职高数学高一下册第七章立体几何
来，他说下这个 e， a， b， c， d 呢，是四棱锥啊，三角形 a， b， d 呢？是正三角形，等边三角形呗，对不对？这个 b、 c 和 c、 d 是 相等的，然后呢？ c， e 垂直于 b， d 加 a 啊 b， c， d 一 百二十度 m 呢，是线段 a， e 的 中点啊，求证。 d， m 啊，这个点 d， m 平行于平面 b、 c 啊， 我们实际上呢？来看，我们上节课讲了一把尺，对不对？我们拿尺，但是这个课呢，我们如果想证明面面平行，然后从而推导出线面平行，跟着我说话呗。 好，那么来看一下。那么这题当中尺子不好使，那么就推倒面面平行，怎么推来看的儿？ m， 你 看 m 是 不是中点呢？与中点，然后底下是一个什么三角形， 等边三角形，对不对？我往下做垂直，终点找着跟上我说话没？哎，终点找到好，来看一下。因为这边和这边怎的相等？这是一百二十度，所以这点多少度啊？三十度，这是等边，所以这点多少度啊？ 六十度，所以这是一个什么？直角？直角垂直，那这是不是也怎的垂直啊？这边一点 m， n 是 不是终点呢？所以 m、 n 是 不是平行于 e、 b 啊？ 平行于 e、 b， 所以 这边平行，这边平行，所以是不是找到两个 相交直线分别平行啊，说明这个面 f 对 n 和这个 e、 b， c 就 怎的了？平行了呗，所以，然后你看对 f 是 不是在这个 f 对 n 上，所以对 f 就 平行于 e、 b、 c 呗，跟上我的话呗，写一下过程，不？ 写不，不用写好，说吧。好，写下这过程怎么写啊？瞅瞅，让写取。呃呃，取取取。 a、 d 终点 区别于中间 n 啊，连结，这是 m， n 啊，连结，这是 m n。 好 了，因为什么 c b 等于 cd 角 b c， d 等于一百二十度，所以角 c， b， d 等于三十度。因为三角形 a， b， d 是 正三 角，所以角，这是 b a 等于六十度啊，因为 n 是 a b 终点啊， a， n 是 a b 终点，所以这个对不对就垂直 a b 呗，对不对？对不对？垂直 a b 啊。啊，那你这地方加一个啊，所以再加一个。所以角 c d a c d a 等于九十度啊，所以呢，你就能知道 c b 和 d 是 哪的了。平行就是啊，第一次平行出现。然后呢，你要写，因为 m n 是 终点啊，谁是谁的终点，所以得到 m n， 那 它就平行于 b e 呗。啊，平行于 b e。 好 了，接下来不允许写啊，说 m n 角对与 n b e 角 b c 于 b， 所以 这两面平行不一样，重新分别正一下啊，这还不让不允许？怎么写？听懂了没？ 所以呢？因为怎么写？因为 m n 平行于啊，不用他这这有，我们忘写了， m n 平行于于嘛，对不对？然后呢，又因为什么呢？ m n 不在这个面面 b 一 起上，不在这个面 b 一 起上啊，然后呢？ b e 啊，不在在这个面 b 一 起上啊，所以 m n 平行于面 b 一 起。听到了吧，这面儿 b 一 起，然后呢？变为 duran， 同样道理啊， duran 不 在面儿 b 一 起啊，这个，呃， b c 在这个面 b， e， c 上啊，包含于面 b e c， 所以 d n 还平行于面 b e c 啊，要分别这么写一下啊， 然后呢？又因为 d n 角 m n 与点 n， 然后呢？ e d 叫 e c 与点 b？ 哎呀妈呀， b c 啊， b c 与点 b 啊，这边能看到不 叫 b c 与点 b 啊，所以最后边，所以，所以面儿这个 m 的 平行于面儿 b c 啊，所以得到啊， m 地平行一面 b c 就 完事了，就 ok 了。
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78白学
02:03查看AI文稿AI文稿立体几何外接球，掌握这十一种模型，期末直接得满分！ 立体几何外接球呢？是高一下期末考试以及高考的一个重点考试内容，很多同学到高三都没搞清楚，那么谢老师这里给同学们啊归类一下，那么这里我们掌握几个常见的模型，比如说墙角模型， 那么模型怎么我们怎么去记？我们不是去记他的一个结论，而是记他的原理条件和我们的一个啊，怎么一个解法？比如说 墙角模型有什么特征呢？三条棱，两两垂直，只要看到三条棱有两两垂直的对不对？我们不可以不找球心，直接可以把它补成一个什么长方体， 对吧？这叫补乘法。还有看见这种类型什么呢？比如说对棱相等模型，他也是补成长方体，什么条件呢？三条对棱分别相等，你马上去把它补成长方体，然后根据长方体的一个思路去做就可以了 啊。比如说还有一个重点的模型，就是垂面模型，只要看见一个线垂直，这个面， 对吧？线面垂直球外接球的半径对不对？我们首先在底面标出我们的圆心，然后球心必然是连在一起垂直底面，对吧？然后把它补成一个直径，弄出来，直径和这个顶点连起来，绝对就是我们大圆大球的直径，球的直径 我们就可以用勾股定律来解了，而 o o e p o 呢？就是 pa 的 中位线，是不是可以这样去做，那么可以根据详细的根据一二三这三步去完成就可以了。还有一个比较重点的是什么？如果出现三条侧能相等， 有什么特征呢？有三条侧能相等，这些都是，对吧？那么必有什么呢？圆心、球心和顶点三点共线必然在同一根直线，可以用勾股定力去答题，这就是我们常考的一种方式，对吧？其实后面还有很多很多啊，感兴趣的同学或者是老师 啊，可以进行一个自学啊。那么习老师把这个链接放在下方了啊，可以去了解一下。
10:41查看AI文稿AI文稿立体几何中的角度求解问题？喜欢在选择填空，尤其是填空的第二第三题，这种中档次压轴位置出现在结合大体第二问中必有的角度求解分值占比高，而且足够稳定， 无论大家有没有提前掌握间隙的外挂，今天关于线线角和线面角的通用解法，相信你学完之后会有收获与提升。 这是一条线，这也是一条线，两条线的夹角大小是 theta。 假如我把其中一条直线平移一下，你认为它俩的夹角还是 theta 吗？没错，当然是的， 所以直线的平移不改变夹角大小。哎，那线的伸长缩短改不改变线线夹角啊？是的，同样不改变。那他做的这么短了呢？ 没有关系，咱们给他做条辅助线就回来了。所以啊，平移和伸缩永远不改变线线夹角， 并且平面和空间都是适用的。那只要了解了这样一个点，我们便可以解决几乎所有的立体空间线线夹角问题。就比如呀，在这样一个正方题中， 他说要求红线 a、 d、 e 和黄线 e、 f 所成的角度，我们是不是可以放心的把 b、 d、 e 连接起来呀？ 在蓝色三角形中， ef 是 底边的中位线，那么 ef 也就平行于底边第一 b。 换句话说，第一 b 一定能够由 ef 平移伸缩得到，而平移伸缩完全不改变夹角大小， 所以红线和黄线的夹角就等于红线和蓝线的夹角 共面。直线夹角可以直接标出在黄色三角形中，正方体能长为一，另外两边根二根三，这是一个直角三角形，夹角与弦值等于根号三分之。根号二 化简之后选择 c 选项。正是因为平移和伸缩完全不改变夹角大小， 所以只要题目来一句求红黄两线的夹角，我们就可以在伸缩和平移的范围内，不择一切手段，让红黄两线进入同一个平面直接接触。题目就变成了最基础的求解面内夹角于弦值。 再比如这样一道题，他说要求 am cn 红蓝两线夹角分别记作 l 一、 l 二， 根据原则不择一切手段给他俩平移到直接接触共享平面的位置，这样平移稀奇古怪，不行。 那这样呢？千万注意，这里不是焦点，也不好搞，所以光有平移是不够的，还得伸缩。再次借助中位线神力连接 md 做出 l 三， 在红色三角形 amd 中，黄色的 l 三又是中位线， 红线通过平移伸缩能够得到黄线。那么题目要求蓝线和红线的夹角就是蓝线和黄线的夹角， 咱们把 c、 q 连接起来， c、 n、 q 便是对应的角度大小。剩下的重点便是找出黄色三角形的个边长度了。那题目也说了，空间四边形 a、 b、 c、 d 的四条边以及对角线，也就是 b、 d、 a、 c 长度都是一样的。那你说这 abcd 到底是个啥呀？没错，正四面体。 所以这个绿色侧面 a、 c、 d 是 个等边三角形，中线 c、 n 长度为根号三。 再看这个终结面， amd a、 m 也是根号三， nq， 它又是中位线，长度为底边的一半。 最后看底面 bcd 点， q 是 中点，非常典型的等边三角形， cq 等于根号三。像这样咱们便算出了最后 等会儿点， q 是 m、 d 的 中点 哦，等边三角形中线上的中点，它不是几何中心， 终点，在更加靠上的位置标定长度，再由勾股定律可以算出真正的 c q 大 小等于二分之。根号奇。放回原本的三 d 视角中， 三边长度都有，再想求 c 塔，咱们只看黄色的三角形， 那么现在聪明的你知道应该怎么求了吗？ cosine theta 余弦定里等于三分之二，作为本题答案。 接着进入第二部分，这是一条线，这是一个面，交点为 t， 他 说要求线和面的夹角，线面夹角，咱们引入实物平面， 当我们把组合体视角压缩到合适位置的时候，这个线面夹角特别的直观， 但是具体咋求呢？思考一下，你看呀，在线上随便取个点 n， 向平面引一条垂线，垂足为 r， 那 么在这个黄色直角三角形 ntr 中， 线面夹角 c 塔特别的好求。所以啊，咱们以后尤其是在小题中看到线面夹角的时候，就在线上随便取个点 n 向平面引一条垂线， n r 垂直蓝色平面，也就垂直于蓝色底边，再标记好线面夹角 c 塔， 最后只用在黄色的 ntr 中标定长度，这个 c 叉角就没得问题了。就比如这样一道题，在正方题中要求蓝色平面和黄色直线的夹角，怎么操作嘞？ 没错，在线上随便找个点，比如 a 向平面引一条垂线，垂足是 q， 构成直角三角形，角 a， d， e， q 等于 c， 它正好对应这个线面夹角的大小。咱们聚焦黄色三角形，题目不给长度，咱们就设它的棱长等于二， 那么 a、 q 和 d， e、 q 都不难求。而在这个黄色直角三角形中 c， 它角的正切值便等于根号六分之根号二，三分之根号三。选择 b 选项。 并且呀，这个辅助线的做法不是什么邪修秒杀，就是最最简单纯粹的基本定义。咱们最后看这样一个正四面体 p 杠， a， b、 c、 d 为中点，要求黄线 b、 d 和蓝色平面的夹角。聪明的你一定有了想法，在线上随便取个点，比如 d 向平面引一条垂线 d q 垂直蓝色平面，也就垂直蓝色底边构成直角三角形，线面夹角正是 d b q。 再来聚焦黄色的直角三角形，棱长随便射绿色侧面 b p a 中 b、 d 作为等边三角形的中线，等于根号三。但是要求余弦的话，这个 b、 q 应该咋算呢？我发现呀，点 d 投影到底面是 q， 点 p 投影到底面是 n， 这个 n 呢，他才是正儿八经的几何中心。点 q 是 a n 的 终点，这里要千万注意 n 和 q 的 位置，咱给它铺平， 边长为二， a， n 就是 边长，除以根号三 q， 它又是中点 a q 取一半长度， 这个 b、 a、 q 正好三十度角。所以啊，在这个蓝色三角形 b、 a、 q 中， cosine 三十度，利用余弦定力，等于二分之根号三， b、 q 的 长度，可以很快算出等于根号三分之根号七。 再回到三 d 视角， b q 等于根号三分之根号七。那这个 cosine c 塔，咱们只看黄色的直角三角形 cosine c 塔便是三分之根号七。 那么以上内容便是线面角的求解方法。在视频的最后，咱们就线线角和线面角各选定了一道强化练习，供各位同学巩固提升。这是第一道题，这是第二道。
6.4万加数
23:29查看AI文稿AI文稿哈喽同学们，立体几何不用愁，题型套路全知透，巧筹以盼的计算问题来啦，这个视频我们要学习的是空间中的角度问题，融合平行垂直关系是立体几何综合题的核心考点， 不管是利用传统几何法还是空间向量法，都是高考的高频考点。当然观看视频肯定不够披星的，我为大家准备了配套练习后专题，一个视频带你理清如何利用传统几何法解角度。 接下来让我们开始吧。哈喽同学们，我们来讲一下如何利用几何法去求立体几何当中的角度问题。那在这里呢，首先要知道我们常见的有哪些，常见的，比如说像一面直线所呈角线面角还有二面角，那我们逐一来看一下。首先先来看一面直线所呈角， 那我们说涉及到这种角度问题啊，首先你要先确定它对应的这个取值范围，比如说一面直线所乘角，我们对应的取值范围呢，应该是零到二分之八就零到九十度，但是这里有一个点要去注意，就是它的开 b 区间，我们是怎么去取的？那如果是一面直线所乘角，一定要注意，这里我们是左开右 b， 那 如果说是这个两直线所乘角，那这个时候我们对应的都是 b 区间，为什么这里会有一个区别？这个就涉及到我们一面直线的一个概念， 意面直线的概念，我们说是要满足，既不平行也不相交，所以你会发现啊，我们意面直线不能满足平行，但是如果说你两条意面直线加角为零，那这个时候也就意味着这两条直线是平行的，所以他才是开区间啊，这个地方稍微注意一下，注意一个区分啊就可以了。 那接下来我们来讲一下，一面直线锁成角怎么去求。我们说一面直线锁成角，利用几何法的话，主要就是平移平移至它们两条线在同一个平面上，只不过说我们一般来做的时候，可能大部分情况下都平移至它们相交即可啊，所以这个时候我们一面直线 锁成角，它对应求的方法就是平移至相交，那接下来平移至相交，我们只需要去把 这个两个直线所在的这个三角形啊，在这个三角形当中，我们去解三角形，对应的去解这个角就可以了，可以是利用正弦定米啊，余弦定米啊，都可以把各个边线段给它解出来。好，这是我们一面直线所乘角，然后接下来呢我们再来看线面所乘角， 也就是我们对应的角线面角线面角的话呢，也是一样，要知道它的一个取值范围，它同样也是零到二分之派，但这个时候它就是同时取 b 区间就可以了。因为我们说直线和平面所成角如果是零的话，代表什么呢？直线在平面内，那如果是二分之派，代表直线和平面垂直， 那这个时候我们对应的线面角一定不可能是这个钝角啊，稍微注意一下就可以了。那我们线面角怎么去计算呢？比如说我们现在这里有一个 平面 alpha， 然后呢有一条线，比如说这个是 p， 这个是 a 啊，我们从线上找两个点，那此时我们要算 p a 和底面 alpha 所形成的夹角，那我们说定义法是什么呢？定义就是你过直线上一个点，向平面做垂直过，比如说过 p 做一个垂直下来，垂直为 o 连接 a o， 那 这个时候我们所对应的线面角就是角 p a o 啊，所以这个是我们算线面角的一个办法。那这但是这个方法会有一个限制，就是我们必须是不是得 知道这个三角形 p a o 的 一些条件，比如说你要知道线段长，我才能去算这个加角，对吧？所以这呢就会涉及到我们必须需要去知道 p o 或者 a o 之间的任意一个，然后我们才能去直接去解，那如果说我两个都解不出来，也就是说我这个时候垂足的位置不确定怎么办？那这个地方又涉及到我们之我们在之后距离里面会讲的一个方法，叫利用等体积法去求点到面的距离。 等体积法是一个什么意思？这个我们先简单来说一下，等体积法呢？是我们往往在三轮锥当中啊会用到的一个呃，方法，就是利用三轮锥当中的这个顶点轮换去解点到面的距离。比如说我们现在这里有一个三轮锥， 还是 p 杠 a b c， 那 我们正常来讲，我们说对于三棱锥而言，底面是一个三角形，而你发现它所有的侧面，包括底面都是三角形，那也就意味着我以哪一个面为底面是不是都可以，对吧？也就意味着它顶点也是可以去做轮换的。所以这个时候我想比如说算 a 到面 p b c 的 距离， 我就可以看成是以 a 为顶点， p b c 为底面的三轮锥，它同时这个体积我也可以看成是以 p 为顶点，以底面 a、 b、 c 为底面的一个三。呃，这个三轮锥两个方法，我可以把三轮锥的体积解出来，那这个时候 所有的是所有的这个呃值，你解出来之后，唯一的变量只有 a 到 p、 b、 c 的 距离是不确定的。其也就是说以 a 为顶点的时候，这个对应的高啊 确定，那你一个方程一定是能把高解出来的，所以这也就涉及到啊，这么一个区别，能确定垂足，直接解三角形即可。如果不确定垂足，那我们可以利用等体积法去求线段长度。好，然后接下来最后一个二面角。 二面角的话呢，这个时候也是一样啊，要注意它的一个取值范围， c 塔对应的应该是零到派的 b 区间，那会想为什么二面角的时候，我们想过它的定义，它并不是两个平面所成角， 两平面所成角和它是有区别的啊，两平面所成角它对应的范围就应该是零到二分之派了。 加角这个时候是零到二分之派。为什么会有这么一个区别？是因为二面角我们给的定义是什么？它是两个半平面 所形成的夹角，什么叫做半平面？就是我们正常来讲，面应该是无限延伸的，对不对？但是呢，我们在这里算二面角的时候，我这个面不无限延伸，我只到这个交线为止。比如说像这里，我正常来讲，面应该继续往下，然后呢，这边还有一个面， 它也可以往左往右，但是对二面角而言，到交线为止，到这就没有了啊，所以这个地方稍微去注意一下概念上的一个区分。好，然后接下来我们来讲一下怎么去算这个二面角。那我们说二面角它对应的定义法是在两平面内分别去做交线的垂线，比如说这是 a 面，这是 beta 面， 在两平面内分别去做交线垂线。一个是比如说这个是 a o， 然后呢？这个这边呢是 b 能满足 a o 垂直于交线 l， 然后 b o 垂直于交线 l， 那 这个时候我们就可以说角 a o b 就是 我们要求的二面角，所以第一个方法是做两垂直， 但是做两垂直这个时候我们要尽量去保证看呃满足它的这个垂足是重合的， 如果说你的垂足不重合怎么办？那就转换成了，我可以去呃，相当于算是两个一面直线所成角，所以这个时候若垂足不重合，则去平移，平移至它们重合即可。 好，这个是我们第一个方法做两垂直。那除此之外，我除了做两垂直，我还可以怎么做呢？假如说有一个面内，我就是这个垂直，我就是不好确定，或者说我线段长就是不好解，那我们也有一个办法，你可以去做为单独的一个垂直，也就是我在这个面阿法内找一个垂直 a o， 那 这个时候我就可以给等价去看成变成了 a o 这条线和底面 b 所形成的夹角。所以还有一个方法是只做一个垂直去转换成线面角的问题。 好，这也是一个处理思路啊。好，然后接下来我们对应的呢，还有就是涉及到我们的这个呃三，呃这个三垂线定理的一个应用。三垂线， 这个主主要主的是指，主要指的是什么意思呢？就是假如说我现在这里有一个面，然后呢，我现在过这个面上的任意一个点，向底面阿尔法，呃，向底面贝塔去做一个垂直，假如说这是 p， 我 做一个垂直下来垂足为 o， 那 这个时候我再过 o 向交线做一个垂直 a 点，那么角 p a o 就 一定会是我的二面角，那这个根据是什么原因？这个地方其实会涉及到一个证明，我简单来说一下，就是我们刚才说满足的条件是 p o 垂直于贝塔，然后呢，满足 o a 垂直于交线 l， 那我们现在要去证明的是吗？因为我们说二面角定义应该是在两平面内分别垂直于交线，所以我们接下来要证的应该是 pa 是 垂直于 l 的， 那怎么去证？根据 po 垂直于 beta 面，所以我可以得到 po 垂直于 beta 面上任意一条直线，也就是 po 是 垂直于 oa 的， 同时 oa 又垂直于 l， 所以 我 l 和这个 po 又是有交点的，对吧？ l 和这个，呃，等一下， po 是 垂直于 oa 的 po， 是 啊，对，没问题啊，这个时候我们得到啊，这个时候我们要去给它看成是 p o 垂直于 l 会比较好看啊，给它转换成 l， 好， 那这个时候你就会发现 l 是 不是同时垂直于 o p 也垂直于 o a， 而这两条直线有交点 o 点，所以我就可以转换成 l 是 垂直于面 p o a 的， 那这个时候我们就可以去转换成可以先面垂直性质定理，我就可以得到 l 呢，是垂直于 pa 的， l 垂直于 pa 呢，我就可以满足在两平面内分别有两条垂线垂足于交线，那这两条垂线的夹角就是二面角啊，所以这也是这个性质啊，我们计算方法简单来说一下， 那接下来我们来具体看例题，比如说我们来看一下这个第一道例题，第一道例题是说在一个四轮锥当中，底面为平行边形，没有给图，那这时候我们往往要自己画图哈，然后角 d a、 b 为三分之派，然后给了一些线段比例，好，我们来画一下。 首先呢，这个地方有一个 p d 垂直于底面，所以我们可以先垂呃，先确定 p d 这一点，假如说是 d 点，然后呢，又已知了 p d 是 呃 ab 的 二分之一，所以我们的 ab 和这个 dc 可以 画长一点啊，然后这边是相等，你给它连一下， 就是我们在画图的时候尽量的去保证一点，这个比例看起来比较合理一点啊， 那比如说这个是 a， 这是 b， 这是 c， 好， 然后呢，脚踢 a、 b， 这也是三分之派，然后又已知了线段的比例，线段比例的话，那这里因为是一道小题，所以我们就可以不妨令它分别是一和二，所以我们标一下啊，比如说我们令 p d 等于一， 等于 a， d 等于一，然后呢，这个时候 a、 b 和 c、 d 就 应该是都等于二啊。好，然后接下来我们来看选项，首先 a 选项 p a 垂直于 b、 d， 像这里的话呢，我们可以从验证的角度，或者说你可以从证明的角度都可以，那比如说像这里，如果说我们从验证的角度就是如果 p a 垂直于 b、 d， 那 会发生什么对不对？那你就想 p a 是 垂直于 b、 d 的， 结合提干的条件， p d 垂直于底面，也就线面垂直，其实我们还能再推一个线线垂直，我同样是不是也可以推出来 b、 p、 d 是 垂直于 b、 d 的？ 那如果说这样都要满足，就 a 选项要成立的话，那这两个式子同时发生，我就可以推出来一个条件，就是这个时候我 b、 d 一定会垂直于面 p a、 d， 因为这也是小题，所以我没有严谨的去写这个证明的步骤啊啊，那 b、 d 如果垂直于 p a、 d 又要满足什么呢？这个时候你就会发现，哎，他要满足 b、 d 必须是垂直于 a、 d 的， 那接下来我只需要去变成验证 b、 d 是 不是垂直 a、 d， 我是 不就能确定我这个整个链路上是不是都成立？如果我正出来它确实是垂直，这个链路就是对的，那如果说证明出来它不垂直，那这个链路上的每一项应该都是错的。 所以这个地方我们接下来就验证 b、 d 和 a、 d 是 否垂直，那我怎么去验证呢？我给它放到底面中去解就可以了。比如说像这我们连接 b、 d， 已知这个角是三分之派，又已知两边一和二，那我是不是可以利用弦定力去把第三边解出来？ 或者说像这里，因为他这个边长包括角都比较特别，你会发现，哎，我这边有两倍关系，其中还有个六十度角，如果有九十度，那我就知道另一个角是不一定是三十度，所以你也可以从验证的角度去看，那这个时候如果这个地方是六十度，这个地方是三十度， 那这个时候发现，哎，这边好像确实是垂直的，对吧？正好符合这个关系啊。所以这个时候我们验证出来， b、 d 呢，确实是垂直于 a、 d 的， 所以这个时候呢，确定 b、 d 的 长度是刚好三啊。那这个时候我知道 最终符合这个条件成立，那你往后往前去推，所有的链路应该都是正确，所以 a 选项是正确的。再来看 b 选项 p b 与底面 a、 b、 c、 d 所成角，那这个就涉及到我们说线面角的一个计算方法， 我们说线面角，根据定义法是从直线上找一个点去做底面的一个垂直，然后接下来我们对应的就转换成这个 p a 这条直啊， p b 这条直线与底面我们做出来的那个投影，这两个线之间所形成的夹角。 好，那来看我们过 p 点向底面做垂直，你会发现，哎，这个垂直其实就是 p d， 对 吧？因为题目说了吗， p、 d 是 垂直于底面的，所以这个时候我们对应的这个线面角，其实就是我们的角 p b、 d。 那接下来解角 p b、 d 怎么解呢？那我们就可以给它放到一个三角形当中，对吧？我们可以放到三角形 p b、 d 的。 呃， p b、 d 当中，由于 p d 垂直于底面，所以我能确定 p d 垂直于 b、 d， 所以 它是一个直角三角形啊。在 r、 t 三角形 p b、 d 中， 那长度都是已知的，这是一，这是根号三，这是二，对吧？这都是我们标过的啊，不对，这个二标的是 b、 c、 d 啊，但 p b 你 用勾股定律也是能算的，对吧？那这个时候你对你的角 p b、 d 自然而然也就可以解了，它解出来呢，确实是六分之派啊，所以 b 选项正确。 再来看 c 选项， e 面直线 ab 与 pc 所形成的这个夹角的余弦值，那我们说 e 面直线所成角，我们要怎么做？平移，对吧？平移至相交啊，所以这个地方呢，我们可以去 把这两条线平移到同一个平面内，或者说平移是相交，那我们平移谁比较好呢？那显然你会发现，由于底面是一个平行四边形，所以我肯定是平移平行四边形更好，所以这个时候我们可以把 ab 平移至 cd 的 位置， 所以这个时候我们对应的 p c 与 ab 所形成夹角，就变成了 cd 与 p c 所形成的夹角。那我想算它们俩夹角，我就可以怎么办？我可以放到三角形 p d， c 当中，那也是一样的， p d 垂直于底面，所以 p d 垂直于 c d， 那 这个三角形它也是一个直角三角形。在 r t 三角形 p c， d 当中，已知的线段有 p d 等于一， 然后呢， c d 等于二，所以斜边我也能算，对吧？那这个时候斜边我们解出来的话，应该是 p c 等于根号五，那你接下来要算这个余弦，自然也就可以算了。所以 cosine 角 p c， d 啊，就应该等于二，比上根号五，所以解出来应该是五分之二倍根号五，所以 c 选项错误。再来看 d 选项， d 选项，这二面角呢，相对来说计算会比较复杂，这个其实用空间向量会更简单，放在这里用几何法的话呢，这个推导的步骤可能会比较麻烦，但是 我们这一次稍微讲一下思路，就是我们说二面角用定义法做，应该是在两平面内分别做交线的垂线，对不对？那这里的话，它对应的两平面应该分别是 p a b 和 p b、 c 这两个面， 那我们只需要分别去过 a、 c 两点去做 pp 的 垂足，而垂线，那这个时候你可能解出来，万一垂足不重合， 如果不重合呢？这个时候我们就把其中一个线段去做一个平移，平移之后再解三角形就可以了。那这里呢，我们简单讲一下思路，因为这个计算量可能比较大，这里呢，我把这个步骤提前写下来了，然后呢，你可以自己先尝试去做一下，然后来核对一下，看这个步骤啊是否正确。 好，然后接下来我们再来看第二道例题。第二道例题呢，相对来讲会比较简单一点，因为它这个图是正方体，比较规整，而且给了图唯一可能稍微麻烦一点，就涉及到这个动点问题，但是每个问题我们一样可以来分析。 首先来看正方体棱长为一，然后 e 呢，是这个棱 c、 d 上对应的点。首先 a 选项三轮锥 a 一 杠 ab 一 e 的 这个体积为定值。好，那首先就要回忆一下我们说三轮锥的体积怎么去进行计算，我们说三轮锥的体积公式应该是三分之一底面积再乘以高，对吧？那你会发现啊，如果说这个我们按照以 a 一 为这个顶点的话， 一点一直在运动，所以我会发现 a、 b， e、 e 这个三角形面积在变，同时 a 到这个面的距离是不是也在变？两个变量我并不能确定，对吧？那这里考什么呢？这也就考到涉及到三轮锥，你要注一定要记住一个点，它是可以轮换顶点，轮换顶点也就涉及到等体积， 所以看似让我们去算 a 一 杠 a b e 的 这个体积，我实际上可以去给它转换。转换成什么呢？转换成以 e 为顶点，为什么以 e 为顶点？因为以 e 为顶点，这个时候你的底面是谁？是 a a， 呃，这个 a a 一 b 一， 对吧？那这个时候我能保证它的底面是一个固定的三角形，也就是相当于我把其中一个量定下来了，唯一的变量只是点到面的距离啊，所以这个地方我们去给它转换，转换成 v e 杠 a e a b 一。 那这个时候我可以确定的是 a 一 a b 一， 这个底面积是定值，那接下来我只需要去验证一点到这个面的距离是不是为定值就可以了，那这个我们会发现它显示一个定值，为什么呢？是因为这个时候我能确定 c d 是 平行于面， a a 一 b 一 b 的， 这个的话你可以直接去根据这个呃线面平行的判定定领角去正因为 c、 d 是 平行于 a b e 嘛啊？所以线面平行，线面平行，它就会涉及到一个结论，线上的任意一个点到面上的距离均相等，所以这里我可以确定 点到面的距离为定值，顶面面积也是定值，所以这个三棱锥的体积一定是一个定值，所以这个地方涉及到一个转换，所以 a 选项正确。再来看 b 选项 e b 一 垂直于 a d 一， 那也是一样。我们的处理思路，你可以选择是去呃这个检验它是否正确，或者说你可以考虑我直接怎么去正， 那像这里呢？ e、 b 一 和 a、 d 一 的这个垂直，我们可以把这个线画出来啊，这个是 a、 d 一， 这个是 e、 b 一。 好，那他俩垂直怎么去看呢？那这个时候我们会想，由于 e 是 一个动点，所以我直接观察肯定不好观察，所以这个时候我们要把这个动点去转换成一个定 固定的一个直线或者一个面的问题。那显然 e 是 动点，我没办法找到定直线，但是我可以确定 b、 e、 e 这个线是不是一定会在一个固定的平面内，它一定会在以 b、 e 和 c、 d 这两这三个点构成的平面内，所以也就是 e、 b、 e 在 面 b 一、 c、 d 上。好，那接下来我是不是只要证明 a、 d 一 垂直于这个面，我就能确定 a、 d 一定垂直于面对任意一条直线，显然就一定会垂直于 b 一。 好，那接下来怎么去证明 a、 d 一 垂直于这个面？那我们对应的你可以把这个面做一个延展，对吧？因为这个面我们目前的话画出来应该是这么一个面啊。 b 一 c、 e、 c、 d， 那 这个时候显然这个面我是可以给它补到 a、 e、 b、 e 上，所以这个面和 a、 e、 b、 e、 c、 d 它是同一个面，所以接下来就变成了即 证明 a、 d、 e 垂直面 a、 e、 b、 e、 c、 d， 那 这个好不好证？那它显然就好证了，对不对？哎，这个时候我可以去证明 a、 d、 e 呢，这个时候是垂直于，根据对角线垂直于 a、 e、 d， 那同时我再根据 a、 d 一 是垂直于这个 a、 a 一 b 一 的， 那显然我就可以得到了，对吧？那 a 一， 呃，这个 a d 一 垂直， a 一 b 一 是怎么来的？根据 a b 一 垂直于侧面得来的啊？下面垂直，所以这个地方我们能挣出来，它对应确实满足 a d 一 垂直于这个面，那它垂直面上任意直线，所以 b 选项就成立的。 再来看 c 选项，二面角 e 杠 a 一 b 一 杠 a 的 二面角的这个大小为四分之派，那还是一样的问题，这涉及到一个面的拓展等价面的一个问题。 e 杠 a 一 b 一， 那这个时候其中两个面分别是 a e b e e 和 a e b e a e 好，那这个时候这两个面所形成的这个夹角呢？我们按照之前逻辑，我们是说过两面上分别去做交线的一个垂线，对吧？但这里呢，我们为了方便去判断，所以这个面呢，我们其实是可以去给它 扩展一下的。我们这里看似是 a e b e， 但实际上我是不是可以给它延展成面 这一往下写啊？它对应的可以看成是面 a 一 b 一 c d， 因为 e 是 在 c d 上运动的嘛。那同理， a 一 b 一 a， 我 是不是也可以给它补全它的面？我其实是可以去说成 a 一 b 一 ab， 呃，准确来讲应该是 b a b a 啊，他俩这应该要有顺序，所以接下来是不是就变成解这两面所形成的夹角，那你就会发现这两面他都是一个矩形，那我要做交线，垂线其实就是两个棱，所以他这个时候交线是 a 一 b 一， 那我对应的垂线在哪呢？可以直接找这个 d a 一 和 a a 一， 那也就是这两条都是垂线，那垂线所形成的夹角就是我对应的二面角，那这两条垂线的夹角是多少？显然在正方形内，对角线和我直角边所形成夹啊，和这个正方形的边所形成夹角是四分之派啊，所以 c 选项是正确的。 在这里的最简单的办法就是你把这个面呢给他补全，补全之后你就会相对来说好看很多。再来看 d 选项， 例选项问，存在某个点 e， 使得 a e 与底面所形成夹角为六十度。好，首先我们先不管 e 点到底在哪个位置，我们说对于线面角你要去处理，我们说是过线上一点向底面做垂直，对吧？那这个时候 e 呢？是在底面上， 所以我们选择从 a 一 向底面做垂直，那这个时候我就会发现我过 a 一 向底面做垂直，其实就是 a e a， 所以 我们现在要求的角其实就是哪个角，就是角 a e e a 这个角，所以这个时候啊，它对应的所乘角角 a e e a， 那这个时候由于 e 在 运动，所以你接下来是不是可以去求临界的情况？比如说当 e 点在 d 点的时候，这个时候就变成了我们刚才讲的正方形的对角线和正方形的边数形成夹角，这个时候临界值是四分之派。 然后接下来你就想当我的 e 离它越来越远，也就是越来越靠近 c 的 时候，我们模拟一下这个画画法，或者说你可以多画几个情况来找一下规律，你会发现这个角加角是不是只会越来越小？所以这个时候我们对应的你会发现啊，它在 d 点的时候应该取到加角最大，在 c 点的时候取到加角最小，那在 c 点加角最小是多少呢？我们也可以算一下啊，我把这个给它挪过来一点。 好，那这个时候我们只需要去解线段长就可以了。对于 a c 来讲呢，是根号二，然后这边是一，这边是根号三，所以这个时候这个夹角你就能解了，对吧？这个夹角对应的是正切值的话，应该是 二分之根号二，具体的这个角是不是一个特殊角啊？所以我们不用表示，但我知道这个角是不一定比四分之 pi 小， 而四分之 pi 是 不是显得又比六十度小？我最大都小于六十度，也就意味着我不可能取到六十度，所以 d 选项是错误的，所以这道题答案应该选 abc。 那所以这就是我们借着这两道例题呢，就相当于把我们角度问题一些比较常见的处理，我们都稍微来说一下。但是像做这种题呢，最主要肯定还是要去结合图像，通过大量的练习，你才能去巩固这些方法。
190张张讲数学
13:57查看AI文稿AI文稿今天我们继续来学习在力劈几何中怎么样求解多面体体积。那么在上讲中呢，我们主要见识了割补法，怎么样帮助我们求解比较复杂的多面体。 我们说但凡是遇到比较简单的多面体，比如说三棱锥，四棱锥，或者说三棱柱，四棱柱，哎，类似这种比较规律的，我们往往可以使用公式法一步到位， 但是呢，如果遇到比较复杂的，那这个时候往往需要把它割开或者补齐，通过变形呢，把它变成我们熟悉的样子，那么把它变成熟悉的样子之后呢，我们再使用公式法对它进行逐一击破就可以了。那么今天呢，我们要讲的是怎么通过比例转换来求解多面体体积。那么以这道题为例啊，我们来见识一下， 比如说给了一个三棱锥 a、 b、 c、 d， 那 a、 b、 c、 d， 这是大三棱锥，其中点 e、 点 f、 点 g 呢？分别是它们各自所在边上的比例点。现在求啥呢？ 求大三棱锥比上小三棱锥，哎，求 a、 b、 c、 d 这个三棱锥比上谁呢？比上 e、 b、 f、 g 这个小三棱锥，哎，体积比是多少？ 那么如果说要求体积比，这里给了很多比例点，对吧？但是你发现呢，没有办法直接派上用场，为啥呢？因为要求体积还是要回归到底和高上，对吧？所以说呢，哎，我就先看这个大三棱锥，对吧， a、 b， c、 d， 我 选择 b， c、 d 这个面做底，那么它所定的高呢？是不是也就是 a， o 啊？ 我想办法把 a o 表示出来。好，那先把体积写一下，这个大三棱锥体积呢，是不就是三分之一底乘高，非常简单， 那么小三棱锥呢，在这里它的高呢，是不同样，我可以选择谁啊？选择这条 e， m 过 e 做垂线，那么底呢，相应的也就是这个底，那么把它的体积表示一下，也就是三分之一的底，乘高好写成这个样子，那么我们这么写的好处是啥呢？就是为了让它的比例关系啊，在一个三角形里面， 比如说我们先来看高，对吧？高的话呢，一条在这里，哎，一条在这里，那么他俩怎么样放进相似三角形里呢？是不是很简单呀？对吧？可以直接放进这个 a 字相似里面， 所以说你发现，哎，点 e， 把这一段分割了，是不同样的，这一段和这一段之间也存在相同的比例关系，我们把它写出来，首先呢，哎，这一段如果是 a 的 话，这一段呢，就是 x 倍的 a， 这是题目中给的条件，所以说呢，这一段和这段之间也存在 x 的 比例关系，两个三棱锥之间的高呢，哎，就建立联系了，对吧？它俩都可以通过 h 来表示。那好，那么别急，我们还要去看一下底面，首先大三棱锥的底面呢，是这个底， 小三棱锥底面呢，是这个底，这两个底之间能不能互相表示一下呢？是不是也可以啊？那么你发现比例关系呢，主要是集中在哪两段？是不是集中在这一段和这一段，以及这一段和这一段，对吧？所以说我们知道邻边比它们还都是共角的， 所以说我就可以围绕这个角去分别表示两个三角形的面积，对吧？那首先呢，来看一下这段，如果是 b， 好， 根据题目条件，这段呢，是不是也就是 y 倍的 b 啊？把它写出来，那这段如果是 c 的 话呢，这段呢，是不是也就是 z 倍的 c？ 那 么大三棱锥的体积是不是就能表示成这个样子？那么首先是底面二分之一，二分之一，对吧？乘上谁呢？乘上 y 倍的 b， 乘上这一段，乘上这一段，再乘上夹角的正弦值，没问题吧？ 好，那么我们再来看小三棱锥，也就等于三分之一乘上它，再乘高，完了，这段呢，就是二分之一乘上这一段，再乘上这一段，再乘上加角的正弦值，哎，没问题，那么两个三棱锥都有了，直接除一下，对吧？既然是要求比值，好，他俩比一下， 三分之一和三分之一约掉了二分之一，二分之一约掉了 y 倍的 b 和 b 啊，约掉一个 b， z 倍的 c 和 c 啊，约掉一个 c， 那 么两个夹角正弦值呢，也都约掉了，还有两个 h 之间是不是也可以约掉？所以说约完之后呢，我是不是只保留了唯独三个红色的字母，也就是 x y z 相乘啊， 对吧？所以说呢，我们最终答案就是 x 乘 y 乘 z， 对 吧？就是三个比例。那么这块就能得出一个结论，也就是三棱锥啊，在三棱锥中，我这个体积比呢，是不是就等于什么冷场比的积？ 那这个结论呢，如果下次再遇到，就可以直接去套用了。在搞清楚例题之后呢，我们再来看一下在实际做题中，哎，如果说遇到了这种同底同高的三棱柱，或者说三棱锥，那么体积一般是怎么转化的？那么首先我们来看第一张图， 第一张图呢，这里给出一个 a 一 b 一 c 一， 以它为上底， a b c 为下底的一个什么三棱锥，那么在其中呢，又出现这样一个三棱锥，首先两个人的关系是什么呢？是不是你会发现底和高都是相同的呀？对吧？那么在同底同高的情况下，那么锥的体积就是柱的三分之一啊，这块我们直接通过体积公式 就可以推导出来。那么再来看第二张图，第二张图在第一张图的基础上做了些小改动，对吧？底还是那个底，但是的话呢，高的话呢，变成了这一块，那么由于我们根据比例关系啊，我就可以找出 这块这个小三角形呢，和外围的大三角形哎，他俩是啥呀？在这里是不是组建了一组 a 字相似呀？所以说相似比呢，我也知道，正好是不是就是三比一啊，那么这段长度呢，也就是高的多少呀？原本高的三分之一，所以说，那么这个小三菱锥哎，他的体积是多少呢？ 是不是也就是在原先的基础上，再乘上三分之一，也就是九分之一的 v 零？那么再来看第三张图，第三张图又在第二张图上做了一些改变，这次动的不是高，而是谁呢？而是底。 底的话呢，被这块的比例段分割成了二比一的两段，我们只保留了右边这半段，舍弃了左边这半段，那么来看一下底面面积变为了原先的多少呀？那有的情况下相体积的哎，不仅仅是高，还需要什么？ 还需要看底。搞清楚了比例关系怎么样影响立方体体积之后呢，我们一起来看几道立体感受一下。那么在开始之前呢，我们还是要强调一下，首先比例关系它主要影响哪里？它主要影响的是立方体的 底和高两个元素。所以说在做题中呢，但凡是遇到比例关系在结合体积的问题，我们的注意力呢，永远是要落在底面积和高这两个关键因素上，但是底面积和高往往只能帮助我们解决，比如说啊，三棱锥，四棱锥，或者说三棱柱， 类似这种比较规则的立方体，但凡是遇到不规则的，这里还需要回到割补法，对吧？把它割开或者补齐，把它变成我们所熟知的立方体再去求解。那么我们一起来看一下这道例题。这里呢，首先给了一个大三棱锥是 a、 b、 c、 d， 以它们四个为顶点，那么体积 为十，这里又说了 a、 e 等于五分之三倍的 a、 b， 这条边上呢，点 e 是 做了比例点，那么点 f 呢？在这里又做了一个靠近点 c 的 三等分点，点 j 呢，为靠近点 a 的 什么四等分点？问后面这个多面体的体积是多少？注意了，他问的可不是上面这个小三棱锥，他问的是啥？是除去小三棱锥之后呢， 所剩下的由这三个端点，再结合底面的三个端点组成的多面体体积。那么这一块呢？哎，我是不是只需要把上面的小三棱锥算出来，再拿总体减去它就可以了，因为你发现这个东西好像是啥 共顶点的三棱锥可以干嘛？可以直接拿棱长之比去算体积比，和刚才的那道例题是一模一样。所以说呢，我就分别把三条棱 a、 e， 长度呢是总长的五分之三，所以五分之三再乘上多少呢？ a、 f 做了 a、 c 的 三分之二，再乘上三分之二，那么点 g 呢？又做了它所在边上的四等分点，再乘上四分之一，三者相乘，这里乘出来呢，是不是就是十分之一啊？对吧？那么总体积为十，上面的小三棱锥体积也就是多少呢？十乘上十分之一，也就等于一， 那么下面剩余的部分是不是也就是十减去一，那么答案呢？就为九啊，非常简单。那我们来看这道二六年的山西省校级一摸。那么这道题呢，首先给了个正三棱锥，它是分别以点 a、 点 b、 点 c、 点 d 这四个端点为顶点，那么棱长为四。 现在又说了，在每一条的棱的中点都把它找出来。我们先来讲正三棱锥，三棱锥它有几条边，是不是一共有六条棱啊？对吧？那么每一条棱都找到中点连接之后呢，就能得到中间这样一坨蓝色的立方体，那么问题就是 它的体积到底是多少呢？那么在开始之前呢，我先问大家一个问题，中间这个立方体，它到底是个几面体啊？对吧？因为光是这么画的话呢，其实你感觉这个东西看起来好复杂，就已经想放弃了，所以说我们拿到一个立方体，特别是一个复杂的立方体，那么一定先要对它的面进行一个分析，那其实本质上呢，它是个八面体 哎，怎么看的呢？我们就可以把 e、 h、 g、 f 中间这个面拼在一起，那么就是中间这个八面体了，好吧， 那么首先我们面对这样一个不太好直接求体积的立方体，那么第一个想法呢，一定是能不能尝试去割补，那么我发现点 p、 点 e、 点 h， 每个点都是中点，那么我们想一下三棱锥的棱长乘比例，那么棱长比相乘是不是就等于体积比啊？ 对吧？所以说呢，我就想到，哎，我既然不能直接求它，那能不能把剩余的这些三棱锥分别体积求出来，比如说 以这个 p、 e、 h， 它为底面，那么再结合点 a， 这个三棱锥是不能求啊，那么除了它之外呢，这个以黄色面为底面，再结合点 b 是 不是也能求啊？对吧？毕竟这三个端点是不同样也都是中点，除了它之外呢，这个红色为底面，再结合点 c 是 不是也能求？灰色为底面，再结合点 d， 同样也能求，而且它们体积呢，是不是都是完全相同的呀？我们来写一下，首先呢，我们要求的 v 是 不是也就等于大的三等锥，再减去四份的这个小三等锥啊？因为你发现分析之后呢，这四个小三等锥体积都是完全相同的，那么之后呢，我们借助比例是不是也就是八分之一倍的大三等锥，对吧？因为它的 三条棱，那么这条棱是总长的二分之一，它也是总长二分之一，它也是总长二分之一，三个二分之一相乘，是不是也就是八分之一？那么再乘上前面啊，我们一共有四个三棱锥，所以说最终算出来呢， 是不是也就是整个大三棱锥体积的二分之一？好，那么对于一个正三棱锥来说，我知道它的棱长情况下，我知道棱长为四，想求它的体积，是不是非常好求啊？那这块具体计算呢，咱们就不算了，对吧？我知道大三棱锥体积是多少， 体积是三分之十六倍根二，那么小三棱锥啊，我们最终需要算的这个八面体体积就是它的一半，也就是三分之八倍的根号二，我们刚讲的是通过补， 那么有没有办法通过割来做呢？也可以，那首先呢，刚刚我们已经分析了整体这个八面体呢，它本质上是啥？两个四棱锥这样共底拼在一起的，那我是不是就可以把它分别拆成两个四棱锥来算了？那么既然八面体我没有什么体积公式， 但是四棱锥我总是有的，对吧？我就把单独一边拿出来来看一下这个四棱锥，那么这个四棱锥的话呢，你发现想直接求好像还是不太好求，所以说呢，我就把它从底边分开，分开变成啥呢？变成三棱锥，这个红色三棱锥的体积是不是也就整个正八面体的多少四分之一嘛？对吧？我只要能把它求出来， 最后再乘以四是不就可以了？那么三棱锥体积，如果说你想要以它为底，那你再去找高的情况下呢，你就发现还是不太好找，而且呢，这个底面面积到底是多少也不清楚。所以说呢，这种情况下呢，我们在选择底面和高的时候，尽可能的选择和原先的立方体存在共面，这种情况， 对吧？或者说呢，存在横竖面，选择横竖面，那么我就发现这个面好像可以啊，对吧？这个面如果做底的话呢，它本身哎， p f e 它怎么样？ 它和 abc 是 共面的，那么共面的话，好呀，共面是不是就可以通过比例来转换它了呀？对吧？那么我们现在要干嘛？要去再找一下高嘛，对吧？要找高的话呢？哎，我就分别过点 h 做一条高，再过点 d 做一下高，来看一下它和原先的立方体这个高的比到底是多少，那么连接下点 a 啊，由于这里是中点，所以说呢，这条高的长度是不是也就是它的二分之一啊？对吧？那么高有了高是多少？高是二分之一， 那么再来看一下底面积，底面积的话呢，这个底面积它是总的底面积， abc 的 多少呀？是不是因为三点都是中点呀？对吧？所以说它和它和它和它 四个面积都是相同的，所以说就是多少就是四分之一，对吧？再乘上四分之一，所以说呢，你就算出来这个三棱锥，它的体积是不是就是原先的大三棱锥 abc 的 多少呀？是不是也就是八分之一，对吧？那么它又是我们要求的最终的这个正八面体的多少？ 四分之一，所以说在八分之一的基础上呢，再乘上四，那么它的体积呢，是不是就是整个大三棱锥 a、 b、 c、 d 的 二分之一来，同样也能算出来体积比，对吧？那么最后呢，算一下也是能得出正确答案的， 哎，没有问题，那么这块还有第三种方法啊，我们再简单描述一下，那么这块呢，就涉及到对正八面体的一个认识了，对吧？这个东西到底是咋来的呢？ 这块需要把刚才的三棱锥，特别是正三棱锥放到哪里去？放到我们的正方体里去，正方体里去呢，分别找到什么 对角线的中点去连接它，那么就能得到这样一个正八面，如果说我把它放在这里其实非常明了了，我是不是可以直接把它看作是以这个面为底的一个四棱锥和下面这样一个以它为底的四棱锥啊，对吧？那 那么底面积和高我都能直接一步到位。那么这块首先我知道棱长是四， ab 长度是四，所以说呢，这个东西的面积你如果直接看不出来的话，是不是可以把它通过平移移动到上底面上去，对吧？这里是中点，所以说找到它的中点，所以说找到它的中点连接啊，这里是中点，找到它的中点连接， 这里是中点，找到它的中点再连接。是不是这个东西的面积和这个东西的面积是完全相同的呀？那么咱们求它就是在求底面积，对吧？底面积好， 那么现在既然知道对角线长度是四，所以说这段呢就是二倍，根二，这段呢就是根号二，那么这段呢，长度是不是就是二呀？所以说底面积呢，也就是二乘二，也就是四， 对吧？ s 底呢就等于四，好，再来看一下高，高的话呢就更好求了，对吧？高的话是不是就是这一段，也就是咱们正方体的边长吗？那刚刚边长呢？是不是已经算了，就是二倍根二， 这一段和这一段是完全相等的，所以说 h 呢，就等于二倍根号二，好，有了底，有了高，再乘上三分之一，哎，是不是算出来呢，就等于三分之八倍的根号二， 同样也能非常快速把它解决。那么关于我们的比例怎么样转化体积，我们今天就讲到这里啊，感谢大家观看。
79昊哥跃动数学
05:25查看AI文稿AI文稿好的同学们，今天我们来看一下，嗯，空间立体几何中求点到平面的距离如何去做？我们以这道题为例来大家一起读一下题。 已知 e、 f 分 别是正方形 a、 b、 c、 d， a、 d 和 ab 的 中点 e、 f 交 ac 于点 p， g、 c 垂直于平面 abcd。 那第一问我要证的是什么呢？是 e、 f 垂直于这个平面 g、 p、 c， 我 们证的是线面垂直，那线面垂直。根据线面垂直的定律的话，我们应该是在这个面内找两条相交直线分别和 e、 f 垂直就可以了。 那这我们来看一下，哪两条直线应该是与它垂直的呢？首先 g、 c 肯定是与 e、 f 垂直的，这个很容易找到。另一条的话，是不是这个对角线 d、 b 与 a、 c 是 垂直的？因为 e、 f 是 a d、 a、 b 的 中点嘛，所以说这个时候那 e、 f 就 平行于 d、 b， 所以 说 e、 f 也是垂直 a、 c 的， 那这样我们就把两条相交直线找到了。然后我们来看一下具体的过程应该是怎么去写。首先是因为 g、 c 是 垂直于平面 abcd 的。 二、写上这个 e、 f 包含于平面 a、 b、 c、 d， 这句话我们是不能漏掉的，漏掉的话是会被扣分。所以说这个时候我们的 g、 c 就 垂直于 e、 f 了。 又因为 e、 f 分 别为 ab、 ad 中点， 嗯，所以说 ef 那 就平行于 d、 b， 又因为这个 a、 b、 c、 d 是 为正方形， 所以 a、 c 是 垂直于 d、 b 的。 那么所以我们就可以得出这个 e、 f 也是垂直于 a、 c 的， 因为 a、 c 是 交集 c 于点 c， 同时写上 a、 c， g， c 是 包含于平面 g、 p、 c 啊，所以这个时候我们就能得出 e、 f 是 垂直于平面 g、 p、 c 的。 好，我们接下来看一下第二问是怎么去做。那第二问的话，它是告诉了你 ab 的 长度等于四， g、 c 的 长度是二。 也就这时候让我们去求的是什么？点 b 到平面 e、 f、 g 的 距离。那这个时候我们来看一下，分析一下。这道题的话， 我们临时选择用间隙的方法来做这道题是比较好间隙的，所以说我们直接用间隙的方法做就可以了。那我以 c 点间隙，以 c、 d 为 x 轴嘛，以 c、 b 为 y 轴， 以 g、 c 为内轴间隙就可以了。好，这是我们把他们的需要的坐标斜线，那我们要求的是点 b 到平面 e、 f、 g 的 距离。所以说我们首先要把这个平面 e、 f、 g 的 法向量取出来，让我们来看一下， f 的 坐标的话，应该是四二零， e 的 坐标应该是二四零，然后 g 的 坐标是零零二， 同时我们还需要一个点 b 的 坐标，点 b 的 坐标的话是零四零。好，这时候我们来看一下， e、 f 向量就应该等于二负二零，同时这个 g、 e 向量就应该是二四负二。 ok， 我 们这时候去设平面 e、 f、 g 法向量 为 m 向量，那它的横轴坐标分别是 x、 y、 z， 这是 m 向量。是不是点乘上这个 e、 f 向量就应该等于零，同时这个 m 向量点乘上 g 一 向量，它应该也是等于零的。那这时候我们列式看一看，这个时候是得到二 x 减去二 y 等于零，二 x 加上一个四 y 减去二 z 是 等于零的。好，这时候我们令 x 等于一，就可以解出这个 m 向量等于一一三， 看出平面 e、 f、 g 的 法向量之后，我们就把 b 一 向量同时也写出来，那 b 一 向量的话应该是二 零零的。好，那根据点到平面的距离公式， d 就 应该等于的是 b 一 向量，点成一个 m 向量的绝对值，除以一个 m 向量的摩擦， 这样一代数一算就是上面是二，然后下边的话应该是根号十一，所以这就应该等于十一分之二倍根号十一， 这就是我们今天间隙的方法，求点到平面的距离。好，后续如果大家还有什么想听的或者有疑惑的地方，我们可以在评论区留言。
08:05查看AI文稿AI文稿立地几何一点都不难，题型非常固定，第一位永远就是平行或垂直，第二位永远就是一个夹角问题。但是立地几何为什么拿不到满分？原因就是里边有一些难的点。像这种结面问题，往往处在选择或填空题的最后一题 作为一个压轴题存在。既然郑老师利用三分的时间带同学们理解一下结面问题该如何去考察。像这种结面问题的话，往往使用的一个方法就是扩展平面。你要像这个题，三角形 a m n， m n 是 这两个边的中点， 在这个正方体中，把这个三角形 a m n 扩出去，然后研究出它的结面。有些同学说这个 a m n 所在的结面不就是 a m n 这个三角形吗？ 其实不是，为啥呢？因为 ama 在 整个这个几何体里边，它画的并不完整，我们需要把这个三角形 ama 往外进行扩展，扩展到与六个侧面，或者六个侧面中的其中几个面有交线。哎，把那些交线都找出来，那所以结面问题的话，一定会牵扯到一个知识点，就是扩展平面问题。 那如何把这个 amn 这个三角形进行一个扩展或延展呢？方法的话，我们常见的就这两个方法。第一种方法的话就是做平行线，我们根据平行线的性质，平行线一定可以确定唯一的平面，所以我们只要过 a 点做 bc 的 平行线，这样做出来。 过 c 点做 ab 的 平行线，这样做一下。过 b 点做 ac 的 平行线，这样做一下。朋友们，看我现在画出来这个大三角形， 是不是就比刚才这个小三角形 abc 更大一些，所以你这个面大了之后扩出去的面大了之后，你和外边哈他的一个延长线，或者说他的交线是不是就出来了和其他面的交线。 所以把三角形 abc 扩展的第一个方法就是过顶点做另一组边的平行线，根据平行线性质，所以他们这些所有的点一定是在一个面里的，这些面还是一个 r 法啊，这是第一种方法， 那第二种方法的话就是什么呢？延长直线找焦点，我们想要把这个面进行延展，哎，我们可以把相应的边进行延展，哎，把 a c 往两边延一延， 那延出来一个，比如说 a 一 延出来一个 c 一， 然后呢，你把该连的连一连，就出来一个大的三角形，这个三角形变大了之后，是不是和其他面可能就会有交线了？那所以第二种方法是延长直线找焦点，而且这个焦点往往是其他一条线的一个延长线上的一个点。 我们结合这个题目，我们看一下这个题的一个做法，这个题的话，我们拿到题之后常见的方法哈，常见的方法是方法二就是做延长线，因为能做平行线的，往往这个题都比较简单，所以这个地方延长谁呢？我们看这三条边，一定记住延长 m a 延长谁呢？这个线一定要在其中的一个面上的这样的线去延长它，不要去延长，延长 am 和 an， 因为 am 和 an 在 这个立方体里边，它是在空中穿过的一条线，像这样的话，你延长直线找焦点，它往往是没有焦点的， 但是 m a 不 一样， m a 这个两点形成的这个线的话，在底面 a， e， b， e， c， e， d， e 中，所以把 m a 进行延长的话，同学们想哈，因为 m a 是 在底面上的，在底面上的，所以它延长过来之后，一定和 a e， d， e 它的延长线是相交的。 你说这地方假设出来一个 p e， 它一定是相交的，因为这两条线，这两条线都在底面上，它们都在底面上，所以这地方肯定会有一个交点。 而且这个焦点的话，同学们仔细观察，他除了在这个 m a 上，他还在 a 一 d 上，换句话说，这个 p e 呢，还在后边那个侧面上，而这个 a 点呢，是不是也在后边那个侧面上？所以导致你把 a 点和这个 p e 点把它连起来， 哎，把它连起来，把它连起来之后， a 和 p e 这两个，这个线是不是在后边那个侧面上的？而 d， e， d 是 不是也是在后边那个侧面上的？所以这个点其中就是一个焦点 啊，这个点就是其中一个焦点，这样的话，这个三角形哈，同学们仔细看哈， a， m p 这个三角形看到没有？是不是相当于把刚才 a， m a 那 个三角形进行往外扩了一部分，就是用的这样一个思想，那这样哈，把它给连起来， 把它连起来，哎，这样的话，右半部分我们的结交线就已经出来了，哎，就这么一个形状的，有没有看出来这么一个形状啊？好，那继续把 m 往左这边去延伸，同样的道理，他延过来之后，是不是应该和 a 一 b 一 的延长线会有一条交点？这个点记住啊， 片吧。哎，这个地方，那这个线的话，同学们仔细观察哈，这个点是不是在底面上的啊？他不平行，必然会相交，就一点，这个点在 a 一 b 的 延长线上，那肯定这个点是在左边这个侧面上的，而这个 a 呢，是不是也在左边这个侧面上，所以把它给连起来， 哎，是不是就可以了？这样的话，这条线和左边侧面上的 b b 一 这个点，这地方是不是有一个线，有个焦点 f 啊？这样的话就出来了，把它连起来好了，同学们，仔细观察，我现在画出来一个什么呢？本来是 a， 本来是 amn， 本来是 a m a， 把 a m n 括出来之后形成的那个三角形，就是这个三角形，就是 a p 一 p 二这个大三角形。我们仔细观察一下哈，那这个大三角形和整个立方体啊，整个正方体和长方体， 大三角形和这个长方体和正方体，它的交线的话，交面结面是不是就已经出来了？就是这个 a f m n、 e 啊？ 那这样的话，得到这个面之后，这样的话，如果说他让你求周长，或者求这个洁面的一个面积的话，那怎么去求呢？我们只要把每个长度是不是研究出来就可以了， 而这个每个长度怎么去研究？同学们，记住，主要问题是要考虑 e 点、 f 点，这几个点是几种分点，那想要求这个 e 是 几种分点，往往我们使用的方法是什么呢？需要摘取一些平面，比如说我们想要研究 e 是 几种分点，我们就得知道这个长度是多长 啊？这个长度是多长，那想要研究这是多长的话，我们把底面这个 a 一 b 一 c 一 d 一 啊，把它给摘出来。所以像这种题啊，往往还会用到一个摘取平面进行一个计算的问题哈，啊，这是 m， 这是 n， 那 所以它沿过来之后，同学们看哈，这个 p 一 点应该在什么位置？假设是个正方体，边长是二，那这样哈，这是二 啊，这个长度是不是一啊？这是一，那这样的话，这个长度应该是多少？你仔细看，这地方是不是有一个什么八字形的一个什么相似或者是全等啊？因为这两边是相等的，所以这条有个八字形的一个什么全等，那全等，这是一，这是不就一啊？ 所以这样的话，我们就找到了第一点，第一点，这个地方哈，这是一，这是二。然后仔细同学们再看这个三角形，看到没有？这个三角形， 看到没有？这个三角形和四个小三角形是不是应该是相似的？那相似比是几比几啊？这是一，这是三，所以相似比，是不是一份比三份，一份比三份，所以这个长度是二的话，这个长度是不是应该是三分之二？所以你们看啊，这个长度并不是一个终点三分之二，根据 这个长度，这个长度，利用勾股这个理，求这个边长，没问题吧？啊，这样的话，就可以把这个长度求出来了。同样道理，像这个长度呀，这个长度啊，或者 f 点是极陡分点。同学们不妨分析一下左边这个侧面，以及分析一下这个 p 二这个点的位置哈， 这个 p 二点的位置，通过 p 二点以及左边这个侧面研究出来，他是一个极陡分点。哎，这样就行了， 这是这一类问题的一个解决办法，所以同学们哈，学会了做洁面之后，有时候我们还会有时候犯一些什么的经验主义错误，或者是想当然那些错误。 比如说像这个一点，哎，做完之后有种对称性感觉，怎么感觉怎么感觉这个一点就是个终点，实际上这个一点是一个什么？是个三个分点， 但是下次这个点有可能就变成一个终点了，因为这个 m n 不 见得就是终点，他说 m n 可能是三等分点之类的。所以像这种问题，洁面问题一定要牵扯到立体几何的摘取平面。
1314郑肖老师直播号
07:06查看AI文稿AI文稿这个视频咱们接着上一个视频的内容继续往下去说，上一个视频咱们讲了立体几何当中垂直的轨迹怎么找，那么今天咱们来讲平行轨迹怎么找这个呢？比垂直那个呢要简单不少啊，但是呢，他确实也是 呃，有一个固定的一个方法的啊，如果你要是不知道的话，那可能就，嗯无从下手了啊。首先呢，我们先去讲一个知识点，叫面面平行的这个判定定律，那么看视频的你能否立刻的说出来呢 啊？面面平行是怎么判定的呢？比如说这是一个阿尔法，这是一个维特， 那么我想判定这两面平行啊，那就很简单，对吧？就是两个剪刀手啊，叫一个面内两条相交的直线，比如说 a 和 b 分 别平行于另外一个面内两条相交直线，比如说 c 和 d 啊，分别平行还得是相交直线 啊，所以其实本质上就是线线平行嘛，对吧？则对应的那两个面就平行了啊，这是面面平行的判定定律 啊。那么我们依据这个呢，咱们来看一道题，你就知道这个题是题型什么样的，以及这个是怎么找的了啊？ 比如说这样一道题，说在正方题当中冷场为一， e 是 嘚嘚一的中点点， m 是 正方形啊，所在这个平面内的一个动点，所以下个说法正确的。是啊，呃，这个我们就拿了一个 c 选项，也就是说是跟有轨迹有关的，你就看他对不对就可以了啊。 呃，他说的是跟这个，呃，让这个 b e m 平行于这平面， a e b a e b 这个面，对吧？好，大家发现了吗？这个 a e b 这个面呢？它是不是没截透啊？ 是不是就是我们学力几何里边的一个知识点的洁面的问题，对吧？就是补全洁面的问题，所以首先第一步你要把的把这个 a e b 这洁面给他补全了啊，那这个也是有固定方法的啊， 我把这个先擦一下没补全的那个，第一步你要先看两平行面上的这个刀痕，你会发现左边那个面和整个右边正方体啊，左边这面和右边这面是平行的， 所以他们上面的刀痕肯定是全形的，左边这面的刀痕呢，是面对角线，而右边这个面呢，刀痕上一个点是棱的中点，所以我利用中微线的这个逻辑，我也去找这个中点啊，加上这个点是呃 q 点， 然后这 q 点呢属于下底面，这个 b 点也属于下底面，所以这样一连的话，这就是下底面的刀痕，那么整个这个结面 a 一 b 一 就不全了， 然后他说让 b e m b e m b e 是 确定的，但是 m 呢？我不知道在哪，现在，对吧？但是我要让它平行于这个蓝色的面，那么它的逻辑就是我要利用面面平行去说明线线平行啊。那我们再回到上一个，我们再去加一个这样一个定律， 刚才呢，我们是面面平行的判定定律，那如果说我已知面面平行，它会有什么性质呢？ 啊？ r 八 r 八贝特，对吧？那有时候可能会说是老师呢，这个我再来一个。第三个界面和这两个面分别有两个交线，这俩交线平行，对吧？这确实他的一个性质。那么还有一个大家看啊，如果你这两个面是平行的话，这个面上的任何一条线，我随便画， 这样的线，是不是一定和 r 法是平行的，对吧？啊？你这个线无论在这面上怎么动，你比如说假设我以它为定点，我随便画它是不是都跟下面的 r 法平行？我们就利用这样一个逻辑去找这个动的直线所在的轨迹。 好，回到这道题，说我要让 b e m 平行于这个蓝色的面，那我是不是这样？就是我要找一个 包含 b e、 m 的 面，比如说这个面咱给它起名是 r 法，然后让 r 法平行于面 a b e， 则 b e m 是 不就是平行于面 a e b e 了？大家看是不是这个逻辑，对吧？好，找一个包含它的面，那换句话说 是就相当于是过这个 b e， 我 做一个面， r 法平行于面 a b， 对 不对？啊？那现在过 b 做一个平行于这个面啊，做一个面让它平行于这个蓝色的面。好，这就回到了刚才那个判定力，两个面如果平行，那就是剪刀手，一个面的两条相交线，分别平行于另外一个面的两条相交线。 哎，那么我们过这个相当于是过一条线，让这条线先平行于这个蓝色的这个面当中的一条线。 哎，那你观察一下哪个呢？看是不是可以平行于这个 b q 啊，对吧？这 b e 的 这个位置，所以我是不是找这个中点就可以了？假设这个中点，是啊，这个 h 可以 吧？哎，我这么一连 b e h， 它是不是平行于这个 b q， 那我再做一条线，让它再平行于蓝色的面上的一条线，是不就可以了？那过 b e 是 不好不好做了，但是你看我过 h 好 做呀，这个 e 和 q 都是这个对应的棱的终点，那我如果我找这个终点的话，利用中微线的这样的一个 知识点，是不就可以证明出这条线是平行于 q e 的， 对吧？嗯，我假设这个点是 k， 哎，你看这俩点一连，这是不就是前面这个面上的一个刀痕？所以这个红色的面是不就可以理解为是平行于那个蓝色面的？那么你这个 m 在 这个红色面上随便动 b e， m 是 不是都平行于这个面？ a e b e 啊， 对吧？然后题中又说 m 是 正方体 c d d e c e 所在这个正方形的这个这个上面的一个动点，所以是不是就相当于这个红色的面和那个正方形的一个交线，就是我们要找的那个 m 点的轨迹啊？所以最终的 h k 是 不是就是 m 的 轨迹啊？ h c k 是 一个， 呃，两个直角边是二分之一的，一个等腰直角三角形，所以斜边就是二分之高二，这个没毛病，这是对的，这是对的啊，听懂了吗？这个题他比我们上一个视频讲的垂直要简单多了，垂直其实很不好找的好吧。
31和我一起刷数学
25:55查看AI文稿AI文稿本视频时长二十六分钟，带你搞定逆题几何多球镶嵌问题，从原理出发，解决问题，讲透底层逻辑， 继续老赵讲基础系列。那今天我们要来说的叫多球镶嵌，一听这个标题，大家都觉得一点不基础， 感受是对的啊，这属于咱们球体镶嵌中比较难的，我们一起先回顾一下处理任何一个球，不管外接球，内切球，多球镶嵌，还是普通的一个球，不管有多少模型，多少公式， 回到最底层的逻辑，其实就是两件事，第一个，只要是球，你要做的第一件事就是找到他的什么球心，那么如何去找球心？老赵给大家说个原理对吧？做洁面圆形的垂线，做两个就一定能找到， 有些时候呢，做一个你可以把它设在这条线上，然后列方程去解啊，这就是最底层的第二个啊，找到球心怎么办呢？ 球体不管是要求什么，都是在求半径，那你有球心，再有球面上的点，肯定把半径能够用一个线段给描述出来，然后你要去求解线段，怎么求长度呢？ 对咱们来说用的比较多的有什么相似呀， rt 三角形呀，还有什么解三角形，其实你发现在球体中主要是 围绕 rt 三角形去建立等量关系，有些时候勾股定律，有些时候相似，都可以解决它，这就是咱们最核心的逻辑。所以说以后啊，遇到一个非你熟练的或者见过的这种跟球相关的骑行，你如果要去探索，你就记住，首先去确定一下球心在哪里， 第二个半径在哪里？第三个放在一个 rt 三角形或者两个 rt 三角形中去列方程，列相似，最后求半径就 ok 了，它绝对能解决你所遇到的所有球形问题。好了，那么接下来的话，我们就看一下今天要讲的多球相切。先看第一个例题， 说正方体内啊有两个球呢，它是与正方体的所有面都相切，那就是它的什么内切球， 然后这个小球呢？与正方体的三个面啊，叫做共顶点的三个面，那很明显这个顶点是 a 点，所以他与这个侧面还有底面还有朝着我们的这个正面，对吧？ 由这三条棱，说白了就是由这三条棱所构成的面相切，然后他与大球还相切。然后接下来要让我们求一下两个球半径的比，那么一样的一个球也好，两个球也好，只要要表示他们半径找球心， 我们说对于大的这个球球心在哪里，他一定是不管他的内切球也好，还是他的外界球也好，他都在斜对角线上。然后接下来我们就想一下这个小球要同时与这个面与底面还有这个面相切的话，那他的球心在哪里呢？ 你会发现他到三个面的距离相等结合，这个面是一个什么结合啊？这个面本身这里是一个正方体的一个角，你发现球心和 这个 a 刚好也构成了一个什么啊？正方体，所以这个球形呢？它也在起对角线上，那咱就找到了球心，找到球心肯定要把它放在一个 r t 三角形中，那 r t 的 三角形在哪里呢？当然是在一个平面里边了， 那我们看我们要找的平面是什么呀？肯定是两个球心所在的平面，那这两个球心都在哪个平面里边呢？你发现起对角线一定是在这个中间的这个结面里边，而且呢 内切球它一定和起对角线分别都是什么相切的，然后呢下边这个球啊，根据对称性，它与底面的切点也刚刚好在这个谁啊？ a c 上，所以我们要研究要放在一个 r 七三角形的核心思路呢，就是把这个结面给画出来来， 这是我们画出来的 a 一 a c c 一 这个结面，这是它的内切球下底面相切的，就是底面对角线的中点，上边也是一样，它的球心在起对角线的中点，然后这个小球在这个面里面的结面呢？球心在它上边，它与下底面的切点也在什么 对角线 a c 上，然后两个球是相切的，相切的直接连他们的球心，这样我们就找到了，找到了，然后就在这个图里边标 r， 你发现这是什么大 r， 这是什么小 r， 你 看到的 r t 三角形在哪里？在这里，然后看到这个 r t 三角形，你就看一下还有没有边长是已知的，哎， 你发现这个是小 r， 这个是大 r， 这个是小 r， 整个大 r 这一段是 r 减 r， 所以 整个三角形的斜边是什么？大二加小 r， 整个这个直角边是 r 减 r， 但是这个你标不出来，如果只知道两边，你要建立他俩之间的关系要干什么啊？ 找相似，哎，你发现这个三角形是不是和我们整个大的三角形是相似的？而假设这个棱长是 a， 那 下边对角线是根二 a， 起对角线就是根三 a， 所以这个大的直角三角形，这个直角边比斜边是多少？一比根三，那回到这个题里面，他比上他是不是也是一比根三，那他比他就等于多少根三？所以斜边比上 r 减 r 等于根三，根据相似就列出了他俩之间的关系， 然后接下来你只要去怎么样解一下就行了。来 r 加 r 等于根三， r 减根三小 r， 然后接下来我们要移项啊，大二放一边是根三减一倍的 r， 小 二放一边是根三加一倍的 r， 两个相比，那就等于什么？根三加一，比上根三减一，然后你对这个式子进行分母有理化，最后算一下它俩的比值，就是二加根三，整个就结束了。 所以说其实你看多球相切，你只要依然按照咱们处理球的核心逻辑，先确定球心在哪里，因为多球就会有多个球心。那么接下来你要想把他们的半径都放在一个线段上，放入一个三角形，就要找个平面， 所以这里的核心思路就是转化成平面问题，那么转化成平面问题，转化成哪个平面呢？就是他们球心都在的这个平面， 那对这道棋来说，他们球星都在的结面，刚好是咱们啊对角线所结出来的这个中间的一个斜结面，对吧？好了，那这个棋就讲完了，顺带我们去印证了一下，也许我们对它没有什么模型和公式的掌握，但是我们就按照最朴素的找球星 r t 就是 找平面，然后单拎出来建立什么等量关系，把它表示完，自然而然就会得到结果。那么接下来我们再通过一些棋去感受和印证 一下，接着我们继续看下一道棋，它告诉我们啊，有个三棱锥，以 p 为顶点，以 abc 为底面，而且这三条侧棱呢，两两垂直大小都等于二。看到这里我们对这个正棱锥有两个认识， 第一个如果看这个为底面的话，他一定是一个，这是一个正三角形做他的底面。然后呢，当发现两两垂直这大小都二的话，我们也知道 他本身是一个正方起以点屁这个顶点切出来的一部分。然后接下来要干什么呢？他说要求他的内切球和他外接球上两 动点连线距离的最大值。哎，那这个我们得想想，首先对于这个几何起，他的内切球应该在几何起的内部，假如这就是我画的他的什么内切球啊？这是他内切球，那么外接球在哪里呢？我们说外接球肯定在几何起的内部，所以这个内切球也肯定是在 外接球的内部。我随便画一个啊，假如这个或就是外接球，那么接下来把这个外接球啊画成立起的啊，画一个结面，画好之后，那这两个上边要有个点连线要最大。 那你想这球上选一个点，这个球面上选一个点啥时候最大呢？那么一样的，找到他俩的球心，一箭穿心，他上边的点和他上边的点要最大，肯定是这个点和这个点连线的距离是怎么样 最大的。所以想明白这一点之后，你发现，那你要求解是不是先得找到两个球星，然后看两个球星所在的这个结面中，再去求咱们要求的这个长度，这是我们对两个内涵的这两个球体之间什么时候连线距离最大的？理解 好了，那么接下来我们就要去找什么啊？球星，所以你看，只要是球的问题，最终一定是停留在找球星 球长度，那球心咋找呢？我们说有外接球这个货，因为它是一个正方起一部分，你直接看正方起的外接球就行了， 那对于正方起，它肯定球心在起对角线的中点结合点，屁是顶点，肯定用屁。第一这个起对角线，然后接下来我们要求内接球的球心，我们说这个货是个什么啊？正的三棱锥，这是它正三棱锥的底面，那它的球心一定在 点 p 到这个底面的高上，那这个高在哪呢？我们说只要对正方体足够了解，你就知道起对角线 p d， e 是 刚好垂直 abc， 这个面的刚好垂直 abc， 这是我们要积累的一个常识，如果你不清楚自己下去正一下，那我们就假设这个焦点起对角线与底面 abc 的 角点为 f， 那 pf 是 不是就已经是它的高 高了？那他内切球球心一定是不是在这条线上？所以啊，两个球心都找到了，你要求距离的话，是不是先得找个结面，那么结面依然是这两个球心所在的结面，那就是谁啊？ p d d e c 这个结面 练完之后呢？因为这里与底面这有个交点，也刚好是这个球与底面的切点，所以你把这个点在哪里得确认一下。连接 cf， 那 他一定过点 e， 他 们一定是怎么样贡献的，所以 f 其实就是起对角线于 c e 的 交点。好了，那么这接下来我们就把这个图画出来，你看 p d e c e 连线会交于点 f， 然后这个或就是刚才的测棱长度是二，这是上底面的对角线 c d e 二倍根号二， 这是起对角线二倍根号三。然后我们知道外接球的球心就在他的中间，外接球的终结面刚好是这个矩形的外接圆，然后这个半径等于多少根三，然后接下来内切球在哪里呢？我们说他球心肯定在这个高上， 它要与这一点相切，并且因为它还要跟这个面相切，它向下做垂线刚好在谁呀？ p d 上，所以它还要跟 p d 在 这里是 r， 这是 r， 所以 我们画一个结面，它应该是 o 二的圆心，它与这里相切，与这相切。好了， 接下来找到两个结面，我们也就知道一箭穿心是这条线啥时候最远呢？当一个点在这里，一个点在这的时候怎么样最远？所以我们的目标就是从 m 点到 n 点这一个距离的长度。那么接下来我们首先要看一下，根据已知条件，我们知道哪些长度呢？那么这一段 如果说大家对立方起足够清楚的话，就会知道它是整个起对角线的三分之二，那么三分之二起对角线是多少？二倍根号三，那它就是三分之四倍根号三。为啥呢？ 很简单啊，就是下边这个三角形和上边这个三角形是相似的，相似比，因为这是终点一比二，所以这也是一比二，所以他占三分之二，他占三分之一。所以说在整道题中你发现这个你是知道的三分之四倍根号三，如果在这里你再知道 内切球的半径或者直径，两个一加不就 ok 了吗？所以我们现在就聚焦于球，它的半径，只要这个 r 知道，一切都搞定 好。那怎么求呢？还是那句话，谁是 r 表示出来，放在 r 七三角，这是不是 r， 这是不是 r？ 然后在这里你要求 r， 就 得看已知条件。我们知道这个小三角形和大三角形是完全相似的，而大三角形是一比根二比 根三，所以说这里是 r， 这就是根二 r， 这就是谁啊？根三 r， 所以 我们得到了 p o， r 是 根三 r， 那 这一段长度占整个其对角线的三分之一，所以根三加一倍的 r 等于三分之二倍根根号三， 其对角线的一半。然后接下来你把根三加一除过来，分母有理化算一下， r 就 等于一减三分之根号三。我们说最大值是啥呢？ d f 是 三分之四倍根号三，再加上二 r， 就 加上二减三分之二倍根号三，所以就是二加三分之二倍根号三。搞定，所以最后的最大值就是二加三分之二倍根号三。 所以你回头看这道题好像是挺复杂的，你梳理一下我们干了几件事。第一个，首先这个 m n 啥时候最大，对吧？你要从内含的两个球上知道还是什么 一箭穿心，找到两个球星，然后穿过去找到对应的点。那要找球星是不是就得按照我们对于这个外接球、内接球的理解？所以找球星你就按照我们正常的理解找到。然后最后第三步转化成一个什么平面问题，哪个平面呢？ 就是 o 一 o 二所在的平面，然后接下来你在这个里边找到长度，你要看你要去求什么，第四步就是求半径，求半径就是 r t 三角形加上什么，能解？直接解不能解，关注相似， r t 加相似， 自然而然能够把它搞定。所以下去呢，大家把这个题里边考察到的每一个点，自己要再梳理一遍，想的清清楚楚，明明白白，那这个知识 你就彻底消化了，继续下一道，这是一道高考题，然后这道题告诉我们，有一个底面半径是四，高是九的圆柱在这个封闭，你注意这有个封闭的圆柱形容器内有两个半径相等的球，那你要放进去说明怎么样？ 它是封闭的，它不能超过盖子。其实说白了就是刚好相切的时候，让我们球放的，两个球半径的最大嘛， 你放两个小小的肯定放得下，那啥时候说最大？就是刚好切上的时候，那么接下来在这里刚开始我们可能要去想，那这两个球是咋放置的？那么最简单的就是放高是九，那我放两个大小一样的球，对吧？刚好这么竖直的落着，那此时的话，上下底面向切，他俩相切， 我们看一下那半径是多少呢？那一个半径是 r， 这个高就是多少四 r， 所以 你算出 r 可能等于多少四分之九，然后这是一种情况，但是这是不是最大的呢？我们有些小伙伴说，万一在下边是两个跟侧面都相切，这么放着呢？那一样 你跟两个侧面都相切，这个连线也是多少？四 r 四 r 等于八的话，这种情况下 r 等于二。哎，那你发现不行，所以要比较大，还是得竖直的，怎么样？放置好了，那我们假设要竖直的放置，真的把这两个这么放着的话，放得住吗？你会发现放不住。为啥？ 因为你这个球的半径只有四分之九，但是这个底面的半径有四，你这样放置，他一个肯定朝这个方向走，一个朝这个方向走，所以他就会滚下去，滚下去的话他就变成这个样子 了，然后变成这个样子，你发现，哎，还是没切上，所以说他这个要最大，他两个应该是这么斜着相切放置的。那 那么斜着相切放置啥时候最大呢？这边肯定切上了，这边也切上，然后这个最大，肯定上边切上，这个肯定下边切上，所以我们先探索完最大的应该是两个球这么放置，这个点与上地面相切，这个与 这边侧能相切，这边与这边侧能相切，是最大。当我们找到最大的情形，你要去球半径一样找球心，找球心所在的什么啊？ 面，那这个球心所在的面在哪里呢？那么很明显刚好在这个圆柱的中截面，所以他在中截面里边。那我们把这个中截面画出来，然后接下来找球心，两个球心刚好在这里，把两个截面原画出，这球心一连啊，你要求半径就得 在这里去求，要放在一个什么 rt 三角形中，有切点来一连，有切点一连，你只要这样连两个线，你就发现它就会放在一个 rt 三角形中，然后这一段是多少 r， 这一段是多少 r， 这一段是多少 r， 这一段也是 r， 所以 这是九减二 r， 这一段呢？八减二 r， 这是个直角三角形，三边都用 r 表示出来，所以你在这只需要解一个二次方程就 ok 了，然后这个方程解我就不算了，算完之后两个根，一个是二分之五，一个是二分之二十九， 那很显然这太大了，放不进去，对吧？你比整个底面的圆的半径还大，所以在这种情况下，那最大的半径就是二分之五，然后他要求的是啥？求半径的最大值，那结束了 就是二分之五，好了，这个也就结束了。那通过这个大家会发现，我们常见的这类相切的，你优先还是找球星，找到球星了之后呢？如果能确定他两个所在的这个特殊的面，你就在这个面里边可以解决问题。好了， 接下来我们再换一类更加特殊的，比如说一些正四面棋所对应的多球相切常考的问题，来看一下棋啊，这道棋的话是这样子 说，这是某零件的结构模型啊，中间这个大球呢，是整个正四面起的内切球，小球呢，在与大球相切的情况下，与这个端点处的这三个面，就是三个面均相切 a， 这延伸出来的这三个面跟他都相切，若整个正四面起 n a、 b， 等于十二，该模型中一个小球的表面积为多少？那这个棋的话，我们看看似是这么多球，你真正要算的时候，其实你只关注几个球就可以了。你看，比如说你要求这个小球，你就得看他和这个大球还有整个的关系。你如果是以这个小球，你最终关注的肯定是这个小球和大球还有几何棋的关系。 所以他们四个其实啊，完全一致的，你研究明白就行了， 因为你选这四个中的哪一个都一样。好，那接下来就假如这样好看，我就选最上边的，因为他两个刚好的这相切他俩都与侧面是怎么样相切的？那么接下来要求小的，我们肯定先得知道什么 大的，因为他俩的球心呢，都在这个高上。那么接下来要求这个大的咋求呢？因为他是正四面起的内切球。对于内切球，对于锥起，我们有一个通用的公式，叫做三倍的体积比上表面积。那你看， 因为正四面起四个面都一样的，我设为 s 撇，那它的表面积就是四， s 撇，它的体积就是三分之一， s 撇乘以高，那三倍的体积就是三乘，这个就是 s 撇乘以高。 所以大二写一下，三倍体积除以它这一约，这一约它就等于多少四分之 h， 这样你发现原来正四面起内切球的半径只跟高有关系。所以说到这里大的就知道了。 那要求小的你注意小的和他相切，那你想一想，他和他相切，我找到他俩切点所在的这个面给大家看一下。那他俩是不是一定中间有这个面与他俩都相切，与 他俩都相切。你想一下这个面跟底面一定是什么关系？是不是平行的？因为他两个都与三个侧面是相切的，所以这个面与底面相切的。所以你发现啊，如果是这个小球相当于是我画的这个小的正四面起的内切球， 他小球也可以看作是一个正四面起的内切球，那他的内切球半径也一定只跟小的这个正四面起的什么有关啊？是不是高有关？所以我们只要知道小的正四面起的高，是不就能求出小的正四面起的 半径，那我们就来看一下啊。我们知道首先这两球相切他们内切球的半径，那这里如果是 r， 那这也就是 r， 因为 r 等于四分之 h， 那 这个大球的直径就是二分之 h， 那 这一段占整个二分之 h 上边是不是也占整个高的二分之 h？ 所以 在这里的话，我们找到它对应的这刚好是 大的内切球，直径二分之 h， 上边小的正四面起，剩下的高是二分之 h， 根据正四面起的半径等于高的四分之一，那这个小的四面起的内切球半径等于它高的四分之一，是不是就等于八分之 h？ 所以 你只要知道高是不是小的就搞定了，那怎么求呢？正四面起的高，如果你记下来了，很简单，你没记下来，要求解也很简单，放在一个 r t 三角形中，这是十二一比一比根号三，这是四倍根号三，十二四倍根号三，根据勾股定律，这个算出来是 四分之根号六，所以带回去 r 小 就等于二分之根号六，那它是二分之根号六，它的表面积就是四派， r 方就等于多少六派，所以这个最后的答案呢，就是 a 六派。所以对正四面起它的内切球以及多个这种内切球，你要知道它第一 本身只跟高有关啊，你通过一次分析以后要有这样的意识，第二个的话呢，多个以此累加的这种往上切，其实它是大的，小的再套什么小的再套小的，这样一直循环的。这样一个正四面起在球内切球，再给大家看一个三节的， 比如说这个货，这回你一看是不是就一模一样，一个正四面起放置一个大的，四个中的，四个小的，共九个球，大的是啥呀？正四面起的内切球，反正每个球都与三个面相切，所以说 一层一层得加，对我们来说要看也只看这三个，而且我们知道大的的半径一定等于高的四分之 h， 然后他们所有的都在这个长度上，所以你要求中的你首先得这要看做一个正四面体，这是四分之 h， 这是多少二分之 h， 剩下的也就是多少二分之 h。 我 给大家画出来啊，我们在这画个结面做出这个高，这是二分之 h， 对 于这个中的它就相当于是这个正四面内切球，整个高是二分之 h， 那 中的对应的这个内切球半径是不是它所对应高的四分之一是不是八分之 h， 所以 r 中等于八分之 h， 然后好了，它的半径是八分之 h， 这是四分之 h， 上边这个小的是不是它的高也就变成了多 啥四分之 h， 整个高就变成四分之 h， 所以 我们画出来这里是四分之 h， 这个高也是四分之 h， 那 么小的四面起的高是四分之 h， 它的内切球半径是它的四分之一，就是多少 十六分之 h， 所以 你发现它这样一环一环向上套，你只要知道高，全部就能够描述出来， 对吧？好了，那我们接下来求一下高这道题告诉我们什么呢？他告诉我们的是正四面起的起基为八倍根号三，那求起基是不得先设个棱长式 a， 棱长式 a 设出来之后，接下来我们要求高放在一个 r t 三角形中，这是 a， 一 比一比根号三，这是三分之根三 a， 对 吧？ 然后根据勾股定律，这就是三分之根六 a， 所以 我们的高是三分之根六 a， 然后接下来体积三分之一乘以底面积正三角形四分之根号三边长的平方乘以高三分之根六 a 等于了多少八倍根号三。所以我们只要列出这个式子，我们就可以去求结了。注意啊，有个小细节，这个式子在算的时候还没有那么容易，首先这边有个根号三，约掉，然后这里我看一下，是 a 立方 乘以个根号六，然后这里一个是四，四乘九，那我都乘过去四乘九乘八，我们要解，先要解 a 地方得除个根号六，对吧？来 a 地方，我在这里把这个式子写成，这里，写成二，那这就变成了十六，这里写成个 三乘三，我写成这个样子，先凑出一个六嘛。因为你这是根六， a 地方等于它，所以要把这根六除过来，把这变成多少根号六，所以 a 地方就等于 四十八倍的根号六。那么在这有些人求 a， 就 会写一个啊， a 等于三次根号下它，你一定要能够开进方，咋开呢？首先你要想这个根六必须要出现根六的什么才能开方呀？ a 立方 是不是根六的立方？根六的立方是多少？是不是六倍根号六？所以你要把这个先写个六倍根号六，然后你再看四十八除去六，剩下多少八吗？所以 a 立方是等于它乘它，你给这两个都开方，那不就是二乘根号六吗？ 所以 a 等于二乘根号六啊，这算的时候稍微注意点，别直接写成了三次根号，下一个五里数，你要把五里数先写成立方的形式，根六要写成他根六的立方必须是六倍，根号六单独放剩下的开立方，他开立方直接是根号六就会简单啊。好了，这是一个计算的小细节，那边长知道了。 然后接下来我们要去求什么？求高嘛？这个求高也就很简单了， a 乘以二倍的根号六， h 就 等于四，然后接下来知道 h 大 的是多少，四分之 h 一， 小的二分之一，四分之一，三个的半径都知道了，它要求所有九个球的表面积总共是什么？大的是一个大的 四派， r 方就是四派，然后中的呢？有四个就是四乘四派， r 方是四分之一， 一约也是四派，然后还有四个小的四乘四派，二方十六分之一刚好等于派，所以加起来四派加四派，加派等于多少？九派，所以总的球的表面积都等于九派，所以你看你两个会处理，三个会处理，未来可能一个他直接说有 n 个， 那你一样会处理。它半径是以 h 的 二分之一倍在不断的怎么样缩小，那这个规律你也就发现了。 好了，那关于跟正四面棋相关，从内切球到不断放小的这一类，大家要熟，也要有一定意识，就是对于这种特殊的几何棋有所积累的话，做棋的时候效率会更高一些。好了，这个老赵就说到这里。
364老赵高中数学
06:16查看AI文稿AI文稿各位同学，我们来看一下十三体立体几何的综合 正方形 e 的是 b c 的 中点，将 a、 c、 d 沿着 i c 折起来，到了 i c p， 按这个方向把它折起，使得 p 点在底面的投影，它在 i e 上面。 第二个条件，三棱锥 p a、 b c。 外接球的表面积是八派。 然后问你这个三棱锥的 p a、 b、 c 的 体积是什么？这里面首先第一个一个非常重要的隐含条件，这个 p 它在底面的投影，它到底在哪里？在你翻折之前，正方形请你把 b、 d 连起来， 对角线互相平分，设它为 o 点。那么在翻折之后的图里面，你会发现这个垂直仍然是成成立的，也就是说这个点呢，是 o 点，你把 p o 连起来， 其实 p o 就是 d o 嘛，你会发现 a c 会垂直于 bo， 有 没有 ic 也会垂直于 p o， 对 不对？当然，这个 p o 和 b o 呢？它们两个相交于 o 点，我就能简单地得到，这个 ic 一定会垂直于这个面 p b o。 而且 i c 呢，它又包含于面 a、 b、 c、 d。 我 就知道这两个面 p b、 o 会垂直于面 a、 b、 c、 d。 这番折常用的套，这两个面会将垂直，它的交线 不就是我们的 b o 吗？那么如果屁点向这个底面做垂线，那你只需要屁点向 b o 做垂线不就好了吗？因为你垂直于交线的直线，就说 p 在 底面的投影一定在 b o 上， 因为你只要垂直于交线，自然就垂直于另外一个面了。好，我设它的这个投影是 f， 也就是说 f 呢，它是点， f 一定是属于 b o， 所以 不要小看面面垂直的这个性质定律。 当然，他又讲了，他说他的投影又在 i e 上，那不就是在这个位置吗？在 i e 和 b o 的 交点吗？也就是说 f 点是他的投影在这个位置。那么换句话来说，我 p f 连起来不就是这个三轮锥的高吗？ 底面积把它求出来就行了，对不对？也就是说它可以写成 v p 杠， abc 可以 写成三分之一的 p f 乘上 s 三角形 abc， 现在问题就是有 abc 作为正方形的这个一半三角形，它的面积是多少？还有这个 pf 的 长度是多少，对吧？ 好，我们首先看这个外接球，你要知道球心在哪里呢？这个球心你发现没有，这个角 abc 呢？哦，它等于九十， 翻折之后，这个角 a p c 呢，也等于九十，这不就是共斜边的两个直角三角形，那斜边的 a c 的 中点 o 不 就是你的外接球的球心吗？换句话来说，这个 o 点呢，它的 o p 等于 o a， 呃，会等于 o c 会等于 o b 都会等于你这个正方形的对角线的一半。噢，我不妨设这个对角线啊，它是长度是边长是 a， 正方形边长是 a， 那 么它的对角线的一半不就是二分之根号二 a， 那 根据表面积公式四派乘上一个二分之根号二 a 括号的方， 那么它会等于告诉你等于八 pi， 也就说算出来 a 呢，会等于二， a 等于二的话呢，我就知道边长是二了，对不对？这个底面积呢，分分钟出来二分之一乘二乘二，这就是我们的底面积。那接下来把 p f 求出来就行了， p f 是 垂直于这个底面的 p o 的 长呢？又是，嗯，二分之根号二，唉，那不就是根号二嘛， 对吧？ o p 的 这个床， o p 的 床其实就是什么？就是你的这个半径嘛，二分之零和二 m 嘛，对不对？那么还有一个 o、 f 的 床是多少？ o f 的 长，各位发现没有？是重型啊，来三边总显，这是第一个中点，有没有三角形 a、 b、 c 的 重型。二比一嘛，这段比这段是二比一，也就是说其中的 o、 f 呢，是多等于多少呢？好，你这个长度刚才算出来是几？刚才算出来是根号二吗？ a 的 话呢，是二八回弹根号二，那这一段呢，应该是它的三分之一，对不对？是 b o 的 三分之一，那不就是三分之根号二吗？ 那 p、 f 的 筹码也知道了，等于根号下二的平，根号二的方再减去一个三分之根号二，括号算完之后等于几？等于根号下二，减去九分之二，等于九分之 二。九十八十六开根号。噢，三分之四对不对？ f 点是底面的重心对吧？是底面的重心。哎，勾股定律，你用 p o 的 方减 o f 的 方， o f 不 三分之二吗？这一段乘不等于二吗？对不对？所以 p f 的 乘是三分之四。哦，整个面积都知，整个面积也知道了，这个高也知道，所以算完之后呢，是九分之八。 你只需要识别出来它的是重型，要识别出来它的外接球的球心是 i c 的 总点 o， 或者说是两个共斜边的空间的直角三角形，那斜边的终点就是它外接球的球心。
4数友
17:45查看AI文稿AI文稿高中数学立体几何如何秒杀，核心看投影思维是否通透。投影面积承载了空间向量面面垂直知识点是选 b 一 空间几何的底层逻辑延伸，后续诸多板块均可迁移使用。 本期视频宋老师带大家吃透投影面积法，认真看完期末考试秒拿十几分，数学成绩差找到宋老师领取数学专属逆袭资料。当然宋老师也会为大家解答各种数学问题。话不多说，我们进入正题， 今天我们来讲解一下投影面积法。球二面角这样的一个稍显小众，但是在小题中会非常好用的这样的一种方法。 这也是在评论区在私信中有同学经常问我的这样的一个方法，今天我们从它的使用方法以及它的使用场景，也就说我们讲一个方法，你首先得知道这个方法是什么， 其次你还得知道这个方法它用在什么样的地方，对不对？我们不能瞎用好刀得用在哪里，用在它该用的地方。你拿这一个这样的方法在大题里面去写，可能就会显得稍微有一点点 突兀，或者说过程分可能会拿不到，如果答案算错，会满盘皆输。但在小题里面，我们可以通过这个方法来极大的提升我们的做题速度，提升我们的效率。 那么什么是同一面积法？我们通过一道题目来引入一下这道题目是这样的， a 点是阿尔法外的一点， a 撇点就是它的投影看到没有摄影，那么 bc 都在阿尔法上，那么 g a 杠 bc 杠 a 撇 这个角度为 c， 它那么现在我们的三角形 a 撇， bc 的 面积为 s 一 撇，也就是我 a 点头下来投到 a 撇点连成三角形的面积 s 一 撇圆三角 a b c 的 面积就是 s， 让我们证明这个二面角的余弦值就是 s， 一 撇除以 s， 这样行不行？当然是可以的，因为根据我们的定义，其实 a 垂到 a 撇，我第一个视频讲的非常清楚，它就是一垂面，我再做一首二垂轮，再去连接这里的 a 和 h， 那 么此时的 a、 h 就 会垂直于 bc， 同理 a 撇 h 也会垂直于 bc， 所以 其实我们的 a 撇 a 撇 h 就是 我们的二面角 c， 它本身。于是现在的 cosine c， 它本质上就应该等于 a 撇 h， 再去比上一个 a h， 如果把它上下同时乘上一个二分之一倍的 bc， 那 它就会变成非常清爽的。什么？是不是 s 比 s？ 因为二分之一倍的 bc 再去乘上一个 a h， 就 相当于是二分之一倍的底层高，而二分之一倍底层高就是三角形的面积公式，也就是 s 一 撇再除以 s， 所以 cosine 它就是 s 一 撇除以 s。 所以这个玩意其实是一个方法的引入，非常简单。正常这种情况下，我们也不会用这种方法，因为它的一锤面、二锤轮、三相连都会非常的简单，所以我们更加主流的三锤线法就已经足以帮助我们解决掉了。那么这个方法在什么地方会比较适用呢？或者说会大显身手？应该是在这样的题目中， 你看这道题，在能长为一的正方体中， f 是 a 一 b， 一 的中点则平面 b f、 c e 与平面 abc 的 夹角。你看 b、 f、 c、 e 是 斜着立在这里的这样一个平面和底下的 abc， 其实也就是 abc 倒这个底面，它们之间的二面角，为什么我说要用同一面积？擦，最最重要的一个点就是它们俩只有一个公共点， 这两个平面的公共棱我们是不是没有找到？如果你想要把它找到的话行不行呢？当然也是可以的，我们做一些平行线等等这样的一些把平面延展开的动作，那么它的相交线或者它的公共棱我也能找到，再去用所谓的三垂线法，其实也行， 但是现在是道小题，三垂线法包括什么空间向量这种间隙的方法呀？计算量都对太大了，所以我们就可以去用投影面积法，我们就可以找到非常不动脑筋的把 b f、 c 一 在底面的投影。什么叫找到？那么 c 一 点在底面投影不就是 c 点吗？ f 点在底面的投影不就应该是这里的 f 一 撇点，对不对？因为它往下做垂线就会做到 a b 的 中点，所以我现在连出来的这个 b f 一 撇 c， 其实就是我们这个三角形 b f c e 怎么样？是在底面的投影，即为 就是 b f 一 撇 c 这个三角形即为 b f c 在 底面 a b c 上的投影。那么这个时候我的 cosine theta 根据刚刚的那个引入，也就是投影面积法的内容，本身就可以非常迅速地写成 s 三角形。我们的 b f 一 撇 c， 也就用投影三角形的面积除以圆三角形 b f、 c e 的 面积， 下方的这个 b f 一 撇 c 其实非常简单，因为这是中点，所以说它的边长是二分之一，而 bc 其实就应该是正方体的棱长，也就是一，这还是个直角三角形，所以 b、 f 一 撇 c 的 这个面积就应该是二分之一，再乘以二分之一，再乘以一， 也就是四分之一。而 b、 f、 c 一 的面积， b、 f、 c 的 面积，我们稍微划一下， f、 c 应该是二分之根号五，对不对？那么 b、 f 其实也应该是二分之根号五，而 b、 c 一 呢？其实应该是根号二。 这些简单勾股定律一下就好了，这里就是二分之根号五，这里也是二分之根号五。那么这样勾股定律出来，这三个边的边长过以后，是一个等腰三角形，所以求个面积易如反掌。这是二分之根号五。 这边的一半点到三角形做高，做下来应该是二分之根号二，所以它的高应该是二分之根号三。于是乎下方的这个 b、 f 不是 下方上方圆三角形的面积就应该是二分之一，再去乘上一个根号二，再去乘上一个二分之根号三。所以上方就是四分之一，下方就应该是四分之 根号六。所以得到结果就应该是六分之多少，是不是六分之根号六？这个答案直接写就好。当然有同学肯定会提出疑问，这道题目一定要这样写吗？当然也不一定。如果你有另外一个思维的话，我们也可以把这个题目变成一个非常常规的问题， 那就是你现在想要我求的是 b、 f、 c 一 和底面 a、 b、 c 的 夹角的锐二面角，那么此时我把这个 a、 b、 c 这个底面平移到 a、 e、 b e、 c e 其实是一样，它俩平行的，也就相当于此时我们现在的 b e 杠 f c e 杠 b 这个夹角和我们的刚刚题目里面让我求这个角应该怎么样是不一样的，如果你转换成 b f c 一 这个平面和上底面的夹角的话，那么 f c 一 这个公功能是不就出现了， 它就不再是一个没有功能的情况，或者说我们两个平面之间只有一个焦点这种情况了，那我就可以不去用投影面积法，这个当然也可以，所以说我们也可以转换成把第一个空转换成我们的 b f c 和上底面 a e b e c e 的 夹角，这样去用三垂线法直接做也是没有问题的。这个我在今天就只是提一则，如果对于三垂线法还有疑问的同学，麻烦考一下，再考一下我最开始的那个视频。好，那么接下来平面 b f c e 与平面 a c e 的 夹角怎么办？ 拿黄色笔稍微写一下，如果是 b f c 一 还是这个 b f c 一 这个三角形和 a c c 一 的话， a c c 一 其实就应该是我这个正方体的体对角面，就是中间对半劈开这个平面，那么此时也是一样的，你会发现目标的 b f c 一， 我把下方这个先擦掉，下方这已经没用了，第一个空已经求完了， 和我现在红色的所谓的 b f c e 之间，它也是好巧不巧，公共门只有一个公共点，是不是 c e， 所以 依然符合我们刚刚讲的投影面积法的这样的一个使用场景。 所以 b f c e 平面和 a c c e 这个平面的夹角的话呢，我依然可以去做。什么？是不是投影面积法？圆三角形的面积我已经求过了，好像就是四分之根号六。现在我要找的应该就是 b f、 c、 e 在我们平面 a c、 c 上的这样的一个投影的面积。其实 b 点头到这个面上是非常简单，因为作为正方体投过来就应该是 a c 的 中点， 我们另为 b 撇点，那么 f 点头过来呢？就另为 f 一 点或者另为 f 一 点就好。那么此时我们连出来的 f 一 b 撇 c 一 f 一 b 撇 c 一， 其实就应该是我们的投影，所以现在我们的第二个空的 cosine theta 啊二上面的边 cos 加一好了，那么 cos 加二其实就应该等于 s 三角形， b 撇 f 一 c 一， 再去除以 s 三角形是吗？圆三角形面积就是 b f、 c 一下面，这我已经求过了，现在我的工作重点就是要求出 b 撇 f 一 c 一 的这样的一个夹角的面积。那么 b 撇 f 一 c 一， b 是 底面中心， f 点作为中点往这边垂，应该会垂在 a 一 c 一， b 是 底面中心上，因为 b 一 得一，这样一连在这里 在中心，而 f 点作为 a 一 b 一 的中点，再往这边做垂线做平线，会平到 a 一 c 一 的这个中点，在中点就四等分点上。所以此时我们的 b 一 f 一， 或者说 b 撇 f 一 这个夹角， b 撇 f 一， 这个线段的长度应该是多少？你看你这样垂下来，稍微画一个小小的 直角三角形就好，这里的小的直角三角形，其实它的底边长度应该是二分之根二的一半，就四分之根二，这一段应该是一，这一段是四分之根号二。所以此时的 b 撇 f 一， 这里是 b 撇， 这里是 f 一， 它的长度应该是四分之根二的平方，十六分之二，八分之一，八分之一加一就是八分之九，开根号应该是二倍根号二分之三倍根号二，这里是四分之三倍根号二。 而我们现在的这个 c e f 一 撇 c e f 一 撇，好巧不巧也是四分之三倍根号二啊。因为 f 一 撇， 或者说 f 一， 这里的这个长度应该是刚好是四等分点，所以说它的长度也是四分之三倍根号二，而这个底边应该是 b 撇 c 一 的长度应该是二分之二的平方就是二分之一，再加一，那就是二分之三，二分之三，再开根号就应该是就应该是二分之根号六， 所以此时这也是个等腰三角形，很不错，所以直接就去求它的高就好了。这里是四分之三倍根号二，这里是四分之根号六。所以平方以下是十六分之十二，减去十六分之六，所以是十六分之 还是六十六分之六？开根号的话，应该是四分之根号六。所以上方这玩意的面积应该是二分之一乘以四分之根号六，再乘上一个二分之根号六， 所以这个答案求出来，应该是八分之六，再乘上二分之一，就是八分之三，就是八分之三，那么八分之三再去除以四分之根号六，就是我的结果了，应该是八分之三除以四分之根号六，所以应该等于多少？这里应该留个二，应该是二倍根号六分之三，十二分之三倍根号六，也就是四分之多少。 是不是四分之根号六化成了这样的一个阶段过以后，我们把这个投影的三角形给它拎出来之后，应该是 b 撇 f 一 c 一， 差不多是这样的一个状态，那么这里的 b 撇 f 一 c 一 这个三角形，它的边长分别是多少？因为 f 一 我们刚刚说过了，应该就是它的四等分点， 所以 c 一 f 一 的长度应该是根号二的四分之三倍，就是四分之三倍根号二。利用勾股定律算一下这里的 f 一， 往下做这个 h 和 b 撇的长度，就可以算出来，我们的 f 一 b 撇也应该是四分之 三倍根号二，而 b 一 c 一 应该是二分之高二一的这样一个斜边，所以算出来应该是二分之一加一，再开一个根号，那就是二分之根号六， 所以此时我们这还是一个等腰三角形，这个高做出来就应该是四分之三倍根号二的平方，再减去四分之根号六的平方，那么四分之三倍根号二的平方是十六分之十八啊，十六分之十八，这边应该是四分之六，应该就十六分之十八，再减去一个四分之根号里面十六分之六，所以是十六分之 十二，那就是四分之三四分之根号二，就二分之根号三。所以其实我们现在的 cosine c 二就可以算出来应该等于 s 三角形 b 撇 f 一 c 一 去除以我们刚刚的 s 三幺零 b f c 一， 因为圆平面都是 b f c 一， 所以它的面积还是四分之根号六就好了， 所以上方的面积就应该是二分之一，再乘以二分之根号六，再乘上一个二分之根号三，下方除以一个四分之根号六，所以这个结果应该是，这里应该是根号三，乘以根号三就是三，那就应该是八分之 三倍根号二，再除以四分之根号六，所以这里可以消掉一个，那么根号二和它消掉一个变成了什么， 这里就没有了这个根号六和根号二，消掉一个就变成根号三，所以得到结果应该是二倍根号三分之三就二分之根号三就二分之根号三。所以 cosine theta 如果等于二分之根号三，那么 theta 就 应该是六分之 六分之派。所以这道题目是一个我讲投影面积法里面最喜欢的一道题。这道题目的第一个空，其实零点法都行，你可以用投影面积法，也可以用平面的平移法，就是把 a、 b、 c 这个平面移到上方，变到 a， e， b e c e 到了 a e， b e， c e 之后呢，其实就变成了常规的有公共点，叫 b。 而第二个空， b， f、 c， e 和 a c c e 这班样，这东西没有办法去平移了，找不到公共门。确实没有公共门，就只有一个。什么？ 是不是只有一个公共点叫 c 一。 所以当我们要去找二面角或者平面与平面的夹角的时候，发现两面之间只有一个公共点，那我们现在投影面积法说不定就可以大显身手了。各位来操练一番。来这道题目，把题目读一下， a、 c 是 我们圆的直径点， b 在 圆 o 上角， b， a、 c 等于三十度。 读题 b m 什么又垂直于我们的？ a、 c 交 a、 c 于 m 点， e， a 呢又垂直于 a， b、 c 垂了， f、 c 平行于一，那它也垂，它也垂。然后 a、 c 呢是四， e， a 呢是三， f、 c 是 一，这里是四，这里是三十度， 这里是圆的直径所对的角 a、 b、 c、 c 是 九十度，所以这一段就是二， a、 b 就是 二倍杠三，这是跑不掉的。那现在问的什么？问的是 b、 e、 f 和 a、 b、 c 的 所呈的锐二面角的大小。那么 b、 e、 f 和 a、 b、 c 来，你把这两个面稍微瞄一瞄，你就会发现，这是 b、 e、 f 这个平面， 这 abc 这个平面，这两个平面非常 nice 的， 或者非常符合我们今天的调性的，也依然怎么样，是不是只有一个公共点叫做 b 点，只有一个公共点叫做 b 点， 所以说此时它又可以去使用投影面积法来思考一下了。结果我发现太简单了，因为 b、 e、 f 这个平面在底面 a、 b、 c 上投影就是 a、 b、 c。 你 刚刚说了， e、 a 是 垂直底面的， 而 f、 c 是 垂直底面的，所以 f 投下来就是 c， e 点投下来就是 a， 于是这个什么锐二面角记为 c， 它的话 cosine c， 它一定就会等于 投影三角形的面积，也就是当前的 a、 b、 c 的 面积，再去除以背投下来的这个圆平面，就是 b、 e、 f 这个三角形的面积。所以此时我们的 cos 大 应该等于 s 三角形 abc 除以 s 三角形 b、 e、 f。 那 么 abc 太简单了，我刚才说过，你是一个三十、六十、九十的一个直角三角形，所以呢，你的面积就应该是二，乘以二倍根号三，再乘上二分之一，你就不啰嗦了，就是二倍根号三。 所以现在唯一一个需要去攻克的就是 s 三角形 b、 e、 f。 但其实也不难，因为 e、 a 已经垂直于底面，所以 e、 a 也垂直于 ab， e a 垂直于 ab 的 话，那么 e a 是 三， ab 是 二倍，根号三，所以 e b 是 多少呀？ 九加十二，那么开根号是不是应该是根号加二十一，那么 e 二这是 f c 与 bc 的 长度， f b 作为斜边的话呢，就应该等于根号根号五。那么最后一个就是这个 e f 这个三角形里面 e f 的 长是多少呢？我只需要把 f 点往左边做一下垂线，你的 f 的 高度是一， e 的 高度是三，所以上方留下来是二，而此时 f h 的 长度应该和下方的 a c 的 长度是完全一致的，就是四，所以二四二倍根号五， ok 吗？所以现在的 e f b 这个三角形的三条边又被我搞定了，这里是根号五，这里是二倍根号五，这里是根号二十一， 这里是根号二十一。那么对于我来说，它的这个面积会比上一题稍微麻烦一点。我们的解三角形要被我们请出来稍微解决一下喽。我们令这里的 b f e 为我们的 r 法的话，那么 cosine r 法就应该会等于什么 s s 求夹角，直接用余弦定的推论，也就是 cosine 尔法就会等于根号五的平方，再加上二倍根号五的平方，那应该加个二十，再减去根号二十一平方，减个二十一，除以二乘以根号五，再乘以二倍根号五， 所以这应该是二十五，减二十一就是四，下方的话呢，是四倍的五，就是二十，所以 cosine alpha 应该等于五分之一，那 sine alpha 呢？其实就应该会等于，应该等于根号下根号下一减去二十五分之一，也就是五分之二倍根号六， 所以我们现在的 s 三角形 b、 e、 f， 它的面积，利用三角形的面积公式就应该等于二分之一乘以根号五，再乘以二倍根号五，再乘上五分之二倍根号六。所谓二分之一， a， c 上以 b， a， b 上以 c， 所以 这个地方算出来就应该是五乘上五分之二倍根号六，二二消掉，五和五也可以消掉，剩下就是二倍 根号六。于是乎呢，这里的二倍根号六往上一填，答案直接揭晓，就应该是根号六，分之根号三，下面有根号三，根号二分之一，也就是二分之根号二。如果一个假角的余弦值就是二分之根号二的话，那说明 c 它是多少呀？说明 c 它是不就应该是四分之 派？当然这里都是让我们求锐二面角的大小，那其实呢，能够让我求出大小的角，也就只有什么三十、四十、五和六十，其他的基本上 我们知道三角函数值过以后，也求不出来角的大小，所以其实也是一种小题小做的这样的一个思路。但是想要求出具体的值最快的方法，这道题目还真就是投影面积法。 所以这个方法的话，我们也不建议大家把它神话，它并不是一个适用于所有的情况，但它非常适用于我刚刚讲的两个平面之间只有一个公共点的这种情况。 如果两个平面让我们求它们之间的夹角，结果还只有一个公共点的话，那我认为投影面积法是一个非常不错的提升效率的这样一个方法。 如果说它们有公共能可以很清晰的找到的话，那我的建议还是用三垂线法把它给练熟练透彻， 那么这样的话呢，才可以更好的解决我们的大体，你的过程分你的答案分你的整体的思考的一个逻辑都会更加的缜密以及清晰。那么希望今天这个东西对你有用，对你有收获，关注宋老师每条视频，给你一个解析小妙招。那今天我们就聊到这里。
96宋你一招解数学
07:41查看AI文稿AI文稿大家好，我是超越老师，接着讲这个计算有关的题啊，我们再讲一个解答题啊，我们看一下，他说如图这些都是终点，看到没有？然后这边有个四等分点，四等分点啊，这个是四等分点，然后 e 是 他的 f 也是终点啊，这些都是终点， 然后他让你证明这个 e、 f 是 平行于什么？平行于这个侧面的啊？这个怎么去做？因为他这四的面，你你可以这样做啊，这个你可以取这个中点，看到没有？把这个连一下 啊，把这个连一下啊，就把这个连一下，我把它连起来啊，对不对？然后这两个线是平行的，然后这个 e、 f 是 不是他中位线？你看没有，他反复在考平行四边形中位线， 要么就交线就考这个啊，所以第一个证到了啊，如果你想用那个第二个方法，怎么证啊？第二个方法也是一样第二个方法，但这个题就是用那个面，那个就稍微麻烦一点，是不是取这边的，我看取这边的好像也得取终点吧？我看中，对的啊， 对的，取中点啊，取中点，取中点可以啊，就你把这个一连，把这个也要取个中点啊，这个中点加这个中点，对不对？这个是中空线，这个平行，他随这个线平行上面，对不对？然后再结合这个平行，那，那不是白做了，是不是啊？那还不如用第一个了，对不对？所以你自己要灵活应用啊，灵活应用 再看这个就到底是正线平行线，还是先正一个面面平行，你要看情况，听没看情况，再看下一个 a、 c 上面有一点，这个题你就给他硬算出来就行了，听到没有？他说体积比是一比一比十五，那说明这个小的这个锥看到没有？这个小的是不是十六分之一啊？ 对不？十六分之一，所以我们改了硬算出来，比如这个点就是几点，假如随便写个点几点，我们设这个边长，这个边长为 为，比如为 a， 对， 然后这个 a c， 这个边长 a c， 这个边长为 b， 然后这个高为 c， 对 不对？但是它的体积为大的这个整个体积是不是等于三分？哦？没有，三分角就是二分之一，底面角二分之 a， b 乘以高高是 c， 是 不是这样的？ 他是等于十六分之一。对，我们假设存在啊，十六分之一的乘以这个锥啊，这个这个锥的体积是不是等于三分之一？乘，这个地方你要怎么样把这个小的这个图给他画出来？最好我们说一定要画辅助平面图，这样出这样的效果就是快、准、狠， 听见没有？然后你 q 点不管在哪呢？我要把这个 a g 这个点设一下， a g 设为 x 啊，是不是这样的？那你算这个面积的时候，你看是不是？是不是底层高？这个高，因为它四等分点是不是刚好四分之一 b 啊？所以这三分之一乘以底面积啊？底面积有二分之一，底层高，底是 x， 高是 四分之 a， 对 不对？然后我这个地方是不是反的呀？那我这应该前面乘以十六分之一啊，等于不好意思啊，然后再来乘以这个高高，是不是二分之 c 啊？然后我们来算一下啊，这边十六，这，这十六是不是刚好约掉了 两个二，一个四，对不对？然后这个三约不掉， a c 约掉了，所以可以把 a k 解出来， 是不是？他刚好等于二分之三倍的 b， 对 不对？那 a c 等于二分三倍的 b， 说明跑到外面去了，对不对？这时候你要看一下题，题目说的是能， 说的是能，那就不能跑外面去，所以怎么样？不存在啊，这个地方好像有点问题。好，我们来讲一下，发现问题了吗？有问题啊，因为就这个，他没说是九十度听，没有，所以我们刚才那个稍微调整一下啊，就是我们设这个 a、 c 的 边长为 b， 不 用管， 然后这个高为 c， 没问题啊，我们设这个 b 点啊， b 点到这个就到这个 a、 c 的 距离，这个高是 a 啊，就不是，这不是 abc， 这个边看懂了吗？那剩下的这个高仍然是它等于它的四分之 a 啊，没问题，其他都是一样的，自己去调整一下。 下一个题啊，他题目中提到一个正四能追模型，然后又告诉你又是比例啊，你看了这个我们讲过，看了这个可能就要考相似啊，他说 pe 这是两份，这一份 对不对？然后这个 f 倒是是终点，对不对？ f 是 终点。第一个他让你说 在 pc 上面确定一点，使得这个 e、 f 跟这个哪个面平，跟 a、 b、 g 大 概在什么地方，你可以猜得到，是不是大概在这个位置啊？大概的位置先画一下，你看，比如，比如这是几点？看没有？是不是这样的， 对不对？然后这样是不是这样的？那你这个 e f 要平行这个，那怎么办？你把这个侧面图给它画出来，你看侧面图给它画出来啊，侧面图给它画出来，这边是 p， 然后这是 b， 对不对？这个 c， 你 看这三等分，你看这是什么中点，是不是这个地方我再取中点就对了，这个记刚好中点，对不对？猜他中点？对的啊，中点，你看这个比这个是不是二份？这一份这边也是因为这个是这两项的，这个取中点是两份一份， 所以六是平行线，分线成比例，或者六相似，然后正到这两个平行，然后就正到了，对不对？这个仍然可以当已知条件哦，当已知条件就反过来啊，反过来就是这个跟它平行，然后得比例，他比他，他比他都是二比一，所以这个是这个的终点就找到了啊。 反过来写也可以啊，或者先拆再正都行啊。然后再看第二个，他说过这个 a e、 f 的 平面与这个 ph 相交于 d 点， 让你去先确定 h 的 位置啊，这个不是我们前面讲的什么，这个，这个有点花了啊，把这第一个那个忽略它了啊，这个有点花， 是不是我们之前讲过，讲过那个叫外轮廓线啊？对，外轮廓线，首先你可以观察你，你把这个 a f 延长，没用，它是体，它在内部看到没有？这个 a e 和这个 e f 是 不是刚好是外轮廓，对不对？你这个 a e 你去延，你看不管向上向下是不是都跟这个椎是没有交点了？对，所以只能延长。什么？只能延长这个 e f 啊，所以我们来延长一下啊，在这啊，你延长一下，在这啊，我们，哎，正好这个地方还有用啊，这个不要吐，不要吐啊， 是不是这样的？延长之后就是相当于这样啊，把这个延长线延长出来，延长出来，对，延长出来，比如这叫 m， 对 不对？那我们要算怎么算？你看，因为这个和这个是不是相等呀？这是中位线啊，这个和这个是平行的，对不对？所以这两个相等的，看到没有？这两个相等的，再把这个 am 给他 连接起来，然后再延长，跟它相交，对不对？比如这叫 n 点，对不对？我们来把这个图也画出来啊？画出。哎呦，这个画不下啊，画到画到这啊，这样， 这是 c， 这是 b， 然后这是 a， 对 不对？是不是？这样？延长，然后利用全等，是不是这两个也相等？看到没有？是不是这两相等，所以这个也等于这个啊？然后我们再画最后一个啊，再画最后一个，就背面啊，它的背面。你看这样的，它本来是这样的， 然后这两相等，对不对？然后你去连一下，因为这个是终点，看没有？这是终点，这个是终点。然后我们怎么做？可以从这做辅助线啊？这是初中学的啊，初中学的，从这做辅助线，或者从这都行，随便你做一个，我们随便挑一个，我们就从这，好不好？从这。你看这个取终点又取终点啊？这个是不是这个的一半？ 对，这个剩一半，所以这是。比如，比如，比如说这叫 x， 这是不是二分之 x， 这个比这个是不是一比二？所以这个比这比，这个是不是也是一比二？所以这个是。 我想想啊，我们这是一份，看没有，这是两份，对不对？这一比二，那这边是不是三份啊？看到没有？因为这，这个，这是终点，对不对？所以这个应该，我看是不是？这个 p d 是 不是答案就三分之二？
30超越数学
18:04查看AI文稿AI文稿同学们好，那么应粉丝要求呢，我们继续讲立体几何初步中的一个长角问题，线面长角问题。 首先呢，我们先来复习回顾一下意面直线所成的角的定义， 那么回顾完这个定义以后呢，我们还要回顾一下，在解决一面直线所成角的这个问题中，我们使用的思路，或者说是方法是什么？ 也就是说是将立体几何的问题呢，转化为了平面问题，也就是左边这个是立体， 右边这个是平面，转换成了一个平面问题。 ok， 那 这个思路呢，非常重要啊，那么下面我们来看如何定义线面成角呢？ 同样我们立体中呢是线面成角问题，我们延续上面的思路，还是要把它转化为一个平面问题，也就是转化成一个线线成角问题我们才能够解决。 我们首要的任务是选择什么直线呢？我觉得有一条直线肯定得选，也就是 l 零这条直线必须得有，对吧？那另外一条直线在哪去选择呢？应该肯定得是在平面二方的选， 并且呢我们期望他与 l 零相交，这样有很多这样的线在这些线里去选就可以了。 那么好，我们继续思考啊，那要求也就是说在平面二分内还要跟直线 l 零相交的直线，大家看可以画出无数多条， 那这无数多条我们该选哪一条，或者说怎么去选呢？ 这就是面临的一个新的问题了，对吧？好，首先呢，我们应该说有一个直观的感觉啊，还是用直观的感觉， 而零上除去 p 点的任何一个点，我选了一个 m 点做这个平面 alpha 的 一个垂线和这个平面垂直， 垂足为 n， 那 么角 m p n， 我 们感觉直观，感觉这个角已成为线面乘角的一个位置。好， 那大家看啊，这个感觉还是可以的，是不？那么我们先来把这个感觉呢严格化或者定义化，按相关的概念， 那 pa 和平面相交，这条直线，也就是 pa 这条直线呢，叫做斜线， 那么 a 点就是斜足， a 点是斜足啊， 那过斜线上的一点呢？向平面引垂线，引垂线，这个 p o 就是 我们引的那条垂线，那垂足是 o， 那 斜足 a 和垂足 o 之间的这条连线，我们就叫做斜线。在这条平面上的 摄影，这有三条线，那么好线面成角的定义呢？就是斜线 pa 和它在这个平面上的摄影 a o 所成的锐角，也就是 pa 这个角， 那么可以称为 p 直线 pa 和这个平面的所成角。 那按照这样的定义，所剩点的范围是什么呢？当直线垂直于这个平面的时候，我们认为它是直角，当直线和这个平面平行，或者说呢，在这个平面内的时候，我们认为它是一个零度角， 那因此它的范围就应该是零度到九十度。这样的定义给出来以后，我想同学们还是有疑问，行不行呢？这个定义， 那也就是说为什么这么选举而不选举其他的线呢？首先我们给大家一个定律啊， a 为平面阿尔法上的一点， a 为平面二分之一点啊。然后呢， a o 是 斜线，摄影是 ab， ac 是 另外一条线。那我们看啊， c 它 c 它一， c 它二，分别是什么？ c 它一是 o， a 与摄影的夹角， c 它二呢？是 ab， 也叫射影与另外一条直线 ac 的 夹角，大 c 的 呢，是斜线 o a 和 oc 的 夹角。 那么如图，我们看过这个 b 点啊，做 bc 垂直 ac， 那由于 o b 和 o c， o b 和 a c 是 垂直的， b c 和 a c 也垂直，而且它俩是啊，这俩是相交的， 对吧？所以 a c 呢，就垂直于 o b c， 也就垂直这个平面，从而 a c 也和 o c 垂直，又是一个直角三角形，相当于这里有一个 rt 三角形 o a b rt 三角形 b a c rt 三角形 o a c， 这有三个三角形。那我们来看啊， cos c， 它就应该等于 a c 比 o a， cos c 的 一呢，就应该等于 ab 比 o a， cos c 的 二呢，就应该等于 a c 比 ab。 那我们把这三个式子乘在一起，那是不是应该得到它了？那大家看啊，由于 cosine theta 二肯定是要小于等于一的，那所以 cosine theta 呢，一定会小于 cosine theta 一， 那也就是说 theta 肯定会大于 theta 一， 什么意思？也就是斜斜线和 a c 的 夹角为 theta， 斜线和摄影的夹角为 theta 一， 那 theta 一 呢，应该是斜线与平面内任意直线中所呈的角中最小的。 讲这个定律干什么使呢？大家来看啊，这个问题就触及了几何定义背后的一个合理性，也就说，之所以用斜线和射影的夹角来度量，最核心的原因就是这个夹角是最小的那一个 啊，咱们再进一步的解释一下啊。首先呢，最小的角保证了定义的唯一性，一条直线呢，与平面的无数条直线会形成无数个不同的角， 那如果用其中随便一个挑呢？那标准是不就混乱了？因此我们找那个最小的，最小的，那他就是唯一的就好确定第二个呢？定义抓住了这个概念的核心， 与摄影的成长，能剔除其他各种无关因素，只与这条直线的方向有关。 哎，具体解释这两条以后，我们发现这个定义就合理了，那反过来呢，我们再讲一下啊，什么叫几何定义的理性，那这个定义的方式是否自然唯一自洽，并且能准确的描述我们想度量的几何属性。 那么基于上面的原因，我们觉得斜线和摄影的夹角就可以用来度量线面乘角， ok， 好， 那以上就是线面乘角的定义，我们再来复习一遍啊，再来复习一遍，也就是 斜线和摄影的乘角， ok， 没问题了。那我们看今天的例题， 问的是哪条直线呢？ a b 和这个蓝色的面所夹的角所成的角啊？那我们来看怎么怎么处理这道题？ 首先呢，我们连接 bc 和 bc 交于了 o 点，随后又连接了 a、 e o， 那设正方体的棱长为 a， 我 们很显然能知道 a 一 比一，也就是这条边和这边这个面是垂直的，所以呢， a 一 b 一 就和哪条线呢？和 bc 一 是垂直的，又因为这边是一个正方形，所以 bc 一 和 bc， 其实这块也是也是垂直的， 这块也是垂直的啊，这个角也是直角，所以呢，这块应该还有啊 b， 你 看啊， b、 c 和它垂直， b， c、 e 和这个垂直，而且它们相交于 b、 e 点，所以 b、 c、 e 就 应该和哪个面垂直呢？ 和 a、 e， d， c， b 这个面垂直，那它和这个面垂直完了以后呢？大家想一想，大家想一想啊，垂直了吧，那这叫垂线，这个是不就叫做 垂线？那谁是摄影呢？谁是摄影？那这条边就是摄影，因此角 b a、 e、 o 就是 直线 a、 e、 b 于平面所成的角。 到这大家回顾一下，是不是跟我们之前学的一样，我们在干嘛呢？在定位，一定要先定位，定位好以后，我们来计算 一只 a b 呢，是根号二 a， b o 是 二分之根号二 a， 这都很简单，所以呢， b o 相当于这个直角边是斜边的一半， 那这个角就应该是三十度，所以线面乘角为三十度。那做完这道题，大家看第二步是不就是计算？跟我们之前讲的思路还是一样的，也要先定位，再计算。 整个这道题做完以后，大家有什么感觉，能够找到线面乘角的所在的关键步骤是什么？ 我觉得关键步骤是找到这条面的垂线，也就是 b o 或者说这里的 b c、 e， 因为你只要找到垂线，你才能定好射影在哪里。 ok， 下面我们来看第二道题， dc， 这呢，这条是 dc 与 pbc 这个面的夹角，我们来看怎么处理啊？过 d 点做 d e 和 pc 垂直， 由于 p d 是 垂直下底面的，所以 p d 和 bc 是 垂直的。继续 bc 呢，就因为它是正方形，所以 bc 呢和 dc 是 垂直的。 由于 bc 和 dc 相交于地点，对吧？相交于地点，所以呢， bc 和 pdc 这个平面是垂直的， 因为呢，刚才说了 bc 和这个 pdc 是 垂直的，所以呢，只能得到 什么呢？ d e 和 bc 垂直，刚才我们又做的 d， e 和 pc 是 垂直的，那他们又交于了 c 点，所以呢， d e 就 什么叫垂直于啊？ p b， c， 那 又因为 d e 垂直了 p b， c， 所以呢， d c 和这个 p b， c 所成的角，那我们来看是不就是 e， c， d 了， 咱们再看一看啊，那这个叫什么？这个叫斜线，这个叫垂线，那这个是不就是那个 摄影，对吧？ ok， 那 下面我们再去计算就简单了，因为 p d 和 a d 相等了，所以在这个三角形中呢域 cd， 这是一个等腰直角三角形，就是四十五度。 ok， 那 再反思这道题，能找到角的关键是什么？我们说还是找到面的垂线， ok， 那 么我们看下一道题，稍微有点小变化了啊，大家来看一看。你看，我现在求了一下什么呢？我求了一下， 我把它连上，我求了一下三角形 dcb 的 面积，由于这个 cdb 是 个直角，可求吧，那我们标一标啊， cd 是 一， pd 是 一， b， d 是 二，这个是一个直角。 ok， p d 是 垂直下底面的，因此我们可以求出三棱锥 p 杠 b， c， d 的 体积。到这同学们会觉得，哎， 求体积干什么事？我们继续看啊，再继续算一算，这个直角三角形中，我们可以求出 p b， 然后呢，在 p d， c 这个三角形里呢，我们可以求出 p c。 在 d， c， b 这个三角形里，我们可以求出 b， c 三条边都有了，那这个三角形的面积也是可求的，我们不具体说了啊，可以有什么呢？有海伦公式，当然你如果不用呢，你可以先求出一个角， 然后用 ab 三 c 的 那个公式也可以。这个我们就不说了啊，因为这道题的关键点在后面，大家继续看。 哎，我出了一个 d， e， d， e 呢？是什么？大家看啊， d e 是 什么？ d e 是 d 到平面 p b， c 的 距离，我们测它的长度为 h， 但貌似我们好像没找到它的具体位置。 没找到具体位置没有关系，那大家看啊，咱们设 dc 与 p b， c 的 夹角为 c 的， 干嘛使呢？你看这 d p、 b， c 这个三棱锥的体积实实际上就是 p d， c， b 这个三棱锥的体积，两个体积是一样的，这块我稍微具体写一下啊，那体积也就是三分之一，大家算过了，它还可以等于三分之一，乘以谁呢？ 乘以 s 三角形， p b， c 再乘以一个 h， 对 吧？这是三分之一二，这也是三分之一，所以相当于 h， 我 们算出来了。 什么意思？虽然没有找到，但是我们算出来了。那 sin theta 是 什么呢？ sin theta 就是 h 比 cd， 那 很显然这有一个直角三角形，对吧？ 那也是 h， h 就是 d e 的 长度比 d c 的 长度得三分之二。那这个方法叫做什么方法呢？叫做等体积转换法。 无中生有，必失就绪。这是一种什么情况呢？就是我实在是找不到他的高的时候，或者说找不到面的垂线的时候，我们还有这样的一个方法。 ok， 以上就是本节课的内容，谢谢大家收看。
51白学
14:21查看AI文稿AI文稿咱们高一下的同学家长们啊，这个马上要到这个期末复习阶段了是吧？已经都开始了是吧？有的都有的还差点是吧？这里头咱们有很多的，不管是解三角形那块，平面向量那块东西，还有尤其是最闹腾的立体几何这块，是吧？大家都很多东西都没学明白，大家就是心慌，是不是？这里头呢？ 张老师把这块的东西啊，每一个章节复习要点给大家总结一下子，就是我们要学会哪些东西，我们要解析解哪些东西，学会哪些东西啊， 不多，其实不多，高一下的内容很有意思，高一下内容你像解三角形，立体几何，这是咱们大考的都是核心的要点是不是？但是呢，这块东西他你要掌握的方法其实并不算多，你要学会的东西不算多啊。来，我们先从平面向量开始啊， 这块不用去搞一些特别复杂一些乱七八糟东西，我们就掌握好两点就行。第一个 平面向量基本定律，这块的东西咱们要搞清楚干啥？就是两个我平面上面我用，我怎么样，用两个不共线的向量去表示任意一个向量是吧？这种题咱们总做，是不是？大家都做过这种题不难是不是啊？就是两个 肌底向量表示另外任意一个向量哈，这种题正向做咱们做挺多的哈， 老师要说一个啥呢？就是这个东西有一个反向的应用。反向的应用啥意思？我两个肌底向量表示任意一个向量啥意思？相当于是图形是不是？我怎么样子把 一个未知的边和两个已知的边之间建立联系是吧？我说了平面向量是解决几何问题的工具，是不是咱们听过张老师视频的，是不是啊？那么这个反向的应用那是啥意思？我如果在题目中，你遇到什么样的条件啊？一组集体向量，它是啥状态？ 有长度还有夹角，是不是啊？对吧？怎么样子？把已知边和未知边 建立联系， 这个的话大家弄明白了啊？这个要弄明白了是吧？ 就是把它反向来，因为你用我用基向量，你想想我基向量，咱们都是在图形里头两个基向量表示任意一个向量，我让你求它的长度了，中间或者是说夹角了之类的东西的话啊，我首先得建立这个已知和未知之间联系吧，然后剩下的计算用啥？计算用啥？ 我一个项链用另外一个项链，哎，二分之一，三分之一有系数表示，然后剩下怎么计算？数量积？是不是两边平方？是不是啊？因为我右边右边那里是已知的，是不是他们的数量积是已知的平方就是啥？那平方就是膜长没有膜的平方吗？ 是不是长度的平方是不都有？是不是数量级？是不是加上数量级，对吧？我这样子就完成了建立联系加计算了，看见没？这就是说学平面向量核心就学会这个东西就行，我平面向量的 用法把这个学会就行。然后有的说，老师，那有什么动点呢？ 你管他什么动不动点，动点都是在一个范围上动，是不是啊？他在一个范围上动，那么他一定是有一个啥动参数是不是一样的？建立的一样建立长度，或者是说我范围的表达式干啥？跟动参数建立函数去呗，把把什么把动点拿这个动参数表示出来之后，他不就相当于一个， 你把参数当常数看，他不就是一个固定的向量了吗？对吧？解决方式一模一样看没？这就是平面向量中的东西。然后数量级内部， 记着数量级内部，咱们是吧有小题的那种计算，是不是模 a 的 给你模 a， 模 b 给你夹角，让你求什么 a 加 kb， 什么模长啊？或者是求什么夹角那块的计算没毛病是不是？这个就就学会这些东西就行了哈。然后第二块解三角形， 解三角形这块儿东西的话，这块儿我就说咱们解三角形这块儿第一个就是啥边角儿， 直接的边角计算就是啥正弦定律，余弦定律的应用是不是？然后第二块是啥？这个是咱们处理的一个核心的东西，啥 边角条件互化，是不是我解三角形里边边角条件互化，那么这个东西我怎么样子去什么边化角化边，是不是这个东西考的是什么东西？考的是什么？咱们 三角形等变换，是不是我要掌握那个画规的方向，怎么去找画规的方向，得到我们需要的那个去这个东西？ 其次是咱们有一些常见的形式，可以就是说大家看见之后我就大概知道怎么样去画去，但这个东西不要太局限，因为有的时候是角化边方便，有的时候边化角方便，是吧？ 这个的话之前老师之前讲题的时候也有过，然后或者说直接跟张老师的课也行，张老师的课里面这些东西都给大家完整的去掌握了，这也就常见的一些东西，就那么点，也没有太多。然后剩下的时候就是求范围嘛？ 那求范围其实是一样的，干啥？我你只要求范围，一定是有一个动参数，是不是？我就你肯定是有一个动参数，是不是啊？ 你把这个动参数给我找到之后当成长数，然后记住了，那你计算的话跟这块不是一样的吗？你，你要求什么？ 这个什么说边长的范围，什么角的范围，什么正弦值的范围，圆值的范围，这个东西和这个动参数之间一定是个函数关系吧？我就把它当成长数，你计算的流程一定是这两个东西，对吧？是不是？先计算然后再干啥？给区间求值域，把函数先把那个函数先做出来嘛？对吧？ 这个别的都没有啥，是吧？这个东西就没有了，就尤其是求范围中，大家一看到这种东西就觉得他很难。并不是啊， 所有的求范围的东西，他一定是求范围的东西，他一定是你所求的这个东西，他一定是某一个东西动了，是不是？不管是动点是不是 啊，还是什么动角之类的东西，它一定是一个动参数，你把这个动参数你给它描述出来就行了，然后跟它跟你所求的东西去建立一个函数关系式，你建立函数关系式过程，那不就是正常的计算吗？对不对？你把啥我们计算的过程是啥？把参数当成啥常数，是不是，对吧？明白了吧？ 这就是解三角形这块的，然后再往后是啥立即几何了哈？ 那第一块的话，支柱台这这块的话就是直接被公式就完事了啊，直接被公式推倒就行了，这块没有什么太多太多的东西，表面积，体积，是不是啊？那几个渐近的公式是不是这个很简单是不是 这块老师就不说了啊？不给你们挨个摆了啊，你们自己去设计一下子去这块出小题就正常，就一道小题，然后这块东西记着点，要接一个啥东西的啊？这块标准几何体的外接球，标准几何体的外 的外接球和内切球， 我一个球里边我不管是外接或者是内切一个什么，比如说圆柱圆锥，或者是说什么正三棱、正四棱锥这种东西就是标准几何体这种东西。那么记着东西这个东西处理的方式是干啥？东西找谁？ 轴结面哈？轴结面干啥？我要把空间上的问题，立体几何的核心干啥？高维化低维，是不是 我空间上的问题？我最终计算你得转到什么上面去？我得转到二维上去，就是平面上头去，是不是转到轴节点上去计算啊？ 这是立地几何的核心思想，高维化低维是吧？这块要这个要注意一下子啊。这个的话你像今年高考又考了啊？今年考，今年高考又考了是吧？ 一个三棱锥，一个正三棱锥的，一个一个正三棱锥的外接球，是不是那个正三棱锥的和外接球的？是不是那个题就是这种题他不会考太恶心太难的东西，因为他啥他的，咱们大口占比的话，他没有那么多， 就是这个计算，你的计算你要是觉得复杂，那就是啥我们的方，你的方法没找对，你看的东西你没有简化到位是你的问题，是吧？做事要奔本质的东西，用本质的方法去做啊，然后紧接着第一块是什么啊？写上 追逐台，然后第二块。第二块是啥？第二块那就是啥证明了哈， 证明这块东西能不能核心的话，就那线面平行和垂直的证明，是不是啊？线面平行垂直的证明啊？ 这块的话张老师视频给你们发过了，是不是可以去看一眼，然后整不明白了之后，可以立马跟张老师，跟着张老师的课走来找张老师来，跟着张老师的课走，把这些线面平行垂直的证明方法包括什么？辅助线的找法哈， 怎么只找辅助线？一个是怎么找辅助线，一个是怎么找我们怎么找证明条件这个逻辑推理的，聊这个逻辑推理的完整的过程是什么样子。这个东西大家学会了就行，他没多难啊， 学不会了就立马来找张老师，就这段时间就够学会的啊，听明白了吧？啊？无非就是一个辅助线，大家找不着，是不是啊？尤其是线面垂直的这个辅助线我们找不着。那那那个，这这垂线怎么做呀？是不是？那怎么样？一步一步找，包括什么线面垂直的条件？ 哎，一垂二我知道，但我只能找着一个，另外一个我就不知道怎么找了，怎么样子一层层去找去啊？你包括线面平行的时候，我怎么样子去把那个什么 面内的那条平行线给他找到，是不是啊？咱这个辅助线到底怎么样去做，或者怎么样去连啊？然后第三个就是计算了哈， 那计算的东西无非就是啥线面角距离。那还有点面距离啊，这里头点面距离的话可以是几何法，我直接就是刚才正出线面垂直来是不是或者是啥等体积法是不是？ 或者是还有啥几何加上等体积是不是啥意思？我先用几何法把这个体积算出来，然后算出来之后再等体积法去把我不好算那个算出来是吧，这也有，也有这种结合的，这种相对来说就难一点了，但也无所谓，就是逻辑都是一模一样，多找一步而已， 是吧。 然后剩下的还有啥？这个东西大家比较烦人的就是二面角的几何法哈，我怎么样做出这个二面角，或者是还有一个啥？我给二面角的时候 反推是不是给面给给二面角反推其他的东西，不过这东西其实都无所谓，核心的话，我这二面角做出来之后是二面角一定是啥胶线的垂面上是不是，我怎么样去做出来他我把还是一样核心都是啥，我怎么样高为化低为做浮线是不是啊？ 这个东西无不会的话也可以来直接找来找张老师的就行了啊，跟着张老师的课走就是，无非这种就是属于啥几何，一个是逻辑的分析，然后找条件的流程，做辅助线的流程，这东西是一个标准的一个流程 啊，学会了就行了，无论什么图形就不要去陷到题海里去，没必没意义啊，立体几何就靠这点东西，大家可以看我今天高考是不是现在高考他就靠这点东西 啊。用利息几何这个章节要考你的一空间想象能力，第二个就是考你啥考你用证明题，证明题考的是啥？考的逻辑思维嘛，是不是啊， 把这些东西搞定了，剩下的咱们说什么统计概率这个东西都无所谓了，统计概率的东西，这一块无所谓干啥，主要是概念，概念要清晰， 然后记着注意点，有一样东西，啥脂肪图哈，这个频率脂肪图，脂肪图要注意一下子哈， 这个脂肪图要注意一下子，大家要去多花一点功夫啊，尤其是脂肪图里边，不管是分类数的，包括，尤其是脂肪图里头，我中间切一块是吧？问你可能是说我这个东西比例是多少啊？ 我如果比比例给你个这这三个，三个完整的图加一块可能是百分之八十，然后这块是五十，然后问你七十的位置是在哪，让你估算是不是啊？是不是一定是这种啥在中间是不是？那你怎么去估算？是吧，按平均数来，用这个面积去加去，是不是？你设这个是 x 是 吧，然后去加去， 然后说概率这块东西记住了，古典概型一定要搞清楚啊，我怎么样去算东西是吧？啊？以发生情况比上总情况，这块东西记住了，我们之后学排列组合，概率还要再用呢，后边高二之后那块还要用呢，一样的东西，核心的底就是啥？这块古典概型的东西啊， 整个高一下就这点玩意哈，听懂了吗？咱们复习的要点，每一块大家要搞定什么东西啊？然后发现学校东，学校老师领你们光瞎做题，我自己这个流程完整的流程不知道是啥，我不知道这个东西前后的关系是啥？ 这个关系是啥样？知识点之间联系是啥样？我解题时候从哪里下手我不知道，立马就说立马来找张老师，把这些标准流程去学会了就行了， 知道遇到问题如何去下手就行了。什么叫逻辑思维？这就是逻辑思维解决问题的能力啊，可以练出来的哈，听明白了吗？啊？
157张兵老师高中数学
00:57查看AI文稿AI文稿高一立体几何怎么学？立体几何？高一下学期要学，高二上学期仍然要学高一下学期的立体几何理可以理解为几何题，而高二的立体几何可以理解为计算题。 高一下学期是通过做辅助线等方法去解决空间中的立体几何问题，而高二上学期是通过建立坐标系，计算坐标去解决空间中的立体几何问题。这两块内容， 如果你的孩子想在高一下学期冲击到一百三十分或者冲击到一百四十分党的话，你要让他提前把高二的立体几何知识提前学完。如果说你的孩子想在高一期末考试达到一百二十分的话，这个学期必须要让他把立体几何的各类基础题型， 各类常考的专题题型，以及各类涉及立体几何空间角的计算问题的几何法内容做详细的掌握。
48高中数学高学长
04:36查看AI文稿AI文稿高一的立体几何根本就不难，期末考试这块的证明大题想拿满分那是非常容易的，但是为什么很多同学听到立体几何这几个字就心里边发慌呢？那是因为还没有学后边的空间间隙的方法。刚开始为了练孩子 们的立体感，还有逻辑能力，明明可以用空间间隙，但是咱现在不让用，高一下就是为了让我们学习几何法，所以说很多孩子会觉得不适应，学不会。等到了高二甚至高三，我们能用空间间隙的方法去做一些题的之后， 会发现立体几何这一块降维打击了，就非常简单。但是啊，咱高一现在没有办法，只能用几何法，所以我们必须把几何法给他学透，学好。那怎么学呢？为什么很多同学觉得我学不会呢？这玩意太难了，谁能想到还得做辅 助线呢？但是老师在这呢想跟大家说啊，其实他非常的简单，咱们只需要掌握恰当的方法数， 根本没有难题。比如说线面平行，总共就有四种形式，线面平行的中位线类型，线面平行的平行四边形类型，还有线面平行的等分点类型。再有就是用面面平行去正线面平行。 还有就是我们立体几何的线面垂直的证明，五个条件找齐了就能推结论。还有就是面面垂直的性质，但凡题干里出现面面垂直，我直接找四个条件出现面垂直。所以啊，立体几何根本不难，它就是一个文字游戏，你只要抓住里面的字母， 二十六个字母咱们认识，而且数学里边每道题用不了五个字母，你只要把字母会认识，这些题 完全都是一个字母游戏，很简单的，你不会不是孩子的原因是因为你没掌握恰当的方法。对于现在的高一孩子来说，立体几何是噩梦，但是不要紧，孩子我可以带你把噩梦变成美梦，咱只要学会了恰当的方法，高一立体几何的几何法 非常的简单，完全能够掌握在期末考试的时候这一块的分数， 在期末考试的时候咱们把它练熟，期末考试稳稳的拿高分儿。
07:11查看AI文稿AI文稿大家好，我是超越老师，我们再看一下这个第三十三题，前面讲过，如果只是让你正垂直的话，其实还不是很难。正垂直不是很难啊，他往往要结合计算，比如说计算距离啊，计算前面角的二面角啊，陷面角这些就会变得比较难，对不对？主要是有的题他的位置你不好确定啊。我们看一下这个第三十三题， 你看他说是两个矩形，然后又告诉你 ab 等于二倍的 ad， 对， 看到这个你要想的起我们前面讲的啊，就是他长和宽是两倍关系，它里面就有可能垂直啊，你看像这样， 像这样啊，但前提是这个 m 点是中点啊， m 点中点，然后他说 e d 等于根号二倍的 a d， 那 咱们给他把未知数设出来，题目说这个三角形沿着这个 e c 给他折叠过来，刚好落在 m 点，对不对？然后他确实没有提到 m 是 终点。第一个题不要找 一个平面的某条线垂直于另一个平面，对不对？那找谁？我们说要看百顺条件，对，题目中是不是两个都矩形啊？所以这个 d e 和 a d 看着都像百顺条件啊，那我们找谁？我们怎么样？可以随便先试一个。我们就比如说我们找这个 d e， 为什么找 d e？ 其实你想想这个 d e 跟这个什么折叠这个平面也有关系，看到没有，就已知条件里面更多都围绕着他的，是不是啊？所以我们肯定是优先找这个 d e， 对不对？那首先看这个百上条件，这个 d e 是 垂直于 dc 的， 这是第一条，那我要再找一条。对，我们讲过再找一条，你就看还有几条，你看这上面有好多， 有好多，你看 ad， 然后 dmcm， 还包括这个 cb 都可以，对不对？ cb 和 ad 同时是一个意思啊，对不对？那你找谁对比？我们讲过，我们首先考虑找这个，这个能不能找？可以啊，这个能找啊，怎么找？我们来讲一下啊。 你想这个长是二 x， 这是二 x， 那 我只要知道这个长，咱们不就可以用勾股定律吗？对不对？能不能用啊？能用， 你看一下，因为这个这个是垂直的，你看这个折过来，这个是不是仍然是根号二 x 啊？你用勾股，你算这是 x， 这个就可以算出这个长是 x， 你 就会发现它的终点啊。但是我们接着往下走，这边也是 x， 这个就是根号 x， 所以 这个就算出根号二 x， 对 不对？这就是勾股定律。看到没有？这是我们 正垂直里面非常常用的，只要知道线段的长度或者它的长度关系、比例关系，就能用勾股定律啊。这第一个啊，第二个就是如果你没找到这个 dm， 对 不对？那你能不能找 cm 呀？可以，我们讲过垂直里面最常用的是一个二次垂直， 这个 d e 和 c m 它怎么样？它没有连在一起，所以我们要证明 c m 是 垂直于包含 d e 这个线的某个面，然后就得出 c m 垂直 d e 了，对不对？那哪个面你一看是不是就这个 d m e？ 对， 为什么？因为这个里面又有一个百分条件，因为这个 c m 垂直于 m e， 它折完之后它的角度是不会变化的，对不对？然后我只要知道这个 c m 垂直于 d e 是 不是？怎么？这还是刚才这样， 你只要算到这个是 x， 它是终点了，然后就稍微写一下，这就垂直了，看到没有？我就不讲了，是不是这样的？第一个是不是就正道了？我就不讲了啊？两个方法都可以用勾股定，你用二次垂直都行啊，我们再看下一个啊，他说告诉你 ab 是 二，那我们这个 x 全都是一了啊，那那那就，那就给他改掉啊。 然后让你去求这个 b 到这个平面做投影，或者说 b 向这个平面 做垂线那个垂足。首先你要找到啊，通过我们前面第一问的计算，这两个是相等的，他其实一个等腰直角三角形，他的那个斜边刚好在这个平面上，那他的那个投影在什么地方？这个你要知道啊，我们可以拿这个比比一下，你看 比如说我这个平面就是这个 emc 这个平面，你看一个等腰这样靠在这对斜，在这，这个的投影的位置大概在哪？你想一下，你正面做垂线过去， 咱们根据对称性你可以想一下，他是不是一定会过这个斜边的中垂线的那个上面去看懂了吗？是不是这样的？所以他的投影大概在哪？就是要过这个点，看到没有过这个点做一个中垂线啊，我们给他连一下啊，为了好做，因为这是垂直的，我们就怎么把这个连一下，看到没有？然后延长 准备连好啊？延长，延长，延长，是不是这个地方你把它做出来，就会在这个地方，我们还是要拿出一个辅助平面图帮助你理解啊，辅助平面图是非常非常重要的，比如这个点，我们给他 给他取一个，这叫 p， 对 不对？这叫 q， 对 不对？他的那个图大概就是这样的，你看这就是，这就是 q， 然后这个点就是 p， 看到没有？然后你延长之后，他的那个垂轴就会落在下面，对不对？落在下面，比如这个叫 o 啊，然后这个地方叫 b， 看到没有？是不是这样的？你是要算这个高，对不对？算这个高，首先这个长度你不知道这个，也不知道对不对？但是这个题你这个长和这个长都能算，包括你把这个的连线 连起来，是不是要在这个三角形里面把这三个解出来，然后你就可以算出这个，这个可用余弦定，你算出这个扩散一 c 塔，看到没有？然后在这边扩散 c， 这是扩散一 c 塔，这是扩散 r 法，再去算这个三 e r 法，然后就可以算出这个了，看懂了没有？ 长度，你看这个长度在这啊，算一下这是不是二分之根号二，你看这是二分之根号二，然后这个长，这个长是它中位线啊，这个长是二，然后所以这个长是不是一，对不对？然后这个长怎么算啊？我们这个地方有点看不清啊，我们来在这个上面算啊，就是 这个长不是一吗？看到没有？然后你在这个地方中点往下做一个垂线，看到没有？这个长是不是也是一？这个 q b 啊？你去连一下它其实是一个相当于相当于以这个 b q 为对顶的那种长方体的一个位置，看懂了吗？我就不画了，这个画画乱掉。你想一下啊，你想一下，你看这个长是根号二，然后再做这个长是二分之根号二，看到没有？是不是？所以他就是 你看二分之根号二的平方加上这个边的是不是一的平方？再加上这个边的平方，看到没有？是不是一的平方？开根号就是这个长啊，就这个长。 然后剩下的我就不讲了啊，因为这有更好的办法，我只是教你怎么找这个位置，这个位置你要学会找，有的题要找这个位置，不然的话你做不出来啊，这个题有更好的，对不对？我们刚刚说的，你看这个题麻烦，就是找这个位置不好找，对不对？那我能不能不找这个位置？因为我只要求这个距离，对不对？你在哪 不重要，这个时候我们就要利用到一个很重要的知识点，叫什么叫等体积法求高还记得吗？所以我们最好的办法是什么？就是这个 v e 杠，什么 m b c， 它是等于 v， 然后 b 杠，什么 e m c， 这个体积很好算的，你看它等于二分，三分之一乘以底面积，就这个小面积啊，等于二分之一乘以 一，一乘以一，再乘一，对不对？然后再乘一个高，高就这个再乘以根号二，对，他等于在另一个，是不是三分之一乘以这个三角形的面积？其实就这个三角形面积看到没有？那就是二分之一乘以一个二，再乘以根号二， 对不对？然后再乘以那个 h， 就是 我们要求的，看到没有？是不是？等底求高最简单？然后你去约分啊，去约一下， 全部约完了，是不是这样的？那最后 h 刚好等于二分之一就做出来了啊？你如果有兴趣，这个你也去算一下啊，看它是不是二分之一去试一试？我就不讲了啊？这个题我们就讲到这啊？
12超越数学
