26朝阳二模数学立体几何
大家好啊，那今天看一下二六年朝阳二模的椭圆压轴的题目啊。这里面首先是求椭圆的方程，给的两个条件，一个是长轴与短轴长之和为六，就是二， a 加二， b 等于六，然后 a 加 b 等于三。 另外一个是焦距等于二倍，根号三就相当于是 c 等于根号三。我们用一下 a 方减 b 方等于 c 方，嗯，把 b 用 a 来表示一下把，就可以把 a 求下，等于二等于一。 最后求出来这个椭圆的方程是 x 方，除以四加上 y 的 平方等于一。 接着来看它的第二位，设 o 为圆点，点 a x 一 y 和点 b x 二 y 分 别为这个椭圆第一象限和第二象限内的点。而且 a 点的横坐标是 b 点纵坐标的二倍。 当点 m 满足向量 o m 等于二分之一， o a 加上二分之根号三的 o b 的 时候， 正一下点 m 在 椭圆 e 上面，这个 a 点和 b 点的坐标我们都是清楚的，这个 o m， o a 和 o b 就 相当于其实就是 m 点 a 点和 b 点的坐标，也就是 m 点，可以用 x 一 x 二和 y 一 y 给它表示出来。 那我们先写一下 m 的 坐标，那很容易可以写出来， m 的 坐标就是这个条件，其实指的就是 m 是 二分之 x 二分之一倍的 x 加上二分之根号三倍的 x 二。 呃，然后纵坐标是二分之一 y 一 加上二分之根号三倍的 y 二。那么这道题有一个特点，就是他没有直线方程了，我们也不需要去设直线，然后用伟大定律呃，要正一下这个点在椭圆上，其实就我们把这两个横纵坐标平方加起来，呃， 椭圆方程是 x 方除以四，加上 y 方等于一，那我们也可以用这个 x 方除以四加上 y 方，看看是它是不是等于一，或者去证一下， x 方加四， y 方等于四，这样就没有这个分母。 那剩下问题是，它一共有 x 一、 x 二和 y 一 y 二四个字母，但实际上呢，因为 ab 都是在椭圆上的，所以这个 y 一 可以用 x 一 表示， y 二也可以用 x 二来表示，然后它给了这个 a 和 b 的 相线，那么就省掉了一个分类讨论的一个情况。 那么又有另外一个条件，就是 x 一 等于二， y 二。这样呢，我们实际上最后应该是可以把它转化成只有两个字母的一个式子。 转化成只有一个字母呢？比如说所有的字母都可以用 y 二来表示啊，因为 x 二可以用 y 二表示，然后 x 一 可以用 y 二表示，那么 y 一 呢？可以用 x 一 表示。那比如说，我们最后可以转化成比如说都用 y 二来表示的一个式子，然后去把这个 y 二的这个式子进行一下化解。 接着呢，因为它是在椭圆的上面，所以我们可以把我们可以列出的所有等式都列一下，看一下怎么进行消圆，然后得到我们最后的一个式子。 那么条件分别是 a 在 椭圆上， b 在 椭圆上，还有 x 一 等于二， y 二，我们把它进行一下简单的呃 b 之后，会发现它会得到一个式子，是四万二的平方加四万一的平方等于四， 那么这个式子，呃，很显然它算是比较整洁的，因为这个能够说明 x 一 x 二，呃，还有 y 一 y 二，它们如果组成一个坐标的话，都在一个圆上面， 然后我们也可以把 x 一 的平方加 x 二的平方当成一个字母，就比如说我们最后能凑出一个 x 一 的平方加 x 二的平方，那我们就可以不用把它都强行换成某一个字母了。 那接着我们就需要去算一下 m 这个式子，看看这个 m 这个式子怎么能进行化简。比如说变成 y 一 的平方加 y 二的平方，或者是 x 一 的平方加 x 二的平方，如果不能呢，我们就需要再进行一下，比如说用 x 一 再表示 x 二之类的， 那么 m 这个式子里面有 x 一 x 二也有 y 一 y 二啊，那我们最好还是要给他进行一下处理。比如说如果我们想要凑的话呢，可能会比较想要凑 y 一 的平方加 y 二的平方，因为如果 x 一 的平方和 x 二的平方，感觉上应该会有比较多的一个分数， 我们需要替换的就是 x 一 和 x 二，只保留 y 一 和 y 二，看能不能凑一个 y 一 的平方加 y 二的平方。那么这里面呢，我们就需要去看一下 这个是二分之一倍的 x 一 加二分之根号三倍的 x 二。然后我们在这里面， 比如说我们这个把 x 一 替换成 y 二，或者是把这个四 y 二的平方，或者把四 y 二的平方替换成 x 一 的平方之后，会发现一个比较巧一点的事，这个四 y 一 的平方，它应该等于 y 二的平方， 那么也就是说 y 一 和 y 二也是可以互相表示出来的，我们就不需要再转一手了。那我们就接着就用这个把 x 一 换成二百二，然后 y 一 应该是要换成负二倍的 x 二， 那进一步化简之后呢？呃，我们可以用 x 一 的平方加四外一的平方等于四和 x 二的平方，加 x 一 的平方等于四，可以得到这个 x 二的平方，它应该等于四外一的平方。 然后因为 x 二是小于零的， y 一 是大于零的， b 在 二项线， a 在 一项线，所以我们最后可以把 x 二换成负的二外一。 这样呢，我们就也没有分类讨论的一个情况了，因为我们正常互换应该是带根号的，那么这个 m 我 们最后就可以把它换成只有 y 二和 y 一 的。那接着我们就需要把这个 m 这个点带到椭圆的方程里面，看看能不能正好凑出 y 一 的平方加 y 二的平方。 如果可以的，我们 y 一 和 y 二就可以不用互换了，那接着我们代入一下，求出最后结果就可以。 那么把这个 x 二和 x 一 都替换完之后，然后再代入这个四分之 x 方加 y 方，会发现最后化简完的式子正好就是 y 一 的平方加 y 二的平方，那这样我们就可以直接证明这个 m 就 在椭圆 e 上。
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06:18查看AI文稿AI文稿你今天来看这道朝阳区的二模，呃，首先第一位还是求这个椭圆的方程，给了一个长轴长，短轴长的距离之和，然后又给了一个焦距二倍根号三。 ok， 这样的话呢，我们直接可以由题一得二， a 加二， b 等于六，然后二倍的 c 是 等于二倍根号三的啊，然后我们直接瞪眼睛就能看出来它这个 b 是 等于二的， b 是 等于一的，所以这个椭圆的方程可以直接写出 x 方比上四加上 y 方 等于一啊。然后第一问非常简单，第二问里边，呃，给了一个点 a 一 a 二，然后分别为椭圆第一象限，第二象限的就是它们的 y 值一定都是正的，有一个点的坐标是 x 也是正的，呃，且这个 x 一 等于二倍 y 二啊，满足 点点 m， 满足 o m 等于这个东西的时候，求证 m 在 椭圆 e 上啊。证明的方法其实也非常非常简单啊，这是一个纯纯的数学问题，就是没有几何的事，所以我们在证明的过程中可以直接怎么着了，把这个 o a 的 坐标给写出来，所以向量 o m， 我 们就直接算一下 o m 等于二分之一， o a 是 多少，那就是 x 一 到 y 一 呗， 加上二分之根号三倍的，呃， o b 是 多少？ s 二 y 二， 这样的话呢， o m 就 等于二分之一 x 一， 加上二分之根号三 x 二，然后再加上这个二分之一 y 一 的，加上二分之根号三 y 二。所以其实 m 点的坐标就是这个东西啊，那我们采用直接把这个 m 点 m 点坐标给它写成这个样子， 嗯，好，然后 m 点坐标，如果是这个样子的话，那么他让朕这个 m 在 椭圆上面，怎么？朕就是把他带入到这个椭圆方程是吧？带入， 带入椭圆方程能得到这个，呃， x 方加上四 y 方等于四。带入之后呢，咱们能得到这个四分之一 x 一 方加上四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，然后再加上这个四位的括号四分之一 y 一 方加上四分之三 y 二方，再 加上个二分之根号三 y 一 y 二或起来是等于四的，只要证明这个等式成立就可以啊。然后可以大家把括号给去一下啊。合并完了之后得到结果是，四分之一 x 一 方加上这个四分之 四分之三 x 二方，再加上个二分之根号三 x 一 x 二，再加上个 y 一 方，再加上三倍的 y 二方， 再加上这个二倍根号三的 y 一 y 二是等于四啊。这个时候我们需要用到题里边给到这个条件啊， x 一 等于二倍的 y 一， 那 x 一 的平方加上四倍的 y 一 的平方等于四，这个问题也没有啊。 x 二的平方加上四倍的 y 二的平方是等于四，这也没有什么问题，因为 ab 都在椭圆上，是吧？ ok， 这个时候 x 一 的平方就能等于四倍的 y 二的平方，提着条件告诉我们了。 呃，我们把这个带入进去就是四倍的 y 二的平方加上四倍的 y 一 的平方是等于四的。所以大家得到一个比较重要的结论，结论一是什么东西？就是 y 一 方加上 y 一 方加上 y 二方 等于一啊，这是第一个比较重要的结论，然后第二个呢？呃，我这里边需要知道的就是，这个 x 一 是等于四倍的 y 二方，在这写了，是吧？这是第二个，然后我们把它带入进来之后，呃，我们直接让它等于 四倍的四分之一 x 一 就等于多少呀？四分之一乘以四倍的这个 y 二的平方就直接等于 y 二方，加上四分之三倍的这个 x 二的平方。我们也需要知道一下，四分之三倍的 x 二的平方它等于多少呀？嗯， x 二的平方等于四，减去四倍的 y 二的平方。 ok， 那 给它乘以四分之三倍的 x 二的平方就等于三减去三倍的 y 二的平方，没啥问题啊，加上三减去三倍的 y 二方。 呃，这个别动，这也别动，然后把它们加起来，加上 y 一 方，加上三倍的 y 二方， 然后再加上二分之根号三倍的 x 一 x 二，再加上二倍根号三的 y 一 y 二等于四，证明这个成立就可以啊。然后这里边你看，呃，这些啊，就是越调了， y 一 方加上 y 二方，根据题里边知道炸知道他是等于一的，所以最后得到的就是什么东西， 得到就是四，加上二倍。摁，二分之根号三 x 一 x 二，再加上二倍根号三 y 一 y 二，过起来怎么着了？ 等于四说明这一坨等于零呗。二分之根号三 x 一 x 二，加上二倍根号三 y 一 y 二等于零，乘以几个？ 然后两个人同时除以根号三乘以二的话，就得到 x 一 x 二加上四倍的 y 一 y 二等于零。怎么去用这个东西呢？哦，因为上面咱们都是跟平方相关的，所以咱们直接 x 一 x 二等于四倍的负四倍的 y 一 y 二， 然后左右两边同时平方 x 一 方 x 二方等于十六倍的 y 一 方 y 二方啊， 然后继续代入这个 x 一 方不是等于四倍的？呃， y 二方？四倍的 y 二方乘以 x 二方 等于十六倍的 y 一 方 y 二方，然后约掉那 x 二方， x 二方等于四倍的 y 一 方 x 二等于什么东西呢？呃， x 二和 x 一 x 二就等于四，减去四倍的 y 二方，那 y 一 呢？ y 一 不是也是一样吗？四倍的时候一减去 y 二的平方不假， a 这个是相等的。所以所证成立啊。 成立，所以 re m 在 椭圆上。
65曲老师
08:58查看AI文稿AI文稿在刚结束的营口二模的这套试卷当中，他的几何题的第二问涉及到了逆等线的最值问题，而在真正的中考，每一个学生你只需要掌握好将军引马就可以了。而在这个几何的最后一问呢，涉及到了二倍角解型的思想， 二倍角解形对辅助线也是有要求的，所以中考大概率也是不会出现的，但是中考前每一个同学值得学习一下二倍角解形的思想，那么这道题我们应该如何用二倍角解形来轻松解决它呢？这个视频老李告诉你， 我们在讲这个二倍角三角形之前，我们先要知道我们所看到的这样的一幅图，它其实属于解三角形当中的一种，为什么呢？如果说我给你其中一条边是六，另一条边是十，并且这个三角形当中两个角的关系还是二倍的关系，这个时候的这个三角形它就相当于之三了， 那之三的时候那这个三角形就可以解，说白了，这个三角形无论是边长、周长还是面积，我们都能把它解出来，其实它属于解三角形当中的一种高级的解法。 除此之外，我们要知道的是，这个二倍角三角形不仅仅是在初三可以解，初二的同学也可以解，通过做垂直双勾股就可以解决。 那么当我们看到这种二倍角三角形的时候，我们应该如何去构造辅助线来解这个三角形呢？首先我们可以把这个二倍角进行减半，那减半的方式有很多，比如说我们可以把 bc 延长 延长，使这两条线段相等，那这个时候这个三角形就是个等腰三角形，而且它的外角是个 r， 所以 说这两个角就一定都等于 r， 而你构造完这个等腰之后，你会发现这个是 r， 这个也是 r 呀，所以这个大三角形它也是个等腰三角形，也就是说你构一个等腰，又能出一个等腰，并且你所看到的三角形 a、 c、 h 和 abh 又是一个子母的相似， 当然我们也可以在它的里面构造一个等腰三角形，这样的话右边是 r r， 左边也是一个 r r 的 一个外角了， 所以说这个角一定也是 r， 说明三角形 a、 b、 h， 他 还是一个等腰三角形。我们够一个等腰，又能得到一个等腰， 当然我们也可以向外侧延长，使得这两条线段相等啊。那这样的话，我们也可以完成把二倍角减半的一个作用，这个时候这两个角也都是 r， 那 这个时候你所看到的三角形 abc 和三角形这里的 a、 b、 h 也会出现一个子母的相似。 当然我们也可以选择在中间构造一个角平分线，构造角平分线也可以将这个二 r 减半， 那这个时候有角平分线，这个时候这个三角形又成了一个等腰。所以说把二倍角减半的方法就是我们 很快能想到的一个思路。老师随便选择了两种情况，简单的讲解一下，并且这个是 r， 这个也是 r， 这两个边也都相等， 所以这条边长度也就应该是十了。那么接下来作为初三的学生，你就可以用子母相似来解决问题，也就是说图当中的三角形 a、 c、 h， 它是相似于三角形 a、 b、 h 的， 这是一个子母相似，那么子母相似当中，我们会发现小等腰的底，也就是 a h 比上这个大等腰的这个底， 他就一定等于这个小等腰的腰比上这个大等腰的腰。当然这个 ab 和 a h 都是相等的，对不对？所以这个 ab 你 也可以把它写成 a h， 那 这个时候如果我们交叉相乘的话，我们就会发现 a h 的 平方就等于 ac 乘以 b h， 所以最终你通过子母相似，一定能得到一个类似于摄影的一个结论，也就是这个三角形跟这个三角形如果相似的话，公共边的平方一定就等于这个点所引出的两条线段的乘积。 比如说这里的 a c 是 十，那也就说明十的平方一定就等于六乘以六加 bc 了，那这样的话，我们就可以把 bc 这条边求出来，完成解三角形之三推所有的这样的一个能力。 当然如果你是一个初二的学生的话，坐到这的时候，你可以选择三线合一，因为等腰三角形非常多，你可以在中间做一个垂直，你做完这个垂直之后呢？如果说你设这条边是 x 的 话，那你会发现根据三线合一，左边就应该是六加 x， 对 不对？你会发现在这个直角三角形当中， 六的平方减去六加 x 的 平方也是 a h 的 平方， 那么双钩股表示的都是 a h 的 平方，你就能列出一个方程，也就是说这里 a h 的 平方，它既等于六的平方减 x 方，它也等于十的平方减去六加 x 的 平方，那你解这个方程就能求出 x 的 值，也能满足之三解这个三角形。 当然如果按照子母的这个结论出发的话，其实我们会发现 a h 的 平方其实也就相当于是 ab 的 平方， ac 的 话就是 ac， 而这个 bh 就 相当于 ac 加上 bc， 对 不对？所以说如果我们把它还原一下这个图形，你会发现，当你看到这个二倍角三角形的时候，那就说明这个二倍角所对的这条边的平方一定等于 ac， 乘以 ac 加 bc， 对 不对？你可以这样去理解， 当然他只能用在天空选择。如果作为初二的学生，你也可以向内侧去构造这样的一个等腰，如果向内侧构造等腰的话，那这个时候你会发现这个是 r r， 那 这个是 r， r， 这个也是 r r， 说明这个是六，这个是六，那这条边一定也是六。 那么我们仍然利用三线合一做一个垂直，你会发现设这个边是 x， 那 这个边一定也是 x， 你 会发现这里 a h 的 平方 等于六的平方减 x 方，他还等于十的平方，减去六加 x 的 平方，我们仍然可以通过双勾股求出 x 的 值来解决问题。然后我们来看营口二模的这道题， 首先题当中告诉我们这个角是 r， 这个角是二 r， 它们俩是二倍的关系，所以我们设个圆，并且这个是九十，那这个角也就是九十减 r， 这个角是一百八减二 r。 首先左边这个三角形是一个二倍角的三角形，右边这个三角形呢，也是一个二倍角三角形，并且又给了我们这个边是六。我们难免就会想到解二倍角三角形，但是左边这个三角形他只知道两个条件之二，他是没法去解的，右边这个三角形也是同样的，只知道 两个条件，没法解这个三角形。所以我们难免就会想到的是，如果我们把 b、 d 当做一个已知的边， 它如果是确定的边，那么根据 bc 的 长度等于十六，那这条边就应该是十六减 x， 对 不对？那么左边这个三角形是不是这个时候也就知三了？ 我们也就可以用 x 把 ab 表示出来，同样右边这个三角形是不是也知三了？所以说 a、 c 这条边我们也可以通过 x 把它表示出来。那么首先我们可以想象一下二倍角三角形，我们如果往外， 对吧把二倍角减半，那这个时候这个是一个等腰三角形，那这条边是 x 也能得到这个三角形，也是一个等腰三角形，所以我们把 ab 这条边就可以转移到 bh 这条边的身上，那你会发现，在通过子母相似 bh 的 平方等于 x 乘以 x 加六， 所以最终也就能把 ab 这条边的平方表示出来，刚好等于 x 乘以 x 加六啊。同样的，在右侧的这个二倍角三角形当中，我们也可以把这个二倍角减半啊，向外构造等腰啊，对不对？这条边十六减 x， 这个点是点 p， 同理我们也可以确定 这个大的三角形也是一个等腰三角形，对不对？所以说 a c 转移到了这个 cp 的 身上，再根据字母相似 cp 的 平方就等于十六减 x 乘以十六减 x 再加六。 当然这个证明过程，你可以看我前面的讲解的过程，所以我们最后就可以得到 a c 的 平方就等于十六减 x 乘以十六减 x 再加六了， 你会发现我们把这里的 ab 方和 ac 方都表示出来了，而 ab 和 ac 刚好在一个直角三角形当中，我们是不是也就可以勾股定律了？ 最终我们列完这个勾股定律之后，同学们你会发现化简之后 x 就 能求出来。这个计算我就不说了，我们最终可以求出来， x 一 等于的是十二， x 二呢，等于的是四。而这道题要求 b d 是 一定要小于 c d 的， 所以舍掉一个最后答案， 这道题 b d 的 长度也就是四。同学们，二倍角解三角形，你学会了吗？点赞收藏，加个小关注，让你的学习少走弯路！
273老李数学（初中）
02:27查看AI文稿AI文稿那我们今天来看朝阳二模的单选择题的一到七题。第一题已知集合 m x 大 于零， n x 平方小于一， x 平方如果小于一的话，那么我们的 x 的 取值范围就应该是在负一小于 x 小 于一，那 m 并 n 啊，取的是并几，那就是负一到正无穷，所以这个题选 a 啊。 第二个说已知负数 z 等于一减二， i 比上 i， 那 么 i 的 平方等于负一，所以我们的 z 它就等于负 i 去减二，所以 z 的 模二的平方加一的平方等于根号五选 b， 三个一加 x 的 六次的展开式当中各项系数的最大值。这个东西我们之前分析过，我们说二项是定律，在题目当中去使用的话，要么就是找什么系数最大的，什么各项系数最大，或者是二次项系数最大最小，或者是说各项系数和二次项系数的和基本上就是这么几类啊。那么我们这个时候各项的系数怎么减？它就应该是 c 六 r 乘上一的六减 r 次乘上一的 r 次，那其实就是 c 六 r c 六 r c 六 r， 当 r 等于三的时候，我们最大 c 六三的结果是等于二十，所以这个题选 c 啊。 然后双曲线的一条渐近线，双曲线渐近线是二次变一次，常数化为零， y 比 a 减去 x 加减 x 等于零。这个东西是我们课堂讲过的啊，那么 它与这个直线平行，所以把它去化成是我们的这种一般形式，它就会得到 a x 加减 y 等于零，那它要是加，那就是 a x 加 y 等于零，那四比 a 等于 a 比一， a 的 平方等于四， a 等于二，因为 a 它是大于零的啊。 第五题说我们呃， m 是 bc 的 中点， c， n 等于四分之一的 c a， 所以 我们的 an， 它就等于我们的四分之三的 ac， 然后 m， n， 它是等于 an 减掉 am， am 是 二分之一的 ab 加上 ac， 所以 就是四分之三的 ac 去减掉二分之一 ab 去加二分之一 ac， 所以 这个结果就等于四分之一 ac 减去二分之一 ab， 那 k 一 就等于负二分之一 k 二等于负二，所以这个题选 a 啊。 然后继续往后走。第六题第六题三， m 等于零，所以 m 等于 k 派，然后 y 等于 cos 二，二 x， 它的图像关于直线 x 等于 m， 轴对称，那这个是关于直线 x 等于二分之 k 派，也就是 m 等于二分之 k 派，然后轴对称，其中 k 属于 z， 那 k 派一定是二分之 k 派，但是二分之 k 派不一定是 k 派，所以是充分，不必要。从前往后推没有问题，从后往前推不行。然后圆锥的轴节点面，我们画一个圆锥轴节点面是这个，它是面积为四倍的根号三的等边三角形，那么呃，等边三角形，它的边长是等于多少？所以就需要四分之根号三， a 的 平方等于四倍的根号三，这俩约调，所以 a 等于四，所以这个边是四，母线是四，那找我们的侧面积是多少？底面的直径是四，那么底面的周长它就应该是等于四派。侧面积是二分之一，乘上半径，乘上弧长，所以乘四乘上四派，等于八派，所以这个题选四 d 啊，这是我们一到七题。
02:39查看AI文稿AI文稿传二模选择题第八题，我们来说这道题又是一个很经典的一个指数对数这样的一个问题，我们之前说过，像这种指数对数在实际问题当中的运用怎么去做？是不要带脑子，先把数一步一步的给他套进去，套进去之后下一步干什么？下一步再进行我们的相关运算，对不对？我们之前说过这种问题，那我们来看这道题他怎么说的？他说某电子产品电池，他的健康度易 呃随循环次数 n 衰减的函数模型， e n 等于 a 乘上 e 的 负 k， n 次加上三十， a k 都是长数， a 大 于零， k 大 于零， n 属于 n 的 非负整数，对吧？然后 e 零它等于一百往里带，二话不说往里带 e 零它是等于 a 乘 e 的 零次加上三十等于一百， 然后 e 一 百等于八十，那么 e 一 百等于 a 乘 e 的 负一百 k 次加上三十等于八十， 然后从八十衰减到六十，健康度是 e 谁谁谁，对吧？我们要去考虑这个东西，它从八十衰减到六十，也就是从 e 一 百到结果是六十，那么循环次数大约需要增加多少次？那我根据他现在拿到的这个东西，我们能够知道， a 乘 e 零等于呃三十，不是加上三十等于一百，那么 a 一 的零次是等于一加三十等于一百， 所以 a 等于七十。再到这里边去，七十乘上 e 的 负一百 k 次方，加上三十等于八十，所以七十乘 e 的 负一百 k 次方等于五十，那么 e 的 负一百 k 次方等于七分之五。 负一百 k 等于 lone 七分之五，所以 k 等于负的一百分之一乘上 lone 七分之五，等于一百分之一倍的 lone 五分之七，然后我们要让这个 e 某某某 e n， 对 吧？等于我们的呃， a 是 七十，七十乘上 e 的 负 kn 负 kn 次加三十等于六十，那我现在我就能够知道说我们的七十乘 e 的 负 kn 等于三十，所以 e 的 负 kn 等于 七分之三，那么负 k n 等于 lon 七分之三，那么 n 就 等于负的 k 分 之一乘上 lon 七分之三等于 k 分 之一， lon 三分之七，这样一个情况，把 k 给它带进去，所以 k 分 之一就是它的分之一，那就是一百分之。 lon 五分之七分之一，那就是 lon 五分之七分之一百 就是 k 分 之一乘上 long 三分之七，它就等于 n， 那 我们来算啊。 long 三分之七除以 long 五分之七，那这个东西它是多少？那我们这个时候我们去处理它一下啊，它就应该是 一百去除以 long 七减 long 五，再去乘上 long 七减 long 三，然后等于 n。 听不到又该说说吗？ long 五是一点六一， long 七是一点九五，所以是一百去乘一点九五，减掉一点一，然后除以一点 一点九五减一点六一等于 n， 这个数大致算出来的话应该是二百五十，所以循环。呃 n 等于二百五十，那我们从八十，从不是从一一百，然后走到一二百五十，那二百五十减一百等于一百五十，这是我们这个啊。
17:49查看AI文稿AI文稿哈喽，大家好，今天我们一起来看一下宝安区二模的几何压轴题，来看一下这道题的难度的话相对来说是比较高一点的，然后第一问的话基础题，第二问的话比较常规，然后第三问的话可能需要我们多花一点时间去进行一下分类讨论， 然后我们一起来读一下这道题目。我们说已知这个 abc 的是一个平行四边形，然后这个 b a 的 度数是阿尔法，然后与此同时的话，这个 e 点是一个动点，连接 a e 之后把 a e 也绕这个点 a 逆时针旋转阿尔法度，所以的话我们首先可以利用这个等角去倒角啊，然后的话直接来看一下第一小问， 当这个阿尔法等于九十度的时候，哎，也就是说此时这个 abc 的 的话变成了一个矩形，然后这个旋转的话也是一个九十度的角，这样的话我们就可以去转化很多的。这个条件 好，直接来看一下第一小问，他说这个如果 a 的 等于 ab， 也就是当这条等于这条，然后连接这个的 f， 让我们去证明这两个三角形 a， b， 还有这个三角形 a， d， f 全等，那这个太好证了哈， 直接角一加角二等于九十度，角二加角三等于九十度，能够推出来角一等于角三，然后 ab 等于 a 的， 然后直角直角直接 a s a 的 话，就可以得到这两个三角形全等了。 好，然后来看一下第二小问，我们说如图二，现在给了我 ab 的 长度是四， b 的 长度是一，然后这个直线 ef 呢？和 ab 相交于点 j， 然后并且刚好经过点的让我们去求 a 的 长度，好来看一下整个 a 的 长度的话，我是可以把它划分一下的， 因为你做的第一小问，对于你的第二小问，他是一定有一个提示作用的。我们第一小问去证明了这个 a、 b、 e 他 是全等于这个 a、 d、 f， 然后第二问的话，这个 a、 d、 f 现在不是一个直角三角形，那我是不是可以创造一下，我直接从这个 a f 往这边去做一个垂线， 那我形成这个新的三角形 a f m， 因为上和上一问一样的原理，一定是全等于这个三角形 a、 b、 e 的。 好，那这两个三角形全等之后，首先我这个 a 得的一部分 am 的 长度就可以通过等于 ab 得到，然后再想办法去求这个得 m 的 长度，再来看一下得 m 的 这个长度，换个颜色 得 m 的 这个长度的话，如果说我没去做这个垂线，我可能找不到一个三角形去放它，但是我现在我继续往下去做一个垂线，这样有什么好处呢？ 大家看一下我底下的话，会形成一个八字相似，呃，并且八字相似的话，因为我们刚才利用了这个全等能够得到 m f 的 长度是等于 b f 等于一的，这个是一，这个是一，然后 ab 的 话是等于 m n 这个整体它一定是一个矩形， 既然是矩形的话，那 ab 的 长度是四，然后 m n 的 整体长度也是四，然后 m f 是 一的话， f n 的 整体长度就是三，那么上下的这个相似比也有了。 然后再来看一下这个 a m 是 等于四，然后这个 b n 的 长度也是四，也就是说这个底边 e n 的 长度我是有的，然后相似比也是有的，那我是不是可以通过相似把这个得 m 求出来，然后这个 a 的 长度的话就是一加就可以了。 好，然后这的话给大家简单写一下过程就是我去做了一条 m n， 这个垂线是过 f 点的，然后呢构成一个矩形， 然后直接由一得得到这个全等的这个结论，然后证完之后，把这些相关的这个数据算出来之后，然后利用这个八字相似求出这个各种线段长度之后代入这个相似比一比三，然后把 m 的 长度给求出来，求完之后 a 的 长度就是 am 和 m 的 相加。 好，这个第二小问的话，我们先来看一下这个圆体是怎么表示的哈，他说这个阿尔法等于六十度，也就是说这个平行四边形的一个内角是六十度，然后 a 得等于 ab 等于六。 ok， 这是一个含六十度一百二十度的一个菱形。 在这个点 e 的 运动过程中，直线 e f 和直线 ab 相交于点 j， 然后给了我们一个 b j 的 长度，然后让我们写出 c e 的 长度。 好，我们先就是这个题目，先来看一下哈，当这个 a e 在， 他可能是在这个内部，是不是 a e 也有可能在外边， a e 也可能在这，哎，也有可能跑的更远一点，跑到跑到很远，跑到这个地方来， 然后我们根据这个 a e 跑。这个情况我们可能要分为三类，第一类的话就是当这个 a e 依旧是在这个 abc 的 这个 图形之内运动的时候，那么第二种情况就是 a e 跑出来，但是 af 没跑出来，然后第三种情况的话，就是 a e 跑出来了，然后 af 也跑出来了，我们基本上就的大体思路呢，就是按照这三个 情况去讨论，然后我们先来，然后我们继续来看一下条件哈，给我们的条件是这个 b b j 的 长度 好， b j 他的这个长度是一点五，然后我想去求这个 c e， 我 肯定是想用上相似的，但是我这个相似的话，大家看一下，如果说我用这个 c e， 然后这个点不知道是什么，假如说是 h 点吧， 如果说我用这个 c e h 的 话，那这个地方我这个 c h 的 长度我是求不了的，因为这个 h 得我根本就没办法求，然后我也用不上这个 a e f 这个旋转的这个 东西，因为什么呢？因为这个当 alpha 等于六十度嘛，然后 a e 等于 a f 的 话，它是有一个等边的这个旋转的过程的，所以说我没办法去借助这个，直接去借助 c 的 这条边上的 h 点，所以我想办法能和这个 e f 扯上关系的话， 我们优先构造思路就是，哎，和这个 e f 扯上关系，就是说我去延长一下，我去延长一下的话，然后把我的这个图形构造成这样，这样的话我们看一下我们的新三角形哈，假如说咱们的 h 点构造在这里， 这样的话我们依然能够根据这个平行关系，或者说相等关系，然后去推，然后去证明这两个三角形圈的相似， sorry， 是 相似，证明这两个三角形相似，然后根据这些条件我们再继续去推下一步，这是我们这个题的一个大致思路，然后的话我们再来看一下具体的这个解题过程， 是当这个 a e 仍然在这个 abc 的 内部的时候，这种情况那刚才我们已经分析过了，这个 h 点的话，我们最好是去找和这个 e f 有 关系 的一个地方，所以的话我们选择直接去延长这个 e c， 然后让他和这个 e f 能够组成一个三角形，然后的话我们去想办法去证明他和这个 b e j 相似，然后去求出他们的这个线段长度关系。 好，那这样的话我们想一下我们这个延长这过程，要么是我去构造一个平行，要不的话就是我去找这个相等，然后去证明他们有这样的一个位置关系。 我们先简单来看一下，那我们这个题的思路呢，是我去构造了一个 b e 等于 c h 等下，这样的话我们就可以直接在这个里边利用等量关系，这样构造的好处是什么呢？大家看一下，因为这里边有长度的，我们的菱形边长是六，这里写一下， 我们是一个菱形哈，然后我们的边长的话一定是一个六，然后等如果我构造这个 b e 等于这个 c h 的 话，那其实 b e 等于 c h， 那 这样的话我的 e h 它就是一个固定的长度，大家看一下 e h 的 话，是不是等于 e c 加上一个 c h e c 的 话，它是等于一个 bc 减 b e 啊？ 哎，再加上一个 c h， 然后它俩又相等的话，所以 e h， 这样我就能够保证它是一个固定长度六了，哎，这样我后边去算这个长度的话就比较好算，所以我选择去构造一个 b e 等于 c h， 然后我们去连接 f h， 这样我们和 e f 有 关的一个三角形就被我们构造出来了。 好，然后的话我们简单来看一下这个过程。首先的话先证明这个 abc 灯呢是一个菱形，然后边长都是六，然后再来看一下这个角度哈，这次这个角度给的这个旋转角和这个里边这个内角都是六十度，然后我们去找一下， 好，同样的一依旧是角一加角二等于六十度，然后角二加角三等于六十度，是不是能够得到这个角一是等于角三的，哎。然后的话我们看一下这两个三角形，这样的话我们就可以通过这个方法正出来这两个三角形全等 a b e 和这个 a 得 f， 这里的话得 f， 可能需要我们自己动手去连一下。好，那这两个三角形依依旧是和第一问的思路是一样的哈，去证明这两个三角形全等，然后这两三角形全等之后，现在我能够得到的长度关系是这个得 f， 它也等于这个 b e， 然后它也等于这个 c h， 现在这个场上有三条边已经是相等的了。然后再来看一下这个角度关系，角度关系的话，我们能够看到这个 b a 的 它是一个六十度的内角， 然后的话 abc 的 话，因为它是另外一个内角嘛，所以 abc 的 话是一个一百二十度。然后我们再来连接一下 b 的。 好，然后我连完 b 得之后，我们再看一下这个 a 得 f， 刚才我们是不是刚正完全等，刚正完全等的话， a 得 f 和它对应角 a b e 是 不是一定是相等的一百二十度， 然后我连接完了这个得 b 之后，因为我连完这个对角线之后，他一定是会被等分为两个等边三角形吗？所以这个地方 a 得 b 的 话也是一个六十度。哎，我发现 a 得 f 加上这个 a 得 b 刚好是一个一百八十度，所以的话说明他们两个是互补的，也就变相的能够说明这个 a 得 f， 这里太乱了。擦一下，我们来看一下这几个点， f 点得点，然后这个 b 点一定是一个三点共线的。好，然后的话我们来看一下这个长度关系，我们的这里把字母盖住了，好，稍微改一下，这里 把这个我们把得 f 连把得 f， 然后 b 连起来， b 得 f， 三点共线。好，接下来继续往下看， 我们现在想要去证明这个相似的话，我们是不是一方面的话去找他为什么相似，另外一方面的话就是去找他这个对应的这个长度。好，我们先来看一下这个相似关系，先来找一下吧，因为这个地方的话，我们的这个 b j 在 这，然后我们的这个 e、 f、 h 在 这，我们目前的话只有这个长度和全等关系，现在还没有证据去说明他们两个是这个相似的，所以我们需要先去找一下， 然后这个里边的话，因为你的 f、 h、 e， 你 的角度其实是不好找的，因为你没有预先去说它是一个平行线，所以的话我们选择从长度呢是等于一个 bc 加上 c h， 然后这个 b f 的 长度呢是等于一个 b 得加上得 f。 来看一下这个得 f 和 c h 的 话是一个，刚才我们说的是一个相等的关系，因为得 f 等于这个 b e 等于个 c h 嘛， 然后 b 得和这个 c d 的 话也是一个相等的关系。然后再来看一下，那这样的话，我是不是能够得到这个 b h， 它一定是等于这个 b f 的， 哎？并且的话这个角的话是一定是六十度，所以的话我能够说明 b f h 的 话，它是一个等边三角形，这样的话我是不是能够说明 h 角 h 这个角的话，它也是一个六十度。然后再来看一下那 j b e 这个 角的话，因为这个 ab j 的 话也是一个三点共线，然后 b， 呃，这个叫这个角叫什么？ j b e j b e 这个角的话，这里是一百二十度，然后三点共线的话，这边这个补角的话是不是也是六十度？好，现在六十度，六十度，然后一组对顶角，我现在是不是能够说明这两个三角形是相似了？ 好，说明这两个三角形是相似。之后我们来取一下这个长度，我们现在呢直接去设一下 c e 是 x， 求谁是 x， 咱们就设谁是 x 哈。 c e 是 x， 然后 bc 是 六，是不是能够说明这个 b e 的 长度的话，就是一个六减 x， 然后 e h， 刚才我们求了说 e h 是 个定长吗？是六。 然后再来看一下那 f h 的 话，它是一个等边三角形， f h 的 长度是不是等于 b h 的 长度等于一个十二减 x， 因为这里是 bc 是 六吗？然后这个 c h 的 话是一个六减 x， 这样一加的话就是十二减 x， 然后我们能够说明他们两个相似了。然后就直接看一下是 b j， 它的对应边是这个 f h， 好， 等于一个 b e， 它的对应边是这个 e h， 我 们直接把所有的长度全部带进来， 然后能够得到关于 x 的 一个一元二次方程，这样的话解出来是有两个解哈， x 的 话是等于一个九加减三倍根号二。来看一下我们这种情况的前提是什么？前提是这个 e 点的话，应该是在 bc 内部的， e 点在 bc 内部的话，说明这个 c 的 长度应该是要小于 bc 的 一个长度的， 所以的话我们就把这个九加三倍根号二，这个明显要很长的这个舍掉，取这个九减三倍根号二，好，这是第一种情况，当这个 a e 在 这个内部的时候， ok， 我 们来看一下第二种情况，那么第二种情况的话，就是当这个 a e 已经到了这个 abc 的 外部，然后这个 af 的 话还留在里面，这种情况，然后的话其实大部分的数据都和前面是完全一样的哈，这个时候我们来看一下， 我这个时候找了这个点，这个时候我找这个点 h， 我 直接去取这个 b f 等于 b h， 因为这边的话是有一个六十度的角，我就能够直接得到 b f h 是 一个等边三角形，这样的话等一下我去算这个长度就会变得非常好算。 然后我们来看一下，就是你所有的这个关系其实和前面其实都是一样的。然 然后呢？我们这里依然是设 ec 是 x， 这个时候注意 ec 变长了之后，整个 b e 的 话就变成了 x 减六，因为 bc 是 六嘛。 然后 b h 的 长度注意一下 b h 的 长度，它是等于一个 b f 的， 然后 b f 是 等于得 b 减掉得 f， 然后得 b 是 一个六，然后得 f 呢，是等于 b e 的 b e 是 一个 s 减六，所以 b f 的 话等于个六减掉括号 s 减六等于 b h。 好， 同样的方法，我们就把这些所有的这个长度关系给求出来了。然后呢这个 b e j 来看一下 b e j 和这个 e f h， 这里的话，因为这里这个角是六十度，然后这个角的话是不是也是六十度？所以根据这个平行的话，是不是直接就是一个平行相似，我依然能够得到它们两个是相似的，然后它们两个相似之后， 我把这个所有的这个长度带进来 b j 一 点五，然后 h f， 刚才我们算了是十二减 x， 然后 b e 的 长度是一个六，然后这个 e h 的 长度 是一个定值六，然后的话 x 就 算出来等于九，所以的话这种情况下 c e 等于九。然后第三种情况，我们来看一下这个图，可能有点模糊了，我们稍给它补充一下。 好，依然是我们的平行四边形 a b c d， 然后这个时候呢， e 点跑的比较远，他跑到外面来了。好， e 点这个时候在这里，然后 h 点的话，那肯定跟着他也一起跑到外面来了，就比较远的一个地方， 然后的话这里是 ab 的 这个延长线，然后得 b 的 延长线相交于这个 f 点，在这里。好，大概图是这样的，我们补全一下。 ok， 然后前面剩下步骤其实和前面大部分都是一样的哈，就是这个得 f 呢，依然是等于这个 b e， 然后现在依然是设这个 c e 是 x， 然后这个时候因为 c e 还是比较长，所以 b e 的 话依然是等于个 s 减六， 然后来看一下这个 b f 的 长度就等于 b h 等于这个 h f， 然后主要是我们去看这个 b h 是 好求的哈， b h 的 话，我们就直接是拿这个大的 c e 对 不对？然后减掉这个 bc， 然后再减掉这个 e h bc 的 长度是六，然后 e h 是 个定值，它始终也是这个六， 所以的话就是 x 减六，再减六等于 x 减十二。然后的话我们看一下这组的话，依然是可以去证明一个它的平行相似哈，这个 b h f 的 话依然是个等边，它是六十度，然后这边的话这个夹角 这里是六十度的话，这个夹角对顶角它也是六十度。好，依然是平行，平行的话我就可以直接用这个相似，相似的话我们就把各个这个长度带进去，然后把这个这个时候 h f 的 话，把它换成 s 减十二，然后 b j 的 话定值一点五比上等于这个 e h 六， 然后比上这个 e b 是 x 减六，这样的话我依然算出来这个 x 是 等于一个九加减三倍根号二。那我们看一下这个地方的话，因为这个 c e 明显已经很长了，是一定比六要大的，所以这个时候我选择的这个 x 呢，这个我就把这个九减三倍根号二，这个比六小的要舍掉了。 这个时候我想求的这个 c 就是 九加三倍根号二，那么这三种情况的话，其实都是符合的。所以最后的话我们写一句综上综上的话， c 的 长度等于九减三倍根号二，或者是九，或者是九加三倍根号二。
07:39查看AI文稿AI文稿嗯，讲一下嘉兴中考二模的这个十六题啊，这是个减型题啊，因为它这个图形是固定的啊，你看一下角 b 三十度， 这个角四十五度，然后呢，他说 p 上面一个点，把这个左边这个象形翻过来，翻过来以后呢，他说点他的对应点落在这个这条线上，那我根据这一步操作，就是能够知道什么？知道这个角四十五度，这直角这垂直， 把这一步操作翻过来啊？翻成对称嘛，一天以后跟对称轴垂直，又是一个中点，这四十五度，这四十五度，这垂直四十五次，所以左边是一个等腰直角三角形，然后呢，它是有一条中线 a e， 中线 a e 啊，然后呢跟这里有两个交交点啊，这个跟 c 道交一点 f， 在 这种情况下，告诉我 b 道长度两倍，根号三，然后呢，让你求这个 e f 的 长度啊， 到底思路怎么弄呢？就是我这个中点，对吧？中点怎么处理？这是最关键的，因为你这个 e f 跟这个中点有关系，那肯定是我要 用这个中点，那我们学到现在中点有哪些？那直角三角形的等腰的三线合一有中点，写中线是不有中点，嗯，然后如果有中点情况下中位线，这样你再取一个中点，或者你给他倍长，这两个一样，那这不也是一个， 这里有一个中点的话，这不也是中位线吗？对吧？所以这中点还有呢，就是我背长中线法，对吧？就是一个中点，然后背长，这不也有中点吗？还有就四边形里面像梯形有吗？也有啊，梯形中心就是中点啊，然后正方形的中心也是也是中点啊，菱形也是个对称结构啊，这个点也是一个中点啊，这个一样，这个一样， 这个一样吗？这也是个中点，所以这个中点的利用，那这里面有什么？这有直角，有，有中点，这不有个斜中线吗？所以我这里就是你可以把这条斜中线一连，而且这样一连以后，右边这个图形就解出来了，这个三十度，这个三十度，这是个正三角形，然后呢？ 这两个长又一样，这个长一样，这个长一样，这个长一样，这样，这都是这么多等量的线段关系，然后然后他不要求 e f 长吗？那你我可以先什么先？ 就有个知识点叫定点定长，是为引圆，对吧？你发现了这个点 p 出来的一条、两条、三条、四条，那不都在圆上吗？所以你会画个圆啊？ 圆有什么用啊？圆可以倒角啊，你看算一下这个角三十十五，对吧？四，那四十五减十五，三十度上面这个，所以这个六十度上面这个直角，这个六十度，那然后这个角是把这个弧对过去的，那所以这个 c 到 e 也是一个三度角。所以这个时候你 ef 如果 你能够发现什么，如果能够看出来这是一个子母型相似，那这就是一种比较选择啊。你 e f 不好求，但是我可以求到 e 啊，到 e 算出来除以杠三，不就是我 e f 的 长了吗？然后到 e 到 e 好 算啊，因为你看这个三角形和这个三角形子母形相似，里面的 到 e 比上比到就是算出来，因为这个长，你假设一份一份， 那这个就是一份，这也是一份。这个长就是根号二啊，所以就是一比根号二呀，所以我这里的相似比就是他比，他等于一比根号二等于这个比这个，那不就导一就算出来吗？导一算出来，再除以根号二三，那不就是我这个 e f 的 长度吗？所以这就是一种 思想，对吧？这是这是第一种解法，就避免了大量计算啊。他们有些学生，我看他们是这样搞的，这个完了，那这个确实可以背长中线，可以啊， 可以，以后有平行了，这是一组相似，第二的这个大的也有一组平行，也有一种八字形相似，但是不好的地方在于什么呢？不好的地方这里你计算量会有很多根号，会有很多根号，你算起来会很头疼，你没有这个计算能力，差一点你算不出来啊。 所以这是一种方法，就是可以避免大量计算啊。那还有第二种方法，就是利用什么呢？利用还是一样，这不是有终点吗？我就有终点这条线，那我就什么，我构造中位线，我可以做平行线，我拉过来，我要拉过来 做个平行过点 b， 做这里的平行线。那我之后知道这个三角形里面，这个三角形里面，那也就是我只要把这个长算出来， 然后除以二，就是我要求的。那这个长怎么算？还是跟前面一样，需要角度，需要角度啊，还是要连斜中线啊？这个中点垂直还是要连斜中线，打出来十五度，十五度，然后做平行线以后，这个角就是一个十五度角，然后这个角四十五，也就这个角是四十五。 那这里做辅助线的时候呢？就不要往里做啊，往里做的时候你这个十五度，然后你不好做，你说你做个对称，或者你做个那十五度本身不特殊啊， 你三角函数算的是可以算的，可以算十五度的三角函数啊，你做个等幺以后，这个角就是一个四十五度角啊，不对，这做个三十度角，这样的话三边关系是可以算的，但是他肯定带根号，就算起来麻烦，那就往外做，你可以往外做啊，利用这四十五度往外做一个垂直以后 这个十五算一下，这个角三十度，那也就是说这条长三十度跟这个长是不是一比二的关系？那也就说这个 e f 就是 等于它呀， 你只要把这个长算出来了，那 e f 不 就知道了吗？那好，那我只要解形就好了，这个长度两倍，根号三，那这个长度就是除以根号二，根号六啊，根号六跟这个关系就是再除根号三，所以它答案还是根号二，这个长就跟这个长是一样，这样也避免了大量的计算，但是需要我自己构造辅助线这个终点，哎，对，这个终点你，你怎么用？ 终点怎么用，对吧？那还有第三种做法，那也是这个围绕这个终点来解决的，那叫背长中线法。可以啊，那比如说把它背长，对吧？背长以后这个三角形、 八字形全等，这两个全等，那也就是我只要把 f k， 这个我取点 k 啊，把 f k 这个长算出来以后，除以二，就是我要的这个答案。那背长以后是不是有一组平行关系啊？这条线还是要连，因为要 倒角度啊，这个角三十度，这个角十五度，这个角十五度，这个角三十度，也就是我这里是一个一根号三二的三边关系，然后呢跟这里也是一个等腰直角线有一比二的三边关系。利用什么呢？利用平行线所截线段成比例这个定力，它比它等于它比 啊，啊，那这个时候你可以设这个长度，设为 a， 这个长度就是根号三， a， 这个长度就是两分的 a， 那 这个根号三倍的 a， 那 这个总长就是根号六倍的 a， 那 也就是说二 a 比上 f k 等于这个长比上这个长，那你把它带进去算一下，又掉了 f k 就 知道了， f k 知道了就算出来， 就是我这里写的这个啊， f a， f 比上 f k 等于 a 到是根号六倍的 a 比上两倍根号三，你 a 约掉以后，那根 f k 就 算出来了， f k 算出来了，除以二还是算出来的根号二，这种都是可以，当然需要我构造辅助线啊，这里需要我构造辅助线，你得对这个终点你得清楚啊，跟终点有关的哪些东西有终点的你要连辅助线，需要你 对这种基本的图形要清楚。这种三线合一的，斜中线的，还有这种什么，嗯，菱形的，正方形的，长方形的，非常中线法，中位线的构造等等等等之类的，你得熟悉你才能够做的出来。因为要添辅助线啊，它并不是直接解形就能行的啊， 因为另外的方法就是需要你大量的计算啊，当然你解这个三角形也行了，你把因为这个长知道的，这个长是可以算的，这个长可以算的，这个长也是可以算的，你把这个十五度的这个三角形解出来也行，就是也可以。这里有多少垂啊？那但这样的话就计算量会大一点啊。 方法有很多啊，有些呢可以避免大量计算，有些呢就是需要你强大的计算功底啊。你计算能力强啊，这个题也是可以做的啊。
43"一切随缘"
03:49查看AI文稿AI文稿大家好，我是郭老师，解疑答惑来看二五到二六学年天津市西青区初三数学二模十七题一道几何综合来读图 三角形 a、 b、 c 中 a、 b 等于 a、 c 等腰三角形角 a、 b、 c 一个顶角是四十五度好，那它的顶角呢？角 a 一定是九十度，那角 a、 c、 b 它也一定是四十五度了。 好， d 为边 a、 c 的 中点，那此时平分线段 a、 d 等于 cd 连接 b、 d 过 c 再做 c、 e 垂直 bc， 那 角 b、 c、 e 是 九十度， 好，这里边的延长线相交于点 e。 第一问求角 a、 c、 e 的 度数， 那没啥问题，九十度减四十五度，那第一问是四十五度来看，第二问，怎么求的？是若 c、 e 线段好，这个 c、 e 它是二倍的根号二，求 等腰直角三角形 ab 的 长度，求 ab 的 长度，我们就想可以看 a、 c， 也可以二倍的 ad， 二倍的 cd 这么去求。还有结合，它是等腰直角三角形， 结合到有 c、 e 和 bc 垂直，有终点相关的特征，以及等腰这样这样行，或者等腰这样行，咱们想到的三线合一，我就做做垂直。第一，这里面会有平行加中点，八四型犬等啊，这也是垂直，这出中位线，再出终点， 平分线段都有了。所以说这个题的核心点呢，要想到我是过 a 往下做 b、 c 边的垂线垂足是 h， 好 与 b、 d 相交于点 m 好 来。接下来呢，我们第一有了，此时 a、 h 平行， c、 e、 d 又是 a、 c 的 中点，在这里平行加中点的八四形全等，我们就有了。那三角形 a、 d、 m 和三角形 c、 d、 e 两个三角形是全等的， a、 m 等于 c、 e， 所以 说这个线段长，我们就求解出来了， a m 是 二倍的根号二 好， a h 是 垂线，也是一定是底边的中线， h 是 bc 的 终点。 好，我们此时 m h 平行 c e， 那 h 是 bc 的 终点， m 一定是 b e 的 终点，那这个 m h 还是这个三角形 bc 的 中位线，所以 m h 的 长，这不就求出来了吗？它就是等于二分之一的 e c， 它就等于根号二好。这样来看， a h， 这就是 a m 加 m h， 那 它的和就是三倍的根号二。 ah 是 三倍的根号二好，那在等于要这样算行， a b h 中，那你要求斜边 ab， 那 不就是根号二倍的 a h 了，那就是三乘以二等于六，所以说这个答案是六 好。考察的模型就是有平行加中点的八四型全等 有等腰，这样算行当中的三线合一，以及出平行出中点的中位线。好，这道题收官还是有点小难度的，你求解出来了吗？
116谷亚涛讲数理
08:55查看AI文稿AI文稿大家好，那今天看一下二六年的朝阳高三下二模的导数压轴的题目。嗯，给他的分类是把呃问的一些其他的各种各样的问题，然后尽可能把它转化成函数是否存在零点，还有就是求函数增减性， 然后再转化成导数去解问题的一种题型啊。那首先看一下它这个题干给的函数是 x 减 x 分 之一，再减去 a 倍的 y x。 第一问是 a 等于一的时候，求曲线 f x， 它在一对 f 一 处的切线方程，那就是 a 等于一代入，然后求 f 一 和 f 撇一。那我们计算一下啊， 我们把一带入之后，然后 f 一 呢是等于零， f 撇一呢，它是等于一，那么切线就是 x 减一啊。第二位是当 a 等于一减一分之一的时候，然后满足 f x 大 于零的一个曲距 x 的 曲距范围， 那条件和问题都非常的莫名其妙。那我们首先先把 a 等于一减一分之一代入，代入之后是 x 减 x 分 之一，再减去 e 减一分之一倍的 let x， 呃，然后要求它大于零的一个取值范围，这里面有 let x 还有 e， 显然我们是没有办法正常去求它的零点的，所以我们只能去找一些特殊值。 那么最容易发现的是一，因为我们上一问 f 一， 它就等于零。然后另外一个呢，是呃， x 等于 e 的 时候，我们会发现它也是等于零的。但这道题它还有第三个零点， 就是当 x 等于一分之一的时候，这个值它也是能算的，然后把一分之一带入之后，会发现它这个也是等于零的。 所以呃，我们就有三个控制点， f 一 分之一和 f 一， 还有 f e， 我 们后面去求它增减性的时候，就要看一下它在一分之一还有 e 的 时候，它会发生一个什么样的变化。 当单入之后，这个 f x 是 x 减 x 分 之一，再减去 e 减一分之一倍的浪 x， 然后我们还知道还有三个零点是一还有 e 还有一分之一， 呃，然后我们求它的导数之后，会发现是 x 方分之 x 方减去一减一分之一倍的 x 加一 x 方是大于零的，可以把它专门提出来，我们可以设上面这个为 g x， 那 么这个 g x 呢？我们需要知道在一还有 e 还有一分之一处的一个位置，那上面这个函数很显然它就是个二次函数，二次函数呢？呃，它就是 先减后增这样的一个趋势。让我们问题在于呢，我们这上面这个 x 方减一分之一啊，减去这个这个函数呢，它不包含任何一个字母，我们是实际上能求出来零点的，但它这个零点数字不是特别容易看， 那么就有两个选择，一个是把这个零点求出来，另外一个呢是我们可以把一还有一还有一分之一这三个值都给他带入，然后看一下他这个函数的一个情况，理解一下啊，他在一到一还有一到一分之一，嗯， 一分之一到一，一到一，还有一到无穷大这些各个区间，这个函数都是怎么样去进行一下变化的？那么两种思路的应该是指， 呃，直接求他的两个根和这个一分之一，还有还有易经比较的简单一点，因为如果我们去分析到 f e 分 之一就是上面这个 e 分 之一的时候需要分析一下， e 的 时候也需要分析一下，然后 要分析的区间也比较多，还不如直接把这个比较难算的这个二次函数给它求一下，然后直接求出它的两个零点值，然后去分析一下这两个零点它到底在一到一分之一还是一分之一 到一，还是一到一，还是一到一，还是一到无穷大，直接看一下它到底在哪段就可以了。那接着我们解一下这个方程啊， 我们求出这两个解之后，一个是二分之一减一分之一，再减去一个根号下的一减一分之一的平方减四。另外一个呢，是二分之一减一分之一，再加上根号下一减一分之一的平方减四。 然后我们最好去估算一下它这个值大概是多少。因为一分之一的一大概是二点七左右，所以你这个一分之一的值呢，它应该大概在零点三到零点四之间吧。呃，所以这个一分之一其实是比较小的 x 一 的，嗯，它肯定是小于一的。 但实际上呢，我们如果要是就是 x 减 x 分 之一，它是一个逐渐增大的一个函数嘛。所以呢，呃，我们比如说这个二点五减去二点五分之一，它就应该比一减一分之一还是要小的。 比如说一减一分之一左右，我们大约可以把它要估算成二点三二点四左右啊，那这个 x 一 呢，应该还是要比零点三零点四左右要大的，但他肯定不会到二点几， x 二的话也不会到二点几。所以我们最后就可以确定了， x 一 和 x 二它应该是在一个在一分之一和一之间，一个是在一和一之间，那接着我们就可以去解一下 f x 它的一个增减性， 我们接着把它这个增减性给它解出来之后，我们当当时在判断这个 x 一 和一分之一的时候，可以 结合一下 g 一 分之一的一个大小， g 一 分之一的话，我们会发现它是等于一的平方分之二，也就是说它在一分之一的时候还是一个 n 区间，然后所以这个 x 一 肯定应该是在一分之一到一之间， 然后呃，我们大概可以画出它的一个图像来，就说它首先是从零到一分之一上面是逐渐增加的，呃一分之一的地方就是零继续往上增加到 x 一 的位置， 他从 x 一 的位置到一的位置开始往下减小，减小到一的位置的时候等于零，所以在一分之一到一的位置上是大于零的。从一开始一直到 x 二的位置是逐渐减小的一个减区间， 然后呃到 x 二到 e 的 位置，它是逐渐增大的，是一个增区间。当然到了 e 的 时候才等于零，大于 e 的 时候就变成一个增区间。那么最后 f x 它大于零的一个减极的就是一分之一到一和 e 到无穷大。 第三位需要判断一下在 a 小 于等于二的时候， f x 是 不是有一个点，有两个点它是关于 e 到零对称的， 呃，就是说我们正常来说是没有判断这个两个点是否就是关于某一个点对称的这样的一个公式的，所以我们只能去想一下对称点的公式。那么如果两个呃点关于一到零对称的话，那应该是 一减 t 都 m 和一加 t 都负 m 这种感觉，所以呢，我们可以写一下这个 f 一 减 t 加上 f， 一 加 t 等于零，而且 t 要大于零，小于一， 去判断一下这个函数它是否有零点，这个 t 是 否存在一个能够使这个函数等于零的一个值，那我们就变成了一个是否存在零点的一个问题了。 那我们把这个一减 t 和一加 t 给它代入之后，我们就变成了我们能够理解的一个函数是否存在零点的一个问题了。而且它这个零点呢，实际上就是当 t 等于一的时候， 呃，就是呃 t 等于零的时候，就 m 等于一的时候，它是零点的，但这个 m 等于零的时候，这两个点肯定是不存在的，也就说我们需要找到另外一个 t， 使得它能够成立。 接着呢，我们就可以看一下这个函数 g m 就是 二，它正好可以凑出一个一减 t 和一加 t， 然后我们就把一减 t 乘以一加 t 直接作为一个字母了，那我们这个函数就变成二减去一个 m 分 之二，再减去 a 倍的那样 m， 我 们看一下它的一个增减性 在零到一的位置上，那接着我们对它进行求导之后，就会发现它这个导数很显然它是要大于零的， 所以它这个就是一个增函数。增函数呢，又有一个 g 呃一，它是等于零的，所以的话呢， g m 它就不存在另外一个等于零的一个值了，所以它这个就不存在。两个点关于一到零对称。
24一对一数学郑
28:05查看AI文稿AI文稿最后时刻压轴大题篇巅峰出世几何辅助线没思路，三秒教会你如何想到！这期是上海考生的福利哦，赶快收藏起来，二模前看一遍，多拿十分，是二五年上海的最后一道几何压轴。 那么读题平四面形 a b c d e f 为 b c c d 上两点 d 问，当 e 是 bc 的 终点时， e 是 bc 终点啊，然后第一个如图一啊，图一是在这里 啊，连接 e f， 如果连接 e f a e 等于 e f， 求证角比 a 一， 求证这个角一等于角 c f， 求证角一等于角二。好，那么它的一个证明呢？就是我们证明角相等。那么回到我们的知识点，或者说我们总结的一些方法技巧，这里面大家呃，不要愣着，赶紧截图，有这道题中总结出来的证明角相等的方法。 首先我们边看图边依次介绍第一个 s a s 型全等，那么根据它的中点，我们是有 比 e 等于 c e 的， 那么就能想到，哎，会不会可能这个三角形全等呢？证明角一点角二呢？那你发现它的加角完全不相等的，这个图里，它这个图是画的很准的，它角都不相等，证明不是一种方法。 那么第二个我们就可以想到什么呢？它既然不是图里面有的这个三角形全的，那么有可能就是第二种构造全的，那么我们再看到这种 s a s 型的就是什么叫 s a s 型呢？就是说 已经出现了在同一个顶点，这个 e 这个点这里卡出了什么呢？两组相等的边， a e f 比 e c e， 那 么一开始你以 s a s 形去看的时候，他们加角形，那么这个时候我们还有个方法，就是在一些题目里，我们就会分开来叉开来看，比如说这两条一起看，这两条一起看，也就是说比 e 和 e f 去连起来， a e 和 c e 去连起来，这样子就形成一种叫手拉手，还是叫这个脚拉脚的这种圈的。 那么你会发现啊，这个题目也不是这么去做啊，因为没什么用。但是呢，这种方法或者这种经验，这种我们要积累下来的模型，你要知道看到这个图你要有反应，你不能大脑一片空白，好吧，那么第三个就是倒角，也就是你在一开始想圆间图形中的权的 挣不出来，没有权的。第二种就是根据这个图形特征，我们想到构造这种叉开型的手拉手，类似这种权的也没有，那第三个我们就不想权的，我们看下有没有什么倒角的，为什么呢？因为他给了我们 a e 点 e f 这么个条件，那么我们就有 等腰，这个角是 c 它角，这个角是 c 它角，哎，一旦有 c 塔，你就发现这个平行四边形吧，那么此时我们就要研究 c 塔一二的关系了，你发现他们是一个什么同行，内角互补，也就是我们有角一加上角二加上二， c 塔它等于一百八十度， 然后你得到这个条件中，你就发现什么都干不了，因为你不能继续研究下去，而且有这个 c 塔， c 塔也不知道多少度，而你要的是什么呢？你要的一个表达是什么呢？你要证明的表达是角一等于角二， 那你发现现在这个表达是有一百八十度，有 c 卡，你又得不到角一和角二的与 c 卡的关系，不能消圆，是吧？会非常麻烦。所以你这个时候你只能先把这个方程，这个角的这个方程啊，这个角的这个方程先放在这里，先不着急，你就放在这，我们就接着用第四个方法。那么很多同学就会说，那我这样一个一个方法试， 考试的时候不是很浪费时间吗？啊，是是这样的，因为如果你练的少的话，你只能这样一个方法考试，或者说根据你自己这个题目的一个判断，你跳着，哎，有可能你用完第一个，你发现不是你瞬间想到是第四个，但有些人做的题目啊，做的多的自然而想到能够用第四个背长中线 或者说截长不短，那那怎么看到呢？因为你全面的方法都失败了。你根据这个之前啊，我也总结过的在几何模型里面的一些方法，也就是背长中线。什么意思？ 上行里面出中点出中线，和平型四边形的四边形里面出中线，特别容易考到。就四边形里面啊，特别容易考到被长中线，或者说你可以理解为一个内被长中线，因为它不是三角形的中线 啊，当然你也可以理解为它就是三角形的中线，为什么呢？ a e 他 不就可以把这个 a c 连起来吗？ a c 连起来他不就是 a e 不 就是中线吗？对吧？那你不连起来呢？你就可以理解为是一个内中线。内被长中线什么意思？我们为什么要内变成中线？因为我们这名角一点角二他们隔得太远了，也就是延长 a e 这里用红色的角一点角二，他们隔得太远了，也就是延长 a e 至点 t， 你要辅助线描述就是延长 a e 至点 t， 使得 e t e t 这条线啊，使得 e t 等于 a e， 然后呢，你再描述连接 tc。 好， 那么接下来你就，你要接，怎么写呢？我们就有，因为你是延长的嘛，那 b c 和这个 a e 本质是相交，你一旦延长 e 了，那这个就有个对顶角阿法，阿法角是相等的，然后呢，我们就有边相等，然后比 e 等于 c， 那 我们就有三角形啊，你就可以写三角形旋转，也就是三角形 a e b 全等于三角形，是吧？ a e b 三角形 t e c， 那 么理由是 s a s 全等是吧？一旦有了这个全等，我们的角一不就转到这里来了。好，那这时候有些人就很着急啊，说，因为 这有个易错点啊，因为 e t 啊，等于这个什么啊？你看这个图吗？这个一个点等，一个点 e t 等于一个 e f， 所以 角一就等角二，你别那么快。为什么呢？因为被抢东西的结算部分，经常就要证明一个三点共线的问题，也就是说你连接这个 tc 的 时候， 你要证明这个是互补的，因为你你不能保证它延长过来，你这个 tc 连起来和这个 cf 它们是同一条线，也就是说你可以以为我延长过来，我点 t 可能在这。那你这样子和 tc 连起来，这个 cf 是 平的吗？不是平的呀，这是两条线段，它不是共线的，所以你要去证明一百八十度。那怎么证明啊？很简单， 这个角 b 啊，它这个转到这个角 e c t 来，我们就为角三，那么角三和这个这右边这个角角四是一百八十度是吧？因为从内错角移过来，或者说 不是内错角啊，这里不是内错角啊，各位，为什么呢？因为我们还没贡献呢，我没贡献我们就用不了平行线，能理解吗？我们还没证明出 t c 和 c f 是 同一条线，所以我们不能用平行四面形的平行条线，所以我们这里只能用全的倒角角三等于角臂，而角臂加角四是一百八十度。所以呢，我们应该先说因为角三应该这么写啊，因为角臂 加角三等于啊，不是角三，我也写错了，应该说角四，角币加角四等于角币连角三，因为全等加角四连到多角币加角四是多少多？你应该在前面先写啊。呃， 我给他写好一点啊，很多基础的基础，大家基础话都不太懂了。因为角币加角四等于一百八十度吧。角币加角四等于一百八十度， 又因为全等，你可以说啊，因为这个全等，也就说你喜欢这个全等之后你要说所以角 b 等于角三，然后再说因为角 b 加角等于一百八十六，所以啊，这里直接所以了，所以角三加角四等于一百八十六。所以什么呢？所以 tc f 三点 贡献，所以干嘛？所以 tc f 一 旦成点贡献了，说明 tf 本身就是一条线段。那么这里你就可以说因为 这个 e t 等于什么呢？ e f 啊， e f 等于幺嘛，所以你说它是等幺造型，所以你说角一点角二， 我们就整完了，这是第一问，我们这个步骤啊，比较充分一点，是吧？那么后面我就讲的比较不会不会给他写那么长的过程啊，给他简约一点讲，主要重，重点是讲思路。好吧，那么最重要的还是这个，这个这个技巧，大家一定要把它截图啊，不要愣着啊，截图或者自己做做笔记，给它记住了怎么分析？好，我们下一个。 如果 c f 等于 e f， 也就是 f 是 中点连接 a， e 连接 b， f 交 a 与点 g， 求三角形 b e， g， 也就这个蓝色的比上三角形 a， e， f， 也就这个黄色的这个大两个长方形的比值，面积比值。好，那么首先我们来给大家总结一下，出现面积比值我们能有哪些思路？ 第一个就是面积比，我们通过这两个三角形正处相似，转成相似比的平方，这是最常见的，或者说是最方便的，考的比较多的简单题里面特别多，之前都是这么考。那么第二种方法啊，那这道题你能不能用呢？大家可以自己想一想啊。 ok， 其实是不能用的，你不能直接证明这两个相似，或者说这两个压根就不相似，因为它们最大的角都不相等， 是吧，你可以自己来计算啊，非常简单。那么第二个方法依次乘 s 一、 s 二，能算吗？算不了，你去算数也非常麻烦啊，因为我自己也去算了一下啊。第三种方法就转换成 s 三，就是转换成第三个面积，就说用第三个面积的一个表达式去替换他们两个，然后最后呢的比值呢，就能或者说引入一个未知数的意思， 比如说他等于多少多少 s， 那 么那么的 s 比上这个下面是什么？下面是 k 倍的 s， 那 s s 消掉就等于两个什么呢？两个长整数的比值，那不就是出来了结果，但是你发现 你如果去射这些东西的话，你们在最后像我这样的结果啊，也是不行的，因为这个小的呢，没办法去转换，是吧？未知数太多了。第一，然后还有一个方法，就转换成他的这个长度的笔直，什么意思？也就是通过观察割补啊，同时他有还有这两种方法呢，有可能结合起来 就是相当于三角形 a e f， 你 给它拆成 a g f 和 e g f， 这样子，他们就是两个三角形，你会发现他们是同高不同底，对吧？那这个时候 这个上写 a f 的 表达式，他不就可以写出来了吗？你，你可以写成什么呢？你就可以设成这个，这个单独一个高是 h 三，它的面积可以是 ag 加上 eg， 然后二分之一乘以底，然后乘以他们的高 h 三，对吧？ h 三拿出来，你可以是这么写，你可以是上面这种写法，也就是我，我画出两个高，我画出两个高，这下面的 h 一 是为了和 b g e， 然后呢产生一个关联，他们就可以在下面的就是二分之一的。什么呢？ 下面的 e f， 它就是呃 h 一 h 二就是通过 g f 来当同底但是不同高的这个三角形，那么去表达，那下面呢就是 b g 乘以一个 h 一 啊，这样子我们就可以转成两个线段的比，也就是 这个转换成第一比第二，这个意思就是说我们去算面积啊，通过面积二分之一底层高啊，同时有时候借助一下割补进行一个切割，把三角形进行切割，然后呢去换一种方式，算面积二分之一，底层高，转换成别的线段，目的就是什么呢？原先的三角形不相似，我们转成别的线段的比。之后呢，我们去看别的线段 的相似三角形，或者说是再去构造相似三角形啊，但是你发现这所有的方法都不行，对照的时候方法都行，那怎么做呢？他就在接近第一问， 第一道题，他这个图的一个非我们刚才讲的那道题的方法，那么刚才我们第一问是非常中线去做啊，相对来说麻烦一点，但是呢也是一个方法，我希望大家能知道，也是我自己做题的方法。那么这题还有个更快的方法，也就是延长借助平行线，什么意思？也就是说他这里 e 是 终点是吧？那么可以他已经把 a e 连起来是吧？那我就延长 a e， 延长这个 f c， 听清楚，我这延长，一旦延长，我们这里比如说产生一个 t 点，那我是延长过来的，那我内侧角是相等的呀，那我这个角一等于这个角一是吧？啊，这是角二，角一点角一，然后呢，对零角是相等的呀，然后一点，我们由于是延长，那么它一定有 线段相等，那么就一定有 a a s 型全等，一旦全等，那么的角一啊，不对角一啊，一旦全等，我们的什么 a e 这个勾就等于 e t 这个勾，那么 a e 它题目给了是等于 ef 的，是等于这个勾的，而由于是我们延长了我们形成的三角形，什么呢？我们形成 b， 形成一个三角形 e f t 的， 所以有这两个勾相等的，我们就推出它是等腰，我们角一就等于角二了，就正好了。同理的， 我们可以延长 e， 我 们也可以延长 e f 啊，我们也可以延长 e f， 延长 e， 因为因为什么呢？这里 f 它不是特殊点， a 点不是特殊点，就是说 a 点是顶点，我们去延长的话，它这个特殊性可能会比较特殊一点，能理解为什么 f 线还不是终点吗？当然它去延长也是一样的，有权的，因为你去延长，因为你只要是和 e 点连连接的一个线段延长过去，它必有这个 b， e 等于 e， 那 么它就 一定会有什么由于同时你延长，然后呢？你 b 位和平行四边形另外一主线它延长，另一个另外一主线延长，刚好 f 就 在这里， f 就 在这条线上，那它就有平行，一定有内错角，就有 a a s， 刚才是同理的， 它刚才是同理。大家感悟一下，一样的，都是过一延长，那么就有线段相等，同时他们就从一侧到另一侧，然后另外一条平行的边也延长，那么你一定有平行线内错角相等，能理解意思吗？所以它一定还同理有这个权的啊。角二 那么一样的道理，还是 a a s 全的，对，顶角一旦全的了，那么这个这个勾就跑到这来了，那同理还是一个三角形的，等腰角一点角二是吧？这就是第一问给我们的思路。而我们在做这种综合大题，特别是难的题目里的时候，他 这种在同一个小问里，或者说第一个问，或者说同一个小问里的第一个问，他们的一些服务性思路是差不多的，就可以相互借鉴了。所以当你第二问，你 在做第二问的时候，你的策略就是应该首选用什么的？第一道题，你做这个题的时候，你的辅助线思路你去尝试做，第二问，做不出来，再去想刚才的那那么那么些思路啊，那么这些思路怎么来？你说你考试时候没想到怎么来，那你就现在看这视频，把它总结下来，把它截图截下来，不要愣着。好吧， 都是这样的，结合题就是这么玩，结合题就是这么去多做题，多总结，因为不是所有人都能想到辅助线的，等你多去做题，多去看图，多去感悟啊。 那么在你要敢，你要学会揣摩出题的意图。他第一问是呢， e 是 终点，然后我们是延长 e 的 一个线段，那第一问他给了我们 f 的 终点，那么很显然我们第二问，你应该首选的就是去延长跟 f 有 关的线段，那么 我们还是依旧找顶点跟 f 相连的线段，它这个图形会比较好看一些啊，性质会比较特殊一些。所以这个时候我们就是干嘛呢？谁跟 f 连 a？ f 有 b， f 有 在这里呢？我们延连续延长什么 b f， 为什么？因为它这里产生了一个新的上行 b g 啊。而如果我们延长 b f， 它出来的一些图形肯定跟 b 这个顶点，以及跟这个 e g 有 有可能有关系， 专门延长变幅，那么接下来我们自然而照 b 对 应的这个边，它一定要延长产生三角形，哎，重画一下，好， 那么我们把这个图给它转一转，这个是 m 点，好，那接下来我们要干嘛呢？我们延长处有什么有相似，一直中点，我们就可以说这个是 k， 这是 k， 我 们上面呢？对，这个是对边。 ok， 好， 那么我们可以观察到， 首先我们延长过去，我们是有一个全等的，什么全等？三角形全等哪里？同样的呀？我们根据左边有全等，右边一定有全等，你延长，你只要去一个点和 m 点延长过去，然后对边平行的那个线段延长过去，一定有全等，同样还是 a s， a s 型全等， a s 型全等也就是三角形，这里是相等的，然后对零角， 然后那错角 a s 全等，那么此时这个 ok 就 能转上去了，是吗？ ok， 这里是 ok， 这是 k， 这是 ok， 这是四 k， 那 你发现你得到这个 ok 之后，上面是有四 k， 然后呢，这个时候就是你对图形的把握能力了，你发现这里刚才的全等是一个什么八字形的 全等，接下来就会读什么呢？八字形的相似，要学会在平行四边形中找，多找这种八字形的相似，多去构造，多去延长。平行四边形的一些做体习惯，就是多去延长，特别是一些中点线段。好吧，好的，是一个经验的问题，你怎么去观察到八字形在哪里呢？我们看图在这里，我这上面这个 我就不写了，只检验一下。所以通过这个八字形相似我们可以知道什么呢？ k 比相乘四， k 是 一比四，等于其他线段的比，等于什么？等于 b， g 比乘什么呢？ g 比乘什么呢？ g， 哎，你看 a g 比 g 这个东西是什么东西啊？我瞬间反应到，这是 a、 e、 f 这个三角形里面的两个三角形的分别的一个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 a、 e、 f 这三角形里面的两个两条线段的比啊，也就是一比四，这个是 b g 比，这面是没错的，这里面倒倒过来啊，是 g e 比上一个 a g， 所以 这里是四分，这里是一分。哎，你这里就瞬间翻译了，这是四分之一分，你再观察上行 a f 他 们的底 啊，不对，他们高是相同的。那好，这是经典的上行里面切割出来的两个长形，也就我刚才说的这个长形可以通过割补切成两个长形，同时他们他们是干嘛的？同高的，那么我们就根据求他们底底的比例，我们就可以用一个未知数去表示它们的面积， 也就是说这是一个 s， 那 么根据底的一个比例，双面积它就是四 s， 所以 此时三角形 a、 e、 f， 它就是五个 s， 所以 我们只要知道 b g 它是几个 s 就 行了，那么 b g 是 几个 s， 我 们反过来想，哎，一开始 s 哪来的？不就通过这个线段比例来的吗？而线段比例关键的就是这两个线段，所以我们就看一下这个这个三角形 b g 有 哪些线段和这个 g e、 a g 有 关系。那你看 离他挨得最近的是不是这个三角形？这样 g e f 上面那个 a g f 虽然说有一种八字形的感觉，但它们是不相似的，所以我们找 g e f， 同时 g f 还跟这个 b g 又在同一个三角形里面啊，这三角形 b e f， b f， 然后通过 e g 这条线段拆成了两个方形，同时它们又是同高的，和刚才一个情况是一样的。所以我们今天只要求求什么呢？你的目标就知道了呀，你就知道我们的需求，我们只要知道 b g 比上 g f 它是多少，这个比例我们知道了，那么这个 b g 那 么同高，那么根据底的比例， b g e 这个长形的 s 多少 s 我 们也知道了，我们的目标就是求 b g 比 g f， 而当你观察到我们要求 b g 这个线段比 g f 这个线段的时候，你就知道弧线是啥，这也是一个 一个固定的一个套路，一个图，或者说你不知道这个图，那你就去想，我们刚才做出辅助线，得到我们的有效条件，这个辅助线是跟 f 这个终点有关的，是延长，那这一次依旧和 f 有 关啊，然后你就可以去奇思妙想，看能不能想到辅助线，那么辅助线是什么？那我觉得你按到第一个想是最容易想到辅助线的，也就是 那么辅助线就是过点 f 去做 a e 的 平行线，那么我们是可以做到这么个辅助线的，过直线外一点做已知直线的平行线是可以做到的。然后交 a d 于点 t， 交 b c 的 延长线于点 n， 那 么这个时候 我们就可以得到全等啊，同理的还是有全等，为什么呢？相等，相等，然后呢？内错角还是平行？内错角 a s 和 a s a 都行， 一旦全等了，我们就有啥呢？我们就有这一段是相等的，也就是 f 还是这个 t n 的 中点。那我们的目的是什么呢？我们刚才得到了，这是四份，这个是一份你你可以把它理解，为什么呢？我们就可以设一下啊，这是四 d， 这是一个 d， 那 总共这个 a e 就是 五个 d， 那 你会分成 t、 n 呢？ 我们说这是平行线，那么上面是不是也是一组平行线？那他们就是一个平行四面形吗？所以这是五 d， 五 d 的 话呢？它是终点，那这个就是二点五 d。 聪明人都知道，我要干嘛呢？这是干嘛？平行线分线到成比例定，或者说是我们的平行型 a 字型相似了， 有了这个相似，我们 b g、 b g、 f 就 可以转一下了吗？也就是说我们最终的目的就是为了得到 b g、 b g、 f， 而他处于这么个图形里面，我们就想到了，我们去做做这个 g、 e 的 平行线，那就做他的一个平行线吗？ 然后呢？我们这个时候做平线，我们这个长度是不知道的，所以我们延长，延长刚好平是平行，他等于五 d， 哎，这个是中点，全等二点五 d， 把这个比例就知道了，就这么巧，就这么神奇，这是辅助线呢，我们给大家一个好的思路，能想到的，而不说死记硬背，当然大家把这个土背下来也是有必要的，所以我们就有了 这个相似的比啊，相似比是多少？一比二点五，所以我们这个比上这个是一比二点五，那就相当于说一份二点五份，那这个是几分？这个是一点五分，这是一份，所以他们的比值就知道了，是一比一点五， 也就是十比十五，那个二比三。好，那 b g、 b g、 f 二比三，那么 s 就 知道了，也就是 b g 那 个三角形，三角形 b e g 比上三角形 g、 e、 f， 它的面积比是二比三，那么我们的 b e、 g 就 等于什么呢？这个 g、 e、 f 我 们设成了 s 对 不对？上面那个是四 s， 没问题吧？所以呢，我们移过去就是三分之二 s， 这两个一比 s s 一 约，对吧？就是三分之二比上一个五，所以就等于十十五分之二啊，就是二比十五。这一问就结束了，那么这个总结我教大家把这个好好总结，好好的收藏，这期视频含金量贼高。第三问，求 a f 长度。这一问的话，我一开始是 自己想了一个创新方法，然后失败了，可以贴出来给他看一下我的做的过程啊，是失败的啊，所以这种总结出来就是说这种几何综合的很多问的他基本上辅助线都是一样的，或者说出类旁通的，为什么这么说呢？我们先读一下题目， 他说连接 aef， 那 么这里的话就是说一点 f 点是一般的点了，没有具有上两问的一个终点性质了，所以是非常一般的，所以你发现从上往下是由特殊到一般的一个终点性质了，所以是非常一般的。你看如果 a 点五，给你平行四边的长度了， a 点三， 然后专门给你什么的 c f 等于一，那你解这个是二，哎，这个比例是知道的。三等三等分点，然后给你角相等。好的，三个一线三等角啊，我一开始想一线三等角，这个是角相等啊，我们就画成圈圈，好吧， a f e 啊，这个圈啊，这个弧吧，嗯， a e b 等于 a f e 等于 e f c， 哎，你看到这个的话，这个 e f 是 不是像角分线了？那你就想到角平分线的各种弧线思路， 那现在大家可以自己记一下，角平分线到角两边距离是相等的，如果说出现了一个垂直，那我们立马做另外一个垂直过去，是吧？还有另外一种，第二种的话，就是角平分线上出现了一个什么呢？垂直于角平分线的线，我们就给他延长，是吧？出等腰啊，出旋转， 然后第三种的话，就是角平分线定律往这边延长延长，那么我们这个比乘这个等于这个比这个啊，当然刚才我就是用角平分线定律做的，然后呢？失败了，但我还没去找一下，大家可以帮我看一下哪里出了问题，是吧？来帮我看一下。然后那这一个呢？还有第四种啊，就是也就是我们这道题考察的什么呢？ 角平分线在平行四边形里出现，或者平行线很多的时候出现平行线的一个背景题目里，我们就一定首选 g， 干嘛构造怎样？三角形怎么构造呢？ 你有这么个思路，你想到了去干嘛？把这个延长一下，把这个延长，把这个延长，那这个时候我们这个弧是不是等于这个弧，它这里不就出等腰了吗？我们可以说这个是 p， 那 么 a f， 我 们求 a f 的 长度是不是等于 ap 这个长度啊？因为求 f 的 长度，是吧？我们转成求 ap 了， 哎，就转换了一下，是不是角平分线出平行线构造等腰，这是你能想到的思路，我们总结下来，那么如果你没有这个思路，我们怎么做的？第一问，我们是怎么做的？第一问，当他说 e 是 终点的时候，我们可以这么去延长，是吧？然后呢？ 构造一个全等，然后呢？同样道理，得到等腰对不对？得到它这个角形的是不是？那第二问，他是干嘛呢？第二问他就给了多给了个 f 之终点，那我们就是延长什么呢？我们就是延长，往 f 这个方向去延长，往 f 这个方向去延长，然后呢？再延长这边，是吧？去构造全等，所以 这一次我们同样的，不仅仅左边我们要去构造，右边也构造，因为什么呢？因为这里一次 e f 都不是重点，它的性质非常不特殊，所以我们同时去延长啊，这个 e f 往下延长，构造一个长形，然后这个 e f 再往上延长，再构造一个长形，这样我们就 把特殊性质拉满了，就非常的特殊，这样子的话，我们就有更大的概率能做出题目，你就可以这么去想，好吧，你可以把这个图给记下来，嗯，我，我是习惯的去，就是记这种思路，记这种尝试的思路， 这样子你做几何题呢？就可以。呃，挨个去试，至少你有思路，不会说一片空白，不知道辅助线是什么，或者说你不会知道，你会说我没有，没有，没有什么思路没有，就考场上我什么都下不了笔。所以我再说一遍，页幅往下延长，不仅仅是说出等腰，更是为了接见。第一问往上延长，不仅接见第二问，更是为了 把这个一比二的比例利用的利用起来啊。他为什么给你 c f 一 啊？我专门给你这个条件，在这里有个二，为什么给这个条件就是一比二，为了测出 e c 点 x 是 二 x 题目条件呢？每一个条件他都是我们要发挥到淋漓尽致，把它们都用到位了，题目才能做出来，我们接着看。 那么我们接下来长度条件我们分析完了，接下来我们看角度条件，首先这两个角线的是角，平分线的一个条件，没问题，但是这个角线的你一定要去得到东西啊， 如果没有到东西，你这题也是做不下去的，那是什么呢？很关键的一步叫外角定力，你是这个大角是不等于里面这个弧加上这个点，但是这里也是弧，说明里面这个这个点是等于这个点，能理解吗？ 外角定力啊，这个初一就学了，我就不太多说，很简单，所以这个点是等于这个点，哇哇哇，使劲点好，就这样，这个点，这个点， 而且你还你还发现啊，上面这个什么呢？ a 字型，我们也要把这个给它拎上去，这个我们先换成 x， 内扣角，这个是 x， 然后呢？这个是这个圆圆的啊，然后这个弧， ok， 然后上面这个 a、 e、 f， 你 会发现和下面这个是一模一样了，所以它这个角也是 x 啊，这个角也是 x， 咱们就用这个叉在这，那么你会发现下面其实也会有这个叉，然后这个这个圆啊，这个弧，是吧？所以你们的这图里面有很多的这种这个弧 圈叉的这种三角形是相似的，三个角都现在相似吗？所以里面会有一些特殊的一些三角形相似，那么这里首选的，大家在考试里首选的去找什么呢？反 a 字形相似， 也就是这样的切过来，然后呢？这是公共角，然后这两个角是相等的啊，这是 r 法，这个是 r 法， ok， 我 们在这道题里面呢，是谁呢啊？就是我们的三角形观察这个图形啊，三角形， 我换这个，这个点，三角形 e a f 相似于 e a f 相似于 e a f 的 话，你看是不是？呃，这个 e t 为 就这个一一个圈圈叉，圈叉，是吧？这就是反义词相似吗？那这个相似，那就这个相似，我们又可以得到什么呢？那个比例是，也就是我们，呃，再自己整理一下吧。最后的答案就是，我就写，快点， a 一 方等于 e f 乘以 e q， 而我们的 e q 呢？它可以写成三倍的 e f， 这就等于三 e f 方，所以我们就可以得到 a e 是 等于根号三倍的 e f， 好 家伙， a e 等于根号三倍的 e f， 我 们设为 x， 什么设为 t， 这是二 t， a e 等于三倍的 e f， 根号三倍的 e f 等于根号三倍的 t， 好 家伙，这样的三角形，我们该说这样的三角形，这个弧圈叉，这种三角形，他们的什么呢？就是这个这个圈圈，它左右两条边的比例是一比。根号三， 好家伙，那你瞬间反应到有长度的有没有弧线叉，有长度的上下？有啊，那你瞬间就可以得到长度了，这样 e c e c 是 什么呢？一比二三，那这个长的不就是直接根号三吗？ e c 直接知道了，那上面不就二倍根号三吗？我，天呐，那就基基本就要做出来了，那现在还欠你一个什么呢？那么我们的目标是什么呢？我们目标是求 a f， 而 a f 已经通过一个 平行出等腰转成这个什么 ap 了，说明就观察 ap 的 三角形有没有相似啊。答案是有的，那我们这里就要结合看一个大范围的什么呢？结合这个二倍杠三，这样求出来了，也就是刚才求出来的二倍杠三，结合这个五，也就是有 a q 这个长度，然后 ap 这个长度，然后形成了一个大三角形，和哪个三角形相似呢？ 我们的三角形 b， e， p 啊，这个一个什么呢？平行形的啊，这个平行线你可以理解为平行线，分线段成比例定理，你也可以理解为是我们的这个叫 a 字相似，是吧？ a 字型相似，所以 出现相似的时候有有选啊，优先找反 a 字型，反 a 字型，然后呢，这个八字形，还有我们的平行线分线段成比例定理的这种 a 字型啊，啊，都有很多，就这三大类好吧， a 字一类， 八字型一类，平行线一类，总共三类，然后每一类 a 字型和八字型都有对应一个反反反 a 反八，然后平行线平行线的话就基本上就是一个这种类型，好吧，比较多。 ok， 我 们就给大家总结好了， 通过这几个字，希望大家也是收获满满，好吧，然后呢，呃，仔细品味，放在收藏夹里，时不时拿出来看一下，扣签收获的确是很多的，说不定就给你遇到了这种平行平行平行四边形的那种几何，你就哎多拿了几分，对吧，好好收藏，收藏起来好好看啊，没看完，好好看。 这样的相似之后，我们就可以写出相似方程，也就直接写了，我们直接写比翼比向什么呢？下面的那个 a q 等于在哪里等于什么呢？我们要求的是 ap 呢，那就用比翼比向 ap。 那 么接下来我们看一下啊，直接就带进来了啊，直接带进来了，比翼减多少呢？比翼不就是上面是五，这里是刚好三，所以是五减刚好三，是吧？比上 a q 呢？ a q 是 五，加根号三，等于什么呢？比屁，比屁是什么？比屁我们可以转成 a p， 有 没有 a p 要求吗？所以上面这个是什么？这个长度是三，所以它可以等于 a p 减去三，比上我们的 a f。 好， 那 a p 就是 我们要选的 a f 嘛，对不对？所以我们就可以把它设为一个 x 直接求了，或者说啊，我们就直接写了啊，就这个移过去五减根号三倍的 a f， 等于五加根号三倍的 f， 减去一个三倍的五加 高三，然后这个移过来五减五，约了加一个括号三，所以这里是二倍根号三 a f。 哎，不对啊，不对，不对，出问题了，这上面是二倍根号三，上面二倍根号三，这是二倍根号三，这里是二倍根号三，所以这里是三倍根号三，所以接下来三三一约。把这个根号三除过去，这 a f 的 长度就直接知道了。 a f 的 长度应该同时乘以根号三，应该是三分之五倍根号三，加上。 好家伙，这里又是一个计算的一个错误啊，这我们今年只改一个数据啊，还有一个数据没改呢，这减三，这边乘过来，应该是减去什么的。三乘五，加二倍根号三，所以这也是二，所以这里也是二，所以这里同时除以根号三，过去三分之五倍根号三，加上。上面的话是六。 我差点我脑子又不好使了。那你就可以写成三分之五倍根号三加二。 ok， 正确答案就这个啊，所以呢，你蒙是蒙不到的，数填填空题也是蒙蒙出来的。好，那么这期视频呢？三三个问，我希望大家可以分别由上到下分别去看，循序渐进的看你感悟这种 连续的，这种几何中和他的一个辅助线思路是差不多的，助类旁通。我希望大家可以好好的学习，好好总结起来，平行的平行，四边形的 a 字型，八字型，还有这种相似的魅力， 这期视频真的是非常的干货，大家考前一定要拿出来再看一遍，特别是我们这个上海的考生啊，上海考生。好吧，那么我们这个下一期视频不见不散，我是修树。
1875修数（数学博主）
03:48查看AI文稿AI文稿好，我们今天来看朝阳二模的第十二题，这是一道直线和圆的题目，有的人一拿到就，哦，怎么做呢？直线和圆好有焦点，我用连力，那如果你选择了连力的方法，那么你到考试下课都不一定做出来。 因为在咱们北京的考试当中，所有的直线和圆，在小题当中，它的考点一定是 距离公式，所以一定要往距离公式上面去找方法。好，我们接下来看这道题怎么到底怎么做？题目给的一个直线，给的一个圆，那首先你得会认识直线和圆， 直线就是一个经过定点的直线，叫做一逗零，而这里的圆 c， 它是一个怎样的圆呢？它是一个圆心为二，逗零半径为一的圆，所以这个时候聪明的你就可以开始画图像来思考这件事了。 画出图像，这是一个圆心在二逗零，半径是一的圆，同时有一个直线，直线是经过一逗零的过这个位置和圆相交于 a b。 啊，那我们就先随便画一个 a 交于 ab， 然后它的要求是 a、 b， c 需要 a c， b 需要是一个锐角，那很明显此时是钝角，那我们这个直线画的太陡了，那怎样画呢？那我们就画 陡一点，刚刚那个太平了，画陡一点，那这时候 a 就是 b， 那 就是 c， 对 吧？好，那到这里，如果你刚好看到了锐角，同时你能够想到这道题太简单了， 如果刚好在它正上方 b 点，那么不就是直角吗？如果比更平一点，就是钝角，所以我们这个直线不能够太平了，它可以更陡一点，那就 直接看出来了，这是一，这是二，这又是个一，那它就是一个四十五度的直线，所以此时的 k 就 应该等于一，而我们要的是锐角，那只要比一更大一点，更陡一点就可以了。那也就是说 k 只要大于一， 如果在下面，那 k 就 应该是小于负一，就是锐角，轻松搞定。那最后题目说啊，请你写出一个答案，那就随便写一个大于一或者小于负一的数，比如说二呀，三呀，四呀，负二负三负四都可以， 所以这道题你只要画出图就能轻松搞定。好的，那我们再看标准的思路，其实有一点复杂，因为我们说核心考具体公式，但是聪明的你刚刚一画图，直接就秒杀了，都没用到具体公式， 那我们用标准的思路讲一讲，如果你有兴趣，可以顺着这个思路往后做，看能不能够求出来。最后答案 还是这个圆还是直线，那想要是锐角，那就意味着三条边之间要满足我们的余弦定力，这叫 a， 这叫 b， 这叫 c， 也就是说 c 方它得要小于 a 方加 b 方， a 方 b 方都是半径是一， 而 c 就是 我们的弦长，弦长就和距离有关，做垂直，所以用点到直线的距离公式，然后再加上半径，就可以求出弦长， 而弦长就等于 c， 最后我们结合不等式，同样的也能够求出来，对应的 k 就 要大于一或者小于负一。好的，我们最后总结一下，那你在做这道题的时候呢？你是采用的连逆得 a b， 还是直接用距离公式 画图像把它轻松搞定的？那告诉我，我们看看有多少人走了弯路，有多少人是直接秒杀。关注我，我是在北京教数学。陈老师，我们每天会讲一个数学知识点。
68北京数学陈老师
14:53查看AI文稿AI文稿同学们大家好，我们一起来看一下鞍山市刚刚结束的二模考试当中的第二十二题，几何压轴题。那么这道几何压轴题呢？它并不是很难啊，我们在八年其实就做过此类题型，它主要考察的是一个旋转的数学思想， 那其中前两问呢？主要考察的是绊脚模型以及变形啊，那么最后一问考察的是终点的用法。 好，我们先来看一下第一题啊，那第一题呢，其实就是绊脚模型的结论，这里的 e f 应该等的是 a f 再加上 c e 啊，那相信在考场的同学们一定是可以做出来的，那在这里老师就不浪费时间给大家进行讲解这个过程了啊。 好，那接下来第二问，这里的的 f 等于的是五的 e 的 长度等于的是十二，让你去求这个正方形的一个周长啊，那其实绊脚模型当中有很多结论，那其中有一个结论就是三角形啊， f e d 的 周长，它应该等于正方形周长的一半，其实也是根据我们那第一个结论得到的，因为这里的 e f 等于的是 a f 再加上 c e， 所以 我们知道这里的 a d 再加上 c d 就 应该等于的是 d f 再加上 d e 再加上 e f。 根据高普定律，我们知道 e f 的 长度应该等于十三，所以正方形的周长应该等于的是二倍的这个三角形的周长，所以应该是五，加上十二再加上十三，再给它乘以二，就是正方形的周长， 这个相信大家在考试当中也是一定可以做出来的啊。好，那接下来我们看一下括号二相当于是半角模型的一个应用啊，除了已知条件当中 m、 b， n 等于的是一个四十五度角啊。 出题者还给了一个已知条件，是这里的 c、 e 和这里的 a、 f 是 平行的位置关系。 好，那接下来我们看一下求证的是什么啊？它想要得到的是这里 a， m， m， n 和 n、 c 之间的一个数量关系， 那咱们用圈一、圈二和圈三啊，也就是说这三条线段的一个数量关系啊。那还是要借助旋转的一个数学思想，我们可以把三角形 b， c， n 绕着点 b 给它逆时针转九十度。 好，把它逆时针转九十度，其实相当于是得到一组旋转型的全等啊。好，那这个辅助线我们可以怎么样来描述呢？其实我们在八年级就会啊，应该是过点 b 去做 b k 垂直这里的 b， n， 并且使 b k 等于的 b n。 好， 那接下来我们看这个全能可以怎么正啊？由于我们做完了辅助线，我们知道这里的 b、 k 和这里的 b、 n 相等。 其次我们还知道什么呢？正方形 abc 的 这个角应该是一个九十度角，那在点 b 处还有一个九十，那咱们不妨会推导出来，这两个叉号角它应该是 相等的啊，那再加上正方形，它的边长是相等的， ab 和 bc 是 相等的，所以我们会得到这两个三角形应该是一组旋转型全等。那通过这个全等，咱们就可以把圈三这个条线段给它进行转移，转移到这里的 ak。 好，那接下来绊脚模型，它一般是两次全等，先来一次旋转型的全等，再来一次对称型的全等。所以接下来我们应该把这里的 k m 连上，连上我们应该正的是三角形啊， k b m 和三角形 n b m， 它俩是一组对称型的全等。 好，我们来看一下条件，这里的 b k 和 b n 是 相等的， b m 是 一条公共边啊，那它是四十五度角，这里的角 k b n 还是一个九十度角，所以它也是一个四十五度角啊，那么 s a s 就 可以证明这种对称形全等，那么我们就可以把问题线段当中的 圈二这条线段给它进行转移啊，转移到这里 m k 来。 好，那我们会发现啊，这个问题当中的三条线段都被我们首尾顺次连接起来，组成了一个三角形啊。那我们想要探究他们的一个数量关系，不妨去猜测一下，这个三角形应该是一个直角三角形， 那我们只需要去证明这个角它是九十度角就可以啊，那正，它是九十度，还是要利用上我们全等当中的对应角相等， 由于我们的全等，所以我们知道，哎，对应角相等，圈和圈应该是相等的，对吧？那么接下来怎么去正它是九十度呢？那你要看什么已知条件你没用上。首先这里的 a f 和这里的 c e 这组平行的条件咱们就没用上， 根据他俩是平行的，再根据正方形，这里的 a e 和这里的 c f 也是平行的，所以我们不妨会得到一个平行四边形 a f c e。 那 平行四边形有的条件应该是什么？他应该是对角是相等的啊，所以我们会得到这两个对号角是相等的。 好，那再点 c 处圈号角加上对号角应该等于是九十度啊，那我们再来看，再点 a 处圈加对号数也依然是九十，那我们就可以证明他是一个直角，他是一个直角三角形啊， 那根据直角三角形，我们就可以得到它三边之间的一个数量关系，应该是 ak 的 平方，再加上 am 的 平方，等于的是 mk 的 平方啊，那么 ak 我 们给它转化成这里的问题线段就是 c n。 好， 那 am 也就是问题线段不用变好，再看这里的 mk， 应该是这里的 mn。 好，那他们三个之间的一个数量关系就出来了，那么我们的第二问就解决了。好，那接下来我们一起来看一下括号三啊。括号三呢，它主要考察的是终点的用法，给了你一条线段的终点，那我们知道终点它在中考当中呢，一共有四种用法， 那适应这道题的应该是有两种，第一个呢，应该是给他背长啊，另外一个是构造中卫线啊，取中点去构造中卫线，而取中点构造中卫线的思路是大家在考试当中能够想到的啊，但在这里老师给大家做的是背长的视频讲解啊，所以应该是延长这里的 c h 至点 k， 使得这里的 h k 应该等于的是 c h， 然后接下来把这个 k 和 n 连上，连完之后，咱们应该先得到的是一组八字形全等，应该是三角形，这里的 h， c， d 全等于三角形 h k， n。 好， 那通过八字形全等，咱们可以得到 c d 和 n k 之间的一个数量关系啊， c d 应该是平行，且等于这里的 n k。 好，那我们才知道这里的 n c 的 它和 bc 是 相等的，而 c 的 还和这里的 n k 相等，所以我们可以推得这里的 bc 和 n k 是 相等的数量关系啊。 那通过读已知条件，我们还知道三角形 b n m， 它应该是一个等腰值啊，也就是说这两条线段也是相等的，所以我们会发现啊，圈号线段和圈号线段相等，还有什么？ 竖线和竖线是相等的，那我们应该去找这两条线段所在三角形全等，所以接下来我们的辅助线应该是连接这里的 mk。 好， 把 mk 连上之后，我们应该去找这两条线段所在三角形全等，那应该是三角形 m b， c 全等于三角形 m n k， 而这两个三角形全等一定利用的是 s a s， 所以 接下来我们的目的应该是找这两个角是相等的啊。 好呢，来看一下我们如何去推导出角一和角二相等，那就需要利用我们刚才得到的平行的位置关系啊。由于 c 的是平行，这里 n k 的， c 的 还是垂直 bc 的， 所以我们会得到这里的 n k 也是垂直什么呢？垂直 bc 好， 有了垂直之后，这是有一个八字形倒角九十和九十相等，对顶角和对顶角相等，我们说拿外角去倒一下就行，就会得到这里的角一等于的是角二。 好，角一等于角二，那咱们就可以得到这两个三角形全等啊。好，那全等之后，我们就可以得到 c m 和这里的 k m 相等， 还会得到的是对应角相等啊。这个大钝角也应该是相等的啊。由于对应角相等，再减去这个公共的这个角，那就会得到旁边这两个小角相等，也就是说 kmc 这个角应该等的是 bm n 这个角啊，那它是九十，所以它也是九十啊。 好，那咱们就会得到 cmk 这个三角形是一个等腰直角三角形啊，好，写一下。 好，那通过这个等腰直啊，我们就可以得到斜边和直角边之间的一个数量关系啊，所以这里的 c k 应该等的是根号二倍的 c m。 好， 那 c k 还是等于二倍的 c h， 所以 我们可以得到 c m 应该等于的是根号二倍的 c h。 问题搞定 好，那接下来老师再来讲一个方法啊，其实这个题啊，我们在八年级就遇到过啊，那我们来看一下这里的三角形 b m， n 啊，在旋转之前是三角形 b p q， 它俩都是等腰直角三角形啊， 那这里的 bc， 对 呢，它也是一个等腰值啊，那么在旋转之前，它是一个反 a 相似，那我们把这个三角形 b q p 转出来之后，我们就会出现什么呢？反向构造手拉手啊，我们可以借助反向构造手拉手的方法去解决这个问题啊。 好，那接下来啊，这个反向构造手拉手啊，他唯一的一个缺点就是这个辅助线特别多啊，但是他的思路其实特别的简单啊，我们应该是把这个三角形 m， b， n 啊，应该是沿着这里的 b m 给他进行翻上去啊，那翻上去，其实我们做的辅助线就是倍长啊， 应该是延长这里的 n m， 置点 e， 使得这里的 e m 等于的是这里的 m n， 然后接接下来连接这里的 b e， 连完之后，我们就会得到一个大的等腰直角三角形 b n e。 好，那再看啊，这里的 bc 的 这个等腰直角三角形啊，还是做同样的辅助线啊，应该是沿着 bc 给它翻下来啊，所以相当于是延长这里的 bc 至点 f， 使得这里的 c f 等于的是 c 的， 然后接下来把这里的 b f 连上，哎，依旧会得到一个大的等腰直角三角形啊的 b f， 现在我们会发现两个等腰直角三角形共顶角顶点，对吧？那么我们就会出现手拉手的全等啊，那接下来我们直接从这个手拉手的角度来进行切入就行， 相当于是从一个模型的角度来进行切入啊，直接来找他的结论，第一个结论应该是胳膊长度和相等，也就是说连接这里的一对，再连接这里的 n f， 咱们第一个结论应该是 e 的 等于的是 n f。 好， 那接下来第二个结论应该是胳膊的夹角等于的是等腰三角形的顶角度数啊，那么在这里就是 e 的 和这里 n f 的 夹角应该等于的是九十度，所以接下来我们把它俩沿出去，让它俩相交 好，那交上之后，那接下来这个角它就应该等于的是九十度啊，也就是说第二个结论应该是角的 k f 高于的是九十度，相当于都是从手拉手模型的这个角度来进行切入的啊。好，那接下来我们再看问题，问题我们想要研究的是 c h 和 m n 之间的数量关系啊，由于我们刚才这样去做辅助线，其实又多了两个中点 点 c 应该是对 f 的 终点，同时这里的点 m 还应该是这里的 e f e n 的 终点。好，那接下来咱们根据终点终点相连，就会出现中位线，所以这里的 c h 应该等于的是二分之一 n f 同时 c h 还是平行。什么呢？ n f 的 根据中位线啊。好，那接下来再看啊，这里的 m 它也是终点，还有谁是终点啊？ h 是 不是也是终点？所以我们应该把 m h 也连上。 好，那 m h 连上之后，是不又出现了中位线啊？所以看 m h 又平行且等于谁的一半呢？是不应该是这里 e d 的 一半？ 好，那我们还知道通过问题啊，通过我们刚才得到的这个结论，这里的 e d 和 n f 是 相等的，所以我们不难会发现，这里的 m h 就 应该等于的是 c h。 好，它俩是相等的啊，那其实咱们不难猜测，三角形 h m c， 它应该是一个等腰值，也就是说你需要正，它是一个九十度角啊，那怎么去正它是九十度呢？应该借助我们刚才平行啊，因为我们知道这里的 m h 平行， e d， m h 和 e d 是 平行的，所以我们应该把这里的 c h 给它延出去。 好，那接下来看沿出去啊，那同时还有什么平行呢？ c h 数还是平行？ n f 的 c h 和 n f 平行啊，也就是说这两条线段也是平行的，你看它俩如果平行，它还是一个九十度角，所以不难得出它也是一个九十度角，对吧？好，那再看横着的也是有一组平行，它九十是，我们不难得出它也是九十 啊。由此，通过这两个平行，咱们是可以推出角 m h c 等于九十。 好，那它如果是九十度，那么我们会得到三角形 m c h 是 一个等腰值。 好，那等腰值我们就可以得到 c h 和 m c 之间的一个数量关系啊， m c 应该等的是根号二倍的 c h。 好， 这就是我们解决第三问的方法。方法是不为一的，可以从已知条件来进行切入，或者是从模型的角度来进行切入。
06:18查看AI文稿AI文稿好，各位同学们大家好啊，今天何老师再分享一道这个蜀山区二模的第二十二题，这道题告诉我们，在 r t 三角形 a、 b、 c 中， a、 b、 c 是 相等的， ad 呢，是 a、 b、 c 的 中线，那同学们，既然是中线的话啊，就有等线段标记一下，那你可以直接设为 x x 二 x 啊。然后呢，在 a、 d 上去一点 e 连接，使得角 b， e、 c 等于九十度，这里边同学们你要正推快一点啊，九十度加斜边中点，直接就是斜边中线的使用，所以 d e 的 话直接标 x。 第一问的话，如果说 ab 等于四，求 a 的 长，那么你接下来只需要把标记做好就行了是吧？我们这个就是把 ab 换二， x 换成四就行，所以我们把设原改一下就行了。那应该是这个是四 二二二是吧？所以第一问求 a 的 长，直接搞个勾股厘米去减就行了。那第一问老师讲快点啊， a 就 应该等于呃，利用这个三角形的勾股厘米二四算一下，二倍根号五，我们把这个二减掉就行了。所以第一问二倍根号五减二 啊。第二个的话，求 a、 b、 e 的 面积，方法很多， a、 b、 e 的 面积的话，三角形的面积莫不过于个底层高，所以我们以四为底，高的话就是过点 e 做垂直就可以了啊。假设是 k， 我 们只需要把 e k 长求出来就行了，而 e k 怎么求呢？朋友们，你就可以利用第一问的结论， e k 的 话，因为它和 b、 d 是 平行的，我们利用这样的一个平行 a 字 就可以把这个问题轻松的搞定。利用这个平行 a 字，因为 e k 比 b d 应该等于 a e 比上 a d 是 吧？上比权等于上比权啊，所以快速把 e k 算出来，那直接底乘高除以二面积就出来了，而不再多说。我们重点来讲一讲第二个题。这个题啊， 这里告诉我们，延长 c e 交于点 f 哦，这时候 ab 等于四没有了，那咱们把它 x x 兑换一下 x x， 这是 x 啊，这个 ab 呢，是咱的二 x 啊，其他的不知道啊。那这个 a e 其实也可以标一下 a e 的 话，应该是根号五减一倍的 x。 好， 那求 af 比 c d 的 值。那同学们在这里，其实 c d 我 已经设圆了，就是咱的 x， 所以 我的核心在于求出 af 这个线段，把 af 表示出来就可以了。那怎么表示 af 呢？ 这个题的话，同学们其实有若干个做法啊。若干做法，接下来和老师来分享两种。第一种的话，同学们就是角的发现啊。第一种老师讲的是边角转换， 边角转换我们在这里头已经得到了根号五减一是吧？比二啊，这个数据其实已经有点意思了啊，我们不光要去发现边，而且要发现一些特殊的角啊。什么角呢？同学们，跟老师一块标一标在这里。同学们，我们知道你这里边有对顶角，又有斜边中线带来的 e， d 等于 c， d 的 等角，又有三垂直的相似啊，就而不是三垂，这是双垂直或者射影定力带来等角，所以跟着老师一起射源，这纯正推了啊，熟练度阿尔法， 阿尔法对顶角是吧？斜边中线带来的阿尔法，还有射影定力带来的阿尔法。所以这里边朋友们是可以发现反 a 相似的， 是可以发现翻译相似的啊，所以我会发现阿尔法，阿尔法。你在这里头你会发现 aef 是 等于 abe 的， 又有公共角，是吧？所以第一个做法的话，朋友们，我们可以用三角形 aef 相似于三角形 abe， 这样是可以的 啊，是可以的，所以我就会得到了。你这个利用乘积式，利用什么呢？都可以啊，都可以，你利用比例式吧，还是老实一点。那所以我会得到 a f 比 ae 应该等于 ae 比 ab， 而在这里同学们， af 只有 af， 不知道 aeb 全都知道是吧？你可以把它这个乘积画笔算一算就可以了，最终算得 af 的 话，应该等于三减根号五倍的 x 啊，那所以这个比值就出来了，三减根号五好，这是法一啊，法一第二个做法。同学们，这个啊，其实也是老师之前学的是什么呢？同学们是利用补形来的。 补形来的啊，就是有一些同学哈，他对于这个我们的这个叫什么正方形中的十字架是比较敏感的，在这里他们就是补形，怎么去学，怎么去思考呢？就是我们的等腰直角三角形啊， 等腰直角三角形就是咱们正方形中的一半，所以我们的方法就是把这个正方形啊，给他补出来， 给它补出来，因为在这里存在 b e 和 c f 的 垂直， b e 和 c f 的 垂直，这不是咱正方形中的十字架模型吗？如果有垂直，它必然相等。所以我们的辅助线是延长 b e 产生一个焦点，延长 b e 啊，就延长就行了， 产生一个焦点，假设这个焦点把它记为 k， 是 吧？那所以在这里我会得到三角形的全等，所以我会得到 c、 b、 f 这个三角形 和 b a、 k 这个三角形是全等的，你可以去证，是一定可以证出来的，倒角就行了， a s， a s c 都可以，那怎么去利用这个全等？同学们，你这个全等的话，我是不是就可以得到 a k 啊？ a k 和 b b k， b f 是 相等的是吧？我们再结合我们的射源，二 x x x x 刚好五减一 x， 所以 我只需要把 a k 求出来就可以了，因为 a k 等于 b f， 而那 a f 的 话就等于二减去这个 b f 就 可以了。 那 a k 怎么求呢？啊？这题考察的是什么呢？我们可以利用倒角就可以了啊，倒角也非常简单啊，非常简单，我们来一块标一标。朋友们，如果还是这一样设，这个是阿尔法 还是考隐藏角的啊？那所以的话，朋友们，这个角也是阿尔法，咱们刚才讲的对顶阿尔法是吧？你会发现角 a e f a e k 这个角，这个角啊， a e、 k 这个角，它是九十度减 r 法。九十度减 r 法，那这个角呢？同学们， a k、 b 呢？它是等于角 c、 f、 b 的， 和这个角是等角，而标蓝色这两个角等角，是吧？它们俩也都是九十度减，它也是九十度减 r 法。这因为这个角是九十度减 r 法嘛， 对吧？所以这个时候同学们，它是等腰的，所以 ak 直接就出来了，就等于根号五减一倍的 x， 那 知道了 ak， 那 所以 af 也就知道了，就拿二减去根号五减一倍的 x 就 行了，也等于三减根号五倍的 x， 所以 a f 的 话就是三减根号五倍的 x 啊， 好，那就是这个题就做出来了两种做法啊。这个题的话朋友们其实是前几年考过的啊？考，当时考的是一道选择题，要不你哪个是正确的，是吧？整体来说有点炒冷饭的嫌疑啊。这个题他们大家自己总结一下，看你这个边角转换有没有发现的目光，有没有对于根号五减一比较敏感就可以了。
18:53查看AI文稿AI文稿同学们好，今天我们来看一下这个二零二六年锡林二魔的立体几何大题啊。 本道题呢，难度系数比较低，可以说是历年来的难度系数最低档啊。他说有这么一个四轮锥，底下是一个直角梯形， a、 d 和我们的 bc 是 平行关系，而且 c、 b、 a 是 九十度，我们在这标一下，那呢，顺手这个地方也是九十度，是吧？ pa 和底面垂直，那么 pa 和整个底面的每一条线都垂直。呃， ab 等于 bc 等于二，分之 a， d 等于一，我们把数据填好， ab 的 长度是一， bc 的 长度是一，然后 a、 d 的 长度是二。呃，然后 pa 的 长度没有给第一问，他问 pc 和 cd 垂直， 我们给大家稍微画一下啊， pc 这条线和我们的 cd 这条线，这两条线呢，目前为止它是处于一个相交的关系，它让我们去挣这两条直线垂直。我们方案有如下的几种啊，我们来一一破解。 嗯，我们高三的同学们，复习立体几何一定要追求一题多解啊，不然的话，我们老师只用一个做法的话，这个在高考里面会吃大亏的。 法一，法一呢，就是找这两条线的长度啊，包括 p d， 包括 p d， 把 p d 长度也找出来，然后证明三条线的长度满足勾股定律，那可以这样垂直，对吧？这个思路也是行得通的。好，那我们实施一下 a、 c 的 长呢？大家都知道，这个肯定是根号二，不用我说，然后 cd 的 长，我们来给大家划一下， 一，一，二，我们挪，挪过来，挪下来啊，这是一，这是几，那就是一，这一移过来，所以这边是什么呢？根号二 好，根号二，所以 c、 d 的 长出来了，接下来我们看一下 p c 的 长，那么 a p 的 长这个题目当中没给我们可以设 a p 的 长为 t， 设 a p 的 长为 t 了之后，那这个 p c 的 长自然就是根号下替方加二 没有问题，因为 pa 和整个底面垂直， ac 在 底面上，所以 pa 和 ac 垂直啊。呃，根据勾股定律，根号下梯方加二，那这个 p d 长也是一个道理， pa 是 垂直 a d 的， 所以说这个地方是根号下 梯方加四，然后我们来看一下。呃， p， c， c， d， pd 这三条边的这个数量关系， 一个是根号二，一个是根号下梯方加二，一个是根号下梯方加四。我们把三个平方发现是可以满足勾股定律的，他的平方是几呢？他的平方是二，他的平方是一个梯方加二，他的平方是一个梯方加四啊，然后我们可以发现他加他是等于他的满足勾股定律，所以说垂直啊。 好，我现在把它擦掉。法一，我们就留个名就行了啊。通过这个勾股定力，我们看一下法二，线面垂直 初级者想问 pc 这条直线还是给大家标一下啊？嗯， pc 这条直线和 cd 这条直线垂直，那么我们可以通过线面垂直来得到实线， 我们会发现 cd 它和 pac 这个面挺像垂直的。 如果我们能证明 cd 和 pac 这个面垂直，那么目的也就自然达成了。 cd 和 pa 垂直，这是非常这个显而易见的，因为题目里说 pa 垂直于底面， a， b， c， d， 然后我们的 cd 又包含在 a， b， c， d 上，所以呢， pa 自然是和这个 c d 垂直，那么 c d 也就自然和 pa 垂直，这是一条，我们需要再找一条，因为大家都知道线面垂直需要正线垂直面内的两条相交直线，所以光 c、 d 垂直 pa 还不够，我们可以再来一条，比如说 c d 垂直于 a、 c， 那 么怎么去解决？可以根据数据去解决，我们刚才标过数据了哈， ab 等于一， bc 等于 e， a d 等于二，那么而且这是个直角，那这个地方是根号二，刚才这一块我们也给大家计算过了，这个地方是根号二，刚才算过啊，我们会发现根号二，根号二，二满足这个勾股定律，所以呢， c、 d 也就和我们的 a、 c 是 垂直关系。 最后别忘了一定要去交代一下，我们的 pa 和我们的 ac 是 相交于点 a 的， 这个不能忘，忘了就得扣分。所以我们的 cd 自然就和平面 pac 是 垂直的， 然后又因为我们的 pc 是 包含有平面 pac 的， 所以呢，我们的 cd 自然就和 pc 垂直，那么 pc 就 和 cd 自然垂直。这就是这道题的法二。好，我们接下来看法三， 法三基底， 这个是什么意思呢？我们给大家表述一下。嗯，大家都知道，空间向量当中啊，可以选三条不共面的来当基底， 然后借助这三条基底呢，可以表示其他的任何向量。大家注意，这三条基底不一定是垂直的啊，你可以随便选，比如说你选个 a c， a d， a p 都是可以的啊，只要它是不在一个平面上就行，至于垂直不垂直无所谓。 哎，我们把数据还是标上啊，这是一，这是一，这是二，然后呢， a p 的 场，不知道哈，接下来怎么去使用这个基底呢？我给大家展示一下。 那么出题者他不是想让我们证明这个 c p 啊， p 啊，这个 c p 和这个 cd 是 垂直关系吗？是吧？ 好，我们一个一来，比如说我们把 c、 d 用我们的肌底给它转化出来，那 c、 d 如何转化成肌底呢？ c、 d 向量，同学们，是不是等于 c、 b 向量加上 b a 向量，再加上一个 a d 向量，这一点是毋庸置疑的。 接下来啊， c、 b 是 我们的基底吗？不是，因为我们选的是 a b， a d， a p 啊，那所以说 b c 呢啊，这个 c、 b 就 换成基底，怎么换？ c、 b 和 ad 是 有关系的，我们发现 c、 b 的 长是 ad 的 长的一半，而且还是平行的，但是要值得注意的是， c、 b 和 ad 是 反着的，所以说 c a、 b 要写成负二分之一的 ad， 然后 b a， 我 们要的基底是 ab， 是 吧？所以说呢， b a， 我 们就写成这个负的 ab 啊， 好，写成负的 ab， 然后 ad 保留 a、 d 画个点和平同的一项二分之一的 a d 减去 a b 啊，这就是我们写出来的 c、 d 这个距离。 接下来我们继续写我们的这个 pc 啊，或者说这个 c p 啊， cp 吧， pc 都一样啊，都一个画 pc， 我 们可以通过 pa 加 ac， 当然减法啊，向量的减法，熟练掌握的同学就写减法，效率会高啊。 pa 呢，是基底吗？ pa 是 ap 这个基底的反方向啊，所以写成负 ap， 然后加 ac。 接下来呢，我们就想办法把这个 a、 c 和 g、 d 挂上钩，可以做个平行四边形啊，大家能看得出来吧，相当于是我做了一个 a、 b， c h 这样的一个平行四边形，甚至是个正方形啊，所以 a c 向量是等于 ab 加 a h， 负 a p 加 a c， 刚才我们说等于什么呢？等于这个 a b 加 a h 啊， a b 加 a h， a h， 我 一次性写成二分之一的 a d 吧。 好，这就是我们的 pc 向量就写完了。接下来出题者要我们去证明，这个 pc 和这个 cd 是 垂直的，我们可以借助两个向量的点积为零来得到实线 pc 点成 cd。 嗯， pc 我 们刚才写的是什么呢？写的是这个负 ap 加 ab 加二分之一的 ad 乘以 cd， 那 就是二分之一的 ad 减去一个 ab。 接下来我们括号打开啊， ap 和 ad 一 碰头 就不用写了，因为 ap 和 ad 还有什么 ab 啊，这三条线是两两互相垂直的，一碰头就是点七为零啊。所以说什么 apad 再不写了， apab 也就不再写了， a b a d 不 再写了，然后这个地方是个啥？这个地方是个负的 ab 方啊，这个要写一写，然后这是什么呢？这是四分之一的 a d 方，这个要写一写，然后其他的碰头都是零啊。好，接下来我们把数据往里面待一待， 大家都知道向量方等于向量的模的方， ab 的 模式几一，那一的平方还是一，那就是负一，这一个 a d 的 模式几是二二的平方四四再乘四分之一得一，然后等于零。 所以得出结论，我们的 p c 确实和我们 c d 是 垂直的，这就是这种题的思路三。好，接下来我继续查找 我们换思路四。这道题虽然说简单哈，但是我们为什么要讲这么多，是因为想构建这个 给一套完整的线线垂直的证明逻辑啊。我们给出四个方法，我们在高和当中就能这个随机应对啊，此法不通，我就马上换路吗？间隙， 好，由于这些是拿来互相垂直的，我们刚才已经论这个啊，我们就给它间隙。那么我们用的是这个右手啊，右手坐标系啊，所以这个 ab 方向是 x 轴， 这个是 y 轴，这个是 z 轴。细线完了之后，我们就直接上来就写坐标啊，他要正的那两个垂直。我先，哎呦，咋这么粗，我给大家描描一下啊， ok， 来， p 的 坐标是什么？是零零 t， 因为 a p 的 长度给是多少？没给是吧？然后 c 的 坐标还记得吗？应该是个幺幺零啊，我再不标了，这个地方的坐标应该是个零二零。好，我们现在把这些该写的向量写出来， 那么 p c 向量， p c 向量就是 c 的 去减，去 p 的 终点减起点嘛，幺幺零，减去零零 t 就 得幺幺负 t， 然后再搞一个 c、 d 就 好了呀， c d 就是 d 的 减 c 的， d 的 减 c 的， 也就是负一，然后一，然后零，然后我们将 p c 和 c、 d 进行一个点击，横乘横，然后加纵乘纵，然后数乘除，没有就不写了，然后等于零， 所以 pc 和 cd 垂直啊，这就是法四。这以上就是我们在立体几何当中这两条直线垂直，那么最常用的四种解决思路就是这样。 好的同学们，我们接下来看一下这道题的一个第二问啊，嗯，他说 a 杠、 p、 c、 d， 我 把这几个顶点标一下啊， a 杠， p， c、 d 这四个点所形成的是个三轮锥啊。然后大家对这种题已经见得多的麻木掉了，直接就肯定是要换底的， 他把 a 当顶点， p， c， d 当底面，这个底面也不太好算，高更不好算了啊。所以我们把它换成 v p 杠 a， c， d 啊， v a 杠 p， c， d 给它换成 v p 杠 a， c， d， 这样就稍微好算一点。我们把数据标一下啊，幺幺，根号二，这是二，这是根号二，刚才都是算过的，底下是个等腰直角三型 s， a、 c、 d 的 面积等于根号二乘，根号二乘二分之一，也就是等于一， 所以 v 等于三分之一的 s h， s 是 一， h 不知道，然后等于这个三分之一，所以现在 h 知道了 h 等于几一。 那么我们按这个 p 杠 a、 c、 d 去算的话，那个高肯定是 pa 啊。因为我们知道 pa 和整个底面是垂直的，这是题目的已知信息，所以说这个东西等于一。 那么接下来我们看一下，他问的又问的是什么东西啊？他问的是这个 pc 和 pa 啊，我把这个猜一下，给大家标一下啊， pc 这个东西和我们的谁呢？ pa 所成的夹角的正切值。那么这种题啊，就是求向量角，主要的思路有两种法，一是几何法， 就是不去间隙啊。但是大家要知道，一般情况下能用几何法做出来的这个立体几何，尤其是第二纹，都是比较水的啊，那么这道题也不出意外啊，水都不能再水了。嗯， 用几何法的话，那就要从这个 c 点往这个平面啊，往我这个平面角是不是做垂线嘛？我要去找这个线面角是不是做垂线？那垂线都不用做，就是 c b 啊，为啥就是 c b 呢？那我们想 c b 和 ab 垂直吗？垂直呗，这是题目的信息。 c b 和 pa 垂直吗？垂直，因为 pa 垂直地面， c b 在 地面上，所以 pa 和 c b 垂直，所以 b c g 和 ab 垂直，还和 pa 垂直，所以 c a b 和这个平面内的两条相交直线垂直，所以 c b 和整个平面垂直 啊。那既然和整个平面垂直了之后，那所以我们过 c 点往这个 pa b 面上做垂线垂足，就自然是 b。 然后呢，那所以说线面角很容易就知道就是谁啊？就是 cpb， 就是 我们的线面角 c， 它，那接下来我们解决这个角的正切值了，就相当容易了，来个对边比上里面就好了。这个数据我记得是一吧， 然后我看这是一，这是一，这就是根号二啊，而且这还是个直角，因为 c b 和整个底面垂直的，那么 c b 自然就和 p b 也是垂直的， 所以说 c b p 是 直角三角形，那么 c 塔的对边比零边就是一，比根号二就是 f 这个号。好，接下来我们看一下法，二，就是间隙， 我们把刚才的过程全部擦掉，现在我们来给它建上一个细， 嗯，那就这样，这样这样啊，我们采取的是右手系，所以这是 x， 这是 y， 然后这是 z， 然后计算这个平面的发向量以及 pc 的 向量。当然这个平面的发向量就太过于简单啊，不用见啊，不用，不用求，因为 p a b 它是处于 x 和 z 所构成的平面内，所以外轴上的东西都是它的发向量，所以 它的发向量我们直接编一个在外轴上的就行了，比如说零和零。好，这个发向量就好了。接下来就求一下这个 pc p 的 坐标是多少呢？ p 的 坐标应该是零零幺啊，然后 c 的 坐标的话应该是个幺幺零哈，所以说我们的 pc 向量就是一个 c 的， 像 p 的， 那就是幺，然后幺，然后负幺，紧接着给这个东西来个点击除，什么机？触摸机？ cosine p c 法向量。就是啊，你也可以不加啊，点击触摸键，那就是横乘横一乘零，不写了啊，纵乘纵一乘一，然后竖乘竖负一乘零，不用写了，整个加下来就乘一。 摩羯呢，他的模式一我们就不写了，他的模式根号下三就是根号三，你要化简化就是三分的高三，那可以说，哎，为啥不对呢？那这个地方就要注意，有一个小小的细节就有点阴啊，希望大家这次考试没有被阴到。 嗯，这是 c， 这是 p， 这是一个平面的方向量。我们现在算的什么？算的是这个角的和弦是吧？这个角的和弦 cosine 怎么 cosine 怎么搞？零边比斜边啊。那么这段就相当于是个根号三，这段呢，就相当于是个三啊，这段就是根号六。 那么这个初级者问的是什么？这个 pc 和这个平面，对吧？在这儿，所以 这道题的最终答案应该是这个角的正切值，那就对边比零边根号三，比根号六，所以是根号二分之一，所以是二分之根号二， 所以说这里要从这个三分之三转化到这来。这个地方确实有点阴啊，平时我们做的这种其实很少，你看平时我们大部分遇到的问题是啥？线面角的那个，那个正弦值比较多一点啊？今天问的是正切值。好，本道题到此结束。
02:59查看AI文稿AI文稿大家好，我是郭老师，一题多解，继续来处理一下二五到二六学年天津市西青区初三数学二模十七题几何辅助线的综合。 上个视频更新了一个思路，本视频作为一个新求解思路的补充，回顾一下题干信息。这是一个等腰直角三角形，顶角角 a、 c， b 是 四十五度，下一个 d 为 a， c 的 中点，那 a、 d 等于 d， c 这两个边相等好过 c 做 e， c 垂直 bc， 所以 说角 b、 c、 e 就是 九十度，那这时候角 a、 c、 e 的 度数就是四十五度，这是第一问， 接下来呢，告诉了 c 边是二倍的根号二，要求 ab 的 长度，求 ab， 我 们就划归它就是 ac， ac， 它就是二倍的 ad， 或者是二倍的 cd。 好， 我们看一下，你已知是 ec。 第一问里面又有角 ac， e 是 四十五度， 我把这个边长用好，我把这个四十五度用好，并结合角 a 也是九十度，我就可以想着是构造直角三角形 过 e 做 a、 c 的 垂线，这里面等于角直角三角形出了，并且呢，在这里面呢，有平行加的这样的一个八字形相似，这个角和这个角相等，这个角的三角函数值也都有，这是不是都出来了？ 所以说可以遵循着这样的思路，我们进行过程的设计过， e 做 a、 c 的 垂线啊，垂足即为 h， 我 们就标注计算， 在三角形 e、 h、 c 当中，这是等腰直角三角形，斜边是二倍的根号二，两直角边都比上根号二，所以说 e、 h 是 h， c 也是二 好， e、 h 是 二。我们知道 a、 b 和 e、 h 是 平行，所以说角 a、 b、 d 和角 d、 e、 h 相等 好，角 a、 b、 d 的 正切值，我们知道 d 是 a， c 的 中点好， a b 比 a、 d 这个长是二比一，对不对？所以说这个是有辈分关系。 好，那此时角 d， e、 h 这个角的正切对比零，就等于这个角的正切一比二。 好，现在这个零是二，那他的对 d、 h 的 长就是一， d h 是 一，那此时 dc 就是 一加二是三， dc 是 三， ac 二三得六，好，解决。你 get 到了吗？好，结束。
61谷亚涛讲数理
05:18查看AI文稿AI文稿解疑答惑，我们来继续看二五到六学年天津市虹桥区初三二模的数学第十七题。有学生说，老古抓紧更新了来。四边形 a、 b、 c、 d 为正方形，其边长等于六 f 在 外角的角平分线上，这个外角呢，就是角 dce， 角 dce 也是九十度， c、 f 将其平分。好，这两个角都是四十五度，我们就标注。 读到这里，我们要想到有外角的角平分线，你把内部的对角线一连，这里边呢，也有四十五度，四十五度会出互相垂直的情况。好，接下来呢，以 c、 f 为边，做了一个矩形 好点， g 恰好落在了边 a、 d 上，连接了 a、 f 和 h、 f。 第一个求角 b、 c、 h 的 度数是多少？ 好，因为四边形为矩形，那角 f、 c、 h 是 九十度，角 d、 c、 f 是 四十五度了，那这个角 d、 c、 d 等于九十度，角 b、 c、 h 就是 四十五度。第一问，四十五度， 下一个知道了矩形对角线 h、 f 等于二倍的根号时，要求 a、 f 的 长是几 好，我们就分析了，这个是已知量， a、 f 是 要求解的，要去求它，我发现它会有我刚才说的这个特征了。 什么特征它呢？是想把它解决，你就得落在三角形内，因为呢，这个 c、 f 平分了外角，此时角 b、 c、 h 是 四十五度。 正方形对角线连接之后，也平分一组，对角角 bca 也是四十五度，所以 a、 h、 c 就 会三点共线，所以说，我们就连接 a、 c， 就 会使得 a、 h、 c 三点共线。 好，角 acf 还一定是九十度，那这样我们不就会把我们的目标结果 af 落在一个 rt 三角形 acf 中去求，是不是用勾股定力去求解即可。 好，第一个呢，我们会发现 a 老股 a、 c 好 求啊，它是三角形 a， b、 c 等腰直角三角形，一比一比根号二，所以说 a、 c 就 有了六倍的根号二。那你剩下的工作不就求 c、 f 就 可以了吗？ 好，已知的是 a、 f 矩形的对角线的特征比较明显，是对角线相等逆连 c、 g 这些边长是不特征都有了，所以说下一步呢，我们就连接 c、 g。 好，连 c、 g。 我 们就读题标注了 c、 g 等于 h、 f， 它的长度都等于多少啊？二倍的根号十。好，它等于二倍的根号十， c、 d 等于的是六， 所以说在 r、 t 三角形 c、 d、 j 中，勾股定律 g、 d 根号下，它方是二十，四，五是四，乘以十是四十，再减去三十六，那这个长呢？等于根号四，所以说 g、 d 就 等于的是二， a， d 是 二，那剩下的就好求了。这个角 c、 f、 g 是 四十五，九十度。好，这个角是四十五度，所以说这个点呢，我们起个名字吧。这个名字呢，为 m， 此时角 c， m、 f 一定是四十五度，那角 d， m、 j 也是四十五度，这两个是一个小的等腰直角三角形，所以我们就有了这两个角是四十五度， 所以对应边 g， d 等于 dm 等于二，整个 c、 d 是 六，那此时 c、 m 就是 四， c， m 是 四，这个 c、 f， m 等于要直角三角形，斜边是四，那直角边 c、 f 的 长，它就是二倍的根号二了。 好，所以中，我们要在这个三角形内，两个直角边都有了。好， c、 f 有， c， a 有 求斜边 a、 f 是 不是就好求了？而且这两个边的比是一比三， 这样的话，斜边就是根号十，但是要扩到二乘根号二这样的一个辈分关系，所以说我们最终这个 a f 就 直接拿根号十赛成二倍的根号二， 好，这个答案不就有了吗？四倍的根号五，所以说第二问四倍的根号五。好，这样结合到的正方形的特征，矩形的特征，求解的好，仅供参考，感谢大家。
66谷亚涛讲数理
01:38查看AI文稿AI文稿二模的数学下来了，再有个问题不知道大家有没有发现啊，就说二模的这个第二十四题，咱们二模的第二十四题我录了啊，大家可以看上一个视频啊，二十四题考察的是咱们二次函数上中的一个几何模型，十字架模型啊。但是呢，最后一个问，看似考在函数中考察了，但实质上其实跟函数没多大用， 结果就是用了一个坐标，没用到一些函数中的思想啊，所以现在就有些人觉得，哎，那现在我发现一件事啊，函数的思想被弱化了，你现在考几科了？你二十二题考几科，二十三题考几科，二十四题最后也考几科，你，你函数在哪？函数的思想在初中被弱化了啊，那当初到了高中之后，只对逆三角，所有的函数，哎，都来了， 所以现在的问题就是这样的问题，也就是说函数在咱们整个的初中阶段，你会发现啊，越来越不高了，你考全是老几合子，你看前边这家也都是相似，要不就是那个第十四题圆，哎，到是到了二次函数这块，又不考二次函数了，又不考方正，又不考这个函数建模思想了啊。我觉得啊，这一点就是个人的而言， 我觉得现在这个出题啊，是有些 bug， 但这也可能是咱们的以后的考题，咱们初中的考题方向，但是对于初高中衔接这样的，绝对是有一些 bug 所在啊， 我觉得大家有的可能也都发现了啊，怎么办呢？那现在可能就是这个现状，大家还是就是你去去多练习，你自己可以用，呃，用初中把几何打好，但是到了高中之后，这个函数思想依旧要用，没有办法， 只能接触现状。但是呢，在大家要知道的就是你到了高中之后，你这个函数东西你还是不能你呃，轻易的就拿地位给他不学的啊，是要重视函数的，虽然初中考的函数已经这个不是那么的重要。嗯，他已经偏向几何了，大家不能把这个函数思想给我拉掉就可以了。
06:38查看AI文稿AI文稿下班了，做套卷子放松一下。二零二六年哈。呃，朝阳朝阳二摩填空题，十一题，顶点在原点。关于 y 轴对称且过二一的炮线标准方程。 关于 y 轴对称开口向上下，所以应该是 y 等于 x 方且过二一，把它带进去。右边是四，左边是一，所以带个四。 嗯，十二题，直线 l， 这条直线横过一零与圆，圆心是二零，半径是一。 教育 a、 b 两点能使 a c b a、 c， c 在 哪里？ c 在 这为锐角，那直角以内都可以。直角是一，那么随便这这边就一个高三或二都可以。十三，已知函数 cosine 这个东西有 me 等于 pi， 所以 它的题等于二，对于任意时数都有 f， x 大 于等于 fa 小 于等于 f b， 所以 这个应该是最小值，这个应该是最大值。 a 减 b 的 绝对值。半周期呗。一十四题好多信息，读吧，找到 依次类推，后边， ok。 若按上述那么记第 n 个大数，第一个为 e， 第二个为照，照是 e， e 为照， ok， 所以 对应的是是数列， 竖列的话，那么他第一个应该是 a 一 等于十的八次方，那这是十的十六，那这是十的三十二，所以我把这数写在上头来，八十六，三十二。第五个数的话，就应该是一百二十八， 十的一百二十八次方，所以前面是一个对数，那就是一百二十八。嗯，如果 a 一 乘以 a， 二乘以 a 三一直乘到 a k 的 话，就是这些东西相乘，那就底部变上边相加， 一直加到最后等。呃，大于十的一千，所以就是这些东西大于一千，同时约个八，就是一加二加四加八加点点点大于一百二十五，一百二十五，这个应该是比较熟悉的啊，就是， 嗯，从这开始加，一直加到六十四的话，等于一百二十七，所以六十四就可以，三十二不够啊，所以这是二的，不是二的。二的零次方，一次方，二次方，所以这应该是七。 第十五题，已知函数这个东西和这个东西这个东西三个函数，给出下列四个结论， h 是 中心图形，找 h， h 是 中心图形， ok， 前面是一个奇函数，向下平移了二零二五，所以它的对称中心应该没问题的。 第二题，当零到零到一时，曲线这个横在它上方，所以我拿 f 去减记，应该就可以。它俩相减的话，这是一个负的，按将密排列， 所以 f 减记积蓄，它减它应该是个减 x， 它减它应该是个加一。然后题，公因式， x 方 x 减一，减去一个 x 减一，等于 负， x 方减一乘以 x 减一，前面是一个横负的，而这受零到一控制，应该也是负的，所以它大于零没问题。二是对的。 第三个 x 除以 r， 十 x 加二， x 加一， x 加一，这个好像等差数列啊， 所以我把它归到一堆去，所以它就应该是一个 g x 加上 g x 加二，大于二倍的 g x 加一，也就是除以二。 这个东西是凹凸性，嗯，我随便画一个，所以这里是。嗯，零的话，那这是一对应的，这是二，那一对应的这个外置一定会比它的函数值的一半要低一些，所以这就是凹的原理。 那么它说中间比它小，那这边一定是凹，那它属于 r 的 时候， g x， g x 也是，前面也是一个奇函数，向下平移，所以 他不可能左边凹，右边还凹的，应该是凹凸或者是凸凹的一个情况。因为是奇函数平移的嘛，除非是一条直线，左右对称，除非是这个样子的。 ok， 所以 三是错的。然后看看四， 设正正实数 x 一， x 二 x 三，分别是它的零点，那零点的话，我大概看一下，这是二零二五。 x， 这是二零二五，所以我大概的画个图， 零的时候 f 零等于负的，二零二五大概画在这吧， 一的时候是一，哎，就不要比例了，就这样吧。然后它的零点大概是这个样子，所以这儿是 x 一。 然后 g x 零的时候是负，二零二六大概在这个位置， 然后一的时候也是一，所以 这是 x 二，所以 x 一 会比 x 二小一些。然后再看第三个，零的时候是负的，二零二五在这里，一的时候是二，所以它在这里。 所以 x 三是最大的。 哦，最小的，所以四是对的，一二四。
98直男洛必达
02:55查看AI文稿AI文稿朝阳二模第十三题，三角函数题干就只有一句话，但是题目的条件，它包装起来非常吓人，叫做对于任意的一个三角函数来说，它其实都有 fa 小 于等于 f x 小 于等于 f b， 那 你以为呢？需要分类讨论，那它其实啊，这道题的考点就只有一个，叫做求最值。好的，那我们一起来看题。 题目是说有一个三角函数满足这样一个要求，问 a 减 b 的 最小值绝对值是多少？ 怎么去做？所有的三角函数都有同一个原则，就是你需要把它转化为 a 倍的 sin omega x 加上 five， 那 像这道题，题目写的是 cosine omega x 加上 five 也是一样的，只要变成了这种形式，它都是能做的。我们变成标准形式之后有什么好处？所有的三角函数，如果它是一个正弦，那么它就应该是从原点开始上去下来，上去下来的一个波浪线， 那如果是余弦，像这道题，它就是一个以 y 轴为对称轴，上去下来上去下来的波浪线。而今年朝阳这道题是送分题，因为它已经给你化简好了，所以它就是一个波浪线。 而且这道题是对于任意的一个 x 而言，那也就是说 x 如果属于 r， 那 同样还是属于 r， 所以我们整个波浪线从头到尾都是可以取到，那既然都能取到，那最大就应该是一，最小就应该是负一，并且最大值和最小值之间刚好就应该相差二分之一个周期。二分之 t， 那这道题的周期是多少呢？因为题目告诉的欧米伽等于 pi， 所以 周期就等于二。 pi 除以欧米伽就等于二，那既然周期是二，那半个周期就应该是一， 所以最大值和最小值之间最短的距离， a 减 b， 对 吧？那两个人 b 是 最大的时候， a 是 最短的时候，那两个人之间的差就是我们的半个周期，所以最小值为 一。好的，那屏幕前的同学，你在做这道题的时候，第一反应是把它变成不等式去求值，还是你就看出来了，我们要翻译条件， 把它变成一个标准的三角函数，然后题目给的这两个任意 f， a 小 于函数小于 b， 其实就是在告诉你，它是最小值，这是最大值。 如果你学会了翻译，那么这道题就直接秒了。好了，那我是北京，在北京教数学的陈老师，如果你关于数学有不会的可以关注我，我们每天会讲一个数学知识点。
32北京数学陈老师
