2026保定二模数学24题怎么解
中考数学保定二模此次考试基础题占比高，这二点被细化的非常的这个详细，这个基础题虽然是送分题，但是普遍咱们拿分率不高，那么咱们来简单来看一下这个细化的考点。我们来以第三题来为例子，那第三题就是对我们这个非负性的一个考察，也就是在我们初中，我把它称为是非负的牛逼大哥。其中会有三类平方根， 还有我们一个数平方和这个绝对值这块这里面就考的平方根的根号 a， 根号底下的数 a 大 于等于零。那么再细化的这个一二方程的表达定律，先用奇公式把它变成两根之积和两根之隔代入求解即可。 另外就是第九题考的是一元二方程的这个根的情况和反比函数图像的性质，所以这个也是比较细分的考点啊，并不是很难，只要你知道这个情况，想嘚他反比函数的一些性质增减性，这道题拿分是比较好容易的。 嗯，这里面图形题主要分布在第八题和第十题，而第八题考的就是我们角平分线模型，在我们这上课的这个小朋友们，我都给挫胖子等于二分之一倍的高，瘦的加九度，这个就是角平分线模型。而第十题采用做辅助线的情况，截长补短，然后利用三边关系来纠结，那么这份是我觉得一个稳分式卷，查缺补漏，是一份练规范的优质卷。
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01:33查看AI文稿AI文稿保定二模的数学终于考完了啊，试卷整体呢，中等偏易，难度是低于我们中考整体的，特别适合考前复习，巩固基础。查了补缺，基础题呢，占百分之六十，中档题百分 之三十，难题仅仅占百分之十。难题呢，集中在选择第十二题，填空十六题，还有二十三、二十四两道压轴大题，主打综合，几何各占百分之四十五，概率统计占百分之十， 全面覆盖中考高频核心知识点。那么题型划重点了，选择题一到七题，填空题的前两题都是我们基础送分题，务必稳稳拿满分。八到十一题和填空的十四十五这两道题是中档题，拉分题，侧重几何推理和数学的建模。 四道压轴难题呢，考察正六边形的旋转面积比例，二次函数整点、几何折叠对质问题，完全贴合中考压轴的出题风格。 那么试卷特点呢，是侧重基础考察和几何模型覆盖、折叠相似旋转和圆函数的出题呢，很常规，很贴合我们本地中考的命题规律。 最后呢，给大家提供三条中考的备考建议，第一是抓牢基础，简单题坚决不留分。第二是攻克中档题， 练手几何推理还有应用题的建模。第三呢，就是专项练压轴题，吃透几何变换函数最值的这些常考模型，稳不提升综合题的得分。那么大家需要完整版试卷和解析的取件码八八八。
09:07查看AI文稿AI文稿好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天来说一说这个二零二六年河北区九年级二模数学第二十四题的相关解例思路啊。这个题我觉得对于二十四题来说还是相对比较容易一些的啊。 那么看这题啊，说是这个矩形当中点 a， 点 b， 点 d 告诉我的，然后 d 问问我点 c 的 坐标， 因为是个矩形，所以他从 a 怎么挪到的？ b 用同样的平移方式就能把 d 挪到 c， 对 吧？所以 a 是 十二到零， b 是 零到负九，那就是 a 向左挪十二，向下挪九，那同样的平移 d 向左挪十二，向下挪九就是 c， 所以 d 点是零到十六，那么向左挪十二，向下挪九，点 c 坐标就知道。 然后求 a d 的 长，那这更好办了，对吧？这个边是十二，这个边是十六，不建议大伙这个勾五定，你算了，这数有点大，给他稍微的比例一下，十二比十六，是三比四，那么这个边一定是比五，对吧？三四五吗？ 对吧？那这个边是五的话，那么我是十二除以的四变成了三，对吧？所以呢，五再乘以四，这个边就是二二十，这样会比较快一些啊。 好，这是第一个来，第二个说是直线 l 经过点 c， 且这个 l 平行于外周，就是 呃，过点 c 做一个平行线，对吧？然后将这条线方就是平移， d 是 零到二十四，为什么是二十四？我们看 c 点横坐标是负十二， a 点横坐标是十二，也就是这条线是从这个矩形最左边挪到最右边啊，这是一个整体的曲值范围， 然后说把这个 l 十左侧的部分向右侧翻折，然后又矩形的右侧部分重叠，面积记为 s。 来看圈一 都是在这个外周左侧的时候重叠，图形为三角形的时候。呃，这个用 t 的 式的表示 m n 的 长，也就是这段的长，对吧？好，然后直接写出 t 的 取值范围， 这个事我们怎么干？呃，熟悉我的这个家长们都知道，咱又开始了啊。第一步，先求 t 的 取值范围。首先如图二这个样子，他明显就是一个三角形，对吧？好，他什么时候？不是， 不是说当这个 c 在 外头，这不是你过去之后，他还是和这个剩下的这个右半部分重叠，还是一个三角形，什么时候？不是的，当这个 c 挪到了叠过来，是在 a d 上的时候， 这个时候他就不是。所以我只要求出来，当 c 叠过来正好落在 a d 上的时候，这个时候他对应的这个横坐标是多少就可以了，我只需要取这个 c 和这个点的中点，这就是我翻折的这个一个临界的位置就可以。所以 t 应该是大于零， 小于某一个位置，那这个位置怎么求这个位置？因为你是 d l 来的，他和这个 a d 的， 哎呀，和 a 和 c 的 这个纵的标是一样的， c 是 负十二到七，所以这块是七。那我现在要求谁？注意求的是这段， 那这段等于啥？ o a 减这段呢？对吧？为什么这么算？因为这段很好求这个角。刚才我算第一问的时候是知道他这是 对边邻边斜边是四比三比五，所以我知道对边求邻边，我只需要用七乘以四分之三就可以，这是四分之二十一，所以剩下这段呢？是二，减去四分之二十一等于四分之二十七。 好，这个点的横格标是四分之二十七，我知道，那这个点的横横格标是负十二，拿它们俩加一块除以二，就是中间的这个数啊，但是我，我要知道我是奴的距离，所以我不能拿它加负十二，我得是四分之二十七加上十二，然后除以二。 啊，那这个是四分之二十七，加上四分之四十八，二十七加上四十八，这是七十五，再除以二，那这个是小于八分之七十五。 好，考虑完这个范围之后，看看两边能不能去等号 g 等于零的时候，这个显然不合适，对吧？等于零的时候，这个图图都没有，那这个能不能小于等于八分之七十五？就是当 c d l 来正好在 a d 上的时候行不行？当然可以，他没有出去的话，这位置还是一个点，所以他依旧是一个三角形， 哎，于是这个这个题取之范围就是大于零，小于八分之七十五就完事了。 好，接下来我这个 m n 怎么表示，我先看这 t 在 哪，题目说是将直线 l 沿水平方向向右平移 t 的 单位长度，也就是说这块长是 t。 哎，我要知道，这块长的题等于我知道这块求这段长，那这个事我怎么办？我们不用打理那么麻烦。没，没有，这个题没有那么费费劲，其实挺挺容易个事，就是我在这个三角形这个直角三角形当中， 我相当于知道这个斜边上的高求斜边，就这么个事了，对吧？而这个三角形呢，他的这个三边的这个比例是确定的，因为我刚才求过这个角， 对吧？你，你可以自己倒一遍，这个角和这个角相等，因为平行这个角和这个角相等，也叫他的对比斜边的关系，因为他是个三四五嘛，谁稍微长一点那个直角边，谁就是那个四，就完事了。 所以这个 t 是 在这个小的三角形里边，它是四的那个边。所以，嗯，我上这个 c m， 它就可以表示成 t 乘以四分之五，这就是 c m 的 长。那 m n 呢？是在这个三角形里边，它是那个五份，而在这里面的 c m 呢，这是三份，对吧？所以这个 m n 它可以写成， 他可以写上 c m 乘以三分之五，就是他。于是这数字出来了， t 乘以四分之五，乘以三分之五，这就是十二分之二十五， t 完成任务， 而这个过程你只需要去证明相似，或者用锐角、三角函数导角相等就可以解决问题。那他不困的，他不困 啊。好，这是这个第圈一啊。来看圈问我， s 等于二十五分之二十四时候求 t 等于多少？各位，呃，这是我们今年第三个看到给 s 求 t 的 t 的 这种题啊。我建议啊，这个如果给的是 t 的 取值范围，咱就直接绕过吧，太不好求了。但是给一个数据还好，尤其是这么小的数， 各位一定要注意啊。这个题为什么我说咱可以算，因为它这个点感觉都特别特别大，这个是十二到零，这个是零到负九，零到十六，也就是说这个边长是实际是十六的，这个是十二，很长，但是他给我的数还不到一，也就是这个面积相当小，特别特别小的一块面积， 但它有可能是二十五分之二十四，对吧？而这小块面积怎么算？我刚算过的一个 m n， 对 吗？ 那么这可以当底，我这个 t 就 可以是高，所以这个面积其实表示起来不困难，这个面积可以写成二分之一，底就是十二分之二十五， t 就是 m n， 高就是 t 往上扔，哎，这个简单算一下，这是 二十四分之二十五， t 方八等于啥？八等于这个二十五分之二十四，所以这个 t 方呢？它就应该等于二十五分之二十四的平方，所以 t 是 多少就是二十五分之二十四， 哎，一个数有了，好，那另外一个可能在哪？可能是叠的快叠，叠出去了， 还剩这么一个小角的时候，整个图形叠完重叠的就剩这一小块了，对吧？这是二十五分之二十四的时候，哎，同志们，看这两个像啊， 这两个特别像吧？这两个弧弧形，就是我要把这块看成 t 的 话，它的算法基本上都是一样的，对吧？所以我们没有必要再算一遍，也就是说，我从零到二十四正的推过来的时候，有一个这么个点能让它面积是这样，那如果，如果我反着推，我从 a 算过去呢？是不是从 从 a 开始再推二十五分之二十四的，也也能变成这个面积，对吗？那也就是说，我这个位置只需要拿二十四减去这个数， 他就能让这个面积等于二十五分之二十四，对吧？所以这是二十三要二十五分之一完成 啊。所以这个题我觉得就是你，你，你稍微的想一想，再计算，可能比直接计算这个要更好一些啊。 好了，那这就是我们对于二十四题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。好了，那这个二十四题下课，大伙说到这。
64叫兽
17:59查看AI文稿AI文稿今天我们来一起学习 二零二六年信阳市中考二模数学试卷分析，大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们就来分享一个啊， 啊，今天上午刚考的啊，信阳市中考恶魔啊的一个数学试卷押注题啊，这个试卷的话应该是市区，然后呢，全市还有下面，比如说像这个固始了，还有这个光山啊等等很多县啊，他们的一个通用的一个试卷啊， 所以说啊，这个试卷的话，其实呢，真的范围比较广，那意味着这个试卷其实呢难度是比较低的啊，当然这个试卷确实比较简单啊。 好，有需要这个试卷的朋友可以私信我把这个试卷分享给大家啊，大家不要问我啊，有没有这个试卷电子档，没有这个试卷电子档，我怎么去分享这个视频呢？录这个视频呢？好，话不多说啊，这个试卷的话，我仍然只分享两道题，第十五题，还有第二十三题啊，好，我们先看第十五题啊，就在这个地方进行 讲解啊，好，第十五题，在 l t 三角形 abc 中啊，还有另外一个两个直角三角形 abc 啊， abc， 还有 abc， 还有一个三角形是三角形 d， e， c 啊，两个直角三角形啊，好， ab 等二倍的 d e 等于八，也就是说 ab 是 个八，那么 bc 就是 一个 bc 是 一个六啊，这个 d e 是 一个四啊，然后呢， c e 就是 一个三啊，好，非常特殊的一组数字对不对？将三角形 d， e， c 绕着点 c 顺时针旋转啊，将 d， e， c 绕着点 c 顺时针，那就是朝这个方向旋转，对不对？ 当 c， e 垂直于 bc 时啊， c e 垂直于 bc， 好， c e 垂直于 bc， bc 是 固定的，所以说 c e 垂直于 bc， 那 是不是就意味着有两种情况呢？哎，非常好，第一种情况就是在这个地方垂直啊，那这个时候这个三角形就变成了，变成这么一个三角形啊， 对吧？那么这就是第一啊，这个就是 e 一 啊。第二种情况，那就是在下面这个情况啊，然后呢，这个边的话就变成了， 恰好是蓝色和绿色，是中间最顺的一种情况啊，这个就是一二，这个就是第二。好，我们先看这个蓝色的情况啊，这个题的话，我打算用这个什么呢？一个非常重要的一个知识啊，属于我们初中阶段的一个知识的延伸啊， 我们做题并不局限做题啊，做题的话其实也是不断积累一个过程，这个题我将会用到点到直线距离公尺，有没有同学能够记住点到直线距离公尺呢？ 好，如果说，呃，这个视频我分享没有超过二十分钟的话，我等一下会给大家简单证明一下啊，点到距离的公式啊，点距离公式啊， 我先说下这个公式啊，那就是点 x 零啊， y 到什么呢？ y 等于 k x 加 b 的 距离公式啊，这个 d 就 应该等于什么呢？这个 d 就 应该等于高下一加 k 方分值啊，然后呢？ k x 零啊，然后呢加 b 再减个 y 零的绝对值啊。 好，我们接下来就用这个知识来解其，为什么我要用这个知识来解决这个问题呢？是因为这个棋的话，他非常的规则，横平竖直，比如说我以我以什么呢？我以这个点 b 啊，我以点 b 为坐标原点，建立一个平面坐标坐标系啊， 那这个时候大家能发现啊，是不是点 a， 我 要学的是点 a， 还有这个什么呢啊？因为我等下做的是 a h 垂直于 b d 啊， a h 垂直于 b d， 所以 说第一种情况的 b 在 这个点 b 就是 圆点啊， d 这个时候就在这个点，所以说我做出来第一条直线啊， 那这个直线解 h， 大家能不能写出来呢？因为这个边是个三四啊，那就意味着这个边就是一个三，这个边就是四，所以说这个直线解 h y 就 等于啊， 多少呢？哎，是不是十分之三 x， 对 吧？那么这个点的坐标 a 的 坐标始终是一个零八啊，所以说点到这一个公式我们直接求啊，所以第一就应该等于啊， 根高下一加，然后呢 k 方，那就是一个一百分之九分之啊，带入进去，把这个点带进去零八，带入进去啊，那就是，是不是就是八呢？对不对？那就是八啊，嗯，那就是八，所以第一个答案，嗯，第一个答案，那就是 我们开下方，那就是一百分，一百零九啊，那就是根号一百零九分之，那就是八十，没问题吧？那就是八十啊，当然我们要把它分母优化下，我就不再去往下写了啊，好，第二种情况啊，第二种情况，那就是变成了 这个 d 的 这个点啊， b 的 这个点，所以说这个时候我来直接连接 b d， 对 吧？啊？做出来 b d 这个直线，然后呢做出来这个垂直， 好，这个直线怎么求呢？当然我们需要求这个第二的坐标啊，因为这个边仍然是三，这个边是四，所以第二作纵坐标就仍然是负三，横坐标的话，是不就是一个六减四啊？是不就是一个二，对不对？ 六减四啊，就是一个二二负三，好，那么这个直线啊，数值高，比水平宽，数值高，数值高，那就是一个负三，对不对？所以说第二个直线也是，就是一个 y 等于啊， 负三，负二分之三 x， 对 吧？负二分之三 x， 没问题啊，负二分之三 x， 然后点到这键就是公式来。第二，我们直接代入啊，那就是根号下一加四分之九啊，分之啊， 然后是不是也是八，哎，也没问题啊，那就是分母是一个四分之四分之十三啊，那就是二分之高十三，那就是根号十三分之，是不是十六，对吧？好，但是分母约束下，求出答案啊，好， 呃，估计这个时这个试卷的话分享应该不会超过二十分钟，所以说我对这个点到点到直线距离公式啊，对，点吧，好吧，来， 现在我想找一个点的坐标，是一个点点 a 吧，好吧， x 零啊， y 零啊，然后到一个直线 y 等于 k， x 加 b 啊，这个直线 y 点 y 点 k 加 b， 这个直线的距离啊，好，其实他就是利用了相似的知识解决问题啊，那么这个 k 的 意义，那就是一个什么呢？这个角的正切值啊，好，我们先画出来，比如这就是一个 y 等于 k， x 加 b 啊， 那首先我们能知道这段距离是不是就是一个负 b， 对 吧？这就是负 b， 好， 为了便于我们的求解，我们接下来要把它平移到什么呢？平移到过圆点的一个情况，那么这个直线的解一次，就是 y 等于 k x 啊， 好，我们再找一个点啊，再找一个点，再找一个点，这个点的话，比如说随便啊，随便找个点，对吧？这个点就是一个 a 点 x 零啊， y 啊，当然我们用高中的向量知识来去证明，这个结论是非常简单的啊，但是我们初中阶段没有学啊，所以说只能这样证明。我们现在要证明我要求的什么呢？ a 点到蓝色直线的距离啊， a 点蓝色直线距离， 然后呢？当然我画这个绿线只是做一个简单的一个对比啊，我要求这个距离啊，这个时候怎么做呢？我当然肯定是要利用，利用这个相似的知识解决问题啊，相似的知识解决问题，这个时候我可以做出什么呢？做出了一个竖直的一个 竖直的一条线啊，竖直一条线，那么这个三角形有没有有没有和这个三角形相似的一个三角形呢？哎，答案是，答案是有的啊，是不是就和这个蓝三角形相似呢？ 可以吧，这俩三角形相似啊，这俩三角形相似。如果说这个边是一个啊，我们就写，我们就写这个，我们就写什么呢啊？当然这个边啊，这个边是一个距离，是一个负 b 啊，对吧？距离是负 b 啊，那么这个边的这个长度啊，距离就是负 b， 那 我们就写吧，距离是负 b， 好 吧，或者说我们就把它截开，绝对是 b 也可以啊，这个边的距离是负 b， 那 么这个蓝边呢？这个蓝边对不对？那么这个蓝边是多少呢？这个蓝边的话应该是一个， 呃，是不就是一个？我们把它带入进去是不就是一个？当 x 等于当 y 乘零的时候，所以说啊， k x 就 等于一个负 k 分 之 b， 所以 这段距离就是一个 负 k 分 之 b 啊。负 k 分 之 b， 当然为了便于求解的话，我们接下来就不再加这个正符号了啊，我们直接就认为这段距离就是个 b， 这段距离就是一个 k 分 之 b， 对 吧？ k 分 之 b， 那 么这个时候斜边是多少呢？斜边那是不是就是根号下 b 方，再加上个 k 分 之 b 或者平方啊？又说这个三角形的三边比，就满足一比 k， 对 不对？再比根号下一加 k 方啊， 那么我接下来我要求解的这个红色三角形是不是也是满足了一比 k， 再比一加，刚好下一加 k 方，对吧？好，我们要求的是这一段距离，那么这段距离的话，我接下来把它转化成什么呢？转化成，我们如果说知道了其他的一段距离，是不是就可以求解了，对不对？ 知道了其他一段距离，那么知道哪一段距离呢？我们知道平移过来啊，平移过来，可以吧？我们将这个平移过来啊，或者说我求出来上面这一段距离，这一段距离是一个多少呢？这一段距离是不是外零，对吧？而这段距离是一个 b 啊，这段距离 b， 那 就意味着这个斜边是不就是一个外零再加 加 b， 我 们就认为是一个正值吧。好吧，外零加 b 啊，好像是外零减 b， 对 不对？外零外零减 b 啊，外零减 b， 因为这个点，这个距离的话，我们说这个 b 是 一个负值啊，所以这个距离就是 b 啊，那我们就写个外零减 b 吧。好吧， 可能很有诸多不便啊，诸多不便，我最好是举一个正值，对不对？外零减 b 啊？好，这个距离是一个外零减 b， 接下来我直接来乘一个什么呢？乘一个这个角的， 这个角的什么呢？这个角的余弦啊，余弦啊，余弦，对不对？余弦，余弦。扣三，这个角值，那就等于这个角的扣三值啊，扣三的话，那是不是就是一个 啊？根号下一加 k 方分值啊，然后呢？ k 分 之 b， 对 不对？ k 分 之 b 啊，这时候我们如果带入进去的话啊，带入进去啊，带入进去的话，是不是就应该得到这个点的直线公式？那就是根号下一加 k 方分值， 然后呢，那就是 k x 零啊，然后呢，再加上一个什么呢？再加上一个呃 b， 然后再减 y 啊，对不对？好，其实它就是一个相似知识的一个应用啊，其实比较简单啊，熟能生巧。好，接下来我们看一下这个试卷的一个最后一题啊。 啊，当然也是非常简单的题啊，像这种题的话，基本上口算就能得到答案啊。好，第一问啊，在正方形 a、 b c d 中啊， a b 等于根二加 e 为 bc 上一个动点， 他说现在将这个三角形翻直啊，达到另外三角形啊。第一问，他是将什么呢？恰好经过点 c 啊，那就是相当于是把这个角是不是平分了，把这个四十五度是不是平分了呢？对不对？ 把这个四十五度平分。我们知道，根据角平分线上定角平分线分线段成比例的话，这个边是一个根二加一啊，所以说，那么要求这段距离，那我就是根二加一， 直接乘一个一加根二分之一，是不是就可以找到答案了？因为这一段与这一段的比，就等于啊，这个边与这个边的比，对吧？角平分，线分线段成比例啊。 好，当然我们直接设这一段是 x， 也可以 x x， 那 么这个角是四十五度，这边又是个垂直关系，所以说这个 x x， 这个就是根 x， 所以 x 加根 x 就 等于一啊，等于结果是一样的，对吧？好，第二，问 就问啊，如如图二，在矩形 a b c， d 中， e 为 b， c 上一个动点， e 为 b， c 上， e 为线段， b， c 上一个动点 a， e 等于 m， b a b。 哎，这个其看起来就是 可能比较高大上啊，因为它给了一些字母 a e 等于 m， b a b， 那 那么换一个，换一个写法，那是不就说明了 a e 来比 a b 啊，是不就等于 m 呢？ 对不对？好，第二，将三角形 a b e 翻折，得到另外一个三角形啊，然后呢，也得到了这个，那么这个的话，我也可以把它写成 a f 来比， a e 是 不是也等于啊？ m 呢？ 非常好。再加上，如果说这两角相等，那这个时候是不是就是两边乘比例加角相等啊？我们把 e f 连一下，是不是就得到了？ 哎，这边这个三角形和这边这个三角形就是一个相似关系。好，这俩三角形相似，我们能得到什么呢？是不是得到了垂直，这个是个垂直，这边是不是也是个垂直呢？好，再加上其中刚刚说的啊，翻折过来，这个角等于这个角，那我能不能得到这边这个角是不是也等于这个角呢？这其实就是矩形当中或者正方形当中的一个双翻折问题啊，双翻折， 双分的问题，对不对？好，双分的问题，让我们证明什么呢？让我们证明啊， e 是 b c 的 中点，是不是直接可以找到答案呢？为什么呢？因为这一段等于这一段，因为这俩三角形全等，包括说这一段也等于这一段，因为这俩三角形也全等啊， 好，比较简单啊，啊，就是直角，直角，再加一个角，再加一个公边啊，角，角边，对吧？就可以证明全等啊。好，重点讲第三问啊， 入图三角， a b c 角 b 等于九十度， ab 等于八， bc 等于十六啊，来，我们观察一下， ab 是 八， bc 是 一个十六啊， e 为直线， bc 的 中间就是 e 啊，可以在 bc 之间，也可以在左边，也可以在 c 的 右边啊， 好，这个时候仍然出现了两个比例关系， a e 的 m b a b， 还有 af 等于 m b a n， 那 这个时候我们如果把 ef 再连一下的话，是不是仍然是得到一个垂直关系呢？这是一个直角啊， 那我们仿照这个结论，用这个图形的话，这个时候是不是仍然是一个双方的问题？这个三角形和这个三角形全等，包括说我在这边再做一条垂直的话，那里有这个三角形和这个三角形是不是也是全等的呢？哎，非常好。 然后呢，他说是一个什么呢？三角形 a e， c 是 以 a e 为幺的一个等腰三角形。好，我们观察下图形， a e c 啊，来， a， e， c 是 以 a e 为幺，这个时候分成两种情况啊， a， e 为幺，那就是有两种情况， e 为顶点对不对？ e 为顶点的时候，那这个时候就是 e， a 等于什么呢？ e c。 如果说还有一种情况，我们等会再去说啊，来 a 为顶点的话，那就有 a 一 就等于 ac 啊， a 的 ac 很 明显 ac 在 这，那么 a 一 是不是应该在这边呢？是不是对称过来，对吧？好，我们等会再说另外一种情况，先看这种情况啊，直接写出 f 到 bc 的 距离， f 到 bc 的 距离， f 到 bc 的 距离，那就求的是这一段，求的是这段蓝色的，对吧？求这段蓝色的一个线段长啊，蓝色线段，我们刚说这一段是不是就等于这一段，对吧？这一段就等于这一段啊， 这段等于这段没问题啊，好，其中告诉我们了，这是个八，这是个十六啊，对吧？这是个八，这是十六，那我们看一下如何求呢？这个时候我们可以先求下 b e， 看观察一下能不能求出 b e 呢？如果我是 b e 是 一个 x 的 话，这段是 x， 那 么 c e 是 不是就是一个十六减 x， 对 吧？十六减 x， 当然这个绿线是不是也是十六减 x 呢？还非常好，因为这是一个等腰三角形啊，就是 e a 就 等于 e c， 对 不对？ 那这个时候我们是不是就可以解出来了呢？解出来这个 x， 当然我们最后解的答案，这个边就是一个六，这个边就是一个十啊，这是一组非常特殊的数字。好，也就是说这个三角形就满足了三比四比五关系啊，三比四比五关系，对不对？三比四，并且这个角等于这边，这个角是不是也等于这个角呢？ 好，这个边是六，那么这个边也是六，接下来我要求的就是什么呢？求的是这个蓝色边啊，那我能不能说就是六来直接乘以四分之三呢，对不对？因为它的邻边就是一个八，对边就是一个六，所以就是四比三关系，所以直接乘四分之三，所以第一个答案就是一个二分之九啊， 基本上口算就能得到答案。好，第六种情况在什么地方呢？当然我还是在这个图中进行化吧。好吧，好，这种情况我们刚说是一 a 为一个顶点，那这个时候我就反向延长过来啊，好， a c 在 这个地方， ac 在 ac 在 这个地方，那就意味着 a e 是 不是应该复制到这边这个情况啊？就是对称过来的一个情况，可以吧，对称过来啊，所以说， 那这样的话，我就找到了 e 九的这个点啊。好， e 确定出来之后，我们这个 e 为 b c 上一个动点啊，这个时候再去找 f 啊，再找 f， 那 么怎么去找 f 呢？他是将三角形 a b e 啊，然后沿着 a e 进行翻直啊，好，翻直过来，这个角肯定是一个大于四十五度的一个角，大于翻直到上面这种情况啊， 大约翻转到上面这个情况。好，假设就是这种情况吧，翻折上去，将下面这个三角形，现在翻折变成了上面这个三角形啊，那么这个点就是对应的 b 撇点啊。 b 撇点。好，继续读题， 我们这个时候在什么呢？ a a b 撇上啊，在 a b 撇上截去一点是什么呢？只要找到一点 f 是 是这个时候仍然出现了一个直角，其实我就是相当于是过这个什么呢？点 e 来做 a b 撇的一个垂直啊，那我把这个线延长过来， 延长过来啊，延长过来之后，接下来我做的是一个垂直啊，然后呢？直接过点，直接做 a e 的 一个垂直啊，因为我们在前面这个图中都能观察出来，对不对？做出来一个垂直啊？这边的话交与点 f 这个图可能比较大啊，这边是一个垂直，那么这个点就是对应的 f 啊。好，那么在这个图形当中仍然存在了两个三角形的一个全等啊。这边垂直的话，那就意味着我们这边仍然是一个什么呢？仍然是一个， 认识一个什么呢？认识一个啊，仍然是一个垂直啊，来啊，我把它延长下来，我们做一条垂线，对吧？这个图形应该是画的比相对是比较标准的啊，比较标准的，那所以说，所以说什么呢？这个边的话，既等于这个边， 是不是也等于这个边呢？因为这个三角形和这个三角形是不是也是全正的啊？好，这个其实让我们求 f 到 bc 的 距离， bc 的 距离 bc 就是 这个，那我们就求此时这个蓝色线呢，就可以啊， 蓝色箭头好，就像我们刚的做法还是一样的啊。这个时候我们能发现这个边是八，这个边是一个十六啊，那这个边是不是也是十六？那这个边是不是也是十六，这个边是不是也是 十六，对不对？这个时候你会发现啊，在这个三角形中，这个角等于这个角，当然是不也等于这个角呢？也等于这个角，对吧？ 就这个角所在的一个三角形中满足一个什么呢？直角三角形满足了两个直角边比就是一个八比十六，是一个一比二关系啊，那所以这个边是六，这个边就是三十二啊，所以答案是不是就三十二呢？哎，非常好，所以两个答案啊，好，第一个答案我现在已经忘了，是刚写了多少啊，对吧？ 好，所以有两个答案啊，这个试卷真的是比较简单啊，可能接下来的话就不会再举行这个统一的一的一个模拟考试了啊，对吧？包括说很快要进行这个高考的一个放假啊，可能接下来的话就不会再举行这个统一的一的一个放假哈，相信可能同学的话都会 有所耽误几千啊，所以说进入六月份的话，那基本上就不会再举行这个统一的组织考试了，所以大家一定要有自己的一个学习计划。好，这个视频我们就分享这么多啊，如果说觉悟哥的分享对你有所帮助的话，记得点点关注点点心。谢谢观看我们下个视频，不见不散啊，你想永不止步，我所能给，远超你所能见。
19心梦fly数理化
02:06查看AI文稿AI文稿保定数学二模整体难度中等偏差，属于标准中高水平，那么这份试卷其中基础题占百分之五十到六十，中档题占到百分之二十五到三十，难度题或者我们常说的压轴题占到百分之十到百分之十五，那么这份试卷我觉得就是三练，一练手感，二练速度，三练规范。 那么今天呢，我们以这个难度题压轴题的这个二函数来做例子，来说一下这份试卷比较新颖的一些二函数的考点，平常我没有练到的， 那么本次式的二次函数分大题分布在二十三级的位置，嗯，我们来看一下这个，其中我们这个第一问，呃，我们在这学习的，呃，那个孩子应该是多大的分？这个我们格式已经练好几遍了，规范啊，待定系数法求解，函数表达式求解，定点坐标是没问题的。 那么这个题，呃，我觉得他这个心心在哪呢？就是我们平常二函数的第二问，一定是对我们这个这个二函数的增减性以及性质做这个考察，而这次的二函数的这个考察考的是我们图形的变换，呃，旋转，那么这个呢考点我们在班课的时候也已经告诉大家公式了，那今天我再以画草图细致的方法来帮大家来讲解一下。这个 我们已经求出 l 的 结式是 y 等于四分之一， x 方加二， x 加三，那么这个抛物线 g 是 怎么通过 l 得到的呢？看它系数的啊，将抛物线 l 绕点 m 小 括号一斗零，旋转一百八十度得到抛物线 g， 那 么你看，我把草图已经画出来了，我们二次函数想要画草图，我们必须有两因素，一、 开口二，顶点坐标，如果没有顶点坐标，退而求几次来找对准轴，那么我们把 l 的 这个抛物线画出来了，顶点坐标是负三斗零，他绕着这个点一斗零旋转一百八十度之后，就肯定变成开口向下的了，那么我们怎么来求这个抛物线的结式呢？ 嗯，我们直接找一下它的顶点坐标和开口方向就行了，因为这个旋转它是不改变开口大小的，开口方向不改变，大小不变，那么我们借助一下 l 的 a 是 四分之一，开口方开口，也就 a 管开口嘛，然后我们这个 g 的 开口就是负四分之一，所以现在 a 搞定了，就差 h 到 k 了。 我们第一问已经求出 l 的 顶点坐标是负三斗零，那我们怎么根据这个绕点一斗零来求出新的这个抛物线解析式的顶点坐标呢？就是根据我们平常的小知识点叫做终点坐标公式，我们把一当做终点，负三当做 x 一， 那么这个 x 二就能求出来了。解得这个抛物线的顶点坐标就是五斗零，那么这个解析式就很轻松就写下来了这点，这里的解析式就是 y 等于负四分之一倍的 x 减五块来平方。 那么本次这个二次函数这块考点并不刁难，但重考理解不能硬算。这道题还是比较能拉开部分同学的差距的啊，尤其第二，想问同学们，如果练的少，同学这个就是想不明白，想复杂了，或者是其实它还是不难的。
52高碑店数学邢老师
07:07查看AI文稿AI文稿哈喽，各位同学大家好，我是数学吴老师，今天给大家带来的是北塔二摩的二十四体圆的综合，我们一起来看一下。这道题给了一个三角形 abc， 告诉我们角 a、 c、 b 呢，是九十度， 又给了一个角的角平分线，角平分线，立马得到两个角的大小相等，画了一个圆，这个圆呢，经过点 b 和点 d， 两个点原先落在了 a、 b 上面。第一小问，让你去正圆的切线。 正圆的切线，我们首先要搞清楚线和圆有没有交点，因为有交点，我连半径正垂直就可以了，如果没有交点，没有交点，我需要做垂直正半径， 他是两个类型的。那这道题圆和线有没有交点呢？有， 这个地方清楚的告诉我们，圆经过了点地，而点地呢，又在 a、 c 上面，所以点地呢，是这条线 a、 c 和圆的交点，那有交点，我们要去正切线， 需要连半径，所以我们把 d、 o 做一个连接，连完 d、 o 以后，它是半径，它也是半径，所以我们得到 b、 o、 d 这个三角形呢，就是一个等腰三角形，那这个角呢，和这个角相等，都是一个底， 立马得到这个角和这个角呢也相等，而这两个角呢，正好是啊，内错角， 内错角相等，两直线平行，平行以后，我把这个地方的九十度就可以挪到这个地方了， 所以我们立马得到 a、 c 和半径 d、 o 是 垂直的，垂直一定会相切，剩下的就是你把这个思路完完整整的写出来就可以了。 如果你还不会写切线的证明过程，你联系我，或者说写完有没有问题，你发给我，我给你看。接下来我们再看第二问。第二问呢，这个地方给了这样的一个条件， 这个条件我们在做题的时候，首先你要把它转移成比的关系。 为什么要转移成比的关系呢？因为我们在初三的这个地方，我们学完相似以后，谁是谁的几倍，其实就是谁和谁的比值是多少， 那涉及到比值的东西，考的就跟相似会挂钩了，所以我写成比的形式，方便我去找相似三角形对应边乘比例的比值。 第一问的辅助线我们划到旁边这个干净的图上来，两个垂直也挪过来， 那你看我现在呢，得到他和下面这条边的比值呢，是根号三，那我就看他们所在的三角形相似还是不相似就可以了。 第一问呢，我们已经得到了这两个角相等，而对顶角相等我可以直接用，所以我们立马得到这个三角形和旁边这个三角形两角对应相等，两三角形就会啊相似。 那接下来我们看一看，立马得到。我就简单写了，三角形 b、 e、 c 相似于三角形 d、 e、 o， 所以 我们现在知道的是 c， e 和 o， e 的 比值是根号三，那其他的对应边的比值呢，也是根号三，所以 bc 和 d、 o 的 比值是根号三，我们 b， e 和 d， e 的 比值呢，也是根号三。 至于要用后面这两个的哪一个，你等一下看求的东西哪个方便你去用哪个就可以了。我们现在要求的是这个角的正弦值，也就是这个角， 那你求正弦值，首先放到直角三角形，它现在在两个直角三角形大的三角形 a、 c、 b 里面，如果能知道这条边和这条边的长度，两个比一下就可以了， 也在小的直角三角形 a、 d、 o 里面知道它和它的长度，做一个比值也可以。但是这道题没有数据， 只有比值，说明你要设未知数。设未知数的时候我们也是有技巧的，小学或者一上初一的时候就会告诉大家，设小不设大， 设加，不设减，设成不设除，所以我们挑小的边去设， 挑小的边去射的时候去尝试看看怎么样好算这道题我们射 a、 o 的 长度会特别好算， 为什么会特别好算呢？我们第一问得到这条线和它是怎么样平行的，所以我们立马是不是也能得到这个小的直角三角形和我们大的直角三角形也会怎么样相似？ 那对应边是不是也成比例？它比值是多少呢？这条直角边和这条直角边是不是对应边？ 长的比短的是不是根号三？所以我们的斜边长的比短的也是根号三，就是它是它的根号三倍。所以我设 a o， 如果是 x， 那 我们的 ab 的 长度一定是啊，根号三个 x， 那剩下 b、 o 的 长度我就能表示出来。 b o 的 长度我就可以表示成根号三 x 减掉 x， 那 b o 是 半径，我们 d o 呢？是不是也是半径？所以 d o 的 长度也可以用根号三 x 减 x 来表示。那这样的话，你看我们这个角的正弦值 就等于所对直角边比斜边，我换成这根两的比值就可以了。 上面用根号三 x 减 x 代替，下面是谁呢？ x 上下同时把 x 除掉，前面除完以后剩 a， 根号三，后面剩个一，所以它的正弦值就是根号三减一， 剩下的把这个思路转换成完整的过程就可以了。好，这道题呢，我们就讲到这，拜拜。
85伍斌的数学思维
03:22查看AI文稿AI文稿hello， 各位同学，大家好，我是数学吴老师，带你三分钟解析北塔填空的亚洲题。 给出一个三角形 a、 b、 c， 告诉我们角 a 呢是九十度，这条直角边的长是六，这条直角边的长呢是八，那我们利用勾股定律可以求得斜边的长呢？是十 点 p 是 斜边上的一个动点，过点 p 向两直角边分别做垂线。 做完垂线，我们会立马发现这个四边形里面有三个内角是九十度，那么他一定是矩形。矩形有一个非常重要的限制，对角线的长度相等，所以 ap 的 长度和 ef 的 长度一定会相等。 最后呢，我们要求的是什么呢？ pm 的 最小值，而 m 呢，他又告诉你是 ef 的 中点， 那你看，我得到是矩形，这个角一定是九十度，所以我们三角形 e、 p、 f 一定是一个直角三角形。 你告诉我直角三角形斜边上的中点，那他一定会考斜边中线等于斜边的一半，所以我们立马会得到 pm 的 长度等于二分之一倍的 e、 f 的 长度， 而 e f 和 a p 相等，所以它又可以等于二分之一倍的 a p， 那 你要算 pm 的 最小值等于在求 a p 的 最小值。 a p 的 最小值怎么去算？点 a 和点 p 做一个连接， 点 a 呢是一个固定的点，点 p 呢是 b、 c 上的一个动点，那它的最小值相当于我们再去求一个点到一条线怎么样去最短。 那一个点到一条线怎么样最短呢？我们知道点到线的距离，是啊，垂线段最短，所以竖直向下，我们点 p 跑到这个位置的时候， a p 的 长度，是啊，最短的， 这个时候你正好是 bc 上面的高，那高怎么去算面积？面积等面积法就可以了。三角形 abc 的 面积可以用六乘八乘二分之一，两直角边相乘乘二分之一来算，也可以斜边乘斜边上的高乘二分之一来算。 所以我们可以求得 ap 撇呢，正好是四点八，而我们 pm 呢，是二分之一倍的 ap 撇，所以就变成了二点四，所以 pm 的 最小值填二点四 即可。这道题呢，其实跟我们课本上的原题呢，是特别像的一道题。我们课本上的原题长这个样子， 你看两个题呢，几乎呢是没有区别的，这个地方是九十度，两边做垂线，形成的是矩形。 我们现在呢，求的是 e、 f 的 最小值，还是要转换成 a p 的 最小值去做。而这道题呢，只不过我们多加了一个知识点，直角三角形斜边中线等于斜边一半而已。好，这道题听懂了没有？
55伍斌的数学思维
01:15:07查看AI文稿AI文稿中考想拿高分，那二轮复习就得练真题，这节课我带你主题精讲一套中考二模试卷，每吃透一道题，你就离高分更近一步，全部看完，我们冲刺满分。好，我们首先来看第一题， 那么下列图形是轴，对称图形的是哪一个？那么很明显啊， b 选项对吧？它有一条对称轴啊，简单，我们就过得稍微快一点点。好，第二个， 把这个数用科学计数法表示是哪个？当然这个数呢，你可以把它写成二一七零三零零，然后呢，你再把它用科学计数法来表示出来，当然，除此之外，你还可以怎么办？你可以直接怎么样把它写成 二百一十七点零三万万，就是十的四次方吧。那前面这个东西呢，它等于二点一七零三乘以十的四次方，对吧？所以也是怎么样呢？十的六次方啊， 嗯，也就是这个题，我们选择 c 选项。嗯，好，接下来我们继续往后再来看一下我们第三题。 那现在佳佳同学要从网络用语、数字化、情绪价值、松弛感这三个词语中随便选一个，那表演猜词语， 那抽中松弛感的概率，从三个里面抽一个，那概率呢，就是三分之一，所以选 a。 当然也希望我们在座的各位同学呢，你们面临我们的这种中考模拟呀，乃至我们未来中考呀，大家也希望有这种松弛感。好，第四个， 计算正确的是哪一个？嗯，那在这里其实考的就是我们密的运算啊，你看看 a 加上 a 的 二次方，我们只有同类啊，就是同类项他才能合并，对吧？你说你这是同类项吗？次数都不一样，对吧？那肯定不对啊，那么这个是什么？这个是完全平方公式，左平方 啊，然后呢？右平方对不对？ g 的 二倍在中央没有问题，就是把左边平方嘛，对吧？你是减，所以我就减去左右乘积的二倍，减去四 a 了，我们再加上右的平方加四，所以你看 b 是 对的。那 c d 错在哪呢？ c 除，嗯，同底数密的除法，底数不变，指数相减八减四，也就 a 的 四次方，这个不要错了。 那这是我们积的乘方，你需要把里面每个都乘方负二呢，进行三次方，所以首先就是负八， a 呢三次方就是 a 的 三次方， b 的 平方在三次方呢，也就是 b 的 六次方，这里面主要是符号错了啊，所以选 b。 好， 我们再来看一下第五个啊，这个就属于我们三角形角度计算，我们重考特别喜欢这么考啊，考察我们什么内角和呀，平行呀，对吧啊，旋转呀，等腰等等， 一个还有四十五度角啊，就是他是一个直角三角板和另外一个还有三十度的 o， 他 呢，你可以理解是一个直角三角板，嗯，然后有一个公共顶点重叠在一起，如图，告诉你 ab 平行 cd 就是 这条边和这条边平行，其实平行我们立马就知道怎么样呢？ 平行就相当于告诉你同位角内错角同旁内角之间关系嘛，你是一个还有三十度的直角三角板，这个角一定六十度， 两直线平行被第三条边所截，所以我们知道内错角向呢，你这个角六十度，因此我这个角呢，一定也是六十度，对吧？ 好，当我们知道这个角之后呢，剩下，哎，这个六十度我就保留了啊，剩下我觉得比较简单，为什么呢？因为你要知道咱们是一个含有四十五度的直角三角板，这个角是四十五度，对吧？所以女方这个题让我们求的 a、 c、 e 呢？那在我们这个大大的三角形中，内角和一百八十度，一百八减去你， 一百八再减去你，所以我们求出来，也就是这个角度等于多少，等于七十五度，所以这个题选 c， 我 们过了。接下来我们看第六题，在数学节的活动中，把 x 份奖品分给了外名学生，每人分四份，还剩下三十份，每人分五份呢，还缺二十份，那么可以列方程组哪一个？你想想啊， 每人分四份，总有外名学生，所以你总共分了四外，对吧？还剩下三十，他才等于我们整个奖品的数量，也就是 x 了。 如果每人分五份，总共有外名学生，分别需要五万，那分了这么多吗？没有，我没有分我怎么样？我缺二十份，就你实际数量比他少二十，对吧？那你用它减去二十，就是我们实际需要的。嗯，就是我们拥有的 x 分 奖品。 孙女方，我们构造的是哪个？我们可以得到方程组，也就是筛选一下，好，我们过了。嗯，再来看一下我们今天的例题，这个属于我们的，你可以说是谓似，也可以说是相似啊，就是在某次主题活动中啊，我们设计了一款边长为两厘米的正方形文创纪念徽章。 a， b， c、 d。 啊，他是个正方形，边长呢？啊，为二我就不在单位了，为了满足不同的展示需求，现在我需要做一个放大版的啊，就是 a， b 一 撇， c 一 撇， d 一 撇， 现在我们以 a 为未知中心来进行未知变换，现在我告诉你，就是他呢，跟整个大的正方形他是相似的，现在我告诉你，他的对边呢，之比是三比五，就是你这个正方形的边长。比上整个大正方形变成三比五，就是相似比，就是三比五了。请问面积， 我们知道面积 b 等于相似比的平方，你让我求整个面积，你的面积是几？你的面积是四吗？比上整个面积，我用 s 来表示，等于什么呢？等于相似比，也就三比五的平方，也就等于九比 二十五，对吧？对角相乘九倍的 s 等于对角相乘，也就是一百，所以我们求它面积等于多少？九分之一百，所以这个题我们选 d。 好，接下来我们继续往后再来看一下我们第八题，反比例函数的平移变换。那么首先呢，给出一个矩形，就是长方形，对角线呢？哎，对角线，对角线，它交一点，现在我告诉你 a 点坐标呢，是负三二，负三二， 而且我们 c 点坐标呢啊，就是负六八，那现在把这个反比的函数干嘛？呃，就是反比的函数经过 a 点，其实经过 a 点，我们就知道整个图像的表达式是 y 等于横纵坐标的成绩，就就是 k 嘛，也就是等于负的 x 分 之六，对吧？我写到一边去， 好，现在你把这个矩形往右平，就整个长方形往右移，移来移去的。好，当一点落在反面的函数图像上，平移的距离多少？那么其实整个图形我可以画一下，就给出一个大大大大的长方形，对吧？ 哎，就类似于这个样子。好，现在呢，我就画对角线，我画对角线，对吧？我画对角线， 那么他就会产生怎么样呢？产生一个焦点啊，也是我们的异点，是吧？你想，你现在把这个长方形，你水平的往右移啊移啊移啊移啊移，移移，不就移到这里了吗？此时我们这个异点呢，就落在反面函数图像上，那请问平移的距离是多少？ 你想想，你从这个点到这个点，你是水平往右移动的，你只要知道，对吧？哎，他的坐标横坐标发生什么样的变化规律，那我们平移的距离就出来了， 说白了就是求平后的坐标。那我想问一下啊，你把这个移过来，对吧？你移过来什么？坐标不变？我们的高度是不变的，也就是纵坐标不变。好，既然纵坐标不变，那我觉得接下来就比较简单了啊。嗯，把这个拿走，你想想，首先这个一点坐标我们可以求出来吗？百分百可以， 这个一点是整个 a c 的 中点，那么根据我们中点坐标公式，你把两个端点的横坐标相加，再除以二。 so， 我 们求出来，等于负的四点五啊，就是负的二分之九或者负的四点五，可不可以纵坐标呢？把两个纵坐标相加，除以二，所以我们知道纵坐标是五。 现在你把这个点水平向右移啊移啊移，移到哪去？移到反比的函数图像上了，也是大概移到这个位置。我们知道纵坐标不变，就是你的纵坐标呢？横坐标几？我不知道，纵坐标它一定是五，对吧？那我们知道反比的函数图像上点 横纵坐标乘积一定等于 k 等于负六，谁乘以五等于负六呢？负的一点二是这样吧，二者相乘不就等于 k 等于负六了？你想想，你原来横坐标负的四点五，现在横坐标负的一点二，那很明显用我减去你吗？用负的一点二，对吧？我减去负的四点五， 二者之间的差值不就是我们平移的距离吗？也就是等于多少？三点三是不是？那三点三不就选 a 吗？十分之三十三我们就过了。好，这是我们今天的第八题，那么接下来我们再看一下我们的填空题，填空题我觉得前几道题完全送分啊。 首先给出一个 u s 方程，要使这个方程的解释，一，那么这个方程可以是你随便选一个就可以了啊，就大家千万不要说啊，这个时候对吧，我要充分展示我自己的个人能力，千万不要这样好不好，你就是写的正常一点，比方 x 减去三怎么样 啊？等于几？哎，我就不要这么写啊，一，对吧，那 x 加三等于四行不行？那你这个一元一次方程，它的解不就是 x 等于一吗？对吧？搞定。嗯，当然有个额外要求啊，就是你这个方程不能写成 x 等于一好不好， 他也是一个方程，他是最简单的方程，简单到你能够直接看出他的答案是多少，他的几是多少。好，第十题表示根号是一，根号是一是多少，你想谁的平方等于十一呢？三的平方等于九，不够，四的平方等于十六，超了，所以他是三到四之间的，就是三点几，对吧？ 啊，你是三点几几几？三点几就在三到四之间吧，所以一定是怎么样？一定是 q 点啊，你要可以写成点 q 好 不好？哎，我们的点 q 或者你说 q 点都可以，你写 q 也行啊。好，第十一题， 那这个属于我们三角函数的一个简单的应用，就是某停车场采用先进的车辆识别系统，就是进出之后呢，有个杆，对吧？你进来车牌一扫杆就抬起来，就这个意思。 嗯，好，现在栏杆 a o 从水平位置顺时针绕到 a o 一 撇，就是这样呢，我们转一下，转三十度就达到这里了。好，当我们这个夹角为三十度，请问这个栏杆升高了多少？就是它的 a 多，对吧？你本来在这呢，现在跑到这里升高了多少呢？其实说白了就是求你整个的垂线度这个高比方你在这放个屁，看到没有？哎，放个红色的屁，臭死那些同学们。嗯，好，接下来你要知道，三十度数对的直角边一定等于整个斜边的一半。整个斜边多少呢？ 三米，是不是你整个 a o 的 长度三米，你旋转之后这不也是三三米吗？一半，你可以说二分之三，你可以说一点五，都可以，简单吧。第十二题，其实我觉得也很简单啊， 有个平面直角坐标系啊，给出一个抛物线对吧？它是焦点式，再加上一个屁股，加个尾巴，把它往下平，五个单位往下平，你在屁股上减五吗？这两个不就抵消掉了吗？所以得到的就是 y 等于 x 加一乘以 x 减二，你个万，刚好它是个交点式， 所以使它为零，怎么样呢？开口向上对吧？哎，一个焦点横坐标负一使它为零，一个焦点横坐标呢？十二，对吧？嗯，与 x 轴有两个。呃，公共点， 说白了不就是有两个焦点 p q 吗？请问 p q 长度等于多少？这是不是有点太简单了，所以很明显三个单位，对吧？ 好，我们过了再来看一下我们第十三题。哦，你会发现我们刚才说好像稍微有点简单，他的难度好像嗖一下就上来了。好，那么首先我告诉你，它减 b 等于四分之三，也就是我们这个角啊，就是这个角，对吧？ 这个角我把它标做 ar 法吧，因为我想把这个条件标在旁边，就是弹性 ar 等于四分之三，什么意思？就是如果你把它过 a 点往下做垂线，对吧？那么他一定是一个三比四比五的直角三角形， 或者你想到如果你，你怎么样呢？哎，延长过 c 点做垂线，这是我自己的一个想法，那么他还可以在这个大的直角三角形三比四比五嘛，就是你肯定要把这个角放在一个直角三角形中去使用，对不对？好，现在我来告诉你，怎么样呢？就是 b d 比上 c d 二比三， 就是这个边呢？啊？比上我们这个边，对吧？他是二比三。那为了方便大家理解，就是这个子边，我把它标成二 x， 这个绿边呢？我把它标成三 x， 可以 吗？那不就二比三吗？好，现在翻折了干嘛？嗯，沿着 a d 翻折 啊，得到三角形， a d 得到这个三角，说白也就是把这个三角形沿着 a d 翻折到这个三角形，对吧？把它翻过去， 所以我们知道 c 点会翻折到 e 点，对不对？嗯，好，那我们知道你这是三 x， 所以 翻过来之后呢，咱们这个一定也是三 x 喽，就这个它也是三 x。 好， 其实你要知道啊，接下来他又告诉你个条件， e g 平行于 b， 你 发现这个条件很多， e g 是 哪个点 啊？异界就是这个边，对吧？这个边平行于谁呢？平行一笔来，那我们立马知道两直线平行，我们可以找到角的关系，比方说你马上可以知道你这个角是 ar 内错角，内错角相等，所以你得知道这个角一定也是 ar 八对，顶角一定也是 ar 八八，对吧？你可以直接标出来。好，那除此之外还可以得到什么呢？其实我告诉你啊， 翻折他会产生等角，对吧？哎，就是就是，我想跟大家说一下，角平分线加平行线，他会出什么呢？好，我就这么标注吧，好不好？比方说来，各位同学，大家告诉我啊，嗯，就是我们翻过去之后呢，我们可以得到是什么呢？嗯， 就是你，你这个角，对吧？你这个角翻完之后可以得到什么呢？ 哎，我就这么说吧，你想不想这个你可以通过我们这个角度的角度的推导来进行 啊？怎么样呢？哎，我们边呐角的转换，你也可以直接通过我们的平行来进行处理。我举个例子，你，你比方说这个角他是不等于，呃，这个角 对吗？他是翻过来的吗？有时候这样，这是为什么呢？你，你想想，就你把这个三角形翻折到这个三角形，对吧？你这个角是不一定等于这个角没问题吧？现在你发现，那我们这个角是不一定等于这个角 没问题吧？嗯，百分百相等，是不是啊？那相等之后那又能怎么样呢？相等之后你会发现，喏，剩下就比较简单了。哎，就是你会发现这个角等于这个角， 而两只线平行，内错角相等，内错角相等，对吧？所以你这个角是叉叉角，所以我们这个角对应的和你相等也是怎么样？叉叉角是不是？所以你是叉叉，我是叉叉。所以我们可以得到什么？得到一个等腰三角形，也是这个边呢？它也是二 x， 理解没有？ 嗯，证明我们相当于是用平行来推出来的。除此之外，其实你也可以令我们刚才的 a 二八呀。哎，平分呀，翻折的性质，其实你也可以进，求解啊。你也可以通过倒角推出来，它是一个等腰三角形。 ok， 我们就把它清掉了，就把它清掉了。好吧，好，当我们知道它是个等腰三角形，那接下来然后呢？注意啊，平行还有什么？你想想，在一组平行线中，在一组平行线中，对吧？你在里面打了个叉叉，你在里面打了个叉叉，所以我们知道上下两个三角形什么关系， 也就是这个三角形跟这个三角形一定什么关系呢？一定相似，这个没有问题吧？内错角相等对不对？哎，这个角也是 alpha， 还有怎么样？对顶角？这个需要我标吗？ 呃，我写下吧，我真担心有一些同学不会啊。内侧角相等还有怎么样呢？对顶角相等，对顶角相等。所以你会发现上下两个三角形，红色的阿尔法等于阿尔法，紫色的对顶角等于对顶角，所以两个三角一定相似。那相似比几比几呢？其实已经告诉你，对吧？就是二比三， 相似比是二比三。你这个题紧接着告诉我们是什么？就 d f 等于三，相似比是二比三，你这个边是三码， 这哪个边？我把它标在下面，可不可以？就这个长度，它等于三， d、 f 等于三，所以我们知道这个边一定是二，没有问题吧？ 哎，我们可以求出来，对不对？好，既然你给我发现，整个题目就基本结束了，为什么？清掉，清掉，清掉，我们箱子也找出来，对吧？哎，删掉啊。好，你要知道，也就是这个边是二 x 啊，它是等于五的吗？所以你这个边二 x 呢？它是不一定也等于五啊，就是你整个边，嗯，挪走，对吧？它也等于五，是不是？其实 x 就 等于几啊？ x 等于二点五吗？是不是？你想想，二 x 等于五， x 不 就等于二点五吗？所以你发每个线段，其实它是不等于 七点五，对吧？它是不也等于七点五，有没有问题？好，接下来这个题，让我们求什么？求 a、 b， 求这个线段，对吧？哎，其实有时候你会发现啊，就是这个七点五，其实我觉得到最终好像你求与不求没有什么太大的影响了。为什么呢？我们要求 a、 d 这个边，那这个边怎么求呢？你会发现，喏，这就相当于给出一个三角形，告诉你两边是五，对吧？ 就你想想，这个边是五吗？这个边也是五，对不对？而且告诉你顶角的三角函数，你想想，知道两边长度，还知道某一个角的三角函数，你可不可以求出剩下这个边呢？可以，你把它放在一个直角三角形中就可以了。嘿，为了方便大家理解，我索性把这个清掉吧， 把这个清掉吧，大家只要知道这长度是五就可以了。好吧，你这个子边是五，你这个子边也是五，哎，你这个 f 就 走一边去， 我不是特别需要你了，对吧？他也是五，是不是像这样的啊？那么接下来我们过地点就是咔嚓向对边做垂线，是不是？哎？做垂线， 那比方说这个点呢？哎，就放个屁，可不可以？那你会发现呢？我们这个角他的正切值是三比四，就是对边是三比四，一定比五，对吧？我这个边已经是五了，所以我们知道这个边一定是三， 那么剩下这条边呢，就是这个边的长度一定是几呢？我把它变成其他的颜色啊，比方说绿色可不可以？而且这个颜色， 呃，算了，红色吧，就这个边等于几？这个边一定是四吗？对吧？这个边是四，那剩下整个边我们刚才说等于五吗？那因此剩下的这个边长度呢？五减四，一定是 一了，对吧？那最终你会发现，在我们这个大大大大的直角三角形中，一个直角边，一个直角边，三各固定里，我们求出来等于根号十，是不是我们就搞定了？好，接下来我们再来看一下后面的解答题，首先我们看前面比较简单的， 但我们这个考试竟然考到了，对吧？第一个就是我们关于这种根号呀，我们的指数呀，他的一些化解啊。首先二分之一的负指数，你得知道这个负指数密怎么算？ 比方说三的负二次方，它是等于三的二次方，再来个分之一的，那同样的，按照你这个道理，也就是它等于多少呢？它等于二分之一的一次方，再来个分之一，对吧？那就是一除以二分之一了， 除以二分之一，那不就相当于乘以它的倒数二嘛，所以我们算出来等于二，对吧？一除以二分之一，本身就等于二嘛。好，我们算一个就去一个，接下来我们再加上这个十六的算数平方根，再减去负三的绝对值呢？等于三，加上你等于几？不知道，总之它不等零， 只要一个数不等零，它的零次方永远是以，因此你求出来等于几呢？哦，等于四，我们就过了。好，接下来我们看下一个，也就是第十五题了， 这是属于我们分式的化简求值啊。首先呢，这个一和里面我们先算括号，就是它等于多少呢？把这个一变成同分母的一个分式， x 加一分之， x 加一， 减去什么呢？ x 加一分之一，对吗？好，括起来我们出一个式子呢，相对乘以它的倒数，也就是 x 的 平方减 x 分 之， x 加一，好，那么等于多少？好，里面也就是 x 加一分之，用我减去你，对吧？那很明显就是 x 喽，我们再乘以 啊，那这个东西，其实你会发现，我们就可以稍微的因式分解一下上面的状写下面呢，提个 x， 也就是 x 减一，对吧。这种的话，所有的分时化简，其实他都是玩消消乐，那串串没了吧，串串没了，所以最终等于多少？等于 x 减一分之一，对吧？哦， x 减一分之一，那 x 等于三吧，把三带进去，我就不再说了。等于几？二分之一。搞定 好，接下来再来看一下我们第十六题。第十六题你会发现他是个非常具有代表性的喏，像这种数据统计类的问题，他一面都放不下，所以我们把把整个题干中的条件呢，稍微的精简一下，也是我们大概呢把它变成这个样子。 现在我们从七八年级各随机抽取了二十名学生的成绩啊，是百分之的进行整理和分析，所有学生的成绩呢，高于六十分啊，就是大家怎么样的都及格了，都很厉害，成绩用 x 来表示，那现在我们把它分成四个等级，那像 a 等级呢？九十到一百。 像 b 等级呢？八十到九十， c 等级七十到八十， d 等级呢？六十到七十。好，下面给出了部分信息，像七年级二十名学生的成绩呢，我直接给到你了，嗯，全某在这里，但比方这个有有怎么样？有一个特点，它排序了，从高到低，你看看 这个分数是不是逐渐往下降的，哒哒哒哒哒哒哒，一直到六数，对吧？哦，就是他已经从大到小的顺序给你排序好了，所以你去找他的什么中位数呀，就方便多了。好，我们再来看一下，那我们下面 八年级二十名学生在 b 等级 b， 什么就八十到九十之间的成绩呢？有六个对吧？等于这么多，那 a 这个阶段， c 这个阶段， d 这个阶段多少人呢？不知道。 好，那现在问题来了，让你完成表格，比方说那年级的七年级的平均数，中位数呀，都知道了，就他的平均数，我告诉你了， 中位数其实你自己可以求，对吧？我也告诉你了，你不用求，你只要把种数找出来就可以了。那种数怎么找？就这里出现最多的，你看，这这这这这，这些数好像都只出现了一次吧，唯独八十六出现了两次，剩下你会发现这些数呢？ 哎，你会发现不对，八十六对，他的确出现了两次吧，八十六出现了两次，但与此同时你会发现七十九、七十九、七十九、七十九出现了三次，对吧？哎，你这个七十九出现了三次，所以怎么样呢？他等于七十九啊，就是图中的 a 呢，是七十九。 好，那我们再来看一下。嗯，后面呢？让我们求 b， 求 m， 对 吧？我们先求 b 吧。 b 是 什么？ b 是 中位数，这个中位数怎么处理？还有一点麻烦，首先你也得知道，嗯， 我们这里面几个人？六个人，对吧？总共几个人？总共二十名学生，你七年级，二十八年也是二十，你想你这个 c 和 d 占百分之三十，就是后面有几人？后面一定还有。你这是六个人吧，对吧？你这是六个人， 你百分之十加百分之二十，是不是百分之三十呀？你二十名学生的百分之三十，是不是占六个人，就后面还有六个人，对不对？ 那也就是前面有几个人，你总共不是二十个人吗？六个人，六人，十二人，所以前面一定有八个人，对不对？那所以你说你找中位数总共有二十个人，偶数个嘛？所以你要找第十个和第十一个，前面有八个人，第九个，第十个， 第十一个，也是第十个人和第十一个人，他的平均数八十九和八十七的平均数呢？那就不用说了，八十八，对吧？所以我们求出来他是八十八的。好，接下来我们再来看一下啊。 m， m 就是 a 的 百分比吗？你不是八人吗？八人占二十的明显百分之四十喽， 百分之四十，所以你这个 m 呢？等于四十，比较简单，我们就过得稍微快一点点好不好？好，那么接下来我们再来看一下。喏，根据以上数据，你觉得七八年级哪个学生的数学？呃，这个竞赛成绩更好，说明理由。你想讲你比较成绩，咱们比较成绩，最先比较是什么？ 很明显比较的是我们的平均分，对吧？平均数一样，种数一样。所以接下来看什么？你肯定看中位数嘛？我的中位数更高些，就大家三个数据，有两个数据是。呃，怎么样？一样的，那现在我这个数据比你高，那不用说了，那肯定是八年级更好啊。理由是什么呢？理由肯定是 那所有的人都一样，对吧？就是中位数更高啊，就这么简单好不好？ 好，接下来我们继续往后了，就现在我告诉你，如果该七年级有六百名学生，那八年级有八百名学生，那参加了此次的数学素养竞赛，估算整个七八年级成绩为 a 等级的学生一共有多少人？那你就分开求了。首先你想想我们整个，呃， 整什么呢？七年级吧，七年级他这个占 a 的 占比多少呢？ a 是 什么？ a 是 九十到一百，不包含九十，对吧？所以你看我们这个七年级的一个、两个、三个、四个、五个、六个，就六个人吧。 你想想你总共多少人？总共有二十个人，你只有六个人，所以你 a 的 百分比呢？六除以二十多少就是百分之三十吗？ 有没有问题？零点三不就百分之三十吗？啊，就是你七年级的这种 a 的 占比百分之三十，所以你这个七年级有六百名学生，你就六百乘个百分之三十了，多少人？你一百八十个人，对吧？一百八十， 好，那我们再看八年级呢，八年级一样的，八年级，我们知道他这个占比， a 的 占比我们求出来百分之四十，对吧？所以你八百名学生乘以百分之四十就是八百，我们乘以百分之四十，多少呢？哎，你翻等于三百二十人， 对吧？因此你把这两个加起来，一个一百八，一个三百二加起来，所以总共有五百人。简单，我们就过得稍微快点作答，我就不再多说了。啊， 好，接下来开始我们今天的历时期。这是个什么啊？好像是一道应用题。关于什么应用题呢？其实你要知道，在我们整个中考里面，他的应用题无非就是所谓的什么方程呀，方程组呀， 啊，不等式呀，不等式组呀，对吧？嗯，等等。好，接下来我告诉你，某公司需要向假币紧急运送两百千克的货物，决定使用 ab 两种无人机运送。哎，太快，占领 好，现在每台 a 型无人机的单次最高载货量比 b 型无人机的单次最高载货量多十千克。就是用 a 比 b 运，对吧？每一台可以多运十千克，在满载的情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物。 a、 u 型无人机呢，可以载货六十千克， b 型无人机呢，可以载货四十千克， 满载的情况下啊，就是这个机子，我们把它塞满，对吧？啊，好，每台 a 型、 b 型无人机最高单次的啊，单次的最高载货量分别多少千克？我们就设少了吧， a 比 b 每次多十千克，我就设什么呢？设 b 型无人机每次可以运送 x 千克，好不好？ 嗯，你能够运送到 x 千克，那我呢？我比你多十千克吗？那不就是 x 加上十吗，对吧？ 我买每一台可以运送这么多千克，没问题吧？好，接下来你就罗列出一个什么样的方程或者其他的这种等式呢？那在相同数量的，哎，就注意啊，用相同数量的无人机运送，就是无人机的数量相同的， 你运送六十千克，和我运送四十千克数量一样，那我就把这个数量表示出来了， a 总共运送了六十千克，你每台可以运送这么多，那你用 六十除以 x 加十，我们 b 型总共运送四十千克，每一台可以运送 x 千克。用四十除以 x， 这个就是 b 型无人机它的数量，对吧？你 a 型无人机这么多， b 型无人机这么多，二者数量关于什么呢？哦，用相同数量无人机，因此二者相等， 这种解方程的过程我就过了啊，最终我们算出了 x 等于二十，哦，也就是 b 型无人机怎么样呢？每一台可以运送二十千克，而你这个 a 型无人机呢，每一台可以运送我们的三十千克啊，对吧？ 强调一下，不管是单独的解分式方程还是分式方程的应用题，我们都需要验根，在这里我就省略了，经检验， x 等于二十是我们圆方程的解，好不好？嗯，好，我们再看第二问，就是该公司呢，决定使用 m 台 a 型的无人机啊，这个 m 是 零到五之间的，那 m 就是 一二三四嘛， 和 n 台 b 型无人机啊。去载货，在每台无人机都载满的情况下啊，就是满载装满了，我们到一次性完成两百千克的货物运送，求满足调节 m 的 值。 其实我个人觉得这个还比较常规啊，就是你第一问你知道 a 型 b 型无人机它的单词运送量之后呢？那其实题干对你来说就没有太大的作用了。那首先在这里你要知道， m 台 a 型无人机每台三十千个，所以我们知道它可以运送三十 m， 加上 那 b 型无人机 n 台每台二十千个，加上二十 n， 对 吧？那么等于多少呢？刚好等于两百哎，所以你会发现，我们可以挪列出一个像这种所谓的 二元依次方程，嗯，我们左右两边同时除以十，也就是三 m 加上二 n 等于几呢？等于二十，对吧？好，在这里面正常情况下，你需要干嘛？你需要分类讨论了，怎么讨论啊？你要知道 m 是 零到五之间呢，所以你要考虑 m 在 一呀，二呀，三呀四呀分四种情况讨论，对吧？啊，来看看 n 他 是不是正整数，对不对？好，那有没有稍微简单一点点的方法呢？有，好把上面这个清掉了啊，就把这个不要了好不好？你要知道，在正面，你这是不是一个偶数呀？ 而我们知道 n 是 一个整数乘以二 n 呢，所以我们知道整体它也是一个偶数，对吧？你想想，什么数加偶数等于偶数呢？很明显它一定也是个偶数，对不对？既然你是偶数，那所以我们知道丧 m 是 偶数，因此 m 呢，一定是偶数吧？ 呀，一个奇数乘以什么样的数能成为偶数呢？你这个 m 百分百是个偶数哦，也是，我们吭哧吭哧的推出来， m 是 个偶数， m 在 零到五之间又是偶数，所以怎么样？只能是二四了，对吧？好，我们求一下，当 m 等于二的时候呢？如果 m 等于二， 你这个不就是六吗？这不就十四吗？二 n 等于十四，所以 n 等于几？ n 等于七，行不行？哎，可以，对吧？好，当 m 等于四呢？三四呢？十二，你等于十二，所以我等于几，我等于八 啊，二乘以几等于八四，对吧？所以呢，求满足条件。 m n 怎么样？两组 m 等于二的数， n 等于四，就这么两种情况搞定。好，我们再来看一下圈， 如果 a 型无人机运费呢？每次是四十块钱， b 型无人机呢？每次是三十块钱，为了节省我们的成本啊，问题来了，应该使用两种型号的无人机各多少台？很明显，要么是选这个方案，要么选这个方案吧。如果第一种方案呢？你想想，呃，就是 a 型每台四十块钱，对吧？两个就是， 我就直接写，八十加上三十乘以七，怎么样？二百一，所以这是第一种，是两百九十元。那第二种呢？那四台每台四十块钱，一百六加上三十每台， 哎，每台三十有四台，对吧？加上一百二，所以怎么样？二百八十元，哪个更便宜呢？很明显，你二百九，我二百八，这个更便宜，对吧？啊，所以我们选什么？选这个，也就是 a 型的四台， b 型的四台搞定啊，这样呢，更节省成本。好，那么最终作答我们就不再说了啊，直接过了。 好，接下来我们看第十八题，告诉你， abcd 是 圆上的四个点啊， a 点， b 点， c 点， d 点在这里。好， ab 是 直径哎，我们通过图形可以看出来，对吧？ 连接 ac， 把 ac 连接起来，我现在告诉你， bf 是 圆的切线，那就不用说这个角一定是九十度了，因为你一个端点怎么样的连接我们圆心的？好，告诉你， cbd 等于 cd， 也就是这条线段，它怎么样呢？等于这条线段，对吧？其实我们知道啊，等啊，等弦对等角吗？ 你两个弦相等，相等的弦，它所向外所对应的这两个圆周角，这两个圆周角一定相等，那这两个角我就首先多把它交 a r 法，多把它交 a r 法可不可以？ 好，那么接下来你会发现，第一问，让我们求出角， d a b 角 d a b 是 哪个角？就这个角等二倍的 c b f c b f 就是 等于这个角的二倍，其实你已经等于二倍的阿尔法了，所以你只要证明出这个角等于阿尔法就可以。怎么正的？太简单了， 直径所对圆周角是九十度，这个角直角你这个角是阿尔法，所以我们知道那直角三角形两对角互余了，因此我们这个角，对吧？就是这个角一定是九十度减去阿尔法， 而我们知道整个大角是直角吗？你是九十度减减法，那所以旁边剩下的这个角呢？一定就是 a r 了，那我这个角是不是你的二位 轻松搞定？但你想一般题目我们再去挣出什么切线，或者利用切线挣出等角什么之类的，对吧？他一般会让你进行哎，我们线段的计算，线段的证明，但这个题哎，他第二步让你使规作图啊，就是有 无刻度之尺和圆规，干嘛呢？过 c 点做圆的切线，也就是我们首先连接 c o， 这个用尺子就可以完成， 那么首先我们把这个 o c 稍微的延长一下，就像这个样子，对吧？好，接下来我们可以用到等腰三角形的三线合一， 那比方说呢，你可以首先以 c 为圆心吧，以 c 为圆心，某一条线段的长度为半径，我们就画弧，哎，画一段弧，哎，画一段弧，对吧？因为你这个是半径，这个是半径，那不用说了，所以这条线段一定等，这个线段，也就是 c 点呢，是整个线段的中点。好，这下然后干嘛呢？ 我们再以分别这两个焦点，两个焦点为圆心，相同长度为半径啊，当然大于你啊，大于你，要是小于你，那肯定一画画这里，一画画这里，对吧？要是等于你，我以它们为圆心，画到这里，画到这里啊，就画到这里啊。不，我要构造一个等腰三角形，以它为圆心和以它为圆心 比较长，长于你这个长度，对吧？我就画一段弧，哎，我就画一段弧回，我就画一段弧回，对吧？ 以它为圆心画一段弧，就像这个样子以它为圆心画一段弧，哎，像这个样子，那因为我们用的是相同的长度嘛，所以你这个是相同的长度，你这个也是相同长度吧，对不对？所以你这两个边一定相等，你是等腰三角形吗？ 那我想问一下，等腰三角形它接下来呢？一个等腰三角形 c 是 底边上的中点，所以你会发现，喏，连一下垂直出来了没有？搞定了，对吧？所以连接 c 点跟这个焦点，这个一定是直角，那么这个切线就处理完毕了。 当我们在指挥作图的时候，你这个绿线，你这个绿线是不需要画出来的，你说你只需要怎么样呢？延长对吧？画，画弧，画弧， 画弧，画弧，连接下 c 点跟这两个弧的交点结束了，当你可以把这个画长一点点，对不对？哎，我们做切线，你可把它直接画长吧，就像这个样子，当然画的可能会有些误差啊，他就是我们，嗯，圆的切线。搞定 好，那么接下来我们再来看一下我们今天的第十九题，这个题相当于是一个含餐的二函数的一个最值问题啊，而且跟我们的新定有关，但我个人觉得难度不是特别大。首先来看一下，在平面直角坐标系里面，对于任意的一函数， y 等于 k， x 加 b， 如果 g 等于 y 减 t x， y 是 什么呀？ y 就是 你这个函数的表达式吗？哦，就是把一个一次函数我减去 ts， 对 吧？我在后面减去 ts， 一定可以得到一个全新的一次函数吗？我们把它叫做 g。 好， 那我们就说 g 是 y 的 t 形相关量。举个例子啊， 其实在这里面他的新定义就已经描述完毕了，但是他觉得，嗯，我担心自己说的不清楚，有些同学呢，可能听不懂，所以他给你举了个例子，比方说呢，一三数 y 等于二， x 加一的二点五星相关量是什么呢？就是把你这个表达式拿出来，对吧？ 你不是二点五心相关量吗？我就减去二点五倍的 x 就 可以了。所以你这个 g 等于多少？ g 等于负的零点五， x 加一。我再举个例子，你一定要学会，比方说 y 等于三， x 加八，对吧？ 好，那么也就怎么样呢？嗯，这个一次函数，比方说他的七形相关量。七形相关量是什么呢？就你用这个表达式，对吧？七形相利用 g 来表示，用它减去七 x， 懂不懂？减去减去几 x 就是 几形相关量， 所以也就是怎么样呢？我是你的七形相关量，理解了没有？好一样的道理啊，那接下来我们来处理一下我们这个题的 第一问。其实第一问，第二问都非常简单，包括第三，我个人觉得也不难。那首先一函数它的 t 形相关量，那不就是怎么样呢？啊？就是三 x 减去 t 形相关量，就是减去 t x 嘛，对吧？等于几呢？等于五 x 等于五 x， 你减去几 x， 它才会等于五 x 呢，你把三 x 移过去吗？所以也就是怎么样呢？我写在这里，三 x 减 t x 等于五 x 移过来，也就是负 t x 等于二 x x 咔嚓约掉，所以 t 等于几？ t 等于负二，对吧？ 哎，是它的负二性，你减去负二倍的 x， 你 才能变成五 x 嘛，所以 t 等于负二，这是我们的第一问啊。好吧，我们算完一个就亲一个了。 好，接下来我们再来看一下我们的第二问来，现在告诉你，已知 g 是 它的梯形相关量，那就不用说了。那 g 等于什么呢？ g 等于你的梯形相关量，就是用 k x 加上二，我减去 t x， 对 吧？等于这么多，我先懒得化解。 好，如果既是个定值，这你最终如果是个固定的数，请说明 t 与 k 的 大致关系。其实在这里面我觉得需要暂停一下啊。这里考的是什么呢？考的是我们消失性的问题，寒残消失性的问题。好，现在我告诉你，既是个定值，定值意味着什么？ 就意味着他。我就举个例子吧。比方说，那请问三 x 对 吧？呃，加五，请问它最终结果与 x 有 没有关系？很明显有关，对不对？好，那举个例子，三 x 加五，再减去三 x， 它最终与 x 有 没有关系呢？无关了，因为咔咔 这种在整个化简过程中， x 被抵消，因此它就是个定值。所以只要说与 x 无关，或者说某个式子最终是个定值，就意味着在整个化简的过程中，我们的未知数，未知数它被抵消掉了。明白了没有？ 一样的嘛？嗯，比方说，三 x 加五，对吧？减去 m x， 我 告诉你，它最终的与 x 无关，或者它最终的是个固定的值，那你告诉我 m 等于几？你这两个要被抵消掉嘛？ 你这两个得一模一样嘛，对吧？所以 m 就 等于三。他会这么问，一样的，既然这个东西怎么样呢？是定值就意味着与 x 无关，你这两项直接被抵消不就可以了吗？被抵消你 t 不 就等于 k 了吗？ k x 减 k， x 就 没了嘛，对吧？ 所以也就怎么样呢？是说明 t 与 k 的 大小关系，那么也就是 t 等于 k 了，对吧？两个项的欻欻，此时 g 等于几呢？抵消住 g 等于二啊， g 等于二，简不简单，非常简单，对吧？好，接下来我们再来看一下那后面的孬。 其实这个东西你可以稍微化解一下，它等于 k 个 x 减去 t 倍的 x， 也是 k 减 t 倍的 x， 我 们再加上二了 g 等于这么多，是吧？所以它是几？ x 加几就是 x 前面的依次相等的系数呢？ k 减 t 的， 如果我随着 x 增大而增大，增大而增大，这个东西一定是大于零的，对吧？ k 减 t 大 于零，所以 k 呢？一定大于 t， 所以 就是 k o， 你 这个 k 呢？ k 是 大于 t 的， 就这么简单。好，接下来我们再来看一下我们今天的主要的第三问啊，我们重要啊，重点想处理的也就是我们这个第三问，他其实考的是我们二次函数区间最值问题。 好，首先给出一个二次函数， y x 方加 b， x 加 c， 如果 g 等于啊，怎么样呢？ y 减 t x， y 就是 函数的表达，是吗？用一个函数减去 t x， 那么这个减完之后的这个 g 呢？我们就说它是 y 的 t 形相关量，跟我们刚才是不是一样呀？好，现在在这个方位里面，二三数 y 等于这么多，它的 t 形相关量的最大值是二，请直接写出 t 值。首先，你这个相关量 g 的 表达式可以写出来吗？可以，你怎么样？ t 形相关量，也就是用这个东西减 t x， 对 吧？负 x， 哎，怎么没了？哎，等一下啊，等于负 x 平方，我怎么样的？ 加上三 t x 加上 t 的 平方减三，把这个表达式拿出来怎么样？ t 形相关量就是我减去 t x， 对 吧？ 所以化简出来等于多少？等于，也就是既等于负 x 平方，用它减去它，也就是怎么样？加上二 t 倍的 x， 我 再加上 t 的 平方减三，是不是这么多？ 说白了也是，怎么样，跟我们这种什么 t 形相关量，什么 g 啊吧啦的 y 有 关系吗？没有关系，也就是你是一个含有参数的二次函数，对吧？这个含有参数的二次函数呢？他在我们这个区间里面，在这个范围里面，他能够取得最大值是二，让我们直接写出 t 值。我想问一下， 什么最大最小值考的不就是增减性吗？一个二次函数，它的增减性跟什么有关？二次函数的增减性，说白了它跟我们的两个东西，第一个开口方向，第二个我们的对正轴，请问它的开口方向固定吗？开口方向固定，它的开口一定是向下的，没有问题吧？ 哎，哎，没有，好吧，没推销就算了。好，那么请问对乘轴是几呢？对乘轴可不可以画出来一样也可以。你想讲对乘轴 x 等于负的二， a 分 之， b 等于负的二 a 呢？也就是 负二了， b 呢？ b 等于几？ b 等于二 t 啊， b 等于二 t 的， 所以你求出来等于几？对乘轴刚好是 t， 对 吧？那么其实这个东西在我们之前的直播呀，我们的作品里面都讲到了，它属于区间最值，也就我们需要怎么样开火车。 你想想，你这个负二到一，它是个范围吗？你这个范围有可能长什么样子呢？你这个范围有可能长这个样子，对吧？哎，你这是负二，这是一 分立方，此时在哪取的最大值？在一这里取的最大值，对吧？好，你整个取的范围还有可能像这个样子吗？对不对？这是负二，这是一在哪取的最大值呢？它不在任何一个端点，它在顶点处取的最大值是不是？ 那如果像这个样子呢？哎，就像这个样子，对吧？其实他有四种情况，第一种就是你把他当做一个过山车的轨道吗？你这个就是过山车第一个刚驶入轨道的时候，对吧？他在哪取的？他在。哎，这里取的最大值。好，第二个， 刚经过对称轴的时候，在哪取的最大值呢？哦，在这里取的最大值。第三种情况呢？就是即将离开对称轴。为什么要分这么讨论呢？因为你看在这里面，对吧？ 在哪取得最大值？在这里取得最大值，在这取得最小值，明白没有？好。第三种情况就是即将离开对称轴。 长什么样子？长这个样子，对吧？哇，一，他在这里取得最大值，他反倒在这里取得最小值。最后最后一种情况是什么呢？就是 马上要，哎跑出去了，对吧？已经完全在对中轴的左边。在这里取得最大值，在这里取得最小值，明白没有？所以你只要分这四种情况讨论，百分百全部可以搞定。好，那么接下来我们把它清掉。首先考虑第一种情况行不行？就像这个样子，对吧？你这个是负二，你这是一， 所以在这里面我们怎么取最大值？很明显，在一这里取的最大值，你把一带进去吗？一带进去最大值，最大值。二喽。好，把一带进去。当 x 等于一的时候。嗯，就是第一种情况，对吧？哎，第一种情况在左边把一带进去，一带进去负一。 把一带进去也是怎么样呢？加上二 t， 然后呢？ t 方减三，对吧？加上 t 的 平方减三，它等于几呢？最大至二嘛，你说此事可不可以求 t 一定可以， t 的 平方加上二 t 整理一下， 加一减。哎，这个负一减三，负四移过来，负六等于零。呃，这个计算就交给量内嘛，我就不再打草稿了，我们节省一点点时间好不好？嗯，移过去，六加一，七 平方正负根号七，负一，正负根号七就是 t 呢，等于负一减去根号七的 t， 二呢？等于负一加上根号七的，可不可以啊？所以我们算出来这两个。好，我们在求解完毕之后，接下来你要知道，那是不是这两个都可以呢？那当然了，亮亮，你求出来两个，那肯定就是两个，对吧？哎，其实不是，为什么呢？ 你想想，如果 t 等于这么多，对吧？它等于负一减去根号七，你觉得这个图形成立吗？你这个是负一，再减去根号七，根号七是二点几吗？你用负一减去二点几，那不就负的三点几吗？ 哎，这个，这个负的三点几，对吧？我想问一下，你这个一可不可能在负的三点几的左边呢？你觉得可不呢？一个正数在负数的左边，开什么玩笑，对吧？ 很明显不符合题吗？所以你直接舍掉就可以了，对吧？这个直接舍，那我这个可不可以？这是负一，这是二点几吧，所以相加等于一点几，这个等于多少？等于一点几几几的，那行不行？ 你这个范围是不在一点几的左边。哎，是的，所以满足 t 吧。因此我们求出来第一个，就是你求出来之后，你一定要验证，是吧？图形和我们想要的是不对应的。好，这是第一种情况，求出来之后呢？接下来我们看第二种情况，第二种情况就是我们刚才所说的干嘛？哎，你就是刚， 刚才就像这个样子，对吧？嗯，你刚经过对准轴，我想问一下，刚经过对准轴，负二一在哪取到？是不在这里取到，对吧？在顶点，在 t 这里取到吧，包括你会发现我，我们这个负二到一，像这个时候你会发现第三种情况是不是也在顶点这里取到呀？ 所以第二种情况和第三种情况我们可以合并讨论。这个同学跟我能不能理解你第二种情况和第三种情况，你只要经过对准轴，都在顶点这里取得最大值，对吧？所以我们就直接合并就可以了。嗯，这两种情况意味着什么呢？意味着你只要经过对准轴，对吧？只要经过对准轴， 或者像这个样子，对不对？或者像这样，你只要经过对中轴，我就换一种颜色吧，我这样， ok， 你 这个负二在这里，一在这里是不都可以啊？对吧？我就这么标，这么标，我觉得大家这两种情况都得看清楚，是吧？ 哎，你只要这个 t 在 负二到一之间，离谁近点离谁远点不要紧，你只要 t 在 负二到一之间，只要在负二到一之间， 都是在 t 那 取的最大值，那行，那照你这么说，那我就开始计算喽。此时你会发现第二种情况，对吧？在 t 这里取的最大值，把 t 带进去，负 t 的 平方，负 t 的 平方加上把 t 带进去，也是怎么样呢？加上二 t 的 平方加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二吗？ 啊？二，也就是欻欻没了，也就是二， t 的 平方等于几呢？呃，二 t 的 平方你移过去，对吧？等于五，所以也就是 t 的 平方等于二分之五，你可以算出来 t 等于几。 t 等于二分之，根号十呀。 t 二等于呢？等于负的二分之根号十。 我们知道根号十是接近于三的吗？对吧？他是三点几，你用一个接近于三的数除以二，也就是他进去一点五吧。啊？一点五呀，一点六的样子，他是负的一点五，对吧？你可以这么理解，就是负的一点五，这个行不行？嗯，可以吗？负的一点五， 嗯，我们算出来正负，这行不行？哎，你会发现，如果是负的一点五的话，你看他在不在我们二者之间呢？在不？ 你想想负的一点五左右，他在不在负二和一之间呢？很明显是在的，对吧？嗯，所以他是成立的。 好，那问题来了，如果我现在这个答案是什么呀？是二分之根号十，行不行？他就接近一点五吧，一点五行不行呢？你想想你这个一点五在不在负二到一之间，在不在负二到一之间？那肯定不在嘛，一点五，那肯定跑到一的右边去，所以这个怎么样呢？他得舍掉，理解没有？ 哎，二分之根号十，他得舍掉。好，这是我们考虑的第二种情况和第三种情况的合集。那接下来我们再来考虑最后一种情况的合集。那接下来我这么讲，大家能听懂吗？清掉，清掉 最后一种情况，也就是，嗯，怎么样呢？即将离开，哎，就是已经离开对等轴了。 f 在 这里， e 呢？在这里，对吧？所以在哪取得最大值？很明显在这里取得最大值，因此我们要考虑也就是第三种情况，是吧？我写字行不行？ 负二绝对最大的，是把负二带进去。负二带进去，负四嘛？把负二带进去，你说怎么样呢？减四 t， 对 吧？加上 t 方减三。加上 t 的 平方减三，最大值等于几？最大值是二，嗯，把它带进去，所以最终也就是 t 的 平方减四。 t 呐，减四减三减七了，二移过来 减九等于零，对吧？哎呦，这个东西我们一样的计算一下，量了口算一下，移过去，九移过去加四十三， t 减二的平方正不刚好十三二，你说 t 一 呢等于二，减根号十三， t 二呢等于二，加上根号十三， 好，那此时我们验证一下对不对呢？你想这个根号十三约等于几啊？它是三到四之间的，对吧？ 他是三到四之间的，也就是三点几吗？三点几几几，你用二减去三点几，所以他是负的一点几，懂不懂？整个是负的一点几几几，对吧？负的一点几，你比方说， 哎，你就当他是负的一点四了，一点五了。你想想，我在负二的左边呀，你想负的一点几？ 负一点三，负一点四，负一点五，我可能在负二的左边吗？那肯定不行吧，你在负二左边，肯定是负二点几，怎么可能负一点几呢？所以很明显，这个怎么样？直接舍掉了。好吧，这种情况就是我们舍掉了。好，接下来我们再来看看，也就是你不对，对吧？你不对。 好，那我加你呢？这个更不对了，为什么？因为你看我减去你都不行，那加上你呢？就是， 这是怎么样？这是三点几，对吧？二加三，五点几，就是，我就比方说五点四吧，哎，五点五点六，没有什么区别，就是 举个例子。好吧，五点四，那我想问一下啊，你看五点几可能在半的左边吗？不可能，所以我发现这种情况呢，也得舍不了。 那要不要讨论？要讨论完毕之后呢？这两个都舍，所以符合条件的，我们的 t 值呢，一个是负一加刚好七，一个是负的二分之二十。没有其他答案了，好了，我们就直接过了，这是我们今天所讲到的二次函数的压轴题。好，接下来看一下我们今天的几何综合的压轴啊。 这里我个人觉得比较简单，它整个提杠呢，它是非常固定的，就是把线的 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，就是这里有条线，对吧？你逆时针转，先把它转到哪，我复制一下啊，就先把它转转转转转到这里，对吧？ 转到这里之后呢，得到我们的 a c， 然后再怎么样，又旋转啊，又转转转转转转又怎么样呢？转到 a d 了，所以也就是三条红边相等。哎，我不知道大家想的什么，没有好像呢，我们连接 bc 呀，把这个 bc 连接起来啊，就是把 bc 连接 bc， 连接，连连连连连连，对吧？ 好，现在过 d 点呢啊，当 c、 d 也连接起来，我们连接延长之后，过 d 点，直接咔嚓做垂线啊，就像这个样子。好，这个题第一问，你会发现他给出一定条件，如果 d， a、 b 等于九十度，哪个角啊？就这个角是直角， d， a、 b 九十度，对吧？而且我告诉你， c a、 b 五十度， c， a、 b 就是 这个角呢，五十度，那其实你立马可以求出每个角，为什么呢？ 一个等腰三角形顶角五十度，所以我们可以求出每个角一百八减去你还剩下一百三，所以这个角六十五度，这个角也是六十五度，对吧？好，那接下来还可以求什么呢？喏，呃，我们还可以求出这个角四十度嘛， 九十度，减去它四十度。那因此你可以知道，每个角呢一百八，减去它一百四除以二，每个角怎么样呢？七十度，每个角呢？七十度，对吧？所以剩下你会发现，哎，我觉得特别有意思啊，整个角一百三十五度，所以你的零步角这个角呢，一定是四十五度吧？ 你这让我求 hdc 呢？ hdc 这个角也是四十五度，所以在知道具体度数的情况下，我们就直接用什么内角呀和外角性质呀，对吧？来进行处理，所以 hdc 比较简单，四十五度。 那我们第二题也这么算吗？第二问，嗯，那肯定就不行了，一样的，我们主题干是不变的啊，主题干干嘛呢？你看，主题干，依然把 a、 b 绕 a， 逆时针旋转两次，绕到 a、 c、 a、 d， 主题看不变，就还是有。怎么样，有这么一条线段 ab， 对 吧？嗯，有这么一个 ab， 我 现在怎么样呢？逆时针先旋转，旋转到 a、 d， 旋转到 a、 d， 之后呢？我再怎么样，我在这个逆时针旋转，转转转，我再转到 a、 c 的 位置，是吧？旋转两次，所以你要知道，就是这个边，等于这个边，等于这个边，有三条红边相等。好，现在我告诉你，一样的角 d， a、 b 九十度，哪个就这个角还是直角？ 这个角 c、 a、 b 呢？大于九十度，小于一百八，说白就是这个角，它是个锐角，对吧？ c、 a、 d 是 一个锐角。好，现在你这个 d、 a 啊，把这个线段 d、 a 绕 d 点，逆时针，就是把哪个边，哦，又开始旋转这个边了， 绕 d 点，逆时针转转转转转，九十度得到 d， 所以 也就是怎么样呢？有四条红边相等，你这个角也是直角，其实大家想到什么没有？如果你把端点连接起来，这是个啥呀？嗯， 这是不是正方形啊，对不对？哎，对吧，就是你是个大大大大的正方形。好，我们先放一下啊，好，接下来干嘛呢？嗯， 呃，连接啪啦啪啦的啊，就是连接什么 e、 h 啊，就你想想，一样的，这个，这个 h 是 怎么来的，你看这个题干一样的，对吧？主题上就是一样的，过地点做 bc 的 垂线，你看 连接 b、 c， 过 d 点做 b、 c 的 垂线，垂都是 h。 好， 现在把 h 连接起来。这题让我们探求就是 e、 h 和 b、 c 的 数量关系， e、 h 和谁和 b、 c 的 数量关系。你说这个东西怎么处理？好像有点麻烦，对吧？好，大家一定要注意啊，世界上没有无缘无故的爱与恨，也没有不明不白的，第一，小，你想想，第二，你是不是推出这个角 h， d， c， h， d c 这个角四十五度呀？ 那你想低问干嘛要这么问呢？其实低问的问题对于我们第二步往往具有铺垫、提示、引导的作用。你想想 hdc， hdc 是 不是这个角呀？那这个角是不还等于四十五度呢？看起来好像有点像，对吧？ 那可是怎么描述呢？好，大家注意啊，共端点等线段，你发现你说你这个红边， 你这个红边，你这个红边，对吧？哎，三条红边相等，并且它有一个公共的顶点，所以在这里面，也就是如果我以 a 为圆心，以红边红边红边为半径，我画个圆呢，就像这个样子，对不对？ 哎呦，这个圆，我觉得圆心是不是稍微的圆心差不多在这里啊？哎呦，圆心还是歪了一点，差不多在这里， 大家能看到吗？对吧？哎，你会发现我们可以构造一个辅助圆，共端点等线段画辅助圆就是 c 点、 d 点、 b 点，他们一定在什么呢？一定在以 a 为圆心红边、红边、红边为半径的这么一个圆上，那画出圆有什么好处呢？那大家看清楚，你会发现 这一段弧它所对应的圆心角是不是九十度呀？所以也就是这一段弧它所对应的圆周角。圆周角，这个角多少度呢？哎，就是这个角，这个角一定是四十五度，对吧？ 这个角一定四十五度。好，但我们知道这个角四十五度，那请问接下来简单了不？我们都推出这个角四十五度，所以我们可以得到什么？可以得到一个等腰直角三角形。那得到一个等腰直角三角形有什么好处呢？比方说我把这个边标成子边，这个边呢？也标成子边好不好？ 我令你这个边是 x， 你 这个边一定是根号二倍的 x， 斜边是直角边的根号二倍。与此同时，我们刚才其实已经提到了 挪，你会发现，如果我连接这条边，好不好？这是个什么？他其实也是一个等腰直角三角形，对吧？哎，如果我令这个边是什么呢？我令这个边，是啊，这个红边是 y， 可不可以？这个红边是 y， 那 你这个红边不也是 y 吗？对吧？ 啊？而且我们知道这个边是多少，这个边，你这个等腰直角三角形，所以我们知道这个边是根号 y， 没有问题吧？ 我们刚才已经知道你是一个等腰直角三角形，也就我们这个角呢，多少度？就这个角一定是四十五度。哎，同样的道理，那你要知道，咱们是一个等腰直角三角形，你这个角四十五度吧， 而我们知道整个角是大大的九十度，所以你这个角是不一定也是四十五度呀。啊，就是这个角，它也是四十五度，就标出来，对吧？ 四十五度是不是？哎呀，其实你会发现，如果你，你把这个角标出来也可以啊，就这个角他也是四十五度，你标出来行不？标出来也可以，对吧？ 好，现在你中间这个角呢？多少度呢？我不知道，我把中间这个角，我把它标做黑色的阿尔法，可不可以？那么此时你会发现呐，啊，各位同学们，在我们这个大大大大大的三角形中，对吧？我有紫边，有红边，加角是，呃，九十度加着阿尔法，对不对？ 好，与此同时，你会发现，在我们这个三角形中，喏，我有紫边，有红边，而且加角也是九十度，加成 a r 法，对吧？所以你可反三角形，我的 d、 c、 b 一定相似于，就这个三角形一定相似于谁呢？一定相似于三角形，我的 d h e， 对 吧？嗯，三角形 d， 嗨嗨嗨，两三角形啊， d h e 有 时候练了，为什么呢？你会发现这个三角形和这个三角形，对吧？哎，我这个三角形的子边比上你这个三角形的子边跟二倍，我这个三角形的红边 比上你这个三角形的红边跟二倍，两边对应成比例，我的夹角，我的夹角相等，所以两三角形不就相似了吗？而且相似比是几比几孬， 我这个三角形的根号 x 比上你的 x 不 就是根号二倍，我的根号 y 比上你对应的 y 不 也是根号二倍？相似比是根号对吧？就是根号二比上一的。那你想想，那剩下我这个三角形的 bc 啊，比上你这个三角形的 e h 啊， 不也是根号 b 吗？所以也就是怎么样， b c 等于根号二倍的 e h 啊，那么数量关系呢？处理完毕，好，接下来看一下我们的最后一问啊，也就是我们的第三问，呵，第三问，牛贩在这里放了个备用图，你说放备用图干嘛的？ 为了好玩啊，一样的，告诉你，脚跌并六十度也，主题看，大家不要忘啊，主题看永远是干嘛呢？把我们的线段 a b 对 吧？把 a b 绕 a 点，逆时针旋转两次，绕过 d 点做 b c 的 垂线。 ok 啊，就是把这个 a b 呢逆时针旋转两次，就 a b 在 这。好，现在我把你这个线段呢， 我转一下对吧？转到这里，转完之后呢？哎，我再转一下，我旋转两次，旋转到这里嘛，对不对啊？然后我过 d 点呢，做 bc 的 啊，垂线就像这个样子，得到 h 点。 好，现在这个题告诉你，如果我们整个顶角怎么样呢？哎，等于六十度， d， a b 就 这个角六十度。我标下啊，就这个角是六十度是不是？ 而且我们的 c a b 呢，等于一百八，零到一百八，呸，零到一百八之间， c a、 b 是 哪个角啊？就是这个角是，呃，零到一百八十度之间的。 好， ab 等于六， ab 等于六，你就是我现在告诉你，整个 d a b 固定的啊，就整个角固定的。好吧，就你发现，你你你怎么样呢？你旋转两次嘛，是不是分别得到它和得到它啊？好， ab 等于六，就整个红边是六，你这个图三，我就把这个图三拿走了信不信。 哎有点碍事我把你清掉。回回回回回回。就你这个长度呢他是六 好，延长射线 bc 还挺有礼貌对吧。请延长。你能不能把这些摊你真的礼貌你就不要让我做延长 bc 和射线 ad 呢交于 f 那 我就延长了，差不多像这个样子可以吗？好，延长我再延长了。 延长延长我觉得差不多就在这里吧。嗯就在这好干嘛呢它会产生一个焦点交于 f 好 就把它标出来行不行我就用虚线标啊。 f 好 当 d f 等于三分之 a b d f 等于三 a b 是 六吗那你这个线段就一定是二没问题吧你这个边一定是二让我们求什么？求 h c 求这个边的长度 不是呃就是产生二的时候求求这个边可是这个该怎么处理呢好像没有任何思绪对吧该怎么办呀好是跟大家一样的啊 就你想想世界上没有无缘无故的爱恨也没有不明不白的。第一二小问第一问是不是求角第二问是不是利用我们的辅助圆构造这里面是不是依然有 o 六 六六所以我们是不是依然可以画圆啊对吧我们以 a 为圆心呢啊六为半径我们画个圆可不可以就差不多长这个样子当这个圆。哎呦我特效去哪了你不让我画我就像这个样子画大一点可不可以。 差不多啊正方形这个圆它它怎么样呢它跑到外面去了是不是。好，那请问此生你可以得到什么。 其实我明确告诉你各位同学们咱们现在想求的是依然是 dhc 看到没有 你看你第一问求的是什么？第一问你求的是 hdc， 哎， hd， hdc， 那 不就是求 dch 吗？对吧？我们先求的 dch， 那 hdc 就 出来了，一样的，就是你这里面求的谁，是不是依然也是 dch 呀？ 那 h， d、 c 就 出来，对吧？你发现我们先求的都是 d、 c、 h， 这里面一样的，你可不可以先求 d、 c、 h， 可不可以把这个角求出来？一样也可以如这样的，这怎么求呀？好，现在我想问一下，你会发现这一段弧能看到吗？ 这一段蓝色的弧，它所对应的圆心角呢？是六十度。那请问如果往外，这，这个大家懂我意思吗？往外边，往外面画一个角，它所对应的怎么样呢？我们这个圆周角是不是三十度没有问题吧？来，放个屁， 看到没有？所有的圆周角一定三十度，那剩下你会发现 p、 b、 c、 d 四连在圆上，我们知道，呃，一个圆的内接四边形对角互补吗？你这个角一百三，所以我们知道整个大角多少度呢？就是 h、 c、 b 这个大角， 这个大角我跟你互补，一定是一百五十度，对吧？一百五十度的零补角，那就不用说了，所以我们知道这个角一定是三十度，明白了没有？哎，这是我们讲求的。好，当你知道这个角三十度，那剩下就结束了。 哎，你，你有，哎，也没有结束吧，就是稍微再做一点点的计算变换就可以了。你只要求什么呢？求 d、 h 是 不可以了，你求 dc 是 不都可以把 h、 c 求出来，对吧？好，那接下来怎么求呢？你想想，除此之外，你还要用到这个六十度吗？你还用到边对吧？ 好，接下来大家看清楚啊，而且你要把这个二用上怎么办呢？嗯哼呃你只要怎么样呢我把这些红边都擒下啊歘歘歘。你可以过 f 点往下做垂线， 对吧？或者你可以过 d 点往下做垂线你可以把六十度放在直角三角形。直角三角形求解吗？嗯你可以过 b 点往这边做垂线。我想不想你会过哪个点做垂线 过哪个点首先你都可以得到很多结论。为什么呢？因为你这个边是六啊对吧你这个边是六整个边是八吗所以你往这边做垂线对吧？三十度数对直角边是斜边一半你是八我是四吗你不就二了吗？可是你有办法在这面我们能够连力到他连力到他吗？你连力不到 你往这边做垂线也是一样的。你做垂线对吧？你这是三这个你也可以求出来。可是跟他有关跟他有关吗？都没有关系但是如果你过 b 点做垂线那就完全不一样。为什么你过 b 点向对边做垂线此时我们可以得到什么？ 哎我可以放个屁啊就像这个样子对吧那你要知道这个角很明显三十度我就不说了三十度组对直角边等于斜边的一半 所以因此你要知道这个边一定是三了，对吧？当然你这个边也是三因为整个边是六嘛等于它的而且我们知道你剩下这个边的颜色也让我标个绿边吧。 ok 我 标个绿边这个绿边长度可不可以求出来？你不管用三十度直角三角形三边比例关系或者用特殊或者怎么样呢？用勾股定律三倍刚好三。 好吧我是你刚好三倍，三倍刚好三。那接下来我想问一下，请问我们可以求出什么呀？你说，你说，你这个边可不可以求出来？哎，我这个边我就懒得求了啊，不求了，没必要，对吧？啊，不求不求，接下来我想问一下，请问你能不能？你，当然你可以求这个边，这个边求出来有什么好处呢？ 你这个边是五吗？你这个边三倍刚好三，一定可以求这个边，一旦求出来够个定力。你求出这个边之后，你会发现，那剩下我们这个红角角 f， 它所在的直角三角形的三边比例关系是不就知道了？它的三角函数是，是不知道了，因为你把角 f， 你 放在这个大的直角三角形中，我知道直角边知道直角边，知道斜边 三边关系知道了，所以你的三边比例关系知道了，我的斜边是二，你说我可不可以求 d h？ 可以 啊，你再乘以括号三不就 h c。 理解了没有？你求与不求都行，如果你不求，你就要大量引入未知数啊，这个是五至三百个。哎，我们求一下吧，我觉得求可能说不定还要稍微的减变一点点好不好，我就把它标成一个，呃，这，这个，呃，绿边 蓝边喽，行不行？把它标成一个蓝边，比如这个边是个长长的蓝边。好，我们计算一下。哎呦，你这个怎么三十度缺这么多，好，就像这个样子，可以吧？ 好，那接下来你计算一下，这个边是五，这个边三倍刚好三，计算给我一下，我的平方二十五，三倍刚好二十七，二十七加二十五十二，提个四十三也是二倍根号十三，对吧？ 计算过程我省略了，就是整个蓝边是二倍的根号十三。你想想，我们刚才说了，还有三十度直角三角形，求较长直角边，我只要知道较短直角边就可以了。你想想，在这里面，我们只要知道角 f 的 什么， 知道斜边，你要求对边，你只要知道它的对边比斜边的笔直吗？对吧？角 f， 它在整个大大大大直角三角形，它的对边比斜边呢？也是怎么样的？说白了，三倍根号三 比上二倍的根号是三，对不对？这是它的对边比斜边等于什么？你的对边比上斜边 一定等于这个直角三角形的对边 d h 变成斜边二，对吧？等于 d h 比上二的，所以我们可以 d h 求出来。哎，我这个写的是不是有点大。对角相乘， 对角相乘，哎，你这个二先咔嚓咔嚓去掉吧好不好。所以根号十三倍的 d h。 根号十三倍的 d h 一定等于什么呢？等于三倍根号三，所以 d h 等于几？所以两边同时除以根号十三啊，你除以根号十三，其实我们求出来等于多少呀？往上挪一点吧。哎哟哦，算了算了，这个， 所以等于三等于什么呢？等于三倍刚好三，我们除以刚好十三，对吧？上下同时乘以刚好十三，下面乘以刚好十三，上面乘以刚好十三等于这么多，好，接下来你会发现 no 一 样的，我们需要做的干嘛？嗯，需要做的就是求 h c， 就是 我们求的是 d h 啊， d h 等于这么多。 嗯，那然后呢？然后你要知道，我们要从较短直角边求较长直角边 c h 呢？等于它的根号三倍。我现在的确有点胖啊，有点冒昧哈，那你的 h c 呢？等于它的根号三倍，是不是根号三倍？最终也就是用它乘以根号三，我觉得是不是还 也就是怎么样呢？你乘以根号三吧，这里面有个根号三吧，再乘个根号三。哎呀，我就这么写吧，三乘以他是根号十三，乘以根号三的理解没有根号三十九，可以这么写吗？对吧？你再乘以根号三，所以根号三。乘以根号三呢？ 三，对吧，这是三，再乘以三九，所以等于十三分之九倍的根号十三。好，这是我们求的第一个 h c。 好， 那么接下来我们再来求第二个啊，我求一个，就差一个这里面。我这个字太胖了啊，所以我待会会吸取教训以如何把字呢？ 呃，放的小一点啊。好吧，还等于这么多。哎哎哎，你别走啊，我都看不到题干了。好，接下来有时候量你都求出来，还有什么第第二位你要知道啊。就是我们是旋转两次，对吧？哎，我们是旋转，旋转两次，分别得到 ac 和 ad 嘛？ 分别得到 ac 和 ad。 那 我有没有说先得到 ac， 再把 ac 旋转，再得到 ad？ 我 没有这么说吧，是吧，总之也就是你想想你把这个限度啊，你旋转一次呢，你得到 ad 了，哎，就是 我把它复制一下，可不可你旋转你可以得到 ad， 你 再旋转可以得到 ac， 是 吧？你再旋转可以得到 ac， 你 可以像刚才这个样子， ac 转在里面啊， c 点在这是不可以这个样子呀。 我不会，我非得这样吗？我可不可以旋转到外面去呢？比方 c 点在这，我不可以吗？也可以，对吧？我和你相等行不行， 对吧？当然我们知道，就是整个 c a b 呢？它是怎么样的？零到一百八的说，你不能超过一百八十度，是吧？ 嗯，可以旋转，比方大概长这个样子，只要小一百八就可以了。好，就是我们整个 ab 的 长度依然是六。好，现在我把这个清掉啊，把这个备用途这个清掉，因为这个东西挡住我们可能不太好写，不太好标注我们的数据，就把它擦掉，擦掉，我们知道这个长度是几呢？这个长度它是 六，对吧？好，就是其他的题干不变啊，干嘛呢？我们依然要连接 bc， 连接 b 点跟 c 点，对吧？刷刷刷，过地点做垂线啊，我们连一下吧，连接 bc， 差不多像这个样子。好，然后呢，你要过地点向他做垂线，做垂线，这个垂足呢？ 啊，就是我们的 h 点，对吧？垂足 h 点，就像这个样子，垂足是 h。 嗯，好，现在一样的道理啊。 d f 在 哪？当 d f 等于三分之 a b d f 是 什么呀？就是把 a d 延长，把 b c 延长。 好，那接下来把 a d 延长，把 b c 延长，你发现你这个焦点 f 就 在这里，对吧？嗯，罗里吧嗦的， f 就 在这。好，现在等于啥？等于三分之 a， b a b 是 六吗？其实说白就是你这个便是二了， 是不是你这个边是二呢？也就是我们这个边一定是四，没问题吧？你是二，我是四吗？整个长度六。好，这个边呢？他是六。好，接下来让我们求什么？在这种情况下，让，让我们求 h c， 求 h c 这个边的长度，一样的道理。我想问一下，在这里面大家可以找我们的角吗？这个角依然是六十度啊，整个 d a b 就是 你 a d 旋转的这个角永远是六十度，我把它标一下，哎，你这个角永远是六十度， 好，你可以得到什么结论呢？同样的道理，你可以画圆嘛？就像我们刚才一样，对吧？我们永远是画个圆，那我们看看有没有某些特殊的角度，哎，差不多像这个样子的， 把它画成虚线，可不可以？好，你要知道我们这个弧啊，这一段弧看清楚没有？就是这一段弧，它所对应的怎么样呢？圆心角是六十度，所以这段弧所对的，哎，你会发现你把 c、 d 连接起来好不好？把 c、 d 连接起来连一下， 对吧？大家能看出来吗？因此我这段弧所对的圆周角，我所对的圆周角，是不是这个角多少度？这个角一定是圆形角的一半，所以我们可以推出这个角一定是三十度角， 是不是？哎，你会发现我们很能压轴题。其实啊，我们后面的小问都是通过前面的问题呢，铺垫提示引导得到的，对不对？清掉了， 一样的，我清掉了，把这给擦掉，行不行？把这给擦掉。哎呦，把这一段是不是也得擦掉？这个这个紫色的，这个紫色的都擦掉，行不行 啊？把这段本来题干中不带有的，我们自己连接的，把它画成虚线顺逆反，我们又像刚才一样得到一个含有三十度直角三角形，我只要求 d h， 或者我求 cd， 对 吧？你整个 h c 他 不就出来了吗？可是问题呢，怎么求呢？ 这个时候该怎么办呢？一样的道理，首先你想想，在这里面我们能够得到是什么呢？就你要把这个六十度用起来，对吧？你肯定要么做垂线呢，要么做垂线了是不是？好，我们在这里怎么做呢？你这么做对，你可以把这个边这个边都求出来， 可是你怎么求 h d， 你 怎么求 h f， 或者你怎么求这个呢？这个这个 c h 你 好像都没法求，对吧？那你过 b 点向对边做垂线，它就完全不一样了，谁定有发现过 b 点向对边做垂线， 对吧？垂直大概这个样子。我这个图也未必标准啊，就大概成这个样子啊。然后呢？我放个屁，可不可以六十度这个角？很显然三十度，三十度所对的直角边一定是斜边的一半，对吧？所以我们知道剩下这个边是几，这个边一定是三，你这个边是三，整个边是四吗？你不就是一吗？哎， 接下来你会发现产生了什么东西那。呃，还没有完啊，我再标一下，在这个三十度直角三角形中，你不管用勾股定律还是用特殊直角三角形三边比的关系，对吧？这个一定是三倍角三， 我顺便求一下吧，求一下这个边等于几？就这个边我算一下行不喽？你的平方加我的平方，一加二十七，二十八，提个四开方二倍角起好不好？好，接下来你不管用相似还是用 三角函数啊？你放在这个直角三角形和这个直角三角形中，大家都是直角三角形，你有九十度吗？你有九十度直角三角形吗？ 对，顶角相等。对顶角相等干嘛？相似了吧？那相似完毕之后呢？注意啊，我们要求谁呢？哎，我们索性就直接把 h d 求出来。可不可以把 h d 求出来，这个 h d， 这个蓝边。这个蓝边咋求呀？一样的。 嗯，你要注意，这个角是直角呦，这个角是直角啊，你不要看错边了啊。好吧，好，那也就是我们要求什么？我的斜边比上你的斜边， 哎呦，也就是二，比上二倍的刚好七，哎。瘦一点等于多少？等于我较长直角边。比上较长直角边吗？等于 d h 比上什么呢？比上三倍的刚好三，有没有问题？所以你对角相乘了。哎，你这个先咔嚓掉吧行不行？ 你对角相乘就是根号七倍的 d h 等于什么呀？等于对角相乘等于三倍根号三， 是吧？所以 d h 等于三倍，根号三除以根号七。我们要不要直接求了？先不求。为什么呢？因为这个题让我们求 h c 嘛，是吧，我省的这个分母由利化之后又得分母啊，又又又得去计算，你会发现我们 c h 呢，一定是 d h 的 根号三倍， c h 等于根号三倍的 d h 也是，怎么样？等于你的根号三倍。嗯，是吧，所以等于根号三，我直接乘以你乘完之后你会发现，哎， 你刚好三，乘以刚好三不就是三吗？所以它乘它等于九，也就是等于九除以刚好七嘛。你分母幺六化，上下同时乘以刚好七，七分之九变成刚好七。所以这个题我们分两种情况讨论，就可以把所有的 h c 呢，一个 plus 全都求出来。全都求出来搞定，跟着亮亮无脑学习。
11.9万亮亮巧解数学
03:57查看AI文稿AI文稿这是二零二六年合肥舒城区按摩第二十二题，这道题我们就讲最后一个问，今天我就用这个题来讲一讲证明几何题一些常用的方法和技巧。第一呢，我们要根据已知条件，挖掘着更多的内容，为正题创造更多条件。 就拿这题来说，我们知道 a、 b、 c 是 个等腰直角三角形， e、 c 也是个直角三角形， d 是 斜边 b、 c 的 中点。根据这些条件我们就能知道，令 cd 等于 m， 那 b、 d 也是 m， d， e 也是 m， d、 c、 e 是 个等腰三角形， d、 e、 b 也是个等腰三角形，所以 b、 c 等于二 m， 所以 ab 也等于二 m。 我 们再看看直角三角形 a、 b、 d 这条直角边， b、 d 等于 m， 这个直角边 ab 等于二 m， 所以 我们知道这个 r 法，它的弹力的值是二分之一。当然对于三角形 abd 来说， 他的任意一个角，任意三角函数，我们都能够求出来了，因为 a、 d 边我们可以用根号五 m 来表达。 好，这就是我们挖掘出来的条件。那现在呢？我们再来看看要我们证什么？要我们证明 f 比 c， d、 c、 d， 我 们用 m 表达，那现在我们只要能把 f 用含 m 的 代数式表达出来，那这个题就有解了。 那现在呢，我先讲一个我们常用的方法，过重要节点作平行线。如要求 f 线段长，所以 f 是 个重要节点。 我现在过 f 点作 f h 平行于 b、 c， 那 么我们很容易证明 f、 h、 e 是 个等腰三角形。因为 d、 c、 e 是 个等腰三角形，所以这个很好证明。过后我们可以设 f、 h 这个线段长为 a、 e， 那 h、 e 也等于 a e， 就 因为这个 r， 它的 r 是 等于二分之一 f， h 等于 a e， 所以 h 就 等于二 a， e， 那 么呢， h 呢？就等于根号五 a， e， 这我们都知道了，那现在呢，我们就要把 a， e 和 m 建立联系，我们一看看 a， d 这条线段， a， d 这条线段我们既可以表达为根号五 m， 也可以表达为这个。 大家看一看这个式，大家一看就懂，然后我们就能求出来 a， n 和 m 之间的关系，就是这样的关系，然后 f 等于二， a， c， d 等于 m， 带进去就很方便求出来了， 这是一种方法，现在我们再讲讲第二个方法。我们在做题的时候呢，首先观察一下整个图，我们通过观察我们知道 a， f， e 这个三角形跟 a， e， b 这个三角形很有可能相似， 我们这样确定以后，如果相似，我们就是根据相似推出这个式子。 a， e 我 们知道，就把 a， d 这个线段减掉 d， e 这个线段， a， d 是 跟上五 m， d， e 是 m， 所以 a， e 的 长就等于 就能搞。我们再根据这个比例式，我们能求出来 f 等于 a 一 的平方比， a， b 很 容易求出来这个值，然后 f， b， c， d 也就很容易做出来了。 这两个方法呢，都是比较技巧的，也是常用的，计算量也不大。通过这个题的讲解，大家再琢磨琢磨，我们呢把这个方法在以后的正题中呢加以运用，那就能变成自己的解题方法了，讲解完毕。
71中考数学方老师
01:20查看AI文稿AI文稿二零二六宜昌中考今天要分享给大家，是襄阳地区刚考完的按摩，整套试卷质量极高啊，没做过的同学一定要做一遍！需要试卷的家长评论区，中考加油！它的题型设计啊和难度配比与我们目前湖北新中考高度 匹配。接下来我们具体看一下整套试卷它到底好在哪里。选择题部分，第八题，容易丢分，理解反比例函数图像与性质是它解析的关键。填空题部分，第十五题，考察动点图像问题， 熟练将图像信息转换成几何条件，然后利用相似来求值。第一个空肯定是比较简单，第二个空有一定难度，但是会用间隙法的同学可以直接秒。前面的解答题都还比较常规啊，要注意审题格式规范，别丢细节分。需要特别重视的是 我们的第二十题，他是对近位置的考察，这是我们今年数学中考实验与探索的一个热门考点，近位置的转换及运算法则 一定要搞懂。最后看到两道压轴题啊。二十三题，几何压轴，他的第二问，你要能找到矩形中的八字形，相似是关键。最后一问，考察同学们的作图能力。分类讨论，做出图形面积不难求。二十四题，二次函数压轴线段笔转成相似比千锤线段 表示的分类讨论。最后一问，解析核心就是能做出分段函数的图像，数形结合即可。整体来说，襄阳二模啊，它是一套质量很高的图像塑形结合即可。整体来说，方老师后续会出详细的视频讲解。
275宜昌数学方老师
12:01查看AI文稿AI文稿好，各位同学，各位家长，大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天呢，我们来说一说这个二零二六年河东区九年级二模数学第二十四题的相关解析思路。这道题，嗯，出的有点狠， 大家看这题啊，嗯，说是一个正方形纸片放在这个数学题当中，点 o 是 圆点，然后 b 点是四动点 d 在 边 o， c 上就是线段这个 o、 c 上有一个点 d， 然后折叠该纸片，使得折痕经过点 d， 并且与射线 a、 b 的 交于点 e， 然后且 e、 d， c 就是 这有一个角一直保持是六十度，也就是过点 d 一 直是一个六十度方向去做一条这个一条直线 啊，然后 a 对 应的是 a， 撇是 o， d 就是 d 的 这个运动长度是 t， 那 我看第一个啊，线段 a， b 的 长，这个好办，这是正方形的边长，对吧？等于四， 然后这个 a， e 的 长，当这个 d， 这 t 等于的时候， d 在 原点时候，这个 a， e 很 很好算，就是 o， a 这边除以一个根号三，这是，呃，三分之四为根号三，这个都不可能，对吧？ 哎，这个数我们需要记着点，因为这个后面是很有用的一个数啊， a 撇的坐标，这样翻过来，就像这图里面过 a 撇向它做一个垂垂直，因为这上面这个 e、 d， c 是 一个六十度，所以下面这是个三十度叠过来的 a 撇 o， a 这个角是六十度，有这个是六十度，这个是四 a 撇。坐标也，好吧，对吧？二到二个二号三啊。所以第一问就是，别管怎么着，第一问是肯定需要拿满分啊， 那看第二问，说是折叠后重叠部分为五边形的时候， o 对 应的是 o 撇， a 撇， a 撇 e 分 别交于 g h， o 撇， a 撇， o 撇在这， a 撇在这和它交于这个。呃， g 和这个 a 撇一交于 h， 就是 这条线，应该是有一个 g h， 哎，好用 t 的 式子表示 g h 的 长，并直接写出 t 的 取值范围啊。熟悉我这个讲二十四题的同学们应该知道，我是比较习惯于先求 t 的 取值范围，咱再说这个 g h 怎么表示，对吧？ 取之范围好办们，这个题的取之范围稍微有点费费劲。首先啊，这个图，这个图一图二都不能用，因为他画的都已经给我画出来这个一些个这个有干扰的现状，所以我需要重新画一下啊，当然这个你在参考纸上， 呃，我们中考也一样啊，不需要做的特别的那个啥，大概其像那个意思就可以啊。这是一个正方形， 哎，什么时候开始有这个五边形？我们可以知道，就是 a 撇，这个图里面的 a 撇，这个 a 一 撇，当它还没有出头的时候，那这个就少一条边，对，就这也是一条边就没有了，它就不是个五边形。所以第一种情况一定是这个 a 撇落在了这个 b c 上， 哎，这个方向，这个是那 a 撇，哎，我在这个时候我要找到那个那个那个 t， 也就是 o d 的 长，对吧？那我简单画一下吧这个样子，然后做一个垂直过来， 做一个垂直过来，然后这样一个连接，那图大概应该是这这个样子， 对吧？哎，这是那个 o 撇，这是那个 d。 盯好了，我现在要求的是向这一块，在这个时刻的时候，向这一块是多少，这个时候怎么求？因为这个 a 撇正好落在这个 bc 上， 那我这个时候，呃，这个 a e 的 长度我是能知道的，因为它叠过去和这个 a 撇一是一样长，而 b e 加上 a e 一 共是三 啊，一一，一共四，一共是四。那么现在 b e 和 e a 撇又被困在了这个直角三角形当中，所以这两个边的关系我是能知道。怎么知道？因为这个角一直是六十，平行过来这个角也是六十，叠过来这角还是六十，所以这个角也是六十。 所以此时 e a 撇和 b e 是 一比二的关系，所以上面这个边是三分之四， 下面这个边是三分之八，也就是此时 a e 的 长是三分之八。好， o d 多长？你给我点 d， 向这个 a e 做个垂 垂线，下面这块就是我这个要求的 t， 也就是现在 o d 的 长，对吧？好，那就拿三分之八减去上面这段，可以，上面这段是多少？你上一问，刚算完就上一问 a e， 这，因为这块长是四，没有变化， 对吧？所以这块长是三分之四倍，根号三，所以这个起始位置就是三分之八。减去三分之四倍，根号三 啊，这是起始的位置。好，到哪停？我们可以看这个图啊，这个图往上就是这个图，再往上走，这个图也一样，往上哪条边先消失？ 是这个，这条边先就 g 先到 c 还是 e 先到 b？ 这个我们就得考虑一下哪个先先到。这个啊，我们可能得两个都得算一下，就是这道题是这个取折算的东西比较多，如果他先到 c 的 话，那么我这个图还得再重来一遍， 画个正方形， 如果他这个翻过来先经过 c， 那 么这个图大概啊，比这个稍微高一点，大概可能会是这个样子， 哎，它会经过 c， 大 概就是这么个情况，做个角平分线过来， 不用特别准啊，大概是这个意思就可以，哎，这样一个图，哎，那这个时候我们算的还是这块的差 d o 嘛，对吧？啊？现在怎么怎么说？因为 d o 翻过去跟 d o 撇是一样啊，跟 d o 撇是一样，它跟 d o 撇一样的话，那么这个长这是点，哦，不是点 a， 这上面是啥点？点 c， 那 d o 撇跟 d c， 这就是一比二的关系，因为这个角是六十，这就是六十度， 所以 dc 和 d o 撇是一个一比二的关系，这两个是一比二，那下面这个呢？就是三分之四，哎，这个时候三分之四，这个时候正好是它到这个，呃，这条边过减 c 的 时候，那你还需要分析一个，就是到这时候这个长是 多多少，他是先围着这个边，还是先围着这这个边？不过从这个图来看，因为这是方九六十度，所以三分之四应该是先到的位置，所以这个 t 的 一个取值范围应该是三分之八，减去三分之四的根号，三 到三分之四两边都没有等号啊，当然你说我有，我不太确定。那么这个，这个，这个长度，这个时候你还得再求一下啊，如果求这的话，计算量就的确比较大一些 啊。好， t 的 取出来了以后，我们来看这个 g h 怎么求，刚才说了，因为这个角是六十，这个是六十，所以叠过来这边也是六十度， 对吧？那么这个三角形 e b h 就是 一个三十、六十、九十的一个直角三角形，那么 g h a 撇也是一个三十、六十、九十的一个直角三角形，所以我求 g a 撇或者 a 撇 h 都可以， 对吧？而这里面谁好求？ a 撇 h 好 求，为什么他等于 a 撇 e 减去 e h， 那 a 撇 e 是 谁？就是 a e a e， 我 刚才算过了吗？我算过，怎么算的过？ o 做平行，这块是 t， 上面这块是三分之四倍，根号三， 对吧？所以这个的和我是知道，也就是 e a 撇，我知道，我只需要把这块求出来，这块好求嘛？很好求，你 a e， 知道上面这个就是四，减去它，再减它这块知道乘以二就是 e h， 知道个 e h， 拿这个减去 e h， 就是 a 撇 h， 拿它除以根号三，乘以二就是 g h。 啊。接下来的计算稍微有点麻烦，但是这个过程就还好 啊。好，这是第二个。来，我们看最后一个最要命的，最后一个折叠后的重叠部分，面积为二倍，刚好三的时候， t 的 值可以是，要的，亲命，这一句可以是，就是一个特别费费劲的一个 t， 好， 这二倍刚好三，我们要怎么看？首先起始位置 t 的 零的时候，你看看他叠在这个 o e a 撇，他能是多大？ 先得算这个，这个 o a 撇，这个是四，对吧？这就是根号，根号三分之四，它们俩乘以号除以二，这是根号三分之 八，也就是这个是三分之八倍的根号三，对吧？好，这俩谁大？明显这个 w， 也就是说从起始位置开始，它就不会到这么个数。 那好，你看中间的过程，这个面积是不是一直在变大，是不是一直在变大？所以当他是这种三角形和这种五边形的时候，他可能到这个数吗？可能性不大，但是在考场上你真的敢说这个可能性不大，你中间这个面积就不算了吗？不太敢。 你看这个，你要是真一顿分析的话，这个二倍根号三有可能在什么地方出现？各位，这个二倍根号三有可能在这么个地方出现。就这个题太考察孩子们的这个临临场做题心理了，这心理博弈性我觉得比这个题要更。那个啥， 那什么时候可能出现它叠过的这个时候，这条线 d 在 这儿， e 在 这个位置，真的在 b a 的 延长线上有一个 e， 我 这样叠过来之后，我其实我重叠部分就是这一块， 这面积就是这个三这样，因为它比起始位置都要小，所以一定是这个图形在变小的时候才有可能到二倍根号三，所以只能是这个时刻是二倍根号三，那这个时刻是二倍根号三，太好求了，这个边是一，这个边是根号三，一比根号三的关系，对吧？一比根号三，你设这个是 x， 这就是根号三 x， 这是 x， 这是根号三 x， 它们俩相乘等于啊，除以二等于二倍根号三，也就是根号三 x 的 平方等于 啊，二分之一，根号三 x 平方等于二倍根号三，你把根号三消了，把二乘过来，平方等于四，所以这个 x 等于二，这是二，下面那根也是二，所以这个可能值就那是二，没有别的答案 啊。所以这个题啊，真的出的挺狠的，计算量挺大，而且很多是无用计算，但你在考场上呢，你又不敢不算，所以这个题我觉得出的计算量有点大，而且这种无效计算可能会有点多一些啊， 好了，那这是我们对于二十四题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好，那这个二十四题咱们先说到这了。
15叫兽
06:41查看AI文稿AI文稿二零二六年南阳二模考试终于结束了，那今天上午我们也进行了我们的数学考试，刘老师第一时间也拿到了这套试卷，详细的看了一下，接下来我们火速给大家评讲一下这套试卷。首先我想强调的是，这次数学的分数应该就和你中考的成绩差不了太多了， 因为这套试卷几乎就和我们中考的一个难度系数来讲是相同的，题型设置来讲也是非常合理的。另外在知识点的分布上都是无可挑剔的，体现了开放性，综合性， 拒绝偏题，怪题，跨学科，还有分类讨论，数形结合这样中考必考的一些思想，这套试卷全部都猜中了，所以它的价值是非常大的。好，接下来我们详细给大家分析一下这套试卷。第一题是一个常规题平方根 我们八年级的内容，第二题是我们的科学七算法，但是它是一个复制数好。第三题考到了我们的七年级的平行线，它是一个角的模型，好。第四题是一个整式运算， 好。第五题依附着中华传统经典为材料，设置了一个平面展开图，是一个经典的一四一型。 第六题是我们一元二次方程单他判别式的一个考察。第七题呢，是关于我们方差的 一个考察，那在这个方差的题型设置来讲，题目当中给到了我们公式，很显然他是想让我们知道这个公式当中的每一个量到底代表什么样的含义，而且在整个答案的设置来讲，几乎就把方差给它考透了。 本七题都是我们中考的必考题来。第八题考察到了平面坐标正方形的性质以及勾股定律的相关问题。 好，这也是一个常规的一个题型。这个第九题，刘老师想着重说一下，这个题他出现在我们八上第十二章的阅读材料当中，虽然是我们的一个拓展知识，但是他在引导我们去了解我们的数学时， 也增加了我们整个教材的趣味性。这个题的出现很显然是让我们回归到我们的教材，这也符合我们二零二二年新课标的一个课程要求，所以我们教材当中的定义、定理和功理以及 材料，我们都要给他吃透，能够做到活学活用。当然如果对于洋灰三角你非常熟悉的话，这个题基本上就可以秒了，如果你不知道的话，你还要去找到它的系数之间的规律。好，第十题，这个题也是出的非常的经典， 这两年的跨学科一定会出现在我们的试卷当中，这道题它融合了我们的梳理化三块知识，进行了一个跨学科的考察。 很多同学对于这些图像和材料其实看到就有点怵，我想说的是，他既然给到了这样的一个材料和背景，你只需要去做分析， 有一点耐心，其实还是很容易能够给他做出来的，其实他的难度是没有前几年一道题的难度大的啊。第十一题考察到了一个五位数的估值，第十二题考察到了解不等式。第十三题，依然是一个跨学科的考察，通过金属元素来考我们的概率问题，和我们 这次二模考试化学的第十四题进行了呼应。第十四题是让我们是一个数学的排列组合的问题， 你看我们的第三题，考察到了光的反射问题，然后第十题梳理化的一个融合。第十三题是数学和化学的一个融合，所以很明显 我们现在的一个导向都是偏向于应用和融合，那要提醒我们大家的就是关于某一个知识点，你真的是要能够融会贯通。第十四题，如果我们同学能够发现应用部分的面积是一个定值的话，那么我们找到一个特殊的点是直接可以把这个题秒了。 第十五题作为填空题的一个压轴，考察的内容还是非常丰富的，关于句型，关于对称，关于解直角、三角形还有垂直的性质，都考到了， 还是非常综合的。这道题出的其实也是比较好的题干，虽然很简单，但是给我们孩子的思考空间还是很大的。好，第十六题的计算和话没有什么可讲的。第十七题也是一个常规的， 这个条形统计图和扇形统计图相互呼应，然后信息做了一个补充，求圆心角的一个计算。然后第四问也是符合我们大纲现在的一个要求， 给到了一个开放性的考察。好。第十八题，一次函数和反比例函数几乎和我们二模考试题完全一样，然后在第三问呢，考察到了一个三角形三边关系，而且仅当点共线的时候，两条线段的差值最大。 好。第十九题是一个常规的应用题，考察到了分尺方程以及一次函数的最值问题。 好。第二十题，这个题也是出的非常好的，本身材料就比较新，让我们进行几何建模，从而考察了减直角三角形和一减三垂直的问题。 好，第二十一题，关于圆这个部分也是考察的非常常规，这个题其实没有给到我们太大的一个难度，只要我们图做的非常清晰的话，直角三角形构造出来还是很容易就能够解答出来的。 好，第二十二题，这个题是我们二次函数的一个强应用问题，第一问和第二问呢，还是比较简单的，关键是我们第三问，第三问，其实也就是两个特殊的底反向带入， 然后我们就可以求出 x 一 和 x 二，当然我们每一个代入都会有两个值，我们是要舍掉一个的，有很多同学可能在舍去的时候稍微有点犹豫 啊。好，第二十三题，其实是我们解析检测上面的一个原题，那这个题如果当时我们做到的话，那考试考到这个题的时候，信息应该是非常足的。这种题 既然是一个综合的应用和探索发现，那他一定会给到一个新的定义，新的材料让我们去分析。当然虽然是新的材料下的新的定义，但是依然还是运用到了我们老的知识，我们等腰三角形，我们的相似，我们的解直角三角形 以及分类讨论。第三问是有三种情况是有一定难度的，是稍微有点耗时，但是第一问第二问几乎就是送分。好，这就是我们这套试卷，总体来讲，刘老师，我觉得可以，一百分的话，能够给这个试卷达到九十五分 啊。那如果这次我们考出来的话，那么我希望你对于你自己在数学上的一个备考要给足信心，因为这套试卷它的品质还是非常足的。好，今天就为大家分析到这里，关注刘老师，中考必胜！
382南阳中考刘浩老师
07:34查看AI文稿AI文稿好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频啊。今天我们来说一说这个二零二六年和平区九年级二模数学第二十四题的相关切记思路。嗯，这个题，嗯，还是有一定难度水平的啊， 慢慢看一题啊。竖式，点 o 是 圆点，然后 c 点，坐标是五角零顶点， a b 都在第一项线，然后 a b 平行于 o c， 然后这两边都是二 h， 这应该是等腰梯形，对吧？然后 b c o 这个角是六十度，那这块角就应该是六十度，对吧？ 好的，看第一个啊，说是点 a 坐标，这个比较好吧，这个坐标的话，像 s 做过垂直的事，切的 a 一个垂直，这事就完事了，对吧？好，那这样的话，点 a 的 坐标就是一到刚好三， 这个事不困难，对吧？然后点 b 的 坐标，因为我知道这个是一，那这样做来，这边也是一， 中间的是还剩三，那所以就是 a 点往右挪，三就是 b 点坐标，那就是四角括号三，对吧？好，这是第一问啊，来看第二问，呃，竖式有一个点 p， 嗯，就是在 o c 边上了，然后我点 p 做一个 b c 的 平行线，大概就这样，有一个东西， 因为这边是六，所以这边也一直保持是六，那么这个图形在现在这个样子，这就有一个等边，对吧？像图二的话，就是把这个 o p q a 一下跌过来，哎，就是这么一个情况， 对吧？好看啊，他说是哪是 t， o p 是 t 的， 也就是说这块平移量是 t 的， 对吧？好看。圈一， 嗯，说是这个重叠部分是四边形的时候，让我这个写出 o p 一 的长，呃，这个我们就得分析一下这个图 d y 是 什么样子的啊？如果说是这个 p 不 大， o p 不 大的话，那么现在这个样的 d y 它一直就是一个等叠三角形， 把这等边翻过来呢，就是这一块，它明显是一个三角形，对吧？那什么时候开始它不是个三角形，那就是这条边正好过点 a， 也就是过点 a 做这个 b c 的 平行线的时候， 再做一个它的平行线，那这个时候再调呢？正好是这个是一个等边三角形， 哎，我再往上提，可能就会出问题的，就是 p c 往这边挪可能就会出问题，大家试试啊。哎，摸黑了。 我这样做一个 b c 的 平行线，等我看我叠过来之后，哎， 这样，这样，这样，哎，好像中间部分还是一个增边三角形， 没有变化，那么好了，那什么时候会出现这种四边形，那明显是把点 b 放在这个图形里面的，也就是说当我这条线叠过来正好过点 b 的 时候， 叠过来正好过点 b， 就 这个线是这个样子的时候，它是最后一次的这个三角形，那么再往这边点，这个图贴是这样的， 哎，听出来是这个样子，那这个时候我叠出来的这个图还是一个三角形，对吧？那我再往后叠的话，那就会变成一个， 呃，变成一个，像这样一个图就是一个四边形，对吧？那么我这个时候，呃，就是得看这个时候 o p 是 多少，那这个很好算，对吧？这个时候这个 b c p 是 二，这个边是二，那么这个边就是三， 你从从三开始，他就会是一个四点形，到哪结束，到到 p 到点 c 的 时候结束，因为你画的，你画的近的时候，你不影响，他是一个 四圆形，对吧？你真的离这么近的时候，你都得这样叠过来，对吧？下面等边比较小，但是这个一二三四这个图形没有变化，所以 t 的 范围从三开始到五，对吧？好，这是这个范围，然后这个 就这个考虑，这个 o 撇 e 的 长，这个也不太困难，对吧？翻过来的话， o p 等于 p o 撇，那么这个是 t， 呃，拿这个 p o p 减去 p e 就 可以了，那 p e 多长？ p e 就是 这块长的，这块五减 t 翻过去就可以了啊，所以这是 t 减去五减， t 就是 这个 o p e 的 长啊。这个其实看这个图它不难想，但是叠的时候，你这个因为是一个斜着叠的，可能有点不太好，想到这个三到五这个范围啊， 好，来看圈啊。这个说是 t 在 二分之三到二分之九的时候，求 s 的 取值范围，直接写结果。那么我们知道，就是刚才我们分析这个图的时候，我们发现中间的这个位置， 中间的这个时刻就是他还没有到这个 b 的 时候，中间这个时候他一直是一个等边的情况，然后你把它叠出去之后，在这样的一个情况之下，其实你是这个等边损失的这一个小角， 每次都是等边损，就像也就说当他过的点 b 的 时候，这个等边就缺损了一块，所以等边的时候应该是面积最大的，而这个等边的边长呢，是二，是固定的，跟 b c 一 样的，所以最大值很好办，他又包括三到五嘛，所以他一定是包括这样一个范围的，最大值就是 四分之根号三 a 方 a 等于二，那它乘以四就等于根号三，那这是最大值，那最小值就是在端点取得呗，对吧？在哪一边我们得算一下。首先是二分之三不太大的时候，这个样子， 对吧？ o p 等于二分之三，那么这个就是等边的话，就是四分之根号三，乘以二分之三的平方，也就是四分之九， 这是十六分之九倍根号三，对吧？这是这边。那么二分之九的时候，什么情况？二分之九的时候，哦，又这样了，二分九的时候，是不是这么一个情况， 你等于是在这个平行四边形上面截走的一个小的等边， 哎，是这么个情况，对吧？好，这平四好算不好算，这个高是刚好三底呢，是这一小块，这整个是五，这是二分之九，还剩二分之一，所以这平四呢，是二分之一乘以刚好三，二分之刚好三，再减去这个小的等边是四分之刚好三，二分之一的平方，对吧？ 那他乘以四分之一，那这俩比的话，一定是这个小，因为这个是十六分之九，比二分之一要大，这个是二分之一，再减去一个，他比二分之一要小，所以一定是这个取得 最小值。呃，十六分之一，二分之一减十六分之一，等于十六分之七个根号三，这是最小值，根号三是最大值就 ok 了啊。这个题啊，就是在叠的时候，尤其是就是找这个临界点的时候，叠过去有点不太好想，其他的都还好。 好了，那这个我们对于这个二十四题的一个思路的分享，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个二十四题先和大伙说到这了。
8叫兽
23:06查看AI文稿AI文稿张口二模的数学，呃，据说这一次的题难度要大很多，有扣了很多细节的东西，那咱们一起来看看，我希望我是全网第一个发这个试卷的解析的。 呃，第一题啊，一个线段平移的问题啊，向上平移，那么这个图也是显而易见啊，只有这个 p 点是可能会经过的， q 点在外面。 第二题，与负三又五分之三相加得零，这考了一个相反数啊，相加得零是相反数，然后又考了一个代分数啊，这里是 b 三加五分之三就是三又五分之三 啊。第三题，若这个东西有平方根，则 x 满足的条件是，那显然平方根啊，平方一个数要有平方根的话，那这个数得是非负的。所以说这个负三 x 加六要大于等于零 啊。那么注意一下，这个如果 ab 跟 c、 d 都有的话，可能还需要考我们一个不等号的编号问题，因为这个负三 x 前面带了一个负号， 所以可能有同学会在负三 x 这里啊，在不等号编号这个问题上出现问题啊。这一个很可惜的。第三题，非常简单啊。 第四个，呃，在三角形 a、 b、 c 中， a、 d 是 b、 c 边上的中线，然后点 e 在 a、 c 上，且 d、 e 平行于 ab， 那 我这里可以直接画一幅图啊，随便画一个三角形，那应该能看到啊。这个 d、 e 跟 a、 b 之间其实是中微线的问题啊，平行然后 a、 d 又是中线 啊，所以 b、 d 等于 c、 d 嘛，然后做 e、 d 平行于 a、 b， 那 就是个中微线问题啊，那中微线的特点就是二倍呗。所以说这道题选 a 的 啊，一下就能看出来。呃，第五题， 这是一个依然是三式图啊，考的是三式，三式图，对于此几何体的三式图，那我们如果不太好想的话，我们就把三个式图都画出来，然后就能选出来了。 呃，应该是不相同的啊，这个主式图的方块上面的小方块在右侧，左式图的小方块在左侧，然后俯视图是看不到那个小方块了啊，在那个小方块那地方应该是个实线的，在大方块里面，所以说这道题选 d。 呃，第六题，若 x 一 x 二，这是一个考根据系数关系的啊，是方程的两个实数根则。 如果啊，眼疾手快的同学可能会求解这道题，求解没毛病，但是你求解一定会很麻烦，他问的这个东西是 x 一 的平方乘以 x 二加上 x 一 乘以 x 二的平方，这个地方，我们可以显然的 把这个式子做因式分解，变成 x 一 乘以 x 二加乘以 x 一 加 x 二，那我们只需要写这个 a 分 之 c 乘以负 a 分 之 b 就 可以了啊，所以说不需要去真的求解这个二次方程啊，谁求解谁是笨蛋啊，这道题应该选看一下啊。呃， a 分 之 c 是 负二，负 a 分 之 b 是 负三，所以说这道题应该是负六啊，选 c。 第七题啊，甲乙两名同学，这是一道，呃，这个概率的问题啊，概率的问题， 一三四和五六八三张卡片各抽取一张，则抽到两个数字之合适偶数的概率，那么我们很显然的能知道啊，甲乙两个同学各有三张，那一共就有九种 可能出现的结果，那我只需要去列出来就可以了呗。列表法可以啊啊，如果抽到一，那么只能抽五是偶数，如果抽到三，也只能是偶是偶数。如果抽到四的话，六和八是偶数，一共四种结果。所以说是选 c 的 啊。 呃，第八题菱形啊，这个考的是一个几何图形，菱形 abcd， 需要注意一下了啊，需要注意一下菱形的一些性质，比如说对角线互相垂直平分，比如说四边相等，比如说这个对角，呃，这个对角相等，这些条件啊，都是需要我们注意的，需要脑子里面记得的啊。 abc 等于八十度好了， a c， b， d 相交于点 o， 点 m 为 o， c 上一点可以重合。然后他说了， 有两个角平分线，一个是 m b c， 另外一个是 m c b 交于点 n， 则 b n、 c 就是 构造出来的这个新的。呃，三角形的这个大角啊，相当于是它的钝角呗，钝角应该是多少度？ 这个地方啊，这个地方它给了四个选项，然后只给我一种可能性， 那咱们来分析一下吧。如果现在假设啊，我们这个点 m 在 o 点的情况下，当然我是一个比较害爱偷懒的人啊。如果点 m 在 o 点的时候，那么这个 b、 n 和 n、 c 其实是两个直角，三角形中的锐角的平分线，也就是这两个角相加等于九十度，而这两个角的一半相加应该等于四十五度，也就是说，这个 b， n、 c， 如果 m 点 在 o 点的时候，这个 b 角 bnc 应该是九十加四十五，等于一百三十五度。但是这道题说点 m 是 o c 上一点， 也就是说这个角实际上要比这个九十度的角实际上要比 b m c 啊， b m， c 要比九十度更大，所以说，呃，剪出来的角应该是更大的角 啊，两个剩余的角要小于九十度，那么也就是说小于九十度的话，那剩余的这个角要大于九十度，那么也就是说，实际上这个 b n c 一定大于一百三十五度，当你能求出 d 来了啊，这不知道这个八十度有什么用，可能是干扰选项啊。 呃，很显然，这个地方他最小是一百三十五度。如果在这个 o c 上运动的话，我们是可以通过这个直角三角形的。呃，角度的关系，或者是说这个三角形的三个角的关系，内角和来求出来的。 第九题，若关于方程有两个相等实数根，那这个地方我们呃，走常规路线呗。既然他说有两个相等实数根了，那么就嘚它等于零，然后把嘚来求出来，嘚它能求出来等于多少呢？ 呃，二减二， i 二减二， k 的 平方减去四乘以二乘以 k 方减一，那能解出来一个 k 的 二次函数，那么求出 k 值来，我们来算一下啊。 呃，这个式子是 k 方加二， k 减三等于零，然后呢？解出 k 就是 一个负三，一个一呗。那然后剩下的事情就是带入了关于双曲线这个玩意的说法。正确是，我既然能求出两个 k 值来，那咱们来看一看啊。 呃，如果 k 等于负三的时候，这个式子是 y 等于，呃， x 分 之一，如果 k 是 一的话，那就是 y 等于 x 分 之五。好了，看选项吧， a 与 y 等于 x 没有交点，那么显然这个 双曲线无论是 k 等于负三，还是 k 等于一，它都是一三象限的，所以 a 错了啊。呃， b 等一会再说啊， 他让咱们算数 c， 我 觉得不可能吧，对吧？ d 选项在每一项线内 y、 c， s 增大而增大，那显然这个地方为什么不看 b， 因为我 b 需要计算，而 a、 c、 d 都不需要计算。 d 选项跟 c 选项他俩是一回事，因为在一三象限内， y、 c、 x 的 增大一定是减小的，这是咱们反比例函数的特征啊。所以说这道题一定选 b、 b。 我 不用求了啊，不用求，接下来看第十题。哎， 在三角形 a、 b、 c 中， a c 大 于 b c， m 是 a c b 的 平分线上的一点连接。 a m， b m。 啊，这是一道很老的题了。 呃，可得 a c 减 b， c 大 于 a m 减 b m， 这个地方是一道老题啊，这道。这是一道老题。 嗯，图形上跟传统的老题不太一样。这个传统的老题，那个 m 在。 呃，三角形里面。 这道题的做法很简单啊，就是我们因为看到了 m 是 角， a、 c、 b 的 平分线，所以说我们要做的事情其实是把 c、 b、 m 这个三角形翻折， 是把这个 c、 b、 m 的 三角形沿着 c、 m 去翻折，那么我们就会出现 bc 的 b 点会一定落在 a、 c 边上， 那么 a c 减 b， c 就 变成了一小段线段，然后 am 减 b m 这个地方就可以出现一个三角形的三边关系 啊，这是一个老题啊，这是一个老题。那两边之和大于第三，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以说就是 第三边大于两边之差啊。这是一道考三角形三边关系的，然后再加上一个角平分线的特点，就是角平分上的点到两边的距离是相等的。我们要做的事情就是 c m 沿着 c m 翻折啊。 呃，这道题如果你要是不会的话，你有可能会蒙到 d 选项。 d 选项，这是一个很大的问题啊， 因为其实你可以尝试一下，如果是可能，有可能有同学会想，如果这个角 c 是 直角的话，有没有可能是等于关系呢？那你实际去画一下，你就会发现这个角平分线的问题啊。角平分线的问题，呃，他不可能等于 啊，如果 a c 大 于 bc 的 话， ac 等于 bc 有 可能等于，但是 ac 大 于 bc， 他 一定等于不了，所以说我只能从 ab 里面选啊。 呃，看一下第十一题吧，抛物线经过点哦，负一负 t 零负 k 一 t 二负 t 则下来选项中值不变的是这道题啊。 有同学可能会觉得，哇，抛物线怎么出来这么个玩意，然后上面点所有点我都不知道，那该怎么办呢？那其实 这种题型一般都是考对称的，因为，呃，抛物线上面所有信息都没有，有没有图，所以说你只能去利用一些二次函数的呃， 基本性质，比如说这里的啊，与 s 轴交点啊，或者说与 y 轴交点，或者说对称轴这些东西，这些信息啊基本信息。那这里呢，很显然就是利用了对称轴的关系，我会发现负一负 t 和二负 t 这个地方能漏出对称轴来，对吧？ 对称轴大概是二分之一，然后我又发现了零跟一依然是对于二分之一对称的，所以说负 k 等于 t 秒了啊。这作为第十一题啊，他的考点其实非常简单，但是他的考法可能会让很多同学比较困惑啊， 所以值不变呢，就是选 b 了啊， t 除以 k， 他的值是负一，他俩是相等的。好，咱们接着往下看十二题， 这是一道动点移动的问题吧，看起来应该像正六边形，顶点 o 为圆点， o、 a、 o、 d 分 别是 x 轴、 y 轴建立的直角坐标系点 a 等于一零。那么也就是说边长为一的正六边形 啊， b、 c、 d、 e 均在 x 轴上方，接点 p、 q， 同时从 b 出发，正六边形边上点移动。 p 是 逆时针， p 的 路线是 b、 c、 d、 e、 o、 a， 而 q 的 路径是 b， a、 o， e、 d， c 啊，一个正着动，一个反着动， 一个速度是一，一个速度是二。然后现在有如下结论，结论 e， 看一下， e 的 坐标是 反了吧，应该是负二分之一和二分之根号三，所以一是错的。解 了二，二零二六点二零二六秒后， p 点位置这地方咱们可以算一下啊，二零二六除以六，因为我能发现，这个 p 点一次一秒钟动一格，六秒钟转一圈，那么二零二六除以六应该等于，呃 啊，三百三十七于四，那么咱们数一下，一秒钟到 c， 两秒到 d， 三秒到 e， 四秒到 o， 也就是说，这个点 p 点的位置应该是零零啊，这个结论二错了， 结论三呢？呃， p、 q 在 第十三次相遇和第十四次相遇，那这个地方的话，如果我们呃想硬求啊，硬去求也可以，但是呢，我觉得我们最好是找点规律啊，咱们看一下规律吧， 咱们可以先看一看啊，这个 p 点和 q 点是怎么进行相遇的？首先，我能发现，每两秒钟他们两个 p 点和 q 点一共会移动六个格，一共六个单位长度，所以说他们是每两秒相遇一次的， 那我们看一下，第一次相遇的时候， p 逆时针走到 d， 而 q 逆时针走到 d， 那 么第一个焦点是 d， 第二个焦点相推，往后推的话就是 o， 第三个焦点推就是 b， 也就是说他们三个焦点的 这个情况就是 d o b d o b d o b 一 直这样去相交，也就是无论他是第十三次还是第十四次，还是第十五次还是第十六次，都一样啊。那么两次相遇之间的距离 就显还是二分之。根号三乘以二呗，咱们拿购物定率就可以算了啊，购物定率可以算就是是不是根号三？对啊，根号三，所以说只有结论三是正确的选二 b 啊，这个地方选择题里面可能啊可能，如果没做过的同学， 像第八题或者第十题啊，没有见过的同学可能会比较难一点啊，你可能想不到，但是剩下的十一十二这两道题呢，老老实实写就行啊，老老实实写就 能看出来。这一次考试可能会把难一点的东西放在中间了，八呀，十呀，呃，可能会稍微的有点不好去想，但是十一跟十二，我觉得考的东西都比较基础， 大家不要觉得特别难，考什么东西我们就找什么东西啊。接下来看填空吧。分解形式，第一题不说了啊，第一题不说了，一定要分解到最简形式，所以说先提个二倍出来。第十四题， 若干张图，长方形，正方形卡片。这是一道考非常简单东西的啊，我们能发现周长为三十二，由呃，六个一二三四五、六个 b 和五个 a 组成，然后我又能发现这个 a 跟 b 的 关系，一元啊，二元一次方程组 能解出 a 加 b 等于一个二，那么 a 加 b 就 等于六。好吧， 十五题，呃，如图，其 a， b， c， d 平行啊， c， e， b， f 分 别平行 d， c， m， a， b， m， 其所在直线交与点 n， 则角 m 与角 n 的 数量关系是。这道题也是一道老题 啊，这考了一个模型叫猪蹄模型，它对这个猪蹄模型进行了一些变化，这地方我们能写出来，能秒答啊。角 m 等于二倍的角 n， 那 么如果你 学过猪蹄模型的话，你可以直接写出来啊，了解过猪蹄模型的话，你可以直接写出来。如果你没有了解过的话，那我对你的建议是，对于这种题而言，你可以假设这两个角平分线平分出来的那两个小角分别是一号角和二号角，然后你把 呃这里面所有的跟一号角，跟二号角相同的角，或者是产生相关的东西都标识出来。比如说有的角是可能一百八十度减呃，角一啊，一百八十度减角二，或者一百八十度减二倍角一，一百八十度减二倍角二。然后你把这所有的跟这个角相等的角都标成角一，相等的角都标成角二。 然后在三角形里面啊，去随便找两个三角形，比如说 m 的 三角形和 n 的 三角形，在这两种三角，在两个三角形包含 m 和角 m 和角 n 的 三角形里面去表示角 m 和角 n 啊，那么最后你一定会变成一个一百八十度啊，和角一个角二的关系，一百八十度和角一角二的关系。最后呃，你就能写出来这个 m 跟 n 的 关系一定是二倍的， m 等于二倍角 n。 那我给你的建议就是，对于这道题来说，如果你没有见过同学呢，就用方程的思想把 m 跟 n 表示出来啊，用一百八十度和我刚才所谓的表示出来的这个第一个平分线产生的角一跟第二个平分线产生的角二 啊，把这些东西都写出来，你就能求出来了，表示出来一定可以的啊。呃，因为还有平行嘛，平行有很多同内角，内错角这些东西的，都是相等的啊。还有这个，呃，这个平角等一百八十度啊，这些都可以都可以用得到的啊。 呃。十六题，如图八矩形， a， b， c， d， a， b， c 等于十二点， p， q 分 别是上面的点连接 p q， d， p 等于四， c， q 等于几？那其实我能把所有的边都表示出来了啊，像 a， d 等于 a， d 等于十二，然后这个 a p 等于八， p， d 等于四， b q 等于五， q c 等于七，然后这个 c， d 等于四嘛，对吧？全都能表示出来，然后他们说什么了？过 m 做直线 l 垂直于 ad， m 是 个动点， 如果直线 l 上存在四个点 n 使 p q， n 为直角三角形，那现在什么情况下能产生四个直角三角形呢？那我们可以去画几个图啊，或找几个位置啊。我们能发现，如果这个 m 在 这个呃 p q 的 外侧啊，左侧移动的话， p q 这条线，我们 m 在 它整个的左侧运动的话，呃，我最多能产生两个，然后，呃，右侧在 p 的 右侧的话，我好像也能最多能产生两个。呃，然后呢？刚好，如果刚好跟这个 呃 m q 垂直于 b c 的 话，呃，我能折到一个垂直，对吧？那这地方我觉得如果让我去直接写答案的话，我可能会写五到八， 这个 t 大 于五，小于八，只有这个 m 在 p q m 垂直于这个 b c 的 这个过程会交 p q 的 时候应该才会产生两四个交点，因为在两侧嘛，这条线段的两侧都会产生。那么如果说我想要去 呃稍微严格的证明一下的话，我可以过 p 点，过 q 点，分别做两条直线垂直于 p q， 这是我想的啊，我想的这个。 呃，这个，这个证明这件事情我我这个答案的方法啊，做两条平行的垂直于 p q 的 两条直线，然后我画这个 m 垂直于 b c 的 时候，我能发现， 呃，两侧分别有几个位置可以构造出直角三角形，那我能发现只有在这个呃交 p q 的 时候我才能左边两个，右边两个。所以说我直接写的五到八啊，五到八。 那么我不保证正确啊不保证正确。这是我秒出来的啊这是我秒出来的。 呃，看一下这十七题，这是一个算数的题，不说了。好吧，不说了。呃，十八题的话，不等式，那么不等式需要我们注意的东西啊。第一问，求不等式，正整数写，那解数 x 吧， 请注意啊，要正整数写，你要注意不等式要可能会变号啊，这个不等式的符号不等符号的方向问题啊，也就是说大于号小于号，你可能需要编号， 剩下没有了，根据提意见要求说吧，人家要正整整数解，咱就写整数解，要写正整数解咱就写正整数解。注意啊，整数解包含零。十八题也不说了，十八题也不说了。哎，连力去就能解出 a 的 曲范围来了。 看下十九题啊。如图， a c 等于 a d， b 在 a c 延长线上射线 a m 平分 b a d。 哎，我们能看到角 c 等于角 d， 然后请注意这个角 b， a， d 是 三角形 a， c， d 的 外角。所以说你的角平分线构造出了四个相等的角，角 c， 角 d， 角 d a m 跟角 m a b 四个角全相等啊，四角全相等。 呃，只会作图，不说了啊。呃，第二个，求证， a， b p 等于 c d a 啊，秒出来了吧，是不是相似？我可以拿 a a 去证两个相等的角，然后他说了 b p 又等于 a p， 是 吧？啊，这个这个两个相等的角，角角就证出来相似了。 呃，二十题统计啊，咱也不算了啊，根据要求写吧。如果你不会写，那你就回去书上去看一看什么是平均数，什么是种数，什么是方差。好吧。
795周卓讲数学物理
19:35查看AI文稿AI文稿hello， 同学们，我们来看一下我们今年题型，我们今年题型是二零二六年东城二模的这个元曲题，然后这道题的难度呢？它不属于我们特别难的题型啊。好，首先我们来看一下它说已知我们的这个， 呃，第一问，椭圆方程咱就不再说了啊。第一问椭圆方程，如果你求不出来，你就给它代进去，对吧？通过代数的方式进行求，是没有任何问题的。然后他说，已知我们的 a 点坐标是这个 a 斗零，对吧？好，那么由一可得， 我们的 a 点坐标呢，就是二斗零，对吧？好，我们的 t 点坐标呢，就是零斗 t。 好， 那么我们的 x 等于 a， 其实就是我们的 x 等于二 的 y 等于 b 和我们的 y 等于负 b， 它分别是我们的 y 等于一兆直线和 y 等于我们的负一兆直线，对吧？哎，然后它交于什么？ m n 点，所以，哎，我们对应的 m 点坐标我们是非常已知的，它就是二动一，然后 n 点坐标就是我们的二动负一。 好，然后他说我们的直线 m t 与我们的 y 等于负 b， 对 吧？与 y 等于这个负 b， 好， 它交于我们这个 p 点 o 交于 p 点。写错 p 点啊。好，然后我们的 n t 轴直线交于 y 等于 b 轴直线于点 q， 然后我们的 a t， 对 吧？哎，于我们的这个椭圆另外一个点是二，然后我们要求证这三个点是共线的，对不对？ 那我们想要求三点共线，就是求它的斜率相等，实际上就这样的啊。好，那么我们分别去求出我们对应的这个点坐标就可以了。好，那么我们对应的 k m t， 那么它对应的这是二斗一，然后这是，呃，零斗 t， 那 么我们对应的斜率，对吧？找它的斜率，它的斜率就是我们的这个，呃，一减 t 比上一个二，对吧？哎，那么我们的直线方程，嗯， mt 这条直线， 嗯，点结式方程，那就是外减去一个 t 等于二分之一减 t 倍的 x， 哎，所以就是它好，但我也可以用它去写，是没有任何问题的，用谁去写这道题都可以，因为它最终的计算，哎，都挺简单的， 好，那么同样的，我们的 k n t 这道直线就是，呃，它是负二斗，呃，不，它是二斗负一，然后它是零斗 t， 啊，那么它对应的就是我们的呃，负一减去一个 t 比上一个二 好，然后我们的这个 n t 的 这道直线就是 y 减去一个 t， 哎，它等于 二分之负一减 t 被打 x， 那 么我们要对应求出它的 q 点坐标，对吧？和它的 p 点坐标，那么我们可以先设一下，我们设我们的 p 点坐标就是 x， p 到负一，我们的 q 点坐标就是 x， q 到正一，好，那么也就是我令这个 y 等于这个负一式， 对吧？我们去求出我们的 p 点坐标啊，直接写就行了，好，我就按照过程给你写啊，有同学不太会写，过程中间所有的计算都不要写到卷面上，因为你卷卷子没地，你卷子没地啊，然后把它单独单独去放到你的其他位置去进行计算啊，那么我们对应的这就是负一减去一个 t， 它等于二分之一减 t 倍的 x， 对 吧？那么这个乘过去就是二倍的负二倍的这个 t 加一，好比上一个一减 t， 那 我把这个负号放到下面，就是我们的 t 减一分之二倍的 t 加一， 然后动负一，好，所以我们的 p 点坐标就求完了，那么 q 点坐标也是一样的，我把我这个 t 等一带进去呢，就一减 t 好， 乘一个二，然后比上我们这个，呃，负一减去个 t 等于我们的 x， 对 吧？好，我把这个符号挪过去，那么这是利用 y 等于一时， 好，这是我们的 p 点坐标，那我们 q 点坐标，那么就是，呃，一加 t 分 之，我们这个是二倍的 t 减一，对吧？我把符号放上面了啊，哎，所以我们对应的呃， p q 的 这个点坐标我们就求出来了，对吧？哎， p q 的 点坐标我们就求完了， 那 p q 点坐标求完之后，接下来我就得去求我们那个二，因为我们要求的是三个点坐标，对吧？哎，三个点坐标啊，好，那么我们现在是把我们所有的这个 用我们什么去经表示的，用我们这个 t 去经表示的，那么接下来我们就得去表示我们的这个二，对吧？我们去把我们的二点坐标去表示出来啊，好，那么首先我们这个二的直线，它是经过我们这个 a 点嘛，对 吧？经过我们的这个 a 点，那么我们对应的去给它找一下 啊，我们看我们的 a t 的 这条直线啊， a 点坐标是我们的二斗零，然后我们的 t 点坐标是我们的零斗 t， 所以 我们的 y 就 等于我们的 t 比上一个啊负二，嗯 啊， t 比上一个负二，对吧？好，那么呃，倍的 x， 好， 但我可以把这个就是我它的这个 k a t 啊， 它的 k a t， 它就等于我们的 t 比上一个 t 减零，比上一个零减去一个二，那么就是负的二分之 t， 对 吧？我可以这么放着，我也可以不这么放啊。然后点斜式方程，是我们的 y 减去一个， 我算它的 k 等于吧，这样的话我们好找。好，那么我们的 y 减去零，等于我们这个 k 倍的 x 减去一个二，是它吧？好，那么它与我们椭圆方程连立 x 方比上一个我们的这个 a 方， 也就是四加上我们的外方等于一，然后我这个 t 最后再带进去。啊，您这样的话我们会好算一点。好，然后因为我们其中的一个横坐标它是零嘛，所以我另外一个横坐标它就好求啊， 那么我们对应的给它带入，那这是 y 等于 k 倍的 x 减二，然后带进去，就是 x 方加上一个四倍的 k 方的这个外方。好，它等于我们这个四，那就 x 方加上一个四倍的 k 方倍的半径，它等于四啊，我们整理一下，那就是一加四 k 方 倍的 x 平方，然后这边是，呃，减去一个，这是四 k， 对 吧？减去一个四 x， 那 么这是四 k 方。四四十六，减去个十六 k 方 x， 然后再加上我们这个是，呃，四四十六十六倍的 k 方，然后减去个四等于零， 哎，我们就编到这儿了，对吧？好，那么我们这个，我们给它写到这儿，把这个擦掉了啊，好，那么我们对应的，呃， x 一 加上 x 二，对吧？我们两个坐标，那么就是我们的 x a 点坐标， 嗯，也就是二加上我们这个，嗯，另外一个，对吧？就是我们的这个，我们设以二点坐标啊，二点坐标是 x 二，嗯， y 二，好，那也就是我们的二加上我们的 x 二，哎，它就等于我们负的 a 分 之 b， 嗯，等于它，然后我们的 x 一 乘以 x 二，就你二乘以我们的 x 二，对吧？哎，它等于我们 a 分 之 c 啊，你用这两个哪个都行，都可以，没有任何问题啊，它用哪个去表示都可以，对吧？它都符合，它，都对啊，它都对。好，那么你比如说，啊，我用这个吧，我用这个 x 二乘以它， 那么我们对应的就是，嗯，二乘以我们的 x 二等于， 好，那么我们的 x 二，它就等于， 哎，分之。我们，这是， 好，我就编到这儿了，对吧？好，然后接下来，好，接下来啊，因为我们对应的这个式子，呃，它的 k 是 等于这个负二分之 t 的， 那我把它带进去，所以我们的 x 二，对吧？因为我们的 k 等于， 好，所以我们的 x 二，给它。求一下，那么我们对应的就是我们把它带入啊。 呃，一加上就是四乘以四分之 t 方，然后八乘以我们的四分之 t 方，然后减去一个二，对吧？来，我们整理一下，这是一加上一个 t 方，然后这就好。整理的是二，二倍的 t 方减去个二，那么我们对应的就是 e 加上 t 方，然后二倍的这个 t 方减去个一 a k a， 我 们这个就出来了，对吧？好，那么我们的纵坐标，我就把它带入到我们的直线方程。 y 就 等于我们这个是负的那个二分之 t， 然后再乘以我们这个 x 倍的，那就 e 加 t 方，二倍的这个 t 方减一，然后再减去二倍的 t 方，是它吧？那 这是二 t 方减去个二，然后减去个二，再减去二倍的 t 方，那这个 t 方 t 方它就约掉了，所以它这是一个负四，负四和这约掉一个负二，对吧？好，那么我就剩了一个符号，它肯定是个负的，对吧？ 那不不，这是负四啊，负四约掉一个，变成一个这个二，那它是正的，所以我就是一加 t 方分之二 t， 所以 我们的这个二点坐标也求完了。 直线与椭圆的利，对吧？我们去找。好，那有同学说我能不能把它设成单动点？可以，你把它设成单动点也可以啊，然后你利用这个点在直线上，对吧？好，还有就是我们的点在椭圆上去找它对应的，我们这个也可以啊，这个是没有问题的。 好，那么，呃，我们对应的，哎，我就把我这个二点坐标求完了，那么我若要证明，对吧？好，因为我们的这个 p q r， 它是三点共线的。 好，那么当它三点共线之后，我们对应的斜率就是相等的，对不对？哎？斜率相等，那么我们的二点坐标是最复杂的，对吧？那我就让它用一次，那么它用两次，也就我们的 k p q， 哎，所以我们的 k p q， 它应该等于我们的 k， 哎，比如说我写成 p r 或者是 q r 都可以，这个没关系啊。哎，比如它等于我的 k q r， 对 吧？哎，这个都没关系，因为我们对应的，呃， p q， 对 吧？因为它简单，所以我用用用多重复，对吧？然后那个 q r， 那 个二点坐标，它比较复杂，好，那么我们对应的，我们把这个三点三个点的坐标给它减下来，接下来我是要求斜率相等就可以了啊。 好，那么我们对应的 k p q， 好， 我给它整理一下，那么就是我们的，呃，它减它，那么就是二，对吧？纵坐标点纵坐标，横坐标呢？就是一加 t 分 之，我们这个二倍的 t 减一，然后减去一个，这个 t 减一分之， 嗯，二倍的这个 t 加一。好，那么一定要记得给它通分，还有就整理式子啊，好，那么这个式子我们给它整理一下，就是我们底下通分二比上啊，然后上面这个通分就是， 呃，一加 t 乘以我们这个 t 减一倍的，然后这是二倍的 t 减一的，这个首先它是可以提出个二倍的，那我就先把这个二倍的整体提出去啊， 那么这和这其实就约掉了，它变成一了，那么这变成了一个 t 减一的完全平方，然后减去一个，这是 t 加一的完全平方，对吧？那么这个式子它就非常好整，我就直接给它展开了啊，那么就是啊， t 方，然后减去一个二 t 加上一个一，然后再乘，再减去我们这个 呃 t 方，然后只加上一个二，减去个二 t， 咱们再减去一 t 方， t 方减没了，一和一减没了，所以它就是一个负四 t， 哎，所以这就剩了一个负四 t。 好， 那么我们的整个的式子我们给它整上去，哎，它就变成了一个它一除以它吗？相当于乘以它的倒数，那么就是，呃，四 t 分 之，我把这个放放前面啊，上面是一个平方差 t 方减一，对吧？哎，就变到这了， 所以这是我们的 k p q， 那 么接下来我们去求我们的 k q 二，对吧？我们的 k q 二， 好，它就等于我们对应的纵坐标之差，对吧？那么我们就是一减去，我们这个减它， 嗯，分之二 t， 然后，哎，下面是横坐标相减， 好，减去，嗯，然后一加 t 方， 分之二倍的 t 方减一。 ok， 那 我们编到这了啊，然后接下来我们去给它合并同类项，那么我们的我们一块一块的弄啊，你可以先弄它的分子，对吧？它的分子是我们的一加 t 方，分之，这个是 一加上 t 方减去个二 t， 那 么一加 t 方减去个二 t， 正好是一个我们的 t 减一的完全平方，对吧？哎，刚好是它， 然后接下来我们底下给它通分，那么就是啊，一加 t 乘以我们这个是一加 t 方，哎，分之，这是二倍的啊，二倍的可以提出去吧。哎，我先不动啊，先把这个二倍的提出去，你就二倍的，然后接下来我们再看里边这边是 t 减一乘以我们的 一加上一个 t 方，然后再减去一个，好，这个正好可以拆，是个平方差，那么因为我们要提供一式，所以我就先把这个拆了啊， t 减一乘以我们的 t 加一倍的，然后我们这是剩了一个一加 t， 对 吧？那就 t 加一的平方。好，所以我们在椭圆的计算当中，我们说什么时候可以帮助我们节省计算量呢？一个是提供一式，一个是，呃，就是同分，对吧？那其他就没了。好，那么我们这个式子我们会发现它的分子，对吧？刚好可以提出来一个 写，这啊，这是二倍的 t 减一就能提供一式，我们要一定要提供一式，因为它会更简单，里面变成一个一加上 t 方，然后减去一个 t 加一的完全平方，就是 t 方加上一个二 t 呢？减去个二 t， 再 减去一，一和一减没了，然后 t 方和 t 方减没了，所以它这就没了，对吧？所以我们的式子它就剩了一个。什么呢？一加 t 和一加 t， 这约掉了，对吧？两个分母一样就约掉了啊，然后我们的整体，然后我们整体上面啊，它就剩了一个， 呃， t 减一的完全平方，然后下面是乘以，对不对？因为我们要取倒数除以它相当于乘以它的倒数嘛？好，那相当于乘以，我们这边剩了一个。是，是，嗯，这是负二，然后这是二，这是负四 t 倍的这个 t 减一分之，我们这个是一加 t 的 这个平方， 然后接下来我们来给它整一下啊，那么我们对应的这是 t 减一和，这是我们的这个，呃， t 减一，它就约掉了一个，对吧？它就约掉了一个 啊，因为我这个里面啊，这是 t， 因为，对，没问题，它就约掉了一个，它约掉了一个之后，它的整体的式子，呃，它就变成了我们这个负四 t 背的它好，底下是个负四 t， 对 吧？然后上面 上面我们这个式子是，呃，剩了一个一加 t 方，一加 t 方，哦，不对，这个约错了啊，那这剩了一个一加 t 方，约掉这啊，剩了一个一加 t， 那 就是 t 加一， 好，那么我们的整体式子它就变成了一个，这是负四 t， 把这个放往前提啊，负四 t 上面是个平方，差是 t 方减一吧，哎，括起来，好，所以你看我这两个式子是不是一样的？哎，是一样的，所以我们的这个 k p q， 哎，等于我们的 k q 二，对吧？好，所以我们三点共线，但是没有做完啊。好，那么它这个相等的前提，你看啊，它的 t 作为了一个分母，分母是没有把它等于零的，分母是没有把它等于零的，对不对？ 所以它们刚才这些式子所有成立的情况一定是 t 不 等于零，所以啊，当 t 等于零时， 好，如果你说我不想要分母怎么办？你就把它俩相减，对吧？是可以的啊。 嗯，然后交叉相乘还是可以的。然后，那么我们对应的 t 等于零的时候，一定要单独减，因为它作为分母，它是分母，没有把等于零的，对吧？那么当 t 等于零的时候，我们的直线它就这么画的， 哎，这个 t 点在这，然后这是我们的 a 点，对吧？哎，然后我们这个 m 点和 n 点是不变的， m 点，那么它中心对称，中心对称之后，这个点坐标和它互为向量处，对不对？好，那么，呃，这边也是中心对称的， 我们这个是 n 点和这个 t 的 交点，对吧？哎， n 点和这个 t 的 交点，然后，呃， y 等于它， y 等于它，哦，我这个点画错了啊，嗯，在这，对吧？哎，就在这，然后这个是和它的交点啊，这个是在这，我这个图画的不太标准。 然后，那么我们这条直线与它的焦点还是这，对吧？所以就是它，所以，那么当 t 等于零的时候，我们的这个 p 点坐标实际上就是，这是 pr， 这是 q， 这是 r， 那 么我们的 p 点坐标对应的就是， 嗯，负二。逗，我们的负一，然后我们的 q 点坐标对应呢，就是负二逗一，然后我们的二点坐标对应呢？就是负二逗，零，好，所以我们的 x 等于负二，对吧？ p q 二在我们这个 x 等于负二这条直线上， 哎，所以接下来，对吧？我们再综上所述，我们再把这句话答一下啊，一定要注意它的一些细节的问题，所以综上， 那我们的 k p q 等于我们的 k k q 二，对吧？所以我们的三点共线，好，所以，那么我们对应的，因为我这个是没有斜率的啊，因为这个它不存在斜率啊。好，它也是共线的，对吧？哎，所以，哎，所以我把这个，把这个直接删掉，不要理发了 啊，所以我们三点共线，对吧？你在写过程的时候，你可以这么写，对吧？好，中间的这些计算，这些计算啊，都不要，你觉得这些计算我们都不要，只写一个是字，然后写一个结果就可以了。好，这个也是一样的，只写一个是字，然后出最后的结果就可以了，所以你看啊， 所以你可以猜，就是你可以蒙，对吧？就是我这道题我实在不想算了，我就可以蒙，因为它非常不好算，你就可以直接蒙就行了，因为它只要一个结果分，当你把这个算完之后，因为你确定它肯定是三角形的，是不是？然后你这块可以直接写过程，然后没有时间计算，直接写一个结果 get 就 可以了， get 就 可以了啊，哎， get 它等于负的四 t 分 之 t 减一的平方，好，所以它来相等，对吧？ 哎，因为他让你求证他三点贡献，说明他一定三点贡献，对吧？好，那么我们对应的，你看这儿我就可以省一步计算，就我不算了，我直接写出结果，没关系，他不会给你扣分， 因为我们正常就是按部给分，按部给分啊，然后过程有过程有结果，有过程有结果就 ok 了，他不会去管你是怎么进行计算的。嗯， 会员是这样的啊，好，所以这是我们的二零二六年的东城的二模的源泉，对吧？所以你在计算的时候你一定要注意，就是如果你算不出来， 你可以把过程写在这里去骗它的答案，对吧？哎，我们一样可以拿到分数。 ok， 那 我们今天的这道题就看到这里了，拜拜。
75高中数学王
05:11查看AI文稿AI文稿这个题的话一共讲两种方法，我们现在再讲一下解方程啊，前边讲了一个所谓的极速同笼法， 那么解方程怎么解呢？这个其实解方程就简单了，列方程好列，但是解方程不好解，我们在这主要讲的是解方程的技巧。 这里边的话，嗯，碳碳氮跟碳碳氢都可以和盐碳反应，我们就设碳碳氢的质量为 x， 那 么如何表示它所消耗的盐酸质量呢？啊？所消耗的氧化氢的质量呢？就是交叉除以八十四啊，交叉除以八十四， 所以它就是三十六点五， x 比上八十四，这就是消耗氧化氢的质量，那这边呢？测它的质量为 y， 所以 它就是多少 七十三， y 比一百零六，所以这里边我们能得到 x 加 y， 我 把这边都清除了吧， 写上 x 加 y 等于十三点七。那么另一个方程呢？我们主要是解第二个方程，第二个方程的话就是三十六点五， x 比上八十四，加上 七十三， y 比一零六等于多少呢？等于七点三克。 那接下来我把下边的就擦掉了，这些就不要了。这是我们通过列方程得出了两个这个式子，那么你得出两个式子以后，呃， 通过数学的思想，你肯定是能解的，两个方程解两个未知数，这肯定能写，那么接下来怎么写就成为了难题， 怎么办呢？首先我们在这可以约分，也可以不约分，你可以给他这个去掉父母以后再约分，当然我们在分子这就约分嘛。这个时候你可以怎么办啊？这是三十六点五，这边是七十三，这边是七点三，怎么办呢？你可以都约掉这个七点三， 当然三十六点五，你约七点三不太好做，对吧？但是你能知道三十六点五跟七十三它是二倍关系，所以这个式子整体都乘二，所以它就变成七十三 x 啊。分子乘二，分母也乘二，那就变成了一百六十八加上七十三 y 比一零六等于七点三啊，我就单位就不写了。 那接下来你约七十三也好，约七点三也好，都没关系啊，当然我们就约七十三吧。你约了七十三以后，变成 x 比一六八，加上 y 比上一零六等于零点一，你写到这的话就相对好多一些了， 对吧？那接下来接着做啊，别着急，接着做。那下面的话，我们把它去分母，就是一零六 x 加上一六八 y 等于一零六乘一六八，再乘零点一。这个东西不要算出来， 你给他算出来这个题就太难了，一零六乘一六八，这太困难了，不要给他算出来，怎么办呢？接着往下做，你可以在这去约分，但是不太建议，你就接着往下做。这回把这个第二个式子不要用代入销员啊，不要用代入销员 这个东西用什么呢？用加减消炎法，所以把它变成一零六 x 加上一零六 y 等于十三点七乘一零六。那接下来做加减消炎 这个位置，一零六 x 和一零六 y 就 消掉了，上边六一六八减一零六，那就变成了，呃，这是六十二 y， 接下来关键在这儿， 你剁了减法以后，它应该是一零六乘一六八，减乘零点一减去。哦，写这边吧， 这是一零六乘一六八，再乘零点一，减去多少呢？一零六乘十三点七，那么关键点就在这个位置， 一六八乘零点一是不等于十六点八呀？你这个一零六乘十三点七，你能不能同时提出来一个一零六？这肯定是可以的，你提出来一个一零六，那就变成这个形式了， 就变成了一零六括号，这多少？十六点八减十三点七，那这个时候你再去化减就非常好做了， 不要做乘法，不要给它乘出来，你乘出来以后，这个题是绝对算不出来的。你这个时候把它化减 啊，给它变成这个，这多少呢？这是三点一，三点一跟六十二是可以约分的，这边剩二十， 这边剩一二十跟一零六，那所以 y 等于多少？ y 等于五点三克，所以你就得到结果了啊，很清楚了，所以你解方程也得有技巧。 你不想解方程，那你就得学会我们刚才讲的那个 g two 同笼法。
67化学与生活
14:53查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我们一起来看一下鞍山市刚刚结束的二模考试当中的第二十二题，几何压轴题。那么这道几何压轴题呢？它并不是很难啊，我们在八年其实就做过此类题型，它主要考察的是一个旋转的数学思想， 那其中前两问呢？主要考察的是绊脚模型以及变形啊，那么最后一问考察的是终点的用法。 好，我们先来看一下第一题啊，那第一题呢，其实就是绊脚模型的结论，这里的 e f 应该等的是 a f 再加上 c e 啊，那相信在考场的同学们一定是可以做出来的，那在这里老师就不浪费时间给大家进行讲解这个过程了啊。 好，那接下来第二问，这里的的 f 等于的是五的 e 的 长度等于的是十二，让你去求这个正方形的一个周长啊，那其实绊脚模型当中有很多结论，那其中有一个结论就是三角形啊， f e d 的 周长，它应该等于正方形周长的一半，其实也是根据我们那第一个结论得到的，因为这里的 e f 等于的是 a f 再加上 c e， 所以 我们知道这里的 a d 再加上 c d 就 应该等于的是 d f 再加上 d e 再加上 e f。 根据高普定律，我们知道 e f 的 长度应该等于十三，所以正方形的周长应该等于的是二倍的这个三角形的周长，所以应该是五，加上十二再加上十三，再给它乘以二，就是正方形的周长， 这个相信大家在考试当中也是一定可以做出来的啊。好，那接下来我们看一下括号二相当于是半角模型的一个应用啊，除了已知条件当中 m、 b， n 等于的是一个四十五度角啊。 出题者还给了一个已知条件，是这里的 c、 e 和这里的 a、 f 是 平行的位置关系。 好，那接下来我们看一下求证的是什么啊？它想要得到的是这里 a， m， m， n 和 n、 c 之间的一个数量关系， 那咱们用圈一、圈二和圈三啊，也就是说这三条线段的一个数量关系啊。那还是要借助旋转的一个数学思想，我们可以把三角形 b， c， n 绕着点 b 给它逆时针转九十度。 好，把它逆时针转九十度，其实相当于是得到一组旋转型的全等啊。好，那这个辅助线我们可以怎么样来描述呢？其实我们在八年级就会啊，应该是过点 b 去做 b k 垂直这里的 b， n， 并且使 b k 等于的 b n。 好， 那接下来我们看这个全能可以怎么正啊？由于我们做完了辅助线，我们知道这里的 b、 k 和这里的 b、 n 相等。 其次我们还知道什么呢？正方形 abc 的 这个角应该是一个九十度角，那在点 b 处还有一个九十，那咱们不妨会推导出来，这两个叉号角它应该是 相等的啊，那再加上正方形，它的边长是相等的， ab 和 bc 是 相等的，所以我们会得到这两个三角形应该是一组旋转型全等。那通过这个全等，咱们就可以把圈三这个条线段给它进行转移，转移到这里的 ak。 好，那接下来绊脚模型，它一般是两次全等，先来一次旋转型的全等，再来一次对称型的全等。所以接下来我们应该把这里的 k m 连上，连上我们应该正的是三角形啊， k b m 和三角形 n b m， 它俩是一组对称型的全等。 好，我们来看一下条件，这里的 b k 和 b n 是 相等的， b m 是 一条公共边啊，那它是四十五度角，这里的角 k b n 还是一个九十度角，所以它也是一个四十五度角啊，那么 s a s 就 可以证明这种对称形全等，那么我们就可以把问题线段当中的 圈二这条线段给它进行转移啊，转移到这里 m k 来。 好，那我们会发现啊，这个问题当中的三条线段都被我们首尾顺次连接起来，组成了一个三角形啊。那我们想要探究他们的一个数量关系，不妨去猜测一下，这个三角形应该是一个直角三角形， 那我们只需要去证明这个角它是九十度角就可以啊，那正，它是九十度，还是要利用上我们全等当中的对应角相等， 由于我们的全等，所以我们知道，哎，对应角相等，圈和圈应该是相等的，对吧？那么接下来怎么去正它是九十度呢？那你要看什么已知条件你没用上。首先这里的 a f 和这里的 c e 这组平行的条件咱们就没用上， 根据他俩是平行的，再根据正方形，这里的 a e 和这里的 c f 也是平行的，所以我们不妨会得到一个平行四边形 a f c e。 那 平行四边形有的条件应该是什么？他应该是对角是相等的啊，所以我们会得到这两个对号角是相等的。 好，那再点 c 处圈号角加上对号角应该等于是九十度啊，那我们再来看，再点 a 处圈加对号数也依然是九十，那我们就可以证明他是一个直角，他是一个直角三角形啊， 那根据直角三角形，我们就可以得到它三边之间的一个数量关系，应该是 ak 的 平方，再加上 am 的 平方，等于的是 mk 的 平方啊，那么 ak 我 们给它转化成这里的问题线段就是 c n。 好， 那 am 也就是问题线段不用变好，再看这里的 mk， 应该是这里的 mn。 好，那他们三个之间的一个数量关系就出来了，那么我们的第二问就解决了。好，那接下来我们一起来看一下括号三啊。括号三呢，它主要考察的是终点的用法，给了你一条线段的终点，那我们知道终点它在中考当中呢，一共有四种用法， 那适应这道题的应该是有两种，第一个呢，应该是给他背长啊，另外一个是构造中卫线啊，取中点去构造中卫线，而取中点构造中卫线的思路是大家在考试当中能够想到的啊，但在这里老师给大家做的是背长的视频讲解啊，所以应该是延长这里的 c h 至点 k， 使得这里的 h k 应该等于的是 c h， 然后接下来把这个 k 和 n 连上，连完之后，咱们应该先得到的是一组八字形全等，应该是三角形，这里的 h， c， d 全等于三角形 h k， n。 好， 那通过八字形全等，咱们可以得到 c d 和 n k 之间的一个数量关系啊， c d 应该是平行，且等于这里的 n k。 好，那我们才知道这里的 n c 的 它和 bc 是 相等的，而 c 的 还和这里的 n k 相等，所以我们可以推得这里的 bc 和 n k 是 相等的数量关系啊。 那通过读已知条件，我们还知道三角形 b n m， 它应该是一个等腰值啊，也就是说这两条线段也是相等的，所以我们会发现啊，圈号线段和圈号线段相等，还有什么？ 竖线和竖线是相等的，那我们应该去找这两条线段所在三角形全等，所以接下来我们的辅助线应该是连接这里的 mk。 好， 把 mk 连上之后，我们应该去找这两条线段所在三角形全等，那应该是三角形 m b， c 全等于三角形 m n k， 而这两个三角形全等一定利用的是 s a s， 所以 接下来我们的目的应该是找这两个角是相等的啊。 好呢，来看一下我们如何去推导出角一和角二相等，那就需要利用我们刚才得到的平行的位置关系啊。由于 c 的是平行，这里 n k 的， c 的 还是垂直 bc 的， 所以我们会得到这里的 n k 也是垂直什么呢？垂直 bc 好， 有了垂直之后，这是有一个八字形倒角九十和九十相等，对顶角和对顶角相等，我们说拿外角去倒一下就行，就会得到这里的角一等于的是角二。 好，角一等于角二，那咱们就可以得到这两个三角形全等啊。好，那全等之后，我们就可以得到 c m 和这里的 k m 相等， 还会得到的是对应角相等啊。这个大钝角也应该是相等的啊。由于对应角相等，再减去这个公共的这个角，那就会得到旁边这两个小角相等，也就是说 kmc 这个角应该等的是 bm n 这个角啊，那它是九十，所以它也是九十啊。 好，那咱们就会得到 cmk 这个三角形是一个等腰直角三角形啊，好，写一下。 好，那通过这个等腰直啊，我们就可以得到斜边和直角边之间的一个数量关系啊，所以这里的 c k 应该等的是根号二倍的 c m。 好， 那 c k 还是等于二倍的 c h， 所以 我们可以得到 c m 应该等于的是根号二倍的 c h。 问题搞定 好，那接下来老师再来讲一个方法啊，其实这个题啊，我们在八年级就遇到过啊，那我们来看一下这里的三角形 b m， n 啊，在旋转之前是三角形 b p q， 它俩都是等腰直角三角形啊， 那这里的 bc， 对 呢，它也是一个等腰值啊，那么在旋转之前，它是一个反 a 相似，那我们把这个三角形 b q p 转出来之后，我们就会出现什么呢？反向构造手拉手啊，我们可以借助反向构造手拉手的方法去解决这个问题啊。 好，那接下来啊，这个反向构造手拉手啊，他唯一的一个缺点就是这个辅助线特别多啊，但是他的思路其实特别的简单啊，我们应该是把这个三角形 m， b， n 啊，应该是沿着这里的 b m 给他进行翻上去啊，那翻上去，其实我们做的辅助线就是倍长啊， 应该是延长这里的 n m， 置点 e， 使得这里的 e m 等于的是这里的 m n， 然后接接下来连接这里的 b e， 连完之后，我们就会得到一个大的等腰直角三角形 b n e。 好，那再看啊，这里的 bc 的 这个等腰直角三角形啊，还是做同样的辅助线啊，应该是沿着 bc 给它翻下来啊，所以相当于是延长这里的 bc 至点 f， 使得这里的 c f 等于的是 c 的， 然后接下来把这里的 b f 连上，哎，依旧会得到一个大的等腰直角三角形啊的 b f， 现在我们会发现两个等腰直角三角形共顶角顶点，对吧？那么我们就会出现手拉手的全等啊，那接下来我们直接从这个手拉手的角度来进行切入就行， 相当于是从一个模型的角度来进行切入啊，直接来找他的结论，第一个结论应该是胳膊长度和相等，也就是说连接这里的一对，再连接这里的 n f， 咱们第一个结论应该是 e 的 等于的是 n f。 好， 那接下来第二个结论应该是胳膊的夹角等于的是等腰三角形的顶角度数啊，那么在这里就是 e 的 和这里 n f 的 夹角应该等于的是九十度，所以接下来我们把它俩沿出去，让它俩相交 好，那交上之后，那接下来这个角它就应该等于的是九十度啊，也就是说第二个结论应该是角的 k f 高于的是九十度，相当于都是从手拉手模型的这个角度来进行切入的啊。好，那接下来我们再看问题，问题我们想要研究的是 c h 和 m n 之间的数量关系啊，由于我们刚才这样去做辅助线，其实又多了两个中点 点 c 应该是对 f 的 终点，同时这里的点 m 还应该是这里的 e f e n 的 终点。好，那接下来咱们根据终点终点相连，就会出现中位线，所以这里的 c h 应该等于的是二分之一 n f 同时 c h 还是平行。什么呢？ n f 的 根据中位线啊。好，那接下来再看啊，这里的 m 它也是终点，还有谁是终点啊？ h 是 不是也是终点？所以我们应该把 m h 也连上。 好，那 m h 连上之后，是不又出现了中位线啊？所以看 m h 又平行且等于谁的一半呢？是不应该是这里 e d 的 一半？ 好，那我们还知道通过问题啊，通过我们刚才得到的这个结论，这里的 e d 和 n f 是 相等的，所以我们不难会发现，这里的 m h 就 应该等于的是 c h。 好，它俩是相等的啊，那其实咱们不难猜测，三角形 h m c， 它应该是一个等腰值，也就是说你需要正，它是一个九十度角啊，那怎么去正它是九十度呢？应该借助我们刚才平行啊，因为我们知道这里的 m h 平行， e d， m h 和 e d 是 平行的，所以我们应该把这里的 c h 给它延出去。 好，那接下来看沿出去啊，那同时还有什么平行呢？ c h 数还是平行？ n f 的 c h 和 n f 平行啊，也就是说这两条线段也是平行的，你看它俩如果平行，它还是一个九十度角，所以不难得出它也是一个九十度角，对吧？好，那再看横着的也是有一组平行，它九十是，我们不难得出它也是九十 啊。由此，通过这两个平行，咱们是可以推出角 m h c 等于九十。 好，那它如果是九十度，那么我们会得到三角形 m c h 是 一个等腰值。 好，那等腰值我们就可以得到 c h 和 m c 之间的一个数量关系啊， m c 应该等的是根号二倍的 c h。 好， 这就是我们解决第三问的方法。方法是不为一的，可以从已知条件来进行切入，或者是从模型的角度来进行切入。
14:26查看AI文稿AI文稿今天我们来一起学习 二零二六年开封市中考二模数学试卷分析。大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们就来分享一个今天上午刚考的啊，嗯，开封市啊，中考二模数学试卷的一个压轴题啊，当然有需要这个试卷朋友可以私信我把这个试卷分享给大家啊。 试卷整体来说其实比较简单啊，特别是这个第十五题，二十三题啊，其实都不是很难啊， 今年的这个题的话，可能难度确实会下降啊，但是不知道中考真题这边会到底会怎么改变啊？好，我们，呃，只讲两道题啊，第十五题和二十三题啊，第十五题的话，他这个题中规中矩啊，当然我把它分类啊，分类整理，在我整理这个压轴题，分类会编里面的。 呃，最后一部分啊，我把它整理在这个什么呢？这个分类讨论啊，分类讨论思想里面的啊。好，我们就在这个地方进行讲解啊。 如图， m 为正方形， a b c， d 内部一点 am 平分角 b a d， 嗯， am 平分角 b a、 d 正方形 am 平分，对吧？好，读到这啊，这个时候我们能发现它是不是就是一个非常对称的一个结构啊， 对不对？就是这部分和这部分是对称的啊，这部分对对称的，对吧？好，对称，我们就得到了这个角，其实就等于这个角，这是一个非常关键的一个信息啊。继续，然后他做了一个什么呢？做了一个，然后他连接 bm 啊，过点 d， 做了一个垂直啊， 过了垂直，并且啊并且角 dmn 的 六十度，这个角是一个多少度呢？六十度，那我能不能说这三个角都是六十度呢？哎，非常好，这三个角都是六十度啊， 好，他说将三角形 abm 啊，沿什么呢？沿边所在的直线，边所在直线，直线啊，那就意味着有两种情况，可能向左啊，右上角平移，也可能往左下角平移啊，所以说这个时候就要学会分类导论啊， 得到一个 a 撇， b 撇 m 啊，然后其中告诉我们两个边长 ab 是 一个根号六啊，这边是根号六啊，然后呢， b b 撇等于一啊， b b 撇等于一。好，又说将点 b 偏移到了 b 撇的位置，那就意味着两种情况，这边可能是一的情况，那这边是不也有可能是一的情况呢？哎，非常好。 然后呢，让我们求 b 撇 d 的 长啊，好，我们就随便画一个，比如说 b 撇在这个点啊，我们把它标成 b 一 吧， b 二还可能在这个地方啊，这两个这种情况，我们先看 b 一 好， b 一 的话，这个时候让我们求什么呢？让我们求这个边啊， 让我们求这个 d b 撇啊，对吧？ d 撇的长啊，怎么求呢？当然我们借助于这个三角形的一个这个什么呢？解三角形就可以来解了啊，我们观察一下， a b 是 根号六啊， 这段是一个一啊，这段是一，还有什么信息呢？还有我们刚说这个角是六十度啊，六十度。我们首先先在原来图形解这个三角形，这个边是一个根号六啊， 这个角是四十五度啊，对吧？这个角是六十度啊，所以说四十五度，六十度的话，这个时候就出现一个，它就是一个三角形啊，对不对？我们可以这样把它做出来一个等腰直角三角形啊，将四十五度和六十度都放在什么呢？都放在一个直角三角形中来，我们在这个同样画一下就行啊，就是相当于连接了 b d 啊， 连接了 b d 啊，好，斜边是根号六的话，那么两个边的话分别是多少呢？根号三，还有根号三，对不对？根号三这个边是根号三，并且我们能知道啊，这个角因为这个角是六十，这边是个垂直啊，所以这个角就是一个三十度角，对吧？所以三十度垂直交边，那么这个边就是一，这个边就应该是个二， 这边就应该是二，没问题吧？就这个边啊， b m 啊， b m， 好， 这个边是二了，这个边是二，那所以一，那，所以说这一段是不是也应该是一呢？哎，非常，这一段也是一啊， 好，这段也是一。好，接下来我们就来解这个三角形就可以了。好，当然我们刚开始的话，需要先解出来这个大的一个三角形啊，我来讲就是在这个三角形中， 我们刚说这个边就是一个多少呢？这个边就是二倍杠三，对不对？杠三，杠三，二倍跟三啊，这个时候这个角也是三十度角啊，所以说我们先把边解出来啊，就这个题的核心思想就是最后利用购物定力来解的啊， 购物定力，然后呢，这个边是二倍跟三，这个要三十度，所以这个边就是杠三，而这个边的话，我们刚说是一个多少呢？是一个 多少？是一个一，一二啊，一一二，所以这个边的话就是 啊，当然我们直接算也行啊，因为这个边的话总长度就是一个三，对不对？因为三十度垂直交边嘛，一比根三比二啊，所以说根三再乘根三，所以就是一个三，而这一段长是一，那么这一段长就是个二啊，所以说最后我们要求的第一种情况， d b 撇的长， d b 一， 那就等于根号三的平方，再加二的平方是不？答案就是一个根号七，对吧？根号七啊，好，我们把它画出来，求这个边长啊， 就这边上，当然这个边上是一，我们刚这个时候就变得比较简单了，一三，所以说就是一个三的平方，再加上一个四的平方，对不对？所以大家就记一个根号， 哎，更好多少呢？更好十九对不对？更好十九啊，没问题吧？更好十九啊，这两两个答案啊，这个属于一个图形的一个平移啊，其实我把它归在这个什么呢？归在这个呃，分类讨论这种思想里面啊。好，接下来我们来看一下这个试卷的一个最后一期啊。 好，第二十三期啊，第二十三期，第二十三期。行，行， 嗯，我们就来这个地方进行讲解吧。好，某某校数学小组啊，在学习图形的旋转的相关知识之后，对平四面形进行了相关研究啊，上面我就不再说了啊，然后他其实是相当于是将一个图形旋转，将一个线段旋转， 那么将一个线段旋转的话，就会出现等线段共端点啊，这个时候就会出现等腰三角形，对吧？然后他又说做了一个角平分线啊。好，上面这些信息的话，我们直接来看图再去分析一下啊， 也就是说现在题中告诉我们的信息就是将线段 a b 啊，现在旋转了一定角度到这个，然后又做出来这个角 b a e 的 一个角平分线啊，那所以说很明显这俩三角形是不是全等的呢？哎，非常好，中间一个共用边 边角边，所以这俩三角形，第一问， b f 和 e f 就是 相等的啊。第二问，当角变成九十度的时候，这个时候比较特殊，有一般的特殊啊， 有一般的特殊，一般到矩形再到正方形啊，这边是个九十度啊，那么这个时候啊，旋转过来之后，那么这边是不是也九十度？其中又说了点 f 是 p c 的 中点，那就意味着这一段等于这一段，也等于这一段啊。 嗯，那这个时候我们如果说把这个 f g 也连线的话，那么这俩三角形也全等吧。哎， 是不是斜直定律啊？斜直啊，就可以判定这俩三角形也是全的。这个时候出现了一个双反折问题啊，中间当然也是个直角，对吧？所以说让我们判断 e g 和 c g， 观察一下 e g 和 c g 是 不是也是相等的，对不对？这俩三点也是相等的，比较简单啊。好，我们看重点来看第三问啊，第三问和刚刚这个题是非常类似的啊，题有点重复啊， 好，角 b 等于九十度啊，然后呢， a b 等于 bc 等于六角， b 等于九十度啊，它是个正方形啊， 然后呢， e f 所在直线， e f 所在直线， e f 所在直线。我们我们再往回去看一下啊，这个点 f 的 位置有没有什么说法呢？我看一下啊，他说是 点 f 啊，你看一下，题中说了啊，就是我们要不要局限自己的思维啊，他说交，交什么呢？射线 b c 与 f 啊，射线 b c 有 时候点 f 在 射线 b c 上啊，射线 b c 上移动。好， 嗯，继续读题啊六，还有这个 h d 是 一个一，那这个时候的话就是射线 c d 啊，遇见 h， 射线 c d 啊，那就意味着 h 可能有两种情况，可能在下面这种情况，也可能在上面这种情况，对不对？那么这就是多解，跟我们刚做的题十五题非常类似啊，类似，好，我们先看这个在 c d 之间的时候啊的情况。 好，我们说旋转啊，这个线段绕着某个点旋转的话，其实就是一个圆的一个轨迹啊，这个时候就是以 a 为圆心啊，以 b 的 成为半径的圆，那么在这个图中，在这个图中的话，其实就是什么呢？就是以 a 为圆心，以六为半径的一个圆啊，那我们把这个圆画出来啊， 画这个圆，我们暂且先不画圆外的部分啊，这个正方形外部的部分，先看这一部分啊，然后呢？然后这边是一个垂直，这边也是一个垂直，那我能不能说其实就是过圆外一点，就是在 b c 上要找一个点，要找个点， 找个点怎么了？然后坐这里圆着两个切线，因为这边是垂直，那么这边也是一个垂直，并且怎么了？并且要交这一点，这时候我们就可以近次的画这图形啊， 好，假设就画出来，画出来啊，画出来这么一种情况吧。好吧，好，这个点就是 f 点啊，这个点的话就是对应的 e 点啊， e 点 图形可能比较小啊，也说将左边这个 a b 啊，现在旋转得到这个，这边也是一个垂直关系， 好在这里面和刚才图形非常类似的，这个时候又出现了什么呢？又出现了一个三角形的全两，就是两个三角形的全等啊，两个三角形的好，左边下边是一个三角形的全等，对不对？我把 a f 连一下啊， 那么上面这个是不是也是一个三角形的全等呢？对不对？这个点是 a， 这个点是 h， 对 吧？两个三角形的全等啊。 呃，至于说为什么全的，我就不再说了啊，因为都是斜直啊，都是斜直，直角，直角啊，上面也是个直角，这也是一个直角啊，对吧？嗯，好，让我最后让我们求着 b f， 那 我们就直接是 b f 的 长是 x 吧， b f x 的 话，那么这段长是不是也是 x， 对 不对？因为这两个线段是相等的啊，这段是 x， 但是上面这个线段 d h 是 一，那么这一段也应该是一啊，所以说这个时候我们的 h f 就是 一个 x 加一啊，来写出来吧， x 加一啊， x 加一，而这一段的话是一个六减 x， 那 么这一段能不能说就是一个五呢？所以说很明显就过程了一个购物定律啊，我们我们一会来列下方程，那就 x 加一或者平方，再减去一个六减 x 或者平方，就应该等于啊，二十五，对不对？ 所以说平方的公式啊，相加那就是一个七啊，相减的话就是一个二 x 减五，所以说等于二十五啊， 所以这个数得到十四 x 啊，就等于三十五，再加二十五是个六十啊，所以说 x 就 应该等于七分之三十，对不对？好，这是第一个答案啊， x 等于七分三十，至于说第二个图形怎么画呢？我在左边再画一下第二种情况啊，来画一个正方形啊， 好，要想交到什么呢？要想交到上面去啊，要交到这个上面这个延长线，比如说 a 七在这个点啊，好吧， a 七在这个点啊，那这个时候我们肯定很明显 f 要在这个点啊，为什么要这样去做呢？因为我们刚说了，它的运动轨迹是一个圆啊， 它的运动轨迹是一个圆啊，对不对？这个时候我们仍然在这个在 b c 上找一个点做圆的两个切线，对吧？做圆的两个切线啊， 嗯，这是 e f f 在 这，如果说 e 在 上边的话啊， e 在 上面这个图形可能画的不是很标准啊，那我们就 f 再拉长一点，好吧， 那 f 再拉长一点吧，这个时候我们直接连接这两点，做出来这个圆的一个切线啊，这个圆切线好，大约就在这个位置啊， 那么这个点就是对应的 f 点啊，那这个点的话交圆上一点，那么这个点就是对应的 e 的 点啊，就相当于是将啊，我直接过点 f 来做这个，来做这个 e 的 归结的一个切线啊，就是中间这个圆弧的一个切线啊，能看懂吧？ 画着两个圆的一个画这个圆的切线啊，那所以说很明显这个时候仍然出现了三角形的全等，对不对？我们把这个连一下啊，这边是一个垂直关系啊， 那么这也是个垂直，我就现在一起将这个 a b 啊， a b， 哎，翻折到了旋转到了 a e 的 位置啊，那这个数它就在它的一个角平分线上啊， 这是一个角平分线，当然上面这个地方也出现一个三角形的全等啊，大家能看出来吧，如果把 a h 连下的话，那这个三角形是不是也是相等的呢？这也是直角，这也是直角，对不对？因为这些边都相等啊， 好，最后我们还是一样的做法啊，那么这一段长是个一，下面长是个六，所以说这个总长度就是一个， 总长度就是一个七，对吧？这是七啊。然后让我们求 b f， 那 我们直接设 b f 吧，仍然把它设成一个 y 吧，好吧，这段是六，那么这段就是 y 减六啊， y 减六，好七， y 减六，我们接下来就是表出来这一线段，就可以利用勾股定律来把它求解出来啊，那么这段长度怎么表示呢？ 那么这个长度是不是也是利用这个 y 再减个一就可以了呢？哎，非常好。 y 减一啊，因为这个长是 y， 这个长也是 y， 而这一段长 就是这一段啊，这一段就等于这一段，因为这俩三角形是全的啊，所以这段是一啊，这段是一，那么上面这一段也是一啊，所以这一段就是一个 y 减一啊，好，这个方程那就出现了，那就是 y 减一，括住的平方啊，再减去一个 y 减六，括住的平方啊，就应该等于啊， 七个平方，对不对？七个平方没问题啊，好，平方的公式，相减相减，那就是一个五相相加，那就是一个二外减七啊， 减七，那就等于四十九，来整理一下，那就是一个十 y 减三十五等于四十九，所以说整理过来三十五加四十九，对不对？那就是一个八十四，没问题吧？八十四啊，就是 y， 就 应该等于啊，能约个二，对不对？那就是一个五分之几呢？四十二， 四十，四十四，四十二是四十二吧，对不对？五分之四十二。好，所以这个题有两个答案啊，这个题和前面第十五题其实非常类似啊，都属于分类讨论啊。然后呢，再画着图形去分解出来啊。这两个答案，一个答案就是七分之三十，另外一个答案就是五分之四十二啊，其并不是很难啊，非常简单。 好，有需要这个事情朋友可以私信我把这个事情分享大家。这个事情我就分享这么多，如果说觉得关注点亮爱心，谢谢观看我们下个视频，不见不散啊！分享永不止步，我所能给，远超你所能见。
18心梦fly数理化
08:08查看AI文稿AI文稿好来，各位同学，各位家长大家好，欢迎大家来收看本视频。那今天呢，我们来说一说这个二零二六年虹桥区九年级二模数学第二十四题的相关解析思路。这道题是区别于今年其他所有区二十四题的一个题，这个我们就来看一下啊。呃，说是这个 作图现象中， o 是 圆点，然后矩形的顶点 a 在 s 轴半轴上，顶点 b 在 d 相间，然后告诉我四点坐标是零点六，等于现在我就知道这个矩形的一个宽，这是六，对吧？然后 d 在 这个 c、 b 上不和它重合，且 c、 o、 d 是 三十度，这是一个确定的角，然后沿着 o、 d 折叠这个矩形，把 c 叠到了 c 撇，那如图一，然后 d 的 坐标是多少，那这个是六的话， d 点坐标很好办，坐标标是六，横坐标就是二点杠三，这个比较容易，对吧？ 好，那 c 撇的坐标， c 撇的标也比较简单，像这个 s 轴做个垂直可以，因为叠过来的这个边是六，所以这边是三，这边是三倍根号三啊，这个也不难。好，这是第一个看，第二个 说是过 d 再一次折叠这个矩形，使 b 对 应的是 b 撇，这样给它叠过来，然后这个 b 撇落在 d c 撇的延长线上， d， c 撇延长线上有一点，然后折痕边交于点 e， 然后说 o a 撇就这个长是 t 来看。第一问啊， 输入图二，当 b 撇落在 o a 上方的时候，呃，表示 b 撇的作坐标，并直接写出 t 的 取值范围。书记，我呢，各位同学和家长应该知道，我现在开始要求取值范围的，对吧？ 好，取之范围分两个方向，第一，他要求的是在这个 b 撇的 b 撇是在 o v 的 上方，那就保持他应该是在第一象限里边。那这样的话，我找最极端情况。极端情况？什么样的极端情况？把这图放大一点啊？极端情况就是过 d， 这个直接翻，把它翻到了 o v 上面， 对吧？这个 b 撇在这个位置，这是一个极极端情况，那这样的话，这个，呃，因为 di 来的这个角是六十，这个角是六十，那这是三十至也是六十，此时 o、 d、 b 这是一个 等边三角形，所以此时的 d、 b 和 o d 是 一样的。那这个刚才咱算了，是二百个号三，所以这个边是这个边是四百个号三，也就是 d b 是 四倍根号三的时候，这取得的是最大值，再加上 c、 d 的 二倍根号三，所以这个 o a 就是 t 的 最大值，是六倍根号三。 好，一边范围我知道，另一边范围呢？其实如果再没有限制的话，它这个 d b 多短都可以，只要是别别把 d 点弄没了，就是它必须在 b c 边上，所以应该是大于一个二分之二，二倍根号三就可以。但是题目有个说法是这个， 呃，这个 b 撇一定是落在 dc 撇的延长线上啊，在它延长线上，也就是说这叠过来，这个一定得比 dc 撇要要长，也就是这个 db 一定比 dc 要长才可以，所以这边这个范围就得大于，就不是二倍的，得再乘以二倍是四倍的函数， 再再看两边能不能取等号。这边如果取等号的话，那这个这个这个叠过来这个正好在 dc 撇 b 在 c 撇上，不符合题。如果这边取等号的话， 那是 b 方和 b 撇，正好落在 o a 这条线上，它也不合适，所以 t 的 范围就是这个范围啊，这是 t 的 范围。 然后我们再看 b 撇的坐标， b 撇坐标也还好，你如果向下做垂直的话，你会发现下面这垂直不太好求啊。下面这块不太好求，但是我往上做的话，这个事就容易多了。为什么我会往上做？第一，整个边长知道是六， 那么我这个求出来，上面拿六一减，就是下面这一块第二叠过来的，我可是知道这是六十，这是六十，这还是六十度，有六十度的这个三角形好算， 对吧？好，我们看啊，我知道这是六十度，你又是叠下来的，所以 d b 跟 d b 撇是一样的，所以无论怎么样，这个 b b 撇 d 一 直保持是等边的状态，对吧？那这是二百，刚好三，那 db 的 长就是整个 t 减去二倍根号三，对吧？好，那这样的话我就能知道这一半，这就是二分之 t 减根号三，那么这个高就是拿这个数 二分之一 t 减根号三，再乘一个根号三，就是这块的长，然后拿六再一减， 这个就是 b 撇的纵坐标，对吧？好，纵坐标，它的横坐标是啥？横坐标已经算问完了，因为这个是 c d 加上这个 d 这一块嘛，这块是二倍根号三，然后再加上它的一半 就对了啊，所以这个计算你别往下做，往下做不会的话直接给它往上一下就可以啊。好，这是 前两万来看，最后一个说是折叠部分，与这个矩形的那个重叠部分面积记为 s， 当 t 在 这个范围的时候，问 s 的 取值范围，直接写减去过即可。哎，这个折叠下来的话， 我们先看啊，首先这个范围是包含我这个范围，哎，这边是五开始，我这是四开始，这是七节数，我这是六六节数，对吧？所以他是什么情况？他应该是从图二这个位置，大概从这个位置开始，一直到什么情况，一直到叠出去， 对吧？那好，那这个看从哪取最小值，我们要知道啊，如果这个 t 越小的话，你这块是越小的， 对吧？就你叠过来这块是会越越来越小，所以当这个 t， 当这个 t 比较小的时候，他应该能取到最小，也就是五位刚好三的时候能取到最小值。那重叠部分面积呢？那就是这块面积， 对吧？那这个 t 是 五位刚好三，那这块是二位刚好三，剩那块呢？这就是三位刚好三，这是三位刚好三， 这块就是三，那这块面积就可以求了，对吧？那这个就是取最小值的地方，最大值在哪？最大值一定是叠叠出来之后六倍根号，三是正好卡着，正好是七倍根号，三肯定是出来， 那一定是这种情况，这个时候面积一定是比比现在这个要更大一些， 对吧？哎，那看我们看这块面积怎么表示？这个长度，这个长度 b 一 撇， 它依旧是依旧是 t， 减去二百二十三，依旧是这么长，对吧？那其实这大个的这个 d b 撇一撇，大个面积没有变化，就是小个的这一块，我们看这块怎么去表示， 对吧？好，小个地方怎么表示？其实我们前面也都求过了，这条边长等于整个的减去这块， 而这块啥，我们刚才算那个 t 最小值的时候，你知道他应该跟 o d 是 一样，所以呢，现在这段减去 o d 的 长度就是这一小段，有了这一小段，这个三角形可还是三十六十、九十三角形，所以这段乘以根号三就是这个边，那这俩边长都有了， 这俩边长都有了，那么这个三角形的面积就可以算大个减小个的就是剩下的面，剩下这块的面积。求个最大值看看在呃，六倍刚好三到七倍刚好三之间，能不能取到那么最大值最小值就可以求 啊。好嘞，这道题还算是比较新新颖的一种出出题方式，不过只有红桥区是这样出的，我们做一个关注就好啊，不用重点去看啊。 好了，那这个我们对于红桥区二十四题的一个思路的分享啊，如果您还有什么问题的话，欢迎在这个视频下方给我留言，咱们进行进一步的沟通和交流。那好了，那这个二十四题先让大伙说到这。
6叫兽
21:35查看AI文稿AI文稿今天我们来一起学习 二零二六年漯河市中考二模数学试卷分析，大家好，很高兴又与大家见面了啊，接着我们近期的分享，今天我们将来分享一个啊，就是 漯河市啊中考恶魔的一个数学试卷的一个压轴题啊，当然有需要这个试卷的朋友可以私信我，我把这个试卷分享给大家啊。这个题的话，其实整体来说其实也是相对来说比较简单的啊，当然简单题的话还是要提醒大家多存这个什么呢，多存最基本的知识啊，或者最基础知识，去 去思考，去考虑啊，对吧？好话不多说啊，让我们直接来看这个试卷啊， 这个试卷的话，我仍然只分享两道题啊，第十五题，还有第二十三题啊，那我们先看这个第十五题，第十五题出的出的很有意思啊，出的很有意思，是一个没有图啊，是我们自己画图的一道，但是我把它整理的这个分离会边的这个新定义的这个三角形里面，我就不再去拉过去了，直接就在这个地方进行讲解，好吧， 好定义啊，在一个三角形中过一个顶点啊，做一条线段，将一个三角形分成两个小三角形，如果说其中一个小三角形等于三角形，另外一个小三角形与圆三角形相似，那么这条线段就称之为，哎，相似分割线啊， 哎，我记得漯河这个一模的，一模的第十五期啊，和这个也是非常类似的，也是一个什么呢？嵌套的一个三角形，对不对？大家有没有做过呢？ 好，我们先说这个，先不说这个定义啊，我们直接根据其中意思来做啊，一直在三角形 a、 b、 c 中，角 a 等于三十度。好，我们先画出来一个三十度的一个三角形，可以吧？来画出来一个三十度的一个三角形啊，就这个角线呢，就是一个三十度，画的有点大啊， 好，一个三十度的一个三角形啊，嗯，这是角 a 啊，好， a、 c 啊，我们现在直接按照我们的顺序啊，锁定一个边啊，好吧，这个边就是 a、 c 短点吧。 好，这就是 a、 c， 如果 a、 c 长是八啊，然后过顶点 c 做线段 c、 d 啊，过顶点 c 啊的一个线段， 然后呢， c、 d 是 线段 abc 的 一个分格线，其中角 a、 c、 d 是 等腰三角形，另外一个它竟然用这个相似符号去表示了啊，那就一对应关系啊。好，那接下来我们其实分离讨论的点的话，就是三角形 a、 c、 d 啊，三角形 a、 c、 d 等于三角形，那就是有两种情况，因为这个角是三十度，对吧？那就意味着 啊，角 a 可能是一个顶角，那角 a 也可能是一个底角，对不对？角 a 是 顶角，或者角 a 是 底角。 好，我们其实它正常情况下确实分成三类情况啊，其中一种有一种情况是不满足要求的，我们接着看，如果说角 a 是 一个顶角的话，我们先看这种情况，角 a 是 顶角，那我们先把这个 d 先找出来吧， 顶点三十度的话，那这个数，其实做这边我先做出来一个等腰三角形啊，那这个点就是对应的 g 点，好吧， g 点啊，好，当然这是一条线啊，这是我刚画出一条线。那么 b 在 什么地方呢？我们观察下这个图形啊， 三角形 b、 c、 d 相似，三角形 b、 a、 d。 好， 根据三角形的相似啊，一定的关系，我们能发现啊，这边的角 c、 角 b、 c、 d 中的角 c 和角 b、 a、 c 中的角 a， 是 不是应该相等的啊？而角 a 三十度，那就意味着角 c 是 不是也应该是三十度，对不对？那我们直接在这边做出来一个三十度角， 因为这个角是三十度，那么这个角也应该是三十度啊，对吧？做出来一个三十度的一个角，三十角，直接交这个边与点与一点就可以了， 这个点就是我们要找的点 b 啊，好，那么这种情况其实就是成立的啊，满足其中要求，上面是个等腰三角形，下面这个三角形相似，为什么相似呢？因为这是一个共用角，这个角是三十度，这个角也是三十度啊，就是一个反 a 字型相似，或者称之为斜交的一种相似啊。好，这个题让我们去解什么呢？解 ab， 解 ab， 好 简单的算法，比较简单啊，我们把题中的角度先标记一下吧，这个角三十，那么这个角是三十啊，对不对？这三十啊， 呃，然后呢，这个时候我们可以考虑啊，过点 c， 做出来一个什么呢？做出来一个，当然我们这个角也可以解出来啊，角 b， 对 不对？角 b 我 们解一下，行，三十度，这边是一个一百零五度啊， 三十度，还有一百零五度啊，所以另外一个角就是到的呢，能不能说就是四十五度呢？哎，非常，所以说这个角就是四十五度啊，四十五度非常的弱啊，三十度，四十五度，我们想到了做这个垂直呢，非常好做一条垂线啊， 把这个七十五度分割一下，那么上面就是一个三十度六十度角，三角形斜边是八，所以这个边就是四啊，对吧？这个边是四，那么这个边就是四倍杠三啊，这个边是四，那么这个边是不是也是四呢？哎，非常也是四啊，所以第一个答案 ab 的 长是不是就是四倍跟三再加四啊？我在写了啊，好，这种情况我先在这个图中去简单操练一下啊， 我们刚说的是以点 a 啊，刚是以点 a 为顶角，那接下来，那接下来以什么呢？以点 c 为顶角，如果说点 c 为顶角的话，这个时候我就做出来一个三十度的一个什么呢？三十度所在的一个 啊，三十度为底角的一个三角形啊，那这个时候就出现这么一个，那这个点 d 是 不是就在这个位置，对不对？好点 d 在 这个位置了，那这个时候我们观察一下， 那这个时候的角，三角形 b、 c、 d 和三角形 b、 a、 c， 那 这个时候这个角就是一个一百二十度的一个角，对不对？一百二十度角。如果说我现在还要再继续再做，做什么呢？做出来一个三角形 b、 c、 d、 b、 c、 d b、 c d b、 c、 d 和三角形 b、 a、 c 相似，这个角既然是一个一百二十度角了，这个角是三十度，我需要在还是在这个角这个地方找一个角 c 角 c， 对 吧？是一个三十度，一个角， 三十度角，找一个三十度角之后啊，然后呢？这个时候啊，可能图形这个，这个，这个图形可能要求我们画的比较规范一点，要不然的话，大家发现是不是就是没有办法相交了，对不对？是不是永远不永远不可能相交？为什么呢？因为这个角是一个三十度角，这个角如果说也是三十度角的话，这个时候就平行了， 这个线和这个线平行了，是不是永远不可能存在有点 b 的 情况，所以这种情况我们就把它设计掉了，对吧？好，接下来第三种情况。第三种情况，那就是啊，是以点什么呢？是以点 b， 呃，是以，呃，仍然是等腰三角形啊，是以点 d 啊，是以点 d 为一个顶点来进行分类的。刚说了点 a 位顶顶点，还有点 c 位顶点，哎，还有接下来就是什么呢？我直接做出来线段 a、 c、 d 有 垂直平分线，然后交一点，这个时候我就出现了一个什么呢？出现一个等腰三角形啊， 或者我重新画一个图吧。好吧，这个图画的有点有点有点复杂了啊，就在这个右侧去画，形成一个对比啊。 好，仍然先画出来一段 a、 c 啊来， a， 还有 c 啊， c， 这个角是三十度角。好，三十度角画出来，然后呢，我们刚说了，接下来我要做出来线段 a、 c 的 一个垂直平分线啊，这个时候构成的一个等腰三角形啊，就是以点 d 啊，对吧？就是这个边，现在就等于这个边啊，它是一个等腰三角形了， 这个点就是所在 d 的 位置。好，这个点是所在 d， 那 这个时候我们还是刚刚的，一样，刚刚的一样一个思路啊。然后呢，因为这边的角 c 啊，和这边的角 a 是 三十度，这个角是三十度，这个角也是三十度啊，那么这个时候我再做出一个三十度的一个角，对不对？再做出一个三十度角，这个时候你会发现这是六十度了， 对吧？这是三十度，那是不是就相当于一个垂直呢？哎，非常好，就是一个这样三角形，那么这个点就是一个点 b 啊，所以在这里面出现了一个等腰三角形和一个三角三角形，当然这个小的三角三角形和大三角形就是一个相似关系啊， 就满足了其中要求，一个等腰三角形和一个相似啊。好，这个时候让我们求 a b， 这个边是八，会求吧，这个边是四，这个边就是四倍杠三啊，所以点个答案，四倍跟三，还有一个四倍跟三加四啊，四倍加四，好，这是第十五期啊，接下来我们看这个式样的一个最后一期啊。 好，最后一题的话啊，也是相对来说比较有意有意思，一道题啊，折纸，对吧？折纸的话，其实就是三角形的一个图形的一个分折啊，分折，但它又加上一个旋转 啊，我们一会来读下题啊，将在纸上画一个三角形， a b c 啊，且角 b a c 的 二 f 角 b a c 的 二 f， 它是一个等腰三角形啊， 等幺三角形，对不对？等幺三角形啊，这个我这个图形再稍微放大一点吧。好吧，因为等一下需要这个，对这个图的要求比较好，那就这样吧， 点 d 为 b c 的 一个中点 d 中点，现在将 b a 绕点 b 顺时针旋转六十度，等线段的点旋转六十度，那这个时候出现一个等边三角形啊，我把这个等边三角形画出来啊，那么这就是一个等边三角形啊， 当然我把这个等边太阳形画完整啊，这个线也连一下吧，这是一个等边太阳形，六十度角啊，六十度角，然后呢，他又做出来一个什么呢？做出来一个对称啊，做出来一个对称就是沿着 b、 c 啊，翻折啊，沿着 b、 c 翻折对不对？ 沿着 b、 c 翻折下来啊，这是个对称轴啊，画着对称轴方便我们去观察啊，好，题干中的信息就是这线啊， 好，第一问，让我们找这个 bcf 等多少度啊？ bcf 很多同学第一问可能都会卡住啊， bcf 怎么找呢？那就是不停的找，这个就是待换一些角度啊，但是呢，这个题其实有更加简单的思路啊，我们刚刚在画这个图形的时候，你会发现是不是出现了一些线段相等啊，因为 ab 等于 ac， a、 c 又等于 af 啊，这就是最基础的一个圆的定义啊，是不是？那就是我们可以看成什么呢？ bcf 三点以 a 为圆心啊，然后呢，以以以这三个红色线段为长的一个很大的一个圆啊，对吧？一个很大的一个圆啊， 那这个时候我们要求的 b、 c、 f 和这个角 a 大 角角 a 什么关系呢？就这个角是六十度啊，和这个六十度有什么关系呢？六十度的话，是不是就是一个啊？六十度所对的圆周角是不是三十度？我们可以把这个圆周角也画出来啊，就是在这边有一个很大的一个圆啊，这边一个很大的圆啊， 当我们看到这个圆的时候，那么这个弧所对的圆周角就是一个三十度角，对吧？三十度的话，那么这个三十度和这个角是不是有互补关系？所以提问直接到答案就是一百五十度，对吧？ 一百五十度啊，好，我把这个信提纲信息再擦一下，好吧，好，接下来我们看第二个问，第二个问的话仍然和第一个，第一问的这个和第一问的图形是一样的啊，直接让我们猜想什么呢？ a m， c m 还有 cf 的 数量关系啊？ a m。 观察下图形， a m 是 什么呢？这一段啊 啊， c m 和什么呢？ c f， c m 和 c f c m， c m 就是 这一段， c f 是 这一段，我们首先我们说翻折，那么是不是 c f 就 等于 c h 呢？对不对？ 好，又说 c m， c f 等于 c h， 而 c m 仍然等于 c m， 这个时候你会发现 c m 和 c h 是 不是它们是一个共线的啊？这个时候我可以大胆的去猜测，那是不是 am 是 不是就等于什么呢？就等于这个就等于这个什么呢？就等于这个 c h 呢？ 对不对？我们可以这样去大胆去猜测啊，大胆猜测，对吧？好，答案是，答案是肯定的啊。好，那么接下来我们方向就是要证明啊， am 就 等于什么呢？ hm， 好， 我们观察一下 am 如何等于 hm， 对 不对？好，观察这个图形啊， 好，还是从刚的一个问题出发，那么这个 b f 等于 b a， 对 吧？这是个等边三角形，当然分类下来是不是也等于 b h 啊？也等于 b h 也等于 b h 啊，也等于 b h， 好， 没有问题，对不对？没问题啊。然后呢，接下来我们，嗯，这个 m， 这个 m 的 得到是怎么得到的？有没有？有没有什么说法呢？就是 h c h c a g c。 行，那我们就直接来找这个角度之间的关系吧。好吧，找角度之间关系啊，观察一下。好，这个角 f， 这个角也是 f， 对 不对？那么这边这个角我们刚刚已经说过了啊，应该等于个什么呢？应该等于， 呃，因为它是个六十度啊。呃，一共是个六十度，对不对？那就六十度减二 f 啊，这个角的话就是六十度减二 f， 我 们既然要证明这个 a a m 等于 h m 啊，那我们就想办法把这个 a h 也连一下吧， a h 也连一下， 这个里面就存在存在了多个什么呢？角平分线能看到吧？多个角平分线的问题啊，我们能不能得到这个小角也等于这边的小角呢？答案是肯定的啊，因为什么呢？边啊，因为这就是一个正形啊，正形上面两个红边相等，下面两个 h c 也等于 h f 也相等啊， 就下面这个 a c c， 因为它也是一个等变量线啊，嗯，对吧？好，所以说这俩三角形全等啊。那么中间这个角我能不能说就是一个六十度的一半，就是一个三十度角呢？非常好，这个角就是三十度啊， 这个角三十度，这个角是三十度了。接下来啊，接下来我能不能再得到一些其他的信息呢？ 好，观察一下，那接下来我们能不能证明这边这个角也是一个三十度呢？哎，非常好，如果能证明这个角三十度的话，那是不是就得到了 am， 就 等于 mc 再加上 c h， 那 就得到了 am， 就 等于 mc 再加 cf 啊？好，我们看这个角为什么是三十度？ 要证明这个角三十度的话，如果说我们能发现啊，这边，当然这边是个垂直关系，垂直关系，我们能不能得到这个三角形 a 啊？ c h f c f 是 一个等边三角形呢？观察一下 c h f 是 不是等边？嗯， c h c h f， 答案是肯定的啊， c h f， 因为我们说这个角就是三十度角，对吧？那么这个角是不是也是三十度角？因为我们第一问是就为第一问服务的，这个角一百五十度，所以说它的补角就是三十度，而这个时候有翻着下来就是有一个内角是六十度的一个等边三角形啊，这个时候我们就当然证明了，这个角当然也是三十度啊，对吧？三十度，三十度，所以说 h， 所以说 a m 就 应该等于 h m 啊啊， a m 又等于什么呢？ a m 又等于啊？ a m 又等于 a c 再加上 c m 啊， a c c 又等于什么呢？ a c c 又等于 cf， 所以 说就等于 cf 再加 cf 啊，这就是，这就是这一问的结论啊。好，来看第三问啊， 第三问，拓展应用啊，我先把这个图先擦一下，好吧。嗯，拓展应用啊，当四边形啊，当四边形 b m f c 啊，为平四边形的时候啊， b m f c b m f c， 观察一下啊， b m f c， 对 吧？我们观察一下 b m f c 在 什么地方呢？哎， b m 啊，还有 f c 啊，如果说它是一个什么呢？它是一个平四边形啊，它是个平四边形，让我们判断这个 m f h 是 一个什么样的三角形啊，对吧？ 好，如果说它是一个平行四边形的话，它是个平行四边形的话，那这个时候我们就得到什么呢？得到了啊，这个边啊，就等于这个边，对不对？这个边就等于这个边，当然这个边的话，我们是不是也等于这个边也等于这个边呢？对吧？因为它是个等边三角形啊，好，接下来让我们判断是 m f h 啊， m f h 啊，好，怎么去找这个，找这个，找找这个结论呢？找结论啊，当然啊，我们观察一下啊， 如果说这个边等于这个边啊，当然，因为这个边啊，是不是也等于这个边啊，对吧？那是不是也等于这个边呢？ 哎，这三个绿色线段是不是都相等的啊？我们之前也做过这个，就是很就是证明直角三角形的一个很重要的一个结论啊，如果说一边中线等于这边的一半，那他就是一个直角三角形啊，对吧？因为这个角等于这个角，这个角也等于这个角，四个角相加是一百八十度，所以中间就是一个直角，所以疑问比较简单啊，直角三角形，好，此时让我们求了什么呢？ b c 比 a m， 我 观察一下啊，我不再画新的图形了啊，这个题应该是一个单解的题吧，对吧？ b c 比上 a m 啊， b c b a m b c b a m。 好， 好像我需要重新画一个图形，要不然的话没有办法去做，对不对？没办法去做啊，那我们就逆向思维啊，这边如果是直角三角形的话啊，这边是一个直角三角形，嗯， 直角三角形啊，来， b c 比上 am， 那 我们不画图形也行啊，来，直接看这个图吧。好， b c 比 am， 怎么去计算呢？ b c， 我 们看一下， b c b c 这个角是六十度，这个我们刚已经证明出来了，那么这边这个角就是三十度角，对吧？这边这个角就是三十度，而这边又是个平行关系，平行关系，这是一个直角， 那这个时候就算一个三十度六十度的角，三角形，当然啊，当然这个角，嗯， 平行啊，平行，那这个角的话啊，这个角也是六十度啊，这个角也是三十度，我们看一下，平行平行这个弦怎么去利用起来呢？那么这个角就是一百二十度，那么这个角是不是也是一百二十度，对不对？因为这个角是一百二十度啊，平行啊，能看出来吧， 就说 b m 就 平行于 c f 啊，就是一百二十度，那这个图形就非常特殊了嘛，非常特殊了啊，非常特殊了，对吧？ 好，让，我们求的是 b c 比 a m 啊， b c 比 a m 顶角是一百二十度啊，然后这边又是出现了一个三线合一啊，三线合一啊，三线合一啊， 嗯， bc， bc 比 am。 好， 那我们还是要找到这个角度啊，还是要找这个角度，我们观察一下啊，那么这边也应该是个垂直关系，那意味着这个角是六十，对不对？那么这个角也是三十啊，这个角三十 bc b c。 当然，这个题的话，我们是不是要把这个 b a 这个条件也解出来呢？ b a， 那 就解一下吧，好吧，解一下，好吧，解一下吧，我把它延长过来吧，延长过来 这一段等于上面这一段，这一段等于它的一半啊。来，这个图形好像还是比较特殊的啊，如果说我先画出来一个等边的样式，试一下啊， 等边的样式啊，来，出现一个 a m， 就是 这个几啊， 好像不是一个等边的角形，对吧？不是等边的角形，那我们就一位一位的计算吧。好，我们观察一下，先说这个 b m 就 平于，先说 bc 啊， bc 这个时候就等于二倍的什么呢？二倍的 b d 啊， 二倍的 b d 对 不对？ bc 等于二倍的 b d 啊，好，这个时候我们能不能知道 b d 和 am 的 一个关系呢？ b d 和 am 的 关系好，要想找 b d 和 am 的 关系啊， 那我们还把这个图形完善一下啊，这是个等边，这是个等边对不对？这是等边啊。 哦， bc 和 am， bc 和 am 好， bc 等于二倍的 b d， 那 接下来我们能不能找到 am 和 b d 的 那个关系呢？ b d 和 am 的 关系 好，那就借助于刚刚这个第二问的结论吧。好吧，因为 am， 我 们刚说 am 就 等什么呢？ am 就 等于 m h 对 吧？ am 就 等于 m h。 我 们看 m h 和 bc 什么关系？ m h 呃， m h a m 等于 m h， 呃， m h 又等于二倍的，是不是 mc 啊？这个，这个结论就比较简单了啊，对不对？因为我们刚画的三个绿色线都是相等的啊。 m h 等于二倍的 mc 啊， mc 的 话又等于，那就二来乘一个 mc， mc 的 话是不是等于？ 呃，二分之高三倍的 dc 可以 吧，二分之高三倍的 dc 啊， dc， dc 当然也等于啊，二来乘以二分之根号三倍的 bd 啊。好，这样的话我就得到答案了啊，所以说啊， bc 来比上 am 啊，好，都转换成与 bd 的 关系啊， bc 那 就是二倍的 bd 啊，而这个什么呢？而这个 am， am 是 等于根号三倍的，是不是 bd 对 不对？ 没有问题吧？我写的有问题吗？ bc 比上 am 啊，没问题对不对？ bc 啊， bc 的 二倍的 b d 没问题啊，而 am 等于 m h， 而 m h 又等于啊，二倍的 mc 没问题啊， mc 和 mc 和 cd 点关系啊，那就是二分之高三倍的 啊，是根号三分之二啊，对不对？我这个地方写的有问题啊，不是二分之高三，是个根号三分之二对不对？可能晚晚，就是现在是 快十二点了啊，这个状态不是很好，刚好三分之二对不对？刚好三分之二，因为这个时候就是一个三十度六十度的一个 g 三线啊，刚好三分之二对不对？好，那这里边的话就是一个根号三分之四倍的 b d 啊，来带入进去根号三分之四倍的 b d 啊， 好， b d 和 b d 分 了啊，所以最后答案那就是一个多少呢？是不是就是一个高三比二，对不对？高三比二关系啊？好，他还是建立在第二问的一个基础之上。那么这种题的话，其实就是类比探究啊，我们一定要学会利用前面的结论啊，这个题就是一个单解题，并不是多解啊，双控啊，对吧？好， 这个试卷啊，就讲就分享这么多啊，如果说觉悟的分享对你有所帮助的话，记得点点关注，点点关注，我们下个视频不见不散啊，分享永不止步，我所能给，远超你所能见。
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