，它利用的就是对应点的连线被对称轴垂直平分。好。第六题， 一次晚会上，主持人出了一道题目，如何把二加三等于八变成一个真正的等式，很长时间没有人回答出来，小兰仅仅拿出一面镜子就很快的解决了这个问题，你知道他是怎么做的吗？那首先如果我们把这个镜子放在这个二加三等于八的正上方， 那么这时候镜子上的像，那就是二，沿着这条这条线我们画出它的什么呀？那个另一半，这两个图形二和谁能够是成轴对称的图形呢？我们可以给他画出来啊，画出来 然后加号，然后这个三三我们也可以给他画出来， 然后八和八乘以对称图形的，那还是八，那这时候五加三是不是就等于八了？ 所以这个镜子在这里面就相当于是他的一个什么呀？他的一个对称轴，对吧？当然有同学老师我这样画，我试一试看行不行？最后你发现，哎，就是五加三等于八在这个上面是 成立的。好，这就是我们今天讲的第一节，你学会了吗？

欢迎来到，别拦我，我要变学霸的。第五张图形的轴对称，我们先来看第一个知识点，什么是轴对称？在讲这一个知识点之前呢，我们先来欣赏三张图片， 第一个图片是海上的一种建筑，第二个图片是我们传统文化里面的一种剪纸， 第三张图片是我们著名的故宫，这三张图片是不是都非常的好看？那你有没有发现他们有一个共同的特点，如果我们把这三张图片对折的话，我们会发现他的两边是可以重合在一块的， 我们就把这一类的图形叫做轴对称图形，我们来看一看他的具体的概念是什么， 一看怎么一看，这概念怎么这么多字啊，是吧？我们不用去看这些字，我们就看这个图形，我以这个图形为例来给大家去讲这边的这些概念， 如果一个平面图形，这个平面图形就是我圈出来的这个图形哈，沿着一条直线折叠之后，直线两旁的部分能够互相重合，也就是说我们把这一个图形沿着直线 l 折叠，折叠之后，这一边的图形和这一边的图形他们两个是可以重合在一块的，我们就把这种图形叫做轴对称图形，把这条直线 l， 我 们把它叫做对称轴。 在轴对称图形里面和我们的全等三角形是一样的，他也有对应的点，也有对应的角，也有对应的边。对应的点是指我们折叠之后能够重合在一块的点，你像这个点 b 和点 b 撇， 对应的角也是只能重合在一块的角，你像角 b 和角 b 撇线段重合，我们把它叫做对应的边，你像 ab 和 a 撇 b， 这一页的知识我们就讲完了，我们看下一页， 在这一页当中有七种图形，我们来看一看这七种图形的对称轴是怎么画的，他们的数量分别是多少？先来看第一个图形，矩形， 我们是不是可以画出来两条这样的对称轴？菱形，可以画出来这样的对称轴。正方形，我们除了从画出来这两条之外，我们还可以这样斜着画出来两条圆呢。只要是这一个直线过圆的圆心，是不是都是这个圆的对称轴？ 等上三角形，我们可以画出来这样的对称轴。等边三角形，我们可以画出来三条。正六边形，我们可以画出来九条。在这些图形当中，是不是圆的对称轴是最多的，它有无数条。 好，我们再来看知识点二，知识点二是我们的一个重点和难点，这个在我们后面去做证明题的时候，经常会用到它的性质，这个地方要认真听。你看在等腰三角形当中，我们刚才在第二页的这个内容当中，我们讲到了它的对称轴是这样的， 你有没有发现这一个角和这个角它们两个是相等的，相等了之后就意味着什么？就意味着我们这一条对称轴是不是还是和这个等腰三角形，它这个顶，我们把这个地方记作 角， a 的 话，它是还是角？ a 的 角平分线，而且这个 b、 d 和 dc 这两个边的长度还是相等的，那这一个对称轴还是 bc 边上的中线， 同时呢，这一个角和这个角是相等的，它两个加起来又是一百八十度，所以 a、 d 是 垂直于 bc 的， 所以这一个对心轴还是这一个底边 bc 上的高， 这时候就出现了等腰三角形里的一个重要性质，叫做三线合一。什么叫做三线合一啊？就是这一个对称轴是它的中线、高线、角平分线， 角平分线的三线合一，就是说这三条线在等腰三角形里面是重合的，当然只局限于哈，只局限于这一个等腰三角形里面的底边，不能是在他的腰上去做这个东西。 在后面，我们如果在题目当中，我们看到了等腰三角形，而且出现了 中线这一个字眼，同时呢，这个中线是他底边上的这一条中线，你这时候你就要想到哦，这一条线同时还是底边上的高线，还是他对应这个角的角平分线，这样是有助于你去解题的，那等边三角形也是一样的， 等边三角形和等上三角形还是有一个区别，他这三条对称轴，他这三条都是三线合一， 这个地方你们应该明白哈，我们来看下一个知识点，垂直平分线，这个也是一个重要的知识。我们先来看什么是垂直平分线？ 第一个问题，这一个线段 a b， 这个线段 a、 b 是 不是轴对称图形？答案是显然一见的，我们只需要把它折叠一下就可以了，是吧？让我这个点 a 和点 b 重合就可以了，我们会发现它是一个轴对称图形，那它的垂直平分线是什么？ 当我们把它对折之后，我们会出现一条折痕，这一个折痕其实就是我们这一个线段 ab 的 垂直平分线。那垂直平分线有什么特点呢？ 垂直平分，首先它得垂直，对吧？就是说这一条线 c、 d 和 ab， 它们是垂直的，垂直平分还要平分 ab， 比如说 a、 o 和 ob 是 相等的， 我们来看一看它为什么是它的垂直平分线，如果它不是垂直的话，我们随便画一条线哈，如果我沿着我所画出来的这一条线去折叠 ab 的 话，它们两个是不是不能重合在一块？ 所以这一条线我们把它记作 l 的 话，它并不是它的对称轴，所以这个 c、 d 肯定是 ab 的 垂直平分线。 那我们来看看他的几何语言是什么？几何语言就是这样写，也就是说当题目当中出现了这种语言的话，你要知道哦，他这是在告诉你我这一个垂直平分线的这个概念，你又要想到他的相关性质，我们下面去讲这个垂直平分线的性质哈， 这个是也是你们在后面做证明题当中经常会用到的一个点。垂直平分线有什么性质呢？是垂直平分线上的点到这两个线段的顶，这到这个线段两个端点的距离是相等的，为什么？我们来证明一下。 首先我们知道 a、 o 和 ob 是 相等的，我们写一下吧， o a 等于 ob， 这一个角和这一个角也是角 c o a 和角 c、 o、 b 是 相等的，他们都是九十度， 同时他们还有一个公共边，看的是这两个三角形哈， o c 等于 o、 c， 那 么这两个三角形是不是就全等了，也就是三角形，所以三角形 a、 o、 c 全等于三角形 b、 o、 c 用的是什么定力？是不是 s a s？ 注意，在我们书写全等三角形的时候，我们的这个字母要一一对应， 所以这两个边是不是就相等了？因为这两个三角形全等了嘛，所以 c a， 所以 c a 等于 cb， 这样我们就把它挣出来了。当然你在你后边去做题的时候，你是不用去写这些证明的，我在这里给大家写这个证明的原因是为了让你去方便的去理解这个性质， 我们来看它的几何语言是什么。如果你知道某一条线是一个线段的垂直平分线，你就要 同时呢，你要去正他这一个这个垂直平分线的一个点到这个线段两段的距离是相等的，你就直接这样写就行了，不用啰嗦，直接就写。因为 c o 是 线段 ab 的 垂直平分线，所以 ac 等于 bc 就 可以了，这个是我们的定律哈，可以直接拿过来就用的。 那我们来看一看，我们如果已经知道线段 ab 的 话，我们怎么样运用用尺规去做 ab 的 垂直平分线呢？在这里我先给大家说它的做法是什么，然后再告诉大家为什么。 先来看第一步，我们要分别以点 a 和 b 为圆心，要以大于二分之一 ab 的 长为半径做弧。什么意思？解释解释。 第一步，我要先以 a 为圆心，然后选一个线段长度，对吧？我选的这一个长度呢，一定要大于 ab 这个线段长度的一半， 比如说我必须要大于一半，好比这个地方是它的终点，这个地方是 o 的 话，我不能选这个长度，我不能选这一段，我要选的是哪一段，我要选的是大于这个 a o 的 这一段 做弧，做了弧之后，这不就出现了这样的两个圆弧了吗？下一步我再以 b 为圆心，同同样的哈，同时还是要以这一个长度， 要以这个长度就是我你第一次选取的这个长度为半径，再做一个弧，这样是不就做出来两个弧？做出来两个弧之后，然后你连接，假设他们的焦点分别是 c 和 d， 你 连接 cd 就得到了线段 a、 b 的 垂直平分线。为什么证明一下，我们连接 c， a 连接 c， b 连接 ad， 连接 b、 d。 我 们知道 我为什么要这样画，是因为我想去给大家证明，三角形 a、 c、 d 全等于三角形 b、 c、 d。 我 们来看一看他，他全等还是不全等哈？ a、 c 是 不是和 b、 d、 b、 c 是 相等的？因为我们是以相同的线段，这个相同的半径长度做的弧，所以 a、 c 等于 bc， a、 d 是 不是和 b、 d 还是相等的？ a、 d 等于 b、 d。 这两个三角形是不是还有一个公共的边？ c、 d， c、 d 等于 c、 d， 所以 这两个三角形是全等的。用的是什么定律啊？ s s s， 明白了吧？这就是我们做垂直平分线的做法。好，来看下一个知识点，也是一个重点，角是不是轴对称图形？ 问这个问题，可能有的同学会说，老师你这不看不起我吗？我只需要把这个角折叠一下就可以了，让这个 o、 a 和 o、 b 重合在一块，它只要是能重合在一块，那它就是轴对称图形嘛，是吧？我们发现它是轴对称图形，而且我们所折的这个折痕呢，就是角平分线， 因为他折了之后，这个角和这个角是相等的，对不对？这个地方并不是有一个难点和重点哈，你知道就行，我们重要的是什么？重要的是要来看这个角平分线的性质，这个是重点中的重点， 当你看到这个角平分线的时候，你一定要想到它的性质是什么？ 角平分线上的点到这个角的两边的距离是相等的。 在这里多提一句，可能很多同学已经忘了点到边的距离是什么东西。假设我这里有一条直线，直线外有一点 a， 我 们把这个直线记做 l 的 话，点 a 到 l 的 距离是什么？我们是不是过 a 点做 l 的 垂线，然后交于点 o 的 长度，就是点 a 到直线 l 的 距离。 所以这句话的意思就是在直线，在这个角平分线 o、 p 上，我们随便找一个点 c， 从点 c 向第一条边上这个角的第一条边 o a 做一条垂线，如果是垂足是 d 的 话，我们把它垂足记作 d， 同时你向以点 c 向这个 b o 做一条垂线，它的焦点是 d， 撇得出来的是 c， d 等于 c， d 撇， 为什么？因为这两个三角形是全等的，就是三角形 d o c 全等于三角形 d 撇 o、 c。 为啥？因为这一个角和这个角相等，它们又有一个公共的边，同时这一个 同时这一个角和这一个角又是相等的。 a a s， 这个你们自己看一下。那它的几何语言是什么呢？几何语言也是可以直接拿过来用的，我们只需要用这个几何语言来给它描述一下就行。一个是 o p， 是 这个角 a o b 的 角平分线，同时 这两这两个满足垂直的关系，我们就可以说这两个线段是相等的，在这里再给大家延伸一下，如果我是这样画的， 我有一条线和这个角平分线是垂直的， 我们把这两个焦点记作 m 和 n 的 话， m n 这个中间这个焦点记作 h 的 话，那 m h 也是和 h n 相等的。为什么？ 因为三角形 m h o 全等于三角形 n h o。 证明一下， 写在这了哈，写在这边了，写在我画括号的这个地方了。为什么？因为角 m o p 等于角 b o p， 角 m h o 等于角 n h o。 同时它们又有一条公木边， o p 等于 o p， 还是用的 a a s 这一个定律证出来的，这两个三角形是全等的，这个也要记住哈。 当题目当中出现了角平分线的时候，你一定要想着去做这个东西。 好，我们再来看下一个，我们怎么样用尺规去做这个角，去做已知角的角平分线呢？还是先说画法再说为什么？第一步， 第一步在 o a 和 o b 上分别截取 o d 和 o e， 使 o d 等于 o e。 这个是不是很简单？我们只需要以 o 为圆心，然后找一个线段的长度做弧就可以了。做弧之后和这个角的两边分别交于点 d 和点 e， 这样我们第一步就做完了。第二步，以大于二分之一 d， e 的 这个长为半径做弧，分别以 d 和 e 为圆心哈，比如说我以 d 为圆心的时候，我以这一个长度做了一个弧， 以 e 为圆心的时候，还是以我第一次取的这个长度为半径做一个弧，这两个弧呢，交于点 c。 下一步不用我说，大家也知道是干啥了，是吧？我连接 o c 就 可以了，这时候我的这个角平分线就出来了，为什么？在这里给大家解释一下， 连接 c e， 连接 cd， 我 会发现三角形 e， o c 全等于三角形 d， o c。 这时候有反骨的同学又会提出来问题，你怎么知知道它两个是全等的？我们再正正一下嘛，对不对？正一下 我们来看。首先第一个，我们知道 o e 是 等于 o d 的， 同时 ec 是 等于 cd 的， 这两个三角形是不是还有一个公共边 o c 等于 o c， 所以 它们两个全等用的是什么定律啊？ s s s 这样 我们这一节课的内容就学完了。这一节课有三个重点，第一个整腰三角形里面三线合一，第二个垂直平分线的性质，第三个，角平分线的性质。当然你只知道是不行的，你要会用 怎么样去会用呢？你要是要，你要去做大量的练习，你才能知道怎么样去运用这三条性质。

七下轴对称必考模型，将军印码最值问题，一分钟带你轻松秒杀！另外，轴对称十大经典模型全部给大家整理好了，电子版取电码九八五找我领！ 我们来看一个经典的轴对称，求最小值相关的问题。在三角形 abc 中，角 abc 是 大于九十度，三角形 abc 的 面积呢，是等于十八， ab 等于九，那么 b d 平分角 abc 求 c e 加上 e f 的 最小值，那我们来看这类问题呢，属于典型的将军马问题中 两个动点一个定点的问题。因为题干中 e 点和 f 点呢，是属于两个动点， c 点呢，是一个定点，那我们要想求 c e 加上 e f 的 最小值，往往要通过边来进行等量的转化，那这个题解析的核心在于 b d 平分角 a b c。 如果题干中出现了角平线，我们往往会想到轴对称的思路，因为 b d 平分 a b c， 也就是我们把 b、 d 作为对称轴，那么 b c 和 a b 关于 b、 d 呢，是成轴对称的，那也就是我们在 b c 上的这个点 f 呢？实际上我们可以沿着 b、 d 做轴对称，那么它在 a、 b 上会有一个对应点 h 与它进行对称，也就是我们可以知道 f b 是 等于 h b 的 长度的， 然后我们来连接 e h， 那 我们知道 e f 的 长度呢，是等于 e h 的 长度，也就是我们原题的 c e 加上 e f 呢，我们可以做一个等量边的转化，给它写成 c e 加上 e h 的 长度， 那么 c e 加上 e h 的 长度，要想实现最短，实际上我们可以把 c 点和 s 点直接来进行连接，最短距离呢，就是 c h。 当然 h 点是一个动点，它是在 a b 上进行动的，那也就是我们的 c h 呢？实际上是有无数种情况，哪种情况能实现最短 点到直线的距离垂线的最短。所以当 c h 是 垂直于 a b 的 时候，我们能够知道 c h 是 最短的。那此时呢？ c h 恰好是三角形 a b c 的 高。那根据咱们题干中的信息，三角形 a b c 的 面积 是等于十八，也就是它可以写成二分之一乘以 ab， 乘以 ab 边上的高 c h， 那 么等于二分之一乘以九乘以 c h。 那 我们可以求出来 c h 的 长度呢？ 是等于四。所以这个题 c e 加上 e f 的 最小值等于四，你学会了吗？

将军一马一定是七项数学的重点考察内容，今天微微老师带领一道题，彻底掌握将军一马的底层逻辑。我们先来看题，在平面直角坐标系中，直线 m 表示一片草地，直线 n 表示一条河流， m 与 n 的 夹角为三十度， a 点四斗零表示将军的营地。一位将军从 a 点出发，先到草地上的 b 处去木马，再到河边的 c 处去饮马，最后回到 a 点， 问我们 b c 在 什么地方，将军所走的路程最短，并且求出最短路程。魏魏老师结合往年征题，近年中考征题，整理出了出一下将军饮马必考题型， 配套十二种模型立体解析以及专项练习。评论区回复九九九，我发您一份。这道题的核心考点就是将军仪码模型和平面直角坐标系的综合运用，而题目中要我们去求的将军所走路程的最短值，其实就是这个三角形 abc 周长的最小值。 而这个三角形 abc 中， a 点是一个定点， bc 呢是两个洞点，这就是将军仪码模型中的一定两洞模型。 它的核心解析思路就是过定点向定直线做对称点。而我们的定点有 a 点，定直线有两条 m 和 n， 所以 我们需要去做两次轴对称，我们可以先过 a 点去做关于直线 m 的 对称点， 我们把这一个对称点呢记为 p 点，连接 b p， 这样我们就把线段 a b 转移到了线段 p b。 接下来我们再过 a 点去做直线 n 的 对称点，我们把这一个对称点记为 q 点，连接 c q， 这样我们就把线段 a c 转移到了线段扣 c。 我 们原本是要求 a b， b c， c a 这三条线段之和的最小值， 转移了过后，就变成了去求 p b， bc， c 扣这三条首尾相连的线段之和的最小值。那什么时候这三条线段之和最小呢？很明显，那就是当 c、 b、 c 扣四点共线的时候，这三条线段之和最小。那怎么样才能够让这四点共线呢？根据两点之间线段最短，我们可以直接去连接 p q 两个定点， 这个时候 p 扣就会和直线 m n 产生两个交点，这两个交点呢，就是动点 b 点和 c 点真正的位置，我们把它记为 b 一 撇和 c 一 撇，那现在 p b， c 扣四点也就共线了。所以呢，我们的将军 它是从 a 点出发，先到 b 一 撇处去木马，再从 b 一 撇到 c 一 撇处去引马，最后从 c 一 撇回到 a 点。因此呢， 将军所走的这个路程的最小值就是这个三角形 a， b 一 撇， c 一 撇到周长的最小值，也就是线段 p q 的 长度。所以 最后的问题就是去求线段 p q 的 长度，那我们就要把这个线段 p q 去利用它构造特殊的三角形。因为 p 点和 q 点都是 a 点的对称点，并且呢，对称轴 m 和 n 相交于圆点 o 点，所以我们连接 o p o q， 这样就形成了一个新的三角形 o p q。 因为 a 点和 p 点是关于直线 m 对 称的，所以 o a 就 应该和 o p 相等， o a 的 长度为四，那么 o p 的 长度也应该为四， o p 等于 o a， 哎，同样的道理， a 点和扣点关于直线 n 对 称，那么 o a 的 长度呢，也应该和 o 扣的长度相等，因此 o 扣也等于四，所以这三条线段的长度都相等。因此呢，这个三角形 o p 扣，它现在是一个等腰三角形，来， 这三条线段的长度都等于四。接下来我们再来看角度，因为 m 与 n 的 夹角为三十度，也就是这一个角呢，为三十度。 而这一个角呢，被我们的 x 轴给分成了两部分，我们就把它记为阿尔法和贝塔，所以阿尔法加贝塔等于三十度。 因为 a 点和 p 点是关于直线 m 对 称的，所以这两个打勾的小角应该相等，它们都等于阿尔法。 同样的道理， a 点和 q 点关于直线 n 对 称，所以这两个打叉的小角也应该相等，它们都等于 b， 它那么这个角 p o， q 也就等于两倍的 r 法加上两倍的 b， 它所以叫 p o 扣，等于二倍。阿尔法加贝塔的和阿尔法加贝塔等于三十度。所以我们的角 p o 扣呢，自然也就等于六十度。那对于一个等腰三角形来说，它有一个夹角为六十度，所以这个三角形 o p 扣，它是一个 正三角形，那正三角形它的三条边的边长都应该相等，因此 p q 的 长度就应该和 o p o q， o a 相等， p q 的 长度就应该等于四。因此，这道题的最终答案呢，也就应该为四。同学们，你们学会了吗？关注微微老师，学习如此简单！

九点一点三，做轴对称图形一核心内容总结一、做一个点的对称点，一过点向对称折划垂线，延长垂线，使垂线段两边长度相等， 三端点就是对称点。二、过点做直线的垂线点，在直线上做平角的平分线点，在直线外 以点为圆心画弧，再做垂直平分线。三、做一个图形的轴对称图形一、找，找出图形上的关键点做， 分别做出每个关键点关于对称轴的对称点连，按顺序连接对称点，得到对称图形 四核心依据对称点的连线被对称除垂直平分。数学王国趣味小故事初一家长注意，今天我们在数学王国里学会做轴对称图形。哈喽同学们，欢迎回到数学王国， 我们已经认识了轴对称，今天要学习一项超重要的本领，画出对称图形。 不管是点、线段还是三角形、四边形，画对称图形只要三步，先找关键点，再做对称点，最后依次连起来。怎么做一个点的对称点呢？很简单，过这个点，向对称轴画一条垂线， 然后延长出去，让垂线两边一样长，另一端的点就是对称点。 掌握了这个方法，再复杂的图形都能画出他的另一半，这就是几何作图里的镜像魔法。 记住口诀，一、找关键点。二、做对称点。三、来连线段，对称图形就出现，家里有初一孩子的赶紧收藏！ 做轴对称图形是几何？必考做图题，学会这三步，考试不丢分！关注我，下期继续讲数学王国里轴对称的性质与应用。

同学们好，我是小狐狸老师，我们这节课来学习轴对称。今天的学习目标是进一步理解轴对称的概念，在观察中得出轴对称的性质，能够按要求做出一个图形经过轴对称变换后的图形， 如图，三角形 abc 和三角形 a 撇， b 撇 c 撇。关于直线 l 与点 d， 线段 pp 撇与对称轴 l 之间有什么关系？让我们看线段 pp 撇与对称轴 l 之间的位置关系。我们既然是关于对称，那么也就是 关于 l 去折叠的话，三角形 a、 b、 c 和三角形 a 撇 c 撇 b 撇是完全能够重合的，能够重合，而且它们中间的这一部分是不是也是完全重合的？ 既然这样，那我们的点 p 和 p 撇也完全中和，这条线段和这条线段也完全中和，那它们所形成的角一和角二也是完全重合的。既然完全重合，那么角一是等于角二的，等于九十度，因为它们两个相加等于一百八十度。所以说 pp 撇与我们的 l 是 不是一个垂直关系啊？ 并且数量关系上，我们的 l 是 不是能够平分 pp 撇的这个长度？因为这一段的长度等于这一段的长度，那它是不是平分它呀？ 所以我们就能得到轴对称的第一个性质，呈轴对称的两个图形中，对应点的连线能够被对称轴垂直平分。 所以若点 p 与点 p 撇关于一条直线对称，那么线段 pp 撇就能够被这条直线垂直平分。同样的道理，我们连接 a、 a 撇是不是也被 l 垂直平分， c、 c 撇也被垂直平分， b、 b 撇也被垂直平分？ 那反过来，如果线段 pp 撇被一条直线垂直平分，那么点 p 与 pp 撇。关于这条直线对称， 我们接着来看。将 c 角形 abc 沿直线 l 折叠，在这个轴对称下，点 a 的 对应点是点 a 撇，点 b 的 对应点是 b 撇， c 的 对应点是 c 撇。那我们能够得到哪些结论呢？我们就能够得到， a、 b 是 等于 a 撇， b、 c 等于 b 撇， c 撇。 角 a、 b、 c 等于角 a 撇， b 撇、 c 撇。因为对应线段对应点、对应角都分别相等，轴对称保持任意两点间的距离不变，保持角的大小不变。其实它跟我们平移的性质有点相似， 只是它不是我们的平移，平移的话是它的形状应该是也是一样的。现在的形状发生了一个呃变换，一百八十度的一个变换，所以说我们这是我们的折叠。 那如图三角形 a、 b、 c 和 a 撇 b 撇。如果说关于直线 m、 n 对 称， a 撇、 b 撇、 c 撇分别是 a、 b、 c 的 对称点 a、 a 撇 b、 b 撇 c、 c 撇，分别交 m、 n 于点 e、 f、 g。 那么我用文字描述，就是乘轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分，用几何语言表示，也就是 a、 e 等于 a 撇 e、 b、 f 等于 b 撇 f、 c、 g 等于 c 撇 g， 这是平分，相应的 m、 n 会垂直于它们之间的一个连线。 同样我们还能得到轴对称，任意两点间的距离不变，它角的大小也不变，也就是 ab 等于 a 撇， b 撇， bc 等 b 撇 c 撇 ac 等 a 撇、 c 撇。对应的这些角也分别相等，就是原有的这些角折叠之后大小完全不变。 来，我们看一道。来，我们看下面一个知识点，已知直线 l 及直线 y 一 点 p， 划一点 p 撇，使它 与点 p。 关于直线 l 对 称，那不就是我们过点 p 做直线 l 的 一个垂线，交 l 于点 o， 然后在射线 q o 上截取 o p 等于 o p， 那 我们的点 p 是 不是所求的这个点呢？ 这样去截，截完之后这个点就是我们的 p p， 这就是我们去画一个点关于一个直线的对称点的方法，这是它的做法。 然后我们已知线段 a、 b 和直线 l， 划出现段 a、 b。 关于直线 l 对 称的图形，那画直线的对称图形不就是画这个指线上的点吗？而两点确定一条直线，我们只需要找到线段 a、 b 上的两个点 a 和 b， 然后去找到它的对应点就可以了。一样的过点 a 做它的垂线，然后有一条直线有这段长度，用圆规量出这两段的长度相等，找到 a 撇，同样的方法去画出这段长度，等这段长度，这是 b 撇，连接 a 撇 b 撇，这就是我们的 线段 ab。 关于直线 l 对 称的图形， 好，这是我们的做法，大家可以自己刻下看一下。 那已知三角形 a、 b、 c 和直线 l， 画出三角形 a、 b、 c。 关于直线 l 的 对称图形，去画这个图形的对称图形，那不就是去画它上面的点的对称图形对称点吗？先画点 a 的 对称点在这点， b 的 对称点 在这点， c 的 对称点在这，那连接这些点是不是就是我们三角形 a、 b、 c。 关于直线对称的图形的一般步骤， 第一步就是要找点，确定图形中的一些特殊点，一般情况下就是他的三角形顶点，或者说一些图形的顶点、拐点都可以。 第二点就是画点，画出特殊点，关于直线的对称点。第三步就是找到这些点，然后连线，把这些对称点连起来，就是我们画出来的轴对称的图形。好，下面我们来做几道课堂练习题。 已知直线 ab 和直线 l 相交于点 o， 画出直线 ab 关于直线 l 的 对称图形。那就是找到直线 ab 上两个点，去找到它的对称点呗。直线 a 在 这吧， a 点在这，它的它的对称点画完之后，用圆规截取这段长度，这就是我们的 a 撇，然后点 b， 假如说在这里，然后我们画点 b 关于直线 l 的 对称点，这段长度大概在这，这是 b 撇 连接我们的 a 撇， b 撇不就是我们直线 ab 关于直线 l 的 对称图形 a 撇、 b 撇吗？ 好，我们看第二题。如图，三角形 a、 b、 c 与三角形 a 撇、 b 撇。关于直线 m、 n 成轴对称，指出它们的对应顶点， 并分别找出三对相等的边和相等的角，那相等的边， a 撇、 c 撇和 a c、 a 撇 b 撇和 ab、 b 撇 c 撇和 bc 相等的角角 a 撇角 a 角 c 撇角 c 角 b 撇角 b， 这不都对应相等吗？ 是不是好，下面好，下面我们来看一道拓展拔高题。如图，方格纸上每个小正方形的边长均为一四，边形 a、 b、 c、 d 的 四个顶点都在边 bc 上，点 e 在 这， 且点 e 在 小正方形的顶点上连接 a、 e， 在 图中画出三角形 a、 e、 f， 使得三角形 a、 e、 f 与三角形 a、 e、 b 关于直线 a、 e 对 称。 也就是说 a、 e 是 我们的对称轴，而三角形 a、 b、 e 要与三角形 a、 e、 f 关于 a、 e。 对， 那也就是我找到点 b 关于这条直线的对称点就可以了，是不是找到它的对称点 f 就 可以了，所以我们就这样， 所以我们过点 b 做 a、 e 的 垂线， 会发现垂线在这那找到同样长度的线，这不就是我们的点 f 吗？连接 a、 f、 e、 f， 那 么就是我们的三角形 a、 e、 f。 好， 第二步直接写出三角形 a、 e、 f 与四边形 a、 b、 c、 d 的 重叠部分的面积。 a、 e、 f 与四边形 a、 b、 c、 d。 我 们找到这个重叠的部分是哪里？重叠的部分不就是这里吗？ 重叠的部分不就是这里吗？是不是这是我们重叠的部分？那这部分重叠的重叠的部分的面积不就是等于我们这个四边形 a、 d、 e、 c 的 面积减去这个 空白的三角形面积吗？是不是 s 三角形的面积，那这整个的面积不是我们平行四边形的面积吗？平行四边形的面积等于底乘以高呀， 高是这段他的小正方形变长是一，所以说他的底是二，乘以他的高，一、二、三、四，高是四，然后减去三角形面积，这是底，这是高二分之一乘以二乘以二，那最终结果不就等于 二四得八，减去二等于六嘛，是不是？好，我们看第二题，在三角形 a、 b、 c、 d 中顶点 b、 d。 关于对角线 a、 c 对 称， a、 c 与 b、 d 相交于点 e， 若 a、 c 等于十五啊，整个 a、 c 的 长度是十五， b、 d 等于八， b、 d 等于八。让我们求阴影部分的面积，那既然我们的这个呃点 b 和点 d 是 关于 a、 c 对 称的，也就是说明我们的三角形 a、 b、 c 和三角形 a、 d、 c 就 关于直线 a、 c 对 称，既然关于它对称，那么我们这个小三角形和这个小三角形是不是也是关于它对称的？ 既然关于它对称，那么这两个三角形的面积应该是一样的，面积相等，而且这 b、 e 和 d、 e 是 相等的，因为这两条呃对称点的连线被我们的对称轴垂直平分，是不是所以说 b、 e 的 长度等于四，而且这是一个直角， 那么我们整个阴影部分的面积不就转化成了三角形 a、 b、 c 的 面积吗？三角形 a、 b、 c 的 面积不就等于二分之一乘以个 a、 c 乘以个 b、 e 的 长度吗？因为 b、 e 是 我们底 a、 c 的 高，所以就等于二分之一乘以个十五，乘以个四， 结果就应该等于三十。好，这就是我们这节课学习的内容，我们这节课学习了轴对称的性质以及他的一些作图方法，大家课下自己一定要多练习一下。下面是我们留的几道课堂作业题，大家自己截图去看。 答案选 c。 第二题答案选 d。 第三题是五十度，第四题答案选 a， 第五题答案选 b。 好 了，我们这几个的内容到这里就结束了，同学们再见！

好，各位同学，大家好，我们来看一下今天的第三题啊，第三题的话，我们就讲一下这里的第四小题，第四小题是大家非常容易错的一种题型，就是这种格点找格点的啊。来，呃，我们直接看第四小题啊。第四小题找格点 d 使它与 abc 组成的图形是一个轴对称图形，这样的隔点 d 有 几个 abc， 它本身是隔点，现在让我们再找一个隔点 d 和 abc 组成的图形是轴对称图形。好，来，我们怎么找 这个找轴对称图形，这个格点我们注意几个点，第一个啊，是找轴对称图形，先去思考对称轴，那这个对称轴应该是我们研究的对象，对称轴可以是什么呢？就是 这个三角形，删掉边所在直线，就是边所在直线。 第二个是什么边所在直线的什么垂直平面？ 那我们就顺着这两个方向去找，就能把格点找完整了。什么意思呢？我们来看看啊。呃， 来，首先我们以 a b 所在直线作为对称轴，那么这个 c 点 是不是 c 点多出来就就是这个点，那这个就是第一啊，第一种情况就可以了，你看我们把这个连一下，这不就是一个轴对称图形吗？ 是不是那 ab 可以 作为对称轴？那我 ac 是 不是也可以啊？ ac 所在直线就是这条直线作为对称轴，那 b 点，哎，对称过来是哪个点？是不是这个点？所以这个点这个位置就是第二 啊。然后我们再还有还有 bc 能不能作为所在直线作为对准 bc 所在直线作为对准轴 a 点把它对称过来来，是不就这个点，那这个点也是我们所找的地点 d 三，好了，找完之后我们再找边所在直线的垂直屏幕线 a、 b 它是这条线，它的垂直平分线是这条所在直线的垂直平分线。是这样，因为它是一乘三嘛，所以我们应该找三乘一，对不对？那么 这条线上的点也是可以的，那这个点刚刚我们算过了，那这里是不是还有个点，这个就是第四，所以这个第四也可以啊，那这样的点有几个呢？别急，我们 ab 所在的垂直平分线找到个 第四，那 a、 c 所在的垂直平分线作为对准的， a、 c 的 垂直平分线作为对称轴的话，那这个 b 点对出过来就是它，你看是不是那这个点又重合了，那 b、 c 所在直线垂直平分线啊？我们看一下那 a 点对出过来还是它是不是所以又重合了 啊？也就是说我们顺着两个方向发现什么，应该有四个。好了，你看懂了吗？啊？就是边所在直线或者边所在直线的垂直平面线作为对称轴啊，这段就说到这里。