上海六年级立体几何整理
我们来看一道二四年上海的一道立体几何题，在一个圆柱形的玻璃容器里面，它的底面直径和高都知道，在它的内部放置一个长八宽六高十的一个长方体的容器， 长方堤呢，里面装的有水，水的深度呢只有七，也就说这个水并没有装满，因为它有石这么高，放入一块不规则的石块后，水溢出来了，那溢出来的水就会落在这个圆柱的容器里面，它使得圆柱内部的水深为八厘米。 问这个石块的体积是多少？那这个题，石块放进去以后，长方体的里面的水它会上升，上升完了以后还会往外溢出。所以呢，这个石块的体积呢，它就分为两部分，一部分是长方体里面水上升的体积， 一部分是溢出的水的体积，这两部分合在一起就十块的体积。我们先把这个长方体里面上升的水的体积求出来，这个简单一点，它等于长方体的底面积乘以这个上升的这一部分水的高度就可以了。那长方体的底面积就是长乘以宽 高呢？原来只有七，现在水满了，那就是十减七，上升了三啊，这个体积就是一百四十四。 接下来我们要求这个溢出的水，它到底溢出了多少呢？还是一样的用底面积乘以高，但是这个底面积有三个字叫有效的底面积，所以我称之为有效底。 什么叫有效呢？因为这个溢出的水它并没有把整个长方体淹住，因为整个长方体它有十这么高，你溢出的水只有八这么高，那也就是说这是一个不完全浸没的一个状态，所以此时圆柱体里面的水的底面积，它不是圆柱的底面积， 他有一部分的底面积被这个这个长方体给占去了，所以他的有效的底面积是什么呢？他有效的底面积就要用圆柱的底面去剪掉长方体的底面积，那圆柱的底面积呢？配二平方 长方体的底面积呢？长成一块，这样的话，求得有效的底面积，也就在圆柱体内的这个水的底面积，他实际上就这么大啊，用这个底面积去乘以这个此时水的高度也就这一节，这一节是八， 所以求得水的体积为二百四十四，最终呢，把上升的部分的水加溢出的水加在一起就是三百八十八。这道题难点在这个地方有效的水的底面积该怎么求好？同学们好好做一下吧，可以增长你们的做题经验，加油！
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41:34查看AI文稿AI文稿今天老师给大家带来几个平面图形，都很熟悉啊，哎，那这些平面图形如果旋转，它能得到哪些立体图形呢？ 第一幅图能得到哪个立方体？第三个哦，第三个，第二幅图呢？第一个，第一个，第三幅图，第二个。哎，大家回答的非常快，哎，我们来看一下他们旋转的过程吧。 好，先看这个圆，这个圆锥， 那我们还可以绕另外一条边旋转一周， 看得到两个完全不同的圆锥，那这个正方形旋转一周就是一个圆柱，哎，圆柱，看看， 来呀，平面图形通过旋转，我们能得到立体图形，那平移可不可以？ 可以，可以啊，哎，比如说，老师这里一个圆，他上下平移的过程中会得到一个什么立体图形？圆，圆都说出来了，你说圆柱，哎，圆柱，那如果是一个正方形呢？ 它平移的过程中，你认为能得到什么立体图形？你说正方体或长方体，哦，正方体或长方体，哎，我们也来看一下它们平移的过程， 圆向上平移，得到一个圆柱，越来越高了，再看看正方形， 那么这个正方形平移到什么时候会得到一个正方体？谁来说？李同学，你说比它的边长一样高度的时候，哦，好的， 这样差不多对不对？再往上的话，就会变成一个长方体，长方体了。哦，那看来平面图形通过旋转和平移呀， 都能得到一些立体图形。今天这节课呀，我们就对这些立体图形进行整理复习，课前大家已经对他们的公式进行了整理，老师这里呢收集了几幅同学的作品，大家来看一看。 先来看看第一幅作品，你觉得哪里需要补充或者是改正的吗？好好，先检查一下 哪里，想要提醒的可以举手。 我们男同学一声，长方形的表面积要把那些挂起来再乘上哦，那么他这里计算了几个面？ 三个面，不，三个面。那我们需要计算六个面，所以应该乘二漏乘了。还有吗？ 嗯，李同学，你说圆柱的面积忘记乘高了哦，忘记乘以高了，那我们侧面积应该是 二二派啊， h 啊，而且公式里我们应该是先写派啊，只是在计算的时候，我们这个派是取三点一四的。嗯，还有吗？ 没有了是吗？同学们，看看这位同学他是怎样整理的？你说他是通过文字的方法整理的哦，文字的方法？那我们看看第二个同学的作品，他是用什么方式整理的呢？ 男同学，你说字母整理哦，字母整理的。再来看看第三个同学的，哎，这个同学除了用字母，他还有哪里不一样？ 来边。男同学，你说他还说上的表格哦，表格被你看出来了，如果加上横的线或者是 竖的线，它其实就是一张表格哦，那这个同学他不仅用上了字母，还用上了表格。好，接下来老师把这三幅作品都放在一起，你觉得哪个作品最清晰最明了？ 哎，不着急啊，请你把你的想法跟你的同桌说一说，开始对， 好，谁有想法快说。哎，你来说。我觉得第三个作品，呃，比较清楚，因为他这样整理能够不遗漏每一个字母公式，然后让人很清楚哦，他认为很清楚，还有谁想说吗？ 能不能行？你说。因为他的那个每个每个公式之间都是有一定的间隔的，不会如果像前前两个，他把它重这样弄在一起很容易看错。如果不小心把公式 体积公式看成表面积公式可能就会算错了哦。排版非常美观清晰是吗？是的，看来我们整理公式的时候，不仅可以用上字母， 还可以用上表格，显得美观又清晰。老师这里呀，也是用一张表格来表示这些公式。好， 接下来请同学们看看这几个体积公式，那这三个体积公式你能用一条公式表示吗？谁知道 后面的同学，女生 v 等于 s h 哦， v 等于 s h， 为什么能用这条公式来表示？请大家结合老师的这张图片，跟你的同桌说说看，为什么它们能用一条公式来表示它们的体积？开始， 为什么它们的体积 好？第一个，长方体，谁来说长方体这个公式里面哪部分表示它的底面积？ 你来， a b 相乘的积就表示 s 哦，底面积。好的，这样子，那么正方体呢？它的 s u 在 哪里？ 尹同学，你说什么？ a 的 方哦， 谁听明白了？再来说一次，听懂。李同学，你说 a 的 平方，也就是 a 乘 a， 那 么后面这个带着它的高，所以它的面积，它的体积公式就是 s h 是 吗？嗯啊，那么圆柱我们就不用说了啊，那看来这三个立体图形的体积，它都能用一条公式来表示，那就是 b 等于 s h 都能用这条公式来表示，那我们啊，就把它写成一条， 哎，大家看看，那么除了这三个立体图形，你觉得哪些立体图形它的体积也可以用这条公式去计算呢？ 你们哪里见过安方贤，你说中间中通的圆柱？哦，你认为这样的也可以用底面滴成的？好的，那老师这里呀，收集了四个立体图形， 同学们来看看，你认为哪一个可以用 v 等于 s h 来计算？第三个，第二个和第四个，第四个，第二个和第四个物， 你还要什么？补充，我觉得只要上下底面都相等且平行的立体图形都可以用 v 等于 s h 来计算。哦，说的真好。是的，这样的立体图形啊，我们把它称为柱体。 好，其实柱体的体积都可以用 v 等于 s h 来计算。 好，接下来我们再来看看这三个柱体的表面积。哎，大家看圆柱的这个表面积，它是 一个侧面积加上两个底面积。嘿，长方体和正方体也能用这条公式去计算它的表面积吗？ 好，不着急判断，这样，老师这里有他们的展开图，请大家 观察这些展开图，再思考一下到底能不能用它的公式去计算长方和正方的表面积。把你的想法跟同桌说一说，开始 谁来说说你的看法？老铁，你来。嗯嗯， 我觉得可以，因为中间的四个面可以看成他的可以看成这个的侧面积，然后呢，旁边的两个面就是他的两个底面积。谁听明白了他的意思，那请你说， 他的意思就是说长方体和正方体中间的那一条侧面肌和圆柱的侧面肌是一样的，然后呢，上下的两个底面，也就是跟圆柱的那个一样， 他们的表面积也就可以用侧面机加上两个底面积来计算。说的真好，是这样吗？是，所以其实他们的表面积都可以用 一个侧面机加两个底面积去计算啊。好的， 只是底面的形状不一样而已。大家看看，那我们这个圆柱的侧面积是怎样计算的？谁来说一说？ 后面？男同学，你说底面周长是高，哦，底面周长是高，为什么呢？谁还记得？ 女同学你说，因为它底面圆的周长就相当于那个中间侧面积那长方形的 长，然后他的他的宽度相当于他的高，然后所以就可以用这条公式来计算。哦，是这个道理啊。嗯，哎，那大家看看，那我们这个正方体和长方体，他的这个侧面积能不能也用底面周长乘以高去计算？ 可以可以，真的可以，好像可以，好像也可以，好像也不可以。不着急啊，老师呢，今天带来了一个正方体的展开图，老师呢，把它合拢，大家再看一看， 在观察的过程中，你再去思考一下到底可以不可以啊？先看看这个侧面积的长在哪里，先把它长找到啊。好观察 可以吗？可以。哎，这么肯定，谁来谁说你的看法？ 男同学，你说我认为可以，嗯，因为侧面肌的它的长刚好可以围绕底面肌绕一圈。哦，说的真好，谁听明白？ 女同学你来，哎，请你说。呃，他觉得我， 我觉得，我也觉得可以，因为就是他是底面，就是侧面那四个面，然后正好可以绕他的底面绕一圈，然后那四个面的长度呢？就正好是那底面一圈的周长。说的真清楚，是吗？哎，那这个正方体， 他这个侧面的这条边，其实就是下面这个正方形的四条边也是一样的，所以他也是底面周长乘以高，那么长方形的道理是不一样的， 一样的。哎，看来这三个图形的侧面积也能用同一条公式去计算，就是底面周长乘以高。好，那我们又可以把表面积的公式 整理成一条。哎，大家看看，那现在呀，我们这三个柱体，表面积也可以整理成一条，体积也可以整理成一条，那你是不是以后去计算的时候都只用这条或者是这条？ 嗯嗯，摇头，为什么？谁来说理由？你说下面还有一个圆锥，因为圆锥的体积是利用三分之一 s a 去来计算。嗯，是的，那如果也不是圆锥，就是圆柱或者正方的长方体， 你会不会一直使用这条公式去计算？嗯， 会。嗯，李同学，你说啊，啊，如果是正方体的话，那正方体的那个就可以用，比如棱长，告诉你你就会怎么算？用棱长乘棱长乘以六来计 算它的表面积，是吗？同学们，嗯，哎，是的，虽然我们整理起来能整理成一条，但是实际去算的时候，我们还是得去选择 最快捷最合适的方法，对吧？方法很多，但是我们要选择最合适的方法。说的真好，好了，哎，我们刚才呀，整理了 啊，正方体，长方体， 圆柱的体积，还有一个圆锥，圆锥的体积是什么？三分之一 h， 同学们，看看黑板上的这些立体图形，哎，我们再去研究它们的体积公式的时候是怎么研究出来的，还记不记得？ 需要想想对吗？好，接下来请同学们结合老师黑板上的两幅图去说一说我们是怎么得出他们提及公式的啊？请大家在四人小组里面讨论一下。开始 啊 啊， 那哪个小组愿意说说你们的结果你来 是圆柱体的三分三分之一所以圆柱圆锥的体积是圆圆锥的体积公式是 b 等于三分之一的 c 去。嗯 想到圆柱的对吧嗯还有谁有补充吗？ 好你来。我认为我们通过倒水实验将圆锥将圆锥灌满水再倒入与它等比等高的圆柱之中倒满三次我们就可以得出圆锥体积 是圆柱体积的三分之一。哦说的真好原来我们是通过倒水实验知道的哎同学们再来看看这个实验 实验结束我们发现圆柱底筋等于底面积乘高圆锥的圆锥底筋等于底面积乘高乘三分之一。是的这里有一个 必要的条件就是等你等到。看来我们在研究圆锥的时候是把它联系到圆柱去研究的啊还有好几个呢谁来说一说他们又是怎么得来的。 按到小女生可以把圆柱切成一半然后其中的一半切成若干份体积相等的三角体将第二个切的跟前面一个切的一模一样 将它们拼接在一起可以变成一个近似于长方体的立体图形。说的真好喂我们第一步先拼了。然后呢 你同学你说拼完之后这个呃这个近似长方体它的底面积就相当于圆柱的体底面积然后这个近似长方体的高就等于圆柱的高这样我们就可以得出来圆柱的体积是底面积乘高 是这样吗？哎这位女同学说的很清楚哎那看来我们研究圆柱的时候又是联系到长方长方体去的还剩下一个正方体呢 他又是哎，女同学，你说其实正方体是一个特殊的长方体，因为正方体和长方体都有六个面，只是正方体的棱长是等底等高的， 冷藏全部一样的，对不对啊？所以它也能联系到长方体去。哎，大家看看，我们在研究它们的体积时，其实都用到了同一种方法，是什么？ 你说我们都把一个图形转化成了另一个我们已经学过的图形，哎，真好，这个方法，其实在数学里，我们就把它叫做 转化。对，转化呀，是我们数学里一个非常重要的思想方法，我们经常会通过转化把一些新的知识转化成旧的知识，这样我们学起来就轻松多了，对吧？好的， 刚才我们说呀，黑板上这三个柱体，它的体积公式都是 s h， 哎，只有一个圆锥，孤零零的，它的体积是 三分之一 s h， 哎，那它有没有半呢？还有哪些图形也是用这个公式的呢？ 好像没怎么见过，是吗？嗯，这位同学有什么想法？我觉得只要有一个底面，并且它有上面有一个顶点的立体图形，都可以用三分之一 s h 来计算体积。哦， 你的想法非常好，大家听明白他的想法了吗？嗯，明白了，听明白了，真的，那老师给大家看看，我们刚才的这四个立体图形里，你能找到也能用 v 等于三分之一 s h 来计算的图形吗？ 你觉得哪个是第一个？第三个？异口同声的说，第一个和第三个？是的，这样的图形呀，我们就把它称为锥体。嗯， 锥体的体积啊，它其实都是用三分之一 s h 去计算的。哎，那大家看看 这第一个这个锥体啊，它的底面是三角形，所以我们把它称为三角三棱锥。啊，三棱锥，那你觉得这个三棱锥的体积是谁的三分之一？ 来，同学，你说第二个同学的三分之一，哎，看着就像第二个，是吗？其他同学认为呢？ 嗯，就是旁边这个三棱柱的三分之一。哎，你觉得他们俩应该也要有一个什么条件呢？等底等高，必须也是等底等高才可以的。那下面这个 它是底面，是一个五边形哎，所以我们可以把它称为五棱锥。那这个五棱锥的体积又是谁的三分之一呢？ 你说是第四个的，是第四个的，对吧？哎，那他们也需要有个什么条件？等底等高，等底等高。所以呀，其实锥体的体积 都是跟他等底等高柱体体积的三分之一。是的。好的哦，那现在呀，我们整理的就差不多了，所有的知识都在这张表格里了，是吧？那接下来我们来练一练吧。 来，大家看，周谷老师给大家一个无钙的玻璃鱼缸，你想研究他的什么问题？ 男同学，你说表面积，表面积，女同学，你说容积。哦，容积。好，好， 那接下来我们就先来研究一下同学们刚才提的这两个问题吧。好，大家把这个纸拿出来，你可以把算式直接写在这张纸的背面开始。 哎，写好了吗？写好了，好了。哎，这两个题目啊，我们就一起看看屏幕上跟你写的一样不一样。 第一道一样吗？一样不一样的好，不一样。嗯， 哦，算是不一样，是吗？那意思是不是一样的呢？是，同学们，看看这里你送了几个面的面积？五个五个面，为什么？请同学 你说，因为这是一个无盖的玻璃缸，所以它整体呈五个面的表面积，是吗？五个面。好，那下面这个结果等于多少？三百，哎，好，我们继续来研究这个鱼缸。 哎，大家来看一下，如果老师啊，在这个鱼缸里注满水，要放进去一个橡皮泥，水就溢出来了啊，那这个时候这个长方形橡皮泥的底面积是多少？ 想一想， 嗯，老师，看大家啊，基本上都已经有了想法，把你的想法跟你的同桌说一说你是怎样想的 好啦，哎，谁来说说你的想法，你是怎样想的？ 那么谁，你说我的想法是这溢出来的十二点五六升的水是这个长方体的体积，而这个高就是就是算它体积的关键数字。 算式是十二点五六除二，等于是六点二八，大家想的跟他一样吗？嗯，哎，讲的非常清楚啊，那看来这溢出来的水像刚才这位同学说的就是 长方形的体积，体积。哎，那我是不是这道题就是十二点五六除以二一道算式就好了？ 不是不是，还有，还有什么？还有一步，还有什么？你说，因为他十二点五六是深，他要把它转化成单位，转化成那个分米，对，这个细节我们还得要注意到啊，所以第一步是转换单位啊，转化，然后再去计算他的 底面积好了。哎，这个橡皮泥啊，老师，再把它拿出来来试试看，把你的想法写下来 好，写好了吗？写好了，谁来说说你是怎样算的？ 来，你说我是老师，能直接报算出来吗？可以，十二点五六乘三点一等于四，直接算出圆柱的高。哎，为什么就这样一步算时就能算出它的高？因为那个圆柱的体积等于体面积乘高。 哎，那我老师这里是长方体的体积，告诉你，你怎么就直接用了呢？因为长，因为圆柱的体积和长方体的体积相等，所以它们的体面积也相等。 看看刚才谁听明白他的意思？李同学，你说啊，因为这里是把长方体捏成圆柱，所以这里的体积不变，然后要要求底面积的话，他就可以直接体积除以底面，体积除以高等于底， 体积除以底面积等于高。哦，所以这里有一个没告诉我们，但是我们都知道的， 哎，我把这个捏成这个图形，他们的体积还是相等的哦，所以直接这样算就能算出他的 高。还有其他算是吗？都这样想的，是吗？你有不同的。老师，那个我是列方程的哦，还可以列方程怎样？我们可以解释，假设他的高为 x， 然后按照公式就是三点一四乘以 x 等于十二点五六，然后就是 x 等于四。 很好，那老师这里写 h 应该也没事吧。好的，看来我们一个题目啊，方法不止一种哎，方程的好处就是我们可以直接根据公式 把算式写出来。好的，哎，同学们想象一下，那我这个捏完的圆柱，它可能是长什么样的？ 来看看老师这里的跟你想的一样，不一样，这个圆柱 是这样吗？嗯，比这个长方体要高一点。哎，我还要继续捏呢，我把这个圆柱啊拿过来，我继续捏，我要把它捏成一个 等底的圆锥，让同学们想象一下，这个圆锥的高可能是多少，他是长什么样的呢？ 安同学，你说高是十二，哎，你怎么想的？我，因为我通过我们之前学的知识，圆锥和圆柱，假如是等底的话，高就是他的三倍 底，等底的话，等高的话，底就是他的三分之一， 等高的话也是三倍，哦，也是三倍。这位同学说的好，完整，说了两种情况，谁听明白了再来说说看。 那同学，你来。因为以等底等高的圆锥和圆柱，它的体积比是三比一，而所以如果他们的体积相等的话，比一样，那想 如果它们的底一样，想让它们的体积相等，那高就必须得是圆锥的高就必须得是圆柱的高的三倍。嗯，说的真好，很清楚。是吗？所以，那么这个圆锥的高，你可以怎样计算？算式式？ 那同学，你说那个我们可以四乘三，因为之前说过底是相等，所以它的高是它的三倍，所以我们就可以直接乘四乘三， 等于十二。十二。那如果我们老老实实按公式去计算，算式是怎么列的呢？那你说十二点五六乘三，除以三点一四 也等于十二，对吧？哎，我们也可以按公式去算。那同学们想象一下我这个捏出来的圆锥长什么样？ 比圆珠高，看看是吗？有多高？具体三倍是他的三倍。好的，那刚才呀，我们大家一起练了一道题目，接下来呀，请大家拿出老师事先发好的作业纸， 现在我们自己来练一练，看好开始。 下面这个写好了吗？ 嗯，老师发现有些同学已经写好了啊，写好的同学，你第二题是怎么想的？可以跟同桌说说看啊， 两个面对二三个。 好，大家写好了吗？写好了，好了。好，那请大家跟黑板上的同学，跟你写的一样吗？不一样，不一样哦，有哪里不一样？ 你来 和圆锥的体积不一样，他那个八是八是圆锥的直径，要先把直径除以二，然后用直，用半径的平方来计算哦，所以这位同学 公式计算错误了，对吧？那正确的应该是怎么样的？是这样吗？对哦，应该是这样的。 那看来我们在算的时候还得注意记清楚，对吧？那左边这个呢？这位同学，左边这个，大家都跟他一样吗？一样哦，一样的。哎，老师，刚才发现一位同学， 算式是原本是这样写的，你知道 哦，后来呀，老师提醒他了，哎，这个题目里让我们算什么呀？他，哦，知道了，他原来看成什么了？你说 他原来看成了体积哦，看成了，实际算的是侧面积。是的，那还有老师班级有个同学原来写了三道算式，老师也问了他，哎，题目里让我们算什么呀？哦，多了，你知道他算什么了吗？ 你说还被你看出来了，他有两个算子擦掉了，对吗？所以，其实这两道题目对同学们来说不难，但是很容易错，很 容易看，哎，所以写的时候我们还得注意什么？看清，看清题目啊，计算还得加上我们的细心，对吧？好，第一题，接下来第二题， 先来看看这位同学写的跟你一样吗？一样，不一样的啊，谁来说说看你的想法，你是怎样想 的？是把这个整道题都放进去啊？ 好，那同学你来对我们来看一看， 这清楚吗？是放大一点。他，这，他这个第一部分的是半径 哦，因为他增加了两个表面积，除以二，就是增加了一个表面积，这个一个面积，然后面积除以这条高，就是这就是这一条，而这一条对应的刚好是圆柱的半径， 然后后面就可以用 v 等于 s h 这条来计算它的面，它的体积了。嗯，谁听清楚了啊？谢谢啊，坐回去，谁听清楚了再来说一说。李同学，你来，我上去了啊。好的，你也上去。 因为这样计算，然后表面积增加了八十平方厘米，这八十平方厘米是这多出来这两个面的，再除以二，算出来一个面的面积， 然后我们知道这一个面的面积是用半径乘高来表示的，然后只要拿这个算出来的一个面积，然后除以高，然后就等于半径，然后接下来就可以用 体积等于半径的平方乘以这条公式来计算。嗯，说的非常清楚，是这样吗？同学们，是，那看来这道题我们关键就是要找到它的 半径，对吧？哎，多出的面其实是有两个，然后，嗯，除以它的 高，我们就能得出它的半径。哎，半径找到了，接下来体积就能算了。嗯，非常好。好，那同桌两个人互相检查一下，看看你们是不是还有什么其他问题。没有？ 这个是， 哦，好的，老师，那边有几个啊？给那位女同学。好了。 好了，同学们，刚才我们又自己练了一下，是吧？好了，同学们，时间也差不多了啊，我们这节课也就上到最后了，同学们慢慢回顾一下我们这节课学了哪些知识。 刚开始我们先整理了公式，哦，整理了公式，知道了，用字母加表格的形式，然后又整理了 柱体的功，体积功，哎，柱体的体积公式，对吧？还有它的表面表面积公式，得出了一个 统一的公式，对吧？那除了柱体，我们还知道了椎体，对，椎体。是的，那在这些体积 公式推导的过程中，我们还知道了用转化的方法，是吧？嗯，是的，整理呀，是一个很好的复习方法。其实我们平时复习的时候，除了整理，还有很多有用的复习方法。比如说 你说他错题真好，你的想法跟老师想到一块去了。其实错题也是一个非常重要的复习方法。哎，每个人可以整理出自己的错题，这个就是别人 每个人独一无二的复习方法。嗯，希望大家自己回去的时候可以整理整理有关立体图形的错题。
11:17查看AI文稿AI文稿学透知识点，才会举一反三。大家好，我是佳佳老师，今天我们来复习立体图形。首先是长方体和正方，先来回顾一下他们的相同点、不同点以及之间的联系。先看相同点， 他们都有六个面，十二条棱和八个顶点。长方体的六个面都是长方形，特殊情况下，有两个相对的面是正方形。比如这个长方体左右两个面是正方形，周围四个面是长方形，而且这四个长方形是完全一样的。 正方体的六个面都是正方形，所以长方体相对的面面积相等，上下一样，前后一样，左右一样。而正方体六个面面积都相等，因为它是六个完全一样的正方形。再看他们的棱长，长方体是长宽高各四条， 所以棱长总和是长加宽加高的。和再乘四，长有四条，高有四条， 合起来就是他的棱长总和。正方体十二条棱长度都相等，所以棱长总和等于棱长乘十二，他们之间的联系是，正方体，是特殊的长方体。正方体可以理解为他的长宽高都相等， 所以它是特殊的长方体。再看圆柱和圆锥，圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面。圆锥是由两个面组成的，一个底面和一个侧面，所以圆柱的底面是相等的。两个圆圆锥的底面只有一个圆， 他们的侧面都是曲面。圆柱的侧面沿高展开是长方形或正方形。什么情况下是正方形呢？当圆柱的底面周长与高相等时， 侧面沿高展开是正方形。圆柱的高是两个底面之间的距离，所以圆柱的高有无数条， 而圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，所以圆锥的高只有着一条。然后是面动成体旋转的问题。以长方形或正方形的一边为轴，旋转一周可以形成圆柱。 例如这个图形，这是以长方形的长为轴，旋转一周可以形成圆柱。以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径，这里是以长方形的长为轴，那长就是圆柱的高，宽就是圆柱的底面半径。 如果以直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周可以形成圆锥。例如这个图形，以谁为轴，谁就是高。另一边是底面半径。那从不同方向看到的形状是什么呢？圆柱，如果从上面或下面看，看到的都是圆。 如果从侧面看，看到的是一个长方形或正方形，那什么情况下是正方形？当圆柱的直径与高相等时，我们从侧面看，看到的是一个正方形。再看圆锥，如果从上面看， 看到的是一个带圆心的圆，也就是一个圆中间有一个点，这是圆锥。从上面看到的图形，如果从下面看，看到的是一个圆，从侧面看是等腰三角形，这是他的两条腰。 底是圆锥的直径，高是圆锥的高，他们之间的关系就是等底等高的情况下，圆柱体积是圆锥体积的三倍。注意这个前提条件。再来回顾一下他们表面积和体积的一个推导过程。先看长方体的表面积， 我们是把一个长方形、长方体相对的面面积相等，把这六个面标上序号， 一和三是对面，二和四是对面，五和六是对面。如果五和六是前后，一和三是左右，二和四是上下， 那这一段是长方体的长，这一段是长方体的高，这一段是长方体的宽。前后两个面是长成高成二，上下两个面是长成宽成二， 这六个面加起来就是长方体的表面积。利用乘法分配率把二提出来，就等于长乘宽、加长乘高、加宽乘高的和再乘二。因为正方体是特殊的长方体，它的六个面是完全一样的正方形， 所以正方体沿棱剪开，得到六个完全相同的正方形，那正方体的表面积就等于一个面的面积乘六，一个面的面积用棱长乘棱长，所以正方体的表面积就是棱长乘棱长再乘六。 圆柱是由三个面组成的，两个底面和一个侧面，所以圆柱的表面积等于两个底面积加一个侧面积。如何求侧面积呢？ 我们将圆柱沿着高和底面周长剪开，侧面是一个长方形，这个长方形的面积等于底面周长乘高。 再看他们的体积，在推倒长方形的体积时，我们是用棱长为一厘米的小正方体摆成了不同的长方形。发现了一个规律，长方体的体积是一立方厘米， 这里有十二个小正方体，将它摆成一排，拼成一个长方体，那这个时候长方体的体积就是十二立方厘米。如果这样摆摆成两排，那这个长方体的体积还是十二立方厘米。如果摆成两层，每层是六个小正方体， 那这个长方体的体积还是十二立方厘米。所以无论怎么摆，长方体的体积都和小正方的数量相等，所以推出了长方体的体积等于长乘宽乘高， 而正方体是长宽高都相等的特殊长方，所以正方体的体积等于棱长乘棱长乘棱长，把这里的长宽高都换成棱长。 再看圆柱体积的推导，我们把圆柱底面分成若干等份，拼成一个近似的长方体，它们的底面积相等，高也相等。圆柱的体积就等于长方体的体积等于底面积乘高。得到了圆柱的体积公式， 就等于底面积乘高。那根据这个推导图，我们也要清楚它里面包含的其他信息。比如长方体的宽等于圆柱的底面半径， 长方体的长等于圆柱底面周长的一半。 pi、 r， 它们的体积相等，但是表面积不同，长方体表面积比圆柱的表面积多 多了左右这两个面用半径乘高再乘二，这是多的表面积。还有一个是长方体的前面等于圆柱侧面积的一半，也就是长方体前后这两个面刚好等于圆柱的侧面积。最后是圆锥的提推导， 我们把圆锥形容器里的水倒入与他等底等高的圆柱形内， 三次才能倒满，得到了圆柱与圆柱体之间的关系，圆锥的体积等于与圆锥等底等高圆柱体积的三分之一。最后通过这个表格来总结一下他们表面积和体积的计算公式， 都用字母来表示，长方体的长宽、高分别是 a、 b、 h， 所以 长方体的表面积等于长乘宽加长乘高、加宽乘高的和乘二。正方体的棱长都用 a 来表示，所以正方体的表面积等于六 a 的 平方， 一个面的面积再乘六，圆柱的表面半径为 r， 高为 h。 圆柱的表面积是底面周长乘高， 所以是二。 pi r 乘 h， 底面积是 pi r 的 平方，再乘二是两个底面。圆锥底面半径为 r， 高为 h， 圆锥的表面积等于一个侧面加一个底面，底面是一个圆， pi r 的 平方，侧面展开后是一个扇形，所以是一个扇形的面积加一个圆，是圆锥的表面积。长方体的体积等于长乘宽乘高。 正方体的体积等于三个 a 相乘，也就是 a 的 三次方。圆柱的体积等于底面积乘高，也就是 pi r 的 平方 h， 圆锥的体积等于三分之一，底面积乘高，所以前面添上一个三分之一。 那长方体、正方和圆柱，它们有一个统一的体积公式，它们的体积都可以用底面积乘高来计算。求圆锥的体积不要忘了前面的三分之一。 最后再来总结一下立体图形的切割问题。先看切一刀的情况，长方体如果这样切一刀，它的表面积跟原来相比增加了两个长方形，这一段是长方体的宽，这一段是长方体的高， 所以增加的面积用宽乘高再乘二。如果是一个圆柱，沿着横截面切一刀表面，你跟原来相比增加了两个圆， 所以增加的面积用 pi r 的 平方乘二。如果是沿着直径和高垂直切一刀，增加两个长方形，这个时候增加的面积我们用直径乘高再乘二。 最后是圆锥，如果沿着圆锥的顶点和直径垂直切开，增加两个等腰。三角形的底是圆锥的高，所以增加的面积 用三角形的面积再乘二。三角形的面积是底乘高。除以二，那增加的面积再乘二也可以化解一下，等于直径乘高，这是增加的两个等腰三角形的面积。另一种是变长或变短的问题，如果将长方体变长， 那它的表面积跟原来相比发生了什么变化？表面也增加了周围这四个面，也就是红色部分，上面、下面、前面和后面。如果将长方体变短，那它的表面积会减少， 减少的也是周围这四个面，上面、下面、前面和后面左右面是不变的，圆柱也是一样。如果将圆柱变长， 表面你增加的是这里的侧面，因为它上下两个底面没有变，发生变化的是侧面积，而侧面积刚好多了这一部分，所以增加的面积就是上面的侧面积。如果将圆柱变短，表面积会减少， 减少的也是上面这个圆柱的侧面积，因为它上下两个底面没有变，发生变化的就是侧面积，那减少的部分就是这个圆柱的侧面积。所以无论是变长还是变短，变化的是侧面积。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？
274佳佳老师
12:58查看AI文稿AI文稿今天我们来看几道立体图形的练习题，掌握做题技巧。先看第一题，把一张长八十厘米、宽十厘米的长方形纸对折，再对折， 将展开后的纸围成一个高十厘米的长方体纸盒的侧面。如果要为这个长方体纸盒配一个底面，这个底面的面积是多少平方厘米？先来理解一下题目的意思。 首先是一张长方形纸，长八十厘米，宽十厘米。我们可以给他标一下，将这张长方形纸对折，再对折展开后，围成一个高十厘米的长方体纸盒的侧面，也就是这个长方体纸盒的侧面。他的高也是十厘米， 刚好和长方形的宽是相等的。那你知道这个长方形纸是如何对折的吗？沿着中间对折一次，然后再对折一次， 将它展开之后，就是四个完全一样的长方形，围成了这个长方体的侧面。我们可以求出这一个长方形的长用八十除以四等于二十厘米，它对应的是长方体的长和宽 都是二十厘米。让我们给长方纸盒配一个底面，那这个底面积就是长乘宽二十乘二十 等于四百平方厘米。这道题关键是理解它是如何对折。再对折的。展开之后是四个完全一样的长方形，将它围成一个长方体的侧面，高是十厘米， 那说明这八十厘米就是长方体的底面周长，这样可以求出长方体的长和宽，再求出底面积。我们来看第二题，把一个棱长为六厘米的正方体切成棱长为两厘米的小正方体， 可以得到多少个小正方体？他们的表面积之和比原来大正方体的表面积增加了多少？首先要理解他是怎么切的这个大正方体，他的棱长为六厘米， 切成了小正方体，棱长为两厘米，要求小正方体的个数。我们可以用大正方体的体积除以小正方体的体积。六乘六乘六除以二乘二乘二等于二百一十六，除以八等于二十七个， 这是小正方体的个数。再看增加的表面积，有两种思路。第一种思路，用小正方体的表面积之合，减去原来大正方体的表面积，就等于增加的表面积。一个小正方体的表面积是二乘二乘六， 一共有二十七个小正方形的表面积。六乘六乘六等于六百四十八， 减二百一十六等于四百三十二平方厘米。第二种方法，我们把它转化为切割问题。我们知道切一刀增加两个面， 也就是增加了两个大的正方形，那将它切成小正方体，一共切了几刀？竖着切两刀，横着切两刀， 再看这边的竖着切两刀，所以一共切了六刀。增加十二个面，用六乘二。一个面是一个大的正方形，面积是六乘六， 这样就能算出增加的面积。六乘六，这是一个面的面积。再乘增加的十二个面等于三十六乘十二 等于四百三十二平方厘米。这两种思路都可以。第三题，用一根长二十四厘米的铁丝围成一个长方体或正方体框架，在这个长方体表面糊一层纸，怎样为框架用纸最多？ 在它的表面糊一层纸，那纸的面积指的就是它的表面积。问怎样围用纸最多？也就是问怎样围它的表面积最大？那你知道这里的二十四厘米是长方体的什么？围成了一个框架，框架指的是长方体的棱长， 所以二十四厘米是长方体的棱长总和。那我们要想到长方体的棱长总和是怎么算的？长加宽加高的和乘四等于二十四厘米。 我们可以求出长加宽加高的和用二十四除以四等于六厘米。那怎样为表面积最大呢？这里有一个知识点，当长方体棱长总和一定时，长宽高越接近，它的表面积越大，体积也越大。 什么情况下，长宽高越接近，也就是长方体越接近正方体，它的表面积越大。我们可以举个例子，在这里 长加宽加高的和等于六厘米。我们把长宽高都取整数，举几个例子来对比一下。第一种情况，长四厘米，宽和高都是一厘米。 计算出长方体的表面积等于长乘宽四乘一、加宽乘高一乘一、加长乘高的和再乘二 等于十八平方厘米。第二种情况，长是三厘米，宽两厘米，高一厘米，求出表面积三乘二加二乘一、加三乘一的和再乘二等于二十二平方厘米。第三种情况， 长宽高都是两厘米，那他就是一个正方体，求出表面积二乘二乘六等于二十四平方厘米，这种情况下他的表面积最大。所以写到这里，下一步就要知道，围成正方体时表面积最大。 我们要求出正方体的棱长六除以三等于二厘米，也就是围成棱长为二厘米的正方框架，用纸最多。再看第四题，仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从三个不同方位看到的形状如下图， 这堆纸箱可能有多少个？这是通过三式图让我们确定正方体的个数。这是从正面看到的图形，说明每一列最多有三个。这是从左面看到的图形， 这一列最多有两个，这一列最多有三个，这是从上面看到的图形，说明他最底层一共有四个。做这种题有一个方法口诀， 上面看打地基，前面看疯狂盖，侧面看拆为建，把它看成盖房子。先从上面看打地基，因为从上面看，我们看到的是最底层，一共有四个。 再从前面看疯狂盖，也就是这里的正面。从这个方向去看，第一列最多有三个， 那他对应的是这一列最多有三个。我们让他疯狂盖，这一列，上面都填三。第二列 对应的是这一列最多有三个，让他疯狂盖，上面都填三，满足。从正面看是这个图形，侧面看，拆为见，这里是从左面看，我们要根据这个图来拆掉违规的正方体。从左面看是从这个方向去看， 这是第一列，他对应的是这一行，这里能看到两个，就说明这一行最大是二，而且至少有一个二，这里出现两个三，所以不符合题，要拆掉，满足。最大是二，而且至少有一个二， 可以都是二，也可以一个一，一个二，或者这边是二，这边是一，这样才符合题。再看第二列，他对应的是这一行，能看到三个，那说明这一行最大是三，而且至少有一个三， 我们都填三，满足了。从正面看这个图形，所以这两个数字不用变。那一共出现了三种情况，第一种情况是三三二二，第二种情况是三三一二， 第三种情况是三三二一。我们看一下这三种情况是否都符合题。三三二二，从正面看都是三个，从左面看 二三符合题。三三二一从正面看都是三个，从左面看二三符合题。所以这三种情况都符合题，那可能有多少个？第一种情况，两个三，两个二 三加三加二加二，剩下这两种情况，他们的总个数是一样的，两个三加一个二，一个一三加三加二加一，等于九个，可能有十个或九个。 这种题型我们就可以用这种方法来解决。第五题，考察正方体的展开图，如图像小在拆一个正方体纸盒时，不小心把其中一个面 s 折断了， 现在他要把这个面粘回去，变成一个完整的正方体。展开图共有几种不同的粘法。我们先来回顾一下正方体的十一种展开图。第一种是一四一行，都分为三行，第二行都是四个， 第一行和第三行都是一个。我们先观察这四个图形，第一行和第二行都是相同的 变动，第三行这一个小正方形的位置，这样就有四种展开图。接着把第一行这一个都放在第二个位置，第二行还是这并排的四个，第三行这一个有两个位置， 所以一四一型一共有六种展开图。再看二三一型，同样是三行，第一行和第二行位置不变，移动。第三行这一个正方形的位置，一共有三种情况， 二二二行只有这一种情况，分为三行，每一行都是两个，最后是三三行，只有这一种情况，两行每一行是三个，那找对面。也有一个方法口诀，跳过一格找对面， 对面不在拐个弯。先看一四一行第二行，对面最好找，跳过一格找对面，那这个对面就是他， 我们跳一格再找，所以他们两个是对面，那这两格就是对面。跳一格再找，剩下这两格是对面。 再看这个展开图，这两个是对面，我们跳一格去找这两个是对面，那么剩下的这两个就是对面。后面这四种情况就不再写了，跟上面是一样的，我们来看二三一行，第二行比较好找， 这两个是对面，这两个是对面，这两个是对面。再看他的对面，我们跳过一格找对面，正常情况下应该是他，但是这里没有，我们就拐个弯到下面，所以这两个是对面，剩下的这两个是对面。我们跳过一格找对面，正常应该是在这里， 这里没有，我们就拐个弯往这走，所以他俩是对面。再看这个图找他的对面，我们跳过一格找对面，应该是这里，这里没有拐个弯在这，所以他们两个是对面， 那么剩下的这两个就是对面。再看二二二型找他的对面，我们跳过一格找对面，应该在这，这里没有，我们就拐个弯到这，所以这两个是对面。 再看他的对面，我们跳过一格找对面，应该在这这里没有拐个弯就是他，所以这两个是对面，那么剩下的这两个就是对面。跳过一格找对面，应该在这，这里没有，就拐个弯，所以他们两个是对面。最后三三行这个比较好找，这两个是对面。跳一格， 这两个是对面，剩下这两个是对面。再看这道题，一共有几种不同的占法，放到这里是一种情况， 一四一行放到这里可以吗？二三一行这个位置不行，如果放到这里， 他和这个正方形是对面，那这个正方形又和他是对面，就出现矛盾了，所以这个位置不符合题，这里也不行，出现了田字，他不是正方体的展开图，这个位置也不行，出现了凹字也不是展开图， 这个位置可以，一四一行，这个位置也不行。这是一个田字，这里也可以。二三一行，最后这里也不行，出现了田字，一共有四种不同的粘法。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？
157佳佳老师
39:41查看AI文稿AI文稿我们可以得到一条线，叫做点动成线， 平移这条线，我们就可以得到一个面，叫做线动成面。 层层的这样的面叠加，我们就可以得到一个体力，这叫面动成体。是的， 那么同学们现在回忆一下，小学阶段我们总共学过哪些立体图形？相口举手对应格，我们学过长方体，正方体，圆柱还有圆锥，嗯，长方体 还有正方体，哎，这是圆柱， 圆锥，圆锥。好，请坐。那么在上课之前呀，老师知道同学们都对这四种立体图形的相关知识进行了整理和复习，对吗？对，好，那么你们的作品带过来了吗？带过来了，那么现在请同学们呀， 私人小组之内进行交流，拿着你的作品跟你的同桌说一说，你整理了立体图形的哪一些知识，你为什么要这么整理？你运用的是什么方法好吗？好好开始， 哈哈。 啊， 都有， 哎呀 啊， 哎 呀 啊， 这把你是谁的？ 你的 哎 呀 哎呀， 哈哈， 来 啊， 哎呀， 好，时间到。好，刚刚刘老师在下面巡视的时候，发现同学们的关怀各种各样啊，各具特色，现在有哪位同学分享一下你的作品？ 好，陈思毅，你来。 老师，同学们，大家好，我运用的整理与复习的方式是思维导图法。 首先我们可以看到长方体，长方体拥有八个顶点十二条棱，这十二条棱分别是四条长、四条宽和四条高。 如果用 a、 b、 h 分 别表示长方体的长、宽和高的话，它的表面积公式是 a h 加 ab 加 b h 的 和乘二，它的体积公式是 a、 b、 h。 接下来可以看到正方体，正方体拥有八个顶点，十二条一模一样长的棱和六个一模一样大的面。 如果用 a 来表示正方体的棱长的话，它的表面积公式是 a 的 平方乘六，它的体积公式是 a 乘 a 乘 a， 也就是 a 的 立方。其实正方体就是一个特殊的长方体。 接下来看到圆柱，圆柱有两个底面，这两个底面都是圆形，还有一个侧面，这个侧面是一个曲面，圆柱有无数条高。 如果把圆柱的侧面沿高展开的话，有两种情况，第一种情况是一个正方形，第二种情况是一个长方形。 如果用 r 表示它的半径，用 h 表示它的高的话，它的表面积公式是 r 的 平方乘 pi 乘二，加上二 pi r 乘 h， 它的体积公式是 pi r 的 平方乘高，也就是它的底面积乘高。 最后是圆锥，圆锥有一个底面，是一个圆形，还有一个侧面，它的高只有一条，如果把它的侧面沿高展开的话，是一个扇形。 如果用 r 表示它的半径，用 h 表示它的高的话，它的体积公式是三分之一，括号 r 的 平方乘派乘 h， 其实一个圆锥就是与他等底等高圆柱体积的三分之一。我的分享完毕，谢谢大家！ 内容丰富对吗？对，好，刚刚陈思易说他的这种方法是什么整理的方法呀？思维导图，思维导图法， 那么同学们还有一种不同的方法。好，杨礼兵，你来，老师我可以上台展示一下。可以。好， 大家好，我与他的不同之处在于，我用的是笔记式的方法，这种方法呢，能使我在做题时不粗心大意。还有 这个易错题，在我们做圆锥体积这类题目时，我们一定要用求圆柱的体积的方法去乘三分之一，不要和圆柱的体积用混淆了，谢谢大家。 刚刚杨李兵在补充的时候，他说到了一点，他说到我们在进行计算的时候要特别注意哪个地方啊？ 两个人的体积要特别注意，要乘一个三分之一。太好了，谢谢你的提醒。 好的，这里有思维导图式，还有笔记式，还有没有不同的方法呀？刘俊宁，你来。 大家好，我用的是表格式的整理， 因为因为这样子看起来会更加简洁明亮，分类也会更加清晰。我想要补充的是圆柱和圆锥， 圆柱它的底面是个曲面，侧面是曲面，它展开可以得到一个正方形或者长方形。它有无数条高和对称轴，圆锥只有一条高， 但是他有无数条对称轴圆，他的体面的圆心到顶点的距离是高。谢谢大家，为补充完成 学习营，你的方法来给大家展示一下。大人说他这个方法叫什么方法呀？表格式，表格式的方法。 嗯，看来同学们的整理方法呀非常的多，那由于实际关系呢，我们就不一一展示了，现在同学们来看一看这三种方法，你比较一下，你会更喜欢哪一种？ 你说我会更喜欢表格式的方法，因为我也是用的表格式的方法，而且他那个表格式可以让人看起来更加简洁，然后也非常的清楚。你更喜欢表格式的方法对吗？对，好，请坐。 好，有请猜。你说我更喜欢思维导图式的方法。嗯，我本人也是用的这种方法，我觉得这种方法会更加简洁明了，分类也很清楚。分类很清楚，关键画的还特别的漂亮，对吗？很好，好了，同学们， 大家呀，通过用各种各样的方法对这些我们已经学过的旧知识进行整理和复习，这样子呢，就有利于我们找到知识点之间的联系和 区别，这样才能够更进一步的研究他们，对吧？对，其实这也是我们数学当中一个重要的思想啊。好，那么同学们，接下来我们一起来看一下 这些公式当中，请看长方体、正方和圆柱的这三个体积公式，想一想，这三个体积公式能不能用同一个公式来表示？ 嗯，想一想，和现在女生可以用 s d 乘高来表示，嗯， v 等于 s d。 哎，你跟老师想到一块去了，那么现在我们一起来看一看， 为什么这三个不同的图形可以用同一个公式来求体积，好吗？嗯， 请大家仔细观察这三个图形， 想一想，为什么这三个图形可以都用 v 等于 s h 来表示？同桌之间交流一下， 哎呀， 然后， 然后他们还没有走，谁来说一说， 在这些图形当中， s 在 哪里？在这个公式当中 s 在 哪里？珍惜 第一个圆柱，我们可以看到它的底面积 s， 也就是 pi r 的 平方，嗯， pi r 的 平方是圆柱的底面积，所以 v 等于 s h。 接着说长方。第二个长方，它的底面积 s 就是 a b， a 乘 b 也等于 s 底面积，对吗？接着说最后一个正方体，它的底面积 s 就是 a 乘 a， a 乘 a， 是 这个吗？ 是的哦，他也表示底面积 s， 那 这一个 a 表示的是什么呢？高，表示的是高，所以说这三个图形都可以用 v 等于 s h， 求体积。那同学们，再仔细观察一下这三个图形的 特征，你觉得这三个图形都有什么相同的特点啊？想一想， 胡珍，你说这三个图形都是有底面积这样子一层一层往上堆堆出来的，嗯， 都有一个底面积，只是底面积的什么形状，形状不一样，但是都是一层一层一样的。总共有多高？哎，总共有多高就去乘高高，说的太好了，给他掌声 好，同学们，就像刚刚胡珍所说的，当图形的上和下底面完全相同时，并且互相垂直这样子的立体图形有一个名字叫做 什么？锥锥柱体，柱体，柱体。那么以后求柱体的体积用哪一个公式啊？底面积乘高。 好了，同学们，那我们接着来看表面积， 同样的，我们的这个表面积，这三个公式是不是也可以用一个相同的公式来表示呢？想一想， 哎，一下子不好做出判断对不对？那么这里啊，刘老师给大家带来了这三个图形的展开图， 请同学们仔细观察。然后呢，同桌之间互相交流一下，可不可以用同一个公式来表示呢？它的侧面积和表面积。好，开始 走 这个， 哎呀 哇， 好的，时间到， 我们一起来看圆柱，它的表面积包括哪个几个部分？呃，一个侧面积，两个底面积，两个底面积，所以说圆柱的表面积是一个侧面积加两个底面积。 想好的举手有请蔡女士， 我觉得他们三个表面积都可以用，是有两个底面积加侧面积。嗯，我们知道圆柱的话，是 一个侧面积加两个底面积，那这个长正方体的侧面积在哪里？中间四个是这个吗？对哦，那也就说他们有相同的， 都有一个侧面积，还有都有相同的两个底面面积，是这样子的吗？是啊，所以说， 那么这个三个图形，我们要求他们的表面积可以用同一个公式。哪个同一个公式啊？底面积，底面积啊，侧面肌啊侧面肌。 一个侧面积加上两个底面积，一个侧面积加上两个底面积，接着说一个侧面积加两个底面积。太好了，这三个图形表面积也可以用同一个公式。 同学们仔细找一找，这个圆柱的侧面积，我们是怎么求的呀？侧面积是怎么求的？ 何佳佳，你来试一试。圆柱的侧面积是底面周长成高，底面周长成高高，底面周长在哪里？你可下来指一指吗？ 嗯，几面周长其实就是这个圆一周的长度，圆一周的长度，将它怎么样拉出来，就是这个侧面积的。什么 圆啊？再想一想，再想一想。嗯，好，你再用一句完整的话说一说，嗯， 底面底面积，侧面积其实就是这个圆的一周的长度拉直，嗯，再 再乘以高乘高。高在哪里？高就是这。嗯，所以圆柱的侧面积是 将底面的这个周长怎么样拉直，变成侧面积的长去乘高。好，那么正方体和长方体是不是也可以是底面周长乘高来求这个侧面积呢？ 可不可以？可以请回，谁抢到了可不可以？可以，他的敌敌众长在哪里？嗯，想好了，同学举手。卢洋兵呀，你上台来指一指。 嗯，正方体的侧面积应该怎么求？正方体的侧面积也是像呃，圆柱的展开图一样，也是用这个长乘这个宽，而这个长呢，又可以通过 这个正方形拉直后得到。哎，这是正方形的什么轴对称，所以就正方形的底面的周长成高，以此类推。长和底是不是一样的？是，因为正和底就是一个特殊的。谢谢你，请坐。 好的，那以此我们可以得出，原来这三个图形的侧面积也可以用同一个公式底面周长乘高来获得，对吗？对， 好，那么到现在为止呢，我们关于立体图形的知识呢，就已经全部复习结束了，同学们，现在我们来念一念吧。 好，接下来我会出示一个算式进行抢答。谁第一时间看出他求的是什么就举手啊， 谁来，哎，你来。长方形的表面积求的是长方体的表面积，你刚刚举手速度那么快，你找到了哪一个关键的数字？ 乘二，哎，乘二，所以可以知道他求的是长方体的表面体。哎，求的长方体的表面体有几个面， 几个面，六个面，六个面。乘二的意思是这里已经求了几个面了？三个面，太好了，所以这是一个长方体。你接着再来说一说，这是一个怎样的长方体， 这是一个长为十五厘米，然后高为九厘米，宽为五厘米的长方体，同意吗？同意，太好了。 好的，接下来我们接着进行挑战。第二题，做好准备了吗？做好了，不要紧张啊。好， 这个谁来速度最快？你来这个，这个呢，是一个圆柱体的体积，嗯， 所以说你说你得穿它是一个圆柱的体积，嗯，因为它成了。嗯，三点一四， 三点一四，我们说是谁的取舍，他他，他。不是三点一四，但是我们近次的取乘三点一四面积算，所以你觉得这是一个圆柱对吗？那从这里你可以得出圆柱当中哪一些信息？ 嗯，圆柱的底面半径是三。嗯，还有呢？高是五，都同意吗？同意，半径是三，高是五。几个最后一个啊，看谁有这个机会抢到。 哼哼。杨浩华最快你来。呃，就是呃。这是一个。 呃。这是一个正方体，这是一个正方体。球的是正方体的体 积。正方体的体积对吗？好的，那你说一说这是一个什么样子的正方体？这是一个长为六，呃。长宽高呃。都一二为六的 正方体。怎么描述对称 能长为六的正方题，这是一个。是的，我们的长方题每条能都相等，所以是能长啊。正方题每条能都相等，所以这是一个能长为六的正方题。好，请坐。 那同学们想一想它除能表示正方题的体积还能表示正方题的 还能表。你说还能表，还能表？表现正方体的表表面积。嗯，那你说说这些数字分别表示什么意思？呃，前两个六是表表示， 呃，正方体的一个面，嗯，一个面的面积，后面这个六呢？就是有六个相同的面。说的太好了，请坐。所以说这一个算是不但可以表示正方体的体积还可以表示正方体的表面积。 既然可以用同一个公式表示体积和表面积，那是不是说明这一个正方体的体积和表面积是相等的？错错错，为什么错了 啊？王子轩，你说因为体积的单位是立方，而表面积的单位是平方，所以他们不能单位不同不能进行比较。嗯，单位不同不能进行比较。说的太好了，给他掌声。 好的同学们，看来这些题对大家来说太简单了，接下来我们挑战一个难度大一点的哪位同学来读读题啊。嗯，刘大恩 把下面的长方形木料削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少？单位厘米，很好节奏， 这道题看明白了吗？看明白了，嗯，好，行。这道题呢，刘老师利用练习题的方式呢，给大家准备好了，放在大家数学书的下面，现在请大家拿出来 先仔细想一想，完成啊，练习题上的四道题，然后同桌之间互相交流一下，啊 啊， 看 这个， let's 哇， 同学们尝试将这幅图画出来啊，这个圆锥是怎么摆啊？去画一画， 哈哈， 来 啊 啊， 啥呀 啊， 大家好，我是小帅啊， 好接道，好坐姿。 刚才刘老师在下面搜集了两个不同的方法，分别是胡筝和音正的。首先呢，请胡筝上来分享一下你刚刚是怎么想的？ 我们，我们乍一看这道题呢，他让他问，你，把长方块的木料削成最大的圆锥，很容易想成学会倾听，从两边这里 左最左边的那个面和最右边那面切。但是呢，但是呢，这长方体的宽是四，刀是六，这最左边的面和最右边这个面是长方形， 而我们知道圆的，而我们知道圆的这个半径都是相等的，因此可以得出这两边不能做出一个圆来， 那么下，那么下两个底面也是同底，十二乘十，二乘十，长方形的长，长方体的长是十二宽，宽是四，他也不能也不能在上面做一个圆，所以， 所以我们我们只好用宽这边把做一个，做一个。 这个圆锥底面的什么直径？这个圆锥底面的直径是四，加大是四，然后算出，然后呢用用二分之一直径等于半径，算出来里面半径是二， 那么这个圆柱的刀就是长方形的刀，算出圆锥直径二十五点一二。好，你得出的体积是多少？二十五点一二，二十五点一二。有没有圆锥体积比它更大？ 有，有好音正，你下来数一数， 因为因为这个他的，他的他是四厘米，而我们已经知道元素的底面半径是二厘米，所以说我们可以这样， 你就说圆锥的底面在哪个长方形的哪个面上，侧面上。那么圆锥的底面半径是半径是 声音大也是二厘米好，高是高是十二厘米，十二厘米，你这样求出来的圆锥的体积是五十五十点二四，立方厘米是五十点，有没有跟他一样的？有，那同学们想一想， 他的这个体积是五十点二四，刚刚胡茬的是多少？二十一点幺，他的这个圆锥，他的这个圆锥要大些，对吧？对啊，有没有比他更大的了？没有，有没有，那说明他的是最大的，对不对？那现在想一想，刚刚胡茬到底是哪个地方？ 好，你现在这个是吗？胡军的这个地方，刚刚他说， 胡军刚刚说这个圆锥的底面不能够放在侧面上， 原因是侧面的侧面是长六宽四，因为长和宽不相等，所以不能够把里面放在这里，是这样子的吗？可不可以放在这里？可以，可以放这里，但是里面的直径最大只能是多少？四。
06:05查看AI文稿AI文稿大家好，今天让我们一起来学习这道立体图形综合问题，先来读题，如图，延长长方体表面记一根绳子连接 a b 点，绳子最短的情况下，其长度是 看一下这个图片，它给了三个数据，分别是这个长方体的长宽高，然后呢，但是它并没有给出来这个单位，所以说我们到时候把这个长度写上的时候呢，也就不用带单位了。 现在呢，它让我们记一根绳子连接 a b 点，但是直接这么看，我们好像并看不出来如何去连接这根绳子。 既然立体图形上我们不会连接两点，但是平面上我们肯定会连接这两点，嗯，因为他是说在表面上，所以我们不可能从这个长方体的中间这样连一条过去，所以说我们就借助展开图来看一下这条线应该怎么连，或者有哪种连法呢？ 图画好了，大概展开就是这个样子的，嗯，这个就是这个的上面，这一个面呢就是这里的右边，这里呢是这里的左面，这是后面，这个对应的就是前面，而这个呢折过去就是下面。 那么现在我们来对照这个图形来标注一下我们的 ab 点，这是这个正面，然后正面的这个角上是 a 点， b 点呢，在这一个面上的这个角上，这里标注一下 b 点。 然后啊，我们现在呢，先目标数据来看有哪些走法可以连接呢？就既然说最短嘛，两点之间什么最短呢？两点之间线段最短，我们就可以找一些线段来去连接这些点， 找到了这么一种连法，但是其实呢， b 点并不仅仅存在于这个面上的这一点，因为他他这个点呢，你看他这里有三条面都在这里，呃， 还有一个情况呢，是说他在这个面这个位置，但是这样的话呢，他就就是跨越的面就有点大了，我们先暂时不考虑，然后我们考虑一下这里 折过来，那 b 点也有可能在这里，所以说他这里呀就有两种连法，那么这两种连法到底哪一种会更简单呢？ 我们会发现这里形成了两，这是形成了若干个三角形，三角形我们就想到了什么勾股定律，那么我们来依次试一下，先试一下这两面的这个，我们在这边重新画一下这张图，然后标好数据， 数据已经标好了，那么根据勾股定底，这一条斜边应该怎么求呢？就是这一条边的平方加这一条边的平方的和，就是这一条边的平方，我们给他们加上字母来表述的更清楚一点。 那么这一条长边，这条三角形的长边，我们给其命名为 a， 这一条边呢命名为 b， 这条斜边命名为 c， 那 么公式表达下来应该是 a 方加 b 方等于 c 方。根据这个你看，我们现在 a、 b 两条边的数据也都有了，就可以来求它们的平方和了。 a 方是二十加十二的，和的平方就是一零二四， b 方二十四的平方就是五七六，它们相加 正好得到了一千六百。一千六百是谁的平方？一千六百正好等于四十的平方，所以说我们这里的 c 呀，它就是四十的平方，所以说我们这里的 c 呀，它就是四十的平方，所以说我们这里的 c 呀，它就是四十的平方，所以说我们这里的 c 呀，它就是四十， 但是长度就一定是四十了吗？这个还不好说，所以我们现在来研究一下第二种连法。 图画好了，数据呢也标好了，同样我们可以应用勾股定律 abc， 然后用同样的方法去求 a 方、 b 方和 c 方。 好，我们现在已经把 c 方求出来了，是一六九六， 比一六零零要大。如果我们把它的这，如果我们把呃谁的平方是它求出来的话呢？我们这个结果毋庸置疑，这个数呢肯定是要比四十要大的。 呃，有兴趣的话呢，同学们可以在呃后期的时候呢去算一算这个数，嗯，这是一个位数非常多的一个小数。嗯， 好，但是呢，这个一六九六他已经比一六零零大了，所以说最简单的办法呢就是一的办法，所以说其长度呢就应该是四十。 本期的内容到这里就已经结束了，如果你还有什么想和我一起学习交流的问题，请在评论区里告诉我吧。
9千顺说
04:12查看AI文稿AI文稿有一个人长为四十厘米的正方体零件，他的上下两个面的正中间各有一个直径为四厘米的圆柱形孔，孔深是十厘米，注意下他的孔深。为什么要注意他的孔深呢？我们要去考虑他有没有打通 画一个正方体。 好的，他说的是上下面都要打一个圆柱形的孔。好，上边打一个圆柱形的孔，打下去 都应该画成虚线，里边都应该画成虚线，然后下边也要打一个圆柱形的孔。 好的，这两个圆柱形的孔他孔深都是十厘米，所以说总长是四十，他这两个是十，说明没有打穿啊，没有打通。这个零件的表面积是多少？ 没有打通的时候，他的底面是可以补外边这个面的啊，这个面他可以补外边这个面，然后这个面 里边这个面也可以补外边这个面，所以说它增加的是侧面积啊，增加两个圆柱的侧面积。 分析出这个之后，我们可以根据表面积的增减变化来原来的正方体的表面积给它求出来，再去加上两个圆柱的侧面积就可以了。好的，我们先去求原来这个正方体的一个表面积。正方体 表面积是棱长乘棱长再乘六啊，因为他六个面再乘六，一千六百去乘六等于九千六百，单位是平方厘米 啊，这是原来的表面积，现在增加的是侧面几。那我们算一下侧面几，先算一个嘛，侧面几 算侧面积的话，底面周长去乘高度啊，直径有了，那就是拍 d 啊。三点一四乘四，然后再乘上孔深十，这是一个的，我们先算一个，待会再求和的时候再乘二 十二点五六乘乘十等于一百二十五点六啊，单位是，这是面积平方厘米。 好，再看一下，拍 d 乘高啊，没问题，再求和，再求和，表面积 九千六百去加上十一百二十五点六去乘一个二，这是二十五点二百五十一点二， 然后加在一块就是九千八百五十一点二，单位是平方厘米。好的， 这个零件的表面积 是九千八百五十一点二平方厘米。句号完成， ctrl 画。
09:14查看AI文稿AI文稿学透知识点，才会举一反三！大家好，我是佳佳老师，今天我们来复习平面图形，我们学过的图形分为平面图形和立体图形。想一下学过的平面图形有哪些？ 有线、角三角形、四边形和圆。学过的线有线段、射线、直线，还有平行线和垂线。学过的角有这五个角 三角形如果按角分分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。如果按边分，还有两个特殊三角形、等腰三角形和等边三角形。再回想一下，四边形有平四边形、长方形，还有梯形。 梯形又分为等腰梯形、直角梯形和一般梯形，最后是圆，还认识了圆环和圆锥，这是学过的立体图形，长方体、正方、圆柱和圆锥。 我们今天主要来复习线和角。回想一下线段，设线、直线，它们的意义和区别。线段是直线上任意两点之间的一段，叫做线段， 这是一条直线。在直线上任意点两个点，这两点之间的这一段就是线段，读作线段 ab 或者线段 b a。 射线是把线段的一端无限延长，就可以得到一条射线。例如把线段 a、 b 向右边无限延长，就可以得到射线 a b。 如果把线段 a、 b 向左边无限延长，就可以得到射线 b a。 直线是把线段的两端无限延长，就可以得到一条直线，读作直线 ab 或者直线 b a。 那他们的区别就很明显。线段有两个端点，有线长，可以度量。射线有一个端点无限长，不可以度量。直线没有端点无限长，也不可以度量。他们之间的联系 都是直的。线段、射线都可以看作直线的一部分，我们来看这两道练习题。如图所示，直线上有 a、 b、 c、 d 四个点，图中有几条直线，几条射线，几条线段。直线是向两端无限延长，所以只有一条直线， 射线有一个端点，向一端无限延长。那我们就只看点，以 a 为端点，左边一条射线，右边一条射线。以 b 为端点，左边一条射线，右边一条射线。同样的，以 c 为端点，左边一条，右边一条。 以 d 为端点，左边一条，右边一条。有四个点，所以射线数量就是四乘二， 一共有八条射线。再看线段，要找两个端点，以 a 为端点的有线段 a、 b。 线段 a、 c。 线段 a、 d。 有 三条以 b 为端点的有线段 b、 a。 刚才已经算过了，不用重复计算。线段 bc 线段 b、 d 两条。以 c 为端点的线段 c、 d 一 条。所以线段的数量三加二加一，一共有六条线段。那如果有五个点，有几条线段呢？以 a 为端点的有线段 ab 线段 ac 线段 ad 线段 a、 e。 有 四条以 b 为端点的线段， bc 线段 b、 d。 线段 b、 e。 有 三条以 c 为端点的线段 c、 d。 线段 c、 e 两条。最后以 d 为端点，线段 d、 e 一 条。所以线段的数量是四加三加二加一，一共有十条线段。那如果有 n 个点呢？ 一共有几条线段？有没有找到规律？四个点，线段数量是三加二加一，五个点，线段数量是四加三加二加一，这是连续自然数，求和最大的加数比点数少一，也就是五个点， 从一加到四，四个点，从一加到三。 n 个点呢？应该从一 加到 n 减一，我们可以反过来写，一加二加三，一直加到 n 减一，最大的加数比点数少一，一共 n 个点，那最大的加数就是 n 减一。等差数列求和等于首项加末项乘项数除以二， 一加 n 减一的和成像数一共是 n 减一个数，再除以二，化简之后是二分之 n 乘 n 减一， 这是 n 个点对应线段的数量。我们来看第二题，过两点可以画出几条直线？过不在同一直线上的三个点，最多可以画出几条直线。 我们先看两点，过两个点可以画出一条直线，因为两点确定一条直线。如果是不在同一直线上的三个点呢，可以画出 三条直线。再看四个点，首先过这个点，我们可以画出三条直线，过这个点可以画出两条直线， 最后还有一条直线，所以直线的数量是三加二加一，一共能画出六条直线。是不是跟上面规律是一样的，过四个点，直线数量是三加二加一，过三个点，直线数量是 二加一，同样是连续自然数，求和最大的加数比点数少一，那如果 n 个点呢？最多能画出几条直线？ 跟上面一样，从一加到 n 减一，化减之后是它最多能画出二分之 n 乘 n 减一条直线。我们再来看平行与垂直。首先要知道，同一平面内两条直线的位置关系有两种， 一种是平行，一种是相交，这是两条平行。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行，也可以说这两条直线互相平行。直线 a 平行于直线 b， 平行之间的距离是处处相等的，那在同一平面内不平行的两条直线一定相交。 如果在同一平面内，两条直线不平行，那他们一定相交。相交分为两种情况，一种是不垂直，另一种是垂直。垂直是指两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的焦点叫做垂足。这里可以说直线 a 与直线 b 互相垂直，那直线 a 就是 直线 b 的 垂线，或者直线 b 是 直线 a 的 垂线，它们的焦点就是垂足。再看点到直线的距离， 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长就是这个点到这条直线的距离，这是垂直线段的长，他就是这个点到这条直线的所有线段中，垂直线段是最短的。 我们来看这道练习题。鲍鱼导致群众受困，消防员要以最短的路线把一名受困群众带到安全区域， 请你划出消防员的路线，这里是消防员，这里是受困群众。消防员要将一名受困群众带到安全区域，让我们划出最短的路线。 首先消防员要到受困群众这里去，那两点之间线段是最短的，所以我们直接连接这两个点。然后要将受困群众 再到安全区域，这四周都是安全区域，那要是路线最短，我们应该将它送到这个安全区域。那送到哪个位置呢？点到直线的距离， 垂线段是最短的，所以过这个点向这条边做垂线，这就是所画的路线。最后复习一下角，角的意义是从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的两条边。那角的大小跟什么有关系呢？角的大小与两边的长短无关， 与角张开的大小有关，张开的越大，角就越大。另外需要注意，在放大镜下看角，角的大小是不变的，如果这个角是四十五度，那在放大镜下看它还是四十五度。再看角的分类， 最小的角是锐角，大于零度，小于九十度，然后是直角，等于九十度。接着是钝角，大于九十度，小于一百八十度，然后是平角，等于一百八十度，最后是周角，等于三百六十度。这是把角按从小到大排序， 那一个周角就等于两个平角，等于四个直角。需要记住这些角的范围以及特殊角的度数。那今天的内容就讲完了，你学会了吗？
285佳佳老师
40:04查看AI文稿AI文稿你来说长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，还有吗？还有圆形啊，还有圆形，还有没有其他的图形？ b 型，嗯，你来说还有立体图形，例如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体，说的对不对？对。好，那么其实在生活当中 我们也有很多这样的图形，谁能说一说这都是什么图形？你来说， 呃，第一个是长方体，第二个是正方体，第三个是圆柱体，第四个是圆锥体， 非常好，这就是我们曾经学过的立体图形。那么大家想啊，看到这些图形的时候，你想到了什么问题？你，你来说，我们曾经学过长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积，嗯， 会计算他们的体积，是不是？还有吗？你还能想到什么问题？你来说，呃，还有计算这些立体图形的表面积还有没有？ 除了体积和表面积还有没有？你来说还有他们的占地面积啊？占地面积这个也属于表面积那个范围内的，是不是？ 好，那么相信大家看到这些图形的时候，脑海里散落着许多的我们曾经学过的问题。如果说新的学习是在大海里捞取一颗颗美丽的珍珠的话，那么今天这堂课，我要，我们要把这些珍珠串成一串漂亮的项链是不是？ 好了，大家请看，由无数个点可以连成一条线，无数个线可以形成一个面， 那么无数个面能形成体，所以我们可以用十二个字来概括，那就是点动呈现 线动成面，面动成体，非常棒，大家都说出来了，那么也就是说点、线、面、体， 他们之间有着千丝万缕的联系，对不对？那么刚才我们说的这立体图形，是不是他们之间也有着怎样怎样的联系呢？对不对？除了同学们刚才所说的立体图形的表面积和体积，所以，这节课啊， 让我们一起走进图形世界， 回顾一下我们曾经认识的立体图形。好了，大家请看，这是一棵知识树。那么刚才大家提到了，我们要研究和复习的是立体图形的什么呀？ 有体积，还有呢？表面面积？嗯，你还能想到什么？除了体积，表面积都都都都。 平面图形，我们重点研究周长了是不？那么立体图形除了表面和体积还有什么？你来说还有容积？哎，还有容积，那属于在这个体积范围内，我们又学了容积是吧？ 想一想，这例如正方体有多少个面啊？这属于是它的什么呀？特征对了，哎，非常好啊，我发现我们班同学真聪明，老师一说，大家就想到了 还有他的特征是不？所以，今天这堂课，咱们就按照这几部分作为重点来复习。 好，大家请看复习目标，谁来读一下，声音洪亮啊，来，静点声。复习目标一，回顾整理立体图形的特征、表面积、体积的含义和计算公式，理解体积的推导过程。二、进一步 探求立体图形之间的关系联系。三、灵活运用公式解决实际问题。清楚了吗？清楚了，那么有了目标，我们就有了努力的方向。首先，大家请看循序要求，也就是小组合作学习。呃，全体女生轻声读一遍行不行？好， 群学要求一二，群学要求一，把你掌握的立体图形的特征，跟小组同学互相交流，比一比，看谁说的既有条理又具体。 二对比一下想想他们之间有什么相同点区别和联系。嗯声音再大一点就更好了啊。好了那么大家了解了这个群学的要求我们先来在小组里交流一下这些立体图形的特征好不好。开始 啊啊 好的，怎么样？非常好啊，这样吧。呃我们先来做个游戏好不好？好，我愿意玩游戏哈。 我在里面摸出一个图形然后我口述大家猜它是什么体有没有自信？有，但是不要盲目抢答啊。首先我摸到的这个图形它有六个面 有八个顶点，我摸到了一个平面，这个面是正方形 有能抢答的吗？没有我就摸到了一个面也是正方形而且有的同学能说了你说，呃我觉得这个图形是正方体啊，他认为是正方体。那我再继续说。还有一句话啊 我又摸到了一个面他是长方形这时候来女孩是长方形是不是是不是？对。好了那你能不能说一说为什么根据老师哪句话你认为他是长方体啊 哪句话你说。根据老师的最后一句话，嗯这个图形有一个面是长方形。嗯那刚开始的时候老师说有正方形的时候，嗯这群女生认为他是正方体， 那是不是有这种可能呢？有有可能是正方体，但当老师说最后一句话的时候你改变主意没？改变了。非常好啊，我们在数学学习当中就应该善于思考不能什么 武断是不是应该谨慎的思考。好了那有了刚才的经验这样接下来我想找一名同学来摸然后你像老师那样来描述 行不行？谁愿意尝试一下？好，最后那名女生来到前面来， 嗯，我摸到了一个图形，它的一个面是正方形，嗯，又摸到了一个面，也是正方形。抢答， 正方，正方，抢。哎呀，直接说出来了是不是对，好的，那我想问一下大家，刚才抢答的同学，谁，谁说话了？来，你先请回 来。那个，那，那名同学，你为什么判断他是正方体？呃，因为他的两个面全是正方形。嗯，而且刚才老师把这个长方体拿出来了。那假如说啊， 如果里面还有一个长方体，你单靠两个面是正方形，能不能断定他是正方体？不，能，不能，是不是？ 呃，那么刚才，好，你的回答是正确的，那么来，请坐，大家给点掌声啊，相信大家也听过了，是不？那通过刚才咱们这个小游戏，我相信大家对长方和正方的这个特征 有了深入的了解，那么谁能够更加的全面具体的再表述一遍，再说一遍，长方都有什么特征？嗯， 啊，那个女生长方体的特征，一是他的对面相等，而且他有六个面。嗯，第二个特征是，他一共有十二条冷长，嗯，他的，呃，他的四条，他的冷长分别是高和长，还有宽，他的长宽高分别相等。 弟说的是指的是四条长相等，四条长，四条宽，四条高，分别相等。嗯，他的第三个特征是，他有八个顶点。说的全不全？全，非常好，给点掌声啊， 这就是长方体的特征。那谁愿意把正方体的特征再具体的说一说？正方体，我发现咱们同学啊，发言很踊跃，而且说话很有条理。你来说， 正方体有六个面，而且面面相等，每个面的面积都相等。呃，他有十二条棱长，每个棱长也都相等，而且他有八个顶点，四条棱平行且相等。嗯，那对比一下这长方体和正方体他们有什么共同点呢？ 共同点来，那男孩，嗯，都有十二条棱与八个顶点，并且对等的棱相等， 都有六个面，十二十二条灯，八个顶面，对不对？好了，那么接下来我这里还有谁愿意再抽一下，再抽出来个图形， 你来吧，行不？先别拿出来啊，你先摸，站起来来告诉大家，我的图形有三个面，两个面是圆形， 圆柱。想拿直接说圆柱，异口同声是不是？对，恭喜你答对了啊。那么那谁能再把它的其他特征补充完整？ 你来说，呃，圆柱上下两个面都是圆，而且这两个圆分别都相等，而且这个圆的侧面展开也可能是长方形，正方形或者是平行四边形，而且长。呃， 圆柱体有无数条高。哎。又补充一下，他有无数条高，那也就说他是有两个平面和一个虚线面围成的立体图形。好看一看说的是否相近？ 基本上都说出来了，对不？那么只是沿高展开，一般是长方形，但也有特殊的情况是正方形或者是平行四边形。那最后一个图形相信大家不用猜的，是不是应该是圆锥？好了，那么这个圆锥它有什么特征呢？ 来，最后的。你说圆锥是由一个圆面和一个曲面组成的，然后他如果剪开的话，得到的是一个。呃，一个三角形，同意吗？不同意。你来说 那个沿着圆锥的侧面展开是一个扇形，这样剪开展开是一个扇形，对不对？还有没 啊？你来补充。呃，与圆柱体不同的圆锥只有一条高，对不？非常好啊？对比圆柱，那么他俩的最大区别就是圆柱有无数条高，而圆锥就只有一条高，是顶点到圆体面圆心的距离，对不？但是他们的共同点是什么？ 你来说，嗯，他们的共同点是都有一个区面，对，非常好啊。来，我们看一下最后一个特征， 有一个底面是个圆形，有一个侧面是个曲面，展开是个扇形，有一个顶点只有一条杠，是不是大家非常棒啊？通过刚才这个小游戏，我们是不是对这个 这几个立体图形的特征已经了如指掌，是不是？好了？那么你们真真棒啊。接下来我们再考再考虑一个问题， 长方体和正方体有什么关系呢？你来说，使六个面都变成正方形，就是正方，嗯，那是不是这样子？ 如果他缩短的话，对不对？他就能当什么情况下他成正方体了？当六个面相等，六个面的面积相等，当他的所有棱长都相等的时候，他就行了，形成了正方体，那也就是说这个正方体是特殊的 长方体，嗯，也包括在长方体之中，对不？好了？我们再次讲，圆柱和圆锥有什么联系？他们之间有什么关系？好，你来说。呃，与圆柱等底等高的圆锥是圆柱的三分之一，你指的是什么？是它的三分之一。 呃，圆锥是圆柱的三分之一，具体说是周长吗？ 你说。呃，圆锥，呃，等底等高的圆柱是圆锥体积的三倍，嗯，这是我们一会要研究的这个体积，他们的关系是不？那么大家想象一下，刚才那个长方体变短变成了正方体，那么我们看一下怎样才能把这个圆柱变成圆锥呢？ 哪地方变化一下呢？你来说将圆柱体切割啊，可以切， 大家都学过可以削成一个圆锥，那是不是把它的上面这个面给它变小，变成一个点，变成大还是变小变成一个点？答对了，非常好啊，是这样吗？当它上面那个面变成一个点的时候， 说到一个点他就成了圆锥了，是不是？嗯，那前提他俩现在肯定是等也等高，对不好？非常好啊，那么通过刚才的同学们努力，我们把那个特征复习完了，接下来啊，想同桌之间对学，回 忆一下他们表面积的公式是怎样推导出来的，行不行？嗯，好，开始。 好的。谁能先回答一下到底什么是立体图形的表面积？ 嗯，你来说。呃，立体图形的表面积就是立体图形的六个面的面积。呃，六个面的面积？那是不是所有图形都有六个面啊？是不是？那咱们概括一下，是它所有面的面积总和。 一个立体图形所有面的面积总和叫做它的表面积。先能举例子说一说，假如说牙膏盒， 牙膏盒它的表面呢？指的是？嗯，你来说说行不？牙膏盒指的是几个面？牙膏盒指的是六个面，六个面，前后左右上下，对不对？ 我们看一下啊。先看这三幅图，长方体，正方体，这个由于视觉差，这个有点有点不太像，是不？你课架的问题，这个中间是正方体啊，然后圆柱， 我们看一下谁能站起来用字母来表示这些长方，呃，长方体，正方体，还有圆柱的表面积用字母公式来表示。 嗯，等会长，方体表面积用字母表示是 a 乘 b 加 b 乘 h 加 a 乘 h 的 和乘二。 那一般字母和数字相乘的时候，数字写在前面。好，第二个，正方体的表面积用字母表示是六 a 的 平方。急了。圆柱的侧面积用字母表示是 s h， s h， c， h， 嗯， c h 是 不是？那 c 是 指的是周长体面周长 h 是 高高，还有没？底面周长还可以换成， 谁来谁来。那个补充一下，里面周长还可以，里面周长还可以换成二 pi r， 二 pi r h， 对 不对？里面周长还可以用二 pi r 来表示，那也可以换成 pi d 是 不？所以都乘高，那就是二 pi r h 或者是 pi d h 也行啊。圆柱的表面积 圆柱的表面积圆柱的表面积，这呢来，你来说。呃，圆柱的表面积是？呃，二 pi r h 加上二的平方乘 pi 乘二， pi 的 平方乘 pi pi， 那 就是 pi r 方呗，对不？ pi r 方乘二乘二，那数字如果放前面，应该是二 pi r 方，很好，大家一起说一遍行不？圆柱的表面积可以是 阿尔卑斯加阿尔派阿尔方，对不？加两个底边缘 很好，看来大家对这个表面积的公式掌握的还非常好。好了，接下来呢，我们刚才已经把这个表面积这个问题已经解决了，是不是？那接下来我们想一想，还剩最重要的，也就是我们求立体图形的体积， 先回忆一下什么是立体图形的体积。这个男孩，嗯，立体图形的体积就是图形占的空间的面积。嗯，再来说一说，你说，嗯，就是物体所占空间的大小叫做体积，嗯，很好， 物体所占空间的大小叫做它的体积，是不？刚才我们说了，除了体积，那容积呢？ 所体积是所占空间的大小，那容积是所容容纳空间的大小。但是这节课我们把这个容积先不作为重点，重点我们来看体积是不？回忆一下这几个图，什么体积公式， 我不给你思考的时间，看谁能直接站起来就说出来啊。第一个，长方体，长方体， 那女生同意不同意？那汉字公式应该是长头发很高，对，长头发很高 abh 好。 第二个，这个正方属实有点失真了啊，不过是屏幕显示的问题。正方体积，嗯，这边女生最后一个 冷藏的立方，声音再大点就更好了啊，你回答对了，来，下一个。嗯，圆柱的体积，圆柱的体积，这个女孩，第二个女孩叫你了， s h， 同意不？同意。 s h， 也就是底面积乘高乘高。最后一个，圆锥一起说 三分之一 x h， 三分之一 x h 是 不好了，咱们思考一下啊，正方长方与圆柱的体积计算有什么相似的地方？ 有什么相似的地方？你来说，嗯，他们的体积都是用底面积乘高，都可以用底面积乘高，也就是 s h 来表示，对不对来计算，那这是他们三个共同的计算公式，那圆锥可不可以？为什么呢？他的公式必须怎么的？ 必须得这么说，因为圆锥与它等底，圆锥的体积是它等比等高体等比等高。圆柱的体积的三分之一啊，三分之一。所以我们在计算圆锥体积的时候千万记住了，不要忘记成三分之一 是不是？好了，那大家回忆一下啊，咱们把公式都说出来了。那你想一想我们当初在研究这个长方体体积的时候是怎样研究的，记得吗？ 那你能说一说吗？嗯，是用小正方体摆成的长方，嗯，然后摆完之后我们数一共有多少个小块，嗯，长有多少块，宽有多少块，高有多少，然后从而 得到长方体的体积，那他们之间是连乘的关系对不？乘出来到底有多少块，他的体积就是多少，是这样算的。不是。那后来，后来你先别坐下，后来我们进一步利用他，我们又想研究正方体的体积时候，也是这样研究的吗？呃， 是不是？大家回忆一下，帮他想一想是不长方体我们这么推出来了，其实正方也是，是不是 长有多少块，宽就有多少块，高就有多少块？因为它的每条棱长都是相等的，所以最后我们就推出来了三个 a 连乘就是它的体积，简写为 a 的 立方，是不非常棒，给他点掌声啊， 学习了这么久了啊，还记得我们这个他长方体和正方体的推导过程，那大家现在回忆一下，圆柱是我们这学期学习的重点，那他的公式我们是借助什么图形推导的？长方体？长长方体对不对？谁能 简单说一下怎么推倒的了？将圆柱体平均分成若干个小三角形小三角体，然后它是怎么切的呢？平均切是盐什么切的？盐盐糕，盐盐糕 和直径竖着切开的，是不是这样？不？嗯，然后呢？嗯，然后再将这些半圆平均分，平均分，也就是从 是从这写的吗？是不圆心，然后平均分成若干等份，然后再将这些等份合在一起，就分成了一个 近似长方体，对不是吧？很好啊，拼成了一个近似长方体，然后呢，大家想了啊， 长方体的体积我们会求长乘宽乘高，对不？那也就是说我们只要找到了长宽高是多少，我们就能把这圆柱的体积求出来了，当时是这么想的不是？好了，那现在你们找一找吧，这个长方体的底面和圆柱的底面相等，相等，那也就是说 圆柱的底面就是长方体的底面，对不对？这个高就是圆柱的高，就相当于长方形的长方形的高，然后半径大点声说 就是长方形的宽，长方形的宽，那现在我们看一下，知道了长宽高，我们就把这个长方体的体积就能求出来了。那谁能用字母公式来说一下，这个长 怎么求？长？相当于这个圆柱的底面，周长的一半是一半，那周长是二 pi r， 一 半是 pi r， pi r， pi r 也是 pi r， 所以 谁能说一下长方体的体积是底面积层高，那么这个底面积怎么求？看着这个字母底面积怎么求？ 长是 pi r， 宽是 r， 那 成在一起就是 pi r， 哎， pi r 方，对不？ 然后呢？高呢？所以我们就推出来了 pi r 方，长方形体积是 pi r 方 h， 也就是 s h 是 不对，然后最后我们推出来，那其实圆柱的体积也可以用 非常好啊，这个在脑海的记忆当中，我相信大家当时推导的 肯定也是这样想的，对不好了？这是圆柱的体积推导过程，我们借助的是谁啊？其实这也是我数学当中经常提到的一个思想， 嗯，然后也算是转化，是不是把圆柱的体积转化成了长方体来计算的？ 好了，我们回回一下圆锥，圆锥是怎么推倒的呢？它的体积借助圆柱，哎，对， 有了之前的经验，我们借助圆柱推倒的是圆锥的体积，对不对？好，那谁能说一下？具体说一下，你来说。 呃，取出一呃，用一个等等底等高的圆柱和圆锥的容器，在圆柱里面装满水，倒到圆锥里倒了，一共倒了三次。呃， 一共倒三次，然后在圆锥里装满水或者是沙子倒到圆柱里，也就是倒水和倒沙子都行，是不？那最后倒了三次之后，正好是是圆柱满了，嗯，装满了，所以我们推出了 圆锥圆等底等高的，圆锥的体积是等底等高圆柱体积的三分之一。你说话真严谨，他反复的强调，一定是等底等高的时候，圆柱的体积是圆锥体积的 三分之一，圆柱是圆锥的三倍三倍，圆锥的体积是圆柱的三分之一。所以，那当我们知道圆柱的体积是底面积乘高的时候，那么圆锥的体积就得底面积乘高 乘三分之一，哎，对，还得乘三分之一，因为它的等底等高情况下，它的体积是圆柱的三分之一，是不是？这也是我们在计算的时候应该注意的地方。 好了，那么大家啊，刚才你们把这个圆柱和呃圆柱、圆锥以及长方体、正方体它们体积的推导过程又回忆了一遍，现在我们看一下 圆呃长方体，借助它推出了正方体正方体的体积，又推出了 圆柱的体积，然后借助圆柱，我们用圆柱的体积，圆锥的体积，所以说知识之间是有联系的，是不？那我们看看还有什么联系呢？想一想这些立体图形，它的大小跟什么有关系？ 面积高高和长宽高，它的体积跟长宽高有关系？非常好，正方形长能长能长，扩大它的体积就扩大。那圆柱呢？ 直径和高直径，直径跟直径有关系，还有高有关系是不？那除了直径，你想想直径越大，半径越大，他的什么就越大就对了。所以说跟底底面半径，直径还有底底面积都有关系，是不？还有高。那光底面积扩大 然后高不变的话，那么我们想一想，底面积扩大，然后高不变的话， 如果底面积扩大二倍，那它的体积扩大几倍？高不变，底面积扩大二倍，体积扩大二倍，二倍扩大四倍呢？如果底面积扩大四倍呢？扩大四倍。那反过来想想，如果底面积不变 高，扩大二倍，体积怎么变化？扩大二倍也是扩大二倍，对不对？好，那我们再想想圆锥，圆锥它的体积大小变化跟什么有关系？ 跟平面跟平面有关系，还跟什么有关系？高高越高，他的体积变化就越大，是不？非常好啊。 最后我们再想这个问题，圆柱，圆锥和我们学过的什么平面图形有关系？圆，想想怎样做？我们知道他和之前学过平面图形有关系， 你来说。呃，圆柱可以由长长方体，不是长方形旋转而成，圆锥可以慢点说，长方形旋转而成是不？那我简单写，应该是转 圆柱是什么转成的？可以是长方形或者一个长方形，沿哪个边转，沿 长或者是宽，都能转出一个圆柱。好，它跟长方形有关系，还跟什么有关系？正方形， 正方形。例如呢？呃，比如说一个圆，一个长，一个正方形，沿着它的边长旋转，可以得到一个圆柱。嗯，正方形也能转出圆柱来。他说的，大家在脑海里想象 也跟正方形有关系。除了这个图形，其他的也可以说一说。还跟什么有关系？转，那这个图形是谁转出来的？谁转出来的三角形？什么样的三角形？它是由直角三角形沿直角边旋转出来的。好了，除了转，还有没有别的思路？ 这是什么切？怎么切？他能是什么样的？你说。 嗯，把一个，把一个圆柱沿着它的底面直径和高切开。嗯， 切完之后，切完之后会得到一个长方形，这个竖着切，我们把它露出来的面叫抛面，对吧？那竖抛面露出来的形状是长方形，也可能是正方形。竖着切，那横着切呢？ 这叫横着切，就叫洁面了，对不？横，洁面是个什么形？圆形，他是圆形，对不？那他切呢？ 三角，三角形，横着切，他的抛面是三角形，横着切呢？圆。所以我们可以顺着他的思路啊。除了切，转，还有没有别的思路？想想， 想一想，我们研究圆柱的时候好像做过这个实验是不？这叫什么呀？卷，对，顺着老师的思路。然后你们想到了卷，那可以是什么型？卷出来？卷出来的 长方形、长方形或正方形的情况下，正方形能卷出圆柱，对不对？嗯，横着卷也行，竖着卷也行。那无论怎样卷，它的 侧面的不变不变，大小都一样的，对不对？非常棒，看来啊，同学们不仅对本节课特征表面的体积有了深入了了解，而且大家通过你们的思考，不同的方法，我们找到了图形，立体图形和之前平面图形之间的联系，有没有信心 我们解决一些问题？有，有，声音不够响亮，有，我不给时间啊！迅速读题，迅速作图判断手势告诉我，第一个对长方体，最多有两个正方形， 全对左侧的侧面展开，不是正方形就是长方形，高点举 好，说明一下，为什么不是正方形，就是圆。那个长方形侧面展开还可以是，你说还可以是平行四边形对不对？斜着切，它展开就是平行四边形。第三个长方形的三条棱就是它的长方高， 对，还是错？长方体的三呃，三条棱，拿出来三条棱肯定是长宽高吗？有可能是都是长对，因为它四条棱都是相等好。最后一个圆柱的体积是圆锥的体积的三倍， 好，全是认为是错的，有没有认为对的？没有，非常棒，那说明压力不对。那个女生， 因为圆柱和圆锥，等你等高的时候，圆柱的体积才是圆锥的体积的三倍。他抓住了关键词，大家一起说什么等你等高，只有是等你等高的时候才能是三倍。关系好，一起看。 认真思考，我会填。第一个，做一个长方体铁皮罐头盒要求需要多少？铁皮是求它的侧面体，侧面体表面体表面体 罐头盒周围贴商标纸，求商标纸的面积是侧面面积，非常棒。下一个，做一个圆柱型通风管要用多少？铁皮是求它的侧面通风管一定是通风的，通风的对，只能求侧面。 非常好啊，大家反应真快，下一个。一个圆柱型水池占地多少平方米？是求圆柱的底面积，求水池占多大的空间就是求它的底面积， 求这个水池能装多少水。如意，看来你们对知识掌握的非常的透彻了，深思熟虑我会选这个，可要谨慎了啊，里面有陷阱。第一个，正方体能长三厘米的话，如果能长扩大二倍，那他的体积扩大几倍？二倍，二倍。 棱长扩大二倍，只是一条棱扩大呢？那是应该扩大体积，应该扩大平方倍，立方倍，立方倍几的立方啊，谁来回答一下这个问题到底应该选几？有点快了是不？ 呃你来说应该选第四个。答案，八，因为扩大几倍，因为这个是棱长，再加上是问他的体积扩大几倍，应该是二的立方倍，所以应该是八倍，同意不同意？同意，体积扩大的是棱长的立方倍，所以二的立方是八。 答对了啊。第二个把一段长三米的长方体木料平均截成两段，想一想啊，两段表面积增加八平方厘米，那么原来这段木料的体积是多少立方厘米？ 注意单位选几呢？可以动笔算一算也行，口算算不出来。动笔也可以 给大家一点时间啊，先想想说说你的思路行不来？那男孩切开之后，切开之后会呈现出两个正方形，嗯，是增加了两个正方形的面。增加了两个正方形的面，嗯，这边一增加两个面是增加了八平方厘米。 呃，用八除以二等于四就求出增加一个面的面积，这个面就是长方形的，呃底面积，再用底面积乘以，因为三米用，因为要求立方厘米化成三十厘米， 然后再用三百厘米，然后再用四乘以三百等于一千两百。那这道题刚才我说有陷阱，那陷阱是哪？哪个地方呢？ 对，三米一定要换算成厘米，哎，三百之后再去乘。那刚才老师纠正一下，因为我一直拿着这个长方体呢，但不是所有的长方体对面都是正方形的，也就说他只是增加了两个量，对不？我们知道八 八平方厘米是两个面，那一个就是一个面，肯定就是四四了，对吧？好了，看看他答的对不对，对不对？对，而且说的非常清楚啊。好，第三题，一个圆锥的体积，如果是 n 立方厘米的话，那和他等底等高的圆柱的体积是， 圆柱的体积是。那个女孩应该选择三三 n， 因为圆和因为圆锥的体积是他等底等高的圆柱的体积的三分之一，反之， 他的和他等底等高的圆柱体的体积应该是和他等底等高的圆锥体的体积的三倍，所以应该选择三三 n， 对 不？所以很清楚了啊。最后一个等底等高的圆柱和圆锥的体积相差十六立方米， 相差十六平方米，这个圆柱的体积是多少立方？求的是圆柱啊，差十六 来，男孩，呃，我觉得应该选四二十四，因为差十六是用三减去一是两份，用两份十六除以二，求出一份的量是八。 呃，要是求圆锥，那他的体积就是八，一份八，那圆柱是就是三乘以八等于二十四三倍，对不对？同意不同意，非常好啊。 来这道题，你能推想一下下面的立体图形的体积可以怎样算吗？有了刚才的基础，大家想一想，圆柱啊，正方体，长方体都可以用底面积乘以高，那我们想一想可以怎样来求呢？ 那么这堂课马上就要结束了，我想我们的学习是无止境的对不对？那么除了我们要研究的这些立体图形之外，你是不是还去继续想探索其他立体图形怎样算呢？对不对？除了体积可能还想研究他的什么呀？ 他们有什么特征对不对？想一想你还想看出什么立体图形？你还知道什么立体图形吗？ 除了长方体，正方体还有什么？还有球体？对，还有球体，可能还有很多，就像刚才这道题一样，那他们的体积究竟怎样算呢？ 我想留到以后我们自己去研究行不行？不行？嗯，回家去思考一下，记住我们之前的这个研究的方法好了。嗯，最后我想问问大家，这节课你们有没有什么收获呀？有，有谁能简单的说一说 你再说。呃，通过这节课，我更加深入的了解了立体图形的特征，表面积和体积。嗯，还有没有？还有其他的吗？除了知识上的，情感上有没有？ 你们觉得在数学的学习过程中有意思吗？有，有，是不是？我们不仅研究的是他们自己的特征，还研究了他们之间的联系，以及和我们曾经学过的那些平面图形的联系。 看来啊，大家是一个研究型的学生，所以我相信大家，你们今后如果照着这个方法思路去走下去，一定会成为最棒的。好了。
00:50查看AI文稿AI文稿六上的数学，刚开始学几何的时候呢，很多孩子呢，第一反应就是怎么突然这么绕啊，线段的中点和差方向角与角补角一道题里全都给你揉在一起，题目呢，不是很难，但是啊，就是一步走错，后面呢，全部崩掉。期末呢，最容易丢分的就是这里。 所以啊，我们的老师呢，直接对着十六区的期末统考卷，还有名校的真题，把线段与角这一块呢，单独拎出来整理了一份会编，你会发现，期末呢，翻来覆去啊，其实呢，绕不开这几种问法。 孩子呢，一旦把这八类题型吃透，考试呢，再遇到新题，也能知道到底从哪一步下手。这一关呢，要是打稳了，后面呢，学什么三角形啊，全等啊，证明啊，真的会轻松很多！需要电子版的家长关注老师评论区啊，可以留言，记得点赞加收藏，持续为你带来上海最新的视频资讯！
00:17查看AI文稿AI文稿哇塞，几何一姐。哇，这么多东西，好漂亮，跟着这个在弄吗？对的，圣诞树现在有胶的对吧？嗯，现在圣诞树的主题部分都做好了。真好听，再来个圣诞树拼到一些装饰吧，重复高难度再拼出四个圈。
91满爸陪女儿
04:52查看AI文稿AI文稿一个拧紧瓶盖的瓶子里装着一些水，如图，由图中的数据可推知瓶子的容积是多少立方厘米。 好的，我们先来看一下这两个图，左边这个图画的是瓶子正方的时候，右边这个图画的是瓶子倒立的时候， 他们都是同一个瓶子啊，这个是首先需要强调的，因此里边的空气他们是对应相等，水也是对应相等 啊，由于一个瓶子这个容积的话，他其实就是水加空气吗？啊，那我们其实可以组合一下，怎么组合呢？因为这他是第一个瓶子的空气是不规则的啊，第二瓶子他 水是不规则，所以说我们可以把两个规则的给它组合一下。规则的组合其实就是把第一个瓶子的水和第二瓶子的空气啊拼在一起就可以了啊，拼起来之后，它其实就是两个圆柱体 合在一块，合成一个完整的大圆柱啊，我们可以拼一下。 好，这是下边这个左图的这个水，然后往上啊，再画一个空气的部分，这空气的部分是第二个图的空气部分啊，需要强调一下。 好，拼好之后是这样一个图形，关键是找到这个圆柱的高。嗯，下边这个水的部分它是六啊，六厘米， 这是六，其实就是把左边这个图给它扳过来，然后上边这个部分我们需要剪一下啊，因为瓶子的总的高度是十，然后第二个瓶子给的一个水的高度是八， 所以说剩余的这空气的部分就是二，我们可以求出来，这个部分他是二，所以说整体的高度是六加二就是八啊。底面积我们可以求，因为给了一个底面直径，他是四，所以说这个题就竟然可以求解了啊。 底面积去乘高就得体积嘛，先来求底面积， 底面积这儿只给了一个直径，四啊，这个直径，所以说我们要用 pi r 的 平方 乘上 r 的 话，是四除以二，然后的平方，然后等于四。 pi 我们可以先不算它啊，最后的时候再来算。好，先保留成四排，这底面积是平方厘米，然后再来算高， 高的话它是由水的六，然后再加空气的啊，空气的是十减八，然后是六加二，等于八厘米，这时候再来算体积啊，体积即容积啊，但是 只是数值上的相等，它们表达的意义是不相同的啊。在这个题，容积它是内部的一个空间的一个大小啊，然后体积是外部的空间的一个大小啊，它们是有区别的。 好的，我们再来求融解。四派乘八等于三十二派，三十二派的话再算一下， 嗯，三点一四去乘三十二啊，九四六二八加六二八九四二， 然后这是四八一百点四八，单位是立方厘米。好，这个题的答案就出来了，一百点四八， 好，填空题我们就不用写答语了啊，完成，跟着胡老师每天进步一点点。
10每日一练打卡
03:30查看AI文稿AI文稿想让孩子初中数学不掉队，想学立体几何，一定要学扎实，全是衔接考点。我们来看一道校内爱考的立体几何题，题目说如图所示，有一个棱长为两厘米的正方体，从正方体的上面正中向下挖一个棱长为一厘米的正方体小洞， 接着在小洞的底面正中再向下挖一个冷场为二分之一厘米的小洞，第三个小洞与前面的挖法相同，冷场为四分之一。问最后得到立体图形的表面积是多少？那我们先来看一下， 挖之前呢，它是一个冷场为二的正方体，那挖之后呢，对于这个正方体来说，只有哪个面受影响了呢？只有上面这个面受影响，那从表面看过去一次，好像少了一个， 这个面少了，对不对？那我们先来看一下，如果说从上往下看呢，他的会看到什么呢？会看到底下呢？还有一个 一个棱长为边长为一厘米的正方形，但是中间呢，少了，又被挖走了一个二分之一的正方形，那就还有一个四分之一的正方形。所以啊， 其实虽然说他中间挖空了，但是对于这个面来说，这个面有减少吗？没有的，其实就是相当于说把最底下这个四分之一的长方形我们移上去啊，把这个补上，再把这个二分之一的正方形我们往上移上去，把这一块补上， 那最后再把这块边长为一的正方形往上补上，刚好啊，把这个空的地方给他补齐了，所以说从上面来看呢，这个面是没有减少的。好，那我们再来看一下，他有没有增加呢？ 有。那把中间挖空之后，哪些面多出来了呢？哎，是这个，第一个是这个正方体的四个侧面多出来了，本来是没有的，那底下这个边长为二分之一的也是四个侧面多出来了。那 最下面这个四分之一的正方体呢？也是多了四个侧面。所以呀，我们分析完之后，就可以发现，这个长方体在挖完之后，这这个正方体在挖完之后，它的表面积是没有减少的，反而增加了。增加了什么部分呢？增加了 棱长为一，棱长为二分之一，棱长为四分之一这三个正方体的四个侧面，所以 式子我们可以怎么计算呢？我们先求出本来的能长为二的正方体的面积是边长乘边长乘以六，算出来呀，是二十四，再来算出增加的部分，增加的部分是 每一个挖空的正方体的四个侧面。好，一乘一乘以四，加第二个边长二分之一，乘二分之一，乘以四，加第三个 四分之一，乘四分之一，再乘以四。最后算出来的是五又四分之一平方厘米。再把两个部分原有的加上新增的五又四分之一，就可以算出来。现在立体图形的表面积呀，是二十九有四分之一平方厘米了。
43火火全网奥数带练
04:54查看AI文稿AI文稿今天我们来复习立体图形的表面积和体积的所有计算公式。我们接触的第一个立体图形就是长方体。 我们知道长方体和正方体都有六个面，十二条轮，八个顶点，长方体相对的面完全相同，他的十二条轮分了四组，长四条，宽四条，高四条。 因此我们要求长方体的棱长和就等于小括号长加宽加高，小括号乘四。因为长有四条，宽有四条，高有四条，所以我们就用一组长宽高的和乘四 来接着。那如果我要求长方体的长呢？我们要学会公式倒推，我们就要用棱长，壳除以四减宽减高。 宽等于棱长，壳除以四减长减高。高等于棱长，壳除以四减长减宽。 好。接着长方体的表面积，长方体他有六个面，分为了三组，因此表面就等于小括号长乘宽，下面 加长乘高，前面加宽乘高，右面小括号乘二。 好。长方体的体积长方体的体积等于长乘宽乘高。如果用字母 v 来表示体积的话，它就等于 a、 b、 h， 当然它也可以写成底面积乘高。 好。再看正方体，正方体有十二条相等的棱，因此正方体的棱长和就等于棱长乘十二条。 那么如果告诉你棱长和怎么求棱长呢？棱长就等于棱长和除以十二。 再看正方体的表面积，包含了六个正方形的面，所以表面就等于棱长乘棱长，这是一个正方形的面乘六。那如果是五个二的话呢，就乘五。如果是通风管只有四个面，那么就乘四 好。接着看正方体的体积，等于楞长长，楞长再乘楞长，也就是楞长的立方，如果用字母式子表示的话，就等于 六 a 的 平方，这是它的表面积，体积 v 就 等于 a 的 立方。 再看六年级，我们又学了圆柱体，圆柱体有一个侧面，两个底面，把圆柱的侧面沿高剪开，可以得到一个长方形， 长方形的面积就是圆柱的侧面积。因此 s 侧等于 c h， s 侧等于派 d h， s 侧等于二派 r h。 再看圆柱的底面，是个圆形，而圆的面积 s d 等于派 r 方。 已知直径等于 pi 小 括号 d 除以二小括号的平方。已知周长等于 pi 小 括号， c 除以 pi 除以二小括号的平方。 那么表面积包含了两个底面积加一个侧面积，所以表面积等于底面积乘二加侧面积，当然还要根据实际情况去计算。 那么圆柱的体积，圆柱的体积等于底面积乘高，因此 v 等于 s， h 等于 pi， r 方 h 等于 pi 小 括号， d 除以二小括号的平方 h 等于 pi 小 括号， c 除以 pi 除以二小括号的平方 h。 再看圆锥，我们知道等底等高的圆柱体和圆锥体的体积，它们之间是有联系的。等底等高的圆柱体积是圆锥体积的三倍，那么圆锥体积是圆柱体积的 三分之一。根据这个关系，我们得到了圆锥的体积 v 等于三分之一， s， h 等于三分之一 pi 方 h。 也根据这些公式，我们要完成很多很多相关的辨识，练，一起来练吧！
82燕南飞
00:24查看AI文稿AI文稿小升初数学最难的立体几何压轴题，此刻是四十道题，考试等于抄答案。六下小升初数学立体图形压轴题，今天给同学们整理好了， 立体几何是考试的重点，小升初主要考察长方体、正方体、圆柱与圆锥四大专题，出题率高，有一定难度，要求每一位同学都要掌握，家长可以给孩子打印下来，让孩子在复习过程中多练一练。
03:33查看AI文稿AI文稿想让孩子初中数学不掉队，小学立体几何一定要学扎实，全是衔接考点。今天我们一起来看一道校内很爱考的立体几何题。 第一小题说，将一个棱长为六的正方体，从某个角切掉一个长宽高分别为四、三、五的长方体，求剩余部分的表面积是多少？ 那我们看一下这个图呢，从正面看过去呢，他虽然这边切掉一块，但是从正面看过去，我们一样看到还是 边长为六的正方形，那其实也就是相当于把里面这个面呢给它往外平移了， 那从上面看下来呢，一样也是边长为六的正方体，而正方形其实也就相当于我们底面多出来的这个面呢，移到上面去了，那从 左边看过去呢，一样也是边长为六的正方形。虽说虽然某个角切掉了一个长方体，但是从各个面看过去呢，这个依旧是一个 啊，能长为六的正方体，虽然少掉了一、二三个面，但是我们多出来了三个面，多出来三个面是一、二、三。那我们进行面的平移之后呢，对于这个正方体呢，总体的表面积呢，是没有影响的， 所以第一小题就剩一部分的表面积呢，直接用六乘六，乘六算出来呢，是二百一十六。好的，我们再来看第二小题， 题目说将一个棱长为五的正方体，从左上方切去一个长宽高分别为五、四、三的长方体，它的表面积减少了百分之几。那么这道题切就不一样了，那我们从正面看过去，从正面看过去，他只有 看过去，我们看过去的仕图呢，是这个样子的，那也就是说他少了 一个面积，一个长为四，宽为三的一个长方形。那从后面也是一样，少了一个长为四宽为三的一个长方形。那从上面看下来呢？从上面看下来，依旧跟原本的 棱长为五的正方体呢，依旧是一个边长为五的正方形，是不变的。那从左边看过去呢，也依旧是边长为五的正方形。所以我们看一下，减掉一个长宽高分别为五、四、三的长方体呢，它一共少了一、二、三、 四四个面，但多出了哪个面呢？多出了这个面刚好填补左边的空，左边的空缺多了，底下这个面平移上去，刚好填补上面这个面的空缺。所以实际上少的只有什么呢？少的只有前后两面 的边长长为四，宽为三的一个长方形。所以我们可以先算出来减少的面积为 四乘三有两个，再乘以二，算出来呢是二十四。那要问减少百分之几，就要再除以原本的表面积，那原本的表面积是 边长乘边长，再乘六，算出来呢是一百五十。那减少的百分之几就用二十四除以一百五十，算出来呢是百分之十六。那么这道题呢，就做完了。
34火火全网奥数带练
04:22查看AI文稿AI文稿想让孩子初中数学不掉队，小学立体几何一定要学好，全是形积考点。今天我们再来看一道校内爱考的立体几何题，题目说有一个三层蛋糕，由三个高都为一分米，底面半径分别为一点五分米、一分米和零点五分米的圆柱体组成。 第一小题问这个蛋糕的表面积是多少？那我们可以看到，从上面往下看呢，是三个 圆，分别为半径为零点五一，一点五的怎么样叠在一起，但最后实际它的表面积，它的面积是多少呢？其实最后的面积就相当于是最底下看到是最底下这个大圆柱的上表面，那从下往上看呢，也是一个 表面积，也是一个半径为一点五分米的圆。那从侧面来看呢，分别是这三个圆柱的侧表面的面积。所以这个蛋糕的表面积我们可以分为两部分求，一部分是上下的 面积，还有一部分是侧面的面积。那我们先来求出俯视跟仰视看到的表面积是多少？是半径为一点五的 圆，那就是派乘以二的平方有两个，再乘以二，算出来呀，是四点五派， 那还有三个测面积，那测面积呢，是底面这个圆的周长乘以这个高哈，那就派乘以 零点五，乘以二，乘以一加派中间这个派乘一乘以二，再乘以一加派乘以一点五乘以二，再乘以一， 算出来呀，是六派。那总的就是四点五派加六派呀， 等于十点五派派呢。注意，要说取三点一四，那就等于十点五乘以三点一四，算出来呢，是三十二点九七平方分米 啊。前面的单位也给他补上好第二小题啊，题目说如果沿中轴线 ab 平面切一刀，分成两个完全相同的部分，那表面积之和又是多少？那我们来看一下， 切之后比切之前来说呢，表面积是增加了，增加了什么部分啊？我们可以把它看做三个部分，这边一切开是不是多了两个， 两个面，切面的面积呢？那这个切面呢？是这一条是长为一，宽呢，就是这个圆柱的直径是零点五乘二，是一。那对于中间来说，切开呢，也是多了两个切面，这个切面呢，是 长为一，而宽呢，是中间的这个圆柱的直径，也就是二。那第三个切面也是一样的，切开之后多了两个 切面，长为一，宽呢，为它的直径，所以我们就可以看出来，我们可以把它看作是原本的表面积，加上六个切面，所以我们先求出增加的部分。最上面这个，他的切面呢，是一 乘以直径零点五，乘以二，有两个，再乘以二。那中间这个呢，是一乘以， 底下呢是直径，直径是一乘二，那一共有两个切面，再乘以二，最底下这个呢，也是一乘以直径有两个切面，再乘以二。我们算出来增加的面积啊，是六平方分米，那再加上本来的 三十二点九七，就可以算出来现在的表面积之和呀。是啊， 这边我写错了，应该是十二平方分米啊，加十二 算出来呀，就是四十四点九七平方分米。
91火火全网奥数带练
05:34查看AI文稿AI文稿各位，我们今天来学立体几何，我们的立体几何是我们几何中非常重要的一块，它是平面几何的一个进阶，那么立体几何呢，需要我们要有很强的空间想象能力，这是其难点之一。 我们来看题，如图，一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型，沿虚线折，沿实线连，这个多面体的面数，顶点数和棱数之和是多少？ 我们看到的是一个立体图形的展开状态，那么怎么样在我们脑海中想象出来它合成之后的那个状态呢？有什么样的好方法可以帮助我们呢？我们来看好我们把它标上颜色， 标上颜色之后啊，我们看到了这样的一个情况，下面呢因为对称，所以老师就不标了，中间呢，我们知道中间这六个面其实就是简单的卷起来就好了，是吧啊，卷成一个圈圈就好了啊，关键点在于怎么处理第一层和第二层， 然后呢我们发现哦，在第一层中，也就是说这个红颜色的三角形中，这里呢会出现一个点，那我们这个点会与哪些点重合在一起呢？ 包括这个点会与哪些点重合在一起呢？然后这个点会与哪些点重合在一起呢？ 那我们用找点的方法来帮助我们，我们来看好老师给他标上数 啊，我们发现哦，原来老师标为一的这个点可以跟这个点和这个点，大家啊折一下看看啊，折完之后可以重合成 一个点，对吧？然后呢我们来看好这个二，老师标为数字二的三个点呢，也是可以啊，合成一个点，然后呢老师标为数字三的这四个点， 对吧？这四个点也可以啊，重合在一起，对吧？那为什么数字三会有四个点呢？啊？ 啊，大家可以自己思考一下好吗？因为它是展开情况好，那么接下来有了这样的标上点之后呢，那我们脑海里面呢，就大致的可以形成一个啊，由这个平面图 啊折成立体图的这样的一个过程，对吧？啊，大家只要看，我们想象一下， 折完之后呢，我们发现它非常难画啊，那么我们可以用老师教大家的一种一个三式图的方法，对吧？啊，我们画一画，看他的 俯视图是什么样子的，我们以俯视图来举例就可以了，因为从上面看和从下面看啊，观察到这个图形是一模一样的，对吧？啊，那么好，我们把这个俯视图画出来。哦，原来是这个样子的呀， 这就是我们的俯视图，那么老师呢，再把相对应的颜色标上去，大家就能看到了，那么从下面观察它也是一样的，然后从正面观察它呢，大家想象一下就可以了，应该就可以想象出来，对吧？ 好，接下来我们就可以解他的面数，顶点数和棱数分别是多少，那么第一个，第一个呢是我们的面面数呢，非常简单啊，这里中间的三排呢，是每排六三六十八，再加上两个边上的啊，所以说面数是等于二十，接下来顶点数， 顶点数，顶点数呢，我们来观察观察这个俯视图就可以了，我们发现在这个俯视图中呢，我们数一下，一二三四五六七八九，从上面看可以看到九个顶点，那么从下面看 啊，同时也能看到这九个顶点，而且这九个顶点呢，它们不重合，对吧？那么但是呢，我们从正面去看它，或者从左视图啊，从左边去看它，我们发现啊点已经重合了，我们看到的点呢，已经在俯视和仰视中全部看到了，对吧？我们去观察就可以了，所以顶点数呢，就是 九乘二等于十八，那么接下来呢，就是我们的棱数，棱数是多少呢？我们发现也一样，去看俯视图就可以了，我们在这个俯视图中看到了一二三 啊，每个点呢沿着去两条，那么啊，六三加六九，再加上边上一个六边形，对吧？九加六十五，也就说俯视图能看到十五个人，那么仰视的时候我们也可以看到十五个人， 然后呢四周去观察，我们发现从四周去观察的话呢，那么还有几条人呢？在我们仰视和俯视中没有观察到哪几条人呢？我们看这里一二三四五六七，哎， 为什么会有七条？这七算吗？啊，七不算，因为七这一条卷过去啊，跟一重合了，所以说我们人数是多少呢？从上看，从下看啊，从上看从下看各十五条，所以是二乘十五，再加上六等于七十四，这就是我们这道题的一个解法， 那么很多的方法呢，老师讲过的，大家可以去参考啊，比如说这里呢标点法， 同样的点呢，可以合成同一个点的，这样的点呢，我们标上数字对不对？这样标完之后啊， 突然我们就打开了宁都二脉，好像我们的空间想象能力突然就啊变得非常厉害了，对吧？啊，所以说好的方法呀，可以帮助我们。
33张硕讲数学
01:21查看AI文稿AI文稿一个妹妹拉坏了。嗯，三角体。正方体。 这个怎么歪的呢？长方体。我没有歪，是我拍的歪了。 就是这个就是这个，我不会。 什么是圆柱？圆柱体这个不能加题。这样快拉倒吧。 这是啥题啊？三人柱。三人柱。
8小羽