八下数学第五单元人教版几何
今天这期视频是八下几何模型辅助线总结系列视频的最后一期，前三期视频没没看过的同学一定要去看一下。很多同学几何模型辅助线他比较乱，没有系统的梳理，难道题根本不知道往哪个方向去想，思路是乱的？ 所以建议大家一定把这个系列的视频完整的去听完，建立一个完整的知识体系，这样你遇到压轴题的时候，你能知道往哪个方向去想，该用哪个辅助线，同时你听完之后你也能知道八下的几何模型辅助线都有哪些，那对于哪块你不熟悉的，就可以去重点对应，去练哪个专题。 今天咱们讲的是第四部分，这个正方形的基本型，这块的内容非常非常重要，只要数学想上一百一这部分是必学的内容，需要电子版资料的评论区留言。像正方形里的旋转手拉手、绊脚模型这些东西，前面系系列视频都已经讲过了，所以咱们这里 不再去重新说了。那这里咱们重点看的是三个内容，第一个是十字架，这个是正方形里出现频率可以说是特别高的一个， 那十字架只要正方形里面出现两条线是相互垂直的，那他俩一定相等，反过来出现相等也一定是垂直的。那十字架时候，咱们解决方式他经常会和共顶三等腰结合到一起，那就是属于很难的一个处理方式了， 或者是和平移的角度。第二个就是和平移角度结合到一起，第三个也可以从直接做垂去勾到全等这个角度去结合到一起的，那这个的话相比于难度来说，他可能会稍微简单一些。在这几个里面，那第二个是一线三等角，一线三等角都是大家非常熟悉的，因为咱们在学 在学全等三角形的时候，可能最熟悉的就手拉手，其次就是这个一线三角，一线三垂也叫 k 字型了，那出现一线三角的时候，他这里面指的是在正方形里如果有两条相互垂直的线，他跟第一个很类似啊，就是有两条相互垂直的线，那基本上他俩也是相等的。 同时如果他俩相等，你也能去正出垂直，那这里你可以通过做垂一线三垂去正，也可以通过共顶三等腰，我把这个 e c 连上 去，证明这个共点三等腰去倒角去推也可以。那关于这个正方形的一线三垂里面有两个很重要的基础的正法以及它的逆推形式，大家要去看一下。 这里面常见的两种逆推指的是第一种是已知垂直正相等，第二种是已知相等正相等正垂直。咱们看一下这里的条件啊，首先他给的是 a b c， d 是 正方形， c， e 是 角平分线。第一种是已知 a f 和 e f 垂直，要咱们去证明 a f 等于 e f。 很多同学拿到这题直接过 e 做垂直， 然后想证明这俩一线三角全等，然后就挣不出来了。你绝绝大部分没学过的孩子肯定是这个思路啊，是这样做，垂去正全等肯定挣不出来。 所以咱们这里采用的是另一个方式，我是在 a d 上取一点 m， 那 这时候是不是就可以使这个 dm 等于 df？ 它俩相等之后，咱是不就能推出这里的 am 等于 f c 有 am 等于 f c， 你 再看那现在这个角是四十五度的，所以它的邻补角是不就一百三十五，同时 f c e 是 也是一百三十五度的， 哎，那此时我们就看有 f c 等于 am， 同时因为垂直，咱是不能通过导角导出这两个点角相等，那现在是不就有这俩三角形是 s a s， 嗯，是 a s a 全等， 全等之后是不才能证出 e a 等于 ef 等于 fa？ 这个很多同学还能想出来，那第二问的话，同学们想起来能做出来的其实真的是寥寥无几。 我们看第二问他给的已知条件啊。第二问是已知 a f 等于 f e 的 情况下，已知它们俩相等去正垂直，那这个就很多同学都没证出来。你不管是做垂还是向上一问，这样我截相等边都是差条件。截相等边的话，你能发现这是一百三十五，然后 f c e 也是一百三十五， 同时还有这个边等，那这时候你发现它是一个边边角的条件，它是正不完全等的。所以那咱们就想到了第一个常规思路，你边边角是不能正全等，但是实际上绝大多数的边边角是可以去正全等的，那你可以去再额外去构造辅助线正全等，那那方法就比较麻烦了。所以咱们换一个简单一点的，你可以直接连接 ac， 连完 ac 之后，你把这里的 ac 延长，延长是不就相当于这个 fc 是 ac 和这是 m， 是 这个 acm 的 角平分线，这俩角是不都是四十五度的？ 那有角平分线，还有 fa 等于 fe， 咱是不就可以去构造垂直，去做双垂？是不可以过 f 向 ec 和 ac 去做垂垂足分别是 m 和 n。 那此时咱是不是直接就能推出这里的 f n 等于 f m， 再加上原来的 a f 等于 e f， 是 不就有这俩三角形？ a， f， n 全等于三角形 e， f， m， 那 他们俩全等之后，我们是不就能得到这里的对应边？对应角是相等的了，对吧？那全等之后你再看，那现在的话，我们想证这两个角是等于这个角了， 我再加上这个叉弧加叉是不就是九十度的角？因为这个 n f， m 是 不九十度的，所以弧加叉九十，也就是说 a， f， e 是 不是九十就可以挣出来了？ 第三种，他是一个根号二倍的问题，他其实不是属于一个基本型啊，就是属于正方形里常出现的问题。正方形里的压轴题经常会让咱们证明根号二倍的问题，那我们就要知道，你需要正根号二的话，肯定是要构造等效值的，那构造等效值大概率大多时候是需要构造手拉手相等的。 我们先看这里的第一题啊，那现在他给的已知条件是 a e 垂直 c e， 想正这个角四十五度，那我们看我之前说过，在正方形里是不是容易出现对角互补四边形？你看 a， e， c， b 这个四边形是不是对角是互补的？ 同时两组邻边 b a 和 b c 是 不相等，所以那对角互补四边形，咱是不是通过旋转的方式去构造手拉手相等， 所以直接延长 e c， 然后做一个 b m 垂直 b， b m 垂直 b e， 然后你就能证出这俩方程全等了，有全等是不就能得到这个你要求的角 a e b 是 等于 b m c， 那 因为咱做垂之后，你再证全等能得到这里的 b e 等于 b m， 所以 b m 是 不等腰值？等腰值，那这个角 b m e 是 不是四十五度的？这个就完事了？然后第二问，我们再看 第二问，想证明它俩是相加等于根号二的 b e。 所以 你的思路是，我既然要证明根号二 b e， 我 是不是就要以 b e 为直角边去做一个直角等腰直角三角形，那斜边是不是等于根号二的 b e？ 所以 跟刚才一样的思路，我还是做一个 b m 垂直 e c， 那 b m 垂直 b e 做完除以之后一样这俩三角形全等全等之后，是不是就能得到这里的 e m 是 等于根号二的 b e？ 那 同时 e m 是 不是就等于 e c 加 c m c m 是 不是等于 a e 的 这个也就能证出来了？这个是属于比较简单好证的根号二倍的问题。
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03:18查看AI文稿AI文稿最值问题始终是我们整个初中数学当中非常重要的一个压轴题，很多同学对于这个地方手足无措，今天呢，我们通过一个典型的例题给大家讲解一下拼接最值的问题，如何去求解好？如图，矩形 abc 当中 ab 等于根号三这样确定， 然后 bc 等于一，也确定好，通过这个根号三和一的特殊的数量关系，我们可以知道这个角是等于三十，这个角是不是也等于三十？ 好，我们知道了 a 一 等于 c， f 这个边边等于这个边边，然后让你求 b 一 加上 b f 的 最小值， b 一 和 b f 的 最小值怎么来看？ 很显然啊，求 b 一 和 b f 都是从 b 点开发，这两个点是一个动点，很显然我们要通过全等也好，平移也好，把 b 一 和 b f 给它挪到一起，进而来求出它的最小值。 好，那这个地方我们已经给了一个边，是 c f 是 等于一，这有一个特殊角，那么我们来构造出来我们的角角 f c t 等于三十度， c t 等于 ab 等于杠三，然后再连接我的这个地方，是不是就可以勾出来了？这是不是就是我们的梯点 是吧？好，那么接下来这个角是三十，我的 c f 等于 a 一， ab 等于 cd 是 等于杠三，那接下来的三角形是 b a 一 乘以三角形 t c f， 然后得到 b e 是 等于 tf， 那 接下来是不是把 b e 加上 tf 的 最小值，是不是转化成 tf 加 tf 最小值，是不是最小值就是我们的线段 b t 的 长度。那这个拼接求最值的话，其实核心点就在于 go， 三角形 b a 一 全等于三角形啊， i tc f 是 s a s 的 判定，没问题吧？ 它俩是不是全等？那么在这个过程当中呢？我们是不是就得到了我的 b 一， 是不是就等于 tf？ 所以 说是 b 一 加上 b f 的 最小值，就等于 b f 加上 tf 的 最小值，它最小值就是它 b t 的 最小值。接下来怎么办？那接下来是这个地方往下放。好，这个地方你放个垂。好，那你这个地方是不是 b t 这个地方是相当于是一点 m？ 好， 那这个角是不是六十？那这个角是等于三，这是二分之二，它是三倍，它是三倍，这是二分之三。所以说接下来 b t， 它结果就等于我们 b m 的 平方加上 t m 的 平方，结果是等于根号线啊，一加上二分之根号三括号的平方，再加上二分之三括号的平方。 好，那接下来这个地方是不是变成了根号线？一加上四分之三加上根号三，再加上四分之九，四分九加上四分之三，四分之十二，四分之十二是三，三加一等于四，等于根号下四加上根号三。 好，根号下四加根号三。不能再开放了啊，在根号里面套根号不能再开放了啊，根号下四加上根号三。好，这个地方就给大家简单的说到这啊，好，同学们拜拜啊。
08:27查看AI文稿AI文稿ok， 同学们，今天我们来看一道正方形的综合题，请注意，每当玉米在讲几何综合的时候，大家一定要用心去感受，我是如何读题审题的，我是如何进行分析的，中间有哪些好的一些做题习惯是能够为我所用的，这一点特别重要。好吧，来看题， 在正方形 a、 b、 c、 d 中点屁是对角线 a、 c 上的一个点，但一定要边读边看图，一定要把已知信息跟图像结合起来，这样子你才能获取到意想不到的一些信息，比如说这句话， 各位，这句话可能对于大部分同学来说就是很普通的一句话嘛，没有什么用，但细一细的，你通过图形当中去观察 p 在 对角线 a、 c 上，就这个条件，你能获取到什么信息？各位，信息的你们有没有发现，是不是可以证明这两个大三角形在全等啊？ 也就是三角形 b， a， p 与三角形搭 a， p 是 在全等，判定方法是不是 s s， 各位看， ab 等于 a 大 第二一个，这两个角等于四十五度，第三一个 ap 是 不是公共边，你看到没？这句话有没有用？特别有用，各位，那同理可得，你是不是还能得出另外一段三角形全等角，三角形 c b p 全等，三角形 c 搭 p 啊？是不是也是 s s， 对吧？啊，所以说这个条件特别重要，它并不是没有用，如果说你没把这个点修到，可能会影响接下来我们一二小问是不？各位啊，那当然需要用到哪一个三角形全等，这个我不知道这个往后读好不好，各位，但是你要想到，好吧，来点 e 在 延长线上， ok， p， e 等于 p， b 来了， pe 等于 pb， 这两个线段是相等的。各位，那所以这是个等腰三角形，所以你得想到什么支点呢？第一想到等边对等角，也就是说这个角 e 啊，是等于这个角一的， 是不？各位，同时你还想到三线合一，你管他用不用吗？但是你要想的是不？各位，第一小问，他说 pc 等于 pe 来了， pc 等于 c， 哎，说明这个角一是等于角二的，哎，那也就这里的角一角二角一都是相等 的，是不？各位，那通过刚刚我的分析啊，哎，他让我们证明什么？证明 c 搭 p 吗？通过刚刚咱们的分析，这个 c 搭 p， 这个角三啊，他是不是等于这个角一的呀？ 是不是？各位，是不是就用上了刚刚 p 在 a c 对 角线上的这个点，这个条件是不是？各位，所以这个题你应该是先正啊，我简写啊，各位啊，百变有限，没办法写完整版的过程，所以这个时候你必须要去正什么？是不是要去正三角形叫做 c b p 全等于三角形叫做 c， 大 p， 判断方法叫 s s， 那 么全等过，你能得出个什么东西啊， 对吧？我就得什么，我就得对应角相等吗？我不就是得角三等于角一吗？所以这个题求角三，实际上求角一，求角一就求角 e， 求角 e 是 不是放在三角形 pce 这个三角形里面是不是？你看这一通下来，是不是咱们目标就特别明确，是不是锁定三角形 pce 求底角 是不是？那么这个 p c e， 这个顶角 p c e， 我 知道吗？知道啊，因为这个等于九十度，旁边那个角等于四十五度，所以这个大角 p c e 应该等于一百三十五度，所以说啊， 所以说啊，这个角 e 啊，等于这个角二，是不是也有一百八十度减一百三十五度除以二啊，它等于多少？是不等于二十二点五度？ 是不是等于二十二点五度？各位，对吧？特别简单。那所以说这个角三啊，由于全等可以等于角一，角一等于角一，也就是等于咱们的二十二点五度。好吧，这就是第一小问 好吧，各位，你会发现第一小问他并不是很难，是因为我们的习惯而导致的，我们这条思考逻辑线特别的清晰，有没有发现是不？各位是不是很顺畅？来看第二小问啊。第二小问 啊，这是什么啊？那我们看一下，他说让我们去求证啊，叫做 b c 的 平方加上 c e 的 平方等于二倍 b p 的 平方，哎，这个等式是不是感觉有点像我们的勾股定律的这个这个结论啊， 是不是？各位啊，那我们再看一下，再锁定一下这三个线段在哪？ b c 在 这耶， b c 叫正方形的边长， c 在 这，这个 b c 方怎么能够加到 c 一 方啊？各位，这个有点复杂哎，是不是它又没有在同一个三角形里面？那各位你要发现哦，这个 b c 不 就是可以等于 c 大 吗？ 是不是这个 c 大 跟 c e 是 不是在一个直角三角形里面啊？准确的说还没有在啊，但是我知道这个角等于九十度的嘛，各位来看我蓝色的是不是这个角等于九十度？如果说我连接一下 d e 的 话， 请问跟 b c 跟 c e 相关的一个勾股关系是不是有的？是不是？各位来看一下，这个勾股关系应该叫做 d c 的 平方加上 c e 的 平方，是不是应该等于 d e 的 平方， 对不对？而这个 d c 是 不等于 b e 嘛？哎，所以说这个部分是不是符合我求证的等式左边对不对？所以要想让这个等式成立，是不就是要去证明这个 d e 方和这里的二倍 b p 方是相等的呀？ 是不是？各位来锁定一下这条线段，它们有什么关系？看 b 当 e 跟 b p 在 图形当中去看在哪里当 e 在 这儿 p b。 我 的天， p 跑得好远啊，但是由于刚刚我的全等，我是不是可以得 p b 等于 p 大 来看我的全等是不可以得 p 搭是等于 p b 的， 对不对啊？而我的 p b 是 不等于 p e 的， 哎呀，又等于 p e 了，那所以说这两条线段是不是相等的？ 就是 p 搭跟 p e， 所以 这里的搭 p e 是 不是个等腰三角形哎，如果这个等腰三角形变成一个什么样的特殊三角形，那么这个搭一方就一定能够转化成二倍 b b 方啊，各位 是不是？如果他是一个等腰直角三角形的话，那么这个搭 e 是 不得根号二倍的搭 p， 那 么一平方是不是搭 e 的 平方就等于搭 p 的 平方啊？各位，是不是 啊，可能说的有一点点快啊，但我等会给他写一个简短版的这样的一个导线段的一个流程在里面。来，各位我们看一看。这里面首先我们保证一个点啊，慢一点啊，这个三角形搭 p e 是 不是个等腰三角形吧， 对不对？那我的目的是不是想把它变成一个等腰直角三角形？请问他是吗？是的，各位，那怎么来的？是不可以通过题目当中有一个叫八字倒角来的 来看这个角三是不是等于这个角一等于二十二点五多，这是不是有个对顶角？各位，由于我这个图被划乱了啊，这有个对顶角，看对顶角，所以说这个角搭 c e 是 不是就等于这个角叫搭 p e 啊？ 这用的是一个八字倒角啊，我就不写了，我直接在这标个九十度没问题吧。所以说此时此刻你的搭 p e 就 应该是一个等腰直角三角形是不是？那也就是由你的什么呢？那就说你的搭 e 是 不等于我的二倍搭 p 对 不对？而搭 p 又等于 pb 吗？是不等于二倍的什么 bp？ 对 啊，根号二倍啊。 sorry， 根号二倍啊，根号二倍 根号二倍。因为等腰直角在一起的比值是一比一，比根号二嘛，是吧。所以说斜边应该等于根号二倍的直角边啊，刚刚写错了，那所以说这个搭一方就可以改成什么？是不是改成根号二倍的 b p 的 平方？各位，你打开看看它是不是就等于二倍 b p 的 平方， 是不？各位是不是就搞定了对不对？当然最后你要转换回去啊，这个单 c， 你 要转换成我的 b c 啊，所以说我的 b c 的 平方啊，转换了加上 c e 的 平方，也就等于二倍 b p 的 平方。 好吧，各位，是吧？特别蛮有意思的一道题，同时通过这个第二小问，玉米在这可以做一个简单的一个总结，就是当遇到什么二倍的某个线段平方的时候，一般情况下我们都会出现一个东西叫等腰直角三角形， 因为等腰直角三角形的斜边等于根号二倍的直角边，而根号二倍的直角边一平方，他不就变成二倍的某个线段的平方吗？ 是不？各位有一个小小的一个点啊，我们可以在这做一个总结，是吧？好吧，这道题就这样子就被搞定了，大家一定要用心去感受一下，好吧， ok。
33西昌玉米讲数学
14:14查看AI文稿AI文稿我正在用四期视频系统梳理八下的几何模型和辅助线，帮孩子建立一个完整的知识体系，至少让孩子知道遇到压轴题，知道往哪个方向去想，以及这个思路是怎么来的。 一共分了四个模块，前两期视频已经讲了第一部分和第二部分，那今天咱们讲的是第三期这个倒角的基本型，那这一期视频的话难度非常大，也是压轴题，如果你想冲一百一十五以上是必须要掌握的，当然如果你是一百一以下的， 你只做一个了解就可以了，那需要电子版资料的评论区留言。倒角问题的难点除了孩子们不知道怎么倒，最大的问题就是孩子根本想不起来去倒角，因为很多题他不需要倒角，他就可以直接做，所以孩子根本想不起来，你需要进行复杂的倒角，最后找出角的疏远关系，才能决定你怎么做副线。 那常见的涉及到倒角的问题有以下几种，第一个就是咱们要说的这个二倍角，关于二倍角的话，那属于几何压轴里面一个比较重要的专题，同时也难度比较大。那二倍角的常见的处理方式有四种，第一个是等腰法， 等腰法的意思是你可以以这个二倍角为外角去构造这个等腰三角形，你看咱们以二倍角为外角构造等腰的时候，现在里面这个等腰三角形，它的底角是不就是 r 法？ 那第二个等腰法，你也可以以这个小的 r 法为等腰三角形的底角去做一个等腰三角形，这样你做完之后是不就能把这个二倍角转化出来了，外面这个角就是二倍角， 那不管哪种方法倒角的核心，这个二倍角的核心都是要转化相等角，你要么把二倍角变变成它的半角，要么把这个半角变成它的二倍角。 那第二种方式就是很直接，直接做这个二倍角的角平分线就可以了。你做完角平分线，有角平分线，是不就可以想到角平分线的那些相关辅助线。 第三个是对称法，是把这个 r 法，把这个半角以它的一条边为对称轴进行翻折，比如说我这里就把下面这个角往上翻折，是不就构造出来了一个新的二倍角？ 那还有一种方法就是咱们这个顶角法，也是常说的那个绝配角。好多同学其实听过绝配角，但是不知道怎么用。绝配角很简单，就是以这个顶角，以这个二阿法二倍角为顶角去构造等腰三角形。凡是涉及到绝配角的问题，一般难度都非常大。 那顶角这个顶角法指的就是出现二倍角的时候，你可以以这个二倍角为顶角去构造等腰，构造完等腰，这个等腰的两个底角就都是九十减二法。 然后我们再看一些二倍角通常和哪些东西是组合到一起的。第一种就是二倍角和角平分线的结合，那如果遇见二倍角，像我这个图里有二倍角，有单倍的小角，还有一个角平分线，那我们肯定想我要构造的是 角平分线的翻折的辅助线，那我可以把这小的三角形 a、 d、 c 往上翻，就是第二个图里面我翻上来啊，我这个是翻的是第三个图啊， 比如说第三个图里，我先把这个 a 得 c 往上翻，翻上来之后，那这个二阿尔法是不就跑到这来了？那再加上这个角 b 是 阿尔法，所以是不就能得到这个角？ bdf 也是阿尔法， 也就是说此时这个 bdf 是 不是就是一个等腰三角形？那第二种翻的方式就是我这第二个图里，我可以把这个 a、 b、 d 这个三角形以角平行线为对称进行翻折，翻到 a、 d、 e 这块了，翻完之后，我是不就把这个阿尔法这个小角转移到角 e 的 位置上来了？ 再加上这个 a、 c、 b 是 阿尔法，你是不是就能正出三角形？ c、 d、 e 也是一个等腰三角形？第二种组合方式就是二倍角加直角，当二倍角它同时出现在直角三角形里的时候，那咱们的方式有很多。第一种 你可以以这个 r 法，就这以这个单倍的小角，以它的直角边为对称轴进行翻折。我把这里的 a、 c、 d 是 不可以翻到 a、 c、 e 这上来，你翻完之后是不就能得到这里的角 e 是 九十减 r 法，你得到它有什么用？你再加上原来的角 b 是 r 法，你发现这个角 b、 a、 e 是 不也是九十减 r 法？ 所以是不就能推出一个等腰 b、 a 等于 b、 e 来？这是一个方式。那还有一个方式是我可以直接翻折这个大的三角形，我把 a、 b、 c 以 a、 c 为对称轴翻过来，翻完之后你就能得到这里的倒角，就能得到 e， a 是 等于 e、 d 的， 它是一个等腰。 或者是我可以以这个二倍角为外角去构造一个大的等腰三角形，那这时候当 b a 等于 b e 的 时候，咱是不就能出现新的 alpha 这个小角？ 那第二个二倍角里的问题就是绝配角。绝配角它其实也是肯定是涉及到导角出来二倍角的问题，那什么是绝配角？它的定义指的就是一个角和它一半的余角就是绝配角。什么意思？比如说阿尔法和它的一半是阿尔法，那阿尔法的余角是不是九十减阿尔法， 所以一个角和它一半的余角，这两个角是能组成绝配角的。那为什么要绝配角呢？因为这两个角你放到一个三角形里的时候，正好它是这个，它会变成一个等腰，因为你去推的话，另一个角它肯定也是九十加二， 所以绝配角它指的就是两个角是能构成等腰三角形的。那什么时候你涉及到绝配角的时候，你可以去以二倍角为顶点去勾到这个等腰三角形。 第二种就是题里比如说给你了角 a 等于九十减去二分之一角 b 这种，那这时候是不是就是出现了角 a 和角 b， 他 们俩就是满足绝配角的关系的？因为 a 是 不是正好是角 b 一 半的余角？如果题里给你这种角的数量关系，那也是涉及到绝配角的， 那绝配角咱们的常用的方法是什么？第一种就是你需要倒角，出现绝配角肯定是需要倒角，因为很多时候你看题里给你两个角是绝配角，但是你最后实际用的不是他俩，是你自己倒角倒完之后其他的角，你发现其他的角也有绝配角，你是用的其他的角， 那咱们在倒角的时候，常见的是设这个等腰的顶角是二阿尔法，那等腰的底角就是九十减阿尔法。你像我下面这三个图里都是，我可以设这个，第一个图里顶角是二阿尔法，底角就是九十减阿尔法。 那第二种就是出现二倍角的时候，咱们就可以以这个二倍角为顶角去勾到等腰。那常见的几组绝配角都有什么？第一个就是二阿尔法和九十减阿尔法与四十五加上阿尔法， 那反过来是不是就可以变成九十加上阿尔法和四十五减阿尔法，他俩是不也能组成绝配角？同样的是六十减阿尔法与六十加上阿尔法，或者是六十加上阿尔法与六十减阿尔法， 这都是可以组成绝配角的，出现这些角你要知道，哎，那大概率是会出现同样的形状，那跟绝配角特别像的一个东西。其实你也可以看成绝配角的变形，就是一个叫镜面角的东西， 它指的是咱们可以把这个 d、 c 看成是一个入射的光线，那经过镜子 a、 b 反射之后， c、 e 就是 一个反射光线，那这时候是不就有这入射角 alpha， 等于这个反射角这 alpha， 所以 咱们是给它降成镜面角，给它看成一个镜面的反射光线的问题。那对于镜面角，咱们核心思路就是将相等的角转转移， 那咱们这里转移的方式有两种，第一种我可以把这个其中一个角的线延长，比如说我可以把这个 e、 c 延长，延长之后是不是就能把这两个相等的角转化到这来了？那比如说第一个图里现在是不是就变成了 a、 c 平分 角， d、 c、 f 平分之后，咱是不是就可以用翻折角平分线，翻折的辅助线构造一个全等？那第二个图也是， 那或者是你在这组光线就入射光线和反射光线之间做一个平行线，就做这个镜子。平行线做完平行线之后，是不是就能把这两个相等的角转化到 m 和 n 这两个角的位置？转化到这之后，你发现这里的 c、 m 和 c、 n 是 不是就变成一个等腰三角形了？ 接下来咱们要说的是这个等腰基本形。等腰基本形指的不是像手拉手等腰这种的，指的是三个东西，第一个共底双等腰，第二个是共顶三等腰，第三个是 共底共腰双等腰指的是这三个双等腰。那出现这种双等腰的时候，咱们肯定是需要倒角的。那咱们看啊，先看这个共底双等腰什么意思？它是指两个等腰三角形，底边在同一直线上。比如说像这两个图 都是属于 a、 b、 c 是 等腰，然后 a、 e、 c 也是等腰，那这两个等腰上角，你看它们的底边是不在同一直线上， 同时其中一个腰，一个等腰上角的顶点是在另一个等腰的腰所在直线上。比如说第一个图里点 d 是 不是在 ab 上？ 第二个图里点 a 是 不是在 d、 e 这条线上？这都是属于共底双等腰。共底双等腰重点强调的是底是在同一条直线上的，那出现这种共底双等腰的时候，我们一定是需要导点的。然后有同学就说，老师这里有没有结论？有结论的 那结论是这些每个图里都有结论，所以大家不要去硬记这些结论啊，你就记住一点，出现共底双等腰，你需要去倒角就可以了。那像这里面，比如说第一个图里，你习惯了之后，你能直接导出这两个角相等的，后面这图里也是这俩角相等的，这个图里就是这俩角是互补的。那第三个图里也是这俩角是 有数量关系的，那我们该怎么去记？你不需要去记哪个图里该有什么数量关系，你就知道出现这些图里，你需要去倒角，那至于哪些角有数量关系，这个是需要记的，你记着是腰与腰的夹角，左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系的。 你看这里面每个角是不是都是左侧的两个腰的夹角与右侧的两个腰的夹角是有数量关系，你不需要去记。什么数量关系啊，你只要知道它是有数量关系的，然后你遇到题，你自己去倒就可以了，你要记的话是容易记乱的。那怎么去倒？咱们就是 倒角的基本方法就是设等腰上学的顶角为阿尔法，一个是阿尔法，这个角是二倍的，那第二个图也是一个等角，这是阿尔法，另外一个是二倍的，你把你要倒的这个角倒出来就行。比如这是阿尔法，这是二倍的，你倒完之后肯定是倒，能倒出这两角是有什么数量关系的，要么相等，要么互补的。 那对于底下这些，拿到电子版资料，同学你不要去记啊，你一定不要去背，你要去会导，可以自己去尝试导。那咱们共底双等腰导完之后，通常都会出现一边一角相等的一个情况， 所以就是咱们上期讲的，你通过导角之后，就要变成了边角构造全等的一个思路，去一边一角去挣全等。那除了共底双等腰，第二个就是共顶三等腰。 共顶三等腰他他的特点更明显啊，就是指同一个顶点引出三条线段，他跟构造手拉手的那个鸡爪图是非常像的，但是区别在于构造手拉手的那个鸡爪图，那三个线段不一定相等的， 但是共顶三等腰里，它这三个线段一定相等，比如说这三个图里都有 a、 b 等于 a、 c 等于 a、 d， 有 它们三相等，你发现我是不就能出现三个等腰？比如说第一个图里，你看 a、 b、 c 是 不就是一个等腰？ a、 b、 d 是 不也是一个等腰？ acd 是 不也是一个等腰？所以它们叫共顶三等腰。 共顶三等腰里，它的角数量关系更多了，所以大家不要去记啊，越记越蒙，一定记着你就出现这种倒角的，你就去设未知数倒角就可以了。 那第二个图、第三个图都是共顶三等腰，那咱们常见的是在正方形里，因为正方形里头四个边相等，在菱形里面也常见共顶三等腰。那比如说我现在把一个正方形的边旋转旋转之后，哎，你发现这三边是不相等的， 所以这里面就一定会出现共顶三等腰。在正方形里面旋转的时候出现共顶三等腰，大家一定要注意去倒角啊，好多时候都是你通过倒角去倒出特殊特殊的度数来，比如说九十啊，垂直啊，或者是四十五度啊这种的，你进而决定了你要用什么思路。 那对于共顶三等腰，咱们也是倒角，一般思路倒角倒角之后通常有一边一角相等或一边一角互余，然后我们再去构造，手拉手去等。 那第三个就是共腰双等腰。共腰双等腰的话比前两要稍微简单一点，但是它的频率我感觉要比前两高一点，那也是在初三的几何压轴里面出现的比较多的。你像这回大人的异模就是初三的异模，就出现了共顶三那个共腰双等腰的一个问题。 那我们看啊，这里面共腰双等腰指的是两个等腰三角形，只要腰在同一直线上就可以。比如说这个图里面 ab 和 abc 和 abd， 他 们的腰是不是就在同一条直线上， 所以这个就属于共腰双等腰。那这个共腰双等腰的结论你可以记一下，因为这个比较简单，它的结论就是 底两个底的夹角与不共线的那两个腰夹角是存在数量关系的，就两个底的夹角是不共线的两个夹角的一半。至于你到底判断谁是谁，谁是谁的哪个角， 谁是谁的一半，你就自己去倒角就行了。你比如说这里的角 f， 你 怎么判断它到底是 b e c 的 一半还是 a b 的 一半啊？你看不出来对吧？那你就去倒一下就完事了。 那对于第二个图里很容易看了，两个底的夹角是不这个角 g， 那 两个不共线的两个腰的夹角是不是这里的这个角？ 那是不就是角 g 很 明显是等于一半的个 h c 吧，不可能是不等于 a、 a、 h 的 一半，所以这里面它是比较好挣的。那对于共腰双等腰的话，咱们有一个特殊的情况，就是当共腰、双等腰，那两个不共线的腰是垂直的时候。比如说这样， 我这样画一下，现在假如说这里有一个等腰三角形 a、 b、 c， 我 写一下 a、 b 等于 a、 c， 同时这里面还有 be 等于 b、 f， 有 个 be 等于 b、 f， 那 当它们相等，你看这是属于共腰、双等腰，然后同时不共线的两个腰 b、 f 垂直 a、 c， 这时候一定会出现一边一角互余、勾全等，我们通过导角是能导出这个角 f、 b、 c 与这个 a、 b、 c 是 互余的，这两个角互余，同时它们的邻边 b、 f 和 b、 e 是 不是相等的？ 所以那两个角互余，两个角是邻边相等，那咱们就直接做垂，过到全等就行了。过 f 向下做个垂，再过 e 向下做个垂，就能得到这两个三角形，他们俩是全等。大家要记住这共腰相等腰，这里共线，两个腰垂直，这个情况它是非常常见的。
483喜欢数学的张张张张
10:17查看AI文稿AI文稿考试老师给大家找了正方形九个小模型啊，如果考到正方形的话，基本上就是这些东西。好，先来看一下括号一，这是一个十字架模型 啊，告诉这两个线段是垂直的，那么我们就能证出他俩是相等，如果告诉他俩相等，我们也能够证出他是垂直，对吧？好，把这个角设成角一，这个角设成角二，这个是角三， 一加二九十，二加三九十呢？一就等于三，再加上直角和直角，还有一个边， ab 等于 a， 得，是不是这两个三角形全等， 对吧？全等完之后就能证出 b、 f 等于 a、 e， 但是这个题啊，它通常不这么考，它会有一个变形，就是这两个线段它不在那个角上， 比如说这是一个正方形，然后给来一个这样的一个边和这个边是一个垂直，对吧？这样的话，我们也能够挣出这两个蓝边是相等，辅助线依然往下去做个双垂 好，然后就能证出这两个直角，三角形全等。先看边有啥啊，是不是这个 e f 应该等于这个边长，然后这个 c d 也等于这个边长，是不是 e、 f 和 c d 就 相等， 对吧？然后还能证出这是一个直角，然后这是直角，这也是直角，是不对。顶八字就能证出这个圈等于这个圈，然后还有一个直角等于直角，那这两个三角形是不是也全等， 对吧？ ok， 来看一下第二个小模型，就是考察的是正方形的对称性， 我们知道它的对角线是平分这组角，并且都等于四十五度，然后又因为 ab 等于 a 得再加上一个公共边，是不是这两个三角形全等，对吧？好，再来看一下第三个小模型，考察的是 它的对角线是互相垂直并且平分，也就是说这个是一个等腰直角三角形， 然后又因为这也有一个直角，是不是这个圈角就等于这个圈角，再加上这个是四十五，这个也是四十五，是不还能证出这个 o b 等于 o c， 那 这个三角形和这个三角形全等，那么 o m 就 等于 o n， 对吧？这里头还是还有一个叫做四边形对角互补，这是直角，这也是直角。四边形内角和是三百六，说明我们这个单线角加上这个双线角是不等于一百八， 然后他加上旁边这个角也是一百八，所以说这个角也能够直接正出，等于它，对吧？啊？好，再来看一下第四个小模型， 这是我们上一期讲过的一个半角模型，如果告诉我们这个角是一个四十五啊，那就能证出这个边 加上这个边它是等于这个边，那这个题啊，我们应该去不延长啊。 c 的 到达一个点 k， 然后让的 k 呢？是等于底下的 b e， 是不是就能证出这个三角形？然后跟我们的 a 对 k， 它俩就全等， 对吧？它俩全等完之后，是不是能证出 a e 等于 a k 还能证出这个 x 角等于这个 x， 对 不对？那因为原先的这个是四十五，这是九十，说明 x 加上这个 y 是 不等于四十五，这个就是四十五， 对吧？这个四十五等于这个四十五，再加上一个公共边，再加上刚才的 a e 等于 ak， 是 不是这个大的和这个大的就全等，那么啊， f k 就 等于 fe， 然后 f k 呢？又等于绿的加蓝的，那所以说这个绿加这个蓝就等于这个黄， 对吧？好，下一问，下一问。也是一个半角模型，还是把这个角设成一个 x， 这角设成一个 y， 如果这个是四十五，那 x 加 y 就是 四十五，对吧？他想让我们求是这个一号线段、二号线段、三号线段的一个关系， 现在这三条线段共线了，那一定是构造一个旋转，把某两个边或者某一个边给它旋转出来，对吧？好，我们知道这里头啊，有正方形，它就有等腰直， 是不是这个边跟这个边相等，并且这是一个直角，那想去构造旋转的话，我们一定是构造手拉手， 对吧？那也说我们可以去做一个它的等腰值，比如说我们呃让 a k 垂直于一个 a e， 并且 a k 等于 a e， 然后接下来给这个 k 的 连接起来， 是不是这个三角形跟这个三角形就手拉手，全等，对吧？全等完之后，我们是不是能把这个一号线段就给他导到这，然后这个是四十五度，这个也是四十五度，原先的这也是四十五，所以说这是一个直角， 那一号线段加三，一号线段的平方加三号线段的平方是不是应该等于 k f 的 平方？那接下来我们证明 k f 等于 e f 就 行，对吧？是不是又是刚才这个模型证明全等， 那他俩为啥全等呢？先找边啊？有 a e 等于 ak， 还有一个公共边，是不是就证明这个角等于四十五就行？ 它等于四十五是为啥呢？因为这个 x 导到这， x 加 y 是 四十五，这个 x 加这个 y 就是 四十五，所以说它就是四十五，然后这个角也是四十五，所以说全等下一个。 这个是前两天数学课上咱们讲的那个十五个变形，对吧？这是最简单的那一个啊，很多同学肯定是直接往下做垂，做完垂之后你挣不住全等，因为它没有边， 对不对？那这题啊，我们应该在这取一个 b k 等于 b e， 对 吧？一连接，那这个角就是四十五，这个是一百三十五，然后这个角也是一个一百三十五， 对不对？那边是啥呢？因为 ab 等于 bc， 用等量减，等量能减出 ak 是 等于 c e， 对 吧？还有一个角是啥呢？我们知道这个叉角加上九十等于这个大角，大角又等于十加它，所以说这个角是一个叉， 那两个角相等，再加上一个边，所以说全等，对不对？ ok， 再来看一下第七个， 这是一个比较基础的啊，叫做一线三等角。那咱再复习一下一线三等角，现在这个角是一个九十，然后有一根线穿过了这个角， 对吧？我们应该从等腰直的两个端点往这根线上也做一个，跟这个角相等，对吧？那也说过的点往这边做一个垂，过 b 点往这边做一个垂，这样的话就一定能够挣出这个三角形，跟这个三角形全等， 对不对？这个模型类似于刚才的十字架啊。好，再来看一下后两个，后两个啊，是四边形对角互补，对吧？我们知道这个角加这个角等于一百八，是不是？就是这个角加上这个角等于一个一百八， 对不对？那一会啊，要么延长这边这个找他的补角，要么是延长这边找他的补角 好，这种辅助线通常怎么找呢？你一定看到这里头有一个根号二倍的 e a， 是 不是那什么里头才会出现根号二倍的 e a 啊？等腰直，并且 e a 要当直角变，对吧？那接下来我们就去过 a 点 去做一个垂直，对吧？但是啊，这个时候你不能让他俩相等啊，因为我们还想要一对的延长线，所以说我们把这个边给他延长出来，对吧？那这样的话，是不是能构造出这个单线角，应该等于这个单线角， 对吧？然后呢，又因为俩直角叠到一起，是不是这个圈角等于这个圈角？还有一个 ab 等于 a 得，那这个三角形跟这个三角形是不全等全等完之后能证出 e a k 是 个等腰值，那么 e k 就是 等于根号二倍的 e a， 然后呢？呃，又能证出得 k 等于一个 b e， 所以 b e 加 e d 就是 根号二倍的 e a， 对吧？好，最后一问也比较简单啊，因为这块是一个直角，这也是个直角，首先你目测一下，是不是有个对顶八字，对吧？对，顶角相等，那这个角是等于它 对不对？然后我们想找根号二倍的 c e， 那 是不是还是要做一个 c e 的 一个等腰值？做不了等腰值，我们先做一个垂直 啊？先正先知道这是个直角，接下来再证明他是等腰，是不是就证明这个三角形跟这个三角形全等就行， 对吧？全等的俩角，一个是圈角等于圈角，还有两个直角叠到一起，是不是这个叉角等于这个叉角？然后还有一个 c b 等于 c d e 全等完之后，那是不是就能证出 b e 等于 d k， 还能证出 e？ c k 是 个等腰值， 那所以 c k 就是 c e 的 根号二倍。然后 c e k 呢？又是等于的 e 减去一个的 k， 那 所以的 e 减 b e 就 等于根号二倍的 c e。
1480大连百鸣数学李老师
08:19查看AI文稿AI文稿哈喽，机智的你，又见面了，这节课呢，咱们来看一道八年级的小压轴题啊，一道求最值的题型。 同学们呢，依然自己先暂停去思考，思考完呢，咱们一会回来，咱们一会见。好，咱们回来。首先这道题他和我们以前学过的平移型的将军一马，平移加上将军一马啊， 它是非常非常像的，对吧？我们回顾一下，将军印码呢，是有一个动点，两个定点，对吧？你看 上面 a 点这边， b 点在直线上有个 p 点， a p 加 b p 要最小。 平行将军码呢，它就不是移动的点了，它是移动的线段，它会说，哎，在这个线段上呢，有一个长度为，比如说小 a、 e、 f， 它是一个移动的线段，在这条直线上运动，让我们找 a e 加上 b、 f 最小， 或者有的题，它会这么出，它连接 a e， 连接 b， f， 连接 ab， 求 a、 b、 f、 e 的 周长最短。 实际上这道题我们要求周长最短，它有四条边，这是一号边，这是二号边，这是三号，这是四号， 那么一加二加三加四要最短，其中的一加二，实则它就是一个定值，对吧？ 那么求四边形的周长，它的本质依然是三加四是最短，那这就是我们的三，这就是我们的四。哎，当有线段的平移时候啊，线段的移动，我们就叫做平移型的将军嘛， 我们具体是怎么做的，大家还记得吗？你可以暂停思考一下啊，咱们一会回来，那咱们回来 平行的将军马，它的本质依然是划折为直啊，把我们这里的 a、 e 和 b、 f 划到同一条线段或者直线上来， 哎，那将军马的对称我们就少不了。首先以线段所在直线为对称轴做定点的对称点，你做 a 的 对称点也行，做 b 的 对称点也行。好，我们先做一个下来， 这里我们记为 a 一。 我们在刚开始学平行将军马的时候，很多同学还不太好理解，为什么我们要在这边构造一个平行四边形，但是八下咱们现在学了平行四边形以后，哎，它就好理解了。 那我们对称完之后不能直接连接，对吧？如果说我们直接连接看一下啊，我们直接进行连接啊，假设这里是我们的 f， 往回推呢？可能有我们的 e， 对 不对？因为 e 和 f 呢，是一个线段在平移，那么你会发现，如果这里是 e， 我 们连接 a e， 这个 a e 和 b f， 它有在同一条线段上吗？啊？ b f 当然在这，但这个线段显然不等于 a e， 对吧？所以有线段的平行性。将军马我们不能说简单，做完对称之后连接， ok 吧？好，我们一会儿回来啊， 那接下来我们要 a e 和 b f 最短，当然这个对称点我们要相互靠拢才比较好， 所以中间这里的平移，你不能往这边平移，对吧？你应该往这里的定点呢平移，平移到这儿平移多少呢？平移 a 个单位长度，这边呢，我们就记为 a 二了， 这个时候我们再进行连接，连接这里的 b a 二，好，这里呢就是我们的 f 往回推 a 个当 a 个单位长度，这里呢就是我们的 e， 当你把这里的 a e e 连接，哎，你会发现神奇的事情出现了，为啥呢？把它也连接了吧。 如果 a e 这里我记为一号线段，我们做了对称之后，这里的 a、 e、 e 也是一号线段， 那么我们这里它的长度是 a， 它的长度是 a， 是 平行的一组对边平行且相等，所以这是一个平行四边形，那么一号边就跑到这里来了。 好，这里是我们的二号边，是吧？是不是相当于就把 b f 和 a e 划到了同一条线段上？ 哎，你自己思考一下，对吧？哎，我们的平行将军嘛，就是这么做的。做对称，做平移连接， 对吗？那么这道题你会发现它有一点变形，确实有 e、 f， 有 固定的线段在平移，但这里不是两个点，这里是一个点， 对吧？但它的本质是相同的。当我讲完平易近将军嘛，你回过头来看自己能不能解决道题，你先暂停思考啊，一会咱们回来， 这里的步骤呢，依然是相同的，是吧？虽然刚才这边是两个点，我这里一个点，依然以动线段所在直线作对称点，这里是个正方形， a 的 对称点就在 c。 然后呢，咱们进行一定的平移啊，当然这里只有一个点，刚才是两点的时候呢，我们要朝里面个定点进行靠拢，这里是一个点啊，你往下坐或往上坐都 ok 了，我们就往这边坐吧。 平移平移多少单位长度呢？根号二，我们这里呢，记为 c 一， ok 吧？那剩下也就一样了，连接这里的 a c 一， 这个点呢，就是我们要的 f 往回退，根号二，这里呢，就是我们的一，对吧？好，你看连接这里的 c e， 这里 c e f e c 就是 平行四边形。当我们连接这里的 a e， 这里是一号边。好，这里是做了对称，这里也是一号边。平行四边形，这是一号边，所以把这个一号边和二号边的 a f 呀，我们这节呢就是 a e， 把 a e 和 a f 呢就到同一条线段上了， 对吧？哎，我们的目的也就达到了，这会儿 c e a 就是 我们要求的 a e 加 a f 的 最小值，那怎么求呢？显然是不是要去 a e a f a c e 呢？靠着它去找一个 直角三角形，对吧？直角三角形中间我们会发现本身它和它就是对称的，所以两个对称点给它一连接， 这里呢是垂直的，它是对称轴对吗？这里是垂直，我们做的 c e c， 它本身和 e f 又是平行的，那么这个地方就为垂直， 所以 a c e 所在的直角三角形啊，也就出现了，也就出现了。那这里为根号二， 那它的边长是四是吧？那整个这长度呢？是四倍。根号二，根据勾股定律，平方完之后三十二，平方完之后二是吧？所以这里的 a c 一， 也就是我们这里答案应该为根号线的三十四。好，咱们总结一下，除了我们看到有移动线段，能想到平行的将军网， 那这个地方你还要注意啊，对称点，如果以后咱们遇到有对称点，一定要去找找他的对称轴和对称点连线啊，这里有垂直关系，我们是经常常用的一个知识点， ok 吧，那么希望这节课对你有帮助，再见！拜拜！
25:47查看AI文稿AI文稿几何压轴比，你家孩子是不是也会出现这样的情况？辅助线他看答案能看懂，但是自己做的时候就想不起来怎么做。那这个问题主要产生的原因是有两个，第一个是孩子们他对八下的几何模型辅助线根本没有系统的概念，他可能零散的都知道，但是他穿不起来。 那第二个问题就是他不知道什么情况下该用哪个辅助线。那从今天开始，我将用四期视频把八下的几何模型辅助线从头去捋一下，那这四期视频每一期会讲这一块的内容，这四块内容分别是这四大模块， 然后这四大模块里面其中第三个是属于最难的，我这块已经标注出来了，它是属于高分一个选学内容。这高分指的是什么？指的是如果孩子你能数学稳定在幺幺五以上，你想去冲一百二满分的，我指的是一百二满分啊， 你想去冲满分的，那你就需要知道这两个，因为你在初三包括压轴题里面，他会经常出现倒角的问题，那倒角的话这些都是非常常用的。 看完这四期视频，孩子至少能建立一个完整的几何向量的体系，那孩子拿到题至少能知道往哪个方向去想，需要电子版资料，以及想进资料分享群的评论区留言。 因为内容很多，所以我不会像讲新课一样非常详细的去讲，我只是把这几个去梳理一下，把他们重要的程度以及特点去说明一下，那孩子们可以去依照这个去进行深入的去学习啊。 那首先第一个就是购物与解三角形，那这个的话它重要程度肯定非常高，也是最容易忽略的，因为孩子们都觉得购物理解三角形特别简单，他们理解的解三角形就是在直角三角形里求变长。但实际上解三角形是现在中考几何压轴最热门的考点之一， 就可以说最热门啊。那这里面的话，那解三角形指的是在三角形中求边长角度或者面积都算解三角形，这个三角形指的不是直角三角形，你任意的三角形都可以，那它的基本原则是三角形里面是有六个条件的， 那三边三角，那三边三角的话，已知任意三个条件我们都可以解除。其余的条件，比如说已知两角一边，那 a、 s 或 a s、 h 都属于两角一边啊。可是你不用去分顺序，你只要知道两角一边都可以，或者是两边一角也可以， 或者是一边一角加上另外两边的数量关系，这个是比较特殊的。那另两边数量关系指的是你这两个边能知道他们的加减数量关系。比如说举个例子啊， 你像这种呢， a、 b、 c， 比如说这是三，然后这个是三十度，你另外两边知道一个是 x， 一个是 x 加八，那像这种另外两边是能用同一个位数表示的，那他们俩放到一起就可以算一个条件， 所以加到一起三三十度和另两边关系，它也算三个条件。那接下来每种情况咱们分别去说一下。第一种，两边一角，两边一角指的是已知两边长和一个角，这个角是任意的角啊，那我们在求边长的时候，永远是做这个特殊角所对的高，你直接过 a 做这特殊角所对的高就可以了。然后尽量不要把已知的条件去拆开，你像这里给的是 ab 是 二， bc 是 四，如果你做的是过点 b 做垂的话，你把这特殊角就拆开了就不行了。那这里面咱们既然说做特殊角所对的高，所以你过 c 去做垂也是可以的。 然后第二个情况是两角一边，两角一边指的是已知任意两个角和一个对角，那像这里面角 b 是 六十角， c 是 四十五，然后你要求 a、 c 的 值的话，那咱们涉及到角肯定是一定做特殊角所对的高，所以这里面就是做这个角所对的高，直接这样做垂就可以。那这里面是有一个比较特殊的，就是如果这个角它是钝角怎么办？那咱们钝角这个角 不管两角一边还是两边一角里，这个角指的是这三角形的内角或者外角都可以，那你要找的特殊角就是三十、六十、四十五，那包括他们的一百二、一百、一百、三十五，这都属于特殊角。 你像这种呢，比如说他这个角 c 是 一百二，那你没法做一百二左右的高啊。那你就如果是钝角的话，你就做他的临补角，这时候你就把这个四十五和六十当成特殊角了，那你做他们俩的高就是过 a 座，而不是要过 c 座。有好多同学是过 c 座，你过 c 的 话，你把这特殊角一百二拆下去就没有用了， 所以一定是找到你最终要求的那三个特殊角，三十、四十五和六十。咱们出种只有这三个特殊角啊，其他的全通过他们去推出来的，所以你在求上弦的时候都是用他们三个所对的高。然后我们再看下一种情况，下一种情况一边一角及另外两边的数量关系， 一边角及另外两边乘法关系。我刚才简单提了一下，比如说这里面它角 b 给你一百五，然后 bc 是 三 ab 加 bc 是 十二，那咱是不是就可以设 ac 是 x， ab 是 x， ac 是 十二减 x， 你 设谁都可以啊，那这里面咱们是不是就要找一百五所对的特殊角，它的特殊角是不是三十？所以你要做它所对的高，那此时这个 a、 e 是 不是就二分之一 x， b e 就是 二分之三 x， 然后你在大的三角形 a、 c、 e 里面是不是就可以勾股定的方程去解 x 了？ x 求完 a、 b 就 知道。那第三种情况是已知三边关系， 已知三边关系的时候，我们可以求三边的高以及三角形的面积，那这时候咱们用的就是双勾股的一个方程，比如说你现在已知这个三边长分别是三、六、五，那你就可以做任意一个变成高，比如说我做的是 b、 c 变成高，说这是 e， 那此时咱们就以这个公共的高 a、 e 为等量关系列方程。你设 b， e 是 x， c， e 是 不是六减 x？ 那 么在 a、 b、 e 这个直角三角形里，是不是就有 a e 方是等于三方减 x 方，同时在 a、 c、 e 里面 a、 e 方是不是也等于五方减去六减 x 平方，咱是不是就可以去求出 x 了？ x 值求完之后你是不是就能求出 a、 e 的 值？那这时候三角形 a、 b、 c 面积是不是可以求了？ 那刚才咱们说的是常规的减三角形，那接下来说的是你需要用勾股定底的地方。用勾股定底，咱们常用的就是勾股方程，尤其是在像什么翻折呀或那正方形计算里，经常需要勾股方程。那勾股方程咱们分成以下几个。第一个是单勾股方程，这个比较简单， 单勾股方程指的是你就找一个直角三角形，然后你去列一个勾股定的方程就行了。那这种单勾股方程的特点就是这个三角形里一定是有一边长是你已知的，并且另外两边你是知道它们是等关系。比如说这里面 a、 c 的 值是五，你能知道那 ab 加 bc 是 十，那你就可以设 abc 是 x， a c， ab 就是 十减 x， 然后在这里列个勾股方程，咱们通常是出现在三折的问题里。 那第二种的话就是双股五方程，双股五方程也是比较隐晦，好多孩子在压轴图里看不出来的。双股五方程它的特点就是只要两个直角三角形有公共边， 你就可以以这个公共边为等正关系确定方程。那比如说像下面我出的这个情况，那这时候它既然有 a、 b 加 c， d 是 等于十的，那 b、 c 是 等于八，我们是不是就可以设 c， d 是 x， 那 ab 就是 十减 x。 你设个未知数之后，把其余的边表示出来，是不是就能以 a、 c 为等量关系去列和各五以内方程？ a、 c 方，你在 a、 c、 d 里面 a、 c 方是不是八方减 x 方，然后在 a、 b、 c 里面 a、 c 方，是不是就等于十减 x 的 平方，减六的平方。 那双股五方程的情况很多啊，只要俩三角形是有公共边，你都可以考虑是不是能用双股五。那我刚才列的这个是直角边，是公共的，它是不也有可能是斜边，是有公共边这种的？那你这时候是不是就以这个斜边为等量关系，去列个双股五方程？ 或者是这种情况是不也行？也是两个直角三角形 a、 b、 c 格，你可以以 a、 b、 c 为等量关系，是不是列个方程在 abd 里是不是就是 abd 方减去 b、 d 方，这都可以 勾股里的。第二个结论是这个勾股与旋转，那勾股与旋转的话，咱们主要是分成两大类啊，一是绊脚模型，第二个手拉手。那至于其他的，其实你都可以近似的给它看成是构造手拉手。那这里面有个选学的内容是飞马点，咱们放在最后说。 首先第一个半角模型，半角模型的话也是在正方形里经常会出现的半角模型，我后面的正方形里就不会再重新去详细的去讲这个了。然后我们看啊，那在半角模型里面它常见的情况，第一个就是二倍角与 这个半角是有公共顶点的，那二倍角与半角有公共顶点的话，那此时你看这个情况，这时候就是这个二倍角是在这个半角的外面，或者是说这个半角完全在二倍角的里面。 那第二个情况是这个半角在二倍角的外面一部分，那不管是哪种情况，咱们半角模型旋转的原则都一样，大家就记住一点啊，半角模型是需要挣两个全等的，第一个是你最开始做的辅助线，这个旋转全等，因为咱们旋转是不能做说你把那个三角旋转到哪的， 所以你需要通过什么延长啊，做角啊，先去把这个全等方程做出来，做完之后先正这个旋转的全等。第二个是以半角的一边为角平分线，去证明那个翻折的全等，那这个是什么意思呢？大家这些题可以自己去正啊，然后如果有不明白的可以评论区留言。 我们看这里面，比如说以他第一个举例子，我们半角模型刚才说了核心是什么核心？你要确定你旋转的是谁，对吧？他有两个重要的地方，第一个你需要确定什么东西是半角模型那半角模型的特点，第一个就是只要有一个二倍角和一个半角，他俩是有共同顶点的，这就属于半角模型。那 分情况你就可以分成这个半角在二倍角里面，也可以在这二倍角外面，但不管哪个，接下来就是第二个原则，你旋转的时候你识别出来半角模型，你接下来你要旋转，那你旋转的是谁？ 记着旋转的时候你先把这个半角和二倍角找到，你找到之后，你把这个半角它是不是有两条边，一个边，咱们给它看成左侧的边，看左边右侧边，那二倍角是不是也有两个边，一个是左侧边，一个是右侧边， 那所以咱们旋转的时候，旋转的就是半角有二倍二倍角，这个两个左所围的三角形，或者是两个右所围的三角形。也就是说你旋转的是可以是这两个左侧边所围的三角形， 或者是这两个右侧边所围的三角形，那在第二个图里面，你看左是不是这个，那 这个半角的左是这个，然后二倍角和半角的右是这个，那你旋转的左是不就是他俩所围的三角形，或者是旋转的右所围的三角形？是不？这个，那对于我给的这两个例子里面，那也是咱们经常需要证明的东西。那像这里旋转，那咱们比如说举个例子，你找一下啊，这是左， 这个是右，然后 a、 d 是 左， a、 e 是 右，所以你旋转的是 a、 b、 d 这个三角形，或者是 a、 c、 e 这个三角形，那对于下面这个图，左侧是 ab， 右侧是 a、 c， 左侧是 a、 d， 右侧是 a、 e， 那 这时候你旋转的是不就是两个左 a、 b、 d 所围的三角形，或者是两个右 a、 c、 e 所围的三角形？那不管哪种情况，旋转的原则，所有的旋转啊，包括手拉手啥的都是一样原则，就是绕着相等边重合，那比如说第一个， 那相等边指的是不是 a、 b 和 a、 c， 你 绕到相等边重合，重合顶点 a 旋转，使相等边重合，所以比如说你转的是 a、 b、 d， 那 是不是就把 a、 b 转到 a、 c 上了？是不是相当于旋转九十度，所以 a、 d 就 转到这了。 那第二个图，比如说你旋转的右侧这个这个三角形啊，那咱们使相等边重合，然后绕重合顶点旋转，把相等边转到重合的位置，把 a、 c 转到 ab 上来。所以那这时候是不就是相当于你逆时针、顺时针转了九十度，顺时针转九十度，那这个 a、 e 是 不是也是转九十度往下，对吧？是这样的， 所以半角模型它的两个重点，一，你要识别半角模型，第二个你要知道旋转的问题，你旋转的是谁， 然后下面这一点是属于半角模型里的特殊结论，他这里没有半角，但是也是给他归属到半角模型这旋转里的啊，那方法是一样的，就是对于等腰直角三角形 abc 来说，你在底边 bc 上 任意取点 d， 那 这两两个是不都是这个点 d， 一个是在 bc 的 线段上，一个是在 bc 的 延长线上，那你不管这个点 d 在 哪，只要在 bc 上你取完之后你就能发现这里这三个线段 d a d b， d c， 下面也是 d a d b， d c， 它们三是有数量关系的，是能组成直角三角形的，不是说是能正常组成直角三角形啊，是一个边能组成直角三角形，然后另外一个边是当另一个 直角三角形的斜边，就是他们三是存在这种数量关系的，我们要知道，那这里面的特点是指的是等腰直角三角形，你在底边上任意取一个点，可以在延长线上，也可以在这边上，然后你取的这个点到这个等边三角形，到这个等腰直角三角形三个顶点 到他三个顶点，这三条边是有数量关系的，我们知道这个就行。然后正法的话还是旋转还是一样的，有不明白的可以评论区连。然后我们看下一个就手拉手 那共舞里面的第二个旋转，就手拉手，那对于手拉手的旋转的话，我们看手拉手的旋转，就是分为对角互补，还有 对角互余这种的，还有同方等角，他的核心都是要构造手拉手，我这个指的不是已知手拉手的情况下，你去正是。你什么时候需要去构造手拉手？因为你已知手拉手去正了，大家都知道这八上学的，那你什么情况需要构造手拉手？那常见的就是这三个情况。 第一个那是对角互补，那比如说像我这里面，咱们上学期也学过对角互补四边形，对吧？那对角互补四边形其实是不是勾到个手拉手等等， 那这里面你看有一个 a、 b 等于 a、 c， 然后 a 和 b 这两个角是互补的，当出现邻边相等， a、 b 等于 a、 c， 并且对角互补的四边形的时候，我们一定用的是旋转，那旋转原则是一样的，矢量的面成盒，所以你可以把这个 a、 c、 d 往这边转， 也可以把这个 a、 b、 d 往上面转，都可以的。那第二个是对角互余，对角互余是大家比较容易忽略的，那这时候对角互余的话，咱们是通过构造手拉手，把，你要把这里面互余的两个角转化到同一个直角上去， 这里面你看 a、 b、 c 等腰值，所以这个角 b 是 不是四十五，那 a、 d、 c 也是四十五，你发现这个四边形是不对角互余呢？对角互余，那咱们思路就是我可以通过旋转，比如说我可以在以 a、 d 为边，在上面构造一个等腰值，那构造等腰值之后，是不是两个等腰值？手拉手全等 就有 a、 b、 d 和 a、 c、 e 是 全等的，全等之后咱是不是就能得到这里？哎，你发现这个角是不是四十五了？所以此时 c、 d、 e 是 不是就九十了？这个咱就是通过勾到手拉手，把多余的两个角转化到同一个直角，那后面这个结就可以正了。 第三个是同方等角，也是正方形里非常容易出现的。那正方形也因为大家都学到正方形啊。咱们简单说一下，你像这种的哎，然后我再取一个直角，这个是不是就是这种情况下？那你怎么去看？大家可能都看不出来啊？你看如果我把这里面连上， 你就看这个三角形，这个等腰值看到了吧？这个等腰值他是不是一个等腰值？同时这块是不是有一个直角？ 你发现这个图，我现在拿红色笔画这个，它是不是就是我这种画的同旁同角？同旁同角什么意思？指的是两个直角， 他们或者说两个相等的角，他们对着一条公共的边，你像这里面 a， 这是不是直角？ b， a， c， 然后 b， d， c 是 不是也是直角？它俩所对的一条公共的边， bc 斜边，对吧？ 这个就属于同旁等角，指的是在这公共边同一侧的两相等角。那还有跟他类似的是不是等边？上学的手拉手大家是比较熟悉的，这有一个等边，然后我这块再有一个六十，哎，他是不是就同旁等角？那此时我一把它一连，是不是可以勾到手拉手了？那同旁等角的时候还有一个名叫角分角等幺，这个也是上学期学的。 然后第四个情况的话，就是常见的勾动力旋转的一个题型，已知一个点与三个顶点相连，然后 他这里是有一个点到三个顶点的距离，以及这三条边中其中两个边夹角，指的是点到三个顶点的距离以及夹角的问题。那这时候咱们也是通过旋转，他也会在正方形里面出，他是一样的啊， 就是不只是在那个三角形里，他可以这样，比如说这是一二，然后这是根号五，他让你求这个角的度数。像这种类似的题，那这里面咱的方法还是旋转 那像我以这个图举例子，那既然是有等腰值，所以咱是不是旋转的方式一样的绕相等边重合顶点，那这里相等边是不 a b 和 a c 重合顶点是不 a， 绕这个重合顶点旋转，那是不就是把相当于把 ab 六转到这块了，对吧？转到这了，然后再一连就可以了。 那对于最后一个费马点的旋转，这个是选学的内容啊。对于高分段的内容，你高分段的孩子，比如说一百一以上的，你为了拓展你的题型，你为了拓展你的积累度，你可以去看看这个。那咱们辽宁呢，很少是考这种费马点的，尤其是大连费马点考的非常非常非常少。 然后我们看啊，这费马点什么意思？他和刚才的这个题型是非常像的，这里面是一个点到三个顶点的距离，然后求度数， 那费马点是求一个点到三个顶点距离和的最小值，它的特点就是求一个点到三个顶点距离和最小值，一定这种的才是属于费马点。那费马点的原则，咱们是旋转，你是绕着这个相等边重复顶点旋转，对吧？那只不过这时候费马点它是没有相等边了，要任意的三角形都是可以的。 不管什么图的非马点，比如说最初时有个三角形 a、 b、 c， 你 这里要找点 d 在 哪的时候，求这个 d， a 加 d， b 加 d、 c 最小方法都是一样的，非马点方法都是一样的啊，就是绕这个三角形的顶点， 你绕这个顶点向外侧旋转六十度，它不是向内，不是向同侧，向外侧指的是你要旋转这个 a、 b、 d， 你就要往这边旋转，你如果旋转的是 b、 d、 c 这三个旋，就要往下旋转，如果旋转的是 a、 b、 c， 就 要往左面旋转，一定是这样的。旋转的话，不管是给的是什么图，给的是三十度、六十度或正方形等，腰直什么都是一样的，永远是旋转六十度啊，一定是旋转六十度的，你看为什么要旋转六十度？比如说咱们这里面， 比如说我后面右面画的这个图啊，那假如说现在咱们旋转的就是 a、 b、 d 这个三角形，那你把它向外侧旋转六十度，你是不是就能构造出一个等边三角形 a、 d、 e 啊？那 a、 d、 e 是 等边，那所以这里的 a、 d 是不是就转化成 d、 e？ 同时咱们最开始要求的这个 b、 d 是 不是现在变成了 e、 f， 对 吧？那我们要求的这三边现在是不就转化成了 e、 f 加 e、 d 加 d、 c， 它们三值和最小值，那其中咱们因为旋转是六十度的，所以 f 是 不定值固定的点， c 也是固定的点，那什么时候值和最小啊？是不是两点之间旋转最短，直接连就可以了？那有同学就想，老师，那我那是不是只要说点 p 在 这个直线上都可以啊？ 理论上是只要在这个直线都可以，对吧？我旋转 a、 b、 d 的 时候，你发现点 p 只要在这个直线上都可以，这块就属于一个拓展啊，基本上不会问你这点 p 具体在哪，它最多让求最小值。那咱们拓展一下，你看咱们研究一下这个点 p 具体在哪 啊？是这个点 d 啊，具体在哪？如果我旋转 a、 b、 d 的 话，就会发现这个点 d 需要在 f、 c 这个线上是不是才能有最小的？如果旋转的是黄色这个 b、 d、 c， 你是不就发现这个点 d 需要在这个 a、 h 这个线上它才能最小的？那如果咱们旋转的是蓝色的这个 a、 d、 c 的 话，你发现这里的点 d 是不就要在这里 b、 j 这条线上它才是最短的，所以点 b 你 想既点 d 啊，既在这上，也在这上，也在这上，那所以点 d 是 不就是他们三的交点？这里面他们三一定是交于同一点，所以最后点 d 一定是在这个点的位置上的时候，它才是最小的，而不是在整个线上运动都可以。 第三个部分，勾股与翻折，勾股与翻折不是说一个简单的一个翻折的问题，那这里面咱们会把涉及到翻折的问题都会总结一下。其实八上咱们也说过，那翻折的问题的常见思路的话，是需要找到直角三角形去列勾股定律方程，就前面我说那个单勾股方程或双勾股方程， 那翻折的思想，就你涉及到翻折思想的辅助线都有哪些？有以下这几个。第一个，角平行线，这是大家最熟悉的，只要涉及到角平行线都是属于翻折的。 你看不管角平分线里的双垂还是这里的单垂，还是截相等线段，对吧？他都是相当于以角平分线为对称轴构造的两个三角形全等，这三个是不都是相当于角平分线为对称轴构造的翻折全等？ 所以角平分线你学好了之后，你就会明白，他其实就是翻折，你就不用记那个单垂、双垂和截相等了，根据不同的题就完事了。那第二个翻折是等腰对称，从这块开始， 基本上百分之九十的孩子就没接触过了，这个就属于很难的，在亚洲如果他作为亚洲题出现的话，基本大部分孩子就是做不出来的。那这里面等于二对称，指的是只要有两个相等的边，你就可以去考虑构造反折，因为他的应用性太广了，所以孩子们你根本想不起来用。 那什么意思。比如说啊，我以下面这两个图举例的，以这两个图吧，先咱们先看后面这俩图啊， 你看这里面都有 a、 b 等于 a、 c， 那 是不说明 a、 b、 c 的。 等腰出现等腰三角形的时候，咱们就可以以这个等腰三角形的角平分线，就是以以这个等腰三角形的对称轴，以它的对称轴为新的对称轴， 把这个图形进行左右翻折对称对称之后构造成一个新的轴对称图形。那比如说现在这里的原图是不有一个 a、 b、 c， 然后左面还有一个 a、 d， 那 我以这个对称轴 af 为对称轴，我把它翻折左右进行翻折对称，是不就能把左面这个绿色三角形对称到右面来？ 那对称之后是不是也变成一个新的轴对称图形了？那也可以像右面这种情况吧，如果原图是 e、 a、 c 是 在外右面的，那你以这个原来的对称轴 af 为对称轴，把那个右面的三角形 e、 a、 c 是 不是也能对称到左面去？这个就是翻折对称的一个思路， 那有一个比较特殊的，你像这种的就是它没有三角形，它可以只要给你 a、 b 等于 a、 c 有 俩相同的边就可以了，那你就可以以它的对称轴为对称轴进行反折对称。那这里面如果圆图这种的，这是 a、 b、 c、 e 是 这样，那你翻折之后是不是左右进行翻折对线，是不就相当于这样了，对吧？那他常见的，你比如说像这种图，以前大连的期末考试考过好多回这种类似的，比如说这有个 a、 b、 c， 然后这个 d 已知这里呢是 b、 d 等于 bc， 那 这时候是不是相当于出现的等腰三角形 b、 d、 c， 那 你就可以以它的对称轴，以这个角 b 的 角平行线为对称轴进行翻折。那翻完之后我是不是就能把这个图，哎，我用黑色笔画啊，就能把这里的 b、 a 是 不是翻折到右面来， 对吧？那就变成这样。所以这时候是不是就相当于把这个三角形 b、 c、 a 把它进行左右翻折对折，翻折成了这个 b、 d、 e 上了，对不对？第三种翻折就是属于这个背半角的翻折构造的问题，那因为出现二倍角的时候， 咱们的思路有一种也是需要去翻折，比如说出现二倍角，你可以做这个二倍角的角平分线就能勾到出单倍的小角了。那如果出现题里出现了二倍角和单倍角，比如说我举个例子啊，像这种的， 这儿这个是 a、 b、 c， 这是阿尔法，这是阿尔，那出现二倍角了，我是不是就可以去构造这个二倍角的角平分线？那二倍角角平分线出现角平分线是不是相当于翻折的辅助线，对吧？那第二种，我是不是也可以把这个单倍小角把它往上翻， 把它往上翻过来，这时候就也出现一个 r 反，也出现了二倍角，所以出现二倍角的时候也有一个辅助线翻折。那第四个翻折的思想就是这个直角三角形的翻折，比如说出现 abc 这种直角三角形， 那咱就可以以 a、 c 为边，把 abc 翻到左边来，或者以 bc 为边，把 abc 翻到下面，这都是可以的。那咱们看一个立体啊， 这里面你看这个题，它首先它给的这个角 c 是 九十度的，然后这里有一个条件是 a、 d 等于 b、 d， 咱们画一下， 那 a、 d 等于 b， d 是 个等腰三角形，对吧？然后再看它，这里面说角 b、 e、 d 是 四十五度的， b、 d 这个角四十五度，然后其中 c、 d 是 等于五， a、 e 是 等于六，要求这里的 a、 c， 那 我们等 冷静一瞅，啥速度没有啊？有四十五度，肯定好多孩子想着勾到勾到等，那勾到等号值，这你发现没有用吧？你过 d 做也不行，你这样做垂也不行，那你这里你就看啊，这里是不是有一个等腰三角形 d， a 等于 d、 b， 所以 咱是不是可以以它的角平分线为对称进行左右翻转对称，我可以把这个左面三角形 a、 c、 d， 我 是不是翻到右面？ 所以这里的辅助线咱们可以说延长 a、 d 至点 f， 使 b、 f 等于 dc， 那 现在咱是不就能推出三角形 a、 d、 c 全等于三角形 b、 d、 f， 那 b、 d、 f 的 边 d、 f 是 不是五？ 那我们还能得到啥？那因为咱现在全等之后，原来角 c 九十度，所以这个角 f 是 不是也是等于九十度的？那说明这里再加上这四十五度，说明这个 b、 f 是 不是一个等腰直角三角形？等腰直角三角形的话，那我们能得到什么呢？ 这里面你看那等效值是不是就有这里的 b f 等于 e f， 那 b f 等于 e f 之后呢？我们是不是就可以设个未知数？你设这里的 d e 是 x， 那 你发现这个 a、 d 是 不就等于六加 x， 所以 这个 b、 d 是 不是也是六加？ 那此时你发现这里的 b、 f 是 不是就是五加 f？ 因为 b f 等于 e f 嘛？所以接下来是不是就是用的前面咱们说的勾股方程，你在 b、 d、 f 里面沟通里去解出这个 x 值 x 求完，那 a、 c 的 值是不就等于 b、 f 就 等于这个五加 x 就 完事了？
353喜欢数学的张张张张
10:46查看AI文稿AI文稿啊，接下来再搞个这个二，这是九十度表二倍角，底角是这顶角是两符号加两倍的，底角是九十，减符号减倍的二倍，所以这是一百八减二，符号减二倍，一百八减二，符号减二倍，这是两符号， 那所以这个点，这不两倍啊，那这块我就给你藏了个脚，等啊，就是这个角和这个角相等，我来瞅瞅边等还是边？ a、 d、 c， 那 你是搬 a、 b、 d 还是搬 a、 d、 c 都行，都挺特殊。为啥子啊？边等 角等数的方型都挺特殊啊，搬谁都行啊，比如说搬 abd， 那 就搬这了。 好，在 a、 d 上截取 a、 k 等于 b、 d， 然后这一连，这不就全等了，然后对应边，对应角相当转移条件。 ok， 它 b、 d 是 二，翻过来这是二，然后 c、 d 是 四，然后全等对应边。我这个 c、 k 和谁是对应边？ c、 k 是 俩杯子对着的，边和 a、 d 是 对边，然后那这不两边关系说这是 n， n 加二，这是 n 加二， o 五三四五， n 的 三，这不就完事了，咱继续啊，两卦，这两杯子是不是，然后导出这是两杯子啊？这一百八减二是这样的， 那你想了，等幺三角形啊，咱们刚才遇见这俩等腰，这个等腰也好，或者上面这等腰也好，都当成普通的 边等去处理。那等腰三角形啊，因为边等的位置特殊，可以用于找角。那上这道子题和这道题等腰都用于找角，是不是？而且构造的话，当成普通边角去构造进行了翻译。那你想等腰三角形还有特殊构造，因为它位置特殊，所以有特殊构造，比如说对称， 比如说对称，还有旋转的对称，那什么特征好？那对称的话有对称的特征，那对称线的话， 就是等腰底边或者是底边压线在里边，或者在外边啊，给你一只角，或者给你比例都行，比如说这块给你四十五，是不是 啊？或者给你其他角，或者给你比例说这是 n， 这是五 n， 对 不对？或者在外边给你比例啊，咋给都行啊。那在底边上有一只角，或者有比例，那就做三件合一锤去对称 三千和一垂一对称，然后你看比例是不能继续倒，要有已知角的方式，是不是已知角也用上了，哎，这三千和一垂对称啊，或者是等腰，孩子们等腰三角形， 然后这个腰，哎，这个腰条件有特殊关系，这，这是延长线啊，哎，一到角发现说这是六十减啊，俩 r 法，那九十减 r 法太简单了啊，六十减二 r 法和六十加 r 法，哎，正确配， 因为在一个三角形里的话，另一个内角也是六十加，对吧？孩子啊，我还可以给你放俩 r 法和九十减 r 法是不一样的，哎，等腰，这个腰，那个腰调整出了关系对称啊，比如说最简单的就把它哎咔对称过来，或者把它对称过来都行， 就他了，对称过来时候六十加吧，过来六十加吧，六十加吧，所以这是等腰， ok， 等腰对称这角那角，然后再藏深一点，那就烦烦人点呗，哎，给你顿脚等腰。孩子，顿脚等腰， 哎，还是这个腰延长线上和这个腰延长线上， 哎，有特殊关系是吧？一倒，这是俩 r， 说这是九加 r， 他 说这个幺，这个幺条件有特殊关系。什么叫特殊关系？只要角用同一个未知数表示出来了，就算特殊关系，明白吗？ 然后告诉我说二位角特殊啥的角只要角用同一个位出，表示出来就算特殊关系，明白啊，瞅瞅。那直接就对称，想都不要想。对称之后再观察看看角连没连上，明白 哎。九十加法对称过来分，或者把它对称过去对称过来分。九十加法邻补角多少？是不是九十加法 两块绝对。哎，这不成样。 ok 啊，要对称这个样那样，或者底边上或者底边延长线上有一直角，有比例的都可以做三角形一垂直，那对称不就这两种情况， ok 哦，对称就这两种情况。那接下来说旋转，那旋转的话，孩子们，那就过等腰啊，比如说咱最简单的等腰直吧。 等腰直简单点是不是？那等腰直过顶角顶点这块啊。过顶角顶点，这给你来一条线啊，在哪都行啊。这条线在哪都行啊，在哪都行。然后给你挂个角和底角相等啊，给你挂个四十五瞅瞅， 这不是最简单最简单最简单的旋转过程吗？啊？过等腰直顶角顶点这块给你挂个四十五， 那就双等腰直共点旋转是吧？照等腰直，照等腰直的话，这是做垂，这是四十五，然后九十减去这个角，九十减这个角是吧？这个角和这个角相等， 然后蓝边粉边假角相等，直接旋转是吧？双线手拉手都旋转全等， ok 啊，双等腰顶角顶点重合，然后这俩等腰对应角还对应相等，那就有旋转权重，对不对 啊？这是最简单选择题。那这样过等腰顶点的这条线啊，把这个角关给你藏一藏啊，不给你挂角等了是吧？哎，和这连和这连 啊，然后给你点角关系什么俩阿法阿法的，是不是啊？给你点角关系或者给你点边关系什么。嗯？隔号二分的对不对啊？给你点关系，这不还是选择题， 就稍微复杂一点就旋转到这。那你可以。哎，这回自己造等号值这样或者这样造等号值啊，然后旋转型等啊，补全，把这个等号值也要补全，然后补全之后对应边对应角都对应上， 然后看看解没解决问题，对不对啊，如果不行的话，那擦了啊，只不过是第一想法就旋转对不对？然后那把等号值换成等边等边给你挂六十或者挂一堆关系， 那就造双等边公的，对不对啊？换成普通等腰对不对？那换成普通等腰的情况下，孩子们 啊，那基本就不给你挂一堆关系了啊，就给你挂个角和底角相等就可以是吧。啊，在里边在外面一样就这俩法，给你挂个九十减二法是不和底角相等。嘿嘿。那和底角相等的，那还犹豫啥呢，直接造双等腰公的，在这 照个等腰，那这俩等腰顶角就不相等了，加总共五分，所以这角和这角相等。粉色蓝色加角，粉色蓝色加角，双线手拉手 都是旋转旋转， ok？ 哎，对称，有对称的，对称这个样那个样，旋转就对了，对不对啊？旋转那就是过顶角顶点啊，过，等到顶角顶点那块有一条线给你挂一堆关系，或者是干脆就给你挂个角和底角相等到双方向弧度位置。 ok 啊，那这个对称其实你可以跟这个角分线对称一起一块记，是不是角分线？还不？那角分线的话要在三角形里，要是三角形内角的角分线的话，啊，还要考虑一个角分线分线的乘比例， 对不对？那是计算，那如果是角分线要用于构造的话，那也就一个对称形，你说还能有啥？就一个对称形，比如说双垂 啊，为了证明某些东西自己不双垂，或者是给你一个垂，那自己肯定不对垂，对不对？角分线，双垂对称全等，然后或者是角分线，这样被垂了，那就延长不等腰，是不是还是对称全等，对不？哈子？或者是角分线这侧 和这侧条件有特殊关系，是不是这侧给你来个九十减 r， 这侧给你来个两 r， 是 不是啊？因为两侧角关系用同根三就表示了， 那所以整个对称过来就得了，是吧？或者把它对称过去就等腰啊，你等腰对称和脚跟平行对称，这不一回事吗？啊？你只要想构造，那就这么构造呗。啊，你的构造只要是跟它就有关系， 或者说再通俗一点就是你的构造只要出特殊东西了就完事了，如果啥还没出呢？就像我刚才似的，咔嚓一下子，把这三角形，把这个直角三角形咔嚓搬这来了， 然后对应边这个角对应上了，一瞅，啊，没啥错的多，那擦了呗，对吧？然后那接下来咱继续看，这是俩背的，这是俩背的，这是俩 r， 然后等腰三角形过过顶角顶点这条线给你挂一堆关系，这挂的关系不够多吗？ 你说无论是两围，他还是九十度，全要和这条线相关，所以他还有一个旋转，往这边转，或者往这边转，反正你得旋转角啊，这条线，这个蓝线的旋转角一定要等于粉色等腰的零角， 然后双等腰空心点旋转，旋转，旋转啊，比如说转这呢，往哪转都行啊，往这边转，直好转一点，然后这块写上俩符号，然后等腰需要补全就补全啊。旋转旋转，瞅瞅一下就把它转过来，转这来，然后这十二嘿 啊，等腰需要补全就连上啊，然后对应边，对应角，对应相等转移条件。俩围特过来，这是俩围特。这俩围特，所以啥关系吗？都平行 啊，平行了，这垂直，那这是不是垂直啊？那垂直了，那 d、 c、 k、 a 什么四边形，是不是直角梯形？那直角梯形了，那接下来继续，那 b、 d 是 二， c， d 是 四二四，那这是二， 那直角梯形它和它还相等，那这个直角梯形四个边，要么已知，要么可以用同一个未知数表示，那这个直角梯形就可减了。 无论是直角梯形还是梯形，你就哐哐做两锤就完事了。直角梯形做一个锤，矩形加直角，等腰梯做两锤，对角形加矩形，那就哐哐做锤吧，是吧？做锤， 二矩形过来，这是二了，然后设，这是 n 等于幺，这是 n 加二，然后矩形四过来，这是四，是不只经过五三四五，是不是啊？直角梯形四个边用同一参数表示出来，做个垂也不古致啊，它还有一个旋转特征 啊，过，等一下，顶着，顶着那条线给你挂一堆管，叽里咕噜的，你说是不是？你是那九十啊，还是那脚等啊，是不是全跟这条线有关系？那所以还可以尝试是吧？啊，你要发现脚等了，那一边有个脚等是最简单的。
11刘野Maths
00:32查看AI文稿AI文稿八下数学最难的十五大几何模型全部吃透，逆袭班级前三八年级下册数学几何模型汇总，一、平行线加角平分线二、平行线加中点三、斜边上的中线模型四、绊脚模型 六、含六十度的菱形七、中点四边形模型八、十字架模型十、正方形对角线模型十二、一线三等角模型十三、手拉手模型十四、对角互补模型十五、鸡爪模型共十五大模型完整版分享！
74作为世界第一
04:09查看AI文稿AI文稿今天给大家讲勾股定律的正定律和逆定律它的实际应用，我们来看一下这道题，他说如图，我的 a、 b 等于十三，那么这类题我们肯定就是有条件，我们在题目上我就把这些条件可以给它标上， ab 等于十三，然后我的 bc 呢？等于三啊，这个图不是很标准啊，但是没关系，我们只要知道数值就可以了，那么我们的 cd 等于四，然后我们的 ad 等于十二，然后呢角 a、 d、 b 等于什么？九十度，然后呢去求四边形 abcd 的 面积， 那这道题我们看一下，求面积的话，我们通常是知道比较规则的，四边形的面积我们会可以用公式去求，那么这个呢？我们看一下 abcd 这个 四边形呢，它其实是个不规则的，所以我们肯定是想着说把它怎么样拆分一下，对吧？那么是否可以把它拆分成这两个三角形的和呢？那么我们这题既然讲到的是勾股定律，那么我们立马想到，哎， 这个角 a、 d、 b 等于九十度，那么这个 a、 d、 b 就是 一个直角三角形，那我就可以把利用勾股定律把 b、 d 这边求出来，是不是？那我们根据勾股数是不是五 十二，十三勾股数哈，大家可以去看一下老师的作品里面的视频，对五，那么我们会发现，哎，那么我们放到这个三角形 b、 c、 d 这个三角形面，如果算出这个等于五的话，那我就是三四五，是不是又是一组勾股数啊？ 那么我们是不是可以用勾股定律的逆力来证明它是一个直角三角形，那么直角三角形它的 两直角边都知道，你看这条直角边，这条直角边，还有这条直角边和这条直角边，我都知道的话，那它的面积是不是自然就求出来了？所以这道题呢，其实不难，那么我们正确的过程该如何去书写？那么就应该写 减，那么写减，我们是不是先把 b、 d 的 边长求出来？所以我们因为那么角 a、 d、 b 等于九十度，那就说明我们这个就是个直角三角形，可以用勾股定律，那么我们呢？可，所以我就可以求出 b、 d 是 不是应该等于根号下斜边的平方， 就是 ab 的 平方减去直角边 a、 d 的 平方啊？那么就应该等于根号下十三的平方减去十二的平方，那之前说了是五十二十三，对不对？ 那我们就求出我的 b、 d 是 不是就等于五，那么 b、 d 等于我们这个 a、 d、 b 的 三角形的面积就可以算。现在我们是不是说，哎，三四、五好像又是一组勾股数了，那所以我就要用在这个三角形面，用我们勾股定的逆地里， 把它正出这个角是九十度，那么如何书写逆定义？那么就是说要把三条边的平方分别求出来，因为我们 bc 它的平方等于多少？是不是等于三的平方等于九，然后我 c、 d 的 平方等于四的平方等于多少？十六，然后我 b、 d 的 平方 等于多少呢？等于五的平方等于二十五。那么我们把三条平方写下来，我们会发现，如果两直两条边的平方和刚好等于第三边的平方，那么这就是一个直角三角形，对吧？所以 bc 方 加上我的 cd 的 平方就应该等于 bd 的 平方，那这样子的话，我们就可以用勾股定力地那么正出，所以我们的角什么角？ c 啊？ 那么就等于九十度，那这个时候那我们就可以求出整个大的四边形的面积，那就等于这两个三角形面积加起来啊，这个我给大家标个九十度是不是可正出来的？那所以 s 四边形 abcd 就 应该等于什么呢？等于我们的 s 三角形 abcd， 那等于多少呢？他是不是等于二分之一乘以底和高，所以二分之一乘以十二乘以五，加上二分之一也是乘以底和高，四和三， 那么这个是六五六三十，然后这个是二二三得六，所以最后等于多少呢？加起来等于三十六，那么这就是我们常见的啊，就是这道题里面同时考了勾股定律，也考了逆定律，那么这个题型比较常见，也比较简单。
54苏老师讲数学
01:49查看AI文稿AI文稿八下四边形这个章节太重要了，因为他不仅会在我们期末当中出题，而且他还会结合着我们上一学期全等轴对称相关的模型辅助线去出题， 无全等不四边，如果你之前的这些模型辅助线有漏洞，很难把它做的出来。今天借着一个视频，我把正方形相应的模型再带着大家去复习一下。如果咱们孩子之前有漏洞，哎，我这里也给大家把 全等到正方形这里所用到的模型辅助线做了一个总结，从头到尾刷一遍以后，这种题目综合程度增大的时候，不至于没有思路， 下面咱们就来一起看一下。这道题说了，四边形 a、 b、 c， d 为正方形， g 在 边 b、 c 上，现在说 d、 e 垂直于 a g， b、 f 垂直于 a、 g。 好 了，现在呢，我们知道了，若 a、 d 啊，若这个 d、 e 等于五倍根号三，谁是五倍根号三？这边它是五倍根号三， b、 f 呢？等于二倍根号三啊？那我们此时问你 e、 f 的 长是多少，应该用什么去求解啊？ 哎，很明显，它就是一个正方形当中的弦图，这里引含了一个三垂直模型，这里这个小三角形和这里小三角形一模一样，全等的， 所以这条边是二倍根号三，那我们就有这条边也是二倍根号三了，对不对？那这条边它是五倍根号三，同理哎，我们用红色笔画出来的这条边，它就是五倍根号三， 所以我们用线段的和差关系就可以求出 e、 f， 它就等于五倍根号三，再减去二倍根号三，也就是三倍根号三了，就这么简单。所以这种题目能不能快速秒出来的关键就是你对模型的熟练度，能不能一眼看出弦图，能不能一眼看出它引含的三垂直模型。
389依依老师da数学
01:46查看AI文稿AI文稿举行折叠问题始终是我们八年级下学期几何压轴考试当中一个非常重要的知识点，今天呢，我们再来通过一个例题，给大家详细的解决这样的问题。你如果说想突破这种题，其实本质上就要学会建立我们的勾股方程，我们来一起看一下啊。如图，点一是 c、 d 的 终点，这点是终点 b、 c 等于八。我将这个三角形 b、 e、 c、 e 沿 b、 e 折叠，得到我们的三角形 b、 q、 e 好，那么 c、 d 等于十二，那这是六，这是六，这个地方就是十。折叠过程中这辆就是等于八，好，注意它是中点，那这个地方是垂直，这辆是垂直。我们要求的是线段 a、 f 的 长度， 而线段 a、 f 的 长度接下来该怎么办呢？由这个折叠可以知道，我们的 q 一 是等于 q、 d 再加结合它是一个九十度，我们连接它连接 e、 f， 是 不是全等上 e、 q、 f、 e、 f 全减三， e、 q、 f 这两个边边是相等的，如果说我设这个量为 x， 这边是不是八减 x， 这个量是不是也是八减 x 啊？这个量是不等于十二？好，如图 啊，设圆设 a、 f 等于 x， 则 我们的 q、 f 等于 df 等于八减。这里面会有一个非常重要的购物方程，就是 b、 a 的 平方，它加上我 a、 f 的 平方，结果是等于 b、 f 的 平方，那所以说就是十二的平方，加上 x 的 平方，等于十六减 x 或的平方。 解这个方程一下就可以口算 x 等于二分之七，好，那这里就讲到这啊，同学们拜拜啊！
04:49查看AI文稿AI文稿把你下一题的几何压轴题，其实本质上就是我们在基于四边形的基础之上进行的解三角形的过程。今天呢，我们再来通过一个基于平四边形解压轴题的过程啊。看第一个菱形 a、 b、 c、 d 当中 ab 等于二倍的根号四、三已经确定了， 然后 c、 n 平行， b、 d 这两直线是平行的也确定了，然后 am 等于根号七也确定了， c、 n 结果等于四也确定了。我们要求线段 b、 n 的 长度，求这个边边的长度，那这个呢？怎么办呢？我们来一起观察一下啊。这是一个菱形 m， 在 对角线 b、 d 上 a、 m 等于让其得到了 c、 n 平行于 b、 d， 那 么对于菱形来讲，有对角线的话，我们先连接对角线，就会得到垂直，而且平分。哎，这个地方是不是连接垂直？ 那这个地方就是我们想要的 o 点，这是垂直好， o 点是 a、 c 的 中点，而且它俩是垂直，这个地方是不是也是垂直 好，那么在这个地方，我们三角形 a、 m、 d 是 不是反折得到？我们三角形 c、 m、 d 这两三是全等的，菱形的对角线是不是有个对正形，全等，这个地方是二，对吧？中位线好，那这个边是不是等于根号三啊？他在这个边是不是等于根号三 好，再来发现这样是垂直，我要求线段 b、 n 的 长度，那么也就是换进来讲，这个是戈尔奇，这是戈尔奇，这边 m、 n 是 不是也是戈尔奇？那么这个量是有个九十度，是不是可以反退出来？ m 是 直角，三角形 a、 c、 n 的 斜边中点。 写完终点之后呢，我们接下来再看啊，你如果说你看这是有个终点，这是有个垂直，如果说我过 n 点做他垂直，是不是可以为解出来我们的 b n 打下坚实的基础？再来是过点 n 做他的垂线，做 nt 垂垂的好，这个地方做 nt 垂垂的 好，那这辆是终点，这个，这辆是终点，对吧？这辆又垂直，这辆又垂直，这辆是不是会有个平行八字全等这杠三，这辆就是杠三，杠三，那你这个 tm 结果是不是就等于二？ 接下来我只要求出我 b m 的 长度，是不是就可以找出来就是我们 b n 的 长度？好，接下来这个地方是不是就用勾勒里求出 o b 的 长度，然后减去我 o t 的 长度是不是得到 b t 的 长度？而你 b n 是 不是就 b t 的 平方加 t m 的 平 t n 的 平方 k 号是不是就可以做出来了？ 好，那这个题如图简单写下啊，就是连接 a o， 连接 a c， 交 b d 于点 o， 好， 然后过点 n 做我的 n t 垂直于 o， b 于点 t， 然后接下来我们是不是就可以得到我们想要的？就是我们的 am 等于 cm 等于 m， n 结果等于根号七， 然后我的 o m 等于二分之一， c n 结果等于二，然后 a o 结果是不等于根号线 a m 的 平方减去 o， m 的 平方，结果是等于三的？ 好，接下来我们 o b 的 长度是不是接下来可以通过勾理根号下 ab 的 长度， ab 的 平方减去 a o 的 平方，结果是等于根号下啊？二倍根号十三括号平方减去根号三，括号平方，结果是不是等于七？ 好，接下来这个地方会有一组平行八个全等，我们三角形是 m t， n， 全等，三角形是 m o， a， 它是 a， a， s 的 半径，那所以说我们的 n， t 是 等于 a， o， 结果是等于根号三确定了， 然后 t， m 等于 o， m， 结果等于二确定。好，那接下来所以说我的 b t 是 不是就等于 o， b 减去 o， t， 一 结果等于七，减去四，结果等于三。 好，那所以说我们大声的可以解出来，我们 b n 的 是不是就可以等于根号下 b， t 的 平方加上 t， n 的 平方， k 根号等于二倍的根号三，好啊，这样就很丝滑的做了出来。 好，这么一个压轴题就给它解出来了啊。那针对这种压轴题解法的话，应该怎么做呢？其实本质上它就基于一个菱形的特点来进行，菱形的对角线是相互垂直且平分的，而且这个地方会存在一个翻折形全等， 那么你找到三角形全等之后，接下来就根据它的线段关系来进行解形就可以了。我们一般要求出某一个线段的长度的话，其实本质上都是在于用勾股定理解三角形，最终可以求出来我们这个边。好，那这个量就讲这啊，同学们，拜拜。
01:17查看AI文稿AI文稿八年级同学们，如果你现在卡在几何压轴题，那么一定要来听一听这套有效的压轴题思维。第一个你不管什么样的几何压轴，你一定要把第一问和第二问一定要彻彻底底搞明白，你在做第三问的时候，你一定要去想一想，前两问 你做了什么，他问了什么，而这个条件和这个结论他一定能够顺延到第三问，而且你一定要去想方设法的去模仿 你，比如说我们拿到一个几何的证明之后，你想一想上一本它出现了什么结论，出现了什么条件，考我们什么定义，而我们在八年级最容易出现的定义是什么？斜中、半中位线，还有正方形里面的各种模型，菱形当中的各种结论对不对？所以你一定要从这几个方面去入手。 第三个就是辅助线怎么做？首先你大脑里面要有自己的一套我们几何的辅助线作为我们的工具备选，比如说备长啊， 截长补短啊，这些也都会用到。还有就是构造平行线，构造垂直这些高频的辅助线你一定要特别的清楚， 然后去对照题目前面问了什么，再去选择相应的辅助线，哪怕第一次你选错了，没关系，再换一个，你一定就会操作成功，所以大家千万千万要记住模仿第一文，第二文。再一个就是大脑里面要有一套自己的工具备选，这样的话，你的压轴思维一定能够训练上来。
15南京数学王超老师
01:54查看AI文稿AI文稿两点间距离公式两点间距离公式的问题一般考的是找一个点此三角形存在是等腰三角形的题目，那么我们先来简单的说明一下两点间距离公式是长什么样，告诉我们点 a 坐标是 x 一， 逗号 y 一， 点 b 坐标是 x 二，逗号 y 二，则 ab 的 长度应该等于根号 x 一 减 x 二的平方加上 y 一 减 y 二的平方， 也就说横坐标的差的平方加上纵坐标差的平方，就是两点的呢？距离公式，那么看这个题， a 点坐标是零三点 b 坐标是三负一，在 x 轴上找一点 p， 使三角形 a、 b、 c 为等腰三角形，求点 p 的 坐标，那么因为点 p 在 x 轴上，所以我们就把这个 p 点坐标设为 x 六号零， 然后利用两点解决公式，它也没说是哪两条边是相等的，所以我们分类讨论，就好比如说我们先把 a p 算出来， a p 就 等于零减 x 的 平方加上三点零的平方，就答就是 x 平方加九， b p 应该是等于根号 x 减三的平方，加上零减负一，就是加上一的平方，就加上一。 就在算 a、 b， a、 b 等于零减三的平方，加上三减负一等于三的平方，加上四的平方等于五。再分类讨论一下。比如说第一种情况，当 a p 等于 b p 时， 就是两个根号相等，就是根号 x 平方加九等于根号 x 减三的平方减加一，把它们展开之后再去计算就好了，把这点写出来。那么第二种情况，当这个 ap 等于 ab 时，那就变成了根号 x 平方加九等于五也是一样，平方完之后再算出 x 的 值就行了。 这种情况一 p 等于 ab 十，那就是根号 x 减三的平方加一等于五，再把这个 x 算出来就可以了。这个是两点距离公式操作方法。
60晓波特
00:38查看AI文稿AI文稿八、下数学最难的八大几何最值，全部吃透，稳进班级前三，平行四边形八大几何最值，一，将军引马问题二，梯子模型 三，确定轨迹四，胡不归问题五，废马点问题 六，定脚与定长问题七，构造手拉手拳等八、完整版分享！
370小羊咩咩
